2026扬州一模数学二次函数

十四题，它说这个函数在一到正无穷上面单调递增，其实就说明它的一个 f 一 撇在一到正无穷上恒大于等于零，对吧？它还是一个很成立的问题，只是在这里如果我们直接去求导的话，它就惨不忍睹了，所以在这里我们可以考虑先用换底公式去换底，换完底之后再去进行求导。 所以 f x， 我 们可以先把它写成 loi a 分 之 loi x 两倍的一个 loi x 加一， 这时候我们再对它进行一个求导， f e p x 就 等于 loing a 乘以个 x 分 之一，再加上一个，这个 loing a 加一，乘以一个 x 加一 分之二，那么它要在一到正无穷上的时候大于等于零横成立，那么像这个它是有端点的呀，所以我们是不是可以利用端点去进行一个探路， 先去探一探这个结果。所以你既然想要在一到众无穷上的时候很正，那么你在一的时候是不是就应该要大于等于零呢？所以我们就可以得到 f 一 撇一应该要大于等于零。好，我们就可以得到 loin a 分 之一，再加上一个 loin a 加一分之一，应该要大于等于零， 那么在这里我们可以区分母，由于 a 是 在零到一之间的，所以我们可以知道它是负的，它是正的，那么两边一起乘的话，一起乘以这样的一个两个分母的话，它要编号的，所以我们就可以得到 loin a 加一，再加上一个 loin a， 它是小于等于零的， 所以我们就可以嗯，把它合起来就变成零。 a 加一乘以一个 a， 它要小于等于零，所以我们就可以得到 a 加 a 方加上一个 a， 它应该要小于等于一，当然它还要大于零，那么在这里我们可以解一下 a 的 一个范围，我们就直接解 a 方加 a 减一要小于等于零吧，所以我们就可以解到 a 应该是要大于等于二， a 分 之负， b 减根号下 b 平方减四， a c 五小于等于二分之负一，加上一个根号五。而由于由于 a 自身是有这样的一个范围的，所以我们就可以得到 a 应该是小于等于二分之负一，加上一个根号大于零。 到这里其实我们就已经得到答案了，只不过如果是在做大体的话，你这里还要验证一下它的一个充分性，那么我们怎么去验证它的充分性？这边我们把这里的探路擦掉， 也就是说我们要验证当 a 在 这段范围内的时候，此时这个式子它应该就是恒大于等于零的。 我们想要验证它很正，那么我们是不是可以适当的把它进行一个放小，那么如果把它放小一点，它也很正，它是不是就肯定很正了？所以在放小的过程中，我们可以把这个 x 加一稍微放大一点， 比如把它放成二 x， 那 它整体是不就已经变小了？所以放小完之后，它就变成 loin a 乘以个 x 分 之一，加上一个 loin a 加一乘以个 x 分 之一，那么这样的好处是便于它的一个通分， 所以我们这里通分一下，它底下就会变成 loin a 乘以一个 loin a 加一，再乘以一个 x， 上面就会变成 loin a 加一乘一个 x， 再加上一个 loin a 乘一个 x， 那 么我们可以观察一下这个是不应该是负的，这个是正的，然后这个是正的，所以它的整个分子是负的。 然后我们再看分母，分母我们可以提一个 x， 所以 它就会变成零。 a 平方加 a， 然后再乘以一个 x， 那 么由于这个 a 方加 a 是 小于等于一的，所以我们就可以得到它实际上是 小于等于零的，所以我们就可以正到它这个 x 在 一到正无穷上的时候，它整个这个导数应该是横正的。 当然这道题目作为小题的话，我们是这样探路，探出结果之后，整道题目就已经可以结束了。好。

好，我们来看第三题啊，在平面直角坐标系中， p 点横坐标和纵坐标互为相反数，那么 p 点为平衡点啊，判断是否存在平衡点啊。第一个，若存在，我们设 p 点坐标为 a， 负 a， 设 p 点坐标为横坐标和坐标互为相反数嘛， a 负 a 不 能设 a， a 有 了 m 吧， m 负 m， 那么带进去就行了，所以负 m 应该等于负三， m 减八，所以二 m 等于八， m 等于负四，所以 p 点坐标是负四，四啊，就搞定了。第一个，好，第二个 函数，函数中有且只有一个平衡点二负二，求 a c 的 值，那首先它有且只有一个平衡点，所以二负二带进去应该是成立的，并且它只有一个，那我们就设 还是一样， p 点坐标为 m 负 m 啊，那么带进去就是得到负 m 应该等于 a m 平方加三 m 加 c 啊，它怎么样啊？只能有一个啊， 一个解啊，所以就它，它的只有一组解是多少？二负二，所以把它整理一下，就是 a m 平方加四， m 加 c 等于零，它的唯一的解，所以它的解，解下来应该是什么？解下来应该是 m 一 等于 m 二应该等于二 啊，对不对？然后首先，首先，所以它可以列出两个等量关系，第一个，呃，点二等于零 啊，然后二二代进去，二代进去是不是要成立啊，是不是二代进去也成立啊，就行了啊。呃，或者用 m 一 加 m r 等于。这样子写好简单一点嘛，就是 把这个，把这个 m e， m r 直接带进去啊，就是 m 一 加上 m 二，应该用伟大定律等于 a 分 之 c 啊，应该等于多少？应该等于四负。呃，错了，错错错， m 一 加 m 二应该等于负的 a 分 之 b 就是 负的 a 分 之四应该等于四。第一个，然后用 m 一 乘以 m 二应该等于 a 分 之 c 应该等于 也等于四，所以最后我们就可以求出 a 应该等于多少？负一， c 应该等于负四， 所以最后就出来了第二。好，第二份的第二个，它说若 x 大 于负二小于 n 小 于等于 n， 函数的最小值为负十四，最大值是为四分之七。我们先把它函数写一下， y 应该等于负 x 平方加三， x 减四啊，这是在 d 啊，这一大文里面的，这一大文里面的 a 和 c 求出来是对下面一位有用的啊，是可以用的啊。我们发现 x 等于负二的时候，带进去 y 等于多少呢？负二带进去算一下，应该得负十四， x 等于二分之三，二分之三，怎么样的？对称着的时候， y 等于负的四分之七啊，也就是说这个图像啊，你看 在这个负二的时候，它是负十四啊，负十四，然后呢？这个负的四分之七的。呃，负二分之三的时候， 二分之三的时候，它是负的四分之七在这个位置，所以它的图像应该长这个样子的啊，负二的时候在这个位置 啊，它的范围呢？它它的范围就要在这一段，在这一段，所以这个 n 怎么样啊？ n， n 如果 n 能在二分之三左边吗？不能，如果 n n 在 二分之三左边的话，它就负的四分之一就取不到了， 能理解吧？啊， a 只能在右边，右边的话还不能跑到这边来，跑到这边来的话，你看啊 a 如果跑到这边来，那这一段如果能取到这一段的话，那他的最小值就是在这边取了，不在这边取了，所以他要比这段高，比这段低，所以值只能在哪里啊？在这一段之间，所以 a 应该在这一段， 而这个点算一下这个点应该多少？应该是对称的啊？对称的，这是二分之三，所以他加他应该等于三，所以他是五，所以 a 最后应该是大于等于二分之三，小于等于五的啊。所以最后是这个答案结束。好吧，这是第三题啊，我们过了啊。

大家好，今天跟大家分享的是来自于江苏扬州一模的一个填空压轴题啊，扬州呢是各个区县呢，都是单独的做模拟考试，那么有些题目出的是相当的不错啊，最近看扬州的题比较多， 这道题呢，它的一个最大的特点啊，如果你跳到传统的去寻找动点轨迹的这样的模式来讲，这个题呢，不太好答，我们来看一下，如图，给了一个四边形 a， b， c， d 告诉我们呢， a， d 呢与这个 bc 呢是平行的， 然后呢角 a 呢等于九十度， a， d 呢等于六， a， b 等于三， bc 呢等于四。实际上啊，大家呢，注意观察，这个呢，实际上就是一个我们说的一个直角梯形， 然后啊，告诉我们， p， q 分 别以 a， d， b 呃分别为 a， d 和 bc 上的动点点 p 呢，以每秒三个单位长度呢，从 a 向 d 运动， 然后呢点 q 呢？以每秒两个单位的长度呢，由 c 呢向 b 呢运动 过点 d 做 d， g 呢垂直于 p， q 垂足呢是 g， 让我们求 d， g 的 一个最大值。刚才我说了啊，我说这个题呢，如果你跳到呢寻找地点呃 g 点呢？轨迹的这样一个模式上去，这个题不好解 我们这个题啊，大家呢，非常特别的一点就是要注意观察这个里的数据， 实际上呢，告诉我们 p 点以每秒三个单位的长度呃运由 a 向 d 运动，那么 q 点呢，以每秒呢两个单位的长度由 c 向 b 运动，实际上就告诉我们， a， p 比上 c， q 等于三比二。 那么大家在这里一定要注意啊，我们这个里头的 a， d 等于六， b， c 等于四， a， d 比上 b， c 也等于三比二， 哎，那这个时候呢，大家想啊， a p 比上 c q 等于三比二， a d 比上 bc 也等于三比二，那么我们这个 d p 比上 b q 是 不是也是三比二啊？ 哎，也是三比二啊，这个非常容易求，大家呢，如果不会求的话啊，可以呢做一个比例式，我们设 a p 等于三 t， c q 等于二 t， 那么这个时候呢， d p 就 等于六点三 t， b q 呢，就等于四点二 t， 那 这时候 d p 比上 b q， 大家看这两个一比正好把 t 消掉了，也等于三比二， 比如说这个有啥用啊？大家注意，我们这个里的 ad 和 bc 还是平行的，我们把这个 b d 连上， 我们设这个连上之后呢，与 p q 呢交于点 e， 那 这个时候呢，大家注意，我们这个 b e、 q 这个三角形与 d e p 这个三角形就应该是相似的。为啥相似？这不是一个八字形的吗？我们可以用角的关系证明两个三角形相似， 然后 d p 比上 b q 等于三比二，那么 d e 比上 b e 呢，是不也等于三比二？而我们这个 b d 呢，是一条定的线段， e 呢 正好是这一个固定的分点，你看三比二说明啥呀？点 e 一定是定点。实际上这个题啊，关键你要证明我们这个 p q 是 过定点，这个定点呢，实际上就是呃，我们 b d 上 它的一个定点，呃，分我们这个 b d 啊，为呢二比三两段， 那这个时候啊，我们这个最值就非常好求了。大家看，我们这个 d g e 是 一个直角三角形，我们这个 d g 呢，就应该小于等于 d e， 那么 d e 呢，就应该是 d g 的 最大值，因为 d e 是 一个常数啊，我们首先把 b d 求出来，这是三，这是六，那么 b、 d 呢，就应该是三倍的根号五，是不是？你看一二根号五吗？那么一个是三，一个是六， 那么 b d 呢，就应该是三倍的根号五，那么 b、 d 是 三倍的根号五， d e 呢，等于整个长度的五分之三，所以 d e 的 一个呢值呢，就是五分之九倍的根号五，它也就是咱们 d g 的 一个呢 最大值。这个题啊，刚才我一直强调大家呢，不要陷入去寻找记点的轨迹，记点的轨迹是一段圆弧，能找出来，但是那样的话，这个题目就变得非常非常的复杂了， 实际上我们这一条辅助线非常简单就能把这个题做出来，我们可以调整一下 p 点的位置啊，让记点呢跟一点重合，哎，大概就这样啊， 这个时候就取得了对应的这个最大值，实际上这个时候呢，就是我们的 p q 与 b d 呢垂直的时候， 哎，大家呢也在这里面呢，也可以去计算一些呢，其他的东西，比如说计算 ap 的 长度啊等等的都可以啊，都可以。 好，这个题呢，我们就分享到这里啊，像这类的，呃，没有一些特定的一些规律的这样的一些题目，这两年呢，在中考中也是常考的，其实就是所谓的反套路，反模型， 这个题呢，如果大家要当成逆等线去做，也没有什么好果子吃，也不太好做啊，也不太好做。好了，咱们今天的分享呢，就到这。

