怎么画图五年级下册数学题目重叠

天空一声巨响，小老师闪亮登场！这道题求阴影部分的面积，两个梯形重叠在一起，求这个阴影部分的面积， 这个阴影部分他是没法直接算的，我先给他标出来后面那个梯形的下底，要求阴影部分。阴影部分呢？就假设他是一，重叠的部分呢，是二，下面这个梯形是三。两个相同的梯形嘛？说明一加二 等于二加三等式的规律是什么？等式两边同时加或减同一个数，等式依然成立，同时减去二， 那一等于三。对了，那咱就求三就 ok。 三的上底是一，二梯形的下底减去这里的两厘米， 下底都一样是九，再减去二，就是这个梯形的上底。那下底呢？标了 九，上底加下底。哦呵，乘这里的三厘米，再除以二，这道题你会了吗？

像这种同学们让你作图，他给了你这个东西，你要看的懂，他其实这样子给你一个呈现出来，比呈现给你一个立体图形更简单。来，什么意思？同学们， 这些都是正方体，是不是？也就是他上面这里立起来，重起来，几层楼？四层，他几层 三楼，爬几层三楼？大家想象一下，你看过去，无论从哪个方向看，你能看见最高的还是能看见最矮的？最高的肯定最高的能凸出来，最矮的可能被在后面被挡住了。所以我们在画的时候去找大树还是找小树？ 大树也有道理，后面高的楼你能看见矮的楼被挡住，你看不见的，是不是？好？来，怎么办？来， 从前面看，就这样看呗。从前面看哪个是左？看清楚，从前面看哪个是左，这边是左，这边是右。来，最左边这一列几个四个，所以最左边这一列我画 四。好，你画的时候你要用指尺去画啊。还有老师跟你们说了，画的时候中间它是一个一个的小正方形，要给它隔开四个了，是不是？来，再来，第二列三个。找一个吗？ 后面的三个凸出来了，找大数几个三个三个。 来，下一列找几二，找最大的数字二几个两个， 简不简单？简单。好，来，接着我们看下一个，从左面看来，换个颜色的左边看，要把你的身体拧一拧，是不是？怎么看？同学们， 哎，我这样子看过去，这样子看过去，请问哪个是左边？左手举起来，左边在哪里？我从这样看过去，这个就在左边了，那这里下面就是右边了，能不能明白？来，左边第一列 几个？三个。好啊，这啊，三个，接着第二列在哪？这是第一列哦，这是第二列，是不是四三一？第二列找几四？哦，找最大的数字四。 接着我们来看第三列，找几二二， 画几个？两个。哎，结束了，这个图是不是比你们试卷上的这个图还要复杂一点？是不是你找到方法之后就非常简单？来，这种题会不会画？同学们会强调一下，注意，第一，画的时候不要用什么 指，画的时候要用指尺，指尺。其次，有的人他就像这个样子，你这是啥？你这是一个外轮廓，他每一个是个小正方形，所以你要把中间的这些给它填满。好，还有一种非常奇葩的答案， 我是说的是谁，谁心里面清楚哈，他连外面的这个轮廓都没有， 这样子，你这是啥呀？一些虚线。我再强调一遍，做图题的标准答案啊，来听吧，这首。

好，同学们，我们看一道这样的题，一根长方体木料和一根正方体木料，一根长方体和一根正方体刚好可以拼成一根新的长方体，这根新的长方体木料的表面积比原来的这个长方体的木料的表面积增加了六十四。 好，求正方体，求这个原来你拿出来的这个正方体的木料的表面积。好，我们先来画图，这种题我们来画图看一下啊。首先先有一个长方体，我们先画一个长方体在这里啊， 唉，大概其实是这样的，但是我也不知道它是，呃，长是多少，宽是多少，高是多少。好，现在还有一个正方体， 哎，是这样一个正方体，我要把这两个拼在一起，拼在一起的时候，它说它的表面积比原来 增加了六十四号，这里非常的重要，就是你拼在一起之后，这个表面积增加了，那我们就要去分析它增加的是哪几个面啊？那我们来看， 哎，在这两个拼在一起之后，这个面和这个面是重合了的，对不对？所以这个面并没有消失，那重合了之后，那我们发现这里 这个这个面是不是增加了？哎，但是其实实际上是没有增加，因为这个面代替了这个面，因为这个面减少了，但是这个面出来了，对不对？所以那我们正常增加的就应该是这个正方体 这个四周的这个面，这个侧面，这个正方体的侧面，对不对？好，那个正方体的侧面，那实际上是四个 正方形，哎，它是一个正方体啊，所以它的侧面是四个正方形，这四个正方形的面积是六十四平方厘米，所以其中一个就是六十四除以四，就是一个 正方体的一个面是六十四除以四等于十六平方厘米，那 这里面我们求的是正方体的表面积，这个正方体一共会有六个面，所以再用十六乘以六等于九十六平 方厘米。好，我们同学们，我看一道这样的题，这个题他首先需要我们考察的是哪里，需要我们注意的是哪里 哪里了？我们说在拼在一起之后形成了新的，它的表面积增加了，那我们首先去就要去判断它增加的是哪里。那我们重叠的这部分，比如说这里我没有了，那实际上它不是消失了，那这里 已经给他补上来了，对不对？所以增加的永远都是侧面，无论一个长方体和一个正方体来拼接，还有两个长方体和两个长方体来拼接的话，他增加了的面积都是这个侧面的这个面积啊，同学们，这个题你能理解了吗？

