最大值与最小值的百分比值怎么算

啊，我们来分享一个关于圆的最大值，最小值的一个题， 那么一般呢，会给你个圆啊，当然这个圆呢，出题一定会给你一个一般形式，我们要把它换成标准的形式，这样我们好看到圆心是什么，半径是什么。 好，他通那个配方， x 减二的平方，加上 y 减七的平方，我前面多加了一个四，减掉一个四，多加了四十九，减掉一个四十九，再加上四十五，等于零二，然后 再把常数项都挪过去，常数项剩八，那么就是说这个圆的圆心是二七，这个圆的半径是二倍根号二， 这么一个圆啊，我大致的去把这个圆画在图中， 嗯，二一二三四六七二七，然后二倍根号二，没有三大，大概是，嗯，大概是这样一个圆吧，跟 y 轴应该会有交点。 嗯，大致这样。好，第一问说 m q， 那 q 是 哪个点呢？负二三点，大概在这个位置，总之是圆外的一个点。 q， 它跟 m m 在 圆上的最大值，最小值。这个我们知道，你把它和圆心连线，把它和圆心的距离求出来就行了。比如说这个圆的圆心叫 c， c q 的 距离 加上一个半径减去一个半径，就是它的最大值和最小值啊，两点间距离公式大家应该都知道。然后，所以 c q 呢？求完了之后，它是四倍杠二， 这个是二倍根号二，所以最大值就是六倍根号二，最小值就是二倍根号二。第一题就可以了。第二个，呃，我把这个 q 擦了， x 加二分之， y 减三，那这个又是什么呢？它很像一个形式，谁呢？斜率啊， 斜率等于 y 二减 y 一， 除以 x 二减 x 一， 那么三就可以是 y 一， 负二就可以是 x 一， 所以它表示的是 x y 和负二三点连线的斜率。 x， y 是 谁？是这个圆上的点，那么这个圆上点和负二三点连线的斜率，那么负二三点不就刚才那个 q 吗？ 所以看图我们比较容易知道，这个切线的时候就是斜率的一个取值范围啊。然后这个切线怎么求呢？我就设呗，设 k 等于 x 加二分之 y 减三， 把它换成一般式 k， x 减 y， 呃，加上二， k 加上三等于零，这是这个直线的一般式。 那么圆心二七到它的距离等于半径的时候，不就相切了吗？那么就是二 k 减七加上二 k 加三的绝对值，这是分子除以， 嗯，根号下 k 方加一等于半径二倍根号二啊。然后是四 k 减四的绝对值除以，根号下 k 方加一等于二倍根号二。 然后这个我们先都除个四呢，这样，然后乘过去 k 减一的绝对值等于二分之根号二， k 方加一的 开根号，然后把这个式子平方一下， k 方减二， k 加一等于二分之一， k 方加一，所以二分之 k 方减二， k 加上二分之一等于零， k 方减去四， k 加上一等于零。十字分解不了，那我们就求根公式二， a 分 之负， b 加减根号下 b 方减 c， c 二加减根号三呗。所以这个第二题的曲折范围二加根号三，二减根号三，这么一个范围 三， y 减去 x 的 最大值和最小值。那这又是什么一个形式呢？ 这个很像一个直线的形式。那这个直线什么是固定的呢？就是它的斜率是固定啊，不对，它的斜率是固定的，截距不固定，可以上下平移。 那么我不妨就令这个问题的东西， y 减 x 等于个 b 吧。那换成一般是 y 减 x 等于 b， 是 不是也是和圆在相切的时候得到的？这个 b 的 值是最大值和最小值 啊，那么就是还是二七点到这个直线的距离， 除以根号，根号二等于半径二倍，根号二，所以就是四，那就是负五，减 b 的 绝对值等于四，五加 b 的 绝对值等于四， b 加五等于正负四， b 等于负九或者负一 啊，那么最大值就是负一，最小值就是负九。 呃，我检查一下啊， x 减 y， 哦，这是加 b 加 b 加 b 减呃， b 减五，直接就是 b 减五，那绝对是 b 减五， 所以是最大值是九，最小值是一。得到了这个第三问的一个答案，那有的题还可以这么问，比如说，呃，问一下 x 方加上 y 方的取值范围， 那这个又表示什么呢？其实他有点像，除了圆以外，有点像两点之间的距离公式，我把它拆成 y 减零， x 减零， y 减零的平方这个形式，那就是说圆上点到零零点的距离的 平方，别忘了平方。所以我们就可以算一下这个是多少根号下二的平方，加七的平方啊，然后加一个半径，减一个半径，然后再平方啊，这个就是这个要问，我拓展了一下，没有第四问。 然后关于这种题型还有一些更复杂的变化，如果同学们平时遇到，也可以在我们的呃，给我发私信留言，我会给大家再做一个讲解的视频。

