函数八下题目

嘿，大家好，我们今天来学习第二十三章关于一次函数的小节。这一节课的内容我们包括对于一次函数知识的复习，其中包括五道复习巩固，然后四道综合应用以及一道拓展探索。 讲完这节题之后咱们搞定。首先咱们来看这一单元的知识点有什么。第一个是我们从实际问题出发，引入了数学模型。引入了什么数学模型呢？就是咱们一次函数的内容， y 等于 k， x 加 b， 其中 k 不 等于零。 通过学习依次函数的图像和性质来研究数形结合，而我们依次函数通过计算求解，又可以和依次函数问题的解建立联系，通过依次函数问题的解，进而推得我们求解实际问题的答案。 接下来呢，往后看一看，回顾与思考。在本章中啊，我们从具体的问题出发，先从这个运动变化规律的特征，将它抽象到我们一次函数的概念，给出了表示方法， 用图像数形结合继续研究一次函数的性质，最后用一次函数分析和解决了一些实际的问题。这一块我们所画横线的具体内容我们一会在做题的过程中就可以看到了啊。 我们来看依次函数 y 等于 k， x 加 b， 其中 k 不 等于零是一类最基本的函数，它表示的是一个变量随着另一个变量均匀变化的规律，而这个叫做正比例。函数 y 等于 k， x， 其中 k 不 等于零。是依次函数中比较特殊的一个。 一次函数的图像是一条直线，利用图像可以直观的分析函数 y 等于 k， x 加 b， 其中 k 不 等于零的增减性。通过观察我们就可以发现，在 k 大 于零的时候，图像是从左往右逐渐上升的， 所对应的自变量 x 和 y 的 变化就是 y 随着 x 的 增大而增大，当 k 小 于零的时候，图像从左到右就是下降的了。 函数之外随自变量 x 的 增大而减小是这个意思。而我们在这里又说了运用图像研究函数的方法，体现了我们数形结合的思想。 好，接下来我们来带着这些问题复习一下本章的全部内容。第一个长什么样的函数是一次函数？刚才我们已经说了是 y 等于 k， x 加 b， 其中 k 和 b 都为常数，就是我们已经知道的数，这个 k 还不等于零。满足这样的式子，它是一次函数。 那什么样的函数是正比例函数呢？首先我们知道正比例函数是比较特殊的一次函数，也就是满足 y 等于 k， x， 其中 k 不 等于零，还 k 还为常数，满足这样的函数，它才叫正比例函数了。其实就是对于这个一次函数来说，把 b 等于零就可以推得是正比例函数了。 然后往后看正比例函数的图像有什么特点。首先我们知道正比例函数的图像就是它是一条经过原点的直线， 这个一次函数 y 等于 k， x 加 b 的 图像是什么样子的？怎样画一次函数的图像？首先我先解决后面这个问题，这个问题比较好解决，怎样画一次函数的图像啊？我们在这个一次函数的解析式中找两个点， 然后把这两个点连接之后再连线就可以了。在连线的过程中啊，要注意自变量 x 的 取值范围，好在解决上面的这个就是 y 等于 k， x 加 b， 它的图像是什么样的性质？咱们先说，如果说 k 大 于零的话，那这个函数图像是 从左往右是上升的，也就是 y 随 x 的 增大而增大，当 k 小 于零的时候，从左往右是下降的，也就是说 y 随 x 的 减小而减小， 这是我们 k 对 于这个函数图像的影响。而这个 b 对 于函数图像的影响是什么呢？如果说这个 b 大 于零，那么函数向上平移，如果说 b 小 于零，那这个函数就是往下平移，这是我们这个 k 和 b 对 于这个函数图像的影响啊。第三节， 常数 k 对 于这个函数图像有什么影响呢？其实就是我们刚才说的这一串，写到这里回答这个问题也可以就是 k 大 于零的时候，这个函数是升的， k 小 于零的时候，这个函数是减的。然后我们看第四个， 由一个不平行于坐标轴的已知直线，要找出它对应一次函数的这个解析式。如果能怎么求，由此体会到形和数的变化啊。我们把过程写到这里，这里会比较宽敞一点啊。 第一步，我们既然说知道已知直线，找出它所对应的一次函数解析式，不就让我们求解析式吗？ 要求解析式，我们肯定要用待定系数法，先把函数解析式设出来。函数解析式长啥样呢？因为说了是一次函数嘛，咱们就把一次函数的通式写出来， y 等于 k， x 加 b， 其中呢 k 不 等于零。第二步，我们要求这个一次函数解析式，也就是要求这个解析式中的 k 和 b， 那么怎么求 k 和 b 呢？把我们已知的两个点代入，代入，我们就会得到关于 k 和 b 的 二元一次方程组啊。得到了我们这个方程组之后，下一步就是解这个方程组，然后就可以得到具体的 k 和 b 的 值了。 第四步，我们要求这个函数解析式，我们就可以根据 k 和 b， 我 们刚才已经算出来了， 根据 k 和 b 的 取值，带入我们已经设好的和所设的这个函数解析式，就可以写出这个一次函数的解析式了。 写出结论这么说就可以啊，第五题和第六题我们都可以在题目中进行看，第五题我们重点看这个。二十三章第三节，看我的视频也好，看书也好，这是他们之间的关系， 指一次函数和一元一次方程在什么情况下是可以相互转化的？一次函数与一元一次不等式在什么图像上可以发现他们的关系？ 一次函数与二元一次方程组在图像中就是他们的焦点，又有什么新的关系啊？可以看二十三章第三节这一块内容。 然后第六题举例说明利用一次函数解决实际问题的过程。我们后面的所有题都在为这道题举例，在这里呢，我着重提出一个点，就是尤其是需要做到从实际问题将它抽象到一次函数的这个能力， 是需要通过不间断的做题和对知识的感悟去理解的，因为好多时候你可能看不出来这个题中啊，什么是函数，什么是自变量，什么是常量，什么是变量，需要你自己去体会，去感悟啊， 这是我们的这一单元的知识概念方面的内容，我们来看一下夫妻巩固，找一找练习题怎么做啊？王芳现有一千五百块钱的存款，他计划呀，今年以后三年里，每月都存五十块钱， 说存款总金额 y 随时间 x 的 变化而变化，写出 y。 关于 x 的 函数解析式，我们可以找到这道题中的函数和自变量是什么？ y 是 函数时间 x， 这个是自变量，我们就得想办法用 x 来表示 y 就 可以了。 怎么表示呢？原来有一千五百块钱，每个月存多少存五十，存了多少个月呀？ x 个月加上五十 x 就 可以了啊。注意这个 x 他 不说了吗？今后三年每月， 所以说 x 肯定是大于等于零的，还得小于等于一年是十二个月，三年一共就是三十六个月， 所以说 x 大 于等于零，小于等于三十六，这是他今后三年的存款总金额随着时间变化的函数解析式啊。接下来我们来看第二题，判断下面各个点是否在这个直线 y 等于二， x 加六之上，并且求出这个直线与坐标轴的交点坐标。 首先我们先来看看这几个点是否在这个直线之上，如果这个点在这个直线之上，那么这个点的 x 和 y 带进去一定满足于这个函数解析式。 所以说第一个我们就是把 x 等于负五带进去，看看他是不是等于他锁定了 y 负四二乘负五等于负十，加上六等于负四，没有问题啊，对，他在这个直线之上。 第二个呢，就把 x 等于负七带进去，二乘以负七，再加上六，二乘负七是负十四再加上六，那就是负八，我们发现负八和这个二十不相等，所以说他不在这个直线之上。 第三个，把 x 等于负二分之七，带进去等于二乘以负的二分之七，再加上六， 二乘负的二分之七呢，就是负七，再加上六等于负一。负一和我们的这个一不相等，所以说它不在这个直线之上。最后一个 y 等于二乘以三分之二再加六， 这个二乘三分之二，它等于三分之四，直接带六就可以了，三分之四可以写成一又三分之一，加六放一块，那就是七又三分之一了，没有问题，和这个刚好相等。 所以说第四个这个点在这个直线之上。找好了这几个点是否在这个直线之上，我们接下来得求这条直线与坐标轴的交点坐标。我们知道坐标轴有两个，一个是 x 轴，一个是 y 轴。 在 x 轴上，所有点的坐标 y 都等于零，所以说把 y 等于零，带入到我们的这个解析式之中。所以说二 x 等于负六， x 等于负三。 这是我们的第一题，就是与 x 轴的交警坐标横坐标是负三，纵坐标是零，所以说交警坐标就是负三。零看一看 y 轴， 如果说这个点在 y 轴，那么它的所有 x 横坐标都为零，而这个 x 等于零，带入到这个直线里面， y 等于六，所以说它的交警坐标是零六。这样我们就写完了第二题。 接下来我们来看一下第三题，问这个直线经过第几项线？我们刚才说了这个直线呢，是 y 等于 k， x 加 b， 其中这个 k 影响这个函数是上升的还是下降的？我们发现这个 k 等于负的三分之二，它是下降的。这个 b 影响这个函数是向上平移还是向下平移？首先我们看这个 b 是 二分之一代令，所以说是向上平移， 向上平移还下降，所以说长这个样呗，他过第几象限？一二四过这三个象限。我们可以观察到 y 随 x 增大而减小。同样的道理，这个 k 是 大于零的， b 呢，等于负二，它是小于零的，这不是 b 吗？ 所以说这个函数它就是一个上涨趋势，但是向下平移的一个意思，函数向下平移长这事上涨趋势吗？它此时过的是一三四， y 随 x 增大而增大，这是我们的第三题。接下来我们来看第四题啊， 根据下面的条件，分别确定函数 y 等于 k， x 加 b 的 解析式。首先第一个啊，我们说 y 与 x 成正比例，那么它满足的解析式一定是 y 等于 k， x 还过这个点，所以说把五到六带入， 带入到哪个式子呢？ y 等于 k， x 之中，我们只要把 k 求出来就行了。 y 带六， x 带五六等于五 k， 那 k 就 等于五分之六， 所以说呢， y 就 等于五分之六 x， 这是我们的第一问，这个比较简单，看一下，打第二问也不难说，这条直线呢，经过这两个点，那就把这两个点带进去去求解这个二元一次方程组就可以了。 第一个是三六， x 带三， y 带六六等于三， k 加 b。 后面呢， x 和 x 带二分之一， y 等于负二分之一，负二分之一等于二分之一 k， 再加上 b， 求解就行了。这个怎么求解啊？ 其实我们在草稿纸上写一下吧，这是二式，我们试着拿这个一式减二式来试一试。这是草稿纸一式减二式。那等式的左面就是六减去负的二分之一，等式的右面就是三 k 加 b 减去括号二分之一 k 加 b。 处理一下啊，六减去负二分之一，那就是六加二分之一，六加二分之一，那其中这个六我们可以写上二分之十二，通算吗？结束之后呢？整体就应该等于二分之十三。那看看等式的右边啊， 三 k 加上 b 减去二分之一 k， 因为这加了括号，所以说就是减 b， 减 b 加 b 就 没了。三 k 减二分之一 k， 三 k 可以 写成二分之六 k， 二分之六 k 减二分之一 k， 那 就是二分之五 k。 二分之五 k， 它等于二分之十三，那就好说了，等式两边同时乘二呗，十三等于五 k， 那 k 呢？等于五分之十三。搞定，我们再把 k 等于五分之十三带入到任何一个式子里。像这里我们就接着写过程啊， 就可以直接得到这个五 k 等于十三， k 等于五分之十三。接下来把 k 等于五分之十三带入到一个式子里就行了。 我们像假设我们带入到一之中看一看啊，那六呢？就等于三乘以五分之十三，加上 b， 那 六等于三乘五分之十三，那可就是五分之三十九加 b， 那 b 就 一定等于六。六是五分之三十，减去五分之三十九，那么 b 一定等于负的五分之九。 好，我们此时就既找到了这个 k 的 值是五分之十三，又找到了 b 的 值是负的五分之九，都带进去就可以了， y 不 等于 k， x 加 b 吗？ k 带五分之十三， x 加 b 就是 减去五分之九，这是我们的函数解析式啊。 接下来我们来看第五题，这个就是一次函数与不等式的关系了。首先第一问， y 大 于零， y 大 于零，那好说了，因为 y 大 于零，所以说我们就可以把三 x 减五，我们就可以把三 x 减十五替换成 y， y 大 于零，三 x 减五一定是大于零的，所以说三 x 一定大于十五， x 一定大于五。 后面这个 y 小 于零呢？那就是三 x 减十五小于零，三 x 小 于十五， x 小 于五，通过解不等式就可以写出来了啊， 或者说也可以通过 y 等于三 x 减十五的图像来去解决。我们可以找两个点，分别是 x 取零， y 取负十五，还有就是 x 如果取五的话， y 就 等于零，把这两个点带进去， 一个是五零啊，大概是这个位置，还有一个是零负十五，大概在这个位置，一连线就可以了啊，就可以找到 y 什么时候大于零啊？已知这个点是五，那肯定是 x 比五大的时候它就大于零啊， 那什么时候小于零呢？那还是啊，在五之下就是小于零的了，通过图像也可以解决这个问题啊。 我们来看一下综合运用第六题啊，说有一个快递的收费标准，说不超过一千克的物体啊， 咱们付十三块钱，超出一千克之后，每增加一千克要两块钱。找出记出 x 千克的物体的快递费为外元写 y。 