智博一模数学最后一题怎么构造函数

呃，那么好，这个视频我们就记昨天晚上呃，发的高数二的一直播的一模式题，然后它的计算题和应用题和证明题进行一个讲解。好，那么废话不多说，直接开始吧。 然后就是关于昨天这个，就是这个积分上限啊，就是这个， 这个地方我可能说的不是很明白，就是一直在口误，我都是说是什么负一到二是吧？负一到负二，零到负一是吧？这个地方其实说的有点问题啊，这个地方应该是比较准确的说法，应该是从负二到负一，永远都是从小往大说，知道吧？从小往大说 也是负一到零，我这个地方以后会改正一下啊。好，关于上一期视频这一个地方，我就说到这，我们就开始进行下面的计算题吧， 给它删一下，这些我就都删了。好，我们看第一题啊，首先啊，在做极限的时候啊，一定要首先考虑它的等加无穷小，那我们就正常做呗。 嗯，你看分子是这种形式，一般来说遇到这种形式我们首先就要想到的是我们把它根号去掉，去根号就利用那个平方差公式嘛，把平方去掉， 就把这个根号给它去掉， 我再加上一个根三，然后分子 好他这一步，然后呢，这个就是个平方差呗，这个厘米它就不写了， 是不是 x 方减一，再减掉一个三啊？没错吧？然后这个是 x 减一，减掉三是不是减掉一个四啊？ 然后减四是不是变成了 x 减二， x 加二啊？然后分子是不是分母，是不是还有个 x 加二啊？ 好，那我这个地方， 这个地方约分，约分好，一般来说只要是能约分的话，它就基本能做出来了，它是 x 去向负二嘛。我们把负二带进去，是不就是一个负二减二是不是等于负四啊？负二带进去是不是根号下四减一再加根三啊？ 是不是四减一是三，根三加根三是等于个二倍的根三分之负四，然后这个约分一下就是三分之负的二倍的根号下三啊， 对吧？所以说这个题不难啊，当然，你看这个等于负二带进去是不是四减一跟三零比零行，也能用洛必达，但是你用洛必达会不会就太麻烦了点呢？对吧？好，这是这一道题啊，看第十二题。十二题。一般啊，一般来说遇到这种， 呃，一个东西，我说一个东西啊，剪掉一个东西，一般来说像这种情况都是 无穷减，无穷型，要把它通分，然后再进行转化一下，把它画成洛必达形式。我们来画一下，看一下 tan 乘 x， 再比上一个 e 的 x 减一，没错吧？这个我就不应该这么写了哈。然后分子是 e 的 x 减一，再减掉一个 tan 乘 x， 对 吧？到这一步好了。 嗯，像它这种情况啊，在做极限，首先要考虑是能不能等价。无穷小看 tan 乘 x 去幺零是不是可以等价， 后面这个是不是也可以等价啊？是不是就是 x 方啊？上面照抄，然后代入零，呃，代入零就是这个就是零， 然后这个是一一减一是不是零？分子是不是零啊？分母是不是也是零啊？是不是可以用等价？不是，是不是可以用洛必达？那我们进行洛呗。 二 x e 的 x 减掉贪婪的 x， 求导是不是 second 方 x 啊，然后代入零进去 这个地方是一，这个它是扣散方 x 分 之一，是不是也是一啊？然后这个是不是也是一啊？呃，这个是不是零啊？是不是还是那个可以进行落啊？好，那么再对它进行落一次吧， 就是他还是零比零啊。 二，这个，这个是不是就相当于是俯卧撑球岛啊？先是 把它当成 x 方求到 s， 然后再对 second x 求导，是不是就是 second 方 x 变成 tangent x 啊，是不是没问题啊？好，我们再代入进去这个地方啊，我再重新再仔细的写一下，就这一块 second 方 x， 它求导是不是等于个二倍的 second x， 然后再乘以 second x 的 导数啊？这个的话我就不多说了啊，这个是最基本的公式啊。 好，我们再把零带进去。零带进去，这个就是零啊，这个就一啊，这个答案就是二分之一啊， 对吧？这个比较难的地方就是你得能看出来这是等加无穷小，其实这个地方是最基本的，等加无穷小你也能看出来。然后其次就是这个地方 你得把它求对，不然的话是没法做的啊。好，这题我们就到这。嗯，我把这地方擦一下吧， 把二分之一留着。好，我们来看这个已知函数在 x 等于零处可导，求实数 a 与 b 的 值。这一部分的题啊，算是比较常考的了。首先，可导， 这个地方我在这写吧。首先可导必连续，连续 不一定可导，这个是一定要注意的哈，就一定要知道的。呃，举个例子啊，就跟自行车， 相信你们应该也刷到过这种视频，自行车，因为假如说这是个自行车，这是个自行车，这是个自行车，这都是自行车，是吧？他们是不是连在一块了？那如果假如说其中一个自行车往这边倒了，是不是这些所有的自行车全都倒了？所以说可倒一定连续， 对吧？但是你连续不一定可倒，就像这样，如果他都是在连续的一块的话，其中一辆自行车他不倒的话，那是不是这些自行车也都是没倒的呀？所以说连续不一定可倒，但是他要是都倒了，那说明他肯定是挨在一块了，就是连续，这可以理解吧？ 好，所以说这个连续，还说了蝌蚪，所以说这个连续啊，隐藏一个条件，说明它在 x 零等，在 x 等于零处连续啊。所以说 在 x 零正，这个 f 应该是等于 x 零负，对吧？所以相当于是 e 的 a x 就 相当于是 limit 当 x 先小于零正， e 的 a x 是 不是等于个一啊？ 这个零负是不是 b 的 二减 x 方是不是等于个二 b 啊？所以说二 b 应该等于一啊，是不是 b 就 等于个二分之一啊？这个没错吧？ 