合肥蜀山区二模数学函数压轴题

来看一下我们蜀山区本次二模的最后一个题啊，也就是我们这个函数压轴题啊，这个题的难度呢，实际上它并不是特别大啊，我感觉你只要数会数形结合的话，这个题做起来啊，非常的 easy。 我 感觉啊， 是吧，数形结合啊，同学们，所以呢，函数的这个章呢，对数形结合的要求非常高啊，简单的图画一下看看好不好啊，看一下啊，好，第一个问和第二个问，我感觉都是送分题啊，都是送分题啊， 好，大家抛物线的顶点坐标啊，顶点坐标，要么你用负二负的二分之 b， 要么把它画成顶点式，都没有问题是吧？那这个题呢，我们后面要用到顶点式，那我们把它画成顶点式好不好？好， y 等于什么？ y 等于我们把 m 提到外面来啊，这是一个 完全平方是不是？是 x 方减二， x 加一就是 x 减一的平方减四，这不是顶点式吗？对不对？顶点就是负啊，就是一四是吧？一负四 这条顶点啊，当然你用负的二 a 分 之 b， 把横轴做，把 x 轴对准轴求出来以后呢？然后再带去求外是不也可以啊，都没什么问题啊，一负四 啊，所以这是一个妥妥的分分题是不是好第二个题呢？他把平移放到里面去了是吧？函数的平移呢？大家要记住个口诀是吧？左加右减，上加下减是吧？左加右减，自变量上加下减长竖向，那左加右减，既然向左边平移三个单位，这个题实际上你画图也能看出来它 啊，过哪个点是吧，画图也能看出来啊。好，那既然他平移了，那我们就按照上面这个平移向左平移。好，然后呢，他们都经过一个点，是吧？然后呢，我们把他们俩啊，把两个解一式呢连立起来解一下，是不是就可以啊？啊，就可以吧？ 好，那我们来看一下啊，嗯，向左平移的话，那向左平移的话， y 左加右减是吧？ x 减一加三是吧？ x 这前面还有个 m 啊，减一加三的平方减四，是不是？这向左平移，那就是 m 倍的 x 加二的平方，是吧？减四。 好，那接下来我们来看一下第二个向右平移的话， y 是 x 减一减二 啊，平方减四是吧？ m 倍的啊， x 减三的平方减四，是吧？这是我们向左和向右都进过同一个点，说明呢，当 a， 当横坐标是 a 的 时候，它们俩 y 相同吧，对吧？所以 x 换成 a 就 行了，是吧？好，所以呢， m 倍的 a 加二的平方 减四等于 m 倍的啊， a 减三的平方减四，是不是？所以四跟四约掉了， m 跟 m 约掉了，那就是 a 减二的 a 加二的平方啊，等于 a 减三的平方，那 a 方 加四， a 啊，加四等于 a 方减六， a 加九，是吧？好，约掉约掉，那就是十， a 等于五， a 等于二分之一，是吧？ 所以说呢， a 的 值啊，就轻松的求出来了，你说这个问，你能说他难吗？他不就考一个平移吗？是不是这样？同学们，好，那这题第三个问，实际上我感觉也是夹子嗖嗖啊，也是马马虎虎啊，不算特别难，你只要把图画出来，基本上就差不多了。 好，当然呢，你要知道 x 一 减 x 二怎么来求出这个 m 值，这个很关键啊，那抛物线与 x 轴交点，两个点的距离是二倍根二 过 p 点呢？ t 零啊， t 零的话说明这个点呢，在 x 轴上是吧？ y 等于零嘛？做 x 的 垂线交抛物线于点 m 交直线， y 的 x 于点 n， 且 m 点 n 不 重合，且 p。 在 x 轴运动过程中， m n 的 长度随 t 的 增大而增大 t 的 垂直方向。那先画个图吧，这个题目。题目是 m 大 于零，开口是向上的，是不是对称轴又是 x 等于一，所以这个图像呢，大约能画出来啊， 是吧。这假设 x 等于一，它的东边是负四，差不多这么一个图像呗，是不是这样啊，好这么一个图像啊， 这个地方他说了呢。哎。抛物线与 x 这两个点交点的距离是二倍根号二，那假如这个点是 x 一 吧，这个点是 x 二，那不就是 x 二减 x 一 等于二倍根号二吗？是不是我假设 x 二大啊， x 二减 x 一 等于二倍根号。那我们能不能推出这里的这个 m 呢？这里还隐藏了有一个条件是什么啊？隐藏了有一个条件是什么呢？你这个题呢，你可以把 x 一 二解出来 啊，要么你用维达利利做也行啊。维达利利怎么做？ x 二减 x 一 的平方是不是等于 x 一 加 x 二的平方？这是我们七年级的完全平方的一种变形形式吧。减四倍的 x x 二是不是？那这个式子你数吧，是吧， x 一 加 x 二等于什么？是不是维达利啊？所以呢，它这个 也就是呢这么一个。嗯啊，把这个方程写一下啊，写成一般式， y 等于 就是 m x 方减二 m x m x 方减二 m x， 然后呢，看一下加 m 减四吧。加 m 减四是吧。当然呢，你这个题完全可以把 x 减二解出来啊，这个是没什么问题的。好，那 x 一 加 x 等于负的 a 分 之 b 呗， 是吧，当它与 x 的 焦点不是等于零的时候吗？实际上就解这个方程的两个根吧。 x x 等于负的 a 分 之 b， 负的 a 分 之 b 就 等于二呗，是吧？ x 一 乘 x 二呢， 等于 a 分 之 c 位 a， m 减四啊， m 分 之 m 减四呗，就是这么一个两个吧。好， x c 加 l， 是 不是四减上一个四倍的啊？ m 减四是吧？ m 分 之 m 减四，它等于几啊？ x 二减 x， c 等于方等于八吧，它等于八。 好，所以呢，一下象啊，所以呢， m 减四比上一个 m 呢，就等于一吧。啊，等于一啊。 嗯，这个我看一下是不是一等于负一负一吧，负一是不是啊？他负一好，所以呢？二 m 等于四， m 等于二吧， m 等于二，所以这个 m 求出来了啊， m 求出来，这个函数呢，就非常好表示了。那 y 等于什么？ 是不对二， x 方减四， x 减二吧。二 x 方减四， x 减二，那么一个函数，它与 y 等于 x 加一。我随便画一下啊，这么这么一个图吧， y 等于 x 加一吧，好，这么一个函数图像，它说呢？嗯， t 是 吧？ p 啊， p 点是 t 零做 x 的 垂线交抛物线，点， m 交直线， y 等于 x 加于点 n， 且 m 点 n 的 不重合。什么个意思呢？就是这么个东西啊，假如这个 p 点在这里，是吧？ p 点在这里，这是 m 交抛物线，这是 m 是 吧？这是 n， 所以 这个 m n 的 长度啊，它在变大运动， m 的 长度随 t 的 运动而增大， 是不是啊？让你去求一下 t 的 范围。那我同学们，我们从看这个焦点来看啊，我们从左边来看啊，左边，如果在这个左边的话，他往右边跑的过程中啊，在 x 运动过程中，是不是他往右边跑的过程中，他是不是越来越小？越来越小？是不是？这不可能的， 是吧？他往右边运动过程越来越小，他过了这个点以后是不是越来越大，你会发现能看出来吧？这个，这个距离 m 是 不是越来越大？越来越大，越来越大。在哪里最大最大值呢？那我们这个长度最大值，我们是不是经常运用这种方法，是吧？以前我们用那个铅垂法做最大值的时候，是不是经常求啊？跟铅垂法差不多吧。 所以呢，好，所以你先需要把这两个点焦点找出来啊，在这个范围内啊，在这个范围的运动的时候，你看什么时候都知道，那过了这个点以后，你会发现他是不是也是越来越大了？因为你这个二次函数增长趋势比这个一次函数增长趋势要快很多，其实这个距离会越来越大的啊， 到后面是越来越大的，朋友们能不能看明白？所以说呢，你只需要考虑，是吧？这两个交点之间啊，这两个交点之间的情况，然后交完之后的肯定是满足的。交点之间的时候，在这个交点之间的时候，你看在哪个距离最大？那交点后面的时候肯定是越来越大的啊，肯定是越来越大的啊。 好，那我们来看一下啊，我们先解一下这两个，这两个连立起来啊，我们连立起来解一下啊，他们就是二 x 方，是吧？减四， x 减二，他应该跟 x 加一，哎，他两个焦点坐标算一下啊，好，二 x 方是吧，减五， x 减三等于零，那这个式子能不能用十的乘法码呢？看一下。二 x x 好，当然是可以的啊，负三啊，一是吧，二 x 加一啊，二 x 加一，乘上一个什么？ x 减三吧，等于零， x 两个减啊， x 一 等于负的二分之一， x 二呢，是等于三的啊，在这个点呢，是负的二分之一啊， 是吧？负的二分之一到二分之一这个点呢，是吧？这个上面有个点啊，肯定还有个焦点是吧？这有个焦点啊，应该是写的是三啊，三四吧，啊，三四啊，写这个焦点，所以说呢，你在三到四之间呢， 我们刚才分析过了，是吧，我们在负二分之一的左边是不可能遇见大的啊，是越来越小啊，所以不会随着 t 的 增大而增大的好，所以呢，你只能考虑第一种情况。是什么情况呢？哎，这个 t 啊，大于负二分之一，大于等于负二分之一吧，小于等于这个三的时候，那这个时候呢，我们就设这个，这个 n 点的坐标是多少呀？ n 点的坐标是不是横坐标是 t 吧，纵坐标，因为你这个是 p 嘛， p 点的坐标是 t， 零嘛，是吧，所以它的横坐标是 t， 纵坐标就是 t 加一吧啊， t 加一好，你这个 m 点的坐标呢？横坐标也是 t 吧，纵坐标是不是 二 m 方啊，二 t 方，二 t 方减四 t 啊，减二，是不是？所以说呢，你这个 m 的 长度等于什么？ 是不是等于 n 的 坐标？减 m 的 坐标好，也就是什么呢？也就是负二地方好， t 减，然后呢？ t 减加加五 t 是 吧，然后一减加三啊，加三。好，那这个数字你在什么时候取最大 的是吧？他是不是要取他的时候找他最大值？是他开口向下，他这个开口向下是不在对应角位置取对的值啊。对应角是多少呢？对应角是负的二分之二分之 b 是 四啊，四分之五吧， 四分之五的时候呢，它取最大值，所以呢，你在负的二分之一呢到四分之五呢？这个叫 t 等于。嗯，负的二分之 b 等于四分之五时，是吧？啊？ m 最大 是吧？所以到四分之五的位置 m 到达最大值，那后面是不是就变小了啊？所以说你应该在什么时候到大？就应该是当啊， t 大 于等于负的二分之一，是吧？好， t 大 于等于负的二分之一。 嗯，这个地方能不能等于 f 零呢？我看这个条件啊，屁零啊，超线交 x， 六点交直线 y 点 n， 且 点 m n 不 重合啊，且点 m n 不 重合，那不重合的话，那就不能等于，是吧？这个点是等于的啊，这个点是等于的，所以呢，不能等啊。所以呢，这个地方我们这个地方不能等于这个 不能等啊，焦点的时候不能等啊，所以不能等。在这个地方一定要注意啊。好，一定要看清题目的意思啊。所以呢， t 呢？应该是大于负二分之一，是吧？小于四分之五的时候，那它是 越来越大的啊。大于四分之五以后呢，他就变小了啊，变小了啊。这是在这个焦点在两个焦点之间的时候，是吧？是不是在这两个焦点之间的时候啊？他两个焦点吗？焦点之间的时候。那刚才讲超过这个焦点以后他是不是肯定是越来越大的，是吧？为什么超过两个焦点之后？以后这种情况的话，好，我们看一下啊，这时候 t 是 大于三的吧， t 大 于三的时候，他这个 m 的 长度换了，他是不是有把 m m 这首 m 在 上面了，你想一下啊，是吧？这个交的时候呢，这个 m 是 这个点啊，是二，二二次函数的交点是 m， 一 次函数交点是 n 吧，是吧？ m 减 n 呢，是吧？ m 减纵轴标，减 n 点的纵轴标，是不是这样？ 好，所以呢，我们来看一下啊， m 减 n 的 话，就是二 t 方减五 t， 然后呢减三是吧，这个你看一下，它的对准轴是负的二分之 b 是 四分之五， 是吧？它大于四分之五的时候，就是越来越大，越来越大了，那你这个是大于三，大于三肯定可以啊，所以 t 大 于三十是吧？啊，这个 m 是 越来越大吧，啊，越来越大， 这个大家应该能理解吧，是不是？所以我们用数形结合来做非常的方便啊，这个题呢，等他考试的时候你过时你写的，你详细一点啊，我是给大家写一下这个思路好不好啊，所以这个题呢，你用数形结合来分析一下啊， 非常的方便啊。所以呢，这个结果最后应该是 t 应该是大于负的二分之一吧，小于四分之五啊，或者是吧， t 大 于三十啊，这下不能取等啊，因为他说不能重合啊，不能重合是不是？ 好啊，那这个地方啊，这个四分之五是可以取到的啊，因为这个小于等于四分之五，这个四分之五是对准轴位取最大值是可以取到的啊，你这个临界的位置啊，这个负的二分之一和这个取取最大值是取到的啊，所以这个地方加个等号。好吧，结果应该就这样 啊，就这么一个结果啊，要分析清楚啊，用竖形结构来分析是非常方便的啊。好，这个题呢，我感觉整体难度也不算特别大啊，最后两个题的难度都不大，他前面的题呢？稍微有一点难啊，所以这个题我们就讲这里，同学们啊。

