八上数学翻折法

同学们，我们来看一下初二期末必考题翻折问题视频，最后还有一个练习题留给大家，这个翻折问题呢，是很多同学学到勾股定力和四倍形这一章呢，感觉非常头痛的一个问题啊，他会感觉这个哎呦， 条件没办法去用了对不对？然后算不出线段长度了，没办法下手了。但这种题目我们其实有固定的解决套路的，我来跟大家讲一下吧。啊，当然呢，如果这个题目比较简单的话，你是不需要用到我这个套路的啊，如果稍微题目难一点的话，你可能需要用到我的套路啊。第一个叫什么？叫做抓不变量？ 第一个你要抓不变量啊，不变量体现两个方面，第一个什么？第一个是边长不变，对吧？第二个什么？第二是角度不变啊，第二是角度变。比如说，我们拿这个题目来看一下喽，他说这个矩形 a、 b、 c、 d 中 a b 边等于六， 然后呢， bc 边等于十，他说将这个矩形沿着 a、 e 翻折得点落在 f 点，对吧？那我们来看一下，这里面叫抓不变量，对吧？我们把这个边和角的不变 一样找出来，比如说啊，这个 abc 是 十，那么 a d 是 不是也是十？ a d 是 十，一翻下来，那么 af 是 不是也是十？ af 十的话呢？这个是六，这个是十，这个只要算得清，那很自然想到，那么这个 b f 就 该等于什么？等于八，那这个等于八的话，那么这条边就该等于什么？等于二。 所以你要找到这些边的不变，当然还有什么呀，还有这个的 e 和这个什么 f 一 相等，对不对？这边还有角相等，比如说这个角和这个角相等，这个角是直角，这个角也是直角，还有这个角和这个角也相等，对吧？方折前，方折后，它只会怎么样？只会改变位置， 它的形状大小是不变的，所以你要找到边和角度的不变量啊。 ok， 那 你再看到这个题目，我现在还能做下去吗？他要求 c e 的 值，对吧？我现在能够求的线段长度我全部求出来了，但是你发现没有，其他没有线段长度可以求了，对吧？那这个时候怎么办呢？哎，这回呢，我们第二个技巧，我叫什么叫黄金搭档啊？ 这是我给他取的名字，叫黄金搭档。啥意思呢？ 哪两个环节搭档呢？他一般需要这样子。同学们，你看刚才这个题目是不是我们做不下去了？我们还需要线段长度，我们才可以去求 c， 但是你发现少了线段长度，对不对？那我们怎么办呢？我往往需要干嘛？往往需要去设 x， 往往需要设 x。 第二个，你设了 x 之后，你是不是要构造 y x 方程啊？那怎么去构造呢？哎，我们叫什么叫做勾股定律， 我们通过勾股定律去构造关于 x 方程。哎，这个题目就可以迎刃而解了啊。那你看下这个题目是不是这样子呢？它要求 c 是 吧？那我就设 c 一 x 咯。 c 一 x 的 话，那么得一是多少？得一是不是六减 x 啊？得一是六减 x， 那 么 f 一 是不是也是六减 x 啊？同学们，那么我们说了，你设 x 是 要通过 勾股逆来构造方程啊，对不对？老板，求出来就可以了嘛。那怎么来构造方程呢？我是不是可以在这个三角形前面使用勾股逆，对吧？立马就会有。二的平方加上 x 平方等于呢？六减 x 平方，整理一下， 四加上 x 平方等于 x 平方减去一十二， x 加上三十六， x 方， x 方约十二， x 挪过去三十六减三十六，减四等于三十二。所以 x 就 应该等于一十二分之三十二，约个分，约个几啊，约个四，这里约掉就应该等于三，这里应该等于四的话， 八，对吧？所以最后求出来 x 得多少， x 得三分之八，三分之八。好，后面还有个练习题留给大家，大家完之后可以把答案写在评论区。

