2026淮南市一模数学立体几何

首先恭喜二零二六年六月丰富高考考场的你们！说到这条视频，那真是找到了数学逆袭的捷径。今天给大家分享的都是学校老师绝对不会透露的偷分技巧，哪怕你数学基础差， 啥都不会，也能轻松白拿。二三十分的内容很可能被平台限流，建议你赶紧收藏，千万别让同桌看到悄悄偷分逆袭。 去年我带过一位河南的艺考生，上高中三年基本没怎么学过数学，完全是零基础起步。跟着我系统学习后，高考数学直接考到了一百一十八分。今天我只给大家筛选过去五年高三大考中 选择题最常用最实用的五十五条秒选绝招，每一条都是网接落榜生用经验和泪水总结的精华。为了防止你们认为我在吹牛，咱们直接上整体实操验证。第一，外界求求体积。这类题目根本不用看题干，主要题目要求求 外界球体积。我们直接令每个选项等于三分之四， pi r 的 三次方，返回后半径需要开三次方的选项直接排除，直接选 a 够不够快？ 第二，圆椭圆双曲线的切线方程，学长教大家五秒钟秒减，去掉 x、 y 的 平方，把 p 点数字二和三写在前面，切线方程就是二， x 加三， y 等于五。我们再来一道题，去掉 x、 y 的 平方，把 p 点、数字一和三写在前面，化简得到切线方程 x、 y 等于四。第三秒求法向量。记住这个口诀，向量横着写两遍， 叉头去尾曲，中间交叉相乘纳结撇。学生以这道题为例，手把手教大家怎么用每个向量写两遍，九八五九八五二幺幺二幺幺，叉头去尾曲，中间交叉相乘，纳结撇得三，纳结撇得一纳结撇得负七，轻松搞定。这样其实比我们连力方程快的太多太多。最后，学生深入研究了近十 十年的高考数学正题卷，提炼出五十多种核心模型和四百多道典型题目。需要的同学不要犹豫，后台告诉我你的年纪。例如高三加数学，你累计帮助上万名高中生逆袭九八五二幺幺。但凡你想数学逆袭，必须要好好背一下。

二零二六全国卷高考数学一模卷四百字解析本卷为二零二六年全国卷高考数学一模试题，满分一百五十分，考试时间一百二十分钟，整体贴合高考命题风格，难度梯度清晰，侧重综合能力与核心素养考察。 试卷分为选择两部分，单选择题覆盖复数、集合数列、圆函数、对称性、三角函数、向量、立体几何地推，以基础运算与灵活转化为主，考察知识覆盖面广。多选题聚焦概率、抛物线、数列性质，注重概念变稀与多选项判断，对严谨性要求较高。 填空题涉及二项式定律、双曲线、离心率，代数是最值，计算量适中，强调方法技巧。解答题是试卷核心概率回归方程题，贴近生活实际。 解，三角形结合边角关系与角平分线。考察公式，应用立体几何围绕面面垂直，二面角线面垂直展开，兼顾证明与计算。解析几何，考察轨迹方程定点定值与最值，综合性强。 考试压轴题结合函数凹凸性、切线单调性与不等式证明，逻辑要求高，区分度显著。试卷基础题占比合理，中档题侧重方法迁移难题，考察思维深度，全面检验高三复习成果，对高考备考具有较强导向作用。需要解析答案。评论区里。

好，我们先来看一下刚考完的百校联营的英模试卷，这是第二十二题几何的压轴题啊。如图，在三角形 a、 b、 c 中， a、 b 等于 a、 c， 角 b， a、 c 等于九十度啊，那么这个三角形就是一个等腰直角三角形 啊！ d 是 在 bc 的 延长线上连接 ad， 将线段 ad 绕点 ad 时针旋转，九十度啊，得到 a、 e， 所以 三角形 ade 也是一个 等于二 t 三角形啊。第一问，判断 b、 d 与 c 的 数量关系和位置关系，那 b、 d、 c， 那 么首先位置关系很明显是垂直，数量关系应该是相等， 那有判断垂直和相等，垂直相等的话，正常我们是需要判断全等的 位置关系，那九十度垂直，这个四十五度，那么证明他是四十五度就可以了。那么在中考的过程中，你不管你会不会写，只要你能看出来的东西，你先写上理由会不会再说啊，最起码能得到个一分两分，这样子，你如果你一个字都不写，那肯定一分都没有， 那我们来看一下这有什么条件全等的话， b、 d 和 c、 e， 那 么看他在哪两个扇形里面也很，一个是在 b、 a、 d， 那 一个是在 c、 e， 那 那就考证呢？那第一问，因为 ab 等于 a c， 角 b， a、 d 等于角 b， a、 c 加上角 c、 a、 d， 角 c， a、 e 等于角 e， a、 d 加上角 c、 a、 d， 那 b、 a、 c 和 e、 a、 d 都是九十度，所以角 b、 a、 d 是 等于角 c、 a、 e 的， 然后 a、 e 等于 a、 d 啊，所以三角形 e、 a、 c 全等于三角形 d、 a、 b， 那 就可以得到 b、 d 是 等于 c、 e 的， 同时角 a、 c、 e 是 等于角 b 等于四十五度，所以角 e、 c、 b 是 等于 九十度，那就可以得出，所以 b、 d 垂直 c、 e， 且 b、 d 是 等于 c、 e 的 啊。这是第一问，还是比较简单的。第二问， 入图啊，延长交一点 f 连接 b， 既为 ab， 中点连接 g、 f 啊。第一问，当 ab 等于二，那它也是二， g、 f 是 垂直， g、 f 是 垂直，就是终点，又有垂直，它垂直，那 b、 c 是 不是？ b、 c 是 不是也是垂直？所以又有题义可得， g、 f 是 平行于 b、 c 的， 就平行于 b、 c， 那 g 是 中点，因为 g 为 b、 e 中点，所以 f 为 ec 正点，那他考的不？其实考的不就是中微线吗？那 bc 等于根号二倍的 ab 等于二倍，根号二， 那所以 g、 f 等于二分之一 b、 f， bc 等于根号啊。哎，第一问和第二问还是比较简单的，这样难在第三问，如图三过点 c 作 c、 h 平行于 b， a 交 a、 d 于点 h 啊。 a、 e 和 g、 f 相交于点 p， 如果它俩全等，注意它坑在这里，它俩全等，它并没有用全等符号，它中间写的是雨， 是吧？所以因为全等和相似中，我们字母要什么一一对应， 它这里没有给符号，所所以它的字母不一定是一一对应的，懂吗？那比如说 a、 c、 h 是 九十度，因为平行它 a、 c、 h 是 九十度，那 a、 p、 f 一定是九十度吗？ a、 p、 f 一定是九十度吗？ 不一定，但是它是确定它不一定。然后再来看， 求 c、 h 比上 c d， c、 h 比 c、 d， 那 很明显相似它两平行，那和三角形 c、 h、 d 是 相似于三角形 b a、 d， 也就 c、 h 比 c、 d 是 等于 a， b、 b 比上 b、 d， 然后你怎么办？那我们来仔细来看一下这道题，所以第一问的条件你是判断，所以我们是可以用的。把这下面擦一下， 因为它是延长，所以 u、 t 可以 得到什么？ 这个三角形 b、 c、 f 是 个等腰 直角三角形 b、 c、 f， 它肯定是个等腰直角三角形，那它有中点，所以 c、 a 是 垂直于 b、 f 的， 所以 a 为 b， f 中点， a 为 b， f 中点， g 又是他中点，正常遇到两个中点是需要连接的，所以连接 g、 a， 然后应该怎么办？ 连接 g、 a， 要想让它俩一一对应，那 u、 t 的 三角形 b、 c、 a、 r、 t 三角形 a 为 中点， 所以 a、 f 是 等于 a、 c 的 啊，刚才我们在说的字母要一一对应，那么 a、 f 等于 a、 c， 它是不动的，那我们现在应该是三角形 a、 f、 p 是 全等于三角形 a、 c、 h， 那角 a、 c、 h 是 九十度，所以也就是角 a、 f、 p 是 等于角 a、 c、 h 等于九十度。再写，也就是 a、 f、 p 是 九十度，那把这个图给它重新画一下， 记在这里。这是九十度， 那它是九十度，那应该怎么办？ g、 a 是 不是平行且等于二分之一的 e、 f， 对 吧？它平行写等于二分之一 e、 f， 那 么 e、 f 是 垂直 bc， 那 么 ga 是 不是也是垂直 bc， 所以 它垂直下来的话，那这个角就四十五度，所以，所以角 ga， f 等于四十五度， 所以三角形 g， a、 f 为二 t 等腰二 t 三角形， 那它也是个等腰直角三角，它也是个等腰直角三角，这里还是个等腰直角三角形它们三个，所以三角形 a、 b、 c 是 不是全等于三角形？ a、 f、 c 也全等于三角形 f、 g、 a， 它们三个三角形是相等的，三个全等的三角形， 那么全等。那么假设 a b 等于 a， 那 么 a， b 等于 a 是 不等于 a， c 等于 a， f 等于 g， f， 那么 bc 是 等于 f， c 等于 g， a 是 等于根号二 a， 那 么 ef 就 等于二倍根号二 a， 所以 ec 就 等于三倍根号二 a， 所以 b， d 也是三倍根号二 a 刚讲的是 c， h 比上 c， d 应该是等于 a， b 比上 b d， 那 a， b， a 比上三分之根号二 a 也就等于 六分之根号二啊。所以最后一题六分之根号二。难点是正因为你不确定好这是这一题。

大家好，我是葛军，从本周起，我将持续邀请优秀老师为大家奉上优质数学学习视频，大家可以多样化的吸收每个老师的思想精华，上抖音精选看葛老师以数学编团 本期邀请的是加速老师为大家带来直观的高中地理几何辅助线思路的教学 来欣赏吧。在整个高中三年，立体几何的辅助线你一定见过，这样的，这样的五花八门，种类繁多，动不动就在大体第一问，把人恶心半天。那么像这一类的问题，有没有一个相对而言比较通用的本质思路呢？ 好像在许多年前，就有一位数学界的巨星给出过相应的答案。你好，我是佳树，如果你愿意的话，不妨花上几分钟时间听一段故事。今天咱们把这一类问题的基本思路都简单的梳理一遍。 当然呢，这个许多年前得追溯到公元前三百多年，这位数学家的名字我想你很难没有听过， 在几何学的领域，无人能出其右。并且呀，在如今欧几里德留下的几何原本中仍有清晰记载。他当年写道，直线两两相交构成的三角形必然在同一个平面内。 而此时屏幕前早已将各种平面几何知识烂熟于心的你，距离撬开立体几何这扇大门只有一步之遥，那就是把所有的立体问题全部转化为平面问题。 就比如咱们看这样一道二四年北京高考的立体几何大题，乍一看呢，说要证明红色的直线 b f 平行于黄色的平面 p c d， 聪明的你一下子就反应了过来，这是一道立体几何的实体，所以思路就会非常的明确，把所有的立体问题转化为平面问题，这里就请大家进行一个三选一的判断。 第一种，我先给黄色平面拓宽一下，然后在蓝色三角平面 t、 p 一 中做文章。第二种，取 b、 f、 d、 c 这个蓝色平面进行下一步。 第三种呢，取 p、 d 中点为 q， 构造出 b、 c、 q、 f 这个蓝色平面。那么聪明的你更倾向于把问题放入哪个平面当中呢？ 其实只要你选择的是一号或者三号都是可以的，因为呀，二号它甚至都不是一个平面。 以三号平面为例子，在这样一个蓝色平面当中，找红色的 b、 f 和黄色的 p、 c、 d 之间的关系，是不是就是找 b、 f 和 c、 q 之间的关系啊？ 需要证明红色的 b、 f 平行于黄色的 c、 q 彻底转化为一个平面问题， 这样一道初中证明题，相信你一定可以。并且啊，这样的立体转平面思想在哪里都是可行的。 就比如这第二道题中，需要证明红色的直线 m、 n 平行于黄色的背板平面，又应该如何把它转化为一个平面问题呢？ 这里还是希望屏幕前的你来做一个三选一的选择题。这是一号平面 r 和 t 分 别是 d、 d 一 和 d， c 边的中点，这是二号平面。三角形 a， d， e、 c， 这是三号 m、 n， c、 c 一。 这一道题，我们的正确答案还是两个一和二，因为三号并不是平面。 以二号为例子，你会发现呀，只要这个平面覆盖了红色直线 m、 n， 并且和黄色平面有交汇，他就是完全可行的。 接着把立体中的证明问题全部甩给蓝色平面 a、 d、 e、 c， 证明红色的 m、 n 平行于， 没错，正是蓝色与黄色之交直线 c、 d、 e。 那 你说剩下这个平面中的证明问题，你会了吗？相信你一定可以。 并且呀，这样一个立体转平面的思想，绝对不止于线面平行，线面垂直同样可行。这是一道二三年的高考真题， 他说呀，需要证明直线 bc 垂直于平面 p a、 b。 那咱们还是遵循立体转平面的原则，直接去找与红色、黄色都挂钩的平面。显然，平面 pbc 可以 选择 在这个平面中证明红色的 bc 垂直于黄色的 p b。 当然，线面垂直只有一个条件是显然不够的，那还有哪个平面是同时与黄色、红色都挂钩的呢？ 哎，这个底板 abc， 它也可以。那么在平面 abc 中，是不是就可以证明红色的 bc 垂直于黄色的 ab 呀？ 证明完毕以后，可以发现，红色的 bc 垂直于黄色平面中的 p b 和 ab， p b、 a、 b 还互不平行。 那么这样一个证明也就搞定了。当然呢，线面平行与线面垂直可能还是不够。我们来看一看相对而言难度最高的面面垂直问题。 在这样一个四棱锥里边，需要证明红色的平面 p a、 c 垂直于蓝色的平面 b、 d、 e。 好 像确实有点不好搞，但别着急，我们再简单借用一下古人的智慧， 在几何原本中还有这样一个著名的应用，说平面与平面相交会形成一条直线，而这条直线呢，它是天然的辅助线。 那么带着这个思想回到题目当中，这里的天然辅助线是哪一条呀？没错，就是 o、 e。 如果要证明蓝色平面垂直红色平面，那我就得在蓝色平面里边找一条垂直于红色平面的线吧。 那找谁呢？没错，直接锁定 b、 d， 接下来就变成了一个线面垂直问题了。可是又应该怎么证明 b、 d 垂直平面 a、 p、 c 呢？ 首先， b、 d 垂直于 a、 c， 这比较明显，因为底面就是一个正方形对角线， a、 c、 b、 d 相互垂直。 可除此之外， b、 d 还可以垂直于红色平面里边的谁呢？没错，这个时候天然辅助线就该发力了， b、 d 还可以垂直于 o、 e。 那 么简单版书就是蓝色平面里边的 b、 d 垂直于天然辅助线作为一个条件，再就是垂直于 a、 c， 这是摆在明面上的。 接着交代 b、 d 包含于平面 b、 d、 e 证明就完全搞定了。我是佳树，我们在抖音精选为大家应援，期待与你再会。

hello， 同学们好。呃，由于自己的一个本人原因啊，也是持续的断更了几个月啊，然后的话呢，我记得我最后一期视频的话是剩这道二十二题，我是没有完全讲解完的事吗？那我们就来看到这个，就是这次学业考试二零二六年的最后一道立体几何的一道题目， 我们来看一下。首先二十二题，他说已知在这个子三棱柱 abc， a， b， c， e 中，那什么是子三棱柱啊？子三棱柱就是他的所有的侧棱，是吧？垂直于这个底面， 并且并且都平行的一个柱形，那就是三楞柱嘛。那他要告诉我们 a、 c 他 是垂直 bc 的， a， c 垂直 bc， 那 我们就把他这个嗯比较垂直的标记给他标出来， 然后他又说 a， a、 c 等于四， a， c 在 这里它等于四，然后 b c 等于二， b， c 在 这里等于二，然后 c c 一， 也就是这条只能等于二倍的根号三， 然后他说 d、 e、 f 分 别是 a、 b， b， c， c e 它的一个中点，然后距它是一个点吗？ a， e、 c， e 的 一个点吗？就这个点。那好，那既然它中点这么多，第一问就立马让我们求证什么呢？这个 a， e， c e， a， e， c e， 也就是这条线 是吧？它平行于 d， f， d， f 在 这里。那我们怎么样通过终点去求证这个 a、 c， e 平行这个 d， e， d， e 呢？那我们要证线面平行， 是不是首先得先证什么？是不是线线平行啊？ 啊？比如说在这个平面里面这条线啊，这个叫做 r 法平面，这个叫做呃，小 b 吧，然后这外面有一条线呢，叫做小 c， 那 我们是不是得正？先，我们要正 c 平行于 这个 r a、 r 平面，那我们是不是首先就得先正 c， 它是先平行于这个 b， 并且 b 它是包含于 r 法这个平面，从而 才能证出这个 c 它是平行于这个二八这个平面的，那所以其实我们也就大致的可以区分三步走。那所以说第一问，我们其实可以 在这个图像内直观的观察出是不是这个 a 一 c 一 肯定是跟这个下面的 d 一 它是平行的，为什么？因为 d 是 终点， e 也是终点，在这个三角形， 这个三角形 a、 b、 c 内，它是不是就是一个中线？那好，那其实我们这个也是个老套路来的，那我们就把它求证的结果写一下。首先先写解， 因为 e、 e 分 别为 ab、 bc 的 中点， 所以 d、 e 为三角形 a、 b、 c 的 中位线，再所以 d、 e 平行写相等于二分之一的 a、 c。 然后又因为 又因为在指四人指，指三人柱里面这个 a、 c、 c、 e、 a、 e 它是不是一个长方形来的？那所以又因为 a、 c 它是平行于 a 一 c 一 的，所以是吧，因为它的上下两个底面它是平行的关系吧，就它的这些线都是平行的关系吧，所以那这个 a、 c 是 吧？ 这个第一啊，写错了，这个第一啊，就平行于这个 a、 e、 c、 e 嘛，因为平行就有传递性嘛。然后再加一个这个包含，同学们一定不要漏，漏掉了，漏掉的话这里是可能要扣分的。又因为 啊，又因为第一包含于平面，我们所求的一个平面，第一 f 吗？ 所以 a 一 c 一 平行平面 d e、 f， 那 这就是以第一问的一个满分结果啦。那第二问，它，让我们求证这个 g， d， e、 f 它的一个体积， g， d， e， f 它的体积，那我们大致的把它演一下， 哎，那我们会发现什么？我们是不是会发现这个 g， d， e、 f 它的一个高，可能并不是这么的好找啊？ 是不是？那这个时候我们怎么办呢？我们是不是可以理解成这个 g 的 一个 d， e、 f， 它可以转换成哪个它跟哪个 t 啊？就是哪个三人追的一个体积是相同的，是不是很明显应该是跟这个 c， e， c 一 一以 c 一 为顶点，然后 d， e、 f 为底面，它这个三等锥它相同的。那有同学就问了，那为什么呢？因为你想想，我们第一问，是不是已经求证了这个 a， e， c， e 平行于 d， e、 f 的 那 g 点，它是 a， e， c， e 上面的点是吧？那这条平行线上所有的点是吧？是不离这个 d、 e、 f 这个平面，它的一个高度是相同的，就相当于这个这个点到这上面 a， e， c， e 这里啊？ 这上面所有的点到这个平面 d， e、 f， 它上到它的一个距离到这个里面的距离它相等的，因为它平行这个平面嘛，是吧？所以说， 所以说它是可以这个距点可以间接成，转化成什么呢？间接转化为 c， e， d， e、 f 它的一个这个三轮锥它的一个高，那这个三轮锥的高我们又怎么求呢？这个时候想想啊，我先把这个擦一擦，那我现在这么一转换 是吧？我把它这么一转换，我以 c 一 为顶点跟以 d 为顶点，它是不是相同的一个效果啊？就它求出来的三棱锥，它的一个它体积肯定是相同的一个效果的嘛，它的一个值肯定相等的嘛，那 我现在因为什么呢？因为这里 a b a c b 它是垂直的，然后它这个 d， e 跟 a c 是 平行的嘛，所以说 d e 肯定是垂直于这个底面 c 一 c 一 b 二，然后 s e b， 然后 bc 的，是吧？那既然它垂直，那 d 一 这个肯定是垂直这个底面的，它可以做高啊，为什么能垂直呢？因为这个 d 一 是垂直 bc 的 吗？并且这个 c， e， c 它是垂直于 bc 的， 那所以说那 这个 d 一 就肯定垂直这下面那个底面，所以我可以以 d 一 做高低一，这条高我们好求吧，对线也可以求出来，这个 d 一 应该是等于二的，然后底面这个 c， e， f， 那 抓住这块三角形我们怎么求呢？其实也蛮好求的，因为 ec 它是垂直于这下面这个底面的嘛，所以说你只要把 ec 这个 边求出来，其实它就是这个三角形它的一个高了。能理解好，那具体的求证过程是怎么样的呢？我们来大概书写一下，因为这过程我们要慢慢慢慢的去把它证明一下。那首先因为有一得嘛， 就是这个 d e c e a e c e 平行于平面 d e， f 且又因为 又因为距为 a c e 的 上的点，那它是上，它是上的上面的点，所以说它们的一个体积 v 它的一个以距为顶点，然后 d， e、 f 为底面，它可以转换成以 c e 为顶点， d， e、 f 为底面。也可以再转换成什么呢？以 d 为顶点，然后 c， e、 f， e 为底面。 好，那这么一转换完之后，其实我们要求的很简单。再所以啊，再所以他这个首先我们要证明，因为我们不确定这个第一是不是这这个这个轮锥的，他的一个，这个三轮锥，他的一个高码。所以说我们现在想要证明这个第一，他是垂直这个里面的。再所以 因为再所以这个 d e 平行于 a c 平行写，相当于就第一问嘛，我们挣了这个 d e 平行且算，我们分开写吧。 d e 平行于 a c， 所以 啊，然后 a c， 哦，这个还漏了一个条件， a c 它是垂直于 bc 的， 所以这个角 d e， b 等于角 a， c b 那 它就等于九十度了嘛？那既然它等于九十度了的话，那我们再来看看，那既然它等于九十度，那所以说这个 d e 是 吧？垂直 b c d e 垂直 b c 因为在三轮锥， 在三轮锥啊，直三轮锥 a e b e c e 然后 a， b c 中，哦，三棱柱，不是三棱圈，写错了， 在这个三棱柱中， a e b e c e 中 abc 中就是它的这个 c， e， c 是 垂直于底面， 垂直于这个平面 a， b， c 的 嘛，所以 c c c c 垂直于这个 c， c 垂直于这个，呃， d e 嘛， 再所以 c c 交这个 b c 于点一所以 c e c 它是垂直于这个 c e， f e 的， 那既然我们说明了它垂直，所以说 c e c 为 三楞锥，这个一定要说明一下，它这个它是为三楞锥，以 d 点为顶点，然后 c f e c e f e 它的这个高， 那既然它是高的话，那我们是不是就可以求出来，把 d e 先求出来，所以 d e 等于二分之一的 e c 就 等于二了。之后呢，紧接着我们再去求这个，呃，三人追 这个底面 c e、 e、 f， 它的一个面积，再所以 s 三角形，是吧？ s 三角形 c， e、 e、 f， 它等于什么呢？它等于二分之一的 ec 乘以乘以 c、 e、 f， 那这个的话呢？怎么去证明呢？为什么好证明啊？因为它这个 e、 c、 e c， 它是垂直于里面 c b 的 嘛。然后又因为又因为什么呢？是不是又因为这个 c、 e， 它是属于这个屏包包含于这个平面 c b 的， 所以说这个 c e 就 垂直于这个， 这个，这个 c、 e、 f 嘛？又因为我们已经第一位已经证明它在紫砂轮柱里面 c， e， c c、 e、 f， 它是垂直于这个 c、 b 的， 所以这个 c， e、 c 垂直于这个底面 c、 e、 f， 那再所以它就是高了，那其实我们就可以把三角形的面积求出来了，是吧？那所以 s 三角形 c， e、 e、 f， 它就等于二分之一的 e c 乘乘以 c， e、 f， 那 就等于二分之一，乘以 e c 的 话，我们可以求出来，它是不是就是。呃，因为这个 ab a b， 呃， a a c， 它是四，然后 ab 的 话是， ab 的 话是没有说，那说了 bc 是 二，那 bc 是 二的话，根据终点，是吧？根据终点这个 e、 c 应该是可以求出来的。 ec 的 话，这里的话中终点的话，他这个是二，那这里的话 c 一 是不就他的一半，那是 e 吗？那是二分之一乘以，再乘以这个 c e、 f c， e、 f 的 话是他的高，那就相当于根号三，这个算出来，他就等于二分之根号三的这个三角形的面积。然后紧接着我们要求的是这个 d、 e、 d e 的 话，我们求出来是二，那所以说这个三棱锥是把它的 v e， d， e 为啊顶点，然后 e， f， c， e 为底面，它的一个高就等于三分之一的 s 三角形 c， e， e， f， 再乘以它的一个高，高就是 d， e， 那就等于三分之一，乘以二分之根号三，再乘以这个第一，第一的话就是二，那最后算出来就是三分之根号三。好了，那么就是这个以上就是他的所有的一个完整过程了，当然如果你比较喜欢的话，那就点一下一个小心心吧， 那大家可以看一眼。那好了，那么本期视频就结束了。

