陕西二模几何压轴题

快来看这道题，你需要几分钟？今天这道题是陕西一位同学发来的，他们二模的几何压轴题，说实话，难度还是不小的。 题目说菱形 a、 b、 c、 d 的 边长是六角， a、 b、 c 是 六十度的， e 点是 ab 边的终点， p 点在 bc 边上运动 做三角形 c p、 q 和三角形 a p、 e 相似，然后让我们求线段 a、 q 的 最小值。 好，我为什么说这道题很难呢？因为像这种旋转相似求最值的问题，我以前也只在自主招生考试里看到过，常规考试里几乎没怎么见过，所以很多同学一时间不知道该怎么下手。 那首先，像这种共顶点的旋转相似，有一个东西大家一定要牢记了，那就是旋转相似必定一转成双。什么意思呢？ 因为三角形 c p、 q 和三角形 a p、 e 相似，所以 c p 比 a p 等于 q p 比一 p， 然后我们把 a p 和 q p 换个位置，于是就变成了 c p 比 q p 等于 a p 比一 p。 如果我们连接 eq 和 ac 的 话，那么根据这个比例关系，我们可以判定三角形 acp 和三角形 eqp 相似， 所以角 eqp 是 等于六十度的，那这个就是一转成双的意思了，就是一组旋转相似会产生另一组相似。 好，那得到了这个六十度，他有什么用呢？毕竟 e p 他 不是定长是吧？ 那这里呢，就需要一点点的注意力了啊。如果我们截取 bc 边的中点 f， 然后再连接 e f 和 q f 的 话，那这个时候三角形 e、 b、 f 就是 一个等边三角形了，所以角 e、 f、 p 是 六十度的。 不知道你们看出问题了没有啊？现在 e p f q 是 不是四点共圆了呀？ 所以角 p q f 等于角 p e f。 而根据题目给的这组相似，我们可以知道角 p q c 等于角 p e a， 所以 这样就得到了角 f q c 是 一百二十度的， 你们看现在是不是有了定边加定角了呀？影圆出来了吧。那接下来问题是不是就很简单了呀？ 我们以 f c 为底边向下做一个底角，是三十度的等腰三角形，那这个 o 点就是 q 点轨迹圆的圆心了。然后我们连接 o q， 还有 o a， 因为 f c 等于三，所以 o f 和 o c 都等于角三，那 o q 也等于角三。又因为 a c 等于六角， o c， a 是 九十度的，所以 o a 是 等于根号三十九的。 最后因为 a q 是 大于等于 o a 减 o q 的， 也就等于根号三十九减杠三。所以说 a q 的 最小值应该是根号三十九减杠三，你学会了吗？

那么接下来我们来看一下二五年风大二模的这道题，你看光看图就会觉得非常的相似，似曾相识的感觉扑面而来。 同样是 a、 b、 c， d 这个矩形同样是给出了 a、 b 的 长度为二， b， c 的 长度为四，依然是折叠。这次是把这个 a、 e、 f、 b 这个起点给它折叠过来，依然沿着 e、 f、 e 点，是 a、 b 上的一个动点还是 b、 c 上的一个动点， 那么在这里永远保持一个比例关系，就是我们的 b f 加二倍的 a e， 那 在这里依然是求一个最小值，是线段 c h 的 最小值。我们来看一下， 在我们 c h 里面， c 点依然是一个定点，而 h 是 一个动点，所以这道题还是一个找动点轨迹的题，要找一下这个点 h 的 轨迹。 刚刚我们说见到这个比例线段的处理是去构造一些相似，因为有平行，所以我们最快联想到的就是 a 字形的相似和八字形的相似。但是这一次我们会发现 a、 e 和这个 b、 f， 它们其实是在同一个方向的。上一道题我们的 b、 f 和这个 d、 e， 它俩是在相反的一个方向的，所以上一道题我们构造的是八字相似。 这次在同侧呢，我们更容易联想到的是一个 a 字形的相似，所以我们不妨去延长这个 b a， 再延长一下这个对称轴 f、 e， 当它们两个相交于点 m， 那么这个时候我们会发现 m a， e 和这个 m b、 f 两个三角形就形成了一个 a 字形相似的状况，那么 am 的 长度也就是二，那在这里我们的 m 就 成为了一个新的定点，而且这个定点也是我们对称轴上定点 上一道题，我们有对称轴上定点的时候，我们做的辅助线叫做连接这个定点和对应点，那么我们 h 这个动点，它的对应点是 b， 这会儿我们的 m b 已经连接好了，我们不妨把这个 m h 也给他连接一下，连接完以后我们就可以得到永远有这个 mb 等于 m h， 而 mb 的 长度是四，所以说我们这的 m h， 它的长度也是四，又延续到了我们有一个定点，有一个定长的这样的一个动线段问题。那么 h 的 轨迹就是以 m 为圆心，以四为半径的一个圆上，我们把这个圆弧给大家画一下，当我们的 h 在 这个圆弧上去运动的时候， c h 的 最小值就是我们的连圆心减半 径，所以依然我们去连接 m 和 c， 所以 最小的 h 应该出现在这个位置，所以我们计算出来我们这个 c h 的 最小值就是四倍，根二减四。 有的同学其实到这的时候已经发现了这个边是四，这个边是四，我们直接用这个一比一比根号二去算这个 c m 会更快一点，就可以 根据出这个购物定义的式子。这道题就到这里，我们两道题都出现了离线段，都出现了折叠，所以之后我们再遇到同类型题的时候，希望大家能够联想到这个 a 字形的相似 以及八字形的相似的一个构造，还有我们这条折痕，它上面有一个定点，这个定点位置是跟对应点的连线有一个长度关系的，希望大家能够找到这些关键的信息来解决问题。