初二数学期末综合类题型思路分析今天我们来看一下这道题目啊，这是初二期末的一道综合题， 如图，在等腰三角形 a b c 中， a c 等于 b c 顿点 p， 从点 b 出发，沿 b c a 运动到 a 停止 点 p 运动的路程为 x a b p 的 面积为 y y 关于 x 的 函数图像如图所示，求 a b 的 值。 那么看这个 y 根 x 的 图像啊，发现呢，这个面积是慢慢慢慢变大，最大七点五，然后又慢慢慢慢变小，变成零，路程为十的时候，面积变成零。来，我们在左边图形当中观察一下，随着点 p 的 运动， abp 的 面积到底是怎么变化的。 那我们盯着这个三角形来看，我们要求它的面积的话，底乘高，所以我们要区分一下，以谁为底，谁为高，容易理解， 那就三条路线呀，以 a p 为底对应的高，以 a b 为底对应的高和以 b p 为底对应的高，哪个好理解呢？哎，最好理解的是过 a 做个高 ad， 那 这样的话呢，这个 s 三角形 a， b p 就 等于二分之一乘 b p 乘 ad， a d 是 一个不变的量，那么这整个面积的变化就看 b p 线段长度就行了。这样我们就很容易理解啊，从 b 到 c 的 过程中， b p 在 一直变大，当点 p 到点 c 的 时候 是什么？ b p 最馋的时候，也就是面积最大的时候，七点五的时候，过了点 c 之后啊，过了点 c 之后，这个 a b p 的 面积又会怎么样？慢慢缩小是不是？那过了点 c 之后，他就会哎，过 b 做个高来看了啊。 b e c 到 a 的 时候，这个 s 三角形 a， b p 是 不是等于 a p 乘 b， e 乘二分之一，对吧？这个 b e 也是不变的，看 a p 线段是不是慢慢的又缩小了， 对吧？好，理解清楚这个之后呢，我们就能明白了。单点 p 到 c 的 时候啊，这个最大值是七点五，这是 p 到 c 的 时候， 那这个点是什么时候？是不是当 p 到 a 的 时候， p 到 a 的 时候，正好是什么呀？面积变成零了，哎，那这个 x 表示的是 p 的 运动路程呀， 说明什么？当 p 从 b 到 c， 再从 c 到 abc 加 c a， 它的运动路程正好等于十，那这两条边又是相等的呀，所以我们其实就能算出 bc 等于五了，是不是？好，然后接下来呢？最大面积七点五，七点五是什么时候？是点 p 到 c 的 时候呀？ 哎，是不是 abc 其实就是什么 s 三角形 abc 等于七点五，是不是这个道理，对吧？ p 到 c 的 时候呀，那我们看这个 ad 是 几呢？哎，就能算出来了吧？ bc 是 五了呀，是五乘 ad 乘二分之一，等于七点五，我们就能算出来 ad 应该等于十五，除以三，对吧？ ad 等于三呀， 然后呢？ a c 等于 b， c 等于五。在这个 a、 d、 c 当中，根据勾股定律，我们能算出 c， d 等于四，是不是那 b、 d 就是 一了？ 那再在勾股定律，这个 ab 就 应该等于根号下三的平方，加一的平方等于根号十，就解出来了啊。

老师老师，翻折题不会做怎么办？我要不要告诉他？只要记住这个公式，一秒出答案。公式就是宽比长乘对角线等于折痕长度， 宽是三，长是四，对角线是五，但如公式得到，折痕长度为四分之十五。算了，为了孩子好，我还是告诉他吧。想知道更多数学题分秘籍，记得关注我。

同学们好，我们看一下这个二十三题，这个题呢，是一个截长补短的探求题。第一问啊，他跟我们说的是 一二倍角，这里有二倍角，就是 a、 c、 b 是 二倍的角， b 等于九十，所以它是个等腰直角三角形。然后呢，它是通过连接 d、 e 截取啊，截取 a、 e 和 a、 c 相等，利用角平分线翻折对称，构造全等，然后 a、 b、 a、 c、 c、 d 之间的数量关系， 这样一构造， d、 c 和 e、 d 就 相等了，并且呢， e、 d 和 b、 e 又是等腰三角形。然后呢，我们看到这个 a、 c 呢和 a、 e 相等，于是呢， 于是我们就发现了，是 a、 c 加 dc， ac 加 dc 等于 ab， 这个第一个就很好证，那第二个呢，是它图形变了，变了以后呢，是说 b、 a、 c 是 它的啊，是 abc 顶上面这个角 a 的 邻补角，补角的啊，补角的平分线，然后它交 bc 于 d， 那 是一样的啊，套路一样，连一个 abcde。 