永州中考二模数学讲解几何23

大家好，今天我们来看一道中考模拟题，这是一道选择压轴，呃，这道题啊，动口性比较强，考察了正方形的各个知识，以及三角函数还有相似等各方面。那我们先来读题，如图，在正方形 a， b， c， d 中点 e， 在 线段 d， c 上连接 a， e， b， d 相交于点 f 点 g 呢，是在 a、 e 的 延长线上连接 d j， 若 g， d 等于 g f， 且它的角 a， f， b 等于四，则 d j 比上 a、 e， 它的值是多少？ 那这道题呢，首先咱们观察一下啊，是一个正方形，然后呢，有一些这个边的等的关系，以及啊，三角函数这样一个值，那么这里面呢，没有边的具体的长度， 那所以说呢，这种题一般说是设参数啊，适而不求，那或者呢是另某一些边的长度啊，干脆直接为一就可以了啊，因为是选择题啊，选择填空这样的题呢，都可以这样来设， 那咱们先来看一下，找一下这个突破口，那这呢， g， d 等于 g， f 这个等幺，那另外呢，还有参数的 a， f， b 等于四， 哎，这呢， afb 这个单点型啊，它不是一个直角单点型，所以说咱们需要构造，那一般来讲就是做垂直啊，没有其他的，这个没有太多的其他方法。 那咱们看一下，如果说直接过点 a 做 bf 的 垂线啊，其实这样呢，没有必要，为什么呢？因为有正方形，咱们其实可以直接连接 ac 啊，这样呢，直接连接 ac 呢，自然会产生一个直角， 连接 a、 c 中呢，咱们交 b， d 于 o， 那 这样呢，自然就是垂直的啊，这是正方形的一些特点，那所以说三角形 a o， f 啊，它就是一个直角三角，那这样的话呢，它这个角 a f b 等于四，那么咱们可以令 o f 等于一，那这呢，一般如果说大写的话呢，可以令 o f 等于 a， 那 因为这呢是选择填空，咱们其实令 o f 等于一啊，是比较好算的啊，接下来各方面都比较简变 好，那这样的话呢， a o 呢，就等于四啊，因为弹起的这个角呢，是啊，这个四，那四比一，所以呢，这个一，这个就是四，所以 对等线 a c 自然是等于八啊，这个呢非常明显，那 b d 呢，也等于八。另外呢，咱们还可以直接通过这个一比一比根二这样一个关系，得到了这个正方形的各个边，它的长度 都等于四倍的根二，这个呢也比较好求，咱们就略过，直接写结果。好，接下来再看一下啊，要求 d g 比成 a e， 那 我们需要把 d g 还有 a e 这个长度给它表示出来，那当然，这样呢， d g 是 等于 g f 的 啊，如果表示一下 g f 也可以，那既然这有垂直了，咱们想想，刚才也说过了啊，这是个等腰，咱们不妨过点这样再做一个垂直， 那么立刻有了一个三线合一，就这样呢，假设是要垂直为 h， 一个呢，是这样呢，是垂直的。再一个呢， f h 和 h d 都是相等的，那其实刚才这个 o f 等于一， 那 a o o c 等于四，其实 b o o d 啊，哎，也等于四，就是 o c b o， 还有这个 o d 呢，都等于四，那 o f 等于的话呢，咱们可以得到 d f 就 等于三，那 三线合一， h d 呢，是垂直于这个底边的，所以说呢，它就平分这个底边，所以说呢，这个 f h 啊，还有 h d 呢，都等于二分之三。 好，这样一个关系。那另外呢，咱们再来看一下这个要求， a e 怎么去表示这个 a e， 既然 a d 等于四了，如果说能表示出来这个 d e， 那 么 a e 就 能求了，这个 d e 怎么求呢？哎，咱们这呢，可以另一个相似 啊，因为有正方形，这样一个平行就出一个相似，就是三菱形 d e f 和三菱形 b a f 相似啊，这个呢，也是在正方形当中比较常用的啊，非常常用。那这样呢，咱们看一下，应该是对应边乘以比例， d e 比上 ab 等于 df 比上 f 啊，这个呢就非常明确了， df 呢是等于三的，而 f b 呢啊，这没写。咱们 f b 呢，应该等于 o f 是 一， o b 呢，是这个 四啊，所以说呢，是一加四等于五。哎，所以啊，这个 d e 比上 ab 乘以五分之三， ab 呢是 a b 的 话，应该是四倍的根二。好，四倍根二乘以五分之三，就等于五分之十二倍的根二。那这样呢，咱们把 d 表示出来， 接下来咱就可以表示 a e 了，那 a e 的 话，直接固定点啊， a e 呢，就等于根号下啊，这个方加这个方就是 a 地方，再加上地方，咱们把 d 一 啊，还有 a d 啊， a d 呢，这也有了，咱们直接代入，然后呢计算啊，那这样的话，咱们可以再然后呢，再开方就可以得到这个长度呢，是等于五分之八倍的根下十七。 好，这个呢计算咱们一定要过直接写结果。好，这样的话呢，求得了 a e， 那 么下一步呢，要求的是啊，这个 d j d g， 其实呢，咱们可以用 f g， 为什么要用 f g 呢啊？因为这呢有一个对角，这垂直，这垂直，这个 a f o 和 g f h 相色，哎，这个相似呢，可以另一下， 那因为这个相似比呢，就是这个边比这个边应该是一比上二分之三啊，一比二分之三，那相当于这个边比这个边呢，也是一个一比二分之三。那咱们这样呢，需要把 af 求下啊，这个 af 呢比较简单， 呃，直接就是这样呢，是个四， a o 是 四， f o 呢是一，它就是一个根下十七，所以说啊， af 就是 根下十七，比上 f g 啊，这个边比这个边等于这个边比这个边呢是一比上二分之三啊，通过这个化简计算，咱们可以得到，那么 f g 的 长度呢，就是 二分之三倍的根下十七啊，通过这个比例关系就知道了。那么这样的话呢， d g 比上 a e 啊，就可以算了，那因为 d g 呢是等于 f g 的， 那就相当于二分之三倍的根下十七，然后再比上 a e a 一 的长度呢，是五分之八倍的根下十七，那这呢根下十七约掉了，就二分之三，再乘以八分之五，也等于十五比十六。那么这个答案呢，就是选 a， 那 这个题啊就得到了解决。好，感谢大家收看，再见。

二零二六年永州二模数学试卷十九题，之前的题型不丢分即可，基础中的基础，今年的中考研大概率不会进行压轴，几何综合与二次函数综合题型会是最后的压轴出场。距离中考不到一个月时间，每天都得有收获才行，将来的高中决定了现在的选择，记得点赞关注哦！

雄赳赳气昂昂，数学难题正面杠！哈喽，各位同学，终于来到这次二模考试的最后一题，二十三题了， 这道小题我们要做的话呢，一共可以说也是三小问啊，非常经典。第一题，判断四边形的形状，那我们知道啊，这个平行四边形当中呢，还有一个长是宽，我们攒起这么说吧啊，长边是短边的二倍， 那还有 e 点是 b c 的 中点右过点 e 做平行线，那当然了，我们一定得说清楚啊，同学们，你比如说这个，呃，做平行线了，如果说你要用到欧式 a、 d 中点的话呢，是不可以拿来直接用的啊，必须得说明这个平行线分线段成比例的感觉，这才可以啊。 所以这个小题的话呢，我们得注意感受。同志们，首先判断 a、 e、 b、 e、 o 的 形状，那我们知道呢，你最特殊，最特殊也就是个菱形了，怎么证明菱形呢？首先我们看一下，根据题目当中已知的条件， e o 是 平行于 a b 的， a o 是 平行于 b e 的， 所以两组对边分别平行，你首先就是一个 平行四边形嘛，那紧接着呢，离菱形就差一组边相等了。这个也非常简单，由于一点是中点，那么 b e 就 等于 bc 的 一半，而 ab 呢，也等于 bc 的 一半，所以第一问是非常简单的，第二小题它开始上难度了啊，让我们猜想在图二当中， a e 与 e g 的 数量关系。那么同学们，这种题目我们已经见过很多遍了，一般来说，最后一问直接写答案的过程啊，直接写答案的题目直接要用到第一题的结论呐，对吧？ a e 与 e g， 我 们来感受下这种题到底该怎么做？ 在图一的基础上连接 d e 并延长，那么同志们得注意了啊，这 d e 相当于就是这个菱形的短对角线， 连接 a e 并延长的这个 a e 相当于就是菱形的长对角线，这个我们一定要分析清楚，那么只要你连的是长对角线和短对角线这么一连呀，同学们，你会发现这个角注意 o 永远是直角对不对？题目当中也有着大量的中点， o 是 终点， b 是 终点， e 是 终点等等等等这些东西啊，同学们，那么有终点的话呢，我们就知道可能会有，比如说，哎，背长中线的这种旋转型的全等还会有呢？中位线还会有呢，比如说这个像什么与终点相关的啊，各种各样的斜边中线地理都可能有。 那么这个题目当中咱们到底该怎么做？我们首先来感受一下，首先看主人公他要我们找的是 a e 和 e g 之间的数量关系， 那同志们点 e 作为终点的话呢？在这里我们来简单的思考一下，比如说呢，过点 b， 老师在这里做一下啊， c f 的 平行线，假设交 a g 于点 h。 