阿窝深三角函数

四十五分钟学完三角函数前三节的内容，我们来到第五章的内容，三角函数 五点一，任意角的三角函数。首先我们来看一下三角函数的定义是什么，那么三角函数呢？它其实啊就是在一个直角三角形里面， 这一个是直角，那么呢，这里有一个角，这个角叫做阿尔法，那么 sine 阿尔法就是等于对边 比斜边，那对边是什么？就是这个角所对的那一条边，那这条就是对边，斜边就是最长的那一条边，这一条打斜的就是斜边。 cosi 等于邻边比斜边，邻边又是什么？邻边就是这个角旁边的那条边，那么旁边它有两条边嘛，一条是斜边，那么另一条只能是邻边了， 那还有一个 t 准 t 准算法，等于对边比邻边，那么这个呢，就是三角函数了，是初中的，那么到了高中之后，三角函数它通常都是发生在 平面直角坐标系中。好了，这里是圆点，我们从圆点出发，它经过一个点， 好跟它相连，跟这个点相连，在这个点上做一条垂线，与 x 轴垂直，那么这里形成了一个角，那这个角呢，就是角 r 法，那么同样的道理， side r 法也是等于对边比斜边，那么现在来看，对边指的是这一条打竖的边，我们来看，在坐标系中打竖的是不是指 y 轴， y 轴的值。好，所以它就是等于 y 比斜边，那么斜边的这一条，我们通常用半径 r 来表示， y 比 r， 哎，所以沙眼的正弦值等于 y 比 r， r 分 之 y 就是 这样子出来的。好，我们再来看一下口上，口上 r 法等于邻边比斜边，那么这个角的邻边是不是打横的这一条啊？ 打横的这条，那么这时候它是 x 轴还是 y 轴？它是指的是 x 轴的值啊，所以就是 x 比 r。 添准， r 法 等于对边比邻边，对边为 y， 邻边为 x， 所以 就是 y 比 x， x 分 之 y。 好了，那么这三条式子呢，就是这样子得来的。这三条式子非常重要吗？我们一定要狠狠地记住了，下面还有一条， r 等于根号 x 的 平方加 y 方，其实就是勾股定律吧， 其实就是勾股定律吧， x 平方加 y 方，这样子吧，所以 r 呢，就是等于根号 x 的 平方加 y 方。不过要注意的一点呢，这个 r 永远都是一个正数的，它永远都是一个正数来的， 这个是注意的好。我们来看第二点，三角函数值的符号，因为我们在平面直角坐标系中，所以呢，我们的三角函数它是有正负性的。我为什么我举一个例子啊？在这里画一个图吧，我举一个例子，比如说这个角， 那刚刚呢，我的这条边呢，是在第一项线吗？那如果我现在到了第二项线，那怎么办呢？第二项线 ok， 连过来，好，在这个点做一条垂线，与 x 轴垂直。那么这个时候 我们来看呢，在这个三角形里面，好，这个是阿尔法，那么塞耳阿尔法是不是等于对边比斜边 y 比 r 啊？这个时候呢，这个 y 它是一个正数的，到了口上阿尔法， 我们来看啦，口上 r 法对 x 比 r， 这个时候 x， 你 会发现它在哪里，它在负半轴啊，所以这个时候的口上呀，它是一个负数来的。 好，我们再来看一下添准，添准 r 法等于 y 比 x 来看， y 是 正数， x 为负数，所以添准也是一个负数来的。 所以呢，我们第二点呢，它就是说三角函数的符号，它是有正负之分的。这里呢，我有一个口诀啊，叫做全 s t c， 那 就是来快速的判断在哪一个象限，哪些是正的，哪些是负的啊？我们来看一下， 第一项线全，就是在第一项线中全部为正，第二项线 s， 也就是在第二项线中只有三眼是正的，那么其他就是负的。第三项线 t 只有天准是正的，其他都是负的。那同样的道理啊，第四象限 c， 口上，只有口上是正的，其他都是负的。我们直接来记这个口诀，全 s t c 啊，也能这样，也是这个口诀，有一个说法叫做全是天才， 全是天才，一定要记住啊，非常重要，这个非常重要。