那么接下来就到了几何压轴，几何压轴呢有三问，前两问呢，相对来说比较简单，我们就直接过，好吧，前两问呢，我们就直接过来看一下。首先呢，这个题呢，它其实考察到的基础逻辑比较多，它叠加了多个基础逻辑，所以说对于我们的基本功要求比较高。 ok， 我 们先看前两问。先看前两问，好吧，来看一下前两问呢，首先他说在这个三角形面，让我们去画上一个平四，是个画图题。画图题如何入手？对于任何的画图题，难点一定是在你想不到这个图长啥样子，那想不到怎么办？我自己画一个来，我就把这个图， 比如说他要画个频次，那我就把这个频次摆在旁边，频次摆在旁边，我看一下需要满足什么条件，我再去才能够得到这个图。 ok， 来看一下要得到这个频次呢，这是点 d， 这是点 b， 应该 e 是 在 a c 上，这是 e， 这是 f。 ok， 我 要画这样的一个平四，那么首先来谁要画平四？平四最最特别的就是它什么对边，平行又相等，所以说我要从平行和等线入手。那么在这个图里面，先给他来个点的呗。 ok， 先给他来个点的。 来了点 d 之后，那么 e 点要如何确定呢？如何确定你会发现，哎，他俩什么关系？他俩是平行的，他俩是平行的，所以说我直接过点 d 去做底边上的平行线，这个点就确定下来了。 ok， 点 e 就 给它确定下来了。 e 点确定完之后，那么 f 点如何定下来呢？那刚刚呢，我们已经满足了平行的条件了。刚刚已经满足了平行的条件了，我接下来是需要干个啥？ 我接下来还要满足相等呀，所以说我在 b c 边上截一个 d e 等于 b f 结束了， 又平行又相等频次结束。 ok， 又平行又相等频次结束。也就说从这一道题中跳出来，我们去看这类尺规作图的题目。 ok， 去看这一类尺规作图的题目，一定卡点，最大的难点一定说，我是实在是想不来这个图长啥样子， 所以说我就把这个图就画在旁边。 ok， 我 就把这个图画在旁边，我看一下需要满足什么条件才能够得到这个图，以及还是要进一步的去从这个图形本身的这个性质，比如说平行又相等。从这两个特性，我去出发，我去画图。好，来再来啊，这是第一问 来，在开始第二问之前呢，我们来回顾一个之前讲过的内容，对于动点轨迹走直线的判定。动点轨迹走直线呢？其实就两种判定思路，要么是定线定夹角，要么是定线定距离。我们快速来回顾一下。好吧，我要确定一个动点，它的轨迹是一条直线呢？首先首先 必须要有一条定直线来做参考，必须要有条定直线来做参考来，比如说先有一条定直线 l， 定直线 l 的 话，那我让这个动点 来看一下，这个动点 a 呢？他在动的过程中总是满足到这条定直线的距离是一个五来轨迹能不能定下来？我要总是满足这个定距离是五的话，那我这段是五行不行？ 那这一段是五也行。哎，那图画到这里，这个 a 点轨迹就非常清楚了， a 点轨迹就非常清楚了，它直接什么什么样子，它就是与条平行于定直线的蓝色线。 ok， 平行于定直线的 l， 那 么也就说，哎，与定直线 保持一个定距离，与定直线保持一个定距离，我就能够得到他的轨迹是平行于定直线的。好，这是第一个，来，再来，再来。那么同样的，我还是先得来一条定直线做参考，在定直线上呢，来两个定点，来两个定点，那么他说动点 b， 他说动点 b 呢？他在运动的过程中，总是满足这个角是六十度，总是满足这个角是六十度，那你想一下这个点 b 的 轨迹能不能定下来？首先来看一下，那么点 b 要满足这个六十度，那点 b 在 这行不行？在这行不行？ 在这行不行？ ok， 要满足这个六十度，你会发现呢？哎，他就只能在这条射线上动， 它在这条射线上动的话，哎，它的轨迹我就能够确定下来。要满足 b p q 是 六十度的话，首先这条射线它是确定的。紧接着呢，要满足六十度，那你看一下，它跑在这，它跑在这，这个六十度显然是不成立的， 所以他就只能在这条射线上动。 ok， 也就说与一条定直线有一个定夹角，与一条定直线有一个定夹角，我就根据定线定夹角能够确定它的轨迹是这条射线。那这会想明白之后，我们来看一下第二本。首先呢，他给了个矩形边长，分别是四和六，我给他一标。 紧接着呢，他说 p 是 矩形内的一个一个点，他说这个三角形，这个阴影部分的三角形，它的面积是九， 面积是九，谁能求呀？知道面积，我还知道它的底呀。那么知道面积，知道底，那这条已知边上的高我就能够求出来。 ok， 已知边上的高我就能够求出来，那高就是一个三。 ok， 高就是一个三。走到这里呢，再来 接着呢，他说让我们去求这个阴影部分三角形的周长，求周长相当于求谁就行了，求周长的话，你会发现有一条边是已知的，就是六， 也就说我接下来只需要去求他们两和的一个最小值就完事了。那么走到这里发现，哎，求折线段和最小。这不将军一马吗？ ok， 这不就是将军一马吗？好，走到这里来， 我要求将军一马。要去求这两条和最小的话，来，先要求什么？我是不是先得把这个动点，先得把这个拐点的轨迹给它求出来。 先要把这个点屁，把这个拐点的轨迹给他求出来。好，来，他的轨迹怎么求？你看到啥了？我要求点屁的轨迹，看一下与点屁有关的条件有啥？看到高了，看到定距离了。 ok， 也就说 接下来找轨迹。我关键到底要找个啥呢？我要找的是与动点有关的定量。能不能想来与动点有关的定量？这有个定距离， 有个定距离我得找定线。 abc 就是 一条定线与这条定线有一个定距离，那么根据定线定距离，我就能够得到点 p 呢？是在蓝色的这段上跑的。咋确定的？理理一下啊。明确了，它是个将军一马，将军一马的话，我就要求拐点轨迹， 求动点轨迹，要找与它有关的定量。有啥定量呢？有个定距离是三有定距离。哎，还找着了定线， 根据定线定距，找着了他的轨迹，好，找着轨迹，接下去常规操作了，找着轨迹之后，那么接下来直接给他对称呗。 ok， 直接给他对称，对称完之后圈跑到这，那么要求他两核最小直接干嘛？贡献， 直接贡献是核最小，也就说，哎，这一段红色的这一段就是他两核最小，找着最小值了，那我接下来该算了。 ok， 我 接下来该求了，来求的话怎么求？在将军一马问题里面，所有的计算一定要用好它的这个什么对称性，要用好它这个对称性，所以说我就标榜来，你看一下，这一段是三的话，那我能够得到他也是三。 ok， 那 么给他对称对称翻过去，所以说这一段也是一个三， 结束了，没标到这里，这是六，这是六，这也是个六来，所以说红色线段是多少？六根二，红色线段呢，就是一个六倍根二，结束了，这一段是六圈叉呢，是一个六倍根二，所以说答案呢，就是一个六加六倍根二结束。 好，我们理下这个思路啊，快速理下这个思路。首先拿到题目之后，他说这个三角形已知啥？已知它的面积 还已知底，已知面积已知底，那这条已知边上的高，我顺手就给他求出来了。求完之后呢，再根据什么？ 哎，发现他呢有一个什么？有一个定距离，有个定距与定线保持一个定距离，所以说第二步呢？根据定线定距离。第二步呢？根据定线定距离确定了点 p 的 轨迹，确定完轨迹之后 p 点在蓝线上跑，要求圈叉和最小呢，其实就是一个非常常规的将军一马问题。 ok， 那 么将军把问题直接给他，对称贡献求最值。然后这里计算要再强调一下，计算要用好它的对称性，一二问一定要理清楚，因为第三问是在建立在前两问基础上的。好，那我们再来看一下第三问 来，第三问开始之前呢，我们来前置两个内容，一个是成比例线段的处理，一个是最大章角，我们先把这两个内容前置了，然后大家再去读题，好吧，来看一下。首先第一个点，对于成比例线段的处理，那么大家可能之前听过我讲等线的处理，以及整个过程中，我们其实讲到等线处理不少， 对于等线的处理呢，其实关键就是一个字，就啥放，关键就是放 那么成比例的线段，两条成比例的线段，我要给他放到三角形里头，你想一下会有几种情况，那首先我可以给他放到同一个三角形面，两条成比例的线段，我可以给他放到同一个三角形来看一下，比如说这是三 a 来，这是二 a， 哎，两条成比例的线段给他放到了一块，那么如果说此时，哎，我再给他加个条件，如果说此时我这里来个直角 得到啥了？两条成比例的线段放到了同一个三角形里面，哎，首先呢，他两成比例，第三边我也能够表示出来，那么再进一步，其实 这两个角的三角函数我也能够给他整出来，这是第一种来，再来放到同一个三角形，哎，结合更特殊的条件，我可以去求三角函数。那么再进一步，如果说这里还有一个， 比如说这是六，这是四，他说这是阿尔法，这是阿尔法，标到这里有啥想法没？乘比例的线段还夹角相等，哎，我其实能够得到什么？我其实能够再得一组相似， ok， 好， 也就说走到这里乘比例的线段，首先呢，我选择把它俩放到同一个三角形里面 结合，如果说再来个直角，能算三角函数，哎，再结合已知条件，其实还能够推出来相似，这是第一种。放到同一个三角形里面。好，来，再来，还可以怎么放？可以放同一个，那可以放两个呗，分别放到两个来看，比如说这是 a 和二 a 这两条成比例的线段，我给它分别放到两个三角形里头。看到啥了？又得相似了？ 乘比例，乘比例且夹角相等，哎，我又得相似了。也就说，走到这里，乘比例线段的处理思路就非常直接，我首先一定要想到的是给他放， ok， 给他放，那么放到同一个三角形里头， 放到同一个三角形里头，结合已知的直角，我可以求三角函数，或者说，哎，再结合新的已知条件，我还能够推出来相似，好，这是第一个，那么当然可以放两个，我给他分别放到两个三角形里头， 放到两个三角形里面，结合已知条件，我可以得到相似，得到相似。也就说，其实我们一开始讲，对于线段，我要用线段，求线段，我都要给他放到图形里面，那么再特别一点，给他加个附加条件。 乘比例的线段，其实还是放，关键还是在放，放的话要么放到同一个，要么放到两个， ok， 这是我们接下来处理题目的一个方向，那么第一个乘比例线段我会处理了，那么再来看一下最大张角，最大张角，那么最大张角问题，那首先我得知道啥是一个最大张角问题。 ok， 来仔细听啊，仔细听，看一下，在一条定直线上有一个动点 p， 定直线外呢，有两个定点。 哎，他问我这个屁点走到哪里的时候，这个阿尔法角可以取得最大，那这就是最大张角问题，这是他的定位，也就说整个初中阶段，但凡涉及到角度最大，张角最大，你就往这个方向上靠，这是他的定位。那么他的定位想明白之后，我还得想一下到底咋处理？ 那到底走到哪里能够取得角度最大呢？其实非常直接，我直接是过这两个定点画圆，并且呢，这个圆还要与定直线相切，过两个定点画圆，这个圆呢，还要与定直线相切，长这样子， 那么这个切点呢，就是屁点的位置，也就说屁点走到这里的时候，阿尔法角取得最大。 ok， 这是他的处理，处理思路，处理思路就是做过两定点且与定直线相切的圆切点就是我要找的这个点，这是他的处理思路。 好，走到这里，我们来同步一下啊，走到这里，我明确了啥？我知道了问题的定位，有最大张角，求角度最大，我就要往这个方向去靠，怎么处理呢？ 过两定点且与定直线画圆， ok， 做过定点且与定直线相切的圆，来，走到这里，我们应该掌握的是定位以及处理思路。那么具体为啥要去给他画圆？为啥这个角就是最大？ 具体的这个证明过程，大家可以去看胖叔的视频。 ok， 胖叔给大家展开讲了一下，在这里我们就不再多说了，因为后面题目逻辑还比较长，我们就不在这里展开说了。 ok， 那 你这块想明白之后，我们来练一个。 ok， 来练一个，感受一下， 看一下。首先呢，这里这两条线呢，它是一组平行线，它俩呢是一组平行线，两个定点在平行线上动点呢？在这条线上跑，他问我说， p 点走到哪里的时候，这个 r 发角最大怎么处理？刚刚讲过看一下， 我就过两个定点，去做一个过定点且与定直线相切的圆，那我就做呗。 ok， 做过两个定点且与这条定直线相切的圆圆给他画出来。哎，那么此时切点呢？就是这个屁点的位置。走到这里， 我先把最大章角的问题解决了，画完之后呢，我找着了这个切点，好，走到这里，最大章角问题解决了，那我在基于这个图形，基于这个条件的基础上，我看一下进一步还能怎么操作来，首先第一步在圆里面，他给了一个切点，我肯定要干个啥，我肯定要连圆心啊， 有切点我肯定要想着去连圆心，连圆心。 ok， 来连个看看，比如说这是圆心，这是 o， 那 我就连接 p o， 连完 p o 之后必然得一个垂直。 ok， 有 切点连切线，有切点连圆心，这是切线吗？连了圆心之后必然得一个垂直。 ok， 得到垂直之后再看，得到垂直之后，题目还说他俩是平行的，来， 他俩平行，这还有个垂。什么想法？看到切点，我连了圆心，得了一个直角，哎，这里还有一组平行线呀，我肯定要干啥？这都有个直角了， 那我只需要把这条线我给它延长出去，延长出去，那这里必然也能得一个垂。我这里只需要把这条线延出去，我必然这里也能够得个垂，因为平行，平行， ok， 延长完之后再来看。延长出去之后呢？哎，也就说这条线 它是垂直于这条线的，而仔细看啊，而 a、 d 这条线呢？它是我圆的一条。什么？圆的一条弦， 他垂直于弦这里能得到啥？我把这条线给他延出去，延出去之后发现他垂直于我的一条弦，那么根据什么？根据垂进定律，我必然能够得到他还平分弦， ok， 他 还平分线，首先看到这有垂直，有平行，想沿着出去得到垂直，得到垂直之后，哎，他垂直于我的一条弦，那么根据垂进定律，我还能够他得到他平分线，他平分线的话，那再进一步，再进一步，其实我能得到这个三角形， 这个蓝色的三角形，它是一个等腰三角形。理下这个思路，首先第一步，首先第一步，我处理最大张角，处理最大张角，过两个定点，且与定直线相切的圆，找着了这个取得最大张角的点的位置，好，找着最大张角之后，紧接着呢，有切线， 那我肯定要想着去啊，连切点，连圆心和切点，连完之后得到啥？连完之后得到垂直，得到垂直了，得到垂直之后，哎，有平行呀， 得到垂直之后有平行呀，那我肯定想着给他沿出去，再得垂，给他沿出去，再得一个垂。得到垂直之后，哎，他垂直于我的一条弦，他垂直于我的一条弦，那么垂直于弦的话，我必然根据什么？ 根据垂进定律，根据垂进定律得到他不仅垂直，他还平分我的线。 ok， 他 还平分我的线。那么正式来到我们的第三了。来，题目很长，那长就在于他交代了一个背景，前面几行呢？交代了一个背景，可以不看， ok， 给的条件呢？是从这一行开始的。我带大家来理一下这个条件啊，我带大家来理一下这个条件。首先呢，他说 abc 呢，他是一个等腰三角形，一百八，一百八，一百二，给了一个这样的等腰三角形。 紧接着呢，他说 p、 q 呢，是在这两条边上动的，是两个动点， p 点在 a b 上动， q 点在 a、 c 上动，两个动点动的过程中呢，满足 b p 比 a、 q， 它俩是一个二比三的比例，那有比例我设呗，我就设它是二 a， 它是三 a， ok， 那 么它俩动同时呢？它俩的中点是个 o 点，它俩中点是 o 点的话，那它俩都动， o 点必然也是一个动点。 ok， 这是给的一个条件。紧接着呢，他说，哎，要让我们去求 b、 o、 c 这个角最大的时候 p a 的 长度，我理一下啊，他问的是最直状态下，让我去求线段长，所以说我第一步要把最直状态确定下来，也就说我第一步 我先要把这个角最大找出来，那么角最大角最大，这啥呀？最大张角呗。 ok， 最大张角问题呗，最大张角问题，我首先第一步最紧急应该解决什么问题？线段为弦，线段为弦的前提是啥？ 前提是线段是 o 点的轨迹啊，那这里 o 点轨迹知道吗？我显然不知道。 ok， o 点轨迹我显然不知道，所以说我先要把轨迹给他找出来，找着轨迹之后，我才能去确定最大章角，我先要把轨迹找出来，也就说接下来呢整个题目， 我把它分为了以下几件事情， ok， 接下来逻辑链比较长，所以说我把它分为了几件事情，大家自己听啊。分为了，首先我第一步我要去猜一下它轨迹到底是啥， 他轨迹要么走直线，要么走圆，我先要猜一下他的轨迹，我猜完轨迹之后，为啥要猜呢？能够给我确定一个证明方向，我如果说猜，我大概预测出来他轨迹走圆的话，我就按圆的思路去证，预测出来轨迹，走直线的话，我就从直线的角度去证， ok， 给我确定一个证明方向，我绝对不说，我都试一下， 这是第一个点，我猜完轨迹之后猜够不够，不够我还得证明一下。 ok， 所以 说第一步我要去猜轨迹，第二步我去正轨迹， 证完诡计之后，我要去解决最大章角问题，那么最后才是计算。 ok， 所以 说这个题目呢，分为这几个事情，因为逻辑链比较长，我先把我接下来要干的几个事情，我在这里列出来。我第一步先预判诡计， 预判完之后才能够给我一个确切的方向，我去证明他证完之后，哎，我就可以处理最大章角，最后才是计算，分为这几件事情。好，那我们接着往后走来，首先呢到这里，这是二 a 三 a， 我 先给他标上， ok， 标完之后来第一个点， 你先来猜一下这个 o 点是走直线还是走圆，我能够预判出来它轨迹是个直线，为什么我们来理一下，来理一下啊，自己听，它是个最大张角问题的话，那最大张角问题长这样子。在一条定直线上有一个动点，那么直线外呢，有两个定点，他说让我们去求 这个角到最大。哎，这个动点，它是在一条直线上跑的，这是第一个点，紧接着呢，紧接着呢？ o 点是由 p 点和 q 点， 由 p 点和 q 点引起来的变化，所以说我要看一下 p 点和 q 点他俩咋动。 ok， 他 是跟着 p 点和 q 点动的，那我就看一下 p q 咋动的嘛？来，自己听啊，看一下。那么如果说 p 点呢，在 ab 上动的话，那他是不是可以跑到 b 点，他可以跑到这里。 p 点跑到点 b 的 时候，二， a 就 变成多少，二 a 就 变成零，此时 a 等于零， a 等于零的话， a 等于零， q 就 在这了，这是 q 一。 哎，此时 p 一 q 一， 他俩的中点是 o 点的位置，那么 o 就 在这吧，这是 o 一 吧， 这是第一个。那么当然，你说 p 点还能跑到这来， p 点还能跑这来， p 点跑这的话，此时整个这一段 b， a 这一段就是二 a 二， a 等于一百二，此时二 a 等于一百二， a 等于六十。 ok， a 等于六十， a 等于六十的话，那三 a 是 一百八， o 呢？二就是在这里，一百八就到这里，也就说这是 q。 ok， 那 么这是 p 二，这是 q 二，他俩的终点是 o 点，终点在这呗， 这是 o 啊。好，那标到这里，其实也非常明确了，你会发现，那这三点，这显然是一个直线呀。 ok， 显然是个直线， 而且呢，这条直线还是个啥？他是终点，他是终点，显然 o 点还是在什么？ o 点还是在这个中位线上动的，我预判出来，我猜出来 o 点是在这个三角形的中位线上走的，但是 你说光猜行不行？光猜不行啊，我证明我要有严谨的这个逻辑的。我猜不行啊，我还得正，我猜出来他是轨迹走直线，那我就按照直线的这个思路去正， 证明他轨迹走直线，要么是定线定距离，要么是定线定夹角来选谁选定距离还是定夹角，那第一步预判了他的轨迹 是一条直线，那我要这样证明的话，证明轨迹走直线，要么定线定夹角，要么定线定距离。那么接下来证明从何正呢？从何正呢？我首先推测出来了，他的轨迹是条中位线，中位线呢，他还平行于底边，所以说我显然要什么， 我显然想着我去正正定距离呗，那么平行线间，哎，我显然想着我正个定距离， ok， 也就说我接下来只需要正出来这一段，他是个定值，那么他的轨迹就解决了。我先猜测出来他的轨迹呢，是这条中位线，光猜不够，我还得正 正轨迹走直线，要么定距离，要么定夹角， ok， 哎，那么平行线间我肯定选定距离啊，那么走到这里就说我接下来的方向，我只要证明这一段是个定值，问题就结束了， ok， 证明他是定值，这行业没办法直接证，所以说我就只能从条件入手。题目给的条件呢？他给了啥？他这是二 a， 他 知道这三 a， 他 知道，还给了一个终点，想着从哪里入手， 那首先看到了成比例的线段，哎，看到成比例的线段，我想我先从这入手呗。成比例的线段关键在于什么？关键在于我要把它往一起放， 那么二 a 三 a， 首先离这么老远，我的第一个想法肯定是，给他往两个三角形边放， ok， 给他往两个三角形边放。但是你仔细读题推一下，你会发现两个三角形根本放不进去， ok， 两个三角形根本放不进去。所以说我就想着，哎，我能不能把他俩往一起凑一下呢？ 给他俩放到同一个三角形里面，那我要转化，转化的话，这题目还有啥条件呢？还有一个终点，那么终点的处理思路，首先呢，他不是一个什么，不是斜中，不是底中，他就是一个普通终点，一般终点我要么背长，要么构造中位线来，这个终点你觉得怎么用？就两种思路， 构造中位线的话，它是一条动边的终点，所以说构造中位线显然没线， ok， 它都动着呢，所以说我显然要选择什么，我显然要去选择倍长， ok， 我 显然要去选择倍长。那么怎么倍长呢？那我就把 b o 过终点的这条线，我给他延长一倍，我让他两相等。 背朝完之后呢，我就能够得到这两个三角形呢，它俩是全等的。背朝完之后呢，我就能够得到这两个阴影部分的三角形，它俩是全等的。 好，拿到全等我要同步。那么这是二 a 的 话，那这也是二 a 以及还得到啥背朝呢？其实我还能够得到平行，哎，我能够得到它俩 这两条红色的边呢，他俩还是平行的。走到这里，我通过背长，终于把我的三 a 二 a 给他放一块了， 三 a 二 a 终于放到了同一个三角形里头，三 a 二 a 终于放到了一块，我的目的达成了，而且呢，你仔细观察一下，这是三 a， 这是二 a， 三比二，而且呢，还有啥？题目里面还有啥？还有一个三比二，一百八比一百二，也是三比二，哎，三比二，三比二，这显然会有相似出现，要正相似的话，光有比例不够，我还得有什么？还得有夹角相等， 哎，夹角相等吗？我还得用看一下他俩这两相等吗？那显然是相等的，平行带来的夹角相等， ok， 所以 说，哎，乘比例且夹角相等，我就能够得到这两个红色的三角形，他俩是相似的， 这两个红色三角形，它俩是相似的。我理一下啊，理一下，怎么想到的？首先呢，我的方向是我要去求它的定值，没办法，直接求，先处理已知，已知的话有成比例的线段，所以说往一起放。 放两个三角形呢？放不进去，所以说，我想往一起放，往一起放的话，怎么放呢？有个终点的条件，所以说选择了什么？选择背长终点，要么造中位线，要么背长。造中位线没办法用，所以说给它背长。背长完之后，哎，首先得到了两个阴影，部分是全等的。 再进一步，二 a 三 a， 放一起之后还发现啥？二 a 三 a， 这也有个二比三 a， 得到了两个红色三角形，它俩是相似的，我得到这两个红色三角形，相似，相似能带来啥呢？相似能给我带来等角和成比例的线段。 首先来等角，如果说我设这个角是 beta 的 话，那这个角也是 beta 吧， ok， 以及大的三角形呢？它是一个等腰三角形，所以说小的这也是个等腰，那么这一段也就是个三 a， 那 么标到这里呢？哎， beta， beta， 其实我还能够再得一组平行，也就说走到这里呢， 得到这样做平行。来捋一下这个思路，首先呢，第一步是看到啥了？第一步，我的方向是，我要把三 a 和二 a 往一起放，那怎么放呢？我看到有中点，所以说给他选择了倍长， 有中点，所以说选择了给他倍长，倍长完之后，得到了全等，还得到了平行， ok， 这是第一步，全等完之后，二 a 三终于放一起了，二 a 三 a 放到了一起，还看到了乘比例的线段，乘比例的线段，哎，放一起还夹角相等，我得到了相似， 所以说第二步呢，成比例的线段终于放一起了，放一起，我得到了相似， ok， 得到了两个红色三角形是相似的， 他俩相似之后呢，相似能够给我带来等角和比例，等角一标，得到了他俩平行比例的话，这段也是三 a。 走到这里呢，其实经过刚才一大堆的证明呢，我是得到了两组平行线，那我再回过头来， 而我要正这一段是个定值。有啥想法没？来看一下，我本来推断出来他的轨迹呢，是一条什么中位线，也就说，哎，他其实也是平行的， ok， 他 平行，他也是平行，哎，但是呢，蓝色的这组平行线间，他的距离是定的，他的距离定的话，哎，那这一段也是定的，那我就可以操作了，来看一下。首先呢，在这组平行线间，我要证明这个一段是个定值，你会发现一个圈不好正，但是呢， 但是呢，看到啥了？平行线中间加了一个中点怎么办？平行线加中点，我可以给他延长捅出去，哎，捅出去之后， 那么就能够得到这两个三角形，得到这两个黄色三角形，他俩是全等的。 ok， 他 俩全等的话，这是圈，这也是圈， 哎，一个圈是定值，我不好挣，但是这两个圈是定值，能不能直接出两个圈是定值吗？蓝色的这组平行线间的距离是定值吗？那在这里我看不出来，我做一个呗，你会发现过谁做呀？那我肯定是过 a 点做， 过 a 点做了垂，就相当于做了这个大的等腰三角形的一条高，做了这个大三角形，一条高，他的三边都定了底定，那高必然也是定高，是八十倍的根号，我还能够求出来。标到这里，我得到蓝色的这一段平行线间的距离是个定值， 他是定的话，这两个圈是个定值，那么两个圈是定值的话，一个圈就是一个四十倍的根号， 结束了，四十倍的根号，有个定距离，有个定线，定线定距离，得到了轨迹。理一下这个思路，首先在前面的基础上，在我们前面刚梳理出来的基础上，得到了两组平行线，我要求这个圈是定值的话，发现，哎，不太好挣， 我就再看一下吧。平行线间加了个中点，所以说延长捅出去，得到两个圈，一个圈不好挣，那两个圈呢？就是蓝色这组平行线间的距离呗。哎，它显然是个定制呀。 ok， 他 是这个三角形一条边上的高，他的三边都定，那么这条边上的高必然也是定值，他定的话，那么圈就是个定值，他定的话，最后呢，根据什么？这里是平行线加中点，我给他捅出去， 得到了全，等得到全等之后，转化成就有两个圈，两个圈的话，他就是个定值。 ok， 那 最后呢？根据定线定距离，定线定距离确定了 o 点轨迹，也就说这个题呢，他叠加了非常非常多的基础逻辑，经过刚才的一系列梳理，我终于得到了轨迹。 那这一步我干了两个事情，这一页我干了两个事情。那么第二个事情 走到这里，我现在已经明确了它的轨迹就是这条直线。 ok， 走到这里，我已经明确了轨迹就是这条直线。那我接下来该处理什么？最大张角问题了，此时呢， o 点是在这条线上动的， o 点呢？在这条线上跑， 而我要求的是 b、 o、 c 这个角度啥时候最大来？只需要干啥，我直接做一个过两定点且与定直线相切的圆就完事了。 ok， 所以 说我直接画， 我直接画来，我们在这里就直接用我直接过这两个定点画圆，并且让圆和这条直线和 o 点的轨迹相切，长这样子，图长这样子，那我能够推出来切点呢，就是 o 点。 ok， 切点呢，就是 o 点，此时角度是最大的。 具体的证明大家可以到胖叔的主页看一下详细的证明过程。 ok， 我 们今天在这里不再展开说了，来，再来找着 o 点之后， o 点呢？它是个什么？第一步， 处理了最大章角，处理完最大章角之后， o 点呢？它是一个切点，看到切点我肯定要干啥来？看到切点我是不得连一下圆心， 看到切点我是不得连一下圆心，我们刚刚练习过的一模一样。 ok， 连一下圆心，所以说我就把圆心找着连一下圆心，连完圆心之后，它是切点，我必然得到垂直。 ok， 它是垂直的话，又因为轨迹是中位线，所以说它平行。底边 这两条线是平行的，他俩平行，这是直角，那我必然能够得到，是吗？这也是个直角，他是直角。来，进一步还能推出来啥？他是直角，垂直于他，而这条线， 这条绿色的线呢？他是圆的一条弦，垂直于弦，那我必然能够得到。他还怎么样？他还平分弦。 ok， 垂直于弦，我必然能够推出来，他还平分弦，所以说这两段就是相等的， 根据垂进定律，我就能够得到。什么我能够得到这两段是相等的。走到这里，首先呢，我已经明确了， o 点呢，是在这条线上走的。 o 点呢，是在这条线上走的。知道他轨迹知道轨迹之后，那我就先处理最大张角，给他画了个圆呗。画完圆之后有切点， 那我去给他连圆心，连完圆心之后，哎，有切点，那我必然得垂直呀。 ok， 有 垂直，他俩还是平行的，他俩还是平行的，那么有平行，我必然想着给他延长，哎，我能够再得一个九十度。 ok， 延长下来之后，再得一个九十度。 这里呢，连完之后得到，这也是个垂，它垂的话，又因为 bc 呢，它是圆的一条弦，所以说根据什么？根据垂进定力，我还能够得到它不仅垂直于弦，还平分弦。也就说这是这一撇是终点。 ok， 这一撇是终点的话，底边是一百八，这两段九十呗，先标上。 那么走到这一步，我处理了最大章角的问题，找着了取得最大章角时 o 点的位置。找着轨迹之后，我在这页先处理了最大章角，找着了取得角最大时 o 的 位置， 找着他的位置之后，哎，又因为有平行还有切点，紧接着进行了一系列的处理，是费了九牛二虎之力才走到第二步，整个逻辑比较长，所以说我们一件一件的干好， 这是我们的第三件事情。那我再走，我现在呢找着了 o 点的位置，那我要题目要求的是 pa， 所以 说我得把图画出来， ok， 来看一下在这幅图里面，题目说角最大的时候，我要求的是 pa， 所以说我得在这幅图下面把这个图像给他还原出来，我要给他重新画图， ok， 我 要给他重新画图。重新画图，那首先得把 o 点的位置给他定下来， ok， 确定 o 点的位置确定 o 点的位置的话，来，首先第一步我要重新画图的话，我知道 o 点呢，是在他的中位线上走的， 在这条线上走，但是具体在哪个位置我还没有定下来，那你回头看一下吧，在这里 o 点在这，哎，做了垂足呢，是 bc 的 什么？ bc 的 终点，这是我们刚刚推出来的， ok， 是 bc 的 终点，所以说我画的时候怎么画， 我直接去取 bc 的 终点，我直接去取 bc 的 终点，取完终点之后做垂 焦点就是 o 点，根据我们刚刚确定完之后，倒着推出来 o 点的位置的。确定完 o 点的位置之后，我要求的是 p a， 我 得把 p 点位置也给它定下来。题目他说 o 点呢是 p q 的 终点，哎， o 点是终点， p 点在这条线， q 点在这条线，我随便画就行了。来看一下， 比如说图长这样子，这是 p， 这是 q， 那 那那这幅图显然有点问题啊， o 是 它俩的中点，那显然这边有点短，那我就让它再长一点，也就说让 q 点再往下走调整一下呗，那么图就大概长这样子， 这是 p 点，这是 q 点。这一页我干的事情是重新画图，找着了他的位置之后，根据提议把这个图再给他重新画一下。也就说我要求的话，我得把最直状态下的图先画出来， 把最值状态下的图先给它定下来，我才能够去求。画完图之后，那这个图就长这样子来看，这个图长这样子，那我同样的二 a 三 a， 先给它一标，先给它标上，走到这里呢？我现在要求 p a 的 话，我只需要把线段 a 求出来就行，求线段 a 的 话就好像也没办法直接求，但是呢， 题目里面有什么？有比例还有终点，那你说，哎，我是不是还是刚才的那个思路，还是想着把比例往一起放，哎，怎么办？还是刚刚第二问的思路，所以说我给他背长背，长完之后得到它是全等二 a 跑过来， 二 a 过来之后，进一步得到相似，这三 a， 最后呢，得到这两组平行，这是第二问的图，我把第二问的图给它复原过来了，这是最值状态下的图，画完之后，我要求 a， 发现处理思路还是跟前面一模一样， ok， 有 比例有终点，那么还是第二个的思路哎，通过倍长给它构造全等全等完之后，二 a 过来，二 a 三放到了一起，哎，进一步得到相似，得到相似之后，进一步得到了这两组平行。 走到这里呢，我要求的是 a， 你 觉得这里最核心的条件是啥？这里最最核心的条件是一定把 o 一 撇位置确定下来的，这个什么四十倍的根号二这个终点， 也就说我接下来计算一定是要把这些条件给他用上的，那我就再来梳理嘛。那么首先呢，根据刚刚造全等造相似，得到了两组平行，哎，你看这两组平行线 有啥想法没？首先我明确了，我接下来计算，我一定要用上这些条件才能够接着往下算呢，那我就从一致梳理吧。 ok， 梳理的话，首先他俩这样平行，这样平行，我首先第一个想法是啥？他俩这个位置我肯定想着他俩平行，他俩平行，那我只需要把这一段沿下来，这不得一个平四吗？ 蓝的蓝的平行，绿的绿的平行，得到这样的一个平四，得到它是平四之后，那么这是一百二，这是二 a 的 话，这就是一百二减二 a 先给他标上，标完之后呢，要用上这些条件，核心是他俩，我就要看一下他有啥用呗。首先 o 点，哎， o 点呢？他是平四的。什么 对角线的交点，这两个圈是相等的，这两个圈是我倍长得到的。 ok， 这两个圈是相等的，你看到了平行四边形的是吗？对角线的交点，那我肯定要把另外一条也交上，交完之后这两个差也是相等的。 先处理到这一步，那么再来接着呢，我要用上中点，中点，我要用上这些条件，你看这像个啥？这是中点，这是中点，那他显然是个中位线。 ok， 但是他是中位线的话，哪个三角形的中位线呢？ 我得造一下两个中点的连线，我想做中位线，做中位线的话，而且这还是垂直，所以说我想着，哎，我只需要过 a 点再做个垂，我就能够得到黄色的这一段呢，就是我这个黄色三角形的中位线， ok， 他 就是我这个黄色三角形的中位线，他是中位线的话，哎，我就能标一堆了。来看，首先这是一百二，这是八十倍的根号，那么这一段能够算出来是四十， ok， 他 是四十，这一段是九十的话，那这一段就五十， 还有没有能标的？那这是终点，这是终点，这一段的终点他是五十，他是五十，这一段就是四十。 我做了个锤，能标这么一大堆，标完之后你会发现这能标的我都标了，我接下来要去找等量关系来列式子了。那其实呢，我刚刚呢，把这条线延长捅出来的时候，发现不仅得到了平四，其实平行线间还加了一个八字相似， ok， 还加了一个八字相似， 它俩相似的话，我是能够什么？我是能够表示这个线段长的，它俩相似，利用比例，我是能够表示线段长的，我就能够表示出来。这一段呢，其实是一个什么一百八减三 a 结束了没？这一段算出来是四十，表示出来是一百八减三 a， 也就说 a 这里一百八减三 a 呢，就等于四十，那我就能够得到 a 呢，就是一个三分之一百四， 三分之一百四。终于算完了，我们来理一下这个思路，理一下这个思路，首先呢，第一步这里我要把最值状态下的图给它画出来，最值状态下的图画完之后，你会发现呢，其实题目条件还是乘比例的，线段还是什么？还是终点， 从这两个条件入手，我把第二问的图画出来， ok， 还是重新画图？要处理乘比例的线段，处理终点呢？ 和第二问的思路是一模一样的，哎，倍长得到全等全等完之后，二 a 三放到一块，乘比例的线段放到一起，得到了相似，相似之后得到等角得到比例和第二问的一模一样。我先把图画出来， 画完图之后接着呢，画完之后图之后呢，看到了多组平行，哎，那我只需要把这条线沿出来，我就能得一个平次。 得到频次之后，我要再想一下这个题目的关键信息到底是啥？一定是把这个动点确定下来的。这些条件，比如说四十倍的根号，比如说中点，这个中点， ok， 这几个条件是关键信息，那我就要想用上它。首先呢，这个 o e 撇， 他是我心得的平四的对角线的焦点，所以说连了另外一条。连完之后呢，这一段这个条件他又是什么？他显然是个中位线，他是中位线这块垂直，所以说我在这里再做垂造个中位线， 所以说紧接着呢，给他勾了个中位线，勾完中位线之后给他一标，那么最后再用一个八字相似，得到一个等量关系列式子就解决了，所以说我每一页就干一件事情，然后包括最后一块， 这里的要点是大家要理解最值状态下这块计算，首先我要把最值状态下的图要给它重新画图。第二个点是 计算过程中核心的条件是这些钟点，四十倍根号，以及这个钟点。我要用上这些条件计算的思路，非常非常多的思路，这里思路非常多，大家下来可以多试一下。 ok， 但是核心是我一定要用上这些条件，用上这些条件后面我提供的这个思路之一个参考， 后面计算思路非常多，大家下来可以多试一下。大家能够从这个题目里面学习到的是这个题目的处理思路。首先呢第一个点，他求的是最值状态下的这个线段，所以说首先呢我能够把这个题拆成两部分，第一部分我把最值状态定下来， 最值状态求出来，第二部分再去求这个线段分为两部分，那么要求最值状态呢？就处理最大章角呗，处理最大章角，我要处理最大章角的话，先把动点的轨迹得确定下来， 求轨迹的时候我一定不能说我都试一下，我要有一个预判的，我预判他是走圆弧，我就用正圆弧的思路去， 我预判他是个直线，我就用正直线的思路去整。 ok， 这是我们能够从这道题里面学到的处理思路，那这个题目呢，确实难度比较大，那我们还是要从这个题目中跳出来想一下，从这个题目中对于我解题的叠加呢，也就说给我们一个， 其实就是我，我对这个基本功一定要非常熟练。 ok， 基本的这些操作，你会发现这些全都是基本的操作，全都是我们讲那个几何辅助线里面讲过特别基础的辅助线思路，所以说对这些要特别特别熟， 当叠加在一起的时候，我才能想着把它拆出来，认出来。今天这个题目还是希望大家下来能够再去把思路盘一盘。 ok， 我 觉得这个题目可以做一个，就是大家去查缺补漏的一个点。比如说我做完之后发现倍长我不会用， 发现成比例的线段我不会用，我可以针对性地去解决， ok， 因为它综合的点比较多，你可以把这个题当做去查缺补漏。

