零点分类法

一分钟带你学透零点分段法！先来看一道比较简单的小题，化减 a 减一的绝对值。那么根据我们前边所掌握的知识，要化减含绝对值的数字，必须要判断绝对值里边代数式的一个正负， 但是这个题并没有给出 a 的范围，所以说 a 减一的正负是没有办法直接确定的。但是呢，我们又需要根据 a 减一的正负去掉绝对值符号，所以呢，我们考虑到正负，他的一个分界线就是零， 那我们就先令这个 a 减一等于零，可以得到 a 是等于一的，那么像这样的，使得绝对这里边代数是为零的字母的值，我们称它为零点。那么找到这个零点之后，接下来我们就是利用竖轴去给他分段啊，我们会 发现这样的一个零点一，他会把全部的数分成两段，一段是一，左侧的数，我们可以记做是 a 小于一啊，一段是一，右侧的数都比一大，我们记做 a 大于一，然后一的话，我们跟在左边也行，跟在右边也行啊，在这呢，我就跟在左边啊。写成 a 小于等于一， 那么 a 小于等于一的时候，我们可以发现 a 减一，他就是一个小于等于零的数，那么他的绝对值应该是等于他的相反数，也就是一减 a， 那么当 a 大于一的时候， a 减一，它就是一个大于零的数，那么这样的一个正数，它的绝对值等于它本身。那么最后呢，我们再去写一个综上啊，把这个结果写到一块，那么这个题我们听懂之后来看第二题，化减 a 减一的绝对值，加上 a 减二的绝对， 那这个题同样没有给出 a 的一个范围，我们没有办法直接确定 a 减一和 a 减二的正负，所以说我们仍然需要先找零点，我们令 a 减一等于零可以得到 a 是等于一的，令 a 减二等于零可以得到 a 是等于二的， 那么一和二呢，就是这个题的两个零点。接下来我们借助数轴去进行分段，可以知道一和二两个零点会把全部的数分成三段，一段呢，是一左侧的数，我们记做 a 小于一。 一段呢，是一和二之间的数，我们记作 a 大于一，小于二，一段就是二，右侧的数记作 a 大于二。当然一和二这两个零点我们跟在哪都可以啊，我在这跟在了小于一和小于二，这啊，变成 a 小于等于一和 a 小于等于二， 那么接下来我们在这三段上分别去化减就可以啊。第一段，当 a 小于等于一的时候，那么 a 减一，他就是一个小于等于零的数，所以说 a 减一的绝对值等于他的相反数，也就是一减 a， 那么 a 减二呢，也会是一个小于零的数，那么它的绝对值也会等于它的相反数，二减 a， 所以说相加之后算出来，结果是三减二 a。 然后再看第二种情况，当 a 大于一，小于等于二的时候，这个时候 a 减一就是一个大于零的数，绝对只等于他本身啊。 a 减二呢，就是小于等于零的数，绝对只等于他的相反数，相加之后结果为一。 那么第三类， a 大于二的时候， a 减一就是一个正数大于零啊，绝对值等于它本身。 a 减二呢，它也是一个大于零的数，绝对值也等于它本身 相加之后结果就是二 a 减三。那么最后呢，我们再把所有的结果写到一块，就是像这个样子。视频的最后呢我们总结一下零点分段法，它就适用于这种无范围的绝对值的化解问题，大概的步骤可以分成三步，第一步呢就是找零点，第二步借助数轴去分段啊， 第三步就是在每一段上去给他去绝对值符号化减。