到了第三点，三角函数的特殊值，我们到了这一部分呢，看表格，他有很多东西，我们重中之重，记这几个就行了，我把它宽出来啊， 好，一个是三十四十五、六十度，然后记这几个，另一个呢，是一百二、一百三十五、一百五 这几个。这三个一共呢，记六个就行了，记六个，通常这个表比较重要，我们最好在考试的时候再测试啊，在考试啊，拿到草稿纸就把这个表的这六个默出来好了，我下面来带大家看一下这 怎么默写好，一个是三眼，一个是口三眼，一个是 tanger， 对 吧？好，这里是三十度， 四十五度，六十度，然后这个是一百二十度，一百三十五度，哎，这个是好看一点，一百三十五度，还有一百五十度。好，首先呢，我们先默三十、四十五、六十，这个还是很好默的，上眼呢，就是二分之一， 然后二分之根号二，二分之根号三，就是一二三，你会发现一二三，那口上眼呢，就是反过来三二一， 二分之根号二，二分之一，一二三三二一。那么天准呢？我们只需要记住天准四十五度对一就行了。那么六十度呢，就是一乘以根号三，那就是根号三， 三十度呢就是一除以根号三，那就是三分之根号三。好了，磨完这个我们再来磨右边的这部分了，我们在这里做一条，做一个镜子，画一个镜面，那么其实呢，这些呢，就是他的镜像， 就这些一百二，一百三十五，一百五，就是左边这一个数的这些数的镜像，那这就是二分之 根号三，二分之根号二，二分之一。镜像嘛，再来对过来嘛，二分之一，二分之根号二，二分之根号三。好，先写下来，先利用镜像的原理先写下来好了， 接下来它有正负性的之分，因为刚刚说了，在第二项线有一些是正的，有一些是负的，我们就根据刚刚的那个全 s t c 啊，全 s t c， 对 吧？ 第二项线的 s， 那 这些角都是第二项线角啊，第二项线只有三也是正的，其他都是负的，那么只有三也是正的，其他都是负的，加一个负号就行了。 说到我们这个表呢，就这样默写就 ok 了，非常简单，一定要记住他是如何默写的啊？ ok， 我 们来到了题型，题型一，任意角的三角函数题型一的第一题是非常重要的题目， 在考试中经常以这种形式来考，就比如说考试中选择题，已知角阿尔法过过中边这个点，然后求某一个的值，那我们现在呢，是求三个，那高考呢，它会求其中的一个。好了，这种题目怎么做？那首先呢， 我们先来标一下五呢，就是 x 轴的坐标，十二呢，就是 y 轴的坐标，对吧？标完之后，我们再把公式写下来， sine alpha 等于 y 比 r， 口上 alpha 等于 x 比 r， 天准 r 法等于 y 比 x。 公式写完之后，是不是有一个半径 r 要求啊？我们呢就先用勾股定力把它的半径求出来， r 等于根号， x 的 平方加 y 方 等于根号五的平方加十二的平方，这个勾股数啊，五十二，十三，所以 r 直接等于十三。写完之后呢，求三眼，对吧？那么三眼 r 法就是等于 套公式就行了，这里纯套公式就行了。 y 比 r， y 为十二，那就是十三分之十二。 口上 r 法等于 x 比 r， x 为五，那就是十三分之五。 填准 r 法等于 y 比 x， y 是 多少， y 是 十二， x 为五，五分之十二。这就做完了，非常简单，在高值高考里面，这题通常作为送分题啊，一定要做对。再来看第二种类型，出的比较少啊，也相当是一个，相当于是一个拓展的内容。已知角二法的中边过点这个， 那刚刚呢，我们的点呢，是明确给了你的，现在呢，用 x 的 字母来， x 的 字母来表示啊，他说 x 大 于零，求这三个的值。这里有一个比较快的方法，就是负值法， 就是他说 x 大 于零嘛，我随便让 x 取一个数把它带进去，就比如说我令 x 等于一，对吧，令它为一之后，此时此刻 p 的 坐标是什么？所以点 p 的 坐标就是为一动 根号三了，对不对？那么 e 是 什么？ e 就是 x 轴的坐标值，根号三就是 y 轴的坐标值。我们还是用刚刚的那个方法，先把半径求出来。 