2026年洛阳二模数学新定义

朋友们大家好，这个视频呢，我们来讲讲洛阳市中考二模选择题的第十题。好，大家先来看题， 在这个浮力实验中呢，我们将一个长方体这个石块由玻璃这个放在这个玻璃容器的和上方，然后向下呢，这个缓慢移入到 这个弹簧测力计的那个示数。好，我们弹簧测力计示数 f 呢，这个随石块下降的高度 h 之间啊，下降的高度是 x， 它们之间满足上一个所示的关系。 然后呢，温馨提示，石块位于水面上方的时候，这个时候呢，你的拉力就等于重力，对吧？然后当石块进入到水后呢，你的拉力应该是等于一个重力减去浮力，因为石块一旦进入到水中，这个水呢，对于这个石块就有一个浮力，这个时候呢，你的拉力就会减小。 好，大家先来看这个图像啊，好，很明显，我们可以看出来。什么信息呢？大家可以看出来，就是最开始呢，最开始呢，这个前前面这个立动六厘米的时候，这个拉力呢，始终是保持四，对吧？保持这个四牛顿，好，说明什么呢？说明就是你这个十块的一个重力，它应该就是四牛顿， 对吧？然后呢，从这个六到十的时候，这个时候呢，很明显拉力变小了。哎，为什么这时候拉力变小呢？因为这个时候呢，这个石块已经开始慢慢进入到水中，进入到水中，它侵入的水中的布越多，受到的浮力越大，它这个自然而然你的拉力就 变小了。好，等到了十以后呢，我们才发现啊，这个时候呢，它的这个，呃拉力拉力计显示的就是二点五又保持不变了，哎，为什么呢？因为到后边之后，到这个二点五之后，相当于你十块已经完全进入了，完全进入之后呢，这时候它的浮力就保持不变了， 好，就这样一个状态。那么给了 abc 的 四个判断啊，我们来看一下哪个判断是对的。第一个 a 选项，他说当石块下降三厘米的时候，这个时候石块进入在水中，好，这个对吗？这个很明显不对啊，为什么呢？大家可以看到啊，在它下降三厘米的时候，把三厘米大概在这个位置吧， 再看一下三厘米的时候，这个时候呢，你的这个市市数呢？显示的还是四牛顿，相当于你并没有并没有受到这个这个浮力的一个支撑，是吧？那么什么时候他会开始进入到水里？大概是从六零在六的时候， 大概是在六的时候，在六的时候，这个时候呢，你的拉力开始变小，说明这个时候浮力开始展示出来了，也就说明你石块开始慢慢进入水中。 所以很明显啊，第一块这个 a 选项肯定是不对的，大概是在六厘米到十六厘米才开始慢慢的进入到水，从六厘米到十厘米过程中开始慢慢进入到水中，从十厘米往后呢，就完全进入到水里边，是这样一个状态。 b 选项，在六到十的时候，这个 f 呢和 x 间的函数表达式是 f 等于负四分之三， x 加上一个二十五，哎，这个是对不对呢？就是从六到十的时候，很明显大家会发现这是一个 e 函数，对吧？ f 和 x 是 个 e 函数， 所以呢，我就我觉得就可以直接把这个解式设出来，就比方说，我们设这个 f 呢，是等于一个 k， x 加 b， 接下来你带入两个点啊，带入 a 点呢，是六豆四，然后带入这个 b 点呢，是十豆二点五，对吧？我们去解这个方程组，把 k 和 b 啊，把 k 和 b 给它分别解出来不就行了？ 第一个呢，我们带六豆四，那很显然就会得到一个六， k 加 b 应该是等于一个四。第二个呢，我们带十豆二点五，就是十 k， 再加上一个 b 呢，等于二点五。 好，大家动手解一解啊，你们会算出这个 k 和 b 的 值？好，算完之后呢，这个 k 的 值来，我们动手算算啊，我们动手算算，我们用第二个式子减第一个式子，那就会得到一个四 k， 四 k 等于一个二点五，减去一个四，二点五减四就是负一点五，负一点五大概就是负的二分之三吧。 好，所以你把四 e 除分，明显值是等于负的八分之三。好， k 是 负八分之三，那 b 是 几呢？好，我们带进去啊，比方说带 k 是 负八分之三，那就是六乘以负八分之三，再加上一个 b， 六乘上负八分之三，再加上一个 b， 它应该等于四啊，六乘上负八分之三的话，我们约个分啊，这数还不好算嘞啊？约掉一个二，这边是一个四，这边是个三，所以应该是一个负四分之九，所以 b 呢，应该是四，再加上一个四分之九，那应该是四分之二十五。 好，所以很明显， f 呢，是负八分之三， x 加上一个四分之二十五。好，底下这我就擦了啊。 好，所以呢，你从这做判断的话，那个 b 对 不对？很明显不对啊，应该是负八分之三，对吧？前面这个系数是负八三，他算了个负四分之三，那他肯定是错了。好，所以 b 很 遗憾，也错 来。再看 c， 当它下降到八厘米的时候，这个时候所说的浮力是四分之三，牛，哎，这个是对不对的？好，当它是八厘米的时候，八大概在哪大家可以看到啊？八的时候是在这个位置，是吧？在这个位置的话，我们其实可以把这个时候的拉力给它算出来，比如说当 x 等于八十， 好，这时候你的 f 等于几呢？这样是负八分之三乘上一个八，再加上一个四分之二十五。好，大家可以算出来啊，这个负八分之三乘上一个八，是像这个负三加上一个四分之二十五，那就是四分之二十五，再减去一个四分之十二，就是四分之十三。 好，注意啊，这个四分之十三是什么呢？这个四分之三是你的拉力，对不对？这个四分之三是你的拉力。我们前面已经说的很清楚啊，拉力是什么呢？拉力是重力减负力， 拉力是等于的重力减去你的浮力，所以这时候很明显的我们可以计算出来这个浮力，浮力应该是重力再减去拉力，是吧？拉力是四分之三，重力是几呢？我前面已经交代过啊，重力在这呢，就是最开始这个四牛顿就是重力，所以你用这个四减去四分之四三即可。 好，很明显，四减去四分之十三，那答案就是四分之十六，减四分之三，答案就是四分之四。作为之后呢，它的浮力是四分之三，这个 c 选项它是正确的，这个 c 选项它是正确的，所以这题呢，答案应该选的是 c， 答案应该选的 c。 好， 我们最后来看一下这个 d 为啥不对啊？当这个弹簧测力计的数值是三九吨的时候，然后此时呢，这个石刻距离这个水底呢，是三分之二十六厘米。 好，式数是三的时候，大概在哪呢？我们可以找到啊，式数是三，比如说你的外值是三是吧？外值是三的话，我们可以算出来，这个 x x 应该是卡在六到十之间，对吧？具体是几，我们还需要借助刚才那个解氏去算。借助哪个解氏呢？就 这个这个解氏。好，我们去想啊，当这个 f 等于三十， f 等于三十，也就是说三等于谁呢？我们刚才那个解氏是负八分之三 x， 然后加上一个四分之二十五，对吧？这个时候大家可以算出来， x 是 减的。好，我们动手算啊，把这个四分之二十五挪过去三，减去四分之二十五，然后除以一个负八分之三，乘上一个负的三分之八， 对吧？这个结果应该是四分之三就是四分之十二。四分之十二减去一个四分之二十五，十二减二十五是负十三， 好，再乘上一个负三分之八，好，所以这个结果就有了，结果应该是三分之二十六。但是呢，大家不要不要看错了，这个三分之二十六是这个三分之二六，可不是时刻离离这个水底的距离啊。这个三分之二六是什么？这个三分之二六是你下降的一个高度， 这个十块是你这个三分之二是你下降的高度。我们原来的高度在哪呢？请看这里原来的高度是十六， 明白了吧？你原来的高度是十六，也就是说你实际上是在十六的基础上下降了这个三分之二十六，所以呢，距离呢？应该是拿十六再去减三分之二十六。 好，这么一减之后，应该是十六，是三分之多少啊？三六十八，三分之四十八，三分之四十八，减去三分之二十六，大概是三分二十二左右。所以你离水里的距离不是三分之二十六，而是三分之二十二， 而是三分之二。所以有人可能会疑惑，这个得一下一算，怎么感觉也是对的，不对得，不对得是你下降的距离，离地面的距离应该是拿十六再去减下降的距离，这才是离地，所以很明显得是错的。 所以这个题本身不是很难啊，就是需要大家在读题过程中啊，一边计算一边读题，然后把这个题给它弄清楚啊，千万不要看错，考虑问题，一定要考虑清楚。那好，这个视频呢，我就讲到这，同学们，你们学会了吗？

同学们大家好，这个视频呢，我们来讲讲洛阳市二零二六年考模拟数学，然后第二十二题这个二次函数的一个答题。大家先来看题， 在平面直角坐标系中，然后已知这个抛物线 y 等于 ax 方减去一个四， ax 加四，其中呢， a 是 常数，而且 a 小 于零。那我们就可以明确啊，这个二次函数开口向下的。 然后呢，第一问，若抛物线经过点，负一到负一，求抛物线的顶点的路啊。第一个比较简单啊，就是我们直接带入就可以了， 然后将这个负一到负一，然后带入，带入可得好，我们带的是 x 等于负一， y 也是负一，可得负一等于 x 是 负一，负一的平方是一，就是 a 减去一个四， a 乘负一，就 a 加四， a 啊， a 加四， a 再加上一个四。好，这样的话， a 加四， a 再加四等于，可以想到啊，应该是 a 等于， 很明显 a 是 负一，是吧？好，到了 a 是 负一之后，所以减一至就有减，这个 y 等于的。嗯，负一负 x 方加上一个四， x 再加四 啊，好，到了这之后呢，这个顶点坐标呢？呃，你就可以配方，或者呢，我们不讲配方也行，就先算对称中 对称轴， x 等于负二一分之 b 负二乘二，一个负一分之四，所以对称轴是二，当 x 等于二时，我们算这个函数值， y 呢，等于负二的平方加上一个四乘二，再加上四，好，应该是等于八，所以呢，顶点 顶点就是二度八，因为顶点横坐标是对人中，坐标呢，就是你把对称带进去。好，这是第一问，第二问， 要在一的条件下哦，在一的条件下，也就是说这个解 a 是 y 等于 x 方加四， x 加四条线， 然后呢，将这个抛物线向下平移一个单位，然后这个时候呢，它跟 x 又交于 a b 两点，求 a b 的 时候，这个就很好想了，我们直接将这个线向下移一个单位，那不就变成 y 等于负 x 方加四， x 加三吗？ 就是把这个四再减一，就是加三，是吧？加三之后，现在想想，求它跟 x 两个交点，这两个交点之后呢，它们的一个向量长，我们直接令，因为与 x 交点肯定是让外的，另外等于零， 另外等于零，则负 x 方加上一个四， x 加三等零。好，我们解这个方程啊，你可以解一下，解得呢两个根，一个是二减根号七到零是二加根号七的 x， 一 等于二减根号七， x 等于二等号七，好，换句话说的就我们旁设 a 就是 二减根号七到零， 然后呢， b 就是 二加根号七的零，好，则 ab 呢，就一定是二加根号七，我们大的数减小的数减去一个二减根号七，所以答案就二倍根号七， 看明白了吧，就是只需要让 y 等于零，求出 x 的 值，这 x 值就是两个焦点的标。 好，接下来看第三个。好，第三个说的是当这个 x 在 t 到 t 下的时候，然后呢， y 的 最大值和最小值的差是五，然后直接写出 a 的 去， 大家注意啊，就是在第三问中呢，其实就没有这个，没有这个解释，我们这个解释重新回到，重新回到这个负 a， 呃，重新回到 ax 方，重新回到这个 ax 方，减去一个什么呢？ ax 方减去一个四， ax 加四， 对吧？啊，重新回到这个结论式，好，重新回到这个结论式的啊，我们注意观察这里面呢，我们刚才说了啊，因为 a 小 于零，因为 a 小 于零，我们知道开口是向下的，然后对称轴呢？它其实也是确定的，对称轴是负二， a 分 之 b， b 呢是负四 a， 所以 对称轴应该是二， 对吧？来，我们分析下这个函数的一个增减性啊，现在呢，我要画一个抛物线，对吧？这个抛物线开口向下对称轴呢，是等于二这么一个抛物线。然后呢，这个 x 给的范围是什么呢？ x 给的范围是 t 到 t 加二， x 大 于等于 t 小 于等于 t 加二，而且 t 又是大于等于零，小于等于一。来，各位想一想啊，各位想一想， t 是 在零到一之间，零到一大概在哪？ 这个是 n 等于二，这个不就是一吗？这个不就是零吗？然后我们假定这个是三，对吧？这个是四，所以呢， t 在 零到一之间，也就是说你的 t 应该是在这个范围， 对吧？ t 应该在零到一之间，然后呢，这个时候 t 二在零到一之间，大家想一想， t 加二在哪？ t 加二应该大于等于二，小于等于三， 对不对？ t 加二是不是在大也等于二，小也等于三？你想想， t 在 零到一，你把这个 t 再加二，零加二十，二加二十三，它就在二到三之间。 好，这就是所谓的这个 t 加二。好，到这之后呢，你就应该清楚了啊，你就应该清楚清楚什么呢？就是我们这个 r 函数呢，其实是在哪？其实是在 x 大 于等于 t 小 于等于二十，它是增的。然后呢，在 x 大 于等于二，小于等于 t 加二十，它是减的， 所以最大值和最小值在哪取到清楚？不行？哎，很清楚在哪取最大值，所以当 x 等于二时，这个外会出最大值。好，你把最大值给他带进去，带 x 等于二，那就是 四倍的 a 减去一个八倍的 a， 再加上一个四，这就是四减四，这就是四减 a， 这是最大值。那最小值呢？这个时候你要注意观察了，很明显，很明显，这个 t 呢，离这个对称轴更远一些，这个 t 加二离对称轴， 因为 t 加二的范围， p 加二的范围就是二到三啊。 t 加二，它到这个对称距离是不是近一些？而这个零到一是不是应该是零？ 好，大家能想明白吗？就这个离得更远一些。所以呢，当 x 等于 t 时，这个 y 呢，会出最小值，最小值呢？你把 t 往里边带，那就是 a 倍的 t 减去一个四 a， t 加四， 对吧？好，这是最大值。四减四 a， 这是最小值， a 倍的 t 减去四 a t 减四，他说了什么呢？他说了一句话啊，他说最大值和最小值的差， 是吧？最大值和最小值的差是五，然后让我求 a， 那 现在最大值和最小值我们都清楚了，那就让他俩做差等于五。好，则 y 的 最大值减去 y 的 最小值， 等于这个四减四 a， 这哥们减掉另外一个 a 倍的梯方，减去一个四 a t 再加上一个四减去这哥们，他俩差是几呢？他俩差是五， 好，得到一个叉乘五之后，现在这是一个什么呢？这是一个与 a 与 t 都有关的式子吗？咱把这个式子给它化简一下好，化简完之后，你就发现前面这个四跟后面四刚好怼掉了吧，就剩了一个负四， a 减去一个 a， t 方加上一个四 a t， 它等于 是不是？好到这之后，你注意啊，我们的目标干啥？我们的目标不是想求这个 a 的 取值范围吗？所以你把 a 分 出来。好，分出来 a 之后，剩了一个负 t 方加上一个四 t 再减去四，是吧是吧？就这个东西等于几呢？哦，这个东西等于五啊，这写错了，这是等于五， 所以很明显，所以，很明显，我把 a 分 出来之后， a 就 等于什么呢？我把这一大堆给它出不去， 负 t 方加上一个四 t 再减四，这不就是 a 吗？好，但又说那，但你知道你，你也没把 a 再去算下来。好，先不要着急啊，先别着急，其中呢，我们知道这个 t 呢，它是大于等于。前面说了啊， t 是 大于等于几啊？ t 是 大于等于零，小于零一， t 大 于等于零，小于零一的话，我就问大家一句话，你在已知这个 t 的 范围这个情况下，请问你能不能推导出来？ 请问你能不能对出来，这个负 t 方加上一个四 t 再减去四，它的一个范围就相当于？你把这个 a a 不是 表达成这个熊样了吗？ 啊？你把这个 a， 把它的分母这个结构给它半算出来，这是可以的吧？哎，对吧？你把这个是表示一下嘛？这个负 t 方加四， t 加四，它不就是一个开口向下，关于 t 的 一个开口向下的函数吗？对头是几呢？对头是负负 a 分 之 b， 对 吧？对头还是还是 t 等于二啊， 是吧？所以从零到一肯定是纯增的呀。所以你把零往里边一带，它最小，这不是负四吗？把一往里边带，负一加四减四，最大值，最大值几啊？最大值不就是几啊？把一往里边带啊。 呃，这是零到四，把零往里边带应该是负四，把一往里边带，应该是个几， 应该是个几啊，我们把它往这边加，负一，负一加四，再再那个啥，是吧？那应该是负一加四，再减的应该是负一， 对不对？说底下这个范围，底下这个范围，想想底下这个范围是哪啊？负四分之五到负一，所以你想清楚这一点之后，哎， a 呢是等于这个这个结构啊，这个臭玩意儿啊，这个什么玩意儿？我们把这个臭玩意儿叫成 w 吧。好， a 呢是等于 b 上 w， a 呢是等于五比二， w， w 范围是在负四到，所以 a 的 范围清楚不清楚？当然清楚了吧，你把这个负一往里边带，它不就是负五吗？你把负四往里边带，它不就负四分之五，所以它不就卡在它俩之间吗？ 你给他理解成一个反比函数，对吧？ a 和 w 的 反比函数，然后 w 范围是负四到负一，所以呢？ a 的 范围当然就是负五到负四分之五， 所以第三问呢？我的感觉不是难啊，不是难，就是东西大家没见过，之前没见过，这样就好了。这个到高中的其实很好理解，这叫参变分， 到高中之后呢？我们把这东西叫参变分。啥叫参变分离呢？ a 是 参数， t 是 变量，把这个参数给它分出来，把参数给它分出来，把变量分到另外一堆，把参数给它分出来，变量分到另外一堆之后，把它看成一个关于变量的一个函数， 求那个函数的值域，所以这个题呢，主要是渗透了，渗透了高中这样一个参变分的思想，所以只是欺负大家没见过他，并不真正的难。 好了，我认为这个第三位还是不错的一个一个题目啊，比较新颖。然后呢？呃，这个视频呢，我就讲到这，你们学会了吗？

