高一第三次月考立体几何百分之70

立体几何作为高中数学里头与其他板块知识点明显格格不入的部分，也许各位亲爱的同学的学校的老师会平静的和你说一声，多动脑，多思考。显然这是一句正确的废话。 所以今天咱们借助八个非常经典的立体模型，同时从这本大家熟悉的不能再熟悉，题目质量可以充分放心的高考必刷题中精选四个专题，十分钟时间一并搞定立体几何中的核心计算内容。 当然嘞，任何计算的前提一定得是看得懂几何体是个啥子样子。首先是这样一个正方体，咱们观察一下它的三 d 立体构造，转动、转动再转动， 但是在试卷上只呈现骨架结构，简单对比一下，不难的发现，哎，这红色的虚线是什么玩意？哦，原来是肉眼无法直接看见，但是真实存在的透视虚线。 接着的一个几何体叫做圆锥，相信屏幕前的你并不陌生，那么大家不妨思考一下，红蓝两条线谁更虚呀？显然是藏在圆锥屁股后边的红线。 当然，立方体和圆锥的理解难度并不算大，我们看一下必刷题的固机提升部分，也就是偏基础的，这本套装非常齐全，翻开来从目录中找到我们研究的立体几何专题， 你看，能住、能追，轮胎几乎每一次考试都跑不脱，就比如这个，能追，他可是结结实实有五条侧能在身上的。那么大家边观察边思考， a、 b、 c、 d 五个选项，哪一个是它正确的试卷平面上的画法呀？显然是这个 b 最外沿的黄色一圈， 咱们眼睛一定能看到，一定是实线，边缘一定没有虚线。那这条红色的又是咋回事嘞？ 哦，他是几何体面向我们靠近我们的这一边，可以直接看见的棱也用实线，而除此之外，一定都是透视虚线。并且无论什么时候，这样的结论他是一定成立的。咱们回到书中， 视线左移看，这个棱柱，确实也是长得不是那么美观。五条侧棱五棱柱， 好的， a、 b、 c、 d， 你 认为哪个是对的呀？聪明的你一定想到了操作方法是一模一样的，黄色边缘 b 为实线，肉眼可以直接看见。 而这三条红色的棱呢？在几何体表面靠近我们的这一边，肉眼可以直接看见，剩下的红色虚线就必须要通过透视权线了。 好的，接下来这个会稍微复杂一点，主要是能的条数会稍微多一点。好的，差不多时间请做出选择。这是一道思考题， 基础的讲义部分没啥问题了，我们就可以用对应的练习册来加以巩固。需要注意顺序是固基部分偏基础项的。 简单来说，分成了六十个小专题，写一页就能够掌握一个小型的知识点。在咱们基础题身上的效率方面，性价比是非常高的。翻开看到里头的体积计算 条件，暂不细看，咱们先在脑海中建立三 d 感知，看看这个镶嵌在正方体框架里边的三棱锥是个什么情况，然后再来求体积。 呃，既然要求体积，先得把公式摆上来，任何能追的体积公式都是三分之一底层高，但是这个底面却没有唯一的答案。 你说 b f、 c 一 可以当底面， b 一 c 一， 那也可以， b f 一 貌似也不错。 f 一 c 一 好像还可以。 那究竟哪个好嘞？首先呀，咱们肯定希望他不难算，那怎么才算不难算嘞？ 哦，就是好算，这个 bfc 一 他就挺好算的。为啥嘞？因为呀，他直接干净利索的贴在正方体前表面上了。这里大家注意观察蓝色与紫色平面， 如果突然告诉你这俩平面中间可以直接用等号连接，你是否同意嘞？ 这个的确是对的，它就好像两条直线只要重合就是同一条直线，两个平面只要重合就是同一个平面。咱们看到的蓝色紫色好像面积形状大小都不相同， 为啥呢？像这一切都只是因为我们在画图的时候截取了同一个平面的不同区域，相当于选择性表达，都不是把完整的平面给画了出来。平面本身的面积是无穷大的，就好像我们常说的直线无限长。 好的，回到题目中来，这个紫色三角底边平面面积非常好，求二分之一底乘高，底一高二全知道。 哎，那这个高 h 嘞，也就是能追顶点 e 到这个紫色平面的距离后表面的 e 到前表面的距离 等于零，长等于二，底面和高。都晓得了这一题选择第二项 b， 就 这会看来，好像是刷了几道题目，但是嘞，这套组建绝对不只是单纯的给大家刷题用的， 你看，固机部分给咱们配套了专门的视频课程，七十一节视频精讲，相当于每个不懂的知识点直接送一节网课。而且书中的六百八十四道题主题精讲， 想看视频讲解，但是又懒得问人的，想保持效率，扫个码就完事了。那么用完了固基部分，我们就可以拿对点上分，简单来说就是拔高部分，这个组合键翻开来找到对应的强化辨识， 还是要求这样一个正方体框架中嵌入的棱锥的体积，大致观察一下它的构造， 其中 e 是 棱中点， o 是 底面中心。求黄色棱锥体积。别的先不管，求体积就得摆公式。接着进入选底面环节， 一号、二号、三号、四号，哪个底面不难算呀？ 都不好算，但也都差不多，那都半斤八两。我们就进一步考虑哪一个底面他对应的高更好算，而且高和底一定是线面垂直的吧。 所以这会咱们就认真想一想，能不能在黄色棱锥里边找出一个线面垂直来， 垂直在哪里嘞？思考一下，哎，你看正方体的这个对角，蓝色结面，他是一个矩形，标注好个别数据，然后请重点盯住他。 我发现呀，这个对角矩形面彻底铺平之后，两条黄色线段的紫色夹角好像有点蹊跷，原来呀，他就是九十度角，这个原因不知道你晓不晓得？ 好的，还是盯住他，慢慢放回正方体的对角面位置。根据紫色的九十度符号，两条红线之间是相互垂直的。 但是嘞，我需要的高和底面线面垂直，得有两组线线垂直来加以证明。 a、 d、 e o 和 e o 是 一组， d、 e o 和 c o 会不会是另一组嘞？咱把洁面补全一下。 这个蓝色的洁面三角形，每一条边都是正方体的对角线，所以这是个等边三角形， 中间的红线， d、 e、 o 垂直，底边 c a 也就垂直， c o， 红色、绿色也相互垂直了。 现在就晓得了，红线 d e o 同时垂直于蓝色的 e o 和 c o， e o， c o 都是平面 ceo 中的线段，两条线还互不平行。 当然我们最好不要这样写，只要不平行就一定会有交点，我们写上 e o 交 c o 等于 o， 就 可以完美且标准的代替 e o 和 co 互相不平行这一串花了。 得出红线垂直蓝色底面，那么对于这个黄色三棱锥，红线做高蓝面当底。最后带回公式，三分之一底乘高选择 a 选项， 这本对点上分色，它也是同样的道理。全面配套视频讲解，不会说好像更难更拔高，就敷衍了事，只给一个文字讲解，这个并不会的视频是一节不会少的。 咱们还可以拿出这个巧学速记小本本，这里边就是给大家整理的答题技巧和奇思妙想了。 模块速记这里推荐大家在考前进行快速补充。再就是这个小册子的后半部分，全是重要技巧。比如咱们看这样一道题， 他给到一个四面体， s a， b， c 是 一个棱长都一样的正四面体， 说 e 和 f 分 别是 s、 c 和 ab 的 棱中点，求 e， f 和 s a 的 线线夹角。嘶，这两个， 首先它是一个正四面体，说明很正。其次，既然是求棱和棱的夹角，咱们看正四面体有六条棱，正六，想到啥了不？ 没错，正六面体，这里请认真观察。直接给正四面体塞进这个正六面体中， 凭啥嘞？哦，正四面体的每一条棱，他都是正六面体的每一个面的对角线。 没错，再以后，看到麻烦的正四面体，直接给他塞在正方体框架里边就没得问题了。这时候再看红黄两线的夹角，聪明的你会做了不？ e、 f 分 别是上下底面的对角线交点，所以数值的红线 e、 f 就 平行于任何一条数值的蓝色棱， 比如 st。 现在红蓝互相平行，红线和黄线的夹角就是蓝线和黄线的夹角，显然前边是一个等腰直角三角形 c， 它等于四十五度。 这个就是小册子里边的补习法，能够放在这个小本子里边的技巧还是相当有含金量的。 哎，这还一个小本子，一目了然。核心干货，整个高中三年的核心知识点，它分成十三个大章节，严格按照教科书来的，不管是以前学了容易忘记的三角函数，还是咱才学完但是结论一堆一堆的复述， 再包括我们这会正在学习的立体几何，以及咱以后会碰到的结论重灾区圆锥曲线， 这些浓缩的知识点，说实话太重要了。在视频的最后还是老样子，我们从巧学速记里边取同专题的第二个题目，大家可以思考一下。

这道立体几何的题目呀，很有意思啊，它在作图的时候，如果你把它做在这个立体图形里面，会很麻烦，因为会有很多线，但是如果啊，你把它 独立成两个平面的图形，然后想清楚，感觉会更快一些。我们先来看题目吧，首先这个角 a p b 是 等于九十度的，角 a p b 是 等于九十度，我们把这个图像给它复刻一下吧， 其实是可以画的，不用太标准的，因为我也说过了，我会把它弄到那个弄成独立成两个平面的图形，一个三棱锥，是吧？接下来呢，我们看把字母给标上去，角 a p b 是 等于九十度的， 然后角 p a b 是 等于六十度的，那我们这就要敏感了，三十度，六十度，九十度，对不对？那么就是一比根号三比二， a b 等于 b， c 等于 c， a ab 等于 bc 等于 c a， 那 其实，嗯，就是说做到这，那你应该对，就是说要画哪两个具体的平面图形也应该清楚了，对吧？那我们接下去往下看点，屁在平面 abc 的 摄影啊， o 啊，刚好在咱们的 ab 上，所以说明什么呀？ 摄影吗？刚好在 a、 b 上，所以说明我们的角 a o、 p， 它刚好是什么？九十度，对不对？接下来呢，我们要求直线 p c 与平面 a、 b、 c 所成的角的正弦值 啊，正确值与弦值都是一样的，我们看啊， p c 和咱们平面 a、 b、 c 所成的角，也其实就是这个角吗？ 这个角对吧？ pc， 然后这个是垂直垂下来的一个摄影设线，是吧？那么其实就是这个角嘛，那么这个角的正弦值你要怎么求呢？首先第一个，你得把 o p 给求出来吧，是不是 把 o p 给我求出来，然后因为 po 是 垂直于这个平面 a、 b、 c 的 嘛，所以说 这个是个垂直，那你想求这个角的，呃，三角函数值，那肯定就是 p、 o、 o c， 还有 pc 嘛， pc 不 太好求，我们就求 p o 和 oc。 好， 那要求的就是这两个东西， 哎呀，怎么又换笔了，莫名其妙的，那么这两个东西怎么去求呢？我们发现呀，这其实是一个直角三角形嘛，对吧？然后这又有垂直，那我们把这个图形给它独立出来，独立做成一个直角三角形， 你就会发现事情变得非常简单。那么嗯，这个六十度，这是 a， 九十度是 p， 这里是 b。 好， 那么接下来我们知道 po， 它是垂直于 ab 的， po 垂直于 ab， 然后这个角，比如说我们这个 ap 呀，就可以设成二，这个呢就是咱们的二，根号三， ab 呢就是四，那么接下来呀，这个是六十度，对不对？ 那么这个是六十度，这里是直角，这个是三十度，那么刚好就是一比根号三比上二，对不对？一比根号三比二， o a 就 等于一， 对不对？ ap 就 等于二，我们的 o、 p 呀，是不是就得出来是根号三呀，对不对？水到渠成的 o p， 它就等于根号三， 那么接下来 o、 c 怎么算呀？ o c 在 我们的三角形 a、 b、 c 里面，对不对？那么三角形 a、 b、 c 看到条件了吧？ a、 b 等于 b， c 等于 c， a， 说明什么？它是一个正三角形，对不对？好，我们把这个 a、 b、 c 也给他画出来图形。那么接下来呢，我们发现呀， a、 o 它是等于一的， a、 b 呢？它是等于四的，整个是等于四的，是不是？那不就相当于求 o c 的 话，把 o c 连在一起，把 o c 连在一起，有没有发现一个什么事情呀？ o c 你 可以怎么求？用国五定底呗。 c 垂直坐下来是吧？垂直坐下来呢，刚好这条线它就是三线合一，对不对？又是中线又是什么线的？中线的话，嗯，你看这个这条边长是四，那么左边是二，右边也是二， 左边的二减去这个 o a， 那 么这个就是一，那么在因为它的边长又为四吗？这个正三角形，那就是二，二根号三四 o c 是 写水到渠成的，可以算出来是一的平方加上二根号三的平方，再开根号呀，也就是什么根号是三，对不对？那么正弦值与弦值不就好求了吗？啊？正弦值的话，就是 啊，这个对边 o p， 根号三比上咱们的这个斜边 p c， p c 的 话也就是三，加上十三开根号，这个的平方加上这个的平方开根号嘛，也就是四分之根号三 正确值刚好求正确，就是咱们的对边比上零边，也就是 o p 比上 oc， o p 比 o c， 就是 根号三比上根号十三，上下同乘一个根号十三，就变成了十三分之，根号三十九，对不对？就是小宝问的是这个东西吗？ 这个题给的是四分之刚好三，因为我觉得啊，因为你第一小题求了正确，第二小题还求正确，可能不太对劲，所以说这个题目我搜到的话，它是一个正弦。好吧，但是其实都一样， 所以说你看到了，其实没有必要，就是在这个图里面做一堆乱七八糟的线，你可以把它独立出来，独立出来就很简单。

立体几何中的角度求解问题？喜欢在选择填空，尤其是填空的第二第三题，这种中档次压轴位置出现在结合大体第二问中必有的角度求解分值占比高，而且足够稳定， 无论大家有没有提前掌握间隙的外挂，今天关于线线角和线面角的通用解法，相信你学完之后会有收获与提升。 这是一条线，这也是一条线，两条线的夹角大小是 theta。 假如我把其中一条直线平移一下，你认为它俩的夹角还是 theta 吗？没错，当然是的， 所以直线的平移不改变夹角大小。哎，那线的伸长缩短改不改变线线夹角啊？是的，同样不改变。那他做的这么短了呢？ 没有关系，咱们给他做条辅助线就回来了。所以啊，平移和伸缩永远不改变线线夹角， 并且平面和空间都是适用的。那只要了解了这样一个点，我们便可以解决几乎所有的立体空间线线夹角问题。就比如呀，在这样一个正方题中， 他说要求红线 a、 d、 e 和黄线 e、 f 所成的角度，我们是不是可以放心的把 b、 d、 e 连接起来呀？ 在蓝色三角形中， ef 是 底边的中位线，那么 ef 也就平行于底边第一 b。 换句话说，第一 b 一定能够由 ef 平移伸缩得到，而平移伸缩完全不改变夹角大小， 所以红线和黄线的夹角就等于红线和蓝线的夹角 共面。直线夹角可以直接标出在黄色三角形中，正方体能长为一，另外两边根二根三，这是一个直角三角形，夹角与弦值等于根号三分之。根号二 化简之后选择 c 选项。正是因为平移和伸缩完全不改变夹角大小， 所以只要题目来一句求红黄两线的夹角，我们就可以在伸缩和平移的范围内，不择一切手段，让红黄两线进入同一个平面直接接触。题目就变成了最基础的求解面内夹角于弦值。 再比如这样一道题，他说要求 am cn 红蓝两线夹角分别记作 l 一、 l 二， 根据原则不择一切手段给他俩平移到直接接触共享平面的位置，这样平移稀奇古怪，不行。 那这样呢？千万注意，这里不是焦点，也不好搞，所以光有平移是不够的，还得伸缩。再次借助中位线神力连接 md 做出 l 三， 在红色三角形 amd 中，黄色的 l 三又是中位线， 红线通过平移伸缩能够得到黄线。那么题目要求蓝线和红线的夹角就是蓝线和黄线的夹角， 咱们把 c、 q 连接起来， c、 n、 q 便是对应的角度大小。剩下的重点便是找出黄色三角形的个边长度了。那题目也说了，空间四边形 a、 b、 c、 d 的四条边以及对角线，也就是 b、 d、 a、 c 长度都是一样的。那你说这 abcd 到底是个啥呀？没错，正四面体。 所以这个绿色侧面 a、 c、 d 是 个等边三角形，中线 c、 n 长度为根号三。 再看这个终结面， amd a、 m 也是根号三， nq， 它又是中位线，长度为底边的一半。 最后看底面 bcd 点， q 是 中点，非常典型的等边三角形， cq 等于根号三。像这样咱们便算出了最后 等会儿点， q 是 m、 d 的 中点 哦，等边三角形中线上的中点，它不是几何中心， 终点，在更加靠上的位置标定长度，再由勾股定律可以算出真正的 c q 大 小等于二分之。根号奇。放回原本的三 d 视角中， 三边长度都有，再想求 c 塔，咱们只看黄色的三角形， 那么现在聪明的你知道应该怎么求了吗？ cosine theta 余弦定里等于三分之二，作为本题答案。 接着进入第二部分，这是一条线，这是一个面，交点为 t， 他 说要求线和面的夹角，线面夹角，咱们引入实物平面， 当我们把组合体视角压缩到合适位置的时候，这个线面夹角特别的直观， 但是具体咋求呢？思考一下，你看呀，在线上随便取个点 n， 向平面引一条垂线，垂足为 r， 那 么在这个黄色直角三角形 ntr 中， 线面夹角 c 塔特别的好求。所以啊，咱们以后尤其是在小题中看到线面夹角的时候，就在线上随便取个点 n 向平面引一条垂线， n r 垂直蓝色平面，也就垂直于蓝色底边，再标记好线面夹角 c 塔， 最后只用在黄色的 ntr 中标定长度，这个 c 叉角就没得问题了。就比如这样一道题，在正方题中要求蓝色平面和黄色直线的夹角，怎么操作嘞？ 没错，在线上随便找个点，比如 a 向平面引一条垂线，垂足是 q， 构成直角三角形，角 a， d， e， q 等于 c， 它正好对应这个线面夹角的大小。咱们聚焦黄色三角形，题目不给长度，咱们就设它的棱长等于二， 那么 a、 q 和 d， e、 q 都不难求。而在这个黄色直角三角形中 c， 它角的正切值便等于根号六分之根号二，三分之根号三。选择 b 选项。 并且呀，这个辅助线的做法不是什么邪修秒杀，就是最最简单纯粹的基本定义。咱们最后看这样一个正四面体 p 杠， a， b、 c、 d 为中点，要求黄线 b、 d 和蓝色平面的夹角。聪明的你一定有了想法，在线上随便取个点，比如 d 向平面引一条垂线 d q 垂直蓝色平面，也就垂直蓝色底边构成直角三角形，线面夹角正是 d b q。 再来聚焦黄色的直角三角形，棱长随便射绿色侧面 b p a 中 b、 d 作为等边三角形的中线，等于根号三。但是要求余弦的话，这个 b、 q 应该咋算呢？我发现呀，点 d 投影到底面是 q， 点 p 投影到底面是 n， 这个 n 呢，他才是正儿八经的几何中心。点 q 是 a n 的 终点，这里要千万注意 n 和 q 的 位置，咱给它铺平， 边长为二， a， n 就是 边长，除以根号三 q， 它又是中点 a q 取一半长度， 这个 b、 a、 q 正好三十度角。所以啊，在这个蓝色三角形 b、 a、 q 中， cosine 三十度，利用余弦定力，等于二分之根号三， b、 q 的 长度，可以很快算出等于根号三分之根号七。 再回到三 d 视角， b q 等于根号三分之根号七。那这个 cosine c 塔，咱们只看黄色的直角三角形 cosine c 塔便是三分之根号七。 那么以上内容便是线面角的求解方法。在视频的最后，咱们就线线角和线面角各选定了一道强化练习，供各位同学巩固提升。这是第一道题，这是第二道。

