基础极值点偏移（构造函数）

睡着的小朋友请举手！就知道你没睡，没睡就起来给我把这把高分倒数讲下去，学明白！如果你能全程跟着我学完极致点偏移的分绝对数均值不等式，下次考试再见到他能立刻有思路，那么你的数学距离一百四已经不远了。 废话少说，为师就带你拳打学神，脚踢学霸！上个视频，我们用对称构造的方法解决了基础版的极致点偏移，但对于更变态的题目，对称构造法就稍显乏力了。 所以这次为师直接记出神器，它叫对数均值不等式，也叫 a l g 不 等式。对于任意 x 一， x 二大于零，且 x 一 不等于 x 二，一定有 long x 一 减 long x 二分之 x 一 减 x 二小于二分之 x 一 加 x 二大于根号下 x 一 乘 x 二。 有了这个结论，我们就可以通过表面现象一眼得出最终答案，业主们直接背过就行。比如这个题，我们之前用了对称构造法去解决的，不会的就去看上个视频，那这次就可以来试一下 a 幺 g 不 等式，他说 f x 一 等于 f x 二，那先把表达式写出来，把二 e 约掉。 为了要用上对数均值不等式，那就需要等式，两边取对，就变成了 long x 一 减 x 一 等于 long x 二减 x 二。 一项让对数单独在一边，然后除过去，就变成了 long x 一 减 long x 二分之 x 一 减 x 二等于一。那么这道题就结束了。通过刚才说的均值不等式，我们把二乘过去，不就得到了让我们证明的 x 一 加 x 二大于二吗？证明完毕， 只不过对数均值不等式大题不能直接使用，你还要再证明一下，这个证明，我统一放到视频末尾证明。 另外，如果你属于想进步但找不到方向，努力却不见起色的同学，可以看我主页来找我哦，我会安排专属真人助教诊断你的成绩，帮助你走出这些误区，并且指出正确且高效的方向。 再看这道题，先求导，因为 x 一 和 x 二是极值点，所以会有 long x 一 减四 a， x 一 加二等于零和 long x 二减四 a， x 二加二等于零。 那想要用上对数均值不等式，就得有 x 一 减 x 二才行。所以我们要让这俩式子做差。再把对数单独放一边，就会有 long x 一 减 long x 二等于四 a 倍的 x 一 减 x 二，再把对数除过去，把四 a 除过来，那么这道题就结束了。 通过刚才说的均值不等式，我们把二乘过去，不就得到了让我们证明的 x 一 加 x 二大于二 a 分 之一吗？证明完毕！而且像是这样的各科经典例题，还有今年的押题卷，我也为你们整理完毕了，需要的可以看我主页找我的助教领取哦！再看这道题， 他说有两个零点，不就是说 f x 一 等于 f x 二等于零吗？先把表达式写出来，我们横成例那些视频说了， 当指数对同时出现，且指数前面还有 x 的 几次方相乘，要用朗波通共把指数前面的 x 写成 e 的 long x 次方。同底数幂相处，底数不变，指数相减，就变成了 e 的 x 一 减 long x 一 次方。 当两个式子相等， a 恰好能被约掉，然后换元，利用 x 减 long x 为 t， 那 么这道题就变得清爽多了。 两个增函数相加还是增函数，所以 e 的 t 方加 t 是 整体单调递增的。要使这两者相等，那么 t 一 就只能等于 t 二。 t 是 x 减 long x， 那 么 t 一 等于 t 二就是 x 一 减 long， x 一 等于 x 二减 long， x 二。一项就变成了 x 一 减 x 二等于 long， x 一 减 long x 二。把对数除过去，那么这道题就结束了。通过刚才说的对数均值不等式平方一下，就得到了让我们证明的 x 一 乘 x 二小于一。 再看这道题，对数均值不等式同样也可以解决数列型的不等式。左边相当于是 a n 的 前一项和 sn， 右边相当于是 b n 的 前一项和 t n。 要证明前一项和 s n 大 于 t n， 那 我们只需要证明出 a n 的 每一项都比 b n 的 每一项大就可以。 对于左边， a n 就是 根号下 n 方加 n 分 之一。对于右边，已知前一项和求 b n， b n 就是 t n 减 t， n 减一，也就是绕 n n 分 之 n 加一。这样我们就从证明一大串不等式转变为了证明 a n 大 于 b n， n 方加 n， 可以 写成是 n 加一乘以 n， 把 n 加一看作是 x 一， 把 n 看作是 x 二，那不就相当于咱们对数均值不等式中的根号下 x 一 乘 x 二了吗？ 再把 x 一 等于 n 加一， x 二等于 n 带入到对数均值不等式中间的这个式子整理一下，就变成了 lo n 分 之 n 加一分之一， a， n 是 根号下 n 方加 n 分 之一，所以我们把这个分之一也加上去，不等于就变成了根号下 n 加一乘以 n 分 之一大于 lo， n 分 之 n 加一， lo n 分 之 n 加一，不就是咱们刚才求的 b n 吗？所以 a n 大 于 b n 等于 n 加一不就比较难了？ 当然不是所有的即值点偏移题目都能使用对数均值不等式，如果凑不出来，就用我上个视频讲的对称构造去做，不会的就去看我上个视频。最后说一下对数均值不等式，我们在大体里面如何去证明？先说怎么证明，前半节 你可以利用 x 一 大于 x 二， long x 一 减 long x 二，可以写成是 long x 二分之 x 一， 然后对数除过去，二分之 x 一 加 x 二乘过来，然后移项 前面是 x 二分之 x 一， 所以我们把后面的也上下通出 x 二，证明它大于零，实际上是求这坨柿子的最小值。你可以这么去理解， 全班的同学都要大于零，那么肯定是要最小的那个也要大于零，所以求的是最小值。然后为了看起来清爽一些，换元利用 t 等于 x 二分之 x 一， 因为 x 一 大于 x 二，所以 t 是 大于一的，然后求倒 导函数是大于零的，所以 g t 是 单调递增的，所以 g t 大 于 g 一， 也就是大于零，所以二分之 x 一 加 x 二大于 long x 一 减 long x 二分之 x 一 减 x 二。证明完毕。如果你理解的 g 当然是最好，如果你怕考场上会卡住，那我还是推荐你直接背过 再说。后半节怎么证明？其实步骤几乎一模一样，先令 x 一 大于 x 二大于零，把对数单独放一边，把后面的柿子展开，在一向证明它小于零，实际上是求它的最大值。换元令这坨柿子为 h t， 然后求倒 函数是小于零的，所以 h t 是 单调递减的，所以 h t 小 于 h 一， 也就是小于零。所以 long x 一 减 long x 二分之 x 一 减 x 二大于根号下 x 一 乘以 x 二，证明完毕。还是推荐你直接背过，课堂上直接默写出来，避免卡壳 好了。内容就这么多，当然肯定会有六科都差跟不上我节奏的同学，请相信我，你现在最主要的不是学科知识点的问题，而是在学习方法和策略上出现了很多漏洞， 学习没有框架，知识就会像散沙一样，越想努力握住，反而流失的越快。没事，我的粉丝我来帮你，可以看我主页找到我，我会根据你的情况判断你目前的问题，帮你指出正确且高效的方向。以风为意渡山海，借风万里赴青云。迷茫的人，请与风哥同行，我们一起顶风相见！

十分钟速通导数大招之极致点偏移加法型！高考几乎年年考这节课嘞，我们就把解析程序、导数运算、英式分解、猜根法一网打尽，建议大家点赞收藏一次，看完估计要秘诀了。 那么我们来看到极致点偏移的题目哈，非常的简单，你看啊，极致点其实就跟求导后的一号零点有关，而这个偏移呢，其实都是要画出来 f 撇 x 函数图像的，就是我们求导之后的图像，要画出来就是它解析的命门哈，我们来看这道题，已知 f x 为这么多，然后第二问呢，他说设 x 一 x 二为两个奇值点，求证哈，他都是一模一样的解的程序，没有任何的烦恼哈。 首先， number one 我 们要来写一下定义域，也就是零到正无穷，因为出现洛 x， 它的定义就是零到正无穷哈。其次，第一步才是真正的开始了，就是咱们要去求导哈， 求导之后呢，就会得到这一坨求导，它就会得到洛 x， 再加上 x 减一倍的洛 x 求导，这是 x 分 之一，再减二 x 再加一个 a 的。 那么此时呢，我们去整理一下哈，就会得到洛 x， 这个乘过来就是加一，再减 x 分 之一，再减二 x， 再加一个 a 的， 那么此时呢，我是两个极致点，也就是说啊，我们的 f 撇 x 等于零，此时存在两个异号零点，那 那么对于零点型问题哈，其实我们可以转化成什么两个函数图像的焦点型问题，为什么我们要这么说呢？同学们，因为你现在哈，如果说去画出来这一个函数图像，他是带参数的，他带一个 a 呀，那咋整啊，我要带着他一路高飞呀。 所以说这时候你一定要转化成两个函数图像，一个呢是咱们的 a， 另外一个呢就是把这一坨给他拿到右边去哈，也就是二 x 加上 x 分 之一，再减洛， x 减一个一的。 此时呢，我们的函数零点型问题，就转化成了两个函数图像的交点型问题哈，一个函数图像呢，是 y 等于 a 这条水平直线，另外一个呢就是 y 等于二， x 加 x 减一的， 所以这时候哈， x 一 x 二为两个极点，其实转化成了什么？转化成了这两个函数图像之间的交点型问题。好，那么咱们的第二步是干什么嘞？这是我们要来真正的研究，我们需要的函数，就是这一个函数才是我们真正需要研究的哈。 g x 来等于二， x 加 x 分 之一减零， x 减一的，此时我们就需要画出来它的函数图像，那么我们先去求导，搞一下子哈，求导，这里是二减 x 方分之一，再减 x 分 之一， 也就等于 x 方分之二， x 方减 x 减一的。然后呢，我们去十字相乘法哈，算出来，它上面呢就是二 x 加一，再乘上一个 x 减一，除上一个 x 方的。好，我们来观察一下这坨导函数， 那么他的分母是严格大于零的，咱们的分子来，哎，分子你会发现有两个零点，一个是负二分之一，另外一个来是一的， 所以说咱们的分子的图像是这个样子的，对不对？那么你思考一下，咱们的定义语是零到正无穷，所以说在这一段上咱们是负号，在这一段上是正号的，对不对？你就可以去说啊， 当咱们的 x 嘞，如果是属于零到一时，此时 g 撇 x， 它应该是小于零的。而如果说当 x 它是属于一到正无穷时，此时嘞 g 撇 x 是 大于零的。 所以说，我们现在就得到一个东西，就是咱们的返回上一层 g x 嘞，它在零到一上单调递减，在一到正无穷上单调递增的，对不对？所以呢，我们其实可以快准狠的把 g x 的 函数图像给画出来。 好，我们来画一下哈。你还要先去想说，当咱们的 x 啊，如果是趋近于零正时，那么它应该是趋近于多少？来，我们来观察一下哈，这一坨，它肯定是趋近于正无穷的，而咱们的 low x 是 趋近于负无穷的。但是我前面添个符号，它也是正无穷。 所以此时俺们的 g x， 它就是趋近于正无穷的。而如果说当咱们的 x 它是等于一时，此时嘞咱们的 g x， 它就是有一个明确的数嘛，对吧？带进去是二加一减零减一的，也就是等于二的。 所以此时嘞，咱们 g x 是 等于二的。而如果说，当咱们 x 是 趋近于正无穷时，你再来看咱们 g x 趋近于多少嘞？这一坨仍然是趋近于正无穷，而这一坨嘞，哎，它趋近于正无穷。但是呢，我这一坨哈，你们思考 我的 x， 它一定是跑的比咱们的对数函数要快很多的。所以说，当趋近于正负无穷时，你一定要优先去看 x， 而比 x 更高阶的是谁？是 e 的 x 方。 所以说，当趋近于正负无穷时，你们要按照这样一个顺序来看，我们就只需要抓大放小，只看大头。 ok， 这是咱们高等数学，也就是大学数学的一个思想哈，那么此时来，我们看的是咱们的 x， 也就是说他也是趋近于正无穷的好， 感情好，咱们就可以把 g x 的 函数图像给它画出来了哈， ok， 就是 这个样子的。然后呢，这个点对过来就是一二的 好。那么思考哈，我们 y 等于 a 和 y 等于 g x 这两大同东西，它们会产生两个函数的焦点，也就是说，咱们 y 等于 a， 应该是在这的就会产生两个焦点了，对不对？所以呢，你就会知道，哎， 咱们 y 等于 a， 在 这的情况下，咱们 a 呢，一定是大于二的，此时就会产生两个焦点。而其次呢，咱们 x 一 是不是在左边这一段上产生的焦点， 它应该是属于多少来，是不是在零到一之间？而咱们 x 二嘞，它是在一到正无穷之间。同学们，现在真正的开始变魔法了， 这是后面的每一步都是在执行程序，都是在默写，没有任何的思维难度，你们信不信？ ok， 我 带着大家来写一遍哈，然后呢，我们来写一下第三步。 第三步呢，就是说，我们要去证明哈，就是绕弯子一样要去证明 x 一 加 x 二大于二，即证明什么呢？ 我一定是想把 x 一 给它甩到右边去啊，我们现在有两个变量，也就是双变量，我一定是要把双变量给它转换成单变量的，这是高中数学必考的一个法则哈，那么怎么转变为单变量呢？我们继续来看， 我要去证明 x 二大于二减 x 一， 大家思考一下哈，我们的 x 一 它是不是在零到一上的？ 而咱们的二减 x 一， 来思考一下哈，我们的负 x 一 是属于负一到零的，我们再加一个二，二减 x 一 就是属于咱们的一到二之间的。 哎，他确实也是在一到正无穷上，那么我们的函数图像在一到正无穷上都是单调递增的。所以说，我现在可不可以给他套一个单调性的壳子啊？再给他套一个函数的壳子。 所以说，我其实要证明的是，咱们的 g x 二大于 g 二减 x 一。 同学们，我要开始变魔法了，大家思考我 x 一 和 x 二之间的关系是什么？只有一个关系，就是咱们的 g x 一 等于 g x 二的， 对吧？所以说 g x 一 等于 g x 二的情况下，我左边这一坨马上立刻替换成 g x 一 呀。 所以你看我们在这一步里边实现了什么？实现了一个双变量到单变量的跃迁，而咱们由这一步到这一步实现的是什么？是函数单调性的一个穿壳子的一个跃迁哈， 所以呢，我们现在真正变成了说要去证明这样一个东西，那么我们接下来干嘛嘞？他也是继续套壳子的，没有任何的新意可言。所以你们学校老师如果说急着点拼音很难的哈，那都是完全不懂， 非常的简单，都是程序哈，那我们继续来看，我现在来全部写到左边，即正，咱们 g x 一 是不要减 g 二减 x 一， 它要大于零啊， 对不对？而这时候咱们的 x 一 才是自变量，它是属于多少的嘞？它是属于零到一之间的， ok， 那 么此时我再去另一个新的函数 step four， 我就去念什么呢？