数学书初二下册135第六题咋写

大家好，我是讲数学的小红老师，今天我来讲解新版八年级下册数学一百三十五页习题二十三点四的 一二三四题。嗯，第一题，某公司销售人员的个人月收入与其 与每月的销售量乘一次函数关系，当其售出一百件货品时，月收入为两千八百元。售出两百件货品时，月收入为三千四百元， 则当其月收入为四千六百元时，售出的货品为多少件？那么这道题呢？首先你来看，他是说个人的月收入乘以一次函数的关系， 那我们就可以啊去呃，设解器式啊，你看售出一百件货品，是不是这个销售量，这个两千八是收入，这个呢是销售量，这个呢也是月收入。所以我们来写设 设这个个人月收入 与每月的 销售量 每月的销售量 的一次函数。解析式为， y 等于 k， x 加 b， k 不 等于零，那么这里的呃， y 呢？ 对应的应该是月收入，然后自变量 x 对 应的是销售量啊，然后我们把这个一百件货品收入两千八和两百件货品， 嗯，收入三千四啊，代入得。那么这就是相当于两组点的坐标呗，是不是？那我们就写将一百豆两千八和两百豆三千四代入得， 嗯，代入得。然后列出一个方程组， 两千八百等于一百 k 加 b， 然后三千四百等于两百 k 加 b， 然后解得 k 等于 b 等于。然后我们用二式减一式啊， b 就 消掉了，它剩一百 k， 它应该剩啊六百，所以 k 应该等于六， 然后把六代入到一式里，这是六百移过来呢，是减六百，所以是两千二， b 应该等于两千二百，所以呢，你的一次函数解析式 为， y 等于六， x 加两千二百啊。然后第二个，那这个问题是，当你的月收入为四千六百元时，那我们写，当 y 等于四千六百时， 那也是六， x 加两千二百等于四千六百六， x 等于两千四百，所以 x 等于多少？ x 应该等于四百啊，所以售出的货品 为四百件。那这个填空题呢，我们就可以填上了啊，四百件， 这是第一题，那我们看第二题，他说某品牌的呃，服装开展促销活动，原价每件八十元的服装， 如果购买超过三件，则超过部分可享受八折优惠。求顾客所付款 y 与所购服装数 x 啊，强调了 x 比三大啊，然后之间的函数解析式， 那么这里头你观察啊，他就是一个啊，相当于分段计费，但是呢，他我们只算哪段呢？只算大于三那段是吧？所以我们可以直接写，当 x 大 于三十，你的 y 应该等于，那么他说超过三件以上的部分打八折，那不超过三件的，那三件以内的是不都是八十块钱，然后再加上超过三折啊？不对，超过三件以上的， x 是 一共的，然后去掉前面那三件，然后剩下的超过的部分，原价要打八折， 原价要打八折啊，然后我们给他整理一下即可。嗯，最后等于，这是两百四，这是六十四，那就是六十四， x 减去 这个呢，是六十四，乘以三三四，一十二，一百九十二，那就是两百四，减去一百九十二，等于 四十八啊，所以应该等于正的四十八，那么取这范围是 x 大 于三啊，这个呢，是第二小题，那我们看第三 说，某网店销售一款护眼台灯。啊，在销售的过程中发现了，说这款护眼台灯销售单价为六十元时，每个星期可以卖出一百个。 说如果调整销售单价，每降价一元，每星期就可多卖出两个 啊，降一块就能多卖两个。说线网店决定降价，销售说，设销售单价为 x 元，每星期的销售量为 y， 求 y 与 x 啊，关于 x 的 函数解析式。 然后当销售单价为五十二时，每星期的销售总额。啊，那现在呢，咱们来求一下第一问啊！求一下第一问，第一问，嗯，你的 y 呢？是销售量，那么你原来啊，以原价卖出的时候，也是六十块钱的时候，一个星期卖一百个， 那我降价呢？一个星期要多卖，所以多卖是在你一百个的基础上多的。 这话能理解吗？在一百的技术上多的啊，所以呢，来 一百的技术上，每个降价是不是要多卖？多卖用加，那现在呢？你得知道啊，他说降价一块钱就能多卖两个，那我得知道我降了多少钱，对吗？ 那我原来的单价是六十，我现在的单价是 x， 那 他降了，说明原来的价格高， 那么现在的价格低，那么我要求降多少钱？用原价减去现价，然后除以一，这就表示六十减 x 有 几个一，有几个一，就多卖几个，什么二 啊，多卖几个二，然后整理一下，嗯，这个是负二 x 加上二百二十 啊。这个化解完之后，所以第一问，他的解释就完成了。那第二问，他说，当销售单价为五十二元时，求每星期的销售总额， 那么你销售总额你是不得有单价呀，有单价乘以数量才能叫总额，对吧？总前数嘛。所以我们你的销售总额应该用五十五十二去乘以什么乘以 y， 而你的 y 等于什么？ y 等于负二， x 加二百二，那就是五十二乘以括号，负二乘以五十二加上二百二十元，然后等于 五十二乘以二等于一百零四，二百二减二百二减一百零四等于一百一十六，然后再用五十二乘以一百一十六，五十二乘以一百一十六，拿个验钞纸算一下啊， 三二三十八，五六零三二啊，六零三二， 所以他的销售总额应该是六零三二啊。这是第三题。那第四题说，为了鼓励居民节约用电，某市实行居民生活用电阶梯电价方案， 当每月用电量不超过二十四千瓦，每时按零点四元收费。用，当用电量超过二百四十千瓦每时，时 啊，超过的部分看，这按照零点五五元收费。设，一个家庭某月用电量为 x 千瓦，每时则交电费 为 y。 那 么这个题啊，他并没有说，就像这个似的，这个题最起码他问你是超过三件了，对吧？而这题没问。那这一题呢，就是两段，一个是小于等于二百四的，一个是超过二百四的 啊，一个是超过二百四的。所以呢，我来做第一个，呃，小于等于二百四啊， 当 x 小 于等于二百四十时，你的 y 应该等于，那你看不超过的是不是按零点四五元来计费？那我，嗯，现在是 x 减法时，那就是单价乘以个什么数量？这是第一个。那么第二个，当 x 大 于二百四十时 啊，那你的 y 就 分为两段了，一段是两百四十以内的啊，乘以零点四五，再加上超过两百四的， 那一共 x 减去两百四，是不是超过的？超过的按零点五五来计费，然后等于， 嗯，化解一下啊，二百四十乘以零点四五二十一，十二，一十六九零八零一两位一百零八， 然后加上零点五五 x 减去二百四乘以零点五五四五二十一，十二，一二零 等于一三二零零，一百三十二，然后等于零点五五 x 减去一百零八等于二十四啊，他应该等于二十四。 检查一下啊，看看计算有没有问题。二百四十乘以零点四五，没问，没问题。 乘以零点五五，一百三十二减去一百零八，没问题啊，那这是第一问啊，当你第一问算完之后啊，一定要记得给他总结一下啊。我在这写啊，这是第一问，说 这个，所以这个 y， 嗯，关于 x 的 函数 解析式为，然后 y 等于画一个大括号， 这是零点四五 x， x 小 于等于两百四，这个是零点五五， x 减去二十四，这是大于二百四，这个一定要做好总结啊。然后第二问说，这个家庭某月的用电量是不是超呀？ 一百四十一啊，电费啊，电费是一百四十一，对吧？那么你算算啊，我这个，呃， 二百四十千瓦时是一百零八，而一百四十一是不超过一百零八，说明他应该在第二段里啊。那么我们就写，当 y 等于一百四十一元时，那你的零点五五 x 减二十四等于一百四十一，那么 x 等于，那我们把它解一下， 一百四十一加二十四等于一百六十五，然后一百六十五除以零点五五。 三百啊，所以答呢？这个月 用电量是三百千瓦哟，不对，千瓦每时， ok。

要想写题会方法要选对，欢迎收看宋老师的方法课。来看这道题，已知一次，函数 y 等于二， m 加三， x 加 m 减一。 第一问，若该函数的值 y 随自变量 x 的 增大而减小，求 m 的 取值范围。好，这道题我们来解一下。 那它的一般形式是， y 等于 k， x 加 b。 如果如题中所说， y 随 x 增大而减小，则让 k 小于零，即这道题里面的 k 就是 二 m 加三，让二， m 加三小于零，求得 m 小 于负二分之三。 由于这道题跟 b 没有关系，所以 m 减一我们不需要问，所以这道题最终结果是 m 小 于负二分之三。 第二问，若该函数图像不经过第二象限，求 m 的 取值范围。好，我们先画个图， 第二象限在这个部分，如果这个函数不经过第二象限，我们的画法看一下。 也就是说，我们画的所有的图像，这个 k 应该是大于零的，即这道题里面的二 m 加三大于零， 那求得 m 大 于负二分之三。好，这是我们关于 k 的 求解。那想想，如果 b 这一点，或者说 y 等于 k， x 加 b， 我 们都知道它与 y 轴的交点是零。 b 如果 b 大 于零的话，它就会经过外轴的正半轴，而一旦经过外轴的正半轴，这个图像一定就会经过第二象限。你看一下，所以说我们让 b 干嘛 小于等于零，那在这道题里面， m 减一就是 b， 所以 让 m 减一，小于等于零，我们求得 m 小 于等于一。好， 那综合来看， m 最终的取值范围就是小于等于一大于负二分之三，那这道题我们就求出来了。

初中数学要想拿高分，首先字母的计算不能错，很多家长从孩子从小学到中学了，总觉得中学成绩变差了， 那就是因为小学是数字的运算，而中学字母偏多。我们看到这里，在小学的我们学了这个分数的乘除法， 那么前面也有分式的乘除法，那么分式的加减法怎么办呢？所以我们类似的分数来讲呢，同分母的和异分母的同分母的分数把分子相加减，分母不变。异分母的分数呢，先同分，那么对于分式来讲也是一样的， 所以同分母的我们先看同分母的，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 比如说这里的 a 分 之 b 加上 a 分 之 c 啊，我们就把分母不变分子把它加起来。但如果是减呢？ a 分 之 b 减 a 分 之 c， 那 我们也只要把 b 减 c 就 可以了，而分母是不变的。 好，这里的例题就比较简单，我们看呢，分母是一样的，我们先看它啊，分母 a b 加上 a 减 b， 对 吧？ b 减 b 等于零二 a， 然后呢？哎，注意啊，我们在不管是乘除加减呢，我们最后都要涉及到化成 z 减啊，分式或者是整式的问题， a 在 于分， b 分 之二啊，当然我们的例题写了这么多，你比如说我这里就写的比较简单。 好，我们看到下面这个啊，同分母 x 减二，分子呢，是 x 平方减四， x 平方减四，我们可以写 x 加二， x 减二，再约去 x 减二，留下来 x 加二， x 加二，就不要括号了， 那么也就是说他们计算的结果，这个叫再减分式，这叫整式啊，所以我们最后一定要画成一种再减的形式，可能是再减的分式，也可能是整式。我们看到例四， 呃，刚才是同分母，这里其实也是同分母，你看，这里是 x 减 y 分 之 x， 那 么这里理解为 x 减 y 分 之负 y， 分 子，分母一样的等于一，对吧？啊？例题呢，您可以看一遍，那么我们关键是要把它的分母看到这个是同分母还是不同的分母， x 减 y 减 x， 就是 负的 x 减 y 吧，对吧？我们提取符号放在前面。 好，这里 a 减一也是一样的啊，分母是 a 减一，分子呢？好，我们看到这里是 a 减一减一，我们可以理解是负的 a 减一，负的 a 减一，把，这个符号呢，我们就变成正号了，加上一减二 a， 这里就要注意这个符号的问题。但书本上写的比较多，你呢？不会做的话，你可以模仿书上的例题写慢一点。那么我这里可能就不做的话，你可以模仿书生的例题写慢一点。又是 a 减一的平方 啊，要 a 的 平方，这里一定是减二，一加一。好，有 a 减一，约分留下 a 减一。呃，这里就是说一定要学会去把它化成最减的。呃，分式，或者说是整式。 好，我们看到第一百三十六的练习。好，那么这第一个应该等于什么呢？ m 分 之 a 加 b。 好， 这个是错误的啊。 第二个应该是 x 减 y 分 之 x 减 y， 这啊 a， 那 么这里 x 减 y， 这里要变个符号加 a， 所以 等于 x 减 y 分 之二 a， 嗯，所以这个也是不对的， 对吧？好，我们看到第三个，第三个这个 e 呢，理解为 a 分 之 a 的 意思， a 分 之 a， 对 吧？加 a 分 之一，那就是 a 分 之 a 加一，所以这也是不对的。 好，我们看到这个，哎，这里呢就是 x 加 y， 字母 x 加 y 是 一样的分子，把它相加紧，结果呢？分子分母一样的约分等于一。好，第四个才是正确的。 好，我们看到第二小题等于 a 分 之，对吧？五加二等于七， a 分 之七，那么这个等于 x 分 之三， b 减 b， 二 b， 这里就等于二， a 减 b 分 之二， a 减 b， 上面是二，一好，看到后面二 a 减 b， 我 们 t t 符号减 b， 结果就等于一，结果等于一。记得点赞关注哦。

