2026年黑龙江中考大题圆的类型题

今天我们来一起学习 二零二六年省实验中学中考三模数学试卷分析， 大家好，很高兴又与大家见面了啊，接着我们近期的分享，今天我们再来分享一个啊，河南省实验中学的一个三模数学试卷的一个压轴题啊，这个试卷的话，其实呢，很多题都是非常类似的题啊，我只分享一道这个第十五题啊，那有需要这个试卷的朋友可以私信我把这个试卷分享大家啊。 好，第十五期比较有意思啊，但是如果说我们学会分析的话，其实这个题都变得非常简单了啊，很多题都是老题啊。好，话不多说，让我们再看这个第十五期啊， 这个期其实是一道隐形元的一道题啊，如图，在三角形， a、 b、 c 角 a、 c， b 等于九十度，角 b 等于三十度，这是一个三十度，六十度一个这样三线 a、 c 是 一个四的话，那么这边就是四的一个三，这边就是一个八了，对吧？ 好， e 是 a、 c 中点，这是一个定点。好定点啊，定点，其中很多点都是动点啊， d 的 d 是 动点， o 是 动点，然后呢， m 和 n 都是动点啊。好，他说现在以 c、 d 为直径做出来圆 o， 好， 记着啊，看见直径啊，那这个时候我们就要想到直径所对的圆周角是不是九十度呢？ 哎，非常好，那就说明了这边是一个九十度。又说无论什么呢？无论，无论这个点地用到什么地方，那么这个时候始终和地垂直，比如我可以再换一种情况，比如说点地用到这个地方，那这个时候的话，那就相当于是这边是不是一个垂直呢， 对不对？如果说点地用到这个地方的话，那这边我们再去拉一下，对吧？再去做个垂直，但能看出什么不呢？看出来了对不对？看出来了，直径对直角 对吧？也就是说 c e 这一段是固定不断的固定不变，那么他说对的直角对吧？说对的直角，说对直角。那这个时候我能不能说点 f 的 运动轨迹其实就是一个以 c e 为直径的一个圆上呢？这点非常关键啊， 这点非常关键对不对？当你能发现这一点的话，那么这个题就变得比较简单了啊，不会受其他的干扰。好， 我们继续读题啊，这个时候让我们求什么呢？ fm 加 m n， 嗯，好， fm 加 m n， 这个时候还要运用到将军以马的思想来，我们先把这个动点运动轨迹先画出来， f 的 运动轨迹就是一个这么一个在这个半圆上，但是它可能并不是一个半圆啊，但是，但是呢，一定是这个圆的一部分啊，但是并不影响我们求这个对值。 好，又是点 f 的 一种轨迹啊，直径对直角，那接下来我们如何求？比如说圆上一点，然后与这个边的一个夹角，与这个边上一点，还有这个边上一点，那这个怎么做呢？我们可以利用将军印码的一种思想啊，这边做出来一个对称，对吧？ 做出来一个对称啊，做出来对称，那就意味着这个角等于这个角，所以说我就可以把上面这个线段转换成这一段线段，对不对？你看其中要求的是这个蓝色线，再加这个蓝色线，那我就可以转换成是不？下面这个蓝色线呢，对不对？就这一段我再加这一段就可以了啊？ 好，那么画成最最本质的话，那是不是就我要找原上域点，然后呢再到这个下面蓝色线的一个距离呢？这个数其实就是一个线圆问题啊，线圆 线有问题的话，你就直接过这个圆心啊，做这个线的一条垂线啊，来，直接拉下来，直接做垂直啊，直接做垂直能看懂吗？直接做垂直啊，当我们做出垂直之后的话，那这个时候就确定了 f 就 来这个点，而 m 在 这个点， n 在 哪呢？ n 这个时候我们可以再往这边再去做垂直就可以了，能理解吧， 因为这个线段始终等于这个线段。好，接下来就是要求解，那接下来我要求的就是这部分长是不是就开人了？好，观察一下这个题中的要告诉我们的信息， a c 是 一个四啊，并且一是终点，那就是下面这个上面也是这段是一，这段也是一啊，于是现在这边是不是一个等边的样型呢？ 为什么呢？因为这个角是直角，这个角是三十度啊，那么这个角就是六十度，对零角这个角也是六十，再加上其中原来这个角也是六十，所以说现在这边这个三角形就是一个等边三角形啊，这个边是一个三，那么这个边也应该是三，或者这一段就是一个二，对不对？这一段成是一个二啊？ 好，接下来我们继续看啊，这个边是四，那么原来这个大这样的斜边就是一个八，那么斜边是八的话，这边是三，所以这一段是不是就要边斜边一半，那么这一段就是二分之五啊，所以这个答案 是不是有二分之五再加个二呢？对不对？所以答案就是二分之九啊，好，比较简单啊，有需要这个实验的朋友可以私信下我，这个实验我就分享这么多，如果说觉得分享你有所帮助的话，记得点点关注，点点爱心下来观看我们下个视频，不见不散啊，分享永不止步，我所能给，远超你所能见。

哈喽，同学们大家好，老师今天带来的依旧是六月冲刺的十八十九讲解。嗯，这个是第四套的十九题。然后呢，我们先来读题，他说在矩形 a、 b， c、 d 当中，那么画一个矩形 a、 b， c、 d， 然后呢，他说 a、 b 等于四， ok， 那 我们标上他这个边上就是 a、 b， c， d， a， b 呢，是等于四， b， c 等于五、四五点， e 呢是在 a、 d 边上的一点，那知道了 e， 它是一个动点，是在 a、 d 边上动的一个点，我们不着急确定它的位置啊。他说若三角形 b， c， e 是 等腰三角形， ok， 那 我们知道了，这考察的又是一个等腰三角形存在性的问题。 老师之前的视频也说到了，我们等腰三角形存在性问题应该干嘛呀？应该进行一个分类讨论，对吧？并且还明确的知道这个一点是在边上动的，所以我们就根据他的两边两边相等去来动，如果他告诉你就是一个定角的话，那么咱们就去跟他的三十个角进行一个讨论。所以我们这种情况的讨论形式不同啊， 那就设啊，三角形 bce， ok， 有 三种情况，第一种情况呢，是 bc 等于 c， e， ok， 第二种情况呢，是 bc 等于 b， e 啊，第三种情况呢是 c， e 等于 b， e， 嗯，说白了就是分别以啊 c 为顶点， b 为顶点和 e 为顶点，去让这个当做两条腰相等的值啊。那我们进行第一种情况呗，来看好了， bc 呢， 它是一个什么？嗯，长，它是个定长，永远等于五，对不对？然后我们看这个 c、 e， e 是 一个定点， ok， 那 我们说了啊， c， e 也等于五，当一个 动点到一个定点的距离等于一个定长的时候，我们就说这个动点的轨迹一定是以这个定点为圆心的圆上，所以就知道了，这个点 e 啊，它一定在以 c 为圆心， c b 为半径的一个圆上，所以我们要把这个半这个圆给画出来， 以 c 为圆心， c b 为半径的一个圆上， ok 啊，我们来画一下啊，大概就是这个样子啊，大概就是这个样子。那么完事之后呢，我们来看啊， 他又说了呀，我这个 e 啊，也一定是在轨迹是在一个圆上，对吧？那我 e 这个轨迹在圆上，它还得符合一个什么条件呢？它还得符合 我这个 e 点，它是要在 a d 这条直线上的，所以我们设这个为一撇，那主要了一撇它落在这了，对吧？然后呢，连接我这个 c 一 撇， c 一 撇，跟这个 bc 是 相等的，永远都等于五，对吧？