26平谷一模数学新定义

一模新定义这道题出的好是真的很好，难也是真的很难，我们以最清晰的图解的方式给大家呈现一下。读完题干，要把这个题转化成下面的含义，图形 g 上面存在一个点到直线， l 的 距离等于某个值，图形 r 上面存在至少 k 个点到这个直线的距离也等于同样的值，那我们就说它是什么什么。一个定义 理解完了之后，我们遇到圈一，首先需要做的是画图。画图是有一个小的难点的，就是这个图的单位长度要取得大。我们在之前的讲解的过程中反复强调要看最小和最大，所以这个题大概要取到下图这么大，画图的时候是比较清晰合适的。 那取完之后，给了黑色的三条线问，我们这时候翻译来了啊，这句话怎么办呢？和前面这个地方做对比，所以这就是 r， 这就是 g， 那 条线就是 y 轴， g 到 y 轴上要存在这么一个点，使得那个距离，而 g 点在此时此刻转化成了点 a， 所以 a 到 y 轴的距离确定值为二。因此 r 就是 我们要找的线段，也要到 y 轴的距离，是能够取到等于二的点。 那很显然，这两条前两条都离 y 轴太近了，根本取不到离 y 轴距离为二的点，只有 b 二比三， b 二比三上呢，距离为二的点只能取一个，所以可以等于一。 再来看圈，若线段 b 一 b 二为二，等距 b 一 b 二，它离 y 轴左侧最远是负二分之一，右侧最远是一。可是我要取的是两个等距的点，因此只能取到二分之一以内。 所以呢， b 一 b 二满足二分之一以内， a b 三也要能取到离 y 轴再零到二分之一的线。那 a 和 b 三 b 三是确定的 a 点呢？横坐标最远到负的二分之一， 最近的二分之一。综上所述，我们就可以得出， a， 也就是 t 的 绝对范围是大于等于二分之一，小于等于二分之一。记住最后一问。最后一问读完题之后啊，是要把它拆解出三个关键要素， 首先是明确的 y x， 然后是一个边长为三且中心的纵坐标始终为一的一个等边三角形，以及它的半径和三角形保持一致，都是 s 圆形的横坐标。而纵坐标 a 呢，是可变的，也是我们要求的范围。这三者之间有什么关系呢？哎，他用一句话描述说，这个等边三角形均为弦 m n。 关于直线 l 的 三等距，三是一个突破口。三等距我们看在如图所示的这个过程中，我画了两个等边三角形，一个红色，如果是红色， 它同时跑到了 y 等于 x 的 同一侧。无论如何，你不可能在这上面找到三个相等的点，到 y 等于 x 的 距离相等 找不到。但是如果他如黑色三角形所示和 y 等于 x 相交，那我就可以在左右两侧分别找。其实只要他碰到 y 等于 x， 那 我基本上就可以。当然要有一个情况例外。什么情况例外呢？就是如图所示的这种情况， 它是临界，而且是不可取。为什么？因为题目在最开始的就明确，我们取的点是不能在这条直线上。所以只要三角形的中心比我现在描述的 q 点还要离 x y 更近一点点，那么这个三角形就会出现 x， y 这条线的两侧就符合题了， 至少符合三那基本的要求。当然这个临界情况一共有几个呢？一共有两个，除了我展示的第一个，还有第二个。那我们接下来去求解利用什么？就是利用题目中给的特殊的一些长度，比如说等边三角形的边长会根号三，那么很快求出这个 h q， 它的长度为二分之一啊，然后求出 p q 的 长度等于二分之根号二，而 q 点的动作标是一，所以 p 点的动作标就是一减去二分之根号二。由此类似的，我们还可以求出这个 p 撇，求出这段的长二分之根号二， p 撇的这个 标呢，本来纵坐标呢是一，对吧？那所以我们求出啊，这个上面假设是一一点的，这个纵坐标就是一加二分之二。 东上所述，我们得出纵坐标是在一减二分之二到一加二分之二，而这些点都在 y 等于 x 上，所以我们得出横坐标 s， 它的范围是大于一减二分之二，小于一加二分之二。注意不能去等，因为去等就有可能出现我们图中所示的情况不符合题。这个 s 啊，其实就是圆心的横坐标， 因此这个圆呢，他就要在这两条线之间跑，当然他的动作表现在还没有范围限制，是我们要最后去求解的。在这跑的过程中间，他会出现上面，你可以任意做弦，然后要出现这个弦上面的长度呢，是要到这条线的距离和我们刚刚找的那个多个点。三角形上多个点到 y 等于 x 条线上距离相等的， 那会不会出现点的距离过长，点的距离过短啊，而无法和上面三角形上面的点到直线的距离匹配上相等上呢？ 我们可以简单试一下，假如上面这个三角形，它取到的点离 y 等于 x 的 距离特别近，那我也可以在这个圆上，只要它能够碰触到，那我就可以选哎，来一条弦，它到这条 y 等于 x 的 距离也可以很近。 当然，如果这个圆它怎么着它跑这来了，那此时你在圆中任取一条弦，它上面的点到 y 等于 x 的 距离也没法离得很近，总是会产生一个距离。 可是我们上面那个三角形是任意转的，所以怎么办？我们也要让这个圆啊，即使很小很小的距离的点也能取到，因此它一定要和 y 等于 x 这条线是有交点的，这不就回到了切线的相切的情况了，对不对？所以我们就找到了两个零件的情况。那我说那如果特别远呢，这个圆可以无限向上跑，所以多远它都能匹配。 只是啊，如果他和这条线不相交了，那近距离就匹配不上了，所以远距离的点是永远能找到的，近距离的点就卡了。两个临界情况，那这两个临界情况，接下来就利用我们最常见的做切线去求解即可。相切相切，我们可以求出半径至一，因此这段的总长就是根号二，由这个根号二减去这段的长 和由这个根号二，对吧？加上，所以中间这个点一加减根号二，就可以得出高度差是多少。好一算，我们可以算出最上面的高度是一加二分之根号，底下是一减二分之三倍的根号， 那我们还要求什么？另外一个长度，其实我们会发现道理都是一样的道理，只需要先确定这个点，一加二分之根号二就变成了一加二分之三倍根号二 向下减根号二变成了一减二分之二。最后的最后啊，那这时候我们就相当于由上面的临界情况求出了两个范围， 一个范围呢是 a 大 于一减二分之三倍，根号二小于一加二分之二。一个范围是 a 大 于 一减二分之二小于一加二分之三倍二。好，那这个范围该怎么取呢？这时候我们要回顾本题的前面的这个题，它明确表达的是 s 是 可以变化任取的， 我们要在这个变化的过程中去匹配符合题目要求。有很多同学他很难理解，抽象啊，我拿直观来说，假如 x 等于一，符合题的范围是是一到二， f 等于三，符合范围的是二到三，那 s 如果可以任取，你能在什么范围内找到复合题的要求呢？那当然是零到三了， 是不是？所以我们要去找这两个范围，它能够覆盖到的所有的范围，所以最终 a 大 于一，减去二分之三倍二啊，小于一加上二分之三倍二。最后的最后我们还要确认一下等号的取舍问题，那相切的情况确认是可取的，所以我们要把等号给取上。

刚考完的东城区一模，可能是由于前面的题比较简单，所以新定义的难度比较大，从第二小问开始就明显加大了难度。我接下来将会用超清晰的图形分析方法给大家把这个题梳理一遍，并且在过程中给大家讲两个非常重要的考试技巧。读完整个题干之后，定义本身并不难理解，核心就是那个 锐角三角形。第一小问也指向了这个锐角的问题，我们排除 c 一 就是因为它形成的直角。到了第二小问题目中给了明确的 o c 长为二， 让我们去求弦 a b 的 曲值范围。我一再强调，当我们遇到较难的题的时候，这个图形的大小很关键，本题就应该把图画大一点，否则接下来你会发现你很难在图中很清楚的去分析。第二个很关键的点就是要对对称性有充分的理解，我们找到一个满足提议的形态， 就是我图中画的这个 abc。 接下来我讲的对称性，结合这个点来看，就是 a c 和 b c 关于整个 o c 是 对称的，所以我如果能够通过单独的左边的 a c 就 能够分析清楚本题， 那我就没必要两侧都去分析。这是第一个对称性，也是我们比较熟悉的轴对称，第二个对称叫做中心对称，你可以想象一下，整个点 c 可以 绕着外面那个大圆旋转，是不是？如果我现在的这个状态是符合 t 的， 假设 c 点落在这个位置，形成了一个对称感的，这个图形还是符合 t 的， 也就说 c 点落在什么位置都不影响 ab 长度的取值。那我满足了以上来说的两种对称，我就会把这个问题给它简化成什么呢？分析这样的一种特殊情况， 一个点 c 刚好落在零二这个位置，然后找到其中的一个切点，去想 b 点在跑的过程中，什么情况下是符合题的，什么情况下是不符合题的？找那个临界值好了。有了这样的一个分析方法，我们就会找到第一个临界值， ab 一 刚好不符合题，如果 b 点再往上跑一点点，他就符合题了。此时连接 a、 b、 c 所形成三角形就是锐角三角形，所以 a、 b、 e 是 一个零件，且不可取。 那我们继续让这个线往上跑，跑到这个位置依然符合题一，还是锐角三角形。继续走，大概到这个位置，依然是满足题一的，此时会形成一个新的直角，它就是刚好不满足锐角三角形的概念了。所以我又找到了 a、 b 二这样的一个临界位置，因此 a、 b 的 长度就在 a b 一 和 a b 二之间， a b 一 好办，一定是二，可是 a b 二怎么求呢？哎，它就变成了一道几何题。这个几何题我们简单梳理，就变成如图所示的这个状态了。并且我们根据 c 点的坐标零二，且题中给的这个半径是一，可知这个直角三角形， 它是一个一比二比根号三的一个直角三角形，这是根号三，这条线是二，我要求的是什么呢？是 a、 b 二的长， 它就变成了一道几何题。如果考试中啊，我强烈建议大家把这道题拿出来，但这个前提是你稍作计算，发现它确实不好求解。那怎么办呢？我就把它给拿出来，变成一个清晰的几何体，去求解它 变成这样，并且我在画图的时候，我会刻意的把它的这种对称感给它展示出来， 这是根号三，这是一，这是一，这是垂直，这是垂直。如果我们中间连这条线还可以得到这地方有个二。看到了没有？我是不是特意错了一点角度？我接下来要的目标就是要求这个 a b 摆脱原来图中比较复杂的直角坐标系呀、圆呀那些东西，变成了一个纯几何体， 你一定要把所有的条件给它列全了，然后接下来计算。这个小几何题的计算还是有一定难度的，我怎么才能够把这个 a b c 是 个直角三角形这个条件给它很好的用上呢？很关键。好， 这道题最后的解法是根据对称性找到这个中点 m 连结 o m， 在 这个直角三角形中，我可以求得 o m 的 长，经过计算， o m 的 长是根号七，那由于垂直对称，所以垂直，那我就可以去算整个四边形的面积， s a o b m， 它的面积可以等于左右这两个直角三角形的面积之和刚好是什么呢？ 根号三啊，就是左右这两支和，所以是根号三，同时这个面积还等于四边形的对角线之积除以二。因为它是一个特殊的直角三角形，所以就会得出它的面积是等于根号三。而 a b 乘以 o m， 根号七除以二，刚好等于这个根号三。所以最后算出来 ab 的 长是七分之二倍，根号二十一。综上所述， ab 的 范围就是大于七分之二倍，根号二十一小于二，这是最终答案。再来看第三小问， 第三小问，他说存在一条长为二倍根七的线段，线段上的任意一点都是圆 o 的 长为 t 的 弦的锐切点， 直接写出 t 的 曲值范围。经过读题，我们会发现，圆的半径长就是 t， 而这个弦长呢，也是 t， 因此这条弦会和半径组成一个等边三角形。我先不去管那个二倍根七长的线段是什么回事，我先去想这个等边三角形， 这条弦它自身，它的衔接点在哪里？然后回到我们前面说到的，它具有中心对称，那我们就先去研究这个根据。我们刚刚找锐角三角形，我们可以得知啊，找到临界值，就如果 a、 b 在 这，你想让 a、 b、 c 是 一个锐角三角形，那第一个临界点就是点 c， 刚好形成直角，不符合题。第二个临界点呢，就是点 d 刚好在这个位置形成一个直角，也不符合题。