将军饮马对称最值问题怎么画

一个视频学会将军印马两招十三式。第一是两定移动一侧和最小定点 a， b 在 直线 l 一 侧动，点 p 在 直线 l 上，求 p a 加 p b 最小值。两点之间线段最短，最小值就是 ab 长。 第一招找对称。第二是两定移动同侧和最小定点 a， b 在 直线 l 上，求 p a 加 p b 最小值 做 b。 关于直线 l 的 对称点 b 一 连 a b 一 交直线 l 于点 p， 最小值是 a b 一 长。第三是两定一动，同侧差最大定点 a b 在 直线 l 同侧动，点 p 在 直线 l 上，求 p a 减 p b 最大值 连 a b 并延长延长线交直线 l 于点 p， 两边之差小于第三边 p a 减 p b， 最大值是 a b 长。 第四是两定一动，意测差最大定点 a， b 在 直线 l 意测动点 p 在 直线 l 上，求 p a 减 p b 最大值 作点 b。 关于 l 的 对称点 b 一 连 a b 一 并延长交直线 l 于点 p p a 减 p b 最大值是 ab 一 长。第五是一定两动垂线，找最短 定点 a 动点 p 在 直线 l 二上，求 p a 加 p q 最小值 过点 a 做幺二的垂线垂足为点 b。 垂线交直线都异于点 c。 两点之间垂线段最短，点 p 和点 c 重合，点 q 和点 b 重合时， pa 加 p q， 最小值是 ab 长。 第六是一定两动对称加垂线定点 a 动点 p 在 直线 l 一 上动，点 q 在 直线 l 二上，求 pa 加 p q 最小值 做点 a。 关于直线 l 一 的对称点 a 一 或 a 一 做直线 l 二的垂线垂足为点 b。 垂线交直线又异于点 c。 当点 p 和点 c 重合，点 q 和点 b 重合时， pa 加 p q 最小值是 a 一 b 长。

一个视频学会将军印马两招十三式第十式，平移定长异侧和最小定点 a b 在 两平行直线 l 一 l 二异侧 动，点 p 在 直线 l 一 上动，点 q 在 直线 l 二上， p q 垂直于 l 一， 求 a p 加 p q 加 q 的 最小值，把点 a 沿 p q 方向平移， p q 长到点 a 一 b 到点 p， 最小值是 a 一 b 加 p q 长。 第十一是平移定长同侧和最小定点 a b 在 两平行直线 l 一 l 二同侧动，点 p 在 直线 l 一 上动，点 q 在 直线 l 二上， p q 垂直于 l 一， 求 a p 加 p q 加 q b 最小值， 把点 a 向下平移， p q 长到 a 一 作 b。 关于 l 二的对称点 b 一 连 a e， b 一 交直线 l 二于 q 再平移点 q 到点 p， 最小值是 a e b 一 加 p q 长度。第十二是平移定长，预测折线和最小 定点 a b 在 直线 l 预测动点 a b 在 直线 l 上 p q 长。固定。求 a p 加 p q 加 q b 最小值， 把点 a 沿 p q 方向平移， p q 长到 a 一 连 a e b 交绕于 q， 最小值是 a e， b 加 p q 长。 第十三式，平移定长同侧折线和最小定点 a b 在 直线 l 同侧动，点 p q 在 直线 l 上 p q 长固定。求 a p 加 p q 加 q b 最小值， 把点 a 沿 p q 方向平移， p q 长到 a 一 作点 b。 关于 l 的 对称点 b 一 连 a 一 b e 交直线 l 于 q， 最小值是 a e b 一 加 p q 长。

一个视频学会将军印马两招十三式第七式，一定两洞双对称和最小定点 a。 洞点 p 在 直线 l 一 上洞点 q 在 直线 l 二上，求 pa 加 p， q 加 q a 最小值 作点 a。 关于 l 一 的对称点 a 一。 关于直线 l 二的对称点 a 二连 a 一 a 二交直线 l 一 于点 p 交直线 l 二于点 q， 最小值是 a 一 a 二长。 第八是两定两洞边上双对称定点 a b 洞点 p q 求 p b 加 p， q 加 q， a 最小值作点 a。 关于 l 一 的对称点 a 一 作点 b。 关于 l 二的对称点 b 一 连 a 一 b 一， 最小值是 a 一 b 一 长。 第九是两定两洞角内双对称定点 a b 在 l 一 上洞，点 q 在 l 二上，求四边形 i b q p 周长的最小值 作点 a。 关于 l 一 的对称点 a 一 作点 b。 关于 l 二的对称点 b 一 连 a e b 一 交腰于 p， 交腰二于 q 四边形周长最小值是 a 一 b 一 加 a b 长。

将军密码一共有九种类型，是轴对称必考的压轴重难点。今天呢，尤老师带着大家先把其中的五种类型我们的作图问题搞清楚， 我们先看第一种，第一种情况呢，是异侧型的将军密码，它的意思就是在直线 l 上找上一个点 p， 然后呢让折线段 pa 和 p b 的 和达到最小。那么如何作图找点 p 呢？比较简单，我们直接连接 ab 即可，取中间的点交它与点 p， 用两点之间线段最短的原理处理即可。 那么第二种呢，也是我们最经典的一类考法，叫做同侧形将军马，此时呢，我们需要借助好轴对称的特性。然后呢也是利用两点之间线段最短的原理处理，比如说我选择点 a， 我 做点 a， 关于 p 点所在直线的对称点，即做 a 一 连接 a b， 然后交直线于点 p， 连接 ap， 此时点 p 就是 我们要的位置， pa 加 pb 就是 最小，来我们看它的在脚内部的变形。第一种情况要求的是 pm 加上 m n 的 最小值，那么这种题的处理方式我们需要借助的是垂线段最短的原理。 但是我们做法的时候，第一步大家要找清楚谁是定点 m 和 n 是 两个动点，那么接下来第二步看定点和哪个动点有关，明显点 p 与点 m 是 有关。那么接下来第三步，我们就以有关系的动点所在的直线为对称轴，做点 p 的 对称点即可。所以我们选择以 m 所在的射线为它的对称轴，做点 p 的 对称点即可，记作 p e。 然后最后我们直接利用两点之间哎这垂线段最短的原理我们直接处理即可，过点 p e 做 n 点所在直线的垂线段即可记作 n 点，此时的 n 点就是我们要找的点， n 点的位置上方交于射线于 m 就是 我们要的 m 的 位置即可。 来再看中间的第二种类型，要求三角形面积的周长的最小值，那么还是一样的。我们首先第一句，我们先找谁是定点，谁是东点， 我们发现定点与 m 和 n 两个动点都有关，那么我们需要做两次对称，第一次呢，我们做到上方记作 p 一，下一次我们做到下方记作 p 二，然后利用两点之间线段最短的原理，我们直接连接 p 一 p 二即可达到的，然后焦点分别记作 m 和 n， 此时这就是我们周长最小时候 p 一 p 二的长度。然后第五个图呢，是一个四边形的周长，其中呢点 p 是 一个定点，点 q 呢也是一个定点， m 是 一个动点， n 也是一个动点。 由于 p 和 q 是 定点，所以 p q 之间的距离是固定值，所以四边形周长的最小值取决于的是 p， m， m， n 以及 q， n 三条线段和的问题，所以我们主要处理它就可以了， 还是一样的，我们看哪个定点和哪个动点有关，明显 p 和 m 有 关，所以我们就做点 p 关于 m 所在直线的对称点即可记作 p 一 q 点与 n 点有关，所以我们向下做对称点，记作一个 q 一， 然后连接 p 一 q 一， 此时只要上方与点 m， 下方与点 n 好 了，此时 p 一 q 一 的长度就是我们图当中 p， m， n 以及 n， q 和的最小值就找到了。 这就是我们九大类型当中其中五种类型的基本作图方式，大家一定要都学会好了，你明白了吗？关注尤老师，学习数学不迷路，满分不是梦！

