几何所有题型

初中几何考来考去，无非就这六十个模型把它们都吃透了，初中三年的数学就不用愁了，初一八个模型，初二三十三个模型，初三十九个模型，就用这本初中几何模型图描解，包含了初中三年数学常考的所有几何模型，像手拉手模型、将军一马模型、胡不归模型等等。 孩子遇到不会的题，只要能判断出是什么模型，就能像查字典一样找到所属模型，直接套用模型，每一个模型的条件和结论是什么，怎么证明的，怎么画辅助线都梳理的清清楚楚。 不会的还可以看视频讲解，孩子跟着轻松学。再搭配一本几何专项练习，精选各地考试专题，学完一个模型就及时做一页练习，每天三十分钟吃透一个几何模型！家里有初中生的，快给孩子准备一套！

家里有初中生的一定要来听看这道题。有两个正方形啊，紧挨着一个呢，边长是六，一个，边长是四，求这个阴影部分啊，三角形的面积。 那怎么求这个阴影部分三角形的面积呢？非常简单，这个阴影部分三角形的面积，它就等于什么呀？它其实就等于三角形 abd 的面积， abd 也就是大正方形面积的一半，为什么呢？ 哎，这里面给大家讲一个等量代换法。什么是等量代换法呢？看下面这个图啊，三角形 abd 和三角形 abc， 他们两个都可以看作以 ab 为底，高呢，是过 c 和 d 向 ab 做锤。那么如果 cd 和 ab 是平行的，我们说两条平行线间的距离处处相等，则这两个高是相等的，那这两个三角形他们就是同 底等高，所以面积相等。再放到这个图里面也是一样的啊，阴影部分三角形和 adb， 他们两个都可以看作以 ad 为底，我们把高画出来。阴影部分三角形呢，以 ad 为底，高是过 c 向对边做锤。 然后呢， abd 这个三角形也是以 ad 为底，高呢，就是过 b 向他做锤。我们发现啊，两个正方形 ad 和 bc 是他们两个的对角线， 两个正方形紧挨着对角线，是平行的，所以这两个高相等。那么阴影三角形和 adb 就是同底等高，所以面积相等。 那 adb 的面积非常好求了，就是正方形面积的一半。正方形边长是六，面积是六的平方三十六，所以阴影三角形面积是十八平方分米，你听懂了吗？

有关三角形的一切，五道题四十分钟开始。 nice， 这道题呢，你可以做的很复杂，也可以做的很简单，如果你用角平分线定理，就会做的很简单呐。我们来看题，在任意一个三角形 abc 中， d 点是中点，那就是 a d 的 长为 x 的 话， dc 的 长是不是也是 x 啊？然后有一个角平分线， 焦点呢，是 f 点，也就是说这两个角是相等的。好给出一个比例关系，三比一 b， f 比上 f d， 那 也就是说，如果这里是三倍的 y， 那 f d 呢，就是一倍的 y， 好， 而且还给出 ab 加 b e 等于三倍根号三。那么要求周长啊，这个条件看起来也很多了，但很多同学呢，就是找不到关键啊，你要去做辅助线，避开角平分线定理的话， 就会比较复杂了。这个 a e 是 我们的关键，因为它是角平分线，那么以这个 a e 作为角平分线，我们可以看有两个三角形，第一个是这个蓝色的三角形，看啊， a d 比上 ab， 是 不是就等于 f d 比上 b f 啊，这是角平分线定律，那也就是说这里是一比三的关系，所以 a d 比上 ab 也是一比三，那也就是说这一段就是三倍的 x。 好，这是以 a e 这个角平分线找的第一个三角形，第二个就是这个大的蓝色三角形。同样的道理， ab 比上 ac， 是 不是三 x 比上二 x 啊，就是三比上二，那也就是说这段呢， b e 的 长，我们可以设为三倍的 z， 而 ec 的 长呢，就是两倍的 z， 这没问题吧？好，那我们要求的周长就是 三倍的 x 加上五倍的 z， 再加上二倍的 x 吧，就是你看三倍的 x 加五倍的 z 加二倍的 x 吗？三条边的和，那就是五倍的 x 加上五倍的 z 吗？ 好，那我们的已知条件看，这里有一对已知的线段啊， ab 加上 b， e， ab 在 哪里？ ab 是 不就是三 x 啊？ 加上 b， e， b， e 是 不是就是三倍 z 啊？三倍 z 等于多少？三倍的根号三，大家看根据这个条件能不能推出我们要求的那五倍的 x 加五倍的 z 是 不是就是五倍的根号三呐，就做完了呢？ 这是不是很简单啊，所以你用角平分线定律就会做的特别的简单。所以呢，这个角平分线定律啊，再次强调，虽然课本上已经删掉了，但是在中考的时候是经常要考到的， 每年都会考全国各地啊，这是经常出现的，所以大家一定要好好的理解啊。这个角平分线定理，看到了角平分线，我们就能构造等量关系，这个角平分线定理的作用就是在于构造等量关系，大家看看，我随便给出一个 a、 b、 c， 然后一个角平分线 a、 d， 这两个角相等，它能构造等量关系，也就是 a， b 比上 a， c 等于 b， d 比上 d， c， 这是不是一个等量关系啊？就能构造方程，然后就有一些比例关系，这是非常重要的一个引含条件，所以角平分线定律大家一定要好好体会。中考数学背后有无规律， 最短时间如何快速提分？为了寻找答案，涛哥，我从二零二零年开始，每年一百道中考压轴真题汇总至今全网最详细的分类， 这是一项大工程，当然也很值得，我发现了很多很多有用的结论和规律，这项工作在未来还会持续进行，并将部分结果收入于四加三培优体系。 nice， 他 考察了三角形的内心的性质，同时他还考察一种思维方式，叫对称的思维。 什么叫对称呢？我们通常指的对称是图形上的对称关系，但是呢，这道题，它的对称指的是逻辑上的对称，或者叫思维逻辑上的对称。好，那关于内心，通常我们有两个相关的方向，一个呢，是 和角平分线有关，对不对啊？因为内心呢，是角平分线的焦点，同时内心他还是谁的圆心啊？是三角形内切圆的 圆心。哎，这道题呢，以上都考察到了，这是一个直角三角形，而且呢，三边长也告诉我们了，等于八六，那 ab， 那 就是十，对吧，这很容易， o 点是内心，同时呢，现在过这个 o 点做任意的直线， 假如做了这样一个直线，这个直线呢，和三角形的两条边 a， c 和 ab 分 别交于 d 点和 e 点。好，现在呢，要满足一个特殊的条件，就是这个 d、 e 的 线段，这个蓝色的这条线段要等于两条线段之合，是 c、 d 和 b， e， 也就是蓝色的线段，等于上面的和下面的这两条绿色线段之和。问，满足这样的条件的时候， c、 d 的 长是多少？ 那该怎么做呢？其实啊，这看起来是一个动点问题，对吧？或者说动直线问题，但实际上，它是一个特殊条件的动点，那其实呢，就是一个定点问题了。好了，那么这道题中 我们能够利用的已知条件是非常有限的，因为图形简单，题目的描述呢，也很短，那最关键的就是这个内心，哎，这是最关键的，那我们就要充分的利用内心的性质，我把这个给擦掉。 内心，那很容易想到，就先把这个内心和三个顶点连起来，就能得到三条角平分线，那么这两个角是角一，这两个角是角二，这两个角呢是角三。那么关于角一、角二、角三，大家有什么 发现没？或者是要发现一些特殊的关系，那么最特殊的是不就是这个角二啊？大家看到了没？为什么呢？因为角二是九十度的半角，也就是说角二是四十五度，而角一和角三呢，都是一些一般的角，没有什么特殊的。 既然角二是四十五度，我们自然而然想到要把角二放到直角三角形中去吧。于是我们就尝试过 o 点的这样一条直线，他和 a、 c、 a、 b 相交于 d 点在这里， e 点呢在这里。好，那么这样看来的话，大家看啊，红色的这条 d、 e， 它要等于下面的 c、 d 加上上面的 b、 e， 对 不对啊？那么很明显啊，这个 o d 的 长，看这条蓝色的这一段， o、 d 是 等于 c、 d 的 吧， o d 是 等于 c、 d 的， 那接下来只需要证明这个绿色的 b e 等于 e o 这一段是不是就可以了？也就是这两段绿色的相等，也就是 b、 e 是 否能够等于 e、 o 呢？如果可以的话，是不是就满足条件了？ 好，那么关于 b、 e 和 e、 o 的 处理，其实一眼就能看出来，我在摆题闯关呢，有讲到这个模型是有关角平分线的模型，有一句话叫平行线， 然后呢等腰线，什么意思啊？在角平分线中，如果有平行的关系，就会出现等腰三角形。大家看我举个例子， 比如说这是一个角，然后呢，这是角平分线，这两个角相等，那我们做这个角平分线上的任意一个点，然后去平行于角的两边，比如说，我做这样的一条红色的线， 满足这条线和这条线是平行的关系，于是就会出现等腰三角形。为什么呢？因为两直线平行，内错角相等，所以上面这个角一就等于这个角一，那么 这两个角一是不也就相等了，于是就有等腰三角形。那这道题呢，这个位置大家看啊， b o 这条线是不是角平分线啊？ b o 同时 e、 d 这条红色的 e、 d， 它是不是平行于角的一个边？ bc 啊，于是很容易得到啊，这个红色的三角形就是等腰三角形， 其实也可以很容易证明啊，因为根据内错角相等，上面这个角一是不等于这个角一啊，你看两直线平行，内错角相等，然后呢，这两个角一相等，不就是一个等腰三角形啊，所以 b e 就 等于 e o， 这是等腰三角形，两个腰那不就正出来了？ 那也就是说这条直线就是过 o 点的直线，我把这些都给叉掉了，也都给叉掉了， 我把这个也擦掉了好。过 o 点的直线垂直于 a， c 就 能满足 c、 d， 加上 b e 就 等于 e d， 哎，我们已经刚才正过了，所以呢，这个时候我们要求的就是 c、 d 的 长，那该怎么求呢？图形我们做出来了，该怎么求？哎，这个时候你看看，我们又要回到内心的第一个性质啊，是和角平分线有关的性质吧。 