关于 x 的 函数解析式， 我们就可以发现，此时啊自变量是 x， 函数值是 y， 用 x 来表示 y 是 我们现在要做的。我们发现此时 x 是 什么呀？为大于一的整数，所以说他不可能花十三块钱，因为 x 永远大于一， 总会有超过一千克的部分。那么我先怎么写啊？如果你超过一千克的部分，我肯定分成两部分，一部分是不超过一千克的部分，还有一部分是超出一千克的部分。不超出一千克的部分要花多少钱？十三块钱呢？那超出一千克的部分有多多沉呢？ 总共是 x 千克，减去最开始的一千克，这就是超出一千克的部分。这么多千克的数量，一千克要加多少钱？快递费要加两块，所以说前面再乘个二就行了。 接下来呢，我们化简就行了，十三加上二， x 减二等于二 x 加上十一。注意 x 大 于一，且为整数。这样我们就把这个外关于 x 的 函数解析式搞定了。 接下来是第七题，我们得通过这个图来解决这些问题。我们观察一下这个图啊，这个图的横坐标是时间 t， 纵坐标是路程 y， 行驶路程 y 和时间 t 之间的关系如图所示。根据图像来回答下列问题啊，一个 a b 两地之间的路程是什么？我们可以看啊，假骑自行车，以骑摩托车，相同路线都是起始点是 a 点是 b 点， 那结束点不就是他俩停的这个位置吗？其实也都是一样的， a 点到最后结束的 b 点，他们之间的路程就是这么多，也就是八十千米。 出发较早的是谁啊？当然是甲了，甲在时间为零的时候他就出发了，比乙早多少个小时？零到三小时之间就早三个小时。到达较早的是谁？谁先停的呀？是乙先停的，乙在五小时，乙在五小时的时候就停了， 那比甲停的时候早几个小时？八减五，早三个小时。到达较早的是乙，我们就得算算甲乙的速度了。速度我们就取平均速度，用总路程除以总时间就行了。 甲的速度，甲一共跑了八十千米，用时多长时间？零到八小时之间，用了八个小时， 所以说他的速度就是十千米每小时，你的速度呢？他也是走了八十千米，那注意 他走了多长时间？从三小时到五小时就一小段，这一小段是几个小时？是两个小时，因为五减三等于二，八十除以二等于四十千米每小时，这个就是你的速度啊。 问了乙在距离 a、 d 多少千米处追上了甲，此时甲行驶了多少个小时？也就是说问这个点的横动坐标，既然说问这个点的横动坐标，我们就跑不了。将实际问题转化为我们的一次函数问题， 只要我们把甲乙两个函数的这个一次函数给他列出来，找到他们之间的关系就行了。 那求啥射啥，我们先射出来啊，射乙出发 x 小 时之后，一般来说我们都射自变量，自变量好算追上甲，甲的行驶的时间是多少，因为啊，说了乙出发，也就是说从乙从这个点出发追上甲到这个位置，它是经过了 x 小 时， 那甲的行驶时间就得加上甲提前跑的这三个小时，所以说甲的行驶时间应该是 x 加三小时。继续说，我们把甲的行驶时间设出来了，还可以把甲的路程设出来，因为我们也得求甲行驶了多少个小时，通过小时推路程也可以啊。 假路程为十乘以 x 加三千米，十不就是它的速度吗？速度乘以时间等于路程，那乙的路程呢？这个好说，因为乙的速度是四十千米每小时， 我设的是出发 x 小 时之后追上甲，所以说他此时跑的路程啊，就是速度四十乘以 x 千米。我们来列式说了甲此时和乙行驶的路程相等，我们就可以通过路程相等来列式的。甲的路程是十倍的， x 加三， 乙的路程是多少？是四十 x， 找到它们相等的 x 就 行了解方程，十 x 加上三十等于四十 x， 把十 x 减到这面去，就变成三十 x 等于三十，那 x 肯定就等于一了呀。我就可以知道，乙出发一小时之后就追上了甲， 那此时乙的路程是多少？因为就走了一个小时，所以说乙的路程是四十乘以一等于四十千米，乙就跑了四十千米就追上了甲了，此时甲行驶了多长时间呢？也就是说在三小时的基础上，再加了这个一小时就可以了，等于四小时搞定。这是我们的第七题， 接下来我们来看第八题。一个有进水管和出水管的一个容器，刚开始的四分钟啊，咱们只进不出，随后的八分钟之内，既进水又出水。我们知道每分钟的进水量和出水量是两个常数，也就是说进水量和出水量是不变的。 容器中的水量 y 和时间 x 的 关系如图所示。在 x 大 于等于零，小于等于四的时候，咱们要求这个函数解析式，这个好求啊， 我们还是发现它是一个一次函数，找到两个点就行了，它横过零零，还有四到二十这两个点，发现它还是一个正比例函数，因为过原点呢，不需要平移。设出来， y 等于 k， x， 其中的 k 不 等于零， 那好说了，零零不用带，只带四二十就行了。二十等于 k， x 二十等于零，零不用带，因为带了也没有意义， 两边都乘零，那不就是零等于零了吗？我们只需要带这个四和二十就行了。二十等于四 k， 那 么 k 呢？一定等于五，那 y 等于五 x， 其中注意它自变量 x 有 取值范围， 就是 x 大 于等于零，小于等于四，这是我们的第一问，第二问，当 x 大 于四小于等于十二的时候，求 y 关于 x 的 解析式，那还是过两个点呢，那肯定过四到二十 还过，等于十二的时候，那就是十二到三十。把函数解析式设出来， y 等于 k， x 加 b， 其中的 k 不 等于零。为了和上面保持区分呢，所以此时我们 k 取 k 一 就可以了啊。然后带入这两个点求解方程就行了。首先我们带四二十，二十等于四倍的 k 一 加上 b， 带第二个三十等于十二， k 一 加上 b 一 十二是。然后在这里减方程就可以了啊，咱们拿二式减一式就可以了。 等式的左边呢，就是三十减二十等于十，等式的右边是十二 k 一 减去四 k 一， 那还剩下八 k 一， b 和 b 就 减完了。算出来 k 等于八分之十还没完，可以约分上下约个二等于四分之五， 那反过来把 k 等于四分之五，再带到任何一个式子里，像我们在这写一下过程啊， 等 k 一 等于四分之五，将 k 一 等于四分之五带入。假设我们带入到一中啊，就可以发现，二十等于四乘以四分之五，加上 b 四乘四分之五等于五，那 b 一定就等于十五了。那写出解是 y 等于四小于等于十二就可以了。 第三，问问每分钟进出水各多少升，我们可以知道进水多少升，我可以找到 把这块涂一下，进水多少升。好说呀，因为我们可以发现前四分钟他不只进水吗？四分钟进了多少升的水啊？二十升的水，所以说我直接就可以标出来水量，每分钟就是拿二十除以四就行了， 等于五升，每分钟他就进五升。麻烦的是这一块，这一块既有进水又出水，所以说此时才不一样，咱们就把这个出水射出来， 射每分钟出水 a 升。射出来之后，我们就可以找到一些事情了，咱们只发现四到十二之间呢，他们一共是八分钟， 八分钟进了多少升水，减去出去的多少升水，就等于我这块差了多少升水，这是我们的关系，经过这个关系我们再来做题就可以了。 我们知道五，我们知道四到十二，一共是八分钟，八分钟进了多少升水呢？每分钟是五升水，八乘五吗？ 这是进水量减去出水量还是八分钟每分钟出多少升水呢？出 a 升水减去八 a 等于多少？三十减二十，这是他们变化的水量。 那五乘八等于四十，减去八 a 就 等于三十，那就是十八， a 呢，就等于三十，可以算出来， a 呢等于八分之三十，还可以约分， 那么 a 等于上下同时约二吧，约二就是四分之十五， a 等于四分之十五，应该就搞定了。每分钟出水是四分之十五。升号是我们的第九题。第九题可能比较麻烦，仔细读一读啊。 有甲乙两家体育用品商店，用同样的价格出售相同的乒乓球拍和乒乓球，其中乒乓球拍我们每副定价三十块钱， 乒乓球每盒是五块钱。现在两家店开展不一样的促销活动，在假店呢，是买一副球拍赠一盒乒乓球，以店甭管你买啥，咱们都打九折。现在我说了一个班呢，需要买四副球拍，乒乓球呢，不知道，就说他不少于四盒就行了。 看一下第一个啊，一个班要买 x 和乒乓球，他不说不知道多少盒吗？我先给他设出来，在甲店付款的金额为外甲元，在乙店付款的金额为外乙元。我们得写出外甲和外乙与自变量乒乓球和数 x 之间的关系就可以了。 想一想怎么做啊？先写写外甲吧，他是买一副球拍赠一盒乒乓球，已知我们就买了四副球拍，所以说他买球拍的价格就是四，就是三十乘三，就是三十乘四。因为买了四副球拍嘛，一副球拍是三十， 买了多少个乒乓球呢？是 x 盒， x 乘以五，这是他买兵乓球的钱， 但是他说了我便宜啊，我买一个球拍赠一盒兵乓球。所以说我实际购买的兵乓球的数量并不是 x， 而是 x 减四，因为我前四盒兵乓球他是不要钱的，是买那个是买球拍赠的， 把这个一次函数化简就行了，三十乘四是一百二十，加上五 x 减去四五，二十 化简完之后，我们会发现它等于五 x 加上一百啊，此时 x 肯定是大于等于四的，我们自变量有取之范围，因为他说了乒乓球的和数不少于四，和吗？把外移写出来， 万一可能比较好写啊。我们知道买了四副兵乓球趴，那就是三十乘四，不管买兵乓球趴还是兵乓球，都是打九折，再乘以零点九，这是买趴的钱，再加上买球的钱就是五 x 乘以零点九， 三十乘四乘零点九。这个可以，咱们先算三十乘零点九，那就是三乘九，三九二十七，二十七乘四是一百零八，再算前面五乘零点九是四点五，四点五 x 加上一百零八 x 大 于等于四，这样我们就把第一问搞定了。 买这个班分别在甲店和乙店买的兵乓球和乒乓球拍，还有付款金额，他们之间的关系我们都写好了。 接下来我们来看第二个购买几盒乒乓球时，在两家商店的付款金额一样，如果付款金额一样，那肯定就是外甲等于外乙啊。 算一算，外甲是五 x 加上一百，外乙是四点五 x 加上一百零八，五 x 减四点五 x 还剩零点五 x 等于一百零八减一百吗？ 是八 x 就 等于等式，两边同时乘二就行了，因为二乘零点五等于一，这样就把 x 前面系数变成一了，就可以省略不写 八乘二等于十六。所以说我们可以发现啊，在买十六盒兵乓球的时候，两家商店的付款金额是一样的，如何根据购买兵乓球的数量选择在哪家商店购买？那咱们就算算呗。 如果外甲大于外乙，也就是说外乙便宜的时候，代入外甲是五 x 加一百， 外移呢是四点五 x 加上一百零八，把这个不等式解出来就行了，还是四点还是五 x 减四点五 x 等于零点五 x 等于一百零八，减一百等于八，但是中间的符号变成大于号了啊， x 大 于十六，所以说在大于十六盒的时候，咱们在乙店买，因为乙店买便宜，那么外甲小于外乙的时候，咱们还是列一样的式子，这时就是小于了。小于四点五 x 加上一百零八， 还是解这个方程解完之后呢？是 x 小 于十六，但是我们还要注意啊， x 有 自己的取值范围，是 x 大 于等于四，小于十六的时候， 咱们去甲电购买，甲电便宜，这样我们就搞定了第三题啊，接下来我们来看第十题，这是托管探索，这道题难度会大一点，比较复杂，说了 a 城啊有二百吨肥料，这都标好了， b 城呢有三百吨肥料，现在咱们得把 ab 城的肥料分别往 c、 d 城来运 来看啊， a 城往 c、 d 两箱运肥料的费用分别是二十元一吨和五十元一吨。 也就是说 a 城往 c 城运，它是二十元每吨，往这个 d 城运是二十五元每吨，这么走是二十五元每吨。 b 城往 c 乡和 d 乡运， 分别是十五块钱一吨和二十四块钱一吨。现在说了 c 箱需要二百四十吨， d 箱需要二百六十吨，问怎样调运可以使总运费最少？我们可以看这个表就行了，我们可以看这个图就行了，把题目中的信息都标到这里了。 那想想我们可以发现，这道题其实现在非常的麻烦，有四种方式可以进行运输，要肥料的地方还是两个地儿， 所以说很复杂，我们得找他们的关系。有没有一种方式，我可以只射出一个量，通过这一个量把这四个量都表示出来就好做了。其实是可以的，因为我们需要的总肥料数，每个地方需要的总肥料数是固定的。 如果像假设我们 d 箱有二百六十吨肥料， a 箱运了一部分，那剩下一部分一定是 b 箱给它运的，因为 c， 因为 d 箱只有 a 城和 b 城这俩地才可以给它运肥料。我们就先设一个呗， 设 a 往 c 运的肥料为 x 吨，如果说 a 城往 c 城运的肥料为 x 吨，那么 a 城往 d 城 运的肥料一定就是二百减 x 吨，因为我 a 城总共就是二百吨肥料，往 c 城运了 x 吨，剩下的我肯定就得往 d 城运，为什么呢？因为我 a 城什么都不剩啊。我们发现 a 城 b 城有的肥料不就是二百吨和三百吨吗？摞一块是五百吨， c 箱和 d 箱需要的是二百六十吨和二百四十吨，也需要五百吨。也就是说把 a 城和 b 城所有的肥料都往 c 箱和 d 箱去运。 这样关于 a 城运的肥料我们就说出来了，那再看看 b 城吧， b 城如果往 c 箱，咱们运多少？ c 箱我就要二百四十吨， a 乘已经给了 x 吨了，那 b 乘一定就是运的是二百四十减 x 吨。你看 c 箱我只能有 a 乘和 b 乘两个地往那运，其中 a 乘已经占了 x 吨了，那剩下的一定全是 b 乘运的， 那么反之， b 往 d 运是多少？