八下一次函数智慧作业卷

球参数的值，某体育用品厂采购员要到厂家批发购买来球和排球，共一百个 来球，来球的个数不少于排球个数，付款总额不得超过一万一千二。以这两种球的批发价和零售价，如下表，设该材场，该商场采购 x 个来球， 那么牌球就是一百减 x 个球。商场采购费用 y 与 x 函数关系式，并写出自变量的数值范围啊，直接写 y 就 等于 排扣费。来球是一百二十个，所以是一百二十 x 加上排球是一百个，所以是一百倍的，多少呢？一百减 x 啊，所以最后算出来等于二十 x 加上这个一万。 呃，且我们还会知道什么呢？ x 肯定得大于零，然后一百减 x 也得大于零。 这个地方能不能区的，就比如说另外一个不买，好吧， 啊，这个其实可以不用考虑好吧，这个肯定都得是正的。我们其实主要考虑的是什么呢？主要考虑的，其实这这里两个信息，这两个信息其实就够用了。其实如果你把刚才那两个加上也可以九， x 得比零大，一百减 x 也得比零大， 这两个加进去，加进去其实不影响结果。为什么不影响结果啊？因为你把后面两个向量一起发现了。好吧，所以我们其实可以不用不用写那个前两个，所以且来球的个数 不少于排球个数啊。所以应该得大于等于什么呢？一百减 x， 所以 x 得大于等于五十。好，且付款总额。付款总额是什么呢？那就是二十 x 加上 一万不得超过，所以得小于等于一万一千二，所以 x 得大于等于五十。小于等于六十，小于等于六十，且 x 为整数， 你看刚才一个是大于零，一个是小于一百，好吧，那不影响结果，因为最后我们去公共部分还是五十到六十啊，所以主要抓住这两个部分确定范围。 好，第二个，商场，把这一百个来球全部以零售价售出，求商场能获得最大利润。好，这个和前面的内容是一样的好吧，所以设这个 利润为 w， 则 w 应该就等于来球的利润，一百五减去一百二， 一百五减去一百二，乘以 x 加上这个排球的利润一百二减去一百，然后乘以排球是一百减 x。 好， 所以最终算出来等于十 x 加上两千啊，这它的利润。因为 a 等于十大于零，所以 w 随着 x 的 增大而 增大，前面有范围是不五十到六十，所以当 x 等于六十时， w 最大等于六百，加两千就是两千六百元， 对，最大的利润就是两千六百元。这个跟前面的一样，就是写出它的利润和自变量 x 的 异函数关系式，根据增减性确定 x 取最大值的时候利润最大，还没有涉及到参数啊。那么第三问， 受原材料和工艺调整等影响，采购员实际采购时发现来球的批发价上调了三 m， 台球的批发价下调了二 m， 而该体育用品商场决定不调整商场零售价， 也说零售价不变，但是它原本呢，一个进价涨了，一个进价下调了，进价涨了，利润就少了，进价少了，利润就高了。 好，那么现在把这一百个钱一百个球全部卖出去，获得的最低利润是两千三，求 m 的 值。刚才第一题是让我们分析它 什么时候能够取得最小最小值，最低利润，但现在是明确告诉了我们，这个最低利润是两千两千三。反过来求 m。 好， 我们先写 w 接 w 就 应该等于好。注意一件事情，原来排球的利用是一百五，减去一百二是三十，它一个的利用是一个，来球的利用是三十，但现在因为批发价上涨了三十， 所以你的利润就要减少三十。好，乘以 x， 再加上排球原本的利润是二十， 但是因为现在进价跌了，进价跌了价，调了二 m 元，所以你的利润就要上涨二 m 元。因为我不改变我的售价， 我售价不变，但是我买把这个东西买回来的时候便宜了二 m， 所以 我卖出去能多赚二 m。 它的利润所以是一百减 x。 好，简单整理之后就应该是等于，这里是三十减三 m， 这里是二十加上二 m， 所以 应该就是等于五十。呃，三十减二十啊，所以应该是十十减去五 m 啊， 减去三 m， 然后再减去个二 m 嘛。好吧，所以十减五 m 倍的 x， 然后再加上一个两百 m， 加上两千，加上两千， 这是合并之后的结果啊。合并之后的结果是十减五 m 倍的 x 加上两百 m， 加上两千。好，接下来你会发现我们还知道 x 是 大于等于六十 范围呢，五十到六十啊， x 是 大于等于五十，小于等于六十的， 那现在告诉我们最低利润是两千三，我们就要知道到底什么时候取得这个最低利润， 那么我们就要分析这个增减性。所以第一种情况，当十减五 m 大 于零，即 m 小 于二十， 直接五。 m 大 于零，也就是 m 小 于二十， w 随 x 的 增大而增大，所以当增大而增大嘛。所以当 x 等于五十时， w 最小等于两千三。这个数是求的是最小的时候取的，所以带进去， 所以就可以得到十减五， m 乘以五十，加上两百乘以五十，加上两千等于两千三四十。得 先把 m 这个算出来。呃，算出三百，这是一千，负的应该是七百，对吧？负的七百除以三十五，三十五的话应该是等于， 我看算一下。呃，一千加两千三千，这应该负的七百，负的七十除。呃，七十除以五，七十除以五的话，应该是。咳， 十四啊，所以就是十减五 m 应该等于负的十四，所以五 m 应该是等于这个 二十四吗？ x 等于五十时，最小是两千三，两百乘以。哦，这个地方不是 m 啊，念错式子了，我说怎么算出来，答案不对了， 只有 x 是 等于五十啊，只有 x 等于五十，所以是把这个面的 x 换成五十，所以十减五， m 乘以这个五十，加上两百乘以 m 是 个，这个是不动的啊。这个 m 加上这个两千等于这个两千三 啊。应该是这样做，这样的话应该就是前面这里应该你看算出来应该就是五百， 再减去二百五十 m 再加上两百 m 就 等于三百啊，就等于三百，所以负的五十 m 就 等于负的两百，所以 m 等于四啊，没问题 啊，算出 m 等于四了之后，你会发现它是比二大的，不成立， 因为我们这么选择有个前提， m 得比二小，结果我却算出来一个 m 是 比四比二大的数，前后矛盾，所以这种情况是不成立的啊。第二种情况， 当十减五， m 等于零，即 m 等于二十， m 等于二的时候，你会发现 w 就 等于零，加上四百，加上两千等于两千四，不等于两千三，也不成立。 第三种情况，当十减五， m 小 于零，即 m 大 于二十，这个时候你会发现变成了 w 随 x 的 增大而减小， g a w 随 x 的 增大而减小，所以就是 x 越大， w 越小，所以当 x 等于六十时， w 反而最小等于两千三，所以再把六十带进去啊，那就是十减五 m 乘以六十，再加上两百 m 加上两千，就是我需要知道 x 取多少，再带进去求 m 啊，知道 x 取多少，得到这个两千三，带进去求 m， 所以 等于这个两千三， 你看就是把这个 x 换成六十了，得到一个关于 m 的 方程，得到 m 等于三，这个时候是成立的。 得 m 等于三，这个时候是大于二的，它是成立的。也说 m 比三大的时候，它是 y 数 x 增大而减小，所以应该在六十的时候带进去，发现刚好最低利用是两千三，满足条件。所以综上 啊，我们得到 m 值就应该是三。第二种情况呢，直接不成立啊啊！第二种情况下，你会发现就是 m 取二的时候啊，它的最终的这个利用是个定值，始终等于两千四啊，就不会变啊，不会产生什么两千三。然后第一种情况 啊，第一种情况，那么他要想这个取得这个最小值，应该是在 x 等于五十的时候，我把 x 等于五十，带进去等于两千三，发现此时的 m 应该要等于四，那他就和题目的原本的提示条件不符啊，所以排除掉只有最后一种情况成立 这类题的这个做法思路基本上是固定的好吧，做法思路基本上是固定的，这个关键就是就这三种情况，好吧，讨论这个比例系数， k 比零大比零小和等于零啊三种情况。然后像例题一，它是只需要你分析什么时候取得这个最值啊，例题二就是告诉了你得到了最值，反过来去算这个参数的值 啊。最后通过一个 e x 方程去反向去把参数的值算出来，还要根据前面的提设去验证成不成立。

