怎么做初二下册三角形平移图像

同学们，我们来看这道几何题啊，这是我们典型的这个平移的啊题型，我们首先呢先读一下题啊，将直角三角形 abc 啊，这是直角三角形对吧？那是这个三角形 abc 沿着 b 点到 c 点的方向平移是吧？ 平移什么到三角形 d、 e、 f 的 这个位置啊？那这里面王老师也给大家讲过啊，什么叫平移啊？同学们，平移会带给我们什么信息啊？啊？平移会带给我们还是啊， 两个全等型，也就是你平移的是什么，他就是个什么全等型，对不对？那这里面哪两个是全等型啊？也就三角形 a、 b、 c 是 吧，平移前和平移后的三角形 d、 e、 f 啊，这两个就是一个全等型，对不对？哎，所以这都是什么？哎，他们全等型对应的角相等，对应的边相等是吧，对应的面积相等是吧，这就是移动前对吧？移前和移后 对不对？全等啊，这平移就告诉了我们这个东西，当然了，他还有一个什么关系呢？哎，他不仅仅是全等啊，他还告诉了我们一个什么，因为他是平移嘛，没涉及到旋转，所以他还会告诉我们一些什么。哎，他们平行 啊，他们的位置关系，只要平移的东西啊，他们都是什么平行的，那这就是平移告诉我们的东西啊。好，那我们来接着看这道题啊，把其他的条件标一标，那么 a、 b 等于十是吧，那么 o、 d 等于四是吧，那我们就知道了， a、 d 得十， d、 e 就 得十，这是不是就六啊？这是四，这就六 啊，哎，把能标的标出来啊，平移的距离为六，哪个是平移的距离，是不是这是六啊？ b、 e 是 六是吧？那么 c、 f 是 不是也是平移的距离啊， 对吧？哎，我们把能标的啊都标出来，那么现在让你求谁啊？求阴影的面积，那我看看阴影的面积怎么求啊？我们现在这个 o、 c、 d、 f 这个阴影的面积怎么求？首先这个我们求面积的时候啊，比如说像阴影这个面积啊，我们应该怎么求？它？第一个思路就是它是什么型， 对吧？比如说我们一看我们知道它是梯形，是吧？那就用什么，哎，用它的这个面积公式是什么？上底加上什么，下底乘以高是吧？除以二是不是就是这个公式 啊？你想求他们就这要么就什么，用组合的办法是吧？我们用什么？用三角形 s 三角形 b、 e、 f 是 吧？减去 s 三角形，什么 o、 e、 c 啊？基本上我们大概一想就是这两个方法，为什么？因为我们用这两个都可以算直角三角形，所以说我们都非常好算，直角三角形算面积是不是很好算？哎，两个直角边一乘以二就完了 啊，所以说我们就给它转换成什么哎，不同面积的一个和差的形式，对吧？所以基本就这两种方式啊，所以同学们我们就什么哎，求一，求这个边，我们看看这个边能不能求，是吧？说白了现在这个边长我们都有了，是不是我们只要把什么 哎，这个 dc 求出来是不是就可以了？哎，说白了不就这么点事吗？啊？很简单，对吧？ ec 求出来之后，大家看是不是我这个三角形面积还整个是不是都有了 啊？好，那我就知道了啊，那我基本上用这种方式比较好，是吧？因为我们用这个梯形的话，上底加下底还要用两个什么那个勾股定律，求完了高还得现做啊，稍微相对麻烦。所以我们大概知道这个阴影面积一定是这么求啊，比较方便 啊，因为我们这样只需要求 e、 c 就 可以了啊，来我们看看 e c 怎么求吧。啊，那这里面它有一定的什么哎，对应关系是不是？大家看啊，从原来的这个十变成了这个六， 对吧？这是不一个什么哎，这是我们相似三角形的什么哎？基本图形对吧？哎，两直线平行，这两个 a、 b、 c， d， e， 是 不是两直线平行？什么三角形 a、 d、 e 是 不是？哎，相似于三角形，什么 a、 b、 c 那 么相似呢？对应边成比例 啊，那我一看就知道它相似了，那我们就知道它对应边 o e， 也就是比上谁啊？比上 ab， 是 不是这个边比上这个边等于什么？是不是 ec 比上整个的，对吧？哎，也就等于这个 ec， 那 我们设 ec 是 x 吧，好不好？ ec 是 x， 那 就等于什么？ x 比上 x 加六是吧， 那么 o e 呢？是不是这就是什么六比六比几，是不是就六比十啊？啊？就六比十是吧。所以通过这个简单的方程，我们是不是 x 就 能求出来了？那我们算一下啊，这是十 x， 这是六 x， 那 么四 x 等于三十六 x 是 不是得九啊？很简单就把这个算出来啊，那么 x 得九，我们看一下，那这个面积是不是就好求了？ 哎，所以说这个阴影面积等于什么呀？大的这个三角形的面积是什么？二分之一底乘高吧，十乘以十五，是不是十乘以十五啊？这也成，对吧？减去这个小三角形面积什么？哎，二分之一 啊，乘以六乘以九，那我们就可以把它算出来了啊。那这个我就不算，这是一百五啊，算下一百五，减去六九五十四，九十六除以二是多少？四十八是吧？所以它的面积就是四十八啊，没有单位，那就是它。 所以说同学们，我们在这个做几何题的时候，尤其涉及到面积的时候啊，我们要有什么？哎，知道怎么去求面积的思路啊？其实都是什么？哎，都是比较简单，比较什么明显的。

又做啥题呢？老师说这道题会做的就是学霸，赶快给我讲一下。好嘞， ab 等于啊， bc 等于 cd， 让求的是角 d 的 度数，图形呢，是一个不规则图形。那么看到不规则图形啊， 我们就要想到转化成规则图形，而转化为规则图形最常用的方法呢是分割法。 那这里啊，我们就先连接 a、 c， 就 把图形呢，分割成了 a、 b、 c 和 a、 c、 d 两个三角形。那我们先看 a、 b、 c， 因为呢， a、 b 等于 bc， 所以呢，这一个角就等于这个角， 而角 b 呢，是九十度，所以这两个角就分别等于多少度啊？四十五度，哎，非常的棒，那这个角呢，就等于一百五十度，减去四十五度，所以等于多少度啊？ 一百零五度，但是我们会发现这个角还有角 d 呢，还是求不出来。嗯，那下面我们就换一种方法分割，我们连接 b、 d， 嗯，我们先看 b、 c、 d 这个三角形，那么 bc 等于 cd， 所以呢，这个角和这个角相等 啊，这个角是一百五十度，所以这两个角呢，我们就用一百八十度减去一百五十度，再除以二，就分别等于多少度啊？十五度，而角 b 呢，九度，所以这个角呢，我们就用九十减去十五度，结果是多少度啊？七十五度。但是到这里啊，我们这个角 a 还有这个角还是求不出来，嗯，所以呢，也求不出角地，那我们只好用一种特殊的方法叫平移法哦。首先呢，我们可以先把 a、 b 这条边向右平移，平移到 c 点， 然后再把 b、 c 这条边呢向上平移，平移到 a 点，那这个就是一个大的正方形，为什么？ 因为啊，这一个角是九十度，所以这个角也是九十度，这也是九十度啊， ab 呢，又等于 bc， 所以呢，这就是一个大的正方形，我们还能求出这一个角，它就等于一百五十度， 减去九十度就等于多少度啊？六十度到这里啊，这个角我们还是求不出来，所以角地呢，也求不出来，那我们再仔细观察会发现呢，这条边 就等于 c、 d， 为什么？因为啊，这条边等于 a、 b， 而 c、 d 呢，也等于 a、 b， 所以 他俩相等。 又因为呢，这个角是六十度，这个时候啊，我们只要连接这两个点，那么这个时候这就是一个等边三角形，嗯，那么这个角 和这个角它们相等，而且都等于多少度啊？六十度。哎，非常的棒，那现在我们只要求出这个角，然后用六十度减去这个角，那是不是就能求出这个角地了？是的，那么就看这个角呢，它在这一个 大的三角形里面啊，这条边呢和这条边相等，为什么？因为这条边呢又等于 c、 d 啊， a、 b 呢，和 c、 d 相等，所以呢，这条边和这条边相等，所以呢，这个角和这个角相等啊，这一个大角呢，是九十度的角，加上六十度，那它等于多少度啊？一百五十度，非常的棒，那这两个小角呢，我们就用一百八十度 减去一百五十度，再除以二就分别等于多少？十五度。那最后要求的角地啊，我们就用六十度减去十五度，就等于多少度？四十五度。