hello， 大家好啊，今天我们来讲这个将军一马问题， 那么可能很多同学问啊，什么叫做将军一马问题？我们怎么样去立即在数学题里面去判断， 那么大家看，如果在题目里面出现了两个线段相加的啊，这个最小值问题，那么它大概率呢，考的就是将军一马问题 啊。那么我们先来看一下监理版问题，他怎么去做题目呢？我们一般呢分为三个步骤啊，第一个呢是找对称轴，第二个呢是做轴对称连接轴对称点， 最后一步呢是三点攻线，求最值。好，那我们先来讲一个小故事吧啊，因为这个题目呢，本身他是有点小乏味的，我们联系这个故事，那看看这种题目该怎么解决 好。嗯，现在呢，在我们的这个战壕上呢啊，有一位将军和他的小马啊，大家都知道啊，在打仗过程中呢，小马不眠呢，会受伤，对不对？那你不信呢，这个小马呢，在此次战役里面啊，就受伤了， 那么受伤以后呢，他极度缺水喝啊，那么将军呢，就要带小马去喝水啊，去喝水，那喝完水以后他怎么样？他是不是还在返回他的营地，对不对啊？ 但是呢，我们这个将军呢，他有点不太一般，我们这个将军呢，他是一个爱马仕， 你想想，小马都已经受伤了，他怎么舍得让小马继续走呢？所以呢，我们将军呢，哎，把他给背起来了，呵呵。呃，但是大家知道啊， 这个马呢，就算再轻啊，都是蛮重的，对不对？那我们这个将军不能把这个马举着跑一个马拉松吧，对吧，所以他怎么能怎么样，哎，尽量的，尽量的找一个 最短的路径，对不对？找一个最短路径啊，然后再返回这个兵营， 那么是不是需要一点数学技巧？哎，现在呢，我们把这个将军那个马看起是一个整体啊，我们让他们人马合一一下，好吧， 然后呢，我们把这个营地呢看起来是这个点 b， 那么接下来我们要在这个湖泊上呢，找一点 p 啊，使得我们的 a p 加上这个 b p 怎么样啊？要来到最桥 那怎么做？为想下我们刚刚的三个步骤，第一步，找对称轴，哎，这边小客已经给我们了，这户都已经给了。第二步，做轴对称啊，那在这里面呢，我们可以做这个 a 点的轴对称，我们把这个点呢 叫做 a 撇。第三步，我们连接轴对称的这个点啊，轴对称的这个点，然后我们把它跟我们的这个 b 点呢大概的连一下，哎，这边我发的有点歪啊 啊，其实呢，就是把这个 b 点跟这个 a p 点连起来啊，那么如果精确画图的话，它就会变成这个样子啊。 题目本来是让我们去求 a p 加上我们的 b p 的 最小值，那么经过我们做轴对称，大家都知道轴对称以后， 它们的这个线段是不是相等的，所以题目就变成了 a 撇 p 加上 b p 的 最小值 a， 给它补一下，那 a p 加 b p， a 撇 p 加 abp 什么时候最响呢？ 三点共线的时候最小啊，最短的时候就是哪线段啊，对 a 撇 b， 所以 这个 a 撇 b 跟我们这个对称轴的这个交点 p 啊，对称交点 p 就是 我要的真正的点 p， 好 吧，好， 那么讲完这个知识点呢，我们一起来看一下这个题目，我一共呢设置了两道例题，一道是三角形的，还有一道是平行四边形的，我们先来看这道三角形的， 好，我们一起来读题目，在三角形 a b c 中啊， a b 等于 a c 角 b 等于六十度，读到这里我们就知道它是一个等边三角形啊，等边三角形很有意思啊。嗯， 第二个， a d 垂直 bc 于点 d， p 是 a 到过双纳月动点 p， e 垂直 a c 于点 e 连接 cp， 若 a d 等于六啊， a d 等于六马比较清楚， 问我们这个 bc 加啊，这 bc 加上 pe 的 最好值， 哎，看到两个线段相加的最小值问题，那么考的就是将军一麻，对不好？那接下来第一步啊，我们找对称轴，那这个对称轴该怎么找呢？哎，我们回顾一下上面这道题， 我们在求这个 a p 加 b p 的 最小值问题的时候，我们可以发现这个点 p 啊，它是不是在我们的对称轴上，而且 我们求两个线段最小值，是不是都拥有这个点 p 啊，也就是说这三个点里面哪个点最重要？哎，出现了两次的这个点 p 最重要，对吧， 而且它是在我们对称轴的那个直线上，那么看一下这个点 p， 现在它是不是在 a d 这个直线上，那我们的对称轴就是谁啊？对，我们的对称轴啊，就应该是 a d 啊，这篇文是 a d 啊，接下来第二步，我们做轴对称，那这里面呢？ c 点跟 e 点啊，我们都能做轴对称， 我们选哪个更合适呢？哎，我们看一下这个点 c 啊，关于这个 a 道格做轴对称啊， a 道格轴对称是不是直接就对称到了我们这个 b 点对不对？那这个 b 点是不是更适合去做轴对称 啊？好，现在我们把它这个 c 点的轴对弦 b 点呢啊，把它给哎 y 了， 跟我们的 p 点连起来。那本来呢，是让我们去求 c p 加上 p e 的 最小值，经过我这么一个作图，对称是不是就变成了 b p 加上 p 的 最小值？那根据我们的三点共线是最小最小值等于哪线段对 b e 这个线段， 那我们可以发现啊，因为 p 一 是垂直 a c 的， 所以我们的这个 b 一 它也是垂直 a c 的， 那它本质上就是我们 a c 的 这个一个高，对吧？那等边三角形每条高都是相等的啊，所以 我们这个 b 一 呢，最小它就应该是等于啊，最小卷应该是等于六啊啊，请注意啊，这个 b p 加 p 它是大于等于 b 一 的啊，那为什么我这边直接写等于呢？因为我们默认啊，三点共线的时候线段是最小的，没问题吧？ 好，那么接下来我们再看一道平行四边形的题目啊，首先是一个平行四边形 a b c d 啊，角 d 等于角 c a d ok， 这是一个等腰三角形 a b 的 垂直平分线，交 a b 于点 e。 看到垂直平行线，我们要想到什么？要想到有一个散形啊，散形垂直平行线是一个非常非常重要的一个知识点啊，一定要先记清楚啊，他的攀梯和性质好， p 是 线段， y f 上一个动点点， q 是 b c 的 中点，看见中点我们想到的可多了啊，但是这里面有等腰三角形，等腰三角形跟中点的话，我们应该会想到三线合一 啊， bc 是 等于四平行四边形， a、 b、 c、 d 的 面积是二十四。问我们 p b 加 p q 最小值，看到两个线段相加最小值问题就是将军一马问题， 这里面同时出现了点 p， 点 p 就是 最重要的那个点，我们看一下点 p 在 哪条直线上哎， p 在 e、 f 这条直线上，所以我们待会就要把这个 e、 f 啊，当做是我们的对称轴 啊。那么 b 点跟 q 点我们选择轴对称哪个点呢？我们可以选择轴对称 b 点，也可以选择主对上 q 点，哎，但是我们正好发现 b 关于这个 y f 主对上过去正好是那点对 a 点哈，正好是 a 点，所以我们就可以把原本的 b p 加上 p q 给写成 ap 加上 a q 啊，那它最小是等于哪线段最小就是等于它们三点共线时的 a q 线段啊，因为 q 它是 中点啊，既然是中点，然后我们的 ab 啊，又等于 a、 c， 那 利用三点共线的话，我们就知道这个 a q 呢，其实它就是我们的一个对，它是我们的一个高啊，又高，那怎么求高 底乘高不就好了？不啊，所以这个 b、 c 等于四情况下，我们的这个高呢，就说等于六，嘿，我们这道题的答案也是六啊，也是六啊。接下来我们来看一下我们一开始看到的这道题啊， 那大家呢，可以暂停一下，自己先做一下。好，我们继续阅读题目。 正方形 a b、 c， d 中 a 伯也等于四， b p 等于四分之三， ab 啊等于，那它就是等于三， 这没有四啊，看到三个四，有些人的敏感肌是不要出来了，三四五对吧？好，嗯，让我们去求这个 p k 加上 k c 的 最小值啊，看到了，现在最小值怎么样？将军一马， 谁是左对伸点？这 k 点连续出现了两次，我们关注 k 点所在的这条直线是不是 b d 对 不对？那我们的这个对伸轴啊，它就是 b 道吧啊？ b d， 嗯，那么现在我们把 p 点跟 c 点哪个轴对伸过去啊？诶？ c 点左对伸过去，为什么？因为正好左对过去，就是不是就是这个 a 点啊？那本来是让我们去求 p k 加上 k c， 现在就变成什么？对， a k 加上 p， k 加 p k 三点共线最小等于哪？线段最小等于 a p， a p 怎么求？ 勾股定律对不对？ a 股的平方加上 b p 的 平方等于 a p 方啊，那也就是五嘛，三四五，所以最后的答案就选 a 啊。那么希望大家最后去总结一下他到底是怎么做的啊？做一个笔记。那今天这个小知识点就到这里，快。