陕西中考生看过来，中考最后三道压轴题，想要得高分的圆二函数，中考大压轴，你要搞什么？第一个，圆搞倒角，搞相似，搞三角函数，搞勾股定律搞全等倒角， 同弧所对圆周角相等，同弧所对圆心角是圆周角的二倍。平行线的性质，倒角内错角、同位角同旁内角。然后用等腰三角形，两底角相等倒角用等腰三角形，两底角相等的两个外角倒角用对角互补倒角，用补角倒角，用余角倒角。 把这些倒角全部搞明白，相似 a 字相似母字相似摄影定律，反 a 字相似平行相似， 全部都搞明白，勾股定律。三角函数就不用说了吧，解直角三角形的能力跟你测高的题是一模一样的 好二次函数要搞啥？二次函数如果出应用题的话，你就得读懂题意。你如果出现了分类讨论，必须要符合实际意义和题目中的限制条件。如果是像存在性问题，那你平行四边形、矩形、正方形，却要去 得到一个等量关系，就是对角线钟点公式，也就是两个对角线， 两个对角线哦，做这两个对角线，横坐标之和等于这两个横坐标之和，纵坐标之和等于这两个纵坐标之和。这个四边形都能用，特殊四边形都能用。 如果是什么等腰直角三角形，等直角三角形存在性问题，那你就是要去讨论直角三角形斜率的问题，直角三角形勾股定律的问题，等腰三角形，你就要去跟尺规做同样去画等腰三角形，分哪个为腰，哪个为底，去分类讨论。 然后相似的问题，全等的问题，都是要去设点坐标，利用两点之间距离公式，或者两点两个点之间如果是横平竖直的去求它的距离，然后用相似比例，用全等的对应边去列就可以了。纯计算题， 然后我们的大压轴大小几何压轴要搞什么？最值？问题，旋转折叠最值？问题，动点最值，有线段最值，面积最值，角度最值最值模型有将军引马、隐形元、造桥选址、胡不归逆等线 搞这些隐形元有定弦定角、定点定长、定角定高、最大张角。好吧。然后我们的旋转就是利用旋转的性质去解题， 它里面也有个模型是肺麻点，然后我们的折叠利用折叠的性质解体折叠有时候也能得到银杏缘，定点定长就去搞这些就 ok 了。