好 了， 那这里我们知道啊，同学们由于点 e 是 中点，很容易得出三角形全等来啊，就是一个一百八十度的旋转型全等，比如我只要做一条平行线，我们就能得到三角形 b e h 一定是全等于三角形 c e g 的， 那如果两个三角形全等的话呢，我们自然也能知道 h e 的 长度就等于 e g 的 长度。 那么换句话来说，由于点 b 是 a f 的 终点，当然了，这个地方肯定同学们就得问了，说老师，这题上也没说呀，你平常就说它是终点呢，这就是需要大家证明的过程。同学们，那比如说在这个题目里头啊，我们会发现， 你看怎么证明它是个，呃，这个，这个终点，呃，其实在这个题当中呢，我觉得方法还是比较多的。同学们啊，比如说呢，这两个三角形，他们肯定也是啊，像这种什么 呃，全等啊。比如说，你看 b e 等于 c e 对 顶角啦，两直线平行的内错角啦，也是类似于这种倍长中线的一百八十度的啊，旋转型的全等。 如果这两三角形全等以后呢？那当然 c d 的 长度就等于 b f 的 长度喽，也等于 ab 长度，所以 b 是 中点嘛，虽然简单好正，但我们一定得说清楚 好，这样一来呢， b 点是中点，那由于平行线分线段成比例啊，所以这 b h 其实就是中位线了吗？大家也知道啊，当然，我们这里用到的还不是 b h， 我 们就知道 a h 的 长度 啊，就应该等于 h g 的 长度，而 h g 的 长度呢，又等于二倍的 e g。 那 其实这样一来，同学们，你想想 a e 是 什么？ a e 就是 a h 加上 h e 等于三倍的 e g， 这样一来，数量关系就有了三比一。那么注意，这个数量关系，同学们，应该在后面的每一种情况当中都是成立的， 大家这个地方得注意啊。那么接下来看第二小题，说，如果 c d g 是 一个直角三角形的话，让我们写出 d e 比上 a e 的 值。还是那句话， 这个地方是直角，同学们，永远存在，永远成立啊。那接着图二呢，我们其实可以更好的分析清楚这个直角，那我把角 c 当成直角顶点，如果 d c g 是 一个九十度的话，接下来怎么办呢？同志们，方法其实很多啊，你要找的是 d e 比上 a e， 那 我们首先来看 好，如果你这边是一个九十度，根据斜边中线定里点， e 是 中点吗？这 d e 的 长度就等于 ec 的 长度，而我们又知道这 ec 的 长度呢，是等于 c d 的 长度的，所以你一看呀，这个三角形就是一个等边三角形了， 那这就简单了，这就是六十度，这就是三十度。你说这短直角边比上长直角边是多少呢？一比根号三，也就是三分之根号三搞定了，那像另外一个图的话呢，可能会相对来说难画一些啊，老师这边也给大家画出来了，当角记为九十度的时候， 当角记为九十度的时候呢，我们依旧可以得到三角形 d g f， 它是一个等腰直角三角形 啊，你说老师他是个直角三角形，我知道等腰从哪来的呢？其实也一样啊，同学们，斜边上的中线等于斜边长度的一半，大家注意啊， 那这个时候呢，你要注意，这是直角，这个地方也是直角，所以说对于这样一个直角啊，对这样一个直角三角形而言的话呢，其实我们很快可以发掘出来啊，他应该是一个等腰直角三角形。那么此时此刻， d e 比上 a e 的 长度就是一比三，就是三分之一 啊。这个题的两个答案是出来了，但是有同学可能会不会好奇啊，说，老师，为什么角 d 在 这里不能是直角顶点呢？大家想想，角 c、 d、 g 能不能是九十度？不可能的，同志们啊，因为我们得明白一个道理，角 a、 d、 c， 他被 d、 e 这条角平分线给他平分开了。角 a、 d、 c 呢？那就是一个钝一个钝角吗？对吧？同学们，如果说你把它角平分开了以后呢？连着角 c、 d、 e， 他 都是永远小于 九十度的啊！同志们，所以这个角 c、 d、 g 的 话呢，应该比九十度还是要再小一些的啊，那不可能是等于九十度的啊！因此，这个题目只有两种情况，两个答案，你 听懂了吗？白来拐本期视频我们就到这里，祝愿大家中考旗开得胜，下个视频不见不散！

井里出现了直角、背角等线段，是不是越看越蒙？今天我们来用几分钟教你利用相似来秒出 a to b a b 他的答案。 在我们的作业当中出现了这样的一道五 v 二模题，下面我们来看看条件。 现在说在四边形中，对角线 a boy c 的 相交于点 o， 并且满足了 a c boy 是 九十度，其中 boy d 等于 c d a 这两段相等，说弱角 d a boy 等于角 a boy c 的 两倍。 这里面的条件非常繁多，所以说我们可以把它拆分成几个步骤。第一个步骤，利用已知条件来转化角度，例如在这里面的 a boy 是 两倍的 a boy c， 那 么我们不妨令它为而法，那这个角将会变成二，而法 好最终的目标是 a 的 和 a boy 的 比值。那么我们想，如果它们所在的三角形相似，那么 我们可以直接利用这段笔就是相似笔来获得。如果它们不相似，那么我们可以试图获得一些其他的长度关系，或者说找到中间量，让它们二者可以相比。好， 其实通过观察，这张图形当中出现了一个等腰三角形，在这里我们不妨令这个角为贝塔，那描述方便起见的话，我们这个角就叫尔法加贝塔。 分析这张基本图形，其实我们还能够获知一些额外的讯息，例如我们在这个关系式当中出现了一个八字形，哎， 这个图形是一个八字形，八字形呢？这两个角的和等于这两个角的和 对不对？对顶角是相等的，所以说由于下面二者加起来是阿尔法加贝塔，所以说上面这个角是谁？必然是贝塔。 那如此以来，我们在这张图形当中啊，直接就发现了一组相似三角形 a do boy 和另一个三角形 a， 它对吧？二者呈现出一种典型的母子型相似结构。在母子型相似结构当中， a do 和 a boy 恰好为对应边，那么我们说 a do 比上 a boy， 它的对应边之笔将会是我的相似笔，那我可以认为它等于 o do 比上，比如说 do boy， 可是我们发现 odo 比上 doboy。 在 这里面，事情又陷入了僵局，我们在本题当中没有给出任何长度信息， 哎，除了这个 b d c d 相等之外，我们没有具体的长。所以说，我们在此 o d 比上 d b， 你 根本不知道他是谁比谁，那也就是说，这两段长度之间必然天生包含着长度比例。 由于题目当中多 boy 和多 c 的 相等关系，所以变为了 o d 比上 d c。 我 们通过观察这张图， o d 比 d c， 那 又比全啊，部分比整体，那在此啊，我们如果能够得到部分比部分，其实也就变相得到了部分比整体。 如此以来，经过我们的分析，我们可以想到这样的一个常见方法， 哎，毕竟我们的等腰三角形三线合一，那如果说我们人为构造了这样的一条高线 d h， 那 它将直接通向我的中点啊， c b 中点。 然后我们在此不禁会去猜想 o 是 否是 c d 终点， 哎，那也就是说，假如 o 是 c 道的终点，其实我们不难得证，在这个图形当中啊， 由于平行关系造成了两角相等，由于对顶关系造成了两角相等，那假如两块三角形拥有着全等结构，那么我们想要的这个东西将不正自明。 假如说这个交点为 g， 这样方便我们后续来描述。好，那在这张图形当中，我们发现啊， 角其实都是好找的，唯独边的关系不好找。我们发现 a c 和得 g， 它的关系 似乎并非一眼可以得知，那么 a o 和 o g 它的关系似乎在此也有一定的困难。好，在此我们利用两种方法。第一种方法， 事实上我们在这个图形当中其实是有一定的隐含关系的。 其实大家如果能够细心观察这幅图形，我们就能够发现这里存在着这样的一个图形，和这里存在的这样的一个图形，事实上，哎，也是可以整全的， 对吧？而这两个图形当中，这两条边是一样的，这两个角是一样的。除此以外，我这个角假如说叫伽马， 那也等于伽马，根据平行，他也等于伽马，所以说这二者必然是。哎，全等，全等的话，那这两条边当然相等， 那这样这道题我们就解决了。哎，两个三角形，全等，所以说这是一个终点，因此我们的比值是 二分之一。好，那如果说我们不利用这个方法来解决的话，也许有些同学他可能会意识到这样的一件事， 嘿，这个图形看似好像也是一个等腰三角形吧，对吗？那如果他是一个等腰三角形，我们来进行一次小小的计算， 做一个垂直，假如说垂足为 k。 好， 那我们来逆推一下， 根据这一点是中点，所以这条线将会是一个中位线， 我们假设它的长度为一份，所以说它对应的 a、 c 是 不是就是两份？根据矩形，那么我的这种关系也就是两份关系，那它将会是一份， 那我们再来观察一下哎这段如果是一份就好了，有没有提射当中的有用信息呢？在这个图形当中，我们稍加分析，可以发现哎这个角其实是阿尔法的余角， 那么在这里面和它相等的角，我们来看看这个角是否能和阿尔法发生一些关联。 其实哎经过倒角关系，我们能够发现这个角的的确确和尔法有着一定的联系，因为它是由哎这个角以及它哎 和贝塔合并构成的，那它和贝塔也就是这两个角的和正好还是这个角， 所以说通过倒角关系，它的的确确是一个等幺三角形，等幺三角形，所以我们这样的证明也是可以的。 设它是一份，那么它就是两份，根据矩形，我的 k g 也是一份，那么 d k 啊，根据我们刚刚的等幺，它的一个推导， 这个角来自于哎贝塔加上他哎贝塔假如说叫加角一，那也就等于这个角，这个角和 角二是相等的，因此我们就获得了这里也是一啊，所以说变相的得到了他的场为二，因此我们又一次的证明了这个结论。好了， 那么这道题我们帮助大家从条件联想到辅助线，目的以最后到推导逻辑进行了屡顺。如果你还有其他的奇思妙想，欢迎在评论区留言，我们下期再见。