接着我们还得看另外一个心子内切圆的圆心，大家看啊，我们要求的这段 c、 d 在 这里啊，它是不是等于过 o 点向 b、 c 做垂线 这一段，就也就说这个图形绿色的是一个正方形，对吧？好，那么如何求这一段呢？我们就令这一段为 h， 那 么 c、 d 呢？也是 h， 对 不对？那么我们这个时候呢，以这个 o 点作为圆心，做这个三角形的内切圆，大概 就是这样画一个内切圆，我们知道这个内切圆，这个圆心 o 到三角形的三条边的距离，是不是就是都是等于 h 啊？都是等于 h 啊？ 那也就是说，我们再把这个三角形的三个顶点， b 点和 o 点连起来， c 点和 o 点连起来了， o 点和 a 点也连起来，于是就能得到三个三角形，分别是这个红色的，这个红色的和这个红色的，是不是三个三角形啊？ 这三个三角形的面积加在一起，是不就是这个大的 a、 b、 c 的 最大的三角形的面积啊？那也就是我就把它直接给擦掉了。 s 三角形 abc 是 等于 s 三角形 a、 b、 o 加上 s 三角形 b、 c、 o 的， 对吧？一个大的三角形 abc 就 分成了三个小的三角形，那大的三角形的面积是不是很好求啊？ 大的三角形的面积就是二分之一的底八，再乘以六高，对不对？那就等于三个小的三角形的面积。三个小的三角形的面积，他们有一个共同的特点，高是不是都是等于 h 啊？ h 和 h 啊，那也就是说，第一个三角形 abo 是 二分之一的 ab 去乘以 h， 第二个三角形是二分之一的 bc 去乘以 h。 好， 我们把等号左边的这个求出来了，是二十四等于，右边是提一个公因式吧，提一个二分之一的 h 出来，就变成了 a b 加上 bc， 加上 a c， a b， bc 和 a c， 这是不是就是三角形的三条边呐？大三角形的，那我们要求的是不是这个 h 啊？要求的这个 h 就是 等于 c、 d 嘛，那么很容易就把它带进去嘛。二十四等于二分之一的 h 去乘以 三角形的周长吗？三条边就是二十四，那 h 就 等于二。好， c d 的 长呢，就等于二。哎，这是不就求出来了。我们刚才这样的做法啊，经历了两步。第一步呢，是充分的利用内心的性质， 在内心的性质中，一个是角平分线，找到特殊的角平分线就是 o、 c 这一段，因为它这两个角都是四十五度，就能构造等腰直角三角形。同时，第二步， 利用内心的内切圆的性质。哎，我们用等面积法求出内切圆的半径，就是我们要求的 c d 的 长好。到这个时候就做完了吗？并没有啊，如果到这个时候就做完了的话，这道题其实难度也就一般。 很多时候啊，大部分同学呢，就只做到了这一个答案。其实这道题啊，有两个答案，为什么呢？因为第二条线，也就是说第二个答案，他和刚才这种做法是在逻辑上对称的，因为我们刚才讲了这道题啊，他还体现了逻辑上的对称。 好，那我先把这些都给擦掉，为了方便大家看好题目呢，我就不再赘述了啊，我先把第一条线做出来，就蓝色的这条线好，那么焦点呢？分别是 d 点和 e 点好，那么这是垂直的关系，对吧？那么这条线它其实它的本质是什么呢？ 我们针对 a 这个角，大家把这个目光投向角 a， 角 a 是 不是有两条边，下面一条边 a c， 上面一条边 ab 啊？那么这条线蓝色这条线，它的本质是过这个内心去做 a c 这条边的垂线， 是不是啊？好，那你既然过这个圆心，做了 a c 的 垂线，为什么不尝试一下过这个圆心再做另外一条边 ab 的 垂线呢？因为 a c 和 ab 在 逻辑上面是没有区别的吧，针对这一个角， 换句话来说，这两条边的地位是相等的吧，所以你不能厚此薄彼吧。所以我们再做一条线，来尝试一下 过 o 点做另外一条边 ab 的 垂线，好，这个时候我们就能发现新的关系了，你看这个叫 d 次，这个叫 e 次，有两对全等的三角形，一个是上面这个红色的三角形和下面这个红色的三角形是全等 于三角形 d 次 o d 的 啊，这是第一对全等的三角形，这个很容易证啊，那我我就简单的证明一下吧。首先根据 o 点在角平分线上，角平分线，你看 o a 是 不是角平分线啊？角平分线上的点到角两边的距离相等吧，也就是 o e 次等于 o d， 好，这么得到了一对边相等了，然后再根据直角和直角的关系，以及有一对对顶角嘛，所以 a s a 是 可以挣出来的。好，这一对三角形是全等的，同时还有一对三角形也是全等的，这个时候呢，就是这个大的绿色的 和这个大的绿色的这两个大的绿色三角形也是全等的，我就写在下面，三角形 e、 d、 a 全等于三角形 d 次 e 次 a 好 了，那么这对三角形全等也就很容易证明了吧。根据 e、 a 是 等于 d 次 a 的 吧，为什么这两条蓝色线段相等？ 因为 e 次 a 是 等于 d a 的， 然后 e、 e 次和 d 次 d 是 不是也是相等的？因为三角形全等嘛，就是两个小三角形全等嘛。好，我就不再赘述了啊。总之呢，这第二对三角形也是全等的，我们利用这两对全等三角形就很容易 得到。其实在这红色的这条线段中啊，大家看第二条线段，我们做出了 d 次和 e 次这条线段，它也满足这样的条件，为什么呢？首先我们能够得到 红色这条线段， d 次 e 次是等于蓝色的这条线段的等于 d、 e 的， 这没问题吧？因为根据第二对全等三角形就可以了。现在我在讲什么？现在我在讲红色这条线同样的满足我们上述的这个条件。所以呢， 我再给出证明的方法。首先红色这条线和蓝色的这条线是相等的，这个没问题。你看， 现在我们要证明的就是 d 次 e 次要等于 c、 d 次加上 b、 e 次吧。要证明这个吗？我们只需要牢牢抓住 e 次 e 和 d 次 d 这两条绿色线段是不是相等的？好，那我们来看上面这一段 b、 e 次是不在原来的 b、 e 的 基础上加了一个绿色线段啊。好，那下面的呢？是不是在原来 c、 d 的 基础上，你看原来 c、 d 的 基础上是不是减了一个绿色的线段啊， 那一加一减，这个总和还是不变的嘛。所以啊，这个第二个条件，这也就是第二条线段 d e 次 e 次也是满足要求的。那换句话来讲呢，我们现在只需要再把 c d 次给求出来就可以了， 也就是这条很短的绿色线段，就是第二个答案了吗？求出 cd 次就可以了。那求出 cd 次是不是很容易求啊？他就是用原来的 cd 减去 d 次 d 吗？ 就是用这个 cd 原来的减去这个 d 次 d 就 可以了。那 cd 的 长不是求出来是等于二的吗？那也就说我们只需要把这个 d 次 d 给求出来就可以了吧。那 d 次 d 怎么求呢？就这一段怎么求呢？ o d 的 长是不知道啊，就是我们之前求的这个 h 吧，也就是这个内切圆的半径吧，是等于二的。 o d 是 等于二的，而且是满足 这个三角形，和这个大的三角形相似，那很容易就把 d 次 d 给求出来了。二分之三啊，这个就不再赘数了啊，一个简单的一个比例关系好，那么 d 次 d 是 二分之三，那最后呢？ c d 次长就是二分之一，哎，还有一个答案，二分之一。 那么这道题啊，他的思维过程还是有一定难度的，主要呢就是在于有两个答案，有时候两种情况，这两种情况大家一定要 抓住它的本质啊，其实在逻辑上是对称的关系，什么样的对称呢？就是过这个内心啊，分别做这同一个角 a 的 两条边的垂线，哎，当你想出第一条蓝色的线段的时候，那么第二条线段呢？你也得尝试一下这道题啊，他比较综合，考察到了内心的性质， 角平分线呢，以及内切圆的圆心呢？这些条件要充分的运用。虽然这个图形特别的简单啊，但是呢，大家一定要引起重视，而且这里面还有一个模型叫 关于角平分线中的平行线模型，就会出现等腰三角形啊。其实这些内容啊，包括内心的性质，我在摆题闯关中的三角形的五行四线是有讲过的， 这个平行线等腰线这个模型呢，也是在角平分线模型中有讲到。这些百题闯关都有提到的啊，大家可以去了解一下中考数学背后有无规律，最短时间如何快速提分？ 为了寻找答案，涛哥我从二零二零年开始，每年一百道中考压轴真题汇总至今全网最详细的分类。这是一项大工程，当然也很值得，我发现了很多很多有用的结论和规律，这项工作在未来还会持续进行，并将部分结果收入于四加三赔油体系。 nice， 第一问啊，我们得到的一个结论，可以用做第二问的一个关键条件啊，也就说这两问呢，是一环扣一环 等边三角形 abc。 那 么等边三角形它本身就自带了很多隐含条件，比如说三条边相等，每个内角都是六十度， a b 也是边长等于十，好有一个动点 e 点，它在 a d 这条高上面运动，那么不管 e 点运动到何处，总是以 b、 e 作为一个边来做一个等边三角形。也就是说，图中有两个等边三角形，一个是红色的这个大的，一个呢是蓝色的这个小的。这两个等边三角形，它们有一个共同的特点，就是共用了一个顶点 b 点。 好，现在把该连的连起来，问 bcf 等于多少？ bcf 也就是这个角等于多少呢？ 那看起来这个角一定就是一个定角了吧，对不对？虽然这个 e 点在动，但是呢，会保证这个要求的。 b、 c、 f 的 角应该是一个固定值，那该怎么办？很明显，首先 b、 a 这条线段是等于 b、 c 的， 而且蓝色的假角是六十， 同时 b、 e 是 不是也等于 b、 f 这个红色的夹角也是六十？那就满足手拉手的条件，二加二，同角共顶点，于是就有一对全等的三角形，那么这一对全等的三角形，我用红色表示一下，就是这两个三角形，哎，三角形 b、 a、 e 是 全等于三角形 b、 c、 f 的， 那么这两个三角形全等它的依据啊。手拉手模型我就不再 介绍了，这个摆题闯关，包括之前的摆题冲刺都有详细的介绍。