好，那我们 b 已经有了，那我们把 b 带进去呗。二分之一，那它在这个地方可导，那个可导的定义在这我都已经写过，就是在这个地方它都有啊， 我们来写一下看看。 limit 当 x 去成零呗，是不是 f x 减掉 f 零先去成零正是不再比上一个 x 减掉 x 零，再减掉一个零啊，对吧？在零正这个方程是什么呢？ 在零正是这个地方没错吧？我们把它抄过来，零正是不是二分之一 被的二减 x 方减掉一个 f 零， f 零是不是带入这里面？是不是一啊？再比上一个 x 吧，我们只需要把它极限求出来就可以了， 带入零进去。零，这个是零，这个是不是零啊？然后这个地方是不是二减零，然后再乘以二分之一，是不是一？一减一是不是也是零啊？所以说这个地方是不是要用洛必达啊？ 好，我们烙一下呗。 limit x 趋向于零，正一比上这个地方，我把它拆一下，就是拆一下，是不是一减二分之一， x 方减一啊？ 这一约掉是不是就变成了负的二分之一？ x 方是不是相当于是负的 二分之啊？负的 x， 对 吧？是不是就等于零啊？对吧？好，这是这一块， 也就说明他想要在这个地方刻倒，在这个地方刻倒，那他在这个零，负就在零，负这个地方应该也是零才对。我就照抄一下， 是不是像是 e 的 a， x 再减掉一个，这个 f， 零还是一啊？是不是再减掉 x 啊？好，当 x 小 于零，这个是不是相当于等加无穷小啊？ 是不是相当于就是 a， x 比上 x 是 不是等于 a 啊？所以说 a 等于几？是不是 a 等于零， b 等于二分之一啊？ 求实数， a 的 a 与 b 的 值是不是直接就求出来了？这个地方如果你要不知道，可导一定连续啊， 你这个地方就没法做啊。首先你就求出来这个 b 的 值。好，这是这一题，我看第十四题啊，第十四题我就在这写了啊，第十四题，嗯，看，一般来说啊，中间只要有加号了，我们就习惯性的把它拆开， 这个其实你知道啊，对吧？这个你知道啊，它是不是就等于一个？ 呃，这个加 c 我 先不写啊，这个外加 c， 我 先不写，因为这个地方也会出现一个加 c， 到时候直接就用这个加 c， 是 不是这个导数就是这个呀，对吧？好，主要是这个该怎么求啊？ 这个其实我们又分布积分啊，你像这里又有 x 了，那么是相当于是 x 被的阿克三 x， 再减掉一个 x， 乘一个根号，下一减 x 方 d x 啊，再减掉一个 x 分 之一啊。好，那我们把这个 x 拿进去呗，拿到这里面去啊，是不是相当于是一个 x 倍的阿克萨克斯？减掉一个根号，下一减 x 方分之一 d 的 x 方，这个 x 方要求导出来就是二 x， 它就会多一个二，那么在这个地方就要乘以个二分之一，对吧？然后你看这里面是一减 x 方，那我是不是先给他一个符号，这个地方是边加呀？然后少个一，我再给他一个一呗，没错吧？ 这一步可以听懂吗？我刚刚说的有点快啊，那我们把它就假如说它是 t 啊，是不就相当于是变成了 根号下 t 分 之一，变成 d t 啊？这个求导肯定会吧，这个是 t 的 负的二分之一呗，没错吧，就是这一块就是 t 的 负二分之一，那求导是不是就相当于是加一 加一是不是就是二分之一？二分之一的倒数是不是二啊？然后 t 的 二分之一，没错吧？这个是求导公式啊，这个应该都人人都能掌握 好，那我就直接照抄呗，是不是等于 x 被的阿克萨 x 再加上一个二分之一，这个乘以个二就没了？被的一减 x 方二分之一，再减 x 分 之一，再加 c， 对吧？答案应该是这个，当然你把这个， 把它放到这里面也是可以的，然后这就是最后的答案，别忘了哈，不定积分一定要有这个 c 啊，如果你不小心把这个 c 漏了，这个就是按错误来算了啊。好，这个地方有需要的话可以截下图啊，我等会儿就擦了。 好，我们来看第十四题来，在看到第十四题之前啊，不要先做，不要先做，先看这个，以后做定积分啊，一定要先看这个上，嗯，上下线啊，你看这他他他有没有什么关系啊， 是不是关于圆点对称啊，当一个定积分，我们来复习一下。当一个定积分， 如果这个 f x 是 个奇函数， 是不是相当于这个就等于零啊？那如果它是偶呢？ 是不是相当于是二倍的从上线是 a， 下线是零啊， 这个地方没错吧，所以说这个公式一定要熟记啊，不然的话遇到这种题硬做是做不出来的，太麻烦。 来，我在这写了哈，看到吗？我说过吧，一般来说有加号的，我们要把它拆开，这个笔太厚了哈，换一个 二加 x 方 d x， 再加上根号下二，变为负的根号下二，然后三 x 变为二加 x 方 d x， 再减掉一个。 好，我们写开来判断一下。呃，这个是 o 吧，这个是不是也是 o 啊？ 所以说这一个我们是不是就可以写成二倍的根号下二零倍的 x 绝对值二加 x 方 d x 啊， 然后在零到二啊，这个肯定是正的，所以说我们就可以直接去绝对值啊，然后来看这一个，这个是不是个 g 的 呀，这是不是个偶的呀？所以说它是不是就是零啊，它合在一块就是 g 函数啊，其实你如果你判断不出来，你们可以试一下 g 函数是不是，是不是这种啊？ f x 等于负的 f x， 是 吧？我带着进去呗， 是不是等于二加 x 方啊？然后这个是不是个奇函数啊？你们应该都会啊，对吧？是不是比之前多了个括号啊？所以说它是个奇函数啊， 所以说它是不是就零啊？