念一个大 g x， 它就是等于 g 小 x 减 g 二减小 x 的， 此时嘞，咱们的 x 是 属于零到一的，现在我们真正要去证明的东西是这个大 g x 是 大于零的，对于 x 属于零到一，满足条件对不对？ 那么接下来我们就换了一个研究的重点，我们现在这些都不需要了哈，那么从这一刻开始，我们变换了要证明的主体，就是咱们要去证明这个大 g x 有 关的图像问题了， 那么此时呢，我们要对它进行一次求导，大家一定要注意，在这一步的时候，一定不要直接带进来 g x 和 g 二减 x， 因为会使得你的运算异常的复杂。就记住我这句话，那么我们应该干嘛嘞？我们就应该继续套着这个大 g x 壳儿继续去做，我们直接对它整体求导，那么咱们 g x 求导就是 g p x， 而咱们后面这一坨求导嘞，它是一个复合函数，我们要先求导外面，再求导里边，也就是减 g p r 减 x。 好， 我们再乘上一个内层函数求导 二减 x， 求的以这为负一的，所以我们再乘上一个负一就 ok 了。所以呢，得到的是 g 撇 x， 再加上 g 撇二减 x， 所以 写到这一步的时候，你才可以再去代入 g 撇 x 在 哪？在这儿的哈，所以说写进来 以至 x 方分之二， x 加一，乘上一个 x 减一，再加上一个这里的话，这个二减 x 哈，你要给 给它替换成这个 x， 给它替换一下，就是二减 x 的 平方上面呢，也就是二倍的二减 x， 再加一个一，然后后面呢就是一个二减 x， 再减一个一的，那么此时哈，我们发现了可以化简的，我们可以提一个 x 减一出来哈，这边呢，这里是一减 x， 也可以提一个 x 减一 出来哈，我们整理一下。有同学写到这一步被难住了，哎，唐老师，咱们分母出来了，这一个也出来了，咱们的分子是一个三次式，咋整嘞？大家一定要注意，三次式最好搞了， 这是你要去猜他有哪几个音式，怎么猜嘞？要么是零，要么是正负一，要么是正负二，正负三都算少的，其实基本上都诞生在前三个里边。 那你来观察一下咱们的分子哈，他一定存在哪一个因式，你就去带吗？如果说我们带一个一进去，他就是四减十，二加四加四，哎，他刚好等于零的， 所以说明咱们的分子他一定会存在 x 减一这一个因式，因为我存在这一个因式之后，我这一坨带进去一，那么使得这一整坨他才是为零的，对不对？但是我要怎么求出来另外的因式呢？这就涉及到了说一个整除法哈，我带大家去梳理一遍， 这里呢，除上一个 x 减一，所以哈，我们在这除的时候，我们要乘上一个什么呢？我们要乘上使的最高次数消掉的一个东西，那么我在这哈，我要消掉它，我肯定是乘的是一个四 x 方， 乘过来这里就应该是这个和这个相乘，也就是四 x 三次方，再减去一个四 x 方， ok， 这两个一相减一致负八 x 方，再加上四 x 加四的。好，我们再去消一下这个负八 x 方， 那我在这肯定是乘的是负八 x， 对 不对？然后我再写下来，就是负八 x 方，再加上一个八 x， ok， 我 这两个一相减，就是负四 x 加四，那么我在这哈，我还差一个多少？差一个负四。 所以呢，现在我们就得到了什么？我们就得到了两个因式，一个是 x 减一，另一个嘞是四 x 方减八， x 减四的哈，那么我们现在是不是已经把分子给它梳理出来了呀？对不对？ 我们把分子给他写一下，写成是 x 减一，乘上一个四 x 方减八， x 减四的。好，我们再去整理一下，把这个 x 减一，然后拿到前面去，他这是平方的，而后面这一图来，我们可以提一个四出来哈，这是四倍的 x 方减二， x 减一的。 哎，这时候哈，你会发现往里边来，他是一个什么？他是一个二次式，我们可以把他的函数图像给他画出来哈，大概是这个样子的。那 我们来看，我们的定义域是在零到一之间，那么我们零到一之间，它的函数图像应该是什么样的嘞？哈，我们不妨来看一下哈，它的对称轴呢，是负二 a 分 之 b 哈。 呃， a 也是一的啊， b 呢就是负二的，所以它刚好是为多少是为一的，所以它的对称轴就是为一。然后此时嘞，我们再去带一下零，这个点 零带进去了，就是零减，零减一等于负一的，所以说零是在这的，所以你会发现咱们在零到一这一段上，它是严格小于零的， 也就说明啊，我们这一段它是小于零的，在定义上是小于零的。那么我们再去观察一下别的层面， 我这一坨肯定是大于零的，我这一坨也是平方，也是大于零的，所以我组合在一块，它整体上都是小于零的。所以我组合在一块，它整体上都是小于零的。所以我组合在一块，它整体上都是小于零的。同学们，我告诉你们，要开始多米路股牌的坍塌了， 极致点拼义就是一层一层的往前面推倒哈，你们看我们的 g 撇儿 x， 它整体上都是干什么都是小于零的。 所以返回上一层，咱们的 g x， 它应该是在零到一上单调递减的， 而咱们的 g 一 等于多少啊？是不是等于小 g 一 减去 g， 这是二减一，也就是 g 一 的，它刚好等于零的。哦吼，你看，我是单调递减的，我最后一个端点值呢，它正好是为零的， 所以咱们 g x， 它一定是大于 g 一 的， g 一 就是等于零嘛，所以 g x 大 于零啊！而咱们刚才要正的就是什么东西啊，要正的就是 g x 大 于零啊，对不对？所以你写到这儿，你就直接去说 x 一 加 x 二大于零 得正了。你看，这道题就完美结束了。那么我一直认为哈，做一道好题是要远胜于做一百道平庸的题目的，尤其是在导数这里。那么我也给大家整理好了我从第一期到第 n 期所有的导数讲义， 每个题型来都包括了一道绝佳的好题，保证你学了就懂，这类题型大家一定要及时下载打印。 我还给大家整理了一份两万子的逆袭北大解题一百招，它包括了高中十个章节所有常考的二级结论，大家一定要点击我的主页置顶群聊免费领取！我是北大堂，我们下期再见！

大家好，很多同学极值点偏移还是不会，其实他总结起来就是三个技巧，第一个呢，单调性加构造函数，第二个，比值代换，第三个，对数均值不等式 这一个系列。我把每个技巧以及每个技巧对应的一些常考的题型都给同学们讲透，关注我，跟着我学以后我们碰到这种极值点偏移的问题，就能拿到满分。先来看一下什么叫做极值点偏移的情况，我们以常见的二次函数举例， 它这里 x 零所对应的函数值就是它的极值，我们的 x 零呢，我们就把它叫做极值点这边的两个根， x 一 以及 x 二，你会发现它刚好是关于我们的极值点对称的，我们会有 x 一 加上 x 二，比上二，刚好就等于 x 零，所以这种情况呢，我们称作它为不偏移。那么偏移的情况，我们看到下面的第一种情况， 此时啊，它这个函数，你会发现它左边，它变化率会比右边快，会导致一个什么情况？我们 x 一 以及 x 二，它的中点跟我们的极值点肯定不在一个位置，那它的中点应该是在我们 x 零的右边，对不对？右边过来一点， 所以呢，我们这里我们可以理解为我们的极值点，极值点怎么样？他是往左的吧，极值点左偏好，那么另外一种情况呢？另外一个图，这种情况，他就是什么极值点右偏了，这个是右偏的情况， 这里这条横坐标啊，不能说是横坐标，那可能是 x 轴，如果是 x 轴，我们的 x 一 以及 x 二就是它的两个零点，对不对？如果呢，它是一个 y 等于 c 这条直线，那我们这两个值，我们可以说我们的什么，我们有 f x 一， 等于 f x 二，我觉得说这个更标准，不管你是不是坐标轴，都会有 f x 一 等于 f x 二，我们最基础最常考的题型，我们以极值点左偏为例，我们这里会有 x 一 加上 x 二，比上二 对应的是它的终点，终点它是在极值点的右边，所以呢，它必然是大于 x 零的。一般题目他会怎么考？你最基础的题目 会让你证明 x 一 加 x 二大于两倍的 x 零。像这类题目呢，就是最基础的，也是我们今天要讲的内容。看到具体的例题，已知函数给了我们，第一步让我们求它的单调区间以及极值，我们要求单调区间跟极值，那第一步肯定是求导我们的 f x， 它是等于 x 比上 e 的 x 次方，所以呢，我们的 f 一 撇 x 分 子求导，就是一分母不变，减去分母，求导 分子不变。比上 e 的 二， x 方，约掉一个 e 的 x 方，变成了一减 x 比上 e 的 x 方。当然这个导函数还是很简单的，它有一个零点，就是我们的 x 等于一的时候，我们去把它标根标一下，这个呢就是我们 f 一 撇 x 的 走向图， 所以我们这里的 x， 它是属 y 的 吧，负无穷到一，我们的 f x， 它是单调递减，所以我们可以把我们的 f x， 它的图像大概给画出来， 你图像都画出来了，你的单调区间跟极值呢，当然就可以知道什么时候取极值， x 等于一的时候取最大值，对不对？这个点的时候，我们把 x 等于一带进去，你会发现一的一次方分之啊，这里一的一次方分之一，那就是一分之一了，所以它对应的点，我们把它标一下，这里是一， 然后呢，我们这个点它是一分之一。好，我们知道它是先蒸后减，那它是这样蒸还是这样蒸再减呢？我们是不是得去判断它的端点的问题，或者说取几个特殊的点，我们这里可以把零带进去试一下， 我们把零带进去，我们会发现 f 零它刚好怎么样就等于零吧，所以我们知道这个零它必然是过零的啊，零零这个点，所以呢，我们知道图像的左边它应该是过这个点，以及零零这个点，那它既然是单调立正的呀，所以呢，我们能把它图像大致的画一下，不就这种情况吗？ 然后再看到右边一到正无穷，它是单调递减的，对不对？那它单调递减，我们要注意一个什么问题啊？它会不会跨过我们的 x 轴？好，我们来看到 f x， 首先我们的 x 它在右边的时候是大于一的，对不对？我们这个 x 肯定也是大于一啊， e 的 x 方呢，它都大于 e 了，所以我们是一个正数，比上一个正数它永远不可能小于 e， 所以 右边的图像我们应该是减，但是呢，你跨不过 x 轴， 所以它应该是无限趋近于 x 轴的，对不对啊？我这里不是故意画波浪线的啊。第一问我们就解决完了，接下来我们来看到第二问，他说如果 x 一 不等于 x 二，有两个函数值相等，让我们证明这个式子， 那么 x 一 不等于 x 二，并且它还是相等的，所以我去画一条直线截这个函数怎么样？有两个点吧， 我这里这个点呢，它就为 x 一， 另外一个点呢，就为 x 二，当然你这条线你不能画到下方来，下方它没有两个根，对不对？所以它只能在这个上方画，并且它是要在零的上面一分之一的下面，对不对？那我们从这里能看到我们 x 一 以及 x 二的范围吧。 我们由题可知， x 一 啊，它是大于零小于一，然后呢，它再小于 x 二的。我们为什么会去考虑 x 一 以及 x 二的范围呢？因为它让我们证明了这个式子，我们看到这个式子 x 一 加 x 二大于二。我们之前从高一学函数的时候就开始，我们喜欢的是什么呀？是一个变量对不对？像两个变量，我们会想办法把它变成一个变量，所以我刚刚前面说的三种方法，其实就是消变量的问题， 我们这里呢是多变量啊，多变量，我们利用我们刚刚讲的那三个方法呀，就是想把这多个变量变成单个变量。好，我们今天来看到第一种利用单调性加构造函数。 我们知道我们要证明 x 一 加 x 二大于二，是不是只需要证明我们一下项吗？证明我们的 x 二大于二减 x 一， 然后呢，你要证明 x 二大于二减 x 一， 我这个点它是没有办法去证明的，但是我们来分析它的范围， x 二怎么样？它是不是大于一的？在我们的极值点的右边，然后二减 x 一 呢？ x 一 它是属于零到一，所以二减 x 一 它也是大于一的吧，我们就可以写下了，因为 x 一 大于零，小于一，小于 x 二，所以呢， x 二大于一，并且二减 x 一 也是大于一的，在一的右侧。我们知道 f x 是 怎么样是单屌立减的吧， 因为 x 属于一到正无穷的时候，我们的 f x 它是单调递减的，根据我们高一学的嘛，函数单调递减 x 二大于两倍的 x 减一，所以反而有什么呀， f x 二它就小于 f 二减 x 一。 好，那么写到这里为止，我们会发现一个问题，它是不是还有两个变量， x 一 x 二，这里仍然都是有的啊？这里是 x 一。 那我们说了，我们还有一个什么条件没用到 f x 一， 它是等于 f x 二的，所以呢，我们可以把这个 f x 二怎么样变成 f x 一 吧，因为 f x 一 等于 f x 二，所以呢，你就是要证明 f x 一 小于 f， 括号二减去 x 一。 好，做到这，你会发现一个什么问题，现在只含有一个变量，都是 x 一， 对不对？并且呢，我只要把它带到 f x 里面就可以了嘛？就我们带进去之后，你会发现它变成了一个什么样的函数，也就是让我们证明， x 一 比上 e 的 x 一 次方小于 x 二，二减 x 一， 比上 e 的 二减 x 一。 所以呢，我们这里为了好看一点，我们把这个 e 擦掉，其实也就是让我们证明 e 的 x 是 方分之 x， 小 于 e 的 二减 x 是 方分之二减 x。 那 么到了这里会有一个问题， 这里呢，这个式子去证明，我们根据我们叫什么，不同的化简形式会产生不同的证明方式，当然难度也是会有所不同的。我们这里只讲一个最常见的方式， 最常见也是最容易用到的方法是什么呢？同学们，一般我们看到两边都有什么指数，我们想把指数放在一起，然后呢？另外的放在一起吧，那我们就要经历过一些呃，乘啊，除啊之类，对不对？所以我们要判定它的符号问题，因为我们这里是不等式吗？不是等式，并且我们知道这个 x 它其实就是 x 一 x 的 范围，我们前面是不是有 x？ 一， 它是属于零到一，我们把它写一下，我们的 x 呢，它就是属于零到一， 所以你会发现这里每一项它都是正的， x 是 大于零的，这也是大于零的，这呢也是大于零的，这个呢还是大于零的，所以我们随便去怎么乘，怎么除都是可以。我们把指数放在一起， 然后呢别的也放在一起化解一下，变成了 e 的 x 之方，比上 e 的 二减 x 之方大于二，减 x 分 之 x， 而我们指数左边可以合到一起。除法就是减嘛， x 减去二，再加 x 就是 e 的 二， x 减二大于，我们直接把它移到一边就好了，我们移到左边来，然后就减去二减 x 分 之 x 大 于零。我们是不是只需要去我们证明这个函数大于零，也就是意味着证明它的什么呀？意味着证明它的最小值都大于零就可以了，所以我们可以令它为一个新的函数， 我们令 g x 等于 e 的 二 x 减二之方减去二减 x 分 之 x， 我 们然后干嘛？然后就去求导吧，你要求它的最小值肯定就是求导了，那我们求导之后，我们来求一下 g 一 撇 x 就 等于，那么我们 e 的 二 x 减二求导，它是个负函数，求完导之后是两倍的 e 的 二， x 减二， 然后减去，我们后面求导分母，首先要平方，然后把它平方分之，分子求导就是一，然后分母不变，一乘以二减 x， 然后分母求导就是负一，分子不变，然后再加上 x 化简之后分子就变成了二。