hello， everybody， 我是 神奇小猪，欢迎各位来到二零二六最后时刻立体几何片今天这个视频分为六个部分，包括空间几何体、体积表面积的简单计算、平行垂直证明、套路、空间角的考法，以及立地几个间隙大题， 外接球、内接球，还有最后的一方，另几个考压轴的压轴小题传讲。其中第一、第五还有第六个部分，我们将更新大量新题中间三个部分，因为他的考法呢，比较套路化，题目和去年大差不差。那有奖励的宝贝，翻到七十三页，我们现在马上开始。 在正式讲表面积跟体积之前，咱先对几个小名词进行一下辨析。比如说考试中经常出现的这四个东西， 什么正四棱锥、正三棱锥，这正包含两层意思，首先它底面肯定得是正多边形，比如说正四棱锥就是正四边形。哈，啥是正四边形？就正方形呗。正三棱锥，那就正三边形，就是等边三角形的意思。 但还没完，它还有第二层意思，它的上顶点在底面的投影必然落在底面的中心上，整个图形它是一个对称的图形。你四楞锥，它四个侧楞长必然相等，那正三楞锥就三个侧楞长都相等。 那在所有的正三棱锥当中，有一个特别特殊的，我们单独起了个名字叫正四面体。他在正三棱锥的基础上，人家不仅测棱长是相等的，他每个棱长都相等，相当于说每个面都是等边三角形，这个叫正四面体。 那最后平行六面体，就是说每个面都是平行四边形的四棱柱，四个侧棱平行且相等，底面对应的棱长也是平行的。好了，那讲了这么多，咱正式来看看怎么求表面积跟体 积，求体积方法特别特别多，今天甚至还会讲到大家一些从前可能还没听过的一些技巧，那咱慢慢来。首先是书上的公式法， 遇见一些常见的空间几何体，大家特别熟悉的，那肯定用公式法呗。柱体体积底面积乘以高，锥体体积三分之一，底面积乘以高，那需要给大家强调的是，这台体的体积已经连续好几年都在考了。必须得记住， 如果上下底面的面积分别是 s 一 和 s 二，那体积是三分之一倍的， s 一 加 s 二，加根号加 s 一 乘 s 二，再乘以我的高。这公式无论是棱台还是圆台，其实都适用。只不过，那如果是圆台的话，那我求面积，那我肯定求上下底面的半径。 s 一 就是 pi r 一 方， s 二就是 pi r 二方啊。咱当然可以把 pi r 方带到这个公式里面，得到新公式，但说实话，没必要，咱记这一个也就够了。那仅针对台体的话，咱除了要掌握这个公式法之外吧。台体体积也可以用割补法来做。 台体怎么来的？我是把锥体这么一切切出来的，人家上下这俩底面必然是一个相似关系，所以咱可以用大棱锥的体积减去一个小棱锥的体积，那就是台体体积。 而且咱如果用割补法来做题的话，还有个隐藏结论，那就是相似，如果上下底边的边长，他这如果是一个几比几，比如说举个例子啊，如果是二比三，那我侧棱长的比小棱锥比大棱锥也是二比三， 甚至我高的比小棱锥的高，比上大棱锥的高，同样也是二比三。 哈，那边长比都二比三了，那你上下底面的面积比还是二比三？不哦，这可不是啊，面积比应该是啊，边长的平方是四比九。那这些都懂了。最后一个问题，小棱锥比大棱锥的体积比是多少嘞？ v 一 比 v 二，应该是二比三的立方。 那直接用公式法就能做的题。哎，我今天不给大家举例子了啊，咱先来看最后一种，几何体常考的这个球表面积四 pi 二立方。 咱们先做两道题，每每练习一下，选第一个。二零二四年新高考二卷，这是书上的例二，说正三棱，它的体积告诉我了，又告诉我极边长。那我赶紧这个画个图吧。正意味着我上下都应该画成的是，呃，等边三角形， 而且上下底面。哎，中心点连线应该正好跟两个面应该是垂直关系，或者你说它三个侧棱长相等的也可以。 a b 是 六， a 一， b 一 是二，所以上下底边的比例关系应该是一个一比三的，它某 a a 一 和面 a b c 所成的角的正弦值，这里是 a a 一， 这个是底面 那线面角的角度，我就过这个点做底面，这个垂线做出来。那他是谁呀？做完这垂线我姥姥也能知道这是高啊。所以我只需要在这个三角形里面去解这个角 r 发是多少就好了。 那赶紧用起来。体积公式，上下底面都是等边三角形。等边三角形公式，我们这个初中学的边长如果是 a 的 话，高是二分之根号三 a s 等于四分之根号三 a 方，所以上底面 s 一， 四分之根号三二的平方 下底面四分之根号三六的平方是九倍根号三，所以呢，体积是三分之一。 s 一 加 s， 二加根号 s 一 s， 它乘完应该是二十七吧， 这玩意乘以高应该是人的题目给我的三分之五十二，这三根杠三 h 一 求求完了一点都不困难，关键是，哎哎，你这个三角形里面这个高，你是求完了，那我要解它的话，你要么把这个斜边给我算出来是多少，你要么把这个边给我算出来是多少，是吧？ 下面这个边说实话会更好求一点。咱们把小眼睛放在上面，由上往下看他的俯视图，那就是上面一个三角形，下面一个三角形，是吧？下面三角形边长是六，上面三角形边长是二，我要求的这个边长度就是这个长度， 也也也跟这个长度，跟这长度都相等的。你整个是六十度，那这一点点就是三十度，我放大了看，我做个垂直下来，咱整个是六，中间是二，那两边平分完两边都是二，所以小三角形里一一比根号三比二了，是吧？这长度是它的基础上，除以根号三就是 二，除以根号三，然后这个长度再把它乘以二三分之四倍根号三，用上一点点平面几何的知识，对吧？所以它的呃正切值。好嘞，刚才算完这个数，比上这个数，正切值是一。完成任务。 接下来我们再来一道更好题，所以这球的半径是一， ok， 如何呢？说四棱锥的顶点是 o o o 什么 o 正好是球球心，对吧？所以这个四棱锥它并不是内接于这个球的，这球心是它的一个顶点，那其余四个顶点在球面上，你其余四个面，那是底面，底面你得，你得先是一个面，是不是？ 所以这个图我怎么画呢？我先不直接画四个顶点，我先把你个底面底面作为一个面，你面去切球，切出来的是不？肯定是个圆啊？ 你那四个顶点就在圆的边缘啊，随便一取四个点，就是它这个四个顶点。现在他问当该四棱锥体积最大的时候，它的高是多少？所谓的高，那不就是我上顶点到这个面的这个距离吗？ 所以你可以想象整个这道题目它的动点比较多。第一，你整个面它是可以上下平移的，这个距离它是在变啊，面整个在动。而且即便你面本身固定了你上面那四个点，它有四个动点，那我想让它的体积何时最大？那我先假定啊。比如说我这个面先不动， 我先讨论一下这个固定面上哪四个点能使得它这个底面积最大？这是小学数学学的结论吧。你固定圆上取四个点，求面积，想最大最大，那你取出来一定是对称的那个正方形， 这你猜，你也猜的出来吧。在考场上，所以做到这，那就简单多了。我现在不知道这个这个高是多少，我比如说设为 h， 那 我已知圆的半径，这是半径，题目说是一，那我构造直角三角形喽，连接这俩点，这正好是直角，对吧？那这俩点连完，我在这不好看，我在这好看呢，就是这个长度， 你赶紧算吧，我赶紧把这个体积表示出来，我用 h 来表示。那么呢，首先底下这个边应该是根号下它方减它方，根号下一减 h 方， 那么我想求，我想求底面边长啊，底面边长应该正好形成的是等腰直角三角形是这个的根号二倍， 那做一个锥底，体积三分之一底面积，底面积就是，呃，这，这是平方正方形吧。二倍的一减 h 方，再乘以我们这个 h 上面化简一下，是三分之二倍的 h 减 h 立方， 所以求一些导三分之二一减去三 h 方。导函数是一个开口向下的二次函数，但作为高的话，我只要呃大于零的部分，这个根我求一下，它等于零的话，应该 h 是 三分之杠三导函数先正在负，所以原函数肯定 先增再减，你要的那个最大的就在 h 区三分之刚好三处取得。选 c 结束，大家还 ok 吗？这就是高考难度，是吧？那最后花三十秒时间给大家证明一下，那为什么在这个圆当中，我四边形正方形的时候面积最大，特别好整？你想啊， 如果说你现在这个四边形是随意的一个四边形啊，特别随意，好，那你现在你咋求面积吧？你在一个圆上，我肯定要跟圆心联系起来， 所以我连连连，我把四连形分成一二三四四个三角形，每个三角形我都用哪个面积公式呢？对吧？那四个小边长是相等的小半径，对不对？那我最后你的曲值就跟我这个顶角是多少有关，比如我记为，呃，二发一，二发二，二发三，二发四，那咱这面积就是 二分之一，两边夹一角散，二发一，散二发二，散二发三，散二发四加起来，那我们知道，哎，你散是有取值范围，它有最大值，最大值它们，这这这都是一呗，是不是所以肯定小于等于四个一加在一起啊？那四倍的二分之一，二方二二方， 那想取到这个等号何时取呢？你散想等于一的话，你的角度应该正好是九十度，所以四个角度应该正好全是九十度，你还经过我这个圆心， 那你正好你得是正方形的时候，你对角线才既经过圆心四个角，还都是九十多个。 ok， 花了一点时间给大家证明了一下，我们目前两道题目都是利用公式， 公式求体积。那有的时候考试不那么考啊，人家考割补法，你得会割会补。举两道题目经典例子啊，弟弟在直角梯形 a、 b、 c、 d 中，这是四，然后呢？中位线 e、 f 等于二，然后沿中位线 e、 f 折起来了。 哦，一折，那折出来了一个。这什么东西啊？不知道什么东西，反正我只知道中微线长度是三。我这个不知名的东西，他的这个三个侧棱分别是二、三、四， 而且你想你每一个侧棱跟我这个底面，那这这，因为这直角肯定是垂直关系，是吧？因为你这直角，所以每一个都是线面垂直关系，那折到什么程度呢？他说 你折完 a、 e、 b 是 直角， ok， 这是直角。然后问我这个，呃，几何体的体积是多少？你明显你不知道它是什么情况下，我肯定，呃，只能用割补法来做，对吧？ 那问题是你怎么割，怎么补？咱参考答案给了大家两个方法，一个是割成两个图形，一个是补成一个大的。这，这是一个什么呀？这是一个三棱柱，是吧？ 那比如说第一个来说吧，下面是一个三棱柱，上面是什么？ d、 m、 n、 f、 c， 你 要把 d、 m、 n、 f 当成底面， c 当成上定点，你去用三分之一底面积乘以高啊，高就是 c 到这个整个面的一个距离。 哎，也就是谁啊？所谓的高就是你这个面的垂线，这个面呢，其实就是整个 d、 f、 e、 a， 这大面跟这个面垂直的线一下就看出来了，那不就 b e 嘛。因为 b e 这条粉线既跟首先 f e 是 垂直的，又跟 a e 是 垂直的，那它就跟整个面是垂直的，然后慢慢一起算，对吧？没有问题。 那我今天给大家讲第三个方法，因为这个图形实际上还是比较特殊的，你会发现他三个侧棱是二三四，哎呦，二三四是等差数列，对不对？这种题高考曾经还真考过，我可以换一个思考路径来各补法。 首先我给他画一个大大的三棱柱，我让他的侧棱的高度是六，然后我再让他去取二三四这个长度去二三 四，那，因为整个侧棱的这这个长度是六。那你取完二三四之后剩的是什么呀？西西剩的是四三二，所以相当于我把两个相同的部分我错位拼起来， 拼之前体积我不会算，我拼完整个还不会算吗？他的体积是算底面积，呃，这是二，这是二，这垂直的是二分之一，二乘二，高是六，所以体积为。呃，这是棱柱，是吧？那就是底面积再乘以高。 那我这球还是上下两个，我现在问你其中一个啊，平均分，那我要除以二，答案做出来了， ok， 这是一道割补法的题目。那接下来我们再讲一个割补法，现在给了我一个三棱锥，然后呢，有好多边长相等的，那我来看一看， a， b， b， c， c， a 啥玩意啊？那不就底面吗？底面是一个等边三角形，然后 p a 和 p b 还相等，那如果你发现有一个三棱锥，他俩相等，哎，他俩也相等的时候，像一个鳄鱼张开他的小嘴，这是上嘴，这是下嘴。 那么此时我们经常要连一种辅助线，把这个三棱锥一分为二，我们取公共边 b、 d 的 中点几为 g， 连接 a， g， c， g。 哎，那我因为呢，我这个绿的部分和它底面这个粉的部分，它都是等腰三角形，所以呢，我连这个中点，它们分别既是中线，三线合一，也是高，这不就都垂直的吗？那连它有啥好处？ 你发现我这鳄鱼小嘴模型里面左右是对称的，那我这个 a， g， c 这个面其实正好是它的对称面，我沿着中间，你如果这么一切的话，一左右两个图形完全对称的，所以遇见这种题目呢，我们这一切完利用上它的对称性。 那如果人家题目问你，它的体积是多少吧，你可别三分之一底面积乘乘以以 a 点为高，我要以蓝面对称面为底， g， d 和 b g 为它的高， 所以你可以用三分之一这个蓝色面积乘以这个高加这个高。那不就是 b、 d 的 长度吗？我们经常这么练辅助线，我讲清楚了吧， 那回过来，这两边是三，下边是二，问我体积，甭说了，点个中点，这是底面， a， b 是 高。那 a b 这个题目告诉我了，是二，所以我只要把这个蓝色它的面积求出来就好了。那这个三边长是多少呢？ a b 是 二，它一半，这是一。 那你这俩都是垂直的，所以我这俩三角形都是直角三角形，我列勾股定律就好了。三，一，这是二倍根号二，一二，这是根号三。 那题目说了给了我，呃，第三条边 p c 长度，哎呦，这也是根号三嘞，所以相当于这个三角形，它应该是一个等腰三角形，那我赶紧它俩两边一样的吧，所以它的面积实际上非常非常好，算根号三，根号三二倍，根号二取一半， 这是根号二，这就是一，所以整个的体积是三分之一，底面积是二分之一，它乘它再乘以整个，把它当成高，高是二。 答案如瓮中捉鳖，三分之二倍根号二。这是这个鳄鱼小嘴模型。当我们在空间几何，你明显发现，哎，左左右右是对称的时候，往往做辅助线，你就把这个对称面做出来。 ok， 那 我刚才这道题目呢，你会发现，哎，我们在求这个中间呐，它这个三角形面积的时候，我把三边呐都做出来了，然后呢发现正好是等腰的，它比较好做。那你如果说我现在出一个题目，我我我 p c 没给你说它是根号三，我给你个别的数，它不是等腰三角形，那这个时候 你在求这个面积的时候，你因为你要涉及到两边夹一角那个求角度，三边一角，你可能就要用到预先定力了，对不对？所以难题有可能这么给你出，比如这到二零二五年河南月考，这是大家今天的作业，那我跟大家先啊，一起给大家画个图吧，先带着大家分析分析答案，最后自己算。 又是三棱锥 p a、 b、 c， 他 先给了我两个垂直 p a 垂直于 a c， 然后 p b 垂直于 b c， 还告诉我 a b、 c 啊，底面是一个等边三角形， 停，哎，你到目前为止给你俩垂直，然后底面是等腰三角形，你能看到什么呀？哎，就这俩直角三角形啊，我去看他这俩侧面，他共用了一个边，是 p c 也相等，肯定也相等，你就直接用勾股定律就能算出来，对不对？ 所以这里面隐藏条件，这俩长度一样，你要是没看出来，你就完犊子了。那既然都一样了，发没发现鳄鱼小嘴模型啊，我赶紧取 a b 的 中点连起来呗。他最后问我这个 p a、 b、 c 的 体积呢？就是，哎，我这个三角形，这个面的面积三分之一，以它为底， a b 当高，结束了是不是？ 好，那么刚才那道题目里面，他刚才那题说直接给你 p c 这个长度是多少了？那这题他没给你，他给了什么条件呢？他说 p a、 b、 c 的 外接球表面积是十二派，外接表面积四派二方，相当于说我这个半径二，就是根号三，怎么用？你要找外接球，你要找这个外接球球心呐？ where is 外接球球心？能不能看出来？哎，你想啊，你外接球球心，你要到 p a、 b、 c 四个点的，这是这个长度是相等的， 那因为整个图形它具有对称性，你俩相等，你俩也相等，所以你外接球它一定存在在我们这个对称面上，你就在这个面上找就好了，找一个点，使得它到 pbc 三点距离相等即可。那 pbc 什么玩意？ pbc 是 直角三角形，你直角三角形 哪个点到我三个顶点距离相等啊？那不斜边中点，他等于他，等于他，对吧？所以你不用真的费老大劲找外界球，那个球心在哪？球心就在这， 所以相当于告诉你了哦，你这个半径是根号三，那我这个也是半径，所以 pc 长度二倍根号三。那是不是就变成我们刚才那道一模一样的题目了？这是二，这是一，所以在这个三角形里面用一次勾股定律，它是根号七。 在这三角形里面也用一次勾股定律一，二，它是根号三，所以想求中间这个面，它的面积。我三边都有了七，根号三，二倍根号三。呃，是一个非常普通，非常非常普通的三角形求面积。你先预先定义，把其中任何一个角找到，比如我就找它设为 r 法 扣三， r 法它方它方减它方十二加三再减七，除以二倍，得里面乘积十六，所以十二分之八，也就是三分之二。 你求完 cosine 了，那三个值就是根号，下一减去九分之四，就是三分之根号五。为啥求三值？因为你的三角形面积二分之一，邻边夹一角，你夹的是它的三个值，乘以三分之根号五，所以 s 等于根号五的情况下， 我的体积三分之一底面积，底面是根号五，再乘以高，这俩高加起来是二，这就是答案 很舒服的一个做法，对吧？好了，那么以上我们讲了，直接用公式求体积，哎，用歌谱法求体积。那么接下来我们来给大家介绍一下球体积当中的一些特殊方法。你光会什么歌谱，光会用公式，那没用啊，考到特殊方法，如果你还没学过的话，那考场上那直接就是一个懵逼状态。在这个部分，我们会讲到 大家都会的转换顶点，大家或许不会的比例放缩，以及大部分同学，我相信都没那么会的平行跟倍增的转化，那咱一个一个讲。首先来看转换顶点 啊，这是一个非常常见的套路了，仅限于三棱锥啊，那三棱锥一共就四个顶点，那你说我把谁当底谁当高啊？那题目中直接给你那个，人家把 c 当成顶点， a、 b、 d 当成底，一般来说都没有那么好看，因为这高说实话不好做， 但实际上因为这四个点它的地位是等价的，我把谁当上顶点，其实都是可以的。所以我转换顶点，我换一个我看着舒服的。比如说这个图当中的点 a， 那很有可能题目中会附加一个条件，或者你能正出来， a、 d 跟底面是垂直的，咱把它当上顶点，把这当底，把这当高，三分之一底面积乘高，咱就有可能能做了。给大家举个例子， 那咱转换顶点 a 试一试。现在有个正方体啊，在正方体当中，他说 e、 f 的 长度总是一个定值，这长度总固定，那就是这两点的距离保持不变，然后这两点一起动，一起往下动，在动的过程当中，他问我 三棱锥 b、 a、 e、 f 的 体积是不是定值？那他这么写的话，那肯定是把 b 当成上顶点了。我先画一画在哪？ 我发现真的搞笑，你把 b 当上顶点，把这当底面了啊，你过这个点做那个面的垂线好做吗？你疯了，他真的没那么好做。 但是我转而一想，我换一换呗，整个就一二三四四个顶点，那因为 e、 f 在 动，你如果觉得比较麻烦的话，那 b 又不能用，那我试试用 a 喽，把 a 当成上顶点，谁当底面？ b， e、 f 是 底面了？他问我这体积是不是定值，那我看呗。首先面积是定值不？ 这说实话，真是小学数学。呃，我把这中间这面我给大家截出来，大家看一看哈。这 d， b， b， e， d， e， 它是个矩形，然后在上面呢，它有一个保持长度不变的两个动点 e、 f， 然后人家又跟 b 连起来了。那你说这三角形在动的过程当中，它面积变了吗？底没变，高也没变，那面积就总是一个定值喽。 所以现在在面积固定的情况下，我来看这高固不固定啊？过 a 点做整个面的高。说实话，这面你看着小的时候不好看，但是这小面其实跟这大面是同一个面吧，虽然小面在动，但是大面动没动，大面人家没动，人总是这面 啊，你顶点没动，面也没动，那你点到面的距离，我不管你会不会求它动不动，这距离是不是定值固定？点到固定面必然是定值啊，随体积是三分之一，底面积乘以高，你 s、 h 都是固定的，那当然体积就一定是一个定值， 所以有的时候转换顶点能达到意想不到的效果。刚才你这么写不会求，那我换一种写法，以 a 为上定点咱就会求了。 接下来来看第二个结论，叫比例放缩。啥意思呢？现在有个好好的三棱锥， a， b， c、 d， 如果它的体积现在是 v 的 话，我现在呢？在其中任何一个棱长上，我如果截一个中点出来。 b e， 我 现在截出来一个面，我沿着面一切，哎，大家想象一下，这面一切完，上面是不是就剩一个小三棱锥了？现在我的问题是，这小三棱锥体积是多少？ 原本人家这棱好好是 ab， 现在你把这棱缩短成了原来的一半喽，大家注意，它的体积相应的就会变为原来的一半。 为什么？因为先上下两个小三棱锥，它共用了一个底，它的底面积肯定是相等的，那我只看它的高的比呗。那因为这个 b 一 它是中点，所以我给大家画个图， 这界面现在虽然是三角形，我把这界面给它扩大一下， 我在这画，这是这绿色的界面。 b 一 在这个界面上经过 b 一 是什么呢？经过 b 一 有一条线，而且上下这两线段， b 一 a 跟 b 一 b 是 相等的， b 一 是中点， 那我画成这样，大家总能看出来，这 a b 到这面的距离做出来这高，那应该必然是相等的了吧？因为整个两三角形，我放大喽， 对，顶角相等，又是直角，斜边，还一样，妥妥的全等三角形。人这两高肯定是一样的，所以上下两三棱锥，你底面积一样，高也一样，那可不就把整个的大 v 大 体积变成二分之一了吗？ 那大家别高兴太早，如果现在 b 一 不是重点，他现在变成一个三等分点了。现在我问大家，上面这小三棱锥体积变成原来多少？原来是整个的一个棱长，现在缩成原来三分之一，我的体积相应的也会缩成原来的三分之一。 为什么？跟刚才原理一模一样？只不过刚才咱正的是俩三角形全等，现在怎么样？ a 点 b 点到这面的距离。哎，我现在求的话，因为 b 点不是终点，它是一个三等分点，所以如果 b a 不 变的话，这 b b、 e 它就要延长为原来的两倍。 所以相对来讲，这斜边的比例由一比一现在变成了一比二。哦，那我在画图的时候，这斜边比也变成了一比二，这图形就不再是全等三角形，而变成相似图形了。斜边比是一比二，那我高的比当然也是一 比二。那高的比因为是一比二了，那我整个的体积比也是一份跟两份的区别，那总共是三份，那我问上面这个可不就是三分之一吗？ 那如果大家觉得乱，没关系，我直接给大家结论，你把结论记住，现在我是把一个好好的冷缩短了，那如果先把三个冷都缩短，第一个测冷，我缩短为原来的三分之一，第二个冷，呃，我缩短为原来的三分之二。第三条冷，我缩短为原来的五分之一。 那我新形成的上面这一小小个的小三楞锥，他的体积为一撇，就会变成原来整个大 v 的 三分之一乘三分之二乘五分之一， 越缩越小。这在小题当中就是一个必会结论了。大家别小看他考试，曾经真的考过二零二三年天津高考 啊，他说 p a、 b c， p m 是 三分之一， p c 三等分点啊。 p n 是 三分之二的 p b 啊，是靠近 b 的 三等分点。问，三等分 p a、 m、 n 这新的小的何止刚才 p a、 b c 大 的体积比用算不 大的体积，我是乘一的话，那我现在一条棱缩成了原来的三分之一，一条棱缩成了原来的三分之二，另外一条棱没变的情况下，那我的体积就缩成原来的三分之一，乘三分之二，再乘另外一条不变的一，这比例关系直接出现，那就是二比九。结束 考试出这题，说实话，知道这结论的同学那就乐开花了呀，那我需要说明的一点是，这比例放松的结论，只能在看这三棱锥的体积才能用，别的情况下是不能用的啊。 那有的宝贝想到了考试，人家万一给了我一个四棱锥，然后啊在这几比几的截来截去，我又该怎么办呀？ 我就简单说一下思路啊，大家得把这四棱锥一分为二，这一分完，把整个底面不就分成一个三角形，这不就变成前面一个三棱锥，然后再加上后面一个三棱锥，再把一个四棱锥看成两三棱锥之合，用各步法再结合比例放缩去做。 所以万一啊，今年考试人家不考二零二三年，这么简单的三棱锥变成四棱锥了，五棱锥了，他就把这么多棱锥一个一个结成小的三棱锥去做， ok 啊，那除了这两种特殊方法转化顶点以及比例放缩之外，还有其他几个我需要给大家解释清楚。这可好多年没考了啊啊，真的非常担心，万一人家今年考了个大冷门，考这些特殊的转化方法，大家可千万别不会 有时候吧，人家给我这个三棱锥，你无论用什么方法，什么割补法了，转化顶点了，怎么求？这体积都不好求，但是你发现整个题目他有个非常明显的线面平行，尤其是在大题里面，人家第一位让你证明线面平行的时候，然后第二位让你求个体积，那这种转化就非常有可能考了 a 点在这，你怎么算都不好算。但是我发现啊， a 点所在这条直线不是跟底面平行吗？平行意味着线面平行，我每一个点到底面的距离理应都是相等的才对吧。所以该怎么转化呀？ 我想大家都会了，我们利用这种平行的转化， a 点不是不好求吗？你把它平移到另外一个点上去，比如说到这 a 撇点，咱求这新的三棱锥，很有可能好求。 哎，那具体怎么求？有的宝贝还傻乎乎的啊，我用三分之一底面积再乘以高来求，要是这高都能求出来的话，我干嘛在 a 撇点，我还平移啥？我这在第一开始我就求了呀， 我之所以平移，一定是因为这高并不好求，所以接下来我转移到 a 撇点之后，一定要注意。还有操作，我们需要转换顶点， 很多情况下光平移没用，大家得在新的这三棱锥里面这四个顶点选出合适的上顶点跟合适的底面，极大概率并不是 a 撇点作为上顶点，很有可能是下面这三个点其中的一个啊。比如说，就拿 b 点来说，可能 b 点到它底面 a、 c、 d 这个距离， 这高更好求啊。当然，我现在只是画一个示意图，一会给大家具体讲例子。所以这种球体积的题给大家启示是，如果出现了非常明显的线面平行，而且原来那体积你还不好求，赶紧平移一下，平移到一个合适的位置上去，求新的三棱锥体积。 那具体这合适的位置是一个怎样的位置呢？怎么合适？题目中其实很明显，我给大家举个例子， 建一个四棱锥， p a b c d， 他 说 p a 啊，是一个旗杆，垂直于整个底面，而且底面呢，他还说了是个菱形，底面边长，呃，是四，然后这个角，这是哪个角？ a b c 四十五度这角。我把底面啊，干脆直接画一下吧，它太复杂了啊。 好，我画完了，然后 p a 这个高，他说啊，又是等于三的，哦，那就是三四五三角形呗。然后一点 f 点都中点。第一问，让我证明一个线面平行， a e 和 p c f 线面平行怎么整？咱一会会具体讲啊，咱有三个方法。嗯，那今天这道题就给大家举两个吧。比如说，第一个， 神奇的目光，神奇的小尺子，咱把这 a e 啊，往这个绿面上去拉，你看啊，拉我，平移，平移，平移，我看看平移的过程当中会不会出现某一个地方，使得这面上有个位置跟它长度大小一模一样。 好像啊啊，这个点好像是终点类，所以我连接一下，我来正一正，试一试。 p c 上，我取个终点来，我且变 m 连接一下。我为了说明这条线跟原来的这个 e a 啊，是不是平行，大小且相等，它能不能构成平行四边形，我得怎么办？咱得连接另外两条面，这 m e 和 a f 啊，咱只要证明出来这俩新的小线段，它俩是否平行且向的，那就能说明整个是不是平行四边形了。那这俩蓝的平行且相等不，我一看就看出来了，你看 m e 是 c、 d 的 中位线， 因为我这取的都是终点， af 呢， af 是 整个 ab 的 一半， ab 又跟 cd 相等，所以相当于 af 也是这 cd 的 平行且一半。那你自然这俩小的都是我这长的一半且平行的话，那它就是平行四边形。那我就在整个面上找到我想要的 一条线，使得跟原来那条线是平行的，那由线线平行，我就推得了。原来哦，线面是平行的，这是第一个方法 哦，当然我再给大家介绍第二个方法，有的宝贝找不到那平行四边形，没关系，这是这个面，这是这条线，这线线平行，你不会正，我们也可以用面面平行来正， 咱过这条蓝线做一个面。哎，怎么做呢？一会我们会给大家详细讲这道题，我就直接做了，我们过线上任何一个端点，做这面上某条线的平行线啊，比如说我过一点，哎，你说做一 二三这三条线哪条线的平行好做？显然是 p c 平行好做嘛，因为 e p c 我 直接做个中位线是就可以了呀，所以我这么一连 c d 的 中点，呃，起个名字，起个大家喜欢的 g 好 了，一二三三点就已经能形成一个面了。 那现在的问题是，这两面是否平行呢？面面是否平行，我得找两对相交的线线平行，我刚才已经做完了。这绿的跟绿的平行，那在底面上，大家看这 a g 黑的跟 fc 黑的平不平行啊？ 咱在底面上取的，这都是重点，所以这俩平不平行，你看这是不是平行四边形？当然是了，所以黑的黑的平行，绿的绿的平行，自然面面就平行面面。一旦平行面面上其中任何一条线，包括我要证这 a e， 就 跟另外这面是线面平行关系。第一问，两个方案我讲完了 啊，那重点其实今天是想讲第二问，我们来求一下 e p c， f 的 体积是这四个点。我先连接一下 这三棱锥，说实话，长得真不是特别的漂亮，因为它体内的一个锥体，而且每个面都挺斜的，是吧？你说你用用 f 点做这个面的高，还是又过 e 点做这个面的高，还是过 c 点做那个面的高？都没那么好做。 正当你焦头烂额的时候，你的小眼睛惊奇地发现，第一位让我挣到一个线面平行是 a e 这条线跟 p f c 这个面。哎，好玩， e p c f， 我 要挣三棱锥也是 e p c f， 那 我赶紧吧，我大概率可能会用得上 a e 跟这底面平行。呃，画在 l 图形里边，大家如果看不出来，那我给它拨出来画啊。比如说这 pcf， 我 先画出来，我随便画个三角形 pcf， 然后再画一个跟它平行的一条直线 a e。 人家问的，现在这三棱锥是 e pcf 问这个刚才咱也看到了，除了间隙的话，我觉得死活是不会啊。那即便是你间隙求点到面的距离，这计算量也不小呀。 所以赶紧吧，我把 e 这上帝点揪到另外一个点上去，我平行着，平行着，我揪到哪个点？你傻呀， a e 就 这俩端点，这线上没有任何其他点。那你说除了 e 不 能用之外，还能用谁？我当然只能用 a 喽， 我求 a p c f， 求这绿的。现在我在这立体图形上再给大家画一下， a、 p、 c、 f 一 点变 a 点，再不会可就天理难容啊。这里面有没有非常明显的谁是高谁是低？有没有线面垂直啊？人 p a 不是 竖起来的一个旗杆吗？这杆肯定跟底面是垂直关系， 所以我把 p a 当成高， f， a、 c 当成底，那高。题目中给我的是三，我只需要把底面积求一下，我在平面图形里求。所以做大题的过程当中，其实大家发现呢，就是不断地把立体图形化成平面图形， f、 a、 c 在 这 最简单的求面积二分之底乘高呗，这底是整个边长四的一半啊，是二，高。在哪高？我还没做嘞，做个高出来。咱利用上题目当中四十五度这个条件，这三角形应该是等腰直角三角形斜边是二倍根号二， 所以底面积是二分之一，底再乘高等于二倍根号二，这体积就是三分之一求完的底面积再乘以高。最后答案，二倍根号二，爽！ 咱这个平行转化就讲到这，接下来我们来看最后一种转化啊，非常偶尔啊，还是像刚才一样，这 a、 b、 c、 d 咋求体积都不会求，非常难。但你发现呢，这某一个顶点跟底面上某一个点哎，它形成了一条线， 而且 a 点是这线上，它是一个特殊点，比如说是个中点，我点个 p 出来，你发现 o、 a 等于 a、 p， 那 这个时候我也可以进行转化，这 a、 b、 c、 d 我 可以转化成 p、 b、 c、 d， 那 变化前后那体积有啥关系？有啥用啊？ p 到地面的距离，应该正好是 a 点到地面距离的两倍， 因为这是相似三角形一比二，这是中位线，当然就是一半，所以从相似的角度来着，这斜边比例，即便不是一比二，他是一比三，一比四，其实都能做，我都能找到这高。他的相似的比例关系， 相当于我把大的体积求出来之后，我乘个几分之几，就是这小的。那问题是，这大的我怎么求体积？ 咱在这种比例转化之后，和刚才一模一样，你一定还是没法求出来 p 点到底面的距离，因为如果这个你能求出来，那相当于 a 点，你其实也能求。正是因为 a 求不了，我才会利用比例转化。那接下来干嘛呀？一定要注意，咱经常进行转换顶点， 别再把 p 点当成上顶点了，很有可能你换个底面，其他点当顶点另外一个面当面的时候，这点当面的距离特别好求。 那接下来我们今天再举两道新题，帮大家把这几个新方法练练熟。二零二五年重庆模拟图 a， s， a， b， a， c 两两垂直。哦，那就像一个墙角一样，图 e、 f 分 别是中点， g 是 靠近 c 的。 呃，三等分点， ok， 问我一个空间几何体，这个 e、 f、 g 和 abc 构成的啊？下面这样一个图形的体积，那我肯定用各不反，用大的体积减去小的体积，大体积我会算三分之一，底面积乘以高底面积是二分之一。呃，三乘三，高还是三？ 然后我减去的那个部分，你会发现 a 减去这部分咋来的？它是三棱锥，它是由 b 点缩到 f 点， a 点缩到 e 点， c 点缩出来的，是吧？就如果说刚才算完的整个体积是大 v 的 话，那上面的一点点小三棱锥是多少呢？ 把 b 点缩了一半， e 点也缩了一半， g 点缩了，呃，缩了，相当于是现在是三分之二，是吧？所以上面这个部分，它是整个大体级的这么多倍，也就是六分之一。 那上面是六分之一倍，下面是多少？下面是六分之五一倍，所以只有六分之五乘以刚才算完的这一大坨，约一下乘以二分之九，单蹦出来四分之五。 读题，他说有一个平行六面体啊。平行六面体呢，意味着每个面都是平行四边形， p 是 线段 a、 e、 d 上的一点，哪一点呢？ a， p 是 二分之三倍的 p d， a， p 是 二分之三倍的 p， d。 什么乱七八糟的，哎，反正就是能确定一个 p 点位置。我要看他问我什么，他问这 b、 e、 a、 c、 p 这样的一个三棱锥的体积和整个平行六面体体积之比是多少？我先把这个三棱锥画出来， b、 e、 a、 c、 p 连起来。妈耶，这三棱锥每一个面都不在我的体的表面上，都是在内部的邪不愣登的一个玩意儿。那这玩意求体积太难求了，你要割不法你，你就割去吧。所以我一定，我一定得想一个别的办法来做一做啊。我来想一想， 这是一个平行六面体。平行六面体，每个面啊都是平行的，然后你再结合一下，他让你求的是一个比较恶心的一个体积问题。为什么恶心？因为点 p 的 位置很恶心。点 p， 点 p， 点 p， 点 p 位置，使得这个这个题目变得很难。那有没有可能把点 p 转移转移呢？ 点 p， 它在 a 一 d 上。小样，我发现啊，你这个粉色这条线跟你后面这个 b、 e、 c 是 不是线线平行？哎，那你一线线平行了，那我是不是我这个粉线就跟我这个绿线所在的面，这个 a、 b、 e、 c 线面平行，对不对？ 你既然是线面平行的，我点屁在这样运动的时候，那我这个直线上每一个点到我这个面的距离应该都是是不相等的呀，所以我赶紧把点屁上下移动，移动到哪？我肯定移动到端点好算的地方，你要么移动到 a 一 点， 那我我移动到 d 点上，大家好像看着更舒服一点。所以我真正需要算的是 b， a、 c 不 动，把屁移动到 d， 变成了这个三棱锥。 所以这道题答跟你呢屁点位置在哪嘛关系都没有。这三棱锥体积是三分之一，这个底面积乘以它的高，这底面比如说是 s， 好 了啊，三分之一 s， h， 我 平行六面体，底面积是我刚才算完这个三角面的两倍吧，它是二 s 底面积乘以高，高用的是同一个高，所以比例关系，三分之一比上二，一比六选 d， 结束 是不很简单。那么以上我们讲了球体积的各种方法，有的时候用公式，有的时候用各步法，有的时候用一些特殊方法，那么在此基础上能不能哎呀，再难一点？可以的，他有可能一道题目把球体积跟结面问题结合一下，我给大家举两个例子啊。第一个例子， 长方体， e 是 中点平面， a， b， e， e， 把整个长方体分成了两个部分，问体积较小的部分，体积之比又是体积之比的问题，但这道题难点在哪？ 他就是说，哎，你这个面把长方体哎分成两个部分，但是两个部分有没有给你划全呢？你发现这三角形这个结面啊， a、 b、 e 在 我整个长方体的表面上， e、 b、 e 也在长方体的这个上面这个底面上，但是 a、 e 是 我体内的一个变，说明你这个结面还能从 a、 e 这个体内继续延展出去啊。延展，延展成什么样呢？ 这就要涉及到结面的延展问题了，我们怎么做？说白了就是你把这个面你给我扩大。扩大结面两个方法，方法一，你过你已有的这个面上呢，某一点做另外一条边的平行线，哎，你一做平行线的话，这不就把一个三角面哎给扩大了吗？这是第一个方法。 第二个方法还是一个面啊，我直接把其中一条边延长出去不就得了吗？这就把小面变成大面了。 那这道题我们用哪个方法呢？两种方法其实都可以啊，有的同学喜欢延长法，那延长，那你就要选哪条边进行延长，你如果延长 a、 e 没用，因为你这条线跟我这个题啊，不，不会有别的新的交点了。延长 a、 b 呢，也没用，你跟我这个题啊，也没有新交点了，谁呢？你选 b、 e 延长的话 有用，因为你延长着，延长着，它在上底面上，是不是上面一底面你延长出去，我把 a 第一也延长出去，这两个边都在上底面上，它既不平行，那就一定是相交有交点了。那这个交点怎么回事呢？ 我们知道一是终点，所以这两个三角形初中数学是不是全等的呀？这两条边相等，那这条边还等于这条边，所以相当于我新研究这个点就是以第一为终点的这样的这样一个新点， 这两个线段也相等。所以我现在把 e 沿着 b 一 这条直线延长到 s 了，那我原来的小三角形变成大三角形了，我需要再连接 s， a 变成大面有啥用？这个大面跟我的体会有一个，看是不是有个新交点交出来，我记为 g。 好 了，那现在 a、 b、 e、 e、 g 四个也它所形成的四条边， a， g 在 题表面上，在题表面上，在表面上，也在表面上，这个才是真正对我们做题有帮助的真正的结面。那我一会要求一下这个体积了。好，这是延长线的这样的方法。那，那我做平行线能不能做呢？其实一样的， 你过这三个顶点当中的一个顶点，做另外一条边的平行线，那你就选吧，做哪个过哪个是吧。呃，你如果选 b 一 不好做，因为 a、 e 是 邪不愣登的，你做出去呢？不好做。过 a 点做这条边的平行线也不好做，因为你也是做出去的。过谁好做？过 e 点，做这条边的平行线？好做。 这边本质上就是呃，面的对角线，说白了也就是过一点做。呃，后面这个对角线，他他这平行关系嘛？做他的这样的一个对角线，那一是终点了，我在这里面也点一个终点是不就好了呀？点完这红线跟绿线就是平行，那两个是平行的，它就形成一个梯形，这一连接 三角形，面就变成梯形面，跟刚才是其实是一个面。那现在我们问题变成了。呃，那我我分成了两个图形是吧？一个体积较小的，一个体积较大的，那我求哪个？好？求的问题， who can tell me？ 你 可不用俩都求啊，你直接用大面减去其中一个，就另外一个，是吧？好，那我来画个图啊，这个几何体长啥样的？我把这个面当成截面一截。那截完的上面的部分，你看剩的是谁啊？以谁为变？首先， a、 b 肯定是一个变， a， a， e 是 边？呃， a， d， e 也是结下来的， d， e 也是结下来的，还有谁被结下来了？ d， e， g 也被结下来了。那我现在问你，这是一个什么图形？给大家五秒钟思考时间， 有宝贝要闹了。哎，这啥玩意啊，学过吗？来，大哥我重新给你画一下啊。 d， e， g， e， 这是一个小的直角三角形 a， a， e， b， 一个大的直角三角形。这俩直角三角形之间什么关系呢？它俩平行，这俩平行，这俩也平行，它其实是一个相似关系。相似关系你把对应点，然后连起来了，那是嘛玩意啊？那不就是一个棱台吗？ 这小的是它上底面，这大的是它的下底面，两面之间距离 a， e、 d 是 它的高，对不对？所以多简单呐，比如说这题没给你这个长方体三边长是多少？那最后你就随便设啊，最后肯定消掉了。我说它是 a， 这是 b， 这是 c， 所以 下底面面积二分之一。呃，这个 c 乘以 a 上底面面积，那每个边都是大的的一半的面积是四分之一倍，就是八分之一 a、 c， 所以 用公式，体积是三分之一。上底面，下底面加根号下，两者乘积是谁呀？二八十六看成四分之一 a， c 再乘以高，高是 b， 好 通分一下啊，里面这是谁？呃，这是八分之一加四加二，八分之七乘以三分之一，二是四分之七， 都整个大体级是 a 乘 b 乘 c， 你 这占了二十四分之七，那你剩余的那个部分占的应该是二十四分之二十四减七，二十四分之十七。那你问我他俩之比是多少？七比十七选 d。 你看这种题目，人第一开始损在哪啊？第一，看人家那个结面非常小，你就要先扩大喽，你真正找到了啊，这个大结面是什么，你才能知道我这上下俩体积啊，你才能看出是啥玩意，对吧？然后你再用公式法来求。好，那么以上咱们今天的第一部分内容就讲完了。

