年级下册知识图怎么画

正方的展开图一共有十一种形状，那么又分为四种类型，分别是哪四种？来看，第一个一四一组合，一四一，也就是说一共分成三行，那么第一行一个，第二行四个，第三行一个，同样都是一四一，一四一， 下面也是一四一，一四一。我们再来观察一四一组合里面它的规律是什么，能够帮助你快速的记忆。来看第一个放在第一格的上方，下面的就可以随意的来移动了，下面有一个、两个、三个、四个，一直移动到第四个格，对不对？ 好，这是前四种。再看我的第一行的一个格放到第二个格的上方呢？ 那么这个格我不能从第一个开始了，我要从第一个开始就和它是一样的类型了，那我就从第二个格开始移动到第三个格，第四个格可以不可以？ 那我移动到第三个格是我如果说移动到第四个格，它就变成和这个图形是一样的，又重复了，所以我只能摆到第二个格和第三个格的下方就可以了，共有六种图形。再看第二种二三一组合的 二三一，也就是两个、三个一个、两个、三个一个，也就是说一共还是有三行，第一行两个，第二行三个，第三行一个，那第一行和第二行是固定的，第三行的第一个我可以摆一个，可以摆在第二个的下方，也可以摆在第三个的下方，所以说它有三种图形， 那第三种就是二二二组合，也就有三行，每一行都有两个，因为他的图形不能出现田字形，也不能出现凹字形，所以说我每一个都需要往后错一格，看出来没有？ 我不能出现田字形，所以每一个都向后错一格，就相当于是走楼梯一样的感觉，所以也是二二二组合， 最后一个就三三行，也就说有两行，每一行都有三个，因为不能出现填字型，所以说我往后错几个，错两个格，所以这地方就空出来了，就没有填字型了，听明白了吗？所以正方形的展开图，这十一种图形你记住了吗？

已知角一、角二、角三的度数之和是一百八十度，且角二是角一的两倍，角三是角一的三倍。问，角一、角二、角三分别是多少度？这道题目更过分了啊，连图都没给我们，是吧？但是没关系，我们一起来看看。除了知道这三个角的和是一百八十度之外，还知道什么？ 脚？脚二是脚一的两倍，脚三是脚一的三倍，两倍、三倍。哎，是不是我们以前学过有关于背的知识啊？对，是吧，你看他把背的知识和我们新学习脚的知识结合起来了。但是我们回忆一下啊，我们解决背的知识谁是谁的几倍的时候，我们喜欢 渐背，就画图。画什么图？线段图。好，那现在我们也来画线段图，解决这个角的问题。首先角二是角一的两倍，谁大？角二、角二大，是吧？那我们就把谁看作一份，角一是吧？好，角一看作一份，这是角一，我们给他画 一段，表示一份，然后角二就要画这样的几份，两份， 一份、两份，对吧？好，继续。角三又是角一的三倍，那角三就要这样的几份？三份、三份、一份、 两份、三份。好，你看这两句话是不是已经被我用线段图表示出来了？对，好，我们把另外一个条件给他补到图里面去。三角之合是一百八十度，所以这这些合起来是一百八十度。好了，看看这个线段图 都是这样的相等的小段，我们来数一数一共有多少份？一份两份，三份四份五份六份，一共是一百八十度，所以一份是 也算是八十度。一百八十度除以六等于三十度，所以一份是三十度。接下来能不能求出角一？角二，角三十度乘一等于三十度，对吧？角二呢？三十度，三十度乘二乘二 等于六十度。角三呢？三十度，三十度乘三分等于六十度。

利用轴对称或平移设计图案，老师，我今天带来了一些图案，我们一起欣赏一下吧！ 哇，这些图案好复杂，看得我眼花缭乱。 这些图案虽然看着复杂，其实他们都是由一些简单的图案变化来的。哎，我发现第一个视频开始前，还得请粉丝们帮忙给我点个小心心。 视频推流机制，谢谢理解，特别感谢那些看完视频点开我头像在主页橱窗默默下单支持的朋友，谢谢你的支持。 图案左右两边一样都是大公鸡哈，我想到了，嘿嘿，它是由一只大公鸡沿竖中线对折得到的。 说的真好，没错，图一是通过轴对称得到的。再观察下图二和图三，看它们是怎么得来的。 我发现图二有很多小企鹅，但是它不是轴对称图形，不能通过轴对称得来。 除了轴对称，我们还学过平移，有没有可能是由平移得到的呢？这些小企鹅都一模一样，难道是由一个小企鹅平移好多次得到的？非常好，为你点赞！图二是由一个小企鹅的图案平移得到的。 再看图三，图三都是散形，但方向不太一样，哎，他是怎么得来的呢？得到图三的方式有很多种，可以把一个散形的图案先平移成这样，再由轴对称得到。 也可以先平移成这样，再由轴对称得到。还真是这样，真好玩，呵呵。