那我们再进行一下化简，首先提取一个二 变成了 e 的 二 x 减二次方减去二减 x 平方分之一。那么到这里之后，同学们会发现它还是比较难判断符号的对不对？其实到这里它有点像我们上节讲的什么指数，找朋友吧，我们可以把它 去进行一些稍微的化简，把它跟别人合到一起嘛，然后再去求到我们这里没有用到那个思路，我们看这里能不能怎么变？ 这里它是一个平方，那前面这里是不是也能看到一个平方？同学们要对我们的数字敏感啊，它是什么的平方啊？它是不是一的 x 减一次方的平方？因为它这里是二 x 减二嘛，所以我们再写一步，它就可以写成等于两倍的 一的 x 减一次方的平方，再减去二减 x 分 之一的平方， 那到这里为止，它其实就是一个平方，差公式对不对？所以它等于二倍的 e 的 x 减一， 加上二减 x 分 之一，再乘以 e 的 x 减一，减去二减 x 分 之一。那么到这里有什么好处呢？这一项我们知道是正的， x 是 属于零到一的，所以这一项它也是正的吧，所以我们前面是正的， 后面的符号我们不好判定，因为这里是正的，这里呢也是正的，一个正数减一个正数，符号呢？我们是未知的对不对？所以我们需要去判定的就是什么呀？就是括号里面他这个符号， 如果同学们经验不够，基础不好，你可能还需要怎么样对他再进行一次修改，从而判断出他的符号的问题吧。怎么判断呢？ 求完导之后，求出单调性，求出它的最小值，如果都大于零，那么它肯定大于零，如果最大值呢？都小于零，那么整体就小于零，这是我们的常规的思路。那我们这里不用这个方法，我们来看一下， 我们要去证明 e 的 x 减一次方，不是证明啊，比较与它两个谁大谁小， 我们这里有一个分式，我们不喜欢分式，我们要证明他们两个的大小，比较他们的大小，我们可不可以去比较他的倒数的大小？为什么可以呢？因为这里两项他都是大于零的吗？ 如果他大于他，那他的倒数呢？就是小于号，对不对？就可以去证明或者说比较。我可以去比较一的一减 x 方与二减 x， 他 们两个大小怎么比啊？其实到这里这里是有一个一减 x， 这里呢， 一加上一减 x 对 不对？我们可以换一下圆，同学们就发现了，我们令什么令一减 x 等于 t， 所以 就变成了比较一的 t 之方与一加上 t 的 大小，对不对？这个不就是我们大名鼎鼎的切线放说的公式吗？ 前面肯定是大于后面的喽。如果同学们这里不知道的话，可以去前面搜一下我们的放缩啊，我们视频里有讲到过这些个公式的， 我们这里怎么办？它大于它，记住哈，这里我们是变了号的，所以它呢一定小于它，那前者小于后者，那它剪完之后肯定怎么样？它应该是小于零的， 这里就可以下结论。所以我们的 g 撇 x 小 于零，然后我们的 g x 它就是单调立减的，对不对？ 我们要证明的是它大于零嘛？你要证明它大于零，你是不是要最小值都得大于零呢？你一个单调递减的从哪里开始？从零到一，这里是零，这里对应的是一，都是单调递减。那你最小值都要怎么样？ 比零大你才能说它是单啊？它是大于零很成立的，所以我们得去算一下我们 g x 它的最小值， g x 的 最小值，它就等于 g e， 我 们把它带到 g x 里面， g e 带到这里来， 这边呢就是一分之一，然后这边就是一的零，次方也是一，刚好就等于零。所以我们就可以说我们的 g x 怎么样？它是大于零成立的吧。 那么原式呢？就证明完了。回顾总结一下，通过第一问，我们知道它的两个根，或者说两个零点，它并不是关于极值点对称的，对不对？我们到了第二问之后，它让我们证明 x 一 加 x 大 于二，我们这是个多变量问题， 我们根据我们以往的经验，我是想把它变成单变量的问题吧，我们经过变形得到了 x 二大于二减 x 一， 然后呢，我们根据单调性，我们知道这两个它都是在一的右边，所以它是一个单调递减的函数，我们可以直接套上 f x。 为什么会这么考虑呢？因为它这里给了一个 f x 一 等于 f x 二吧，我们利用它代换之后，你会发现它就变成了一个 f x 一 小于 f 二减 x 一， 然后呢 再带到函数里面去，就得到了一个只关于 x 一 的函数，然后我们构造了一个新的函数。当然在构造函数的过程中，同学们有很多种方法去化简， 化简的方式不同，我们证明的难度当然也是不同的了。最后我们构造函数利用单调性求最值，我们这里会涉及到一个放松，可能有些同学基础不好啊，他放松不来，那怎么办？我刚也讲过，到这一步，你可以去通过对他求导，然后呢去判断他的单调性， 求出它的最大值或者最小值与零的关系，也是能够判断它的符号问题的常规思路，同学们可以自己去尝试一下，最后我们就得出了答案，当然这都是一个比较基础的证明过程。 下一期视频我们会接着用到单调性加构造函数的方法，去讲解一些我们常考的一些题型，比如让我们证明 x 一 乘 x 二小于一，包括我们后面的这一些看起来比较麻烦的一些提问的方式，对不对？那么关注我，我们下期视频再见。

你是我胸口永远的痛，而几十点偏移就是高空导数永远的痛。今天外星数学用三张图带你一次性搞懂几十点偏移。 那么几十点偏移，他出题的模式会出现以下几种情况，不管是一二三四这四种情况。那我们以左偏移为例啊， 他问问题的本质啊，实际上都没什么区别。那么另外啊，他还会出现另一种形式，就是 x 一 x 二的 g 的 形式大于 x 平方，当然也可能会出现 x 一 x 二要小于 x 零的平方的形式。那么接下来 说一下偏移它的主要的一些方法。那么目前处理这类偏移大概有以下三种方法。第一种称为对称画法的话，前面的视频我们已经介绍过了，那叉子画法的话，我们会在下一期视频来具体介绍。 那么我们先来说一下对正方形构造法的一个基本步骤，我们还是以左偏移为例，这是我们需要证明的不等式。那首先我得确定原函数的起点以及单调性。那我们确定原函数的起点和单调性的目的啊，是为了锁定 x 跟 x 这两个变量它的范围。好，那接下来啊，下一步我们要将证明的不等式进行一个转换，等掉转换。那么首先第一步，将 x 加 x 大 于 x 零，变成这个形式。那接下来啊， 我们先来讨论第一种情况，也就说 x 二大于 x 零时，那么这个时候这个不等式成立的。那么第二种情况，也是我们的题目里面会经常遇到的情况， 当 x 零在小于 x 二小于二倍的 x 零时，那么这个时候啊，我能够确定二倍的 x 零减 x 二，它的范围是在零到 x 零之间了，因此啊，我就进一步确定 x 一 二倍的 x 零减 x 二，它的范围都是在零到 x 零，也就是说我们让它保证出现在原函数的同一个单调曲线，那么下一步原函数在零到 x 零是减的，因此我要证明 x 极比它大，那也就是说，我只需要证明 f x 极比它小，那我接下来 f x 极跟 f x 相等，因此就变成这样的一个结构了， 那么最终我们将这个结构甩到左边去，就变成了 f x 二减去二倍的 f x 零减去 x 二是要小于零的。那接下来啊，并且我们还清楚 x 零的 x 二的范围要大于 x 零，那么接下来我们直接构造这样的一个函数，并且只研究 x 在 x 零到二倍 x 零这个范围， 我只需要清楚的证明哦， g p x 是 一个复数，也就说我要保证 g x g 减，那么我们就结束了。好，那么接下来我们通过一个具体的题目来讲解如何去使用。那么先来看这个题目的第一位比较简单， 我们来求导， f 一 撇 x 要等于 x 分 之一减一下，那么求导函数它在处是刚好等于零的，并且导函数它是一个哦递减的一个图像，因此是左正右负。这个地方是知道这是我们的导函数的图像。为什么直接下结论，当 x 属于零到一时， 导函数是一个正数，因此原函数要单调减。纠正一下啊， 因此我们就可以直接确定啊，元函数的图像啊，是先增后减啊，并且这个地方是齐了。好，所以我们下结论， f x 再处取得极大值，也是最大值，那么将其代数中就得到了啊，元函数的最大值是奇好，那么接下来说下第二个问题， 也就是我们今天要介绍的重点，好，它告诉我们 f x 等于 f x 啊。那我们先来画个函数吧，先画个函数 在 c 的 地方取一的，那我们先来分析一下这个极限状况啊。当然，当 x 趋近于零的时候， f x 它是要趋近于正无穷的，而当 x 趋近于正无穷的时候，当然这个时候 f x 它也要趋近于负无穷。为什么我们只画一个图就可以了啊？ 这是我们的这个函数的大概一个图像，这个地方是一啊，称为极大极限。 ok， 那 现在他告诉我 f x 等于 f x 二， 那么啊，相当于什么？我们要做一条水平的直线，水平的直线跟圆函数的最小有两个交点，那也就意味着好，这个是 x 一， 这个是 x 二。当然，那么让我们证明， x 一 加 x 二是要大于二的。 我们这里啊，嗯，不管 x 一 和 x 二谁大谁小，这是完全不影响的，因此我们直接不妨了，就令 x 一， 令 x 一 小于 x 二好。那么结合圆函数的单调性，那么首先第一步， 我先锁定 x 和 x 范围，那么很容易知道，零要小于 x， 小 于小于小于 x 二的。 ok， 那 接下来，我们锁定了 x 和 x 二的范围之后，那么接下来对 x 加 x 二大于二，进行一个变形，那么就等于 x 要大于二减 x 二好，而我们的 x 二是要大于一的，因此啊， 二减去 x 二它的范围，我们先来数一下， x 二大于一，因此它肯定要小于一了。当然，那么这个地方啊，像第一种情况，如果说 x 二是大于二的，这个时候我们也不需要整，这个时候 x 一 加 x 二肯定要大于二的，因此我们只研究 x 二属于一 到二的话，那这个时候的话，二减去 x 二，这个整体啊，它的范围是要在零到一之间的，因此我们接下来就能够确定 x 和 x 二均要在零到一之间。因此我们就直接得出来哦， x 是 大于二减 x 二，而 f x 在 零到几是正的，因此嘛，就等价于哦， f x 一 要大于 f 二减 x 二，而题目中他告诉我们， f x 一 跟 f x 二是相等的，因此我们直接等价于 f x 二要大于 f 二减 x 二。当然，那我们直接甩到左边啊，就等价 f x 二减去 f 二减 x 二是要大于零的，但我们这里 x 二，它的范围是要在 一到二之间吧？ ok， ok， 那 我们现在接下来直接勾造一个函数，零 g x 等于 f x 减去 f 二减 x， 当然我们勾造这个函数，并且很容易知道 g x 它刚好是等于零的。 ok， 那 么接下来对 g x 求到 g x 一 撇，它是个符号什么？因此就直接等于 f 一 撇 x 减去 f 一 撇二减 x， 当然还要填那个负一啊，意思就变成加了。 那我们将原函数的导数代入之后啊，就得到了 x 分 之减十，再来加上一个二减 x 分 之减十，用什么通分？之后，就得到了 x 乘上二减 x 分 之 x， 再加上二减 x， 但还要减去一个二，那么进一步处理，就得到了 x 乘上二减 x 分 子二，然后再减去一个二，那最终把二也提出来，就得到了 s 乘上二减 x 分 子二倍的括号只那么啊，整理一下就变成了 x 平方，减二，它就变成了 x 减的平方。而我们的 x 二啊，是在十到二行呢，因此我们很容易判断，当 x 属于十到二的时候吧，当 x 的 导函数，它一定是一个整数哦，因此 g x 在 十到二要它就递增了。 那么也就是说啊，所以说当 x 垂直到二的时候，那么啊，七 x 肯定要大于之一哦，是刚好是零的，因此我们就证明了这个本质了。那么最终啊，我们下个结论就可以了，中上 x 一 加 x 二大于二就可以了。

所有人都在告诉他，哼，现在你见识到高考倒数的厉害了吧！他说，我见识到我自己的厉害了。高中数学不好对付是吗？没关系，我也是总是高中 数学难度如何？变仙老华投进围，我倒王凌风大将军屹立不倒！来吧，为师这次逃出坟角，再帮你的数学逆天改命一次！为师历经多个学期，成功帮上百名学 员越军到了班级前十，有的甚至已经冲到了年级前百。峰哥拯救了这么多的低分 学渣，难道还拯救不了你？废话少说，为师就带你拳打学神，交替学霸！ 对于高考导数的经典压轴极致点拼音问题，在当年才考出来的时候，可谓是吓哭了无数考生，但在今天，这类题也逐渐变得模板和套路化。这节课，为师先带你拿下基础版的极致点拼音问题。如果你下次考试再见到他能立刻有思路，那就离你成为导王也就不远了。 如果你属于想进步但找不到方向，努力却不见起色的同学，可以看我主页来找我哦，我会安排专属真人助教诊断你的成绩，帮助你走出学习误区，并且指出正确且高效的方向。 啥叫极值点偏移呢？对于左边这个函数图像，你会发现左右两边生长趋势是对称的，极值点恰好在中间是二分之 x 一 加 x 二。但是对于右边的函数图像，你会发现左右两边增长趋势不同，所以就会发生极值点向左或向右偏移。 对于这类题，我们的核心思路是对称构造，先求导解出单调性。它是在负无穷到一处单调递增，在一到正无穷处单调递减，当 x 等于零时，原函数等于零。当 x 趋近无穷时，分母的增长趋势是远远大于分子的，所以会无限趋近于零。 把圆函数图像画出来，大概长这样子。他说存在 x 一 小于 x 二，使得 f x 一 等于 f x 二，那肯定是在图像的上半截才会出现嘛。 一是大于 x 一 小于 x 二的，要证明 x 一 加 x 二大于二，不就是即证明 x 二大于二减 x 一 吗？ 为什么要把 x 移过去呢？因为刚才说了，核心思路是对称构造，很明显，二减 x 一 和 x 一 是对称的。看图像就能知道 x 二大于二减 x 一， 这个结论显然成立。 所以你只需要证明出函数值 f x 二小于 f 二减 x 一， 这个题就结束了。利用题目说的 f x 一 等于 f x 二， 我们把双变量转变为单变量，就变成了证明 f x 一 小于 f 二减 x 一， 一项令它为大 f x。 然后这道题就从证明问题转变为了求最值问题。你可以这么理解，全班的同学都要小于零，所以最大的那个也要小于零，所以求的是最大值。然后求导代入后，就得到了这么一大坨式子。 刚才说了 x 一 是小于一的，那么这坨柿子就是大于零的。所以大 f x 是 单调递增的， 那么函数值大 f x 一 就小于大 f 一， 大 f 一 是 f 一 减 f 二减一，也就是零， 所以大 f x 一 小于零证明完毕。而且像是这样的经典例题以及今年各科的押题卷，我也给各位燕总一菲们整理完毕了，需要的可以看我主页找我的助教领取哦，顺便看看以自己目前的实力，到底能考多少分。 再看这道题，先求导写出单调性，它是先减后增的，且在 x 等于一处取得极小值。