朋友们大家好，这个视频呢，我们来讲讲二零二零年博洋中考这个二模第十五题，这个亚洲题，小题的亚洲好。先来看题，如图，正方形 abc 的， 它的边长是四。哦，有这么一个正方形，边长是四， 然后呢，告诉我点 e 是 直线 b c 上的一个。好，大家看清楚啊，它是直线 b c。 直线 b c 什么意思呢？就是我可以跑到这个直线 b c 上，是不是也可以在这个 b c 这个直线上，向两边，向两边这样这样移动，然后它干什么呢？它要把这个 a e 呢绕着点 e 顺时针转九， 哎，比方说，如图所示的这种情况下，这是 a e， 我 们把 a e 顺时针转九，顺时针转，就这个方向，对吧？这个方向转啊，转九十度之后呢？哎，哪是九十度呢？这是九十度 转九十度之后，得到一个 e f， 哎，这是 e f， 得到 e f 之后呢？他就说当这个 b e 等于三的时候， b e 等于三的时候，让我求什么？让我求这个得 f 的 长，哦，就这个得 f 好， 怎么办呢？我觉得这个题的难点在哪呢？就是你需要去画图， 你需要去画图，而且在画图过程中，大家明白一件事啊，明白一件啥事呢？就是 b e 是 三，就是我们这段长度是三。大家去想啊， b e 是 三，我这个一点是不可能是在 b 的 右侧， 那你想有没有可能会在 b 的 左侧嘞？有没有可能会在 b 的 左侧嘞？也有可能啊，所以第二种情况就是一定在 b 的 左侧。所以听你讲，在画图中，你应该考虑到它的情况并不低，所以你还在进行一个分类讨论， 你还得进行一个分类讨论，来，我们试着画一画啊，比方说我们先画第一个，先画一个正方形， 好，这是 a b c d， 对 吧？大概这个样子，好，我们把它复制一下啊， 来，第一种情况呢，就是我们这个 e 点呢，就，就是在这个 b c 上，对吧？而且他告诉我 b e 是 等于一， b e 是 等于三，偏靠这个 c 点，是吧？大概这样一个状态，变长是四，好，这样的话我们连接 a e， 好， 连完 a e 之后呢，接下来我们把这个 a e 绕着这个绕着东西旋转，对吧？ 让它旋转，旋转的角度呢？我们可以看到啊，我让它旋转九十度，旋转九十度，就大概是在这样一个状态，然后这是那个 f d， 然后在这标一个直角，对吧？这是第一个状态，这是第一个状态，然后第二个状态就是我们这样啊，就是 把这个 e 点呢放在这边，放在这边，对吧？然后也是保证 b e 等于三，然后呢连接 a e， 好， 连完 a e 之后干啥呢？连完 e 之后也是把这个 a e 绕着点 e 呢？这样是顺时针转， 好，大概这么个意思啊，大家可以感受到吧，就让它转啊，转到哪呢？转到垂直的状态，好，大概这个样子吧，好，这是 f 点，两种情况下都是让我感受的，两种情况下都是让我求这个作 f 来，我们怎么分析呢？各位， 首先呢，我们想到这个 a e 的 长度跟 e f 的 长度，它俩一定相等的，然后这边又是一个直角，哎，你通过观察呢，您可以看到这也是一个直角， 这个角的位置也是一个直角，然后是一个直角，两个直角，如果说我从 f 点向这底下再做个垂线段，是不是就可以构造出来所谓的一线三直角吧？好，那你想到这的这个思路就来了，我们从 f 点干脆向底下也做， 比方说我的垂度是 m， 比方说我的是的好，垂度是 m 的 话，我们是不是很轻松地去正这个三角形和三角形 emf， 它俩是全等的，这叫什么呢？这叫一线三直角全等， 是吧？好，如果说他把这根就是强，比方说我就可以在这说了，你看这个长度 e m 的 长度，它肯定是等于 ab 的 长度等于四 m， f 的 长度肯定等于等于三，是吧？这个时候点 f 的 位置其实我就刚确定了 来，想求得 f 易如反掌，想求得 f 易如怎么求都可，要么你也可以建个系，比如说啥啥叫建个系呢？给你们简单展示一下啊。简单展示一下，比方说，比方说是我们以这个 b m 为 x 轴，这样去建立一个 以 b a 为 y， 建立这样一个坐标系，对吧？这是 x， 这是 y， 就 这样建立一个坐标系，建立一个坐标系之后，很明显得点的坐标就是四到四， 是吧？ f 点坐标是几呢？ f 点坐标横标是七，纵标是三，横标是七，纵标是三，然后我用两点距离公式做， 可以吧？可以吧，因为这图方方正正的好，但是你要说我不见戏，我能不能做也能做不见戏，也挺简单的，就是我大大方方的，大大方方的从 f 点呢向这边做一个旋转，因为你要求得 f 嘛， 对吧？你要求这个得 f， 我 们当然是想着把得 f 放在支点的，所以我们从 f 呢向这边做一个垂线段 f， 然后呢，我处理这个三角形，就处理这个三角形 f 得 q， 很 明显在 f 得 q 中啊，在 f 得 q 中，这个 f q 的 长度应该是几？它是四减一，应该是三， 对吧？这个长度呢？应该是一，所以呢，利用勾股定律，你可以很穷，算出来，它应该是根号加一，三号根十， 对吧？好，有了第一个题的之后呢，第二题第二种情况其实做起来就非常好，想他的思路基本上是如出一辙，就是我们依然会有这个 a e 等于 b f， 是 吧？而且这个角是一个直角，那在这个这个角 a b e 是 直角情况下，当然也可以想的。那我从 f 点 像这个左右弦的是不是从 f 点位做出来呢？垂度是 m， 那 么依然会有这样一对一线三角全等，跟刚才差不多有这么一个啊，这个图形它俩是不全等的，所以我们把对应的数据标上去啊，这个长度是三，这个长度是几呢？这个长度是四， 对不对？这个长度是四的话，很明显这个长度应该是几类，哎，这个长度 b m， 这个长度它应该是一，对吧？好，接下来我们想求的是得 f， 来，我把得 f 连起来啊，我换一种颜色，把，换成黑色吧。想求得 f， 好，我们咋求得 f 呢？跟刚才一样，我们刚才是把这个得 f， 对 吧？把这个得 f 放在这个直角点当中，我们是从 f 点向 c 得做，现在我能不能还是从 f c 得？可以啊，你从 f 点继续向 c 得做出来，但这个东西，哎， c 得不够长，不够长，没事，把 c 得延伸出， 延伸出去之后，哎，我们这个直角三角形是不是展示住好，我们比方说我们依然是做 f q 的， 对吧？好，你依然可以在 r t 三角形的 f q 中用勾股定律去处理这个得 f， 得 f 等于根号下 f q 的 平方加上一个得 q 的 好， f， q 是 几呢？ f q 是 四减一三，这段长度是三，然后呢的的 q 呢的 q， 发现这段是四，这段也是三，是吧？四加三等于七，所以第二种情况是三方加上七方 好，根号下九加根号下四十九，九加四十九等于八，所以第二个答案是根号下十八，所以综上呢，这个题答案一个是根号十，另外一个是根号八啊， 并不是很难的一个题啊，主要是在读题过程中要意识到情况不唯一，所以需要进行分类讨论。 然后呢，把图画好，把图画好，然后呢，发现发现这么一个一线三直角全能发现这么一个 好停，然后再往后边推倒就比较简单了。最终呢，是把这个这个 f 来一个要当成 go。 好 了，这个题呢，我就讲到这，同学们你们学会了吗？

今年洛阳二模这个填空亚洲题虽然不是难点，但是它却是一个很重要的考点。下面我们看一下这道题。如图，正方形 a、 b、 c、 d 的 边长为四点， e 是 直线， b、 c 上一动点， 将 a、 e 绕点， e 顺时针旋转九十度，得 ef 连接 d、 f。 当 b、 e 等于三时，线段 d、 f 的 长是多少？ 这里边最突出的一点就是这个 a、 e 和 ef 是 垂直且相等。遇到这种垂直且相等的东西，我们最常做的就是构造这个一线三垂直， 我过点 f 做 bc 的 垂线做 f g 垂直 bc， 再做 f， g 垂直于 cd 做 f g， f h 垂直 bc 以后，这时咱看这两个三角形， a、 b、 e 和 e h、 f 这两个直角三角形，它就具备 角一加角二是九十，角二加角三是九十，所以角一等于角，三角一等于角三直角等于直角。这两个三角形它是相似全等的，与斜边相等。 a、 e 等于 e、 f 这两个三角形全等全等。三角形的对应边相等，咱可以得 f， h 等于 b， e 等于三。再一个，这个 ab， 它等于 e、 h 都等于，还等于 bc， 因为 ab 等于 bc 啊，也就 be bc 等于 e h 都减去这个 e、 c 以后，可以得 b 等于 c h， b e 等于 c h， 这是很关键的。 b、 e 等于咱刚才这块 b， e 等于 f h， 这 b、 e 又等于 c h。 所以呢，这个 c、 h 和这个 h、 f 这两段都相等，都等于 b、 e 都等于三。这两段相等啊，那这个四边形 c、 h、 f、 g 三个直角一组邻边相等，它是个正方形，所以 c、 g 的 长也等于三，那 d、 g 的 长就等于一。 这个题要求的就这个线段 df 的 长，现在 d g 知道 df 的 长，它等于 c， h 等于三，所以 d f 的 长就是根号加一的平方，加三的平方就等于根号十。这是第一种情况， 点 e 是 直线， b， c 长一点，点 e， b， e 等于三， b e 等于三的点。还有这样一个位置，这是 b， e 等于三。在这种情况下，照样有三角形， a， b， e 全等于三角形 e， f， h 这两个三角形照样是一线三，垂直全等它两个全等。这个 ab 还等于 ah， 还等于 bc， 还等于 bc 啊。也就是可以照样可以证明，这个 b， e 等于 b， e 等于 c h， b， e 等于 c h 可以 乘 c h 等于 f， h 等于三。不过这时有一点就是这个 d g， 刚才这个 d g 是 一，这个 d g 变成了四，加三变成了七。 那这时 df 的 长就是根号下七的平方加上三的平方，七的平方加三的平方四十九，加上九，根号五十八。好。

呃，接着看二十三题啊，二十三题呢，虽然是个新定义问题，但是考的都是我们。呃，经常用的。你比如第一问，你看这个是个我们的制药性构合理的应用嘛，对吧？然后第二问呢，是个 手拉手模型啊，一眼就能看出来，对两个等腰直角啊，再往后是个分类讨论的带构合理的这样的计算。 呃，前面有个题是哪套卷子上题跟这个几乎一样，他的第三问几乎一样。先看第一问啊。呃，先看他的定义，他说，呃，连接三角形一个顶点 和对边上的一个一点的线段，就是必须过顶点，对吧？然后把三角形分成 一个等腰啊，一个等腰和一个直角，这样的线段叫做智慧线啊。这个三角形叫智慧三角形，意思就是你过顶点做一条线，跟对边连上一条线，对吧？ 分成一个等腰一个直角就可以了啊，这叫智慧三角形。智慧线。他说在智慧三角形 abc 中， abc 已经是智慧三角形了， a 得垂直于 b c 啊，这有个直角啊， a 得是智慧线，说明 a 得是把它分成一个等腰，一个直角，对吧？一个等腰一个直角，那好了， 长度 c 得等于二，然后 a c 等于二倍根号五。哎，所以这个时候勾股定律，一比二比根号五嘛，所以这个是四，对吧？所以这边呢， a 得 c 是 不是只是个直角三角形？那说明 a b 得它必须是个什么东西，必须是个等幺嘛，这才叫智慧三角形嘛。 那所以这个直角边相等，这是四四四倍根号二，对吧？求哪个都行啊，求哪个都行， b 得求出来，然后角 b 四十五，对吧？好，第一问，严格按照他的定义来啊。 第二个说 abc 是 等腰直角啊，这个 abc 等腰直角标一下， f 是 延长斜边，延长线上一点，连接 a、 f， 以 a、 f 为边，又做了一个等腰直角，哎，这个大的也是个等腰直角，那所以这不是典型的手拉手模型吗？对吧？那能得到谁和谁全等呢？那就是 a、 b， e 和 a、 c， f 它俩全等，对不对？它俩全等，全等之后，那你看啊，它说当这个角 b 得 e 啊， b 得 e， 哪个角呢？ b 得 e， 这个角等于二倍的角 b c e b c e 这个角， 这时候求证 e 的是 e b， c 的 智慧线，那好了，说明 e 的 把 e、 b、 c 这个三角形分成了一个等腰，一个直角，对不对？其实你看到这个外角等于两倍的这个角的时候，你比如直角二直角一了啊， 角二等于二倍角一的时候，你就应该能知道 e 的 c， 它应该是个等幺三角形，是吧？为什么呢？你看角二，它是不是等于角一加角三， 角二等于角一加角三，为什么？因为外角等于不相邻的两内角和，对吧？然后题里面告诉我们的是，它等于二倍的 a， 他等于二倍的角一，对不对？题里面告诉我们等于二倍角一，那角一加角三等于二倍角一，所以角一跟角三是相等的，对不对？角一角三相等，说明这个时候其实他已经是个等腰了，对吧？这个是个一个等腰了，所以你只需要这个三角形是个直角三角形就可以了。 那这个三角形是个直角三角形，怎么正？这不是我们手拉手模型的常见结论吗？对吧？第一个，全等，全等之后， 全等之后看啊，呃，角， a、 f、 c 这个角，它的对应角是不是角？ a、 e、 b， 对 吧？这俩角是对应角，然后呢，这个角是对顶角，所以根据八字模型，那你看这个角 e、 b、 d， 它是不是永远永远都等于 e、 a、 f， 对 吧？那么 e、 a、 f 什么角呢？ e、 a、 f 是 等腰直角的顶角呀，那所以这个肯定是个直角，对吧？对不对？所以这个求证 还是先把手拉手模型最基本的。结论，正出来，正出来之后呢，我要的是它的对应角相等，对吧？对应角相等完之后，用八字模型正直角，正完直角，用二倍关系得出来，这边是个等幺， 所以就是智慧线啊，这是它的定义。第三问， abc 中啊，这个 ab 等于 ac 零二倍，根号五好，这是一个等幺， 然后 v、 b、 c 等于八。现在说，若 b、 c、 d 啊， b、 c、 d， 你 知道了 b、 c、 d、 d 在 哪呢？那 b、 c、 d 是 三角形啊，是智慧三角形，所以，那么 你就想 a、 b、 c 是 不是已经是个等腰了，对吧？那么 a、 c、 d 这边是不是直角三角形就行，对吧？ a、 c、 d 这边是直角三角形，那 a、 c、 d 是 直角三角形， c、 a 是 智慧线，所以 c 是 不是就是个这个，这个，这个， 呃，叫什么？顶点，对吧？ c 就是 顶点，那得就是 a 就是 得上的一条线，是吧？ b 得上的一条线啊，再画长点，好到这。 所以这个三角形啊，得在哪呢？得，就在 am 这条线上，对吧？ am 这条线上，只要 a、 c 得是个直角三角形就行。那首先我们排除掉第一个， 这个角不可能成为直角，对吧？因为这个是补角吗？这个是钝角，他他肯定是一个锐角，所以他不可能直角，那所以两种情况，对吧？两种情况，第一种，比如说这个是直角啊，这是直角，得在这。 那么这个时候你看呗， c、 a 是 不是一下就分成了等腰直角两三角形啊？没问题啊，所以这个是对的，对不对？那只需要算成长度就行了。那咋算长度呢？这是直角三角形，所以我们想什么勾股定力嘛？ 所以我设 a 的是 x 啊， a 的是 x， 这时候双勾股定力能看出来吧？ ac 的 里面 c 的 等于什么？等于二倍根号五平方减 x 平方，对吧？这是 c 的 在 a， c 的 里边的表示，那么在 在 a c 的 里边表示啊，那 c 的 在 bc 的 里边怎么表示呢？那就是三角形， bc 的 里边怎么表示呢？就是 八的平方减去一个二倍根号五加 x 的 平方，完了，他俩应该是相等的，对不对？所以减一下这个就行了啊。减下这个好，算 二根五平方是多少？二得四四五，二十二十，减 x 方等于六十四，减 二十，再减四倍根五， x 再减 x 方，对吧？减 x 方减 x 方，所以四倍根五 x， 它就等于六十四，减四十四，减二十二十四，对吧？那所以二十四除以四倍根号五， 所以 x 等于六除以根号五。五分之六倍根号五，对不对？所以 x 等于五分之六倍根号五， x 等于五分之六倍根号五。但是让求的是 c、 d 的 长，对吧？求的是这个长度啊。但是有的同学到这已经能看出来简单的算法了，你看啊， 你要看不出来，那你就勾股定，你继续算，你要能看出来，看啊，我教给你们，你们就是说如果发现直角三角形的两条边呢？你可以先验证一下它是不是常见勾股数，你看 a 得 c 得 ac， 这不三条边嘛，从小到大把它写一下， ac 是 多少？五分之六倍根号五，对吧？这通过分，这是多少？ 这是五分之十倍根号五，所以六八十嘛，对吧？六八十，所以 c、 d 就是 五分之八倍根号五，对吧？所以第一问，五分之八倍根号五， 这是第一种情况，这是第一种情况。那 c、 a、 d 是 直角三角形啊， c、 a、 d 是 直角，是不还有另外一种情况啊？ c、 a、 d， 哎，不用擦这个看，我只擦这个，什么情况呢？如果他跑到这来看该角 c 直角了嘛，对不对？该角 c 直角了，那所以这个点是得啊，这不要了， 这点是得，那这是直角 a、 c、 d 是 不是也满足是直角三角形？ a、 c、 d 直角三角形， a、 b、 c 等腰三角形，那么 a、 c 还是智慧线呀，对吧？ a、 c 还是智慧线？那所以这个时候那咋算 c、 d 的 长度嘞？ 一回事啊，这个是假设，这个是 m 吗？这回啊，所以你如果算出来第一问了，那这问非常好算，为啥呢？你看这个 amc， 它是不是三比四比五， 对吧？ amc 是 三比四比五，那所以 mc 的 它肯定三比四比五，对吧？为啥呢？这不是相似吗？是你定里那个相似直角同角的余角完了， 然后，那么，呃， m、 c， 那 你看我换在这，那 m、 c 是 不是这个三角形里边的三，对不对？然后 c、 d 是 不是这个三角形里边的五，对吧？所以这个是三份，这个是四份，这是五份，这是分数啊， 那所以三变五怎么变？乘以三分之五吗？那所以原来是五分之八倍根号五，乘以个三分之五，完了，所以多少三分之八倍根号五？所以两个答案，一个是 这是三分之八倍根号五，刚才是多少五分之八倍根号五啊？所以俩答案，一个是五分之八倍根号五，一个是三分之八倍根号五就行了。所以这个里边综合知识点还是比较多的啊。你像这个我们的相似的应用，呃， 但是新定义算是一个啊？新定义算是一个，但是这个无论他怎么定义新的啊，他考的最终都是我们的这个对于原来的几何所有知识点他的小综合，对吧？ 然后当然技巧性的东西也有，你看像我们的，如果能看到，对吧？这个是三比四，比五，那是下边你的预算量会大大的减小，对吧？但是比例转换，像三怎么变五， 三怎么变四，四怎么变五等等，这些我们上课讲了特别特别多遍了啊。