同学们大家好，我们今天分享一道平移的题啊，题中说 a 是 三角形的内心，那内心应该是三角形角平分线的焦点啊，所以这块他是三边角平分线焦点，那这个是连接他， 再连它，再连它啊，它都是平分的，它俩相等啊，平分的它俩相等，平分的它俩相等。然后 ab 长度是六啊，底下长度是六，再来 a c 长度是四， a c 是 四， b c 是 三。 将三角形 a b c 平移，使得顶点和 i 重合。那我们看一下啊，平移过程当中，那是不是 a c 和这条线是平行的，对吧？然后是 b c 和这条线是平行的。那我们在做题时候，其实总结过说，如果你碰见角平分线了啊，角平分线，如果角平分线和平行同时出现了，那里边就隐藏着一个等腰三角形，对吧？哎，角平分线加上平行啊，会隐藏等腰三角形，让我看一下，哪的啊？ 平行会有内错，角相等，所以这个角和这个角相等，那刚才说角平分线，所以它俩是不是也是相等的？那这样，这个角一等于角二啊，它俩相等，所以 a q a q 就 等于 q i 了啊，我画一下粗一点的这个黄色的啊，这条线段 粗一点， a q 和 q i 相等啊，这是它。那同样道理，这边的这个，呃，来个字母啊，这是 p 啊， 这边的这个 p i 就 等于 p b， 是 不是这样的，那三角形的周长啊，就变成了 a q 加上 q p 加 p b， 那 答案就应该是六啊，你明白了吗？再见！记得点赞关注哦！