嘿嘿， 刚才图中的大公鸡、小企鹅和伞形，我们叫做基本图形。设计图案时，我们首先要先选好基本图形，然后确定设计图案的方式，轴对称或平移，最后确定好对称轴或平移的方向和格数。 例如，我们先选好基本图案是一朵小花，然后确定用平移，最后由基本图案依次向右平移六格， 在整体向下平移六格，得到这样的图案。说了这么多，该你们大显身手的时候了，下面就请你在方格纸上利用轴对称或者平移的方法设计一幅美丽的图案。基本图案自行选择。 嗯，我选的基本图形是这个图像先平移后轴对称得到的。 我选的基本图形是两只小鸡利用平移得到这幅美丽的图案。 你们的设计都很棒，为你们点赞！轴对称和平移的知识还广泛地应用于平面、立体的建筑工艺和几何图像上，而且还涉及到其他领域，你们要注意观察哦，拜拜！

画轴对称图形， 哼，八戒在干嘛呢？天气这么好，不去外面耍耍？不去别打扰我，我在方格纸上画图呢，嘿嘿，又在假正经，你能画出什么样的图来？ 师傅，您看，大师兄总是拿我取笑，视频开始前还得请粉丝们帮忙给我点个小心心，视频推流机制，谢谢理解，特别感谢那些看完视频点开我头像在主页橱窗默默下单支持的朋友，谢谢你的支持。 悟空，休要取笑。八戒，你画的是什么图，拿给为师看看哦。这是轴对称小房子的一半， 我根据这一半画出了整座房子。师傅，您看我画的怎么样？悟空附近，你们过来看看。八戒的房子画的对吗？ 二师兄，你画好的房子沿着这条直线对折后不能完全重合，说明你画的房子不是轴对称图形显然不对。 房子下边最左边一点到对称轴有两格，相应的对称到最右边一点到对称轴也应该有两格，应该在这根据轴对称小房子的一半，整座房子应该是这样。 哦，我明白哪里出问题了，轴对称图形上两个对称点到对称轴的方格数应该相等才对。 没错，这是轴对称图形的重要特征，你可要记住了。哈哈哈，师傅放心吧，这回记住了。我们再来看下面这个问题，要求是以虚线为对称轴，在方格纸上画出图形的另一半，你们能画出来吗？ 我只要通过想象沿虚线对称轴对折的过程，就可以捕获出另一半了。我说猴哥，谁有你那么好的感觉和想象力啊？俺老猪是这么想的啊，这个图形是由六条线段构成的，那只需要三步就可以完成。 第一步，找出图上每条线段的端点。第二步，根据对称轴画出每一个端点的对称点。 这一步要注意对称轴上的点的对称点还是它本身对称轴两边的对称点到对称轴的方格数必须相等。 第三步，依次连接这些对称点，就得到了轴对称图形的另一半。 二师兄厉害，我建议画完轴对称图形的另一半后，最好验证一下想象，沿虚线对称轴对折，看对折后两边的图形能否完全重合。 你们说的很有道理，刚才我们准确的补全了一个轴对称图形的另一半。下面我们再来看一个问题，要求是以虚线为对称轴，画出下面图形的轴对称图形。 和前面的方法一样，以第一个图形为例，先找出图形中每条线段的端点，再画出所有端点关于对称轴的对称点， 最后依次连接这些对称点，就画出圆图形的轴对称图形了。想象对折，验证一下没问题，用同样的方法可以画出第二个，先找端点， 再画对称点， 最后依次连线成了，验证一下，哦，正确。 嗯，完全正确，只要掌握了这三步要点，就可以准确的画出图形了。你们比较一下第二个和第三个问题，他们有什么相同点和不同点呢？ 两个问题画图的方法相同，不同点在于，第二个问题给出的图形是轴对称图形的一部分，对称轴在图形上。第三个问题，给出的图形是一个完整的图形，对称轴在图形之外。 你们太了不起了，总结的很棒，为师我以后再也不用担心你们画错图了，拜拜！

大家好，今天跟小芳来看这道题，学校买来的白粉笔比彩色粉笔多三十箱， 白粉笔的箱数比彩色粉笔的五倍少二箱。学校买来的彩色粉笔和白粉笔各多少箱？咱们看咱们是不是看到倍数，咱们是不是就是想到了线段图，咱们看谁是倍数呀？是不是彩色粉笔？所以彩色粉笔 我就换一份，然后白色和你是他的五倍少二箱。那白色 那第五份是完整的第五份吗？不是，他还少了两箱， 他说白粉饼比彩色粉饼多三十箱。那三十箱是哪一个部分？是不是这一部分？ 二零二年级小朋友都以为它是完整的四份，它是完整的四份吗？不是，因为这里还少了二。那我们要求一份量，怎么求呢？是不是我们要把这个去掉，二加上那一份量，是不是就好求了？一份量 也算是，也就是三十加二除以五减一等于八， 咱们看这里一份量是八千，那咱们看彩色粉笔是刚好是一份，那彩色粉笔是不是叫好球啊？算式也就是 八乘以一等于八， 那彩色粉笔求出来了，那白色粉笔是不是有好球了？算是，也就是八乘以五再减去二等于三十八箱。 所以学校买来的彩色粉笔有八箱，白粉笔有三十八箱，小朋友们学会了吗？