那么根据对应角相等，我们要求的这个 b、 c、 f 这个角，是不是就对应的上面这个 b、 a、 e 这个角啊？ b、 a、 e 是 三十度，这很明显吧， b、 c、 f 就是 三十度。哎，好， 那么关键是来看第二问，要求 b、 f 加 f、 d 的 最小值， b、 f 在 哪里呢？这一段 f、 d 呢？是这一段。哎，这该怎么求？你要知道啊，这个 b 点和 d 点是两个定点， f 点呢，是动点吧，因为这个 f 点实际上就是这个 e 点，根据这个 b、 e 线段旋转而来的吧，就是 e 点就转到了 f 点的位置。好，那么这道题它是个动点问题，要求的这一问中呢，它是 两个定点，一个动点吧，两定一动啊，这两个定点分别是 b 点和 d 点，动点是 f 点，我们首先要把这个 f 点的轨迹能找出来的话，那一切就非常好办了，所以关键就是求这个动点 f 它的轨迹， 那么动点 f 的 轨迹该怎么求？还是根据我们已近来制动这个办法吧。那么静态关系是什么呢？也就说不管这个 f 点怎么运动，始终都成立了一个条件，那就是这个角是三十度呀， 刚好就是上一问的结论吧，这个角是三十度，那也就是说这个 f 点的轨迹是不是在 c f 这个延长线上啊？ 或者叫在这条直线上啊？这个蓝色的这条直线，只有 f 点的这条直线上，就能保证 b、 c、 f 是 一个固定的三十度角吧。 好，那接下来就好办了呢，就变成了直线，这个蓝色的这条直线上的一个动点 f 到直线的同侧 b、 d 两个点距离和的最小值，那是不是又变成了将军 硬马呀？将军硬马的同侧直线型吧。所以我们的做法呢，就非常好做了，我们任意找这两个定点中的一个地点做轨迹的对称点来做对称点大概就到这里了，我们去做第一次的位置，再把 b 第一次给连起来， 那么我们要求的最小值就是 b、 d 次的长，能把 b d 次给求出来就可以了。那 b、 d 次该怎么求呢？其实很容易求，根据地点是终点，大家看看，我用绿色表示一下，地点是终点，那么 b、 d 是 不是等于 dc 啊？这个没问题吧。 同时根据对称的关系，以及这个角是三十度，你看我把 c、 d 次给连起来，这个角是三十度，那这个角呢，是不是也是等于三十度啊？那也就是说我们这个大的这个绿色的角就是六十度，而且 根据对称的关系， c、 d 的 长这条绿色的线 c、 d 是 不等于 c、 d 次啊，那也就是说这一个绿色的大三角形是等边三角形，那也就是说 c、 d 还等于 d、 d 次，也就是图中 b、 d、 dc 和 d、 d 次这三条线段都相等吧。那一切就好办了呢，很容易就得到。你可以根据地点是圆心 b 点， d 次点 c 点，他们到这个圆形 d 的 距离相等，就是在一个圆上吧，那很容易得到 d 次。这个大的角是不是就是九十度的圆周角啊？哎，这是一种，还可以根据斜边中线等于斜边的一半，以及呢，我们根据等边三角形六十度，很容易得到， 这个角也是六十度。然后呢，根据三角形的内角和这两个红色的角是要相等的，而且他们的 角度之合是六十度，那也就是这是三十度，这也是三十度。你有很多办法，我就不再赘述了。总之，我们可以得到一个直角三角形的这个直角在这里， 直角三角形就是这个红色的。那么我们要求的是哪一条线段啊？ b、 d 次看到了没？ b、 d 次在这里是不是直角三角形的一个直角边啊？而直角三角形的斜边 b、 c 是 等于十的， c、 d 次是等于 c、 d 等于五的，所以另外一个直角边在这里， b、 d 次啊，就等于根号下十的平方，减五的平方等于五倍根号三，所以最小值五倍根号三就做完了。 好了，这道题，我把思路再重新总结一下，把这个给擦掉。首先，根据第一问啊，得到 两个三角形，全等手拉手模型，然后上面这个三十度的角是固定的，那么对应的下面这个三十度的角呢？对应角也是固定的。所以呢，第一问好求，那这个 f 点是动点它的轨迹，它要保证 bcf 是 固定的角，所以呢， f 点的轨迹一定是在 cf 的 延长线上，于是就得到了 动点的轨迹。是一条直线，两个定点， b 点和 d 点是固定点，那么直线上的一个动点 f 到直线同侧两个定点距离和的最小值是不是有同侧型的将军一马？然后剩下的问题呢，就是解直角三角形就可以了。好，这道题啊， 有一定的难度，关键是能把第一问的这个结论当做第二问的条件，他是判断动点 f 轨迹的关键。好了，关注涛哥微信公众号，跟涛哥学数学，更多免费资料等你来领取！ 中考数学背后有无规律？最短时间如何快速提分？为了寻找答案，涛哥我从二零二零年开始，每年一百道中考亚洲真题，汇总至今全网最详细的分类。 这是一项大工程，当然也很值得，我发现了很多很多有用的结论和规律。这项工作在未来还会持续进行，并将部分结果收入于四加三培优体系。 nice！ 这道题想告诉大家的是几何模型啊，它并不一定是万能的， 当你无法使用模型的时候，你还得从题目的本质出发，去寻找特殊的条件。 特殊条件的利用比你直接套模型往往更加关键。这道题呢，图形是比较复杂的，而且呢，有一个直角，很多同学首先想到的方法就是间隙， 间隙是没有问题的，可以解出来，但是计算的过程会比较复杂，往往在几何关系没有办法去解决的时候，我们再间隙，那如果不用间隙的方法该怎么做呢？其实只要你想到了，利用特殊的条件， 四十五度角就能迎刃而解了。我们先来看题啊，直角三角形给出来了，而且呢两个直角边分别是三和五，而且有一个定长的线段 a e 在这里，红色的线段呢，是等于二倍根号五的，然后做一个等腰直角三角形，在右边这个蓝色的三角形中，特殊的角四十五度，以及这个直角要求 a f 的 长。刚才说了，间隙是可以的，你自己去建啊，我们用 几何的关系去求，那突破口呢，一定就是这个特殊的四十五度角，或者这个四十五度的角在直角中 或许能够用一二三四五模型。我说的是或许啊，但我们很难求出 c d 和 bc 的 关系 是一比三的关系，或者是一比二的关系，所以这个一二三四五模型呢，也是不可取的。其实我们最后可以求出来啊，这个 c d 和 bc 之比啊，并不是一比三，也不是一比二啊，我就不再赘述了。总之呢，这个半角模型还有一二三四五模型和四十五度角有关的啊，在这道题中呢， 都不是特别的好用呢，那该怎么办呢？还是要回到四十五度角上来，四十五度角，我们是不是很容易构造出等腰直角三角形啊，因为蓝色这个三角形已经是等腰直角三角形了吗？那很多同学想到的就是过 f 点做垂线，好有一个等腰直角三角形， 你去试一下也是比较麻烦的，或许呢，也不一定能解出来，那么还有没有其他的办法呢？当然有了，我们把思路放开一点，把这个四十五角还是在这里啊，延长 b、 f， 然后去做一个垂直的关系， 这个蓝色的角角 d， 这个地方啊，是直角，这个大的蓝色三角形是不是就是一个等腰直角三角形啊？好了，有了等腰直角三角形之后，利用它的性质啊，两个腰是相等的，也就是 b、 d 的 这条绿色线段是等于，我们把这个交点呢，记作 h 点的话，是等于 d、 h 的 吧，这两条绿色的是相等的，同时在利用等腰直角三角形这个小的蓝色的等腰直角三角形中， d、 c 的 长是等于 e、 d 的 长，我先把它写着啊， d、 h 是 等于 d、 b 的， d、 e 是 等于 d、 c 的。 有了两对相等的线段，是不是就有构造全等三角形的可能呢？我先把这个给叉掉啊，再把 h、 e 给连起来，我们很容易得到啊，这个红色的 h、 e、 d 是 全等于这个红色的 b、 c、 d 的， 为什么呢？加上这个角一等于这个角二，因为同角的与角相等嘛，角一等于角二，所以能够推出三角形 h、 e、 d 是 全等于三角形 b、 c、 d 的 好，得到了全等三角形之后，剩下的就迎刃而解了，怎么做呢？ 这个是直角吧，这个角 e 的 地方，然后很容易得到这个 h、 e。 这个线呢，是不是平行于 a、 b 的 啦，这里我就不再解释啦，既然有平行的关系，于是这个三角形和这个三角形是不是正八字相似啊？三角形 b、 a、 f 是 相似于三角形 h、 e、 f 的 好。三角形相似最重要的是什么？相似比对不对啊？相似比是三比上， h e、 h、 e 实际上就是 bc 吧，因为三角形全等就是三比五的相似比，那相似比是三比五要求 a f 好 不好？求啊， a f 不 就是八分之三倍的 a e 长啊， a e 是 多长告诉我们了，二倍根号五，所以 a f 就 等于四分之三倍根号五。做完了这道题呢， 关键是什么？利用这个四十五度角的特殊角，构造一个等腰直角三角形，然后利用 这个小的，你看这个红色的和这个红色的全等进行转化，最后又变成了八字形的相似。所以这道题啊，既考到了全等，又考到了相似，而且还涉及到相关的一些模型，那么 有一定的难度，你可以去间系啊，间系做的话会比较复杂，大家自己去尝试了，我就不再赘述了。中考数学背后有无规律？最短时间如何快速提分？ 为了寻找答案，涛哥，我从二零二零年开始，每年一百道中考压轴题，汇总至今全网最详细的分类。这是一项大工程，当然也很值得我发现了很多很多有用的结论和规律。这项工作在未来还会持续进行，并将部分结果收入于四加三培优体系。 nice！ 题目虽然短，但是当你读完题目的条件以后啊，虽然每个条件你都能读懂，但是你根本就无从下手 啊！你都不知道他到底考你什么？所以呢，你需要画图哎，要结合图形来做。 那么在讲这道题之前，我先补充一个知识点，这个知识点呢，很多教材是已经删掉了，但是呢，中考却考得到，而且不止考了一次，就是关于三角形的 重心的性质。关于这个重心的特点呢，首先我先画一个三角形啊，这是任意的一个三角形，假如叫 abc 的 话，那么重心指的是三条中线的焦点，哎，这是一条中线，这也是一条中线， 这是第三条中线。