来后面这一个，这是偶啊，上面这是常数啊，不影响啊， 所以说这个是不是减掉一个二倍的根号下二零，把这个四拿进去，拿到上面就八，然后一二加 x 方 d x， 对 吧？啊？这个好算啊，把 x 拿进去呗，把这个二也拿上来，把这个一拿进去，是不是就 x 方啊？ 是不是这地方少一个二啊？那我再加上一个二呗， 我这个地方写错了， 这个地方你会发现它长得跟一加 x 方很像，对吧？一加 x 方分之一，它是不是等于个 a k 整数 x 啊，对吧？那我们提取一个二出来呗， 就比如说我这里提取一个二出来，就相当于是这里是四呗，对吧？一加上 二分之 x 方分之一 d x， 没错吧？因为这个地方要乘以个二分之一嘛，这个地方要除乘以个二分之一，哦，对，这个地方是十六啊， 哎，不对哈，我算一下啊，这个地方要提取出来一个二，哦，对，这个地方就四，这个地方就四， 这个地方一定要搞清楚啊，就是别像我刚刚那样弄出十六了，因为你想想，这个地方它要提取出来一个二，是吧？那我把这个二拿出来就有二分之一啊，对吧？好， 这一块我就可以直接写了，是不是 l n 二加 x 方，它一定是正的，直接加括号了，根号下二零，再减掉一个四倍的根号下二零， 我把它拿到这个平方里面去，是不是相当于是根号下二 x 括起来平方分之一啊？是不是？这里面是不是也应该凑一个根号下二 x 啊？对吧？那我求导是不是出来一个二倍的根号下二啊？所以说我要反过来称，就是根号下二倍的二，是不是就相当于是根二啊？ 就是，你这个求导出来是不是要出来一个二分之根二啊？那你想要把这个二分之根二消掉，你是不是乘以它的倒数啊？是不是这个是不是等于个根二啊？ 那这个地方拿出来的话就应该是四倍的根二，这个美可以理解吧？到这到时候如果不理解的话，你再好好看一下这个地方，因为它求导出来又是这个，就相当于是什么呢？ x 二 x， 呃，想想啊， e 的 二 x dx， 你 求导这个地方，你要凑一个二 x 吧，那你求导把这个求导出来，是不是相当于是多出来一个二，那你是不是这个地方要乘以个二分之一啊？就这个道理啊。 好，这是这一个，那我们直接写呗， 是不是这样，对吧？好，我们带进去呗。先把根二带进去，是不是就是 lone 二加二是不是四啊？零是不是减掉 lone 二啊？ 这个没问题吧？再减掉四倍的根号下二，这个地方加个括号啊， 先带根二进去是不是一啊？再带零进去是不是？阿克斯坦的零是不是就零啊？阿克斯坦的一是多少？就像是斯坦特多少等于一，是不是四分之派？这个 low n 四是多少啊？ 是不是相当于 low n 二的平方，是不是也就是二倍的 low n 二没错吧。然后再减掉一个，这个是四分之二的平方，是不是也就是二倍的 low n 二没错吧？然后再减掉一个，这个是四分之二乘以四分之二没错吧？然后再减掉一个，这个是四分之根二乘以四分之派， 然后再剪掉一个 lo 二，这个 lo 二我就往后写了哈，刚刚刚刚忘了把这地方我再重新写下吧，规范一点 好，整理一下。 好，这就是最后的答案。这个题不难啊。这个题不难，就是稍微有点绕啊，就是关于你这个怎么处理的问题啊，一定要注意。好，这是第十五题，需要的话可以截图保存一下。喝口水啊。 好，我们来看第十六题，把答案留下吧。 好，这是你的答案。 好，我们开来看第十六题哈，你看了吧，还记得。嗯，我在高速一讲高速一的一模试卷哈，他也有一个这样的题，但是那一道题不像这么给的这么直接， 它是不是必须要满足这种形式啊？第一，这个系数必须是一。第二，关于 x 的 函数一定要在等号的右边对吧？ 那你看这个地方是不是一啊？那这个地方啊，其实不是，这个地方是不是关于 x 的 函数都在这边啊，然后包括 y 的 系数也在这是不是给的明明白白的呀。我们是不是只需要把只需要把这个公式写对，我们是不是就可以做出来啊？来，我们复习一下。公式 不应该用红笔写啊。用这个笔写换这个笔吧。呃，用用绿色的吧，不好看，还用这个吧， 我这么写对不对啊？当然不对啊，是不是少了个符号啊？好，然后在正式解题的时候啊，一定要把 p x 是 多少， q x 是 多少写出来啊，我们来看这个 p x， 这个 p x 是 不是等于 x 加二分之一啊？当然不是啊，你这个符号你带着呀，因为这个地方是加号啊，就必须严格套啊，对吧？ q x 是 不对， x 加二，乘以个 e 的 x 次方啊？好，直接套呗，公式我就不再写了啊，就直接往上抄了，这个赋户就得正了啊， 符号我就拿前面来， 这个后面是不是可以凑一个 x 加二不影响吧，是不是等于 e 的 零 x 加二啊？这个地方需不需要带绝对值？不需要啊，因为这个地方是只需要取正就可以了，不需要带绝对值，那这个地方就跟这个地方是相，就相反数， 这个地方怎么是 q x 呢？应该是 x 加二倍的 e 的 x， 对 吧，就像是相反数啊， 然后乘以一个 e 的 负的洛恩， x 加二 d， x 加 c。 好， 那这个地方其实就是 x 加二， 对吧？后面这个就是 x 加二，乘以 e 的 x 再乘一个，把这个符号拿到这里，负一次方，是不是相当于是 x 加二分之一啊？是不是这两个就可以约掉啊？然后就剩个 e 的 x， e 的 x， 积分是不是还是 e 的 x 好，我们来看它让求什么？看它让求是特解啊，你不要写到这就结束了啊，它让求是特解，当 x 等于零， y 等于一的特解，我们代入 什么一就等于个二倍的 e 加 c 啊，对吧？ c 就 等于多少啊？