鲁教版六下数学第八章公式

同学们大家好，我们这节课继续往下学习整式的乘处。在学习之前，我们首先回顾一下多项式的乘法法则。用多项式乘以多项式的时候，一个 多项式的每一项去乘以另一个多项式的每一项，把所得的乘积再相加。我们看一下下面的式子， 通通都是多项式乘以多项式。第一个 x 去乘以 x， 写成 x 的 平方。第二个 x 乘以负二，是负二 x， x 负四，我写成二乘以二吧。好，中间负二 x 乘以负二 x 加二 x 抵消。好，第二个我们同样的方法，一减去三 a， 加上三 a， 减去三 a， 乘以三 a。 写完这两个式子之后，我们发现了这两个多项式数字相同，中间的运算符号相反，一个是加，一个是减。 最后我们得出来的结果，中间有一部分是可以抵消的，也就是说只剩了两项，第一项是来自于 x 乘以 x， 就 选 x 平方。 第二项来自于什么呀？二乘以二，也就是二的平方。好，我再看第二个， 中间负三 a 和三 a 抵消，剩了个一，一是来自于一乘以一，然后三 a 乘以三 a， 是 三 a 乘以三 a。 那也就是说，当我们的多项式中的两项数字相同，运算符号相反，一加一减的时候，它们两个相乘的时候，就发现第一项就等于 x 乘以 x， 就是 x 平方。 第二项就是五 y 乘以负 y， 就是 负的五 y 的 平方。 是这样子啊，好，下一个我们继续写， y 加上三 z 乘以 y 减去三 z。 同样的情况，我们用第一项 y 乘以 y 的 平方，三 z 乘以负三 z 减去三 z 的 平方。 好，这些我们是不是可以单独把它拎出来呢？就是这些题哈，我看一下 这个叫做什么呀？ a 加 b 乘以括号的 a 减 b， 我 们就把它写成 a 乘以 a 减去 b 乘以 b， 对 不对啊？这样的叫什么呀？有个专门的名字， a 的 平方减 b 的 平方，所以它叫做平方差公式 啊。两个数的和与两个数的差相乘，就等于它们的平方差啊。比如说三加五 乘以三减五，等于什么呢？等于平方差，三的平方减，减五的平方。 好，我们看一下这个哈，我们利用平方差公式来计算。第一个 先观察两个数相加，两个数相减 a 的 平方减 b 的 平方，所以就是 a 的 平方减 b 的 平方，也就是五的平方减去六 x 平方，六 x 平方，我们怎么写？ 这是不是积的乘方里面的每一项乘方再相乘，就等于二十五减去六的平方，三十六 x 平方 x 平方，是不是这样子啊？ 好，下一个 x 减二 y 和 x 加二 y， 同样的情况啊，一个和一个叉，两 x 乘以 x 减去二 y 乘以二 y， 四倍的 y 的 平方， 下一个负 y 加 a 和负 m， 负 m 加 n 和负 m 减，也是 a 和 b， 对 不对？这是 a， 这是 b， 这是 a， 这是 b， 对 不对？ a 加 b 和 a 减 b， a 的 平方，负 m 的 平方 减去 n 的 平方，对不对？也就是 m 的 平方减 n 的 平方。 平方差公式是不是特别好用？只要是满足两个数的和乘以两个数的积，两个数的差， 两个数的和乘以两个数的差，那么他们就等于这两个数的平方差哈。

听说这个单元的练习能让成绩直接起飞！二六年鲁教五四版六年级下册数学第八章三十七页练习题电子版加打印版，双版本已备好，电子版随时查答案，打印版可劲写答案，两种模式自由切换，从基础概念到综合应用，每道题都帮你疏理解题思路， 重点难点全在这三十七页里。吃透这些，练习考试就像开卷一样简单！点击下方链接，立即领取，让你的数学实力原地升级！