那电功率我公式还没记明白呢，什么最大值，最小值，安全范围极值的，想让我进场就直说，装什么好人，你苍蝇采蜜，你装什么疯？ 说中你了吧。那我们讲电功率的极致与范围，说白了就是人话最大值最小值是多少？咱们前面哪个地方出现最大最小来着？是不是求滑动变阻器的最大功率最小值和最大值？ 那个时候我讲了一切滑动变阻器大小问题都是安全电路问题，换句话说，电功率的极致范围也是安全电路问题，在保证电路我们不爆表的情况下，我们的这个电功率该是多大多小？就这么回事， 公式就不说了，这三个老朋友已经常见了吧，我们这里一般不常用 wbt 啊。那么常问谁的电功率的大小最大最小呢？一般有三个， 第一个老朋友就是求定值电阻的，第二个就是求小灯泡的，第三个求滑动电阻器的。一个个说啊，我们就说我们在怎么选择公式一般呢？定值电阻最常考的就是串联了，这是最常考最常考的啊， 那由于串联电路的电流相通常常限制住我们，这个功率最大最小是来源于我们的电流表，所以一般我们用 iphone r 算比较多， 那么如果是并联的话，由于并联电压相等，我们往往可以根据他的邻居，也就是被并联的那个的电压值来用 r 分 之优方求解。不过呀，并联求的不多，但是也会有出，所以还是点会又不难，多学两步呗，对吧，你都已经学会走了，你再多学两步学个跑不就完事了吗？ 那么小灯泡的功率一般，我们要看灯泡的电阻是否变化，这是我们每一次题干当中第一个就要先找到个信息啊，那如果是一个不变的小灯泡，它就是一个定值电阻了， 一切的计算全部按照定制电阻套路来。那么如果它的电阻会随温度变化而变化，那么一般我们会用 iphone r 多一些，因为我们一般都会把小灯泡串联在电路当中，很少串联它。呃，基本没有吧，就这么说说，说人话就基本没有，我反正很少见，那么我们用 iphone r 多一些。 终于来到重头戏了，总有学生说，老师快讲讲电功率吧，哎呀，怎么又二次函数乱七八糟了，不要去考虑那些， 我直接说了，当定值电阻和滑动变阻器串联时，滑动变阻器的最大值就是我们的阻值为定值电阻阻值的时候，也就是说这两个老邻居怎么着电阻相等了，那么此时我们的滑动变阻器阻功率最大。 那么讲到滑动变阻器这里的时候呢，很多老师啊，已经给大家有过这个分析了啊，什么时候最大，什么时候最小，我想给稍微层次低一点同学解释一下，可能同学学到这可能蒙老师，为什么这突然变难了呢？为什么这突然就要让我记结论了呢？我还像以前一样，用我们的公式来算，行不行？不行，为什么？来试一下， 我现在想要算滑动变阻器的功率，那此时 p 等于二分之一方。我们来知道，当我们的滑动变阻器电阻变大的时候，他对应电压值肯定也会变大。串联分压吗？电阻变大了，电压变大了，那你看一下，分子和分母同时变大了，这个分是值，怎么变？不知道 哎，不知道完事了，就是这么简单，我不知道怎么变，所以我才需要进一步根据我们的串联分压来把我们的整个公式的未知数变成已知数，谁未知？ u 未知。那好用串联分压的思想，比如说我把这个电压 u 变成我们的这个滑动变阻器的电压值，怎么分呢？ r 比上 r 加 r 零，然后再乘以 u 这样的平方，那这个电路里那这个数值里面只有一个 r 了。我们接下来再把上面的这个分子的分母给挪到分母去。怎么挪？ 截一下图自己回去，有想想推倒的，自己推一遍就完事了。没什么特别大的物理思维，你把它推下来之后也没有什么物理提升，你如果真想提升的话，你做一个小蓝本，做一个竞赛题，比这强多了。截图的时候小心啊，截一个好看点的， 截完没？好了，不耽误时间了。我想说的不是这个事，我想说的是什么事呢？大家只需要记，当我们的电阻为二二零的时候，也就是我给它删掉啊， 也就是当他们两个老哥俩老邻居相等的时候，他的功率值，滑动变阻器的功率值相等就可以了，你只需要记住这一点就可以了，此时他的 p 最大， 至于说最大值为多少，我不希望大家记，我们学习要给自己做减法，你一定要背下来。那等什么？三二零分之优方很很很厉害吗？我们真正做题的时候，你只需要把二零、二点、二零带进去，那个时候对于不同的题型，不同的情况，直接往里带就完事了，比你直接记二阶结论要准的多。为什么呢？ 因为我们的滑动变阻器的安全范围是不一定的。比如说当我们的滑动变阻器的阻值是处于在这个到这个的时候，来，你告诉我，此时我们滑动变阻器最大的功率应该是这个值吗？不是我取不到这里，而应该是这个位置 靠近二零的这个位置，他才是我们的最大功率啊，明白了没？那如果当我们的滑动变阻器他此时的这个定值电阻取值范围是从这到这呢？ 那么最大值就可以取到我们二零的位置了，也就是这个 p 最大值。那我们的最小值是不是把我们两边的最小值都算一下，进行一个比较，谁更小谁才是最小值？所以我们滑动变阻器电功率范围的取值应该取决于我们滑动变阻器电阻的范围。 ok， 好。 第三点我要说的是什么事呢？就是我们这个 r 二零必须是一个定值电阻，什么意思呢？有一些题啊，它串联的不是 r 二零，而是串联了一个灯泡。 那这个时候你要看了，我们灯泡的这个电阻值是否随着我们温度的变化而变化，如果不变，灯泡电阻不变，那他不就是一个定值电阻和滑动永磁串联的固执吗？他不就和我们现在讲这个东西一模一样吗？但是 有一些题，灯泡的电阻是要变的，那么还适不适用这个情况了？不适用了， 不适用了，所以我们这个图它只适用于定值电阻和滑动，并能去串联。如果是一个可以变的电阻和滑动并能去串联，那么我们的皮将不再满足这个图像了。 有同学说，老师你这个图像怎么画出来的？嗯，你就不用管了，等你上了高中去求导，你就会那个求了，根据他的增减增减性来去求。 好，那我们来看一下。讲完原理了啊，那刚才原理讲完了，现在我们来带实战看一下。注意了啊，不要看完原理就划走了。我不是骗你完播率，而是让你看一看我的做题思路。做题经验就是，如果是我直接在考场拿这个题看看我是怎么做的。