一次函数的应用题，是我们八下期末必考的应用题，今天我们来学习它其中内容费用最低的问题， 下面来看一下这个题目啊，这是我们珠海去年的期末考试题，那他说去年有个热播电视剧长安的荔枝啊，你看这个东西就每年都会出现一些与热点的内容相结合的题目啊，这个这题出的挺好的啊，这个珠海， 那么现在看一下，他现在要运荔枝啊，运这个荔枝，现在呢有两种的方式，一种是走水路，一种呢是路路， 那走水路的时候呢，有百分之三的损耗，走路路的时候呢，有百分之五的损耗来，他现在说如果要用五艘船，十辆马车来运输这两百筐的荔枝，中间不改不改变这个运输方式，最终的损耗是八，呃，八筐， 我们看第一问啊，他说问每艘大船是多少筐啊？每辆马车可以运多少筐。那看到这个问题呢，那就是问什么就设什么就可以了啊， x 筐， y 筐啊，我们要设未知数啊，设， 那接下来呢，我们就列方程啊，那有两个未知数就要列什么样呢？两个方程啊，我们要找到两种关系，这种关系呢就是要总共要运两百筐啊，五辆的这个五艘船，那就是五 x， 加上十辆车，十 y， 最终等于两百筐。 第二个呢就是它的损耗，总共损耗了八筐哎，那这个水路呢，损耗百分之三，那就在这个基础上乘以百分之三。 那露露呢，损耗百分之五，那就在这个的框数基础上乘以百分之五，最终刚好等于八框。损耗。好，方程列出来，了解得 最终减出来 x 和 y 分 别等于多少呢？你像这种啊，非常大的时候，我们在运算的时候，我们可以有点小技巧，我们可以怎么样啊？两边同时乘以一百，把它改变一下，里面乘以一百啊，那就是这里剩三三五就是十五， x 加上啊，五乘十就是五十，等于多少呢？等于八百对不对？ 然后我们再同时呃约小一点，同时除以多少乘以五，呃，大家去算一下对吧？ 应该是一百六，对不对？好，那接下来你看这个和这个就可以直接相减相加，对吧？所以这地方我们就过程就不再详细讲啊，最终啊， x 等于二十， y 呢？是等于十的啊，等于十的。 好，那接下来呢，我们来看一下啊，打这个自己去打啊，那就说我们每辆大，每艘大船呢，能够运二十筐，每辆马车呢可以运十筐啊，这我们的第一问，那第二问就是我们今天重点了啊， 他说水路运输啊，每艘大船需要一千两百文，山路运输呢，每辆马车的费用是八百文，为了控制成本， 总的运输费用不能超过一万四。看到这个不能超过，要注意啊，我们给他标注一下啊，不能超过的意思怎么样啊？就是小于等于的意思，小于等于一万四千文，而且大船的数量不超过，你看又有不超过了，这又是一个不等关系啊，就小于等于 吸收啊，那么恰好运完了这两百筐的荔枝啊，而且不考虑损耗的情况下，该如何安排大船和马车的数量才能使得这个费用最低。 那这个时候呢，我们一定要有函数的思维啊，既然有函数，我们就要去，怎么样呢？就要去列关系式了啊，然后列了关系式，要探讨最值的话，那也求范围呀，所以第一步我们先去啊，设未知数啊，列关系式，那设谁呢？既然安排大车大船和马车的数量，我们肯定要设未知数啊， 那么可以设大船，大船是多少呢？因为前面用了 x y 啊，我们用 m 啊，然后这个马车呢？ 马车这个地方要注意啊，因为他这个题稍微的哎，难度增加了一点，他不像以前啊，说这两个相加总共有多少多少收，对吧？多少量，他没有这样子，他什么都没给，只是给了一个， 给了一个怎么样呢？恰好是两百筐，给了一个总的筐数，所以这个地方我们必须得通过这个筐数要再去表示我们马车的数量。这马车数量怎么表达呢？就是我总共两百筐， 我马这个大船呢，有 m 艘，它运了多少筐呢？我们知道大船一艘是二十筐嘛，所以它运了二十 m 筐一剪呢，剩下的就是马车的这个运的筐数，那再用这个总的马车的筐数除以它每一车能运的 啊，运的是多少呢？是十筐。那这个时候呢，我们就可以表示出马车的数量了，我们可以化简一下，它得多少呢？就是二十，减去二 m 啊，我们可以要打上这个小框，哎，这个是量对吧？ 那个是收，那还有一个呢，就是费用啊，说他的费用为多少元呢？费用为 w 元，一般是这样啊，收尾数我们就收完了啊，这个地方相对于他增加的一个难点，我们要注意一下啊， 那接下来呢，我们叫列关系式， w 等于什么样呢？费用分成了两个部分啊，大船的费用和马车的费用。呃，每收呢是一千二，那就是一千二百 m， 这个马车呢，每每一辆是八百八百乘以二十减去二 m。 那 么接下来化简一下啊， 一千二啊，我们这里减去一千六，对不对？负的四百啊，四百 m， 再加上一个一万六 啊，一万六。好，这个关系式出来之后呢，我们探讨他的最大值或者最小值得求范围范围在哪里呢？就是刚刚我们标出来的这两个啊， 那接下来求范围范围的话，有两个，一个是他的费用，费用实际上就是这个啊，负的四百 m 加上一千啊，一万六，要小于等于一万四。还有一个呢，这个大船的数量，大船就是我们的 m 啊， m 要小于等于七。 好，那接下来呢，我们就把这边擦一下啊， 那接下来我们就解得把这个解出来， 解得我们的 m 呢应该在哪里呢？是大于等于五，小于等于七的。好，有了不等关系，接下来我们就要通过函数的性质来求对值啊。接下来我们要这是一个固定的模板，因为怎么样呢？先说一下这个前面的系数， 负的四百是小于零的，所以当我们的 m 等于多少呢？那么要知道啊，在这个一算数里面，我们这个系数小于零的时候，那这个 w， 也就是我们的 y 会随 x 的 增大而减小，对吧？那在这个里面就相当于说是 w 随着 m 的 增大而减小， 你想啊，增大而减小，我 m 取多少的时候他会最小呢？肯定是取的是最大的那个，对吧？在这个范围内最大的那一个，那么就肯定取是七啊，当 m 等于七的时候，这个 w 啊，有怎么样呢？有最大值 啊，最大值，那既然要求最低费用是多少，我们就得为多少呢？那么就需要把这个 m 等于七啊，带到我们这个表达式里面去，那这个求出来的就是负的四百乘以七，哎，再加上我们的一万六，最终是一万三千两百。 好，那接下来我们就要打，对吧？他说怎么运输啊？啊，怎么安排啊？就是当这个大船有多少收嘞啊？为七收 啊，为七收，那我们的马车有多少呢？多少辆啊？相当于是二十，减去二乘七啊，就是六辆，对不对？有六辆是费用呢？最低啊，有最低费用， 有最低的费用，费用多少呢？一万三千二百文啊，这里是文， ok， 所以 这里的话我们要，哎有怎么样呢？依次函数的这种探讨的意识啊，要知道是怎么探讨的，大家反复看一下这个过程和解析的一个思路。

八年级家长看过来，孩子学函数是不是总卡壳？上课听懂了做题就错，错题没解析根本不会改，家长想辅导却一头雾水。别愁，这款二十六年教研沉淀的八年级下册数学人教函数专项试卷来了！ 五十三页，全是函数，即表示与图像，核心考点每道题都配详细解析，孩子自己就能搞懂。有电子版，不懂下单找客服，也有打印好直接邮寄的版本。左下方小黄车赶紧拍，部分地区不包邮，早用早提，分别让函数成为孩子的绊脚石。

一次函数这章节是我们八下数学最有难度的一个章节，因为它涉及的知识面比较广，既涉及到几何，也涉及到代数，而且它衔接了我们初三的二次函数，它也会出现在压轴题里面，所以接下来的话，我会为大家陆续的去制作 从一次函数从基础的综合题到压轴的综合题，并且像以前一样制作成合集，大家可以持续的关注 啊。如果说大家在县级段学习一次函数，有什么样的疑问都可以在评论区留言，我会一一的回复大家。那今天的话我们来讲解讲解。第一个啊，就是一次函数的解析式求解，加上去判断这个点是否在图像上，我们现在看一下题目， 他说已知一次函数的图像呢，经过 a 点和 b 点两个点，第一问要求这个一次函数的解析，那这是我们呃包，无论你是 我们一呃八下数学期末考试的压轴题的第一问，还是我们中考的呃函数压轴题的第一问都是求结式，那这个结式呢，是一定要会的， 那求这个结式呢？我们用的方法叫待定系数法啊，它的步骤呢，接下来我会为大家一一展示啊。首先第一步要设结式，设结式呢，它是一函数的话，我们就可以设为呃 y 等于 k 加 b， 这里加个小括号， k 等于零。 接下来呢就是如果我要求的是 k 或者是 b 其中一个，我们只需要带入一个点的坐标就可以了，那如果说这 k 和 b 都不知道有两个参数的话，我们需要带入两个点的坐标去建立方程组啊，比如说这个我们就两个都不知道，那么就分别把这两个点带进去， 接下来呢，就把每一个点里面的，比如说这个是 x， 这是 y 分 别带进去啊，那这个看到 x 呢，就换成零，零乘 k 等于零，加上 b， 那 就相当于零加上 b 啊，它等于多少呢？ y 是 一。 第二个呢，就是看到 x 就 换成一啊，一乘 k 就是 k， k 加 b 等于多少呢？ y 是 对的，是零，那么就建立了一个二元次方程组，接下来我们就把 k 和 b 解出来， 这地方 k 的 话啊， b 知道是等于一的， k 的 话就是负一，那求出来 k 和 b 之后，我们就可以下结论了，一次函数就是 y 等于，看到 k 就 换成什么样的负一，那 k 就是 负的 x 一 要省略掉，加上我们的 b 是 一啊，这是我们的待定系数法的一个解答过程。 好，第二个问，判断这个点 p 是 否在一次函数图像上，我们可以怎么办呢？我们可以把这里的 x 带进去，就是当 x 等于负一时啊，我们指出 y 等于多少呢？可以把它带进去啊，就是负的负一加上一等于多少呢？一加一等于二。 好，那这时候我们来对比一下，这个对求出来的二和这里坐标的一相不相等呢？不相等，因为二不等于一，所以呢，我们下个结论，这个点 p 呢啊，负一到一不在图像上，不在图像上 啊，不在图像上，所以这个地方呢啊，如果它相等的话，就是在图像上，不不相等，那就不在啊。那这是我们今天讲的第一个技术知识点啊，用待定系数法求结式判断这个点是否在函数图像上。

八、下数学的一次函数，求参数的取值范围，是一种必考的题型，很多孩子呢，明明图绘画也会分析图像，却还是丢分了，原因就是他们在做分类讨论的时候啊，少考虑了一种远点的情况。 那究竟当时是怎么回事呢？我们还原一下案发现场，来给大家避避坑。学完这道题之后，再把林老师给大家整理的一次函数的十大题型拿去练习巩固一下， 只要把里面的题搞定，期末轻松多拿二十分。好，我们来看题。那现在呢，我们就假设今天做错这道题的同学的名字叫做小明同学， 那么带入他的视角，看他从哪一步开始犯错的。若一次函数 y 等于括号内 k 减二， x 加 k 的 图像不经过第三象限，然后呢，要求 k 的 取值范围。小明同学说，老师，这道题要画图啊，好，咱们把图画起来，第三象限在这个位置， 所以呢，不经过第三象限，他就说这样画好。接下来呢，小明同学又说，老师，这个图像往右下方走，说明他的斜率啊，这个 k 减二啊， 必须小于零啊，这是他找到的第一个关系。接下来他又说，老师，后面这个常数，这个加 k 指的是这个图像和 y 轴的这个交点啊，我用红色标起来啊，表示这个交点， 他说这个焦点呢，从图可知，他在 y 轴的上面，所以说明这个 k 啊，他要大于零，对吧？啊，就是这个点。所以呢，他要列出第二个式子，他说 k 要大于零哎，所以他是这样列的， k 大 于零。好，然后呢，他就把这两个不等式给他结合起来解了一下，解得这个 k 呢，是大于零小于二啊，然后呢，他看了一下选项，就很快乐的选了这个 a 选项啊，结果就丢分了， 你们知道问题出在哪里吗？其实问题就出在啊，这个不经过第三象限，除了他画了这种情况之外， 还有一种什么情况呢？我是不是这条直线还可以往下继续移啊？我最低最低，我是不是可以移到我刚好过圆点，这样子也叫做不经过第三象限呢，对不对？所以也就说我的这个斜率的分析，这一步没问题， 但是呢，关于这个截距这个点呢，我不一定是在 y 轴的上面的，我最低最低最低可以去到 圆点，这里也是符合题意的。所以呢，这一步呢，我们就是说 k 大 于零，要变成 k 大 于等于零都是可以的。所以最后呢，我们的答案呢，就跟小明同学的答案就差一点点，就是这个地方要补个等于号 啊，所以最后答案呢，不应该是选 a， 而应该是选 b 啊，这里呢，要加一个等于号好，是不是很坑呢？你学会了吗？