这道题目放在十九题其实已经水到家了，我们一起来解决一下这个问题。首先我们对于 f x 进行一个求导， f e p x 就 等于 e 的 x 次方，然后分子求导就 cosine x 乘分母减去分母，求导乘分子减去 sine x， 然后再加上一个，那后面是减，减去一个 a sine x 好， 所以我们就可以把这个 g x 给它写出来， g x 就是 它跟圆函数相加，所以它就等于 e 的 x 次方分之 cosine x 在 加上一个 a 括号 cosine x 减去一个 sine x， 好， 他要在领导派中有唯一的一个极大值，那么也就是说我们要先对他一个求导，求完导之后看他的这个导数在领导派上的一个正负性，所以在这里我们先对他进行求导， g 一 撇 x， g 一 撇 x 就 等于 e 的 x 次方。分子求导负的 sine x 减去 cosine x， 好， 然后再加上一个 a， 然后里面就是负的 sine x 减去一个 cosine x， 它是有很明显的共音式的，所以我们把它提出来，那么提出来的时候，我们就顺便对它进行一个这个俯角公式去把它合起来，所以它就等于负的啊。根号二， sine x 加上一个四分之 pi， 然后后面还剩的是 e 的 x 次方分之一，再加上一个 a， 接下来我们就要研究他这个导数的一个正负性了，我们可以先看前面这个部分，前面这个部分是一个具体的，所以说他的一个正负性是很明显的，所以我们可以画一个数轴零在这 派在这，那么我们知道他是在这个四分之三派的时候进行了一个符号的变更，由于我们带上了前面这个符号，所以我们会发现第一个音势，他应该是在零到四分之三派的时候是负的，在四分之三派到派的时候是正的，然后我们就去讨论后面这个东西， 由于他 x 是 在零到派上，所以我们会发现这个 e 的 负 x 四方，他实际上是属于 e 的 负派四方到一之间，所以讨论的时候我们先讨论 a 是 大于 等于负的 e 的 负派之方的，那么此时我们就会发现他后面这个音势是横正的，也就他从零到派都是正的，那么也就是说此时我们会发现他的整个的正负性就是由他前面这个音势决定的，所以他在零到四分之三派的时候是在递减的，在四分之三派到派的时候是递增的， 我们就可以得到它是没有其他值的，所以这种情况我们应该把它舍掉。然后我们接着讨论第二种情况，第二种情况我们讨论 a 小 于等于负一的时候，如果 a 小 于等于负一，我们会发现后面这个音是它就横负，那么横负的话，我们就会发现啊，它是在零到 四分之三派上面的时候是递增的，在四分之三派到派的时候是递减的，所以他确实是能有唯一的一个极大值的，所以这段范围我们是要的。好，接着我们继续看第三种情况，就是他这个 a 呀是介于之间的，那么也就是说此时他的一个正负性会在之间发生变化， 那我们可以求一下它的根啊，那么这边的话，我们可以很明显求到它的根应该是呃路由负的 a 分 之一，所以我们只要去讨论一下它这个根在这个区间内的一个变化的时候是否符合情况就可以了。 比如说它的根路由负的 a 分 之一落在这个位置的时候，我们会发现这里应该是正的，因为它整个是个递减函数吗？这里是负的，所以整体上来说的话，这一段就应该是负的，这一段就是正的，这一段就是负的，所以它是先减后增再减，它是确实有唯一的一个极大值的。 包括你在讨论到后面的时候，你会发现它跟落在这个区间内四分之三派到派之间也是可以的，只是你不要落在四分之三派上，因为落在上面的话，它们的那个正负性相抵完之后，它一个基值点都没有了， 所以我们就可以写出你 loing 负 a 分 之一，它的一个取值范围应该是要大于零小于派，且 loing 负 a 分 之一不能等于四分之三派好要挖掉一个点。所以我们先解这段，这段就是负的 a 分 之一要大于一小于这个 e 的 派次方，然后我们两边同乘负号，所以负一大于 a 分 之一大于负的 e 的 派次方， 然后再同取倒数，所以可以得到 a 是 大于负一小于负的 e 的 负派次方的。这边的话，我们就是负的 a 分 之一不能等于 e 的 四分之三个派次方，所以就是 a 不 能等于负的 e 的 负四分之三的派次方，所以我们把他，他以及他进行一个合并，就可以得到最终的结果了，就是负无穷到负的 e 的 负四分之三的派次方，并上一个负的 e 的 负四分之三的派次方到负的 e 的 负派次方。 由于整份试卷他的一个最难的题目他不够难，所以这次考试一定是会有高分的，我估计一百四十分以上的同学应该还是比较多的。如果大家觉得其他的题目有困惑的话，也可以在评论区里面提问，我也会给大家去解答一下的。

大家好，今天跟大家分享的是来自于扬州二零二六年一模的一个呢选择亚洲题，这个题目啊，跟二零二五年扬州中考题中的这个填空亚洲题啊，有异曲同工之妙，就是他的坑呢，挖的比较深，题目本身呢，并不是特别难， 我们来看一下今天这个题目啊，如图，给了一个直角三角形， a b c， 那 么告诉我们 a、 c、 b 这个角呢，是直角，然后呢， ca 等于 c， b 等于四线段 c、 d， 大家注意观察啊，线段 c、 d 绕点 c 在 平面内呢，旋转 过点 b 做 ad 的 垂线交射线， ad 呢，于点 e， 告诉我们 c、 d 等于二，让我们求的是 a、 e 长度的一个最大值。 那么这个里头啊，非常重要的一点就是呢，我们这个 c d 呢，它的长度已经给出了等于二，所以我们知道啊，点 d 呢，应该在以 c 为圆心，半径为二的一个圆上， 那么我们要求的是 a、 e 长的最大值。我们发现呢， a e b 这个角呢，等于九十度，所以很多孩子马上就想到了点 e， 应该在以 a、 b 为直径的半圆上。 好了，那现在呢，我们要求的是谁呢？ a e 的 一个呢最大值？ 那么很多孩子会想，那直径最大呀，马上就拿出来选 c， 那 这个题啊，选 c 的 话呢，他就直接就错掉了，为啥呢？ 首先你得确认点 e 能不能到达 b 点呢？这个是关键啊，而我们这个题，恰恰呢点 e， 它实际上就到达不了 b 点，为啥啊？大家注意点 e， 要想到达 b 点的话，那你想一想我们的 d 点应该在什么位置？ 点 e 要想到达 b 点的话，只有一种可能， c a e 这个角呢，应该是等于呢，这个四十五度，但是这个角能不能等于四十五度呢？很显然不能，这个角最大的时候是什么情况呢？大家看，是不是我们这个圆 c 与我们这个 a d 相切的时候， 这个时候就最大了， e 再想往 b 这边运动，运动不了了，因为我们这个 cd 的 长度啊，它的大小是二。 当相切的时候啊，大家看 cd 这个角，这是二 ac 等于四，这是是一个垂直的，所以这个角是三十度。所以实际上啊，我们这一点的轨迹啊，它只是一小段弧，到不了半圆，是这么一段弧， 在这一点， a e 取得最大值，在这边，这一点 a e 取得最小值，那这个时候是多大呀？这个值我们大家非常容易算了啊，这是三十度，那这个角是十五度，如果孩子们对十五度角的这个三角函数熟的话，答案直接就写出来了。 哎，这个呢，在我给大家孩子们做这个 tu 辅导的时候啊，像十五度角，还有呢，这个二十二点五度这样的三角函数值，我是要求孩子要记下来的，你就算你记不出确定的值，求法一定要记下来， 否则的话呢，考场上万一遇到了啊，比较麻烦啊。呃，十五度角的余弦应该等于多少啊？等于四分之根号六加根号二。我们呢，用 ab 乘以十五度角的余弦值就可以了，四倍的根号乘以四分之根号六加根号二，最后算出来呢，是二倍的根号三加二。答案呢，应该是选 b。 题目并不是很难，但是坑呢，是有的，很多孩子掉坑里头去之后啊，这个题就做对了，这是非常扬州的一种考法啊， 这套卷子中呢，填空压轴题啊，很有意思，明天呢再分享给大家。 ok， 我 们今天的分享呢就到这，大家有什么更好的办法？欢迎大家呢？分享到评论区，我们一起来讨论。

欢迎来到迷惑老师为你解惑课堂，今天来看一道与二次函数有关系的应用题。如图，山位于火炮正前方，山顶距炮口的水平距离为五百米，所以 o m 为五百米，山高为两百米，即 a m 等于两百米。第一题，山顶的坐标为五个。二、炮弹飞行轨迹的顶点坐标，求该函数的顶点坐标。炮弹飞行的水平距离 x 为十 s， 达到最大高度 y 等于二点八八， 得出它。第二小问，在一的条件下计算我们炮弹能否越过山顶？ a 是 求外函数的解析式，当 x 等于五时， y 大 于 y 及超过山顶能越过。如果小于二及不能越过函数的顶点式为 y 等于 a， 乘括号 x 点 h 的 平方加 k， 且 a 为零，顶点 为 h k 的。 因为外函数经过圆点一同一，所以将顶点坐标与圆点的代入解析式，既能求出 b 通过一项和合并成一项 a 算的等于负的零点一二满足 i， 函数开口向下， a 小 于零的叠叠数表达的是 y 等于负的零点二化乘以 x 点的点数到十二加二点八八。要判断炮弹能否越过三一，也就是判断 y 值是否大于二，其当 x 等于五十，代入解析式，算出 y 的 值与二比较小于二三的高度，因此 炮弹不能越过山顶。已知调到炮弹后的运行轨迹抛物线为等于单四，得知炮弹的最大伤害半径为两百米。在山的一侧，距离十五百米的点处有居民区，点 n 为居民区，要求炮弹落在山顶与居民之间。一个是 m 和 n 之间，既要越过山顶，又不能影响居民区由底在山的一侧，距山顶的水平距离十五百米 有点 n， 居民区则 o n 等于二十来米。已知炮弹的最大伤害力为两百米，要求不能移向居民区且越过山顶，所以炮弹必须落在距居民区的安全距离左侧两百米，也就是总的二百米减去两百米杀伤力，所以十八百米为炮弹落下的安全距离。