你跟着我的思路走， 把你的那个呃错误的思路给纠正了，就完事了呗。啊，看，比如说第一题，电源电压为七伏，先标上它电压表，三伏电流表零点六安都是小量程，不用管滑动变阻器规格为二十 o e i。 我 第一反应就是先看什么 电路的安全电流应该取零点六还是一取零点六再接着走。灯泡标有六伏三瓦，哎呀，第一时间把它的额定电流算出来，为什么？因为它的额定电流零点五安是电路当中最小的量程，所以电路的最大电流多少零点五安， 超过零点五安的话，是不是我灯泡就爆了？所以电路的最大电流取决于最小量程？很多同学这个事不知道啊，我现在说明白了啊，那么此时说小弱电表示数均不超过量程，灯泡两段电压不超过额定电压，不考虑灯丝电阻变化。看到这句话怎么着 太高兴了，我可太开心了。那么就说明灯泡就是啥定值电阻了呗。那你还想啥呀，赶紧怎么着，把灯泡的电阻算出来呗。 r 等于 p 分 之 u 方，那 p 是 三， u 方是三十六，所以是十二 o 我 就写上去标上玩啊。 如果说电路的干题干没有说这句话的话，我一般不喜欢算电阻，因为有可能我们后面的选项或者是不同的这个提议会使得我们有内轨终止交易。懂我的意思吧，他说这句话了，我再算电阻。他不说这句话，咱就先别动，按兵不动，以静制动 啊。那 a 选项电压表的范围， b 选项电流表范围， c 选项滑动器的最大功率。做这个题我跟他说了， 终点是什么，呃，就是基本是什么，就是求我们电路的安全范围。换句话说，我要找到滑动变阻器在电路当中的可移动范围。那我就先找呗，之前我在题干当中，我在主页当中专门说了这一类题， 点赞量还挺高的。讲的还可以。那大家有那个如果不会的赶紧去看一看，看完之后再回来剪这个视频也不着急啊，如果听不懂的，选择零点七五倍数。我发现很多人都不会选零点七五倍数，因为我为了剪那个大家节约时间，我是调一点一点二倍的啊， 那好吧，来找吧。电滑动电阻器的阻值能不能取到零到十五取决于电流表和电压表的范围。我先说一下，电路当中的最大电流是零点五安，什么时候电流最大电阻最小呗。那此时看一下最小电阻是多少。七除以零点五安等于。嗯 呃，十四欧。如果我只有一个小灯泡，十二欧够不够？不够还差两欧，谁给滑动变阻器给？所以滑动变电阻器必须要借它两欧。那么最大值取决于什么呀？滑动变阻器最大值取决于电压表量成，电压表量成多少？三伏吗？ 那么告诉我，那么此时滑动变阻器能不能取到最大值？试一试呗，对吧？试一试呗。那么电压比是几比几啊？总共电压是七伏，那么他是三伏，他就是几伏。四伏呗，你四伏的电阻是十二欧，三伏的电阻就应该是九欧。 换句话说，当我们的滑动变阻器超过了九欧的时候，电压表就砰爆了， 那么此时他的电阻能不能超过九伏？九？不能。好了好了，一切都出来了，接下来就好办了， 先看电压表示数吧，电压表的范围是一伏到三伏。三伏没有问题，他可以 此时电压滑动变阻器阻值为九伏，那最小应该是两欧。两欧的时候电压为多少啊？就看电阻比呗，十二比二，六比一，所以电压值应该是一伏 a 就 对了。 再看电流表，电流表范围是多少？电流表范围电最大电流零点五安没有问题。我要看最小电流，最小电流取决于最大电阻，最大电阻是十二欧加九欧，七伏除以十二欧加九欧等于七除以二十一。 肯定不是那点二，自己算去 c 选项。滑动电阻器的最大功率是多少？刚才说了吧，这是不是一个定值电阻和滑动变阻器串联？你说老师他不灯泡吗？我讲啥了？ 问这个问题的人，你反思一下我刚才讲原理都讲啥了？我是不是说了，他此时的电阻不变就看成是定值电阻了，对不对？ 学那个死板呢？那么此时我们的最大电功率就应该是和我们的定值电阻相等的时候，那么定值电阻相等是十二欧，我能取到十二欧吗？我是不是最大是二到九，只能取到这到这九欧的时候？ 所以滑动变阻器功率最大值就应该是它九 o 的 时候算吧，你说用什么算？ i 方二也行，二分之 u 方也行，我喜欢用二分之 u 方啊，那么它就等于九 o 分 之，那么此时的电压是三伏的平方一瓦。 c 就 错了 啊，就错了，算有点快了，没？四 d 选项，滑动变阻器接入电路的阻值范围是多少？ 那就出来了呗，是吧， a 就 完事了， ok 不？ 那我再选一个题，大家讲。那我们再来求一下这个题第五题啊，这个题跟那个题有一点小区别，在我读题的时候，你可以想一想有什么区别。 如图为一种测量酒精气体浓度工作原理图，电源电压恒为十二伏，定电阻为四十 o， 二零是酒精气敏电阻阻值随酒精气体浓度增大而减小，其阻值范围变化十到二十 o， 说白了就是说他是一个滑动有气啊，就长这样了。然后电压表呢？接入电路的量程是一个零到十五伏，电流表接入量程是零到零点六安闭合开关 s， 当酒精浓度增大时，巴拉巴拉巴拉。说白了，呃，先看一下吧，那电路当中刚才我说啥了？先看题干有没有说安全电路啊，你至少不能报表，对不对？一看啊，他没说， 那他没说，我说行不行，电路能不能报表？不能，所以我先干嘛，现在去找滑动变阻器的变化范围。哦，变化范围好还是老规矩吧，先找最小的，最大的最小值。 嗯，算了，你说了我也听不着，我也看不着你们的评论区。那就先看电阻的最小值吧，电阻最小值，电流最大。来找电流最大是多少。