初一上册几何角江苏南通难题

初一数学几何题有关角度的计算思路分析与总结。今天我们来看一下这道题目啊，一个初一阶段的简单几何题目，一道几何题目该如何去找突破口，该如何去演成一个思路的有条理性？ 呃，还有呢，我们做的过程当中，如果你思路容易卡住，当你卡住的时候该怎么办？我们今天呢，用这个题目来分析一下。先看题，如图， oc 是 aob 的 平分线，这是我们第一个条件啊，看一眼， oc 是 aob 的 平分线， 角 codd 等于二十度，这是我们的第二个条件，那比较简单，这有个二十度啊，这个度的这个角的度数，知道第三个条件呢，是 bodd 哎，这个 bodd 等于三倍的角 aob。 题目中总共给了我们三个条件，让我们最终求出 a、 o b 的 度数。那这种几何题的它的考点啊，或者说它要求我们的能力，其实就是你如何把一二、三的关联有条理的整理出来，最终求出 a、 o b 的 度数， 它考的是我们利用条件的能力啊。那我们怎么办呢？我们首先呢，每一个条件先推一些信息出来 看看呢，哪个看看哪个条件呢？能推出比较有用的结论啊，相当于这样的一个意思，那一号条件呢，比较简单，可以推出角 a o c 等于角 b o c 又等于二分之一的角 a o b。 好， 那我们最终是要求角 a o b 的 了，所以呢，由一号条件，其实我们只要求 b o c 或者求 a o c 就 行了吧。那又有个二号条件，这是个二十度呀，所以其实你求 a o d 也行，对不对？那求 b o d 也行呀， 那这个求角 a o b 这个度数，其实这个问题并不是太复杂，我们只要这个题型当中的任何一个角，你求出来都能解出它的，对吧？哎，这是我们先分析一下啊，那我们怎么办呢？接下来一号条件能推这个二号条件没什么好推的，三号也没什么好推的，对不对？好，然后呢， 每一个条件单独的信息已经推完了，接下来我们就看他们综合起来可以推出什么结论来。比方说我们现在我我想看看这个一号和二号一起能不能推一些东西出来。那如果你可以推很多东西呢？你到底要推谁？用哪个？难道我每一个都写一遍吗？并不是啊， 我们一号和二号推一起推的那个信息应该跟三号有关联，就是你推的这个东西必须怎么样？与三有关， 你现在看是不是你只有与三有关，你接下来你才能继续跟三联系，是不是这个条件和三去联系，继续朝下一步去算呀？明白吧？ 哎，这个呢，其实就是我们做几何题的一个比较，一直都有的一个思路啊，就是你两个一起朝题目中其他的条件联系。 那我们来看这个题目，这个题目三号条件是有关 b o d 和 a o d 的 啊，一号和二号呢？又比较简单是吧？就一个 a o c b o c 的， 并且初一阶段还没有学太多的几何定律啊，图形性质。所以呢，找关系其实就是看看他们的位置关系，加加减减之类就行了。 那我们由一号和二号呢，朝什么方向去？朝表示 a o d， 表示 b o d 的 方向，为什么我要表示这两个？因为三号有它呀，就这么简单，对不对？那我们表示一下， 角 a、 o、 d 是 不是等于角 a、 o、 c 减二十度，是吧？为什么用它们表示？因为它一号二号呀，然后角 b、 o、 d 呢？又等于角 b、 o、 c 加二十度。好， 我们为什么要表示这两个？因为他们跟三有关。接下来我再用个三号调线，是不是就可以列个方程了？角 boc 加二十度是不是等于三倍的角 aoc 减二十度？ 到这步之后呢，我们再把一号调线拎过来用一下，对吧？哎，把这个 boc 换掉就行了，他俩先等吗？那角 aoc 加二十度，等于三倍的角 aoc 减二十度，这样的话呢，我们就可以解出角 aoc 了呀，是不是就能解出角 aob 了， 是不是？好，那很多学生如果容易卡壳，一般是出在哪一步啊？就出在这一步，就是你一和二推了一个东西出来，推完之后就是，哎，思路乱了，不知道该干嘛了，是不是这个时候呢？建议去题干中去找你看一下呀， 你哪个条件用了，哪个条件没有用，对吧？