2025高一立体几何湘教版高一数学

这几节课是高一下期末考试的重难点内容，今天我们一个视频来讲清楚线面平行的所有题型。今天我们从等角定律讲到了判断或者证明线面平行，再由线面平行的性质问题讲到根据线面平行的性质来判断线段比例或者点所在的位置问题。学完这个视频，轻松体验线面平行的各大， 我们来看题型一，等角定律在练习题目之前啊，先给大家讲一下何为等角定律？非常的简单，就是说呢，如果有两个角，它的两条边呢，都是相互平行的，那么我们就可以得到一个什么结论呢？这两个角 alpha 和 beta 之间的关系，要么是 alpha 等于 beta， 要么是 alpha 加 beta 等于太 好。也就是说等角定律说明的是边相互平行，他们的角相等或者互比。我们来看题目是怎么出的， 他说，如同所示，在四面体 a 杠 b、 c、 d 当中， m、 n、 p、 q、 e 分 别是它所在的边的中点。然后问，下列说法正确的是，这是一道多选择题，所以我们一个选项一个选项来看， a 选项说四边形， m n、 p q 是 菱形。好，因为中点呢，大家很容易想到初中的中位线，那中位线的意思就是说，它跟它所在的底应该是相互平行，并且等于底面长度的一半，对吧？ 好，所以大家应该能发现 m n 这条线应该是平行 ac 的， 而且是 ac 的 一半。同样的道理呢， p q 在 它所在的三角形当中，它也是平行 ac， 且等于线段 ac 长的一半的。那也就是说 m n 平行且等于 p q， 这个 m n， p q 一定是一个平四边形。至于到底是不是菱形，我们还需要怎么样？还需要一组菱边相同。首先我们知道 n、 p 呢，是平行且等于二分之一的 b、 d 的， m、 q 呢，也是平行且等于二分之一倍的 b、 d 的， 也就是它们两个之间也是平行且相等的，但是依然只能证明它是一个平行四边形，对吧？ 菱边相等就是这条蓝线跟这条红线是否相等，天然条件当中没有给这样的讯息，所以他说是菱形，这个不一定， a 选项不能选，我们来看 b 选项， b 选项说角 q m e， 我 们找到 q m e 好 和角 d b c， 他 现在说它们两个是相等的关系。那我们来看一下这两个角所对应的边，一条边呢是 m q， 那 它跟另外一个角的 b d 这条 b 是 相互平行的，并且呢， m e 也是平行 bc 的， 根据等角定律，它们相等或者互补，但是这里 b 到底能不能选呢？我们做问题的时候，不仅要根据等角定律的结论，它是一个四面体，对吧？很明显，从题干当中这两个角应该是相等关系，所以 b 选项是对的。 我们来看 c 选项， c 选项说 b c， d 和 m e q 是 相似三角形，那这个很简单，我们说证明相似三角形的时候，应该怎么去证明啊？ 对吧？是不是应该是对应边乘比例就可以了？那我们很明显知道 m e 跟 b c 是 平行且等于一比二的关系的好。同理 m q 和 b d q e 和 d c， 它都是平行且是比例是一比二的关系了，那这两个一定是相似量形。我们看四 d m n p q 是 矩形，那刚刚说了它只是一个平行四边形，你的垂直的关系也是找不到的，对吧？所以这道题正确答案是 b 和 c。 好， 我们来看题型二，判断或证明线面平行。那大家 在这里呢，就要掌握一下咱们线面平行的什么判定定律。课本上是怎么规定判定定律的？如果我们要证明一条线和一个面相互平行，应该怎么证？在这个面内找一条线，使得这条线和原来的这条线相互平行就可以了，对吧？那如果用图形语言，也就是说我们要想证这条线 l 平行于这个平面 alpha， 那 我们就应该在 alpha 这个平面内找一条线，叫做 m， 如果你能证明 l 和 m 平行，那么 l 就 一定平行于 alpha， 这个就是它的判定定例。那后面我们还会讲到性质定例的问题，大家要如何区分判定定例和性质定例呢？就是判定定例是怎么证明 这个事情是成立的，那性质定例是已经知道这个事情成立了，请问怎么去运用它？好，那我们来看题型二怎么去出问题的？ 现在他说有一个四棱锥， e 杠 a、 b、 c、 d 中这个 a、 b、 c、 d 是 正方形，也就是四条边都是相等的， g、 f 分 别是 b、 d 和 e、 c 所在的中点。好，现在让我们去证明 g、 f 这条线呢，要跟底面 a、 b、 e 是 相互平行的，那刚刚我说了，要证明它跟 a、 b、 e 相平行，就要在 a、 b、 e 里面怎么样找到一条线使得这条线呢？跟咱们的 g、 f 相互平行就够了。 好，理论大家都知道，然后很多同学难的点是什么呢？难的点是找不到这条线，其实啊，找不到这条线呢，我有一个万能大法，就大家在做问题的时候，试卷上大家可以拿一个尺， 拿一个尺什么呢？笔画在 g、 f 这个位置，然后把这个尺呢，不要改变它的方向，一直往下平移，平移到 a、 e、 b 这个平面上，你看看它跟哪条线应该是相互平行的，那么你接下来要正的就是这条线跟咱们的 g、 f 平行。 这样一个做法呢，是大家在找复杂的立体几何图形当中的一个万能大法，因为很多同学他的空间感不太好，他其实找不出来这条线哦，如果你掌握了这个方法，很明显你把 g、 f 往下平移，他会跟咱们 a、 b、 e 这个平面的 a、 e 这条线相互平行，怎么去正呢？也很简单，你看，我既然已经这么标出来了， 我把 a、 c 连上，因为咱们的 g 是 d、 b 的 中点嘛，所以它一定也是 a、 c 的 中点。因为这个 a、 b、 c、 d， 它是一个正方形啊，大家应该能观察出来，在这个三角形怎么样？ c a、 e 当中， g 是 a c 的 中点， f 是 c、 e 的 中点，所以 g、 f 平行于什么？ a e？ 那 大家在证明线面平行的时候，我们要根据课本上的知识，我们不仅要说明，因为 g、 f 分 别为 a、 c、 e、 c 中点， 所以 g、 f 平行 a、 e， 我 还得把它的信息补充完全。要说什么呢？又因为 g、 f 不 属于 平面 a b e a e 呢？属于平面 a、 b e， 所以 g、 f 平行，平面 a b e， 也就是方法你要知道。但在证明具体的大题当中，答案过程一定要写完整，因为阅卷老师是按点踩分的，你的过程不够详尽，主体是对的，那扣分也是比较严重的。好，这个是题型二判定力， 那我们来看题型三线段平行的性质定力。我刚刚说了，性质定力就是怎么用，意思就是我知道线和面相互平行了，比如说我现在知道这个 l 跟这个阿尔法呢，是相互平行了，比如说我现在知道这个 l 呢， 再做一个平面，这平面把它称为 beta， 那 这个 beta 跟 alpha 相交了，此时呢有一条交线，这条交线是 m， 那 么这个 l 一定平行于它的交线 m， 这个就是它的性质定义，也就是看到线面平行，要想到过这条线做一个平面，跟已知的这个平面的一个交线是相互平行的。 好，那我们看题目是怎么出的呢？哦，有一个多面体 a， b， c， d， m， n， 现在四边形 a， b， c， d， a， d， m， n 均为矩形。好，然后还告诉我们 dm 呢，是垂直于底面， a， b， c， d 的 b， m 呢，是平行于这个平面。 nad 的。 好，我们把 nad 也表示出来。 好，现在让我们去证明的是这个 e 点是 ab 的 中点。好，那我们还是根据这个线面平行来入手，已经知道了咱们的 b m 平行于 ne 了。好，那我们怎么样去运用它的性质定律呢？这个时候我们来观察一下， 因为我们想证的是 e 是 ab 这条线的中点，然后 ab 和 mb 又构成了一个什么呀？三角形叫做 mb， 那 我们在 mb 当中看一下，我们连接一下 m， 我们观察一下 a， m， b 这个三角形，大家会发现什么呢？会发现我过 m b 做了一个平面 a m b 之后，这个 a m b 和已知的这个平面 ne d， 它的交线是哪里？好， 其中一个焦点一定是 e 点，对吧？因为 e 点，它既在 nad 上，也在这个 amb 上，它是 ab 上的一个点嘛，对吧？那另外一个焦点是不是就是 nd 和 am 的 焦点，也就是这个正方形的中点，我们设它为 o， 对 吧？所以呢，我们都知道这个作的平面和已知的平面的交线应该叫什么？ oe， 对 吧？好，那我们根据线面平行的性质定律，咱们的 mb 是 不是就应该是跟 oe 相互平行的，对吧？ 好，平行。找到了，在这样一个蓝色三角形里，因为 o 是 中点啊，所以根据中位线，如果两个线是相互平行的，其中一个是中点，另外一个必然 e 也是中点，所以这道题得正了，对吧？好，那我们来回顾一下这个问题，总结一下。好，还是要根据线面平行来判断。那也就是说 过 b m 做平面 a m b 设 a m 于 n d 交于点 o 啊，因为呢，咱们的四边形 a d m n 为矩形，所以它的对角线相交的这个 o 点是 am 的 中点。 好，那又因为什么？又因为 b m 是 平行于平面 n d e 的， 而且呢，这个所做的平面 a m b 和已知的这个平面 n d e， 它的交线 就是 o e， 所以 我们知道 o e 平行于 m b， 对 吧？那刚刚我们又知道了，又，因为 o 是 am 中点，所以咱们的 e 就是 什么 ab 中点？ 好，这个就是性质定律的证明。我们再来看最后一个题型，就是根据线段平行的性质，还是刚刚咱们那个定力来判断啊，线段比例或者点所在的位置关系，那我们来看这样一类题型，有一个正四棱台，那我们知道四棱台就是什么，一个四棱锥，然后平行于平面， 这样一个平面截下来了，我们把上面的小四棱锥给扔掉，下半部分就是一个四棱台，对不对？那正四棱锥意思是什么？底面是正方形，然后这个尖点就是原来的这个正四棱锥，它的那个尖点应该在什么？ 应该在这个正方形的正中心的上方，这个叫正四棱台。好，它现在说什么呢？上面的边长是下面边长的一半，然后经过点 c、 b、 e、 d， e 的 平面。好，那我们先把 c、 b、 e、 d e 的 平面给画出来， 也就是这样一个黄色的平面，它说什么呢？与咱们的这个 a a e 要交于点 m， 就是 所在的直线啊，交于点 m， 然后现在问咱们 a m 和 a a e 之间的比例关系，那首先咱们得画出来，对吧？你得知道这个平面跟 a a、 e 交在哪个地方？ 那怎么去看这个问题呢？上下又都是正方形，那这个时候我们想一下，它肯定是要在射线 a a e 的 延长线上相交的点是 m。 好， 那这个时候我们来看一下，我们把 a e 向上延长，那这个时候很多同学说我做不出来，这个平面跟它到底交在哪个地方？那这个时候我们不妨呢把这个平面怎么样？我们来找一条线，找一条线是什么线呢？就是咱们的 b、 e、 d e 的 中点， 我们找一个叫它 o， 那 我们现在呢把这个 c o 给它连上，然后延长 咱们这个 c o， 使得它交咱们的 a、 a e 与一点 m， 此时我们来看 a e m 和 a e 的 关系， 那很多同学说，你说这样相交是 m 就是 m 吗？我们不得证明一下，对吧？首先人家要在同一个平面上才可以，对不对？好，那么首先来看一下我们要找的这条线 c o， 很 明显这个 c o 应该是属于咱们平面 c、 b、 d 的， 为什么要强调这个？因为你最后找出来这个 m 点，不仅要在 a e 上，还得在咱们的 c、 b、 d 上，对吧？好，现在呢，这个 c o 很 明显属于这个平面 c、 b、 d， 因为 c 是 在的， o 是 在 b d 上的，那整个这条线 c o 当然是在这个平面上了，那也就是说这个 m 点呢？ 它又属于什么？又属于这个直线 c o。 好， 那你说这个 m 点做怎么样？属于这个平面 c、 b、 d， 对 不对？那我们此时找出来这个 m 点，它既在 a e 的 延长线上，又在这个平面上，那它当然是这个延长线 和这个平面的焦点，对不对？此时我们才能去证明。好，那接下来我们要证的就是什么？就是想找这个 a e m 和 a e 的 比例关系。好，我们来看，如果你想找比例关系，此时我们应该 回归到这个三角形当中，也就是这个蓝色的三角形 m a c。 为什么要在这个三角形里面？因为大家看啊，在 m a、 c 当中，咱们这个 a、 e、 o 很明显要怎么样平行于 ac？ 那 有同学说，为什么这是一个四棱台的这个性质， 因为它上下面是相互平行的，对吧？而且呢，这个 a e、 o 它也是上面这个面的 a c 对 角线上的线，然后这个 ac 呢，是下面这个底面的 ac， 也就是它也是对角线，那这两肯定是相互平行的关系，那平行我们就会得到怎么样相似啊？相似就会对应线段的比例，因为刚刚人家说了它这个什么 这个正四棱台的上面的边长是下面底边长的一半，那也就是说明说什么？说明这个 a e c e 比上咱们的 a c 也应该是一比二，那因为咱们的 a o 呢，是 a e c e 的 一半，所以就知道了 a e o 和 a c 之间的关系呢，应该是一比四，这是一比四的话，那又因为相似对应线段成比例，咱们的 a e m 比上 am 就是 一比四，那也就说明咱们的 am 比上剩下的那一半部分 a a 一 就应该是什么？就应该是四比三的关系。所以这道题的正确答案是 a。

hello 宝宝们，大家好，今天呢，为大家带来一道二零二五年全国二卷的第十七题，这个呢是一道例题几何，我个人认为呢，呃，是比较难的，那我们先来看一下这道题， 如图，四边形 a、 b， c、 d 中 a、 b 平行 c、 d 角 d， a、 b 等于九十度 f 为 c， d 中点 e 在 a、 b 上 ef 平行 a， d， a、 d 等于三倍的 a， d， c、 d 等于二倍的 a、 d。 将四边形 e、 f、 d、 a 沿 e、 f 翻折至四边形 e、 f、 d 撇 a 撇，使得面 e、 f、 d、 a 撇与面 e、 f、 c、 b 所成的角为所成二面角为六十度。第一问 证明 a 撇 b 平行平面 c、 d 撇 f。 那 我们先看第一问呢，他要正的是一个线面平行，他说要咱们正的是呢， a 撇 b 平行于面 c、 d 撇 f。 那 我们这个 a 撇 b 要怎么找到这个在 c、 d 撇 f 面那一条直线呢？去使得这个 平面内这条直线和 a 撇 b 去平行呢？那我们这么一看的话，好像不太好找，而且呢，就是就是这样，我们假设有这么一条直线，他们两个平行的话，但是这点呢，我们不知道它是不是特殊的点， 所以说单纯的简单的线面平行呢，就这么直接去正应该是行不通的。那我们想想能不能用 面面平行去正呢？我们首先想到面面平行的性质，面面平行的性质之一呢，就是如果两个面平行，那么其中一条，那么其中一个面的直线就平行于另外一个平面。那我们想呢，我们的思路就是 去正面面平行，然后利用它的性质。 那我们顺着顺着这个思路想一下，那既然肯定是我们要找 cd cd 撇 f 和哪个面平行呢？和跟 a 撇 b 有 关的一个平面平行， 只要证明这个 a 撇 b 所在的这个平面和 cd 撇 f 它们两个平行了，那么这个 a 撇 b 就 自然平行于 cd 撇 f 了。 那我们可以找到看，观察一下 a 撇 b 所在的这个平面和这个 c、 d 撇和 c d 撇 f 能不能平行呢？我们试着去证明一下。咱们看， 那么这个因为呢，咱们看题干给的信息， ab 平行 cd， ab 平行 cd 的 话，那是不是就是这个 be 平行 c f 了？这是一个 be 平行 c f， 那 么 be 就 顺理成章成章的平行 c、 d 撇 f 了， 这个我们可以用线面平行去认得，而且呢，将这个四边形 e f d a 沿 e f d 撇 a 撇， 那么这个 a e a 撇 e 是 不是平行也是平行 d 撇 f 的？ 