高中数学必修二立体几何阳马

立体几何压轴之二面角求法，掌握这五种，期末直接得满分！高中立体几何的二面角是不是每次考试都丢分？算来算去找不到角度方法记不全，题型一换就蒙！今天一次性给大家讲透 二面角五种核心解析方法，外加配套经典题型大全，吃透这一份考场遇到直接秒解！ 从定义法、三垂线定理法到面积摄影定理、空间向量法、棱面垂直法，五种方法全覆盖， 题型分类整理得明明白白！步骤拆解立体几何，想拿满分？二面角这块千万别掉队！整套方法加题型合集，已经整理好，需要的同学抓紧收好，刷题直接用！

离体集合大题还不能满分？过程书写总有遗漏，一个视频教会你轻松拿满分！ 为什么你的立体几何大题永远拿不到满分啊？经常看到后台有同学私信我，想让我梳理一下立体几何这一节的书写规范问题。 那么今天距离高考还有最后十四天左右的时间，我将带领着大家从零到一，将立体几何大题常见的一些考法，最后再梳理一遍，助力同学们在高考考场上遇到立体几何不再慌。 有一道例题是二五年的高考真题，那么为什么选它呢？因为啊，它不仅涉及到了平行与垂直的判定啊，没有垂直，只有平行，它还涉及到了一个角度的求法，除此之外，还有一个折叠，我们通过这道题还可以学会折叠的一些性质。 好，我们先看第一问，他让我们证明 a 撇 b 平行于这个平面， cd 撇 f， 那 么就是什么线面平行吧。同学们，你拿到一道题，让你证明线面平行，你要先想，你可以从哪些方向去证明，是不是有两个呀？ 一个是什么线线平行吗？我们可以通过线线平行来证明线面平行，还可以通过面面平行来证明线面平行。如果是线线平行的话，你要说 a 平行于 b 两条线它是平行的，并且 a 它不在这个平面内， b 它在这个平面内，所以你就可以说明 a 这条线它是平行于 ar 这个平面的。好，这是我们拿线线平行来证明线面平行。那如果你想要拿面面平行呢？ 面面平行的话，你得先强调这两个面它是平行的，并且你要证明的是线面平行，所以我们要说一条线，它是在这个面内 ar 的， 它是在 ar 这个面内的， 那我们就可以得到这个 a 啊，他就会平行另外一个平面贝塔。那为什么呢？因为同学们想一下，我既然两个面是平行的，不就会有其中一个平面的任意一条直线都会平行于另外一个平面吗？ 那么我们竟然讲了这个线面平行啊。把平行梳理完之后，我们再强调一下，垂直、垂直、 垂直。同样的，我们是不是也会有两种思路去证明这个线面垂直啊？第一种是什么？是不是线线垂直啊？如果同学们想拿线线垂直去证明线面垂直的话，我们要说的是 一条直线 l， 它会垂直于这个 m 和 n， 也就是一条直线，它会垂直于一个面内的两条相交直线。好，什么叫做面内呢？那你要强调 m， 它在这个平面阿尔法内， n， 它也在这个平面阿尔法内。什么叫做一条直线垂直于 一个平面内的两条相交直线呢？所以你要强调一下相交 m 交 n 会等一个 p， p 是 它的焦点。然后你再强调一下 l， 它会垂直于这个线 m， l， 它会垂直这个线 n， 那 么我们五步就可以把这个线面垂直给它梳理完。 好，那么我们是不是是不是也可以通过面面垂直来证明这个线面垂直啊？ 如果你想拿面面垂直来证明的话，是不是会有先强调一下面面垂直阿尔法，他会垂直于这个贝塔两个平面，两个平面是垂直的，然后阿尔法交贝塔等于 a， 你 两个平面的交线是这个 a 啊，那么我们其中一条线 l 它是属于其中一个平面的， l 它在这个平面 r 法内，那么那么你还要再强调一下， l 它会垂直于这条交线，那你就可以得到 l 它是垂直于另外一个平面的。 好同学们，我们基本上啊，这四个判定定理，如果你都能够很熟练的掌握的话，高考的第一问，我相信你不会再被扣分了。那么我们学会了判定定理，是不是得看一下具体的题目呀？接下来我们就看一下第一题怎么写 啊，让我们证明 a 撇 b 会平行于这个平面， c， d 撇 f， 哎，这是不是一个很明显的线面平行啊？ 如果你想要证明线面平行，我们刚刚是不是说了，你可以通过线线或者面面去推导啊，我们观察一下线线行不行，线线的话，你想要证明出 a 撇 b 平行于后面这一个平面的一条线，光看这个图好像不那么好找吧， 那我们线线这条路先搁置在一边，观察下面面平行，面面平行的话，好像就比较明显了呀，这一个平面，对吧？ a 撇 e， b 和 d 撇 f c 这个平面，他是不是一看他很像是平行的呀？ 很像是平行，我们得正出来才可以，怎么正呢？你要正的话，大概的思路应该就是，我要证明 e b， 它会平行于这个 f c， 然后就可以得到 e， b 会平行于后面这个平面， a 撇 e， 它要平行于 d 撇 f， 所以 a 撇 e 就 要平行于后面这个平面，所以我们面面平行就出来了。那我们看一下能不能挣出来这两条边，这两条边它们是平行的，我们观察一下这个题干 给了我们 ab 平行于 cd， 这一条和这条是平行的，又有了这个 ef 平行于 ab， 这一条和这条也是平行的。那我们不就可以得到这个四边形，它是平行四边形的吗？又有角 a、 b 啊，它是九十度啊，这个是九十度，所以我们就可以得到这是一个矩形，然后这个图形它怎么来的呢？ 这个图形啊，它是我们的四边形， e、 f、 d、 a 沿着 e、 f 翻折得到的，那不就是这个四边形沿着这个 e、 f 往上面翻吗？ 所以底下这个四边形所具有的性质，我上面同样具有。那么讲到这里，相信同学们的思路已经有了，我们来看一下具体过程要怎么规范。 第一步啊，我们先梳理一下折叠前后的基础条件，因为在四边形 a、 b、 c、 d 中， ab 平行于 cd， 那 是题目给的，且 ef 平行于 ad， 所以 这是一个平行四边形。 又因为角 d、 a、 b 等于九十度啊，这个九十度，所以有一个直角的平行四边形，它就会是矩形。那么写完之后，我们第二步来，你先证明一个先面平行， 因为啊，我折叠后，这个矩形，它的性质是不变的，所以我原来 a、 e 是 不是平行于 d、 f， 折叠后就会有 a 撇 e， 它平行于 d 撇 f， 然后利用一下刚刚讲过的线线平行，怎么推出线面平行？ 线在面内，线不在面内，所以线平行于面，这是第一个啊， a 撇 e 平行于后面这个平面，那思路是一样的吧。 eb 来 e、 b 平行于 f、 c， 所以 e、 b 它不在后面这个平面， f、 c 它在后面这个平面，所以可以得到 e b 平行于后面这个平面。两个线面平行是不就可以得到面面平行了呀？我们就可以得到，因为啊， a 撇 e 和 e b， 它相交于点 e 的， 然后 a 撇一和 e b 呢，它都在前面这个平面内，所以前面这个平面就会平行于后面这个平面。又因为啊， a 撇 b， 它是在前面这个平面内的，所以 a 撇 b， 它就会平行于后面这个平面。那我们第一问就很快的得到了。 如果说你按照这个步骤去书写啊，我相信查卷老师他不可能会扣你过的步骤分。好，接着我们来看下一步，我们讲完了这个平行和垂直的问题，是不是要考虑角度的求法了呀？ 角度啊，我们同影像量，因为现在距离高考还有最后的十四天的时间，我们不讲过于复杂的几何法，我们只讲投影向量。好，先强调一下意面直线所成的角，我们取的都是什么角啊？ 都是锐角啊，锐角，呃，这里不书写啊，都是锐角。好，来看， 我们如果想让你求 e 面直线所成的角，你就要想啊，把两个 e 面直线的方向向量给它表示出来，然后利用你在向量那一节学到的向量的数量积公式进行一个变形，是不是就可以得到口算 c 的 会等于这一串呀， 对吧？同学们，因为我刚刚强调了，你 e 面直线所成的角，我们取的都是锐角，所以你要加上一个绝对值， 绝对值啊，绝对值。好，那我们接着来看线，线角。讲完之后我们要讲什么？ 是不是线面角啊？线面角，它指的是直线与平面所成的角啊，那我们同样你要在这个平面内找出它的法向量。我们算线面角的话，是算线面角的正弦值会等于这个 直线直线的方向向量与平面的法向量所成的角的余弦值。那同理啊，这个余弦值要取一个绝对值绝对值，那方法呢？方法的话，同样你是利用你在向量那一节学到的公式吗？对不对？ 好，线面角讲完之后我们要讲什么呢？那这里啊，这里有一个易错点，就是同学们要知道你线面角所 我们利用这个方向向量与法向量所求得的这个余弦值啊，是等于我们线面角他的正弦值。好吧，具体为什么呢？在我的八十五天冲刺系列课里面，这个立体几何这一节有讲到的啊，有讲到的 好，接着我们要看什么面面角了吧，那面面角通常是指二面角，也就是两个半平面所形成的假角。我们来看一下，核心是我们要在这两个半平面 找出它的法向量 m 和 n， 然后啊，然后计算这两个法向量他们所成假角的余弦值。 算出来之后呢，要注意，我们算出来的是加绝对值的啊，算出来的值是加绝对值的，那具体我这个二面角它的余弦值是多少？你要回归图形，我们观察一下你的几何，直观来判断你到底是锐角还是钝角， 如果是锐角的话，口算 c 塔肯定结果不变。如果是钝角，你要在你求得的值他的前面再添上一个符号。 好，那么我们角度的求法就讲到了这里，我们就选取这一道具体的题目进行一个讲解，来，我们看，他让我们求这个平面 b， c， d 撇和这个平面 e， f， d 撇， a 撇他们所成的二面角的正弦值。那我们按照思路是不是要求这两个平面各自的法向量呀？ 求出发向量后，我们利用法向量的乘积，再除掉他们各自魔长的乘积，是不就得到这个二面角的余弦值的绝对值啊， 再利用 sine 方加 cosine 方等于一，从而得到这个正弦值吧。好，我们来看，第一步是要间隙怎么建呢？因为我们通过第一问得到了这个角度啊，这里是垂直的吧，所以我们可以以 f 为坐标原点， f， e 它是 x 轴， f， c 它是 y 轴，然后啊，再过这个 f 点做 z 轴，它垂直于这个底面就可以了。 行，我们来看一下第一步，因为他这个题目啊，没有给我们具体的每一条边的长度，他只给了我们比值关系吧，所以我们看 ab 等于三倍的 ad， 我 们可以假设 ad 为一，用一位 cd 等于两倍的 ad， 然后 f 点它是中点，所以啊，这个 d， f 会等于 c， f 都是一，那因为我们第一问得到这是一个矩形吧，所以 a， e 是 不是也是一啊？那 e， b 就 只能是二了吧。好，我们得到这些条件，来观察一下 你要的这个平面 b， c， d 撇是不是坐标都可以写 b 点坐标很容易了，它是不是 x 走上距离应该是一啊， y 走上距离是二吧，然后 z 走上为零，然后 c 这个点的坐标呢，也是很容易的吧，应该是零一零吧。那 d 撇呢？同学们，这一道题重点就是这个 d 撇要怎么求了？ d 撇我们看一下，你不知道这个 d 撇 f 这一段长呀，它是由 d、 f 翻折上去的，所以 d、 f 是 不是为一， 对吧？同学们， d 撇 f 为一，然后这个二面角来看一下 e、 f， d 撇 a， 找一下 e、 f， d 撇 a 这个平面和下面这个平面 e、 f、 c、 b， 也就是说这个平面和这个平面，他们的二面角是六十度，我们观察这一条边是不是垂直于这个交线的， 这一条 cf 是 不是也垂垂这个交线？所以我们的 d 撇 fc 这个平面角，它是不是就是这两个平面所形成的二面角呀？对吧？所以我们 d 撇 fc， 它是等于六十度的啊。 d 撇 fc 六十度， d 撇 f 为一，所以 d 撇 它的横坐标啊，它的啊，不是横坐标，它的 y 轴上的距离是不就是 d 撇 f 乘以 o 三影六十度啊？它的 z 轴距离是不就是 d 撇 f 乘以三影六十度啊？所以我们可以把 d 撇的坐标也算出来，那所有的点坐标都有了向量，坐标是不就出来了？ 我们看一下你想要求得这个法向量，是不是假设先设这个 b、 c、 d 撇，它的法向量为 n、 x， y、 z， 然后啊，我们看到上面这一块，是不是可以写出这个 c、 b 向量乘以法向量等于零， c、 d 撇乘它也等于零。然后你把具体的坐标带进去， 再来，你带进去之后，你要先赋值，我们赋其中一个为根号三，令这个 y 等于根号三，所以这一整串为零的话，它就等于一了，然后 y 等于根号三，你的 x 是 不也得等于根号三呀？ 所以法向量 n 就 出来了，那同理，这个平面法，这个平面 e、 f、 d 撇 a 撇，它的法向量跟上面这一个的算法的格式是一样的，我就不细讲了，那过程就在这里。接着你有了两个法向量坐标，是不是就可以算他们的假角了呀？ 假假就是口算 c 两的绝对值会等于这个法向量的乘积的绝对值，再除掉它们各自抹长的乘积，然后算一下。其实我们这个分子啊，这个分子它应该是绝对值，然后负三再加 一。好分子应该是这一个啊，应该是这一个，然后算出来的话，结果还是不变的。你算出来余弦值之后，我们的正弦值是不是也可以直接利用这个三一方加口三一方，等于一来给它表示出来呀？ 那么我们这道题的第二问是不是就求出来了？因为它是求二面角啊，所以我们算到这里就可以结束，那么我们今天的课就讲到这里。