思路要有条理啊，你这个是由一二推的，那我就把它与去与三联系， 对吧？思路一旦卡住了，马上去题目中找你哪个条件没有用上，然后呢，你就朝着能够跟这个条件联系上的方向去思考，就能找到突破口了，明白吧？哎，这是我们的一个整体的思考的一个，呃， 逻辑性啊，是这样的，那我们再强调一下呢，条件给了一号、二号、三号，那我们并不是说就一定要按照这个顺序去用啊，就必须先用一，再用二，再用三， 没有这个道理对不对？我们几何题呢，你只要能做出来，然后做完之后呢，你自己总结一下看看。哎，有没有另一种路线，可能会比较顺产，比较简单。 那这个呢，就是大家大量训练之后得到的题感啊。像这个题，我们肯定是先用三号条件，是最简单的，它是一个求度数的问题啊，这是一个比例啊，我们可以用它简单的设未知数呀，是不是就直接用了把这个条件，我们用三号条件假定角 a o d 是 x， 设成 x 吧， 那么角 b、 o d 是 不是就是三 x 了？是不是？那我设未知数的这一步，其实就把三号条件这个信息给用过了，然后再按前面的，跟前面四组又是一样了。你看一下你这个三号条件得的这个信息，你接下来与二联系起来， 哎，朝一化还是与一连起来？朝二化是不是很明显了？哎，我再用一下二这个条件，是不是就可以表示角 a o c 等于 x 加二十度，角 b o c 等于三， x 减二十度。大家理解一下，为什么我要表示这两个， 我设了未知数之后，我用个二号条件，三号和二号一起朝一划呀，为什么要朝一划？因为你接下来下一步用一继续往下算呀。那你表示完之后再加一号条件，它告诉我们平分线的呀，是不是这两个相等哎？ x 加二十度等于三， x 减二十度， 这样的话，是不是就比前面稍微感觉简单一点了？然后我们这个呢，这种思路呢，你是求出 a o d 的， 求完不要。呃，求完不要忘了啊，我们还没有求到最终结果，是不是不要解个 x 之后就觉得题目做做完了啊，思路要清晰，我们算出 a o d 来，之后呢，再算一下 a o c， 然后再乘以二就是 a o b 了，对吧？ 这就是一个几何证明的一个逻辑的构，嗯，一个，嗯，思路的一个构建啊，我们遇到之后呢，一般先是每个条件看一看能推什么东西，然后在两个条件一起，哎，去能推什么东西，推的这个东西呢，一定要跟剩余条件有关才行，对吧？ 一旦思路卡住了，去题目中找找你没有用哪个条件，那你就朝着这个方向去思考，一般都能找到突破口。 然后呢？嗯，这个大题目的解析过程啊，这个呢，大家就看看，不同地区哎，不同老师要求不同哎，按照自己老师的要求写就可以了啊。

洞角问题是初一数学期末考试的常见压轴题类型，今天我们来系统梳理其中一种重要模型，双角平分线模型，帮助大家彻底掌握这类问题的解析方法。这个模型通常分两种情况，我们逐一来看。 第一种情况， op 在 角 aob 内部。首先要提醒大家注意，很多初一同学刚开始做几何题的时候，容易只是盯着条件和图形看，不在图上做标记，这样往往很难找到思路。所以我们要掌握的第一个技巧就是 把题目信息清晰地标注在图上。我们一起来标一标，说角 aob 等于一百二十度， o p 为角 aob 内的一条射线，那么 o p 就 把角 aob 分 成了两部分，角 aob 和角 bop。 其中 o m 是 角 b o p 的 角平分线，那么这两个小角它的度数就相等。我们可以设它为 r 法，它也是 r 法 o n 平分角 a o p， 那 么这两个小角它的角度也一样。继续设它俩的角度是 b， 它 当然设度数为 x y 也可以。这时可能有同学会问，那设了两个未知数是要列方程吗？而且 o p 它不是固定的，而法贝塔也就不是一个确切的数，这怎么解？ 哎，这个问题非常好，这就引出了我们要掌握的第二个思想，设而不求 我们先用阿尔法北塔表示出相关角，再寻找他们与已知条件的关系。在表示和计算的过程中，他们往往会自然抵消，最终只留下我们需要的那个数值， 相当于起到一个桥梁的作用。我们来操作一下要求的这个角 m o n 是 不是可以用 r 法贝塔表示出来，哎，角 m o n 就 等于 r 法加贝塔。