姜堰一模几何题解析

好，这个视频呢，我们来讲解一下，就是二零二六年江堰市数学艺模的第二十四题，如何制作几何画板。课间， 我们先来看一下题目，如图，三角形 abc 内接于圆 o 弧 bc 的 度数为九十度， b， d 垂直于 a， c 于 d。 在 第一题中，在图一中，用圆规和没有刻度的直尺在 bc 上求作点 e， 使得 a、 e 垂直于 bc。 两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹。下面呢，我们先来做第一小问的几何画本。课间，好， 因为几何画本是有分页功能的，所以我们通常是选择这个文档选项，然后增加复制。第一个，因为我们需要的是这个方框，这个方框是 红盒或者卧席系统的可选可显示区域，我把它刚才那一页，把它 把它删除。好，这个右左下方呢，有一个页码啊，这第二页，这第一页，第二页。好，我们先来画一个圆，先画一个圆，这个圆应该怎么画呢？就是先 点工具，任意任意画一个点，然后呢，这画任意画一条线段，这条线段就是圆的半径， 同时选中点和线段，然后构造以圆心和半径的圆。好，我们把它调节成我们习惯的颜色，那就是，嗯，深绿色啊，深绿色 调节这个线段的长度就可以调节圆的大小啊，把它的大小和位置呢，调整的差不多就可以了。好，我们再来看题目， 这个弧 bc 的 度数呢，是九十度，九十度的话，又要把这个弦 bc 画成是平行的这样一个状态。我们呢就是 选中这个圆，然后绘图，在圆上绘制点，这里面选点值为零点七五。 零点七五是什么意思？呃，圆，他是以最右侧水平方向最右侧的点值为零，然后慢慢增加，这是零点二五，然后这就是零点七五，然后零点八，零点九一，回到最 出的位置，那这是零点七五的位置，所以我们把它旋转个四十五度，旋转四十五度，然后呢，再把双击这个圆心 啊，然后再选中这个点，把它旋转顺时针旋转九十度， 好，用线段工具把它连接起来，再来看一下，考虑到第二问，呃，我们也需要这个点， e 的 位置，你看看 b， e 是 三， c， e 是 二，所以点 e 应该是五等分点。 因此呢，我们在双击这个点啊，我来标一下吧，这是点 o， 大 写字母 o， 注意选择这个文字文本工具，双击一下，然后点出这个对话框，这是 b， 然后双击 c， 好 就可以了，稍微呃这个手指，这个工具呢，稍微调整一下它的位置，好，把这个右击隐藏 好，再双击点 c， 选中 b， 缩放，缩放是因为 e 点是 c， e 是 二，所以它占 b， c 的 五分之二，这边就是五，然后五分之二， 这表示呢， c， e 比上 c， b 等于五分之二，然后再 呃，选中这个点，然后选中，同时选中点 e 和 b， c， 然后构造垂线好，在这边点一下，就得到这个焦点， 连接 a， b 和 a， c 好， 再调节一下圆的大小，这样差不多了，这是 a， 再选中点 b 和 a， c， 构造垂线， 连接 好，这样点 a 的 位置确定了，嗯，再来看一下字母啊，这是 d 点，这是点 d， 好，再加一个垂直符号。那么讲解的时候呢，我们肯定要先对作图进行分析， 也就是说作图题，它是一个嗯，逆向思维的题目，所以我们先要假设这条线段已经做出来了。 好，我们做一条射线，为什么要做一条射线呢？我们再选中这个线段工具，然后把这个画到这就差不多了，隐藏这条射线，再隐藏这个端点，那么这个点呢，就是我们所需要的 e 点。 好，把 e 点标上，我们还可能需要这个点啊，比方说这个点是 g 点， 再标上这个啊，可以了，下面就是分析和讲解的过程。 因为 b、 d 垂直于 a、 c， 所以 这个角等于九十度。假设 a、 e 已经做出来，那么这个角也是九十度，所以我们需要标两个直角。好，然后再 好，这是隐藏角标记，这样就隐藏了。 呃，然后是假设 a、 e 已经做出啊，这叫这是它给实际上画的是线段啊。好，再隐藏焦点 e， 然后脚标记， 然后是点击焦点。好，我们来分析一下。 讲这道题目之前，把图先画好。因为 b、 d 垂直于 a、 c， 所以 角 a、 d， c 等于角 b、 d、 c 都等于九十度。假设，假设 是这个垂线 a、 e 已经做出，垂足为 e， 那 么角 b、 e 什么哦，加一个 g， 顶角 b e， g 就 等于九十度。考虑到这两个三角形，它是三角形 b、 g、 e 与三角形 a、 g、 d， 它是对顶三角形，那么角这个角和这个角就应该是相等的，这时候呢，我们可以 用两个阿拉伯数字，角二，角一，角二，好在选，同时选中角一和角二谐音，这样子好，角一和角二又相等。 这时候呢，我们需要强调的是 a、 d 等于 b、 d， 这里面有一个很很细节的方法，就是我们把它隐藏，然后呢 连接 a d 和 c d， 那 这样它就是两条线段了。我们再次选画一条线段，在这条线段上标两个半字，有点啊，半字，有点，就是 就是这个点呢，相对自由，但是只能在这条线段上移动。好肚量，这里面它是灰色的，这时我们按住 shift 键， 得到这两个点在线段上的点值。好，我来解释一下，你看 p 九在 左端是零，再右端是一，那我们把它看作是我们需要控制的一个点，然后呢，把 s 九放在零点二零处啊，零点二零处。好，注意，我们用 p 九的点值来控制这个线段的颜色啊，选中这个点值，再选中两个， 两个，呃，两条线段，然后是颜色，颜色，这里面有个参数，然后点击这个确定 好了，你看看，这时候就变成红蓝色，原本的是蓝色，这时候就变成红色，所以我们把选中 p 九， s 九移动，这是呃，颜色变成蓝色，我们把它叫做色回， 也就是颜色回到蓝色啊。 p 九 r 九，我们把它叫作变色， 变色，变色，色回，好，这是我们先色回吧。嗯嗯，好，变色，那就变成红色。 下面这里面还差一个就什么呢？呃，角 b， a c 等于九十度，因为角标呢相对较小，所以我们再次画一条线段， 选中 a， 然后构造圆，然后呢，选择选中这两个焦点，你看这个两个焦点变成绿色了， 我们隐藏隐藏这个圆，然后再把它恢复到我们习惯的红色，选中 a， 顺时针选中圆上两个点，来构造圆上的弧，好，再把这两个点隐藏，一个个的隐藏也行。 然后呢再把它选中，它选中这条湖以后构造圆，湖的内部是扇形，然后再把它强调是红色啊，这样把湖隐藏了， 按照顺序应该是这样子。 好了，这时候就可以分析讲解了，我们先来试一下啊，隐藏， 然后保存，保存之后呢，你这个课间打开来就这个状态 形式。角标签，因为 b、 d 垂直于 a、 c， 所以 角 a、 d、 b 等于角 b、 d、 c 都等于九十度。假设过点 a 向 bc 所做的垂线做出来以后，垂足为 e， 那 么角 b、 e 啊，我们给出一个焦点，既 角 b、 g 也等于九十度。考虑到三角形 b、 g、 e 与三角形 a、 g、 d 是 对顶三角形，另外两个角中又有一组角是直角，所以第三个角又是相等的，所以角一等于角二，然后呢， 角 a、 d、 b 等于九十度，所以三角形 a、 b、 d 是 一个直角三角形。然后 因为 bc 弧 bc 的 度数是四十五度，所以角 b、 a、 d 就 等于九十度。角 b、 a、 d 等于九十度，所以三角形 a、 b、 d 是 一个等腰直角三角形，因此 a、 d 等于 b、 d 变色。好，这里面好了，这时候再考虑三角形 a、 d、 g 与三角形 b、 d、 c 都有一组直角相等，一组一条呃，一组锐角相等，角一和角二相等，然后角一和这个直角的加角 a、 d 角二和角， 这个直角的加边。说错了，加边 b、 d 又相等，所以这两个三角形边角边全等，因此 d、 g 就 等于 d、 c， 因此 垂足 e 可以 看作是射线 a、 g 与 b、 c 的 交点。好，这是分析的这一个画面，这时候呢，我们再复制这个画面。 复制好，这是刚才的画面啊，第一个画面。第二个画面。第三个画面，第三个画面呢，刚才的画面是讲解我们把它设回隐藏隐藏隐藏隐藏隐藏隐藏，这是分析的， 然后呢，到这边是真的化了，所以我们再次呃，分析完了之后呢，就不需要了，对吧？隐藏隐藏隐藏隐藏隐藏隐藏好，然后再把它按 delete 键删除，删除以后呢，我们需要的是 注意到 d g 等于 dc， 所以 点 g， 实际上是以 d 为圆心， dc 为半径的圆与 b d 的 交点好，这是这时候就是点 g， 点记作为圆规，实际上我们只要画出这一段这一部分的弧就可以了，所以我们选在这边画一个点，在圆上画两个点，再把圆隐藏。 选中低，选逆时针，选中啊，选中这个点和这个点，然后构造圆上的弧，然后再把两个端点把它隐藏，注意是隐藏，不是删除隐藏，然后再把 呃控制按钮叫隐藏弧，隐藏焦点 啊，然后呢，再做一条射线 a g， 然后再画一条线段，因为我们不需要，对于几何画板而言，我们不需要 a， ctrl z， 不 需要这个射线啊，实际上我们只需要画出这一段线段就可以了，隐藏这条射线，再隐藏这个端顶，然后点出这个焦点，然后标出是点 e， 这时候呢，我们就可以进行讲解了。好， 隐藏这条线段，隐藏这个点，好，下面隐藏隐藏隐藏隐藏，这个好，也可以了，下面我们来演示一下保存。 因为 b、 d 垂直于 a、 c， 所以 两个直角，假设垂线已经做出垂直为 e， 那 么这个角 b e g 就是 直角对顶三角形，角一等于角二， 然后因为角 b， a、 d 是 四十五度，所以 a、 d 等于 b、 d。 我 们通过变化颜色来强调 a、 d 等于 b、 d。 所以 三角形 a、 d、 g 全等于三角形 b、 d、 c。 所以 d、 g 等于 d、 c。 因此点 e 可以 看作是射线 a、 g 与 b、 c 的 交点。好分析好了，这一页画面是用来作图分析的。那下面一步 我们作图方式就是以 d 为圆心， d、 c 为半径，画一条弧，使得它与线段 b、 d 有 一个交点记连 以过点 a 和点记作射线，与 b、 c 交于点 e， 最后点 e。 呃，这个 a、 e 即为所求 好。第二十四题的第一小问，几何画本课间的制作方法我就讲到这里。