各位家长，各位同学，大家好，我是数学吴老师，塘西二模的卷子呢，已经新鲜出炉了，最后的三道大题给大家做一个分析和讲解。 今天这条视频呢，我们先分析一下二十四题圆的综合来看一下这道题。 ab 和 ac 呢，是相等的，那也就是说我们三角形 abc 呢，其实是一个等腰三角形，所以我两个底角相等，立马就能标上 点 o 呢，是在 a、 c 上画了一个圆，经过点 c， 所以 这个点 c 呢，它是在圆。上图这个地方稍微有点偏差，分别与这两条边呢，又有一个焦点，一个是点 d， 一个是啊点 e， 也就是说这个点 d 呢，其实是在圆上， 然后 ab 呢，相与圆相切于点 j 这个地方呢，是一个切点。 当我们做圆的题，看到切点的时候，一定要连圆心， 借切点连半径得垂直嘛，这是我们做题的口诀，所以立马得到这个地方是垂直的， d、 f 和 ab 也是垂直的，所以这个地方呢，也是一个直角。第一小问，让正 d、 f 与圆 o 相切， 要去正切线的时候，我们先要把题看清楚，因为我们的切线呢，分两个类型， 有焦点连半径正垂直就可以了，或者说无焦点做垂直，正半径，你要看是哪个类型的。现在这个点 d 呢，它告诉我们是圆和这条线的交点，所以我们只要连半径正出来 垂直就可以了。好，连完以后，我们想倒这个地方是直角，倒一倒角就可以了。 连完 o、 d 以后，它和它都是半径，所以我这个地方又形成一个等腰，两个底角相等，那么这个地方也可以标一个点， 这边这个直角，我们能得到这个三角形，是一个直角三角形，他是直角三角形的话，两个锐角加起来就是啊，九十度，也就是说我这个地方标的点和圈的和呢，是个九十度， 那这个点加圈是九十度，那这边的这个点加这个圈是不是也是九十？他两个是九十，一百八一减，中间是不是剩个九十？所以我们从点加圈是九十度，立马能得到我们的角 o， 我们的角 o、 d、 f 也等于九十度，它是九十度，我就能说明我们的 d、 f 和 o d 是 垂直的，而 o d 呢，正好是圆的半径，如果一条线和圆的半径垂直，那一定就是切线嘛， 剩下的过程自己理清楚就可以了。我们再来看一下第二小问， a、 c 的 长度呢？给我们的是八，也就这个长度是八， 而一开始它就告诉我是一个等腰三角形，所以你这边是八的话，这边也是个几啊，也是个八， b、 f 是 一，那上面呢，就剩个七了，也就是 a、 f 的 长度就是个七，算阴影部分的面积。在这个地方，阴影部分 也就算这一点点吧，这一点点的面积现在呢特别好算，我们只要用 o、 d、 f 这个直角三角形剪掉里面这个扇形就可以了。 那我们要算这个三角形的面积，先判断一下它是不是等腰直角三角形。直角呢？我们第一问已经正出来了，是不是等腰直就可以了？这个地方是九十，这个地方呢也是个九十，这个地方我们正了九十， 所以我们的四边形 o、 d、 f、 g 三个角是九十矩形，而这条边和这条边都是半径长度相等，有一个四边形是矩形，邻边又相等，那么它一定是啊，正方形。所以我们首先得到第一个结论，就是我们的四边形 o、 d、 f、 g 为正方形， 如果它是正方形的话，那我就能得到这个角肯定是个四十五度。因为正方形的对角线还是角平分线嘛，所以我们现在算阴影部分的面积就特别简单了，我们阴影部分的面积 立马就会变成三角形 o、 d、 f， 它是一个等腰值，只要知道半径的长就可以了，减掉里面的扇形 o、 d、 h 就 可以了。而扇形的圆心角知道了，半径知道就可以了，所以我们现在只要能知道圆的半径就行。 半径我如果把它设成 x， 那 所有的半径的长度都是 x， 所以 这个地方也是个 x， 这个地方也是个 x。 长度标一标，再看看， 整个长的是八，下面有个，一有个 x， 那 上面就剩个八减一，再减 x， 也就是七减 x， a、 g 的 长度就知道了。这边 a、 c 呢，整个的长度呢，也是个八，下面 oc 是 x， 所以 我们的上面剩一个八减 x 呗。标完这个长度，我们求 x 的 方法也会了，这个三角形里面三条边呢，我们都知道了，并且它是一个直角三角形，勾股定力去求长度就可以了。好，我写到这边吧， 所以我们立马就可以得到，换一个颜色吧，这儿七减 x 的 平方加上个 x 方，等于八减 x 方， 然后把这个 x 解出来就可以了。这边呢，七七四十九呗，减掉中间项，二七一十四个 x， 加上一个尾平方，再加尾平方就可以了，这边呢就是八八六十四，减掉中间项十六 x 加个平方。 平方呢，先抵消掉一个吧，这个减十六， x 移过来，那就加十六，这边有减十四加十六，那我加两个 x 就 可以了。平方呢，放到前面吧， 然后六十四移过来就可以了，这边有个四十九，六十四移过来，减掉六十四，那就还欠了十五个，负十五个就可以，立马我就能看出来十字相乘吗？所以我们得到 x 加五乘， x 减三等于零，那我这边就可以得到第一个 x 呢，肯定等于负，那他肯定不行，要舍掉第二个 x 呢？等于三，也就是我们的半径是几是三，搞定， ok 吧？那半径我知道以后，那我三角形 o， d， f 的 面积等腰值两条直角边一乘乘二分之一就可以了。 减掉扇形的面积三百六十分之 n 四十五度 pi r 方，也就是三的平方，前面我算出来是个二分之九，后面三百六十分之四十五，那不就是八分之一吗？ 八分之一乘三的平方是九，那不就是八分之九，然后 pi 写到后面就可以了。好，这是我们圆的这一道题，第一问和第二问的其实难度都不太大 啊，都不太大，我们下个视频呢，来分析一下二十五题二次函数的综合，有想听下一个的，或者说最后几何压轴的，你先关注一下，等我发了以后你就可以看到了。好，拜拜。

涉及的这个二模考试已经结束了，然后呢前面给大家分析了这个数学还有物理这个二模卷子，然后今天呢带大家看一下这个英语的卷子， 英语的卷子整体的评价这一次是非常非常简单，这张试卷你像这个听力里边的话，可能最主要需要注意的可能就是最后一个题，主要是这个就是第三节里边这个单词，大家要记清楚，就是你的单词整体掌握， 要掌握的还可以。第二个呢就是我们在做听力的过程当中，要学会这个预审题，需要提醒的基本上都这两点。然后再有一个就是啥呢？要学会去圈一些这个关键词，尤其是时间上，你比如说你去预审题的过程当中，有些这个时间点，你像，比如说像这个第一 题，对吧？他哪个时间？时间怎么表示？你脑子里边要大概有一个想法，比如说这个起点他用这个英语怎么表达，因为他是用英语来说的。然后呢我们继续往下看这个 阅读理解，阅读理解这一块的话， a 篇可能需要注意的就是一个二十四题，二十四题里边的话，你像他主要是一个提取信息的题，像这种题目的话，我们就需要抽象的去看 这个地方需要提醒大家的都是这个 c 选项， c 选项里边的话他就这个作者给这个发明的这个人，他不一定是同一个人啊，这个地方大家区分开就行了。 那 b 篇里边呢？ b 篇里边这个这个需要注意的可能就是第二十七题，二十七题里边他有一个很关键的就是啥呢？就是大家一块去干了啥， 像这个一二三都是大家一块干的，四五明显是这个他自己干的，所以说这个时候大家要区分开，基本上这个题就能选出来。 c 篇这一块的话，大家可以着重关注这一下，第三十二题给这个三十五题，三十二题的话就是这个大家要结合这个上下文， 看一下他具体指代什么东西。然后第三十五题的话，他主要讲的是啥，我们就可以结合这个第一段跟最后一段其实里边是有这个相关的提示信息的，就是说他主要讲的是叶子发黄还有变化的一个这个过程。还有这个 原因，这个是文章的一个主体整体要表达的一个意裁，判断出来之后，基本上三十五题都很容易选出来。然后第一篇的话着重需要看的可能就是一些这个上下文的一个衔接，然后你看一看，就是一个他有没有相关的这个单词，重复出现这个句子里边，底下句子给这个文中，如果有的话， 你就可以去考虑是不是这个选项。这个题整体来说还是比较简单的啊，我们不太详细说了。然后阅读理解这一块的，我的建议是啥呢？我建议大家就是说先去预审题，预审题了之后把五个题先整体看一遍，看完了之后呢，再回头去第一题再看一遍，加强一下印象，然后开始从文章找 正常的像阅读理解的题目，他的出题顺序一般都是从前边往后边逐个要去出题的，只有极个别的情况可能他是穿插到文章里边了。所以说啊，建议大家还是先预审题，再去做这个题目，嗯，不要抱这种侥幸心理啊。 然后第三篇文言填空比较简单，我们不再说了。然后第四部分语篇填空，语篇填空这一块的话，你像这个文中我们考到的像这个考法，我给大家简单说一下，着重可能需要关注的就是一个是实态，还有一个就是这个单复数， 一般因为他涉及到这个名词，还有动词的一个变形，你比如说像这个五十七空，对吧？过去式，然后五十八空最高级，然后六十一空里边的这个被动语态对不对？然后六十二题的话过去分词，然后六十四题的话是单复数，这一块大家注意了，基本上都没有啥问题啊。 再有就是这个第二节这个阅读短文，这个也比较简单，我不再说了。然后是这个不选对话，不选对话里边的话 就是着重需要注意的可能就是第七十五，因为啥嘞？七一七二七三七四，对很多人来说他有一些这个固定的表达方式，然后你像这个七十五这种 就是开放性的题目，反而是很多学生比较头疼的。像这种开放题目的话，如果说你实在想不起来，你就根据大概根据自己的语境表达去写一个感觉 他比较通顺就可以了，大部分都是能拿到分的这个地方就是每年基本上这个就是不选对话里边他都会有一些开放性题。然后最后这个第六书面表达，就是书面表达这一块的话，就是说还是这篇强调了你有这个英语的好的底子的话，你就去可以丰富一些的各种的句式呀， 但是要前提条件上要表达要正确，不要出现一些低级的这个拼写错误。啥？你一出现低级的拼写错误单词基础的单词你都写错了，你立马就拉低了你的文章的整体这个印象，还有印象，所以说只要是表达上没有点啥具体的失误， 把文章的意思表达清楚，先拿到基础缝，然后如果说你的基础很好，你可以利用一些复杂的句式，一些高级的词汇也是可以的。 整体来说就是这个英语。这一次这个二模考试需要我的评价就是非常简单，这一张如果说你像你平常英语比较好，你最起码这张试卷拿到个一百一十五分左右吧， 然后如果说你的基础不是特别好，你要冲一冲一百分，大概英语就是这么一个情况，如果大家在这个中招考试里边能取得这个优异的成绩。