然后呢，我们来看，那怎么求我这个 d e 的 长度呢？是求这段啊， 这是直角啊，勾三股四，显示五五四三，所以 e d 撇等于三。那第一种情况出来了，那第二种情况我们来继续啊，来看好了，他说，嗯， bc 等于 b， 哎，跟他一框一不一样一样，因为 bc 也是个定长等于五，那 b e 依旧也是一个定点加一个动点的结合，那理论跟咱们刚才说的一模一样，当一个动点到一个定点的距离等于一个定长的时候，它的轨迹为圆，哎，为圆心就是这个定点，那这把就不是以 c 为圆心了，以 d 为圆心，对吧？那以 d 为圆心呢？咱们就是画一个以 d 为圆心的圆，对不对？哎啊，以 d 为圆心，然后这个 bc 纹半边，就这么一个圆，嗯，大概就是 这个样子吧，大概就这样。嗯，然后呢，咱们换个绿色啊，红配绿赛过屁，对不对？然后呢，我们就知道了，我要连接谁啊？该连接我这个啊，其实老师这个圆画的不是很标准啊，其实你们应该知道的，嗯，把它缩小一下， ok， 现在差不多了啊，就这样吧。然后我们来看啊，就是现在是不跟这个 a d 又有交点了啊，是他为一撇 b 一 撇又是五，因为他跟 b c 相等的，依旧勾三勾四，勾五等于三，这是三，那这把 d 一撇，它就不能是三了，为啥？因为整体是五，我这块是三的话，那这块就是五减三等于几？等于二，所以第二种情况五三或二出来了啊，然后最后一种情况怎么办呢？来，你看啊， c e 等于 bc， 哎， c e 等于 bc， 那 我们说了 c e 等于 bc， 一定 一定一个定点，一个动点，对吧？为啥？因为 c e 是 c 点是这个定点，而我们这个 e 点是一个定点， b 也是 b 是 一个定点， e 是 一个动点。那我们说了呀，当一定移动， 它俩相等的时候，而且我们还说了， c e 等于 b， c e 和 b e 就是 这个等腰三角形的腰啊，对不对？那你看另外两个定点，定端点 b c， 就 说明是这个等腰三角形的。啥呀？底，那怎么办呢？我们就知道了，要干嘛呀？ a d 还是 b？ 还在 a d 边上，那我们就是找到 a d 的 中点，然后往下做垂线， 哎，为什么呢？因为我们有一个定义，叫做中垂线上的点到啥呀？端点两边的距离是处处相等的，对不对啊？那我问你，是不是只有做中垂线才能让我这个 e 点的这个 e b 等于我这个 e c 啊，才能满足这种情况，对不对？嗯，所以我们就知道了。哎， e b 等于 bc 呢？ e 是 这个 a d 的 中点，那 a d 整体是五的话，那 e d 能不求出来了？就是获二分之五。 ok， 那 你看这个模型熟不熟悉？有的同学他可能是，哎，老师，我在这个第二十三题的二次函数第二个我也我也遇到过。当然了呀，它正常的话它这个模型是有一个名称叫做啥呀？ 俩圆一中垂。哎，就是在我们的第二、三题第二问有可能会出现，一般是什么情况呢？当你确定了就是我这个等腰三角形的动点的轨迹是两个圆的时候，那他第三种情况一定就是啊，就是沿着这个啥呀，他所在这条边做一条中垂线，懂 了吧？所以说俩圆一中垂，他比这个我们代数法析析法解密很多啊。其实有些时候几何法他就是比我们的代数法析析法要解密很多。那你仔细反复的去琢磨琢磨这道题。嗯，希望对你有所收获啊。

初三同学请注意，这类题必须要会圆切线证明相关问题，同学们先暂停一下视频，审一下题目， 那么这道题是证明切线，那么证明切线有两种方法，第一个有交点连半径正垂直，我们的方式是倒角。第二个无交点做垂直正半径，那么方法是全等，或者是用角平分的线性质去证明。我们来看一下第一问，求证 a、 c 是 圆 o 的 切线， 那我们看一下它到底是有焦点还是没有焦点呢？它这个地点就是焦点，它给出来了，所以我们利用连半径正垂直的方法， 先连接 o、 d 好， 连接上之后我们采取的是倒角。那我们看一下题目中给的条件，角 a、 d、 e 等于角 d、 b、 e 啊，这个角和角 d、 b 相等，角 d、 b、 e 标成角二，角 o， d、 e 标成角三，那么在这里大家一定可以看出来了，那么角一和角二是相等的 啊，因为它是等腰三角形，角一等于角二，角一又等于角 a、 d、 e 对 不对？所以我是不是可以等啊？代换角二等于角 a、 d、 e， 这样的话我就可以得出来一组角相等了。那么因为 b、 e 是 直径，直径所对的圆周角是九十度，所以角角二加上个角三等于九十度，这样我们就可以等量代换得出来，角三加上角 a、 d、 e 等于九十度 a， 我 们就挣出来这个垂直了，所以 o、 d 是 垂直于 d、 a 的 啊， o， d 又是半径，所以我们这 a、 c 是 它圆 o 的 切线啊，所以第一问就迎刃而解了。第二问，我们来看一下 c、 d 等于三， c、 f 等于一，让你求圆 o 的 半径，那么在这里老师要给你分享一个方法，如如果在圆的几何图形当中，它出现了两个直角三角形，并且又告诉你 c d 等于三， c f 等于一。那么这类题我们采用矩形法， 采用矩形法的方式去求这个半径，怎么做矩形呢？就通过点 o 做 b e 的 b f 的 垂线，我们垂足标个 m， 你 们用这个虚线去连接啊。那么利用垂直逆理我们可以得到 b m 等于 m f 啊， o d 是 第一个链接的，那这样我们就可以发现，那么 m c， m c 等于 o d， 它是不是等于半径 r 对 不对？然后我是不是就可以得出来 m f 其实就是等于二减一，因为这是一，这是三， 这样的话我是不是就可以得出来 b m 它等于二减一啊？然后 o m 它是一个三，因为这个 o d 四边形 o d c m 它是一个矩形， o m 和 c 等于三，那么 o b 又是 r， 我 们可以利用勾股定律 r 在 r 的 三角形 b m o 中， r 减一的平方加上三的平方等于 r 的 平方，这样的话我们就可以列出来 r 的 方程， 而解出来 r 等于五，这道题我们就迎刃而解了，想要必考题型清单的同学们，评论区请扣一。