男的是哪个的球啊？就那个体积的球法。他说的是谁的外接球呢？ p e a b c d 的 外接球是吧？把它单独画出来行不？咱单独画一个行不？ 就专门来研究它了，因为那个线太多了，是不是 他用到的是 p e？ 那 我也用 p e 吧。 这是 p， 这是 o e 对 吧？这里肯定都是虚的啊。 啊，大家记得这意思好，它应该在哪儿了嘞？你能找到这个球棋吗？ 因为它的到 p 和 a 点的这个东西是相等的吧。那所以它既在这条高线上，又在 pa 的 这个中垂线上，是不是这意思啊？ 能理解了不？你可以把这个连起来看，那这个地方就是它，然后我们但是它是这个邪不隆冬的，呃，那样的一种情况 对不对？在这个里头啊。嗯，当然他这个高，我可以把这个边长是不是算出来了，就是 p a 的 边长是不是可以算出来了？ 最野蛮的办法我们还可以采取什么办法？就刚才我们说出来可不可以间隙做，那这个隙怎么建了？是不是这样的间隙了？然后这个 然后这个对吧？可以不可以？这是 x， 这是 y， 这是 z， 是 不是啊，那么解气以后哈。呃，我们这个点的坐标是比较容易求的，它肯定在 y 轴上， 然后再来一个 z 的 坐标是不就可以了？我们把它叫做 q 行吗？这个球形好了，我们快速的建完系以后把这个哎坐标我们搞出来，只要搞出来几个坐标就行了嘞。第一， p 一 的坐标是不是要出来了？零零 杠上了吧啊？第二，一个 a 点的坐标，因为底面是多少 底边边的是二吧，那这个是不是一了？一零零对吧？好了，那我们的 q 也就是球心，这是球心啊，坐标是多少？ 是不是有一个未知数啊？我就是来个 z 行吗？啊，他这个就是零，你这里头肯定就是这个的一半，对不对？ y 就是 负一吧， 是负一能懂了吗？我怎么求这个贼呀？ q 到 a 的 距离和到 p 一 的距离是不是该相等啊？所以我们就说 q a 一， 我的平方长度的平方 做，不要做错了两点的距离公式啊，空间的两点距离公式一，再加上一，因为它俩交减，再加上什么 z 方，然后我们 q p 一 平方 零一再干嘛呀？ z 一 减刚好三个平方吧， 那我们就可以看得到 z 方加一等于 z 方，再加什么三行不？二倍刚好三， z 等于什么了嘞？二，所以 z 等于什么了嘞？ 是不是三分之杠三，那我要求的半径是不是就出来了？半径等于什么呢？就是截的平方就可以了，是不是？所以它等于 q a 一 啊， 那就等于刚好下，你这里是二加三分之一，所以等于刚好七分之刚好。三分之刚好七，能理解不？ 他的体积公式是不是出来了，所以球体的体积这里就挺好的，有个间隙来求体积的是吧？啊？球体的体积等于多少？三分之四 high 二立方啊， 你这个二立方了嘞，他首先有一个三分之七，这是平方在刚好三，刚好七，所以最后等于多少了嘞？ 二十七分之二十八倍刚好二十一，是不是这个就出来了？球体我们就解决了这道题，你都我这个球，我不好球的时候我是不是才出来一种什么方式了？ 坚信这也是很好的一种技巧。好好，接下来要求这个的体积是不是好球啊？这个体积，刚才我们所说到了，他要你求的是这个小的体积啊，只要你求小的啊，求小的体积转化啊，就是这个四棱锥的体积啊，分割一下， 就是我分割成 v p e a， b， f， 加上 v p e a e f， 这两个体积有二倍关系，你能知道吗？它们俩是不是等高？这个 p 底是不是二倍啊？嗯，因为，那这个肯定是周围线嘛，底是不是二倍？所以呢，你这个体积是这个体积的二倍， 把这个体积一旦算出来，是不是乘到二分之一？好，为什么算这个体积呢？这个体积可以换四角，就是 v p e a， b， f， 换个顶点来看问题， v f p e a b， 我 为什么这样换呢？把面换到表面上来，懂了吗？ 这个体体积来说，我这个 f 这个高，好求吗？ 是不是相当于 d 到这个的距离的一半？因为将来你 f 是 不是中间了 和 c 到这个面的距离， d 到这个面的距离是不是它的一半啊？这就是高，知道了吗？为什么它就是高啊？因为 d a 垂直于它，它又垂直于底面的，肯定垂直于它，它是不是垂直于这个底面了？ 所以就是一高，是不是一等于三分之一乘以底面积，底面积是不是就高三，再乘以高高是不是一， 是不是三分之高三？你这个是三分之高三，这个呢？ 六分之高三，这个相当于六分之二倍高三，那是不是六分之三倍高三了？那就是二分之高三了，对吗？所以你这个体积啊，二分之高三，也就是说最快的体积好了，两个一比是不是就出来了， 能理解不？哎，球体的体积是那么多，是不是就要拉那个二十七分和二十八倍根号二十一算比上这个是不是 能明白不？刚好三是不是可以约掉了？我说刚好三是不是可以约掉了？ 所以他出来了，五十六位，刚好七，二十七，还有一个派，所以选这个 能理解了吗？是的，好。这道题我觉得挺好，第一个有那个体积的算法，但是体积算法里头我用到了什么转化？仔细看啊，同学们，这个题其实挺有收获的。这道题的体积的算法 有两个值得我们去注意，这个小体积的算法我采取了是不是分割的办法，而分割的过程当中了呢？ 有一个体积就是我 p， e， a， b， f 的 体积，我换了， 是不是换了顶点了？换了，看问题的角度了， f， 对 吧？ a b， p， 我 为什么要换啊？一定要换到面，在表面算的，知道了不？这样的体积好算。

二零二二年的高考可以称为史上最难，像这个立体几何题，也是近十年里面最难的一个平行题。 这里首先给同学们最大的冲击就是这个图长得有点太空间感了，对于空间感稍微弱一点的同学来说，简直就是灾难。像这种非常抽象的立体几何平行题，我们如果单纯的使用眼睛去看的话，这个题可以说基本上是做不出来的。所以像这种复杂的这种平行题或者垂直题， 我们使用的唯一的方法就是推理，可以这样说，越复杂的图像用推理越好用， 那什么怎么去推？这个题怎么去做？我们来一块分析一下。首先说线面平行，我们思考一个问题，如果让你正一个线和一面，你怎么去正？ 那我们脑海里呈现两种方法，第一种方法，正线平面，只要正线平面里的一条直线就行，可能是中微线，也可能是其中的一个边，也可能是怎么的，反而要在这个面里做一条它的平行线。 第二方法的话，就是我们要把这个线放在一个面里，只要是这个面和这个面平行，那这个线和这个面就是平行的。这两种方法的话，哈，可以说证明所有的线面平行题， 那这个题的话，你也不例外，因为我们线面平行的几何法就只有这两个方法，没有。第三个，所以用方法，用推理思路去看的话，你就不要去想别的了。首先证明 o e 平行于这个 p a c， 利用方法一的话，你就要在这个 p a c 里 找到一条 o e 的 平行线，那在 p a c 里找 o e 的 平行线的话，那首先说你肯定是过特殊点做 o e 的 平行线，那过特殊点的话，你想过 a 或过 c 过 p， 这个地方同学们大多数能看出来应该是过 p 做，哎，这个平行线这样的话相对而言是比较好的。这样的话，做一条 p o 平行于 o e， 那 做是做出来了，也是说这个题大概率哈，大概率是证明 o e 是 平行于什么呢？ pm 的， 那我们做出来这种关键的问题还是需要去正，那这样好，我们再去思考一个问题，我们想要正这个线和这个线平行，同 学们仔细再观察这两条线他们的长度是不是一种一长一短的关系，但凡你看出来他的长度一长一短，那么可以了。两个线一长一短，还要证明他俩平行，那同学们就不要去想别的了，那这两条线一定会在一个什么呢？一定会在一个三角形中， 三角形中的话，这个点如果是这个点边的终点，这个点也必然是这个边的终点，如果他是三等分点，他必然也是三等分点，这就是我们的推理思路。我们想要证明这条线和这条线平行，那没有什么别的方法，你一定要把这两条线放在什么呢？同一个面中，那放在同一个面里的话，这个题你仔细观察， p e 延长过来是经过 b 的， 那换句话说，这个 o m 就是 这个 mo 延长过来，是不是应该是很有可能是经过 b 的？ 要想平行的话，它是不是必须得经过 b 啊？ 好了，那这样的话，我们连了之后，这样的话出来了一个什么三角形 p m b， 那 同学们仔细观察，这里边有一些问题就已经呈现出来了，这个步骤我该怎么去写？ 有同学说，哎，我做了一个平行线，我直接过屁做 pm 平行 o e 啊，直接写，那这样写首先是不合理的，因为我们目标是证明他俩平行，你肯定不能在试卷上写，哎，我做一条平行线，肯定不能这样说，那怎么说呢？那我只能就是先什么延长 b o， 延长 b o 交 a c 与 d m 连接 pm 啊，所以这个辅助线得这样去做才行。 那这样去做之后，我们呢，想要证明他俩平行，然后看这个 e 啊，是一个什么呢？是一个终点，所以这个题的所有的压力就出来了，我们只要证出 o 哎是 b m 的 终点来，哎，这个事就万事大吉了，这个题咱们就成功的给解决了。那 o 点是 b m 的 终点，如何去证呢？ 首先观察这个 o 点应该是底面 a b c 里边的一个点啊，这个 o 点是 b m 的 中点的话，那底面 a、 b、 c 长什么样子，我们就得好好研究一下这个底面了，对吧？好，我们来看一下这些信息， 想要研究底面的话，同学们可以哈，先把底面 a、 b、 c 啊，先把它给摘出来，先随便先画一下，这是 a， 这是 b 啊，这是 c。 然后呢，题干里说了， ab 和 ac 是 垂直的标上，那读完条件之后，这上有个 p 和 pp 相等， 同学们想根据推理思路，两个边相等， p 和 p b 相等，干什么用的嘞？同学们想两个边相等，根据推理思路，就是想告诉我们，三线合一的，就是说 p 和 p b 相等，你取一个 ab 的 中点 n， 然后呢，把它给连起来， 那连起来之后，这样话，我们就能得到一个信息，就是 ab 的 话一定是垂直于这个 pi 的。 哎，他要说你怎么想起来连这个东西，我怎么就想不到呢？这就是我们的推理思路。赵老师说过很多的正推反推法，正推的话题，概率给了我们两个边相等， 他的目标就是为了让你推这个三线合一，要不然他给你这两边相等干啥？只是为了告诉你这是个等腰三角形吗？不是的，他想利用这个等腰的这个特征推出来一个垂直。明白这个道理之后，咱可以推理思路，两个现象，垂直给我们的目的是啥？ 线线垂直，同学们，记住，它的作用就是让你证明线面垂直的，不要去怀疑别的，就是线线垂直的唯一目的就是想让你推线面，怎么去推呢？ ab 垂直于 c 啊，咱写下来，那这样的话，你会发现一个问题， ab 是 不是垂直两条线？ ab 垂直于它， ab 垂直于它， ab 就 必然垂直于它两条线所在的这个平面。然后再去思考这地方还有一个东西很容易忽视的哈，就是 p o 和底面是垂直的，那 p o 呢？和底面垂直是不是也和 ab 是 垂直的？那这样哈，同学们仔细观察这地方， ab 垂线太多了， ab 垂线太多了， ab 垂线干什么用的？是不是推线面垂直用的？好了，我们来看一下图， ab 垂直于什么呢？偏 ab 垂直于 p o， 那 出来了，他俩是不相交的呀，他俩相交形成了一个平面，是 p o n 呀，所以 ab 一定是和 p o n 垂直的，所以连起来。哎，有时候他两个推出来了一个哈 ab 垂直平面， 什么呢？ p o， n， ab 和中间这个三角形垂直是不是？ ab 是不是就和这个面里的啊？是不是这个 o n 垂直啊？然后呢？ a b 垂直， o n a b 呢？又和 a c 是 垂直的，那说明是没问题啊，是不是它两个就能说明这个 o n 是 平行于 a c 的 呀？那既然它俩平行，同你想想， n 是 我们自己取的一个终点，对吧？它两个如果平行的话，那这个 o 的 是不是就是 b m 的 终点？所以进而就能推出什么呢？就是因为这个 n 是 终点哈 啊， n 为终点，最后推出来什么？这个 o 是 是 bm 的 终点，我们就把这个题解决出来了， 推出来 o 是 他的终点， e 是 他的终点，所以这个线和这个线是不是这个线就中线，这个线就和这个线平行啊？ g r， 最后加上线在面内，线不在面内，所以这个线和这个面平行。按这个题第一问就正确了， 也就是说，同学们观察出来，为什么我把这个题定义为史上最难，原因是线面平行题。大多数情况下，只要简简单单正线平面的一条线就行了， 而这个题表面是一个线面平行题，实际上里边最重要的思想，同学们看大幅的篇幅都在证明什么呢？线线和线面垂直，也就是说这个题啊，是一个什么呢？套着平行的一个垂直题，所以导致比较难一些。