再看已知条件中的角 a、 o b 是不是等于这四个角的和呀？那就是阿尔法加二北塔等于一百二十度。好，两边同时除以二，阿尔法加北塔就等于六十， 所以角 m o n 是 不是就等于六十度呀？由此我们可以总结，当射线 o p 在 角 a o b 内部的时候，这两条角平分线 o m 和 o n 形成的加角 m o n 就 等于整个角 a o b 的 一半。 第二种情况， o p 在 角 a o b 的 外部，角 a o b 还是一百二十度。此时 o p 和角 a o b 的 两个边形成了两个角 a o p 和 b o p om 平分角 b o p， 就 说明这个角和这个角度数一样，我们还是设为 r 法 o n 平分角 a o p， 那 就说明这个角和这个角的度数一样，我们还是设为被它。 观察一下要求的这个角 m o n 能不能用 r 法被它表示出来，是不是就等于被它角减去这个 r 法呀？好，角 m o n 就 等于被它减去 r 法。 我们再看已知条件里的角 a o b， 它是不是这个整个的大角减去角 b o p 好， 那就是二倍，它减去二，而法等于一百二十度， 两边同时除以二倍，它减去，而法就等于六十度，所以角 m o n 就 等于六十度。 结论，当射线 o p 在 角 a o b 外部的时候，这两条角平分线 o m 和 o n， 它们形成的加角 m o n 也等于整个角 a o b 的 一半。 两种情况结论一致，无论 o p 在 内部还是外部，双角平分线所加的角始终等于圆角的一半，这就是我们常说的洞中有镜， 可以记一个口诀，双角平分线，一半，一半又一半。希望通过这次讲解，你能掌握这种模型的思考方法和步骤，我们下期再见。

恭喜大家呀，即将走完速客版七年级上册的数学旅程，今天啊，我们就来攻克最后一张，也就是整个初中几何的基石线段角。别小看这两个简单的图形，他们可是你未来几何大厦的第一块砖。跟紧我这一张的考点啊，难点咱们一次性搞定！ 第一部分，直击灵魂的线。首先啊，我们来看线，生活中有很多线，比如说桌子的边缘，笔直的公路，在数学里面，我们把它抽象成了线段。 线段有两个最关键的特点，第一，它是直的。第二，它有两个什么端点也它的长度呢，是有限的，是可以测量的，这就好比一根有头有尾的铅笔一样。 那么如果我们把这根铅笔的一端无限拉长呢？他就变成了射线。射线只有一个端点，另一端是可以无限什么延伸的，这个有个端点，然后朝这边无限延伸的， 就像手电筒一样啊，射出的光，或者是像激光笔发出的光束一样，都是射线的绝佳例子啊。那如果把线段的两端都无限拉长的，没错，他就变成了直线。直线是没有端点的， 可以向两段无限的延伸，所以它的长度是不可测量的。那么这里有个小技巧，帮大家区分一下 线段两个端点像一座桥，有头有尾。射线一个端点像一道光，有头无尾。直线没有端点像宇宙无头无尾。那么这一张呀，关于线段最重要的考点是什么呢？毫无疑问是两点之间 线段最短，这个是基本的事实啊，这句话非常重要，他解释了为什么我们走路总喜欢超近道。在考试中，他经常和生活应用题结合在一起的，比如 河边建一个水泵站，怎么建才能让到两个村的这个水管总长度最短？核心就是利用这个原理。第二部分，无处不在的角，聊完了这个线呀，哎呀， 我们来看一下由线组成的这个图形。角。角是怎么来的呢？很简单，就是从一个端点出发，引出两条什么射线，这两条射线所组成的这个图形，我们就把它称为什么角，那这个公共的端点就把它叫做什么顶点。 这两条射线啊，就是角的两条边，比如说张开的书本钟表上的这个时针和分针，都形成了什么角，是不是这样子的？那么爱心也是啊，角的核心是什么呢？是它的大小。 脚的大小啊，和两边的这个长短是没有关系的，比如说这边可以这么长，对吧？但是他脚的大小是不改变的，你把扇子张开的越大，脚就是越大的，你看这样和这样是不是不一样呀？啊， 怎么比较两个角的大小呢？