哦哦，这个零，这个是一啊，这个是 e 的 x， 这个地方是一啊， c 是 不是就等于这个？应该是一加 c 等于二分之一呗。 c 是 不是等于负的二分之一啊？所以说这个地方的特解是什么？ 好，把它拆开的话，这个就交给你们了啊，这个我就不再多写了，当然，你不拆开的话，这么写其实也是对的哈。好，这是这第十六题，不难啊，主要是你需要把这个东西记住，如果你不记住的话，这个题是没法做的。好，这是这一道题。 好，送你们一个大春分，也预祝考试的时候顺利啊。来看第十七题。 呃，高速二是不是不学极坐标啊？我记得是不学极坐标啊。然后如果有高速一的想来听这个高速二题的话，看到这个 y 比 x 了吗？不用想，直接带入极坐标，一般来说，这种分母比分母的话，一定要用极坐标的哈。 好，我们来看这个区间范围啊，高数一的那个级坐标啊，当时讲的非常详细，这个地方我也讲的详细一点，因为就不麻烦高数二同学再去看高数一的那个二等积分了。 好，这个地方我就取两个端点，这个地方是 x 等于二分之派，又太细了，调粗一点，我就取两个端点各让它相等。一个是 x 等于二分之派，它左端点是二分之派，右端点是不是 x 等于派啊，对吧？那这个地方我取两个端点，是不是 y 等于零？ 这不， y 等于 x 方啊，也就说明这个 x 是 要介于这两个之间，那 y 就是 介于这两个人之间。那我们把它们的图像分别画出来。 嗯，有点丑啊， 它为什么不能自己识别呢？ 好，首先 让它细一点， 这个是一一 y 等于零， y 等于零七，就这条线啊， 是吧？然后 y 等于 x 方，就是这个线，再标一下， 对吧？然后 x 等于二分之派， x 等于二分之派啊，我把这个点加上二分之派吧，不，加上这个点，加这个点， 然后还有个 y 等于 pi 哦， x 等于 pi， 呃，把这个线擦一下，然后这是二分之 pi， 这个 pi 的 话，我把这个图像往这边延一下，就假设啊，是这样子 的，是吧？假如说这个点是 pi， 这个点其也能算出来是多少啊？包括这个点平方呗，就这个就派方嘛，就这个就四分之派方嘛，对吧？然后他我们求这个。首先啊，看到这种形式，你就首先知道这个题肯定不能用 x 型 啊，不对，这个题肯定不能用 y 形，因为 y 形啊，我们举个例子啊，就假如说它用 y 形啊，是不是这个地方这个地方我们不知道，对吧？那这地方是不是 dy 啊？ 这个地方我们也不知道，口算 x 分 之 y 分 之 d x， 你 看这个地方对 x， 能不能记得出来啊？不能吧，它这个地方对 x 能不能是 y 形， 这地方就 d y， 对 吧？那这个 y 我是 可以写成一个 y 分 之 x， 它求导是这个，那我在前面乘一个 x 不 就可以了吗？对吧？所以说这个地方一定要注意啊，它不能用 y 形啊， 就关于这种形式，谁在分子，谁在分子，谁就不能，就不能用哪个形。 所以说这个题得用 x 形啊，那我把它写一下呗，哦，不对，先把这个区间划一下。嗯，我标记一下，首先 x 是 在大于二分之派小于派上，大于二分之派 小于派上，是不是这两个地方？那这个 y 是 要大于零，小于 x 方上 y 是 要大于零，是不是要比这个大？哎，大大大哦，我要比它小，是不是这一块的面积啊， 没问题吧？那我们可以来写下它公式了呀，这个好长啊，把它擦一下，这个是吧？应该是这个哦，非常的棒啊， 来 y 型啊，不对， x 型，是不是先从派到二分之派啊， 是不是 d x 啊，然后上函数是不是 y 等于 x 方，然后你是 d x， 就 要把它写成 y 等于 x 的 函数，是不是就像是 x 方，然后下函数是不是这个零啊， 是不是 y 等于零，然后这个是 cos y 分 之 x dy 没错吧，我们来写一下， 就像我刚刚之前说的， 是吧，那我这个地方求导出来，会出来一个 x 分 之一，那我再乘以一个 x 不 就可以了吗？ 是吧，那这个 x 可以 当系数就放到前面去，因为这个地方是对外求导嘛，对吧？ 哦，这个地方就不写了，谁求导是口算这个啊，是不是算 x 分 之 y 啊？在 x 方和零的地方，没错吧，记住啊，这一块是一个整体啊。 然后你这个 x 方要带哪里面去啊？是带 x 进去吗？不是，这个地方是要带 y。 哈，好，我们来带一下看一下。首先这个带进去零啊，把这个零带进去，这个就没了，所以说只有一项， 是不是 x 被你的三 x 方比 x 是 不是就 x 啊？好，这个其实你明眼人应该能看出来啊，这个它就是一个分布积分啊，把 x 三 x 带进去， 如果你要把 x 带进去，它就会出平方，平方的话就更麻烦，是不是等于一个 从二分之派到派，是不是 x 被的 d 的 负的 cos x 啊？我横着写了啊，是不是 x 负的 x 被的 cos x， 这个是减，然后就变成加， 因为这个负的 cos x 拿出来就变成加了 cos x 分 之 d x， 对 吧？那这个是多少？ 是不是就三 x 啊？是不是带入派二分之派到派啊？好，我们来算一下呗，然后带入派进去 q 三派是多少？ 是不是在这个点是不是负一啊？派负一是不是就等于负的就是派，对吧？再加上散派是不是零啊？再减掉一个，减掉一个，这个地方是加，对吧？代入二分之派口散二分之派是不是零啊？这个地方就没了，是吧？然后再减掉一个散二分之派，散二分之派是不是一啊？ 比如说就拍点一啊，然后这个地方你代数的时候一定要自己去试代一下啊。