八年级下册一次函数图形题八道及答案

大家好，我是讲数学的小胡老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第一百一十二页复习题二十二的第八题。 嗯，第八题说四边形有两条对角线，五边形、六边形分别有几条对角线， n 边形的多边形，对角线的条数 y 是 边数 n 的 函数吗？ 如果是，写出函数解析，并画出函数图像。嗯，首先呢，咱们来说一下这个对角线， 嗯，他说正方啊，他说四边形啊，有两条对角线，那我们看，首先呢，我们在那个前面第三 单元，我们讲四边形的时候，我们学了从一个顶点啊，能够引出的对角线条数一共是 n 减三条 啊，你看，四边形从一个顶点能引出一条对角线，是吧？这相邻的是不没有对角线，所以呢，你的这个对角线一啊，与你的边数四相差三，所以呢，从一个顶点能引出 一条对角线啊，那 n 边形呢，就能引出 n 点，三条对角线，那我一共有四个顶点， 所以呢，你得乘以个四， n 边形数就有 n 个顶点，然后这里面呢，你看啊，如果我是四边形的话，那么这两个顶点能引出各一条，可是这两个顶点的条数是跟你的前两个对角线的条数是重合的， 所以说呢，你这个一个顶点引出的对角线，然后乘以你的边数 n， 之后还有一半是重复的，你看 一个顶点引出一条，我俩顶点就把这两条都画了，那我另外两个顶点引出的是不是就多余的？是不是正好是你实际啊，对角线条数的二倍啊？ 啊，这个话能听懂吧？你看这个顶点能引出一条，这个顶点能引出一条，这俩顶点就是两条了，到这的时候不是重复了吗？所以一共有四条，但是呢， 就是从顶点数上来说，一共应该有四条，但实际上一共就几条，就两条，所以要除以二。这个呢，就是你的这个多边形 啊，对角线条数的公式，那我们再看五边形，他不要求回答五边形吗？那五边形就往这公式里套呗， n 等于五，是不是？那咱也可以啊，啊， 来画一画啊，从五边形的一个顶点能够引出两条对角线，这个顶点能引出两条，那同样五个顶点是每个顶点都应该引出两条，你看这一条，这两条， 对吗？然后这一条，这两条，然后这一条，这两条，那你五个顶点是不是应该是十条， 对吧？但是呢，你实际数一数来，一二三四五，是不？一共才五条，所以呢，有一半是重复的，那也就是五乘以个五减几啊，三除以二啊，所以等于十，那个五条 啊，这是啊，五边形，那六边形呢？你往这公式里套就行了，六乘一个，六减三，除以二，等于，这个是三三六一十八，一共是九条啊，那我们来回答一下第一个问题，五边形 有五条对角线， 然后六边形有九条对角线， 那 n 边形就有 n 乘 n 减三除以二条对角线， 那么对角线的条数 y 与 n 的 函数关系就是 y 等于二分之， n 方减三 n 啊， n 方减三 n， 那 么问你多边形对角线条数 y 是 边数 n 的 函数吗？首先答是，然后函数减一次，是这个让我们画出图像，我们就在这个书上画一个吧，急急叉叉的啊， 这是 y o n， 然后呢，嗯，首先呢，我们考虑啊三边形，考虑一下自变量的曲值范围啊，三角形呢，它是没有对角线的啊，三角形是没有对角线的，所以呢，我们第一个就是起点的位置就应该是三。 然后呢，当你的，当你是四边形的时候，四五六，当你是四边形的时候，是不是就两条五边形的时候，五条六边形的时候有九条 来，这是，嗯，二四得八三，四十二，四四一，十六，十五，二十十六，二十四，十七，二十八，您是二四六，八十。 三角形的时候他是没有对角线的，四边形的时候一共有两条对角线搁这，然后五边形的时候应该有五条对角线 搁这六边形的时候一共有九条对角线 啊，然后给他连线，哎，这就是 y 等于二分之 n 方减三 n 的 图像。

要想写题会方法要选对，欢迎收看宋老师的方法课。来看这道题，已知一次，函数 y 等于二， m 加三， x 加 m 减一。 第一问，若该函数的值 y 随自变量 x 的 增大而减小，求 m 的 取值范围。好，这道题我们来解一下。 那它的一般形式是， y 等于 k， x 加 b。 如果如题中所说， y 随 x 增大而减小，则让 k 小于零，即这道题里面的 k 就是 二 m 加三，让二， m 加三小于零，求得 m 小 于负二分之三。 由于这道题跟 b 没有关系，所以 m 减一我们不需要问，所以这道题最终结果是 m 小 于负二分之三。 第二问，若该函数图像不经过第二象限，求 m 的 取值范围。好，我们先画个图， 第二象限在这个部分，如果这个函数不经过第二象限，我们的画法看一下。 也就是说，我们画的所有的图像，这个 k 应该是大于零的，即这道题里面的二 m 加三大于零， 那求得 m 大 于负二分之三。好，这是我们关于 k 的 求解。那想想，如果 b 这一点，或者说 y 等于 k， x 加 b， 我 们都知道它与 y 轴的交点是零。 b 如果 b 大 于零的话，它就会经过外轴的正半轴，而一旦经过外轴的正半轴，这个图像一定就会经过第二象限。你看一下，所以说我们让 b 干嘛 小于等于零，那在这道题里面， m 减一就是 b， 所以 让 m 减一，小于等于零，我们求得 m 小 于等于一。好， 那综合来看， m 最终的取值范围就是小于等于一大于负二分之三，那这道题我们就求出来了。

八年级下册数学专项训练一次函数全书五十二页，聚焦八年级下册函数与一次函数核心重难点，梳理了十七个高频知识点、二十个必会提分点搭配五个强化专项练， 从函数基础、一次函数定义、性质、不等式与一次函数的关联，到实际问题与一次函数层层拆解考点配套，针对性常考题型搭配，精细讲解， 专项练习与综合练习梯度分明。课后附参考答案与解析，帮学生夯实基础，突破薄弱点，高效掌握一次函数知识。

