华师大八年级几何题型练习题

这是初二几何的一道小压轴题，这道题难度并不难，不需要什么几何大招，运用常规的一些思路方法就可以实现逐步拆解。我们先来看一看它的一个基本条件， 三角形 a、 b、 c 是 一个等边三角形，满足角 a、 c、 d 等于角 b、 a、 e 这两个小角它是相等的，并且 d、 e 的 长等于二倍的 a、 d， 让我们来求角 d、 c、 e， 它的一个角度是多少？ 那么这里为了方便来进行一个倒角，我们这里标一个角一等于这个角二，这个角一等于角二，外面又是一个等边三角形，那么这样的一个结构就是非常常见的。那么这个地方可以有哪些方法来进行一个使用呢？也就是这里的角一等于这个角二，它可以用来干嘛？ 可以用来利用等边三角形的边相等，以及角一等于角二，可用来进行一个构造全等，你可以直接延长 c、 d 构造全等是可行的， 也可以直接来导角。为了考虑到后面的还有个条件的一个衔接， d 一 的长等于二倍的 a、 d， 我 们这里就选择来导角，这个导角可以导出什么呢？它可以导出角 a、 d、 c， 它等于一百二十度。那怎么来进一个倒角来，这里标一个角，三角一等于角二，角二加角三是六十度，所以就可以推出角一，加角三也是六十度。那么根据三角形的结合，角 a、 d、 c 就是 一个一百二十度， 这个一百二十度又可以进一步的来推出角啊， c、 d、 e 等于六十度。 当然这个地方你直接运用内外角关系也可以，也是可直接可以的，对不对？那么这个六十度可以衔接后边的这个条件就是 d 一 等于二倍的 a d， 因为六十度三十度所对的这角边也有一个一比二，所以这里我们就直接过点一 做 c、 d 的 一个垂线，构造三、六、九的直角三角形，这里做一个垂直标，一个 h 点，所以根据三十度所对的直角边等于斜边的一半，这里就可以推出 啊，那个二倍的 d、 h， 它其实就等于 d e， d e 又等于二倍的这个 a、 d 对 不对？所以这里就可以推出这个 d a， 它是等于这里的 d、 h 的， 对不对？而且它又是又是一个共点共低点说我们直接连接 a、 h 三角形 a， d、 h， 它就是一个一百二十度的 等腰三角形，它就有两个三十度，这里是一个三十，对不对？这里这个地方也是一个三十度，所以就可以直接推出三角形 a、 h、 e， 它应该是一个一百二十度的等腰三角形。 好，它就可以直接来推出这里的 h a， 它也等于 h、 e， 这两个也是一个相等的一个一百二十度等腰三角形，对不对？因为有一个九十度三十度加起来是一百二，这个就比较的明显了，对不对？那么接下的路怎么来进行找呢？怎么样的可以联系到我们要求的是这个 d、 c、 e 这个角度它的一个度数的问题呢？ 我们来看一看刚刚所获得的这个条件， h a， 它是等于 h e 的， 并且它的夹角 h 这个地方它是一个一百二十度， 这个一百二十度，它的对角角 b 这个地方它是一个六十度，所以这个一百二十度，六十度，这个地方就是一个对角互补， 在四边形 a、 b、 e、 h 当中，它就是一个对角互补模型，对角互补，并且这里还有一个边相等 h、 a 等于 h、 e， 这里这里就是一个标准的对角互补模型，我们可以利用旋转来构造一个 全等三角形，对不对？所以这里我们怎么旋转，选旋转哪一个三角形呢？我们这里可以连接这个 b、 h 旋转三角形 h、 a、 b 就 行了，根据对角互补，这里的角 h、 a、 b 就 这个角， 这个角它是等于角 h、 e、 c 的， 这两个角它是相等的，对不对？所以你旋转过来之后，也就是把三角形 h、 a、 b 绕着 h 点逆时针旋转一百二十度，那么这个 ab 就 贡献到这个 e、 c 这个 延长线上去了，对不对？好？直接把它旋转过去，对不对？这里标一个 q 点，对不对？ 好？直接来构造一个旋转全等，也就是构造三角形 h、 a、 b 啊，全等于三角形 h、 e、 q， 对 不对？好？这两个三角形它旋转是明显的是对角互模型，它旋过，它就是一个全等，对不对？所以这个旋转全等可以得到什么样的有利的信息呢？它可以得到这里的 h 啊，也就是得到三角形 b、 h、 q， 它应该是一个一百二十度的啊，等腰， 它可以得到这样的信息，也就是可以推出这里的 h、 b。 这个地方是两个啊，三十度， 对不对？这两个三十度就可以推出 h、 b， 应该是等边三角形的一个 角平分线，根据等边三角形与角平面，它是有对有对称性的。当然这个地方你去政权的也是可以的，我们直接利用这个对称性可以来推出这里的啊。什么呢？就是 h a 等于 h c， 它就可以来推出这里的 h a 是 等于 h c 的， 当然 h a 它又等于 这个 h e， 所以 这三条边都相等， h c 等于 h e， 这两个边相等，由于它又是 h， 这里是垂直的，它就可以推出三角形 c h e， 它是一个等腰 r t 三角形，对不对？ r t 三角形。所以啊，就可以推出角 d c e， 它应该是一个四十五度啊，这个地方就是四十五度。 所以这道题虽然看起来有点复杂，主要是他的那个问题过程要比较多，但是每一步都是非常常规的。 前面的这个角相等，角一等于角，二来推出一个倒角六十度，再来推出一个等腰，对不对？等腰再得到一个 h a e， 也是一个等腰，对不对？这个等腰里面就又有一个对角互补的模型，有一个对角互补，加上一个 h a 等于 h e， 我 们就可以来构造一个旋转全等。 这每一步其实都是非常常规的，并不是特别复杂，只是量过程有点多而已，纵轴性有点强。好的，这个题的方法就是这样，大家可以参考参考。