这是二零二六年合肥舒城区按摩第二十二题，这道题我们就讲最后一个问，今天我就用这个题来讲一讲证明几何题一些常用的方法和技巧。第一呢，我们要根据已知条件，挖掘着更多的内容，为正题创造更多条件。 就拿这题来说，我们知道 a、 b、 c 是 个等腰直角三角形， e、 c 也是个直角三角形， d 是 斜边 b、 c 的 中点。根据这些条件我们就能知道，令 cd 等于 m， 那 b、 d 也是 m， d， e 也是 m， d、 c、 e 是 个等腰三角形， d、 e、 b 也是个等腰三角形，所以 b、 c 等于二 m， 所以 ab 也等于二 m。 我 们再看看直角三角形 a、 b、 d 这条直角边， b、 d 等于 m， 这个直角边 ab 等于二 m， 所以 我们知道这个 r 法，它的弹力的值是二分之一。当然对于三角形 abd 来说， 他的任意一个角，任意三角函数，我们都能够求出来了，因为 a、 d 边我们可以用根号五 m 来表达。 好，这就是我们挖掘出来的条件。那现在呢？我们再来看看要我们证什么？要我们证明 f 比 c， d、 c、 d， 我 们用 m 表达，那现在我们只要能把 f 用含 m 的 代数式表达出来，那这个题就有解了。 那现在呢，我先讲一个我们常用的方法，过重要节点作平行线。如要求 f 线段长，所以 f 是 个重要节点。 我现在过 f 点作 f h 平行于 b、 c， 那 么我们很容易证明 f、 h、 e 是 个等腰三角形。因为 d、 c、 e 是 个等腰三角形，所以这个很好证明。过后我们可以设 f、 h 这个线段长为 a、 e， 那 h、 e 也等于 a e， 就 因为这个 r， 它的 r 是 等于二分之一 f， h 等于 a e， 所以 h 就 等于二 a， e， 那 么呢， h 呢？就等于根号五 a， e， 这我们都知道了，那现在呢，我们就要把 a， e 和 m 建立联系，我们一看看 a， d 这条线段， a， d 这条线段我们既可以表达为根号五 m， 也可以表达为这个。 大家看一看这个式，大家一看就懂，然后我们就能求出来 a， n 和 m 之间的关系，就是这样的关系，然后 f 等于二， a， c， d 等于 m， 带进去就很方便求出来了， 这是一种方法，现在我们再讲讲第二个方法。我们在做题的时候呢，首先观察一下整个图，我们通过观察我们知道 a， f， e 这个三角形跟 a， e， b 这个三角形很有可能相似， 我们这样确定以后，如果相似，我们就是根据相似推出这个式子。 a， e 我 们知道，就把 a， d 这个线段减掉 d， e 这个线段， a， d 是 跟上五 m， d， e 是 m， 所以 a， e 的 长就等于 就能搞。我们再根据这个比例式，我们能求出来 f 等于 a 一 的平方比， a， b 很 容易求出来这个值，然后 f， b， c， d 也就很容易做出来了。 这两个方法呢，都是比较技巧的，也是常用的，计算量也不大。通过这个题的讲解，大家再琢磨琢磨，我们呢把这个方法在以后的正题中呢加以运用，那就能变成自己的解题方法了，讲解完毕。

今天我们来讲一下合肥市四十五中二模数学的最后一道题，考察的是二次函数，我们主要来讲一下这个第二问。 已知抛物线 y 等于 a x 平方加 b， x 减四，然后 a 大 于零，抛物线的对称轴呢，是直线 x 等于 t， 这个 t 是 大于二小于四的。若点 m 负一逗号 m 和点 n 三逗号 n 在 这个抛物线上满足 m 等于八，然后求 a 减 b 的 取之范围。 那么下面呢，我们讲两个方法。先来看方法一，题目给我们的第一个条件呢，就是这个对称轴是 x 等于 t， 所以 这个负的二 a 分 之 b 就 等于 t， 那 么 b 就 等于负二 a t。 然后后面呢，还有个条件是这个 m 减 n 等于八，这个 m 它是点 m 的 纵坐标， n 是 点 n 的 纵坐标。那么这样的话，我们是不是可以把这个负一带入到解析式当中，得到 m， 把三带进去得到 n， 那我们来带一下，那么这个 m 就 等于 a 减 b 减四，然后 n 是 等于九， a 加三， b 减四，然后 m 减 n 呢，就等于负八， a 减四， b 等于这个八，然后整理一下就是 二， a 加 b 等于负二。我们把得到的这两个式子呢放在一边，看看题目要求什么？题目要求的是 a 减 b 的 取值范围，要求的是一个代数式的取值范围。那我们首先要干的一件事就是看看能不能削圆， 把它削成只有一个未知数，然后变成一个函数的形式，然后再去求它的最大值，最小值或者是取值范围。 那前面我们看一下推出来的这个式子呢，有这个 a 和 b 的 关系，那这个 a 是 不是可以用这个 b 表示，或者 b 用 a 表示啊？我们变形一下，就是这个 b， 它应该等于负二减二 a， 这样把这个式子代入进去，那么就变成了三 a 加二 啊，相当于是一个关于 a 的 一次函数，那么接下来就是求这个 a 的 取值范围。而关于取值范围呢，题目给了一个 a 是 大于零的，然后还给了一个 t 是 大于二小于四的， 因为这个 a 和 t 以及这个 b， 它们三是有一个关系的，在这个一式当中推出来的，而这个 b 呢，它又可以用这个 a 来表示，所以 a 和 t 是 有关系的，那么 t 的 范围会影响 a 的 范围，那我们就需要通过 t 来把这个 a 的 范围求出来， 我们把这两个式子来合并一下，就是负二减二， a 等于负二 a t， 然后整理一下，是一加 a 等于 a t， 那 么这个 t 它就等于 a 分 之 a 加一，因为这个 t 呢，它大于二小于四，而 a 又大于零，所以相当于是 a 分 之 a 加一，大于二，小于四，然后解这个不等式，就可以得到 a 的 范围了。 然后这里要注意，解这种分式不等式的时候，你在两边同乘这个 a 的 时候，正好这个 a 大 于零，所以不需要考虑编号。但是其他题目中要注意好，那么解出来呢，这个 a 是 大于三分之一小于一的， 那么我们再来算这个三 a 加二的最大值，最小值，那么最小值的话，就是把这个三分之一带入进去，得到是三，然后最大值呢，就是把这个一带进去，得到是五，所以这个 a 减 b 的 范围就是大于三小于五的，然后我们接下来再看这个方法二， 那么方法二呢？前面的推导过程呢？和方法一都是一样的，那么就是在最后算这个 呃，三 a 加二的取值范围的时候，我们刚才讲的就是要通过 t 的 范围把 a 的 范围求出来，我们后面不是得到了一个嗯，一加 a 等于 a t 这个式子吗？ 那有的同学可能在想，那我们知道 t 的 范围的话，我是不是能直接把这个式子把 a 用 t 来表示，最后得到一个关于 t 的 一个代数式，然后直接通过这个 t 的 范围来求呢？啊，这样也是可以的，我们来试一下，那么这个 a 呢，我们 表示一下，就是 a 减 a， t 等于负一，那么这个 a 就 等于负一除以一个一减 t， 也就是 t 减一分之一，那么三 a 加二就等于 t 减一分之三，再加上一个二，然后这个 t 是 大于二小于四的。 那么接下来就是求这个式子的最大值，最小值了。其实这个式子呢，观察一下就会发现，这个 t 呢，它是在分母上的，当这个 t 大 于一的时候，它这个分母越大，然后整体应该是越小的， 所以相当于这整个式子在 t 大 于二小于四时，是随着 t 的 增大而减小的，所以这个 t 最小，取二的话，那么整体这个就是最大值，它等于三除一个二减一 加二，那么就等于五，然后提取四的时候带进去应该是一个最小值，它等于四减一分之三，再加二等于三，所以最终这个取值范围 a 减 b 是 大于三小于五的。 好，那么这道题呢，难度其实不是很大啊，最终要求的是一个这个代数式的取值范围，然后我们要把它这个消元消成只有一个未知数，然后变成一个这个函数的形式，然后再求出这个函数的 自变量的一个取值范围，然后最终再求这个函数的取值范围。好，那么这道题就讲到这。