依次函数的应用题是我们八下期末常考的题型，而且像这个数形结合的应用题是我们依次函数的应用题中最有难度的题型。他要求我们对这个运动的状态和图形要能够一一匹配，而且又要求我们从这个复杂的图形里面去探讨多种的情况， 所以今天的话，我们通过一个视频把它完全搞清楚。现在读一下题目，他说这里有两个人约好去爬山，那么甲和乙呢？他们攀爬的高度就是距离地面的高度和他们攀爬的时间的图像是这样子的，那一看这个图像就非常的复杂啊， 那么现在初步的分析一下，这个甲和乙他分别是怎么爬的啊？可以看到这一条已经标出来了，他是甲的一个呃，图像，甲的图像呢？他一开始这里从一百开始的，说明了什么？他一开始爬的时候就已经距离地面是一百米了， 他整个过程当中都是一条直线，说明他的速度啊，都是保持一致的。然后呢，我们可以看啊， 以呢就分成两段了，一开始 o a 这一段他是从零开始爬的，就说距离地面从最底下开始爬的啊，爬到这个地方他的速度啊，你看这个图像啊，变抖了，说明他的速度变快了。 哎，这是第二段，他有两段的一个过程啊，而且这两条 ab 这段和 cd 这段有交点，说明此时啊，他们在统一高度上啊，同样的一个高度上。 好，这是大概的我们图形的一个解答啊，接下来我们看一下，第一问他求什么呢？ t t 在 哪里呢？是 a 点对应的时间，就说我的这个乙啊，从零走到了三十米的地方，然后他用了多少时间？ 那这个很简单啊，我们知道在一段上他的这个变化啊，速度变化是一样的，所以他们速度一样，速度怎么求呢？速度是通过路程除以时间得到的，所以我们可以看到这里有一个标了，一和十五的啊，一个点， 也就说他从零走到十五用了多少分钟啊？用了一分钟，所以他的速度就可以怎么样呢？用十五除以一就等于十五 米每分钟，这是他的速度。那现在我要求这段里面，他走了三十米的情况下，用了多少时间呢？就用三十这个这个路程除以他的速度就三十除以啊，十五就等于两分钟了，所以说 t 等于二。好，第二个问的第一个呢，他说 如果一提速之后，乙提速就是指 a、 b 这一段他的速度将是谁呢？甲的三倍，他就会问甲的上升速度是多少？ 那甲的这段只有一个数据，要算他的速度还是比较难的啊。那我们可以通过先算乙这段的速度来求，对吧？那乙这段怎么办呢？依然是用怎么样啊？速度等于路程除以时间，路程是怎么样看的呢？ a 点到 b 点，从三十到三百，他走了多远呢？走到二百七十米， 然后他用了多少时间呢？这里是二刚我们已经算出来的，两分钟的时候，到十一分钟的时候，一共用了十一减二，用了九分钟，那就用二百七除以九等于三十米每分钟， 这是谁呢？这是乙的速度，那乙呢？又是甲的三倍，那除以三，那甲的速度就是十米每分钟。好，第二问他求什么样呢？甲，在登山的过程当中，他的这个函数表达式，这个也很简单啊，我们已经知道了什么样呢？ 知道他是一条一次函数，而且没有过圆点，所以他是啊，一次函数，我们可以设来解数， y 等于多少呢啊？ y 等于 k， x 加上 b， 接下来我们代入两个点的坐标就可以了，就是零到一百和我们这个点到三百，但这个点呢，没有，我们可以也可以计算啊， 因为我们已经知道假的速度了，速度就是三百减一百，这个路程除以这里的时间就是这个减去零嘛，就是这个 t 啊， 那我们速度已经知道十了，他走的路程是两百，那我们就可以求出他的时间啊，就是两百 除以十就等于二十，比如说用了二十分钟，所以这个地方就是二十啊。现在我们就可以把这两个点啊，二十到三百，零到一百带进去，就可以求出他截式，这个求出来是多少呢？ y 就 等于呃，十， x 加上一百加一百， 那你说这个有没有更快的方法呢？有，首先我们要知道啊，这个 b 是 什么？是函数与 y 值的焦点，它已经是一百了，所以我们直接可以得到 b 是 等于一百的。第二个呢，这个 k 是 什么？是变化的趋势，在这个图形里面，变化的趋势就是速度的变化， 这个速度是等同于 k 的， 我们已经算出速度是十，所以它 k 就是 等于十的，直接可以得出它几个式也是可以的啊。好，第三问 啊，这是 y 甲的，然后现在他说甲乙两个啊，距离高度差为五十米，那么请写出满足条件的这个时间 x 的 值。那这个是我们这个题当中最有难度的部分， 那怎么来探讨是最好呢？他的情况到底有多少种？我们通常是找到这个拐点和交点，比如说这个是拐点，这是交点，这也是拐点，用线啊，把它画下来。整个过程呢，我们就分成了四个部分，这条线左边的，两条线之间，两条线之间，这条线右边的。 那每一种，每一个区域呢，都有可能相差五十，那这个五十，所有的五十，就是说要么假在前面啊，假在上边或者移在上边，他们一减就等于多少呢？等于五十在图像上表示。为什么样呢？在这个区域内，上面的这个 y 减去下面的这个 y， 刚好等于五十啊。 那么先初步从左边这个部分开始出发，看判断一下他否不符合要求啊。那很明显第一个阶段是不符合要求的，为什么呢？ 第一个阶段，我的这个乙啊，爬到最高的地方才是三十，这个甲一开始就是一百了，所以说我的最高和他的最低都相差七十了，所以在后面的过程当中肯定会越来越大啊，所以不可能相差五十。第一个阶段呢就排除掉。 那第二个阶段呢，那就是甲是在上面的，也就是说甲还是爬爬的比较高的，乙呢，要矮一点，他们两个一减呢，等于五十是有可能的啊，有可能。所以这个时候我们怎么来列式呢？就用甲的这个，呃， 我们的这个结式减去怎么样呢？乙的结式，那这个时候呢？乙的结式我们要去求啊，乙的结式呢，这里有两段啊， 第一段我们就判断它已经不成立，我们就不用求了，我们求出啊， a y a b 这一段， y b 呢，两个点都知道了，我们就直接设结式啊，带两个点的坐标进去就可以了啊，这个算出来呢，就是 y 等于三十， x 减去三百啊，三百 啊，减去三十啊，这个等于三十。好，接下来我们就可以探讨这种情况了啊，哎，上面减，下面就属于呢，甲减去乙，哎，甲的在这里啊，十 x 加上一百，减去我们的三十， x 减三十，最终相差五十， 哎，相差五十，这个是可以算出来的， x 等于多少呢？ x 等于四啊，这是一种情况。第二种呢，哎，他跑到哪里呢？经过这个交点处啊，他们相等了，然后已跑到前面去了，这个时候也有可能已减角是可能的啊，已减角就反过来了， 哎，三十 x 减三十，减去十， x 加一百，哎，加一百等于五十，最终算出来 x 呢，是等于九的，这也可以， 还有一种呢，是怎么样呢啊，来到这里呢，这个乙呀，已经爬到三百米，他就不爬了，接下来就是甲一直在爬，对吧， 哎，一直在爬呢，他们的距离啊，逐步在缩小，也有可能是相差五十的情况，那这时候呢，我们就怎么列式呢啊？第三个式子啊，我们写这里就是用上面的三百，哎，减去我们甲的这个关系式啊，就是 十 x 加上一百等于五十，那这个也能算出来是等于多少呢啊，这个 y 是 等于 x 等于十五的，那所以总的来讲呢，我们这里啊，所有的 x 的 值呢，就有三个 x 就 等于四或者九或者是十五。

一次函数这章节是我们八下数学最有难度的一个章节，因为它涉及的知识面比较广，既涉及到几何，也涉及到代数，而且它衔接了我们初三的二次函数，它也会出现在压轴题里面，所以接下来的话，我会为大家陆续的去制作 从一次函数从基础的综合题到压轴的综合题，并且像以前一样制作成合集，大家可以持续的关注 啊。如果说大家在县级段学习一次函数，有什么样的疑问都可以在评论区留言，我会一一的回复大家。那今天的话我们来讲解讲解。第一个啊，就是一次函数的解析式求解，加上去判断这个点是否在图像上，我们现在看一下题目， 他说已知一次函数的图像呢，经过 a 点和 b 点两个点，第一问要求这个一次函数的解析，那这是我们呃包，无论你是 我们一呃八下数学期末考试的压轴题的第一问，还是我们中考的呃函数压轴题的第一问都是求结式，那这个结式呢，是一定要会的， 那求这个结式呢？我们用的方法叫待定系数法啊，它的步骤呢，接下来我会为大家一一展示啊。首先第一步要设结式，设结式呢，它是一函数的话，我们就可以设为呃 y 等于 k 加 b， 这里加个小括号， k 等于零。 接下来呢就是如果我要求的是 k 或者是 b 其中一个，我们只需要带入一个点的坐标就可以了，那如果说这 k 和 b 都不知道有两个参数的话，我们需要带入两个点的坐标去建立方程组啊，比如说这个我们就两个都不知道，那么就分别把这两个点带进去， 接下来呢，就把每一个点里面的，比如说这个是 x， 这是 y 分 别带进去啊，那这个看到 x 呢，就换成零，零乘 k 等于零，加上 b， 那 就相当于零加上 b 啊，它等于多少呢？ y 是 一。 第二个呢，就是看到 x 就 换成一啊，一乘 k 就是 k， k 加 b 等于多少呢？ y 是 对的，是零，那么就建立了一个二元次方程组，接下来我们就把 k 和 b 解出来， 这地方 k 的 话啊， b 知道是等于一的， k 的 话就是负一，那求出来 k 和 b 之后，我们就可以下结论了，一次函数就是 y 等于，看到 k 就 换成什么样的负一，那 k 就是 负的 x 一 要省略掉，加上我们的 b 是 一啊，这是我们的待定系数法的一个解答过程。 好，第二个问，判断这个点 p 是 否在一次函数图像上，我们可以怎么办呢？我们可以把这里的 x 带进去，就是当 x 等于负一时啊，我们指出 y 等于多少呢？可以把它带进去啊，就是负的负一加上一等于多少呢？一加一等于二。 好，那这时候我们来对比一下，这个对求出来的二和这里坐标的一相不相等呢？不相等，因为二不等于一，所以呢，我们下个结论，这个点 p 呢啊，负一到一不在图像上，不在图像上 啊，不在图像上，所以这个地方呢啊，如果它相等的话，就是在图像上，不不相等，那就不在啊。那这是我们今天讲的第一个技术知识点啊，用待定系数法求结式判断这个点是否在函数图像上。