我们作图方式就是以 d 为圆心， d、 c 为半径，画一条弧，使得它与线段 b、 d 有 一个交，点记连 以过点 a 和点记作射线，与 b、 c 交于点 e， 最后点 e。 呃，这个 a a e 即为所求 好。第二十四题的第一小问，几何画本课间的制作方法我就讲到这里。

这类题目的方法依旧很简单，我们先做槽图，过 a 点做 b、 c 的 垂线，那么交 b、 d 于 f 点，那么 f 点可能就是解体的关键，为什么呢？因为 b、 d 为 a、 c 的 垂线，也就意味着 f 点为三角形 a、 b、 c 的 垂心，那我们就想到连接 c、 f 并延长。 好，那这个时候我们可以观察到这边是一个等腰直角三角形，所以三角形 c、 d、 f 应该也为一个等腰直角三角形。 所以我们可以通过去做等腰三角形的方式，以地点为圆心， c、 d 长为半径做圆弧，从而找到 f 点，然后连接 a、 f 并延长，交 b、 c 于 e 点结束。

来，你能相信吗？今年北京一模几宗最难的区竟然是石景山区，而且这道几宗堪称是石景山近十年以来最难的一道几宗题。 这道题目呢，告诉我们，角 a、 c， b 是 九十度角 a b c 这个小角是阿尔法，同时呢， d 在 b、 c 的 延长线上，把 a、 d 这条线绕着 a 点旋转了一百八十度减去二，阿尔法转到了 a、 e 这个线段，所以 a、 e 和 a、 d 一定是相等的。 同时呢， e、 f 是 垂直于 bc 的， 又做出了 e、 f 的 中垂线，并且和 a、 c 与 ab 都相交，咱们把这条线做出来， 这个点叫做点 g， 这个点叫做点 p， 而此时与 a、 c 的 交点，这叫做点 q。 我 们要研究的是 p q 和 d、 f 的 长度。这道题目非常非常的经典，大家先来注意， 这是阿尔法，这是九十度，那么角 b， a、 c 就 一定是九十度减去阿尔法， 九十度减阿尔法就是一百八十度减二阿尔法的一半。看到了这种出题形式，一定要找到另外一个九十度减阿尔法的角，这就是北京近几年出题的风格， 而这有垂直啊，显然可以做对称呀，我们不妨呢延长 bc 这个点呢，我们叫做点 m 的 话，我们再连接一下 am， 我 们让此时 cb 和 cm 是 相等的， 那么我们就知道了， ac 是 垂直平分 bm 的， 那么 ab 的 长度显然和 am 的 长度相等， 而此时角一和角二的和就是九十度减去阿了法，而角二和角三的和也是九十度减阿了法，那么角一和角三一定相等，你会发现边角边， 边角边，咱们把 b、 e 一 连那一个全等，就出现了，此时三角形 m a， d 和三角形 b， a e 一定全等，那么此时这个小角由于和角 abc 相等，杀了法， 这是阿了巴，这个小角也是阿了巴呀，那么 a b 就 变成了 c b e 的 平分线。但是这道题目写到这，还没有真正进入到解决问题的环节。这道题目的核心其实在这 g 点是 e f 的 终点，并且 g q 是 垂直平分 e f 的， 那么此时 g q 和 f c 也一定平行，既有终点又有垂直。我一定要连接 e p， 我 连接 e p 并且延长这边的焦点叫做 n 的 话，你会发现此时 g 点是 e f 的 终点， 并且 p g 和 n f 平行，那么就是中微线。点 p 就 变成了 e n 的 中点，那么 p 既然是中点了，那么连接斜边的中线就变得顺理成章。咱们再连接一个 p f， 那 么 p f 的 长度和 p n 的 长度和 p e 的 长度一定是相等的。 而我们最终要问的是 p q 和 d f 的 关系。注意了，各位家长啊，各位同学，这道题目一个边长都没给， 没给边长的情况一定要设位置量。那么这种问题你会发现，这儿有垂直，这儿也有垂直， p q 是 能平移的，我只要过点 p 向 c f 做上一条垂线，这个垂足咱叫做 h 的 话，那么 p h c q， 它一定就是个矩形， 那么 p q 就 平移到了 c h。 而且我们又知道了 p n 呢和 p f 相等， p h 就 必定垂直平分 n f， 那 么这两段儿也一定是等的。 ok， 我 就设这儿是一个 x， 这儿也是一个 x。 同时呢，我又知道了 b e 的 长度和 b n 的 长度相等，因为点 p 是 e n 的 中点 p b 平分了 e b n， 所以 这儿我设成是 a 整个的。注意，从这儿开始啊， n b 的 长度也一定是 a， 同时我们知道了 d m 的 长度，由于全等它还是 a， 我 们再把 c d 设成 b。 大家注意， c m 和 c b 一定相等，此时 c m 的 一部分是 a， c b 的 一部分也是 a， 那 么剩下的这两小段 c n 和 c d 不 就都是 b 吗？ 写到这之后，你发现我的 p q 能表示出来了， p q 的 长度呢，就可以写成 b， 再加上一个 x， 而此时 d f 的 长度就是二 b， 再加上两倍的 x， 那 么显然 d f 等于两倍的 p q。 这道题目咱就做完了。 作为近十年最难的一道几宗这道题目的考点，大家注意，第一件事， 看到了二倍角，要找等角做对称。第二件事，看到了终点，有了垂直，要想到中位线， 然后在整个直角三角形中要有斜边中线构造等腰的意识。有了这些内容之后，这道题目你才能做的出来。下课！

初三的几何当中，周老师发现同学们都存在一个普遍性的一个问题，那就是遇到了等腰直角三角形，他不会用。同学们遇到等腰直角三角形，往往想到的都是 三线合一，两者角边相等，然后斜边的中线等于斜边的一半。要知道在初三的几何当中，你只会这些基本的操作方法，那是远远不够用的。那周老师今天用一道一模的考试题带大家看看等腰直角三角形究竟怎么用 来。我们说初中几何当中，周老师说过，一共分四大层次，第一个层次就是你要学会全等边角、边角、边角、边角这些全等方法，第二个是如何用辅助线绕住我们来解析，第三个就是那些模型， 一线三垂直、破锣、磨机多废麻、点手、拉手等等这些模型。第四个就是构造三角形。大家做题做多了之后，大家就会有一个普遍的认知，也就是说不管是全等三角形辅助线的应用，还是三角形的那些模型，其实都是为了 构造三角形做铺垫的，也就是说都是构造三角形的基础，也就是说我们三角形的终点就是构造三角形。那构造三角形的本质是什么呢？其实就是几何变换， 那我们初中几何变换一共有几种呢？有三种，第一个平移，第二对称，第三旋转。既然说到这了，那我就要提醒一下现在八下的同学，当你学到几何变换这三个 内容的时候，一定不要掉以轻心，一定不要小看这几个知识点，认为这个内容才是全等三角形的根本。要直角三角形的应用，那主要怎么应用呢？首先我们举例子说一条线段和另一条线段相等且垂直。 周老师在前几期视频讲了，平移有什么好处？平移的第一个好处就是它会给我们创造一个平行四边形，我把线段 a、 b 平移下来，那么 c 对 和 ab 平行且相等。既然平行且相等，那我们连接 a 对， 那这个四边形是平行四边形。如果啊，其中一个内角是九十度，并且有两条邻边相，那么这个平行四边形是正方形， 这是平移的第一个好处。第二个好处就是说，我们把线段平移出来之后，线段不止相等，而且 这两个线段的夹角还不变。也就是说，如果遇到两条线段相等俩角还一定要想到平移。平移之后，不仅两条线段相等，而且还保护了两条线段之间的夹角，这是平移的好处。对称呢，如果说 给你两条线段相等，夹角还是九十度，如果说让你把 a、 b 和 b、 c 重合， 我们怎么办呢？用对称可不可以？可以，只要我们连接 a、 c 过 b 点做 a、 c 的 垂线，因为 a、 b 等于 b、 c， 那 么 b、 d 一定垂直平分 a、 c， 那 么 b、 d 一定是线段 a、 c 的 垂直平分线。此时我只要让线段 a、 b 关于 b、 d 的 对称，我们就可以得到 a、 c 和 b、 c 的 重合了。那第三点，旋转能不能让 a、 b 和 b、 c 重合？可以啊，我只要绕着点 b 将线段 a、 b 逆时针旋转九十度，那么 a、 b 和 b、 c 就 重合了。有的同学就问了，为什么非得让他们重合呀？ 这就是等腰直角三角形的一个高端的应用，很多题型当中，只有让等腰直角三角形的两边重合，我们才能有下一步的解法来。