今天我们来看合肥市四十二中二模试卷的填空题的第十四题，这是一道二次函数和几何相结合的题型，我们直接来看第二问过点零逗号五，零逗号六，然后做外轴的垂线跟对称轴交这个 p 点， 已知点 g 的 横坐标是三倍，根号三，那么纵坐标是五 g p 等于 pm， 因为这个 p m 它应该等于 pm， 所以 这三条边应该是相等的。那这里如果你连接 m g 的 话，应该是有一个斜中线的模型在里面，然后角 m n g 等于十五度， 那么角 p g n 也是十五度角 m p g 这个角就是三十度， 那么有三十度的话，我们肯定要考虑做这个垂线，那这里可以过这个 g 点去做 pm 的 垂线 垂足为 q， 那 么这个 g q 的 长就是两条平行线之间的距离是一，那么根据这个三十度，我们就可以求出 p g 长是二，然后这个 p q 的 长就是根号三，然后 n p 的 长度也是根号三， 最终要求的是抛物线的表达式，所以我们要去求出一些点的坐标，或者是求出对称轴顶点这些。那么根据这个 g 点的坐标，我们可以知道这个点 q 的 坐标， 它的横坐标和点 g 是 一样的，三倍根号三，然后纵坐标是六，这样的话这个 p q 之间又是距离是根号三，所以这个对称轴我们就知道了是二倍根号三， 那这时候我们就可以设这个函数的表达式 y 等于，我们知道这个对称轴，那我们就设顶点是 a 倍的括号 x 减二倍根号三的平方，再加 k， 然后点 g。 在 图像上那代入点 g 的 话，现在是两个未知数，所以还缺一个点，那我们看图像上还有哪个点可以算？ 因为这个对称轴我们知道了，然后 pm 它又和 p g 相等，是二，所以这个 m 点的横坐标就知道了，它应该是二倍根号三，再加个 pm 的 长，也就是二，然后逗号六，这时候把这个 m 点也带进去，然后就可以算出这个 a 和 k 了。 那么这道题难度不是很大，只要去仔细分析这些几何条件，然后去推点的坐标就可以了。

好多题目总是想分享给大家，这道蜀山二魔的二十二题也是一个非常精彩的题目，如果说仅仅是想着把题目做对的话，当然并不是很难对不对？我们更应该是好好分析一下这个题目当中所蕴涵的知识点，以及蕴涵的常见几何结构。接下来呢，我们一起来梳理一下。 题干已经告诉我， abc 是 一个等腰直角三角形，点， d 是 bc 中点。到这里我们要想到什么呀？ 角 b、 a、 d 正切值是一比二，那么角 c、 a、 d 正切值应该是一比三，对不对？这是可以想到的啊，也叫想到，只不过他这个地方没考而已。再往后， b、 e、 c 是 一个直角三角形点， d 又是斜边中点，所以到此可以出现斜边中线的知识点， d、 e、 d、 c、 d、 b 相等，两组锐角相等，这些都是为后续证明提供条件的。 第一小问不是很复杂，给了 a、 b 的 长度，让我求 a、 e 的 长，非常简单。第二小问好好看一看啊，求的是 a、 b、 e 的 面积。 求面积一个方式是直接求，我们既可以以 a、 b 为底边，过点 e 向 a、 b 做垂线，这里可以构造一个什么呀？ a 字形的相似，这个相似之前中考也考过的 好不好。这第一个方式。第二个方式，以 a、 e 为底边，过点 b 向 a、 e 边所在直线做垂线。那我如何求出这个垂线的长度呢？可以用等面积法好不好？等面积法也是一个常见的构造关系的方式，再往后， 除了直接求之外，还可以去用比值转化三角形 a、 e、 b 和 b、 d、 e 面积比等于底边之比。 好吧，三个方式都可以尝试啊，再往后第三位呢，可以说是重头戏了，让我求的是 af 和 cd 的 比值，比值怎么求呢？两个方向，第一个方向把长度用某一个参数表示出来，第二个方向 用比值转换，对不对？好呃，这里呢，我们可以直接去通过倒角呀，证明三角形 a e、 f 相似于 a b e， 这不是一个呃，难发现的一个结构啊，咱们可以去试这个方式当然是最好的，也是我们最容易想到的，他不需要勾到辅助线对不对？当然了，我们也可以把这个题目呢，再再给他做的稍微麻烦一点点啊， 把结构经过简化之后，发现这就是一个经典的梅内老师定律结构。这种结构最常见的辅助方式就是做平行线，借助点 d 是 b c 中点做平行线，无论是 dm 平行于 ab 还是 dm 平行于 c、 f 都是可以的，又或者是 cm 平行于这个 ab 边都是可以的，都是借助中点做平行线，构造全等或相似的一个方式好不好？ 后面几个方法呢？他都是什么呀？都是我发现 f 点已经是线段 a、 b 边的黄金分割点了，接下来我去证明 f 是 黄金分割点不就可以了吗？对不对？这也是一个方式啊。 首先我们发现，哎，这里面有一个什么呀？等腰直角三角形里面有一个非常经典的十字模型，这个模型可以帮我们构造一组一线三垂直的全等结构，也就是说 am 和 a e 呢，也是相等的，这是一个方式，又或者是 借助点 d 是 bc 中点做垂线。注意啊，做垂线既能出现全等三角形，也能够出现咱们刚才讲的一比二、一比三的结构， 那还一个方式，就是过点 i 做 i m 平行 bc， 这都是在已知 f 是 黄金分割点的基础之上想到的结构，好不好咱们可以自己看一看。

今天张老师带你一个视频，讲懂讲透四十二中亚洲题。张老师本身是一个高中老师啊，所以今天呢，张老师也会用高中思维和初中思维两种方法，带你来从底层剖析这道题目，让你看看高中思维是如何下放到初中考试中的。好，我们来看 这里，我们只看第三问啊。第三问的话，它的核心是一个线段与抛物线的交点问题，线段 m n m 点坐标是零二 n 点坐标是四六， 抛物线与线段只有一个公共点。最开始我们要先进行一些尝试，看看哪些情况下他能够有一个公共点。那其实有三种来，第一种自己画一画嘛，第二种以及第三种是相切。 所以哪怕你这道题什么都不会，至少你要明白，他应该要考虑三种情况。那接下来我们才开始用初中思维去解释这道题目。在初中阶段，我们去考虑焦点问题，一般都是通过连力直线方程是 y 等于 x 加二 抛物线。题目也给了你了，咱们直接连立，连立之后它会成为 x 方减去 k 加二，括号 x 加上三， k 减三等于零。同学们，差距是在这一刻显现的，有些同学能够一眼看出它是能够英式分解的， 有些同学就是看不出来，所以呢，还是要去多去练习英式分解。那么这样一个式子可以进行英式分解， x 方，它能够拆成 x 和 x 三， k 减三可以拆成负三和 k 和负 k 加二，那么你会发现它们交叉相乘之后确实负 k 加一，交叉相乘之后确实会成为中间这一项，所以它能够被因式分解，因式分解之后成为 x 减三，乘以 x 加上负 k 加一等于零。 我们看一看这个因式分解之后它根的情况啊，根有两个，一个是 x 等于三，一个是 x 等于 k 减一，什么意思呢？也就是说这个抛物线一定会和 m n 交于一个横坐标为三的点，一定会和 m n 直线啊，交于一个横坐标为 k 减一的点， 你会发现三恰好就在抛物线当中吧。我们把三往里面带一带，三往里面带，这个点在在线段上是五，往抛物线里面带它也是五，所以它们同时会经过三五点。 但是题目还要求他与抛物线能够经过 k 减一这个点， x 等于 k 减一这个点，那同学们想一想， k 减一有没有什么要求啊？题目说了，他只能有一个公共点吗？那 k 减一必然不能在零到四之间， k 减一他必然不在， 不在零到四之间。那 k k 减一有哪些可能呢？可能 k 减一会小于零，可能 k 减一会大于四。 解出来之后你会发现，一个是 k 小 于一，一个是 k 大 于五，取哪个呢？非常显然，我们应该要取 k 大 于五，因为题目说了 k 大 于一， k 既然大于五了，我们好不好去算顶点 p 的 横着边范围呢？当然好算顶点 p 的 横着边 x 零 x p 不 就等于二分之 k 加一吗？因为 k 大 于五，所以 x p 大 于三，这就是我们解的第一个范围。 那同学们还要考虑，因为在最开始我们画图像就知道他会存在相切的情况，所以接下来考虑相切。但是相切这里呢，咱们没必要再算得它了，因为你两个根都算出来了，一个是三，一个是 k 减一嘛。那第二种情况不就是他们两个重合三等于 k 减一的时候吗？ 三等于这个 k 减的时候，解出来 k 是 等于四，那么当 k 等于四时，你继续带 x p x p， 他 就等于二分之四加一等于二分之五。所以这道题目的结果是 x 等于二分之五或 x 大 于三，这就是最后的结果。我们做个总结。同学们啊，首先用初中思维去考虑这道题目，我们仍就是靠用这个线段与直线连立， 因为他解出来之后能够因式分解，所以 k 减一啊，他必须要大于四。小林也是不行的，小林也要被舍掉，只能够大于四，那么解出来 k 的 范围之后， p 的 很多变化就好搞了。同时你也不要忘记还有一种相切的情况。 好，同学们，那接下来我们来用高中思维，用高中思路来降维打击此类题目。