连完以后啊，我们注意，连完以后的话，是这个蓝色的线， ed 和 cd 是 相等的。 然后呢啊，这两个红色线段是相等的，这两个红色线段相等。题目说问的啥是 abac， 那 ab 加 ae， 然后注意啊，因为题目说 这个 a、 c 红色啊，橘色的双弧线角，注意，这两个橘色双弧线角是相等的，因为我们构造全等以后啊，这两个紫色单弧线相等，所以橘色双弧线也相等。于，是呢，它等于 外角，相当于三角形，这个 a、 e、 d 的 外角，它就等于角 b 和这个 b、 d、 e 相加，然后两个角相等，从这就可以得到 a、 b 加 a、 c 等于 c、 d 啊，因为 c、 d 等于 e、 d， 这个就很好证。第三问，第三问的话，是要利用这个三十度数，这是要变成斜面一半来计算啊。 b， a、 c 九十度，然后是题目告诉我们是一个三十度啊，三十度，直角三角形， a、 b 二倍根三，我们标上 a、 b 是 二倍根三， a、 c 是 二，然后呢， a、 d 一 和 a d 二是两个角平分线， 然后他让我们直接写出 a、 c、 d 一 和 a、 c、 d 二的面积啊，他直接让我们写出面积，写出面积的话，那就先做个高吧， 先做个高，注意看啊，这里是三十三十度所对直角边斜边一半，所以 a h 就 等于根号三， a h 根号三。再来，再来啊，因为这个 好，我们继续啊， a h 等于根号三。然后呢，我们利用需要做一个辅助线， 我们利用这个 a、 d 一 啊， a、 d 利用角平分线的翻折构造一个全等。我把这边为了方便计算，把这个线擦掉啊， 我这里标个 m 吧，注意 d e m 这里是六十，这里是六十，然后呢，这里是三十，因为三弦外角等相等两点角之合，于是 mb 和 m、 d 一 相等， 我们就发现了啊，是 m、 d 一 加上 am 是 不是就等于二倍根号三呀？ 那同样道理， c、 d 一 加 ac 是 不也等于二倍根号三呀？于是呢，我们，我们因为我们知道 ac 是 二， ac 是 二，于是我们就可以得到 c， d 一 等于二倍根号三减二。好， 我们就知道 c、 d 一 等于二倍根号三减二。好，很重要，这个信息得到了，然后我们接着再来，同样的啊，同样的招法，我们在这用一下。 我们同样啊，利用角平分线翻折构造全等， a、 c 是 二， a n 呢，也是二。 好， ac 是 二， a n 也是二。呃，我们上一个题第二部分已经证明过了， ab 加 ac 等于这个 cd 二，于是呢， ab 是 二倍根三，这是二，就是二倍。根号三加上二。 cd 二啊， cd 二就等于二倍，根号三加上二。 现在这个题目呢，他问的问题呢，他是让我们直接写出 a， c， d 和 a， c， d 二的面积，他还分两个写，如果写，写一块还好，写的分两个写，分两个写吧， a， c， d 的 面积我我写下面算啊。好， 我们这个面积呢，就可以算了啊。 s， 三角形 a， c， d， e， a， c， d 呢，就是二分之一乘以括号乘以，这是 c， d 一， 再乘以高是 a， h， 然后呢，就等于是二分之一乘以括号里面是二倍。根号三减二，再乘以根号三。好，这个计算的是这样的啊，是二分之一乘以二。提一个公式， 提个公式，根号三减一，再乘以根号三。二分之一乘二没有了，那就是根号三减一，再乘以根号三，然后就等于根号三乘以根号三减一，乘以根号三。 完了，就是三减根号三。好，三减根号三，这三减 s， a， a， c， d 一 s 三角形 a， c， d 二呢？它就等于二分之一啊。我们看一下图，二分之一乘以 c， d 二啊，乘以 c， d， 二乘以 a， h， 二分之一乘以括号里面是二倍，根号三加上二，然后再乘以根号三， 然后同样道理啊，同样道理，和上面解法是一样，最后就是三加上根号三，这是三角形 a， a， c， d 二的面积啊。