有这么样一个题型啊，是近几年来中考第一个高频考点。如果是两年前，教改之前，我们中考第一个几何的高频考点是什么呢？ 就是传说中的手拉手模型啊，相信大家都听过。然而教改之后这两年，咱们中考第一高频题型已经从角分线变成了我们的终点问题。今天贝老师就带大家来一道，彻底打通这类问题。 说在三角形 a、 b、 c， 中点 d 和点 e 呢，分别是这样点，并且 b、 d 等于 c d， b、 d 垂直于 c、 d， 若角 a 这个角啊，等于三十度，然后这小段的 e， 这段的二倍刚好三 m、 n 分 别是中点啊，然后问 m、 n 的 长，哎，要求的就是他了。那么这类问题到底该怎么解决呢？这道题毕老师分三个层面给你们讲。 第一个就是终点，为什么近几年终点问题考的特别多？因为他是指挥棒，原来我们研究一个知识点的时候，都是单点去研究，哎，说白了，这一个用法你会了就行了，但是现在已经不是了。 有关于终点，从初一到初三，我们一共学过六个知识点，哪六个呢？第一个，哎，我们按学习的顺序来，刚学全等的时候，我们学了一招叫做倍长中线，紧接着在四边形之后，我们学了一招叫做中位线， 并且直角三角形中还有一个斜边中线啊，然后等腰三角形中还有个三线合一。 最后啊，我们在三角函数中，哎，虽然没有终点，但是我依然有一个边长比一比二哦。最后照我们初三学的相似，可以出任意边长比，是这个道理吧。 所以所谓的终点二分之一混题，他们都是混合在一起的，只有六个知识点全部拿下，你才能说这种题彻底会了。那么这道题有关于终点，你需要想到哪些呢？就拿中位线这一招来说，这道题都有 n 多种方法，比如说我们能想到的，大家来看啊， 说我这个已知 m 和 n 都是终点。哦，那么我还知道这条蓝线和这条蓝线怎么样啊？ 垂直且相等，是不是？所以我见终点找终点，终点，终点中位线可以吧？啊，画家说，我取一个 c、 e 的 终点啊，我这么一连，那么这条边就平行等于 b、 e 的 一半，这么一连，这条边就平行等于 c、 d 的 一半。那又因为它们两个蓝线互相垂直且相等，所以我这两个红线怎么样也是互相垂直且相等，所以我这个小红三角形就是一个等腰直角三角形。 哎，所以这道题的第一个层次关于终点你就破解了。那接下来的问题是，有人说，老师，那我这个边长到底怎么求啊？哦，你来看啊，毕老师来教大家全等的构造法， 说我们有两个边长，它已经相等了，它假角还是个特殊角，那么我们如何构造辅助线才能保护好这两个边长，还能保护好他们的假角呢？ 哦，这种辅助线的方法就叫做平移法，因为你旋转或者是对称 都容易破坏这个夹角，对吗？只有平移才能保护好这夹角。画家说，毕老师，如果就给你两个边长，他们两个又垂直又相等，你想给它装在一个特殊的三角形中，那这个三角形一定是什么三角形？ 等腰值要算行，对不对？也就说我这两个蓝线啊，应该长在等腰值中，但现在没长在等腰值，为什么呀？就是因为你这个焦点，它并不是个端点嘛，对吗？所以这个时候我们大胆的平移 即可。大家来看啊，说这条蓝线 b e， 嗯，我这条段不是知道得 e 吗？哎，我就让这个 b e 向左平移一个单位， 大家能看懂不？那我平移以后，这个四边形是个什么四边形啊？哦，他就是个平行四边形，既然你是个平行四边形，那么你这个边长跟我这个边长就相等，不仅如此，上下这两边还平行，那我这角得三十度，内侧角相等，这边就是三十，那外角就是一百五十度， 没有问题吧？好，这回再来大家请来看。说，你这个边长是一，这个边长是二倍，刚好三，你们假角还是一百五十度，那么我这么一连，我这个边长是不是就可求啊？ ok， 哎，只需延长做垂直，对吧？你这一百五是内角，外角就是三十，所以这个斜边二倍刚好三啊，三十度数对折边等于斜边一半，这边就是刚好三，那这个长边就是三，一加三就是四，对吧？啊，勾股定力一下， 四个平方根号三的平方合在一起是不是十九啊？所以这个边长根号十九，那么这个边长在哪？大家来看啊，说， 我原来这条边跟它垂直且相等，现在这条边平移到这来了，是不是这两边就垂直且相等啊？所以这个大的三角形，它就是一个什么呀？等腰直角三角形，斜边是 刚好十九，而你这个小红等腰只有三行，你这个腰长是我这个腰长的一半，这个腰长是我这边腰长的一半，所以你这个等腰直斜边也是我这个斜边的一半啊，到此斜边二分之刚好十九，就直接拿下了。 毕老师讲明白了没有？当然有的同学说，老师，那我这个最开始没想到中卫线是往这里边做，我别的做法行不行？其实一样可以， 比如说，哎，我这个边我不是想求 m n 这个边长吗？ n 点是不是已经是这条边上的中点了，对吧？那我只需让 m 也是一个边上的中点，是不是我就可以有中规线了？好，各位，我连结 b m 并延长一倍， 你们会发现什么？是不是我这个就是背长中线啊？背长中线以后出的是不是八字形全等画家说整个大的四边形还是平四啊？也就是说你 b m 延长一位刚好也在这个点上，你能听懂吗？ ok， 如果这能听懂的话，那么这边是中点，这个还是中点？中点，中点，中位线，对吧？啊，中位线就平行等于他一半，你这个变长直接刚好十九，所以我就是二分之刚好十九。不仅如此，各位同学，其实你抓住了这个中点，真的学透了， 你会发现，那我已知 m 是 这边上的终点了，那么 n 呢？也需要是个终点，对吧？这样的话他才能是中位线，所以我直接连结并延长一倍啊，这样的话他就平行等于他的一半。 那么在这你由于倍长了，我这本身就是终点来的，所以我这个八字形是不是就是全等啊？那是不是相当于我这条蓝线平移到这来了？这条蓝线原本跟他 怎么样垂直相等，现在就是这两条线，怎么样垂直相等哦，你又是那个大的等腰值，然后这是大等腰值的斜边 是吧？我这个 m n 又是这个大等腰值的什么斜边长的一半哦，最后我把这个边长给导出来就行了。怎么导呢？非常简单。这个不是一吗？这不是二倍杠三吗？我这不是平行且相等吗？平移吗？所以平四这边也是二倍杠三呢。 既然你是平移，那我这个角跟它也相等，还是三十度啊。哦，做个垂，这边是刚好三，这边就是三合在一起，这个边长是四，它是刚好三，是不是又是勾股定律？ 它是根号十九啊，它是刚好十九，这就是二分之刚好十九。所以类似的这样的方法，就这一道题，你至少有八种方法，这才是真正的中位线和倍长中线，你学会了。最后给大家总结一下， 为什么最近这几年这种考题特别多了，各位，他就是想让你无中生有去构造，而不是利用成熟的套路去解题，这就是新的中考命题趋势。 那么既然中考是这样的，我们这学期的期末考试也是如此，这种必考的并且有水平的期末押注题的话，可以下方评论区留言，期末复习联系老毕。

八、上期末几何压轴考什么？当然是全等三角形啦，今天这道题拿出来又要难倒一大片学生了。 题目给了我们一个直角三角形 a、 b、 c、 d， 点是 a、 c 边的中点，以点在 b、 d 上，并且角 c、 e、 d 等于角 abd， 然后做 a、 g 垂直 c、 e。 题目问，若 c 一 等于 a、 c、 b 一 的长度等于六，让我们求三角形 e、 c、 d 的 面积 好。首先，根据角 c、 e、 d 等于角 abd 这个条件，我们可以利用互余关系导角得到角 afd 等于角 adf， 所以 af 就 等于 ad 了。 那接下来就能用角角边判定三角形 a、 b、 f 和三角形 e、 c、 d 全等了，所以 ab 就 等于 c 一 了，那也就等于 ac 了。 这样一来，三角形 abc 就是 一个等腰直角三角形了，这一步我相信很多同学还是能想到的。 然后求三角形 e、 c、 d 的 面积就变成了求三角形 a、 b、 f 的 面积。另外，根据刚才的全等，我们还能得到 d、 f 的 长度是等于六的，那由于求三角形的面积是需要做高的，再加上三角形 a、 d、 f 又刚好是等腰三角形， 所以我们可以过 a 点向 d、 f 做一个垂线。然后根据三线合一，我们就可以得到角 d、 a、 h 和角 f、 a、 h 都是 r 法 好。接着，由于 c 一 和 a、 c 是 相等的，如果我们连接 a 一 的话， 那角 c、 e、 a 就 等于角 c、 a 一 了。现在再把它俩都减去一个 r 法的话，不就得到了角 h、 e、 a 等于角 h、 a 一 了吗？所以说这个三角形 a、 e、 h 它其实是一个等腰直角三角形。 接下来我们再连接 c、 h， 不 难看出，三角形 c、 e、 h 和三角形 a、 b、 e 是 全等的，所以这就得到了 e、 f 是 等于三的， 那 a、 h 就 等于六了，所以三角形 a、 b、 f 的 面积是等于二十七的，那这个也就是三角形 e、 c、 d 的 面积了。你学废了吗？

初中数学终点有八大考点，其中考频非常高的就是这个终点模型，我们一起来看这道题，如果在考场上你会不会做？如图，给了我们一个直角三角形 abc， 现在过这个直角定点 c 做一条垂线，交斜边 ab 与点 q， 过点 a 和点 b 分 别做这条直线的垂线，哎，也就是 am 垂直于这条直线， b、 n 垂直于这条直线。好的，现在还告诉我们 p 是 ab 的 中点，让我们去求证 pm 和 p n 是 相等的， 想要正这两条小线段相等，同学们你会有什么样的思路？首先这道题拿到手，你会发现它的图形非常复杂，并且如果是正两条小线段相等的话，此时你看它是不是在一个三角形中， 哎，绝大多数同学马上就会想到，老师我可不可以正这两个角相等啊，等角对等边。但是这道题你会发现很难去正这两个角相等，因为题干中给的关于角的条件非常之少， 所以说这类问题到底怎么去解决呢？今天老师教你一个非常非常好用的方法。我们还是回归题干， 看看他给了哪些有价值的信息。首先第一个他告诉我们过 a、 b 分 别做直线的垂线，也就是此时这是一个直角，这是一个直角。同学们，为什么给我们两个直角啊？ 你看这是不是内错角相等啊，所以说就可以得到 a m 和 b n 是 平行的哎，给了我们一组平行线。再者，他还非常明确给了一个终点 c 是 a、 b 的 中点。同学们，但凡你在这个题目中看到平行线间夹着一个中点，马上就要想到一个思路，现在告诉我们， l 一 l 二是一组平行线， 如果中间有一条线段 a b， 并且 p 是 a b 的 终点的话，那么现在你过这个终点 p， 任意再做一条直线，哎，任意再做一条直线，都可以得到上下两个小三角形，这是全等的，这就是我们终点模型的思路。你看这道题， 它是不是已经出现了一组平行线，并且中间还夹着一个中点 p 啊？所以说你马上想到的辅助线思路应该就是过点 p 再做一条线段出来。那你看现在过点 p 是 不是有 m p 和 n p， 我 们延长任意一条线段即可。 假如说现在延长 m p 的 话，哎，我们交于 b n 于点 h， 那 么出现的这个小三角形 b p h 和三角形 a p m 一定就是全等的。我们简单来证明一下， 首先这是一组平行线，所以说它内错角相等，哎，这两个大角就是相等的，这还是一组对顶角，并且 p 是 中点 a p 和 p b 是 相等的， 所以说角角边它俩全等，那它俩全等，是不是对应边相等，对应角相等，那我们得到的 pm 和 p h 这一组对应边就是相等的。所以说我是不是得到了 p 是 m h 的 中点呀？那你看 m h 在 直角三角形 m h n 中， 那么它是斜边的中点，斜边中线是斜边一半，所以说 p n 它是不是就等于 pm 也等于 p h 呀？这三条小线段都是相等的，我们想正的 pm 等于 p n 就 解决了，哎，平行线间加中点的解题思路你学会了吗？