木易木易，数学容易！各位同学大家好，我是梅老师，今天给大家带来二零二五九拳按摩几何压轴题二十六题综合实践，在等腰 abc 当中， ab 等于 ac， 所以 我们把这里的 abac， abac， abac 全部画出来，又告诉你 abac 等于 r 法，那这个角就是 r 法，对吧？ r 法， 接下来说 d 是 一个动点，并且让你连接 ad， 我 们这里也把 ad 给它连接起来，绕 a 逆时针旋转，而法到 ap， 那 ad 到 ap 最后呢？只有 ad， 我 们也画出来。问题发现，如图一，若而法等于六十度，而法等于六十，那么角 b 就是 六十角， acb 也是六十，那旋转了六十度之后，哎，其实呢，就相当于把 啊这个三角形啊 a、 b、 d 给它旋转了六十度吧，是吧？旋转六十度了，那么角度是不变的，所以这个 a、 c、 p 其实就是六十度，它等于角 b 线段 a、 c、 c、 d、 c、 p 之间的数量关系，因为已经知道是旋转过来的，哎，所以这里的 c、 p 啊， cp 这条线段其实就是 b、 d 这条线段，然后 ac 这条线段呢，也刚好又是 bc 这条线段，因为它是等边吧啊，所以它们的数量关系就非常简单了， ac 等于 cp， 加上 cd， 是 吧？ 第二问，类比探求，如图二，阿尔法如果等于九十度，阿尔法如果等于九十度的话， 那这个 a、 c、 p 是 多少度呢？我们只需要看到，哎，它仍然是由这个 a、 b、 d 旋转过去的，对吧？那个这个角 b 有 多少角？ b 是 四十五吧，因为这里旋转九十度是等腰直角三角形了，所以这个角呢，还是四十五度。 ok， 所以 这一问呢，第一个 a、 c、 p 的 度数四十五度 线段 a、 d、 b、 d 和 c、 d 之间关系，因为这里 a、 c、 p 四十五度，然后 abc 又是等值，所以 a、 c、 b 也是四十五度，两个四十五度，它就会有直角出现，有了直角，我们在这个三角形 d、 p、 c 里面就会有勾股的关系了，那这里勾股的关系就是 d、 p 的 方等于 d、 c 的 方，加上，呃，这里是 pc 的 方，是吧？又因为 pc 就是 b、 d 啊，我们这里体现一下， b、 d 是 旋转过来倒成 pc 的， 所以我们就可以写成是 d、 p 的 平方等于 d、 c 的， 我们写 c、 d 吧， c、 d 的 方加上 b、 d 的 方，然后看到这个 b、 d 和我们题目里面的 a、 d 啥关系啊？啊，那就是在 啊这样一个等腰直角当中啊，我们 ap 和 a、 d 是 直角边， d、 p 呢？是斜边，所以我们可以把 d、 p 其实写成是根号二倍的 a、 d 平方，之后就是啊，根号二倍的 a、 d 的 平方，那就等于二 a、 d 方了， 所以他们数量关系就是两倍 a、 d 的 方等于 c、 d 的 方加上 b、 d 的 方。 ok， 看这三问 这三问，说一个四边形，然后这里四十五，这里四十五， a、 d、 c 还是四十五，那我们看到前两个都是旋转某一个三角形，对吧？那旋转哪个三角形呢？肯定是这个 a、 c、 d 三角形了， 那我们会把它顺时针旋转九十度旋转回来，那旋转回来到什么位置呢？这个就是到这样一个位置吧，对吧？这里也要九十度， 然后 ad 和这个 ap 它是相等的，那么 ab 和 ac 又是旋转对应线段，所以我们会找到这个 cd 其实和我们现在的这个 bp 就是 对应线段， 这两个三角形是旋转前后得来的，那么它的角度一样， b p a 也是四十五度，和角 d 一 样。 接下来呢，我们就看还有什么条件啊，哎，发现这个 p a、 d 是 九十， a d、 c 是 四十五，所以如果我们延长这里的 dc 啊，一直延长到了 p 点，那么它应该也是一个四十五度，并且这里应该是共线的，为什么共线？因为等值本身就四十五，加上右边四十五，所以说明这个 a p、 d 肯定是个等腰直角三角形， 然后又因为这个 a、 d、 c 和 a p b 都是四十五，所以就得到了这样一个直角三角形。在哪个直角三角形呢？就是在这个 b、 d、 p 这个直角三角形里面，我们看怎么去算后面东西啊？ b、 d 等于三，那么也就意味着这个 b、 d 这里是斜边，是三， c、 d 是 一， 又因为它旋转，所以 b p 就是 一，所以我们就在 r t 三角形 b p、 d 中，然后这个 p、 d 就 等于根号下面 b p 方 啊，应该是 b 地方，是吧？ b 地方减去 b p 方，就等于根号下面三，减一是二倍，根号二。那么又因为在等值 a、 p、 d 中，是吧？这个 a、 d 的 方加上 a、 p 的 方， 就等于 p、 d 的 方，它是等值啊，所以 a p 和 a、 d 是 一样，所以算出 a、 d 就 等于几，其实就等于二，对吧？好的，结束关注我，考试再提十分。

好啊，那我们接下来啊，继续看到这个啊，二十五题这个新定义了，他说有一个凸四边形，有一个角是直角啊，而且这个直角的顶点引引出的对角线，把它的对角分成了一个直角和一个锐角，那就是双垂直四边形啊。若 abc， abc 等于这个 ab 等于九十度，那就是双垂直四边形啊，给出了这个定义，那这个定义我们看下有有一个什么好处啊？ 那首先呢，你的角一加角二是九十度，角二加角三也是九十度，那所以这个角一一定会等于角三啊，你要得出更多的结论，你才好去做这个题目啊。好， 角一等于角三呢，这个 cbd 就 会等于这个角 a， 那 就等于六十度啊，这个结论很很重要啊，虽然是一个简单东西啊，他在后续啊，不管是为我们的全等还是相似，他都是非常重要的，因为他提供了一组角相等， 那我们去不管去构造相似还是去正相似啊，都是一个有利的条件啊。好，下一个，他说这个 g d 四切线，我们可能把这个 co 把它连起来啊，连起来之后，这个 c d o 它就是直角啊， 他又给了一个啊，类似等下的条件呢，我们肯定要用萨姆士吧啊，把这个 a c 连起来连起来之后，那我们发现，我们发现啊，这两个蓝色的角会相等， 然后你把这个 c o 连起来之后呢，这两个黑色的角又会相等啊，那一个蓝色角加一个黑色角等于九十度，那下面这里蓝色角加黑色角，那肯定也是九十度 啊，那九十度之后，那其实这个 d a 它也是切线嘛啊，但是它没有让我去证这个 d a 是 切线啊，但这种这种方式啊，同学们可以学一下啊， 有的老师呢，这个呢，是通过政权等啊，政权等也是一种重要重要的方法啊，因为可能在某种特定的条件下，你只能去通过政权等，然后再去挣牵线啊，这个在去年的这个啊，最后一题去提去提体现的比较好了啊。 好，那现在正出现在正出这个角是九十度，然后这这个平分线一分，那这里也是九十度，是吧？那所以我们就是正这个，这个 a a o 这个角等于这个啊， d c o 这个角等于九十度，所以正出来它是双垂直四边形啊。 然后第二问，第二问的话呢，是这个 bc 等于两倍的 cd， 那 bc 等于两倍的 cd， 我 们就只能用代数去表示，去看一下啊， 看一下之后呢，他现在要求这个 tangent 角 b 的 平方，那这个 tangent 角 b 的 平方你就要想的想的这个内容啊，大致肯定啊，要往直角三角形的相似去想啊。直角三角形 首先摊准了吗？那直角三角形想直角三角形还不够，你要想到直角三角形相似，如果没有直角三角形相似，那你还要去怎么样？还要去构造直角三角形相似啊，就是往往这个思路啊，首先直角三角形，然后相似，然后构造直角三角形相似啊，好，这个思路啊，大家多去用用啊。 那我们首先来看一下吧，你填准角 b， 填准角 b， 它是这个 a c 比上 b c， 但是 a c 没有边呢，没有边的话，那你就要去去设一下了啊，当你你你去设的话，你去设它为什么会比较方便呢？那我们来看它这是二 a， 那 你不如就设这个 a c 为二 b 吧。啊， 好，那你这样子啊，你，你最终的这个比值也看起来简单一点啊。好，然后我这里还是也用了这个第一问的这个内容， 因为你这两个角加起来是九十度，然后这加起来是九十度啊，所以这个角 b 是 等于他的啊，那等于他的这个作用呢？