当你做旋转的时候，一定一定不能单纯的只旋转 这个直角边，你一定把这个直角边所带的三角形一起给它旋转过来，这就是很多题型当中的一个高端的应用。好，我们现在看这道题， 正方形 abc 这种， be 等于 ab 等于 ab， 垂直于 ef， 垂直于 ef， be 等于五， c、 n 等于八，让我们求 c、 e 的 长度，首先看 b， e 等于 d、 f 这两条相等的线段没在同一条直线上，那我们把这种题型称为逆等线的题型，逆等线的题型一定是出三非常非常重要而且非常难的一个题型。 之后周老师会专门出视频来讲解这种题型来。我们说遇到逆等线的题型，我们有几种做法，第一种，我们通过平移把两条线段 挪到一起，让他们产生联系，然后根据已知条件我们去解这道题。第二种就是通过旋转使两条 相等的线段从何或者说通，根据这两条线段我们构造全等三角形来解决这道题。今天我们用的方法就是第二种， 让以他俩为基础，我们构造全等三角形，怎么根据这两条线段相等，我们构造全等三角形呢？来，我们看 b、 e 等于 df， 正方形 a、 b、 c 类，它有什么性质呢？首先内角都等于九十度，其次 边长都相等，当然正方形的性质不止这些，这道题我们能用上的就这两个条件，你看 b、 e 和 df 分 别和哪条线段产生联系了？ b、 e 和 ab 产生联系，夹角九十度， a、 f 和 a day 产生连角， a day， f 等于九十度，那么此时我只要连连接 a、 e、 a、 f， 那 么三角形 a、 b、 e 和三角形 a day、 f 是 不是全等？边角边，边角边，那他们两个就全等，全等之后， a、 e 等于 a f， b 等于五呢？ f 也等于。我们再看全等之后，角一是不是等于角？二来角一加这个大角是不是等于九十度，对不？那角二加这个大角一定也等于 九十度。那么此时我们是不是得到了一个等腰直角三角形 a， e、 f 看到等腰直角三角形了，我们再看下一个条件， a、 n 垂直于 e、 f 等腰直角三角形。斜边上的高 等于斜边的中线，还等于上面的顶角的角平分线，那么此时 a、 n 是 不是就是线段 e、 f 的 垂直平分线了？那既然看到垂直平分线，那想到垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两短距离相等，那么 顺势连接 e、 n， 那 此时 e、 n 是 不是就等于 n f， 那 么让我们求的是 c e， 我 直接设 c e 等于 x， 那 c e 等于 x， dc 是 不是就等于 x 加五，那么 c d 是 不是就等于 x 加上五，然后 c n 等于八，我们能不能求出 d n， d， n 是 不是就等于 c d g n c n c a 等于 x 加五， c n 等于八，那么 d， n 是 不是就等于 x 减三， d n 等于 x 减三，那么 fn 是 不是就是等于 x 减三加五等于 x 加上二了，那么 fn 又等于什么呢？ fn 是 不是等于 e n， 那 么 e， n 是 不是就等于 x 加上二？那么现在我们要求的 x 都在这个直角三角形里了，那我们是不是非常好求了？ x 加上二括号， y 的 平方等于八的平方，加上 x 的 平方， 这个会解了吧？ x 方加上四， x 加上四等于六十四加上 x 的 平方， x 的 平方 x 的 平方约掉四， x 等于六十， x 等于十五。 这道题周老师讲明白没？如果你有中考几何压轴题的问题，可以后台联系周老师，也可以评论区留言，这节课就讲到这，更多精彩内容，我们下个视频见。

你练会了这一道题，等于会了一类题，将来高中遇到向量，遇到平移变换，遇到参数范围，你会觉得，嘿，这不就是初中那道题的升级版吗？ 二零二六年常州中考的宝子们，大家好，我就是那个一看到压轴就兴奋，看到送分题你就头疼的五颗星。数学怪物刘老师，今天咱们来解剖一道题。这道题是常州二十四中初三一抹卷的最后一题，推荐老师把它放在最后。本来是想劝退一批人， 但是在怪物眼里，这道题不是来劝退的，是来送温暖的。为什么呢？因为一道题，它能串起初中三年的三大核心，还能偷偷给你看一眼高中数学的风景，我们一起来看。第一问，送风的二次函数 y 等于 b， x 加二的图像 交 a， b 两点于 y， 轴交于点 c， 把 b 带进去，就可以解出 b 等于一。 完了吗？没完坏我表告诉你，这叫带入思维。初中玩这个，高中也玩这个，只不过高中带入的不只是点，可能是 直线、曲线，甚至是一个动点家族。所以别觉得简单，简单里藏着未来的根。好了，第一问只是开胃菜。第二问，初觉老师开始动坏心眼了，他说有一个点，屁 也在该抛物线上，但是不与 c 重合，且三角形 a、 b、 p 的 面积等于三角形 a、 b、 c 的 面积，求点 p 的 坐标。很多同学一看面积就慌，怪物告诉你，面积相等先看底边， a、 b 是 公共，底边长度是三，那面积要相等高，就必须相等。 c 的 总坐标是负二， 所以 c 到 x 轴的距离就是二。那么翻译大白话就是 p 点的纵坐标要么是二，要么就是负二。 把 y 等于二带进去解方程求根公式算一下， t 二分之负一加根号下十七， t 二二分之一减根号下十七。那么做坐标是二负二呢？解就是也是一样带进去解方程解得 a 次等于零 或负一。在这里我会发现， x 等于零的时候是与以 c 点重合，所以要舍去，因此 p 三就是负一。初二，所以这一问，三个答案出卷。老师，他坏就坏在很多同学，他可能只取到了一个负二，忘了 y 等于二，也是勾等于二， 这叫分类讨论。初中你不练，高中你会哭，因为高中老师会笑着对你说，同学，你又漏了一种情况，但是真正让我这个怪物拍大腿的事。第三问， 这一问，初觉老师简直是明送秋波了。他说，将抛物线沿射线 c、 d 的 方向平移根号五个单位。平移后的抛物线上有两点，分别是， m 板足 y 二小于 y， 一 小于六，求 m 的 取值范围。很多同学一看射线 c b 平移就蒙了， 怪物教你一招，把几何语言翻译成代数动作， c 是 零负二， b 是 一零 b， c 的 长刚好就是根号五，所以沿射线 c、 b 方向平移根号五，它本质上就是将这个抛物线向右 平移一个单位，向上平移两个单位。 那么这就是高中数学向量平移的雏形。但我现在不笑你，你只要记住，看到射线平移，先看坐标差，于是耗物线 y 等于 x 平方加 x 减二，平移后 就变成了 y 等于 x 减一，平方加 x 减一，减二加啊，那化解一下 y 等于 x 平方减 x， 漂亮吧！复杂的东西变简单了，我们再把 n 档的坐标 一带进去，得到 y 等于零，所以 n 的 坐标就是一零，那么条件给出的 y 一 小于六大于 y 二，也就成了。解不等式 m 平方减 m 在 零到六之间，求 m 的 取值范围。解这个不等式组 例是什么？小于零或 m 大 于一，这个解出来是 m 小 于三大于负二，然后我们取交集最后答案。取交集我们可以画个竖轴， 那么 m 的 范围我们最后就知道是 m 小于零大于负二，或 m 小 于三大于一。这道题出的怎么样？怪物打分八十五分，扣掉的十五分在哪？他太善良了。第三问的平移长度恰好等于向量模长，他没有给你设置陷阱， 如果他把根号五换成根号十，你还要先求单位向量，再算平一量，这才叫真正的降维打击。 但我要夸他的是，一道题把代入、分类讨论、数形结合、不等式组平移变换全部练到了。他悄悄告诉你一件事， 初中的平移抛物线等于高中的向量平移。你把这层窗户纸捅破了以后，看到平移，你眼里不是解析式，而是点怎么动，图形怎么跟。所以这种题的意义在哪里？ 他不是在考你死记硬背，他是在考你能不能把一个陌生的表达转换成你已经会的动作。你练会了这一道题，等于会了一类题。将来高中遇到向量，遇到平移变换，遇到参数范围，你会觉得，嘿，这不就是初中那道题的升级版吗？ 当然，如果你还想知道，如果平移方向不是沿着坐标轴，怎么用高中的向量分解，一秒搞定。暑假来怪物的初升高衔接课，我让你开开眼，我是数学怪物，这道题你学会了吗？ 还想听啥？刘老师再给你录一个，算平移量，这才叫真正的降维打击！

同学们好，我们圆的辅助线系列课程前面已经讲完了连、半径 造等腰垂径定里直径造、直角的三大模型。今天我们就来收尾最后重中之重的考点，圆切线判定辅助线的做法。 整个圆的四大辅助线方法到今天就全部完结，而切线相关辅助线也是中考几何大题最高频必考的内容。我们今天专门吃透模型四与圆的切线有关的辅助线。 很多同学不会画切线证明的辅助线，其实就两句万能口诀，直接背下来， 有焦点连半径正垂直，无焦点做垂直正半径。也就是题里面直线和圆已经有公共点，我们就连接圆心和这个焦点去证明线段和直线垂直。 没有公共点，我们就过圆心向垂直线做垂线，证明垂线段的长度等于半径。我们直接来看这道中考经典大题，第一问求证 这条直线是圆 o 的 切线，刚好就对应我们今天的口诀，直线和圆有公共点 d， 我 们直接连接 o d 去证明 o d 垂直， d h 就 可以完美正出切线。 掌握了这个辅助线思路，后面第二问的线段长度计算也就顺势能解开。至此，初中语文全部四大辅助线模型就全部讲完了。

