邢台二模数学23题最后一问什么意思

很难啊，可能稍微有点难吧。然后再来看一下这个二次函数吧。第一问，第二我们都不用说了啊，这都是纯基础问题，我们来看一下第三问，第三问。有很多种做法，一个是他让我们判断他是否过点力，判断他不就把他带进去就可以了吗？必的标是六六， 我就把带到这个抛物线里边，我可以直直接带这个横坐标。那先来讲一个吧，就是我带直接把横纵都带去吧，就是三十六减上，这个是十二 m 加 m 方加二， m 减四等于六，那这是 m 方减十 m 加三十二加二十六 等于零。那我就来求一下，如果 m 能求出来，那他肯定就是过完。那求不出来呢？就是过不了呗。那就是 b 方减四 a c 二十六乘四四六二四一百零四吗？ 发现我嘚他是小零，他都无解，无解说明说明我是根本落不到的那圈也是也是这种做法。那我除了这样还可以怎么做呢？我就是把横坐标带进去和这个纵坐标进行比较。我把 x 等于六带入 y 就是 三十六减十二， m 加 m 方加二， m 减四， 就是 m 方减十， m 加三十二。那我去配一下方，看一下它和六的关系。 m 方减十， m 加二十五加七， m 减五的平方加七。又说它的最小值是七呀，那它可能会过这个 粽子标为六吗？可能会过吗？他不会，他应该在他上边，所以说这个是不过，所以说他，呃，这个是不过的啊。这个圈二，呃，琪琪说的和他的都一样，方法一样嘛。然后我们再来看一下最后疑问吧。最后疑问， 嗯，我这个直线 l 和它的边有三个焦点，那我们可以先来看一下它有没有什么不会改变的东西，它的对称轴和呃， 什么顶点坐标都是会改变，我们也可以看出来它这是一个完全平方公式，可以把它写成减 m 的 平方加二 m 减四，也说它的顶点坐标是 这个。还有我们只要他开口向上，是这个吗？就所以说他是一个随便的一个点，然后最关键是三个焦点，那这三个点怎么画？我们可以大概的先试一下啊，你看我们随便来画一个，就比如说这样吧， 对吧？嗯，给你放大，不然不太明显。这是一个点， 一个点，两个点，三个点，四个点。所以说我们要是保证三个点的话，要必须保证什么？我左竖着的各一个，然后我横着的这只能有一个焦点，那我怎么画呢？也就是说只要让我们的顶点落在这， 哎，落在这是不是就可以了？一个、两个、三个，一个两个三个，那顶点落在 s 轴上是谁为零啊？也就是说我的纵轴要为零，也就是我的二 m 减四等于零，我的 m 就 等于二。好，那这个时候又求出来，那当然不可能只有这一种，你可以再想象一下 我还可以怎么画，考试时候你就可以拿着透明垫板给它画出来，然后给它左右移动嘛。剩下就是一个过特殊点的问题了，可以，大概是这样的， 这个有点画， 就是说我是会过圆点的，我让左边这条线和竖的这条线，这两个算一个焦点，一个两个、三个，那这样我是不是就是过零零了呀？ 我就是把圆点带进去，那其实我们第二早在第二问，人家已经有暗示了，我把零零带进去，算出来的 m 应该是一个是负根号五。呃，是几来着？我忘了啊，我得那我再算一下吧，把零零带入， 零零代入，就前边全是 m 方加二， m 减四等于零 配个方嘛。 比如说我的 m 是 等于正负根号五减一呢？那一个是根号五减一，一个是负根号五减一，取哪个？肯定取它嘛。你想一想，我如果 是过圆点的话，如果我是过圆点的话，我对称轴肯定得是在这个 o 和 c 中间呀，所以我不可能是负数吧，如果是负数的话，我大概是这样画，可能有三个吗？所以是不可能的 啊，结果就是一个是二，一个是根号五减一。好吧，然后我们再来看一下最后一位， 最后一问，这个第一问我们就不说啊，这个太太基础了。然后我们直接来看一下第二问吧，这个 e 在 角平分线上， 所以你可以想想，想一下角平分线你最先想到的是什么？是角相等吗？还有呢，是角平分线的性质，也就是说角平分线上点到角两端的距离相等，所以我直接往他的两个端点上做垂线， 这是 n， 这是 m 吧，只要我们挣出来 em 和 e 相等不就行了吗？因为我已经做了垂直了。那怎么挣呢？我们就用全等来做。 首先九十度，九十度一个角，再加上我的边，我的 e q 和 ep， 这是等腰直角三角形，所以一条边了，再加上一个角， 我这个角一加上这个角二是九十，我的角三加角二也是九十，所以角一就等于角三，对吧？我的 a s 就 可以正全等，全等之后我 e m 就 等于 e n 了，那我就可以说明它是在角平分线上， ok， 这个也没有问题了。然后我们再来看第三个，我 p q e 的 外心 o， 那这 p q e， 它是一个直角三角形，好，又是外星，所以说直接取它的中点嘛，斜边上中点数往下做个垂线，最大距离是表示一下 o h， 那 我们其实你可以发现这是一个标准的一线三等角，这是垂直，这是垂直，再加上我的 c p 是 垂直于 p q 的， 对不对？所以我只要给它表示出来就可以了。那表示出来之后配个方，那我们来看一下这两个三角形相似，告诉我们这是 m， 那 这一节呢？ 或者说你来看啊，这在这个 p 三角形 p q a 里边，这是垂直，这是垂直， o 是 终点，所以说 h 也是为 ap 终点的。我平行线分现在成比例，我中位线，我，呃，相似都可以做啊，所以说我的 ap 是 c d， c， d 是 几来着？是四倍，呃，四倍杠三， 呃，四倍杠三减 m， 那 我的 hp 是 不就是四倍杠三减 m 比二， 对吧？那我的，呃，右边这个三角形，我的 p b 是 m b c， 呃，给的是四啊，给的是四。然后我这两个三角形相似，就三角形 o h， p 相似于三角形 p b， c， 这都不用我说了啊，这都比较简单了，因为这个一线三角大概就是相似，之后我们就用一个，嗯，两个直角边一笔就有了，然后我们就可以得到， 嗯，还是给你写一下吧， o h， o h 就是 我要求的 o h 比上这个 p b 是 m， 再加上这个 p h 就是 我们刚说的二分之四倍根号三减 m， 我 的 hp， 我 的 bc 就是 四，然后你就交叉相乘嘛，你就得出来，我的 o h 是 等于负八分之一， m 方加它好变成一个式子啊，又要求最大距离，所以说直接配方嘛，配方我就怎么做都不讲了，答案是 这个开口向下嘛。然后 m 取的是零小于等于 m 小 于等于四倍根号三，我是可以取到对称轴，也就是二倍根号三的，所以说这个时候我就是 m 等于二倍根号三的时候 有最大值，最大值为二分之三啊，我们可以记一下这个答案，因为我们在后边做的时候，他是会有用的。 嗯， m 等于二倍根号三的时候，最大距离等于二分之三。好吧，然后我们再来看一下这个第四本，在 p 的 运动过程中， e 能否会落在 d c 边上， 如果能的话，让我们求 m 的 值，那它让我们求它能否落在 d c 边上，我们就来求一下什么，求一下它的长，然后和 a d 比较一下不就可以了吗？对吧？那求 e h 的 长。 唉，求 e h 的 长的话，我们还是啊。嗯，此时 m 的 值。 哦，刚刚给那个卡就说让我们能否落在它边上，就是往下做垂线，对吧？就是来看一下 em 和这个 a d 的 长， 就是和四的关系，比较一下就可以了。那其实也是啊，也就是来配方吧，我说表示出来，最主要是表示就是往这分别做两条垂线， 对吧？这时候还是啊，这是 m a p 是 四倍根号三减 m， 那 我们这其实应该是一个正方形，所以我就把正方形给它表示出来，表示舍它的四条边都是 y 吧， 对吧？是它都是 y 的 话，那我这个 mp 其实就是四倍根号三减 m 减 y， 再用上我们刚刚的这个角平分线的性质，这个 n q 和它的长是一样的， 那这个 a q 的 长我们也可以求出来，也就是这个 a n 减去这个 n q， 对 吧？就是 y 减去这个四倍根号三，减 m 减 y 就 等于二 y 加 m 减四倍根号三，然后我们要找的是 这个 y， 对 吧？ y 不 就我们使的 em 吗？因为我们直接求出来是求不了，所以我给它转化到这，然后我们再去用相似来做，那这时候还是一线三棱角，正三角形 a p q 和三角形 b c p 相似，那我的 a q b bp 就 等于这个 a p b bc， 那 我就到时候我就，我就不时间有限，就直接把这个数往里一带算出来，我的 y 是 等于负八分之一 m 方加 它加二倍根号三，然后我还要是去要配方的，或者说如果这个你不好配的话，你直接去给他找那个什么找负二 a 分 之 b， 你 直接用这个公式去做。 我说我直接把它求出来之后，发现它这个是二倍根号三减二，它是在我这个范围内，那个范围啊，是 零到四倍根号三，因为它是在上面动着的吗？到这个 a 结束，所以说我的最大值再把它往里带是二加根号三， 所以说你看这二加根号三，他是小于四的，所以说他是不可能落在 d c 边上的。然后我们这个时候也是把这个数先写在这，等会会用啊，我 m 是 等于 二倍根号三减二的时候，我这个最大值，我这个 e m 的 值是等于二加根号三。好，然后我们再来看一下这个圈二，说他的运动路径长， 那其实如果你模型学的好的话，你可以发现这是一个光照原理，那如果学的不好的话，或你都没有听过的话，那我们就硬做，因为他前边这些答案都是告诉我们或给我们提供一个思路的。那那 e 是 怎么运动的呢？ 来看啊，再从头来看一个题，我动点 p 是 从 b 开始动的，到 a 停止， 然后我们可以就当 p 在 这吧，它在这的时候，那我的 q 我是 要做 q p 垂直于它的，交 a d 交 a d 一 点 q， 所以 说我这个点 q 只能在这吧，然后我是把 p q 当做斜边，那这个时候我给大家画一个比较大的吧， 这个图太小， 对吧？我 p 最开始是在这 q 最是在这 p 一 q 一 吧，那这个时候呢，我是以这为斜边去做了一个等腰直角三角形， 对吧？你就可以把这当成一个直角嘛，哎，那这就是那个 e 呗，写个一吧， 然后我是怎么动的？我这个屁在这动了之后，我的 q 也是会 动的，那我们可以简简单单的举个例子，要连接这，我再是做他的垂线交到这于那个 q， 然后去怎样做他的那个等腰直角三角形， 能不能理解，对吧？那就是这样，所以说我们会发现什么呀？它它应该是一个一直在 p， 是 在直线上动着，那这个 e 也是在它动，如果你去过拐角，原理可以直接知道它是在角平分线上动，那如果你不知道，人家也告诉你了吗？前面告诉我们 e 在 角平分线上动，那再加上我们刚刚说它 动的时候，我们数已经算出来了，它动的这个最大距离是二加根号三了呀。所以呢， 我们就把它动到最大的那一刻给它画出来，就比如说这肯定是一二，因为 怎么样？因为我的意是在角平分线上动着，然后那这个时候，呃，我得画一个像一点的给你倒画回去吧，就当这个是一二吧。 然后我是要垂直于它吗？这个可能画的不太像呀， 哎。 嗯，就大概是这样的啊，我这是那个 p 二，我这是那个 q 二，此时它这是最大，就是我们刚求这最高的时候，那我们刚说了，我的 m 是 二倍根号三减二，所以说我这就是 这 一个笔，它给没电了，充了一下电，然后这次我们换蓝笔吧。呃，此时，呃，它的路径长，也就是这个一二一，一段是它第二段就是这个 一二 a 嘛，它先到最高点，再由最高点到我的最低点，就是到结束的时候。那来看一下，那我们得用到刚刚这，当我 m 是 这 五 m 等于它的时候，我才能运到最高点，那最高点的时候呢？就是二加根号三，那对应的我就把这个 e 二 a 求出来了，不就是一比一比根号二吗？所以就是二倍根号二，加上这个根号六， 对吧？然后我再把 e a 也求出来，这是四十五，这是四十五。这两条边，呃，不是也是一比一比杠二吗？所以说我的 e a 就是 二分之根号二，乘上我的四倍根号三，就是，呃，二倍根号六，是吧？应该是二倍根号六 啊。然后这个时候我们再来看，让我们求的这个一二一再写一遍吧。一二一 加上我这个一二 a， 我 就可以给他转换一下。一二一一，我可以给他变成一个大边，也就是一二 a 减去这个 e 一 a， 再加上这个 e 二 a， 也就是二倍的 e 二 a 减去 e e a， 那 e 二 a 是 几？就是我刚求的这个就是四倍根号二，加二倍根号六，我再减去我的二倍根号，答案就是四倍杠二吧？