努力就会出奇迹。哈喽，各位同学大家好，我是琪琪老师，从这周开始呢，我会带大家一起来去每周解决一道我们的几何压轴。 那这一学期的几何压轴呢，主要是存在于我们图形的平移和旋转，主要前半学期是三角形，那么以及后半学期的平行四边形，平行四边形里面也是会有图形的平移和旋转的， 那是因为平移和旋转也是我们中考里面重考点考察的内容啊，所以大家需要从现在开始就要去积累。 ok， 好， 那我们一起来看一下啊，这是一道呢去年的一个期末期中考试题啊，我们来看一下啊，他说呢，同学们呢，以两张直角三角纸片，然后为背景条件进行这个活动探讨。角三角形 a、 b， c， e 中呢，角 a， c， b 呢是等于九十度啊，来看一下啊，角 a、 c、 b 这边是等于九十，然后 abc 呢，这是一个四十五度，然后它就是一个什么等腰直角三角形。在直角三角形里面，最重要的就是等腰直角三角形和三六九直角三角形。 好，那么他又说了三角形 d、 e、 f， 什么是一个三六九直角三角形，然后 d、 e 等于二倍根号三，然后如图一所示给它进行摆放， e， f 呢就是平行于 a、 d 的。 好，我们先来标记一下啊，他现在告诉了你，角 e 这个角呢，是等于一个六十度， 这个是六十，那这边是不就是三十，这个角是四十五度，这个角也是四十五度，因为平行哦，平行内错角相等，这个角也是一个四十五度，对不对？所以我们就知道这个角呢，就是是一个十五度， 好，把它放在这，然后接下来又告诉了我们， d、 e 呢等于二倍的根号三，还有呢，就是，那我们就知道三十度，所以正好边斜边一半，这边是一个四倍根号三，那么 c、 d 呢？就应该是等于一个，呃，那个，嗯， 二倍根号三，乘根号三，它就应该是等于一个六，嗯， ok， 好 了，那接下来让我们去算什么呢？第一问，让我们去求 a、 c 和 b、 d 的 长，怎么去求呀？我们刚刚把所有的角都给它标记出来了，我们才能够看出它们之间的关系， 那这个角的话呢，是一个，哎，这边啊，这个角是四十五十五，所以这个角是多少度？六十度， 对不对？那这个角呢，是不就是一个三十度呀？所以又是一个三六九直角三角形，哦，这边是六十度，这是三十度，所以还是有三十度。所对的直角边等于斜边的一半啊，因此呢，这个呢，就是等于三，所以我的 a、 d 等于多长啊？三倍的根号三， a、 d 等于三倍根号三，那么我们的 ab 呢，又是一个等腰直角三，那么我们的 ab 呢，就是三倍根号三减三。 ok 了。所以这种题的话呢，前面就是你把它所有的条件给它分析透彻了，那结果呢？就说自然而然就出了。嗯，好。然后接下来我们再来看一下我们的第二问啊， 第二个里面呢，它说将这个三角形来看啊，我们现在它这个里面要干嘛了？将三角形 d、 e、 f 给它进行旋转了，怎么转呢？绕着点 f 顺时针进行旋转，就往这面是顺时针，对吧？进行旋转得到谁呢？得到这个 啊，顺时针画错了啊，往这边进行旋转啊，得到这个三角形啊， f g h， 得到三角形 f g h， 对 吧？它在旋转，然后对应的点呢？是点 g， 然后点 e， 所对应点是点 h， 那 么旋转也是一样的，旋转有什么作用啊？ 是不是你旋转完之后，对应的边相等，对应的角相等，又旋转完之后，这两个三角形也是全等的，以及对应点到旋转中心的连线所形成的角等于旋转角，对不对？然后接下来呢，让我们去判断什么呢？如图二所示，然后让我们去判断这个 e、 f h 的 形状，嗯，好了，那既然是怎么了，是不是一个旋转啊？把这个 f e、 d 给它转到了 f d h， 对 吧？往这边给它进行旋转，嗯， 对不对？好了啊，那绕着它呢，给它顺时针进行旋转，得到这个 f， 这个 g h 啊，这边啊，转到这儿。好了，那么我们来看一下，既然是旋转对应的相等有哪些？ f e 是 不应该等于 f h， 这是直角， 那么 f g 呢？是等于一个 f d 的， 对不对？好，接下来它又说了，我们来看一下，它现在是等腰了， 那我猜测一下它什么图形，应该是等边，等边的话呢？怎么判定一个角是六十度的等腰，所以我还得找六十度，那么这六十度在哪里呢？不要忘了，它是旋转到这样的一个形式，那么说明你这两个是不是就是一个平行的呀？ 对不对啊？好，那么你这两个角呢？就是这个是一个平行的，所以我们就可以去得出它们之间的角的关系， 对吧？这个角，那这个角是等于一个多少度呢？其实你是因为平行，那你这是不是也是一个九十， 对吧？这个角是九十，这个角是三十度，转过来这个角也是三十度，因为是九十，所以这个角也是三十度啊，那因此整个的我要求到这个角的话呢，就应该是一个六十度，所以在三角形 c、 h 中 有一个角是六十度的等腰三角形，他就是等边三角形。嗯，具体的过程的话呢，没有给大家写，大家可以自己把过程写一写啊。我们呢主要来看一下第三问。 好，第三问里面他又干嘛了呢？不是旋转了，是平移，所以一道题包含了平移和旋转。好，接下来他说了这个将这个三角形 三角形啊 f、 d、 e 沿图一位置沿着射线 b、 c 方向进行平移。我们不要去看图三，因为图三它是平移过后的，你要去看的是谁呢？你应该去看的是图一， 它是沿着这条线，因为这个图三是平移后的，所以可能会对你的做题会有一定的影响。那我们要看它原始的图，它怎么办呢？它是不是就将着这个三角形，然后沿着这个 b、 c 往上面进行平移啊？它是这个意思，然后在平移的过程中呢，平移嘛， 对吧？平移的话，什么对应的线段平行且相等，所以你的 e、 f 呢？始终和 ab 是 保持平行的，然后当三角形 b、 d、 f 是 一个直角三角形的时候，那让我们去求出它平移的距离。我们来看一下 b、 d、 f 啊，它是这样子的啊，就是你的这个 b、 d、 f 啊，这个，这是一个直角三角形的时候，那可能 b 着是直角 f， 这能不能是直角？ 你可以画一下，他肯定是画不出来的，对不对？哦，是这样的啊，好，然后我们以此呢就是要来进行分类讨论啊，我们一个一个来看一下， 其实这种的话呢，我们可以先去沿着这个射线先给他去画一下。 ok， 然后我们来看啊，画一个三角形。 好，那我现在呢就是让它在这个上面给它进行平移 来看啊，它又是这样子的，哎，你就是沿着这样给它进行平移看，没看到就大概是这个意思。 好，那在你平移的过程中，你是不是可能是 b 这块是一个直角顶点，对吧？然后也可能呢是这个 d， 这， 哎，这边是一个直角顶点，所以你就可以根据这个，然后简单的去给他去画一下就行了啊。其实他给出的这个图呢，有点是想告诉你， b 着是一个直角顶点的时候，这个图就省得你自己去画了啊，然后如果你要是觉得他不是很标准，你也可以自己去画一下啊，都行啊。 ok， 好， 我们来换一下。好，这块这个原始的给它标个撇啊，这是我新的 f、 e、 d 是 这样子的。好了，那现在我们的第一种情况，第一种情况， 第一种情况就是这个角 f、 b、 d 呢，它是等于一个九十度， 对吧？这个角 fbd 呢，是一个九十度。好，那这个 fbd 是 等于九十度。让我们求什么？求的是它平移的距离。好，那么现在有一个问题，平移的距离是什么？ 对应点的连线都是我平移的距离，对不对？比如说我对应点是谁啊？ f f 撇儿对应点的连线平移的距离。 e、 e 撇儿平移的距离， d d 撇儿平移的距离，那这个里面谁好求呀？ 其实是 d d 撇好求，对不对？好。那么这个里边我的 d、 d 撇儿怎么去求呢？不要忘了原始的哦，这是四十五度哦，所以这个角它也是等于一个四十五度， 对不对啊？这个角的话呢，它也是等于一个四十五度，好，那么它也是等于一个四十五度了。之后呢？我们的这个角啊，这个是原来的，对不对？它也是等于一个四十五，它等于四十五。那我要是连接一下 dd 撇， 嗯，连接一下 dd 撇，连接一下 dd 撇的话呢？那咱们能够得出来什么结论呢？ 能够得出来什么结论呢？我们来看一下它这个里边我们所知道的，你要是把它这个 d d 撇啊，给它连接了，我们现在就是要去求，那我们在这个里面知道的是谁？ 知道的是 b、 d 撇，对吧？我们在谁呀？在第二问里面的时候，哦，第一问的时候求出来的，它不是三倍根号三再减三吗？ 对不对？嗯，好。然后我们又知道什么？知道这个角是四十五度哦，那么如果这个角它是一个九十度，是不就可以了？那我想，那这个角为什么是一个九十呢？ 还是一样的。其实这个题主要就是让你去想回顾平行的性质，平行有什么性质？对应点连线，平行且相等 你，对吧？哎，来看啊，对应点连线，我们不仅仅是相等等于平行的平移的距离，而且对应点的连线还得是平行的，这些都是平行的性质啊，所以简单的大家回顾一下啊，也就是说 f f 撇， 它平行且等于一个 d d 撇，平行且等于一个 e e 撇。当然你考试的时候不能这么去写啊，等于多少啊？等于一个平移的距离啊，只是简单给大家进行表示一下。 好了啊，那我就知道了，你不是平行且相等吗？所以你的这条和这条直线，他就得是平行的，平行了之后才会有这个角是九十度。所以这个题里面，大家如果要是平行平移的这个性质没有掌握清楚，可能就有点做不出来了啊。 ok， 好 了，那剩下的就好求了，对吧？那这个 d d 撇怎么去求呀？可以去算一下，其实我们知道它是一个等腰直角三角形，等腰直角三角形三边比一比一，比上一个根号二，所以我们的这个里边 d d 撇呢，它就应该是等于二分之根号二倍的 d d 撇啊，也就是等于一个二分之根号二，再乘以一个三倍根号三减三，那也就是等于二分之三倍根号六减三倍根号二。 当然了，你说老师我不知道，我也不太会算，怎么办？你也可以设未知数啊，我设这是 x， 这是 x 勾股定律， x 方加 x 方等于三倍根号三减三个平方，依旧是能做的。 ok， 好， 这是第一种啊， 好，那第二种，第一种做出来了之后呢？第二种呢？就稍微会简单那么一点啦。接下来的话，是不就 d 折是九十，对吧？ d 折是九十， d 折是九十。 ok， 对，这个是九十，这是 d 啊，这还是撇 f e， 好， 那这是 d， 这是九十，因为你这是九十，所以说明点 e， 点 d， 点 d， 它们必须得是三点共线的才可以。 好，然后接下来还是一样的，求谁啊？求滴滴撇。那这个滴滴撇咱们怎么去求呀？这个边是九十了之后呢？怎么办？不知道了，不知道的情况下标记角度，我们要去找角了啊，我们怎么去找角呢？我们现在知道这个角是四十五度， 对不对？哎，这个角是四十五度了之后呢？那么还有什么呀？哎，我们还能够知道的是这个角是一个四十五度，对不对啊？或者是说我们知道的是谁呀？知道的是原来的这个角是四十五度，对吧？那你平移的话，这个角是不还是四十五度呀？ 就是在第一副那个第一那个问的那个图一里面去分析的啊。然后这个角呢？不是三十吗？那你这个角还是十五，对不对？这是九十啊，所以这个角多少七十五度？那七十五度的话，他的零补角呢？这边是一个六十。 嗯，好，那这边就是一个六十，这边是一个。呃，六十的话呢？那咱们还有哪些的这个角可以给他去标记一下呀？ 嗯，是不是还应该再去找一下？这个角是一个六十了之后还得再去找，怎么了？平行哦，不要忘喽，这个角也是七十五哦。那这边怎么办？看到六十度一定要想到去做垂直。 嗯，看到六十度一定是要想到去向下去做垂线的，比如说 d h 啊，角 f d d 等于一个九十度。好，那么向下去做垂线，然后这边会有什么呢？这边就是一个三六九直角三角形啊，三十度，六十度，九十度哦，你这一七十五减三十，是不是四十五？这个角也是四十五，所以我们做完之后，左边一个三六九，右边一个等腰直。 好，那接下来怎么办呢？我们知道的是 b d 撇儿的长，然后就去设未知数就好了。 ok， 好， 那我们可以设一下啊，我们就设设，嗯，我就可以设三十度，所以只要边斜边一半，我设 b h 是 x， 那 么 我们的 d h 呢，就是一个根号三 x， 对 吧？等腰直角三角形， d 撇 h 呢，也是根号三 x 啊，所以一算就行了， x 加上根号三 x 等于三倍根号三，再减三算出来 x 呢，等于六，减去三倍根号三。 我们要求的是谁呀？我们要求的是 d d 撇，对不对啊？那我们 d d 撇的话呢，就等于多少？ 我们要求 d d 撇，我是不是得先求这是等腰直角三角形，对吧？这是一一比一比根号二，所以咱们是不是得知道这个 d h 或者是这个 d h， 对 吧？哎，所以这个 d h 呢，就是等于一个根号三 x 等于六倍根号三，再去减九啊，所以我们要求的这个 d d 撇呢，就是等于根号二倍的 d h 等于一个六倍根号六，减去九倍根号二。 ok， 好 了，那以上呢，就是这道题的讲解了，主要呢就是让大家去回顾平移和旋转的性质啊，这种题关注我，每周搞定一道压轴题，让数学成为你的优势学科。