本视频时长三十七分钟，带你搞定立体几何四个基本事实，从原理出发，讲透说了啥，能干啥，配合立体代练，掌握解析思路，回复立体几何，可领取视频讲义。 今天我们要讲的这个内容呢，叫做立体几何中的基本事实。啥叫基本事实呢？就是有四个不用证明的，大家认为它成立的这样一个事实，一、二、三、四，那对应的是啥呢？就是这四个东西， 比如说一本事实一过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面，那你想一下，你随便画一个不在一条直线上的三点 abc， 我 们用常识去想一下，它就只有一个平面，就是这个平面 abc 所 说，你一想这好像说了什么，又好像什么都没说，所以基本事实或者说公理，他给我们的感受就是他说这句话是对的，但是这句话说了之后又等于没说这种感觉，那没错，所以就是因为这种感觉，我们会产生一种好像我把公理学了， 但是到真正去用公理，或者说用公理，或者叫总之我说公理，大家就知道说的就是这个基本事实啊。这个说基本事实还是我不习惯的一个方向，就是我们用公理真正要去证明一个问题的时候， 我们小伙伴可能就会联系不起来，因为真正要去挣的东西，和他描述的这个东西在很多情况下会差一些。所以今天呢，咱们就围绕这几个基本事实，他到底说了啥？他能挣啥， 对吧？比如说刚才所说的过不在一条直线上的三点，有些只有一个平面，其实它能够去证明多点共面，那怎么正呢？其实就是正这几个点所构成的两条线是平行或者相交都能得到它们几个点是 面的，那包括后边的也是一样，这个公理描述的很绕，但是他可能能正的和这个建立不起关系。所以我们今天一起先来感受一下公理聚焦的说人话，他到底说了什么，然后以后遇到要去证明哪些问题的时候，哦，他考的是这个公理，对吧？ 那你知道了，考的是这个公里，然后他正的时候到底是怎么正的，过程是怎么写的啊？要把它整清楚，这是咱们这节课的目标。当然了，这四个公里呢，更重要的在后续咱们要对一些 几何体去找面与面的交界，或者说要去找结面，要把一些结面补充出来或者画出来，其实 本质上考察的也是大家对什么对这四个公理的理解。所以我们今天就聚焦于这四个基本共识啊，说了啥，能干啥，然后怎么干？ 解决这三个问题，那基本上公里所产生的这些证明题你就会了。那我们首先从第一个大家最好理解的这里没出现的基本事实四开始，因为这个是所有人都能够理解，也都能用得上的，他说的比较明确，平行于同一条直线的两条直线平行 那么在初中就学过，只是当时是指在一个平面内平行，同一条直线的两直线是平行的， 那么今天再扩充一下啊，放在空间内，平行于同一个直线的两个也是平行的。我们用数学语言或者用符号表示，就是 l 一， 比如说平行于 l 三， l 二也平行于 l 三，那么 l 一 和 l 二也是平行的， 那这个具体的咋用？或者说特别是过程咋写？我们通过一个非常简单的题带大家认识一下。如果说考个题啊，你感觉好像这就是成立的呀，这还要写过程吗？那我们主要看一下过程咋写啊。比如说这里有一道题，在一个空间四边形 a、 b、 c、 d 中， 那也就是什么三棱锥， a、 b、 c、 d 中， h、 j 分 别是这两个或的什么中点啊？ h 点、 j 点是这两个棱的中点，然后 e 点、 f 点呢？分别是这两个线段的三等分点。 现在要让我们证明四边形 e、 f、 g、 h 是 一个梯形，想一想，要证明它是梯形，本质上是在证明什么？本质上是不是在证明 h、 j 和 e、 f 平行，当然了， e、 f 和它还不能怎么样相等，如果这两个货再相等， 那就变成平四了啊，那我把这个证明的思路和过程都给大家过来，这非常简单，本质上你要证明它两平行，那它两又没有直接的条件能正平行。但是你看到这里终点你就会想到啊，这是中位线，所以它平行于 a、 c， 然后接下来在这个三角形当中呢，在三角形当中，当然就是在一个平面当中了，对吧？然后呢啊，两边对应成比例，所以这两个也平行， 所以你看这里就用一个点，就是咱们基本共十四，在空间中平行于同一条直线的两个直线是什么平行的？再结合它等于这个的多少二分之一， 它等于这个多少三分之二，然后它俩是不相等的，所以整个图形是七行 啊，这就是考到了基本共十四的时候，我们对它的理解，那有了这个理解非常简单，然后呈现一下过程，在这道题里边，从它给的图，它没有连接这两条线，所以首先你连接一下 e、 f， 连接一下 g、 h， 然后接下来在第一个三角形 a、 c、 d 当中，也就是在这个平面 a、 c、 d 当中， h、 j 分 别是这两个边的什么啊？中点，所以呢， h、 j 平行于它，这靠的是什么中位线，而且等于它的一半就有了。 同样道理，在三角形 a、 b、 c 中，这有一组比例，所以 e、 f、 e、 f 也平行于这个线，并且等于它的三分之二。那在这种情况下，你会发现 平行于同一个直线的两条线是平行的，它俩平行，并且 e、 f 比 gh 要大， 所以它俩平行却大小不等，所以四边形 e、 f、 gh 是 梯形，所以这是一个我相信，就是可能在这老丈没梳理，大家也会理解的非常清楚， 他只是把在平面中平行的传递性延伸到了什么空间中，依然是成立的，所以我们优先把最好理解的基本共十四说完。那么接下来的话，我们就基本式十一，基本式十二、基本式十三一起来看，这几个稍微会比较抽象一点，比如说这句话，就是不在同一条直线上的三个点， 能够确定唯一一个平面，对吧？这就是啊，他说的对，但是这有啥用呢？咋用呢？对吧？那么这个本质上大家可以理解为不在同一条直线上的三个点 啊，任意两个连线，他们都是，这两个线都是什么相交的？举个例子啊，比如说这两个连线啊，我们画出来他俩是相交的，这两个连线他俩画出来也是相交的，对吧？ 这两个连线画出来也是相交的。所以说你对这个公里或者是基本事实的理解，可以理解为什么相交可以正共面，如果两个直线相交的，他就可以正共面， 那这刚好和他引申出来的推论就完全一致了。比如说推论一，他说一条直线和直线上任意一点一连线，他还是一个什么 两条线相交的关系，所以说我们能得到的就是相交还是可以正这些点是怎么样的共面的。 那再来，这就更赤裸裸，两条相交直线确定一个平面，所以相交可以正共面好了，这是基本事实一，和它对应的推论一、推论二，在这给大家说一下什么叫做相交能正共面， 那这样的话，你就对于你学的基本事实一未来能干什么有一个认识了。因为我们以后会看到的题，比如说你不管它条件告诉我们什么，它最终会经常说证明哪几个点是共面的，那你就要知道啊，相交可以正共面。比如说 啊，我把这四个点看成一个线， p q 和 bc， 如果我能够证明 p q 与 bc 相交，那就能正共面了。 所以这样基本事实一，哎，一下子就有了什么作用了。本来你想着不共线的三个点确定一个平面，那除了它，你好像感觉跟这个靠不拢，但是你把它理解成 相交的两条线可以得到一个面啊，那就可以得到它们共面，那相交就可以去正四点共面了。以后遇到多点共面，你也就想到基本事实一，通过相交可以正好接下来看它通中三。通中三是指两个平行直线，也可以确定一个平面。 那也很简单，那刚才是相交直线能够正共面，这回就是平行也能正共面。感受一下，还是刚才这个例题，你看到这个问题，现在就能想到了啊。我，那我看一下 p、 q 和 b、 c 是 不是平行的，如果我能证明它俩平行，我就能解决这个问题。所以 基本事实一，你结合它的三个推论，你想明白了，就是在告诉你，同样一件事情，相交和平形都可以得到这些点是共面的，所以它能干啥呢？它就能挣多点共面。但凡你以后像刚才一样看到证明哪几个点共面， 那你就看它们构成的两条线，能用平行正，还是能用相交正？能正它们平行结束了，能正，它们相交也就结束了，这就是基本事实一，用来要干的事情。好，接下来就看题。那咱就看刚才这道题。 这道题告诉我们，有个三棱锥， s、 a、 b、 c 啊，一个三棱锥，然后点屁，是这个面啊，所在三角形的重心，点 q 是 这个面，所在这个三角形的重心。 现在要证明 p、 q 和 bc 啊，这四个点是共面的重心，是三条中线的焦点啊。首先第一个啊，有人可能不知道重心，重心是中线的焦点，而且分中线为一比二两部分啊，一比二两部分。 这道题的话呢，老赵就用两个方式都带大家过一下重点还是一想明白。二呢，咱们要会写过程啊，证明其写过程。那这里你一看四点共面，你脑海中马上想 正共面的方式有两个，一个是证明平行，一个是证明相交。所以你在这先做个选择。这道题大家选正平行还是正相交？看到 bc 与 p q， 啊？平行是吧？这看着就平行，对吧？啊？我们说立体图形中，因为斜二侧画法会导致可能角 变得跟以前不一样了，相等的角看着不相等，相等的长度看着不相等，但是平行看着永远是平行的，所以平行永远可以用眼睛一看。嗯，看着平行，所以我也选平行， 所以我就要试着去证明这两个是平行的，要正正，这两个平行直接正肯定正不了，因为它是重心，我们就想一下重心是什么？中线的焦点，而且它分中线为一比二，那就连一下呗， 它是中线的焦点，我就连接一下 s p， 我 就连接一下 s q， 连完之后呢，我设这里的焦点是 m， 这里焦点是 n， 那 m n 是 什么呢？ m n 就是 这两个边的什么中点，因为它是中线的交点，那这里是中点的话，首先我们就知道 m n 肯定和 b c 是 平行的中位线嘛。然后又因为这是二比一，这是二比一，所以 p q 和谁啊？ m n 也是平行的，所以它俩都平行于谁啊？ m n， 那 所以它俩平行， 所以这样的话，我们就知道 p q 平行于 bc 了，那 p q 平行于 bc， 所以 它们四个点一定共面，整个思路就结束了。 所以这就是我们看到四点共面，你马上想到的方向是正它们平行，或者正它们对应的组成的线是什么？相交的。然后你看了一眼平行，那你就朝平行去正就行了啊。好了，那接下来老赵写一下过程。那么这道题首先做的辅助线是连接 sp 加 ac 于 m， 连接 sq 加 a b 于 n 啊，再连接一下 m n， 那 第一个证明的时候是因为 p q 分 别是重心，然后呢， m n 就 会是中点，因为重心，所以连完之后就会得到这是中点，并且呢， s p 还等于二 pm， s p 等于二 pm， 这些初中所学过的性质就不用证了，可以直接写，对吧？所以这里是二比一，那我们就得到 bc 会是平行于 m n 的， 为什么？根据的是中点加中位线，也会得到 p q 是 平行于 m n 的， 对应的是什么？三角形中两侧边乘比例对应边平行， 所以 b c 平行于 p q， 所以 p q b c 四点共面结束了。所以说你看，当你理解清楚了，看到四点共面，你的方向是很明确的，我就是正平行，或者正什么香蕉，然后怎么选啊？你选了平行， 那么像我永远经常上课的时候给大家讲，我总是那种比较另类的，我就在想，那香蕉行不行？你们都用平行，我也用平行，显得我很没个性，对吧？来香蕉行不行？我看到这四点的时候，我看到的是 p c 和 b q 这两线一看就不平行吗？ 那他俩不平行，我要去正，我就想，那我能不能证明这两货是相交的？那我要证明这两是相交。最关键的，我相信很多人脑海中会打个问号， 咋才算证明他俩相交了？没听过正相交这个词呀，对吧？所以接下来咱们就正一下。那么要证明他相交，你就先把这个线延长，他和谁啊？ s a 肯定会有个交点，你设成 m， 然后你把 b q 也延长，它跟 s a 也会有一个交点，但是你也不能说是什么 m， 要不然你发现那一延长就像交完了呀。啊，那不能这么说，你只能说交它于 m 撇， 那么接下来怎么证就能说明他俩是相交了。哎，不是反证法，你一个延长过来看，他肯定是相交 m 的， 这个延长过肯定是相交的，你设为 m 撇，然后你接下来怎么证就说明他俩相交了？对，证明重合， 所以接下来你只要证明 m 和 m 撇是重合的，那他俩就一定相交了。哎，有人问为啥一定会在 s a 上相交？ 首先你要知道 c p 和 s a 这是一个平面问题，在一个三角形是一个平面内过重心肯定和对边是相交的啊， 这是一个平面问题，所以一定相交。所以接下来要正就很简单了，连接 c p 交射，连接 c p 交它于点 m， 连接 b q 交于 m 撇。然后接下来，因为 p q 都是这两个三角形的重心，所以 m m 撇重合，所以 两条直线相交于 m， 所以 四点共面。所以你看，反过来一道题，我说了，平行可以正共面，香蕉可以正共面，那这就是利用香蕉正它们共面，而且用香蕉正好要过程还更简单一些。好了， 那到这里的话呢，咱们宫里一及其他的推论咱们就讲完了啊。就是，所以宫里一就是说不共线的三点确定一个平面相交，直线确定一个平面，直线和直线外一个点确定一个平面，三个合起来都在说相交可以正共面， 然后平行直线确定一个平面平行可以正共面，所以以后看到多点共面，你的方向就是，那我要证明由它们四个点组成的线分成两条线，对吧？ l 一 l 二，我们要么证明它们相交于一点，我要么证明它们平行 就行了。那到底证明相交还是平行？你通过图看呗，你看到了平行，你正平行，我看到了相交，我正相交。总之 至少有那么一种方法一定是能挣出他的。好了，这道就先过了一个期，先带大家从两个角度把 事实、基本事实一感说明白，我们接下来就说基本事实二，基本事实二就感觉更加废话了，他说若一条直线上有两点在一个平面内，那整条直线在这个平面内，那你这个要一想啊，就是那么回事，因为面是无限延伸的吗？对吧？你两个点在，你整个直线在，你说的对， 所以说这句话你看说了好像也啥也都没说，那么这个能干啥呢？说实话，这么多年了，我也没见他能够直接去证明什么，其这个定律往往是用来辅助我们把过程写的更严谨。 你这个，呃，公理，他经常和公理三会一起去证明多点贡献或者多线共点，所以他在描述的时候主要是为了给我们描述点在面内。 那我具体说一下啊，那这道题的话，它写出来就是用字母表示， c 属于 r 法， d 属于 r 法，那直线 c、 d 一定包含于什么 r 法啊？在这些刚好把这个属于啊，还有这种包含关系的。这说一下，后边的话就不再强调了。首先 我们在空间中的元素是点的什么集合，面是点的什么集合？ 所以点与线面之间的关系用什么？你想你站在集合的元素与集合之间，一定用什么属于关系啊？所以你看，只要是点与线，点与面都是属于， 那线与面之间，两个集合之间是什么包含？而且线和面不可能相等，还是真包含，所以线与面之间独有的真包含经常就这么来表示。好吧，这就说完了，所以以后当你想不清楚是什么，就站在集合的角度， 点是元素，线和面都是点的集合，它们之间的这种关系属于还是不属于？包含还是不包含，你一下就通透了。 好了，接下来我们说这个说了啥？就是线上有两点在这个平面内，那所有点都在，它能干啥？它比如说我看到了平面 abc， 哎，看到平面 abc， 我 肯定知道 a 是 什么属于这个平面的，对吧？因为 a 就 在这个面上， 但是如果说我这个平面 abc， 我 看到是这样的，那我如何说 d 在 ab 上，我如何描述 怎么得到 d 在 这个平面上呢？所以说好像直接说 d 在 这个平面上，好像有点欠缺，因为从描述的方式上，这个平面里边也没提到 d， 对 吧？所以说在描述的时候，有些时候它能干啥？就是正点在面， 比如说啊，我们先说点在线上，然后线在面上，那最终你就一定能得到这个点也在面上，这就是他所说的。所以这个描述的时候，主要在公里二和公里三合起来做一些证明其的描述严谨性上。比如说我已知的是 bc 啊， 这两点在这个平面上，那我怎么说明 a 也在？那你只要 a 在 这个线上，线在这个面上，那 a 就 在这个面上， 所以他不会作为一个独立的证明其去证。所以你未来想证明一个点在一个面上的时候，很多时候你发现你要先说这个点在他上面其中一个线上，从而得到他在一个面上， 所以这是我们描述点在面上的一个非常严谨的过程啊，所以说这个大家理解一下就行。然后这里我说了，他不会独立去证，他会结合谁啊？公里三一起去证，公里三中一定会用到这样的描述，那接下来我们就说基本事实三， 基本事实三呢是如果两个不重合的面，那不重合的面要么平行，要么怎么样相交，那么能有一个公共点，那他俩自然是什么相交了。比如说点屁，就是他们的公共点， 那他告诉我们过点屁，有些只有一条直线啊，有些只有过该点的一条公共直线啊，是公共直线。然后你看这个话说的特别的绕啊，我都不知道说啥，那说白了就是说如果两个面是相交的， 他俩的公共部分是唯一的一条直线，或者说两个平面公共部分是一条线，两个平面相交 是一个交线，那你的公共部分肯定都在这个交线上，只要这个点是公共部分，肯定在这个线上。你看这要说成白，就是咱们人话就特别的简单，特别的通俗，所以说他再说了个啥，就是公共点一定是在唯一的交线上， 那还是那句话，那它能干啥呢？它能挣多点贡献。如果你没有这样去了解的话，你会发现啊，比如说你遇到了其说证明 p、 q、 r 三点贡献。站在我们正常的角度会去想，我怎么证明这三点贡献呢？像公里、一公里、二公里、三公里四中，没有一个说是点贡献的问题，对吧？那我就会想啊，我先证明两个点一定是贡献的，我再证明另外一个在他上边，那这样就走远了， 我们真正的以后只要你遇到了，证明多点贡献，咋证啊？只要证明这每个点都在这个交线上， 那他们不都就贡献了吗？对吧？点 p 在 交线上，点 q 在 交线上，点 r 在 交线上，那你说他们共不贡献，那他们一定贡献，那我咋证 它在交线上呢？咋证一个点在交线上，如何去证明啊？空间中一个点在两个面的交线上，很简单，就是证明这个点同时在两个平面。 你想，如果你能证 a 属于平面 r 法，你也能证明 a 属于平面贝塔，那你想 a 等于啥？ a 的 这个功力就是在告诉我们，如果两个平面有个公共点，那这不就是两个平面的公共点吗？那它一定在这个唯一的直线上。所以你要证明这三个点共线是证明 a 同时在两个平面 啊， p 同时在两个平面， q 同时在两个平面， r 同时在两个平面，其实他们三个各自挣各自的，他们三一点关系都没有，最后他们三个都在交线上，所以他们贡献。 所以你只要遇到了，证明三点共线啊，想都不用想。在例题集合中，嗯，跟刚才先证明两个点，确定一个线，把另外一个证明他也在上边啊？不是，这就直接证明他们都在交线上就行了啊。所以说公里三学完之后他能干啥你就想明白了， 只要遇到多点贡献，考的就是基本是十三。那咋正呢？就是每一个点你都证明他既在这个面上，又在那个面上，那他就能正，当然了，他还能正什么？多线共点，这个一起待会，这个在这个图上说不清楚，待会通过例题再给大家讲。好吧，好了，到这里呢，我们说 关于啊，基本是十一、二、三，咱就四也说了啊，四太简单了，四大家都能想明白，所以就不用整在这了，所以他们分别说了什么。 那么公理一，主要就是说如何去判断共面啊？就是正多点共面就是正他们相交，或者证明他们所啊几个点构成的两个线平行嘛，然后这两个结合起来，主要是在证明多点共线或者多多线共点，那么咋正都是正点在这个两个平面内。举个例子吧， 比如说这道题，你看结果说证明 c、 e、 e、 o 三个点贡献，你一看到这三点贡献呀，哎，考基本是十三嘛，这就是你理解之后知道它能干啥的时候，你就觉得这很丝滑的，就对应啥。那那咱们找一下， o 是 啥呢？ o 是 底面对角线的焦点， 然后这个 e 是 啥呢？ e 是 起对角线与这个面啊，一条线与这个面的一个交点啊，就是 a、 e、 c 与 c、 e、 d、 b 这个面的交点， c、 e 是 这个。 那你想一下，要证明这三点共线，我们说啊，跟这三点没关系，要同时证明它们在两个平面内。 那首先你看，很明显现在已知的它们三个都在哪个平面内？第一个就是我画的这个 c、 e、 b、 d 嘛，那第二个你还要再找一个，那你给大家找第二个，那还要再找一个跟这个面相交的，而且它们都在的，那那个面是谁啊？大家说 a、 e、 a、 c， 你写成这个面的话，你你，你发现你如果只说这个三角形构成的面的话，这个 c 一 不太好说，所以咱们直接说成四个点，好不？你就把它也包上，那第二个面是不是就说明 a 一、 a、 c、 c 一 它们，你如果能证明它们同时也在这个面上， 你说跟线有啥关系没有？你只要证明都在蓝色面上，然后都在什么黄色面上，然后两个面是相交的，结束了，这就是我们要证明的。我们说你学完他之后，你会发现他要挣的三点贡献，跟这个基本公里三 直接描述的这个就根本挂不上钩。但是你把它想明白理解清楚了，你就知道他能干啥了，你知道他能干啥了，你也知道怎么干了，那就太简单了。那接下来就剩下如何严谨的写出过程。首先我们接下来一个点一个点的来写，比如说我来先写点 o 啊， 当然辅助线先做一下，因为原来里边是没有谁啊， a 一、 c 一 的，所以先连接 a 一、 c 一， 然后设两个平面的交线为 l， 因为在这个正方起中，它俩很显然是正方起中是相交的，你就设它们的交线为 l。 然后 首先第一个 c 一， 因为它很明显，你看你描述的这个平面，它就属于这个平面，那同样 c 一 是不是也属于 b、 d、 c 一， 而这两个直接可以描述， 那说明 c 一 在什么？ c 一 一定属于 l， c 一 就证明完了。接下来比如说我要证明 o， 你 会发现 o 在 证明的时候还有点说道，你没办法直接说 o 就 在这个平面内， o 在 这个平面，因为从 你所描述的这些字母来看， o 没在这个平面内，对吧？所以为了严谨就要用公里二， o 在 哪里呢？ o 在 b d 上， 所以 o 属于 b d， 那 b d 呢？在平面 b d， c e 中，所以 b d 包含有它，所以 o 属于它，这就是在用公里二， 点在线，线在面，所以点在面。所以我说公里二不单独考。但是很多时候在证明三点共线的时候，为了把一个点在这个面上能描述清楚， 你会发现它要从点在线，然后现在面，然后得到点在面。在这里写过程的时候，还原了一下 基本事实二，他描述他是干什么，就是让大家在这写过程的时候严谨的，没有给人感觉从这里脱离了你的这个图，你根本就看不出。哦，为啥在这个平面？你这么说肯定就说清楚了， 然后同样 o 在 ac 嘛， o 在 ac， 那 ac 在 哪里？ ac 在 这个什么面上，所以 o 在 o 同时在两个面上， o 属于 l， 同理， e 属于 l， 三个点都在 l 上，所以 c、 e、 e o 三点共线结束了。 所以这道题的话，就是咱们理解了基本式十二，基本式十三知道了它在说什么，它能干什么， 写过程就是怎么干，除了你要证他同时在两个面上，还要怎么去写他在两个面上。那到这里呢？我们说基本事实二和基本事实三能干的第一件事情，证明多点贡献就说完了，你会发现那个谢 并不，他们之间没啥关系，各挣各的，挣完了，这，哎，你也在这个线上呀，哎，你也在这个线上，给人一种这样的感觉，而不是，哎，咱俩一起去那个线上啊，没有这种感觉啊。好了，接下来我们说第二个，第二个他能解决的问题叫做证明好几个线交于一点，就是老赵所说的多线共点 啊。那我先帮大家读一下，这个七又是个空间四边形，啥意思呢？就是个三轮锥吗？这两个点是中点，这两个点三等分点。好像在今天第一个描述基本事实的时候， 一模一样的条件证明了个啥？谁还记得？我看有没有人从十一开始就跟进来。今天我们基本事实四用的利奇跟他一模一样，证明了这个线啊，证明他是七行，这证明这这两个线是什么？ 平行的，对吧？证明这两好了，那这其实就换句话说，我们如果一开始就清的话，看到这里我们就知道这两线是平行的，用什么呢？用咱们的基本事实四，也就是平行的传递性很快就能证明出来。但是接下来这道题人家不是，人家还证明这三条线交于同一点， 证明三个交于一点的时候，往往是先证明两个交于一点，然后你比如说你先选两条，它交于一点，假设是点屁，然后你再证明这个点屁在最后一条上， 那么要证明点在一条线上，你想想往往是证明点在一条什么线上。根据咱们上一个证明三点共线，我们往往证明一个点在什么线上比较拿手， 是在交线上，所以看一下这个棋里边哪个扮演交线会比较好？那我们发现这个线扮演交线比较好，你看这个线刚好在这个面里边，这个线刚好在这个面里边，他扮演了两个交线。 所以我们第一步如果说先能证明这两条线是什么相交的，假如他们相交于点 p， 然后我们设这条线 a、 c 是 l， 我 们再证明点 p 什么属于 a、 c， 那 是不是就可以证明三线是共点的？那么我们首先第一个要解决的就是，那这俩是不是相交的呢？是不是相交得看它们是不是共面的， 然后他们所共面的这个能不能是平行，哎，就是不平行的，那这个很简单，这就是为啥我刚才给大家说，今天一上来咱们讲基本事实四的时候，就证明了这是一个什么七行。为啥快速的说一下啊？在三角形 a、 b 啊这里 abd 中啊， a、 b、 d 中，在 a、 b、 d 中， e、 h 分 别是中点，所以 e、 h 平行于 b、 d， e h 也等于二分之一 b、 d。 好， 然后接下来呢，在三角形 c、 b、 d 当中，因为一比二、一比二， 所以这个线也平行于 b、 d， 并且等于 b、 d 的 多少三分之一，从而你就得到了这个货和这个货是平行的，并且它两之间不相等，不相等的话，那这个四边形 e、 f、 g、 h 就是 一个什么啊？是一个梯形， 如果它俩是梯形，两腰 g h 和 e f 是 不平行的，所以我们就可以设两腰 e、 f 和 g h 交于点 p， 你 可不敢上来，直接设 e f 和谁啊？ g h 交于点 p， 你 得证明它俩是共面并且不平行的，你才能假设它俩相交于点 p 不 敢上来，你说你会了，你就直接写了它俩相交人，然后再证明这个交点在什么交线上，那你写的那个过程也不会得分啊，所以这里一定要写严谨。好了， 到这里呢，我们已经证明啊， e f 和它相交于点 p， 所以 第二部分就很简单，要证明点 p 在 a c 上， a c 是 交线，怎么证明点在 交线上呢？只要证明点 p 同时在两个平面上，因为点 p 是 e f 和 g h 的 交点，所以点 p 一定你看属于 e f， e f 又包含于平面 abc， 所以 这就点在线，线在面，所以点在面，是不是又在这里用基本式十二写过程？同样道理， p 点属于什么？ g h， 因为它是这两个线的交点，肯定在它上边， 那 g h 又在哪个？ g h 又在这个平面内，所以 p 在 线上，线在面内，那点在面内，那这两个点都在这个面内，所以假设两个面的交线，哎，从图中知道是 a c， 所以 p 在 a c 上，那你看 它俩交于点 p， 点 p 在 a c 上，所以三线交于一点，那非常严谨，也非常的清晰，所以到这里你才算把基本式十二、基本式十三， 什么叫做证明多线共点怎么证？什么叫做证明多点共线怎么证？整明白了，好，那这是前两个，我们说通过这两个带大家感受了一下，他能干什么呀？他能挣点共线，多线共点。当然了， 在后续我们在解决平行啊、垂直啊、洁面问题的时候，为什么要把这个我们说基础在这讲了，那你未来比如说要去证明个平行，找个交线你都找不到，所以还有这种考法啊，比如说已知 p a、 b、 c、 d 是 个四棱锥，然后 b、 c 和 a d 是 平行的， 然后 bc 小 于 ad， 啥意思呢？七型设，它两个的交线是 l， 然后请你做图确定 l 的 位置，并说明理由，就是你做出来还得证明一下它是交线。 那这个是对咱们未来影响最大的，因为我们在做垂直的时候，会有交线相关的性质定律，我们在去正平行的时候，会有交线相关的性质定律。那有些时候，有些图的交线就是看不到， 你要想去证明，有些时候就得做出来。当然了，以后去处理洁面的时候，也经常要去做胶线，所以这个能力很重要啊，做一个试试看。那要找胶线其实很简单， 首先你知道两个平面相交啊，公共部分是胶线，怎么样确定一个胶线呢？两点确定一个胶线吗？那你就找到两个他俩的公共点。 什么是他们的公共点呢？就是既在这个平面，又在这个平面的点，那么一画一放啊，只有一个点。屁， 这么大的两个平面公共点只有一个吗？那不行，还得找一个，那咋找呢？那你就得去找，就是公共点是什么？哎，你看这个假设个阿尔法好说，阿尔法面内的一条线与贝塔面内的一条什么线的交点，你比如说点屁，可以看作是这两个，也可以看作是这两个。 所以你在两个平面内，首先要各找一条线，然后让这两个线相交。哎，那这个点不就是两个平面的公共点吗？ 那你就盯着你看这四个线啊，一号、二号、三号、四号都交于点 p 了，那你要关注的就是五号这两个平面内肉眼可见的六号线，看一下这两个会不会相交， 如果会，你能不能把它的交点做出来。那么题目你看，告诉你这两平行说明什么？这四点共面，那 a、 b 和 c、 d 是 共面的， 你就看它们平行不平行，只要不平行，共面的一定相交，因为这两平行是七型，所以这两延长一定会交于点 q， 所以 连接 p q 就 一定是这个交线。所以要找很简单，就是在两个平面内各找一条线，让它们相交， 只要他们相交，找到这个交点，两个一点就是交线。思路没问题的话，接下来我再说一下，那咋咋正呢，人家还让说理由呢。好吧，来，我接下来说过程。所以接下来你要证明它是交线，那也很简单，你只要证明点 q 同时在两个平面内， 点 p 同时在两个平面内，那同时在两个平面内的点肯定在交线上。两点确定一个什么直线， 所以接下来我们延长 a、 b 和 c、 d 交于点 q， 这是我们对在这道题中的什么啊辅助线完了之后呢？我们说啊， q 是 属于 ab 的 啊，因为它延长，那么这样 ab 是 属于平面 abp 的 啊。 pab， 所以 点在线，线在面，所以点就在什么点就在平面内，就 ok 了。然后第二个也是一样， q 属于谁啊？ cd， 因为它在它的延长线上点在线，那 cd 又在这个平面 pcd 上点在线，线在面，点在面，你看两个都是在描述什么？公里二，或者基本是十二， 它俩同时在两个平面内，那它俩一定在交线上，所以此时 q 一定是属于 l 的， 在交线上。 那么根根据这个题目，我们发现点 p 也是属于两个平面的，所以点 p 也在交线上，所以直线 p q 为交线 l 就 证明完了，这就是我们最终要写的过程。对，就是 p q 两个点都同时属于两个面就 ok 了。那到这里的话，就是你对基本事实最终的理解就是 应该要停留在这简洁而且通俗易懂的就是他说了啥，他能干啥，你发现这个就是他不会去考题，但是他是为了让我们对于点线面的关系描述更怎么样，更严谨。 所以在很多时候，但凡要用公里三去证明多点贡献，多线贡点的时候，都要用公里二来证明点在什么 面上，对吧？所以写点的面上就要用它，那么证明多点共线，多线共点，你以后只要看到，只要看到你就知道啊，他考的就是公里三。那到底怎么用公里三？你只要描述出这两个点，这个点同时在两个平面上，他就在交线上，就整个就结束了。 那么对于公里基本事实一也是一样的，看似一个公里加上三个推论，本质上他都在说怎么证明几个点是共面的，那么证明的方式无非就是两个，看着相交，正相交，看着平行，正平行 就完了。那么正平行有正平行的方式啊，香蕉有香蕉的方式，正平行在这用的比较多的就有咱们的基本事实 几了，基本事实四啊，所以这是从理论上用人话翻译出来，然后刚才讲的这些例题呢，就是让你更直观的啊，想到这个东西的时候，别人如果看你笔记，看到这些字，就是这些字，他未必能够彻底的理解，这 看似是人话，好像还是不知道咋用。那么这些例题就是来印证具体用的时候咋用，过程咋写，最重要是过程啊，最重要是过程，因为只要是证明其例题结合的过程，对严谨性要求是很高的。

哈喽，这期给大家分享一下数学做立体几何的常见思路，要怎么样去想，以及一些二级结论。嗯，咱们可以先从线面线平行，他一般会从哪几个思路去想到，去证明这个线线平行， 如果要正线平行，首先大家可以想到由中位线或者是呃相似就中位线吗？大家，这个很明显，对吧？像这种就是可以想到平行，可以能正到平行，或者是角相等，或者是角互补， 也可以正到线，也可以正到平行，然后呢还有这种，比如说出现一个平行四边形之类的，他有可能能正到这个线线平行，然后这个是由定义或是性质，这几个 都可以正到这个平行，大家可以进面看一下，然后这边是由垂直垂直于一个面，这个是 r 法，这个是 a 啊， 然后也可以得到就是两条线他们同时垂直于一个平面，那这两条线就是平行的，对吧？那这个还可以由线平行面的性质定理，然后面面平行的性质定理或是由空间的向量，然后呢就是能够正到直线方向的向量，比如说 e 对吧？然后平面方向的法向量是 a 对 吧？ a 法向量，然后这个是两条线平行，然后就能推到这两条法向量是平行的，然后呢像这个是可以推到一个垂直，然后像性质和 定义的话，大家可以就是截屏这边，这边是比较全的，然后的话这边是垂直啊，就是垂直怎么证明？ 然后线线垂直要怎么样去证明？就这几个思路就跑不了。就这几个思路，大家就是可以截屏看一下，然后这个是什么？这个是我从一数的书上总结出来的一些点，就是怎么样证明一些比较偏，就是你想不出来的， 就我上面是，上面是常见的思路，只要从这里面想就基本上差不多，如果你实在想不出来可以呃，也看下这个，这我写的比较详细，大家可以截屏看一下，然后像这边要找的一些，呃，定义啊什么的定义和性质，在这里也可以截屏看一下吧， 其实我觉得辅导书上应该也都有，然后写笔记上更好一点。像这个你如果要正线线垂直的话，就几个思路，你就要么先找九十度，对吧？而且三角形，要么就想勾股定力去正，对吧？用几个数，用数据去正，然后要么是等腰三角形取中点，取中点做高之后，这是不是也有一个垂直啊，对吧？宝宝。 然后呢？像这些的话，大家都可以就是去截屏看一下，这边是一些计算，宝宝这边的话就写的还是挺清楚的，像这种这是侧面积的，这是体积的，然后上面的都有这种标注，然后这边是几何体的表面积和体积，就是也是一些。 嗯，公式吧，我感觉就是一些公式比较明显的，我感觉这个用的还挺多的。这个，这个是那种扇形吗？对吧？扇形其实在一些填空题的倒数第二题可能会用到这种题目，这一版也是二级结论，这样可以看见吗？可以这样， 这边也是一些方法，比如说立体几何去间隙，然后这边顶面为正三角形，或者是这种怎么样去间隙，然后像这个的话，比如说如果是求距离和角要怎么样？比如说综合法，综合法，比如说想到特殊三角形，哪个呢？等边、等腰，那他有几个就是 这种比例，建议大家记一下，因为还挺常考的，就一比一比根号三，这样这个是特殊三角形，大家可以记一下。 然后这个一比一比根号三啊，他其实是这个大的，这个钝角是一百二十度，然后两个呃，两个小角是三十度，这个是一比一比根号三，这个还挺常见的，大家可以就是积累。 然后这边是一些二级结论，比如说就是如果他提到一个角平分线的话，那一般就一定会用到这个思路，就是说就是他这个，嗯，这个里面有一个圆，然后这个圆他的一个半径是等于 呃两倍的，两倍的三角形，两倍的三角形 a、 b、 c 的 一个面积，然后除以它一个周长。嗯，这个是推理过程，大家有 呃有兴趣也可以看一下。然后的话像这个也是一个二极型的，就是它是一个正方形 a、 b、 c、 d， 然后它里面有个圆嘛，然后这个圆的一个半截就等于二分之 a， a 就是 这个 ab 的 长，就是这个正方形的一个边长，然后像这个的话，这是长方形， 长方形里面有个圆，如果他求这个圆的一个半径的话，你就直接用二角，就二分之 b， 这个 b 是 这个短边，然后这个是等腰梯形，在等腰梯形里面如果有个圆，他求这个圆的一个半径的话，那就是二分之 h。

立体几何外接球，掌握这十一种模型，期末直接得满分！ 立体几何外接球呢？是高一下期末考试以及高考的一个重点考试内容，很多同学到高三都没搞清楚，那么谢老师这里给同学们啊归类一下，那么这里我们掌握几个常见的模型，比如说墙角模型， 那么模型怎么我们怎么去记？我们不是去记他的一个结论，而是记他的原理条件和我们的一个啊，怎么一个解法？比如说 墙角模型有什么特征呢？三条棱，两两垂直，只要看到三条棱有两两垂直的对不对？我们不可以不找球心，直接可以把它补成一个什么长方体， 对吧？这叫补乘法。还有看见这种类型什么呢？比如说对棱相等模型，他也是补成长方体，什么条件呢？三条对棱分别相等，你马上去把它补成长方体，然后根据长方体的一个思路去做就可以了 啊。比如说还有一个重点的模型，就是垂面模型，只要看见一个线垂直，这个面， 对吧？线面垂直球外接球的半径对不对？我们首先在底面标出我们的圆心，然后球心必然是连在一起垂直底面，对吧？然后把它补成一个直径，弄出来，直径和这个顶点连起来，绝对就是我们大圆大球的直径，球的直径 我们就可以用勾股定律来解了，而 o o e p o 呢？就是 pa 的 中位线，是不是可以这样去做，那么可以根据详细的根据一二三这三步去完成就可以了。还有一个比较重点的是什么？如果出现三条侧能相等， 有什么特征呢？有三条侧能相等，这些都是，对吧？那么必有什么呢？圆心、球心和顶点三点共线必然在同一根直线，可以用勾股定力去答题，这就是我们常考的一种方式，对吧？其实后面还有很多很多啊，感兴趣的同学或者是老师 啊，可以进行一个自学啊。那么习老师把这个链接放在下方了啊，可以去了解一下。

最近一些高一的学生跟我说，高一下呀，学这个立体几何，部分间系做老师不给分。那这个原因呢？很简单，本质上呢，他是因为 高一下的数学过于简单。那你回想一下，什么向量啊，什么三角函数啊，什么负数啊，他们都没资格充当最难的那道题。所以说高一下是很难出一套特别好的卷子的，这些知识点，无论挑出哪个都出不了压轴题。 所以说他唯一为难你的点就是不让你间隙做立体几何，人为增加难度，美其名曰这是筛选。那实际的情况是什么呢？大家的空间想象能力都是有限的，如果真有谁能在脑子里就构建出来一个立体的形状，还有什么二面角之类的，那我建议 你这个人直接被北大医学院录取就可以，我们国家的医学需要你，因为你能在脑子里边就把那些手术怎么做给构想出来。间隙不给分这个事情本来就很荒唐，这就好像你小学学白银内加减法， 告诉你什么呢？列数式不给分啊，只有口算的人给分，多么荒唐可笑，很多孩子到了高中，白银内加减法还搁那列数式，怎么就不让了？ 所以如果是选择填空，你就直接间隙就完了。如果是大题，他不不让你间隙吗？那你就不间，如果没做出来，你也不要闹心，也不要上火。没有关系的， 只要学完间隙以后，立体几何就降格为送分题了，他就再也没有难度了。高考是没有那种垃圾规定。所以说，各位同学，当前阶段不要把立体几何当做负担，后边会学习这种间隙的大招来秒杀他。

好同学们，今天我们来看一道正方体中的立体几何综合题。题目给了一个棱长为一的正方体。要判断五个结论的正确个数来，先读题。如图， a、 b、 c、 d。 减 a、 e， b、 e、 c、 e、 d 是 棱长为一的正方体。 下面结论， a、 b、 d。 平行于平面 b、 e、 c、 a、 c、 e。 垂直于平面 c、 b、 e、 d、 e。 直线 a、 c。 一 与 bc 所成的角为四十五度 a、 a。 到平面 c、 d、 e、 b、 e。 的 距离为多少？其中正确结论的个数是几？注意啊，这道题考察的是空间线面关系线、线、角点面距离的综合应用，我们需要逐一分析每个结论。看这个正方体， 先找到各个顶点和关键线段。好，先看第一个结论， b、 d。 平行于平面 b、 e、 d、 e、 c。 注意啊！ b、 d 是 底面的一条对角线，而 b、 e、 d、 e 是 顶面的对角线，它们平行且相等。 再看平面 b、 e、 d、 e、 c。 它包含 b、 e、 d、 e 和 c 点。因为 b、 d 平行于 b、 e、 d、 e， 且 b、 d 不 在平面内，所以 b、 d 确实平行于平面 b、 e、 d、 e、 c。 这个结论正确。来第二个结论， a、 c。 一 垂直于 b、 e、 c。 看这个正方体 a、 c。 一 是体对角线 b、 e、 c。 是 侧面的一条对角线，我们可以连接 a、 e、 c。 一。 注意啊，在正方形 a、 e、 b、 e、 c。 一 第一中， a、 e、 c。 一 垂直于 b、 e、 d、 e。 但这里需要证明 a、 c。 一 垂直于 b、 e、 c。 实际上，通过三垂线定律或向量法可以得出 a、 c。 一 垂直于 b、 e、 c。 所以 这个结论也正确。好第三个结论， a、 c。 一 垂直于平面 c、 b、 e、 d、 e。 注意啊，平面 c、 b、 e、 d、 e。 包含点 c、 b、 e、 d、 e。 我们已经知道 a、 c 一 垂直于 b、 e、 c。 还需要证明 a、 c 一 垂直于另一条线，比如 c、 d 一。 同样通过计算或定律可以得出 a、 c 一 垂直于 c d 一， 所以 a、 c 一 垂直于平面内的两条相交直线。 因此这个结论正确。来。第四个结论，直线 a、 c 一 与 b、 c 所成的角为四十五度。注意啊， b、 c 是 棱， a、 c 一 是体对角线，我们可以将 b、 c 平移到 b、 e、 c、 e。 那 么 a、 c、 e 与 b e、 c、 e 所成的角就是所求。在直角三角形中计算可得这个角的正确值不是一，所以不是四十五度，这个结论错误。 好。第五个结论， a 到平面 c， d、 e、 b、 e 的 距离。注意啊，这个距离可以通过等体积法来求。先计算三棱锥 a 减 c， d、 e、 b、 e 的 体积，再除以三角形 c、 d、 e、 b、 e 的 面积，经过计算，距离为三分之根号三。题目中给出的距离值如果正确，则结论正确。 这里假设题目给出的是三分之根号三，所以这个结论正确。来总结一下，五个结论中第一、二、三、五正确，第四个错误， 所以正确结论的个数是四个好。最后知识点总结这道题考察了线面平行的判定，线线垂直和线面垂直的判定，意面直线所成角的计算以及点面距离的等体积法。 注意啊，在正方体中，体对角线与面对角线有特殊的垂直关系，要灵活运用。