我反复强调，所有的解析思路都来自于题目当中的条件结论以及图形当中。有些同学说，那我也知道这个解析思路来自于条件结论题目当中，但我还是不会做呀， 那问题出现在哪？主要是核心问题没有解决啊。什么呀？就是因果，其实数学玩的就是因果关系。哎，他的道理很简单，就比方说，你现在听到打雷了，你的第一反应是什么？是吧？天快要下雨了，对吧？ 其实在我们很小很小的时候，第一次听到雷声，你也不知道接下来要发生什么啊，只不过是家长啊，跟我们讲啊，天要打雷了，预示着就快要下雨了，哎，所以现在我们就清楚了啊，这个道理了，对吧？ 哎，这就是一个简单的因果关系，就是因为打雷了，所以就要下雨了啊。其实学习呢，也是如此 啊，为什么你那个遇到简单的题能够解出来？那是因为你只掌握了一些简单的非常直观的因果关系，一旦遇到难题，压轴题你就搞不定了 啊。那原因就是一些什么拓展的因果啊，或者是出现一因多果，或者是多因一果的问题，你还没有掌握。 哎，那就需要我们去多学多练，多记，你一直把这些因果关系练到像啊，知道打雷了，你就知道下雨了一样熟练，你看你解这些题熟不熟练？你比方说这道题啊， 你在这道题当中，当你读到这么一个因，也就是这么一个条件啊，你要去联想到什么呀，你就要去联想到相似啊，给我们线段倍数关系，那一般都会考察我们相似问题， 然后再结合着图形，你看这有两个直角，对吧？那我们根据这两个因，就要想到什么，过点 e 向下做垂线，你就可以构造出一个三垂直模型， 也就是 k 形相似，你根据 a， d 是 d， e 的 三倍，那这对三角形的相似比我就知道了，也就是三比一，这条边为八，所以我们不难求出 d h 的 长，对吧？你看，这就是一种因果关系。 好，当我们读到什么，当我们读到这个条件，出现 c， e 最小，出现单线段最直。有了单线段最直，我们就要想到解决单线段最直问题的方法，一般有四种，哎，这个就相当于一阴多果， 哎，就是我要想解决这一个问题，那他对应的方法有几种啊？那在这里面就一般是四种啊，我们可以借助什么？这个点线对直，点线对直，也就是最终要转化成单线啊，那个垂线段最短， 来处理最后的问题啊，也可以把单线段最直转化成三角形，三边关系，也就是两边之隔大于第三边，两边之差小于第三边。 还可以将单线段最值问题转化成二次函数关系式，最后借助配方来解决最终的问题。最后呢，还有一个点圆最值，也就是一箭穿心求最值啊。好，这是当我们看到一条线段最值问题时啊，要想到这些方法， 当然了啊，你要是利用几何转化成点线最值，或者是点圆最值，那你得知道点 e 的 路径吧， 而这道题呢，这个 e 的 路径就不知道，所以呢，我们还要联想主从联动问题，哎！常见的主从联动主要有 这个两大题型，一个是繁衍变换，一个是刮豆原理，而无论是繁衍变换还是刮豆原理，都要存在定主从这个条件啊，也说定点，主动点，从动点， 其中呢，你这个点 d 肯定是主动点了，因为它的路径我们是已知的，就在这个直线 l 上运动，而 e 呢，就相当于从动点。 而要满足繁衍或者是瓜豆，他的条件是什么呢？繁衍就要有什么，就要有定基定角，而瓜豆就得出现定比定甲角，所以我们得先找下定点， 在这里面的定点肯定是点 a， 那 会出现定比呢？还是定基呢？还要借助这个条件，对吧？所以你看你的解析思路啊，都是来自于这个条件图形，明白吧？ 呃，根据这个条件，我们应该不难发现应该出现定比了吧，因为你这还有一个直角，就如果 d e 是 一份，这个永远是三份，如果我们再把 a e 给它连接上的话，那这个 a e 就 应该是根号十份， 并且 a d e 永远是直角三角形，它的三边关系还是确定的，那就说明这个角虽然它不是特殊角，但它的角度一定是确定的啊， 因为这三边都已经确定了，所以无论定义如何运动，这个三角形的大小只是在变化，而形状是不会变的，所以他会出现定比定夹角的情况，所以在这里边肯定会综合着我们啊，刮的问题，是不是利用刮的问题也可以来解决啊？ 好了，其实像这样的解析思路啊以及题型啊，我都有给大家整理好，全都在这里边啊，如果有想学习的，呃，可以私信我一下啊。 好，那最后呢，咱们就看一下这道题啊，完整的解析过程，如何来处理这道题，方法不一，你可以给他转化成二次函数关系式的形式来解决，也可以利用寻找点 e 的 路径，最后借助刮豆，然后但那个垂线段最短来处理也可以的啊 啊，如果你要利用二次函数关系式呢？我们的第一步，首先还得过点 e 向下做一个垂线，构造出这么一个 k 形图，你根据这个倍数关系啊，不难求出， d h 就是 三分之八。 然后接下来我们怎么把这个 c e 给它转变成二次函数关系式呢？好，那思路还是来自于这个条件吗？你这个直角和这个十肯定是要用得上的，你外加上这两个直角， 应该不难想到构造矩形了吧？我得延长 h e 交 a c 与点 g， 是 不就会出现一个矩形，对吧？这个应该不难想到啊。然后接下来我们只需要设一个未知数，设谁设谁啊？ c c g 啊， c g 为 x， 我 就可以表示 a g 啊， a g 就是 十减 x， 那 它的对边 b h 也就是十减 x， 那 最后这个 b d 就 能表示出来，它应该是十减 x， 再减个三分之八， 然后你再根据这对 k 形相似，首先能表示出 e h 的 长，哎，也可以用 x 表示 e h 的 长，然后这个矩形的宽度是八，减掉这一段 g e 是 不也就出来了？ 最后呢，只需要利用勾股定底啊，再去表示 c e， 实际上你表示 c e 的 平方就行了啊，省却这个根号。只要 c e 最小，那它的平方肯定也是最小的，你最后就会变成一个关于 c e 最小，那它的平方肯定也是最小的，你最后就会变成一个关于 c e 最小，那它的二次函数关系式啊， 最后你去配方啊，当他最小时去配方，你就会求出 x 的 值，只要 x 值搞定，那此时 b d 的 长也就搞定了啊。利用这个二次函数关系式的方法啊，我只是给大家说一啊，简单说一下这个思路啊，至于具体的计算啊，大家可以课下尝试着算一下。 好，今天呢，主要用第二个办法啊，就是如何利用瓜豆原理来处理这道题。那好，那首先我们得怎么办呢？是不是你得把 a e 给它连上啊？根据题目当中的条件，我们已经得出它是一个定角，我记作 r 法， 而且这个三角形的形状已经确定了啊，定比定角出现了啊，所以接下来我们只需要找到点 e 的 路径就好了。如何找呢？点 e 的 路径肯定是一条直线了，因为种瓜得瓜，种豆得豆嘛， 你的点 d 主动点，他的路径是一条直线，从动点肯定也是一条直线，那我要想确定点 e 所在的直线怎么办？ 两点确定一条直线呢？那我再去找一个点，那这个点怎么找？你得看一下这个从动点是有点 d， 如何得到？我们可以看成点 e 是 有点 d， 绕着定点 a 旋转 alpha， 对 吧？并且在旋转过程中，这两边的比值始终满足三比，根号十。 哎，也就是在旋转过程中，这个三角形的形状始终是确定的啊，满足一比，三比刚好使好。 那接下来我们只需要再找一个主动点的特殊位置，这个特殊位置啊，跟直线有关的啊，那一般就是垂直，也就是当点 d 与点 b 重合时啊，或者说我们可以看成点 d 是 由点 b 出发的，他在向右运动，对吧？点 d 是 在点 b 的 右侧， 那这个特殊位置就是与点 b 重合，我记作第一，那他相应的从动点怎么找？我们也给他绕着点 a 旋转 r 法， 你旋转之后的这个角度大概是在这呢。啊，就是这个角，我也给他旋转 r 法，但是你得始终保证 a、 d、 e 是 九十度， 那也就是 a、 d 一 对应的 e 一 得是九十度，那这个 e 一 是不是应该是就在直线 l 上了？因为这本身是一个直角，它俩一定得是相等的，并且得保证什么 b、 e、 e 是 ab 的 三分之一，实际上它就是一个三分之八，对吧？好。而且瓜豆啊， 基本上都会跟我们的手拉手综合，也就是会出现一转两相似，就是你现在这个 a、 d、 e、 e 和 a d e 肯定是相似的，肯定是相似的啊。然后我们把这个对应的大手小手给它连接上。首先我们一定要连谁？连 e、 e 和 e， 其实这条线就是点 e 所在的路径。哎，我们要找的直线，也就是它。好，我们为什么要找一转两相似？目的就是为了要证明一下，这个角肯定是一个九十度，肯定是一个直角。为什么？那就看你能不能发现第二个相似啊。第二个相似指的就是这个定点和两个主动点围成的三角形， 以及定点和两个从动点围成的三角形一定是相似的，这个可以靠两组对边成比例甲角相等去证明啊。那有了这个相似，那这对角就是对应角，所以我目的就为了要它一定是一个直角， 这个直角一定是有用的啊。好了，那接下来我们就去找 c e 最小值时的 位置啊，那就是垂线段最短，我们只要过点 c 再做一个垂线，这个垂足我记作 e 二，也就是当点 e 移动到 e 二时，这个 c e 就 一定是最小的，然后我们再把此时这个主动点的位置找到， 得始终保证 a d e 是 九十度，满足三比一的关系啊，那这个点 d 大 概在这里啊，大概在这个位置，我找一下，哎，就是这，这个我记错第二了，就这个角始终是直角，然后 a d 二与 d 二， d e 二这两边也得始终满足三比一。 好，那最后让我们求的这个 b d 的 长实际上就是他。哎，我们已经确定好了啊，所求线段长就在这里。那接下来就是细节问题，还得构造相似，什么设未知数，找等量关系去计算， 这个计算量就不大了啊，如果你刚用刚才那个二次函数的方法，他那个计算量稍微大一些，几何的好处就是计算量并不是很大。 好，那怎么办？我们第一步还是要过一二向下做水线，你这个直角一定要用的，还得要用这个 k 型的相似，这个 k 型的相似啊，我画红色的，这一定是相似的，而且相似比一定是三比一。八，你这段长度是八，所以我们这标个 h 啊，它还是三分之八， d h d 二 h 三分之八。那接下来呢？第二个图形相似，看看能不能看到。就是这个直角，通过这个直角我们能得到什么？我打上阴影啊，就这个黑色的这个小三角形 和这个三角形什么关系？也一定相似吧？一线三角形，两直角边是三比一，所以我们就可以得到这个直角三角形两直角边也是三比一的关系， 应该没问题，对吧？好，接下来你这个十还得去用，而且我们做的这个直角啊，就这个垂线段，你肯定也要用的，这个直角肯定也要用的，所以我们还得给他补成什么矩形，你再给他补成矩形，同时又会得到一对 k 型的相似，就这是直角，我记作点 g 啊， 有没有发现，就是这个小直角占进去了，和这个直角占进去了，又形成了一个 k 型的相似，对吧？ 哎，这两边是三比一，那这个小直角三角形同样是三比一，所以接下来我只需要设 c g 为 x， 那 么 g e 二这个边长就是三 x， 那 这条直角边呢？ e 二 h 就 用它的宽为八减三 x 八减三。 由于这个直角三角形的两个直角边是一比三的关系，所以同时我们会得出这条直角边的长也就是三倍的什么八减三 x。 好，最后只需要根据矩形的对边相等。哎，这两个长是相等的啊，上面这个长是十加 x， 而下面这个呢， 是这一段是三分之八，也就是三分之八加上三倍的八减三。好，我们解这个方程，那就太简单了，对吧？最终解出这个 x 的 值是三分之五， 那最终让我们求的这个 b d 的 长，有没有发现，实际上就是就是这一段长度，因为你这一段是三分之八，和这一段是相等的啊，这一段他也是三分之八， 对吧？把这一段移到这边，所以我只要把三分之五带到这里，哎，变成五八减五三，还有个三倍，那最终这道题的答案就是，就是九啊。