不管是初中还是高中，我们都会经常接触到模型，比如说初中的 a 字形、八字形、手拉手模型、一线三等角模型等等。那高中的平底锅模型、 z 字形等等。 那什么是模型呢？模型就是说它结构固定，长相固定，那考试呢？又反复考，以它为基础去考见标准模板一样的，那我们学它的目的是为了什么呢？省去从头推理的时间，不用每次都从头正一遍。它的角和边的关系， 我们能够从图中快速识别出图形，尤其是复杂图形。我给大家把拳头三角形梳理了六大基本模型，它属于是图形结构模型，包括平移型、对称型、旋转型、手拉手模型、 一线三等角模型、半角模型等等。那后面的呢？辅助线套路模型，我会给大家梳理出来，嗯，比如说背长、中线、截长、补短等等，他们两个是呢，这两部分呢，有点不一样啊，所以我把它分开来整理的。那有很多老师是整理在一起的，统称为几大模型， 但是这个的不重要啊，嗯，只要会用就行。我们来看一下第一个类型啊，平移型。 那看一下下面这个图形，这就是平移形的一些基本的模型了，它不会直接告诉你说 a、 b、 c 全等于三角形 d、 e、 f， 但是图形给你放这里了，你一看它很像，这个 d、 e、 f 是 由 a、 b、 c 平移过来的，那大概率就它们俩就是全等了，包括这个 a、 b、 c 是 不是很像？它平移以后，呃，到了 d、 e、 f 上的，符合这种位置关系的，它就是平移形。 那我们光说啊，光感觉看起来像全等，我们不能直接用的吗？所以说就是我们还得给他正出来， 模型的目的就是让你能够看出来他两个相似，知道大概方向在哪里，但是具体是不是全等，然后你再对应着你的目的，再去找题干中的信息， 能挣出来他俩全等，他就是全等的，如果他信息实在是没有的话，那你也不能说他就是全等的，这给了你一个方向，所以当他图形再复杂一点的时候，因为你学过平移形了，所以大概能知道哦，出题人的目的是干什么哦，就是让你整全等的，能理解吗？ 那这种题一般怎么出题呢？那我来给你例子啊，如图，已知 d、 e、 c、 f 在 一条直线上，那角 b 等于角 d e、 f， 那 这种相同的角度呢？我们用相同的符号，哎，赶紧给它标出来。 ab 等于 d e， 然后这条边等于这条边， b， e 等于 c f， 看一下这里有什么用啊？ b e 等于 c f， 角 f 七十度，哎，该有的信息了， 它为什么呢？问，角 a、 c、 b 的 度数，你看 a、 c、 b， 它的这个位置关系是不是对应的是角 f 啊？那因为我们前面刚学了平移型的一个结构，所以说我们能够快速看出来这个三角形 d、 e、 f， 它好像是全等于三角形 a、 b、 c 的， 因为它来平移过来的。 但是我们这种猜测呢，只能说是啊，有一个大概的方向了，具体它到底是不是全能，我们还得按照题中给你的条件，具体要证出来。看一下题中给你的条件啊，一个角度和一个角度相等，这是一组角，然后呢？ a b 零 d e 一组边，现在缺什么了？一条边一个角还缺什么？要么再来一个角度，这边的角度，但他没给你。要么就是再来一条这个角的邻边和这个角的邻边就是 bc 和 e f， 看一下是不是相等的。 那正好他给了你这个 b 的 c f， 那 我们就给的这个条件，再往你要的这条条件上去靠。那你看 b e 加 ec， 哎，就是他要的 bc。 呃， cf 加 ec 就是 他想要的 e f， 刚刚好他俩相等，加一个公共的边，正正好好得到一个 bc 的 e f。 那 这样的话就可以得到什么边角边 s a s 成了一个全等了。

这类题别只备上加下减，先看谁在变 b 变大图像到底怎么动。先看这条线， y 等于 x 加一，它在外轴上的截距是一，现在把 b 从一变成三。你看整条直线是在平行向上移动，注意 k 还是两，所以它没有变陡，斜率没有变，它是上移还是变陡？ 结论很简单， b 变图像上下平移， k 不 变，斜率就不变。期末这些基础坑我都会做成动画。关注主页合集直接刷。

哈喽，同学们好，今天我们一起来解一道八年级下册期中考试真题，关于三角形平移的题目。先看题目， 如图，现有一把直角和一块三角尺，其中角 a、 b、 c 等于九十度，角 c、 a、 b 等于六十度， ab 等于八 点， a 对 应的刻度为十四。将该三角尺沿着直角边缘平移，使得三角形 a、 b、 c 移动到 a 一 撇， b 一 撇， c 一 撇，点 a 对 应的 直角的刻度为零，则四边形 a、 c、 c 一 撇、 a 一 撇的面积是多少？首先，通过平移的性质我们可以知道，三角形 abc 是 全等于三角形 a 一 撇、 b 一 撇、 c 一 撇的，而且 a、 c 是 平行于 a 一 撇、 c 一 撇的。当然， b、 c 也平行于 b 一 撇， c 一 撇， a、 c 等于 a 一 撇， c 一 撇， a、 c 也平行于 a 一 撇、 c 一 撇。所以四边形 a、 c、 c 一 撇、 a 一 撇，它是一个平行四边形，它的面积就等于底 乘以高。我们可以把 a、 a 一 撇看作底，把 b、 c 看作高。题目上面告诉我们， a、 a 它的刻度是十四， a 一 撇的刻度是零，所以 a、 a 一 撇的长度就等于十四，减零等于十四。而高 b、 c 呢，它是在一个直角三角形当中的角 c、 a、 b 等于六十度，那么角 c 就 等于三十度， 三十度所对应的直角边是斜边的一半，所以 a、 c 就 等于两倍的 a、 b 就 等于八乘以二等于十六，所以 a、 c 就 等于十六。在直角三角形 a、 b、 c 当中， b、 c 就 等于 根号 a、 c 的 平方，减 ab 的 平方就等于根号十六的平方，减八的平方就等于根号二百五十六。减六十四 等于根号一百九十二，那就等于八倍根号三，所以 bc 等于八倍根号三。那么平行四边形 a、 c、 c 一 撇， a 一 撇的面积就等于十四，乘以八倍根号三， 等于一百一十二倍根号三。所以这道题的最终答案是一百一十二倍根号三。这就是这道题的整个解析思路。我们来回顾一下，先通过平移的性质 得到一组对边平行且相等，从而可以得到四边形 a、 c、 c 一 撇， a 一 撇是一个平行四边形。 接着通过刻度我们可以求出底 a、 a 一 撇的长度为十四，再通过直角三角形求出高 bc 等于八倍根号三，最后通过底乘以高得出面积是一百一十二倍根号三。 这道题我们就讲到这里，如果觉得这个视频对您有帮助，别忘了点赞、收藏，关注小朱老师，后续我会分享更多的初中解题技巧，帮您轻松搞定数学难题，我们下个视频再见！