八年级的一次函数中，已知平行求解析式是期末高频的易错题型，但是呢，刚学一次函数的孩子，他根本就不理解在函数里面平行是什么意思， 他们的脑袋瓜里面在想说，哎，平行不是几何里面的事吗？怎么函数也关他事啊，然后也不懂得带变去求逼，所以呢，经常丢分，十分可惜。 而且我要告诉你，一次函数还只是个开头，后面我们还有二次函数，反比例函数都在等着他们呢， 所以呢，我们一定要开个好头，把基础学好，一点一点的进步。那今天林老师呢，就手把手带着大家把这类题型吃透， 学完之后，再把林老师给大家整理的一次函数八大题型拿去练习巩固一下，期末考可以多拿二十分。好，我们来看题，若一次函数 y 等于 x 加 b 的 图像 与直线 y 等于负二， x 加一平行，而且呢，过这个点三动，问这个一次函数的解析式是多少？ 那么在刚开始学一次函数的时候呢，孩子们对于平行这个几何的概念怎么用在函数里面还是不太熟练的。那么今天呢，我就给你讲清楚它的底层逻辑。 我们知道一次函数的解析式啊，它叫 y 等于 k， x 加 b， 然后呢，你得知道这个 k 和这个 b 分 别代表什么？那么今天呢，就来讲讲这个 k， 它有一个专门的名字，叫做斜率，那么大家可以想象一下，斜率是什么意思， 是不是代表它倾斜的这个程度啊，对不对？那么你想想看，当它跟另外一条直线平行的时候， 平行的时候，那是不是代表着它们的倾斜程度是一样的，对不对？所以呢，我们今天要教的方法，就像如果你看到平行，那就意味着它的斜率相等，也就是 k 相等， 所以呢，我们可以由这个平行条件直接得出它的 k 就 应该是这个负二，所以我们可以这样写， y 等于负二， x 加 v， 你 看我们已经解决了一半的内容啊，已经把这个 k 解决了。 好，那接下来我们再看第二个条件，他说过这个点三斗五，那过点又是什么意思呢？你看有这么一条直线，然后呢，里面过了这个点，这个点呢叫三斗五， 那说明什么呀？是不是说明这个点它得符合这条直线的算法呀？那现在我们知道这条直线它长，这个算法就是 y 等于负二， x 加 b， 所以呢，我们这个三动五是不是也带进去，它也得成立呢，对不对？所以呢，我们就可以啊，把它带进去， 三带进 x， y 带进五啊，那就得到了这个五等于负二乘以三，再来加个 b， 哎，那这个就轻松解的，把这个移过去， v 等于什么？十一，那至此 k 和 b 都被我们解决了，所以这道题的最后答案就是， y 等于负二， x 加上十一，搞定，你学会了吗？

依次函数的应用题，是我们八下期末必考的应用题啊，今天我们来讲利润最大问题，哎，这一道题也是之前的一个期末考试真题，你看，他也是结合了当年的一个热点啊，冰墩墩，雪融融。哎，上一个我们讲的是 另外一个热点啊，荔枝，那今年大家也要关注一下，今年我们有没有后续有没有一些热点的新闻啊，也有可能结合来考，然后看一下啊，这道题， 他说啊，在三月呢，购进一批冰墩墩，雪绒绒，已知呢，一个冰墩墩啊，进价比一个雪绒绒要多七十块钱啊，这是一个关系。然后购买八个冰墩墩和十五个雪绒绒，金额一样啊，这是一个等量关系。那下面看第一问啊，第一问， 选啊，第一问，他说求冰墩墩和雪融融两种玩具的进价分别是多少？按道理来讲呢，我们可以算 x， y 也是可以的，但这个地方呢，我们实际上用一元方程会更简单，因为他题目当中明确了这个啊，冰墩墩、雪融融之间是有关系的。而且呢，你看啊，这里 说冰墩墩进价比这个什么样啊？雪绒绒多七十块钱，那我们可以选择设其中一个为未知数，而且通常我们设的是后面那个量为 x， 比如这里面我们设的是雪绒绒为 x， 那 这时候我们的冰墩墩呢，就是 x 加上七十。 好，这里是未知数啊，接下来我们就列方程啊，未知数呢，只有一个，我们只需要一个方程就可以解决了，所以这里有一个关系式可以列方程啊，八个冰墩墩，八个冰墩墩，就是八乘以多少呢？ x 加上七十等于十五个，雪绒绒就十五 x， 那这个呢，很好解决啊， x 就 等于八十啊，这是我们的雪绒绒的啊，八十，那所以呢，这个八十加上七十呢，等于一百五啊，这是我们什么样呢？这是我们冰墩墩的钱，对吧？一百五十 啊，答，我们要答啊，冰墩墩一百五十块啊，雪绒绒八十块啊。第二问，我们的最大利润啊，来了， 那依然是啊，我们第一步设未知数，列关系式啊，列不等式，求范围，我们现在设未知数，他说两者完全共四十只，哎，这比上一个题呢，哎，就上上题要简单一些啊，我们就可以设其中一个啊，我们可以设冰墩墩 m o， 许蓉蓉呢，四十减去 m o， 依然要设未知数啊 啊，四十减 m 个，然后还要还要特别要设一个。什么样呢？设它的利润啊，利润，设它的利润为 w 元啊，设利润为 w 元。好，接下来我们就先列这个关系式， 这个总的利润应该等于怎么样呢？两个部分啊，冰墩墩的钱，雪绒绒的钱。冰墩墩，他的进价是多少呢？哎，是一百五，卖多少钱呢？卖两百块，所以他一个的利润就是两百元，一百五就是五十块钱，有 m 个五十 m， 再加上呢雪绒绒，哎，卖呢一百块，进呢八十块，每一个就是二十块钱的利润，四十减去 m， 最终化简一下啊，化简一下应该是三十 m 加上八百，哎，不等这个关系式呢，我们就列出来了啊，接下来我们去找不等式，求 啊，范围不等式哪里呢？你看这里有不超过这个字样？没有哎，不超过就是小于等于的意思，但是够进这个，那就是进价喽啊，总共不能超过三千五， 那么看啊，冰墩墩进价是一百五，那是一百五十， m 加上，哎，雪绒八十块钱的进价有四十，减去 m 个，最终要小于等于三千五，那最终 m 算出来应该是怎么样子的呢？ 小于等于七分之三十，好，有了关系式，有了范围，接下来我们就要通过函数的性质求对值，那么因为 m 什么样呢？ 呃，这个地方啊，因为我们的三十是怎么样呢？大于零的，而且 m 为什么啊？为整数啊，为整数。 那所以呢，我这个当怎么样呢？当 m 等于多少的时候啊，我这个 w 会有最大值啊，它有最大利润嘛，对吧？那么要知道，当这个前面这个系数啊，我们 y 等于 x 加 b 里面啊， 我这个系数大于零的时候， y 随 x 增大而增大吗？那在这个题里面，就是 w 会随会随着 m 的 增大而增大，所以 m 越大，我的利润越大，那所以在这个范围内，我要取到的 m 应该是这个范围内的最大值， 那么呢，先估一下，七分之三十应该是多少呢？应该是四点几，对吧？四点几的话，在这个范围内的最大值应该是谁呢？是四啊，所以当 m 等于四的时候呢，我这个 w 就 什么样呢？有最大值啦 啊，有最大值，那最大值的话，他并没有让我们求这个最大率是多少，所以在这里就可以结束了啊，所以打打这时候我们的 m 是 谁呢？ m 是 冰墩墩啊，等于四个，那雪绒绒呢，一减就到了三十六个的时候 啊，那我们的这个利润就会最大，哎，所以依然是这个格式啊，就先列关系式啊，求范围，然后通过函数的性质来探讨最值。