同学们大家好，我们这节课继续往下学习乘法公式。上节课我们学习了完全平方公式，我们一起复习一下 完全平方公式。第一个平方和公式，首平方加尾平方加首尾的二倍乘积， 两个数的差的完全平方公式是首平方加尾平方，然后是减去二倍的首尾乘积。 我们把这里的 a 加 b 可以 换成数字，也可以换成字母，当然我们也可以换成一些代数式。这节课我们就进一步来学习公式中的字母还可以表示什么。 那么我们学完了完全平方公式，在我们计算的过程中能够发挥什么样的作用？我们一起看一下。 在某市运动会的开幕式上，两个学校进行方阵变换表演，其中育才中学有两个方阵，分别是男生方阵 a 行 a 列，女生方阵 b 行 b 列，而我们的实验中学只有一个方 对，就是 a 加 b 行，还有 a 加 b 列，我们一起看一下。那我们求一下育才中学的男生方阵有多少人？男生方阵是 a 行 a 列，所以他的人数就是 a 的 平方， 女生人数有 b 行 b 列，那么它的方阵的人数就是 b 乘以 b， 也就是 b 的 平方一共有多少个人？女生和男生相加 a 方加 b 方，就是一共的人数。继续看 说实验中学的方阵人数有多少？实验中学有 a 加 b 行和 a 加 b 列，所以它的学生人数就是 a 加 b 乘以 a 加 b， 也可以写成是 a 加 b 的 平方格。好 说，刚才参加方阵的表演当中，育才中学的总人数和实验中学的总人数哪一个多？为什么？ 那看一看哪一个多，我们就首先把它列出来。第一个育才中学是 a 方加 b 方，而我们的实验中学是 a 加 b 的 平方，比较一下这两个谁大谁小，我们可以怎样做叉，对不对？可以做叉相减 a 的 平方加 b 的 平方减去 a 加 b 的 平方，就是首平方加尾平方加二倍的首尾乘积的二倍， 去括号， a 方加 b 方减 a 方减 b 方减二 a b 底销箱 正负相反的量，我们看一下哈，就等于负的二 a b， a 是 正数， b 也是正数，所以负二 f 负二 a b 就是 一个小于零的数，对不对啊？所以是实验中学的人数大于育才 中学，刚才是育才中学减实验中学，到底是一样的，实验中学的人数多。 我们看一下这样的一个例题，说利用完全平方公式进行计算，一百零二的平方，利用完全平方，我们可以把一百零二，这个一百零二， 我们可以对比我们完全平方和公式和完全平方差公式，发现一百零二接近一百，所以它可以写成一百加二， 那么这就是一个完全平方和公式，首平方加尾平方加首尾，首尾乘积的二倍，二乘以一百乘以二。 你在这里哈，首平方加尾平方加首尾乘积的二倍，最后算出来是一万零四百零四，下一个一百九十七的平方一百九十七。

同学们大家好，我们这节课学习一元一次方程的解法。首先我们回顾一下方乘的定义，什么是方程？ 含有未知数的等式叫做方程。必须含有未知数，必须是等式，两者缺一不可，这是判断方程的依据。 我们上节课不光学习了方程，还学习了比较特殊的一种方程，它叫做一元一次方程。那还记得一元一次方程有什么样的特点吗？一元 这个元其实就是未知数的个数，一次就是未知数的次数，我们一起看一下。 只有一个未知数，所以叫做一元，未知数的次数是一，所以叫一次。这地方特别强调了分母中不含有字母，为什么呀？分母中含有字母，它不是整式， 它不是整式，所以它就不是方程。哈， 好，那我们上节课还学习了方程的解。什么是方程的解？是方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 我们这节课继续往下学习，在学习之前，我们首先回忆一下我们学过等式有哪些性质。