马上就要期末考试了，后台有很多家长啊，给毕老师留言说，毕老师，我看你视频都是讲开窍的，哎，那我想问你说，我们家孩子马上期末考试了，现开窍还来得及吗？各位家长，完全来得及，今天毕老师就拿一道期末考试的填空压轴题，给大家现场开个窍。各位 说，在我们八年级学完全等以后，我们经常会有一类问题叫已知角度求边长以后，进而用边长表示面积的问题。 那为什么是学完全等以后才有这种题的呢？哦，因为他要用到全等中的辅助线。那这类知识平时学校老师是怎么讲的呢？哦，说，平时啊，我们已知角度求边长，你老师会给你个概念，叫什么呢？叫做特殊角。 比如说，哎，有一个特殊角叫做三十度，那三十度怎么办呢？我把它装在直角三角形里，就会产生三十、六十、九十啊。这个时候我们知道一个知识点，叫三十度，所对直角边等于斜边一半。当然你学过勾股定律，你还会知道，长的直角边是短直角边的 根号三倍， ok， 哦，那么还有一个特殊角叫什么呢？叫做四十五度。那四十五度怎么办呢？同样装在直角三角形里，哎，在这个直角三角形中，由于 我是九十，那你两个都是四十五啊，哦，等角对等边，咱们就是等幺啊，你两个是等幺，根据勾股定律，底下就是他的根号二倍，所以到此三十六十 啊，九十四十五这些特殊角我们就都会用了。那么至于钝角呢，比如说一百二啊，一百二的补角就是六十啊，所以一百二其实就是长他外边了，同样一百五长他外边，一百三十五就长在这个外边，也就是说这种钝角我们要怎么样找 他的补角，找完补角再怎么样把他的补角装到直角三角形里，这回特殊的变长笔的关系就会出现了。 哦，这是咱们平时学的，已经学的很透了，但考试，但是现在咱们考试来了， 说我这个题角 a， 它竟然等于二十二点五度啊，角 c 呢，它等于四十五度，四十五度这个角还行，但是这个二十二点五度，我又该怎么办呢？ 大家，这个就是我们什么啊，我们期末复习的时候，大家要重点总结的了，所以有一些任务就是在期末复习中才应该去完成的。那今天表示就给大家说一下，你无论是二十二点五度还是 咱们的十五度，甚至说我已知一个角是阿尔法，另外一个角是两倍的阿尔法，那就是说我只要见着特殊角的一半，这种半角我们就可以造什么啊？就可以构造等腰三角形， 那为什么知道半角我要造等腰呢？大家来看啊，说我这块如果是一个等腰的话，这两个 r 法相等，哎，那么根据三角形的外角等于不相邻的两个内角，我这个外角就谁啊？就是两倍的 r 法， 哎，带到特殊的值，你要是十五呢？你 r 法要得十五呢，那这得十五，十五加十五，这就是三十。三十就是特殊角，是咱们会的那个同样道理，二十二点五，这得二十二点五，他是不是就得四十五了？ 是这个道理吧，所以一下子这道题搞定了。各位说你这个角 a 得二十二点五哦，我二十二点五要装到等腰三角中，而且它是等腰的比角。哎，那我不妨要么这么做，把它装在这个黄色的等腰里， 要么这么做，把它装在这个白色的这个等腰里。那哪个更好呢？哎，我还要兼顾另外一个条件吧。啊，这个时候大家就会发现，法一太好了， 你是二十二点五，我也是二十二点五，咱们俩加和刚好四十五，而这个四十五跟这个四十五又在同一个三角形中，那剩下这角就得多少？就得九十哇，那就说 abm 是 个等腰的前提下， mcb 还是个等腰值。这个辅助线是不是太巧妙了啊？当然啊，有些孩子说，老师，我这个辅助线不是根据二十二点五看出来，我就是根据四十五。四十五，你不是教我了吗？他要装在直角三型里，然后我就想到了这条线， 其实也行，这回你会发现，真正学通的孩子怎么样哦，哪一个条件都能看见这样的一条线，是不是他就能多种思路去解决同一个问题了？哎，这样的水平就变得更高了。那再继续，听说，老师你光知道角度了，但是我这道题给的边长 a b 等于八呀， 我怎么根据这个八求这个三角形的面积呢？要想求面积，我们第一个能用公式的，咱要用公式，比如说 我 abc 这个面积是不是可以以 ab 为底啊？那你如果是底的话，我就得过这个点 c 往这边上做一个高了吧。那么接下来的问题就是，这个高到底等于多少呢？所以我们还需要这道题的第三个关键的辅助线，那就是什么？作为等腰三角形，毕老师问一下，咱们最重要的辅助线是什么？ 哎，是不是就那个三线合一啊？所以我这块要过 m 做一个 m， n 跟 a b 垂直左边，咱就实现了三线合一定律，也就是 n 点，既是垂直又是中点，那就是这两小段 各得四。不仅如此，你这回再来看这个角， n 跟这个角一式，你俩都是九十度吧，那么我一平角一百八呀，一百八减掉九十，还剩九十啊，那再减掉二十二点五，这边还剩多少？ 六十七点五度，同样道理，你是二十二点五，我还是九十呢啊，那三角形内角和还是一百八呢？一百八减掉九十，还剩九十，再减掉二十二点五，我这个角也是多少 六十七点五度，这回你是不是发现六十七点五等于六十七点五啊？啊，角跟角相等，角跟角相等，不仅如此，我还是等腰值呢。等腰值，这两个边是不是也相等啊？所以 a a s a a s 怎么样？ 哦，三角形又全等了，当然有的同学会学过啊，说老师，这个就叫做一线三等角了，也可以， ok 啊。总之，这两个三角形一旦全等，这个边长得四，这个边长也等于四，所以二分之一八为底，四为高，那最终面积就等于十六。一个填空压轴题，咱们就这么 轻松的破解了。所以各位家长要想孩子在期末取得好成绩，无论他是哪个年级，也无论他是什么版本，每一个章节你需要掌握的东西，毕老师都给整理好了，直接留言，期末复习四个字，毕老师来帮你！