r 等于根号， x 的 平方加 y 方 等于根号，那一的平方就是一啊，根号三的平方就是三，到这里，一加三等于四，根号四等于二。好，已经做完了，做到这里已经差不多做完了。 side 等于 y 比 r 等于 根号三比二，那就二分之。根号三口算。 r 法等于 x 比 r 等于 x 为一， r 为二了，二分之一 添准。 r 法等于 y 比 x， y 是 根号三， x 为一，所以就是等于根号三。那这个呢，就是这些答案呢，非常简单。赋值法，那通常呢，我们在选填的时候采用这个赋值法那，不过这个也不会考大题了，所以放心使用就 ok 了。 好了，来到了题型二，判断三角函数值的正负号的题型二，它不会单独考的，它通常是一个知识点，为后面的一些内容做铺垫的， 我们直接来看啦。呃，这三个分别是正的还是负的？我们直接用这个全 s t c 的 这个图像做的时候，我们可以画个图啊，全 s t c。 好 了，我们再来看。换图之后再来看呢，这个二百五在第几象限呢？这个是零度，这里是九十度，这里是二百七啊，这里是一百八， 这里是一百八十度，这里是二百七十度啊，这里又变成了三百六十度。所以呢，二百五呢？他是在第三象限的，但第三象限只有天准是正的，其他都是负的，他现在说口上了吗？所以他是负的 o 不 ok。 然后再来看这个第二题，四分之拍，负四分之拍，四分之拍就四十五度啊，这个要快速的，快速的记起来，这个是负四十五度。好，我们再来看呢，也是 全 s t c， 那 负四十五度在第几项线呢？我们刚刚呢，是这样子顺时针的搞，所以呢，就是零九十度，一百八、二百七嘛，这个顺时针，那么它还有一种说法呢，就是逆时针这样子的，那逆时针呢， 这里这就是零度，这里就是负九十度，这里就负一百八十度，这里就负二百七十度。一样的啊，负逆时针达到它现在是负四十五度，是不是在零到负九十度啊？负九十度到零的之间呢？ 所以呢，它在第四象限，第四象限只有口上是正的，其他都是负的，所以呢，它现在是 side， 它还是一个负的 好。第三题稍微有一点困难了。第三题，这个三分之十一拍很大，我们第一步先把它变小，三分之十一拍，把它变小了就减一个三百六十度，那就是减三分之六拍，等于 三分之五拍，到了三分之五拍就差不多了，我们来算一下它的角度，三分之五拍拍呢是一百八十度乘以一百八十度，一百八十度跟呃，除以三，那就是六十度五乘以六十度，五六三是三百 三百度，所以呢，这个就相当于天准的三百度。可以了，我们再来画一个竖轴吧，全 stc， 那也是零九十度，一百八十度，二百七十度， 三百六十度，那三百度那就是在二百七到三百六之间了，也是也就在第四象限。第四象限只有口上是正的，其他都是负的，他要求的是天准，所以也是负的。 ok 了，我们来看第二问吧。 他说撒，眼大于零，扣上小于零，哎，反过来问你， r 反是第几项线？没关系，我们还是来全 stc 全 s t c 来啦。他说三眼大于零，我们来看图啊，大于零就是一个正数，那正数第一项线全都是正的，那第二项线三也是正的。所以说，那此时此刻我从这个条件我是不是可以得出 r 法在第一 或者第二项线？好了，我们再来看口上这个条件，再来重新画一个 全 s t c。 他 说口上小于零在第几象限呢？二法在第几象限？你看第一象限全都是正的，排除第四象限，口上是正的，排除， 所以它小于零只能在第二和第三象限。所以呢，标一个二三象限。那么中上所述，你看一二二三，他只能在第二象限了，所以二法在第二象限，那为第二象限。角选 b。 到了三角函数第二节的内容，同角三角函数的关系式，这节内容非常重要，很多题目都是出在这里的，包括后面还有很多拓展的题目，都是需要用到这两条关系式的。 好了，我们来看一下这两条式子吧。第一条就是平方的关系，那就是三眼平方加 cosine 平方等于一，就这么简单了，写一下三眼平方 r 加 cosine 平方 r 等于一， 它也可以写成三眼平方贝塔加 cosine 平方贝塔等于一都没问题。