因此，如果你在 c 和 d 中间选一个点 p， 你 连接 ab， 那 你会发现它一定是一个锐角三角形。 所以我们对于任意一个符合题的弦 ab， 它满足题的点一定是在这条 c、 d 线段上。 根据我们前面讲的中心对称性，我这个 a、 b 如果绕着圆 o 转一转呢？哎，如下图所示， 那就又会产生一小段符合题的线段，我们不妨给它设成 c 二、 d 二。那如果我这个 a、 b 它一直转呢？它绕着圆转一整圈呢？那其实会产生无数个这样的 c、 d， 这无数个 c、 d， 它会怎么样呢？它会铺满这样的整个圆。是不是不难理解？很多这样的符合题的 c、 d， 他会铺满整个圆，因此最终符合题意的点，他一定要落在这两圆之间，对不对？ 哎？而我们题目中不是要去找哪个点他符合题，而是说有一段二倍根号期长的线段，这个线段上的所有点都符合题，那是不是就意味着二倍根号期这么长的一条线段，他要能够完整的落在我画的这个阴影部分范围内？那如果这个二倍根号期， 它代表的这个长度啊，它比较轻松的就放到这个原理了。假如这段长刚好是二倍根号七，符不符合题呢？符合这上面的所有点， 都能够找到满足题的弦 a b 是 不是好？可是如果这个二倍根号七啊，它很长，对吧？你无法把它全部塞到我找刚刚画的那个阴影部分中，是不是就不符合题？因此我们就可以找到这个临界范围，就是它刚好能塞进去，那大体上是不是就这样 就变成这样一个临界状态？而这个临界状态很显然就是去找这个什么黄色的圆和红色的圆的直径就可以了，只要能够找到直径，利用这个直角三角形或者说半径 啊，这是小 r， 这是大 r， 两个半径一找到，就可以利用勾股定律，根据这地方是根号七去算，而这个小 r 和大 r 怎么着呢，都应该和本题要求的 t 有 关系。哎，那我们再回过头来，再具体的去看一看，它是怎么和 t 产生关系的呢？在这个图中，那个黄色圆， 它的直径就是这条线啊，根据题目的意思，这段长就是 t 啊，然后把这个 a c 的 长给它表示出来，因为这段长是 t 嘛，所以这是一个特殊的直角三角形，对吧？所以我们就可以求出 a、 c 的 长是多少多少 t， 然后就可以求出 o c 的 长是多少多少 t。 好， 同理，再根据另外这样的一个大的直角三角形去求出 o d 的 长是多少多少 t。 那由此我们就可以求出本题最终的答案了。具体的计算过程其实比上一小问还要简单，我就不再算了，大家自己去算一下。最后算出来的答案是 p 要大于二倍根号三、慢读题。以上就是本题最清晰的图解了。

欢迎来到有数，今天我们来看二六年评估一模的原宗问题。这个问题呢，就是一个手拉手的应用，大家如果对手拉手比较熟悉的话，解决这道问题还是比较简单的。 好，我们一起来看一下这道题呢，给了一个等腰三角形 a b c， 然后顶角是二法，然后呢，他又又在 b c 上取一点 d， 然后连接 a d 以后，再做一个旋转，得到 a e， 旋转角也是阿尔法，那这标准手拉手，对吧？标准手拉手以后，他问我们这个，呃，问我们这个，这个，如果阿尔法的度数已知，让我们求这个角 dce 这个角度数。 好，我们看 dce 这个角， dce 这个角呢，其实是由两个角一和角二构成的，然后根据手拉手，我们知道这个角二其实就是等于这边这个角，这个角也是角二，对吧？所以就是角一加角二， 角一加角二，因为角一和角二其实就是相等，那么就是等腰三角形的底角和底角和，就是一百八十度，减去顶角，那就是一百八十度，减去八十度，它就等于一百度，对吧？这样问题就结束了。好，我们看第二问，第二问呢，说阿尔法这个角度是九十度， 我们先标上九十度，那就是一个等腰值了，那 a d 和 a e 也是一个等腰值，这里都是九十度， 然后 d g 垂直于 bc， m 是 终点， f 也是终点，连接 f m， 让我们表示 f m 和 c m 之间的关系。好，那第一问得到的条件别忘记用，我们知道已经知道它是手拉手，那我连接 c e 连接 c e， 有 有什么呢？ c e 就 等于 b d， 对吧？ c e 等于 b d。 好， 我们再来看这边，这个角度是四十五度，对吧？等腰等，腰值四十五度，这里又有个垂直，所以我们 c、 d 和 g、 d 是 相等的， c d， g d 相等， c d， g d 相等，然后再加上这这里这个角度也是九十度，这是其实和第一问得出来结论是一样的。然后再加上 b、 c 等于 c、 e， 其实我们就得到了一组三角形的 全等，就是这个三角形，这个三角形和下面这个三角形，这两个三角形的全等。 那么有了这两个三角形全等，我们得到什么呢？啊？别忘别忘记这个 df 是 连着的，这个 df 是 连在的，有了这个，有了这个， 这两个三角形的全等，我们得到什么呢？我们得到，我们是不是得到一组边等啊？就是 d、 e 和 g、 b 是 相等的， 而 c、 m 和 c， m 和 df 是 什么呢？ c、 m 和 df 分 别是两个直角三角形的斜边中线，是不是？那我们就有 c m 是 等于 md 的， 对吧？然后 df 呢？是等于 呃， g b 等于等于二分之一的 d e 对 吧？那同理 d f 也等于二分之一的 g b， 那 这样呢，我们就能得到 d、 f 和 m d 是 相等的，对不对？我们用红线来表示吧， 这条线和这条线这两条红线是相等的，同时还有什么呢？因为这个全绿色三角形全等，我们知道这个角和这个角是相等的，而这个角加这个角是九十度， 这个角又等于这个角，所以这两个角相加，就是角一和这个等于角一角二等于角二，角一加角二是九十度，所以这边这个角度就是九十度，那所以 mdf 是 一个等腰值， mdf 是 等腰值，我们就就有了这个 md 就 等于 cm 的， 所以就根号二倍的 cm 等于 m f， 这样问题就证明完毕了。好，这道题就到这里。

这是今年评估区一模原综合真题，百分之八十的孩子啊，拿不到满分，好同学们，我们来看题啊！呃，说如图啊， ab 是 圆 o 的 直径，也就是说啊，现在 ab 是 这个圆的直径，然后 c、 b 是 圆 o 的 切线，所以我能知道这个角度它应该是一个直角， 然后连接 ac 交圆 o 于点 d， e 为 a， d 上一点连接 e、 o 并延长交圆 o 于点 g 交这个切线，这个 c、 b 于点 f， 他 告诉我说角 a 等于角 f， 也就说这个角 它和这个角应该是相等的关系。第一问让我求证的是，这个 e 点是它的一个 a、 d 的 中点，那么在这个圆当中，我们知道这个直径所对的圆周角是九十度，所以下面我们把 b、 d 这条线段给它连上，咱们连接 b、 d 好， b、 d 连完之后呢，我们根据直径所对的圆周角是九十度，所以这个角度啊，他就应该是一个直角，然后我们再根据这个点叉标图持续传染，我们看能不能把第一问给他正出来。我可以设这个角度是一个点角的话，同学们，那这个角就是叉角，点加叉是九十， 那么由于这是直角，所以这个角就是叉角。因为角 a 和这个角 f 相等，所以这个角他也是一个叉角，所以这个角他就应该是一个点角， 然后我们知道这个角他应该也是一个直角，所以这是叉角，所以这个角他就是点角。对顶过来，这个角就是点角，所以点加叉是九十，那么这一定是垂直的。这垂直的话，我们根据这个垂直定律的推论，那么你既然垂直，他一定是平分的，所以这条线段和这条线段相等，所以这个一点就是一个终点，咱们就正完了。 然后 ab 是 直径嘛，所以直径自带中点，这个 o 点它也应该是一个中点。好，第一问结束了，我们看第二问啊，第二问说连接 e j 交 ab 于点 h， 他 让我把这个啊，连接 g d 啊， 咱们把这个 g d 给它连上，连接 g d， 然后交 ab 于点 h， 也就说这个是 h 点啊， 然后他告诉我是 j h 比上 h d， j h 比上 h d 是 五比六，那一比设 k， 我 可以设它是五 k， 那 么这边就是一个六 k， 然后他告诉我 b f 的 长度是一个六，然后让我去求的是这个 bc 的 值， 那么这里边很明显啊，朋友们，我们来看一下啊，他应该是有一个八字形相似的，咱们来找一下，这个八字形相似，他应该是在哪里啊？这就是这个三角形，他和这个三角形应该是相似的， 相似造型对应边乘比例，所以我知道这个 o j 比上这个 b d， 咱们的 o j 比上一个 b d， 他 也应该是一个五比六啊，就是咱们是五 k， 就 你可以写五 k 比上六 k。 然后接下来呢，这个 b h 比上这个， 就是咱们这个 o h 和 b h 之比，也是一个就是五比六的关系，所以 og 呢，他就可以写成是五 k。 朋友们， og 和 a o 相等，所以 a o 的 话，他也应该是一个五 k， 因为这个 b d， 他 是这个三角形 abd 的 中位线吗？所以他就是三 k， o e 是 三 k 的 话，然后这个 a o 的 话，他应该是一个五 k， 所以 这个就是他应该等于一个五 k， 所以 这个就是一个四 k， 这个就是一个四 k， 所以我发现只要是在这样的一个点叉的直角三角形当中，它的比例关系都是三比四、比五，那下面我们要求的是这个 b c 的 长度，我们可以先他告诉我的是这个 b f 是 六，知道一条边，那我们看一下，可以求 o b 的 长，所以我们来写一下，也就是说它念它这个角 f， 它应该等于的是对边，就是 o b 比上这个 b f 是 六，然后应该等于的是三比四， 所以我们可以去求出这个 o b， 是 啊，四个 o b 等于十八，所以 o b 呢？它应该等于的是二分之九，那么当 o b 是 二分之九的话，我们知道这个 ab 是 直径，所以 ab 的 话，它就应该是一个九。 好，那下面我们在这个 r t 三角形 abc 当中啊，咱们再利用一下这个关系，所以在 r t 三角形 abc 中，朋友们，我们利用这个贪念的 a， 贪念的 a， 它应该等于都是对边 bc 比上 邻边，就是对边比邻边探进的值比上 ab， 然后应该也等于一个三比四，然后这个 bc 是 我们要求的，所以它就应该是一个 bc 比上 ab 是 九，等于一个三比四，所以咱们就求出来这个 bc 了， 所以 bc 的 话，它就应该等于四个 bc， 等于二十七嘛，所以 bc 就 等于四分之二十七。好，同学们，那这道题咱们就求完了，所以最后咱们求出来这个 bc 的 值是四分之二十七。好，同学们，你看你学会了吗？记得点赞关注哦！

今天苏北六式的一模考完了啊，我们今天来分析一下这套试卷。南通、泰州用的同一套试卷，连云港、宿迁、淮安、徐州用的同一套试卷。 呃，我们先来看一下南通的这套试卷啊。语文难度中等偏上，还是考察学生的语文素养和平时的阅读量的积累。呃，语文就是重在平时。数学难度是中等偏上，基础题不少，但是难题确实也很难，而且计算量也很大，这也符合我们新高考一卷的命题原则，比如说第十一题的新定义书列， 呃，第十八题，第十九题的第二问的第二小问。这些题我估计啊，能够答对同学应该不多，整体难度是要超过高考的，但是我觉得比去年的一模数学试卷要简单一些啊。 英语卷整体难度也不低，特别是听力啊，据同学反应有点听不懂，语速太快了。呃，物理不难考，基础题为主，已经有点接近高考物理卷难度了，比往年一模的物理卷要简单不少。历史这次考察的也是比较简单。 呃，中国古代时、近现代时，包括世界时都没有为难考生，剩下的几门是复分的，这个咱就不说了啊。接下来我们来看一下苏北四师的一模试卷。语文挺难的，特别是信息文本，专业术语很多，对学生的知识量的积累要求很高。 数学卷我觉得比男生卷还要难，区分度比男生卷还高，特别是最后一道函数压轴题。呃，涉及到极值、不等式、横乘力等等这些啊，需要学生具备较高的鉴模和代数变形能力。 这题就是真正检验是不是学霸的一道题。英语卷整体难度是中等偏下，比南通卷要简单一些啊，物理不难，甚至连压轴题也没有过多的为难考生。历史卷难度也算中等吧，比较贴近高考的难度。 今天考完之后，大概明天或者是后天啊，每个城市的本科线和特别线就会陆陆续续的公布出来，大家把关注点好啊，每天早上七点来到我的直播间，我会把孩子的分数大概能够读到哪些学校和专业。