其实就是 b 总共 d 总共需要二百六十吨，减去我们 a 乘运的二百减 x 就 可以了。这个咱们得略微化解一下啊， 二百六十减二百加 x， 那 就等于六十加上 x， 所以 说 b 往 d 运应该是六十加上 x， 这样我们就都射出来了， 问我们总运费最少，那总运费我们设为外呗，我用红笔标出来啊， a 往 c 运，咱们是二十块钱每吨， a 往 d 运是二十五块钱每吨， b 往 c 运是十五块钱一吨， d 往 d 运是二十四元一吨。往后看啊， 把总运费设出来，总运费不就是这四种方式运费的和吗？ a 往 c 运，那就是二十元一吨运了 x 吨， a 往 d 运，那就是二十五元一吨，运了二百减 x 吨， 再继续 b 往 c 约，就是十五乘以二百四十减 x， 再加上最后一个二十四乘以六十，加上 x， 慢慢计算就行了。第一个二十 x 加上二十五乘二百等于五千减去二十五 x， 再加上十五乘以二百四十，十五乘以二百四十。我想想啊， 该怎么算？等于三千六减去十五 x， 再加上二十四乘六十等于幺四四零，再加上二十四 x。 行，咱们合并同类项， 第一个是个二十四 x， 后面就是减二十五，那就是负五 x， 负五 x 再减十五 x， 那就是负二十 x， 再加上二十四 x， 还剩下四 x， 然后五千加三千六等于八千六，八千六，再加上一千四，八千六加一千四刚好等于一万一万，后面这还有个四十呢，再加上一万零四十，这是我们总运费， 我们还得知道啊，我们运的 x 也有它的取值范围，因为我不可能运负数啊。所以说我就还得再解一下， x 肯定是大于等于零的，这个 x 大 于等于零，这个二百减 x 还得大于零， 这个二百减 x 还得大于等于零，这个二百四十减 x 也得大于等于零。最后一个是六十，加上 x 也得大于等于零，还得先把这个自变量 x 的 取值范围算出来。第一个可以推出来， x 大 于等于零，这个没啥问题。第二可以推出来， x 是 小于等于二百的。 第三个可以推出来， x 小 于等于二百四十。最后一个我们可以推出来， x 是 大于等于负六十，然后找到它们相交的一个区间，像第一个 x 大 于等于零，我们画一个竖轴，像这个点是零， x 大 于等于零，不就是这一块吗？ 第二个 x 小 于等于二百，是这一块。下一个。第三个是 x 小 于等于二百四十这一块。最后一个是 x 大 于等于负六十。 发现这四个都相交的部分是哪一部分？就是这一部分中间的这一部分。所以说最后我们就可以推出来自变量 x 的 取值范围，就是 x 小 于等于二百大于等于零。大家也可以用这种竖轴的方式来去解决这种很多个 x 的 范围的问题啊。 找到 x 的 范围是 x 大 于等于零，小于等于二百，我们还可以发现这个函数长这个样，其中的 k， 其中 k 它等于四 四，是大于零的，所以说此时 y 随 x 增大而增大。搞定，如果 y 随 x 增大而增大，那么 x 在 这个范围内肯定是零最小，二百最大。咱们取总运费最小的时候， 那就是 x 等于零的时候， y 取最小值，那此时 y 就 等于四乘零，加上幺零零四零，不就是把 x 等于零带到这个函数式里吗？ 那四乘零等于零，那就等于幺幺零四零。所以说此时运费最小的钱就是一万零四十元。当然这道题没有问啊，只是说怎样调运可以使运费最少。那怎样调运呢？我们就把这个 x 等于零带入到上面的市子里。 我直接把宗上写到这啊，因为后面可能没地写了， a 往 c 一 吨都不运， a 往 d 运多少啊？ 二百减零就运二百吨， b 往 c 运多少吨？运二百四十减零，运二百四十吨， b 往 d 运，运六十加 x， x 等于零嘛， b 往 d 运六十吨，只有这么运，运费才是最少的啊。 这样我们就把这道题解决完了。后面是综合实践，音乐与数学，这个还是老样子啊，大家可以看看书，去找一下他们之间蕴藏的一些知识。这一章我们就说到这里，后面内容是这一块的内容叫做数据的分析， 会在难度上略微比我们之前学的函数和一次函数简单一点。好，咱们今天的课就到此结束了，关于一次函数也就讲到这里，下一个视频咱们来讲一下第二十四章有关数据分析的内容，大家再见。

八下数学最难的一次函数，七大题型全部吃透，逆袭班级前三依次函数最值问题类型一，线段和列一已知如图， 类型二，多条线段和类型三，线段叉 类型四，定朝类型五，胡不归 类型六，一定两动线段和完整版分享！

八、下期末必考的一函数的三大几何变换，分别是平移变换、对称变换和旋转变换。今天梁老师用一个视频教会你平移变换怎么做。来，咱们看题说将这个一函数的图像向右平移一个单位，再向上平移两个单位后， 所得的图像对应的解式是， y 等于 x 加三。那么求 k 等于多少， b 等于多少。 好了，各位，其实这类题目很好解决，你只要记住平移的口诀就行，就是左加右减自变量，上加下减常数项。那具体怎么做呢？我们来看，它说给这个图像向右平移一个单位， 那么向右怎么办？向右是不是要给这个自变量去减？那你看是不是给这个 k x 减一呢？ 不是。这里边的自变量是谁？这里边的自变量是 x， 所以 只给 x 减一，也就是 k 倍的 x 减一， 然后呢，它又向上平移两个单位，那向上平移上加给谁加？给常数项加，那这里边的常数项是谁？常数项是 b， 所以 给 b 加个二， 对吧？好，那我现在把它整理一下，就是 k， x 减 k 加 b 加二。好，那我把它写成这个样子，就是加 b 加二， 再减 k， 这是平移之后的解析式。那么他又说了平移后的解析式是谁？是 y 等于 x 加三。 好，他们俩都是平移后的形式，那么这两个是不是应该相等啊？相等的话，那么一次项和一次项相等，长竖项和长竖项相等，所以 k 等于多少？ k 等于一，对吧？那么 b 加二减 k 是 不是等于三？所以 b 是 多少？ b 是 二吗？ k 等于一， b 等二。那今天的这道题目大家听懂了吗？听懂的话再把我整理的依次函数的必刷题拿去练习，轻松应对期末考。

八下数学一共就有两大亚洲难点，一个是平行四边形，另外的就是依次函数这里了，而且依次函数这里题目变化非常多，面积问题，存在性问题， 像依次函数这里啊，老师也把常考的这十大类题型分类做了一个总结，绝对都是我们这学期期中期末最后一道压轴题的出处。如果咱们孩子对于这种题还经常没有解题的方法技巧， 经常还做不出来这道题解析的题眼，家长们一定要打印出来，带孩子分题型，逐个去突破，养成这种举一反三的题型化思维。下面啊，咱们就来一起看看这道题。这道题比较典型，是一道面积问题，而且它还结合了等级变形一起看看。 这得说 ab 的 解析式是 y 等于 x 再加二，那这一点不就是对应的二了吗？啊， cd 的 解析式呢，是 y 等于二， x 再减二，对不对？现在说 cd 上存在一点 e， 然后使 abe 和 abo 的 面积相等，你看 abo， 哎，到这 abe， 哎，这两个三角形面积相等那一点的坐标是什么呢？看到这，你有没有想到我们之前学到的平行线的面积模型啊？ 平行线当中面积模型的蝴蝶模型，等级变形，两线平行，那平行线间的距离是相等高，是相等的， 所以当两个三角形底是相同的时候，我们只需要找到哎，这条平行线，那在任意位置找一个点，这些三角形的面积都相等啊，所以这道题咱们就可以做转化了，咱们只需要做一条与 ab 平行的线， 然后日去看它这条线与 c、 d 的 交点是多少就可以了，对不对？因为其中一个点是 o， 对 不对？所以这条线咱们就可以画出来了。过原点的线，而且和它平行斜率 k 肯定是相等的， 这是 y 等于 x 加二，这就是 y 等于 x， 所以 y 等于 x 和我们这条 y 等于二， x 减二连立，我们就可以求出第一个点 e 的 坐标。 继续来看，是他只能往下平移吗？他是不是往上还能平移啊？所以我们继续往上平移。正常来说，我们在这个位置一定也可以找到一点 e， 哎，使我们 a、 b、 o 的 面积和这里 a、 b、 e 的 面积是相等的，因为我们只需要保证这一段平行线间的距离是相等的就可以了。那这一段平行线间的距离是多少呢？你看从它到它是不是往上平移两个单位长度对不对？所以从它到它这一段的距离也是二， 所以这是 y 等于 x 加二，这不就是 y 等于 x 再加多少啊？对了， x 再加四， 所以我们继续把 y 等于 x 加上四和 y 等于二， x 减二连立，就又可以求出一个点的坐标，那我们连立这两个解析式就可以求出来，第一个 x 等于二， y 等于二， 哎，第二个可以求出来， x 等于六， y 等于十，所以这里点 e 的 坐标就有两个，第一个呢是二，二这一点，第二个呢是六十。这一点两个答案缺一不可，缺一都是零分。

八下数学一共有两大难点，其中一个就是这个一次函数的章节，而且一次函数一定会在我们这次期中期末当中出一道最后的压轴大题，结合着面积问题，结合着三角形平行四边形的存在性问题，真的是难上加难啊。 今天一个视频老师啊教大家用三个步骤轻松搞定我们一次函数与等腰三角形存在性的问题。 那有关于一次函数啊，这里常考的十三大题型，老师也给大家做了一个系统的整理，每一类题型它的方法技巧性都是非常强的，如果咱们孩子遇到这种题还经常没有思路，建议家长们帮孩子打印出来，逐个题型模型的来进行学习，这样我们才能举一反三。 下面啊，咱们就来一起看一看这道题，告诉你点 a 点 c 了，问你在外轴上是否存在一点 p 是 a c， p 是 等腰三角形， 那解决这种问题，老师讲过，其实就是一个核心的口诀，如果你用几何法去解题的话，我们完全就可以利用两圆一中垂来去求解，我们利用圆的半径处处相等，在这分别以这个点，以这个点为圆心画圆， 这个时候找它与 y 轴的交点就行了。来举个例子，首先我们这里面以点 c 为圆心画一个圆来，这是一个半径对不对？ 哎，这个圆我们就画出来了，你会发现这个圆想要与 y 轴交点，它上下应该各有一个交点，而半径就是对应 a c 的 长度，那这边是三，这边我们知道是六，我们可以很容易求出这边的长度是三倍根号五， 所以想要求这两点的坐标就比较容易了，这一点是零六，那这一点不就是零逗号六再加三倍根号五吗？对不对？ 而这一点是零六，这一段是三倍根号五，哎，那整个这一点的坐标咱们是不是也可以求出来？哎，也就是六再减去三倍根号五了呗，对不对？因为向下平移三倍根号五个单位长度嘛， 所以这两个点的坐标就求出来了。这是以点 c 为圆心，接下来我们继续还可以以谁呀？哎，对了，以点 a 为圆心去画圆，咱们换一个颜色的笔啊，画草图就 ok 了，还是一样以它为半径。那这个时候以它为半径画出来的圆是什么样啊？ 大概是不是这样的？好了，那这个时候半径还是它是这个三倍根号五，这条线段对不对？那对应 它与外轴的交点，这个点和原来的 c 点，是不是它是关于 x 轴轴对称的呀？ 所以这是零六，这一点我们可以求出来，就是零逗号负六了。这已经有三个点了，那两圆咱们画完了，接下来一中垂 找这条线的垂直平分线来，我把图都蹭掉啊，那垂直平分线我们还是一样先把剪图画出来，哎，垂直平分对应的 a c， 那这个时候他与 y 轴的交点就是我们要求的那个 p 点的坐标了，对不对？那这一段不知道是多少，我们可以设为 x， 而又由于这是垂直平分线上的点，我们知道垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，所以这两段应该是相等的，他们都是 x， 对 不对？ c 点的坐标是不是零六啊？所以这一段是六，这一段是 x， 这一段不就是六减 x 吗？ 这是六减 x， 这是 x， 这一段是已知的哎，是三，所以想要求 x， 我 们直接在这个直角三角形当中列尾二次方程，列勾股方程就可以了。 所以在这里我们就有六减 x 的 平方，再加上三的平方等于 x 的 平方，求出 x 的 值就可以了。 x 求出来在这里应该等于四分之哎，十五。 不过啊，这里想要求 p 点的坐标，求的得是六减 x 这一段，所以啊，我们就用六再减去四分之十五，可以等于四分之九，所以这个 p 点咱们就求出来了，就是零到四分之九。所以最终这个点 p 的 坐标应该是有四个， 分别是六，再加三倍根号五，六减三倍根号五，还有零逗号负六，最后一个就是零四分之九了。 就这个填空的牙轴题，四个答案写不全是一分不得的。所以有关于这种两元一中垂的方法，大家一定要了，熟于心，下个视频呢，老师还会用大家哎，教大家用代数法，直接代公式法，轻松无脑求解。