这类题堪称中考二次函数的压轴王，同时啊，也是高频考点，百分之九十孩子呢，都不会做，为啥呢？因为很多孩子面对平行四边形的存在性问题，他不知道对点公式，所以说呢， 千万不要算到崩溃，老师今天用最简单的方法叫做对点法，教你彻底拿下平行四边形存在性的这类压轴题。好，我们来看题目。 首先我们来看一下啊，这个题的大背景我不用多说，就是抛物线对吧？其中呢，它有一个特征是 a 圈起来啊， bcmn， 我 问大家第一个问题啊，这是一个非常重要的点，请问 平行四边形 b， c， m、 n， 如果我是这么写，它有什么要求吗？听好了，它一定你的平行四边形是 b c， m n 或者是 b c m n， 它是有顺序的， 听懂了吧，但是如果题目中它这里明确的说是这样子啊，叫做 b c m n 为平行四边形，它是这样用顿号给你连接的。那么这一类题的一个典型特征就是什么分类讨论 无顺序，也就是说啊，你是 b c m n 可以， 或者是 b c m 等等等等都行， 听懂了吗？啊，所以说教给孩子们啊，拿到题目审题的时候，这是非常关键的一步。好，紧接着我们来看一下 第二点，第二点呢，他这里说了啊，你看，抛物线解析式给到了，其中呢，我们告诉你， b 点的坐标是能直接表示是零，逗号负三 是吧？然后呢， c 点的坐标用我们的什么英式分解， x 加三乘以 x 减一等于零，对吧？ y 等于零，所以 c 点坐标呢，也能出来是负三逗号零啊，这是我们的负三逗号零。 好，那你会发现这个平行四边形的两个点 bc 都已经知道了，那么接下来我们来看一下剩下两个点怎么找， 其中呢？有一个点是在抛物线上，一说到抛物线，大家应该都很清楚，干嘛 无非就是 a 逗号 a 方加二， a 减三，是不是它就是一个抛物线上的解析式的表达？好，这是我们的 m 点，紧接着呢，我们来看一下 n 点在哪啊？ n 点呢？是在 a 抛物线的对称轴上。好，那么大家告诉我，在解析式确定的情况下，请问 n 点的什么坐标是固定的呢？没错，就是我们的对称轴 x 等于负的二， a 分 之 b， 也就是负的。什么呢？二 分之 b 是 二，答案就是负一，所以说对称轴上的这条线是横坐标等于负一。 ok， 那 么我们的 n 点呢？就在这上面来回移动了。 好，那现在我问大家一个问题，你告诉我 m 点难确定还是 n 点难确定？很明显，你 m 点是这条抛物线上面随便跑的一个点，所以说我们要干嘛？听好了，我们要找一个 易得三角形，而这个三角形由谁组成呢？肯定你不找 m， 因为 m 不知道它在哪，是不是相对来说， n 点是比较轨迹比较清晰的，就在这条直线上，对吧？我随便先画一下啊，假如这么一个三角形 好，大家会发现一个什么点呢？当你这么一画，因为我们知道一个平行四边形是不是由两个三角形组成的，对不对？我既然这么一画，那你告诉我 m 点大概率在哪里呢？是不是有可能是这么去画的？有可能啊，先大概画一下，是不是这样的一个情况， 对不对？这是一种情况，还有可能呢，是这样子去画的，对吧？如果 n 点是活动的啊，它不是固定的，比如说有可能是这样去画的一个情况， 对吧？这是 m 点，是不是还有可能怎么画呢？还有可能这么去画，大家先大致了解一下，三角形在这摆着，你的那个是不是这样去画了一个，然后这个点呢？恰好在抛物线上， 各位听明白了吗？所以说呢，这个题我们找到了这个易得三角形，然后给他干嘛？翻一下，翻一下，翻一下，就能把平行四边形是不是先拼凑出来， 是不是？好，所以说这一步呢，大家先了解就可以了。好，接下来整个题目最重要的核心来了，我问大家，像这种两个动点去划平四边形是难，还是我把这个几何问题 转变成代数问题难呢？很明显，你会发现化是一件特别难的事，因为你这个 n 点实际上也是一个动点，是不是也不确定？那接下来我们整个这个题最核心的知识点我来了啊，就是如何把几何中的平行四边形去给他做一个代数化的操作。 ok， 那 这里呢，我给大家讲一个叫做对点法的东西，什么叫对点法呢？我来随便举个例子啊，比如说这里呢，我们来看一下，这个三角形是 b、 c、 m、 n， 这个平行四边形。好，根据平四边形的性质叫什么？叫做对角线互相平分， 对角线相互平分。 ok， 所以 说我连接它，连接它。好，你告诉我什么特征呀？是不是你这个对称中心既是 b 和 m 的 中点，也是 c 和 n 的 中点呢，对不对？好，那这里我就找到了 o， 为什么呀？是 b m 的 终点，同时 o 也是什么 c n 的 终点，有没有问题？好，没有问题的家长我们继续来探讨。您发现，说到终点，终点，我们就要提一个东西，叫什么？对，叫终点。公式 在初一的上学期，其实我们是简单了解过的，你比如说啊，告诉你 a m b， 请问 m 是 他们的中点怎么办？是这段距离等于这段距离。我来写一下，就是 b 点的数值减去 m 点的数值，等于 m 点的数值减去 a 的 数值。 所以我们钟点公式是有个推导过程，是 x b 减 x m 等于 x m 减 x a， 对 吧？所以说，我们得到了一个把它挪过来是二倍的 m 的 横坐标，等于 a 的 横坐标加 b 的 横坐标， 对不对？好，拿到了这个式子，我们就得到了什么？你看是不是 m 点的横坐标等于二分之 a 点的横坐标加 b 点的横坐标， 听懂了吧？那你会发现，哎，很关键的信息来了，就是中点的横坐标等于二分之什么？一左一右两个点， 那它放在平面上是不是也是如此？我来举个例子啊，比如这里是 o 点的横坐标，这里是 b 点的横坐标，这里是 m 点的横坐标，大家告诉我它是中点的话是什么？是不是 等于二分之 x b 加上 x m， 对 吧？同样的道理， o 点还是 c 和 n 的 横坐标，那就是二分之 x c 加上 x n， 各位能不能看懂？ 能不能看懂？可以吧。那你想，既然横坐标是这样，那请问纵坐标呢？ o 点的纵坐标一横一纵两个坐标组成吗？是不是就等于二分之 b 点的纵坐标加上 m 点的纵坐标，再有二分之 c 点的纵坐标加上 n 点的纵坐标？ 能理解？好，这两个公式是我们对点法最核心的两个公式，由竖轴给大家推演到整个坐标系，你看我画一个坐标系， 大家能理解吧？好，那接下来我们来总结一下对点法的核心，对点法的核心是什么？来，就看这个图去说话哈，就是你这两个分子，你看二分之它等于二分之它，所以什么 b 点的横坐标加上 m 点的横坐标加上 n 点的横坐标，对不对？与此同时，纵坐标 b 点的纵坐标加上 m 点的纵坐标加上 n 点纵坐标， 各位是否清楚了解？那现在我随便给大家画一个，你看你是否能直接得到啊？比如说我们画一个勾圈 k、 s， 怎么办？好，我们直接写，看着图就能写，对不对？就是 j 的 横坐标加上 k 的 横坐标，加上 a 的 横坐标，对不对？好， j 的 动作标加上 k 的 动作标，等于 q 的 动作标加上 a 的 动作标， 明白了吗？所以说呢，我们在存在性问题当中，大家只要找到谁的对点是谁，他就一定能组成什么？根据平四边形的判定，对角线互相平分的四边形是平四边形， 对吧？你答案是不是就迎刃而解了？好，我讲这个对点法跟这个题的必然联系是什么呢？来，各位 好，那么根据对点法呢？我们现在就可以干嘛把这个几何问题转化成哎，代数问题啦？好，我们来看一下怎么分类讨论啊？首先我们重新来画一下那个 n 点呢，大概在，比如说在这个位置，对吧？ b c n 呢？如果长成这样， 好，大家现在自己也想象一下，对吧？那么你怎么分类讨论呢？很明显，我是不是拿这条边去当对角线，对吧？然后呢，那中点就在这里，然后你可以构造一下那个 m 点是不是大概在这个位置，对不对？好，那我们来写一下啊。第一种情况，假如 c n 为对角线， 那么根据你的对点法，你能得到什么呢？想啊， m 和 b 是 不对点，那么我们可以得到 m 的 横坐标加上 b 的 横坐标，等于 c 的 横坐标加上 n 的 横坐标， 对吧？好，然后你会发现，根据这个式子我们来看啊， b 的 横坐标是几？因为 b 点坐标一开始是求了的， b 点坐标是几？是不是零，逗号负三， c 点的坐标是不是负三，逗号零， 所以说 b 点这里呢，我们可以带进去是几零等于好，然后呢， n 点的横坐标是负一，对吧？对称轴能理解，对称轴是不是负二， a 分 之 b， 答案就是负一，对吧。然后呢， c 点的横坐标是几？是不是负三？好，大家现在告诉我能否求出 m 点的坐标， 完全没有问题，对不对？所以说 m 点的横坐标就是负三，负一，是不是负四？那么 m 点的横坐标出来，那么你告诉我解析式在这里是不是纵坐标也能求出来，对不对？我们来求一下啊， m 点的纵坐标的话，就是负四，带进去啊，是十六减去二，四得 八，然后再减三，所以答案就是八减三十五，好，因此第一个答案呢，它在抛物线上，且我们发现它的动作标，你验证一下啊， m 的 动作标加上 b 的 动作标，等于 c 的 动作标加上 n 的 动作标，我们来验证一下是否成立， 对吧？这里是五五，加上 b 的 动作标是负三，就等于二，这里 c 的 动作标是零， n 的 动作标是几，是不是也能求出来，对吧？当然这个这个题它没有求出 n 的 坐标，但大家应该知道 n 坐标是几就是二， 对吧？所以说这个时候 n 的 坐标就是我们的负一，逗号二， m 的 坐标呢？就是几四负四，逗号五，好吧，这就是符合条件的 m 坐标就出来，这是第一种情况，好，那么第二种情况我们再来画个图， 对不对？是不是他可以当对角线？他当对角线，那个中点是不是大概在这个位置，对吧？ n 点你可以画一下，是不是这样一个，是不是这样一个平四边形？好，再根据对点法我们来再继续写啊？第二种就是当我们的 bc 为对角线， b， c 是 对角线的话，可以得到什么呢？你看图说话， n m， 那 就是 n 的 加上 m 的 等于 bc 对 点法， c 的 加 b 的， 好，往里带一下呗。 c 的 加 b 的， c 的 加 b 的是负三，对吧？然后这里是负一嘛？因为 n 点就在这条直线上，对不对？那这里是几？是不是 x， m 就 等于负二， 是吧？他出来了以后，你再带进去纵坐标，对不对？所以说纵坐标是不是又有了，对吧？负二带进去是四减四，减三，是不是减三？所以这个时候 m 点坐标是负二，逗号负三，对吧？因为他只求 m 点坐标好不好？这是第二种情况，好。第三种情况，谁当对角线？ 是不是他去当对角线？他当对角线的话，你会发现那个点大概就在这个位置，对吧？画一下图大概就在这个位置， 图是很难画的啊，但是，所以我就说嘛，几何法是很难画的，但是你用代数思维对吧？你去验证一下这个点是不是在抛物线上就可以了。 ok， 好， 怎么去求呢？好，我们来写一下啊。好，第三种情况，谁当对角线？是不是我们这里的 b n 当对角线， b n 是 对角线， b n 对 角线的话，我们就可以得到什么呢啊？ b n 对 角线就是得到了 a， c 的 加上 m 的 等于 n 的 加上 b 的， 对不对？然后呢， n 的是负一， b 的是几呢？ b 的 坐标是零，对吧？ c 的 坐标是负三，加上这里是几，算一下， 负一，这里应该就是正二，对不对？所以 m 坐标就出来了， x， m 就 等于正二。好，你再带进去取 y 的 坐标， y 的 m 等于几？二带进去是四加四减三，但是五，对吧？所以说第三个答案呢， m 点坐标就是二，逗号五。 ok， 以上呢，就是完整的一道题，直接写答案，根据我刚才所讲的什么方法对对点法来解决什么 平行四边形中的存在性问题，当然大家呢，还是要验证一下啊，验证啥？你把 n 点坐标求出来，看他是否能满足，纵坐标也满足，对吧？同时满足的话，发现三个答案是都可以留下来的。好，各位，关于对点法，你学会了吗？

大家好，今天跟大家分享的这道呢，来自于江苏扬州一模的填空压轴题，非常的不一般啊，属于二班的一个题目，那这个题目最大的特点就是什么呢？孩子，按照传统的思维啊，这个题目是不太容易能够解出来的，我们来看一下这个题目， 如图，四边形 a、 b、 c、 d。 中角 b 等于角， c 等于角 d， 且角 b 等于锐角，那就是 b、 c、 d 三个角都是锐角， c、 d 等于 a， d 等于三。问我们呢，当 bc 取得最大值的时候， ab 等于多少？ 那么这类的动点的最值问题呢？很多孩子会有一个先入为主的一个观点，就想办法去找呢这个里头动点的一个轨迹。你像这个题啊，有很多孩子有可能就会这么做，假设 a、 d 或者 c、 d 不 动， 然后呢，比如说假设 c、 d 不 动，那点 a 呢，就在以 d 为圆心半径为三的圆上，当然只是一段圆弧啊， 然后呢，去找 b 点的轨迹，这个题呢，如果这么去做，基本上就无解了，因为这个 b 点的轨迹啊，不在咱们初中可以研究的范围，不好找。 那我们怎么做呢？我们大家要根据这个图形的特征来，我一直给大家强调啊，不要掉入呢各种模型啊，各种大招的套路里头去，套路是要掌握的，但是你解题的时候要活学活用， 那像我们这个题啊，你通过这个图形的特点呢，实际上我会有一个联想，你看角 d 和角 c 相等， 那我非常容易联想到啊，那这个呢，我可以稍微补一补，就会构成一个等腰梯形，所以我把 da 延长过 b 点呢，再做 c、 d 的 平行线，这时候呢，我会得到一个等腰梯形 p、 b， c、 d， 那你看，我们这里角 b 和角 c 还是相等的，所以我还可以构建出一个等腰梯形， 你看，哎，这个 q、 b， c、 d 也是一个等腰梯形，构建完这个之后呢，我仍然找不出来呀。呃，解决这个问题一个有效的方法。然后我分析这个图形的特点，大家看，这里的角 q 加上角 b 应该等于一百八十度，两条直线平行，同旁内角互补嘛，同时啊，你看角 p 加上角 d 也等于一百八十度，那说明 p 和 q 这两个角相等的， 对吧？你看这还有一个对顶角，就是 q， a， d 等于呢这个 p a、 b， 那我们呢，实际上这两个三角形就是相似的，那我就想到啊，用这个相似三角形有没有办法呢？建立一定的关于 bc 和 ab 之间的数量关系， 那我们就什么呢？因为你要问我的是 bc 最大是 ab 的 值，那我干脆啊，在这里就设 ab 的 呢，它的大小呢是 x， bc 的 大小呢，我们给它设成 y， 那 这个时候呢，大家看啊，由于 q、 b 和 dc 是 相等的，所以这个 a q 啊，应该就是三减 x， 然后呢，我们这个 pd 应该等于 bc， 所以 它应该等于 y， 那 么再加上 ad 等于三，所以这个 pa 的 长度啊，应该就是 y 减三， 这个 pa 这小段的长度，哎，就是 y 减三，你看这两个三角形相似，那么对应边， x 和三是对应边， y 减三和三减 x 是 对应边， 我们就可以利用这个建立出 y 和 x 之间的一个函数关系。那这个函数是什么样呢？我们化解一下，看一下啊，然后呢看一看能不能解出来， 我们呢把这个比例式呢带进去啊，你看 y 减三比上三减 x 等于 x 比上三，交叉相乘，整理一下就是 y 等于负三分之一， x 方加 x 加三。哎，到这为止，我们发现呢，这个 y 确实有一个最大值， 因为我们这是一个开口向下的二次函数，我们呢将其做一个配方，那负三分之一的 x 减二分之三的平方加上四分之五，哎，到这我们可以断定啊，这个最大值是存在的，因为我们这个 a b 啊，它就是大于零，这是一个条件， 那这个时候呢，我们就可以得出来啊，当 a b 等于二分之三时，我们这个 bc 呢就取得了，呃，对应的最大值，最大值呢是四分之十五，所以这个题最后的答案呢就是二分之三，我们就搞定了， 大家呢在解题的时候，千万不要呢陷入呢这个固定的模式和套路的，去见到动点最直就想找轨迹，有些题目啊找不出来，这个题呢就是比较明显的一个啊， 大家还有什么好的解法？欢迎呢大家拼分享到评论区啊，咱们大家呢一起来讨论今天的分享呢，就到这里。