一次函数的应用题，是我们八下期末必考的应用题，今天我们来学习它其中内容费用最低的问题， 下面来看一下这个题目啊，这是我们珠海去年的期末考试题，那他说去年有个热播电视剧长安的荔枝啊，你看这个东西就每年都会出现一些与热点的内容相结合的题目啊，这个这题出的挺好的啊，这个珠海， 那么现在看一下，他现在要运荔枝啊，运这个荔枝，现在呢有两种的方式，一种是走水路，一种呢是路路， 那走水路的时候呢，有百分之三的损耗，走路路的时候呢，有百分之五的损耗来，他现在说如果要用五艘船，十辆马车来运输这两百筐的荔枝，中间不改不改变这个运输方式，最终的损耗是八，呃，八筐， 我们看第一问啊，他说问每艘大船是多少筐啊？每辆马车可以运多少筐。那看到这个问题呢，那就是问什么就设什么就可以了啊， x 筐， y 筐啊，我们要设未知数啊，设， 那接下来呢，我们就列方程啊，那有两个未知数就要列什么样呢？两个方程啊，我们要找到两种关系，这种关系呢就是要总共要运两百筐啊，五辆的这个五艘船，那就是五 x， 加上十辆车，十 y， 最终等于两百筐。 第二个呢就是它的损耗，总共损耗了八筐哎，那这个水路呢，损耗百分之三，那就在这个基础上乘以百分之三。 那露露呢，损耗百分之五，那就在这个的框数基础上乘以百分之五，最终刚好等于八框。损耗。好，方程列出来，了解得 最终减出来 x 和 y 分 别等于多少呢？你像这种啊，非常大的时候，我们在运算的时候，我们可以有点小技巧，我们可以怎么样啊？两边同时乘以一百，把它改变一下，里面乘以一百啊，那就是这里剩三三五就是十五， x 加上啊，五乘十就是五十，等于多少呢？等于八百对不对？ 然后我们再同时呃约小一点，同时除以多少乘以五，呃，大家去算一下对吧？ 应该是一百六，对不对？好，那接下来你看这个和这个就可以直接相减相加，对吧？所以这地方我们就过程就不再详细讲啊，最终啊， x 等于二十， y 呢？是等于十的啊，等于十的。 好，那接下来呢，我们来看一下啊，打这个自己去打啊，那就说我们每辆大，每艘大船呢，能够运二十筐，每辆马车呢可以运十筐啊，这我们的第一问，那第二问就是我们今天重点了啊， 他说水路运输啊，每艘大船需要一千两百文，山路运输呢，每辆马车的费用是八百文，为了控制成本， 总的运输费用不能超过一万四。看到这个不能超过，要注意啊，我们给他标注一下啊，不能超过的意思怎么样啊？就是小于等于的意思，小于等于一万四千文，而且大船的数量不超过，你看又有不超过了，这又是一个不等关系啊，就小于等于 吸收啊，那么恰好运完了这两百筐的荔枝啊，而且不考虑损耗的情况下，该如何安排大船和马车的数量才能使得这个费用最低。 那这个时候呢，我们一定要有函数的思维啊，既然有函数，我们就要去，怎么样呢？就要去列关系式了啊，然后列了关系式，要探讨最值的话，那也求范围呀，所以第一步我们先去啊，设未知数啊，列关系式，那设谁呢？既然安排大车大船和马车的数量，我们肯定要设未知数啊， 那么可以设大船，大船是多少呢？因为前面用了 x y 啊，我们用 m 啊，然后这个马车呢？ 马车这个地方要注意啊，因为他这个题稍微的哎，难度增加了一点，他不像以前啊，说这两个相加总共有多少多少收，对吧？多少量，他没有这样子，他什么都没给，只是给了一个， 给了一个怎么样呢？恰好是两百筐，给了一个总的筐数，所以这个地方我们必须得通过这个筐数要再去表示我们马车的数量。这马车数量怎么表达呢？就是我总共两百筐， 我马这个大船呢，有 m 艘，它运了多少筐呢？我们知道大船一艘是二十筐嘛，所以它运了二十 m 筐一剪呢，剩下的就是马车的这个运的筐数，那再用这个总的马车的筐数除以它每一车能运的 啊，运的是多少呢？是十筐。那这个时候呢，我们就可以表示出马车的数量了，我们可以化简一下，它得多少呢？就是二十，减去二 m 啊，我们可以要打上这个小框，哎，这个是量对吧？ 那个是收，那还有一个呢，就是费用啊，说他的费用为多少元呢？费用为 w 元，一般是这样啊，收尾数我们就收完了啊，这个地方相对于他增加的一个难点，我们要注意一下啊， 那接下来呢，我们叫列关系式， w 等于什么样呢？费用分成了两个部分啊，大船的费用和马车的费用。呃，每收呢是一千二，那就是一千二百 m， 这个马车呢，每每一辆是八百八百乘以二十减去二 m。 那 么接下来化简一下啊， 一千二啊，我们这里减去一千六，对不对？负的四百啊，四百 m， 再加上一个一万六 啊，一万六。好，这个关系式出来之后呢，我们探讨他的最大值或者最小值得求范围范围在哪里呢？就是刚刚我们标出来的这两个啊， 那接下来求范围范围的话，有两个，一个是他的费用，费用实际上就是这个啊，负的四百 m 加上一千啊，一万六，要小于等于一万四。还有一个呢，这个大船的数量，大船就是我们的 m 啊， m 要小于等于七。 好，那接下来呢，我们就把这边擦一下啊， 那接下来我们就解得把这个解出来， 解得我们的 m 呢应该在哪里呢？是大于等于五，小于等于七的。好，有了不等关系，接下来我们就要通过函数的性质来求对值啊。接下来我们要这是一个固定的模板，因为怎么样呢？先说一下这个前面的系数， 负的四百是小于零的，所以当我们的 m 等于多少呢？那么要知道啊，在这个一算数里面，我们这个系数小于零的时候，那这个 w， 也就是我们的 y 会随 x 的 增大而减小，对吧？那在这个里面就相当于说是 w 随着 m 的 增大而减小， 你想啊，增大而减小，我 m 取多少的时候他会最小呢？肯定是取的是最大的那个，对吧？在这个范围内最大的那一个，那么就肯定取是七啊，当 m 等于七的时候，这个 w 啊，有怎么样呢？有最大值 啊，最大值，那既然要求最低费用是多少，我们就得为多少呢？那么就需要把这个 m 等于七啊，带到我们这个表达式里面去，那这个求出来的就是负的四百乘以七，哎，再加上我们的一万六，最终是一万三千两百。 好，那接下来我们就要打，对吧？他说怎么运输啊？啊，怎么安排啊？就是当这个大船有多少收嘞啊？为七收 啊，为七收，那我们的马车有多少呢？多少辆啊？相当于是二十，减去二乘七啊，就是六辆，对不对？有六辆是费用呢？最低啊，有最低费用， 有最低的费用，费用多少呢？一万三千二百文啊，这里是文， ok， 所以 这里的话我们要，哎有怎么样呢？依次函数的这种探讨的意识啊，要知道是怎么探讨的，大家反复看一下这个过程和解析的一个思路。

利用一次函数的性质求参数的范围，是我们八下数学常考的填空题，那这种题呢，需要我们对于函数的趋势以及两点坐标，或者是多个点坐标之间的一个关系要非常的熟练。 那今天我们来看一下这种题怎么做。现在看一下题目，这里有两个点， a b 两个点是关于我们这个函数图像上的两个点，而且当 x 一 小于 x 二的时候，对应的 y 一 也会小于 y 二，让我们求 m 的 取值范围。 那解决这种问题呢？首先第一步要通过他给出来的两个点， x 和 y 之间的关系，得出他这个图像的一个趋势。 那么现在看一下啊，回顾一下这个依次函数的图像趋势是什么东西呢？实际上就两种，一种呢，从左往右就是上坡的趋势，像这样子呢，就是 y 会随着 x 的 增大而增大， 那这个时候是有什么决定的呢？就是我们前面我们依次函数里面的 y 等于 k， x 加 b， 这里面的 k 就是 x 前面的系数决定的 啊，那这个时候 k 就是 大于零的好。第二种呢，就是从左往右是下坡的趋势啊，这个时候呢， y 会随着 x 的 增大反而变得越来越小，那这个时候我们的 k 啊，它是小于零的 好，那所以通过这个我们就可以得到啊，哎，这个它的趋势是怎样子的，我们来看一下啊。他说 x 一 小于 x 二，那那就是 x 一 到 x 二的时候变大了， 那对应的 y 一 也小于 y 二，那也就说我的 y 一 从 y 啊，从 y 一 变到了 y 二，它也变大了，那也就说 x 变大的同时， y 也变大了，那就是 y 随 x 增大而增大。 哎，那我们就得到了这个趋势啊，增大二，增大就意味着 k 大 于零，那在我们这个节制里面啊，啊， y 等于 k x， 我 这个 k 是 什么东西呢？对应的就是这里的 m 加上一， 那也就意味着我 k 大 于零， m 加一这个整体呢，也是大于零的， m 就 会怎么样呢？大于负一，所以我们这个的范围啊，就是 m 大 于负一就可以了。