依次函数与不等式的结合，这样的题型是我们期末每年必考的题型，记住啊，是必考的题型， 那到目前为止，我还看到相当一部分同学啊，对这种题啊，还进行大量的进行计算才得出结果，那实际上这样的题型只需要看图就可以得出答案。今天我们通过去年的两道期末的真题，给大家讲一讲这种单求函数怎么来求范围。 我来看一下第一道题啊，他说这里有一个函数的结式， y 等于 x 加 b， 图像给到了，还有两个交点，我们把这个坐标标一下，二斗零和零斗三 啊，然后他要求这个 x 加 b 大 于等于零的时候， x 的 这个取的范围啊。第一步呢，我们通常来讲啊，会对它进行一个转化，把这个 x 加 b 呢变成 y， 因为 y 本身就等于它嘛，大于等于零。 好，那么知道这个之后呢，第一步要干什么呢？就是无论你是大于还是小于，我们都找到等于的时候，那这地方呢，我们就找到 y 等于零的地方， 那找到 y 等于零的地方，我们看这条函数图像上，哪一个点的 y 是 等于零的呢？很明显就是二这个位置好。找到它之后呢，我们从这个地方画一条竖线，画这条竖线呢，就相当于把我们这个图形啊分成了两个部分，左边部分和右边部分。好，那接下来我们来找一找啊， 第二步啊，就去找他的这个符合条件的啊，这个图像在哪里？那这里有个口诀，就是大鱼的时候，我们就往上面走，小鱼的时候呢，就往下面走，那你看这里是大鱼啊， 大鱼呢，因为这地方 y 等于零吗？大于零我们就往上面跑，那符合要求呢，就是这一段，这一段呢，在我们这条线的左边，我们来看一下，图象，找到了之后呢，就看 x 在 哪个范围， 这条竖线对应的是二，也就是说一开始是二，而往左边走的话，那我这个图像往左边走啊，我这 x 呢，也是越来越向左的，那就是越来越小了。 好，那这个时候呢，我们的 x 呢，就是小于二的啊，当然这个时候呢，原本啊，我们是有等号的，要保持一致，所以 x 呢，也是要等于二的，所以这种结果呢，我们就选择 c， 答案 x 小 于二。 好，第二种呢，它就是不与零进行比较了，与另外的一个数比较，这个地方呢，它就与四进行比较。我们看一下啊，这也是它的图像，而且给出了一个点的坐标， a 是 负二负四， 然后呢，他要求 k x 加 b 大 于四，那我们转换一下，就是 y 大 于四的时候，我们说了，无论大于还是小于，先找到等于的时候，那我们看 y 等于四在哪个点呢？很明显在 a 点，因为 a 点的 y 是 等于四的，依然是通过一点做一条竖直的线， 整个平面呢，分成了左边和右边部分。那么现在要找这个符合要求的图像在哪里呢？ 上大下小哈，既然又是大于，我们就往上面跑，哎，就是这段符合要求，那对应的 x 在 哪里呢？这条竖线一开始对应的是负二， 既然是右边的图像，就是往右边是越走越远的，那我的 x 也会往右边移动，那就说比负二越来越大，那所以我们 x 呢，是大于负二的，因为它没有等号，所以我这里也没有等号， x 大 于负二就可以了。

来咱们说一下一次函数啊，一次函数的话本身是不难的，本身的话就那些基础概念的话，只要掌握了就很轻松就能拿分。然后难的是一次函数的不等式和一次函数。咱们的二十五题压轴题，也就是期末考试的压轴题，这个咱们需要训练。好，咱们来看一下题， 来，咱们看一下五一期间这个函数啊，一飞冲天的函数。函数这一章它分了两大章，一个是一次函数，一个是函数， 然后函数这张考察的是这个基本定义问题，然后我看了一下大家问题应该都不大，这个都是基本定义，然后 该讲的题都讲过，然后咱们主攻的是依次函数，依次函数的话，我看了一下大家的这个错题，错题的话前面应该是都对了，都是上课练习过的题。然后我们现在说一下这个十六、十七、十八题吧， 把这三道说一下，十六题，十六题的话，这道题也是我们上课说的一些普通题型吧，但这个题的话难度呢？稍微有一些，为什么说有一点呢？就一开始咱们做一次函数，不太熟的话，这个题可能做不出来。那咱们来简单说一下，十六题的话， y 等于负二 x， 所以 这个咱们肯定要画一个一次函数的图像，然后呢负二 k， 那 肯定是过什么过二四象限，那过二四象限的话，这个 k 是 正的，是负的，我也不太确定，所以说咱们就大概先画成一个这个样子， 然后那肯定的话，这个地方我不知道他是正的，是负的，所以他大概率就上下各有一个这个能理解的意思吧，所以说我就拿以上面这个为主，然后他呢与两个坐标轴所围成的三角形面积是九，那说白了就是这个三角形面积是九，好，那么现在让你求 k 值， 那这种题呢？是一个非常典型的题啊，你看三角形的面积，那这个其实就是三角形二分之一底乘以高等于九，就这么简单的一个公式，那么这个公式该如何去用？看这个题目，这个地方， 这个长度，这个长度是这个 k， 能理解的意思吗？为什么把这个 x， 把 x 等于零带进去，那等于零带进去之后，这块是不是就 y 等于零啊？ y 等于 k 啊？把 x 等于零带去， y 等于 k， 那 y 等于 k， 不 就 y 等于 k， 所以 这块长度是 k， 所以 咱们可以理解为就是二分之一乘以一个 k， 那 再乘以谁啊？ 还是看这个函数。那么咱们把这个 y 等于零带进去，这个点点，是不是 y 等于零啊？所以就是零等于负二， k 负二，然后 x 加 k， 然后这个地方是负 k 了，对不对？负 k 等于负二 x， x 等于二分之 k， 那 x 等于二分之 k， 是 不是就这一段等于二分之 k 啊？所以这个式子是不是再乘以一个二分之 k， 然后最后等于多少等于的是九，然后再一看，这个是四九三十六，所以 k 方等于三十六， k 等于正负六， 肯定是正负的啊，因为他没有规定我们这个一次函数在那个那个象限中，所以咱们这个肯定是两个答案，一个是上面这一块，有可能是下面这一块，看明白了吗？ 好，那咱们再来说十七题，十七题基本就是上课讲的原题了，咱们来说一下，他交于的是这个点，这两个一次函数交于这个点，那咱们以这个分界线为邻界点，然后看 x 加 b 是 谁， x 加 b 是 这个， 也就是 y 一， 我们这个地方就说 y 一， 把这块标 y 一， 但这个就是 y 一， 然后 k x 加， 就这个地方我写 y 二，所以说 y 一 大于 y 二，什么情况下 y 大 于 y 二，咱们看看图，是不是只有在这个点的右边，再都大于 y 二，所以 x 大 于等于不能是等于啊， x 大 于三，这个题应该也没什么难度吧？十六题，十七题， 我去对一下答案，然后十六题是正负六，十七题 x 大 于三，应该没什么问题，然后再往下十八题，十八题的话，这个题我们来仔细读题， 在平面直角坐标系中， a 点三到零， b 点零到三，那这个也得重新画图，那咱们来画一下， 就在这画了啊，按照这个三到零和零到三，咱们应该是在这个第一项线，所以呢， a 点咱们大概是在这个地方是三到零，然后 b 点大概是在这零到三，那么这一看就是一个等腰直角三角形，对吧？然后咱们再往下读 直线这个，然后这里面给你标注的是 k 大 于零，所以这个图像他肯定是要这么画，那具体画到哪呢？经过 c 点， c 点的话是负一一到零，这个是在这， 因为这个 a 点是三到零，所以按三等分的话，这个点是 c 点，那么想过这个点，而且还是 k 大 于零的话，那他必然是这样的一条线能理解的意思吧。好，那么咱们再来往下看， 把三角形 a o b， 就是 这个直线，把三角形 a o b a o b， 那 咱们还得把这个地方连一下，然后哪个是 a o b 呢？就是这个三角形是 a o b， 就 上面这个三角形 a o b， 这个三角形是固定的面积，对吧？这个二分之一三乘以三， 然后把这个三角形面积分成了两部分，其中靠近原点部分，这句话一定了解靠近原点的部分，那说白了就是这个四边形就画我现在画的这个四边形面积是四分之十五，整个这个四边形面积啊，好，那咱们这个四边形面积该怎么求？这是一个非常重要的关键点。 咱们来看一下这道题的话，其实上课咱们讲那个最难的难题的时候也说过这个点咱们就写成地点吧， 那么这个他告诉你的是这个面积是四分之十五，这是一个不规则图形，如果我们想要看这个四分之十五要用上的话，那我们是不是可以用三角形 aob 这个面积减去三角形 aoc 面积就等于四分之十五， aob 面积是固定的，然后这个 这个面积的话，咱们只需要求出地点的这个重的这个坐标，对吧？把这个地方写出来就行了。那么咱们来看一下这个该如何去求 d 点坐标，这个地方很简单，因为这个点过了这两个这个函数，所以我们只要把这个函数交点算出来就行了。那么 a b 这条线是什么？ y 等于 负 x 加三，这是 ab 这根线，对吧？ ab 这根线，然后第二根线是这个这根线，这根线的话我们是过一斗零的，所以我们把这个点带进去，那这个地方是 k 加 b， 所以 得出了什么 b 等于负 k， 所以 这个地方应该可以写成什么 k， x 加上一个，这个是负 k， 负 k 的 话这么写，所以这两个式子，这个是叫 cd 吧， cd 这条线，然后这两个线呢？构这构建出一个二元一次方程组，然后我们解出这个地点的坐标就行，解 d 的 横坐标不用解，对吧？求这个坐标，这个长度我们不要，我们只要这个长度， 这个长度我们有完之后就二分之一底乘以高就行了嘛，所以我们只需要求这个长度，那么按照这个图来说的话，感觉的话就是把这个 x 要换成这个，那么咱们看上面这个是不是可以改成 x 等于一个三减 y， 所以 把这个代入到下面，所以就 y 等于 k， 括号三减 y 减去一个 k， 然后 y 等于三 k 减去一个 k， y 再减去一个 k， 然后咱们把 y 和 y 的 都合并在一起，这两个 y 是 很明显可以合并的，所以这个地方我们把 y 合并在一起，是 y， 然后等于什么？一加 k， 看明白了吗？这俩合并在一起，然后右边还剩什么等于的，这个是 k， 三 k 减 k 吧，然后等于 y 等于一加 k， 分 值上面是三 k 减 k， 得的是这个，这个数没有什么太大问题吧？然后我们把这个数字再往后算， 三 k 减 k， 我 可以写成二 k， 不 用写，那么麻烦，这个地方写二 k， 然后再往下该怎么办呢？ 这个四分之十五，那咱们就可以写了。三角形 a、 o、 b 的 面积是多少？刚才我们说了一下，三乘三再除以二，对吧？所以是二分之九，所以这个地方我们就把三角形 a、 o、 b 的 面积是二分之九写这儿，然后呢再往下写哪个写这个这个面积，这个面积应该等于多少？ 减去一个二分之一，这个这个边长是多少？是二乘以一个二，再乘以一个，这个一加 k， 然后上面分之二 k， 然后等于谁？等于这个面积？这个面积多少是四分之十五， 然后我们求这个 k 就 行了，这样的话就明白了。然后 k 解完之后，应该最后答案是五分之三。 好，所以这道题的关键节点是我们要知道两条这个一次函数的焦点，这个是其实就是我们把这两个结合在一起， 组成一个二元一次方程组，然后解这个式子就行了。然后按照这道题来说的话，我们只需要知道 y 就 行，然后 y 的 话是可以用 k 来表示的，所以整个最后边这个式子里面，它就变成一个只含 k 的 式子，所以这个式子就算搞定了。 然后再往下说的话是第二页，第二页，第二页的话是这个二十三题和二十四题，也就是最后两道大题。