好，我们来看一下啊，这是五年级的一个重叠的部分。好，我们来看一下啊，下面图中正方形的面积是十六平方厘米，那么阴影部分的面积是多少？好，我们来看一下这个图中的阴影部分，阴影部分它是一个什么？像麦穗一样的东西吧，那我们来看一下啊，我们这样看， 这一半加到这这一半，也就是说空白部分加阴影部分是一个半圆吧，对不对啊？那我们再从这边看， 这边看好，我们又加了一个空白部分，又加了一边阴影部分，我们这边是不是也是一个半圆？黑色的半圆和红色的半圆如果都加起来的话，是由我们的阴影部分加了几次？加了两次吧，对不对？那我们发现阴影部分加白的，再加白的等于什么？等于正方形吧， 等于正方形，对不对？因为白色部分加阴影部分加这等于白色，那我们画掉这个啊，画掉这个部分我们就会剩下，剩下的就是我们的什么， 剩下的就是我们的什么，剩下的就是我们的阴影部分吗？所以就是说两个半圆，第一个半圆加另外一个半圆， 减去我们的正方形，就等于麦穗的面积吧。我们来看啊，第一个半圆是我们红色的啊，是红色的，这边白色加上阴影部分，第二个半圆是我们的白色加上阴影部分。那我们白色加阴影部分加白色等于什么？ 等于我们的正方形吧，是不是？那我们剩下的是不是就是我们的阴影部分了？所以就是说第一个半圆加上第二个半圆减去我们正方形就是我们阴影部分吧，对不对？好，那我们现在知道我们怎么减，等阴影部分之后，那我们来算一算。好，第一个半圆怎么算？ 半圆？我们说半圆等于什么？他有这个尺，直角九十度吧。好，半圆等于什么？等于我们角的度数。九十度占我们圆形的几分之一吧。乘以我们的干什么呀？半径？ 半径的平方乘以 pi 吧，对不对啊？这是我们半圆，那半圆怎么求？我们来看一下啊。我们正方形的面积是十六。正方形的面积啊，面积是十六平方厘米， 那我们可以得知它这个边长等于多少？这个边长等于多少。正方形的面积怎么来的？边长乘以边长吧。几乘几等于十六，四乘四，所以就说十六除以四等于四，它的边长是四厘米，也就是说这个四厘米是我们圆的什么半径吧。那半圆等于什么？ 半圆等于三百六十度分之九十度，乘以我们四的平方，乘以 pi 是 几个半圆？两个半圆吧，再乘以二，因为两个半圆减去一个正方形嘛，对吧？先把两个半圆求出来，那等于四分之一乘以四，乘以 pi 乘以 pi 乘以二。 好，我们四和四约掉了。那我们四二等于什么？八乘以 pi， pi 取多少？三点一四等于八，乘以三点一四等于多少？ 等于二十五点一二平方厘米。那我们两个半圆是二十五点一二，那我们正方形的面积是多少？十六平方厘米。那二十五点一二减十六等于九点一二 平方厘米。好，那我们要注意啊，这是我们重叠部分的。这个干什么呀？麦穗啊，麦穗图形，那我们麦穗图形的经典就是啊，我们要记住公式就是半圆加半圆减正方形 啊，这是麦穗啊，麦穗其形的一个公式，半圆加半圆减正方形，你要知道半圆在哪，你要能看清楚这个半圆和这个半圆，半圆怎么求啊？这是它的半径，半径的平方乘以 pi， 这是九十度，就是我们直角三角形的，就是我们圆的四分之一 啊，所以这一点一定要理解，那我们后面还有一题，小朋友们一起来做一做啊。

正方的展开图一共有十一种形状，那么又分为四种类型，分别是哪四种？来看，第一个一四一组合，一四一，也就是说一共分成三行，那么第一行一个，第二行四个，第三行一个，同样都是一四一，一四一， 下面也是一四一，一四一。我们再来观察一四一组合里面它的规律是什么，能够帮助你快速的记忆。来看第一个放在第一格的上方，下面的就可以随意的来移动了，下面有一个、两个、三个、四个，一直移动到第四个格，对不对？ 好，这是前四种。再看我的第一行的一个格放到第二个格的上方呢？ 那么这个格我不能从第一个开始了，我要从第一个开始就和它是一样的类型了，那我就从第二个格开始移动到第三个格，第四个格可以不可以？ 那我移动到第三个格是我如果说移动到第四个格，它就变成和这个图形是一样的，又重复了，所以我只能摆到第二个格和第三个格的下方就可以了，共有六种图形。再看第二种二三一组合的 二三一，也就是两个、三个一个、两个、三个一个，也就是说一共还是有三行，第一行两个，第二行三个，第三行一个，那第一行和第二行是固定的，第三行的第一个我可以摆一个，可以摆在第二个的下方，也可以摆在第三个的下方，所以说它有三种图形， 那第三种就是二二二组合，也就有三行，每一行都有两个，因为他的图形不能出现田字形，也不能出现凹字形，所以说我每一个都需要往后错一格，看出来没有？ 我不能出现田字形，所以每一个都向后错一格，就相当于是走楼梯一样的感觉，所以也是二二二组合， 最后一个就三三行，也就说有两行，每一行都有三个，因为不能出现填字型，所以说我往后错几个，错两个格，所以这地方就空出来了，就没有填字型了，听明白了吗？所以正方形的展开图，这十一种图形你记住了吗？