比如说如果给你 a 等于 b， 我 们就很自然地知道 b 等于 a， 这个没问题是不是？那如果继续 a 等于 b， 同样 b 等于 c， 那 我们能得到什么呀？ a 等于 c， 是 不是传递就传递性，对不对啊？第一个就交换性，可以交换，第二个是具有传递性，这是等式的性质，这个也是等式的事实，对不对啊？那我们想一想，等式除了这两个还有没有其他的性质，我们看一下啊？ 在这是一个天平，天平两侧能够实现完全相等，因为时针指到中间，实现了平衡的状态。如果现在老师实现了一个这样的，把我们其中的一个 砝码，这叫砝码。把一个砝码取出来，左侧的砝码取出来，发现只有三个球，右侧也取出一个砝码，剩下的是一二三四五六七。 取出一个砝码，剩六个砝码，发现天平仍然相同，这就给我们一个启示，两边同时减去一个砝码，两侧完全相同，那我们就继续试验，我继续减， 这个地方有三个球，我把它的三分之二去掉，也就是减掉两个，这边是六个砝码，我把它的三分之二去掉，只剩下三分之一，也就是只剩下两个，仍然相同 啊。我们继续往下看，如果这是相减，发现两侧减去相同的数，这一个天平仍然是平衡的，那我们翻过来呢？ 翻过来呢？翻过来。刚才我没看了，这三个球是对应着六个砝码，所以说一个球就等于两个砝码，是不是啊？两个砝码。 那我看一下这个，他说我们从这一侧往这走的话，就是本来一个球两个法，变成了三个球六个法吗？这是一个加的过程， 向左是加，向右是减，这两个过程都能够实现天平的平衡。其实我们在小学也学过类似的知识，对不对啊？就是两边同时加减 或者是乘除同一个数，等式是成立的。那我们先看一下刚才这个过程，是加和减，对不对啊？我们把它总结出来，等式，两边同时加， 两边都加，或者是减，同一个代数式，不光是数的，有可能还是一些式子啊，包括数和式子。我们小学的时候学的只是数，现在不光有数，还有一些式子， 得到的结果仍然是等式啊，我看一下啊，继续往下看 等式的性质，两边同加同减，我可以把它写成，如果 a 等于 b， 那 么 a 加 c， 就 等于 b 加 c， 两边同时加上一个代数式，是不是？然后 a 减 c 等于 b 减 c， 两边都减同一个代数式，仍然实现 是等式，是不是中间相等？但是这个地方要注意，我们必须是同时加同一个数，或者是同时减同一个数，或者是同时加同一个式子，或者是同时减同一个式，也就是说他怎样变就怎样变 啊，这是等式限制。一好，开灯开。第二个说，用贴屏解释一下五 x 等于三 x 加二的变形过程。我们看一下五 x， 比如说每一个球是 x， 我 这边有五个球，就是五 x， 对 不对啊？五 x， 那这边有三个球，就是三 x， 还有两个砝码，加两个砝码。好，中间实现了平衡，也就两个相等。现在我把三个球去掉。好，这说了，两个球两个 x， 对 不对啊？那现在这边三，三个球去掉，那三个 x 没有，就剩二了， 就是二 x 等于二，是不是？好，我们继续，我把这两个球我去掉一个，还剩了一个，也就是 x。 那 这个方法剩了一个，剩了一，等于 x 等一，这个过程就是什么意义？什么过程呀？尤其是这边更明显了， 这一步是两边同时减去的三 x。