哎，体盖里面什么都没说，就说了一个它，所以电阻最大是零点六安，那么算一下吧，十二伏除以零点六安，此时电阻是二十欧， 所以我们的总电阻至少点是多少欧？二十欧，但凡比二十欧小，电流宝就爆表了，而我们它就已经有四十欧了，所以我滑动变阻器随便调 也无所谓，因为我定值电阻就已经四十欧了，所以我电流表怎么着怎么着都不可能爆表，所以我只需要干嘛？我现在只需要看滑动变阻器的最大值。那滑动变阻器最大值就取决于我们的电压表示数呗。你说老师，哎，这里， 这里是十二伏，然后这里是十五伏，所以我不管怎么调，我电压表怎么着都是安全的。 所以我说这个题跟刚才那个题不一样。在哪？它的电压表测谁了？特定值电阻了？刚才那个表测谁测的是滑动变阻器，所以说我们现在不能再看定值电阻，要看滑动变阻器。懂我的意思了没？那好， 那么电源电压是十二伏，定指定值电阻是，呃，十五伏，那我们看滑动变阻器吧。嗯，这个题滑动变阻器的电压值零伏也行， 几伏都行。哦。啊，也行，好，他没难为你。这题真简单。所以我们的滑动变阻器几伏都行，你几欧都行，十欧也可以，二十欧也可以 whatever， 随便啊，电路都安全。那好吧，看一下。哎，第一个吧，电流宝的时数会变小，嗯， 当酒精浓度增大了，总酒精浓度增大，那么 r 零电阻变小，电阻变小了， r 零变小了，所以说总的电阻就变小了，所以我们电流表就应该变大了，一就错了。 第二个，电压表与电流表的比值不变的是哪一个啊？电压表和电流表的比值这一种，只要看到了比值，第一个想法是什么？想物理意义。物理含义， 这个电压表是 r 的 电压，电流表是整个电路每一个的电流，它的比值就应该是定值电阻 r 的 阻值，阻值怎么能变呢？所以说二就对了。第三个，电压表范围是几伏到几伏，当我们找电压表范围的时候，就要去看我们电阻的比值范围是多少。 刚才我们说了，滑动变阻器十欧到二十欧，是不是都可以随便调都行，那我们只需要看两个极端情况下，我们的电压比就完事了呗。一开始定 r 零为 r 零和 r， 列个表格吧。 当我们的 r 零为呃十欧的时候， r 一 四十欧不变，此时电阻比是一比四，那么我们的电压值就应该是一比四，那十二分为一比四，那么这个四是多少呢？十二除以五乘四，四十八除以五， 五九，四十五，九点六。哎，就完事了，他就自己自己写去吧。然后再来看，当我们 r 零为二十 o 的 时候，我的 r 一 是四十 o， 那 么电阻比等于电压比， 呃，总电压电阻比是一比二，电压比也必须是一比二，把十二分为一比二，十二除以三乘二 八伏，所以说九点六到八是不是就对了？二三就对了，真烦人呢，这出题。老师啊， 此时我们还是有一个四需要去算一下，但是好在啊，老师从一开始就没有想难为我们，不然的话，他肯定会在这里面做文章啊。必须会做文章，不可能十到二十全都取的， 不然的话，我给大家就讲这个题，就是为了防止大家一定要考试的时候注意了，电压表可能测的是电流电阻，那么看四第第四个问，整个电路消耗的电功率范围是二点四到二点八八瓦。我还是那句话，看到了电路总的电功率就必须用一个公式，是那公式 u 元乘以 i， 因为这个公式里面的电源电压永远不变，只需要找 i 的 范围就好了，只需要找 i 的 范围就好了。那好， 电路的电源电压是十二伏，电流的范围取决于什么呀？取决于我们电路的总电阻呗。当我们取到十和四十欧的时候，电流值是多少？那就是十二伏。我，我写哪呢？我写左边吧， 此时的电流值就应该是十二伏除以十欧加上四十欧等于多少电流？十二除以五十， 这就不能整个整数吗？零点二四安好再来找。当我们的电阻为我们的十到四十欧的时候，我们的电流多少啊？啊？十二伏除以二十欧加四十欧等于零点二安， 没问题，所以电流范围是零点二到零点二四。那么我们分别取一下吧，电源电压十二伏乘以零点二安，电源电压十二伏乘以零点二四安，乘一下吧。呃，零点二的话是二点四，然后呢，这个十二乘二十四， 看到我计算过程了没？你这个乘法，你不是点两位数乘两位数吗？我目的是选择题，求答案嘛。那我就直接把答案选项除以我们的这个数看一看，和我们的这个式的列的不一致就完事了呗。 哈哈哈哈，所以说陈老师计算能力差，为什么？因为我路子多呀，哈哈哈，好，所以说四就对了啊，四就对了啊。嗯， ok， 我 在这里面算了，不说了 啊。一个蒙题小技巧，大家会不会比如说这里面 b、 c、 d 都有二，所以一就排出啊？ b、 c、 d 里面都有三，所以一就排除了，然后呢，再看二是不是 a、 b、 d 里都有二，所以 a 就 排除了，然后只看 b 和 d 了。如果是压轴题的话，我建议大家选 b， 因为很少会有压轴题 啊。算，不能那么说，不能那么说，不能那么说。好，再看。别，那接下来我们看一下一个小并列题啊，为什么我说并列图不常出，因为并列简单，所以不愿意出。 看第七题。电源电压为九伏定值，电阻 r 一 为六欧，标上它，标上它，然后电流表零到三安，电压表零到十五欧，十五伏。滑动电机 r 二标有二十欧二安的字样。闭合开关在不损坏电流原件情况下。吧啦吧啦吧啦吧啦吧吧。好， 刚才我说串联电路先干嘛？先判断滑动变阻器的安全范围，那现在是串联电路，是不是也应该先看滑动变阻器安全范围？