有点东西啊，有点东西啊！二零二六年名校联考三的二次函数题，那么这个题的话，如果说在考场上，针对于我们朔州的孩子，你能够在考场上把这个题拿到满分，说明你对二次函数的本质方法、 模板了解的非常深，了解的非常透。好，郝老师来给大家整体录一下这个题，那么这个题的话，拿到手一眼看上去就考的销售利润。 前两问的话，我们大部分孩子都能拿到分数，但是最后一问，他既考了不等式，又考了最值，又考了这个函数，解析问题，需要画图去理解他的本质模板方法。好，来看题，看啊， 非常好的一个题啊，来看前两问的话，呃，星期一和星期二没有什么太大的 信息啊。星期三来看读题。销售售价为五元每千克，那么它的销量为三百四，每提高售价一元，量就减少二十千克，日销量就减少二十千克。第一问，他说 卖大米啊，卖大米每天的数量为多少？他说用 x 的 未知数带出式来表示，那你看我们这个售数量，它是从三百四开始去减少的， 怎么减少呢？每提高一元就减少二十千克，那提高了多少元呢？现在售价变为 x 元，那提高多少呢？可就是提高了 x， 减去从五开始去 提高的，那提高了这么多元，从三百四开始去减少了吗？这是你提高的钱，那每提高一元，减少二十，那用 x 减五，再乘以二十，这不就是减少的？我们把它化简一下，最终是负二十， x 加上四百四十， 一定要加括号，因为后面有单位。好继续来看第二个，他说求 y 关于 x 的 一个函数关系式，那么我们直接就 y， 它是一个销售额，销售额它是等于 售价乘以一个量，负二十 x 加上四百四十，我们把它移化减，它最终等于负的二十 x 的 平方加上 四百四十 x， 这是它的函数关系式，那么函数关系式后面要跟它的曲值范围，它的数 x 是 大于等于五，好，大于等于五，我们上期中考求出来函数表达式，一定要在后面跟上我们的 x 一个范围，资本量的一个范围。好，这是第一问，第二问的话，他说他要求 x 啊，售价不得超过十五，那么刚才我们说 x 大 于五等于五，现在是小于等于十五，在这个区间要求 y 的 一个最大值，最小值， 那无非就是把我们刚才的函数关系式把它变为零点式。配方取最值的一个过程，对不对？好， 等于 y 等于负的二十 x 平方，加上四百四十 x 配方，提出来负二十 x 平方，减去负二十乘。什么东西是四百四？那就是二十二 x 配一次项系数一半的平方，负二十 x 平方减二十二 x 加十一的平方，减十一的平方，最终负二十倍的 x 减十一的平方。把负十一的平方踢出来的时候，一定要乘以前面的系数，那就是加上幺幺幺是一百二十一，乘以个二十，那就是一个 二四二零。好的三步走，因为负二十开口小于零，所以 y 随 x 增大而减小。最后当 x 等于十一的时候， y 就 等于个二四二零，这是一个 最大值。取零点的时候，我们取到一个最大值二四二零圆好结束。那么最小的话你会发现，因为我的范围是五到十五，那么什么时候取最小呢？就是当 x 最小的时候， y 也就最小，因为开口是小于零的，开口是朝下的，所以当 x 等于五的时候，我们 y 取到 mini 取到最小，把 x 等于五往进一带，他取得就是一千七百元，这是我们的前两本，好来看最后一本， 呃，他说政府为保护传统作物，销售过程中每日给农民专业合作补贴 a 元，这不是我们之前考过的 那个百校联考一的试卷平数四种考的吗？啊？补题 a 元是不是就，哎，你需要加上这个 a 元，或者减上这个 a 元，你需要看题去，他说这个日收入， 日收入比如说是个 w 等于个日销售额，不就是我们刚才讲的那个函数吗？ y 加上每天补的 a 元，他说这玩意不得低于两千五百元，那他不就是应该是 大于等于两千五百元吗？他说在这个区间最多有五个正整数的解，五种不同的单价可以达到这个要求。请直接写出 a 的 最小值，直接写出 a 的 最小值。那么我们来看这个题，其实这个题的本质你需要移一下项就行。 那因为 y 我 们刚才求出来是这个函数关系式，所以我们把它一项整理，把 a 等于两千五百减去 y 一个项就行了，然后把它一整理，它就是 a 大 于等于一个嗯，负的，我看， 呃，把它一整理，就是一个二十倍的 x 减十一的平方，再加上一个八十，老师，过程就不显啊。那你看，其实我们现在要求 a 的 一个最小值，我在课上也说过，遇见这种问题，它的本质是 方程不等式，方程看的是交减，不等式是看的高低，所以这个二次函数现在变成开口向上的函数， 然后开口向上的函数对称轴是 x 等于十一，他要在这个范围之内要找五个不等。五个这个正整数解，那你看 那 a， 他 其实是 y 等于 a 的 函数，右面是 y 等于一个二次函数，那 y 等于 a 的 一个函数，它其实一根横线，横线， 他要在这个横线范围之内找五个正整数起，那十一我们就靠组，比如说是十，再往左是个九，十一往右是是十二， 再往右是个十三，那么在这个区间内我就能找见五个啊正整数起，他现在记的要求不低于两千五，其实我们就已经转化成函数问题了，他要在这个范围之内啊 a 必须得是大于等于这个区间的， 你会发现其实这就是一次函数和二次函数整那个不等式的一个范围之内的，所以 a 大 于等于这个区间，我们要取的话，你会发现 它要求 a 的 最小值。那你看，我要把 a 这根线再往上平移的时候，它就有可能是超过五个节点了。所以说我们其实求 a 的 最小值，无非就是把啊 x 等于九 或 x 等于十三往这个函数上一代就结束了。你代九或者代十三的话，其实都是一样的，因为九减十一就是个负二，十三减十一也是一个二，其实这个开平方不影响。那么其实它的本质啊，就是 我再说一次，就是十一对称轴为十一在这个区间之内，并且 a 必须得大于，等于二次函数这个范围级类的奇大于这个范围要取五个 同的一个起，而且是正整数，那么就是九到十三。九到十三要求 a 的 最小值，那也不能超过九，也不能超过十三，所以你把九往进一站就结束了。往进一站 a 大 于等于，就是啊，一百六十， 我们这是一个二的平方，是四四乘以二十是一个八十，八十加八十就是一个一百六十。好，这是这个起结束。

好，各位啊，加薪一模的第二十三题，二，参数性质的综合题呢？啊，这个分类讨论呢，还是有一点技巧性的，老师来讲一下，先思考一下。第一问比较简单，对称轴呢，就是一。 第二问，你读下啊，题目读下来，你发现 ab 点的重坐标是不是都是四，对吧？那 ab 的 距离，我只要把它的横坐标求出来是不就行了？所以另外等于四就是负 x 方加二， x 加 c 等于四， 整理成一元二次方程，最后就是 x 方减二， x 等于 c 减四，配方加一加一，所以就是 x 减一的平方等于 c 减三， x 一 就等于根号 c 减三加一， x 二就等于负根号 c 减三加一，有没有问题？ 那因为他们重坐标一样，这两个点之间距离是不是用横坐标减一减大的减小的，所以这个距离呢，就是 x 一 减 x 二就两倍的根号 啊， c 减三大于二，所以这个不等式解出来， c 大 于四啊，有没有问题？好，这第一小问，那第二小问啊， ab 等于四的话，又因为他们的重坐标都是四，所以他们是关于对称轴对称的， 所以每一个点到对称轴的距离是不是就是四的一半？二，所以你可以设 b 点在对称轴的右边，所以 b 点的坐标对称轴是一，相当于往右移两个单位，横坐标就三， 三逗号四，所以你把三逗号四带到这个二次函数里面，这个 c 是 求得出来的，所以这个二次函数，这个 c 求出来七，二次函数马上写一下， 负 x 方加二， x 加七，所以这个表达式是确定的。那现在啊，在这个范围里面，它的最小值，那我啊，怎么来分类？首先开口向下，对称轴上是不一定取到最大值， 所以这个最小值不可能在对称轴上取到了，只可能在这两个端点啊。那我们讲开口向下的时候，离对称轴越远啊，这个是不是 y 越小？所以这里我们只要分一类就行了，就是先考虑张当这两个端点，关于对称轴对称， 他们两个加加啊，除以二等于一的话，正好是 t 等于零，所以第一类 t 小 于等于零时 啊， t 小 于等于零时，那也就左边这个端点啊，离对称轴离得远，所以这个最小值就在 x 等于 t 的 时候取到，带进去就是负 t 方 加二， t 加七就等于二。然后你解出来啊，解个一元二次方子，这个 t 一定要小于这个小于等于零的。好，那第二种情况，那就是 t 大 于零了 啊， t 大 于零时，那是不是右边这个端点离对称轴离得远一点，所以最小值就在 t x 等于 t 加二的时候取到，所以带进去负 t 加二的平方加两倍的括号， t 加二加七等于二，同样解出来，你要看看 t 有 没有大于零。好，最后啊，理解一下，这个自己算下来啊思路讲一下。

二百米减去两百米杀伤力，所以十八百米为炮弹落下的安全距离，不会影响到军区。等于 a s 平方加 b， s 加 c， a 不 得零，经过圆点不零，不能带入 c 等于零，所以解析式为， y 等于 a， s 平方加 e s 由图像可得 a 小 于零，开口向下 d 要越过三点，那么解析式代入点 a， 当 x 等于零，开口向下 d 要越过三点 s 五 a 加五， b 大 于二，要求 a 的 曲尺位，用 b 表示， 第一个曲尺位一定找到，要不影响距离，即炮弹要落在 n 的 左两百处，也就是二十减两百米。最后落在 x 等于十八百米时， y 要小于零，保证落在地下。 a 乘十八平方加 b 乘十八，小于零，得三百二十四， a 加十八， b 小 于零，求 a 的 范围由 b 表示，得 b 小 于五十八， a 第二个重要的区域范围已经找到， 按该方向画数。轴大于小于 零点四减五， a 小 于负十八 a， 所以 负十八， a 大 于零点四减五。 a 一 项合并同一项算的 a 小 于负的六十五分的二，得 z， a 的 值为。

已知函数 f x 等于 e 的 x， 四方是 x 小 于等于零时， x 大 于零时小于 x 加 e， 设 a， b， c 是 三个不同时数，满足 a 小 于 b 小 于 c， 后面三个连等下列选项正确的是，那本题的话呢，是涉及到负函数零呃，零点问题， 那三个连等，实际上这个条件的话呢，等价于 f， f x 等于 k， 有 三个不同的解 abc， 这个 abc 呢，对应的分别是输入值 x。 那 对于负函数零点问题，我们通常先对内部的这个函数设为整体，令它为 t t 的 f x。 另外的话呢，外层函数就是 f t 等于 k。 那么接下来呢，我们把这个分段函数图像画出小于等于零的话呢，是指数函数，呃，横过零这个曲线大于零的部分呢，是对数函数横过一一这个点，并且呢过一分之一零连起来单调递增。 那么我们知道负函数零点实际上做两次零点问题。对于本题的话，那横坐标首先是 t t 时对应的函数值是 k， 那 么要使得最后解得的 x 有 三个，所以从图像来看， 必须要保证有两个 t 才能对应的话，呃，解出三个不同的 x， 那 么这个保证有两个 t 的 话呢，可以得到 k 的 范围， k 的 范围呢，应该是大于零，呃，小于一当然等于也是可以的， 其他开的开的范围呢，是并不能保证解出有三个 x， 例如小于零小于等于零时的话呢，是有一个 t， 不 管怎么去画这个 t 的 f x 不 可能有三个焦点，也就是解不出三个 x。 同样的，大于一的时候，也是一样只有一个 t， 因此的话呢，必须有两个 t， 那么而且可以得到 t 这个范围的话呢，两个 t t 应该是呃小于零的，也就是画出 y 等于 k 这个直线，它的焦点横坐标 t 一 t 一 必然是小于零的，另外一个的话呢， t 二 t 二的话呢，它必然是大于一分之一， 小宇等于一在这个范围内。当然呢，这个 t 的 话呢，我们去看它应该是可以也等于零，也就是 k 如果等于一的时候，这个 t 刚好是等于零， t 二呢，刚好是等于一。这种情况下来，我们再看内乘函数 t 的 f x， 那 么横坐标变为 x， 纵坐标呢？变成 t， 这样的话呢，我们去画出 y 对 t 一， y 对 t 一， 跟它有一个交点，一个减，那么在这里，那么我们知道这个的话，横坐标应该对应的是 b， 另外的话呢，还有是 y 对 t 二， y 对 t 二的话呢，对应的是两个 x 分 别这个是 a， 另外一个横坐标的话呢，应该是 c， 所以这个时候的话呢，从图像上直接可以看出 fa 是 对 f c 的， 因此 a 选项是正确。再来看 b 选项， b 选项是呃，研究 a 和 c 的 关系，那么可以知道 e 的 a 次方 带进去和这个就是根据 a 选项 f f a 的 f c， 呃，那就 e 的 a 次方等于 f c， c 也是带入呃大于零这一部分应该是等于洛根 c 再加上 e， 那 么这样一来的话呢，洛根 c 就 应该是等于 e 的 a 次方再减 e， 用切线收缩，它应该是大于等于 a 的， 那么这个等号的条件可以取得，也就是 a 等于零时取等，所以 b 选项也是正确选项。再来看 c 选项， a 加 b 的 最小值为二倍，根号 e 减 e， 那 么可以知道这个 b 的 话呢， b 的 话呢，是大于零，小于小于这个 等于一分之一。好， a 的 话呢，我们发现它能取到呃很小的一个负数，所以 a c 选项是取不到，呃，没有最小值，所以 c 是 错误。 如果将 y 点 t 二直线向下平行，那么 a 的 话呢，无限的向左去靠，那么 a 的 话呢，就会非常的小，所以并不是存在最小最小值呃，最后看 d 选项 d， 这样 a 加 b 加 c 和的最大值为一加一分之二。呃，那么我们知道这个如果 t 一 等于零时， t 一 等于零时的话呢， b 是 有最大值的， b 的 最大值就等于一分之一。如果 t t 二 t 二等于一的时候的话呢，那么这个 a 加 c， a 加 c 就是 取到最大值，也就是等于一的，呃， a 就 等于零， c 的 话呢，刚好等于，所以加起来最大值是一，那这样的话呢，呃，三者加起来最大值应该是一，加上一分之一，所以 d 选项也是错误的。 那本题的话呢，是负函数零点问题，相当于是呃是做两次或者是三次零点问题，呃，逐步的去由外向内 一个基本方法，呃，换元法对内次函数看成整体，然后呢，相当于做两次。联想问题去结合图像来分析，本题的话呢，关键是画图去分析，从而去判断选项。