哈喽，朋友们，今天我们一起来讲一下咸阳市二模的解析几何的压轴题。好，那么这道题一共设了三问啊，其实整体来讲，第三问横过定点问题，如果我们用到了其次化的方式，哎，那这个题就非常简单，但是如果你用传统方式算的话，那计算难度啊，不是一点大。好，那么接下来我们看一下邵哥是怎么给大家去解决的。 首先第一小问啊，那么第一小问他告诉你椭圆，然后左顶点是负二零啊，那意味着我们就可以知道 a 等于二，那么 m 是 椭圆上的任意一点三角形， m f 一 f 二，这就是个焦点三角形吗？那焦点三角形的值就是二十一加二 c 周长，所以我们就直接可以得出来 c 是 不是等于根三，那 c 等于根三，那 b 是 不是出来了？就是一啊？所以第一小问非常简单，主要我们来看第二小问，那第二小问他说椭圆 d 的 圆心， 那圆心是固定的，那你想这个动圆什么在动呢？是不是 r 半径，半径不确定，那我们把半径是不是可以射出来过 n 点，那么 n 点的坐标题目中已经给你了啊，就是负二零做两条切线，分别与椭圆交于 p q 两点啊，我们模型给它画出来，交于 p q 两点， 那么 p q 两点与 n 点不重合。直线 np q 的 斜率即为 k 一 k 二，求证， k 一 乘 k 二等于一个定制。 好，那我们怎么去操作呢？你想直线和圆相切，那我就想到 d 是 不是等于二，所以我们的操作方式啊，非常的简单。首先设直线方程，设直线设谁呢？设过 n 点的直线方程啊，我们可以给它设成 y 等于 k 倍的括号， x 加二。 好，这直线方程是不是设出来了？好，接下来我们稍微把它改一下，哎，就可以改成 k x 减 y 加二， k 等于零， 那么这个 k， 我 们要知道这个 k 的 实际意义， k 的 实际意义是啥呢？就是过 n 点的这个直线的斜率。好，那么接下来我们要满足第二个条件，意味着我们圆心到这条直线的距离是不是等于半径？好，意味着 r 就 等于 根号下点到直线的公式，也就是 k 方 k 方加一分值。好，我们把圆心零二给它扔进去，就会变成负二加二 k。 好，那么接下来我们的操作是啥呢？就是要搞出来一个关于 k 的 幺二方程。那为什么要搞出来关于 k 的 幺二方程呢？就是，你想一下嘛，他要研究是 k 乘 k 二，那不就是伪答案吗？所以咱搞出来幺二方程，我们要整理一下，两边给它平放一下，变成 r 方乘以 k 方加上 r 方等于 四减八， k 加四 k 方。好，那么接下来我们稍微给他整理一下，也就变成 r 方减四倍的括号， k 方加上八， k 加上 r 方减四等于零。好，接下来我们要用尾答，有 k 一 乘 k 二是不等于 a 分 之 c， 也就是 r 方减四分之 r 方减四就等于一。好，所以 我们是不是得出来， k 一 乘 k 二就是个啥？是不定值，定值为一。好，那么这个第二小问， nice， 好， 接下来我们看一下第三小问好。第三小问，他说的是 设存在斜率啊，存在有存在斜率的直线 l 与椭圆交于 ab 两点，且 ab 不是 左右顶点啊。有斜率且不是左右顶点，意味着斜率为零嘛。 k 不 等于零，那么以 ab 为直径的圆刚好经过 n 点。好，那我们想一想，以 ab 为直径的圆 经过 n 点，那意味着 a n 和 b n， 它俩什么关系呢？不就垂直了吗？对吧？那一旦垂直，意味着 k a n 乘以 k b n， 它的斜率是不是应该等于负一呢？好，而且我们又会发现 a、 b、 n 这三个点都在哪？是不是都在椭圆上？所以遇到这种情况，斜率是定值，三个点都在曲线上，那我们肯定用极次化进行处理 好，接下来我们怎么用奇次化呢？首先得设直线 ab， 把 ab 设为不过定点式啊，也就是不过 n 点，那我们就设成 m 倍的括号， x 加二，加上 n， y 等于一啊。那么直线设出来，接下来我们要凑椭圆的方程，把椭圆的方程要给它凑一下，就变成 x 加二减二括号的平方加上四倍的 y 方等于四。好，然后我稍微整理一下啊，给它平方展开，就变成 x 加二啊。一定要记住啊，把它要看成整体啊。 x 加二的平方减去四倍的 x 加二加四 加四， y 方等于四。哦，四，给他预约。好，接下来。其次化的核心就是他俩都是二次的数，只有他是一次，所以我们稍微给他代换一下，以一代换啊，变成 x 加二括号的平方加上四 y 方减四倍的括号， x 加二，乘以大括号 m 倍的 x 加二， 加上 n y 等于零。好，那么他等于零。接下来我们给他同除以 s 加二的平方。好，那第一坨除以 s 加二平方，就是一加上四 k 方减去四 m 减四 n k 等于零，所以整理下就是四 k， 方减四 n k 加上一减四 m 等于零。我们现在知道 k 一 乘 k 二是不等于负一，所以我们用一下回答啊，你会得到四分之一减四 m 是 不是负一？那我们整理下就是一减四 m 就 等于负四，那 m 就 应该等于多少呢？ 数应该等于四分之五，所以 m 出来了，那意味着一个餐量是不是已经搞定了？ m 等于四分之五，我们往里边扔， m 如果等于四分之五， n y 根等于零的话，那 x 加 二是不是应该等于五分之四呢？所以 x 就 应该等于五分之四，减五分之十就应该等于五分之六，那么横过的定点我们也就出来了，就是五分之六。逗号，零。好，那么这道题不知道大家觉得难度如何？牛逼！