关于五下的果汁加水的问题是考试的必考题型，重点题型。今天王老师利用表格加画图的形式来教会大家如何来解决果汁加水的问题。 首先王老师来读题，一杯纯果汁，小乐喝了半杯后，觉得有些甜，就兑满了水， 他又喝了半杯，就出去玩了，问小乐一共喝了多少杯纯果汁，多少杯的水？这里王老师画了一个表格，同学们来观察，因为他总共喝了两次。那首先我们先来看他第一次喝了多少杯的果汁， 因为原来啊，他是整一杯的果汁，一个杯子，这里面装的全都是纯果汁，喝了半杯，那么同学们想在这里要注意这个半杯是多少杯呢？ 哦，王老师，我知道了，半杯就是二分之一杯，所以在这里啊，我要将这杯纯果汁给他平均分成两份。所以啊，他第一次喝了二分之一杯， 喝掉了二分之一杯，那这是剩下的呢？二分之一杯，这是他喝掉的，所以啊，这个果汁 他喝掉了二分之一杯，然后朝里面兑满了水，根据喝多少我就要加多少，所以，那么我要朝里面加入二分之一杯的水，上面我要加的就是二分之一杯的水， 又喝了半杯，那么有的同学会说，王老师啊，水和果汁已经混合在一起了，那么喝半杯怎样来区分呢？为了更好的区分在这里啊，我们把水和果汁怎么样都把它看做固体的， 把他们看到固体的喝了半杯，那喝了半杯肯定是喝了水的一半，同时也喝掉了果汁的一半， 把水把它平均分成两份，把果汁把它平均分成两份，那通过观察我们发现，那么喝掉的部分占了水的二分之一水的一半，是不是同时呢？这里面呢含有果汁的一半，那么 我们相当于是把整杯果汁把它平均分成了，是不四份，那么水喝掉了四分之一杯，果汁呢，也喝掉了四分之一杯，所以在这里第二次喝掉了 果汁呢是四分之一杯，所以啊，在这里表格当中啊，我们可以填第二次喝掉了 四分之一杯的果汁以及四分之一杯的水。我们通过列表格以及通过画图的形式，我们现在可以确定果汁总共喝掉了 是二分之一杯加四分之一杯，也就是四分之三杯，而水只喝掉了四分之一杯。 那王老师所讲的这样的关于果汁加水的问题，利用画表格，即通过画图的形式来表现出来。求出来，你们学会了吗？关注王老师，让数学变得 so easy！