亚洲第塔卡，呃，新定义，呃，今天我们来看刚刚考完的通州一模的这道新定义啊，我们还是来看前两问这道题呢，还是常规的刮豆原理啊，呃，一起来看啊！说，在平面直角坐标系当中，图形 p 上有点 a， q 上有点 b， r 上有点 c， 然后有三个点，这三个点 a、 b、 c 啊，满足任意两点之间的距离都相等，哎，这句话，其实，哎就告诉我们三角形 a、 b、 c 是 什么，哎，等边嘛，对吧？哎，等边三角形，那这个时候呢？哎，就称 p、 q、 r 啊，具有平等关系。那么接下来我们就开始做题了啊，首先来看括号一 说，点 a 是 二斗零啊，我们就随便找一个图吧，点 a 是 二斗零， 呃，然后点 a， 点 b， 点 o 具有平等关系，求 b 的 坐标 a 在 这， b 在 这，而 o 在 这，那也就代表着我们要向让它成为平等关系，那么三角形 a、 b、 o 就是 一个等边三角形， 那你会发现这道题就简单了， a、 b、 o 是 等边，那其中有两个顶点是固定的，那么第三个顶点呢？哎，要么在上边形成等边，要么在下边形成等边，对吧？哎，所以那么对于圈一来讲，我们这个 b 点坐标如果在上边呢，那肯定就是 e、 d 根号三， 如果在下边呢，那就是一到负的根号三，对吧？所以这个就是松分了。那接下来我们再来看圈二圈二说，如图一，圆 o 的 半径是一，然后点 a， 圆 o 和点 c 具有平等关系。 这句话是什么意思呢？我们来理解一下啊。首先点 a 还是我们前面这个二六零啊，也就在这，对吧，然后也就代表着圆 o 上存在一个点，然后点 c 呢？ 很明显他的纵坐标是根号三，横坐标不知道，那么点 c 呢，肯定在等于 y， 等于根号三这条直线上，是吧？然后呢，啊，我们要求这个 a 的 值，做这道题的时候呢，你要知道啊，他像这种新定义问题啊，首先他都是呃图形轨迹的焦点， 那么接下来呢，你看我们三角形 ab， 呃， ab 包括，哎，就不能叫 ab 了啊，在圈二当中应该是三角形 a 和 c， 还有圆 o 上的一点，我们就叫 b 得了，嗯， b 那 么能形成什么？能形成等边三角形，这个我们怎么去理解它呢？我们就先随便找一个点去画图感知一下啊，比如说，如果啊，我们这个圆 o 上的点 b 啊，在这个位置， 那我要想让啊，这个 a b o 形成等边三角形，那么你会发现啊，我可以把这个这个动点 b 绕着定点 a 逆时针旋转六十度，对吧？也可以把点 b 绕点 a， 顺时针旋转六十度， 那这个时候其实你可以感知一下逆时针这样转的话，它能不能形成它的平等关系呢？不能，因为你这个点 c 啊，它有一个限制啊，就是它在外等于根号三上，对吧？ 所以逆时针转不行，我们得怎么转啊？我们得顺时针转，它才有可能跟这边有一个交点，对不对？哎，所以那么通过画图呢啊，我就知道啊，我可以让它形成一个什么样的感觉呢啊？就是在 圆 o 上有一个点哎，他绕着点 a 去顺时针旋转六十度，对吧？旋转完了之后，哎，如果这个点刚好落在我们这条直线上，那么这个点呢，就是我们的这个这个这个平等关系， 对吧？那这个时候呢，我们不是去碰运气啊，说这个点 b 在 什么位置的时候，他转过去刚好在这条直线上，而是我们需要去找轨迹 啊，你去理解啊，我也就代表着我们这个点 b 在 这个圆 o 上运动，然后点 a 是 一个定点，那么转六十度之后的那个点的轨迹是什么？实际上就是我们的刮斗原理， 对吧？那就是我们的一定啊移动，哎，就是你这个，你这个动点啊，比如说我们这个叫 c 吧，你这个动点 c 是 怎么产生的？是一个动点绕着一个定点，哎，去旋转六十度得到的啊，一定移动加旋转，我们说了啊，就是刮豆原理， 而这种圆的刮豆原理啊，我们解决的时候啊，第一步叫找特殊点，圆的刮豆原理的特殊点在哪啊？哎，一定是圆心，对吧？哎，我找一个圆心，然后第二步呢，叫做照葫芦画瓢 啊，这个我们之前在讲心仪的时候是说过的啊，照葫芦画瓢，那么照葫芦画瓢就是你，哎，你这个点 b 绕点 a 怎么转的？那我这个点 o 绕点 a 也怎么转，哎，也就代表着，哎，我这样去构造一个等边三角形， 对吧？那构造完了之后，你会发现我这个图稍微有点小，就我这看啊，也就也就代表着你这个叫什么？你这个 b a c 是 一个等边啊，我这个 o a， 这个是 a o a o 撇也是一个等边，那两个等边有公共零点，那这个时候我们就能够哎去得到这个什么手拉手， 对吧？哎，这不就是我们的刮豆原理吗？哎，就能得到手拉手，那得到手拉手之后啊，我们要找第三边的数量和夹角关系，那也代表着啊，你这条边和这条边相等都等于谁啊？都等于圆的半径一， 对吧？那也就代表着，哎，这个时候你就能够看出来了啊，也就说我们这个点 c 啊，它虽然在转，但是它它它，它在哪里呢？它在以 o 撇为圆心的这个 e 为半径的圆上， 想想是不是也就是手拉手全等之后，你这个 o b 的 长度永远等于 o 撇， c 的 长度啊，都等于一，这不就是半径吗？你这个 o 撇它是一个定点呀，对吧？你 a 是 定点， o 是 定点，你旋转六十度， o 撇是一个定点呀，而且你这个 o 撇就在 y 等于根号三上， 对吧？哎，所以，那我就知道了啊，我这个点 c 啊，在哪？在以 o 撇一逗根号三为圆心， e 为半径的圆上， 那这个时候，哎，我就知道了啊，你这个 c g 在 啊，右， c 在 y 等于根号三这条直线上，对吧？ g 在 直线上，又在圆上，那不就是我们轨迹的焦点吗？ 对吧？哎，所以这时候啊，我们那个 c 在 什么位置呢？哎，一个在直线和圆的左边焦点，一个在右边焦点， 而我们这个圆心 o 撇啊，刚好在哪啊？哎，就在这条直线上，对不对？哎，所以，那么我们就知道啊，你这个 a 的 值 啊，要么是呃 o 撇横坐标是一向左平移一个单位啊，就是零，或者是 o 撇横坐标一向右平移一个单位啊，就是二， 对吧？哎，这样的话呢，我们这个前两问就结束了啊，考察一个比较简单的这个，呃，刮豆原理啊。

好，几何快，代数晚，新定义还能提值上。大家好，我是双 t 数学赵文杰老师啊，今天呢，给大家讲一下咱们双 t 数学啊，原创的这个二六年的临膜啊，就是咱们的微机膜的这道新定义，这道新定义，说实话啊，这个 读着也比较复杂啊，然后呢，坐着呢啊，也是比较困难的，总体难度还是比较大的啊，那么虽然是比较大，但是呢，用咱们双提的心理学师啊，作为核心的这个思维方法，一定都能搞定啊，接下来邵老师啊，带大家一起来研究研究啊。 首先我们读读一读这个电影，看到啊，平面内的圆 c 和圆 c 外的一个点屁， 然后呢，原 c 上还存在两个点 m n， 原 c 内还存在一个点 q， 哎呀，这个是不是读到这，这个研究对象就特别多， 是不是？哎，所以这个题，这个定义啊，明显就是一个对象特别多，特别复杂的定义，但别着急啊，如果对象多，那我们在这里面呢，慢慢的通过分拆啊，通过具象化把它呢看清楚啊，那么这么多点有什么要求呢 啊，满足这个四边形 p m q n， 注意它的这个写法啊，表示 p m q n 啊，它的顺序是顺时针，逆时针啊，也就是说啊， p q 和 m n 分 别是对角线对吧？啊，是边长为 m 的 菱形， 则称 p， 是 原 c 的 m 倍双双梯点啊，这个 m 倍，这个 m 就 对应的边长是吧？啊， q 是 点 p 的 啊，菱形的这个对点 是吧？啊，那么这个定义呢，乍看一下就是有一个菱形而已，但是这个定义呢，里面还是危机四伏的，我们还是要静下心来梳理梳理。 首先这个定义，咱们看到第一个，要有一个范围禁读的意识啊，咱们只要看到一个点和圆的位置关系啊，你就要确认到底是园内园外还是园园上啊，就一直三个不一样的，那么这里面我们可以确定，你看点屁，一定在园外 啊，也就是 pc 的 长度肯定大于半径，对吧？ m n 一定在圆周上啊，这个是圆上，而点 q 呢，一定在圆内，所以这四个点，它们相对于这个圆的位置都是固定的 啊，其中呢，最特殊的肯定是圆上这两个点啊，因为这两个点满足 c， m 等于 c， n 等于咱们这个圆的半径， ok， 所以 这是咱们这第一个啊，范围净度。 那第二个呢？哎，咱们在这里的这个菱形啊，菱形呢，他很特殊，他是一个啊，具有很多性质。四边形，我们需要尝试挖一挖，有哪些能为我们所用，比如说他四条边相等， 那就意味着这里面就可以画轨迹啊，各位能体会一下哎，比如说，当我知道 pm 啊，那就以 p 为圆心， pm 为半径，画个圆哎，跟圆 c 相交，那这个里面就能找到 n， 哎，这就是轨迹圆， 对不对啊？啊，同样啊，我也可以以 m 为圆心， mp 为半径画圆哎，去找这个 q 啊，所以这个里面有轨迹圆，因为有边的啊，就有轨迹啊， ok， 好， 第二个呢，在这里面， 他菱形作为平行四边形的一种，他的对边平行且相等，就可能有平移变换啊，几何变换也是咱们心里一种常考的啊，比如说他的克尼心等等，是吧？啊，对角线互相平分，那就中心对称有终点关系 啊，同时呢，菱形的对角线还互相垂直，那垂直就有隐藏的直角，对吧？隐藏的直角，那这个里面直角也可能定边定对定角的轨迹圆呀啊，同时又对角线又作对称， 所以在这个信息里面可用的东西太多了啊，但是到底用哪个呢？别着急，待会看具体问题，对吧？ 同时在这里面，我们再看看这个四个点，其中 m 和 n， 我 们还有一个身份净度啊，我们会发现 m n 有 两重身份，所以呢，可以对它做一个身份的分拆， ok 啊，那这个所谓的身份分拆，那就是这个 m， 比如 m 点，它一重身份就是圆周上的点，那另外一重身份就是这个菱形，所以基于这两个身份啊，去定位啊，经常是我们采用的方法 好，那所以这个定义呢，确确实实有很多可解读的点啊，但是呢，我们因为他太多了，不知道老师考哪个点，所以呢，看具体问题 啊。第一小问呢，让我们去确确认，对一个半径确定为一的一个圆，这四个点，哪些是可能是他的 m 倍双替点， 这是研究什么呢？研究在一个圆确定的情况下啊，圆外面这个点 p 他 可能的范围 对不对啊？那这个好像就很难去想它了呀，是不是啊？这个时候呢，咱们想一想，如果圆确定了圆外面这个点，屁，咱们怎么去找到它 啊？那其实大家看，说白了，首先圆定了，我们可以随便找一个 m n 就是 圆上的弦， 对吧？我们先定啊，定住这个其中一个，假如 m n 这个定下来了啊，那意味着这个弦是定死的，此时呢， p q 一定是在 m n 的 中垂线上， 那大家想想，我们这个时候找 p 点，是不是只要动这个 q 点就行了，对不对？哎，那你会发现 p 离它最远，那就是当 q 跑到最远的时候，哎，如果我们这个 q 点一直跑到这个圆周的这边，那是不是 p 就 特别远 啊？所以这个时候你看 p 离这个圆心可以很远很远，那最远远到什么程度呢？那我们会发现我们这个 m n 呢，可以无限接近于零，对不对？ q 离 m n 的 距离可以无限接近于一个直径 啊，对吧？那这样一来， p q 的 长度啊，无限接近于两个半径，这应该是 p 离这个圆最远的位置，那此时它离圆心那就是三倍的半径。 所以咱们就可以发现，在这个题目当中，这个 pc 啊，它的长度因为在圆外肯定大于半径啊，然后呢，最远由菱形的限制，对吧？菱形还拽着它，它最远最远是三倍的半径， ok， 那 这样一来，也就是这个菱形啊，他这个 p 点离他最远就应该是三倍半径，那我们可以在这里面呢，我们可以看到以 o 为圆心啊，三为半径画一个圆，但是呢，这个三注意啊，现实确认他取不到， 各位能理解为什么取不到吧？