八下数学一共有两大亚洲难点，一个是平行四边形，一个就是一次函数。这道题好了，他把平行四边形和函数结合在了一起，下面我将会用两句口诀，轻松的带着大家秒出这类选填亚洲题的答案。 那有 v i p 向量数与几何图形这类综合题，老师特别给大家做了一个专题，就是考验大家知识综合和复合压轴题型答题能力。如果咱们孩子现在做这种题目，还经常有困难， 没有思路，家长们一定要打印出来，逐个题型的，咱们来进行练习。下面呢，咱们就来一起看看这道题啊！说平行四边形的一边在坐标轴上， b 的 坐标已经知道了是哪个二 直线 f n 呢？它是 y 的 k x 加 b， 把平行四边形的面积分成相等的两部分，这是不是考察平行四边形的基础性质？什么性质啊？之前老师就给大家总结过，哎，过平行四边形 对角线交点的直线，可以任意把平行四边形分成面积相等的两部分，无论你怎么分怎么分，左右两边都是相等的。 所以你明白这个道理，你就知道，他既然能把平行四边形面积分成相等两部分，那就说明这条线一定过一点，这一点就是什么。 对了，平行四边形对角线的焦点了，而对角线的焦点是什么？是不是两条对角线互相平分呢？ 他是不是一定是任意一条对角线的终点呀？所以求出我们对应这一点的坐标就比较容易了。这是六二，这是零零 终点坐标公式，终点求平距，我们很容易可以求出终点坐标为三 e 终点的坐标已经有了，你又知道他与 x 轴的交汇点，这点是六零，已知两点。想求直线的解析式容不容易？ 非常容易，叫做待定系数法，直接待定就可以了。设 y 等于 k， x 加 b 一 就等于三 k 再加 b 了。来，同样零就等于六 k 再加 b 了。哎，我们解这个关于 k 和 b 的 方程就可以求出答案了。 在这里啊，我们可以解出来 k 啊，不是负的三分之一，当然 b 点呢？求出来 a 的 二，而这道题直接问你 k 的 值，那你就可以直接求答案了，也就是负的三分之一。

八级下册数学一次函数单元，反反复复就考这六大板块的培优的压轴题型，基础扎实，想要攻克压轴题，粉丝重点掌握，那我把这些压轴题型都整理到了这份一次函数的压轴题里面，可以用做这个配合练习巩固。 第一是一次函数与线段关系。第二，一次函数与将军印码模型结合。第三，一次函数和铅垂高法求三角形面积。 第四，一次函数和等腰三角形、直角三角形、等腰直角、三角形、全等三角形结合的七大类题型。 第五，一次函数和平形、四边形、矩形、菱形、正方形等几何图形结合的存在性问题。常考期末考的压轴题。第六是一次函数动态问题。 以上内容我都整理到了我的八项系统拓展视频里面都有立体跟练习的配套巩固，帮助同学们解决压轴题不会写的问题。