我们来看一下这道题啊，这道题做的很一般啊，做的不是特别好，咱们先读题，嗯，矩形的话给了个三，给了个四，那么这里面看到三，看到四，我们考虑到的是三角函数，而不是所谓的三四五。三四五的话，初二的学生们也都会啊， 然后这又做了垂直，这又做了垂直啊，后面的话就是各种操作啊，这个大家慢慢去读吧啊，至少这题怎么的，读两遍吧。啊？ 读两遍啊，那第一个来看，第一个让我们说这个元欧与 a k 相切时，让我们去求 r， 那 这个题的话，我看大家做了五花八门啊，唯独没有用三角函数的，什么单勾股啊，双勾股啊，又什么等积法啊，做半天啊， 这题最好的是什么呢？你看他这块是这个相切的时候，这里面是不是肯定垂直啊，对吧？那 b k 是 不是就是我的直径，所以我的 r 是 不是等于二分之 b k？ 这题只要把 b k 给求出来就行了啊？那 ab 是 四，我设界角为 r 法，对吧？ 这个 b k 比上四就等于什么呢？是不就等于这个 cosine r 法是不就等于四逼成五啊？所以 b k 就 等于五分之十六，那么 r 就 等于五分之八啊。 然后下一个，他说 b c 落到圆内的部分，圆内的部分是不是就这段，对不对？比如说我们给个 b h 吧，啊，是不是求 b h， 求 b h 怎么求啊？啊？这是求什么？求弦长，弦长当然是垂径定里了，各位， 垂径定里的话，是不是要做垂直啊？从圆心 o 这做垂直，比如说我设这段啊， b t 吧，啊， bt v x 吧， 对不对啊？或者说咱不是 x 也行也，这个东西都知道平分嘛，是不是？然后你看啊，这个 bt 比上我们的这个 bo 啊，是不是就等于什么呢？就等于 cos 角这个，呃， o b c 啊，啊？ o b c， 对吧？然后这个重新写一下啊，咱们可以写这个啊， cosine 角 dbc 就 等于什么呢？就等于我的 b t 啊，比上 bo 啊，这个 b t 的 话 bo 是 多少啊？ bo bo 的 话我们刚才刚求出来是五分之八呀，对吧？是五分之八，然后呢就等于什么呢？就等于这个三 b 乘五啊，三角函数三比五，然后我们能求出来这个 b t 的 话，就等于啊，二十五分之二十四，所以说这个 b h 就 等于二十五分之四十八啊。呃，这样的话，我们第一问这两个小的就结束了， 然后我们说一下这个第二个啊，我们来说下这个第二个，我把其他先擦一下， 说一下这个第二个，然后第二个方法有很多啊，我先说一下啊，我先说一下我学生他们的做法， 就是 c m 跟 c n 是 相等的话呢，那这个是不是自然我做三线合一啊？做垂直是不是做垂直啊？做垂直的话，这里面我们会发现一个什么问题呢？就是 这个角跟这角相等，对吧？然后呢，这边是不是也垂直啊？所以这个是不是八字形，对吧？所以说这个也是不是叉啊？然后还有什么呢？还有就是这个叉加上这个角等于 九十度，那这个角加上他是不是也得九十度？所以说底下这个是不是也是一个叉啊，对吧？说明的什么呢？说明 b n 啊，说明 b n 是 不是平分角这个啊？ d b c 啊， 啊？角平分线吗？是吧？角平分线我可以做垂直啊，我可以做一个垂直，然后注意看啊，注意看我这个角，我蓝色这个角的三角函数是不是知道是不是还是三四五啊？ 对吧？所以说我就设这个为三 a， 这个为五 a， 对 吧？那这个是不是也就是三 a 了？ 所以说八 a 的 话就等于多少呢？就等于五分之十二，因为 c p 是 等于五分之十二等积法， a 是 不是就能求出来了，对吧？啊？这个 a 就 可以求出来了， a 求出来以后，那这段是不是就知道， 对不对啊？这段就知道，这段知道的话，我们的三角函数是不是就知道了？那这个题的话，你看啊，这个题，那我这个边知道了，对不对？然后我这个边就也可以求这个边，是不是就也可以求这个面积，是不是就出来了？是不啊？这是我学生他们的做法， 然后呢？我当时呢也考虑到了这个直接做垂直，但是我知，但是我当时想的是什么呢？我当时想的是我直接做垂直以后，这个角和这个角他们的三角函数不是特殊的，所以说我是怎么处理的呢？我是这样去处理的，你看 这角，这角，这角是不是都相等，对吧？所以说我知道，如果说我从点 m 这做一个垂直的话， 比如说 h， 我 这个角的三角函数和这个角的三角函数，我是不是都知道，对吧？啊？这个都知道，所以说我这个时候呢，我还是一样啊，我怎么处理？就是我发那个图片，我是设这个边为 a， 不好用啊？不，这个不好算，射谁呢？射 c m 为五 a， 那 这就是四 a， 这个呢？就是三 a， 他 是三 a 的 话，因为 c m 等于 c n 吗？这就是二 a， 所以 说，所以说这个角正切就是一比二， 对不？所以说这个角正切也是一比，也是一比二，那这个 pm 就 等于什么呢？等于五分之十二减去五 a， 然后这个边的话啊，这个边是等于五分之九， 所以说五分之十二减去五 a 比上五分之九，就等于一比二，然后这个 a 是 不是就可以求了？ a 可以， a 能求出来的话，他就知道了，他也知道了，然后这个就知道了，明白不啊？ 这是我们的这个括号二啊，括号二，然后我们再看一下这个三啊，这个三，这个三的话，我也说一下这个三的话，他给了一个角的正切是三，对不对？那这个角正切是三，我们能得到什么关系呢？那这个角对顶角吧，正切肯定也是三， 然后他是让我们求下 ak 的 长啊，让我们求下 ak 的 长，你看这个角的三角函数是不是比较特殊啊？是不还是三四五的关系，是不是？所以说我就从点 k 呢？我往这做一个垂直，看到没 啊？呃，如果我能求出来 bk 的 长，我这个边就知道啊，就是 bk 乘五分之四，那他知道了，那他就知道， 那他知道，他知道这个勾五定律就可以了，对吧？所以说这道题最后就转换成，求谁呢？是不是就求 bk 啊？ bk 是 不是等于二倍的小 r 啊？对不对？是不是就求小 r 就 可以了？ 那我们来处理一下，你看这个正切是三，那这个角正切也是三，然后我知道这个 b p 是 等于这个五分之九，所以说我能得到 pm 是 不是等于五分之三呢？ 对吧？啊？ pm 等于五分之三，然后我怎么去构造一个关于 r 的 一个等式呢？其实很简单啊，这是五分之三， 对不？整个的 b p 是 五分之九，你看，我只需要把 o m 给连接，这是 r， 这也是 r， 这一段 o p 是 多少呢？是五分之九啊？是五分之 五分之九减 r， 对 吧？五分之九减 r， 然后我们是不是可以在这个呃，直角三角形当中去看啊？它的这个是五分之九减 r， 然后这是一个五分之三 啊，这是一个 r 购物定例。 r 是 不可以求，对吧？ r 可以 求，那 bk 就 知道，对不 啊？ bk 就 知道了，你 bk 知道了，那这个边就知道啊？这个边知道，这个边也知道，然后他俩就可以勾到勾股定律了。