咱设计二模呢已经结束了，然后呢我手里边拿的是咱社旗的二模的数学试卷，然后呢这两天我也做了一下，今天呢带大家看一下这张试卷它整体的一个难度，还有说就是一些需要重点关注的一个题，大家可以等试卷发下来以后呢，再认真看一看，提醒大家一点是啥呢？第一个就是说 二模呢，更核心的目的还是帮大家去做一个查漏补缺，我们要从试卷上能找到自己的问题，争取呢在中考前还有二十多天能解决一个是一个，你多解决一个，考场上你都少拾来一点问题。这个第一点，第二点呢， 也有家长咨询这个最近一段你像这个孩子他做哪些题比较好？我可以给大家存几个维度啊，简单说一下，第一个呢，你像这个以前的这些真题可以简单做一做。 第二呢就是你像咱河南省，因为统一命题可以河南省各地的这个模拟卷上一些比较典型的题呢，大家可以做一做。再有就是你像一些大品牌的，像这个天兴的，对吧？天兴的卷子还有一些这个出的考前的这个 预测卷，也可以有选择性的简单做一点。然后呢我们接下来具体来看一张这张卷子，这张卷子呢，你像这个整体的难度来说，难度说实话不是特别大，可能二模呢也更多的想给学生们就是增强一点这个信心。所以说整体的难度除了这个 第二十三题之外，二十三题的第三个可能略微有一点难度，他需要这个分类讨论，还有这个第十五题分类讨论，但是这两种题他的分类讨论这个点其实 都不是特别难考虑到。然后呢，你像我们看一下前边这些题啊，选择题的前十个题来说啊，着重需要关注的可能就是第七题，这个里边他涉及到的中卫线跟这个菱形的面积一个计算，这一块大家需要注意一下。然后呢 第九题，第九题的话，他涉及到一个就是等腰三角形的三线合一，还有一个就是坐标的一个平移，这块大家需要关注一下。第十题主要考察的是一个三角形的相似，其实就是一个三垂直的一个结构，然后构成了相似之后呢，我们通过这个相似找到 变量，还有那个 ab 的 长度给这个函数之间的关系，然后代入就可以解出来了，这是一种方式，也可以利用这个求解析式的方式去找，也是可以的啊。 然后第二大题，填空题里边，像这个第十一、第十二都是比较简单的啊。第十三题是一个不等式，这个题也不是特别难，也比较简单。第十四题要考察的是这个 圆周角也比较简单。第十五题呢，这个题其实这个分类讨论的两个方面是比较容易找到的，你像它基本上涉及到这个 o p 跟这个 a c 平行，要么就是在 o 上边它可以平行，要么在下边可以平行， 然后在上边的时候，这个根号三这个值是比较容易解出来，但是我们要注意就是说这个 p 点，它这个位置刚好都在 b c 上，这个你要判断出来 起点在 o 点上方的时候呢，像这个位置我们要能找到它这个角的关系，然后的话去做一个截直角三角形的一个过程，基本上这个直角求出来整体的难度不是特别大，并且它这个分类讨论的两个角度很容易考虑到。 然后看一下解答题，解答题这第十六题，这个计算主要还是稍微细心一点，基本上没啥问题。第十七题呢，它里边涉及到一个平均数， 然后这个地方可能需要注意，就是那个方差，我们要理解方差的含义，他从某种维度上来讲，他是说这个值的一个利散程度就是他的稳定，你也可以理解为他的稳定性，就是他利散程度越小越集中，他的方差会越小。这个方差的这个含义我们要理解透彻， 这个是不需要直接去算了啊，你要算这个题都麻烦了，然后根据图像都直接能判断出来的这个是，然后呢第二万里边基本上根据他的这个平均数，还有这个就是方差的值，就能直接判断出来他的哪个波动小啊， 以那个平均值比较大，然后再往后边是这个第十八题，第十八题呢，咋说呢？这个题中规中矩，主要的就是说我们要找到几个坐标求值的一个顺序，其实前边的一万、二万、三万已经给你做出来一个简单的引导了，我们就是先算 b， 跟你 b 算出来 c 和 d 的 坐标， 然后算出来 c 的 坐标了之后呢，可以求出来这个反比例函数的解析式，求出来反比例函数的解析式了之后，这个时候我们可以啥把 a 点带进去，求出来 a 点坐标， a 点坐标出来以后，你就可以求这个直线 ab 的 这个函数解析式了， 整体的过程一问给二问还是比较简单，第三问求这种这个异形图形的这个面积就是阴影部分的面积。这种题大家主要还是啥呢？就是你咋去把它转化成规则的图形， 这一题可以转换成梯形跟那个扇形的面积，对吧？扇形面积这个差，也可以转换成三角形的面积，加上这个正方形面积，再减去一个扇形的面积， 基本上就是说你咋去转化，只要能把它转化成一个规则图形的面积给他求出来。这个题整体来说十八题还是比较简单的，但是这个题大家可以着重去看一看啊。 然后第十九题的话，嗯，需要提醒大家，就是一个吃亏做徒，吃亏做徒的话，这两年其实我觉得考察的概率挺高的，着重就是你像这个常规的吃亏做徒，比如说做角平分线，做这个中垂线，还有这个做等角， 对不对？这些常规的做的做图的方法大家一定要掌握住，吃亏做图的把掌握住，并且要知道他是咋做出来的。有一些你像根据三线选等对不对？有一些的话可以借助于这个，你像这个菱形他的性基本上都能判断出来。这些常规的做图大家一定要掌握，要熟练的掌握， 因为考场上他有时候他不会给你出这简单，但是他再复杂的这种词汇作图，都是通过转化给他分解成这种简单的词汇作图，一些常规的基本图形，然后最终实现这个题目的一个解答， 然后第二问比较简单，这个不再说了。然后第一二十题的话是一个比较常规的一个方程，这个题用的是这个方程组，解是最方便的用方程组。然后第二问的话，主要就是说你用这个一次函数嘛，一次函数，然后在区间内的一个最值的一个问题转化过去之后也比较简单。 然后第二十一题的话，这种题基本上是每年必考的啊，主要其实用到的就是一个截直角三角形，然后就是里边因为涉及到这个值，他比较 有时候他不是常规的数，就不是整数，涉及到小数的时候，你算时候稍微认真一点，然后看好他的让保留的这个位数是多少位，小数点后保留到几位，这个大家一定要注意，要不然的话，如果你真是算对了， 导致这个小数点没有保留对的话，你可能最终会因为这个丢分。然后二十二题呢？这个题也是比较经典的一个题目，第一问非常简单，直接代入之后直接就求出来这个值了， 主要是第二问他是相当于是第三问，其实给大家做了一个简单的引导。第二问的话，他里边涉及到这个，我们可以先求出来 m 的 值，求出来 m 值了之后啊，然后根据他这个 a 点 b 点的这个横坐标，然后求出来纵坐标都可以。然后第三问呢，这个题其实是 一种很典型的一种题目，就是求最值的时候，我们一般都要考虑到就是他这个两侧点的一个高低，以及他这个最最小值是不是这个函数的点点。这个事你像这个题的话都比较简单，首先 第三位他能确定的就是说他这个最小值一定在区间内的，我们需要确定的就是 a 和 b 这个点哪个高哪个低，说白了就是 你这个时候就是要分区间去讨论， m 大 于零小于一的这个中间你要给他劈成两半，因为他中间刚好是把这个对称轴，就是 劈成两半之后，你要看他的对称轴跟这个啥嘞，跟这个直的区间的一个关系，这样子的话你去判断这两个点哪个高哪个低，然后分区间去讨论，分两个区间讨论基本上都可以了。这个题来说，大家一定要就是 找到他分类讨论的依据，这个才是重点，搞出来这个讨论这个临界点了之后呢，然后去分类讨论，然后去解这个值，找到他这个区间内能取到的值，基本上都解决解决了。 然后呢第二十三题，我跟你说这个第二十三题不是很难的，原因是啥呢？就是第二十三题他的第一问，第二问已经给大家了一些这个解决的思路。其实我们通过第一问第二问里边能找到有两个这个边长，通过这个折叠了之后，找到两个边长就是他是相等的。 然后在第三文里边这也是一个非常重要的一个结论，可以直接拿来用的，我们可以通过就是证明了之后把这个结论直接拿来用都可以。然后呢 把第三文里边他的最核心的一个关键点就是第一个我们有角有边，你要去构造直角三角形，通过截直角三角形找到相关边的一个关系，然后呢再通过相似，然后去找到这个边长都可以，也就是说 大概就两个核心的步骤，一个是解这小三形，第二个就是通过三形相似，像这个题的他整体的难度来说其实不是很大，并且呢他这个分类讨论点比较好找，为啥呢？因为他这个一点是在 a d 上，基本上就是要么是在 左侧，要么是在右侧，对吧？你根据两个情况，简单的话图你就能看出来他的焦点是不一样的，焦点不一样的时候，这个时候我们就要去分类讨论，分类讨论了之后求出来两个结果都可以。所以说整体来说，这个二模的试卷来讲， 整体难度不是特别大，我们着重需要关注的题。刚才给大家大概说了一下，就是你像这个第七题， 第九题，第十题，还有这个第十五题，第十八十九第一问，然后第二十一题，还有这个二十二给二十三题，大家下来了之后一定要着重再去看一看， 然后呢通过就是一次模拟考试，去发现自己的问题，然后通过题目去关联到你的知识，还有相关的一个章节，做好这个精准的查漏补缺，最后这一段时间一个要稳耐住。第二个呢要注意自己的学习方法，因为题你做不完的，所以说我们要做一道题，你就要有一道题的收获， 通过这个题目去找到自己相关知识的一些问题，然后针对性的去解决。最后呢一路大家在中考当中取得优异的成绩。

社企的九年级本周进行了第二次模拟考试，后续呢给大家出具体的试卷分析。随着中考一天天临近，其实每个人都会心里边非常着急，这个时候其实谁要能稳住心态才是取胜的关键。本次呢，我们先来看一看南阳市区的二模的数学试卷的一个情况， 就是每次分析这个河南各地的这个模拟卷子，都有很多的家长私信想要这个试卷，就是为了方便大家能够更好的拿到这个试卷。我建了一个抖音群，就每次做完一个地方的试卷了，之后呢就会搁群里边给大家分享出来，需要的可以加入 我们。言归正传，南阳二模的这一次这个数学试卷我们分为三部分，今天先看选择题。第一呢考察了数的开放里边的平方根，这个题看着很简单，实际非常容易跳坑，里边有很多人就会算成他这个算数平方根直接选 a。 二呢考察了科学解数法， 这个题目呢算是科学技术法的反向的一个表示，主要是数清楚，有几个零表示清楚就可以了。三是一个跨学科的一个知识，涉及到物理的光的反射和数学当中的平行线的性质，平行线间内错角同外角同或内角之间的几个关系，我们要理解并且能够熟练运用， 同时反向啊，对于平行线一个判定要掌握。四呢是整式的加减乘除和它的指数运算，其中同底数密的乘除运算和密的乘方运算大家一定不要混淆。五呢是正方题的展开图， 因为正方题的展开图它的种类非常非常多，我这里我不建议大家去记，规定的规则就是现场根据这个图形直接去分析，反而不容易出错。 六呢，是一元二次方程它的根的判别。这类题目在河南各地的一本卷子上多次出现，这是必须要掌握的一个知识点， 就是老几元二次方程，它的根的判别式。这个题是可以轻松拿分的。第七题呢，考察了数据分析当中的平均数、中位数、众数和方差，这个地方也是中考必考，一方面我们要牢固掌握它们各自的含义，另一方面呢，平均数、中位数和方差的计算方法也要牢固掌握。 后面大题的部分一般也会出一个这样的一个题目。第八题，考察了坐标系以及图形的旋转和截直角三角形。这个题目如果你能看出来 d 片和 c 片，它是由 d 和 c 分 别照 a 和 b 顺时针旋转出来，根据旋转的特性去截直角三角形，很容易得出来正确答案。就这个题呢，在河南模拟卷当中 其实是第一次见到，是个不太常见的规律探讨题。这种题目其核心就是通过加减乘除的各种运算，找出来结果呈现出来的规律，就可以解题了。这个题目是有一些难度。第十个又是一个宽学科的一个知识的考察， 物理的电路和数学当中函数图像的一个结合。这个题目并不难，但是很多同学拿不到分数的原因大概率是看到这个题目一看那么复杂，直接放弃，就没在思考。 这种题目一是找到变化的这个规律是增大还是减小。第二呢，就是要根据选项去分析他的图像，即便就是当中的有些选项你实在计算不出来，你也可以利用好排除法 就能选出来这个答案。这个题目只有 c 选项需要计算，其他三个选项全部都是可以在函数图像里边直接就看出来。 选择的十个题目当中呢，重点是七八九十这四个题目作为重点，我们必须要理解并且熟练掌握它相关的一个知识点，其他题目基本上可以轻松拿分。 其实每次分析这个试卷呢，我是想通过这个过程给七到九年级的各位同学传达一个什么样的信息呢？那就是学习的这个过程，他不是说你做的题越多，你的成绩越好， 这个看数量，他也看质量，这里的质量其实就是你从看到每一个题目，分析题目的正确答案， 对答案重点的题目呢，去重新梳理的过程，他的卡点，找到题目和知识点之间的关联性，每一步都非常非常重要。尤其是如果你现在还在五六年级，或者是刚进入初中，如果你的数学想突破并且稳定在一百一十分以上，这个分析的过程是必不可少的。 后续呢，为大家更新选择题和答题的一个分析，希望通过这样的分析，对大家能掌握更好的这个学习方法有所启发。

辉县二模的数学试卷啊，今天上午刚考完的啊，我个人感觉的话，难度比我们三月底的一模要难一点啊，同学们自己感觉这张卷子简单还是困难啊，发挥怎么样可以在评论区里边交流一下啊，我 再来辉县待了十年的初中数学啊。接下来的话，以我个人的观点来评价一下这张卷子里边几道特殊的一个题目啊。从第三题第三题的话，这里面考察是一个含虚线的三式图，那 这个考点的话，现在比较偏一点啊，不过近十年河南中考的话，其实并没有考察过这种含虚线的点啊， 这个题的话本质上还是个送分这个点，所以说大家在这丢分的话也不用过度担心啊。然后第四题的话是个冷门的考点，就这边考到了，是一个抽象的它的重要性，当然题目不算难啊。 然后就是我们第六题这个卷子里面第六题的话，它是一个七年以下测的一个难点，含餐不等式组，一个求参数啊，根据几级求参数取值的一个题目，相当讲是比较困难的啊。这个考点的话，他跟我们二十二题里边最后一问二次函数里边求参数取值的话，他们两个其实是冲突，是重复的啊。 衡量中考的话，真正中考里边关于不等式不等式组的这个解析，其实是一个送分的一个考点，所以这个题如果出错的话，大家也不用顾虑啊。然后接下来的话，我们到第八题，第八题里边的话是一个跟同学是一个考察啊。呃 啊，但这里边的背景的话加了一个定心算，所以说相对来讲的话，大家在审题上面可能会耽误一点时间啊，难度不大。然后就是我们第十题和第十四题啊，这张卷子里面出现了两道就近几年比较流行的就是我们新课表里边跨学科的题目，一个是话跟物理里边光学结合，呃，热血结合，再一个是跟物理里边这个光学结合， 题目都不算难啊，主要就是啊，大家审题上面的话，把题目读懂就可以了。然后就是我们第十三题，十三题里边的话是一个归类探索，他这个的话也是符合我们新课标的一个要求的，跟二零二五年啊，中考第十三题的话，真题也是比较类似的。 然后第二十三题啊，第十五题，十五题里边的话，对于大部分尖子来讲的话，哎，这个题的话其实是一个常规题啊，一个等腰三角形的一个存在性问题 啊，所以说三种情况去讨论嘛，排除一种不可能的情况啊。嗯，当然对于我们这个九十一百分，一百零五分以下小孩来讲的话，这个十五题就可以直接放弃啊，我们重点抓其他的分数啊。然后 第十七题啊，这个卷子里面比较争议一点，就第十七题啊，这个十七题里边的话，这个第二问啊，第二问里边参考答案里边，这里边圈一圈圈圈三选正确的答案里边给个圈三啊，实际上这个圈二也是正确的啊，因为七十五分，如果有三个的话， 他和这个男生的中数八十四一样，都出现三次，他就也成为中数了，就不符合提议了，所以这里边应该二三都是对的啊，这个大家 到时候估计评分的时候应该会老师会提到这个点啊，应该不会扣大家分的。然后十八题的话，这个耻辱图，这个卷子里边考察的也是跟我们中考的话稍微不太一样一点，他并没有考察学生实际操作，而是把图画出来以后让学生自己去评，自己在一二里边选择看哪个是能判定菱形的，这个大家自己灵活判定就可以啊，其实题目也不难啊。 然后接下来到我们指南卷子里边难点第二十题，还有这个第二十二题，二三个这个题，这两个题的话，指南卷子可能还相对来讲比较恶心的一个点啊。第二十题里边他本质考察是一个反比例函数，一个函数，一个综合的一个题目啊，加了一个，加了一个情境啊，加个实际情境。 嗯，但是啊，这个题如果学生平时没有练过类似题目的话啊，因为在以往的太行城北还有老啊，老一中啊，他们在月考的时候啊，就是七啊，九年以上册里边一月二十方城里边其实是考过类似题的啊，如果学生没有做过类似题的话，你看这个第一问里边，他说从 方程的角度，学生读到这以后可能不知道他不知道他干嘛了，他就意识到可能这还有个问题的啊，这个题的话可能会让学生摸不着头脑啊，可能这丢分会比较严重一点，这是二十题，然后就二十二题，二十二题里边这个二三数，虽然他跟我们二五年中考题比较像啊，他是没有考试应用，考了一个函数的性质题， 但是啊，这里边的二三问，包括第一问里边这个参数 a， 可能对于学生来讲的话，一下就搞蒙了，所以这个题的话，最后成绩出来以后，我觉得啊，可能会有大量零分出现啊， 这是二二题，一下就是十分这个题啊，然后第二十二十二十二十一题吧，圆这个题圆的话，因为近几年啊，二三二四二五年连着三年中考的话，圆里边在大题里边比重是比较小的，他重点考就三个知识点，一个考察是匀角定律，再一个考察是切线性质，再考察是我们的 圆里面阴影部分面积计算，还有这个弧长计算三个点，这张卷子的话，整个卷子里边并没有出现这个阴影部分面积计算或者弧长计算的点。 他这边考元大题这个题的话，要客观来讲的话，也是元里面的套路题啊，第一问考察企业性质，然后第二问里面的话，是一个与贤妻小定律相关的一个点套路题啊，但是如果学生他没有在二模前针对性练过元专题的话，可能这个第二问的话也会去拉分啊，扣五分。第二问啊， 然后最后二十三题，二十三题的话，这个题啊，如果从难度来讲的话，对于常规的中来中考这个呃解压题来讲的话，他其实难度并不算很大啊，如果大家呃时间充足让你去思考的话，但是啊，因为我刚才讲第二题，二十二题这两道题的加持啊， 可能学生知道以后做二三题的时候脑子已经蒙了啊，就没有时间去审这个二十三题了，并且题量比较大，二三题我们看正常中考的话是三问，这里边一二三四，第三问还是两问，所以相当于这里边五个问题题量比较大啊，所以说这个题的话可能也会成为一个拉分的一个考点啊。 所以总来讲的话，这是我们关于这个咱们这次这个微信二摸这个卷子一个大概一个评价啊。嗯，大家考的怎么样啊？有时间的话，今天晚上九点半我们在直播间里边大概评价这张卷子啊，大家有问题的话可以关注一下啊，九点半直播间见啊。