函数这个章节太重要了，因为依次函数光图像性质，这里我们就有十大类题型可以变形去考大家，所以要求我们的孩子对函数图像性质这里相当大的熟练度了。 那有关于函数这里面的十大题型，老师也给大家做了一个系统的总结，基础知识不过关的家长们打印出来分类去带孩子进行练习。下面借着这道题呢，我再带着大家复习一下我们函数图像性质这里的一个易错点， 这里说一次函数，它的函数值 y 随 x 的 增大而增大，哎，说明这里面什么？对了， k 值啊，也就是一减二 k， 它是大于零的。这是我们根据题目得到的第一个信息， 第二个信息说他不经过第二象限。好了，能不能告诉我，不经过第二象限的图怎么画呀？哎，他是不是，哎，可以这样去画呀！有同学觉得哦，画出来之后，看他的 b 值 b 是 小于零的，所以在这里 b 的 部分复 k 小 于零，完事了， 结果这道题就选错了。为啥呢？为什么这道题有这么多同学算错呢？因为他们都忽略了一个关键点，他不经过第二项线。还有一种情况，那就是这个函数图像经过原点的情况，这个时候 k 怎么样？ 哎，这个时候 b 怎么样？ b 等于零啊，所以对应这个复 k， 除了小于零，他还可以等于零，漏了情况，这不就选错了吗？ 所以，综上啊，我们在这可以求出第一个 k 是 小于二分之一的。第二个负 k 小 于等于零， k 是 大于等于零的，所以综上，我们的 k 是 大于等于零，小于二分之一的我们正确答案就选出来了。正确答案选择的是 c 选项。

好，今天我们来看一道关于函数图像的应用动点与面积的问题，我们来看一下这道题目啊，如图一，在长方形 a、 b、 c、 d 中动点 e 在 边上沿着 a、 b、 c、 d 的 路径匀速运动， 三角形 a、 d、 e 的 面积 s 与点 e 走过的路程 x 之间的一个关系图像如图二。好，我们先看一下，第一问，你能从中获取哪些信息？我们从图二的函数图像反推长方形的边长，当点 e 在 a、 b 上运动，我们首先从 a 点到 b 点，运动， 面积随着路程 x 的 增大而增大啊，我们可以看一下它的图像，是这段啊，这个也就是说从 a 点开始到到达 b 点，这个时候图像是逐渐上升的一条直线， 到 x 等于六的时候，取到一个最大值，到达最高点，说明这个 ab 的 长呢，就是六，这段就是 ab， 演绎走完 ab 路程是六。 接下来继续当点 e 在 b、 c 上运动，那么这个时候三角形 a、 d、 e 的 底边啊，是 a、 d 高呢？是 ab， 对 吧？啊，你不管说，你比如说这个 e 点如果在这个位置， 那么就是 a、 d、 e， 它的面积是吧？你如果说它跑到这块，你看啊， 如果 e 点跑到这儿，它的底和高呢？它是同底等高的啊，所以在从 b 点到 c 点啊，运动过程当中呢，这个面积是不变的， 三角形 a、 d、 e， 它的面积是不变的，那也就是对应了咱们下下边这一段函数图像啊，这个时候到达 c 点，那么这一段的话，就是证明这个 b、 c， 你 看从六到十，也就是说 b、 c 的 长应该是十减六等于四，然后我们继续看图像的最高点 s， 我 们能不能算出来呢？我们图像的最高点 s 就是 这个三角形 a、 d、 e 的 面积，正好其实就是长方形面积的一半，也就是说在 b、 c 上运动的时候，它的面积呢，都是达到这个最大值的啊。这个时候长方形的面积是 ab 乘以 bc 是 吧？那就是六乘以四等于二十四，那么三角形 a、 d、 e 的 面积，它就等于这个二四，再乘以二分之一就是十二啊，所以呢，这个 b 的 值就是一个十二，那这块也说明了，这个 c、 d 呢，它就等于六， a、 d 呢，就等于四啊，因为它是矩形，它两组对边相等，那当这个点 e 走完， ab 加 bc 加 cd 这一段啊，其实到这个最终的话，就是回到了 b 点，是吧？ 我们总共是走了多少呢？六加四再加六应该是十六，对吧？然后这段也是一个六，所以 a 的 值呢，就是一个十六啊。这就是我们从这个矩形和这个下边的函数图像当中，我分析出来的这些结论啊，写其中的三条就可以。 那接下来我们再来看一下第二问，探求 s 与 x 之间的函数关系式。那么这个函数关系的话，很明显我们可以看到它并不是一条直线啊，这个面积是先由 a 到 b， 它这个面积是越来越大，然后 b 到 c 的 话，这一段它的面积不变，是最大值，由 c 到 d 呢，它的面积又越来越小，那么我们这块应该是分三段啊，这是属于一个分段函数，对吧？嗯，第一个就是当这个 x 大 于等于零，小于等于六这一段时， 也就是说 e 在 ab 上，这个时候的话，这个底边呢，就是 a， e 等于 x 高， ad 等于四，因为这个 e 点的话，它呃走过的路程是 x， 所以 这个时候的面积 s 就 应该等于二分之一， a e 乘以 ad 是 吧？那就是二分之一乘以四， x 也就是等于二 x， 对 吧？ 然后我们接下来看一下第二段。第二段呢，就是在 bc 上啊， bc 上这段运动的时候，那在这段运动的时候呢，它的面积其实是不变的，它这个时候的底呢，就是 a d 高的话，始终是这个 ab， 所以 这块应该是二分之一乘以四，再乘以六等于十二啊，咱们刚才其实已经算出来了，是吧？这个时候它面积是 是一个最大值，取到一个最大值啊。接下来我们再看一下第三段，刚才第二段是这个 x 大 于六，小于等于十，这个区间内啊， e 在 b c 上啊。第三段呢，就是当 x 大 于十，小于等于十六，这个时候 e 在 c d 上啊，这段 那么一点走过的路程呢是 x， 假如说在这儿，那么这个 d e， 我 们要求这个 a， b， a， d， e 的 面积，是吧？那我们就是 a d 乘以 d， e 再除以二，那 d e 的 话应该是多少呢？ 因为我们从 a、 b， d， c， c， d 啊，总共是一个十六，是吧？然后一点走过的路程呢，是一个 x， 所以 d e 应该是十六减 x， 那 么 a d 呢，是四，所以这个时候的面积 那就是二分之一乘以四，再乘以这个十六减 x， 对 吧？结果呢是三十二减去二 x， 所以我们这个第二问的话，是一个分段函数啊，如果说我们要给它呃，总结总结一下啊，我们可以这样写， 第一段呢，它是一个二 x 啊，这个时候的话， x 是 大于等于零，小于等于六，是吧？第二段呢，是十二，这个时候 x 是 大于六，小于等于十。第三段呢，是三十二，减去二 x， 这个时候 x 在十到十六之间啊，这是我们的这个面积和咱们一点走过的路程 x 之间的一个函数关系式啊，它是一个分段函数，在分段函数当中呢，一定要标明它的 x 的 取值范围。 那么这道题是咱们初二依次函数的经典分段动点面积题解析的核心逻辑呢，就两步啊，第一步是先定分段，根据咱们点的运动路径啊，比如说刚才这个一点，它是从 a 到 b， 再到 c， 最后到 d， 把这个图像呢分成了三段啊，先上升，然后再是水平，最后再下降， 对应着不同的边。那第二步的话，我们再套公式啊，每一段都用咱们的三角形面积公式代入对应的底和高，写出函数的关系式。一定要记住，分段的关键就是找到面积变化的转折点，也就是图像上的顶点这个 b 点、 c 点和 d 点。 这类题刚学的时候容易乱，其实只要跟着点的路，运动路径一步一步拆解就没那么难。想知道怎么用这个方法搞定更复杂的四边形动点题吗？评论区扣一下期专门跟你讲。

行，那我稍微的先讲一下吧。啊？呃，这个一次函数图像与性质。啥叫一次函数啊？一次函数它的解析式就是 y 等于 k， x 加 b 嘛。 呃，这儿你已经有一个知识点了，没讲没讲是吧？这里边这个 k 一定不能等于零啊。如果你有一个表达式，它形如 y 等于 k， x 加 b 括号，这个 k 如果不等于零，那它就是一个一次函数，这就是一次函数最最基本的一个形式。 这个里边它只有两个未知数，一个是 k， 一个 b， 这个 k 和 b 的 正负就会影响你这个函数长什么样子。 简单的说就是这个 k 和 b 会影响你图像。那首先你就要知道 k 大 于零怎么怎么样？ k 小 于 k 小 于零怎么样？这个 k 它影响的是函数的上升或者是下降，影响的是上升或者是下降， 什么意思啊？就是如果这个 k 是 大于零的，那你整个函数图像就是向上走的，就是这么这么一个图像，所有的一次函数，它的图像首先都是一条直线。 你先把这个记住啊，所有的一次函数图像都是一条直线，那这条直线你想嘛？一条直线要么就是向下走的，对吧？没有平着的啊。这个一次函数图像没有平着的， 那你要么向上，要么向下。如果这个 k 大 于零，它整个图像就是向上走的，那就是这种往上哎，往上的这种感觉。如果这个 k 是 小于零的话， 那它整个图像就是向下走的，就是往下走，这就是 k 对 你图像的一个影响。这好理解吧？ k 大 于零，整个图像向上走， k 小 于零，整个图像向下走，这是 k， 那 这个 b 是 什么意思？这个 b 其实好理解啊，对吧？你 y 等于 k， x 加 b， 那 如果 x 等于零，你会发现这个 y 它就等于 b。 如果令 x 等于零，那这个 y 就 等于 b， 也就是说，你这个一次函数 经过零逗号 b 这个点，对吧？当你横坐标是零的时候，它的纵坐标就是小 b， 所以 依次函数会经过零逗号 b。 那 你如果画一个平面直角坐标系， 你经过零逗号 b， 那 零逗号 b 就是 在外轴上边。如果这个 b 大 于零，那你就是经过外轴正半轴上某一个点，如果你这个 b 小 于零， 那你就经过图像这个外轴负半轴的一个点，能理解吗？ 因为你一定经过零逗号 b 嘛。如果 b 大 于零，我画一个图啊，如果 b 大 于零，它，哎，就经过外周正半轴的一个点，如果这个 b 是 小于零的，那它就经过外周负半轴一个点，这就是你 k 和 b 对 这个函数图像的一个影响。 一次函数的图像是非常非常好画的，因为你一次函数，它就是一条直线嘛，对吧？你这直线非常好画呀。两，咱们说两点就能确定一条直线，你只要知道这个直线是向上走还是向下走， 或者是说我知道它经过外轴正半轴还是负半轴，我这两个同时知道，我就能把它大概图像画出来啊。举个例子，比如说啊，咱们画几个图，你试一试，如果 k 大 于零， b 也大于零，那这个函数图像长什么呀？ 你可以自己试着画一画啊。 k 大 于零必大于零， k 大 于零必小于零， k 小 于零必大于零， k 小 于零必小于零。 如果你的 k 和 b 同时大于零， 如果你的 k 和 b 同时大于零，那就说明你这条线它既要向上走，又要跟外轴的正半轴有一个交点，对吧？那你画出来之后就这样的嘛。 既要向上走，又要和外轴的正半轴有一个交点，这就是那个交点零多号 b。 如果 k 大 于零， b 小 于零，那说明你这个图像向上走，但是焦点在外轴的负半轴，那画出来就这样啊，这也是零。逗号 b， 如果你 k 小 于零， b 大 于零，说明你图像向下走，然后与外轴正半轴有一个交点，这是零。逗号 b， 如果你 k 和 b 都小于零，那你这个图像既向下走，交点又在外轴的负半轴，那画出来就这样。 这是一次函数最基本的四个种情况，就是你 k 和 b 的 正负会影响你这个图像。 你学一次函数之前，你要把这四个图记得特别特别清楚才行。不是不是死记硬背啊，你理解着去记，就是， k 大 于零，我就向上走，小于零往下走， b 大 于零，我就在外周正半轴有交点， b 小 于零，我就在外周负半轴有交点。 你先把这个记住，咱们才能做题呢， 可以吧？好， k 和 b 的 正负对图像的影响啊，你，咱们一会做的所有的题都是建立在你对这四个图特别熟悉的基础之上，而且也不需要你用到什么别的知识点啊，这四个就够了， 来吧，开始开始试着做一做。那这第一个，第一个，这是基本概念啊，你每次学完一个新的东西，都会有这种基本概念，是吧？这，这非常简单，基础题中的基础题， 他说这里面 y 是 x 的 正比例函数，那正比例函数就是 y 等于 k， x 括号 k 不 能等于零， 那这里边你就选四 d 呗。你 a 选项，这是 y 等于 k， x 加 b， 它是一次函数。二 b 选项，它也是 y 等于 k， x 加 b 的 形式。一次函数 c 选项，这玩意，它是二次的，这是二次函数，咱们九年级才选啊。四 d 选项， y 等于 x， 这是正比例函数，没问题。 第二题，第二题，他说这是正比例函数，你是正比例函数，所以你的形式就应该符合 y 等于 k， x 的 形式。但是你现在这里边有一个 x 方这一项， 那你是正比例函数，你怎么能出现这一项呢？你怎么办？你只能把这一项消掉，那怎么消？那就是二 m 加一等于零呗。所以 m 就 等于负的二分之一。 搞定了。选四 d。 第三题，第三题，八年级的一次函数，这第三题更简单，你看第三题，他也是说这这里面是一次函数的事，他问一次函数，你就找 y 等于 k， x 加 b， 括号 k 不 等于零的形式就可以了。 这里边选谁呀？那就选二 b 呗，是吧？ y 等于负二， x 加一，这不就是 y 等于 k， x 加 b 的 形式吗？这个 c c 虽然长得非常像，或者说一模一样，它就是 y 等于 k， x 加 b， 但是它不行，因为它并没有说这个 k 不 能等于零，它少了一个条件啊， 必须要说 k 不 能等于零才行。私立选项，私立选项，这玩意，它是反比例函数，这是九年级才学的啊，有的版本可能呃，八下也学了。