因为如果他刚刚好离他是三倍半径的时候，这四个点连成一条线段了， 是不是啊？ p m n q 啊，在一条线段上啊，不符合构成四边形这个事实啊。那这样画完以后，我们再去找这些点，咱们就会发现，很容易发现这个 p 二和 p 四都符合要求， 对吧？ pr 和 p 四都符合要求， ok 啊，那所以这个第一小问啊，主要是提醒我们，这个屁点其实它是有范围的啊，它最多最多啊，离这个圆心啊，三倍半径，但是取不到等号啊。 好，那接下来我们再看他的圈圈呢，是告诉我们这个一负一啊，负一负一第三项线，这个点是圆 o 的 m 倍双提点，求 m 的 平方。首先各位有没有发现这个这地方有一个很 特殊的表达方式，他是 m 方啊， m 方意味着什么呀？意味着这是命题老师对我们的一个提醒，各位能想到吗？也就说在这里面，他不让我们求这个 m， 因为 m 是 菱形的边长，说明这个求这个边长不是很容易求，或者不好直接求。 同时这个平方也提醒我们，什么时候有线段的平方呢？那肯定要用勾股定律直角三角形去计算 好，这是第一个，第二个呢，这里面有个困境，就是对这个菱形来讲啊，这个负一负一，我们就把它称为点 p 啊，他这四个顶点，只有负一负一这个顶点是定死的，其他的顶点都不知道在哪，那怎么办？哎，这个不确定的时候，咱们就要努力去挖确定， ok， 咱们看看能挖出哪些确定信息。 首先 m n 肯定在圆圆 o 上，是不是啊？那么，那么对于这个 m n 还有 q 这几个点来讲，因为太多了是吧，我们除了挖确定之外，还要去找一找软柿子，大家能看出 m n 和 q 哪个是更软的柿子吧？ 那显然是这个 m n 啊，为什么呢？咱们刚刚说了 m n 呢，它有双重身份， ok， 它记在圆 o 上，同时呢，它又是菱形的点，也就是到 p 的 距离是相等的，所以呢，我们来 y 一下确定，我们找一找。如果我找 m n 怎么找它？那我是不是就是以 p 为圆心，画一个圆， 大家体会一下啊？当这个圆比较小的时候，他跟这个红圆没有焦点，没有焦点， m n 就 不存在，对吧？哎，当他刚刚好贴上的时候，这时候仍然不符合题，但是已经看到希望了，哎，稍微大一点点，哎，是不是清圆和红圆的两个焦点就可以是 m n 点， 就满足 pm 等于 p n 了，对不对啊？所以这样一来，哎，我们又得到一个确定的信息，什么确定的信息呢？就是 pm 等于 p n， 并且 o m 也等于 o n， 对 不对？所以 po 就是 这条线段 m n 的 中垂线 啊。那所以咱们就知道，这个 m n 这样的弦，它其实不是一个没有规律的弦啊，它永远都是这样一个方向的弦， 各位体会一下，是不是啊，它都是从圆上啊，刚刚好沿着斜四十五度方向， 也只有这样的方向的两个点刚好才满足 pm 等于 p n， 或者说 op 是 它的中垂线，对不对？好了，那找到 op 是 这个它的中垂线，也就是 po 垂直平分 m n， 我 们又可以发现一个东西，那就是 q 一定在 po 上 啊， q 是 不一定在 p o 上，对不对？因为菱形的啊，两条对角线互相垂直平分 啊，所以这样一来，哎，咱们呢，又可以确定，这个 q 点，它就在连接 p o 的 这样的一根线上，当然它还在圆内。 好嘞，那大家想想，那在这里面是不是只要 q 点的位置定了，咱们呢， m n 的 这个位置也就定了， 对不对？一个 q 点对吧？啊，一个 q 点是不是对应唯一的一个 p m n， 那 么 p q 定了以后， m n 也定了，那菱形的边长也就确定了 好来，所以通过这个挖确定我们找到 m n 的 规律，那接下来我们再找点 q 啊，再找它菱形的边长是不就非常容易了， 来，各位体会一下啊，那么这个 q 是 不是是不是在这个红圆内啊，这个绿线被红圆截的的，整个这都可以是 m n 呢啊，都可以是点 q 呢，来，各位体会一下。这里面还有一个这个研究极端的过程， 我们把这个 pmpn 缩到最小，最小，最小也就是小 m 最小，那大家好，刚刚好相切的时候就是它啊，最小但不能取等号的时候，是吧？哎，这个时候呢， m 和 n 重叠， 那么显然此时这个小圆的半径啊，就是 p o 长减一，那就是根号二减一。所以我们可以得出一个非常简单结论，就小 m 啊，一定是大于这个根号二减一的， 对吧，这是它的下限啊，那自然这个呢，直接算一个平方啊，那就是三减去二倍根号二。 那下面就是想，那 q 最多最多是多少呢？是不是在这个里面，这个 q 我 们能找到啊，注意 q 的 最近的位置，也就是刚刚通过这里知知道啊， q 的 最近就在这个位置 啊，当然取不到等号。那 q 的 最远理论上是不是这个绿线上在园内最远的地方，我们试一试，哎，是不是最远，最远应该可以升到这里，对吧？啊，这里面就是 q 最远的位置， ok， 好， q 的 位置最远了，但是我们还要确定一个事情，此时 m n 是 不是这个，这个啊，这个，这个菱形的半径是不是最长， 对吧？啊，因为并不表示 p q 最远，它菱形半径一定是最长，只是我们直观的感觉是这样， 当然考场上我们可以先把这个算出来，然后我们再验证，是吧？啊，当 q 放到这个位置的时候啊，那么此时呢？哎，这个 p q 的 场是刚好加一对吧？啊，那 m n 呢，就应该在它的中垂线上， 呃，就是 m n 应该在 p q 的 这个终点的位置，大约啊，大约应该应该应该是稍微往这边偏一点的位置。 ok， 好， 来，各位我们来体会一下啊，这个时候，这个时候就是我们的此时的这个 m n， 对 吧？啊，首先先把这个数算出来吧。啊，考场上，对吧，咱们先算出它的这个结果，然后再去确认它啊，那么在这里面的话，我们很容易发现啊，要求这个菱形的边长，怎么求呢？啊，你就把这个对角线的这个这个焦点找到啊， p q 和 m 的 焦点 啊，我们不妨它叫 k， 对 不对？啊？那么我们会发现，此时呢，这个 q k 就 应该等于根号二加一再除以二啊，因为此时的 p q 等于根号加一对吧？啊，那 ok， 就 应该等于 q k 减一 对吧， q k 减一，那应该等于二分之根号二再减一对吧？啊，那 ok， 有 了，我们要找它的这个一个 边长，那就知道得知道这个 k n 或者 k m 啊，那这个怎么来呢？肯定是垂直定零是吧？啊，只要连接一个 o n 或者 o m， 哎，这个就是半径一 啊，所以呢，我们就可以得到 k n 的 平方啊，应该等于一减去， ok 啊，二分之根号二减一的平方来先不化解啊 啊，然后此时的 m 方就是 q n 的 平方，对吧？应该等于 k n 方加上 k q 方 啊，应该等于一减二分之根号二减一的完全平方，再加上这个二分之根号二加一的完全平方， ok 啊，那这个呢，大家做一个化简，很容易算出它等于根号二加一 好了，那这样一来，我们就可以大胆猜想，这个 m 方的范围就应该在根号二加一，注意，这肯定求不到根号啊，到三减二倍根号之间了啊， 那最后呢，我们需要去确认确认啊，在这个问题当中啊，是不是 p q 最大，就是我们这个 m n 最大 啊？首先我们可以可以看到，在这个过程当中啊，我们用动态的这个过程来看它就行了， 因为这个 m n 它一一直没有越过圆心，大家能看出来吧啊，最远最远在这里，那么在这里面我们只要发现一个规律，就是 m n 是 随着 q 向右上走，它是不断地从这个 左下的这个弦开始往上走的，所以各位看出来啊， q 每往右上走一点， m n 就 往右上走一点，所以又确实 m n 的 长度是随着 q 往右上的这个距离它的增大而增大的 啊，所以呢，咱们就可以确定 m 方的范围就在这个范围内，那是没问题的。 好嘞，那这就是咱们这个 t 的 圈，说实话，这个圈已经不简单了啊，那么在这里面，不管是计算还是对这个多动态当中挖确定剪软柿子捏，这种意识都是对我们今后做其他心理啊，极其有价值的，对不对？ 好，那接下来咱们看看它的最后一问啊，最后一问更让人摸不着头脑，因为这道题它的特点就是都动点啊，来看啊，假设一个点 b 是 零多号六是个固定点啊，然后呢，这个点有一个圆 b 半径是四啊，这个很确定， 点 a 是 圆 b 的 二倍双 t 点，二倍双 t 点，那就是有一个 边长是二的菱形啊，的一个顶点啊，并且呢， a 点是外面那个点，相当于那个 p 点，是吧？啊，而且它告诉我们点 a 在 y 的 圆 x 这条直线上，咱们画个图就发现这直线肯定在圆的外部。 问这个点 a 的 零对点的纵坐标的区域范围啊，那么在这里面是这样的啊，首先呢，这个菱形咱不知道是哪，咱们随便先画个取几个名字啊，呃，比如说，我们随便找一个地方，这个是 a 点， 对不对啊？然后呢，我们先把这个菱形给它画一下啊，那就是以 a 为圆心啊，随便画一个啊，二为半径啊，咱们画一个圆啊，比如说当 a 在 这儿的时候 啊，对不对？这个时候呢，跟圆有两个焦点，这两个焦点相当于刚才的 m n 啊，那么我们就给它重新取个名字吧，啊，有 b 了，我们叫它这个这个这个 c 啊和 e 吧， 对不对啊？然后内部那个点，我们就要 d 点， ok 啊，那这个内部这个点，在现在这种情况下，再以 c 或者 e 为圆心，二为半径，再画一个圆啊，这个焦点呢？哎，就是我们这个这个这个 d 点 啊，那么它们构成的菱形呢？大概就长这样啊，我们随便画一个看一下啊，这就是现在这种情况下啊，这个菱形，这个蓝色的 这个就是 anyone 随便先画一个啊，但是我们就会发现在这个里面啊， a、 c、 d、 e 这个菱形四个顶点全部在动 啊，而且你画一画就说这个菱形它这个扁的程度也在扁，所以呢，根本没办法找到这个地点的这个位置啊，就不知道咋去找它，再去算它， 那怎么办呢？哎，这个时候别着急啊，那么我们现在啊，开始尝试用我们考场的一个试探方法教给大家，在考场上如果你完全不会做，其实心得也能纳分，怎么办呢？就是 一般来讲，如果动点有轨迹的话，我们记住轨迹要么是圆，要么是线直线啊啊，或者射线或者线段，那么我们只要多画几个图啊，我们把它称为 animal 啊，多画几个图去试一试，比如说现在我们画出一个点的大约在这个位置， 对不对啊？那么我把这个 a 点多换几个位置画一画不就画出来了吗？对不对啊？好，那我现在呢，把这些辅助的这个圆拿开啊，我再尝试在其他位置再画一个啊，刚刚这个地方是一个菱形啊，是一个点地啊， 好嘞，那我就保留这个地点，我把这个这个其他的都擦掉啊。 好，那我接下来把 a 点换到其他位置去试一试啊。啊，换到其他位置来，各位看啊，咱们画图其实就很简单，就是，哎，找个点画一画， 那么在这里面的话，我尽量肯定是想把这个 a 点放在一些格点上画，对不对啊？那比如说我把 a 放在圆 o 这个地方啊，圆形 o 这个地方，那大家发现这个里面来了一个奇怪的事情，就是此时 a 点到大圆距离刚好是二， 那这个时候是不存在这个菱形的，但是你也可以理解，这个时候 c 和 e 就 重合，是吧？所以这个时候呢，如果线段也能看出来菱形的话，那么这个时候 d 就 在零的号四这个位置，当然这个位置呢，它是不能取到等号的，它应该是个空心点， 这个空心点在零点和四， ok 啊，各位呢？立脚，哎，这个情况是可以找到的啊，好，那我们接下来呢，在我就在一格一格的走啊，把它走到这个，比如说 e 这个地方，然后呢？哎，左边这个就是 c 点是吧？啊？焦点，然后以 c 为圆心，再画一个啊，然后呢去找一找这个地点在哪里啊？再来一个， 大家看这个时候他的焦点啊，就在这。哎，我刚才第一个画的那个图形好像有点小问题啊。啊，反正你就像我这样啊，去找啊，这就是第一个啊，第一个 啊，这又是一个啊，那我又找到一个地点是吧？啊，大家看，就拿着这三个圆去找啊，我再把这个 a 点再挪一挪啊，再挪一挪啊，挪到这，然后呢这个这个呢？哎，以上面这个焦点为圆心 啊，这个呢？