今天我们继续学习小学数学二年级下册综合实践单元数学连环画的第一课时连环画分享会。 这节课的重点是了解数学连环画的特点，理解数学连环画中所蕴涵的数学知识。难点是能完整表述小猫买罐头中的数学问题，运用学过的数学知识讲述生活中的数学故事。 同学们，你们爱看故事吗？分享一下你爱看的故事，并说说自己是在哪看到的。 我爱看西游记的故事是在动画片里看到的。我爱看乌鸦喝水的故事是在书本上看到的。老师小时候特别喜欢看九色鹿的故事， 你们肯定想不到这个故事最早是用什么方式展现在大家的眼前的，好奇吗？我们一起来看看。 在莫高窟第二百五十七窟的西壁上，会有一幅九色鹿本身故事画，描写了一个充满奇幻色彩的故事，是敦煌壁画中极具代表的经典之作。 这幅壁画以行卷式连环画的形式，呈现了一人呼救、路救逆人、王后说梦、逆人告密、九色路控诉等九个情节。画面中央，九色路昂首陈述的场景正是故事高潮， 将救恩与背叛、善良与贪婪的冲突推向极致。九色鹿无畏强权、坚守正念的姿态，尽显正义凛然的精神力量。 千年流转，壁画的色彩或许以添岁月痕迹，但其中传递的善良正直、坚守诚信的内涵从未褪色。 这只从敦煌壁画中走来的九色鹿，早已超越故事本身，成为跨越时空的青神符号。 原来这么早以前就有连环画形式的壁画了，它具有重要的历史研究价值。 后来这个故事被印在了连环画书上。连环画书也叫画书或者小人书，一页一页连续的图画，像纸上的动画片，文字虽少，却能讲述完整的故事。 像这样的连环画书，在同学们的爸爸妈妈或是爷爷奶奶小时候特别受欢迎，他们给过去的小朋友们带来了很多的欢乐。今天就让我们走进连环画的世界，一起来学习数学连环画吧！ 自己读读这个连环话，说说你都看到了什么？我看到了这个连环话的故事名是讲小猫买罐头的故事。这个连环话一共有六幅图，图里分别画了小猫一家在买罐头，分罐头，吃罐头， 我看见有一只小猫在计算它们吃罐头的情况。刚刚这几位同学描述的都是图中的画面，除了画面，你们还看见了什么？每幅图下面还有文字来说明， 连环画就是用几幅连续的图画和简短的文字来讲述一个完整的故事。现在你能把这些图画和文字连起来讲一个故事吗？ 小猫一家到超市买罐头，他们买了十一个罐头，高兴的回家了。五只猫每只每天吃一个罐头，够吃几天？十一除以五等于两天于一个小猫一家两天会吃掉几个。 你是通过什么找到故事的阅读顺序的？我是看每幅图下方的小圆点，根据小圆点的个数可以确定阅读顺序，从而讲出整个连环画的故事。你能帮助小猫一家解决最后的问题吗？ 小猫一家两天会吃掉十个罐头，你是怎么算出来的？五只小猫一天要吃五个罐头，那么两天吃掉的罐头就是五乘二，等于十个。 这幅连环画讲了一个怎样的故事？里面包含了什么数学知识呢？讲了一个小猫买罐头的故事，里面包含了乘法和除法的知识。说的真好，像这样图文并茂，连续的讲述一个完整的故事， 并含有数学信息和数学问题的连环画，就是数学连环画。 其实在我们的数学课本里，早就有数学连环画的影子。接下来聪聪要给大家讲一个数学课本里出现的经典连环画故事，大家一边听一边在脑海里想象一下都有哪些画面。 从前有一只小熊猫饿了，忽然他看到盘子里有两根又大又清脆的竹笋，非常想吃。于是小熊猫快速拿起一根竹笋吞了下去，然而并没有解馋， 接着他又吃了另一根，才算心满意足。最后，盘子里面还有竹笋吗？ 根据这个小熊猫吃竹笋的故事，你们能想象出几幅图画？我能想象出三幅图， 第一幅图是小熊猫的盘子里有两根竹笋。第二幅图是小熊猫吃掉了一根竹笋，还剩一根。第三幅图，小熊猫吃掉了剩下的那一根竹笋，盘子里什么都没有了。 瞧，是这样的吗？这就是我们一年级上册学过的零的认识和加减法。 这幅图里没有小圆点，是靠什么找到阅读顺序的呢？是靠箭头，除了小圆点，箭头也可以指引阅读顺序。那这幅连环画讲了一个什么故事？包含了怎样的数学知识？ 这幅连环画讲了一个熊猫吃竹笋的故事，里面包含了零的认识和减法的知识要减几次呢？减两次？对，这就是连减。如果用一个算式表示熊猫吃竹笋这个故事，你会怎么列式呢？ 二减一，减一等于零。瞧，在我们一二年级学过的教材里，还出现过不少数学连环话呢，你能从中选择自己感兴趣的说出一个完整的数学故事吗？ 想好了吗？谁能具体说说你选的连环画的故事情节？