我们可以用叠合法，就像叠纸一样，把两个角的顶点和一条边成和，看另一条边的位置。当然了，最精确的方法还是用两角器啊，两角器的使用是必考的操作技能，大家一定要熟练掌握。两对齐， 中心对顶点，零线对一边。好，接下来是角的这种分类，这也是必考点啊，比如说锐角是大于零度，小于九十度的。钝角呢，是大于九十度的，是小于一百八十度的， 他看起来就是一条直线啊。周角呢，是等于三百六十度的，比如说旋转一周就回到原位了，这是周角 啊，这里有个小口诀，锐角小于直角小于钝角小于平角小于周角。它们之间的关系也要牢记，比如说一周角等于什么？两个平角是不是等于四个直角？ 核心考点与易错点大总结啊！好了，知识点我们串完了，那现在进入最关键的划正点环节。第一个考点，基本概念的辨析， 选择题里最爱考你线段、射线、直线的区别以及角的定义，记住他们的端点和延伸性啊。考点二，基本事实的应用，比如说两点之间线段最短的应用题是大题常课啊，一定要会画图分析。 第三个考点，做图题，比如说硬尺规呃一，一个角等于做一个角等于已知角的，或者是做线段的垂直平分线的，这是几何证明题的基础啊，动手能力一定要跟上的 啊！这里面的易错点就是角的表示方法，当一个顶点处只有一个角时，你可以用一个大写的字母表示，比如说角 a 角 b 角 c， 单独的一个角。但如果一个顶点处有多个角，你必须用三个大写字母来表示，比如说角 iob， 角 boc 啊，并且顶点字母要写在中间，这是无数同学栽过跟头的地方啊。第二个易错点，就是角的计算，看到一个复杂的图形，里面有很多个角，不要慌， 仔细寻找这个对顶角呀，比如说对顶角相等是不是还有没有邻补角，邻补角相加是等于一百八十度的这种关系，还比如说互余的两个角啊，是不是他们和是呃，九十度啊，这些往往都是解析的突破口。 同学们，线段角啊，这一张是你们从竖的世界正式踏入行的世界的大门， 它不难，但非常重要，它教会你的不仅仅是几个定义和公式，更是观察、分析和逻辑推理的几何思维。 把这一张学渣舍你的初衷几何之路就成功了一半。好了，今天的内容啊就到这里了。嗯，我是胡老师，祝大家嗯，好好复习期末考的那个优秀的成绩。

来看到期上的几何题，这是期末必考题，但很多学生呢，比较费劲，因为几何证明题，他首先涉及了一个几何语言，其次有几何逻辑思维。好，那么我们进来看一下这个题他有什么特殊性？如图，已知角 a b o， 请在图中画出角 b o c 啊 b o c b o c 啊。以 o b 为一条边，以 o c 为另一条边，那么 o c 可以 在这边，是不是也可以在这边？所以很多人他只想到一种解，这思维就受限了，所以 o c 可以 在这边，也可以在这边。好，继续看有没有什么限制。条件受限， o m 受限 o m 使得角 a o b 大 于角 b o c。 你 看角 a o b 已知条件给的这个角要大于我们后来做的这个角 b o c。 好。 所以如果 o c 在 o b 的 右边，那么 o c 应该在角 a o b 里面，对不对？好，这是第一种情况。那么如果 o c 在 ob 的 左边，只要保证角 b o c 小 于角 a o b 是 不是也符合？所以这个题一共有这么两种解法。而且你看这个题原题给了你一个备用图，他不是那么好心，怕你这个地方画错了，然后让你在这个地方能够继续， 他给了你备用图，一定有他的用意，所以有这个备用图，你都应该要想到多解 好。继续 o m 平分角 a o c o m 是 角 a o c 的 角平分线，那画一下就行了。好， o m 平分角 b o c o m 是 b o c 的 角平分线，我们也给它画出来。好。如果角 a o b 等于阿尔法，角 b o c 等于贝塔，是用阿尔法和贝塔表示角 m o n m o n 应该是这个角， 这个角，并说明理由啊，那么这种题怎么做？你看角平分线，应该是一组等角，角平分线等角， 然后阿尔法北塔，所以肯定是要去寻找等量关系，然后用等角去转换一下就可以了。