以下面这个点为圆心啊， 哎，那我发现啊，大约在这边是吧，这两个圆 啊，大约在这里啊，又有一个点，那你忽然走着走着就发现它好像很像是一个圆啊，你只要多试几个啊，那我把 a 点呢再往上走，走到最最靠上啊，这个地方 跟大圆也相切，对不对？那此时呢，我们可以感觉到它这个点就在这里， 是吧？啊，但这个也是个空心点。好了，那基本上大家在实战的时候多瞄几个点，你多瞄几个点，你就会发现他大致走的这个路径就差不多是从这走到这的这样一个圆 啊，而且是个圆弧， ok， 考场上别怕麻烦啊，只要你能画出这样一个圆弧来，这道题就做出来了 啊，因为这条圆弧大家可以看到这个圆弧就是地点的轨迹啊，那这个圆弧你画出来以后，你就可以大胆的去猜想啊，就是你会发现刚刚好这两个空心点就是这个圆的直径 啊，圆的直径，然后圆心呢，就在这个一逗号五这个位置啊，那所以他的纵坐标最下方在这 啊，这个如果是一逗号五，它的半径呢？就是根号二是吧？哎，所以 y 呢，就大于五，减去根号二啊，哎，能取等号吗？取等确认哦，这个可以取等号啊，然后最高呢，这个地方是六，取不到等号， ok， 所以 考场上如果实在是六，取不到等号， ok， 所以 考场上如果是六，取不到等号， ok， 所以 考场上如果是六，取不到等号， ok， ok， 所以 考场上如果是画几个图找规律啊 啊，当然这个呢，可能让我们心里不是非常的踏实，对吧？这接下来呢，主要是给大家这个题目，如果我想比较哎，严格的把它推导出来怎么办？那我们接下来用第二个方法啊，式子分拆加去相化 啊，那就是我先，哎画出一种情况，看看这里有没有什么固定的规律，各位看啊，哎，随便找一个位置，这位置假如是 a 点， 对吧？啊，然后呢，我们把这个时候的这个 c 和 e 找到，对不对啊？然后呢，再画一下这个焦点啊， 注意啊，这个，这第一个焦点还不够啊，还得这边再来一个啊，刚才我第一次画图就有点有点小失误啊，画的这个焦点看眼花了啊，应该是这个焦点啊， 所以第一个看着不像菱形了啊哈，好嘞，哎，那大家看，这个蓝色的就是此时的这个其中的一个菱形的情况啊，我们标上字母，这是个一般化的情况，对不对啊？这是 c， 这是 d， 这是 e， ok 啊，其中呢，我们会发现，根据这个对称性，显然这个这个 a d b 必然是三点共线的， 因为 a e 等于 a c， b e 等于 b c， 对 吧？啊，就是我们刚才说点 q 一定在 p o 的 这条直线上， ok 啊，然后菱形的长是二啊，然后呢，这个圆的半径呢，是四，对吧？啊，半径是四， 所以在这里面我们就可以尝试啊，去找一找，能写出什么样的关系式来啊，所以我们得找这个式子啊，式子表一切 ok 啊，这个式子怎么去找呢？不好找，对吧？那这个时候我们要要要要去列式，你得想办法找关系啊。上一问，这个平方告诉我们，这里面更多的是勾股定律，垂线的关系，所以如果我们连接 ec 啊， ec 跟 a d 的 交点，假如叫 f， 大家看这肯定是个直角， 对吧？哎，这要是个直角的话，哎，我们在这里面就可以得到了直角三角形 啊，直角三角形，那么这个直角三角形，哎，我们就可以得到等量关系啊，这个等量关系咱们怎么用呢啊？我们有一个啊，非常经典的这个得到关系的方法，各固定的方法叫自己等于自己， 哎，怎么自己等于自己呢？啊，自己的事情自己解决是吧？啊，黄淑华那个啊，哎，所以我们在这里面得到这个以后，我们就可以设一些线段，假设 a、 f 是 x， 那么 d、 f 也是 x， 因为对角线互相平分啊，那么 b、 d 就是 y， 对 吧？那么这个 e、 f 或者 c、 f 对 不对？就会作为一个自己它的平方 啊？在右边这个小直角三角形 a、 e、 f 里面就是二的平方，减四减 x 方，在左边这个 b、 e、 f 里面就是四的平方，去减去 x 加 y 的 平方。 好了，我们就拿这个式子整理一下，十六减去 x 方减去二 x， y 减去 y 方等于四，减去 x 方，那减 x 方就消掉， 对不对啊？那移过来，那就是十二等于这个二 x y 再加上 y 方。哎，后面啊，有意思的东西就来了， 一般人写到这就不知道咋写了啊，这太复杂了。但是如果你啊在咱们的跟咱们研究过，知道式子的结构是灵魂啊，知道这些式子一定是可以再进一步去研究的，你就会发现这个式子就是 y 乘以二 x 加 y， 有没有发现，长度为 y 的 就是 b d， 长度为二 x 加 y 的 就是 ab， 所以 这个题目就告诉我们，它的关系是 b d 乘 ab 是 定值， 那这个定值，大家想这个十二一定是什么？一定是某条边的平方，对不对啊？一定是某条边的平方啊，那一定是某条长度为二倍根号三的这个边的平方 啊，为什么？因为线段这种相乘啊，我们能想到的肯定就是相似， ok， 所以 在这里面这个乘积乘出来以后，这个十二你一定能找到一个，哎，刚刚好是这个，这个这个这个十二的一个满足是十二的平方的这么一个数， 对不对啊？所以我们是不是只要找到这个数，我们就可以去分析它，这是一个啊，如果你能找到就找到它，当然也可能说我我不知道这个，那也许是别的数 啊，总之在这里面啊，在这里面要么是二倍根号乘平方，要么还等于另外两个数相乘，反正这个十二咱们得猜，那所以我们就要研究研究在这里面还有什么可能不变的关系。 ok 啊，也许是一条边，也许两条边啊，来，我先不给他写死了啊，那咱们来分析分析这个这个十二他在这里面藏在哪里， ok， 也就只要找到两条乘积为十二的这样一这个线段，这题目就搞定了。 那么在这里面的话，大家去想，我们要找的话，肯定是基于这个图形中的确定的信息去分析啊，确定的信息去分析， ok 啊，所以仍然是在这个洞中去找这个有没有这个确定的关系。 ok， 那 我们可以看到所有的研究圆的相关的问题，肯定始终是要研究圆心 啊，那你说这个圆心 b 在 这个里面还跟这个直线，因为定圆和这个定直线决定了整个这个图形对不对？那这里面不变的或者最特殊的关系在哪里？ 各位，是不是我们能找到的一定就是这个 b 往这个线做的这个垂线段，对吧？啊？那我们可以看到，假设这个 b 往这个直线做的垂线的垂足是 h， 哎，我们来分析分析这个 b h 长是多少啊？因为 o b 是 六是吧？那 b h 刚刚好是三倍根号， 哎，三倍号这条线段跟咱们这个里面，因为它是定的，对不对啊？我就不不妨就分析分析，在三倍根号确定的情况下，哎，如果再找一个跟它乘起来，是不是就有了 啊？那我会发现，哎，三倍根号和十二的话，应该是三倍根号，乘以多少呢？十二除以三倍根号对吧？啊，应该是二倍根号对吧？ 二倍根号二三得六再乘二，哎，也就是如果在这上面找一个长度为二倍根号的固定的这个线段，那么这个就始终是不变了。 所以我们会发现，在这个菱形整个运动的过程中，如果是二倍根号的话，大家可以看到刚刚好是 b 和 h 之间为点，这个取走斜向两格的位置啊，就是二逗号四这个位置点 g， 对 吧？ 那这个 b g 长刚刚好就是这么读，哎，那研究出这个东西以后，我们就要想想了啊，这个事儿它背后意味着什么， 对吧？啊？这个乘积，那给了我们想说明什么，这就是这道题目最后的这个钥匙啊，那我们会发现，它告诉我们，这个 b d 乘 ab 就 等于 b g 乘以 b h， 我们的乘积式一定是转化成比例式， ok， 那 就是 b d 比上，呃， b d 比上，随便找一个 b h 就 一定等于这个 b g 比上 b a， 各位研究研究啊， b d 比 b h 一定等于 b g 比 b a， 那 这样一来就意味着连接三角形这个 b g d 啊，咱们连接一下这个这个边得到一个三角形 b g d， 对 不对？和三角形 b、 a、 h 是 不是一定是一个相似的三角形？ ok， 对 吧？因为它们有一个公共角啊，角 g a d 啊， g b、 d 等于角 h b a， 所以 三角形 b、 d、 g 一定相似于三角形 b、 h、 a， 那这个相似我们要找的始终不变的关系是什么呢？ b h 始终是跟这个边垂直的，所以角这个 b、 d、 g 就 一定等于九十度，对吧？因为它等于角 b、 h、 a， 那意味着什么？意味着 b、 g 是 定边，这个是定直角，所以点 d 就 一定在以 b g 为直径的这个圆上， ok， 这样我们就可以确认它在这个圆上，当然呢啊， 这个圆并不是他完整的圆啊，最后别忘了啊，我们还要做六确认，在这里面的话，我们要对他的这个范围再做一个确认啊，我们会发现，当这个 a 啊，到圆 o 的 距离啊，不到这个 圆 b 上的点的距离啊，大于等于二，他就不存在了啊，所以呢，这个，当 a 在 o 点的时候，这个时候呢， 这个圆弧上，这个点在这，对吧？当 a 在 这个六逗号零的时候，圆弧上的点在这里，所以呢，它应该是右下的这个半圆弧，不含两个端点， 不含两个端点啊，它的圆心就是这个一逗号五，半径就是根号二， 对吧？那这样我们就可以百分之百确定他这个啊，点 d 的 纵坐标小于六，这里取不到等号这上面是吧？啊，然后呢，大于等于五，减去根号， 这次，哎，咱们是非常踏实的，可以得到这个结论了， ok， 所以 这道题啊，各位 他还是比较复杂的啊啊，如果大家啊自己做的时候觉得还是有一点不清晰啊，是吧？啊，那么还想有更多的啊，咱们这个双提的思维方法来提升自己， 对吧？啊，在中考之前，哎，我们完全可以让大家把这些东西都掌握啊，如果大家需要的话可以联系咱们老师啊，了解一下啊，咱们这个啊，双提的课程。

比划快，待熟稳，新定义还能提智商！大家好，我是老谢，我接下来给大家讲一下初三二模新定义这道题的最后一问，特别有意思，对于阅读能力有点差的同学，或者看到任意存在就晕的同学，你会彻底晕的。首先我们先看看定义，这个定义还是比较简单的，是吧？ 他说给了一个弦是吧？比如说咱们画了这个成色的弦 a b， 他 所对的列弧上，也就是 a b 之间这一部分还包括可以和 a b 重合，这就是一个细节圈，确认可以和 a b 重合，说 是直线 q m q n 与圆 p 相切，这个时候因为 m n 的 轨迹是 a b 之间这段列。根据老谢快速帮大家管找轨迹的极端性原理，我们可以先猜猜什么。先让比如说 m n 和 a b 重合， 先找到这样一个区域，比如说先找到这个点，再看一看这样，比如说给这个点起名叫 k， 对， 那这种情况下我们就会发现 k a b 组成了一个三角形。首先我们知道这个点 q 它肯定在外边，是吧？人家说了在院外。另 另外这个点 k， 你 会发现它和 a b 组成了一个三角形。我们先用极端异形原理猜出来这个以后，我们看一看是不是这一部分的每个点就员外以及三角形 k、 a b 内部它俩的交集部分，看看是不是都满足。那么咱们可以怎么确认？第一个你在里边随便找一个点， 看看他做的切线，他像原做切线是不是一定是在这个裂弧 a b 上，以及你在这个三角形外部找一个点，你看一看他往外做切线，是不是至少有一个切点不在这个 a b 裂弧上？经过我们确认以后发现轨迹没错，如果一个弦确定了他的弦弧切切弧点， 就是以这个弦的两个端点先做切线，得到一个点 k， 得到一个三角形 k a b， 这个三角形内部以及圆外部的这一部分就是切弧点的轨迹，这个找到了对不对？同时注意，因为是切，它是圆外，所以不能在圆弧上，所以还要注意细节，确认最后关键时候能不能取等号。 ok， 在 讲第二问之前，我先给大家讲一个老谢的学生讲过的一个一二三四五模型，圆综合里边经常考，当然你不知道也没关系，但是如果有直接写答案的题，你知道了，你会做的很快，你会发现三四五的直角三角形和一比二比根号五的三角形 和一比三比根号十的三角形，他们之间有非常严重的亲戚关系，你会发现他们是一个家族的。怎么着各位同学，我给你点一下，你自己可以正一正，特别好正。