这不是，这是反比例。第四题，第四题，他说这是关于 x， 又是一次函数， 又是一次函数，那一次函数你这个一眼望过去，它只有一个 x， 那 这个 x 它必须得是一次项， 对吧？他的次数必须是一，所以二，他的指数位置二减 m 的 绝对值就只能等于一，所以 m 的 绝对值等于一， m 等于正负一。这种题你先别着急选，你看看他有没有其他的位置出现这个 m， 你 前面有这有一个 m 加一， 那你既然是一个一次函数，你这个 k 不 能等于零，所以 m 加一不能等于零， m 就 不能等于负一，他就只能等于一，所以选 a 啊，基础题啊。好，然后第五题，第六题，你你我我把这两个题同时放出来，你就看吧，这个题型二，它就叫一次函数的图像和性质，也是咱们今天主讲的一个内容啊。 这题都是长这样的，你，你看吧，这五六七或者是第八题是吧？包括后面的九十、十一、十二，都都差不多，你只要会画图，那这个题就好解决，你当然也得稍微会一点什么这种平移的基础知识啊。你比如说这个第五题吧， 他说 y 等于二， x 减八，问我下列结论正确的是？你先别管那么多呢，你，初学者，你，你只要看见一个一次函数解析是，你就画图，你把自己这个画图能力锻炼锻炼， 你熟悉了之后，在脑子里边自动就会浮现出来这个图， y 等于二， x 减八，它是不是 k 大 于零， b 小 于零，所以它整个函数图像怎么走啊？ k 大 于零，他整个图像向上走， b 小 于零，交点在外轴的负半轴，所以他画出来之后就大概就这样呗，这就是 y 等于二 x 减八。哎呀，你做这种题不用给他画的特别像啊，我还得量一量，拿尺子量一量，我给他画标准一点没有用。 他不是考你做图呢，你画个，你只要能画出来他在第几象限就可以了。然后你就看选项吧， a 选项说他经过一逗号负四， 那你就把 x 等于一带进去， x 等于一的时候带进去， y 是 等于二减八等于负六的，那也不是负四啊。所以 a 就 不对 二 b 选项他说与 y 轴的交点是零，逗号八，那你令 x 等于零，那 y 不是 等于负八吗？是吧。所以二 b 选项也不对， c 选项他说不经过第一项线， 这是第一项线吧，这不是已经经过了吗？所以 c 也不对。那这个时候选正确的就是四 d 呗。他说向左平移，呃，你现在如果不会左右平移的话，这个四 d 你 还真做不了啊。左右平移这个你 学了吗？肯，如果你一次函数图像和性质没学这个平移，肯定也是没来得及学。 你记住啊，这个平移是左加右减， 他跟你之前学的那玩意可不一样，你之前学的是点的平移，这个点向左走，哎，他横坐标就向减，向右走，横坐标就加，这是图像的加减。他的解析式是左加右减。 你把 y 等于二 x， 我 给你写一遍啊，你本来是 y 等于二 x 减八，对吧？他如果向 左平移四个单位长度，那就会变成 y 等于二倍的括号， x 加四再减八化减后就是等 y 等于二 x， 你 这个左右左加右减是对 x 进行加减，所以你如果原来是二 x， 那 这个二就先要提出来，给这个 x 加一个括号啊，在括号里面给这个 x 去加四，再化减 y 等于二 x 没问题，所以四 d 选项是正确的。 这就是考察一三数的图像和性质啊。当然，这种题是基础题中的基础题啊。你，你真正的考试，这种也就能就是炮灰题的位置， 出个前几道选择题，后面就考不了了。后面的大题，第一问第二问简单一些，第三问都是综合题。 嗯，然后你可以试着做一做这个第六题，你看这个第六题选什么呀？你做选择题不用四个都会，你会三个你就能把这个题做对。 你们看这第六题选什么啊？你可以跟着做一做，哪怕你学校里没完全学，你可能做几道自己就能悟出来。这个规律比较简单， 开到几点讲着看吧， 这准备的题也不多，我估计讲不到十点就讲完了。这第六题选什么呀？ y 等于三， x 减二，你先把它大概图像画一画吧。 还是那句话啊，你只要关注 k 和 b 就 行， k 和 b 的 正负你不用管他。呃，我，我跟 x 轴交于哪， b 轴交于哪，你画出来再说啊，你让他在哪他就在哪， k 大 于零，往上走的， b 是 负二小于零，焦点在负半轴，所以他图像就这么画 啊。这就是 y 等于三， x 减二，我说他是，他就是。那你就看呗。 a 选项，他说 y 随 x 的 增大而减小，那很明显不对嘛，你 k 大 于零，应该是随增大而增大，所以 a 不 对 二， b 选项，他说这个函数图像经过一二三，那很明显也不对呀，应该是一三四啊，二 b 也不对。 c 选项，他说这个点一定在函数图像上没问题，你把 x 等于负一往里一带，那 y 就是 负五，所以 c 选项没没问题 啊，四 d 选项，他说什么？这两个点是图像上的两个点，则 y 大 于 y。 二，咱们说了，你 y 随 x 的 增大而增大，你 x 越大，那 y 就 越大，你这负三和二谁大呀？二大，所以 y 二就大于 y 一， 那四 d 选项也不对。 简单吧，非常非常基础的题目啊，就是反复的考你一次函数的图像和性质，初学阶段别管你看到解析式你就画图就行啊，多重复重复来。第七题， 然后你顺便可以把错的改对 steele 对四 d。 啊， a 选项那一眼就不对，人家 k 小 于零嘛。所以咱们画画图像啊， k 小 于零， b 小 于零，所以画出来之后就这样呗，它就是 y 等于负二分之一， x 减三， 然后二 b 选项，他说经过这个点，你往里一带，那很明显也不对啊， c 选项，他说不经过第二，应该是不经过第一，所以 c 也不对，所以就选四 d。 还是那句话啊，你四个选项只要会仨，你就能选对你别管你会哪仨，你都能选对来。第八题， 他说关于 y 等于 k， x 加三括号 k 不 等于零的说法 啊，其中正确的是八年级的一次函数图像与性质， a 选圈一对不对，他说函数图像与外轴的交点，你求它与外轴交点的坐标，你就令 x 等于零就行了。 令 x 等于零， y 就 等于三，所以焦点坐标就是零。逗号三，圈一没问题，圈二他说，如当 k 大 于零的时候， y 随 x 的 增大而增大，这没问题啊，是吧？圈二也对，圈三，他说如果 k 小 于零，经过的是二三四，哎，你画画嘛，哎，咱们画草一点啊， k 小 于零， b 大 于零，那他就是这么这么走的呗。哎，整个图像向下走是吧？然后焦点在外轴的正半轴上，经过的明明是一二四，所以圈三不对，这个题就选 a， 可以吧？再重复一遍啊，你如果想学好一次函数，你在初识的阶段必须要搞定一次函数的图像与性质，慢慢熟悉， 只要给你解析式，你就能立马在脑子里面想出来他长大概长什么样就可以了啊。题型三题型三叫做根据一次函数解析式判断其经过的象限，说白了也是画图嘛。你比如说第九题啊， 他说这个点在第二象限内，第二象限内的点就是横坐标是负的，纵坐标是正的，对吧？ 那就说明 a 小 于零， b 大 于零，你现在是 y 等于 k， ax 加 b， a 是 小于零的，所以整个函数图像向下走，焦点又在外轴的正半轴，所以它就这么画， 怎么可能会是不经过第四呢？这不是不经过第三吗？ 你画出来再说啊， a 小 于零， b 大 于零， k 是 小于零的向下走， b 大 于零的，焦点在外轴正半轴就画出来了 啊。这题都一样，你再比如说第十题吧，他说 k 乘 b 小 于零， y 随 x 的 增大而增大， k 乘 b 小 于零，说明 k 和 b 是 一号的，这知道吧？这七年级学的啊，两个数相乘小于零，说明这两个数是一号的， y 随 x 的 增大而增大，那说明 k 是 大于零的，那所以 b 就是 小于零的。 k 大 于零， b 小 于零，它长什么样？这么长这样吧， 所以一定不经过第二项线搞定，简单不？ 那这个第十一题你要是不会的话，说明你，说明你七年级下册二元一次方程组没学好啊。这个方程组什么时候无解啊？会吗？有同学估计早就忘了，或者是当时就没学会。 这方方程组怎么会无解呢？是吧？一个二元一次方程组什么时候会无解呢？ 好，你要不知道我开奖了，如果你 这个二元一次方程组无解，说明什么？说明 y 的 系数之比等于 x 的 系数之比，不等于那个常数项的系数之比。 也就是说你这个目测啊，你看它的 y 和它的 y 系数都是一，如果你没有解，就说明这个 x 的 系数是一样的啊。 x 的 系数是一样的，那就是负四等于 k 加二，所以 k 就 等于负六， k 等于负六，那负二 k 加一这玩意它就是十三，那就是 y 等于十三， x 减二，它不经过第几项线，你整个函数图像向上走，对吧？然后 b 又小于零，所以它这么这么来的嘛，就不经过第二呗。 到现在为止，几乎每一个题都要你画出来图像，然后判断它不经过或者是经过哪几个项线 好。第十二题你要是二元一次方程组没学好，那没办法啊，这个又是跟二元一次方程组结合的，他说 p 是 坐标系内的一个点，横纵坐标是这个玩意二元一次方程的解， a 为任意实数，当 a 变化的时候，这个点 p 一定不在第几象限， 一定不再低级象限。这个姐，你是不是得先算一下再说？你别管他能不能求出来，具体的你带着 a 你 也得先算一下。呃，咱们试试啊。哎，好像他俩好像他俩一， 这俩这俩一，这俩一减，好像能能消掉，是吧？你看啊，它俩一加啊，它俩一加，你让圈一加圈二，圈一加圈二，那是不是就是三 x 减去三 y 右边是个负一， 那也就是说这个点，这个屁点，它满足三 x 减三 y 等于负一，那也就是说三 y 等于三 x 加一，那也就是说 y 等于 x 加上三分之一， 你说这玩意一定不在第几项线？你 y 等于 x 加三分之一， k 大 于零， b 大 于零，所以他肯定这么走呗，就不一定不经过第四项线。有九年级的课， 暑假八年级、九年级都有，不经过第四是吧？正上英语课呢。这个点它的坐标是 x， 逗号 y， 那它的坐标就满足 y 等于，又经过提个 e 分 析之后啊。满足 y 等于 x 加三分之一，那也就是说你这个点在这条直线上，那条直线是咱们如图所示经过一二三的，所以不在第四吗？ 你其实要是学会了这些题，你会觉得这些题做着非常非常的无聊啊，不过马上题型四里面有有难有这个易错题，你们注点意啊，如果你手里有这个电子版的话， 这个易错题易错到什么程度？就是一个班里面刚开始学的时候，如果有五十个人做这个题，错的就得有四十往上 啊。前提是这个老师从来没讲过啊，绝对有四十往上，而且每个人写的时候都觉得自己写的是对的。这个第十三题 我好像已经看到错误答案了。这个一人浅笑最长安说是大于号，小于号， 他不经过第二项线，哎，然后你觉得自己特别聪明啊，就这么一划，不经过第二吗？哎，就这么一划，所以 k 是 大于零的， b 是 小于零的，就这么写上了。好，你不觉得你这么做有什么问题吗？ k 大 于零， b 小 于零，我画出来是这样的，但是他只是说不经过第二象限呢，我给你画一个，我这条红色的过原点的，他经过第二象限吗？经过吗？我这条红色的 他过原点，如果他过原点的话，他也不经过第二象限，但是他是，他是那个正比例函数，他也是一次函数， 这个时候我画的红色的线是不是满足题干里面的要求？此时这个 b 是 不是等于零的？所以这种题你千万小心啊，这个 b 可不一定就是你想的那么简单，就是大于零，就是小于零，在这个题里面， b 是 小于等于零的， 你看刚才有多少人错了，是吧？哎， k 大 于零， b 小 于零，这个题做出来了， 这个题只要考就会有人错啊，你说三遍，你说五遍，还是会有人错的。 好。第十四题，第十四题，这，这种题简单，这个 k 没事，他说这个直线不经过第四象限，那不经过第四象限，他就就，他就是经过一二三呗，一二三，你就按你随便这么一划， 那我这个函数图像得是向上走的，对吧？向上走，向上走说明 k 减二要大于零，所以 k 就 大于二嘛。 我这么写对吗？ 哎，如果觉得我这么写对的，你扣个一啊，如果觉得不对的，你就扣个二，这个答案对的，你扣一， 你觉得你不是这个答案的，你扣个二， 这个答案对不对？ 我如果要是不问，你们是不是就觉得是对的啊？我一问就就觉得是不对的是吗？ 哎呀，我，我要是让你们做这个题，你们多数人都得写 k 大 于二啊。现在我一问，你们又说觉得不对了，为什么呀？ 为什么不对呀？你先入为主了。什么叫先入为主啊？你总觉得我在做一次函数的题是吧？这个 k k x 的 这个系数不能等于零，你读题，他说的是直线， 整个题就没有出现一次函数这几个字，看到没？没有出现，你凭什么你上来就 k 减二大于零， 那我 k 减二等于零不行吗？可以啊，我如果 k 减二等于零，那说明 k 等于二嘛？ k 等于二，它就变成了 y 等于一，这个图像长什么样呀？ y 等于一，就说明你这条直线上所有点的纵坐标都是一，那它就长这样啊。这就是 y 等于一， 这是跟 x 轴平行的，在一二象限也不经过第四象限，所以 k 等于二也可以。如果 k 不 等于二，那它就是一三数， k 就是 大于大于二的。