通过要证明的这个式子，把二除过去，我们就能知道几只点是向右偏移了。听说 x 一 和 x 二是 f x 的 两个零点，不就是说 f x 一 等于 f x 二等于零吗？ 画出图来，大概长这样，我们可以设一大于 x 一 小于 x 二，那么要正 x 一 加 x 二小于二，只需要正 x 二小于二减 x 一。 对称构造嘛，二减 x 一 和 x 一 是对称的。 看图像就能知道 x 二小于二减 x 一 这条结论是显然成立的。所以你只需要证明出函数值 f x 二小于 f 二减 x 一， 这道题就结束了。 刚才说了 f x 一 等于 f x 二，把双变量转变为单变量，就变成了证明 f x 一 小于 f 二减 x 一， 一项令它为大 f x。 那 么这道题就从证明问题转变为了求最值问题。然后求导代入后，就得到了这么一大坨式子。 因为我们设的是 x 一 小于一，所以这一坨式子是大于零的，所以大 f x 是 单调递增的， 那么函数值大 f x 一 就小于大 f 一。 大 f 一 是 f 一 减 f 二减一，也就是零，所以大 f x 一 小于零。证明完毕。通过这两道题，你就能感觉到极简偏移是非常套路和模板化的。当然他也可能会出一些小变形面试，比如这道题。但我们的核心思路依旧不变， 他说要证明二小于 a 分 之一加 b 分 之一是 x 二，其实也就是让你证明 x 一 加 x 二大于二。 前面那坨柿子想给我们传达的也就是 f x 一 等于 f x 二。求导后，它是先单调递增，后单调递减，在一处取得极大值， 很明显，极值点向左偏移。还是和前面一样的步骤，要证明它，即证明 x 二大于二减 x 一。 也就是只需要证明函数值 f x 二小于 f 二减 x 一， 利用刚才说的 f x 一 等于 f x 二减 x 一， 利用刚才说的 f x 一 小于 f 二减 x 一， 一项令它为大 f x。 然后这道题就从证明问题转变为了求最值问题，然后求导你甚至都不用求，我告诉你，导，函数一定是大于零的，函数大 f x 也一定是单调递增的。只不过，这道题的难点在于，我们如何翻译出 f x 一 等于 f x 二。 题目中要证的有 a 分 之一和 b 分 之一，那么为了让它俩出现，可以等式两边同时除以 a b， 我 们把 long a 和 long b 也变成 long a 分 之一和 long b 分 之一，那么为了保持等式不变，它们俩前边就得都加个符号， 然后把 a 分 之一放在一边，把 b 分 之一放在一边，令 a 分 之一为 x 一， 令 b 分 之一为 s 二，这不就是 f x 一 等于 f x 二吗？ 好了，内容就这么多，而且语数英近三年的高频考点我也已经为你们整理完毕了，需要的同学可以看我主页来找我领取哦！当然，肯定会有六颗灯叉跟不上我节奏的同学，请相信我！你现在最主要的不是学科知识点的问题，而是在学习方法和策略上出现了很多漏洞， 学习没有框架，知识就会像散沙一样，越想努力握住，反而流失的越快。没事，我的粉丝我来帮你，可以看我主页找到我，我会根据你的情况判断你目前的问题，帮你指出正确且高效的方向。以风为翼渡山海，借风万里赴青云。迷茫的人，请与峰哥同行，我们一起顶峰相见！

高中数学导数章节的极致点偏移问题通常有加法和乘法两种类型。今天我们看一道加法类型的题，已知 f x 等于 x， 减去 a 倍的 e 的 x 次方有两个不同的零点， x 一 x 二。第一小问求 a 的 取值范围，第二小问求证 x 一 加 x 二大于二。 导数章节的题，题干通常比较简洁，但是思维的难度通常不小。题干越简洁，就代表我们自己要发现、要挖掘、要推导的点就越多，因为题干给的信息很少。那我们来看第一小问，怎么从有限的条件当中求得 a 的 取值范围。 我们首先观察一下这两个部分，一个是 x， 一个是负 a 倍的 e 的 x 次方， x 本身单调递增， e 的 x 次方也单调递增，那么随着 a 等于零大于零小于零， 整体函数 f x 的 单调性也会发生变化。如果你光从 f x 本身来看，要围绕 a 等于零， a 小 于零， a 大 于零分情况讨论，然后选择其中的一种再来进行计算，过程会比较复杂。 对于这种零点问题的题，我们如果令 f x 等于零之后，通常可以参变分离，构造新函数来简化我们的运算步骤。比如这道题，我们直接令 f x 等于零，哎，零点就是使得函数值为零的自变量的取值，它是实数，并不是点。我们令 f x 等于零之后，就可以实现参变分离，那么 a 就 等于 e 的 x 方分之 x。 我 们把分离之后变量的部分看作是一个新的函数，令 g x 等于 e 的 x 次方分之 x， 然后考虑我们构造的这个新函数的单调性以及图像的大致的形态， 考虑单调性对它进行求导。 g 撇 x， 这是除法求导法则。分母平方 分子比较复杂，顺序不能搞错。先是分子求导， x 求导，之后就是一一乘上 e 的 x 次方，再减去分子不动，还是 x 乘上分母求导。分母求导之后就是 e 的 x 次方。本身 分子分母 e 的 x 次方都可以消掉一个分母，还剩下 e 的 x 次方，平方直接拿掉，那么分子约掉之后，还剩下一减 x。 我 们知道 e 的 x 次方大于零是恒成立的， 而分子会随着 x 等于一， x 小 于一， x 大 于一分三种情况。 那我们考虑一下，如果 x 小 于一的时候，此时一减 x 就 大于零， g 撇 x 大 于零，那么 g x 在 这一段上就单调递增，所以 g x 在 富无穷到一上单调 递增。如果 x 大 于一， x 大 于一，一减 x 就 小于零， g 一 撇 x 就 小于零，那么整体函数 g x 就 单调递减。 用导数的正负情况来刻画原函数的单调性。因此，在 x 等于一处， g x 取得极大值，而且这个极大值正好也是最大值，因为它是先增后减的。这种类型 g x 在 整个定义域二上的最大值就等于它的极大值。有的时候不一定，在本题当中正好是相等，最大值就是极大值一分之一。 再来考虑一下极限问题，如果 x 趋近于负无穷时， g x 会趋近于多少？我们考虑一下分子分母 它是否会产生矛盾。 x 趋近于富无穷，分子趋近于富无穷分母 e 的 x 次方，它是无限趋近于一个大于零的数，但是取不到零。比如你可以想象成零点零零零一 富无穷，除以零点零零零一，就相当于富无穷的程度被放大，它还是趋近于富无穷。那如果是 x 趋近于正无穷的时候，我们能够想当然的认为他也趋近于正无穷吗？还真不一定，我们要考虑一下。 x 趋近于正无穷的时候，分子、分母同时趋近于正无穷，那么正无穷除以正无穷到底等于多少？那我们要看函数增长的变化情况。有同学可能 学过预习过高数，他知道这里可以用洛必达法则，但洛必达法则在高中阶段的话，高考当中它属于考纲范围内外的内容，我们要学会用增长速率来进行判别。由于 e 的 x 次方是指数爆炸， 它远比 x 的 直线上升要来的快的很多。由于它是指数爆炸，上升的幅度更快，趋近于正无穷的速度更快，所以它起了主导作用，你就可以把它看成是正无穷分之一。 无穷分之一就是无限趋近于零，但是取不到零，我们可以记作零，在右上角加个加号，它表示就是趋近于零点零零零一无限趋近零，但是永远大于零的这样一种状态。我们画出函数图像之后，大概是长这样。哎， 我这里画一个笔，你能否自己把这个函数图像给它画出来？嗯， 坐标系在这。 好， 首先考虑一下它和 y 轴交点是等于多少。当 x 等于零的时候，零除以一正好等于零，说明函数图像一定要经过圆点。 刚才讲了，当他趋近于富无穷的时候，还是图像趋于富无穷，所以他是从非常靠下的位置开始往上好好好， 从圆点穿过去，什么时候达到最大最大值和他极大值等价，那就是等于一的时候，他等于一分之一，一分之一比一要小，所以我们图画的尽量像一点，我这里重新画一下， 画的尽量的像一点。从这里好，等于一的时候，好，他取得 最大值，纵坐标一分之一，横坐标为一，现在他穿过这个最高点之后，他不是像这样，你千万不能画成这样了。刚才我们分析过，他是无限趋近于零，但是永远要大于零， 所以 x 轴要作为它的一条渐近线。哎，函数图像大概长这样，那现在我们再来考虑有两个不同的零点，现在要求 f x 有 两个 不同零点，这就等价于 a 等于 x 分 之一的 x 次方有两个。这里分子分母写反了， x 除以一的 x 次方有两个 不等时根，也就等价于平行于 x 轴，或者和 x 轴重合的直线。 y 等于 a 与 y 等于 g x g x 刚才是我们构造的新函数， e 的 x 次方分之 x 有 两个 不同焦点。现在我们来看这样的一幅图，如果我们做一条和 y 轴垂直的直线， 什么时候它会和函数图像有两个不同的焦点？往下平移的过程当中，我们会发现，如果 a 等于一分之一的时候，正好相切有一个公共点，再往下的时候，好有两个不同的焦点。满足题，如果它正好和 x 轴垂直，那么只有一个公共点，就是圆点， 所以它必须要大于零，小于一分之一，要介于这两者之间。由此以来我们就可以得出 a 的 取值范围，参变分离之后就很好做，所以 a 最终的范围 它要在这两段之间， a 属于零到一分之一开区间，两个都不可取。再来看到第二小问，证明 也就是极值点偏移问题，求证 x 一 加 x 二要大于二这两个点啊，它们两者横坐标的平均数要比这里的一要大， 这就相当于往右偏，整体往右偏，哎，通过这个图像，我们能够感觉出来，好像还确实是这样， x 一， 比如在这， x 二在这，哎，好像它们两者的平均数， x 一 加 x 二分之二 除以二， x 一 加 x 二除以二。在这里二分之 x 一 加 x 二好像还真的比一要大，这只是我们通过图像感受出来的。如何通过严谨的数学知识给出证明呢？ 我们这里就需要用到极致点偏移的思路。现在 x 一 和 x 二谁大谁小，题目中没有讲，我们不妨先人为规定一下它们之间的大小关系， 我们不妨令 x 一 小于 x 二， 此时我们会发现，由于它和 g x 的 图像有两个交点，那么 x 一 一定要小于 x 二一定要大于一，所以 x 一 在零到一之间， x 二 在一到正无穷这个范围上。此时我们再来看题目中让我们正 x 一 加 x 二大于二，我们可以怎么转化？如果我们把其中一个写到一边去， 也就是要证明 x 二要大于二，减去 x e， 这样一来有什么好处？本来 x 一 x 二，一个在零到一上，一个在一到正无穷上，这两段上一个是单调递增，一个是单调递减。两段上的单调性不一样，我们讨论起来会比较困难。 你把它这样化归之后，你会发现 x 二它是在一到正无穷上，然后本来 x 一 它在零到一上，但是二减去一个零到一之间的数，它肯定也要大于。 我们笼统的写，他也在一到正无穷上，那更具体点，他实际上是在一到二上，实际上是在一到二上，那无论是一到二还是一到正无穷，他都是单调递减的一个状态。所以这一步的好处 就在于统一单调性。本来这两段单调性不同，我们一项处理之后，把 x 二看作一个整体，把二减 x 一 看成个整体，单调性就统一了，在一到正无穷上都单调递减。 由此以来，我们就也就是要证明好，加上单调递减，那就是 g x 二和 g 框二减 x 一 比较，本来这里是大于号，现在既然单调递减，那你这里就要改成小于号。 但现在又有一个问题，一个下标是二，还有一个下标是一，下标又不统一，那怎么去统一这个下标？我们根据刚才哎，它是一条平行和与 x o 平行的直线，与 g x 的 两个焦点，那么纵坐标就要相同， 因为 g x 一 等于 g x 二，这个是根据它与 x 轴平行纵坐标相等，我们就可以进行代换， 其正 g x 一 小于 g， 括号二减 x 一， 这一步直观重要，它统一了下标， 刚才这一步是统一单调性，我们这一步是要统一下标，这个时候我们再来看下标统一单调性，又统一，这一步我们应该怎么去写到这里， x 一 和二减 x 一， 现在 x 一 是在零到一之间，二减 x 一， 哎又变成了一到二的这个范围内，但是它下标现在统一了，我们这一步可以再构造一个新函数， 我们令 h x 等于它们，两者之差等于 g， x 减去 g， 括号二减 x。 现在 x 一 是在零到一之间，所以我们人为规定它的定义域 x 属于零到一。然后考虑我们构造这个新函数 h x 的 单角形。 利用复合函数求导法则， h 一 撇 x 就 等于 g 撇 x， 减去 g 撇二减 x， 它是负函数求导还要再乘上负一 负负得正，它就可以写成 g 一 撇 x， 加上 g 一 撇二减 x， 再把刚才 g 一 撇 x 的 表达式直接带进来， g 一 撇 x， 我 们刚才是写在了哎这里， e 的 x 次方分之一减 x。 代入之后，前者是 e 的 x 次方分之一减 x， 后者是加上 e 的 二减 x 次方，然后这里变成二减去括号 e 减 x， 那 就变成 x 减一还是加一？每个同学想一下，把这里的一减去 x 换成一减去括号二减 x 之后，那就变成 x 减一，它变成减二，再加一。再来看 这两者能不能够再进行操作，一个是一减 x， 一个是 x 减一。我们把分子啊可以化为相同的形式，把加号改成减号，这样一来，分子它都是一减 x， 就 可以提到外面来， e 减 x， 提到最外面，后面变成 e 的 x 次方分之一，减去 e 的 二减 x 次方分之一。 此时我们再来看，因为 x 属于零到一，所以一减 x 就 大于零， 而 x 一定在这一段上小于二减 x， 这是因为它在零到一这个范围内，所以 e 的 x 次方就小于 e 的 二减 x 次方，这是指数函数的单调性来决定的。两边同时取倒数 e 的 x 次方分之一，就要大于 e 的 二减 x 次方分之一。所以我们可以得出 h 一 撇 x， 在 这一段上，它是恒大于零的，两个部分都大于零，所以 h x 在 零到一上单调递增。 这样以来有什么好处？我们就可以取一个特殊值，考虑一下 h 一， 当 x 处于零到一的时候， h x 和 h e 的 关系。由于单调递增，所以它一定要很小于 h e h 一。 为什么要选它？因为 h x 括号当中一个是 g x， 一个是 g 二减 x。 令 x 等于一之后，我们会发现它们两者， 哎，前者是 g 一， 后者是 g 二减一， g 二减一正好也是 g 一。 我们不用管 g 一 等于多少， g 一 减 g 一定等于零，所以就会得出 h x 一定小于零， 此时 g x 就 小于 g 二减 x， x 属于零到一，也就是说 g x 一， 因为 x 一 是属于零到一的，那么 g x 一 就小于 g 二减 x 一。 有此以来，我们就划到哪一步啊？就划到了这一步，所以原命题成立，故 x 一 加 x 二大于二。证明完毕。 总结一下，即知识点偏移问题。第一步需要我们先假设两根的大小关系，然后进行转化，统一单调性。统一单调性的好处就是可以在 定一域的范围上把它变成函数大小关系。变成函数大小关系之后，我们再根据它和 x 轴平行， 把下标统一统一。下标之后构造新函数，对新函数进行求导，分析单调性，再取特殊值，让它们两者消掉，凑成与零有关的式子， 再判断出 h x 和零的大小关系，从而得出 g x 一 一定小于 g 二减 x 一 这种类型的题应该是导数当中难度思维，还有这种推导能力要求比较高的一类题了， 需要大家举一反三，把这类题型的方法真正的搞懂吃透。好，今天这道题我们就讲到这里，你听懂了。