各位家长，各位同学，大家好，我是数学吴老师，塘西二模的卷子呢，已经新鲜出炉了，最后的三道大题给大家做一个分析和讲解。 今天这条视频呢，我们先分析一下二十四题圆的综合来看一下这道题。 ab 和 ac 呢，是相等的，那也就是说我们三角形 abc 呢，其实是一个等腰三角形，所以我两个底角相等，立马就能标上 点 o 呢，是在 a、 c 上画了一个圆，经过点 c， 所以 这个点 c 呢，它是在圆。上图这个地方稍微有点偏差，分别与这两条边呢，又有一个焦点，一个是点 d， 一个是啊点 e， 也就是说这个点 d 呢，其实是在圆上， 然后 ab 呢，相与圆相切于点 j 这个地方呢，是一个切点。 当我们做圆的题，看到切点的时候，一定要连圆心， 借切点连半径得垂直嘛，这是我们做题的口诀，所以立马得到这个地方是垂直的， d、 f 和 ab 也是垂直的，所以这个地方呢，也是一个直角。第一小问，让正 d、 f 与圆 o 相切， 要去正切线的时候，我们先要把题看清楚，因为我们的切线呢，分两个类型， 有焦点连半径正垂直就可以了，或者说无焦点做垂直，正半径，你要看是哪个类型的。现在这个点 d 呢，它告诉我们是圆和这条线的交点，所以我们只要连半径正出来 垂直就可以了。好，连完以后，我们想倒这个地方是直角，倒一倒角就可以了。 连完 o、 d 以后，它和它都是半径，所以我这个地方又形成一个等腰，两个底角相等，那么这个地方也可以标一个点， 这边这个直角，我们能得到这个三角形，是一个直角三角形，他是直角三角形的话，两个锐角加起来就是啊，九十度，也就是说我这个地方标的点和圈的和呢，是个九十度， 那这个点加圈是九十度，那这边的这个点加这个圈是不是也是九十？他两个是九十，一百八一减，中间是不是剩个九十？所以我们从点加圈是九十度，立马能得到我们的角 o， 我们的角 o、 d、 f 也等于九十度，它是九十度，我就能说明我们的 d、 f 和 o d 是 垂直的，而 o d 呢，正好是圆的半径，如果一条线和圆的半径垂直，那一定就是切线嘛， 剩下的过程自己理清楚就可以了。我们再来看一下第二小问， a、 c 的 长度呢？给我们的是八，也就这个长度是八， 而一开始它就告诉我是一个等腰三角形，所以你这边是八的话，这边也是个几啊，也是个八， b、 f 是 一，那上面呢，就剩个七了，也就是 a、 f 的 长度就是个七，算阴影部分的面积。在这个地方，阴影部分 也就算这一点点吧，这一点点的面积现在呢特别好算，我们只要用 o、 d、 f 这个直角三角形剪掉里面这个扇形就可以了。 那我们要算这个三角形的面积，先判断一下它是不是等腰直角三角形。直角呢？我们第一问已经正出来了，是不是等腰直就可以了？这个地方是九十，这个地方呢也是个九十，这个地方我们正了九十， 所以我们的四边形 o、 d、 f、 g 三个角是九十矩形，而这条边和这条边都是半径长度相等，有一个四边形是矩形，邻边又相等，那么它一定是啊，正方形。所以我们首先得到第一个结论，就是我们的四边形 o、 d、 f、 g 为正方形， 如果它是正方形的话，那我就能得到这个角肯定是个四十五度。因为正方形的对角线还是角平分线嘛，所以我们现在算阴影部分的面积就特别简单了，我们阴影部分的面积 立马就会变成三角形 o、 d、 f， 它是一个等腰值，只要知道半径的长就可以了，减掉里面的扇形 o、 d、 h 就 可以了。而扇形的圆心角知道了，半径知道就可以了，所以我们现在只要能知道圆的半径就行。 半径我如果把它设成 x， 那 所有的半径的长度都是 x， 所以 这个地方也是个 x， 这个地方也是个 x。 长度标一标，再看看， 整个长的是八，下面有个，一有个 x， 那 上面就剩个八减一，再减 x， 也就是七减 x， a、 g 的 长度就知道了。这边 a、 c 呢，整个的长度呢，也是个八，下面 oc 是 x， 所以 我们的上面剩一个八减 x 呗。标完这个长度，我们求 x 的 方法也会了，这个三角形里面三条边呢，我们都知道了，并且它是一个直角三角形，勾股定力去求长度就可以了。好，我写到这边吧， 所以我们立马就可以得到，换一个颜色吧，这儿七减 x 的 平方加上个 x 方，等于八减 x 方， 然后把这个 x 解出来就可以了。这边呢，七七四十九呗，减掉中间项，二七一十四个 x， 加上一个尾平方，再加尾平方就可以了，这边呢就是八八六十四，减掉中间项十六 x 加个平方。 平方呢，先抵消掉一个吧，这个减十六， x 移过来，那就加十六，这边有减十四加十六，那我加两个 x 就 可以了。平方呢，放到前面吧， 然后六十四移过来就可以了，这边有个四十九，六十四移过来，减掉六十四，那就还欠了十五个，负十五个就可以，立马我就能看出来十字相乘吗？所以我们得到 x 加五乘， x 减三等于零，那我这边就可以得到第一个 x 呢，肯定等于负，那他肯定不行，要舍掉第二个 x 呢？等于三，也就是我们的半径是几是三，搞定， ok 吧？那半径我知道以后，那我三角形 o， d， f 的 面积等腰值两条直角边一乘乘二分之一就可以了。 减掉扇形的面积三百六十分之 n 四十五度 pi r 方，也就是三的平方，前面我算出来是个二分之九，后面三百六十分之四十五，那不就是八分之一吗？ 八分之一乘三的平方是九，那不就是八分之九，然后 pi 写到后面就可以了。好，这是我们圆的这一道题，第一问和第二问的其实难度都不太大 啊，都不太大，我们下个视频呢，来分析一下二十五题二次函数的综合，有想听下一个的，或者说最后几何压轴的，你先关注一下，等我发了以后你就可以看到了。好，拜拜。

同学们大家好，今天我们讲一下隐形圆，我们今天讲第一个小点，就是定点定长，它的意思呢就是一个点 p， 比如说到这个点 o 的 距离是一个定值， 这个点 o 呢是个定点，那么这个点屁的轨迹呢？就是以点 o 为圆心，这个耳为半径的这么一个圆。 如果说我们把点屁的轨迹确定出来，我们解决相关的最值问题就容易很多。比如说我们来看一下例题， 如图，在矩形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 呢等于四，那我们可以标记一下 a、 d 呢等于六，其中呢点 e 是 a、 b 的 中点，那么可以得到 e， b 等于 a， e 应该是等于二的， 那现在点 f 呢？在线段 bc 上面动，将三角形 e， b、 f 沿 e、 f 折叠，得到 e， b 一 撇 f， 然后呢连接 b 一 撇 d， 那 问 b 一 撇 d 的 最小值， 那这里面我们要去确定点 b 一 撇的轨迹，那 b 一 撇相关的有哪个线段是确定的呢？那么 b 一 撇 e 是 等于 b， e， 那 就是等于二的， 那如果说我们考虑定点定长点 b 一 撇是不是到 e 的 长就是等于二的？是不是就是以 e 为圆心，二为半径的这么一个圆弧？ 那如果说确定了这个 b 一 撇的轨迹，那我们是不是可以连接 e、 d， 当 b 一 撇在哪里呢？在 e、 d 这条线上的时候，这时候我们的 b 一 撇 d 是 不是就是最小的啊？这时候 b 一 撇 d 是不是等于一 d 减一 b 一 撇，那是不是一 d？ 我 们根据勾股定律，是不是应该是根号下 a、 e 的 方就是二的方，加上 a、 d 的 方就是六的方，再减去半径就是二， 等于根号下四十减二等于二，根号十减二，那我们写一下答案，就是二根号十减二。那这道题目呢，我们再来补充另外一个方法。 我们在解决最值问题的时候呢，也有一个非常常见的方法，就是在三角形里面， 如果两边是确定的，我们第三边就是有范围的， 第三边有范围， 那第三边 大于等于两边之差， 小于等于两边之和。 那我觉得在我们这道题目里面呢，我们可以看哪个三角形啊？可以看三角形， 三角形 e b 一 撇 d， b 一 撇 d 应该是大于等于这个 e d 减 e b 一 撇，当然应该要加上绝对值，那它的最小值就是两边之差。那我们后面的题目呢，其实不一定有这么简单。 为什么我们刚才画的这个轨迹啊？因为点 f 点 f， 它的它的运动轨迹就是在 b c 这条边上，所以我们这个 b 一 撇的轨迹其实不是整个这个半圆。 那我们怎么去把这个 b 一 撇的轨迹确定出来呢？是我们需要解决的一个 关键问题，那这一题是不影响啊。呃，过这个点 c 做这个半圆的切线啊，大概到这个地方来，因为这边是垂直的，那其实真正的轨迹应该在这个地方， 所以只有这么一段圆弧。嗯，大家可以思考一下，那我觉得理解轨迹，理解定点定长 是我们解决这种坠掷问题的主要思路。 那好，我们今天就讲到这里。