三角形的辅助线问题是我们整个初中几何这一板块非常让孩子们头疼的一个事，很多同学拿到这类问题，不知道辅助线怎么去做，没有头绪，那我们就来讲一个去年期末考试的真题，给了我们一个三角形 abc， 还有三角形 e、 b、 f， 说他们两个是等边三角形。同学们，拿到这道题，你马上就要想到两个共顶点的等边三角形，考的是什么？哎，一定是手拉手模型，这就是体感。所以说现在手拉手，我们要把它左手拉左手，右手拉右手，这是辅助线，哎，这是手拉手的经典辅助线。 好，你看三角形 b、 e、 f 中，左手是 b、 f， 三角形 b、 a、 c 中，左手是 bc， 所以 说连接 c、 f， 那 么右手是 b、 e 和 ab， 人家已经给你连上了，是 a、 e， 那 么连完辅助线之后，一定会出现三角形全等。 出现的两个三角形 b、 e、 a 和三角形 b、 f、 c， 一定是边角边全等。首先有 b、 f 和 b、 e 相等，这是另一组对应边。 同时你看这两个夹角是不是都等于六十度，减去中间的这个 dbe， 所以 说边角边全等。好的，这就是手拉手的经典结论。接下来我们继续来看， 告诉我们 a、 d 垂直于 bc， 所以 说同学们你要注意到这是一个等边三角形，有了垂直是不是三线合一啊？那现在它也是顶角的角平分线， 它是三十，我是不是可以得到对应角，哎，角 f、 c、 b 也是三十度啊？继续来看，他说想求当三角形 b、 d、 f 周长最小的时候，哎，求这个角 d、 b、 f 怎么去求？我们来观察一下三角形 b、 d、 f， 哎，现在我知道 b 点和 d 点它应该是固定的点，所以说 b、 d 是 定长。假如说我设它为 a 的 话，现在我是不是只要求出 b、 f 加上 d、 f 的 最小值即可， 哎，因为 f 点它是跟随 e 点在运动的，所以说 f 它不固定，这两条边的长度也在变化，那么接下来我就要找一下 f 的 运动轨迹在哪里？刚才我们是不是已经发现这个角横为三十啊？因为它和它应该是相等的， 所以说无论 f 怎样运动，这个角它都始终保持三十度，所以说其实 c、 f 这条直线就是它的运动轨迹。 那同学们做到这之后，你来观察一下其实这道题它出现了一个什么模型，想要求他们两个线段之和最小，是不是非常典型的将军印码呀？那么看到将军印码马上脑子里要想出来的就是做对称，所以说现在我就可以关于这条直线 做 d 点或者 b 点的对称点，假如说现在我们做 d 点的对称点， d 撇儿，哎，现在由对称可得，这一段它是不是应该和 d、 f 就是 相等的？ 所以说想求它俩之和最小，就转化成了 d 撇 f 加上 b、 f 最小，那么两点之间线段最短，连接 b、 d 撇儿，也就是当 f 点运动到这个位置的时候，哎，现在它俩可以取到最小值， 此时也就是三角形 b、 d、 f 周长最小。但是它让你求的是啥呀？求的是这种情况下角 d、 b、 f， 哎，也就是这个角它的度数是多少， 怎么去求？我们来观察一下刚刚由对称可得呀，你看这是三十度，它是不是也是三十度？并且 c、 d 和 c、 d 撇应该是相等的， 所以说出现了一个 d、 c、 d 撇儿等边三角形，它是等边的话，那这个角就是六十度。同时我们知道 d 点三线合一，它应该是 bc 的 中点，所以说这是 a 的 话， c、 d 应该也是 a， d、 d 撇儿，它应该也是 a。 那 你来观察一下， 在这个三角形 b、 d、 d 撇儿中，是不是它是一个等腰三角形，并且它顶角的外角是六十度， 那他的两个底角是不是分别就是三十度啊？所以说他就求出来了。哎，这是一道非常非常经典的手拉手，结合了将军一马的题目，一定要在考前把它弄会。

今天我们一起来学习一道关于一次函数与几何图形的综合题，我们看到这一题有三问啊，而且还提到了动点，所以这一题还是有难度的，不着急，我们先一问一问，看 题目说如图，直线 l， 好， 我们找到直线 l， y 等于 k， x 加三，嗯，这是它的函数表达式，与 x 轴 y 轴分别交于 a、 b 两点，好，我们找到 a 点 b 点，那么它说 o a 分 之 o b， o a 分 之 o b 等于四分之三， o m 是 垂直于 ab 的 垂足，是 m 点。 p 呢，为直线 l 上的一个动点点， p 是 直线 l 上动点啊，所以 p 在 这上面，他说不与 ab 两点重合。第一问，让我们求直线 l 的 表达式，让我们求它的表达式，好，后面我们先不看，我们先来看一下第一问， 那么第一问他首先告诉我们的第一个条件是什么呢？他说这个直线 l， y 等于 k， x 加三，与 x 轴 y 轴分别交于 ab 两点。好，我们找到 a 点，那 a 点的坐标是多少呢？我们 x 轴这里对应的，我们是不知道的，但是我们知道它 y 是 零，对吧？这个是零， 但因为 x 不知道多少，所以 k 我 们没法求。我们再来看一下它与 y 轴的一个交点， b， 好， 那么与 b 的 交点，那说明 x 为零， y 是 几，我们不知道。好， x 是 零，如果我们带进去的话，你会发现，哎， y 就是 三，那么所以根据这个 直线与 y 轴的交点为 b， 我 们就可以知道，其实我们 b 点的坐标就是 x 为零， y 为三的一个点好，也就是说 o b 这里是三 好。那么既然 o b 是 三了，那么 o a 该是多少呢？我们来看一下题目，告诉我们第二个条件，题目说这个 o a 分 之， o b 等于四分之三。好，那既然 o b 是 三了，那所以 o a 就是 几呢？好，所以我们可以得到 o a 就是 四，那既然 o a 是 四，所以 a 点的坐标就是四零， 好，那 a 点的坐标也找到了两点，确定一条直线，所以我们的函数表达式就可以求出来了。我们把 a 点的坐标带入这个函数表达式，当 x 为四十。好，当 x 为四十，我们带进去。好吧，那么 x 为四十，也就是四。 k 加三，我们得到 y 为零，所以等于零，所以 k 我 们就求出来，它的值为负四分之三， 那 k 的 值我们求出来了，所以这个直线 l 的 表达式就为 y 等于负四分之三， x 加三，我们把它写在旁边。

一次函数与几何图形的综合体，今天我们来继续学习第二问，上一期视频咱们已经讲解完第一问了，如果有没有学的宝贝，可以先去看一下，再回过头来看我们这一期的视频。 好，我们来看一下。第二问，问了什么？他说当点 p 运动到什么位置的时候，三角形 b o p 的 面积为六。 好，他说三角形 b o p 的 密是六， b o p 在 哪咱不知道，对吧？那关于 p 点，他告诉我们什么条件了呢？啊，有的人已经找到了啊，他说点 p 为直线 l 上的一个动点。好， p 在 这个直线 l 上，他说不与点 ab 重合啊，不能是这两个点，但是这上的其他点可以的，对吧？ 好，那由于在哪咱不知道，那怎么办呢？咱们可以简单的选择一个点，假设这就是 p 点好，那组成的三角形就在哪里呢？ b o p， 也就是这个黄色区域的三角形面积即为六。 好，如果这一块的面积是六的话，那我们能知道什么呢？哎，我们知道三角形的面积公式是什么？是底乘高除以二，对吧？如果我们把 o b 这一段看成底的话，那就说明底是三，那高呢？高应该是 p 点到 y 轴的距离，可是这一段的距离咱知道吗？ 不知道，对吧？那不知道怎么办呢？我们可以设出来，假如说这一段距离为 a 的 绝对值。好，我们给他表示出来，那么这个三角形的面积为六，我们就可以表示成什么是底 o b 乘高 a 的 绝对值再除以二，除以二，也就是乘二分之一，对吧？我们可以得到等于六。好，我们给他写下来， 底三乘高 a 的 绝对值，再除以二，我们得到六，那所以我们可以求出 a 的 绝对值是四，那 a 的 绝对值是四，那说明 a 应该等于什么呢？嗯，我相信很多孩子都知道 a 应该等于四或者负四。好，那么 a 如果等于四或者负四的话，那就说明 p 点的横坐标为四或者负四。 如果说 p 点的横坐标为四的话，那纵坐标该是多少呢？嗯，我相信有的人已经会求了，因为这个 p 点在 l 上，我们只需要代入这个函数关系式就可以了。啊，在这看到了吗？好，那么当 p 点的横坐标为四的时候，我们代入这个关系式，就可以得到纵坐标是零。哎，你会发现横坐标为四，纵坐标为零，那不就是 a 点吗？ 那我们可以取这个点为 p 点吗？嗯，我相信有的人已经答对了，是不可以的。这是为什么呢？因为题目说了不与 a b 重合，那所以你求出来的这个点为 a 点，那肯定就不行了，对吧？所以这个我们的横坐标为四的，我们是要排除掉的。 好，那又还有另外一种情况，当点 p 的 横坐标为负的时候。好，同样的，我们代入这个函数关系，可以得到纵坐标为六，也就是 y 为六啊，把这个 x 为负四带进去，求出来 y 为六。 好，这个时候既不是 a 点，也不是 b 点，嗯，那就满足条件了。所以说我们就求出了 p 的 坐标， p 的 坐标为负四和六的时候，那么这个时候三角形 b o p 的 面积即为六了。