然后你会发现，如果把这个大锐角分成 角平分，找着一个角平分线，你会发现这个长度就是二分之三，你可以算的出来，你可以用角平分线轴对称，可以算设 x， 初二的应该同学就会做，也就是说这个大锐角他的一半就是一比二比根五的这个角，并且有意思的是这个小锐角再来个角平分线，你会发现这个是三分之四， 也就是是一比三比根十这个角，所以你要看到一个角翻了一倍， 他的二倍角其实在直角三角形里边是三四五的那个四所对的角，你如果知道这个模型，这道题的第二问会算的稍微快点。这道题第一问咱们就不讲了，咱们看第二问各位， 因为他是说要找到 a c 的 切弧点。本着老谢四大意识的，第一是剪软柿子捏，我们首先肯定先可以画出来点 a 的 切线对不对？然后呢，发现了他和这个蓝线，也就是这条直线 l 这个焦点，咱们给他起名叫 e， 你 会发现过点 e， 如果做一个 这样的一个切线，这个切点 c， 你 会发现如果 c 在 这里，你就会发现这个圆，这个 l 上就会出现它的切弧点，因为这个点 e 是 可以是切弧点的，因为人家定义上说了，就说它可以和 ab 重合，也就说这个弦的两个端点的切线的交点也可以。好啦，那么这种情况下，我们就会发现点 c 是 可以的，是吧？ 我们会发现，如果这条线再这么转，也就是 c， 如果再往左走，你会发现按照咱们的定义，这个三角形内部圆，外部都可以当切切弧点，这样显然这个蓝线上一直有。 所以这道题咱们只需要找到现在刚才这个点 e 这个层次的起点，你会发现他的横坐标最大最小值是负一，并且不能取等，对不对？因为不能是直径，人家说了，上面你看一看， 这个是可以取等的，咱们就算出来这个时候的横坐标，这个时候横坐标如果你根据一二三四五模型几秒钟就出来，为啥？各位你看，因为点 e 做切线 ec 和切线 ea， 他 们肯定是轴对称的。各位，你会发现有意思的点是什么？这个角就是一比二比根五的小锐角，这个角也是，所以它是两倍。各位，你就会发现是三四五的，所以这个角的它的正弦值就是四比五，对边比斜边等于四比五， 所以我们会发现，你看这个角，咱们给标为叉。大家知道老谢讲严格，基本上就是点叉，这是叉，这个角就是点，点的正切值就是三比五，因为这是垂直，所以这个角又是叉。各位请看这个叉，他的对边是五分之四，对不对长度，因为这个是一是吧，他的邻边是五分之三， 所以他的横坐标就是负的五分之三，所以你会发现 m 只要小于等于负的五分之三，大于负一就可以了。第二个就出来了， 这个一二三四五模型考场上不能直接用，但是做圆综合的时候，你很多时候可以帮你快速看出答案。这道题第二问就搞定了，来，咱们要开第三问了，各位，第三问这道题的难度百分之八十。各位在阅读上，这道题的阅读对阅读的要求太高了，你如果阅读不准的话，这道题累死你可能也做不出来。这道题我慢慢给大家读。 各位，我在这先发出警告，预警这个阅读可能会非常绕。我最后还会给你假设，换一种说法，可能跟你想的一样， 对这道题首先给了个点 d 和点 e， 他 说若存在半径为根号三的原体。这个故事交代了 d 和 e 以后，告诉你存在一个根号三的原体。首先说存在不存在一个原体，那么存在原体这个原体就是确定的，你可以让它的位置不断的变， 但是一旦选好了，这个原体就是固定的了，它的半径是根号三，并且它的位置你可以随便放，但是他总得在某一个位置。这句话能理解吗？存在半径为根号根号三的原体。接下来重点来了， 使得对于三角形 o d e 上任何一点任意一点 s。 各位， o d e 已经画出来了， o d， e 上任意一点 s 都存在。请注意，这个故事得搞清楚对于谁都能什么，比如说对于你来讲，总能找到男朋友或者女朋友， 那就是我们先看你，然后看看你怎么去找去。也就是说，我们是这道题是先找到某一个点 s， 然后再给他去找长度为 t 的 弦。这种题有点绕，也就是说对这个点 s 来讲，他可以找到一个长度为 t 的 弦。如果 s 在 这里，各位，我们还可以再存在，因为他说了，对于 三角形 o d 以上任意点 s。 各位，我在这讲的慢一点，人家这个故事讲的是点 s， 随便找一个点 s， 看看是否存在长度为 t 的 弦。那么如果 s 在 这，咱们就可以找一个长度为 t 的 弦 s 在 这可以找一个长度为 t 的 另外一个弦，只要长度为 t 就 行。 各位，这是这道题的关键，也就说每一个点 s 都能找到一个长度为 t 的 弦。不是说各位，所有的点 s 都找到一个固定的一个同一个弦 f g。 如果你们这么理解，那它对整个三角形 o d e 上的每个点来说，对于整个三角形来说， 存在一个长度为 t 的 弦，能让三角形上每个点都是这个弦的切弧点，他没有说每个点都是这个弦的切弧点。这个故事是先说对于一个 s， 每个 s 都存在，各位每个才每个 s 都存在一个长度为 t 的 弦， 但是没说所有的 s 对 应的都是同一个长度为 t 的 弦， ok， 所以 各位这道题你要得理解到这种程度，那么这种情况下，各位咱们接下来思考。第一个，如果弦长度为 t 固定了，比如说这是 f g， 什么 f g？ 比如说长度为为 t 的 f g， 这个弦固定了， 咱们画出来极端的情况就是以 f 为切点，以 g 为切点，这种情况各位同学你看，那么这个时候这是圆 t 都不是圆 o 啊。别忘了你看一看，你会发现我们能找到所有的 f g 长度为 t 的 弦， 他对应的切弧点的轨迹。首先我们先画出来某一个位置下长度为 t 的 f g 这个弦，然后你会发现他的切弧点的轨迹就是注意中间这个圆，他是虚线，因为切弧点不包括圆 t， 那 么如果 f g， 他 在绕着圆转一圈的过程中，你会发现这个阴影部分是不是也会绕着圆转一圈？ 这样他转完以后是不是就会得到一个外圆？是蓝色的内圆，是吧？是这个橙色的虚线，也就是说你们能理解这个圆环成圆外， 蓝圆上或者蓝圆内，这些点是不是都是切弧点？只不过每个切弧点可能对应的是不同的 f g 的 弦，但是它们长度都是 t， 所以 也就是说 这个三角形它只要能 o d e， 它能在这个圆环里边就行，而不是说这样的，也就是对 f g 固定了，比如说三角形 o d e 必须它上面的每个三角形上，比如说这是 o d e， 它上面的每个点 都要在某一个固定的 f g 的 这个切弧点的轨迹内，不是这样的，所以也就是说只要三角形 o d e 在整个这个圆环里边就行。不是说让你在 f g 固定的情况下，在这样某一个切弧点的轨迹中，这个难度就差别很大。如果明白了这一点以后，咱们就想办法找到这样一个圆的这个外圆环，这个蓝圆的半径的最小值， 因为它肯定越大越好，越大越能装得下 o d e， 对 不对？你会发现，也就是说，如果这个外圆的半径 r 它确定了，咱们可以算一算。各位，因为这是垂直的，这是根号三， 你会发现，如果 r 确定以后， r 直接可以表示出来 f g， 我 们可以表示 f g 的 一半，再乘以二，咋着？你看一看。比如这是根号三，这是 r， 根据勾股定律，这是根号 r 方减去根号三的平方，也就是三， 这个也就是根号 r 方减三。那么咱们可以根据等级法算出来这个等面积法，这个给它起名叫 k， 你 会发现三角形 t f k 的 面积， 他首先可以等于二分之一乘以根号三，乘以这个是吧？一个当底边，一个当钩，还可以让 t k 当底边等于二分之一乘以 r， 再乘以 f g 的 一半，这样的话，二分之一，二分之一消了，你会发现 f g 等于啥？各位，我把 r 和二分之一 r 除过去，二分之一乘过去，那就变成了二倍的根号三， 再乘以根号一，减去 r 方分之三，我把这 r 出过去，直接出到根号里边了，各位，你会发现，如果 r 它越大， r 方越大，因为 r 是 正数，那么 r 方分之三就越小，因为分子越小，再加个符号，它又变大了，加个一也变大了， 再开方也变大，所以你会发现 r 大， 那么 f g 就 大，所以我们想找到 f g 的 最小值，因为 f g 越大对不对？它只要小于根号三就行，小于二倍的根号三就行， 只需要找到它最小值，那么我们只需要找到想找 f g 的 最小值，就找 r 的 最小值。这有一个关联性，前两天我刚讲了一道题，所以我们就找到这个蓝圆半径的最小值。好，这个蓝圆半径它最小值怎么求它？ 各位，咱们可以动手操作一下，稍等，我把这里边都锁定，各位请看。我们随便把这个三角形 o、 d、 e， 各位，他就这么摆着，我们动一动，我们看看什么情况下有可能把这个三角形装进去，我们会发现，至少它这个高，你在别的地方的时候肯定是装不进去， 如果装进去这边都不一定不出去，待会咱们可以再验证，至少得保证这个高加上这个半径，这个是不是理论上的最小值。你告诉我，如果你这个圆这种情况都装不进去，那你告诉我，咱们再往上一点，各位， 你告诉我，这个高，他这么着是不是更装不下去了？所以咱们先锁定一个某一个角度上理论的最小值，也就是说，如果这个三角形， 当他的某一条边和这个橙色的内部的圆 t 相切的时候，你会发现这个边上的高，你会发现加上这个半径是理论上蓝圆的最小值，这种情况下还不一定复合题， 但是你得满足这种情况才有可能。如果说这种情况下各位他能行，那基本上就可以了，因为某种程度上不能再小了，是吧？如果是这么摆着，咱们先考虑三角形他的三条边的某一个边和成员相切的情况， ok， 在 这种情况下，那我们就知道想求这个蓝圆的最小值，蓝圆半径的最小值，这个高要最小。 其实对三角形 o、 d、 e 来讲，各位你告诉我哪个边上的高最小？还是根据等级法，二分之一乘以底乘以高，等于三角形 o、 d、 e 的 面积，三角形 o、 d、 e 的 面积是固定的， 你们告诉我，你要想高最小，是不是底边最大？所以是不是 d、 e 边上的高最小？大家看看 d、 e 边上的高最小是多少？这是一是吧？你会发现，因为这是六十度， 这是二分之根号三，所以各位咱们就可以看一看，当，也就是说我们让再看。往上一点来，各位，也就是说我们让 d、 e 边上的高，这是根号三，这个半径是根号三，这个是二分之根号三。 我们看一看这种情况下，这个蓝圆能不能把整个三角形 o、 d、 e 装下去，装下去以后，唯一的不确定的就是这个点 e 它是在原外还是原内？各位，咱们现在这个蓝圆的半径，目前来看它是二分之三倍的根号三，就根号三加上二分之一倍的根号三， 咱们再算一算，看这种情况下，他的长度是比这个大还是比这个小？比这个大他就装不下，如果比他的小就搞定了，我们经过计算，你可以自己算一算，因为这个长度是二分之三，购物定律算完以后，这个边确实比他小， 所以这种情况下就可以了。这个时候蓝圆的半径就是二分之三倍的根号三。来，咱们根据刚才上面这公式， 因为 f g 等于二倍的根号三，就是 t 乘以这个咱们算一算是多少，我把它复制过来。这种情况下， r 是 二分之三倍的根号三，所以 f g 就 等于二倍的根号三。乘以根号一减去三，比上它的平方是四分之 二十七，那就是乘以二十七分之四，是吧？乘以二十七分之四三，乘以二十七分之四，那就是二十七分之十二。 再除以一个上下，再除以一个三，就是九分之四。九分之四一，减去九分之四九分之五，九分之五是三分之根号五，二分之根号三，乘以三分之根号五， 等于三分之二倍的根号十五，这道题就做出来了，这样 t 的 最小值。注意相切还不行，因为这个点当不了切弧点，因为圆周上的点没法再做切线了， 所以这道题最终的答案就是 t 大 于不能取。等三分之二倍的根号十五，肯定要小于直径二倍的根号三。这道题我认为他出的好，这道题出的真好，我就给了这一个存在，这了一个对于任意这又一个存在，一个长为 t 的 弦。你要想提高自己对这种抽象逻辑的理解能力、驾驭能力，你就好好把这道题做五遍以上。