因为原来 ab 就 平行 c、 d， 只不过呢，现在给它翻折了一下，那我们能就能得到 a 撇 e 呢？也平行 平行面 c、 d 撇 f， 那 这样呢，我们就可以用利用面面平行的这个判定定律得到了。 呃，这个面 a 撇 e， b 平行于 d 撇，呃，是 c 撇 cd 撇 f， 我 们写一下呢，就是由于 ab 平行 cd， 则呢 b e 平行 c、 f 由于 be 不 包含于面 c d 撇 f， c f 包含于面 c、 d 撇 f， 则呢 be 就 平行面 c、 d 撇 f， 这是 b e 平行 c、 d 撇 f。 接下来我们看，由于由于翻折 折呢，这个 a 撇 e 看，那就是平行 d 撇 f 的。 接下来我们再证明一下，这个线面平行，由于 a 撇 e 不 包含于面 cd 撇 f， d 撇 f 包含于面 cd 撇 f， 则呢 a 撇 e 平行面 c、 d 撇 f 那 这我们两个线面平行证完了，接下来呢，我们我们要去证明面面平行，由于 a 撇 e 包含于面 a 撇 e， b， b， e 包含于面 a 撇 e、 b， 且呢 a 撇 e 交 b、 e， 它们两个还有公共点等于 e， 又同时 a 撇 e 平行面 c， d 撇 f b， e 平行面 c， d 撇 f， 则面 a 撇 e b 就 平行于面 c、 d 撇 f。 那 么我们现在得到面面面平行则呢？利用面面平行性 质，由于 a 撇 b 包含于面 a 撇 e、 b， 则呢，咱们就可以得到 a 撇 b 平行于面 c、 d 撇 f。 这个呢，就是第一问， 接下来呢，我们看第二问，他说求面 b c、 d 撇面 b c、 d 撇是在这与面 e、 f、 e f、 d 撇 a 撇所成二面角的正弦值，那这个呢，我们就要建立空间直角坐标系，那我们要怎么去建立空间直角坐标系呢？ 我们分析一下题干，题干他说呢，是这个面 e、 f、 d 撇 a 撇与面 e、 f、 c、 b 所成二面角为六十度。这个二面角呢，我们需要找一下平面角，因为 a 撇 e 垂直 e、 f 因为翻折过来吗？ 同时同时这个 b、 e 也垂直 ef， 因为角 d a、 b 等于九十度，同时呢， a、 d 还平行 ef， 所以呢，这个就是咱们得到了 b、 e 也垂直 ef。 那 么根据二面角这个平面角的定义，所以呢，角 a 撇 e、 b 就是 这个这两个面所成的二面角，它呢为六十度。那我们可以过点 a 撇呢，去做垂线垂足呢，我们既为 o 过点 a 撇做 a 撇 o 垂直 b， e 于点 o， 那 接下来我们就要去建立直角坐标系，空间直角坐标系，因为呢， a 撇 o 肯定是这个垂直 b e 的 哎，垂直 ab 这条 垂直 ab 这条直线，那我们想以它为 z 轴，它为 y 轴，那么呢，我们就还得再找一条 x 轴，那 x 轴我们应该怎么找呢？ 我们看到了这个 ef 垂直 a 撇 e 了，而且 ef 还垂直 e b， 那 我们就可以通过线面垂直证明 ef 垂直面 a 撇 e b， 那 么呢，而且同，那我们就可以证明，利用下面垂直的性质去证明 e f 垂直于 a p o， 同时呢，那我们就证明了，那我们可以再找一条做一条平行 e f 的 与 e f 相平行的直线， 这个呢，我们就作为 x 轴减一下，就是由于 ef 垂直 a 撇 e， ef 垂直 b e， 同时呢，且这个 a 撇 e 交 b e 等于 e， 则 e f 垂直面 a 撇 b e， 由于 a 撇 o 包含于面 a 撇 e b a 撇 b e 或者 a 撇 e b 都可以，则呢，就有 e f 垂直 a 撇 o 过点 o 做 e f 的 平行线 o m， 则呢，我们就得到了 o m 垂直 a 撇 o， 而且呢， o m 垂直 o b， 因为因为这个 e f 垂直 a， 因为 e f 垂直 o b o m 是 平行 e f 的， 还有 o b 也垂直 a 撇 o， 则呢，建立如图所示的坐标系， 那现在我们要去求它，要求面 b c d 撇与 e f d 撇 a 撇所成二面角的正弦值。那么我们要 根据题干中的条件， ab 等于三倍的 ad， 而且 cd 等于二倍的 ad， f 为 cd 的 中点，那么呢，我们不妨射， 不妨设 a d 等于一，则呢，我们找一下 b c d 撇面 b c d 撇中各个顶点的这个坐标 b 呢，就应该是 我们看一下这个，那首先我们要知道这段的距离，我们知道 d f 等于一， c f 也等于一，那这段距离是多少呢？ d f 等于 a， e 等于 c， f 都等于一。那接下来我们要知道 o e 的 这段长度， o e 的 这段长度，因为呢，这个二面角角， a a 撇 e、 b 就是 二面角，是六十度，而且这又是垂直，所以说这是三十度。 我们还知道这个 a 撇 e 是 由 a、 e 翻折过来的，那它也是一，所以呢， o e 的 值应该是二分之一， o e 是 二分之一， ab 等于三倍的 ad 整体是三，那 b 呢，就应该是三，减去一，再减去二分之一，就是零二分之三。零 c 呢，我们看一下 c、 c 应该是 负一的，它的横坐标是负一，呃，它的 x x 轴坐标是是负一，然后它的这个 y、 y 轴坐标呢，就应该是 负的二分之一，因为这个 m、 f 也是二分之一，它整体呢，还剩了一个二分之一，就是负一，负二分之一，那这正的二分之一， 正的二分之一。零 d 撇，我们看一下 d 撇，因为 应该是他们两个，因为 a 撇 d 撇，他们是由 a、 d， 这个是由原来 a、 d 的 边翻折过来的，所以呢，他们 a 撇、 d 撇应该是在同一条水平线上的，也就是说呢，他的坐标应该是 负一，零二分之根号三。接下来我们再看一下 e、 f d 撇， a 撇各个顶点的各个顶点的坐标， e 的 坐标应该是 零，负二分之一，零 f 的 坐标应该是负一， 负二分之一。零 d 撇，我们已经写完了，接下来我们写 a 撇， a 撇就应该是零零二分之根号三。那现在呢？我们现在， 现在呢，我们去求它的两个这个这两个面的法向量向量 b、 c 等于负一，负一零 向量 b、 d 撇等于 负一，负二分之三，二分之根号三。设面 b、 c、 d 撇的法向量 向量 n 一 等于 x 一， y 一 z 一， 则有 负 x 一 减 y 一 等于零，负 x 一 减二分之三， y 一 加二分之根号三， z 一 等于零。我们呢，可以令 x 一 等于一， x 一 等于一，则 y 一 呢，就等于负一。那咱们代入一下第二个式子，负一，再加二分之三等于 二分之一，再加二分之根号三，这一等于零，那这一就是负的根号三分之一，也就是说负的三分之根号三，这个是向量按一。 接下来呢，我们求这个面 e、 f、 d 撇 a 撇的发向量向量 e、 f 等于负一，零零向量 e、 a 撇等于零二分之一，二分之二三。 设面 e、 f、 d 撇 a 撇的发向量 向量 n 二等于 x 二， y 二 z 二，则有 负 x 二等于零二分之一， y 二，再加二分之根号三， z 二等于零，则那向量 n 二，咱们可以令 x 二直接就等于零， y 二呢，等于 一， z 二呢，等于负的高三分之一，就是负的三分之高三。 所以呢，则二面角 二面角的余弦值， 则 cosine c 的 绝对值等于 向量 n 一 乘向量 n 二的绝对值，比上向量 n 一 的绝对值， 等于向量 n 一 点乘向量 n 二，比上向量 n 一 的膜，乘上向量 n 二的膜，它们整体的绝对值。记住，大家要注意一下，这块一定是正的，因为咱们是带绝对值的，等于呢， 向量 n 一 点成向量 n 二就等于负一，再加上 三分之根号三，加上三分之根号三的平方就加上三分之一。比上向量 n 的 模是根号下二，再加三分之一，乘上根号下一，再加三分之一。我们算一下，这个就等于呢 开，呃，因为带了绝对值，我们可以把绝对值给它打开，就是三分之二，比上根号下根号下，这是三分之七，乘上三分之四就是根号下九分之二十八，就等于 三分之二，比上三分之二倍的根号七。 因为呢，我们最后要求的是这个二面角的正弦值，则 sin c， 它就等于根号下一减 cosine c 方等于根号下一减去 七分之一。呃，一减去对，七分之一就等于 根号七分之，根号六就等于七分之根号四十二。 这个呢，我，这那这个这道题我们就完整的做出来了。这道题呢，平心而论还是比较难的，大家可以多练几遍，多想想他的思路是为什么这么做， 他的关键呢？主要就是第一问就是利用面面平行的性质，第二问如何间隙是关键，也是难点。 好了，那我们今天的分享就到这里了，如果对大家有帮助的话，请帮我点赞关注，那我们下期再见，也祝大家考上理想的大学，成功上岸，拜拜！

好，我们看第三题，第三题，像我们这种第二问题波段，主要看第三位如何处理我们的 c d 与平面 a c m 成角的角的余弦值，那什么呢？它是我们的线面角的夹角，我们又可以比如说画一个平面出来，假如这是我们的平面，阿尔法上一条直线， 假如只取线段啊，我们只取线段交点，它交点为交于 m， 它交于 n 的 话，那么它是假角与线段是什么？我们是不是可以过点 n 做阿尔法的垂线？那这时候我们的 所成角度是不是我们的 c 塔，那它的正弦则是什么？假设这个点为 p， 是 不是三 c 塔？是不是就等于我们的 n p 比上 m n 有 什么？我们的线段长 分我是我们线段长分着什么？我们线段另一个端点到我们平面的高，对吗？我们的 h n 比上我们的 m n 距离，对吧？就把它转这个形式了，有什么什么我们就要去比高和线段之比，那到我们这题的话，我们 cd 是 不是这个位置？我们 acm 是 这个面，那我们要求的什么？是不点 d 到 acm 的 距离除以我们的 cd 长，对吧？就要求它，那好， 那求他的话，我们有什么东西？我们是不是要求主要是求我们的 h d 和我们的 a c m 的 场面积，对吧？那我们 h d a c m， 它不是构成了三轮锥 amd c， 对 吧？那么微变求这种我们要求高的话，我们一般怎么处理？是不是？我们体积法无非换一点我们对于我们的理解，我们的微 d a m c 是 不是等于我们的 v m a c d？ 我 们为什么要换到 m 上？因为你发现首先有一点，我们点 m 在 顶点的时候，我们的 a、 c、 d 它底面是不是很好求？而且我们的 m 是 不是我们的 p d 中点，我们的 p a 垂直我们的底面 a c d， 那 我们的点 m 到 a c、 d 的 高是不是其实就等于我们的 二分之一的 pa 场，对吧？这就可以把我们的点 m 的 a、 c、 d 的 高也给求出来，那我们的 a、 c、 d 面积还好求，那无非就要求什么处理我们的 amc 这个面积了。那我们首先注意一点什么？我们 d 用我们已知的什么？我们用我们的 a d 垂直我们的 c d， 对 吧？这条边和这条边垂直，以我们的 pa 也垂直我们的 c d， 对 吧？那么 c d 是 不是垂直我们侧面 p a d， 那 么是不是又可以得到什么？我们是不是 c d 垂直？ p a d 的 话，我们有 c d 垂直我们的 am， 对 吧？用全这样得来的同时，有什么？我们 c d 垂直 p d， 我 们叫什么？ p c d 等于九十度， 那这时我们可以当什么？ c d 垂直我们的 am， 对 吧？ c d 垂直 am， 又因为我们的 ap 等于 adm 为我们的 pd 中点，我们是不是可以求出我们什么 am？ 是 不是垂直平分我们的 pd， 那 么 am 垂直 pd a m 垂直 c d， 我 们 a m 是 不是垂直平面？ c a c d 所以 我们有什么？我们是不是有我们的 a m 垂直我们的 mc？ 我 们角 a m c 是 不是一个角三角形？那 a m 长度很好求了， a m 是 斜边中点一半，是的，我们 a m 就 等于二分之一的 p d 等于我们的二分之根号。我们非要求 m c m c， 那 么求我们是可以把这个三角形画出来， 这是我们的 c d， p m， 那 我们的 p d 等于四倍根号，这个很好瞧吧？因为我们的 a p 等于 a d 才知道，那我们的 p d 四倍根号，那我们的 m d 是 不是二倍根号？二， c d 就 等于我们的二，那我们 c m 是 不是就我们的 二倍根号？三，那么 i 三角形 a， m， c 就 很好求出来，那把它带入我们的体积变换模式中，那么的 h d 乘以我们的 i 三角形 a， m， c 是 不等于我们的 h m 乘以 i 三角形 a， d， c， 那 把带的时候把它除过去， 我们的 h d 就 出来，对吧？这是难点，主要难点，第一点就是我们的如何转点，第二方面就是求我们的高对应的三角形的面积。

高考数学题分必会二五年一卷十七题例题，几何第一视角讲解第一视角沉浸式带你完整拆解高考真题！ 粉丝宝宝想听主播讲什么题型，直接私信可以加粉丝群讨论数学题，有想线上一 v 一 的宝宝私信主播，如果觉得主播讲的还可以的，点个关注不迷路，动动考高分的小手点两下屏幕，你们的支持是主播更新的动力！ 主播祝大家考上理想的大学，成功上岸！哈喽，宝宝们大家好，今天为大家带来二零二五年全国一卷的第十七题，这是一道呢立体几何题，我们先看第一问，他说如图所示的四棱锥 p a， b， c， d 中 p a。 垂直面 a， b， c， d 而且 b c 平行 a d， a， b 垂直 a， d。 第一问，他让咱们证面 p a， b 垂直面 p a， d 那我们根据面面垂直，首先呢，我们得找出来一个线面垂直，看看是 p a、 b 面的一条直线垂直平面 p a、 d 还是平面 p a、 d 的 一条直线垂直平面 p a、 b。 那 我们根据已知看一下， 由于 pa 垂直平面 a、 b， c、 d， 这个 a、 d 又在平面 a， b， c、 d 内，则 pa 我 们可以得到 pa 垂直，我们可以得到 pa 垂直 a、 d。 同时 a、 b 又垂直 a、 d， 那 我们我们就可以找到 a、 d 垂直了。 平面 p a、 b。 平面 p a、 b 内的两条直线写出来呢，就是由于 p a。 垂直面 a， b， c， d， a、 d 包含于面 a， b， c， d， 则呢， a、 d 垂直 p a。 同时我们还有这个 ab 垂直了 ab， 那 就有呢， 由于 pa 包含于面 pa， b， a、 b 包含于面 pa b， 且 pa 交 ab 有 公共点，等于点 a， 则呢，我们就有 a、 d 垂直面 p a、 b。 那 现在根据面面平行的定理，由于 a、 d 包含于面 p a、 d， 则就有面 p a、 d 垂直面 p a、 b。 这个是我们的第一问，接下来呢，我们看第二问，第二问，它的第一小问说，若 p a 等于 a、 b 等于等于根号二， a、 d 等于根号三加一， b， c 等于二点 p、 b、 c、 d 在 同一个球面上设这个球面的球心为 o， 正第一问，他说证明 o 在 平面 abcd 上， 那这个 o 在 平面 abcd 上，首先的话，那就是我们要想怎么证明呢？那我们就可以利用这个 球心的性质，球心到 p、 b、 c、 d 四个点的距离相等，因为都是半径， 那根据这个性质，我们去间隙。然后呢，算出来这个 o， 看看他的，看看这个 o 的 性质，看看这个 o 的 坐标是不是在平面 abcd 内。由于我们知道这个 pa 垂直面 abcd， 同时呢， ab 还垂直 abd， 那 我们就可以进 借以 ab 这条直线为 x 轴 ad， 这条线为 y 轴 ad， 这条线为 z 轴，就有呢，以 a 为圆点。