初一上学期有四大难点，其中之一就是有理数中的绝对值。绝对值要多难的题，有多难的题，今天给大家分享一道考试压轴题，来，我们一起做一下。这道题，如果我的学员来做，他很快就能做出来， 因为我讲过一种方法叫零点分段法，好解决这类题。零点分段法就三步，第一步找零点，第二步分区间，第三步，去绝对值。什么意思？下面我们来看。首先见到这样的题，你要想化减，想去绝对值，一定要知道绝对值里边是正的还是负的。 x 减一， x 减三以及 x 减五，到底是正数还是负数， 如果是正数，直接去掉绝值，如果是负数，去掉绝值，是他的相反数，对吧？如果是零就是零。好，现在不知道，因为你不知道 x 可以取什么值。那这方法叫零点分段法。第一步，我们先找零点，什么叫做零点呢？就是让绝对值里边每一个都等于 零， x 减一等于零， x 等于一， x 减三等于零， x 等于三， x 减五等于零， x 等于五。这道题一共有三个零点好，第二步叫分区间，三个零点可以把整个的竖轴分成几块，一三 五是不可以分成四块啊，比小一个，三之间，三和五之间以及比五大，当然也一三五这三个点可以放在任何一个范围内。那分区间第一块，那就是小于一的数，当 x 小于一的时候。第二块，也就是当 x 大于等于一 小于等于三的时候，一和三之间。还有第三块，当 x 大于三小于五的时候。以及第四部分，当 x 大于等于五的时候。注意等号放在哪都可以，不能重复，也不能漏掉。好了，分别在四种情况下分别去绝对 值就可以了。例如，在这种情况下，我们能算出这圆式的值等于什么呢？ x 小于一，那 x 减一肯定是一个负数，负数去掉绝对值是它的相反数，那 x 减一的相反数是一减 x。 好， 那第二个 x 减三肯定也是个负数，去掉绝对值是三减 xx 减五，如果 x 小一减五，肯定也是个负数，去掉绝对值应该是五减 x。 所以这种情况下，最后算出来是不是应该是一加三加五，也就是九减三 x， 我们来看第二个。第二个这圆是等于什么呢？ x 大于等于一，小于等于三大于等于一， x 减一大于等于零，大于等于零，直直接去掉绝对值来。第二个 x 小于等于三， x 小于三减三是负数，所以去掉绝对值应该是三减 x。 同样道理， x 小于三，那么减五的时候肯定是负的，去掉绝对是五减 x， 负 一加三加五，相当于是八减一等于七，然后 x 减 x 减掉，还剩一个七减 x。 第二种情况搞定。来，我们来看第三种情况， x 大于三小于五，那 x 减一肯定是正的，直接去掉绝对值， x 减三也肯定是正的了。大于三嘛。 x 大于三，减三大于零，最 最后一个 x 小于五，那 x 减五应该是负的，去掉绝对值是它的相反数。好嘞，我们整理一下， x 加 x 再减 x， 就剩一个 x 减一减三，那是减四，再加五就应该是加一，最后一个 x 大于等于五，那这一串是不是全部都是正的呀？ x 减一是正的，直接去掉绝对值，减三是正的，直接去掉绝值，减五也是大于等于零的。那么最后的结果是什么？ x x x 就应该是三 x 减一减三减五，一共是减九。这道题就做完了。零点分段法三步找零点分区间去绝对值，你听懂了吗？

好了，今天我们继续来讲解一种解决绝对值化简问题的方法，零点分段法。那么前边呢，咱们已经说过，要化简含绝对值的式子，需要咱们判断的是绝对值里边代收式的一个正负。那么今天这个题呢，我们可以看到，他并没有办法直接去判断绝对值里边代收式的正负， 因为这个题他没有对 x 的范围呢进行一个界定，所以说这个时候就要用到咱们的零点分段法。 那么什么是零点呢？他简单来说就是使绝对值等于零的未知数的值。那么对于这个题来说，咱们先来写一下他的零点，对于第一个绝对值，他的零点应该是是 x 加一等于零， 那么 x 等于负一，对于第二个绝对值，应该是使 x 减三等于零，这个时候 x 应该是等于三。 那么找到了零点之后，接下来咱们就要针对于这个零点来对 x 的值去给他分段。那么分段的话，这时候咱们要借助一下竖轴，好了，画完竖轴之后，这时候咱们可以发现我们求出来的是两个零点，他会把咱们的竖轴呢分成三段， 第一段是在负一的左侧，也就是说 x 小于负一。