大家注意了，电压表不需要看， 因为我的电压滑动变阻器不管怎么调，电压表永远是电源电压值，所以他永远不需要考虑报表的问题，我只需要看电流表就完事了。而电流表的话，什么时候报表啊？是不是电阻最小？也就是说滑动变阻器永远可以调到最大值，我只需要看最小值就可以了。 那好，在这个电路当中，我们的最小值是，呃，电电，滑动电阻器是二安，呃，然后 r e 的 电流多少安？九除以六等于一点五安。然后呢？电源、电压、电流表是三安， 我们要做到串联电路，各电路之合必须要小于等于干路电流，也就是说我们 r 一 已经有一个一点五安了，已经有一点五安了，所以我们 r 二能不能超过三安，减一点五安不行。所以 r 二的最大电流不是二安，而是一点五安。 那么一点五安的时候，它对应的电阻值是多少呢？算一下呗。呃，电压是九伏，电阻是，电流是一点五安，所以是六嘛，六欧嘛。所以滑动变阻器最小值就应该是六欧到二十欧，完事。第一个 a 选项， r e 电流为多少？ 通过 r 一 电流是多少啊？一点五安就错了， r 二的接入电路最小阻值是六伏六欧也就错了。电压表的范围是四点五到九，电压表不变，九伏。错了，四 d， r 二的功率变化范围是多少？终于看到了一点有那么一丢丢的含量的问题。那么刚才我说了，那个表，那个图， 那个图是什么图？这个图不要搞混了啊，这个是我们定值电阻和滑动变阻器串联，而现在我们讲这个题是什么题？是并联，所以不能，能不能直接套套这个结果不行， 那你说不行该怎么办？其实就简单了呗，这种情况就简单了， r 的 功率由于我们电压值是不变的，也就是电源电压九伏，所以我可以想当然的用 r 分 之 u 方来算， r 分 之 u 方来算，那么我们的 u 方是多少？九伏的平方最小电阻是六欧，另一个极值呢？是九伏的平方二十欧。你甭管谁最大谁最小，你算完之后，谁大谁就是最大值，谁小谁就是最小值呗。 九九八十一，八十一，除以六 十三点五。哎呀，我选题的时候怎么就想到选这个题了呢？这还得自己算这么多，然后九九八十一除以二十四点五，四点四，不是等一下，等一下，四五，二十八十一啊，四点零五。嗯，对，所以选四 d 自己算去，非让我教你算。 哎呦，等一下，第八题好像有点意思啊。第八题有点意思，他说最大最小电功率之比是多少？ 哎，瞅一眼吧，瞅一眼吧。啊，只闭合开关 s 一 的时候，那么电路什么连？是不是这么走？哎，走不了 啊，当只闭合 s 一 的时候，只有 r 二接触电路了， r 二一断路了，那么此时我们的电流是零点一五安，那么 r 一 是三十欧， r 二是二十欧，它这个欧没打上，所以我能求出我们的电源电压是多少？电源电压就应该是 直接 u 吧， u 就 等于一点五安乘以我们的。呃， r 二十二十 o 等于三十伏。三十伏，这么大啊，行行行行行，三十伏，三十伏，所以电源电压是三十伏。 第一个问就出来了，第二个问，求指闭合开关 s 二的时候， r 一 的电功率是多少？你闭合 s 二的电路是这么走的 啊，所以电路是串联，串联的话求 r 一 的电功率，我不说了吗？这就相当于是串联电路，求定制电阻的电功率。我讲原理的时候说了，一般我们用什么电，什么公式， i 方 r， 你 也可以用 r 分 之 u 方，你也可以用啥都行。在这里面我就说 r 分 之 u 方了， r 一 是三十 o， u 方是多少？呃，串联分压 三十加二十分之，我们 r 一 的电阻是三十欧乘以我们的三十伏，自己算去吧。啊，自己算去吧，你说老师你写的什么玩意？ 我是不是说了，如果你不懂怎么办？列方程组对吧？ r 一 的电功率就用二分之 u 方， 三十的 o 的 分之我们 u 一 的平方，然后我们的 u 一 平方，不知道对不对？那你就算一下， u 一 比上我们的电源电压就等于 u 一 的电阻 r， 那 个 r 一 比上我们的总电阻 r 一 加 r 二， 我只是把这个方程组给它融合在一起了，因为我，我是老师嘛，对吧？我聪明，我快啊。如果你不会，你自己就推一遍，多推几遍，如果你不懂的话，说明你平时做题太少了。 然后看第三个问，第三个问说最小电功率和最大电功率之比是多少？我还是那句话，看到了整个电路，你第一个想法就是 p 等于 u i 电路的总电源是不变的，只需要看 i 之比。那 i 之比是几比几呢？ i 之笔不就是我们的电阻之笔吗？因为电源电压不变，所以电阻之笔就是我们的电流之笔，也就是我们的电功率之笔。你不用管正比反比，我还是那句话，你把最大最小求出来，谁大谁就是最大呗，谁小谁就是最小呗。比大小你还比不过来吗？ 懂我的意思不？那好，电路的电阻之比是多少啊？那第一眼就看出来了吗？电最大电阻就应该是我们的串联电路，也就是 r 一 加 r， 最小电阻就应该是我们并连电路， r 一 加 r 二分之 r 一 乘二二。我只需要看一下这个图能不能让 r 一 r 串联呢？可不可以？也可以吧， 这么走，然后这么走，也就是说 s 二断开， s 一 s 三闭合，就是并列了。就这题就完事了，就验证了我们是可以并列的，所以我这个电阻最小值就是并列电阻最小值，它俩一比 就是我们的电流之比，也就是我们的电功率之比，你也可以用二分之 u 方来导，都行，都很简单哦。