我们先来看一下这个第一题，两个完全一样的直角三角形部分重叠在一起，那么这两个直角三角形是一模一样的，一模一样的，那我减去这个公共部分，剩余部分是不是也相等啊？所以说这个阴影部分的面积，它就等于下面这个什么，这个梯形的面积是不是就等于 s、 t 形啊？ 我们来看这个梯形的上底是多少？上底上底是不是要等于二十四减八呀？因为这条边是二十四，所以这条边也是二十四，那上底就是二十四减八，下底就是二十四，高就是四啊，高就是四，上底加下底的和乘高再除以二是不就可以了？那我们就可以算出括号里面是四十四十乘四，一百六十 除以二，所以应该是八十平方厘米，这还比较简单啊。然后呢，第二题也是一样的，第二题的话，他两个完全一样的直角三角形减去这公共部分，那剩余部分面积是不相等，所以呢，这个阴影部分的面积呢？ 它也是等于我左边的这个梯形的面积，对吧？那上底是几？因为这条边是七，所以这条边也是七，那么上底就应该是七减三，下底就应该是七乘高高十五，然后再除以二，所以是这里是十一乘五五，十五除以二十二十七点五平方厘米。 第三题，这个题目会稍微复杂一点啊。下面呢，我们来看这个图，下图中正方形这个最大图形是一个正方形，它是由 三个长方形的这个 a、 d、 e、 h， 还有 e、 f、 g、 h， 还有 b、 c、 g、 f 这三个长方形拼成，那它有长方形 e、 f、 g、 h 中间这个长方形的宽是正方形边长的一半。好，就说这条长度是整个 a、 b 的 一半，对吧？嗯，假阴影部分的面积是，这个是三十平方厘米， 那要我们求整个所有应用的面积，那我这里给他标一下每一块呢？我给他先标一个，这个是假应用，这个是假，我给这块标上一，给这块标上饼，每个给他起个名字，那么三个空白部分呢？嗯，给他标上数字，这个是序号一、序号二和序号三。好，我们来看一下啊， 这个地方他说，呃，长方形，它的宽是正方形边长的一半，其实呢，也就说明我们这个长方形 e、 f、 g、 h 的 面积是整个正方形的一半，对不对？因为它的长等于边长吗？宽是边长的一半吗？好，然后我们来看这个呢，找一下这里面呢有几个一半在里面。 首先我们来看一下，因为这个 a、 c 它是一条对角线， a、 c 是 一条对角线，那么说明这个 a、 b、 c 这个三角线就是一的面积加二的面积，然后再加上假的面积，它这三块合起来是不是等于这个正方形面积的一半呢？ 好，刚刚我已经说过了，因为这个 e、 f、 g、 h 这个面积是整个正方形的一半，所以说剩下的这个 a、 b、 h、 e 上面这个长方形和下面这个长方形，这两个长方形加起来是不是也是这个正方形面积的一半啊？ 而这上、下两个长方形加起来，它就是等于什么？一的面积加二的面积加乙的面积加丙的面积。是不是？好，所以说一加二、加乙加丙，这四块合起来是长方形的一半，而这个 a、 b、 c 这个三角形，也就是一加二加甲，这合起来也是一半，那么说明这两个是相等的呀， 是一半，那面积相等，我们去掉相同部分，把这个一二一二都去掉，那说明甲的面积应该等于以丙面积之和，因为甲的面积是三十，所以以丙面积之和也是三十，那整个的阴影部分就应该是两个三十，也就是六十平方厘米，对不 好？我们来看一下右面这一块的这三道题，这个的话主要是利用叉五边原理来做啊，这个举反三五的话，第一题可能会难度稍微大一点。那么首先第一步呢，我们是需要连一个对角线的，先来看一下条件，正方形 a、 b、 c、 d 中这个 a、 b 好， 也就是告诉我们这个正方形的边长呢是四厘米，那我就都给它标上了 这个 e， 在 d、 c、 d 的 延长线上，告诉我们这个 e、 c 是 十，那么 e、 d 就 应该是六厘米，对不对？求整个硬部分的面积，那硬部分呢？是一个三角形，缺什么条件呢？硬部分呢，你要么就用这个正方形去剪这个梯形， 或者是你可以直接能够求出这个 a、 f 的 长度，是不是也可以啊？能够求出 a、 f 的 长度呢？也可以。好，我们来看一下这个 a f， 它又怎么去求呢？ a f 的 话，它只是存在于三角形 a、 b、 f 当中，那 a、 b、 f 的 面积不知道是我们要求的，所以 a、 f 你 肯定是求不出来，那这个时候呢，我们转换一下思路，给它连一条辅助线，连接什么呢？连接 f、 c， 来，大家来观察一下 啊， 好，连接 f、 c 之后呢，我们来看一下这个三角形的面积。 那如果说我，我要，我现在是不是要先求 a、 f 啊？你要求 a、 f， 你 是不是得求 a、 d？ 如果 a、 d 的 长度知道了，那你用这个 a、 d 减这个 f、 b， 而 a、 d 是 假， a、 d 是 不是就是四啊？啊？你如果能够把这个 f、 d 的 长度求出来，是不是就可以了？而这个 f、 d 是 不是三角形 c、 e、 f 的 高，那你能够求出三角形 c、 e、 f 的 面积是不是就可以了？那 c、 f 怎么求呢？ c、 f。 那 我们来看 s 三角形 c、 e、 f， 它是等于这个 b、 c、 e 减 b、 c、 f。 看到没有？来这个大三角形 b、 c、 e 这个整个空白部分，把这个 b、 c、 f 减掉是不就可以了？ 好，等于三角形 b、 c、 e 减三角形 b、 c、 f。 来，我们来看 b、 c、 e、 b、 c、 e 是 不是可以 e、 c 为底啊？底是十，高是 b、 c 是 四十层，十乘四除以二，求出这个 b、 c、 e 的 面积，然后减去这个 b、 c、 f， 它的底和高是不是都是四十乘以二，就可以求出 c、 e、 f。 好，这个是二十减八，这个是十二平方厘米，那这个 c、 e、 f 是 面积是十二，面积是十二，那底边呢？底边 ec 长是十，用面积乘二，再除以底边是十，就可以求出这个 f、 d 的 长度应该是二点四厘米， f、 d 是 二点四，那 af 就 应该是四减二点四，是不是一点六厘米啊？那 af 是 一点六厘米，三角形 abf 是 不就好求了呀？就因为它的底是四乘高是一点六，底乘高再除以二，所以应该是三点二平方厘米， 然后就完成了。这题会稍有点复杂，然后剩下两题呢，会稍简单的，我们来看一下后面两题啊。嗯，这个题目用叉不变来做啊，要求的是 c 一 长是十厘米，点一，在 bc 延长线上加 甲比乙大，甲比乙，说明谁谁比谁大，我们把甲加上空白部分给乙也加空白部分，那么同时加上空白部分，我们说同增同减差不变，对不对？那么也说明这个 s 正方形 a、 b、 c、 d 的 面积减三角形 a、 b、 e 的 面积，它是不是也等于十二？那把甲减乙转化成正方形减三角形， 那么正方形减三角形的差也是十二，正方形的边长是十，那正方形的面积就是一百啊。所以我们可以求三角形 a、 b、 e 的 面积，应该是用正方形面积十乘十减，这个比它多的十二，所以应该是八十八平方厘米， 那 a、 b、 e 的 面积是八十八， a、 b、 e 的 高是十，所以底边呢？底边 b、 e 就 应该用面积乘二除以高等于底就十七点六厘米， 这个 b 一 是十七点六，这个 bc 又是十，所以 c 一 就应该是十七点六减十等于七点六厘米就可以了啊。好，同样最后一题相对来说还会简单一点啊，也是利用这个差补边原理来做就可以了。那么他这个呢？是 bc 是 十厘米， 然后 e、 c 来 e c e、 c 就是 这个 b、 c、 e 这三角形高啊，它是八厘米对不对？并且它是个直角三角形，就打了个垂直符号，它说阴影部分来，阴影部分比上面这个三角形大十，那就是说明这个什么 s 平行四边形 abcd 比 s 三角形 bce 要大十。 那么来看 b、 c 一 怎么求 b、 c 一？ 它是不是比是十，高是八，所以十乘八除以二十三角形 b、 c、 e 的 面积，而平行四边形 a、 b、 c、 d 比这个 b、 c、 e 是 不是要二十啊？所以再加十就可以了呀，所以算出来应该是五十平方厘米。好，以上呢，就来本周的这个打卡题。