第二题的第一问， 以 a 为圆点， 建立空间直角坐标系， 那咱们因为要求的这个 o 具体的坐标是多少，我们不知道，是要带求的，所以呢，我们设 设 o、 x、 y、 z， 那 现在我们算一下 p、 b、 c、 d 的 它们的坐标都是多少？首先呢， p 就是 因为它在 z 轴上就是零零，根号二， b 呢，就是根号二，因为它在 x 轴上根号二零零， c 呢，就是是根号二 二零， d 呢，它在 y 轴上零，根号三加一零，则呢则有这个 o、 p 等 o、 p 的 长等于 o b 的 长，等于 o c 的 长等于 o d 的 长， 那根据两点间坐标公式就有根号下，根号下这个 x 方，再加 y 方，加上再减根号二的平方等于 根号下什么什么？那我们就直接可以给他平方就是呢？ o p 的 平方等于 o b 的 平方等于 o c 的 平方等于 o d 的 平方 g 呢？我们先看 o p 的 平方是多少，就是 x 方加 y 方， 加上 z 减根号二的平方等于 o b 的 平方就是 x 减根号二的平方。加 y 方加 z 方 等于 o c 的 平方就是 x 减根号二的平方，加 y 减二的平方，加 z 方等于 o d 的 平方就是 x 方加 y 减根号三加一的 平方，再加上 z 方，这个式子两两相等， 那接下来我们就要去连利，然后那接下来我们就要去连利，求得 x、 y、 z 究竟是多少？那我们可以先让这个前。嗯， 那我们可以先让前两个式子连立，我们给它编个号吧，一二三四，一二连立一下 就有，因为一二共同有 y 方，所以说那 y 方就约掉了，就有 x 方加上 z 方减去二倍根号二， z 加二等于 x 方减二倍根号二， x 加 z 方，那这里呢？我们 x 方和 z 方都约掉了， 这有呢？还有二二也都约掉了，就有负二倍根号二， z 等于负二倍根号二， x 得出来 x 等于 z 就是 一二连立， 那我们再连立一下二三呢？因为二三这里面都有 x 减根号二的平方和 z 方，那我们就直接得到 y 方等于 y 方减四， z 再加上四，得呢啊，不是等于我们就得到这个 y 方等于 y 方减四， y 加四就得到零等于负四， y 加四，我们得出来 y 等于一， 那接下来我们再来再另再连立一下，三四 三四连立呦，因为这里面我们都共同的含有 z 方，所以呢， z 方就可以约掉了。 我们代入 x 三呢，就是 x 方减二倍，根号二， x 加二，再加上 y 等于一，我们代入代入，这里边就是一减二的平方，还是一等于 x 方，再加上 y 等于一，代入一，减去根号三加一，就是根号三的平方就是三，我们就能得到 x 方加三减二倍，根号二， x 等于 x 方加三，则呢，负二倍，根号 x 等于零， x 等于零， 所以呢，同理我们也能得出来，因为 x 等于 z， 则呢， z 等于零，所以说 o 的 坐标就是 零一零。所以呢，我们知道看一下这个图，我们看零一零，他在 y 轴上，那这个，而且，但是这个同时呢， a d 的 长是根号三加一，肯定是把这个一给他包含在内了。所以呢，这一问，我们证明了 求出来了球弦的坐标，它确实是在平面 a、 b、 c， d 上。那第二问，求直线 a c 与直线 p o 所成角的余弦值。我们知道意面直线所成角的余弦值等于两方向向量夹角余弦的绝对值。 那我们先求出来这个向量 a c 和向量 p o 都是多少？向量 a 呢，是零零零，不是 a 点 a 呢，是零零零，则向量 a c 就是 根号二二零， 向量 p o 呢，就是用 o 的 坐标零一零，再减去 p 的 坐标就是零一负根号二 则呢，我我们计算一下这个 cosine c， 它就等于 向量 a c 乘上向量 p o 的 绝对值，比上 a c 的 膜，乘上 p o 的 膜就等于 根号二乘零，再加上二乘一，再加上零乘负，根号二分子呢就是二。然后分母呢是根号下，根号二的平方就是二，再加二的平方四乘上 根号下一的平方一，再加上根号二，加二的平方就是二，等于二。比上 分母是根号六乘上根号三就是根号十八。根号十八呢是三倍，根号二等于六分之二倍，根号二就等于三分之根号二。那这道题呢，我们就算到这里，感谢大家收看，我们下期再见。

好的，各位同学啊，我们在上个视频啊，把那个线线平行、线面平行和面面平行基础知识点从到尾捋了一遍，然后带着带着各位刷了两道大题， 然后你们印象中认为平行全是证明，其实我们的平行考的大多数全是选择填空，比如这样的，比如下边还有几道，来，各位请读题，看看怎么恶心的啊。正方体棱长为三 点 n 呢，在 b d 上， m 呢？在 b e、 c 上，其中 c m 的 根号二来 b e、 c 的 多少啊？三倍根号二，所以点 m 是 c， b e 上靠近点 c 的 三等分点啊。记住，要这么说，靠近谁的几等分点？ 然后他又说了， m n 和平面前面平行，则 b n 的 长度得多少？那大哥们，这从谁入手啊？从哪入手吧，你们就说 其实说容易，很容易。记住啊，这种证明线面平行全都去考面面平行的什么意思？来，我在 bc 上找一个点 m 一 mm 一， 平行于 bb 一 平。哎呀，稍等啊，平行于 b b 一， 然后再过 m 一 呢？ 往左找个 m 二， m 一 m 二呢？平行于 a b 啊，这不刚才咱们思想吗，两组向右直线分别平行， ok 吧？大家记住啊，这个思想是可以做小题画图形，大题过程不要这么想啊， 那你 m 一 m 二和 b d 的 交点是不是即为点 n 呢？因为此时你们得要求 m n 属于平面 mm 一 m 二啊，对吧？然后点 n 还得属于 d b 没问题吧？所以点 n 是 几层的点呢？是不是也是三层的点呢？所以他现在问 b n 的 长， b d 的 长等于三倍根号二，所以 b n 的 长是三分之二乘三倍根号二，所以得二倍根号二，懂了吧？通过面面平行去证的线面平行来继续看下一个。看这题，各位 读题三龙柱 e 是 终点 啊， e 是 棱上的一点，没说重点， c， e 呢？比上 e c 啊。二，比上三棱 b c 上的一点呢？是点 d 在 哪？不知道，他先说了，若 a、 e、 b 这条红色的线和平面 a、 d、 e 平行，画一下， 和蓝色的面平行，则点 d 在 b、 c 上的比值为多少？哎，各位画吧，又考啥呢？又在考面面平行，对吧？那大哥们，这个面面平行我们咋找啊？ 先问下这事，请问我们该怎么找？比如说我过 b 做一个和 d、 e 平行的，行吧，那在哪？不知道啊，就大概就到这平行了， ok 吧。 那上面连线之后，这条线是不得和 a、 d 平行，还得共面啊，你才能面面平行到这，没问题吧？ 那没问题的话，来各位吧，看一下点 d 在 几，他们点，这不是再去找面平行，我们假设啊， bo 和 d 平行，假设的 bo 平行于 d， 然后如果他俩平行，则 a e、 o 和 a d 他 俩也得平行， ok 吧？所以接下来你们去找比例就可以了，没问题吧？老师，这个假设这种情况呢，我不太会画，有没有别的招，你说说。各位， 你想找蓝面和红面，红线就是 a 一 b 平行，你得找一条线，那条线在哪呢？能找的到吗？找不到吧。啊？我，你看，各位看吧，思考来思考去，你都不好找啊。那我们有另外一个招，有没有？有招， 因为后边刚才画的蓝面啊，有一条定线是谁啊？是 a e， ok 吧。所以我们想将这个体扩大一点去画 来扩大一点，它得二，它得三，它得五，所以我们过 a 一 往上做平行。那你过 a， 一 往上往上做平行，还得找 找多远，这是不得得。三，这是不得得。二。各位到这看看有没有问题，没问题吧？那你看，然后把这个点和点 b 连线 这条线设成 o o b 吧， o b 是 不是就得和 d e 平行了？没问题吧？没问题。我们来看右侧的面，把右侧面单独再画一下啊。 b c 上面是 o c 一 上面得三点一，它得二，它得三。那接下来做这个平平行，点 d 这个阴影比上这个画圈的是几比几，是不是三比五？所以 c d 得三， b d 就 得五呗。啊，咱说三分和五分没问题吧？所以 b d 比上 b c 八分之五， 问题吧。那就意味着有些时候你觉得这个图限制你们的想象，是因为图不够大，所以我们可以把它再往上再摞一个三龙柱， ok 吧？那长方体我摞四个长方体是不是也能摞啊？ 别被他的图所迷惑了啊，该延展延展出来啊，这是比较霍邱活动了，过了再来啊。这证明我们不讲啊，比较简单，来，各位看看下。这第六题如图所示，正方体棱长为二， ef 分 别为中点点 e， 点 f 分 别为中点点 g 呢？在 bbb 撇上，各位直接看第二问，连接 bd 点 m 在 线段 bd 上在哪？不知道。满足 d 撇 m 划一下，满足 d 撇 m 和 efg 平行 栏目的，属于二分之一的一，求 dpm 的 长度取数范围。来，大哥们，这道题 dpm 要是和这个平面平行， 和平面，呃，先写一下啊，和平面 efg 平行，那就是在让你们去证 dpm 和谁平行啊？各位， e f 终点生成点 o 是 不是在和 o g 平行啊？到这没问题吧？嗯，因为因为 d p m 和 o g 这两条线共面， 共面，它俩不可能相交吧，相交的话有线面平行了吗？没有了，肯定和它平行， ok 吧，来吧，那接下来我们只需要去把中间的这个结面给它画出来啊，剩下的就好算了。 来把三维的体啊转化到二维的面上。 d b b 撇 d 撇 o 呢？哎， b 撇 d 撇上四等分点， 然后点 m 呢？在 b d 上在哪？不知道啊，这边找个中点，他说阿拉伯属于二分之一到一。阿拉伯是谁？各位看，这 b 撇 g 等于 b b 撇啊，等于 b 二，阿拉伯的被的 b 撇 b， 所以点 g 在 中点向下的位置， ok 吧。那这边 m 不 就在这吗？ 大概是这样没问题吧。好，它是四分点，因为刚才说了啊，棱长得二，所以这个长度等于四分之除以二啊，等于二分之一 除以四，它的二分之三大概率是这样呗，然后相似去求比例就完了呗。各位看，这还有啥问题吗？没有，所以把体中的某面灯都提了出来， 可以过了吧。老师咋画呀？你这这好办，你这这么的啊，我给各位画一下，比如说你走了，这个 x 上面是不是一加 x 长度， 这个三角形和这个三角形，各位看一下它俩全不全等全等吧。啊，不是不相不相似，相似吧，然后去找相似比就完了呗。还有啥问题没有了啊？过了，然后来各位看下这个 如图所示，在四中 b c 平行于平面， p a d， 那 b c 就 得和 a d 平行了啊。 b c 呢，等于二分之一， a d 好， 来它的一，后边等二。第二问，线段 a、 d 上是否存在点 使得 c 啊，放大点使得 c、 e、 n 和平面 p a、 b 平行 来和左侧的红色面平行，存不存在存在点？一是终点吗？找终点连线点在这呗，是不是正面面平行呢？ 还有啥问题没有了吧。好，整个讲了四道题啊。其实计算最难的是这道，就是倒数第二道思想，最难的是正数第二道。建议各位回去自己再算一遍， ok 吧。好，建到这里下课。

听说你朋友空间想象力很强，让他看看这道二零二五年高考数学真题天津卷正方体空间向量题会不会？先别急着算空间题，第一步不是写公式，是看结构。这题考间隙定点和向量转化。 审题时先把条件和任务分开，冷场给坐标范围中点和比例点，负责确定坐标，证明垂直。要找平面里的相交线，求夹角。看法向量求体积，回到底面积和高，所以主线很清楚。先间隙定点，再统一用向量计算 路线。先看一遍整体间隙，定点坐标证明垂直，再求平面夹角，最后求三棱锥体积。 向量工具也先铺好，点击为零，说明垂直线垂直。平面内两条相交线就垂直这个平面。平面加角用法向量处理正式间隙，取 a 为圆点，三条棱作为坐标轴。中点给出 e 和 f 三比一的比例，给出 g。 第一问，线段 f 一 和 f b 都在平面 f b e 内，并且交于 f 向量 g、 f 分 别点成 f e， f b， 结果都是零。所以 g f 垂直平面 f b e。 第二问，平面 f b e 的 法向量可以直接用向量 g f 平面 e b g， 再用向量 e b 叉成像象量 e g， 得到另一个法向量，余弦值是五分之四。第三问，底面取三角形 f b e， 先用叉机求面积，再用点到平面的距离公式求高，底面积是四倍，根号五，高是八除以根号五，体积是三十，二除以三。 最后记住这条主线间隙定点向量点击正垂直法向量求加角，底面积乘高算体积。

如果你是三十分到六十分的同学，跟着田鸡老师的思路，把这道二零二五年天津的高考原题答题、提问，从头到尾在一天时间之内把它弄清楚，搞明白，那么等于你做会了一百道同类型的例题及格大题， 高考必涨五分。这道题目也收入在了田七老师的题库之中。下面跟着田七老师好做完这个看似费力的练习，好，另外学习如何费力的学习。这是一道正方体啊，棱长给了，终点给了，让我们求证 g f 垂直于平面， e b f， 先不要急着在图中找出对应的线还有面，我们看他要我们正什么？要我们正的是线面垂直。 我们呢，不是说试图直接把这道题做出来，而是由婷婷老师带你由这道题迁移到所有关于立体几何的第一位，证明好。我们在做这道题的时候，在自己的头脑中要建立自己的立体几何解析地图， 这是一道证明线面垂直的问题，那我们就要去想立体几何的证明一共涉及到了哪些方面。 一题集合，无非让我们正平行或者是垂直。这个大家不管是三十分、二十分，还是你六七十分，肯定是要知道这个问题的啊，平行还有垂直？那既然我们要正平行啊。假如说一道题让我们正平行，平行有哪几种？平行 有三种线，线平行，线面平行，还有什么面面平行好，立体几何无非就是研究线的关系，或者是面的关系。我们先来想一想，线面平行，它证明的依据是什么呢？ 一条线垂直于一个平面，假设线是 l， 那 么我们必定要找到这个平面之中有一条直线，如果我平面外的这条直线垂直于平面上一条直线，那就是可以证明线面平行。面面平行呢？ 两个平面平行，我们就要寻找一个面上的两条相交直线 a 和 b。 如果 a 和 b 分 别平行于下面这个平面，比如说是 r 方， 那么就可以说明啊，两个面面平行。还有一种如果在阿尔法上也存在于两条直线，一个是 a 撇，一个是 b 撇，如果 ab 和 a 撇 b 撇分别平行，那么也就是说两条相交直线平行于另外两条相交直线，也可以证明线面平行。 既然啊是正平行关系，大部分的高道题题目都会让我们找两个线相互平行，而大部分的两个线相互平行啊，又是跟中点有关系。比如说一个三角形，这两边边的中点连线叫中位线， 如果好下面一个平面底边 b、 c 正好在这个平面上，那是不是中间的 e、 f 直线就平行于 b、 c？ 那 么根据我们线面平行的啊证明原则，是不是可以证明线面平行了？ 通过线面平行，我们还可以得到什么呢？假如说我现在已经知道一个线 l 跟下面的平面平行了，我过 l 做一个平面平行于平行，平行于平面 alpha， 那 么我这个平面和平面 alpha 的 一个相交线 b 就 平行于 l， 这也可以证明线面平行。如果是两个面面平行呢？如果两个平面已经是平行关系了，那么我现在又有了第三个平面， 假设这个第三个平面是 gamma， 它分别和 alpha、 beta 相交于两条直线，假如说 b 和 c， 那么 b 和 c 也是平行线的关系。你看，通过我们刚才这段话，已经可以把所有关于线线平行、线面平行、面面平行的证明和定义推论全都掌握了。如果你觉得刚才我们说的你没有掌握，你没看懂，那么就再回头听一遍。 如果你还看不懂，就带着我们的问题回去翻翻我们教材，我们教科书相关的定义和证明，你只要用一天时间把这些全都弄懂好，那么关于证明平行，你就毫无问题了。讲完了平行，我们还有还有什么？垂直 垂直和平行一样，也无非就是线与线垂直，线与面垂直，面与面垂直 垂直关系啊，看似很难，但其实呢，它远远比线线比平行关系要更好找啊。为啥？