一道菜，不论是清蒸、红烧还是水煮，我们肯定要知道菜的原材料是什么。同样的一道题，不论他以什么样的形式所考察，我们也要知道他考察的知识和运用的数学方法是什么。 那么今天我们就通过二零二六年南京各区一模卷当中的二次函数，把它做一个横向的剖析。这一次的一模二次函数的难度我个人认为是有所下降，三角函数的难度是有所上升的。 具体在各区当中呢，觉得玄武区的是小于鼓楼区的，小于建业区的，小于联合体的，小于情怀区的。当然这只是我个人的观点。具体这五个区，在二次函数每一问所考察的知识和原理背后，我们可以总结出什么样的套路呢？那我们一起来看一下。 第一类考法呢，就是通过消参来求解析式，或者说求 a、 求 b、 求 c、 求对等轴、求顶点、求与 x 轴的这个焦点。那么典型的特征就是题目给定你解析式当中有多少个参数，那就需要给你多少个条件。当然顶点的话算两个条件，如果给你三个参数，只给你两个条件， 那么我们就不能够把 abc 全部求出来，但我们可以消除两个参数，剩余一个参数。言外之意就说 abc 可以 用其中的一个去表示另外一个，那么消原的具体的方法其实也很简单，比如说如果你要用 a 去表示 c 的 话，那么就可以把它理解为与 b 是 无关的， 与 b 无关，那我们就要让 b 消失，让 b 消失，我们只需要把 b 用 a 或 c 表示出来，带入到其他的等式当中，这也就是我们所谓的带入消原。那具体我们来看一下前面屏幕当中涉及到的内容。比如说选五区的第一问， 他就是告诉你 p 的 坐标为二三，又知道图像经过顶点一四，我们刚才说了，他这里有三个参数，那你顶点一个算两个， 再加上一个，是不是就相当于有三个条件了？三个条件对应三个参数，我们一定可以把它的解析式求出来。当然具体求解的过程当中，我们通常用顶点式再加其中一个点带入，就可以给它求解出来了。 再比如说二十五题的第一问，同样的他只有一个参数，所以题目给了你一个条件，那你看也是直接把它带入进去，就可以求解出来。 再比如说二十六题联合体的第二问，你看在这一问当中，题目有三个参数，但是只有两个条件，所以显然不能够把 abc 全部求出来，但是我们可以求出 a 和 c 的 关系，这就是三个参数两个条件带来的结果，所以这是一个常见的考法。 第二类考法就是二次函数区间内的最值问题。比如说像玄武区的第一大问的第二小问，以及鼓楼区的第二问，他考察的都是二次函数最值问题。 关于含餐二次函数最值问题，我们曾经在视频当中出过八道题，基本上所有的最值问题都离不开这八道题的影子，而这两个区所考察的二次函数最值。这一次考的又特别简单，因为它是不含参数的，因为 abc 都已经知道了，解析式都已经知道了，在给定的区间范围内去求你的这个解析式的话，那显而易见这个难度更低。这是第二类， 第三类考法呢，就是同一函数的 y 值比大小，那么我们有三种常见的方法，第一个呢是代数法，第二个是数形结合法，第三个是图像法。这也是很多中等生在过去可能做二次函数压轴的过程当中，最后一问不敢去碰的 一个典型的特征，但实际上大可不必。我认为对于很多中等生，我们是可以教他一些方法的，因为这类题目一旦考的难度不是特别大的时候，中等生是完全可以去尝试解答你。比如说尤其是像我们的数形结合法， 通过比大小的问题，把它转化成点到对数轴的距离的大小，然后列出含绝对值的不等式。这个对于学生的数学思维要求没有去到那么高，对于学生的计算能力要求也没有去到那么高。如果真的考察这一类题型的话，我们通常可以运用这个方法去做尝试，所以我觉得这也是很多中等生在最后一个阶段可以提分的机会点。 那么最后一类呢，也是相对来说比较难的一类，就是关于二次函数图像的运动，以及对于函数的一些性质的理解。那典型的特征就是对应的选五区的最后一问，建业区的最后一问， 情怀区的最后疑问。那么这类题对学生的要求相对偏高，他需要你一方面能够读懂题目意思， 把它翻译成我们的数学语言，同时有些题目实际上是要求你对二次函数的图像运动有一定的了解，尤其是情怀区的最后疑问， 他这三问出的就比较好，实际上就是告诉你当参数在不同位置时，图像大概的运动轨迹是什么样子的。比如说，当参数出现在二次项系数时，当参数出现在一次项系数时，当参数出现在常数项时，它的轨迹是什么？实际上对于第二问，当 a c 确定时， d 随着 b 的 增大而怎么样？这个 图像的运动轨迹很多同学是不能够想象出来的，那我们可以考虑让同学去探求它顶点的运动轨迹，通过去把它的顶点运动轨迹求解出来，那自然我们也能够想象到它的图像是一个什么样的运动轨迹，而它的顶点运动轨迹又把它转化成了 顶点的纵坐标与横坐标之间的关系式，而横坐标是负二， a 分 之 b， 纵坐标是 c 分 之 c， a c 减 b 的 平方。这又涉及到我们前面的所谓的硝源，那我既然 a c 确定 b 式参数，那我就让 b 消失，把所有的东西都用 a c 来表示，所以一定可以得到 n 关于 m 的 一个关系式，这样的话我们就知道它的运动轨迹是什么样子的。 所以不论题目怎么样考，在最后阶段我们一定要学会去总结出他的套路，他的对应的考察知识点是什么？对应考的数学方法是什么？针对这种东西，我们用什么样的答题程序去应对它，以便提升我们的答题速度。

哈喽，各位同学大家好，我是数学吴老师，今天给大家带来的题目是北塔二模的二十五题，二次函数的综合考察，我们一起来分析一下。这道题 给了抛物线的解析式，小 b， 小 c 不知道跟 x 轴两个交点，点 a 的 坐标一斗零，给了我们 点 c 的 坐标零到负三，给了我们。第一问，求的是他的解析式，先做一个简单的说明，这个地方我主要给大家解决思路的问题过程，如果你还有一点点问题，写完以后跟标准的答案做一个对比， 把那一点点的小细节解决掉。如果说实在还是不会写，你下来找我，我来一步一步的再给你重新的去教。先看第一小问，求解析式， 小 c 决定的是抛物线跟 y 轴相交的位置，小 c 是 多少交到多少，那现在呢？他跟 y 轴交到了负三，所以我们的小 c 一定是负三。第一步，轻松的得到小 c 是 个负三，所以解析式立马变个样， 变成 x 方加 b， x 减 c， 只有小 b 不知道了，经过了 a 点一斗零，那我将 a 一 斗零代入就可以了，立马得到零，等于一，加小 b 减三，所以小 b 一定等于二，所以解析式， y 等于 x 方加二， x 减三。搞定好，接下来呢，我们再来看一眼。第二小问，对称轴上找一个点屁，要让它的值怎么样最大？求点屁的坐标，一步一步来， 首先这个点屁出现在什么地方呢？对称轴上，所以我先把对称轴搞定。抛物线的对称轴公式叫负的二 a 分 之 b， a 呢是一，二 a 就是 二，小 b 是 二，所以对称轴是负一， 让它的差值最大，这个呢就是一种典型的什么将军骂问题， 典型的将军野马问题，将军野马。如果看符号的连接方式，我可以分为加号连接和减号连接，加号连接我们往往求的是什么？ 最小？减号连接我们往往求的是最大的值。加号连接的我们需要转换成 e 测去做， 减号连接的我们需要转换成同侧去做。上面利用的知识原理两句话，第一句，两点之间线段最短，第二句，点到线的距离垂线段最短，不同的题考的不同， 下面转换成同侧问题考察的是三角形的三边质知识， 两边之差小于第三边，如果三点共线形不成三角形，那两边之差等于第三边此时最大。我们到这道题目里面具体的来看一眼， 现在呢，点 p 呢？是抛物线 x 等于负一上面的一个点，如比如说点 p 在 这个地方我随便点 p， b 在 这个对称轴的左边， pc 呢？在什么 右边？左右各一个，这叫什么问题啊？异侧的问题，但是他问的是什么？减号连接的最大要转移成什么同侧，怎么转移同同侧呢？对称 对称，要么你把点 b 对 称到对称轴的右边来，要么你把点 c 对 称到对称轴的 左边去。二选一，谁好做，肯定对称谁。这个地方 b 的 对称点天然的就是谁啊，就是点 a， 天然的就是点 a。 因为二次函数具有什么对称性嘛，所以我们把点 p 对 称过来以后变成了谁啊？ pa 变成了 pa， 那 这个地方我们就可以简单的这样做一个转换，你求的是什么呢？ 你求的是 pb 减掉 pc 的 值，但是我对称以后，我们 pb 的 值和 pa 的 值一定会怎么样相等，所以它就变成了 pa 减掉 pc 的 值， 而 pa 去减 pc 的 值。我把这个 a 和 c 做一个连接， 连接完以后，大家看我们这个地方会形成一个什么形？三角形，三角形。我们知道两边之差一定会小于第三边， 也就是 p a 减 pc 的 差一定会小于第三边 a、 c 的 值。 那我们想求最大值，看看有没有可能等于 a、 c 的 值不就行了吗？有没有可能呢？有，因为我们的点屁是对称轴上面的一个什么点， 动点它可以动，所以我让它向下运动。动到什么地方呢？ 动到屁撇的这个位置来。如果你的点屁动到屁撇的这个位置，你看三点共线形，不成三角形，这个时候我们的 pa 是 它， 我们的 pc 是 它，两个的差值正好是谁啊？ ac 嘛。所以当我们的 a c p 共线时， 如果贡献此时呢，我们会得到我们的 p a 减掉 p c 就 等于谁啊？等于 a c 此时呢是干什么？最大差值最大， 此时差值最大，所以我们的 p 呢？此时 p 在 p 撇的位置， 它求的是此时点 p 的 坐标，其实就是求的 p 撇的坐标嘛。那 p 撇不就是这条 a c 所在的这条直线跟对称轴的交点的坐标？横坐标呢？已经知道了负一，剩下的纵坐标，我们只要知道 a、 c 的 解析式不就可以了吗？ a 的 坐标呢？ 一斗零， c 的 坐标呢？零斗负三。由这两个东西我立马能够得到 a、 c 这条直线的解析式， 这个地方是负三，所以他的小臂呢，一定是负三。前面的是什么？ k x 减三了呗，他又要交到一到零一带进去以后正好是 k， k 减三得等于零，所以我们的 k 就是 减 三，所以我立马得到这条直线的解析式就是三 x 减三 搞定了。现在你想求屁撇的坐标，所以我们屁撇的坐标也能知道了。横坐标一定是负一。纵坐标带到解析式里面算一下就可以。 三乘负一得到呢是负三，负三减三得到呢是负六， 所以我们这个地方轻轻的写上负六就可以了，也就是 pb 减 pc 的 值最大的时候，点 p 的 坐标是负一到负六。接下来呢，我们再看一眼第三小步， d 呢，是 y 轴上的一个点直线 b， d 和 bc 的 夹角呢？是多少？十五度， bc 的 夹角是十五度。那我先旁边这个图里面把 bc 连起来， 你要形成十五度的夹角，我能不能算出来现在的这个夹角是多少度呢？ 如果你想算这个假角，你就得知道谁啊？ b 的 坐标， c 的 坐标是零到负三，看看 b 的 坐标有没有什么特殊性。第三小问 求 b 的 坐标，我们只要让第一小问的解析是 x 方加二， x 减三等于零，去求一下 x 就 可以了。那第一个 x 呢，肯定是一 a 的 横坐标嘛，那第二个呢？扫一眼 我就知道它是负三，所以从这个地方我们能得到 b 的 坐标呢，是负三。逗谁啊零？ 那这样的话，你看 b 的 坐标负三到零，所以这个长是几啊三，这个长也是几啊三，那我这个地方就会形成一个等腰直角三角形，所以现在呢，形成的这个度数是啊，四十五度， 他是四十五度，我想再来一个十五度。这个十五度呢，我们需要做一个什么考虑？什么考虑呢？ 你这个十五度是这个样子的十五度？ b、 c 的 下方的十五度，还是说你的这个十五度是这个样子的十五度？ b、 c 的 上方的十五度到底是哪一种呢？ 不确定，不确定的话两种情况都得怎么样？算一遍。 来吧，一个一个来，先算上方的这种，这个地方呢，我来个第一吧，下方的这种我来个第二吧。那他算的 cd 的 长度就是上面这个长度， 或者说下面这个长度呗。一个一个算，先算上面的整个大小呢？我们得到的是多少？四十五度，这个小的呢？是多少？十五度，所以我们这边剩的这个是多少？三十度呗。 又在直角三角形，那无非考的就是三边关系呗。直角三角形里面，三十度角所对的直角边是最短的长，直角边是他的根号三倍。这条长的直角边 我们知道是个三，所以短的呢？一定是谁啊？根号三倍，所以我们此时的这个 点 c 到点 d 的 长度，也就是我们的 cd 一 整个长度是它纵坐标的绝对值。三上方是啊，根号三， 两个做个差值，剩下的就是 cd 的 长度，也就是此时 cd 一 的长度。再来看第二种情况，这个角呢是多少？ 他是十五度，那我们刚刚整个大角呢，是四十五度再加十五度，所以我这个大角变成了多少？六十度呗， 那他是六十度，那这个小角就是多少，他不就是三十呗？ 三十度角所对直角边最短，所以上面三的这条直角边是最短的，那旁边竖着的这个点， o 到第二的这条直角边就是啊，长直角边是他的根号三倍， 所以整个 o、 d 二这一条线段的长是三倍根号三，上方 o 到 c 的 长度呢？是三，所以我们下方的这一段， 下方的这一段 c 到我们 d 二的这一段，我们得到 c， d 二整个是三倍根号三， 上方是三，减掉就是它的长度了。那你问的 cd 的 长度分类讨论，最后综上所述就可以了。综上所述， cd 的 长度是三减根号三或 三倍根号三减三，这样就可以了。这是这道题的解析思路。好，这道题呢，我们就分析到这。