我们来看一下转化的一个策略，在小升初考试中的一个，嗯，经常的一个考点啊，首先呢，他说是在小学阶段我们解决下面四个问题所用的策略，与推导面积公式应用的策略不同的是， 那这时候我们就要去思考了，圆面积公式它是如何去推导的呢？呃，那我们想到了它是将这个圆会进行什么呢？会进行偶数等分，会进行偶数等分， 那比如说我先给它分成八份啊，然后进行这样的偶数等分，进行这样的偶数等分之后呢，然后我们就是取，嗯，把它沿着中间的这条直径 给它呃，分成上下两部分，然后接着就给它穿插起来，然后拼成一个近似的长方形，近似的长方形， 然后我们这时候呢知道我们这个长方形的长，也就是圆的什么呢？也就是圆周长的一半是帕尔， 然后长方形的宽呢，也就是圆的半径啊，所以这时候我们就知道这个圆的面积也就是等于这个长方形的面积，所以我们是把未知转化成了已知，所以我们这时候用到的是什么？用到的是转化的策略啊，或者说转化思想。 好，那接着可以看到选项 a， 他 说计算四点五六乘一点二十，先计算四百五十六乘十二，然后再在 g 中添上小数点， 那它也是将小数的问题转化成我们的整数问题，然后我们是相当于利用 g 不 变的规律，然后再把呃，因为我们刚才将乘数扩大了一千倍，所以再是呃在 g 的 末尾从右往左数出三位就可以了。所以 a 是 用的转化的思想啊， 然后接着看一下 b， 他 说用四五七零四个数字可以组成多少个不同的三位数，那显然他是在考察我们什么，在考察我们的一个逻辑，然后 枚举法啊，枚举法去解决问题，所以他 b 他 是没有用到转化的策略的。然后接着看一下 c， 他 说推导圆柱的以及计算公式，那我们想到了圆柱的体积公式，那就是底面积乘高，我们是要将圆柱呃给他进行类似圆这样的一个分割，分割成偶数等分， 然后我们再给他拼在一起，拼成一个近似的长方体，然后根据长方体的体积公式是长宽高，长成宽成高，然后就得到长成宽是我们长方形的底面积，所以我们得到圆柱的体积公式，也就是底面积成高。 然后接着的话再是我们这个地方的一个计算，那计算的话我们也是用的什么？我们是将，嗯， 首先是将它放到一个正方形里面，给它看作是一个单位一，然后将二分之一给表示出来，那二分之一的话也就是这个正方形的一半， 所以我们就可以将二分之一先表示出来，这里是二分之一，然后四分之一的话就是二分之一的一半，所以这里的话就是四分之一。 然后接着的话我们再是啊将四分之一再平均分成一半，那就是八分之一，然后再将啊八分之一平均分成一半，那这里就十六分之一，然后再将十六分之一再平均分成一半，那这里就是三十二分之一。 好，那这时候我们就用到了什么？用到了面积法给他转化成求这个，呃，因为我们要算二分之一，加四分之一，加八分之一，加十六分之一，加三十二分之一的和，也就算这些啊，图形的面积，那这时候就可以看到整体是单位一，然后减去这一处的 右下角最小的那个地方的一个三十二分之一，这样计算会更加的减变啊。所以这地方也是用的转化的策略，整体减。 我们刚才这个右下角的涂色部分啊，就可以算出另外的部分的一个面，呃，面积也就它们的，呃，计算的总和是多少了啊？所以这道题是选 b。

整式的乘除，按照这个视频练，期末不丢冤枉分！五一假期已经要结束了，是不是明显感觉期末复习节奏一下子就紧了呢？ 尤其是咱们乳教版，五四至六年级的宝啊，下册数学的重头戏，全都卡在整式的乘除这一块了。那很多家长和孩子跟我说，在这一块上课听着哎，特别轻松啊，一听就会，但是一做题就废了。 公式记混符号写错密的运算呢？越算越乱，明明他不是难题，却总是在考试里边丢一些冤枉分，有没有这种情况？那其实整式的乘除根本不是什么难点啊，他就是知识点碎，公式多，细节更多， 只要把核心逻辑捋顺，避开易错点，期末这块直接可以拿满分啊，一点都不难。那今天不绕弯子，不讲空话，就给大家讲讲咱们期末必考的三块，核心密的运算，乘法公式、感想式成多项式， 那全都是考场直接能用的干货，孩子听完就能上手练啊！首先第一块密的运算，这是整个整式乘除的地基，同底数密相乘，底数不变，指数相加密的乘方呢？