哈喽，朋友们，今天我们一起来讲一下渭南市二模的解析几何压轴题。好，那么这道压轴题其实第一小问和第二小问都是比较常规的，主要是第三小问计算量啊，还是比较大的，那么在计算的过程中，如果你注意一些小的细节，可能会减少你的计算，但对计算能力的要求还是很高。哼，烦死了！ 好，话不多说，我们直接开始。首先第一小问已知一个椭圆离心率为二分之一，短轴长，那么短轴长也就是二 b 吗？等于二 b 的 根三，那么 b 就 等于根三。 好，那么离心率等于二分之一，我们要搞方程，那我们要用 e 等于 a 分 之 c 是 不等于根号下 e 减 a 方分之 b 方等于二分之一。好，平方了之后，你会发现，我直接就可以干出来 a 方分之 b 方，他是不是等于四分之三？ 那意味着 a 方就等于几是不等于四？ ok， 所以 第一小问非常简单，我们就可以搞出来它的方程，四分之 x 方加上三分之 y 方等于一，好，那么第二小问，第二小问他说圆 j， 哦，这样的一个圆 可以将椭圆完全覆盖，求 r 方的最小值。好，我们可以画一个简单的示意图啊，大家来思考一下。好，那么在我们这样的示意图里面，那这一点也就是圆心，圆心是不是零二分之一？ ok， 这一点零二分之一。 那你想一想，如果我要把整个椭圆进行包裹，那我现在要找一个离这一点最远的点呢？还是找一个离这一点最近的点呢？全部包裹肯定要找最远的点，是吧？假设我们这个点是最远，即为 x 零 y 零， 那么我们要求的这个 r 的 最小值，所以我们通过分析你会发现第二小问，他问你 r 平方的最小值，其实就是让我们去求谁呢？是不是求 gp 平方的最大值？ 好，那这个时候我们的操作啊，正常是有两种方式，第一种方式就是参数方程，那么利用参数方程的话，我们可以转化成一个三角函数的问题去解决。最值。 好，那一般用参数方程，其实我比较建议的是遇到曲线上一个点，然后到一个直线的距离的最大值最小值。哎，我觉得是可以拿参数方程更简单一些。那对于这道题的话，其实我们拿一般一般方程解啊，也是 ok 的， 我们正常去搞，如果把 p 点设成 x 零 y 的 话，那 j p 的 平方 就等于啥呢？就等于 x 零的平方加上 y 零减二分之一的平方，所以稍微给它整理一下，就是 x 零的平方加上 y 零加四分之一。 好，那么这里面是不是有两个位置，现在我们要进行替换，那大家想一下 p 点在哪呢？ p 点是不是在椭圆上的？那意味着 p 点在椭圆上，我们就会有四分之 x 零的平方加上三分之 y 零的平方等于一。现在我们是要换 y 零呢？还是换 x 零呢？ 啊？其实非常简单，就是换 x 零，我们把 x 零换了之后，你就会得到一个关于 y 零的一元二方程。好，接下来我们简单给它操作一下， 那 x 零的平方就等于四，减去三分之四倍的 y 零方，我们给它代入，那么代入了之后就会得到 负的三分之一 y 零方减 y 零加四分之十七，等于 g p 的 平方。 好，那我们想一下，这是不是关于 y 的 约束方程，那么关于 y 的 约束方程我们要研究最值，那咱们是不是得给它把 y 零的范围给它搞出来呢？是不是负根三到根三？ 那搞对直开口向下对称轴给它干出来啊？对称轴是多少呢？负的二 a 分 之 b， 是 吧？就是负的二分之三，那么负的二分之三它有没有在这个范围内呢？是在这个范围内，所以负的二分之三就是它的最小值，是最大值。 ok， 我 们把负的二分之三带进去，我们就会得到这一 p 的 平方，就等于负的三分之一，乘以四分之九， 减去负二分之三，就加二分之三，再加四分之十七。好，整理一下， 他就等于四分之负三加六加十七啊，也就等于四分之二十，就是五。所以 r 方的最小值就等于啥？是不等于五，所以第二小问我们也就干出来了。好，那么接下来我们一起来看一下第三小问，那么第三小问他说射 c 为椭圆 e 上在第一项线上的点， 那我们就可以把 c 点的坐标给它设出来。 a 设 c 点的坐标为 x 零 y 零，如果 c 点在第一上线，那意味着 x 零，它的范围就是大于零，小于二，那么 y 零呢？就是大于零，小于根三。好，我们先把范围标上啊，那么接下来他说， 直线 a、 c、 b、 c 分 别经过椭圆 e 的 左右角点。哎，那左右角点的坐标我们可以给它搞一下 f 一 f 二，那么 f 一 的坐标就是负一零啊，那 f 二的坐标就是 e 零。 好，然后我们过 c 点做条直线啊，那相交于 a 点啊，过 c 点，过 f 二，交于 b 点，好，然后他说与椭圆分别交于 a、 b 两点，即为 c a、 a、 b、 c， 它的斜率分别是 k 一、 k 二、 k 三、 k c， a 等于 k 一 k c， b 等于 k 三、 k a， b 等于 k 二。好，我们先把几个量啊给他搞出来，那你会发现这个 a 点和 b 点咱是不是也不知道？所以正常来讲啊，我们先设 a 点为 x 一 y 一， b 点为 x 二 y， 那 你会发现 a c 这条直线过的是 f 一 bc， 这条直线过的是 f 二，它是不是都和 c 有 关系？那我们想一想，你这个斜率， 咱是不是也可以换一种方式去表示这个斜率呢？那斜率 k 一， 咱是不是可以用两点之间的斜率公式，用 c 点和 f 一， 也就是 用 y 零比上 x 零加一，那么 k 三是不是就是 y 零比上 x 零，那么 k a b 呢？是不是可以写成 y 二减 y 一 比上 x 二减 x 一， 好，那么接下来他告诉你一个等式关系，也就是 k 一 加 k 二加 k 三等于零，求 c 点坐标好。那么一般遇到这种情况，咱想一想，我的基础思路就是利用这样一个等式关系，我想办法把这个 y 一 x y 一 y 二 x 一 x 二，我是不是分别都可以用 x 零和 y 零的关系式 进行表示？好，最好的效果就是我只留下 x 零，或者只留下 y 零是单位制量。好，那如果是一个单位制量，我们是不是又可以把 x 零解出来，或者把 y 零解出来，那 x 零解出来， y 零解出来， 随便解一个，往方程里面一带，就可以把另外一个数算出来，所以我们的基础思路啊，其实还是比较简单，但是啊计算量非常大。好，那我们具体来看一下应该怎么操作。首先第一步我们先把直线 a、 c 先给它设出来， 那么直线 ac 因为他过的是 f 一 点，那也就是我们已经知道了 x 上截距，所以我们设的是横截式，就设成 x 等于 t 一 y 减一，那么这里面的 t 一 就等于啥呢？是不等于 k 分 之一？ 好，大家一定要记住啊，它等于 k 分 之一，那么按照我们刚才写的这个关系，咱是不是写成 y 零分之 x 零加一。好，那同理直线 c b 呢？是不是写成 x 等于 t 三 y 加一。好，那同理直线 c b 呢？是不是写成 x 等于 t 三 y 加 好，那这个 t 三是不等于啊？刚才那是 k 一 分之一啊，那这就是 k 三分之一等于 y 零分之 x 零减一。 好，那么接下来我们要把直线和曲线经连力，也就是连力 x 等于 t 一 y 减一，我们把同样的方程啊，写成一个整式的结构，也就是三 x 平方加四， y 方减十二， 等于零。好，整理一下就变成三倍的括号，他一平方就是 t 一 方， y 方减二， t 一 y 加一加四， y 方减十二等于零，整理一下就是三， t 一 方 加四倍的括号， y 方减六， t 一 y 加三减十二就减九等于零。然后我们想一下， a、 c 直线 a、 c 的 焦点分别是 a 点和 c 点，那我们就可以得到 y 零和 y 一 的关系， 他就等于回答定零三， t 一 方加四，分值负九。好，接下来我们是不是要给他化简好这个，因为我们刚才说了，想办法要把 y 一 用 y 零或者 x 零用关系表示啊，所以我们先把后面这一坨给他化进去， 负九三乘以好， t 一。 我们刚才写了 t 一 是不是写成 y 零分之 x 零加一啊？也就是 y 零方分之 x 零加一的平方再加四。好，然后我们给它整理一下啊， 好，下面就变成上下同时乘以 y 零方，也就是负九倍的 y 零方，然后下面的话就是三倍的 x 零方 加六， x 零加三，加上四倍的 y 零方。好，写到这啊，大家有没有注意一个小细节啊？三倍的 x 零方和四倍的 y 零方刚好等于多少呢？是不是刚好等于十二就是团方程嘛，所以它一化减就是负九 y 零方，然后 十二放进去就六 x 零加三加十二，那三加十二是不是十五？哎，我们直接画十五，那么上下同时是不是可以出一个三，也就是负三为零方，比上二 x 零加五好，那我们想一下，这一坨 它等于谁呢？啊？它是不是等于 y 零乘以 y 一， 那我们就可以得到 y 一 是不是等于二 x 零加五分之负三？ y 好， y 一 的表达式我们是不是搞出来了？那 y 一 出来了，咱能不能把 x 一 算出来？因为 x 一 不是等于 t 一 y 减一嘛，所以我们给他稍微处理一下。那 t 一 我们刚才用了 t 一 是多少呢？ t 一 是不是 y 零分之 x 零加一， y 零分之 x 零加一。 好，乘以 y 一 y 一 是不是后面这坨也就是二 x 零加五分之负三， y 零减一，那我们可以写成减上二 x 零加五分之二， x 零加五，好，整理一下 y 零，这不是约了没，对吧？上面我们稍微给他一处理啊，二 x 零加五分之负三零，减二倍的 x 零啊，就等于负五倍的 x 零，然后减三减五就减八， 好，所以我们 x 一 是不是给他干出来了？所以 a 点的坐标我们是不是就有了？ a 点的坐标，也就是 二 x 零加五分之负的五倍的 x 零减八。逗号 y 我 们也有二 x 零加五分之负三 y 零， 好，那么同理，咱是不是也可以把 b 点坐标给它干出来？那么高 b 点坐标的时候，大家一定要注意啊，你在求 a 点和 b 点它这个区别啥呢？就如果说我们要求 b 点坐标这个直线方程，这是不是就换了？换成 t 三 y 是 不是加一了？所以减一加一的部分，那么如果减一加一对哪有影响呢？是不是对这一坨有影响，那么对这坨有影响？ 我们要注意，你写出来的这个 y 零乘以 y 三，它这个结构是没有任何的改变，只有在这，哎，大家注意啊，在这下面这坨， 那下面这坨改的话，那这就是一定要注意细节啊，因为这样的话你就不用算了啊，明白啥意思吧？这样的话就不用算了，这就会变成负的吗？那这变成负的的话，这是不是也就会变成负的？ 所以我们如果抓住这几个细节啊，那后面这坨这是不是一样的哎，都会给他加一个符号，所以我们如果理解我是怎么去给你操作的啊？你你会发现这个 b 点坐标压根不用算，刚好就等于二 x 零， 上面加五，这边减五分之五倍的 x 零减八多少？二 x 零减五分之三倍的 y 零， 好，那 a 点和 b 点坐标出来了，我们刚才说了 k 二是不是等于 kab， 我 们用两点之间的坐标公式啊，也就是二 x 零加五分之负三， y 零减去二 x 零减五分之三 y 零。好，下面一样的 二 x 零加五分之负五倍的 x 零减八减去。好，然后我们正常给它通分啊，化减，那么通分化减分母的话，都会出现一个 x 零加五乘 x 零减五啊，所以我们上下这两部分就可以直接约了，约了之后 我们给他一整理啊，这个化减的部分你们自己操作去吧。上面的话，其实就要你通分的时候提一个三倍的 x 零，比上一个五倍的括号 x 零的平方减四。 这个化简过程我在草稿纸上给大家算了啊，我就不在这上面写了。好，接下来最后一步，也就是利用 k 一 加 k 二加 k 三就等于好， k 一 k 二我们前面已经写过了，好， k 一 k 二写过了，我们就直接给它抄一下就行了啊，那么把前面的我们给它抄下来，就是 x 零加一分之 y 零加上 x 零减一分之 y 零。好，加上 k 三啊，那 k 三是我们后面化简的啊，就是五倍的 x 零的平方减四倍到三 x 零 y 零，它等于啥呢？是不等于零？好，那么接下来我们的操作啊，马上就完事了啊， 这一团我们给他通分一下，也就是 x 平方减一，这边就是 y 零加一，对吧，加上 五倍的括号 x 零平方减四，三倍的 x 零 y 零等于零。好，那么中间这一坨，这，这是不是没了啊，那么它就变成上面这一部分啊，就可以写成二倍的 x 零 y 零。 那我们知道 x 零 y 零它不是大于零的吗？所以我们两边同时给它除以 x 零 y， 那 它就变成二，比上一个 x 零的平方减一，加上 五倍的括号， x 零的平方减四分之三等于零。看到这个表达式啊，那我相信很多同学已经很开心了啊，因为他只剩下 x 零一个位置上了，那我们剩下就算吧，来给他同时乘以 五倍的同乘五倍的 x 零的平方减四，乘以 x 零的平方减一。好，那么乘了之后，我们来看一下效果啊，它变成十倍的 x 零的平方减四，加上三倍的 x 零的平方减一等于零， 那只有 x 零平方一个关键是吗？啊？然后我们整理一下吧，十倍 x 零平方，三倍 x 零平方，就十三倍的 x 零平方减， 减四十，再减三就是四十三啊，四十三，那意味着 x 零的平方就等于十三分之四十三，那 x 零就等于十三分之根号下好，四十三，我们乘以十三，也就是四百三，加上一百二十九啊，也就是， 嗯，五百五十九。对啊，那么 x 零我们算出来了，好，把 x 零干出来了。那我们解 y 零往哪带呢？有些同学说，那往往直线方程里面带，其实往直线方程里面带并不是最好算的啊，那么最好算的其实是带到曲线方程里面，带到曲线方程里面，因为我们刚才有了吗？说这个 四分之 x 零的平方加上三分之 y 零的平方等于一，那意味着 y 零的平方，它是不是等于 三，减去四分之三倍的 x 的 平方，因为有平方向啊，他就好算一点啊，那就变成三减去四分之三乘以十三，分之四十三是不变这了。哎，我们稍微给他整理一下啊，也就是三减去 五十二分之一百二十九。好，那三等于啥呢？三是不是可以写成五十二分之一百一百五十六，对吧？减去一百二十九，也就是五十二分之 七二二七。好，那我们又搞出来这个 y 零的平方等于五十二分之二十七，那 y 零的平方出来了。那好，这个时候的话，我发现五十二分之二十七好像约不了，约不了的话，那我们就直接开根号，因为取的是正值啊，上面根号下二十七，可写三倍的根号下三，根号下五十二，然后上下同时乘以 根号下三乘以五十二，然后我们可以。嗯， 上面是个三，再乘以五十二，可以提个四出来。因为四乘以十三等于五十二，所以说三乘以二，再乘以根号下三乘十三三十九，下面是五十二，我们还可以约一下，就等于二十六分之 三倍的根号加三十九。啊，好，这个答案我写出来特别怪啊，就我第一次算出来之后，没有，我不知道答案之前，我算出来答案我都不敢相信啊，我自己都不敢写了。所以大家会发现整个题目其实是计算难度比较大啊，思维难度不高。 ok。

今天我们看一道引线型将军密码问题，这也是西安交通大学附属中学二模的小压轴积木告诉我们，四边形 abcd， 它的面积是十二倍根号三两边 ab 和 bc 呢，分别是六，而这个夹角 abc 是 个六十度， 由这些信息我们很容易得到， abc 是 一个等边三角形，而面积又是一个定值，这边这个等边三角形边长是定的，所以我们想这个 abc 的 面积也是一个定值。 这是我们读题的时候得到的一些信息，先储藏起来，让求 b、 d 和 c、 d 的 和的最小值，那么这两条线段的和。根据我们分析， b 和 c 是 定点，而 d 应该是一个动点，所以我们的目标应该找到 d 的 运动轨迹。 根据我们读题的信息，我们知道这个三角形 a、 c、 d， 它是一个面积为定值，底边也是一个定值的三角形。 那么 d 到 a、 c 的 距离是不是也成了一个定值呢？我们做出 d 到 a、 c 的 距离是 d、 e， 那 么 d、 e 的 长度是多少？我们可以做一个简单的分析，整个面积是十二倍的根号三， 而等边三角形 a、 b、 c 的 边长是六，那么边长是六的等边三角形，面积就等于四分之根号三 乘以六的平方，这个算下来刚好是三倍的根号三，这个是三角形 a、 d、 c 的 面积，它是三倍根号三了。那 d、 e 长是多少呢？ 我们看一下 d、 e， 它就等于二倍的 s。 三角形 a、 d、 c 呢？除以 a、 c 就 等于 二乘三倍根三，再除以六等于根号三，那么 d 到 a、 g 的 距离是一个定值，一个点到一条直线的距离始终不变，那么这个点必然在平行于这条直线的一条直线上运动，所以 d 它的运动轨迹是一条直线 两定一动动点在直线上运动，典型的将运发问题，我们采用对称的方法去处理。我们做 c 关于这条直线的对称点，也就是 c 关于 d 点所在直线的对称点。做出对称以后，我们就明确了 一个问题，这个 d、 c 就 等于 d、 c 撇了嘛？所以 b、 d 加上 d、 c 呢？它就等于 b、 d 加上 d、 c 撇。 二， b、 d 加 d、 c 撇，他是不是大于等于 b、 c 撇呢？所以 b、 d 加 d、 c 的 最小值就是 b、 c 撇， 那么我们只要算出 b、 c 撇就可以了。下来我们对题目上的数据进行分析，看怎样去计算。根据我们做对数分析，这个是九十，这个也是九十，这个整边上去的一个内角是六十， 九十、六十应该是一百五十度，这个大角是一百五十度，这边是个根号三，这个也是根号三，是这样一个三角形。我们要算 bc 撇的话， 作为我们初中的孩子来说，这个角是一百五十度，他也可以理解为是一个特殊角，因为他的补角是三十度，所以我们向外做垂线， 做垂线，做完垂线以后呢，这个角变成三十度了。三十度，我们只要算出 c 撇 f 和 c、 f， 那 么 bc 撇也就可以算出来了。 bc 撇呢，是二倍根三，三十度的边等于斜边一半，那这个点根号三了。 根据三六九三角形的一个特点，这是根号三，根号三乘根号三，那这个就是三了，所以我们可以算出 bc 撇呢，它等于根号下九的平方，加上根三的平方， 就等于二倍的根号下二十一，所以这个 b、 d 加 c、 d 的 最小值就是二倍的根号二十一。

如图，点 p 为梯形 a、 b、 c、 d 内一点，也就是说它是一个动点，角 c， p、 d 等于四十五度，角 a、 b、 c 等于九十度， a、 b 等于一百， b， c 等于 c， d 等于五十。让我们求 a p 比 p、 b 的 最小值， 此时三角形 p、 c、 d。 的 面积。首先，我们想要知道这个点 p 的 运动轨迹，嗯，我们发现角是 c、 p、 d， 它的角度是固定的，是四十五度。定弦对定角，我们知道点 p 就 在这个 圆 o 上移动，而点 p 它是梯形内一点，所以呢，它其实是在弧上移动。弧与 a、 b 的 交点命名为点 m， 我们延长 a p， 让它与圆交于点 e 连接 m、 e， 我 们会发现角 a、 b， p 等于角 a、 e、 m， 而角 b、 a、 e， 它是共用角。此时三角形 a、 m、 e 相对于三角形 a、 p、 b， 此时这个，嗯， a p 比 b p 就 被我们转化成了 a、 m、 b、 e， am 为五十。我们想要 ap 比 pb 最小，我们就要让 me 最大，所以呢，我们就要让 me 过圆，心有 ap 比 pb 的 最小值。此时让我们来求三角形 p、 c、 d。 的 面积。 过点 p 作 p h 垂直 ab， ap 比 ab 等于 am 比 ae， 我们可以算出 a p 等于二十倍的根号五，所以 p h 等于二十。所以呢，三角形 p、 d、 c， 它的高就是五十，减去二十等于三十， r， c、 d 等于五十，所以三角形 p、 c、 d。 的 面积为七十五。 求 a p 比 pb 的 最小值就是 am 比 me 的 最小值 am 等于五十， me 等于五十倍，根号二，所以 a m 比 me 就是 五十，比五十倍，根号二。 a p 比 pb 的 最小值为二分之根二。