好，第二条式子 三的关系，也就是 ten 准 r 法等于 sine r 法除以 cosine r 法，就这两条式子。那么有一点要注意的是 题，我们的标题叫做同角，三角函数同角，那么说明只要里面的这两个角是相同的，那么这两条公式就成立。 比如说 sine 平方，我现在是 r 法，那我变成两倍 r 法这样子，口上平方二 r 法，它也是等于一，也是成立的。 ten 准三 r 法等于 sine 三 r 法除以口上三 r 法，这样也是成立的。记住啊，不只是局限于 r 法，只要角度相同，它就成立 好了。带着这两条公式，我们来看题型一，题型一是已知已知一个三角函数的值，求另外两个。 好了，已知 side 西塔等于负五分之四，然后给了一个西塔角度的范围，让我们求其余两个三角函数的值。 那这里我们先求 cosine， 因为 cosine 和 cosine 是 有关系的，也就是 cosine 平方 cta 加 cosine 平方 cta 等于一，就是刚刚第一条公式， 那么用这条公式就能直接求 cosine。 来，我们来求一下吧，直接把数带进去就 ok 啦。负五分之四的平方加 cosine 平方 c 等于一，这里是二十五分之十六，加 cosine 平方 c 等于一， 得出 cosine 平方西塔等于二十五分之九， cosine 西塔等于正负五分之三，那么它是正的还是负的？题目给了西塔一个范围， 这里是一百八，这里是二百七。来看一下这里呢，要用到那个全 stc 的 图了，画一个全 stc， 全 s t c， 他 说一百八到两百七，那就是第三象限，第三象限只有 ten 准是正的，其他都是负的。所以啊，因为 pi 小 于 c， 塔小于二分之三 pi， 所以 口上 c 塔等于负 五分之三，那这就是他的答案了，负五分之三，那么我们再来求一下天准吧，那求天准呢，就很简单了，因为知道三眼，又知道口三眼，那么我们就用第二条是指天准的那一条， 那天准西塔就是等于三眼西塔除以口三眼西塔，对吧？那么三眼西塔呢，是负五分之四 除以。我们这里写除啊，就不写分数了，写分数会不好看，那么除以口上西塔是除以负五分之三，除以一个数，等于乘它的倒数，乘以 三分之五。哦，这里是五分之四啊，写错了，五分之四，所以填准西塔等于 三分之四。那么这种题目非常关键的，大家一定要学会这种题目必考的题目。再来看一下第二题，那第二题有点不一样了，刚刚这题呢，是已知三人求口，三人再求添准，那么这题呢，是已知添准， 求三人。好了，第二题他在考试的时候他出的很少，但是呢，我们也要学会这个，那么这题呢，有两个方法，我们先来讲方法一， 方法一，我们首先使用添准的那条公式，添准 r 法等于三眼 r 法，除以口上 r 法，对吧？ 等于负的二分之一。那这里呢，我们重点就来观察后面的这个了，我们把口上这分母的口上移到右边，它就变成三眼 r 法，等于负二分之一，乘以口上 r 法 好了，然后方程两边再乘以一个负二，那就变成负二三样算法，等于口算算法好了。现在呢，我们就得出这样的两条式子啊， 后面可能会用到其中的一条，先放一放好，我们先看求什么，求三样算法，现在我们知道三样和口算的关系，我们就可以直接使用 这条式子来求了，就是三眼平方 r 加口三眼平方 r 等于一，用这条来求了。好，现在求三眼平方 r 保留 加，把这个口三转换为三眼，那就用到上面的这条式子了，因为刚刚我们已经算出来，口三眼 r 等于负二三眼 r 法，那直接把它变成负二三眼 r 法就可以了，它是有平方的，那么再平方等于一，得出三眼平方 r 法 加四倍三眼平方 r 法等于一，得出五倍三眼平方 r 法等于一，对吧？三眼平方 r 法等于五分之一， sin alpha 等于正负五分之根号五，它是正还是负呢？题目告诉了我们它是第四象限，我们呢，是不是可以再利用全 s t c 这个图啊？