任意三角形，他的三条中线一定交于一点，这个点就是三角形的重心。而三角形的重心呢，他把每一条中线都分成了二比一两部分，什么意思呢？ 蓝色的这一段如果是两倍 x 的 长，那么下面这一段呢，就是一倍的 y。 最后啊，显而易见的就是红色的这一段，如果是两倍的 z， 那 么这一小段就是一倍的 z。 总之，这个重心，他把三条中线都分成了二比一两部分啊，这个是重心的性质。 那如果这个三角形啊，是等边三角形的话，那我们很容易得到啊，等边三角形的重心，等边三角形的垂心，等边三角形的内心，同样的，把这三条线分成了 二比一的两部分，这个也是二比一，这个也是二比一两部分。好了，那么这是我说在前面补充的一个知识点啊，刚才说了， 这个二比一的这个比例，他一定出现的是重心，也就是三条中线的焦点。那如果是特殊的等边三角形呢？那么他的重心啊，他的垂心啊，他的内心啊，都叫做什么心，叫做中心。好了，那么接着我们来看题了， 我把这个给擦掉了，已知一个点， o 是 边长为六的等边三角形的中心。哎，那我先画一个边长为六的等边三角形，那三角形 abc 大 概就是这个样子的。 abc 好， o 点是它的中心，那我们 就画三条线，对吧？这个 o 点呢，大概就在这个位置，我记住 o 点好，我先把这个线都给擦掉，这个中心在这里， 边长是六。好，现在有一个动点， p 在 三角形的外部，哎，这个点呢，我们记住 p 点，我随便画一个位置在这里。然后呢，这个 p 点和三角形的三条边， a， b， a， c 和 bc， 这三条边分别构成了三个不同的三角形， p， a， b， c， 这里面积呢，记作 s 二 p， a， c， 这个三角形面积呢记作 s 三。 好。以及呢，这个三角形本身，这个 a、 b， c， 三角形本身它的面积呢，记作 s 零。哎，这里呢，我们就得到了几个三角形啊，有四个不同的三角形，分别是 三角形本身边三角形本身 abc 叫 s 零的面积。同时呢，屁点和三角形的三条边构成了 s 一， s 二和 s 三。好，现在问题来了， 如果这四个三角形的面积满足这样的等量关系，也就是如果 s 一 加 s 二加 s 三等于两倍的 s 零，问， 哎，这个 o p 线段长的最小值是多少？那换句话来讲，这个 p 点肯定是一个动点，对吧？ 哎，这个 p 点运动到什么位置的时候，既满足这四个三角形这样的一个条件，同时呢，又和 o 点的距离， o 点在这里啊，是三角形的中心， o 点的距离最小，这该怎么办？ 那这是个动点问题，首先我们肯定想到的就是要把屁点的什么给求出来啊，这个动点的轨迹给求出来，对吧？你能够把这个动点屁的轨迹给求出来了，那么屁点到 o 点距离的最小值就好求了。那如何求屁点的轨迹呢？ 来，这就是我们的问题了，那肯定是要根据和屁点有关的限制条件吧。我们知道屁点是位于三个三角形， s 一 二三这三个三角形中 啊，那么限制条件呢？就只有这一个等式，那这一个等量关系肯定是不够的，对吧？但是不管怎么说，我们先把已知的先求出来，比如说边长是六的等边三角形，那么这个 s 零它的面积是可求的吧？是等于九倍根号三啊，这个我就不再赘述了。 好，那么只有这两个等量关系 s 零和上面的这个有没有用啊？肯定还是条件不足，所以接着我们就开始认真观察这个图形了， 那么当 p 点在这个位置的时候，大家看一下啊， p 点在这个位置的时候还有什么条件吗？ s 一 到 s 三以及 s 零的关系有一个很明显的，我给大家画出来，大家看一下啊，你看这一个绿色的三角形 叫 s 二，对吧？上面这一个绿色的三角形呢？是 s 三，那 s 二加上 s 三是不是就等于，哎，我把这两个绿色擦掉了，这个小的绿色三角形 s 一 加上 s 零啊，好，这就是我们这道题的关键呐。哎，你能把这个等量关系给找到的话，那一切就迎刃而解了，为什么呢？你看啊，这个是一式，这个是三式， 那一二三式连立的话，首先这个一式和三式是不是可以消掉一些多余的部分啊？是可以把 s 二和 s 三这个整体给消掉吧。你用一式减去三式， 你用一式减去三式，就很容易得到两倍的 s 一 等于 s 零，哎，那么 s 零又等于九倍根号三吧，所以金额就可以得到 s 一 等于二分之九倍根号三。好， 这是不是一个非常重要的一个结论啦？我们根据前面的条件不断的去进行了变换啊，最后得到这样的一个 s 一 的面积是固定值。接着再来看 s 一 在哪里， s 一 是不是就是一个绿色的三角形啊？ 它的面积要是一个固定值，我们发现这个三角形以 ab 为底的话， ab 的 底是不是六啊？是固定的吧。那换句话来讲，这个三角形它的高，如果以 ab 为底的话，那么这个高 h， 我 画一个 h h 是 不是就等于二分之三倍根号三呐？那也就是说 p 点的轨迹是不是就是到 a b 这条直线距离等于固定的二分之根号三的点的集合啊？那不就是 p 点平行于 a b 啊， 哎，这两条线你看把 ab 也延长这两条线之间的距离 h 等于二分之三倍根号三呐。好，那此时 p 点到 o 点距离的最小值是不是就是这个 o 点向 p 点的轨迹做垂线，垂线断的长啊？好，那么垂线断的长我们就很容易得到啊，我把这些都给叉掉了，那么 o 点到 p 点轨迹这条上面这条绿色直线的距离是不是就是 h， 再加上 o 点到 ab 的 距离啊？叫 h 一 的话，哎，那就是我们要求的最小值啊， o p 最小值是不是就是 h 加上 h 一 啊？这个 h 呢，就是两条直线的距离嘛，二分之二三，那 h 一 怎么求呢？ h 一 就要用到刚才我们所说的啦， 三角形 a、 b、 c 是 一个正三角形或者等边三角形，那么这样连起来的话，是不是有两段呐？这是第一段，这是第二段呐，我把这个 s 二 s 三都拆掉了，你看啊， h 一 在这里， 上面这一段是不是就是两倍的 h 一 啊？二比一的关系，刚刚最开始的时候，这课程最开始的时候我不是介绍过了吗？关于重心的性质嘛。好，那么我们只需要这一段是 h 一 嘛， 那么三倍的 h 一 是不是就是这个等边三角形的高啊？三倍的 h 一 是等于三倍根号三的吧，这就不再赘数了。所以这个 h 一 它的长是根号三，而 h 的 长呢，是二分之三倍根号三，所以此时 o p 的 最小值是等于二分之五倍根号三的。好， 这个时候我们就求出来了，那么如果这道题是填空题的话，那么你就可以填二分之五倍根号三。哎，这道题你就做对了，而且呢，可以说你的运气很好。为什么呢？因为我们这道题其实还需要分类讨论，这只是第一种情况，叫情况 一，这只是第一种情况，而这第一种情况恰好就是最小值的情况。那么为了保证这个题目的完整性呢，我把第二种情况也介绍给大家。好，那么我先把这个 图给叉掉，我先把这个图给叉掉，回到这个等边三角形 a、 b、 c 上来，如果我们把它的边都延长的话，延长延长延长 延长延长的话，那整个这个空间是不就会划分为啦一二三四 五六六个区域啊？那根据这个等边三角形，它是有对称的性质吧。那么其实从逻辑上来讲，一号、二号就是这两种情况了。这个三号区域和一号区域是不是从逻辑上来讲是相同的吧，包括五号区域， 你看一三五，这三个区域是不同同样的类型啊，所以这个我们只用讨论一号区域，那二号区域和四号区域还有六号区域呢，也是相同类型吧，所以我们只需要讨论二号区域就可以了。因此，哎，这道题目中，刚才我们的第一种情况是不是讨论的是 p 点在一号区域啊？ 那如果 p 点在二号区域呢？ p 点在这里呢？我们再来讨论一下，我就用蓝色来表示一下，假如 p 点在这里啊，其实方法就一样的啦， p a b 连起来，这是 s 一， p a c 是 s 三，而 p b c 是 s 二啊，我就写在这里 s 二，好，最后这个三角形等边三角形本身呢是 s 零，那此时，哎，我写在下面 情况二，那情况二我就讲的快一点啊，那此时呢？情况二，首先有一个 s 一 加 s 二加 s 三等于两倍 s 零，这是已知条件，同时 s 零等于九倍根号三，这也不变， 那此时是这四个三角形，它们的组合就是 s 一 加 s 三加上 s 零等于 s 二吧。哎，大家看这样的一个 挖掘出来的组组合啊，图形的组合，四个三角形的组合，和我们情况一，找到了这个组合，大家看这两个蓝色的，我做一个比较，是不是不一样啊，所以我们得分类讨论吧。好， 那么接着我们再把这个组合呢，做一个连力啊，方法是一样的，就很容易得到两倍 s 二等于三倍的 s 零。好， s 零在这里，对吧？所以呢，最后啊，我们就能够推出 s 二等于 二分之二十七倍根号三。好，同样的啊， s 二，我把这都给叉掉了， s 二是不是就是这个大的 p b c 啊，哎， s 二它的面积等于二分之二十七倍根号三，那么其实这个三角形的底是等于六吧，那也就是说这个 p 点到 b c 的 距离，只要满足 p 点到 bc 直线首先是平行吧。哎，而且呢，这一段距离我重新画在这里了啊，就是我们另外记作 h 三吧，就等于 三角形的高嘛，哎，这个 pbc 三角形的高，这个 pbc 的 面积是二分之二十七倍根号三，底是六，那高呢， 二分之九倍根号三。好，那么此时，哎，大家在我把这都给叉掉了， 我把这个也擦掉了，那此时 p o 距离的最小值是不是就是这个高二分之九倍根号三，减去，我用绿色表示一下这一段呐， o 点到 b c 的 距离啊， o 点到 b c 的 距离，我再不再对数啊，这就是根号三嘛，所以就是二分之九倍根号三。大的减去这一段的距离根号三。所以此时 o p 最小值为二分之七倍根号三。那中上所述的第二种情况的最小值二分之七倍根号三，而第一种情况的最小值呢，是二分之五倍根号三，所以中上所述 真正最小的，那就是这个二分之五倍根号三了，所以整个题目呢，才算做完啊，所以这道题啊，是有一定的难度的，其实 分类讨论如果出现在填空题，还有一定的运气成分，如果是大题的话，那么这两种情况你一定都要讨论完整。那么不管是哪一种情况的分类讨论啊，我们的出发点都是要把图给画出来，然后你画完图之后，结合题目的第一个已知条件，这四个三角形 的一个关系，然后你再根据图形挖掘出第二组条件。哎，就在这里，我两个红色都画出来了，对吧？ 然后把这两个连立起来，然后根据已知三角形的面积，九倍根号三，就能够得到单独的一个三角形的面积为固定值。比如说第一种情况 s， 一 是固定值，第二种情况呢，我们得到 s， 二是固定值，那么根据 三角形底不变，那么面积又为固定，那么它的另外一个顶点肯定就是平行于已知的底边的一条直线上的所有点的轨迹了。 好，这道题啊，我讲的稍微详细一点，大家好好体会一下。关键就是画图和找出隐含条件这四个三角形的面积关系等式 中考数学背后有无规律，最短时间如何快速提分？为了寻找答案，涛哥，我从二零二零年开始，每年一百道中考压轴真题汇总至今全网最详细的分类。 这是一项大工程，当然也很值得，我发现了很多很多有用的结论和规律，这项工作在未来还会持续进行，并将部分结果收入于四加三培优体系。