欢迎同学们来到这节课，今天我们介绍二零二六异模解析几何的综合空间内容。这节课主要围绕抛物线与椭圆两大核心展开，题目均来自异模真题。 本次的考点和方式非常明确，重点集中在三个方面，一是向量垂直的证明，二是定点存在性的探索。三是三角形及四边形面积的最大值与最小值求解， 这是解析几何大题的经典攻坚方向，适合一轮复习后期的综合训练咱们直接开始，我们先看第五题，这是典型的抛物线压轴题。 第一问是基础核心考察的是向量垂直的分析。题目给出过点 p， 做直线与抛物线交于 ab 两点，要证明 o a 与 ob 垂直。 这里的关键思路是设直线连力，利用维大定律算出坐标关系，再通过向量数量积为零来证明垂直。同时，第二问的核心突破口 在于角平分线定律的运用，题目给的线段比例条件等价于 t， p 是 角 a t b 的 角平分线， 这是快速锁定定点位置的关键一步。我们要解决面积最小值的问题，这一步的核心点在于必须先把 t 点求出来，只有通过几何性质转化确定了定点 t 的 坐标，我们才能后续带入面积公式。接下来用斜长公式求 a、 b， 再求点 t 到直线的距离，最后代入面积公式。通过分析这个关于斜率的函数，我们发现当直线斜率为零时，面积取到最小值八。 这部预算量较大，大家暂停视频，自己再核度一遍。接下来看第六题，这是椭圆综合题。第一问求轨迹方程， 这一问属于难题类型。核心解法是利用椭圆的几何法，题目背景是动圆与定圆内切同时过对称点，我们需要把这些几何的内切和过点条件转化为距离关系， 会发现圆心 p 的 轨迹满足椭圆的定义，所以直接利用椭圆参数就能写出它的轨迹方程。这种几何法的思路是解决轨迹问题的核心引导方向。 现在看第六题第二问的第一小问。求定点这一面我们主要通过韦达定律来处理。介绍非对称根的解法，设直线方程连力椭圆，利用韦达定律处理出坐标关系，核心是把斜率倍数的条件转化为代数等式。 这里要特别注意，这种题目运算量非常大，是这类题目的典型特征，同学们在答题时要细心注意运算的每一个步骤。我们继续看定点问题的优化解法这一面介绍的是其次化的方式，这是求定点模型的一个高效技巧， 用其次化的方法去处理，能有效降低相应的运算量，大幅减少计算错误和时间。通过其次化转化，我们能更简洁的求出直线所过的定点，这是解析几何大题中 能大幅提升解析效率的核心技巧。最后，求面积最大值，这一步主要利用维他定律去分析面积的变化过程。这里有个关键问题要注意， 如果在第二题第一小问已经用过其次话，那么我们在处理面积时，还需要再用一次维达定律来生成新的坐标关系。把四边形拆成两个三角形， 利用维达定律结果把面积表达式转化为单变量函数，再通过换元转化为二次函数。求最值，最终求得面积的最大值是三分之八。从几何图形到函数最值，这就是解析几何面积问题的完整闭环。