哈喽，朋友们，今天我们一起来看一下渭南市二亩的多选压轴体。好，那么对于这道立体几何的压轴，我觉得出的非常的好。好，那首先的话，作为我自己啊，第一次做这个题的时候，我一看到 棱长为一的正方体，哎，又看到了选项里面有各种最值， a a 选项最小值是吧？最小值长度我立马想到，那我间隔做个细吗位置量设出来给他算就行了，最多得出来一个函数关系， 哎，就可以搞出来。好，这个思维啊，看似简单，就是我自己算的时候其实也吃了很多亏，那么后来的话，也是结合了一些这个同学啊和一些老师的一些建议，哎，我发现这个题的话，如果我们换一个角度来想，也就是我们换成几何的方式去处理的话， 哎，那这个题其实是比较简单的。好，那话不多说，我们来一起看一下，我们如果用几何法做的话，这道题到底有多简单。 ok， 首先他告诉你这样的一个正方体啊，棱长为一的正方体，我们给他画出来，他说 m 点是正方体内的一个动点，且 n 点是 a c 一 上的一个动点，若直线 am 与 ab 的 夹角为四 分之派。好，那你想一下啊，我把 ab 的 夹角为四分之派。好，那你想一下啊，我把 ab 的 夹角为四分之派。好，那你想一下啊，我们假设它在某一条直线上啊， 那么 m 点它是不是有无数个，对吧？它可以在这，可以在这，可以在这，是吧？哦，好，那么假角始终是四分之派，那意味着我们要保持它。假角是四分之派的话，按正常来讲也就是以 ab 为主轴，我是不是可以进行旋转， 那么旋转了之后，它这个侧面就相当于一个圆锥的侧面，那么加上它这个圆锥的侧面，但是你要在哪动的？你这 m 要在哪动的？是不是在正方形里面动的？所以它受到了边界的限制，那我们做题的时候就是你就需要干啥呢？找到边界就可以了。好， ab， 我 们确定了另外一条线， 我们可以连接 ab 撇，因为 ab 撇上的，你 m 点在 ab 撇上，随便动它夹角是不是始终是四分之派？那第二条线是不是下面也就是连接 ac， 那 意味着 ab 撇和 ac 就是 它这个边界，那我们最终形成的 这个侧面，其实大家会发现它是一个圆锥侧面的四分之一，所以你知道这个信息的话，就四分之一派 r l， 那么这个半径是谁呢？半径其实就是 bc， 对 吧？就是一嘛。好， l 是 谁呢？ l 是 不是母线长？我们可以记为 ab 一， 是不是根二，所以它就等于根二派 a b 选项直接 pass， 那 么形成的轨迹长度，那轨迹长度我们说了，刚才有两个邻界的， 因为他要和正方体表面的交线，那我们就找两条邻界线，一个是 a c， 一个是 ab， 那 么这两条邻界线长度都是根二乘以二就是二倍的根二。哎，后面是不对了，那么侧面形成了这个轨迹 是不是圆的四分之一，那么圆的半径是一啊，那么我们正常的周长是不是二派二就是二派乘以一，再除以四分之一 数一次，它就等于二分之二，那么 c 选项我们也搞定好，接下来比较难搞的啊，其实是 a 和 d， 那 我们先来看一下这个 a 选项，那 a 选项他让你去研究 c， n 加 d， n 的 最小值， 那因为 n 点是不确定的，所以我们要想办法确定 n 点的位置，一般来讲，我们要确定最值，是不是想办法 把这个 n 点，如果它能够放到 cd 的 这条线段上，哎，这最值是不是 cd 的 长度？但是啊，这个题明显就会发现没法放到上面，那这个时候我们要用到的一个解析几何的原理就是进行转移。 那么解析几何里面我们怎么转移呢？啊？咱一般是利用定义啊，对称啊，是不是进行转移？好，那么在立体几何里面， 其实我们要用到啥？等，就是我们是要用到全等啊，放到三角形里面，利用全等进行转移。好，那我们稍微给他操作一下， 先连接 a、 c， e， 假设我们取一个 n 点啊，放到这好， n 点，放到这之后，我们把 n、 d 一 连，然后 n、 c 给他一连，那现在要干的事情就是要么把 n、 c 进行转移？好，其实这两个转移啊，都是 ok 的 啊。好，那我们接下来可以这样操作， 连接 a、 e、 c， 再连接 a、 e、 n。 好， 后面的话，我们连接 c、 e、 d， 此时会形成两个三角形啊，这块这个图案稍微有点问题啊，大家一定要看仔细啊，那么三角形 a， e， c， e， n 和三角形 d， c， e， n 这两个三角形啊，其实它是一个全等的三角形。那么有些同学说，老师我看不来啊，其实你会发现这里面其实比较容易看到的信息是啥呢？就是他有个公共边，是不是 c、 e， n， 第二个的话就是 a e c 和 c e d， 他 俩其实都咬线吗？这不是相等，那么我们差一个角，哪一个角呢？其实也就是角 a e a e c e n 和角 d c e n。 那 有些同学说，老师我看不出来啊，看不出来，没事，就是你可以把这个立体图形再复制一遍，然后换一下这个点，因为站在不同角度去看的话，你就会发现，哎，这其实两个角是完全相等的，那我们就可以得到这两个三角形，它是个全等， 那么这两个三角形全等的话，我们是不是就可以得到 a e n 就 等于 d n？ 好，那这就太开心了，我们是把 d n 转移了，转移到哪了？是不是 a e n 了？好，我们把其他的这个线给它划掉，那么此时我们接下来的一个小小的操作，也就是把 a e c 给它连接一下，那么两个梯对角线，它是不是有个交点？那这个交点就是我们要找到 n 点的位置， 那我们想求的 d n 加 c n 是 不是就等于 a e n 加上 c n， 那 a n 加 c n 啥时候最小呢？是不是在一条直线上，也就是 a e c 的 数 t b 角线等多少根三，所以这个 t a 选项我们就解决掉了。好，接下来我们看一下这个 d 选项。好，那么这 d 选项我一开始用代数法做的时候，我就没想明白这个三分之根三是个啥玩意，哎，他为什么写在这的，然后他就告诉你 m 点是在这个侧面上。 哎，这两个条件我我想的，哎，可能就是未知量会减少一点，三分之跟三有可能化解的时候会约，没想到我自己算的时候怎么算都搞不出来，后来的话我好好边琢磨了一下啊。我们来想一下，这个三分之跟三是个啥玩意？来，我把 ac 先连上 n 点，不是在 ac 一 上的吗？ 来， a， c、 e 的 长度刚好是根三， ab 的 长度是一，我把 c、 e、 b 给它一连，这刚好是个啥？是直角三角形，它是不是是根二，对吧？这是个直角三角形，那这个假角的 cos 值是不是刚好是一比三？就是三分之三？所以我想到了啥？那么 an 乘以三分之根三，就相当于 a n 乘以 cosine c 塔，那就相当于 a n 在 谁的上面投影，是不是 ab 上面投影，我直接做一个垂线。 nice， 我 做一个投影之后，那么三分之根三， a n 就 等价于 a n 撇， 对不对？好，那么如果等价于 a n 撇，我接下来是不是要再找 n 点到这个平面的最短距离？那 n 点到这个平面啥时候最短呢？ 那垂线最大吗？所以我们做一个垂直，那垂直的时候，那这个 m 点，这个垂足是不是刚好是 m 点？那你会发现这个 nmbn 撇就是一个啥？是不是矩形？那么它作合之后的最小值也就是 a n 撇加上 n 撇， b 等于谁吗？不是等于 ab 吗？等于几呢？是不是一？哎，所以如果大家能想到这啊，那这个题其实也比较简单， ok？

大家好，今天我们来看一道中考模拟题，这是一道选择压轴，呃，这道题啊，动口性比较强，考察了正方形的各个知识，以及三角函数还有相似等各方面。那我们先来读题，如图，在正方形 a， b， c， d 中点 e， 在 线段 d， c 上连接 a， e， b， d 相交于点 f 点 g 呢，是在 a、 e 的 延长线上连接 d j， 若 g， d 等于 g f， 且它的角 a， f， b 等于四，则 d j 比上 a、 e， 它的值是多少？ 那这道题呢，首先咱们观察一下啊，是一个正方形，然后呢，有一些这个边的等的关系，以及啊，三角函数这样一个值，那么这里面呢，没有边的具体的长度， 那所以说呢，这种题一般说是设参数啊，适而不求，那或者呢是另某一些边的长度啊，干脆直接为一就可以了啊，因为是选择题啊，选择填空这样的题呢，都可以这样来设， 那咱们先来看一下，找一下这个突破口，那这呢， g， d 等于 g， f 这个等幺，那另外呢，还有参数的 a， f， b 等于四， 哎，这呢， afb 这个单点型啊，它不是一个直角单点型，所以说咱们需要构造，那一般来讲就是做垂直啊，没有其他的，这个没有太多的其他方法。 那咱们看一下，如果说直接过点 a 做 bf 的 垂线啊，其实这样呢，没有必要，为什么呢？因为有正方形，咱们其实可以直接连接 ac 啊，这样呢，直接连接 ac 呢，自然会产生一个直角， 连接 a、 c 中呢，咱们交 b， d 于 o， 那 这样呢，自然就是垂直的啊，这是正方形的一些特点，那所以说三角形 a o， f 啊，它就是一个直角三角，那这样的话呢，它这个角 a f b 等于四，那么咱们可以令 o f 等于一，那这呢，一般如果说大写的话呢，可以令 o f 等于 a， 那 因为这呢是选择填空，咱们其实令 o f 等于一啊，是比较好算的啊，接下来各方面都比较简变 好，那这样的话呢， a o 呢，就等于四啊，因为弹起的这个角呢，是啊，这个四，那四比一，所以呢，这个一，这个就是四，所以 对等线 a c 自然是等于八啊，这个呢非常明显，那 b d 呢，也等于八。另外呢，咱们还可以直接通过这个一比一比根二这样一个关系，得到了这个正方形的各个边，它的长度 都等于四倍的根二，这个呢也比较好求，咱们就略过，直接写结果。好，接下来再看一下啊，要求 d g 比成 a e， 那 我们需要把 d g 还有 a e 这个长度给它表示出来，那当然，这样呢， d g 是 等于 g f 的 啊，如果表示一下 g f 也可以，那既然这有垂直了，咱们想想，刚才也说过了啊，这是个等腰，咱们不妨过点这样再做一个垂直， 那么立刻有了一个三线合一，就这样呢，假设是要垂直为 h， 一个呢，是这样呢，是垂直的。再一个呢， f h 和 h d 都是相等的，那其实刚才这个 o f 等于一， 那 a o o c 等于四，其实 b o o d 啊，哎，也等于四，就是 o c b o， 还有这个 o d 呢，都等于四，那 o f 等于的话呢，咱们可以得到 d f 就 等于三，那 三线合一， h d 呢，是垂直于这个底边的，所以说呢，它就平分这个底边，所以说呢，这个 f h 啊，还有 h d 呢，都等于二分之三。 好，这样一个关系。那另外呢，咱们再来看一下这个要求， a e 怎么去表示这个 a e， 既然 a d 等于四了，如果说能表示出来这个 d e， 那 么 a e 就 能求了，这个 d e 怎么求呢？哎，咱们这呢，可以另一个相似 啊，因为有正方形，这样一个平行就出一个相似，就是三菱形 d e f 和三菱形 b a f 相似啊，这个呢，也是在正方形当中比较常用的啊，非常常用。那这样呢，咱们看一下，应该是对应边乘以比例， d e 比上 ab 等于 df 比上 f 啊，这个呢就非常明确了， df 呢是等于三的，而 f b 呢啊，这没写。咱们 f b 呢，应该等于 o f 是 一， o b 呢，是这个 四啊，所以说呢，是一加四等于五。哎，所以啊，这个 d e 比上 ab 乘以五分之三， ab 呢是 a b 的 话，应该是四倍的根二。好，四倍根二乘以五分之三，就等于五分之十二倍的根二。那这样呢，咱们把 d 表示出来， 接下来咱就可以表示 a e 了，那 a e 的 话，直接固定点啊， a e 呢，就等于根号下啊，这个方加这个方就是 a 地方，再加上地方，咱们把 d 一 啊，还有 a d 啊， a d 呢，这也有了，咱们直接代入，然后呢计算啊，那这样的话，咱们可以再然后呢，再开方就可以得到这个长度呢，是等于五分之八倍的根下十七。 好，这个呢计算咱们一定要过直接写结果。好，这样的话呢，求得了 a e， 那 么下一步呢，要求的是啊，这个 d j d g， 其实呢，咱们可以用 f g， 为什么要用 f g 呢啊？因为这呢有一个对角，这垂直，这垂直，这个 a f o 和 g f h 相色，哎，这个相似呢，可以另一下， 那因为这个相似比呢，就是这个边比这个边应该是一比上二分之三啊，一比二分之三，那相当于这个边比这个边呢，也是一个一比二分之三。那咱们这样呢，需要把 af 求下啊，这个 af 呢比较简单， 呃，直接就是这样呢，是个四， a o 是 四， f o 呢是一，它就是一个根下十七，所以说啊， af 就是 根下十七，比上 f g 啊，这个边比这个边等于这个边比这个边呢是一比上二分之三啊，通过这个化简计算，咱们可以得到，那么 f g 的 长度呢，就是 二分之三倍的根下十七啊，通过这个比例关系就知道了。那么这样的话呢， d g 比上 a e 啊，就可以算了，那因为 d g 呢是等于 f g 的， 那就相当于二分之三倍的根下十七，然后再比上 a e a 一 的长度呢，是五分之八倍的根下十七，那这呢根下十七约掉了，就二分之三，再乘以八分之五，也等于十五比十六。那么这个答案呢，就是选 a， 那 这个题啊就得到了解决。好，感谢大家收看，再见。