好，我们再来看依次函数概念的复习巩固。先看第一题，问我们下列函数当中，哪些是依次函数，哪些又是正比例函数？ 那这里你要知道，正比例函数是形容 y 等于 k， x 的 k 不 等于零，对不对？依次函数呢，是 y 等于 k， x 加 b 的 k 也不等于零，对吧？好，那么这个时候就看下面这几个式子当中， 他们 x 的 指数是否都是一，并且是否都满足胚不等于零就可以了，对吧？这里呢，正比例函数是特殊的一次函数，所以是正比例函数的话，他一定也是一次函数。我们先来判断第一个， 第一个是 y 等于负的零点二， x 对 不对？这里对应的是什么呢？这里对应的就是它的 k 是 等于负零点二的，它没有等于零吧，对不对？并且呢，它有没有这个 b 值啊？没有这个 b 值，所以它是正比例函数啊，所以我们就说是 正比例函数， 那同时呢，它也是一次函数，因为正比的函数就是特殊的一次函数，对吧？好，再看第二个，第二个我们要怎么样？先进行化简， 把它化简，负三去乘这个框就等于负三， x 减三，那么这里对应的呢，就是前面这个 y 等于 k， x 加 b 对 应的也是负三，这里对应的就是 k 等于负三，它这里的 b 也等于负三，是不是符合第一种形式啊？所以呢，它是不是正比例函数呢？它不是，它有 b 值，对不对？所以它不是 这个正比例函数，但是呢，它是什么？它是依次函数就 ok 了。再看第三个，第三个是 s 等于 pi r 平方，这个是面积，对不对？ 这里其实不容易看出来，因为你不知道哪个是 s 啊，但是呢，你分析一下你就知道了，这个半径呢，是会发生变化的啊，而这个派呢，是一个定值，所以呢，这个派就是 k 值，所以 k 就 等于派啊。而这里的 r 的 平方，它对应的是什么呢？如果我们把它写成 y 和 x 的 形式，你可以理解为 y 等于太 x 的 平方，这个 x 它是一次吗？它是不是一次，对不对？这里的自变量 r 为二次，这里写一下自变量 r 的 平方是二次的，它不是一次的，对不对？所以它就不是一次函数，那也不是正比例函数，所以我们就说 它这个不是正比例函数，怎么样也不是一次函数。再看这个，把它化简一下，可以把它写成二分之一 x， 好了，那这里呢，这个 k 就 对应的呢，是二分之一了，对不对？好，这个 k 对 应的就是二分之一，好，那么这个呢？没有尾巴，没有这个 b 值，所以它是正比例函数啊，所以它既是正比例函数，也是依次函数，所以它这里 是正比例函数，也是依次函数，就 ok 了。再看第二题， 用函数解析式表示下列问题当中的 y 与 x 的 关系。先看第一个，一个长方体的长为两厘米，宽为一点五厘米， 高为 x 厘米，它的体积是 y 立方厘米，那么这里就要让我们找到这个 y， 也就是体积和高的关系。那我们知道长方体的体积公式是什么？是长层宽层高，对不对？长方体的体积 等于长乘宽乘高，对吧？那么对应呢，这个体积 y 就 等于它的长二乘上的宽一点五，再乘上它的高 x， 对 吧？好，那么 y 就 等于三 x 就 算出来了啊，当然了，这个高必须要怎么样？大于零，这个 x 必须要大于零， 为什么呀？你如果高小于零或者是负数是负数，那肯定是不可能的，对不对？那如果说是零的话，那么会怎么样？他就没有长体积了，对不对？所以呢，他就不满足长方体这个要求，所以如果是长方体，他的高一定必须是正数，对吧？好， 再看第二个，某水箱里面有水，十升，以零点五升每分钟的速度往外开始放水， 放水的时间为 x 分 钟，问我们剩余水量 y 是 多少升，对吧？好，那么这里呢，它的关系也比较好找，就是水箱里面剩余的水量等于原有的水量减去放出去的水，对吧？好，我们这里写一下剩余 水量，它是等于原有水量 减去放出的水量。 好，这个剩余水量呢，就是 y， 原油水量呢？是十升，那这里写了原油水量十升，对吧？好，你零点五升每分钟，那么你放水的时间是 x 分 钟，那么每分钟零点五升，那么放出去的水就是零点五， x 同时写上它的自变量取值范围，那么十升水最多能放多少分钟呢？你就用十怎么样去除以零点五十，除以零点五，等于二十分钟，对吧？ 好，我们这里写一下，十升水需要多少时间呢？需要二十分钟，怎么样？可以放完， 那么放完就没有水了，对吧？那这个计算呢，就不用写了。所以呢，我们这里 x 的 取值范围必须要怎么样呢？必须控制在二十分钟以内，要小于等于二十，同时大于等于零就 ok 了，对吧？好，当然我们这里重新再写一下， 我们把它写成 y 等于负零点五 x 加上十 x 的 取值范围小于等于二十大于等于零。 好，再看第三题，若 y 与 x 成正比例关系，并且 x 等于二的时候， y 等于八， 写出 y 关于 x 的 函数解析式，并且求出 x 为和值的时候， y 会等于负四。好，你看这里是正比例关系，对不对？ 正比例关系的话，那么我们把这个 k 当做正比例系数，那么 y 比上 x 等于 k， 那 么我们就可以把它写成 y 等于 k， x 啊，这里再写一步，因为这个比号的计算就相当于是除号的计算，我们把除以 x 移过去，就变成了乘以 x， 对 不对？好，那么这个就是正比例函数的一般式吧，对吧？好，那我们把它写出来之后，把它带进去算就可以了。 因为当 x 等于二的时候， y 等于八，所以我们这个 y 等于 k， x 就 可以写成八等于 k 乘上二，那么八就等于二 k， 那 么 k 二 k 就 等于八， k 就 等于四，对不对？好， k 等于四，所以这个函数解析式就是 y 等于四 x， 好 了，这个算出来了，我们再把这个往里面带，对吧？好，当这个 y 等于负四的时候， 这个 y 等于四， x 就 可以写成负四等于四 x， 那 么四 x 等于负四， x 等于负四，除以四， x 就 等于负负一，所以呢，当 x 等于负一的时候， y 它就等于负四了，对吧？好，那这样的话呢，咱们就回答完了再看综合运用第四题。某银行一年期的存款利率为百分之一点五，即存入的本金为 x 元， 一年到期的时候，那这个本息和为 y 元。那么首先你要知道什么叫本息和。本息和呢？就是连同本金在内，加上利息一共多少钱，就叫本息和，知道吧。啊？而利息的计算呢， 它等于本金乘上年利率，再乘以七数，乘上年利率， 再乘上七数。 好，那么我们知道了这个之后再去写，你先把利息算明白啊，它的利息等于什么呢？本金设为 x， 年利率是零啊，百分之一点五，对不对？然后再乘期数，它这几年一年是不就可以了，对吧？所以呢， 这个本息和 y 就 等于本金，本金是 x， 加上利息，这个利息呢，等于本金，也就是 x 乘上什么呢？乘上年利率百分之一点五， 再乘上什么？再乘上期数。一。好，这个是 x 啊，不要把 x 和乘号弄混了，就把 x 写大一点 乘好，那么这个 y 就 等于 x， 加上零点零一五 x， 那 么 y 就 等于一点零一五 x， 好， 这个就是它的函数解析式。 然后呢，它自变量值的范围呢？必须大于零，对吧？你存的钱不可能等于零吧，对不对？那零元还叫存钱吗？是不是？或者是你是负数的话，那就不叫存钱了，那叫借钱了，对不对？ 再看第二个，他说存入多少钱？存入一万元的时候，一年到期之后，本息和是多少？我们这里就写，当 x 等于一万的时候， 那么这个 y 等于一点零一五 x， 咱们就可以把它写成一点零一五，乘上一万，那么这个 y 就 等于一万零一百五十啊，所以他的本息和是多少钱呢？ 本息和就是一万零一百五十元就可以了。 再看拓展探索第五题，学校发起为福利院儿童捐书包的活动，每个书包六十元，张华有零花钱四百八十元， 即他用零花钱捐献的书包个数为 x 个，剩余的钱为 y 元。那么第一个叫我们求 y 关于 x 的 函数解析式， 以及自变量 x 的 取值范围。好，那么这里呢，我们可以先把它的关系写出来，对不对？好，这个剩余的钱等于什么？剩余的钱等他已经有的钱减去买书包花的钱就可以了，对吧？好，我们先写一下 剩余的钱 等于什么？等于总共有的零花钱 减去买书包的钱。 买书包六十元，怎么样？一个，那么这里有 x 个，那就是减六十 x， 剩余的钱呢？是 y， 对 吧？总零花钱呢是四百八，减去买书包的钱减去六十 x。 所以 这个解析式咱们就可以写成 y 等于负六十 x 加上四百八。然后他教我们求自变量值范围，首先要大于等于零嘛，对不对啊？ 那还有什么呢？还有你看他这么多钱最多能买几个，我们算一下他最多 能买多少个呢？你就拿他的总共的钱去除以他的单价，你会发现最多能买八个， 最多就能买八个。所以这个解析式，他这个 x 呢，就是小于等于八的，对吧？不能超过八，所以 y 等于负六十 x 加上四十八啊，四百八会得到 x 取的范围是 x 大 于等于零， 小于等于八啊，第一位就搞定了，对吧？好，第二个，若他至少留下一百八十元购买课外书，那么他最多能捐献多少个书包呢？ 那这里的是，这里的意思呢，就是让剩下的钱一定要大于等于一百八，对不对？至少要留下嘛，对不对？所以剩下的钱余下的钱要 大于等于一百八，也就是 y 要大于等于一百八，而这个 y 呢，是等于负啊，这里是负六十， x 就是负六十， x 加上四百八要大于等于一百八，然后呢，咱们把这个移过去一百八减去四百八，就会等于负三百， 然后两边同时除以负一百六啊，除以负六十就要编号 大于等于就要变成小于等于，所以呢， x 就 小于等于几个呀？五个，所以它最多能捐献五个书包，所以我们这里写 它最多能捐献 五个书包就可以了。