历史体格经常被大家诟病的是，这道题如果没法见戏怎么办？或者是这道题我怎么去见戏？这期视频点点关注点点赞，就一个思想，来吧，黑吧，老演员了啊。今天是历史体格急段位置，我就举一个啊，我就举一个高考题为例啊，二二年二卷的高考题， 你题里边已知 pa 等于 pb 啊，还知道 a b 垂直于 a c 啊，原题就是这样图画的，非常之恶心，告诉你， a c 和 a b 是 垂直的。大部分孩子到这蒙了，第一问是让你去证明 o e 平行于 p a c 这个平面， 有的孩子看完这道题，我去，这咋见习啊？而且第一问基本上都是不见习的，对吧？在讲这道题之前，我先给大家翻译一下部分题的常规套路啊， 来，镜头往下。首先，如果题里边有等腰或者等角，基本上就是中卫线没跑了，怎么去找呢？你拿一个这么长的格尺，你去沿着这个线去平移啊，平移，懂我意思吧？平移，哎，你格尺跟哪条边有交？有交点了， 你再把这个点跟这个连上，哎，这么去找中卫线，懂我意思？能追能住的面积了，那你基本上等体积就没跑了，等体积一般求啥？求二面角对吧？哎，之后呢，如果说体里边有外接圆，内切圆这个字样了，想补形啊，去想补形法，基本上都会补成长方体或者正方体的， ok 吧？那么好，我们回到这道题啊，回到这道题，我们仔细来看，我们要求 o e 平行于 p a c 对 吧？ ok， 那 我 o e 在 这，我是不是拿格尺去找啊找啊找啊找啊找啊找啊？哎，是不是肯定在 a c 上有一个点要跟它平行啊， 对吧？哎，省略版，废话不多说，我把过程， ok， 那 我们废话不多说，我们把这个点找到， ok， 那 我们找到了之后啊，这个 f 点，我们，那我们找到了这个 f 点之后，我们是不是只需要证明 o 是 f b 终点就可以了？所以说我们把这三角形自然而然的，这个图不好看，我们把这个三角形自然而然单拎出来，我把 a o 一 连啊，我把 a o 一 连，现在是不是要证明 o 是 f b 终点，对吧？那我们再回来再去看题，里边还有啥条件咱没用 pa 等于 pb 啊， pa 等于 pb， 那 么好，我连接 oa 啊，我连接 oa poa 是 不是全等于三角形 pob， 那 oa 是 不是就等于 ob 了？那如果我说 oa 等于 ob 了，那我 o 是 不就是中点了， 对吧？那我 o 是 终点了。我在我在这条，我在这个平面是不是找到了一个 f 之后，过程不用我多说了吧，我也会在高考之前呢，我也会找个时间，找个晚上给大家串讲一下啊，给大家开直播讲一下，分析一下每个题的考点啊，如果有需要的可以点主页进我粉丝群。

今天我们用六十秒用三 d 技术讲解如何找到高中立体几何二面角，看完直接拿捏！第一种，定义法，最简单最基础，棱上随便找个点，两个平面内分别给棱做垂线， 两条垂线的夹角就是二面角，适合棱清晰，有中点端点的题型。第二种，三垂线法，高考压轴高频，一个面内找点，向另一个面做垂线，连线形成的夹角就是二面角，找不出垂线就用它。 第三种，垂面法，卡点万能法，做一个垂直于棱的平面，平面和两个面产生两条交线，交线夹角就是二面积，棱不规整直接用。第四种，摄影面积法，懒人秒杀法，不用找角，不用画线，原面积摄影面积做笔直鱼弦直，直接出选择 t 填空题最快解题。 第五种，空间向量法，兜底保命法，建作标系求两个平面向量，向量加角算出来判断钝锐二面角直接搞定，大体无脑套用！关注逐梦动画数学，带您轻松拿捏高考！

