正方体截面动画演示切割过程

立方体的结构没你想的那么简单，举个例子哈，一个立方体，如果我们沿着这边砍一刀，那我会出来一个什么呢？这就是会出来一个三角形的结面啊，这个结面孩子就是看得见摸得着的，然后这结面就出来了，如果我们这样砍一刀下去，就会出来一个正方形的结面。好，那我先问个问题，在结构上的结构知识上的，一个正方体的豆腐块 随便砍一刀，请问他出来的结面最多是几边形？你脑子里能不能想象出来？能不能砍八边形结面，那个结面怎么砍下去？最多这个就是结构，你能不能想象这个结构你没有搭过来，在脑子里容易想象吗？非常的不容易想象，看到没有？沿着对边中点砍下去，这个就是一个正六边形 结，所以这个是一个几何结构的理解。我们说了，小的时候啊，应该让孩子充分的理解空间几何的结构， 因为拼搭你就能够产生直观的图形的组合和拆分。那这样的知识啊，不要等到初中、初高中再来了，因为初高中以后，他进入了抽象思维阶段。初高中我们的孩子坚持的都是传统学习，都是在纸和笔上来进行几何的学习和论证。如果一个孩子在小的时候，他对几何结构没 没有一定的认知，他进入初高中以后呢，他就会产生一些障碍，他的理解的成本就很高，他理解的效率就很低。就是我们认为中拓能够帮助到孩子的地方，所以中拓能够带来非常多的这种叫做立体几何 和空间几何平面图形的各种的几何结构的认知，帮助孩子快速的建立所有的这些基础几何结构 在脑子里面，他还会创作作品，因为孩子就喜欢搭一个火箭，搭个坦克，搭个飞机，搭一个花篮，搭一个非常漂亮的结构，然后摆件放在家里，那这是一个创作的过程，大家细看，但凡这些作品你细看，里面全是基础几何图形结构， 全是基础几何图形的组合拆分，所以我们想说的是通过空间创意的方式让孩子了解几何结构， 所以这个是我觉得下一代孩子培养空间思维的方式，而不是像我们那一代人只用纸盒笔来培养。所以我们最终的课程是什么？我们最终的课程是既把几何结构放在里面让孩子体验，又把各种的一些创意创造放在里面，所以它是一个 steam 导向的课程，中途非常非常的 steam 导向， 这种 steam 导向里面它就是有几何创意在里面，有建筑的创意，有艺术的创意在里面，所以使得孩子不单单是枯燥的玩几何，而是生动的玩几何，然后来产生空间创造能力，所以一箭双雕，一举两得。关注速感星球，进博士，玩转速感提升计算。

这是一个长方体，如果我把高减少变成正方体，你知道表面积会怎么变吗？先看上下面，原来的上下面在这，那现在呢？是这两部分对比一下，两个上面一样大，所以高减少上下面不变。再看其他面， 这是原来的前面，这是现在的前面。对比一下，减少的部分在这，那后面也是一样的，所以这两个是前后减少的面。当然左右减少的部分也在这，所以减少的面积为四个侧面的面积。 把数据代入，假设正方体的棱长为 a， 那 这也是 a， 假设减少的高为 h， 你 知道减少的表面积是多少吗？对的，四个侧面大小相等，所以减少的面积为四 a h。 那如果要求长方体的体积呢？同样，因为正方体的棱长相等，这也是 a， 所以 长方体的体积等于长乘宽乘高， a 乘 a 乘 a 加 h 的 和解解一下等于 a 的 平方乘 a 加 h 的 和，你学会了吗？

哈喽队长，小程序版本的三 d 切割神器也给大家制作好了，大家现在可以在小程序里面更直观的去看一下啊，我们几何体它的一个洁面的情况。 那一共给大家整理了九种基础模型，有我们的正方体、长方体啊，圆柱、圆锥、圆台球等等九个模型， 你可以去手动的调节啊，任意的角度，那比如说我们可以拖动一下我们的 x 轴，然后也可以去调整一下我们的一个倾斜角度，那通过这样的方式呢，你就可以三百六十度啊，清清楚楚的去看清楚每一个几何体它到底能够切出哪些形状来。 那像我们的正方体它到底是怎么切出三角形啊？五边形、六边形的？虽然网上现在有很多的资料和图片可以看，但是我觉得 如果你自己去亲手操作一遍之后，你的理解可能会更加的深刻啊，包括我们的原著原台，你随便切看一下它到底是什么样子的，那因为别人整理好的永远都是别人的，你只有自己去亲手练过了，你的记忆才会更加的深刻。