本视频时长三十四分钟，带你搞定立体几何基础洁面问题，从原理出发，结合题型带你通透底层逻辑，掌握剪题思路，回复立体几何，领取视频讲义。 我们今天要处理的就是去把一个洁面给它扩充补全完整。我们经常会遇到的题，就是比如说像这道题过 a 点、 f 点、 e 点做一个这个正方形的洁面，但你发现这三点连完之后做出来这个洁面没有完全做出来，不通透。 所以在这种情况下，我们就得去扩平面，把它最终这个完整的 a、 f、 g、 e、 h 这个五边形围成的这个结面给它扩出来。所以我们今天要做的事叫做扩平面。那扩平面呢？主要有两个不同的角度，一个是通过平行去扩平面， 这个就跟咱们讲到锐角三角形背景下去求一些最直的时候，你用角的角度去处理，属于你们比较擅长的。 那么接下来还有另外一个就是相交扩平面，这个就是你们好多人相对会比较弱的。所以今天我们在做很多棋的话，咱不追求说你把它光做出来，咱们叫做要追求平衡，平行扩平面，咱要会相交扩平面咱也要熟练，所以今天我们就是以这些棋为载棋，带大家 从原理上去感受一下，为什么平行可以扩平面，为什么香蕉也可以扩平面。然后第二个就是从它具体的操作上一定要非常熟练，因为各自有各自的优势。有些棋它用平行去扩非常简单，用香蕉去扩就有一点麻烦了，但是有些棋它用平行扩不了， 或者说要扩，你得把力立即几何这个图再给他先扩大再去扩，那你如果还要用平行的话，有些时候可能就会出问题，所以那在那种其中啊，很多情况下相交就比较好处理，这是这两个方法各自的优势。 然后接下来我们先说一下原理，功力一和它的三个推论的本质就是在说相交可以确定一个平面，平行可以确定一个平面，所以当我们平常去看到这种结面比较小，那大致看起来就像它用一个三角形来表示了一个平面，那我想把它去扩大， 那我哎过其中一个点做另外对应的这个边的什么一个平行线就行了。比如说我做到点 d 平行定平面，那 a、 b 和 c、 d 肯定还是同一个平面，你再连接一下 b、 d， 你 就会发现啊， 从一个用三角形表示的面，现在变成了用四边形表示的面，所以通过做平行，你会把它扩大，而且它们依然共面。那么接下来到你们比较软肋的，那比如还是这个或怎么用相交去扩呢？ 相交呢？往往也是看作一个点和一个边，你把这个边延长一下，那你延长一下，你想这个肯定还在这个面里边，然后你 把 c 和你延长到这个点，第一点从一个小的三角形面扩大到了一个大的三角形表示面，所以从面积的角度是把它扩大了，所以说 两个都能实现。对原来小小的一个面进行再扩一扩，扩一扩，那变大一点，从我们这个样子上来看，其实说白了就是面积变大了，就算扩大了，虽然说面其实是无限延伸的，对吧？好，那么本质上他用的就是咱们宫里，也就是基本事实中的相交 确定平面和平行确定平面。那么接下来这个这么说，说完之后你说你在其中能不能做出其其实是做不出来的。香蕉扩平面，真正在其中要去做的时候， 其实我们是要经历五步才能够把它扩出来。所以接下来我就把你们软肋的相对薄弱的这个点拿出来，咱们细细的看一下，我们真的用香蕉把它扩大的过程中走哪五步啊？ 接下来把这个理解清楚，掌握扎实。第一个我们说刚才说了，你把这个三角形表示面还是要看作一个点和一个线，那么看作一个点一个线的话，你延长，你延长到哪去呢？你说，哎，有人延长到这，有人延长到这，有人延长，是不是都行呢？ 那放在具体其中肯定就不行了，所以真正在具体题当中呢，找到对应的点和线了，把它俩各自放在一个平面里边。比如说我把这个线放在了阿尔法平面里边，其实在图中往往这个线本身就在一个平面里边，然后我把这个点放在贝塔平面中， 真正在其中去做的时候，就是你要看这个点在哪个面里边，这个线在哪个面里边。好，然后接下来那我说我把他延长一下，再过他做一个，最终这两个要相交， 你要对他们焦点在哪里要有个预判，焦点在哪里，这是这里的精髓和关键啊。我把这个线在这个面里边，要做个线跟他要相交，交点在哪里？这个焦点肯定 在这条线上，交点在这个线上，交点也在这个线上，交点一定在对交线上，对吧？啊？所以说你要 找到真正他们的交点，那个交点不是随便延伸的，这就是为啥你要把一个放在阿尔法，一个放贝塔内，是要找到这个线所在的面和这个点所在面的两个面的交线。 你找到这个交线，你只要把这个线延长到根交线，找到一个点，然后接下来你把这个点和这个交点一连，肯定还是这个平面，而且扩大了，这才是真正我们在棋木中通过相交扩平面的原理和本质方法。好了，总结一下， 所以说刚才说五步，你想第一个就是你记住看到的这个小三角形面呢，看作一个点与一个什么一个线啊，你首先把这个面看作一个点和一个面啊，在真正的棋里边各放一个面， 各放一个面。之后第三步是找什么？找交线，找两个面的交线，你一定要先找到这个交线， 然后第四步你的线延长一下，与什么交线？找焦点，然后最后第五步就会实现啊，扩平面了，你把你原有的点与这个焦点一连就 ok， 所以 你不用说把这个死背下来，你就通过刚才我们思考的原理脑海中过一下，看你 消化了，通过相交扩平面整个这个思路和原理。整明白原理了，咱来看题啊，来看第一道题，第一道题呢，告诉我们一个棱长为六的正方体，然后说点 e 是 c， e， d， e 的 中点 f 点在线段这个霍上， 他说这一段等于四，那这一段等于二，说白了他就是个谁啊，三等分点啊，离 b 一 近，然后说过这三个点截正方起截面的这个面积， 要求这个截面截得正方起这个截面的面积，那说白了你就是要把这个截面给他补完整，找到，看他是个什么图形，求出他的面积。我们说虽然咱们会的比较多啊，又会相交又会平行， 但经验告诉我们，但凡一道题能用平行的时候，往往平行会比用香蕉扩平面简单一点， 那除非他用不了平行，你硬要用的时候，那就难了，对吧？我先说一下，我先选择的方法是平行扩平面，为啥呢？因为只有这一条线在几何棋的表面，其他的都在内部，所以我看表面的这个线，然后再关注这个点，那么我就看过这个点能不能做这个点 线的。什么平行线，能的话不就平行可以扩平面了？那我就关注他俩各自所在的面来，线在的面刚好在正面这个面里边点在的面刚好可以在反面，这个面点和线所在的面是平行的，那就一定可以做出平行 线，对吧？你想嘛，假如一个点在我手上，拿这个讲义上，那要做地面上任何一个线的平行线，他都能做出来，因为两个面是平行的， 所以在这的话呢，我就过这个点 e 做一个跟它平行的线，那么做出来，你看它与这个侧能有一个交点，假设 h 那 a h 再一连的话，那这个线不就是在侧面里边的交线吗？所以这半边我做好了，我发现这个线还在内部，还要扩出来。那接下来的话，我你们看一下，我如果还要做平行过哪个点还可以做平行，就 我继续选择平行，一平行到底啊，这个是棋木告诉的，棋木告诉所有能长都等于六啊，所有能长正方体嘛。然后他又告诉这个 b f 等于四的话，那这是二，这就三等分 点对过 f， 你 发现这个线在这个侧面里边，哎，这个点在这个侧面里边，两个面平行过，它是不是就可以做它的？再做出来，再一点，那整个这个五边形就做出来了， 这个是用啥呀？就是他能用平行，你快速的用平行画起来会非常的快，然后画出来之后这个或就是个五边形， 这就是他整个洁面。来看一下第一个方法用平行扩平面，讲明白了吗？然后接下来老赵也不是那种选择简单方法的人，咱也没苦硬吃，用香蕉的也做一下。好了，那接下来先把这道题做完吧，人家要的是洁面面积， 来一起求一下，因为在做平行的时候还要注意一点，你做了这个平行呢？这个焦点在哪里，对吧？那么这个在处理的时候呢？因为这里往往会有对应相似的三角形啊，这是个直角三角形，他会和他对应面上的这个直角三角形，两个是什么啊？ 相似关系，这是六比四，对吧？六比四，说白三比二，然后这里是中点的话，这是三，这个点就是多少二，所以这个 h 呢，其实也刚好在 d d 一 的三等分点处， 然后接下来你知道这个长度了，那这就是四，这就是六，根据勾股定律，这个测能也就求出来了啊，所以求完之后呢，这个和这个一样的四六对应的这个长度是二倍，根号十三。然后接下来 f 点和 h 点 在同样的位置，所以这条线和对角线一样长，也就是六倍根号二。然后这个呢，我们说这里是二，这里是三，这里是中点嘛，这是三等分点，这就是根号十三，这是根号十三，这是三，这三倍根号二。所以 整个这个结面的所有长度，你要去求就求出来了。但是这道题要的是结面的什么啊？面积，面积的话，出现这种图了，我们一般会用割补。首先我连了 h f 之后，下边就是一个什么啊等腰三角形， 那么这个上边呢，本身是一个梯形，你按梯形做好像也不太好做，所以再延伸一下，也把它延伸成一个三角形， 然后你会发现这两个点，哎，刚好也是这个边的什么啊中点，然后上边延伸出来的这个三角形和下边这个三角形的面积是相等的，我假设下边是 s 撇，那上边这个七行占三份，上边这个小的占一份，根据什么？根据相似， 所以上边这个梯形就是四分之三 s 撇，所以整个大 s 就 等于四分之七 s 撇。然后你只要求出下边这个等腰三角形的什么面积就行了。 简单的这画一下啊，这都变成了初中指示二倍根号十三，然后你在这做个高，他就是三倍根号二，你就能求出这个是根号三十四，所以高和底都知道，底乘高除以二，这个面积也就求出来了，所以这个面积呢，最后不难，二分之二十一倍的根号十七啊。好了， 这是计算的过程，包括确定点位置的方式。接下来我们说同样一个方式，咱不以把它解出来为目的，咱们以总共给了大家两个方向，我一道题能不能通过不同的方向去感受一下， 那么在这道题能不能通过相交扩平面呢？刚才大家给的答案都说自己选择是相交，那我们就一起去感受一下，比如说这次我还是选择把它看作线，把它看作点，那这次 我要把他们分别放在第二步，是不是要分别放在一个面里边？那这个现在的面肯定就在这个面里边， 那么这个点现在你必须把它看作在哪个面里边？如果用香蕉扩平面的话，此时这个点必须看作他在 上下左右前后哪个面里边。对，你要虽然说他这个点既在上边这个面，也在后边这个面里边，但是我们用香蕉扩平面的话， 线所在的面确定之后，这个点必须在跟他相交的面里边，是不是才能继续去相交扩平面？所以你现在只能看作他在上平面里边。 好了。点在上平面线在正面两个面的交线是谁啊？这条线，然后你把线延长一下，跟他交于一点，找到这个交点之后，那这个交点呢？跟点 e 也在一个平面里边，连一下就 ok 了，这样的话你就会找到这个线与他所在面边界的交点一下就 ok 了，这样的话你就会找到这个线与他所在面边界的交点， 然后根据相似算出这个在哪里就行了。那这里咋算呢？其实也很简单，因为这里是谁啊？三等分点， 所以这里是两份，这是一比二，直接可以得到，这里是三啊，直接最简单的方式应该在这个相似里边。好，这里三，这里六，这里是多少？一比二，这里得到，这里是三的话，因为这个也是三，所以在这里根据这两相似你看就确定了，你最终要确定的就是 他与这个边界交点的位置啊，所以我们就确定了这个点，这在这里，这里是中点啊。那这样的话，我们就找到了这边上边面里边扩出的这部分，然后这两个一叠，那我们这边你看从刚才的三角形面就扩到了四边形面，但是你这边还没扩出来，对吧？ 这边还没扩出来的话，那比如说我现在把这个看作线，把这个看作点，朝着就往这边去扩，那线所在的面在哪里？在上边， 那这个点呢？它可以在侧面，它也可以在下面，它可以在正面，对吧？它因为是一个端点，它同时在三个面里边，你要跟它相交，扩平面，反正你要看做跟它相交的一个面里边， 比如说我就看作哎，在这个面里边，在这个面两个交线就是这个线，然后我把这个线延伸，先跟他怎么样相交，然后接下来这两个一连接，哎，你会发现你也就找到了在这个里边的什么，这一段交线，你也就把它括出来了。所以当我们找到这一段，这两个再一连 整个就 ok 了。所以说这就是用相交，那你看平行我们做了，相交也做了，在这道能用平行的问题中，你发现用相交的话，你走过的过程， 包括它的细节肯定是要比平行复杂一些。所以说香蕉与平行在能用平行的时候，往往平行会作为我们的优选，因为简单。这也是为啥我说大家在平行这块会更熟一些， 因为它更简单，更容易学会，香蕉这块的话更复杂啊。然后接下来的话，第一个我们说我们用香蕉和用平行都把它处理过了，然后接下来我们看第二个， 接下来这些棋，两个方法具体的其中都展示过了。所以说你以后看到一个平面，它是一个什么 不完整的结面，需要你去把它哎扩充一下。在这个过程中，首先你要想到第一个，我有两种方法，我可以通过平行去扩，我也可以通过香蕉去扩， 那么优先看平行，因为平行确实会更简单一些，但是平行用不了的时候，咱们再去选择香蕉，然后香蕉一定要按照香蕉的流程去做啊。好了，接下来我们看第二题， 还是个正方体，然后这回它告诉我们的是 e 点呢？是 ab 的 中点， f 点呢？是 b、 c 的 中点能长还是六？然后说过三点 d、 e、 f 把这个正方体切成了什么两块，要求这个结面的 周长。来这个你扩一下试试看。首先说一下还是结面问题，一看啊，你看这个 d、 e、 e 还在整个几何体内部， d、 e、 f 也在内部，这种面就是没切透啊，你得把它补出来。那么你脑海中就得想啊，我有两个方法，第一个平行，平行不行了我再用香蕉，那么要平行的话选线，你只能选面上的线，选谁呢？ e、 f 是 这道题里边唯一在面上的线， 那你要就要过点 d 做 e、 f 的 平行线，但是你发现你过点 e 做出来的平行线在不在现有的这个几何体里边？不在，你想用它把它做出来怎么做？你下去可以试一下啊，再把它扩大一下， 现在给你是一个小的正方体，你把这个正方体再给他复制个一二三四，扩成一个大的长方体，然后你再去做，一样可以做出来。只是说在现有的途中你要做个平行，好像画不出来， ok， 不 听明白。用平行其实可以，但是需要把这个几何体再去给他扩大扩大， 但是在这种情况下我们就觉得没必要。那么接下来用相交的话，那我还是把它看作线，我把它看作点，那我们说用相交就是把线所在的面确定出来在底面， 那这个点现在你要让它在哪个面呢？它同时在这个面，在上边面，在后边面，因为它是个顶点，肯定同时在三个面。但不管怎么样，你必须放在和线所在的面的什么 相交平面，你选这个也可以，选后边这个也可以，比如说我就选的是后边这个。那么选好之后，第三步最关键找两个面的交界，就是它延长，然后让 e f 先与它相交好了，交于假设这个点是个点 p， 然后接下来再连接这个点与他，那这样的话，你看这个点所在背面里边，这个平面里边的线就扩出来了，就是绿色的部分，然后你只要找到这个点一连，那这一部分啊，你看从三角形的这里边的一个面，现在我就把它扩成了一个什么四边形的面，那一样。 写到这一步的话，你说你把它完全解出来了吗？没有，那这边还没漏出来，所以呢这个点呢，我也可以把它看到这个面里边， 那这样的话，线所在的面和点所在面的交线是 a d， 那 我再连接 ef 与它交于一个点，然后再连一下它，那它在这个面里边的交线也就找出来了。假设这个点 g 你 一连，这就是我们整个找出来的这个结面， 也就是个五边形，看一下能过了四啊。这就是这道题，用相交就是以这个为点，然后看这个点，在这个面和在这个面两边都去扩一下，最终把整个图扩出来了，它就是个五边形， 那求周长的时候，还是得去看具体的比例。刚才说这里是中点的话，这两个小三角形就是什么关系啊？它就是全等的吗？边长为三，这里也就是三，对吧？ 这里是三的话，那我们这个小三角形和这个大三角形的相似比就是多少。这个相似比的话，你看这里是三，这里是九， 就是一比三吗？那在这个情况下，那我们看这个，或者说看这个小的，每次看这相似的时候，你知道了这里是三之后，也可以看这里这个八字相似，三六一比二， 那这两个也是什么一比二长度就知道了。所以我们在这标一下，这里就是二，这里就是四，从下到底啊，这一模一样，这里是二，这里是四， 所以这里是三，那你求这个长度，这个长度根号十三，然后接下来你求这个长度，这是四六二倍，根号十三，对应的这边是一样的，然后这三，这三，这三倍根号二，你把五个边 加起来就行了啊。所以说这是这种情况下，找出来之后，要确定这个与边界交点的位置，位置的话一般都是靠这八字相似啊，你看上下是一个初中学过的八字相似，把这个比例整出来就行了。好了，那这个咱也就结束了啊。这是这道题， 你会发现如果他给的你这个图形中没有直接的平行，那你没有办法，你要再用平行去做可能要做的事，比这更复杂，那此时相交扩平面的优势就出现了。你看咱们从学这学期学几何以来，平面、向量， 我们学个数量积，给大家讲间隙、基底、投影、极化很等式啊，四种方法你每个都要学会，因为各有各的优势，对吧？然后我们学到解三角形的时候，很多题又给大家，比如说一个比例线出来了， 那他又有哪些方式可以用向量的方式，可以用倍长的方式，可以用找关系的方式。我们学到了解三角形的时候也是一样，不同的题型下，有些可以用角，有些可以用边，所以他各自有各自肯定，更高效、更简洁的题型中有他的体现。所以学的时候一定 不要光注重啊。这类题我会不会做？我这道题有没有做出结果，而是对于这类题，他用不同的角度去思考，他有哪些角度去思考，要整明白。 好了，接下来我们再列第三个啊，这道题再补充一句，刚才我们比如说先相交扩平面，扩到这边之后呢？比如说你扩成这个样子了，也不是说我今天用相交扩平面，我就要相交到底， 因为咱啥都会，你发现你扩了一边之后，哎，你发现可能又可以用平行了，为啥呢？因为这还有个面上的点，哎，过点地可以做他的什么平行线， 所以在有些时候背面有一个线在正面过点 e 也可以做他的平行线，做完之后这两一连啊，整个面也就出现了。所以说在这种情况，你发现第一下你平行做不了，你就相交去扩一部分， 扩出来之后，你当这个面变得大一些的时候，又可以用平行了，所以相交结合平行两个方法一起用，也可以把它解决，也不用一条道走到黑，关键是你把两个方法都学透，学明白了， 好吧，那么因为大家相对擅长的是平行，所以我今天选的前几道棋就是引导着大家朝相交去做，为啥呢？比如说在立方棋或者长方棋里边，有太多的对面都是什么平行的， 所以你做平行也比较好做。但是这种结面问题如果出现在三棱柱呀，甚至有些时候可能出现在三棱锥里边，或者说在一些台棋里边， 你要去扩平面的话，就没有平行就很不好做了。因为没有那么多对应平行的面，所以那大部分题就只能用香蕉，所以咱好好练一下香蕉。那看这道题，这道题告诉我们所有棱长都是二，那就说明上边是一个什么 边长为二的正三角形，下边也是高线，也是二这样的一个棱柱，然后说过这个棱的中点，还有这个棱的中点以及 a 点这三个点结这个三棱柱，那么接下来要求这个结面周长。如果三个点的连线都不在表面上 的本质，你要想清楚，是三个点都在内部，或者说大部分点，好像是所有点都得在内部，大部分点的内部也可以所有线不在啊，就你有一个点，比如说你有一个点在外部，其他点都还在这个几何体的内部，所以你画出的线都不在表面上，那不都都不在表面上， 只要延长，因为这些点都还在内部，比如说在这里，在这里你先要把这两个线延长， 把这两个点也先延长，你延长完之后再去看。所以当这些线没有在表面上的时候更简单。那这道题你会，你会发现你要过平行。做平面，你首先得关注什么在表面上的线， 这个线在表面上，你说你过这个点，要做这个线的平行线，那这个点所在的平面要先和这个线所在的面平行，有吗？没找着对吧？ 行不通。那同样道理，换一个过这个线，那过这个点要做他的，你做出来也不在这个几何体内部，所以在这种情况下，特别是三棱柱的话， 平行你要做又得去把几何体扩大、扩大、再扩大，那没必要。在这种情况下，当我们知道咱们的做法又不是指一个，咱们还会相交，所以接下来这道题我们依然选择相交。扩平面， 香蕉阔平面，你就定一个线，我让他扮演线，我让他扮演点，先点线分离，接下来确定各自所在的面，线所在的面只能在这个面里边，点所在的面只要和线所在的面相交就行了，那你会发在这个面，这个面也行，在这个面也行 啊，随便选一个，我就选这个点在这个面里边。好了，选好之后找两个面的交线，就是他们延长来延长一下，让这个线先和交线交于一点，然后接下来你把这个点在他的面里边连交线就行了， 那你很明显就扩除了这个面里边的这一一连，找到了这个面就是我们通过相交扩出来的。那 这里的话完了之后，你也要去算一下，那这个点的位置在哪里啊？咱们会画了，这个点是终点，这个点是终点，这个点是终点。这道题你扩出来之后要想算值，最关键就是这个点在哪里？来大家看一下这个点在这个线的什么位置， 我们说算这个点的位置主要是根据相似吗？你看这里是中点，所以这里的话这两段是一样的，因为这个你坐上去之后，就相当于这是一比二的两部分，对吧？所以这个长度是二吗？那么这个长度是二了，然后接下来你要算的是 这两个永远关注这个八字相似，在这个点在这延长，这是个八字相，这是二，这个长度是一，一比二，所以这一比二点，这是靠近 b 一 的三等分点， 三等分整个是二的话，那两份三分之四，对吧？一份的三分之二，然后这里是一勾股定律，就可以算出它，然后这里的话勾股定律二，一根号五，这里一二根号五，就剩下这个了。这个长度咋算呢？也非常的简单，这里的话 长度是一，这个长度是三分之四。两个边知道了，要求对边看这个夹角，因为上面是个等边三角形，你用余弦定，你就可以求出 f g 啊， 值稍微冲下一点，三分之根号十三，然后呢都知道了，加起来就是咱们对应的这个结面的周长。刚才有朋友又问他，比如说找的是另外一个的，其实就是你看作一个线， 我刚才说我在看这个点的时候，我把这个点看作在背面这个面，对吧？线一定在这个面，但是这个点的话，他不一定，他还可以在什么上边这个面啊？可以在上边这个面，只要他所在的面和线所在的面是相交的就行了， 所以你发现它上面这个面的话也是相交的，只不过交线是谁啊？ a 一 b 一， 你只要这个线跟它能相交，然后这个点连一下，交点你一样找出来。是，所以刚才有个朋友问，这么做行不行？ 你学明白了就直接画出来，画出来肯定行啊。好，当然到这里的话，我们说为什么要反复练相交？你看在这种三棱柱，包括以后的台体，包括以后的甚至一些锥体当中，你真正去做的时候没有那么多相对平行的面，所以平行就 很难操作，所以相教学扎实之后，相对万能，平行式的能做的时候相对简单，所以你两个方式都要掌握扎实。好了，接下来练一些啊，不一样的来看下边这道题，这道题的话告诉我们的又是正方题了，能长为二，然后点 e、 f 呢？是这两个的什么啊？ 中点，然后过 b、 e、 f 啊？过这三个点，做个结面，结面面积是多少？这道题拿出来，那你还是要选一选， 你看这道题面上的线有他有他，我过这个做这个，这个点所在的面和线所在面都不平行，不好做。然后我接下来以这个线看做一个线，以他看做个点，这个线在的面在这里，这个点在，哎，这个点可以在这个面，两个面平行，肯定可以做平行， 所以一平行来一连一连结束。所以说你看这个用平行它就很简单，所以当咱方法多了，也不要照着一个方法拿起来就用，对吧？可以选择一下，选择那个最优级，这是咱们的追求，对吧？好了， 那你要求洁面面积，这个也就很简单了，首先它整个就是个梯形，上底下底，这腰都知道，你要扩一下去球也没有问题，看做一个三角形，然后接下来梯形占四分之三，也会非常简单啊。好了，当然了，香蕉也给大家说一下啊， 我们要用香蕉去做的话，一样的，你先定一个线，比如说我就定这个线，他在底面里边，那我就要看这个点在哪里，这个点所在的面在这个面也在这个面，不管这两个面哪一个面，反正都跟他是相交的，随便选一个都行。比如说我选背面 点所在的面啊，是这个线所在的面，是下两个交线是什么？两个交线是 c d， 你 把 c d 延长一下，线先跟它交于一点，然后你让你的 f 再跟它一连，刚好是过 c e 啊，所以最后就找到在这个面里边线也是它，你再一连也就 出来了。所以说相交是相对万能的方式，那能用平行的时候，平行会简单很多啊。好了，这个也过了， 接下来的话，我们再看例五这道题的话，他还有点不一样，他说这个点，这个点，这个点啊，这个叫做你熟悉的话一笔就画出来了。那么今天呢，我们就认真的说一下，他为什么是个正六边形啊？你就用咱们今天所讲的相交也好、平行也好合适的方法把它括出来。 这道题就是按理来说学到例题几何，大家在学学校应该都见过，这他就是把对应的这几个棱上的中点点起来，连完之后整个图形刚好截出了一个什么正六边形，这在正面，这个线在底面，这个线在侧面，这个线在背面， 所以他截完之后刚好是这个熟练的话，你就一把画出来了。但是没关系，我们今天把它放在这里，就一起去感受一下，我也要去扩它，我到底用怎样的方法去扩？ 那首先你看表面上的面，我把它看作一个线，那这个点所在的面都不平行，平行不好处理。我把它看作一个线，这个点所在的面跟他也不平行，也不好处理，所以平行不处理，不好处理的时候咱就怎么样，咱就可以用胶线， 我把这个线看做一个线，它所在面是上底面，我肯定要把它看做一个点，这个点所在的面在哪里呢？它可以在正面跟它是相交的，它也可以在侧面跟上面也是相交的，所以随便选一个，比如说我就选到了侧面，那它俩的交线就是 b 一、 c 一 延长一下，首先线交交线与一个 点肯定是确定的。然后接下来把这个定点和这个点再一叠，你整个延伸，因为这里的话这两个是什么全等的，所以这两也是全等的，这是终点嘛， 所以这也就是终点。这样的话，我们把它在这个结面里边的线就找出来了。找完之后呢，你看这一个，这一个从刚才的三边形把它变成了四边形，那你变到这一步的时候，接下来咋做呢？我们说咱们会的方法比较多，刚才是没办法用平行， 那我用香蕉扩了之后，接下来看能不能用平行。你发现过这个点，这回可以做他的平行线了，做一个。过这个点呢？接下来可以做他的平行线了，做一个。 过这个点呢？接下来可以做他的平行线了，做一个。所以说当你两个方法都学熟练的时候呢，你就相交平行结合着用，对吧？因为有些时候他不能用平行，也就把它串起来了， 这样的话用平行效率会更高一些。用香蕉的话，毕竟他还是做，虽然他通用，但是做起来会更慢一些啊。这应该是在正方棋的结面中会经常见到的一个结面啊。 这道棋跟刚才有点不一样了啊，他不再是阔平面了，就是我们说平行啊，香蕉有些时候除了阔平面，就是过点座椅之面的平行平面或者垂直平面。 那这道题告诉我们个什么呢？说一个棱长为三的正方体，当中点 e 为 a、 e、 d， e 上靠近它的三等分别一比二，过点 e 做垂直于这个线的 平面。其实你要去过一个点，记住啊，我们讲了过点做平行平面，你要过点去做垂直平面，其实非常难的，所以过点做垂直平面啊，记住，点做垂直平面 要转化成什么点？做平行平面，那咋转化呢？往往就是基于这个图，你就看一下 b、 e、 d 有 没有和它已知的垂直的面。如果你在题目中能找到和 b、 e、 d 已经是垂直的面，那我只要过点 e 做这个面的什么平行平面？你想你做平行平面，现在对你来说是不是非常的简单？但是做垂直平面不会的时候转成平行平面， 所以这道题主要是要找到一个和其对角线怎么样垂直的，那这个就很简单了，在这个途中，我们说有两个等边三角形和其对角线一定是垂直的，一个是 a e b c， 一个是谁啊？ d e a c 这两个面呢，都和体对角线垂直，而且它两个与体对角线的交点刚好吧，体对角线分成了什么？三等分。那么所以这就是以后你可能还会遇到的一类奇，就是做垂直平面啊，不要吓到， 本质上还是做平行平面，关键是已知的线，先找一个他一定垂直的面。那这道题就随便，我只要过点 e 做这个紫色面的什么平行平面就行了， 所以说垂直的就是转化成平行的，这是这道题唯一一个咱们不会的点啊。你知道了，做这个题就很简单快速过了啊，就是做平行呗，你过点 e 首先能做谁啊？你发现，哎，我能做 a 一 c 一 的平行， 然后做完之后还能做谁的呢？你发现你过这个点呢，你还可以做谁啊？这个因为它的背面你一定可以做这个起对角线的什么平行， 然后你过这个点呢，就一定可以不是起对角线啊，面对角线，你过这个点呢，一定就可以做这个面对角线的平行线随便做。有了这个点又可以做谁啊？ a e b 的 平行线，所以啊，最终连一下， 他画出来之后呢，是个五边形啊。那到这里呢？那咱们今天不管是平行还是相交扩平面是咱们今天要讲的，最重要的 还是基于咱们所讲的公里一二三四的基础下，结面为什么可以通过平行去扩？本质上就是平行定平面，平面为什么可以通过什么相交去扩？一样的本质上还是相交定平面， 对吧？所以接下来最重要的就是在扩的时候他的细节操作是什么？明白了原理，每次能操作清楚就搞定了。第二个就是有以后你除了扩平面还会去做平行平面或者去做垂直平面， 你记住本质上都是做平行平面，垂直的话就是你找到已知的垂直平面，然后做他的平行平面就行了啊。