来 b o 的 啥是最小值问题？看可以吧？求 b o 的 最小值问题，我们现在去思考一一下说，呃，题里面说， 射线的屁上有一动点 g 作矩形对不对？那在这里面咱们动点是啥？ 动点是不是这点？是不是这点？那么随着这点的运动，对角线焦点 o 是 不是也在运动？所以在这里面动点是这点和啥？是 o 点， 大家说我说的对不对？好一个动点，这一个动点 o， 那 我们现在要求 b o 的 最小值，它的本质就是让求点 o 的 啥，点 o 的 啥，求点 o 的 运动轨迹， 求点 o 的 运动轨迹，我们把点 o 的 运动轨迹找出来就行了，看可以吧。那么题里面呢，给出了一个啥是不等边三角形？等边三角形简单， a c 等于啥？是等于 a 的 a， c 是 等于 a 的 第二个呢？矩形对角线怎么样？互相怎么样？平分且相等，大家说对不对？ 你说，我说是不是？那么大家看一下这幅图来就说，呃， a c 等于 a 得 o， c 等于 o 得，我们是不是能推出一个知识点，就是 a o 是 是啥是 c 得的垂直平分线， 这没问题吧？嗯，那垂直平分线，那运动轨迹，这不就顺手拈来了吗？点 o 是 不是在这条线上运动？ 大家说我说的是不是？嗯，随着这个 g 点的增加，大家看你比如说很多同学这个发散思维能力不行，你有啥好不行的？你这样子画一个矩形， 是画一个矩形对角线交点，看到了吗？是不是也在变化？ 是，也在变化，这点他在射线上运动，所以这点他不停的往右，那么这个点 o 是 不停的想往右运动，能明白吧？那么你通过画几几幅图呢，你就能明白，这个点 o 确实在运动，而且我们通过数学原理也能得到点 o 的 运动轨迹是一条射线，这就是射线。啥 是不涉线 a o 是 不涉线 a o 那 点 o 的 运动轨迹是涉线 a o， 那 我问大家，那人家不是问这个 b 点到 o 点的距离对不对？那这个时候大家用心听， 点 o 的 涉运动轨迹是涉线 o a， 那 就相当于问的是点 b 到啥 o a 的 啥是距离，大家说对不对？是不是它的距离？这道题的本质不就是这样子，那一个点到直线的距离什么最短？是垂线段最短？那这还用做吗？来， ok 吧， 是不是这样子来？ 这 b o 最小是吧？那这个，这个角多少度？几分钟告诉我们说 a b 等于多少？ 四十倍，是不是四十倍的根二？那这个就是二十倍的根二，是二十倍的根二。所以我们就写，当 o b 垂直 o a 时， bo 怎么样？有最小值？ 最小值等于啥？二分之一 a b 等于二十倍的根二。 好了，这样愉快的结束了啊，现在我讲清楚了，讲明白了，没？听懂了吧？难度大吗？难度大不大？ 学数学题的时候问答案，就在，你看这是问题对不对？但这也是答案，因为题目中说的很清楚， o b o b o， 你说啥意思啊？ ob 他 是问题，他也是答案，为啥？因为 b 点是不是一个定点？那 o 点的运动轨迹找出来是不是就行了？ 所以答案藏于问题中核心很简单，让你把所有的精力拿拿出来干啥？研究典故的运动轨迹，而不是让你在那瞎算，知道吧？能明白吗？给自己。

这样好似山中的情。

恶心但管用，期末前带你搞定八下数学，数学期末想冲高分别傻刷卷子了，刷一百张顺序反了也白刷。我初二数学最烂那次几何证明题辅助线画了擦擦了画卷子都快磨破了也没做出来，后来咬牙换了套打法，期末直接翻身。今天这个顺序分享给你。 一二次根式有意义的条件被开方数大于等于零分，母理根式只能大于零概念关过了选择填空不丢冤枉分。接着拿下最减二次根式，化减加减，先化减，再合并同类二次根式乘除根号里面一起算。这类题每套卷子必出手，稳了分数，稳稳进账。二、 勾股定律常见勾股数三四五五十二十三六八十先刻进脑子里。逆定律三边带入 a 方加 b 方，等于 c 方对上就是直角，这是第一个保险。接着拿下折叠问题，角权等设最短边为 x， 其余用 x 表示。勾股列方程直接解大体，再套用将军印码做对称连线段，三步走模板几何部分分就拿稳了。三权等三角形判定是证明的起点， 边边边角边角边角角边四个判定对号入座，先过掉概念关，不再混。接着把辅助线三招备长，中线截长补短做平行线，练到随手就画。证明题常考的辅助线场景集中过一遍， 这两个动作拉满扣分空间直接压到最低。四、平行四边形性质和判定是几何框架，先把对边平行且相等对角，相等对角线互相平分，既死不再串。接着吃透递进逻辑，平行四边形加直角推到菱形， 两个条件都满足，推到正方形证明题兜兜转转就这一个推理链集中共几天这个漏洞就读上了，现在离期末还有时间，如果你真想提分，就从今天开始改变你的打法，记住，数学是八年级最容易拉分的科目，而你完全可以冲上一百一十！视频中提及的资料我都整理好了，扣一百四十九，希望能帮助到大家。

八下数学没什么难的，一天带你学完八下数学。作为踩着数学六十七分爬进重点高中的学姐，最后一天靠着这套方法硬生生冲到一百一十四分，考前集就直接抄作业。 第一步，二次根式有意义的条件就一句话，被开方数大于等于零，分母里出现根式时只能大于零。最减二次根式，满足两条被开方数不含分母，不含能开的进方的因素加减。先化简，在合并同类二次根式乘除根号里面分开算，最后化简。 每天练五道纯计算手稳了基础，分一分别丢。第二步，勾股定律常见勾股数三四五五十二十三六八十八十五十七，背到能默写逆定理判定直角三边带入 a 方加 b 方等于 c 方，对上就是直角折叠问题。找全等设最短边为 x， 其余用 x 表示勾股列方程直接解最短路径，蚂蚁爬行做对称连线段步骤固定就这三百伏。第三步，一次函数与方程不等式 图像跟 x 轴交点就是小于应用题。方案选择列出两个解析式，求交点交 左边用一种方案，右边用另一种数形结合，一目了然。第四步，数据的分析，记好平均数、中位数、中数、方差的定米区别，选择填空反复考，期末前把这四块一个一个啃下来，数学分稳稳到手。以上都是我熬夜整理的取件码。六四九一。

我们帮助这个孩子数学从一百分到一百二十三，那家教的目标呢？是一百三十五。今天我们给大家分享一下，我们如何帮助这个孩子完成他下阶段的目标。那这个同学来的时候呢，是一百分，现在他的分数能够突破一百二十三分。那我们先来看一下他近期的这一张答题卡具体的扣分情况是什么，我们可以看得到哦，他其实前面的这些基础题基本上全对 选填，只有一个填空题作为题错，那这个是几何题，难度比较大的，基础性比较高。对对对，基础是 ok 的， 也说整份试卷里面最难的应该就是这个十六题，他的扣分是无可厚非的。那我们来看一下后面第一个二十二题扣分，这里是一个什么耻归做徒的问题，他当时他耻归做徒的老师讲的还是比较模糊，所以他那一个知识点没有学好。 那接着下面就是二十三二十四题，我们代数类的一个中等题目进阶题目，比如说二十三结合到我们的高中的一个基本不等式，但是核心思想还是一样，我们完全平方公式的变形。二十四英式分解的进阶题，这个最值问题，我们前面整个在学整数的时候是已经考的非常多了，那二十五几何的一个模型问题，这也是我们初二全等里面的 boss 问题了，嗯，也就说 他的扣分情况其实都是比较难的题目在扣分的。嗯，也就说我们现在下一步就是如何去突破到一百三十五分。好卷子分析完之后，那下一步呢？就是我们的这个结果该如何去实现？ 从这张卷子里看出，它明显是在二十三题这个部分会出现的问题。那二十三题如何去解决？你比如说这一种二十三、二十四这一种代数类的题目，它其实相当于几何来说是比较好解决的。中档题，对中档题，它这种题目同学们在练习的时候特别容易找到总结方式的。这也是为什么我们做代数类的题目会相对几何类的题目更好做。因为代数类的题目你会发现它全是数字， 那数字我们已经从小学到现在已经做了非常多了，只是说在图形的时候，我们同学会比较抽象，嗯，你没有办法把模型总结到位。这也是为什么同学们在初中的时候会觉得代数比几何会简单一点。那我们像这个同学接下来突破到一百三十五重点的代数，比如说我们现在出过最重要的一个什么因式分解，还有整式乘除 宾式分解，那四个最常用的公式法，还有十字相乘法，还有我们的提供式，这些一定要是很熟练的，这是我们的基础问题。那接下来进阶一点的，比如说我们的双十字相乘，我们的整式大除法，这一些同学们一定要额外练习，那也是他下一步要练习的东西。接着同学们现在已经在学几何了， 几何又是他重中之重要练习的东西了，我们还是一样从中间体开始练，因为他下一步是一百三十五分那中等题，比如说我们现在的等边等腰，他的一个边角转化问题啊，我们听起来这个概念可能比较简单，比如说等腰的判定，等边的判定，他难度都不大，但是他这个边角转化问题，有很多同学都会做的一团糟。比如说我们现在此规作图，有一个中垂线，有一个角分线， 加上我们等边等腰，有个等边对等角，再结合我们初一的内角和外角，全部结合起来。也就说他这个几何题，哪怕他不用辅助线， 光我们做边角转化的问题就已经够同学们头疼的。所以等压等边的一个边角转化问题是他重点要练习的东西，以及我们初二马上要到来的月考，我们考到勾股嘛，所以勾股的一个蚂蚁爬行的最短路径问题，也是他重点练习的。再加上这一次暴露出来的这个二十二题，中垂线、角分线， 还有一个什么平行线，那平行线的画法，这就不是课内的知识点了，像我们前面说的这种蚂蚁爬行问题啊，都是属于同学需要额外拓展的地方。最后我们全等了几个基本模型，比如说截长补短、倍长中线，这是最基本的。另外两个使用频率比较高的，比如说脚踮半脚模型、手拉手模型， 还有一些跟我们的角分线、中垂线的性质结合的这种模型辅助线就是我们同学们重点要练习的东西了。当然这还只是我们的中间问题哦，那一百三十五分以后，又有一个不一样方向的突破了。嗯， 你看我们一直强调的是这个学生现在从一百二到一三五，其实他这还没有到什么太压轴题，之前没到幺四零，他只是中档那些东西要去解决掉，你真正什么样的同学才要去解决我们这个压轴啊？真正是你最后两题，那个最后两问的问题，对，是我们要到一百三十五以后， 你想要他就上一百四，上一百四十五，你这边才需要说学到更多跟压轴题相关的知识。所以同学们这边有个误区，可能你会觉得说自己考一百二是因为他你没有掌握压轴题，其实不是的，是因为你在中档部分 就出现了问题，对你现在的耽误自己应该是解决中档的那部分。提醒，对，今天我们的内容呢，非常的干货，都是我们在一线多年实战得出来的，我们一些相关的经验能知道说怎么样帮助孩子，你一百上一百二，一百二，上一百三，一百三，上到一百四，甚至一百四十五， 我们非常清楚怎么去帮助孩子提分，所以说我们讲的内容，呃，希望说家长可以去点个赞，点个转发，把这个内容分享给你的孩子看。那如果说你也有学习相关的问题的话，可以在评论留言或后台私信我们哦。