昨天晚上呢，我收到了一个郑州六十二中的一个孩子啊啊，这个孩子成绩还挺拔尖的，他总分应该年级能排个三十名左右，目标呢，肯定是郑州比较顶尖的高中啊，实力是比较 ok 的 啊。但是他的二模的数学 压轴题，第二十三题，第二个想问的时候，他就直接卡壳了，然后没做出来。我看了这道题啊，嗯，我觉得这道题特别能暴露出想冲刺满分，占孩子的一些容易犯的坑。 今天我就拿这道题，给所有备战中考想攻克压轴题九年级学生去讲透他的核心逻辑。首先这道题呢，他是河南中考比较经典的一个类比探究型的压轴题。这类题有个铁律 啊，第一个问绝对是突破口，他的结论和方法全程 都是有用的，你正出的线段相等。第二问，直接沿用快速得到等腰三角形，等边对等角，接着再倒角。如果这一步想不明白，这道题直接凉凉 啊！再看题目当中关键的一些条件，比如说平行，很多孩子你看到平行，你如果说没有想法，那你嘎嘣一下也凉了。 平行，你能想到什么呢？同背角，内错角，同旁内角，哎，关于角度的转化，这是几何压轴题最基础的 破题思维，缺了这一步，根本找不到解题切入点。而这道题最难的点呢，是让你证明这两个线段长是相等的，考的就是初中几何终点核心模型， 像背长中线、三线合一、中位线、直角三角形、斜中定力这几个中点处理方法，孩子要是没练透，没形成条件反射， 考场上绝对没思路。这道题只要想到背城中线的孩子们啊，基本上一步就能打通所有的逻辑，直接 over。 除此之外呢，河南中考必考的手拉手模型，它的特征结论，孩子们是否能够撩人凶？模型不熟的话，你做题不仅慢，还容易卡壳 啊！我一直跟孩子们强调一个点啊，中考数学的压轴题啊，比较简单啊，拼的从来不是运气，而是模块化的一个解题能力。他的模型化思维，考场的抗压速度，考试时间极度紧张，前面的基础题你必须要又快又准， 这样给到压轴题留足时间。但凡模型不熟啊，思路不清晰，破题方法没吃透，哪怕是尖子生，也会在考场上崩盘的。距离中考只剩一个月的时间了，别再盲目刷题了， 吃透类比探求的承接逻辑，练熟我们像平行倒角、终点模型、手拉手结构这样的核心的解法， 把每一道压轴题的破题步骤、核心思路、常用的结论给他扎牢，这样才能在考场上秒抓关键，快速解题。压轴题不可怕，可怕的是你没有系统的解析思维，最后一个月找准方向，专攻方法，数学满分真的不难！

形态按摩，选择压轴详细讲解这个题，让证 b q 的 长度，那我肯定首先连一下谁 c q 是 吧？那 c q 我 只要证出来 c q b 在 一条直线，那 b q 的 距离就是 b q 的 长度，而且很容易很容易证出来这个 c、 t、 q 和 a、 c、 b 是 全等的，也就是说你这个 c q 呃的两倍，是吧？就是 b q 的 长度。来，这么咱先设这个旋转角，一角二为 r 法，那旋转角以后，旋转完以后对应边相等，所以说 a、 d 等于 dm， c、 d 呢？等于个 d q 顶角是相等的，那等幺三角形，这四个底角是不是相等的，是吧？那这个角加这个角是一百八十度的话， 这个角和谁是对应的？和 d、 a、 b 是 不是对应的？我是不是只要挣出来这个角等于这个 a、 d、 c 就 行了，是吧？那挣这个角等于 a， d、 c 是 不是就挣这个底角等于 a、 d、 c？ 然后你看 d， a、 c 是 不是对应的 d、 m c d m c 加这个角是不是一百八十度？那所以说 d、 a、 c 加这个角就是一百八十度，那 d a、 c 加 adc 又是一百八十度，所以说这个角和 adc 相等，所以说就是，呃，这个角就等于这个角，这个角加这个角是一百八十度，所以这个角加这个对应对角是不是也是一百八十度呀？ 那这个正出来，在一条直线上，我就要正 c q 长度了，很明显 c、 d q 三角形和 a、 d、 m 是 相似的，然后 c、 d 的 长度是有的，是四，那我只需要求出来 a、 d 的 长度就行了，因为 a、 m 长度也有呀， a、 m 长度是二呀，是吧？因为 a、 c 是 等于 c、 d 的， 所以说 a、 m 的 一半是二，那怎么正呢？这个就有个对角线的平方定律， 对角线平行四边形，对角线的平方加起来等于两倍的边长平方的和，也就是说 d， b 方加 a， c 方等于二倍的 a， d 方加 d， c 方。所以说我设 a， d 为 x， 那 dm 就是 x， d， b 呢？就是二 x， 所以说就是四的平方加二， x 的 平方等于二倍的。四个平方加 s 平方解出来 x 是 个二倍根号二。那这个时候对应边乘比例 c， d 比上 ad 就是 四比二倍根号二等于谁呢？是不是 c q 比上 am 就是 c， q 比二，算出来 c q 是 二倍根号二，所以 q b 是 四倍根号二。

今天呢，我们来讲一下啊省实验刚刚考过的这个二模题的第十五题，题目上说点 g 的 坐标是零逗二，那么以点 g 为圆心，半径为四的这样一个圆，与 x 轴交于 a 和 b 与 y 轴交于 c 和 d， 那 么这个点 e 呢？是一个动点， 我们去过点 c 做 c， f 垂直 a， e 与点 f， 那 么我们知道一般来说我们牵涉到动点的问题，我们就要研究这个动点所运动的轨迹， 它让求线段 f、 g 的 最大值和最小值。那我们看一下角 c， f、 a 不管怎么动，它都是一个直角，那么根据直径对直角，也就是说我们点 f 的 运动轨迹是一个圆，是一个什么样的圆呢？它是以 a、 c 为直径， a、 c 的 中点 为圆心的这样一个圆上运动。我们来观察一下它的运动轨迹，它始终是在以 a、 c 为直径，以它的 终点为圆心的这样一个圆上运动。我们知道了它的运动轨迹之后，咱们就可以根据一箭穿心来求 f、 g 的 最大值，最小值了。当点 f g 和我们隐形圆的圆心 p 在 同一条直线上的时候，那么咱们的 f、 e、 g 就是 最小值。那我们来看一下该如何求呢？ 我们连结 ag， 因为 og 的 长度是二，咱们 ag 的 长度是四，根据一比二，我们就知道角 ago 是 六十度，那么因为 ga 等于 gc， 所以 这个等腰三角形的底角分别是三十度， 根据我们顶角为一百二十度的等腰三角形，三边之比，一比一比刚好三，那么咱们的直径 a、 c 的 长度就是四倍的根号三，那么我们的半径 hp 就 等于二倍的根号三， 那么我们还要去求 p g 的 长度，因为咱们的最大值就是 hp， 加上 p g， 最小值就是半径减去 p g， 那么我们三十度所对的直角边 p g 等于斜边 a g 的 一半，那么 p g 的 长度就是二，因此我们的最小值 f e g 就 等于半径二倍的根号三。减去 p g 的 长度二， 咱们的最大值 h g 就 等于半径二倍的根号三，加上 p g 的 长度二。

中考数学邢台二模这段分析咱们先说结论，邢台二模，这次考试是没有邢台一模难度大，但是这套卷的难度也不简单，因为他只是比邢台一模简单而已，然后咱们前面题也不去看他了啊。第九题，这个对空间能力想象比较弱的同学来说是比较难的。 然后十一题，这个就是涉及到一个换元，你就令这个东西为 t 是 吧？那这个前面就是 t 加二，这就是 t 减二，你展开以后能把 t 算出来。然后十二题，这个难度比较大，首先这个东西你得先去倒倒倒腾角，把 d a 和 d m 正反是相等的，然后 dc 和 ac 包括 d q 这些都也都是相等的，你这时候你就能得出来 d a m 和谁相似，和这个 d c q 是 相似的。然后你也可以通过导角把这个 d c q 正出来，是在一条直线，那这个时候你相似完以后，我知道 c d 是 四，那我就只我需要求出来这个。呃，那 am 呢？刚才 a c 不是 等于 c d 等于四吗？所以说 am 是 二，我只需要把 a、 d 求出来以后 是吧？我求出来 a d 以后，这个通过比例我就能把 c q 求出来来，那然后呢？这个 q b 的 长就是 c q 的 两倍，因为这个 c b 是 等于 c q 的 啊， 那这个就需要用平方和公式了，也就是说你在平行四角形对角线各自的平方加起来是等于两倍，边长平方加边长平方的，所以说你可以设这个边是 x 是 吧？这个边是 x 以后 那这就是二，这个是四，这个 d d 这个也是 x 是 吧？ d b 就是 二 x， 你 是可以把这个 x 求出来的，然后你通过一下相似是能把这个呃 q b 长是求出来的啊。然后十三十四也不是特别难，十五题的话，这个呃利用一下中点是吧？ p 是 中点， p 是 a q 中点，所以说你往这做个垂线，你往这做个垂线以后， 你这个 h p h 就是 斜边上的中线，因为他说了 b p c 是 直角叉形嘛。那所以说 p a b h 的 p h 长度是能求开是个三的，是吧？那你再往这做个平行，然后往这做个平行，那 p p d 也相当于斜边上的中线，也就是说 p d q 是 个等腰 三角形，也就是这和这的比例是一比一，是吧？那而且跟这就是 d q 和 c q 的 比值也是一比一，所以说这相当于占了三份，所以说你能求出来这个 c d 是 四啊。然后这个二次函数这个题，你得保证这个对称轴在五的右侧，而且你得保证这个 y 五，也就是说在这个 x 二的最小值，在这个呃，五到 c 之间，这个最小值，因为你是开口朝下嘛，是吧？你开口朝下，那你 x 二在一的范围内的最小值就是 y 五，是吧？你得保证这个 y 七大于等于 y 五，就能把这个 p 的 范围求出来啊。 然后这两个题就不去看了，十九题也不难，二十题也不难，二十一题第一问也是送分的，呃，第二问，反正你求出来一个 q 的 坐标是挺简单的， a b o 如果等于 b a q 的 话，你可以直接找平行内错角相等， q 的 横坐标和 a 的 横坐标相等，这个是比较好求的。那第二种就相对来说计算量有点大了，你得去做一个这样去，在这可能有一个角和这个 呃，这个 a、 b、 o 是 相等的，你如果用高中那个加角公式是简单的，也可以用。二十二题， 这个题第一问也是比较简单的，就是切线，切线长定律嘛， a q 是 切线， a b 也是切线啊，因为这也是垂直的呀，所以说 a q 等于 a， b 等于二。第二问，一箭穿心是吧，求一下 d o 的 长，然后减个半径就行了。第三问，这个阴影面积也是比较好求的，阴影面积的话，你就需要求出来这个 呃，扇形 d、 o， q， a、 c 的 面积，那这个角等于多少度呢？它为啥给你个 c p 是 三分之二倍等于三是吧，那这个边长是二，那就是想让你去用正切呗，正切求它这三十度， 所以说这个三角形面积可以求出来，三角形面积也可以求出来，最后一相加就行了啊。二十三题，这个二次函数体整体来说是比较简单的。呃，第一问是吧，顶点告诉你了，你得从图像上看出来，还经过零零啊，所以说把这个带进去就行了。那第二问，你就可以把第一问解析式不是求出来了，他说向右平移呃 t， 所以 说就是呃 y 等于左加右减嘛，所以就是 你求出来。第一问，解析式以后怪等于 a 倍的，应该是个 x 减八，你再减个 t 是 吧，再加十六，应该是八多少十六了吧，是吧？八多少啊？八多少十八啊，八多少十八。然后你把这个解析式新的解析式表达出来以后，把这个 a 的 坐标带进去就行了，你可以求出来这个 t 的 值啊，然后取那个 向右平移的那个，嗯，然后还有第三问，第三问也比较。呃，第三问我个人感觉也不是特别难，因为他说要刚好是 c d 的 长度嘛，那 c d 的 长度也已经告诉你是四点九了， 那我只需要设它平移 m 米，是吧？设它平移 m 米，然后这个时候咱们就你就默认成是减减号呗，因为你求出来这个 m 如果是正数，那就向右平，如果求出来负数，那就向左平移呗。你就可以把 y 一 的解析式表示成负十分之一 x 减 m 的 平方加 h， 然后这个 y 二也是， 呃， y 二也是负五分之一 x 减 m 的 平方加上 h， 因为这个横坐标是告诉你了，你把横坐标带进去是吧？带进去以后，这个 y 一 减去 y 二，刚好等于这个四点九，你就能算出来这个 m 值，这个也不是说特别难啊。然后咱们看一下最后一题，最后一题的第一问比较简单，是吧？就用一下勾股定律，或者说三角函数都行。第二问 c n 是 一，这个就是需要 因为他给你画了个图吗？这个图就容易误导你，因为人家这个是在哪运动，是不是在射线 bc 上运动？所以说你是两种情况，有可能 c n 在 这是一，然后你去呃求出来这个 b n 的 长度，因为这个角的余弦值是五分之四，这个角 a 正弦值是五五分之四吗？这个角的余弦值就是五分之四求出来的啊，然后通过一下三角函数能把这个 bm 求出来， 当然虽然也有可能跑到这边啊，是吧？跑到这边一一的时候，这个又又能求出来一个数，所以说你分情况去讨论一下。然后第三问的话，这个因为他让你求写过程，如果这个是直接写出答案，你用如果这个这一个难度还是比较大的啊，你用高度那个向量的点击公式去求是比较简单。