力矩几何是高中数学的重要板块之一，今天我们挑战一个视频，讲清楚力矩几何当中垂直的所有题型。我们从线面面垂直证明问题，讲到了用几何法去求线面角，再讲到用几何法去求面面角，学完这个视频，帮你扫清力矩几 何垂直的所有题型盲点。我们来看题型一，线面面面垂直的证明问题。在讲这个题目之前，我们先来复习一下线面面垂直的判定定力和性质定力，其实也非常简单， 我们知道判定力呢，就是说怎么去证明，那我们现在看已知一条直线 l 和 r 法，我们怎么去证明这个 l 和 alpha 是 相互垂直的呢？非常简单，我们在 alpha 这个平面内啊，找两条相交直线 m 和 n， 如果我们能证明 l 垂直 m 且 l 垂直 n， 那 么就可以证明 l 垂直 alpha。 好，那我们来看它的性质定义。性质定义就是说已经知道这个 l 垂直于 alpha 了，我们怎么去用它好？首先 l 垂直于 alpha 了， l 就 垂直于怎么样 alpha 呢？任意一条直线， 并且呢，如果有另外一条直线 ml 和 m 呢，是相互平行的，那么这条直线 m 它也垂直于 alpha， 这是它的性质定义。 接下来我们来看一看面面垂直的判定定律。怎么去证明 alpha 和 beta 这两面相互垂直？非常简单，在咱们 alpha 里面找一条线 m， 如果我能证明 m 垂直于 beta， 那 么 alpha 就 垂直于 beta。 我 们来看最后一个性质定律，已经知道 alpha 和 beta 相互垂直了，怎么去用呢？我们假设 alpha 和 beta 的 交线为 l， 那 在其中一个平面 alpha 内，我找到一条线 m， 如果 m 是 垂直于这个交斜 l 的， 那么我们就可以推出这个 m 是 垂直背他的，这个是他的性质定律。好， 那复习完这四大定律之后，我们接下来来看题型。一，这个问题，他现在说呢，有一个正三个柱，大家理解正三个柱是什么？就底面是正三角形，并且它的棱呢，是垂直于底面的。我们来看他说 d 为 ab 的 中点，然后 a、 e 等于 ab 等于四， b， e 等于三倍的 e b， 那也就是说咱这个 e 应该是一个四的分点呗。好，现在问题问的是让我们去证明 a、 d 垂直平面 c、 d、 e， 也就是这条黄色的线要垂直于蓝色的这个平面，那接下来我们来看一下，如果要想证明一条线垂直一个面，那必然在这个面内要找两条直线来跟这个 a、 d 相垂直，对吧？ 好，那找哪两条线呢？我们一般首选肯定是这个平面所在的这个三条边，对吧？那三条边我们应该选哪两条边呢？一定是怎么样跟 a、 d 相关的？你看这个 c、 e， 它跟咱们的 aed 应该是一个什么平面直线不太好正垂直，但是 aed 和 d、 e 还有咱们的 d、 c， 它都是有公共点的，这样更方便去正垂直，对吧？所以呢，我们初步的想法就是去证明这个 aed 垂直于 c、 d， 再证一个 aed 垂直于 d、 e， 如果这两都能挣出来，那么线面垂直的任务就完成了，对吧？这是初步的思路。那我们接下来来看第一个，如果我要证明 a、 e、 d 垂直于 c、 d， 这应该怎么去挣呢？大家可以发现 a、 e、 d， c、 d 它怎么样在同一个平面 a， e、 d， c 当中，对吧？那在 a、 e、 d、 c 当中，如果我想证明两条线段垂直，直接用勾股定律就好了， 所以呢，接下来我们来标一标它的长度， a、 d 的 长度， a、 d 的 长度，你要想这个 a、 d 呢是二， a， e 呢是四，又因为它是一个什么正三柱啊？刚刚我已经讲它的性质了，那也就是说咱们这个 a、 d 应该是二倍根和五。 好，那我们看 c、 d 底面是一个正三角形嘛，所以这个 c、 d 的 长应该是二倍根号三，我们接下来看 a， e， c， a， e， c 是 不是就在这个 a， a， c， c 一 这个正方形里面，对吧？它应该是四倍根号二。那么接下来要证明的话，我们就看一下，看一下发现二倍根号五的平方加上二倍根号三的平方， 就等于四倍根号二的平方，对吧？那接下来我们就证明了 a、 d 垂直于 c、 d 了，那我们来看第二个 a、 d 要垂直于 d， e， a， d 要垂直于 d、 e， 大家观察一下它就在什么？就在左边这个侧面 a、 b， b， e， a， e 上，对不对？还是它用勾股定律 a、 d 已经知道了，咱这个 d、 e， 第一，它可以在这个 d、 b、 e 这个直角三角形里面，它应该是多少？这是二，这是一，那 d， e 应该是根号五。接下来我们看一下 a， e， a， e 可以 在什么 a， e， b， e， e 这个直角三角形当中，也就是四、三，就应该是五。好，那我们要想证明它相互垂直，还是用勾股定律 二倍根号五的平方加上根号五的平方，发现刚好是五的平方，那第二个线线垂直，我也证出来了，那接下来 a、 e、 d 垂直平面 c、 d、 e 就 得证了，那具体的过程和步骤我就不详细赘述了，主要给大家讲清楚咱们证明的几题思路。我们来看第二题。第二题呢，是在一个正四楞柱 a、 b、 c、 d 杠 a、 b、 e、 c、 e、 d、 e 中，那正四楞柱很明显意思就说底面是正方形，然后它的四条棱长应该垂直于底面，对吧？好， 现在呢，题家当中告诉我们一条线段垂直的讯息，也就是 a、 c 垂直于 b、 e。 我 图中画的这两条绿色的线段相互垂直， 现在呢，他的第二问让我们去证明平面 a、 e、 c、 d 垂直于平面 b、 d、 e。 为了方便大家去看，我已经提前标出来了，就是这个黄色的平面呢，垂直于这个蓝色的所在的平面。那我们根据刚刚复习的内容，我们要证明两个面相互垂直，应该怎么证啊？在其中一个面找一条线，对吧？证明这条线垂直于另外一个面就好了， 因为体验条件当中，它已经有 b、 e 垂直 a、 e、 c 了。那么我们要么去证明 b、 e 垂直蓝色的这个平面，要么去证明 a、 e、 c 垂直黄色的这个平面，那此时我们就看看哪个更方便嘛，对吧？如果是我选的话，我会选 a、 e、 c 垂直黄色这个平面。好，那要想去证明面面垂直， 第一个我要去证明 a、 e、 c 垂直于平面 b、 d、 e。 那 为了完成这个线面垂直，我们刚刚已经知道了 a、 e、 c 它是垂直于 b、 e 的， 我只要再找一条直线是不就行了？我们来看一下 a、 e、 c 除了垂直于 b、 e 还垂直于什么呢？不知道大家能不能很快的观察出来 a e c 呢？ 应该垂直 b d 的， 那有少部分同学肯定会觉得这两条直线怎么相互垂直，应该怎么去正呢？那这里呢，我要给大家普及一下一个知识，就是大家常见的射影定律，或者叫三垂直定律。 好，所谓的摄影定律叫做什么呢？也就是说，如果一条直线它在一个平面内啊，它的投影跟这个平面内的一条直线相互垂直，那么它本身就和这条直线相互垂直。好，我们看我画的这个图啊，大家看一下，这个 o a 是 这个平面外的一条直线嘛？那这个 o a 它在这个平面上投影就是 o a 撇，我们做了一个垂直。好， 那现在呢，如果我们知道这个 o a 撇和直线 m 是 相互垂直的，就一定能得到它的本身 o a 是 和直线 m 相互垂直的，那这个我们来证明一下，其实非常简单啊，首先呢，因为 a a 撇是垂直于这个平面阿尔法的， 所以这个 a a 撇就垂直于这条直线 m， 那 我们观察一下 m 呢，不仅垂直于 a a 撇， m 还垂直于 o a 撇，那么 m 就 垂直于平面 o a a 撇，对不对？好，那么我们就得到什么 m 垂直 o a。 好， 已经证明了。回归到这道题上来说，我们来看一下如何去看出来这个 a e c 是 垂直 b d 的 呢？我们看一看 a e c 投到底面的影子应该是什么？是不是应该是 a c 啊？ 那 a c 垂直于 b d 吗？当然垂直了，它是正方形的两条对角线，肯定相垂直。好，我的影子垂直于 b d， 我 的本身当然垂直于 b d 了，对吧？好，那么我这个条件是不是就证出来了？根据设计定律得到的，对不对？那大家要注意一个点啊，你在正规的考试当中去写这道题的时候， 我们是规定这个设计定律不能直接去使用的，大家还要把我刚刚的这个证明过程简单的摆上，这样的话整个过程才算完整，不扣分的。好，那现在我知道了， a e、 c 垂直于 b e， a， e c 垂直于 b d， 那 a e c 就 垂直平面 b d e 了，对吧？然后 a、 e、 c 呢，又属于这个平面 a e、 c、 d， 那 两个面相互垂直就得正了。 好，那我们来看题型二，用几何法去求线面角。那在讲这个题型之前，带大家去复习一下这个知识点，想求一条线和一个面的夹角，不怎么去做这个线面角非常的简单，比如说现在有一个平面 r 法， 有一条直线 l， 我 们现在要找到 l 跟 r 的 夹角，非常简单，就干嘛呢？在 l 上 找到任意点 b， 我 们过 b 呢，做这个平面的投影， b 撇好，连接一下 ab 撇，那么这个 b a b 撇就是线面夹角。好，那我们回到这道题上来说，题目说这个高 po 啊，为四正四楞锥，那我要给大家说一下，正四楞锥什么呢？就是顶面是正方形， 然后它上面的这个尖点呢，一定要是在这个正方形中心的正上方就可以了。我们现在知道 po 呢是四 ab 的 程度呢，是二。 好，那因为底面是个正方形嘛，所以它四角边都是二点 h 呢为 p c 上的一个动点，则当三角形 h、 b、 d 面积最小的时候，问咱们线面的夹角，那我们先看前半段，现场证明这个三角形 h、 b、 d 的 面积最小。 那我们先来观察一下三角形 h、 b、 d 的 面积如何去表示。首先呢，我们能够知道它应该怎么去表示 s， 三角形 h b d 啊，应该等于二分之一的 b d 乘以 o h， 那 b d 的 长度又不变，其实就是看咱们的什么 o h 什么时候最小，对不对？好，那这个时候有朋友说，你怎么知道它就是以 b d 做底的时候， o h 是 它的高啊，我不知道大家能不能看得出来啊？这个 d h 和 b h 怎么样？ 这两条线应该是相等的，我们根据什么呀？根据这个正弦锥的特征，我们观察出来它们相等之后，那所谓的 o h， 它不就三线合一了吗？所以它就垂直于咱们的 b d 了。好，那么我们就来找一找咱们这个 o h 啊什么时候取得最小值， 我们先找这个 h 呢到底面的投影，那大家想一下，因为咱们这个 pc 它在底面的投影应该就在 o c 上来会滑动，所以呢，我们假设在图中这个 h 的 位置 往这个底面做垂线，那就应该是什么做到 o c 上的一点 e 处了，那也就是说现在呢，我们知道 h e 呢是垂直于 o c， 并且呢它也垂直于这个底面。那根据刚刚我们的特征，我们来找一下咱们这个什么 o h， 它的值什么时候最小？ 好，那么我们要看 o h 的 值最小的话，可以用一个勾股定律，也就是咱们的 o h 呢，它应该等于根号下 o e 的 平方加上 he 的 平方，那我们来设一下假设，当 h 呢？在图中 pc 的 位置的时候，咱们这个 e c 的 长度为 x， 我 们来看一看咱们这个 o h 的 长度怎么用 x 来表示？那么首先根据相似来找到它们每条边的长度， 设，咱们的 c e 的 长度呢？等于 x， 那 因为三角形 c h e 相似于咱们的三角形 c p o 好，那么我们就知道什么，知道咱们的 h e 比上 ec 就 应该等于 po 比上 oc， 也就是四比上根号二，那么我们设的 ec 为 x， 那 大家想一下，咱们这个 h e 就 应该是多少二倍根号二 x 对 不对？ 好，那接下来我们要表示的这个 o h 就 出来了， o e 的 长度就应该等于什么根号二？减 x 和 y 的 平方好， h e h e 是 二倍根号二，括号 y 的 平方，那也就是 八 x 方，那么我们要找到 o h 的 最小值，然后再来看什么 o h 平面 a、 b、 c、 d 所成的夹角，那咱们这样一找，是不是刚好就把它的夹角找出来了？它夹角是哪个？ 是不是就是这个 h o e 啊？对吧？因为我们是过 h 点做顶面的垂线嘛，那这样就找到了线面的夹角。好，那首先还是来求一下，看看 x 取什么值的时候，咱们的 o h 呢？应该是九 x 方，减去二倍根二， x 加二好，什么时候取最小呢？当前仅当 x 等于九分之根号二的时候取最小。好，那我们把它带进去，看看它最后的 o h 取得的值是多少， 那也就取三分之四，这个是 o h 的 最小值。好， o h 的 最小值出来了，我们刚刚说它要证明的是它的余弦值，也就是 cosine c， 它那咱们这个 cosine c， 它就等于什么 o e 比上 o h 的 长度呢？是三分之四，我们来看看 o e 的 长度。 o e 的 长度不知道，但是呢，我们知道 c e 的 长度就是 x x 取九分之根号二。好，那 o e 的 长度是不是就应该是根号二？减去九分之根号二，也就是九分之八倍的根号二， 那么最后求出来应该是三分之二倍根号二。我们来看最后一个题型，题型三，用几何法去求面面角。那在讲这个之前呢，我们还是要来复习一下面面角的做法，其实也非常简单， 如果有两个面，一个平面是 alpha， 一个平面是 beta， 它们的交界呢是 l， 那 么我们要找到面面之间的夹角呢？是过这个 l 在 两个平面内呀，同时做 l 的 垂线，比如说在 l 上找一点 o， 我 做了一个 o a 垂直于 l， 还做了一个 o b 垂直 l， 那 么这个角 a o b， 它就应该是这两个平面的夹角。好，那接下来我们来看一下这道题，他说呢， pa 和 pb 母线相垂直，然后 pa 和 pb 呢，长度是二，告诉我们直线 pa 于底面的夹角， 那我们根据刚刚的线面角的做法，很明显可以得到 p a o 夹角是三十度。然后呢，现在要我们去求这个二面角 p 杠 ab 杠 o 的 大小，其实就是找什么 abp 与 abo 两个平面的夹角，那我们看一下 abp 和 abo， 它的交线呢，应该是 ab， 那 么我们就要过这两个平面，分别做这个 ab 的 垂线，对吧？那么在 ab 上要找一点，找哪一点呢？我们肯定是要找它的中点， 找到一个中点 d， 为什么要这样找呢？因为咱们这个 p、 a、 b 怎么样？ p、 a、 b 是 一个等腰三角形啊，如果它是一个等腰三角形的话，根据三线合一，很容易在这个平面 p、 a、 b 当中做出来，咱们的 p、 d 应该垂直于咱们的交线 ab， 好，那这个就做出来了，我们接下来来看底面 a、 b、 o， 底面这个 a、 b、 o。 我 们要过这个地点做垂线，其实也非常简单，因为很明显底面是一个圆嘛， o、 a 和 o、 b 是 相等的，都是半径，那也就是说我这个 o、 d 一 连 是不是也是三线合一啊？ o、 d 也是垂直 a、 b 的， 所以呢，这个二面角，它的平面角其实就是什么角 p d、 o， 那 么我们也就只需要看一下 p、 d、 o 的 大小就行了，而且这还是一个什么直角三角形好，那么我们来看一看它的长度关系，因为它说这个 a、 p、 b 是 直角，所以呢，咱们这个 a、 b 的 长度啊，应该是二。好，那我们根据这个 a、 b 的 长度呢，应该是一， 那我们再来观察一下 o 的 长度， o 的 长度呢，我们需要在这个 o、 a、 b 这个等腰三角形里面去看，然后 o、 a 的 长度呢，又是根号三， o、 b 的 长度呢，也是根号三。那我们就找一下这个 o、 d 的 长度，很明显在 r、 t 三角形 o、 d、 a 当中，很明显可以得到咱们这个 o、 d 的 长呢，也是一，所以啊，它这个夹角怎么样？应该是四十五度。

高考数学解难题共五道，立体结合综合题是必考核心题型，这些题型看似复杂，实质是区分八类核心题型，把握以下命题方向，并分类吃透，备考就能精准发力，少走弯路。 第一类是空间线面平行垂直关系的证明，主要围绕两大方向命题，也是空间几何体各类平行关系推证，熟练掌握判定以性质定律即可破解。二是空间几何体各类垂直关系认证， 理清线线线面面的推导逻辑，是立体几何最基础的核心考点。第二类是空间几何体中空间角问题，区分三大考察重点，包含线线角、线面角以及面面角的求解， 灵活运用几何法、空间向量法与空间坐标法，就能从容应对各类角度计算考题。第三类是空间几何体的距离体积计算问题， 聚焦三大命题维度，还盖点到直线、点到平面的距离求解， 以及各类几何体体积计算，重在公式，活用于空间转化思想，属于试卷中的基础别得分题型。 第四类是立体几何中的探索与追驰问题，分为两大命题方向，也是几何量相关的追驰求解，常结合函数与不等式综合分析。二是立体几何中的存在性探索性思维， 这种空间逻辑推理属于中等拉分难点。第五类是空间几何体的支点与展开问题，这种考察空间想象素养， 把握这题展开前后边长角度等不变量与变化关系，是破解此类题型的关键所在。第六类是立体几何的前面问题，这种空间图形直观辨识，与前面做图 相关计算，专门考察抽象空间认知与图形分析能力。第七类是与球相关的立体几何创新问题，围绕球的体面、立体球、外界球等核心性质命题， 结合近几年高考创新命题趋势，重在几何综合素养的灵活运用。 第八类是多面体与球的切击综合问题，系统考察人助、人、追、人抬等结合体的外界球、内切球，以及人切球的球心定位与半径计算， 将空间几何与球的性质深度融合，是今年立体几何压轴热门方向。这八类子题型几乎覆盖了立体几何解答题所有考法， 无论题目如何变化，一般都逃不出这些命题框架，同学们针对性逐一突破，就能稳稳抓住这道解答题的分数。