那么你看角 m o n 等于什么？你看 o m 平分角 a o c， 也就这两个角相等， o m 平分角 b o c， 也就这两个角相等。所以 m o n 是 不是正好有这个蓝色的加这个黑色的，也就是角 a o c 的 一半加上角 b o c 的 一半，对不对啊？你看提个公式，二分之一以后，括号里这个角 a o c 加角 b o c 是 不是就等于这个大角 a o b a o b 等于阿尔法？所以最后角 m o n 是 不是就等于二分之一的阿尔法？所以这个等量关系非常重要， 等量关系展示了以后，就对应的东西带进去就行了。好，接下来我们来看第二个同样的 o m 平分角 a o c o m 平分角 a o c， 也就是这两个角 要相等，然后 o m 平分角 b o c， 也就这两个角相等。那么你再来看角 m o m 等于什么？ 好，那么角 m o m 是 不是等于这个一个蓝色的这个角减去这一个黑色的角，也就是 m o c 减去 m o c， 那 m o c 是 不是二分之一的 a o c 啊？也就是二分之一的 a o c 减去二分之一的 b o c 减角 b o c 减角 b o c， 那 剩下来的是不是这个角 a o b， 所以最后它还是等于二分之一？角 a o b 跟前面是一样的，那么最后结果就等于二分之一阿尔法。你看这边是不是还是这个等量关系？所以寻找这个等量关系非常重要。

动脚小妙招，期末多得二十分，我们一起来看！给出一条直线， a b， 角 b o c 等于一百一十度，这是一百一十度的角。 三角尺 m o n， 其中角 o m， n 等于三十度，说明这是一个三六九的三角尺。这个三角尺呢，从 o b 出发，以每秒五度的速度绕 o 点，沿逆时针方向旋转。那三角尺的旋转呢？我们可以把它看成是 o m 和 o n 这两条洞边，再绕着 o 点沿逆时针方向旋转。同时呢，射线 o p 从 o c 出发，以每秒两度的速度绕 o 点，沿顺时针方向旋转。那射线 o p 从 o c 出发，绕 o 点，沿顺时针方向旋 转，时间都是零到七十二秒。问，经过多长时间？角 p o m 等于四十度？ 动点与动角问题一定是初一数学必考重难点，薇薇老师已经把线段动点求定值、动角有关计算问题、三角本中角度动态问题、角平分线的有关计算以及角 n 等分线的有关计算等九大题型，结合名校真题， 优中选优，为大家整理了动点与动角经典必刷题型。看完这个视频，再拿去给孩子练习，练完考试直接拿满分！需要的家长我发您一份 问题当中给出来的这个角呢，角 p o m， 很 明显它是一个动角，那他们之间的角度，我们可以理解为 射线 o p 和 o m 之间的距离。因此呢，这道题就是要求这两条射线之间的距离为事实的时候所需要的运动时间。因此呢，这道题的关键点就是我们要去弄明白 射线 o p 的 运动状态。那我们先来看动射线 o p 的 运动状态， 它从 o c 出发，绕 o 点，沿顺时针方向每秒两度进行旋转，速度为二，时间为 t。 因此呢，它的旋转角我们就可以表示为二 t， t 大 于等于零，小于等于七十二，那么二 t 呢，就大于等于零度，小于等于一百四十四度， 说明 o p 在 零到一百四十四度这个范围内进行旋转。也就是说，我们的 o p， 它从 o c 出发，绕 o 点，顺时针，会旋转到直线 ab 的 下方，但是呢，它不会超过射线 o c 的 反向延长线。接下来，我们来看第二条动色线， o m， o m 从 o b 出发，绕 o 点，沿逆时针方向每秒五度进行旋转，速度为五，时间为 t。 因此， o m 的 旋转角我们可以给它表示为五 t， t 在 零到七十二之间。那么五 t 呢，大于等于零度，小于等于三百六十度。 所以 o m 呢，它从 o b 出发，绕 o 点，沿逆时针方向刚好转动一周，回到 o b， 那 o m， 它可以在直线 ab 的 上方转动，也可以在直线 ab 的 下方转动。