来看一下新吴区的二十八题的最后一问，题目说当 m 为和值时，在 x 轴上存在唯一的 q 点，使得这是九十度。 首先题目给了这样的一个直线和抛物线交于 c、 d 两点，那我先大概的把图画一下，说这边如果是 c 点，这边是 d 点，现在我要保证 c、 q、 d 是 九十度，所以这个 q 点它是在以 c、 d 为直径的圆上 来画一下的话，会发现它和 x 轴始终会有两个交点，也就是说会存在两个 q， 那 我现在如何把这两个变成唯一的一个呢？所以其实很简单，我只需要把 其中的一个点变成 c 点或者 d 点，我怎么样把其中的一个 q 变成 c 或者 d， 我 只要让 c 和 d 与 ab 重合。所以第一张图，其实我只要让这个一次函数图像正好经过 a 点， 然后你会发现它的 c 点，即使与 a 点重合，它的 d 点在这里，此时我存在唯一的 q 点是在这边，但是其实这个圆和 x 轴也有两个焦点，只不过有一个焦点正好跟 c 点是重合在一起的， 所以这样的话其实只存在一个 q 点，这个怎么求？它过 a 点是负三零把它带进去，所以是负，一加 m 等于零， m 就 等于一，那同理。第二个的话，我找上这个一次函数经过 b 点， 然后这个是 c 点， d 点与 b 点重合，如果然后你会发现它与 x 轴的两个交点，一个是我们的重合的 d 点，一个是这个就是我要的 q 点，所以这时候也存在唯一的 q 点，那这时候的话，这个的话，我们只需要把 b 点坐标一零，代入 三分之一加 m 等于零， m 就是 负的三分之一。最后综上所述的话，一个是负三分之一，一个是一。 呃，还有种情况就是这个圆和 x 轴相切，然后这样的话也存在唯一的这样的一个 q 点，那这种情况怎么求呢？我们可以先连立成方程组， y 等于三分之一， x 加 m， y 等于负， x 方减二， x 加三。 整理可以得到 x 方加三分之七， x 加 m 减三等于零。然后你会发现它好像并不能直接求出两个根分别是什么。所以这道题的话，继续我们可以设点坐标，因此我将 c 点坐标设成 x 一 y 一， 这个 y 一 的话， 我们可以用这个来表示，这个 y 一 其实就是三分之一。 x 一 加 m， 同样的地点坐标设成 x 二，它的纵坐标 y 二其实就是三分之一。 x 二加 m， 纵坐标可以带到一次函数，也可以带到二次函数去求，带到一次函数的话更好表示。然后虽然我们表示不出 x 一 和 x 二，但是我们其实通过这个式子的话，我们可以得到两根之和负的 a 分 之 b， 所以 是负的六分之七， 也可以得到两根之积是 a 分 之 c， 也就是 m 减三。然后对于本桃体处理的话，因为这个角是九十度，所以我优先能想到的是一个一线三等角的相似，我分别过 c 和 d 点向 x 轴做垂直， 很明显我利用 k 形相似的话，其实可以得到 c， m 比上 q， n 等于 m， q 比上 d， n， 那下面我们只要分别把它表示出来，那首先 dm 是 y 二， cm 是 y 一， 这两个比较好表示。对这段的话，应该用 d 点的横坐标 x 二 减去 h 点的坐标，所以的话，我们还要先来表示 h 点的坐标，因为 c d 是 直径，所以这两段是相等的，所以我们可以把 h 理解为 c d 的 中点可以得到 h 的 横坐标，应该是二分之 x 一 加 x 二，利用钟点公式，所以就是负的六分之七， 所以 q m 这段长度就用 d 点的横坐标减去 h 点的横坐标，即为 x 二减负六分之七，所以是 x 二加六分之七。同样的，这一段 m q 的 话，我应该用 h 点的横坐标减去 c 点的横坐标，也就是负六分之七减去 x 一， 因此我们就可以得到这个比例， y 一 比上 x 二加六分之七等负六分之七减 x 一 比上 y 二，等于 我把负的提出来，六分之七加 x 一， 再乘六分之七加 x 二一项就是 y 一 乘 y 二。 y 一 和 y 二我分别用刚才表示的这个来代替，就是 三分之一 x 一 加 m 乘上三分之一 x 二加 m， 这边一下移过来，加上括号 x 一 加六分之七， x 二加六分之七等于零。 取括号展开，这边是九分之一 x 一， x 二加上 三分之一 mx 一 加三分之一 mx 二，我把三分之一 m 提出来，括号里就是 x 一 加 x 二，再加上 m 方， 这边展开是 x 一， x 二加上六分之七。括号 x 一 加 x 二，这边再加三十六分之四十九 等于零，然后九分之一，这个和这个它就是九分之十。 x 一 乘 x 二， x 一 x 二，在这边 m 减三， 再加上三分之一 m 乘两根之合负的三分之七，再加 m 方， 这边加六分之七乘上负三分之七，再加三十六分之四十九等于零。整理一下，九分之十 m， 减去 三分之十，减去九分之七 m， 加 m 方减去十八分之四十九，加三十六分之四十九等于零。整理一下，这边是 m 方 分之十 m， 减九分之七 m， 就是 九分之三加三分之一 m。 这一个，这一个和这一个我们可以先通分三十六分之四十九，减去 十八分之四十九，就是三十六分之九十八，再减去三分之十，这个的话就是 负的三十六分之四十九，那减去三十六分之一百二，所以是负的三十六分之百六十九。然后同乘三三 m 方，加 m 减去十二分之一六九， 等于零。为什么没继续乘呢？是因为待会算第二塔的时候好算一点，第二塔等于 b 方减 c， c 一 减去四乘三，再乘负的移到前面十二分之一六九，发现这边的十二和这边十二约掉，所以就是一百七， 那 m 就是 六分之负一加减根号一七零。所以最后还有两个答案在这边，那为什么 m 也可以是负的？是因为我的 cd 这条线正好落在这边，在下面也会有一个类似这样的点，所以最后两个答案是它， 嗯，综上所述的话，这道题的答案应该是负的三分之一一，还有六分之负一加根号一百七六分之负一减根号一百七。