我们来看一下初二的分式加减法啊，这属于分式加减法，一种是同分母的， 一种是异分母的啊。同分母是什么意思？就分母一样嘛，对不对？分母长得一样。 那按照我们小学学的同分母分数加减法，分母不变，只把分子相加减，对不对？这个分式用到分式里面也是一样，同分母的话，分母不变，只把分子相加减。但是 加减完之后要记得化到最减分式啊，要记得化减。 那么我们今天来讲异分母分式的加减啊。异分母什么意思？就分母不同呗，对不对？那我们在小学学的类比学习一下啊，比如说三分之一加上四分之三， 那这个也是异分母的，是我们怎么加呢？看分母，一个是三，一个四不同，对不对？那我们就要把分母变相同，那就要找三和四的最小公倍数，对不对？那因为三和四是互质数，什么叫互质数？就说他俩除了 公因公因，他俩除了公因数一以外，没有其他公共因素了，所以他俩叫互质数。那他俩的最小公倍数就是两个数的乘积十二，对不对？那三分之一就变成十三，变成十二，乘四，那一分子也要乘四，加上 这个分母也要变成十二，那分子要乘三得九，等于十二分之十三。 那么用到我们的异分母分式啊，这是分数加减法，用到异分母分式的加减法里面也是同样的啊，要找找，只要最小公倍数，我们这里就不叫最小公倍数了。我们求什么？我们叫什么？ 最减公分母？ 嗯，最减公分母要要是最减的，而且公公共的分母啊，就是你有我也有的，就这个意思啊。那咱们来看这两个它的分母是不都是单项式 啊？单项式，那怎么来找它的最减公分母呢？一个是五 a 方 b， 一个是 十 ab， 我 们怎么来找最减公分母呢？先看系数，一个系数是五，一个系数是十啊。第一步，先找系数的最小公倍数， 先找系数的最小公倍数，一个系数是五，一个系数是十，那十本来就是五的倍数，对不对？所以它俩的最小公倍数就是十啊，就是十。那第二个取， 取什么呢？取各分母各分母的最高次 啊。取各分母的最高次各分母。你看 a， 这是 a 方，这是 a。 取最高次 a 啊，它俩都有 a， 这是 a 方，这 a 取最高词，那就是 a 方了，对不对？然后 b b， 那 它俩都是一次，那就不用说了，就直接取 b 就 可以了，对不对？取分母的最高次。第三步，怎么办呢？就得到了 最简公分母， 怎么得到呢？先看系数，先看系数，系数我们是不是取了十，那各个分母的最高次，我们学取了最高次，那就是 a 方 b， 所以 它俩的最减公分母就是十 a 方 b， 那 我是不是要把它俩的分母都化成十 a 方 b 呢？那就是 五 a 方 b 分 之二 a， 加上十 a b 分 之三 b， 等于这个分母要变成十 a 方 b， 它要变成十 a 方 b， 是 不是只有系数乘个二就行了？那上面也乘二，二得四，那就是四 a 加上这也是十 a 方 b， 那 你看十 a b 到十 a 方 b， 是 不是只要乘个 a 就 行？那在分子上也要乘个 a， 那 就是三 a b， 对吧？等于最后变成同分母了，那分母不变，是 a 方 b， 分 子相加四 a 加三 a b。 有 的同学写到这里就完了，但是它实际上完了吗？它并没有完啊，我们是可要看 分子和分母中是否还有能约的东西。的确是有的啊，你看这里有个 a， 这里有个 a， 是 不是上面还能进行因式分解？那就 a 提出来，括号里面剩四加 三 b， 对 吧？下面就是十 a 方 b， 你 可以上下可以同时约个 a 划掉这个 a 方划一个划掉就变成了剩个 a 啊，把那个平方划掉。所以最后就是十 a b 分 之四加三 b 啊。十 a b 分 之四加三 b， 这个是分母式。这个是什么？分母分母式，单项式 啊，分母式单项式，找最减公分母就是这个步骤，一二三啊。然后呢，再看分母是多项式的， 那分母是多项式的时候，又怎么找最简公分母呢？第一步啊，要先对 先对分母因式分解 啊。先对分母进行因式分解，你看这个没什么分解，它就长这样。但是这个分母是不是可以因式分解呢？那就是 a 方减一就等于 平方差公式。对对，因式分解。所以说要求你对上一章因式分解比较熟悉啊，那就 a 加一乘 a 减一， 对不对。音式分解分解，这是只有它能音式分解。如果说两个分母都能音式分解，那就全部分解啊。第二步，第二步怎么呢？取各音式 的最高次， 取各音式的最高次啊，各音式。你看音式分解了之后，这个是第一个是 a 减一，第二个是一减 a， 对 不对？ 但我们知道一减 a 和 a 减一，是一减 a 和 a 减一，它俩你先不用管它俩，它俩本来就是可以互化的，只要在一减 a 前面加 一个负号就可以了啊，加一个负号，它是不是就变成 a 减一了？所以说这个我们是可以通过啊，这个我们是可以通过，就是 符号来调节调节正负号来调节它的，我们来不用管啊。你看啊，取各音式的最高项，看各音式有一个 a 加一，对不对？那么 a 加一，取上 它有个 a 减一，它有个一减 a， 那 我们可以统一成 a 减一，反正都是一次的，对不对？那就成 a 减一就可以了啊。第三步，那就得到了最减公分母， 公分母啊，那这些公分母就是 a 加一乘 a 减一，对吧？那所以我们来画啊， a 方减一分之二，加上 一减 a 分 之一，等于，那么把分母这个分母换了，变成 a 加一乘 a 减一，对吧，上面是二，然后你看啊，这个我想把它变成 a 减一，怎么办呢？那就 a 减一，前面加一个符号， a 减一前面加一个负号，那括号展开之后还是负 a 加一，也就是负 a 加一，也就是什么呢？也就还是一减 a 没有变过，对不对？你要写成它的相反数，之后还要变，变成还还要是它本身怎么变呢？再加一个负号就可以了，所以它就是， 嗯，加下面写负的括号， a 减一分之一，那我们在这里怎么办呢？这个符号就可以提到最前面来，放到这这里，对不对？这这个符号就不要了啊， 这变成减号就可以了，那就等于那右括号也不需要要，对不对？ 那就等于啊， a 加一乘 a 减一分之二，然后减，那你想这个分母要变成 a 加一，乘 a 减一，它原本只有个 a 减一，对不对？上面乘个 a 加一就可以了。 等于 a 加一乘 a 减一分之二。二减。看，这是减啊，减，但是这是个多项，是减这个整体，所以你最好先带上括号后面再去啊。等于 a 加一，乘 a 减一分之二，去括号减 a， 然后减一，对吧？括号前面是减号，括号连同减号一起去掉，每项都变号， a 变成负， a 加一变成减一，对吧？就等于 a 加一乘 a 减一分之二，减一就是一，那就一减 a 等于你看一减 a 和 a 减一， 能约对不对？能约，但是我上面约了之后，它俩是互为相反数的哈。约了之后不是一，而是这里是负一啊。那所以就负的 a 加一分之一，把这个符号提到最前面啊。

其实吧，八年级下数学勾股定律基本上就这五大体型， 八下数学勾股定律，八大乐考体型专列一风吹树折 二蚂蚁爬行三风吹荷花模型四三七八和五七八模型。六直角三角形锐角平分线完整版。

这道题太难了，很多同学遇到这种题都不知道辅助线该怎么做，做不出辅助线，这道题 a、 b、 c、 d 摸一个也是百分之二十五的正确率， 但是一旦你掌握这种题目，辅助线的技巧，真的如鱼得水，来一个秒一个，今天叶老师就把我总结出来的，哎，这个三缺一的秒题大招教给大家啊！那有关这类题型啊， 终点辅助线模型，老师是给大家做了一个特殊的总结和梳理的，如果咱们孩子经常来做这种题目，想不到方法，没有思路，咱们家长一定要带孩子打印出来，逐个题型进行梳理，因为这种题真的是有方法的。 下面呢，咱们就来一起看看这道题。如图，在四边形 a、 b、 c、 d 当中， n 分 别为我们 b、 c 和 ab 的 终点终点画小大圆点，哎，这叫做条件上足， a、 c 呢等于八， b、 d 呢等于六， a、 c 垂直于 b、 d 让求 n 的 长。这种题目，老师是不是给大家一个四缺一的解例技巧啊？什么意思？来看这道题给了我们哪些条件？来这儿，这儿两条边的终点提到了 四边形，对角线，我们提到了它 q 到了四条线，那组成这个四边形的基本要素当中，还有两条线，它是没有提到的，对不对？四边形基础要素一共就有这六条线， 所以我们说 q 四线之后四缺一，必须五个条件才能完成这道题的解决过程。所以另外一个条件在哪找？就在没有 q 到的这两条线上，任意找一条线，取中点。 哎，这个我们取到了终点，假设是点 p， 所以 四缺一，我们就在另外一条现场找一个终点 就完成了五个条件，召唤神龙，五个人可以排位了，对不对？来，那我们现在选完这个终点怎么办？看，这也是终点，这也是终点，很明显要构成正位线了， 所以我们在这里连接 np， 连接我们 pm， np 平行且等于二分之一 a c， 这是八，这是四， 同样 p m 平行线的二分之一的 b， d， 这是六，这就是三。所以你有发现点什么？三、四，你想到什么？ 勾不定理啊，那能不能用勾不定理啊？你看这是不是有个垂直的条件啊？这是垂直的，这也是垂直的，所以说我们有直角三角形 通不定理三、四、五，直接求出我们 i n 最终的答。所以以后遇到这种题，大家可以想到在这种 四边形模型当中，它题干当中 q 到了四条线，那我们想解决这种题目就是 q， 四线二选一，在没有 q 到的两条线当中选一个去终点连终点，利用中微线就可以轻松搞定这类题目的答了。

恶心但管用，带你搞定八下数学死穴，别再按课本顺序磨蹭了，那样你只会越学越懵。我初二数学九十分掉到及格线，换了套打法，一个月后直接拉回高分。今天把这个顺序分享给你。第一步，先别刷题，给我按死权等三角形。 初二数学两级分化根源就在这里。一个口诀，记住所有判定定律，边边边边角边角边角角角边，看到终点就被长，看到角分线就向两边做垂直辅助线的四大模型，飞镖、八字一线三等脚，手拉手练到走火入魔， 几何大题直接锁定思路。第二步，攻克一次。函数图像是灵魂，数形结合是钥匙，盯着 b 看焦点方程不等式函数图像三合一，互相转化，应用题理形成收费方案，选择套死模板，答案就摆在明面上。第三步，代数二次根式与勾股 计算，不能只求快，要绝对稳。勾股定律的折叠和最短路径，这是期中期末压轴题的常客。模型固定就那三四种，非模型，笔刷一百道题都有用。第四步，总结错题本是纲易，不是让你抄题，是记错的类型概念不清晰。 计算事务型，辅助线，没想到型每周复盘一次，下次看到同类型提大脑自动预警。现在刚五月初，期中刚过，期末不远，如果你真想翻盘，就从现在开始，按这个顺序把你的知识重新组装。视频里提到的我都整理好了，五百四十分享给想逆袭的你！