因此呢，我们先来看 o p 和 o m 这两条动射线，它们都在直线 ab 上方的情况， 这个时候初死位置，你看角 p o m， 它们是等于一百一十度的，也就是说，它们最开始的距离呢，是一百一。然后呢， o p 沿顺时针方向运动， o m 沿逆时针方向运动，我们可以把它理解为它们俩在相向而行，也就变成了一个相遇问题。随着运动的进行，它们迟早会相遇。那么相遇前呢，它们会达到四十度，相遇后也会达到四十度。因此呢，在直线 a b 的 上方叫 p， o m 是 可以达到四十度的 来，随着运动的进行，射线 o m， 它会绕着 o 点逆时针旋转到直线 a b 的 下方。 同时呢，射线 o p， 它也会绕着 o 点顺时针旋转到 a b 的 下方。因此在直线 a b 的 下方呢，它们也会相遇，那么相遇前和相遇后呢，它们一样的会达到四十度， 所以呢，在直线 a b 的 下方，它们也有可能等于四十度。那这道题我们就需要分两种情况来讨论，一种是在直线 a b 的 上方角 polm 等于四十度来 我们分别来看这两种情况。首先来看第一种，这两条射线都在直线 a b 的 上方，这个时候它们的距离为四十来，要表示它们的距离，我们是不是就要表示出动射线 o p 和 o m。 那这个时候我们可以选择水平的射线为初死位置，我可以选择 o b 对 应着零度，那 o a 呢，就对应着一百八十度，而这个角 b o c 是 一百一十度，所以 o c 呢，它也就对应着一百一 来，接下来我们来表示动射线，我们可以选择逆时针方向为正方向，那么顺时针方向呢，就为负方向了。 o m 它是从 o b 出发，沿逆时针方向每秒五度进行旋转，因此 o m 我 们可以把它表示为零，加上五 t， 零加五 t 就是 五 t。 那 o p 呢，它是从 o c 出发，沿顺时针方向每秒两度进行旋转，因此 o p 我 们可以把它表示为一百一减二 t， 表示出了这两条动射线。接下来我们来表示角度叫 p o m， 也就是这两条动射线之间的距离，因为它们分为相遇前和相遇后，所以我们给它引入绝对值，让它们无脑作差加绝对值，那就是五 t 减去一百一，再加上二 t 的 绝对值，表示它俩之间的角度，也就是它俩之间的距离 为四十。化简后，也就是七 t 减去一百一的绝对值，等于四十解这个绝对值，方程去掉绝对值，把它转化为两个一般方程，七 t 减去一百一等于四十，或者呢， 七 t 减去一百一等于负四十解。第一个方程算出来， t 等于七分之一百五解，第二个方程 算出来， t 等于十来。这就是我们的第一种情况，这个时候，这两条动色线呢，都在直线 a b 的 上方。接下来我们来看第二种情况，当它们运动到直线 a b 的 下方的时候，来这两条动色线，它们之间的距离仍然是四十。 同样的道理，我们仍然把 o b 呢表示为零度， o a 表示为一百八十度， oc 表示为一百一十度。接下来我们来表示这两条动色线，先来表示 o p o p， 它从 o c 出发，绕 o 点，沿顺时针方向转动了二 t， 所以呢， o p 我 们还是把它表示为一百一减二 t。 接下来看 o m， 这个时候我们的 o m， 它是从 o b 出发的，绕着 o 点逆时针旋转了，哎，这样一个角度，这个路程呢是五倍 t， 注意，这个时候它已经旋转到了直线 a b 的 下方，这个旋转角呢，已经超过了一百八十度。所以呢，角 b o m 所表示的角就不再是这个大于一百八十度的角，而角 b o m 表示的角应该是 这一个角，这一个角，我们就把它表示为三百六减五 t， 说明呢， o m 这条动色线， 它在 o b 的 顺时针方向，并且距离 o b 三百六减五 t 的 单位，因此这一条动色线 o m 的 表示，它跟前边是完全不一样的，所以我们就把 o m 表示为三百六减五 t 的 相反数， 这里的负号呢，代表方向，说明它在 o b 的 顺时针方向，哎， o b 的 顺时针方向，这里的三百六减五 t 代表距离，说明它距离 o b 这条射线三百六减五 t 的 单位。