胡不归，模型问题是初中几何里的重中之重，也是中考高频考点，更是一个难点。就像这道题求最小值的问题，那可是难住了不少的同学，不仅容易卡住啊，而且容易没思路。大家看到啊，别着急，也别担心，今天老师就一条视频带你彻底学懂胡不归。直接来看题， 说，已知 a c 等于六， bc 等于四点， p 是 a c 线段上的动点。接着让我们求 p b 加上二分之根号二倍的 p a， 它的和的最小值是多少？那么这道题目，我们先来看图分析一下。已知一个直角三角形背景之下，两条直角边的长给了一个是四，一个是六点 p， 它是一个动点，哪的动点呢？ 是一条线段上的动点，那 p 在 a c 上动来动去，所以首先我们明确动点在哪？动点在直线上啊，或者说线段上。接着让我们求的这个式子就非常非常的有特点了，要求的是 p b 一个定点定点点 b 和动点之间连成的线段，再加上二分之根号二倍的 pa， pa 是 什么？同样是一个定点点 a 和动点点 p 之间连成的线段，但是注意前面有系数是二分之根号二倍的这样一大类问题。那么见到这类问题，首先很多同学要想到的是 将军印码对不对？哎，那么大家想一想啊，我们学过的求折线段和的最小值问题的将军印码模型考的是什么？ 一条直线上，一条小河上有一个洞点，在河岸的同侧有两个定点，所以这是经典将军印码模型的样子。也就是说呀，求的是那个 p b 加上 p a 型的 折线端盒的最小值，啥意思啊？一个动点在直线上运动，另外两定移动和它连接，对吧？那么这个线段盒两边都是没有系数的，或者说系数是唯一的，所以这是我们将军密码类型的。 但是这道题目同样求折线段和的最小值，但是其中某条线段前面的系数不为一，那么注意，这就是咱们第二类常见的啊，弧不规问题，也是求折线段和最小值有系数非一的情况。那么第三种呢？我们还有一个叫做阿是圆， 如果说动点在弧圆弧上运动，那么同样求折线段和的最小值就会变成我们的阿是圆问题。好，那我们来看这个弧不规他的解析思路。 既然说呀，我说线段前面的系数它不是一了，有了这个系数该怎么办？这就是解决所有弧不规问题的核心，注意听这里边的核心思路，就是带有系数，当然啊，这个系数我用 k 来表示的话，那么我说现在这个 k 的 取值范围啊， 是零到一之间的啊，如果 k 不是 零到一之间怎么办？方法就是提取系数，让它变成零到一好，默认系数 k 在 零到一之间时，那么这样的 带系数的这个线段，我们就要把它转化成另外一条线段，怎么转化？注意，方法技巧来了，非常简单，就是让我们的 k 去等于一个 sine 法。老师，什么意思？注意看啊，在图形上 定点和动点连接 ap 线段前面带有一个零到一之间的系数，这时候咱们就从定点出发去做一条射线，那么就会和咱们的 pa 啊，这个定动连成的线呢，有一个夹角，这个夹角就是我所说的阿尔法。那现在我的目标是什么？让我的这个代引阿尔法就等于 k， 也就是说等于那个二分之根号二。同学们， 萨因阿尔法等于二分之根号二的话，阿尔法的值你是否会算？当然知道对不对？特殊角三角函数值啊！萨因，我们从三十度四十五度到六十度二分之一，二分之根二，二分之根三，所以萨因阿尔法二分之根号二，阿尔法也就是 四十五度啊，换句话说，这是一个四十五度角。老师，你的目的是在干嘛？注意看啊，此时我过点屁，向你做出的这条射线去做一个垂过屁， 向此射线作垂垂足，比如是 q 点的话，这样呢，我就构造了这样一个绿色的啊，直角三角形 a p q， 请注意看，在此直角三角形中， sin r 法，它等于什么？嗯， 在 r t 三角形 a p q 中，我发现 sin r 法就是对边比上斜边，也就是 p q 比上 p a。 哎，那么这有什么用呢？同学们，我稍稍整理一下，我想要的那个萨因阿尔法乘上 p a， 是 不是就变成了一条线段，也就是 p q 的 长 p q， 就是 萨因阿尔法乘上 p a， 萨因阿尔法就是咱所谓的 k， 看到没有？非一的那个系数啊，零到一之间的这个系数 k， 所以 它就是 k 乘上 p a 呀，所以核心思路就是把带有非一系数的这个多少多少倍的 p a 这样的一个线段转化成一条线段。哪条线段呢？就是咱们现在的 p q， 所以 根据构造的思路是构造啊，构造直角三角形， 使得那个 k 啊，就这个系数零到一之间的系数 k 等于 sin alpha， 利用三角函数 sin alpha 乘上这个斜边 pa， 那 么就等于这条直角边的长。换句话说，把斜边转化到了直角边的位置，那么此时要求的折线断和的最小值变成了什么呀？ 你看现在我们要求的啊， p b 加上二分之根号二倍的 p a， 它的核就变成了 p b 加上 p q， 是 不是变成了它们两个核的最小值就可以了？所以动点 q， 点在哪动呢？在这条射线 a q 上运动定点点 b 变成点到线的距离垂线段最短这五个大字来解决问题啊。所以我过点 p 向这条射线 a q 做垂 追逐，叫做 q 撇，与线段 a c 的 交点就是咱的 p q 撇，它的最小值 就是我图形中的线段 b q 撇的长。接下来的任务只有一个，把 b q 撇这条垂线段长算出来就可以了。阿尔法的角是四十五度，这里我有一个小小的直角三角形，所以此处也是一个阿尔法四十五。 再来对顶角相等，这里还是一个四十五。换句话说，我画粉色阴影的这个直角三角形 b c p 撇是一个等腰值四 四，斜边四倍根号二。还有 a c 长是六六减四，这里是一个二。所以在左侧这个小直角三角形中，根据三边关系，一比一比根号二，所以这条直角边长是根号二。换句话说，这个 b q 撇的长度就是 四倍根二加上根二，所以要求的线段和的最小值也就是五倍根号二，咱们就已经完成了啊。所以总结一下，这是我们经典的胡不归问题。首先遇到模型问题，你要学会识别模型， 什么样的问题会想到用弧不规来解答呢？也就是求折线段和的最小值，并且有一条线段前带有一个非一系数，这个系数我们想方设法的让它在零到一之间，并且动点是在直线上运动的。 ok， 弧不规问题来了，怎么来解决呢？构造直角三角形 打造的是塞隐阿尔法等于这个零到一之间的系数 k， 进而把 k 倍的 pa 这条线段乘上 k 变成了啊，或者转移到了直角边的位置，把折线段和的最小值问题转化成点到线的距离垂线段最短进行计算，你学会了吗？

同学们好，我们来看一下安徽省刚考的啊，百校联营一模数学的几何压轴题。 这一题的难度不大啊！难度不大，第一小题和第二小题，这个八分是送一分，这个最后一小问啊，最后一小问主要是考察到 同学们的一个画图作图能力啊。那我们来具体的看一下题目。 a、 b 等于 a、 c 角 b， a、 c 等于九十度 点 d 是 b、 c 延长线，然后一点连接 a、 d， 将线段 a、 d 绕点 a 逆时针旋转九十度得到线段 a、 e， 所以 角 e、 a、 d 是 九十度，这个角 b、 a、 c 也是九十度。那么这是一个手拉手模型， 判断 b、 d 与 c、 e 的 数量关系和位置关系，数量关系是相等，位置关系是垂直。 那么第一小题我们只需要证明一组全等这个分儿就可以拿到了。三角形 b、 a、 d 全等于三角形 c、 a、 e。 为什么呢？因为 b、 a 等于 c a， b、 a 等于 c a 角 b、 a、 d 等于角 c、 a、 e、 a、 e 就 等于 a d s a、 s 可以 证明全等，所以数量关系是相等，位置关系是垂直。这里面有一个八字形， 这个啊，我标红的这一个是八字形。由全等我们可以证出角一等于角二，全等的话，角一等于角二。 那么又因为角 e、 a、 d 是 九十度，所以你可以很轻松的得出角 e、 c、 d 是 九十度啊，角 e、 c、 d 是 九十度，那所以 e、 c 和 b、 d 是 垂直的。那么第一小题 的思路啊，就是这样，正全等，然后找八字形。好，我们看第二小题，延长 b、 a 交 e、 c 于点 f 连接 b、 e、 g 点是中点， g 点是中点。若 哦，当 ab 等于 ac 等于二， g、 f 垂直 g、 e 的 时候，如果这里是垂直， 让我们求线段 g、 f 的 长度，那你要这样想一下，第一小题没有无缘无故的第一小题啊，第一小题角 bce 是 等于九十度，角 bce 等于九十度。 哎，那这个时候我们就能得到中位线啊，哪一个是中位线？ g、 f 是 三角形 e、 b、 c 的 中位线啊，平行且等于二分之一 b、 c， 所以 第二小题我们把 b、 c 的 长度求出来就可以了。 ab 等于 ac 等于二，所以这个 bc 勾股定律，二倍的根号二， 那么 g、 f 就 等于二分之一乘二倍的根号二等于根号二。那么第二小题我们就解答完成了，到这里的话，我们就能拿到八分了啊，很轻松啊！ 好，我们来看最后一小题，在做最后一小题的时候，我希望大家能记得你第一小题用到了中位线啊， 所以我们像几何压轴下一问的思路，你要想一想上一问是怎么做的？好，带着这一个我们来读题过点 c 做 c、 h 平行 ab， 若三角形 a、 p、 f 与三角形 a、 c、 h 全等，求 c、 h 比 c、 d 的 值。好，我们来分析一下， 平行，那么角 c、 h、 d 角 c、 h、 d 啊，角 a、 c、 h， 角 a c、 h 等于角 b a、 c 是 等于九十度的，然后这个角 b、 c、 f 是 九十度，所以角 b、 f、 c 等于角 c、 b、 f 是 四十五度啊，角 c、 b、 f 是 等于四十五度的，这个是能证出来的啊。很简单，因为 a、 b 等于 a、 c 三角形 a、 b、 c 等腰直角三角形，所以我们可以得到角 b、 f、 c 也是等于九十度啊，也是等于四十五度， 那么等角对等边三角形 b、 c、 f 是 等腰三角形，是一个等腰直角三角形， 然后三线合一可以得到 a 是 b、 f 终点， a 是 b、 f 的 终点，又有一个终点，结合题干中告诉我们， g 点也是终点， g 点和 a 点也是终点啊。 而我们上一题用到了中位线，那么这一题需不需要用中位线呢？ g、 a 也是中位线呀， g、 a 是 三角形， b、 f、 e 的 中位线。好，我们写在这里啊， g、 a 是 三角形， b、 f、 e 的 中位线。 好，继续来思考这个题干中的这个条件，这两个变形题全等，我们还没有用上啊！其实这一小题很多同学没做出来，他认为这个 a p 是 等于 a c 的， a p 和 a c 是 对应边，是这样的吗？ 肯定不是啊，因为这一题给你的是文字型全等，文字型全等，他没有给你这个全等符号，所以 ap 和 ac 他 不是对应边。而我们刚才分析的是三角形 a、 c、 h 这个角 a、 c、 h 是 等于九十度的， 然后 ac 是 等于 af 的， 所以 ac 与 af 才应该是对应边， ac 与 af 是 对应边，那么我们就可以得到角 afp 应该等于九十度，这是一个重要的条件，角 af、 p 等于九十度，所以这一题的难点就出来了，它这个角给的很明显不是九十度。那这一题就考察到同学们的作图能力了啊，你要把这个图形给它画出来。好，那我们来画一下。 所以这个时候 g 点应该在这里啊，这里是直角，所以 p 点， p 点就要在这边了。 好，然后这个中位线啊，中位线我们也给它连上。现在中位线有什么用，我们可能还不知道。好，再来分析一下啊， a、 f、 p 与三角形 a、 c、 h 全等，那么我们就有对应边相等， a、 c 等于 角， f， a、 e 全等。三角形对应角相等， 然后还有一个 a、 d 绕点 a 旋转，所以它等于 a e 这个 s a、 s 又可以得到一组新的全等三角形。 三角形 a、 c、 d 全等于三角形 a、 f、 e 这两个三角形全等，那么我们就得到这两个三角形全等，然后啊， a p 等于 a h， a p 等于 a h， 所以 这个 pe， pe 和 h d 是 相等的，对吧？同时减去 a p 和 a h 嘛。 好，那所以 a p 与 pe 的 比值，也就是等于 a、 h 与 h d 的 比值喽，对吧？因为你根据这两个 c 形全等，那我们就可以得到这一个好用黑色的笔写啊， a p 与 pe 的 比值， a p 与 pe 的 比值等于这个 a、 p 的 对应边，我们可以替换成 a h， pe， 我 们就替换成 h， d 等于多少呢？这个时候中位线我们就用上了啊， a g 平行且等于二分之一 ef， 所以 a g 比 ef 等于一比二，所以 ap 与 pe 的 比也是一比二， 那么 a h 与 h d 的 比自然也是一比二。如果说 a h 我 们设成 t， 那 么 d h 就 可以用二 t 来表示 啊，是 a h 等于 t， 所以 这个 d h 就 等于二 t， 那 这个时候 d h 比上 d a 就 等于二比三了。 结合题目中的 c h 平行 b a 这个蓝色的小三角形和这个大三角形一个 a 字形相似啊，三角形 d， h， c 相似于三角形 d， a、 b 相似于三角形 d， a、 b。 好， 让我们求 c、 h 与 c、 d 的 比值，那么我们来设一个数吧啊，我们设 ab 等于一，那么 ac 也是等于一， bc 就 等于根号二， 这个时候 c h 就 能求出来了，对吧？ c h 就 能求出来了，我们来求一下 c h 啊， 这个时候 c h 比 ab， 对 吧？这两个三角形相似啊，这个 a 字形相似。 k 是 等于二比三的，所以 c h 比 ab 就 等于二比三， 那么 c、 h 就 可以求出来了， c h 就 等于三分之二。乘 ab、 ab 的 长度我们设为一，所以 c、 h 是 三分之二，下面再把 c、 d 求出来。 c、 d 怎么样求呢？ c、 d 比 b d， c d 比 b d， c d 比 b、 d 是 等于二比三的，我们 c、 d 用 m 来表示啊，所以 c、 d 用 m 来表示，那么 b、 d 的 话就是 m 加根号二， 它们的比值也是等于二比三。交叉相乘二， m 加二倍的根号二等于三 m， 所以 m 等于二倍的根号二， 那 cd 的 长度就知道了，所以 cd 是 等于二倍的根号二的。那么第三道题我们到这里的话就可以解出来了。 c h 等于三分之二， cd 等于二倍的根号二，所以 c h、 c h 是 比上 c、 d 就 等于 c h 是 二分之三，然后比上二倍的根号二乘二倍根号二分之一，约分二和二消掉等于三倍的根号二分之一。分布有理化， 同时乘根二，六分之根号二，所以最后一小题的答案是六分之根号二。好，这道题就讲解到这里，再见。