来，昨天刚刚一位粉丝给我投稿的题目，其实这道题目一点都不难，难在什么很多孩子没法从代数的体系中快速的切换到几何体系中， 告诉我们呢，直线 y 等于根号三， x 加 b 这个条件，斜率 k 是 根号三。其实只告诉了我们 ab 这条线与 x 轴正方向的加角，也就是这个小角 一定是六十度。同时呢，我又把 a、 b 啊，绕着点 a 旋转了六十度，那么此时 a、 b、 c 这个三角形，这儿一定也是一个六十度，之后 a、 b、 c 就是 等边三角形啊。那么很多同学就想了哇，点 a， 我 知道是零 b， 点 b 的 坐标能用 b 表示点， 点 c 的 坐标也能用 b 表示，又知道了 c、 d 是 e， b、 d 是 根号七。很多同学一开心就开始画圆了，来去求点 d 的 轨迹了。 如果你这么做，别说咱们现在是一初中生，就算你是一高中生，我试了利用求导的方法求最值都解不出来，非常麻烦。那这道题目到底在说什么呢？ 不就告诉我们 a、 b、 c 是 啥，等边吗？同时知道了 c、 d 是 一， b、 d 是 根七吗？那我重新画个模型啊，我把它变成一个纯几何问题不就得了。我们呢，找到一个三角形 a、 b、 c， 它是个等边三角形，同时呢，我找到一个点点 d， 比如说大概在这儿， c、 d 的 长度呢，就是一同时 b、 d 的 长度是根号七，而 a、 b、 c 的 边长未知， 求 a、 d 的 最小值。不就这么个题吗？我们呢，先把 a、 d 连接起来，在整个的题目中，我现在真正知道的长度只有 c、 d 和 b、 d， b、 c 的 长度完全未知。像这样子的题目，我们要充分的使用 c、 d 和 b、 d 的 长度，而给定了等边三角形之后，我们完全可以进行旋转，进行边的转移， 我要把这个 c、 d、 b、 d 和 a、 d 能不能放到一个三角形里头啊？旋转之后，我们可以把 a、 c 绕着点 a 顺时针转，它一个六十度大概的位置应该是在这我们就可以构造成一个新的 的等边三角形，这个点叫做点 e 的 话，我这连接一下，那么得到了 a、 d、 e 这个新的三角形之后，它也是等边三角形啊。那此时 a、 c、 d 和 a、 b、 e 必定全等， 那么此时 c、 d 的 长度就是 b、 e 的 长度，它就是一，而 b、 d 就是 跟七。关键的是 a、 d 和 d、 e 相等，此时两条已知的边和那条要求最小值的边，我放到一个三角形里头了。 如果现在 b、 e、 d 三点能构成三角形的话，此时 d、 e、 d 必定小于两边之和，根号其减一。 但是你怎么知道 d、 b、 e 一定能够成三角形嘞？它有可能共线呢？那么如果共线的话，此时 d、 e 的 最大值，它就可以取到根七加一啊，那它的最小值就可以取到根七减 一啊！那 d、 e 我 已经知道了，它最小值是根号七减一，你 a、 d 和 d、 e 是 相等的，所以 a、 d 的 最小值必定就是根号七减一，这不就搞定了， 将这种题目要从代数的问题中抽离出来，变成一道几何的模型题，大家听懂了吧，下课！

好，咱们今天还是来一道好题分享这个八年级的几何题啊，还是比较喜欢考这个折叠类的问题的， 因为折叠类的问题呢，它对三角形的考察呢，考的比较丰富，而且呢，它这个涉及到的知识点还都是现在学过的啊。嗯，一到了九年级的时候呢，折叠就不怎么考了，因为那个时候涉及到的知识点呢都更多了，考察的东西要多一些，不会在这个折叠的问题上特别的深入， 那折叠的时候还是会很多遇到很多问题的。那我们今天来看一道，在三角形 a、 b、 c 中呢， a c 等于 b， c 等于五，也就是说啊，这条边是五，这条边是五，等腰三角形吧， 然后 a b 等于八啊，那么看到这的时候呢，我不知道这个大家有没有熟悉的感觉啊，五和五和八，这个我们在做等腰三角形的时候经常会遇到的啊，那么看到这首先我们应该想到什么？如果一个等腰三角形，两个腰是五的话 啊，因为它有三线合一的性质，你这个地方如果是八的话，这一半就是四，有个五有个四，那这就有个三，对吧，三四五就叫三角形啊，所以呢，看到这里的时候，你就想到这，那就没什么问题了。 然后呢，这个点 p 是 现在 a、 b 上的一个动点 p 是 在动的，然后沿着将三角形 b、 c p 沿着这个 c p 折叠啊，把它翻过来，这个点 b 呢就落在了得这个位置，然后 c、 d 交 a p 于这个 e 点啊，然后说，当三角形 a、 c、 e 是 直角三角形的时候， a、 c、 e 是 直角三角形的时候， b p 的 长， 那么说它是一个直角三角形，那我们首先考虑一下这个角它能不能是个直角？已知它就不是直角，对吧？所以如果要这个三角形是直角三角形的话，你要么这个地方是直角， 你要么这个地方是直角，二选一对不对？当然两种情况应该都有可能，所以这个这个题呢，应该是有两种情况。好，那我们先假设第一种情况，就是这个角是直角的时候，那么让你求 b p 的 长，应该怎么做 啊？那么这个为什么说我们刚才提到了这个问题，三四五这个问题啊，假如说这个 c e 它是一个直角的话，也就是垂直关系，那我们不难看出这个 e 点，实际上就是我们这个高，这个点，对不对？就是三四五分割这个点啊？所以你看到这了之后，我们就很容易写出来啊，这个 a e 等于四，这个 b e 呢？ 它也等于四，那我们要的是 b p， 对 不对？你假如说 b p 是 x 啊， 那么通过折叠的关系，我们可以知道这个 c b 啊，它和这个 c d 啊，哎，它们两个是一回事，对吧？然后同样的这个 b p， 这个 x 和这个 p d， 它俩应该也是一样的，对不对？所以这个 p d 是 x， 那么两个这个是也是 x 了，我们看啊，这个地方是一个直角，对吧？哎，所以呢，这个直角边这个 e p 呢？如果 b p 等于 x， 那 么这个 e p 我 们不难得出它就是四减 x， 对 不对？这四减 x 好，那么在这个直角三角形当中啊，这条边是 x， 这条边是四减 x， 而这个 c d 的 长度不是五吗？对不对？然后这个 c e 的 长度我们刚才求出来了，这个长度是三，对吧？所以这个 c e 的 长度应该是三，所以这个 d e 的 长度 就等于二啊，所以在这个直角三角形当中呢，我们发现它的三条边，哎，我们都表示出来了，那么我们就直接用勾股定力啊，就可以了啊，就是 x 的 平方，它应该等于二的平方，加上一个四减 x 括号的平方啊， 那我们解这个方程就行了啊，解的就是四加上十六，然后呢减去一个八， x 等于零啊，化简完事之后就这样的啊，也就是八 x 等于二十，那么这个 x 就 应该等于二十除以八啊，就是十除以四除以二， 所以第一个解我们就解出来了， x 它等于二分之五，好啊，那么这个地方用到了什么呢？第一个就是折叠，我们先先把图画明白。第二个是呢，我们对等幺三角形的这个构型啊，有一定的理解啊，把这个三四五给它做出来。 然后第三个呢，就是利用勾股定律啊，已知一条边，然后另外两条边都不知道，但是知道的是另外两条边的数量关系，然后根据这个我们列一个方程解方程来求勾股定律解的思想啊， 好，这个第一种情况我们就写完了，那么第二种情况我刚才说了，这个角如果是直角对不对？那么这个图呢，就应该是这么画的， 哎，看我们这个 p 在 这个位置，然后呢 c p 是 对称轴，就折别的线啊，然后折完之后呢，这个角是一个直角啊，这个角是一个直角，跟刚才相比，它的区别是什么呢？刚才这个 e 点刚好它在正中间，它就是这个高嘛，刚才那个 e 点在这呢 啊，现在我们给他写个 m 啊，这地方是直掉，刚才这个 e 点在这，所以这个 c e 的 长度我们是知道的，他是三，但是在这里边 c e 的 长度我们可就不知道了啊，我们也不知道这个，这个，这个他和他有什么关系呢？对吧？ 来，因为刚才这个 b e 等于四嘛，刚才这个 b e 等于四，所以这个是 x， 这个就是四减 x。 你 现在在这种情况里边 b e， 他 就不是四了啊，因为这个 b m 才是四呢， 所以这个问题我们重新分析一下啊，已知的是什么呢？当然了，还是他和他是一回事，他和他是一回事，对吧？就是这个是 x， 这也是 x， 这都是没变的。那么同样的还有一个，就是这个是一个直角， 那这个是直角，我们并不知道这个角的度数，我们只知道它是这个三比四比五的关系，对不对？只知道三比四比五的关系，不知道这个角度数啊，所以说我们也没有办法直接通过度数来看啊，但是我们能看出来什么呢？这两个角它不是相等的吗？对不对？对，顶角啊，同样的道理啊，这个角 b 啊，看好角 b 等于角 a， 原来就相等，对吧？ 所以由三角形内角和，我们就知道了，这个角的和角 a 是 一样的，这个角 e， 这两个内角角是一样的，因此呢，这个角的 p， 这个啊的 p e， 这个角它也是个直角，跟这个角是一样啊，所以由三角形内角的关系，我们得出，角的 p e， 它等于九十度啊， 刚才那个不一样，刚才不是，这是九十度，对吧？现在他这是九十度了，那么由这个地方是九十度，我们能得出什么呢？因为它是折叠过来的嘛，所以如果我们把这根线呢，稍微延长一点，我们就发现这个地方肯定是九十度，对不对啊？然后这个地方也是九十度，而这个地方呢，也是九十度啊，也就是这个这个角， 而这个角它不是正好被这条虚线也就折痕，它应该给平分吗？对不对？两边对称的关系，所以我们得出啊，这个角 cpe 它应该是四十五度，哎，这个四十五度比较有用啊，角 cpe 它等于四十五度， 哎，那我们知道有了四十五度，我再有一个直角，你看它不就能用了吗？对不对？而这个直角在哪呢？看在这个 c m 这呢，因为我们已经导出来了，这个地方它是三呢，而这个地方是一个直角啊，然后这个角 p 这个地方是一个 等腰直角三角形啊，等腰直角三角形。嗯， 那么由这个等腰这角三角形，我们就可以得出这个 m p 它等于几啊，所以这个 m p 它就等于 m c， 它就等于三， 这段是三啊，而这个 m b 我 们刚才已经证出来了，因为这整个这个对对，这个边是八，这是终点，所以这个 m b 等于四啊， m b 呢，它又等于四，所以这个 b p 我 们就可以直接解，解出来了啊，所以这个 b p 它就应该等于这个 m b 减去 m p 四点三啊， 等于一。好，那么这个地方呢，我们就求出来等于一，所以这个结果呢，就应该是二分之五 或者一啊，这个题就解完了。好，那么这个地方用到了什么呢啊？还是对折叠这个地方的理解啊？然后再一个就是倒角的问题啊。啊，我们这个对折叠这块呢，倒角是经常用的， 我们是我们要分析出来这个角四十五度，分析出来这个是四十五度啊，因为这个这个情况跟他的情况区别是什么呢？区别是这个地方这个角是九十度，而这个九十度是折叠出来的，对不对啊？是折叠出来的啊，那刚才这个呢？这个九十度是在折叠关系外边的，他俩是折叠对称的关系，但这个九十度呢，是不属于这两个三角形， 而这个九十度他可是从这里头折出来啊，折出来他就会有特殊角。好，那么这个今天这个题呢，我们就讲到这。