我说第一个，从前狐狸有四只天鹅飞来了三只，又飞走了两只，现在狐狸还剩几只天鹅， 你打算怎么解决这个数学问题？这里包含了怎样的数学知识？我打算用四加三减二等于五这个算式解决故事，包含了加减混合的知识。 我来说第二个，池塘里有六只小鸭子，来了三只，又走了四只，池塘里还剩几只小鸭子。怎么解决这个数学问题呢？这里包含了怎样的数学知识？ 我打算用六加三减四等于五这个算式解决故事，同样也包含了加减混合的知识。谁来说说？第三个， 把十八个橘子平均分成六份，每份先各放一个，分掉六个，每份再各放一个，又分掉六个，最后每份再各放一个，正好分完。 这里面的数学问题又该如何解答呢？又包含了怎样的数学知识？我打算用十八除以六等于三这个算式解决故事，包含了除法的知识。 看来大家不仅有数学的眼光，语言的表达也很到位。我们再来看看这幅图，它是数学连环画吗？ 我听到大家都说不是，那为什么不是呢？我觉得连环画需要有几幅画串联起来， 一幅图没法表现出故事的开头经过，还有结尾。讲的很有道理，这幅图没有表现出故事的发展变化，也就是缺少了情节。那什么是情节呢？我们来关联一下语文知识。 情节就是人物经历的事情的变化和经过。从这句话里，你知道了情节要包含什么吗？我觉得情节要有人物以及经历的事情的变化和经过， 只有两者兼具才能产生故事。比如小猫买罐头，这个故事里的人物有谁？经历了哪些变化？用几幅图来展现的 人物？有小猫一家，事情变化有，他们先买罐头，然后回家分罐头，最后吃罐头。用六幅图来展现， 看样子用多幅图画描述故事中人物所经历的事情，怎样发展，怎样变化，才能让连环画更生动，更有趣。 刚刚同学们的表现非常出色，作为奖励，我想请大家与我一起聆听故事大王说的小猫买罐头 小猫买罐头周末，小猫一家五口早早的前往小猫超市买罐头。超市里的罐头各式各样，让人眼花缭乱，可小猫们还是一眼就看到了他们最喜爱的美食，鱼罐头。 他们一共买了十一个罐头，然后高兴地把鱼罐头滚回了家，迫不及待地要分罐头。这时猫妈妈不慌不忙地开口了，孩子们别急，我有个问题要考考你们。五只猫，每只猫一天吃一个罐头的话，够吃几天？ 小猫们的大脑迅速运转起来，其中一只小猫一眨眼的功夫就想出来了，他抢答道， 十一除以五等于两天鱼，一个够吃两天。你真棒，可以先选择一个罐头吃，猫妈妈为自己聪明的宝宝感到骄傲，那么两天后小猫一家会吃掉几个罐头呢？ 你们觉得这位故事大王讲的怎么样？他讲的故事很有趣，他加入了自己的想象，比原有的文字更生动。 是的，这位故事大王不仅能完整的说出故事情节，还适当的添加了一些自己的想象，使得整个故事异常出彩。大家最喜欢他讲的哪个情节？带给你怎样的感受？ 我喜欢小猫们高兴的把鱼罐头滚回了家这个情节，整个画面很丰富。 我最喜欢一只小猫脑筋计算的情节，因为他惊呆了的表情十分有趣。我最喜欢小猫妈妈夸奖宝宝的情节，就像我的妈妈平时表扬我那样，非常生动。 举例说说他讲述的这个故事，哪些是连环话里原本就有的内容，哪些是他自己想象后增加的内容？ 小猫一家五口早早的前往小猫超市买罐头，这是图中原有的 超市里的罐头，各式各样，让人眼花缭乱，可小猫们还是一眼就看到了他们最喜爱的美食，鱼罐头，这是想象出来的，分罐头吃是图中原有的猫妈妈提数学问题是想象的， 为什么连环画里所配的文字很少？如果把我们根据画面想象的内容都用文字配出来，这样好吗？因为连环画里所配的文字主要是介绍一下故事的大概内容，很多细节我们可以从图中去寻找。 我认为不同的人看同一个连环画所想象的故事情节会略有不同，如果都用文字表现，反而局限了我们的想象。 是啊，连环画的核心魅力在于让图画自己说话，以图为主，文字为辅，给读者留足想象空间，深受大家的喜爱。 同学们，今天我们一起认识了数学连环画，发现它图文并茂，连续续世，还藏着有趣的数学知识，大家都学的特别认真。如果要你创造出属于自己的数学连环画，你认为需要做哪些准备呢？ 需要利用数学知识，要编数学故事。说的真好，接下来就请大家带着今天的收获，完成我们的学习任务。三、填写记录单。 先自己梳理回顾已经学过的数学知识，再结合我们的生活，想一想你想创作的数学连环话要讲什么？故事主题包含哪些数学信息， 把它认真填写在记录单上，相信大家都能创作出独一无二，充满智慧的数学连环画。今天的课就上到这里，下课。