咱们继续做第二题，转向题有二十，他说如图，在平面直角坐标系中，点 a 给你坐标了，点 b 也给你坐标了，点 a 是 负三一， b 是 负一一。若将直线 y 等于 x 向上平移第一个单位长度后，这个 y 等于 x 与线段 ab 有 交点，这 d 的 取值范围是，那你看把这条线平移之后，它俩有交点，那指定是大概是这样子的， 对吧？平移到这，平移到 b 的 时候有交点，平移到 a 的 时候，交点在 a b 之间，这两条线段如果再出就出去了，没有交点了。那你求这个是 y 一， 它的函数解析式，然后 y 二函数解析式就行了。 因为是平移的原因，所以这个 y 一 是不是就是这个 k？ 就是 你学的时候， y 等于 k， x 加 b， 这个 k 数都一样的，都是一啊，它不变呢。所以这个 y 一， 你可以设它等于 x 加 b 一 y 二这条线，你可以把它设为 x 加 b 二。现在你求出这个焦点和这个焦点，那就是这两个 d 的 范围， 这就好办了。 x 等于零的时候，对吧？你看 y 一 的时候，有点 b 的 坐标，点 b 的 坐标是负一，一，这个 y 二有这个点 a 的 坐标负三一，那是不是这个 b 一 和 b 二可求？ 带进去呗。负一就是这个给它带进去。 负一加 b 一 等于 y， 这是一能推出来 b， b 一 等于二， 那你同理，你可以推出来 b 二等于四，也就是说，这个 b 是 不是就是和 y 轴的交点？ 我让你继续，我不这么说，让你糊涂。你可以求出 y 一 的函数解集式，是 x 加 二为二，是 x 加四，那这个焦点咋求？ s 为零弧，这个 b 就是 二， s 为零弧，这个 b 就是 四， 一个是二，一个四，他说是向上平移 d 一个单位后与线段 a b 有 交点，他问你 d 的 取值范围，那最低移动两个单位，在这个位置有交点，最多移动四个单位到这有交点，所以 d 的 取值范围二到四， 这就是最后的答案。但是这个 b 就是 y 等于 k， s 加 b， 这个 b 本身就是它和这条直线和 y 轴的交点， 你也可以让它这样交这个位，它这个负数，但是也是这个 b 给你做的题做多了，你就自然就理解了。

一次函数与不等式是我们期末必考的题型，而上一条视频，我们讲了单条函数的不等关系，这一条视频呢，我们来讲两条函数的不等关系，求范围。今天我们也找了两道去年的期末的真题，特别是第二道题，是一个难点。我们先来看一下第一个题， 哎，他说这里有两条函数，一个是 l 一 啊，一个是 l 二，那么对应的解析式呢，也给到了，现在呢，焦点也给到了，我们是 m 得四，要求这个不等式的一个解析。 那我们首先第一步呢，依然是转换，但这个地方呢，因为有两个 y， 所以 对 y 呢，要进行标号， ok， 标为 y 一 和 y 二，那这里我们就转换成 y 一 小于等于 y 二。 好，然后呢，我们看啊，无论大还是小，我们第一步依然是找到相等的位置啊， y 一 等于 y 二，什么时候 y 一 等于 y 二呢？肯定是两条函数的交点，就是 a 点， 那从 a 点画一条竖线，这是我们的传统。接下来呢，这个竖线把整个图形分成了左边部分和右边部分，接下来我们要去找一找，哎，哪个图像是符合要求的？这里有个口诀，就是谁大， 随着图像就在上方，就随着 y 大， 随着图像就在上方。我们来看一下啊，先从左边这部分开始，左边这个部分呢，图像这里有一条，这是谁的呢？ l 二，也就是 y 二 的图像，很明显， y 二的图像呢，是在 y 一 的上方，那所以 y 二呢，是大于 y 一 的， 那和我们题目要求的 y 二大于 y 一 是一样的，所以左边符合要求。那因为这里等号吗？也可以取上等号啊， 好，知道了图像所在的位置，那接下来我们就要看 x 在 哪个范围啊，依然是从这个 a 这个地方， m 开始往左边走，就是越来越小，所以 x 应该是小于 m 的， 但是这不是我们的答案， m 要求出来，怎么求呢？这个地方就是 a 点啊， 它既在这个，也在这个里面，所以我们可以带进任何一个函数里面，但肯定要带入 y 一 里面，因为它是已知的，所以这地方可以带进去啊，就是看到我们的 y 呢，就变成四，看到 x 呢，就变成 m， m 加上三， 所以我们可以到 m 等于一，那所以这个时候呢，我们就小于等于啊，要等号保持一致，小于等于一。这个题我们就选择怎么样呢？选择 d 答案 好。第二个题呢，就是我们的一个难点了啊，他这个地方难在哪里呢？就是他不像第一个左右两边都是完整的给出来的函数，这个呢，他把它融合在一起了 啊，我们来看一下啊，依然是有两个函数， y 等于负二， x 和 y 等于 k 加四。而当这个地方图形上啊，他并没有标注谁是呃，谁是谁的表达式，但我们可以很清晰的判断啊， 这个呢，很明显是怎么样呢？是这个正比例，所以过远点一定是这一条，我们可以标记一下自己， y 等于 four x， 我 们可以把它标为 y 一， 这是 y 二啊， y 一 好，剩余的这条肯定是 y 二的了啊， k， x 加上四，接下来呢， a 点，我们也标记一下这是 m， 这都三，好。 哎，这个时候呢，我们就要注意了，我们一定要先把它移一下向，把它变成像上面这个题一样，两个左右分别为一个 y 的 形式。那这个地方我们观察可以看到啊，这是 k 加四，这里面呢，也有一个 k 加四是完整的， 那另外一个呢？本来是负二 x， 这是加二 x， 我 们怎么办呢？可以移一下向就可以了，就可以把我们的 二 x 移到右边去，就变成负二 x 啦。你看，此时呢，左边就是我们的 y 二，右边呢就是我们的 y 一， 好，依然是转换之后，我们要去找相等的位置啊，就是 y 二等于 y 一 的时候，在交点这个位置画一条竖线。 好，接下来我们去判断左边部分和右边部分哪个符合要求，左边部分看齐，这一个呢，是 y 一 的，这个呢是 y 二的，那很明显， y 一 在上方，那也就意味着 y 一 是大于 y 二的，那和我们题目要求的 y 二大于 y 一 不符合要求。 我们看右边这一条呢，是 y 二的，这一条呢是 y 一 的啊，很明显 y 二在上方，那所以 y 二大， y 二大于 y 一 啊，因为有等号嘛，我们也保持一致，大于等于。 那所以我们发现啊，右边这个部分符合要求，那么对应的 x 呢，他是从这里的 m 往右边跑的，就是越来越大，那 x 呢，肯定是大于 m 的 啊，求 m 呢，和上面一样可以带入啊，我们带到这里面来啊， 那就是三等于负的二 m， m 等于多少呢？负的二分之三，所以我们这个结论啊，但这要保持一致啊，有等号就要保持一致， x 大 于等于负的二分之三。哎，所以这个结果呢，哈，这个解集我们就写上了。

夏天的陈塘关热得像蒸笼，哪吒摊倒在地上，太乙真人扇着扇子，徒儿，这般炎热，不如魏师带你去海边凉快凉快。本来炎热的夏天居然出现了冰雕建筑群， 我的天呐！两人惊讶之际，敖丙从最大的冰屋中走出，手持草莓冰淇淋，见过他一世薄。哇，敖丙，你怎么在这里？这些冰房子都是你建的？ 看你们陈塘关太热了，我就用龙族寒冰树建了这片冰屋度假村，给大家避暑用。好！狮子，快给我们开个最大的冰屋，我要入住！师伯，不急，我这里有不同的体验套餐，您看看， 我这里只办年卡，不按天收费，价格如高所示，师伯，你们可以看看，可我们该怎么选才最省钱呢？ 秋去冬来，陈塘关很快进入了寒冷的冬天，哪吒利用太乙给的法宝，结合自己的控火术， 怕冷的敖丙很快就 堵。怎么样？敖丙，我这温氏四季如春，价格实惠，还有不同的套餐可以选择。