第二段呢是在负一和三之间，也就是说 x 大于等于负一小于三，第三段是在三的右侧，这个 时候 x 大于等于三。接下来呢，咱们就要针对这三个范围去把这个含绝对值的式子化减。首先看第一个原式等于，那么 x 小于负一， x 加 加一，这个时候应该是小于零的，所以说他的绝对值应该是等于他的相反数负的 x 加一，那么 x 减三的话， x 小于负亿，那么 x 减三的话，这时候也是一个小于零的，那么他的绝对值应该是等于他的相反数三减 x， 然后再进行化解就可以了。最后结果负二 x 加二，那么再来看一下第二段，这个时候原式 等于 x 大于等于负一，那么 x 加一的话，他应该是一个大于等于零的，这个时候他的绝对值应该是等于他本身 x 加一，那么 x 小于三， x 减三的话，应该是一个小于零的，那么他的绝对值应该是等于他的相反数三减 x， 再进行化解。最后结果四，第三段原式等于，那么 x 大于等于三的话， x 加 肯定是正的，这个时候他的绝对值等于他本身 x 减三，这时候应该是大于等于零的，所以说他的绝对值应该也是等于他本身的合并一下二， x 减二。好了，最后呢，咱们来给他进行一下汇总。综上 好了，这就是咱们今天讲解的零点分段法，下边呢，给大家进行一下总结。

a 减号绝对值，再加 a 减七绝对值，它的最小值是多少？我们首先先去写个减，用零点分段法 先去另这边 a 减二，整体呢等于零，所以就可以知道 a 呢是等于二的， 再令 a 减七等于零，所以 a 呢等于七，那所以此时我们先去画个竖轴 标上 a 等于二和 a 等于七，二和七这两个点，那此时呢，你会发现 a 呢？这边表示的 a 到二 a 到七的距离，有可能 a 呢，是在二的左边，那此时 a 到 二的左边呢？ a 到二和 a 到七，这两者距离相加可以无限大，是不是？然后这边呢，如果 a 在七的右侧呢，也可以发现， a 到七的距离与 a 到二的距离，这两者相加也是无限大。 唯独我们发现，如果 a 出现在二到七之间的时候，发现 a 到二和 a 到七，这两者和始终是最小的，所以我们就会发现，那此时也是固定的。所以呢，我们就可以说，当 alan 大于等于二，小于等于七十，那这边的一个 a 减二绝对值，再加 a 减七绝对值呢？我们就可以知道，那此时就得到 a 减二，然后呢，再加上中括号负的 a 减 七，最终我们就可以知道呢，七再减去二，最后答案是五。那最终下结论， a 减二绝对值，再加上 a 减七绝对值，它的整体的一个最 小值就是为多少五。根据这种方式，我们写第二题一样的，先确定 a 加二，整体等于零，所以 a 呢就等于 four， 另这边的一个 a 加七呢等于零，所以 a 呢就等于负七。我们此时再去画一个图标上， a 等于二和 a 等于负七，负二这个和负七， 这边是负七，这边呢是负二，那所以呢，我们就会发现，当 a 呢在负七到负二之间的时候，那此时这边呢有最小值，所以说 当这边的一个负七呢，小于等于 a 小于等于负二的时候，那所以 a 加二绝对值，再加 a 加七绝对值，这个整体呢就是等于这边是负的， a 加二再加上呢 a 加七，这个整体是正的，所以最终这边这个答案呢，就是七减二呢等于五，那所以我们就可以知道， a 加二绝对值，再加 a 加七绝对值， 它的整体最小值是五。那最后一题，减 a 加二整体呢是等于零，所以 a 等于 four 令 a 减七呢等于零，所以 a 呢等于七。依旧呢，去画一个竖轴，我们就可以找出 for 和七 这两个定值，那最终我们也知道同样的方式， a 到达 four 和 a 到到七，在 four 二到七之间， 当 a 呢是大于等于负二，小于等于七的时候，那所以啊， a 加二绝对值，再加 a 减七绝对值呢，他就等于这边的一个 a 加二，再加上这边的一个负的括号呢？ a 减七绝对值，最终答案呢就是七加二等于九， 所以 a 加二绝对值，再加上 a 减七，它的整体的一个最小值，这次呢就是为多少九，你学会了吗？