所以最后综上，在这个题里面，答案应该是 k 大 于等于二才对， 你看你是不是又错了， 长点记性啊。连着两道易错题，再来一个第十五题，这个题还是不是易错题？ 首先看题啊，一参数有了，一参数经过第三项线，经过第三项线，让我求 k 的 取值范围。 这个题不是易错题了，是，是难题，又不会了，什么都注意到了，但是又不会了，我等你们的答案啊，我看你们说什么的应该都有。 前面明明都是不经过为什么他突然来了一个经过第三项线我又要怎么办。 一会我给你们讲一个好玩的啊。你先做吧我看你们能做做做对吗。 经过第三项线 k 的 取值范围是多少。 呃另外直播间如果有学生啊 明天是母亲节你明天表现好一点哎平常表现如果就不错的话明天说点好听的 准备个小礼物。 k 大 于二或什么 k 可以 等于任。怎么可能呢怎么可能呢怎么可能是任意的时数呢 这能对吗那 k 要是任意时候你怎么保证他经过第三项线 动脑筋想一想如果你觉得难的话你大不了你就把那四种情况你都试三种情况你都试一下呗。他要么过一二三要么过二三四 对吧要么过一三四。 k 大 于二那 k 大 于你你这么说本身就是有问题的什么叫 k 大 于二并不等于二你 k 大 于二它本来就不等二 能理解吗。你说了 k 大 于二了那都没有等于二你为什么后面还要再跟一个不等于二也不对也不对 k 小 于负二 也不对都不行了是吧。那这个题你们你们是要听 正常方法步骤多的呢你们还是要听带技巧的减步骤少的呢。 两种方法都能做啊。正常方法就是你分类讨论分类讨论的话情况就比较多算起来麻烦一点带技巧的就是换一种思维不需要分类讨论了。 都需要都需要 啊。那这个不用留这么多位置啊。啊那这边是正常的做法吧 这边是偏向技巧性一些的。那你想一个问题他经过第三象限有几种情况呀？有三种呗，要么就是经过一二三，要么就是经过一三四， 要么就是经过二三四， 对吧？那是不是就这三种可能呢？没别的了吧？ 你要么一二三，要么一二四，要么一三四，要么二三四，这四种他现在已经说了经过第三项线，所以就这三种情况，你一个一个算呗。第一种，如果他是一二三，那说明 k 减二。哎，一二三，你可以画个草图啊，一二三就长这样， 对吧？一二三长这样，那就是说明 k 减二大于零，并且这个 k 还得大于零，你这两个要求要同时满足，那大大取大，所以算出来之后就是 k 大 于二。哦，这是第一种情况，你再来第二种，一三四， 一三四，一三四，一三四，一三四，这么画是吧？不经过第二，那一三四的话，不就是 k 减二大于零， k 小 于零吗？ 这玩意是怎么可能呢？对吧？你 k 减二又大，你 k 又大于二又小于零，所以这是无解的， 这是无解的第三种。第三种，过二三四 二三四，那就是这么画呗。那这么画的话，说明 k 减二，它整个图像是向下的，那 k 减二就小于零， k 也小于零，小小取小，所以所以 k 就 小于二。 那现在你想啊，是不是是什么呀？是是，这个也可以，这个也可。哎。哦，这写错了，小小取小啊， k 小 于零，小小取小，那你 k 大 于二也行， k 小 于零也行，是不是这两个都可以啊？综上所述， k 大 于二或 k 小 于零 就搞定了吗？ 你先把这个笨的方法理解了啊。 你说经过第三项线，那我就分类讨论一下，要么是一二三，要么是一三四，要么是二三四，然后我分别给你去列啊，求解。解出来之后啊，第一个情况可以的， k 大 于二，第二个情况它是无解的，不存在。第三种情况， k 小 于零， 那你这个情况也可以，这个情况也可以，两种情况都可以。所以最后综上他或他这个题搞定， 这是你也不能说他笨啊，这就是正常一点的做法，只不过是需要分类的讨论的情况比较多而已。然后什么叫技巧性的方法呢？我就问你一个问题啊， 他说他经过第三项线，让咱们求取值范围，咱们是不是可以去算一下他不经过第三项线的范围呢？哎，不经过第三项线， 你不经过第三象限，你是不是就是经过一二四，那就你就是这么画的，对吧？你不经过第三象限，你这么画，那就是说明 k 减二要小于零，这个 k 要大于零，你这么一算就是零到二， 对不对？ 忽略了什么了啊？对对对，什么对不对啊？不对， 你 k 是 可以等于零的，又错了又错了，他说不经过第三项线，我过原点也是不经过第三项线，所以这个 k 是 大于等于零的，那算出来之后就是 k 大 于等于零小于二， 那也就是说你不经过第三项线，这个 k， 他 算出来的范围是这玩意，那你现在经过第三项线， 你经过的你这个一次函数，你要么就经过，要么就不经过，不经过的时候算出来是这个结果，那你经过的时候就是他的反面，就是他剩下的情况，那就是 k 小 于零 或 k 大 于二啊。当然你这个 k 不 能等于二啊，因为你本身这个这个题干里面就隐藏的一个就是 k 不 能等二，这个结果就出来了， 这个不需要你分类讨论，你看你能不能理解这个思路啊？ 好云好云，说明你没没有这个，没有这个思维。 再重复一遍，你是一个一次函数啊，一次函数要么就经过第三项线，要么就不经过第三项线， 你现在让我去算他经过第三项线的范围。第三项线，我一想啊，有三种情况，情况太多了，我不考虑我，我去考虑考虑那个不经过第三项线的，这不就只有一种情况吗？我把这种情况算出来，这个情况剩下的就是我题里面要的， 能理解吗？我虽然题干里面要的是经过第三项线，但是他情况太多了，我不想一个一个的去讨论，我反过来去求一下他不经过第三项线的情况，那剩下的就是他经过第三项线的吗？ 这也是你数学或者说概率题里面经常用的一个思路，就是正南则反， 你正着想不好，想你就想他倒着的过了啊。这个题我我觉得这两种方法，呃，你老老实实的，你能使这个正常的方法平稳着陆也行。然后第十六题，第十六题 经过一三四 a 的 取值范围 经过一三四。 你这么画呗，是吧？那这么画的话，就说明二减 a 大 于零，二 a 加一小于零，所以就是 这是 a 小 于二，这是 a 小 于负二分之一，小小取小嘛，所以就是 a 小 于负二分之一。哎，搞定了啊， 为啥这个题就不用考虑过原点呢？因为人家说好了过一三四的，过一三四的， 你只有做那种不经过第几象限的，你才需要考虑过原点呢。好吧，你说这个题为什么咱不考虑 a 等于二呢？你 a 等于二，他怎么可能过三个象限？你 a 等于二，他是一条啊，这样的直线，他只经过一二象限，对吧？所以就算出来就是 a 小 于负二分之一啊。 呃，这四道题吧，前三道题都是重点易错的。第十五题是 不太容易想到的，或者刚开始学啊，容易容易想不到，你自己可以可加一会，你再重新做一遍这个题型五就比较简单了。题型五是一次函数图像与坐标轴交点的问题。那这随便随便做吗？ 你求 y 轴交点，你就令 x 等于零，你求 x 轴交点，你就令 y 等于零，你把它往里一带，那剩下那个自然而然就出来了。你比如说这个 d 是 七题啊，他说与 x 轴交点，你脑子里面一想， x 轴，那就是 y 等于零，那 y 等于零， x 就 等于负三， 所以焦点坐标就是负三，多少零？怎么是三呢？什么玩意？就是三 与 x 轴交点，坐标 y 是 零 啊， y 是 零。 那你再看第十八题吧， 又与 x 又与 y 轴了，那你与 y 轴交点，你就令 x 等于零，那就是零多少二啊，就这么简单，零多少二。 好，然后第十九题，嗯，第十九题，发现没有图，没有图，你就自己画一画吧。啊，这个，这个直线它也是固定的，图像也是固定的，你自己画一画， 你八年级，下次马上升九年级的同学了，你自己画个图应该没什么问题吧。 y 等于负四分之三， x 加六 试一试啊。第十九题， 我也我也画画 啊，你这个题就得稍微画的准一点，不能太，不能太偏，因为你后边要还要折叠，你画太偏的话，你折不过去了。 这条直线它是一个确定的，那你可以算一算，它跟 x 轴交点是多少啊？跟 y 轴交点是多少啊？ 呃，算完之后啊，这个点它的坐标就是零点 b， 它的坐标就是零多少。六、 原点是 o 吗？他说 m 是 线段 o b 上的一个点， m 在 这个上面不知道在哪啊，您随便吧。你比如说我就在这， 他说把三角形 a b m 沿着 a m 折叠，使这个点 b 恰好落在 x 轴上的 b 撇的位置，问这个 m 的 坐标是多少？ 能想象一下子不？想像想象，你把这个玩意儿沿着 a m 一 折，它不就变成这样的了， 对吧？这不就是那个 b 它所谓的 b 撇的位置吗？这能想到吧？把上边这个三角形 abm 沿着 a m 一 折，夸，这个 b 落在 b 撇，正好在 x 轴上，就是这么一个图形。他现在问我这个 m 的 坐标是多少， 怎么整啊？这里边啊，是有勾股定律的，咱们先瞅一瞅这个 ab 是 几， 你要对三、四五六八十这种数特别特别的了解啊，看到六八就想十，看到三四就想五，这是六，这是八。勾股定律，这就是十，它是十，你翻过来之后，这也是十， 它们俩是一般长的啊，这也是十，那你 o a 是 个八，所以左边这个 o b 它就 o b 撇，它就是个二嘛。 我 m 坐标，我不就纵坐标不知道吗？我是它纵坐标是小 m 啊，那这就是 m， 上边是不是就是八减 m， 你 折过来之后，这也是八减 m， 所以 勾股定律整上了。在这个小的直角三角形当中啊， m 方加上二的平方等于八减 m， 括起来平方， 那算被 m 方加四等于八，八六十四减二，八十六加 m 方，所以十六 m 等于六十，那 m 就 等于个 算错了吗？哦，怎么是八减六减 m？ 我 说这个数咋没见过呢？六减 m， 那就是三十六减去十二 m 加上 m 方，所以十二 m 等于三十二，那 m 就 等于个三分之八，所以点 m 的 坐标就是零。头号三分之八 搞定了。是，是六减 m， 刚才我算出来那个数，觉得以前没见过，我就意识到自己应该是写错了。这种勾股定律不会算出来那种数的 对吧？折叠就是全等，全等就容易出勾股定律，勾股定律去解这种三角形，所以 m 的 坐标就有了。 这个题你说难吗？也不难啊，就是得自己先画个图，如果你前面那些折叠勾股定律学的好的话，这个非常非常简单，如果给给出来你图让你直接去做， 这就是最基本的一个折叠。好，这是第十九题啊，自己画图，然后咱们再翻回来看第二十题。 第二是题，这也是一类题，就是横过什么什么定点，这种题出现频率非常高啊，横过什么？什么定点？高中也考。 什么叫横过一个定点？就是不管你这个 m 取什么值，我这条直线永远都经过这个点，那也就是说 我这个点的坐标带到这个式子里边，永远成立他跟 m 是 没有关系的。这是人教版八下一次函数， 对吧？你跟 m 没有关系，咱们是不是七年级的时候做过这种题？ 你跟 m 没有关系，那我就把所有 m 的 给你整出来就可以了。来，咱们把它乘出来啊。那就是 y 等于 mx 加上四， x 加上二， m 加二， 你说 m 取什么值的时候都不影响，那就是说明与 m 无关，与 m 无关，我就找到所有的 m 这一个，这一个，你把它俩合起来，那就是 m 倍的括号， x 加二加上四， x 加二，对吧？你不是与 m 无关吗？ 那我怎么才能与 m 无关呢？我要把 m 给消掉，那怎么消呢？就是 x 加二必须得等于零，所以 x 等于负二，你把 x 等于负二往里面一带，那 y 就 等于个负六， 是吧？所以这个点它永远都经过负二多或负六这个点。 你之前学的某种题，就很有可能会在你未来的某一天又碰到一个熟悉的。如果你当时偷懒了，你早晚会遭报应的。 这个报应就是若干天后你做的某一道题，发现啊，就是那个回旋镖击中你自己了，当时我偷懒了，我清楚的记得老师讲过这个题，但是我当时没搞懂，现在又考到了，我又，我又在这个问题上丢了分。 这不就是你初一时候学的那种题吗？是吧？啊，这个整数的加减里边算着算着，他说，嗯，这个整数的值结果与 m 无关，然后问怎么怎么样，不就一样的吗？ 你 m 取任何值我都过这个点，那就说明我过的这个点跟你 m 没有关系，跟 m 没有关系我就把你 m 消掉。哎，我就把所有带 m 的 给算出来，再合并到一起，最后就可以了， ok 吧？这已经二十道题了，你这二十道题做到这，应该对一次函数的图像和性质掌握的差不多了。还有多少题？ 我的乖乖哦，还有，也不多也不多，来吧。题型六，利用一次函数比较函数值的大小。那这种题就简单了嘛， y 随如果 k 大 于零， y 随 x 的 增大是增大，如果 k 小 于零， y 随 x 的 增大是减小啊，就。就利用这两句话就都能做了，现在来吧。第二十一题，他说这两个点在这个图像上问 y 减小啊，就就利用这两句话就都能做了， 现在来吧。第二十一题，他说这两个点在这个图像上问 y 怎么办？我一瞅， k 是 等于负二的， 那你 x 越大， y 就 越小，所以这个五大，那 y 二就小小余号就这么写呗。啊，其实就是大于号呗，对吧？ y 也就大于 y 二嘛。你再看二十二题， 二十二题，虽然我不知道 k 是 谁，但是它是 a 方加二， a 方加二肯定是大于零的，那你大于零， y 就 越大，所以 x 一 大于 x 二，那 y 一 就大于 y 二， 是不是搞定你？