本视频耗时一年，制作共计一百五十分钟，带你一口气学完初中数学所有几何模型。详细的几何模型目录已发到评论区，本次更新十二个几何模型，时长二十八分钟，先点赞收藏再慢慢看吧！孩子们！ 再咱们来看模型十九海盗埋榜模型也叫逆旋转啊，看下这种模型特点，第一个，它形容的是两个等腰直角三角形，再来看三角 c b， 这个也是等腰直角三角形。 第二个特点就是它共顶点，比如共 c 啊，进行旋转好。第三个，若它另外两个底角也就这个 d， 是 不另外两个底角和 e， 把这另外两个底角相连先来，之后取它中点 f， 一 旦取连 f 中点 f 的 话，那么跟它这个顶点相连，也就是 f b 和 f a 这两个相等。之后呢， f a 和 f b 相等，并且它的夹角是直角，也就是说它所形成三角形 f a b， 它绝对就是个等腰直角三角形。好，接下来咱们就开始证明这个事情。好，首先咱们来看，我就需要把 d a 关于 a 对 称对称到 p， 也就是 d a 是 不是等于 ap 啊？另外我这个 e 点关于 b 对 称到 q， 也就说 e b 是 不等于 b q 啊， 所以你会发现对称完之后呢，这两个角四十五，它也是四十五，那所以它是不就垂直？好，那所形成的这个 c e q， 它是不就是个等腰直角三型？另外 这个角是不四十五，对称完之后，这个角是不也是四十五？所以说所形成的这个也三角形，是不也是等腰直角三型，也是它垂直的好，你看一下这个红的和这个紫是不就叫手拉手模型的全等旋转了？如果不知道手拉手全等旋转，可以看我上一期更新的十八个模型，其中有一个手拉手。 好，那你看一下手拉手模型旋转，那我们那我们看一下锁形的这个 p 是 不是加左手啊？ e 是 不也是左手？ p 和 e 相连是不叫左手拉左手？好，另外再看，那你这个 d 是 不是右手？ q 是 不是右手？那你 d q 相连是不是叫右手线？ 好？那你 d q 和 p e 绝对相等，绝对相等。好，先练完之后，那你再看一下，那我最后，哎，最后再证明一个事情，那你看一下这个 pe， 因为我已经知道了 pe 等于 d q 也有两个拉手线相等， pe af 是 不等于 pe 的 一半，因为 af 是 pe 的 中微线，对吧？然后呢？ f b 是 不等于， 然后 d q 的 一半，因为 f b 也是中微线，所以 fa 和 f b 是 不应该相等。另外咱们还知道拉手线加角等于顶角度数，顶角是直角直角，所以拉手线 d q 和 pe 是 不就垂直啊？那你想一下 f o 和 f b 呢？也垂直啊， 所以我就证完了， f a b 就是 个等腰直腰散型了啊，这个就是一个详细的证明过程。好，接下来咱们继续看模型。十二，破罗摸几的模型，也叫破石模型哎，这它是由三个模型 衍生的，咱们来看第一个模型，垂直变中点，什么意思呢？就是 a b c， 哎，这个 a b c 和这个 d b e， 它叫共顶点旋转啊，等腰直角赞形，共顶点旋转，因为它们是直角。好，另外呢， a、 b， c 和 d b， e 都是等腰直角赞形哎，它共 b 对 应就有旋转，旋转的话它有个特点， 若 m n 垂直于 c e， 也就是若这个角是直角，那么把 m b 进延长，延长完之后所教育 a d 有 点 n， 这个 n 肯定是终点，肯定终点。好，第二个结论就是 c b e 和 a b a b d 边相等，第三个就是 c e 等于二 b 的 b n。 好， 记下，咱们去证明一下。诶，它这几个结论为什么就成立呢？好，记下，咱们看，我只需要把看这第二个图啊，我只需要把啊 b n 进行延长，延长完之后，我做两个垂直， 我让 b q 垂直于这个线，然后让 a p 也垂直于 m n 这个线。好，那接下来去看一下，因为我这儿垂直，所以我所形成的这个， 这是不也垂直？这是不也垂直？那这个是不叫一线三垂直啊，对吧？一线三垂直所形成这个三角形和这个三角形是不就全等啊？好，同样道理，那我所形成的，因为这是垂直的，这是垂直的，这也是垂直的，那我这个是不就也叫一线三垂直啊？ 一线三垂直所行的这个三角形和这个三是不也全等啊？好，全等之后我就好说了，全等之后大家看，非常关键的一个，那我全等完之后，看一下，我这个 bm 跑哪去了？ bm 是 不是等于 ap 啊？这个三弦 bm 跑哪去了？因为这两个蓝的全等 bm 是 不是到了 dq 啊？ 好， ap 等于 dq， 再将它的垂直，那所以所形成的这两个三角形，小的三角形 d q n 和 a p n 是 不是全等？全等完之后，那你 na 肯定等于 n d 啊，那所以我就证完了， n 肯定是终点呢，所以这个是详细的证明过程。好，大家来看。第二个结论就更简单了，它说 c、 b、 e 的 面积和 a、 b、 d 的 面积相等， 再看下这个 c、 b、 e 的 面积是不是分成了一个红的，一个红的和一个蓝的呀？这个红的是不是咱说全等，这个红的是不是就等于 b、 q、 d 啊？ 好，那你看一下，那这两个相加就是不等于这个加上这个呀？这两个相加是不不就是 a、 b、 d 的 面积吧，所以第二个我也就证完了。好，这个是详细的证明过程。好，看，第三个， c e 等于二维的 b n， c e， 你 看一下。哎，我把这个擦掉。 好，他来重新看一下， c e 是 不等于 c m 加上 m e 啊？ c m 等于谁刚刚输了，一线三垂直， c m 是 不等于 b p 啊，对吧？ m e 呢？ m e 一 线三垂直， m e 是 不等于 b n 呢？是啊，所以说 c m 加上 e m 就 等于 b p 加上 b q 嘛。 啊， b p 就 能以 b n 减去 np， b q 等于呢？ b n 加上 q n， 这两个相加一定等于二倍， b n 呢？我就挣完了。 好，接下来看终点变垂直，还是 a b、 c 和 d b 进行共顶点旋转，旋转完之后，他说若 p 是 终点，咱们刚是这儿垂直，对吧？若 p 是 终点，把 p、 b 进行延长，到这儿肯定垂直。 好，那就看一下这个位怎么成立呢？好，咱们接下来换一种征法，咱们把 b p 进行延长， b p 延长到 pm， 也就是倍长中线。 好，咱们说背长中线，他所构造的是不叫全等模型啊？这个我在上一讲也讲过，也就这两个是不叫全等，全等完之后看一下。那你这咱们目的正，这垂直，对吧？这怎么就垂直了呢？好，咱们看， 如果说全等这两个全等完之后给你看一下，那我所形成的，咱说这个四边形是不叫平行四边形啊？咱说被长中线，除了是构造，全等就是构造拼四边形，拼四边形的话，这个角 b、 e、 m 加上这个角 c、 b、 e 是 不一百八， 你会发现，因为这儿垂直，这儿垂直，这个 a、 b、 d、 a、 b、 d 加上 a、 b、 d 加上这个 c、 b 是 不也是一百八？它这个角加上也是一百八，所以我这两个角是不应该相等，哎，这两个直角应该相等。好，就要再看这两个直角相等，那我，哎，我换一个颜色， 那我看一下，我这个 b、 e 是 不和 b、 d 相等，那进来看，这个 m、 e、 m、 e 是 不和 b、 c 相等？刚刚全等，是吧？那 b、 c 呢？又和 b、 a 相等，那所以这个 b、 a 是 不和 m、 e 相等，那我在这儿一封，这儿一封 a， 所以 这个 a、 b、 d， 这个 a、 b、 d 是 不是和这个扇形就全等了呀？好，我就种完了。全等完之后，好，全等完之后，接下来看非常关键的，全等完之后，我这个角在哪呢？我这个角是不就是它？ 好，我这个角一， a， 这角二吧，用钢边角二，这是角一，对吧？这个角一加上角三是九十度，所以它就垂直了，所以我就种完了，对吧？而这第一个结论就是垂直 好看。第二个，哎，那 c、 b、 e 和 a、 b、 d 面积相等，哎，这个也很好正了，刚刚我说了，我这个三角形刚刚不是正了，跟它全等吗？全等完之后再看一下，那我这个三角形不是在这儿呢吗？ 所以我这两个三角形的面积不就相等了吗？是啊，我就证完了。好，这个是详细的证明过程，这个也是详细证明过程。好，接下来咱们再看。哎，第三个，也就是说我这个 ap 等于二，而 a、 d 等于二倍的 bp， a、 d， 咱们刚输了，全等。 a、 d 这个三角形和这个三角形刚不正全等了吗？