我觉得今年的中考手拉手是几何出题的一个大项目，今天呢，我们来说一说有关于中考几何的几个重点项目，掌握住以上的六点知识，拿到一个几何题，我们先看两点，第一个 部分，我们要对几何进行合理的导角。第二个部分，我们要给什么？要给角度，那我们在这呢角合理的导角了，把每个角的度数设一个二把，给它导出来，我们会一般得到等幺三角形。 在第二个部分，需要看我们的边长以及边长关系，比如说给你的这一条线段上，这条线段被分比了啊， a b 比上 b c 啊，给了你这两个边长的关系，我们应该怎么做呀？线段分比，立刻想到什么？弧线， 平行线类的弧线，同一条线段的这一分比例，我们一般讲到平行线类弧线，包括被长弓线，它所构建的也是一种特殊的平行线类平面，对吧？啊，那平行线类弧线参照哪复习呢？这给大家一个小小的提示，你们上网上去找叫林业劳斯定律的习， 一般这种题型对平行线的构建囊括的是比较全的。第二个呢，我会给特殊的编程，都会涉及到一件事，叫解三角形，而什么叫解三角形呢？指的是在另一个三角形里知道三个条件，两边一角或两角一边。那这个三角形怎么样呢？可以解，但是三边对于所有 三角形呢，我们也都是可解的，我们要研究角的构成啊，研究相似的构造。当角的构成 线的时候，我们就要想到，比如说出现角平分线，角平分线有几个啊？第一个我们会想到做双垂的垂线。第二个我们想到的什么？角平分线遇到了我们会想到有一个定律，角平分线分别定格 a、 b 比 a、 c 等于 b、 d 比 c、 d， 它预示了一种边长关系，对吧？这个边长关系是让你代表了我们平行线的一种，对吧？两个连起来了。那这是第一步，角的构造可以用于倒角而归于推边长关系可以确定直线的构造。第二个点我们叫相似的构造，相似的 又引出了我们下一话题，由全等到相似。我觉得今年的中跑手拉手是几何级的一个大项目，大环节，也就是说由全等的手拉手的旋转转移到什么？转移到一个任意三角形的手拉手的旋转， 甚至在这个位置，我们有可能会考出来。怎么样考出来托勒密定义的规律。那托勒密定义这个东西到底预示着什么？手拉手预示着什么呢？那就忏悔。到了最后一个点为定义定义的秒杀。为大家举一个叫四点动物园，详情去参考二五年沙区的模拟， 二五年刚驱的模拟两套驱魔券实际上在四点公园中都有出现。那这些我们不了解的定比定义的秒杀是提供给你们让你们直接写答案吗？不是，是告诉你们题目的第一思路， 你们要学的不是这个秒杀定比，而是这个秒杀定比怎么挣的住。你们通过他秒出来答案后往回归，把这个秒杀定比证明出来，应用在机，那他就是你的了。来总结一下，拿到 题目先来怎么样呢？倒角看有没有等加，有没有等加。第二步，看边长关系是能求出特殊角度多，还是能求出 一个平行线的弧度线，还是我们需要剪三角形有特殊角度我们去研究角的构造，有特殊边长关系我们就去找边长的构造。我们希望一般情况下，如果题目第一问给的是全等，第二问给的是相似，那我们需要通过 一些类似于手拉手的一个发散性节奏模拟第一问去做弧线。 在整个过程当中，我们需要利用一些额外的定语定义，产生秒杀性结构，提供给我们第一思路跟解析的路线。 ok， 这就是我们整个解析的一个全部的流程了，希望中考几何大家能努力拿到满分。

好几何快，但是稳，心里还能提直畅。大家好，我是双擎数学邵老师啊，那今天呢啊，我给大家再次深入的研究一下西城的这个阴谋的几何综合，很多同学反应 很难啊，但是呢，今天呢，我在这个视频啊，这个靠后的位置，大家呢可以往如果着急看他的方法的话，就往后翻啊，我会给你提供他的第二问的啊，多种快速秒杀的方法啊。 当然呢，哎，这道题呢，我这个视频呢，主要是想给大家呢，再次通过新城区的这道几宗题呢，进行一个深入的探究， 看看通过这道题对我们接下来啊各位同学在几何综合的复习这块啊，还有哪些启示啊，所以呢，这个视频呢，可能会比较长，前面呢会对几何综合考察的一些热点的方向呢，去进行一个深入的挖掘 啊。最后呢，我会给大家提供啊，六种啊，目前的啊一些答题方法啊，当然我相信其实像几何综合一道题有十几种做法非常正常，也欢迎呢咱们各位同学家长，包括同行啊，在留言区啊，这个批评指正， ok， 好， 那这道题呢，题目条件各方面我就不读了啊，因为大家现在应该比较清楚了，而且我今天呢，重点就讲他的这个括号二，这个第二问， ok 啊，那么在这道题目当中呢，我想跟大家一起研究啊，首先先研究几个点啊， 第一个想要研究的点就是关于角度的这个理解啊，很多同学呢，在这个做几宗题的时候，往往对于角度这种条件呢，不是那么的敏感 啊，因为边呢，往往一标哎，比如说这道题 a b 等于 a c 是 吧，你一标这个边长相等，哎，他就比较醒目的提醒着我们啊，不管是哎用颜色去标啊，还是你标这种啊，斜杠啊等等 啊，但是角度这个呢，一个是有很多同学都没有标角的习惯啊，很多同学标角都这么标，一个圆弧代表一切是吧？啊，所以呢，往往很多同学不够重视它 啊，那么在这里面通过这道题呢，哎，我对角度这块呢，有这样的一些这个建议或者提示给到大家啊，第一个呢，就是关于主角角的这个概念啊，这也是咱们双题呢原创的一种说法啊，咱们呢，提出了主角，三角前有主角角，主角角什么意思？一般来讲， 题目中给某个角取一个名字，那你想想，它其实不是为了重点介绍介绍这个角 b a c 根本能理解吗？它其实为了重点介绍的是这个 alpha， 各位同学你体会体会啊啊，它就告诉你， alpha 在 这个题目中的角度当中，它占的地位是极高的啊，为什么要给它叫叫做 alpha？ 那 就意味着这道题的很多其他角都可以用这个字母给它表示出来， 这样的话，他可以串联起整个这个题目中的很多的其他角， ok， 所以呢，通常呢，这种的主角角，我们呢，第一个要标图传染啊，第二个要关注这个角度的关联性 啊，咱们叫同角 b 关联，对不对？比如说你有标阿尔法的，哎，有标二阿尔法的，有标二分之阿尔法的，这有背角关系，对吧？你可能还会标九十度减阿尔法的互余关系，是吧？哎，然后看到阿尔法，如果题目中还有一百八十度减二阿尔法，往往就会有 这种 r 为底角的等腰三角形，这叫哎，主角角的关联性哎，各位同学，你不信你可以翻一翻其他的带有这种 r 角的题目，你去验证一下是不是这样的 啊，所以在这里面的话，我们一定要标图传染，把能跟他相关的这个角度，尽量的都去确认一遍啊，都去过一遍， ok 啊，这就是关于这个主角角的理解啊，像这道题当中，哎，有一个非常重要的跟他关联的这个角，就是这个角是个阿法， 对吧？因为他后面有个平行线啊，平行线，那这个角的阿法在这道题的证明过程中啊，对全等这块啊，这个起着非常关键的作用。 好好，第二个，这道题呢，还有一个角度呢，就是这个 c i q 等于角 a p c 啊，这种呢，给两个啊，两个隔着老远的十万八千里的，这这样的两个角是吧， 那通常来讲，他就是我们造全等的重要素材啊，要么这两个角就是某两个全等三角形的对应角了，要么呢，哎，通过他们再找到第三者啊，比如说这道题，大家如果细细的挖掘，还能发现这样一个贝塔， 对吧？哎，那这样一来，这道题这个贝塔和这个贝塔之间的这种关联性就极强啊，除了这两个贝塔的补角也是相等的 啊，这两个补角的相等，对这道题的这个证明呢，也是有哎，很大的价值的啊，所以要充分的标图传染，把它开发透。 当然，这道题关于角度这块，还提供了像垂直呀，像平行啊等等这些非常常见的传染角的工具啊，咱们对这些可以倒角的工具特别敏感 啊。最后呢也提醒大家一下，虽然这道题呢没有重点考察，那还有可能是用了一次全等以后，再利用全等的对应角相等进一步转化啊，特别是我们最常见的这个几个全等工具，比如说 旋转的啊，这个全等，还有对应边的加角等于旋转角这样的关系是吧，哎，八字全等有平行线是吧？等等，这些大家要关注。 总之在这个角度这块，各位同学，如果你通过这道题哎进行了这种做题，并且进行了一些研究以后， 能不能对这个角度形成自己的一个总结，或形成自己的一个框架笔记，对吧？啊，我们建议大家有啊，那从这里面，哎，我再次啊理解了一下，那我发现就是首先乞丐中给的角度通常都是为了这个权的 来进行服务的。大部分情况是这样的，因为咱们这二十七题基本上就是要考全等的啊，所以给的这些关系不一定是直接就能用的，当然有可能直接能用 啊，我们一定要通过做集中的最基本的习惯叫做标图传染啊，再结合在我们熟悉的工具去灵活使用，那为什么要标图传染，因为角度最容易被我们忽略，只有你才能把它用的准，用的明白 啊。比如说这道题目中的关于贝塔，大家有没有发现我标出来的这个靠下的这个贝塔这个角啊，这个在后面的我的几种方法当中啊，起着非常重要的作用，有些方法就是得看一看，看到这里有个贝塔角才能想的清楚，想的明白， 好，这就是这道题的第一个啊，这个探求点，其实我的探求点就是价值点啊，就是大家看看通过这道题能不能让你对于角的理解，哎，又上了一个台阶，上了一个层次啊。 好，第二个，这道题的这个探求点是什么呢？是垂直哎，有同事说，垂直有什么好探求的对吧？