哈喽，同学们，今天我们来看这道二六年平谷区一抹的导数题啊。首先移上来，还是先把这个定义域的变函数 x 是 属于这个林斗正无穷的。然后我们接着无脑的球向导啊，等于前导后不导， 加上前不导后导，嗯，直接写了， 嗯， ok， 求反倒部分。然后我们来写第一问。第一问是特别简单， a 等于零的时候， a 等于零，然后取现 f 一 就等于个 e 乘以零就等于 e。 嗯，所以它的这个极限方程就是 y 减一， y 减零，比差 s 减一就等于 e。 最后化简完了之后，应该是等于一个 y 等于 e， x 减 e， 然后对切线方程其实就是这个样子的。然后第二本我们来轴一下， a 等于二的时候，求函数的极值点个数。我们把函数和导函数重新写下， f 到 s 就 等于个 e， x 次方乘以 l， x 减二， f 到 s， 把这个 a 等于二带入进去，就等于个 e 的 x 次方了。 x 加上 x 分 之一，再减去二，给它勾起来就 ok 了。呃，问这个基数点的个数，其实就问导函数的等价于 f 到 x 括号零点的个数。 然后我导函数是一个乘法的形式啊，因是两边相乘， y 的 x 次方，它是恒大于零，那所以我们就在求这个 lo n x 加上 x 分 之一减二的零点的个数。呃，我们是看不出来呢，所以我们令这个 g， x 等于 lo， n x 加上 x 分 之一再减二。 呃，还是一样的，对它进行一下求导，通过单调性来分析一下，它的零点就等于 x 分 之一，减去 x 方分之一， ok， 然后给它减一下，就等于 x 方分之 x 减一。 呃，那单调性其实就已经出来了。在零到一之间的时候，零到一之间的时候，这个 g 到 x 是 负的，那 g x 就是 单调递减的一，一斗正无穷的时候是一个正的，那 g x 就是 一个单调递增的，一的时候是零。然后我们算一下这个 g 等于多少？一一负一， ok， 所以 g x 的 大致的图像长什么样子呢？应该长这个样子的，但是我们也不确定，我们不确定它是从这减下来的，它是怎么怎么怎么减下来的， ok， 所以 g x 的 零点的个数。首先现在我们要在这边找一下有没有在零到一之间，找一下有没有大于零的部分，大于零的部分如果有，那它在零到一之间又是单调递减的，又有大于零，又有小于零的，那肯定是存在一个零点的。然后，呃，再找一下一到正无穷这段有没有大于零的部分，呃，我们看一下这个表达式里边啊，看一下这个对应的表达式里边，这个 让 x 等于一方的时候，这个让 x 等于一方的时候，这个让 x 等于一。 考一方等于多少呀？二加上一方分之一再减二，就等于一方分之一大于零，所以在这个在一到一方之间存在 零点啊，零点，因为负一是小于零的嘛，一方是大于零的，它又是单调递增的， ok， 然后同理，我们再找一下这个， 也找一下这个 e 方 e 的 负二次方 g 括号 e 的 负二次方等于多少呀？等于 e 方减去四，它也是一个，因为 e 是 等于二点七几啊，所以它也是代于零的啊。这样的话呢，就是我们在这边也找着一个零点，在这边也找着一个零点，所以这个 g 括号 x 有两个零点，所以这个 f 导括号 x 也是有两个零点吧，所以这个 f x 它有两个极致点，一个极大，一个技巧。 在哪呢？我们可以回答详细一点啊，在这个 e 的 负二次方到一之间有一个叫极大，这个点有一个极大， 在这个一到一方之间有一 笑置，嗯， ok， 然后以上就是关于这个题的第二问的一个解答哈，然后我们来看一下这个第三问， 第三问里边是一个含参的问题，问参数的取值范围哈，非常非常常见的一个套路，呃，给定 s 的 取值范围之后，我们其实这个题呃有非常简单的解法，就是怎么着呢？ e s 次方乘以了 x， 它被分离，减 a 括号大于等于负一，然后直接把这个关于 s 的 部分全部给它挪到一边去啊，呃，最后就是变成了 long x， 我 一步一步写啊，减 a 大 于等于 e x 次方分之负一，是吧？ ok， 然后就变成了 a 小 于等于把 a 挪到右边来， a 小 于等于 long x 加上这个 e x 次方分之一啊。这样的话呢，其实就是得到了一个新的函数， t 勾 x 等于零， x 加上 x 分 之 e x 次方分之一， x 的 取值范围是一到乘无穷。然后我们只要判断一下这函数的单调性，让这个 a 是 怎么着的， a 小 于这个函数的最小值就可以哈。然后还是一样的， t 到 x 等于什么？ x 分 之一加上 e 的 二， x 次方分之上岛下岛，减去上岛下岛，嗯，好，解完了之后就 e 的 x 次方分之一，嗯，其实到这呃停的话，我觉得也没有没有任何问题，因为 x 是 大家都其实能知道 x 是 小于 e 的 x 次方的，所以这个 x 分 之一就肯定是大于零。 分之一肯定大于 e x 次方分之 e。 但是我看标答上面，标准答上面又又把这个这个这个 x 减去 n o， 不好意思， e x 方减去 e x 次方减去 x。 又求了一次导航，又讨论了一下，其实大家如果做题特别多的话，你看对这个肯定是特别熟的。 ok， 所以 它是大于我就不，我就不行了。如果大家感兴趣的话，可以把这部分呢，再得一个新函数去求一下导啊。呃，所以它大于它，所以这个 e x 它是大于零。 t 大 于零，那 t x 就是 一个单调递增的，所以 t x 的 最小值就等于 t 一 就等于几 t 一 等于零和一分之一，那所以 a 就 怎么着了？小于等于一分之一，也就是 a 属于无穷到 一分之一的开比区间。以上就是关于这个题的一个完整，对吧？这个题难度偏小一点，然后尤其是第三问，呃，我甚至觉得 第三问的难度跟第二问都差不多啊，没有特别多的点，然后一个餐边分离就可以解决。动敏是大家需要对于这一类型的题型一定要特别熟哈，这是含餐问题里边。呃，求参数，取值范围就非常非常基础的一个点。嗯， ok， 谢谢大家。

南宁的高中高三的第一次英模呢考试呢，刚结，还没结束哦，到数学呢，已经考完了，昨天考完，那么昨天考完之后，我拿到了试卷，晚上我拿到试卷了，我就刷完了哦， 刷完之后呢，这个对这份试卷呢进行一个点评。首先，那这次的考试呢，第一道题呢，就开卷，卷三呢，不是集合啊，不是出的，出的不是集合。嗯，出的是向量啊，平面向量的垂直向量的数数乘关系 啊，这也是一个很简单的题，只要了解一个定义，基本上就就出来了。那么第二题呢，也不是在这里呢，也是反常态哦，也没有出负数， 除了个密算。那么可以讲呢，这两道题呢，呃，不是所有人都能拿分，基本上也不是送分题了，不算送分，也不算集合和复数，几乎是送分题，而这两个呢，还是需要有一定的计算技巧，对定义呢还是比较熟悉。 那么第三题呢，就出现了一个正态分布，嗯，文字化的正态分布也不是说直接很直接了了当的这个看出来你必须要进行一个计算。 第五题呢，就出现了这个排列组合啊，都不容易啊。第六题就是做一个向量函数的计算， 当然第三题也是一个三点函数的阴算，这些题呢，嗯，都不是轻而易举的给你送分。所以其实我在做到选择题单选的时候呢，发现了， 呃，这份题比较难，其实选择题和填空题前面的都比较难，除了十二题的填空题，所以做到第七题呢，就是一个基本不等式。而第六题的三角函数呢，不好算啊，他要用三次诱导公式加一个二倍角公式才能够做出来，还是比较复杂的，三角函数 可能会淘汰百分之五十有一半的人做不出来吧。但是第八题呢，我，嗯的压轴题呢，我在做的时候呢，我目前为止还是存在 争议啊，我认为这个他的答案呢应该是 a 有， 当然我们现在还没有拿到第一手的答案哦，但是我做的时候呢，发现的是六。 嗯，这里呢，我还是暂暂定，因为时间关系，我在做的时候呢，还是有，我重复算了两三遍还是没有发现有什么问题。总之呢，我的答案呢跟嗯这个最棒的答案呢有点出入，现在还是待定哦。 第八题呢是属于一个计算量，还一般吧，一般第九题呢是个立体几何，立体几何的难度呢不大，容易就看出来，但是他独选，独选的话要很谨慎耗时间。第十题的计算量和概念呢还是蛮大的，答案也三个啊，这样子会 呃完美的避开一些。呃，丢分了。十一题呢，那很常态，就是一个导数一般多选，一般的是要不就数列，呃，第九题要不就数列。第十题呢，一般的是立体几何，十一题压轴呢，绝大多数肯定是导数的侧重点会比较多， 那么整体下来呢，做完选择题呢，发现呢，这问题非常难，我就感慨这些阴谋很难，因为我们在做的虽然也做对也做出来，但是呢，相对来说啊，节奏没有那么快，不像之前一看就懂一看就会就可以选择答案，那基本上都要经过深度思考。 那么倒是这个十二题那个概率呢？用初中的知识都可以求出来，都用不到高中的知识点，那十三题是一个嗯，很简单的一个圆锥曲线的计算，但是十四题呢，亚洲第三角函数出在这里就比较少见，我在做的时候呢，也很难做出来哦，我在中途的时候， 其实我是跳过的，因为发现呢，我用了很多组合拳，用了正弦，移弦以及条件等等，都已经用完了，发现了不容易。但是呢，现在这道题呢，应该是有整数啊，因为考虑到边的整数才能够解出来啊， 在考试的时候，这道题不容易做。整体来讲，到了选填中呢，是一个比较高的难度，我以为呢，整张试卷呢，就就给定下一个基调，这个高三的预谋，呃，就是比较难，但是呢，我做了计算题的时候呢， 无论是十五题的竖列放在这里，十五题的竖列，他不放三角函数了，也不放斜三角形，不放三角函数呢，是可以理解，因为去年高考是考了三角函数，大概率今年呢，不一定考了啊，考了概率是比较低，当然我们不能够错过是吧，我们宁宁要抓到，宁愿相信他有也不要 翻过来啊。但是大概率应该是三角函数，今年的，明年的高二，六届的这个高考呢，考的可能性应该概率会低很多啊，大概率呢，是考这个解三角形，而这次预谋呢，就是考的数列， 数列的，这个非常容易啊，也简单一个地推，这样研究证明也是施工见惯，平时也经常练的哦，这个只要爱学习的，这个十三分应该基本上就拿了。那么十六题的例题集额呢，也是一个很简单的一个证明， 加一个间隙，就看你的计算能不能精细一点，步骤呢，写的完整，精细一点，步骤干净整洁，那这十五分也可以拿到，所以相对来说，做到大体的时候发现，哎，难度又降低了很多。 二十七题的圆锥曲线呢，在这里呢，也是平时日常啊，练习的很多的习惯，计算量也不大哦，所以，嗯，他没有耗太大的时间。十七题 整体来讲呢，到了大几个就很简单了。那道十八题的压轴题呢？嗯，就是一个也正常的一个导数，导数的单调性， 这基本上呢，都是对不起压轴题导数第二道的压轴题的水平，很简单的一个分类讨论啊，但是第二问的第三问，最后一问，第二题， 第二问的第二小问呢，稍微有一点点难度，但是只要设他一个定值，要证出来权在这个定值也很容易解决掉。所以到目前为止呢，到这里呢，对于我们老师来讲呢，基本上没有太大难度啊，没有太大难度，就是选择题稍微会耗我们一些时间和精力。 到十九题呢，那第一问呢，出现那个三角函数出来，压脚底出来，这里一问， 如果你不会做到，其实后面接下来的后面就很难做了。第二问呢，也很容易猜想出来，因为一看到它定义就零到四，那我们就可以猜想出它的对称性，或者是二，或者是点对称，或者是 s， 等于二。首先猜想这一推 也这样而言，所以这道压轴题呢，其实前面两问，因为他分配一般的是前面两个加起来八分，最后面一问的是九分，原来到这里我们已经可以拿到八分，轻而轻而易举拿到八分，那么第三问呢，开始有一定的难度，但是求倒之后呢，第三问的第一小问也是非常简单哦， 绝大多数好一点的学生呢，就超过一百的学生呢，一个能够拿到这到第二问，可能时间问题，还有呢这个琐碎的问题呢，多少都会丢三四分。所以这张试卷呢，整体来讲呢，前面如果做到好处的准确率呢，分数呢，也不会太低，好的学生呢，分数不太低，但是基础呢，在前面就耗的时间很多， 准确率会很低。所以整体来讲呢，这一次的高中中的预谋难题是同同考的预谋呢，就是 难度肯定是比高考难很多，但做到后面呢，越来越拨云见日是吧？嗯，挺好的，后面越来越做越顺了，应该是有很多同学一起呢，都就是给我们这个都有这种感觉。整体呢，这个出这张试卷呢，跟我们高考的标准的题型呢，是有很新颖啊，是基本上是前盘的， 否定前盘的，就是完全完全是跟没按套路出牌了，基本上 推倒重来啊，这个出题的这个形式，已经没有一道按常规套路出牌的了， 所以第一次我们就适应，给我们的一个方向呢，也提供了很多参考，不一定是集合，不一定复数。然后呢，三角函数和解三角形这种呢，并没有，这次解三角形出的非常少，我就出一道题， 嗯，就出了一道题，那么解三角，解三角形呢，是不是意味着什么东西呢？是意味着我们高考是不是在这一个三角函数解三角形这个这一个板块会不会减少？ 是不是这样的一种导向啊？我们拭目以待啊。我们现在呃通过这次一模呢这个查漏补缺进行一个点评，然后呢通过很详细的讲解中呢，我们看下一步怎么去，具体怎么安排这个 复习。第一轮复习基本上已经过了，看第二题呢，我们应该怎么去好好的 做下接下来的复习，这个真的要好好的琢磨一下，特别对我们老师。总之呢，我还是沿用了保持的这个习惯，但凡到一模或者是同考的时间第一时间拿到，我就第一时间 现实把它刷完啊，保持这个优能力的水准啊，加油吧哦。