同学们大家好，今天我们讲一下这个镇江数学一模的那个最后一道题，那不少学生反映这道题，嗯，读不懂，然后呢，计算量很大， 那其实我想跟大家说，这道题其实计算量不是很大，那主要考察了有几个方向呢？一个是含参的函数啊，你对参数怎么理解？第二个呢，是二次函数的平移，第三个呢，是函数的对称性轴对称。 第四个呢，我把它理解为距离啊。这里面呢，其实跟我们二五年中考的最后一道题，他的考察的知识点非常非常类似，那大家可以对照着去看一下。 那我们来看一下第一题，其实求顶点坐标啊，这是基本能力了，那不管是通过顶点公式还是通过配方配成，顶点是，我觉得应该是比较简单的，顶点坐标应该是负 a， 负一。 第二个呢，点 c 的 坐标，点 c 是 哪里来的？他说啊，这个二次函数图像与 y 轴交点 c， 那 么横坐标肯定是零，那纵坐标直接带进去就能算了， a 方减一 啊。第一题比较简单，我们来看第二题，图像既为 g， 那 这个抛物线往右平移啊，这是我讲到平移了，又平移 m 个单位，这时候呢，他说了 m 是 大于零的啊，然后得到一个新的抛物线是 l， 这时候呢，恰好过点 c。 恰好过点 c 是 什么意思？那你如果说你会去画图的话，嗯，其实应该能够明显画出来，这两个函数图像应该是关于 y 轴是对称的，那么顶点也是关于 y 轴对称的，那这时候你就能找到 a 和 m 的 关系了。 那如果说不太清楚，那我们就按照我们学的函数图像的平移它的技巧怎么去平移？你把它写一下，应该也能看得出来， 那其中 g 这个减一式应该是写成顶点式，对吧？我们平移会方便一点，那 x 再加 a 的 平方再减一，那如果说向右平移 m 单位，那么左加右减，把它写成 y 等于 x 再减 m， 再加 a 的 平方再减一，然后他说这个 l 也是过点 c 的， 所以把 c 点的坐标零 a 方减一带进去，那得到是什么？ a 方减一等于 x 是 零，就是负 m 加 a 的 平方再减一，整理一下，应该是 a 方等于 m 方减二 a， m 再加 a 方，再整理一下，应该是二 a m 等于 m 的 平方，那因为 m 是 大于零的题目中给的，所以这时候左右两边同时把 m 削掉， m 就 等于二 a。 当然我觉得你通过画图也是非常非常直接的就能写出来，那我们来写一下。第三问， 在二的条件下过点 p， 点 p 是 什么啊？点 p 是 y 轴上的一个点，对吧？ y 轴上的 它的横坐标是零，纵坐标是零，做 x 轴的平行线与抛线 g 教育 ab， a 在 左， b 在 右与新抛线 l 教育 e 和 f， e 在 左， f 在 右。那第一个他说当 n 等于五的时候， n 等于五，也就是， 呃，这个点 p 的 坐标是零五，那这时候呢？我们其实不是很清楚，那大概在哪儿不要紧，我们画个图来看一下啊。 但这个抛物线呢？ g 和 l 抛物线有一个地方知道的，就是它的那个叫什么？呃，纵坐标，顶点的纵坐标应该是应该是负一， 那我画的不是很标准啊，就是这两个，这个应该是 g 啊，这个图像应该是 l 啊，写一下吧。 啊，这是 g， 这是 l， 然后呢？有什么是确定的一个开口啊？开口向上 a 的 角， a 等于一，对吧？这两个抛物线交 y 轴于同一个点，这个地方应该是点 c， 我 没有标记， 然后这个底下这个顶点的纵坐标应该是负一啊，我觉得这个题没有什么用，你想写可以写一下啊，然后我觉得比较重要的，你应该过点 p， p 的 坐标是什么？是零五，那零五不知道在哪，我们随便画一下， 随便画一下这个地方啊，就是点 p 啊，这个 a 点右边是 b 点，左边是 e 点，右边是 f 点， 题目中给的是什么？他给的是 if， 等于两个 m， 其实我们来看一下啊， a 点和 f 点是不是肯定是关于 y 轴对称的，其实也就是 a p 应该是不是等于 m， 对 不对？整个 g 和 l 是 关于 y 轴对称的，那么点 a 和点 f 肯定是关于 y 轴对称的，那么 ap， 因为 af 是 等于两个 m， 那 是不是 ap 应该是等于一个 m。 第二个点我们可以看出来它向右平移了是多少个单位，是不是应该是向右平移 m 单位，那么 a 点平移的对应点是不是应该是 e 点，也就是 a e 其实是 m， 对 不对？ a e 就是 平移的距离就是 m， 那 么 a e 就 等于 ap 了， 是不是这个意思？ a e 是 不是应该等于 a p， 那 我们可以说一下，那这个因为 a e 等于 m 啊， a f 等于两个 a， p 等于二 m， 所以 就应该是这个 e 点， p 点， b 点和 c 点是不是应该是重合的？这四点重合， 那所以 c 点的纵坐标， c 点的纵坐标就是 a 方减一，是不是应该等于五的？所以 a a 方等于六，那么 a 等于正负，根号六，因为 m 等于二， a 大 于零，所以 a 等于根号六。那这个是第一小问，那第二小问呢？要我我们来写一下啊？第二小问，我们接着来写第二小问， 他说这时候如果说 a 等于二， a 等于二的话，这两个解一式是不是都是确定的呀？我们写一下， a 等于二的话，这个 g 的 函数解一式应该是 y 等于 x 加二的平方再减一， l 的 函数解一式， y 等于 x 减二的平方再减一。那这时候呢，我们还是先画个草图， 那我们还在分析啊，要分析的，他说过点屁啊，这个点屁在哪不是很清楚了。这个然后得到的是 a f 等于两个 b e， 那 么我们 a 点和 f 点，我们还是在这个图上，其实还可以来分析一下， a 点和这个 f 点是不是应该是关于 y 轴对称的 啊？然后呢， b 点和 e 点是不是关于 y 轴对称的，对不对？那这时候 b 点和 e 点本身哪个点在左，哪个点就是在 y 轴左边，哪个点在 y 轴右边，其实不确定， 那我们就应该要分类讨论。比如说第一种情况，我们说啊，当 b 点在 y 轴右边， e 点在 y 轴左边， 我们来看一下，这个就是 a 点，这个就是 b 点，这个就是 e 点，这边是 f 点。好，我们分别标一下，那它给的是什么？它给的是 if 等于三个 b、 e， 那其实 a、 a、 e 和 b f 这里面是什么关系？是不是根据对称，或者说根据平移，这两个点是对应点啊，那 a e 和 b f 肯定就是等于 m， 对 不对？那 a e b f 是 等于 m 的， 是不是？所以 a e 加 b f 就等于呃，两个 b e 是 吧？ a e 加 b f 等于两个 b e， 那 么 a e 加 b f 不 就等于两个 m 吗？是不是说明 b e 等于 m， 是不是说明 b e 等于 m 了？而 b e 等于 m 的 话，是不是可以说明 a e b e 是 相等的？当然等于 b f， 那 是不是可以理解为 e 点在这个 g 这个函数图像的对称轴上，是不是说明 e 点的 横坐标应该是等于负二的？那他要求的什么？求的是 n， 也就是求 e 点的纵坐标啊， e 点的纵坐标不就可以求了吗？ 所以 e 的 横坐标啊，当然你说求 b 点的横坐标也可以，那 b 点就在 l 的 对称轴上， 所以这时候 a n 等于几？ a n 等于把这个负二带到负二。带到哪里？带到 l 上去 啊，那就是负二减二的平方，再减一等于十五。那第二种情况， 当 b 在 y 轴左错， e 在 y 轴 右侧，这时候我们换个颜色啊，我放到下面来，这时候这个 a 点在这个地方， b 点， e 点， f 点，这时候我们再来看一下，这时候 a e 等于 b， f 等于 m， 那 这是平移的对应点，这等于 m。 那我们的 a b 和 e f 这两个段线，两段线呢？是不是应该是对称的？ a b 等于 e f， 因为 a f 等于三个 b e， 所以 a b 加 e f 是不是等于两个 b e， 那 这里面因为 a b 又等于 ef 啊，所以这是三个线段。 a b 等于 b， e 等于 ef， 那 就是这段啊，这段到 b 啊，对准轴到 b 这段是不是应该二分之一个 a b， 那 b 到 y 轴是不是也是二分之一个 b e， 那因为 ab 等于 b e， 是 不是我刚才画的这两段应该相等，那不就说明 b 点应该在呃 y 轴和这个 x 等于负二的中间，说明 b 点的横坐标应该就是负一，那其实应该是这个点啊，这时候应该是个特殊的地方在 x 轴啊， 所以我们这时候就可以写了，所以我们就可以写啊， b 点的横坐标， 横坐标应该就是负一， 那所以这首 n 应该等于 b 点应该在呃，应该在那个 g 这条图图像上， n 应该是等于负一，再加二的平方再减一等于零 啊，所以他有两个指，那在底下那个就更简单了。这个后面一小问啊，就更简单了，他说他说就是 af 比三个 b e 要小，那我们来看一下，是不是在这两个之间啊？在我画的这两个图之间啊， 那这个 if 这个上面这条线是不是 if 应该等于三个 b e？ 底下这条线就是 x 轴也是 if 等于三个 b e， 那 么他说要 if 比三个 b e 要小，是不是意味着 b e 要稍微大一点？ 那你，你如果说不行的话，你往中间画一段啊，我画的这，这个，这个，这个线是不是 b 很 短？ b 怎么可能三个 b 大 于 f 吗？肯定不行啊，你，你中间正好在 p 这个地方，这个 b 等于零啊， b 和 e 重合了，对不对？正好在这个点， p 这个地方， 其实也是点 c 与 y 这个交点啊， p 在 这的话，是不是 b 重合的时候，那是不是就 b 等于零？那肯定不满足，那不就在上面吗？这条线的上方， 那么 n 是 不是应该是大于十五？当然了，也可能在这个 x 轴下方，那么 n 是 不是小于零？但你不能说到这个顶点这个地方啊，到 到这个负一这个地方肯定不行，到负一这个地方，为什么？这个 a 点和 b 点不是重合了吗？ ab 重合在题目中说了啊， ab， 他 说啊，什么 a 点在左边， b 点在右边，对吧？ e 点在左边， f 点在右边，那不就是说它们是不重合的吗？ 那是不是应该就是应该在这个顶点上方，是吧？这个 a、 b、 e、 f 都应该在顶点上方，这时候不就应该写这个 n 应该是大于零，小于，呃，大于负一，小于零啊， 啊，这个下面一个 n 应该是大于负一小于零或 n 大 于十五，不就是我们一开始讲的那个，这个它的两边，对吧？两侧，上下两侧， 这个应该不难吧，这有什么好计算的呢？主要我觉得还是画图。那好了，我们这道题就讲到这里，大家可以思考一下，再见。

hello， 各位同学，大家好，我是新里程数学王静王老师，那么接下来我们看高新一模倒数第二个， 哎，抛物线的题型啊。首先我把这个题进行了拆分，嗯，把一二问咱稍微先讲讲，然后第三问，哎，单独讲是吧，咱这样的话写的空大一点，这个样我觉得有点太密了啊。来，呃，第一问的话，给了一个抛物线， 然后这里面需要把 a 和 b 求出来，那因为 o a 是 二， o b 是 六嘛，那也就意味着 a 的 坐标负二，逗号零， b 的 坐标六都零，那么我们只需要把这两个点给它代入进去第一问就 ok 了，是吧？所以第一问最后结果， y 等于负的四分之一， x 方加 x 加三，哈。那么接下来第二问，如果的的横坐标是 t， 那 t 都，哎，带到抛物线里，那它的纵坐标负的四分之一 t 方 加 t 加三。呃，因为抛物线知道那 c 的 坐标肯定是零斗三，那 b 六斗零 c 零斗三 b， c 的 一次函数也是没问题的。 y 等于负的二分之一 x 加三啊，那这样的话，哎，第一问让求得 e 的 线段长度，那得的横坐标是 t， 那 e 的 横坐标肯定也是 t 啊，所以 t 等于负二分之一 t 加三嘛，然后得 e 的 线段长度的话呢，竖直哎，上减下即可哈。那所以得 e 就 等于得的总坐标负的四分之一梯方 加 t 加三，然后减去 e 的 总坐标，然后接下来该去括号去括号，该化减化减啊，那么这样我们就得到负的四分之一 t 方，然后加二分之三 t， 那 加三减三就中间就会约掉了，所以第二问 的第一个是吧，拿分啊。呃，但是下面这个，嗯，在那个高新一模做题的过程中，可能有很多同学藏住，所以接下来我们也分析分析，他说 是否有点得，那这个得就在抛物线上嘛，让 c 得 e 成为一个等腰三角形，那 c 得 e 成为等腰三角形的话， 这个就是咱们得分类讨论了，那他等幺没有说谁和谁是幺，所以接下来咱就分三种情况，包括这个题背后计算量有点大哈，那比方说，哎，第一个，我让 e 当做等幺的那个顶点，那是不是就这两个就变成幺了？哎，所以第一种呢， ce 的 线段长度等于得一，那其实得一，你想，哎，上一问已经求了得一的线段长度，那我是不是只需要把 c e 表示出来啊？那所以我们在这里，哎， c e， 咱们可以用两点之间距离公式， c e 的 平方等于横坐标相减的平方加纵坐标相减的平方，是吧？哎， t 减零的平方， t 方 加上这个减这个，那三和三就会减掉，那也就是负的二分之一 t 的 平方，那么也就是四分之一 t 方，所以 c e 的 平方，也就是四分之五 t 方。 c e 的 平方有了， 我们就可以知道 c e， 那 c e 的 话，哎，对它进行开放，那么二分之根五 t 吧，是吧？那所以当我有了这个 c e 长度， d e 长度，那我就给它写上二分之根五 t 等于得一负的四分之一 t 方加二分之三 t， 那 这样的话就是相当于我们解一元二次方程。我们把这个解出来的话，是有两种，要么等于零， 嗯，要么等于六减二根五哈，但是这个零的地方你肯定得省略了，所以这样的话有了第一个啊，第一个这个 t 的 值啊，人家问这个得的坐标，所以这个题说实话它计算量真不小啊。那么当这个 t 等于六减二根五的时候 啊，带回去，是吧？带回去啊，一点一点仔细去给他算一算，那这样我们就可以得到第一个得的坐标，六减二根五都好， 四根五减五啊，六减二根五，逗号，四根五减五，这是第一个。那然后紧接着再来第二种情况，就是我刚才是以 e 作为一个顶点引出来的两个幺，那现在我们还可以让谁啊？我们还可以由得 得这个地方作为一个顶点，那 c 得和得 e 变成两个幺嘛。那所以第二种情况，也就是当 c 的 哎，等于得一的时候，那我们依然用两点之间距离公式啊，把 c 得表示出来，哈，那这样的话， c 得的平方就等于横坐标相减的平方，是吧？然后呢？哎，加上纵坐标相减的平方，负的四分之一 t 方加 t， 那 这个地方加三减三就没有了，哎，横坐标相减的平方加纵坐标相减的平方，哈，那此时这个你这个地方再开方，你肯定不好开，是吧？你这开方你肯定开不了，那所以我们第二种情况就可以这样， 那 c 得方等于得一方，那咱把这个得一方给它表示出来，负的四分之一 t 方 加二分之三 t， 哎，得一方也表示出来，那面上感觉这两个比较复杂，但是我给你解一解啊，他能解，他能解，那所以这种情况下也就代表了 t 方加上这个 c 得方先找抄哈， 然后等于得一方那负的四分之一 t 方加二分之三 t 的 平方，也就是他们各自的平方，这个教大家去解解这个 t， 能做能做。嗯，第一步咱先硬拆，就这个是十六分之一首平方， 然后尾平方二 ab 的 话，那就二分之一 t 的 三次方，是吧？就我先硬拆后面这个首平方，然后尾平方， 然后接下来减按二 ab 四分之三 t 的 三次方，那接下来这样大家就观察，虽然有四次方的存在哈，但是 能够被约掉是吧？那呃，剩下的你该移移，该合并合并，你比如说，呃，这两个三次方的就可以对它进行合并，那移过来，负的四分之二加四分之三 四分之一 t 的 三次方，考你扣算能力啊，这两个是二 t 方，二 t 方，那减四分之九 t 方减四分之一 t 方就等于零了呗。那接下来我们把这个 四分之一呃梯方可以给它提出来，那第一个或者别提四分之一了。两边同乘四是吧？两边同乘四梯的三次方，减梯方等于零。把梯方提出来， t 减一等于零，你看好解吧。我说要么 t 就是 零，要么 t 就是 一呗。那咱说把这个零又给他舍了，你比刚才那个还好解是吧？那这样我们 t 不 就等于一吗？把这个一仍然是 带入到这里面，哎，一斗带进去还是挺好算的啊。最后一斗四分之十五，对吧？所以这个中间的步骤我就给大家省去了啊，这样的话，咱们中间就省去了，大家就看看能解吧，虽然他样子有点吓人，但是完全可解啊。来， t 等于零，折了 t 等于一，要把它 t 等于一，哎，带进去，那这样我们有了第二个结果啊，所以得二的点坐标一斗四分之十五。 那么接下来我们再来看第三种，这三种就该谁了呀？老师，我可以让肺为一个等腰的顶点，那么这样的话，我们的第三种情况往哪写？嗯，往下写。好吧，那我把这个图往下放，再重新放一个图啊。 来，我们再来看第三种。第三种就是刚才我们说我们可以以 c 为一个顶点，那这样的话， c 的 长度就等于 c e 的 长度，那这种情况下，当然你说老师我两点之间距离公式还是按照刚才的套路做，能行吗？能行， 能行啊，但是这里我想再教你一下别的方法吗？就如果两点之间距离公式硬算的话，那第二种，这不这种就代表了全部了吗？能解。然后，但是我还是再多想讲讲，因为此时你看，如果这是一个等腰三角形， 我就给你往这做个垂直，那如果你看这是 m， 那 这个 m 的 纵坐标它肯定还是三，是吧？那等腰三角形你具备什么东西啊？三线合一，你除了是个高线， 这个地方也是一个中线，是吧？那既然你是个中线的话，那也就代表 m， 也就是得益的中点， 那我完全可以用中点坐标公式。 m 的 纵坐标，这个三啊，其实就等于的和 e 的 纵坐标，你纵作这个是中点的话，那这不是相加除以二吗？所以二分之， 那负的四分之一 p 方加 t 加三，然后再加上负的二分之一 p 加三，也就是把的的纵坐标和一的纵坐标加起来除以二。哎，等于你这边这个纵坐标可解，完全是可以解出来的，那还是变成了一个解一元二次方程的问题，是吧？所以我们加下来解这个的话，解出来仍然要么 t 等于二， 要么 t 等于六啊。但是如果 t 等于六的话，你会发现那的跑到这里跟 b 重合了， 所以这个仍然舍掉，那这个 t 等于二的话，代入到点坐标上，那么第三个结果就全都出来了。二逗号四啊，所以我们对于这个题的话， 二逗号四，嗯，一逗号四分之十五。那还有一个是六减二根五，逗号四根五减五。背后一共有着三种情况，大家别忘了啊。而这个的话，第二问相较而言计算量稍微大一点，那接下来我们再来看第三问啊。首先 心里你得开心，开心什么开心呢？你第二问计算量已经这么难了，那第三问他肯定在一定程度上会稍微弱化一下难度嘛来结果不相信的话，我们就看看啊。第一个 e， e 是 哪里哎， e 是 bc 的 那个直线上的一个点，那我们再把 bc 拿出来， y 等于负二分之一， x 加三。呦， 那然后紧接着这样的话，这个一点坐标我可以给你设上坐标，比如说 t 豆，哎，那我给你带进去负的二分之一， t 加三，那按照他说的做是吧？把线段 o e 绕点 o 顺时针旋转九十度，好，顺时针往这旋转九十度，然后这样的话，我们给他找到点，这 这样，哎，你顺时针旋转旋转了个九十度。然后，呃，首先我先不管他问题问什么啊， 这个旋转九十度好熟悉好熟悉，而且你这个坐标有了，我可以去推一下这个的坐标吗？ 咋熟悉了？一线三垂直啊，对吧？一线三垂直啊，哎，在垂直的位置横平竖直。因为我是一比一旋转的嘛，所以它不是相似，它是全等，那么 e 的 坐标有了， 这个对应的就是 t， 这里呢，就是负的二分之一 t 加三，来，根据这两个三角形的全等关系，那这里也是 t， 这个线段就是负的二分之一 t 加三，所以这样咱们就可以把 g 表示出来了，那 g 的 横坐标 负的二分之一体加三， g 的 纵坐标，那纵坐标就是这一块，但一定注意，负的负的，负的线段长度是正的，但是你在第四项线，他的纵坐标肯定是负的啊，所以，哎，那他就是负梯喽。那 g 的 坐标有的时候这个题问 哎，问 a j 的 长度最小值，哼哼，我可以干嘛呀？我可以两点之间距离公式吗？因为 a 的 坐标有啦， 负二负零，所以来我们演示一下， a 是 负二负零，然后 g 的 点坐标也被我们发现了，负的二分之一 t 加三，逗号负 t， 那 咱可以怎么样啊？ 表示出来，哎， a g 的 平方，哎，就等于横坐标相减的平方，负的二分之一 t 加三，减去负二，那就再加个二 啊，加上纵坐标相减的平方，是不是？那所以我们可以给他化减出来嘛。那这个地方加二加三，就是加五， 四分之一 t 方加上二十五，然后减去五 t 加 t 方合并一下，四分之五 t 方 减五， t 加二十五，那然后人家问他的最小值，这不是一个开口向上的抛物线，那最小值就是我们要对称轴的时候最小呗，所以 t 等于负的二 a 分 之 b 是 吧？那也就是相当于五除以二分之五，那你想五乘五分之二， 也就七等于二的时候，它会最小，那最小我给它带进去是吧？最小带进去，那么也就是四分之五乘四，减去二五一十加二十五，所以它的最小值 这不就算出来了，但是我们一定注意，这个算出来的最小值是 a j 的 平方的最小值啊，那这个题问你长度的最小值啊，一定注意开方，别忘了最后一步，那么 根号下二十，哎，那么最小值二根五出来了，是吧？好，那么接下来这是，嗯，二次函数，但是你明显这个题就是第二问 他因为计算量大，会稍微砍你一下，以至于第三问你就不看了，你就那个心态就是有点崩了，是吧？所以大家一定记住，就静下心来嘛，你比方说当我看到四次的能解啊，那他两边都会被相约嘛。呃，然后如果中间计算量比较大的话， 第三问说明稍稍放水了是吧？好，那么接下来这是我们抛物线这个大题啊，今天给大家讲到这里。