现在我们来研究一个跟魔方很像的题，这是一个能长为六厘米的大正方体，我们把它切出若干个能长为两厘米的这个小正方体，要求它的表面积增加了多少，看起来好恐怖啊，其实它一点也不难，我们这样来思考， 我们用四种方法都可以来解决它。先看方法一吧，我们来观察一下这些在切割的过程中，它到底增加了多少个整体的面， 我们说切一刀就会增加两个相同的面，那这里横着切了一刀，两刀，三刀、四刀。那么为了满足题目要切出能长为两厘米的正方体的要求，我们该怎么切割呢？ 总棱长是六厘米，要切割出来的棱长是两厘米，那每一条棱上都应该切出三段，也就是每条棱上都要切两刀，每条棱上都要切两刀，我们就会切出三列、 三层、三行这样的正方体的组合。那么我们一共要切多少刀呢？看看我画的这些绿色、蓝色和红色的线就可以看出来了。 绿色的线是横着切的，切了两刀共分出了三层。蓝色的线是竖着切的，切了两刀，分出了三层。红色线是这样斜着切的，也切出来了三行。 那这就是我们这个正方的切割方法，一共切了一二三四、五六，切了六刀，我们切一刀会增加两个大正方体的面，那切了六刀，一共就增加了十二个面喽。 一个面是六乘六三十六平方厘米，再乘十二就是这个增加的表面积了。非常简单， 每个面的面积是六乘六三十六平方厘米，一共有这样的十二个面，归总一下就是四百三十二平方厘米，这是我们的方法一，下面来看一下方法二怎么解决？方法二，我们会发现要求表面积增加了多少，我们就可以用 这个原来的小正方体，我们就可以用现在所有小正方体的表面积之和减去原来大正方体的表面积，就是它增加的部分了。那么首先我们要解决的是这个多出来的小正方体到底切出来了多少个？ 首先我们竖着切出了三列，横着切出了三层，又这样斜着切出了三行，那三乘三乘三我们一共就切出来了二十七个这样的小正方体， 那每一个小正方体的表面积都是可以算出来的，所以这二十七个小正方体的表面积之合也是算得出来的。大正方体的表面积就不需要多说了，能长乘，能长乘六就解决了。 首先我们这个大正方体里面切出了三的平方个这样的小正方体，每一个的表面积是二乘二乘六，也就是二十四平方厘米，再减掉大正方体的表面积，最后算出来的结果仍然是四百三十二平方厘米。那来看一下方法三怎么玩？ 方法三我们就不跟他从外面硬着干了，我们从里面来看，首先他要增加的面一定是前所未有的面，那前所未有的面肯定不可能长在原来大正方体的表面上，他肯定是在里面的。那我们来统计一下 角上的正方体，他里面会有多少个面呢？门上的呢？中间的呢？还有里面最里面的那个上面又会有多少个面呢？ 那最后被层层包裹在里面的夹心面又有多少个呢？把他们的数据全部统计起来，再加上乘以每一个面的面积，就是我们增加的面了。那来一个个看吧。首先是角上的，角上的面外面露出了三个，里面就还有三个， 棱上的面外面露出了两个，里面就还有四个，而面上的这个面露出了一个，里面还有五个， 那我们会发现最后的最后把外层剥掉，里面还有一个夹心的正方体，这个正方体可独特了，他只有一个，而且被其他所有的正方体包裹起来，他没有一个面是露在外面的，所以里面那个家伙还有六个面。 那现在我们再来看一下，一共有多少个角上的正方体有多少个，棱上的正方体有多少个面上的正方体，再加上中间那个夹心线，那这就是我们的所有面的个数了，再乘以每个面的面积，就求出来了列式，这样来列吧。 首先我们角上的正方体有十二个，就是四乘十二，再添上面。首先我们知道 正方体有八个角，有十二条纹，有六个面，那么我们就可以得到角上的正方体就有八个，能上的正方体就有十二个，而面上的正方体就有六个，最后再加上中间那个夹心的单独的六个，最后再乘以每一个面的面积，就可以得到这个 增加的总面积了。那再来看一下我们的最后一种方法吧。我们还是从我们切割的这个轨迹来看，我们会发现 竖着切出了三列，横着切出了三层，斜着切出了三行，那么每切一刀会增加两个面，切了六刀就增加了十二个面，这里的速度跟方法也很像，但是增加的十二个面都是大正方形的十二个面，那一个大正方形有六个面啊，我们这里增加了十二个面， 说明增加的部分的面积就是大正方体的表面积的两倍，那这样不就好算多了吗？我们只需要算出大正方体的表面积，然后再乘二，就可以得到增加的总面积了。 每一个大正方体的表面积是六乘六乘六，再乘二就是我们增加的总面积了。哦，好了好了，四种方法都研究完了，来总结下这道题吧。 方法一，我们从大的切面，也就是我们的切削轨迹入手，抓住了切一刀增加两个面这个逻辑，然后采用了一个整体的归总思想来解决它增加的所有面了。 那这里我们就要提一下方法四。方法四是从大的切面入手，将大的切面重新整合成了两个完整的正方体，然后求出这两个正方体的表面积，它是一个转化思想。 那方法二和方法三分开来说吧。方法二，我们是通过用总后来的总表面积，减去原来的总表面积，得到增加的表面积，同时也有了小正方体的个数，等于列数、乘行数、乘函数这个公式。 然后是方法三。方法三我们是运用了一个这个分类计数分类讨论的思想，我们分别算出角上的、门上的、面上的和中间夹心的这四种不同类型的正方题，他们对增加表面积贡献的个数。 这种方法呢，能够让我们直观的看到每一个面到底让总面积增加了多少。那么通过我们的研究，我们会发现这类切割型的问题还是方法一这样的整体思想，关注大切面和切割轨迹的方法是最简单、最明了的。