标个直角，然后去倒角吗？护于角吗？ 确实有一些垂直就是给我们用来倒角用的，但是对于垂直这个条件来讲，他背后的东西可太多了 啊，很多同学往往看到垂直以后，没有深入的去想啊，比如说看到垂直，对吧？他是不是有直角三角形 啊？像咱们这个图当中有 dcp， 有 bcd 是 吧？有 acd 啊，一系列的这个直角三角形，那么这些直角三角形出现了，我们就可以用 勾股定律，斜变中线，哎，等等这样的工具是吧？这是直角三角形天生自带的啊，天生自带的，所以而这些工具的话，往往它不是那么显眼，它不是两个对应边相等那种，那么明显的摆在眼前， 都是背后要去再挖一层的，所以有些同学呢，往往看不透他啊，那再一个，哎，直角这个条件各位一定要重视，他有一个非常非常重要的热点的考点， ok 啊，叫做直角补等腰。那么很多同学对于直角补等腰的理解，他停留在补完等腰，会有旋转的手拉手，其实不只是这样 啊，这个咱们呢，在二三年中考有直角不等腰，补完以后旋转手拉手，对吧？哎，咱们二五年中考也是直角不等腰，补完了以后旋转手拉手，各位同学可以自己去翻一下啊，我就不给大家看图了啊 啊！然后呢，像这个今年的海淀一模也有直角补断腰， ok， 但那个补完以后就不一定是找一个旋转圈的，同样，咱们这个题目也可以直角补断腰，而且你看到因为他有三个直角三角形，理论上来讲可能有三种补法，是吧？啊，所以就带来了这种复杂性， 那么这个时候我们要想明白，我为什么要补等腰啊？直角补等腰是为了得到全等工具，而且我们会发现，咱们双体总结的四大全等工具，他都能找到 第一个，哎，补出等腰以后，等腰自带共端等长，是吧？哎，共端等长就意味着有旋转全等啊，各位体会一下啊，体会一下，比如说我把这个，这个，这个 c d p， 哎，我补成一个等腰，哎，变成了一个这样的一个等腰三角形，这就共端对称，是吧？并且补的时候呢，可以往上补，也可能往下补， 各位一定要看清楚，对吧？我也可以，甚至还可以这么补啊！同样，我在这里面也可以把这个 a、 c 这个边往往右边补，往往是一种非常常见的处理方法， 对吧？啊，当然也可能是往下面补，对吧？哎，这些都是他非常有可能的一些直角补等腰的补法，所以一个直角出来，咱们有多种补等腰的方向，而且补完以后，这些等腰往往首先都有自带边等，有旋转圈等 好。其次呢，直角补了一个等腰啊，为了方便看，我还是选择中间的这个小的啊。补完等腰以后，大家看，这里就有轴对称 啊，它自带这三线合一是吧？啊，如果是三线合一，就自带一个终点关系，所以你看，我要往左边，比如说补一个这个 d f 和 d p 相等，是吧？哎，那就显然 d 就是 一个新的终点 啊，终点就背后可以用八中斜三是吧？哎，同样，哎，这里面有一个轴对称的结构对吧？哎，这个白塔角就可以跑到这个白塔这个地方啊，好，再一个呢，就是他有可能直角补完等腰干嘛呢？就只是给你提供一对边等 啊，你只要利用这个边等去作为其他全等的转化一种普通全等，所以后面可能用照猫画猫 啊，咱们这道题也会存在一种这样的做法，所以关于这个点，我相信各位同学通过刚才我给大家的一个描述，应该开始重视了啊，所以垂直或者说九十度可能是最容易被咱们忽略的一个热点条件， ok 啊，这里面千万不要只是标一个直角符号，甚至有时候题目都已经标好了，你都不管他啊，这我认为，哎，我给他这个加一个属性，他可能是一个典型的叫做扮猪吃老虎的条件， ok， 看起来这种人畜无害的，但其实背后你看隐藏的四大工具全部都能从他背后挖出来， 是吧？所以面对垂直这个条件，我建议各位同学做做一个轻探索，哎，就是我一看到这个垂直了，首先看背后有几个支教三角形啊， 对吧？哎，所以潜在的边的勾股定律的关系啊，如果计算就勾股定律对不对啊？潜在的斜边中线你都可以看一眼啊，然后呢，这里可能往哪个方向去补等腰啊，哎，补完了以后，大概有个什么效果呀？先稍微建立一个直观的感受 啊，所以快速确认一下，这个叫浅探索，这样你有个印象，一会呢，信息多了啊，再去想，从这个条件去开发，是比较容易开发的。 ok， 好，这是这道题的啊，第二个，哎，值得我们深入思考的啊。当然呢，哎，大家可能有更多的更好的一些想法，也欢迎大家啊，在这个视频后面留言去啊，我们进行交流。第三个，就这道题，是个很好的探讨终点的一个啊，一个题目 终点呢？首先呢，咱们呢，跟同学们讲过很多遍，看到终点就是八中斜三八字全等啊，就所谓的背长中线是吧啊，然后中位线，斜边中线，三线合一， ok， 那 这道题呢，它的终点信号其实就很多，对吧？哎，除了题目中给的一个明显的意识，终点意识 ap 终点啊，包括刚刚说的这个直角不等腰以后，这个 d 很 有可能就是个终点 啊，很有可能是终点，所以这里面终点的线画很多的啊。另外就是这个里面，如果看到两条线段有两倍关系，这道题呢，我们可以猜 b q 等于二倍的定义对不对？ 哪怕题目中没有终点，结论中出现这种两倍的线段数量，这两条线段可能隔着十万八千里没管点，他往往背后也会藏在终点， 因为你说这两倍线段怎么出来呢？对不对？最快的，最容易得到两倍线段的，往往就是终点是不是？当然，如果题目中有三六九啊，或者什么呢，又是可能另外的可能了，但大部分情况下，这个背后都有终点， ok， 好， 那再一个就是这个刚才说的终点有八中斜三，各位要注意啊，终点背后的这个八中斜三这四个工具，他经常是组合拳 啊，经常会组合使用八字全等加中卫线啊，八字全等加三线合一等等。 ok， 这里面简单给大家画一个截个图来试一下啊，比如说啊，我们在这里面有一个终点的信信息， 对吧？哎，那么我们经常会看到有些题目，大家也不知道有没有见过啊，一个八字全等穿过这个终点， 同时呢，哎，这个八字圈的目的是什么呢？他为了让你得到的实际上是跟这个哎栏边相关的某一个某一个三线合一啊，因为这个三线合一呢，你又会发现他又有一个旋转圈的在这藏藏着，经常会啊， 当然这这这个不一定啊，有些题目经常会藏着一个旋转圈，等会什么样的啊，所以就这种叫组合拳， 对吧？哎，所以你看终点，你不要孤立的去看它，好啊，那么再一个就是关于这道题，关于终点的一个重要的启示啊，就是这道题的终点，很多同学看的会非常难受，因为这个终点在线段 ap 中的一部分， 是吧，这也是这道题很多时候做起来不舒服的地方。那其实如果你以后看到线段的一部分有终点，往往是再找一个终点，在这条线再找个终点，就出现了双中点结构。双中点结构，各位同学不用去记它的结乱 啊，初一的时候有的同学可能老师让记过啊，这个线段 a b 的 中点是啥？然后 a、 c 的 中点是啥？然后这两条线段啊，这两个中点连起来是哪条线的中点？不用去想，这里面就告诉大家，只要出现双中点就设参标点 啊，设参表示，各位能理解，就是对于一个双中点结构以后出来以后，他就是很容易用参数去表示他，比如说，这是 a 啊，这是 b， 对 不对？哎，假如 a、 b 有 个中点 c 啊，然后呢，我们在这里面再来一个一个一个中点，是吧？啊，比如说这个，这个里面这个 a d 再来个中点 e， 是 不是就很乱，对吧？哎，这个时候你去设参数去表示它，你发现就很简单啊。在这里面，比如说，哎，这个 d c 是 小 a 啊，这个是小 b， 对 吧？哎，那么 d e 就是 a 加 b， 那 a e 呢？也是 a 加 b 啊，那么这个时候 a c 呢？就是二 a 加 b 啊，所以 bc 就是 二 a 加 b， 哎，然后 b、 d 就是 二 a， 哎，你会发现这个 ec 就是 b、 d 的 一半， 对吧？这不用刻意记，就是这种射餐标边是非常好的处理双中点的，这个方法 ok 啊，所以这道题有没有通过这道题回头对咱们重点这块的这个认识又加强了呢？ 啊，又加成了， ok， 好， 那再一个啊，这道题呢，还有一个重要的探讨点啊，就价值点，就主角三角形这道题呢，同学们在实际考场上做的时候是感觉比较棘手的啊，那么这个我们有双题，有个独创的主角三角形技术 啊，什么叫主角三角形啊？任何一个三角形一定是有三个要素，这六个要素通常来讲只要有三个以上 啊，是跟条其他条件有关联的，或者跟结论有关联的，那这个三角形一般就是主角三角形了，就很有用了啊，甚至在某些时候有两个有用就已经很有用了。 ok， 那 这种三角形呢？通常叫主角三角形， 特别是如果这个三角形啊，他的这种有用的信息当中，既有跟条件中的核心工具关联的边或角，又有跟结论相关的边或角，那这个三角形基本就主角三角形。 ok， 他 是我们几种提速的关键，就是几何综合，有的同学不知道咋做，就在那里绕圈，绕圈绕圈 啊，绕圈就是没有目的，没有目标啊，你拿着一把利枪猎枪在在原始深里面走来走去，对吧？啊，你不知道打啥打什么啊，但是如果你知道主角三角形是你的目标，那你做题就快多了 啊，就像你打的时候，你知道你专门为了打兔子，你怎么去找兔子是吧？啊，你要去打鹿，你怎么去找鹿啊？所以主角三角形就是我们做这个几中的一个非常好的提速的技术。那么这道题呢，有一个非常非常好的三角形，主角三角形 啊，这个直角三角形，就是我们在下面的这个三角形， abm 啊， abq 啊，注意这个 m 和 q 很 容易混啊，为什么呢？