今天我们来最后一课系列之例题几何第一课，熟练运用综合法和坐标法，高考多拿十分。好，各位同学，今天我们来最后通关 例题几何第一节课啊。好，我们大家自己读题，他在这上面 都是正方形，然后这个垂直于下底面，然后 a b 是 二 a a a 一 a 一 比，一是一 a 一 a， 二是 a a 一 是二啊，棱呢？是 e 是 棱 c c e 的 中点。好，其实告诉我们这个呢，哎，我们以前说过，说看到台要把它补成什么， 看到台要把它补成这个锥啊。但是呢，这道题目呢，比较的特殊，因为它底面下底面，上下底面都是正方形，且有一条侧棱，是垂直下底面的。这道题目就其实非常好做的，其实就不用把台补成锥啊 啊，其实不需要。当然如果底面是比较的不规则一点，比如说不规则，但不是说那种不规则，就是比如他是平行四边形，然后他侧能取，没有垂直于下底面的啊，那我们直接开始做题， 他第一题让我们说 a c e 平行于平面 b 多一。好，我看到这个又因为这个条件啊，我就直接连接 a c 这个记作 f 吧。好，连接 ef 啊，好，我先写连接 a c 交 b 到于一点， f 连接 e f。 好， 因为面 abc 到为正方形，所以。所以什么呢？ 所以 f 为 a c 中点，又因为 e 为棱 c c e 的 中点， 所以 ef 是 什么？平行于 a c e 的 平等于不用写，因为不需要啊。好，又，因为 ef 属于面 b 多 f 呃， b 多 e a c e 不 属于面 b 多 e， 所以 a c e 就 平行于面 b 到 e 用到了线面平行的判定。定啊。好，我们来做第二题。第二题其实就非常的简单了， 因为它侧棱已经垂直于下底面了，底面又是个正方形，是不是就有两两垂直，是不是 啊？如图间隙。那大家记住，在考试的时候，坐标系一定要写在答题纸上 啊。好，我们来写点 a， 呃，呃，长度先标一下，二一二。好， a， b 向量是二零零， a， c 一 向量是等于多少呢？它是不是一一二啊，对不对？ b， 呃，然后多点是这个零二零， 所以 b 多向量是等于负二二零。好， 这个 e 呢？我们要写出 c， c 一 的坐标已经写出来，这 c 的 话就是二二零，所以这个 e 点的坐标就是什么？就是 这个二分之三，二分之三一，所以 b， e 向量就是负二分之一，二分之三。好， 我射，呃，这里可能不够写了，我就写到下面来吧。射面面 a， b， c， e 的 法向量 为 n 向量等于 x、 y、 z。 我 说过向法向量的速算啊。抄两遍， 掐头去尾，零负四二，所以 n 向量就等于零负二，一， 好，同理啊，同，里面的这个 b 到 e 的 法向量，我设为 m 向量等于 x、 y、 z。 好， 依旧抄两遍， 掐头去尾， 二二，这是负三，这是加一，就是负二，所以 m 向量就等于一一负一。没有算错啊，检验一下， 没有算错啊，好，那这个 cosine 就 等于二，根号五，根号三 等于根号十五分之二，他让我们求这个正弦值嘛，所以 sine 它就等于根号十五， 十五减九就是六，就根号六了嘛，对不对？那就约个根号三，根号三的话，下面是根号五分之，根号二等于五分之，根号十。 啊，好，下结论就可以了啊，好，我们来看 第二题。第二题呢啊，图在下面啊，我们先来看一下题目先，大家先读一下题目里面是矩形啊，矩形侧棱垂直下，里面 a 到是二，我写在这里啊，把这个数据都标过了， a 到是二， 这个是四，这个也是四啊， a b 是 四吗？因为矩形的话， c 道也是四，所以 amn 分 别是这个 pbc 道的中点啊，好，我们来直接， 他说让我们证明 m n 平行于面 p a 度。好，我们说过，看到这个中点，我们一定要想到中位线啊，有可能用中位线中位线定啊， 那我就在这里取一点，取一点 e 吧，连接这个 e m 和 e 动好，取 pa 中点即为 e。 连接 连接 e m e d 好， 因为 m 为 p b 中点，所以 e m 首先会平行等平行且等于二分之一的 ab， 这个时候一定要写这个长度了，因为我们一直看，其实它像这个平行四边形了吧，对不对？好， 又，因为面 abc 为矩形 呃，矩形，所以 ab 平行且等于 c 道，所以 e m 平行且等于二分之一的 c 道。而又因为 n 为 c 道中点， 所以 e m 就 平行且等于道 n， 所以 面 d e m n 为平行四边形。我就用图图像来表示大家，当然我为了 更方便一点啊，所以 d e 就 平行于 m n 好， 还是线面平行的判定定律？因为 d e 属于面 p a 的， m n 不 属于面 p a 动，所以，呃， m n 就 平行于面 p a 动啊， 好，第一题结束了，第二题还是间隙，因为这个太规则了啊，全国卷基本上不会出比较难的题目啊，就例题几何应该会比较好，容易间隙一点，当然他如果放到压轴题的话，可能就不太好做了啊。 好，我们来写点先，如图间隙，如图间隙 p 点是零零四， b 点是二四零， c 点是零零四， a 点是二零零，所以 m 点是什么？ 一二二嘛， n 就是 零二零嘛，对不对？那 pm 向量就等于一二负二， pm 向量就等于负一二二 a， n 向量就等于 负二二零。好，依旧射，我就不射了，我就这样简单略过。第一个是这个 n， 反向量是 n， 这个反向量是 m 向量啊，大家自己要去完成补充起来啊。 抄两遍，一二负二，一二负二啊，不对，这个后面不是吧，这是零二负四，零二负四，好，掐头去尾，这是负八，负八加四 是这个负四，这零这正四，这个就是二嘛，所以 n 向量就是 负二二一，好，依旧抄两遍，负一二二，负二二零，负二二零，好，掐头去尾， 这个是负四，这个是负四，这个是负二，这是加四就是二嘛，所以 m 向量就是负二负二一 啊，所以 cosine 它就是四减四加一， 好，这是四加四加三嘛，这刚好三啊，开出来嘛，三乘三嘛，就是九分之一嘛，对不对？大家自己下结论就可以了。好，我们来总结一下，其实拿到 这例题，几何的题目啊，九九跟十是一样的啊。第一题基本上是用什么综合法去做 啊，他让你正平行的话，那我们就用线面平行的判定定理，如果正垂直的话，比如线面垂直，就线面垂直的判定定理啊，有些时候会用到一些判定一些线面平行的性质定理啊，或者面面垂直的性质定理啊，或者线面垂直的性质定理啊。 然后第二题的话基本上都是间隙去做，因为他基本上两种方法去做的嘛，第一道综合法，第二道，奥，这个坐标法啊系比较好建的，就去把它间隙建出来去做就可以了。好，今天我们就讲到这里。

立体几何对于一百三十以上的同学来说，他们的拉分地方就是二面角的求法，在平时的月考和期末考试中，这绝对是压轴体， 想要上一百四十，这些方法一定是要学习的。这里谢老师通过多年教学经验，给孩子总结规范了二面角的五种常用方法，孩子可以配套视频讲解来自学老师也可以来给孩子培优拔高，也是非常适合的。

高一下学期来学这本教材，其中的第三个章节，也就是类体几何，是我们下学期的重头戏，也是大家开学来之后拿分的分水岭。 那这个章节核心抓什么？我们这节课给大家全部梳理一遍，你寒假预科是有方向的，不会走弯路，你才能够节约时间，高效率，行不行？行，我们一节一节给大家去说，你拿笔记下来。首先第八章立体几何，我写到这啊， 第一节叫八点一，八点一是基本立体图形，这里主要大家需要掌握的叫什么？什么叫做多面体 对吧？什么叫做旋转体，了解概念即可，不用做深度的，这个停流行不行？行，然后开始看八点二，八点二叫做直观图， 这里考你什么呢？只要考你一个东西，你会就可以了。就是高考考的也比较少，主要是在我们的月考期中考，考一道小题，明白没有？明白这个小题考什么？ 考邪二策画法主要考这个， 第一个就是你得会用斜二侧画法去画他的直观图，然后第二个就是画完之后你得知道，哎，完了，那个图形和没之前的原图之间的周长面积的关系就欧了，掌握到这个程度就结束了，所以寒假不需要浪费太多的时间， 真正要命的立体几何是从我们的八点三开始的，叫做简单几何体的什么体积？对了，与表面积，高考热点题型考试必考， 所以这里要求大家要死抓一个核心，你不仅要会算算，对公式得背对，你还不能出错，很多人丢分丢在不会计算上，或者说计算容易出错上， 粗心上，所以要刻意去训练行不行？行，现在高考已经不考，这种老掉牙的三十图都还原了，以前是还原完之后让你求体积表面积，现在不还原了。所以大家如果在其他的教辅上有看到，哎呀，一个三十图让你还原回去，让你去搞体积表面积这种题，直接划掉跳过，不要浪费太多时间好不好？好， 你要抓的是教材背后的拓展模型，这里主要拓展什么呢？来，拿笔给我记下来。第一个叫什么问题？叫做球的问题，球里面分为第一个结面， 高考考过很多次了。第二个跟球有关的外接球，外接球模型以及内切球模型，比如说外接球里面 哪些方法，哪些模型，一个一个给我去攻克啊。第一个叫什么模型？长方体模型， 简单的直接考你难一点的就是给你隐藏，最后发现，哦，原来如此，是个长方体，高考考过，考过很多回了。第二个叫圆柱模型，还有圆锥模型， 还有扇子模型，基本能力考九十分以上，这些是必须得会的，要冲到一百二一百三，把高问题来了，尤其是最后两个双半径单交线， 还有下一个双距离，对吧？单交线 拔高的，经常出现在亚洲体的位置。有模型的模型研究透，直接拿结果 ok 不 ok？ 然后内切球里面，比如说我们主要是一些 注体啊，常见的注体锥体都怎么去切的，需要大家喊着去好好去研究一下，也是高考的重点行不行？行，强调一下，除了球的问题之外，这里跟他有关的一些二级结论还有什么？比如说正四面体， 正四面体一些体积呀，表面积呀，高啊，必须要去做总结。你看，这就是为什么很多孩子把教材我都看了，为什么做题不会做，我提不了分。就是因为教材只给你底层的公式，或者只给你推导，他不给你模型。 你寒假如果能把这些模型直接练透，那你的能力跟别人就能够直接拉开差距了，明白没有？明白了好，再来说下一个叫做八点四， 呃，叫八点四点线面的位置关系。这个主要考什么？ 主要就是以概念定律为主，最多考试考一个辨析题，我们在高考当中考的直接考他也很少，所以大家的核心一定是放到哪里？放到接下来的八点五 以及八点六。一个是平行，一个是垂直，这两个才是立体几何里面的灵魂，因为你看到的所有立体几何的问题都是垂直的问题， 你包括体积、表面积里面的一些分析全都用到垂直。所以如果你的垂直学不好，你类地结合的第一问你，第二问，很多就没有办法去做的，不是吓唬大家的，所以你得知道你类地结合的核心重点是在哪里。 嗯，很多孩子这本题苦啊，不知道辅助线为什么这么做呀，这么画呀。所以说大家一定要去听胡老师一句劝， 类地结合不要一上来就去给我看答案。你要做的一定是根据我这些模型，先去总结模型，然后拿模型去刻意训练，能理解不？可以？你比如说平行垂直里面常见的什么矩形模型， 对吧？还有很多正形模型，这都是经典的勾股模型。三垂线模型， 先把这些模型吃透，然后后面你去做题辅助线，一眼就能够看出来他怎么画了。 最后胡老师必须要提醒大家一个点，就是你在教材里面，你翻过来，哎，八点六之后没有了，目录里面根本就没有写加角问题，但是加角这个问题出现在教材皱纹里面，有出现加角的定义，藏着的 夹角问题，这才是核心。写到这啊，夹角不要只单看目录， 线线角，线面角二面角，高大考必考题，而且还考你大题，教材没给大家方法，考试要考呀！所以大家必须掌握，比如说线线角 三大方法，比如说线面角四大方法，面面角对吧？五大方法，几何法怎么做，甚至直接过渡到空间向量里面怎么去做，寒假把它搞透。大家不要只去看教材表面 开学如果你只看表面，你开学发现教材背的滚瓜烂熟，题不会做，一个都不会做。这就是为什么很多孩子预习了发现没效果， 因为高中就是基础都在课本，但是模型都在数外，你缺的是实战演练，实战的模型。胡老师把教材背后的考点教材深挖，全给大家浓缩成了立体几何里面大家必会的三十二大模型满分攻略， 别在教辅书里面各种盲目去刷题了，就把这三十二大题型满分攻略给他练透，顶你盲目刷三百道题， 你只要寒假想拿下立体结合这个大的块，高考里面起码占二十五分左右了，对吧？你就留立体结合三十二大模型，胡老师把这些都给大家安排的明明白白的好不好？好好下课！