大家好，上个视频我们已经讲到了极致点偏移的核心原理，为什么会偏移？怎么利用单调性加构造函数去研究？今天我们这一期呢，不讲别的方法，还是利用我们上节课的构造函数加单调性。但是我们今天呢，来讲讲题型的变化， 把上节课的思路用在不同的结构，不同问法的极致点偏移的题目里面，题目依然是上节课的题目，只不过我们这里的提问变形了一下，那我们就证明 x 一 乘以 x r 小 于一。根据我们上节课的思路，我们是需要把它们两个分开，那我们把它分开之后呢，就变成了我们的 x 一小于 x 二分之一，对不对？好，我们需要分析它的大小问题。 x 一 呢，我们知道它是属于零到一的，我们这里再画一条线，我们把 x 一 以及 x 二标出来，这个地方是 x 一， 这里呢是 x 二，所以我们知道 x 一 它是大于零小于 一，然后再小于 x 二的，我们的 x 一 是属于零到一，然后呢， x 二它是属于大于一的，对不对？那么一个一比上一个大于一的数，它肯定也是大于零，并且呢它也是小于一，所以我们知道这两个数它都是小于一的，那意味着什么呀？ 意味着我们这两个数它都在我们这个极值点它的左边，也就是说他们是一个单调递增的函数嘛。 我们根据我们高一学的单调递增单调性原理，我们就会有 f x 一 小于 f x 二分之一。 所以呢，我们又根据题目里的，因为，因为我们的 f x 一 等于 f x 二，所以就变成了 f x 二小于 f x 二分之一，也是让我们证明这个不等式吧，我们直接把它带到函数里面去，我们就能直接得到一个式子， x 二 比上 e 的 x 二次方小于 x 二分之一。然后呢，比上一个我们写到旁边好了，比上一个 e 的 x 二分之一次方。 同样我们把它变一下形，我们把指数放到一起，它就变成了 x 平方，小于 e 的 x 减去 x 分 之一 一次方。那么到了这里，我们可以通过构造函数，然后去证明它，我们可以移一下项嘛，比如我们可以把它写成 x 方，减去 e 的 x 减去 x 分 之一次方小于零。 我们要证明这个函数小于零呢？你只需要证明它的什么呀？最小值啊，最大值都小于零就可以了。我们这里 x， 它是有范围的，注意我们这里的 x 它是由哪里变来的？由 x 二变化过来的，所以我们这里的 x 呢？ x 它应该是大于一的，注意它的定义域。 但是我们今天不讲这个方法，这个方法同学们可以自己去尝试一下，也许计算起来会很困难。我们这里出现了 x， 还出现了什么指数， 并且这个指数 x 减 x 分 之一，看起来不太方便。所以呢，我们两边同时取对数，我们能知道 x 方以及这个指数它都是恒大于零的，我们取对数就变成了小于 x 方，小于 loing e 的 x 减 x 分 之一。我们把这个二拿到前面来，就变成了两倍的 loing x 小 于 e 的 x 啊，这里没有 e 了，不好意思， 直接小于我们的 x 减 x 分 之一就可以了。那么到这里同学们能不能够看得出来，我们之前有讲到过放缩法的进阶版那个飘带放缩啊？同学们如果不清楚的话，可以去搜索一下飘带放缩，我们前面的视频里面有， 这里我给同学们贴出来了，那我们这里只需要采取我们的后面这一项就可以了吧，那我们只要把这个二除到右边去，你看它就变成了小于 x， 小 于二分之一被的 x 减去 x 分 之一。 那这个不等式在我们考试的过程中，记得大家自己去证明一下，它也很好证明，我们直接构造一个函数，我们令 h x 等于 l y x 减去二分之一， x 减 x 分 之一，然后呢去求下倒 它的最大值，你会发现它都是小于零横成立的，所以我们就有这个式子。那么这个题目呢，我们就证明完了，它的思路跟我们前面是一样的，通过变形，然后利用单调性去构造函数，构造函数的过程中，变形的过程中，化简的过程中呢，可能会产生一些难度。然后在我们最后面的 不等式的证明的时候，同学们一定要对不等式证明有一定的敏感度，不然的话，这个证明的办法是想不到的话，你只能去通过我们常规的办法去求了，但是常规的方法他也能求出来，只不过稍微的复杂一点。好，那么我们今天这个视频呢？讲到这里，下一期视频我们再见。

导数极值点偏移题型对军秒杀法你知道吗？不要再为构造函数求导而头大了，跟着数学害课学习底层逻辑，一起进入对军解析的学习吧。极值点偏移是导数大题中的一种非常非常常规的题型啊， 特别是在前面几年的高考中，几乎每个地方他出导数题的话，他都会出到极值点偏移，所以他都考烂了，所以导致近几年高考题中很少出现啊。 呃，他很少出现他不代表他不会考了，只是我觉得啊，考大题真的太简单了，所以我觉得他有可能往小题方向去靠，小题 可能是他的一个出题方向，然后这种题型在大题中。我们一般情况下有三种方法，第一种就是构造法，就构造一个函数出来，然后去求导，然后第二种就是笔直代换，就转换成双变量问题。 第三种就是我们今天要讲的对数均值不等式。然后什么是对数均值不等式呢？就是我屏幕中的这个啊，这个不等式也很好去记，比如说我把基本不等式念中的那个基本不等式拿出来，先拿出来， 就这样子的，我拿出来之后我怎么去写中间的呢？你看这边左边这是 a 加 b， 那 有对数均值吗？那对数在哪里呢？就把它举个对数相减呗， 这记忆还是很好去记得。只是这个方法有个弊端，就是你要去用它，用它很快，但是证明过程你要写在大题上面，那他证明怎么去写呢？老师这里也给你们写了， 那就这里左边右边，一般情况下我们只会用到一边啊。好吧，所以我只用把这个过程写到上面就可以了。然后极值点偏移是什么样的题型呢？就是比如说我看到了 x 一 和 x 二，中间啊，可能是加 呃，或者乘呢？以和以加和乘为主，因为减我们有别的方法。好吧，一般是加和乘啊，然后大于两倍的极值点或者小于两倍的极值点，这类题型其实就是叫做极值点偏移。我们今天会讲两道题目，一道简单一点的，一道稍微难一点的。 首先第一题就比较简单一点，我们这里只看第二问，他说若 x 一 不等于 x 二，且那个 f x 一 等于 f x 二，那么我要用对数均值不等式，怎么去用呢？ 我就先把题目的条件先列出来，就是他会等于零 x 二减 x 二加二，然后我用对数均值不等式。我是不是要注意到我对数均值不等式里面是不是有两个 non 相减？那么我们就要想办法把这个题目凑成两个。 呃， non 相减的形式是不是就直接摞一下相就可以了，对吧？所以它就会变成 non x 一 减去 non x 二，就会等于什么呢？ x 一 减 x 二，没了吧，二和二就约掉了。那么我是不是要凑成 相除的形式？是不是搁这里刚好就两边同时除以一个 x 一 减 x 二，所以 non x 一 减 non x 二去除以 x 一 减 x 二，那它是不是就会一定会等于一了？ 那等于一之后，那我是不是就相对把我的对数均值不等式给反过来了？只是你写的时候我可以去记忆不是 a 和 b 的， 这样你们就好看一点， 对均就是它大于 x 一 减 x 二除以零 x 一 减 x 二，再大于根号 x 一 x 二，一定要记住，我还可以把它取个倒数，那时候就会变成 x 一 加 x 二分之二小于 on， x 一 减 x 二，然后 x， 哎，少了个 on 啊。 减去 x 二，然后下面就 x 一 减 x 二，这边呢？不就根号下 x 一 x 二分之一，你主要用到的就是要不就是正着的，要不就是倒着的啊，那这里我们是用正着是倒着，根据你自己使用习惯，我可以把它除到它的下面去，只是我这里是把右边除到下面来了， 就就是把右边除到左边来了啊，所以我这里是不是应该用的是下面倒着的这个，对吧？所以你看，呃，我就直接在这里写了，那这个东西是不是就会一定会小于小于谁？大于谁 我可以两边都写啊，给你们看一眼啊。只是他只会用到一边啊。那这边我就填的应该就是根号下 x 一 x 二分之一，这边填的应该就是 x 一 加 x 二。那我应该用哪边？我看题目吗？题目是用的是加，那我是不是只用到这一边，所以他其实就相当于是小于一的，所以 我就 x 一 加 x 二不就会大于二了？三步出来了吧。所以我说了，这种你用对均不等式，其实就是三步的问题，就是去凑它的重点就在这里去凑出来， 对吧？所以我这里用到的是哪一边？用到的就是应该是我上面的证明里面的左边的这里吧，所以我就把左边这里过程我就写在这里呗。我就说我去证明这个不等式呗，我就去证明该不等式。 你只要写了一定是满分。好吧，所以你看快吧，所以这个就是极致点偏移的一种秒杀方法。 接着我们看一下第二题啊，第二题你们可以用常规方法自己去试一下，好吧，你们看一下有多复杂，然后 我的这个对数均值不等式的方法，你们看一下有多快。首先他说 f x 的 图像就是有两个零点了，一个是 x 一， 一个是 x 二，然后他们都大于零且不相等，要我们求的是它，哎，我们一看到这里啊， 哎，怎么感觉跟我们刚刚证明的东西不一样，就是我们刚证明的就是它大于它或者小于一个两倍的极值点嘛，对吧？其实这里你正常方法啊，正常方法其实就是得到一个，就是把它要转化成它，但是你看我这里不用。呃，那么复杂的讨论，你看我怎么做呢？首先 f x 一 它是等于两倍的 null， x 一 减去 x 一 方，加上 a 倍的 x 一 的，然后它等于零， 同理， f x 二它是不等于两倍的 n x 二减 x 二方加 a x 二等于零。 ok， 两个式子我可以去相减，是不是就会得到我的两个 n 相减的形式了？所以 一式减二式，一式减二式，它就会得到什么呢？呃，两倍的 n x 一 减 x 二，哎， 减零 x 二啊，然后减去一个 x 一 方， 就这样写啊，然后减去 x 二方，对吧？然后加上 a 倍的 x 一 减 x 二。这里，那我想减之后我是不是两边刚好同除以一个，它就是 x 一 减 x 二就没了，所以它就会变成这俩就同除 x 一 减 x 二啊， 就会变成两倍的 non x 一 减去 non x 二去除以一个 x 一 减 x 二。 ok， 中间这里刚好也有一项，是不是除了之后就只有了相加了平方差嘛？然后加上一个 a 就 会等于零，其实就相当于 a 就 会等于 x 一 加 x 二，减去两倍的 non x 一 减去 non x 二，再除以 x 一 减 x 二。 ok， 题目要求的是什么？ f 一 撇二分之 x 一 加个三，所以我先把 f x 求个倒，就会等于 x 四分之二减去二， x 加上 a。 所以 我们要求的这个东西， 你带入之后，带入之后啊，我们就会发现它应该就是看一下啊， x 一 加 x 二分之四，然后减掉 x 一 加 x 二，再减掉一个，再加一个 a， 应该是 看没，刚好这里有 a， 所以 我是不是把 a 用哪一坨代替掉？用这一坨代替掉，对吧？那代掉之后，其实就相当于我这个东西， 它就会等于什么呢？呃，四分之 x 一 加 x 二减去它，然后又要加上它，就没了这一项和这一项就约掉了，然后再减掉一个两倍的它， 对吧？然后题目是不是要我们证明它小于零？怎么算？好算？那我这里用的应该是哪一个不等式？是不是应该就是 non x 一 减去 non x 二除以 x 一 减 x 二，它会大于 x 一 加 x 二分子啊， 对吧？所以我这个东西就这一坨东西，它本身是要大于四除以 x 一 加 x 二的，因为前面有个系数二啊，那前面又加个符号，所以整体是不是就会小于四除以 x 一 加 x 二减掉它， 看到没有，对吧？所以他讲他不刚好等于零，所以我是不就证明了几，我就证明了这个东西就形成了一个不等式链嘛，懂了吧？所以你看不就得正， 然后我要去证明这个不等式，我就把上面看到没，左边这里我还是照抄写到试卷上面，我就说我下正该不等式， 所以我这种方法就对数君子不等式的方法，其实啊，嗯，他很固定，对吧？嗯，他只要你把这个证明给背下来，或者给熟练下来之后，其实我目的就在这里，我去凑出来这个就在这里，这这一步，这一步就是我去凑出来那个对君， 对吧？所以我才说我的这种方法比传统的答案的方法要快很多啊。好吧，好的，这个视频我们就讲到这里啊，反正大家多学一种方法是没有坏处的啊。