哈喽，各位同学大家好，我是数学吴老师，今天给大家带来的是北塔二摩的二十四体圆的综合，我们一起来看一下。这道题给了一个三角形 abc， 告诉我们角 a、 c、 b 呢，是九十度， 又给了一个角的角平分线，角平分线，立马得到两个角的大小相等，画了一个圆，这个圆呢，经过点 b 和点 d， 两个点原先落在了 a、 b 上面。第一小问，让你去正圆的切线。 正圆的切线，我们首先要搞清楚线和圆有没有交点，因为有交点，我连半径正垂直就可以了，如果没有交点，没有交点，我需要做垂直正半径， 他是两个类型的。那这道题圆和线有没有交点呢？有， 这个地方清楚的告诉我们，圆经过了点地，而点地呢，又在 a、 c 上面，所以点地呢，是这条线 a、 c 和圆的交点，那有交点，我们要去正切线， 需要连半径，所以我们把 d、 o 做一个连接，连完 d、 o 以后，它是半径，它也是半径，所以我们得到 b、 o、 d 这个三角形呢，就是一个等腰三角形，那这个角呢，和这个角相等，都是一个底， 立马得到这个角和这个角呢也相等，而这两个角呢，正好是啊，内错角， 内错角相等，两直线平行，平行以后，我把这个地方的九十度就可以挪到这个地方了， 所以我们立马得到 a、 c 和半径 d、 o 是 垂直的，垂直一定会相切，剩下的就是你把这个思路完完整整的写出来就可以了。 如果你还不会写切线的证明过程，你联系我，或者说写完有没有问题，你发给我，我给你看。接下来我们再看第二问。第二问呢，这个地方给了这样的一个条件， 这个条件我们在做题的时候，首先你要把它转移成比的关系。 为什么要转移成比的关系呢？因为我们在初三的这个地方，我们学完相似以后，谁是谁的几倍，其实就是谁和谁的比值是多少， 那涉及到比值的东西，考的就跟相似会挂钩了，所以我写成比的形式，方便我去找相似三角形对应边乘比例的比值。 第一问的辅助线我们划到旁边这个干净的图上来，两个垂直也挪过来， 那你看我现在呢，得到他和下面这条边的比值呢，是根号三，那我就看他们所在的三角形相似还是不相似就可以了。 第一问呢，我们已经得到了这两个角相等，而对顶角相等我可以直接用，所以我们立马得到这个三角形和旁边这个三角形两角对应相等，两三角形就会啊相似。 那接下来我们看一看，立马得到。我就简单写了，三角形 b、 e、 c 相似于三角形 d、 e、 o， 所以 我们现在知道的是 c， e 和 o， e 的 比值是根号三，那其他的对应边的比值呢，也是根号三，所以 bc 和 d、 o 的 比值是根号三，我们 b， e 和 d， e 的 比值呢，也是根号三。 至于要用后面这两个的哪一个，你等一下看求的东西哪个方便你去用哪个就可以了。我们现在要求的是这个角的正弦值，也就是这个角， 那你求正弦值，首先放到直角三角形，它现在在两个直角三角形大的三角形 a、 c、 b 里面，如果能知道这条边和这条边的长度，两个比一下就可以了， 也在小的直角三角形 a、 d、 o 里面知道它和它的长度，做一个比值也可以。但是这道题没有数据， 只有比值，说明你要设未知数。设未知数的时候我们也是有技巧的，小学或者一上初一的时候就会告诉大家，设小不设大， 设加，不设减，设成不设除，所以我们挑小的边去设， 挑小的边去射的时候去尝试看看怎么样好算这道题我们射 a、 o 的 长度会特别好算， 为什么会特别好算呢？我们第一问得到这条线和它是怎么样平行的，所以我们立马是不是也能得到这个小的直角三角形和我们大的直角三角形也会怎么样相似？ 那对应边是不是也成比例？它比值是多少呢？这条直角边和这条直角边是不是对应边？ 长的比短的是不是根号三？所以我们的斜边长的比短的也是根号三，就是它是它的根号三倍。所以我设 a o， 如果是 x， 那 我们的 ab 的 长度一定是啊，根号三个 x， 那剩下 b、 o 的 长度我就能表示出来。 b o 的 长度我就可以表示成根号三 x 减掉 x， 那 b o 是 半径，我们 d o 呢？是不是也是半径？所以 d o 的 长度也可以用根号三 x 减 x 来表示。那这样的话，你看我们这个角的正弦值 就等于所对直角边比斜边，我换成这根两的比值就可以了。 上面用根号三 x 减 x 代替，下面是谁呢？ x 上下同时把 x 除掉，前面除完以后剩 a， 根号三，后面剩个一，所以它的正弦值就是根号三减一， 剩下的把这个思路转换成完整的过程就可以了。好，这道题呢，我们就讲到这，拜拜。

好同学们快要中考了，这条中考压轴题的预测视频，大家快来看一看， 这五道题呢，是老师觉得二六年最有可能考的五道题，大家呀，多看一分钟我们就会多涨四五分。 因为最近几年呢，圆的综合难度它是一直在下降的，所以老师会选择一个平均难度的题目来给大家进行一个讲解。而几何探究它的综合难度是一直在上升的， 所以呢，今天我们处理的那个难度也是不小的好材料探究呢，他是我们近几年中考的一个宠儿，他的考频分值占比那可是一直在上升的，所以说这种题型我们是一定会去讲到的。 而实际应用题呢，老师主要是想和大家补充两种，一个的话就是三角函数的应用题。 三角函数的应用题，我们平常往往考的就是仰角、俯角、方位角，对吧？包括像我们这种坡度的问题，但是呢，我们近几年有一种新题型，也就是我们的实际应用。 什么是实际应用呢？比方说我们的这个台灯问题啊，或者说我们这个行李箱的问题啊，对吧等等，他们呢就是不涉及任何的什么仰角、俯角、方位角或者是坡度问题，这些，他们呢就是和我们的实际生活联系的是比较紧密的。 第二种我要说的呢，就是二次函数的应用题， 二次函数的应用题，比方说我们平常要考的就是说让你求这个利润的最大值呀，或者是成本的最小值呀等等这些问题。但是呢，我们近几年有一个新题型，叫做诡计类。 什么是轨迹类呢？比方说我去打篮球，对吧？投篮，那么这个篮球他的轨迹呢？能不能进筐？或者说比如说我去打羽毛球，羽毛球他这个轨迹会不会跑到场地的外面去呢？ 这就是我们所说的轨迹类问题，因为呢，今天我们只讲的是五道题，所以啊，你这个三角函数，它的题型和材料探究又是极其的类似的，所以说今天我们会给大家讲到的就是二次函数它的轨迹类的应用题。 好，那么第五个的呢，就是二次函数的压轴题，最喜欢考的是哪些题呢？一个的话就是几何最值， 还比较喜欢考的就是存在性问题。 但是这两种题型呢，在我们最近几年里边，它的热度是一直在下降的，现在呢，我们全国很多地区有一种新题型，什么题型呢？就是寒餐问题。 寒餐问题呢，它可能会考什么呢？它会考可能会考到寒餐的临界值问题。 还有什么呢？就比如说可能会考韩餐的区间最值， 还可能会考到韩餐的定结论问题。 这里呢就是最近几年一个新的题型，而它的热度呢，一直是在上升的。那么今天呢，我们要讲解的就是韩餐的区间最值问题。