因为比如这道题，他就让我们正线面垂直，那么你就条件反射的想，我一定要去找一个线 垂直于平面上的两条相交直线 a b l。 如果 l 垂直于 a， l 垂直于 b 啊， ab 又有一个交点是 o， 那 一定有这条直线 l 垂直于下面的平面 b， 这就是所有线面平行的证明原则。那么线面平行，我们证明完了面面啊，线面垂直，我们证明完了面面垂直呢？ 我要证明一个平面 alpha 和另一个平面 beta 是 垂直关系。 我知道了， alpha 和 beta 相交的直线是 l， 如果在平面 alpha 里面有一条直线，它是 m 垂直于 l， 那 么我们就可以说 m 垂直于平面 beta， 这就是面面平行。好在这里又要提出一个二面角的概念，三十分到六十分，同学，你能不能告诉我二面角的定义是什么？ 如果你把二面角的定义搞懂了，立体几何的大了，大题第二问你也是一点问题也没有。二面角的定义就是，如果现在有一条直线，从这个直线延伸出两个半平面， 注意哦，这个平面都是一半一半一半，就像你翻出啊，那么这两个平面 alpha 和 beta 中间的这个夹角就是二面角。二面角怎么求？一般就是以这个公共的直线 l， 好， 在这两个平面上分别做垂线， 最后求出这两个直线的夹角，这都是垂直关系。嗯，这就是二面角的几何证明。我们看面面垂直，实际上是什么呢？两个平面的夹角是九十度，那他必然是面面垂直，所以面面垂直还可以通过二面角来证明。假如我这有一条直线，哎， 只有一条直线 b， a 和 b 都在， a 在 alpha， b 在 beta， ab 呢，都垂直于直线 l， 那 么如果直线 a 和 b 的 夹角是九十度，是不是就是二面角是九十度， 那自然面面垂直嘛，对吧？那线线垂直如何证明呢？往往我们要通过线面垂直来证明。假如说我现在直线 l， 假如直线 l 垂直于平面二法，那么我就可以得出 l 垂直于二法平面上的任意直线， 那现在是不是就可以证明 l 垂直于 a 或者 l 垂直于 b 了？这就是线线垂直的基本正法。 那如果你再翻翻教材，还有一种证明方法，比如说，我现在知道了 l 垂直于平面 bet， 那 么现在我在 l 啊，有一条不重合于 l 的 一条平行线， 这条平行线在这里，假如说它是 m， 我 知道了 m 平行于 l， m 跟 l 又不重合了，那么 m 也是垂直于这个平面被它的 啊，在立体几何之中平行平行，平行的两条直线，我们就可以通过一些平移啊，来让这两条平行直线重合吧。那 m 平移到 l 的 位置，是不是 m 也垂直于平面，被到了 面面垂直啊？我们怎么通过它来得到线线垂直呢？如果我是两个平面，阿尔法和贝的垂直啊，在阿尔法上有一条直线， a 垂直于平面，垂直于 l， 在贝特上有一条直线， b 垂直于 l， 那 么我们也可以说 a 和 b 肯定是互相垂直的吧，并且 a 垂直于平面贝特任何一条直线， b 呢，也垂直于平面任何一条直线。 到现在为止，我们已经把立体几何关于平行垂直所有的证明全都讲完了。真心建议三十分到六十分的同学，花一天的时间好好研究一下我们整个的证明过程。如果有哪一个知识点你觉得我没有理解，我没有掌握，赶紧翻书翻教材， 为什么叫费力的学习呢？就是因为你在这整个动作之中，你用自己的努力来解决了一个实际的问题。我研究明白了平行垂直在高考答题中是怎么证明的，然后通过选择性的练习，我选一些高考题目去证明他第一问，第二问， 不断的加深我的这个条件反射以后，看到这个题，我马上在头脑中调出这一个一个的工具包，平，平行的判定定律垂直的判定定律，平行的性质，垂直的性质。什么叫二面角啊？下面我们顺势再介绍最后一个东西，就是你们老感到头疼的三垂线定律， 把这个定力补充之后，平行和垂直对你来说就是毫无难度的。三垂线定力研究的是什么呢？是三条线的相互关系。我在平面阿尔法上有一条直线，假如说是 a 经过这个平面阿尔法有一条斜线 b b 在 off 上的投影，我们叫做 l。 什么叫投影呢？就是过这条直线的一点，做一个该平面的垂线，好在连接这个垂点与 这条直线，平面的交点就是这条直线的投影，就像一个阳光从上面照到下面它的影子，所以叫做投影。三垂线定律研究的就是直线 a 直线 b 直线 l 之间的关系。 如果 a 垂直于 b， 那 么我 a 也垂直于 l， 如果 a 垂直于 l， 那 么 a 也垂直于 b， 这两个分别是叫三垂线定律的逆点和三垂线定律。 那我们现在是不是又增加了一些关于线线垂直的证明？以后遇到平行垂直，你就马上把这张图完整的在脑海里过一遍， 好让我们干啥？让我们判断平行，我们就去找怎么证明平行垂直，让我们判断平行，我们就找怎么证明平行，让我们找怎么证明垂直，我们就去想啊，我有哪些工具包来证明垂直，这就是条件反射 这道题，让我们证明 g f 垂直于平面， e b f g f 在 这里 e b f 是这条这个平面，我刚才想我们刚才讲的是什么？如果要证明线面垂直，那么我就在这条平面上找两条相交直线，那我看看找哪两条相交直线合适呢？ e f 是 不是可以试一下啊？ b f 也可以试一下，那 b e 也可以垂直，也可以试一下， 只要找到两条，我们就可以证明了啊。 e、 f 这条线啊，分别是中点啊，中点肯定是跟正方体，他的各个棱 a、 b、 c、 d、 e 都是平行的， 所以 e、 f 他 应该垂直于哪个面啊？ b、 c、 c、 d、 e， 所以 e、 f 也垂直于这个面上的任何一条直线。这现在是不是又到了线线垂直的工具包了？我们再看 b、 f 啊，很明显，在三角形 b、 f、 g 中，我要想证明 b、 f 垂直于 b g， 那就说这个角是直角，这个三角形是一个直角三角形啊，是不是可以试着去正一下？嗯，我们在这里啊，你如果不会三角形相似来证明，可以就粗暴的把它们的长度都求出来啊。棱长是四啊，这是 f， c 是 二， b， f 是 二， 他们是三倍的关系，那就像是一和三好侧棱是四，这里呢，一二根号五， b f 二倍根号五， b、 g 呢，是五 根二五的平方加二倍根号五的平方二十五，再开根号得五，刚好。 b、 f、 g 是 直角，那我现在已经证明完了，一 f 垂直于 f g， 那 b、 f 也垂直于 f g， 是不是想到 f g 垂直于这个平面？ e、 b、 f 上两个相交直线，此题可证。我们讲课的重点并不是说如何去证明这一道题啊，而是通过这一道题，引申出我们所有关于线线平行，所有关于平行和垂直的这个定律，也就达到了一一题抵百题这样一个目的。 如果你真的想短时间内高考提五分，那么你就信点击老师的话，用一天的时间把这些东西完完整整的复刻在你的脑子里，通过你自己，而不是拄着老师这根拐棍，这样才能达到低分的逆袭。

今天我们来研究一个特别有意思，同时也特别锻炼数学思维的问题，就是一笔画问题， 下面这四幅图，哪一个能一笔画？这个题比较简单，你可以直接圈一圈，比如像第一幅图这个框，你就可以说一笔就对了。然后第二个，这个是一个山字，山字的话这样是一笔，这样一笔，所以这需要两笔，这个不对。 第三个是两个框，那每个框都需要一笔吗？所以这个需要两笔，这也错的。第四个是五角星，五角星来简单，就是可以一笔画，所以这个就是选一和四。当然这个图比较简单，比较简单的话，你是能够圈出来的。但如果图形复杂了呢？ 复杂到什么程度啊？就比如像下面这一题，高三考的空间多面体一笔画，还有 n 笔画，你看五棱锥、正方体、 n 棱锥、 n 棱柱，这个你想要去用笔来描啊、圈啊，这个应该是不太现实的，所以我们需要研究它的一般规律， 这个一般规律研究透了，就是真的非常锻炼数学思维。好，下面来为了方便待会的描述啊，这需要先引入几个概念，就待会说起来更方便一点。首先第一个就是点的度数， 是与某点连接的线段的数量，称为点的度数。比如像这个点，这个点就是两度，因为它有两个线段跟它相连。 还有再比如像这个点，这个点的话算三度，就是这个这个、这个这些点都是算线端的端点，所以这边虽然是一条线，但是你这需要分开这个点的左边，右边是算两条的，所以这个点是三度好。再比如像这个点，这个点的话，就是一、二三、四，这个算四度， 这是点的度数。这边继续。第二个概念叫基点和偶点，就是如果一个点的度数是基数，那么该点称为基点。如果一个点的度数是偶数，就称为偶点。就比如像这个点是二度，它就是一个偶点，这个点是三度，它就是基点。 还有像这边是不是也是偶点？像这个的话就是两度，是不是也是偶点？好，这个名词。这边继续。 因为每条线段都是有两个端点的，就这个明确的吧，每条线段都是有两个端点的，所以下面这个推导就开始考验数学思维了，所有点的度数之合一定守住。 为什么一条线段有两个端点？你想这个端点，这个端点，不管有没有其他线，反正这是算一度，这是不也算一度？那最终所有的这个点的度数相加之后，一定是一个偶数，那这个意味着什么呢？意味着下一行基点的个数一定是偶数， 因为基点的度数它是基数，偶点的度数是偶数，你最终基数加基数加加加，然后加偶数加加加，最终加的结果是一个偶数，那一定是有偶数和基数相加的，你不然最终结果应该是一个基数啊，所以这个基点的个数一定是偶数。 好，继续这个几点的个数偶数又有什么用呢？那又可以搞出下面一个东西，如果一个联通的图形，注意一定是联通的。什么叫联通的图啊？比如像 这个是联通的，这个也是联通的。就是你从一个点出发，你不管画几笔，你一定是可以到这个图上的任意一个点的， 对的吧？像这个三就不是联通的，你这边和这个是不是就就分开的？它不是联通的，这个应该也算是联通的。好，如果一个联通的图形有零个极呢？就是没有极点，没有极点，那么它就是只需要一笔就可以画成。 如果一个联通的图形，它有二 n 个积点，这个 n 属于 n 乘整数，那么它需要 n 笔画，就是拿这个积点的个数再除以二，就是需要几笔画。那这个为什么？下面给大家证一下。这个证明的过程比较像数学公式法 上来证明。第一步先考虑这个情况，如果一个图形联通的图形有零个积点，则一定可以一笔画。 为什么？因为如果他是零个基点的话，说明他每个点都是 o 点，那说明他进来的次数跟出去的次数一定是可以平衡的。因为同一个点嘛，你能够出去，那肯定可以通过下一条线回来，因为他是 o 点， 对吧？所以进来跟出去的次数会平衡，所以最终一定是可以走出一条封闭的轨迹，这个理解吧。 然后到这没有转完啊，这个只是说明了他可以走出封闭的轨迹，并没有并没有说明什么，并没有说明他可以走过所有的线， 是吧？下面证明他可以走过所有的线，就是由于这个图形是联通的，是联通的，所以你已经走完了这个边和你没走的边，他一定是有公共点的，那你就在这个公共点处去转弯呗，在公共点处，你就沿着剩余的边再去走出新的封闭的轨迹。 这个新的轨迹为什么能封闭？因为你每走的那个图，它也是联通的，有零个基点的 这个图，对吧？它是 o 点嘛？全是 o 点，所以一定是进去和出来的次数是平衡的，所以这样就正好了，零个基点一定是可以一笔画的。 那下面二 n 个基点呢？二 n 个基点我们先考虑，简单的先考虑 n， 取一居两个基点， 两个基点，就如果一个联通的图形有两个基点，那这两个基点肯定特殊，你把这俩基点一个作为起点，一个作为终点，那其余点的度数是不是都是偶数？就是其余点都是偶点，那不就又回到了第一种情况吗？所以你只要把基点一个作为起点，一个作为终点，那一定还是可以一笔画的。 好，下面再来二 n 个，二 n 个的话，看还是你选择一个基点开始，另一个基点结束，这样是不是就是第二种情况，可以一笔画，但是 即便有二 n 的 基点，你每多两个基点，是不是就会多一个起点和终点，对吧？多一个起点和终点，所以每多两个基点都会额外增加一个笔画，那二 n 的 基点就是需要 n 笔画呗，就拿二 n 再除以 n 就 可以了。 所以整个的塑造过程就是这样子的，大家如果觉得哪边不理解，可以再看一看，写的非常详细了。 好，然后这个结论应该是对所有的平面图形和空间图形，当然不要不要考虑这种带方向的，我们研究的都是不带方向的，带方向的话，你是只能往一个方向走，你不带方向的话，是两个方向都可以走，不带方向的这个图都是可以使用的。 就比如像验证一下刚刚这个图，这个图他是有零个积点，零个积点是一笔画，对吧？这是对的。然后这个呢？这个有几个积点？这个积点的话，一个、两个、三个、四个，这些都是积点，四个积点应该除以二，所以他需要两笔画，这是错的。 好，然后下面这是不封闭的，不封闭的话你怎么看，怎么看，你就把它看成两个封闭的，单独统计这个封闭的，这个封闭的是不就没有基点？没有基点需要一笔画，而外面这个封闭的是不也是没有基点也需要一笔画，所以他需要两笔，这个不对。然后下面再看这个，这个有几个基点 没有，是吧？都是 o 点，都是 o 点，那就是一笔画呗，一笔画，那就对了。所以这边跟刚刚你画出来这个秒出来这个结果是不是一样的？ 那下面再来看这个复杂的题啊。说用笔从空间多面体的一个顶点出发，沿棱划线，不间断、不重复，最终回到起点或达到另一个顶点的过程，称为一笔，实际上就是刚刚那个一笔画。现定义，如果便利一个空间多面体，所有顶点和棱至少需要 n 笔， 则该多面体称为 n 笔画。多面体那就是要研究几笔画嘛？这点说法正确的是先看 a 选项， a 选项说五棱锥，五棱锥大概画一个一条边、两条边、三条边、四条边、五条边，行了吧？好，然后连起来 这样画时针，这边有几个基点，我们只要统计基点的个数，这个基点看一下，这边是五个，是吧？它是基点，这个换一个颜色， 这个是基点，然后下面这是三个三度，这是不是都是基点？所以一共六个基点，六个基点除以二呢？就是三笔画，三笔画，那 a 是 对的。 好。 b 选项 b 选项说正方体，正方体是四笔画，正方体有几个积点？想一想， 这边每个顶点处应该都是三条棱跟它相连，所以每个点是不是都是积点？每个点都是积点，它一共是八个积点，八个积点的话除以二，那就是四，是吧？四笔画，四笔画，那这个 b 就 也是对的。 下面 c 选项， n 轮锥有 n 减二比，那这肯定不对，它根本就不符合规律是不是？当然这个 n 轮锥的话，这个结论应该是要分的。分什么？要分情况， n 是 基数还是偶数？ n 是 基数和偶数，它对应的这个基点数是不一样多的。 但反正不管是基础还是我说他不可能 n 减二，不符合我们讲的规律。好 d 选项 d 选项说 n 楞柱， n 楞柱，比如像先画一个四楞柱，四楞柱，那这是不是就四楞柱，他每个顶点处是不是都是三条楞，都是基点，那五楞柱呢？ 应该没区别吧？是不是每个顶点处需要有左右和下，这样连起来三个点都是三度？所以 n 楞柱，他每个顶点处需要由左右和下，这样连起来三个点都是三度，所以 n 楞柱，他每个顶点都是基点， 每个顶点都是基点，那么它的基点数就是二 n 个，二 n 个，那就需要 n 笔画吗？所以这个 d 就是 对的，那这样应该选三个，选 a、 b、 d 好 了，这个就是用基点的数量来判断几笔画的问题。当然判断几笔画的问题还有一个比较好用的方法，这个今天就不详细讲了，你可以在网上搜一搜，叫去框法。 去框法也是一个非常好用的方法，但是去框法并不是万能的，这个你可以去研究一下。