警告高中数学，球与多面体的洁面问题绝对是例题几何里最容易丢分的压轴小题。今天宋老师一条视频把球与多面体的洁面问题一次性讲透，听完这套方法，遇到洁面题直接稳稳拿分！ 数学想提分关注宋老师，高中数学难题我带你们全部攻破！言归正传，我们来看题目 前面的视频都在为新阶段的高一学生在服务，那么高三正在备考同学也对力敌几何部分有这么一丝的疑惑，其中比较经典的一个问题，或者说比较大众的一个问题，就是这个球与多面体的洁面问题。 当然洁面问题其实也是一个大类，它其实也有平面与多面体的洁面问题，但球与多面体的洁面会更挑战我们的这样的一个空间想象能力，所以对于大家来说难度也会更高一点。那么今天宋老师就带大家一起来理解一下球与多面体 会如何去产生洁面以及洁出来的东西，它那个胶线的长度，我们该怎么样去求解。 接着往下来看一看我们今天的正式内容。首先我希望各位能够去回忆一下的，应该是我们在初中就学过的一个定律，叫做垂进定律， 当时我们学习的是一个平面图形圆和一条直线相交，那么它很自然就会产生 ab 两个交点，而 ab 的 一个弦，那这个弦的长度怎么来求？我们当时的做法是把 o 点，也就是我们的圆心去连接到我们的其中一个端点，比如说 b 点， 再去过 o 点做垂直于我们的弦，希望我们这边比如说是 h 点，那实际上我现在阴影部分所描述出来的就是一个非常朴素的直角三角形，而这个直角三角形呢？三边分别是什么？分别应该是我们圆的半径，还有我们圆心到直线的距离，以及我们的弦长的 一半。哦，一定要注意，是一半，所以我现在写出来勾股定的式子是弦长的一半的这个平方啊，应该会等于斜边的平方，再减去我们的距离的平方，也就是我们的耳方，再减去我们的地方。 所以这样我只要知道了半径，再知道了我们的圆心到直线的距离，我就可以求出我们的弦的一半，那乘二就是我们的弦长。所以当时我们在平面图形里面去求解相交弦的弦长，就只需要这样来做就行。 而他到了三维的世界里面，圆变成了球，而我们的直线变成了平面，再去相交，产生的就不再是形，而是相交的一个平面，就是截面。 那一个西瓜拿刀怎么切？切出来，其实它的姐妹都是个圆，对不对？像圆锥，圆锥，我斜着切，横着切，或者说我竖着切，切出来可能是椭圆抛物线，或者说双曲线，可能不一定，但如果是一个完整完美的球体的话，你不管在什么位置，只要你切到了这个球，切出来一定是圆，那么这个圆， 它的半径就是它最重要的特征是多少呢？其实只需要在右侧的图中，我们稍微看一下，球出本来的球心到不再是线了，应该是到这个平面的距离，以及我们球的半径大耳。接下来上面的这个 o a 其实就应该是我们洁面的半径小耳， 而他们之间依然也会满足一个非常完美的勾股定律，就应该是我们的小耳的平方，就是洁面的这个圆的半径的平方，应该就会等于我们的大耳方，再减去小 d 的 平方。 所以说如果这个平面是我们在一个理想的平面，就是一个可以无限延展的平面，那么此时这个平面 与这个球产生的结面必然是一个完整的圆。注意是完整的圆，那这个完整的圆，只要我知道了这个半径，它的周长也好，它的面积也好，它的什么什么无所谓都好，我都能求得出来。 但很多高中的题目，尤其到了高考的时候，他会非常的恶心，他不再是一个平面和球的结，而是拿一个多面体。 什么叫多面体？多面体的每个面其实是很受限的，有没有看见？比如我现在提出了最朴素的两个，一个就是长方或者说正方， 另外一个就是这样的一个，其实是个墙角模型，就是三轮锥，一个简单三轮锥做了一个这样的动图给大家稍微来观看一下，我现在左边这个，左边这个最简单。我现在这个正方体有什么特色？它其实是一个六面体，讲白了，其实它有六个表或者六个这样的 平面，侧面都会和这个球有可能相交。那我现在画这个球呢，微微的小了一点，它只和左侧的阿尔法，后侧的贝塔以及下侧的伽玛是不是产生了 啊？交面，而这个时候阿尔法贝塔伽玛，我们必须要说它不是一个完整的平面，它应该是一个局部的平面，平面的一部分，所以它和这个球截出来的，比如说贝塔和这个球截出来的图形也不再是一个完整的 这样的一个圆了，对不对？你现在过的就是球心，我们假设到过球心只是举个例子，那这个 d 就是 零，那你截出来的截面的半径也就应该是本身这个球的半径就应该是大 r， 但是现在我发现它真正能在上面展示出来的只有九十度的一个圆形角，有四分之一的圆，所以你想让我求，比如说胶带的弧线的这个长度，那也是圆的整个周长的四分之一， 我没说错吧？所以这个环节相对而言就会多那么一步。我们并不是一个完整的平面和一个球的结面了，而是平面 的一个局部和球去产生结面，那会有什么影响？来我们看一下右边，右边这是一个墙角模型，它的平面也是比较局部的，每个平面其实都已经不再是完整平面，而是一个一个小三角形。 那教出来会怎么样？我们一起来动态的感受一下。各位观看一下这个视频，这是我拿鼠标稍微先拖动了一下，立体的感觉，让大家稍微建立一下，这个球的大小会变好。你看它变小的过程里面，它和 a 导 c， a 导 b， 还有我们的下方的 bc 导，其实都是有 交线的，对不对？而这个交线呢？因为我去把球形放的比较简单，就放在了我们这个正中间，就放在了我们这个顶点导上，所以你此时交出来的也就是应该是半径为这个球的半径的 球体，注意啊，就相当于此时这个半径，也就是我们此时这里应该就是什么，是不是就是球的半径？球的半径也就是这个黄色的点点到导点这个位置就应该是球的半径，就应该是不变的，没问题。紧接着如果它再去转动，再去变大，来注意看 它现在怎么样和前面的 a、 b、 c 那 个斜置的平面是不是也产生了相交的地方？一开始我太小了，还没有够到这个 a、 b、 c 是 这个平面， 现在我终于粘到了 a、 b、 c 这个平面了。那么现在怎么样？我就可以把我们的问题变得更加复杂了，让你去求它和 a、 b、 c 交出来的交线的长度，那这个问题就比较难了。首先我们要求出导点是不是到 a、 b、 c 这个平面的距离， 这是刚刚的 d 小 d， 上一页 ppt 里面是不是小 d 求半径我是知道的，那么整个结面就交出来这个平面的半径是可以用勾股定律把它求出来， 当我把勾股定律给它求出来之后，是不是这个完整的圆就是我们的交线的周长呢？或者这个完整圆都在呢？不是。你看此时此刻，其实我这个圆只有三段，就在上面黄色的点点在最前面的时候，黄色的点点是不是有三段在上面？来，我们再放大一点，你看 甚至都会没了，再变小，再变小，小小小小小，它就会浮现在这个位置的时候，差不多这个位置的时候，就是 a、 c、 a、 b 还有 bc 这三条棱上面那个边上的那个黄点点重合的时候，那个时候才是什么？ 才是刚刚刚刚好，是我们的什么？是不是一个完整的圆都在上方？刚刚好好都是一个完整的圆，是不是都在上方？那么这个时候的话呢？这个完整的圆才能够全部算。但如果说我这个球还比较大的时候，比如说像这样的一个状态的时候， 那其实在 a、 b、 c 上的交线其实也只有什么？是不是只有三段弧？乃至现在你比如说你把你的目光盯向 a、 d、 c 这个平面， a、 d、 c 这个平面和这个球体产生的交线，其实也只有两段 圆弧，也只有两个圆弧，并非是完整的一个扇形的弧长， ok 吗？所以它可能会有这样的一些考量，你就需要去考虑我这个圆，这个结的圆到底在这个局部的平面上究竟呈现了几成，或者呈现了几分之几，然后再去求它的面积，再去求它的什么周长，是这样一个做法。 那么相对的，这样向南的题目我们放在群里的配套练习之中，如果各位可以的话，到群里面找我来要电子版就可以了。好，那接下来的话，我们来看一道非常经典的高考题，这道题目是清高考一卷，还有一道高考真题， 它是这样说的，是直四棱柱，直四棱柱， a、 b， c 倒 a 一 b 一 c 倒，一能成均为二。开始画图，这个图其实并不难画，然后呢角 b、 a 倒呢？又是六十度，其实就是一个什么？ 是不就是一个菱形，这里是 b， 这里是 a， 然后这里是 c， 这里是倒嘛？然后直四人柱，所以这样坐下来，坐下来人长均为二。这画的也不要太夸张，应该各个面其实都是 正方形，除了上下底面是菱形以外，侧面呢均为正方形，这样的情况，他说以倒一点来，倒一点，在这个位置以倒一为球心，根号五为半径，然后与谁的交线长是与后面这个平面 b c、 c e、 b e 的 这样一个交线的长度。那么现在我们来思考一个问题， 我要去做这个交线，要把这个结面做出来，刚刚讲的关键量是哪些？还记得吗？第一个应该是球心到平面的距离 来，我们俯视图里面底面是一个菱形哦，相当于是一个呃，六十度，非常标准的二二二二，然后假角是六十度一百二十度是这样的一个菱形，这里是 a 一 点，这是 b 一 点，这是 c 一 点，这是倒一点。倒一点是我们的球心 b 一 c 一， 就是我俯视图里面的 b 一 c 一 c 一 c 这个平面的一个 攀缩后的一条线，对不对？所以我现在倒一点，这个球心到我们 b 一 c 一 的距离应该是根号三， 也就是说刚刚那个公式里面的小 d 应该是等于根号三的球的半径，其实里面直接给了就这里应该是画出来一个球，球的半径应该是根号五。所以把这些标准量、基本量要写出来，那就意味着如果这个平面 b c、 c 一 b 一 是一个完整的平面的话， 它和我们这个球产生的结面的半径一定等于多少呀？是一定等于根号呗。再开个根号，其实就是根号二喽， 所以小耳应该是等于根号二，小耳如果等于根号二的话，按道理说，我现在应该是画一个根号二为半径的圆，然后周长每每一算二 pi 耳不就是二倍根号二 pi 吗？ 就完事了，对不对？但实际上这道题不是的，这里的这个球做出来过以后，在这边的结面的圆心应该在 b、 e、 c 的 中点，也就是我们刚刚做这个垂线，这个 h 点，这个 h 点，这结面也长这样。 紧接着呢，我们画出来的应该是一个半径为根号二的原理，不要忘记 b、 c 一 整个的长度。来，我们把这个面给它拎出来，这是一个，其实是一个正方形，这里是 b 一， 这是 c 一， 然后这里是 b， 这是 c， 中间这个点应该是 h 点，整个 b、 c 的 长度其实只有二哦， 然后你现在却要画一个半径为根号二的圆，那按道理说，你画画画画应该画这么大，但是我现在的洁面只有 b、 e、 c、 e、 c、 b 这么大，所以真正能在这个图上面体现出来的，应该是我绿色的笔记所描出来的这段 圆弧的长度，也就是从这里的 p 点到这个 q 点弧， p q 才是我真正的结果。而 hp 和 h q 就是 我们刚刚求的小耳，就应该是根号二，这边呢，应该是一，因为 h 点是 b、 c 的 中点，所以 h 点的两边应该是一和一， 那这里也是根号二喽，所以这边也是一喽一喽，很基本这样的几何量，那么此时这里就也是四十五度，所以一目了然。中间的 p、 h、 q 这个圆心角就应该是九十度， 所以你现在这个 p、 q 这个弧，就是题目里面要的这个交线的长度。而这个交线的长度呢，其实就应该是一个根号二为半径的圆的周长的四分之一，所以应该等于四分之一再乘上二派小耳， 二派小耳呢，其实就应该是二倍根号二派，再乘上一个四分之一，其应该是二分之根号二派，所以这道题的交线长度就应该是二分之 考二倍牌，所以这道题目非常非常的经典，非常的经典。但距离今年的高考其实也有一定的年头了，在平时的高一下的期末考试，期末考试，我相信如果有高一同学在听的话，也一定会看到过 啊，一定有一部分同学看到过，做到过。这样的题目对于高一的孩子来说，难度还是有一点高的，但对于高三的孩子来说，你们的立体几何空间想象能力已经培养了，少说两年有余了吧， 对吧？所以想这些问题可能会稍微简单一点，但是呢，多想想准没坏处。现在新高考卷对于我们的立体几何的要求也在逐步的提升，只会单纯的间系这种暴算的方法可能不够了， 去年的外接球问题，可能看准经典建系统的方法，你有没有用透啊？可能也没有吧，所以，路漫漫其修远兮。各位，虽然距离高考的时间并不长了，但是能进步一点，总能进步一些， ok 吧？好了，关注宋老师，每个视频，送你一招，解决一个小问题。好，那今天的内容我们就讲到这，拜拜各位！

立体几何的线面关系证明已经不能叫做高频考点了，它是纯粹的必考内容，年年高考，张张试卷，几乎无一幸免。但是大家在第一次学习的时候，可能连线面垂直是个啥意思都不一定知道， 所以今天咱们从纯零基础视角一起来拆解线面关系到底是个啥？ 首先呀，是线面垂直，说直线垂直平面啥意思？大家在生活中有没有见过相关的例子呀？哦，电线杆笔直的插入平坦地面， 咱们引入实物来进行观察，当我们把视角放平、放平再放平的时候，最终平面又被压缩成了一条地平线， 而 l 一 正好垂直于它，这个就是线面垂直的本质。好的了解了基本定义，这时候如果在平面内随便放两条直线，你认为红黄两线之间会是什么关系呢？ 就比如这个 l 一 和 l 二，既然 l 二在平面内，那么当平面也被压缩成地平线的时候， l 二就和地平线重合，红线垂直平面， 红线就垂直平面内的线，而且并非个例。像这样一个更没有特点的 l 三，它也和 l 一 垂直吗？ 还是一样的步骤，在我们的视角给平面不断压缩，直到成为一条地平线，红线垂直平面就垂直平面里边的线。 任何平面中的线压缩后都一定和这个压缩线重合，被红线 l 一 垂直贯穿。 那么简单总结就是，只要红线垂直黄色平面，红线就垂直平面内的任何一条线。当然一定要交代黄线包含于黄色平面，这是已知线面垂直可以推的玩意，记作定里一 接着，如果这个定律反过来说，红线同时垂直于两条黄线 l 二和 l 三，并且两条黄线同属于黄色平面，您认为是否一定能够推出红线垂直黄色平面呢？ 还是老规矩，咱们引入实物平面，先看这种红线只垂直于一条平面内黄线的情况。那么不妨认真思考一下红线和平面之间的角度，它定死了吗？ 显然，在 l 一 和 l 二垂直的情况下，平面完全可以以 l 二为转轴 随意转动，并且这对 l 一 和 l 二的相互垂直不造成任何影响。换个视角看也是同样的道理，平面绕轴转动不影响黄色轴线和红线的相互垂直， 所以这个平面他不是固定的，和 l 一 不必然形成九十度的垂直角度。但是呀，如果我再引入一条 l 三也在平面阿尔法内和红线垂直了，咱们仔细观察一下， l 二和 l 三卡在一块，同时包含他俩的平面，是不是有且仅有这唯一的一个呀？他这下就真的转动不了了， l 一 必然像电线杆一样，从完全竖直的方向狠狠插入这个唯一的平面 l 一 垂直平面阿尔法。 呃，但是，如果 l 二和 l 三不相交，两个是平行关系呢？上边还一定能够推出下边吗？思考一下。 首先，平移是完全不改变几何关系的，而当我们将 l 二和 l 三平移到重合位置时，同时垂直 l 二、 l 三 仅仅相当于垂直平面里边的一条直线，而红线只垂直于平面里边的一条直线，根本推不出红线垂直平面。这是咱们前边最开始就推理过的，平行不行， l 二 l 三就得互不平行。但是试卷上更规范的表达是， l 二交 l 三等于 p， 有焦点就是不平行，直接给他替换掉。那么整个推导过程简单来说就是红线同时垂直于两条黄线，两条黄线互不平行，有焦点 属于同一平面，那么红线就一定垂直于这个平面。以后凡是碰到线面垂直，都需要这样的步骤才能把分数拿全。 就比如这样一道二三年的高考真题，要证明红线垂直黄色平面。根据刚刚的经验，只需要在黄色平面里边找出两条不平行的黄线，被红线垂直，黄色平面也就被红线垂直。 但是这两条黄线分别取谁？好嘞， p a a b 还是 p b？ 咱们先标数据 提杆，右手 pa 垂直，底面 abc 线垂直于平面，就垂直于平面内的所有线。比如面内的 b、 c 就 被 pa 垂直， ac 也被垂直， ab 还被垂直。 哎，这个 pa 和 bc 是 不是刚好就是咱们所需要的红色黄色垂直？对啊，哎，已经找到了一组垂直了。 接着咱们看棱锥的蓝色背面直角三角形底边长度根号二。 再看棱锥底面等腰直角三角形直角边 bc 垂直 b a 又得到了一个红黄垂直对。 接着就是标准的书写流程了，红色 bc 同时垂直于黄色的 pa 和 b a、 pa 互不平行，交于点 a， 而 pa、 ba 又都包含于平面 pa b， 所以 红线 bc 就 垂直于平面 pa b。 再看这样一道二三年的全国二卷实体，要证明红线 bc 垂直于黄线 da， 这线线垂直不应该初中就会了吗？ 但是呀，这俩是异面直线。咱们研究一下红色 l 一， 黄色 l 二，要证明红线垂直黄线，咱们是不是可以引入一个平面阿尔法， 黄线 l 二包含其中？只要我能证明红线垂直面内的黄线呀， 简单过一遍，要证明线线垂直，就得给黄线找个面，红线垂直，这个面红线就垂直黄线。 以上是意面直线的垂直证明方法，大家可以借助这道全国二卷的证明题来应用练习。 再比如，大家碰到这种更坏事了，要证明平面和平面面面垂直，好像又是一个新的知识点，红色平面阿尔法，黄色平面贝塔。如果说这两面相互垂直， 会是啥情况呀？咱们引入实物图一探究竟。凡是涉及平面的几何关系，方法非常明确，把平面都旋转到压缩成线的视角， 压缩线之间的关系就是平面之间的关系。好的，了解了面面垂直的本质之后，咱们得想个办法证明它。比如咱们引入一条 l 一 包含于平面阿尔法， 同时垂直平面贝特，就这两条，能推理出平面阿尔法垂直平面贝特吗？思考一下， 咱们还是引入实物图来加以研究。首先，红线 l 一 垂直这个平面 l 一， 就一定垂直这个平面的压缩线， 这是线面垂直的本质。现在说 l 一 包含于平面阿尔法，比如长这个样子。 这里请大家认真思考。当我以 l e 为转轴去转动这两个平面镶嵌而成的组合体时，不管这个平面阿尔法有多大，他也总有被压缩成线的那一天。 此时的红线 l 一 正好和平面阿尔法的压缩线重合，俩平面的压缩线相互垂直，就等效为面面垂直。 好的整体简单梳理一遍，只要红线 l 一 垂直，平面贝塔 l 一 就一定垂直。平面贝塔的压缩线 l 一 又是平面阿尔法里边的线， 整体以 l 一 为转轴，就百分之一万能够转到这个两个平面都被压缩成线的时刻，而平面阿尔法最终被压缩到和转轴共线，他的压缩线也和贝塔的压缩线相互垂直， 而压缩线相互垂直正是面面垂直的本质。大家同样可以借助一道经典例题来强化理解。 再接着进入第二部分，一条红线 l 一， 一个平面阿尔法。但这一次我说红线 l 一 平行于平面阿尔法，你能想到它的本质是啥不？ 咱们引入实物图，根据前面的经验，只要有平面，就得给他压缩成线，线平行于面，线就平行于面的压缩线，这是线面平行的本质。 那么在更多的考场环境下，如果需要证明线面平行，应该怎么做呀？ 比如在黄色平面内放置一条黄色直线 l 二，通过红线平行黄线来证明红线平行黄色平面，你认为这合理吗？ 当然一定要交代 l 二包含于平面阿尔法，思考一下好，还是引入实物图，凡是有平面，又要找几何关系，第一时间给它压缩成线。 红黄两线相互平行，而黄线又在平面阿尔法内，所以平面阿尔法被压缩成线之后，必然和 l 二位置重合，和 l 一 相互平行， 而线和面的压缩线平行，就是线面平行的本质。综合来讲，定律的大概流程就是，红线平行于黄线，而黄线又在这个面内，红线就一定平行于这个面， 这是线面平行的判，好像还有点瑕疵。这个 l 一 平行于 l 二，好像从来没说过 l 一 不能在 l 二这个平面内吧， 所以他当然是错的。一个平面内的线不可能平行于这个面本身，所以为了简单粗暴的切断这种可能性，我们直接在条件中加一句红线 l e 不 可以包含于平面阿尔法， 这样就百分百隔绝了。而线面平行这样一个判定定律，大家同样可以用一道高考真题来加以巩固。

好，同学们，咱们今天来看一道去年的例题，几何高考真题。这个题目我想给大家 讲的一个点就是如果大家在高一第二学期发现一些题目的第二问，第三问不好做的时候，大家其实可以去尝试间戏法， 那这个间隙虽然是在往后的课程中才会学的，但是原理其实也比较简单。我们以这个题为 d 来看一下。第一问，它让我们证明一个常规的面面垂直给我们给了 pa 垂直于底面， ab 垂直于 ad， 那 这个很简单， 我们知道 pa 垂直于底面，所以可以得到 pa 垂直于 ad， 又因为 ab 垂直于 ad， 所以 ad 就 会垂直于 pa b 这个面， a， d 又在 p a， d 这个面内，所以面面垂直。第一问很简单，那第二问，我们发现他给我们给了 p a， p b， b， c， a， d 的 长。第一小问让我们证明的是点 o 在 a， b， c， d 内， o 是 谁？ o 是 那个球的球心。那这个题怎么做？大家其实一眼想上去，没有思路，我们就可以尝试间隙。 所谓间隙，在立体几何中呢，就肯定不能去建平面直角坐标系，而要去构建的是一个空间直角坐标系。 所谓空间直角坐标系，它其实就是比平面直角坐标系多了一个轴，叫 z 轴，我们按照这样的顺序， x， y， z 哎，这个方向，它两两互相垂直，就构建这个系。 这个图中我们发现 pa 垂直于 ab， pa 也垂直于 ad， 所以 正好可以以 pa ab ad 去构造空间直角坐标系。 好，我们来写一下。首先我们要先说清楚它的 x、 y、 z 的 三个轴的正方向，所以我们说以 a 为坐标原点， ab 向量，这个是方向， ad 向量也是方向， ap 向量也是方向，建立 空间直角坐标系。那么这个题的第一问就变成了一个很简单的步骤，因为他要说的是 o， 如果要在 a、 b、 c、 d 面内，那其实就是要去解这个点， o， 他的数坐标就这个 z 坐标为零， 不管他是几度几度零，他必须得是零。那么这个题目就结束了，我们来看一下 b 点坐标，我们可以直接去写出来他的 坐标，因为他在 x 轴上，所以我 b 点坐标肯定是 y 坐标和 z 坐标都是零，他只有横坐标，横坐标是几？他说 ab 的 长是根号二，那所以就是根号二逗零逗零。 c 点坐标，我们观察这个 c 点，他是说 bc 的 长是二， 但这个方向的二是在沿着 y 轴方向，所以代表的是他的纵坐标为二。横坐标是沿着 x 轴方向，那么他应该和 ab 是 一样长， 所以它的横坐标也是根号二，纵坐标为二。竖坐标呢？它是指在这个相当于是 x、 o、 y 平面内，那所以它肯定是没有竖坐标的，它在数值方向上没有一个延展，所以应该是根号二逗二逗零。 然后我们可以继续去写地点，地点坐标，横坐标为零，竖坐标为零，它就只有纵坐标多长，一加根号三，还有个屁坐标，还有在 z 轴上的就零逗零逗 很好二。那么球心具有什么性质呢？那是不是球心这个点到这四个点的距离都相等，所以我们可以直接去写 o b 的 模等于 oc 的 模等于 o， d 的 模 等于 o p 的 两点之间距离公式，我们这个地方直接把它拓展成三维的，其实就是从二维是 x 一 减 x 二的平方，加 y 一 减 y 二的平方开根号啊，三维就是再给他多一个 z 一 减 z 二是一模一样的，设出来点 o 的 坐标为 a、 b、 c， 那 么就是 a 减根号二的平方，再加上 b 的 平方，再加上 c 的 平，这就是相当于是 o b 的 距离，那么它会等于 o c 的 距离。 o c 就是 a 减根号二 的平方，再加上 b 减二的平方，再加上 c 的 平方，那么这个式子中我们可以解出来这个 b， b， b 解出来应该是一，然后我们再去解剩下两个东西， o d 和 o p， o d 的 话，应该是 a 的 平方，再加 b 减一减根号三的平方， 再加 c 的 平方，等于 a 的 平方加 b 的 平方加 c 减根号二的，我们这个地方可以解出来 c， 因为 b 是 一，我们解出来 c 应该是零， 那需不需要减 a 呢？其实不需要减 a 了，因为我们只需要知道点 p 啊，这个点 o 的 竖坐标，这个 z 坐标，它是零，那就代表着它一定不会在 数值方向上有一个延展，那就代表着它只能落在这个 x o y 平面内，因为这个 z 坐标为零，所以 o 就 永远在 x o y 平面内， o 在 a、 b、 c、 d 内。这第一问就证明结束了，那么这个第二问他其实在我们高一现在也会有非常高频次的出现概率，所以我们现在要看一下，如果考试的过程中你找不到 a c 与 p o 这两个线，它怎么去夹的时候，我们就完全可以通过间隙去解决。好，那我们因为第二问要用点 o 的 坐标，所以我们根据第一问的东西继续把它解出来，点 o 坐标，再去连立一个式子，我们可以得到 点 o 的 坐标为零到一到零，那么第二问我们就只需要表示。大家注意一下第二问，它是有一个规定的步骤，我们只需要表示 ac 向量， ac 向量和 之前学的平面向量是一个做法，就只是多了一个 z 坐标而已。 a c 向量就应该是 c 减去 a 根号二减零，根号二零，二减零是二，零减零是零。还有一个 o p 向量 p o 向量，它是零到一到负根号二， 那么一样，我们要求的是假角的余弦值，我们要求的假角余弦值，那么这个 cosine theta 就 会等于数量级除以模之级， a， c 乘以 po， 再除以它们的模， a， c 的 模乘以 po 的 模， a， c 的 模是多少呢？那就还是一样，两点之间距离公式，根号二的平方加二的平方加零的平方开根号 就是根号六，再乘以 p o 的 模式一的平方加根号二的平方开根号，那么数量积这地方，大家只需要把它乘进去，它乘它加它乘它加它乘它，一模一样，所以我们最后它只有一个二，那么最后这个答案就三分之根号二。

很多同学立体几何学不好，第一反应就是自己的空间感不行，但是郑老师说句实话，高中的立体几何考察你的空间感少之又少，他重点考察的思想并不是空间感，考察的更多的是同学们的推理能力。今天郑老师利用五分钟的时间， 重塑你立体几何的学习思路。关于立体几何的视频，赵老师已经给同学们准备了十七节的一个资料评论六六六，抓紧拿回去下载打印，相信你的立体几何绝对能够学明白。立体几何到底怎么学。第一部分一定是和初中有关系的一些内容，但这个内容只局限于什么呢？认识几何图形 不用考虑太多，我初中不会，怎么办？没关系，不影响，所以第一部分啊，就是认识图形。第二部分我们会写空间一些图形的什么的体积表面积公式，所以我们会学到表面积啊，体积的一些公式， 尤其是像球呀，设棱台啊，像这样没学过的一些内容，他的一些体积表面积公式我们需要单独学一下，其他以前学过的照用就可以了。第三个哈，是什么呢？ 强调同学们的一个画图能力，我们会画一些简单的一些几何图形，像圆柱啊，圆锥啊，棱锥啊，棱锥啊，像这样的图形球啊，我们都要会画，哎，这是非常重要的一点， 那这些的话，整体上就可以认为是什么呢？就是认识一些几何图形与初中有关系，或者说作为一个简单的了解就行。 像这个体积表面积公式里边可能比较难的一点就是什么呢？我们的内切球以及外接球问题，像这个是一个最难的一个点啊，那除了认识几何图形第一部分以外，第二个部分就是我们立体几何高中最重要的一个环节了，就是空间里的点线面的位置关系， 其中包含什么呢？比如说平行关系，然后呢？第三种垂直关系，像这个平行的话，比如说线和线的平行，线和面的平行以及面和面的平行。像这些线线线面面面，他们的一些什么呢？性质定力、判定定力都是我们需要掌握的一些重点， 好，包括垂直，垂直也是包括线线垂直，线面垂直包括面和面的垂直，所以同学们会学一些全新的证明的一些定力，包括性质定力和判定定力，这两点都会学。 那除了这样平行垂直语言进行的下一个内容就是夹角问题，但是这个夹角问题的话，包含的比如说线与线的一个夹角，线与面的一个夹角，两个面的一个夹角这三个问题， 间线先变以及二变这三个问题的话，在高二上学期的时候，我们会学到间线的方法去解决，但是对于高一的学生，反而这一块的话难度比较大，只能用 纯纯的几何法去证明。那历低几何这地方哈，周老师说他考察的并不是空间感，而是同学们的推理能力。为什么这样说？比如说我们看一下这两个证明题， 重点哈就是平行垂直的证明，这是我们高一的学生最需要学会的一些东西。那推理思路讲的是什么？比如说拿线面垂直的证明来说，我们需要用到线面垂直的性质定力，也就是说一个线如果和一个面垂直， 然后呢？ m 呢？恰巧在这个面里，那么我们这个线就会和这个线垂直，那根据定力的话同一位思考一下问题，我们想要解决这个线下垂直，我们就得需要用到线面，那我什么东西能整为线面呢？我们去想我们就需要找线面垂直的判定力理， 而线面垂直的判定定律呢，就是 l 必须要垂直于这个面里的两条相交直线，也就是说你必须要找到 l 垂直 b 就 行，而它俩垂直又变成了线线，再去找它们成立的原因， 也就说推背要体会，慢慢哈。想要证明一个东西，我们需要用到怎么去推理，把它给推出来，而不是看出来。至于例例题和的推理能力怎么去计算，下节课我们结合具体的例子，然后一起来提升一下你的推理水平。关注我，带你看更多更好方法！

高考数学立体几何今天一节课，梳理清楚所有的核心考点，听懂了立体几何，没有所谓的不会断，来拿本记。首先你要有认知，我们高考数学当中立体几何的考察非常的套路和死板化，非常的简单。立体几何一共是五个重点，第一个重点， 常见几何体的概念和基本性质必须熟悉，包括圆柱、棱柱、圆锥、棱台、圆台和球，能够熟练的画出它们图形本身以及各种拼接和展开图， 那你的空间感自然而然就能够建立。高考数学这几年特别爱考察二零二二年新高考一卷跟追题有关的侧面展开图，面积问题，跟台题有关的体积问题，会画图，那你自然而然就能够拿到满分了。接下来第二个重点，六大外接球问题，两大内接球模型。 那第一个你要学习的重点题型叫做外接球，那外接球里面要求大家必须掌握六大外接球模型，那第一个叫做长方体模型，注意，并不是说只有长方体才能够用，往往锥体也能够用它，所以呢，关键在于识别条件，一共有三个。第二个 圆锥模型，还有圆柱模型，同样这些并不是说只有圆锥圆柱才能够用，那棱柱也能够用。我们的圆柱模型呀， 包括咱家神兽头大的扇子模型，切瓜模型，双距离单胶线，还有双半径单胶线模型，这些是我们必须掌握的利达模型。还有一个比较特殊的圆盘问题，这几年高考考的还是比较多的， 那么你把外切球掌握完之后，我们还要掌握第二个跟它相匹配的内切球模型，哎，你得知道我们这个柱体跟它内切是怎么切的呀？我们这个锥体相关的公式 r 等于三 v 除以 s， 你 要对这些非常的熟悉，这就是我们讲的第三个重点， 平行与垂直问题。那很多神兽总以为我没有空间想象能力，我这个是不是平行和垂直就做不了？我拿不下，非常负责任的告诉你，其实还真不是这样子， 只有极少数的立体几何的题目，它的选填压轴对于大家这个空间想象能力要求比较高之外，那对于大部分的题目，它的处理都是非常的套路和死板化。所以呢，在线授课几千个小时之后，带过上千名学生，你看他函数即使学的一塌糊涂， 却能够把立体几何学的游刃有余，不仅仅是因为这个空间能力想象比较好，还是因为他掌握了立体几何里面所有的核心题型和方法。 所以呢，重点来了，我们接下来先说平行。平行问题对应的第一个方法叫做尺子法，那平行四边形、三角形、中位线怎么处理，以及在考试过程当中考的非常多的问题叫做动点探索问题，是否存在一点使得，哎，谁和谁线线平行呀，面面平行呀，我们这里用到的方法就是谁不动平移谁， 你这些常见的方法掌握的足够明白，再配点历年的高考真题，那整个平行问题很快就能够拿下了。那接下来我们再来说第二个垂直问题，垂直问题是整个立体几何的核心，所有立体几何问题到最后都可以归结为我们的垂直问题， 垂直，比如说我们经常去证明线线垂直，要证明线线垂直的核心是什么？是拿一根线放到这个面内去证明这个线面垂直， 所以你重点要攻克的是我这根线我怎么选？我如何快速的把这根线选出来，每次做题的时候，我就去关注这根线我应该怎么去选择，最后发现这根线的选择它是 有套路的，你把这些通信通法总结出来，下次做题的时候，你一眼就能够看出来我该选哪根线了。好，我们还比如说我们的面面垂直问题吧，那我们面面垂直的核心是什么？它的核心是你要从这两个面当中选一个面， 从这个面当中去挑一根线，跟刚才的思路是一样的，我选哪个面，这个面当中的哪根线，我怎么去挑？这里面全都是有套路的。其实不管是线线垂直、线面垂直，还是我们的面面垂直，我们在考察的过程当中，他不会单一的去考察这个条件，会和所有要求的东西砸到一块，揉到一块去 垂直里面。你比如说我们大家必会的三垂线模型呀，真形模型呀、矩形模型呀，勾股模型呀，都是非常好用的方法，你学好这些模型才能够搞定我们的垂直关系吧。 好，对于这一块，我们后面学习夹角问题，也是在做一个铺垫，你搞好了，后面搞夹角间隙才能够游刃有余。第三关过完之后，我们再来说第四关，第四关就是所谓的夹角问题了，它是高考的重点，重中之重考大题。 那夹角里面可以分三个方向，第一个叫做线线夹角，线线夹角里面有三大方法，咱们一个个来说啊，主要是意念直线 之间的一个夹角问题，那第一个方法叫做平移，我通过平移把意面直线给它变成共面的去解这个三角形。第二个叫做空间选定力，注意它不是选定力，它是空间选定力。还有第三个叫向量法，很重要来第二个线面夹角，线面夹角问题，线和面的夹角不仅会考察大家大题，还会考察大家小题， 这个方法注意也是推荐大家三个方法，第一个方法叫做定义法很重要，你像高考这几年考察你们的时候考小题主要考察的就是定义法，所以你得知道什么是定义，当然有些题目你会发现我无法把定义用这个夹角把它找出来，所以呢我们还有第二个方法叫做 点到面的距离问题，我们转化成等体积需求高，以及最后的第三个保体方法，向量法，这是我们线面夹角， 我们再来说我们的面面夹角，哎，面面夹角，那面面夹角的方法也是比较多的，也是重点考察的，你必须得会给大家推荐。一样是三个方法，那第一个方法和线面夹角一样，就是我们的定义法，那 二念夹角定义非常重要，在我们这一个几年的高考当中，考小题考的是非常多的，那第二个方法就是当我这个定义角找不出来的时候怎么办？哎，我要去找个备胎呀，那我们这个方法在考试大题当中用的还是贼多的，叫做三垂线法，我们还有我们第三个方法，保底的方法就是我们的向量方法，所以夹角问题一共是刚刚给大家提到的九大方向， 是大家主要去攻克的一个难题，你只要能够掌握这些核心方法，那么你这一块的基本功就会非常的扎实。虽然呢，我们很多高三的孩子可能会说，老师我这一块只要有空间向量就够了呀，但是 空间向量的计算量非常的大，你考试一紧张，连算都算不出来，正确答案写都写不对，甚至连坐标都会写错。当别人在解析的时候，有的小题你不好解析，你也不会解析，所以说只有几何法才能够让你和别人拉开差距，尤其是高一的宝字，一定要在学立体几何的时候， 特意训练这些几何法，让自己的基本功跟别人拉开差距。好，最后一个重点问题，重点问题就什么呢？距离问题， 重点重视一下这个，我们以前在老高考当中经常考，大家这个点到这个面的距离问题属于必会题型，你看考体积吧。那问题这一块，这个距离问题，包括我们的这个新教材，新高考当中增加的知识，除了这个点面问题之外，还有意面、直线距离，你要好好去研究一下。 那么这个大家按照以上五个知识体系，一层层去梳理清楚，掌握以上五个核心考点，剩余的我们立体几何当中的结面问题，轨迹问题，这种综合问题学的不用特别难，常规的处理手段会就可以了。所以呢，不管你现在是正在高一，还是说马上高三要进行高考了，我不知道立体几何这一块怎么去学习，怎么去复习？按照以上五大知识体系，我们一个个去过。