嗨嗨嗨，大家好，我是老谢，我接下来给大家讲一下啊，二零二六啊，高考我们双题一摸，也就是危机摸，就帮你们排查一些危机的一道啊，解析大题。 哎，这道大题呢，我觉得出的挺好的啊，首先第一问就稍微有一点点心啊，我相信呢，同学们应该没问题，主要是第二问，他看第二问这题是不是太乱套了？嗯，给了几条直线，给了多少个点啊， 这时候咋办呢？哎，你知道我的导数吐实的第一句话也是时刻看透有何要？其实你在高考考场上，不管是多陌生的题，你看透有什么要什么， 你比如说咱们倒着看啊，咱们看要什么，是不是看直线 l 二过定点啊，这个直线 l 二是过 m 和点 t 的 一个点啊，那么你知道一条直线过定点，你可以把它写成，比如 y 等于 k， x 加 n 吧， 那你知道要么可以直接求出来 n 等于几，比如说 n 等于二，那它就过零。逗号二，这是初二的知识。要么最后得到 n 和 k 的 一个关联方程，比如说 n 就 等于 k， 那 么这个方程就变成了 y 等于 k， x 加 k， 你 是不是就知道它过 负一零了？所以就是说这道题还没做呢，我们不管条件多复杂，我们就知道， 哎，反正最后我们只要把 l 设出来以后，得到一个 k 和 n 的 一个方程，要么直接求出来 n， 要么求出来 n 和 k 的 一个关联式， 是吧，那就来呗。啊，其实没啥啊， ok， 第一问呢，各位，你们可以简单看一看啊，因为这个椭圆的啊，这样一个面积，就是当点 i 在 这的时候，是不是啊，也就是二分之一乘以二， c 再乘以 b 的 时候 啊，也就是 b 乘以 c 啊，它的面积是四，然后呢，包括它的 f 一 f 二的距离最大的差，哎，就是这个点，到这的时候，这个减这个也就是二， c 就 等于四， c 等于二，很简单就出来了啊，来，咱们看第二问，第二问呢，首先 各位啊，来个往上挪一挪，也就是说我们哎，可以先把 l 二的直线射出来，刚才说了 y 等于 k x 加 n， 我 们就虽然这个条件比较多，咱们一点点的用， 各位啊，咱们一点点用，把这条件都用上，化点化点，答案就出来了啊，但是中间啊，待会会有点困难，我慢慢给你剖析剖析啊。首先呢，各位， 咱们先看一看，然后呢啊，直线 l 二，也就是说和椭圆的焦点是 mt， 咱们可以设 mx 一 y 一 t 是 x 二 y 二，是吧，然后标准的解答形式，然后呢得到解答，包括判别式也要说一下， 然后到这以后呢，各位啊，咱们把前三分算达到了，然后接下来我们就要想办法哎，得到 k 和 n 的 一个关联式， 然后呢，这个时候大家看一看，我们有哪些限制条件呢？是吧？比如说 这里边有个关键 b t n 三点共线，那么咱们就有义务去表示点 n， 对 不对？咱们就得表示点 n 啊，然后表示点 n 的 话呢，哎，各位请看啊，咱们这里边哎，我把这个这个这个图给你们剪下来啊，带着你们一块看啊， 好，咱们一直看着这个图啊，那么大家看一看， 首先 m p， 它首先都在 l e 上啊，大家还记得 l e 的 方程吗？是二分之根号二 x 加 m 啊，然后呢，所以 m 和 p 都在这个上边，所以带进去用上条件，我不管直这个条件，这里边直线有多少有多乱，反正既然点在直线上，就带入呗。 另外呢，因为 p 是 m n 的 中点，各位，所以二倍的 x p 减去 x m 是 不是等于 x x n 啊？二倍的 y p 减去 y m 是 不是等于 y n 呢？哎，所以咱们这样的话呢，把点 n x 横坐标，纵坐标就表示出来了，对不对？好到这有同学可能就迷茫了 啊，这里边我们会发现里边有 k 是 吧，然后呢，还有 m， 还有 n， 乱七八糟啊。对，那么这个时候啊，你看这里边 k 是 吧？ n， 然后 m， 那这个时候我们应该怎么办呢？各位，记住一点，只要你迷茫了，你马上确认，就是说你想干什么，你要什么，你到底要什么？时刻明确有何用 啊？时刻看透有何用啊？各位，然后呢，那么咱们就知道，咱们是要求 k 和 n 的， 所以咱们只需要把 m 给削了。 各位啊，咱们只需要把 m 给消了。哎，你比如说，因为这个点 m 在 l 一 上，同时呢，点 m 还在 l 二上，咱们都会发现，哎， y 等于 y， 所以 这个式子等于这个式子，这样的话， m 就 等于它了 啊，虽然看上去有点长，但是抄就行呗啊，每个字母都挺好抄的，这样的话，我们就把 m 等于这个代入到 y n 里边，把 m 啊，等于，哎，这个带到 y n 里边以后，就变成这个式子了。好，那么最后一步我们就是什么呢？我们就是因为 b t n 三点共线啊， b， t， n 三点共线，然后呢，我们就是，哎，列出来一个最基本的这样一个斜率 是吧？ k b t 等于 k b n 啊，那么这个时候我们就可以接下来整理这个式子就行了，当然这里边呢，这道题锻炼大家的抄写啊，耐心专注的抄写，其实你只要自己不着急，你会发现每个字母都挺好抄的，每个数字都挺好抄的 啊，然后呢，你就抄写，然后整理到一定程度，大家看 x 一 乘以 x， x 一 加 x， 整理成尾答形式了，然后我们就代入尾答， 然后呢，就得到这样一个很长的式子，各位，因为我们这次模拟考试叫微几何，就是想摸摸你的性子，想提高一下你解析的计算的韧性，你看啊，那么这种情况下，我们这么长的式子，你要有耐心的抄，整理完以后，各位，我们呢这道题出的还特别的恶心， 就是你会发现这里边有 n， 有 k， 对 不对？一个二元二次方程，这个时候你可以把 n 当成主元，然后用 k 去表示 n， 然后这样的话呢，因为这个方程咋解啊， 有的时候不好看，这分解因式就可以应用求根公式，先求来判别式，然后用求根公式，然后得出来。哎，这个这个时候有一个很重要的点，你能不能想到前提确认 啊？你要能够写到这来这么麻烦，你还能想到前提确认是吧？因为人家说了 m 和 t 均异于 ab， 也就是说直线 l 二根本不过 a 也不过 b 啊。那么如果你这时候还能想着前提确认，各位，我们这次微积分就是想帮你排除各种危机 啊，那么你会发现，这样的话，等它的时候我们还要想一想，看看是不是过点 b， 所以 这样不行，然后呢， n 等于负四， k 的 时候，它就是 y 等于 k 倍的 x 减四，直线过定点四的号零。各位啊， 那么这道题是不是危机重重啊？第一个看上去这个题直线好多好乱，这个危机老谢是怎么帮你排除的呀？ 不纠结于这个题目有多乱，而就看他不就过定点吗？直线过定点是吧，主要有两种情况，一种是常数项是吧，定值求出来，要么就是他俩之间有关联性 啊。然后呢，我们，哎，设餐啊，设出来现餐以后该往下坐，该往下坐，然后呢，中间又一个危机，这里边有仨字母，各位，我们这个危机啊，这次危机帮你排除，万一有好多个参数，你知道怎么办吗？永远知道， 始终看透啊，就是有何要你要什么，你要得到 k 和 n 的 m 是 个第三者，把它给删了，然后再用 这样一个简单的啊，就是这个三点弓箭，然后我们就化简化，简化简，然后这个式子虽然这么长，但是老谢说那句话了，抄起来并不难呀， 之所以觉得长长是一个纯粹的主观啊，你如果相对于更长的，你还觉得它短呢，所以一定要让自己 突破那种心魔啊。然后呢，到这以后再帮你排除一个危机，如果二元二次方程很麻烦怎么办啊？有的时候就别那死抠分解一式了，你可能看五分钟都抠不出来，你不如直接判别是两分钟搞定了 啊。最后一个危机就是咱们顶级高手才能做到的，写了那么长的式子了， 下边还有两道题，可能导数跟新一还在后面呢，你这时候还能想着再回到题目中看一看有没有什么前提的限制，发现 mt 都异于 ab， 你 然后排除一种情况，你拿满分，你告诉我你厉害不厉害？ 好啦，各位要想在高考前排除各种危机，可以来双题找老谢。

哈喽，同学们好，今天是三月十七日，离我们对口升学考试的时间越来越近了，我们数学科目将在二零二六年三月二十二日上午九点到十一点半进行考试。从近两年对口升学数学考试的历底几个部分来看，二零二六年这个知识点预测呢还会继续考， 下面呢，我们来看一下二零二六年对口升学数学是题中的例例，几何将怎么去考，我们直接呢哪一道题呢？给大家预测一下。好，我们来看一下二十三题。这道题呢，背景是空间四边形，空间四边形也叫空间四面体，也是我们平常所说的三楞锥， a、 b、 c、 c、 d， a、 d 这四个边相等，他们的终点呢，分别是 e、 f、 g、 h， 来证明这样的一个四边形是矩形。那么首先想到矩形的判定 判定，我们可以证明这个句型呢，首先是平行四边形，根据判定定理，有一个角是直角的平行四边形是矩形，或者说证明它的对角线相等的平行四边形是矩形。或者说呢，你证明这 三个角都是直角，这样的四边形呢是矩形。那根据这道题我们来看一下，由于这个中点有中点有三角形呢是矩形。那根据这道题我们来看一下 e、 f 平行且等于二分之一的 a， c， 同理 h， g 也是平行且等于二分之一 c， 也就说我们很容易证明 e、 f 平行且等于 h、 g。 然后这样的话呢，平行四边形就正到了，然后我们再找一个角是直角就可以了， 比方说我们要找这个 e、 f、 g 这个角，想证这个角是直角，那么想证这个角是直角的时候，我们可以通过什么来证？我们可以通过这个 b、 d 这条线来垂直于 a m， c 这一个面，就是通过线面垂直来证明 b、 d 垂直于 a c， 那 么 b d 垂直 a c， 也就是说呃 f g 就 垂直于 a c， 而 a c 与 ef 相等，也就证明了 ef 与 f g 垂直，这个直角就正出来了。好，下面呢，我们将这个步骤呢给整理一下证明。首先把这个辅助线给写上，取 b， d 中点 b， d， 终点为 m， 然后连接 a， m， c， m。 好， 下面，因为 e、 f， g， a 器 哎，分别为 a， a， b， b， c， c d d a 的 终点， 所以 ef 平行切等于二分之一的 a c。 同理， h g 平行切等于二分之一的 a、 c， 所以 ef 平行切等于 h g。 所以 四边形 e f， g， h 为平行四边形。好，这个我们相当于完成了一部分了，证明它平行四边形下面正垂直，因为 ab 题上说 ab 等于 ad， 而这个 m 为为 b d 中点， 那所以三角形 a， b、 d 就 为等腰三角形，也就说我们可以用到 am， 它就是垂直于 b d。 同理，我们在这个三角形 b、 c、 d 中能得到 cm， 也垂直于 b d， 同理，得 c m 也垂直于 b d， 这样的话，这个 b、 d 就 垂直于 a m， 又垂直于 c m， 而 a m 和 c m 相交于 m， 所以 说它就垂直于这个面了。 哎，所以 b、 d 就 垂直于面 a， m， c 那 么这样的话呢，它就 b、 d 就 垂直于这个面上的所有的线，那它就垂直于 a、 c 了，就垂直于 a、 c。 由于 e f 平行于 a、 c， 所以 这个 b、 d 啊，就垂直于 e f， 然后又因为 b、 d， 哎，平行于 f g 啊，也是中位线嘛。那所以说我们就正出来， e f 与 f g 垂直，也就是说这个角 e、 f g 为直角， 为直角，那么我们就正到了这个四边形， e f、 g、 h 为矩形， 就正出来了。好，我们重新分析一下这道题，他大致上来说呢，分成了两部分，哎，第一部分就是正什么呢？正平四边形。 哎，第一段就像我们写作文一样，第一段正平四边形，然后第二段呢，我们的目的呢，就是正垂直，也就是说正直角， 正直角。然后第一段呢，详细利用呢，就是中微线三角的中微线平行且等于，嗯，就是平行，且等于第三边的一半。 那么第二个呢，我们主要利用的什么字点呢？正到了一个线面垂直的判定定律，一个线要想与一个面垂直，那么只需要这个线呢，垂直于这个面里呢，相交直线就一对相交直线 就 ok 了。然后呢，就是通过这个线面垂直得到这个，这个线与这个面里的所有的直线都垂直，然后又用到了 一条直线垂直于平行线中的，只要平行于一对平行线中的一条，那么他必与另一条呃，也垂直。就是一条线与平行线的平行线中的一条垂直，那么他必与另一条呃，也是垂直的。记得点赞关注哦！

胡不归问题堪称初中几何的终极压轴王，就像这道题啊，不仅求最值，而且还带系数，就是非常考验孩子们对模型的理解能力。与此同时呢，还有系数的处理能力，还有辅助线的构造添加能力，很多同学算到崩溃，第一步都不知道怎么写。 别慌，老师，今天啊，一条视频带你彻底学透胡不归。好，我们来看题啊，这类型的题啊，基本上老师已经讲的非常的熟练了啊，大家一搜就能搜到，但我今天再给大家梳理一遍。首先呢，我们要看一下，拿到题目先看问题 哦，线段和的最小值，你脑子里面想到了什么？模型两个，第一个胡不归，第二个阿是圆，很多孩子临到中考一模前了还分不清，不可以啊，胡不归呢，一定要注意，它的动点在直线上， 像这个题， p 点是线段上，那不就直线的一部分吗？是不是阿是圆的动点呢？在圆上， 这是它们最本质的区别。好，它们的相似点我们也能总结，就是系数 小与一，就这里这个五分之三的系数小与一。好吧，其中呢，我们阿式圆，大家可以关注一下我们以往作品或者以后会发啊，阿式圆的系数呢，是相似比好吧，然后呢，弧不规的系数是三角函数， 他的转化思路是完全不一样的，能明白， ok？ 当然，今天呢，我们不展开去讲阿是圆，大家可以关注老师的作品，我们以后去讲啊，今天重点去讲胡不归。好，那我们接下来继续看，既然你都知道是胡不归了，对不对？那关键就是怎么处理。首先呢，常考的系数有这么几个， 二分之一、二分之根号二以及二分之根号三。初三的娃一定知道二分之一代表什么？代表的是三十度。 二分之根号二呢？ sin 四十五度，二分之根号三呢？ sin 六十度， ok， 这是常见的三角函数，对不对？就比如说啊，我现在给你翻译三十度，请问大家这里是三十度，这里是直角，请问你现在告诉我，现在这个 pa 比上，我们的 pb 等于多少？是 pa 比上 pb 就 等于 sin 多少？三十度等于二分之一嘛， 能理解。好，这就是二分之一的来源啊。好，那问题来了，那请问题干中可不是这么给的呀，题干中是二，五分之三，那又是什么呢？好跟大家说啊。还有一些不太常考的点，就是一些非二分之一、二分之二、二分之三这种东西，比如说这里的五分之三， 他是一些普通角度，但这个角度呢？大家别担心，老师我可没背过塞应谁等于五分之三？记住不要怕，一定是先去找直角三角形就可以了。你比如说我问大家，他告诉你这里是三，这里是四，你告诉我那个五分之三怎么找？ 很简单呀，连接对角线是不是？这里就是勾股定律，是不是五？它是五，你告诉我，这个角的阿尔法就出来了，是不就是我们的三比五就是五分之三， 所以这个角的正弦值就是五分之三。那么因为你是矩形平行的，所以这个角是不是也是五分之三？能理解我的意思吗？好，然后你再去转化哦，五分之三乘以 p d 啊，它怎么转化？是 p d 在 这个地方 对不对？五分之三乘以 p d， 那 这个角不是五分之三吗？对不对？那我向下作垂喽，可不可以？可以，但你会发现，比如说啊，这是 pm 啊，你看各位， pm 比上我的 p d 是 不是等于 sine？ 这个阿尔法是不是就是五分之三倍的 p d 行不行？非常的完美，是吧？ pm 是 不等于五分之三倍的 p d 行不行？非常的完美，是吧？ pm 是 不等于五分之三倍的 p d。 那 这个题又变成什么了？它就变成了 p b 加上什么？你看 p b 加上 pm 能理解吗？那 p b 加 pm 这个点也不固定呀，所以说这种折线的问题， p b 加 pm， 你 想到了什么？这不就是咱们最基础的将军印码吗？所以这个题你就是把它给它翻折上去就可以了，对吧？顺带你把这个 r 法也给它翻折上去，这里就是 r 法， 能理解吗？然后把它延长上去，给它构造一个直角造型来，大家现在请看，我把这个笔记擦掉啊，你可以回去截图，大家现在请看，我现在重新的去给他做一遍，就是连接它， 这里是阿尔法，这里也是阿尔法，对不对？然后呢？现在我这里做一个角，也是阿尔法，把它又延长，找一个直角造型， 对不对？好，那大家现在想想，是不是继续那一个什么？对，反正一个 sine alpha， sine alpha 是 不就是我们的三比五，对吧？就这里的是不是三四，这里是五，所以这个 sine alpha 它和它是相等的呀，是不是也是啊？这个五分之三， ok， 它是五分之三，那么 p d 乘以它是不是就这里作高， 对吧？就是我们的 p 什么 pm 吧，是不是？好，那现在这个问题是不是就很清晰了？你看 p b 加上这里是垂直， pm 什么时候最短？因为 p 点是上面随便走的呀，你想想， p 点跑在这是 p m， 如果啊，是粉色，这里是不是也是一样的 p b 加上 pm， 对 吧？如果 p 点跑在这里， pm 是 这样子的，是不也就是 p b 加上 pm？ 好， 请问什么时候最短？这是垂线哦，什么？很显然，答案就是 点到这条直线的所有距离当中，这条线是最短的，那这个才是我们真正的 p 点，你求的是 pb 加 pm 是 不就可以了，对不对？好，我们来写一下过程啊，最后再教大家怎么去求，求的反而是简单的好不好？来过程怎么办呢？就是首先连接我们的啊， bd 好， 然后呢，因为角啊，这个 dcb 等于九十度，对吧？然后呢， cd 等于三， cd 等于四 啊，勾股定律，所以说 b d 等于根号下三的平方加四的平方，也就是五，我要出现这个五分之三嘛，对不对啊？所以说我们的角啊， d， b， c 等于角， a， d， b 等于阿尔法，那么 sine， 阿尔法 就等于我们的 c， d 比上我们的 b， d， 也就是三比五不就出来了吗？好，那我们要保证这两个角相等可以干嘛？是不是相对？我把这个象形给它翻上去，对不对？那就是延长 b a 至 n， 使得什么呀？使得我们的 a， n 等于 ab 连接我们的 n d 好， 然后呢， e 正，这个比较简单啊， e 正，三角形 a， d， n 全等于三角形 a， d， n 和 a d， b 是 全等的，所以说角 a， d， n 也等于 r 法，对吧？然后呢，紧接着我们就是把那个辅助线做出来，对吧？过 p 做啊，我们的 pm 绿色这根啊，垂直于我们的 d n 交 a d 于 p 点。 ok， 你 要懂这原理，你才能懂我这个过程在干嘛，对不对？因为这个角现在不是阿尔法吗？对不对？好，你就说，所以在这啊，所以我们可以得到我们的。呃，这个 find 阿尔法 等于五分之三，又等于谁呢？我不是说这里做了条垂线吗？就是 pm 比上 pd， 那 所以说 pm 就 等于五分之三倍的 pd， 所以我们的 p b 加上我们的五分之三倍的 p d 就 等于 p b 加上我们的 pm， 这不是 pm 吗？对不对？好，当 p b m 共线的时候，其实就是这种情况下，对吧？此时 有最小值。好，最后一步是最简单的，就是求，怎么去求？来，我给大家把这个擦掉。啊，怎么去求它？我把它延长，这里是我们的 n， 然后连接，然后这里做一条高，对吧？这是我们的 m， 这是我们真正的 p， 对 吧？怎么去求？这个 pb 加 pm？ 大家去想， 你刚才是不是正过全等了，是不是？这是阿尔法，这是也是阿尔法，然后这里是垂直，垂直求一条高用什么？对，求高用面积，所以说你会发现，因为你全等，刚才不是说这里一正，他们是全等的吗？对不对？全等以后你是几？五，那我这里是不是也是五， 对不对？然后这里是几呢？你这里是三，我这里是三，对不对？这里是几呢？这里是几？是不是四，对不对？所以说你会发现三角形的面积怎么求？三角形？我们的 b、 n、 d 二分之一，我们的 b n 乘以，我们的 a、 d 就是二分之一，乘以 b， n 是 六，乘以 a， d 是 四，也等于二分之一的谁是不是他乘以他，对不对？好，就是二分之一，我们的 d n 乘以我们的 b m， 对 吧？ d， n 是 几呢？所以说 b m 就 出来了呗。 b m 就是 二十四，除以 d， n 是 五，对吧？勾股定力五， 你最后答案就是它，所以最小值为五分之二十四，求这条高就行了。好吧，就是这条，你现在看到这条高， ok， 就是 整个题啊，我从逻辑练出发，告诉你最小值两种思考，紧接着就是五分之三，怎么去构造，对吧？靠我们的什么？靠我们的直角三角形，哎，三四五去构造，这里是阿尔法，这里是阿尔法，然后你再去构造一个阿尔法， 对吧？想方设法把五分之几三倍的 p d 构造出来，一开始是往下构造嘛，对不对？但是他加他，你想这没法做呀，一定要把他在像将军一样翻上去，对吧？求他加他的最小值，然后最后求值的时候用面积问题把它求出来。各位你听懂了吗？赶紧点赞收藏！