小王同学到，今天我们来看一下抢考题。第一题读题，小明有四十二支笔，小军比小明多十三支，小军有几支笔？ 今天我们接着来用画线段图的方法来解决笔多少的问题。这里题目中小军和小明谁的笔的支数是已知的？小明的小明有四十二支笔，我们画一条线段，表示出来 小军的线段怎么画？小军比小明多，是三指笔，说明小军多，小明少，所以小军的线段要比小明长一些。 小军比小明要多十三支笔，这是我们根据题目中的条件画出来的线段，那问题是什么？小军有几支笔？这里问题让我们求的是哪一条线段的长度，这条线段长，我们表示出来 怎么求？这条线段表示几只币。用这条线段加这条线段，这条线段是四十二，这条线段是十三，那这条线段就是四十二加十三， 四十二加十三等于五十五。 我们再来看第二题读题，小明有四十二支笔，比小军多十三支，小军有几支笔？这里小明和小军谁的笔的支数是一致的，小明的有四十二支笔， 小军的线段怎么画？比小军多十三只，小明的笔数比小军多十三只，说明小军的线段要比小明短一些。我们画一画， 小军比小明要少了几只呢？十三只。我们表示出来 问题，让我们求什么？小军有几支笔？让我们求的是哪一条线段？这条线段我们标出来这条线段的长度怎么求？四十二减十三， 四十二减十三等于二十九， 所以小军有二十九支笔。

好，同学们，我们来看一下这道三年级期中期末考必考题型和备问题。好，这类型的题现在改革以后一般会要求用画图解答，那很多同学百分之九十的同学 不会坐在画图的部分，周老师用一分钟时间教会大家如何画图，并能写出完整的答案。好， 第一步，我们用关键词法，也就是把题目当中的关键信息给它画出来，先审。第二步，画完关键信息以后判断问题最后要我们求的是什么？那一共，那这个横队就是只有男生和女生，那么一共 就是男生人数加上女生人数的和。那回到题目当中，一男生人数知道了，但是女生人数位置，那怎么追求女生呢？可以根据男女的数量关系去求。所以第一步，第四步， 我们可以先画线段，通过线段图找出男女之间的有一共和小女生，所以我们第二步再把女生的人数取出来。第三步，男女都知道以后，我们就可以求一共的量，所以我们先做。第一步画线段， 谁是一份，谁是多份，怎么判断呢？关键词找笔字后面，我们把少的划为一段，所以笔字后面是男生，把男生划为一段，那就是十六人， 女生是比男生的三倍多，五人是几倍就画几段，所以女生是他的三倍就画三段， 三倍的基础上还多了五人，所以还要多一个小尾巴，三，表示他多的部分五人，那么这一部分就是男生的三倍， 这个小尾巴表示的就是多出来了五人。接下来我们的女生数量就可以求了，所以第二步，求女生人数，那他是男生的三分三倍，一段一份是十六，三倍三个十六，所以十六乘以三， 还多了五人，再加上五人就可以得到女生的人数。最后一步，求一共男生人数加上女生人数，所以是十六加五十三等于。 我们来再总结一下各类题型和备问题的做题方法。第一，画关键字，判断题目所求。第二步， 先与其解题思路画出线段图。最后一步，根据线段图求出题目。最终要我们求的一共的总数量。你学会了吗？这个方法学会的话，来挑战一下下面这道题吧，把你们的答案写下来吧，记得点赞关注哦！

大海豹有十二只，小海豹比大海豹少三只，小海豹有几只？我们画笔字后边的这一个以大海豹为标准，所以先画大海豹的， 画一段表示大海豹的十二只，然后再画小海豹的。 小海豹是比大海豹少三只，所以它需要比大海豹少一段。少三只，这里要比它少三只，那这边就是小海豹的，这边就是少三只。我们画的时候，左边对齐，这是小海豹的，然后这边是少三只，少用虚线来表示， 右边也要对齐，那这一段表示的就是少三只。前边就是小海豹的数量 是多少只？从图中我们可以看到，小海豹的数量就等于大海豹的数量减去，这三只就是小海豹的数量，所以我们用十二减三等于九只。

今天我们来学一个不一样的知识，叫做正方形，展开图找对面，我们先看题目春字对面的是我们先看春，这里我教大家一个小，也叫名字叫做小马， 小马面前有条河，过河以后最近隔 看题目春字，他说是春字对面，我们就把春字看作小马，小马面前有条河， 小马面前是这条河，这里有一条小河，但他不能是这里，因为这里对面没有字，这边也不行，这边对面也没有字，所以我们就看这里有一条河，过河之后再。