哈喽同学们，立体几何不用愁，题型套路全知透，巧筹以盼的计算问题来啦，这个视频我们要学习的是空间中的角度问题，融合平行垂直关系是立体几何综合题的核心考点， 不管是利用传统几何法还是空间向量法，都是高考的高频考点。当然观看视频肯定不够披星的，我为大家准备了配套练习后专题，一个视频带你理清如何利用传统几何法解角度。 接下来让我们开始吧。哈喽同学们，我们来讲一下如何利用几何法去求立体几何当中的角度问题。那在这里呢，首先要知道我们常见的有哪些，常见的，比如说像一面直线所呈角线面角还有二面角，那我们逐一来看一下。首先先来看一面直线所呈角， 那我们说涉及到这种角度问题啊，首先你要先确定它对应的这个取值范围，比如说一面直线所乘角，我们对应的取值范围呢，应该是零到二分之八就零到九十度，但是这里有一个点要去注意，就是它的开 b 区间，我们是怎么去取的？那如果是一面直线所乘角，一定要注意，这里我们是左开右 b， 那 如果说是这个两直线所乘角，那这个时候我们对应的都是 b 区间，为什么这里会有一个区别？这个就涉及到我们一面直线的一个概念， 意面直线的概念，我们说是要满足，既不平行也不相交，所以你会发现啊，我们意面直线不能满足平行，但是如果说你两条意面直线加角为零，那这个时候也就意味着这两条直线是平行的，所以他才是开区间啊，这个地方稍微注意一下，注意一个区分啊就可以了。 那接下来我们来讲一下，一面直线锁成角怎么去求。我们说一面直线锁成角，利用几何法的话，主要就是平移平移至它们两条线在同一个平面上，只不过说我们一般来做的时候，可能大部分情况下都平移至它们相交即可啊，所以这个时候我们一面直线 锁成角，它对应求的方法就是平移至相交，那接下来平移至相交，我们只需要去把 这个两个直线所在的这个三角形啊，在这个三角形当中，我们去解三角形，对应的去解这个角就可以了，可以是利用正弦定米啊，余弦定米啊，都可以把各个边线段给它解出来。好，这是我们一面直线所乘角，然后接下来呢我们再来看线面所乘角， 也就是我们对应的角线面角线面角的话呢，也是一样，要知道它的一个取值范围，它同样也是零到二分之派，但这个时候它就是同时取 b 区间就可以了。因为我们说直线和平面所成角如果是零的话，代表什么呢？直线在平面内，那如果是二分之派，代表直线和平面垂直， 那这个时候我们对应的线面角一定不可能是这个钝角啊，稍微注意一下就可以了。那我们线面角怎么去计算呢？比如说我们现在这里有一个 平面 alpha， 然后呢有一条线，比如说这个是 p， 这个是 a 啊，我们从线上找两个点，那此时我们要算 p a 和底面 alpha 所形成的夹角，那我们说定义法是什么呢？定义就是你过直线上一个点，向平面做垂直过，比如说过 p 做一个垂直下来，垂直为 o 连接 a o， 那 这个时候我们所对应的线面角就是角 p a o 啊，所以这个是我们算线面角的一个办法。那这但是这个方法会有一个限制，就是我们必须是不是得 知道这个三角形 p a o 的 一些条件，比如说你要知道线段长，我才能去算这个加角，对吧？所以这呢就会涉及到我们必须需要去知道 p o 或者 a o 之间的任意一个，然后我们才能去直接去解，那如果说我两个都解不出来，也就是说我这个时候垂足的位置不确定怎么办？那这个地方又涉及到我们之我们在之后距离里面会讲的一个方法，叫利用等体积法去求点到面的距离。 等体积法是一个什么意思？这个我们先简单来说一下，等体积法呢？是我们往往在三轮锥当中啊会用到的一个呃，方法，就是利用三轮锥当中的这个顶点轮换去解点到面的距离。比如说我们现在这里有一个三轮锥， 还是 p 杠 a b c， 那 我们正常来讲，我们说对于三棱锥而言，底面是一个三角形，而你发现它所有的侧面，包括底面都是三角形，那也就意味着我以哪一个面为底面是不是都可以，对吧？也就意味着它顶点也是可以去做轮换的。所以这个时候我想比如说算 a 到面 p b c 的 距离， 我就可以看成是以 a 为顶点， p b c 为底面的三轮锥，它同时这个体积我也可以看成是以 p 为顶点，以底面 a、 b、 c 为底面的一个三。呃，这个三轮锥两个方法，我可以把三轮锥的体积解出来，那这个时候 所有的是所有的这个呃值，你解出来之后，唯一的变量只有 a 到 p、 b、 c 的 距离是不确定的。其也就是说以 a 为顶点的时候，这个对应的高啊 确定，那你一个方程一定是能把高解出来的，所以这也就涉及到啊，这么一个区别，能确定垂足，直接解三角形即可。如果不确定垂足，那我们可以利用等体积法去求线段长度。好，然后接下来最后一个二面角。 二面角的话呢，这个时候也是一样啊，要注意它的一个取值范围， c 塔对应的应该是零到派的 b 区间，那会想为什么二面角的时候，我们想过它的定义，它并不是两个平面所成角， 两平面所成角和它是有区别的啊，两平面所成角它对应的范围就应该是零到二分之派了。 加角这个时候是零到二分之派。为什么会有这么一个区别？是因为二面角我们给的定义是什么？它是两个半平面 所形成的夹角，什么叫做半平面？就是我们正常来讲，面应该是无限延伸的，对不对？但是呢，我们在这里算二面角的时候，我这个面不无限延伸，我只到这个交线为止。比如说像这里，我正常来讲，面应该继续往下，然后呢，这边还有一个面， 它也可以往左往右，但是对二面角而言，到交线为止，到这就没有了啊，所以这个地方稍微去注意一下概念上的一个区分。好，然后接下来我们来讲一下怎么去算这个二面角。那我们说二面角它对应的定义法是在两平面内分别去做交线的垂线，比如说这是 a 面，这是 beta 面， 在两平面内分别去做交线垂线。一个是比如说这个是 a o， 然后呢？这个这边呢是 b 能满足 a o 垂直于交线 l， 然后 b o 垂直于交线 l， 那 这个时候我们就可以说角 a o b 就是 我们要求的二面角，所以第一个方法是做两垂直， 但是做两垂直这个时候我们要尽量去保证看呃满足它的这个垂足是重合的， 如果说你的垂足不重合怎么办？那就转换成了，我可以去呃，相当于算是两个一面直线所成角，所以这个时候若垂足不重合，则去平移，平移至它们重合即可。 好，这个是我们第一个方法做两垂直。那除此之外，我除了做两垂直，我还可以怎么做呢？假如说有一个面内，我就是这个垂直，我就是不好确定，或者说我线段长就是不好解，那我们也有一个办法，你可以去做为单独的一个垂直，也就是我在这个面阿法内找一个垂直 a o， 那 这个时候我就可以给等价去看成变成了 a o 这条线和底面 b 所形成的夹角。所以还有一个方法是只做一个垂直去转换成线面角的问题。 好，这也是一个处理思路啊。好，然后接下来我们对应的呢，还有就是涉及到我们的这个呃三，呃这个三垂线定理的一个应用。三垂线， 这个主主要主的是指，主要指的是什么意思呢？就是假如说我现在这里有一个面，然后呢，我现在过这个面上的任意一个点，向底面阿尔法，呃，向底面贝塔去做一个垂直，假如说这是 p， 我 做一个垂直下来垂足为 o， 那 这个时候我再过 o 向交线做一个垂直 a 点，那么角 p a o 就 一定会是我的二面角，那这个根据是什么原因？这个地方其实会涉及到一个证明，我简单来说一下，就是我们刚才说满足的条件是 p o 垂直于贝塔，然后呢，满足 o a 垂直于交线 l， 那我们现在要去证明的是吗？因为我们说二面角定义应该是在两平面内分别垂直于交线，所以我们接下来要证的应该是 pa 是 垂直于 l 的， 那怎么去证？根据 po 垂直于 beta 面，所以我可以得到 po 垂直于 beta 面上任意一条直线，也就是 po 是 垂直于 oa 的， 同时 oa 又垂直于 l， 所以 我 l 和这个 po 又是有交点的，对吧？ l 和这个，呃，等一下， po 是 垂直于 oa 的 po， 是 啊，对，没问题啊，这个时候我们得到啊，这个时候我们要去给它看成是 p o 垂直于 l 会比较好看啊，给它转换成 l， 好， 那这个时候你就会发现 l 是 不是同时垂直于 o p 也垂直于 o a， 而这两条直线有交点 o 点，所以我就可以转换成 l 是 垂直于面 p o a 的， 那这个时候我们就可以去转换成可以先面垂直性质定理，我就可以得到 l 呢，是垂直于 pa 的， l 垂直于 pa 呢，我就可以满足在两平面内分别有两条垂线垂足于交线，那这两条垂线的夹角就是二面角啊，所以这也是这个性质啊，我们计算方法简单来说一下， 那接下来我们来具体看例题，比如说我们来看一下这个第一道例题，第一道例题是说在一个四轮锥当中，底面为平行边形，没有给图，那这时候我们往往要自己画图哈，然后角 d a、 b 为三分之派，然后给了一些线段比例，好，我们来画一下。 首先呢，这个地方有一个 p d 垂直于底面，所以我们可以先垂呃，先确定 p d 这一点，假如说是 d 点，然后呢，又已知了 p d 是 呃 ab 的 二分之一，所以我们的 ab 和这个 dc 可以 画长一点啊，然后这边是相等，你给它连一下， 就是我们在画图的时候尽量的去保证一点，这个比例看起来比较合理一点啊， 那比如说这个是 a， 这是 b， 这是 c， 好， 然后呢，脚踢 a、 b， 这也是三分之派，然后又已知了线段的比例，线段比例的话，那这里因为是一道小题，所以我们就可以不妨令它分别是一和二，所以我们标一下啊，比如说我们令 p d 等于一， 等于 a， d 等于一，然后呢，这个时候 a、 b 和 c、 d 就 应该是都等于二啊。好，然后接下来我们来看选项，首先 a 选项 p a 垂直于 b、 d， 像这里的话呢，我们可以从验证的角度，或者说你可以从证明的角度都可以，那比如说像这里，如果说我们从验证的角度就是如果 p a 垂直于 b、 d， 那 会发生什么对不对？那你就想 p a 是 垂直于 b、 d 的， 结合提干的条件， p d 垂直于底面，也就线面垂直，其实我们还能再推一个线线垂直，我同样是不是也可以推出来 b、 p、 d 是 垂直于 b、 d 的？ 那如果说这样都要满足，就 a 选项要成立的话，那这两个式子同时发生，我就可以推出来一个条件，就是这个时候我 b、 d 一定会垂直于面 p a、 d， 因为这也是小题，所以我没有严谨的去写这个证明的步骤啊啊，那 b、 d 如果垂直于 p a、 d 又要满足什么呢？这个时候你就会发现，哎，他要满足 b、 d 必须是垂直于 a、 d 的， 那接下来我只需要去变成验证 b、 d 是 不是垂直 a、 d， 我是 不就能确定我这个整个链路上是不是都成立？如果我正出来它确实是垂直，这个链路就是对的，那如果说证明出来它不垂直，那这个链路上的每一项应该都是错的。 所以这个地方我们接下来就验证 b、 d 和 a、 d 是 否垂直，那我怎么去验证呢？我给它放到底面中去解就可以了。比如说像这我们连接 b、 d， 已知这个角是三分之派，又已知两边一和二，那我是不是可以利用弦定力去把第三边解出来？ 或者说像这里，因为他这个边长包括角都比较特别，你会发现，哎，我这边有两倍关系，其中还有个六十度角，如果有九十度，那我就知道另一个角是不一定是三十度，所以你也可以从验证的角度去看，那这个时候如果这个地方是六十度，这个地方是三十度， 那这个时候发现，哎，这边好像确实是垂直的，对吧？正好符合这个关系啊。所以这个时候我们验证出来， b、 d 呢，确实是垂直于 a、 d 的， 所以这个时候呢，确定 b、 d 的 长度是刚好三啊。那这个时候我知道 最终符合这个条件成立，那你往后往前去推，所有的链路应该都是正确，所以 a 选项是正确的。再来看 b 选项 p b 与底面 a、 b、 c、 d 所成角，那这个就涉及到我们说线面角的一个计算方法， 我们说线面角，根据定义法是从直线上找一个点去做底面的一个垂直，然后接下来我们对应的就转换成这个 p a 这条直啊， p b 这条直线与底面我们做出来的那个投影，这两个线之间所形成的夹角。 好，那来看我们过 p 点向底面做垂直，你会发现，哎，这个垂直其实就是 p d， 对 吧？因为题目说了吗， p、 d 是 垂直于底面的，所以这个时候我们对应的这个线面角，其实就是我们的角 p b、 d。 那接下来解角 p b、 d 怎么解呢？那我们就可以给它放到一个三角形当中，对吧？我们可以放到三角形 p b、 d 的。 呃， p b、 d 当中，由于 p d 垂直于底面，所以我能确定 p d 垂直于 b、 d， 所以 它是一个直角三角形啊。在 r、 t 三角形 p b、 d 中， 那长度都是已知的，这是一，这是根号三，这是二，对吧？这都是我们标过的啊，不对，这个二标的是 b、 c、 d 啊，但 p b 你 用勾股定律也是能算的，对吧？那这个时候你对你的角 p b、 d 自然而然也就可以解了，它解出来呢，确实是六分之派啊，所以 b 选项正确。 再来看 c 选项， e 面直线 ab 与 pc 所形成的这个夹角的余弦值，那我们说 e 面直线所成角，我们要怎么做？平移，对吧？平移至相交啊，所以这个地方呢，我们可以去 把这两条线平移到同一个平面内，或者说平移是相交，那我们平移谁比较好呢？那显然你会发现，由于底面是一个平行四边形，所以我肯定是平移平行四边形更好，所以这个时候我们可以把 ab 平移至 cd 的 位置， 所以这个时候我们对应的 p c 与 ab 所形成夹角，就变成了 cd 与 p c 所形成的夹角。那我想算它们俩夹角，我就可以怎么办？我可以放到三角形 p d， c 当中，那也是一样的， p d 垂直于底面，所以 p d 垂直于 c d， 那 这个三角形它也是一个直角三角形。在 r t 三角形 p c， d 当中，已知的线段有 p d 等于一， 然后呢， c d 等于二，所以斜边我也能算，对吧？那这个时候斜边我们解出来的话，应该是 p c 等于根号五，那你接下来要算这个余弦，自然也就可以算了。所以 cosine 角 p c， d 啊，就应该等于二，比上根号五，所以解出来应该是五分之二倍根号五，所以 c 选项错误。再来看 d 选项， d 选项，这二面角呢，相对来说计算会比较复杂，这个其实用空间向量会更简单，放在这里用几何法的话呢，这个推导的步骤可能会比较麻烦，但是 我们这一次稍微讲一下思路，就是我们说二面角用定义法做，应该是在两平面内分别做交线的垂线，对不对？那这里的话，它对应的两平面应该分别是 p a b 和 p b、 c 这两个面， 那我们只需要分别去过 a、 c 两点去做 pp 的 垂足，而垂线，那这个时候你可能解出来，万一垂足不重合， 如果不重合呢？这个时候我们就把其中一个线段去做一个平移，平移之后再解三角形就可以了。那这里呢，我们简单讲一下思路，因为这个计算量可能比较大，这里呢，我把这个步骤提前写下来了，然后呢，你可以自己先尝试去做一下，然后来核对一下，看这个步骤啊是否正确。 好，然后接下来我们再来看第二道例题。第二道例题呢，相对来讲会比较简单一点，因为它这个图是正方体，比较规整，而且给了图唯一可能稍微麻烦一点，就涉及到这个动点问题，但是每个问题我们一样可以来分析。 首先来看正方体棱长为一，然后 e 呢，是这个棱 c、 d 上对应的点。首先 a 选项三轮锥 a 一 杠 ab 一 e 的 这个体积为定值。好，那首先就要回忆一下我们说三轮锥的体积怎么去进行计算，我们说三轮锥的体积公式应该是三分之一底面积再乘以高，对吧？那你会发现啊，如果说这个我们按照以 a 一 为这个顶点的话， 一点一直在运动，所以我会发现 a、 b， e、 e 这个三角形面积在变，同时 a 到这个面的距离是不是也在变？两个变量我并不能确定，对吧？那这里考什么呢？这也就考到涉及到三轮锥，你要注一定要记住一个点，它是可以轮换顶点，轮换顶点也就涉及到等体积， 所以看似让我们去算 a 一 杠 a b e 的 这个体积，我实际上可以去给它转换。转换成什么呢？转换成以 e 为顶点，为什么以 e 为顶点？因为以 e 为顶点，这个时候你的底面是谁？是 a a， 呃，这个 a a 一 b 一， 对吧？那这个时候我能保证它的底面是一个固定的三角形，也就是相当于我把其中一个量定下来了，唯一的变量只是点到面的距离啊，所以这个地方我们去给它转换，转换成 v e 杠 a e a b 一。 那这个时候我可以确定的是 a 一 a b 一， 这个底面积是定值，那接下来我只需要去验证一点到这个面的距离是不是为定值就可以了，那这个我们会发现它显示一个定值，为什么呢？是因为这个时候我能确定 c d 是 平行于面， a a 一 b 一 b 的， 这个的话你可以直接去根据这个呃线面平行的判定定领角去正因为 c、 d 是 平行于 a b e 嘛啊？所以线面平行，线面平行，它就会涉及到一个结论，线上的任意一个点到面上的距离均相等，所以这里我可以确定 点到面的距离为定值，顶面面积也是定值，所以这个三棱锥的体积一定是一个定值，所以这个地方涉及到一个转换，所以 a 选项正确。再来看 b 选项 e b 一 垂直于 a d 一， 那也是一样。我们的处理思路，你可以选择是去呃这个检验它是否正确，或者说你可以考虑我直接怎么去正， 那像这里呢？ e、 b 一 和 a、 d 一 的这个垂直，我们可以把这个线画出来啊，这个是 a、 d 一， 这个是 e、 b 一。 好，那他俩垂直怎么去看呢？那这个时候我们会想，由于 e 是 一个动点，所以我直接观察肯定不好观察，所以这个时候我们要把这个动点去转换成一个定 固定的一个直线或者一个面的问题。那显然 e 是 动点，我没办法找到定直线，但是我可以确定 b、 e、 e 这个线是不是一定会在一个固定的平面内，它一定会在以 b、 e 和 c、 d 这两这三个点构成的平面内，所以也就是 e、 b、 e 在 面 b 一、 c、 d 上。好，那接下来我是不是只要证明 a、 d 一 垂直于这个面，我就能确定 a、 d 一定垂直于面对任意一条直线，显然就一定会垂直于 b 一。 好，那接下来怎么去证明 a、 d 一 垂直于这个面？那我们对应的你可以把这个面做一个延展，对吧？因为这个面我们目前的话画出来应该是这么一个面啊。 b 一 c、 e、 c、 d， 那 这个时候显然这个面我是可以给它补到 a、 e、 b、 e 上，所以这个面和 a、 e、 b、 e、 c、 d 它是同一个面，所以接下来就变成了即 证明 a、 d、 e 垂直面 a、 e、 b、 e、 c、 d， 那 这个好不好证？那它显然就好证了，对不对？哎，这个时候我可以去证明 a、 d、 e 呢，这个时候是垂直于，根据对角线垂直于 a、 e、 d， 那同时我再根据 a、 d 一 是垂直于这个 a、 a 一 b 一 的， 那显然我就可以得到了，对吧？那 a 一， 呃，这个 a d 一 垂直， a 一 b 一 是怎么来的？根据 a b 一 垂直于侧面得来的啊？下面垂直，所以这个地方我们能挣出来，它对应确实满足 a d 一 垂直于这个面，那它垂直面上任意直线，所以 b 选项就成立的。 再来看 c 选项，二面角 e 杠 a 一 b 一 杠 a 的 二面角的这个大小为四分之派，那还是一样的问题，这涉及到一个面的拓展等价面的一个问题。 e 杠 a 一 b 一， 那这个时候其中两个面分别是 a e b e e 和 a e b e a e 好，那这个时候这两个面所形成的这个夹角呢？我们按照之前逻辑，我们是说过两面上分别去做交线的一个垂线，对吧？但这里呢，我们为了方便去判断，所以这个面呢，我们其实是可以去给它 扩展一下的。我们这里看似是 a e b e， 但实际上我是不是可以给它延展成面 这一往下写啊？它对应的可以看成是面 a 一 b 一 c d， 因为 e 是 在 c d 上运动的嘛。那同理， a 一 b 一 a， 我 是不是也可以给它补全它的面？我其实是可以去说成 a 一 b 一 ab， 呃，准确来讲应该是 b a b a 啊，他俩这应该要有顺序，所以接下来是不是就变成解这两面所形成的夹角，那你就会发现这两面他都是一个矩形，那我要做交线，垂线其实就是两个棱，所以他这个时候交线是 a 一 b 一， 那我对应的垂线在哪呢？可以直接找这个 d a 一 和 a a 一， 那也就是这两条都是垂线，那垂线所形成的夹角就是我对应的二面角，那这两条垂线的夹角是多少？显然在正方形内，对角线和我直角边所形成夹啊，和这个正方形的边所形成夹角是四分之派啊，所以 c 选项是正确的。 在这里的最简单的办法就是你把这个面呢给他补全，补全之后你就会相对来说好看很多。再来看 d 选项， 例选项问，存在某个点 e， 使得 a e 与底面所形成夹角为六十度。好，首先我们先不管 e 点到底在哪个位置，我们说对于线面角你要去处理，我们说是过线上一点向底面做垂直，对吧？那这个时候 e 呢？是在底面上， 所以我们选择从 a 一 向底面做垂直，那这个时候我就会发现我过 a 一 向底面做垂直，其实就是 a e a， 所以 我们现在要求的角其实就是哪个角，就是角 a e e a 这个角，所以这个时候啊，它对应的所乘角角 a e e a， 那这个时候由于 e 在 运动，所以你接下来是不是可以去求临界的情况？比如说当 e 点在 d 点的时候，这个时候就变成了我们刚才讲的正方形的对角线和正方形的边数形成夹角，这个时候临界值是四分之派。 然后接下来你就想当我的 e 离它越来越远，也就是越来越靠近 c 的 时候，我们模拟一下这个画画法，或者说你可以多画几个情况来找一下规律，你会发现这个角加角是不是只会越来越小？所以这个时候我们对应的你会发现啊，它在 d 点的时候应该取到加角最大，在 c 点的时候取到加角最小，那在 c 点加角最小是多少呢？我们也可以算一下啊，我把这个给它挪过来一点。 好，那这个时候我们只需要去解线段长就可以了。对于 a c 来讲呢，是根号二，然后这边是一，这边是根号三，所以这个时候这个夹角你就能解了，对吧？这个夹角对应的是正切值的话，应该是 二分之根号二，具体的这个角是不是一个特殊角啊？所以我们不用表示，但我知道这个角是不一定比四分之 pi 小， 而四分之 pi 是 不是显得又比六十度小？我最大都小于六十度，也就意味着我不可能取到六十度，所以 d 选项是错误的，所以这道题答案应该选 abc。 那所以这就是我们借着这两道例题呢，就相当于把我们角度问题一些比较常见的处理，我们都稍微来说一下。但是像做这种题呢，最主要肯定还是要去结合图像，通过大量的练习，你才能去巩固这些方法。