五下数学最难的几何图形，就这九大解法，吃透考试等于抄答案。五下数学几何图形九大解法，一、分割线段。二、添加辅助线。三、背笔杆 凳骨平移。五、等量代换。六等腰直角三角形。七、扩背法，缩背法。八、代数法。九、看外高。这是答案和解析思路需要的，家长呢，可以打印出来给孩子练习，留个零零幺。

速教版五年级数学下册第六单元重难点正方体和长方体给孩子准备这套展开图套装。 翻开课本第八十三页，他要求孩子借助教具，熟练掌握正方体的十一种展开图样式和长方体的五十四种展开图样式。他是这种彩色加厚硬卡纸印刷，每种展开都带有数字编号，可反复折叠使用。 有了它，孩子自己动手操作，轻松应对课后题型。一套上课就要用到的教具，提前都给孩子安排起来。

每年必考重叠面积题，很多孩子一做就错。如图，甲乙两个正方形部分重叠，重叠部分的面积是甲的十一分之一，是乙的六分之一，甲的面积是乙的几分之几。不用复杂公式，只用份数法一秒算出答案。 我们把重叠部分看作一份，那么甲就是十一份，乙就是六份，直接用十一除以六，答案就是六分之十一。

真辅导不废话，容斥问题，孩子看到就绕晕，什么喜欢语文的有多少人？喜欢数学的有多少人？两颗都喜欢的有多少人？一堆数字搅在一起，加来减去总出错。别急，记住这个口诀，容斥问题就是送分体，先分后合，不重不漏刚刚好。 什么意思？做容置问题，先把每一类的人数单独列出来，再把重叠的部分找出来，最后合在一起。算的时候，重叠的人只算一遍。记住，不冲不漏，这四个字永远错不了！ 来看题第一道两集合容置三一班有四十人，喜欢语文的有二十五人，喜欢数学的有十五人，两科都喜欢的有多少人？ 套口诀，先分后合，喜欢语文的二十五人，喜欢数学的三十人，把他们分开看， 但这两群人有重叠两颗都喜欢的十五人在两群里都被数到了。合在一起算总数的时候，不能直接二十五加三十等于五十五，因为那十五人被算了两次，所以实际至少喜欢一颗的人数是二十五加三十减十五等于四十人。 班里总共四十人，至少喜欢一科的有四十人，所以两科都不喜欢的是零人搞定。你看核心就是那十五个重叠的人，只算一遍，不重不漏。 再看第二道三级和容斥学校兴趣小组有一百人，参加数学组的有四十五人，参加语文组的有四十人，参加英语组的有三十五人， 同时参加数学和英语的有十八人，同时参加数学和英语的有十五人，同时参加语文和英语的有十二人，三门都参加的有五人，三门都不参加的有多少人？套口诀，先分后合，不重不漏。 先把三个组各自的人数加起来，四十五加四十加三十五等于一百二十人，但这里面有重复，两两重叠的人被算了两次，要把它们各减掉一次。 两两重叠的加在一起，十八加十五加十二等于四十五人，一百二十减四十五等于七十五人。还没完，三门都参加的那五个人，一开始被加了三次，后来减两两重叠时又被减了三次，相当于被减没了， 所以要单独加回来。七十五加五等于八十人，这就是至少参加一门的人数总数。一百减八十等于二十人，三门都不参加的有二十人搞定。你看，三集合容斥的核心公式就出来了， a 加 b 加 c， 减去两两重叠，加上三重重叠。 记住这个公式，考试直接套。再看第三道限定条件的容缺，一个班有五十人，每人至少参加一个兴趣班，参加绘画班的有二十八人，参加书法班的有二十六人，两个班都参加的有十人。问只参加绘画班的有多少人？ 套口诀，先分后合。题目问的是只参加绘画班的二十八人，里面包含了两种人，只参加绘画班的和两个班都参加的， 两个班都参加的有十人，所以只参加绘画班的就是二十八。减十等于十八人搞定。你看问只参加什么，就用这一类的人数减掉和其他类重叠的，剩下的就是你要的 口诀，再记一遍，先分后合，不重不漏刚刚好。两集合， a 加 b 减重叠，三集合加减两两，再加三重重叠。记住这十个字，荣事问题再也不丢分，真辅导只讲真方法， 下期咱们继续讲数学难题短视频节奏快，点赞关注辅导作业不迷路！评论区还有一道练习题，快让孩子试试手！