读完初三二模数学卷，同学们是不是又难哭了？三年数学白干！今天严老师从哼到拉，对每个题进行排序，看看你现在到哪个水平了？好，我们现在挨个来看。首先，我已经把选择题填空题部分给搞上去了， 我们拉的部分就不说完了，我们从先往后捋一捋稍微有一点困难的部分，你看你有没有在这个选择题部分给他跳进去啊，有没有跳进陷阱里头去？ ok， 我 们先看第四题。 第四题，这个题考了一个三角形的三边关系，有同学说这题我没想到在这第四题出现一个比较麻烦的位置，我给到他一个人上人的位置。 接下来我们看第五题。第五题涉及到一个分式运算，我们有同学一遇到这种分式运算，我的妈呀，不会算，感觉太困难了，不知道如何下手。所以第五题有同学可能在这里犯错误，搞不出来。好，我们再往下去看第八题。 第八题是一个勾股定律的计算，或者有同学知道角平分线性质的话，很很快出单，如果不知道你勾股定律，也能列方程把它搞出来。 但是在这个几何题，有同学一看到就搞不出来，所以在这里我给到他一个人上人位置。朋友们，虽然说选择题他感觉没那么快，但他人上人位置。来，我们接下来看第十一题。 十一题是一个量角器问题，考法比较新颖，但是本质上你如果能看懂题的话，这题是超级简单的。朋友们，只要你能把坐标搞出来。 ok， 这题能做出来。所以十一题 虽然不是拉完了，但是仅仅能达到一个 n p c 的 水平，你应该能把这个搞出来。大部分同学来，我们看十二题，十二题这个题我觉得 你想把它做出来或者证明出来是比较困难的，但是你如果说想蒙答案，蒙出来是非常容易的，我觉得大部分同学都是 能蒙对的，但是在这有同学可能不敢蒙，所以我给他一个顶级的位置，你能做出来或者蒙出来都堪称顶级。好，我们接下来看填空题，填空题前两个说真的，十三十四拉完了，只要说你能做出来， ok， 他 就能， 应该不会错吧。来看十五题，十五题是一个角度问题，我是用方程组的思想去解决的， 当然这个题他不属于特别难，只要说你耐心思考，那段时间你会商圆，你能找见里面关系，十五题就能搞出来。所以十五题给到他一个人上人位置，这样能做出来，你是堪称人上人。 好，我们再看十六题，十六题在这按理说是一个非常吭的级别，但是他到不了。为什么？因为十六题这个 图形给的太明显了，他就是一个一线三等角模型，或者同样像 k 自己模型，一线三垂直模型，如果你能理解他，找两个端点去求数，只要说你计算不错，肯定能搞出来，所以这题撑死给到一个顶级水平，也就是说目前省的填空没有出现特别难的吭的位置， 大部分你是靠算或者靠你蒙，是能把它蒙对的，所以在这个人感觉难度不会特别大。也就是说到现在为止，如果你做完选择填空，个人保守啊哈，我做选填充花了十五分钟时间，如果说你正常做完选填充，你如果感觉到四十分钟了，朋友们，你就前面做的太慢了。 因为选填充不难，所以后面大体一定是有难度的。朋友们啊，前后难度其实是 合起来可以打到一个比较难的地方，是不是？好，我们接下来看大题，大题前几个你会做的非常非常顺手，当你做前面非常顺手的时候， ok， 那 你会发现后面题一定是特别难的，你就揪点心吧。所以遇到简单题要做的是 稍微的快那么一点点，是不是让我们往后接着去填啊？十七题整个计算，我给到一个拉完了的位置，因为它太简单了。如果说你十七题错了，朋友们，不好意思，你的计算要好好的去看一看才行。同理，十八题，我们翻到十八题， 整体整个题目给到一个拉完的位置，因为他也就是个单纯的计算，如果你这样的计算，你同学说我最后科学计算不对，那你为什么算不对？加减乘除以上难的只要看题是不可以了， 所以十八题也是给到一个拉完的位置，甚至朋友们，十九题也整体给到一个拉完了的位置，因为他本身到不了难的地方。有同学说我十九题做的时候低了，那那那那，那个概率还能为零嘞， 那为什么不可以？你耐心读题，他不可能发生的话，是不是概率就为零？你同学可能在这可能会陷进去，但是这不属于难题部分，明白了吗？朋友们，包括第二本，只要说你认真的画树状图或者列表，你是错不了的， ok， 所以 前三个大题简直是送分题。 好，我们接下来看第二十题，从二十题开始，说真的，我觉得同学就开始逐渐的进入一个崩溃的位置， 什么玩意啊，你就给我个正常数不行吗？虽然这个背景大家都知道，公园里面都有，就那个，就，就那个，就那健身器材是不是？但是把它放到生活实际中 掺和了一些数，甚至说掺和了一些角度，什么四十二度，什么五十三度，有同学就感觉这数算起来太难算了，所以这题不是难，难在意什么？难在意他算不出来这个数。有同学计算一到这就卡住了， 理解这意思吧。所以我们现在看二十题，如果说二十题第一问你能搞出来，朋友们 给他一个 n p c， 他 思路超级简单，我觉得在大家练了很长的三角函数题目之后，这个题不属于难题，但是你在这可能会卡进去，明白意思吗？ 但是第二问就涉及到一点点思路，涉及到思路的话，可能就会有一点点困难，所以如果说你第二问这个角度搞出来了， ok， 给到你一个人上人的位置， 二十题第二问。所以二十题开始还是有一点点难度的。好，从二十一题开始就开始逐渐的变难，但是大家慢慢去想，我接下来给位置的时候，会发现， 每个题的第一问他都有简单地方，所以每个大题第一问你都是能保守做出来的，朋友们理解这意思吧。好，现在咱们看二十一题第一问就是求两个超级简单解决事，我把二十题的二十一题的第一问给到一个拉完的位置，你做不出来这个题，咱 三年数学白干是不是？三年数学白学好？第二问开始就逐渐变得，因为涉及到思路，涉及到计算机，同学就感觉说，啊，这是什么呀？我怎么 不会呀？好，我先说二十一题的括号二，是仿照前几年一个中考题来做的，这个题至少有六七年的历史了，所以大家现在一定要把六七年前的知识点拿出来，再翻来覆去的去练一练，很多时候 考题会循环去考，考多年以前呢，是非常非常有可能的，明白意思吗？所以第二问的二十一题括号二的圈一 给到一个人上人的位置，因为它本身确实有那么一点点的难度 啊，是到计算上比较难，但是思路上还是比较紧的，你只要能把坐标写出来就可以了。然后我们接着来看圈二圈二，说真的，二十一题 第二问的圈，按理说有同学在这可能想了好久，什么动点位置在这个范围之内，讲道理，这个题不难，他你可以先把那个对称完，那个点求出来，然后放到那个范围里头就行了，这样你做起来就会方便很多。 但是有同学说，什么玩意对称呢？我不了解。那你可以适当的话去接触一下这些类型题，你就会变得非常的简单，感觉对他来说，所以这题称不上哈，称死是个顶级，明白了吗？ 好，接下来的话我们来看二十二题。个人感觉二十二题这个提出的相当的没水平， 整个题分了好几问，他说了一问两问，但我把后面这是加上三问四问，整体感觉这个题难度不大啊，你就是你耐心去读题，你对四边形有一点点基础，你能把数算出来，你会倒三十度，六十度关系这题二十二题九分，你是可以拿满分的，所以这个题 难度不大，朋友们理解这意思吧，你正常去看，耐心去做题就行了。来，我给他二十二题的第一问，朋友们，你如果说不会正，这个你就拉完了，然后第二问你也就拉完了。 所以底下我把这当成三问和四问。第三问，尺规作图以及求一个数。首先，尺规作图你得会那五种，朋友们记得吧， 五种尺规作图至少要会四种，哪四种？咱在这不说啊，但是你心里应该明白，以及求 x 需要涉及到特殊角度，你得把它搞出来，你搞不出来，你这个挺就白费了。理解这意思吧。所以我们来看 这里的话，这个第三个我给他一个 n p c 的 位置，他称不上难题，朋友们理解吧，但是你值得去做 啊。来第四本这个拓展，我给到一个拉完的位置，同学说，那前面你 npc 怎么最后这个二十二题的这个第四个给到拉完位置呢？因为它确实不难，就考到一个矩形的一个对角线相等性质，你如果能看完题， ok， 你 前面不会，后面也能做出来。 所以有的时候难题不一定在后边啊，有可能在中间，如果前后关系没那么大的话，你可以舍去中间去求后边，是不是？ 好，我们接下来看二十三题，从二十三题开始，有同学就开始逐渐接近崩溃，我猜想有很多同学可能写到二十三题的时候还剩余很长很长时间， 尤其对一些成绩比较不错的孩子，从二十三题就开始去抠，就开始去想，就开始不明白怎么回事。说真的，二十三题，二十四题这俩题还是出的相当的难，但是 拿分还是能拿的，你有时间你是能把它抠出来的，所以我们来耐心的话去看一下这俩题能到哪个水平来。二十三题第一问，不用想啊，给到你个 npc 的 位置， 求个解析式，简单包括说你求完第一，哎，第一问的圈一，不好意思，第一问圈一，你求解析事还是非常容易的，但这题分值给的不高。然后我们去看二十三题的圈二， 二十三题圈二的话就是简简单单的话解一个方程，但这方程的话不好解，尤其最后带根号，他说什么玩意啊，怎么就怎么就带根号了。所以把二十三题的 第一问的这个圈给到一个人上人的位置，你能把这求出来，说真的已经超级厉害了，尤其你在有些同学时间不够到这的时候感觉，哇塞，我在时间紧张情况下能把这个数算出来，太厉害了，理解这意思吧。所以我们接下来看二十三题的第二问，就是括号。朋友们， 当你判断 a 等于 km 是 否永远成立的时候，什么玩意啊，本来两个字母就够用的，结果这里面出现了三个字母，这里面是一道一个销源，是一道联系的事，所以还是一道因式分解的事。朋友们，你慢慢去练，是能把它练出来，但是这题可能也在 从这开始就看不懂了，所以你能把这个括号整出来，你就非常的顶级，但是到不了行啊，因为这个思路你有大部分同学都是能搞出来的，我觉得，所以他撑死给到一个顶级，但是到不了行。但是第三问，朋友们， 你在括号的基础上去做题啊，你想求 a n 长度，或者说你想求最后这个范围，说真的，这四分不好拿，你能把这四分拿出来，第一你前面做完了，第二你前面思路完全理解了，而且你能处理这么多字母，你跟我一样厉害，你是能把二十三题的最后两问就 括号三的最后两小问做出来的，所以在这你能把它搞出来，朋友们，你简直是憨爆了。所以二十三题的括号三，不论圈一还是圈二，你能搞出来，全都憨爆了，尤其到这个位置，太厉害了。 那二十三题整体难度还是不小的。我们最后来看二十四题，二十四题这个几何题，这个动元问题是 现在考试中，你说有一个洞点，还好这里出现两个洞点，这两个洞点还在其中，有一还在来回动， 而且这个圆还在变大，还在跟这个四边形去找一些关系，这里面整个图像你要把它想明白才行，所以这个题整体思路还是挺难的，但是 前两位也是能送你点分的。如果说你第一问没有把角度求出来，没有把 t 等于五的时候，这个 m 搞出来，你就拉完了。朋友们，所以二十四题的前面的括号一这三分也是送你的，但是括号二开始， 比如说求 m 的 最大值，有同学就说，哇塞，我怎么不知道这个第，我把第二个都拆开了哈， 我拆开求 m n 把这圈圈一，这个还是非常好搞的， m n 最大值，大家能想出来它怎么运动，有同样是能把它搞出来的，所以这个乘除给到 n p c， 但是前提你要能看题，把题看进去，能看懂是不是才可以？ 好，那第二问，这个球落在里面的面积，我天呐，这就比较难算了，不光是思路难算，而且里面涉及到一些计算带根号的，我印象中好像有根号三十七，你算起来就比较麻烦，所以这就堪称顶级了。朋友们，就是我给到二十四题 的括号，二个圈，给一个顶级的位置，你能把面积搞出来就相当厉害了。来看第三问， 第三个说半圆与它相切，首先你考虑两种情况，因为整个运动过程中分两波， m 往那边的时候和 m 回来的时候两波，这两波中都有可能是相切的，所以能想到两种情况，以及把两种情况图自己画出来，再把两种情况的里面这个结果给算出来，你能把它这搞出来， ok， 你 就憨爆了。所以 朋友们，这个位置必须要给他耗，二十四题的第三问，第三问都耗了，第四问别说在里头了啊，你想把第四问在里边的闲肠不便做出来，你必须对整个过程是有所了解，而且你必须对前面的数算的是非常清楚的，你才能搞出来。 所以二十四题的第四问，咱给到一个好爆了的位置，那么到现在为止的话，我们已经对每个题的位置已经有了排序，朋友们， 请给我一点点时间，我把分值写上去，我们接下来揭晓一下大家到底能到哪个水平。 好，朋友们，我已经算完分数了，我们整体来看的话，能达到夯的分制有十分，有时候你能考到一百一十分的话，简直夯爆了，你太厉害了。这次二模考试，所以你看你有没有到这个位置， 这个分数应该比一模的时候稍微高一点点，因为超级大难题没有那么多理解这意思吧，但是你想考到这个分数还是非常不容易的，所以这次考高分的同学依然不会特别多啊，想这个事哈，来，我们接下来看，达到顶级的话， 顶级题目有十三分，能达到九十七分， ok， 你 的基础是非常没问题的，你只不过说解决这些超级大难题以及有非常有 值得思考的题是有点困难。所以如果说朋友们你考到九十七分，放心吧，你的基础超级厉害，以及你的做题速度应该没什么问题，你接下来就是需要更多的话去练一些难题，练一些大题，同时复习一些压轴题是不可以了， 但是不要忽略了什么一些对基础题的一些正确率理解这意思吧。所以九十七分的同学已经非常厉害了， 那我们接下来看，你能考到八十分以上，说明咱也达到人上人水平，基础也是没问题，但是接下来可能要注意什么，第一要速度，第二是不是准确度，应该把这些能扣出来的，适当的话去扣一扣，你发现每多扣一个题，其实多三分，每多扣一题多三分，我们 整个罗列下来，是不是几乎每个题都是三分，两分，两分、四分，平均下来是每个题都是三分，所以你到这个水平应该多多努力去把这些能扣出来，尽量多扣出来，顺势的话 提高一下速度是不会更好。好，接下来我们看，如果说你能考到六十一分， ok， 朋友们，那只能说咱有很大的欠缺，有些 该拿出来的题就没有做出来，你要加倍努力才可以。明白这意思吗？好，那六十一分底下的同学，不好意思，咱这次考试拉完了， 希望你能在接下来的不到一个月时间之内，耐心的话去整理一些基础题，去复习这些题，避开这些陷阱， ok， 你 的成绩会逐渐的往上去提升。 以上的话就是对整个二模数学里面的一个总结，整体来看，这张试卷难度还是有的，但是基础题占比比较大，难题占比是比较小，这个难题就属于哪种啊？属于是你想把它全部搞出来是非常困难的， 他确实有难度，但是你想考一个不错的分数也是可以的。这我觉得就是中考的一个方向，注意，我说是方向而不是难度。中考方向就是说有些超级大难题，大家可能说确实不好把它搞出来， 但是对一些中等同学，或者说中等往上同学，我能保证我一些题目的一些正确率，我能达到一个一百分左右的水平是没问题的，明白意思吗？在这个基础上，你多扣一点分数上去，你就更厉害一点，你就更好一点点，明白意思吗？好，现在的话，我们距离中考还有 不到一个月时间，考试永远不代表最后中考成绩。我们每次考试不是说为了证明自己有多厉害，或者自己有多菜，我们是为了找见自己目前的不足调整加了一个复习方向，明白意思吗？ 朋友们，中考加油，你一定可以成功的，我们下期再见，点关注呗。