等腰三角形、全等三角形、直角坐标系以及含有特殊角的直角三角形，这些都是八年级上册数学中的重要内容，它们不仅自身有着关键的知识点， 更常常综合在一起，以压轴题的形式出现在试卷的最后部分。接下来我们就一起看看他们是如何相互结合，形成综合问题的。由这个已知条件，我们知道什么？我们知道 ab 等于 ac 的， 而且这个角是一个直角，这说明 abc 是 一个等腰直角三角形。 现在是要求点 b 的 坐标，那点 c 的 坐标我们知道是二二负二。充分利用已知条件， 那我们做过 c 点做 c h 垂直于 x 轴，那很显然我们就知道这两个三角形是全等三角形， 为什么？因为 a、 c 等于 ab， 而且这个角和这个角是互补的，不余，都相加起来得九十度。 而在这个直角三角形里面，这个角加上这个角也是九十度，所以很自然就可以推出这个角等于这个角。又因为这个是这两个都是直角三角形，所以根据 a、 a、 s 就 可以判定 这两个三角形都是怎么样的。是全等三角形，所以很快就知道这个 a 点的坐标是多少。 因为 o a 就 可以推出 o， a 是 等于 c h 的， c、 h 长度是二，那 o a 的 长度也是二 o a， 所以 o a 长度是二，所以 o a 点的坐标是负二零，那知道 a 点的坐标，那 a、 h 的 长度是多少？ a h 的 长度是四吗？知道 a、 h 的 长度，那就知道 ob 的 长度， ob 的 长度也是四，所以 b 点的坐标是什么？ 零四，好，很快就可以解。解答出第一个 好，那看第二点， c、 a、 c、 b 分 别交坐标轴于 d、 e。 求证 三角形 a、 b、 d 和 c、 b、 d 的 面积分别相等。看一下，要求这两个部分面积相等，那我们现在知道什么？它们有个公共的底边 b、 d， 那 我们只要证明它们的高相等，那自然它们的面积就相等了。是不是 它们像这个三角形 b、 d、 a 的 这个面积，这个高度，这个高度是多少？是二嘛？就是 o， a 嘛，它的高就是 o， a 就 二。然后呢，这边这个三角形它的高是哪一个？就 c 点到 y 轴的这个距离嘛，也是二， 所以现在它们的高一样，所以它的面积就自然而然就相等了。好，这第二问也解决了。 连接 d， e， 求证 b， d 减 a， e 等于 d e， 那 就是说在 b、 d 上剪起截掉一段长度是 a、 e 的 一段，假设在这一点 m， 使得最后要证明什么？要证明这个 d、 m 和 d、 e 相等就可以了，是不是？那我们最好是要把 am 连接起来，是不是？连接起来以后，因为我们之前挣过 这个角角一和这个角角二是相等的，是不是？那很容易就可以证什么这两个三角形全等，因为 ab 又等于 ac， 现在 接起的这一段 b、 m 是 等于 a、 e 的， 所以这两个三角形全等一全等，我们就可以证出什么 a， m 等于 e、 c， 又因为 这一个角 o、 a、 d 是 等于角 c 都是四十五度，因为刚才我们这里 正出来全等这个角和这个角四十五度嘛，因为这里是一个直角，所以这个角等于这个角也是四十五度。又因为根据他们的坐标，我们都就知道这个 d 点正好在 a d 的 中点嘛， d 点是 a d a c 的 中点，所以 a d 又等于 c d， 所以呢就可以证明这个 a d o 和 b d e 是全等的，一全等我们就可以证明出 dm 等于 d 一， 所以最后就可以证明出 b d 是 减去 a 一 等于 d 一 的。整个解析思路就是这样子自己去写，这样子能够加深自己的印象。

在三角形中，等腰三角形是我们常考的一个图形，今天我们来看一个关于等腰三角形的一个有关面积的一个几何题。 如图，在三角形 abc 打的三角形 b、 d 平分角 abc， 也就是这是一个角平分线啊，这是一个角平分线 a、 d 又垂直于 b、 d， 然后这是垂直， 然后三角形 b、 c、 d、 b、 c、 d。 右下角是三角角，面积是三十八啊，这个面积是三十八 角啊。三角形 a、 d、 c、 a、 d、 c 这个细长的三角形是谁？ abd 的 面， abd， 这个条件很简单啊， 求这个三角形，我们要利用已知条件，那已知条件给了两个面积，给了个垂直，给了角平分线 啊，我们观察图形啊，你有垂直，有角平分线，我们的辅助线一定要借助于辅助线啊，我们的辅助线呢，就需要去做一下构造一个 等于幺三角形啊，哎，假如我们交点是 e， 那 这样的话，这不也是垂直吗？ 对吧？是不是有个全等，有全等，有垂直，有公共边，有角角、边角、角、边角，哎，有了全等，也就是三角形 a、 b、 d 全等于三角形 e、 b、 d。 有 了全等，我们就去找边边和边， a、 b 等于 b， a、 b 是 不是等于 e、 b 啊？ 这个是判定是 a、 s、 a， 也就是这条边是不是就等于这条边啊？同样的，你的 a、 d 就 等于 e、 d， a、 d 等于 e、 d 啊，面积也是相等的，对不对？面积也相等，然后我们去看啊，那么这个大三角形啊，这下边的 b、 d、 c 是 三十八，那细长的这个三角形面积是十七，那又有什么关系 啊？有了这条边，也就是我们的 a、 d 和 e、 d 相等啊，相等， 那我们去观察啊，这个三角形，那 s 三角形 a， d， c 就 这个细长的三角形，是不是等于？我们可以以谁啊？以 a、 d 为底， a， d 为底，那高呢？对吧？ a， d 为底，实际上我们延长， 哎，高就在这啊，假设我们的 f， 对 吧？乘以个 c， f， 它等于十七， 那么我们这个三角形，因为这个 ad 啊， ad， 它是等于异底的啊，所以我们下面这个三角形啊，这个三角形，你说 s 三角形 啊， d， e， c， 它等于二分之一，二分之一 d， e 以 d， e 为底啊，谁 c， f 为高， 那很明显这两个线段是等的，所以它也等于十七。好，有了，这个是十七了啊，这个是十七，那么我们下面的 b 啊， b， c， d 是 三十八，所以这个三角形 b， d， e 是 不是等于啊？这个 s 三角形 b， c、 d 减去 s 三角形 啊，这个 d 一 十，那就等于三十八，减十七等于二十一，那么这个三角形的面积不就等于这个三角形面，所以我们的答案二十一， 好，这是利用一个全等面积转换啊，包括这个是等底等高，希望这个类型题对你有帮助。