大家好，我是升学规划庞老师。一模考试结束了，我们今天拿到了市中这套数学卷，和我们二零二五年的中考真题啊，进行了一个对比， 说这两套试卷的相同点呢，基础题的占比呢，是比较稳定的，如选择题的第一题到第八题，填空题的第十一题和第十三题，都是考察了相反数科学、计数法、概率计算这些基础的知识点。 压轴题的第二十五题呢，是延续了几何变换和构造全等的一个命题思路。那不同点呢，是今年的这套卷第十题啊，新增了序列数的新定义题型， 它强化了数学的建模能力。实际应用题呢，占比提升了百分之二十，比方说，无人机的高度函数成本优化更加贴近我们的生活场景。在难度梯度上呢，中档题是进行了扩容。 今年呢，这套卷里的中档计算题明显的增加，第十九题的水龙头高度的计算，第二十二题的限性规划，都需要结合着三角函数和不等式组来组合。综合求解。 压轴题呢，也进行了一个创新，第二十五题的第三位啊，将旋转问题迁移至平行四边形，需构造六十度角辅助线。 二零二五年呢，相似题型的难度是有所提升的。接下来呢，我给孩子整理了针对性的一个复习建议。 首先呢，我们一定要巩固基础，抓牢我们的送分题，一定要反复练习科学的技术法，试图判断概率计算，确保呢，在五分钟之内一定要完成前十道题。 在易错点突破上呢，针对第六题的密运算，第七题的反比例函数增减性整理我们的错题本啊，归纳我们的混淆点。 中档题呢，首先我们要训练我们的建模能力，突破我们的第十四题无人机相遇问题和第二十三题的反比例函数与直角三角形的综合掌握，就是参练式解方程的三步法。 那几何工具包呢？要总结我们第二十题的切线，证明第二十四题的抛物线平移的固定套路，比如要连半径正垂直顶点坐标平移法则。 压轴题也一定要进行分布拆解。对第二十五题的旋转问题呢，按照截取线段、政权等勾股定律分布来得分，即使未能完成题啊，也可以拿到百分之六十到百分之七十的分数。 注意，新题型呢，我们要建议每周练习两道新定义题，如序列数、几何变换，重点要理解 题干转化为数学语言的过程。最后呢，还要特别提醒同学们，一定要注意时间的分配。建议呢，前四十分钟要完成我们的选择填空，留五十分钟呢，来攻坚中档题。 最后的三十分钟呢，专攻压轴题。需要原题的家长呢，可以在评论区留言关注我，我是易家彭老师，加油！

二零二六高考数学新一卷到底怎么考？很多数学老师已经做出了预测，那我自己呢，根据模拟卷最近常考的一些问题，或者一些发展，也做出一些判断，跟各位同学们分享一下。 第一块，呃，我说的只是大体五道大题的一个内容。第一块呢，是数列，但同学们重点去学数列的 根据地推关系求通向，以及竖列的求和和竖列的放缩。竖列的放缩主要是用利用不等式把竖列当函数进行放缩， 同学们可以认真去练习。第二块，解三角形。解三角形对同学们的要求就是说，你把数上所有的三角函数的公式要数到不能再数位置，包括恒等变换二倍角、降密辅助角，以及同学们经常会忽略的 计划核差和核差化学公式。这一块，新高考已经考过了啊，是必须得掌握的。第三块，内容，概率与马尔科夫电。 这个马尔科夫电可能很多，有很多同学不知道是什么，他其实就是一种树立的一种关系。呃，简单的说就是昨天决定今天，今天决定未来。嗯，简单的说就是昨天决定今天决定未来，往下求减。 当然，概率内容也很重要。呃，包括我们小题的概率、全概率条件概率 b s 公式，大家要充分把这些公式进行理解，因为新高考考察重点就是大家对知识点的理解。 第四块，那是不变的是导数内容，导数呢，大家重点去练习不等式处理的技巧，第一个是分离参数法， 第二个凹凸反转进行证明不等式。如果有同学不了解这块内容，去去看二零一四年的高考题，在十十几年前就已经考过这种思维方式了。 第五块内容，因为模拟卷，嗯，出现的比较多，就是空间几何、立体几何与解析与圆锥曲线的结合，把一个三维的问题，根据圆锥曲线的定义，求出一个二维的轨迹。 模拟卷已经不止一次在考，包括有一些信心卷、预测卷都已经出现，大家学会理解什么叫轨迹思想。 呃，这五块呢，就是我对今年高考大题的一个一个预测，希望能够帮助到各位同学们。好吧，同学们加油。