什么极指点偏移问题你还不会做？今天旺仔用一道问题的六种解法，教你学会导数中的极指点偏移问题。 大家好，今天我们分享的是导数压轴题的高频考点极指点偏移，我们用一道经典题目他的六种解法来分享。我已加入抖音，抖音精选高考应援联盟， 欢迎大家上抖音精选搜索高考应援联盟，追更我的高考百日百课。哈喽，大家好，今天我们要分享的是一个高考导数压轴题的高频考点，也就是极值点偏移问题。 今天我们以比较经典的 f x 等于 log x 减 ax 的 零点问题分享它的六种解法。 不管你是高一高二打基础，还是高三冲刺压轴题，这节课都能彻底让你搞懂极致点拼一的核心逻辑。好，下面我们直接看题。听说已知 f x 等于绕引 x 减一 x， 它有两个零点， x 一 x 二，而且 x 一 小于 x 二，让我们求证 x 一 x 二是大于一方的。 那么在讲具体解法之前，我们先梳理一下整体思路。好，首先看到这个函数，我们可以对这个函数进行求导，它导数是 x 分 之一减 a， 那 么令导数为零，可以得到 x 等于 a 分 之一是它的极值点。 然后呢，因为它是极值点，而且有两个零点， x 一 x 二，所以它的极值点必须是 f 一 分之一必须是大于零的。根据这个函数的特点， 因为这个函数可以分析一下它的单调性，零到 a 分 之一上单调递增， a 分 之一到正无穷上单调递减。所以 x 等于 a 分 之一是个极大值减，那么它的极大值必须大于零。好，可以得到 a 的 范围是 零到一分之一代入 f 一 分之一，也就是烙印 a 分 之一减一代零，所以 a 是 零到一分之一。 然后我们可以写出零点方程，令这个函数等于零，可以得到烙印 x 一 等于 a 倍的 x 一， 烙印 x 二等于 a 倍的 x 二。两式相加，可以得到下面这样一组式子，也就是根据对数的运算法则得到烙印 x 一， x 二等于烙印 x 一 加烙印 x 二等于 a 倍的 x 一 加 x 二。那么我们要证明的结论是什么呢？要证明的结论是 x 一 乘 x 二大于一方。根据对数的运算法则，也就相当于烙印 x 一， x 二大于二。 还有这个 a 倍的 x 一 加 x 二大于二，也就是 x 一 加 x 二大于 a 分 之二。 这些都是我们可以证明的结论。下面呢，我们看一下整体的六个解法是什么。第一种解法是对数平均不懂事。第二种解法是构造对称函数。第三种解法是中心对称平移。第四种解法是图像法。第五种解法是消餐换元。第六种解法是射餐转化。 那么我们的核心目标就是把结论 x 一 x 二大一方转化成更容易证明的和式，或者单变量的不等式。好，下面我们看一下第一种解法，也就是对数平均不等式的方法。 在说明对数平均不等式之前，我们先证明一下这个这样一个式子，也就是对于任意的 t 大 零小一，有这样一个式子， l e t 小 于二倍的 t 减一，比上 t 加一。那么这个式子怎么证明呢？我们可以首先移 项，移项去构造函数， 然后求导，求导出来这个式子， t 减一的平方比上 t 乘以 t 加一的平方是恒代零的，所以这个函数 g t， 它是单调递增的函数，那么就可以得到 g， t 是 小于 g 一 的，小于这个边际等于零， g 一 是零，所以就可以得到这样一个式子，那应 t 小 于二倍的 t 减一比上 t 加一。那么进一步的，由此我们就可以得到这样一个结论， 得到， x 二减 x 一， 比上烙印 x 二减去烙印 x 一， 小于 x 一 加 x 二比二。这样一个对数平均不等式， 这是通过构造函数去证明的。 那么我们看一下这道题，这道题目，我们，我们要证明什么呢？我们要证明的是这个，嗯， x 一 乘 x 二大一方。 那么根据刚刚的这个式子， x 二减 x 一， 比上烙印 x 二减烙印 x 一， 它是小于 x 一 加 x 二的。 根据我们得到的零点的式子，烙印 x 一 等于 a， b 的 x 一， 烙印 x 二等于 a b 的 x 二。两式作差，可以得到，烙印 x 二减去烙印 x 一 等于 a， b 的 x 二减 x 一。 所以， 所以 a 就 等于什么呢？ a 就 等于烙印 x 二减去烙印 x 一， 比上 x 二减 x 一。 我们刚刚得到的式子是这样一个形式， x 一， x 二减 x 一， 比上烙印 x 二减烙印 x 一， 那么 a 分 之一，取个倒数就变成了这个式子， x 二减 x 一 减比上烙印 x 二减烙印 x 一， 它就小于 x 一 加 x 二比二， 所以 a 分 之一就小于二分之 x 一 加 x 二， 那么就得到了我们刚刚要证明的目标是，也就是 x 一 加 x 二大于 a 分 之二， 也就是 a 倍的 x 一 加 x 二大于二，也就是烙印 x 一， x 二大于二，所以 x 一 乘 x 二大一方，那么我们就把这个双零点关系转化为了这种不等式的形式，这是我们讲的第一种解法。 好，下面我们看一下第二种解法。刚才的构造对数平均不等式虽然好用，但是需要嗯构造函数去额外证明，那有没有更稳妥，更完全符合高考答案的方法呢？当然有，也就是我们这里讲的构造对数函数， 也是高考中最常用最推荐的解法。那么构造对称函数，它的核心思想是什么呢？我们刚刚在开头的时候，我们得到了这个函数，它的极致点是 a 分 之一， a 分 之一，那么我们就构造一个关于极值点的函数， x 等于 a 分 之一对称的函数。我们去比较一下什么呢？比较一下 f x 和这个极值点 f 一 分之二减 x， 它的大小，因为一个是 x 一， 一个是 x 二。然后这个式子呢？跟我们要证明的式子 x 一 乘 x 二大于一方， 以及我们刚刚推导出来的一系列式子都是有联系的。所以我们构造这样一个函数，再通过单调性去证明， x 一 加 x 二， x 一 加 x 二大于 a 分 之二，也就是这是我们的目标， 我们可以通过目标去反推过，反推过来，我们要构造什么函数好？首先我们可以构造一下 f， x 等于 f， x 减去 a 分 之二减 x， x 属于零到 a 分 之一。为什么 定义是零到 a 分 之一呢？因为 x 一 它是属于零到 a 分 之一的，所以 x 一 是属于零到 a 分 之一的，那么 a 分 之二 减去 x 一， 它是属于什么范围呢？它是属于 a 分 之一到 a 分 之二的，正好和 x 二在同一个单调区间。 勾导出来 f x 之后，我们就可以求导去分析一下 f x 这个大的 f x 它的单调性。那么这个过程呢，我们就不一一列举了，这个大家可以自己去计算一下。那么最终的这个求导的式子 是什么呢？求导的式子是一个二倍的 a， x 减一，它的平方比上 x 乘以二减 a x， 这个式子是带零的， 所以 f x 在 零到 a 分 之一上是单调递增的，那么 f x 就 小于 f a 分 之一， f a 分 之一带入一下 f a 分 之一就是零， a 分 之一， a 分 之二减 a 分 之一，也是 a 分 之一，所以 f a 分 之一就等于零，所以 f x 是 小于零的。那么取 x 等于 x 一 呢，就得到了 f x 一 小于零。也就是说 f x 一 小于 f a 分 之二减 x 一。 又因为 f x 一 等于 f x 等于零， 我们就可以把 f x 一 替换成 f x 二，就得到了 f x 二小于 f a 分 之二减 x 一。 因为 x 二是大于 a 分 之一的。根据 f x 的 单调性， 它是在 a 分 之一到正无穷上单调递减的。 x 二大于 a 分 之一， a 分 之二减 x 一 也大于 a 分 之一。这是我们刚刚构造函数的时候找到的定域， 所以 f x 在 这个区间上单调递减函数值大，自变量反而小，那么 x 二就大于 a 分 之二减 x 分 之一减 x 一， 所以把它移向就得到了 x 一 加 x 二 大于 a 分 之二，那么也就是说 a 倍的 x 一 加 x 二 大于二，最终也可以推导出来 x 一 乘 x 二大于一方。这时我们构造这样一个差值函数， f x 减去 f a 分 之二减 x， 然后对它进求导，观察它的单调性， 然后再利用 f x 一 和 f x 二之间的关系，得到的核心技巧是用对称点 a 分 之二减 x 与零点进行比较，把乘积问题转化成合适问题。这是我们讲的第二种方法，构造对称函数。 好，下面是第三种解法，中心对称平移。这个解法呢，本质上和第二种解法是一样的，但是有更明显的几何意义。我们知道极点 x 等于 a 分 之一 是函数的最高点，如果函数图像关于 x 等于 a 分 之一中心对称的话，那么两个零点应该满足 x 一 加 x 二等于 a 分 之二，对吧？这是那个中心对称的这样一个含义，也就是 我们的目标是 x 一 乘 x 二等于一方。但是现在发生的偏移就是函数图像，它不是中心对称的，零点就发生了偏移，那么 x 一 加 x 二就大于 a 分 之二，就是 x 一 乘 x 二就大于一方了。那么怎么用平移来证明呢？ 我们可以把函数 f x 向右平移 a 分 之一个单位， 让极值点呢就移动到原点，构造一个新的函数，就是 f x 等于 f， a 分 之一加 x 减去 f a 分 之一减 x， x 依然是属于零到 a 分 之一的。那么对这个函数进行求导，也就是一比上 a 分 之一加 x， 加上一比上 a 分 之一减 x 减去二 a。 具体运算出来的式子，大家自己可以去算一算，通分计算，最终它就等于什么呢？它就等于二的二，乘以 a 的 三次方，乘以 x 的 平方比上以减去 a 方 x 方。 因为 a 是 大零小于一分之一的， x 是 大零小于 a 分 之一的，所以这个导数它是带零的，导数是带零的。 进一步的，我们去看一下 f x， 在 这个定域上， 大的 f x， 它就是单调递增的，那么 f x 就 大于 f 零。 f 零是多少呢？ f 零其实就是我们刚刚在这个方法二中构造的， f 一 分之一， f 零就等于零， 所以 f x 大 于零。也就是说 f a 分 之一加 x 减去 f a 分 之一减 x 大 于零，也就是 f a 分 之一加 x 大 于 f a 分 之一减 x， 它是大于 f a 分 之一减 x。 好， 那么我们可以取 x 等于 a 分 之一减 x 减 x 一。 根据 x 一 代零小于 a 分 之一，所以可以得到 a 分 之一减 x 也是代零小于 a 分 之一的，所以 f a 分 之一减 x 一， 也代零。因为整体都是代零的，所以 f a 分 之二减 x 一， 它就大于 f x 一。 就是把这个式子代入 a 分 之一，代入一下，第一个式子就是 f a 分 之二减 x 一， 第二个式就变成了 f x 一， 它就大于 f x 一。 接下来就和减法二完全一样了，因为 f x 一 等于 f x 二，所以 f a 分 之二减 x 一， 就大于 f x 二。而且 x 二是大于 a 分 之一的， a 分 之二减 x 也是大于 a 分 之一的，就把它转化成 f x。 在 a 分 之一到正无穷上，在这个区间上，它是单调递减的， 函数之大反而小，函数之小反而大。这样一个看它的自变量的关系，那么就得到 x 二大于 a 分 之二减 x 一， 也就是说 x 一 加 x 二大于 a 分 之二，就能得到两边取对数，也就是这个式子， 也就得到了最终我们要证明的结论。 x 一 乘 x 二大于一方。这是把极点 a 分 之一当做对阵中心来处理的一种解法，有一些几何的意思。好，这是我们讲的第三种方法，中心对称平移。 好，接下来我们看一下第四种解法，也就是图像法来看一看，由 f x 等于绕引 x 减 a， x 等于零， 也就是等价于烙印 x 等于 a， x 把这个变参分离，也就得到了烙印 x 比 x 等于 a。 我 们可以把这个问题转化成什么呢？直线 y 等于 a 与函数 g x 等于 烙印 x 比 x 的 这样一个图像的交点问题，那么这条直线就与图像有两个交点， x 一 和 x 二。 我们要证明的是 x 一 大于 x 二。首先呢，我们可以先分析一下 g x 这个函数它的特点，对它进行求导， 导出是一减二， x 比上 x 平方，令它等于零，可以得到 x 等于 e， 所以 g x 在 零到 e 上单调递增， e 到正无穷上单调递减。最大值是什么呢？最大值就是，呃， g e g 等于一分之一，这个其实和我们之前得到了 a 大 于零， a 大 于零小于一分之一，它的范围是一致的，而且当 x 趋零的时候，它是趋于负无穷的，然后 x 趋于正无穷的时候，这个函数它是趋零的，这个可以用极限去分析。所以这个函数它的两零点是满足什么呢？ x 一 大于零 小 e 小 于 x 二。现在我们要证明什么呢？我们要证明的是 x 一 乘 x 二大一方，对吧？也就是 x 二 大于 x 一 分之一方，对不对？因为 x 一 是小于 e 的， x 一 是小于 e 的， 所以 x 一 分之一方是大于 e 的， 对吧？可以用这个不等式去分析一下，正好和 x 二 大于处于一个单调区间， e 到正无穷上，那么 g x 在 这个区间上，它是单调递减的，所以要证明 x 二 大于 x， 分 x 一 分之一方，等价于证明什么呢？等价于证明 函数值 g x 二小于 g 一 方，比上 x 一 的。对任意的 x 属于零到 e， 是成立的，对吧？哦，就是我们要证明 g x 二 是小于一方比上 x 一 的，这是函数值之间的关系。那么又因为 g x 一 是等于 g x 二的，也就是也就是要证明 g x 一 小于 g 一方比上 x 一， 对吧？那么这样呢，你就可以构造函数了，把这个 x 一 都换成 x， 就是 我们要构造的函数， f x g x 减去 g 一 方比上 x， x 属于零到一。这时我们通过分析，也就是 x 一 乘 x 二大于一方，也就是证明 x 二大于一方，比 x 一， 也就是要证明 g x 一 小于一方比 x 一， 就可以构造出来这样一个函数， f x 这样的一个差值函数 x 是 属于零到一的，对它进行求导，我们看一下对它进行求导的过程。 f 撇 x 等于什么呢？ g 撇 x 加上一方比上 x 方， g 撇二，一方比上 x， 那么也就等于这个一减去烙印 x 比上 x 风， 再加上 x 风比上一风，乘以烙印 x 减一比上 x 风，最终的结果就是一减烙印 x 提出来，乘以一比上 x 风，减去一比上一风好， 最后可以得到 l 撇 x 在 零到，这个 零到 e 上是大于零的，也就是导导函数是单调大于零的，那么原函数 f x 是 单调递增的，所以说 f x 是 小于 fe 的， fe 是 多少呢？ fe 也就是 g e 减 g e 是 等于零的， 所以说当 x 等于 x 一 的时候，就证明出来了我们的结果， g x 一 小于一方，比上 x 一， g 一 方比上 x 一， 那么又因为 g x 一 等于 g x 二，所以 g x 二小于 g 一 方比上 x 一， 又因为 x 二大于 一方，比上 x 一 大一 g x 在 一方到正无穷上单调递减，那么函数之大的反而小，函数之小的反而大，就可以得到 x 二大于一方，比上 x 一， 也就是 x 一 乘 x 二大于一方的结果了。 这道题目这个最大的技巧就是先消去这个参数 a， 再利用这个图像的对称性做比较，思路是比较直观的，也就是我们根据这个结果反推出来我们要构造什么样的函数。这是我们讲的第四种解法。 好，下面我们看一下第五种解法，也就是消贪换元，就是把双变量问题转换成单变量问题。第一步可以先消去参数 a， 我 们有两个零点方程，也就是烙印 x 一 等于 a b 的 x 一， 烙印 x 二等于 a b 的 x 二，可以两式相减，那么 a 就等于烙印 x 一 减烙印 x 二，比上 x 一 减 x 二，两式相加呢，就可以得到什么烙印 x 一 加烙印 x 二，也就是烙印 x 一 乘 x 二，烙印 x 一 加烙印 x 二等于 a 倍的 x 一 加 x 二 a， 我 们把 a 代入一下，消去 a， 就 可以得到这样一个式子。 可以得到这样一个式子，这边 a 是 等于烙印 x 一， x 二 比上 x 一 加 x 二，这边 a 是 等于这个式子，这边 a 是 等于这个式子。 那么消除 a 就是 两式相等，可以得到烙印 x 一 x 二，等于什么呢？它是等于烙印 x 一 减烙印 x 二，比上 x 一 减 x 二，再乘以 x 一 加 x 二，就是把这个 x 一 加 x 二这个式子乘过去。 