太阳初三二模这幅试卷吧，这幅试卷的难度并不是太大，就是二次函数那个计算量有点大，十五题和二十三题，他俩考的是同一个知识点，并不是太难。咱们先说一下前面选择题的 前十个选择题没有难度，就是第九个，有的学生会有可能会选错选 d， 为啥呢？因为他只给了一部分，而你当你沿把它划完之后，他实际还有一个焦点，说明他有两个点，而不是一个。 嗯，然后就是下来，咱们就说一下。呃，这次考的垂直平分线考的真不少，就是考那个，嗯，大体的第二个和画图题，他俩考的实际上都是垂直平分线，如果你能想明白，特别是画图那个想能画垂直平分线，那这个题就非常简单，非常非常简单了。 如果不知道，那这个题相对说比较难。然后十五，咱们说下十五题，十五题和二十三题我觉得本质是一样，都考的平行线，他考前面十五题，一看比例关系，一定要想到平行线，成比例关系嘛，然后 把边过比出来之后，边求出来之后，然后干嘛呢？又遇到了四十五度肯定构造直角三角形，并且 由于讲等幺三九，肯定三线合一，所以说刚好构成一个什么直角梯形，然后就可以找到高了，然后就可以找到了边了。 包括最后一个题，最后一个题也是你要直到 a 平行线 a， 他 有个终点，立刻马上想到什么全等的问题，全等的问题，立刻马上就可把第二位就能搞出来了。这是不是勾到一个相似一比三，那第三位呢？第三位实际上他是在第二位的基础之上，你这里面需要 嗯，讨论分论，讨论到哪个点是一个嗯，直角呢？到底哪个角是一个直角呢？如果角 d、 c、 g 是 九十度，那就可以嘛。这两个三角形是不是刚好全等？ d、 c、 g 和 d、 e、 g 全等刚好是干嘛呢？ 用 h、 l 来证明全等，证明全等说明那个角是六十度，那个角是三十度，那然后不是一比、二比和三的关系吗？ 第二个就是干嘛呢？当你 d、 g、 c 是 九十度的时候， d、 g、 c 是 九的时候，咱们干嘛？是不是这里面 e 是 一个中点，刚好直角三角形对直角三角形的什么？斜边的中线等于斜边的一半。所以说什么你 e、 g 是 不是就刚好就等于 d、 e 刚好？咱们在直角三角形 a、 e、 g 中， a， e、 d 中，那不是一比三的关系吗？所以答案就是一比三，所以这个题不难。那二十二题呢？二次函数，这个前两位非常简单，二十二题 前两位别算错，特别一次函数的表达。是，你记住啊，咱们考试不会去做蒙这个题，也得蒙一次函数的。是一次函数，一般来说不会是反比例函数。反比？什么是反比例函数呢？就是 x、 y 乘一个定值，但这两不是一个定值，肯定是一次函数呗。 那一次函数咱们求出解析式之后，然后咱们就会列就行了，列出一般就是 x 乘以 y 后面那个，你看列的第三位列的非常复杂，他又没让你算，他只说是啊，不， 不超过他，不超过他，那就说明什么意思？对称轴在哪里呢？不超过二百，一定要注意，对称轴一定是在二百的右侧呢，知道吧？一定在对称轴，一旦二百的右侧，说明你只要知道对称轴大于等于二百，那这个题就出来了。 如果咱们这个题没有读懂，第三位咱们要死算，我觉得这个题应该是算不出来的，所以这一份题吧，整体来说难度不是太大。如果咱们是中等生了，我觉得除了第十五题和二十三题的最后一位，以及二十二题的 和画图题的最后一位，其他题应该都得给我写，对吧？并且有的人说啊，这未来一定要会考圆的问题，但这次 大体里面，特别是十，特别是十七题，十七题他没有考圆，知道吧？所以说咱们不用去纠结说我肯定考圆的，没有这么说。 然后那个我觉得填空题有一个题出的非常不错，就是一个什么，就是一个第十四题，第十四题他让你求这个图形的周长，这个周长好多学生容易数错，特别是两个五边形好多，所以他是几个九个。 而你这里面的圆心，这里面的角，正五边形的内角以及外角该怎么求呢？有的学生内角我记不住，那你能不能记住外角呢？外角不是三百六十度吗？ 三百六十除以一个边数，那不是外角求出来，外角求出来呢？一百八十度减去一个是不等于内角了，然后就可以算出来什么 cad 这个圆形角了，这个这个角度了，角度，然后咱们就可以算出 转换成三百六十度之后，然后就可以转换成他的什么周长的弧度了。所以说咱们这种题吧，没有不是太难，但是下去了之后，咱们看自己哪里有问题，咱们一定要及时的盯正。

二模考试结束了，有同学呢，一模觉得数学过难，考的不好，感觉二模呢，有机会再高一些，没想到呢，二模难度也不低，关键是总分比一模还降了， 那是什么原因呢？有的学科比一模提升难度了，物理呢，有的学校出的比一模就难， 包括英语和化学学科。有同学化学是没答完卷子，总分算下来确实比一模还低了。我们这一次，语文和数学是统一的，其他科目学校自己命题，因此这个分数学校和学校之间没有可比性， 你最多就是在学校内部看看你的位次进了还是退了。再说回数学，数学这一次啊，大多数同学啊，成绩好的都卡在了第十题， 二十二题最后一问，二十三题最后一问，二十二题的最后一问，还是和上回考试一样，不知道题目在问什么。最后一个大题的第三问，画图不会画，大多数同学就画了一种， 第二种死活画不出来。这种有过程有旋转的问题，不给你图，考察的其中之一就是让你把图给画好， 你没有这个能力，这个题蒙都没法做。你看啊，咱们以前的考试，当地出题呢，都是习惯把图给你画好，你直接正，但现在呢，需要你自己脑子中有这个过程 啊，不论是折叠还是旋转，画一部分，把框架给你撑出来，剩下的过程以及最终转完几种情况，你自己画，画完了自己正。你脑子中没有这个过程的， 平时懒得动笔画图的这种题，对你来说就是个灾难了。最后咱们说一下第十题，这个最难的题目，百分之九十九的同学考场上都没思路，最终呢也是蒙上去的，蒙的同学里面有一部分答案选对了， 那我们数学组呢，对于这个最难的题目，提供我们八种解析思路给到我们的孩子们，有学校数学组的老师看了我的直播以后，思想里在跟我们要这种八种解析思路，大家加油啊，给我们数学组点个赞吧！

太原二模数学二十三题就考这一类。我跟你讲，山西这几年压轴题翻来覆去就爱考察图形变换，什么折叠、旋转、动点，看着花样很多，其实考察的就那几套东西，找全等， 找相似、找线段关系，最后再用勾股定律或者三角函数把长度计算出来。孩子为什么一到二十三题就丢分？不是一点都不会，是图形一变他就不知道从哪里下手，尤其是最后一问，最容易漏掉情况，算出来一个答案就以为完事了。 所以这个题考前必须按照山西中考真题这个风格去进行练习。我把太原二模二十三题押题资料全都整理好了，包括折叠、旋转、相似、三角函数、分类讨论等等，题型和涉问方式 都是按照本地模考的路子来的。最后这几天别让孩子硬啃难题了，把二十三题这几类押题方向刷透， 上考场看到图形，至少知道先从哪条线、哪个角、哪组相似下手。想要这份太原二模二十三题押题资料的输入数学，我发你电子版。

保定二模的数学终于考完了啊，试卷整体呢，中等偏易，难度是低于我们中考整体的，特别适合考前复习，巩固基础。查了补缺，基础题呢，占百分之六十，中档题百分 之三十，难题仅仅占百分之十。难题呢，集中在选择第十二题，填空十六题，还有二十三、二十四两道压轴大题，主打综合，几何各占百分之四十五，概率统计占百分之十， 全面覆盖中考高频核心知识点。那么题型划重点了，选择题一到七题，填空题的前两题都是我们基础送分题，务必稳稳拿满分。八到十一题和填空的十四十五这两道题是中档题，拉分题，侧重几何推理和数学的建模。 四道压轴难题呢，考察正六边形的旋转面积比例，二次函数整点、几何折叠对质问题，完全贴合中考压轴的出题风格。 那么试卷特点呢，是侧重基础考察和几何模型覆盖、折叠相似旋转和圆函数的出题呢，很常规，很贴合我们本地中考的命题规律。 最后呢，给大家提供三条中考的备考建议，第一是抓牢基础，简单题坚决不留分。第二是攻克中档题， 练手几何推理还有应用题的建模。第三呢，就是专项练压轴题，吃透几何变换函数最值的这些常考模型，稳不提升综合题的得分。那么大家需要完整版试卷和解析的取件码八八八。