今天我们来看一下面积单元必考的第五类母题，重叠图形面积的计算。题目说如图，两张边长为九厘米的正方形纸，一部分重叠在一起放在桌上，桌子被盖住的面积是多少呢？单位是厘米， 这两张正方形的纸进行呢重叠放在一起，重叠部分是不是一个边长为五厘米的正方形啊？像这种题呢，我们可以首先呢考虑一下，如果没有进行重叠放的话，那么 桌子被盖住的面积是不是就是这两个正方形的面积啊？那么一个正方形的面积呢，是等于边长乘边长是为了九乘九，那两个正方形的面积我们再乘二，是等于呢一百六十二平方厘米。 如果我们直接算两个正方形的面积的话，是不是就相当于呢重叠部分的这个面积呢？被算了两次，但实际上他是不是只把桌子盖住了一次，所以我们就多算了一次，我们就需要把多算的一次呢剪掉。那重叠部分呢，是形成的这个面呢，是边长为五厘米的正方形，我们用五乘五 算出了这个重叠的这个面积呢是二十五平方厘米。因此呢，我们就需要把多算的这个面积减掉，也就是用一百六十二减去了二十五，等于呢一百三十七平方厘米。 因此我们就求出呢，桌子被盖住的面积呢，是一百三十七平方厘米。实际上像这种呢，重叠图形的面积就是等于两个图形的面积和减去呢重叠部分的面积。

农次原理，你只要掌握了一个公式啊，这种题都能搞定，来我们学习一下吧。说五年级一班啊，有四十名同学，每个人都积极报名参加暑假体育训练班啊，都很积极的报名，也就是每个人都在报名，就没有偷懒的，没有不报名的，知道吗？ 那报足球的有二十一个人，报篮球的十八个人，报游泳的二十三个人，足球篮球都报的九个人，游泳和篮球都报的十个人，游泳和足球都报的十二个人。三项都报的有多少个人？好，那这道题很显然是一道什么龙池原理，那我们基本思路画圈圈啊，那第一个圈表示报足球的， 那第二个圈呢？表示抱篮球的，那第三个圈呢？表示抱游泳的啊，来，这是足球，那这个呢？是篮球，这个是游泳。好，那抱足球的二十一个人，也就足球这个圈圈是二十一，篮球这个圈圈呢是十八， 那游泳这个圈圈呢？是二十三，那接下来呢？是两两重合的，比如说足球和篮球，足球和篮球重合的是九个， 然后呢？游泳和篮球，游泳和篮球重合的是十个，那游泳和足球都报的是十二个， 嗯，然后问你中间有多少个人啊？三项都报的是中间吧。好，那我假设中间是 x 个人，那接下来可以列个什么关系呢？一共四十个人，所以我们根据一共四十个人列个关系，那一共几个人，其实就是把这些人数全加起来， 那就是足球的二十一个人，加上篮球的十八个人，再加上游泳的二十三个人，这三个数加起来。注意， 有一些就重复算了啊，比如说这一块就重复算了两遍，这一块重复算两遍，这一块重复算两遍，那中间这一块呢？是重复算了三遍，所以接下来你干嘛呢？你减去这九，再减去这个十，再减去这个十二。 好，那剪完之后他就算一遍，他就算一遍，他就算一遍。但是呢，中间这一块本来算了三遍，你又减去三遍了，那是不是中间这一块就没算上？所以你就得干嘛加上中间这个 x， 那等于总人数四十个人。所以是不是列出这么一个关系啊？这三个圈加起来再减两两重合的，再加上中间这一块，最后等于总人数四十个人。好，那最后算出 x 等于几，那就是三项都报的几个人。那你们算出 x 等于几？答案是几，写在评论区吧。