利用一次函数的性质求参数的范围，是我们八下数学常考的填空题，那这种题呢，需要我们对于函数的趋势以及两点坐标，或者是多个点坐标之间的一个关系要非常的熟练。 那今天我们来看一下这种题怎么做。现在看一下题目，这里有两个点， a b 两个点是关于我们这个函数图像上的两个点，而且当 x 一 小于 x 二的时候，对应的 y 一 也会小于 y 二，让我们求 m 的 取值范围。 那解决这种问题呢？首先第一步要通过他给出来的两个点， x 和 y 之间的关系，得出他这个图像的一个趋势。 那么现在看一下啊，回顾一下这个依次函数的图像趋势是什么东西呢？实际上就两种，一种呢，从左往右就是上坡的趋势，像这样子呢，就是 y 会随着 x 的 增大而增大， 那这个时候是有什么决定的呢？就是我们前面我们依次函数里面的 y 等于 k， x 加 b， 这里面的 k 就是 x 前面的系数决定的 啊，那这个时候 k 就是 大于零的好。第二种呢，就是从左往右是下坡的趋势啊，这个时候呢， y 会随着 x 的 增大反而变得越来越小，那这个时候我们的 k 啊，它是小于零的 好，那所以通过这个我们就可以得到啊，哎，这个它的趋势是怎样子的，我们来看一下啊。他说 x 一 小于 x 二，那那就是 x 一 到 x 二的时候变大了， 那对应的 y 一 也小于 y 二，那也就说我的 y 一 从 y 啊，从 y 一 变到了 y 二，它也变大了，那也就说 x 变大的同时， y 也变大了，那就是 y 随 x 增大而增大。 哎，那我们就得到了这个趋势啊，增大二，增大就意味着 k 大 于零，那在我们这个节制里面啊，啊， y 等于 k x， 我 这个 k 是 什么东西呢？对应的就是这里的 m 加上一， 那也就意味着我 k 大 于零， m 加一这个整体呢，也是大于零的， m 就 会怎么样呢？大于负一，所以我们这个的范围啊，就是 m 大 于负一就可以了。