今天我们来一起学习 二零二六年信阳市中考二模数学试卷分析，大家好，很高兴又与大家见面了啊，接着我们近期的分享，今天我们就来分享一个啊， 啊，今天上午刚考的啊，信阳市中考恶魔啊的一个数学试卷押注题啊，这个试卷的话应该是市区，然后呢，全市还有下面，比如说像这个固始了，还有这个光山啊等等很多县啊，他们的一个通用的一个试卷啊， 所以说啊，这个试卷的话，其实呢，真的范围比较广，那意味着这个试卷其实呢难度是比较低的啊，当然这个试卷确实比较简单啊。 好，有需要这个试卷的朋友可以私信我把这个试卷分享给大家啊，大家不要问我啊，有没有这个试卷电子档，没有这个试卷电子档，我怎么去分享这个视频呢？录这个视频呢？好，话不多说啊，这个试卷的话，我仍然只分享两道题，第十五题，还有第二十三题啊，好，我们先看第十五题啊，就在这个地方进行 讲解啊，好，第十五题，在 l t 三角形 abc 中啊，还有另外一个两个直角三角形 abc 啊， abc， 还有 abc， 还有一个三角形是三角形 d， e， c 啊，两个直角三角形啊，好， ab 等二倍的 d e 等于八，也就是说 ab 是 个八，那么 bc 就是 一个 bc 是 一个六啊，这个 d e 是 一个四啊，然后呢， c e 就是 一个三啊，好，非常特殊的一组数字对不对？将三角形 d， e， c 绕着点 c 顺时针旋转啊，将 d， e， c 绕着点 c 顺时针，那就是朝这个方向旋转，对不对？ 当 c， e 垂直于 bc 时啊， c e 垂直于 bc， 好， c e 垂直于 bc， bc 是 固定的，所以说 c e 垂直于 bc， 那 是不是就意味着有两种情况呢？哎，非常好，第一种情况就是在这个地方垂直啊，那这个时候这个三角形就变成了，变成这么一个三角形啊， 对吧？那么这就是第一啊，这个就是 e 一 啊。第二种情况，那就是在下面这个情况啊，然后呢，这个边的话就变成了， 恰好是蓝色和绿色，是中间最顺的一种情况啊，这个就是一二，这个就是第二。好，我们先看这个蓝色的情况啊，这个题的话，我打算用这个什么呢？一个非常重要的一个知识啊，属于我们初中阶段的一个知识的延伸啊， 我们做题并不局限做题啊，做题的话其实也是不断积累一个过程，这个题我将会用到点到直线距离公尺，有没有同学能够记住点到直线距离公尺呢？ 好，如果说，呃，这个视频我分享没有超过二十分钟的话，我等一下会给大家简单证明一下啊，点到距离的公式啊，点距离公式啊， 我先说下这个公式啊，那就是点 x 零啊， y 到什么呢？ y 等于 k x 加 b 的 距离公式啊，这个 d 就 应该等于什么呢？这个 d 就 应该等于高下一加 k 方分值啊，然后呢？ k x 零啊，然后呢加 b 再减个 y 零的绝对值啊。 好，我们接下来就用这个知识来解其，为什么我要用这个知识来解决这个问题呢？是因为这个棋的话，他非常的规则，横平竖直，比如说我以我以什么呢？我以这个点 b 啊，我以点 b 为坐标原点，建立一个平面坐标坐标系啊， 那这个时候大家能发现啊，是不是点 a， 我 要学的是点 a， 还有这个什么呢啊？因为我等下做的是 a h 垂直于 b d 啊， a h 垂直于 b d， 所以 说第一种情况的 b 在 这个点 b 就是 圆点啊， d 这个时候就在这个点，所以说我做出来第一条直线啊， 那这个直线解 h， 大家能不能写出来呢？因为这个边是个三四啊，那就意味着这个边就是一个三，这个边就是四，所以说这个直线解 h y 就 等于啊， 多少呢？哎，是不是十分之三 x， 对 吧？那么这个点的坐标 a 的 坐标始终是一个零八啊，所以说点到这一个公式我们直接求啊，所以第一就应该等于啊， 根高下一加，然后呢 k 方，那就是一个一百分之九分之啊，带入进去，把这个点带进去零八，带入进去啊，那就是，是不是就是八呢？对不对？那就是八啊，嗯，那就是八，所以第一个答案，嗯，第一个答案，那就是 我们开下方，那就是一百分，一百零九啊，那就是根号一百零九分之，那就是八十，没问题吧？那就是八十啊，当然我们要把它分母优化下，我就不再去往下写了啊，好，第二种情况啊，第二种情况，那就是变成了 这个 d 的 这个点啊， b 的 这个点，所以说这个时候我来直接连接 b d， 对 吧？啊？做出来 b d 这个直线，然后呢做出来这个垂直， 好，这个直线怎么求呢？当然我们需要求这个第二的坐标啊，因为这个边仍然是三，这个边是四，所以第二作纵坐标就仍然是负三，横坐标的话，是不就是一个六减四啊？是不就是一个二，对不对？ 六减四啊，就是一个二二负三，好，那么这个直线啊，数值高，比水平宽，数值高，数值高，那就是一个负三，对不对？所以说第二个直线也是，就是一个 y 等于啊， 负三，负二分之三 x， 对 吧？负二分之三 x， 没问题啊，负二分之三 x， 然后点到这键就是公式来。第二，我们直接代入啊，那就是根号下一加四分之九啊，分之啊， 然后是不是也是八，哎，也没问题啊，那就是分母是一个四分之四分之十三啊，那就是二分之高十三，那就是根号十三分之，是不是十六，对吧？好，但是分母约束下，求出答案啊，好， 呃，估计这个时这个试卷的话分享应该不会超过二十分钟，所以说我对这个点到点到直线距离公式啊，对，点吧，好吧，来， 现在我想找一个点的坐标，是一个点点 a 吧，好吧， x 零啊， y 零啊，然后到一个直线 y 等于 k， x 加 b 啊，这个直线 y 点 y 点 k 加 b， 这个直线的距离啊，好，其实他就是利用了相似的知识解决问题啊，那么这个 k 的 意义，那就是一个什么呢？这个角的正切值啊，好，我们先画出来，比如这就是一个 y 等于 k， x 加 b 啊， 那首先我们能知道这段距离是不是就是一个负 b， 对 吧？这就是负 b， 好， 为了便于我们的求解，我们接下来要把它平移到什么呢？平移到过圆点的一个情况，那么这个直线的解一次，就是 y 等于 k x 啊， 好，我们再找一个点啊，再找一个点，再找一个点，这个点的话，比如说随便啊，随便找个点，对吧？这个点就是一个 a 点 x 零啊， y 啊，当然我们用高中的向量知识来去证明，这个结论是非常简单的啊，但是我们初中阶段没有学啊，所以说只能这样证明。我们现在要证明我要求的什么呢？ a 点到蓝色直线的距离啊， a 点蓝色直线距离， 然后呢？当然我画这个绿线只是做一个简单的一个对比啊，我要求这个距离啊，这个时候怎么做呢？我当然肯定是要利用，利用这个相似的知识解决问题啊，相似的知识解决问题，这个时候我可以做出什么呢？做出了一个竖直的一个 竖直的一条线啊，竖直一条线，那么这个三角形有没有有没有和这个三角形相似的一个三角形呢？哎，答案是，答案是有的啊，是不是就和这个蓝三角形相似呢？ 可以吧，这俩三角形相似啊，这俩三角形相似。如果说这个边是一个啊，我们就写，我们就写这个，我们就写什么呢啊？当然这个边啊，这个边是一个距离，是一个负 b 啊，对吧？距离是负 b 啊，那么这个边的这个长度啊，距离就是负 b， 那 我们就写吧，距离是负 b， 好 吧，或者说我们就把它截开，绝对是 b 也可以啊，这个边的距离是负 b， 那 么这个蓝边呢？这个蓝边对不对？那么这个蓝边是多少呢？这个蓝边的话应该是一个， 呃，是不就是一个？我们把它带入进去是不就是一个？当 x 等于当 y 乘零的时候，所以说啊， k x 就 等于一个负 k 分 之 b， 所以 这段距离就是一个 负 k 分 之 b 啊。负 k 分 之 b， 当然为了便于求解的话，我们接下来就不再加这个正符号了啊，我们直接就认为这段距离就是个 b， 这段距离就是一个 k 分 之 b， 对 吧？ k 分 之 b， 那 么这个时候斜边是多少呢？斜边那是不是就是根号下 b 方，再加上个 k 分 之 b 或者平方啊？又说这个三角形的三边比，就满足一比 k， 对 不对？再比根号下一加 k 方啊， 那么我接下来我要求解的这个红色三角形是不是也是满足了一比 k， 再比一加，刚好下一加 k 方，对吧？好，我们要求的是这一段距离，那么这段距离的话，我接下来把它转化成什么呢？转化成，我们如果说知道了其他的一段距离，是不是就可以求解了，对不对？ 知道了其他一段距离，那么知道哪一段距离呢？我们知道平移过来啊，平移过来，可以吧？我们将这个平移过来啊，或者说我求出来上面这一段距离，这一段距离是一个多少呢？这一段距离是不是外零，对吧？而这段距离是一个 b 啊，这段距离 b， 那 就意味着这个斜边是不就是一个外零再加 加 b， 我 们就认为是一个正值吧。好吧，外零加 b 啊，好像是外零减 b， 对 不对？外零外零减 b 啊，外零减 b， 因为这个点，这个距离的话，我们说这个 b 是 一个负值啊，所以这个距离就是 b 啊，那我们就写个外零减 b 吧。好吧， 可能很有诸多不便啊，诸多不便，我最好是举一个正值，对不对？外零减 b 啊？好，这个距离是一个外零减 b， 接下来我直接来乘一个什么呢？乘一个这个角的， 这个角的什么呢？这个角的余弦啊，余弦啊，余弦，对不对？余弦，余弦。扣三，这个角值，那就等于这个角的扣三值啊，扣三的话，那是不是就是一个 啊？根号下一加 k 方分值啊，然后呢？ k 分 之 b， 对 不对？ k 分 之 b 啊，这时候我们如果带入进去的话啊，带入进去啊，带入进去的话，是不是就应该得到这个点的直线公式？那就是根号下一加 k 方分值， 然后呢，那就是 k x 零啊，然后呢，再加上一个什么呢？再加上一个呃 b， 然后再减 y 啊，对不对？好，其实它就是一个相似知识的一个应用啊，其实比较简单啊，熟能生巧。好，接下来我们看一下这个试卷的一个最后一题啊。 啊，当然也是非常简单的题啊，像这种题的话，基本上口算就能得到答案啊。好，第一问啊，在正方形 a、 b c d 中啊， a b 等于根二加 e 为 bc 上一个动点， 他说现在将这个三角形翻直啊，达到另外三角形啊。第一问，他是将什么呢？恰好经过点 c 啊，那就是相当于是把这个角是不是平分了，把这个四十五度是不是平分了呢？对不对？ 把这个四十五度平分。我们知道，根据角平分线上定角平分线分线段成比例的话，这个边是一个根二加一啊，所以说，那么要求这段距离，那我就是根二加一， 直接乘一个一加根二分之一，是不是就可以找到答案了？因为这一段与这一段的比，就等于啊，这个边与这个边的比，对吧？角平分，线分线段成比例啊。 好，当然我们直接设这一段是 x， 也可以 x x， 那 么这个角是四十五度，这边又是个垂直关系，所以说这个 x x， 这个就是根 x， 所以 x 加根 x 就 等于一啊，等于结果是一样的，对吧？好，第二，问 就问啊，如如图二，在矩形 a b c， d 中， e 为 b， c 上一个动点， e 为 b， c 上， e 为线段， b， c 上一个动点 a， e 等于 m， b a b。 哎，这个其看起来就是 可能比较高大上啊，因为它给了一些字母 a e 等于 m， b a b， 那 那么换一个，换一个写法，那是不就说明了 a e 来比 a b 啊，是不就等于 m 呢？ 对不对？好，第二，将三角形 a b e 翻折，得到另外一个三角形啊，然后呢，也得到了这个，那么这个的话，我也可以把它写成 a f 来比， a e 是 不是也等于啊？ m 呢？ 非常好。再加上，如果说这两角相等，那这个时候是不是就是两边乘比例加角相等啊？我们把 e f 连一下，是不是就得到了？ 哎，这边这个三角形和这边这个三角形就是一个相似关系。好，这俩三角形相似，我们能得到什么呢？是不是得到了垂直，这个是个垂直，这边是不是也是个垂直呢？好，再加上其中刚刚说的啊，翻折过来，这个角等于这个角，那我能不能得到这边这个角是不是也等于这个角呢？这其实就是矩形当中或者正方形当中的一个双翻折问题啊，双翻折， 双分的问题，对不对？好，双分的问题，让我们证明什么呢？让我们证明啊， e 是 b c 的 中点，是不是直接可以找到答案呢？为什么呢？因为这一段等于这一段，因为这俩三角形全等，包括说这一段也等于这一段，因为这俩三角形也全等啊， 好，比较简单啊，啊，就是直角，直角，再加一个角，再加一个公边啊，角，角边，对吧？就可以证明全等啊。好，重点讲第三问啊， 入图三角， a b c 角 b 等于九十度， ab 等于八， bc 等于十六啊，来，我们观察一下， ab 是 八， bc 是 一个十六啊， e 为直线， bc 的 中间就是 e 啊，可以在 bc 之间，也可以在左边，也可以在 c 的 右边啊， 好，这个时候仍然出现了两个比例关系， a e 的 m b a b， 还有 af 等于 m b a n， 那 这个时候我们如果把 ef 再连一下的话，是不是仍然是得到一个垂直关系呢？这是一个直角啊， 那我们仿照这个结论，用这个图形的话，这个时候是不是仍然是一个双方的问题？这个三角形和这个三角形全等，包括说我在这边再做一条垂直的话，那里有这个三角形和这个三角形是不是也是全等的呢？哎，非常好。 然后呢，他说是一个什么呢？三角形 a e， c 是 以 a e 为幺的一个等腰三角形。好，我们观察下图形， a e c 啊，来， a， e， c 是 以 a e 为幺，这个时候分成两种情况啊， a， e 为幺，那就是有两种情况， e 为顶点对不对？ e 为顶点的时候，那这个时候就是 e， a 等于什么呢？ e c。 如果说还有一种情况，我们等会再去说啊，来 a 为顶点的话，那就有 a 一 就等于 ac 啊， a 的 ac 很 明显 ac 在 这，那么 a 一 是不是应该在这边呢？是不是对称过来，对吧？好，我们等会再说另外一种情况，先看这种情况啊，直接写出 f 到 bc 的 距离， f 到 bc 的 距离， f 到 bc 的 距离，那就求的是这一段，求的是这段蓝色的，对吧？求这段蓝色的一个线段长啊，蓝色线段，我们刚说这一段是不是就等于这一段，对吧？这一段就等于这一段啊， 这段等于这段没问题啊，好，其中告诉我们了，这是个八，这是个十六啊，对吧？这是个八，这是十六，那我们看一下如何求呢？这个时候我们可以先求下 b e， 看观察一下能不能求出 b e 呢？如果我是 b e 是 一个 x 的 话，这段是 x， 那 么 c e 是 不是就是一个十六减 x， 对 吧？十六减 x， 当然这个绿线是不是也是十六减 x 呢？还非常好，因为这是一个等腰三角形啊，就是 e a 就 等于 e c， 对 不对？ 那这个时候我们是不是就可以解出来了呢？解出来这个 x， 当然我们最后解的答案，这个边就是一个六，这个边就是一个十啊，这是一组非常特殊的数字。好，也就是说这个三角形就满足了三比四比五关系啊，三比四比五关系，对不对？三比四，并且这个角等于这边，这个角是不是也等于这个角呢？ 好，这个边是六，那么这个边也是六，接下来我要求的就是什么呢？求的是这个蓝色边啊，那我能不能说就是六来直接乘以四分之三呢，对不对？因为它的邻边就是一个八，对边就是一个六，所以就是四比三关系，所以直接乘四分之三，所以第一个答案就是一个二分之九啊， 基本上口算就能得到答案。好，第六种情况在什么地方呢？当然我还是在这个图中进行化吧。好吧，好，这种情况我们刚说是一 a 为一个顶点，那这个时候我就反向延长过来啊，好， a c 在 这个地方， ac 在 ac 在 这个地方，那就意味着 a e 是 不是应该复制到这边这个情况啊？就是对称过来的一个情况，可以吧，对称过来啊，所以说， 那这样的话，我就找到了 e 九的这个点啊。好， e 确定出来之后，我们这个 e 为 b c 上一个动点啊，这个时候再去找 f 啊，再找 f， 那 么怎么去找 f 呢？他是将三角形 a b e 啊，然后沿着 a e 进行翻直啊，好，翻直过来，这个角肯定是一个大于四十五度的一个角，大于翻直到上面这种情况啊， 大约翻转到上面这个情况。好，假设就是这种情况吧，翻折上去，将下面这个三角形，现在翻折变成了上面这个三角形啊，那么这个点就是对应的 b 撇点啊。 b 撇点。好，继续读题， 我们这个时候在什么呢？ a a b 撇上啊，在 a b 撇上截去一点是什么呢？只要找到一点 f 是 是这个时候仍然出现了一个直角，其实我就是相当于是过这个什么呢？点 e 来做 a b 撇的一个垂直啊，那我把这个线延长过来， 延长过来啊，延长过来之后，接下来我做的是一个垂直啊，然后呢？直接过点，直接做 a e 的 一个垂直啊，因为我们在前面这个图中都能观察出来，对不对？做出来一个垂直啊？这边的话交与点 f 这个图可能比较大啊，这边是一个垂直，那么这个点就是对应的 f 啊。好，那么在这个图形当中仍然存在了两个三角形的一个全等啊。这边垂直的话，那就意味着我们这边仍然是一个什么呢？仍然是一个， 认识一个什么呢？认识一个啊，仍然是一个垂直啊，来啊，我把它延长下来，我们做一条垂线，对吧？这个图形应该是画的比相对是比较标准的啊，比较标准的，那所以说，所以说什么呢？这个边的话，既等于这个边， 是不是也等于这个边呢？因为这个三角形和这个三角形是不是也是全正的啊？好，这个其实让我们求 f 到 bc 的 距离， bc 的 距离 bc 就是 这个，那我们就求此时这个蓝色线呢，就可以啊， 蓝色箭头好，就像我们刚的做法还是一样的啊。这个时候我们能发现这个边是八，这个边是一个十六啊，那这个边是不是也是十六？那这个边是不是也是十六，这个边是不是也是 十六，对不对？这个时候你会发现啊，在这个三角形中，这个角等于这个角，当然是不也等于这个角呢？也等于这个角，对吧？ 就这个角所在的一个三角形中满足一个什么呢？直角三角形满足了两个直角边比就是一个八比十六，是一个一比二关系啊，那所以这个边是六，这个边就是三十二啊，所以答案是不是就三十二呢？哎，非常好，所以两个答案啊，好，第一个答案我现在已经忘了，是刚写了多少啊，对吧？ 好，所以有两个答案啊，这个试卷真的是比较简单啊，可能接下来的话就不会再举行这个统一的一的一个模拟考试了啊，对吧？包括说很快要进行这个高考的一个放假啊，可能接下来的话就不会再举行这个统一的一的一个放假哈，相信可能同学的话都会 有所耽误几千啊，所以说进入六月份的话，那基本上就不会再举行这个统一的组织考试了，所以大家一定要有自己的一个学习计划。好，这个视频我们就分享这么多啊，如果说觉悟哥的分享对你有所帮助的话，记得点点关注点点心。谢谢观看我们下个视频，不见不散啊，你想永不止步，我所能给，远超你所能见。