依次函数的应用题是我们八下期末常考的题型，而且像这个数形结合的应用题是我们依次函数的应用题中最有难度的题型。他要求我们对这个运动的状态和图形要能够一一匹配，而且又要求我们从这个复杂的图形里面去探讨多种的情况， 所以今天的话，我们通过一个视频把它完全搞清楚。现在读一下题目，他说这里有两个人约好去爬山，那么甲和乙呢？他们攀爬的高度就是距离地面的高度和他们攀爬的时间的图像是这样子的，那一看这个图像就非常的复杂啊， 那么现在初步的分析一下，这个甲和乙他分别是怎么爬的啊？可以看到这一条已经标出来了，他是甲的一个呃，图像，甲的图像呢？他一开始这里从一百开始的，说明了什么？他一开始爬的时候就已经距离地面是一百米了， 他整个过程当中都是一条直线，说明他的速度啊，都是保持一致的。然后呢，我们可以看啊， 以呢就分成两段了，一开始 o a 这一段他是从零开始爬的，就说距离地面从最底下开始爬的啊，爬到这个地方他的速度啊，你看这个图像啊，变抖了，说明他的速度变快了。 哎，这是第二段，他有两段的一个过程啊，而且这两条 ab 这段和 cd 这段有交点，说明此时啊，他们在统一高度上啊，同样的一个高度上。 好，这是大概的我们图形的一个解答啊，接下来我们看一下，第一问他求什么呢？ t t 在 哪里呢？是 a 点对应的时间，就说我的这个乙啊，从零走到了三十米的地方，然后他用了多少时间？ 那这个很简单啊，我们知道在一段上他的这个变化啊，速度变化是一样的，所以他们速度一样，速度怎么求呢？速度是通过路程除以时间得到的，所以我们可以看到这里有一个标了，一和十五的啊，一个点， 也就说他从零走到十五用了多少分钟啊？用了一分钟，所以他的速度就可以怎么样呢？用十五除以一就等于十五 米每分钟，这是他的速度。那现在我要求这段里面，他走了三十米的情况下，用了多少时间呢？就用三十这个这个路程除以他的速度就三十除以啊，十五就等于两分钟了，所以说 t 等于二。好，第二个问的第一个呢，他说 如果一提速之后，乙提速就是指 a、 b 这一段他的速度将是谁呢？甲的三倍，他就会问甲的上升速度是多少？ 那甲的这段只有一个数据，要算他的速度还是比较难的啊。那我们可以通过先算乙这段的速度来求，对吧？那乙这段怎么办呢？依然是用怎么样啊？速度等于路程除以时间，路程是怎么样看的呢？ a 点到 b 点，从三十到三百，他走了多远呢？走到二百七十米， 然后他用了多少时间呢？这里是二刚我们已经算出来的，两分钟的时候，到十一分钟的时候，一共用了十一减二，用了九分钟，那就用二百七除以九等于三十米每分钟， 这是谁呢？这是乙的速度，那乙呢？又是甲的三倍，那除以三，那甲的速度就是十米每分钟。好，第二问他求什么样呢？甲，在登山的过程当中，他的这个函数表达式，这个也很简单啊，我们已经知道了什么样呢？ 知道他是一条一次函数，而且没有过圆点，所以他是啊，一次函数，我们可以设来解数， y 等于多少呢啊？ y 等于 k， x 加上 b， 接下来我们代入两个点的坐标就可以了，就是零到一百和我们这个点到三百，但这个点呢，没有，我们可以也可以计算啊， 因为我们已经知道假的速度了，速度就是三百减一百，这个路程除以这里的时间就是这个减去零嘛，就是这个 t 啊， 那我们速度已经知道十了，他走的路程是两百，那我们就可以求出他的时间啊，就是两百 除以十就等于二十，比如说用了二十分钟，所以这个地方就是二十啊。现在我们就可以把这两个点啊，二十到三百，零到一百带进去，就可以求出他截式，这个求出来是多少呢？ y 就 等于呃，十， x 加上一百加一百， 那你说这个有没有更快的方法呢？有，首先我们要知道啊，这个 b 是 什么？是函数与 y 值的焦点，它已经是一百了，所以我们直接可以得到 b 是 等于一百的。第二个呢，这个 k 是 什么？是变化的趋势，在这个图形里面，变化的趋势就是速度的变化， 这个速度是等同于 k 的， 我们已经算出速度是十，所以它 k 就是 等于十的，直接可以得出它几个式也是可以的啊。好，第三问 啊，这是 y 甲的，然后现在他说甲乙两个啊，距离高度差为五十米，那么请写出满足条件的这个时间 x 的 值。那这个是我们这个题当中最有难度的部分， 那怎么来探讨是最好呢？他的情况到底有多少种？我们通常是找到这个拐点和交点，比如说这个是拐点，这是交点，这也是拐点，用线啊，把它画下来。整个过程呢，我们就分成了四个部分，这条线左边的，两条线之间，两条线之间，这条线右边的。 那每一种，每一个区域呢，都有可能相差五十，那这个五十，所有的五十，就是说要么假在前面啊，假在上边或者移在上边，他们一减就等于多少呢？等于五十在图像上表示。为什么样呢？在这个区域内，上面的这个 y 减去下面的这个 y， 刚好等于五十啊。 那么先初步从左边这个部分开始出发，看判断一下他否不符合要求啊。那很明显第一个阶段是不符合要求的，为什么呢？ 第一个阶段，我的这个乙啊，爬到最高的地方才是三十，这个甲一开始就是一百了，所以说我的最高和他的最低都相差七十了，所以在后面的过程当中肯定会越来越大啊，所以不可能相差五十。第一个阶段呢就排除掉。 那第二个阶段呢，那就是甲是在上面的，也就是说甲还是爬爬的比较高的，乙呢，要矮一点，他们两个一减呢，等于五十是有可能的啊，有可能。所以这个时候我们怎么来列式呢？就用甲的这个，呃， 我们的这个结式减去怎么样呢？乙的结式，那这个时候呢？乙的结式我们要去求啊，乙的结式呢，这里有两段啊， 第一段我们就判断它已经不成立，我们就不用求了，我们求出啊， a y a b 这一段， y b 呢，两个点都知道了，我们就直接设结式啊，带两个点的坐标进去就可以了啊，这个算出来呢，就是 y 等于三十， x 减去三百啊，三百 啊，减去三十啊，这个等于三十。好，接下来我们就可以探讨这种情况了啊，哎，上面减，下面就属于呢，甲减去乙，哎，甲的在这里啊，十 x 加上一百，减去我们的三十， x 减三十，最终相差五十， 哎，相差五十，这个是可以算出来的， x 等于多少呢？ x 等于四啊，这是一种情况。第二种呢，哎，他跑到哪里呢？经过这个交点处啊，他们相等了，然后已跑到前面去了，这个时候也有可能已减角是可能的啊，已减角就反过来了， 哎，三十 x 减三十，减去十， x 加一百，哎，加一百等于五十，最终算出来 x 呢，是等于九的，这也可以， 还有一种呢，是怎么样呢啊，来到这里呢，这个乙呀，已经爬到三百米，他就不爬了，接下来就是甲一直在爬，对吧， 哎，一直在爬呢，他们的距离啊，逐步在缩小，也有可能是相差五十的情况，那这时候呢，我们就怎么列式呢啊？第三个式子啊，我们写这里就是用上面的三百，哎，减去我们甲的这个关系式啊，就是 十 x 加上一百等于五十，那这个也能算出来是等于多少呢啊，这个 y 是 等于 x 等于十五的，那所以总的来讲呢，我们这里啊，所有的 x 的 值呢，就有三个 x 就 等于四或者九或者是十五。

这种一次函数和几何综合的大题，一定会在我们八下期末出一道压轴题，那这种题目他解析的方法非常固定，今天啊，依依老师就教大家三步法，轻松搞定这类题目的答案。 那有关于一次函数的综合大题啊，我们常见一共有十大类题型，老师都给大家总结出来了，而且每一类题型它的方法都非常固定， 所以我们现在学题不应该是单单的刷题了，而是应该养成题目题型化的思维，逐个突破，你后面在考试当中遇见这类题目，才能举一反三好不好？下面咱们就来一起看看这道题。 说已知函数，它的图像与 y 轴交于 a 点，这是 y 等于 x 加一啊，那 a 点不就是零一了，对不对？这就是零负一了。好了，依次函数 y 等于 k， x 加 b 过点， b 零负一，哦，这是零负一呗。标图 与 x 轴以及 y 等于 x 加一的图像哦，交于 c 和 d 两点。好了，现在说 d 点的坐标告诉你了，是 e， n， 让你求 n 的 值 来看地点，地点是两个函数图像的焦点。第一个问很简单，由于它既在 y 等于 x 加一上，又在 y 等于 k， x 加 b 上，所以我直接把它带入这个已知的解析式去求 n 就 行了。 所以带进去咱们就有 n 等于一加一也就等于二，所以地点的坐标就是一二了，对不对？哎，第一个问白给分的，咱们就求出来了， 求出来之后呢，咱们去看第二个问，让你求 y 等于 k， x 加 b 的 解析式。由于我们想求这个解析式，得知道两点的坐标，咱在这已知了一个地点，在这已知了一个 b 点，所以直接代入，我们就可以求第二个的函数解析式了， 求出 y 等于三， x 减一就是这个函数的解析式了。接下来我们来看第三个问，也是我这个视频要主要讲解的求四边形 a、 o、 c、 d 的 面积。这个四边形是个不规则的四边形，那该怎么求呢？ 所以在这我们要借助一个方法，叫做割补的方法。哎，咱们要把它分成两部分去求面积，那怎么分呢？你会发现啊，在这这一段已知是一对吧？这一段我能求出来，因为它就是这个函数图像与 x 轴的焦点嘛， 所以我得分三角形的时候，分成两个面积已知的三角形，所以在这啊，我就连接 o、 d 这么去分。 所以第三个问啊， s 四边形 a、 o、 c、 d 的 面积就等于三角形 a、 o、 d 的 面积， a、 o、 d 的 面积是啥呀？二分之一以 a、 o 为底，以谁为高啊？ 以地点横坐标的绝对值为高，是一对不对。同样 c、 o、 d 的 面积怎么求呢？二分之一底乘高，我们可以选择 c、 o 为底。 哎，以地点纵坐标的绝对值为高，那 c、 o 的 长度是多少啊？来在这求一下。哎，我们直接令什么 y 等于零，那三 x 减一等于零， x 求出来，不就等于三分之一了吗？ 所以这一段的长度，它就是三分之一，也就是二分之一乘三分之一，再乘以它的高高，不就是二吗？ 所以我们很容易可以求出最终的答案，就是六分之五，它的面积也就求出来了。所以遇到这种题，咱们一定要巧用面积公式，选择合适的方法再来求解。

今天给大家讲的是我们一次函数里面有参数，然后又有取值的问题，就是含餐取值问题。那么这类题相信大家都见过，就说已知关于 x 的 一次函数， y 等于 k， x 减 d， 然后呢？当 x 大 于等于一，小于等于二时，那我的 y 是 大于等于四，小于等于六，让你去求 k 和 b 的 值。 那有些孩子呢，拿到这个题的时候呢，他第一反应就是啊，我的一和四对应，二和六对应，那我直接就是 x 等于一， 然后 y 等于四， x 等于二， y 等于六，然后带到这个解析式里面去，我就不能，能就把 k 和 b 求出来了吗？对不对？那可能第一反应是这样想，但这道题 x 最小值，它对应的就是 y 的 最小值吗？ x 最大值，它对应的就是 y 的 最大值吗？这道题的核心是要去怎么办？要去讨论对不对？因为我们要去讨论 k 的 大小，为什么呢？因为 k 这个参数它管着什么？管着我们一次函数的增减性，对不对？比如说 y 随 x 增大而增大，那就是 y 取最大， x 取最大，或者说 x 取最小，那么 y 就 取最小，因为它是随着 x 的 增大而增大，那 y 要取最大， x 就 取最大，那 y 要取最小， y x 取最小， 那反过来，如果 y 随 x 的 增大而减小，那我 y 要取最大，那么我的 x 就 要取最小，那么 y 要取最小， x 就 要取最大，对不对？这道题的增减性他确定吗？不确定，为什么？因为我的 k 他 没有给什么限制，对吧？ 所以那我们就应该要怎么样分类去讨论啊？所以刚才我说那种思考的一个方向呢？他只能做出一种答案来，那么我们要去讨论啊 啊减，第一种情况应该是当 k 怎么样大于零时，对吧？那大于零的时候，我们要考虑它的增减性，就是 y 随 x 的 增大而增大， 那么增大而增大是为了说明什么呢？为了说明我们是 x 等于一的时候， y 就是 等于四，那么 x 等于二的时候， y 就 等于六啊，所以呢，应该是 x 等于一十，那么 y 等于四，那么 x 等于什么二的时候呢？我的 y 应该是等于六，对吧？那么所以我们就可以把这个带进去，那就是我们 x 等于一的时候带进去，那就是 k 减 b 等于什么？等于四以及我的二 k 怎么样解？ b 等于六，对吧？那我直接可以写解得了哈，解得，那么这个过程呢，大家自己去算一下，这个是我们之前学的一个呃，二元 一次方程组，对吧？那我们直接用下减上，那么就是 k 就 等于二，对不对？ k 等于二，然后呢，我们这个 k 等于二代进去呢？就是二，应该是减掉负二才等于四，所以 b 应该等于负二，是不是？这就是我们的第一种情况？当然我这里给大家提个醒啊，有些题他会比较刁钻，是什么呢？我们算出来的 k 的 值，如果算出来是个负数， 如果算出来是个负数，那么就不行，为什么？因为我们得到的前提条件是 k 大 零哦，如果你求出 k 是 负的，那么这种情况是不存在的啊。那我们来看一下第二种情况，第二种情况是不是就是当 你看我们绕葫芦画瓢，是不是跟着顺着这个写，只是说他是增大而减小吗？是吧？那就是 y 随 x 的 增大而 减小，那么 x 等于几？等于一的时候，我的 y 应该是取到最大值六啊，那么 x 等于二的时候呢？ y 应该取到最小值等于四，那么可以列出是怎样的是吧？那我的 k 减 b 呢？等于六，然后我的二 k 减 b 呢？等于四，那么直接写解得，那么解得什么呢？解得我们一样的用下减上吧。二 k 减 k， 是 不是？ k 负 b 减去负 b， 那 就是负 b 加 b， 那 等于零，那所以 k 应该等于负二，是吧？ k 等于负二加进去，那么负二减 b 等于六，那么我们这个负 b 应该就等于八，是吧？ b 应该等于负八， 所以这就是我们的第二种情况。所以那么我们看一下 k 等于负二，他满不满足？ k 小 于 unk 大 于呢？是满足的，所以我们这道题的答案 k 和 b 的 值，其实他就有两个答案，对不对？这个是可以的，这个也是可以的， 那么所以这种题大家一定要记住去讨论他的 k 值的大小，也就是我们管着他的增减性的这个值的大小，才能够把这道题做全掉啊。