每天练一题，中考肯定没问题，今天我们要来讲二零二六年漳州市二次减卷解答题的第二十二题。那么这一道题考察的是尺规作图，那在之前的视频里面已经讲过了，怎么去做尺规作图这一种题啊？第一步就是按照他给的， 要我们怎么去画，那我们就随便给他先画出来。比如说 p 跟 q 在 这里，那这个点 p， 这个点 q， 那 把它连接起来，就是去求这两条的最小值，对吧？那两条的最小值怎么求呢？你会发现这一条是可以，这条跟这条是对称的，所以可以把这个点 c 对 称过来， 变成 c 撇，那 c p 就 变成了 p c 撇，对吧？嗯，同侧变成了异侧，然后划折为直，那直这一条线段什么时候最短？就是跟 a c 干嘛垂直啊？所以我们其实就是过点 c 撇做 a c 的 垂线段，对吧？好，那现在我们擦掉之后再用圆规啊，把它规划一下，那先把这个 c d 这条线段延长好， c d 这条线段延长，然后取 a c d， 好 取 c d， 然后这个点记为是 c 撇，因为是 c 点对称过来的嘛，然后再过这个点做这条线段 a c 的 垂直平分线的垂线段。哦，那么做垂线段其实就是做垂直平分线，但是现在已经有一个点是已知的，所以我们只需要 再画出一个交叉，那这边比较小，对不对？没有关系，画出来就可以了，保留住图痕迹，那这边以这个这两个端点为圆心，然后画一个交叉，然后现在把这两条这两个点连接起来， 那这时候有点画歪了，没事，我们可以给他补一下，然后这两个点 好，那其实这一个点就是点 p， 这个点就是点 q， 好， 那 p q 画出来，第一小题就结束了，如图所示啊。这一节，那么第二题的话，它告诉我们 a b 是 等于六，那么 a b 等于六，这一条也等于六，那添整角 a c a d c a d 这一个角，它的正切值是三比四，所以这一条等于六。其实我们可以推出 a d 是 等于八，好勾，这个由它的正切值，那勾股定律实际上又可以求出 a c 等于十，但是这个东西不一定用得到啊，所以我们先放着， 那现在要求这个最小值，实际上就是求这条 c 撇 q， 对 不对？那这边是垂直的嘛？那这条等于六，这条也等于六，那这一条 c c 撇就等于 十二，那因为要求的是这条 c 撇 q， 所以 我们找到它所在的直角三角形，这一个，对吧？那对边跟 邻边这条两条直角边有什么关系？那你看这个正切值，那这个是垂直的，对顶角相等，对吧？那其实这两个三角形是干嘛相似啊？相似的话这个正切值就会干嘛相等。所以我们可以假设这个为三 x， 这个为四 x， 然后就可以得出三 x 的 平方括号起来，哦，加上四 x 括号的平方是等于十二的平方，那九 x 的 平方加上十六 x 的 平方就等于一四四，对吧？ 一四四，那二十五 x 平方等于一四四，所以 x 求出来是多少？因为 x 是 要大于零的，所以 x 是 五分之十二，然后我们要求呢，是几 x 四 x， 所以 四乘以五分之十二，算出来是等于 五分之四十八，画成小数就是九点六啊。听说这一道题的话有在那个叫什么？答题卡里面有两幅图，那第二道题他已经把图画出来了。哦，所以这一道题你肯定是要做出来的，因为他都已经把图给你了。