首先看 ab 是 跟条件有关的，对吧？有 ab 等于 ac 这样的条件是吧？啊？然后呢， b q， 它是我们的结论边， 我们要证 b 口等于二分之一的，你看，这已经值两毛钱了啊，我们细称这个三角形三个边，三个角一共是六毛钱，这就有两毛钱了。好，然后呢，由平行线可以知道它里面有一个内角 r 三毛钱了吧。啊，由这个题目中这个角 和这个角相等，那么你会发现，这个角虽然没有直接标，但是跟条件给的两个一个主角角，一个给的等的角都有关联，所以呢，哎，是不是这个角也至少值半毛钱吧 啊，同时如果你关注到平行线，发现这是个贝塔的话啊，那这个角就是一百八减贝塔啊，那这个至少也值半毛钱吧，哼，所以这个这个三角形值三毛钱没没毛病吧？啊，那他确实是个主角三角形， ok， 这是个主角三线，围绕这个主角三线开发，是我们这道题非常快速的做法啊，那么接下来呢，哎，我给大家介绍介绍啊，这个我研究的几种这种做法啊，当然可能做法不止这些，但是呢，这些方法呢，主要是提供大家呢这个 探索使用啊，每个方法呢，我也做了一些简单的这个点评，大家来体会一下啊。啊，好，这道题呢，首先呢，就是主通过这个主角三角形来扩句 啊，这个主角三角形呢，给我们破局，主要是要通过一种照猫画猫的权的，但是呢，这个照猫画猫是不太好找的啊，那怎么办呢？你就需要找边和角的信息，而这道题主要是为了角的信号， 以及我们对于这个题目中直角不等腰的这个热点的敏感，就可以抓住这个方向啊，这个方法放在第一个说是因为主要是这个直角不等腰啊，是现在非常热点的一个方向啊，应该也是很多同学 尝试做辅助线的方向啊。 ok， 所以 我跟大家说一下，刚刚我已经说了，这个粉色阴影的三角形是个主角三角形很合理，对不对 啊？但是我怎么找这个全等呢？那你就观察他这里面有阿法角，有白塔减阿法角，对吧？哎，有白塔的补角， 所以还有红边，对吧？你要去构造，那要么就是在红边旁边构造，这道题可以啊，但是呢，一般同学不太容易想到那个方向，所以我放在后面说，要么就围绕这个角，哎，你会发现，白塔角旁边一百八十度减贝塔 这个一百八十减去的。而一旦同学们如果做了个直角，不等腰，就会发现，哎，这个红边就变成这个 c f 了， 对吧，并且阿法角也出来了啊，所以一下子就可以看出来，这个粉粉色的和这个青色阴影的两个三角形是一对全等三角形， 因为他们的三个内角都对应的啊，这个角也是北塔角啊，只要有一条边，那显然红边相等，所以不管是角边角还是角角边，都很轻松就可以挣出来这个全等了， ok， 所以 这就这道题目呢，非常快的一个方向啊。当然这个方向呢，有一个小难点，就是，哎，我们如果得到这个全等啊，我们会发现，这个 b q 呢，它是等于这个 f p 的，是吧？ 啊，这个 f p 怎么能等于这个 d e 的 两倍呢？啊？那这个时候你就要体会到，如果是共线的出现，这种隔着这个两倍的关系，一定是双中点， 所以呢，对于这个双中点的设参标编法，大家要特别熟悉，那在这里面我给大家再来一遍，是吧？啊，强化一下，一般来讲，设小的编，短的编啊，为那个小 a 小 b 啊，任意两个比较短的不等边，你设出来就行了，比如说，哎，这个 d e 是 a 啊，那 d p 是 b， 可以吧？啊，那因为 e 是 a p 的 中点，所以呢，这个 a e 呢，就是 a 加 b， 跟刚才一样，对不对？那这样一来，这个 a d 呢，就是二 a 加 b， 哎，然后呢，这个直角不等腰，有三线合一，这个 d f 就是 二 a 加 b， 对 吧？ 减去 d p 一个 b， 所以 这个 p f 就是 二 a， 也就是 d e 的 两倍，轻松出来了吧。 ok 啊，这就是双中点，咱们这个设餐标边的啊，常用处理方法，这也是咱们啊，今天给大家提供第一个思路啊，那第二个思路呢，也是围绕这个主角三角形 啊，只不过呢，在这里面我们直角不等腰呢，我不是像刚才那样啊，这个方法呢，也可以说是这道题所有证明方法当中，可以说是最简单的一个方法了啊，但是呢，这个方法呢，说实话啊，很多同学不太习惯往里面去，直角不等腰， 对不对啊？而我们会发现，因为这里面有贝塔是吧？啊，贝塔角跟这个粉色的三角形是有强关联啊，那如果我把这个 点 p 关于点 d 做一个中性对称啊，在就是在这里面截取一个 f 连接 c f， 那 这里面就出现了一个轴对称，那么贝塔就跑过来，所以这个角就是一百八减贝塔对吧， 而这个角是阿尔法，所以显然跟我们这个粉色的主角三角形角就对上号了啊，这个角是贝塔减阿尔法，对不对啊？而边呢，现成的 ab 等于 ac， 所以这个全等就出来啊，那这个全等出来了以后，咱们的这个 b q 是 吧？哎， b q 就 跟 a f 相等了， 那同样，这里面要证 af 是 这个 d e 的 两倍，也要去设参标啊，那么这里面同样我们设最小的那些部分啊，比如说 ef 是 a 啊， d f 是 b， 那 么 pd 就是 b， 那 么这个时候呢， p e 就是 a 加二 b， 对 吧？那 a e 呢？哎，也就是 a 加二 b， 对吧？ a e 就是 a 加二 b， 然后呢，我们这个要的 a f 是 不是就等于二 a 加二 b， 对 吧？然后呢，这个 d e 在 这个图里面是不是就小 a 加小 b， 所以 它俩是个两倍关系，轻松搞定， ok， 所以 这种设参啊，去处理双中点的方法非常之好用， ok 啊，那所以呢，这种方法呢，说实话啊，虽然是这个，这个 挺简单的一个做法啊，但是呢，这种内部去指导不准，要不是所有同学都很熟悉的一个方向啊，朋友们可以多去尝试，也就说在这个地垂直这个地方啊，我们可以任意去补，只要合理就补啊，当然， 好像把 c、 d、 b 补过来是不太行的，为什么呢？因为 c、 d、 b 当中没有啊，其他的有价值的边的，或者或者角的信号啊，所以补出来没有太大意义啊。 好，那接下来我跟大家说一下第三个思路啊，仍然围绕这个主角三角形，仍然是围绕主角三角形，怎么去构造？我们会发现，这个粉色的主角三角形有一百八减倍它角， 哎，在这个图形当中，现成的呢，就有一个红边，他这里面有个阿法角，但这个呢，有的同学不太好想，待会我提供另外一个思路也可以做啊，那么我们会发现，哎，如果往上做一个平行，这个就是阿法 啊，然后呢，这个地方就是被它减法，其实这种想法也可以用类似于一种轴对称的想法，因为 abc 是 个等腰三角形， 等腰就有轴对称是吧？啊，大家看吧，其实是相当于把粉色的三角形啊，沿着 bc 边上高所在的直线翻过去 啊，翻过去了，所以你如果啊对轴对称比较敏感，你也可以说这是一个轴对称的这个想法啊，其实这个想法我我我第一眼想的，当时是想试一试轴对称的工具能不能用啊，然后呢，哎，看出来 啊，那么这么翻出去以后的话，哎，咱们呢，这个 cf 就 跑到上面了啊，但是这个 cf 等于定义的两倍呢，哎，还需要你对这里面另外一个轴对称结构，就是有个等腰梯形，要稍微敏感一点 啊，因为这个角是贝塔，上下是平行的，对吧？啊，上下是平行的，所以这样一来，这就是一个等腰梯形，我们呢还需要呢，这个 这个再做一个啊， f 往下的垂线啊，正得这个左右的这两个小直角三角形全等之后， 得到中间这个 f c 啊，就是这个这个 d e 啊，这个这个就等于这个 b q 啊，然后呢，再根据意识终点等量减等量，就可以得到中间这两条线段，说明这个 c f 是 d e 的 两倍啊，也就是 b q c 的 两倍， ok 啊，这个呢，也是主角三角形，很容易切入啊，但这种对称的结构呢，我们不太熟啊，提供大家作为参考啊，各位一定要注意啊，我虽然讲几种方法，但最后我会跟大家说，我不推推荐大家啊，特别是同学们在平时 啊，去研究太多的一题多解。 ok 啊，那咱们各位家长同行老师啊，可以呢，这个多研究是吧？啊，咱们有时间啊，有精力啊。好， 那接下来呢，我们再来看看，如果我们对这个里面的条件比较敏感的话，我们还可以怎么做呢？那就是观察发现，只要你看到这边有一个贝塔角，这边有一个贝塔角， 哎，那你发现这里面就存在着两个直角三角形的全等直角三角形，那就是一个是这个粉色的和青色的直角三角形。 ok， 一个是我画紫色斜钢卷的这个直角三角形，那其实如果你看明白这个以后的话啊，这个当然需要对线段的这个关系呢，有一定的敏感度，你发现其实就是这两个边，一个是在 a d 这么长的基础上往外补一块，一个是在 a d 这么长的基础上往内收一块啊，所以最后一定可以得到两倍关系啊，对吧？那这个呢，同样咱们呢也要写一下啊，写一下就是这里的 a d 作为对应边，它应该等于这个 b f， 对吧？啊，那 a d 这个边它怎么回事呢啊？它在这里面我们要找到它这个 d e 啊，它是 a e 加上 d e， 对不对？而 b f 呢？ b f 呢？这条边啊，咱们看看它，它是 b q 加上加上 q f， 我 们先把目标的啊结论边先给它找出来，接下来再往这个方向转化啊，其中呢，意识中点是 a e 再写成 p e 加上 d e， 这个 b q 不 动，而 q f 作为全等的对应边，把它写成 d p， 对 吧？