八下数学最难的一次函数必考！二十二题全部吃透，考试稳进前三！八下数学依次函数综合题二十二道第一题答案第二题答案 第三题第四题完整版分享！

如图，直线 ab 的 解析式是 y 等于四， x 加四。好，所以这里 b 就是 四， a 应该就是负一 ac 的 x 上解 b 在 外轴上，且 o a 等于 o c， 这就是一。第一个让我们写出 abc 的 坐标，所以 a 点坐标是负一斗零， b 点坐标是零斗四， c 点坐标是一斗零。 如图，一 p 在 b a 的 延长线上，且 a p c 等于四十五度啊，且 a p c 等于四十五度。求 p 的 坐标啊，求 p 的 坐标。那么这个 两种方法要么用刚才说的这种方程组，是不是这 p 的 坐标和 q 点坐标用三垂直数方程组 没错吧，对吧？没错，那现在是不是你做是不是还会有另外一种方法啊？这是方法一写一下， 把一 做 c q 垂直于 cp， 设 p 点坐标 四 x 加四啊，所以 m 的 四， m 加四， q 点坐标 n 的 四， n 加四，然后三垂直加方程组。 好吧，三垂直加方正数来算出什么呢？ m 等于十七分之二十四。我把大家写一下， n 等于十七分之四十啊， n 等于这个七分之。 哎，不对， 直接给个结果吧，应该算出来，应该这个 m 也说 p 的 横坐标应该是等于负的是七分之二十三啊。 b 点坐标 p 的 横坐标应该是负的，是七分之二十三，所以 p 的 坐标应该就是负的，是七分之二十三度，负的是七分之二十四啊，这个计算可能数字不是特别好 啊，但是我想说是不是还有第二种方法？这是第一种方法，就是前面说的啊，方正阻和三垂直，那么第二种方法对吧？怎么办？ 我是不是可以平移？你 p 点不知道吗？对吧？那你 p 点不知道，我就可以做出与它这个是平行的直线啊。做出与它平行的直线，加减四数， 这里是 g v q， 哎，我做出它的平行线，你看这里是零斗四，这里是负一斗零， 所以是做什么呢？这个 a q 平行于 p c， 好 吧， a q 平行于 p c 之后，这是四，这是一，这是四，这是一，然后三垂直 得到 q 点坐标应该是四度，横坐标是四啊，横坐标是四，纵坐标四点一十三， q 点坐标四度三，所以 k a q 就 等于 k p c k a q 就 等于 k p c 等于多少呢？纵坐标三减零三，然后横坐标四减负一十五，所以是等于五分之三 啊，五分之三，所以 l p c 的 解析式应该就是 y 等于五分之三 x 因为还经过什么一斗零了，经过一斗零，所以减去五分之三，这就是 p c 的 解析式，然后连立 啊，连立什么呢？ y 等于五分之三， x 减去五分之三和 ab 式， y 等于四， x 加四， 然后解这个方程组，直接算出 p 点坐标负的十七分之二十三，度负的十七分之二十四。 就是两种思路啊，你看你自己去体会，对吧？你自己去体会。第一种方法也是我们前面一直在讲的两，讲的是两个题啊，就是这个四十五度的顶点坐标，未知它 ab 所在直线的解析事实知道的， 所以划了等腰直角三角形之后， a p q 的 坐标可以同时射出来，建立方程组解决问题。 那么第二种思路就是类比刚才这个题。好，刚才这个题它是直接那个。第一种方法做不了啊，需要平移，那么类比这个方法，那么这个题也同样可以平移，我把你平移到顶点坐标已知的位置上，先把你的直线的比例系数可以算出来，通过平行转化啊，来最后给出答案。 那所以这个两种方法就看大家自己的这个体会，有的题你要注意啊，它是只能用什么第一种方法，有的题还只能用第二种方法，那我们就要学会判断啊，要学会正确的判断，使用哪一种，具体使用哪一种方法来解决问题。 那么第三问说是如图啊，若点 p 在 线段 a b 上啊，且 a p c 等于四十五度， a p c 等于四十五度， 那是不就是刚才的把下面的挪上去了吗？你看刚才我们去做这个的时候，是不是刚才我们做了这个？刚才上面下面刚才是不是做了这个 p e， 现在这个四十五度吗？那么就把刚才的四十五度换了上去了， 是不就是我们刚才如果是用第一种方法，是不是刚才求出来的这个 q 点，是不就用就用第一种方法这个求出来这个 q 点， 是不是是不是就可以得到这个 p 点？但是你用第二种方法的话就不行啊，你用第二种方法的话，你就还得重新去算，但是你要知道一个结论，如果两条直线垂直的时候，它们的比例系数可以互为负倒数啊，你也可以快速算啊，但是这个 t 如果是 r 三文结合在一起去做 啊，那肯定是建议使用这个方法一，因为方法一你会发现第三步就不用做了，因为刚才算出来这个是多少呢？负的十七分之二十三度，负的十七分之二十四，那其实你解那个方程组的时候，你自然就把这个 p 做出来了好吧 啊，你要是解第一个方程组的时候，你自然就把这个 p 做出来了啊，所以由二的方法一， 对吧，以二的方法 e 可得四十， p 的 坐标应该就是负的十七分之七的十七分之四十， 这个其实可能数据不是特别好算啊，好吧，因为你前面再去解这个方程组的时候啊，利用构造的等量，这个利用构造的这个三处值，你列出这个方程组，列出方程组之后，你其实不仅可以算 m 啊，你同时就把这个 n 也算出来了啊，把 n 算出来，应该负的是七分之七 啊，只不过刚才这个题目没写，但是你要是当时把方程组解出来，对吧？你把 p n 坐标写出来，那你看一看下一个，那刚好就是对应的就上方那个点，所以直接就把这个上面的 n 直接写过来就行了。 好，这就是关于这个四十五度加角的问题。呃，抓住最重要的东西， 那么凡是四十五度问题，就是等腰直角三角形，利用三垂直求坐标来解决的，只不过就是简单题，那就是直角顶点和一个四十五度的顶点坐标已知 啊，我们就直接三除以求坐标，求直线解七十就行了。哪一点的，那就是顶点坐标未知值，那个四十五度的顶点坐标未知。那么两种处理方法，要么就是构造等腰直角三角形之后，在一条已知表达式的直线上设两个点的坐标连立方程组， 要么就是把这条直线平移到顶点坐标已知的位置上，通过平行去求出它们的比例系数，相同的 k 啊，再拽求解系数，哇，大概就这几种思路， ok， 那 么今天我们内容就讲到这里。

八下的期末数学想冲高分，只要搞定一次函数，这一张你就稳了很多。孩子呢，一次函数的基础题会做，但是考试一碰到中档题、压轴题就很容易掉链子。那究其原因是什么呢？那是因为中档题和压轴题啊，他根本就不是考单独的一次函数， 而是把一次函数跟其他的考点融合在一起了。我给你举个例子你就知道了，压轴题里面常考一次函数，跟三角形的结合，跟面积的结合， 跟最值的结合，跟动点的结合等等等等，所以孩子就容易掉坑里了。但其实啊，一次函数的综合题根本没你想的那么难， 前提是你得首先知道有哪些常考的考法，而且最好在考试前就先练习过。好消息是，我已经把常考的题型整理出来了，一共八个，从基础到压轴全面覆盖， 每一种题型我都给你配备了解题大招，只要孩子把这些题目彻底吃透，期末考试就能轻松的弯道超车。

函数这个章节太重要了，因为依次函数光图像性质，这里我们就有十大类题型可以变形去考大家，所以要求我们的孩子对函数图像性质这里相当大的熟练度了。 那有关于函数这里面的十大题型，老师也给大家做了一个系统的总结，基础知识不过关的家长们打印出来分类去带孩子进行练习。下面借着这道题呢，我再带着大家复习一下我们函数图像性质这里的一个易错点， 这里说一次函数，它的函数值 y 随 x 的 增大而增大，哎，说明这里面什么？对了， k 值啊，也就是一减二 k， 它是大于零的。这是我们根据题目得到的第一个信息， 第二个信息说他不经过第二象限。好了，能不能告诉我，不经过第二象限的图怎么画呀？哎，他是不是，哎，可以这样去画呀！有同学觉得哦，画出来之后，看他的 b 值 b 是 小于零的，所以在这里 b 的 部分复 k 小 于零，完事了， 结果这道题就选错了。为啥呢？为什么这道题有这么多同学算错呢？因为他们都忽略了一个关键点，他不经过第二项线。还有一种情况，那就是这个函数图像经过原点的情况，这个时候 k 怎么样？ 哎，这个时候 b 怎么样？ b 等于零啊，所以对应这个复 k， 除了小于零，他还可以等于零，漏了情况，这不就选错了吗？ 所以，综上啊，我们在这可以求出第一个 k 是 小于二分之一的。第二个负 k 小 于等于零， k 是 大于等于零的，所以综上，我们的 k 是 大于等于零，小于二分之一的我们正确答案就选出来了。正确答案选择的是 c 选项。