全 s t c， 它是在第四象限，第四象限 只有口上是正的，其他都是负的。因为阿尔法属于第四象限角，所以呢，塞眼阿尔法就是等于负的五分之根号五了，负五分之根号五。 接下来我们来看方法二，那么方法二对比于方法一的是简单很多的， 他说添准 r 法等于负二分之一。好了，添准 r 法在第一节的时候，添准 r 法是不是等于 y 除以 x， 然后再等于负二分之一？我们来看一下 第四象限角有什么特点。第四象限好，这个角 r 法看一下有什么特点。它的 对应的这个 y， 它是一个负的，是一个负数， 它对应的这个 x 是 一个正数。那么我们是不是可以把这条式子可以写成这样， y 除以 x 等于负一除以二，对吧？因为 y 轴为负， x 轴为正，那么这个时候我们是是不是可以得出哎？ y 可以 把它看成是负一， x 可以 看成是二，有没有问题？所以 y 看成是负一， x 看成是二。那么 sin r 法， sin 的 公式是什么？ sin r 法在第一节的时候，它的公式是什么？等于 y 比 r 嘛？是不是我们把 r 求出来就行了？ r 是 什么 勾股定律嘛？根号 x 的 平方加 y 的 平方等于根号五嘛。所以 sin r 法等于 y 比 r 等于 y 是 多少？ y 是 负一，负一除以根号啊，负一比根号五等于负的五分之根号五。那么这就第二个方法，第二个方法相对来说快很多。 接着我们来看题型二同角三角函数关系式的应用。题型二是重中之重，非常重要。解题型二的方法有很多，起码有三种方法，但是我在这里呢，就只教最简单的一种方法，就是斜修法。 那么使用斜修法呢？它是有一个前提的啊，我先把这个前提的条件先写出来。好，第一点，斜修法前提，第一点它我们要求的这个式子， 它是要一个分子，它要为分子才行。第二个，分子之后，确定了分子之后，每项 是指的每项都必须含有 sire 或者 co sire。 第三个，每项的次数 都要一致，那就是每项次数要一样。我们来看一下题目的这个符不符合这个前提条件啊？好，第一个分式没毛病了。第二个，每项含有 sign 和口 sign， 你 看 sign， 口 sign， sign， 口 sign 每项都含有了 次数，一不一样，这个为一次，一次，一次都是一次，所以可以使用斜修法。那么斜修法怎么做呢？来看啦。 ten 准 r 法等于 sine， r 法除以口上 r 法，这条式子有没有问题？等于二是吧？这个二我们可以把它写成一分之二，那这个时候相对应， sine 可以 看成是二， 口上可以看成是一。注意了，这里我们是要看成把它看成啊，它不是等于二，也不是等于一，只是我们方便计算把它看成二和看成一，那么所以上二法呢，就是看成是二， 口上二法呢，就是看成是一，那么这条四值呢？我们就可以直接来求了。等于来看呢，三眼减口上，那就是 二减一，三减加三倍的口算，那就是二加三乘以一，那就是三。最终答案等于五分之一，所以正确答案呢，就是五分之一，简不简单？ ok， 再来第二问 好，用邪修法之前，先看一下符不符合这三个前提，第一个份式符合了，第二个，每项含有三眼和口，或者口三眼三眼口三眼含有了，但是这个一 不含有。所以呢，我们第一步呢，要把这个一把它操作一下。还记不记得三角函数的关系是三点平方二法加口三平方二法等于一。这条四子嘛？那么这条四子呢？在做这题呢，非常常用啊， 很常见的，下面就照抄就 ok 了。三眼平分阿尔法加两倍口三眼平分阿尔法。好了，我们呢就把这整条四指变成这样子，现在就是要求这一条，我们继续写求法吧。 ten 准阿尔法等于 sin， 二法除以 cos 二法等于负二除以一。好了，同样的道理啊， sin 看成负二， cos 二看成一，那这个符号呢？大家不用纠结啊，这个符号可以给二，也可以给下面的一，都可以的。好了， side 看成是负二， cosi 看成是一，那这里呢？