好，同学们，那我们接着往下讲填空题，刚才我们已经把选择题的最后一道讲完了。呃，第十二题难度非常高啊。 那前面的题很简单，就第十二题，他开始上升难度了。那我们后边的填空题和解答题也是一样的，除了少数一两道特别难的之外，其他的难题很少。那我们来看一下第十三题。 某体育馆有三个完全相同的入口，分别通往天津。呃，田径训练场、球类什么健身训练场，三个训练场，一名运动员从任意一个入口进入的可能性相同啊，没有任何难点，我没有任何好说的啊。三分之一， 如果你这个题做错了，好好审题吧。好好审题吧。来看一下第十四题。十四题。呃，图七 是正 n 边形的一部分，还有它的一个外角，我们其实可以知道，这个三 r 法应该是它的一个内角，然后 r 法是它的一个外角，根据图中所给的信息，求 n 的 值。 呃，河北的考试好几年都在考多边形的内角和，你一定要记住这个公式啊，一定要记住公式，你不要说老师我考试的时候我再推呗，太麻烦了。记住公式， 一百八十度乘以一个 n 减二，这个是我们的多边形的内角和 n 边形的内角和。然后如果它是正 n 边形， 听好，正 n 边形，那它的一个内角就是除以一个 n 之后的结果。因为正 n 边形代表它的所有的内角都相同，那我们把它的和除以内角的个数就是它的一个内角。把这个公式记住了，那这个题就非常简单了，那我们看一下，先算它的内角吧。呃，三 r 法 加上一个 r 法等于一百八十度，那么也就是四 r 法等于一百八十度，那么 r 法就等于四十五度，哎，对吧？呃，四十五度没问题，那么三 r 法就等于，嗯，三五一十五，一百三十五度。 然后再怎么办呢？直接带到这个公式里不就可以了吗？带到这个公式里，刚才我们说的多边形，正多边形的一个内角就是我们这个公式，然后我们再算一下，一百八十度乘以 n 减去一个三百六十度等于一百三十五度乘以一个 n， 然后这俩 相减，那应该就是，嗯，五十啊，不对，不好意思啊，四十五度，四十五度乘以 n 等于三百六十度，然后 n 的 话就等于三百六十度乘以一个四十五，呃，八吧， 五八，四十四八三十二。好，那 n 的 话就是八。 如果你这个题做错了哈，看一下 n 边形的内角和是怎么算的就可以。再来第十五题， 我们一块来审一下题吧。嗯，从第十五题开始就就不是刚才那个简单题目了，是中等题了。 矩形 a， b， c d 中 ab 的 长是六，然后呢？呃， q 是 c d 的 一个中点， q 是 中点，连接 a q， p 是 在 a q 上，它是，它也是终点，它也是终点。 我们想它是终点的话，这个如果做垂线的话，它们是不是 他们的垂足？应该也是终点吧。你看这个和这个是平行的，然后这个是终点，所以这个点也 p 点是终点，所以这个也是终点，这个也是终点啊。我这不是说思路啊，我们再往下审啊。连接 b p 和 c p， 那么若 c p 垂直于 b p 那 角， b p， c 是 九十度，求 cd 的 长，求 cd 的 长，我们想一下这个题， 它应该是可以把里头很多的线段求出来吧？它求 cd 的 长， 那我们就来算一下不就可以了吗？我们标一下过 p 点，做一下 b c 的 垂线， 垂足是 m， 然后它的延长线交 a d 于点 n， 刚才我们说了，这个是垂直，这个是垂直，然后 p 是 终点，说明 m 是 bc 的 终点， n 是 ad 的 终点。然后， 哎，这个 p b、 c， 它应该就是一个等腰直角三角形，那它的底是六， bc 的 长是六。哎，那么这个 m p 的 长应该就是三吧，这个就是三，还有别的条件吗？ 啊？ p 是 a q 的 中点，这个是中点， 好像没有别的办法，设未知数吧。我们可以设 p n 的 长是 x， 然后 d q 的 长就是二 x， 对 吧？因为它是一个中位线，然后呢， cd 的 长， cd 的 长应该就是四 x， q 是 cd 的 中点，那就直接算就可以了。四 x 是 等于 m n， 所以 可以算出 x 是 等于一的， 但是我们要算的是 c d， 所以 c d 的 话是四 x， 那 就是四。好，我们来看一下这个题。呃，它用到的知识点的话用到了。呃，中位线，然后呢？用到了等腰直角三角形的一些性质， 但是整个难度并不是特别高啊，你可以想一下。好，这个题没有问题的话，我们再往下看。

好了，接下来我们来看看银外二零二六年初三二模的数学试卷。第一题，若角 a 等于二十三度，则角 a 的 余角大小是多少？这个比较简单，考察的是余角的定义，九十度减去二十三度，它应该等于六十七度，正确答案就是 b。 第二题， 根据国家卫健委的统计，我国接种的新冠疫苗已经超过了这么多，几次啊？这是考察的是科学计数法，这个呢，也比较简单，科学计数法的第一个数应该要大于等于一小于十，所以他应该是 七点零四。然后呢，我们往右数看，小数点移了几位？一二三四五六七八，小数点移了八位，所以他应该是七点零四乘以十的八次方。这里呢，应该是 d 选项。 第三题，考察的是几何体的三式图，如图所示，图中有七个完全相同的小正方体组成的几何体。问他的左式图是哪个？我们通过立体图可以推断啊，如果从左边看的话，底下的这一层呢，是三个小正方体，左边的这一列呢，应该也落了三个，所以应该是 c 选项。 第四题，若这个式子在实数范围内有意义，则 x 的 取值范围是什么？那这道题呢，考察了分式、二次根式，还有零指数密。分式有意义的条件呢，是分母呢，不能为零，也就是根号下的 x 加一不能等于零。 然后呢，二次根式有意义的条件呢，是被开方数要大于等于零，也就是 x 加上一要大于等于零。零次密有意义的条件呢，是底数不能为零，也就是 x 不 能等于零。 所以呢， x 需要同时满足这三个条件。第一个式子解出来呢， x 不 等于负一。第二个式子解出来呢， x 大 于等于负一。第三个条件呢，就是 x 不 等于零了， 取它们的公共部分，也就是 x 要大于负一，并且 x 不 等于零，所以正确答案是 c 选项。第五题，下列运算正确的。是啊，那这道题考察的是整式的运算以及根式的运算。第一个选项呢，应该是 a 的 五次方的二次方，它应该等于 a 的 十次方啊，密的乘方是底数不变，指数相乘。第二个呢，是 x 的 五次方，乘以 x 的 四次方等于 x 的 九次方，那这个应该是没有问题的，同底数密相乘，底数不变，指数相加， b 是 对的。 c 根号九等于正数三，这个明显是错的，根号九表示九的算数平方根，它应该等于三， 前面是不带正负号的，所以呢，这个正负号也不应该有啊。 d 选项，负二十七的立方根减去根号三，等于二倍的根号三。那这道题考了开立方负二十七的立方根，他应该是负三，负三减去根号三，那这个数呢，是不能合并的啊，他还是负三减去根号三。 所以呢，正确答案只有 b。 第六题，一个多边形的内角和外角和。 我们知道多边形的外角和是三百六十度，那么他的内角和就应该等于三百六十度，再乘以四，他应该等于一千四百四十度。 然后呢，把一千四百四十度带到多边形的内角和公式里面就可以了。多边形的内角和公式是一百八十度，再乘以个 n 减二，算出来 n 应该等于十，他是一个十边形， 正确答案就是 c。 第七题，将抛物线 y 等于二倍的 x 减三括号，方加二，向左平移三个单位长度，再向下平移两个单位长度，得到的抛物线解析式是哪个？这道题考察了二次函数的顶点式以及二次函数的平移。平移法则呢，是上加下减，左加右减， 向左平移三个单位长度，左右呢，动的是横坐标，也就是 x， 也就是 x 变成 x 加三。然后呢，再向下平移两个单位长度，上下呢，变的是纵坐标，也就是 y。 所以呢，在整个数字的后边呢，再减去二就可以了，把它化简出来，结果应该是 c 选项。 第八题，如图，在三乘三的网格中，每个小正方形的边长均为一点， abc 都在格点上，若 b、 d 是 三角形 abc 的 高，则 b、 d 的 长是多少？ 那这道题让你算三角形的高，我们就要把三角形 abc 的 面积算出来。通过观察图形，我们发现这个三角形呢，它并没有特殊角，所以呢，我们考虑把边上的这三个三角形面积给它挖掉。 我们把左上的这个三角形呢，记为一号，左下的记为二号，右上的记为三号。 s 一 呢，应该等于一， s 二呢，就等于二分之三， s 三呢，应该等于三。 所以呢，三角形 abc 的 面积，它就等于九，减去一，减去二分之三，再减去三，算出来呢，应该等于二分之七。 然后呢，底边 a、 c 的 长度，我们可以用勾股定律算出来， a c， 它应该等于根号下二的平方加上三的平方，也就是根号十三。 然后呢，算 b、 d， 我 们把它带到三角形的面积公式里面就可以了。 s 三角形 abc， 它应该等于二分之一乘以 a， c， 再乘以 b， d， 那 么 b d 就 等于二分之七乘以二，再除以根号十三。化简出来，它应该等于十三分之七倍的根号十三。所以正确答案就是 d 选项。

好，来看一下邢台二魔术学题的第十六题，在平面直角坐标系当中，给了我们任意的两个点 点， p x 一 逗号 y 点 q x 二，逗号 y 是 抛物线这个抛物线上的任意两点，那么通过这个抛物线，我们来看一下， y 等于负 x， 平方加 p， x 加 q， 我 们能够得到这个抛物线，它的开口是向下的， 那么接着他说，当 x 一 在三到五之间，那么 x 二到在五到七之间的时候，都有 y 小 于 y， 那 么我们能够得到横有这个 x 一， 是不是小于 x 二的， 那也就是说当 x 一 小于 x 的 时，二的时候，我们都有 y 一 小于 y 二，那这种情况我们是不是肯定能够想到的是我们在对称轴的同侧这一种情况里边是不是？所以我们接下来再分析的时候，第一种情况， 那么当 x 一 x 二在对称轴同侧时，同侧时啊，间隙啊同侧时，那么因为我们这个函数它是开口向下的， 因为我们抛物线开口向下，那么假如我们现在有这样的一个抛物线开口向下的一个抛物线，那么我们接着来看一下，它说，当我们这个 i x e 在 三到五之间， 然后 x 二在五到七之间的时候，我们横有 y 一 小于 y 二，那么如图所示。同学们，我们来看一下，那是不是当我们能够得到如果我们这条对称轴，这是对称轴啊，那么我们先去算一下，对于我们这个 y 二次方程， y 等于负 x 方， 加上 p， x 加 q， 它的对称轴 x 等于负的二 a 分 之 b， 所以 我们是不是得到它的对称轴就是二分之 p， 好 的，那么我们知道对称轴是二分之 p 啊，这个就是 x 等于二分之 p， 那 么也就是说我们发现当我们这个对称轴，它是恒大于七的时候，我们是不是能够得到？看一下， 当 x 一 在三到五这一段的时候，我们所得到的这个 y 值，这一块可以理解是 y 一 是不是很小于，当 x 在 五到七的时候， 那么这一段它是不是 y 二？假如这是 y 一， 这是 y 二，那么也就是我们能够得到。那么当 x 一 x 二都在我们对称轴的同侧的时候，那么我们横有 x 一 小于 x 二时，都有 y 一， 是不是小于 y 二，那么我们就能够得到。这种情况， 也就是我们的对称轴二分之 p， 它应该是大于等于七的，那也就是 p 它是大于等于十四的。 好，我们接着再往下看，那么想到同侧，我们是不是就会想到了异侧，那么对于这个异侧的时候，我们要联想我们这个知识点啊，我们知道当我们这个二次函数， 哎呀画的有点不太好啊，大家尝试看一下我们这个草图，当我们有一个二次函数，它开口向下的时候，我们是不是能够得到？ 当我们这个点二次函数图像上的这个点到对称轴的距离越远的时候，我们是不是能够得到？大家来看一下，比如说这两个点，那么它到对称轴的距离越远的时候，我们是不是能够得到？它的这个外值是不是就是越小的呀？ 对吧？所以我们接着根据这个值点，我们接着来再去分析一下，那如果我们现在有这两个点，它是在我们这个 呃对称轴的异侧的这种情况下，我们来看一下，假如现在还是先画出一个矢域图来， 因为它这个里边是不是给出我们的条件就是一个是在三到五是我们的对称轴 x 等于二分之 p， 那 么大家来看一下。假如， 好，假如我们来看，比如说我们有一段它是三到五，另外一段我们是五到七，我们会发现，如果我们的对称轴它刚刚好在六的时候，我们是不是能够得到这个？当我们这个 x 等于五和我们的 x 等于七的时候，对应的这个 y 值是不是相等的， 对不对？那这个时候正好我们也能够满足。同学们来看一下， 当我们这个 x 一 在三到五之间的时候，当我们这个 x 二在五到七，呃，五到七之间的时候，是不是横也能够得到我们这个 y 二是不是小于 y 一 的？那么我们会发现，当我们这个对称轴我们继续向右 移动，也就是说，比如说当我们的对称轴它在六到七中间的这段的时候，画出一个图案 好，比如说假如我们这儿马上接近齐了啊，这是绿， 大致的画一下，这个示意图画的不是特别标准，大家凑合着看一下，这是三，这是五。 好。同学们来看一下，那么这种情况，也就说当我们的对称轴在六到七之间的时候，我是不是同样能够满足？ 当我们的 x 一 在三到五之间，我们所对应的这个 y 一 是不是很小于当我们这个 x 二在五到七之间这一段之前 这一段的这个 y 二啊，这个 y 二，所以我们通过这个情况我们也就能够得到当我们这个 x e、 x 二在我们的对称轴的一侧这一部分啊，也就说我们 x 二，它也是在我们对称轴两侧的时候， 那么我们能够得到我们这个对称轴二分之 p， 它应该是大于等于六，小于七的时候，我们是不是都会满足 y 一 小于 y 二，那么这种情况里边我们是不是能够得到这个 p， 它就是大于等于十二小于十四。那么宗上 大家看这两种情况里边，一个是 p 大 于等于十四，一个是在十二到十四之间，所以我们是不是能够得到我们这个 p， 它是大于等于十二。好嘞，这是我们这一道题。