正完全等之后， a、 d 在 哪嘞？ a、 d 数对应的是 b m， 我 b m 是 不就是 b p 的 二倍？所以说，我就证完了。哎，就是二倍啊。好，那接二，再看 最终的破锣磨几个模型，眼下定力，它在讲什么呢？咱又共你俩旋转，你又发现，如果加一个圆，它就变得很有意思了，也就说 a、 b、 c、 d 是 一个圆，内接四边形。 我这个对角线是互相垂直的，这 b、 d 和 a、 c 互相垂直，互相垂直，那么如果说我其中这儿是垂直的， 这儿垂直的，那我把 e、 m 径延长到这儿，我对 f 绝对是中点，这个就是著名的坡直定点。好，咱们来正一下。为什么呢？好，这个，这很简单的，咱们看一下这个角，我们以为角一吧，角一在哪儿呢？ 角一是不是等于这个角？嗲，这是角一在这呢，角一是不在这呢？哎，再来看，很有意思，立个点，这个角一，这个角一是不是在这呢？为什么呀？因为同弧 c、 d 所对的这个角一和同弧 c、 d 所对这个角一是不相等啊。 所以，其实我就想证明一个事情，我这个角是不和这个角相等。相等完之后， f m 是 不等于 f a？ f m 等于 f a？ 好， 接下来看，我再操作一遍，我再操作另外一个点。好，看一下，我这个角在哪呢？ 我这个角，哎，是不在这呢？为什么呀？因为 ab 所对的弧所对的角，这两个圆周角是不相等。再来看，我这个红角是不在这呢，因为他们同时加上这个角都是九十度吗？ 对吧？这个红角加入一角九十度，这个红角加一角也是九度，所以这个红角在这呢，这个红角对顶角是不在这呢。好，那这两个红角是不相等，相等完之后， f m 是 不等于 f d， f m 等于 f d， f m 又等于 fa， 所以 fa 是 不等于 f d c f 是 终点，所以我就中完了，好，大家学会了没有？他现在再看第三个 模型，二十一啊，叫制药三角形锐角平分线模型。什么意思呢？就是如果说告诉你的三角形 a， 制药三角 a b c， 角 c 九十度， a c 是 六， b c 是 八，那么咱勾股定知道 ab 是 十，对吧？如果 ap 平分角 c ab， 那 么求 p c 的 场一般怎么求啊？ 这种咱们一般就是因为角平分线吗？所以我就过屁点做这边一个垂直，哎，因为角偏定里 f d 是 不是挺等于 i， 这个 p d 是 不是挺等于 p c 啊？这两个是相等的，对吧？相等完之后，接下来我就开始了，因为它是六，它是八。好，这个六 a c 是 不等于 a d 啊，所以 a d 也是六，那这个呢？这个九十四啊，用一共是十吗？是吧？一共是十啊。好，那见了带一句看， 那它是六，它是四，那我只需要，哎，看这边儿啊，那我只需要设它为 x， 那 所以它是不也是 x， 那 它是不就是八减 x 啊？所以你所形成的这个扇形是不叫勾股定律啊？ 勾股定律，然后解除 x 是 不解，出来 x 之后，我 p c 是 不就知道了呀？好，至于正常那个思路，再来看一下非正常思路，那如何快速地解呢？好，它们就这么解， 你会发现这个叫角平分线，对吧？咱们学过一个叫角平分线定律，就如果它是角平分线的话，那么我 a c 比上 ab 就 等于 pc 比上 pb， 这个是一定要记住的。 好，进来看，它不是六，它不是十吗？它是六，它是十，那所以 a c 比上 ab 是 不就六比上十啊，也就多少啊，也就是三比上五， pc 比上 tb 是 三比五，那就是它就是三，它就是五啊。哎，刚好 pc 加上 pb， 刚好就是八呀，所以我直接求出来三，对吧？直接求出来就是三，好，那所以我就整完了，哎，这是三，对吧？ 咱们继续看模型。二十二，矩形翻折模型。好，第一种就折在外，什么意思呢？就是当你折叠的时候，把一部分会折在外部啊。结论一，如果是在外部的话，得角一等于角二，角三，然后第二个结论，可第三个角咱们看。 当你折叠时候，咱们记住，折叠的对应角和对应边相等，这是永远不变的理论。比如折叠完之后，角二和角一是不对应的呀，再加上因为 ab 平行于 cd， 所以 角二和角三是不是内错角，所以角二、角三、角一全部相等，那这个时候就会出现个等腰，因为角一等于角三，所以 d e 等于 df， 再加，因为折叠的关系， a、 e、 d 是 不由 e、 b 折过来的呀，所以记住 e b 等于 df 等于 d， 也就是第二个结论也就成立了。第三个 f c 等于， 然后 f h， 这也是折叠之后对应边相等， f c 和 f h 相等，所以说就成立了。看第二个结论，有的时候它折叠的时候会折到外部，是折成下边这一桶， 哎，会折到下边这种图形的形式，这种这个数，你要记住，三角形 a、 f、 e 和三角形 c、 b 是 全等的。那怎么回事呢？咱们看一下。因为你折的时候还是对应角相等，那这个角一是不和角二相等啊，因发现角一和角三也相等，又是内侧角，所以角二和角三相等，所以说 e a 是 不等于 e c 啊， e a 等于 c， 所以 第二个结论就成立了啊。第三个， e a， c 等于角， e、 c 也就成立的，也就角二等于角三。看第一个结论，第一个结论你会发现 a， e， a 等于 e c 对 顶角相等这一个直角，所以说这个三角形 f、 b、 c 和 a、 f、 e 是 不就全等了呀？所以我第一个也就正完了。 好，咱们来再看。说折在里，折在里的时候，第一种折叠就是类似于这种图形，就是当你折的时候，把这个 e 点 d 点是对应着 e 的， 然后折到了 a、 c 上，然后就已解决，把 a、 d、 f 折到了 a、 e、 f， 这若你发现有几个结论呢？哎，首先就是 c， e 等于 a， c 减 a d， 这个是很简单的，因为折完之 后， a、 d 是 跑到 a e 减 a d， 这个是很简单的，因为折完之后， a、 d 是 跑到 a、 e 了呀， a d 等于 a e 的， 所以 你这个 c e， c， e 是 不就等于 a c 减去的？ a， e 也等于 a， c 减去 a d 啊，所以这个结论成立了，是吧？另外， c f， 你 发现 c、 f 等是不等于 c d 减去 e f 呀？因为 c f 本来等于 c d 减去 d f， 你 d f 是 不就等于 e f 呀？所以就等于 c d 减 e f， 所以 这个也就成立了。这个比较简单，对吧？ 可咱们再看，如果你在折叠中像结论四，类似于它制成这种形式，你折完之后，这个 d 点对应点折到了 g， 这个 g 刚好是一百 f 是 它中间那个折。这个时候你要看一下 a g 等于二倍的 a e， 这个怎么回事呢？你看一下，咱们还是折叠对应角相等对应边，相等对应边，是不就是 a， d 和 a g 是 对应边了？ 哎，你 a、 g， 你 这个时候你发现 a， g 是 不就等于 a、 d， 然后就等于二倍的 a， e 啊， 二倍的 ae 了，那所以说，哎，第一个结论成立了。再来看，哎，这个三角形 a， e， g， 这个三是直角三角形，如果 a g 等于二倍 a e 的 话，那你角三是不是等于三十度啊？因为三十度所对的角边等于斜边一半，所以说角三等于三十度。 好，再来看，那你角一是不是等于角二？因为折的对应角相等，所以角一等于角二都等于三十度，所以说我这个第二个结论也就成立了。 好，再来看模型二十三，赵爽贤图模型赵爽贤图模型，也就是说在咱们在科内学的那个啊，这个折的那个模型。好，进来看一下，说在正方形 a、 b、 c、 d 哎，内部，然后在 a、 b、 b、 c、 d、 d、 a 上分别取 e、 f、 g、 h， 然后如果说 be 等于 c， f 等于 g， d 等于 a、 h， 那 么 e、 h、 g， f 就是 个正方形，这个比较简单，是吧？你比如说咱们举举一个例子， be 等于 c f， be 等于 c f， 然后再来看，那你发现这个是直角，这个是直角。好，那再来发现这两条直角呢？那你看一下我这个三角形， 这个三角形是不是和这个三角形它就怎么样，它是不是又全等了呀？哎，全等完之后，那所以 ef 是 不是就等于 f e 也等于 h g， 所以 这个就是个正方形了，所以我就正完了，是吧？这也是详细的一个证明过程。 我再来看二四风吹竖折模型，这个都属于是勾股定律的一种应用啊，这个属于勾股定律的一种应用，咱们在勾股定律那经常遇到这种，哎，应用题， 好，咱们看一下，说什么意思呢？就是 a， 它形容一个竖边好好的被风一刮给折了，折完之后它这个底部距距离这个，呃，这个折的那个地点是三尺，也就是这个地方是三尺。那你还发现哎，这种咱们用勾股定律结建方程。还比如说咱们说折断后的那个 高度是 a x， 也就这一段是 x 比总的高度呢？总个高度 a 就是 十，哎， u 数的高度是十，那么这一段是不就十减 x， 那 所以这个是不会形成的勾股定律，因为它有个直角，对吧？每只 x 方加三方 a 就 等于十减 x 方，然后吹截的 x 就 等于四点五啊，所以风吹数轴形是勾股定律的一个应用。再看出水芙蓉也是购物定，你经常会用到这种模型， 什么意思呢？也就是有这么一块芙蓉，然后呢，它出水三尺，什么意思？就这一段 a b 出水三尺，因为它漏在水面上，三尺嘛， 然后接下来风一吹，把它吹倒了，吹倒之后呢？它，哎，这个风吹花朵起水面就刚好，你这个 b 点就到了 c 了，这个 c 杠跟水面是相齐的， 反向后水面移动六尺，也就是移动一共移动六尺啊，求水深。诶，这个计算好，这个时候你看一下，那我我可以直接设 a a p 为 x， a p 为 x， 值 内发现 p b 是 不等于 pc， 因为它倒了嘛，都等于 x 加加三，所以这段是不是 x 加三？