直接代数进去就行了。 side 是 负，那就是负二的平方加一的平方，然后下面就是负二的平方，加二乘以一的平方，那就是二啦， 等于四加一，这里是四加二，等于六分之五，所以第二题的答案为六分之五。 到了最后一题，第三题更难了，每题都变难，第三题更难啊。学修法之前，还是要看一下符不符合那三个条件，第一个为分式。 那现在我们要求的这个式子呢？连第一个条件都不符合了，他不是分式，不是分式怎么办？还记不记得一个知识点，所有数的分母都为一，我现在的这个数为两倍三眼平方二法加三倍口三眼平方二法，他的分母 为一。这个一定要知道啊，所有任何数的分母，它都为一，因为任何数除以一都等于它本身嘛。那我这一大坨数除以一也是等于它本身，所以这个是成立的。 那搞出来一个一之后，我们再用同小三角函数的关系式，把这个一再进行变化一下， 那就是上面照抄，平方二法加三倍口三眼平方二法，这个一就变成三眼平方二法加口三眼平方二法。运用了同角三角函数的关系式。啊，变成这样子，再来看一下， 第一点，份式符合第二点，每项都含有沙眼或者口沙眼也符合。第三点，次数是否一致？二次，二次，二次，二次都是二次，所以可以使用斜修法。好了，斜修法 tanger r 法等于 sine r 法除以口五上 r 法等于二分之一。那这个时候呢，我们就不不要再让分母为一了，因为这个已经是一个分式来的，它直接可以相对应的是不是？所以呢， sine 就是看成是一，口塞看成是二，这就 ok 了，再把这个数值带进去，写在这里吧，写在右边这里吧，等于来二乘以 一加三乘以口塞是二，那就二的平方为四分母 一的平方加二的平方等于这里是二加十二等于十四分母为一加四为五，五分之十四。所以第三题五分之十直接秒了。 好了，这就是同角三角函数的几个题型，这五道例题都非常关键，大家一定要学会反复的去复习。 我们来到第三部分的内容，诱导公式，诱导公式他不会单独出题来考，他会和我们之前学到的同角三角函数关系式，还有后面即将学到的和角差角公式，二倍角公式结合一起来考。好了，我们来看一下诱导公式是怎么回事。 那么来看题目中出现形容 sine alpha 加减拍，或者 sine alpha 加减二分之拍，如果题目出现后面的这个角度哎， 这一个是二分之拍的倍数，那么我们就可以利用诱导公式来进行化简。那么所以说呢，诱导公式呢，就是我们对于一个比较复杂的三角函数进行一个化简的过程。当然了，这里有一个很关键的地方，它的这个角度 一定要是二分之拍的倍数才行，那如果他说什么三分之拍， alpha 加减三分之拍， alpha 加减六分之拍，这种是不行的，诱导公式一定是二分之拍的倍数， 那么利用诱导公式化简的口诀来在这里既变偶不变，符号看象限，这里的既和偶指的就是括号里面的这一个数。那么如果是二分之拍二分之三拍这种分式的， 那就是 g 了，他要变化。那么如果是拍二拍三拍四拍这种横式的，那就是 o 了，他是不用变的。好了，我们直接来看题型吧，我们通过三道例题教会大家这种诱导公式他要怎么去化解，他是怎么变的。然后题型一的第一题， 萨尔阿尔法加三分之拍，我们的口诀即变偶变。先判断它是要变化还是不用变化的， 这个为拍，它是偶，偶是不变的，不变怎么写呢？我们直接这个萨尔不用变化，直接写一个萨尔。那么里面呢？化简嘛，我们以把这一个角直接化简为阿尔法， 这个第一步已经操作完了，是不是很简单，既变偶不变，已经操作完了，他是不变的。那么符号看象限，我们之后还要判断这一个的正负性，他到底是正的还是负的 怎么办？那么那我们就要看这一个角，括号里面的这个角，它在第几项线，我们先来画一个全 s t c 的 图，全 s t c 来又出现这个图了，这个图非常重要啊，那么在诱导公式里面，算法 这一个角，我们把它看成第一项线角，为了方便大家后面 判断这个这一坨是多少度，所以呢，我们可以直接设阿尔法的这个角 为三十度，我们以后遇到诱导公式的，我们都设这个阿尔法的角度为三十度，这就 ok 了。