这是今年的北大强基题，求这个式子的最大值和最小值之合。本期 t n c 带你用三种方法瞬间秒杀！第一种方法，我们使用科西不等式加平方法。首先我们拿到这个题目的时候，第一时间就要写出 x 的 定义域，就是零到二分之三， 求最大值，我们只需要使用科西不等式就可以了，我们对原式进行配凑，这样就可以轻松的得到最大值了。但是我们还要必须验证取等条件是否与 x 的 定义域冲突，推算出当 x 等于十分之九，这完全符合 x 的 定义域。 我们将外设为原式，然后两边同时平方，因为 x 是 大于等于零的，且根式也是大于等于零的， 所以当 x 等于零的时候就有最小值，最小值就是根号三，答案就是根号三加二分之根号三时。我们再来看第二种方法， 利用椭圆的参数方程，我们直接把圆式构造成一个椭圆方程，由于根式始终是大于等于零的，所以它对应的就是椭圆的第一象限，然后我们就可以自然的引入参数 f。 由于在第一象限中， 所以 theta 的 取值范围就是在零到二分之 pi， 于是原式就会被转化为纯三角函数，利用辅助角公式将两个三角函数合并，其中 cosine phi 等于根号五分之三， sine phi 等于根号五分之二， phi 一定是锐角， 我们就可以得到这个角度关系。 sine theta 加 phi 的 最大值就是一，而它的最小值为 sine phi 或 cosine phi 中的较小者。计算对比后可以发现， 当 z 特为零的时候有最小值，当 z 特加 f 等于二分之 pi 的 时候有最大值二分之根号三时。我们再看最后一种方法。利用椭圆的性质，我们依然先构造出一个椭圆， 令根号三减二， x 等于 y， 根号三 x 等于 y。 这样我们就得到了一个椭圆的标准方程，因为根式的原因，导致 y 和 y 都大于零。我们研究的还是椭圆的第一项线，然后我们进行变量的重置， 原问题就转化为了 x 加 y 等于 t 这条直线 t 代表直线的截距，然后我们将直线与椭圆连立。最大值发生在直线与椭圆相切，此时的德尔塔必须等于零， 此时可以求出 t 的 最大值就是二分之根号三时，当直线经过椭圆的最右侧，此时 t 有 最小值，为根号三。

哎，你要上北大的怎么了？你看这道题怎么做呀？一个数，各个数位上的数字之合是十五，并且各个数位上的数字 都不同，都不同，这三个字是不是告诉我们，组成这个数的各个数位的数字只能是零、一、二、三、四、五、六、七、八、 九，然后不能重复。让我们求最小的数是多少，最大的数是多少。我们知道数位越少，那这个数字的数值也就越小，对不对？对， 那十五是不是个两位数啊？对，所以呢，但最少也是两个数相加，对不对？对，十五可以拆分成六加九，对， 也可以拆分成七加八，不能拆分成别的了吧？那那六和九是不是可以组成两个数？一个是六十九，一个是九十六？ 嗯，七和八可以组成两个数，七十八和八十七，对不对？对，那这四个数中最小的数就是六十九，对不对？对， 那最小的数就是六十九。那我们再来看最大的数，最大的我们要使数尽可能的大，那这个数位越多，是不是数值就越大？对，那我们尽量把十五拆的碎一些。首先 十五等于零，加上一，加上二，加上三，加上四， 加上五，对不对？对，那现在我们要使它变成一个最大的六位数，那最大的数一定要放在最前面，对不对？对，那五放在最前面，四是第二大的放在后面，以此类推。 所以呢，最大的数就是五、四、三、二、一、零了。这道题我们就做完了，懂了吗？懂了，完事走人，感觉就能上北大喽，啊哈哈哈哈。

本期课我们讲解三角函数的最大最小值的求解方法。通常求三角函数最大最小值的时候，题目会给一个 f s 等于多少，我们用 c s 来表示， 然后还会给什么？给一个区间以及区间 a b 求对值。 通常这种方法啊，第一步，我们先把这个区间带到这里面，求出这个的范围，也就是令 s 大 于 a， 小 于等于 b 十，得把那个括号的范围也求出来。 omega s 加上这个的范围 单圈呢，也就是 a omega 加上 side 小 于等于 b omega 加上 side。 然后第二步判断， 判断什么呢？这个区间里面，也就是这里到这里有无 side 的 最大值，有无 side 的 最大最小值，看有没有 在不在最大的角形呢，也就是二分之 pi 加上二 k pi 或者是负的二分之 pi 加上二 k pi 是 最小值，在不在这个区间里面，在的话，那对应的就是最大和最小。然后第三，判断什么呀？端点， 也就是端点的时候对应的也就是 比较它们三个比较的话最大和最小，如果这里有最大最小啊，这两个区间里面的角度有了，那就是最大最小，如果没有，我们就把端点带回去，然后得到最大最小。 cosine 的 计算方法一样， cosine 的 最大和最小分别是 零加上二 k pi， 还有 pi 加上二 k pi， 也就是它的最大和最小。那我们看对应的练习题， 按照我们刚刚说的，这里题目给了十倍个看，这里给了一个函数，然后在区间里面的最值。