刷到先别走，看完你就会。我们来看苏州市英模最后一道压轴题，二十七题。首先在平面直角坐标系当中，抛物线经过了这三个点，第一个呢，就直接带入一般式， 求抛物线的解析式是送分题型，大家要注意计算，千万不能出错，负二 x 方加二 x 加三啊，过程呢，咱们不再赘述了。 第二个我们要来看啊，他说连接了 o d， d 呢，是抛物线 b c 上方的一个动点，问我们 d e 比上 o e 的 最大值，大家看啊， d e 比上 o e 的 最大值。 我们苏州出过这样类型的题目可不少了，那么凡是斜着的，大家就注意一个叫改邪归正，也就是呢，斜划直， 你斜着的，总不能把 d 的 长度求出来，把 o e 的 长度求出来，然后再做比例吧，那样你在有限的时间内呢，你没有办法快速完成这个题了。那么平面直角坐标系它就是直来直往的，画斜为直， 就是要适应这个直来直往的环境。那么怎么画线位置呢？咱们可以构造一个 相似，比如说我们可以往下做垂直，这就是画直嘛，斜着的给他改成直着的。 假如说这个点呢，跟 e b 的 交点就是 h 点的话，大家看我们会存在着三角形 d， h， e 相似于三角形 o， 呃， c 是 吧？ o c e， 所以 你看 d e 比上 o e， 咱们就转化成了 d h 比 oc， d h 比 o c， 就是 我们要求的 o c 是 一个定值呀，是三呀，所以三分之 d h 最大，那么就是我们这个 o e 分 之 d e 最大，三分之 d i 是 怎么能够取得最大呢？那这个对我们来说比较方便了，是不是啊？我们可以直接求值了，比如说我们可以令令这个点 d 的 坐标吧啊，点 d 的 坐标是 m， 横坐标是 m 的， 纵坐标，可以直接写了，是不是？那是负 m 方加上二， m 加上三，而我们点 h 的 坐标呢？因为它在直线 bc 上面， y bc 是 负 x 加三， 所以呢，咱们的这个点 h 就是 m， 负 m 加三，两者作差，就是 y d 减去 y h， 它就是什么呀？咱们说的 d h， 哎， d h 就 等于它，那么 y d 就是 负 m 方加 m 加三，加 m 减三，所以负 m 方加上三 m， 你对它进行配方，我们也知道 m 等于二分之三的时候，它就能取得最大值，那我们可以把它带入进去，是不是啊？ m 等于二分之三，点 d 的 坐标呢，就是二分之三，四分之十五， 那咱们说了，你看 m 减等二分之三了，我们直接可以进行配方求最值吧，是不是？哎，进行配方求最值，所以我们一样能够算的他的这个最大值呢，就是咱们说的 呃，四分之三，也就是他的最大的这个比例啊，比例的最大值就是四分之三，大家明白吧？就这个题目最核心的一个关键点，就是你能否超过绝大部分同学，把第二文先完成，那就是一个斜划直的思想，凡是斜直的比例给他画成直的， 包括铅垂法，实际上也是一种斜划直的思想。好，我们重点来看一下第三个啊，他说将抛物线负 x 方加 b， x 加 c 啊，先向右平移两个单位，再向下平移两个单位。问，我们能够得到 y 撇， 首先呢，这个抛物线我们已经求出来了，如果呢，这个抛物线我们给它变一下，那就是 y 等于负的 x 减一，括号的平方再加上四， 它向右平两个单位左加右减，它变成了 y 撇，那就是等于负的左加右减嘛，往右两个单位呢，就是再减一，再减二，减三，括号的平方再加二， 也就顶点坐标由一四在这里变成了什么呀？这是，这是零的时候，这是二的时候，变成了三二，是不是啊？ 咱们来写一下一二三，那么这个地方呢，那就大致的一个点，顶点应该是在这，是吧？一二三吧，顶点应该是在这， 他变到了这个抛物线上面。那我们可以把这个抛物线呢，大致的划一划啊，你看，我们的开口方向是没有发生改变的，所以呢，咱们可以把这个抛物线移到这里来，是吧大致的给他划一下，这就是平移之后的一个抛物线。 接下来我们再来看啊，他说呢，以屁为中点的一个抛物线。接下来我们再来看啊，他说呢，以屁在 y 上， 并且平行于 x 轴， m n 等于二， p 又是中点，说明 m n 是 一个动线段，大家看哈， m n， 它是一个动线段，中间是 p， 这是 m， 这是 n 吧。那么这个动线段大家看啊，你能不能理解啊？我稍微画的这个动线呢，画出来之后啊，我们可以令点 p， 它实际上就是 m 负 m 方加二， m 加上三，那么很显然长度是二，长度是一，这长度是一，那这个横坐标就是 m 减一，这个纵作，这个横坐标就是 m 加一，纵坐标都跟它一样。 什么叫它跟 y 片有交点呢？这个点 p 可是在外，可是在这个 y 上运动的，他要想跟咱们的 y 片有交点，不就是这个动线段，在运动的过程当中，大家看 明白吗？在运动的过程当中，跟我们的这个抛物线是有交点的呀， 如果你能理解好这个层面的意思呢？那这个题目做起来就非常简单了，我们就可以用这个竖形结合的一个方式啊， 哎，去完成这个题，大家看你可以找一个动线段，对吧？然后画的过程当中来去理解好它，比如说啊，老师来找一个，那么我用铅笔 画一下啊，大致的一个情形啊，比如说啊，咱们看你这个线段的长度呢，其实正好就是二， 哎，这个点呢，咱们让他就是 m， 这个点就是 n， 也就是说你看到啊，我们这个老师画的这个黑色的这个线段啊，中间就是点 p， 他 在这样移动的过程当中啊，大家看这个很清晰，他什么时候跟 y 撇有交点啊？ 哎，是不是正好这样的时候，你看正好这样吧，哎，也就是说正好跟这个顶点相切的时候，这步可以怎么理解啊？你看我们把它放在这啊，这步可以怎么理解呢？ 这一步也就意味着刚才这个新的解析式的三二在什么地方呀？哎，在咱们的线段 m n 上面， 那也就是说 m 刚才说的坐标呢，就是负 m 方加上二， m 加上三要等于二， 对吧？如果它要等于二的话，那我们可以求得 m 等于一加根二， m 等于一减根，而一减根二要舍掉，因为我们现在是在是在这个右侧，是不是你这个一减根二在左边了， 那是负的不行，所以这个数 m 等于一，加上根号二，这是一种，大家看他再平移，哎，点平就在这里走走走，现在你看啊，他还是 还是有焦点的啊？走走走，还是有焦点，是不是左边这里有焦点？你看啊，什么时候没有焦点？哎，看到这里没有，再往下越来越没有焦点了，就一直没有焦点了。啥时候有焦点？在这看到没有？在这，那在这的时候，也就是说在这个地方有一个点，这是第一种情形。 第二种情形是什么呀？就是当我们的点 m， m 在 哪里啊？在 y 撇上 m， 刚才说的是谁啊？就这个点的坐标啊，我们写一下，它就是 m 减一， m 方这个，呃，这个 m 减一，是不是？然后负 m 方加 m 加三，负 m 方加 m 加三是它吧， 所以我们只要把 m 减一带入进来，咱们现在是 m 在 y 撇上面， y 撇 y 撇不就是他吗？是不是啊？ y 撇是他哦，所以我就可以呢。哎，这个把 m 减一，横坐标带入进来，他就符合纵坐标呗，是这个意思吧。好，那我就把 m 减一带入进来啊，咱们看 负的 m 减一，再减三，括号的平方加二要等于谁啊？要 等于，这是咱们 m 减一，在这个点上，它，同时它中的标一直是它不改变，所以它等于负 m 方加上二， m 加上三，那解的 m 等于六分之十七，所以综上所述呢，这道题就是 m 大 于等，我们写在中间啊， 怕下方大家看不到。 m 大 于等于了一加根号二小于等于六分之十七， 所以借助工具呢，我们可以非常直白的看到了这个竖形结合那点 p， 从这里你看啊，老师再演示一遍，这个过程当中一直没有交点， 走到这也就是和顶点相切的时候，有一个交点，再往下走有交点，走到这再往下没有交点了，所以就是从这个点开始，一直到这个范围内。哎，有了图形呢，就让我们了解的更加的充分， 大家一定要借助好工具啊，利用数形结合，学好二次函数，关注我们，学好初中数学。