好了，那这里呢，是三十度，对吧？加一百八十度等于二百一，二百一，它在第三象限。 看图，第三项线只有填准是正的，其他都是负的。那这个时候呢，我们要判断第三项线的 side， 它是负的，所以呢，我们就写个负上去就行了，所以化简之后呢，它就变成负上 r 法。好了，我们再来看第二题。先来看它是变 还是不变，既变偶不变，变还是不变。二分之三拍，他是一个分式，所以他是要变化的。那么变化呢，就是把这个口塞人 变成塞人，他这样子变的啊，好了，变成塞人里面怎么写？写个 r 法就行了，都是写 r 的。 好了，接下来我们再来判断他的正负性，他是正的还是负的。 r 法。刚刚说了，假设为三十度， 这个二分之三拍，它是二百。来看一下这个一百八除以二九十三九二十七，二百七十度。好，再画一个全 s t c 的 这个图， 全 s t c。 二啊，这里，哦，这个加起来是三百度啊，兄弟们，三百度，我们来看它在第几项线，它在第四项线， 第四下线的口三眼是正的。那这个时候有一个很关键的细节，我们判断正负性，要判断他变化之前的这个 不要判断变化之后的三眼，要判断变化之前的那变化之前他是口三眼。哎，刚好第四下线的口三是正的，所以就不用写了。那就正的三眼法正正号可以省略吗？好了，到了第三题，同样的道理，先看变还是不变。 二分之拍它要变沙眼变的话，那就变成口上，这样子的沙眼和口上互相变化的，那就变成口上 r 法好了，再判断它是正的还是负的。二分之拍是九十度， r 法，我们默认假设为三十度，所以九十度减三十度等于六十度。在第几象限选 stc 这个图 六十度，他在第一项线，那么第一项线全部都是正的，所以说正的口算 r 法，那正号了，就可以省略不写了。 接下来我们来看题型二，诱导公式加同角三角函数关系式的应用，就是两个知识点结合起来考了，在考试里面也是很常考的这种题型。 好了，我们来看第一题，第一题他说已知啊，这个呵给了个范围，那么求 sine 阿尔法加拍我们第一步啊，首先要用诱导公式进行化简，就把这个进行化简，看一下它是什么来啊，这个既变偶变变还是不变呢？拍 它是不用变的，它是偶拍是偶不变，所以呢，还是 sine alpha。 然后符号看象限，我在右边这里画一个全 s t c 好 了，这个 alpha 是 三十度，拍呢是一百八十度，二百一，它在第三象限，第三象限只有天准是正的，其他都是负的，所以呢， 第三项链是第三项链的三眼，它是负的，那就变成负三 r 法已经化解完了，那么所以现在我们要求呢，就是负三 r 法的值。 那么题目给了 q 三 r 法，我们还记不记得同角三角函数关系是三眼 r 占平方 r 法加 q 三眼平方 r 法等于一的这条我们直接带数字进去，三眼平方 r 法加负二分之一的平方，那就是四分之一。我再写快一点呢，等于一 得出三眼平方 r 法等于四分之三，得出三眼 r 法等于正负二分之根号三，他取正的还是负的？哎，题目给了一个范围，九十小于 r 法小于一百八十度，他在第二项线。再来看全 s t c 这个图， 第二象限的三眼是正的，所以来先写一下。因为二分之拍小于 alpha， 小 于拍第二象限，所以三眼 alpha， 它是一个正数 等于正的二分之根号三。好了，有的同学写到这里呢，直接把答案就写成二分之根号三了，这个是错误的，因为我们要求什么？我们要求负的上岸法嘛，所以呢，就是等于负的二分之根号三，所以这些答案呢，是负二分之根号三。 我们来到了第二问，第二问稍微更加复杂了一点了，因为他同时出现了两个，都是需要用到诱导公式来化解的。 我们不慌了，我们先来化简第一个吧。第一个，他说 cosine 二分之拍减 r 法，对吧？鸡变偶不变。第一步，鸡变偶不变，二分之拍，它是鸡要变的，所以呢，它就变成 sine r 法了。