答题方法就是第一步，解 in s 干嘛大于六分之派，小于二分之派十， 得把这个括号里面的范围求出来，那也就是二 s 减去三分之派，然后带进去，我们就可以大于多少六分之派乘进去三分之派，减三分之派为零， 小于二分之派单圈，那就是多少派，减三分之派，那就是三分之二派。 ok， 下一步我们就判断这里面有没有塞的最大最小值。有最大值塞二分之派，那么就是当 二 s 减去三分之派等于多少二分之派时， 它就有最大值。我们先把 s 解出来， s 就 等于多少，把这个移过来，就加六分之五派除以二，那就是十二分之五派。十 f s 就 有最大值，这里你可以用字母表示，其实也可以用文字表示，最大值就等于多少啊？ f 十二分之五派，然后把这个干嘛带到方程里面呢？也就是二乘以三二倍十二分之 五派，然后再减去三分之派，还要干嘛？加二， 然后带进去，我们就可以算出他的最大值为四。好，下一步找最小值，最小值，我们说这里面有没有最小值的刻度角，没有没有，那就在端点零度还是三分之二派的时候，他是最小，我们可以知道是零度。三 r s 减去三分之派等于零时， s 就 等于六分之派，但是它有没有起到这个 零度大于没有起到十，那说明 f s 的 最小值能等于它吗？取不到，那只能是干嘛？大于 f 六分之二，然后带进去，我们就可以算出来是等于 啊。 ok， 算出来之后，那说明它干嘛无最小值，所以 f s 回答问题，它问的对值吗？ f s 在 六分之派到二分之派时，对值我们就知道最大值为 四，有没有最小值？五最小值，他没有起到那个最小值，他只是比他大而已，所以是五最小值 好写在他。呃笔记本上。那我们现在看例一讲完了，看例二，例二，他这里求的是值域一样的，给了一个函数，还有一个区间，只要是有这个区间，我们都要带回去求出他值域嘛。值域就是 y 的 最小到最大。 一样的第一步令 s 干嘛？大于等于负的二分之派，小于等于零时， 得把那个范围求出来，那也是二。 s 加上三分之派大于等于多少？小于等于多少带进去，这里就是负派。加三分之派，那就是 负的三分之二 pi， 把零带进去，那就是三分之 pi， 然后它这里求的是谁啊？ cosine， cosine 最大值在零度，还有 pi 那 里，这里有零和 pi 吗？有，有谁？零，那就是。所以当 r s 加上三分之 pi 等于零，记把 s 求出来， s 就 等于多少移过来负的六分之 pi 十有什么值？最大最小 f， s 有 最大值 等于 f， 把它加进去负的六分之 pi， 然后带回原式三倍扣赛 二乘以什么呀？负的六分之派，所以这里要加一个括号，负的六分之派，然后加上 三分之派，然后我们算出来这个括号里面是零，扣在零等于一，所以答案就是三，最大值就为三，那就找最小值二。 s 加上三分之派的时候，应该对应的答案就是 二分之根号三，这个呢？第几项线？第三项线，所以是负的二分之根号三，所以最小的应该在负的三分之二倍啊。派这里我们都算，要么在特殊点上，要么在两个端点上记 一样的，把 s 移过来这里，移过来就减去，减去那就是等于三分之三 pi， 也就是 pi 除以二，那就是负的二分之 pi， 也就是这个端点嘛。十 f s 就 有什么值？最小值， 你们这里可以写文字，也可以写字母，通常写字母的话会方便一点，我这里写的话方便你们看而已。好，一样的，通过代进去求出对应的值就得了。 好，这里是代数，代数的话我们必须要写好，然后算出最后答案，这里算出来答案是多少。我们说是负的二分之三乘以三，那就负的二分之 三倍根号三，那知道他最小值和最大值了，所以他问什么就回答什么。 f s 在 负二分之 pi 到零的 直译为为什么呀？最小到最大，负的二分之二倍根号三到谁反。 ok， 那 我们现在到这里的话，我们看对应的练习题。 好，现在你们自己动手写一下，那我们看对应的答案。首先另一答案，他带进去求出对应的区间，然后找到最大和最小，那这里对应的就是负二分之三，最小最大就是三， 最后要记得要回答问题，所以他的对值为多少？要答出来，千万不要算完就得了。 ok， 那我们看列二一样的，先找出对应的区间，然后找到它的最小值 的是哪个点，是特殊点还是端点，这里是扣赛，扣赛的话特殊点是零，端点的话就是这一个，算出最大最小，所以举例是这一个。本节课到此结束。

我们来看这样一道题型啊，给了一个函数 f x， 它的表达是我们来观察一下二零一九的 x， 私密加一，上面是二零一九的 x 加一，私密加三，它俩相除， 那给了说 x 取值范围呢，是在负一到 a 的 b 区间，说这个函数最大值为 m， 最小值为 n， 问 m 加 n 等于多少啊？那这道题呢，是让我们来求函数的最值、最大值和最小值。那如果想求一个函数的最值，我们大家要想用什么方法？ 那比如说对于这道题的一个表达式啊，看起来还是比较复杂的，对吧？那么我们想求最值，其实有一个非常直接的方法，就是来看函数的单调性，如果我知道它是一个增或者一个减函数，那么就能够相当的知道它的一个最大值和最小值。 好，那对这样的一个表达式呢，稍微复杂一些啊，所以我们可能在求单调性这块，哎，有点吃力，那为什么吃力呢？因为这表达式不太好，所以我们可以对表达式来先进行化解整理啊。