看一下第六题。好，这个是一个二次根式的题目，二次根式的题目。然后我有一个学生做错了，所以我们把它讲了很多， 讲了很多，因为我觉得这一个题做错的话，就代表着你有很多知识点不太熟啊。那我们一样的假设，这道题你做错了，我们先讲知识点，再讲这个题。我们先讲知识点，再讲这个题。我们看一下这知识点用到了什么？呃，用到了几个点？第一，第一个是加减乘除， 就是根号下的数加减乘除应该怎么办？ 来看一下。先说乘除，先说乘除，乘除的话，就是根号 a 乘以一个根号 b， 就 等于根号下 ab。 举个例子，根号二乘以根号三，就等于根号六。 很简单除法，根号 a 除以根号 b， 就 等于根号下 a 除 b。 比如根号二除以根号三，就等于根号下三分之二。来看一下，看一下。 呃，当然这个 b 不 能为零啊。那这乘除很简单，那加减是不是也很简单呢？有些，有些学生说，老师，我知道了，根号 a 加根号 b， 等于根号下 a 加 b， 对 不对？同学们， 错啊，错，这个是错的。我们来说一下。呃，加减法的话，就涉及到一个新的概念啊。我们这个这样吧，我把它分成两这个乘除，然后第二个是加减， 那加减的话，第一个词我们要知道，呃，就是这个最减二次根式 和同类二次根式。 好，如果把这两个字搞懂了，加减法就会了。首先最减二次根式。什么叫最减二次根式呢？我们要求是根号下的数没有完全平方数，比如说根号五十，你会发现它的音式分解。呃，它的它这个它的音式音数里头应该有二十五吧， 那二十五是个平方数啊，那它可以开出来的，它就可以变成根号二十五乘以一个根号二。哎，我们用到了这个的逆定里啊，反过来那应该就是五倍的根号二吧。 所以如果里头有平方数，我们要开出来，那第二个就是根号下不能有分母，或者是这个分数里头的分母不能带根号。什么意思呢？比如说根号加三分之二。 哎，那这个时候是不是最减二次根式，那我们应该怎么办？我们应该上下同时乘一个根号三，那这个根号三乘以根号三就变成三了，然后这个根号二乘以根号三，就变成根号六了， 这个叫做这个最减二次根式，它的分母有理化这个步骤，这个步骤叫做分母，它本来是无理数，我们把它变成有理数， 然后呢叫做分母有理化。哎，上高中的话也会用到这个知识点啊，也会用到知识点，因为我教一个高中的学生，他基础比较薄弱，他竟然问这个什么叫分母有理化，所以这个知识点还是很重要的。 呃，还有一个，既然说到这，我们再把它拓展一点，比如说根号二减一分之三，我想把它分母有理化，你们可以试一下。可以暂停试一下。 做出来了吗？我们来看一下这个怎么进行分母有理化呢？就是我们的分子分母同时乘以它的什么呀？根号二加一，就是我们看这个符号是减法，我们就乘以个加法， 如果是个加法的，我们就乘以个减法的负平方差公式可以看一下，就是根号二减一，乘以一个根号二加一， 那分子分不成了，那分子也要乘一个根号二加一，带上括号。那这样有什么好处呢？ a 加 b 乘以 a 减 b， 是 不是等于 a 方减 b 方， 哎，那就可以错出根号二的平方是二，一的平方是一，那么上面是三倍的根号二加三，然后就等于三倍的根号二加三， 那这个就叫做分母有理化两个，一个是简单的，就是只带一个根号的，你就乘以它就可以了。分子分母同时乘以这个根号的数，比如根号三，然后呢，如果是分母比较复杂一点，有加减法的， 我们乘以它的另外一个有加法，我们就乘以减法的，有减法我们就乘以加法的凑平方差公式， 那现在我们是，我们明明讲加减法呢，孙老师，你给我拓展了那么多，把我搞晕了呀。这个最简二次根式讲完之后，这个有什么用呢？对我们加减法有什么用呢？那就是第二个概念，就是同类二次根式。 同类二次根式就是你化简成最减二次根式之后，这个时候你看根号下的数是不是一样的，比如说三倍的根号五和这个减二倍的负二倍的根号五，你会发现它根号下的数都是 一样的，而且它是最减二次根式，那这个时候它们就可以进行加减法了。那比如说，哎，我把它合到一起，这个三倍的根号五减去一个二倍的根号五，应该等于什么呀？等于根号五，为什么会这样呢？ 为什么会这样呢？哎，它和同类项的计算是一样的呀。三 x 方 y 减去二 x 方 y， 你 想想同类项的计算是怎么算的？ 是不是后边的字母和指数不变，它前面的系数相加减，那也就是三减二，那就是一，所以是 x 方 y， 那 这个就叫做同类项，而我们上面这个叫做同类二次根式，所以加减法的时候就是这样的一个计算。 好，那我们现在回来这个题啊，拓展了非常多，拓展非常多。这个题如果你做对了，哎，你觉得这个知识点非常简单，那你就稍微看一看，如果说你这题做错了，哎，我们的知识点都要审一遍，就知识点都要过一遍啊，看一下哪个地方不理解。 好，那我们现在来把这个题写一下这个题。那首先，呃，乘除你可以直接算啊，应该比较好看。你比如说，呃，根号二乘以一个根号下二分之一，就等于根号下二乘二分之一，就等于根号一，也就是一， 所以乘法是不行的，那么除法根号二除以一个根号下二分之一， 也就是等于根号下二乘二，那就是根号四，也就是等于二。哎，这个除法是对的来，但是，但是我们先不写，刚才说了，我们选项要看全的，对不对？要看全的，那我们，呃加减法，你们可以试一下根号二， 哎，这是怎么回事？没事，不影响根号二，加上一个根号下二分之一和根号二减去一个根号下二分之一，你们可以尝试算一下，看它的结果是多少。 好，呃，我现在给你们说答案。呃，首先他不是同类二次根式，所以你要就是他不是最简二次根式，你要先化简一下，那下面这个根号二，我们可以变成，呃，根号加二分之一，可以上下同时乘一个根号二，可以变成二分之根号二。哎，这个时候变成同类二次根式了。 那，呃，前面系数是一，这个系数是二分之一，所以加起来是二分之三倍的根号二，那这个也是一样的，根号二减去一个二分之根号二，就等于一减二分之一就是二分之一倍的根号二，当然你也可以写成二分之根号二，都可以。 好，呃，大家可以看一下，这个讲，讲的时间比较多，虽然比较简单，但是我们拓展的内容是非常多的。 好，我们再往下看，再往下看。呃，第七个，第七题。好，我们来看一下这个第七题。那第七题的话，它是呃，一个平面直角坐标系的题。啊？不对， 应该跟这个类似吧，我们来一块省下题，它是方向的问题。嗯，在四乘六的正方形网格中，位于 a 点， a 点南偏西，南 a 点， 呃，上北下南南偏西，那应该是在这个方向，在左下角，在他左下角。呃，六十度的南偏西六十度，那大概的位置大可能是这样， 这是六十度，所以有可能是 p 点，有可能是 p n， 但是我们还是要省钱啊。没，没完呢，同时又是在点 b 点 b 的 西北方向，注意西北方向。我们说了，西北方向是什么呢？ 是北偏西四十五度，就是正好是角平分线，这种的话就西北方向，西南方向，然后呢，东北方向，东南方向。像这种没有说度数的，你就认为是角平分线四十五度，所以应该是在他的左上角四十五度方向。 哎，那符合两个的要求的只有 p 点，所以这个题选 a 还是比较简单的。如果这个题你做错了，你要对这个角度问题再找一些同样类型的去练一练，看一下哪个知识点还不会 好。那我们第七题就到这里啊，看一下第八题。第八题好，它涉及到几个知识点？我们先读题，第八题是已知 m 是 一元二次方程，两根之和 受到的。涉及到第一个知识点是什么呀？伟大定律，一定要记住。当然有些有些学校已经不讲这个名词了，什么叫伟大定律？我们学过，呃，我们课本上叫什么呀？根与系数的关系，根与系数的关系， 但是意思是一样的，那第二个是什么呀？双曲线，也就是我们的反比例函数。 那如果这道题你做错了，那你现在看一下，是伟大定律的问题还是反比例函数的问题。那我们一个一个来说，第一个伟大定律，你要记住啊，什么叫伟大定律？就是如果它是一个一元二次方程，然后呢，你可以设它的根分别是 x 一、 x 二， 那它们这两个根的和就等于负的 a 分 之 b 就 等于负的 a 分 之 b， 那 ab 就是 二次项系数，一次项系数 c 是 常数项，所以这个就是负的负的 a 分 之 b。 然后那我们还要再说，它们两个根的积 x 一 乘以 x 二，就等于 a 分 之 c， 就 等于 a 分 之 c， 所以， 哎，要算对数啊。呃，有一些学生，他把符号给记反了， 就是我我我这个做完之后，这套这套件做完之后，有一个学生跟我说，老师，这个题我做错了，为什么呢？一看，原来他他他写成负的 a 分 之 c， 然后这个 x 一 加 x 二，当成了什么呀？ a 分 之 b 了，所以符号要记住了，要记牢了，如果这个符号记错了，那你肯定是拿不了分了呀。 我们算一下， x 一 乘以 x 二， x 一 加 x 二，那是负的 a 分 之 b， a 是 一， b 是 负五，所以它就等于五。 那么，呃， x 一 乘以 x 二，我们也算一下吧， a 分 之 c， 那 应该就是一分之三，也就等于三。好，这就是伟大定义，没有别的要求。背过，背过，如果背不过，哎，花时间，现在暂停，花十分钟默写，默写，把它背出。 好，那看第二个反比例函数， ok， 反比例函数，那它就一个什么呀？双曲线，那就是 y 等于 x 分 之 k。 你 要搞清楚，搞清楚这个什么几个知识点，我，我帮你先回忆一下， 如果 k 大 于零，它是过一三项线的，我写在这，如果 k 大 于零，那它是过一三项线的， 然后你会发现什么呀？它，它，它是一个递减的，它这个下降的趋势吧？它这个下降的趋势，但是呢，它它是什么呀？每个象限内是下降的，所以你要加一句话，加一句话是在每一个象限内， 然后呢？ y 是 随着 x 的 增大而减小的， 然后你也可以说，哎，在每一个象限内，然后这个函数图像是下降的，函数图像是下降的，这个递减就是下降。好，那这样的话，你会发现，只要知道这四个中的任何一个，那其他三个都是 都可以推出来的，他们是相等的关系的，是完全一样的。那如果 k 小 于零，我就不写了， k 小 于零，那他就是二四象限，然后在每一个象限内外，是随着 x 的 增大而增大的，然后呢？呃，在每个象限内，然后这个函数图像是上升的。 好，那现在我们来看，这个我们已经算出来了， m 是 两个根之合，也就是 m 是 等于五的， m 是 等于五的，那我们的这个反比例双曲线啊，那应该就是 y 等于 x 分 之四减五，也就是负的 x 分 之一，或者是 x 分 之负一，那 k 是 小于零，那应该是二四象限吧， 二次象限，然后呢？这个 y c x 增大而增大，这个好像对了，但是它没有加什么呀，在每个象限内，所以 a 也是错的，然后 b 选项也是错的，负一负一带进去，它俩成绩是一呀，而不是负一，所以 b 选项也是错的， 那只能是 c 选项了。注意，其实如果这个题你比较熟悉的话，对，你对双曲线比较熟悉的话，你就不用看，你就直接选出 c 了啊。当然，我不建议这么做啊，我就说，如果你特别熟的话，你其实可以直接选出 c 了，为什么呢？因为 这个双曲线，只要是双曲线，它永远是关于两条直线对称的。呃，一个是 y 等于 x， 一 三象限角平分线，一个是 y 等于负 x 二四相线的角平分线，所以这个题他选了，他有 c 选项，这个题出的就不是那么高明，因为这个题你可以不用看条件，你就直接选 c， 或者简单的看条件，你就直接选 c， 所以 没有那么高明。好，我们第八题就到这里啊，看一下你是维纳定律不会还是反比例不会？我们再往下看啊，看一下第九题。第九题是一个空间想象的能力的一个题 啊，这种题一般情况下不太好讲，但是我们也可以看啊，我们来看一下。呃， 第九题，如图五杠一，它是一个正方体的平面展开图，那么它是如图所示，现在屁是不知道的，但是它展开之后它是，呃，它合上去之后是右边这个图二，那么现在问你屁这个图图像是什么？我们来看一下这一个， 这一个我可以标几个点你就知道了。这个我标成 a 点，这个我标成 b 点，那这个 a 点， 你可以想一下他的下边，或者是他这个是横着的一个，呃，矩形是这个正方形的一半，所以我们可以看一下这个应该是 a 点，这个应该是 b 点吧，对不对？ a 点， b 点， 那么呃再往下推，呃，假如这个是 c 点，那你会发现这个是 c 点吧？ 那这个我标成 d 点，那这个应该就是 d 点。好，那对应的展开之后，呃 p 的 位置，那 c 应该是在这里， 然后 d 应该是在这里，你观察一下 d 的 话，它是正好是一个直角三角形，等腰直角三角形的顶点上的一个点吧，所以我们可以画一下它，应该是这样的。 好，那我们看一下这个题选什么？是不是选四 d 啊？ 好，这个题没有别的方法，它好像就这个方法更简单一点。嗯，当然你如果说我脑海里一下就想到了，那就可以直接直接做。