然后第二步，符号看象限 r 法默认的三十度九十度减三十度等于六十度，所以呢，这个角它在第一象限 第一象限判断口三眼。来吧，继续来画一个全 s t c 吧，我们养成习惯，这个图很关键，非常重要。第一象限 的口上，它是正的，所以呢，它就变成正的三眼 alpha。 这里整理一下，它就变成正的三眼 alpha。 那 么所以呢，题目这个呢，我们就可以转化成三眼 alpha 等于三分之一这样子了。 好了，再来化解一下后面的这个，后面的这个奇变偶变拍，他是偶，不用变的，所以他还是口无遮耳法。 符号看象限是正的还是负的，拍是一百八十度， r 法看成三十度，一百八减三十等于一百五，一百五。在第二象限 第二项线，只有三眼是正的，口三眼为负的，所以它呢，就变成了负的口上 r 法。所以我们现在就是要求负口上 r 法的值， 把这个写在上面吧，没什么位置了。负口上 r 法。好了，又用到同角三角函数那条关系式了，就是 si 平方 r 法加 cosine 平方 r 法等于一的这条带数字进去 sine r 法这三分之一，所以这个就是九分之一，加 cosine 平方 r 法等于一， 得出 cosine 平方 r 法等于九分之八。 cosine r 法等于正负三分之二倍根号二， 正，它是负的，它说 r 法为第二象限角。又来了，第二象限只有沙眼是正的，其他都是负的， 因为 r 法。为什么什么第二象限角，所以扣上 r 法，那只有上也是正的，扣上也是负的，等于负的三分之二倍根号二。 ok， 来到这里，不要忘记了现在我们要求什么？求负的扣上 r 法，因为扣上 r 法是负的 三分之二倍根号二，所以负空上二法写在这里吧，等于负的负三分之二倍根号二，负负得正，所以等于三分之二倍根号二。这个就是答案了。注意了， 求到这里还不是结果，我们要看求的这一坨东西是什么？注意了，很多同学在这里出错了，好吧，到了第三题第三节又复杂一点，那这个呢，连续出现三个需要用到诱导公式来化解的，一个个来吧，口三眼 二分之拍减阿尔法。好了，这里快一点了哦，他要变的变成三眼阿尔法。 然后这一个是九十度减三十度为六十度，六十度在第一象限，它是正的，所以等于正的上 r 法，正号可以省略到了。第二个 side 拍加 r 法， 它是不用变的，这个还是变成还是上 r 法？不用变。好了，这个拍是一百八十度， r 法是三十度，一百八加三十。来看一下啊，画一个全 stc 的 图， 它在第三象限，第三象限只有天准是正的，其他都是负的，所以呢，它就是等于负的上 r。 把这个拆掉。 最后一个 cosine 拍加 r， 既变偶不变，它是偶的，不用变，所以还是 cosine r。 然后符号看象限一百八 加三十，二百一，也是还是第三下线。天准是正的，且都是负的，所以等于负的 q 上 r。 那 么做到这里呢？把这个差价版没有用了。做到这里呢，这一整条式子，它就变成了分子为 sin r 法， 分母为负。 sin r 法减负 q 上 r 法。那这里这里就负负得正呢？我直接写加了加 q 上 r 法， 加口上 r 法。好了，又回归到了我们同角上角函数关系式的第二个支点，斜修法。斜修法的前提复习一下， 第一个要求的是分式，第二个每一项出现三或者口上符合了，并且它们的次数相同，次数都为一，也符合了，那吧，斜修法， tendr 法等于 三眼 r 法，除以口上 r 法，对吧？等于二，这个二来，我们可以看成一分之二，那么三眼 r 法就可以看成是二了。口上 r 法就可以看成是一了。直接代数进去等于 二，然后负二加一等于，这里是负一，分子为二，答案为负二，所以第三题负二。 以上是诱导公式的内容，特别是这个诱导公式。第一点，诱导公式的化简非常关键，我们一定要熟练诱导公式它怎么化简，准确运用 g 变 o 变符号看象限的这个口诀，不懂得把这一部分多看几遍。