这个地方是因为我口算了，可能算你们比较乱，但是这个地方你一定要亲自去代。好，这就是这一道题。 难点就是在这个地方它不能用 y 型啊，当然我们一般习惯来说都是喜欢用 x 型，但是如果如果这个地方改成 y 比上 y， 那 你用 x 型就完全做不出来，懂了吗？ 好，这是这一道题来看第十八题啊，判断这个的极致啊， 像这种多元函数啊，第一步是不是先求 x 的 偏导和 y 的 偏导啊？ 那么求一下呗，先对 x 求呗，是不是相当于是二 y 减掉二 x 方呗，没了，就这个， 哦不，不对，是 x 方， x 方对 x 方，那 f y 呢？是不是等于个二 x 再减掉一个二 y， 对吧？然后我们是不是要让它们都等于零啊？我们求一下呗。那你看这个地方有个正的，这个地方有个，这个地方有个正的，这个地方有个负的，那我们相加呗，就等于个二 x 减掉 x 方是不等于零啊？是不？求出来 x 二减 x， 是 不一个等于零，一个等于二， 对吧？求出来一个等于零，一个等于二，那我们再把零带入进去， 是不是减出来二？ y 等于零，是不是 y 也等于零啊？然后再把 x 等于二带进去，是不是就等于二？ y 减掉四等于零，是不是 y 也等于二啊？所以说它的注点一共有一个零，一个零，因为这个地方是把零带进去得出来的零，然后再把二带进去得出来的二。 一定不要带零和二啊，一定要注意啊，因为你是把 x 等于零带进去，你得出来的 y 等于零，你再把 x 等于二带进去，得出来的 y 等于二，懂了吧？所以说注点是这两个不是四个。好，其次 再对，先对，嗯，对，这个再对外求一次道，是不是像是二，对吧？ 哦，其，这个应该是第二步了哈。第一步是不是应该再对 x 求二阶导，就再对它求一次，是不是相当于是负的二 x 是 吧？那 f y 再求一次，是不是等于一个负的二，对吧？然后判断它极值是不是要用 a c 减 b 方啊？ 如果大于零是有什么值嘞？是不是有极值啊？然后再判断 a 的 符号 a 大 于零是什么值啊？是不是极小啊？ a 小 于零呢？是不是极大？然后 a c 减 b 方呢？等于零呢？是不是无极值啊？ 那 a c 减 b 方哦，这个地方是小于零，小于零是无极值。那 a c 减 b 方等于零呢？是不是无法判断啊， 对吧？好，那我们带进去呗。先把零零带进去，你会发现 a 等于多少？带入 x 等于零， y 等于零，那么 a 是 不是就等于个零， b 呢？二 c 等于负二，它们两个相乘， a c 减 b 方是不是小于零，是不是无极值啊？再带入 x 等于二， y 等于二，那么 a 呢，带进去是不是等于负四啊？ b 呢，是不是等于二， c 是 不是也等于负二？那 a c 减 b 方呢，是不是这会大于零，并且 a 等于负二啊？等于负四小于零，所以说是极什么值？ 极大值。所以说带入 f， 二二，我们把它求出来。呃，求出来， 带入二二，二二，是不是八减掉三分之八，再减掉四，再加一，对吧？八减四，四加一五五减三分之八十五，十五减八十三分之七啊， 好，这个题就这样，是不是也不难啊？好，这题再看一下，我们就过。 嗯，好，我把它擦了哈，把这个答案留一下吧， 有点卡啊，把后台清一下，重新开。 好，我们来看这个地方。求曲线。 y 加一等于 x 方与 y 等于 x 加一，围成图形的面积画图。 这不就是 y 等于 x 方减一吗， 对吧？这个点是多少？负一，这个点是一，这个点是不是也是负一啊？然后 y 等于 x 加加一，左加右减嘛，是不是往左平移一个？ 是不是这个？那你围成图形的面积，这个图形非常好判断吧？是不是？这个 好，关键牵扯到你是用 x 形还是 y 形来判断啊。这个地方其实非常明显的。 先先不要明显，先把这个点求出来，这个点是多少口？算一下， x 等于， 猜一下应该是二吧，猜一下是不是二，二加一等于三，这个地方是二四是不是三，对，是不是二，所以说这个点是二吧，然后 y 等于几啊？ y 是 不是三啊？ 其实这个图画的有点不太标准啊，反正你就大概知道是这个意思啊。首先我们判断用什么形，先用 x 形，看这个图像一直在这个图像上面，所以说这个 x 形肯定可以，那 y 形呢？ 从这嘚嘚嘚嘚嘚哦到这个点，在这个点之前，这个函数在这个函数的右边，然后到这个点之后，这个函数在这个函数的右边，所以说它得写两段，所以说这个地方我们就要用 x 型， 是不是负一到二求什么面积啊？是不就是上面函数减下面函数啊？ 因为你是用 x 型，所以说应该用 y 等于 x 的 函数，上面函数是不是 x 加一啊？下面的再减掉一个 x 方减一，是不是 x 方加一啊？ 然后 d x， 这个求其实很简单吧，是，相当于是我就直接写了哈，二分之一 x 方，这个是加二，就加上二 x 减掉三分之一 x 三次方 带进去呗。带入二，这个是二八，三分之八减掉一个二分之一，这个地方因为是负一就减，然后又因为前面是个减号，所以说这个地方是加 二，然后再带入这个，这个地方本来是减变成加，又变成减了，这个地方推荐你们把它剪开算，因为我这个地方就是直接为了求方便，我就直接这样口算了啊，但是推荐你们去这样算一下，二加八十十加二十二， 这个就直接划掉，这是十二减掉三分之八， 嗯，减掉三分之八，再减掉二分之一，再减三分之一，这个是三分之七。三分之九。三分九是不是三啊？这个地方是不是九啊？