古堡朝圣几何解法

这节课我们来讲最后一个最短距离问题，古堡超市问题，它既不是将近一码模型，也不是二十元这样一个问题。 如果是将近一码问题的话，这个 pa 加 pb 其中这个动点点 p 应该是在什么上面啊？应该是一在一条直线上面才可以，对吧？求这个 ap 加上 bp 的最小值，这个才是将近一码。 但是显然我们图中这个点 p 是在原上运动的，他也不是二十元问题，因为二十元问题的话，他应该是研究的 pa 加上 k 倍的 pb， 这个 k 是在零到一之间的这样一个分数，对吧？ 那虽然此时这个阿始元他这个点屁也是在一个元上面运动的，但是你看不一样吧，我们这个古堡朝生问题，前头的系数都是等于一的，但是阿始元问题，他其中有一个系数是小于一的，所以既不是将近 密码，又不是国宝超生问题，那国宝超生问题有什么有意思的结论吗？当这个角一等于角二的时候， pa 加 pp 才是最短的，初等数学是无法解这个问题的，没有办法求点 p 的位置让 pa 加 pb 最短， 然后也没有办法用指挥作图的方法把这个准确的点屁给找出来。这个呢，已经被无数的数学家证明过了，大家也不用往回心里。但是这个并不妨碍我们推出当 pa 加 pp 最短的时候，角一等于角二这样一个有意思的结论。那角一和角二究竟指的是什么角呢？我们过点屁 做圆的切线，就这条水平的线就是圆的切线了。那么这个角一指的是涉嫌 op 和 pa 所夹的这个角，这个角是角一，角二的话指的是射线和 pb 所夹的角，这个是角二。只有当 角一等于角二的时候，我们才能够保证。什么才能够保证只是 pa 加 pb 才是最短的，那么为什么是最短呢？你先看一段动画，你大概就能理解了。 看了啊，逆时针转的时候， pao 如果贡献此时 pa 最短，但是 pb 也会变长，对吧？那如果再转的话， papb 就都变长，肯定不行。同样你向右转就顺时针转的话，也是这样一个道理，如果再顺时针转，那是不是都变长了？ 所以的话，点 p 必须在什么位置？点 p 的话，他必须在 apb， 也就是 op 这条射线必须在 apb 这个夹角范围内。大家知道知道这样一个过程就行啊，就这条线 对吧？角一角二必须一个位于射线的左边，另外一个位于射线的右边，就这个意思了，这个没问题了吧？那好，那怎样能够 推出来角一等于角二的时候， ph 加 pp 最短呢？初中生可以这样来理解。类比一下将军马模型，我们可以把这条切线过点 p 圆的切线呢？看成将军马问题里头那条小河，对吧？那条小河所在的直线。 那如果此时求 papp 最小值的话，我们只需要过点币做这条小和 l 的对称点吧，也就是 b 片连接 ab 片，也就是最短距离了。 但是将军码问题，我们这个点臂片其实标错位置了，这个点臂片应该是在哪啊？应该在这条线上，但是呢，这道题我们要求这个屁撇在哪啊？屁撇必须在圆上，对吧？ 那现在就有问题了，什么时候这个屁和点屁片能够重合？大家看一下，这段动画是可以重合的，我们改变点屁的位置，最终让他俩重 重合不就可以了吗？当点屁和点屁撇重合的时候，大家看一下，此时这个屁撇啊，记在直线上，他又在哪？又在圆上，那将近马和 五宝朝圣不就统一了吗？那为什么此时能够推出来角一等于角二呢？跟光的反射一样，你说这个入射角等不等于这个反射角，角一等不等于角二等于角二了，我们现在至少是可以推出这个角一等于角二的。 那么高中生又怎么去理解这样一个古堡朝生问题呢？用团的思想来理解，怎么理解啊？看好了啊， 换一下位置，反正点 a 点 b 是定点，对吧？然后小商贩呢，一般都是从他们家黑点出发，到这样一个圆形的古堡去朝拜。那么他选择哪个朝拜的地点能够让 apbp 加起来最短？因为他朝拜完了以后还要从 点 p 去集市 b 点做生意，对吧？怎样能够让 apbp 总路程最短？嗯，可以这样理解，以 ab 为椭圆的焦点，如果这个椭圆非常小的话是不可以的。 为什么？因为此时点 p 只能保证 pa 加 pb， 虽然这个椭圆上任何一个点 p 啊，都可以保证 pa 加 pb 是一个定制，但是点 p 你必须规定在圆上才可以。当这个点 p 特别大的时候可以吗？如果椭圆大的话，肯定也是不可以的啊，为什么呢？你大概理解一下就行。 椭圆特别大的话，椭圆上任何一个点 pe 吧， pa 加上 peb 都是一个定值，但肯定不是最小的，只有让这个椭圆和圆相切的时候，才能保证 pa 加 pb。 实际上根据椭圆的定义嘛， pa 加 pb 就是这个椭圆的长周长，这是一 定制。对于一个确定的椭圆来说，你看什么时候最短啊？而且还能够保证点屁能够在圆上，也在椭圆上。只有椭圆和圆相切的时候，相切的时候会出现一条弓切线，对吧？我呢，把这个弓切线给画出来， 也就是说此时这条线，它既是圆的切线，也是椭圆的切线。那现在你应该明白为什么这个角一等于角二了吧？椭圆有一个光学性质，什么光学性质呢？如果在点 a 处放一个光源，那他会发光，那么发出的光线啊，经过反射之后，肯定会 照射到什么位置，肯定会照射到另外一个焦点点臂的位置，这是椭圆的光学性质。那椭圆的光学性质，我们做的这条缺陷不就相当于那个反射面吗？也就是说，此时入射角和反射角角二，角一角二就是相等的。那其实这道题的话，是结合这个椭 椭圆的性质，还有椭圆的光学性质推出来的角一等于角二，你听懂这一点就足够了。中考高考肯定不会考这样一个具体问题，让你求这个点屁，或者求最短距离问题的。你现在理解这个角一为什么等于角二了吧。分享课堂知识，感受数学之美。我是安范老师，下节课再见。