一个视频带你搞定立体几何的线面角问题，五种方法一网打尽，尤其是高一的宝子们，你们还没有学空间向量，不能无脑间隙，那你一定要看完这个视频，详细讲解基本原理，教你怎样做辅助线，怎么写证明过程。 看完这个视频，你就是掌管线面角的神。好了，点击全屏观看，开始你的成神之路，来吧！先来研究一下定义，那什么叫做线面角呢？平面上的一条斜线。什么叫斜线啊？这个线与这个平面斜交，它不垂直，这条斜线和它在平面上的适应 当形成的这个角呢，就叫做线面角了。所以说我想把线面角做出来，必须干啥？是不必须做一条线面垂直啊，做一条腿线，好，这样我才能得到垂足啊。 垂足与斜足之间的这个线段长度就叫做射影。我们看一看这个直线与平面所成角的个曲折范围， 它是大于等于零度，小于等于九十度的，注意它和意面直线所成角这个范围的区别。好，那我们就应用这一个线面角的定义，来看看这一个最简单的入门级别的题目啊。先热热身，大家先看看这个题目，一个正方体当中， 这个直线 a、 b 与 a、 b、 c、 d 所形成角的大小是多少？那我先要找到这个角是谁。好， a、 b 在 这里， a、 b、 c、 d 是 这个底面，那我会发现，哎，这条线和这个面是不是有一个交点啊？但这个交点是什么？ 通过定义，我们会发现，这个焦点是不是就是斜阻？那我在 a、 e、 b 这条线上我又找到一个点，干啥玩意做这一个面？ a、 b、 c、 d 的 垂线，那么这不太简单了吗？当然是过 a、 e 点做这个 a、 b、 c、 d 的 垂线啊，它就是谁？ a、 e、 a 是 不是这条侧棱啊？好把它给找到了，那 a 是 不是就是垂足啊？ b 是 斜足，那说所以说摄影就是谁？ ab， 那 么 a、 e、 b 是 斜线，摄影是 ab， 那 么它们的夹角 a、 b、 a、 e 是 不是我们要找的角啊？那这个角 a、 b、 a、 e 是 多大小啊？ 我一下就发现了，那是不是应该是一个四十五度啊？来，快点看一看这第二个题目，先找到这个角是谁，然后再去确定它的大小。 a、 e、 b 和谁的夹角啊？和 a、 b、 c、 d、 e 的 夹角同样呢，是有一个交点，是谁呢？是不 b 点？ b 点？是不所谓的斜足啊？ 那我要在 a、 e、 b 上找一个点是不？干啥垂直于这一个面儿， a、 b、 c、 d、 e 这个是正方体， 它每一个面都是正方形，那正方形的对角线是什么样的？是不是互相垂直的？也就是说你能不能得到这个 a、 e、 o？ 它就是垂直于这个面 a、 b、 c、 d 的 垂足，就是 o 啊， b、 o 就是 矢量呢？斜线是 a、 e、 b， 那 么它假角应该是哪一个角？ 是不是这一个角 a、 e、 b、 o 啊？那我们具体看看怎么操作，我带大家具体写一下步骤好不好？就是怎么能发现用定义法的呢？这个东西是不大家非常关心的事啊，你怎么就知道我要做哪条线呢？辅助线咋做呢？好处啊，对吧？我们直接给他搞。第二问，他说这个 c、 e、 g 与这个平面 bc， c、 e、 b、 e 所形成的这个角的正弦值是多少？求这个正弦值。 好了，我们先要把这个角给做出来呗。你怎么知道该用定义法了呢？我们对于这种题啊，用定义法就一定有什么出现前提啊？大家把这个东西做做笔记好不好？如果不知道什么时候他就该用定义法，什么时候用等体积，什么时候用垂面。哎呀，这些东西我都会提前告诉大家我是怎么做到的， 那是不是成功就可以复制了？我能做出来，你们也肯定能做出来，那它有一个什么前提呢？我们先找这个平面啊，哪条线和哪一个平面的左乘角，先找平面，找到这个平面，那我一定要有一个平面，有一个平面 或者是一条线和这一个所求平面 和所求平面儿。对于这个题来说，所求平面儿就是谁呀？这不就是 b c c e b 呀，和这个所求平面儿要干什么呢？垂直，也就是说我要么有面面垂直，要么有线面垂直， 能懂不？如果你找不到已知啊，你是从已知当中，或者是从隐藏条件当中去找，而不是你做辅助线做出来的，听听明白没？这一个是已知条件给我们的，是已知条件给我们的，不是我们做辅助线做出来的。 当我发现有这么一个玩意出现，那么它大概率就可以用定义法。这个概率多大呢？百分之九十，所以几乎考试的时候你发现这种情况就可以直接想定义法了。那我这个定义法该怎么去用呢？该怎么去用？ 那一二三步咱开始啊，一看一二三步，第一步干什么呢？找焦点，找这一个斜线 与这一个所求平面儿。焦点 找这个焦点是干啥玩意儿？这个焦点是不就是斜足啊？对吧？对于这个题来说，焦点就是谁？ c e g 和这个面儿 b c c e b e， 你 就不看这个题，你是不是也能马上找到它就是 c e， 对 不对？ c e 就是 斜足， 那我们有很大的可能性就是过另外一个端点，这条斜线上的另外一个端点是点 g， 过这个点 g 做面的垂线呀，我们根据定义法是不要在这条斜线上找一个点垂直于这个面啊， 对不对？好，那么我们就有很大的概率是过另外一个端点，过这个斜线 另一端点的话，它也得是某一个特殊点，就比如说等分点， 为啥呢？因为我们把它给做出来，并不是说我只得到这个角就行了，我才要把这个角的余弦之后某一个三角函数直接给求出来，所以我就要能求这种边，对吧？那做出来的边没法求，那是我没有用啊。所以我一定是过这个斜线 它的另外一个端点，或者是说这个端点上的这条线段上的中点，或者是某一个等分点。什么过它去做面的垂线，过这个斜线的另外一个端点呢？做面的垂线， 但是呢，我们肯定要坐在这个面，这个面是不是用可，可能是用三角形去表示的，可能用细边形去表示的，那我这个面我坐在面上肯定好难受啊，我做不了啊，那我想干什么？垂直于某一条边就能得到线面，垂直行不行？ 好，就比如说这个面儿，它是不是用这个四边形去表示的？是这个面儿表示的是 b c c b， 是 不是一个四边形去表示的？那我想的是什么呢？我过这个特殊点做的这条垂线是不垂直于我，这条垂线是垂直于 b、 c、 c 一 b 一 的某一条边，从哪实现线面垂直的呢？这不一定是往它某一条边做垂线得到线面垂直，这就是这一个前提的重要性了。 因为我们有一个面或者有一条线垂直于这一个平面的，这不就可以先得到一个什么了？从这一个面面垂直或者线面垂直也好，我们最终的目的是不是得到线线垂直？ 大家说是不是这样？以这样这么一个线圈垂直，我再给它干出，另外我是不是做出另外一个线圈垂直？那你说我垂不垂于面啊？我能不能得到线面垂直了呢？对不对？ 好，这就是前提的重要性啊，为什么要有这个前提好，一定是垂直于某一条边啊？垂直于这个面上，因为这个面肯定用三角形或者四边形去表示的，我去垂直于这一个图形的某一条边，从而实现了线面垂直，从而实现线面垂直。 那么我们就可以直接去得到这个线面角是哪一个，明白不？就是用这种操作啊，得到线面角是哪一个？那我们看看这个题该咋整吧，好不好？ 现在读读题啊，他说是一个剩三楞柱来了，剩三楞柱提供了什么？提供了这个侧面是不与剩下两个底面是垂直关系？有没有线面垂直啊？朋友们， 这个出三棱柱是不是又隐藏了一个向量垂直给我们？然后他说所有棱长都是二 e、 f、 g， 分 别是这三条棱的中点，是谁的中点？我们直接看图就行了，这就不用读题了，那么直接看第二问， 现在我们找到了它的这个焦点，也就是说斜足是 c 一， 那么我们要过 g 点另外一个端点，是不是所谓的 g 点？我是不是要过 g 点做 b c c 一 b 一， 它某一条边，是吧？它总四条边，我从哪条边的垂线就可以实现线面垂直呢？ 大家看你坐哪一条边儿？我当然是坐 b、 c 这条边儿了，对不对？ b c 这条边儿，因为我要看这点在哪一个面儿上是不？这点可以是在 a、 b、 c 上，也可以是在 a e a b b 一 上，对不对？ 好，那很明显，它这一个 j 或这点想做 b b、 e 垂线是不是很难啊？ 是不是有点扯淡了？所以说我们就直接干什么过 g 点做 b、 c 的 垂线，好直接实现第二条啊，第二条是什么呢？过这个 g 点做这一个 g h 吧， g h 垂直于 b c， 好 吧， g h 垂直于 b c， 咱把它给画出来啊， j h 垂直于 bc， 然后我们马上的连接这一个 c、 e、 h， 好， 连起来，大家看看啊，我就想请问大家，这个 j、 h 是 不是垂直于这个面？ b c c e b e 的 是不是这个样子？它就是吧，一定是，为什么呢？因为是不是有一个线面垂直啦， 对吧？我面面垂直啊，我们得到这个面面垂直，那这个面面垂直，我也给大家记一个顺口溜好不好？就是我上学那会啊，因为我比较笨嘛，我就想了一些办法，怎么能弥补我和学霸之间的差距呢？我就记一些结论呢， 这就是一个什么比方呢？就比如说我们去加工一堆零件，哎呦，这一堆零件我要组合组成一个什么样的玩具， 是吧？就和我们拼乐高一样，我把它拼成一个什么样的玩具，那我如果从单一零件开始去拼，是不是很复杂，很难？但是如果我们把它拼成某一个一个又一个的小单元，我再去组装的时候是不是就会快的多？ 那我们现在去记这种结论，或者是记这个方法的过程当中是干了一件什么事，是不是提前做一个半成品出来？那我以后看见这一这一个结构，我就可以拿这个半成品出来用，是不是他就会很快，那我和学霸之间的差距就会越来越少，甚至他还没有我做的快。 那这就实现了，我打败了他。好，来吧，那咱看一看，该咋证明呢？朋友们，该咋证明？是不？我们再从已知条件当中搞一个线面垂直出来是不就可以了， 对不对？来了吗？顺口溜啊，大家记一记。顺口溜，对于垂直来说的，对于垂直来说好用啊。有面面， 有面面，有面面是啥意思啊？有面面的意思啊，就是面面垂直，有面面找交线做垂值得线面， 那有线得到这个线面，我有时候就到这就停，还有些时候干什么呢？我要从这个线面是个得线线。 好，这就是我们经常会用到的一个东西，你如果遇到面面垂直有很大的可能性，你就得用这句话，对吧？好，现在我们就看了它有一个什么事， 刚才有没有发现？好，我们看它从已知条件这个正三棱柱，我们得到了这一个 a、 b、 c 和这一个侧面 b、 e、 b、 c、 c、 e 是 不是互相垂直的？互相垂直，它们两个交线是不是 b、 c？ 那么这个 c、 e、 c 或者是 b、 e、 b 是 不都是垂直于这个 bc 的？ 都是垂直于交界的？所以我这个 c、 e、 c 是 不是垂直于底面 a、 b、 c 的？ 那垂直于这个底面 a、 b、 c， 我 们会得到什么有用的东西？ 会得到什么有用的东西？是不是这个 c、 e、 c 就是 垂直于 g、 h 的？ 当然有同学会说，老师，你这不，你你，你这么做，这不费劲吗？对对对对，是费劲，但是我想要给大家稍微解释一下啊，稍微解释一下 是费劲的啊，那，那我们如果直接用的话会是什么样？那我现在是不是干出一件什么事来了？我做了一个线线垂直，是吧？ 我做了一个线线垂直，就是做了 j、 h 垂直于 b、 c。 刚才不也说了吗？那算了，我写下来好不好？我写下来啊，把这个过程给大家写一写，那我从这一个正三楞柱 是不是垂直于这个面 b、 c、 c 一 b 的 呢？对吧？是垂直的，那这个线面垂直，我们刚说了有面面，呃，有面面垂直，有面面找胶线，那么它们的胶线是谁呢？我们发现它的胶线是不是 b、 c 啊？那我又干什么做垂线？做这一个胶线的垂线，我现在做没做，我做的这一次是不是垂直于 b、 c？ 那也就是说我们有了这一个谁呢？垂直于交线，那我这个 j h 垂直于 bc， 那 我们能不能得到一个什么东西啊？这个 j h 就是 干啥玩意的？就是垂直于这个面 bc、 cb 的， 有没有毛病？是不是可以给它搞定啊？对不对？是不是很开心的就解决到这个问题了？那我是不是得到线面垂直了？这一个面是不是所求的面是我们要求的这个面， 对不对？线面垂直有了，那你还不知道是哪个角吗？ h 是 不是就是垂足？ c e 是 斜足，那么顺呢？就是 c h， 它有这个斜线 c e j 的 夹角，那我这一个角 j c e h 是 不是我们要找的斜面角啊？ 是不是就搞定了？好，斜面角就搞定了，现在他想干什么？求做之前值做这个 c 角 j c e h 想去求它，是不就老鼻子简单了？为什么说陷面角比较简单呢？因为我做出这个陷面角来，必定伴随这一个直角三角形。那直角三角形的正弦怎么去求？ 是不？它太简单了，我都不用什么余弦定力啊，什么正弦定力？这这一坨东西是不直接出动知识搞定，那它就什么 g h 比上谁？ c e g c e g 就 斜边啊，斜线就是斜边。好吧，那我现在干啥玩意就行了，把 g h 给出出来，再把 c e g 给搞定，是不就完事大吉了？ 好，那么朋友们啊，这一个 jh 是 不太简单了，它说了是一个正三棱柱，那底面 a b c 就是 一个什么图形，咱把它给画一画呗。大家看一看啊， a b c 就是 什么玩意呢？是不是一个等边三角形啊？ a b c， 那 这个 j 是 不是它的终点啊？我做了这么一条垂线，大家看，这个 h 就 应该是什么是 b c 的， 什么，是不是四等分点啊？朋友们，如果你直接看不出来，我再给你画一条线，你能不能看出来呢？ 这一个 k 吧，这一个 k 是 不是 b c 的 终点？有没有毛病？没问题吧？那么现在你垂直，你也垂直，你说我这个 h 是 不是 b k 的 终点？是不是就是 b c 的 四等分点？那么这个小玩意简不简单呢？ 是吧？这就很简单。我为什么一定要强调 h 是 什么呢？因为我想还得把 c h 给求出来啊。为什么要求 c h？ 因为我要求 c j c e j c e j， 我 必须要勾股才能勾股出来，明白不？所以这么一环套一环啊， 很快的，我们就会得到一个比较好的事情了。这个 g h 你 能不能直接搞定啊？这个 a k， 因为它的边上都是二二， 所以 a k 是 个根三，那么 g h 是 不是二分之根三？中位线嘛，很容易搞定了。 c h 就是 什么？我们说 h 是 靠近 b 点的四分点，所以说 c h 就是 什么二分之三嘛，对不对？这不很快嘛？ 好，我们还知道测棱是啥呢，它每条棱长都是二啊，那也就是说这个测棱长 c e c 是 不也是二啊？你说 c e c 也知道了， c h 也知道了，我想求啥呀？我当然是想去去求 c e h 了，对不对？ c e h， 咱一勾股，咱勾股不了吗？ 它是斜边，对吧？那我这个二分之三，这个二就是多少，这个二是二分之四啊，那你说这个 c e h 就是 多少，是不是二分之五？你建勾股，你千万不要硬上，一定不要平方，不要直接平方，你要看看它们几个数之间有没有满足勾股数啊， 尤其是这种一个是整数，一个是分数的，你敢不敢把它通分一下，把整数变成分数，你看一看分子满不满足勾股数呢，对不对？做题不要硬上你，要不然你为什么做题慢呢？人一歪眼，能做出来的又快又对，你还在平方开平方 干啥呢？这是对不对？好，那么 c e h 有 了，我们再去整什么？这个 g h 也有了，那 c e g 我 还勾股不了是咋地，对不对？好， c e g 再给他勾股一下吧。 好，用。这一个数和这个数现在就完蛋了吗？是不是他一个根三，一个一个五，我是不是用不了了？完犊子了，用不了了，那这个 c e g 就 老老实实的平方去求吧，是吧，他应该是什么呢？根号下二分之根三的平方，然后再加上这个二分之五的平方等于几啊？ 这小数还挺好的嘞，什么根七啊？好了，那咱把它给搞上吧。它就应该等于什么？二分之根三比上根七应该等于什么？ 哎呀，不是什么好玩意啊，十四分之刚好二十一，搞定了没？这一题。唰，这个流程就出出现了，我们第一个题讲的慢，是为了给大家试用条件，什么时候用定义法，我定义法怎么做，然后具体一步一步，然后我带大家做了，做这个 怎么去求值啊？通过这个流程，我希望能带给大家的是什么呢？希望能带给大家的是做题的通法，解题，通法。那我们用这个通去做一做第二题，看看它好不好用。那我再做后面题目，我就不给大家详细求了好不好？我们就做辅助线，咔咔，做几个辅助线就行了，好不好？看看这个通数能不能用啊。 来，我撕掉了啊，需要截图就截图吧。好，不需要截图，那我们就继续搞了。好吧，搞第二个题啦。第二个题，刚才说什么呢？已知这个三角形 a、 b、 c 与这一个三角形 d、 b、 c 所在的这个平面呢？互相垂直，来吧， 面面垂直有没有啊？朋友们？面面垂直是我们想要的，我想要，然后再有了什么呢？ a、 b 等于 b、 c 等 b、 d。 哎呦，标一标 a、 b 等于 b、 c 等于 b、 d。 哦，这三条边相等，然后呢？这一个 说这个 a、 b。 呃，角儿 c、 b、 a、 c、 b、 a 是 这个小角儿啊，然后 d、 b、 c、 d， b、 c 是 这个角儿啊，都是六十度。哎呀，他整的这么费劲，我看见这两个条件，他是不是就想跟我们说，这个三角形 a、 b、 c 呀，和这一个三角形 b、 c、 d 啊，它是全等的， 两个正三角形是不就这么个意思，整了半天整了，这么玩意儿？好，第一问，咱也是不做，直接搞。第二问啊， a、 d 与这个 b、 c、 d 所成角的大小。那第一步干什么来着？第一步， 找焦点对不对？找焦点，这焦点是谁啊？ a、 d 和 b、 c、 d 的 焦点是不点 d？ 好， 第一步，找到点 d 了，它就是什么斜足， 你怕我痛苦不好用啊。然后第二步干啥？是，不过 a 点做什么？做 b、 c、 d 的 垂线，我现在 b、 c、 d 有 没有一个面和它垂直是不？有啊，有，怎么整？找胶线是不就行了？那紧胶线直接做胶线的垂线是不就线要垂直了？朋友们， 所以第二步干什么？有线有面面垂直的太香了。这种题就是送分的，直接连点都不要了，直接就送给我们分是吧？有面面找交线，交线是谁？咔就找到了。 bc 是 交线对吧？那我现在干什么？不就是过 a 点做 b、 c、 d 的 垂线，那我直接过 a 点做 bc 的 垂线不就行了吗？对不对？ 那我做 a、 e 垂直于 b、 c 是 不就行了？那我当然，我这个 e 点就是什么玩意啊？我这个 e 点是不就是 b、 c 的 终点？为啥？因为它是一个正三角形啊。 a、 b、 c 是 不是正三角形？我要利用三线合一嘛，有条件我不用，我大傻子对不对啊？这个 e 点 它就垂直的吧，我取 b、 c 的 中点，直接连接 a、 e 是 不就行了？你做辅助线有很多种描述方式，你爱咋描述咋描述，你自己用起来爽就行了好不好。 嗯，当然了，你一点是终点，你也得用三线合一，是不是正垂直？你这个垂直，你是不是反过来也得正？这个一点是终点，你反正你都得用，你怎么去做弧线，爱咋咋地呗。那我通过这一个线线垂直，那我得到了什么呢？我说就得到了，你这个 a、 e 是 垂直于这个面 b、 c、 d 的， 我为什么同垂直于交线就垂直于面？是不必须有面面垂直在里头啊？我没有面面垂直，我直接得什么？一得一个错啊，是不是啊？我得到这一个垂直了，那这不就完事了吗？干啥玩意，一点是不就是垂足了对不对？一不就垂足吗？ 那我这个二面角，我呸，我这个线面角就是谁，我们把这一个 d、 e 给连起来吧。我都没画虚线啊，大家在做图的时候要画虚线好不好？我在店铺上我画虚线不好画啊，画出来歪歪扭扭的，比这个扭的更重，我怕大家看不清楚啊，所以没画虚线， 原谅我啊。啊，那我们现在就会得到了，摄影就是谁啊？斜线 a d 的 夹角是不就是我们要找的线面角？所以第三步直接得线面角就是谁交 a d e 就是线面角啊，你再去求的话，那我们去求这种，不管是你看，尤其是他让我们去求所乘角的大小，这个题是不是有点过分了？比较简单是吧？所乘角大小几角求百分之一万，他是个特殊角对吧？你一万你怎么整？ 你是求它角，我能画它，我能求出它是多少度来吗？是不一定是个特殊角，所以你不管是求它的成弦值也好，余弦值也好，是不都行，或者甚至正切值是不也行？你这个题我甚至都不用求，为啥呢？它两个是全等的正三角形，你说这个 d e 和 a e 这两条勾 是吧？因为一点是终点吗？是不是它是分别是这两个正三角形的高，那你说这两条高相不相等？全等了，它对应高能不相等吗？是不是 a e 等于 d e 等于直角三角形？你说多少度？我还算。算个屁，是不是直接四十五度搞定了 对不对？开心不是很简单啊，好用啊，随便找题啊，随便找题，通通好用。好这个第三个啊，再看这第三个，第三个巴拉巴拉，说这么多咱不做了，留给你们了啊，自己去看一看我说的好不好用。好吧，这一个题他倒是没给你啥，没给你面面垂直还是给你啥了？ 谢面垂直对不对？是不给我们谢面垂直了？那我再去做的话，哦，这个题我稍微说一说啊。稍微说一说， 大家可能从这个题当中得到什么隐藏条件？请问大家，请问一下大家，我有一个线面垂直，我这个 p a 是 垂直于底面的 a、 b， c 的， 而且我这个 a b， c 是 一个直角三角形，那你能得到啥玩意儿？朋友们， 通过这两条件啊？我划线的这两个条件，大家能得到什么有用的信息，好心里有数了吗？那我给大家说，如果你想的跟我想的不一样，那你做笔记以后，碰见这种东西，你就可以直接得这个结论，肯定好用，明白不好，我们就会得到这一个，是不是？它是一个三棱锥啊， 对不对？这一个三棱锥，三棱锥总共几个面？是不是四个面？好，太好了，四个面全是 二 t 三角形，那这对这个题来说非常有用啊，我全是二 t 三角形，那么你去求边长的时候也好，求你得到其他的线面垂直，也很简单，明白不好，那我们通过这个条件进一步的结论，还可以得到新的 线面垂直，不止一个，明白不？不止一个， 好，就是这些隐藏条件啊，那么第三题大家就能做了，尝试一下好不好？尝试一下啊，留给大家当练习去用了啊，练习好，我们翻页再继续看，要不要再做几个呀？ 这种要不要再做了？我感觉做两个差不多吧，再做一个好，第四个排着来了啊，第四个，看看它是个什么活， 一次能追 a 杠， b， c， d， e， 它又有一个面面垂直来，你看面 a， b， c 垂直于面上， b， c， d， e 啊， 现在又知道了这一个 c， d， e， 找到它， c， d， e 九十度，然后 b， e， d 九十度，哦，这是一个直角梯形对不对？这个底面 b， c， d， e 是 不是个直角梯形啊？ 现在知道了， a、 b 等于 c， d， a， b 等于 c， d 很 重要啊，等于二好， d e 这一个 d， e 等于 b， e 都等于一标上它 a、 c 呢？等于根二。好了，我们现在第一问也是不做了，直接做第二问，求这一个直线 a、 d 与这一个 a、 b、 c 所成角的正弦值。 好，来吧，第一步怎么办？第一步是找公共点，对不对？找公共点？哪个点？公共点 是吧？ a 点，那 a 就是 斜足了呗。第一步是不搞定了，那么第二步是我过要过 e 点做什么？做 a、 b、 c 的 垂线，我是不是要利用面面垂直啊？我怎么利用面面垂直？有面面找交线，交线是谁？ b、 c， 那 我赶快的过一点，做 b、 c 的 垂线是不是就搞定了？我说哎呦，这个玩意是不是又把 c、 d 去延长一下？这个破东西 还整的这么花花，对吧？把它给延长一下是，不过 e 点做这个 e、 f 吧，做 e、 f 啊，哎呦，写不好了， e、 f 垂直于这个 b、 c 是 不就行了？找到角线，我马上的过另外一个端点是不？ e、 f 垂直于 b、 c 与点 f 是 不就搞定了， 对不对？这不就完事了吗？垂直，那这个 e、 f 就 百分之一万是干啥呢？这个 e f， 我 这个 e、 f 是 不就肯定是垂直于这个面 a、 b、 c 的？ 为啥？是不又是通过这个面面垂直得到的？面面垂直，我又垂直于交线了，那你说我这个 e、 f 垂不垂直于这个 a、 b、 c 这个面啊， 对吧？垂直，现在垂直有了，那么现在干啥就行了。那我就需要把谁给连接起来了？朋友们是不把这个 a、 f 给连接起来就行了，对不对？ a f 给连接起来来了，快速的连接一下，那么我们知道这个 f 是 个啥玩意儿？是不是垂足 好，现在矢尾就是谁了？矢尾就是 a f， 那 斜线是 a e， 所以 我这个角是哪一个角找到了，是角 e， a f 就是 现在角 找到了。再求值是不就简单了？不，无非就是求三条边儿，当然不用非得求三条边儿，是不求，求出这个 e f， 求出 a e 来就行了。用个求值哦，正切值。天呐，嘴瓢啦，说得不对啊，正切值呢，就是 tangent 角 e a f， 它应该是谁呢？当然就是 e f 比上谁了，比上 af 了。那你把 ef 给求出来，把 af 给求出来是不就行了？那我怎么去求线的长度呢？之前是大家光看我操作了，那我怎么去求线段长度？给大家说一说啊？你不要用立体几何的思维，听见没？我去求线段长度，把它放在平面图形当中。 所以说大家要有一个非常重要的想法啊，我要把线所求的这条线放在平面中， 那哪个平面它运行起来简单，我放在哪个平面当中？我最好的平面是不就有直角的平面，对不对？我可以勾股定力啊，实在不行是不？我再去用什么余弦定力再去求，对吧？所以它想做出来是不也蛮简单的对不对？ 好，大家就可以自己求一求了好不好？自己求一求吧啊，还是比较简单的 好。呃，第五题，再做一个，再练，再练一个，看看通法好不好用啊？说，我从来就没用多余的东西啊，有没有用多余的东西？你有时候会质疑说，老师，你这个题是你找的，你肯定要找对你有利的呀。 我真没有啊，我这是瞎找的，来再看一看吧。啊，这一个第五个啊，那说如图，等腰直角三角形 a、 b、 d 这一个角 b、 a、 d 呢？是一个九十度哦，它是一个等腰直角三角形，这一个角 b、 a、 d 九十度。并且呢，这个等腰直角三角形 a、 b、 d 和这一底面底面，这个 c、 b、 d 是 吧？它还是一个等边三角形啊，互相垂直来，又有面面垂直了有没有？那我想去求界面角，我该不该直接用定义法就搞定了呢？这不肯定行啊， 好，这个 e 点说是 b、 c 的 中点，然后 a、 e 与面 b、 c、 d 做成角大小，来看看 a、 e 与 b、 c、 d 它们的这个假角。呸，它们公共，它们的公共点是哪个点？这不一下就找到了，是点 e， 是 不是这个 e 点，它是不是就是斜足了？ 那我赶快的干什么？什么？过 a 点做 b、 c、 d 的 垂线，我过 a 点做 b、 c、 d 的 垂线，我要干啥啊？朋友们？我是不是？你好有面面垂直，我照交线。交线是谁呀？ b、 d 呀，你做 b、 d 的 垂线，能不能很迅速啊？ 你过 a 点做 b 的 垂线，我这个直接找 b、 d 的 中点就行了，我们让它点 f 吧。那我直接连接 a、 f， 这里垂不垂直是不？百分之百垂直啊，对不对？我直接过 a 点做这个 a、 f 垂直于 b、 d 什么就会得到什么呢？就会得到这个 a、 f 是 垂直于这个面 b、 c、 d 的 线面垂直。搞定了，那么 f 是 不是垂足啊？ 咱赶快的把 e、 f 给连接起来，那么我们就会得到了。把 e、 f 给连接起来，那么 e 点斜足， f 点垂足是不摄影啊，就是 e f 啊，摄影与斜线 a e 的 夹角角， a e f 是 斜面角。 不知道你们有没有笑话，我就说老师你为什么每一次还得再判断一下你为什么这么慢。其实我能一眼看出来， 但是我真怕错，因为以前犯错真的就是挨揍的，你们现在肯定没有这个体验，是不是？这么痛并快乐的体验已经失去了我们那时候，哎，你找不对你会做，做不对那等着挨对上讲台挨揍啊。 现在能有这个想法不？你们肯定经历不经历不着，你可以问问自己比自己大多少岁的一些哥哥姐姐们啊，或者是自己的父母，看看有没有这种痛并快乐的体验。所以说现在你们的生活还缺少一点乐趣啊，是吧。 啊，这个线面角我找到了，找到了再去做的话是不又就去求这些长度啊，是不很简单呐？去求线的长度是不一定要把它放在面当中，各个面当中再去做才能简单起来对不对 啊？画辅助线是不是很容易理解很好做，所以数学很难吗？找到方法而已啊，是不？你现在缺少的是什么？一个人给你把这个方法给你总结下来，那我再去做题，我是不是瞪眼？瞪大眼珠子瞅就能瞅出来这就是所谓的学霸用瞪眼法，学渣跑断腿啊是不是？ 那我们怎么能成为学霸。复制我呀对不对？复制黏贴还不行吗？ 你再不记也能考过这个分啊。我说实话我我当时高考考一百四十多分，但是现在再让我去考现在的新高考我不行，我真不行，考一百四我也考不上。说实话我也考不上，除非他不考新定义了。除非他不考新定义，那我还有可能考上一百四。那我要不然就一百三十多分吧。 那对你们来说够不够？差不多够了是吧？那你复制我完全可以啊，我跟你说，我也是个大傻子呀， 我为什么后来也能可可能考这么好，甚至我现在都能当老师，我也可以把这个方法都给教给你们。你看我的思路好不好，是不是也很好啊？你们也可以的，千万不要否定自己啊，我们都很厉害。来，后边的题不做了，我们看下一种方法好不好？等体积 来吧。够等体积了。那等体积？他为啥我这个定义法这么好用？我不全都用定义法呢？他也有解决不了的问题啊，就比如说这个前提条件他实现不了，那我怎么用？你说呢？对不对？前提条件都用不？都没有，都满足不了，那我咋用？ 我神了，我用不了对不对？所以说它就衍生出了等体积。那我们说一说等体积法什么时候用？呃，这个前提满足不了了就是什么呢？你也是找这个面， a e f 这个面对吧？ a e f 有 没有一个面或者是有一条线垂直于 a e f 呢？ 就是从已知条件当中找啊，你找有没有吗？包括隐藏条件啊。已知条件包括隐藏条件，有没有能找到任何一条线或者一个面垂直于 a e f 能，是不是找不到？找不到怎么办？等体积，明白不？等体积就是为了弥补定义法而存在的。其实我说到这呢，有同学就会研究了，老师你你要讲五种方法呢？我们铁了这一个间隙还有两种缝缝呢， 你丁一凡和等体积都可以把这些事全都干完了。那你后面两种方法是干啥用的？当然是为了我们做题快了对不对？你方法有的是啊，我这两种方法虽然可以解决所有问题，但是 限定有局限性，他就慢呗。那我做选择填空，或者是说有一个题，哎，他给我了一些奇奇怪怪的一些结论，比如说角度问题，给了我很多角度。那我去求线段长度的时候很费劲。那你说我为什么要费劲巴拉的再去求线段长度？我干嘛不用三余弦 对不对？这就是三余弦它的价值。那除了三余弦之外还有一个纯面法，纯面法是对等体积的补充， 对等体积的补充一会说好不好，大家慢慢期待一下啊。哎呀，我这个人比较坏是吧，我讲着讲着就会把后边的一些东西跟大家说一说，是干啥呢？大家别走神啊，你上这么一节课，你不跟在学校里一样啊，你在学校里刷就交那么点学费就学了，你上我这你得不得交钱呀？ 你花这个钱你别花，冤枉了我们，花完这个钱我要学到东西啊，我马上。哎，这节课我收获挺多的。那这才是开心加愉快的事对不对？ 所以我希望大家每一堂课都有收获，所以别走神好不好？有疑问可以提出来啊，好不好？来， 我们还是拿第一个题打个样好不好？我就把它的步骤写一写，思路写一写，思路是啥呢？我们一定是干什么呢？前提条件不满足了，也就是说找不到一条线或一个面 为值于这个面， a、 e、 f 这个面 a、 e、 f 哪来的？是不就是问题啊？就让我们去求的这个面，求证的这个面。好，它就是求证的这个面我找不到，那马上先想等体积， 那什么时候如果你逮着一个等体积，你就会做，那么我们再把垂面法给搞定， 题目就会越做越简单。那这个题是不？我们通过刚才很容易就发现了，没有任何一条线或者是面与 a、 e、 f 垂直，那咋整呢？你说前面的过程也都是一样啊，我们第一步也是找焦点， 找焦点，焦点就是 b、 c 与这个面的焦点。完了没有啊？没有焦点怎么办？平移就是不平行。现在我们遇见了第一个大问题了，我天呐，它没有焦点怎么办？给它搞一个焦点出来，没焦点 做平行啊，做谁的平行啊？当然是做 b、 c 的 平行，接了看看 b、 c 平行于谁，马上地发现它平行于 a、 d， 对 不对？看看四边形， a、 b、 c、 d 是 个正方形嘛，对不对？对边平行， b、 c 平行于 a、 d。 现在告诉我有没有焦点了， a 是 不就是焦点？是不？马上找到了焦点就是 a 啦， a 是 不就是斜足啦？第一步搞定了，那么第二步干啥玩意？第二步是不？这一条斜线上面还有另外一点点 d？ 什么？我过点地做这个面 a、 e、 f 的 垂线？完犊子，为啥呢？因为这个地点，什么做这个 a、 e、 f 每一条边我都垂直不了，是不是就是因为它第一个条件满足不了？那所以说我一做，我能把这个垂足给搞到，但是我就不知道它具体位置在哪，你说呢？什么垂足的具体位置？我不知道在哪， 我就过这个点，这一做 a、 e、 f 的 垂线，是吧？那么我这一个点 d 做 a、 e、 f 的 垂线实际上是什么？是不是地点到 a、 e、 f 的 距离？也就是说我们现在既然， 既然我们找不到这一个线面垂直，是吧？我们要做这个线面垂直，我找不到垂足是不？我们现在面临第二个问题啦，我过地点做这一个 a、 e、 f 做这个面 a e、 f 的 垂线， 回族确定不了在哪儿， 不跟我们做线线垂直一样，我们能直接做出垂足来，那我做这一个过一个点，做一个面的垂线，完了，是不？我们具体画不出来啊，我又不是个机器，对不对？我不是个机器啊，我画不出具体位置啊，我确定不了具体位置，那我就转明白吧，就是第二步，我们就来一个转化， 来个转化，怎么转化？是我们就把这一个垂线就是谁呢？我们就转化成地点到面 a、 e、 f 的 距离。 所以说这第二步就是射距离，我们就是射这一个点 d 到 a、 e、 f 的 距离是啥玩意？是 h 好 不好？我们射它为 h 啊， 这就是第二步，射它的距离为 h。 那 么现在朋友们，我们得没得到一个 三棱锥，注意，我说的是三棱锥，一定是三棱锥，如果这一个面，就比如说 a、 e、 f 这个面，现在它是用三角形去表示的，万一它是用四边形去表示呢？我当然要取四边形的某一部分呢？取三个点是吧？取。正在举手是什么意思？有问题吗？是 你有问题就开麦问啊，反正也没多少个人，好吧。啊，我先继续说啊，我继续说，我把这个东西给补充完整啊，把它说完， 那我们现在一定要注意啊，我要得到一个三棱锥，一定要得到一个三棱锥啊，第三步是我们一定要得到的是一个三棱锥。为啥要得到的是三棱锥？因为它可以用等体积啊，三棱锥是个四面，我任何一个面都可以作为底面出现，对不对？你可以用等体积法去做， 所以这个 h 就 一定能求啊，你说呢？好，我们这个三菱锥啊，而且啊，而且我发现一个特点，朋友们，我发现一个特点不是很准确，不是很准确啊，但是这个特点大部分的题目都有， 如果你是用等体积，如果他是想让你用等体积去求，那么最终求的一定是一个减值，大家看这么减值 那就有见多少，你去求线面角的正弦值就有很大概率超过百分之五十了，也就是说概率是百分之六十多，百分之六十五到七十左右。我没有具体统计啊，我不可能每一个题我都研究研究，因为我现在已经过了这个阶段了哈，就是我，我重点大部分的用等体积法的题，他一定是 用一定不对啊，是大部分用求这个线面角的正弦值啊，我有点打乱同学们的思路了啊，不好意思啊， 呃，我们这个三棱锥一定是搞到一个三棱锥，对吧？就像我刚才说的，哎，我现在如果这个底面或者是所正的这个面 aef 它是一个四连线的面，干什么？我是取三个点啊，是不也要给它强行的搞出一个什么来？搞出一个三角形面来，明白不？那我就可以给它搞出一个三棱锥来了。那这三棱锥就是什么？ 闭眼看就行了，什么过地点，做这个 aef 的 垂线肯定是哪一个三棱锥地方。 aef 是不是 d 杠 a e f d 杠 a、 e、 f？ 那 么我们用等体积的目的是干什么？什么？求 h？ 求 h？ 所以 说等体积是不是现在变成了求体积问题？求这一个三棱锥 d 杠 a、 e、 f 体积问题， 把它变成体积问题了吧。来呗，我们肯定得用到的是哪一个呢？用到它的体积啊，是不是换一个颜色啊？那我肯定要求 v， 哎呦，没换成好，肯定 v， 第一个 a、 e、 f， 我 要给它换一个底面是比较好求的。这个底面那就是谁啦？朋友们，谁你换成谁？它简单。 f 杠什么玩意？ a， d、 e 对 不对？ f 杠 a、 d、 e 是 不就行了？好， f 杠 a、 d、 e。 现在我们就来求 h 了，求 h， 那 么表示一下，它是一个三棱锥对不对？我的公式能不能带？所以它就是三分之一这一个 a、 e、 f 的 面积，对吧？乘上什么？乘上 h 等于啥玩意？三分之一这一个三角形 a、 d、 e 的 面积乘上谁？这笔高是谁？朋友们，高是不是 ab 啊？ 这个等体积咱就不讲了吧。这不，我之前的课已经讲过了，咱就不讲了哈，它就是 ab， 那 么 ab 的 长度是多少？是不是二啊？把它拉掉了换成二。现在我们是不是就求三角形 a、 e、 f 的 面积和三角形 a、 d、 e 的 面积啊？来吧，求一。求 a、 d、 e 的 面积，该咋求呢？哎呦，这个 a、 d、 e 简不简单，好不好求啊？是不比较好求啊？哎呦，我天呐，真是开心啊！三角形 a d e 的 面积，因为它是什么？它是不是一个直角三角形啊？它是直角三角形，那它就应该是什么？ 这个三角形面积 a d e， 大家有没有发现 a d 是 多少？底面是不是一个正方形啊？也就是 a d 是 不是二啊？ 哦， e d 是 不是二啊？所以它的面积二分之一乘二乘二，对不对？等于二。好，这一个我把拉掉了，也是二，那么现在就换成了求这个三角形 a e f 的 面积了，它就难求了。 a e f 是 不是挺坏的？这个角，这个三角形，是吧？这个三角形挺坏的，再把它求一求吧。 那我们去求的话，哎呀，还还好吧，是不可以直接先得到 a e 是 多少？勾股是二根二， 我们是不是还可以得到这一个 a f 多少？勾股，对不对？当然了，我们用勾股的时候，是不是这个 f b 就是 一啊，这里是二，那么 a f 等于多少？是不是根五？好了，那么我们还会得到什么呢？ e f 啊，是不还缺个 e f 了？ e f 咋求呢？ e f， 大家看 e f 的 球，哼，它是不是一个直角三角形？朋友们，是不是，是不是一个直角三角形啊？ 呃，前面应该会用到啊，前面应该会用到，那我直接给大家这一个是一个直角三角形啊，那这个 e f 应该是什么？ 不是不是，呸，我说说的不对啊，不是说它是一个直角三角形，我们要得到的是谁呢？那你去去得，我，我给大家画一画啊。我的问题，我给大家画啊，那我现在把这个 b d 给连接起来好不好？ b d 啊，给连接起来。来吧，会有这么一个图形出现啊。 这一个，这个点是谁呢？ e， 这个点是 d， 这是 b， 这是 f。 来，现在有谱了没有？有没有谱？它是不是二？它是二，它是不是一？你去求它，能不能求？朋友们，能不能啊？不不不，它不是，它不是二，它是 b， d 是 不是应该是二跟二啊？ 啊？能不能求啊？朋友们，你看这个 e、 f， 我 往上做这么一条线，你看我们在求线段长度的时候，我是不是都是附着于平，把它给搞到平面里头了？ 我啥也去搞别的东西了吗？是吧？别的东西我没搞啊，我都是想去求线段长度，我去给他找平面，我最好找的就是有直角，对不对？找有直角的，因为某一条线他可能属于很多平面， 那这是我允许的吗？我当然不想了，对吧？我要给他找他所在的某一个平面，哎，这一个平面的图形是一个什么样？它就是图形，它里面有垂直风气，你因为直接有垂直，你要么三线合一有垂直，你要么菱形对角线会像垂直。说你。总而言之，你不直接告诉我，你也得间接告诉我， 对不对？好，这就是我们能得到的，它应该是多少？它是不是就二分二？二的根，二这一块长度是不是就一？所以你能不能勾股一下根号？下啥玩意？二根二平方加上一的平方。哎呀，太好了，这不得 里面是九啊，什么开根号？就是三， e、 f 也有了。那你看啊，我因为我们发现这个 a、 e、 f， 它不是特殊三角形的，它不是特殊三角形。那怎么办？你不是特殊三角形，你怎么去求面积？ 这用不用到我们前面学的解三角形的题，解三角形的思维，四条边都有了，朋友们，怎么去求面积？我当然先用余弦定力，将余弦值给求出来，再把余弦值换成正弦值。我可不可以用公式了？这不就可以了， 现在苦哈哈的又上线了，什么要求口算用余弦定力啊，这是我最不爱干的事。代数运算，我不行啊，我水平不够啊。 a e 的 平方加上 e f 的 平方，减去 a f 的 平方，比上啥玩意二倍的 a e 乘上 e f 吧，代数呗，好不好，代数我代数总该比我快吧， 八加九减五，对吧，比上什么呢？二乘二跟二再乘三，那么它应该等于多少？呦，这个数还挺好嘞哈，二分之二，哎呀，太好了，那我们就可以得到这个 c 音了，是吧？ c 音减 e f 就是 多少也是二分之二啊，速度嘛，人家对不对？好， 太开心了，我们搞到了，那它的面积能求了不？这一个面积是不就可以求了？二分之一的这一个 a e 呀，乘上 e f 啊，再乘上乘音加 a， e f 啊， 代数呗，它应该是多少？二分之一，哎呀，二分之一乘上二根二，再乘三，再乘谁呢？再乘这一个，二分之根二等于多少？算一算， 咔咔约掉了，然后二二约掉了，剩下个三了，对吧？面积是三，那现在代数吧，把它咔搞里头，它是三，那么现在能不能得 h 啊，通过这一个 h 是 不是就显身了？ h 等于多少啊？朋友们？ 嗯，三分之一，三分之一，咱先约角啊， h 是 不就三分之四？太好了， h 三分之四，那么现在比较劲爆的东西就来了啊，那求且值是谁？我这上面这个角就是 c 塔，我是这个角是 c 塔，那这一个色音 c 塔就应该等于什么呢？等不等于这个 h？ 这个 hr 比谁啊？比斜线，比这条斜线，斜线是谁？是不是 a d 啊？朋友们，是不是 a d？ 现在我们是不是只要知道 a d 是 多少，这活完成了好，是不是？知道的，一定要记住这个这个东西啊， 是不是你只要能把这个这个垂线给做出来，你说我这一个线段角的正弦值是不是 h？ 比斜线对不对？呸，我这个余弦值是不是点比斜线？ 我今天晚上嘴老不好用啊，大家听见错误帮我改一改啊。好什么，就这么一个玩意，代数率算得三分之四等于什么？二等于十三分之二，搞定， 学会呢，好了，整理一下啊，看这第二个啊，第二个题啊，还有这还是全国假卷的，呃，四棱锥 p 杠， a， b， c， d， 呃，趁这个话头啊，跟大家稍微说一说啊，我们这个立体几何，你甭管平常做的多么费劲，多么难，高考， 反正 b 题几何高考题没出现一次难题。哦，也不能这么说，都见过两三次啊，很难的题目出现过两三次，其他的题目都是很平常的题目，就和解三角形一样，它是一个常规题， 都是怎么做呢？很容易得分，第一问肯定正平行或者垂直，第二问干什么呢？去求角度三大角问题。但是一面直线所成角一般不求，一般是斜面角或者是二面角，考二面角角的角的可能性更大，或者是已知二面角是多少度。去求斜面角的这种题目，或者是出现动点的这种题目， 他可能考察的是这个样式，那但是这种题呢，你现在用几何法可能做起来费劲，但是我们慢慢的，如果有学到空间向量的朋友们呢，就会觉着，哎呀，不就是代数运算吗？ 所以说我们假期里讲的这个空间向量就是非常好的一个工具了。那高考的第二问，第三问可能都是间隙去做， 所以说大家现在几何法先好好学一学，我们把这种通法给学到，那么有一些比较复杂的题目，比如说重点问题，轨迹问题，我们就可以用空间向量去做了，所以大家不要害怕。好吧，不要害怕，我们高考肯定考的是常规题 你，当然你现在学的是立体几何，他当然会有很难的题目给我们做了，肯定会有很难的题目。 那这些东西我实在学不会怎么办？先放弃也不丢人嘛，那我们到后来学了更好的方法，再去回过头来再解决这个题，是不也行啊？反正能解决掉就可以，不要在乎是哪一个阶段我能学会。好吧，眼光放长远一点， 那我们就开始喽。这个第二问啊，全国假卷这个第二问啊，呃，四棱锥 p 杠 a b c d， p d 是 垂直于这个底面 a b c d 的， 然后有了一个什么玩意呢？ c d 是 平行于 ab， ab 等于 dc 等于 cd 等于一。哎呦，这是个啥玩意？朋友们，这是个什么东西啊？ ad 等于 cd 等于 cd， 然后它和 bc 是 这么一个关系。那我请问你们看我画波浪线的这个东西讲到的是什么？ 朋友们想到的是什么东西？等腰梯形，而且它们的上底线和腰之间的关系，满足一比一比二，那么它就是一个什么东西呢？百分之百会出现垂直关系， 这个东西百分之百会出现垂直，这就是我们的垂直模型里面有的东西，对不对？垂直模型有的，如果你看见这个已知条件，马上想不到这个事，那你做做起题来就费劲了。 那这一个东西呢？垂直模型可能有有新同学没没上过我的课，或者是说有些他没领过这个资料的，你可以看一看这一个，这个等腰梯形，它满足一个什么关系呢？你看 它们之间的关系，等腰梯形的话，它满足一比一比一比二，那我就一定会得到这一个玩意儿。 b d 是 垂直于 c b 的 是不是？为什么？自己去挣，能不能挣出来， 对吧？自己去挣一挣啊。好，如果你得不到这个东西，说明你这些常见的一些模型你心里做不到，心中有数，那咋办？你做题还能很快吗？隐藏条件你都找不到，你还做个屁，对不对？所以你就要干什么？停下来，反过头来去干，干这些线线垂直的常 见的，那么其他的都是用什么干呢？其他的在这里面没有的就是相似，他有些题目可以用相似去做。 好，你再回过来了啊。所以说大家看见这种条件一定马上想是什么样的结论啊？马上想结论，好吧，马上要想结论呐，来吧，再继续看啊，它让我们去求什么呢？这个 d p 和这个 p a b 所形成这个角的正弦值，来吧， 焊几个标志，一个标志是正弦是不？有可能是等体积。再有就是这一个 p a b 这个面有任何一个面和它垂直吗？有没有有线或者是面能与它垂直 的是不？不行啊，对不对？找不到已知条件当中有这种隐藏条件，找不到，那怎么办？ 等体积喽，对不对？等体积了啊？等体积，那我们第一步怎么搞？是不？找到谁焦点？什么焦点？就是 p 点， p 点就是斜足了呗。 好，第二步干啥？是不过地点做这个面的垂线，我当然就是设了，是吧？设这个 d 到 p a b 这个面啊，我没写面面 p a b 的 距离 是什么玩意儿？为 h 是 吧？下面儿第三步就是干什么了？等体积就上呗，那我肯定会得到。那从第二步就会得到 g 到这个面儿距离当然是哪一个面积啦， 哪一个的体积啦？ d 杠 p a b， 是 吧？然后等体积法就上，干啥玩意是不？我给它换呀，我看底面用谁比较合适？这不就很简单吗？观察一下就发现了， p 点是零点，底面是谁？ a b d？ 喏，完事了，朋友们，搞定了，是不是很简单？ 来吧，第三个题，第三个题目，看一看，他说这一个四棱锥 p 杠 a d c d a d c d 这个矩形呢？ p a 是 垂直于这个底面的。来又有啥了？ 看这两个条件，你得到的隐藏条件是什么？这一个某一条线垂直于了底面，我们之前在前面的时候说过，是吧？定义法的时候说过，一个线和一个面垂直，我这个面是个直角三角形，那我会得到的面，所有的面都是什么？都是直角三角形，那么对于这个来说，它底面是个矩形。哦， 那我得到的结论还能出现很多不一样，呵呵呵，是不？不会啊，它是不？我四个侧面全都是直角三角形对不对？四个侧面是不全都是直角三角形？ 好，这个条件就是什么呢？我通过那个定义法，那个第三题是吧？隐身出来的是不？它的这个四棱锥，它的四个侧面 均为二 t 三角形，那当然了，它也有很多线面垂直喽，对不对？ 然后 e 点是中点，他叭叭的说了这么多东西啊， e 点是中点，然后已知这个 ab 等于二，写上 ab 等于二， a d 等于二，根二 pa 也等于二。让我们去求这个线 a， e 和这个面 p c、 d 所成角的大小。我们看 p、 c、 d 有 哪一条线和 p c、 d 是 垂直的吗？没有吧，或者是面是不是也没有？有没有？有面有没有面？好像是有的哈，面是有的 哦，这个题还可以用别的方法去做，但是我们这题我们用等体积吧，好不好？我假设我没，没瞅见，我没发现，好吧，我是眼有点瘸，我，我有点没发现，那我就用等体积去做啊。那现在第一步干啥玩意儿？是不找焦点？焦点是谁？ a e 和这个 p c、 d 当然是一点喽，一点是不就斜足 下一步干啥？说过点 a， 设这个 a 到这一个 p c、 d 的 距离 v h， 对 吧？然后第三步，然后就是第三步喽，第三步干啥玩意儿啊？ 我现在，哎呀我天呐，我去找这一个面儿，那我跟这个是不？我要看这个第二步啊，你不用去干啥？不要去，你非得跟跟 e 扯上关系，不要这么头铁好不好， 不要非得这么刚啊，对吧？所以我们找的是谁啊？是不是这一个 a 杠 p c、 d 是 不是他一定要出现，那么要给他转换？那 a 杠 p、 c、 d， 那 你转换的话，你该不该连接 ac 啊？对不对？好，连接 ac， 那 就会出现啥玩意呢？朋友们， 好，就会出现了啊？屁，是顶点，那么底边就是 a、 c、 d， 简单了不就搞定了？有没有疑问说你这个对 e 都没有关系了，咋为啥跟 e 点都没有关系呢？你要看嘛，你这个 e 在 哪个面上啊？这不 p、 c、 d 面上你 a 到 p、 c、 d 的 距离， 你或者是说你 a 到 p、 c、 d 的 距离和 a 到 t、 e、 d 的 距离不是一回事吗？啊？过一个点到某一个面的距离还会出现两个？不可能吧？所以你干嘛要难为自己呢？你为什么要非得用上 e 点呢？对不对？我不用啊，那我就不能求了，也能搞定对不对？ 好，也能搞定啊，当然了，你最后要去求它正弦值的时候，你是不是又用到要去求 a 一 啊？是不是？你这时候再用一点就行了对不对？好，学会等体接吗？学没学会，朋友们，学会了我们再继续进行下一种方法了啊。 后面的题目我们就不做了，这些题目我留给大家自己做做研究一下吧，好不好？有题可做。老师，你这个方法到底同不通用呢？你是不是研究一下啊？ 说你老师你讲这标东西你都不好不通用，你给我讲它干啥？他不会的啊，我一定会让它通用的，所以大家试一试好吗？然后下一个就是垂面法了，朋友们，垂面法。但是垂面法是什么意思呢？ 这个垂面法我们之前我刚才说了，就是之前说过这个垂面法是个啥玩意？是不是对这一个等体积法的一个补充？我们为什么忘了等体积法？是不是尽是因为这个垂足我不知道在什么位置？那如果我知道垂足在什么位置了，一幕是不是又变得简单起来？ ok， 好， 那我们就看一看怎么去找垂足在什么位置。这就是所谓的垂面法了啊。找垂足在什么位置？来读读这个题啊，读一读这个题，当然了啊， 能以垂面法的全部可以用等体积，明白不？也就说垂面法要死活学不会，那你不用会，我用等体积能做好不好？它不是说多么漂亮的方法。对对，你就这个方法多牛，它不是， 那你学不会无所谓。好吧，等体积能学会就行，但是我建议大家尽量能学会这个垂面法，因为等体积运算量可能是有点大，对吧？ 所以呢，我们才衍生出了锤面法，就是有一些学霸，他说成了一个事，你这个方法太笨了，我有一个更好的方法，所以就出现了锤面法，这就是什么？原来没有路是吧？走着走着是不就有了？这就是后人走出来的路。锤面法， 你有没有发现有很多的方法，你在学校里没有学，没有听，其实并不一定是你老师不会，而是他觉着不用讲也行，他觉着不用所有人都会。 我，我觉着我不用把话说的特别明白，大家也能知道是这种什么状态，对吧？好，咱详细的把这个题做一做，那这个第一题我们也是当做例题去讲了好不好？ 四棱锥 p 杠 a b c d， 这个 p d 是 垂直于底面的， c d 和 a b 平行，然后又有这么一个东西呢？ 等腰梯形是吧？满足这么一个比例关系，而它和前面这题是不一样的，对不对？是一样的。好，那这个题用回面法该怎么做呢？ p d 我 们就不用等体积了，我直接用回面法是什么意思呢？我们垂足法是什么意思呢？我做出一面和 p a、 d 垂直。 好，我们就是过 p d 的 面儿，我们要做啊，肯定没有，是我们要做一个过 p d 的 面儿， 它同时垂直于 p a、 b， 我 要实现这么一步操作，就叫做垂面儿了，也就是说我要做所求至这个面儿的垂面儿， 能懂不？那我怎么去做这个水面呢？我当然得利用已知条件这个线面垂直了，对不对？我要借助线面垂直啊，也就是已知条件，他一定得给我线面垂直，他不给我线面垂直，我做不了啊， 能懂不？好？也就是说我以前我们研究的是面，现在我们研究的是线，这条线， b d 这条线啊， p d 这条线是垂直于哪个面了？是不是？它肯定得垂直于某一面？那我再去做线面垂直， 那么我去通过这个线上垂直，我去做这一个面面垂直，得到一个垂面。好，具体操作过程啊，我们现在过地点做 a、 b 的 垂线， 我来了哦，过地点做 a、 b 的 垂线，让它是点 h 好 不好？这一个就是垂直的啊，好，具体写一写过程，要不然大家到后来忘了怎么办呢？是吧？因为这一个方法在学校里可能很多的地方都不讲的， 我们做了这个 d h 垂直 ab， 我 就其他的字我就不写了，巴巴的叫 ab 与点 h， 这种话就不写了。好吧，那第一步操作为什么要这样操作呢？因为这个 p、 d 是 不垂直于这个面儿 a、 b、 c、 d 的。 大家这个过程写一写啊，因为你在网上找这个方法，你就用作业帮用所有的搜题软件，你搜出来的都不可能是这种方法，明白不？所以说大家这个题要上点心啊，你用搜题软件搜不到啊，其他的我们强调的可能能搜到 啊，可能因为它大部分可能也是用的间隙的方法去做的，所以说你一搜搜出来的是间隙是非常有可能的。那我给你们的方法步骤就很重要，对吧？ 你在网上搜不到啊，我这个 p、 d 垂直这个面 a、 b、 c、 d， 那 我能得到什么呢？这个 a、 b 是 不是属属于这一个 a、 b、 c、 d 这个面啊，对不对？所以我们能从通过它得到什么？是不是得到这个 dp？ 哎呦，写 dp， dp 垂直于 a、 b 啊， 对不对？所以说你看看嘛，我们做了一个线线推直啊，我们又得到了一个线线推直是不？从线面得线线，那我两个线线，我能通过这两个东西得到啥玩意呢？我能不能得到这一个 ab 是垂直于这个面谁的？我把这个 ph 给连起来啊？朋友们，连起来，那我们就会得到这个 a、 b 呢？是不是垂直于这个面 p、 d、 h 的 呢？是不是？朋友们，是吧？ 那我们还会发现一个事情，还会发现一个事情，是什么呢？这个 a、 b 呢？是属于这个面贴 a、 b 的，是吧？我们现在这么些垂直。哦呦，是不有这么多垂直？现在我能不能得到通过这个线面垂直我再得到， 得到啥呢？能不能得到这个面 p、 a、 b 是 垂直于这个面 p、 d、 h 的 呢？什么通过线面垂直直接得面面垂直？因为面什么？ a、 b 这个 p a、 b， 过这个面，过这条线，过 a、 b 这条线，对不对？ 是不是这样？那我得到我想要的垂面了，得没得到。所以说大家看，我们一定要有的条件是哪一个？做这种垂面法一定一定要有的条件是哪一个？是这个绿色的，这个绿色的条件 g、 d 垂直于这个面 a、 b、 c。 是不是？我通过线面垂直是不可以得到线线垂直两个线线是不得线面得线面是不通过线面得面面。搞定了，我想要的东西就有了。那你说我费劲巴拉的搞出这么一个东西是为了啥呀？我为啥就一定要做一个面面垂直呢？就是因为下边这句话啊。 下面这句话注意，那我用一个黑色，黑色的字体去写吧。哈，那就是什么？我，我现在写这个斜足，是不是点 p？ 我 该干什么？过这个地点，是不是做垂线，做这一个 p a、 b 的 垂线？所以说我过这一个地点做这一个面儿 p a、 b 的 垂线。 维族在这一个面儿 p a、 b， 我 就写的详细一点儿了啊。面儿 p a、 p a、 b 与这一个面儿 p d、 h 的 交线上，对不对？这是一个什么？是不是基本值对不对？你看我过地点做 p a、 b 的 垂线，过地点做 p a、 b 的 垂线，这个垂足 回路是不是既在 p a、 b 这个面上，也在 p d、 h 这个面上，对不对？是不是一定得是这样？那么它既然一定是这样的话，那它是不是在这两个面的交线上呢？朋友们， 是不是？所以说你就要记住了，如我为什么要做这个线面垂呃，面面垂直，是不是？我再去做垂线的话，我就知道垂足在什么地方了，对不对？垂足在什么地方？那我们这个垂足我让它是谁呢？是点 j 好 不好？ 我这 g 没有用啊，我这举重没有用，我就给大家演示一下。好吧，那我们既然知道它在 p h 上，我随便点一个点就是 h， 你 说我这 h 点它在哪？影响我线面角是谁吗？影不影响我线面角是谁？ 是不是影不影响我这个 g 点？你在 p h 上的哪个位置影响我的线面角是谁吗？是不永远不影响，因为我的线面角就是谁啊？ 就是这个 d p g 是 吧？ d p g 也就是谁呀？ d p h 是 不是就是角？ d p h 它和这个垂足有关系吗？是，我们就找到这条交线就行了呀， 是不是我做界面垂直，面面垂直想要找的是谁交线？那我这一个夹角就是谁呢？这个交线与斜线的夹角 对不对？交线与斜线也不能说是假角交啊，就是假角。交线与斜线的假角是不是交线与这个斜线的假角是不就是这一个线面角了？好，就是谁呢？交线与斜线 线面角 好，这种做法就一定会比什么快，就一定会比等面积等等体积法要快，对不对？就一定要快。为啥呢？你现在是不是直接求什么这个角的正弦值？那我写 步骤补充完整了啊？步骤补充完整了，那我先要看看我求的是谁？是我用正弦，对吧？他要求正弦值嘛？求求正弦值，正弦 c 角 dph 就 应该等于谁？就等于 p， 不 对不对。什么 d h， d h 比上 ph 是 不是？那我是不是只要把 d h 给求出来， ph 给求出来就行了， 对不对？那我看已知条件吧，从已知条件当中找 d p 是 不是等于根三？我知道了，那么 d h 呢？ d h 又是多少？朋友们具体看看应该等于多少？ 我很快就可以求出来。 d p 等于根三，这个 d h 我 简单算一下啊，它是二分之根三，那这个 p h 我 们用勾股定律就会得到，它应该是二分之多少？二分之九，然后应该是二分之根号十五啊， 得到了这些东西呢，要往里代数就行了，你看是不会比等体积要算的快一点。二分之根三比上二分之根号十五，那它就应该等于多少了呢？五分之根号五是吧。 你就用这种做法，比间隙做的也要快的，比间隙法做的也要快，懂了没？垂面法有没有看懂？有没有看懂啊朋友们， 看懂了不好，那我们再做一个吧。垂面法再做一个好不好？来，我们把。要截图吗？截图就往上截啊。 那我们看下边这个东西，下边这个东西呢？挺好的。这个题我为什么非常想讲一讲呢？因为我们在做立体几何的题目当中，是吧会遇到这种折叠问题啊，一个平面图形哎，我经过折叠 会得到哦，就做他不太好啊。这二面角咱还没讲哈。二面角还没讲，那这个题咱先保留着吧，好不好？先保留着啊，先保留着，等我们 呃，学完二面角大家再回来过头来用这个纯面法再做做好不好？但是这种题非常好啊，这种题真的非常好，折叠问题非常好，因为折叠问题我们一定要找不变量，对吧？一定要找不变量，在折叠的过程当中它永恒不变， 对不对？或者是说我们折完了之后还用折到哪个点？在折叠过程当中变成了哪个点呢？对不对？哪个点进行变化了？要知道，那这一个平面图形当中的平行关系， 呃，不能这么说，垂直关系会不会发生改变？它某两条线的垂直关系会不会发生改变呢？ 是吧？不会啊，不会发生改变啊。好，后边的题目咱就不做了，吹面法就讲这么一个就行了。讲的太完了， 大家把这个吹面法的过程步骤给整理了吗？整理了啊，如果，如果实在没有听明白吹面法是怎么个东西，那你就用等体积法去做就行了好不好？别难为自己啊，没有必要是不是， 它又不是多么优秀的个方法。三与弦，三与弦，这个方法我建议大家听一听行吗？我建议大家一定要听一听啊， 三与弦，三与弦定律呢？为方便我们去做题，它会提供很多帮助的啊。这个三与弦定律指的是一个什么事呢？我现在是吧，做了一个线面垂直得到了一个摄影，然后呢？我这个摄影所在这个面阿尔法还有这么一条线， 他过了这个斜足是吧？过了这个斜足和射影形成一个假角，那我们就会得到三种角了。第一种角是什么呢？线面角 o、 a、 b 这个线面角。那第二种角是谁呢？第二种角是这一个射影与射影所在平面 当中的某一条线形成的夹角，最后一个角是这条斜线与阿尔法平面当中这个线所形成的夹角，那么他们三个存在这么一个关系，我刚才叭叭这么说你有没有人敢说？哎呀，老师，这个东西真难记啊，我天呐，哪个角是哪个角，好乱呀， 那我给大家来一个节奏好不好？那我们以线定角，然后用这一个结构呢？去记公式，那我这个结构是什么呢？第一条线先写线啊，三条线定三个角，三条线分别是斜线， 就是说平面的这条斜线，这条斜线是不是对于这个图来说就是 o a 啊？对于这个图来说就是 o a， 那 这条斜线，然后嘞？第二条就是射影， 我写上啊， o a， 那 射影是不是就是 a b 啊？第三条线就是和射影在同一个平面并且过斜线的这条线 就是这条线，就是奇奇怪怪的一条线，我也不知道给他起个什么名。好吧，你自己用语言描述一下吧。啊？就是什么呢？和这个摄影所在的平面是同一个面，是不？然后呢？ 当然了，就是在哪个平面内，是不在阿尔法这个平面内啊，并且他过斜线。呃，过斜竹，过斜竹啊，过斜竹是不是与摄影形成夹角的这个这条线 啊？这条线对我们来说就是 a c， 对 吧？三条线写出来了，那么我们就可以斜角了啊，给大家画这两个之间的夹角就是 theta 一， 这个两个之间的夹角就是 theta 二，这两个之间的夹角就是 theta。 看像不像一个笑脸啊？它笑了吗？有没有笑？ 不光笑了，还吐舌头了呢，对吧？有画画天赋，还行，哈哈，能弄不用三条线定三个角，斜线是这样，然后阿尔法平面内的另外一条线， 那要过斜线，要过这个斜足啊，过斜足。那这 c 叉一就是什么？记住了，我这个 c 叉一呢？就是斜面角啊。 c 叉一就是斜面角，记住这个东西就行了。 陷面角，当然你不记也无所谓，这个斜线与射影的夹角你能不知道是陷面角吗？是吧？是我有问题还是你有问题？ 你肯定会知道的，对吧？所以肯定是我有问题了。那我们肯定是什么呢？这个最跨度最长的这一个 cosine theta 等于什么呢？等于这两个小人相乘， cosine theta 一， 乘上 cosine theta 二。看出这个结构了吗？通过这一个图，是不是这个结构我就出现了。看懂了，不？ 看懂了，那我们做这个第一个题啊。第一个题，我不让你用别的方法，就用三鱼弦啊，他用别的方法也能做，不是不能做，而且也挺快的，但是我就我就挺坏的，我非得让你用三鱼弦，我们尝试一下好不好？那么遇见题目不要慌什么，先写三条线，第一条线是什么？斜线着斜线说 ab， a， b， 然后找射影是吧？现在是一个这样四面体，他是不是已经帮我们把回族嘿，是不是已经帮我们把这个线面垂直给搞定了，对吧？线面垂直已经给搞定了，是吧？ ah， 垂直好，也就是说什么呢？我们知道了第二条线射影是什么？是不是 b h， b h， 然后第三条线就是和 b h 过斜轴，有，有这种角的这种， 那么我们用谁用谁都行啊。用 b c， b d 是 不都行啊？我用 b c 吧，好不好？随便啊，是随便，你用 b、 c 和 b、 d 都行，只要他给我协助和这个摄影是在同一条线上，满足这点条件就行，不用纠结是谁，懂不？不用纠结是谁，好，现在画笑脸了。 他两个之间是我要求的 c 塔一，他两个之间是 c 塔二，他两个之间是不 c 塔。然后我们去标这些角度好不好？ 但他既然想让我们去求线面角，我肯定肯定得不到 c 叉一了，对吧？然后我们看 c 叉二是多少？ c 叉二是 b、 h 与 bc 的 夹角。来吧，它是一个正四面体。 朋友们，什么叫做正四面体？什么所有长均相等的三棱锥，所有长均相等的三棱锥，对不对？就是正四面体，所以底面这个 b、 c、 d 是 不是等边三角形啊？那这个 b、 h 通过这个三线合一，咱可以得到。那这个角 c、 b、 d 是 多少度啊？ 说三十度啊，搞定一个。说他三十度，那我再看 c， 他 再看 c， 他 就是谁呢？ a、 b 与 b、 c 的 夹角对不对？ a、 b 与 b、 c 的 夹角，你说这个角是多少？那么 a、 b、 c 当然也是同边三角形了， 那你说 c， 它是多少？六十啊，对吧？那现在用公式，口塞音六十度等于口塞音 c 塔一，是不？这是我们要求的，再乘上口塞音三十度，你说口塞音 c 塔一能不能求？然后反过来求塞音 c 塔一，能不能得了？简不简单？ 当然了，你用定义法是不是也很简单呀，对吧？也很简单，没毛病吧，是不是？用啊，用这一个用定义法是不是也很简单？但是我，我不说了吗？我比较坏，我非得让你们用三鱼弦吗？那三鱼弦学会了没有？ 明白了吗？然后我们做一个浙江卷，好吧，浙江卷比较难啊，比较难。那我们看一看，也是看第二本啊， 这么一个三棱台，我要把它擦掉了啊，要截图的，赶快截好不好？要截图赶快截啊，我要干第二。问了第二题了啊，这个第二题我想给大家补充结论，所以必须你看大家，我必须要把它擦掉，因为地方不够，我要给大家记结论了啊 啊，朋友们，搞定了吗？好，擦掉啦，我们看第二个。呃，第二个题目在这个三棱台 a、 b、 c 杠 d， e、 f 当中，这个平面儿呢？呃， a， c， f d， a， c， f， d 是 垂直于底面 a、 b、 c 的， 然后告诉我，四十五度，四十五度谁呢？ a、 c、 d 标一标吧。 a， c、 d 是 这个角，四十五度，还有哪个角呢？ a， c、 d 这个角， 这个角也是四十五度。好，这两角看到了吗？我用点啦，我点点是不？这两个点点就是都是四十五度的啊。 d， c 等于二倍的 bc， d， c 等于二倍的 bc 啊， bc 呀，等于二倍的 bc。 注意看这个结论，这个条件有什么用啊？ bc， 划错，天呐，我这个眼珠子不好用呢，为什么呢？ d、 c 等于二倍的 bc 有 什么用？咱借助它第一问吧，好不好？咱第一问，它不正了啊，借助它的第一问 d， 呃，这个 e、 f 垂直于 d， b 垂直于 d， b， 那 么，那么 e、 f， 因为它是一个三棱台，对吧？那这个 e、 f 是 不是平行于 bc 的？ 那我们能不能得到这一个 bc 是 垂直于 db 的？ 那我再结合这一个条件，我能不能得到这一个三角形是一个什么样的直角三角形？ dbc， 这里是不是垂直的？是不是？它是二，它是一，它是不是跟三？这只是关系啊，并不是说它具体的值啊，只是说它的关系是不是这样的。多少度？有没有谱？ 六十度，三十度，这不有这么一个结论好。然后这个题不知道大家看见了这两四十五度的想法是什么？ 我不知道大家的想法是什么？看见了这一个 a、 c、 b 和 a、 c、 d 都是四十五度，哎，从一个点分出来的三条线对吧？ c、 d， c， a、 c、 b 两两就是相邻两个的，呸，也不能这么说，就是 a、 c 和 c、 d 的 夹角四十五度， a、 c 和 b、 c 的 夹角也是四十五度。你通过这个蓝色的东西，你能想到的结论是什么？你在心里有没有一个什么样的结论？如果没有，回去弄你的数学老师啊， 他不给你们记是不行的啊。我们有这么一个结论啊，点在平面内摄影的常见结论是什么？ 第一个自己看一看啊，我们用到的是第二个，第一个自己看不是说他没有用啊，你需要看好。那我们用到的结论是什么呢？经过一个角的顶点，引这个角在平面的斜线，如果这个斜线与这个角的两边 假角都相等，那么该斜线在平面内的射影是这一个角角平分线所在直线。你看看我们这个题满不满足这一条线 斜线与这个角两边的夹角相等，有没有？ a、 c 和这个 d c 四十五度， a， c 和 b c 四十五度。那我 a、 c 上有一点，我在 b、 c、 d 上的投影应不应该在这个角 b、 c、 d 的 角平分线上？应不应该， 是不是就应该了？那这一条好不好用？你在学校里老师给记了吗？ 那这会我为什么一定要问？你看见这种这两个等角，那 a、 c、 b， a、 c、 d？ 那 a、 c 什么？ a、 c 什么， 是吧？一定问你这个东西的原因，你如果知道这条，那这个题有很多缝线，如果你不知道，你老老实实地用定义法去用，用，用间隙法去做吧。间隙没有，我这个方法要简单啊， 啊，几何一般，比极限还要简单，一般只是说一般啊，那我们现在它不就是 d、 f 和这一个 d、 b、 c 所成的角吗？ d、 f 我 平不平行于 a、 c 啊？那我们看啊，这个 d、 f 这个标东西是不是平行于这个 a、 c 的？ 我强调这事干啥？我想做辅助线啦，朋友们，我现在咔过这个 d 点做，这个 d、 o 垂直于 a、 c 是 吧？它垂直于 a、 c， 哇，我现在做了这么一条线，那你说我这个 d、 f 与这一个面所形成的角等，不等于这个 c、 o 与这一个面形成的角呢？也就是说啊，我们实现了一步转化啊，是什么样的转化？这个 d、 f 与平面 d、 b、 c 所成角，就等于这个 c、 o 与这一个平面 d、 b、 c 缩成角，是吧？因为它平行。那么现在我们可不可以用这个第二条这个结论呢？那我这个 o 点，我 o 点在这个 d、 b、 c 这个面儿上的 垂线，呸，它的射影是谁呢？是谁在什么位置？ 是不？我们就一定会有这么一个东西出现啊，我们就一定会得到这一个点 o 在 面 d、 b、 c 在 这个面 d、 b、 c 的 摄影，呃，这个摄影，我们说是点 g 吧，好不好？摄影 g 就 一定在这一个角 d、 c、 b 的 角平分线上 就得到它了，明白不？就一定在这个角平分线上？ 好了，那在角平分线上咱把它画出来呗，是吧？搞出来，把角平线给做出来，那这个 g 点就一定在哪啊？ 随便给它来一个位置吧。好吧，我们就假设在这吧。现在，那我们能不能得到这个 o、 g 就是 垂直于这个面儿啊，是不是？我们是不是就可以得到了？噢， o g 呀，你这个标东西就是垂直于这个面儿 b、 c、 d 的， 对不对？好，我写成这个破玩意来，是为了干啥？是为了干啥呢？朋友们，三鱼弦再用一用呗，好不好？三鱼弦用一用啊，来 用线得角，第一条线是什么？斜线？斜线是谁？ c、 o？ 第二条线是谁？摄影啊，摄影是谁？斜足垂足是 j， 斜足是 c， 所以 说它是 c、 g。 第三条线是和过这一个过，这在这个 b、 c、 d 当中找一条线是，不过这个斜足啊，那当然可以是 b， c 是 不也可以是 d、 c 啊？那我们要它是谁，你爱是谁是谁，我就 d c 吧，好不好？ d、 c。 现在来找角，找角第一个是不？这就是线面角，我要求的我动不了，然后这个 c 它是不也能找？来吧，挨着找 c， 它二、 c、 t、 c、 g 和 dc 的 夹角 c、 g 和 dc 的 夹角。来吧，这个 dc， 这个 c、 g 是 什么？是不是减分线？这个角 d、 c、 b 是 多少度？注意看这里 d、 c、 b 多少度？六十度，它的减分线说明它是多少度？三十度， 对吧？好，然后再看 c、 t、 a， 也就是 co 和这个 dc 的 夹角 c、 o 和 dc 的 夹角，是不是？ c 和 dc 的 夹角多少度？四十五度， 能不能做了？简单不？你这个题，你说你用别的方法，你用什么方法能比这个快？我真不信。不服啊。 我是不服的。那我直接代数了。口塞音四十五度等于这个口塞音 c 塔一，乘上口塞音三十度，能不能得口塞音 c 塔一了？能不能得？能得口塞音 c 塔一？它现在要求正弦值塞音 c 塔一搞定了没？ 完事了朋友们，简单不？当然你会说，老师，我用等体积，我能不能做？我能做。我知道你能做不快呀，是吧。