九减二分之一， 哎，不对啊，不对不对。哎，看来我也不能口算，我这一步一步写吧。来，二分之一乘以四，再加上四，再减掉一个三分之八， 再减掉一个括号里的二分之一乘以一，再减掉一个二，再加上一个三分之一，对吧？二分之一乘四，这个是二。 哦，这个是四啊，我刚不知道为什么写了个八啊。这个地方是六啊。六减三分之八，再减掉一个二分之一，再加上一个二，再减三分之一，这个地方是减三。六减三是不是三啊？三加二是不是五啊？ 五减二分之一是不是等于个二分之九啊？这个地方应该没算错了吧，千万不要出现符号错误啊。我刚不是符号的错误，是不是这个地方写错了呀？好嘞，一定不要粗心啊，你看我粗心错了多少个了。 这个是最后的答案，二分之九这个题不难啊，面积好，就这一个。我们来看最后一题啊。 那你正 x 小 于零时，论 e 的 x 减一加一，减掉 x 是 要大于 e 的 x 加一分之一减二分之一。 好，遇到这种情况啊，直接设把它放到同一边，这一看就是用单调性来做啊，让你求它的单调性，然后在这个端点处，就在这个端点处，它肯定是 小于一个数或者是大于一个数，设大 f x 等于零， e 的 x 加一再减 x， 再减掉 e 的 x 加一分之一，再加上二分之一，就在求导它的定义域是什么？ e 的 x 加一大于零，这个肯定大于零吧， e 的 x 有 e 的 x 要大于负一啊，这肯定是啊， 所以说它的定域是不是无穷啊，对吧？求导一下吧， 这个地方是不是 e 的 x 加一分之一，然后再乘以 e 的 x 加一，求导是不是 e 的 x 是 不是减掉 x， 再减掉一个 e 的 x 加一分之一，对吧？ 然后再没了，是吧？后面这个求导是每零，嗯，是不是就变成 e 的 x 加一分之 e 的 x 减一，再减掉一个 x 倍的 e 的 x 加 e。 哦，就感觉哪里有点不太对啊， 我怎么只把前面的求到了，我后面的全没求啊，哎，今天脑子怎么回事？这是不是减一啊？再减掉一个 e 的 x 加一，扩起来平方分子求到乘以分母不变，然后分子不变，乘以分母的导数是不是乘以 e 的 x 前面有个符号啊，这个地方就变成加。 这个地方我再重新写一下啊，我把这一块单独摘出来，是不是负的 e 的 x 加一，它的导数是不是等于一个负的？ 它的平方分子求导是不是零？零乘以任何数都是零，再减掉一个一乘以 e 的 x， 然后这个减号把它放到这儿就变成加，是不是就这个结果？ 这个地方一定要自己去求一下啊。好，我们来看 e 的 x 加一或下来平方把它通分一下吧。 从这边 e 的 x 乘以一个 e 的 x， 再加一，再减掉一个 e 的 x 加一，接下来平方再加上一个 e 的 x， 然后这个，呃， 这个把它拆一下，看一下是不是就 e 的 x。 二 x 加上 e 的 x 加上 e 的 x 减掉一个 e 的 二， x 减掉一个二倍的 e 的 x 再减一，然后二 x 二 x 没了两个。哎， 是不是等于个 e 的 x 加一括下来平方分之负一啊？ 它是不是一定小于零？ 是不是一定小于零？这个地狱真的没求错吗？ 这个地狱真的没有求错吗？那就说明他在他的地狱内全都是单挑递减的，那就没有这个端点这回事了。所以说他这个地狱绝对有地方没有求对，我们来看一下 没抄错题吧。 e 的 x 加 e 看一下啊， why don't？ 一的 x 方加 加一，再减掉一个 x， 再减掉一个一除以一的 x 方加一 再加上一个 二分之一， 他地狱是无穷啊。 然后，哦，我知道了，他既然在全部地狱都单掉地间，那他在小于零，是不是在他的地狱上是不是全都是成立的呀？ 那它在这上面都成立，那它是不是在这个上面是不是也是成立的呀？就在这个负无穷到零上是不是也是成立的？ 好，那说明 f 大 x 在 负无穷到零上单调什么？是不是单调递减啊？说明它最大值是什么啊？不对，它最小值是什么？是不是就是 f 零啊？ 那我们把 f 零带进去，一加一再减掉一个零，这是零吧？这个是零的话，就是一加一二分之一减掉零， 再减掉一个二分之一，再加上二分之一，这个地方是不是就小于二啊？小于二是不是大于零？它是不是零？是不是小于一啊？是不是大于零？所以说 f x 就 在 负无穷到零上横大于 零，是不是相对于是 lo n e 的 x 加一，再减掉一个 x， 再减掉一个 e 的 x 加一分之一，加上二分之一，大于零，在 x 小 于零时，没错吧？然后把它移一下， 是不是得证啊？是不是题目给的要求啊， 对吧？然后这个地方呢，你就需要知道啊，就是这个地方容易搞那个迷惑啊，就是它这个定域确实是正无，嗯，全体实数啊，但是你需要把它拆拆开，因为它给的条件是这个呀， 对吧？你再正无再负无穷到正无穷啊，这个 x 小 幺零同样也是满足的呀，对吧？所以说这个地方你要单独把它摘出来，然后再这么这样进行写啊。 然后呢，这就是整个高数二的卷子啊，到这就已经全部结束了。然后如果有任何问题呢，就就可以在评论区里留言，然后我看到的话我会立马给你们回复的， 然后也希望这个视频能帮助到大家，然后也希望大家数学能够越来越好，好，再见。