大家好，我是美丽张老师，今天我们来看二零二二年全国医院的导数压轴题啊，我们来看题目啊，该题是一个指数与对数的复合问题，所以它的导盘数处理起来就困难 啊。第一位让我们求体验方程，那么就是 y 等于二 x， 这个预算送分的啊，难点是第二位。第二位呢，研究在负一到零和零到正确各恰一个零点，求 a 的范。 好，我们要注意对信息的挖掘，我们读题的时候是可以读出来 f 零等于零的啊，现在题目中说 f x 在负一到零和零到这个含有零点啊。那么根据我们通常对函数的认识，我们知道 一个函数在零除以零，接下来还有两个零点，那就可能是先减再增，或者增减增，或者减增减这种可能性，所以本题 就是让我们研究 f i 的图像呈现这种类似的状态时 a 的范啊。所以接下来我们需要研究导函数来观察它的变化情况啊。我们来看一下这个难度出现在哪， 我们可以考虑先求导吧。来看一下啊，导函数前面是 x 加一分之一啊，后边是一个 a 倍的啊，一减 x 啊，比上 ex 啊。所以问题的难点就出现在这个函数式的处理，这一段是多样式，这边带有指数函数啊。但是在这的话，咱们做这种题的一个核心技能就是说含餐问题要有分类的思想， 所以我们可以考虑先研究一些比较简单的情形啊。那么在这你会发现 a 大于等于零，我们会发现在 x 大于零时， 在这个条件下是可以直接获取 f x 打赢，所以说领导 证物圈里不可能有零点啊，因此我们可以排除掉这种情况啊，接下来在这 啊，这个可以算的第一种情况啊，接在这注意的 x 加一和 e x 啊，我们是有经验的，我们知道 e x 可以大于 x 加一 啊，所以说在这对于这个导师，我们发现在 x 大于零时，那么 f p x 它是大于一加上一个 a 倍的一减 x 啊，再比上 e x。 而我们注意到，当我们 在 a 小于零的情形下研究的时候， 那么这个分子就是一个增函数，而且你会发现在零处的值是 e 加 a 啊，所以在这你会发现，当 a 比负一还要大的时候，当 a 在负一到零上取值的时候， 在 x 大于零时，这个东西是大于零，也就是说 f x 啊，在领导政务群增 啊，那么就不是我们说的这种情形啊，这是不合体的，因为此时 f x 大于 f 零 啊，这也是不行的啊，所以通过这两种情况的分析，我们注意到，所以 a 在小于负一时才有可能符合题啊，下面我们就重点研究 a 小于负一时 啊，所以我们在试卷解题时，把前面这些简单情况，通过分类 把他们都排除掉，最后从 a 大于或者从 a 小于负一这个范围上，我们再来寻找结果。事实上 a 小于负一就是我们本题的正确结果，因此在此时我们只要说清楚它在负一到零和零到正中各有一个零点就行了啊。此时我们要来研究 f p x 啊，这个时候直接观察是不行了，我们需要算，然后我们把它只能进行通分考虑了啊，通分后，我们得到 e x 加上一个 a 倍的一减 x 方 啊，那么分母显然是正数，所以我们接下来的目标研究它的分子 啊啊！那么接下来我们很容易发现，在零到正 无穷的时候，这个函数是递增的啊，因为 e x 和 x 负 a x 方都是递增的啊，所以说在零到正无穷上， g x 递增。