然后我们看一下，我们要证的是什么呢？我们要证明的是 x 一 乘 x 二大于一方，也就是烙印 x 一， x 二大于二， 对吧？那么也就是什么呢？也就是我们要证明这样一个式子，倒引 x 一 比上 x 二小于二倍的 x 一 减 x 二乘以 x 一 加 x 二。 什么意思呢？就是把这个烙印 x 一 x 二，换成我们刚刚在这里得到的这样一个式子，烙印 x 一 减烙印 x 二，比上 x 一 减 x 二，乘以 x 一 加 x 二， 它小于二，它小于二呢？我们把 x 一 加 x 二， x 一 减 x 二除过去，然后烙印 x 一 减烙印 x 二，利用对数的应用法则，也就是 x 一 减 x 二，就变成了这样一个式子。变成这样一个式子有什么好处呢？ 神奇的一步就来了，我们可以对等式，右边的不等式，右边的数字上下同时除以 x 二，那么就变成了烙印 x 一 比 x 二小于上下同时除以 x 二二倍的 x 一 比 x 二减一，比上 x 一 比 x 二加一。哎，这里 x 一 比 x 二， x 一 比 x 二， x 一 比 x 二。我们就可以进行换元，把这个双变量的问题转化成单变量的问题， 就是利用比值换元， t 等于 x 一 比上 x 二，那么 t 是 大零小一的， 所以我们就需要证明这个式子小于 t 小 于二倍的 t 减一，比上 t 加一。也就是我们刚刚提到的在开头第一种方法对数平均不等式的证明提到的式子，这个式子小于 t 小 于二倍的 t 减一，比上 t 加一。 这个怎么证明呢？可以一向烙印 t 减去二倍的 t 减一，比上 t 加一，对他进求导，这个导数是恒大零的，所以这个函数 g t 是 单调递增的，因为它的定义是零到一，所以说 g t 是 小于 g 等于零的，所以 这个式子它是小于零的。那么也就是说，烙印 x 一 加 x 二就大于二，我们就证明完毕了。 这里呢，这个式的这个方法，它的最巧妙的技巧就是把双变量问题转变成单变量的问题，通过比值换元与划规 好。最后我们讲一种设参转化的方法，这是比较彻底的代数的方法，把这道问题完全转化成一个单变量函数的问题，适合代数功底比较好的同学。 首先呢，我们可以设 t 等于烙印 x 一， t 二等于烙印 x 二。由这样一个嗯，公式 就是两边取对数， x 一 就等于 e 的 t 次幂， x 二就等于 e 的 t 二次幂。 所以，呃，根据烙印 x 一 等于 a 倍的 x 一， 烙印 x 二等于 a 倍的 x 二，就可以得到 t 等于 a 倍的 e 的 t 次幂， t 二呢，等于 a 倍的 e 的 t 二次幂。两式相减，两式相减，就可以得到。 在这里写两式相减， t 一 减 t 二就可以得到。什么呢？就可以得到 a 倍的 e 的 t 次幂减去 e 的 t 二次幂。两式相加 t 一 加 t 二，就可以得到 a 倍的 e 的 t 次幂加上 e 的 t 二次幂。好。所以就 两式一比，就把 a 这个值比掉了，就可以得到 t 一 加 t 二。 我们的目标是，它是等于什么呢？它是等于 t 一 减 t 二乘以 e 的 t 一 加 t 二次幂 比上 e 的 t 一 减 t 二次幂好。下面我们就可以把这个呃双变量转化为单变量了，我们可以设设什么呢？设 k 等于 t 减 t 二， t 减 t 二。因为 t 一 它是小于 t 二的， t 一 是小于 t 二的，所以 t 一 减 t 二就小于零， k 就 小于零。然后根据这样一个式子， t 一 就等于 t 二加上 k。 根据我们刚刚推导出来的这样一组式子呢，这里我们写哪呢？写右上角吧，就可以得到二倍的 t 二加个 k， 它是等于什么呢？它是等于把所有的式子都换成 t 二，它是等于 k 乘以 e 的 t 二次幂加 k， 加上 e 的 t 二次幂比上 e 的 t 二次幂加 k， 减去 e 的 t 二次幂。提出来就是 k 乘以 e 的 k 次幂加一，比上 e 的 k 次幂减一。为什么要这样转化？就是把 t 一 t 二全部转化成关于 k 的 式子 好，所以 t 二就可以得到 t 二，它就等于 t 二，它就等于什么呢？ t 二就等于这个式子， k 比上 e 的 k 四分之一， t 一 它不等于这个什么呢？ t 二加上 k 嘛，所以 t 一 就等于 k 倍的 e 的 k 四倍比上 e 的 k 四倍减一。所以 t 一 加 t 二，就变成了一个关于 k 的 式子， k 倍的 e， k 的 e 的 k 四倍加一，比上 e 的 k 四倍减一， 所以我们目标是 x 一 乘 x 二大于一方，只需要证 t 一 加 t 二大于二，也就是说这个式大于二， k 乘以 e 的 k 四名加一，比上 e 的 k 四名减一，这里 k 是 小于零的，所以 e 的 k 四名减一也是小于零的， 对吧？ e 的 k 次密减一也是小零的，所以把这个乘下来，我们要证明什么呢？把这个乘过来，不等式要编号，也就是 k 乘以 e 的 k 次密加一，它要小于二倍的 e 的 k 次密减一。一项就要证明 这个函数 g k 这个函数横小于零，当 k 小 于零的时候，我们可以求导它的一阶导是 k 减一，乘以一的 case 加一，这时候没有不能判断出来它的这样一个单调性， 我们可以接着求它的二阶导，它的二阶导是 k 乘以一的 case 是 横小于零的。因为 k 小 于零，所以它的一阶导在负无穷的零上单调递减， 那么所以它是大于零处的导数值是大于零的，所以一阶导是恒大于零的。一阶导恒大于零，那么 g x 单调递增， g k 单调递增，所以 g k 是 小于 g 零的。因为 k 小 于零嘛，所以是小于零的， 所以这个式子横小于零，也就是说 t 一 加 t 二大于二，也就说 x 一 乘 x 二大于一方。 那么通过这样一个代数化的处理，就把这个双变量问题转化成了关于 k 的 单变量问题，就证明出来了， x 一 乘 x 二大一方。好，这是我们讲的第六种方法。 好了，现在六种方法我们都讲完了，现在我们来做一个总结，梳理每种方法的特点和适用场景，所有解法的共同本质都是一样的，利用这样一个零点方程， 就是烙印 x 一 等于 a 倍的 x 一， 烙印 x 二等于 a 倍的 x 二 这样一个零点方程，把要证明的 x 一 乘以 x 二大一方转化成什么呢？转化成烙印 x 一， x 二大于二或者 a 倍的 x 一 加 x 二大于二，或者 x 一 加 x 二 大于 a 分 之二。这个式子。所有方法都是围绕着这个核心转开的，也就是对数的运算技巧。第一种方法是对数平均不等式的方法，用到了 x 一 减 x 二比上，烙印 x 二， x 一 比上烙印 x 二小于 x 一 加 x 二 比二这个式子。第二种方法是构造对称函数，也就是 f a 分 之二减 x 减去 f x 这样一个差值函数在利用这个函数单调性的定义去解决的。第三种方法跟第二种方法差不多，也就是 f a 分 之一加 x 减去 f a 分 之一减 x 这样一个这个中心对称的构造。 第四种方法呢，就是这个图像法呃，利用了这个 a 等于绕引 x 比上 x， 先消去参数 a， 然后构造了这样一个呃， g x 与 g 一 方比 x， 它的函数值在根据这个 g x 一 等 g x 二的关系得到 x 一 乘 x 二大一方。 第五种方法呢，是把通过消餐换元，比值换元，把这个双变量问题转化成了单变量问题。第六种方法是一个纯代数的设餐转化问题，转化成了一个关于 k 的 这样一个函数，要他横 小于零，也就是呃，证明出来这个式子横小于零，求一阶导，二阶导，然后求这个函数的单调性和极值就可以了。 好，其实极致点偏移呢，并没有大家想象的那么难，它的核心就是转化，把双变量问题转化成单变量问题，把陌生问题转化成熟悉问题。只要掌握了这个核心思想，再结合这六种方法，不管题目怎么变，都能找到解析的突破口。 希望今天内容能帮到大家。好，谢谢各位，我们下期再见！

导出大题里及指点偏移不是玄学，它的方法非常固定题，全国卷二零一六年考过，二零二一年又考过一次。二零二六年这个模型依然值得重点仿。今天就用二零二一年新高考一卷，把方程变形图像定位左右两边，证明一次。讲穿 题目。核心函数是 f， 括号 x 等于 x 乘以一减，自然对数 x。 第一问讨论单调性。第二问， a 和 b 是 不相等正数，并且 b 乘自然对数 a 加 a 乘自然对数 b 等于 a 减 b， 证明二小于 a 分 之一加 b 分 之一， 并且 a 分 之一加 b 分 之一小于自然常数一。先处理第一问， f 撇括号 x 等于负的自然对数 x， 所以 零小于 x 小 于一时，导数为正， x 大 于一时，导数为负。环数先增后减， x 等于数。取的最大值还要括号一等于一。还要记住一个极限， 艾克斯去进零时，艾克斯乘自然对数 x 去进零。因此 f 括号艾克斯在零右侧的极限也是零。现在回到第二问， 先把 a 和 b 分 离成同一种结构，由 b 乘自然对数减 a 乘自然对数 b 等于 a 减 b 一 向得到 b 乘括号，自然对数 a 加一等于 a 乘括号，自然对数 b 加一。两边同时除以 a 乘 b， 就 得到自然对数 a 加一除以等于自然对数 b 加一除以 b 零 x 一下标一等于 a 分 之一， x 下标二等于 b 分 之一。原式正好变成括号 x 一 等于 f， 括号 x 二。因为 a 和 b 不 相等，所以 x 一 和 x 二也不相等。结合图像，我们不妨设 零小于 x 一 小于一小于 x 二，并且 x 一 加 x 二小于自然常数一，先正左边 x 一 加 x 二大于二， 等价于 x 二大于二减 x 一。 注意 x 二和二减 x 一 都在一的右侧，可以用 f 在 右侧单调递减，因为递减要正 x 二大于二减 x 一。 只要正 f 括号 x 二小于 f， 括号二减 x 一。 又因为 f 括号 x 二等于 f， 括号 x 一， 所以只需证明 f 括号 x 一 减 f 括号二减 x 一 小于零。构造记括号 x 等于 f， 括号 x 减括号二减 x， 其中零小于 x 小 于一。求导时不要把式子拆乱，直接用负和函数 g 撇括号 x 等于负的自然对数 x 乘二减 x， 再零小于 x 小 于一，上 x 乘二减 x 小 于一， 所以它的自然对数小于零，于是既撇括号 x 大 于零，既在零到一上单调递增，而既括号一等于零，所以零小于 x 小 于一时，既括号 x 小 于零， 带回 x 一， 就得到 f 括号 x 一 小于 f， 括号二减 x 一。 所以 x 二大于二减 x 一。 左边证明完成 x 一 加 x 二，二大于二，再正右边 x 一 加 x 二小于自然常数一，等价于 x 二小于自然常数一减 x 一。 x 二在右侧，自然常数一减一大于一。在递减区间里，要正 x 二小于自然常数一减 x 一， 就转成 括号 x 二大于 f， 括号一减 x 一。 因为 f 括号 x 二等于 f， 括号 x 一。 只需证明 h 括号 x 等于 f， 括号 x 减负括号一减 x 大 于零。继续求导 h 撇括号 x 等于负的自然对数 x 乘 e 减 x， 这里的 x 乘 e 减 x 会先小于一，再大于一，所以 a 先增后减。也就是说存在一个 x 零是 a 撇括号 x 零等于零，零到 x 零。嗯， it 单调递增 x 零到 e 单调递减 看端点 x 趋近零时， f 括号 x 趋近零，而 f 括号 a 等于零，所以 h 的 左端极限是零。再看 x 等于一， h 括号一等于 f 括号一减， f 括号一减一。因为一减一大于一，并且 f 在 一右侧递减，所以 f 括号一减一小于 f 括号一， 于是拆括号一大于零，左端去进零，中间先增后减，右端仍然大于零，所以整个零到一上 h 括号 x 大 于零，带回 x 一， 就得到 l 括号 x 一 大于还 i 括 f 括号就 x 一， 所以 x 二小于一减 x 一。 右边证明完成 x 一 加 b 分 之一，并且 a 分 之一加 b 分 之一小于自然常数一，最后合起来就是二小于 x 一 加 b 分 之一小于自然常数一，最后合起来就是二小于 a 分 之一加 b 分 之一小于自然常数一。 即指点偏移的关键不是硬算，而是先把条件改写成 f 括号 x 一 等于 f 括号 x 二。再用同一区间单调性辅助函数把左右两个目标分别压出来。这套结构被熟导数压辍里的偏移体会文很多。

类导数零点不等式题型本质考的就是极指点偏移，说白了就是判断单峰函数的极指点到底是往左偏还是往右偏。咱们先拿标准情况举例，完美的对称函数以极指点的横坐标当做对称轴，对称轴左右两边同等距离的函数值完全一模 一样。可一旦函数形态不再规整，左右两边的增减变化就不再对等，自然就产生了偏移现象。判断方法也特别简单， 极指点横坐标靠左就是左偏，极指点靠右就是右偏。而偏移最根本的底层逻辑就是两边增减变化的速度不一样， 左偏就代表极指点左侧的变化速度比右侧更快，右偏刚好反过来，正是左右两侧变化速度不均衡，才造成了极指点发生左右偏移。从这里我们就能总结出核心结论，设函数的两个零点分别为 x， 二极指点横坐标为 x 零。 函数完全对称的时候，两个零点相加等于两倍的极值点横坐标一旦出现，左偏，零点之合就大于两倍，极值点横坐标如果是右偏，零点之合就小于两倍。极值点横坐标。从直观上也很好理解， 左偏时极值点离左边的零点更近，右偏时极值点离右边的零点更近。靠着这个规律，所有跟零点之合、零点之积相关的不等式证明，都能用极值点偏移的思路直接搞定。 这类题本质都是围绕零点和极值点做大小比较。逻辑推导通用解析思路也是固定的， 想判断两侧哪边变化速度更快，方法很简单，在极值点左右取两个和极值点水平相等的对称点，对比这两个点的函数值大小， 就能看出哪边增减速度更快。但有一点要注意，如果函数左边或右边出现了拐点，也就是二阶导处发生变化，那这套方法就不适用了。 解题最后把要证明的不等式做一项变形整理化解，就能顺利证出结论。整个过程还要依靠单峰函数的单调性。单峰函数在极值点左右本身就有固定的单调规律，靠着单调性才能理清大小关系。 这套解析思路通用性很强，能搞定绝大多数导数零点不等式证明题。如果构造出来的对称差值函数恒等于零，就说明原函数严格对称，这种情况根本用不着极值点偏移。所以说，函数对称其实就是极值点偏移里的一个特殊特例。