a 点，比如说一到二 b 点，看着像六到三吧，好在这儿。然后我想要在 a 轴上找一点 p， 使得 a p 加 b p 最小值，是吧？ a p 加 p b， 这个会吧？最标准的什么？最标准的什么？将军密码做什么？做对称吧，这样吧。好，我先提个问题，我们初中几何当中，平面几何也好，平面直角中求最值有几种形式有几种？ 举个例子，现在有跑，有参加运动会的没有？有吧，或者是你上体育课，老师让你们去跑圈， 有些人偷懒怎么跑啊？有效的肯定是干过这事吧。那是操场椭圆啊，跑着跑着，比如说陈启宇就搁这 就直接过来啊，直接从原地踏步啊，这是属于什么问题啊？两点之间线段最短 是意思吧？但是有的时候还可以咋样呢？你像比如说这个傅博文吧，他可能跑到这，他怎的了？他又搁这过来了？啥问题？啥问题？他直线，他跑直线，这什么问题？这俩和他什么关系？ 两边字合怎么念？大于第三边，所以一个是两边字合大于第三边，还有一个是两点之间线段最短。还有呢？让你去跳远或者是撇铅球，谁撇过？ 撇铅球？尤其女生，肯定撇过，不一定撇哪去了，砸着人的有没有？有没有？这是 沉起雨吧，继续撇线去啊，今天老师说让你在这个区域去撇去，他在那一使劲撇这去了，怎么取成绩 啊？这不算，这肯定犯规出去了是不是？好嘞，那比如说他撇这来了，撇这来了，怎么算成绩？ 你得怎的？老师，体育老师给你挪过来了，是不算这距离？这叫什么问题？垂线段最短也是取的有效成绩是垂线段最短， 整个初衷当中求最短路径就这三个，两点之间线段最短，两边之隔大，第三边还有垂线段最短。没有其他的了，你的所有问题都要转换回来这三种，而我的这个问题是什么？最标准的什么？ 我需要做一个什么？做个什么？哎，做个对称，隔着 a 点去做一个什么？关于 p 点所在的这个 a 轴去做个对称点是意思不？然后呢？利用对称性 p a 和这个，比如说 p c， 它俩是怎样的相等的？我由 p a 加 p b 转成了 p c 加 p b， 那 么我知道 c 点的对应点多少？一到弯这个是不是求它俩之间距离了？求它俩距离怎么办？什么问题？给它斜化成什么？ 直勾股定律是不就可以了？这个水平距离就是一和六的水平距离，是五吧，哎， 五，这个是负，二和三的水平距离也是多少？五，五和五勾五定力五倍杠二是这意思吧？好，现在的问题是一个点 p 在 这上面动， 哎，所以一会这个 p 啊，可以咋样呢？这个人呢？就说他坐个小车那个，你们看电视看没看那个国际比赛那个，比如说短跑也好，就是一百米比赛那个摄像头是摄像头在哪你们知道不？ 摄像头就是拍拍那个比赛，那个人的那个摄像头在哪你们知道不？都不知道，那个，那个摄像头在那个地上， 要么有一个小铁轨，他一个一个像我们火车道似的，他在那个直线上刷就过来，要不他能跟上吗？那一百米，那国际，那国际尖尖有多少？十秒零几九秒几对不对？正常人你是不是跟不上？就他在这一个跑道上，他也是那个小摄像头改了啊？那小摄像头怎么样呢？就是就搁这画吧， 比如说这次这个跑道，那小摄像头坐在了这一个车上面，然后摄像头搁这开始唰，跟着人开始跑了，才能去采集一些你最贴近那个比赛的人的一个摄像头一些镜头啥的。那么好了，我现在这问题就可以改了，改成这个小车，比如说假设到我们平面几何里边，比如说长度五厘米， ok 吧？这时候那个 a 和 b 不 动， a 还在那， b 还在这。我想问的是， 比如说这小车取名为 p 和 q， 我 想问的是 a， p 加 q， b 最小值，它俩被这小车怎的了？ 隔开了是不是？这小车是不是就在这刷刷刷来回跑？是这意思吧？哎，相当于是一个由原来的一个点动，现在变成了什么？哎，一个线段在动，而且这个线段长度是确定的几啊？五，这个问题怎么解决，是吧？你们思考思考。

来我们看两条线段加和最值问题的第一节课啊，给大家来讲一下将军，那将军马其实是相对来说比较基本的一个两条线段加和最值问题啊，他是我们八年级上学期学 啊，但是他非常有可能在我们九年级的过程当中作为一个小的部分去进行考察，所以大家一定要明白，为什么将军马是要做轴对称啊，那他的基本状态是什么呢？基本状态有几个啊？首先第一个就是两地移动 啊， a 点和 b 点呢？都是都是定点啊，都是定定点，定点。然后 p 点呢？是动点，那 p 点呢？在一条直线上运动啊，注意 p 点在直线上运动，它不不能在别的地方运动啊。然后现在要求这个 p a 加 p b 的 最小值，那大家想一下，如果 p 点在这种状态下往左动的话， a p 的 线段长度是不是变小？ p b 的 长度是不是现在长度变大？那你会发现一两个数相加，一个变小，一个变大，我是没有办法直接分析出什么时候最小，哎，有的人说，老师，那我在 a p 的 时候，这个 a p 垂直的时候是最小的，但此时 b p 也很长的， 对不对？那你比如说我在 b p 这个垂直， b p 是 最小，但是 a p 也有点长，所以没有办法确定。说单一的最小值就是两条线段加和最小值啊，大家明白为什么不可以啊？那不可以呢？那我们想想什么情况下是可以的呢？啊？我们想过这样的一个问题哈， a 点 b 点在这个直线 l 的 这个 e 侧，然后现在有个 p， pa 和 pb， 我 现在说 pa 和 pb 加和最小的话，这个大家应该明白，直接就是把 a b 一 连，是不是两点之间线段最短，那我们既然这样是可以的，这样是不可以的，那我就想能不能通过一些手段去把这样的情况向 像反射一样的情况，把它变成像反射一样的情况，而且你还得啊，不能说随便的把它反过来，我还得保证它俩是等价的啊，就是完全相同的情况，那我们想想，我怎么能够把这条线段转移到下边呢 啊，那我们想的方向是怎么能够得到两条线段相等，那我们在初中所学的内容当中就会有涉及到这些情况啊，比如说轴对称 啊，平移旋转全等啊，这四个是能够让我们达成转移线段相等关系的 啊。那么这道题你比方说对称啊，我们一个一个尝试呗啊， a 点，关于 l 的 对称点， a 撇，那我们把 pa 撇连上，你会发现 pa 和 pa 撇，不管 pa 点在哪， 这两条线段长度都是保持一致的。哎，那所以说明什么？说明这个对称就可以达到我们的目的。好，那我们总结一下一个这个流程啊， 此时呢，我们 a 点和 b 点任意一个动点，关于 p 点，这个动点所在直线作为对称轴去进行对称。 好，那此时 a 撇 p 和 a p 线段时刻保持相等，那么所以这两条线段夹合就转化成了这两条线段夹，那什么时候最短呢？就这样拉直与 l 的 交点，就是我们的点 p 啊，所以再结合一些其他的这个条件，我们就可以啊，购物定礼什么的，就可以求出这个最短的距离了啊，这是两定一动类的，那还有什么样的呢？你比方说一定两动类的，说这个 m 是 动的啊，这个 n 呢也是动的，这个 p 呢是定的啊，求这个他俩线段的加号最小值。哎，你会发现他是不是还是反射性， 然后动点呢？也是在这个直线上去动啊。那有的朋友蒙了，老师，那你看，刚才是在动点所在直线去做对称，那现在有两个动点，那我到底应该找哪个对称点啊？找哪个是作为对称轴呢？这里边有一个技巧，就是 拐点啊，或者说两条线段的公共点，这个点是动的啊，首先前提是动的啊，然后这条动点的所在的直线就是作为对称，因为你想啊，你如果是往这边做对称的话，那你转化的不是这条线段，我现在要转化的是 mp， 你 怎么能转化成 mp， 你 是不是只能去 这么做呀，对吧？好，那么 m p 和 m p 撇，它俩就时刻保持相等的，然后再加上 p n 啊，不是再加上 m n， 那 它俩啥时候最短呢啊？有的同学说，老师连接 p n 错了， n 点是动点，所以此时 m 和 n 都是动的情况下啊，这个应该怎么做呢？这个应该是垂线段最短 啊，垂线段最短，你看它俩价格肯定是会小于它，你不管，我随便去点 m n， 随便去点 m n， 最后它都会是 这个垂线段是最小状态，然后分别交于 o a 呢，就是这个点， m o b 呢，就是这个点，当然他会有一些其他手段让你把这个线段长成求出来 啊，这是，呃，一定两功能啊，所以我们稍微总结一下哈，就这种拐的啊，这种，这种叫什么反射型的啊？我们是利用轴对称去把它变成褫射型的。然后呢拉直 啊，拉直，一个是两点之间线段最短，一个是垂线段最短 啊，就这么两种情况啊，那我们再看看其他的一些变式啊，比如说这个求周长最小，那我们的标题是两条线段加和，那你现在周长最小不是三条线段了吗？ 而且这个是定啊，这个是动，这个是动啊，他这三条线段都是同时在运动啊，同时在变化，那怎么办呢？那这里边我们根据刚才所讲，我是不是可以把它去进行对称，你看我这个是不是拐的位置，我所以做这么一个对称，得到一个 p e， 那 此时 pm 和 pm 就 相等， 那同样我是不是得转化这条边，哎，那转化这条边，我就让这个 n 点所在直线作为对称轴，我得到 p 二。好，那此时 p 二 n 是 不是就等于 p n？ 哎，那你会发现这三条线段加和就转化成了哪三条线段呢？就转化了这条三条线段加，那它啥时候最短？ 垂线段最短，所以此时三角形 m n， p 的 这个最小值其实就应该是什么？就应该是 p 一 p 二的线段长度。那此时的分别的焦点呢？就是我们要找的这个 m 点和 n 点， 好，这个是这类，那还有呢？你看啊，刚才是不是一个点 p， 那 此时这种状态是什么？四边形了，那四边形的话，其实就是 p 点和 q 点啊，得是定点，然后 m 呢和 n 呢？它俩是动点， 那你看是不是还是转化它俩？因为它俩定嘛，它就固定不变了，所以其实还是三条线段啊，跟刚才的逻辑是一样的啊， p 点向上做一个 对称点， q 点向下做一个对称点，此时这条线就转移到这了，这条线就转移到这了，这条线不动，这条线固定不变啊，所以此时的这个最小值呢，就应该是 p 撇 q 撇啊， c p q m n 就 等于 p 撇 q 撇，注意再加上 p q， 因为 p q 是 固定长度， 也是这个周长当中的一部分，所以要加进去啊啊，这就基本上是我们那个将军网的这个所有的情况啊，然后这里边给大家总结一下啊，反射型啊，你只要变成，你只要记住两条或者多条线的反射型，我们是利用对称 去把它变化成褶折形状，把它变成这样，然后拉直啊，拉直求这个最小啊，拉直可以是两点之间线段最短，也可以是垂线段最短啊，然后这里边这个对称，你要注意对称轴的位置， 那我们总结对称轴的位置是什么？对称轴是位置，是跟你转化的线段有关啊，转化的线段的那条动点所在的直线作为对称轴啊，你要转化这条线段，那就是这条线段动点所在直线的对称轴 啊，所有的都是这样的，比方说这个啊，两个动点，两个动点啊，那为什么不是做它呢？是因为你转化这条线段， ok 吧？好，那我们讲一个，给大家讲一个例题啊，例题还可以啊啊，如同三角形 a b c 当中啊， a b 的 垂直平分线， 那垂直平分线的话， a b 的 b， a b 的 长度等于三， a c 的 长度等于四， b c 的 长度等于六，求 amc 的 周长角。好，那你会发现这条线能固定不变，所以其实本质上就是求 am 加 m c， am 和 m c 是 不是反射型，所以需要通过对称去把它变成折线， 好，那这个对称我们可以做 c 的， 也可以做 a 的， 然后这里边有一个原则，就是我梯盖当中有个点，你最好就去做那个点，你看梯盖当中 a 点，关于直线，这个 m 所在直线的对称点是不是点 b， 那所以你肯定要找 a 的， 关于这个就是点 b 嘛，然后一连是不是就 b c， b c 是 不是就六啊？那所以它俩加和的最小值其实就等于 b c 啊，你看我把 b m 连上 m， 不 管在哪， m a 和 m b 都相等，垂直平分线上的点到线段，两个点距离相等 啊，那 b c 等于几啊？ b c 等于六，那所以它的周长就是六，加四啊，就等于十，也就小四 d 啊，这就是关于将军一马的内容啊，大家如果说想练一练关于将军一马的内容，可以评论区回复六六六，进入我最值讲义的那个群啊，然后我给大家发讲义。