好，同学们，好，呃，今天呢，我们主要讲解的是二零二六年的高三一模考试中的呃，填空题和解答题，那么填空题和解答题它的核心考点主要包含了函数、概率统计、排列组合、数列 例例、几何、导数与解析几何。那今天呢，我们就详细的来给大家讲解。那首先呢，我们来看一下这个啊，这是我们今天所要讲的题目啊，从以下六个试题啊，给大家讲解。 好，首先我们看从第十二题开始啊，第十二题呢，它其实考察的，我们先看考察的知识点啊，就是第一个，它给到我们这样的一个函数，那它实际上是一个指数型的函数， 横过定点 a， 然后呢，他又呃知道函数 f x 在 s 等于处的切线啊，又考察了函数的切线啊，所以第一个是对数型函数的一个定点问题啊，第二个是切线问题啊，那我们一， 我们逐个去突破啊。首先哦，我们来思考一下，就是对于这个对数型函数呀，他过的定点，我们是怎么去找定点呢？比如说我们是对数函数啊，对数函数移位 d x， 那 他过定点的时候，我们是让真数为一啊，函数值为零， 所以呢，对于本啊，本题中的一个对数型函数，我们就让它的真数为啊一啊，所以 x 此时就是二，那对应的外值呢，就是负二 啊，所以我们的 a 点啊，找出来就是一个二和负二。好，这是第一个啊，题干信息的一个筛选啊，也是非常基础的。第二个啊，函数 这个在 s 等于一处的切线。好，那这里面呢，我们的核心考点就是切切点切线问题是吧，我们说函数 f x 啊，在某点处的切线，在 x 等于 x 零处的切线方程啊，应该是怎么来求， 应该怎么求？那么我们这样来处理我们这个这个点呢，它就是切点，所以 x 零和这个 f x 零是吧？ 好，这是切点，那么切点处的啊，这个导函数值呢，就是切线的斜率，那么最后的切线方程我们写成什么形式呢？我们就是外减去 f x 零哈，然后等于 f 片 x 零 乘以 x 减 x 零，哎，这是切线方程啊，那么这个切线方程我们写完以后呢啊，我们再去解决本本期，那他说这个函数啊，第二问，第二步骤啊，他说这个函数 f x 啊，等于啊，令 x 减去 ax， 我 们想要求它的导数啊，想要求它切线方程，我们必然要第一步先求导啊，先求导，求导是不能错的，对不对？好， 然后呢，我们是切点呢，是 s 等于一处的切线啊，所以一就是它的切点，那么我们切点呢，是一，它的函数值啊，它的函数值 f 一 呢啊，是一个负 a， 所以 我们的切点是负 a， 那 么切点处的导函数值等于切线的斜率啊，所以这个时候呢，我的 f 偏一就等于一减 a， 因此呢啊，这个切线方程啊，切线方程我就可以啊，顺利的写出来，就是 y 加上 a， 然后等于多少呢？一减 a 乘以 x 减一 好，同时呢，他又说经过点 a， 也就是我们刚才第一啊段分段的时候，我们获得的信息，也就说这个二和啊，负二呢，他在这个切线上我们分别代入啊，那就是负二加 a， 然后等于一减 a 乘以 二减一是一，那因此我们看 a 就 等于多少了， a 就 等于这个二， a 就 等于三啊，所以 a 就 等于二分之三。好，那这个是第十二题的一个啊，答案。 好，那我们再来看一下啊。第十二题，首先呢，它考察的核心考点啊，就是我们看到一个题，我们知道它的考点，如果我们做错了，我们也是能够有 方向的去复习，比如说切线，切线方程啊啊，在某点处和过某点的方程，还有就是这个 啊，这个是对数型函数它的定点问题啊，我们都是一些很细致啊，很细节的一些啊，零碎的一个知识点啊，我们都要掌握个滚瓜烂熟，那这样的话，我们做题的时候才这个熟练度才有啊，这是第十二题考察的主要是切线问题。 好，接下来我们看第三题，那么第三题呢，它实际上是一个全概率，又结合了一个排列组合啊，我们首先来分析一下题啊，分析题是非常重要的，那么这个题呢，有同学他算不对的原因啊，当然这个排列组合的数是比较大的啊，可能导致有些同学他没有算对 啊，分析题也是非常重要的，就是我们首先来看他想要买啊，买一包是吧，买这个电子，这个电气原件， 那么他是，呃从一包中呢，要先抽查啊，抽查四个，如果这四个原件就是好的啊，其实也是跟这个买彩票一样，是不是看这个运气好坏了，他刚好抽到的四个是好的，那他才决定买下这一包， 那么我们看一下就是假定啊，假定，你看这里面有含有六个次品的包数，占的是百分之二十，那其实就是我们这个分类了，对不对？有百分之二十呀？啊？有百分之二十的这个产品呢？它是啊，十二个， 每包啊，你看啊，每包是十二个，对不对？是十二个，然后它含有六个次品， 那含有六个次品，那就意味着是六个正品。好，那么还有百分之八十啊，其余的包数啊，它含有两个次品，那么含有两个次品，那这个时候每包还是十二个？它每一包中啊，它含有两个次品 啊，两个次品，还有就是那就是十个正品。好，我们再去抽，那么他采购员随机的挑一包，拒绝购买，他为什么会拒绝？拒绝购买了？那说明啊，他买的这四个， 这个他抽查的这四个里面应该是至少有一个次品 啊，在抽查的时候至少有一个次品，那么至少有一个次品，其实他情况是比较多，那你可能是一个，也可能是两个啊，还可能三个、四个，所以这个运算的话，他就比较麻烦 啊，比较麻烦，那么至少有一个次品。我记为事件 b 的 话啊，那我能不能求事件 b 的 对立 事件啊？他对立事件就是都，为什么呢啊？都为正品， 都为正品。哎，这个就好办了，你四个都是正品，我就好抽了，是不是？所以我们在算啊，在算这个 p、 b、 e 的 时候啊， 这实际上就是都是正品的时候，实际上是一个全概率，那么在这个全概率中呢，又含了一个什么呢？超级核分布啊，这个考点还有一个是这个概率统计中的超级核分布啊，那大家 首先呢，对超级和分布啊，他的公式啊，了解不了解是不是？好，那接下来呢，我们看一下 啊，如果你不了解的话，你要复习相应的章节，复习相应的章节，那么首先呢，我们看啊，它是一个全概率，为什么全概率？就是如果我抽到这百分之二十的我，我拿着每一包啊，我去抽 啊，他是不一样的，所以呢，我们在算啊，抽到的四个都是都是啊，正品的时候我们含含啊，就是含有六个次品的包数，或者是两个次品的包数，所以分了两部分啊，这是第一部分，然后这是第二部分啊，所以我们在算的时候要啊算乘以百分之二十， 然后我们再看，就是在进来，你这百分之二十是六个次品啊，所以你在抽的时候是按超几何分布的，超几何分布，那么超几何分布它 x 服从超几何分布的话，它是十二个产品，里面有六个产次品，然后你抽四个产品 啊，问你次品的个数，那这里面我是抽，我是有六个正品，那我的六个正品是不是都来源于正品中的六个？我从正品中去抽四个，那我抽到的就全部是什么呢？就全部是啊正品了， 然后再加上这个通道啊，这个第二部分就是百分之八十啊，因为他这个含的次品个数少，那我就乘以零点八，我去乘啊，这个也是服从超级核分布的，那么他的啊，这个，呃，总的产品个数是十二个，他含的次品是啊，两个，然后他抽四个 啊，那接下来呢，我们看，那就是拿零点八，那你抽的四个正品呢，他是从正品中来的啊，所以这里面是 c 十四，然后去除以 c 十二四 啊，那么接下来呢，我们就是一个排列组合的一个预算啊，这里面其实预算量还是比较大的啊，就在考场上啊，这个作为这个第二个填空题 啊，这个预算量是是比较大的啊。好，那接下来就是我是是讲了一下思路，那我们具体呢啊，是需要啊，自己来去预算的啊。那么这个题呢，实际上我觉得他考察的 层面呢，也是比较多的啊，考察层面比较多的，第一呢，他考察了这个全概率啊，你要知道他是一个全概率的一个公式 啊。第二个就是啊，你要是会抄几何分布啊，会抄几何分布的这个模型啊，比如说它是抄几何分布，我给它帮助大家去复习一下啊， 大 n 是 总的产品个数，然后 m 是 次品个数，然后小 n 是 抽象个数。那这里面我们需要掌握的有以下几个方面啊，就是比如说我产品 n 小 n 个产品中含有 k 次品的概率， 那 k 的 次品它来源于次品啊，那剩的大 n 减大 m 啊，是 一个正品，那就是 n 减 k， 然后去除以啊， c 大 n 小 n 就 行了。那么这里面还有两个重要的公式，就是啊，在超级和分布中啊，它的期望和方差 啊，我们也要记住，借此机会啊，去复习，那么就等于 n 去乘以次品于啊， 然后接下来呢， d x 的 公式啊， d x 的 公式它是怎么？它是 n 啊，去乘以次频率，再去乘以正频率啊，然后再去乘以大 n 减啊大 m， 然后除以大 n 减一啊，这个地方应该是大 n 减小 n 吧。 好，大家看一下啊，你看我，我在，我在记这个这个公式的时候，实际上也是很容易就错，所以我们还是应该及时的去，去翻下笔记啊，翻下笔记这个超级和分布它的这个 方差呢，如果你用到了啊，你在做题时，做题的时候它就很快就出来了，但是呢，如果你要是没有记住，那做题的时候实际上是非常艰难的啊，非常艰难的， 这个地方要注意啊。啊，我刚才写的是没有错，我又翻了一下书本啊，他这个地方确实是啊，大 n 减去小 n 啊，这个别，别记错了，多记几次啊，这个是 n 啊，小 n， 抽象个数乘以次频率，正频率啊，和这个调和的这个数 啊，这个数记清楚，那么整个 d x 啊，它的方差就记住了啊，所以我们其实要以点代面的去复习啊，以点代面的去复习 啊，你，你不会一个题，那你相应的知识点呢？你一定要去啊，捡起来啊，这个题的话，他最后的答案是啊，五十五分之三十六，好，这是这个，呃，第十三题啊，第十三题，好，接下来我们再来看 下一个数列，嗯，那么这个数列公式中呢，其实，呃，我我在自己在做的时候呀，也是呃存在算错了好几次啊， 所以说大家在考场上他其实也是很容易出错。第一个，我认为呢，咱们的审题能力啊，审题能力是非常重要的，就是你要看清楚题啊，题干信息中每一个条件指的是什么。好，我们先来分析， a n 呢，它是一个等差啊，它没有说等差数列，对吧，它只是说它的前项和是 s n， 然后呢，它又告诉大家啊，又告诉大家这个 n， a n 和 s n 呢，它是依次成啊，等差数列，好，我们就先从这一段啊，先从这句话中去提炼信息 啊，它是成等差数列，那我们就有一个等差中项了，对吧？啊，能够得到这样的一个啊，式子好， 那么同时树立 b n 呢，它满足这样的一个关系，那其实它这个是一个递进的关系，就是你前面 a n 呢，必须去解决，然后你解决完以后，咱们才能去求 b n 啊，所以说这个地方呢，我的切入口就在于这个式子， 那从这个式子中啊，我看到这个式子，我就立马反应出来啊，它就是，嗯，咱们数列中计算中啊， usn 求 a n 的 一个啊，经典的一个模型哈。 usn 求 a n， 好， 那这里面呢， usn 求 a n， 我 先给大家梳理步骤，第一个必须先算 a 一 啊，等于多少？ 第二个呢，我们 s n 减去 s n， 求 a n 的 时候，是不是 s n 减去 s n 减一等于 a n， 那 么这里面强调 n 大 于等于二， 好注意啊，这个这个式子呢，有的时候正着用，有的时候是反着用的，然后第三个呢，就是我们最后还要检验啊，还要检验啊，也是有分的，大概是一分，如果你不检验啊，那那么这个分就不走分， 那所以说呢，我们按照刚才就是由 sn 求 a n 的 这个长通信通法啊，常规的一个 啊思路啊，我们去做题，那么第一步呢啊，我就先求 n 等于一的时候， a 一 是多少是吧？好，我二倍的 a 一， 然后等于一加上 s 一， 那就是 a 一， 对不对？ 所以说这个地方 a 一 就是一个递推关系 啊，我二 a n 啊，等于 n 加上 s n， 是 吧？然后我递推关系的话，我就二倍的 n 减一，等于 n 减一，加上 s n 减一。哎，那这里 这个地方呢，是不是 n 大 于等于二？好，两式作差，两式作差。那么左边呢，我们写成是啊，左边我们写成是二 a n 啊，减去 a 的 n 减一 啊，右边呢是一个一加上，哎，这里面啊，就用到了我刚才给大家补充的这个细节部分哈，就是 s n 减 s n 减一啊，就是这左边是二， a n 减去一个 a 的 n 减一 啊，右边呢是一加上，哎，这个地方就是啊， s n 减去 s n 减一，就是一个 a n， 好， 进而得到一个。关系，就是啊， 这个地方我少写了一个二，是吧？啊，这个也少写 a n 呢，就等于啊，二倍的 a 的 n 减一，再加 e a， 那 这个地方呢，我们啊，第一个考点呢，是由 s n 求 a n， 第二个是啊，用构造法 啊，用构造法去求 a n 同项啊，构造法去求 a n 同项。所以说实际上题目的综合式综合性特别强啊，就是你一个点不会，那你 这个题可能就会有出现很大的问题哈，那么这个是第二层面啊，我如何用构造法来求 a n 呢？我们看到，如果我盖住这部分不说，我们看 a n 是 二倍的 a n 减一，那它是不是一个等比数里， 但是他多了一个 a 一， 所以我要去配啊，我要去配，那我怎么配呢？我们这里面啊，我先假设啊，加了一个数啊，加了一个数，他再构成一个什么数列，等比数列， 然后呢，我再，我再给他还回来，是吧？你看啊，我再啊，还回来的时候就换成是，这是二 a 减 a 就是 a， 所以 我知道我设的这个 a 其实就是一啊，我满足啊，我原来呢，不是一个等比数列， 但是我加了一个一以后，它就成为了等比数列啊，所以这里面呢，我们可以说啊，我们可以说 a n 啊，加一，它就是一个等比数列， 那么它的首项呢？是 a 一 加一，我们刚才已经算过啊，这里面是一啊，它就是二，所以呢，就是也，谁呀也啊？首项 啊，以二为首项，对不对啊？然后公比 q 呢，为二的等比数列，所以我们就得到了 a n 加一啊，它就是二的 n 次方，是吧？ 那因此我们能够顺利的算出来 a n 的 通项是二的 n 减一次方啊，其实是分了两个层面啊，两个层面啊，这是应该是第三啊，第三个过程， 第三个过程，然后 a n 求出来以后啊，第四步啊，第四步，我们再去求 b n 呢，那就很好求了，是吧？好， b n 呢，我们就代入这个对数运算的公式里面，那么 a 二 n a n 等于二的 n 次方减一，那么 a 二 n 减一呢，它就是多少二的 二 n 啊，减一，然后再减一，对不对？所以带到进去就是二的二 n 减一，减一啊，再加一 啊，他就换成了是以二为底，二的二 n 减一，那么按照对数的运算啊，运算法则，那就是一个二 n 减一，好，所以实际上呢，你看第一问的分呀，他也不是很好拿，是不是 啊？他也不是很好拿，那么这里面呢，我没有检验啊，我没有检验，是因为你看我这个地方实际上就是一个地推关系，从第二项起，每一项与前一项的比值是一个定值，那就是一个什么呢？等比数列 啊，当然了，你要想检验也行，那你 n 等于一的时候，我检验 a 一 呢，刚好是一，是符合题意的，是吧？ 好，所以第一问呢，我们其实考察了应该是有两个层面啊，两个层面，第一个呢，是由 s n 去求 a n 啊，用地推关系，那么遵循三步啊，遵循三步啊，哪三步呢啊？第一步啊，先求 a e。 第二步啊， s n 和 s n 减一与 a n 的 关系啊。第三步要检验。 那么还有一个层面，就是你用了 s n 求 a n， 还有一个就是用构造法来求啊，构造法，这都是竖列求通向的常用方法，也就说是通信通法啊，通信啊，通信通法。 好，大家注意一下啊，就是根基不牢，地动山摇，所以我们的这个基本方法，基本技能都要非常熟练啊，那在考场上才能够啊，应对这些万变的题啊。这是第一问啊，第一问， a n 和 b n 啊， 那接下来呢，我把 a n 的 公式啊， a n 求出来，是二的 n 次方减一 啊，边呢？是啊，二 n 减一啊。然后现在我们看第二问，就是第二问，其实也是很容易出错，我自己在算的时候可能就是有两个层面的出错。这个题呢，我其实自己算的时候算了两遍啊。啊， 第一个我们来看一下，就是他考察的是等比等差数列的性质啊，等差数列的性质， 什么样的性质呢？比如说啊，我们隔相同单位啊，隔相同的间距，我们抽取的数依旧成等差数列。你比如说原来一三啊，五七啊九，然后你隔几个数，隔两个数啊，隔两个，这个隔一个数啊， 抽出来以后，那他三五七，然后十一，他依次也成等差数列。所以首先我们看一下，就是左边呢，他是一个等差数列啊，他是一个新数列 啊，新数列等差数列。那么在这个地方呢，他很容易就看错。比如说我今天呢，在做的过程中，我就看成是啊， b m， 然后加上 b m 加一，然后一直加到二 k 啊，这个地方我就出错了，就是我把它看成是一个连续的啊，下标序列号是连续的，实际上它是不连续的 啊。第二个层面，我看错的，就是 s 四啊，我们成天说 s 前一项和前一项和，我就给它算成这个了，那实际上也是不对的啊，这个注意。 那么另外呢，这个 a n 其实它也不是一个等比数列，是不是我们在算 s 四的时候还是要谨慎，所以两个易错点，第一个就是它的下标啊，它的下标是隔两个单位的， 同时呢，我们看一下，还得注意左边，那你挑隔相同的间距，然后抽取出来的数，依次乘等差数列， 那同时我还得啊确定清楚啊， b 从 b m， b m 加一啊，到 b m 加四，一直到 b m 加二 k， 它究竟有几项？这是很关键的。那你比如说啊，你是 b m 对 不对？然后 b m 加二， 然后 b m 加四，那你这个是二乘一，二乘二，然后是 m 加啊，加这个减加个二四，应该加六，是二乘三，对不对？一直乘到 m 加上二 k， 实际上是二乘 k， 那 么这里面呢，就这一边呢，它实际上是 k 加一项啊，所以这个地方呢，弄清楚是 k 加一项。 好，那么接下来呢，我们分清楚了这个项数以后呀，我再去求和，因为呢，本身啊，这个竖列它是一个等差数，等差数列，所以我们再算啊，等差数列，天啊，前一项和的时候，我们有二分之项数啊，乘以啊，首项加上末项，对不对？ 所以我们试着左边呢，我们就是一个啊，就是一个二分之项数项数，我们刚才已经帮助大家分析了，是 k 加一，然后就是首项，就是 b m 项，然后加上 b m 加二 k 项啊，首项和末项， 然后左边我们来看一下，左边的话就是 s 四，那你这个地方呢，其实可以用公式，嗯，不过它比较简单，你就可以去一个一个算算也没有关系的啊，那么 a 二呢？就是啊四减一，对不对？ 然后 a 三呢，就是啊，八减一，一直到 a 四呢，就是十六减一，所以啊，他的 s 四呢，我们加起来是二十六，二十六啊，那么所以等式的右边呢是三十六， 好，那么接下来呢，因为我们的 b n 呢，它是一个啊等差竖列，所以我们要将相应的式子给它带进去，那么左边呢，它就是一个 k， k 加一啊，乘以 b m， 那 就是二 m， 然后减一，然后 b m 加二 k 呢就是，嗯，二倍的 m 加二 k， 是 不是？然后再减一啊，再减一啊，出来是这样的一个式子啊，我们先化简一下，那所以就是一个 k 加一啊，乘以里面，你看这个地方是一个啊，四 m 加四 k 啊，然后再减二的一个过程，然后再除以二啊，再除以二，那它就等于什么呢？它就等于 k 加一，然后乘以二 m 加二 k， 然后减一。好，所以呢，我们看一下，就是我想要存在啊，我想要存在 k 和 m， 那 么我必须要满足这样的一个式子啊，其实这部分呢，又是一个基本量的一个运算，就是等差数列前项和的一个求法，还有就是这种啊，这种， 这种，这个求和就是分足球和啊，分足球和，当然少的话，你就没举哈，没举，那么我们看 mk 呢，它是一个正整数哈，那接下来什么样的数，他俩相乘是三十六呢啊，是三十六，那其实我们离结果呀，离真相已经不远了。 首先呢，我们思考这样的数，那究竟什么样的数才能满足呢？对不对？ 我们观察，我们观察，其实这里面也是有技巧的，比如说，哎，这个数啊，二 m 加二 k， 它首先是一个偶数，对不对？偶数减一就是一个基数，所以我们在想什么样的基数跟另外一个数相乘是三十六，那四九三十六，那这边是九， 然后这边是四，对不对？是三十六啊？或者是什么呢？或者是三和十二，也是一个三十六，好，所以我们其实已经快见到啊曙光了，那就是啊，二 m 加二 k 啊，减一，它等于九的时候，此时我要求 k 加一等于四啊，或者是什么呢？或者是啊，二 m 加二 k 啊，减一它等于三的时候，我要求 k 加一等于十二，好，那么这里面呢，我们分别算出来， k 是 三，然后这个是 m 是 二，哎，这个就刚好都是整数，而且满足提议，那就存在对不对存在性问题的一个探索。 那么这组的话，它 k 呢啊，它 k 是 个十一十一啊，但是 m 是 一个负负值啊，所以这个就不符合其啊，我们就给它设掉。那因此呢，我们再去作答的话，就是存在啊，存在 mk 这个正整数式的，任量式的成立。 那这个题实际上你再去啊，就是我们考完试以后再去复盘这个题的时候，实际上他考察的是啊，很基础的，很基础的，但是呢，我们在考场上发挥的又不是很好，那就是很多基础的问题，很多简单问题啊，堆在一起他就难了 啊，其实任何复杂的问题都是简单问题的一个堆砌，大家想想对不对？ 然后我们把每一个单元，每一个小的细节啊，我们给他拆分开来看啊，我都是我们啊，已知的熟知的模型啊，这就要求了啊，如何来提升啊？我们同学们的 这个综合啊，解析能力，那就是你的这个基础啊，基础知识，基本题型掌握扎实，那以不变应所有的万变。好，这是十六题。 好，接下来我们看一下这个十七题啊，十七题的话，它是一个历期几何问题啊，历期几何问题，那这个历期几何问题呢？实际上啊，我我 啊，我们之前也是在讲课的时候也是会给大家讲啊，就是我先抛开这个题不说呀，我给大家补充一个东西啊，就是正三棱锥啊，正三棱锥要区分一下，跟正四面体，它是不一样的啊，它是不一样的，比如说我们画一个正三棱锥， 我们先把这个这个层，这个层面上的东西弄清楚，正三棱锥他有一个非常重要的性质，就是他的对棱啊，是互相垂直的 啊，这个这句话是作作为啊，本题的解析的核心，如果你知道这个知识点，那么你解决这个问题他就很容易了。 如果你不知道这个知识点，你在考场上去往这方面想，他就很难想了。好，我们来给大家推一推，为什么正三棱锥啊，他的对棱啊，结论是只有正三棱锥啊，他的对棱 啊，是互相垂直的 好。什么是对棱呢？好，就是比如说这个 pc 和 ab， 它就是相对的，那就叫我们就称之为对棱啊，称之为对棱 好。那么为什么呢？我们看，我们思考这样的问题啊，为什么对棱会是互相垂直的？不单单是 pc 和 ab 垂直， bc 和 pa 也是垂直的， pb 和 ac 也是垂直的好，为什么我们知道正三棱锥啊，它的侧棱相等，它的底面是正多边形啊，不能是正多边形，必须是正三角形。那我们想一下，就是，你既然是一个正 啊，侧棱都相等，是不是我在三角形 p b 中啊，我是不是一个等腰三角形？根据三线合一，我取了是 ab 的 中点，那我一定有 ab 垂直于 pm， 那 么同样的道理，在三角形 abc 中，我是不是也一定有 ab 垂直于 mc？ 好，我们来看一下啊， pm 呢，又交 m c 与 m 点，那因此我就能得到 a b， 它是垂直于 p c 的 好，在这个知识点啊，理论支撑下，我再去解决本问题， 那他就迎刃而解了。我们来看一下，他底面呢，是一个啊，正三角形，对吧？然后 p b。 看清楚啊，他给我了，是 p b 啊，跟谁垂直？跟 a c 垂直。 哎，那其实就是我们补充的啊，这个，这个论题的一个什么呢？一个反向的，是不是？ 然后 p 和 p b 都是二倍根号二，然后 e f 又是终点。第一步，我求证 p a 和 bc 垂直 啊，求证的是 p a 和 bc 垂直，那这个地方呢？我该如何来解决问题呢？好，我们先这样来做，我先取 a c 的 终点啊，我把它连接起来。 好，我们思考一个问题，那么反向证明又该如何证呢？啊？第一，我取的是啊 a c 的 终点，我取的是 a c 的 终点， 然后我们思考这样的问题，我知道 a c 肯定是跟 b m 是 垂直的。题干信息中又说 a c 呢和 p b 也是垂直的 啊，也是垂直的，那么 p b 呢？跟啊 b m， 它相交于 b 点，因此我能够得到 a c 是 垂直于平面， 平面 p pbm 的， 那我能不能得到啊？ p c 啊？能不能得到 ac， 它是垂直于，它是垂直于 pm 的。 好，我们看这个垂直用的特别好，我们知道在初中学的等腰三角形，三线合一， a c 和 pm 垂直，那么 m 又为 a c 的 中点， 是不是三线合一的逆应用啊？三线合一，那么我们就能得到什么呢？ pa 跟 pc 是 相等关系， 也是二倍根号二，那么到这里面，我们其实就得到了三棱锥啊，本题中的三棱锥 p abc r p a b c， 它实际上是一个什么样的三棱锥呢啊？ p a b c， 它是一个正三棱锥 啊，这个信息呢，是非常关键的，如果你知道它是个正三棱锥，对于后面我们做第二问也是非常有帮助的啊， 那么同学们，我们现在知道它是一个正三楞锥了，对不对？那我们该如何证明啊？目标中的 p 和 b c 垂直呢？其实这里面就易如反掌，就是我刚才给大家中的这个过程， 我们同样去取 n 点，是吧？我连结啊，连结 a n 和 p n， 是 不是？ 既然都是正三楞锥，那我的 p n 一定跟 b c 垂直啊，我的 a n 呢，也一定跟 b c 垂直，那么 p n 交 a n 于 n 点啊，与 n 点，所以我得到了啊，我得到了 b c 呢，它垂直于平面啊， 啊，垂直于平面， p a n， 那 么进而我得到了 p c 垂直于平面内的线是 p a。 好，那么这里面呢？其实我认为这个思路，当然那个答案上也有很多种方法，比如说他用项链啊等等啊，嗯，其实我觉得啊，就是我们在考场上，其实这个项链当然也能想到啊，就是你间系比较方便的话，那你第一问就开始用项链的方法， 那实际上就是如果我们知道这个知识点啊，有这个知识储备啊，有这个知识储备的话，我们再去啊，条件反射的去啊，看清楚出题人的意图，看清楚题目背后的一些东西，我们做起来就非常方便了。 好，这是这个问题啊，这是这个问题。好，这个立体几何，实际上第一问在考场上，应该是啊，就是如果你啊，就是 啊，对这个正三棱锥的一些相关特性了解的比较多的话，那你这个问题其实处理起来是相对容易的。好，接下来我们看第二问。第二问呢，我给大家提供了两种思路啊，其实正三棱锥是一个很有用的啊，这个，这个， 嗯，这个，这个知识点啊，就是如果你知道正三棱锥啊，他是一个正三棱锥，侧棱都相等，那你不管是间隙也好，用定也好，这个第二问都是能够去解决解决的啊，能够很好解决。 好，接下来我们看一下这个第二问，那么第二问呢，我们想要求这个啊，面面所成角的正弦值。哎，这里面其实也是有一些细节点需要大家注意的，比如说他求的是面面加角的正弦值， 那我们求出来面的啊，两个法向量啊，夹角一般都是余弦值，我们还要进行一个切换啊，所以这个细节点要注意好。那第一种方法呢，我给大家提供的就是一个间隙的方法啊，通行通法，那么间隙的话，隙在哪里间 啊？在哪里剪？好，那么我们在第一问中啊，获得了一个很关键的信息点，就是什么呢？就是啊， p b p a b c， 它是一个什么？三，它是一个什么样的楞锥呢？它是一个啊，正三楞锥，所以我们过屁呢做啊， pu 垂直于底面， 我们知道正三楞椎这个过屁座底面的垂线，它其实落在了应该是外心上，对不对啊？当然正三角形它三心合一嘛，那既是外心又是内心，对不对？ 然后我们间隙的话，那这里面其实啊有多种建法啊，并不一定说非非得是这种，我是这样想的，就是我能不能建到这个点上啊？那我 b m 就是 s 轴啊，然后我做一个 a c 的 一个平行线啊， 我就跟这个 ab 垂直了，这是两两互相垂直啊，我给它弄成做成，是啊， y 轴是吧？ 那么现在的话，我就需要一些相关量的运算啊，相关量的运算，比如说对于三角形来说，你要搞清楚啊，这个三角形，我们把 abc 呢给它给它拎出来啊，去处理 好，那么它的边长是二，它的边长是二，那我这个地方呢？ m 啊，甚至说 o 点，我要弄清楚，我的 bm 就是 正三角形的高啊，它的高呢，就等于二分之根号三 a 啊，所以就是多少是根号三，那我的 b o 呢，实际上是占高的三分之二，因为我的外心啊，将它分成二比一的关系，对不对？ 好，三分之二 h， 所以 就是三分之啊，三分之二倍根号三，那么我的 o m 啊，它是占的是三分之一 h 高，所以就是三分之根号三。 哎，我把正三角形的相关量分析清楚以后啊，我再来去给它对照到点的坐标啊，因为它边长是啊二，所以这边是一一，那么我们刚才已经预算过了，这个 b o 呢，是三分之二倍根号三， 那么 o m 是 三分之根号三，那么我们再去进行一个量的运算啊，这里面我们需要用到 p 点的坐标啊，所以我在 r t 三角形哈， r t 三角形这个 p o b 中，当然间隙的话，我们要啊，我们要去描述这个地方，它是有两分的啊，它间隙是有两分的 啊，然后接下来呢，我们勾固定里呢，我的 p o 算出来啊，它应该是根号下 啊，这个 p b 方，对不对？然后减去一个 o b 方啊，那它就等于什么呢？就等于是啊八减去，刚才这个 o b 在 这里面是不是就是三分之四 啊？所以我们看这个是三八二十四啊，三分之二十，那所以 p u 这个关键信息算出来是多少呢？是啊，三分之二倍根号啊，十五啊， 那因此我们做完这些量以后呢，我们现在啊，还需要就是这个面 a、 e、 f， 我 们要算 a， e、 f， 实际上还要算啊， p、 b、 c， 我 们就在这上面先标注一下，可能会更好啊，它的横坐标呢？我们看 a 点的横坐标呀，它就是一个 三分之根号三，纵坐标是负一零啊，然后 c 点的坐标啊， c 点的坐标就是你这个坐标呢，是非常关键的啊，非常关键是不允许出错的， 然后 b 点的坐标呢，也算出来，是啊，他这个是负三分之二，被根号三，然后零零。我们每次做题的时候，做题做完以后呀，一定要先检验一下你的坐标是否写的啊，正确呃，在 坐标找准确的情况下，再去算法向量，否则后面的话它就一步错，步步错啊。我们再算 e 啊，这个是终点坐标，公式是 p 和 b 的 终点，那就是负三分之根号三， 然后啊，是零，是吧，然后是三分之根号十五啊，然后我们再算 f 点， f 点呢，对应的是 p 和 c 啊，那它就是一个啊，六分之根号三， 然后二分之一，然后是三分之根号十五啊，终点坐标公式啊，相加除以二。那接下来呢，我们就算平面啊，就算平面， a， e， f 的 法向量 啊， a， e， f 的 法向量呢，我们设成是 n， 然后这里面是 x， y 和 z， 我们求的时候啊，求的时候啊，怎么简单怎么来啊，这个反向，其实我今天也是求了好几遍啊，确实在算的过程中呢，会出现各种各样的错误，那主要是减的坐标要找准确啊。我们先来看一下 a e 啊， a e 的 话，就是拿 e 点的坐标 减去 a 点坐标，所以它这个地方是负的三分之二倍，根号三，然后纵坐标差呢是 一，然后这个是三分之根号十五，然后 e f 啊，我们算 e f 实际上是比较好算的，那这个地方呢，它减去它的话，应该是 二分之根号三，二分之一零。好，那这里面其实啊，熟练的同学呢，他就直接算，如果不熟练的话呢，我们去借鉴一下这个方法，就是求法向量的方法，那我知道啊， n 这个向量，它与 a e 向量的数量级呢啊，等于零，然后法向量呢，与 e f 的 啊，数量级也等于零，所以我们就得到两个式子啊， d， 然后接下来再用负值的方法啊，负值的方法去运算就可以了， 加上三分之根号十五 z 啊，等于零，然后这个地方呢是二分之根号三 x 加上二分之一 y 等于零，那么这里面呢，我想负的是 x 等于一啊，在这里面去负值，我的 y 值呢就算出来，是啊，负的根号三啊，我再带入一式啊，我去 x， y 带进去以后，我的算出来的 z 呢，就是一个 啊，根号五，因此我的法向量是一负根号三和根号五。哎，这个地方是三分 啊，这个地方是三分。我看到你的，如果你最后结果错，然后这个法向量算对的话，我是给有给分给到你的，所以我们每一步骤都要啊去展现出来。那最后我们再算的时候啊，我们我们知道平面 abc 的 法向量 n 二法向量，它直接就是零零一了，对不对 啊？这个就不用再算了，所以我们先算 cos 两个法向量的余弦值啊，啊，这里面余弦值算出来应该是一个啊，三分之根号五，那对应的啊，对应的 这个法向量的加角的，就是啊，面面加角，是吧，所以啊，所以 n 一 和 n 二 啊，他等于什么呢？他就等于啊，三分之二啊，所以我们的答案正弦值呢？啊，这个法向量加角的正弦值跟谁呀？跟面面加角正弦值是相等的，所以最后答案要要答哦，要作答。 好，这是这个题啊，就是整个来说，实际上预算量的话，就是主要是正三楞锥的一个理解啊，理解，然后就是间隙啊，就是间隙啊，怎么方便怎么来，但是你要找准啊，这些 b o 啊， o m 的 这个值。 好，这是通过间隙的方法，我讲的这个呢，是通过间隙的方法来解决问题啊。好，那接下来呢，我们来思考一个问题，就是我不间隙，应该如何来求面面所成角的正弦值。 那么这里面呢，其实也是蕴涵了一些东西的，比如说，嗯，两个平面， 我们这里面用到了一个东西，知识点就是啊，线面平行的性质 啊，相面平行形，这个其实也很久没有用到了，如果线和面平行的话，过该直线的任意一个平面与已知平面相交 线和交线平行。好，那么这里面呢，其实我们是很容易去获得啊，很容易去获得。 bc 呢，它是平行于平面，这个地方，我就不再去给大家详细去证明，我只是说一下思路，好，我们 bc 呢，是平行于啊，平面 a e、 f 的 是不是 b c 是 平行于平面 a e、 f， 所以 我们过啊， a c b c 的 这个平面与已知平面啊，与已知的平面，它是不是有一个交线， 则线与交线是平行的，也就是说其实 b c 呢，跟交线 l， 这个是 l 平行哈，还跟谁平行啊？还跟 ef 平行。 好，这个平行呢？有什么作用呢？我们来看，我们来分析二面角，我这是用定义法， 用定义法去求二面角啊，那我是不得做二面角，那么怎么样做呢？对于两个半平面而言，我怎么去做？我从啊，这个公共棱是吧？我引啊，棱的一个垂线 啊，这个角就是二面角，所以呢，这个棱，我现在两个半平面啊， a e f， a e f 啊，和 b c a b c 的 两个半平面的交线啊，我是找到了， 那么我现在在两个半平面中分别做棱的垂线，那实际上我连几啊？我取 b c 的 中点和 a 这个 e f 的 中点 啊，这个，这个线画细一点，要不然，要不然一会这个区分不了哈，区分不了，就是哪个线呢？就是这个线啊，这个线 好，那么这个角就是二面角的平面角。为什么啊？为什么？为什么你就是二面角的平面角呢？我们知道，你看在三角形啊， 咱们来分析分析，为什么在三角形 a， e、 f 中啊？你看这个 a n 是 三线合一中的三线，对不对？中点是不是高？三线合一是不是垂直于 e f， 那 所以 a n 它垂直不垂直于 l 公共棱呢？ 同样的道理，在三角形 abc 中啊，它这个 a g 啊，它是垂直于 bc 的， 那所以 a g 也垂直于 l。 我 们看，通过二面角的定义，从公共棱上的一点引两个，在两个半平面中引棱，引棱的垂线，那么角 n a g， 它就是二面角的平面角 啊，就可以表示二面角的平面角，也就是二面角的大小，对不对？好，那么，哎，这个做二面角，首先你得找出来，另外呢，你这是做出来的，对不对？好，第二呢，你还得求出来啊，如何来求？ 那么这里面呢，实际上我给它转化到三角函数中的截直角三角形，我们把 b、 a， g 啊，给它摘出来，行不行？你看，我把这个三角形给它摘出来。 好，你看，这是 p 啊，这是 p， 这是 a， 然后这是 g， 那 么 n 呢？我们思考一下，就是 e f 的 中域线，那么 n 也必然是 e f 的 中点啊，所以我这个地方实际上是一个中点。 好，同学们，我们看，我们所要求的不就是这个角吗？对不对？那这里面呢，啊， p， 我 们是多少？是二倍根号二 a g 呢？我们刚才算出来，这是二，这是高嘛？正三角形的高是根号三， 对不对？好，然后这个 p g 当然也是需要算出来的，是不是 p g， 我 们该怎么算呢？ p g 呢？我们把它放到哪里去算？放到啊，你把该摘出来，你就给它摘出来，是不是啊？ p b， c 里面算 p b 呢？是二倍根号二 啊， p c 也是二倍根号二，底边长呢？是啊，十二，所以这个高啊，其实就是这个是 p g， 那么 p g 呢？它用勾股定律算，就是啊，根号七。哎，我们又摘出来一个很重要的信息啊，就是 p g， 根号七，那么 n 是 终点，所以上面和下面都是根号七。 好，我们同学们想一下，就是这个地方呢，如果你把它转化以后，那么后续所用到的知识呢？就是解直角三角形啊。 好，我们知道，以前高考的时候啊，这个解答题，要么出竖列，要么出直角三角形，如果直角三角形出了，那竖列就不再出了，如果 啊，竖列出了，解直角三角形就不再出了，那但是本题中呢，其实在解直角三角形的应用中，他隐藏在了立体几何中，实际上这也是一个必然趋势，因为所有的立体几何问题，实践最后呢，他都转化成什么呢？平面几何的问题了， 平面几何问题啊，那么接下来呢，我给大家来分享啊，就我如何来求这个角，我想要求这个角的余弦值，我必然还得求出 a n 的 长度，是不是 a n 在 这里面实际上是作为中线来 出现的，我们知道 a n 是 中线，那我就用中线理论啊，向量 a n 等于二分之一的啊， ap 向量加上 a g 向量对不对？然后平方，那就是 四 a n 方啊，啊，等于 a p 方，这个地方，如果说你啊，呃，就是解这样三角形应用的比较多的话啊，它中性理论啊，是非常好用的，这是二 a p 啊，乘以 a 几。 那大家再思考一个问题，就是中信呢，它通常跟余弦定律相结合，你比如说这里面 p g 方啊， p g 方，它又等于什么呢？它又等于 a p 方，对不对？ 是不是？然后加上 a g 方对不对？然后呢，这个相当于是余弦定律了，是不是减去二倍的 a p 啊啊，乘以 a g， 再乘以这个加角的域弦值，就是口塞啊，这个地方没没地方写哈，就是啊，或者说我把这个角乘以大角吧，就是口塞贝塔啊，我实际上是乘以口塞贝塔的，对不对 啊？这个地方还有一个口塞以贝塔。那么大家思考这样的问题啊，就是实际上这两个值啊， ap 乘 a g 的 向量数量积跟这个实际上是怎么样是相等的关系，所以我们这个式子和这个式子它可以连连立在一起，也就说是四倍的 a n 啊，魔方对不对？ a n 魔方加上 p g 方， p g 方刚才已经说过是七，等于这两个数的二倍，这两个数呢，又都非常清楚， ap 呢是二倍，根号二就是八，然后 ag 呢，是根号三就是 三 a， 所以 我们其实 a n 就 非常清楚明了的去求出来了啊，这个 a n 呢，我们算出来是一个二分之根号十五， 那既然 a n 是 二分之根号十五啊，那我再算口算 r 法就也是非常清楚的，就用余弦定律啊， a n 方，然后加上 a g 方，对不对？然后减去二倍的 a n 的 模哈，乘以 a g 的 模， 然后再啊，这个地方我好像是写错了啊，写错了余弦值啊，那这个地方呢，我们直接去求口算尔法的时候啊，求口算尔法的时候，直接就是啊， a n 方，然后加上 a g 方，对不对？ 然后减去 n g 方，然后除以二倍的 a n， 然后去乘以 a g， 这个算出来其实也是一样的啊，哎，这个方法它就比较巧妙，但是，呃，需要同学们的综合实力是非常强的啊。第一个就是你要会做出二面角，对吧？ 做完以后你还得去求，那我刚才说了一句话，就是任何的啊，立体几何问题，实际上就是啊，平面几何问题，那么在平面几何问题中又遇到了解直角三角形， 哎，实际上你单摘的去看，每个知识点都比较简单，但是你合在一起他就比较难了 啊，这是我们应该注意的。所以说综合是呢，总要求大家综合能力是非常强的啊。那我们刚才讲了一个是间隙，一个是几何法啊，希望同学们呢 啊，看完我们的视频以后呢，能够啊，能够更加的清晰啊，更加清晰，然后再动手去做一做。我觉得啊，光听听也不行，你得落到实处，你得去演算一下啊，看自己能不能啊，这个能不能做出来，这是更重要的一步啊。