一次函数的共乘问题是我们每年期末几乎是必考的题型啊，是必考的一个压轴题，他要求呢，我们对正比例和一次函数的图像要非常的熟练，还要求我们能够清晰的探讨他们这样的关系，特别像这种题目，他给你一个双重 buff， 给你叠加 buff 啊， 那又怎么样呢啊？原本定义当中 y 点 k 加 b， 那 我给你个解释，也有 k 也有 b， 那 这 k 和 b 之间到底是什么关系啊？很多同学就搞不清楚，那今天的话，我们一步一步给大家讲清楚，那在讲之前的话，我们现在回顾一下这个正比例和一次函数的图像， 那总的来说，我们正比例和一次函数呢？总共有六种图像，正比例呢有两个，一次函数呢有四个， 那这里呢？影响他们这个图像不一样的一个因素在哪里呢？就是两个字母，一个是 k， 一个是 b。 我 们先来看一下 k， k 无论是在正比例还是在异次函数，他们影响的东西都是一样的，就是趋势。 什么叫趋势呢？就这么从左往右来看，像这种呢就是上坡啊，上坡，像这种呢就是下坡，下坡，下坡。那这个呢，就 k 来解决啊， k 来决定。那上坡的时候呢， k 统一都是大于零的啊， k 都是大于零的， 下坡的时候呢， k 都是小于零的，这只 k 都是小于零的。好，那这个 b 这个字母决定的是什么东西呢？这个决定的是与 y 轴的交点位置 啊，交点位置，那如果说我这个图像与 y 轴交在这个地方，这是 y 的 正半轴，那你比如说这个也交在正半轴，那 b 也是大于零的， 那像这种呢，它交在这个地方是 y 的 负半轴，那就是 b 小 于零啊，这个呢，也是交在 y 的 负半轴， b 也是小于零的，那你看啊， k 和 b 共同就影响到了我们的六个图形。 哎，那你说，哎，我知道你的 b 去哪里了，那也就说它经过原点，相当于歪着胶带的这个零这个地方，说明此时 b 是 等于零的，所以我们的正比例里面没有这个 b 字母啊，所以我们要弄清楚啊，这两个图形， k 和 b 是 怎么影响的？好，接下来我们回到这个题啊， 来看一看。那要解决这个问题呢，首先我们要弄清楚 k 啊，我们这里我特意用红色来标出来的啊，我们定义当中的 k 是 决定了它的趋势的，定义当中红色的这个 b 决定了它是与 y 轴的交点位置的， 那他现在给出来的这个黑色的 k 呢？哎，也是我们这个 x 前面的，所以这里的红色 k 和这个黑色的 k 是 一样的道理 是等同的啊。但是呢，后面我这个红色的 b 在 这个地方表达式里面对应的应该是负 b， 比如说这个表达式里面，负 b 这个整体决定的与 y 轴的交点位置 啊，好，来到这里，正比例呢，也是这样，我红色的这个 k 啊，就是我们定义当中的 k， 它决定的是趋势，那在这个表达式里面，它等同于负的 k 分 之 b 这个整体，那这个整体决定的趋势好弄明白的这个东西呢，接下来我们要采取两步， 我们就用假设法，哎，我们从 a 答案开始，那假设其中一条，那是正确的，我们可以得到 k 和 b 的 一个取的范围。然后第二步呢，我们就把它带入到另一个函数里面，去验证它是否是正确的。那比如说，我们看从 a 答案出发，我就假设依次函数啊， y 等于 k， x 减去 b， 它是正确的。我们从它的图像上来阅读一下啊。你看，首先看趋势，它是上坡的，说明我这里的 k 是 大于零的。 然后其次看到与 y 轴的交点，哎，很明显交在负半轴。我们说了这里的影响与 y 轴的交点是我们的负 b 啊，所以此时应该是负 b 小 于零， 那么 b 呢？就是怎么样啊？就是大于零的。好，我们知道了 k 大 于零， b 也大于零，那么就验证一下此时我的这个正比例，它的图像对不对？ 那你看啊，啊，我 k 大 于零， b 大 于零，说明 k b 同号，同号为正，再添加一个负号，说明我这个整体是怎么样呢？是小于零的。那小于零的话，那个趋势应该是怎么样？下坡， 那你很明显啊，这个证明就是上坡的，所以怎么样啊？不符合，不能共存，那就是去掉。我们再看一个 b 答案，我们依然假设这个 依次函数，它是正确的。那首先看趋势，从左往右是下坡，说明 k 是 怎么样呢？小于零的交点在正半轴，我们交点是由负 b 决定的，负 b 大 于零，反过来 b 就 怎么样呢？小于零。 好，那么现在来验证这个正比例啊， y 等于负的 k 分 之 b x， 那 你看 k 小 于零啊， k 小 于零， b 也小于零，同号哎，同号为正，再加上一个符号就是负啦，小于零，小于零的话，它应该是下坡，结果它还是上坡，还是不行， 我们再看 c 答案， c 答案呢？我们假设一次函数正确， y 等于 k， x 减 b， 首先看趋势，下坡 k 是 小于零的，看焦点， 焦点负 b 是 怎么样呢？就在正半轴大于零，那 b 就 怎么样呢？小于零。好，那这个时候我们来验证一下这个一次函数啊， y 等于多少呢？负的 k 分 之 b x。 那现在我们知道 b 小 于零， k 也小于零，也就说 k b 同号，同号为正，加上一个负号，整体是小于零的。小于零就意味着我这个正比例啊，应该是下坡的趋势，哎，好，哎，很明显啊，这就是下坡的，你看就符合要求啦， 符合要求说明它是什么呢？能够共存，能够共存，那就正确了。所以这个题选择啊， c 答案，大家自己去验证一下。

这个视频我们来讲一道八下，同学在学一次函数单元一定会碰到的一个难点题型，是一次函数跟实际应用的结合，像这种题型的话呢，百分之九十五的同学思路都是不清晰的，但其实这种题型只要三步核心思路就可以非常轻松的解出来了， 那这个视频花三分钟来带大家梳理这三步核心思路，像以后这类型的实际应用都能够轻松解出来。好，那还有更多一次函数单元的一个重点题型， 我都整理到了这份一三二四的专项练习里面，可以拿去练习巩固好。我们来看一下这个题目特征哈。题目特征的话呢，首先会给出一些信息 啊，通常来说都会有 ab 两款呢，或者加一两 d 啊之类的这种信息哈。然后的话呢，是给出了一些进价跟售价给出表格的信息，并且设出了这个书包的个数是 x， 并且后面一堆东西好。然后最后的话呢，就问 怎么样才能获得最大利润，然后去求最大利润。如果是像运费那些的话呢，就是最低运费，然后去求最低运费。好，那这种的话，其实相当于是一次函数跟实际应用结合中的最值问题，也就是要用一次函数，然后去结合到实际应用去求最值 好。这边来看一下这个核心解析思路哈，其实解析思路非常的简单，就是三步，第一步的话呢，是要先去求自变量，也就是 x 啊，通常是 x 的 一个取值范围， 然后第二步的话去求函数解析式，第三步去根据自量取值范围去求对值就可以。为什么是这样子哈？我们来看到去掉这个实际应用之外，我们来看到一次函数什么时候是有对值的呀？一次函数，比方说哈，如果是这样子，一个 k 大 于零的一个 函数的话，那它是没有最大最小值的，对吧？因为是一条直线吗？然后是没有最大最小值的，所以如果说要取入这个函数的最值的话，其实这个 x 的 话，它就需要有一个取值范围，比方说这个 x， 这个是 x 一， 这个是 x 二， 是这个取值范围是在 x 一 到 x 二之间，那对应的话，也就是图像就是这段， 那什么时候有最值啊？很明显就是这个点嘛，对吧？也就是 x 等于 x 二的时候是有最值的， ok， 所以 为什么需要有这个 x 的 取值范围？就是为了取到直线变成一个线段，这样子才能够去求最值。那同样的，当这个，呃，一次函数它是 k 小 于零的情况下， 它也是一条直线，所以的话呢，也是需要说，哎，这个有一个曲值范围在这里，它才能变成一个线段， 然后才能有最大值和最小值。所以的话呢，套到实际应用里面，那我们需要找到的元素就是第一个是 x 的 曲值范围。曲值范围的话呢，会根据题意会有实际意义跟题目限定两种。什么是实际意义呢？比方说书包，书包它个数 它是要大于等于零的，对吧？这个就实际意义嘛，然后题目限定是什么意思呢？比方说题目中这里的话，能看到哈，如果勾进这两种书包的总费用不超过 一万八千元，也就是小于等于嘛？这里的话就会出现一个不等式， ok， 那 这里的话就会得出，综合去得出 x 的 一个取值范围 好了。第二个呢，求函数的解析式，那也就是根据题意去得出，我们看到哈要获取最大利润，也就是去找这个最大利润跟这个 x 之间的关系嘛。这边题目已经设了是 w， 哈利润是 w， 那 也就是去找 w 跟 x 之间的函数关系， 那然后再在这个取值范围内去求最值就可以了啊，就是这样子的思路。那我们结合到这道题来讲解好。第一步的话呢，先去求这个数量的取值范围，首先实际意义，实际意义的话就是这个书包的个数是 x， 那 这个 a 是 x 的 话， b， 也就是我们看到哈一共是四百个吗？ b 的 话就是四百减 x 吗？ ok， 实际 e 的 话，也就是 s 代等于零，四百减 s 代等于零，对吧？然后再看到题目限定，题目限定的话，也就是刚才说了购进两种书包的总费用不超过一万八，总费用在哪里啊？也就这一项嘛，就进价嘛，对吧？所以的话就是 a 的 费用加上 b 的 费用 小于等于一万八就可以了。所以第三个不等式，也就是四十七 x 加上三十七乘上书包的，呃，那个 b 书包的个数也四百减 x， 然后是小于等于一万八， 那就可以了。好，那这里的话就可以去列出这个不等式组，然后去解出来，那解出来的 x 是 大于等于零，然后是小于等于三百二十。好，第一步就做完了， 就求这个自变量取这个方面吗？第二步是求这个函数解析式，我们看到哈，最后是要求这个利润最大，所以的话呢，是要去找利润跟 x 之间的关系。题目已经设出来了，利润是 w 了，所以的话，也就是要去求 w 跟 x 的 关系嘛， 总利润，总利润也就是 a 的 利润加上 b 的 利润， a 的 利润是什么呢？也就是 a 的 个数乘上它一个的利润就可以了吗？ a 一个的利润，也就是它售价减去进价六十五减四十七，这是 a 一个的利润，再乘上 a 的 个数，也就是乘上 x 好， 然后再加上 b 的 利润， b 一个的利润是五十，减去三十七，然后再乘上 b 的 个数，也就是四百减 x， 好，那这个就是 b 的 利润， a 利润加 b 的 利润就是总利润，然后化简这个函数。解析式，等于五 x 加五千二， 好，那第三步的话，就是根据这个取值范围，然后去呃求这个最值就可以了吗？来，我们看到这个函数，它的图像大概是怎么样的？大概是这样子一个图像，对吧？所以的话呢， 它 k 是 大于零的，所以是一个，呃，就是倾斜向上的这样子一个图像， k 大 于零的情况下，所以是 w 是 随着 x 的 一个增大而增大了，所以我们看到也就是零到三百二十， 是这一段，对吧？那什么时候 w 最大值啊？很明显，这个 w 最大值就是当这 x 等于三百二十的时候吗？ 所以带进去，带进这个解析式里面去，就可以求出 w 最大值六千八百，那就可以了， 好，同学们可以做好笔记，像这种一函数求最值，问题都是这三步。核心解析思路可以点赞，保存，反复学习，那像这些属于课内的重难点内容以及课外的拓展内容，我都整理到了我的系统视频里面，如果说有需要了解和试听，可以在下方留下这三版本。