化简后， o m 也就等于五 t 减三百六， 表示出了这两条动测线。接下来我们表示角度角 p o m， 也就是它俩之间的距离一样的，分为相遇前和相遇后，所以我们还是无脑作差加绝对值来表示，那就是五 t 减去三百六， 再减去一百一，加上二 t 的 绝对值等于四十。化简后也就可以得到七 t 减去四百七的绝对值等于四十。哎，去掉绝对值，把它转化为两个一般方程，那就是七 t 减去四百七等于四十，或者呢， 七 t 减去四百七等于负四十。分别解这两个绝对值方程，第一个算出来 t 等于七分之五百一，第二个解出来 t 等于七分之四百三。哎，一共算出来了这样四个答案。最后别忘了还要去看 t 的 取值范围，零到七十二。很显然，七分之一百五满足要求，十满足要求， 七分之四百三也满足要求，但是七分之五百一已经超过了七十二，所以呢，这一个要舍掉。因此这道题一共有三个答案，同学们，你们听懂了吗？关注微微老师，学习如此简单！

本期视频我们讲解角当中的三等分角方程，如图，已知 a o b 等于一百三十五度， c o d 等于四十五度。好，我们把它标上 a o b 幺三五度， c o d 等于四十五度。哎，你会发现现在整个大角当中唯独 b、 o c， 哎，把我们这两个已知角给隔开了，对吧？当我们 c o d 和 a o c 内部分去做了两条射线，叫做 o e 和 f， 使得它们 达到了三等分角，也就是 e、 o c， 来看一下在哪里？在这等于 a、 o c 整体的三分之一。同理， d o f 这个角等于我们 b o d 整体的三分之一。让我们去求 e、 o f 的 度数，你会发现我们要表示出这个小角和这个大角的三分之一， 以及我们的 a、 o b 是 我们的 e、 o c 的 三倍，都需要用到 e、 o c， 但是 e、 o c 他 偏偏就是没有给我们，没有给我们怎么办？那我就射好射的，是因为我要表示啊，我们之前讲过，不是看他给什么，而是我要什么，对不对？好，来看第一个 d o f 等于三分之一的 b o d， 我 们看看在哪里？哎， d o f 下面那个角等于我们整个大角 b o d 的 一半，而 b o d， 当我们把 r 说出来之后，大角不就是四十五度加上 r 吗？所以 这个部分不就是三分之一吗？三分之一的四十五度加上 r， 同理，那是不是我顺带着就可以把哎 b、 o f 表出来了？那它不就是三分之二倍的四十五度加上 r 吗？好，接下来看 e o c 等于三分之一， a o c 来 a o c 啊， a o c 在 这里一百三十五度加 r， 而我们的 e o c 在 这等于什么啊？等于我们的 三分之一。好，所以表示一下啊， e o c 就 等于三分之一倍的一百三十五度加上 r。 好， 然后我们来看问题，我要表示的什么？哦，我要表示的是 e o f， 如图所示，请问 e o f 该怎么表示呢？哎，它是不是就有三分之二倍的四十五的加 r， 再加上这个小的部分，这小的部分怎么表示啊？哎，我用蓝色去减去这个 r 不 就搞定了吗？好，所以 由图所示，我们可以得到， e o f 等于三分之二倍的四十五度加上 r 发，再加上啊，这个小的部分等于三分之一 一百三十五度加上 r， 再把中间这个 r 减掉，是不是就可以了？好，化简一下就等于多少呢？三十度加上三分之二倍的 r， 加上四十五度，再加上三分之一 r 减 r， 你 发现，哎，我们的 r 是 不是全部约掉了？所以最终的结果就是四十五度加三十度，所以是七十五度。 ok， 好， 当我们在表示脚的过程当中，你会发现某些脚他没有给我们的时候，但是我需要表示的时候又必须用到的时候，那我们就把它射出来，不要怕啊，我射完之后我又解不出来怎么办？ 那他都是凑好的，一定是可以约掉的，如果没有约掉，那就说明我们在表示的过程当中出现了问题，可以反过去检查。 ok， 好， 本期视频就到这里，大家拜拜。