七年级同学停笔轴对称，间间一码，还在慢慢画图算，记住这几句，考试直接秒杀！记住核心就一句，定点做对称连线得最短， 看到两条直线中间一个动点求线段和最小，直接三步走，第一步找其中一个定点做对称轴的对称点，第二个，把对称点和另一个定点直接连直线。第三个直线和对称轴交点就是动点位置，这就是最短路径。 口诀记死！对称一找点连线定交点距离就是线段长，不用绕弯，不用算边长，只要是将军引马求最短路径，全按这个套路来。七、下周对称考题直接拿捏。

将军一马模型跟周长类问题的结合考试当中就考这种类型哦，他不会考你最基础款的那个将军一马的。来，看到如图，先看上面这个图， 点屁是角 aob 内任意一点啊，任意一个点，也就是说什么他是一个动点哦，但是呢，又告诉你，角 aob 等于三十度，这个角等于三十度， ope 等于八， ope 等于八 点 m n 分 别是射线 o a 和 o b 上的动点点 m 点 n 在 动哦，动点问题，那么问你，三角形 p m n 周长的最小值是多少？哎，这怎么求啊， 很多孩子啊，拿到这个题目啊，就蒙了，哎呀，这求周成了，这也不是将军一马呀，这怎么求啊，哎，所以啊，我们讲，首先你要能够看出来这个题目是将军一马来，怎么看出来呢？注意听啊，朋友们， 你看看左下角这个图，我过点 p 过点 p 做 o b 的 对称点 p 一 撇点，哎，那你看，根据我们刚才讲的对称性，那么你这个 p n 这条线段是不是就等于 p 一 撇 n 这条线段呀？ 根据对称信号，那么同理，我再做点 p 关于 o a 的 对称点 p 两撇这个点，那你再看根据对称性，是不是有 p n 这条线段，就等于 p 两撇 m 这个线段呀？ 哎，这是根据对称性，我一定能够知道哦。而你看三角形 p m n 的 周长，我可以怎么表示啊？这个周长，这个周长是不是就等于 p m 加 p n 加上 m n 啊？哎，这就是周长的表示形式。而你看，根据作对称，注意看啊， pm 是 不是被我换成了谁啊？根据对称写 pm 是 等于，是不是等于 p 两撇 m 等于 p 两撇 m， 而我的 pm 是 不是等于 p 一 撇 m 啊？ 哎，那么我要求的线段之和周长最小不就变成了三条线段和的最小吗？ 注意看，我用绿色的笔给你描出来，是不是就等于求 p 撇 n 加 m n 再加 p 两撇 m 这三条浅绿色线段之和呀，最小值。 哦，原来周长被我转化成了三条折线段的最小值，他们的和。哎，那怎么求呢？方法很简单啊， p 点 p 撇点， p 两撇点。在这里我要求他们之间线段和的最小，是不是什么呀？化折为直。什么呀？直接去连接谁 p 撇 p 两撇 来，注意看，直接连接就是最小值，就是最小值。好，那么现在问题他的最小值是不是就等于谁啊？ 是不是就等于 p 一 撇 p 两撇啊？哎，那我怎么样来求 p 一 撇 p 两撇的最小值呢？ 哎，坐到这里又把一部分孩子卡住了，在考试当中，哎呀，没有思路呀，这 p 一 撇 p 两撇最小值怎么求啊？题目告诉我的条件，我还没用上呢，角 a o b 三十度没用， o p 等于八，没用， 哎，注意听哦，怎么来把它用上？根据对称性要看右下角的这个图，右下角的这个图， 你根据对称性 o p 是 不等于 o p 撇啊，那么 o p 是 不也等于 o p 两撇？这是根据对称性做过来的哦，做过来的。所以呢，所以我去看什么呀？三角形 p 一 撇 o p 两撇，这个三角形是一个什么呀？是一个等腰三角形。 哎，首先你要能看出来这个三角形是一个等腰三角形。为什么呀？我给你写一下，是不是因为 o p 撇等于 o p 等于 o p 两撇，这不就是等腰三角形吗？来三十度还没用呢，朋友们注意看啊， 这个角是不是三十度？这个角是三十度，而我们知道，如果这个角折叠过来，是不是这个角，角一是不是等于角二？ 来，再看这个角，角三折叠过来是不是等于角四？哎，那你发现整个这个大角是不等于角一加角二加角三加角四，那整个这个大角等于多少度？朋友们，角一加角三，这等于多少度？这是三十度？ 角二加角四就等于角一加角三，那整个这个大角是多少度啊？是不是六十度啊？哦，原来你发现什么样？你发现什么样？ 这是一个什么三角形？朋友们把很多孩子困扰住的题目， 等腰三角形，有一个角是六十度，他是不是等边三角形啊？哎，这是非常关键的核心啊！我是不是得到了等边三角形 o p 一 撇， p 两撇，在这个等边三角形里 面， o p 等于八，那么 o p 撇是不是也等于八呀？ o p 两撇是不也等于八？那么 p 一 撇， p 两撇等于几？是不等于八？所以最小值是几？不就是八吗？