再包括二十三题，一函数都给我了，这个 k 等于负二，那就说明他的图像是向下走的，你 x 越小， y 越大，他问我， y 最大是几啊？那你就找 x 最小的时候，最小是负二， 你把福尔往里边一带，那就是七，所以最大就是七，简单吧。好，然后这个二十四题啊，我考考你们吧，二十四题你们来做，你告诉我最后这个题的结果是多少 啊？这个题要是会了，那这一类题你就都会了啊，无所谓，别的题也就这样了，以函数的基本图像和性质，考不了什么难题的。 最近这天气比较赶早，你们多喝点水，别再生病了。 let's do it。 能行吗？再做不出来，做不出来我，我要睡着了， 不知道 k 是 几？他问我，他，他说这个 x 在 这个范围之内， y 的 最小值是负六， 六，嗯，六只有六。 行了，行了，不等了啊，再再再再等，不行了，再等一会都讲不完了。这种题他还是在考，你分类讨论。 分类讨论的这个思想在数学题里面无处不在啊。你不是不知道 k 是 几吗？你就讨论呗，对吧？你这个一次函数，它有可能是往上走的，也有可能是往下走的， 所以分两种情况，第一种， k 减一大于零。第二种， k 减一小于零， g k 大 于一， g k 小 于一，那如果你这个 k 减一大于零，说明你图像是向上走的，这个图像是向下走的，那你图像向上走什么时候有最小值啊？ 是不是 x 越小， y 越小？那也就是说 x 等于负三的时候， y 是 等于负六的，那你往里带，你就会发现负三倍的括号， k 减一加上二， k 减三等于负六， 那就是负三， k 加三加二， k 减三等于负六，所以 k 就 等于六， 你算出来之后千万别着急，你算出来这个 k 等于六，你跟前面这个 k 等于 k 大 于，一定要去对比一下，看他符不符合这个前提啊。这是你的前提， 前提是 k 大 于一，那我算出来 k 等于六，就是符合要求的。第二种情况，如果你这个图像是向下走的，你什么时候取最小值？是不是 x 越大越小？也就是 x 等于二的时候， y 等于负六，那你把它一带就是二倍的 k 减一加上二， k 减三等于负六啊，这一算就是 四， k 等于负一，所以 k 就 等于负的四分之一， 那你 k 等于负四分之一，跟这个前提还是要比较一下，前提是 k 小 于一，你算出来是 k 等于负四分之一，那也是符合要求的，它也可以。最后综上就是两个结果，一个是六，一个是负的四分之一。 这种题就是考一个分类讨论啊，他最后你分的是两种情况，但是最后真不一定算出来是两个结果，有的时候有一个结果要舍掉的， 过了啊。第二十四，这是二十四题了，来二十五题。 二十五题， y 随 x 的 增大而增大， y 随 x 的 增大而增大，那说明 m 加二大于零啊，所以 m 大 于负二。 简单，二十六、二十六，他说 y 一 小于 y 二 x 一 是小于 x 二的，现在你说 y 一 也小于 y 二啊，它们的这个大小是一样的嘛。所以说明这个一函数，它是向上走的， y 随 x 的 增大而增大，它向上走，向上走，那 a 减三就是大于零的， 所以 a 就 大于三。 二十七题又来了，二十七题，你们做吧，好吗？ 你们做二十七题， y 等于 a， x 减四， a 有 最大值，八 正负八，是吧？这个题还是跟刚才那个题一样的，你不知道 a 是 正是负，所以你可以分两种情况去讨论。 第一种，如果 a 是 大于零的，那它向上走，向上走， x 越大， y 越大，那就是五。 a 减四， a 等于八，非常好算啊，那 a 就 等于八，可以要第二种情况，如果 a 小 于零， a 小 于零， y 随 x 的 增大而减小，所以当 x 最小的时候， y 最大，那就是三。 a 减四， a 等于八， a 等于负八，哎，也可以要，所以 a 就是 正负八 是吧？下面这个第八题跟刚才还是一样的，你看你能不能算快一点，一分钟时间算一下二十八题， 加快你的运算速度，这种题你得把时间压缩到一分钟。 let's go， 我写完了啊，你可以自己对对答案，咱们就不讲了。一个是 k 等于一，或者是 k 等于负的三分之二，两种情况， k 大 于零走一个， k 小 于零走一个。 你只要保证你思路清楚，计算功底扎实，学什么都简单。 计算不行的，你先练练计算吧，然后这二十九题还有这么多， 然后题型八是一次函数的平移问题。呃，平移问题呢？你们可能还没学是吧？没学我给你们先讲讲知识点吧。好吧， 一次函数的平移问题，咱们以一个具体的为例，比如说啊，现在有一个 y 等于二 x 减一，它的平移，咱们向上两个向下三个向左两个向右 一个，分别去表示一下，它的这个函数表达式会怎么变啊？或者是咱们可以用 ab 来表示，用 ab 吧， 这样的啊，用 ab 向上， a 向下， a 向左， a 向右， a 帮助你理解。 如果是向上或者是向下，这俩这哥俩是一组的，上和下就是直接在这个表达式的后面加或者是减，你向上平移 a， 那 就是 y 等于二 x 减一，再加上 a 啊，就是上加 向下，那就是减，你向下平移 a， 那 就是 y 等于二， x 减一，再减 a， 所以 就是下减。 容易搞混的是下面这个左右，如果你向左平移 a 个单位长度，它会变成 这是左加。向左平移就是对 x 进行一个加，你向左平移 a， 我 就让 x 加 a， 那 举一反三啊，向右的话就是减呗， 这就是一次函数图像平移跟它这个表达式之间的一个关系，上加下减，左加右减上和下是在整个函数表达式最后进行加减，左加右减是对这个 x 进行加减，你看能不能区分 左和右是对这个 x 进行加减。而且你加减的时候，要把这个二先给它提出来啊，把它的系数先提出来，然后写个括号，在括号里面去给它加减 啊，你可以记住这个口诀，上加下减，左加右减，记得差不多之后咱们来做几道题，你试试。试试啊，你比如说这个二十九吧， 他把这个一次函数向上平移了四个单位，那上简单的上就是直接加呗，那就是 y 等于三， x 加 b 再加四，是吧？那他平移完之后表达是长。这样说，这个一次函数图像经过原点， 经过原点，那你就把 x 等于零带进去， x 等于零的时候， y 等于 b， 就 等于负四， 看能理解不啊？我先让他向上平移四个单位，表达式变成 y 等于三， x 加 b 加四，他说经过原点，那我把零零带进去，就是成立的，所以算出来 b 等于负四。 第二个第三式题其实也是一样的思路，你把他的图像向下平移两个单位长度，那向下就是减二，就是 y 等于三， x 加 b 再减二，他说平移之后经过点负一，逗号二，那你就往里带，那就是二等于负三加 b 减二，所以 b 就 等于个七。 好，然后第三十一题啊， 第三十一题，你看清楚人家问什么，他说把这个直线向沿外轴向上平移两个单位长度之后，新的直线与坐标轴为成三角形的，面积增加了多少？注意是增加了多少？ 你两个思路嘛，对吧？你要么就把这两个图画在同一个图里边，你要么就分开画，分别去求，然后再相减，你怎么做都行。你可以先画一画它最开始的，它没平一之前， y 等于负 x 加一，它图像就长这样 啊，这边交点是一，逗号零，这边的交点呢，是零逗号一，这是你没平移之前的，你沿着外轴向上平移了三两个单位长度之后，它的表达式就变成了 y 等于负 x 加三， 那平移完之后就变成了这样 啊，整个坐标变成了三逗号零，这个坐标变成了零逗号三。 他问你面积增加了多少，这不很明显吗？你里边这个面积，这是一乘一乘二分之一，这是二分之一，这个是三乘三乘二分之一，这是二分之九，所以面积就增加了四。 ok 了啊，面积增加了四， 好。然后第三十二题，第三十二题，他说把这个一次函数图像向上平移，得到了直线 ab， 这个直线 ab 是 经过二逗号十一的。问 ab 的 函数表达式是多少？ 我管你是多少，你原来是 y 等于二， x 加三是吧？你不知道怎么的，向上平移之后变成了 ab， 那 ab 肯定也是 y 等于二， x 加一个，呃，小 b 的 形式嘛， 对吧？你上和下只是对这个三进行加减。我设 ab 是 y 等于二， x 加 b， 那 你经过二十多号十一，我把它往里一带入，那就变成了十一等于四加 b， 所以 b 就 等于七，那 ab 的 表达式就是 y 等于二， x 加七， 你都不用设什么二 x 加三加多少。那没没必要啊，因为他也没问你，你只需要知道我向上平移，向下平移，我这个 k 是 不变的，我还是 y 等于二 x 就 可以了。 这个位置你给他的待定个系数嘛，对吧？待定个 b 就 可以了 啊。快了快了快了，还有两个啊。第第三十三题也比较简单，三十三和三十四是题型，求一次函数的表达式。 你三十三题，这个，这个白给的吧。 x 等于二， y 等于负三，你就往里带嘛。那就是说明负三等于二， k 减四，那 k 就 等于个二分之一，所以就是 y 等于二分之一， x 减四。 第一问啊，第二问，他说求这个一函数图像与 y 轴啊，与 x 轴交点坐标，与 x 轴交点坐标，那就另外等于零，另外等于零，咵一算，这个 x 就是 八，所以交点坐标就是八，逗号零。 搞定了啊，最后一道了，最后一道了，最后一道了。三十四题， 他说已知这条直线与这条两条直线相交于 a， 逗号一，而且与 x 轴交于点 b， 咋办咋办呢？哎，你这两条直线相交于这个点，那这个点既在这条直线上，也在这条直线上，那我怎么求这个小 a 呢？我得找一个没有未知数的。那谁没有未知数啊？这没有未知数是吧？ 所以把它带入到这个解析式里面，那就是一等于负二分之一 a， 所以呢， a 就 等于负二， 你算出来 a 等于负二之后，这不就简单了吗？ a 等于负二，那 a 点的坐标就是负二，逗号一， b 点的坐标是负三，逗号零，他让我求直线 bc 的 解析式，你们现在会求吗？我问问，我问一下啊， 如果你已经知道这条直线经过两个点，这两个点的坐标也都告诉你了，你会求它的解析式吗？ 它这个题干里面已经给我设好了啊，就是直线 y 等于 k， x 加 b 嘛，对吧？那你这条直线 y 等于 k， x 加 b， 我 现在又经过 a 点，又经过 b 点，我可以代入，代入进去你就能得到一等于负二， k 加 b， 零等于负三， k 加 b， 所以 k 等于多少， b 等于多少，就能算出来。也就是说，如果我知道一条直线经过哪两个点，任意的两个点啊，我把这两个点的坐标往里一带，就能得到一个关于 k 和 b 的 二元一次方程组， 我就能解这个方程组，那算出来之后就是 k 等于一， b 等于三，所以 bc 这条直线，它的表达式就是 y 等于 x 加三， 明白吗？因为两点确定一条直线，所以只要知道经过两个点的坐标，咱们代入就能求这条直线的解析式。 基，基本操作啊这是。然后第二问，让我求三角形 a， o， c 的 面积， 那 c 点的坐标是多少啊？ c 点的坐标，它是 bc 这条线跟 y 轴的交点，所以是 x 等于零一带，那 c 座坐标就是零。逗号三， 那你看第二问，三角形 a， o， c 的 面积是不是就是二分之一乘上 o， c 乘上二，那就得 o， c 是 三嘛？所以最后面积就是三嘛， 没问题吧？这个三角形的面积，我让 o c 当底，高就是这么高嘛？ 高就是 a 点横坐标的绝对值啊，就是二，所以二分之一乘 o， c 乘二， o c 是 三，最后结果就是三。第三。 这个也跟咱们录制的那个存在性问题的专题课里面面积问题是同一类题型啊，非常非常喜欢考这种，属于初级题目。就是如果这个 p 是 直线 b、 c 上的一个动点，如果三角形 p、 o、 b 的 面积等于二倍的三角形 a、 o、 c 的 面积，让我求这个点 p 的 坐标， 这种题统一都是这么做啊。我们先观察一下，我们在第二问求了三角形 a、 o、 c 的 面积是个三，他这说二倍的三角形 a、 o、 c 的 面积，那就是六吗？ 对吧？这就是六啊，你就不用管这个东西了，也就是说，你要在直线 bc 上找到这么一个点屁，让三角形 bo、 b 的 面积是六，哎，这是那个直线 bc， 这是 bo， 这两个点 bo 的 面积是个六， 我是不是可以让 ob 当底啊？让这个屁点的纵坐标的绝对值去当高， 因为你屁还有可能在第三象限，所以这种题啊，它是让咱们求点屁的坐标，你得有对应的步骤才行。我们设屁点坐标，设它的横坐标是小 m， 因为它在 bc 上动，所以 它是不是就在这条直线上？ y 等于 x 加三上，它在这条直线上动，如果横坐标是小 m， 那 纵坐标就是 m 加三吗？ 这是人教八下的一次函数，那 p 点坐标就是 m， 逗号 m 加三，你就表示呗。三角形 p、 o、 b 的 面积就等于二分之一乘上 ob， 是 吧？乘上这个 m 加三的绝对值， 那其实就等于二分之一乘三乘 m 加三的绝对值。现在他说这个三角形 p、 o、 b 的 面积是六 啊，所以它等于六，那你会算不？那这个 m 加三的绝对值，它不就等于四吗？所以 m 加三等于正负四，所以 m 等于一或者是负七。 那所以 p 点的坐标就是一逗号四或负七。逗号负四 这个题就搞定了。 讲完了，一共三十四道题，还可以吗？