底数不变，指数相乘积的乘方要给每一项都乘方。 那很多孩子错，全都是错在指数相加还是相乘上啊？符号要不要变？记混一条整道题全错。那记住一句话啊，就是同底数密相乘，指数加乘方，指数要相乘，积的乘方全分，家就不会再乱了。 那第二块呢，就是期末必考的高频啊，乘法公式、平方差公式、完全平方公式，这两个是考试常课平方差，首平方减尾平方完全平方呢，指的是首平方加尾平方，首尾两倍放中央。这里最容易踩的坑就是符号，尤其是完全平方里边的中间项 正符号一定要看清楚，很多孩子公式背的六啊，一到符号就翻车了，考试扣分特别可惜。第三块就是单项式乘，多项式核心就一个法则，用单项式去乘多项式里边的每一项，再把所得的积相加， 说白了就是分配率，一项都不能漏。符号呢，一定要跟着走！那很多孩子偷懒跳步骤，漏成一项符号，写错结果全都跑偏了。 给咱们六年级的宝题，三个特别实用的复习小建议，第一，先把公式法则一字不差的背熟，你别模棱两可啊，模糊的记忆最容易出错。第二就是做题别图快， 你一步一步写清楚，尤其是符号和指数，草稿纸上你写工整的啊。第三，只刷错题，不搞题海， 把平时错的密的运算啊，公式题，计算题你拿出来复盘，错在哪改哪，你比刷新题提分快的多。期末复习不用慌，整式乘除看着复杂，其实都是固定的套路啊，抓准公式，盯紧细节，避开易错坑，这块的分稳稳就能拿到手。

晶晶用完全相同的圆柱进行三种不同的切分，已知圆柱的底面直径是四厘米。第一种切分方式表面积会增加多少平方厘米？ 那首先我们知道他第一种切割方式的话，就是也就是平行于他的底面进行切割的，那就会增加什么？就会增加两个圆面啊，所以他是增加两个圆面， 那这时候我们就是计算圆的面积公式就可以了。那这时候题目中呢，只是告诉我们直径呢 d 是 四，那我们就可以求出半径 二等于二了。好，那这时候再根据圆的面积公式，那就是 pi 乘二的平方，然后有几个呢？有这样的两个， 所以我们这时候可以看到二平方是四，四乘二的话就是八，也就是八派，然后八派的话是二十五点一二，所以它的表面积的话就会增加二十五点一二平方厘米啊，所以第一个空就要填上二十五点一二。 好，接着我们再来看一下，嗯，说第二，他说第二种切分方式呢，表面积会增加四十八平方厘米，然后第三种切分方式呢，表面积会增加多少平方厘米 啊？其实我们知道第三种他是怎么切割的呢？第三种他其实就是将这个圆柱体给他切了一半以后，给他拼成了一个这样的长方，那他的表面积就增加在哪里呢？表面积就增加在我们这个长方形的左面和右面啊，左面和右面啊， 所以这时候呢，我们知道他的左面和右面的面积的话，也就是，呃，这个宽是半径，然后他的 这个长的话，也就是我们这个圆柱的高，所以呢半径题目中已经知道 r 是 等于二的核心，就是要算出我们这个圆柱的高是多少，那圆柱的高怎么算呢？那核心肯定就是在这里了。 第二种切割方式的时候，我们的表面积会增加四十八平方厘米，是增加了什么？增加了二 d h， 增加了二 d h 两个长方形的结面啊，所以二 d h 等于四十八， 然后这时候呢，我们就把 d 给它带进去，那 d 的 话是四，那就二乘四，然后再乘 h 等于四十八， 这时候我们就可以看到 h 就是 四十八除以八，所以就等于六啊， h 算出来就是等于六，那 h 是 等于六的话，那这时候我们就可以看到增加部分的面积，也就是半径乘上一个高，然后有几个这样的面呢？有左右两个面，所以再乘二， 所以就是二六十二乘二，也就是二十四平方厘米啊，所以这个地方就要写上二十四， 然后这时候呢，他说无论怎样切分，这个圆柱的体积都是多少呢？