合肥按摩数学是不是特别难啊？很多同学按摩数学都考蒙了啊？就是原本他觉得我应该中考能考到幺六八，结果按摩考完以后，他觉得这几年高中都考不上了。为啥？因为他原本数学的目标是一百三一百四，结果只考了一百零几一百一。 但是王老师，我要跟所有同学讲啊，就是按摩数学他本来就比中考难，而且是我们所有的模考，再加上中考那一次里面最难的，每年都如此。如果说呢，你这一次按摩数学考了一个一百一， 那么你中考数学大概率在一百二十五分以上，甚至我觉得你都会有可能冲刺到将近一百四的。每年都有很多啊，按摩数学大概一百一十六啊，一至一百一十八的同学，他最后中考数学考了个一百三十八，一百四十二的。 所以呢，你也有可能是的啊，王老师呢，我接下来就准备把我们最后中考数学的啊，一些考试技巧方法，秘籍呢，总结成一套一套考试秘籍啊，需要的中老师家长啊，你打出秘籍两个字。

今天呢，我们来开个会，我们今天要讲的是这个包和按摩的压轴题。首先这个题目呢，我认为每个同学都应该拿到满分，为什么？因为我觉得一分钟你就应该把这个题目给解决了。首先呢，你要知道这个题目假如没有拿到分的同学，我想跟你说， 你自己不要把自己心态搞垮了好吗？你千万不要把自己搞垮了，你像安徽省的，一般来说，这个函数出的就是很保守，我从来不给同学们制造焦虑，我觉得没必要，咱们未成年人已经很不容易呢，为什么要让他们焦虑呢？ 为什么要让他们雪上加霜呢？是不是我们应该给他们信心，并且提出一定的方案，帮助他们解决一定的问题？好，这个题目很简单， 这个题目里面的前面的系数，他还对你不纠结。然后问题一问，有同学就开始摔跟头了，人家没说他的根，有的同学非要觉得他是他的根，人家看你一眼，你就觉得他爱上我了，真的是让我看一下啊， 没说是根。再说一下这个问题你为什么没拿到手？你自己的认知有问题，亲， 这都叫做，人家只要告诉你随便两个点，你就应该求出来的是 x 零，对吧？那我就知道这个顶点应该是二二， 所以 y 就 等于个 x 减二，小括号的平方再加上二，那么我把它展开 p 就 应该等于负四， c 就 应该是等于六的完了，结束了。然后第二问的时候看一下 y 就 等于个 x 减去 x 一， x 减去 x 二，对吧？再把它展开展开，这个时候你不用展，我教你一招，它是什么东西？什么东东？一次性的系数，所以就应该是负的 x 一 加 x 二，你展开干嘛？吃饱了撑着没事干啊，谁在遛你啊， 对吧？然后结束了，没有了。那第第最后一个啊，到了这个，这个就相当于是那个开始放炮，放到半空中，这个炮就坠落了。为什么？不够亮，对吧？不够让人荡气回肠。为什么？你看 我知道他的范围，又知道他又知道他。哎呀，这个不用想了，我告诉你，他只要在这个题上，他已经有等量关系，是不是？你说这个问题， s e s r 这啥啥啥，你肯定到最后都转成 x r， 然后通过一个二函数去求他的，所以没啥纠结的，你看这碰到这个题目，你应该捡到宝 了，是吧？这个 c 的 话怎么画？ c 就 等于什么 x 乘 x r， 负的 x r 趴了 啊，它带进去也就 n 等于个什么？它是等于负一的，那这个式子实际上就变成了什么 x 加一，小括号 x 减去 x 二加一，好，那它是等于一，那就应该是两倍的 一减去个 x 二好了。然后你把它换一下嘛， c 乘 n 也就等于个负的两倍的 x 二，一减 x 二，把它配一下，也就变成了什么。 嗯，两倍的 x 二减去个二分之一，小括号的平方减去个二分之一，那么我就晓得应该是在这个地方的时候取到最小值，对吧？ 所以也就是二分之一的时候，哎，我都不想写了。说实话，到了这个位置的时候，我就开始不想写了，因为我觉得大家都知道了，对吧？也就等于二分之一，负的二分之一， 嗯，这是最小的值。然后这个题目呢，这个地方给的这个东西呢，也比较保守，你看我是零的话或者一带的话都行，是不是你就算出来另外一个值了，另外一个值就最大值，所以这个 c n 应该是大于 等于负的两分之一，小于个零，这个零取不到，对吧？零取不到，因为这个点他取不到， 那就这样了，就这么很轻松的解决了。你像纵观，像之前安徽省考了每年的这个函数的题目，但 如果说有什么迷茫的话，我都有非常非常简单的破解之道，你们想问什么？想了解什么？一起在评论区给我发一个，跟我说一说。好了，今天我们就到这里，同学们再见，给大哥点点关注。

今天张老师带你一个视频，讲懂讲透四十二中亚洲题。张老师本身是一个高中老师啊，所以今天呢，张老师也会用高中思维和初中思维两种方法，带你来从底层剖析这道题目，让你看看高中思维是如何下放到初中考试中的。好，同学们，那接下来我们来用高中思维，用高中思路来 降维打击此类题目，同学们，你们听到之后才会发现啊，真的是降维打击，高中思维在初中的使用上就是非常的 接近他的本质。好，我们开始啊，在高中阶段，我们怎么去解释一个焦点呢？相切肯定我就不用讲了啊，第一种情况，相切我就不说了，你直接算个德卡也好，算的很。高中是怎么去看的呢？他有两个焦点，无外乎一个焦点，无外乎只有两种情况来，第一种是这样， 第二种是这样，大家自己看看啊，外部就两种情况，那么高中看的会更加透彻。我们以这幅图为例啊，如果抛物线与线段只有一个交点，那么这是第一个点，它所对应的抛物线值一定要比此点所对应的纵坐标要小。另一个点处呢， 他所对应的抛物线值一定比这个点的纵轴标大。我们再来看另一种情况，在这种情况下呢，左端点所对的抛物线值一定会比左端点的纵轴标大，右端点所对应的抛物线值一定会比右端点所对应的纵轴标小。 所以在工作阶段呢，我们正是因为发现了这种特殊的图像上的关系，所以如何去考虑一个公共点，我们只需要把抛物线画出来， 它的 x m 横坐标不是零吗？ x n 横坐标不是四吗？第一种情况，零带入抛物线大于 y m 就是 y m 的 坐标， 四带入抛物线，它要小于 n 点的坐标，这是第二种情况，以及一种相切就够了。你看我们在初中需要做连力，需要去求根，但是在勾中呢？通过图像问题，我们会发现，你直接把这个点的横点处小或者大，从而用图像问题去刻画，而不是靠计算。 大家能够体会到高中思维对于初中几何压轴压轴题的一些，这个较为打击吗？好，我们来用高中思维来计算啊，如果用高中速度来计算，那我们就需要分情况讨论。第一种情况就是我画的它的这个左焦点在 m n 上， 那么此时 x m 是 零，把零带入抛物线，它是三 k 减一，必须要大于 m。 动作表你们看到了吗？它的这个左左边的这个抛物线把零往里面带，肯定是要比 m 大 的，它得大于二。 第二个就是把 x n 四往里面带，那就是十六减去四倍的 k 加一，加上三 k 减一，它必须要小于 n 点。正坐标在思路上会简单很多，在计算上也会简单很多。希望这个视频可以对大家有所帮助，那么张老师就讲就讲到这，谢谢大家啊！

大家好，我是廖师，我觉得这道题目啊，真正体现本事的体现，我的本事是在第三问，那第一问第二问他就是送分题了，但是第二问的时候，同学们觉得这个题目啊，算起来非常辛苦的同学举手。 那第二问的时候呢？其实你应该这么算啊，就是通过这个去把握对称轴去算，但凡其他的方法都是不对的。其实从第二问的时候，我们就已经开始把这个智商慢慢的拉开了，那么到了第三问的时候，大家注意看啊，他说两个焦点之间的距离是两倍根号，也就说这段的距离是两倍根号二 阶段是两倍根号二，然后这个距离这个地方是等于四的，那其实这个四就应该等于个根号二，小括号的平方 m m 就 应该是等于二的，对吧？对于这个问题就是说他是一个啊，抛物线的几何的问题， 其实我早有跟同学们去说过这个问题，那我在这个地方就不再跟同学们去展开了，期间有很多的奥妙，那我就知道这个解析式就应该是两 s 平方减去一个四， x 减去二，当你身边的同学还在苦哈哈去算的时候，你已经把这个题目绕来于心了，好 研究的是他们俩之间的关系，其实这个问题特别的有意思，你有没有发现他说 m n 不 重合， m n 不 重合就是代表他们俩之间的焦点，那个点是不取到的，所以我们从另一视角去考虑这个问题的话，他应该是这个样子， 然后长这个样子。那我其实可以把这个教练给算一下，也就是二 x 平方减去四， x 减去二，再减去 x 再减一是等于零的，于是也就应该是两 x 平方减去五， x 减去三是等于零的。一二 三一减 x 减三， x 加一，小括号等于零。我们打个草稿，所以它就应该是等于三这个地方也就是负的两分之一。好了，那其实我在刚才算的过程中，我表示的是什么？我是拿这个二次函数减去这个一次函数，实际上就应该是这一段的长， 这一段的长，对吧？这一段你看啊，他说这个 m n 怎么怎么怎么的，那也就是这一段的长。嗯，他重点说的是 m n 随什么什么增大，增大什么什么什么什么好，那我先不去考虑这个问题，我宁他是 y p 好 不好？ y p 也就等于他， 那他就应该是 y 一 撇喽。那我这么减的话，实际上我是默认于这个二次函数是在上方的时候，如果二次函数是在上方，好，我们看一下，那这个区间就应该是 x 大 于个负两分之一或 啊小于啊，小于就左半段这边部分，或者说 x 大 于个三的时候， y 是 等于个 两 x 平方减五， x 减去个三的。哎，他是长什么样子？他是一个开口向上的，并且是四分之五的时候，是省负的 二分之 b 吗？四分之五的时候递增的，所以他应该取到的那个递增范围应该是 x 大 于个四分之五， 所以我们跟上面的去交集，交集就是中间公共部分，所以我得到的应该是 x 大 于三。那这个就是我们要的第一个答案。第二个答案的时候我跟大家以前就说过这个问题啊，我在考虑，就说考虑很多问题的时候，我都喜欢用这个年龄符号，我非常喜欢它， 那就在中间段的时候，这段的时候也就是 x 大 于个二分之一小于三的时候，当它是长这个样子的时候，其实它应该是 y 等于一个 负的两 x 平方加上五， x 减去一个，加上一个三，它应该是个开口向下的，然后什么时候应该是 x 小 于个负的， 呃，小宇哥，四分之五的时候，对吧？小宇四分之五的时候，那么我所取到的这个范围，这就非常简单了，应该是左边不借连取它，右键连取它，也就是 x 大 于个负的两分之一，小于个四分之五。好了， 那我这样的话，我就言简意赅，非常紧要的把这个题目给写完，你看我写的也很工整，然后条理也很清晰，更主要的是当我这么做的时候，根本就不会出现任何的错误。我们同学们就说在做这个题目的时候，为什么就写的那么的杂，那么的乱， 主要因为大家没有这个非常万能的年龄符号，那么如果大家觉得还不错的话，赶紧可以开始用起来了。再把这道题目复盘一下，我相信很多同学再次走入考场的时候，一定在中考中会展露自己的风采，旗开得胜。 今天我们就到这里了，同学们散会，期待同学们的好消息，拜拜！再见，给大哥点点关注！