好，那你看一下，因为 a 它是不是加上 a c 方就等于 pc 方，是吧？ pa 就是 x 呀， 然后 a c 呢？ a c 就是 个四啊啊，然后呢？这个 p c 呢？就 x 加三呢？所以直接解的 x 就是 四点五，所以我就解完了，对吧？ 好，再来看魔像，二十六、三七八和五七八魔像这个非常非常重要，犹如咱们在做一些平面几何题的时候，你一定要足够的敏感，比如说你看到三七八就三个边长嘛，一个赛型三个边长是三七八，还有五七八的时候， 你看这两个，你要瞬间想到，其实这两个三角形一拼，刚好就能拼成一个等边，那刚好就能拼成一个八的等边三角形。为什么呢？咱们可以尝试一下 给，比如说有这么一个三角形等边是八八八，然后呢，你会发现我这边做个勾，这儿做个勾，然后因为它是八，它是四，所以直接可以求出 a、 d， 对 吧？ a d 勾股定律， a d 就是 四根，四倍根三四 b 根三。好，你再看 e、 d， 这个 b、 d 是 不是四？ b d 是 四的话，这儿是三，那这儿是不就是个一，这儿就是个一，所以说你在用勾股定律求的时候，你会发现这个三角形这儿是四， b 跟三，这儿是一，所以勾股定律是不直接可以求出 a e 啊， a e， 你 求完之后发现 a e 竟然就是那个七， 所以说看到三七八和五七八模型一定要足够明满，它足够的敏感，它们一旦一拼，就是一个等边三角形 好备好，咱们继续进来看。蚂蚁爬行莫行，哎，这里是勾股定律那块经常会遇到说蚂蚁呢，比如说从这个，哎，一个这个长方体从这开始爬， 我怎么爬，爬爬，爬到 n 距离最短呢？哎，这个时候你要去折开，这样把它给折成个平面图形，哎，比如说第一种折法，这么折， 那折到这种图形，折到这种图形折完之后呢，你会发现，也就相当于是把哪个盖，把那个上盖掀开，是吧？把这个上盖掀开之后，你去求 m n， m n 是 不就是 c 的 方加上 a 加 b 的 平方，也就是这个， 哎，就是 m n 方啊。当然如果说从 m 到 n 不 止这种折法呢？还要怎么折啊？你看 a 和 c， a 和 c 在 一块，也就是说把这个图形向这边翻， 把它翻成平面，翻成平面之后，哎，这边就是个 b， 这边就是 a c 好 a c， 那 所以说在 a 的 方加上 b 的 方，加上 a 加 c 的 方，就等于 m n 的 方，就这样的，那还能怎么折呢？还能就是我把这个盖这么着显开，这么着显开，让 a 和 c 重合， 也让 b 和让 b 和 c 沿成一个线，也就是说 ab 和 c 啊，这儿是 a， 所以 说 b 加 c 的 扩扩入平方，再加 a 的 方，就是 m n 方，就这样了。所以咱们真正你说从 m 到 n 怎么最短呢？你说要比较这三个呀？比较这三个好，哪个最短 啊？但是你要记住有一个技巧，就是说他一般给你三个边，就是 a 一个长方 a b、 c 是 不？他的三个棱长，三个棱长。你啊，你要记住， 你就让最长那个边单独，然后让另外两个边相加，那这个平方就最小了。比如说给了你一个二三四， 他问你那个 a b 的 最小值是吧？或者是 m、 n， 他 那个最小值怎么办呢？你就记住一个开根，你让最大，那那个单独，然后让另外两个边合在一起，哎，这个就没有最小值，就非常的简单。好，大家看，有了之后呢？他在想，哎，这个圆筒， 这个圆筒蚂蚁怎么从 a 爬到这个 b 呢？你需要绕一圈爬，怎么爬呢？还是把它展开展成这么一个矩形，展成矩形之后从这儿就直接爬过去了呀？是吧？直接爬过去了， 然后这边 a 一 a 二，是不就是那个圆的周长，这个是不就是那个圆筒的高，所以说圆的周长，圆筒的高，然后组成一个勾股定，你直接求 a 一 b 就 可以了。好，还有一种就是面， a 怎么到 c 最短？即到 c 最短的话，你就想 c 刚好是在对面，是吧？对面的话也就是说你把它展开展开之后怎么办呀？你走一半啊，这个就是那个圆周长的一半，这个还认得筒的高。勾股定律，组完之后直接求它来一个这个边长就可以了。好，再来看。还有一种， 他说还是蚂蚁吃蜂蜜，咱说蚂蚁吃蜂蜜是不直接过去？行了，他这个不是，他说蚂蚁从 a 沿着外壁爬行，在他那个蜂蜜呢，是在那个桶的里边呢， 在桶的里边，也就是你必须从 a 翻过去这个桶，然后再过去里边去吃到这个蜂蜜。这个时候他说 a 从 a 走到这个桶的边缘，然后再翻过去，这条路上什么最短？哎，这个怎么办呢？哎，这个时候咱们就记住，首先第一个还是把这个桶展开， 把这桶展开之后，它还是这么一个长方形，对不对？长方形就你要知道这个 a 怎么走，这个 a 怎么走？ a 是 不是必须得先到这个桶的边缘呢？因为要不它翻不进去嘛？到桶的边缘之后，然后再在桶里边儿再走到 b， 是 吧？也就是说求的是这一段儿这两个绿线的场，比如这儿是 m 吧，求的是 am a 加上一个 mb， 这两个线段长的最小值该怎么求呢？这就是咱们非常熟悉的要什么将军仪码模型，我在上一讲已经讲过了，将军仪码的模型好，怎么办呢？这两个绿线，我就是把这个 a 沿着这个线给它对称到 a 撇， 然后呢，我 a 撇 m 加上 mb 就 最短。什么最短呢？这样 a 撇 mb， 这三个点共线，我就是 a 撇 b， 好， 我就求完了，对吧？ 咱们继续加 a、 d 二十八个模型叫垂美四边形。什么叫垂美四边形呢？只有个四边形了，它对角线互相垂直，正叫垂美四边形。好，它结论是什么呢？ 结论就是对边的平方和相等，比如 ab 方加上 c 地方， ab 方和 c 地方是不是刚好对着一组对边呢？就等于 ab 方加上 bc 方，就等于 a 地方， a 地方， a 加上 bc 方，好。第二个结论就是它这个面积 a、 b， c 的 面积就是就等于二分之一的 a、 c 乘以 b、 d。 好，怎么去求呢？怎么去求呢？好，咱们看一下。首先咱们看你这个 ab 方，这个 ab 方是不是 a 方加 b 方？是啊， c 地方是不是 c 方加地方 a， 你 会发现，如果说我要是求 bc 方，你 bc 方是不是 a 方加 c 方， a 地方是不是 a 方加地方，你会发现刚好完全相等，所以说这两个的和是不就等于这两个的和我就挣完了，是吧？这是第一个结论。第二个结论，它的面积， 面积的话你要看一下，哎，我这个三角，这个四边形的面积是不是被我分成了三角形了，是吧？也就是说，哎，上边一个三角形，哎，下边一个三角形， 上面这个扇形是不二分之一的 b、 d 乘以 a 啊，下边这个是不二分之一 b， d 乘以 c 啊，我把二分之一 b、 e 提出来， a 加 c， 那 是不就二分之一的 a、 c 乘 b、 d 啊？所以我就求完了。 好的，看模型。二十九，叫中点四边形的模型。什么叫中点四边形呢？就是如果说给你任意一个四边形，然后让你在这个点 m、 n、 p、 q 是 这个任意四边形的一个中点，它四个边的中点，那这个四边形是平四边形，这个咱们的科内也学过，是吧？为什么呢？因为 m n 是 不中微线，它是 b、 d 的 一半， 然后 p q 也是 b 的 一半， b 它妈平行，所以 m n 和 p q 是 不就平行且相等， m n 和 p q 如果说平行且相等的话，那么这个是不就是平四边形了，对吧？好，第二个，像这种的， 这种还是一样，你这个 m q 是 不是平行并且相等于 b d 的 一半？ n p 是 不是又有重围线？ n p 是 不是也是平行且等于 abd 的 一半？那所以说你这个 m q 是 和这个 n p 是 不是就平行且相等？那所以它是不是还是个平四边形，对吧？你像这个也一样， 你这个 m n m n 是 不是平行等于 a c 的 一半？你发现 p q 是 不是也是平行等于 a c 的 一半？那所以你发现这个 m n， 这个 m n 是 不就跟 p q 平行其相等了？所以这是个什么呀？这是个平次边形啊， 对吧？好，咱们再来看。如果说，哎，结论二，如果说对角线垂直的四边形，什么要一必要垂直的，也就说 a c 和 b d 垂直，那这个时候你会发现它这个不仅是个平行四边形了，它还是个什么呀？它还是个矩形，为什么呀？因为这儿就垂直了 一个平行四边形，它有个直角，那么它就变成个矩形了，对吧？好，咱们来看。哎，如果说对角线相等的四边形，那么它就变成个菱形。 哎，什么意思呢？也就是 a c 和 b d 相等， a c 和 b d 相等是不意味着它和它相等啊？本来一个拼四边形，邻边相等，邻边相等，平四边形，它不就是菱形了吗？对吧？ 好，咱们来看，如果对角线垂直且相等的四边形，那它重点四边形就是个正方形了，是吧？那这个时候你发现它本来是一个平行四边形，对吧？因为对角线垂直，第二垂直的话，它就垂直了。用对角相等相等的话，那么这个 m q 是 不等于 m n 了，所以说它既是矩形又是菱形，那么它就是个正方形了。 好的，来看三十十字架模型，这的正方形那儿会正常出现。说在正方形内部， a 有 这么一个点， a e 连接之后， a e 和 b f 它是垂直的，就这样是垂直的， 这是 f b f 垂直之后，那么尾弦呢？就是 a e 等于 b f。 对， 一旦垂直，也就是 a e 和 b f， 只要垂直稳，那么稳，那么 a e 和 b f 它相等。为什么呢？这个就是因为这个三角形 b f、 c 和这个三角形 a、 b e， 它是全等的。哎，这个也比较好正。首先呢，你是直角，我是直角，是吧？里丫直角。另外呢，另外你会发现我这个角是不是和这个角相等啊？ 是啊，再加上 a b 是 不等于 bc 啊？所以它要全等了，主要加角 b 全等了，全等了之后，我就相等了吗？另外的，如果说我动一动我这个 a e， 我 动成这种，动成这样的一条线， a， 然后呢？我这个然，然后 b， 然后 b f 都成这样的一条线，那它也是一样的，因为它也是能够证明这个三角形和这边的三角形它是全等的嘛。全等之后是不仍然是 a e 等于 b f 呀？好，他说这种，哎，例如这种图，这种图也是一样的呀，我只需要证这个 三角形和这边这个三角形全等就行，对吧？还是全等？全等就仍然相等了。那还有一种是蛮非常极端的，就是我这个 a e 和 b f 全部动成这种形式，那这种形式也是，你只需要正它和它这两个三角形全等，全等完之后，哎，它就又成立了。所以记住， 正是正方形内部如果说有垂直，那叫 b 相等来，如果相等也 b 垂直，所以这两个是互逆的。