本节课彻底学会平行四边形，所有重点题型，多学一道，多长十分。弹幕里打出我要逆袭，我们直接开始题型一，平行四边形的判定。 好，大姐给大家总结一下，我们从三个维度出发，边角线， 我们先看边的角度，从这个角度出发，边呢，是有三条判定的啊，我们看这三条，两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。好，第三条，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以我们这三组呢，要记好，一组是两组分别平行， 一组是第二判定，二是两组相等判定三呢，他是一组对边 平行且相等，所以这个一定要注意区分哈。前面两条是两组平行，两组相等，那么第三组是一组平行且相等。判定三是用的最多的，把它记起来， 我们再看角的判定啊，它是有一条判定的。好，我们看两组对角分别相等的四边形是平行四边形， 所以角的话是对应的是对角哈，比如说平行四边形，这个一组对角，两组对角相等呢，它就是一个平行四边形了。 接下来我们再看从线出发，有一条线是什么线呢？对角线，所以对角线相互平分的四边形也是平行四边形。那我们记住这五条就是平行四边形的判定。从边角线， 边是三条，角是一条，线是一条，三一一边三条，两组对边平行，两组对边相等，一组对边平行且相等。角对角，两组对角分别相等，线对角，线对角，线相互平分。好， 所以这五条判定就是平行四边形的判定好，那我们接下来看题目。以上四个条件中可以判定四边形是平行四边形的。有 好，那我看第一条，两组对边分别平行好，这个就是 涉及到从边的角度，边的话，我们有三条复习一下。第一条是两组对边分别平行的四边形是平行四边形。或者第二条，两组对边相等 的四边形也是平行四边形。第三条判定他不是两组，他是一组对边平行，但是并且要相等的四边形是平行四边形 啊，所以记住这三条边的判定好，那我们看第一条，两组对边分别平行两组。平行 a， 一 是对的两组对边分别相等，两组相等也是对的，一组对边 平行且相等一组可以，但是平行和相等都要，所以也是对的。判定三好，那我们再看第四条对角线， a、 c、 b、 d 相等。我们先画一下这个平行边形啊，标上 a、 b、 c、 d， 按顺序标好对角线是 a、 c 和 b、 d 对 吧？ a、 c、 b、 d 对 角线相等不对哦，平行四边形的对角线是相互平分哈，你看相互平分判定五，所以第四是错误的，那么答案是一二三正确，所以选 c。 第二题， 在三角形 a、 b、 c、 中， d、 e 分 别是 a、 c 和 ab 的 中点， 两个中点，所以 d、 e 是 中位线好，并且知道 c、 f 整一段等于三倍的 b、 f。 第一问，求证四边形 d、 e、 f、 b 是 平行四边形 好，因为 d、 e 分 别是 a、 c、 a、 b 的 中点，两个中点构成是中位线哈，所以 d、 e 是 三角形 a、 b、 c 的 中位线， 那中位线的话有平行且等于底边的一半哈，所以 d、 e 平行 bc， 并且 d 一 等于底边的一半哈，这是中位线的性质，那 d 一 就等于二分之一的 bc， 或者是长的底边等于短的两倍，也可以说成是 bc， 长的边等于两倍 d 一 其实就是相当于把这个式子两边同时乘以二，扩大两倍哈，好。又因为题目给的条件 cf 整一段长的等于三倍 bf， 那 我们从图中可以看到 cf 是 三倍 bf， 对 吧？而 cf 呢，又包含一个 bf， 那长的是三个 b f， 减掉一个 b f， 那 剩下的 b c 不 就等于两个 b f 吗？对不对？两个 b f 加一个 b f 才构成三个 b f 嘛。所以我们就可以从这个关系可以得到 b c 呢，也是等于两倍的 b f 的， 那我们看前面中了 bc 等于两倍 d e， 这里又中了 bc 等于两倍 b f， bc 是 同一条边，对吧？所以呢，右边也相等，那我们就有 d e 等于 b f 啊，都等于两倍这个，所以这两个式子是完全相等。 d e 等于 b f。 好， 前面正了 d e 平行 bc， 那 相当于是 d e 平行 b f 一 组对边平行，那这里又正了 d e 等于 b f。 哎，我们知道 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形啊，所以下结论，四边形 d e f b 是 平行四边形。 第二问角 a c b 这个角是直角九十度， a c 等于十二 d e 啊，上面短的这一段等于四，求四边形 d e f b 的 周长 好由一得 bc 是 等于两倍 d 一 由中位线得的哈，并且 d 一 知道是四，所以 bc 等于两倍 d 一， 那就等于二乘四等于八， 那图中 bc 就 等于八了哈。好。又因为点 d 是 a、 c 的 中点， 题目告诉我们 a、 c 等于十二中点的话，那就是一半呢，所以 c、 d 等于长的一半，等于二分之一， a、 c 等于二分之一，乘以十二等于六 cm， 那 也就是 c、 d 这一段等于六。 好。又因为题目给的条件角 a、 c、 b 等于九十度，那所以在这个直角三角形 b、 c、 d 中，由勾股定律可以把 b、 d 边求出来哈。那么则 b、 d 就 等于根号下直角边的平方， c、 d 的 平方带数字进去就是根号六的平方加上八的平方， 那我们直接根据勾股定律的勾股数六八十，所以第三边斜边直接斜等于十哈。 好。最后我们就可以求平行四边形 d、 e、 f、 b 的 周长了哈，那我们知道平行四边形它是对边相等的，我们已经知道 d 一 和 b， d 一 条为四，一条为十，对边相等，那他们两个加起来乘以二就行了哈，所以就等于两倍的 d 一 加上 b、 d 括号再乘以二。好，代数字两倍乘以括号的四加十，对吧？你看，四加十一组，再乘以二，就是两组四条边加起来了哈，那也就等于四加十。十四乘以二，那就等于二十八 cm 周长。 题型三，中位线的问题好讲，这套题之前呢，大姐给大家总结一下知识点哈， 中位线的问题。如果题目告诉我们已知 d 点和 e 点都是中点， d 是 ab 中点， e 是 a、 c 的 中点，那我们就知道 d 一 呢是三角形 abc 的 中位线 好。中位线有什么性质呢？第一，第一平行这个三角形的底边，也就是第一平行 bc， 并且第一这条中位线等于二分之一的 bc， 那 也就是中位线的特点，就是平行 加一半，加二分之一的底边的一半。好，那我们来看题，如图，平行四边形 a、 b、 c、 d 的 周长为三十六， 那我们要知道哈，平行四边形的周长公式，它等于长加宽的和乘以二，那也就是这个周长等于三十六。 好，这个乘二等于三十六，那我把这个乘二移过去，那是不是得到长加宽等于三十六除以二，对吧？乘移过等号右边就除三十六除以二呢？就等于十八，对不对？那我是不是得到一条长 和一条宽，这个 b、 c 加 c、 d 等于十八。又或者我们可以通过图像直接求你看，我们知道平行四边形对边相等 蓝色这条边 a、 b 等于 c、 d， a、 d 等于 bc， 对 吧？好，我要求一半，是不是用三十六除以二等于十八，红色加起来等于十八，蓝色这两条加起来也等于十八，对不对？一样的道理。好，那我们继续看题目哈。 对角线 a、 c、 b、 d 交于点， o、 e 是 c、 d 边的中点好，中点出现了中位线，你看 o 也是 b、 d 的 中点，因为对角线相互平分， b、 o 等于 o、 d， 那 这个 o 点自然也是中点好， o、 e 都是中点，所以这条线呢，就是中位线。三角形 b、 c、 d 的 中位线对不对？那中位线就有了 o 一。 首先平行 bc 对 吧？平行且等于它的一半， o 一 等于二分之一的 bc， 你 看，也就是这一条推出来的平行且等于底边的一半。好，那我们再看题目，告诉我们 b、 d 这一条边等于十二， 求三角形 d、 o、 e 的 周长，那么 d、 o、 e 的 周长，也就是求 o， d 加 o e 加 d e 这三条蓝色边的周长。 好，我们先看 o、 d， 这条边， o 呢是 b， d 的 中点，整一条 b， d 长等于十二，那么 o d 等于长的一半，所以呢， o、 d 就 等于六了。好了，我们再看 d， e 再加 o e， e 呢是 c、 d 的 中点，你看 d， e 是 不是等于二分之一的 c、 d， 对吧？短的是长的一半，因为它是中点嘛。好， o e 是 中位线，刚刚推过了， o， e 是 下面长的 b、 c 的 一半，也等于二分之一的 b、 c。 好， 那我们看，把这个二分之一提取出来呢，就等于二分之一乘以 c， d 加 b， c， 那 就等于六，加上二分之一乘以。我们知道 c、 d 加 b， c 刚好等于十八。 好，我们再算一下，也就是六加约分二九，十八等于九，那最终等于十五，所以答案选 a。 当然，这道题也可以直接看图哈，我要求这三条蓝色部分的周长，你看 o、 d 等于长的十二，一半是六吗？六就确定了。那我们再看这个 o e 和 d e， 你看 o 一 等于这一边的一半中位线嘛，对不对？然后呢， d 又等于这条 c、 d 的 一半，那也就是等于 这两条 b、 c 加 c d 长的一半，整个整体的一半，对不对？你看四条边加起来是三十六，是吧？我分割一半的周长就是等于十八，也就是 b、 c 加 c， d 等于十八， bc 加 cd 十八之后呢？你看这里又是 bc 一 半，这个又是 cd 一 半又一半，对吧？他们的一半又十八，除以二等于九，所以这两边这两条边等于九，再加上六，六加九就等于十五。选择 a， 题型是矩形的判定好，矩形的判定呢，我们从两个方向去想哈，第一个是平行四边形，第二个是普通四边形，那我们先看平行四边形方向去判定的，那我们先来 看一下这个矩形呢，其实就是我们小学学的长方形，我们知道长方形四个角都是九十度， 对不对？好，并且呢，我们还知道矩形的对角线相等， a、 c 等于 b、 d。 好 了，我们看一下判定哈，判定一，如果已知是平行四边形，那么再加一个九十度，就可以构成一个矩形。好，这是第一个判定。判定二， 如果是一个平行四边形，再加对角线相等，那么也构成矩形，所以呢，从平行四边形角度呢，就有两个判定好，我们接下来再看普通四边形，也是有两个判定， 那么我们证明一个矩形呢，也是直接三个角九十度，就可以证明这个四边形是矩形了哈， 那我们再看对角线相互平分且相等，就是证明矩形啊，这是普通的四边形的两个判定。记住，三个角九十度， 或者是对角线相互平分且相等，那么其实判定四呢，他也是对应的，是判定二来的。你看对角线相互平分，不就是 平行四边形吗？加上对角线相等，那么就是矩形了，所以矩形自己特有的就是对角线相等哈， a、 c 呢，是等于 b、 d 的， 我们看第四题，下列命题中正确的是好，第一个，四个角都相等的四边形是矩形。好，那我们看一下 这个四边形就是四条边吧，四个角相等，我们知道四边形四个角一圈就三百六， 我们看一下，四个角的话，有四个角除以四四九三十六，其实他这句话四个角相等，也就是暗示着四个角都是九十度， 对不对？因为四条边对应的内角和是三百六吗？三百六除以四就九十，所以四个角都是直角，是矩形，是正确的，也就相当于判定三三个角九十度，可以证明是矩形，所以一正确。 好。第二，有三个角是直角的，四边形是矩形，那很明显是正确的，对不对？你看就是普通四边形，三个角九十度可以证明是矩形，所以也是正确的。好，那我们看有一组零边相等的平行四边形是矩形，这个是错误的。零边相等， 怎么证明它是矩形呢？在平行四边形基础上再加一个角九十度， 就可以证明是矩形了，所以三错误。好。第四个，有一个角是直角的，平行四边形是矩形，正确的啊，对吧？一个角九十度，再加平行四边形构成矩形， 这是我们的第一个判定了，所以四是正确的。那么答案就有三个，一二四选 c。 好， 我们看题型。五、矩形的性质 好。大姐先给大家总结一下矩形的性质，那么矩形它也是特殊的平行四边形，那所以它具有平行四边形的所有性质啊。比如说第一点， 矩形呢，比对边平行且相等， ab 等于 cd， ab 平行， cd a d 等于 b c， a d 也平行 b c， 对 吧？啊，这是第一点。第二点，因为它是矩形，也就是一个长方形，长方形呢，四个角都是直角哈，所以四个角是九十度，这是第二点。第三点，我们就看对角线， 我们知道他本来是一个平行四边形，平行四边形呢，是有对角线相互平分，而矩形特有的性质是对角线相等哈，所以有三条性质，第一条，对边平行相等。 第二点，四个角都是直角九十度。第三点，对角线相互平分且相等， a、 c 等于 b、 d 啊，这是矩形。有的如图，在矩形 abcd 中告诉我们，这是一个矩形哈， 对角线相交于点， o、 e、 f 分 别是 a、 o、 a、 d 的 中点。好， e 是 a、 o 的 中点， f 呢，是 a、 d 的 中点，所以 e、 f 呢，就是三角形。 a、 o、 d 这个围成了三角形的中位线 啊，因为 e 是 a、 o 中点， f 是 ad 中点， a、 o、 af 围成了，就是这个三角形，那么就是这个三角形的中位线啊。好，那我们回忆一下中位线的性质， e、 f 是 中位线，那么 e、 f 呢，就平行 o、 d， 并且等于它的一半， e、 f 等于二分之一的 o、 d。 好，题目，让我们求 e、 f 不 就转化成求只要求出 o、 d 的 边就能够得到 e、 f 的 答案吗？好，那我们先再看题目。 a、 b 等于六， bc 等于八。好，我们看这个四边形是一个矩形，对吧？矩形的话，你看这个直角上行 abc， 我 把它拿出来， ab 等于六， bc 等于八。哎，不就有勾股数 六八十吗，对不对？前面勾股定你学过的啊，你看六八斜边就十，所以 ac 呢？ 这条长的边 a、 c 就 等于十了，并且 a、 c 它是矩形的对角线， a、 c 等于 b、 d。 因为矩形的对角线相等，所以 a、 c 等于 b， d 也等于十，对吧？六八十出来的十。 好，那我们看 b、 d 也等于十了，那 b、 d 的 一半， o、 d 不 就十的一半吗？不就是五吗？对不对？你看 b、 d 整条是十， o、 d 呢，就等于它的一半等于五吗？因为对角线相互平分吗？ 好， o、 d 等于。我刚刚不是证明过吗？ e、 f 是 这个三角形的中位线， e、 f 等于 o、 d 的 一半，对吧？那不就是二分之一乘以五， 那五除以二不就等于二点五吗？大家可以除一下它，对吧？二得四十二点五，所以这个答案就选二点五，选 d。 梯形六矩形的综合运用在菱形 a、 b、 c、 d 中好。 a、 b、 c、 d 是 一个菱形哈， 题目告诉我们做 c、 e 平行 b、 d 这两条直线平行好。 d， e 平行 a、 c 啊，这两条直线也平行好。第一问，求证 c、 o、 d， e 啊， c、 o、 d、 e 是 一个矩形。我们一般正矩形的判定呢，是用由一个角九十度加平行四边形，那就构成一个矩形好，那我们先正这个四边形是平行四边形哈，好，写过程。因为题目给的条件 c 一 平行 b、 d、 d、 e 这一条平行 a、 c。 你 看是不是一组平行，两组平行，对吧？那两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 那我们就可以说这个四边形 c、 o、 d、 e 是 一个平行四边形。 好，又因为题目给的条件 abcd 呢，是一个菱形，那菱形的对角线是相互垂直的哈，所以就有对角线 a、 c 垂直 b、 d。 那 也就是这个角是个直角， 所以角 c、 o、 d 等于九十度。好，这就符合这个判定呢。有一个角九十度的平行四边形是矩形，所以下结论，四边形 c、 o、 d， e 是 矩形。 第二问，若 a、 b、 c、 d 为菱形，所以对边相等 c、 d 也等于十哈， a、 c 为十二对角线，这一条为十二，那么菱形对角线也是平分的，整一段为十二，平分的话，那 o、 a 和 o、 c 就 等于六哈，求四边形 c、 o、 d、 e 的 周长， 好写过程哈。因为四边 c、 a、 b、 c、 d 为菱形， ab 等于十， ac 等于十二。因为菱形也是特殊的平行四边形，所以平行四边形有的性质菱形都有啊，对边相等菱形也是有的哈，所以 ab 等于对边， c、 d 也等于十啊，对角线也平分。 现在我要求的是 c、 o、 d， e 的 周长，我们前面这个，它是一个矩形长方形，那我是不是要把它的长和宽给求出来啊，所以我要把 o、 c 求出来哈，所以 o、 c 就 等于二分之一 a、 c 的 一半， 因为它对角线平分嘛，所以就二分之一乘以十二等于六好，因为第一问已经证明过这一个是直角哈。那么在 r、 t 三角形 o、 c、 d 中，我们可以用勾股定力把 o、 d 求出来哈， 那 o d 呢？就等于根号下斜边的平方， c 的 平方好，带数字进去，那就是十的平方减六的平方， 这个结果不用算哈，那我们根据勾股数六八十，所以 o、 d 直接等于八 好。因为我们要求的这个四边形地问证呢，它是一个矩形哈，那矩形也是长方形，它的周长公式是长加宽的和乘以二， 那我们就可以套公式了哈，因为四边形 c、 o、 d、 e 是 矩形，所以它的周长就等于长加宽的和乘二哈， o、 d 长加宽， o， c 的 和乘二 好带数字进去就是二乘以八加六，八加六等于十，四乘二，那就等于二十八。题型，七、菱形的判定把几给大家总结一下， 那么证明菱形呢？我们也是从两个角度出发，平行四边形或者是普通的四边形，那我们先看从平行四边形出发的有两个判定。第一个， 我们先清楚菱形它有的性质啊，它四条边都相等，四边相等， 并且它的对角线是相互垂直的， a、 c 垂直 b、 d。 好， 那所以我们 判定它的时候，根据它的性质去判定。第一个，在平行四边形基础上加上菱边相等，就可以证明它是菱形。 为什么呢？因为零边相等了，就代表四边都等了，因为它平行四边形对边相等，你看 ab 等于 cd， ad 等于 bc， 对 吧？它等它，它等它。 如果零边都等了，那是不是这两条边相等，四条都等了，对不对？也就四边相等就是菱形了，所以一样的道理啊，那你就记住它，第一点，平行四边形加上菱边相等，可以判定是菱形。第二点， 因为菱形特有的就是对角线相互垂直嘛，所以平行四边形加上对角线相互垂直， a、 c 垂直 b、 d， 那 就可以证明是菱形啊，这是从平行四边形出发。 好，我们再看，如果是普通的四边形，怎么证明是菱形呢？ 他也是有两个判定哈，第一个就是四条边都相等，那么就可以直接证明是菱形啊，四边相等。第二个就是看对角线，对角线相互平分且垂直，那么就是可以证明是菱形了。 其实呢，第四点和第二点是重合的，你看对角线相互平分，不就是平行四片形的性质吗？ 加上对角线相互垂直，对吧？你看也是平，四边形加对角线垂直，那就证明是菱形了啊，所以一定要注意一下二和四的写法，如果有平行四边形，直接加垂直就能证明是菱形了。 但是如果是普通的四边形，那你要加上对角线相互平分，平行四边形有的这个平分的性质，再加上菱形自己有的垂直，那么就可以证明是菱形了。 下列条件中能够判定一个四边形，普通的四边形为菱形的是，好了，我们看就看三四啊，普通的四边形，也就是四条边相等是菱形，或者是对角线相互平分，垂直就是菱形。 好，那我们一一排除啊！ a， 对 角线相互平分的四边形，只有平分呢，只能证明他是平行四边形啊，不是菱形啊，所以不选对角线相互垂直且平分。哎，平分加上菱形的垂直， 就是能够证明他是菱形了，对不对？你看平分且垂直，垂直且平分一样的，所以这个答案选 b。 好，那我们看对角线相等的四边形，对角线相等且平分呢？相等平分，对角线相等是矩形的性质啊，那加上一个平分呢，我们就可以证明他是一个矩形哈，所以 c 选项也不对。 好了，我们再看第一选项，对角线相等且相互平分，平分加对角线相等，相等是矩形的性质啊，所以两个加起来就能够证明矩形了，所以也不对，所以答案选 b。 好，我们借这一个题呢，大姐给大家总结一下前面所学的这些图形的对角线的区分。我们前面有写的是平行四边形，有学了矩形的图形，对吧？还学了菱形的图形。 我们先看第一点，平行四边形的对角线是相互平分，好，记住，平行四边形对角线只有一个平分。 第二点，矩形的对角线相互平分且相等。因为矩形呢，也是特殊的平行四边形，所以呢，它也有平行四边形的平分，加上它自己特有的对角线相等。 第三点就是菱形的对角线相互平分且垂直啊，也是一样哈，因为菱形也是特殊的平行四边形，那他也有平行四边形的平分，加上菱形自己特有的垂直。所以记住这三点，梯形八菱形的面积。 好，我们先来总结一下啊，菱形求面积呢，是有两种方法的， 我们先看第一种，因为菱形的对角线是相互垂直的，所以第一条菱形自己特有的面积公式是二分之一乘以对角线相乘，也就是乘以这个 a、 c， 再乘以这个 b、 d。 好， 这是菱形的面积公式，记得要加上二分之一乘对角线哈。 那么第二种求菱形的面积呢，是利用了菱形是特殊的平行四边形，那我们利用平行四边形的面积公式是， s 等于直接是底乘高， 就找这个四边形的底和高，比如说这个图对吧，它的底就是 ab， 然后过这个顶点做这个 ab 的 垂线垂直，那这一条 d 就是 高，所以直接这个菱形面积是底层高，所以 ab 乘以 d， 一 直接这样子求就行了。底层高是不用加二分之一的啊，因为平行四边形是没有二分之一，只有菱形 用对角线相乘才要乘以二分之一。他说一个中国结是一个菱形， a、 b， c， d 好 测得 b、 d 等于十二，这条长的等于十二， a、 c 对 角线长的等于十六， ef 垂直 ab。 好， 这里有一个直角九十度，他问 ef 的 长是多少？ 好，我们先来看一下这道题的思路哈。首先他给了条件是两条对角线的长，告诉我们，那我们是不是可以通过对角线求这个菱形的面积啊？我们先求一下，菱形的面积等于二分之一乘以两条长的对角线， 一条 b、 d 是 等于十二，一条 a、 c 等于十六，直接套公式一，对吧。好，二六十二，十六乘以六六六，三十六，一六得六九十六，所以菱形的面积是等于九十六的。好，那我们再看 要求 ef 的 边长，刚好这个边长是菱形， ab 边上的高， 哪里出现高了？是不是这一个菱形的面积等于底乘高等于 ab 这条底再乘以 e f 啊，对吧？ 啊，而且这个菱形呢，我们刚刚从这个对角线相乘除以二求出来就等于九十六了。好，现在关键就是我们把 ab 这条边求出来，就能求出 e、 f 了。好，那我们看 ab 怎么求啊？首先 整一条 b、 d 等于十二，那短的这一条呢？就等于六了，对吧？十二的一半，六吗？好了，我们再看 a、 c 整的一条是等于十六，那短的一条就等于八吗？二八十六。好，那我们通过勾股定律，因为 这个菱形的对角线相互垂直，所以这个角是九十度。好，那我们在这个 r t 三角形里面 利用勾股定律，勾股数六八十，对吧？这是六，这是八，所以斜边就是十。哎，那不就 a、 d 等于十了吗？ 好，又，因为菱形的性质，四条边都相等，所以 a、 d 等于十， ab 也等于十，那我们就可以大于这个式子了。 ab， 这是一条底十对吧？乘以 ef 高。不知道 哎，等于这个面积九十六。刚刚求过了面积二分之一对角线相成求的啊。好，那所以 e、 f 呢，就等于九十六除以十了。那我们上下约分约二，下面就是 二五一十九十六除以二啊，二四得八十六，二八十六。所以呢，最后这个答案呢，就等于五分之四十八。 所以这道题呢，就很巧妙的用了菱形的两种表示面积的方法，既可以用二分之一乘以对角线相乘，也可以用直接用平行四边形的面积底层高，把 e、 f 给求出来。 平行。九、菱形的综合运用在矩形 a、 b、 c、 d 中，对角线 a、 c 的 垂直平分线 e、 f， 也就是 e、 f 是 a、 c 的 垂直平分线哈，垂直且平分 a、 c 地问，求证 a、 e、 c、 f 是 菱形， 证明菱形。我们可以用平行四边形加对角线相互垂直，就可以证出菱形了哈， 我们采用一组对边平行且相等是平行四边形。好，那我们先证哈，因为四边形 a、 b、 c、 d 为矩形，那矩形的话，对边平行，那就有 a、 d 平行 bc， 那我们知道两直线平行，内错角相等啊。你看这两条直线平行，那它的内错角相等， 那就是角 o a、 e 等于角 o、 c、 f 哈，满足内错角， 它的依据是两直线平行，内错角相等。好，又因为 ef 是 a、 c 的 垂直平分线，那垂直平分线既垂直又平分哈，所以呢， o a 等于 o、 c 哈，你看 e、 f 平分 a、 c 嘛。好，那我就可以证这两个三角形全等了哈。在三角形 a、 o、 e 与三角形 c、 o、 f 中，那我们根据角边角 d 角 前面中了 o， a、 e 等于角 c、 o、 f 边 o， a 等于 o、 c。 第三组角呢，就是对顶角相等哈。角 a、 o、 e 等于角 c、 o、 f， 所以 三角形 a、 o、 e 和三角形 c、 o、 f 全等，它的依据是角边角 a、 s、 a 全等，那就有对应边相等哈。所以 a、 e 边等于 c、 f 好。又因为前面正过了 a、 d 平行 bc， 那 也就是 a、 e 平行 c、 f。 哎，不就满足了一组对一边平行且相等的四边形是平行四边形吗？ 所以四边形 a、 e、 c、 f 是 平行四边形好，平行四边形正了。接下来就是正对角线相互垂直，前面正过的 e、 f 是 a、 c 的 垂直平分线 啊，那你就在这里可以再写多一个条件，所以 e、 f 垂直 a、 c 好。又因为对角线 e、 f 垂直 a、 c， 所以 四边形 a、 e、 c、 f 为菱形哈，满足平行四边形加对角线相互垂直的四边形是菱形。第二问，若 a、 b 等于四 bc 整一条边等于八，求菱形 a、 e、 c、 f 的 周长， 那我们知道菱形是四条边都相等哈，那我们设 a、 f 等于 c、 f， 因为四条边相等，这两条设为 x 嘛。 a、 f 等于 c、 f 等于 x， 那 则 b、 f 呢，就等于 整一条减去 x， 对 吧？八减 x 好， 因为四边形 a、 b、 c、 d 是 矩形，矩形的话，那就有直角角 b 等于九十度。 那在直角三角形 a、 b、 f 中，我们就可以用勾股定律了哈，那就是直角边 b、 f 的 平方等于斜边 a、 f 的 平方 好，代数进去就是四的平方，加上八减 x 括号的平方等于斜边 x 的 平方 好，那我们算一下哈，四的平方四是十六，加上这个套用完全平方公式哈， a 减 b 括的平方等于 a 的 平方，那就是八的平方。八八六十四减 二 ab 二乘八乘 x， 那 就二八十六减十六。 x 加上 b 的 平方， x 的 平方等于 x 的 平方。 好，两边 x 方抵消掉负的移过去，变正的变成正六。 x 等于这两个加起来十六加六十四，那就等于这两个加起来十六加六十四，等于这两个加起来变除八十除以十六。 好，我们三五哈，五六三十一五得五加三八十，哎，刚好可以除掉，所以 x 等于五 好。最后我们就可以求菱形的周长了哈，因为菱形四条边相等，一条边 x 等于五，那四条边就四乘以五等于二十，周长为二十。做完了 题型时，下列说法正确的是，一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形。这个是要判定平行四边形 选项 a， 他 说的是一组对边相等，一组对角相等，能够判定是平行四边形。这个很明显是错的啊，因为我们判定平行四边形用的比较多，是这一个判定一组对边平行且相等的四边形。 四平行四边形。所以呢，这一道题怎么改了？应该改成是一组对边平行且相等，一组对边相等且平行加上且平行，那这句话才对哈，所以 a 不 选好，我们再看 b， 两条对角线相等的四边形是矩形。虽然说矩形的对角线是相等，但是呢，矩形呢，是要在平行四边形的基础上，再加上 对角线相等，才能构成是矩形。这道题呢，错就错在这个四边形应该加上平行四边形，对吧？对角线相等加平行四边形就构成矩形了，或者是 只用对角线去判定，也可以把这个平行四边形换成对角线，相互平分且相等，就构成矩形。好，这里只有相等就不对，你可以再加多一个平分，就可以构成是矩形了啊，所以 b 也是不对的。好，那我们再看 c 选项，四条边都相等的四边形是正方形，肯定错，四条边等了，是菱形的性质啊，四边相等的普通四边形是菱形，所以 c 也是错的。好，那我们看第一选项。哎，不就刚刚 c 讲过吗，四条边相等的 四边形是菱形对吧？因为菱形刚好就是四边相等的性质，所以答案呢，就选 d。 记得点赞关注哦！