各位同学大家好，我是你们的八戒老师，蜀山去按摩呢，这第二期呢，可以用很多种方法，那张老师呢，来给大家讲讲第三小问的话，三种方法主要是讲的是什么？解析的思想思路，你听听看对你有没有所帮助，记得给张老师先点把电，把赞 点起来。来看一下第二题，那在阿奇三角形中，这是垂直的对不对？好，标好，这是垂直的，来，继续走，然后呢， ab 是 等 bc， 说明这是什么？等幺三角形说明这两个什么 b， 这两个边是相等的，而且这两个什么底是相等的，对吧？来，继续走，看到中线你要想到什么？背长中线，中位线对不对？这些都要知道啊。来，继续走， 然后这个角也是多少度？九十度对不对？这个角也是九十度都没了是不是？那看到这个是中点的话对不对？你是不是在三角形里面的话， 中线都等于什么？斜边的一半，所以呢？ d b 等于 d， e 等于什么？ d c 知知道不？ ok 啊，所以说终点的考点考考法呢，是经常用， ok 啊，第一个对吧？ ab 是 等于四的话，那 bc 呢？也是等于四，终点是，哎哎哎，对不对？ ok， 这个标好， 然后让你求什么 a， e 的 长度，太简单了呀，你 a， e 的 长度是不是可以，可以干嘛？可以用 ad 的 长度减去什么 d， e 的 长度， 这个用什么勾股定律，把什么 ad 求出来是多少呢？四的平方加上 i 的 平方等于多少？等于根号多少？根号二十就等于几，就等于二倍根号五。 那这个 a d 的 长度是二倍根号五，减去什么 e 了吗？所以说就等于几就等于二倍根号五，干嘛呢？减去二对不对？这个是二倍根号五啊，好的快呀， 这是二倍杠五对不对？对吧？二倍杠五减去什么 d e 长度就等于什么 a， e 比较简单。那第二小问的话，让你求什么这个三角形的面积， 但三角形面积的话，我刚给。呃，就是每次给学生讲题说对不对？往往第一小问的话，不可不可能让你白给的，对不对？你肯定会用到 a e， 对 吧？那姐姐想一下， a b e 这个三角形面积怎么求？或者什么？这个是为底，这个是为高，对吧？或者是什么这个是为底，这个是为高，行不行？我用两种方法。好吧，我都讲一下啊，来，继续走。 那假如说这个是高的话，这是垂直对不对？你看这是什么形？明显的是什么重？ a 的 形对不对？是不是？那我们来要想求出这高度的话，那这个边已经给了，对不对？ a 给了，对吧？是不是多少？是二倍根五干嘛呢？减去二对不对？ ok 啊，大家写一下啊。 好，这个呢， a 已经给了，是二倍根五，干嘛呢？减去 i， 那 这个边呢，也是知道的是多少二倍根号五。所以说嘛，这两个三角形相似 a 字形，假设这是什么 h， 对 不对？ 所以 h 比上什么 h 比上 i 就 等于多少呢？就等于 i 倍根号五，减去 i 比上什么？比上 i 倍根号五， 对不对？是不是拿什么这个三角形的斜边比上这个三角形的什么斜边，简单不？所以呢，约掉约掉，对吧？所以就等于几？ h 就 等于上下同时乘以根号五就等于几？ 嗯，同时乘以根号五的话，就等于二五，以十减去多少？二倍根号五，对不对？ ok， 那 h 求出来过后，那这个底面积乘高不就行了吗？所以呢，这个三角形面积就等于几？ s， 三角形面积等于几？二分之一，是吗？ 底乘以什么四乘以什么高？高是五分之多少十减去二倍根号五，对不对？是不是？ ok， 继续走，然后这边是二，约掉二二往里面乘就等于几二十，减去多少？四倍根号五比上什么 五，对吧？简单嘛。所以呢，这个减呢，就等于几？五分之多少？二十减去多少？四倍根号五，对吧？ 还有另外一种方法吗？好，继续讲啊，我不写过程啊，我就写的是分析啊，各位同学啊，继续走。那这个三角形的话还可以什么？以 a e 为底，这个是为高，因为这是什么？这是个钝角对不对？那这个是为底的话，我做向这做垂线行不行？好吧，向这做垂线的话，这个是高，对不对？ ok， 好， 哎，这个是高。 来，继续。那我只要这个 a d 已经知道了，对不对？我只要求出这个长度不就行了吗？我是还是多少还是 h， 对 不对？那你看一下，这边好多鱼角，好多是直角对不对？那这是直角对不对？那这个角和这个角干嘛？ 这可相等，明显的相等。为什么呢？因为他加他等于九十度，那他加他也等于九十度，所以呢，这个和这个角干嘛都相等？那我用的是什么？这个是垂直，这个是垂直，一定想到什么适用定律对不对？ 这个三角形和什么？和这个三角形和这个三角形都相似，是有定律对不对？那你就特别简单了，边都给了，让你求他还不好？还不好求吗？我用这个三角形和这个三角形相似行不行？好吧，那就是拿什么用这个角？这个角是拿他 比上它是多少？是 cosi 对 不对？是不是四比上什么 a d 啊？ ok， 要是四比上 i 被根号五就 cosi， 也就是什么这个角比上它它也是 cosi， 对 不对？就等于什么 h 比上什么 i 对 不对？是不是就等于多少？ 嗯，远远就等于 h 等于几？就等于五分之什么四倍杠五对不对？五分之四倍杠五 h 求出来了，那面积的三项面积就等于几？二分之一乘以几乘以 a e 乘以什么 h 对 不对？所以二分之一乘以多少？ a， e 是 多少？ a， e 是 二分之根五。干嘛减去 i 乘以多少？ h 是 四五分之什么四倍根五对不对？就等于几呢？然后呢？ i 和 i 这边约掉对吧？约掉约掉就等于几？再往成四倍根五减去多少？减去 四倍根五乘以多少乘以根号五减去多少？减。一步步来吧。好吧，约去 i 过后就等于几？根号五减一乘以多少乘以四倍根号 五再除以五，对不对？就等于多少？这个往里面一乘就等于几？四乘以五对吧？四乘以五，然后呢？减去多少？减去根号 减去多少？四倍根号五除以五对不对？就等于几？就等于五分之多少二十减去多少？四倍根号五。答案一样不？答案也一样的，对吧？看到了吗？对不对？两种方法啊，我讲的是思想啊。好吧。 ok 啊，好，过了。好， 都已经讲完了对不对？再看第二小问，第二小问的，哎，卡了。 好，第二小问的话用三种方法吧。好吧，用三种方法，那首先的话我能想到什么呢？这是终点我要想用的，对不对？每次像你们十一中，咱们苏州市十一中九中能考到就经常用考到这个点对不对？背长中线对吧？是不是？我就什么连接它好，连接它 好，连接他过后呢？所以这个边和这边相同，这个边这个角和这个角相等，然后呢，这个角和这个角也相等，平行嘛，对不对？所以这两个三角形干嘛 全等？被场弓箭构造，呃，构造什么？全等三角形？那他让我们证明什么？ a f 比上什么 c d 的， 我就舍 c d， 为什么为 a 行不行？好吧，这个是 a， 这个是 a， 这个呢？也是 a， 对 不对？然后呢，这个是多少？ i a 对 吧？然后呢？勾股定律，这多少？ 这是根号五 a 对 不对？根号五 a， 因为这个两个三根干嘛？明显的是什么？全懂对不对？所以说这个也是多少？根号五 a， 这个呢？是二 a 对 不对？是不是？ ok 啊，来，继续走。 那要想我这个 c d 已经知道了，是一个 a， 我 求出什么 a f 不 就行了吗？那 a f 怎么求呢？你看这个和这平行对不对？明显的，这是什么形？ 八字形对不对？八字形，你这个 af 是 有了，对吧？ a e 是 有了，对不对？ a e 是 有了，你这个呢？ a e？ 哎呦， a e 是 多少？刚刚已经算是根五，是吗？ 减一 a 对 不对？是不是拿根五 a 减去？ a a e 是 有了，这边是有了，你求它不就比不就比出来了吗？明显的是什么？这是八字形啊，对不对？比较简单啊。第一个用的是什么？背长中线啊，背长 中线，哎。背长中线啊。哎呦，字不会写的，现在不会写字了。 背长中线。你还构造什么？全等三角形对吧？全等三角形，然后再加上什么？两个三角形干嘛？相似，对吧？八字形对不对？八字什么模型啊？八字三角形干嘛？ 相似就 ok 了啊。第一种方法对不对？ ok， ok， 能不能证明出来？那 af 比什么？比上艾 a 对 不对？是不是？ af 比上艾 a 就 等于什么呢？这个 a e a e 是 多少？是根号五干嘛呢？减一比上 a 对 不对？然后这个长度是多少？是根号五加 a 对 不对？是不是就等于多少？比上什么？根号五 加一，括号 a 对 不对？是不是，对吧？ a 干嘛约掉？所以 a e 就 等于几？就等于根号五减一，括号根号五加一，乘以几乘以艾 a 对 不对？是不是， 对吧？那这已经 af 表示出来了，那 cd 已经是 a 了，那 af 比上什么？ af 比上 c， d 不 就等于多少？根号五减一，然后呢？乘以艾 a 比上 c、 d 不 就等于多少？然后呢？除以个什么 a 吗？对不对？是不是 aa 约掉了都没了对不对？那没的话只剩什么了？只剩根号五减一 乘以二比上多少？根号五是吗？加一对不对？然后呢？分母有理化不就行了吗？就等于多少呢？就等于上下同时乘以根，根号五减一，这边就等于几？就等于五减一等于四，对不对？四分之多少？根号五减一的什么？ 平方乘以二倍对不对？继续走约约就等于几？就等于二分之多少？ 这边是五五的平方五减去二倍。根号五对不对？加一对不对？等于多少？等于六减去多少？二倍根号五除以二等于几？等于三，减去多少 根号五，对不对？答案就等几，等于多少？答案就等于三减去多少根号五，对吧？ ok， 好， 这是第一种方法啊，这是第一种方法来看第二种方法。第二种方法还能想到什么呢？就是你看一下，哎，卡了。 第二种方法的话，它里面有很多什么隐藏角，如果你能把隐藏角找出来的话，也比较简单。你看这个三角形和这三角形干嘛？相似是什么形？明显的是什么？子母形？好明显的是子母形，这个三角形啊，黄色的部分和什么？和这个三角形 啊，和这个三角形干嘛是相似？是子母形啊，好，第二种方法，对吧？是子母形。三角形。 三角形 a， f， e， 对 吧？相似于三角形。什么 a， b， e， 对 不对？相似。相似什么？什么什么形？子母形，对吧？子母形相似就就能证明出来了。为什么呢？你看一下，它里面有很多角，嗯，这个是多少 x， 这个呢？是 x， 对 不对？那这个呢？也是多少 x， 对 吧？是不是？ 然后呢？嗯，这个角加这个角也是垂直的，所以这是 x， 那 这个呢？也是多少 x， 对 不对？ 是不是？ ok， 那 这也是 x， 所以呢？这个角有一个公共部分的角，对不对？然后呢？这个角是 x， 这个角也也是 x， 所以 两个角相等，所以说这两个三角形干嘛相似？相似的话一比不就行了吗？那 a f， 那 怎么比？那 a f 比上什么？那这个三角形啊，这个边比上它对不对？然后呢？就等于根，嗯，我想想还有这个什么 ab 也知道了，对吧？然后呢？ 啊，好，我把这个笔写一下吧。好吧，那这个三角形的最小边是什么？是 af 对 不对？是 af 对 吧？那这个三角形的最小边是多少呢？是指的是这个 x 对 应边是它，这个 x 对 应边是多少？是 a e 对 不对？是不是 a e 对 吧？ 是不是？其实字母型的话，我可以写成重重积的形式，可以吧？直接来啊，直接来，为什么？因为公部分就等于什么 a f 乘以什么 ab， 对 不对？我写成重积的形式可以吗？ 可以啊，那就等于什么 a e 的 什么平方直接就等于多少？直接就等于 a f 乘以什么？乘以 ab 对 不对？这样比较快嘛，对不对？写成乘积的形式就是子母型，就什么它的平方就等于 a e a f 乘 ab 啊，好吧，这是总结的规律啊。 然后呢？ a f 是 多少呢？ a f 是 让我们求的对不对？ a e 是 多少？是根号五减一括号，什么 a 对 不对？然后呢？加一个什么平方？ af 让我们求的 ab 是 多少？ ab 是 多少？ i a 对 不对？ ok 啊，往里面乘，然后就等于几？根号五减一，然后呢？平方乘以 a 的 平方就等于几？ af 乘以什么 i a 对 不对？是不是继续走啊？那 a 约掉对不对？ 所以 af 就 等于多少？就等于二分之多少根五减一括号的平方，然后呢？乘以 a 对 不对？好，再来那题目让我们求的是什么？ a f 除以多少根五减一括号的平方，然后呢？乘以 a 对 不对？好，再来那题目让我们求的是什么？ c d 对 不对？所以 a f 比较什么 c d 就 等于几？ 就等于根号五减一的平方，乘以 a 比上什么 i， 然后再除以几 c d a a 约掉，其实就等于多少？就等于根号五的什么平方减去多少？二倍根号五干嘛呢？加一，然后比上多少？比上二就等于多少？六减去多少 啊？六减去多少？二倍根号五对不对？除以的除以二等于几？等于三，减去什么根号五？答案一样不，答案也是的，对吧？是不是？好，这是第二种方法。那第三种方法的话我们再来 第三种方法，其实你看到对吧？这其实你看到什么？像这个什么？做垂直，对不对？你看这一条直线，垂线，那我能不能想连连结它，这构造什么算性， 对吧？是什么？是正方形？正方形里面存在什么？垂直？什么十字架，对不对？是不是十字架模型啊？十字架模型。所以说呢，我再擦一下啊，好方法比较多啊。来看一下，继续走。那我连接它， 连接它，对吧？然后呢，这是什么正方形？这是垂直的，这个边和边相等，对不对？所以这是正方形，正方形的话我也连接它， 明显的。这是什么模型？十字架模型。十字架模型的话有两个三行，干嘛？全懂？哪两个三行？全懂？这个三行 对不对？这个三行和什么？和这个三行全懂，对吧？全懂。好，我再写一下。方法啊。方法三， 什么？十字架模型，嗯，十字架模型能够做什么？全等三角形？ 全等三角形，对吧？十字架模型构造三。嗯，全等三角形就没问题了，要不然用相似。 不用相似啊，这个呢，就不用相似啊，就行了。来，比如说这个 a， b， c， d， 这是 h 吧，好吧， ok 啊，这是 h， 然后呢？同样的，这是 a， 这是 a， 对 不对？然后呢？这是什么？ i a， 对 吧？ ok， 好， 来看一下，主要是他又有个隐藏角，我们要用，对不对？刚刚已经说了，这什么 x， 然后呢？这是 x， 对 不对？然后这是多少 x， 然后这是什么 x， 对 不对？那这个就是多少？九十减去 x， 对吧？为什么呢？在这个三角形中啊，这是九十减去 x， 对 不对？所以呢？这是九十减 x， 这是九十减 x， 对 吧？你说。 嗯，这个边，嗯，我想证明的，是啊，没事，好证明的。什么？这两个三角形干嘛？ 这个边和这边干嘛相等，对不对？是不是？那这个边，我就是，我想证明什么呢？就是我想把 a h 标出来，因为这两个三角形干嘛 全等？全等的话，这个 f b 和什么和 a h 就 相等，我如何把 h b 给它求出来呢？就是利用什么这两个角相等就能得出什么？这两个三角形是什么？等边等幺三角形？等幺三角形。这 a、 h、 a、 e 是 多少嘞？ 是等于根号五减一的什么 a， 对 不对？所以说这个也是多少？根号五减一，对不对？是不是啊？这个也得写的多了， ok 啊，是根号五减一，哎， 是根号五减一，是吗？这是 a 对 不对？是不是？那 a h 等于根号五减 a 的 话，因为这两个三行干嘛全等？所以说 f b a 也是多少，也是根号五干嘛减一 a 对 不对？那 af 就 等于多少 af 就 不就等于什么？就 a b 减去 f b 吗？对不对？就等于 i a 减去多少？根号五减一 a， 对 不对？你看一下， af 就 等于多少？就等于 i 减去根号五，加上什么？根号五 a， 然后呢？加上多少加上 a， 对 不对？就等于多少？就等于负的根号五 a， 然后加上什么三 a， 对 不对？是不是？所以呢？ a f 就 能表示出来了？ a f 表示出来过后，那 a f 比上什么 c、 d 呢？就等于多少？就等于根号五 a 加上什么三 a 比上什么？比上 a 就 等于几 也也也不就等于多少？负的根号五是吗？加三吗？好，同样的是吗？三减去多少根号五，把它什么颠倒位置对不对？同样的，这个答案和答案一样不 一样的吧，对不对？用了三种方法，第一种什么？背长中线，非常容易想到。第二个，这是三角形，子母形，第四个是，第三个是什么？是十字架模型，三角形全能。 ok， 主要什么？这里面什么？这两个什么？你要找到什么？它的隐藏角，它就包含有什么好 隐角啊？隐藏角你要找出来就没有问题了。好吧，希望呢，这个视频能对大家有所帮助，正好加油。