同学们好，今天这节课我们一起学习长方体和正方体的展开图。 把一个长方体或正方体的纸盒展开，会是什么形状的呢？ 先看长方体，首先展开它的上面，接着展开它的前面，接下来右面和左面，剩下的是后面和下面， 这样我们就把一个长方体展开了。请你观察这张展开图，回答下面的问题，哪些面的面积相等呢？ 从图中我们可以发现，上面的面积等于下面的面积，左面的面积等于右面的面积，后面的面积等于前面的面积。 其实这和我们之前研究的长方体的特征是一样的， 那每个面的长和宽与长方体的长宽高又有什么关系呢？ 我们用字母来代替它的长宽和高。先看上下两面， 上面这个长方形中这是长，这是宽。下面也是一样，在上下面中，长方形的长就是长方体的长，长方形的宽就是长方体的宽。 而在左右两面中，仿照刚才写上字母， 在左右两面中，长方形的长是长方体的高，宽是长方的宽。最后看前后两面标上字母， 在这两面中，长方形的长是长方体的长，而宽是长方体的高。 我们可以发现，不同面的长和宽并不一定都是长方形的长和宽有时还可能是高。 我们需要根据实际的图来判断长方体的展开图，除了像这幅图一样，还有没有不同的可能呢？对，还可能是这样的。 观察完了长方体的展开图，我们继续研究正方体的展开图，我们也把它展开。 既然长方的展开图不止一种，那正方体的展开图还可能是什么样的呢？ 通过操作，我们可以找到正方体的展开图，还可能是这样的， 在这种中，黄色正方形的位置还可能移动呢。以下面这个黄色正方形为例，它可以往右移动，再往右移动，再往右移动。 虽然这个黄色正方形的位置移动了，但是如果把它还原黄色，两个面仍然是相对的面，所以并不影响它的展开与还原。 下面的正方形可以移动，上面的自然也不例外。以第一个为例，上面的黄色正方形还能向这里移动，后面的三种也都是一样的。 在这些情况中，黄色正方形始终都是相对的面。 刚才这些展开图中都是四个小正方形，两侧有一个小正方形。像这样的展开图，我们把它叫做一四一型，除了一四一型之外，还有这样的 这些，我们叫做二三一型，还有这样的 叫做二二二型以及三三型。但是一定要注意，任何正方体的展开图都不能是填字型，也不能是凹字型。 好了，同学们，今天这节课你有哪些收获？我们一起学习了长方体和正方体的展开图，知道了长方体和正方体展开图的形状并不是唯一的，展开的方式不同，得到的展开图也就不相同。 但不管怎样展开，相对的两个面都不可能相邻。我们还借助长方和正方的展开图，研究了各个面之间的关系。

今天我们学习第二单元的第一个信息窗线的认识，请同学们先观察图片，看看你看到了什么？ 这是一幅繁忙的工地建设图，在图中有塔吊，上面有很多的射灯，射出了很多的光线， 那这样的线是什么线呢？这就是今节课我们要学的线的认识。那在学线的认识之前，我们先来复习一下我们学过的线段。 先画一条线段， 这是一条线段，那么这条线段它长什么样子呢？也就是它的特征是什么？它是直直的， 有几个短点是不？两个短点。画线段你必须要标上两个短点，缺一不可，然后线段它能不能量出长度？是不可以量出它的长度啊，那这就是线段的样子， 直直的，有两个短点可以量出长度。那线段我们怎么来表示呢？ 它的表示方法就是我用两个大写字母 a 和 b 表示线段的两个端点，那么这一条线段我们就把它叫做线段 a、 b， 这是我们学过的线段，那这样的射灯射出的线，我们把它叫做射线， 射线，射线通过图片我们就知道它是从一个点发出的，是不是？而且这条光线能够射的很远，所以它 指望一头无限延伸是不？这一端是没有 办法进行延伸的，所以射线它的样子就是什么。从一个点向外发射的光线，也就是从一个点向一端无限延伸， 那么我可以从点 a 往这边无限延伸，对吧？那我可以也可以假设还是点 a， 是 不也可以向 这一头无限延伸？都可以，当然你说往上往下都可以是吧？好，那么射线它的特征是什么呢？ 它也是直直的， 但是你来看射线和线段，它的区别就是线段是两个端点，就是两头都把它堵住了啊，而射线呢，只有一个端点， 那同学们现在看线段有两个端点之后，我就可以用啊尺子之类的，能把它的长度量出来，但是射线你看往一端 无限延伸，那你看你能不能量出它的长度，是不是就无法测量长度了？ 无法测量长度，那射线怎么来表示呢？ 我们可以用端点和摄像上的另一点来表示，比如说这里我取个点点 b， 那 么这一条我们就把它叫做射线 a b， 好为了区分，我把这里改成 c 吧，这一条射线的端点是 c， 然后我假设说在这里再取了一点 d， 那 么这一条我们就把它叫做射线 cd。 那 现在同学们来看一下， 第一个字母 a 是 不是指的它的端点，而这一个第一个字母 c 是 不是也是指的它的端点？也就是说那么射线的表示方法一定要注意， 表示端点的字母在前面， 表示端点的字母在前面啊。