网格作图作 f g 垂直 a c， 且 f g 等于 a c。 本题本质上是 作 f g 平行于 b c， 并且 f g 等于四。方法是把线段 a b 向右平移四个单位，则 d e 与纵向的隔线的交点 g 与 f 连起来就是求作的线段。

好，第八题来看一下啊，这种题考试的时候，因为它是涉涉及到一个折纸，然后还有动点轨迹，所以考试的时候拿一个相对比较准确的纸，你看，我给大家模拟一下这个场景啊，就是考试的时候，哎，你拿个纸片是不是？但是这个纸呢，稍微准一点， 这段是二两分的，这段是五分的，你不要拿一个，你就直接这样来放，肯定是不行的，是不是？好，那么这个纸我们来看它绕哪，这边是不是截取了一个一的位置，点音是不是在一的位置，然后呢？这个 f 点上面那个 f， 你 看看，是从这个位置，他没有走完全程，原版的这道题是从 a 点一直运动到这， 每一次呢，来一个 f 是 不是都是沿 e f 是 不是翻折一次？所以我们要开始找第一个最特殊位置，是不是 f 在 这个顶点处的时候，好，所以考试都拿一张纸，你看像我这样，哎，一折我的第一个焦点记是不是就抽出来了？所以你在这标好，这是我的第一个记的位置， 看到了，是不是？那么再往这边走，开始这个点开始，比如说随机再拿一个时刻，你看还是这个点呢？ 是从刚那个位置是不是开始往右边走了，看出来了吗？是不是再往这边一直走，走走，这个点是不动的啊？这个一点，哎，一直到这你会发现竖直的这个时刻是不是第二个零截止了， 对不对？相当于从这个点是不是跑到这个，对不对？考试的时候再把第二个记点是不是又标出来了？所以我们把它画出来啊，我们把第二个时刻也把它画出来，就考试的时候拿个纸裁一下。纸没关系的啊，是吧？一个草稿纸可以裁吗？ 不可以拆啊，哎，就是不可以拆，你就折一下，这样折总归可以，是不是应该可以拆的啊？大家带一张纸是不是啊？带，自己带不可以，草稿纸可以折一下啊？好，然后继续来看。那么这个点还没有到终点，这道题是不是要运才运动到？二，看到了是不是？好，所以这个点再往这边我再随机找一个时刻，我们来折一下看， 再随便折一个位置啊，你们发现这个点从刚那位置是不是又往回走了，看出来了吗？对吧？刚还在这一侧的，看，是不是又开始往，哎，是不是往这边走了？开始看到是不是，哎，又往回走了。所以这道题涉及到一个往返的一个过程了，就是去，是不是又回来， 哎，对，我们要对第十一周，你还记得这个？是不是？当时有一周交案我们可是讲过，这道题应该都有印象的，是不是那道题也是拿一张纸是不是去折 那？那道题就是原版的那道大题了，当时是没领考的道题啊，非常那题难度系数非常高的，也是折来折去的，对吧？那道题是原版，是不是整个走完的？我们这道题是没有走全的啊。所以折完之后，我们把几个临界时刻来把它画出来啊，来画出来。 那么第一个特殊的时刻我画小一点啊，第一个特殊的位置在于我们是不是正好，哎折到这个位置啊，哎，这个图怎么掉了 是不是？你看，哎，从这个位置进行翻折，是不是翻到了这个时刻，大致是不是这个图是长这样的， 是不是？好，那也就是说这个是一，我当然想求一下这个焦点第一个祭点所在的特殊的位置在哪了， 那我们当然，哎，我们来看看一下，这是二，我就设这段是 x 翻折吗？一般要勾股，是不是基本上翻折就必勾股了啊？好，那么这是 x， 我 讲过所有的翻折问题，一定要不要光盯着边，要看角呢？所以这俩角相等，再来一个内错角，所以这三个角全都是相等的， 我要的是等腰，我要的是我这两个边可是相等的呀，看着了，是不是要的主要在这个点上了啊，所以这是 x 的 话，这一段是不是就是四减 x？ 