二面角的问题啊，就比如说我们这个面， abc 这个面和 bcd 这两个面，要求他们的二面角。如果说题目已经给过了，我们这个 a o 是 垂直于底面的啊，就题目给了 a o 是 垂直于底面的，那我们怎么去找二面角呢？ 我们可以过 o 点去做 o e 垂直于 bc， 然后把 a e 连起来，那这个 a e o 这个角就是我们的二面角，那它为什么是二面角？我们来证明一下。好吧， 它首先它知道 a o 是 垂直于底面的，那 a o 是 不是一定是垂直于底面所有的线？所以 a o 是 不是垂直于 b c？ 对， 嗯，好。然后 o e 垂直于 b c， 是 不是我自己做出来的，对吧？嗯，嗯，那这个时候 b c 是 不是垂直于两条相交直线， 对不？那 b c 是 不是就垂直于这个面呀？对，对。那 b c 垂直于这个面，那 b c 是 不是垂直于面内所有的线？所以 b c 和 a e 是 垂直的吧？嗯，那什么是二面角呀？ 什么是二面角？就是这在这两个面里面，我们去做的这个线是不是得垂直于交线才可以，对吧？那你看 a e 是 不是也垂直于交线了？那 o e 是 不是也垂直于交线了？那这两个线的夹角是不是就是二面角， 对吧？嗯，好，懂不懂了，懂了没？嗯，所以说我们在做二面角，我们得找什么东西啊？二面角垂直， 你得找垂直，对吧？有的时候，如果说啊，这个题目如果说偏简单的情况下，那我们就直接在题目中就能找出这个 a o， 那 如果说这个题目它稍微难一点，那这个 a o 得靠你自己把它做出来啊。