妈妈，我有道题，不会，我看看念题。一个正方体形状的木块能长为一米，沿着水平方向将它锯成三块，幼儿人一尺寸锯成， 锯成四块，将得到的割块用按任意尺寸锯成五小块，共得到大大小小的正方体六十块。如图，这六十块长长方体的表面积是多少平方米？ 和尚，来一侧吧，来厨房又请你吃，请你吃个水果。吃苹果还是芒果？苹果。走，来看这个苹果啊，表面积是哪？ 第一个正确，对，以所有的这个面上对不对？看啊，妈给你切开。好嘞， 儿子，你过来看看，现在分成两半的苹果了，你过来看， 现在这个两两半苹果的表面积，跟刚才一整个苹果的时候表面积发生了什么变化？多了两个切面，这个和这个对，多了两个切面的面积。那如果我吃了，你吃了，那行，拿走吧。 现在呢？我又切一下，跟刚才对，又切了一刀，发生了表面积发生变化了，又多了这两个切面的面积，对吧？嗯，那如果再切一刀呢？会了吗？会了，这道题会了吗？ 嗯，会了。那你吃完这半个苹果给我讲讲。 可以先求整个正方体的表面积，能长是一米，就是一乘一乘六 六，然后平平。 嗯，然后呢？沿着水平方向将它锯成三块，这是三块 锯了两次，所以多了一二三四四个切面，所以是一乘一乘四 等于一等于四平方米。 还有说按任意尺寸锯成四块，所以四块他就锯了三次，三次就有六个切面，所以是一 乘一乘六等于乘六等于六平方米。 然后又将得到的各块圆任意尺寸锯成五小块，所以他锯了四次就有八个切面，一乘一乘八等于 八平方米。六十块，六十块长方体的表面积和就是六加四加六 加八等于十，六加八等于二十四 平方米，所以这道题的结果是二十四。嗯，所以切割之后的表面积发生变化是怎么变的？是原来的表面积加上增加切面的面积， 就是现在的面积了。表面积了，是不是啊？ ok。

今天我们来讲一道长方形和正方形的切割问题，求它的表面及核体积。来先看这一道题，一个长方形，它的长告诉你是一点二米，把它锯成了三段，那锯成三段，它的表面及会发生什么变化？我们来看这一块缝里，我们把它一刀切开， 一刀切开之后，它的表面积增加了，切面正好两个面，所以我们发现切一刀会增加几个面，两面同样道理，如果是两个拼到一起，一拼会少两面，那这里面告诉你它要锯成几段？一二三三段，那锯三段需要锯几 次？一次多了是两厘米，一次是分成了两个，那两次正好分成了就是三段 聚聚，三段需要聚几次，一二需要聚两次，让三减一。一次多了是两个面，所以两次多，多了是四个面，多了四个面多了多少？多了是二点四平方分离。让我们来对二点四平方分离， 求出一个面积到二十四去读一次求出一个面是零点六平方分米。知道他一个面一个面正好对过，这是哪？就是他的底面积，而且原来长方形的 体积等于是底面积乘高高，告诉你了是多少？一点二米，所以我们要统一单位，这是平方分米，一点二米半乘十二分米，所以求体积底面积乘高就可以了。零点六乘十二等于是七点二立方分米。 哎，第二个平方就是求它的什么了？求它的表面筋，我们来看这是一个正方形，正方形的情况下告诉你能长是十厘米，那也告诉你切了几刀， 两刀告诉我们通过第一道题你也知道切两刀多几个面，多了也是四个面，直接二乘二，等于就是四个面。那在谁的基础上多了四个面？是不是 在原来的大的正方体的基础上多了四个面？一个面你可以算出来它是多少。一个面就是能长长，能长 十乘十，这是一个面，原来你的它是几个面呢？六个面，所以原来的六个面再加上多了的四个面，所以一共就是十个面。十个面，一个面是一百十个面，所以等于就是一千平方厘米。