看这道题，咱们看这道题，前两问比较简单，不说了，直接看第三问。这道题是一个八年级的一个探求题，三角形勾股定律，这块三角形考了个手拉手， 直接看第三问，拓展延伸在括号二的基础上，那还得看看括号二，括号二它俩是等腰直角三角形，这个是九十度一个洞点。这个简单，我们在括号二就能知道。有两个三角形全等 拉手吗？有两个三角形是全等，那咱们迁移一下，就得在括号三这找到那两个全等的三角形。简单了，把图放一下，当 bc 等于三， cd 等于六的时候， bc 等于三，那这个不行，画多了是不是得画到三 三，这对在三这个位置，这个直接求四边形 a、 c、 d、 e 的 面积。直接求四边形 a、 c、 d、 e 的 面积，那这个四边形 a、 c、 d、 e 的 面积，它等于啥呀？它等于三角形 a、 c、 d 的 面积，然后加上三角形 a、 d、 e 的 面积， 咱们就把这俩三角形的面积求出来就行。这里 c、 d 等于六，然后的话这个 bc 等于三。那我们直接就可以做高了呗，支到底。然后的话，把这个过点 a 做垂直三角形 a、 c、 d 的 高就算出来了，是不是？所以咱们先把这个高给做出来，做个垂线呗， 过点 a 的 一条垂线，描个点好， a、 g 就是 它的高， a、 g 就是 它的高。 看着有点长，看着有点长，咱们连一下，这回应该行了，这回应该行了。好， 然后的话由括号二嘛，根据括号二的条件，那肯定是还得是手拉手找全等，所以说咱根据括号二，咱把这个 c、 e 也给它连上 ce 连上的之后，那咱们根据括号二就有这个全等条件嘛。哪两个三角形全等？三角形 a、 c、 e 和三角形 e， a， b， d 全等， a、 b、 d 全等，能得到的就是啥？就是 c e 等于 b， d， 三加六得九， ok 吧？太简单了，然后的话咱就往里弄数呗。先求这个 a g， 先求这个 a g， 这个 a g 等于啥呀？ bc 是 三，那这个就是二分之三，对吧？这是垂直的，这个四十五度等腰直，所以这个也是二分之三。 c e 是 九， cd 是 六，我可以直接勾股定力，求求这个第一。勾股定力求第一， 那第一是不是应该等于根号下 c、 e 的 平方加上 c、 d 的 平方， 等于根号九方加六方？整理一下，九方加六方，八十一加三十六，是不是八十一加三十六，等于三倍的根号十三，这三倍的根号十三就是 d e 的 长， d e 的 长。知道 d， e 的 长了，我们还可以求 a e 或者是 a d 的 长，因为它不是个等腰值吗？对不对？它不是个等腰值吗？这个是四十五度，这个是四十五度。这块这个是直角，用不用推一下？ 这块是直角，用不用推一下？说一下吧，说一下这块这个角，这俩全等了吗？这个点和这个点相等， 对吧？那这块这个角他就等于四十五度，减这个点，这块这个大角等于四十五度，加上这个点，所以这俩角相加还是得九十度，所以这个角是九十度，这才能用勾股定律，这才能用勾股定律。 然后的话，现在我已经知道 d e 是 多少了，我想求这个 a e 是 多少？ a e 和 d e 是 根号二倍的关系，根号二倍的关系是啥呢？是这个 a、 e 等于二分之根号二倍，或者是它除以根号二。 谁除以根号二？是这个或者这么写吧，根号二倍的 d、 e 等 a， e 等于 d， e， 那 d， e 知道了，那 a、 e 它就等于啥呀？这个 a、 e 等于根号二分之一倍的，这个 d、 e 也那个分母有理化，二分之根号二倍的 d， e， d， e 是 三倍，根号十三，三倍根号十三，然后就乘呗，对不对？那它就等于啥？等于二分之三倍的根号二十六。 这就是 a、 e， a， e 还得 a， e 乘 a、 e， 然后再除二，是不是就是三角形 a、 d、 e 的 面积？ 然后就来吧，三角形 a、 c、 d 的 面积加上三角形 a、 d、 e 的 面积，三角形 a、 c、 d 的 面积等于二分之一乘以 c， d 二分之一乘以 c、 d， 然后再乘 ag。 三角形 a、 d、 b 的 面积，那它等于二分之一。 a、 e 乘 a、 e。 也可以用 a、 e 乘以 a、 d 往里弄数，是不是二分之一乘六？乘二分之三，加 二分之一乘二分之三倍，根号二十六的平方也行，那咱就再乘一个二分之三倍的根号二十六。数我就不算了，数我就不算了。它等于啥？等于四分之一百三十五。

大家好，今天我们一起来看这样一道八上的几何问题。它说如图，在四边形 a 当 e c 中角 a c， e 等于九十度，我们给它标一下 a c e 这个角是九十度，当 e 垂直 c b c 当且 a c 等于 a， 当等于 c e， 那 我们来标一下 a c 这个边，这个边等于 a， 当在哪？ a 当在这还等于 c， 然后他现在让我们求证， c 当等于二倍 a， 哎，你看 c 当等于二倍的当 e， 他们两个都不在一个直线上，我们怎么进行比较呢？对不对？我们又不知道他们这两个三角形的两边长分别是多少，我们怎么去比较？ 那这个时候我们发现这里有一个什么三角形，是不是有个等腰三角形呀？因为题目中告诉我们， ac 等于 a 杠， ac 等于 a 杠 等边对等角。哎，我们是不是可以得到等腰三角形？等腰三角形他是不是有三线合一的性质呢？那如果说我在这里给他做一个中线，我和 a 连起，我说这个点为点 f， 你 看 既然是中线，是不是这个 c f 就 等于二分之一的 c 档，换句话说就是 c 档等于二倍的 c f， 那 我们现在只需要证明 这个线段和这个线段相等，它两个怎么证明呢？哎，你看啊，上面的这个边和这个边是不是相等，这是不是有个直角呀？那么接下来我们现在就是要构造一个全等三角形。 好，我们现在先写辅助线证明。首先过点 a， 做 c 档的，过点 a 做 c 档的中线。既然是中线，所以说 c f 等于到 有问题吧？那这个时候我们要注意啊，现在你看有一个边对应边相等，还有一组对应角相等，这个时候我们可以需要一组。什么 需要一组？因为他这两个这个角和这个边没有连在一起，所以说我们现在不能用，不能找边，因为如果找边的话，用的是边边角、边边角，我们大家知道我们有办法去确认全的，那这个时候我们可以用角角边来找 角角变，我们怎么去找这个角呢？哎，你看这是不是有个九十度呀？这个角 a c 当 加上这个角当 c e 是 不等于九十度？哎，这个当 c e， 这个角是不是在三角形 c 当 e 的 内部？那它和角 e 相加是不是也等于九十度？哎？等量代换，这个角 是不等于这个角？好，我们现在怎么写呢？因为角 a c 到加上角，当 c e 等于 角，当 c e 加角 c， 你 看 等量、减等量还是等量？所以角 a、 c 到是不等于角 c 这个角等于这个角， 他俩脚上倒，我们是不是可以正全倒？因为你脚两边正全倒，所以我们写在三角形哪个角形呢？ a、 c、 f 在 三角形 a、 c、 f 与哪个三角形 a、 c、 f 是 不是就是 c e 档与三角形 c e 档中角角边啊？因为我们来写条件，角 a c 档等于角 c e 档，这是一个角，还有一个直角，对不对？角 a、 f c 等于角 c 等于对不对？那这个地方我们正的是九十度，但是我们没有明确写出来，这个时候我们可以连等等于九十度， 还有一个什么条件呢？题目中是不是告诉你了对不对？所以 还可以得到什么它，它等于它，它三个连等了呀？那我们直接就可以得出，所以还有个条件， a c 等于 c e， 所以 我们可以正数三角形 a c 到全等于三角形，对不对？理由是 a s 边边角边。好的，那我们现在既然称出了全等，我们是不是可以得到？所以当 e 等于 c f， 我 们这里说过了，你看当 e 啊， 等于 c f， 我 们正出来了，就是因为全等三角形，我们推出了全等，你看这一种主要是在成全等，推出全等目的就是为了得到等于 c f， 那 我们知道中线，他既然是他的中线，那所以说 c f 又是二分之一的 c 档，对不对？ 等于等于什么档？反过来，所以 c 档等于二倍的。 那好了，这就是这样一道八上的几何问题。我们在正一个三角形，他就是两条边，他的之间的关系的时候，我们得把这两条边转换到一条线上，我们才可以进行计算。 这种题目主要是做辅助线，去构造什么呢？去构造全等三角形。好了，这就是这样一道八上的几何问题。