今天给大家分享一道非常有代表性的倒数压轴题，他是来自我们全国高考甲卷的一道题啊，考察了极值点偏移 和函数的构造两个问题，这两个问题通常也是拉开分叉的关键。那很多孩子看到这道题的反应就是求导之后呢，就算不下去了，为什么呢？因为这道题他的难点根本就不在计算上，而是思路的转化。好，那我们来看一下这道高考题 已知 f x 的 解析式。然后第一问要求 f x 大 于等于零，是 a 的 取值范围。 好，我们先来看，首先 f x 给了我们，那我一定要先看它的定义域，分母有 x 还有 long x， 所以 分母不等于零， long x x 要大于零，所以它最后的取值范围 x 就是 属于零到正无穷的。 好，来看， f x 竟然要大于等于零，横乘以，那是不是就告诉我们 f x 它的最小值也要大于等于零？那现在这个问题就变成了，什么时候我的 f x 取最小呢？我们把 f x 的 最小值给求出来，对不对？ 好，那既然是求最小值，那肯定就是要先对它求导，看看它的增减性是怎么样的。好，我们来求一下导， f x 的 导，等于 x 的 平方分之 e x 乘 e x， 再减去 e x 减去 x 分 之一加一。好，我们对它这个式子进行化解一下，等于 x 的 平方分之 e， x 倍的 x 减一，再减去 x， 再加上 x 的 平方等于 x 的 平方分之 e x 倍的 x 减一。你发现没有，后面这个式子 他也是可以提一个 x 出来的，对吧？所以把它加上 x 倍的括号 x 减一，把它进行进行因式分解一下， x 平方分之 x 减一括号倍的 e 的 x 次方加 x。 好， 那这样子写完之后，因为我们 x 是 属于零到正无穷的，分母一定是大于零的， 而这里的 e x 次方加 x， 它也一定是大于零的。所以我现在要讨论的是 f x 它的增减性，其实就是讨论这个 x 减一，它的正负性对不对？好，那就是当 x 属于零到一的时候，我的导函数是不是就是小于零的？那这个是导小于零的时候，我的 f x 的 导它是大于零的， 所以我的 f x 就是 单调递增的。那么姐来画一个图， x 等于一，左边单调递减，右边单调递增，所以我的 x 等于一的时候，我的 f x 是 不是取最小值等于 f 一 等于 e？ 写过来啊， e 减就是减零，再加一减 a， 那 也就是 f 一 等于一加一减 a， 他 是不是要横大于零，也就大于等于零，所以算出 a 的 范围是小于等于一加一的。所以第一问其实不是很难，只需要一个求导，你要明白他求的是最小值的问题就可以解决了。我们来看一下第二问， 他说若 f x 有 两个零点， x 一 和 x 二，那我们证明的是 x 一 乘以 x 二是小于一的，那我们先根据第一问 他的增减性，把他的图像大概画一下，那这样子的话，我们就假设 x 一 是小于 x 二的话， 那既然他有两个零点，那也就是说明我的 x 一 是应该在零到一的范围内的， x 二应该是大于一的。 那这样子又因为我们要证明的是 x 一 乘以 x 二是小于一吗？那也就是要证明我的 x 二是大于一的，那也就是说明一小于 x 二小于 x 一 分之一啊， 那就说 x 二和 x 一 分之一都是在大于一的范围内的，那我们要证明这个式子，那我们知道它在一到正无穷上是单调递增的，那是不是相当于要证什么 f x 二是小于 f x 一 分之一的，那本来 x 一 和 x 二是它的两个零点，那就是 x f x 一 是等于 f x 二的喽？那要证明这个式子，其实就是要证明什么？把它换成同一个变量。 f x 一 是小于 f x 一 分之一的，那我们要证明这个式子，也就是要证明我的 f x 一 减去 f x 一 分之一，它是小于零的，那我们证明这个式子小于零同成立，那我们就令 h x 等于 f x 减去 f x 分 之一，这个时候它的 x 属于什么？ x 是 和这里的 x e 的 范围是一样的，属于零到以上。 那我们现在要求它要横乘力，也就是要求 h x 小 于零横乘力，那也就是要去求 h x 的 最大值要小于零，对吧？好，那我们去求一下 h x h x， 那 我求最大的小于零，那我先求导，它是等于 x 平方 x 减一，乘以括号 e 的 x 次方减去 x 的 e 的 x 分 之一次方加上 x 减一。我就不写这个详细的过程啊，这个求导的话，一般都会的。 好，那我们知道 x 既然是属于零到一的，那这个大于零 x 减一，它是小于零的。小于零的，那求 h x 它的导是大于零还是小于零，那是不是就变成要求 令 m x 等于 e 的 x 次方减去 x 倍的 e 的 x 分 之一次方加上 x 减一，求它的正负心，对不对？那求它的正负心，我们对它进行求导呗。 mx 的 导函数等于 e 的 x， 分 之一次方乘以一减 x， 再加上 e 的 x， 次方加一来看， x 属于零到一，那这个是正的，这个也是正的，这个也是正的，所以整体都是正的。所以 我的 mx 的 导它是大于零的，所以我的 mx 它是单调递增的， 所以 mx 一定是小于 m 一 的，而 m 一 等于零，所以 mx 小 于零。那 mx 一 旦小于零之后，那我的这个式子是不是小于零了？所以也就是 h x 的 导它会大于零，所以 h x 答案叫递增。 所以我的 h x 是 不是一定会小于 h 一 的？那 h 一 带进去，它也等于零，所以我的 h x 就 一定会小于零。那 h x 小 于零，就得到了 h x， 这个是小于零的， 那它小于零，也就证出了这个式子它是小于零横成立的了，所以也就证明了 x 一 乘以 x 二是小于一的了。那对于这类极值点偏移的问题，我们先想它要写证明的是 x 一 乘以 x 二的问题，对不对？那我们先要找到的是 x 一 和 x 二之间的关系， 那 x 一 和 c 关系找到之后，我们要把它转化成为 f x 一 和 f x 二之间的关系，那现在这里面是两个变量，再把它转化成单一变量，这个就是我们做这类题的思路。

大家好，今天给大家带来高考导数的一个典型题目，叫做极字典偏移问题。那我们知道对一个正常的一个二二位，嗯，二次函数一元二次函数来说，它应该是一个对称图像， 嗯，假设为 f x 的 话，为对称图像，那么我们可以它的一个经常的一个考点，就是设 f x， 它有两根 f x 一 等于 f x 二等于 m， 有 两不同根 x 一 和 x 二是不相等的。然后求证， x 一 加上 x 二是大于某个数的，或者是或或者正，它小于某个数 小于某个数。我们来看一下，我们假设这是 m， 我 们这就是 x 一， 这个就是 x 二， 我们因为这是二维一次函数嘛，它的最最最低点就是它的这个极值点 x 零，或者最高点都是它的一个极值点 x 零。 既然它是个对称图像，我们就可以很明显的发现， x 零其实就是 x 一 和 x 二的总点，也就是 x 一， 其实加上 x 二是等于两倍的 x 零的嘛。那么我们已经知道这是对称图像，那如果它是不对称的呢？再来看一下这种情况， 嗯，就是这样的，这个很明显不对称，我们假设为它为 g x， 那 么这里是 m， 对 应的，这里就应该 x 一 x 二，而我们设 x 一 和 x 二的终点啊， 为 x 零一撇，极值点为 x 零，那么 x 零一撇其实就等于两分之 x 一 加上 x 二了吗？那我们看一下它的中间位置，就是 x 一 和 x 二的中间位置，应该在这里，这里为 x 零一撇。 那么对 g x 来说，它的一个极值应该就是它的最低点吗？应该在这里为 x 零。我们是不是可以很明显的发现 x 零是小于 x 零一撇的？ 其实也就是说 x 零是小于 x 零一撇的，是 x 零一撇就是它的终点位置 x 一 x 二的终点位置 是不是就可以推出来 x 一 加上 x 二是大于两倍 x 零的？那我们对于一个函数来说，它的一个极值点应该 x 零应该是个确定的值吗？所以其实就可以证明出来， x 一 加 x 二是一个大于一个确定的乘数的 a 的， 然后这一种集字点在 x 一 x 二中点的左边位置，我们叫做集字点左偏， 那么另外一种它又反过来了，另外一种就是右偏咯， 右偏的话就是给它图像是这边环左边环 右边比较陡，我们假设为 h x 的 话，那么我们这个是 m， 这是 x 一， 这是 x 二， 它们的终点位置很明显就在这里，大概在这里 x 零一撇，然后极点应该就在这里 x 零 可以很明显的发现它的总点 x 零一撇是小于 x 零的吗？总点又是二分之 x 一 加上 x 二，是不是就可以推出来 x 一 加上 x 二是小于两倍 x 零的， 然后 x 零又是一个确定常数吗？因为它是极值点，所以就可以证明出 x c 加 x c 小 于一个确定常数 b 的。 当我们知道这这些东西，那又该怎么应用到题目中呢？我们就以昨天给大家留下的这个题目为例吧，是这样的，设 f x 等于 x 乘以幺 x， 然后且 f x 一 等于 f x 二等于 m， 然后 x 一 和 x 二不相等， 我们需要证明 x 一 加上 x 二是要大于一分之二的，那我们这个一分之二是不是很明显就是两倍， x 零就是它的极值点的两倍嘛？我们来看一下是不是 对 f x 求到等于前到后不到，加上前面不倒后面倒， 我们零 f 到函数等于零的话，可以就是解出来它的值减其实就等于一分之一的。 那我们知道这些之后该怎么解题吗？我们先看一下它要我们证明的是 x 一 加上 x 二是要大于一分之二的，我们肯定需要用到这个条件嘛，不然它出的就没啥用了，不然这个条件我们 用不上的话，很明显是解不了这一题的。我们要证明 x 加 x 二大于一分之二，是不是就可以分成两种？第一种是，嗯，在这之前我们先把它的图像换一下吧， 因为这个是真函数，所以 f x 应该是在零到一分之一上是递减的，在一分之一到正无穷上是递增的，嗯，不需要画的一个太， 不需要画的太那个规范，画个草图就行，这样一个，嗯，算 这样的一个槽图。然后我们探讨一下 x 一 和 x 二的一个位置关系， 这是谁大谁小无所谓啊，我们主要是要看另外的假设，这是 m， 对 应的这个是 x 一， 这是 x 二， 然后这里是极值点，相当于就是一分之一嘛。是不是就可以很明显发现它们 x 一 在零到一分之一之间， x 二应该是要大于一分之一的？我们先写下来啊， 就是零小于 x 一 小于一分之一，小于 x 二，就是他们之间存在这样的一个代号关系。我们要证明 x 一 加 x 二大于一分之二，是不是可以有两种证明思路，一个是 x 一 要大于一分之二减去 x 二， 或者呢？第二种证明就是证明 x 二要大于一分之二减去 x 一 的。那怎么证明呢？ 我们先观察第一个，先讲一下之后的步骤。一个思路嘛，我们知道 x 一 是在零到一分之一之间， 一分之二减去 x 二， x 二大于一分之一嘛，所以一分之二减去 x 二就应该是在负无穷到一分之一之间， 那么也就是说这两个数都小于一分之一，都小于一分之一，我们再转回来看原函数 f x， 如果它们都在零到一分之一的话，不就说明 f x 是 单调递减的？ 但我们先不考虑他是这个这个东西为负数情况，先不考虑他为负数情况。嗯，他如果是 f x 在 这两个在零到一分之一是单减的，那我们要证明他大于他， 其实就可以反过来证明 f x 一 是要小于 f 一 分之二减去 x 二的就行了。 为什么要这样写呢？因为我们不是说要用到 f x 一 等于 f x 二吗？所以这个东西应该是等于 f x 二的，也就说我们只需要证明 f x 二是要小于 f 一 分之二减去 x 二的， 这样的话，我们不就可以把原先两个未知量 x 一 x 二变成一个未知量 x 二了吗？我们又知道 x 二取的范围，这样是不是就简单很多？ 那么但是我们其实还是不能考虑第一种情况，因为第一种情况我们说了，他是可以为负的，但是 f x 是 取不到负数的，这个自变量 x 是 不能取到负数的，也是这个东西是不能取到负数的。所以第一种你看，我们先放到一边，我们先来看第二种情况， 如果是这一种，我们知道 x 二是大于一分之一的，一分之二减去 x 一 是在零到一分之一之间，所以这个东西其实是属于一分之一到一分之二的，对不对？ 那么也就是说这个东西也在一分之一到正无穷这个轴上。那么要证明 x 大 于这个东西，不就要证明 f x 二要大于 f 一 分之二减去 x 一 了吗？ 也知道 f x 二其实就等于 f x 一， 其实相对于就是即证明 f x 一 是大于 f 一 分之二减去 x 一 的就行了。 嗯，对，这一个思路就没有刚刚第一种这种这个变量取的负数的这个 b 段，所以我们就在这一题里面，我们选择用第二种思路， 那么我们就证明它就行了。然后 x 一 的取的范围我们也知道是属于零到一分之一的，怎么证明？我们只需要构造一个新函数，其其就行了， 令 f x 是 等于 f x 减去 f 一 分之二减去 x 的， 然后只需要证明它大于零就行了呗。 只需要证明它大于零就可以了，就可以反过来证明它了。对它求导它 f x 大 f x 要大于零，不就证明大 f x 最小时要大于零吗？所以我们对它求导 应该等于这个东西减去 这个东西求导。 f x 求导我们已经算过一次了，就是 non 加一， 用 x 加一减去这个东西求导，这个其实是一个呃，复合函数，就是先对内函数求导，内函数负一， 对内函数求导就是减去负一倍的，再对外函数求导，外函数求导就是它应该是这样的一个负函数嘛， 等于 t 倍的路程 t， 所以 应该就是，嗯，负一倍的路程。一分之二减去 x 加一， 这样解出来的结果就应该是 non x 加上 non 一 分之二减去 x 加上二，也就是 non 负 x 方加上一分之二， x 加上二。 我们来观察一下，这个其实是可以用嗯，平方平方式给他合并一下，我们先给他补一下， 很明显是少于一分之一一方分之一，再加上一个一方分之一就等于 n。 前面这个就是一个完全平方式的一个展开项目。对于一方分之一减去 x， 减去一分之一方 加上一个二，很明显这个是正的，减去一个正的，所以这个平方里面的这个数应该是小于一方分之一的嘛， 所以这个这个这个值就应该是小于平方一方分之一， 也就是说是小于负二的，小于负二，所以这个东西应该是小于零的。所以我们知道 f x 应该是单调递减的， f x 单调递减，那么它的单调递减在 零到一分之一上，单调递减，那么它的最大值就应该最小值，它的最小值就应该是 要大于一分之一的嘛，因为它取不到一分之一，就应该等于再进来就是 f 一 分之一减去 f 一 分之一，剩下等于零的吗？那我们这样不就证明成功大 f x 是 很大于零的，也就是这个式子证明成功了，也就是说这个式子证明成功，那么我们题目要求这个式子不就证明成功了吗？ 这一题的解析思路大概就是这样的，大家可以嗯，点赞关注，然后保存下来，嗯，慢慢学习啊，谢谢大家。