今天吴老师给同学们分享一道以中卫线为背景的将军印马的坠子问题。 如果你读到九年级以后，我们就会有一类 a b 加 k 背 b c 的 一个坠子问题的题型，那么它主要是一个胡不归和我们的珅势源问题。 但是呢，其实我们如果跟中位线结合起来以后我们八年级将军印嘛也可以表现成这种 a b 加上两倍的 b c 这种形式的，所以看到 两倍或者是中点，我们就要想到这个中位线。好，那我们先看一下这个题目，那么这个是一个等边三角形， a b c， 它的边长 ab 等于四， 这有两个动点满足 c f 等于两倍的 b e。 接下来我们看一下我们要求什么，要求 b f 加两倍 c e 的 最小值。初三的学生看到这个很容易想到 o 式圆或者是图不规问题， 但是我们现在是八年级的学生，他目前能用到的就是一个全等，还有中位线，还有特殊四边形这些知识点来解决问题， 所以呢，他还是要用到这个将军一马两点之间线段最短，那我们的输入其实很简单，就是线段最直，就做对称就好了，将军一马不喜气，那么如何来做辅助线？首先把 f 点的对称点做出来， f 撇 迎接 cf 撇以后，我们现在就会有终点， e 是 终点，那么 e 是 终点，那只有一个终点，那你要中位线是不是还缺一个终点？ 所以我们这里一个中点就背长，就是把另外一条边背长，那么就会得到两个中点，两个中点就可以用中微线，对不对？所以我们就背成 b c 到点 d 连接 f 撇 d， 那 这里就有现成的中位线了，对不对？两个中点中位线，中位线有什么性质啊？平行，然后呢？两倍，通过这个中位线得到 f 撇 d， 等于两倍的 e c。 接下来我们可以把这个我们的命题转换一下，原来要求的是 b f 加上两倍的 c e， 那 么利用对称性， b f 呢？等于 c f 撇两倍的 c e， 它等于 f 撇 d， 那 么你可以看到这是一个标准的将军印码题型。两个定点，还一个动点，动点呢？在直线上运动，我们要做 c 点， 关于直直线的一个对称点，将军一马做对称，两点线段是最短，所以我们把这个 c 撇对称过来，连接 c 撇 f 撇，连接 c 撇 d， 这样子我们的题目就变成了 c p f 撇加上 f 撇 d， 那 我们知道 c 撇和 点 d， 它都是定点，那我们知道两个定点之间线段是最短，那我们就连接 c 撇到，让我们求求 c 撇到的值，那如何来求 c 撇到的值？我们的线段一定要放到直角三角形里面去，所以要做垂直， 所以很自然的我们做了一个 c 撇 h 垂直 c b， 它的延长线等于 h， 连接 c 撇 b， 那 需要用到这里的一个特殊角度，所以我们必须要把它求出来。接下来我们知道 c 撇 b 等于四， 这个是特殊直角三角形， h， b 呢，等于二， c p h 呢等于两倍，根号三 b d 八这样子，这个直角三角形呢？两条直角边都求出来，那我们就用勾股定力， c p d 等于这个十的平方加二，根号三的平方就是一百加十二，一百一十二，一百一十二是十六乘以七，所以它可以写成四倍根号七。我们这道题就哎 完成，你说这道题难不难？其实是很有难度的，尤其这种线段两倍关系怎么来运用？线段两倍一般来说最好去结合这个对称性，我们也可以用中位线 直接去把它变成一半，这样剩下的两条线段相等，变成等腰三角形，这样子就会呃得到一些特殊的性质。好，这道题就讲到这里，同学们再见。