大家好，我是三德老师，本期视频我们来讲一下最近刚考的杨浦区的考场一模第十六题。题目呢是说函数 y 等于 f x 的 定义域，值域都是 r 定义集合 ma， 它是关于 t 的 集合，其中 t 是 f x 减掉 fa 的 值域， x 大 于等于 a。 现在给出下面两个结论，第一个是说存在函数 y 等于 f x， 使得对于任意实数 a 都有 m a 等于零到正无穷，左必右开。第二个是说对任意函数 y 等于 f x 都存在实数 b， 使得对任意实数 a 都有 n b 包含于 m a。 然后让我们判断一二两个结论的对错。好，那我们先看第一个，他说是否存在函数 y f x， 使得对任意实数 a 都有 m a， 使令到正无穷左并右开。这里我们注意到 m a 是 关于 t 的 几个，这个 t 呢，是 f x 减 f， a 在 x 大 于等于 a 的 值域，那刚好在 x 等于 a 时， t 会等于零。所以我们在考虑一的时候，我只要让这个 f x 是 一个严格增函数，就一定可以做到 t 是 大于等于零的，也就是 m a， 它就是零到正无穷。左边就开那严格增函数有很多，我们随便取一个 就取一个最简单的， f x 等于 x， 那 这个时候 t 等于 f x 减掉 f a 就 等于 x 减 a， 那 它在 x 大 于等于 a 时，很明显是满足 m a， 它就等于令到正无穷。所以这个第一个结论它就是对的。那我们来看第二个， 它说对于任意的函数 y 等于 f x， 也就是说呢，对于任意的定义域和值域都是 r 的 函数来说，我都要存在实数 b， 使得不管实数 a 取几，都有 m b 包含于 m a， 那 我们像在结论一里面考虑的严格增函数来说，那不管 a 是 几，我都有 m a 等于零到正无穷，左 b 又开， m b， 它也会等于零到正无穷，左 b 又开，那这个时候 m b 和 m a 是 相等的。也就是说，在 是严格增函数的时候，它确实结论二是对的。但是满足大前提的函数 y 等于 f x， 它并不一定是一个严格增函数，它只是要求定义域和值域是 r。 那 我们就去找是不是所有的满足定义域和值域是 r 的 函数都使得结论二成立呢？那换句话说，是不是会 存在某种函数 y 点 f x， 使得不管你的 b 取几，我都要能够找到实数 a， 使得集合 b 中的元素一定不会在集合 a 中。也就是说，如果我能够做到让这个 m a 它是随着 a 往某个方向变化的时候， m a 中的元素越来越少的话，那这样的一个函数 y 点 f x 就 可以作为我们的一个反例去推翻结论二了。 那这里面我们考虑的 a 的 某个变化方向，我可以考虑随着 a 的 变大，也就是随着 x 的 变大，我希望我这个 m a， 它的这个集合的元素在越来越少， 那也就是说，我在随着 x 的 变大的时候，我这个函数值不能无限变大或者无限变小，它得趋于某一个值才合理。那比如说我们考虑类似这样的一个函数图像，就像是这样子， 我整个图像一直分布在 x 轴附近变动，然后在 x 趋近于负无穷时，它可以到正负无穷，这样呢，就满足直域是 r， 然后图像连续不断，定域也是 r。 只不过呢，随着 x 的 变大，它整个图像的幅度是在越来越小，越来越小。也就是说，我随着 x 的 变大，它的极大值在越来越小，靠近零，极小值在越来越大，也在靠近零。那这样的话， 从左往右看，随着 a 的 变大，我这个 m a 这个集合，它整体就是在往零这个方向在靠近，而且 a 越大，这个 m a 这个集合所包含的元素就会越少，它的区间长度也会越小。 而且不管你的 b 取在什么位置，我都可以把 a 取在 b 后面的一个极小值的位置，这样呢，就能够让 m b 不 会包含于 m a 这样的图像的函数。那我们可以随便举一个啊，比如说这个时候我们考虑 f x 等于三 x 比上 e 的 x 次方，那这个函数很明显定义域是 r， 值域也是 r， 图像呢，大概是符合这样一个形式的，那对它进行求导， f 一 撇， x 等于 e 的 x 分 之，把 sin x 减掉 sin x， 那 从这个答案出来看的话，它就会存在无数个 一值点，那对于任意给定的时数 b 来说，他一定会在他某两个极小值之间。那这个时候我们不妨以 e 在 极小值点 x k 与 x k 加一之间，就好比这个是 x k， 这个是 x k 加一，也就是 b 要大于等于 x k 小 于 x k 加一。同时我们将 x k 和 x k 加一这两个极小值之间的这个极大值点 为 x i 以及 x k 加一，后面那个极大之点就为 x i 加一。好，那有了它之后，那我们对这个 mb 和 ma 进行分类讨论。 好，那这个时候，当 b 在 x k 和 x k 加一之间的时候，我们考虑这个 a， 我 就取 x k 加一，那这样的话，我的 m a 看题目意思就应该是从零开始到 f x i 加一，减掉 fa， 也就是 f x k 加一。而对于 mb 来说，当 f b 它是小于等于 fa， 也就是 x k 加一的时候，那这个时候 mb 中的最大元素就应该是 f x i 减掉 f b， 它是在这个集合 m b 中的，但是 f x i 减掉 f b， 它一定是会大于 f x i 加一， 减掉 f x k 加一的，所以我们就可以得到，这个时候这个元素它就不会在 m a 中，所以在这个时候我们就找到了一个在集合 b 中的元素，但它不在集合 a 中， 所以这个时候 m b 就 不是 m a 的 字迹。