图中几何碰到几条线段，分散在图形里，求证不等关系，你是不是总没有思路？线段太散，就用平移搬家，只要线段 一平移，不改变它的长度，我们就可以把几条零散的线段给构造到一个三角形里。根据两边之和大于第三边，所有的问题都迎刃而解，我们来看一题，带你实战拆解！ 已知 a、 b 等于 c， d， a、 o、 c 等于六十度啊！求证！ a、 c 加 b， d 大 于等于 a， b， a、 c 和 b、 d 可以 通过平移把它凑在一起，总平移，我们既可以平移 a、 c， 也可以平移 b、 d。 通过平移 a、 c 和 b、 e 是 相等的，而且是平行的，那么 a、 c、 e、 b 就是 平行四边形，同理， a、 b 呢，跟 c、 e 也是相等的，通过这里是六十度内错角这里也是六十度。 再连接一下 d、 e， 发现 c、 e、 d 是 一个等边三角形，为什么？因为它和它相等，而它和它相等，所以它俩相等。六十度的等腰三角形是等边三角形，所以我们把 a、 b 成功的转移到 e、 d 上来了， 那 a、 c 加上 b、 d 大 于 ab， 那 a、 c 已经上这里来了， b、 d 还在这里，然后 ab 呢？上这里来了。所以是不是就可以证出来两边之合大于第三边，然后相等的情况下是什么呢？就是当 d、 b、 e 共线的情况下，直接等于 d、 e。 听懂了吗？ 这是中考必考的经典几何模型，学会这一种平移构造思路，同类题型啊，秒杀，记得关注再走哦！

八下数学一共就有两大亚洲难点，一个是平行四边形，另外一个大难点就是一次函数了，而且函数这块一定会在我们中考最后一道亚洲大题当中出现，二次，一次和几何结合在一起就有点难度了。 今天这个视频呢，老师带领大家把一次函数指向性质的基础复习清楚，把平移、旋转相应的性质搞透。 那有关于一次函数，这里啊，老师也给大家总结了每年必考的易错真题三十题。如果咱们孩子现在做一次函数的时候，这些图像性质的题目还经常出错，家长们一定要打印出来，帮助孩子逐个题型的落实和掌握。 下面呢，咱们就来一起看一下这道题啊。说一次函数 y n k x 加 b 的 图像向左平移两个单位长度，再向上平移三个单位长度 所得的图像对应的解析式仍然是 y 的 k s 加 b， 让你求 k 的 值。那这种题目咱们解析其实就是两句口诀儿，叫做上加下减哎，左加右减 哎，上加下减，其实针对谁？针对的是那个长竖向 b， 左加右减针对的是谁？是那个自变量 s。 所以 你在左加右减的时候，必须把 x 关上进 b 去加减哎，比如说加减 m 的 单位长度，平移 m 的 单位长度，看见了吗？下面呢，咱们就按照这个准则去来平移一下这个图像。原来呢，是 y 等于 k， x 再加 b 向左平移两个单位长度，看 哎，把 x 关上，关起，进 b， 左加右减，加上多少？两个单位长度对不对？向上平三个单位长度是不是在 b 的 基础上往上啊，加上三个单位长度，这就是我们对应平移之后的函数解析式了。 把它展开，那不就是 k x 再加二， k 再加 b 加上三个吗？对不对？这是平移之后的新的解析式，它和平移后的这个 y 等于 k， x 加 b， 解析式 仍然是一致的，这是不是平移之后的解析式？所以两个解析式咱们放在一起对应相等就可以了。你看这都是 k、 s， 那 对照相等不就说明这两部分相等吗？这两部分相等，他们就成一条线了吗？解析式不就是一样的吗？ 所以我们就有二 k 加上 b 加上三等于 b， 消灭 b 之后，我们就有二 k 加三等于零， k 的 值直接可以求出来是负的二分之三了。那所以以后遇到这种题，咱们通过两句口诀，上加下减长，竖向左加右减次变量就可以轻松搞定了。

北师版八下最难的章节，最重要的章节就是第三章旋转和拼移。但是我们一般练习册啊，包括教材上啊这种题啊，没有深入的拔高的题型，但是考试却经常出现。 比如童老师手里拿的这份资料，是我们去年幺二六七中南昌四十三等等啊，二十二题那种压轴题，是仅次出现的旋转拼移的拔高题。 咱们小孩啊，想要过百过一百一，那么童老师手里这些典型题，这类题一定要做透，那么咱们的家长对这份资料感兴趣的，咱们留言旋转评疑。

喽，大家好，我放学了，今天呢，给大家讲一个这个必刷题的这个第一题，有这个第一题，这个是一道平移模型的题，如图点 a、 d、 b、 e 在 一条直线上， a、 c 呢？平行于 d、 f， bc 呢？平行于 ef， ac 等于 df， 让我们说明， a、 d 呢等于 b、 e， 这个是题目要给的，要求先写起，发现他给的就是如果想要正全等的话， a、 d 和 b、 e 的 话，他不是对应面，也不是对应角的话， 但是你发现没有， a、 d 加 b， e 等于 b， e 加 b、 e， 也就说咱们可以逆推一下，我们先从这个给的这个线平行这个关系上去看， 因为 a、 c 呢？平行于 df， 对 吧？既然 a、 c 平行于 df， 因为这个等于平行于这个， 所以同为角，就是角 a 呢，它是等于这个角 bdf， 就 这个角，对吧？所以这个角 a 就 等于这个角 ddf， 又因为这个 bc 平行于 ef， 所以 这个就是那个，依旧是跟这个一次类推。 bc 平行于 e、 f 的 话，那就是这个角 a、 b、 c 呢？等，就是等于这个角 e， 角 e， b、 c 就 等于角 e， 我 就因为然后就然后这个条件呢，是直接可以写在正确的东西，所以我们直接可以写在三角形 abc 和三角形 d、 e、 f 中，因为大括号我是发现这个角是全等的，这个这个角也是全等的，这还有条边用的方法就应该是角角边，所以就先写角，再写，先写两个角，再写边，因为角 a 等于角 d、 b、 f， 角 e， bc 呢，等于角 e， 然后再写这个边的 a、 c 就 等于 d、 f， 所以呢，这个啥呀，三角形 a、 b、 c 就 全等于三角形 d、 e、 f， 那 方法是什么？ a a s 对 吧？ 然后算出这两个全等之后，要求 a d 等于 b e 吧，以后又因为它们全等，所以就证出来什么，所以 a b 呢？它就等于 e d， 对 吧？因为 a b 呢，就等于 a d 加 b d， 然后 e， d 呢，就等于 e b 加 b d， 所以呢，这个 a d 呢，就等于 b e。 行了，这道题讲完了，屏幕前的粉丝们，你们听懂了吗？我们明天再见哦，拜拜。