哈喽，朋友们好，我是栗子老师，那么接下来呢，我们给大家也来解析一下昨天结束的啊，西城区初三二模的新定义压轴体啊，当然今年的这个新定义压轴体呢，从定义上来讲呢，还是一个非常经典的点类新定义 啊，那名词只要是点类性定义，咱们都能乐呵呵的把点的轨迹找出来，是吧？所以点在哪啊？当然，整道题目来讲呢，我觉得第一定义呢，不太难分析，但计算上面呢，稍微有一点点复杂啊，看一下 他说在坐标 c 当中，对于一个半径为一的圆 o 和它的一条弦，任意的啊，满足点 p 是 三角形 a b p 以 a b 为腰的等腰三角形。 审题别审错了啊， ab 为幺啊，那么并且列弧 ab 上所有的点均在 abp 这个三角形上或者三角形的内部，那么我们就称啊点 p 为关联点啊。当然同样道理啊，咱们先不着急解题啊， 其实这道题目呢，我们把定义拆解完了呢，剩下来的其实就毫无难呃，就是唯一的难度就是最后的计算。好，我们先来看一下， 在这呢，咱们也给大家手搓一下这个版本啊，也就是说，我随便给同学们画出一个圆啊，这个就是圆 o， 我 也随便给同学们画出其中的一条弦，他叫 a， 他 叫 b， 那 我们现在问同学们，请问你能否找出弦 ab 的 所有的关联点？ 好，那我们想关联点是什么呢？第一要满足啊，以 a b 为腰的这样三角形，当然就是什么两元一线，也就是说，同学们，首先啊，要明确，就是这个点 p， 要么就是 a p 等于 ab 啊，要么就是 b， p 等于 ab， 对 吧？也就是说你得点 p 在 哪呢？以 a 为圆心， ab 为半径的圆啊，或者以 b 为圆心， ab 为半径的圆，当然那个特殊位置要去掉啊。 好，那么这是一个第二个的话呢，他说裂谷 ab 上所有的点都在三角形 ab 的 内部及边上， 这个猎虎啊，要在它的内部及边界上面。其实大家看到这个呢，大体上就能够感知的到，什么叫做在三角形 app 的 内部啊。那么极限情形一定是什么？ 相切，对吧？一定是相切，当然这个点屁咱们知道肯定在元外啊，元 o 的 外部，你可能不可能跑到里面来是吧？你屁点跑到里面来，那怎么画都画出来。 所以你要把 ab 这一段列弧横定包在 abp 的 内部及边界上面。那么同学们想一下它的临界情形是什么？好，我们也就是说可以做以 a 为切点，做出一条切线 啊，以 b 为切点，再做出一条切线。 嗯，好，那么注意，假定两条切线的切点，我们随便标个点吧。好吧，呃， m 点好了， 那么同学们要注意，这个我随便画的啊，同学们要注意，如果你做出来了两条切线，那么大家看哪一个区域是点屁可能存在的区域，哪个区域 啊？那么很显然就是这块区域。为什么？因为切线，如你以这条线为例，应该在这一条线的右上，右右上方，对吧？ 那有时候老师能不能跑这来呢？比方说点 p 在 这行不行呢？不行啊，这样你一连的话， p b 这个一条线不就是与这一段裂弧怎么样啊，相交了吗？他就不能包含在里面了啊，所以极限情形呢，肯定就是 ab 为切点。 好，那因此，呃，你找到这个点行不行啊？其实他就是完全相切也行，对吧？切点就是 ab 也可以啊， 好，那么当然在这个点这条线上行不行啊？这个也可以，你你连一下看看是吧？啊，完全满足要求啊。好，所以我们知道就是所有的点屁首先在哪呢？所有的点屁首先是要在这个区域当中 及两条切线的形成的这个呃相，呃这个重合的区域，对吧？就点 m 的 这个上方的区域啊，这部分区域是点 p 能够存在的， 当然还要满足以 ab 为幺的等腰三角形，所以我们刚刚也讲了有可能呢会产生什么以 b 为圆心， ab 为半径的一个圆。 好，那么也要以 a 为圆心， ab 为半径的圆啊，当然我这个，哎呀，我这个图画的稍微有点不，不太 以 b 为圆心， ab 为半径的圆啊，当然这个应该变稍微大一点，我因为我这个手搓呢，肯定不不不，是很精确，同学们呢，自己可以拿啊，这个什么尺尺量角器啊，等等啊，这个圆规啊，去做图啊，那我也再复制一个， 也有可能呢，是以呃 a 为圆心画的对吧？好，那么这样一来同学们就清楚了，那么请问所有的呃关联点在哪里啊？就应该是在呃这一段圆弧，两段圆弧，对吧？两段圆弧，一段圆弧在这， 还一段圆弧在这，能理解吧？好，有人说，老师，为什么呀，为什么一定要在这两段圆弧上面啊？我们再次解释一下啊。 第一个以 ab 为腰，就是以 a 为圆心， ab 的 长为半径画圆， b 为圆心， ab 的 长为半径画圆，所以点 p 应该是在这两个绿色圆上啊，当然一些特殊位置除外啊，比方说 b 点呢，肯定要刨除掉是吧？就 p 点跟 b 点重合，肯定不满足。 第二个呢，我们也强调过，就是要保证裂弧 ab 上所有的点都要在三角形的内部及边界，一定是在这一块，就是点 m 为分界的这个区域当中。 好，所以点既在这，又要在两个绿色圆上，所以重叠的部分就是这段圆弧跟这段圆弧。但 同学们也都知道啊，这个如果说这个图形是个对称图形的话，其实两边圆弧的长是什么啊？是一样的对吧？是一样的啊，好，那么因此我们通过简单的拆解就能够画出所有的关联点。好，我们再重复一下，所有的关联点在哪里 啊？第一，做出啊，这个弦为切点啊，把这个弦的端点为切点，做两条切线啊。第二，以弦的端点为圆心，弦长为半径，做两个圆， 那么形成的重叠的区域就是这段圆弧和这段圆弧，即为我们所要的 啊。好，那么因此这道题目呢，就拆解完了。当然剩下来的第一个问题呢，其实咱们就不多说了好吧，因为第一个问题太简单了，同学们自己呢，简单画个图就出来了啊，答案应该是 d f 和 e f， 这个咱们就不多说了啊。 啊， d f 和 e f， 那 么我们着重的来说一下第二题，第二题，你看这个考法，他说啊，嗯， y 等于 x 加 b， 当然 b 大 于零与 x 轴 y 轴分别交于 g h， 如果 g h 上存在的圆 o 的 某条长度为根号二的弦的关联点， 那很明显，对吧？那么存在就是有就可以了，所以只要保证线段 g h 与所有的关联点有重叠，或者说有交点即可，对不对 啊？ g h 是 一条线段，并且这条线我们也说了，它非常特殊，一定会产生多少啊？四十五度角，对不对？好，那么我们再来解释一下，因为同学们要知道长度为根号二的弦有多少条啊， 无数条，那我们刚刚已经说了，只要你随便定一条弦，你就能发现它形成的关联点是两段圆弧， 当然这一条弦的长度是定的情况下，这条弦可以随便转，也就等价于将整个两段圆弧也是绕着点 o 来转，对不对？ 好，我们解释一下啊，只要这条弦的位置定的长度定的，那么它所对应的关联点是两段圆弧 啊，是两段圆弧，那么因此呢，当我们的弦因为它长度定，但是弦可以在圆上旋转，对不对？ 那么导致它所有的关联点两段圆弧呢，也应该绕着点 o 来旋转，当然我们刚刚也解释了，它肯定是个对称图形啊，那么也就是说旋转之后最小的半径在这，最大的半径可能在这，对吧？我们讲可能啊， 好，那么因此大家就知道，应该最后所有的关联点，只要长度定的话，最后的关联点应该是一个圆环啊，应该是一个圆环，对吧？同学们能理解这意思吧，应该是圆环，因为两段圆弧分别绕着点 o 在 转吗？ 好啊，当然这个我们都已经拆解过了，所以其实这个定义有了之后呢，剩下来的呢，其实很简单，我呢给大家呢，用一个具体的图来看一下啊。好，所以同学们来感受一下。 好，我在这呢，就是我先随便定了一条弦， e f 是 根号二啊。嗯，这样呢，我们就先确定一下，就随便我画了一条弦， e f， 它就是根号二。 好，这洛基能理解啊。好，然后呢，呃，接下来呢，就是我这个明确了之后呢， 好，我们就想能够画出它的关联点吧。好，怎么画的呀？分别以 f 点为切点做切线，圆的切线，以 e 点为切点做圆的切线。好，形成的这个焦点在焦点的右上方的部分，就这个黄色区域， 即为点屁，能够存在的区域，这是第一步啊，就是这个在什么包含在内部的时候啊，当然边界是可以取的啊。黄色区，呃，边界是可以取的， 那么当然了，再以 f 点为圆心， f e 的 长为半径。好，我们画出来了一个圆啊，就是这个 f 点为圆心啊，他的长为半径画了一个圆，就这个圆 啊，当然也以 e 为圆心， f e 的 长为半径呢，我们也可以画一个圆啊，当然我在这也也给大家画一下啊。好，我们就在这个当中再给大家画一步啊。所以同学们会发现 这个圆和，呃，以，呃， f 为圆心啊，根号二为半径啊形成的圆 啊，以及以 e 为圆心，根号二为半径的圆。就这两个蓝色的圆与黄色区域的公共部分。哪呢？就是这一段弧，对吧？看得出来吧，这一段弧啊，以及啊， m n 这一段弧啊，以及 m n 这一段弧 是我们所要的，对吧？是我们所要的，但这个只是我们定了一个弦长为根号二的弦，就是 e f 的 长度为根号二，我们只是定了一个，那么同学们要知道，当弦长，呃，定的情况下， e f 可以 在整个圆上怎么样啊？旋转，对吧？ 所以导致呢，这两段圆弧啊，一就是这一段弧啊，和这段弧呢，就是 m n， 这段弧跟这段弧呢，应该怎么样啊？绕着圆 o 来转，刚刚我们也解释了，它本身是个对称图形啊，所以我们就知道，最小的半径是什么呢？就是 以 o 为圆心， o m 的 长为半径。最大的半径是什么呢？就是以 o 为圆心， o n 的 长为半径。好，同学们就清楚，那么我们在这里面呢，这个所有形成的， 呃，就是关联点在哪里呢？所有的关联点就是以 o 为圆心 o， 哎， o 呃， o m 为半径 的一个圆，就是这个红色小圆，以及以 o 为圆心， o n 为半径啊，形成的一个圆 啊，就是这个红色的大圆。那么这两个圆形成的圆环及边界啊，肯定都是能满足要求的，就是所有的关联点在哪？就在这个里面，是吧？就在两个红色圆之间，当然这个红色圆半径好求吗？ 好求啊，为什么？因为 em 的 长是多少啊？根号二就 e 为圆心， e f 根号二， em 根号二 要 m， e 刚好二， o e 是 一， o m 是 刚好三，所以小圆半径是刚好三，大圆半径呢，同样道理，对吧？这个稍微算一下，这一段呢， e n 的 长呢？还是根号二是不是？当然你做垂线的话呢，这个就是一，一，所以就是二一， o n 的 长呢？根号五啊。 那么因此在我们第二问当中，所有的关联点就是在以 o 为圆心，根号三为半径的红色圆，以及根号五为半径的红色圆形成的圆环的内部及边界。 现在我们要保证 h g 跟它有交点就行了，线段 h g 有 交点，当然了， b 要大于零啊，所以最小的情形在哪里啊？ 啊，就是因为它刚好夹角四十五度啊， h g 刚好在红色小圆，此时的 b 等于多少呢？ b 等于根号三，对吧？ b 等于根号三，当然能取啊，边界是有意义的是吧？ 好，那么最大最大最大跟外面的圆怎么样啊？相切啊，当然半径根号五， o h 是 长呢，根号十啊，因为这个夹角是四十五度啊，直线于 x 处加角四十五度，所以呢，这个特殊的直角三角形 o h 去掉根号十，也就 b 的 去掉根号十 好，那么因此在这种情况下呢，我们就能够轻松的算出来了是吧？好，那么也就是小 b 的 范围应该是大于等于根号三，小于等于根号十啊，也就 ok 了 啊。那么其实最后这个问题呢，算法上面来讲呢，是一致的啊，就是最后这一道题目的算法，跟前面的这个第二问的算法是一样的， 你看，它又来了， m n 等于是上面一条弦， m n 的 长等于一，是不是能够找出所有的关 联点，对吧？是不是能够找出所有的关联点？所有关联点是什么？那肯定当然也是圆环了啊，但我们知道就是只要定一个 m n， 那 其实它就能够产生两条弧，对不对？而且这个弧长呢，你肯定能够算得出来啊，因为它非常特殊嘛， m n 的 长等于一嘛？ 好， k 呢，是 m n 的 中点，如果直线上面尤其只有两个弦 m n 的 关联点，也就是说在你 m n 旋转的过程当中，保证 y 等于一，这条线直线 于两条弧，就是形成的两条弧，尤其仅有两个焦点就行了，对不对？尤其仅有两个焦点就可以了，好，那在这边注意一下， m n 的 长定的，但是位置不定，也就是说你只要确定一个 m n， 你 只要确定一个 m n， 你 就必然， 你确定一个 m n， 你 就必然会有这个一个咱们所谓的呃呃，两段弧，对吧？哎，有两段弧，好，那么你再有一个 m n 的 位置，你又有两段弧， 我们现在要求是这两段弧与 y 等于一，尤其只有两个焦点，两个不同的焦点就可以了，对吧？好，那么当然我们在这呢，也结合这个图像呢，给同学们具体来看一下啊，大家也感受一下。 好，那么大家看，我在这呢，还是提前给大家把图做出来了，这个图同学们能理解，因为 m 的 长等于一啊， k 点呢，是它的终点啊。 好，那么现在呢，我们首先以 m 点为切点，做一条切线，以 n 点为切点，做一条圆 o 的 切线，那么两条切线交于这个点，我们假定称之为点 q， 只要在点 q 的 这个黄色区域形成的黄色区域 指第一步，对吧？第二步，以 m 为圆心， e 为半径，就 m n 的 长为半径，画一段弧，哎，你发现与黄色区域产生了一段弧，我们假定这段弧就叫做 k t 弧啊， k t 弧， 好，那么当然以 n 为圆心， e 为半径，会产生一条弧，我们另外一条弧呢，我们就假定称为 e f 弧啊，那么因此同学们就知道啊，同 学们清楚，呃，就是我们在这里面呢，能够产生两段弧啊，一段弧呢，在这是吧，一段弧呢，在这就是 e f 这一段弧，还有一段弧呢，就是 k t 弧， 好，但注意啊，我现在要的是什么呢？我要的是 y 等于一这条直线与两段弧有两个不同的焦点，即刻有两个不同的焦点， 一定注意一下，这个点太特殊了，就是两段弧呢，你，你会发现这两段弧啊，一定会产生什么呢？一定会产生两个，呃，会产生一个焦点啊，这两段弧呢，一定会产生一个焦点，就是这个点啊，这个点太特殊了，因为，呃， 这段弧，呃，我们说 k t 这一段弧与这个对应的 e f 这一段弧，这是任意 m n 在 任意位置情况下能产生的两段弧，那我要保证的是两段弧与绿色直线呢，有两个不同的交点，但你注意，这个点呢， 就是 k t 弧跟 e f 弧呢，还有个共同点，那么这个特殊位置要去掉啊。当然接下来就是什么呢？就是定向分析，对吧？同学们也都知道，如果 m 特别低，就是 m n 特别矮的时候呢，这两段弧呢，肯定也特别低，那么 m n 比较高的时候呢啊，这两段弧的位置也相对比较高，对吧？这个可以直观理解啊， 好，那么因此呢，我们知道特别低的时候肯定是不满足的，那么稍微高一点，高一点，高一点，高一点，高一点，高一点，高一点。好，那么在这个时候呢，大家会发现，我们假定 m 在 n 的 上方啊，高一点的时候呢， kt 这一段弧啊， kt 这一段弧啊，肯定跟绿色线先能产生交点，那么你只要在保证第二段 e f 这一段弧呢，能产生交点就行了，是吧？那么在这里注意一下啊，因为我们前面就给大家解释过了， m n 的 长非常特殊的情况下呢，这个 kt 这一段弧呢，也非常特殊 啊，这个 k m、 t 这个角刚好是九十度角。当然我们简单解释一下，为什么啊，以 m 为圆心， e 为半径，我们画了个圆，就是这个蓝色的圆，就是 k t 弧，是在蓝色圆上面的。 好，那么大家都知道，就是这条线呢，是切线，这条线呢也是切线，那么因为 o m n 边长都为一啊，所以它是一个什么三角形呢？ 等边三角形，我们用一个最特殊的情形来看，就是 n 点在 x 轴上， m 点在这儿，这个时候大家会发现这条红色线呢，是竖直线，那么这条线呢，与 x 轴的夹角呢，应该刚好是三十度啊，刚好三十度， 所以如果你以 m 为圆心， e 为半径画圆，那么要跟竖直线相交，那么这一段弧对应的圆心角刚好是多少呢啊？刚好就是一百二十度， 刚好就是一百二十度，当然这个 n m t 这个角呢，又是三十度，对吧？这个很容易看啊。好，所以 k m t 这个角呢，就是九十度角，就九十度角，所以其实这两段弧啊，一个 k t 弧，一个 e f 弧是什么呢？ k t 弧就是以 m 为圆心， e 为半径的九十度角所对应的弧啊，那么当然 e f 弧呢，就是以 n 为圆心啊，然后九十度圆心角所对的弧，要，当然半径也为 e 啊，所以你要知道这个数值呢，它其实是很特殊的啊，好，我们继续跟大家说，刚刚就是这个，就是，其实相当于是第一临界情形了，为什么呢？因为你要保证 这个，呃， m 稍微高一点的时候呢？这个 k t 这一段弧呢？我们刚刚解释过，一定率先跟这个直线有交点，你只需要保证 e f 跟它产生临界值，对吧？当然， e f 能产生临界值，就是 e 点的坐标。纵坐标点为几啊？点为一啊， e 点纵坐标点为一， 所以 n 点。因为 n e 的 长为一啊，所以 n 点在 x 轴上的时候刚好满足要求，就是我们画的特殊情形，但这个时候 k 的 纵坐标好求吗？ 好求，因为这个时候 n 点在 x 轴上，所以 o、 m、 n 等边， m 点的纵坐标四分之刚好三， k 点是它中点，所以，呃，第一个 t 的 零，呃，这个第一个零界值呢？就是 k 的 这个纵坐标呢？它的零界值呢？呃，这个应该是二分之刚好三的一半，四分之刚好三，对吧？在四分之刚好三的时候，你会发现 e f 这一段弧啊，咱们再强调一下， e f 这一段弧 刚好与绿色直线相切，而 k d 这段弧早就已经跟直线有交点了，所以这个肯定是 ok 的 啊。好，那么当 m 点继续转动的时候，这个时候啊， k t 继续升高， e f 呢？也继续升高，对吧？那么当然，这个时候呢，看起来肯定是怎么样啊？能够满足要求的 啊？能够满足要求，因为 e 继续升高这一段弧， e f 这一段弧在这儿，就是啊，后面会产生焦点， k t 也一直有焦点，但注意一个临界情形，啥时候呢？就是 k t 弧跟 e f 弧的焦点刚好落在 y 等于 e， 那 么在这个上面它就不满足要求了，因为此时是同一个点，所以这个地方的坑点就在于这个临界值要去掉啊，当然这个临界值很好算，为什么呢？因为 这个圆跟这个圆的交点，一个是，呃，就是这个交点，还有一个点呢，是 o 点，所以其实呢， ok， 还有这个点是什么呢？三点是共线的， 当然其实是一个什么图形呢？就是一个菱形啊，就是一个菱形，因为它这个图形非常特殊啊，而且也很对称，对吧？所以其实相当于 o 跟这个点呢交点呢，是一个什么呢？ 是一个，呃，就是关于 m n 对 称的点啊，关于 m n 对 称的点，因为它其实是一条什么呢？公共弦，两个圆的公共弦啊，好，当然因为 o 点到 k 点的距离刚好三嘛，所以也就是说，此时其实 k 点到， 呃， k 点就应该是 o 点跟这个点跟这个焦点的什么中点，对吧？当然此时呢，它的纵坐标肯定是一喽，用在外的一上，所以 k 的 纵坐标是多少呢？二分之一。 那么注意， k 等于二分之一的时候是不满足的啊，因为它此时只有一个焦点啊，只有一个焦点好，所以大于等于四分之根三，小于二分之一，好，那么继续移动呢，我们知道肯定就可以了，是吧？肯定就可以了啊， 那么，呃，当然大家也清楚，你继续移动的时候呢，这边肯定能产生两个焦点，那么到哪一种情形呢？好， 因为你 m 点呢，就是最高，最高纵坐标其实就是一了，他也不可能更高了，对吧？ m 点纵坐标就是一，当然在这种情况下，同学们检验一下满足不满足， 满足就是 m 点最高，最高纵坐标就是一。这种也满足啊，因为你会发现， t 点和 f 点就刚好分别在 y 等于一上，这种也是满足的。 好。当然你算一下此时的 k 点，那也就说 m 点跑到 y 轴上啊，这个也很好办，对吧？所以 n 点的纵坐标就是二分之一， k 点呢，是 m， n 的 中点，所以 k 点的纵坐标呢？是啊， k 跟 n 的 一半，是吧？四分之三啊，四分之三。 好，所以从二分之一到四分之三啊，等于四分之三的时候，也可以，因为那个 k 最大，最大就是这个到这了，是吧？如果你 m 点最高，最高到这了， 如果你越过这个位置之后呢，你发现他还行吗？不行了，此时两段弧在上方，看得见吧，两段弧在上方，那他就不满足要求。当然在右边的情况呢，实际上是对称的啊，就纵坐标对称的，你不用管了。 好，所以最终啊，我们的这个，嗯，要求呢，就是在第一零件什么时候呢？就是点 n 刚好在 x 轴上的时候，此时啊， e、 f 与 y 等于一相切。第二零件呢，就是把这个交点的位置要排除掉， k 等于二分之一排除掉。 第三零件呢，就是 m 点最高最高。跑到一的时候，发现他刚好是满足的，此时的 k 值呢，等于四分之三是满足的。当然跑到左边去呢，对称图形啊，你就不用管他了啊，对称图形就不管他了。 好啊，那么因此这个呢，我们也就分析完了，所以最终呢，他这个 k 的 取值呢，是，第一零件大于等于四分之三，当然小于二分之一，或者是从二分之一小于小于 k， 小 于等于四分之三， 二分之一小于 k， 小 于等于四分之三啊，好，那么最终呢，也就算完了。当然， 坦率讲呢，就这道题目最后的运算呢，稍微复杂一点，但你说这个题型有什么复杂的呢？没有啊，它主要还是一个点类新定义，只要抓住点类新定义的处理技巧，基本上都还是比较好处理的。好啊，所以这个题目呢，我们就给大家解析到这里啊。