高一立体几何怎么学？立体几何？高一下学期要学，高二上学期仍然要学高一下学期的立体几何理可以理解为几何题，而高二的立体几何可以理解为计算题。 高一下学期是通过做辅助线等方法去解决空间中的立体几何问题，而高二上学期是通过建立坐标系，计算坐标去解决空间中的立体几何问题。这两块内容， 如果你的孩子想在高一下学期冲击到一百三十分或者冲击到一百四十分党的话，你要让他提前把高二的立体几何知识提前学完。如果说你的孩子想在高一期末考试达到一百二十分的话，这个学期必须要让他把立体几何的各类基础题型， 各类常考的专题题型，以及各类涉及立体几何空间角的计算问题的几何法内容做详细的掌握。

好，同学们，立体几何不用愁，题型套路全知透，这个视频我们要学习的是空间中的垂直关系，作为立体几何的重中之重，拉分核心，高考几乎必考，后续空间角度、距离的计算都离不开的一个视频带你梳理通透，让我们开始吧。同学们，今天呢，我们来接着去讲 在立体几何当中啊，比较重要的一些定力，我们今天主要来讲呢，平行涉及到的，呃，这个判定定力以及他对应的性质定力。首先我们还是一样分为三大模块，线线垂直，线面垂直，还有面面垂直。那首先呢，我们先来看线面垂直， 首先看线线哈，好，那线线垂直呢，也是一样啊，如果说他并没有单独做一问小问考察，那我们可能比如说用我们之前初中所学的一些相关内容，我们就可以去解决了。那我们说 在初中当中学到的这个证明垂直我们可能主要是两种，一种呢是利用平面几何的关系，还有一种呢，我们是利用计算，计算呢，可能相对来说比较熟悉啊，计算的话我们主要的就是这个，呃 呃，这个，哎，啊，勾股定律啊，对，计算的话呢，我们主要就是勾股定律。然后如果说是我们对应的这个平面几何啊，平面几何的话，那我们就常见的利用几何图形去理解，比如说啊，像我们比较典型的矩形或者菱形， 或者还有一个最典型的是涉及到我们的等腰三角形，菱形对应的是什么垂直呢？菱形对应的就是我们的对角线互相垂直，对吧，且平分，那等腰三角形利用就三线合一，那除此之外，在我们这学期学完之后啊，其实我们对于计算去证明线线垂直呢，其实 还有一种方法，利用什么呢？利用我们的向量去证，因为我们在学了向量之后，我们知道如果两向量垂直，它对应的数量积必然等于零，对不对？所以我们也可以利用平面间隙啊，也就是向量数量积为零去证明，也就是 a 向量乘点乘 b 向量等于零等于零啊，就可以了。 这是我们说线线垂直，但当然如果他单独做疑问去考察，这个时候我们就肯定不是用这些方法了，我们当然会来讲，还是利用性直定理。那接下来我们来看线面垂直， 那我们对于线面垂直呢，就是我们有比较规范的啊，这个判定定理以及性质定理了，比如说我们来看一下啊，首先来看一下它的判定定理。 判定定理怎么去证呢？那我们来想一下，如果说我想证明线垂直于面，我们先来看比较基础，按照我们前面的证明平行逻辑，我们也知道证明线面，按道理来讲，我应该去找什么？找线线对不对？好，那现在来讲一下啊， 我如果想去证明一个线和一个面垂直，我要去找几组线线，那我们先思考一组线线行不行？比如说我，哎，我证明这条线垂直于面内一条直线，则线一定垂直于面，那这个时候你就要注意，我们是有一种临界情况，什么临界情况？ 这个线在这，但是呢，我这平面内的线在这，但是我的这个与它垂直的直线是这样斜着穿过来的， 那这个时候我能不能满足它垂直？这条线可以，但它显然不垂直面，对不对？所以一组线线并不能解决问题。所以我们这要求啊，必须是两组，而且我们对这个线也是一样有特殊要求，必须是相交的直线。 所以这是 l 啊，这是阿法。那此时它的判定定理就是 l 必须要垂直于 a， l 也必须要垂直于 b， 且同时 a 在 阿法内， b 也在阿法内，以及 a 和 b 必须有交点才可以，那这个时候就可以推出线是垂直呃，垂直于面的啊。 所以也就是说我们的判定定理需要用到什么？需要去用到我们对应的一组线线垂直， 这是我们对于线面啊，怎么去证明好？那他对应的性质定理由是什么呢？我按照我们还是一样按照平行的逻辑来，我们说对于线面，你要去正，我得找线线，那我已知线面可以推什么？也可以反过来去推线线，对不对？那这个地方其实比较相对来说会比较好理解。你就想 我线垂直于面，那我这线和面内的任意一条直线是什么关系啊？显然都是垂直的，对不对？所以这个时候描述的时候就是已知 l 垂直于阿法， 且 a 属于阿法则，我一定可以推出 l 是 垂直于 a 的 啊。那这个就是我们刚刚前面讲的，我们对应的线面垂直是可以去推线线垂直的， 而这个就是我们对于线线垂直另一种正法。也就是如果说你发现有一道题，他单独的去问了你线面垂直怎么正，他一般来说都是在考性质定力啊，你般用性质定呃，性质定力就可以了，然后接下来最后一种面面垂直， 那面面垂直，按照逻辑来，这个时候就应该利用线面垂直去正了，对不对？那现在我们就来想啊，我需要用到几组线面垂直，那这个时候我们说对应的一组就够了，这个怎么去理解？我们来画个图啊，去辅助我们理解一下。 比如说我现在呢，这里是有一个面，然后呢现在垂直于这个面的啊，有一条直线，那我们就想啊， 过这条线我可以做无数个面，对不对？那我会发现，只要过这条线，我对应的是不是每一个面？比如说我就以这条线为一个轴，我绕着这个轴这个面开始旋转，不管怎么旋转，它是不是一定都会和底面垂直？所以也就是说我们证明那面垂直，其实一组线面垂直就够了啊，所以这个时候描述的时候，这是 l， 这是 alpha， 过该线的有一个平面，比如说这是 beta 啊，所以这个时候只要满足 l 是 垂直 alpha 的， l 是 属于 beta 的， 此时我就一定能说明 alpha 是 垂直于 beta 的。 所以也就是说啊，我们对应你要去正面面垂直，需要用的是一组线面啊，我刚上面写写反了，应该是两组线线啊， 这地方应该是二哈，因为我们刚这一想了嘛， l 垂直于 a， l 垂直于 b 啊，应该是两组线线。好，这面面垂直的判定定理，然后对应的还有它性质定理。性质定理的话呢，我们主要找，呃，讲这个最常见的，最常考的， 也就是我已知两个面垂直，那我可以推什么呢？按照我们前面所学啊，已知两面垂直，我其实是可以去推对应的线面垂直的， 那这个时候你要注意，他并不是任意一条线都会垂直另一个平面，他必须满足特殊条件，比如说你看我这一条线会垂直于这个杯塔面吗？显然不垂直，对不对？所以只有什么情况呢？只有我这条线垂直于两平面交线的时候才可以啊，所以这个时候我们对这条线是有特殊要求的，他必须垂直于交线。 假如说交线标为 l， 然后呢？这个是，哎，这个是标 l， 这个是 m 啊，那这个时候描述的话，就是已知阿法垂直于贝塔，且 m 属于阿法，阿法交贝塔于这个 l， 然后呢，这个时候 m 又垂直于 l， 所以 接下来我就可以推了， m 一定是垂直于贝塔的，所以就相当于它是可以去倒推线面垂直的。 这个是我们相对来说啊，比较喜欢去考的一个，或者说我们还会涉及到面面垂直的一个应用呢，就是我们涉及到三个平面，就涉及到这个墙角问题的时候啊，比如说我这个是一个墙角模型， 我这改一下吧，改成序号，这样看起来呢，更直观一点啊，给它改一下， 这个地方也一起来改成序号哈。好，那这个时候这里是三个平面啊，相互垂直， alpha 垂直于伽玛，然后 alpha 垂直于伽。呃，这个贝塔啊，然后还有贝塔垂直于伽玛， 反正就三个面互相垂直，那这个时候你就要注意，它也有一个性质，任意两平面的交线一定会垂直于另一个平面，比如说像这里这个是 l， 也就是 alpha 交伽玛 于 l， 那 这个时候我一定可以推出 l 一定是垂直于贝塔的啊，但这个定律我们相对可能用的不是特别多。好，接下来我们来看例题， 如图， pa 垂直以 ab 为直径的圆所在平面， c 为圆上溢于 ab 的 任意点 a e 垂直于 pc， 垂足为 e 啊，这个地方 a e 垂直于 pc， 这个地方是垂直 e f 呢，为 p b 上对应的一个点。则下来判断不正确的是我们来看出来 a 选项 b， c 呢，是垂直于平面， p a c。 好， 那这个时候我们要去正线面垂直，线面垂直，按照我们判定定来找，需要找什么呢？我们说需要去找线线对不对？而且我们说要找几组线线啊，对应的应该是两组线线，那我们来看一下啊， bc 垂直于 p a c， 我 只需要证明 bc 垂直于 p a c 面内的两条直线即可。那首先先怎么去找呢？那你就要注意了， 由于题目已知 ab 是 直径，我们知道直径所对的角是什么，一定是直角对不对？所以首先我能先确定一个条件，也就是 a c 是 垂直于 bc 的， 这个是我们按照刚才讲直径所对，圆周角为值九十度。 好，那接下来还能得到什么呢？那你就要注意了， p a 还垂直于底面，那我们已知线面垂直是可以去推线线垂直的啊，所以这个地方首先要根据 p a 垂直面 abc， 那 我们说线垂直面，则线垂直面内任意一条直线，所以我可以推出 p a 垂直于 bc， 那 你就会发现，哎，两组线线我有了， 有了对不对？而且同时要注意，我们说线线垂直的时候，这两组线必须要满足相交，所以这个手应该还要再写一个条件，也就是 a c 交 pa 应该是等于 a 点，那接下来我就可以推出我对你的 b c 垂直面 p a c 了，所以 a 选项正确哈， b 选项 a e 垂直于 e f。 好， 那我们说线线垂直，我们要么是直接通过计算勾股定律或平面向量， 或者说呢，我们利用几何关系，对吧？还有一个就是我们说比较写答题，比较想喜欢考证明的利用性质定例。那我们说你要去证明线线垂直的话，我们说想到应该用线面去证，对不对？那我们就想了， a e 垂直 e f。 那 除非我可以证什么 a e 垂直于面 p b c 或者说你反过来证明 ef 垂直于面 p a c 也是可以的。好，那这个时候我们怎么去证？比如说我们先来看能不能去证 a e 垂直于面 p b c。 那 这个时候我们已知的有什么？ a e 是 不是垂直于 p c， 这是一个条件啊， a e 垂直于 p c 的， b c 垂直于面，则 b c 垂直于面内任意一条直线，所以根据 a 选项，我是可以推出 bc 是 垂直于 a e 的。 好，那这个时候你就会发现 a 两组线线且 pc 交 bc 于 c 点，所以我可以推什么？我可以推 a e 垂直面 pbc。 那 你就想了， a e 垂直面 pbc 呢？ a e 一定垂直面内任意一条直线，所以它显然会垂直面内的 e f b 也是对的。再来看 c 选项， a c 垂直于 pb ac 垂直于 p p 的 话，那也是一样的道理，我们就要去想，我是不是可以利用性质定理，对不对？那你就想了，我们刚才 b 选项证了什么？ bc 是 垂直于面 p a c 的， 我们刚才前面推的话，是不是啊？我们前面刚才是不是推了一个 ac 垂直于 bc， 对 吧？这个是已知的。那你就想啊， 我现在有一个线同同时垂直于面内，如果说我们假如从这个 c 上如果成立的角度来看，如果它成立，是不是线垂直于面内两条相交直线？所以按道理来讲，这个时候是不是应该能推出 a c 垂直于面 p b c， 那 这个时候你会发现，如果线面垂直，那我是不是又能推出来 a c 垂直于面内一条直线 p c， 但你发现 a c 和 p c 有 没有可能垂直？显然不可能，对不对？所以它不成立也就意味着它不可能成立， 而它不成立，也就意味着你这个条件肯定是不成立的，因为它是必须满足的，所以只能是第一个条件出了问题，所以 c 是 错的哈，所以这 c 选错误。再来看 d 选项， b 选项平面 aef 和平面 pbc 垂直。好，那你就回忆一下，我们前面讲说，证明面面垂直需要知道什么？需要找一组线面垂直对不对？那你就想了，我们刚才前面证了这么多和 pbc、 aef 有 关的，我们已知 b 选项，是不是？呃，已知这个， 我们已知 b 选项， b 选项我们刚是不是正出来了？ a e 垂直于面 p b c。 那 这个时候你只需要再说明 a e 属于面 a e f， 那 你接下来立马就可以把这个 d 选项正出来了啊， 所以 d 选项正确，那你选 c。 好。 然后接下来我们再来看第三题，如图，在三棱柱当中， c、 b 是 垂直于底面的哈，这里有个线面垂直且平面侧面 a a， a a e c， e c 和底面和这个侧面 b、 b， e， c， e、 c 啊，它们是垂直的。第一问，让我们去证明线线垂直，那这首先啊，就是想到我们前面讲的说，如果线线垂直或线线平行，单独作为一问去考这道题，一定不是常规做法， 我们一定是要利用什么性质定理，对不对？好，那我们想一下，线线垂直，我们说性质定涉及到的只有一个线面，那我们就想了，我要证明 a、 c 垂直于 b， b、 e， 那 我可以找哪一组线面垂直， 那我们就结合图来分析，我是证明啊，这个 a、 c 垂直于 b b 一 所在直线呢？还是去证我对应的 b、 b 一 垂直于 a、 c 所在的这个面。 好，那这个时候我们就要结合具体问题来分析啊，你看，首先 c、 e、 b， 我 可以确定它是不是一定是垂直于底面的，是，这样吧。好，同时， 那这个时候我们说线面垂直，我就一定可以推线线垂直于 a、 c 的， 我们先把这个条件往我们需要找 a c 和 b b 一 上去凑，然后再来根据平面， a a， e c， e c 垂直于 b b， e c， e c 啊，面面垂直我们又能推什么？我们说面面垂直的话，我们是不是想到，哎，我好像可以去推线面垂直，那线面垂直怎么去推呢？我们说必须要满足的应该是线要垂直于两平面的交线。好，那这个时候这两个平面交线是谁？是 c c 一， 那我能不能在这个面内找到和这个 c、 c 一 啊？垂直的，呃，垂直的这条线 直接来找的话，好不好找？显然是不好找，对不对？所以我们就要想办法我给他做出来，因为不管怎么样，这面面垂直条件我一定要是要用起来的，所以我们不妨过 b 点去做一个垂直。这个垂足在哪我不确定，但是我知道一定有这么一条直线，所以这个时候我们可以首先做 b、 e 垂直， c、 c 一 于一点，那接下来我是不是就可以正了，对不对？只需要去说明。因为面 a a 一 c 一 c 垂直面 b b 一 c 一 c 同时啊，用满足两平面，我这个地方就减写了啊，两平面交于 c c 一， 你真正在写的时候，其实最好的是用那个呃，这里改成交集，然后等于 b c、 c e 啊，这个是最好啊，那这个时候说，呃，又因为你前面 b、 b、 e 是 垂直于 c 一 一呃 c、 c 一 的啊，所以接下来我就可以说明， b e 呢是垂直于面另一个平面，也就是 a a e c e c。 当然这个地方其实你还是要再说一句啊， b、 e 是 属于面 b b、 e、 c 的 好，那接下来我是不是，哎，又挣出来一个线面垂直，那又挣出来一个线面垂直，我又可以得，又可以得线线垂直了，所以这个时候我又可以得出 b、 e 是 垂直于 a、 c 的， 你就会发现，哎， c e b 垂直于 a， c， b e 也垂直于 a、 c 两组线线垂直，且有一个公共的线是 a、 c， 所以 我接下来就可以写，因为 c、 e、 b 交上 b、 e 应该等于 b 点，它俩相交，又同时垂直于同一条线，所以我就可以推 a、 c 是 垂直于面过 c e b 和 b e 的 面，所以也就是 b b e c e c 那 接下来我就可以推出线线垂直 a c 是 垂直于 b b e 的， 所以第一问我们就解决了啊。所以这个时候我们说结合具体的一个证明题，我们去体会一下。就做这种题，你一定要首先先想到我到底应该是用什么定力逐步的去倒推，我应该找什么条件，你接下来证明的思路就会很顺畅。

立地几何一点都不难，题型非常固定，第一位永远就是平行或垂直，第二位永远就是一个夹角问题。但是立地几何为什么拿不到满分？原因就是里边有一些难的点。像这种结面问题，往往处在选择或填空题的最后一题 作为一个压轴题存在。既然郑老师利用三分的时间带同学们理解一下结面问题该如何去考察。像这种结面问题的话，往往使用的一个方法就是扩展平面。你要像这个题，三角形 a m n， m n 是 这两个边的中点， 在这个正方体中，把这个三角形 a m n 扩出去，然后研究出它的结面。有些同学说这个 a m n 所在的结面不就是 a m n 这个三角形吗？ 其实不是，为啥呢？因为 ama 在 整个这个几何体里边，它画的并不完整，我们需要把这个三角形 ama 往外进行扩展，扩展到与六个侧面，或者六个侧面中的其中几个面有交线。哎，把那些交线都找出来，那所以结面问题的话，一定会牵扯到一个知识点，就是扩展平面问题。 那如何把这个 amn 这个三角形进行一个扩展或延展呢？方法的话，我们常见的就这两个方法。第一种方法的话就是做平行线，我们根据平行线的性质，平行线一定可以确定唯一的平面，所以我们只要过 a 点做 bc 的 平行线，这样做出来。 过 c 点做 ab 的 平行线，这样做一下。过 b 点做 ac 的 平行线，这样做一下。朋友们，看我现在画出来这个大三角形， 是不是就比刚才这个小三角形 abc 更大一些，所以你这个面大了之后扩出去的面大了之后，你和外边哈他的一个延长线，或者说他的交线是不是就出来了和其他面的交线。 所以把三角形 abc 扩展的第一个方法就是过顶点做另一组边的平行线，根据平行线性质，所以他们这些所有的点一定是在一个面里的，这些面还是一个 r 法啊，这是第一种方法， 那第二种方法的话就是什么呢？延长直线找焦点，我们想要把这个面进行延展，哎，我们可以把相应的边进行延展，哎，把 a c 往两边延一延， 那延出来一个，比如说 a 一 延出来一个 c 一， 然后呢，你把该连的连一连，就出来一个大的三角形，这个三角形变大了之后，是不是和其他面可能就会有交线了？那所以第二种方法是延长直线找焦点，而且这个焦点往往是其他一条线的一个延长线上的一个点。 我们结合这个题目，我们看一下这个题的一个做法，这个题的话，我们拿到题之后常见的方法哈，常见的方法是方法二就是做延长线，因为能做平行线的，往往这个题都比较简单，所以这个地方延长谁呢？我们看这三条边，一定记住延长 m a 延长谁呢？这个线一定要在其中的一个面上的这样的线去延长它，不要去延长，延长 am 和 an， 因为 am 和 an 在 这个立方体里边，它是在空中穿过的一条线，像这样的话，你延长直线找焦点，它往往是没有焦点的， 但是 m a 不 一样， m a 这个两点形成的这个线的话，在底面 a， e， b， e， c， e， d， e 中，所以把 m a 进行延长的话，同学们想哈，因为 m a 是 在底面上的，在底面上的，所以它延长过来之后，一定和 a e， d， e 它的延长线是相交的。 你说这地方假设出来一个 p e， 它一定是相交的，因为这两条线，这两条线都在底面上，它们都在底面上，所以这地方肯定会有一个交点。 而且这个焦点的话，同学们仔细观察，他除了在这个 m a 上，他还在 a 一 d 上，换句话说，这个 p e 呢，还在后边那个侧面上，而这个 a 点呢，是不是也在后边那个侧面上？所以导致你把 a 点和这个 p e 点把它连起来， 哎，把它连起来，把它连起来之后， a 和 p e 这两个，这个线是不是在后边那个侧面上的？而 d， e， d 是 不是也是在后边那个侧面上的？所以这个点其中就是一个焦点 啊，这个点就是其中一个焦点，这样的话，这个三角形哈，同学们仔细看哈， a， m p 这个三角形看到没有？是不是相当于把刚才 a， m a 那 个三角形进行往外扩了一部分，就是用的这样一个思想，那这样哈，把它给连起来， 把它连起来，哎，这样的话，右半部分我们的结交线就已经出来了，哎，就这么一个形状的，有没有看出来这么一个形状啊？好，那继续把 m 往左这边去延伸，同样的道理，他延过来之后，是不是应该和 a 一 b 一 的延长线会有一条交点？这个点记住啊， 片吧。哎，这个地方，那这个线的话，同学们仔细观察哈，这个点是不是在底面上的啊？他不平行，必然会相交，就一点，这个点在 a 一 b 的 延长线上，那肯定这个点是在左边这个侧面上的，而这个 a 呢，是不是也在左边这个侧面上，所以把它给连起来， 哎，是不是就可以了？这样的话，这条线和左边侧面上的 b b 一 这个点，这地方是不是有一个线，有个焦点 f 啊？这样的话就出来了，把它连起来好了，同学们，仔细观察，我现在画出来一个什么呢？本来是 a， 本来是 amn， 本来是 a m a， 把 a m n 括出来之后形成的那个三角形，就是这个三角形，就是 a p 一 p 二这个大三角形。我们仔细观察一下哈，那这个大三角形和整个立方体啊，整个正方体和长方体， 大三角形和这个长方体和正方体，它的交线的话，交面结面是不是就已经出来了？就是这个 a f m n、 e 啊？ 那这样的话，得到这个面之后，这样的话，如果说他让你求周长，或者求这个洁面的一个面积的话，那怎么去求呢？我们只要把每个长度是不是研究出来就可以了， 而这个每个长度怎么去研究？同学们，记住，主要问题是要考虑 e 点、 f 点，这几个点是几种分点，那想要求这个 e 是 几种分点，往往我们使用的方法是什么呢？需要摘取一些平面，比如说我们想要研究 e 是 几种分点，我们就得知道这个长度是多长 啊？这个长度是多长，那想要研究这是多长的话，我们把底面这个 a 一 b 一 c 一 d 一 啊，把它给摘出来。所以像这种题啊，往往还会用到一个摘取平面进行一个计算的问题哈，啊，这是 m， 这是 n， 那 所以它沿过来之后，同学们看哈，这个 p 一 点应该在什么位置？假设是个正方体，边长是二，那这样哈，这是二 啊，这个长度是不是一啊？这是一，那这样的话，这个长度应该是多少？你仔细看，这地方是不是有一个什么八字形的一个什么相似或者是全等啊？因为这两边是相等的，所以这条有个八字形的一个什么全等，那全等，这是一，这是不就一啊？ 所以这样的话，我们就找到了第一点，第一点，这个地方哈，这是一，这是二。然后仔细同学们再看这个三角形，看到没有？这个三角形， 看到没有？这个三角形和四个小三角形是不是应该是相似的？那相似比是几比几啊？这是一，这是三，所以相似比，是不是一份比三份，一份比三份，所以这个长度是二的话，这个长度是不是应该是三分之二？所以你们看啊，这个长度并不是一个终点三分之二，根据 这个长度，这个长度，利用勾股这个理，求这个边长，没问题吧？啊，这样的话，就可以把这个长度求出来了。同样道理，像这个长度呀，这个长度啊，或者 f 点是极陡分点。同学们不妨分析一下左边这个侧面，以及分析一下这个 p 二这个点的位置哈， 这个 p 二点的位置，通过 p 二点以及左边这个侧面研究出来，他是一个极陡分点。哎，这样就行了， 这是这一类问题的一个解决办法，所以同学们哈，学会了做洁面之后，有时候我们还会有时候犯一些什么的经验主义错误，或者是想当然那些错误。 比如说像这个一点，哎，做完之后有种对称性感觉，怎么感觉怎么感觉这个一点就是个终点，实际上这个一点是一个什么？是个三个分点， 但是下次这个点有可能就变成一个终点了，因为这个 m n 不 见得就是终点，他说 m n 可能是三等分点之类的。所以像这种问题，洁面问题一定要牵扯到立体几何的摘取平面。