好，再来看依次函数的复习题，先看它的复习巩固。第一个，王芳现有存款一千五百元，他计划今后三年每个月都存五十元，他的存款总金额是 y 元， 随着时间 x 的 变化而变化，这个 x 呢，单位是 y 啊，写出 y 关于 x 的 函数解析式， 那么他已经有一千五百元了，然后每个月都往这个存款当中再存五十元，对不对？你一个月存五十元，那么加进去两个月，那就一共存了一百元，再加进去，就这个意思，知道吧？那你想一下， 它这里是三年，一年是十二个月，三年就是三十六个月，所以呢，它这个时间也就是 x 月份，它的取值范围一定是零到三十六，知道吗？好，这里我们简单写一下，它的总存款 会等于现存款， 加上每月存款 乘上月份，对吧？每月存五十元，一个月就乘一，两个月就乘二，对吧？好，然后呢，他说这里是三年，对不对？三年等于三十六个月， 等于啊，这是等于不是二三年等于三十六个月，所以呢，这个 x 的 取值范围小于等于三十六，大于等于零，然后我们再根据它的关系式写出来， 总存款是 y 元，对应写 y， 现存款是一千五百元，我们对应写一千五百， 然后每个月的存款呢，是五十元，对应五十乘上月份，他的月份呢，用时间 x 来表示，所以就乘 x， 所以 这个解析是 y 就 等于 五十， x 加上一千五。那么这样写的话呢，就是方便我们对应依次函数的，一般是 y 等于 k， x 加 b， 知道吧？然后呢，你再把它的取值范围写过来，就是 x 小 于等于三十六，大于等于零，那么 关 y 关于 x 的 函数解析式咱们就写出来了，因为这是一个实际问题，所以你一定要把它 x 的 取值范围写出来，知道吗？实际问题一般都是有取值范围的啊，千万不要忘记了。 再看第二题，判断下列各点是否在直线， y 等于二 x 加六上，并且求出这条直线与坐标轴的交点。那么首先判断下列各点是否在直线上，那么你就把它的横坐标当做 x 带进去， 看它算出来的 y 是 否等于它的重坐标就可以了。我这里写一下它的判定标准， 判断点是否在直线 y 等于二 x 加六上面我们就将这个点的横坐标当做 x 带入解析式当中进行计算，算出来的 y 值，看看这个算出来的 y 值是否等于这个点的纵坐标， 如果相等的话，那么这个点就在直线上，如果不相等的话，这个点就不在直线上， 当然你反过来也是可以的。什么叫反过来？就是你把它的重坐标替换掉 y 值，看看它的 x 是 否等于它的横坐标，如果等于也是在这个点上的，就是你无论把 x 带进去还是把这个 y 带进去，都可以，知道吗？啊， 只要你不要带错了就行了，记住，重坐标替换 y， 横坐标替换的是 x 啊。如果你带入的是重坐标，替换掉 y 之后，你就看 x 是 否等于负五。如果你带入的是横坐标，就替换掉 x， 看它的 y 值是否等于负四就可以了。我们来把这四个都算一下就可以了。好吧，来 先看这个点点负五负四啊，带入这个 x 等于负五，咱们得到 这个 y 就 等于二乘负五再加六，二乘负五加六等于几啊？等于负四，你看和它的重坐标是不是相等啊？那既然和它的重坐标相等，是不是说明这个点在直线上啊？对不对啊？我们就写它的判定与重坐标 相等，所以是在直线上。 好，再看第二个，第二个点是负七二十，那我们就代入谁啊？代入 x 等于负七，对不对？就可以得到 y 等于二乘负七再加六，它等于几啊？等于负八，对不对？这里是负十四加六等于负八，而你看负八和这个二十相等吗？它并不等于它的重坐标并不等于二十，所以我们就说不在直线上， 可以了。再看第三个点，第三个点呢，是负二分之七一。 好，咱们就代入 x 等于负二分之七，就可以得到这个 y 等于二乘负二分之七，再加上六，那这个一层的话，它约掉等于负七，负七加六等于负一， 那你看一下负一会等于一吗？负一和一并不相等，对不对啊？所以呢，不在子线上。 好，再看最后一个点，这个点是三分之二，七又三分之一，那么你就代入 x 等于三分之二，你就可以得到 y 等于二乘三分之二再加六， 那这里一层的话，等于三分之四加六，三分之四加六，而这个六呢，等于三分之十八，对不对？三分之十八加上四等于三分之二十二， 然后写成带分数，写成带分数就是七又三分之一，没有问题，对吧？啊？就是拿二十二除以三，二十二除以三等于七于一，那么就是七又三分之一，好，那么是和它的重坐标相等的，所以呢，这个点它在直线上 就 ok 了。那这四个点呢，咱们就判断完了，它还有一个要求，叫我们求出这条直线与坐标轴的交点， 对不对？焦点坐标，那么你看一下坐标轴有几条啊？有 x 轴对不对？还有 y 轴， 那么在 x 轴上，什么坐标为零呢？它的纵坐标为零，如果在 y 轴上呢？在 y 轴上的话，就是横坐标为零，对不对？你要搞清楚。那么这里呢，我们要求这个 y 轴的话， 求与 y 轴的交点，那我们就当 x 等于零的时候，那么这个 y 就 等于二乘零加六等于六，所以 与 y 轴交点 为零六，对吧？你想要求与 x 的 交点，那么与 x 轴交点，它是纵坐标为零，所以你就当 y 等于零的时候， y 等于零，就零等于二， x 加六，一项一项，那么这个二 x 就 等于负六啊，然后这个 x 就 等于负三，所以呢，与 x 轴交点 为负三零，好，那么它这里的两个要求咱们就都算完了，对吧？判断这四个点是否在直线上，再求出这条直线与坐标轴的两个交点，因为有两个轴啊， x 轴和 y 轴，那么你就要求这两个点就 ok 了。 第三题考察的是依次函数的图像性质，也就是看 k 值和 b 值，那么 k 值大于零， y 随 x 增大而增大， k 小 于零， y 随 x 增大而减小，对不对？ b 大 于零呢？那就交于 y 轴的正半轴，如果 b 小 于零的话，就交于 y 轴的负半轴就可以了。好，那我们根据这四个性质 去判断直线经过哪些象限对不对？好，先看第一个， 第一个 y 等于三分之二， x 加上二分之一，那我们要知道，一般式是 y 等于 k， x 加 b， k 不 等于零，那对应的这个 k 值是不是就是负三分之二啊？对不对？所以这里我们写，因为这个 k 等于负三分之二，是正数还是负数？ 它是负数，是小于零的，所以 y 随 x 增大而减小，对不对？所以 y 随 x 增大而减小。 然后呢，再看它的 b 值， b 值是等于正的二分之一啊，因为 b 值等于二分之一，而这个二分之一是正数，是大于零的。所以呢，怎么样与 y 轴交于正半轴，与 y 轴交于正半轴。 好，那我们可以先把它的大致图像画出来，这里你不要先画 y 随 x 增大而减小，不要直接先这样画，你先看它与 y 轴的交点是正半轴，先把这个点 好大致画一下，然后你再经过这个点， y 随 x 增大而减小，那么它经过的象限就是一、二四象限，这是第三象限嘛，对不对？所以它经过的是什么？一二四象限？ 好，那么 y 随 x 的 增大而减小就可以了啊。再看第二个 直线， y 等于三， x 减二， y 等于三， x 减二，当中它的 k 值是什么？它的 k 值对应的是几啊？ k 值对应的是三嘛，对不对？好，它的 k 值对应的是三，因为 k 等于三，是正数还是负数？是正数大于零，对吧？所以我们就说 y 随 x 的 增大 而增大 啊。再看，那因为它的 b 值是等于负二的，而负二呢？是小于零的，所以我们知道 与 y 轴的交点在负半轴。交于负半轴， 那我们也可以把它的大致图像画出来，先画直角坐标系 与 y 轴交于负半轴，就在这个位置，对不对？然后 y 随 x 的 增大而增大，斜着向上画好了，那么它经过的是一三四象限， 所以我们这里就写一三四象限， y 随 x 的 增大而增大 就可以了。再看第四题，根据下列条件，分别确定函数 y 等于 k， x 加 b 的 解析式。 第一个， y 与 x 成正比例，当 x 等于五的时候， y 等于六，那我们就要知道正比例函数的一般式是什么，对不对？好，我们这里就写，因为 y 与 x 成正比例， 所以呢，我们设比例系数为 k， 并且 k 不 等于零，所以 y 比上 x 就 等于 k， 你 就可以得到 y 等于 k， 乘 x 比号其实就相当于是除法的计算，对不对？你除以 x， 那 移过去就变成了乘 x， 这也是为什么正比的函数可以写成这个样子的原因。好，那么他说，当 x 等于五， y 等于六，因为当 x 等于五的时候， y 等于六，所以我们可以得到啊，你把这个 y 换成六，把这个 x 换成五，所以六等于 k 乘五， 那么这个 k 那 就五， k 就 等于六， k 就 等于六除以五，六除以五，就直接写成六分之五啊，五分之六就可以了，所以 y 等于六，五分之六， x 就 完事了啊。再看第二个直线， y 等于 k， x 加 b， 经过点三六与二负二分之一，那么这个就是一个非常标准的经过两个点，确定直线解析式对不对？好，那么这里直接用待定系数法啊，将 三六与二分之一、负二分之一带入解析式， y 等于 k， x 加 b 当中，我们就可以得到啊， 一个二元一次方程组，注意你不要带错了啊。这个 x 是 可以用横坐标替换的，这个 y 呢，是用重坐标替换的，所以我们把这个六和三替换进去，就变成了这个样子，所以是六等于 三 k 加 b， 那 这里把二分之一和负二分之带进去的话，那 y 就 等于负二分之一， x 就 等于二分之一，所以是负二分之一等于二分之一 k 加 b， 两式一减，你就可以求出来了，一式减二式， 六减负二分之一就等于加二分之一等于六，又二分之一三 k 减二分之一等于二分之五，所以是二分之五 k， 那这个 b 值减 b 值就抵消掉了，就不用写出来了。然后这里通分一下，二分之二六十二加一等于十三等于二分之五 k， 所以 二分之五 k 就 等于二分之十三，除以二分之五，除以二分之五呢？怎么样呢？ 等于乘以五分之十三 k 算出来了，等于五分之十三。你再带入任意一个式子，就可以把 b 算出来了。将 a 等于五分之十三带入到一式当中，那么六就等于三乘五分之十三，加上 b， 那 么六就会等于五，这里三三得九，一三得三，三十九加上 b， 那 么这个 b 就 等于六，减去五分之三十九。通分，这个是 六的话，是五分之三十，五分之三十减去五分之三十九，三十减三十九就等于负九，所以 b 就 等于负的五分之九，那么这个 k b 值我们就求出来了。 k 等于五分之十三， b 等于负五分之九，所以这个解析式就是， y 等于五分之三，五分之十三， x 减去五分之九就 ok 了，那么这个两个解析式我们就都求出来了。 再看第五题，根据函数 y 等于三 x 减十五的性质，或者是图像确定 x 取和值的时候， y 会大于零，和值的时候 y 会小于零，那么这种题目如果是填空题的话， 你如果实在不会看，你就直接算对不对？因为这里的 y 呢，是等于三 x 减十五的啊，这里呢，我先把这种方法给大家讲一下，如果他已经告诉你解析式了，那么叫你求 y 大 于零的时候， x 的 取值范围， 那么这里因为 y 等于三 x 减十五，对不对？所以 y 大 于零就可以变成什么，就可以变成三 x 减十五大于零，那么三 x 就 大于十五， x 就 大于五，那么这个就第一位 啊，那第二个的话呢？一样的啊，因为这个 y 是 等于三 x 减十五的，所以 y 小 于零，你就可以得到是三 x 减十五小于零，那么三 x 就 小于十五， x 就 小于五，那么 x 小 于五啊，就求完了啊，这两个就是它的答案 啊，这个是纯计算，但是有些题目他不会告诉你解析式的，他只会画个图像，而且这个图像呢，一般不会告诉你两个点啊，他就只告诉你一个点，那这样的话，你就求不出来解析式了，对不对？那这个时候怎么办呢？这个时候才是用图像的时候，不过这道题主要是考察我们对图像的理解，那么我们呢， 就先把这个图像画出来，好吧，这种呢是选择填空题的做法，那如果这是解答题的话，你还是老老实实的画图对不对？好，那么这里我们要求与 x 轴的交点，那么你就让 y 等于零。如果要求与 y 轴的交点，就让 x 等于零，那我们先求 x 的 交点， 先求与 x 轴的交点，当这个 y 等于零的时候，这个零就会等于三 x 减十五，一项算一下，你就会得到三 x 等于十五，就会得到 x 等于五，所以与 x 轴的交点 就是五零，所以它会过五零这个点。如果你要求与 y 轴的交点，那么就是当 x 等于零，那么这个 y 就 等于三乘零减十五，那么 y 就 等于负十五， 所以它就会过零负十五这个点。好，现在我们把图像大致画一下， 这里是 x 轴，这里是 y 轴，这是圆点，零啊，然后过我们这里画小一点，这里是五零这个点，然后还有一个是零负十五，我们放在这个位置，然后把这两个点连起来， 好，把这个点连起来，他说要 y 大 于零，那 y 大 于零在哪个上面呢？那 y 大 于零，好，这里我写一下啊。 y 大 于零，那么翻译成这个什么？翻译成图形语言的话，就是必须在 x 轴上，因为在 x 轴上， x 轴上方的这个图像的所有点的 重坐标是不是都大于零？好，我这里写一下。 y 大 于零，其实对应的就是点的重坐标 大于零，那么这个点的这个图像上的点，它的重坐标要大于零，就在 x 轴的上方，则在 x 轴上方。 在 x 轴上方的话，你再看这个在 x 轴上方的这些点的横坐标是不是都比五大呀？你看这个点的横坐标是不是比这个五要大， 这个点的横坐标是不是也要比五啊？对不对？所以它的结果从从图像上去看的话，就是 x 大 于五，就是跟我们计算的结果是一样的，知道吧？好， 这些在 x 轴上方的点，这些点则在 x 轴上方的点，横坐标 都大于五，所以 x 大 于五。当然你自己写的时候是不需要把这里写出来的，你只需要写因为 x 大 于零，然后由图可知，所以 x 大 于五就可以了，你可以直接这么写，知道吧？ 好，那么第二个通过图像来看，它是要 y 小 于零， y 小 于零对应的就是点的纵坐标小于零， 那么如果一个点的纵坐标小于零，并且在这条直线上，那么只能是在 x 轴下方的部分，在 x 轴下方的这个图像上的所有的点对应横坐标是不是都比这个五要小啊，对不对？这个点的横坐标是不是都比五小，对不对？这些点，所以 则在 x 轴下方的点，横坐标 小于五，所以 x 小 于五啊。然后呢，像这种话啊，如果你看答案，他也是不会告诉你的啊，他也不会写出来，他一般都是 因为 y 大 于零，由图可知，所以 x 大 于五就可以了，他一般都这么写的，所以我们自己写的时候呢，这些你如果描述不清楚，干脆不要写，你把图画出来，你会。