各位家长，各位同学，大家好，我是数学吴老师。这条视频呢，我们一起来分析一下糖稀二模的二十五题，二次函数的综合。来，我们一起来看一下这道题。 二次函数小 a 和小 b 呢，没有告诉我们，小 c 呢，告诉我们是负二，小 c 决定的是跟 y 轴交点的坐标，所以立马能标上跟 x 轴交点的两个坐标告诉我们了，这边呢是负二，负零， 这边呢，是啊，一斗零。我们要求抛物线的解析式，给的是一般式，你想求的快一点，其实我们设一个焦点式更快，所以这道题呢，我写这吧。过程 我可以设一下它的解析式，变成 a 倍的 x 减第一个的横坐标，减负二，所以变成加二减第二个焦点的横坐标这个，然后把 c 零到负二干什么？代入就可以了， 带进去以后我立马就可以得到负二呢，等于零加二，那不就二吗？零减一不就负一吗？二乘负一负二，所以这边是负二， a， a 呢，立马就等于一嘛， a 是 一以后我们的解析式就变成 x 加二，乘 x 减一，然后括号去掉就行，变成 x 方加 x 减二，搞定。 第一问搞定以后，我们再来看第二问，第二问呢，要算这个四边形面积的最大，而这个四边形呢， 其实它可以分成两个三角形面积的和 一个呢，是三角形 abc 这个三角形，而上面 abc 这个三角形的面积呢，能算出来了。 底边呢，就是 ab 是 个三，高呢就是 o， c 是 个二，所以它的面积是固定的，所以我们这个地方四边形 ap， cb 的 面积，我们给它变成三角形 abc， 加上一个三角形 a、 p、 c 的 面积就可以了，也就是它变成二分之一乘三乘二，加上三角形 a、 p、 c 的 面积就行了。这边是个三，这边是三角形 a、 p、 c 搞定。 所以我们立马就可以简单的去书写这句话了。当它的面积最大的面积就会怎么样？最大吗？ 那接下来你专心的去求三角形 a、 p、 c 的 面积最大时就可以了。而这个三角形它的面积的算法呢？我们专门有一个方法，就是解决它的牵垂法，过点 p 作 x 轴的垂线 跟它有一个交点，比如说我们叫 f， 从这个地方呢，我们就可以把这个三角形分成左边的 a、 p、 f 和右边的 c、 p、 f 两个了。 我简单一些啊， a、 p、 c 的 面积变成三角形 a、 p、 f 的 面积加上一个三角形 c、 p、 f 的 面积就可以了。减除法，它立马就可以等成二分之一 p f， 右边的横坐标减左边横坐标搞定。 而这两个横坐标的差呢，正好的就是零减掉负二变成了二，二分之一乘二没了，所以 p f， 所以它的面积就等于 p f， p f 最大的时候，三角形的面积就是最大的。那 p、 f 的 长度怎么算呢？ 它竖直线段的长等于上面纵坐标减下面纵坐标嘛，所以我们得知道坐标，知道坐标设一下就可以了，它的横坐标是 m， 纵坐标带到解析式里面就可以， 他的横坐标一定也是个 m。 要知道纵坐标得知道 a c 这条直线的解析式，一个是负二斗零，一个是零斗负二下降的两边交的一样，那一个定是负 x 减二嘛，所以他的纵坐标叫负 m 减二， 那接下来我们表示一下 p f 这条线就可以了，所以 p f 的 长上面纵坐标负 m 减二，减下面的注意编号就可以，所以变成减 m 方减 m 加 二，这就可以了，立马变成负 m 方，减掉两个 m， 减二和加二就没了，接下来求它的最大值，简单的配个方就可以了，负的括号 m， 然后加一的平方再加个一，这就可以了。这个地方说明我们的小 a 呢，是什么小于零呐，开口向下对称轴的地方是不是取到最大值？所以 m 等于 对称轴里面等于零， m 的 值就是对称轴等于负一时，我们 p f 可以 去取到最大值。 p f 的 最大值是谁呢？就是这个东西 等于一，当然他没有问这个面积的最大， p f 的 最大，我们也可以不用求，我们只要知道 p 的 坐标就可以了，也就是只要知道 m 的 值就可以了。 m 是 负一，也就是 p 的 横坐标是负一，纵坐标往这一带就可以了， 负一的平方，这就一一减一减二，那这个就是负二呗，所以屁的坐标我们就轻松的搞定了。接下来呢，我们再看一眼他的第三小问，第三小问呢， m 是 抛物线上的一个动点 x， 轴上有一个点呢，是点 q， 最终这四个点要形成平行四边形， 让你直接写出点 q 的 坐标。对于这种题呢，我们最好的做法呢，就是不要画图了，直接利用钟点坐标公式去书写就可以。而利用钟点坐标公式去书写的前面呢，先做一个铺垫的工作， 先把四个点的坐标给他写好， a 呢是负二逗零， c 呢是零逗负二， m 的 坐标不知道设未知数就可以了。前面设过 m 了，不要再设了，不然就重复了。好吧，所以这个时候呢，我们换一个数字就可以，比如说小 a 吧， a 到 a 方加 a 减二 点， q 呢，对吧？它不是在 x 轴上吗？横坐标设个未知数，纵坐标一定是个零。四个坐标设好以后，接下来怎么办？ 平行四边形有一个非常重要的特点，叫对角线互相平分。 你比如说 a 在 这， c 在 这，我随便写啊， m 在 这点， q 在 这，肯定是一种情况嘛，它的对角线互相平分。哎，这条线画歪了， 就这个点既是 a， c 的 中点，这根两相等，也是 q 和 m 的 中点，所以这两也相等，所以我们就可以算这个点的坐标嘛。 终点利用终点坐标公式算就可以了，知道两边的坐标就能算，而两边的坐标，我们上面铺垫的这四个不就是吗？ ok 吧。那这个题呢，还有一个就是我们讨论的地方，就怎么样能把所有的情况都讨论全呢？ 固定一个点，看他对面的是谁，就这个地方是谁，一共四个点，如果我把点 a 固定到这，那对面呢？就有三种情况， c， m 或者点 q。 所以 这样讨论的时候，他就是三种情况。 这是第一种吧， a， c 是 对角线。好吧，这个时候我们列中点坐标公式就可以了。 a 和 c 的 横坐标负二加零加起来除以二，是不是就这个点的横坐标，然后点 q 和 m 的 横坐标 加起来除以二，是不是也是这个点的横坐标？同一个点的横坐标肯定一样，两边都除了个二，其实这个二你写的没有任何的意义，所以我们一般写的时候就会怎么去写？ 横加横等于另外的负二，那不就是负二吗？等于另外的纵加纵， a 方加 a 减二加到后面这个零，那就不用写了吧，这就可以了，剩下的你需要谁，你就盯谁就可以了，如果能立马解出来，你就写出来就行。我们要解小 b， 但是这个题里面好像你必须得把小 a 解出来才可以， 那我们就从这个里面解一下不就可以了？这个减二移过来跟这边的就抵消掉了。 a 方加 a 等于零，因式分解也就能看出来， a 一 肯定是零，我们的 a 二呢，肯定是个呃， ab 的 a 加一是零，肯定是负一，这个零呢，肯定要舍掉了。 为什么？当 a 是 零的时候，你看这个坐标是不是叫零都负二，那这边呢，是不是也会变成零都负二？两个点重合了，四个点变三个点，所以不行，那我们负一，这个可以留下，他是负一，对应的，算出 a 等于负一时候的 b 就 可以了。往上面这个里面带嘛， a 是 负一的时候， b 一定也是个负一，所以这个时候我们点 q 的 坐标呢，叫负一。逗零搞定。 第一种情况完了以后呢，我们就到了第二种情况，对吧？我就不画平行四边形了， a 在 这个地方，那谁可以在他对面的这个地方呢？ c 有 了，那 m 是 不是有可能会出现？ 那剩下的两个呢？一连肯定也是个对角线吗？就点 c 和点 q， 那 这个时候呢，我们只要再写中点坐标，那就负二加 a， c 和 q 的 横坐标零加 b， 那 就还是个小 b 了。 a 和 m 的 纵坐标，那不就是 a 方加 a 减二吗？ c 和 q 的 纵坐标就负二加零，还是个负二， 我们要求的还是小 b， 但是好像还是得先把小 a 算出来，但是这个式子跟上面好像一样， 这个减二移过来，这边也是零了， a 方加 a 是 零，所以 a 一 肯定是零。同样的道理，舍掉 a 二呢？还是谁啊？负一，从它里面对应的算出谁啊？小 b 就 可以。往这看， a 是 负一的时候，小 b 一定是谁啊？负三嘛。所以这种情况下，点 q 的 坐标叫负三斗柄。好，接下来呢，第三种情况呢，就是 a 在 这个地方剩下谁了，点 q 没有出现在这个地方， 那这边呢，就只能是 c 和 m 了呗。同样的，再去列终点坐标公式就可以了。 a 和 q 的 横坐标加起来，也就是负二加 b， 等于 c 和 m 的 横坐标加起来，负二加 a。 哎，零加 a 啊，看成纵坐标了，零和 a 加起来就可以，然后纵坐标 a 和 q 的 纵坐标加起来零，零加零，那就还是个零呗。 然后呢， c 和 m 的 纵坐标加起来， a 方加 a 减二，再加负二，那就减四个就可以了。从这个地方我们同样的算出小 a 是 不就可以了？ 好，这个地方算的时候，好像没办法十字相乘，那没办法十字相乘的，那我们只能干什么了？我就公式发一下吧，得它吧， b 方，那就是一减四， a c 四四十六十七。所以我们第一个 a 呢，那就是二分之 呃，二， a 分 之负 b， 那 就负一加根号下时期。第二个 a 呢，就是二分之负 b， 那 就负一减根号下时期，所以我们 a 呢，这个地方算出来两个，一个是负一加根号时期除以二，这边我就擦掉吧。 一个呢是负一减根号是七，怎么样？除以二，同样的对应的把谁算出来，小 b 算出来就可，这个里面的小 b 算出来就行，你看这个我们要算小 b， 对 吧？ 算小 b 的 话，我们把这个负二移到这边来，是不是变成加二，也就给 a 加二就行，二是不就二分之四，所以我们给这个和后面这个二分之四分母不变分子相加，分子上加个四就可以了， 它就变成加四，那就是三加根号时期，这个对应的小 b 的 值加四呢就是三减根号时期 除以二，所以这个里面呢，我们算出来点 q 的 坐标呢？有两个， 一个呢是三加根号十七除以二逗零，另外一个呢是三减根号十七除以二逗零，这就可以了。 好，这是二次函数这道压轴题的三小问。第三小问呢，一定要能掌握他是我们什么做菱形也好，矩形也好 的基础，这种方法并且是通用的，基本上所有的都能做。当然有时候呢，那个未知数你好像还不太行，那那个时候就要通过画图的方法去做了。 好，这道题我们就到这，我们下一期呢讲一下最后一道题，同样的，如果你等着看的话，先关注一下，发了以后你立马就能看到了。

家长们好，我是张老师，今天濮阳二模数学刚考完，那么不少家长和孩子呢，都在关心这套卷子他难不难和中考呢？贴不贴合？ 孩子这次考的不好，中考还有没有希望？那别着急，咱们一条视频呢，把这些说清楚，再给大家讲一讲孩子接下来的复习重点。那结合二零二一年到二零二五年河南中考真题来看，本次二模卷的题型结构、考点范围、难度设置都贴合中考的标准，作为考前的模拟检测呢，参考价值很高， 也能够客观的反映出来孩子们现阶段的学习情况。那二模已经考完了，孩子们就正式进入到中考的最后冲刺阶段，结合本次考试呢，张老师给大家梳理一下接下来的复习重点。第一个，优先夯实基础知识。 中考大部分分值它都来自于基础内容，把本次试卷当中的基础错题复盘到位，反复巩固公式，基础运算简单的几何题型，杜绝粗心十分。第二， 强化核心中档题的训练，统计几何证明、函数应用方程问题都是中考必考的拿分题型， 整理错题、归纳解析的方法，反复的练习，练出稳定的做题手感。第三个，合理规划精力，学会取舍。已经到了中考的冲刺阶段了， 面对难度较高的压轴题，孩子们一定要结合自身的情况安排练习，你基础一般的，那就主攻基础和中档题，能力突出的孩子再去钻研压轴题的解析逻辑。二模他只是一次普通的阶段检测，分数只是参考，不是最终的定论。模考的意义就在于暴露问题，查漏补缺。 所以在这次当中考的不错的孩子，说明你现阶段的基础比较扎实。那考的不理想的孩子呢？不要焦虑， 焦虑没有用，当下去做去解决问题才有用。要明白在中考之前发现的问题都是好问题，现在发现的问题就是我们冲刺阶段可以补上的地方。在中考前呢，各位家长一定要提醒家里的孩子，把基础打牢，把错题吃透，把心态给稳住，一步一步来， 全力以赴的去备战中考。张老师相信根据自身的情况去稳固复习的孩子，中考当中会取得一个让自己满意的成绩。