都说初二两极分化，分化的原因就在于我们初二阶段学到的模型和辅助线会大大增多，尤其是全等，这里我们光模型辅助线就有十大类，每一类又有成千上万种变形，所以我们很多孩子做题的时候都想不出来辅助线没有思路。 今天这个视频啊，我就把全等三角形这里最重要的一类模型，手拉手模型和结论给大家说清楚。那有关于全等三角形，这里的模型辅助线老师都给大家总结了出来， 每一类模型解析的方法，模型的结论都在这，如果咱们孩子几何思维还有问题，证明过程写不清楚，一定要打印出来，提前带着孩子把几何的模型思维建立起来。 下面咱们来一起看看手拉手模型是什么。首先手拉手模型是有关键要素的，它的关键要素是什么？跟我记笔记，第一个就叫做等腰三角形， 必须两个等腰三角形才能手拉手。而且这个等腰三角形咱们还有一个规矩，什么规矩叫做顶角相等，哎，你的角是阿尔法，我的角也得是阿尔法，你不能，我是三十度，你的顶角是四十五度，不行， 顶角相等，等腰三角形。接下来我们说他们想要形成手拉手模型，必须要头顶头，什么意思？哎，他们有一个共顶点等线段。拿这个图举例，这是那个公共的顶点，伸出两只大手，伸出两只小手， 两个三角形对应的角都是阿尔法，那两个顶角相等的等腰三角形，头顶头，我们就可以手拉手了。看，一条大手加一条小手，哎，连起来，那这个三角形就和这个三角形是什么样的？ 对了，就是全等的了，发现了吗？所以有两个三角形全等，那对应边角相等的关系，咱们就可以进步推导出来了，这个小叉等于这个小叉，这个小圈等于这个小圈。同样边，这里 牵手线这条线 a、 c 和这里的 b、 d 是 相等的，再往下拓展两条牵手线的假角，咱们也可以求出来来，我们把它放在这样的八字模型当中，你会发现这两个角都是小叉， 而八字模型这两个角的和等于这两个角的和，所以这是阿尔法呢，这也是阿尔法。所以手拉手模型的结论，除了有两三角形全等带来的边角关系相等，我们还有一个结论叫做牵手线的夹角等于什么？等腰三角形的顶角， 那你看在第二个图当中也是一样啊，在这里两个等腰，直手拉手，看共顶点，等线段，伸出两只大手，伸出两只小手，大手牵小手，哎，这个牵手线一连，那我们是不是就得到了？哎，这两个三角形全等 对应边相等，对应角相等，对不对？那我们对应这两条牵手线的夹角也可以求出来呀， 牵手线的夹角在这呢，这个角正常等于等腰三角形，顶角的度数应该等于多少？九十度，对不对？那我们在这验证一下，还是一样把它放在八字形当中， 这是小叉，这是小叉，这是九十度，所以这也肯定是九十度了，所以所有的结论都能称出来。那以后无论手拉手模型怎么变形，变成什么样的等腰，只要你抓住这几个关键，掌握我们所说的二次结论，我们就都可以迎刃而解。下个视频我们在题中练。