听说你数学很厉害，你知道答案是多少吗？

终点中线是初中几何中非常重要的知识点，学完全等三角形考察他们的题型也是非常多的。今天再带大家学习一个几何模型，倍长中线模型。什么是倍长中线呢？ 给了一个三角形 d 是 bc 边上的中点，连接顶点就是中线。我们延长这条中线 a、 d， 使它的长度呢增加一倍到一点，我们再连接 b、 e 或者是 c、 e， 这就是基本的倍长中线的辅助线做法。这样呢，我们就形成了一个八字全等结构，因为 d 是 中点，那 b、 d 就 等于 c， d， a， d 呢，又等于 d， e 加上一组夹角，对顶角相等 s a s， 那 这两个三角形就是全等的。全等之后呢，我们还能得出几个结论，对应边 a、 c 就 等于 b、 e。 另外呢，对应角的这个角和这个角是相等，它们又是一组内错角，那是不是 a、 c 就 平行于 b、 e， 所以说 a、 c 和 b、 e 是 平行且相等的。这里面我们也可以不连接 b、 e， 连接 c、 e。 结论也是一样的，解题时要根据题干条件决定连接哪边。这个呢，是最基本的被长中线的结构， 我们把它叫做基本型，很容易识别，考试时有可能不直接这样考，那就有了第二种变形，如图呢，给了一个图形，依然告诉我们 d 是 bc 的 终点， 但这次他没有给出中线 a、 d， 而是在 a、 b 边上任意一点 e 给了我们这样一条线段 d， e， 我 们给他取个名字叫内中线吧。此时我们依然可以沿用倍长中线的思路，延长 e、 d， 使得 e、 d 等于 df。 同时呢，我们连接 f、 c， 同样能够构造八字全等结构，那这两个三角形呢，也是全等的， b、 e 和 f、 c 也是平行且相等的，这种呢，我们把它叫做倍长中线的中点型，或者是类中线型。 还有一种呢，就是给了两条平行线中间加一条线段，知道他的中点连接到一条平行线，那么我们可以延长这条线段与另外一条平行线相交，也是可以得出这两个三角形全等的结论。这个我们就把它叫做中点加平行线形。不过这里的辅助线 不是倍长，而是延长相交。做题时我们要严谨一些，我们来做道题，如图 d 呢，是 bc 的 中点线段， b e 交 a c 域点 e 交 ad 也点 f， 又告诉我们 a e 等于 ef， 让求 a、 c 等于 b f， 证明两条线段相等呢。首先我们要考虑三角形全等，但是这两条线段好像也没办法在两个全等的三角形中。 题目中又给了两条线段相等和一个中点，大家看一下，我假如遮住上面这一部分，这个图形熟不熟悉， 是不是就是我们刚才讲的内中线的倍长类型？刚好这个 b、 f 就是 两个全等三角形的一条边。我们尝试一下延长 f d 到 g， 使得 f d 等于 d g 连接 c g， 马上我们就能得出三角形 b、 d、 f 是 全等于三角形 c d g 的， 那么 b、 f 就 等于 c g， c g 和 a c 刚好就在一个三角形中，证明它们俩相等就行了。因为全等对应角，角一和角二是相等的。 同时 a、 e 等于 e f， 那 么角三呢，就等于角四，角一和角三呢，又是对顶角，那么这四个角都是相等的，等角对等边，那么 a c 就 等于 c g 也就等于 b f 了，得正下课。

哎呀， baby。

大家好，我是蔡老师，今天蔡老师给大家带来一道八年级的题目，那八年级呢，我们重点学习的其实是三角形的全等啊，那这一道题中给的是一个三角形 a、 b、 c， 它的背景就是一个等边三角形，那里面就隐藏了三个六十度的角， 现在告诉了角 b、 d、 c 是 一百二十度啊，有一个一百二十度，哎，我们就会发现，这里的一百二十度和对面的这个六十度，它们俩相加是一个一百八十度啊，所以这里隐藏了一个对角互补。那这个时候我们同学们就要有一个意识啊， 也就是这一组角，他们俩相加也是一百八十度，等会倒角是可以用上的啊。好，那再来看这个第一问啊，紧接着就是我们要正的信息，他要正一个线段等于另外两个线段和，哎，就说那同学大等于就出现什么呀， 什么中线对称，嗯什么嗯嗯，三线合一啊，什么各种各样的信息，对不对啊？我们如果提示说这里是涉及到四个字的一个概念啊，那有一个能想到，是不是 截长补短呀，对不对？哎，我们看到了两个线段和等于另一个线段啊，这个时候你的脑海里要出现四个字，那就是截长补短， a、 d 是 个最长的线段啊，然后呢，这个 b、 d 和 c、 d 啊，分别都是在它的这个两侧啊， 那我们这个时候呢，就可以想到啊，我们要用到的方法是这个截长还是补短呢？如果我们在这个 a、 d 上啊，去截一段和这个 c、 d 相等，然后再去证明的话啊，那我们这里截取完之后啊，截取完之后，这里 没有特殊角六十度对不对？所以这里截出来之后啊，我们去转换信息不是很容易好，那这个时候呢？哎，同理，如果我们在这个 a d 上去截取一段等于这个 b d 啊，同样的道理， 如果我们截了这一段和 b d 相等，但是由于这两个角没有直接说明它们俩是六十度，对不对？所以没有办法通过等腰加六十度得等边啊。这里呢两种 情况我们就知道啊，去做截长是不太好操作的，那我们同学们这个时候啊，就要想到是补短，如果我们把这个短的 c d 啊去给它延长， 延长完之后，在上面去截取一段等于这个 b d 啊，我们取一个 e 点，使得 c e 等于 b d， 哎，这里就有一组等线段，加上刚刚老师讲的一个背景，是不是对角互补呀？一百 一百二十度加上六十度，所以这个角啊和这个角啊，它们俩是互补的，那这个时候我们就可以知道角 a c e 和这个角 a b d 是 相等的。哎，这个时候有一组边等，加上啊， a c 又等于 ab， 我 们只需要把 a e 连起来就可以得到啊，这两个三角形是全等的。哎，这里就涉及到了截长补短，并不是啊，有的时候啊，并不是都可行， 因为我们如果是截长的话，你这边得到了等腰，但并没有特殊的六十度，就无法得到等边。但是如果我们用这个补短的方法，可以利用这个给的显著信息是对角互补啊，转换出这一组角是相等的，从而可以帮助我们用 s a s 啊去整全等。所以我们正出了三角形 a， b、 d 和这个三角形 a、 c、 e 全等， 全等完之后呢，就可以快速去得到啊，因为全等，所以啊，这个角和这个角是相等的，从而这个角 b， a， c 是 六十度，那这个角 d， a、 e 也是六十度啊，那这样出来之后，三角形 a， d、 e 中啊，我们由全等可以得到 a， e 是 等于 a， d， 这是一组等腰，再加上一个特殊的角 d， a， e 是 等于六十度， 就可以转换出等边。好，这个等边出来之后，我们就可以知道啊，这个 d， c 加上 c、 e 就 等于 a、 d， 从而第一问就证出来了，那第二问啊，要证这个 d， a 平分角 b， d， c。 好， 那我们在这个地方啊，可以快速得到这个等边三角形，从而这个角 a， d， c 啊，它就是六十度，那角 b， d， c 是 一百二，那这个角 b， d， a 就是 六十度，这样我们就可以证明 d， a 平分这个角 b， b， c 啊，好，这就是今天给大家分享这个对角互补加上截长补短的题，同学们听懂了吗？