交心一码一共有九大必考题型，其中后四类的变形是最复杂的作图问题。接下来尤老师带着大家将后面的四种变形问题我们处理一下。首先我们先看第一个叫做沿河走问题， 也就是说他现在牵着马到达河流一岸呢，需要在沿着河流走上一段固定长度 p q 的 距离，再到达 b 点的距离， 那么这种问题相当于动点变成两个，那么我们的一个思路就是将两个动点变成一个动点的问题去处理就可以了，变成常规将军密码问题，所以我们需要借助好平移，我们呢比如说选 a 点和 p 点，以这一侧的两个点同时都向右平移一段 p q 的 距离，那么此时 p 点和 q 点就重合在一起，变成一个动点的问题。所以我们第一步先向右平移一段 p q 的 长度距离， 然后紧接着呢，我们就变成两地移动的问题，直接再将 a 一 向下做对称点，得到 a 二，然后连接 a 二 b， 我 们也直线的交给了点 q。 好 了，这个点 q 就是 我们得到图当中想选取的位置，那么最后我们再找寻到 p 的 位置在哪呢？我们直接倒回来 给它找上一块 p q 的 长度就可以了，往回推，你一开始是平移过去的，然后回来的时候再继续把它平移回去就可以了，我得到了一个 p 的 位置，然后连接 ap 即可。 好了，所以最终我们的位置就出来了，从 a 到 p， 从 p 到 q， 从 q 到 b， 哎，造桥旋转，哎，沿河走问题我们就搞定了。 好，我们再看第二种叫做造桥选址，是需要在河流上架上一道桥， p q 竖直的箭，然后要求 a 到 p， p 到 q， q 到 b 的 距离要达到最短，那么我们还是借助平移，我们可以把两段河流合二为一， 别说我选择把上方的 ap 以及河流一按给它向下平移段 p q 的 长度，然后令河流重合， p 点和 q 点重合，又变成了同一侧的两定移动型的将军码问题。所以我们接下来就可以，首先第一步，我过点 a 数值的向下平移段距离， 拼到 p q 的 长度去做 a 一， 然后呢，我再连接 a 一 b 与河流另一岸交汇点 q， 然后呢再回过头返回平移回去， 然后与上方交汇点 p 连接 a p， 此时这就是我们要达到的最短路径的 p q 位置，所以我们连接一下角 a 到 p， p 到 q 也接 q 到 b 好了，这是两类沿河走问题和造桥选址问题。接下来我们看最后的差最大和最小问题，差最大最小，我们需要搬出来很多的内容了，比如说弓箭定律、三角形三边关系定律以及中垂线的问题等等。 那么我们就来先看第一个图，在第一个图当中属于同侧同侧型问题，处理起来是最简单的，它要想求 p a 和 p b 值最大，其实我们大家知道，如果在 p 点做任意运动的过程当中， p a 和 p b 的 差，它和 ab 呢？其实是可以有围成三角形的情况， 当你把 ab 连接起来之后呢，根据三角形三边关系定律，它必然是小于 ab， 但是由于 p 点位置还有一种特殊位置，角共线的时候， 一旦他们贡献，那么这个等号等于 ab 的 值将会取到，也就是差最大的时候，是可以取到 ab 的 长度，而且是什么时候呢？ 对了，当前仅当 pa 三点贡献的时候，所以我们直接把这个 ba 连起来，并延长，与直线交于点 p， 这个点 p 呢，就是我们差取到最大值时候的位置， 那么最小怎么取呢？最小就比较简单，就是零呗，那也就是 p a， p b 要相等，相等说明就是在线段 ab 的 垂直平分线上，所以我们直接做 ab 的 中垂线，与图当中交于一个点 p 二的位置，这就是我们差最小的时候， p 点的位置就出来了。 来，我们看同异侧形的问题，异侧形的问题，它求最小值比较简单，要求最小值差的最小，那我们直接连接 ab， 然后呢做 ab 的 中垂线就可以了， 此时呢，我们与直线呢会交于一个点 p， 那 么这个点就是取到最小值时候点 p 的 位置，我们一起做 p 二， 但是求最大时候，我们需要做一件事，需要把它变成同侧型的将军马。问题，仿照左面的图，所以我们第一步，我先线上做上一个点， b 的 对称点记作 b 一， 然后呢，我再把 b 一 和 a 连接起来，并延长， 与直线呢会交于一点，这个点呢，就是我要求的 p 一 的位置，达到差最大时候的点就可以了。 所以做插句子的问题，我们需要处理好一定的内容，他和前面的将军马变性有诸多的不同。好了，你做图题学会了吗？关注岳老师学习数学不迷路，满分不是梦！

好，我们一起来看啊，将军印马问题和正方形结合，哎，这道题目怎么做呢？来，我们一起读一下题啊， 正方形 a、 b， c， d 的 边长是四，先看左边这个图，哎，边长是四。已知的 b， c， m 在 d， c 上， m 在 d， m 等于一，哎，这是不是已知的 b， m 等于一， n 是 a c 上的一个动点， n 在 对角线 a、 c 上移动。问，三角形 d， m， n 周长最小是多少？ 求周长的最小值。很多孩子拿到题蒙了，说将军印码最基础款的，我学过呀，将军码不是长这个样吗？来看一眼啊，朋友们，最基础款的将军码是不是这样？给你一条直线 l， 然后呢？再给你两个点， a 点和 b 点，问你直线 l 上找一个点 p， 使得 a p 加 b p 最小，这是不是我们学的最基础款的将军密码呀？ 来，这是不是最基础款的将军密码？那怎么做呢？方法也是有套路的，非常的简单。是不是做对称再画折为直啊？ 做点 a 关于直线 l 的 对称点， a 撇点，那么根据孩子，哎，出一下啊，学了轴对称之后，孩子就知道了。那么根据对称 ap 是 不是等于 a 撇 p 啊？那么这个里面的 ap 我 是不是就可以换成 a 撇 p？ 哦，那要求 a 撇 p 加 b p 的 最小值。怎么求啊？这怎么求啊？两点之间线段最短，我只要什么呀，连接 a 撇 b 就 ok 了， 是不是直接连接就 ok 了？哎，化折为直，那么我的问题就变成了，求 a 撇 b 的 程度，而 a 撇 b 跟直线 l 的 交点就是，我要找到那个点 p。 好， 这是最基础款的将军密码，课堂上老师一定会给孩子讲的，而为什么考试当中出现了这种变式的问题，孩子就不会了呢？来我们一起看一下啊， 你看，要求周长的最小，那我是不是先把这个周长给它解，给它表示出来来，我把下面这个就擦掉了，最基础款的这个， 来，我们看一下三角形 d m n 的 周长，我把它表示出来呗，三边之隔等于谁啊？是不是等于 m n 加 d n 再加谁啊？再加 dm， 这不就周长吗？哎，那我发现这个周长已知题目已知条件里面是不是 dm 等于一啊？那 dm 等于一，你知道喽？那我要求这个 c， 这个 c， 这个 d， m n 周长的最小，不就是要求前面这两项的最小和吗？最小值。 哎，那前面这两项最小怎么求啊？他不就是一个标准的将军密码吗？怎么标准了？你看 在这个图里面啊，看第一个图，第一个图里面要求 d n 加 m n 的 最小值，而这个 n 点在哪移动啊？这个 n 点不是在 a c 上移动吗？这不就是将军密码吗？而处理的过程也是标准化的。什么样？第一步，做对称，做对称。写一下 做对称，做谁的对称，你既可以做点 d 的 对称点，也可以做点 m 的 对称点，但是我问你做谁的对称点更方便啊？是不是做点 d 的 对称点啊？为什么呀？因为点 d 的 对称点是不是做过来就是点 b 啊？哎，做对称第一步， 做点 d， 关于 a、 c 的 对称点，来，这有个一，我就把它覆盖掉了啊，做过去是不是点 b 啊？来。第二步，叫什么呀？叫化折为直， 你看看右边这个图啊，朋友们，右边这个图点 d 的 对称点做过去是不是就是点 b？ 那 我要求的不就是 d， d n 被我转化成谁了？ d n 是 不是就转化成了 b n 呀？ 你看这里的 d n 是 不是通过做对称，它就被我转化成了 b n， 而要求 b n 加 m n 的 最小值，是不是化折为止？直接连接什么呀？ b m 是不是直接连接谁啊？ b m 搞定，那么这个 b m 就是 我要求的最小值。好，那么问题转化成了，如何求这个 b m 的 最小值？哎，求这个 b m 的 值？ b m 这条线段的长度怎么求呢？哎，在这个三角形里面，哎， 有的孩子已经发现了啊，是不是这是一个直角三角形啊？在这个我打阴影的直角三角形里面，利用勾股定律搞定啊！ 告诉你 b m 是 一已知条件，那么 c m 是 几边长？是四四减一是不是三？而 bc 是 几？是不是四？来，我们可以口算了啊。最后一步，在 r t 三角形 b c m 中，是不是利用勾股定律就可以算出来 b m 了呀？ 是不是就等于根号下 bc 的 平方加上什么呀？ mc 的 平方 勾三股，四选五是不是等于五呀？ bm 等于五，让你求周长，是不是还要加一个 dm 呀？是不是它的周长就等于谁啊？等于五加一是不就等于六啊？来，答案就是六。 好，来，这就是我们讲的什么呀？将军一马和正方形这个背景下的一个应用问题哦。