我们先来读题，三个正方题叠放在一起，如右下图所示，这个组合图形的表面积是多少平方厘米？首先我们先来来抓关键词，这里说问的是平方米，而题中给的是分米，那我们就先把分米的单位化成米， 二十分米等于两米，四十分米等于四米， 七十五分米等于七点五米。我们先来算第一个小正方形的四个面，就是前后左右四个面，二乘以二乘以四等于 十六米平方米。然后我们再来算第二个图形，正方形的四个面，也是前后左右四个面，四乘以四乘以四等于六十四平方厘米。 然后最后来算最下面这个大正方形的六个面，七点五乘以七点五乘以六等于 三百三十七点五平方米。为什么最后一个要算六个面呢？因为上面这个面我们是可以算的，但是没有算，我们把它平移到这个面上来，就形成了一个这样的正方形。然后这个面我们也没有算， 也只算了前后左右四个面，那么又把这个的上面移到下面这个大 二正方形的上面来，就形成了大正方形上面的一个正方体，那么前后左右下都可以算了，上面又形成了那么大正方形，就可以算六个面了。所以我们再来把他们每一个字面相加，三百三十七点五 加六十四加十六。我们来解面算法，六十四加十六等于八十，三百三十七点五加八十等于四百一十七点五平方米。 这个题的误区就是，你不要把单位看错了，算成平方分米了。最后是要化为平方米的，你听懂了吗？

今天我们所要学习的是一道典型题，重叠问题是五年级必会题型，我们来看一下这道题。二、二十人参加琵琶表演和古筝表演， 其中有十六人参加了琵琶表演，十二人参加了古筝表演。两种表演都参加的有多少人？那我们解决重叠问题所用到的方法就是画伟恩图，也叫龙翅原理。 龙翅原理我们用画图法来解的话，其实它叫什么呢？伟恩图。 那有同学就要问了，老师，什么叫做伪恩图呢？就像老师在黑板上画的这两个圆，这两个圆中间我们说有重叠的部分，所以我们用这样的图，伪恩图就可以很好的解决重叠问题。 那我们来看题当中的已知条件，一共有二十人参加了琵琶表演和古筝表演，嗯，一共有二十个人， 其中有十六人参加古筝表演。那老师用左边的这个圆就代表的是琵琶表演的人数， 琵琶表演的人数是十六人，我们用右面这个圆代表的是古筝表演的人数。 古筝表演有十二人， 则中间重叠的部分就是这些同学，他去参加了 琵琶表演，又参加了古筝表演，因此我们说中间重叠的部分就是两种表演都参加的人数。而左边的这个月牙形状 啊，左边的月牙形状的这个图形，它所代表的是只参加琵琶表演的人数啊，老师，换一个颜色的笔。 左面这个月牙形状，我们说它代表的是只参加琵琶表演的人数。 而右边这个月牙的形状，它所代表的是只参加古筝表演的人数。 那如果这道题我们要是用十六加十二等于二十八人的话，则十六 加十二，那我们可以看出来中间重叠的部分就多算了一次。那一共有二十人，两种表演都加在一起，多出来了八人， 所以多出来八人就是中间重叠的部分。因为我们在加的时候，这个十六人也包括中间重叠的部分， 而十二人也包括中间重叠的部分，我们要是把它们加在一起，则中间重叠的部分就多算了一次。 所以我们把总人数减掉，就是求出中间重叠的部分就是八人， 因此两种表演都参加的有八人，那我们解决重叠问题所用到的方法就是化为恩图的方法。好，这道题讲解完毕。

今天我来讲一道重叠问题。以上是题目的关键信息。围棋有四十二人，象棋有五十五人，国际象棋有三十三人，为棋和象棋都报了的有十八人。为棋和国际象棋都报的有十人，象棋和国际象棋都报的有九人，三种都报了的有五人。 问参加比赛的有多少人，我们可以画圈圈来解决。围棋我们就当它是 a， a 呢就有四十二人， 那象棋就当它是 b， 那 b 就 有五十五人。参加国国际象棋就当它是 c， 那 c 就 有三十三人。 即参加围棋就参加了象棋的有十八人，这是十八。那么即参加了围棋和即参加了国际象棋的有十人， 即参加象棋和参加国际象棋的有九人，三种都参加的，这里是五人。我们现在就可以把他们三个都加起来，那就是四十二加五十五加三十三，别以为这样就求出人数了， 他们还重复，都报了，这个十八重复了两次，那就要减去一个十吧，这个十重复两次也要减去个十，这个九重复两次要减去个九。然后中间这个五他重复了三次，又被减掉了三次，那我们应该把它再加回来， 然后呢？这样一算等于九十八，那说明参加比赛的就有九十八人。 以后你们再遇到这种题，也可以用画圈圈的方式来解决，但是要算清楚，如果重叠的部分就要把它剪掉，如果剪多了还要加回来哦，拜拜。