好，我们来看一下这个几何的这个综合题啊，首先他第一问的话，他让我们去补充解析思路哈，我们就顺着他的先走就行了。 f 是 等于长，是等于 a 的， 他截取了这样的一个长， a c 减 a 的是等于 b， c 减 c f 啊，那 a c 减 a 的 明显是对应 c 的， b c 减 c f 的 话，它就应该对应 b f， 所以 第一问的话还是比较好求的，就承上启下嘛，它上面说了这个减的事，我们就对应地找到线段就可以了啊。第一问 这个空比较简单，你一定要去认真读题哈，属于傻瓜式的一个问题。好，继续往下走。两个紫色的一个三角形是全等的啊， c e 是 等于得 f 的， 所以证明，证明这个全等关系，主要是为了证明 c e 等于得 f。 好， 然后说 cf 的 平方 加上 c d 的 平方啊，去等于这个 d f 的 平方，因为这个是为了探求它三边的，所以据说明这个三边关系啊，主要是要转化成 c e a 的 c d， 我 们把这个不符合的去转换一下就行了嘛。你这样去想就是不就简单了， 他问那个 c e a 的 c d 现在只有 c d 是 符合的，所以我们要把 d f 换掉， c f 换掉 对吧？因为 c f 的 话，所以我们这里换掉的话，它应该是 a 的 平方加上 c 的 平方啊，等于 c e 的 平方。那上面不说嘛， c e 等于得 f， 所以 得 f 就 换成 c e 就 可以了那嗯，这个我看一下， cf 啊， c f 的 话就是 a 的， 这是在一开始给我们说的啊，所以这个问题的话还是还是比较简单的，就不需要你去解题，你就自己跟着他的思路承上启下就可以了，把问题按照他的规范去写出来啊。他问 c e a 的 c 的， 所以你就把这不符合的这个边给它转换掉就可以了。圈一圈二还是比较好填的，只要认真一点就跟上思路就可以填出来。就是最害怕的就是你不是很有耐心给它读下去哈。我们来看一下类比二吧， 是根据前面这阵容，嗯，全等，构造全等的一个转化，我们肯定会涉及到一个什么东西，就是构造全等三角形，然后去转换啊。题目给我们说了这个图三，嗯，去罗列了这些信息， e f 啊，得 f 和 cf 的 一个关系好，基于这个我们的一些积累哈，你读到这里的时候，它是一个二 cf， 因为它是一个购物的形式，对吧？所以哈，你如果做题做的足够多的话，那这个肯定要给它缩回去，所以根二倍的 cf 啊， 那它必然会有会能把这三边呢转换到一个这个三角形里。哪三边呢？就是 e f， d f 和根二 b 的 c f 嘛，好，在这里呢，我模仿着前面哈，取一个辅助线， 我在 c b 上去截取这个 c c m 去等 c f， 也就做了一个这样的一个东西。 好，我在 a b 上 c b 上截选啊， c m 等于这个 c f 啊，然后去把它连起来， 所以它是等于它的，对吧？它是等于它的啊，那这个，嗯，这个三角形的话，这个角是等于这个角的吗？因为 b c f 加 f c 的是等于的 c f c 的 加的 c b， 所以 就是这个 bc 角一是等于角二的，然后又因为这个啊， e 这 ec 是 等于 c 的， 所以这个紫色这个三角形啊，这个紫色三角形应该是等于全等于这个紫色三角形的 啊。经过这个全等之后，你看啊， e f 是 不是就等于三角形？我先写一下吧，三角形这个 e c f 就 全等于三角形 的 c m 啊，因为这个全等关系哈，我是不是能把 e f 去就是转换到的 m 上，对不对啊？那他还告诉我们一个什么信息，他告诉我们这个，他让我们找这个的 f 啊，我们会发现这个的 f 就 在这， 而 e f 呢？我把 e f 已经转换到转换到这个得 m 了，嗯，然后会有一个这个根二倍的 c f， 嗯，根二倍的 c f。 因为什么？因为我在结的时候是不是结的 c f 等于 c m 呀？所以你根二倍的，呃， c f 其实就是 f m 嘛。好，那现在呢？我是不是把 三个边啊？三个边就是题目所说的三个边传全部转换到这个紫色的三角形里了，那我现在就唯一剩一步，我就能够证明这样的一个购物关系了。是什么啊？是这个直角三角形，我只要说明这个 f 的 m， 它是一个这样三角形，那我就能说明它是一个这个这个这个固定里的一个关系。因为，哎， f 的 c， 它这个角啊，角一是四十五度，然后角二呢，也是四十五度，所以 角二是等于角 e 的 啊，所以它是四十五度嘛，所以这个 f 的 m 是 一个九十度， 所以 f 的 方加的 m 方就等于 f m 方。嗯，刚才同理哈，题目让我们证明 e f 的 f c f 的 关系，所以我把这个不符合的边给它转换，转换 f 的 保留， 然后的 m 给它转换到 e f， 因为它俩相等 f m 的 话就是刚二倍的 c f。 好， 这样就可以了。 好，那如何去构造这条这条辅助线啊？这条辅助线其实这个根二倍的啊，这种关系它也给你了提示哈，因为根二倍的 c f， 我 们在接触的时候，在直角三角形里，一般都是那个等号直角三角形的时候，它是不是就是 特别多的？呃，等号直角三角形的话，它会有个一比一比根二嘛，所以这也就提醒你以 cf 为这个直角边， 然后去构造一个等差三型，所以又结合着前面的这种全等的这种。嗯，这种截取嘛，所以我们就在 c b 上截取 c m 等于 c e c f 啊，而不是这个 c m 等于 af， 跟刚才稍微有一点点变动。 所以这就提醒我们一个什么，一个是三边关系问题哈，像这样的一个三边问题，因为三边关系基本上就两方向的一个考察，一个是和差关系。就是啊，哪个边加哪个边呀，等于另外一个边，当然它它有时候会有系数哈。 第二个就是这种勾股的一个形式，那勾股的一个形式就有一个做题方向，把你 所所问你的这一边转换到一个直角三角形里就可以了，这个二是我们经常切的系数哈，二，把它放到平方里面，就是根二被 c f， 所以 这个明确的方向就是要把根二被的，要把这个 c f 当成一个直角边构造等腰直角三角形， 这是一个固定的一个思考方向，所以你看到题之后你要有所准备啊，这是课下你可以完成的一个事情，我们也会经常在这个课上考，课上去讲到这个问题啊，然后第三问的话继续看啊，第三问他给的信也挺多的，我们标记标记啊， 课下要养成一个标记的习惯，不然的话你的信息特别容易就是漏掉啊，就六十度 啊， a e 的 话是二根线 啊，目前的话，如果你做题没有什么方向的话，几何问题哈，你可以奔着去，呃，再去多求出来一些信息 为主，比如说哈，因为因为信息越多的话对你肯定是越有利，比如说在这里哈，我是能把 b e 求出来的。为什么？因为看到六十度我就知道了啊，我要构造直线呀，所以我过 a 往下做垂线啊， 因为这是六十度嘛，所以这是三啊，这是三跟三 啊，如果你不知道就是看到六十度的话，要做就是看到那些特殊的三角形，三三个角的话有六十度啊，三十度、四十五度这些东西比较典型 啊，所以那个三六九的三角形的话，我们也可以用一比二、比三这样的一个比值去把。哦，先标一下吧，那这个 b h 吧， 把 b h 的 长给它写出来， b h 长就是三。又因为什么？ a e 我 已知了，然后 a h 我 也已知了，所以我就能用勾定力求出来。哎，过会刚我发现 h e 也是 h e 是 一哈勾定力好把它查一下，所以我现在就是能求出 b e， 然后把 b e 求出来，会发现它是一个四哈，因为角 a， 角 b 是 六十啊，角 a 的 话是一个一百二十度， 所以他是不是？嗯，有一个这样的，就是他属于他的一半，对不对？那基于这样的一个思考，那我去构造一个这样的一个相似啊， 因为他是一个这样的一个，就是就是我这样去做，他会能够能够去我截取的是就是这个四，哈，也就是说我这个 b h e， 哦，这里标 h b h e 的 话，它是一个等边三角形啊，那所以我把这个，我把这里也去构造一下 f m 吧。 d m f 啊，它也是一个六十度，所以 d f m 呢？这个三角形也是一个等边三角形，然后它会你会发现啊，这两个绿色的是一个相似，我们来看一下它为什么相似哈？ 首先呢，因为这个这个角 b h e 和角的 m f， 它是不是一个都都是六十度呀？因为我构造的都是等边三角形，所以这个就像这个角 a h e 等于角 a m f 等于这个一百二十度。好，那这是一个信息，然后呢，这个角 角一加上角二，角一加上角二，是不是等于一个就是一个六十度嘛？然后呢，角二加上角三 是不是也是一个六十度啊？因为那个 b a d 是 六，是一百二嘛？一百二减去六十，所以它就是角二加上角三就是六十了啊，那所以基于这样的一个等量代换，所以我就能知道啊，角一它是等于角三的。好， 这是一个信息，所以这个两个三角形是不是相似啊？ 好，所以我们能得出来三角形 a h e 啊，相似于三角形 f m a。 好，你看一下啊，嗯，这个 a h e 的 话，它是不是已经知道两边了？一个是 a h 是 二， a 六减四等于二嘛？因为这两个三角线相似啊，所以 a h e 的 话，三边我都已经知道了， a h 是 二， a e 是 二根七， a e 是 四。 好，那 a m f 我 能不能找到一些关系的？因为它三边，现在三边都是未知嘛，我想解，我也不能出现多个未知数，对吧？所以我把这个 f m 呢设为 x 哈。嗯，可以发现这个 m 的 呢，它也是 x， 因为它是一个等边三角形，所以 a m 就是 十减 x 嘛，因为那个 a 的是十。好，所以由于它两个相似啊，我就能求出 x 的 一个值， x 的 话应该是一个 啊， x 三分之十哈，所以这个，呃， m f 是 三分之十的话，因为因为那个 m 得 f， 它是一个等边三角形，所以得 f 也是三分之十。好，那这个题就在这里结束了， 你需要去注意哈这种几何问题，你先得到一些尽可能多的信息，然后引导着你的思路走。我首先的话，我们能知道 a， b， e 它三边的一个值，这是属于一个基础的一个 啊，看到六十度的一个反应，我们就要去构造。然后其次呢，又因为什么 e a f， 它这里是一个六十度，它是属于这个 b a 的 一半嘛，所以你看，当我去这样构造完之后，我就会能够得到啊，这两个小角， 你看角二加角三，我会发现这两小角它是，它是由于那个中间那个角是六十度，所以角二加角三也是六十度，那角角二加角一的话也是一个六十度，所以我就能去想到这样的一个去构造相似。

好，我们来一起看一下这道题。如图，四边形 a、 b、 c、 d 和四边形 c， d， e、 f 均是正方形 啊。点 g 是 对角线， d， f 上一点，点 g 是 对角线， d， f 上一点，那么 d g 等于 d c， 那 它的声肯定也是等于 d a 的 连接 a， g 过点 d 做它的做用 d， h 是 做这个角的角平分线，然后 d， i 垂垂直 分别连接好。第一问，若 d i 等于 e， 求 tan 角 d， a， i 的 值。 那首先我们根据题目里面呢，我们先分析一下这道题啊，那么 d g 等于 d， c 等于 d a， 那 么三角形 a， d， g 就是 一个等腰三角形， 它是个等腰三角形，它让你去求这个角的弹力值，那这个角和这个角是不相等，它其实也就是我们也可以去求弹 力角 d， g， r 啊，也可以去求弹力角 d， g， r 这个这个边是一 要求角，那我们肯定要去求它的值，肯定是需要知道这个边的值，那么这个边的值我们怎么去求呢？那我们因为它是正方形，所以这个角肯定是九十度，那它就是 四十五度，所以角 a， d， g 就是 等于一百三十五度， 那角 d， a， g 是 不等于角 d g， a 等于二分之一百八十度，减去一百三十五度，等于二十二点五度，它是二十二点五，它也是二十二点五。那么角 g， d， c 是 不是等于四十五度？因为它是正方形的角平分线所平分出来的，所以 d h 是 平分角 c， d， g 所以 角 c， d， g 是 等于二十二点五度， 但是它是二十二点五，它也是二十二点五，这个三角形的外角，那么所以角 d， h， i 是 不等于四十五度啊？ 那么 d h i 等于四十五度，那三角形 d h i 是 等腰直角三角形， d h i 是 个等腰直角三角形，那 d h 就 等于根号二。刚才说的这两个角也是相等的，所以 也是等于 h g。 那 么同时 tanning 角 d a i 是 不等于 tanning 角 d g i 等于一。比上根号二加一，那么分母幺零化等于根号二减一，这就是第一问。