同学们好，今天咱们来看一道有关立体几何的题型。首先这个题他说了是菱形 a、 b、 c、 d， 然后告诉了边长以及角度说明菱形的这个对角线，这些都能求。然后说沿 a、 c 把它 a、 b、 c 折起来之后折了一个二面，角是六十度，然后 e 是 b 撇 c 的 中点，他很确定 f 点是三棱锥， b 撇杠 abc 表面上一动点，说明这个 f 点动的太厉害了，他不止 没在一个线上动，他是在一个面上动，相当于他是动的比较多。咱们再来看他说满总满足 ac 除以 e、 f， 这个时候大家一定要考虑， 因为 ef 是 动的，而且这个 f 点动的比较厉害，你就干什么事情，你就找 ac 垂直于一个面，而这个面肯定和 e 点有关系就行， 所以咱们就现在就想方设法去走就行。 ac 如果要垂直一个面的话，大家要知道这个 acb 片，它是由 abc 它折上来的， 折上来之后咱们知道 b、 d 永远和 ac 垂直，就算是 bc 的 中点和 cd 的 中点的连线也会垂直于 ac， 所以 咱们这个 e 点相当于就是 bc 的 中点这一块，这个正好一连过 ac 的 四等分点， 所以咱把它连起来，这条线肯定和 ac 垂直，这条线肯定和 ac 垂直。 咱把这个点标成 o， 再把这个一标 o、 g 一 点 o、 g 肯定也和 a、 c 垂直，其实就相当于是 e、 o、 g， 这条线其实就是这个谁 就是这个 b、 d 的 中位线，这个原来菱形对角线的一半。所以这个时候咱们再把 e、 g 连起来，大家会发现一个问题，很容易得到 a、 c 是 垂直于谁的 e、 o、 g 的， 如果是这样的话，咱们现在已经知道了，哎，你这个 f 点只要在 e o g 上， f 点在什么三角形 e o g 上它就可以了。 如果是这样的话，咱们现在再来看一看，再来看一看。你如果在这个上面的话，应该你还得排除下，有些端点不能取，但是对于咱们算这个 f 点轨迹长度来说，可以不用排除了，这个时候咱们看看他 f 点轨迹长度就是 e o g 的 周长， 那这个 e o 怎么来算？用 e o g 咱们怎么来算？其实也也相对来说比较简单，这个 e o 和 g o 就是 这个菱形，什么？你可以，你可以把这菱形做出来，是这个 b d 的 一半， 是这个 b d 的 一半。而且这个题中也有谁了，就比如说这一百二，这就是三十度， 这也是三十度，这是二二，那大家想想一百二十度的值，等腰三角形一比一比根三，那这就是二倍的根三了，所以这个长度就是根三， 也就是说一 o 加 o j， 它是等于根三的。然后再来看看差个谁了？是不是差一个这个 e g 了。如果咱们把 e g 再加上就可以，那 e g 的 长度怎么来求？这就是咱们重点要关注的 e g， 我 觉得你可以做出来 e o g 这个三角形的形状，然后可以走出来它 如果说如果说能走出来的话，这不就 ok 了吗？咱们来看看， 你说了二面角是六十度，正好它这个两个面的公共线是 a c e o 垂直 ac g o 也垂直 ac， 说明角 e o g 等于六十度，这个时候说明三角形 e o g 为等边呀， 既然为等边，其实 e g 就是 谁了，二分之根三了，所以这个轨迹的长度就是谁了， 根三加二分之根三，那就是二分之三倍的根三，这就结束了。 你看咱们讲这种轨迹长度的题型，不管是平行了、垂直了，一定要抓住去给他构造面去走，因为只有构造面才能把轨迹的这个什么所有的路线全部给他展现出来。好，这道题咱们就。

这道题绝对是高考的重中之重啊，能做出来的同学也挺厉害啊！这道题是用高中全年级均值不等式导数，今天显哥主要以不等式方法入手，连带求导，一并给你讲解明白，我已加入抖音精选高考应援联盟，这是我们独家出品的高考财经解析栏目高考整体说明书， 大家上抖音精选搜索高考应援联盟，持续追更。这道题重点考什么呢？重点考的就是求最大值，那这时候我们就得思考，求最值怎么去求。这道题绝对是高考的重中之重啊！他涉及到一个体积问题，表面积问题。他说已知正三龙柱的表面积是六根三，体积最大的时候，三龙柱的高是多少？ 所以这道题读完之后，应该是轻松加 e、 z 吧，他的思路应该是非常简单，什么叫正三棱柱？正三棱柱就是啊，底面是一个正三角形，侧棱，垂直底面，对吧？所以这时候呢，他说体高是多少，我们就把体高设成 h 呗。 听明白了，来来来，看一下这道题，你能做出来不？ abc 来，能做出来的同学也挺厉害，我们假设它是 h， 我 们假设它是 a， 我们找关系呗，他的表面积，我一看表面积，表面积不是把所有面面算一遍吗？首先，上下底面是等边三角形两个呗，一个等边三角形的面积是四分之根三边长的平方，两个乘以二， 再加上三个侧面，每个侧面的都是一个矩形，那就是底层高就长乘宽，总共是三个侧面三。所以呢，他的面积就应该是六根三， ok， 所以 这是第一个条件的翻译，应该是比较简单的， ok， 当然我们可以化简一下，化简一下的话，这样就是二。然后呢，我们先除以个根三， 除以个根三，这是根三，除以根三是他对不对？然后呢，再乘一个二呗，乘以二的话，那边就十六了，也就说 a 方再加上一个二根三 a x 就 应该等于十二。 现在呢，他说体积是最大的时候。所以这道题思路好像很简单啊，体积的话，不就是底面积乘以高吗？也就是四分之根三的 a 的 平方 底面是一个等边三角形，等边三角形是四分之根三边上平方乘以 h。 好， 那大家思考一下，已知是他要求他的最值，怎么去求已知这么一个关系式，让我们求他的最值，怎么去求呢？也就是说，如果是你的话，你能想到不？ 当然，如果你什么都想不到的话，作为高三同学，可以用求导，也说， h 等于一个十二，减去 a 方，比上一个二根三 a， 然后把它带进去， 对不对？把它带进去之后，这个 a 和 a 约掉了啊？三次函数求导，求对值，也就说高三多了一种方法求导。但是呢，我今天给大家讲的那种高阶的也可以听啊，我们不能求导， 所以这道题不用求导的方法。那你就得用基本不等式喽。那我直接对它来，基本不等式的话，你看看，这是 a， 这是 b， 假设大于等于两倍的钢下 a 乘 b 就是 二根三 a 的 三次方 h， 所以 我根本求不出 a 方 h 的 最值呀， 听懂了吗？所以这道题应该是不是凑一下，是不是二零二二年啊？二零二年一卷考到了二零二二年新高考一卷也考到了第八题，对不对？ 所以这时候怎么办呢？大家看清楚我怎么凑的 a 方，我再加上一个根三倍的 a h， 再加上一个根三倍的 a h 来思考，动脑子，为什么这样做？这一步为什么得想明白？因为我们来三个数，这是 a， 这是 b， 这是 c， 它们三个数乘在一起，正好是 a 的 四次方 h 的 平方， a 的 四次方 h 的 平方，它不就是 a 方 h 吗？它是平方关系啊。所以这道题我如果不用导数的话，我用到了这个不等式， a 加 b 加 c， 大 约等于三倍的三次根号下 abc 当且紧，当 a 等于 b 等于 c 的 时候去等号，所以大家得会这个公式。所以我先把这个二根三 h 拆成根三 h 根三 h。 所以 这时候我们来一个基本不等式， a 加 b 加 c， 大 约等于三倍的 三次根号下，三倍的三次根号下，它们相乘就应该是三倍的根三乘，根三是三倍的 a 的 四次方，然后 a 次的平方， ok， 又因为这个数是十二，然后呢，两边约个三，这张是四，再三次方，再开方，就能求出它的最大值来。 但是这道题人家没让你求它的最大值，人家问你 h 是 多少，所以用到了当且仅当，当且仅当 a 等 b 的 时候求等号，也说 a 方等于个根三倍的 a h， 所以 我们就能够算出 a 等于个根三 h 的 时候去对值， 根三 h 求对值。然后呢，我们把它带入这个式子，不就求出 h 来吗？所以带进去 a 方就是三 h 方，再加上一个二根三 二跟三 a， 那 就是六，是不是六倍的 h 方，然后等于个十二，所以 h 就 应该等于个九分之十二啊？三分之四是吧？ k 根号，所以是三分之二跟三，所以选 b。

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我见过最笨的父母就是高一马上都放寒假了，还没给孩子准备下册的预习资料。你们要知道，高中为了赶进度，高一上学期还没放寒假呢，就开始学下册的内容了。尤其是数理化这三科，难度又大，进度又快，孩子很容易跟不上。聪明的家长都会给孩子早早准备上这套高中教材。自学笔记，他跟下册的教材完全同步， 把数理化三科的重点难点都给孩子整理好了。像数学的平面像量、立体几何等等，都是下册必考的。扫码就有名师视频讲解， 手把手带孩子找到答题思路，再看物理，他把每个章节要掌握的重点公式、二级结论都给孩子用思维导图总结好了。这一页纸就是课本上的一大章节，咱们预习的时候才更有方向。学完了知识，后边还有例题和课后练习， 每天先学后练，查漏补缺。最后是化学留记，其化合物、化学反应速率、乙醇和乙酸等等，都是下学期考试的重点。还有必考的化学方程式，他也全都给你总结好了。这三本书，孩子每天不到一个小时就能学完。寒假把数理化这三科搞定了，开学之后，孩子就是班里的这个。

哈喽，大家好，嗯，今天呢，我将进行高考冲刺的直播，那么今天呢，我选举的直播呢，为历届高考的专题。呃，我从今天开始呢，将会是一天两波或者两天三波的形式提供给大家，希望大家也多多关注我。嗯，我们一起去学习这个 高考题，来提升大家的高考成绩啊。如果直播中呢，呃，所有不会的问题，麻烦大家可以自己记下来，这样的话私信给我说，然后在视频底下评论，我会一一答复。 嗯，第五个呢，也就是因为时间的问题，所以只能给大家讲一些选择题，也就是从第一题讲到第十题啊，第十一题包括填空题，一大题呢，将会在呃明后两天呃制作出来。嗯，也会与大家直播进行。那话不多说，我们直接开始吧。那第一题，呃，他说 这个一加五 i 乘 i 的 虚部为多少啊？这个呢，考察的是复数的概念与运算，他在北师大版的必修二的五点一和五点二章节啊，在一百七十六页和一百八十一页。 那么这个的话，我们是有知识点的，我们先学知识点再讲题。知识点呢，我们说，呃，复数复数为 z 等于 a 加 b i， 然后这里的话是 a 为实数，其中呢， a 为实部， b 呢 为虚部。那么对于这个负数呢，我们说它不仅有负数，还有一个共和负数。共和负数呢，这是 a 减 b i， 我 们发现它与它之间的关系呢，就是一个在加号和减号的一个关系。那这里主播也需要提一下啊， i 方是等于负一的啊，同时呢，我们也可能会计算这个负数的模，它等于一个 a 加 b i 的 绝对值，等于一个根号下 a 方加 b 方。除了这是负数以外呢，还有我们要学它的运算，它的运算呢分别是 a 加 b， i 加减 c 加 d， i， 就 等于一个 a 加减 c 加上一个 b 加减 d 乘以一个 i， 下面呢就是一个 a 加 b， i 乘以一个 c 加 d i， 这是与我们学的这个基础的这个四则运算大差不差是相似的。这里的 a d 加 bc 乘以一个 i 啊，那这里的话，它其实还有一个呃，辅助的三角形表示，呃，这个呢也会将在后期里面呃给大家去讲。好，我们来看一下这道题， 这道题的话就是简单的一个负数的计算问题，一加五 i 乘以一个 i 等于一个 i 加五 i 方，我们说因为 i 方它是不等于负一啊，所以它就等于一个 i 减一。 好，它问虚不虚不的话是不是就是 i 前面的这个数？ i 前面这个数是什么？是不是一？所以这道题是不是选 c 选项？好，我们来看第二题，第二题呢，他考察的是集合于维恩图，他在北师大教材的必修一中是在一点一章节的第二页， 那么这个考察文图的话，我们直接画一个文图即可，直接在这里画了。首先他是不是已经告诉我们全集了，对吧？全集他说什么？他说是小于九的正整数，小于九的正整数，那不是啊，一二三四五六 七八，对不对？他说 g 和 a 是 不是一三五呀？那我们画一个 g 和 a， 我 们知道 g 和 a， 他 是等于一个一三五， 那他这里是不是让你求补集啊？补集的话是不是排除一三五即可，排除一三五的话，那我们是不是把一三 五勾掉，剩下的是不是就是它的元素个数了？我们数一下，没有九啊各位，那就二四六七八，一共是五个。这道题选 c。 好 的，我们来看下一道题。这道题呢，考察的是双曲线的实轴、虚轴与离心率。还是要讲一下这个 双曲线的这个概念与性质。我们以 a 方分之 x 方减 b 方分之外方等于一为例啊，以这个，呃，左右两边对称的这个双曲线为例啊，啊，这个是它的两个顶点，它的焦点 f 一 f 二在里面，那么 a 一 a 二是不是等于一个二 a 对 不对？ 然后呢， f 一 f 二等于个二 c， 这里的 a 一 点呢，我们就可以知道它是个负 a 零 啊， a 二点呢，它就是一个 a 零， f 一 呢，它就为负 c 零和 f 二，它是个 c 零，然后它的离心率等于一，等于 a 分 之 c， 这里的 a 分 之 c 呢，我们还可以 等于一加 a 方分至 b 方。有双曲线的离心率吗？必须得大于一。这里啊，老师需要说一下，就是若这个离心率越大，那么它的开口就越大。呃，下面一个就是它的关系，就是个 c 方等于 a 方加 b 方，接下来就是它的间接线了，那么它这个间接线呢？我们说它是个 y， 等于正负的 a 分 之 b x。 好， 呃，知道这些以后呢，我们来做一下啊。这道题，他说双曲线的虚周长为十周长的根号七倍，则 c 的 离心为一段虚周长。是不是 b 的 长度， b 的 长度为十周长的根号七倍，那就说 b 等于个根号七 a 对 不对？ b 等于根号七 a 的 话，那我们说要求它的离心率，那我们是不是直接用公式啊？用的哪一个公式呢？是不是用的是第二个公式啊？用第二个公式，我们直接代入进去，等于一个根号下 一加根号七， a 的 平方比上一个 a 方等于个一加七，根号加一加七等于个根号八，那也就等于二倍的根号二，二倍的根号二的话，那就选四 d， 这道题就选四 d 了。讲完这道题的时候，我们开始讲这个第四题，讲下第四题的话，呃，还是老规矩，我们先讲一下它知识点， 这个呢是考察的是正切函数的对称性，他在北师大版教材的必修二中的一点七章节，也就是自在第五十八页。 呃，在讲这个之前呢，我们还是要讲一下正弦函数的定义与概念，就是关于正弦函数的这个定义域，是由细考察的一个地方，它的定义呢是 x， 那 么 x 它是不等于二分之派加 k 派的， 其中呢啊， k 是 属于 z， 属于整数的，那么它的这个值域呢？它是为整体的实数集。我们从这个图呢也可以看出啊，它是关于圆点对称的，它的对称中心呢，其实就是一个二分之 k 派，逗号零，这是它的对称中心，它不是只有这一个，它有很多个。这个下面的话，呃，是它的周期，它的周期是一个派啊。 呃，然后呢，我们讲完这个贪心的 x 的 这个定义与这个概念以后呢，我们来做一下这道题。若点 a 逗号零，他说 a 是 大于零的，是函数 y 等于二倍的贪心的 x 减三分之派的图像的一个对称中心，则 a 的 最小值为多少？这里的一个重要信息呢，就是一个 a 大 于零， 且啊，他说 a 零是他的一个对称中心，那么要找他的对称中心呢？我们做这道题呢，其实有两个方法啊。第一个方法呢， y 等于一个 二倍的 tangent， x 减三分之派呢？二是不是只影响这个 tangent 的 值域？但是我们说 tangent x 本身呢，它的值域为 r， 所以 二本身它是不影响它的一个这个值域的。下面这个 x 减三分之派 啊，我们把它如果看成一个整体的话，我们说 tangent x， 它的这个对称中心是不是二分之 k 派啊？那也就是说 要找到它的一个对称中心，我们是不是只需要将 x 减三分之派看作为二分之 k 派的其中一个 x 就 可以得出来，对吧？那么得出它是一个整体的话，我们就可以得出 x 呢，大概是一个二分之 k 派 加上一个三分之派，所以它的对称中心呢？我们说它是一个二分之 k 派，这要求它最小值，且 a 要大于点，当 k 为什么的时候它最小？很显然 k 是 不等于零的时候，它最小，那最小为多少呢？为三分之派，所以 a 的 最小值呢？它是三分之派，所以这道题选 c。 第二种方法呢，就是用图像法，原本呢，这个图像是不是一个 单调的 x， 我 们乘二以后是不是大致保持图像不变？