大家好，今天呢，带着大家来看看几何八十一个核心模型，搭配这些模型图，一次性给大家讲透几何要怎么学，怎么去用，三分钟呢？全听懂。 首先咱们来说一下几何八十一个模型到底有多重要。初中数学几何是重中之重，更是中考拉分核心，一半以上的大题、压轴题全都是几何题型。很多同学做几何题没有思路，不会画辅助线，看着题目无从下手， 就是没吃透这些模型。这八十一个模型包含了初中三年全等相似角度、线段、圆等几何所有考点， 把零散的几何知识点全部串起来，是解题的万能钥匙。吃透这些，选择填空，秒出答案，大体步骤清晰，不会丢分。不管是平时考试、期中期末考试，还是中考，几何题再也不会成为短板。 接下来呢，我们来讲讲模型该怎么去证明。大家不用死记硬背模型结论，每一个模型都有严谨的推导逻辑， 这些呢，都要从课本基础的定力出发，比如三角形的内角和全等判定、平行线性质、垂直平分性质这些核心知识点一步步推倒， 先找模型图的特征，再找已知条件，对标课本公理定义、判定法则，通过简单的边角推导辅助线构造，轻轻松松就能证明出模型结论。 重在理解模型的推导逻辑，吃透原理，不管题目怎么变形，都能快速看透本质，不用死记硬背，理解透了永远不会忘， 真正掌握几何解析的底层逻辑。最后呢，我们来重点说说逻辑模型该如何去应用， 这八十一个模型就是解析的万能模板。拿到一道几何题，先要读图，匹配咱们这些模型图，精准定位到模型类型，直接套用解析思路，简单题一眼就能锁定模型，快速列式得出答案。 中档题呢，要找准模型，规范书写步骤打满分。压轴难题拆分复杂图形，找到里面隐藏的基础模型，化繁为减，轻松突破难点。平时做题考试不用再苦苦思考，看到图形就有思路，看到题目就会解析， 可以大幅提升做题速度和正确率，彻底摆脱几何卡顿，做题慢呀丢分多的问题。 总而言之呢，初中几何吃透这八十一个核心模型，就掌握了全部解析思路，配合这套模型图，零基础也能轻松学会初中数学，稳稳拿高分！

三角形常用定律你都会了吗？别等到中考后才刷到一、任意三角形两边之合一定大于第三边。二、内角和定律， 三角形内角和永远等于一百八十度。由此能推出两个重要推论，外角和是三百六十度，一个外角等于不相邻的两个内角之合。三、勾股定律， 直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方。四、中位线定点 d 和点 e 分 别是 a、 c 和 b， c 的 中点 d 平行， a、 b、 d、 e 等于二分之一 ab。 第五个定力，摄影定力， 直角三角形 a、 c、 b 中 c、 d 垂直， ab 则有下面三个等式成立，六、中线成定力， 点 d 是 ab 的 中点，则有 a、 c 的 平方加 bc 的 平方等于二乘以 a、 d 的 平方加 c、 d 的 平方。今天先学这么多，下节学剩下六个三角形定。

几何初步认识是整个七到九阶段的几何基础，在这里我总结了常见的四大专题，二十五种题型，供大家参考。 第一个专题是几何图形的认识专题，在这里有大家头疼的几何体结面问题，不同方位看立体图形计算表面积问题，正方体的展开图问题，正方体展开图的相对面问题，还有立体图形的形成与计算问题。 在第二个专题里边，我总结了常见的易错概念，拉手原理的技术问题，线段的终点计算问题，线段等分点问题，分类讨论解决终点问题以及线段上的动点问题。 第三个专题同样总结了相关的易错概念，以及最容易出错的角度的换算和运算问题，还有 常见的中面角计算以及与角平温线有关的角度计算问题。这里还总结了三角尺背景下的角度计算和探究问题，以及与翻折相关的角度计算问题如何解决？ 第四个专题属于常见的压轴问题，在这里我们又分为了两个类型，第一个就是单纯的脚的运动，第二个呢就是与三脚板结合的运动。在这里要注意三个数学思想的应用方程，思想、转化思想、分类讨论思想。 六个压轴大体都非常的典型，包含了几种常见的动脚题型及处理方法，每个题目都是先进行思路探究，然后再一步步教大家进行步骤书写。 这里是每个题型包含的立体个数以及视频时长对应课件，共计三十二页，供家长提升思维使用。对应视频课程，点击下方链接。

一道小学三年级的数学题，让全世界数学家闭嘴了九十年。更恐怖的是，每个研究他的人最后都疯了。一九三七年，德国数学家洛萨克拉兹提出一个问题， 随便选个数字，偶数就除以二，基数就乘三加一，不断重复。他说，最后一定会变成一，听起来简单到侮辱智商，对吧？但保罗艾尔德时直接警告全人类别碰这道题。数学还没发展到能解决它的程度，什么概念？这个人一辈子解决了一千五百个数学难题， 但看到这道题，扭头就跑。二零零六年，一个日本数学家不信邪，用超级计算机验证到了十的二十次方，两百六十八亿个数字，全都回到了一，没有一个例外。但他还是证明不了为什么一定是一。更诡异的是，如果选二十七这个数字，他需要跳一百一十一步才能回到一， 中间会飙升到九千两百三十二。这就像是数字在故意耍你。有数学家说，这道题背后可能藏着宇宙的终极规律。 也有人说，这是上帝设下的陷阱，专门用来提醒人类的渺小。现在问题来了，一道小学生都能听懂的题，为什么能让全球顶级大脑集体投降？先别急着回答，你得先亲手算一遍，才能真正理解那种无力感。 就拿七来试。七是奇数，乘三加一得二十二，二十二是偶数，除以二得十一。十一是奇数，乘三加一得三十四， 三十四是偶数，除以二得十七。十七乘三加一得五十二，五十二除以二得二十六，二十六除以二得十三，十三乘三加一得四十，然后兜兜转转，最后落回到一， 从七出发，整整走了十六步，你以为结束了，但一是基数乘三加一等于四，四除以二等于二，二除以二还是一，他被锁死了， 永远在四二一之间转圈，再也逃不出去。好，你现在感受到什么了？这道题的规则，两秒就能学会，但你刚才脑子里转的那些数字，没有一个是你能提前预判的，这才是他真正的恐怖之处，他不难，他是不可预测。 你看二十七，这个数，跟二十六挨着就差一二十六，只需要十步就落回一二十七，要走一百一十一步，中途还窜到九千两百三十二。两个相邻的树，路径差了整整一百零一步，完全没有规律，没有任何数学公式能告诉你 下一个树的路径会有多长。这就像是每颗子弹射出去的轨迹都不一样，但每一颗最终都落地。问题是，会不会有一颗永远飞着？数学家们为了回答这个问题，搭进去了几十年。 其中最惨的要数一批专门研究数字路径结构的人。他们发现，如果把所有已知会归一的数字按照路径画成一张图，会得到一颗巨大的树，而这棵树有一个诡异的特征， 所有的路径不管多么弯绕，最终都会向同一条主干。就像全国的河流，不管从哪座山上发源，最后都流进同一片海。这个发现很美， 毫无用处，因为你没法证明数的边界之外不存在一条永远延伸下去的路。然后是二零一九年，数学界最不该输的人出手了。陶哲轩这个名字在数学圈意味着什么？ 打个比方，如果数学是武林，他就是那个从未败过的人，三十一岁之前已经拿遍了数学界所有顶级奖项，活着的数学家里最接近全能的一个。他用了一套旁人看不懂的工具，写出一篇震动学界的论文，结论是，绝大多数数字最终都会趋近于一。 但他自己在论文里加了一句话，这是在不解决克拉兹猜想的前提下，所能走到的最远的地方。这句话翻译成大白话，就是，我已经走到悬崖边了，但那最后一步我没敢跳。全世界最强的脑子站在悬崖边上退回来了。这道题到底在守着什么？二零二四年和二零二五年， 全球数学论文数据库里出现了一个奇怪的现象，关于克拉兹猜想的新论文像雨后春笋一样冒出来。 有人用拓普学攻他，有人用人工智能分析他的数字轨迹，有人用量子计算模拟他的路径。但所有人最终都在同一个地方停下来了，就像不同路线的登山队，全部在同一块岩壁前扎营。 其中有一个研究者说了一句耐人寻味的话，这道题或许根本不需要新的数学工具，它需要的是一个全新的看问题的方式。人类这九十年一直在用力砸墙，但也许这堵墙从来就没有门。这句话听起来像在说哲学，但它背后有一个真实的数学结论支撑。 一九八七年，数学家约翰康威证明，克拉茨猜想在结构上等价于一类无法判定停止的计算问题。 什么叫无法判定？就是有些问题不是太难，而是在逻辑上就没有答案，不是因为你不够聪明，是因为这类问题本身就游走在数学能触碰的边界之外。换句话说，克拉兹猜想有可能永远没有证明，不是还没找到，是根本不存在。这才是这道题最让人崩溃的地方。 费马大定律难了三百五十八年，最终被解开了。哥德巴赫猜想难了两百八十年，至少我们知道方向在哪，但克拉兹猜想九十年了，连一个公认的攻击方向都没有。他就像一扇门， 你能看见他，能摸到他，但就是找不到锁在哪。你现在回头想想，克拉兹一九三七年提出这道题的时候，可 能自己都没意识到，他扔出的不是一道数学题，而是一颗钉在人类知识边界上的钉子，专门标记那条线。那条我们以为自己早已越过，但其实从未越过的线，那个四二一的循环还在转，安静，耐心等着所有数字。