初中几何所有的问题，不管你是七年级还是八年级还是九年级，只要你开始学了三角形之后，所有的问题的落脚点都在三角形，三角形内角和三角形全等，三角形相似，三角函数 就在这些问题上把握这个核心之后，我告诉你怎么构建解析思路。比如说 咱们这个全等，那全等学了之后你要想什么？手拉手全等，旋转类的手拉手全等，两个等腰三角形或者等边三角形，在某一个顶点进行旋转，一定角度 s a s 证明全等。 还有背长中线全等，如果一个三角形，一个中线，然后让你去求某一个线段长，通过背长中线的方式转化， 然后再求线段长，然后一线三等角，特殊的是一线三垂直也是三角形全等的问题， 然后咱们这个全等说完了之后再说相似。相似的话，一般在咱们的测高题、圆的综合题、大小几何压轴题中， 很有可能还跟反比例函数考察知道吧？相似。首先手拉手相似，刚才说的是两个等腰，那如果不是两个等腰呢？对不对？如果是两个不等腰的相似，三角形旋转， 他就会形成手拉手相似，左手也拉左手，右手拉右手。第二个一线一线三等角相似，没有没有，只有角度的关系，或者是两个夹边，两个边加一个角，他形成了一线三指一线三等角的相似。 第三个 a 字相似，第四个八字相似，第五个母子相似， 第六个发 a 字相似，写 a 字相似，第七个这个共角相似啊，反正就是这些相似，来来回回考，在咱们的核心题型里考察， 然后还有一个就是咱们的三角函数，三角函数跟勾股定律往往会结合考察，为啥？因为他俩有共同特点，就是要构造直角三角形， 在圆里面求一个线段长的时候不能直接通过相似求解的时候，有可能你就要去构造三角函数，如果题里面有四十五度，六十度、三十度，或者给你一个三角函数值，这个时候就要用三角函数， 他有时候往往要跟勾股定律结合，或者垂径定律，他一定要会很会跟勾股定律结合。所以注重几何的万能解题思路就是以上内容。

各位家长同学们大家好，今天我们交流陕西省二零二五年中考数学压轴题第八题。 下来我们看题。在平面直角坐标系中，二次函数为等于 i， x 平方减去二， i， x 加 i 减三，其中 i 不 等于零 的图像与 x 轴有两个交点，且这两个交点分别位于文轴的两侧，则下列关于函数的结论正确的是， a 图像的开口向下 b 当 x 大 于零时，为随 x 增大而增大。 c 函数的最小值小于负三 d 当 x 等于二十为小于零， 我们结合图像来进行分析。 由二次函数于白时， y 等于 o， x 平方加 b， x 加 c 中，它的对称轴为 x 等于负的二 f 分子 b， 在这里 a 就是 ab 是 负二 a， 我 们把它代入函数对称轴方程，得到 x 等于负的二 a 分 子负二， a 等于一，也就是对称轴为 x 等于一。 我们从图像中可以看出，顶点是函数图像与对称中的交点，所以把 x 等于一代入函数。解析式得 y 等于负三， 这样我们就得到其顶点坐标为一和负三。图像又与 x 轴有两个交点，并且分居在 y 轴的两侧。 如果 a 小 于零，我们让 a 等于负一，观察 顶点坐标还是一和负三，也就是说它以最大值为等于负三，这时候开口向下，它不会与 x 轴相交，这不可能。 所以 a 一定是大于零的，且向 a 开口向下是错误的。再由二次函数的增减性是以对称轴为分界点的。 应该是当 x 大 于一或者小于一， y 才随 x 增大而增大，或 y 随 x 增大而减小。它在 b 中所 x 大于零时， y 所 x 增大而增大，我们看 x 大于零时， 函数图像是 y， x 增大而减小，到 x 等于十以后， y x 增大而增大。这样 b 的 选项是错误的， 由顶点坐标得出，它有最小值小于负三。 c 选项中说最小值小于负三， c 也是错误的。 在有函数图像的对称性，得列对称轴距离相等的点，也就是说 x 等于零和 x 等于二，这两点对应的函数值相等。 因为函数的图像与 x 轴的两个交点分居在 y 轴的两侧，而顶点为一和负三， 既然它在左边的交点在 y 轴的左侧的话，它与 y 轴的交点一定在 x 轴的下方。我们在函数一般式中， 二次函数图像与 y 轴的交点就是这个常数 a 减三的值。既然这个角点在 x 轴的下方，所以 a 减三一定是小于零， 那么我们刚才说道 x 等于二和 x 等于零，对应的函数值相等， x 等于二十，对应的函数值也应该是 y 等于 i 减三小于零， d 说 x 等于二十， y 小 于零应该是对的。小结，本题是含有参数系数的二次函数，其综合考察二次函数图像的对称轴顶点坐标 与坐标、轴终点位置函数最值就是最大值和最小值等与系数的关系。 二次函数图像与系数的关系我们在二次函数图像与系数中专题讲过， 第八题的分享就到这里，谢谢大家。

各位家长同学们大家好，今天我们分享陕西省二零二五年中考数学压轴题第十三题 魔图。过圆点的直线与反比列函数为等于 x 分 子 k， 其中 k 大 于零的图像交于 a、 b 两点， a 的 坐标为 m n， b 的 坐标为 m， 减去六和 n 减去六， 则 k 的 值为。我们知道过圆点的直线实际上是正比例函数的图像，而正比例函数图像与反比例函数图像有交点时，则两个交点。关于圆点对称， 我们下来用图像动画演示。现在看过元的直线与反比列函数图像不相交，这是因为过元点的直线中的 k 是 大于零，在以三项线，而反比列函数图像 k 是 小于零，到了二次项线了。在题中是反比例函数图像中的 k 是 大于零的，所以这个图 不符合我们这个题。我们让它再变化，使它的 k 大 于零，之后它就到了 一闪像线了，这时候我们可以看到它与过圆点的箭头直线就有 a 边两点，观察到 a 点和 b 点正好是关于圆点对称的。 我们再看在这个变化过程中，也就是 k 在 变化过程中始终观察到 a 与 b 关于圆点对称。下面我们绕这个反比例函数图像的 k 不 变， 而让正比例函数的图像中的 k 发生变化。看 a 点和 b 点是不是会关与圆点对称呢？ 看我们刚才观察过程中，在变化过程中， a 点和 b 点始终关与圆点对称， 我们再让 k 往小变的过程中观察。通过 在正比例函数和反比例函数图像看的变化过程中，我们始终看到只要这两个图像有两个交点，那么这两个交点始终关于原点对称。 如果两个函数图像关于原点对称，那么这两个函数图像的横纵坐标都是互为相反数， 也就是说，它们两个点的横坐标和为零，即 m 加 m 减六等于零，纵坐标和也为零， n 加 n 减六等于零。 由这两个式子我们减除， m 等于三， n 等于三。把 m 等于三， n 等于三，就相当于 在 a 点中横坐标等于三，纵坐标也等于三。但在反比例函数解析式中得到 k 应该等于 x 乘以，也就是 k 等于三，乘以三等于九。 小结，本题的核心考点是当正比例函数图像与反比例函数图像 有脚点时，两个脚点关于一点对称，这跟我在反面列函数图像中专题讲过，今天我们第十三题就分享到这里，谢谢大家。

哈喽各位，我是你们的数学逗老师，那么我们前两期讲了繁衍变化的秒杀技巧以及它的底层原理，这一期我们拿一道五大最近才考的繁衍变化的模考题来应用一下吧。那废话不多说，我马上会给大家最简单、最直观、最不绕弯子的解决方案。 那讲到这，咱们就应该把刚总结那套秒杀已经擦掉了，对吧？不能说我考试的时候靠背诵这套秒杀技巧，考试的时候对着一步一步练，那肯定是不行的，我们要做的是理解，理解再理解。好，那我们先分析题目， 说某校园文化节设计一个菱形，那我知道是一个菱形，菱形边长为十六 角， b 是 六十度，告诉你，在顶点 a 处有一个固定的角，角 e f 等于六十度， 那我们定角是不是有了？紧接着灯光覆盖的区域有一个 g 点在 a e 上，且要求角 a、 g、 f 的 面积永远是三十二倍，根号三。 哎，通过这样的条件，我们是不是就把我们的第零步完成了？有定角有定面积，是不是这个面积一定可以转换成定角定积的形式？那我们继续往下看，在满足这个面积要求前提下，求点 b 到 g 的 最短距离。 那好，到这这个繁衍变化就很明显了，定角定面积，并且最后求的是一个定点朝我从动点 j 的 距离最小值。那我们现在就得按照我们的秒杀技巧的思路，一步一步去推理这道题了。那我们第零步 定角定面积转换成定角定积的形式，那这个面积怎么来的？是不是 a f 乘 a j 乘以这个高， 这个高是不是又是二分杠三 a f， 那 我就是 a f 乘以二分之杠三再乘以 a， j 再乘以二分之一，等于我的三十二倍杠三 二分杠三过来六十四再乘二，也就是 a f 乘以 a， j 是 一百二十八， 且定角 e f 是 六十度。 ok， 那 下一步我们是得去锁定这个模型了。那围绕着这个三角形 j a、 f 是 不是有随着 f 点在这个轨迹 c、 d 上移动 定点 a 确定，然后通过定角定基的形式把从动点 j a 确定了，对吧？那我们是不是就知道定点是 a， 主动点是 f， 而从动点是 j， 那下一步呢？我们是不是得去构造那个定线了？那我们构造定线的思路是尽可能的简单，能帮我们把那个构造的相似三角形条件变得更直观，因此我们一定是做垂直是最直观的。怎么构造？ 我过我的定点朝我的主动点的轨迹做垂，那是不是就我 a 朝 f 点做垂？由于哦，这块有小技巧，我相信大家到初三肯定都知道就是 菱形，且有一个角是六十度，那其实它就是两个等边三角形拼到一起了，那因此我角 d 是 六十度， a， d 是 十六，我的这个 am 就是 八倍根号三吧。 ok， 那 我现在定边确定了 am， 且等于八倍根号三，那我们现在要相似，我们是不是还差条边 怎么构造？另另外一条边就是定角定机限制的呗，定角六十度，因此我的 am 是 不是也得绕着 a 点顺时针旋转六十度？先把角度确定 好，这块有一个做些小技巧，由于我们这垂直这六十度，所以这个角是三十度，我又要再旋转六十度，我们一定提前把条件标清楚。我现在知道我构造这条线 其实是应该垂直于 a d 的 吧？好，我现在把我勾到，比如说我叫 a n 吧，我先把 a n 的 方向锁定了，是一个垂直 a d 的 直线上运动。那紧接着是什么所 a d 的 a n 的 长度呢？是不是 a n 乘以 am， 是 不是得等于我们的 af 乘 aj， 也就是一百二十八，那这是八倍根号三。这段长是不就是一百二十八？除以八，也就是十六，再除以根号三，也就是 a n 是 三分之十六倍根号三。 ok， 比如在这吧。 好，那我们构造这个 n 点，不就是为了把这个不好用的定角定基的形式转换成相似三角形的形式呗？我现在是不是一定可以去证三角形 a m f 相似于三角形 a n g 了呀？ a g n 了呀？来，我们这块稍微写细一点，由于 a n 乘 am 等于 af 乘 aj， 那 我调成对应边的形式， a m a m 比上这个 af， 是不是就得等于 a j 比上 a n， 且由于我勾到的六十度，这个加角也等于六十度。减去这个公共角角一是不一定有这个角 j a m， 我 有角，角二等于角 m a f， 那是不是就有三角形 a m f 相似于三角形 a n g a g n 啊？就是老说错，大家一定记得对应边乘比例，所以我们得是这个角对的，这个角 我们做相似，其实不就是这个目的吗？我们后期熟悉了，就知道为啥我要这过到九十度，就是为了这倒九十度好定圆心嘛。 那好，我们通过相似，把这个九十度锁定下来了，也就是无论我的 j 怎么动，我得满足两点，一，我的角 a j n 得是九十度，并且我的 a n 是 固定的， 垂直于 a d， 且长度为我们刚算的三分之十六倍，刚好三。那我们最后一步是不是就定圆心计算呗？圆心就是 a n 的 中点点 o 半径是不是二分之 a n， 所以 我知道 r 等于三分之八倍刚好三， 我是不是还得勾股定，你去求 b o 的 长度怎么求？沿下来，嘿，这个垂直是不是正好帮我们做到这个题目里了？这垂直，所以这垂直整个长度这是八，整个长应该是八倍杠三，减去一个半径，所以我的 o， 比如说叫 k 吧，我的 ok， 应该是个三分之十六倍杠三，而我的 b k 是 八， 那我就通过勾股定律，根号下 b k 方加 ko 方，先去把 bo 确定吧，这个算一下，也就是这块同样有技巧，这有八，这有十六，我是不是可以提个八出来， 那就是八倍根号下一方加，这是三分之二倍，根号三方， 对吧？是不等价的，这是不是很好算，这三分之四，这一，也就是根号三分之七，三分之根号二十一，那整个这个长度 bo 就是 八分之啊，八倍的三分之根号二十一， 对吧。而我又知道我的半径是三分之八倍，根号二十一，对吧，而我又知道我的半径是三分之八倍，根号二十一，对吧，而我又知道我的最小值不就是 三分之八倍的根号二十一减根号三百。那好，根据我们对模型的熟悉，以及对我们秒杀技巧运用这道五大的压轴题，我们就很顺利的做出来了。