好的好的，同学们，咱们一起来看一下嘉安区刚刚考完的五调啊，也就是移模，相对来说啊，这套卷子应该是比五常要简单一些的啊，我们这个整体上 难易程度不算特别大啊，所以说咱们一起来剖析一下。呃，除了二十三题的最后一问，其他题都属于常规题型，呃，都是可以呃，就给我时间，我们都是可以做出来的，是吧？好，我们现在一起来看啊。好，第一问，轴对称图形，选 c。 第二问，呃，生产流水线是一个随机事件，然后内角和是三百六十度是不可能事件，得选 c。 第三问，俯视图，注意这个上面有一个点，有一个尖，所以要选 b。 第四问，呃，是这个科学技术法啊，十点一五亿，那我们把它先写成什么呀？哎，这个正常的形式， ok， 然后你再从这个一开始数一啊，一二三四五六，所以选 c 啊，这是第四题。 好，第五题计算啊，这个很明显啊，应该是选四 d 啊， a 的 平方乘 b 的 整体的三次方啊，就是分别给它乘方就可以了，所以是 a 的 六次方乘 b 的 三次方啊。第六题，呃，它这个图在这里 啊，就是问你就告诉你角一啊，他是二十度，然后角二，他是这个一百一十五度，然后问你角三的度数，然后我们其实在这里直接画一条线就可以了啊，画一条竖线，把它把这个角三拆开来看，就这个地方就是二十，对吧，所以这个地方应该是六十五度啊，那角三就是二十加六十五，就是八十五度， 所以这个题应该是选 a。 第六题啊，第七题是这个概率问题啊，你们还是按照那个画树状图的方法，把每一种情况都罗列出来，他要求两次都必须是白球。所以，呃，我都给你们写一下啊，红下面有三种， 绿下面有三种，对吧？然后是白一下面有三种，白二下面也有三种， 那我们要的应该是谁啊？你这个白一和白二肯定是要考虑的，总共一共是十二种，那白一的有一种是红，有一种是绿，还有一种是白二，对不对？然后这个白二呢？有一种红，有一种绿，还有一种是白一，所以说只有这两种情况是可行的。 哎，一共是十二种情况，也就是六分之一的概率，所以选 c 啊。第八题，直接跟我看这个就是一起看这个图就可以了啊。 第八题他问的是你这个快递车啊，啊，这是快递车在这里卸货啊，在这里也卸货，反正这两个时间是相同的。然后他就问你呢？说这两个卸货的时长应该是多少？我们现在有这么一个一次函数啊，相对而言，我们是确定这个车的速度是不变的， 也就是说如果你知道这条线，那这条线他俩斜率应该是完全相同的。 ok， 那 这个时候我们就可以采取一种方法，你已经知道这个地方是六是三 a 了，对不对？那我们这个正比例函数的这个一次正比例函数的解析式应该是 y 等于二分之 a x， 对 吧？ ok， 这个是我们先把这个直线求出来，那这个时候我们可以直接给他延长上去，因为你要知道这两条斜率是完全相同的，所以这里形成的是一个什么呀？平行四边形，对不对？好，那我们因为知道这个纵坐标是八 a， 所以 可以算出来此时所对应的横坐标，也就是在这个时候他花的时间应该是多少。 哎，好，我们知道是八 a 之后，把这个八 a 带进去，八 a 等于二分之 a 乘 x， 好， 解出来， x 应该是等于十六的，这就说明什么呢？因为我在此时此刻这个地方应该是用了十六分钟，对吧？十六分钟，其实你相当于是这条直线用了十分钟 的时间，对吧？是不是也就可以理解为这个？黑色的线用了十分钟的时间，对吧？是不是也就可以理解为这个？呃，黑色的线用了十分钟的时间呀？ 好，那这里我设为 t， 这里我也设为 t， 总共的这里是用了十分钟的时间。那你列个十字不就行了吗？二 t 加十要求等于多少？一共是二十六分钟减六分钟，是不是二十分钟啊？所以 t 算出来应该是五。哎，所以这个题应该是选二 b 啊，注意这个题啊，这题是选二 b， 第八题。好，我们继续 第九题。第九题，你看，又是一个翻折的。嗯，翻折问题。好，翻折问题重点就在于你怎么样去进行角度转换，对吧？我们一起来看一下啊。首先呢，这个 b、 c 是 等于八，那这一半的四应该用得上 啊，这个是垂径。好，接下来他说贪婪的角 a、 b、 e 是 等于一比四的，那现在这种情况下，你肯定是看不出来的，因为这个角他啥也不是，对不对？好，我们接下来去充分的进行角度转换。首先把 b 跟这个点连起来。好，我们这个就叫 m， 因为你知道这个地方是圆周角九十，对不对？好，那我说白了，这个地方我把它记做阿尔法，那， 因为这个地方啊，就是九十减阿尔法，所以说这个角度是不是也应该是阿尔法呀？因为圆柱角为九十嘛。好，来，同学们，你注意啊，我现在知道这个地方是阿尔法，人家让我求这个 o a， 也就是求这个半径，好，我这个时候换一条颜色啊，换橘色，我把半径给我连起来， 哎，我把 o b 先连起来。好，是不是可以说明这个角度也为阿尔法？因为你这里是一个等腰三角形嘛，对吧？就是这个角也为阿尔法。好，因为我是进行了一个翻折，所以说翻折之后 这边是不是也为阿尔法？那这个时候是不是形成了一个鸡爪，就是我的角啊，我给你们写出来啊，看不清的角 e、 b、 d， 应该是等于我的角 a、 b、 o 等于阿尔法，对吧？这里是不是有鸡爪模型了？鸡爪模型什么意思？这俩角相等，哎，人家给的这个角 和这个角是相等的，那这题不就一下子就变在难了，这角度转换就转换过来了，能看懂吗？哎，我贪占的角 a、 b、 e， 其实就是贪占的角 o、 b、 d， 对 不对？哎，我一比四，在这里一样去用，它是四，它就是一，它就是根号十七，好，半径就选出来了，选二 b， 哎呀，很简单吧，这个题啊， 好，第十题啊，大家看着这种，说白了这种文字描述的第十题是各种各样都可能会考，对吧？ 四调的时候考进制啊，五调又考这种什么天真数，你也其实不需要管，他都是去找规律，根据人的情况，就是这些题你做的过程中，你只需要考虑一点，他有没有什么隐藏的一些条件。 哎，你就比如说二进制，我们之前说的二进制，你这个数不可能大于二的，明白吗？哎，你五进制，你是不可能大于五的，你要有这些条件，有这些前提。好，具体的这个概念就是他这个天数为 a， 百位数为 b， 十位数为 c， 个位数为 d， 然后呢？有一个什么条件呢？就是千比个位大六，也就是说 我这个 a 比 d 要大六，好，我这里写出来 a 减 d 应该是等于六的 好，这个是第一个条件，第二条件叫百位比十位多二好，也就是百位 减 c， 十位应该是等于二的。有这么两个条件，咱先把它写出来，然后他给了一个 pm 和 qm， 好 不？