那这时候我们就是抓住这个体积公式， v 是 等于底面积乘高，然后我们这个圆柱的话，它的底面积是个圆， 所以就是用嗯圆的面积公式去算就好了，所以就是 pi 乘上一个二的平方，然后再乘上它的高度是六，所以算出来也就是二十四 pi 啊，二十四 pi 立方厘米， 然后这个地方如果要去写成具体的数值的话，那我们知道我们的，嗯，二十五 pi 的 话七十八点五， 那二十四派呢？显然就比我们的二十五派少了一个派，所以这时候呢，我们就可以用七十八点五减去一个三点一四， 所以这个地方是三六，然后这个地方就是七十八减去一个三，这就是七十五点三六立方厘米啊？

同学们大家好，我们这节课继续往下学习乘法公式。上节课我们学习的平方差公式，这是我们非常非常重要的一个公式，这节课我们就看一下平方差公式能够解决哪些问题。 首先平方差公式是两数之和乘以两数之差，就等于 a 的 平方减去 b 的 平方，也就是两个数的平方差。 好，我们看一下，如果我们把这一个完全平方，呃，我们把这个平方差的这个公式用我们的几何的意义来表示出来是怎样的？比如说，老师，这里有一个正方形，它的边长是 a， 有一个小的正方形，边长是 b， 我 问一下同学们，这个大的正方形的面积是不是就是边长的平方，也就是 a 的 平方，小正方形的面积是不是就是边长的平方 b 的 平方？ 好，那如果我用大正方形的面积减去小正方形的面积，是不是就是蓝色区域的面积？嗯，那我现在能不能把我的蓝色区域划分一下？ 好，首先老师把我这一部分本来是蓝色的这一块，我给他移到了这里， 我这样通过转化之后就会发现，同学们我以前要求蓝色的面积，现在变成了一部分是深蓝色，一部分是浅蓝色，对不对？尤其是这一部分，它还是一个长方形，是不是比我们以前的不规则图形要好求啊？ 所以我们的这个宽是什么宽？是不是就是这一部分就是我们的 a 减 b？ 好， 那长呢？长是不是因为这一部分是 b， 所以 我们的长就是 a 加 b？ 那 我们通过长和宽相乘，表示出这一部分的面积就是 a 加 b 乘以 a 减 b， 长乘以宽，通过这样的转化，发现这两个面积是相等的，这个是不是就是我们的平方差公式？它有这样的几何意义？ 好，你继续看说，请你思考一下下面这些算式，观察一下它们有什么共同点。首先第一个七和九相乘，第二个八和八相乘， 首先第一个七乘以九是六十三，八乘以八是六十四，对不对啊？好，我们每一个都算出来， 发现他们两个乘积的结果会相差一个一，对不对啊？好，那我可不可以这样写啊？同学们看一下， 比如说第一个我七乘以九，我怎么表示？我这么表示哈，八乘以八，我写成八的平方减去一是不是就等于六十三？那八的平方减一，我把一也写成一的平方，这是不是我们上节课学的平方差公式啊？就等于两数之和， 两数之差，所以就等于一加八等于九，八减一等于七，是不是就是我们上面的七乘以九？后面的两个也是这样的情况，我们一起看一下， a 减一，两个数相减，两个数相加，就等于 a 的 平方减一。 是不是？在这个第一个式子当中，七 a 减一等于七的话， a 是 不是等于八？第二个 a 加一等于九的话， a 是 不是也等于八？所以就是八减一乘以八加一就等于八的平方减一。好，继续， 如果我们根据刚才的我们有一点起是什么呀？用平方差能否让我们这个式的减变，对不对啊？本来是两个数相乘，这两个数如果想求出这个的乘积，必须用竖式，对不对啊？但是我们现在把它看成是两个数的和两个数的差， 比如说一百零三，我们是不是可以把它看成，是啊？一百加三。