扒下数学最难的二次根式，全部吃透！考试逆袭班级前三题型一，二次根式及其性质题型二，利用二次根式的性质化简题型三，二次根式的乘法。题型四，二次根式的除法。

八年级每次考试都有的旋转，你拿不到高分的旋转？八年级数学下册课本的第一百零八页之上呢。我们看到第九题 点 d 在 正三角形，注意这里有个正正三角形的边。 bc 上将三 a、 b、 d 绕到点 a 旋转点 b 的 对应点呢，就落在了 d、 c 的 位置，犹如 a、 b 的 锐 c 叫我们在图当中画出这个 三角形。那么这样呢？我们在画的时候呢，您看到我们可以把这个角 b 六十度，我们这里可以画一个六十度的角，对吧？我们这里画一个六十度的角啊，然后呢，这个 b、 d、 b、 d 等于这个 c 一， b， d 等于这个 c 一 啊，那等于这个好，然后我们 这样我们就可以得到三角形 a、 b、 d 与三角形 a、 c、 e 呢？呃，属于是弦论所得到的图形啊。三角 a、 c、 e 是 三角 a、 b、 d， a、 b、 d 到底这个叫逆时针弦的六十度所得到的，但是我们书本上说，他说做这个 c、 e 平行 b、 a， 因为您做平行的话，两电平内错角相等，在这个角六十度，然后您在这个线上做这个 c、 e 等于 b、 d， 这六十度等于这个六十度，然后呢，这个边等于这个边，所以根据 s、 a、 s 我 们就可得到什么东西呢？三角形 a、 b、 d 全等于三角形 a、 c、 e， 对 吧？根据 s、 a、 s 两个三圈呢？你看 ab 等于 a、 c、 e， a、 d 就 等于 a、 e 了，对吧？这个 b， a、 c、 e 等于角 c、 e， 所以 角 d， a、 e 也是六十度， 所以也就是 a、 d 也是绕着这个点逆时针的线段六十度所得到的。那包括这个 c、 e 与 b、 d 是 对应边。好，我们就不多说了，我们看到第十题，三角形 a、 b、 c 和三角 a、 d 啊，都是顶角为四十二度的等腰三角形，那么这样呢？ a、 b 转四十二度得到了 a、 c、 a、 d 呢？转四十二度就得到了 a、 e 啊，得到 a、 e、 a、 b， 所以 这个时候我们可以理解是三角形 a、 b、 d 绕点 a， 逆时针旋转，对吧？三、 a、 b、 d 绕点 a， 逆时针旋转四十二度，得到三角形 a、 c、 e， 当然你也可以这么说，说什么呢？说三角形 a、 c、 e 绕点 a， 顺时针旋转四十二度，得到三角形 a、 b、 d， 对 吧？你也可以这样去说啊，有时间，每个人说的不一定是一样的， 理式一体说三点 a、 b、 c 啊，经过一次旋转，得到 a 一 撇， b、 b、 c 一 撇，叫我们找出这个旋转中心，那么这个旋转中心怎么找呢？你看啊，嗯，这个书啊，有点放不平啊，我们可以做这个， 呃，只要找到对应边所在直线的重叠线，比如说 c、 c 一 边，比如说这个 b、 b 一 撇啊，比如说 b、 b 一 撇的啊，我们把它做它的 中垂线。呦，怎么有点像平行呢？嗯，那我们就换一个吧，平行的那个中垂线，那就麻烦了啊，咱们来看看这个 a、 a 一 撇，好，我们把它连起来，我们来找它的中垂线，我们看到找这个 c、 c 一 撇的中垂线， 因为绕着某一个点旋转，对吧？呃，那么那个点到 c 和到 c 一 撇的距离相等呢，对吧？所以你不管绕着这条线上的哪个点形呢？好，我们来看到这个 a、 a、 e 撇，我们也来做它们的中垂线， 我们说的这个旋转中心呢，是对应点连线的中点，哎呀，刚才是哪个点的？是这里的哦， 这里的。好了，我们找到这个点。好，这个比如说是点 p， 那 么 pa 等于啊， pc 等于 pc 一 撇， pa 呢？等于 pa 一 撇，对吧？绕着它这样去线段呢？当然呢， pb 也等于 pb 一 撇，我们只要找两组对应点连线的重叠线就可以了。 看第一下底，判断正误。在同一平面里，半截相等的两个圆，一个可以看的，是另一个平行得到的，这是可以的啊，圆呢？它您怎么平移都是好办的。我们看到第二个 形状大小完全相同的两个图形，一个可以看到另一个平行得到，这个就不一定了，也可能有时可以平行得到，有时不一定能够平行得到的，对吧？你比如我们这里所画的这个三角形和这个三角形全等的，你看它是相等得到的，你怎么平移呢 啊？有时平行，有时旋转啊，不一定都是那个平行得到的。图形经过旋转，对应线段平行且相等。呃，不一定啊，有时是平行且相等的，但不一定 都平行，但是相等是相等的。对应线段相等是一定相等，不管是平移啊，还是旋转先等，但是呢，他们是不是平行，这个就不一定有了中心对称的每一个每一个对应点所连的线都被对称中心平分，这个是对的。记住啊，对称中心，我总结是说，对称中心是对你连线的重点，这个要背下来。 我们看到第十三题了。第十三题，我总结是说，对称中心是对你连线的重点，这个要背下来。我们看到第十三题了，第十三题了，第十三题了。说这个圆圈的九十度画出圆， 呃，写出先，那以后的鱼的过顶点的坐标，那么他按着什么顺时针方向旋转九十度，好，那么这个呢？我这里有一条鱼，对吧？那我们这零零，这个是三零，那我们就是零三了啊，零负三， 顺时针，是吧？这里是五四，那，嗯，右五上四下五，左四下五左四， 嗯，到这里来，那么这个就是四负五了，对吧？然后跟这个零负三一连，然后呢？这是五一，那个下午右一， 当然还有这里下午左一，好，那么这个就是一负五了， 好，这就是负一负五的，这里是四负二，然后这个右四下二下四，左二下四左二，所以你把这个九十度，这个把它问题搞清楚，好，我们把它连起来， 下四，左二，就是左二下四，好，又回到零零的，是吧？这个就是刚才我们书上的，嗯， 顺时针写的九个点的坐标，刚才写了，将三点 a、 b、 c 绕着点 a、 b、 c 旋转六十度，将这三点 a、 b、 c 绕着什么顺时针旋转六十度，顺时针旋转六十度，那就是 a、 c 就 占到了 这个位置啊，这个顺时针那个 ab 就 占到了这个位置，甚至但是这个旋转的那个长度都是一样长的，对吧？旋转的长度是一样长的。 好，那我们看到这里来，这里呢，到这里来好了，那么 c 到这里来了，对吧？这个叫做 c 一 撇， b 到 b 一 撇啊，现在呢？是问我们 a a、 b b 撇，那当时等边算下来，这是六十度啊，它是现在六十度，这相当于 c c 一 撇，那么 a、 c、 c 一 撇，当然这都是什么呢？都是正三就行，对不对？好，有时间我们就说这么多，第十五题窗花，叫大家自己欣赏一下，记得点赞关注哦！