然后呢，它减三分之派，我们说左加右减，它是不是向右平行了？三分之派个单位相当于它是一个这样的一个函数，对不对？它是一个这样的函数，我们很显然知道它的一个对称中心大于零，且最小的话，它是不是只能是三分之派了？所以这道题也选 c， 这是用图像法来 呃，去写这道题，我们来看一下第五题，那么这一个呢，考察的是函数的基有性与周期性。呃，这个基有性呢？在这北师大教材的必修一的二点四章节的第六十六页。第二个呢是呃，它的周期性，周期性是在北师大教材的必修二 一点一章节中的第二页。在写这道题之前呢，我们还是要对它一个进行知识点的疏通。我们来说知识点第一个基有限，我们说若 f x 为奇函数的话，则 f x 等于一个负的 f 负 x 啊。有些人可能会写着 f 的 f x 等于一个 f 负 x 啊，一样的，这两个写法是一样的，且如果它是奇函数的话，我们不仅要知道这个，还知道什么 f 零等于零，因为它必须得在原点上关于原点对称， f 零是等于零的，且关于原点对称，那么 f x 为偶函数的话，各位，则 f x 是 不是等于 f 负 x？ 这里的话，它是关于外周对称的。 我们针对于这两个呢进行一个延伸，若 f x 加 a 为 g 的 话，则 f 负 x 加 a 等于一个负的 f x 加 a。 若 f x 加 a 为 o， 则 f 负 x 加 a 等于一个 f x 加 a 啊，这个也可能需要大家去记住一下啊，高考可能会出，这里还需要再补充一个点， g x 等于 f x 加 k。 倘若 f x 为基的情况下， g x 的 最大值加 g x 的 最小值就等于一个 f x 的 最大值加 k， 加上一个 f x 的 最小值加 k， 它呢就等于一个二 k， 这里的最大值和最小值是抵消了。嗯，至于为什么，如果大家不会的话，我哈私信可以问我，然后我后面单出一期视频去讲解这个问题。 说完这些以后呢，我们还要说，无论 f x 为什么函数，那么 y 等于 f x 的 绝对值，它一定为 o， 与此同时， y 等于 f 负的 x 的 绝对值，它也为 o， 这个也需要大家去记一下。如果 f x 为基函数或者是 o 函数，那么 y 等于一个 f x 的 绝对值，它一定为偶函数。若 f x 为偶函数，那么 f x 等于 f x 的 绝对值。大家还可以记下结论，在高考时，呃，可以去运用，比如说 g 函数乘以偶函数，它是一个 g 函数，偶函数加或者减一个偶函数，它也为偶函数。下面 g 函数乘 g 函数，它呢为偶函数。还有一个是偶函数 乘偶函数，它就等于一个偶函数啊。这四个也需要大家去记一下。周期性的话，有很多个结论，我们需要去一一去记。比如说 f x 等于一个 f x 加 a， 那 么这里的话，它的周期就是为 a。 若 f x 加 a， 它等于一个负的 f x， 那 么它的周期为二 a。 f x 加 a 等于一个负的 f x， 如果它再加上一个常数的话，它的周期依旧为二 a。 如果 f x 加 a 等于一个正负 f x 分 之一，那么它的周期为多少呢？它的周期也是二 a。 f x 加 a 等于一个 f x 减 a 的 情况下，它的周期还是二 a。 呃，包括后面的 f x 加 a， 它等于一个 f x 加一，比上一个 f x 减一的情况下， 其中啊 f x 不 能等于一，因为它等于一的话，分母它是没有意义的啊，它的周期依旧为二 a， 同理还是 f x 加 a 等于一个一减 f x 比上一个一加 f x， 这里 f x 如果不等于负一的情况下，还是遵旧这个分母不能为零的原则， 它的周期还是二 a。 还有 f x 加 a， 它等于 f x 加 b 的 情况下，若 a 不 等于 b， 那 么它的周期就为 b 减 a 的 绝对值。如果 f x 加 a 等于负的， f x 加 b， a 不 等于 b 的 情况下，这里的周期呢，它是为二倍的 b 减 a 的 绝对值。除此以外呢，还有其他的一些这个关于周期的一些公式，就是如果这些大家原理不懂的情况下呢，可以私信我。 嗯，或者是在视频，就是这期肯定要作为视频，如果要作为视频的话，也可以在评论区里面啊说出来。嗯，我后期呢，也会为这个做一个单独试起评，然后并将全部的这个周期的公式与 嗯，刚才我所说的介有限的公式呢一遍的去讲解啊。这道题，他说设 f x 是 定义在 r 上且周期为二的 o 函数，所以 f x 是 不是有 f 负 x 之称， 对吧？这两个相等，然后又因为周期它是不是二，所以 f x 是 不是等于 f x 加二？有，这个吧，没问题吧，就是遵循了我们 x f x 等于 f x 加 a 的 情况下，它的周期为 a， 那 么根据这个呢，我们可以得出这个，那知道这些以后呢，我们就知道 f 负四分之三呀，它是不是就等于一个 f 四分之三，根据它是偶函数得来嘛，对不对？好，那么 f 四分之三，由于我们说它的周期是不是二， 所以 f 四分之三是不是就等于一个 f 四分之三加二，因为四分之三啊，加二呢，它是大于等于二，小于等于三的，人家后面的题目说了，当 x 大 于等于二，小于等于三时， 它会变成这个公式，这就是让我们解题的一个关键，那既然它符合这个定义的话，我们是不是就可以把这个整体带入到这个 x 里面去求出 f x 的 值，那么到最后呢，我们得出来一个 f x 的 值，它都有一个负二分之一， 我们很显然可以看出答案为 a 选项，所以这道题选 a 啊，下一题根据这些东西我们可以看住啊，他考的是一个向量，嗯，一个坐标运算，包括向量模的实际应用。 不过因为这道题很简单嘛，所以我这里就不给大家讲知识点了，大家可以翻开北师大版的必修二的第二章节，从七十八页到一百三十页啊，这个呢，是能从中给出你们想要的一些知识点啊， 那么这道题他的题目量会多多一点，这是高考未来数学题的发展方向，就是他可能会以大量的文字去让你找其中的关键信息，然后来解一下这道题。 那么我们来读一下题吧，帆船比赛中，运动员可借助风力计算大小，测试结果为四风风速啊，这里的前面这一点我们他是没用的话，我们来看四风风速，那么四风风速对应的向量与船形风速对应的向量之合啊，这里呢，大家为了方便记忆呢，我们将 是风风速呢，它的向量我们称之为是风向量，是真风风速对应的向量与船形风速对应的向量之和。那么说，他等于一个什么？ 等于一个真风向量加一个船形向量，没问题吧？好的，这是我们得出来的第一个。嗯，往后其中船形风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反，说明什么呀？说明船形向量他是不是等于一个负的船速向量啊？ 那根据这个基础信息的话，我们继续往下读呗。图一给出了部分风力等级名称与风速大小的对应关系，已知某帆船运动员在某十个测得的释放风速对应的项链与船速如图二所示啊，风速的大小和项链的大小相同， 则乘风为多少。那其实这道题简单一点就在于这里，我们来看一下它是不是四风风速和传速，那我们是不是要找一个真风风速？我们说，呃，真风向量加船形向量等于四风向量，那么很显然啊，这个四风向量减去这个船形向量，是不是得出真风向量？ 但是我们不知道船形向量，我们知道船速向量，船速向量是不是等于负的船形向量，所以我们船的向量我们这里画一个箭头， 他是从这到这船形向量加上一个针锋向量，是不是得出顺风向量？这个所谓的针锋向量是不是就是从这到这的一个值？它是不是经过这个点？ 那很显然，根据这个呢，我们就可以算出它的相对应的模为多少。呃，根据这个大小的话，一比一比根号二，也就说他是二二，那就是二倍的根号二，二倍的根号二的话，大概是我们说根号二是一点四一四，那么二倍的根号二就二点八二八二八的话比三点三小，又比一点一大。 所以这道题的话，应该是清风这道题就选 a 了，看一下第七题，第七题它这个考察的是直线与圆的位置关系，这个呢的知识点是在选择性 b 修一的一点二章节 在第三十四页。老规矩，在写这道题之前，我们还是要看一下它的知识点。我们在求直线与圆的位置关系时，有两种方法，第一种方法呢，就是我们说直线的公式一般为 ax 加 b， y 加 c 等于零，对不对？然后这个圆的公式呢， 我们说圆 c 吧，圆 c 的 公式为 x 减 a 的 平方，加上 y 减 b 的 平方，等于一个 r 方， 那么要求这个的话是不得连理这两个，就是将这两个公式依次放入进去，我们可以得出一个二次方程的一个东西，我们就要看它的 delta， delta 如果大于零的话，我们就知道啊，它说明它有两个点嘛， 两个点它是不是就相交啊？很显然，如果等于零，还有小零的情况，如果等于零的话，它是不是只有一个点？一个点的话，它是不是就是相切？那如果小于零的话，说明它一个点都没有，那是不是只有相离的一个状态？此时的公共点分别对应两个，一个和零个，这是第一个，那第二个为反二反二，我们说 看这里有一个圆，这一条直线，我们说如果你要算圆与直线的位置关系的话，可以有这种，是不是这三种情况，那这三种情况的话，我们是不是可以圆心到直线的距离来代替？什么意思呢？我们说如果圆心啊，这里是 ab 到直线的距离，就是用这个公式嘛。 d 等于一个 a， a 加 b， b 加 c， 比上一个 嗯，根号下 a 方加 b 方得出来的这么一个东西。如果点到直线的距离如果小于半径，我们很容易就知道它是不是相交。如果等于半径，我们很容易知道它是相，是吗？切，如果它大于半径的情况下，它是不是相相邻？所以分别为 d 小 于 r， d 等于 r 与 d 大 于 r。 好， d 小 于 r 的 话就相交呗。相切还有一个相邻对应的交点个数还是二一零，这有两个方法 对不对？好的，知道这个知识点以后呢，我们来看一下这道题该去怎么去写，我们就画一个大概图形呗，就是零负二撇 c， 然后到直线 距离为一的点仅有两个，我们把前面的信息给排除掉的情况下，只看这个某一点到直线的距离为一，那是不是很容易就想到与这条直线相平行的两条直线？如果距离为一的情况下，是不是这道题就很好去写了？根据这个零负二和这个直线的公式， 我们是不是很容易求出这个点到直线之间的距离？ d 啊，可以得出圆心到直线的距离是不是二？那两条直线我们说它是分别为一，圆心到第三条直线的距离为几啊？为三吧，它要求 r 的 垂直范围，假设 这个圆的半径它要比一小，它是不是一个这样子的对不对？它要为这样子的话，它说距离为一的点尤其有两个，我想问一下，这里到它的点最短，最短是不是从这到这的一个点？从这到这一个点，你们想一下它距离为一吗？它肯定要比一大，对不对？所以是不是排除？所以 r 它是不可能小于一的。如果它等于一的话，它到一的点是不是有且只有一个呀？所以它也是错的，它是零个， 这是一个。我们来看，如果他要比一大的情况下，他是不是一个这样的？你比一大的话，从这到这他有几个点？他是不是有一个点？两个点，他是不是有两个点？是不是满足提议？ 那我们想一想，他光比一大不行，他如果比二大，可不可以或者跟二一样大？跟二一样大的话，会有几个呀？我们发现他到居一的点是不是还是有两个？这个与他相切吗？这个是零，然后如果比二还大， 大大大，一直大到三，如果他刚好等于三的情况下，各位，如果他刚好等于三的情况下，他有几个点？一个点，这道直线再延伸一下，两个点，三个点，他是不是三个点了？所以他是不是只能比 一大，又要比三小，甚至不能等于三？所以这道题很显然一见这道题是不是就选二 b 了？那如果他比三大的话，他有几个点？如果比三还大，那就大概是一个这样子的呗。那么这样子的一个情况下，比三大，他就是一个点、 两个点，三个点、四个点到差的距离吗？你没发现他是不是有四个点？所以这道题呢，就选 r b 选项。我们来看一下第八题，第八题呢，他考察的是一个同构啊，我们来看一下这道题该去怎么写啊？他说 二加 log 以二为底， x 对 数等于三加 log 以三为底， y 的 对数等于五加 log 以五为底， z 的 对数，我们如果令它等于一个 m， 一个具体的数的话啊，大家可以得出哪些式子呢？我们说二加 log 以二为底， x 对 数等于 m， 那 它就等于 log 以二为底， x 等于一个 m 减二 x， 它是不是等于二的 m 减二次方？同理呢， y 就 等于三的 m 减三次方， z 呢，它就等于一个五的 m 减五次方。所以你可以找到一个规律啊，它大概是一个 f， x 等于一个 a 乘以呃， a 的 x 减 a 次方，那我们构造的就是这么一个函数， 这么一个函数的话，就要比大小呗，我们就分别把二的 x 减二次方，三的 x 减三次方，五的 x 减五次方画在同一张图上， 看看他是一个什么样的情况。这里的话，我直接去画，在画这个之前呢，就是很多人都不会画，不会画的情况下。各位，你们知道 a 的 x 次方对不对？ a 的 x 次方是不是大概是一个这样的函数？但是他如果减 a 的 话，是不是向右平移 a 个单位即可？同理啊，二的 x 减二次方，三的 x 减三次方和五的 x 减五次方是一样的， 那分别用三条线代替啊，这三个函数，首先是二的 x 减二次方，那大概是一个这样的函数，那三的 x 减三次方，大概是一个这样的函数，没问题吧？那下面是五的 x 减五次方，他是不是要比他快，然后要比他快， 知道超过他啊？所以啊，这里的这个纠结呢，就在于拿下这个点，这个点和这三个点，包括前面的这个数， 根据这个图像法呢，我们来看它的选项分别有哪些啊？第一个选项， x 大 于 y 大 于 z， 那 什么情况下， x 又大于 y 大 于 z， 是 不是在这的时候，我们发现 x 大 于 y， 是 不是大于 z， 所以 这个情况是不是存在的？ a 选项是对的吧，我们来看 b 选项， 我们直接把所有的选项给画出来吧，当在这个点啊，这个点之前的所有情况是不是都是 x 大 于 y 大 于 z， 当这个点过后呢，我们可以看出它是不是 y 大 于 x 大 于 z， 对不对？所以它的情况呢，第一个是 x 大 于 y 大 于 z， 第二个情况呢是，呃， y 大 于 x 大 于 z， 第二种情况，下面这个的话是你会发现是这个是 y 大， 然后其实是 z， 其实是 x， 所以 是 y 大 于 z 大 于 y， 中间 x 最小，所以是 z 大 于 y 大 于 y 大 于 x， 你 会发现啊， 所有呢， z 当过最后面， s 当过最后面，唯独是不是没有 y 当过最后面， y 当过最后面，是不是两种情况，一个是啊， x 大 于 z， 第二个是 z 大 于 x， 是 不是这两种情况是不是不存在？就说只要有 y 的 两种情况，是不是都不存在？ y 在 最后面的两种情况是不存在，那很显然这个二 b y 在 最后面，所以我们说二 b 选项是错误的，这道题就选二 b 了 啊，其他的这 c 和 d 选项都可以从图中的找到，所以说 y 大 于 x 大 于 z， y 大 于 x 大 于 z， 就是 过了这个点以后 啊， y 大 于 z 大 于 x， y 大 于 z 大 于 x， 那 应该是过了第二个点以后的一个函数图像。呃，这是我写的这道题，我写道题是这样子写的。然后呢？但是因为刚好嘛，考试，你接考试的话，你肯定要有巧方法嘛，巧的方法的话你就，嗯，直接特殊值代入呗， 对不对？我们特殊代入啊，我们因为说它呃到最后等于个 m， 所以 它是一个 x 等于一个二的 m 减二，然后 y 等于一个三的 m 减三， z 等于一个五的 m 减五。呃，这样子的话，我们分别令 m 等于个零， m 等于个五和 m 等于个八啊，你就能分别得出 x 大 于 y 大 于 z， 第二个是 y 大 于 x 大 于 z， 第三个是 y 大 于 z 大 于 x， 根据，然后再根据排除法嘛，就把二 b 排除了。所以这道题选二 b 啊。在做这道题的话， 嗯，我们一边看着题呢，一边去。