我们前两次课已经把前九道题讲完，今天开始我们讲第十题，往后依次讲，那么后面的题型跟前面的是一样的，我们讲的会比较详细，如果你哪个题不会，可以看，直接翻到那个题来听一下， 那觉得有用的同学可以点赞关注啊，然后如果需要冲刺的同学也可以联系我。好，我们来看一下这个第十题。那第十题的话，它涉及到的是分式的化解，分式的化解， 那分式的话是我比较喜欢的一个章节，为什么呢？因为他有一个约分环节，就是分子分母，呃，有相同的部分我们可以约掉。那需要注意的是，我们分式有一个核心的点，就是必考的点，就是因子分解， 他会把我们呃分子分母分解成多 多个音式，多个整式相乘的形式，那这样的话分子分母就可以消掉。那你觉得比较抽象的话，我们来试一下这个题。 那我们把这个 a 实数 a 进行一个化简，那么它里头带着括号呢？我们优先先算括号里的，把它通分一下，一变成 m 分 之 m， 也就是这个式子会变成 m 分 之 m 减二，然后括起来，那除法要变成乘法， 哎，分子分母颠倒一下位置，那需要注意的是，哎，我颠倒的时候，我就直接可以进行因式分解，那分子变成了 m， 分 母是 m 方减四。那你们想到了什么？ 是不是平方差公式，哎，我们因式分解一下，可以得到一个 m 减二，然后乘以一个 m 加二。好，那做到这之后，哎，我可以把前面的括号去掉， 那我们就刚才就到了我最喜欢的环节，刚才说的约分环节，那分子分母相同的部分，我们就直接可以消掉，那么 m 减二 和 m 减二消掉，然后呢？ m 和 m 消掉，那最后的结果就是 m 加二分之一，注意，消了之后剩的是一，剩的是一。 好，那这样的话，我们最后结果是 m 加二分之一，那他现在的问题是什么呀？说这个 a 的 值可以是什么， a 的 值可以是什么？那我们现在看哦，这个零肯定是不行的，因为分子分子是一，它就不可能是零。我们说 m 是 取不到正无穷的，在小学啊，在初中我们就不说另一种情况，所以 c 的 话是不对的。 哎，那我们看 a、 b， d， 我 感觉好像是不是都可以取到你比如说，呃， b 二分之一，那么 m 加二分之加二分之一，如果是等于二分之一的话，那 m 等于零。哎，这不是可以吗？这不是存在吗？ 那这个时候就要注意了，我们分式求值的时候，有一个非常重要的条件，让这个式子有意义的条件是什么呀？分母不为零。 如果你把这两个知识点记住了，因式分解和分母不为零，那这个题绝对是非常简单的一个题目。那分母不为零什么意思呢？就是这里头的式子的化简， 所有的都不能为零，只要出现的分母都不能为零，比如说这里的 m 是 不能等于零的。第一个，哎，分母是不能等于零的，然后后边这个 m 减二乘以 m 加二是不能等于零的，那合起来应该就是 m 不 等于二，或者是 m 是 不等于负二的， 所以 m 取不到这三个数，除了这三个数之外，其他的都可以取到。哎，那，那么你会发现哦，这二分之一是要求 m 等于零，而 m 是 不能等于零的，所以我们二分之一是不是就舍弃了？哎，我们直接把零带到里头，可以得到 a 是 等于 二分之一的，所以这个要舍弃。那么同样的，把二带到这个式子化简的式子里头，哎，那么 a 是 等于四分之一的，那我们应该舍弃，或者你直接写不等于不等于。 哎，我把舍弃去掉，用不等号吧。那负二，哎，带进去，那它是没有意义的，这个我们就不说了，无意义。 好，那这样综合下来，零取不到，二分之一取不到，四分之一取不到，那它是不是只能取得是 a 选项三分之一？ 当然，如果你不确定，哎，你再算一下，你带带进去，那么 m 加二分之一是等于三分之一的，那可以得到 m 是 等于一的，哎，它， 那这个式子是有意义的。所以 m 是 a 等于一的，那么 a 的 值就可以是三分之一。好，这个是我们的第十题，大家可以看一下分式的化解涉及到两个点，刚才我们一直在说，第一个点因式分解，第二个点分母不为零，把这两个点抓住，这个题非常简单。 好，我们再往下看了第十一题，嗯，呃，到这个题开始，有些同学就感觉，啊，好像有一些难度了。呃，这个上一百分儿 的同学可能还觉得稍微简单一点，如果没有上一百分的人，同学就感觉有有一些难度了。那我们来看一下这个第十一题。呃， m 减二零二二的平方加上一个 m 减二零二六的平方等于四十，然后则 m 减二零二四括起来的平方等于什么？ ok， 这个题的话，那不要说我上来就直接一时问的，就把括号去掉，然后再再整理，你会发现它的计算量比较大， 那有没有减变的算法呢？有的朋友们有的，哎，怎么办呢？我们看一下他的问题，他让这个问题是 m 减二零二四的平方是多少， 那我发现这个减二零二也好，减二零二六也好，他和减二零二四是非常接近的，那我就用换元法来解决这个问题，把这个问题的难度降低一些来换元法。那我们应该怎么办呢？哎，令 这个 a 是 等于 m 减二零二四的。好，那我们想想这个 m 减二零二二应该是什么呀？是不是 a 加二？ 你想这个式子变成这个式子，是不是需要加一个二才能变成这个式子，所以这边也得加一个二，所以 m 减二零二二应该是 a 加二，而不是 a 减二啊，这个需要注意啊，有些同学这个地方写错了，当然对于这道题来说，呃，因为你前面这个写错了，变成 a 减二，那下一个也会写错， 反而是负负得正，哎，错，错得对了，但是我们尽量的要准确一点。那么第二个 m 减二零二六，哎，那应该就是 a 减二， 我们把它的难度降低了。现在我们再把这个题整理一下，看它的问题和条件分别是什么？它的问题就是 a 方等于多少？它的条件是 a 加二破起来的平方，加上一个 a 减二，破起来的平方等于四十。 哎，那这个时候你再把它去掉，你再把这个括号去掉，那应该做起来比较简单了，我们来一下， a 方加上一个四， a 加四加上一个 a 方减去四， a 加四等于四十， 然后呢？加 a 加四， a 减四， a 消掉了，然后变成二， a 方等于四十，减去一个四变成三十六，所以 a 方就等于十。 啊，不好意思啊，这个四加四是八，所以这应该是四十减八应该是等于三十二。呃，三十二除以二是十六，所以 a 的 平方就等于十六。那 a 的 平方就是我们的问题， 这是第十一题，同学们可以看一下有没有疑问？那我们现在开始挑战第十二题。