看一下这个啊，王老师已经很久没有更新了啊，一直忙来。呃，今天王老师就抽时间把这个这一道八中，这是七中的考的这一道一次函数 的这道亚洲题，给大家分享一下，今天给大家讲的跟大家分享一下。就是，呃，第二小道就是关于这种坠子问题 啊，这种平移型，这种平移加这种将军一马的这种，这种这个坠子问题怎么去理解？因为目前我发现这个这次期中考试，呃，包括， 包括一中的月测，包括这个南开的这次期中考都是考的类似这种平移加坠子的问题， 说这样的问题，实际上我是有必要跟呃，同学们分享一下。好，我们首先看这一道题啊，这道题它告诉你的还是同样的，它告诉你是两条直线啊，交叉交于啊，一条直线交，直线与交，这个 啊， y 轴， x 轴与 a c 点啊，另外一条直线交 x 交 x 轴， y 轴以 b 大 点啊， b 大 点， 然后 a o 一 和 a 二相交于 e 的 三分之四都 a。 好， 这个我们 a 和 b 之前我们就不用说了，低小问大家应该 低小问大，大家都是这个最基本的问题啊，我们就不说了啊，我们就可以得到这条线的直线的，这个为 y 等于负的 x 加四，这条直线等于 y 等于二分之一， x 加二。好，这个是我们得到通过第一个条件我们得到的，然后也可以同时也可以得到一点，因为一点是两条之间的交点，说一点的坐标就是三分之四到三分之八，哎， 好，那么那我们现在啊，马上就开始放大一点了啊，然后他是现在告诉你的这个第二个条件是什么？我们先看第二个条件，第二天告诉你的是动点 k 在 l 一 上写的第二象限啊，就是说这个这个 k 是 一个动点啊，在 a c， 在 第二象限的这个 a c 在 第二象限的这条线上在在运动，然后呢连接 kb， 然后动点 m n， 在 动点 m n 在 l 二上，那么 m n 就 等于告诉你 m n 也是一个定值啊，是一个二倍根号二，一个定值，然后连接 c m 好， k n 好， 连接 c m k n， 然后就是当这个他现在告诉你的是这个三角形 a b 啊， k b e 啊， k b e 啊，跟这个三角形，跟这个四边形啊， c o b e 这个四边形的面积相等的时候，那么求 k 点的坐标，以及 c m 啊，以及 c m 啊，还有这个 m n 和这个 kn 的 这个最小值。好， 那这样的问题让我们首先观察一下，那首先哈因为它告诉你一个条件，就是有两个面积，一个三角形和一个四边形的面积相等，那这个面积相等是不是我们就可以知道？ 这个里面我们是要给你提供什么条件呢？他说出这个目的就是告诉你 k 点是一个什么点，是一个定点啊，然后 m n 是 一个动点啊，所以说现在他告诉你的这个目的啊，这个目的，我们就是要把 k 点的坐标 首先要先算出来，然后再去找到这种坠子的关系来，那我们就跟着王老师的就开始一步步推了啊，好，我们就开始一步步推一下这道题来，好，把这个缩小一点，好，好， 来，我们来看一下一点的坐标，我们刚才也知道了，是三分之八，三分之四到三分之八啊，好， 好， e 点坐标，然后这个我们把这坐标标注一下啊， a 点的坐标是负四斗零， b 点的坐标是四斗零，好，这些大点的坐标是零斗四， 好，然后好先把这些相关的点， c 点的坐标是零斗二啊，好，这些这些东西我们都先标注一下啊，好，好， c 点坐标是零到二，好，标注一下，好，然后我们现在就开始来分析这道题了啊，我们怎么来？先算，先第一个点怎么算 k 点的坐标，好，那么现在我们首先要知道怎么求，因为现在告诉你的是这两个四这个四边形的面积跟这个 三角形的面相等，那这个我们首先是不是就肯定要这么，因为这个三角形跟 k 点是有关系的嘛？但是我们现在是不是一定要先把这个视频上面求出来，具体的值到底是多少？ 那怎么求呢？那我们再把它做一条垂线，我们来观察一下啊，来，我们做一条 e f 垂直于 ab 啊，好，我们就 e f 垂直于 ab， 垂直于 x 轴啊，垂直于 x 轴与 f 点，好，那么现在 e f 垂直于 x 轴与 f 点，那么现在我们是不是可以看得出来，这个四边形就分成了一个什么？就分成了一个 梯形跟一个直角三角形，而且这个斜率，因为这条直线的斜率是负一， 那么它的跟 x 的 夹角必然是多少度？四十五度，那说明它是一个等腰直角三角形，那么 e f， 我 们也知道 e f， 因为 e 点的 e 点的重坐标是三分之八，所以说 e f 我 们也就知道等于三分之八，那么因为这是一个等腰直角三角形，所以说 b f 也等于三分之八。 好，那么这个梯形，那我们梯形的话， c o 等于二，因为我们知道 c o 等于二，那这个梯形的面积是不是这个四边形我就可以算出来了？ s c o b e， 我 们是不是就可以来算一下 c o b 等于多少？ 就等于啊，二加这个梯形的面积，二加三分之八，上底加下底乘以高 啊， o f 我 们也知道 o f 是 多少了， o f 是 三分之四，根据一点坐标哈， o f 三分之四，说省乘以三分之四， 除乘乘以二分之一，再加上怎么样？加上这个四边形的面积就是三分之八。 乘以三分之八，乘以二分之一，结果等于多少了？结果就等于三分之二十。好，这个视频你们知道是不是就可以知道这个三角形的面积也等于三分之二十， 但是这个三角形的面积没办法，因为我们也这道题，我发现他没办法用铅锤，而且用铅锤确实也 很难去找到清楚的关系，那我们怎么去找到，怎么跟 k 点产生关系呢？这时候那首先我们是不是就可以观察出来这个三 k b e 的 面积是不是正好等于 a b e a b a b e 减去什么 a kb 吗？ 哎，这样一下是不是就很很容易理解了？那我们现在就要开始来求怎么求 k 点，我们还是先设 k 点为， 因为 k 点在哪条线上？在 y 等于二分之一， x 加二这条，这个在 l 一 上啊，相当于就是这条间在 l 一 上，那在 l 一 上的话，那我们是不是就可以在 l 一 上的话，那我们是不是就可以知道？我们就可以设 k 点为多少？ m 到 二分之一 m 加二。好，那么现在 s 三角形我们也知道， s 三角形，那我们也知道了， s 三角形 b、 e、 k 就 等于 s 三角形 a、 b、 e 减去 s 三角形 a kb， 好，是 a、 k、 b， 对 不对？哎？好，那么 s 三角形 a、 b、 e 减去 s 三角形 a、 k、 b， 那 么 a、 b、 e 的 面积怎么算呢？ ab 的 面积是不是很容易知道？哎？ ab 等于八， e、 f 等于三分之八， 对不对？哎，那一下就清楚了，又等于多少？二分之一，那就等于我们等于三分，等于八。乘以三分之八乘以二分之一，那么 a、 k、 b 呢？减去 a、 k、 b 等于多少了？ a、 k、 b 是 不是等于？ 因为 a、 k、 b 的 话，是不是等于 k 这里的高？ a、 k、 b 的 高就是这里啊，这就是 a、 k、 b 的 高，是不是就是 k 点的重坐标就是二分之一 m 加二，那么它的底也是 ab， 那 就是什么八乘以 二分之八乘以二分之一， m 加二，还要再乘以二分之一， 好，那么我们现在就等于多少？就等于三分之二十，因为这个面积我们等于三分之二十。好，那这个通过这一个方程，我们是不是就可以把这个解出来？ m 等于多少？ m 就 等于负二， 好， m 等于负二的话，那么是不是 k 点坐标一下就出来了？那 k 点坐标等于多少我们就可以知道 k 点坐标， k 点坐标，我们是不是要说出来了？ k 点坐标是多少？ k 点坐标是负二负一，好，哎，这下把 k 点的坐标求出来了。求出来之后，然后我们现在就开始要 开始理下面的内容了，那就要开始理一下怎么样让这个 c m 现在告诉你的是 c m 加上 m n 再加上 k n 的 最小值。那么这样的问题上，那我们首先要知道啊， m n 首先它是一个定值，它的定值是它的定值是二倍根号二， 哎，这个定值是二倍根号二，那么我们的意思就是既然要求出它们三者的最小值， 那是不是相当于就是要只要求出 c m 加 k n 的 最小值就行了？那 c m 加 k n 的 最小值的话，那我们是不是应该要把 c m 和 k n 想办法把它们放在一起， 才能够去找到对值关系啊？让三，或者是要让它们共线，对吧？或者是通过一条直线或通过什么关系，我们要去找到对值关系啊？那这道题我们怎么来平移呢？ 啊？那我们现在就可以观察出来，我们就把这个 k n， 这里，这里有个 m n， 那 我们能不能把这个 k 点 做一条这样做过来平移，根据这个斜，根据个 l 二的斜跟 l 的 斜对，要做平行这样一个平移二倍根号二，沿着 k 二直线的方向，然后找到 k 二点， 然后再连接 m n， 是 不是我们就可以看出来这里就正好形成一个平行四边形了。好，那王老师就来画一下啊，我们就来画一画这条线啊，好，大概要找一个平行关系， 好差不多吧。好，然后再连接 m， 好， 这是 k 一 撇啊。好，那么 k 一 撇，那这时候我们是不是就可以知道了 k 一， 因为这是一个等边三角形啊，这是一个平行四边形， 形成了一个平行四边形，那么是不是 k 一 撇 m 就 等于 k n？ 哎，我们就来梳理了啊，就是 k 点沿 l 二的方 l 一 l 二方向平方向平移二倍，根号二到 k 一 撇，然后连接 k 一 撇 m， 因为我们也知道 k 一 撇 m， k 一 撇嘛， k 一 撇 m n 为什么平行四边形 好，平行四边形的话，那么是不是就一定知道 k 一 撇 m 就 始终等于 k n？ 那 意思就是说，那意思就说我现在只要找到 k 一 撇 m 加 m c 的 最小值，是不是我们就可以知道 k n 加上 c m 的 最小值了，对吧？那怎么找到最小值呢？那我们来看一下。好，我把这先擦掉，那我们是不是就可以找到 c 点相对于 l 二的一个对称，哎，我们去找到，我们把 c m 进行转换嘛，哎，还是通过将军营嘛，通过找走对称，通过找对称点把进行个转换啊。好，那这里个是 c 一 撇 啊，连接 m c 一 撇，哎，那这次同学们是不是一眼就看出来了哦，我们是不是就恍然大悟了？我们再连接 k 一 撇 c 一 撇， 哎，就刚好是怎么样，这条线就正好是他们两个的，怎么当他们共线的时候，假如 m 就 在这里来了吗？哎， m 就 在这里来了，是不是我们就可以知道？当 c 一 撇 m， k 一 撇这三点共线的时候，那我们是不是就可以知道这个 k a k n 加上 c m 的 最小值就是什么 c 一 撇 k 一 撇这条线嘛？好，那是不是我们就可以知道， 就可以知道？我们就做对称之后哈，王老师就不描述了哈，反正做啊 c， 关于 啊 l l 二的对称点 c 一 撇， 好，那么 c 一 撇的话，是不是我们就可以看出来了？那作为对称，点 c 一 撇，那么 c m 就 等于 c 一 撇 m， 那 是不是就可以知道？当 k 一 撇 m， c 一 撇三点共线时， 是，我们又可以知道了， k n 加上 c m 的 最小值就等于多少，就等于 k 一 撇 c 一 撇嘛。 好，那我们就把这个规关系串走了，好，那我们就进入下一个难点了啊，好，完了就写这里了，写左边来了啊，完了就调到左边来了。那我们找到关键点了之后，那是不是我们就可以去求什么 c 一 撇和 k 一 撇的坐标了呀？求出他们两个的坐标，我们就可以知道他们两个的，只要把他们两个这直线的值取出来， 那这道题不变得很简单了吗？那我们现在 c 一 撇的坐标其实相对好求一点，因为他正好是个走对称的关系啊，等会再说，我们先看 k 一 撇。好， k 一 撇的话，我们来观察一下啊，因为 k 一 撇好，完了，这里做一条线啊，我换个颜色，好， 我做一条相对于两个，一个垂线哈。哎，一个垂线，好，那我们观察出来哈，因为，然后我们怎么找 k 一 撇呢？跟着王老师来，那 k 一 撇的话，是不是相当于 这里是一个负二？ k 一 撇 k 的 坐标，这里是一个相对 a o 二的这样一个平移，一个平行，那说明它的斜率是多少？ k k 一 撇的斜率 是不是也是负一？那说明什么？说明它相对于 这个 x 轴的这个也是一条什么四十五度的斜线呢？说明这里是一个什么三角形？说明这是一个直角三角形，而 k， k 一 撇又告诉你， k 一 撇， k 就 等于二倍，根号二， 那根据直角等腰直角三角形的线段比例关系，那是不是我们就很可以求出来了？ k 一 撇，这里是等于，这里我就不标字母了啊，大家应该能够看得懂，这里等于 二，这里也等于二，看到没有，那这两个二的话，相对 k， 那 么那么 k 我 们也知道是负二负一，那么 k 一 撇不就是变得很简单了吗？ k 一 撇的坐标等于多少？就等于负二减二， 一加二，那等于多少？负四负三嘛， k 一 撇的坐标是不是一下就出来了？负四负三好， k 一 撇的坐标是不是很容易求出来了？那 c 一 撇呢？ c 一 撇的话，因为我们也知道 c c 一 撇，那我们就把 c c 一 撇的解析式先求出来不就行了吗？ cc 一 撇的解析式是多少？我们先知道， cc 一 撇相对于它是一个，它相对于它的斜率是一个垂直的关系，那它的斜率肯定是一嘛，那它的 cc 一 撇解析式就什么 解释一次就是多少？也是 x， 我 们设一个 x 加加 n 嘛。啊，好， x 加 n， 那 x 加 n 的 话，那么又因为它经过 c c 点，因为 c 点的坐标是零到二 哦， y 等于 x 加 n 啊， y 等于 x 加 n， 好， 那么 c 的 坐标是零到二， 那么说明 n 等于多少，那么 n 是 不是我们就很容易算出来 n 等于多少？ n 等于二嘛？那所以说 y， 那 所以说 x 的， 所以说我们也知道了，它的解式是 c， c 与解式就等于 y 等于 x 加二啊，这个大家都很清楚怎么算的 好，那么 y 等于 x 加二的话，那么又因为那么它跟这个 l 的 这个焦点是多少，它跟这个 l 二的焦点就是中点嘛，我们把这个 y 等于 x 加二，负的 x 加四，就可以得到 x 等于一， y 等于三，那么焦点坐标就是这个中点，坐标就是多少，我就不标点了，不具体标点了，就是 一斗三，那么 c 一 撇不就很容易算出来了吗？ c 一 撇坐标就等于多少，就等于，就跟 c 情，就是他们两个的终点，就是多少，就是一乘以二减零，三乘以二减二等于多少，就等于 二斗四，那么 c 一 撇的坐标，我们也知道二斗四，这个是负四斗三，那不就变得很容易了吗？我们只需要把什么，下一步就是把 c c， 我 们就把 c 一 撇 k 一 撇的算出来不就行了吗？根据两点两点，根据勾股定律啊，知道两点坐标，那就等于多少，就等于。 我们也知道二减负四就是六六的平方，四减三就是一的平方，就等于多少，就等于根号三十七。好，所以说我们也就知道了，这个 k n 加 c m 的 最小值 就是根号三十七，那么它们三者因为 m n 是 一个定值，是二倍根二，所以说它们三者的最小值就是多少。 k n 加 c， m 加 m n 就 等于多少，就等于根号三十七加二倍根号二。 好，这个最终的结果就算出来了。这就是关于这种平移加将军引马加轴对称，再找最值问题，这样的问题是目前在这个一次函数的最值问题里面是很参考的啊大家， 我下次王老师再把这个一中月测的卷，包括南开的上一次的其中的这个一次函数的这种最值问题题，我们都拿来分享一下，把这种问题我们把它搞透一点。好，今天课就分享到这里，今天这道题，好，谢谢。