不知道是啥，对吧？不管他啊， pm， qm， 他 说 pm 除以 qm 能被七整除，那能被七整除呢？七十四，二二三七二十一，这种数对不对？好，那我们来看一下啊，他想表达的是什么？首先这个题我们有个技巧， 哎，就是你想想，你现在有 a、 b 有 a、 b、 c 的 关系， a、 b、 c、 d 的 关系，我是不可以先进行化简，来我们这边正常打开三 a 加三， b 加 c 加 d， 我 们可以把 b 和 d 都统一换成 a 和 c， 对 吧？因为你这样子，你可以去减减少你这个计算量嘛。好，化简的这个过程我就不写了啊，你自己去代化简之后得的是四 a 加四 c， ok， 那 这个时候我们就把 pm 比 qm 直接写出来，就是四 a 加四 c 除以 a 减五。来，同学们，这个时候技巧在这里了，你要知道 a 减五， 你 a 是 什么？是一个一到九的数字，他因为他是千位码，对吧？他不可能说超过十，所以我这个地方， a 他 能小于五吗？你想想，也就是说，你 a 减五，是不是天然要大于零？ 来，继续想一下啊， a 减五，千人大于零，他要么是六七八九，这些数都可以，是吧？但是你看题啊，你看选项，你现在只有九，只有八，你还用分析六和七吗？咱就不分析了好不好？咱就直接从八和九上入手，对吧？你怎么样？去考试吗？好，然后我在这里给你们想啊，首先，当我们的 a 等于八的时候， 哎，我们来验证嘛。好， a 等于八的时候，你的这个 pm 等于什么呀？你刚刚是不是化简了？哎，我们直接直接给代入啊。呃，等于四乘以八加 c， 对 吧？把这个四提出来， a 加 c， 好， 然后我们的 qm 是 等于什么？是不是直接就告诉你了，就是就是三，对吧？好，也就是说现在四乘八加 c 啊，除以三这个数，它得被七整除。来，同学们，你想一想，你这个八加 c， 你 得是三和七的公倍数吧，最小公倍数吧。所以是不是八加 c， 它只能等于二十一，它才能被七整除，但是这个时候你的 c， 你 根本就不满足条件啊，对吧？二十一的倍数啊，你根本就不满足条件，所以你 a 等于八，你就直接舍得就可以了， 好吧，然后呢，我们再用 a 等于九来看一看， a 等于九加 c， 你 的 qm 此时是等于四的， 而这个时候你的 pm 比 qm 看好了，是不是就等于九加 c， 因为四给约了。好，来，九加 c， 要想被七整除，不能是七吧。 可以是几啊？可以是十四，所以九加 c 等于十四就可以了。那 c 等于几？五就直接出来了。 c 等于五，那你看 a 等于九， c 等于五，直接选二 b 就 可以了。明白， 咱们第十题继续看填空题啊。第一题三的相反数负三，十二题要求找一个反比例函数在第三象限，是吧？所以 k 只要大于等于大于零就可以啊，我们取一。好，十三题，我们直接去分母啊，等式的两边同时乘 x 减一， 这边乘了 x 减一，注意要编号啊。好，然后最后约掉 x， 发现应该是等于零的。 ok， 所以 它的解为零。 十四题，呃，求 a b 之间的距离啊。那这个非常简单了，这个三十度，四十五度，我们知道这里是一百，那这就是一百倍根号三，对吧？那这个地方应该也是一百，所以一百倍根号三啊。这里把它自己乘这个一点七三二，注意结果精确了一米，最后的结果应该是二百七十三米。

我们一起来看一下二零二六年厢房二模二十二题，还是无刻度尺啊？无刻度尺画图。那么在这样的题里面，我们说四类垂直线段乘比例，九分线对称，我们来看看这考什么。 首先是做一个角 a， d， c 等于角 b， a c 啊，角 b， a， c 的 弹性值二分之一，那么 a、 d、 c 同样是二分之一，所以 a、 c 的 长是二，那么我们应该取的是 c， d 的 长，应该是四，所以说在这里，地点在这 a、 d， c 等于角 b， a、 c 啊，那么 a 逆时针旋转九十度，所以说这就是做垂线，那么一个是横一纵二，那么这个就是横二纵一， 逆时针旋转，那么我们得到这个点 e 有 点 e， 以后做 e， f 垂直于 a d， e， f 垂直于 a， 那么这个 a、 d 是， 我们说横是四，纵是二，所以说也就是一比二的关系，所以因此在这里面还是做，我们说这个纵是二，横是一，二一， 我们说这个是点 i 吧， 我们要的这个点是 f f g 吧， f g 被标错了啊，这个人说这个 f 点在谁上呢？ f 点，这个交作 e， f 垂直 a d 于点 f， 所以 说这个 f 点在 a、 d 上啊，被标错了，那么求 e、 f 的 长啊，这标错了，而且你 e、 f 旁求不了 e、 f 的 长， 求一 f 长，一个是通过导角，三角函数求啊，三角函数求，那么我们来看看这导角是多少？在这里面解法一，三角函数 r 法，二 r 法，像公式法一样。 在这里首先我们说角 c， a、 b 是 r 法，设 那 a、 d， c 也就是 r， 那 么很明显这个 b， a、 d 是 九十度减二 r， 那 么和它互余的这个就是二 r， 那 么弹进的 r r 发是一比二，弹进的 r r 发就应该是四比三，所以 a、 f、 e 这个三角形三边的关系三四五， 那以及 a、 e 的 长， a e 是 根号五， 所以那么 e、 f 的 长就等于根号五比五乘四啊， 所以五分之四为根号五，是我们说的 e、 f 的 长。接法一啊，接法一，那接法二， 在这里大家仔细观察的话，不难发现 a、 d 啊，这有个焦点，我们取一下这个焦点，它在这里面，它的一半 h， 很 明显在这里面 a、 h、 e 等腰三角形，所以 在这里三角形 a， e、 h 等腰三角形。切角 f、 e、 h、 r， 我 们成这样的图形叫半个角 c 形啊， 那 e、 h 已知 e h 等于二啊二，所以弹性的二八一，一比二，所以因此在这里面 e、 f、 e、 h 比上根号五啊， e h 比根号五乘二，所以是五分之四倍根号五， e、 f 的 长 解法三， 面积法， 三角形 a、 e、 h 的 面三角形 a、 e、 h 面积等于二乘二啊，二乘二啊，底乘高，同时还等于 a h 乘上 e f， a h 是 根号五，所以四比根号五啊，四比根号五， 这个面积还可以用谁呢？ a e、 d 啊， a e、 d 这个面积用 a d 乘上 e、 f， 这是一个求法。另一个 在这里面，三角形，这个面积可以用大的外面四四圆形面积减去两个小三角形面积啊，这个麻烦咱们不推荐，但是可以用四种方法啊，面积大。