就是我非常想往这个相似去靠啊，尤其是这出现这个三角函数的时候，我要往直角三角形的相似去靠，这就是这个我规划的这个 就做一个题目的一个规划吧。好，那我们就去设啊，设这个 c d 等于 a， 则 b c 等于二 a， 然后 a、 c 等于二 b， 所以 在 r t 三角形 a、 b、 c 中还是要给它多说一下啊，不然的话，你不说只要三角形，你直接用添准的啊，可能还在会扣你分啊。 t 整数 b 等于 a c 除以 b c， 那 就是等于 b 分 之 a， 那 他的目标就是要求这个 a 方分之 b 方的一个值，那像这种 a 方分之 b 方的值，那我们往什么方向去想呢？整体思想的一元二次方程啊， 整体思想的一元二次方程，那你整体思想的一元二次方程，你现在只是去设未知数，你还要还列方程呢，列方程的依据是什么呢？ 你要么是勾股定力，你要么是相似三角形交叉相乘会有一个算式啊，那这里很明显勾股定力是形不通了，那很明显你就要去勾到相似了。那你看啊，你要么是用勾股定力得到等量关系，要么是相三角形得到等量关系啊， 那这的话呢，因为你这两个角相等了啊，而且，而且他这又是等腰，所以你这个标出来是非常关键的，是吧？你等腰之后，你这一做垂直， 那三线合一，那你二 b 就 分成了两个 b， 是 不是好好做，垂线过低做这个垂线交于点 h， 做 d h 垂直 a c 交于点 h， 因为 d a 等于 dc， 所以 a h 等于 c， h 等于 b 啊， 好，然后因为角 dha 等于角，这个 a c b 等于九十度，然后这个角是吧，角 b 又等于它，所以三角形 a d h 相似三角形 b a c a d h 啊， b a c 好， 角，对应，对应好了啊， 对应好了之后，那我现在就是，那就，那就要还要把这个 d h 给它表示一下啊，这个勾股定律这里表示一下啊， 这个 e h 等于根号 a 方减 b 方啊，直接 a 方减 b 方。那所以啊，去比吧，比的话啊，看，我看一下已知的啊， abc 已知的两条边只有什么呢？只有这个 ac 比上 bc 啊， ac 比上 bc， 那 就会等于这个 dh 比上啊， 比下啊， d h 比上 a h 等于 ac。 写一下好，这个等量关系就出来了啊，比上 a h 是 b 等于 ac， ac 比 bc， 他 就是二比一，比三二 a， 那 就直接就 b 比 a 吧。好，那这里交叉相乘啊， b 方等于 a 倍的，他不要慌啊， 我们看到这里两边平方四次，二次，四次减去，这个好，到这里啊，我们看一下我们的目标，目标是 a 方分之 b 方啊，不是啊，目标这个他应该是啊，是 b 除以 a 平方啊， b 除以 a 的 四次方得到。好， 然后我们再令 t 等于等价大于零啊，等于之后，那就是 t 方加上 t 减去一等于零，一等于负一，加上根号 b， 平方减 c， c 根号五，然后除以二。好， 所以 a 方分之 b 方等于根号五，减一除以二，所以 tangent b 的 平方等于它就刚好等于这个，它都是整体来表示啊。 好，这是第二大问，第二大问的第二小问。好。看到第三题啊，你看他考来考去，其实还还是一些比较重复的内容啊，每个学校考的这些重点都比较相似， 那你说中考会不会出现一点点变化呢啊，我，我感觉还是大概率会啊，只是说大家的一些这些基本的想法啊，还是要把它练熟，你才能在中考里面最后两题拿到更多的分啊。 好，下一个啊。已知这个 b c 等于两倍的这个 c e， 那 这里我们我们就去设这，这个 c e 等于 x， 那 么 b c 就 等于二 x 啊。垂直的地方先给他标标好了啊，这，这垂直，然后，然后这个地方垂直啊，双垂直四边形吧啊，这两个地方垂直，然后 我标标了的地方啊，这个由一的，这个角一等于角二的啊，角一等于角二，这这这个是要注意一下 这个锤子自己知道就行了啊。角啊，这个由一得角一等于角二，这个很重要，你看角二，他在直角三角形内啊，那，那你在这个角一这个地方，你肯定是要去构造相似了， 因为条件很少的时候，那就看看你自己啊，找到一些关键内容，然后配合最近训练的熟练度啊，就相当于一种条件反射就要出来的一个处理的这个办法啊， 但这一组相似自己要有一个感觉，一组相似肯定是无法解解完这道题的。那你就看一下有有没有三角形啊，又会相似啊？有的啊，你比如说我，我这标了一个红色角，一个蓝色角啊， 我看到什么呢？反正这里这个三角形内角和肯定是一百八，然后四点共圆，对角相加，又是一百八啊，这个都都是一个熟练度。角一又等于角二呢，这个角三肯定是等于角四的啊，那这里我我们怎么说一下呢？就是的啊，这个角一加角三加上角 b a e 等于一百八， 角二加角四加角 b， a e 也是一百八，所以角三等于角四啊，那你看你这锤子一坐下来， 角三和角四，角三和角四又相又这个相等了啊，那就，呃，直接多说一些吧。那首先啊，你的这个三角形啊，这里来个 h 吧，三角形 a b h 相似，三角形 b 得 c， 然后三角形这个 a e h e h 啊， a e h 就 会相似，这个 e c h 也是它和它相似，那它又会和它相似啊，这样看起来就很漂亮啊。这个四面形里面啊，刚好拼成了什么？刚好是由这个四个这样三角形去去拼成的啊。 好，那相似完之后啊，你再来看这个题目，这里有有有一些 s 啊，标一下啊， a b d s 一 c， 这个 c b d s 二， 然后啊，不是，是这个是 s 二，然后这个下面这是 s 二啊， s 三，然后最后一个是 s 四，那我们刚刚好是啊， s 一 啊， a b d 是 s 一 啊，好，没关系啊，他要求出 m 与 n 的 这个等量关系，我们先看看下 m 它是怎么来表示啊？ m 它是写完整吧， s 一 等于这样子，那这个 m 就 会等于 s 一 除以 s 四， s 一 除以 s 四。看一下啊，那，那只能是我，我们肯定是要把面积变成长度的啊，变长度变成长度的话，那就是二分之一，这里是 b 的 乘 a h s 四的话呢，刚好也有这条算式，是二分之一， 二分之一 c d 乘得一啊，那把这个二分之一抵消之后就是 b 的。 好， 那这里呢？这像这样的线段我们要怎么去看啊？我们我们要分开两部分来看，就是 b 的 比 c 的， 看一下是不是哪两个相似的这个这个这个线线段的比，是吧？然后 a h 比上这个的 e， 是 不是两个哪两个三角形的这个啊，相似的这个比啊。好，来看一下 b 的， b 的 比 c 的， 看一下吧， b 的 比 c 的 啊， b 的 比 c 的 刚好是天旋角二啊，这是天旋角二啊，然后看下这个 a h 比上得一，比上得一啊，好像是什么呢？好像是这两个三角形的， 刚刚我们说这两个三角形是相似的吧。啊，那就是这两个三角形的相似比，这两个三角形的相似比转化成谁会比较方便呢？那就，那就转移到这个 a 一 比上这个 c 一， 看看会不会方便一点，是吧？ a 一 比上 c 一 啊，好，那这里这里啊，我们要写一个 a h 比上啊， a h 比上 e 的 等于 a 一 比上 e c 啊，把这转移掉，能转移的我们先转移掉啊。 好，那接下来啊，我们同理，同理，这个 n 等于 n 等于 s 二比 s 三， s 二的话， 它是二分之一的一乘 ah， s 三是二分之一 b 的 乘 cd。 好， 来看一下这个 a h。 原来是，原来是，原来是比了这个的的一了，那现在 a h 比上 cd 看看有有没有 什么好的内容呢？应该是没有的，那应该是 a h 要比上谁了？ a h 要比上这个 b 的 才有，是吧？那，那，那把它写一下， a h 比上 b 的， 以及 这里是得一比上 c d 看一下。得一啊，得一比上这个 c、 d， 那 就是 tangent 角四。这地方啊， tangent 角四，这，这里也，也，也是。要啊，这个能写的要，要，先写一下啊，前面的这个看一下啊。 b d 比上 c d， 这是 tangent 角二。好， 这三角角四，那 a h 比上 b d 比上 b d， 要给它转移，转移到什么地方呢？转移到这个， 原来是转到这这两条斜斜的边吗？那我们也转转到这两条斜的边来看一下啊，就 ab 比上 bc 嘛。好，这里这里啊，再再补充一下， a h 比上 c d 等于 ab 比上 b c、 d， 应该这叫 b c d 等于 ab 比上 bc。 好， 现在这里看一下啊， 到这里。看完之后，那我们还要想一个什么内容呢？就是最关键的啊，因为刚刚我们不是标了这个角是直角吗？ 这个直角标出来有什么作用啊？那他是圆周角九十度，圆周角九十度他所对应的就直径啊，那刚好直径的话，你这个 aoc 那 就是三点共线的啊，那刚好 ac 就是 直径啊。 ac 直径，你把这一连啊，那把这一连的话，这个有直角出现，那，那就就相当于你这个斜划子就成功了啊。 