那我们来画一下，那 f x 等于啊，来 分母是二零一九的 x 次密加一，那你来看上面，上面是二零一九的 x 加一次密，那它就相当于是二零一九的 x 次密乘上二零一九的一次密啊，所以为了跟下面这个吻合，所以我把这二零一九拿出来，就二零一九乘上二零一九的 x 次密， 那底下是加一，我也来加个一，那也就相当于在这个原式基础上加了个二零一九，那么原来是加三，所以我还需要减掉二零一六这个变形方法，就像我们前面学的这个分离常数，很像啊，那来进行计算，它就可以写成二零一九减去二零一六， 比上二零一九的 x 四密加一。好，那接下来我们来分析一下它的单调性啊，你来看，那对于这个函数啊，这个二零一九的 x 四密单调递增加一，单调性不变，那分之一，那这块应该单调递 减，那你单调递减前面加个符号，所以它整体应该是一个单调。啥函数呢？增函数啊，单调递增。哎，那这样就非常好，一个增函数，那你自变量越大，函数值越大，自变量越小，函数值越小，那么也就说明这个最大值一定等于 f a， 那这个最小值应该等于 f 负 a。 好， 那么也就是说这道题问你 m 加 n， 那 就在问 fa 加 f 负 a 等于多少？好，那我们来算一下啊，那这里的 fa 加上 f 负 a 来进代入，那也就等于二零一九减去二零一六，比上啊二零一九的 a c 倍加一。 好来，再加上二零一九，减去二零一六，比上二零一九的负 a 次幂加一，那我计算一下，等于多少呢？这是二零一九，常数是乘二减去，这是二零一六，比上二零一九的 a 次幂加一，再减去。 这个式子我们要处理一下啊，这多少负 a 次密？那既然是负 a 次密，我们可以啊，同时乘一个二零一九的 a 次密上下同时乘一个二零一九的 a 次密。啊，好，那你来看一下，那就是变成一一加上二零一九的 a 次密，那上面变成二零一六 乘上二零一九的 a 四密。好，那我们来继续来进行整理啊，等于多少呢？等于这是四零三八再减去啊，它俩可以分母相同，那我就合到一起，就是二零一九的 a， 四密加一都有二零一六来提出来， 那么它剩一加上二零一九的 a 次密。好，你看非常好，上下是可以跃掉啊，那也就相当于是四零三八减二零一六，就等于来减一下二零二二。那么也就是说这道题答案选 b， 那 这个题呢，考的是最值的问题啊。那么我们首先是要了解函数的一个单调性 啊，那怎么去了解单调性？一定要把这个式子进行化简，所以这个化简是必不可少的，我们只有化简出来，才能够直观的看出它的单调性啊，所以大家一定要去会变形，那这是一个分式比分式，我们用的是分离常数法。

初中数学的将军野马模型在考试当中，无论是解答题、选择题、填空题，都是学生们感觉比较困难的一个单项知识点，也最能区分 学生的数学思维。在解决几何几何问题的依据当中，无非就是两点之间线段最短和垂线段最短。那将军野马模型的话，有直线两侧和直线同侧读题等。腰三角形 a、 b、 c 当中，它的面积呢是十二， ab 等于 ac， b、 c 等于四， e、 f 垂直且平分 a、 b 点， d 为 b、 c 的 中点点， m 为线段 e、 f 上面的一个正点，那我们求三角形 b、 d、 m 的 周长的最小数。三角形 b、 d、 m 它的周长呢等于 b、 d 加上 dm 加上 mb， m 属于正点，那也就说咱们这里的话， b、 d 它属于一个定式。 dm 和 mp 的 话，它属于一个定式。 d、 f 的 话，它是垂直平分于 ab 可以 连接 am。 其实平分我们可以证明出来，现在的 a、 m 的 话就等于 b、 m 三角形 b、 dm 它有一个四小时， b、 d 呢又是一个定值，那 dm 加 mp 的 话，它如果有个四小时的话，也就说我们可以通过点之间线段最短，可以直接连接 a、 d。 沿进 ad 以后呢， dm 加 mb， 它的最小值就等于 ad， d 点的话又是作为 bc 上的一个中点，那现在的话， ad 的 话，它就垂直于 bc， 又因为三角形 abc 的 面积的话是十二，那 ad 的 话它等于除以 等于六，那咱们的 m 点的话就在这里了。三角形最小值的话，它等于定值的 b、 d 加上 m、 d， 再加上 m， b、 d 的 话，它属于二分之一的 bc， 那 也就等于二。 m、 d 加 m、 d， 它就等于是， 那咱们最小值的话就是八。

这是五年级期末卷纸上的一道较难的填空题，其实这道题啊，一个口诀就能搞明白它。我们来看题，一个三位数四舍五入后得到七点九零，原来这个小数最大是多少？最小是多少？同学们记住，最大末尾添四，最小去一添五。 我们先把这个数写在这，最大末尾直接添四，最小呢？末尾去一什么意思呢？两个小数末尾去一，就是减去零点零一，减为零点零一以后得到七点八九，那我们直接在末尾添上五，就得到最小了。 什么道理呢？陈老师给大家解释一下。这个三位小数，我们要添最大，证明这个小数原来前面就是七点九零，因为第三位没满五舍去了，那么没满五舍去，当中的数字最大就是四了， 最小说明，原来这个三位小数前面不是七点九零，是因为第三位满五了，进一得到了七点九零，那说明他原来前面是七点八九， 那么五入中添到的最小的数，那当然是五了。看明白了，记住口诀，下去照着练一练，关注沈老师，让你把数学学的更轻松，更明白！