各位同学好，我们来看一下二零二六年四十五中二模的第二十三题。二十三题就是一个抛物线，而且是含了餐的啊，我们今年这种含餐的，嗯，换餐的题讲的比较多，口的也比较多。 二次函数 a x 平方加 b， x 减四。第一个啊，当 a 等于一的时候，是判断点是否在这个抛物线的图像上，其实这个还好啊，对吧？我们把 a 等于一的时候往里面带嘛， 那 y 等于 x 的 平方加 b， x 减四，当 y x 等于负二的时候，带进去，带绕带到这个抛物线里面啊，你判断一下，纵坐标刚刚好是负二 b， 也就是意味着 a 点是在抛物线的图像上啊。 好，那第二个，已知 b 点坐标和 c 点坐标在二次函数这个的图像上，求 k 的 值。那我们说这个东西啊，当你看到它的时候，那我们说，呃，在抛物线上面纵坐标相同的时候， 纵坐标相同的时候啊，那我们是不是会有一个，呃，这个公式啊，叫对称轴等于二分之横坐标相加， 等于二分之横坐标相加啊， 我简写了啊，横 横相加，横加啊。好，那所以我们说在这里面，那不就涉及到了，而且前提条件大条件是 a 等于一啊，还是这个式子，那我可以得到我们的对称中，你有两种方法，第一种方法是二分之横坐标相加的，就是二分之二加二加 b 啊， 啊，那么它会等于，嗯，等于负达 a 分 之 b， 负达 a 分 之 b。 套这个式子是不是可以得到是负的二分之 b 啊？ 那根据这个式子，我们是可以把小 b 切出来的，你刚好可以算出 b 等于负二，那么 b 等于负二，抛物线就出来了， y 等于 x 的 平方，减去一个二 x， 然后再减一个四啊， 好，他让你求 k 的 值，那 k 不 就是当 y x 等于二代入的时候不就可以了吗？所以把 k 带进去啊，那 k 应该刚刚好是等于负四。好，那这个是第二小题啊，那我们接下来再来看第二道大题。 好，第二道大题这个分值就比较高，已知抛物线的对称轴为直线， x 等于 t， 给了 t 的 取值范围。你后期也会经常看到抛物线这种给范围的问题，如果给了你这个范围，你要想方设法把后面问的东西都用含 t 的 数字表示。 好，你再往下啊， m 点和 n 点在抛物线上，满足 m 减 n 等于八，求 a 减 b 的 取值范围。所以我在这里先给你写了一个总思路，我要求 ab 的 a 减 b 的 取值范围，我们整体把 ab 用含 t 的 式子去表示就好了。 好，那这个时候，那我们再来看啊，原来 a 已经不再等于一了啊，原来是 y 等于 a， x 方加 b， x 减四。那我们怎么样能够用含 t 的 式子表示呢？首先，对称轴为 x 等于 t， 说明负的二分之 b 等于 t， 也就是 b 等于负二， a t 好， 还不行哦，因为这里面还含 a 呢，我们只能含 t。 那 接下来第二个条件怎么用？那第二个条件他就说了， m 点和这个， 嗯， n 点在抛物线上，而且 m 减 n 等于八，那我们就把这个 m 点坐标往抛物线里面带啊，你可以得到纵坐标， 嗯，使 m 等于负一， x 等于负一往里带，应该是 a 减 b 减四， n 点同样的往里带，小 n 等于九， a 加三， b 减四，那 m 减 n 等于八，这个式子相减的话啊，负八 a 再减去一个四 b 不 就等于八吗？ 好，那这个式子你会发现 a 和 b 可以 换掉 a， 那 我们换 b 要简单一点， a 和 b 你 换，其实思路都一样。呃，我们后期会做很多题，那可能就你用谁换，只要最后答案其实都是一样的，你自己方便计算量啊。你的这里面，我用 a 换 b， 负四 b 等于 八加八 a， 那 么 b 不 就是等于负二减二 a 吗？好，那负二减二 a 的 话，那我现在怎么去用含 t 的 式子啊？那我们再来看啊，小 b 是 等于负二减二 a， 我把这个先给你擦掉啊。好，然后上面的这个小 b 又等于负二 a t， 那 我可以直接令负二 a t 和这个负二减二 a 是 相等的，就是相当于这里的这个小 b， 我 用了两种方法去表示对不对？ 好，所以令它两相等，那就是负二 a t 等于负二减二 a。 好， 那么在这个式子里面啊，有同学是不会算的， 你要想一个问题啊，你心里要默念，就是你要干什么？你要用含 t 的 式子表示 a， 就 相当于以前解方程一样，我要把 x 解出来。这一题，我要把 a 的 式子全部挪到左边，那是二 a 减二 a t 等于负二。 好，你要注意解 a 解 a， a 是 未知数，所以我们提公音是合并同类项，合的是这个 a， 你 把 a 提出来，里面应该是二减二 t， 那 它等于负二 a 等于什么呢？拿负二除上一个二减二 t 就 可以了。好，那这个东西我把我上下同除负二啊，上面是一，下面是。呃， t 减一，对吧？那么 a 这是第一个终点， a 就 用纯含 t 的 式子表示出来了，那么 a 表示出来了，那现在小 b， 嗯，它不是负二 a t 吗？那我们也是可以表示出来的。那小 b 不是 负二减二 a 吗？在这 负二减二 a 啊，那我在上面把小 b 给你换掉啊。那 b 现在呢？就给它换成了含 t 的 式子的话，那就负二 减去二倍的 t 减一分之一啊。好，那所以你可以得到应该是负二，然后我们，嗯，你，我们把二给他放到上面去啊，那就这样啊，先这样写， t 减一分之二。 好，那人家现在问你 a 减 b 的 取值范围呗。好， a 减 b 的 取值范围，那我就这是小 b 啊，这个已经写过了 a 减 b 的 取值范围，那我就两个相减呗。那我就拿那个，呃，刚刚算的 a 和这里的小 b 给它减掉啊。 啊，那我给你写的详细一点， a 减 b， 就是 拿 t 减一分之一，再减去它减，它不就变成了 t 加一， t 减一分之二，然后再加一个二吗？好，这两个合在一起是 t 减一分之三，然后整体再加二。 现在要求 a 减 b 的 范围。我已经跟你讲了，用含 t 的 式子换掉，最终换成了这样的形式，那么我们现在需要 t 减一分之三加二整体的范围，因为 t 是 大于二小于四的，那么 t 减一呢？是大于一小于三的，而 他的这个，呃，分之三。我之前呢跟你们也讲了，这个东西相当于是个反比例函数，这是一坨 啊，你当 x 去看，这不就是一个一三象限的反比例函数吗？叫在每个象限内外随 x 增大而减小， 所以我想要它的这个范围。其实，呃，当 t 减一取三的时候，反而这个整体会有一个最小值，就是三除三得一。 当 t 减一等于一的时候，反而这个整体会有一个最大值是三啊。那么整体呢？再加一个二，所以整体加二，所以就是左右两边同时加二，可以得到是三到五。 这个三到五也就意味着刚刚呃， t 减一分之三加二，实际上就是你把 a 减 b 换成了这个式子，那么它是大于三小于五的，所以最终这一题的答案应该是大于三小于五啊。 当然还有其他方法，但是这个呢，我们是最常规的，而且是希望你们一定要学会的。要知道题目的括号里的给的这个范围，你要学会用含这个范围的式子去表示。另外的这个参数啊，叫换餐思想啊。

沈阳市初三试模的卷数学卷我刚做完，做了一下，十五题，还有二十二题，二十三题还有二十一题，然后这道题做了，然后像是前面那个三角函数题，我简单看了一眼，嗯，就是正常，我们知道一边去导边题都不需要去设方程，这还是比较简单的，主要说一下十五题、二十二题和二十三题。 十五题这里头孩子只要能找出一个一维相似，二维平线之间出现了角平面线，那么他一定会出现，等到三角形这题就完事了啊，勾股一列，这就 ok， 很 简单。那我之前说吧， 以后我们这种正经八百大考里，十五题他不会给你出难的，因为现在一个这两年趋势就是这样。然后是二十二题和二十三题，看到二十二题的时候，其实我心里有数，这道题一定不会难，为什么？ 因为他在二十三题的时候，他的难度都没有说特别特别大，那种就任何的大型考试都算上，那么把他这道题挪到了二十二题，难度他也会再降低那么一点点。 二十二题前两问非常简单，就正常，你是上课能听课，然后我们对于咱们一轮复习也好，或者是数学学习稍微认真一点，这题前两问就必须得拿分的题， 你说要是基础不好时，第二问费点劲，那可能会出现这种情况啊。然后括号三，面积问题呀，那看到这题都得乐开花了啊，面积问题，多少年没有这么去考过了呀？放到最后一题，那给了 a、 c、 f 的 面积小于二分之三，直接确定 f 点位置，但这里头仍然有个坑， 他考察的是抛物线的平移问题，平移表达解析式的问题，这是我压轴课第一节课我就讲的内容，也是我一轮复习当中重点讲的内容，表示 解析式，但是在表示解析式的过程当中，它出现一点 b c 的 解析式是什么？沿着 b c 走，但是不按这个来要求出顶点的解析式，这样的话就能表示出来了，然后把这个点一确定，咔往里一带，人家说不与 a 重合，然后把 a 那 个点咔砍掉，两个范围一取完事。 二十二题还是挺简单的啊，然后我本来是怀着很忐忑的心做了二十三题。二十三题第一问，还可以啊，做的挺顺利。第二问，哎，也还行，这里头会出现了一个手拉手，构造相似， 整个手拉手相似才能做出来，一下就整出来，整出来之后括号三圈一能也能算出来，它跟那个括号二是一样的，但是到圈二时候可能会稍微费劲一点， 因为这里头会用到这个。另外一个相似的问题，我没研究还有没有什么其他的方法啊，反正我是用相似去做，用相似去做反正不是特别的难，但是这个相似在考试有限的时间之内，这可能稍微费劲一点， 所以在这一次考试当中，我总结一下啊，有关于拔高同学啊，二十二题的第三问和二十三题的第三问，二十三题的缺二，我觉得你要是在有限时间没答上来的话，有情可原吧，但是这是能答上来的题。然后对于二十二题的括号三，如果你连第一个 f 点的位置都没找到的话， 那这学习绝对是不到位不过关的啊。然后如果你都没有表示出平移之后的二次函数表达式，那学习也是不过关的。这种正常老师肯定都会讲，而且我的课堂当中讲了不止一次了啊。其他题就是正常题，包括语文那道题我也做了，很简单，比之前做的题要简单很多。 我们沈阳市这次出题啊，手下留情了。然后这套卷呢，也是非常值得大家做的一套卷的评论区留言，一个数学卷，让孩子练一练。

很多家长会很慌，最后一问，数字就是没算出来，我还敢不敢报八中？敢不敢报育苗？敢不敢报二十四啊？今天呢，最后再带着大家来看一下有关于大连市中考二模的第二十三题。今年的这道二十三题是很多同学的一个几乎 必丢分项了，如果你在一模当中，或者说在平常的考试当中，基本上做不到一百二，那么这道题呢，至少要丢五分了啊，也就是你的分数可能会只不在幺幺五左右。为什么呢？因为这一个卷，我们说他的计算量。 我跟网上有些老师的评价不一样，很多老师说，哎呀，这个二模很简单，但你们我希望这些老师也好，比如说评论人也好，或者某些家长也好，您不要盲目的读信网上的 一些评价跟评论，您把自己设身处地带入到考场上，你看这些老师如果给他扔到考场上，在他的规定时间内，比如说这道题，我们做到这基本上能留出来四十分钟，三十分钟啊，有的学生好一点能留出来四十分钟，稍微差一点留出来三十分钟。那你看看你在三十分钟内能不能完成这么大计算量的一个博杂的计算题，你会不会出现你对这道题的重复检查的情况？ 为什么会这么说呢？因为这道题从第一问开始，我们就涉及到连立一个二元一次方程组，连立一个二元一次方程组，两边应减求得 b 点坐 标和 m 值，到字为止都没有什么问题。而二问的圈一，也就是说这个整个抛物线的表达式解析式中，很多同学就出现问题了啊，解的小 a 一， 我记着应该等负的九分之五，小 b 应该等于六分之十七，拿到这个数字的时候，大多数同学是难以置信的， 甚至很多同学在算这个题的时候，一遍一遍的检查，为什么？因为如果你这个简易式算错，那二问给出来这么复杂一个事，你是不根本就没法计算呢？ 至于这道题第二问的圈二，我们涉及到一个标标准准的水平底铅垂高的表达式简易式，我们在硬算这个水平底铅垂高的时候，有多少同学是把咱们复杂的表达式给重开了，出现了三次笑， 这一定要记住，三四项的因式分解，你可以想，两边三四项约不掉，那我能得到这个答案吗？得不到的对不对啊？那既然你成开了，那你两边三四项约不掉，你必须使用因式分解。而三四项的因式分解在辽宁省大连市或者说整个辽宁省范围内，是不作为考官考点出现的。所以这道题一定不要成开，要保留整体法进行因式分解。 而你们的音质文检能否做好，这就是这道题的第二步难点了啊。有的同学表达式写出来了，但是整个音质文检的东西我不会做，流程做的不好。来第三问，首先来注意一点啊，在整个辽宁省的考题当中，如果你们告诉我说老师，这个第三个我觉得我还不熟练，我给大家推荐两个心得，第一个是二零二六年初啊，一月 中山期末，跟这个题如出一辙，那中山区的期末是哪出现的呢？从哪借鉴的呢？二零二五年吉林省 省中考一定要找吉林省的省中考不是长春市的那套卷，是吉林省的省卷啊。那如果你要告诉我说，老师，我要找这种题啊，从左到右， y x 增大而减小，减小而增大，那去找什么？找这两套卷，我希望大家能够适应的找到这两套适配的习题 去练一练，毕竟中考出现过，大年是期末考试也出现过，那怎么办呢？那这种题我们没有办法做别的。记住，咱们沿着两个思路走，一个叫卡林界， 你不用管中间动态的变化，你就给我卡住碰到端点的临界值就好了。如果你对这道题考虑思路不是很清晰，那直接给我卡临界值。第二个，你卡完临界值看什么啊？看图像的中间，确定某一点，中间的看变化。如果你告诉我说老朱经历，我看看变化怎么样呢？中 中间取一个特殊点位置在两个临界值之间，所有的特殊点位置变化趋势应该是一模一样。到时候别忘了带一句话啊，在这两个点之间， y x 增大而减小也就可以了。 所以这道题我们说，如果说你掌握住了这两个点，那在平行四边形内， y x 增大而减小的这种范围，大家正常情况下应该是不会有太大的问题的， 大家可以自主画一画图试一试。我这两个主意就是卡住临界值，看看图形的变化。如果顺利的话，大家可以把这两个题 自己认真的做一下，找到题目来源，清晰题目位置，完善其题。那么整个这道题在二模当中算难吗？很多家长会很慌，那老师，我们家孩子说了， 最后一问数字就是没算出来啊，第二问的圈二就是没想出来，那我们还敢不敢报八中？敢不敢报育苗？敢不敢报二十四啊？我们认为正规中考中出现这种这么大计算量的，而且解析式我们又说比较复杂的题是比较少见的，但的确这种题 将会成为未来考试的一个重点，甚至有的老师说，那几何新定义会不会成为重点啊？大家可以打听打听啊，有的学校已经下达任务了，每个老师可能出一到两个几何新定义，关注中考最新的考向，我如果收到消息，会随时跟大家分享。那么这道题我们认为，如果各位在十一分 左右啊，你说第二第三个我知道了，但因为时间不够了啊，没算出来，那在十一分左右，我认为大家呢，报个预名八中啊，正常是不耽误的啊。至于如果想报二十四，那当然是应满进满了，尽量全满的结构啊。那么谢谢各位，希望我的分享对大家未来的报考或者说对题目的理解有效，谢谢各位！