俯卧撑按摩已经尘埃落定啊，就是关于数学呢，很多同学说这次考的比较难，其实我也看了，他不如包合的难， 而且题型整个来说的话中规中矩。你像第七题，网上很多同学说难，他其实就考了一个简单的等级转换吗？包括这个最后一道二十三题考察的函数与几何综合，你简单的把图画一画是吧？试着去算一算啊，只要平常的基本功比较扎实的同学 都能够去做的出来。你包括这个第十四题，考了一个简单的折叠，那么一个平行相似，还有这个勾股定律啊，去运用一下就可以了啊，没有什么特别难的地方，只是说这一次数三考的比较晚啊，可能说会比较关注一些，那么我们接下来 要做的呢？是根据是吧？这一模也好，二模也好，他都不代表我们最终的成绩，我们是要去根据这两次的考试呢啊，调整一下自己的一个状态，以及是找到自己最大的一个 作用，就是找到自己薄弱的地方，能够在短期内实现着补的地方。你像你一个一百多分是吧？一百一一百二的选手，你去琢磨什么几何压轴题，你老是去盯着这个压轴题是吧？意义不大， 那你既然是考到这个分数，你的计算方面也好，你的审题习惯，呃，包括一些常规的题型，比如说，呃，圆的一个综合，那对于咱们安徽卷来说的话，你这个圆的综合，他其实考的还是比较简单的， 你把这些比较简单的部分相对容易拿到分的地方去给他去再扎实扎实 啊，这个是比较去切合实际的，那么其他的科目也是一样，我们好好的去梳理梳理哪些部分你是能够在短期内快速拿到分的，那么这么去分析分析， 你怎么着也能够找出几十分来，那在接下来的时间就是把这几十分给他牢牢的握在手中。好吧，中考时间不多了啊，加油。

要我说呀，合肥中考数学的几何压轴题就是中分题，那些出题人啊，早就把答题方法隐藏在题目里了，只是你没有看懂。合肥考生数学想考一百四十分题以上的几何压轴题，这三个套路你一定要记牢。 第一呢，是求线段的长度。这类题型的解法就三种啊，勾股定律、相似三角形、三角函数。其中啊，圆的大体考的最多，看到直角直接是勾股定律，那看到平行线， a 字八字结构，那直接上相似三角形。如果题目啊，给三十、四十五六十这种特殊角，那直接上三角函数。 那第二呢，求图形的面积，简单的呀，你直接套公式就可以了。那如果碰上呀，跟二次函数相结合面积的大题，你就做辅助线拆分它的图形，其实本质上还是求三角形的面积。 第三呀，求圆。大体的第一问，基本上都是倒角，你要记住，那第一呀，用平行线去倒它的内侧角，同位角，那第二呀，用直角去找它的互余角。第三呀，用圆心角，圆周角，衔接角去互相的转换。第四还有等腰三角形，比角相等。第五啊，角平分线平分两角， 把那些角度的关系理顺就可以了。其实呢，河北中考的几个压轴题啊，都是有规律的，只要把这三点组合呀记牢，想拿高分轻轻松松。