好，那就说明你这个 a、 e、 c 它也是直角啊。刚刚我们不是有一个要要转移到这个 a e 去比上这个 e、 c 吗？在这里是吧？那 a e 比上 e c 的 话，它就是 tangent 这个角 啊，这个角，那这个角会等于谁呢？啊？这个角又等于这个 tangent 角 e， 是 吧？好，那就是这里的话是 tangent 角一。 tangent 角一与 tangent 角二是什么关系？是相等的关系是吧？那所以它最终它就是得到一个什么，就得到一个 tangent 角一的平方啊， 就 m 就是 弹性角一的平方啊，那同样道理，那这个 n 的 话，他会不会是这个弹性角角三的平方呢？因为角三等于角四吗？啊， 好，这些都是要非非常的这个细致啊。 a h 比 b， d 等于 ab 比 bc， ab 比 bc， 他 是这个角，这个角等于弹性角三啊，好，写清楚，这是弹性角三啊。 好，那最终它也会等于 tangent 角啊， tangent 角四才是有的 tangent 角四的平方啊，好，那，那接下来我们把这个 tangent 角一和 tangent 角四用代数给它表示出来就可以了啊，好， tangent 角一，它会等于 tangent 角二，还是用 tangent 角二的平方会会相对好一点啊？ tangent 角二的平方，因为你这里才有这个 x 可以 用嘛。 tangent 角二的平方，那这个 tangent 角四也是了啊， 那我们再去设一个 c、 d， c， d 等于 y， c d 等于 y 之后，这个 b 的 b 的 就会等于二 x 的 平方减去 y 的 平方，开根号等于根号四， x 平方减 y 的 平方，那这个的一它就会等于 x 平方减 y 的 平方。 好，那我们来看一下这个 tangent 角二它是等于什么？等于 b 的 比上 c d， b 的 比 c， d， d 是 y 啊，就是这个样子。 那 tangent 角四啊， tangent 角四，它是等于 a 一， 比上 c， d 有 根号不怕啊，因为它这都是平方是吧？那所以 m， m 是 等于 tangent 角二的平方，等于四倍的，它 n 是 等于 pend 角四的平方，就 x 平方，减 y 的 平方啊，好，这个 y 分 之 x 平方，它是等于 n 加一，所以 m 等于四倍的 n 加一，再减一， m 等于四， n 加三啊， 好，那这个呢，确实就是把相似啊，或者说直角三角形相似与这个三角函数的这个结合，三角函数它也转化成这个啊， 两两边之笔的这个关系啊，考到一个比较极致的方向啊，那这个还是锻炼大家去找找相似的能力，找这个对应角的这个正切值的这个笔直啊，这两个线段的笔的一个转化啊。好，那这个思路就分析到这里啊， 这两题还是值得大家多去学习啊，都有值得大家学习的这个部分啊，几何就极致的去找相似，极致的去构造直角三角形相似啊，你的斜画值的这些内容，他都是一些难题的思考的一个方向啊。

中考最后十五天，如果你现在还不知道什么叫繁衍变幻，那就不要用这个方法啦。来吧，今天曾曾老师教你用最原始的构造相似来解决这道北师大附中的二模考试真题。读题， 这道题给你的关键条件是，三角形 a、 c、 d 的 面积为六，那这个三角形对应的边长你都是不知道的，唯一知道这么一个角度，你肯定是要把这个角用起来的呀！ 我们可以把整个已知的面积变成二分之一的 a、 c 乘 ad 乘上 sine 四十五度。理由其实也非常简单，我可以直接过地点往这儿做一个垂直 a、 d 乘上 sine 四十五度，其实就是 d、 h 的 长，而 a、 c 呢？保持不变，底乘高就是一个底乘高除以二的事啊。这个面积是已知的，为六，所以我自然而然想到， a、 c 乘 ad 变成了一个固定的值为十二倍根号二， 并且他们之间形成了一个夹角，刚好是四十五度。按照构造相似的理论，如果我再找一个三角形，让他们两边的乘积也得十二倍根号二，并且夹角还是四十五度的话，一组相似三角形就被我构造出来了。 那题目还给你什么呢？哦，他给了你一条 a、 b 长为三，以知道，并且这里还有一个直角。所以我顺势想到啊， 如果我在这边截取一段 b 一 长，让它也得三，这个四十五度不就被我构造出来了吗？等腰值对不对？而且这里一比一比根号二，这边 a、 e 的 长度三倍根号二也是我知道的，但是我想要三倍根号二吗？并不是啊， 我希望的是这里已知的边 a、 b 与另一条边乘积刚好得到十二倍根号二，而已知的边是三，所以这里一定得乘一个什么呢？ 对，乘的应该是一个四倍根号二，才能达到我的目标吧，所以这边我还得保证它们之间形成四十五度夹角的话，那我只能在 a、 e 的 延长线上做文章喽。所以这边来延长 a、 e， 由于前面已经是三倍根号二了，这边我就只需要补一个根号二，我就能达成四倍根号二的目标了。而我构造出的这条线段呢，也变成了整个 a、 f 的 长。 这个时候你不能发现 a、 d 和 a、 f 都可以找到对应值相等的边，并且它们中间的夹角是四十五度，加上这里的 r 法，它正好对应着这里的 a、 b、 c。 同样的， a b， a、 c 加四十五度加 r 法，所以 s a、 s 出相似三角形， a、 d、 f 相似于这里的 a、 b、 c， 那么相三角形对应角相等，这里是一个直角，说明这边也应该是一个直角，所以我恍然大悟啊，这里 a、 d、 f 应该是一个九十度，并且 a、 f 这条线段的长我还是一个固定的值，这叫定弦、定角相映圆。 所以地点的运动轨迹呢，应该在以 a、 f 为直径的一个圆上运动，而它的圆心呢，刚好就是 a、 f 的 中点， 而引元最值我们已经做过很多次了，怎么求它的最值啊？一箭穿心来吧，连接 b m 此时与圆周产生的焦点就应该是地点真正应该在的位置，而 b、 d 呢，刚好就是我的最大值。这个最大值怎么求呢？也非常简单，四倍根号二的一半，那这一段就是二倍根号二喽， 我只需要努力去把这里的 b m 给求出来就可以了。我可以过 m 点往 a b 做一个垂直，那这边就会出现一个等腰直角三角形，并且半径呢，刚好是这个等腰三角形的斜边半径。二倍根号二，那两条直角边分别应该为二，而整个 a b 长为三，所以 b n 的 长应该得到一个一， 所以你的眼睛应该就看到下面这么一个直角三角形了，它的直角边变成了一个根号五， 这也就是我 b m 的 长度了，所以整个 b d 变成了 b m， 加上这里的 d m， 也就是二倍根二加根五最小值。搞定了村村数学，让你看数学最本质的样子。

大家晚上好，昨天我们讲了压轴题第十五题，今天我们讲二模的这个综合与探讨，我们先看题目，四边形 a、 b、 c、 d 为菱形，然后紧接着做了两个垂直，问你 a、 e、 c、 f 的 形状，我们观察一下，这一看就像是个矩形对不对？矩形的话，我们只需要证明它三个角是直角，就可以证明它是一个矩形。那具体怎么证呢？ 因为这个它是菱形，所以说它是肯定是平行吗？ a、 d 平行于 bc， 那 么这个这个角 d， a、 e 是 不是和它就为同旁内角，同旁内角互补，那这个角为九十度，那这个角也为九十度，那现在我们有三个角为九十度的话，是不是证明出来它是矩形了？我们来看第二问，首先 a、 b、 e 逆时针旋转得到 a、 h， e， a、 h， g 对 不对？然后点 e、 b 分 别对应的是 g 和 h， 紧接着他说 a、 h 经过点 c， 也就是目前这个情况的时候，他问你 c、 h 和 md 的 关系， c、 h， 我 们找到它 md， 你 会发现目测一下它俩好像是相等的，但具体怎么相等呢？我们来证明一下。首先就是你这个三角形，你这样子移过来， 你会发现这个 ab 和这个 ah， 根据旋转性质，它们是不是相等的？同时因为菱形 ab 是 不是等于 ad 啊？那也就是说这个 a、 h 和这个 ad 它们两个是相等的。紧接着，呃，因为菱形的缘故， ad 是 不是也等于 cd 啊？它四个边是不是都相等？那么这个角 d、 a、 c 是 不是也等于这个角 a、 c、 d 呢？对不对？等边对等角。然后紧接着我们再找一个角，你会发现这个角 d 是 不是等于角 b 啊？菱形对不对？然后那这个角 b 它是不是旋转？旋转旋转到这个 h 了？也就是说现在我们有一组对角， 一组边外带上这个对，这个对角对不对？你会发现它这是一个 a s a 全等的一个三角形，也就是我红红笔圈起来的这个 a h m 和这个蓝笔圈起来 d， a c 它们是全等的对不对？全等之后我们能不能证明出来 a c 和这个 am 他 们俩是相等的，同时我们知道 a h 和 ad 是 相等的对不对？我写在这里了，那么我让下减上行不行？也就是 a h 减去这个 ac 和这个 ad 减去 am， 他 俩应该相等的。