然后这个 p e 减去 d p， p e 减去 d p， 是 不是又是个 d e， 所以 是两个 d e 等于 b q， 哎，这就出来了。 这个说实话啊，这个方法整体来看也挺简单的，但这个线段关系，我认为很多同学在考场上是不太感觉到的啊，他对这个线段啊，是这么一回事啊，一个是过去， 这方面的经验不会太多啊，在考场上有压力的情况下，也挺难想到这个方向， ok 啊，所以呢，这个呢，大家可以参考一下啊。 好嘞，那我们会发现啊，在这里面，也就是说任何一个方法，你首先要有个关注点啊，知道基于什么去切入，因为直角三角形简单，所以呢，我们以直角三角切入，对吧？同样，如果我关注终点呢，因为这道有终点 啊，那终点也可以啊，那么围绕终点，我们可以开发相似啊，这个里面主要是对终点怎么用大家看，比如说这个 e 是 ap 的 终点 哎，在一的附近呢，还有直角三角形，所以在这里面的话，我们就可以综合利用。刚才说中点工具哎，它经常会组合使用，对吧？咱们只要取一个 c p 的 中点啊，那这样 e f 就是 a c 的 中位线， 它平行且等于 a c 的 一半，所以呢，这个 d f 啊，就是 pc 的 一半， 并且呢，这个角是 beta， 那 这个旁边这个角就一百八减 beta， 然后这个角就是 beta 减 alpha， 哎，所以这个小三角形的三个内角和这个大三角形的三个内角是不是完全一样的， 那也就意味着这个三角形 d e f， 它一定相似于三角形 q b a 对 不对？ 并且它其中的对应边 e f， 哎，和 a b 之比刚刚好是一比二， 所以这个 d e 就是 b q 的 一半，而且这个是不是也很简单啊， 当然，虽然简单，说实话啊，这个方法呢，相信同学们在考场上呢啊，不太敢用啊，因为我们都知道二十七题考察，我们主要考察的是全等是吧，所以像相似这种工具呢，是一些啊，呃，一个是对相似呢掌握的比较好， 同时呢，这对于这个图形的关系呢，结构呢，比较自信，就想到他必然的吗？这两个三角形他角都一样了吗？哎，并且有边是一比二的关系吗？ 啊，可以这么说，这方法应该是所有的证明方法当中可能是导边这个地方最简单的一个一个方向啊，但是呢，呃，确实说实话，虽然这个方法简单啊，也不是我第一优先推荐给同学们的啊，推荐的还是前两种这种做法好吧。 啊，那同样这道题呢，我们还可以有些其他的做法啊，比如说啊，咱们在这个里面啊，从结论出发，我就想找二 d e， 我 想有的同学考场上就这么想的 啊，我就找两倍 d e 行不行啊，我们把 d e 呢往左边去延长一下，其实这个没有辅助线，就取一个点是吧？啊，得到这个 f， 哎，这个 d f 就 要两倍， 那我怎么证 d f 和 b q 相等，同样利用 b q 所在三角形的角度关系，我们就可以强行的去做一个这样的构造啊，那就是在 f 这做一个 cp 的 平行线，那就有贝塔角啊，以及一百八减贝塔角是吧？啊， 在 d 这个地方呢，做一个阿帕角啊，然后呢交于点记啊，然后呢就连接 g a 啊，那这样一来的话，这个 青色的阴影的三角形就出来啊，剩下的话，我们需要呢，在这里面正一下，他得有一个边啊，得有一个边啊，这个里面的话啊，如果直接这么做辅助线去正 他，稍微有点麻烦，也不是不能正啊，所以呢，结结合刚才的这个分析，我们最后呢啊，可能做的辅助线是什么呢？是过 a 做一个 a g 垂直 ab， 并且跟 cd 相等 啊，然后呢，这个这个连接啊，在在这个里面再截取一个 a f 等于 d p 啊，然后连接先正这个紫色的全等，对吧啊，然后呢，这样一来，这个这个紫色小三角形全等了以后啊，我们呢通过这个关系呢， 可以得到这个大的啊，这个 a d g 和 c d a 也是全等的，所以这个阿发角也就出来了啊，然后呢红边也就出来了，最后再占这两个阴影的三个全等啊，这方法非常的复杂啊，那我之所以说一下是因为什么呢啊，这个方法就要讲一个道理， 就如果有同学想往这个方向去想，是不是因为考场上我们无法控制同学们的想法，是吧，很多同学都是基于某一个角度去想的，但是呢，其实在考场上我们是没有时间去想很多种方法的， 我的意思是，同学们只要在做题过程中你有想法，并且这个想法有一定的理性，特别是他跟其他的条件和结论的信息能整合在一块，这个想法通常就有用 啊，所以从我们考场上做几宗题，最怕的就是我不知道这个走法行不行，我们有个判断的标准，就是你是不是始终在用条件贴结论啊，就只要是不断的用条件贴结论的这种方向，他就可以， ok， 好， 那当然这道题肯定还有很多种做法啊，一道几宗题十几种非常正常啊，那我在这里面呢，也不给大家这个讲太多了 啊，啊，因为我认为我对这道题的研究目前还比较肤浅啊，那我把阶段的这个研究的成果啊总结跟大家再过一下。我认为通过这道题啊，我们得到的启示是，首先呢是几中，特别是啊，咱们这个备战中考同学 啊，不要因为这道题有一定的难度，然后呢就偏离他的方向啊，集中还是围绕最热点的这个考点和工具去进行开发啊，像咱们刚才讲的四大全等工具对不对啊？像咱们讲的主角三角形这些都是啊， 非常重要基础的啊，这种处理方法，这个还是最后一个阶段咱们复习的重点啊。第二个呢，这道题呢，我给大家讲了六种方法是吧？啊，但是 我不推荐咱们同学们啊，这个研究一题多解， ok， 研究一题多解的事留给老师干就行了是吧？啊，这个，为什么一旦你形成研究一题多解的这种 意识以后，你在考场上冷不丁的就会这个想想那个想想啊，结果选择多了，可能反而是弊大于利的，你反而不能坚定的从某条路走到终点， ok 啊，好，那再一个就是在这道题目中啊，提醒我们，对于这个直角不等腰这个热点的这个考点，还需要大家进一步深入的这个探讨啊，我相信呢，咱们呢各位老师啊，包括我们各位同学在平时做题中会刻意关注一下 啊，这个直角补等腰他是啊，二三二五年中考啊，像今年海淀西城都考到的这样的一个考考察的方向啊，并且补完等交以后，也不一定就是用旋转全等啊，也可能用它的角度关系，也可能用轴对称等等， 所以这个里面的话啊，是很有灵魂的一个应用的啊方向啊啊，所以值得我们各位同学多体会啊。嗯啊，在这里面我其实应该打的很灵活，哈哈。啊 啊，好吧，来，那这就是关于这道题的啊，我再一次研究的一个思考啊，这个各位呢，欢迎呢在留言区啊，这个这个做一些这种点评分享， ok 啊，那当然，如果各位同学啊，想在这个几东这块啊， 最后的冲刺阶段，还想进一步这个深入的这个去学习一下，你之前没有什么太系统的方法，也欢迎呢跟咱们科普老师了解一下啊，咨询一下咱们相关的课程，好吧。

下面这道题是合肥一等考的几何压轴题，它将在三角形 a， b， c 中加 a， c， b 等于九十度啊！这里 a， c 等于 b， c， d， e 等于 d， b， b， c 和 e， g 都垂直于 a， d。 第一个要求证的是 e， g， e。 对 已知的也成这样变，那我们可以看出来，这两三角形可能是全等边，因为这两个角是相等。那么在三角形 d， c， b， d， c， d 和三角形呢？这个 e， g， d。 角 e， g， d。 角， 那么这里也有两个直角啊，角 d， c， d， c， b 啊 d， c， b。 等于角 e 及 d， e。 那 么这个角能不能等于这个角呢？我们看角 c， b， d， c， b， d， c， d。 它是等于 一百八十度。减角 a。 减四十五度，再减角 a， b， d。 角 a， b， d。 再看这个角 g， e， d， g， e， d。 它是等于一百八十度，这个角也是四十五度啊，因为这两条线平行的，要减四十度，它减的是这个角，减去角，角一一 平 d， e， d， e。 等于 d， b。 所以 d， e， d 啊，是等于角 e， b， d 啊，所以角积一 d， e， d， 它是得一到二十度，减四十五，减角 也是 a， b， d 的 a， b， d。 这两个角是相等，所以角 c， b， d， c， d， d。 它是等于角 g， e， d 的 g， e， d， c， d， d。 等于角 g， e， d。 这里就找到啊，两种角相等，那么右呢？ 这个三角形的斜边 b， b， b。 等于这个三角形斜边 b， b。 所以 三角式 b， c， b 啊 b， c， d。 它是全等于三角式 e， g， d 的 e， g， d， e， g， d。 所以 c， d。 它就等于 g， e， c， c， d 啊，等于 g 啊，就得到证明。第二， 如图啊，它加 c， f 等于 f， b 等于二十。求 b， d 的 场，那我们知道 c、 d 的 场是知道的，那我们能不能求出 c、 d 的 场呢？我们设 c， d 啊，等于 x 啊， c， d 等于 x， 那 我们看这两三个圆心，因为这两条线平行的啊，这三个圆心呢，就等于 x 啊，那我们看这两三个弦是平行的啊。 那么这个地方的 x， 根据刚才的任意选等，则记 b 记忆，记忆也得也得根据条件，已知条件 d， g， 它是等于 bc 的， bc 等于四四， 因为 d、 c 平行于记 e 啊，记 e， 所以 三角形 d， c， f， d， c、 f 它是相似的三角形 d， g， e 的 d， g， e， 那我们所以这里 c、 f 的 长 c， f 是 等于二 c， f 比上 g， e 等于 d， c 比上呢？ d， g， d， g， 这里 c、 f 等于 d， c 的 也是等于 d， c 的 也是点 x， d， c 的 长 d， c 的 长是不是 x， d， c 的 长，这里 d， g， d， g 是 等于 d， c 等于四，所以 x 的 平方是等于八八。那么 那么在这个实验当中，所以 d、 d 的 平方是等于 d、 c 的 平方， d， c 的 平方就是八，加上 d、 c 的 平方， d、 c 的 平方就是一次性二个四，二个四，所以 d、 d 就是 点 d 格号二十四，也就是二，点，格号内就是 b、 e 的 长度。第三步，就将 d、 c 比上 c， a 等于 b， e 比上 e， a 对 k 要求这个 k 值，那我们联结一下 c， e 看，我们联结一下 c， e， 那 我们看到 c， e 啊， c， e 啊， 这 c 一， 它是平行于第一的，嗯，现在这个角加一下角平行，平行，相切平行，所以我们得到，所以得到角 a， c， e 啊 a， c， d， 它是等于角 a， d， b， a， d， b 那 么 a， d、 b 这个角是等这样的啊，是因为是全，刚刚证明是全等关系，等于角呢？ g， e， d， g， e， d， 那么等于，因为是平行，因为这两个线平行，所以它就等于角，一样的，一样的， 所以我们知道这个角跟这个角是相等的，这个角跟这个角是相等，那我们在这个三角形中，在三角形这个 a， c， d， a， c， d 和三角形 b， e， f， d， e， f， d， 因为这个角的是角 c， a， e 呀，角 c， a， e， c， a， e， 它等于角 f， e， f， e。 找到前面的条件，角 a， c， a， c， e， 它是等于角 e、 m、 d 的， 所以这两个三角形呢，是相似的，所以三角形 a， c， d， a， c， d。 它是相似于三角形 b， e， r， b， e， r 这两个也相似，所以这里 b， e， r， b， e， b。 一 比三呢 a， a， 它就等于这个 b， f 比上 a， c 的 b， f 比上 b， c。 这里 b 一 比 a 一 b 一 比 a。 又你看这个 b 一 比 a 呀 b 一 比上 a 一， 它是等于呢？ b， c， b， c 比上 c， a 的 c， a。 所以 b， f 比上 a， c， 它就等于呢 d， c， d， c 比上 a， c， a， c 啊，所以我们得到 b， f， 它是等于 d， c 的， 这里 b， f。 就 等于 d， c。 然后呢，再进一步看，在三角形这个三角形，在这个三角形当中，这里有一个公共角啊，这一个，因为这个角呢，这个角它是等于啊，这个角对角在三角形 dcf， dcf 和三角形 dcf， 那 么就是 dc 啊， 就是 b， c， d 中 b， c， d 中 b， c， d 中 b， c， d 中，那么这里有个公共角啊，角呢？ c， d， d， c， d， d， c， d， d。 刚刚已经证了是等于 e， f， d 的 e， f， d， e， f， d， 那 么也就等于角 c， f， d， c， f， d。 这个角跟这个角相等，这里有个公共角，所以这两个角也是相似，所以三角形 d， c、 f 相似于三角形 b， c， b， d， c， d， 这是子母相似。子母相似，有一个公共边，这里有一个公共角，这里写成子母相似，所以得到 d， c 的 平方 d， c 平方，它是等于呢？ c， f， c， r 乘以 b、 c 的， 那么这个 c， f 啊，这个 c， f， 它是等于 dc 减去 b， f 的， 所以 dc 的 平方，它就是等于 c， f， c， f 是 等于 dc 减去 b、 f 的， 也就是等于 a、 c 减去呢？ d， c， d， c， d， c 是 等于 a、 c 方，等两边同时除以 a、 c 的 平方，同时除以 a、 c 的 平方，那么就得到 d， c 除以 a， c 的 括号平方。括号平方等于， 这里是 a， c， a， c， 这里是 a， c 减去 d， c， 也就说等于啊 e 减 d， c 除以 a， c， 那 我们得到这样的公式，那么 d， c 除以 a， c， d， c 除以 a， c 就是 k， 就是 k， 所以 k 平方等于一减 k， 那 我们讲的 k 啊，是等于二分子幺五减 e， 幺五减 e。 这个是做这题很多的相似，关键在你老讲啊，这里有一个字母相似啊，这是大家第一，这题也有点难。

我们说中考数学当中菱形当中的动点最值问题，一直是同学们丢分最多的一个题型，如果你想在中考数学当中达到一百一十分以上，那么菱形当中的动点最值问题 这一类题你一定要拿下。上个视频我们针对这道题，我们用了费麻点的解决方式来梳理这道题，今天我们用另一种方法来 破解这个，今天我们用另一种方法来破解这道题来。我们说看到线段相加的最小值，我们要想到一共有三种方法，一个是两点之间线段最短，一个是点到直线的距离垂线段最短。第三个就是配方，那么 无论是两点之间线段最短，还是点到直线的距离垂线段最短，他们的本质都是共线，也就是说让几个我们要求的线段共线。 所以说当我们遇到这类题的时候，我们想我们的第一个想法一定是让他们共线，再去用我们刚才说的那三种方法去解决掉它。 那上一节我们讲的费马点，因为三条线段相加的最小值，我们第一个肯定是想的费马点，第二种方法是什么？也就是说我们能不能把这三条线段相加变成两条线段相加，再用那三种方式去解决掉它。来我们看 首先我们如果想要把这三条线段相加进行变形，我们一定离不开的是什么？一定离不开的是菱形的性质，那菱形有什么性质？其实菱形的性质很多，今天我们主要用到的是什么？对角线，菱形当中对角线所在的直线 一定是这个菱形的对称轴，既然是对称轴来我们看 m d 加 mb， m 点在 a、 c 上运动，那么 m、 d 加 mb， 我 们怎么把它变形？ 怎么变形来？聪明的同学一眼就能看出来 m、 d 是 等于 mb 的， 因为 a、 c 所在的直线就是这个菱形的对角线来，我们看 a、 d 等于 ab， am 等于 am。 既然 ac 所在直线是菱形的对称轴，那么 ac 一定平分角， b、 a、 d 对 角线平分一组对角也是菱形性质当中的一个，那么三角形 a、 m、 d 一定全等于三角形 a m b， m b 等于 m d 了，那 m a 加 m b 加 m d， 是 不是就等于 m a 加上二倍的 m d 了？那我把 m b 加 m d 变成二倍的 m d， 那 三条线段相加的和，我们就变成两条线段相加的和两条线段相加，让他们勾线就可以了。但是我们这有系数，有系数怎么办？那我看看我能不能把它也变成谁的二倍呗。 为什么这么考虑？因为我们这有个角没用上，我们一定要把所有的条件用尽。角 a、 b、 c 等于一百二十度，那么角 b、 a、 d 一定等于六十度， b， a、 d 等于六十度，那么 c a、 b 角 c、 a、 b 一定等于三十角， d， a、 m 一定都一定等于三十。那三十度角出现了，我们会想到什么呢？本能反应一定是在直角三角形当中，斜边的中线 等于斜边的一半。在直角三角形中，三十度所对的直角边等于斜边的一半。那么此时 am 是不是就等于二倍的 m h？ 也就是说， 此时 m a 加 m b 加 m d， 我 们就转化成二倍的 m h 加上二倍的 m d， 我 把二提出来，二倍的 m h 加上 m d。 聪明的你到这一定会做了吧？来， 两点之间是不是线段最短呢？无论 m 点在 a c 上哪个位置运动，那么 m m d 加 m h 的 最小值一定是 m h， m 和 h 之间的连线，并且 m h 垂直于 ab。 那么为什么说 d h 一定要垂直 ab 的 时候， d h 才是 m d 加 m h 的 最小值呢？首先我们说两点之间线段最短，那么 m h 一定是 m d 加 m h 的 最小值， 对吧？但是 h 点随着 m 的 运动而运动， h 点的运动轨迹是什么？一定是 ab 所在的直线呢， 对吧？那么现在两点之间线段最短了， b 是 定点，然后 b h 的 长度随着 h 点的运动而运动， b h b h， 那 b h 什么时候最短呢？这个就涉及到我们说的点到直线的距离。 垂线段最短，那此时 m h 垂直 ab 的 时候，它就是最小值， 大家听懂了没？那么这个时候 m h 怎么求啊？这个时候就好求了，边长为六，这个角是六十度，这是垂直，那这个角是三十度。三十度所对的直角边等于斜边的一半，那 a h 等于三，那么 d h d h 就 等于三倍根号二，那么我们要求的二倍的 m h 加上 m d 就 等于六倍根号二。 这道题周老师讲明白没？如果你有动点坠职问题或者与中考压轴有关的问题，可以评论区留言或者后台私信周老师。今天的这节课就上到这，更多精彩内容我们下个视频见。