欢迎来到别拦我，我要变学霸的第四章第二节全等三角形这节课的内容是天线下侧的重点和难点，一定要认真听。 我们先来看第一个知识点，什么是全等三角形？以及它的表示方法是什么？如图所示， 三角形 abc 和三角形 e、 f 经过平移以后，我们发现这两个三角形是可以完全重叠在一块的。完全重叠在一块意味着什么？意味着这两个三角形是完全一样的，像这样的三角形，我们就把它叫做全等三角形。那全等三角形有什么特点呢？ 那对应边和对应角是相等的时候，有同学会问，什么是对应边？什么是对应角？ 你要在三角形 a、 b、 c 中是不是有一个边是 b、 c、 d、 e、 f 中有一个边是 e、 f， 我 们把它重叠之后，我们发现 b、 e 和 b、 c 和 e、 f 是 重叠在一块的，你像这种能完全重合在一块的这个边，我们就把它叫做对应边。 能完全重合在一块的角，我们就把它叫做对应角。你看这个 b 和 e 就是 一组对应角，那我们怎么来表示两个三角形全等呢？在我们以前所学的知识中，如果我们来表示两个直线平行，我们是不是用这个符号就是两个斜着的竖杠来表示平行啊？ 全等也是一样，我们有专属的符号来表示全等是这一个符号，这个符号怎么写的呢？是一个平躺的 s， 还有一个等号，这个符号就意意思就是全等。 在我们写两个三角形全等的时候，有一个注意的点就是你这个对应角的位置，就是说我们表示这个对应角的这个字母啊， 要一一对应，就它的顺序要一一对应。你像你把 a 放在三角形 a、 b、 c、 c 当中的第一位，你就要把 d， 因为这个角 d 是 角 a 的 对应角，你就要把 d 放在第二个三角形当中的第一位， 后面的这个位置要一一对应。你看我们看到写一下哈，我们写三角形 cba， 它要全等于谁呢？你还能写它全等于三角形 d、 e、 f 吗？肯定是不可以的。你像这个 c， 它的对应角是谁？是不是这个 f， 我 们第一个就要写 f， 角 b 对 应的是角 e， 我 们就要把 e 放在第二位，角 a 对 应的是 d， 我 们就要把 d 放在第三位，就是说他们的这个顺序，书写的顺序你要一一对应，这是我们的表示方法。下面我们再来看第二个知识点，三角形全等的条件。 三角形全等的条件是什么意思呢？就是告诉我们什么样的条件，我们就可以说这两个三角形是全等的。 我们先来思考第一个问题，如果只给我们一个条件，一个条件的意思是什么呢？就告诉我们有两个三角形，他们的他们有一条边，或者是有一条有一个角是相等的。问这两个三角形一定全等吗？ 我们来画一画哈。先看第一个情况，如果只有一条边的话，你看这个三角形， 这三角形是我画的，如果让你去画的话，你是不是有可能会画出来这样的三角形，让别人画的话，他有可能画出来这样的三角形，所以在这种情况下，这个三角形是不全等的。如果只告诉我们一个角呢？你看现在这个是我们 闹的，就说这两个三角形中相等的角，我话说的三角形是这样的，而你话说的三角形有可能是这样的，别人话说的三角形有可能是这样的，所以给一个条件的话，我们并不能说三角形全等，那我们再把难度稍微升级一下，既然一个条件不行，那我给你两个条件行不行？ 两个条件有可能是哪些条件呢？有可能是两个三角形中有两条边是相等的，还有可能是两个角是相等的，有可能是一个角是一个边是相等的。我们先来看第一个条件， 已经知道一个角或是一个边是相等的，我们来画这个三角形。你看这在这个例子当中，我们说有一个角是三十度，有一个边是三厘米， 我画出的三角形是这样的，而你画出的三角形有可能是这样的。你闺蜜或者是你的哥们画出的三角形有可能是这样的，我们三个画出的三角形是完全不一样的，所以这个条件也不行。那我们往后看， 我只告诉我，如果告诉我们两个角呢？我们画出的这个三角形是不是一样的？是我画出来的，而你画出来的有可能是这样的。 是不是我们也保证了我们所画的三角形中有两个角是相等的？我画的角，我画的三角形里面有两个角是三十度和五十度。你画的三角形里面也有两个角是三十度和五十度，但是我们所画的这个三角形并不全等，所以这个条件也不行。那继续往后看， 如果告诉我们两条边呢？错了，我们四和六，我们是不是可以直接连接他们的端点？是不是有的同学说，哎，全等了，那我如果这样换呢？是不是又不全等了？所以这一个条件也是不可以的。 我们再继续往后看，既然一个条件不行，两个条件不行，那我们再把这个难度升级到最终的难度。我们三个条件能不能证明这两个三角形全等？ 这三个条件有可能是哪三个条件？是不是有可能是三个角三个边，两个边一个角，或是两个角一个边？我们先来看第一种可能 三个角的情况，我们所给出的例子是两个三角形，他们的内角都是四十度、六十度和八十度，这两个三角形是一样的吗？ 是不是不一样？通过这个例子，我们就可以显而易见的发现它们是不一样的，所以一定全等。大家看这个条件，三个边有两个三角形，它们的边分别是四、五和七。我们来画一下这个三角形，你可能不会画，没事，我教你， 这个三角形是我画出的，现在假设你会画你画出的三角形，是这样的，然后我经过旋转或者是平移之后，我发现我们的两个三角形是可以重叠在一块的。那 我在这个条件下，就是说，当告诉我们两个三角形的三条边是相等的时候，我就可以说这两个三角形是全等的。 这时候爱问问题的你肯定会问，为什么？你是不是在这里糊弄我呢？我们来看看我们是怎么画的哈，当你知道我们怎么画出来的这个三角形的时候，你又知道了，哦，原来任何一个人，他这个条件下画出的三角形只有一只有一个， 我们来看看。据已知三条线段画三角形的方法，下面给了我们三条线段分别是小 a、 小 b 和小 c。 在 这里我要，嗯，帮着你们回顾一下， 这个小 a、 小 b 和小 c 分 别是哪一个角对应的边，这个大 a 对 应的边，我们是不是就把它记作小 a。 角 b 对 应的边，我们是不是就把它记作角，小 b 角 c 对 应的边，我们就把它记作小 c， 这是我们上节课当中讲的知识，对吧？好，我们下面来开始画哈。我们如果画一个三角形的话， 是不是确定了这三个这个三角形的三个顶点，我们就可以确定这个三角形。我们画出来小 a、 小 b、 小 c 的 长度之后，我们是不是又找到了这个三角形的两个端点？ 我们以小 a 为例，我们画了一个三段，长度是小 a， 小 a 是 谁对应的角，是不是这个点？ a 对 应的角，那么我们这两个端点就是 b 和 c， 那我们就确定了三角形的两个顶点。下面我们的问题成了，我们怎么样确定这个顶点 a？ 我 们知道做三角形剩下的两个边分别是小 c 和小 b， 我 以 b 为圆点，以小 c 为半径画一个弧，为什么要以小 c 而不是以小 b 啊？因为小 c 是 角 a 对 应的边，所以我们要以小 c 为小 c 去画。 在这个圆弧上，任何一个点到 b 的 距离是不是都是相等的，它都是小 c？ 同理，我们以点 c 为圆心，以小 b 为半径画一个弧，这个弧上任何一个点到小 c 的 距离都是小 b。 忽略我画的这个直线不直哈，这样我们发现这两个圆弧交于一点，这一个点就是我们要找的三角形剩下的那一个顶点 a。 为什么？因为这一个点既保证了到 b 的 距离是小 c， 也保证了到 c 点的距离是小 b， 这是符合我们给出的条件的。如果你不是这一个点，你是别的点的话，你就保证不了这两个线段是小 c 和小 b 了，就是它的长度是小 c 和小 b 了。你看我们用这种方法去画， 是不是任何人画出的三角形都是一样的？所以我们就说在这种条件下，这个三角形，这两个三角形是全等的， 那么我们就得到了证明三角形全等的一种方法是三条边相等，我们把它简称为边边。 我们用字母来表示的话是什么呢？就是 s， s， s， 他 说爱问问题呢，你又问了，为什么是 s， s， s， 而不是 b？ b， b 也不是 c， c， c 也不是 h， h， h。 因为 这个 s 是 这个编的英文单词的第一个字母，你可以去搜一搜编的英文单词怎么去写，它的第一个字母肯定是 s， 所以 我们把它记为 s， s， s。 那 么我们的几何语言是怎么写的呢？ 我觉你你可能会问，为什么要学这个几何语言？你学的这个几何语言是后面你在做证明题中必不可少的一个步骤，那你通过一系列的证明之后，你再去总结的时候，你要这样去写，就是说第一个，第一句话，你要陈述在三角形在哪两个三角形当中， 就是说你要证明的这两个三角形，这你要证明的两个全等的三角形，你要你要证明这个三角形 abc 和三角形 a 撇、 b 撇、 c 撇全等，那你就要写在三角形 abc 和三角形 a 撇、 b 撇中， 然后开始陈述三条边相等。你有没有发现我们在三角形 abc 就是 在这个等式的左侧，我们的元素都是三角形 abc 里面的，在等号的右侧都是三角形 a 撇、 b 撇、 c 撇中的，你这样看过去是不是一目了然？ 这是我们书写数学的逻辑，然后写，所以两个三角形全等，注意要掉了这一个东西，就说你用的是哪一个定律来证明的？ 就是我所出现的这个黄框呢？就是我刚才跟你们说的，你要把这一个你证明的过程当中，同一个三角形当中的元素写在这个等式的同一侧， 你还要会什么？还要会用尺规去做这一个，去怎么去做这个三角形，你要明白。好，这个地方我们又讲完了，下面我们来看一个两个角和一个边的证明。 如果告诉了我们两两个三角形当中有两个边和留有两个角和一个边是相等的，那有几种情况？是不是有两种情况，一种是两个角和它的夹边，二种情况是两个角和一个角的对边。 你这时候你可能听不懂什么是两个角和它的夹边，我在这里给你画一下，你就明白了，这是一个三角形，就是说这一个这里有两个角，这两个角所夹的边 在这两个三角形当中是相等的，就叫两角及其夹边。我们先来证明这一种情况，我们来看看我们画出的三角形是不是唯一的， 现在告诉我们有两个三角形，它有有一个角是六十度，有一个角是八十度，这两个角所夹的边是两厘米。我们来画一下这个三角形，我们第一步是不是要先画出来六十度或者是八十度的角， 然后再在这个角的其中一个边上，我们截取一个线段是两厘米，那我们是不是又得到了这个三角形的两个顶点， 我们再通过这个顶点再从这一个顶点做一个八十度的角，是不是他是不是又出现了这个样子？变了这个样子之后，你有没有发现他们的焦点就在这里， 这个地方就是他们的焦点，这样我们是不是就得到了三角形的另一个端点，我们画出的这个三角形是不是唯一的？是唯一的？哈，这样我们就到了证明三角形全等的第二个定力 边角。这怎么写呢？我们把它记为 a、 s、 a 和 a， 我 想你们已经猜到了它就是角的英文单词的第一个字母，角的英文单词是 angle， 就是 这一个字母。看一下几何语言，同样呢，你要陈述你要在哪哪两个三角形当中 有这样的条件，你有没有发现这时候他们的这个顺序也是按照 a、 s、 a 来写的，你想第一个我先写对应的角是相等的，第二个我再写边，第三个我再写角，这样是不是就符合 a、 s、 a， 然后最后你得出来结论，不要把这一个你要用的定力忘掉。 往后看我们再来看第二种情况，如果告诉我们两个角和其中一个角的对边相等，这个三，这两个三角形全等吗？ 什么是两个角和其中一个角的对边呢？就是说这两个三角形当中，这两个角是相等的， 我们把它记作角一角、二角一角二角一的对边，我们把这把这个就是这个，这个边就是角一的对面，对不对？我们把它记作小 a 吧，那这边也是小 a， 那 在这种条件下，我问你这两个三角形是不是全等的？ 我可以告诉你们结论是全能的，为什么？这个其实就是我们讲的上一个就是两角和他的一个夹边的一个逆，一个推理吧。 三角形的内角和是多少度？是不是一百八十度？那我这一个角是多少度？是不是一百八十度？减去角一，再减去角二， 那么我这两个三角形的这一个角是不是相等的？既然这个角相等了，那么我是不是就转变成了两角和它的加边的这一个定律了？就是 a s a 这个定律， 是吧？所以我们这样在这种条件下，我们画出的三角形也是唯一的，这两个三角形就是全等的，我们怎么样去写呢？这是我们证明三角形全等的第三个方法，叫做角边角。嗯，聪明的你肯定会写了 s a 嘛？ a a s 嘛，是吧？ a a s 是 什么意思啊？就是这一个角，这里一个角，然后这里一个边，我们就写 a a s， 证明的时候也是一样的， 看是不是他的顺序又变了，先写的是这是一个角，这里又是一个角，然后这个地方是我的边，最后也是要陈述出来这个这个东西。好，这样我们讨论了三种情况了，我们再来看最后一种情况。 最后一种情况是什么？是他的两边和其中一个角，有几种可能， 一种情况是不是两个边和它的夹角，就像我们两个角和它夹边一样，是什么意思呢？你看这一个边 b， 这一个边 c， 它的夹角就是这个角 a。 另一种情况是两边和其中一个边的对角，要么是这一个角，要么是这一个角。 好，我们先来证明。第一种情况，两边夹角，看看是不是全等的。除了我们的条件是二点五、三点五，还有他们的夹角是四十度，我们这个怎么画？我们是不是可以先把这个四十度的角画出来？ 画出来之后，我们再在这个角的两边上截取二点五、三点五的这个线段长度。我们这样是不是又得到了三角形的另外的两个顶点是不是唯一的？所以你画出来的三角形也是唯一的， 在这种情况下，三角形是全等的。那我们怎么表述它呢？三角边怎么表述？是不是就是 s a s 空写的几何语言也是一样的，和我们上边是一样，那你这个地方也还是一样，就是说这它的这个顺序 s a s 后得出结论。 再看第二种，两个边和它的对角，这个地方写错了哈，这是两边及其中一边的对角， 这个角我们已经知道了，其中的一个边我们已经知道了，我们直接去画另一条边， 我们所画的这一条边这个角币就是我们所画的这一条边的对角。我们怎么样可以把这个边画出来？你想一想，我们当时做就是边知道三条边的时候，我们怎么画的这个三角形，我们是不是用圆弧来画的？同样的，以 a 为圆心，以 l 为半径画弧， 你会发现它和 a、 d 有 两个交点。比如说我这个 c 是 可以满足提议的， c 撇也是可以满足提议的，所以我们画出来的三角形不唯一，这种情况下我们并不能证明三角形全等。 好了，那我们就把三角形证明三角形全等的定律全部讲完了。有几种？是不是总共有四种？一种 学的是三条边相等，就是 s， s， s， 二种学的是 a， s， a 就是 两角和它的夹边，二种是两角和其中一个角的对边， a， a， s 四个呢是学的是两边和它的夹角， s， a， s。 然后三角形有什么特，有什么性质，它的对应边是相等的，对应角是相等的。这里 你要会写他们的这个几何语言，以及怎么去画这些东西，包括我们后边证明过程当中我们经常用的定律是什么？其实这个 sss 并不常用，我们经常用的是剩下的这三个。 我现在讲的这节课是基于我们的基础知识去讲的，你听懂了还远远不够，你要去自己去练习一些题目才可以。