同学们好，家人们好，马上就要中考了，今天我们来挑一套试卷来进行一个讲解。是河北邢台的二模试卷，如果你是邢台的考生，或者是河北的其他市的考生都可以来参考一下。 这套试卷的整体难度并不高，但是呢，有一些学生反映说，哎，里头有几道题是偏难的，那今天孙老师是从头到尾每道题都详细的讲解一下，不仅有解答的过程，而且还有知识点的拓展那。呃，觉得有用的同学可以点赞关注，中考需要冲刺的同学也可以联系我。我们从第一个题来开始看， 那第一个题我们一块来审一下题，如图一，一条直线经过点 a， 那 么借助直尺或者是三角板来判断这条直线是， 那这道题是偏简单的啊，那我们直接拿着直尺或者三角板和这个线重合就可以了。比如说和直线 a 重合，那你会发现它无限延长，也经不过点 a， 那 么同样的，我们把直尺放到直线 b， 这你会发现，哎，它是 点 a， 是 在直线 b 上，所以这道题还是比较简单的。那么我们一样的直线 c 延长，那我们会发现它没有经过点 a， 直线 d 延长，那他也没有经过点，差一点点啊。当然，我这个是没有借助直尺啊，你在考试中一定要借助直尺，那这道题也给大家一个提醒啊，我们中考的时候肯定要带直尺，三角板、圆规。 好，那我们再看第一个题，我们可以说是白送分的题目，我们往下看一下第二个题，如图二，在一条不完整的数轴上，那标出 a、 b、 c、 d 四个点，点 b， 它是代表的是正数，点 b 是 代表正数，那么则 这个可以表示原点的是。哎，那我们知道正数全都在原点的右侧，那反过来，原点应该是在正数的左侧吧，那只有一个点 a， 所以 我们就选 a 呀，就非常简单。那我们这个题的话， 带大家来回忆一下我们的数轴的三个要素，那知道的同学可以打在评论区，或者是打在这个弹幕上。那第一个是什么呀？正方向， 正方向就是他，他有个箭头，你会发现他向着右，那这个是正方向，我们说越靠右的数是越大的，右是正方向，然后呢？圆点，圆点的位置。最后一个是什么呀？单位长度， 单位长度。注意单位长度和长度单位是不太一样的，单位长度是它一段代表着一个单位，然后呢，长度单位就是厘米米，分米什么的，这是单位。好，那这个是第二题，也是比较基础的题目啊，我们再往下看， 第三个好。呃，这个题的话也不太难啊，我一直说不太难，不太难，但是有同学做错了， 真的，我看有人反馈说这道题做错了，因为什么呀？他涉及到小学的知识了，那看到这个知识立马就晕圈了，我们把这四个都讲一下。 第一个，乘法交换律，什么叫做乘法交换律呢？就是他们的顺序变一下， a 乘 b 是 等于 b 乘以 a， 像这个就是乘法交换率，那你会发现它没有位置的改变吧，你看负的三分之二五负六，那这也是负的三分之二五负六，它位置是没有改变的，所以它没有用到乘法的交换率。那分配率是什么呢？ 分配率是有加减法或者是加减法和乘法合到一起的，比如说 a 加 b 乘以一个 c， 哎，那就等于 a 乘以 c， 加上一个 b 乘以 c， 那这个是分配率，就相当于把括号里的跟后面每一个项都相成吗？但是这个题里头也没有啊，也没有去括号的过程，所以这个分配率也要舍弃。也不是， 那移项的话，它其实是方程里头的，什么去分母去括号，移项合并同类项，系数化一对不对？移项的本质，比如说 x 减三等于六，我们把减三移过去，应该变成什么呀？六加三， 移动的象移过去，移到另外一边，然后这个正负号会发生改变，那这个叫移象，它的本质是什么呀？是用的等式的性质，左右两边同时乘以或者除以一个相同的数，哎，那么它这个等号的 等号是能成立的，所以我们减三相当于左边，哎，乘加上了一个三，右边也加上了一个三，那减三加三就消了，所以就等于这个，这个，这，这是我们的一项的一个本质啊。当然这是小学的一个写法，我们上初中之后就直接一步到位，直接呃编号就可以了。 好，那这样的话， c 选项也是错的，那么这个 a c 都是错的，那只能是 d 选项了。那什么叫乘法结合律呢？就是如果一个式子全都是乘法连接的，对吧？我们可以 顺序，他们乘的顺序可以发生改变，比如说 a 乘以 b 在 前面，然后再乘以 c， 可以 变成 a 乘以一个 b 和 c 的 g， 那 这个叫做乘法的结合率，所以你会发现他用到的是乘法的结合率，我们选择的是四 d 选项 好，呃，还是不是特别难？但是有一些同学做错了，是因为他把小学的知识忘了，我们一直说初中用到小学的知识比较少，比较少，但是这个题用到了，你看一下你有没有做对，然后我们再往下看。 好，这个是一个作图的啊，尺规作图。呃，尺规作图我们看一下，如图，三杠一，三杠二是一个基本作图的痕迹，那么这个则下列说法正确的是我们自己先看一下这个题是做什么呀？ 我们，我们想一下这个题他是让做什么呀？是，是不是做一个什么呀？相等的角 做一个相等的角，它是做角平分线吗？并不是啊，它是做相等的角和角 a 相等的。我们大概的顺序，先做一个射线 d， e， 先做一个射线 d e 或者是这个地点，然后 过地点的一个这个射线，然后呢，我们用圆规以这个点 a 为半径画一个弧，在这个三杠一上画一个弧， 然后以点 d 为圆心，然后以刚才的长为半径，就刚才我们做的这个长为半径，然后画一个弧， 那交这个下边这段与点 e 上边这个还没画呢。然后下一步是什么呀？以 b 为圆心，或者以 c 为圆心，或者是直接说用圆规测 bc 的 长， 用圆规测 bc 的 长，然后呢，以点 e 为圆心，以线段 bc 的 长为半径画一个弧，哎，交刚才的弧与点，比如说 f， 然后再连接一个 d， f， 那 这个角 d 和角 a 就是 相等的。我们先不看哪个选项是对的，我现在来问你，它这个做相等的角的依据是什么？同学们有知道的吗？它的依据是什么？ 讲到了吗？依据是 s， s， s， 我 写在这里， 它是做一个全等的三角形啊，就是 a， b， c 和 d， e， f 这三这两个三角形是全等的，你想想， a， c 和 df 相等， a， b 和 d， e 相等，然后 b， c 和这个 e、 f 相等，所以它三个边对应都相等啊，那么用到的是 s， s， s 正弦等，那么它对应的角肯定相等了。 所以有些题会说，哦，它这个作图的依据是什么？这个就考察了我们的一个。呃，对这个数学概念的理解啊，千万不要死记硬背，千万不要死记硬背，你要理解 好，那这个题我们选什么？可以看一下左角平分线， ok， 错。呃，图弧一，这个一是以 a 为圆心，以任意长为半径画的弧。呃，这个弧应该是对的啊，但是我们先打个对号，哎，因为不确定啊，你你你， 这个选项你看到 b 想感觉是对的，但是不要上来就选再看，因为有可能 c 和 d 有 个更正确的。那 b 你 有没有，你有没有考虑全的地方？好，我们看一下 c， 呃，弧二是以点 d 为圆心，以任意长为半径画弧，那现在这个 b 和 c 肯定是 c 是 错的啦，因为我们这个弧是任意的，弧一是任意的，但这个弧二必须和弧一的半径是相等的呀，所以第二个应该是错的。 呃， d， c 是 错的。呃， d 选项弧三是以点 e 为圆心，以 d， e 的 长为半径画的弧。我把它清空一下啊，这个 d， e 在 哪里呢？ d， e 在 这里，以 d， e 的 长为半径，那肯定是错的，因为我们刚才是什么呀，以 b、 c 这个线段为半径啊，所以 d 选项也是错的，所以我们选二 b。 好，那这个题我们就到这里啊，你现在可以回忆一下，回忆一下我们有一些做的这个尺寸图的题啊， 我帮大家回忆一下。第一个是做相等角，就是我们这个这个图它是怎么做的？如果你这个几个回忆的题不知道，你可以看一下我的视频。呃，做相等角。第二个是做角平分线， 我们可以快速的啊，因为我们的这个知识点把它拓展一下，所以我们讲的会稍微快一点。比如说我要求角 a 的 这个画角 a 的 角平分线，我是以 a 为圆心，以适当的长为半径画弧，交 b、 c 两个点， 再分别以 b、 c 为圆心，以大于二分之一 b、 c 的 长为半径画弧，交于 p 点，然后连接 ap。 好， 那这个就是角平分线的一个画法。那第三个做垂直平分线， 比如说一个线段的垂直平分线，我们应该怎么做呢？我们是以 a、 b 为圆心，然后呢？以大于二分之一 a、 b 为半径画弧，呃，比如说这个弧，这个弧， 这是以点 a 为圆心的，然后现在以点 b 为圆心画弧，那交于 m n 两个点，然后连接 m n。 好， 那这个 m n 就是 它的垂直平分线那。呃，第四个，第四个，我们做高做高线， 呃，做高线应该不太合适，应该叫做做这个垂线，过直线外一点做垂线，那我写在右上角了，右右边了。呃，这有一条直线，然后直线上有一个 a 点，我想过 a 点做这个 l 的 一个垂线， 那我们怎么做呢？以 a 为圆心，以适当的长为半径画弧，交这个 l 与 b、 c 两个点，再分别以 b、 c 为圆心，以超过二分之一 b、 c 的 长为半径，再画一个弧。哎，画两个弧，然后交于这个 d 点，那么连接 a、 d， 那这个 a、 d 是 垂直于 l 的， 那这个是做垂线，那我们根据这一个题啊，拓展很多啊，所以，虽然这个题比较简单，但是它可以让你知道哪些知识点你还不太熟，你做这个尺规作图的时候，你心里想到，哎，我这四个图哪个还不会画 好？再看，这是第四题，看一下第五题。呃，第五题的话， 为什么说它比较简单呢？我就忍不住笑了，为什么简单呢啊？这个题其实出在初一还是比较合适的啊。出在中考上，我觉得有点太简单了。 x 与三的差，那 x 减三呗， 然后得二倍，注意，是差的二倍，所以括起来的二倍是非负数。非负数， 非负数，也就是它不是负数，那不是负数是什么呀？是零和正数，那应该是大于等于零，哎，这个时候，这个知识点啊，看起来很简单啊。这个题非常简单，但是孙老师还是能给你拓展。拓展什么呢？可以看一下。呃，非负数我们知道， 我写在这，非负数我们知道。那么，呃，非正数，你想一下是什么？ 你以为就那么简单吗？还有非负整数是什么？ 还有什么呀？非正整数是什么， 对吧？一个支点给你拓展很多啊。非负数是除了负数的数，那就是零和正数， 然后非正数，哎，就是除了正数之外的所有的数，那就是零和负数，这两个我觉得你应该是知道的，那后边这两个是什么呢？你们想想 后边两个非负整数，我们注意读法，它是非负前面，然后要求是整数，所以它是不是负的整数，那么应该就是零和正的整数。它必须是整数吧？ 它的要求就是整数，那么下面的非正整数，那就是零和负的整数吧？负的整数。 好，那你现在来看一下这个题。哎，要把它记住啊，它里头所有的都包括零的，都包括零的。好，我们第五题就到这里啊，我们再往下看。

明天就是咱们邢台初三二模数学考试了，这次考试大家一定都很重视，下面是考试时注意事项，一、认真审题，理解题，再做题。 第二，计算题一定要拿到分，有时间一定要进行夜算。 第三，做到难题读三遍不会做，要做标记直接跳过，不要耽误后面做题时间。第三，心态一定要好，要相信自己会做这些题。关注我，中考不踩坑！