当然你也可以通过导函数来观察，因为 g p x 是等于 e x 减去二 a x 啊，导函数，你会发现 它就是增函数，所以说在领导政务圈上，我们知道 g x 啊，它是递增的， 然后我们再研究他的端点零，那么既零的话，刚好是一是大于零的， 所以说我们知道此时 f 撇 x 大于啊，所以我们获取了 f x g x 为增函数啊，接下来我们研究它的端点 g 零啊，那么此时你发现因为 g 零是等于一加上 a 的啊，在 a 小于负一时，这是个复制啊，所以我们就知道 f x 在零到政务群上就是先减后增啊，因为即零一加一小于零正的比较好找，选个一的话， 就是 e 是大于零啊，所以说 f x 就在零到 m 键啊， m 呢，证明穷啊，所以 f x 在零到 m 上减， m 到正位上增，就实现了我们说的先减后增啊。那么接下来要说明零点，还必须 指明零点存在啊，所以在这实际上涉及到取点啊，我们可以看一下取点，我们因为 f 零是零，所以我们知道 f m 它是小于 f 零，它是负的， 这个地方是腹直啊，然后正直怎么长啊，正直在这我们就用到我们这个函数表达式 啊， f x 它是等于罗引一加 x 啊，再加上一个 a x 比上 e x 啊， x 比 e x， 我们知道它有最大值一分之一啊，所以在这我们取这样一个值，负一加上 e 的负二， a 比一啊，这是一个大于零的数 啊，然后它带入之后，前方是个负二 a 以上 e 啊，后边我们先不带换，先用 x 表示 啊，那么你就会发现它就大于负 a 倍的二比一 减去一比一啊。当然这个是利用了一个重要的经验， x 比上 e x 小于等于一分之一， f x 在零到正物群上有一个零点啊，这种情况研究完毕 啊，那么接下来还有负一到零上啊，这种情况比上面的要再复杂一下，负一到零上，我们知道，那么 g x 此时就不好说它递增了啊。那么在这我们知道，因为 g 撇 x 增的， 然后 g 撇负一是等于一分之一加上二 a 啊，因为二 a 比负二小，所以这个东西是小于零的。 而 g 撇零啊，它是等于一，它是大于零的，所以我们知道 g p x 啊，注意，这是 g p x 啊，它是先负后正，所以我们知道 g x 啊，比方把这个地方计成 x 零， 它就在负一到 x 零减啊，在 x 零到零增啊，就 g x 先减后增。 好，我们再来看它的端点，那么即负一的话啊，是一分之一 啊，这是大于零的，然后既零的话， 他是等于一加一是小于零的啊，所以我们知道，那么 gx 他的图像走势啊，所以我们发现在这也存在了一个焦点，嗯，也就是说 前面这个判断，先增后减啊，这个另外是 n 啊，所以我们知道，那么 f n， 因为它大于 f， 你要说明在飞到另外一个零点，还必须呃把负一处负值的情况给表示出来啊，所以此时还 还是要取点啊，这个时候我们怎么取点啊？我们实际上可以利用 x 比 e x 啊，它在负一处是有一个临界值，那么 a e 啊，所以说我们取一个点，负一加上 e 的 a e 层 啊，那么此时你会发现它就等于 a e 啊，加上咱们的 a 倍的负一加上 a 啊，然后比上 e 的负一次方，加上 e 的 a e e 的负一次方式， e 啊，放到上方啊，下方是 e 的 e 的 a e 次方啊，那么分母显然是比一大啊，所以把前方的 a e 和 a e 抵消了后边这个 a 倍的指数型，那么显然这是一个负值 啊，所以我们获得了 f x， 在负一到零上也有一个零点，我们可以看一下详尽的书写过程 啊，就我们在这这个题，这个地方涉及到一个区别啊，我们这个地方涉及到一个区别 啊，这两种情况说清楚之后，就实现了我们证明的目标啊。该函的确实是增减增的模型，所以除了 零之外，在负一到零和零到正无穷各存在一个零点。