咱们高一的同学家长们啊，咱们现在学到立体几何了，这里头呢，张老师给你们把咱们立体几何这一块东西，这个章节我们要学会哪些东西，要给大家总结一下的核心要点有哪些啊？这个不光是咱们现在啊，包括高考 咱们之后的这个要考察东西，我们把这个东西掌握了，也都够用了啊。然后呢，有一些乱七八糟的东西，咱们不需要去掌握的，张老师一会也会告诉大家啊， 来咱们听一下啊，主要能有哪些啊？首先咱们立体几何这一块，第一块啊，就是说小计算啥东西，几何体的表面积体积这块东西啊，是吧？ 这块全是一堆公式，是不是啊？追逐台，主要就是追逐台的表面积体积，是不是啊？然后这一块呢，就是一堆公式， 然后咱们学的时候大家就注意点啊，大家学的时候别背公式，因为这些东西我们追溯台，首先表面这个体积，那个公式好推，他也不难推，大家去推一下，就是我首先知道我这个追溯台展开之后，尤其是原锥，原住原台，他展开之后侧面就是什么东西，是不是啊？ 我可以是一个啥呀？我一个是矩形，一个是什么？一个是扇形，一个是扇环，是不是啊？把这些东西搞清楚之后，然后咱们再算那个面积，其实挺好算的，是吧？把这个东西推一遍，这样子的话，你看他跟母线呢，和半径啊，他们是什么关系， 就大家脑子就清楚了，然后再去背公式去知道吧？就是先推一遍，然后再来一个公式，这样子的话，他出题怎么出他都不怕啊，而且这块小计算特别容易出啊。然后第二个呢？这里头有第二个，就这个计算里边的第二个是什么东西呢？ 就是外接内切球这一块，是咱们大家很烦的一个点，就是外接内切球这块，这块张老师给大家说一声啊，就是外接球和内切球这块，我们研究的时候不去研究那些不规则的， 我们去研究这些规则的一些标准的几何体，比如说我正三棱锥、正四棱锥，然后你包括圆锥、圆锥、圆台这些玩意，我们现在去研究这些东西包括什么？我们等腰的底，底面有特殊形状的，比如等腰直角、三角形这种直棱锥，我们去研究这些东西去，因为它们的性质相对， 干啥简单，因为核心是啥？他们的问题是在哪啊？他们处理问题一定要在哪？我们那个大球所在的那个轴界面上是不是我们在那个界面上啊？就是界面上处理问题啊？ 也就是所谓的就是引出了咱们立体几何里边最核心的处理方式。第一个立体几何计算里边最核心的处理方式叫啥？高维化，低维 就啥，我要把空，我把空间处理，一个空间的问题转移到什么呀？就是空间上对应的那些参数是不是什么高了，什么半径，乱七八糟的，我转移到一个平面上去处理 啊？明白了吧？然后这是计算哈，然后第一块计算，然后第二块是哪块？就是咱们所谓的证明了是不是 我线面垂直平行的这些证明题，是不是啊？核心是啥？我线面平行是不是？一是线面平行，第二个是什么？最重要的一个是啥？线面垂直的证明 是吧？因为这块东西线面垂直的证明，我要后边还有什么涉及到什么？我正我找出来线面，找出来垂线之后，我既做线面角，还有一个啥？线面距，点面距离是不是啊？点面距离 是吧？点面距离的计算，当然点面距离计算我们还有一个其他的方法，就是所谓的什么东西？等体积法，但是这个等体积法核心是啥呀？我要把体积找出来，那找体积的时候我们算体积，其实还是得我们要找到好算的。那个线面垂直的就是那个 点面距离，然后再转化是吧？核心其实还是要做这个点线面距离，然后线面距离的这种证明咱们怎么做？我说了这个东西包括什么东西？你面面垂直哈，这都在写上哈，面面垂直 这个东西，我这个证明核心是啥？考逻辑思维哈，几何法，所谓的几何法这块记住了五星重要，这是咱们立即几何的核心的考察的东西 啊。己合法，逻辑思维就纯用我怎么样子去把我，你要让我证明那个东西，你让我证明东西一定是对的，那我把这个东西当成条件和已知条件去结合，我要推出来啥？我要证明我这个结论的这些条件到底有哪些呗？反推吗？对吧？ 我判定定例反着用回去是吧？我用成性质定例是不是？然后我找到我需要的条件再反再用回来是吧？然后我当我一个条件拿不着的时候， 低维条件找不到，比如说我线线吹只有俩，我只找到一个，此时干啥？找条件的时候记着啥低维转高维，干啥上高维上找条件去高维条件更多，然后再画回的， 明白了吧？这是证明题的思路，就是我线，我线线垂直不好正行，那我先正线面垂直，然后线面垂直的性质里边不有线线垂直吗？对不对？ 就是这么个逻辑思维，然后具体的做法的时候，大家去看张老师主页试听课里面讲了，是不是啊？我们立体几何里边我们线面垂直的证明，包括线面角的计算，是吧？都有啊， 然后再弄明白，来找张老师来我们系统的去学习。张老师，我想系统的就把这些东西学一下，可以跟张老师的课走。张老师，咱们高一线高一的课啊，有的，咱们看张老师的课最近都没买，是吧？因为啥？哎？张老师，你这立体几何部分怎么老不给我们更，我这两天就给你们更进去啊，这两天就给你们更进去 啊，然后可以可以下单了哈，大家都可以下单了啊，然后剩下的我说这面面垂直是啥呀？ 面面垂直的判定力实际上核心还是啥呀？我要找线面垂，线面垂直，然后面面这里头我们其实一个核心的是啥？哦？二面，面面关系这块都有一个二面角的平面角是吧？ 平面角这块东西，有人说老师这块东西不都是拿我们，我们大家都听过这个这个东西的话，都是拿什么空间向量做好做是不是？但是这个东西张老师要跟大家说一下啊，现在我们的考察方向， 这个东西需要大家尽量是需要大家去做，因为做这个二面角的平面角需要的逻辑要相对更复杂一些，他的考察的东西更多， 他考察的东西更多，逻辑考的更细，然后考察知识点，考察的更全面，你想想这那这个点知识点他就是好知识点啊，对不对？他能考察出大家的能力的， 对吧？然后二面角，平面角，那就无非就是干啥呀？我要定交线，是不是因为二面角的平面角一定在什么上？我两个面的交线的垂面上，是不是定交线，然后找交线的什么呀？垂面，然后干啥？做，做出 干啥？平面角，是不是，对吧？然后干啥？这就是我做出平面角之后，这不就又变成干啥了这了吗？高维画低维，然后干啥？解三角形计算去，是不是啊？ 然后这块中你看我们求点面距离，求这个二面角的平面角，求线面角，这些是属于计算，是不是啊？然后咱们点面距离的计算，这里头有等体积法，但是等体积法我们可能还是你等体积法，我得先把体积搞定啊。体积搞定就是啥？我用一个面， 我我用好算的一个面和距离，底和高，去把面体积算出来，然后再转化后回去是不是转化？然后你让我求一个特别我做不出来 这个点面距离的，就我找不到他投影在哪，是不是那种，是吧？那怎么办？那我找好做的，然后等体积法转换啊，这是一种什么空间的转换思想啊？ 就这些东西，咱们立体几何，其实你要说东西多吧，其实还好，这看着写的是不少，是吧？其实也还好，没有太多东西。还行，这块不属于咱们高中的一个难点， 但是呢，就是用的东西其实也挺多了，因为你说平面向量的东西，你包括解三角形的东西，那肯定是要熟练应用的，是吧？我，我这里计算的时候，我这里我计算三面角，计算二面角的时候，是吧？我这里头都是需要的， 是吧？我都是包括算什么这个距离的时候，我要算某一个长度的时候，都是需要什么？我们解，对，解三角形，你高为画低为，把那个平面做出来之后都是要啥解三角形去搞定的，是不是啊？对吧，这些基本功一定要扎实哈。 就这些东西啊，把这些东西学明白了立即集合就差不多了。搞不定的来找张老师来啊，跟着课走，我这几天就把课都给你们，更差不多了啊，听明白了吧啊？

你们是不是觉得空间想象能力不好，我立体几何就学不明白？你们的练习册中的很多模拟题，为了追求难度，给你把题目出的很偏，让大家误以为，哎，立体几何就是选学， 但其实真相是，在真正的高考当中，立体几何这个模块考察是非常套路化的。 胡老师教高中数学已经十三年了，我带的学生里面有很多函数真的学的一塌糊涂，但是他立体几何能考到一百三十分以上去， 关键就在于他们掌握了高考的二十五大核心题型的阶梯框架。今天呢，胡老师就把这些方法全部都给大家教给你，所以你认真听， 立体几何也能够成为你们的强势模块，行不行？行，好，那么我们要学好立体几何，咱们必须得过这五大关来。第一关叫什么？ 七大几何体，你要非常熟悉七大几何体，也就是说你要和我先写下来啊，圆柱，圆锥，还有呢？圆台好， 圆台还有啥？雄起很好，还有能柱，还有啥能台？能追， 还有啥能台？哎呀，能台还有什么？球球对这些人做好朋友呀， 他们怎么画？他们的侧面展开图怎么画？他们拼接到一块基本的图形怎么画，你得清楚，这是空间感的第一步。你像这几年高考特别爱考的圆锥侧面展开图，让你求跟他有关的面积问题， 包括棱台有关的体积问题，是不是要非常熟练？是的好，你把第一关过了，那么基础分咱们稳稳拿下。 答案是，基础分拿下并不代表你能拿高分。所以这就到了我们今天要讲的第二个关，很多同学百分之九十的同学都会进入的同一个拉分陷阱，叫什么 球？哎呀，聪明啊，叫做球的问题，球里面要掌握哪些方法呢？ 大家要掌握的是对的，从两个方向下手，第一个是六大对的外接球的问题，第二个是常见的一些内切球，三大内切球的解法， 六大外接球，大家能不能想起来都有哪些方法？这个我没有讲过长方，比如说什么长方体模型，还有呢？圆锥，对了，圆锥模型并不是说只有圆锥可以用，是不是棱锥也可以用啊，是要注意它的识别条件。还有什么模型？圆柱 还有圆柱模型，还有什么模型？扇子，还有呢？两个终极大杀招，一考就考你亚洲叫什么？ 双半径，哎，对了，双半径单交线，还有一个是双距离 单交线的问题，都会啊，会这六大模型，你做外接球的问题就是直接秒杀你不会，不好意思，你可能做五分钟你都出不来答案。 好吧，来看第二个内切球的问题，内切球，特别是常见的一些多面体的锥体问题，比如说对应的公式，我们给大家总结过，而等于三 v 除以 s 也很熟练，必须熟练于心，没问题吧？没有 这些对应在咱们二十五大题型的第十三到三十七题，所以大家把模型吃透，你球类的问题就不在话下了。那么搞定了球之后，很多同学最怕的坎来了， 总觉得，哎呀，我没有空间想象能力，我这个逻辑结构就学不好，核心在于不会。第三个点叫什么？ 对了，平行垂直的证明问题，这是立体几何最本质的，最底层的东西就是你这个东西学不好，你整个立体几何的这个楼就塌了，明白没有？ 这也是我们二十五大题型里面的重头戏了，足足占了六大题型。来，先说第一个叫平行问题，平行问题需要掌握什么？ 常见的要让你证明吧，证明，对了，让你证明我们给大家讲的是什么法？尺子法去证明，然后还有一些特别爱考的叫动点问题，是不是叫动点有关的探索问题， 那你是不得我们讲的口诀还有人有印象没有，叫做谁不动平移谁，对了，这是诀窍。好，接下来下一个叫什么问题？垂直问题， 你记住哈，所有立体几何的核心都是垂直的问题，你垂直学不好，你立体几何底层楼是摇晃的，垂直里面一共分为三大需要大家掌握的。第一个叫什么？垂直线线，第一个叫做线线垂直 线线垂直的核心是什么？嗯，我这样写，横着写 线线垂直，核心是找一根线，把这个线放到面对去，那这根线应该怎么去找？是有套路的，除此以外，线面垂直这个好正。还有一个叫面面垂直，那面面垂直的核心是什么？ 先挑一个面，从面中挑一根线，对，这个面怎么挑，面中的线又怎么挑？是不全是有方法的？那可不是你看答案随便去找的哟，所以大家一定要去总结，不断的去用它， 然后考试中更多的是把这些杂揉在一块，综合去考你。然后我们就衍生出来了很多方法，比如说三垂线模型，对吧？矩形模型、勾股模型，你会了这些方法证明是又快又准的， 当然大家要注意哈，我们费了这么大劲搞平行和垂直，不是说只是为了让你做题挣着玩的，所有的工作都是为了给第几关做补点。第四关叫做家教问题。 高考的大题，以及我们平时月考、期中考，只要考到例题，几何大题的第二问非常重要，必考内容重中之重。二十五大题型里面，六道最拉分的题全都在这，所以说这里一共是三大方向，哪三个方向？来告诉我 夹角问题。什么角？谁和谁的夹角？线和线的夹角有哪些方法？ 第一个我，我们说的是意面之线，明白没有？我是不是可以通过平移把意面变成共面的？ ok， 我 们还给大家讲了一个大招， 叫空间余弦定力。注意，不是余弦定力，是空间余弦定力。如果以上两个你发现你都搞不定，还有个万能的方法叫什么叫做向量法，可以通过间隙去解决问题。 ok， 三个方法，除了线线之外，还有什么？线面线面对大体主要就是考后两个叫线面和面面啊。线面，第一个方法拿什么去做？ 定义？对了，所有的就是，哎，我先用定义找到线面对应的夹角夹角，嗯，那如果我定义找不出来，那个夹角怎么办呢？项链，我们还有个备胎的方法，忘了吗？ 叫做等微等高啊，求正弦，非常好用，规避了你不会找夹角的问题，再实在不行，有了一个保底的方法叫向量法，这是核心你要掌握的。 那线面搞定之后，还有一个爱考的叫什么叫做面面夹角的问题。好，面面夹角，哎，对二面角的问题，哪些方法？嗯， 第一个特别特别爱考，这几年不管在高考中还是在你平时考试中，而且经常考小题，这两个一旦考小题，其实更多的用的是从定义的角度，你得会 ok 吗？ ok， 好， 还有大题中爱考的是什么方法？ 三锤现法，我说的是都是高频爱考的啊，你是你必会的，实在前两个搞不定也是一样的。叫什么法？向量法， 很多高三的孩子最后说，胡老师，既然你说向量法比较重要，我就只学向量法，向量法，向量法，只靠空间向量去做题，结果考试一紧张，坐标写错，或者有的题目你发现那个细根本就见不出来。所以，尤其咱们现在高一的孩子，现在在学立体几何， 真正能让你跟别人拉开差距的。前面的这些几何的方法，我们要一开始把它学透，一开始就要去刻意训练。这些几何方法没有问题吧？没有好，前四个关过完，那很多同学觉得，哎呀，理论几何学完，这就没问题了， 往往在最后的关头，你发现你们会丢分，因为你忽略了最隐蔽的第五关叫什么？ 距离。哎，对了，还有一个问题叫做距离问题。距离在我们老高考中经常考点面具， 点面具吗？是吧？点面具说白了其实就是体积的问题吗？转化成体积的问题，我们新高考中还增加了什么 意面？直线的距离，这是最容易被大家忽略掉的，必须重视。所以呢，类体结合就是以上五个大关，考来考去，翻来覆去， 永远都是总结完二十五大题型，你把整套体系攻克掉，你的成绩一定是突飞猛进的。 所以大家不管是高一、高二还是高三，现在功课都完全来得及，那么这二十五大题型，每一个类我们怎么快速拿下对应的方法， 胡老师每一个全给你们配套了同类型的辨识训练，从基础到重点到难，全部都总结好了。你想快速搞定立体几何的，你可以， 立体几何胡老师全都给你安排，抓紧时间打印起来，跟着胡老师拿下立体几何没有问题吧？没有好，下课！