大家好，我是肖老师，我们一起来看一下道理临摹二十六题。在这个题里面，首先第一个，我们是通过已知条件有一个面积啊，面，那么我们要通过这个面积求得这个，我们如果设这个角 c、 d 弧所对的是 r 法，那这边就是六十度减 r 法啊。这个题里面啊，首先有一个要交代的是， abd 是 正三角形， 那么在这里通过面积，我们想办法，它给的是 b、 c、 h 这个面， b、 c、 h 面积呢，一个是求得这个 r 法角，另一个想办法求得 b、 c 的 长啊，或者说求这个角 b、 a、 c 都可以， 那么如果有了 b、 c 的 长，这个题里面，接着我们求这个特殊弦啊，特殊弦，比如像这个 b、 d 的 长，或者是 a、 c 都可以， 那么有了这个 b、 d、 a、 b、 a、 d 啊，这个都是六十度所对的弦，定弦定角，求直径，完事了啊。这个题， 那么我们是怎么通过面积来求的这个 b、 c 的 长呢？首先第一个，我们通过手拉手，在这里明明有正三角形，同时又有六十度，所以我们建造两个旋转手拉手的这个正三角形， 那么黄色三角形和蓝色的蓝色三角形全等以后，得到对应边， a、 t 和 c、 d 相等， 那么 a、 t 和 c、 d 相等，又有一个公共角，所以蓝小的三角形全等全等以后，得到对应角角， a、 t、 h 等于 b、 c、 e 等于六十度，那恰好等于 a、 c、 b， 所以 h、 t 和 bc 相平行， 由了平行以后，我们就可以把这个面积转换过来了，把这个 b、 c、 h 这个面积变成谁了呢？变成了 b、 c、 t 平行线间的面， 那有了一个 b、 c、 t， 我 们说这个正三角形的面积是比较好求的，直接可以求出 b、 c 边的长，这是第一种方法，第二个方法，我们说这个在这里面给的是 e、 d 和 a、 h 相等，那么很明显在这里面 b、 e 和 b、 h 就 相等， 并且我们可以通过倒角不难得到角 a、 e、 b 和角 h、 b、 c 相等，所以一边一角过，全等， 两个三角形全等啊，全等，那么全等以后，我们就可以得到这个三角形，这个 b、 c、 h 的 一个是底边 b、 c， 一个是 b、 c 的 高，我们就可以得到了啊， b、 c 的 高等于 b、 c 的 二分之根号三啊，二分之根号三啊，利用这个底乘高啊，一个是 b、 c 是 设 b、 c 是 二 n 吧，设 b、 c， 二 n 好 写 h、 i， 那 就等于根号三 n， 所以 底乘高啊，可以求出面，那么就可以求出 b、 c 的 长， 有了 b、 c 的 长，我们可以求 a、 c 啊，这块可以不用啊，对角互补角分模型啊，不用，直接我们就可以去求 b、 d 的 长啊，有两边一角，所以三角形 b、 c、 d 一个是可接三角形 a、 c、 d 可接，三角形 a、 c、 b 也可接，都可以啊，你选择哪个三角形都行。 那么有了弦以后，我们通过这个定弦定角，直接就可以求出直径。

看一下二零二六年的 r 乘一模二十二体无刻度尺画图，在这里，首先第一个画垂直啊， a c 和旋转九十度啊，旋转顺时针旋转九十度啊， 那么三四，在这里选择一个横三纵四，这就是地点 比较简单。第一问送分， t e 在 b c 上，然后 c e 和 b e 啊，之间的比是 三啊，三倍，那么 c e 是 三， b e 是 一啊，因为这个全长是四，这个直接画就行啊，这个不用这个分线的乘比例，这块等于未考， 然后连接 a， 然后 a e b 和 c e f 镜面角，镜面角， 这个镜面角比较简单啊，这个镜面角比较简单，直接画一个，这个翻折就可以了 啊，这里面注意一下啊，这个点不是 f 啊，这个焦点才是 f 在 a c 上啊，这有些时候很多同学这个做题以后莫名需要扣到一分，都是这样的原因， 没有标这个点，没有标正确，那完事了，这个题，那标这个题呢？往往现在这个题呢，我们不会出这么简单，往往会呃，追问你这个 e f 的 长啊，大家可以把这个作为一个呃研究对象啊，作为研究员，因为在这里面，我们已知 a e 的 长，求 e f 的 长啊，求 e f 的 长。 这个第一眼看还真不容易看出来的啊，这个一三 啊，半边角模型， a 型啊， e f 三角形， e f c 半边角，这个，这个角是二二法，这个角是九十度减二法啊，这还不是半边角 a 型， 这个叫什么呢？二二法，九十度减二法啊，这个不能叫这个半边角 a 型， e c 已知啊，这个三角形可解啊，所以 e f 可求啊， e f 可求啊，但是呢，需要求一下。

这道题是今年西城一模的原综合真题，百分之九十五的孩子啊，拿不到满分。好同学们，我们来看题啊，他说如图啊， a、 b、 c、 d 均为圆 o 的 直径，也就说 a、 b 是 一个直径，然后 c、 d 是 一个直径， 然后做这个 a、 e 和 c、 d 是 互相垂直的，也就说这个 a、 e 和 c d 垂直。这有个角是直角与点 f， 然后连接 ac， 他 把 ac 给连上了，然后过点 b 做圆 o 的 切线。比如说这个角度啊，他应该是一个直角， 因为 c、 b 是 圆 o 的 切线啊，然后交 a、 e 的 延长线与点 j。 第一小问让我求证的是角 c a e 这个角， c a e 这个角，那就我们给它标一下啊，应该是这个角就是这个点角，它等于的是二分之一倍的角 a o c 啊，等于这个弧角， 那我们应该怎么正呢？朋友们，因为我发现啊，朋友们，这个点它是一个 o 点，这是垂直，所以根据垂径定律，这个条线段的长度和这个线段长度相等，所以我立刻想着去把 c e 连上， 因为等弧它可以对这个等弦，所以因为这个弧 c、 e 和我们的这个弧 a、 c 相等，所以这两段它应该是一个相等的关系。那这个是点角，那这个角它就应该是一个点角， 所以我们再来看一下，因为弧 a、 c 是 我们在圆当中的一条公共的弧，所以一条弧所对的圆周角和圆心角之间是应该是一个一半的关系。第一问就正完了啊，然后第二问，让我们去连接第 e， 咱们把第 e 这个线给它连上， ok， 那 当我们连完这个 d e 之后呢？因为 c d 啊，他是这个远 o 的 直径，所以直径所对的圆周角应该是九十度，我们能够得到的应该是这个角度，他应该是一个直角啊。 呃，然后他告诉我 d e 是 四倍根号六，这个 d e 的 长度是一个四倍根号六， 然后扣散引角 c a e c a e 正好是这个点角，它的这个余弦值是根号六比三，然后让我们去求的是这个 e j 的 长度，这个 e j 啊，求这一小段啊， 那我们应该怎么做呢？朋友们，当我们知道直角的时候，就可以用这个点差去标下图，所以呢，我们的突破点在哪里？还是在这朋友们，这个图当中，所有跟这个角跟角 c a e 相等的这个角，它的余弦值应该是一样的， 那么我们可以说这个角是一个叉角，朋友们，根据这个角是一个直角，所以这个角它就应该是一个点角，这个角是一个直角，所以这个角呢就是一个叉角，这是直角这点角，所以这个角它应该是一个叉角。 下面我们就可以在这个 r t 三角形当中，我们看一下咱们给的这个边啊，是这个 e d， 所以 先要在这个直角三角形当中去求一下，我们能够求出什么呢？朋友们啊，咱们来求一求啊。也就说第二小问，咱们在这个 r t 三角形 e f d 当中 应该是 cosine， 咱们这个角就是 f d e f d e 这个角它应该等于的是邻边比上斜边，所以等于 d f 比上它的斜边就是四倍根号六， 然后它应该等于我们这个 cosine 角 c a e， 然后应该等于一个根号六比三。 