成都初二的家长，如果孩子成绩在一百一十五左右，那么一定让他来看一下这道二零幺五期中育才的半期真题，让他试一下，看一下能不能做对。好，我们一起来看一下题。如图，将直角三角形 abc 沿着 a、 c 方向平移到三角形大 e、 f， 那 么关键信息就是这个平移，一会我们来分析应该想到什么， 然后再看后续的信息，若 c 大 的长度等于六，不要看 af 的 长度等于十四，让我们去求这个什么 b、 e 的 长度好，那做几何题呢？关键是对于知识点，几何的基础知识点要熟悉。其次就是在图中看到关键词的时候应该去联想到什么。 好，那我们来看第一个平移，平移第一个需要想到就是平移前后图形是全等的，所以平移要想到前后的三角形是全等，而全等我们自然而然的又会回到边和角，所以全等要应该联想到什么边和 角是相等的，那我们来看一下这个，它是 a、 b、 c 和大于 f 是 全等，所以它就有三组边相等，三组角相等，那我们到底用什么信息？先把题目条件处理一下， 通过全等我们也可以用 a、 c 和大 f 是 对应相等的，是不是？所以这个全等我们先由全等可以得到 a、 c 等于 大 f， 那 么 a、 c 和大中间假有一段公共部分 c 大， 那么减掉中间部分，是不是得到 a 大 和 c f， a 大 和 c f 是 相等的？好，他们俩相等整段四十四，减去六，剩下两段之后就是八又相等，所以每一段就等于什么等于四，我们都等于什么都等于四。 好，那现在要去求这个什么？求这个 b、 e， 那 怎么求？这里就要用到一个什么，用到一个平行四边形的性质和判定。好，我们来看一下平行四边形 怎么去证呢？我们先目标证出它是一个平行四边形，因为全等，所以 ab 和大 e 是 相等的，对应边相等，所以 ab 等于大 e， 然后又有全等，这两组对应角是相等的， 所以可得到 ab 平行于大。于，那由平行且相等一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，就能证出这个图形是平行四边形 的性质，我们就可以得到什么可以得到 b e 就 等于它的对应边 a 大， 就等于什么四，所以这题呢，就是四，所以这题出题人想考察的点一个就是平行四边形的性质以及平行四边形的定义、性质和判定。

先学会一个最值问题，今天我们学逆等线模型，那今天学的逆等线模型呢？它就是求一个线段的最小，像这种求一个线段的最小，那我我们用的方法就是利用平移，然后用平行四边形的性质进行转换。我们来看这个题 啊，这个题呢给的是 am 和 c n 相等，那这明显就是一个逆等线的模型，那么我们要做的话就是利用平移，我们把一个线段平移上去， n c 平等的平移上去， 连起来一点，那这样子 m e c n 就是 一个平行四边形，平行四边形那对边就一定是相等的，那求 m n 最小，也就是求 c e 最小，那 c e 里面 c 是 一个定点 啊， e 是 动点，那我们就看 e 在 哪里。那这里就要利用一下，先有了一些性质，因为它是等边三角形，六十度，边长为一，那么这里我们就知道是一百二十度， 连起来我们会发现这个是三十度，那么这个一点的位置不确定，它是一个动点啊，但是我们现在能够确定的是六十加三十，这是一个九十度啊。比如说 a 一 这条线段的线段的，这条线的角度是固定的，角度是固定的话，那我们 a 一 就在一点在哪里呢？那么一点就一定是在这条直线上动 啊，因为这个角度是已经固定了的，六十加三十这个角度固定了啊。那么既然一在这个直线上动，那 c 一 要最小，那最小就只有垂直的时候最小， 所以这个是当 a 一 垂直 a p 的 这条直线的时候， c 一 最小，计算一下边长是一，所以这个就是二分之一， 那么在逆等线模型里面，只要是求一个线段的最小，我们都是用平移的方法掌握这个套路，就可以做所有的这个题了。好，点赞收藏，考试前多看几遍。