八下数学只要搞定这个章节，那你整个学期基本上就稳了。这个章节啊，就是非常重要的一次函数，它也是八下最难的一个单元，在中考当中会直接出压轴题，会出五星的对应的这种难题。 那一次函数在中考当中，大家知道它往往会和几何图形在一起，出那种代几综合的压轴大题，所以它的重要程度啊，不言而喻。这个视频一，老师就带着大家系统梳理一下 这个章节要考到的一些题型和方法。这里呢，老师也给大家把易错函数必考的易错真题三十道做了一个总结，家长们如果孩子学到函数这个章节感觉有困难，一定啊，要打印出来，带着孩子逐个题型的来进行梳理，这样绝对是效率最高的方式。 下面呢，咱们来一起拆分一下这一章节的题型，大家边听边去记。首先啊，我们第一个要掌握的就是正比例函数和异次函数的图像和性质了，这是我们整个章节地基性的知识点。 其次呢，是异次函数图像的变换，像平移、对称、旋转以及应用待定系数法求解析式，这些都是必会的技能。 除此之外呢，解答题常考的题型有这个一次函数与方程结合在一起，一次函数与不等式结合在一起，这个综合的题目相当于把我们的代数和函数结合在一起，那同样的，它也会结合着一次函数和几何图形去除这种存在性问题。 存在性问题啊，往往他又会出三大类考法，第一类，依次函数与等腰三角形的存在性问题。第二类，依次函数与对应的这个直角三角形存在性问题第三类，我们依次函数和我们这个学期平行四边形这一章节出平行四边形的存在性问题， 而平次存在性问题下面又会出菱形、矩形、正方形相等的存在性问题，它的方法都非常固定。这个在我之前的视频当中都给大家做了详细的讲解，大家也可以去看我一次函数的专项。 那除此之外呢，我们依次函数这里他与这个几何代数综合在一起，难度如果再上一个台阶的话，他就会考到我们依次函数，其中的临界值问题就需要我们同学进行分类讨论了。除此之外， 依次函数还会与最值结合在一起，像与将军一马模型结合在一起，这个时候他的难度就又一次升级了， 考的再坏一点啊，他和定心算结合在一起，这些题型也是经常会考到的。那以上呢，是一次函数章节常考的重难点题型， 老师啊，在我的一次函数专项当中都做了系统的讲解，而且配套了相应的专项的同源经典练习题，让大家学透一道例题，学会一类题型。

八、下数学的一次函数，求参数的取值范围，是一种必考的题型，很多孩子呢，明明图绘画也会分析图像，却还是丢分了，原因就是他们在做分类讨论的时候啊，少考虑了一种远点的情况。 那究竟当时是怎么回事呢？我们还原一下案发现场，来给大家避避坑。学完这道题之后，再把林老师给大家整理的一次函数的十大题型拿去练习巩固一下， 只要把里面的题搞定，期末轻松多拿二十分。好，我们来看题。那现在呢，我们就假设今天做错这道题的同学的名字叫做小明同学， 那么带入他的视角，看他从哪一步开始犯错的。若一次函数 y 等于括号内 k 减二， x 加 k 的 图像不经过第三象限，然后呢，要求 k 的 取值范围。小明同学说，老师，这道题要画图啊，好，咱们把图画起来，第三象限在这个位置， 所以呢，不经过第三象限，他就说这样画好。接下来呢，小明同学又说，老师，这个图像往右下方走，说明他的斜率啊，这个 k 减二啊， 必须小于零啊，这是他找到的第一个关系。接下来他又说，老师，后面这个常数，这个加 k 指的是这个图像和 y 轴的这个交点啊，我用红色标起来啊，表示这个交点， 他说这个焦点呢，从图可知，他在 y 轴的上面，所以说明这个 k 啊，他要大于零，对吧？啊，就是这个点。所以呢，他要列出第二个式子，他说 k 要大于零哎，所以他是这样列的， k 大 于零。好，然后呢，他就把这两个不等式给他结合起来解了一下，解得这个 k 呢，是大于零小于二啊，然后呢，他看了一下选项，就很快乐的选了这个 a 选项啊，结果就丢分了， 你们知道问题出在哪里吗？其实问题就出在啊，这个不经过第三象限，除了他画了这种情况之外， 还有一种什么情况呢？我是不是这条直线还可以往下继续移啊？我最低最低，我是不是可以移到我刚好过圆点，这样子也叫做不经过第三象限呢，对不对？所以也就说我的这个斜率的分析，这一步没问题， 但是呢，关于这个截距这个点呢，我不一定是在 y 轴的上面的，我最低最低最低可以去到 圆点，这里也是符合题意的。所以呢，这一步呢，我们就是说 k 大 于零，要变成 k 大 于等于零都是可以的。所以最后呢，我们的答案呢，就跟小明同学的答案就差一点点，就是这个地方要补个等于号 啊，所以最后答案呢，不应该是选 a， 而应该是选 b 啊，这里呢，要加一个等于号好，是不是很坑呢？你学会了吗？

咱们看一下这道题，给了一个反比例函数，这个是 y 等于 x 四分之四，这个属于是贺行仿自己的题，第一次是五十二，贺行在二四年， 在二四年考了这么一道，今年他改吧，他又考了这么一道，他又考了这么一道，路子都差不多。 看它这条线，它是过 a 点做 y 轴的垂线。 a 的 这个坐标是啥？ a 的 这个坐标，横坐标是 m， 横坐标是 m， 那 因为它在这个上边，所以它的纵坐标就是 m 分 之四，它说是 b 点到 y 轴的距离， b 点到 x 轴的距离，等于 a 点到 y 轴的距离， a 点到 y 轴的距离，那它这个是它的纵坐标，这个是它的横坐标，所以说 b 点的坐标就是负的 m 分 之四， 逗号负 m， 这条直线是 y 等于 m， 给它写近点，是不是这条直线是 y 等于 m？ 第一问，他让求 k 的 值，但 k 的 值不用带 m， k 的 值带 m 就 费劲了。那直接咱们就设 a 点，坐标是 a， 逗号 b， 那 b 点坐标就是负 b， 逗号负 a， 它们俩都在这个上边，在相乘都得 k， 相乘都得 k， 是 不是还都在这个上边？那就是 y 等于 k， s 加 b， 那 把它们俩都带入 y 等于这条线， y 等于 k， x 加 b， 把 a 点 b 点都带进来， 那就先把 a 带进来，是不是他就等于不用 b 了？这块有个 b， 那 块有个 b， 字母就重复了，是不是？那直接就 x y 得了，对不对？那这个就是负 y， 负 x 往里带第一个，那就是 y 等于 k， x 加 b， 第二个是负 x 等于负 y， k 加 b， 它们两个做差，那这边是 x 加 y， 这边是 x 加 y， 括号 k 对 一， 第一问就完事了。第一问 k 得一好，再来第二问，第二问。他说的是这条线用上了过点 a， 在 这做了一个垂线， 使他部分把这个上方的 l 上方的，那也就是这一段给他翻折下来，又不像了，是不是？重新画一个给他翻折下来 y 等于八。 好一样的。这根蓝的，上边的不看，就看下边的这一段就行，就看的下边的这一段，就看下边这一段。瞄一下，好，别的不用管了。是不是别的不用管了 啊？看着有点乱，是不是给他藏一下？好，就是这根红的显示就是这根，行，就在这上放着，对不对？他说当 m 等于一的时候，求 g 图像，这个 g 是 啥？包括这个和他这是构成了图像 g 与 x 轴的交点坐标，那实际上就是求这个求 m 等于一，那一 a 点的坐标 就是一逗号四，他到这边是四，是不是他到这边也是四？他到这边是四，他到这边也是四，那他到这边他到哪，他就到八， 实际上这边别这么来，实际上就是求它纵坐标是八的时候，这个横坐标是几？纵坐标是八的时候，这个横坐标是几。那就直接来呗，对不对？直接把八带进去就行了。 那就是第二问，八等于 x 分 之四，推出 x 等于二分之一， x 等于二分之一，那这个点就是二分之一，交点就是二分之一。 第二问的圈一也完事了，第二问，圈二，他说了过点 b 做 y 轴的垂线，然后与 g 交于 n、 c 两点， nc 两点。这块我觉得它是个错，为啥？看它体例描述，它是过点 b 做了个垂线，垂直于 y 轴的垂线，它垂到这是不是？那它垂到这，它说的是和 g， 也就是和这一撇，或者是这一撇相交于那个 n c 两点，那这里边和这只有一点，那这点是 c n， 没有 n， 没有 n， 除非是和 b 点重合，但是他要和 b 点重合，那他不符合题，那他就得零了，那 c n， c n 或者说 bc 怎么能得零？是不是？所以说我觉得他这个点是啥？他 n 应该是在这，为啥？因为二四年他个型考的，他说的是一个 e f， e f 和 y 轴的交点是个 n， 所以说它这块我觉得它是个比物题出错了，但是咱们给这按照 n 在 这算，那么这时候圈二是啥？是 b n 等于二倍的 c n， 也就是 n 点不是和它这个 g 的 交点，它是和这个 y 轴的交点， n 在 这，那咱们就分别表示出来这个 b n 和 c n 就 ok 了。咋表示？那就来呗。还是那个套路。 a 点的这个纵坐标是 m 分 之四， c 点，那这条它过的是 b， b 是 多少？它是 y， 等于负 m， 那从 m 分 之四到负 m， 这个距离是多少？这个距离是多少？是 m 分 之四减 m， 那 也就是减 加减，负 m 就是 加 m， 那 也就是这个点的从这到这的距离。什么距离？这个距离？ 那在这边也得找这个距离，是不是好？能找着他的纵坐标，也能找着这个距离，那这个距离还得加上一个几，还得加上一个 m 分 之四， 那也就是在这边这个点的距离。在这点他对应的这个纵坐标，那就应该是他后边再加上一个 m 分 之四，那这边这个纵坐标是 m， 他的纵坐标 把他的纵坐标进他的解析式里，带到这里，那就是 m 分 之八加上 m 等于 x 分 之四，整理一下这块是多少？ m 分 之八加 m 方 等于 x 分 之四，交叉相乘的，不用了，直接给四乘过去就行了。那 x 等于啥？ m 方加八分之 四 m 算的这个东西，它是 c 点的横坐标， c 点的横坐标等于 m 方加八分之四 m， c 点的横坐标， c 点的横坐标。弄出来了，那 c n 是 多少？ b n 是 多少就 ok 了， 咱继续，咱继续。那 c n 是 多少？来，直接咱就用这个等式了，那就是这个 b n 等于二倍的 c n， b n 从 n 到这，从 n 到这，也就是 b 点的这个横坐标的绝对值，那就是 m 分 之四 c n 这一堆对不对？他在正的没啥说的，那他就等于 m 方 加八分之四 m， 但是他还得乘个二，对不对？他等于二倍的，他 那就弄一下呗，是不是？弄一下在这是不是直接就可以掉个四？先约掉个四， 那就是 m 分 之一等于 m 方加上八分之二 m 交叉相乘二， m 方等于 m 方加八， m 方等于八 m 等于二倍根号二， m 等于二倍根号二。算出一个是不是括号，这一问，他就是问 m 得几？那 m 的 值 m 等于二倍根号二，圈圈三圈三。还有一个他是想问咱们从 a 从 a 到 bc 的 最小值是多少？也就是说这个意思， a 到 bc 的 最小值是多少？ 那么这个 bc 所在的那个直线， bc 所在的直线就是 y 等于负 m， y 等于负 m， 那 这块我就直接就给做了个垂直，那就来呗，是不是？ 来呗，那它的垂直了之后，那咱直接就是纵坐标减负 m， m 分 之四减负 m 等于 m 分 之四加上 m。 如果要是会基本不等式，这个就是高中必修一了，那就直接出答案了，是不是 基本不等式？是啥？是 a 加 b 大 于等于二倍的根号 a b， 那 在这他加他，那就大于等于二倍的根号 m 分 之四加上 m， 中间这乘一约分等于几？等于四，那也就是他的这个最小值就是等于四，最小值就是等于四。那咱没学过这个，那咋整？没学过这个，那就直接给他化解化解。咋弄 通？分 m 分 之四加 m 方，这第一种方法直接用不基本不等式，第二种方法， 那么他等于了之后给上边配方，那我就配了一个加减二 m 减四 m， 那 就是 m 分 之四减四 m 加上 m 方，再加四 m 前面一个完全平方， m 分 之二减 m， 括号的平方再加四 m， 然后等于 m 分 之二减 m 括号的平方再加四。 想要让它最小，那得零，前面这一堆得零，那就是当 m 等于二的时候，它最小最小值是几？是四。

好，我们来看一道用待定系数法求 e x x 解析式的题。这是一道根数平梁的题，在平面直角坐标系中， e x x y 等于 k， x 加 b 的 图像经过 a 点一逗号二和 b 点负一逗号四两点，让你求 y 等于 k， x 加 b 的 函数解析式。 我们首先是不是把 a 点和 b 点带进去啊？ a 点 一逗号二， b 点是不是负一逗号四，它的解析式是不是 k 加上 b 等于二，负 k 加上 b 等于四？我们解一下这个是不是二元依次放成组求出来这个 b 等于三， k 等于负一，所以说它的解一式是多少？是不是 y 等于 负 x 加上三？这里缺了一个什么？是不是缺了一个解呀？把这个解写上理解了吗？