如果你说射线 d c， 射线 b a， 那 就不对了，必须是表示端点的字母在前面，这个很重要。 那我们学习了线段和射线之后，那还有一条线就叫直线， 我们先来画一条直线是吧？所以通过这里我们就知道直线的特征是什么，他也是直直的。 然后我们来看直线它有没有端点，是不？没有端点它是往两端无限延伸的，也就无法测量它的长度。 那它的表示方法又是什么呢？第一种表示方法，我们可以在直线上取两个点， 这两个点用大写字母来表示，是大写字母哈，大写， 那么这条直线我们就可以记作直线 a、 b。 那同样，如果你说我不用大写字母了，我用一个小写字母表示行不行？行，课本上是用了一个小写字母 l， 那 么这一个就可以用直线 l 来表示。 当然你说我写个小 a 行不行，小 b 行不行？都可以，那无非就是直线 a， 直线 b， 那一定要注意，如果是用两个字母，那就是大写字母，如果用一个字母，那你就在一头标上这个小写字母，那这就是线段、射线和直线它们的特征以及表示方法。我们来看一下它们三个的 区别和联系。首先我们来看这三个，首先它们的样子就不一样，是不是模样不一样？再一个它们的 端点的个数是不也不一样？那么线段是有两个端点，射线呢？只有一个端点，而直线是没有端点往两端无限延伸的， 所以线段有两个端点之后，我们就可以量出它的长度。而射线因为只有一个端点，往一端无限延长，所以也无法测量长度。而直线是往 两段无限延长，是不更无法测量他的长度，这是他们的区别，那他们有相同的地方，那就是都是直的，都是直的。 好，这是我们学的第一个知识点，那第二个知识点就是过点画直线。 第一个问题就是过一个点画直线，比如说过点 a， 你 能画出几条直线来？ 是不是能画无数条直线？只要你画的这一条直直的线经过这个点 a 就 可以了，所以过一点 我们能画无数条直线， 那第二个就是过两点，比如说这里一个点 b 和点 c 过两点，同学们试一试，你能画几条直线？ 哎，我们画的这一条直线一定要经过这两个点，画图一定要用尺子比着画看，然后过点 b， 点 c 画一条直直的线，它只能画一条直线， 那今天我们再来学第三个问题，就是两点间的距离。 好，我们来看课本， 课本从采砂场到工地哪条路近？你有什么发现？我们来看用点 a 表示的就是采砂场，用点 b 表示的是工地， 那一共有三条路线，请问哪一条最近？其实根据同学们原有的知识经验就知道第二条线是最近 的，是吧？那你如果想真正的来验证一下哈，到底一二三，哪一条远，哪一条近的话，其实我们可以借助我们的 三角板，是吧？然后量出每一段的距离，比如说上面这是折线，那你就量出 每一条小线段的距离，是吧？用毫米表示，然后再把它每一段的长度加起来。那第二条路线呢？你就可以直接从减 a 到减 b， 量出它们的长度来。第三条也是 量出每一段的长度，然后再把它们加起来，如果你真正的去量一下的话，你就会发现是第二条线段最短。从这里我们就得出一个结论，两点之间 线段最短，对不对？ 这两点之间线段的长度 就是两点间的距离，比如说这里一个点 a， 这里一个点 b， 是 不是？如果我问你点 a 和点 b 之间的距离是多少，那其实就是线段 ab 的 长度，你把它连起来，然后量一量，这从零到这是二十三毫米，那么二十三毫米就是点 a 和点 b 间的距离。 我们最后回忆一下我们今节课学的知识。首先我们学习了线段、射线和直线它们的特征以及表示方法。 第二个学习了过点画直线，过一点能画无数条直线，过两点只能画一条直线。最后我们学习的是两点间的距离，两点之间线段的长度就是两点之间的距离，两点之间线段最短。

八年级家长注意，物理加强福利是不是孩子的十分大坎？上课听懂了，做题就错，公式记混、福利判断不准、受力分析漏项。每次考试都栽在这些易错点上，家长想帮却无从下手。老师讲的快，孩子来不及整理。 今天带来二零二六年苏科版八年级下册物理加强福利易错解析，整整二十四页，把孩子常踩的坑权汇总，每个易错点配详细拆解，让娃秒懂错音和解析思路。有电子版下单不懂找客服，也有打印版。直接邮寄到家，省心省力！ 左下方，小黄车直接邮寄到家，省心省力！左下方，小黄车直接派，部分地区不包邮，早用早提，分别让这些易错点拖娃后腿，赶紧给孩子安排上！