看到了是不是四减 x， 那 根据等腰，我也是四减 x， 那 么接下来这个三角形是不是可以进行勾股定律了， 我就不用列这个式子了吧，是不是啊？自己把式子一列，这个 x 当然可以求出来，是二分之三，我就不算了啊，我找找特殊的时刻啊。好，那当然，哎，下一个时刻比较特殊的，我们刚指折过了啊，是不是正好把它翻成一个正方形的时候， 你看这里头相当是一个正方形了吧，是不是啊？那么这是一的位置，这是二，那当然这段长也是二，所以这个时候第二个记点也是非常特殊的，这段长是不等于二， 所以其实第一段轨迹已经出来了，相当于咱们是不是从交点二分之三的这个位置，是不是走到了二的这个距离，所以走的长度看出来了吧。你看我这种题的求法，有个细节，不知道大家有没有关注到，我都是在表示这一段长度， 都是在表示这个。呃， b g 的 长我没有换。有的东西在写着写着就开始表示另外一种，你就很乱了，我是不是都是以这个点为参照物？看到了，就像你的物理的是不是有个参考点在哪？是不是我都是以它为参照？ 那么一开始距离这个参照物是二分之三，接下来运动的是不是距离这个参照物是不是两个单位？所以第一段路程是不是就是二减二分之三对不对？好，那么画在这个位置吧，画不下了啊， 好，最终的当然是不就是他到终点的这个时刻的时候是不是？好，所以到这个时刻的时候，我们大概呢就是到这个位置了啊，哎，这个图，哦，他不是从这个点开始运动的，是不是 把图画稍微准一点啊？在这个位置大致啊大致这样的一个图是不是好翻到哪了？翻到这两个都等于二分之五的时候， 哎，这两个都等于二分之五的时候，是不是好都得二分之五。我当然很想求一下这段长到底是几啊？来，我说了，所有的翻折一定要赶紧看看角呀，这个角呢，等于这个角，当然是不是也等于这个角了，所以这道题的这两个边还是相等的。 但是我还想求这个是 x 啊，我是不是以它为参照物？是不是？这是 x， 这是一，那这段就是四减 x， 那 我这段当然还是四减 x， 但我没有办法进行勾股定律的一个构造了，其实你放哪都行，你比如说你放这，哪怕你过这一点做垂直是不是都可以构造这个勾股定律？是不是？好，比如说我坐在这一侧，大家来观察啊，那这一小段是不是就是二分之五减 x？ 就是 这个了？ 看，因为这个 x 是 不是上来了，看到是不是二分之五减 x， 然后这一段长四减 x， 这段长是等于二的，看出来了吗？ 这个四减 x 在 这吗？是不是？这是不是四减 x 呢？这是二分之五减 x， 这是二，看出来了吧？这个勾勾那里看出来了吗？是不是？所以二分之五减 x 平方加上二的平方就等于四减 x 平方 x 当然是可以被求出来了， 这个情况 x 方可以消掉，所以他的计算量不是那么大啊，还好，是不是，哎，这个 x 呢，算出来等于十二分之二十三， 十二分之二十三。所以这道题整个过程是这样子的，一开始运动的出发的位置是不是这一段长度是不是二分之三？从这个点是不是一直走到了距离出发点二单位？是不是走了二分之一个长度， 然后又往回走，走到哪呢？走到了这个点，是不是到他距离是十二分之二十三的位置？听懂意思了，所以他是有一个去又回来的过程， 所以整个轨迹长就等于二减二分之三，这是第一段。第二段呢，是二减去二分之十三啊，二减二分之十三，因为又回去了嘛，是不是啊？所以整个这道题答案呢？是十二分之七个单位啊，十二分之七个单位， 所以这个就是他的路径长了啊。呃，今年，嗯，难免会有学校，比如说考虑到，哎，我出一个翻折，因为你看这道题的关键因素其实是在于除了动点轨迹以外，还有勾股定律在那边呢。而且勾股定律我们说常考的压轴题型是不是就在翻折问题上，所以他知识点都含盖了， 完全可以这样来考一道题的，知道吧？哎，你说我不出来，小题我放在对吧最后一道大题或者几何那道问题，我最后一问加个这个呢？哎，对吧？也有可能，但是出这个就难度系数就高了啊。这个期末应该，对吧，不会这么变态吧，对吧？应该不会这么难啊。