最后得出来 c h 和 md 是 这样的。我们重点来看第三题，就是第二问，当 g h 和 cd 垂直的时候， 我们大家注意这个 a h g 在 移动的时候，首先 h g 和 cd， 这是第一种垂直的情况，大家可以观察一下。紧接着我们继续旋转。 好，现在是第二种情况， h g 是 不是跟 cd 又旋转出来了？呃，他们现在又垂直了。只要我们能在脑子里想象到这两个场景的话，接下来 如果你能想象出来这两种场景的话，那么接下来计算会变得很简单，我们先把数值标上吧， a b 等于五， b e 等于四，那么根据勾股定律， a e 这个菱形的高是不是就等于三啊？ 我们先看它，最后求的是 amn q， amn q， 你 发现它是个不规则的四边形对不对？我们大家没有学过这种不规则的四边形的面积吧？所以说我们要分类讨论先，首先先画出来草图，再根据旋转性质、锐角三角函数和相似计算出来这里面每一个线段的数值。 然后因为这个三四边形它是不规则的，所以说我们要用三角形的和差来计算，也就是说我们之前经常算的那个求阴影部分的面积就是不规则的图形，对吧？我们先看第一种情况，首先， 嗯，如果选到这个情况的话，大家会发现这个阴影部分的面积其实就是这个大三角形 a h g， 减去这个小三角形 a m g 和这个三小三角形 q h n， 对 不对？ 在这里了，那也就是我们要算哪些值呢？首先你要算出来这个大三角形的底和高，这个我们不用算，为什么呢？因为这个大三角形是不是这样子移过来的呀？那这个高就是四，这个底就是高就是三，底就是四，对吧？那这个 g h 我 们 g m 我 们得算，然后这个 n h 我 们得算， q n 我 们得算，也就是我们要算这三条线。 紧接着我们先看，首先这个高 a e， 它等于这个 a a g， 然后因为这个菱形它的高都是一样的，那你这样做一个高，它是不是应该等于这个 a e 都是三，对不对？然后这个 g n 是 不是它也作为这个菱形的高，那这个 g n 是 不也等于三呀？所以说我们得出来 g n 是 等于三的， g n 等于三， 这个 g h 总共是多少来着？我们是不是 b e 那 个啥旋转过来的，也就是说这个总共是四，那这个 g n 是 三，那我们能不能得出来 n h 其实是一啊？得出来一个底了。紧接着你要知道这个 三角形在这个三角，在这个三角形 a b e 里面，这个 b 它的三角函数，它那的对边比上里面是不是三比四呀？ 那你看这个 h 是 不是和角 b 是 相等的，也就是它的对边比上邻边也是三比四，对不对？我们刚刚算出来这个 n h 是 不是也能表达出来了？ q n 比上 n h 等于四分之三，那么 q n 是 不是就是四分之三？乘，这个 n h 也就乘一，也就是四分之三。 紧接着我们算另一条线，我们是不是该算 g m 了？呃，我们观察一下这个三角形在这个这条线是不是和这个角 d 是 相等的， 那这个角 d 是 不是和角 b 相等的？也就是说我这个 g a m 这个角算还是？我也是知道的，他的贪利特是不是也是对边？这个对边比上邻边是三比四，对不对？那这个 ag 我 们本来知道它是多少呀？它是三， 那么也就是说这个在这写 g m 比上 ag 等于四分之三，那么这个 ag 我 们知道是三，那这个 g m 是 不是就是四分之三乘三啊？也就是四分之九。 到到目前为止，我们现在知道了我们需要的所有的线段，那直接列式子吧，那就二分之一，这个四乘上这个三，再减去这个二分之一。四分之九乘上这个三，再减去这个二分之一乘上四分之三。一乘上四分之三。 那我最后得出来答案，四分之九。那第二、第二种情况的话，和第一种情况是比较相像的，就是这个，大家注意这个大三角形，然后减去这个小三角形的面积，对不对？减去这个 h a m 这个小三角形的面积，嗯，那我们同样也需要算出来这个 h m 的 长度，也要算出来这个 a g 的 长度， 对吧？那 n h 长度，我们首先先算出来了 n h 长度，其实就是这个 h g 加上这个高，对不对？也就是四加三，也就是七，这个 q n， 我 们看一下 q n q n 是 不是这个对边比上邻边，也就是也是三比三，那么这个长度我们知道是七，那这个长度就是四分之三乘七就是四分之二十一， 那这个 ag ag 我 们不用求 ag 是 不是旋转过来的，所以说这个 ag 还是三 m h m h， 我 们知道这个角，它是不是这个角？ amg 是 不是也等于角 b 啊？那它是不是也是这个角？ 不好意思啊，这是内错角 amag， 它是等于角 b 的， 也是对边角里面等于三比四。好，那么我们知道这个 ag 不是 三吗？所以说这个是不是 就应该是四分之九？这个总共长度是四四，减去四分之九，是不是最后得出来答案是四分之七啊？那最后我们直接列式子就行了，这个大三角形的面积减去这个小三角形的面积，最后就剩下来的。

几何快带竖纹心灵易，还能提智商。哈喽，大家好，我是彩虹老师，咱们这个视频给大家讲一下二零二六朝阳二模的几何压轴题， 那这个几何压轴题啊，它的考点啊，我们呢，在咱们的这个专题课上，包括我们的正课上，哎，刚刚给大家讲过，大家可以看一下这个黑板哈， 对吧？我们还特意把这个条件拿过来，哎，只要我们看到这个角是九十度，那我们就要想到他可能在考我们对称出等腰，然后怎么画的，也给大家进行了非常详细的示范啊，那这个题呢，如果说咱们拿捏住这个条件反射了，那做这个题非常快， 好，那我们的重点来给大家示范一下咱们的第二问啊，看咱们如何用我们的这个条件反射直接秒杀他。首先呢，我们看到一个九十度，那我们就想到嘛，对称出等腰啊，所以我们可以哎往这对称， 对吧，然后做一个等腰，那，并且呢，他又给了我们一个角度，那见角我们就给他传染标图 角 abc 是 r 发，那这个角呢？哎，也是 r 发，因为我是做的对称啊，好，那这个时候我们知道这个 ab 呢，和 a h 相等，这个上面的角是九十减 r 发，这个角呢，也是九十减 r 发 啊，也就是角 h a c h a b， 它就是一百八十减两个 r 法，然后他又说，哎，将线段 a d 顺时针旋转一百八十度减二 r 法，得到 a e， 好，那就是这一个边等于这个边，并且这个角也是一百八减二二八，所以我们很明显可以看到这里有什么，哎，这是不是就在提醒我们共端等长有旋转全等，哎，我们只要连接谁就有旋转全等了， 哎，只要连接 he， 我 们就会发现三角形 a e h 全等。三角形 a d b， 是 不是啊？因为红边等于红边，然后蓝边等于蓝边，哎，同时一百八十度减二阿法去掉这个公共角一 ab， 这个角一，哎，等于这个角二，对不对？ 好，那旋转全等式工具得到工具，马上得到导边啊，马上得到导边，那这个角，哎，我们就可以标到这来，对吧？哎，这个 b h 就 可以等于 b d， 好， 来标一下啊， e h 等于 b d， 然后第二问呢，说延长 ec 到 f， 使 c f 等于 ec， 那 这个就说明 c 是 一个终点，只要看到终点，我们马上想到什么工具啊， 哎，八中斜三，对吧？八中斜三，而我们两条件贵在结合呀， c 是 e f 的 中点，而根据我们的对称出等腰，现在 c 还是 h b 的 中点，所以这里又有个什么工具，这是什么权能， 对吧？这很容易就会发现，这不是个八字全等吗？哎，这是一个八字全等，对，而且啊，这个全等，哎，出来之后咱们要马上倒倒，倒倒倒，对吧？哎，我们就会很容易的发现，这个 bh 就 等于 bf 了 啊，这老念错，这是 e h 哈， e h 就 等于 b f 了，哎，这个 e h 等于 b f， 而根据旋转圈等 e h 还等于 b d， 嗯，所以我们发现这两个绿的人家也是相等的，是不是？ 好，那同时全等式工具工具不仅导边，还要导角啊，我们可以导这个角，这个角呢是 r 减 by 它，哎，我们平行给它导过来，这个就是 r 减 by 它， 那这样子我们再看命题，老师让我们求的是这个角和这个角的关系，那这个角 e a、 d 呢？已经知道是一百八减二阿尔法了，我们再看它， 哎，那每个角都表出来了，咱只需要给它加一块，那我们发现 d、 b、 f 是 beta 加 alpha， 再加 alpha 减 beta， 那 就是两个 alpha， 而 d、 a、 e 呢，是一百八十度减两个 r 法，它是两个 r 法，所以它们俩的关系显然是互补的，对吧？哎，角 d a e 加上角 d b、 f 等于一百八十度，这就是它们俩的关系。 好，那通过这个呢，咱们来总结一下提速的原因啊。第一个就是因为我们对工具非常敏感，我但凡看到线段旋转得到线段就提醒旋转圈等， 然后我们对这个工具也更敏感，哎，因为这是我们中考的一个热门考点嘛，但凡看到直角，看到九十度，我就想到对称是出等腰的，等腰两个等腰共顶点，这就出旋转全等了，有旋转全等，马上倒角倒边。 