这是我们去年期末新考的一次函数与不等式组的结合，它和以往有点不一样，以往呢，就是给到两条函数，求的是两个函数之间的代数关系，而这一次呢，它是两条函数，求两个不等式的关系。 那这样的题目呢，实际上啊，也是换汤不换药，我们来看一下啊，今天通过两步轻松解决它，它都给到了两个焦点，一个 a 是 负三六零， b 呢是一六零，而且呢，两条函数， y 等于 x 加 b， y 等于 mx 加上 n， 要求这个一个大于零，一个大于零的剪辑就是 x 的 范围。那怎么办啊？很简单，我们首先第一步啊，这种题呢，就分别的去看图，求范围可怎么办呢？我们先看第一个 a， x 加 b 大 于零，也就是说我这个 y 啊，比如说我这 y 一 吧， y 一 大于零的时候，那么说 y 大 于零，小于零的时候，我们先找到 y 等于零的时候在哪里啊啊？ y 等于 x 加 b， 是 这一条，那么找到这个地方，这个地方 y 等于零嘛，大于就往上面走嘛，对吧，上大下小嘛。哎，符合要求的就是这一段啊，我们可以画条竖线在 a 点这个地方啊， 那我们这一条函数上，这个不等式啊，对应的 x 在 哪个范围呢？一开始是负三，那右边符合要求就是往右边走的，所以 x 要怎么样呢？大于负三，这个是我们第一个不等式的解集，我们再看第二个，而第二个我们把它划掉啊，第二个呢，这里是一到零， 他说这个 mx 加大于等于零，那就是 y 二啊，也就是说 y 二大于等于零，这我们是 y 二。标记一下啊，先找到等于零的地方，就是 b 点这个位置画一条竖线， 那么大于就往上走，上大下小。哎，左边相对于说我这条线的左边符合要求，那么 x 呢？是从一出发也要往左边走，那这个时候我们的范围就是多少呢？ x 小 于等于一，因为有等号，保持一致。 好，那这个时候我们再来看啊，把这两个解集啊，再来取公共解就可以了。那这个地方口诀啊，大小小大中间找啊啊，大小小大中间找 啊，就是比小的这个要大，比大的数要小，取中间，那就是 x 大 于负三，小于等于一就可以了。

依次函数与不等式的结合，这样的题型是我们期末每年必考的题型，记住啊，是必考的题型， 那到目前为止，我还看到相当一部分同学啊，对这种题啊，还进行大量的进行计算才得出结果，那实际上这样的题型只需要看图就可以得出答案。今天我们通过去年的两道期末的真题，给大家讲一讲这种单求函数怎么来求范围。 我来看一下第一道题啊，他说这里有一个函数的结式， y 等于 x 加 b， 图像给到了，还有两个交点，我们把这个坐标标一下，二斗零和零斗三 啊，然后他要求这个 x 加 b 大 于等于零的时候， x 的 这个取的范围啊。第一步呢，我们通常来讲啊，会对它进行一个转化，把这个 x 加 b 呢变成 y， 因为 y 本身就等于它嘛，大于等于零。 好，那么知道这个之后呢，第一步要干什么呢？就是无论你是大于还是小于，我们都找到等于的时候，那这地方呢，我们就找到 y 等于零的地方， 那找到 y 等于零的地方，我们看这条函数图像上，哪一个点的 y 是 等于零的呢？很明显就是二这个位置好。找到它之后呢，我们从这个地方画一条竖线，画这条竖线呢，就相当于把我们这个图形啊分成了两个部分，左边部分和右边部分。好，那接下来我们来找一找啊， 第二步啊，就去找他的这个符合条件的啊，这个图像在哪里？那这里有个口诀，就是大鱼的时候，我们就往上面走，小鱼的时候呢，就往下面走，那你看这里是大鱼啊， 大鱼呢，因为这地方 y 等于零吗？大于零我们就往上面跑，那符合要求呢，就是这一段，这一段呢，在我们这条线的左边，我们来看一下，图象，找到了之后呢，就看 x 在 哪个范围， 这条竖线对应的是二，也就是说一开始是二，而往左边走的话，那我这个图像往左边走啊，我这 x 呢，也是越来越向左的，那就是越来越小了。 好，那这个时候呢，我们的 x 呢，就是小于二的啊，当然这个时候呢，原本啊，我们是有等号的，要保持一致，所以 x 呢，也是要等于二的，所以这种结果呢，我们就选择 c， 答案 x 小 于二。 好，第二种呢，它就是不与零进行比较了，与另外的一个数比较，这个地方呢，它就与四进行比较。我们看一下啊，这也是它的图像，而且给出了一个点的坐标， a 是 负二负四， 然后呢，他要求 k x 加 b 大 于四，那我们转换一下，就是 y 大 于四的时候，我们说了，无论大于还是小于，先找到等于的时候，那我们看 y 等于四在哪个点呢？很明显在 a 点，因为 a 点的 y 是 等于四的，依然是通过一点做一条竖直的线， 整个平面呢，分成了左边和右边部分。那么现在要找这个符合要求的图像在哪里呢？ 上大下小哈，既然又是大于，我们就往上面跑，哎，就是这段符合要求，那对应的 x 在 哪里呢？这条竖线一开始对应的是负二， 既然是右边的图像，就是往右边是越走越远的，那我的 x 也会往右边移动，那就说比负二越来越大，那所以我们 x 呢，是大于负二的，因为它没有等号，所以我这里也没有等号， x 大 于负二就可以了。