几何快，代数稳，心定还能提升？ hello， 各位同学们大家好，我是讲韩式的肖飞老师，今天这个视频呢，向老师啊，精讲的是我们初三下双提二模的这道函数压轴题啊， 这道题目呢，可以说是非常综合一道题目了啊，这一道题真的可以顶好几道题，它既考验了咱们同学们，首先从能力上，你具不具备我们的定一动一种有序分析， 哎，具不具备这种对单动态问题的这种全面细致有序动，哎，以及就是你具不具备构造新函数这种式子表一切的能力，包括函数题要想做的快，最重要的就是你能不能够挖确定啊，在不确定当中挖出确定， 哎，这几项能力，各位同学其实就等于中考会考察到的全部的带宗的解析能力了啊！再加上这个题的考点，同学们这种公共点问题的处理方法，这种哎，增减性问题最值问题的处理方法，各位同学，哎，这两个考点你是不是掌全面掌控？ 所以这道题真的能很好的检验咱们同学们在带宗这块的一个基本功的扎实程度啊！好，如果这道题做的不好，同学来认真听，向老师给你们讲一讲啊，我手把手再教教大家都是怎么操作的。 好，首先来看一下啊，这个呢，首先过二斗夫三 a 啊，这个对称轴还是非常好算的是吧，往里一带能算出这个对称轴是一啊。并且同学们像这种解析式，因为他的 a、 b、 c 都含有同一个字母 a， 那 这个式子我能看出来它是可以因式分解的，是不是你可以另一个 a a 变成 x， 方 减二， x 减三，然后在这里就可以进行一个十字相乘，是吧？变成 x 加一乘， x 减三，所以能很轻松地看出它与 x 轴的交点应该是负一零和三零 啊。并且这个其实就是肖老师给大家总结过的，我们的跳绳模型，是不是因为它的与 x 轴交点是确定的，然后它的顶点是不确定的，那说白了就是它可以啊，让顶点沿着这个对称轴从上往下跳，对不对？比如说它可能会长成 这样，也可能会长成这样，是不是？哎，这种跳绳结构啊，跳绳模型好， ok， 等会如果需要有序动这个抛物线的时候，同学们就可以去看看这个就可以用跳绳模型啊。 接着来看第二问，已知点 a n 逗四啊，我们永远要善于只关注确定的 n 逗四，这个是 n 加六逗四，哎，纵坐标确定，所以说白了，这个 ab 两个点呀，它就是 在外等于四这根线上动，是不是？哎，在外等于四这根线上动，肖老师画一下啊，大概这个意思，是不是在外等四根线上动？嗯， 好。并且呢，他们两个人虽然横坐标是不确定的，但是他们俩的横坐标的宽度是定的，是不是就是六个格？所以他其实说白了就是一个宽度为六的一条横线，有毛病吗？同学们， 哎，就是宽度为六的一条横线，然后在这个 y 等于四上，然后这个点就是咱的点 a 点 b， 然后从左往右动呢，是不是？同学们，是吧？哎，这就是点 a 点 b， 然后他再从左往右这样式， 再咚咚咚咚咚咚咚咚咚，哎，咚咚咚，是吧？ ok， 好， 他说，若使得，若存在 n 啊，若存在 n， 使得抛物线和线段 a、 b 有 两个不同的焦点，注意，他找的是两个焦点，让咱们直接写出 a 的 范围。 好，这道题我们来看一看啊，同学们，来，这种公共点问题啊！同学们基本就都是动图啊，因为咱们知道，肖老师给大家讲过， 做函数题第一步是画出第一图，一定要先把图给画出来，画完图之后，要么可能是玩图，要么可能是玩柿子。那大家记住，这种公共点问题，这种焦点问题 啊，公共点个数问题，我们都是干嘛都是玩图啊，就是对这个图进行有序动。好， ok， 那 咱们就开始干，那怎么动呢？有同学说，老师，这个抛物线也动，这个线段也动，太烦了， 定一动一啊，对不对？抛物线也动，线段也动，那当然没法做了，所以咱可以先把抛物线给定住，对不对？哎，定住这个抛物线，你就动这根线段不就行了吗？是不是？那你就跟肖老师动啊，比如说，同学们，如果这个线段长，这 请告诉我，这个抛物线和线段有两个公共点吗？ no， no， no， 继续动动动动动动动，直到动到累。 b， 干嘛？从右边出去，对不对？现在才满足存在，两个两个，两个两个两个，对不对？哎，现在我们就看懂了啊，长成这个造型就是存在， 是不是？哎，明白了吧，这种就是，你看，继续往右动，又没有，没有又不行，不行不行不行不行不行，行吧？是，哎，只有长成这个造型才是存在，是不是？好，那这个时候你就再看看他，那他长成这个造型就一直存在吗？各位同学， 那你这个时候可以动动抛物线呀，是不是？同学们，比如说向老师把这个抛物线画小一点， 哎，我把这个抛物线画小一点，哎，你会发现这个时候行不行呀？这个时候也是行的，是不是？哎，那如果向老师再把这个抛物线整大一点呢？同学们， 哎，哎，这个时候你会发现也刚刚好是行的，是不是？那如果我再整大一点呢？ 你会发现这个时候是不是就不存在了，对吧？你不管这个 a b 动到哪，它都不存在了，有发现吗？ 你动动动，你甭管这个 a b 动到哪，它都跟这个绿色的不可能有两个公点了，是不是因为这个绿的太胖了，所以临界，大家看见了吗？临界就是黄色，这个是不是临界就是黄色这个情况？因为这个是最极限的胖， 对吧？这个是最极限的胖，如果再胖，你甭管他动到哪，他都不行了，所以绿色黄色这个是最极限的胖， 是不是？哎，所以同学们，我们就把握住了这个临界情况，就是长成这根，那咱们就算呗，因为这个宽度总共是六，然后这个对称轴是一，所以左边是三个格，所以这个此时他的横坐标就是负二， 对不对？也对吧？横坐标就是负二，也就是他过负二斗四的时候，哎，那我们就把负二斗四带到抛物线，就可以算出来，此刻 a 等于五分之四，然后咱们再进行让范围确认，哎，对吧？开口得变大变小能行啊？同学们，这个是最临界的胖了，所以开口得变 小，对不对？得变成紫色这样才行吧，对不对？得变成紫色这种情况才行啊， ok， 对 吧？这样的话才能才能存在，对吧？所以这开口变小，那就是 a 变大，所以 a 大 于等于五分之四啊，就是开口向上， 好，那咱们再看开口向下。各位同学，开口向下呢？咱们先画画啊，首先他既然得满足有两个造型。同学们，咱们先画画啊，首先他既然得满足这个造型，同学们，能行吗？ 那肯定不能行，对不对？至少他俩得先挨着，对不对？得先挨着，哎，那再确认一下，哎，那我先画一个挨着的啊，是不是？至少他也先长成这样，哎，那再跨，只要挨着都行吗？那我再有序动一下这个抛物线啊，只要挨着都行吗？各位同学，来，肖老师画一下粉色，这个行不？ 肯定是存在的，大家有没有发现因为什么？因为此刻这个抛物线呀，他在这个位置才宽四个格，他这儿肯定特瘦，能懂不？他这儿肯定特瘦，所以你拿一个 y 等于那个宽度为六的一个线去跟他 肯定有俩交点，肯定存在有俩交点，大家能理解这个道理吧，对不对？你拿一个宽为六的去跟这种开口向下的抛物线进行找找，两个公共点指定有 对不对？指定是有的，因为他这这才宽四个格，对不对？你上面要拿一个宽六个格的，肯定肯定是嘎一下穿过去的，是不是？哎？所以这个开口向下，只要他能跟 ab 这条横线啊，能跟这条横线过去，对不对？只要他能长成这个造型，对吧？只要能，他能有俩焦点，他就一定能符合题，是不是？好？所以说白了就是我们只需要满足一对的这个外值，一对的这个外值要大于等于四 就行，是不是就能穿过去了？哎，有俩就有公共撵就行啊。所以咱们就把 x 等于一带到抛物线解一式算出来是大于四啊， ok， 就 能解出 a 小 于负一了。所以综上这个题答案就这两个答案，好吧，哎，这就是我们的第二问， 来，那我们再看一下第三问啊，各位同学，第三问呢，又是我们非常熟悉的这种新函数问题了是不是？那同学们首先画出第一幅图 哎，然后他让咱们去研究谁呢？研究 m n 的 距离，那咱们就视字表一切去表示 m n， 是 不是 m n 表示完这个啊？然后第三步， 只要表示完新函数，那咱们就画出新函数图像，就讲这德行是不是？第四步，把它的范围标在图上，注意提醒同学们，只要标范围，同学们一定要 看清这个等号，等号的情况，所以你会发现他左边是可以取等的，右边是不取等的哦，所以六啊，这个六肯定讲价啊，他是个空心。那咱们就看 a 加一讲哪吧！同学们， 哎，有同学是不是分了好几种情况啊？这个题最易错的点，最麻烦的点来了啊，有同学是不是分 a 加一讲价， a 加一讲价，一个一个看的呀？ no no no no no， 麻烦了，同学们，如果你真的非常善于关注精读，非常善于去挖确定，各位同学，只要你善于挖确定，你就能比别人做得快，别人讨论四种，你一种拿下 怎么说？首先各位同学，肖老师反复给大家讲过，强调过，只要看到这种范围当中带字母的同学们一定要注意什么？只要看到范围当中带字母的，要有前提确认，也就是 a 加一得小于六啊。 a 小 于五 好，再加上同学们，这些地真的都需要咱讨论吗？嘎，家人们，大家想想，如果你真的精读了，他要满足始终都得满足大于等于五 a 是 吧？不小于五 a 不 就是大于等于五 a 吗？ 他的距离始终都得大于等于五 a， 同学们，始终处处。所以你琢磨琢磨，如果这个线长这， 他在这个范围上还真的能满足处处大于五 a 吗？那不是瞎说八道吗？因为这个地已经是零了 对不对？所以不可能满足，包括他在这，如果动到这，各位同学，也不行吧，对不对？ a 加一如果动到这是不是也不行呀？他在这块也不能满足处处吧，也是包含零的呀，对不对？所以这就意味着家人们 a 加一必须大于四， 他只能在这一块才有可能满足始始终大于五 a， 家人们，大于等于五 a 是 不是最必须 a 加一得大于 四啊？也就是说 a 得大于三才有才有的商量啊。 ok， 那 接着他要满足处处都大于五 a 大 于等于五 a， 那 是不是就找这个最低最低的？ 只要最低的大于等于五 a 就 都大于了？所以咱们就把 a 加一带到这个抛物线解析式啊，那这个时候，因为它肯定是个正的，所以咱们不用加绝对值也行了，把一加一带到解析式，让它大于等于五 a 啊，然后把这个解一下方程，就能解出这个 a 的 取值范围啊，再结合咱们的前提确认， 我们就可以把这个负二给灭了啊，就是 a 大 于等于四，哎，所以最终答案就是 a 大 于等于四小于五啊，这个前提确认 好。第三问，同学们有没有发现肖老师做的 so easy， 为什么？因为我太善于精读，太善于挖确定了，所以同学们一定要看清他给的这个，只要看到范围当中带字母，一定要做前提确认啊，始终， 哎，始终，那就意味着你需要满足，处处都怎么怎么着，那你就会发现这些都不可能啊。排除掉那些情况，会发现只有一种情况，根本就不用分类讨论，那就嘎嘎一顿算就好了。 好吧，哎，刚才肖老师说了，这道题呢，难度还是有的啊，并且综合性还是挺强的，非常值得同学们在中考之前再反复刷两遍。把肖老师刚才说的这种精读呀，范围确认呀，包括这种有序动啊，包括这种跳绳模型呀，哎， 这种一定一动有序分析啊，这种能，这种能力和意识一定要再强化一下啊，这些都是我们中考必考的一些能力。