同时第二问，特意给一个 c e 等于 cf 提醒八全等，又马上倒角倒边啊，两个工具我们倒角就可以实现标了。 好，那么，哎，咱们呢，既然想到这个对称出等腰了，那我们呢？哎，不止一个方法，对不对？我们往下是不是也可以对称一下？ 好，那么来试一下啊，如果我们哎对称出等腰，往下对称，就是延长 a c 到点 m， 我 们让 c m 等于 a c， 然后我们再连接 b m， 那 此时我们就会发现 a b m 就是 一个等腰三角形，那因为这个是 r 法，所以这个角也是 r 法，对吧？ 啊，那这个角呢？是九十减 r 法，这个角也是九十减 r 法。好，然后那命题老师还给的有这个边等于这个边，哎，还有这角是一百八减两个 r 法，这是共端等长提醒旋转全等 啊，那我们呢，在这这么画的话，好像没有旋转全能了，是吧？哎，没关系，因为我们还有工具没有用呢，我们看能不能结合起来，只要把工具条件能结合起来，咱们这个方法就能继续做，如果结合不起来，哎，咱们再换方法 来，我们看这个里边还有一个 c e 等于 cf 呢，哎，那么 c a， e c 是 ef 和 am 的 中点，所以这有一个八字全等哦，八字全等之后，那 a e 就 等于 m f 了， 哎，那这样的话，我们就可以发现，你看蓝的等于蓝的，乘的等于乘的，哎，会不会这里也有个旋转全等呀？ 是吧，看着有点像啊，那就赶紧来正一正啊，这个三角形和这个三角形能否全等呢？现在已经有乘边 a， 乘边 a m 以及蓝边这个 a d 等于 f m 这个蓝边，那就差角，差角，那我们就通用货币标图呗， 来，那这里面，哎，我们不知道啊，我们就标个这角是白塔啊，那这个角呢？就是这个大的一百八减两 r 法，减掉这个角 d a b， 再减掉角 b a c， 哎，也就是九十减 r 法减白塔，对不对？ 好，因为我们这里有个八字全等对应角相等，这个角也是九十度减阿尔法减白糖，那总共它俩加一块就是九十减阿尔法嘛，这个是九十减阿尔法减白糖，那这个就是白糖呗。 哎，这样一倒角，我们发现角 d a， b 和角 ab m， f 它俩都相等了，那边角边我们又得到三角形全等了，是不是？三角形 a、 b、 d 全等，三角形 f、 b、 m， 那 全等式工具，只要得到全等，马上等于到边，我们立马就可以发现这个角一，是不是等于这个角二， 哎，那因为我们呢，发现全等之后，我们立马倒角了，那我们就可以来再结合结论去正角，结论呢？让我求这个角对不对？ 哎，那我们就会发现，那角一加上这个角 abf， 是 不是就等于角二加上角 abf， 所以角一加角 a、 b、 f， 也就是 d、 b、 f， 它是等于角 abm 的 啊。角 d、 b、 f 等于角 abm 就 等于阿尔法， 那么一个是阿尔法，一个是一百八减两阿尔法，它俩就是互补的啊。所以在考场上啊，如果说我们呢，哎，有点慌张的时候也没事啊， 刚开始看这个图肯定会觉得很怪，是吧？这支棱一条线，那支棱一条线，没事没事，你先去哎挖熟悉的工具，你但凡读第一句话，你就会发现这里边工具全是学过的，甚至是刚复习过的，那这样的话，你就不那么紧张了。

嗯，好，同学们，我们看一下我们临平区刚刚考完的二模的亚洲题啊，这道题是比较难的，尤其是最后一问，我给大家讲一讲啊。网上讲这道题的好像也比较少，我尽量给大家讲清楚，因为最后一问真的很复杂很复杂。 前两位我就简单说一下好了，就不做详细的讲解了啊。呃，就是题上说的是这是一个等腰直角三角形大体干上，然后又说这两 个边相等啊，导式 a c 上的点做射线出来啊，就是蓝色边跟蓝色边相等。第一位让我们证明 a b e 这个小角等于二分之一角 bc 的。 那碰到这样题怎么做呢？这样我们就倒角就行了。怎么倒角呢？我们去 设角设而不求设小的角为一个字母，然后用这个字母表示出另外一个角，就会得到他们的关系。怎么表示呢？我们设这个小角为阿尔法，那么根据这是九十度，所以这个角就等于九十度减去阿尔法，对吧？ 那这又一个等腰三角形，这也是九十度减去 r 法，再跟内角和一百八减去它俩的和，就会得到，这是二 r 法。第一问很简单，然后第二问怎么做呢？他说是 若 a e 刚好是垂直 a c 的， 让我证明倒 e 等于 b 倒。这一问有很多同学不会做啊， 那这道题怎么做呢？很多同学去想了，证明新的相等，就用全等嘛，对吧？国家做一个垂直证明全等，发现好像不行。这道题也是有点难的，他用到三线合一以及平行四边形的判定两个知识点。 那那首先怎么做呢啊？我们分析题上大题干上给的是这个蓝色边，等于这个蓝色边，对不对？那么我们能得到什么？这是等腰三角形，等腰三角形的性质就是三线合一， 所以说我们去过点 e 做一个垂直，做垂直下来是先做的垂直，有一个焦点 m， 明白吗？然后呢？就是我们去连接 bm， 连接 bm 连完之后可以得到什么呀？就是我们看啊，本身是一个等腰直角三角形， 这个角是等于四十五度的等，要四角形做垂直，三线合一啊，三线合一能得到什么呢？ f 是 bc 的 中点，对不对？ bc 的 中点中点又垂直，同学们， 那么 bm 是 不是等于 mc 的？ 这叫垂直平分线的性质，所以说这个地方也等于这个边了吗？四十五，四十五，这九十，这垂直的 垂直之后，大家看啊，你看，这是垂直的，这是垂直的，这条线平行，他的，对不对？ 现在这个边垂直于 ac， 这个边垂直于 ac， 所以 说这两个边是不是也平行的？平行，平行，这是个平行四边形，所以对角线互相平分就能得到 b， 倒等于倒一了， 明白不？这是前两问啊。好，我们现在开始讲最后一问了，最后一问真的比较难，辅助线很多，我们一点一点去理啊。那这道题怎么做呢？首先我们读题，他说 本来是先用倒的延长出来有一个 e， 是 吧？他连接 a， e 之后，他做了一个 a， g 垂直于他，也就是这个三角形， 比方 e 在 这的话，那垂直就变成这了，图像就变成这个样子了，大概能理解吧。如果 e 在 这的话呢？那垂直可能是这个样子了， g 就 在这了， e 就 在这了，明白吧？ 点 g 在 直线 a、 c 的 上方的，然后又说三角形 a、 g、 e 这个三角形的面积等于这个三角形面积的一半， 然后我 c g 最小时让我们去求摊着的 e、 b、 c 的 面积。很多同学看到这不会做了，我给大家讲啊，大家不会题目也要尽可能的得分，知道吗？这道题你们是能得到一部分分的，怎么能得到分呢？我们分析啊，我们分析 就这个地方，他说让求他的最小值是不是，为什么会最小值肯定有动点轨迹的，能不能明白动点轨迹要用到这个指示点的吧， 那谁是动点呀？本来三角形 abc 的 形状不变的， abc 是 不是定点，谁是动点啊？那 g 怎么动的？ g 是 随的 e 的 变化而变化的，对不对？ 所以几点是个动点？那这时候怎么想啊？我们做后面小问，还用到前面小问了，大体干呢？还是说这是个等腰三角形对不对？等腰三角形，如果说我们再做三线合一，做垂直 f 还是 bc 的 终点，对吧？ f 还是 bc 的 终点， 然后呢，我们想啊，那这个时候其实你会发现啊，这个三角形 a、 b 一 的面积是不是就等于 abc 面积的一半了？为什么？平行的吗？ 平行的底都是这个底底乘以高除以二，现在这个小三角形这个高是不是 bc 的 一半？ 这个模型叫做拉窗帘模型，还记得吗？拉窗帘模型就这样，平行线之间任意的三角形面积都是相等的，对不底是同一条底，高是不变的，所以这个三角形面积等于这个面积的一半。那现在提上又说了呀， 这个 a g e 不 也等于这个三角形的面积一半吗？所以同学们能得到什么？是不是能得到这两个三角形面积相同啊？这两个三角形面积相同，又是同一条底啊， 同一条底，是不是我就能连接一下 g b 啊？所以我说连接 g b， 那 么就会有 g b 平行于 a e， g b 平行 a e， 明白吗？平行之后，题上给的 g a e 等于九十度的，所以上面这个角也等于九十度，这就最关键的一部分， 明白吗？九十度到这到这之后就是什么？定角对定弦。同学们，定角对定弦，你看 ab 的 长度是定值，这是九十度，哎，所以这个点的轨迹是不是一个以 ab 为直径的圆， 对吧？好，我们把这个圆画出来啊！同学们，写到这个位置是能拿两分的，最后一万，知道吧？ 好，这样拿出来，有这个图之后啊，我们再去想，那他说 c 记最小时，记在这个圆上运动， c 的 定点什么时候最小啊？是不是一箭穿心啊？连接 g 就 在这个位置的时候，明白吗？ g 在 这个时候是 c g 最小的，对吧？但是注意啊，此时要重新画 e 的 e 点位置了，知道吗？为什么要重新画 e 点位置啊？你看这个 g 是 怎么来的，人家说的是做 a g 垂直于 a e， 能明白吗？ 所以 e 就 不是在这了， e 应该在哪，知道吗？同学们，你要垂直的，垂直的应该在哪啊？ 