好，我们来看一下平谷一模的带宗，那么这道题还是研究线段长的问题，但是这道题里面有很多隐藏的信息，隐藏的范围不知道你是否有挖出来 啊？我们一起来看一下抛物线 y 等于 a x 的 平方加 b x， a 小 于零，赶紧画出来吧，千万别当 a 大 于零去做了啊，因为你 a 大 于零做了很多题都成习惯了，所以赶紧画出来。 经过点 a 三 a 逗 m 和点 b 负 a 逗 m， 括号一，用含 a 的 式子来表示 b。 好， 我们来观察一下 a b 两点，不知道在最开始的时候你是否有找出来，哎，这两个点的纵坐标是一样啊， 说明我点 a 和点 b 是 关于对称轴对称的，对吗？哎，那么我可以通过点 a 和点 b 的 横坐标就把对称轴给求出来了，也就是二分之三， a 加负 a 就 等于对称轴，所以对称轴就等于 a， 然后呢，对称轴又等于负的二 a 分 之 b， 也就是负的二 a 分 之 b 等于 a， 所以 b 等于负二 a， 第一问就求出来了。 求出来了之后，我们整理一下抛物线的解析式，就是 y 等于 a x 的 平方减二 a， 二 a 方 x 啊，好，我们来看第二问啊，点 c， t 减一勾 n 在 抛物线上，且 m 小 于 n， 什么叫 m 小 于 n 呢？又是比高低的问题，对吧？啊，那么也就是我这个，呃， m， 它的总坐标呢？它要低于 n 的 总坐标，是这个意思吧？ 那 m 的 纵坐标又是谁呢？是点 a 和点 b 的 纵坐标啊，啊，也就是我的点 c 啊，一定是要在点 a 和点 b 上方的，对不对？哎，那我赶紧来画图研究一下他们的这个位置究竟是怎么排列的，对吗？ 我先画一个开口向下的抛物线，它的对称轴是 x 等于 a。 好， 那么，哎，点 a 在 哪里呢？因为 a 小 于零，所以三 a 也是小于零的呀， 对吧？而且三 a 是 要比 a 还小，所以它一定是在轴右的，也就是轴啊，轴左的啊，轴左老师画的这条蓝色的线， 好，那么点 b 的 横坐标是负 a， a 小 于零，那么负 a 是 大于零的，所以他一定是在轴右，而且他们两个是关于对称轴，对称的高度是一样的。哎，好，把他们两个画出来之后，那我的点 c 应该落在哪里啊？ 的点 c 不是 应该比他们高吗？所以是不是就落在这一段范围内呀，对吧？落在这一段范围内，那么我的 t 减一的取值范围能不能求出来？他是不是要大于三 a 小 于负 a 呀？ 所以 t 就 大于三 a 加一，小于负 a 加一，你看，这就是一个隐藏的范围呀，不知道你有没有求出来啊？好，继续看。 过点 d t 到零做 x 轴的垂线，哎，我随便的找一个点 d t 到零做垂线交呢？抛物线于点 p， 点 p 在 这，然后交直线 y 等于负 ax 于点 q， 哎，我们再来看一下负 ax， 因为 a 小 于零啊，那负 a 肯定是大于零的呀，并且这条直线是一个正比例函数， b 过原点，而且过一三象限，对吧？那么我画的这条紫色的线啊，就是 y 等于负 ax， 那 么点 q 就 就在这里。 好， p q 的 长随着 t 的 增大而增大，求 a 的 取值范围，这不又是让我去研究 p q 的 长的问题吗，对吧？那么线段 p q 啊， 它呢，是不是两点的纵坐标之差呀，对吧？所以我需要把点 p 和点 q 的 纵坐标，哎，我们都表示出来啊， 那么 y p 也就等于 a t 方减去二 a 方， t 也就是它的 x 是 等于那个 t 减 是等于 t 了啊，然后把 t 带进去，就能求出 y p， 哎，那么 y q 呢，也是同样的带法，也就等于负的 a t， 那 么 p q， 因为不知道谁上谁下，所以我加了一个绝对值，最后 就求出来 p q 的 长度呢，是等于这个式子，那么这不又是一个关于 p q 的 新的函数吗？对吧？然后我整理一下，哎，就成了这样。 那么想研究新函数，必须得画图啊，一要画开口，二要找出新函数与 x 轴的两个交点， t 等于零， t 二等于二， a 减一，第三个要进行下翻上，对吧？哎，成一个 w 的 形， 然后对称轴呢，是 a 减去二分之一。好了，接下来我要去找什么向上增的这个增函数的图像，对吗？那是不是有两段都是在增啊，对吗？但是呢， 我现在怎么去列式呢？应该取哪一段呢？我们先来看一下 t 的 取值范围啊， t 是 大于三， a 加一的小于负 a 加一，我们来看一下负 a， a 是 小于零的，负 a 是 不是大于零的呀？ 对吗？那么负 a 加一是不是更大于零了，对吗？那我们来看区域一啊，区域一二， a 呢，是不是小于零？ a 小 于零二， a 就 小于零了，再减去一个负数，它更小于零了，那么 a 呢，它也是一个负数， 然后再减去二分之一，那还是负数，说明我区域一啊，这全是负数，那符合这个负 a 加一，它是正的吗？是不符合的对不对？所以我的区域一啊，是用不了的，是无效的。那我再来看区域二，那能不能 在这里面运动啊？当然可以了，我只需要让我的三 a 加一。哎，在零的右边就可以了啊。所以我能列出的式子就是 三 a 加一要大于等于零，那么三 a 就 大于等于负一， a 就 大于等于负的三分之一 啊。并且我最后的综合的解集要结合我们的大前提， a 是 小于零的。那么综上所述就是 a 要大于等于负三分之一小于零，你做对了吗？

大家好，昨天海淀初三数学一模已经考完了，然后今天上午用了一上午的时间把这个题从头到尾做了一遍，从第一道题一直到最后道题都做一遍，哎呦，累的我这个腰酸背疼啊，我天，这是第一道题，然后呢，一直到后面最后一道，这个心灵意啊，全都做了一遍 火线跟大家总结四点，然后我看网上有很多老师的这个分析已经出来了，然后稍后分析完四点之后做一个试卷分析，之后呢，稍后下一个视频给大家带来主题的解析，主题的分析每一道题我都讲啊，尤其这几个易错的题， 然后有些老师的这个对于试卷的分析，其实我不太认可，我说一些大家自己，我说一些我的想法啊，大家来听一听，对大家后续的考试和今年的中考有没有一些这个指导性的价值啊？第一个就是首先立规线的，我觉得出的挺好的，真的不错，他对中档生特别的友好， 就是整个的一模考试，我感觉他会出的特别的稳，而且稳中有变，不是完完全全的复制去年的中考，你看那个防晒的一模，我就觉得出的很一般的，他就完完全全复制去年所有的题型，没有多大的考察价值。 海淀出的好就是稳中有变，你看那二十六题，我们练了八百遍的二十六题戴宗，但是他有一点稍稍的变化，他还是增减性考几何考函数最值，但是那个增减性的函数最值，那个最值直接给你了，给了你个 m 小 于九， 给了你那个 m 小 于九之后，相当于给你了最值反推范围跟以前那个没有多大区别，就只要你听过我的课，函数最值二十六题绝对不是难题，五分钟就能搞定。我觉着我对我的学生是有信心的，不信今天考完之后咱们问一问，我觉得二十六题我觉得大概率难不住，只要我的学生大概率难不住， 然后整个回顾一下之后，第二点他稳中有变，在哪呢？就是他这个计算，咱们之前有几年就是计算不在这重点了，所以很多博主很多老师就鼓吹计算没有用啊，强调思维，其实不是，他是有一个有一个几年几年的轮回在里面的。 那你怎么知道今年计算他就不是重点呢？其实计算始终都是一个重要的能力，跟我们的教委对我们的老师或者我们的要求，对学那个非常 非常重的一个考察的一个点，他只是说每年可能测重不一样，今年可能是计算，明年可能不是计算，但这并不能否认计算一直是重点，所以我对我学的训练一直是你一定要吭哧计算。那怎么吭哧计算？等等等等几步？你看今年海淀的试卷，整体来说计算量非常大，就如果你 不熟练或者中档题你也想，就是他能把努力的孩子给筛选出来，就如果你什么题都想，你难题当然想了，对吧？但是如果你什么题都想，就简单题你也想，然后基础题你也想，计算题你也做的慢，你这份试卷很难上八十分，我说的对吗？ 你看你们家孩子没有这样的情况啊，就是考场上我们家孩子可能就考六七十分，但是这同样的卷子拿回来之后，他一做，哎，上八十分了，甚至上九十分。为什么？因为他不熟练，他的计算，他的阅读，他的文字量，一旦上去之后，他完成中档题的速度太慢了， 所以在考试当中，在考场当中，他根本发挥不出来，他做不完，他一慌，他更容易错，所以计算是核心。 第二句话，计算人核心好说。第三个观点，之前我是不是告诉大家怎么复习？我说是不是至少要完成一套北京的中考试卷？一模的，去年的找一找考试的感觉，这个孩子有感觉没感觉，至少差十分，这话是我说的吧，大家看对不对？ 所以你如果这么做了，有感觉就马上就出来，没感觉就真不行。好，最后一点，我说一下可能的拉分点，预测一下今年的中考。这次一模完完整整的踩中，我们之前说的所有的可能的踩丢分点全都 完完整整的卡住，一共所有可能的丢分点就以下。呃，我想想，一二三四，六个以下，六个，第一个，第八题， 第八题画图就能画出来。孩子们，这次只说这次不是易错题，不代表以后不是，你要注意他这几题都有可能是易错题，那你要知道怎么去应对 好。第八题，第十六题，第十六题，一会用竖轴法，我一会主体解气，会给大家讲述轴法怎么做，然后原宗，原宗是变数最大的题，有可能在二十四，有可能在二十五，你看今年就有可能在二十四，今年就到二十四，而且这题变数很大， 我个人认为今年很多同学是不是会被原宗卡住？宝贝，你问一下你的同学，你们的孩子是不是被原宗卡住了？原宗那个题是真的，一旦被卡住之后，他会影响你整个的做题状态。所以原宗那个题一定要加大训练的难度，训练的量一定要上去。 第二问一定是相似。你看第二问，我说相似，他相似吧。第二问一定要找相似。如果这个孩子对三角函数，对平行、对相似没有足够的理解，他不熟练，他压根都不知道第二个可以这么做。 所以第二本一道长相似，所以你要练这个原宗是最大的变数，得原宗者得天下。顺治。可以这么说，我觉着二十六、二七二八三道压轴题的重要程度和原宗那个二十四题应该是并驾齐驱的。原宗特别重要，一定要狠练， 得原宗者得天下。因为二十四题之前全是简单题，二十四题之后一马平川，全是难题，所以二十四题就是一个节拍器。 好，接起来。二十六、二七二八，最后三道压到底，没什么好说的。二十六带宗我们练过八百遍了。己宗就两个考法，最热点的就俩考法，一个是旋转，一个是四点公园。今年海淀没有考四点公园考的是旋转啊。网上有老师说是手拉手模型。这真不是手拉手， 你让孩子们去看去，谁能知道这手拉手模型？废话，你给他转完了当然知道手拉手了，不转之前谁能看出手拉手？这是共端点等线段特殊，角分条件分散，不用旋转，寸步难行，典型的典型的旋转方法，你把旋转给孩子讲明白了，他自然考场就能做出来。 好，最后一个是一般性定义，最后一个太难，不会就放好了。以上就是我所有的分析，稍后带来主体解析，大家看下一个视频。