学学，学个屁，好同学们，咱们今天来看一道高三的立体几何题目， 这个题目他第一问很简单，让我们求他的体积，我们就不求了，主要看第二问，他让我们去证明的是一个慢慢面垂直， 那么我们要清楚，要证明面面垂直的方法有大概几种。第一种就是很简单，我们通过定义去求，我们只要去找到其中一个面的垂线，在另一个面内他就垂直了。所以其实就是先先要去正线面垂直，再去正线在面内，那么就面面垂直。 这个方法，呃，我相信很多同学大家都能做出来，比如说观察到它是一个棱长为一的正方体呢，代表着 c、 e、 b 和 c、 e、 d 两个边都是面对角线，所以两个边相等，那么直接找到 b、 d 的 中点，连接 c、 e、 o， c、 e、 o 就 会垂直于 b、 d， 再连接 a、 o， 再连接 ac， 那 就可以得到 a、 o 也是垂直于 b、 d 的。 通过这个东西我们可以推出来 b、 d 是 垂直于面 a、 c、 e、 o， 所以 又可以推出来我的 b、 d 是 垂直于 c、 e、 d 的， 那么既然 b、 d 既垂直于 c、 e、 d， b、 d 又垂直于 c、 e、 o， c e o 和 c、 e、 d 又交在点 c， 所以 代表着可以推出来 b、 d 垂直于面 c e、 b d。 那 b、 d 垂直于面 c、 e、 b d， b、 d 又在下面这个平面内，所以我们就可以得到面面垂直面垂直于面 这个思路其实大家要做起来要很顺，但是我们今天要提供一种新的思路，就是如果你这个题目你没有办法在短时间内看出来这些辅助线，那么你就要通过二面角的大小去判断它垂直， 如果这两个面垂直，代表他们的二面角一定是九十度，所以要通过 b、 d 这个边的棱上的点分别在两个面内做垂线。要去求角 a、 o、 c 夹九十度， 那么其实就要求出来 a、 o 的 长度， o、 c 的 长度，还有体对角线的长度。利用我们的余弦定律去求这个角度的余弦值，也是一样的做法。