这是一道期末考试的压轴正题，百分之九十的同学都很难找到突破口，今天微微老师教你将军引马的必胜技巧，让你轻松完成模型速解。我们先来看题角， l、 b 等于四十五度，这个角为四十五度， m n 为动点，其中 m 点在 o a 上运动， n 点在 o b 上运动，同时 m、 n 又等于九，也就是这一条线段，虽然它是运动的，但是它们之间的长度始终不变，那也就是 m、 n 这两个点，它其实呢是联动点。 同时这个三角形 o、 m、 n 的 面积等于十八，也就是这一个三角形的面积为 十八。 p 点是直线 m n 上的动点，也就是这个动点 p， 它在这条动直线 m、 n 上运动， d、 f 分 别为 p 点的对称点， p 点和 d 点关于 o a 对 称，同时 p 点和 f 点又关于 o b 对 称。问，这个三角形 o、 d、 f 的 面积的最小值， 我们要求这个三角形 o、 d、 f 面积的最小值。那我们首先就要认识清楚这个三角形 o、 d、 f， 它究竟是怎样的一个三角形。微微老师结合往年增题，近年中考增题，整理出了初一下将军引马必考题型， 配套十二种模型立体解析以及专项练习评论区。回复九九九，我发您一份。这里的 o 点呢，它是一个定点， d 点和 f 点都是 p 点的对称点，也就是它们都关于 p 点对称。那么这道题的突破口就是轴对称，所以我们首先要去连接 o、 p， 然后呢，通过轴对称去进行导边。导角，我们先来进行导边，因为 p 点和 d 点关于 o a 对 称，那么 o、 p 这条线段呢，也就和 o d 这条线段是相等的，那么就有 o d 大 于 o p， 同时 p 点和 f 点又关于 o b 对 称，所以 o p 这条线段它又是等于 o f 的， 所以 o p 等于 o f， 那 么这三条线段都相等， 因此就有 o d 等于 o f。 那 么经过导边，得出了这个三角形 d o f， 其实它是一个等腰三角形。接下来我们来进行导角， 而题目当中有关角度的条件只有这一个角 l b 等于四十五度，也就是这一个角呢，等于四十五度。 这一个角被 o p 这条线段分成了两部分，我们把这两部分分别记为阿尔法和贝塔，因此就有阿尔法加贝塔等于四十五度。 因为我们的 p 点和 d 点是关于 o a 对 称的，所以这两个打勾的小角应该相等，因此这一个勾角呢，也应该是贝塔。同样的道理， p 点和 f 点关于 o b 对 称，所以这一个小角也应该是 r 法。 那么在这个大角 d o f 当中，出现了两个阿尔法和两个贝塔，所以这个大角 d o f 就 应该是阿尔法加贝塔的和的二倍，也就是等于九十度， 这样通过倒角出现了九十度的角。这个三角形 d o f 其实是一个直角三角形。那么到现在为止呢，这个三角形 d o f 就是 一个非常特殊的三角形了，它是一个弹腰直角三角形，也就是这两条边 o d 和 o f 的 关系是既相等又垂直的，所以我们要求的这个三角形的面积， 三角形 d o f 就 应该等于它的这两条直角边乘积的一半，也就是二分之一 o d 乘以 o f， 而 o d 和 o f 它们都和这个 o p 这条边相等，所以这个面积呢，也就等于二分之一倍 o p 的 平方。 而题目当中要求的是这个面积的最小值，要去求这个三角形面积的最小值，其实也就是要去求 o p 这条线段的最小值。接下来我们就来观察一下 o p 这条线段。 我们先连接 o p 这里的 o 点呢，是一个定点，而 p 点呢，它是一个动点， 它在直线 m n 上运动，也就是 p 点呢，在这一条直线上运动。因此 o p 这条线段呢，它是变化的，它的长度是不确定的。 那什么时候最小呢？这道题的问题就变成了去求 o 点到这条直线 m n 的 距离的最小值，那点到直线的距离最小，垂线段是最小的， 所以我们应该过 o 点向 mn 这条直线去做垂线段。因此辅助线出来了，我们首先应该去延长 n m， 然后呢，再过 o 点去做 mn 的 垂线段 来这一个垂足就应该是动点 p 点真正的位置，我们把它记为 o p 一 撇，也就是 o p 一 撇，就是这个 o p 线段长度的最小值。接下来的问题就变成了如何去求这个线段 o p 一 撇的长度。 因为 o p 一 撇是垂直于线段 m n 的， 所以我们可以把 m n 看成是底边儿， o p 一 撇呢，看成是 m n 这条边上的高 有了底，边儿有了高，自然而然会让我们想到这个三角形 o m n 的 面积。而题目上告诉我们，这条底边的长度是九，三角形 o m n 的 面积是十八，所以有了等量关系，二分之一倍底乘以高 就应该等于面积十八，因此我们可以算出 o p 一 撇的长度应该等于四， 也就是 o p 这条线段的最小值为四。这道题还没有结束，它要求的是这个三角形 o d f 面积的最小值， 因此这个面积的最小值就应该是二分之一。被 o p 一 撇的平方也就等于二分之一乘以四的平方等于八。 那么这道题的最后结果就应该是八。同学们，你们听懂了吗？关注魏魏老师，学习如此简单！

每天一个初中几何模型之将军野马模型。好，今天我们学习我们八年级的将军野马问题，也就是两点一线模型好，两点，一线模型大概可以分为两类，第一个是同侧，第二个是异侧的。好，那我们先看我们的同侧的。 首先一只点 ab， 点 a 和点 b 在 我们线 l 的 同侧，然后线上有一个点 p， 然后他问你 pa 加 pb 的 值最小值， 那这个时候我们做将军仪码同侧问题的时候，我们只需要找到其中的点，比如说这里的点 b， 把点 b 的 对称点 b 一 撇做出来之后，做出对称点之后，我们其实不难发现，我们的 p b 是 等于我们 p b 一 撇的，而要求 pa 加 p b 的 最小值，其实就是求 pa 加上 p b 一 撇的最小值。那 pa 加 p b 一 撇，它什么时候最小？我们三点共线的时候最小， 那我们画出来之后，当 a p 和 b 一 撇在同一条直线上的时候，也就能找到了我们最小 pa 加 pb 的 最小值，就是我们线 a b 撇的长度。好，然后另外一种是我们的异侧两点求最大值，注意，同侧求的是最小值，异侧求的是最大值。那同样的，我们同样的 过 l 做上我们的 b 点的对称点，就是 b 一 撇，做出来 b 一 撇之后，他要你求 b a 减 p a 减 p b 绝对值的最大值，那我们做出来之后，其实我们的 p b 也就等于我们的 p b 一 撇。 好，那我们 p a 减 p b， 其实也就等于我们的 p a 减 p b 一 撇，它减掉我们 p b 一 撇之后，得到的结果也就等于我们的 a b 一 撇的长度，它问的是最大值，那 a b 一 撇的长度，注意，我们减掉这条线， p a 减 p b 之后，它的结果一定是小于或者等于 a b 一 撇的， 所以我们 p a 减 p b 绝对值的最大值是就等于我们 a b 一 撇的长度哈。 所以我们将军引马大概可以分为两类，同侧，他会让你求最小值，那我们注意做出对称点连接，然后三点共线找最大，然后异侧叫你求绝对值， 两线之差，绝对值的最大值，那我们同样的做出对称点，然后画出三点共线的点来， 最后来减出来我们最大值，也就是我们 a b 撇的长度。好，这个就是我们将军引马的两类问题。详细教学，刻薄资料留言六六六领取！

今天我们来学习将军印马的罪责问题， 我能不止步，我所能给可抄，你所能见。