如图，两张纸部分重叠放在桌面上，重叠部分，也就我们的阴影部分 的面积是四分之九平方厘米，占长方形纸的二十分之三，占三角形纸的十四分之三，这两张纸盖住桌面的面积是多少平方厘米？首先我们来捋一下这个题目， 他给我们说了阴影部分，那我们要如果他在这里，他没有重叠， 这两张纸盖住桌面的面积是多少平方厘米？我们能求出来吗？是能求出来的，我们分别算出来这两个面积也是非常好求的，因为他告诉我们了这个重叠的部分是 四分之九平方厘米，又告诉我们了分别占这两张纸的几分之几，我们是很好求出来这个这两个图形一个面积是多少平方厘米， 又告诉了我们重叠的部分，那我们再减去重叠的部分，就可以求出来我们最重要的结果，这两张纸盖住桌面的面积是多少平方厘米？那我们来一步一步来解决。第一步我们来 求出来这个长方形指的面积。在我们学习五年级下册第五单元分数除法这一单元的时候，第三课，也就是分数除法三这一课当中呢，我们 知道了可以用解方程来去解决关于分数除法这一类的题型，那我们要求这个长方形指的面积，就是用方程去来解决，就是解设 这长方形指的面积是 x 平方分米，那重叠部分也就阴影部分是四分之九平方 厘米，是占这个长方形指的二十分之三，那也就是二十分之三， x 等于四分之九，那我们求 x 等于多少 出来？长方形纸，它的一个面积是十五平方分米，就是我们去解方程所得出来的，那这一步 x 等于四分之九乘三分之二十，这一步可写可不写，熟练了之后呢，我们就可以把这一步去省略。 那接下来我们要求出来三角形纸它的一个面积，那也是用解方程去解决，就是解设。 那射什么呀？射三角形指的面积是 y 平方厘米，那我们去找关于它的信息。阴影部分是四分之九平方厘米，占三角形指的十四分之三，那方程就列为十四分之三。 y 等于四分之九，得出来结果是二分之 二十一平方厘米。那我们去求这两张纸盖住桌面的面积是多少平方厘米。我们不仅要把这两个得出来的数相加，我们还要减去阴影部分的一个部分，因为我们 加上这两个数，就相当于算了两个阴影的部分，我们要算出来它重叠的一部分，就是要减去一部分，那就用十五加二分之二十一，再减四分之九， 那得出来最终结果是四分之九十三平方厘米，这就是这道题最终的一个答案，那么这道题他就完成了。关注我，我们一起学习更多数学内容。

好，小朋友们好，今天我们来学习的内容是分数加减法问题中的重叠问题。首先我们来看题目，铁路小学举办美术作品大赛，设一、二、三等奖若干名，若一、二等奖的人数占总获奖人数的二分之一， 获二、三等奖的人数占获奖人数的五分之四。问获二等奖人数占获奖总人数的几分之几？注意，他这里问的是几分之几，没有单位。我们要把他的总量看成是一， 总量看作是一，那他的总量又是什么呢？他来看我们前面的，设一、二、三等奖若干名，我们就是把一、二、三等奖的总量看成是一。 他后面又说，若获一、二等奖的人数占获奖人数的二分之一， 一、二等奖占了二分之一，一二等奖已经有了，他是二分之一，那他这里是不是还差一个三等奖？那总量看作一、二、一、二等奖的总量已经有了，我们是不是可以算出三等奖了？用一等奖 减掉二分之一，则可以算出二分之一，说明三等奖它是占了总量的二分之一。好，三等奖已经算出来。后面他又说，获二、三等奖的人数占获奖总人数的五分之四。 这句话什么意思呢？二等奖的占比加上三等奖的占比占了五分之四，二等奖加三等奖等于五分之四，我们前面已经算出了，三等奖为二分之一，我们把二分之一搬到这里来， 那三等奖的占比有了，二加三等奖的总量也有了，我们就可以倒推出二等奖的占比是多少。二等奖则是用五分之四减掉二分之一，通风以后，进加减了以后等于了十分之三，那 二等奖的占比有了，三等奖的占比也有了。我们刚刚说过，总量是看成的是一，那如果要算一等奖的话，我们就用总量减掉二等奖的占比，再减掉三等奖的占比。最后通风以后 算出来，我们算得了十分之二，约分以后算得了五分之一。所以说我们的一等奖占比为五分之一，二等奖占比为十分之三，三等奖占比为二分之一。好，今天的课程到此结束，感谢大家的倾听！

首先我们先来读题，五一班电影体测设置优秀、及格、不及格三个等级，获优秀和及格的人数占全班总人数的七分之六， 或及格和不及格的人数占全班总人数的十四分之九，或及格的人数占全班总人数的几分之几。首先我们把或优秀的看成 a， 或及格的看成 b， 或不及格的看成 c， 那 么他 a 加 b 加 c， 也就是及格加优秀加不及格就等于一，也就是这个五一班的整体。 然后第一个是 a 加 b， 等于七分之六，第二个是 b 加 c， 等于十四分之九，那么就把 a 加 b 和 b 加 c 加到一起，它就变成了 a 加 b 加 b 加 c 等于十四分之九加七分之六等于 七分之二十一，等于 还等于十四分之二十一。 我们已知了 a 加 b 加 b 加 c 等于十四分之二十一， 那么我们的一就是 a 加 b 加 c， 那 么 a 加 b 加 b 加 c 减去 a 加 b 加 c， 那 就刚好剩余多出来这个 b， 也就是 a 加 b 加 b 加 c， 括号减 a 加 b 加 c， 括号 等于十四减十四分之二。十一减一等于十，等于二分之一。所以说获及格人数占全班总人数的二分之一，你听懂了吗？