嗯，画图，这是我给你们专属做的一个几何画板。好的，这是一个正三楞柱啊，各位，这是一个正三楞柱，他说 d 为 bc 的 中点。然后来我们来看一下，第一个， a d 垂直于 a c， 我 们连接两条线呗， a d， 然后 a c 取一点 g 吧，连接 b g， 好 的， g 为它的垂直平分线。然后第一点，你要求 a d 垂直于 a c， 那 如果你要它垂直于它，只需要使得它是不是垂直于这个平面即可， 所以我们要求它是否垂直于这个平面。那这里呢，我做了一个点， g 使得 b g 是 不是垂直于这个平面，所以 b g 是 不是就垂直于 ac， 对 吧？没问题吧？ 然后 b g 是 不是与 a d 在 同一平面内？大家可以想一下，如果是一条直线垂直于一个平面内。大家可以想一下，如果该直线所在的平面与该直线平行，那么是不是这条直线也垂直这个平面， 对不对？但很显然啊，这里的 a、 d 与 b g 是 不是不平行的？ a、 g 与 b g 竟然不平行，说明 a、 d 是 不是不垂直于这个平面？我们说 b、 g， 它既然垂直于这个平面，它一定垂直于 a、 c， 那 a、 d 竟然不不垂直于这个平面，它是不是一定？ a、 d 是 不是不垂直于 ac？ 所以 a 选项是不是就是错误的？我们来看 b 选项，他说 bc 垂直于平面， a、 e、 a d， b、 c 这条直线垂直于平面， a、 e、 a、 d， 它还是这个平面啊？看它是否垂直于？我们说它是不是垂直于这个平面？因为面是有延展性的，对不对？面既然是有延展性， 它是不是垂直于这个平面？它既然垂直于这个平面，是不是垂直于这个平面？所以第二题是对的。我们看 c 选项， c、 c 一、 平行于 a、 a、 e、 d。 还是利用面的延展性，它平行于它，所以它又在这个平面内，所以它是不是平行于这个平面？ c 选项是不是就对了？ a、 d 平行于 a、 e、 b、 e， 你要是它平行于它，是不是只需要它平行于它所在的平面即可，对不对？是，是这么一个例吧，对吧？各位，那我们看看它是否在一个面内啊？你会发现啊， a a、 a d， b 和 a、 e， 它是不是根本就不，它就不是一个面，它就不是一个面，它既然歪曲扭的一个面，它既然歪曲扭的面，它既然不在一个面内，那它就不平行啊，各位，它就不平行的关系啊，你会发现它是一个这么一个折的和一个这样的一个向的， 这样的话他是一个意面相交的一个状态，所以 d 选项不选。这道题选 b， c 来看第十题，第十题呢，他考察的是抛物线的几何性质，直线与抛物线位置关系的一个应用。他这个知识点呢，在选择性 b 修一的二点三，二点四章节的第七十二页。首先我们先讲一下抛物线的一个性质， 抛物线我们这里的话，以外方等于二 p， x 为底，这里的话是 p 大 于零的，嗯，它的准线是负二分之 p 等于 x 啊，嗯，还有它的焦点 f 为二分之 p， 多少零， 以及顶点零零离心率 e 就 等于个一对称性。关于 x 轴对称，下面是它的定义域 x， 它是大于等于零的值域呢？它是 y， 是 除以 r 的， 然后这是它的一个性质。 呃，这道题它不是还考察它的几何性质吗？考察它的几何性质的话，这个是有点多的，大家可以拿本记一下。第一个呢，是它的交点弦，什么是它的交点弦呢？就是 ab 过这个交点的这个弦长叫做交点弦，然后作为 a， 一 垂直为 b， 那要求这个 ab 的 话，它是等于一个 x， 二加 x， 一 加 p， 这是它如果作为右值的情况下是一个这种，它如果为左值啊，上值与下值有分别，不同的情况，这里为左值， 上值下值。我都给大家说一下，如果左值的话，它是一个负的 x 二加 x， 一 加 p， 上至的话，这是 y 二加 y， e 加 p， 下至的话是负的 y 二加 y， e 加 p， 这是它的弦长，那怎么去证明 ab 的 这个弦长呢？ ab 的 绝对值啊，我们说它是不是等于一个 a f 的 绝对值加上一个 b f 的 绝对值， 是吧？又根据这个抛物线的性质，我们说 af 是 不等于 a a e b f 是 不等于 b b e， 所以 这个 ab 的 绝对值呢？就等于一个 a a e 的 绝对值加上一个 b b e 的 绝对值。因为 a a e 的 绝对值是不是等于一个 x e 减去一个负二分之 p， 等于一个 x e 加二分之 p， 为什么说要减去负负值 p 呢？因为 a 一 所在的这个点呢？为负负值 p， 那 你要求这个 x 点，我们说 x 一， 它是 y 一， 这句话是 x 二 y 二啊，要求这两点的话，是用这个坐标减去它的这个东西，就可以得出 它的长度。同理， b b 一 就等于一个 x 二，减去一个负二分之 p， 等于一个 x 二加二分之 p， 我 们说，所以 ab 是 不是等于一个？这两个相加呀？是不是 x 一 加 x 二加 p 就 得出来了，这是交点弦。呃，对于交点弦呢，它还有一个是，如果我们得知 c， 它 就是说 ab 与 x 轴的夹角为 c， 它的情况下，则 ab 的 弦长等于一个二 p 比上一个 c c， 它方啊，这是为什么呢？等会我去来证明。在证明之前呢，我希望大家来记录一下，就是关于焦点型的一个伟大定律， x 一 乘 x 二的话，它是等于一个四分之 p 方的，这个是为什么呢？ 我们说焦点弦是不是一个从这到这过这个点，然后与抛物线相接的两个点啊？那我们就以最特殊的方法，就是说假设它这个通径，通径的话就垂直于这个焦点嘛。然后与抛物线有两个交点，那么很容易得知 a 的 二分之屁屁，它呢为二分之屁，负屁，所以 x 一 乘 x 二就等于一个二分之屁，乘一个 二分之屁等于一个四分之屁方，这是作为幼稚的情况下是这样子的。然后这是 y 乘 y 二啊，这是 y 乘 y 二， y 乘 y 二的话，它就等于个呃屁，乘一个负屁等于一个负屁方。好的，这是关于交点弦，交点弦以后呢，我们要学交半径，我们说 交点弦是不是过这个交点与抛物线相交的两个点，那交半径的话，就是 a f 或者是 b f， 那 我们要求 a f 和 b f， 我 们还是以右侧为例，这是 a 垂直，这是 b e， 右侧为例的话，我们说 a f， 它就等于一个 x 一 加二分之 p， b f 的 话，它就等于一个 s 二加 r h p 之作为右值。至于为什么怎么证明，等会我，我需要一块去证明，那么左之上之下之， 也需要大家去记一下。好的，知道完这些以后呢，我们来去证明一下，刚才弦长呢，就是这个交点弦，还可以用 ab 等于一个 r p， 比上一个 c c， 大 方，我们来证明一下，若已知这个角为 c t 啊，还是做一个平行线，这是不是 a 一？ 做这个平行线，这是不是 a 呃 b 一， 然后这是 x 一 顿号 y 一 啊， x 二顿号 y 二。好的，我们说已知倾斜角为 c 塔，因为 a a e 是 不是平行于 f h， 所以 角 a e a f a e a f 是 不是跟这个角是不是相等？等于 c 塔吧。好吧，过点 f 做 a a e 的 垂直线，然后呢，同理啊，我们过点 b 做这个 x 的 垂直线为 n， 那 a m 的 这个魔长，它是不是就等于一个 cosine theta 乘一个 a f？ 这个运用的是投影定律啊，不会的同学呢，可以翻一下书， 然后再来去跟着我这个节奏一块去。然后呢，我们说，因为 a e m， 它是不是等于 h f 等于 p 啊？ a e m， 它等于 h f， 因为它是不是往下做一个垂直线，它就变成了一个什么呀？矩形了吗？它是一个，既然为一个矩形的话，它是不是 a e m 是 不是等于 h f？ 它是不是等于个 p， 对 吧？因为我们刚才已经做一个垂线段的话，它是不是一个？这样子各位能理解吧？ 同理啊， a a 一， 它是不是等于 af？ 这是根据抛物线的定力来得出来的，所以呢，就可以得出 a e m 加上一个 am， 它是不是等于个 af 啊？各位则有 p 加 cosine theta， 将前面的这个带入嘛，带入进去， 这个也带入进去，就乘以一个 af 可以 等于一个 f， 然后呢，我们就得出一个 af 可以 等于一个 f， 然后呢，我们就得出一个 p 就 等于一个 一减 cosine theta 乘以一个 af， 所以 af 呢，它就等于一个 p 比上一减 cosine theta。 同理呢， bf， 它就等于个 p 比上一个一加 cosine theta。 这里大家可以拿一下验钞纸算一下，就可以得出， ab 等于一个 b f 加上一个 af 等于一个 二 p 比上一个 sin c， 它方。然后这就证明了交点弦的为什么能表示出这个，然后交半径呢？能用这两个来表示，呃，除此以外呢，它还有中点弦，呃，交点、斜外切等，这个的话今天下播以后呢，我会在今明两天呢，作为一个知识点补充，来把整期视频做的完整 好的，那学过知识点以后呢，我们写一下这道题，做这道题呢，我用两种方法啊，在考试的时候，我建议大家用第一种方法就是特殊法嘛， 因为人家说了嘛，做抛物线， y 方等于六 x， 这是 f 过点 f 的 直线，交 c 与 a b 两点，他只说交 c， a b 两点，我们能不能把它视为通径呢？ 可以把它视为通径，既然可以视为通径，那么很多题他就解决了。而 y 方等于六， x 则二 p 等于个六，则 p 就 等于个三，二分之 p 是 不是等于个二分之三？所以这个是不是 x 等于个负二分之三，对吧？这个是二分之三零。好的，然后他说过点 f 且垂直于 a、 b 的 直线交这个于点 e， 他 说还有说还要过点 a 做准线， l 的 垂线垂直为 d， 那 么根据他的提议呢，分别是这个垂线为 d， 然后过点 f 做垂线嘛，因为它是个通径，做它垂线的话，这个为点 e， 所以很容易呢，我们大家，其实它只是个正方形啊，各位，这就变成一个正方形了，指的可能是说我画的不准确，然后呢，我们来看一下， a d 等于 af， a d 等于 af， 这个肯定是正确的，根据这个抛物线的定义定义就可以得出来。第二个呢是 a e 等于 ab， a e 等于 ab， 那 a e 怎么去算呢？我们说这个 作为通径的情况下，这是不是等于 p 啊？ p 的 话它是不是个三，那么这个 ef 呢？我们说它等于多少呢？ ef 是 不是也等于 p， 它是不是也是三， 那它又是一个九十度？一比一比更换二，它是不是三倍的更换二，那 ab 等于多少？ ab 是 不是等于个二 p 啊？二 p 才是几六，所以三倍的更换二，它是不是不等于六？所以二 b 选项是错的。第三个啊， ab 它大于等于六， ab 作为它的焦点弦啊，是不是只有在通径的情况下是最短，而此时我们是不是找的就是这个通径通径呢？我们刚才算了， ab 是 不是等于六啊？ 对吧？假如通解等于六，它最小值是不是就六？它既然可以等于六，它是不是可以比六大？所以这道题 c 选项是正确的。下一个， a e 乘以 b e， a e 乘 b e 大 于等于十八， a e 乘 b e 大 于等于十八， a e 它是个三倍的根号二，同理啊，这个 b e 肯定也是三倍的根号二，那三倍的根号二乘以三倍的根号二， 它等于多少呢？它等于九乘以一个二等于个十八，那么这个值既然要作为特殊值，它是最小的，那么它等于九乘以一个二等于个十八，那么这个值到，比如说啊， e 在 这里的情况下， 反而 a e 乘以 b e 的 这个值要比它要大得多，所以说，呃，四 d 选要正确。这道题就选 a c d， 这是作为特殊法来处理的。 好的，我们来由正常方法来去算一下这道题该去怎么去写。接下来这个方法的话可能有点吓人，就是因为我们要直接算的，所以大家如果不感兴趣的话，就可以直接啊跳过了。嗯，如果感兴趣的同学的话，可以和我一块算 a b， 然后这是 l。 嗯，这里的话，我们过点 a 做点 d， 垂线段嘛，然后 f 的 话做它的垂线段， 这是点 e。 好 的，呃，这个图就画出来了吗？这个图就画出来了。第一题， a d 等于 a f， 根据它的定义就可以直接写出来啊。就是刚好的话，这道题就是最容易得分了嘛。然后第二个 a， e 等于 ab。 你 要想求 a， e 等于 ab， 那 你得看它们两个值是不是相等。值相等的话要求这两个，那就连立呗。 我们设 a 的 坐标呢，为 x， 一 逗号 y 啊， b 的 坐标呢，为 x， 二逗号 y。 我 们就设这个 ab 的 弦长， ab 的 这个斜力为 k 啊，各位， ab 的 斜力为 k。 这里我得需要一个空白的纸，一个一个去写。 直线 ab 斜率为 k， 则 k 是 不能等于零的。为什么？如果说 k 等于零的情况下，直线与抛物线会只有一个点，因为它平行了嘛，对不对？所以我们就要把它给舍去。 嗯，则直线 ab 方程。 为什么呢？ y 等于一个 k， 乘一个 x 减二分之三。为什么可以直接这么写呢？因为它过 ab 这条直线，它过 f 点 f 点，我们知道它是个二分之三。逗号零，因为 y 方等于个二 p， x 等于个六 x， 所以 二分之 p 等于个二分之三。好的， 因为 e f 是 不是为负 k 分 之一啊？所以 e f 他的这个公式可以怎么表示呢？可以表示为 y 等于一个负 k 分 之一，乘一个 x 减二分之三。好了，就可以得出 e 的 坐标。为什么得出 e 的 坐标呢？因为啊， e f 是 不是与 l 相交， 然后就将 x 就 等于一个负二分之三代入。为什么要代入？因为香蕉为什么要代入呢？因为它是 x 等于负二分之三的导值线呀。所以 y 就 等于一个负 k 分 之一，乘一个负二分之三减二分之三啊，就等于一个 k 分 之三。 所以，呃，就可以得出这个 e 的 坐标呢，为负二分之三，逗号 k 分 之三。此时呢，我们再连立这个直线与这个的方程组，那就是 y 等于 k 乘以一个 x 减二分之三，然后 y 方等于六 x， 呃，就要把这个东西带入到 y 里面，那就可以得出一个 k 方， x 方减三， k 方加六 比上，呃，乘以个 x 加四分之九， k 方等于个零，得 a。 呃，我们不是说设 a 为 x 一 等号 y e 吗？ b x 二 y 啊，这个公式呢？各位，这个公式呢，是我自己化解过后得出来的，大家可以呃，在算的时候自行运算一下。那根据这个呢，我们来求用伟大定律呗。 韦达定律就是 x 一 加 x 二 y， 呃， x 一 乘 x 二，就可以得出，根据这些得嘛。呃，我们说韦达定律在二次方程中计算，就是 x 一 加 x 二等于负的 a 分 之 b， x 一 x 二等于个 a 分 之 c 啊， a 分 之 c， 那 么很容易就可以算出来，它是三加 k 方分之六， x 乘 x 的 话，它就等于个四分之九。 好的，然后我们要求 y 一 加 y 二， y 一 乘 y 二，那这个该怎么算呢？ 就是这些代入进去嘛。呃，什么意思呢？我们来说，呃，因为 y 是 不是等于个 x， 呃， 等于个 k 乘以个 x 减二分之三呀？所以你 y 一 是不是等于个 k 乘以 x 一 减二分之三，呃， y 二，同理嘛，所以 你 y 一 加 y 二就是用这些继续相加，利用这个东西放到这里面就可以写出来了，这里我需要拿橡皮擦擦一下，然后这里我给大家直接写出答案，不需要大家做那么多的计算过程。呃，计算过程的话，我可能会在这个评论区里面直接发出来， 它就等于一个 k 乘一个 x 一 加 x 啊，啊，它最直接的答案是个 k 方分之六，然后它的答案是个负九。呃，根据这些啊，根据这些呢，我们就可以算出一个什么呢？ 我们就可以算出一个 a b 的 弦长，它等于一个 x 一 加 x 二加 p， p 是 等于三 x 一 加 x 二得出来吗？