好，这是在 f b 小 于等于 f k 加一的时候，那如果说 f b 比 f k 加一要大，就好比说我这个时候 这个 b 在 这个位置了，那这个时候 m b 中它的最小的元素就应该是 f x k 加一，减掉 f b， 它肯定是小于零的，它是在集合 b 中的，那这个时候 同样因为 f x k 加一，减掉 f b， 它是小于零的，也就是说它比 m a 中最小的元素还要小，那这个样子我们同样可以得到，这个时候 f x k 加一，减掉 f b， 它很明显是不在集合 a 中的。 那这样的话呢，我们就得到了对于这样的一个函数， f x 等于 e 的 x 分 之三 x， 也就是图像。类似于像这样的一个形式来看的时候，那对于指数 b， 不管你取在哪个位置，它必然会在这个函数的某两个连续的极小值之间，那这个时候不管我这个 f b 是 在什么样的一个位置，我都能够找到集合 m b 中的元素，它不在集合 m a 中，所以对于结论二来说它就是错的。 所以这个十六题答案选 b。 这个题目的关键是在于反例函数的构造，我们可以考虑先去思考构造他的函数图像的一个大致形式，再来反推他的一个函数解析式的一个形式，然后再进行一个梳理。

有很多的题目，你但凡忽略一个小细节，这道题的结果就已经大相径庭，直接就错了啊。比方说，像这道题，他说已知 f 定律为一的正无穷， f 一 等于一，对于任意的 x 一 x 二属于一的正无穷。当 x 大 于一大于 x 二时，横有这么一个关系式，成， 我看啊，其中 e 为自然数，抵消对数，若 a 里面是含有 a 的 啊，让他们求一下，这个实数 a 的 一个取的范围是多少？ 拿到这道题目之后，咱们首先来看 x 一 跟 x 二是混差的，怎么来处理。一般来讲，咱们之前学到的方法是，两边我给他同除一个 x 一 x 二，但是这里边，你看 f x， 他 前面的共同的系数是 x 一 乘以 x 二。这次我不能直接除 x 一 乘以 x 二，而是要乘以它， 我要除以这个元素才可以啊。是小于 x 一 乘以小于 x 二，我要除以这个整体。那我除的话，我应该先深究一下这个整体它的一个正负号吧。因为 x 一 x 二都属于一一到中无穷的，所以说这两个实际上都是正的， 因此我除之后，不等号的方向是不发生改变的。也就是说， ok， 我 直接除了啊，它就是 f x 一 减 f x 二， ok， 他 应该是小于 x 一， 比上个小于 x 一 嘛，然后再减去个 x 二，比上个小于 x 二。你会发现啊，此时 x 一 跟 x 二，咱们完全把这个分开了，那我把含有 x 一 的以及含有 x 二的分别给他放到两边来，那所以就有了 f x 二啊， f x 一 啊，它减去一个 x 一， 比上个 long x 一， 然后它就小于 f x 二，然后再减去一个 long x 啊， long x 二分之 x 二。 好，那我如果说设一个新函数设 g x 啊，它就等于说呢，它就等于一个 f x 减 x 比上绕 x， 你 会发现上面因为这个 x 一 是大于 x 二的，那上面这个音式实际上就是 g x 一 要小于 g x 二，你会发现什么？ g x 本身它是一个单调递减的，没有任何问题吧？那咱们推到这，我相信大家都能够看懂啊，那再往后他让咱们整理出这么一个音式来， 哎，这个因素我怎么来处理？首先它里面是有一个自变量的，这个自变量的整体是一的二分之一的二分之一，那这个整体他必然是在定义以内，也就是说这个整体他必须得在 大于一这么一个范围内啊，所以这是这个点是非常多的人会忽略掉的啊。那咱们来看一下，一的二分之一，他必然得是大于一的，由此是不是我就推出一要大于零， 对吧？没问题吧？你可以把这个一哈直接看成一的零字密，是不是？然后二分之一，那就必然得大于个零，所以说 a 是 大于零的啊，咱们这我在这给大家说了啊，然后我观察一下这个式子，我需要来配透的，我把 a 给它除过来， a 给它除过来，那除过来之后，它刚好可以配透出这么一个东西来。当然前提是你得先一下啊，所以说啊，咱们把后面我要整理那个东西啊，先写一步吧， f f e 的 二分之 a 次密，它应该是大于二比上 a， 然后再乘以个 e 的 二分之 a 次密，我把这个整体给它移过来 啊，给他移过来，那所以说就有了 f e 的 二分之 a 次密，再减去一个 a 分 之二，我给他倒换一下啊，也就是 e 的 二分之 a 次密，再比上一个什么二分之 a 了，它得大于零。 好，那实际上咱们要解的就是这么个整体，它大于零的这么一个东西啊。又因为 f e， 咱们还有一个条件没没用呢， f e 是 等于 e 的， 所以说 g e， 它等于什么呢？因为 g e 里面就含有 f e 啊，它等于个 f e， 然后再减去一个，后面啊，是 e， 再比上个浪 e 了，你看它刚好是零吧。所以说上面的这个整体， 咱们实际上要减的就变成了 g e 的 二分之 a， 它要大于什么？ g e， 因为这个整体是零吗？这个整体实际上就上面他啊，所以说两边咱们进行一下代换，又用它是一个减函数，所以什么？所以说 e 的 二分之 a 次密，它应该是小于 e 的， 也就是 二分之 a， 它要小于一，那此时 a 它要小于二。综上，你会发现 a 大 于零啊，小于二，所以说 a 它必然属于什么 零到二这么一个区间中，这就是最后一个结果。你看，我不知道你刚才有没有暂停啊？你有没有把这道题正确的结果自己独立完成啊？好的，就这样。