来，这个五角星呢，老师在这里给你。呃，因为你有基础啊，我给你教三种画法， 第一种看这里啊，一百三六幺零八，给的就是这三个数据，来这么画的啊。 l 直线点击左一百， 然后这个角小于啊，上挡箭注加逗号，这个结小于小于多少呢？这个三十六啊，我们 c a d 是 这样子的， 这是默认是右边东面为零度，默认是逆时针转为正啊，上面为九十，左边为一百八，下面为两百七，逆转为正，那么顺转就是负， 这个三十六是零度向这个方向转过来三十六度的，所以说我们要小于减三六，负三六，空格锁定方向就三百二十四度啊，直接输三二四也可以。 然后呢，再干嘛呢？再去把这个长度一百，所有线段都是一样的啊，长度一百 这一条呢，幺零八，道理一样，小于一零八，这个就是逆时针转上去的一零八啊，长度还是一样一百。好，前面刚用过的镜像来一下，选它镜像 m i 第一点这个中，第二点这个端啊，我们可以看到，很明显看到这条虚线的啊，镜像过来就这条实线啊，空格结束。 好， u 控，推一遍，看这个镜像加这个镜像啊， m i 中端控，那这是第一种画法啊，来，再看第二种画法，第二种画法呢？就是，呃， 假点，前面我们假点刚用过一个是叫什么呢？点一下，往右往左拉伸啊，那个端点这个过程我们叫拉伸啊，注意看啊，点一下来一条一百啊， 假点，编辑来理解一遍啊，点击它注意看。当我们点完之后呢，左下角我们可以很清楚的。看到啥呢啊， 左下角我们可以很清楚的看到他显示的叫拉伸啊，拉伸，我们要的是什么呢？要的是旋转啊，就是把这个点为基点 进行往这个方向旋转过来，三十六度啊，要用到的是旋转啊， 好，我们在这里呢，就是把它旋转过来啊，旋转一下好，旋转三十六度，怎么转呢啊？打点，他支持拉伸，还支持什么呢？注意看啊，就是这个点去激活他啊，来 把这个线画好之后，选中这个点，然后第一步是拉伸 敲空格，第二步是移动再敲空格，第三步，这就是旋转了啊，旋转单单转就是把原来的位置变化了， 那原来这条是要的，所以说呢，在旋转的过程看底下有一个复制加上复制啊，就是 c 控，你用鼠标去点也可以， 鼠标不能点就证明我们 cd 是 低版的啊，现在是高版的是可以点的，低版的点不了，你就要用输入 c 敲空格来往这个方向加负三六啊，对应的刚才我们的角度，一个道理啊，这个不需要数小于直接负三六敲空格， 你鼠标移远点看状态啊，哎，这时候他就多一个出来了，这就叫旋转复制啊，好，取消键退两次， 这一条道理是一样啊，点击一点。这个呢，我们要的是顺时针啊，顺负逆正啊，都是三六空格，两次加 c 控，再加负三六控啊，他就出来了啊， 那么这个道理还是一样，上面这个点啊，点一下空两次， c 控负三六控 好，另外的一条线呢，好，道理都是一样啊，这个点点一下扣两次，你可以连线啊，我们主要是理解这个知识点啊，反复用的目的呢，就是为了理解这个知识点，你输三六他就反方向啊，要输负三六， 哎。空格结束按取消退出，删掉反方向的啊，好旋转复制啊，本来后面两条是可以做镜像的，我这里呢就是为了熟练啊理解这个知识点的使用方法啊。如果说我们用右边这个点去转了 啊，刚才我们是以右边这个点去转啊，如果说我们以右边这个点去转开始转， 那就是干嘛呢？逆时针的就是三十六啊，左边这个点呢就是负啊，顺时针的负三六啊，逆负啊，这个逆正顺负啊，这个旋转的时候是逆正顺负。好，再来下一个画法啊， 下一个画法呢是我们这个最简单的，来 ctrl 零退回来啊，才能看到底下这个 啊，极轴的设置啊。极轴右击设置是什么呢？我们这个所有都是三十六度的，在这个上面是没有没得选，他这个比较特殊的，点击这个追踪设置啊， 极轴这里给他改成这个三十六度啊，改成三十六度，确定，那么你画的时候只要给方向和给长度就行了。点击左一百， 我们刚才知道这个是三百二十四，你看他是自动找到，看到没有？一百，我们刚才知道这个是一百零八，看到没有，角度一零八啊，一百， 然后这个方向是直下来是二百七，二百七，在三十六的一半就减掉十八啊，二百七减十八，二五二，他到二五二就刚好会显示一条一百，最后一条 c 空就完事啊， 就说这条线的角度是二百五十二度啊，基于零度算，因为垂直下来是什么呢？是二百七啊，我们这里垂线下来 这个方向是二百七，然后他是左右对称的，那就是三六减掉一半就是十八，这二百七减十八，这条就二五二，这条呢是二啊，这个十八就是二八八啊，二百七加十八啊，二八八 啊，对应的反过来的这个角度啊，就是说我们从这个点开始逆时针转过来，这是二八八啊，这二五二。 那么这是我们的第三种画法啊，这三种画法都要去把它画熟，因为老师教的是用不同的方法去理解这个角度啊、角度概念。