垂垂上面的这个 e 就 不一样， e 真实的 e 应该是在这个位置的啊，同学们能不能想明白， 是这么一个三角形，知道吧，对不对？哎，能想明白了，那现在我们就要去想办法去重新求，而且大家要注意， eg 这条边跟 e、 f 不是 重合的，知道吗？既是原上的点啊。 好，那这个时候我们要求的是 e、 b、 c 的 三角函数值重新连一下子啊， 能明白吗？求的是这个角的三角函数值呢， 很复杂的，对不对？很复杂，那怎么求啊？其实很简单，我给他放大一点啊，同学们，放大一点，看得清楚一点，瞄一下子， 那求这个角，我要放这个角，放到直角三角形，刚好这个地方有一个垂直，哎，所以说我们这个弹力呢， 弹指的角 e b c 啊，就等于 e f 除以个 b f， 能明白吗？就等于这个边除以这个边，那怎么设呢？大家看啊， 此时啊，同学们，此时本来这是等腰直角三角形的， b a 等于一个 b c 的， 那么 o 是 ab 中点啊，所以 o b 比上一个 bc 等于一比二的，能不能看明白？这是一，这是二，对不对？我们就设这是一二，好吧， 没问题吧，那么 b f 是 不是等于一啊？ f 也等于一是吧，就是 o b 等于 o a 等于一啊， bc 等于二，是吧？那么则 o b f 不是 o f， b f 等于 f c 等于一，没问题吧？ o c 是 不是等于根号五的？这明显就一比二比根号五的三角形，能明白不？那然后再怎么做呢？同学们，然后再怎么做呢？ 我们想办法去求这个 e、 f 的， 直接求不好求的，是吧？大家这只知道是二，对不对？好，我给大家再画一点啊，再放大一点过它做一个垂直，其实都应该是辅助线，都应该虚线，但是图像太多了，所以说我给大家画直线， 比方画一个点什么呢啊？随便取一个点 h 吧，那么能得到什么？ 看啊，这个边是不是也是一啊，等于这个边，等于这个边的，对不对？然后九十度的，然后还能得到什么？看好了啊， 我再做一个线，这个线是很难想的啊，这边已经等于这个边了，我们要想办法去求这个，这个长度的，对不对？再加上二，就是这个 e f 了，再除以一就行了。 接下来的思路就是求 e h 长啊，那 e h 怎么求呢？要么就用 tan 它就好了。三角函数证明这个角跟某一个角相等， 要么就是去算，这一步是最难想的，其实是做一个角平分线， 做一个角平分线，我给他标一个点 m 好 了， 我，然后我去标角，大家看好了啊，大家看仔细一点，角一是等于角二的，能不能理解图像有点复杂啊，角一等于角二，这角平分线，然后呢？ 这个角如果，其实啊，你看这连接的话，这一定是垂直的，对不对？我连一下子吧，连个 b g 吧， 这是不是垂直的，而且 ab 是 直径哎， ab 直径，直径所对圆中角是不是等于九十度的 g 的 圆上的，所以这也是九十度，对不对？所以就会有 o m 这条边平行 a 岛的 ag 的， 不是 a 岛 ag， 那 么就会有角一又等于角三了，知道吗？同学们， 你看，而且这是垂直的，这是垂直，这是垂直，这整个是个矩形啊， 矩形，所以说这又有一个垂直，对吧？这垂直绿色的，这也是题上给的垂直。所以说角三还会等于角四啊，同学们 能明白吗？好，我给你们写出来，角一等于角二等于角三等于角四。其实这个证明过程很多的， 但是我们视频时长和这个空间问题，我们就直接写成结论了。那我直接再说结论好了啊，听我的结论，这个三角形全等于这个三角形。 结论来了啊，三角形 a e h 全等于三角形 o m b， 能明白吗？角已经够了吗？角一等于角四的边有边又有九十度，九十度对不对？选的时候 e h， 所以 e h 就 等于个 b m， 知道吗？那现在 b m 怎么求啊？再换个颜色求 b m， b m 怎么求啊？利用三角形中的 角平分线定里， 具体证明就不证明了。在一个三角形中，角平分线这个角一等于角二。我的老师，我前面有这样视频的， a 比 b 左比右， a 比 b 等于 c， 比到给你面积啊，给你面积，这边比这边等于左边一比右面积。因为角平分线到两边距离相等，说是不证明，又证明一面高相等的对不对？所以这是底底乘以高垂，二底乘以二，所以面积之比等于 a 比 b， 所以 就是左比右等于左比右。 那现在看啊，这是角平分线对吧？角平分线跟你这个左比右等于左比右啊。也就是说看我往上面写一写吧， 就会有，因为啊，因为 o m 平分角 b o c 的， 所以 b m 比上一个 m c 等于 o b 比上一个 o c 等于一比二 比这边比，这边比这边，对吧？一比二比刚好五的吗？一比刚好五，那现在 b m 会求吗？所以 b m 等于多少？ bm 这个长度总长是二，它占一份，它占根号五份，应该是乘一个一加根号五分之一，知道吧？等于一个二分之根号五减一，懂吧？ 等于二分之根号五减一啊，计算过程已经在左上面写过了，对不对？那所以 e h 就 等于二分之根号五减一，知道吗？哎，能想明白吧， 应该好理解的啊。二分之五减一，然后呢？所以剩下就很好做了。这道题已经讲完了，所以 e f 就 等于 e h 加上一个 h f h f 的 矩形，它等于二嘛？ 这个边就等于这个边直径等于二了，对吧？就等于一个二分之根号五减一，再加上一个二， 等于二分之根，号五加三，对吧？那这种答案呢？ 所以 tan 角 e b c 不 就等于这个值， 这个长度除以一吗，对吧？所以就等于二分之根号五加三吗？对不对？这就是答案啊，同学们， 这道题就讲完了，是不是很复杂？时间关系，我就不多复述了，大家自己再理解理解好不好？

太原市二模数学的卷子啊，刚刚写完，给大家做一下试卷分析。先说一下难度分级和题型。第一部分是基础题啊，难度是一颗星，题号是一到五题，选择题，十一到十二题是填空题，十六题是计算题。特点的话主要考察公式直接应用，比如说科学技术法，二字根是化简啊，或者说那个简单的几何性质轴对称的图形选择题里有什么题啊？ 积分建议，确保每天有十分钟进行速算的训练，避免粗心有分啊。第二部分的话是中档题，难度的话是两颗星，题号的话是六到八题，分别考了角度、计算，圆的性质。十三到十四题，嗯，是考的反比例函数和几何周长。十七到十九题呢，考察的是几何的证明和方程的应用啊， 特点是需要综合知识，比如说三角形相似函数建模。第十九题的话，琉璃摆件比较结合咱们情境化的实际性问题，题分建议要及时的整理错题本，重点的话通过反比例函数和统计图表的一种分析题。第三部分是压轴题，难度等级的话是三颗题，题号的话是第十题啊，第二十二题还有第二十三题，第十题考察的是坐标系平移 啊。第二十二题考察的是二次函数。最值二十三题的话考核的是菱形与三四三角形的综合，特点的话是第二十三题呢，需要多步的推理，涉及到分类讨论一个问题。 第二十二题的话，要求建立二次函数模型，求出利润的最大值。提分建议，每天要坚持有一个三十分钟，专门来练这个压轴题，掌握拆分条件，到逐步验证这样一个答题的逻辑。顺便呢给大家讲一下这个针对性提分的策略，基础薄的同学主攻第一到十二题，确保呢基础题能拿到满分。每天呢要完成一道中档应用题，比如 说第十九题这样题型练习，那咱们成绩中等的学同学啊，需要突破第十三到二十题，强化几何辅助线，添加技巧，比如说第十七题， 那咱们想拿高分的尖子生的同学啊，要钻研好是二十二级到二十三级总结动态几何与函数建模的共结法，比如 说函数法，还有那个坐标系法。总体来说呢，这次二模的数学试卷，整体的话难度梯度是合理的，压轴题区分度比较高。这次试卷的话注重了数学建模与 逻辑推理，建议咱们孩子们能结合自己的错题本，强化薄弱的环节，然后并且能关注咱们山西本土化的文化背景题。比如说第十九题那个琉璃摆件啊，成本计算，包括咱们酒店的房价去计算啊，提升咱们化学课的动力。如果需要真正性的提分策略，可以在评论区留言，需要我把整理好的策略发给你。

这是近期山东泰安二模中选择题的最后一道题。先看题目，矩形 a b c d 中长是四，宽是三，一点是宽， ab 上的动点 e f 和 b d 平行， f g 又和 e f 垂直。让我们求线段 e g 的 最小值， 分享两种方法。方法一，有已知的平行和垂直，我们知道这也是个垂直，而且 f t 比上 b e 是 四比五的关系，因为小白三角形的三边刚好是三四五的比例关系。同时你还会发现橙色三角形也是个三四五，所以 b t 比上 b g 也是四比五， 所以这两个直角三角形相似。那么 b f 垂直对角线 a c 时，最小口算是五分之十二，此时 e g 也最小， 用五分之十二乘以四分之五，刚好等于三。方法二，延长 e f 与 a d 相交，因为这两个都是等幺三角形，所以 e f 和 f k 相等，由三线合一，我们知道橙色的也是个等幺三角形， 所以 e g 和 k g 相等。虽然这两点都是动点，但是我们知道 k g 永远是大于等于矩形的宽，也就是三的。