打好基础你也可以变得优秀。八项期末必过的压轴题，垂直平面线和特殊直角三角形以及勾股定律的结合，这样的题目难度还是非常大的，因为涉及到很多的辅助线，那很多同学谈到辅助线不知道怎么去下手，不知道怎么去做，那么接下来我们也会出一系列的 这个讲解的视频给大家啊，在讲题的过程当中讲解这些做题的思路，那今天我们也是通过两步轻松解决这一类型的题目。那么现在读一下这个题，先把一些已知的条件先标记一下，这里呢有角度是三十度 啊，第一呢是等于二的，而且这个一呢是终点，终点就意味着两条线段相等， 从这里是垂直的。那么看到这里的话，我们要立马想到啊，在特殊的直角三角形里面，我得到一个边长，另外的两条边长也都是可以直接算出来的， 那比如说这个斜边，在 a d 一 这个直角三角形里面，这是三十度所对的边，等于斜边的一半啊，反过来这个斜边就是它的两倍，它等于四，然后通过勾股定律啊，就可以求到 a 一 啊，它是等于二倍的，根号三的， 那这是终点，这是二倍杠三，这里呢也是二倍杠三。接下来我们继续啊，这里还有一个 bc 等于杠三，我们也标记一下，还有一个 cd 呢，等于根号十九，让我们求的是这个 c 一 的 长度，那拿到这个呢，这些条件好像都用不上啊，都用不上，那所以第一步呢，我们先去找一找这些已知条件有没有什么关系啊？ 那首先我们可以看到啊，这里有一个垂直，而且平分很明显啊，这个 d 一 呢，是 a b 的 垂直平分线，哎，看到垂直平分线，我们要想办法把它怎么样呢啊？补充完整， 补充完整就是说就怎么样呢？就是这个垂直平分线上的点到两端的距离相等，那你看我地点呢，连接了 a， 那 我应该要补充一下，把 d、 b 也连接起来， 哎，先我们不用管它有没有用啊，先连接起来再说。连接起来之后呢， b、 d 和 d、 n 是 相等的，它也等于四， 它等于四呢，而且这个是等二扇形啊，我这个底角也可以把它写过来，这是多少度呢？三十度。哎，那这时候我们再来看啊，你有没有发现，在这一个三角形里面，你看三条边都是已知的， 已知的话，你会不会感觉这是一个直角呢？哎，对你这样的直觉应该是正确的。 那我们来看一下，验证一下用勾股定力的逆定律，你看他的平方是等于多少？等于四的平方等于十六，他的平方呢？是等于三，这个的平方呢，等于十九，十六加三等于十九，那不就是一个勾股关系吗？所以这个长的边所对的这个角就是九十度啊。 啊，那接下来你又说，哎，那怎么办呢？我这个又好像没有思路了，那这个时候呢，你看这一特殊角啊，他存在就是非常有意义的，你看这个是三十度，这个是九十度，那延长他的话就能产生另外一个特殊角啊，你看三十九十，那这肯定是六十度啊， 那有了六十度之后呢？我这里啊， bc 呢，又是已知的，那我们肯定要想办法围绕着这个做一个什么直角三角形呢啊，这样子才能得到其他的一个关系啊，你看，这就思路好，那这个是杠三的话，我们这是六十度，这里呢就是三十度啊，这是三十度， 那三十度的话，我们可以得到啊，这条是它的一半二分之三，通过勾股定律可以算到啊，这是二分之三。 好，那这个时候你会发现啊，我要求的 c 一 啊，它不就出来了吗？那这个 c 一 是怎么来的呢？你看啊，它在这个 c e m 这个直角三角形里面，我们可以用勾股定底来求它就可以了 啊，那这个时候你看啊，啊，那此时呢，我这个 e m 的 长度啊，它是等于多少呢？二倍根号三，加上二分之根号三，通一下分啊，这是二分之四倍根号三， 那就是二分之五倍的杠三，那我这个 c m 呢，就等于二分之三，接下来我用勾股定底求这个 e c， 那 来到这个这个地方呢？哎，我可以给大家呃，讲讲一个办法啊，就是在用勾股定底的时候，我们可以用缩放法啊，缩放法来简化它的计算，缩放 就是说放，缩小，放大，那这时候呢，我们先把这两个数写一下啊，二分之五倍杠三，这是二分之三，这两个都是直角边，我要求的斜边。首先第一步呢，我们先把这个数啊变成整 整一点呢，不要分母，再好算一点，所以我们可以同时乘以一个二，那就变成了五倍的杠三，就变成了三。好，那接下来呢？哎，我们再想化简呢，把它缩小呢，就比较比较难了啊， 好，那这时候呢，我们就直接来算啊，他的平方呢是等于多少呢？很容易啊，是七十五，他的平方等于九，这两个相加呢，等于我们的斜边是八十四，那我们现在是平方得到的吗？我要开回去啊，就是根号八十四， 根号八十四呢，它是等于四乘二十一的，所以它等于二倍的根号二十一。好，那这时候呢，我们要回去，回到原来的地方，我原来呢是乘以二得到的，回去我就除以二，那这个东西除以二呢？二和二就消掉了，就剩下根号二十一。 那所以这个题的话，我们要选择什么样呢？选择 d 答案，选 d 答案。总结一下啊，你看我们注重题的输入在哪里呢？首先我们要找一些模型啊，根据这个模型把它完善完善，就相当于添加辅助线的。 那所以我们这里看到这是中点，这里有垂直，垂直平行线到两端的距离相等，所以我应该下意识的连接 b、 d 连接在 b 地，又得到它的长度又是特殊角，那就发现这个三角形里面三条边的想啊，都已经给到了，所以我们要想到勾股定律的逆定律，验证一下，原来它点九十度，那它点九十度之后，这种特殊角就出来了。在一条线上的话， 经常会考到这种这种特殊角的啊，三十度，这里肯定是六十度啊，看到有六十度，又有斜边有一条长度是给到的，我们通常就会沿着这个特殊角了做直角三角形 啊，做了之后呢，你会发现啊，这个 c、 e 是 在这个大的直角三角形里面，我可以用勾股定律去计算它，大部分我们做这样的题目，思路都是这样子来的啊？

打好基础，你也可以变得优秀。八项期末必过的压轴题，勾股定底的方程思想，然后看下这个题目啊，今天通过两步轻松解决它。 首先呢，它是在这个三角形 a、 b、 c 当中，这个角呢是九十度垂直，然后 a、 c 呢的垂直平分线交 a、 b 啊于点 d。 好，然后这个时候垂直平行线的话，我们立马得出一个结论啊，垂直平行线 c 一 等于 a 一， 同时呢， c、 d 又等于 a、 d。 好， 继续看，他说我们的三角形这个 a、 b、 c 啊的周长是十二，就 a、 b、 c， 我 们可以先写一下啊， a、 b、 c 的 话，就是 a、 b 加上 bc 啊，加上 ac， 它是等于十二的。 其次呢， bc 又等于三啊， bc 等于三，现在要求什么东西呢？求 bcd 的 周长。 bcd 在 哪里呢？是在这个地方，那 bcd 的 周长我们可以展开啊，它等于多少呢？等于 bc 加上我们的 bd 啊，再加上我们的 cd， 那 bc 嘛，它是等于三的，所以我们可以写出来三加上 bd， 哎，再加上 cd。 好了，这个时候你要注意看啊。呃，如果我要算它的这个周长的话，必须要知道 b、 d 等于多少， c、 d 等于多少。哎，但是呢，要去算这两条还是很难的。那我们可以转换一下啊，转换一下， 你看， c、 d。 刚不说了，等于 a、 d， 那 意味着什么东西呢？我这个 c、 d 啊，可以变成什么？把这个 c、 d 变成 a、 d， 那 这个时候我这个周长就变成了什么东西呢？变成了三加，你看 b、 d 加 a、 d 不 就是 ab 的 值吗？ 啊，你看，所以我们只需要算出 ab 的 长度就可以了，那 ab 的 长度从哪里来呢？啊，你看啊， 在这个地方，我 b c 等于三，我们也可以看一下啊， a b 加上 a c 啊，这是三嘛？是不是十二减去三啊？就等于九，那所以这两条也就说我们的 a c 加 a b 是 等于九的。 那你会发现在这个直角三角形里面啊，我有一条是已知的，另外两条呢，是未知的，但它们的和，或者或者说有的时候是叉，是固定的值，那就好办了，那我们就可以进行设未知数来表示它，那我要求 ab， 我 就可以设 ab 为 x 啊，设 ab 为 x 的 话，我们看一下啊， ab 等于 x， 那 ac 等于多少呢？因为两条相加等于九嘛，所以 ac 就 等于九减 x。 那现在我们来看一下啊，这是 x， 这一条是九减 x， 在 这个大的这二三以内，我们是有一个勾股关系的。就什么样呢？斜边 a b 的 平方等于两条直角边的平方和。 好，那现在 ab 方呢？是等于 x 的 方，然后 bc 方是等于三的平方，加上九减 x 的 平方，你看就建立了一个方程， 那所以用勾股定律呢？这是我们的第二步，建立方程去求解就可以了。那接下来我们通过这个求解的话，这过程啊，呃，我们打开等于九加上八十一减十八， x 加上 x 平方，那 x 平方已经消掉了啊， x 最终算出来是等于多少呢？是等于五的。 好，这个等于五的话，那我们的周长不就可以了吗？就等于多少？三加五就等于八。在这里选择我们的 c 答案。