好，那我们就可以利用这两个式子，同学们，我们看能求出什么呢？咱们是不是可以去求一下这个 df 的 长，所以是不是应该就是三个 df 是 四倍，刚好六乘上一个刚好六，所以是四乘六，等于二十四，所以我们能够求出 这个 df 的 长度啊，它应该是一个八，然后这个 d 的 长是四倍，刚好六，我们就可以知道这个 e f 的 长是一个四倍，刚好二， 然后接下来这个 e f 的 长，它是一个四倍根号。那么在这个 r t 三角形 c f e 当中，我们还可以去用这个相等的两个角的三角函数值相等， 所以呢应该是 cosine 角 c e、 f， 它等于 cosine 角 c a， e 这两个角相等啊，它的三角函数值相等，那我们 cosine 值应该是邻边比，斜边是四倍。根号二比上 c e， 所以 它应该等于的是根号六比三， 所以我们立刻可以去求出咱们这个 c e 的 长度，所以 c e 呢，就等于四倍根三。 ok， 朋友们，这个 c e 的 长度啊，它就是一个四倍根号三。 然后我们可以再利用勾股镜里去求一下咱们这个 c f 的 长度，所以 c f 的 长度就等于四，好，这个 c f 的 长就是四，那么我们就发现这个直径就出来了，所以咱们这个 c d 和这个 ab 相等，然后它应该都等于的是十二， ok， 等于十二，那么他是十二。之后 a o 和 ob 相等，就应该等于六， a o 等于 ob， 然后他应该等于六。朋友们，那么下面我们要求的是这个 e j 的 长度，这里边有一个反 a 字形相似，我们下面把这个相似三角形这个列一下，应该就出来了啊，咱们写一下这个相似的过程， 我们找到这个反 a 字形相似，所以应该是三角形 a f o， 它应该就是 a f o 这个三角形，这个 a 角是公共角，这是一个直角，所以这两个三角形相似，那么 a f o 这个三角形和我们的这个大三角形 a b g 这个三角形相似， 那我们现在要求的是谁呀？要求的是这个 e j 这个边，那相似三角形对应边是成比例的，所以我们来比一下，应该是 a o 比上 aj， 然后呢？对应边成比例啊， a o 比上 aj， 那 应该等于的是 f o 比上一个 b j， 等于 f o 比上 b j， 然后还应该等于的是 a f 比上一个 ab， 那 相似三角形对应边乘比例。咱们写完之后看一下，我们要求的是要求 e j， 要想求 e j 的 话，我可以想办法去求出来这个 a e 的 长度，因为 a f 的 长度也是一个四倍根号二，所以它加一块应该就是一个八倍根号二， 只要我能够求出这个，咱们先要求 aj， 只要求出 aj 的 长度就可以了。那关键是这个 aj 的 长，咱们怎么求呢？咱们看这个里边可不可以求 ao 的 长度是一个六六比上一个 aj， 然后等于我们还知道谁呀？ f o 的 长度好像不知道，然后这个 b j 的 长度呢？ af 的 长咱们知不知道啊？ af 的 长我们可以看一下啊， af 的 长是四倍根二，所以这个是知道的。四倍根二比上 ab 的 长度，咱们也是知道的，应该是一个十二， 对吧？正好是我们的直径，所以从这个里边我们能够去算一下这个 aj， 这个 aj 一 算的话，它应该是一个九倍根号二， aj 是 一个九倍杠二，那我们要求的这个 e j e j 的 长度，它应该等于的是 aj 的 长度减去 a e， 所以 aj 呢是九倍根号二，减去 a e 的 话，它是一个八倍根号二， 所以最后呢，它就等于根号二，所以这道题最后 aj 的 长度，它应该等于的就是根号二。好朋友们看一下啊。就是我们还是利用相等的角的三角函数值相等，然后持续的去 传染边，然后把它求出来，然后再利用这个相似三角形对应边乘比例，我们可以去求一个线段的长度。好，同学们，你学会了吗？记得点赞关注哦！

嗯，从今天开始呢，给大家讲一讲关于无刻度尺画图。嗯，这两年来无刻度尺画图呢，越来越难啊，哈士呢，主要是四个热点，第一个就是垂直， 第二个就是垂直的方法呢，就是力导全等就可以了。第二个就是线段成比例，线段成比例呢，就是构造相似，那是构造什么样的相似啊？因为相似有很多，什么子母相似之类的。那我们最好是构造这种平行相似，一个是八字相似，一个是 a 字相似。 然后第三个角分线啊，这个考的最灵活。这个角分线呢，我们可以用四种方法，第一种方法呢，通过这个角分平行、等腰三者，这个有二之三啊，所以说这是第一种方法。第二种方法呢， 把这个构造等腰三角形，然后利用等腰三角形的这个三线合一啊，出角横线。第三种方法是直接通过这个暴力计算，也就是我们说的半倍角公式啊，半倍角公式由阿尔法求阿尔法，相当于或者说叫由阿尔法求二分之阿尔， 直接求出弹性的值啊，有了弹性的值以后直接画就行了。最后一种就是角分线分线段成比例啊，角分线分线段成比例。 那么最后一种就是我们说的对称啊，对称这个对称呢，主要是比较难一些。对称呢，我们是首先第一个做垂直，做完垂直以后呢，首先要找到一个点，这个点首先在我们说在节点上，有节点上的这个 点才能做被长中线啊，有被长中线了，我们就自然就取得了这个对称性啊，对称性， 那我们先来看一下这个二乘，这个二模，二乘二模，这个里面首先画出平行四边形 a、 b、 b、 c， 那 么很明显在这里面我们直接延长这个在 d 点，这个取五分，因为 a、 b 的 长是五，所以说这个点就是 d， 那么紧接着取 e、 f 等于五分之三的 bc， 这个 e 在 这个 a、 c 上， 那假设说随便画个 e， 那 很明显 e、 f、 bc， 这是一个平行的，所以说这个就是我们说这个 a 字相似，所以在这里面我们只要画一条平行线，过 f 点做 b、 c 的 平行线，那就是 e 四啊， e 四横一啊，横一纵四， 那么说这个点是 i 做的 f， i 平行于 b、 c， 那 交的这个点就是我们要的 这个点是多少呢？就是我们说的 i e 点 e 有 了点 e， 这个画图已经完成，然后问了你 c、 d， e 的这个弹性的值，那很明显在这个图上是读不出来的啊，这个 cd e 的 弹性值，那怎么办呢？大家看 cd 一 只五 ec 啊， ec， ec 占多少呢？占这个 i、 c 比乘 af 啊，二比三，所以说是五分之二的 ac， ac 一 只五倍根号二，所以 ec 是 二倍根号二， 这个是五，并且这个角 e、 c， d 一 百三十五度 啊，我说，我说，没说错，我再看一眼啊，这个等一下，一、二三四，四倍根号啊，这不对，这不是五倍根号，这四倍根号二， 四倍根号二除五乘二，所以是八倍根，那个五分之八倍根号二除五乘二，所以是八倍根号二。 e、 c 的 长， 再加上角 e， c， d 啊，一百三十五度，所以三角形可解，三角形可解，就可以求出 c、 d， e 这个角的弹性的值啊，在这里就不求了。