好，那今天我们来计算二面角的大小，我们通过第二面角， 然后呢，平面角是九十度，就叫做十二面角，两个平面就垂直，这跟初中定义两个直线垂直是对立的， 那这一局我们的任务就是来求这个二面角的大小。那首先我们回顾一下什么是二面角？一条能出发的两个半平面构成的图形出二面角， 那怎么来度量它的大小呢？它需要用平面角来度量，是吧？ 那哪一个角是它平面角能上去一点，分别处垂线所形成的图形，比如说我们的图中是一个钝角，这是它平面角， 为什么这个脚可以来衡量贝塔香奈儿法的位置呢？ 别人就不行呢？啊？最大？什么最大？什么角度最大？如果我做 b 点不垂直的呢？ 那这条线 b o 撇跟 r 所成角在哪里啊？ 哎，我们刚才是钝钝的二面角，是吧？所以它的射影是谁啊？ 我们把这点记做 h 好 不好啊？那 bo 跟 bo 撇所成的角是谁啊？ 这两条线跟二把所成角是谁啊？一个是 b o h， 一个谁？ b o 撇 h 谁更大？因为对边带一样长一样长，而 o 撇 h 比 o h 来的长，所以这个角度应该来的大， 所以我们用的是用的是什么角？是面里面的线和另外一个平面所成角里面最大的角，最大的角，这就确定呢？这是唯一的来定义， 来定义贝塔相对二法的情节程度，对吧？那比如说在这里，那应该在这个陷面角的什么角？五角，如果钝角的时候是最大的陷面角的五角，最大的陷面角是什么呀？五角，如果他是内二倍角呢？ 那就是我们的什么最大的陷面角，最大的陷面角啊， 好，那第一个是大小的度量来看题，这是一个三轮锥， v c 根号三，其他都是二， 其他全是二。请问 b a b c 大 小谁是零？ ab 两个半平面， v a b 跟 c a b， 那 我怎么做它呢？你们讲我们注意到 v a、 b 是 什么原因？ 等边， c a d 也是等边能上取一点，分别引垂线，那就取什么点，那就去取谁的终点。 a b 终点，我们把它记作 m 吧。然后呢，连接 m v 跟 m c 兄弟连起来，连起来。然后呢，则怎么样？则 v a v m 垂直于 ab， v m 垂直于 ab， v c 呢？ m c 呢？垂直于 ab， 所以呢， a 角 c v m c 为 二面角的平面角。六，这三段都知道，所以这个角度几度？六十六十，然后下结论。所以二面角的大小多少？ 其实是三步骤是吧？第一步是干嘛呢？对吧？第一步，我们在做的是什么？什么活来度，把这个角度做出来。 第二步，我叙出了一堆来证明这个角数是二面角的一面角。 然后第三步，去去什么取，把这角给取出来，所以有三步骤。那我们把这种求二面角的方法叫什么法来，第一个方法叫什么法？定义法是吧？ 特别的构成这两个半平面是有特点的，是不是那两个都是全等的？等边塞，那我 v m 若垂直连接 cmcm 度也一定垂直啊，这两个是全等啊。 来，接着我们拆开第二二面角六十度， 那我们画一个四域图，二面角六十度，等于是 l a、 b 在 a、 b 分 别在二百根贝塔内，到它的距离是二根四，这是两个单位，这是四个单位距离，距离是垂直的。 然后再来这条长度为十，长度为十， 求 ab 跟 l 所成角正弦值是多少？ 呃，事实我都看明了，是吧？在哪个东西没看到？没看懂啊。六十度在哪里啊？ 能上几点？分别引垂线？哎，我虽然是引了垂线，但是几个点 两个点，说明啥意思啊？说明我 a、 c 跟 b、 d 这两个异面直线所加的几度。 我真的那意念直接转下六十度那意念了怎么办？共灭。怎么变成共灭呢？你已知之爱。 其次，我要求线 a、 b 跟 l 所成角，我也得去什么啊，所以也得去平移。所以怎么做过 c 做 b b 的 平行线，然后再过 b 做 c， b 的， 这全部都搬过来了。 哎，当完以后这个 a、 c、 e 这个平面长的什么特点？ 这个平面跟人什么关系啊？哦，你们人是不是垂直的？这个 c、 e、 b、 e 有 什么特点？ c、 d， b 是 什么？什么形啊？什么矩形啊？ 那我所乘角在哪里？ a、 b 跟 l 所乘角在哪里？哪个角？ a b a b a b 换哪里？研究 ab， a、 b， e 是 什么原因？因为 b、 e 跟正面什么关系？所以说什么原因？ 我的六十度在哪里？ a c， a、 c、 e， 这是根据什么来的啊？还是刚才那个问题出定义法？上局一定有分别是以权限六十，这等于二，这等于四，这 道等于几十，所以这条是什么？十 正弦值等于谁啊？就等于两倍的根号差除以几啊，对了没？所以刚才这个二面角我们怎么处理呢？第一把你有锤子吧，横上取一点，分别引全线， 如果是一点引全线，一步到位都是两点的半移在一起就变成一点了吧。你过来啊，你过来啊！第三题， 已知三人追踪， s a b 九十， s a c 九十，还有 abc 也九十，知道吗？ s a 跟 ab 相等， s b 跟 bc 相等， 那信息我都给它可塑化了，在图上给它标识出来了，清晰可见，对吧？ 这是啥东西啊？哦，原来是编码的模型，编码的模型对吧？第一步，这名 s b， c 跟 s a、 b 垂直，判定定命 运垂直，通过评估一下谁的权限好走，是 s a， b 好 还是 s b c 好？ s b c y 似的是不是？ 而 s a、 b 是 绿色的，它又是边到的模型，所以它的垂线是谁啊？啊？ b c b c 垂直于平面 s a b， 然后我 s b， c 过 b c 垂直了没？ 二，求二面角 a s c b 来思考一遍。 uhh， 那这个编码的模型所有的长度，这个关系度都清楚了。所，所以我们设 a b 为 a， 但是都可以标注出来的 啊，那构成这个二面小的两个半平面， a s c 角三角 形，斜边为几？哎，斜边为二 a， 所以 这两边直角边 a 跟二三 a， 另外一个呢？ s c， b 呢？啊？ s c， b 是 等腰直角三角形 能上去一点分别引垂线好做吗？是吧？不好做，这招怎么办呢？ 我们的目标是不是做能 l 的 垂线， 那如果要线线垂直，那什么呢？我们线线转换什么？空间里面线线转换成什么？是不是成了固面的线？线垂直也就转换什么线，找一条线在另外一个面呢？啊，是说射影所成的角 摄影垂直是斜线垂直吧，你看我们这是 s c， 这里面一个 a， 这里面是一个 b。 来，那你要用摄影三垂线来找摄影，所以我过 a 列记住 s， b， c 的 垂线， 这步 a 点在这边的摄影做出来了。那如果我这里做垂直呢？我做摄影垂直，则一定有什么斜线做垂直， 或者我斜线如果垂直，那摄影呢？而且这是一个什么原理？所以我们第二招用三垂线法来做 三垂线啊。三垂线， 因为这两个半平面同一点做不好做，因为两个半平面不是相等的，对吧？咱们也没什么确定不好做，所以我们去构建会知道在哪。 那怎么样？那现在到底是 b 去做 s， a， c 的 垂线好做，还是 a 去做 s， b， c 的 垂线好做？ b 比较好做是不是？ 然后过 b 点做 s、 c 的 垂线，那就只要做谁的垂线就行了啊，是不是？兄弟，那这条线我就去做 b e 吧。 b e 谁是 a c？ 那 b e 会不会谁是背面？这是 a， 根号 a， 根号三 a， 谁这条长度 二， a 除谁根号三 b 去做正面的垂线垂足，我记住 e 这条长度是几？二， a 除根号三。接着呢？ 先生，你过 b 点去做人的垂线可以，你过 e 点去做人的垂线，可不可以效果一样一样。 那到底是 b 点好做还是 b 点？为什么 b 点好做？那取它什么点？取中点连起来，这个 b o 是 不是全是 n c？ 而 bo 在 s a， c 的 射影是谁啊？ o e， 哦， bo 跟 s c， 谁是谁？ o e 呢？谁是谁？这个角就是 二面角呢？一面角，而且这个三角形是什么意思？ 那 o b 多长嘞啊？ o b 是 a 这么长，是不是？所以这个角的什么值可以搞定了？正弦值，所以正弦值？是啊， 二除以 c 搞定了没？不有可能是二啊，根化二大于一，根化二除以根化三搞定了。 因为我要做人的垂线嘛，是不是叫做人的垂线？ 所以，所以我要斜线跟你垂直，我摄影跟你垂直就行了吧？摄影跟斜线不也垂直啦？所以我们勾线，勾线，线面垂直来勾线这个二面的弧面的。 大哥们，那刚才我们做出来的这个面跟人什么关系啊？垂直的什么跟人垂直啊？所以我要找二面角和平面角，其实就是找一个面跟人怎么样垂直， 所以找一个面跟人垂直，所以我们这种话就叫做垂楞管。啊，垂楞管， 那既然跟人垂直，所以我做的这个面跟阿尔法贝塔什么关系啊？做也垂直了，第一次，那就是垂面法， 我如果做一个面跟阿尔瓦贝塔都垂直呢？我做一个面跟你阿尔瓦贝塔都垂直呢？那我跟你的交线什么关系？垂直的，那就 l 是 垂直我这个面，那 l 是 垂直我这两条线，所以这个角是二面角，平面角， 那其实都是一回事的，就是做一条，做一个面跟人怎么样？做一面跟人垂直就行。那要做一个面跟人垂直，就是做一个面跟阿卡贝塔都垂直，是做面的曲面。 好，接下来我们来看一下，已知平面被塔内有一条直线，是 a c a c 跟二百三十度， a c 跟 b d 四十五度，请问这个二面角的大小多大？ 哎，三十度这条线在哪里啊？过 a 点做这面的怎么样？垂线，这垂足为 a 型，然后呢？ 所以这个角度几度？三十度，这个角度三十度， a c h 三十度，我 h 跟里面谁知道把脚面都摆上要求的平面角在哪里啊？ 这二面角的平面角在哪里啊？啊？三垂线法是吧？有线面垂直的，我只要做交叉垂线就行了嘛，所以过过 h 点也行，过 a 点呢也行。过 a 做 b d 的 垂线垂足为 o， 然后连接 o h， 所以 这个呢？而且 a h o 什么概念？不知道这样的哎，搞定了没？ 哎，那现在我这个二面角大小都减减，直角大于谁啊？啊？ a o h 是 吧，都减下 a o h 设了，它为 a， 那 c o 呢？ ac 呢？ ac 更换为三十度，谁搞定了？ a h， a h 是 二倍的根化二，二倍二是它一半，二分之根化二 a 一 半呢？三十度 这个数只要占一半一半 a， 那 a o s 数两边知道了， 一边是他这个角的什么值？左边对边，一边是边边，所以这角的什么值可以取出来啊。所以正弦等于几啊？二分之根号二，所以大小四十九。好的， 那刚才我们是用这一定是吧。用三垂线法，三垂线， 斜线，垂直的摄影角，所以得到的是二面角的平面角，用三垂线法来做来。那继续我们再看。 已知 abcd 是 一个正方形， pa 跟底下垂直，并且 pa 的 长度跟 ab 一 样长。 九 p a b 跟 p c d 所成二面角的大小。 哎，这个模型叫什么？羊马是吧？ 现在这个二面角长的什么特点呢？各位 能能没刨出来是不是？但能是不存在的。我们这两个半明明是有交界的吧，有姑娘对一条交界这种的话，我们把它叫做无能二，命小啊。 第一种结话，零人怎么办？五人法是不是 怎么补这两人？这两人长得什么样？那不就是球 p c d 跟 p a b 的 交线了？ 你都知道他是养马了，那补一下，这是谁啊？从宋康里的一条人啊。为什么 我们说 p a b 交 p c d 于 l l 有 什么特点呢？ l l 是 跟谁平行，为什么 l 跟 ab 平行呢？那个点， 为什么 l 跟 ab 平行呢？过线这面找标线什么前提？所以这线是平行呢？因为 ab 平行 c 力，所以 ab 会不会平行平面 pcb， 然后呢？过线过线又 ab 再平面 pcb 中过线 做了一个面，找到谁交线，结论， a b 平行，谁来了？右 pa 垂直于底面，所以 pa 垂直谁 a b 所以 pa 垂直，谁来了， pa 又垂直来了， 那 pd 会不会垂直 l 啊？也会是吧？选 pd 也垂直 l。 所以 二面角的平面角是谁啊？啊？ a p d 什么 a p d？ 这不就是我们二角平面角， 那这个角度为几度？四十，所以这个二内角大小为补，能把能给补出来，但是大家你们发现我们补来补去补来的寂寞， 哎，你们都不要把二段就行了哈。为什么不要把二段也行啊？你要做二面小的比面小，事实上是 做一个面，做一个面跟谁谁吃，跟 l 谁吃，是吧？要做一个面，跟他交界谁吃。就是要做一个面跟这两个面都垂直， 都要做一个面，跟这两个半明面都谁吃啊？所以刚才我们有一个方法，几方法是叫什么法啊？水念法是吧？来，我们具体怎么实施， 先证谁先证平面 p a d 垂直平面 b a b， 然后平面 p a d 垂直于平面 b c d 这两个平面交于 l 则怎么样？ 这两个平面都跟他垂直，他的交界跟我这平面有什么关系？你看地板平面比，这个地板平面跟你左边的墙面，他们的交界跟我这平面有什么关系？所以我 l 跟跟谁 p a d 是 垂直的， 所以呢？ pa 会不会垂直 l p d 会不会垂直 l？ 所以呢？咱们下结论说三个角平面角对不对 啊？在这个角度是不是四十五度？搞定了没？所以五个人二面讲两招，一定要把它补出来，是不是 一定要把它补出来？第二招呢？第二招，我们找他的面的水面或者人的水面 啊，那这是我们今天啊讲的内容就是侧面讲我们常见的招数啊，第一招是地面法，第二招是全面法 啊，第三招是三权现法，对吧？第三招是三权现法。第四招呢？ 就冷的水面跟什么啊？根面的水面对吧？把它吹起来叫做什么啊？常见的是这三招，常见的是这三招。 好，那今天第二个任务，上一周大家做的一些题目，我们来点评一下吧，对了， 难受的地方在于什么？ 如果没有根号五，咱们彩笔的招数是将军一号啊，将军一号拉直的是不是折线度拉直的？ 但是这屏幕的特点是，这是一个直角三，这条边为一，这条边为谁？你看数据太吉利了。根号五根一啥意思？破 m 做他的什么线？ 你说 m 撇吧，那我这是不肯定大于等于根号五倍的谁 啊？根号五倍的 m n 撇是不是谁啊？你这不根号五比一嘛，所以根号五倍的 m n 撇就是谁啊？就是 a m 撇是不是 另外一条呢？ m a， m a 是 斜线段最小，什么叫最小？垂直的上最小，那就 m n 撇吧。 那现在就变成 a m 撇加上 m n 撇吧。 a m 加上 m n 撇等于谁啊？这恰好是不是等于 ab 的 长度啊？因为我们这边是一个什么形，所以它就是 abd 的 长度，是不是就等于杠五？ 所以呢，当然以后我们学完语言以后，根号五倍啊，经常会去找他的叫做还原点啊。还原点，因为我们语言可以看作是到两定点距离之比，是一个 定值，对吧？所以根原上点根号五倍就等于另外一段。这有一个系数的问题，我们记得以后也经常会用到这一招啊，这一招啊，当然今天我们就这样。另外一个呢？ 另外一个角度，一个根号五跟 pm 存在一起有点像。什么面面积？总面积除以二分之根号五，这面积可以分成几块？ a， b， e， m 跟谁啊？ b e， m c 是 吧？ 那这面积数等于二分之根五乘以 p m 再乘以什么高高，你把 p m 变成什么？又高来？ p m 是 大于 二分之一乘以 m a， 再乘以这个角度 r， 好 吧，除以 m n 跟 b c 的 夹角处 r， 这是贝塔吧，对吧？上面是阿尔瓦这个贝塔，阿尔瓦贝塔有戒吧，所以给他放松一下，所以起来练习。 二分之一根号是谁？这边呢？二分之一左边呢？好了吗？两边都乘以二，是不是根号就出来了？所以第二个你要想到这里面是面积，所以可以面积把它记住 啊。再来再来，一四七面一十五皮， 打一个正方形的纸片。那你翻折的问题，我们首先 把它的平面图画一下咯， 我现在要把 a b， e 绕着 a e 处翻起来， 直角三角形，绕着斜边翻起来是什么？这样是不是旋转体了？是不是旋转体了 啊？刚给同学提到出两个圆锥，那旋转体的问题要注意啥？轴的什么线？垂线？那就过 b 做 a 的 垂线 是不是垂直过来，刚好是它什么点？终点，这是二，这是一随这段为二除根号，整条根号随这段为三除根号。那你这是二根号。这边出一个三等分点 啊， f o 的 三的分点数，这个，这个 b e 是 吧？呃，这有 b b 撇啊，我就 b e 啊，看见没？那你就翻起来呢？翻起来长得怎么样？ 这是 o 是 吧？所以这翻起来以后是一个啥？是一个圆圈的底啊？那翻到背面去，是不是这边的三角形？这里啊？ 翻到底下来是不是这个？所以点 b 撇的轨迹是什么？是一个圆，并且 b 撇 b o、 m 这四个点呢？共面是不是共面的？ 因为你这边要垂直吧，延长过去下一个终点啊，所以这个 f 啊， b 啊， o 啊， b 就 空空面了。再来， b 撇在里面摄影是谁啊？ 你这个 b o b b o， b 撇这个面的里面都垂直了，所以 b 撇在底下摄影出这条线上的某个点，摄影出在线上某个点， 没毛病吧？来，这 a b c d 哪个选项需要解释一下？ 比如 c 选项好不好？ c l 会零点吗？ f 点，然后 b 撇 f 跟底面所乘角， 线面所乘角就是谁了？ b 撇 f， 谁 用 b 撇 f， 而这这些是共面呢？共面呢？我看不懂，我把平面图画出来，这是 b 啊，这是 o， 对 不对？这是 b， 这里还有一个三分之一，这点是 f 点，你是长这样子的， 然后这个连起来什么社会最大？切切的话连起来是九十度，最大的一记，二除根号最大的一记， 单独跟好友，谁的挣钱是最大啊？不是这么多事情想恨着，明白吗？要再比如说，谁知道问题呢？ b 撇 b 会跟 a e 谁生呢？那 b 撇 b 的 投影是谁啊？ b f， 那 b f 跟 a e 会谁生？那是不是斜线这里也垂直的啊？斜线都可以做出来对吧？是旋转的问题。 再来，若两条异面所成角七十度，或空前一点，跟它们都成七十度，这样直线有多少度？ 所成角？那我们是不是都可以移到一起来啊？可以吗？ 那如果我过点 p 做一条直线，跟它所成角如果相等，这条直线长的什么特点？ 这个角跟这角相等啊？那我这上面找一点 q 做正面的射影，做 o， 然后过这做垂直过来， 比如说 q e 垂直啊，这个真 q 是 吧？这是 o 啊， q e 垂直 a q e， 如果垂直 a， 那 o e 呢？垂直 a， 那 q f 垂直于 b， 那 o o f 呢？ 这两个脚相等刚才这只直角，所以左右两侧的两个三有什么关系？全等，这两段是不是相等？ 这两段对于底面来讲叫什么？叫斜线？那斜线如何相等呢？投影是不相等， 这两段相等是啥意思啊？到角的两边距离相等，所以这个点在哪里？ 所以我们现在解决了一个问题，如果过点 p， 要做一条线，跟 a b 所成角相等，那这个这条直线 l 在 这底面射影，一定是谁啊？是角平分线， 所以你看我们这个是七十度是吧？那七十度这个区域里面是不是这个叫做角平分面啊？从上到下还有呢？还有是不从下到上 只有两个区域，上面可以做，做一条，底下能做一条。还有两个平面是谁啊？钝角一百三十，一百一十度，这边是不也有啊？ 看见没？看见没？这个角度，这个最小是几度啊？三是三十五，所以跟 a、 b 三十五这样子有几条？ 是不是？有，且只有在这个面上的这条，然后四十度有几条？ 这一边是可以做一条四十度的，底下能不能穿上来一条？可以。而在这个区域里面，你是一百一甚至几度？五十五最小几度， 最小是五十五。那你要做四十度，能做的来吗？做不来对吧？做不来， 因为我们刚才为什么这个是最小的？为什么三十度最小？三十度是什么？躺着的都躺着的， 所以我这个斜的一定比躺着的来着什么大，所以最小是几度啊？三十五是最小是三十五。来回到本题， 他说要做七十度的，是不是？那你这里最小几度？三十五，所以在这个区七十可以做几条？两条这边是几度？最小几度？五十五也可以做几条。什么时候是三 条？那七十度改到几五十五，那这样子线可以做几条？什么时候两条 三十五到五十五之间是多两条三十五度的叫几条？三十度？没有，没有是吧？搞定了吗？ 因为所成角是可以进行平移的，所以你都移到一起来，变成过一点的线。