就等于一个六加 k 方分之六， a e 的 弦长的话也是同理啊，等于一个根号下 x e 减负二分之三的平方。呃，这个 a e 的 话，它是得用这个点点之间的一个公式啊，点之间的一个距离公式， 这得用中括号平方加上一个 y e 减 k 分 之三的括号平方。 化简以后呢，就可以得出一个什么呢？ x 一 的平方加上三， x 一 加上一个四分之九，加上一个 y e 方减 k 六 y e， 然后加上一个 k 方分之九。呃，我们往下继续算 啊，我们说因为 y 一 的平方是不是等于六 x 一 对不对？且什么 y 一 是不是等于个 k 乘一个 x 一 减二分之三？那么根据这个公式呢？我们可以换成啊， k 分 之 y 一 等于个 x 一 减二分之三啊，为什么要换成这样呢？因为这个有一个 这个公式，所以我们必须得这样换，必须得这样换的话，所以，呃， k 分 之六 y 一 就等于一个六， x 一 减九。呃，所以这时候呢，我们需要把这个公式和这个公式通通都代入到原式里面。呃，我们继续得往下写 原式，就往后就等于一个 x e 的 平方减三， x e 加四分之九加六， x e 减去一个六， x e 减九， 加上一个 k 方分之九，那往后再继续化简的话，就到最后化简成 x e 加二分之三的平方加九加 k 方分之九。呃，所以啊，这里是 这个应该是可以缩小的吧，这个缩小不了，我们发现 a e 是 不是这个公式啊？ a b 是 不是一个这个公式？很显然这两个是不相等的，所以二 b 选项是错误的。那么看一下 c 选项， c 选项它是要求什么来着？ c 选项它是要求 ab 它是否大于等于六？那你要求 ab 大 于等于六的话， 我们来看怎么写？我们说由 b 呢？我们是不是可以得知 ab 它是不是等于个六加 k 方分之六，对不对？六加 k 方分之六的话，那么我们说因为 k 方它是不是大于零？所以 k 方分之六它是不是大于零 啊？当这个 k k 值随之变大的时候， k 方分之六呢？啊，它是不是趋近于零啊？对不对？因为分母越大，分子不变，分母越大的话，它是不是越趋近于零？此时 ab 的 值是不是就可以等于六啊？它什么时候等于零？就是当它 越趋近零时，它等于六，所以此时呢， ab 它是不是最小，最小是不是就六？所以 ab 的 绝对值它是大于等于六的 好，它等能不能等于六呢？能怎么算呢？就是刚才我们用那个最简单的通径的办法去把它写出来，它，它是可以等于六的啊，所以 c 选项是对的。我们来看一下最后的 d 选项， 嗯， d 选项的话， a e 乘 b e 大 于等于十八， a e 乘 b e 大 于等于十八，我们呢，还是一样的 由 b 呢，我们知道了这个 e 的 坐标啊，它是不是等于负二分之三？逗号， k 分 之三，对不对？嗯，且， a e 等于一个 x 一 加二分之三的平方加九加 k 分 之 k 方分之九。然后呢？ 呃，很显然， b e 呢，也是用同样的这个两点之间的坐标公式可以得出一个 x 二加二分之三的平方加九加 k 方分之九。呃，接下来就它俩相乘了呗，它俩相乘的话，嗯，就是 a e 的 平方 啊，对，没问题。呃，为了好算的话，我们就是先让它俩的平方相乘呗，它俩的平方相乘的话，就等于一个 x e 加二分之三的平方 加九加 k 方分之九，然后括起来乘以一个 x 二加二分之三的平方加九加 k 方分之九。嗯，再去算，这时候的话，我们就令 t 等于一个九加 k 方分之九。这样的话啊， 我们以后面的计算简单，要方便一点，方便一点。这里的话，原式就等于一个 x 一 加二分之三的平方乘一个 x 二加二分之三的平方加 t 去乘以一个 x 一 加二分之三的平方 加 t 方。因为 x 一 乘 x 二是不等于四分之九啊， 对不对？ x 一 加 x 二是不等于个三加 k 方分之六啊？我们，所以 这个就。呃，所以 x 一 加二分之三乘一个 x 二加二分之三，它是不等于 x 一 乘 x 二加二分之三乘以一个 x， 一 加 x 二加四分之九 等于一个四分之九加二分之三，再加 k 方分之六 加四分之九，没问题吧？就等于一个。呃，总之到最后得出答案是一个 t 啊。反正他他等于一个九加 k 方分之九，就是化简过后得出了一个这个答案的一个 t。 好 的，算完以后呢，我们就算他的平方相加 x 一 加二分之三。因为我们要分开算嘛，对上面的式子进行分开算，所以我们只能这样算， x 二加二分之三的平方等于一个 x， 一 加 x 二加三的平方减去一个二倍的 x， 一 加二分之三 乘一个 x， 二加二分之三等于一个六加 k 方分之六减二 t。 呃，这里的话得什么呢？得 等于 t 方加 t， 把这些都带入进去嘛。然后得六加 k 方分之六的平方减二 t 扩起来加 t 方 等于一个 t 乘一个六加 k 方分之六。因为 t 它是不是等于九乘一个一加 k 方分之一啊？因为刚才我们不是算出来令 t 等于 这个，所以把提出一个九嘛，然后可以得出这个。得出这个以后呢？说六加 k 方分之六等于一个六倍的 e 加 k 方分之一。所以 a e 的 平方乘以 b f b e 的 平方 就等于一个九乘一个一加 k 方分之一乘一个三十六，一加 k 方分之一等于三百二十四乘一个一加 k 方分之一的三次方。嗯，所以 a e 乘一个一加 k 方分之一的二分之三次方。 因为 k 方它是不是大于零？所以一加 k 的 平方它是不是大于一啊？它大于零，一加一个大于零的数，它是是不是大于一？二分之三次方是不是还是大于一？所以 a e 乘一个 b e， 它值是不是大于十八？那这到账我们就完了吗？不对吧，因为 a e， 它让我们求 a e 乘一个 b e 的 值是不是大于等于十八？是不是还有个等于的情况我们没有算，那我们现在就要算这个等于的情况。等于的情况是什么呢？当 k 不存在的时候，因为刚才我们说一直 k 存在嘛，当 k 不 存在的时候，说，很显然就能得出 e 为二分之三的二零二，嗯， a 的 话为二分之三三， b 的 话二分之三 复三，这时候不存在不就垂直吗？对不对？嗯，很显然，这个 a e 等于个 b， e 就 等于一个三倍的括号。就是我刚开始用第一种方法，呃，直接用最简单的特殊法去写的啊。这里的 a e 乘一个 b e 等于个十八， 综上， a e 乘一个 b e， 它也等于十八，所以 d 选项是正确的。那到这里的话，我们第一题到这个第十题都讲完了，呃，第十一题的话，包括后面的，嗯，这个 填空题加上解答题，嗯，我会在明天和后天进行直播，然后去给大家一起去写。嗯，还是以这个知识点加这个做题步骤。嗯，来帮大家去进行高考前的最后一次冲刺与复习。 嗯，那些就是说，如果你现在感觉分数提不了的话，那我觉得看这个视频还挺有意义的，毕竟，嗯，你在做题的情况下能去吸收知识点，这是再好不过的。好了，先讲到这里，嗯，谢谢大家的观看。

啊，今天我们把这个第一百一十三道的高考题给大家讲一下。呃，这个呢， 我看了一下，昨天啊，这个作业是不是有的还没打印啊，教的不是很全啊，教的同学呢？很多同学啊，基本上都满分，也有几个第二个没有写出来的。呃，我就稍微简单讲一下，因为这个立体几何对大家来说应该比较熟悉啊。 啊，不知不觉已经写了一百多道了，对吧？呃，一百多道的话呢，我们几时集合呢？是这样，少部分你这样的话立即集合，应该写了有个小白字体了 啊，然后我们离高考还有一年多，所以呢，像这种题啊，大家应该以后驾轻就熟， 对吧？好，那么下面我们再看一下这个题啊，我们来正，呃，这个题目呢，这个大家应该都知道啊，这个面我就不再读了。下面首先看你要正这个 a p b 和 c 啊， c 什么啊？ d p f 就是 前面这条线啊，跟后面这个面啊，它平行， 那么我们只要正线面平行，要么构造平行四边形，要么构造中位线啊，或者也就说你用 a 撇 b 跟这个面上有一条线平行啊，这是主流方法， 但是你找啊找啊，你找不到这条线，你不好找，也不是说找不到，你肯定有，但是不好找啊，不好正，对不对啊？怎么办呢？ 这个题呢，我们就啊变形，怎么要换种思路，就是我们先正这两个面，前面这个面和后面这个面平行，正这两个面平行，那用面面平行的性质我们知道，如果两个面平行，那么其中 啊，一个面上的任意角之间都跟另一面平行，那如果我们能证明前面这个面跟后面这个面平行，那这个问题简单了，那好不好证呢？那这个问题就简单了，比如说 啊，首先我们能轻而易举的证出，哎，撇一平行于平面， c、 f、 d、 p， 为什么 a 撇一平行后面这个面呢？因为 a 撇一和什么和 d、 p、 f 是 平行的呀，因为你折过去的嘛，这个跟这个平行啊，哦，这个是可以折的，然后这个 b、 e 啊，也是平行这个面的 c、 f、 d、 p， 为什么呢？因为这个 b、 e 和 f、 c 平行啊，啊，所以也是平行的，那这样的话，这两条线是什么？是不是相交线啊？那这两条线所构成的这个面啊，所构成的面就是 a、 p、 e、 b 啊，就平行与平面啊，就平行与平面， 就平行后面这个面了呀， c， f、 d 撇好平行这个面，那 ab 是 不是在前面这个面上呢？对，那这样的话就平啊，平行后面这个面。 所以说啊，听不到我们这里啊，这个呢，我们采用的是面面平行的性质啊，来推导的。好吧，第一个呢思维给大家讲，这，这不是步骤啊，现在已经很少有人这么写了，刚开始都写了几十道题啊，有一个同学 啊，我就不点他名了，他每次写作业都这么写啊，后来有一次我说，你这么写能行吗？ 啊，那新人我们老师就这么教的啊，结果其中考试老师全部给他打错了，你这肯定不行啊啊 啊，他妈步骤分扣了好多，你肯定扣的，这不是步骤知道吧，步骤怎么写大家都知道，我也不讲了啊，然后后面等会啊，放个解析给大家看啊，不行的话照照模仿好吧。 嗯第二个证明阿明脚阿明脚的话呢这个直接搞有朋友不是很好搞。那么搞搞什么呢。搞 搞搞搞这个坐标系对空调坐标系嘛。阿明脚搞两个反向就行了。哎这个间隙的朋友就不会见了啊这个间隙我给他讲过很多次啊。间隙啊你要理想的状态下那肯定了理想状态下我都知道这三个都垂直 但是这种题啊啊有时候有有时候没有啊你看我们今年这是二零二五年的二零二五年就今年啊去年啊啊去年刚考的这个就没有啊没有这三。那怎么办。 你这个你要找的嘛你要找两个垂直就行了你先找两个垂直第三个垂直自己做。 对 𠲎 比如尤其是侧面垂直顶面了啊我们经常讲侧面垂直顶面了。那么这种啊想办法弄 啊你这地方垂直好你比如说这个地方这地方是不是有个垂直啊啊这地方我们稍微这啊有可能是应该知道这个题目吧啊就是这个线和这个线是平行的他说这个是九十啊对吧他说这九十 啊我们射哈射射这个是一啊射这个是一啊射这个是一那么这个是一。好像 id 是 一因为 id 最短嘛这个 c d 是 二那这个 c d f 和这个 c f 都是一然后 f 是 终点啊 啊 f 是 终点对 f c d 终点然后这边也是一那这边是二啊这边是二那这个也是一这个是正方形对 𠲎 那 这个就是这啊这个就是啊 那么条件我们稍微啊问一下。好那么你这个折叠过来这个也垂直啊好你这条线你看啊，这条线啊， a 撇 e 垂直于相交线， b 也垂直于相交线，那这个角 跟这个角是一样的啊，多少度？是不是六十度啊？因为这个就是阿明角啊，这个叫阿明角，六十度啊，这个叫六度，那这个叫六度啊，那个大概就这样了啊，那这双也是垂直的，非常垂直。好，那我们要反向， 那我们把这个垂直当，也是当外，这变成垂直，然后这个呢，我们自己做一个垂线啊， 啊，做个水线，这样我们就间隙见出来了吗？垂直于啊，底面吗？垂直于底面啊， z 轴啊， z， f 啊，这个 f， z 垂直于啊， abc 的 这个底面啊，间隙，好吧， 嗯，这个就是说这个 e、 f， 它是垂直于这个面啊，对方大家应该知道的啊，就是这个啊，我们先要做间隙，之前我们要稍微正一下，大家应该知道 e、 f、 e 正是 垂直于 d、 p、 f 的 啊，对不对啊？ 啊，那么应该是这样子的啊，应该是这样子的啊，因为这地方是折叠的嘛，啊，我们这样翻折上去一样垂直。好，那么这样的话，我们是得到一个线面垂直的，就 e、 f 是 垂直平面 啊， f、 c、 d 撇的，那这样的话我们再见效，我们说以 f e 为 x 轴， f c 为 z 轴， f z 为 z 轴啊，啊，建立空间直角坐标系，然后呢则点坐标，那你要求 b、 c、 d， b、 c、 d 来，那我们射，刚才已经边已经射过了，那这样的 b、 x 轴方向，那就是 e， y 轴方向，就是 r z 轴方向零，然后 c x 轴方向零， y 轴方向 e 啊， z 轴方向零 啊， b， c， b， c， d， p 啊， d， p， 我 们做做垂线， 这双是一，这是六十，这双三十，那这双是一对 𠲎。 唉，噢， x 轴方向， x 轴方向是零， y 轴方向是二分之一， z 轴方向二分之一，根号三， d 撇有了。呃，然后这个 e， f， d， p， a， e， f， e 有 了， e 没有了， e 是 e 零零， f f 是 零零零。好，就可以了，这样就可以了。好， 嗯，我们首先设平面 b， c， d 撇的方向量 啊，发项链是 n， x， y， z 啊，或者 x， y， z， e 吧。 啊，那么这样的话呢，哦，我们这个项链还没写呢，那项链的话，这个地方项链我们用 c b 和 c d 撇啊， c， b 啊，把项链写在旁边啊，就 c， cb， x 轴方向是一，然后呢？ y 轴一， z 是 零， 然后呢？ cd 撇 x 轴方向是零， y 轴方向是二分之一， z 轴方向二分之三啊，好，那么这样的话，我们可以得到，呃， cb 乘上 n 等于 x 加 x 一 加到二倍的 y 一 等于零啊，或 c， d 撇乘上啊，就等于二分之一， y 加到二分之， 根号三， z 一 等于零。好，我们可以求出一个 n， 嗯，这个 n 我 们来代一下约掉。嗯，就是 y 一 等于根号三， 根号三，那 z 一 呢，就是负一啊，负一，好，那如果它是二二倍的根号三呢？第一个就是负二倍根三， 负二倍根三零。好，这个是呃，它的法向量，然后我们再设这个平面啊， e， f， d 撇 a 啊的法向量， 下面 m， x， r， y， r， z， r， 那 么这个呢，我们写两下，应该是 f， e 啊，是一零零，然后 f， d 撇， 还有零二分之一，二分之根号三，那同样的啊， f e 乘上 m， 那就 x 等于零啊。呃， f， d 撇乘上 m， 那 就等于二分之一。唉， y， r 加到 二分之一等于零，好，那这个时候我们可以得到 m 的 一个向量， x 是 零，嗯啊，根号三负一。好， 两个方向都有勒，那么二面角的正弦值，我们这个求余弦值啊，这个求余弦值就靠三 m， 这是加角的余弦值，先算出来。 加角余弦值呢，我们带入啊，带入。好，这回就不带了，这算出来一个值之后呢啊，然后呢？他家角的正弦值，那我们说家角为阿法呢，三阿法 就点根号下一减去 cos 啊，好 𠲎， 呃，这个呢，主要就是出法相的间隙，对 𠲎， 这样系就可以了。 行，呃，这边呢有解析，大家自己观察一下，观察一下看一下，好吧。嗯，零啊，就法相的这灯了看到 𠲎， 嗯， 好，大家自己算一下啊，自己算一下。这个还有一个传统解封法啊。啊，传统解封法 你这个也要写，你看它这个分啊，它这个分，比如说给到这个地方，你算哪啊？你算的这个坐标，你给它算出来，你哪怕你你两个向量都算出来了，给分，然后最后带公式给分，你不要都不写，然后第一份 写完之后第二个呢？只会见个戏，不写了啊，你都往下写，好吧，你们自己算一下。好吧，就有几个同学，个别同学没算出来，自己算一下。我也不算了 啊，你自己先算，你看如果跟大家不一样，然后再观察一下哪地方出错了，好吧。嗯，行，这个就给大家讲这么多啊。