国宝朝圣的答案是当 op 平分角 apb 时， ap 加上 bp 取最小值。如何来证明呢？我们可以在原欧上面任取一个点 p 一撇， 只需要证明 a p 撇加 b p 撇是比 a p 加上 b p 大就可以了。我们过 p 点做出圆欧的切线，使他与 a p 撇交于点。 c 连接 c 和 b。 有将军一马模型可知 ac 加上 bc 肯定是大于 ap 加上 bp。 接着在三角形劈一撇， bc 中两边之和大于第三边 可以批撇， c 加上批撇 b 就大于 bc。 将这两个不等式进行整理，刚好就可以得到 ap 撇加上 b， 批撇是大于 ap 加上 bp。

上期视频评论区有很多人想让主播解精确值，这期视频主播给出三个方法，第一种就是评论区有人说的直接见系求解，这里我们设批坐标的时候采用参数方程， 不然等下距离式子里根号下还有根号，很复杂。首先我们表示出距离和 s， 然后求 s 的 最小值，我们对它求导，找到注点再排查。化简之后得到一个正余弦的等式，我们把它转化为有理方程。 这里的 k 是 o p 的 斜率，因为正弦和余弦的分母都是根式，我们需要多次平方去掉根号。这里主播又懒得化简了，用 ai 化简下。 ai 化简的结果可能不对，但有一点，我们化简的结果一定是高次方程，而且因式分解不了，只能让软件计算数值了。 第二种就是椭圆与圆相切，为了方便计算，我们旋转一下，以 b、 c 中点为圆点间隙， p 的 坐标依旧用参数方程表示，先表示椭圆的长轴二 a， 它是 p 到交点 b、 c 的 距离和。然后我们就可以写出椭圆的方程，再写出椭圆的参数方程， 注意分清楚这里的 theta 和 phi 的 含义。画图的时候我忘了标注 p 点的椭圆参数坐标也满足圆的方程，因为相切 p 点处圆与椭圆斜率相同。接下来就用这几个方程组解出二 a， 就是 我们的最小值，计算量肯定很大，而且也会涉及结高次方程， 主包就不解了，感兴趣的朋友可以自己尝试。最后就是利用光的反射，我们射出 p 的 坐标，再表示入射光线，出射光线和法线的斜率，入射角等于反射角，正切也相同。 正切用高中的直线夹角正切公式表示，然后化简，又得到正余弦的方程。利用非他的正切等于法线斜率将其由理化，最后得到三次方程，再利用三次方程求根公式求解，求出 k 后就可以得到 p 的 坐标，进而得到 p b 加 pc。

哈喽，大家好，今天我们来讲解园中最值。呃，我们来讲第二部分叫做古堡朝圣。 这个古堡朝圣呢和阿式园问题呢，其实很多地区呢，他都是不考的，嗯，但是呢，还是希望大家多去了解一下这种题的一个做题思路。 那我们一起来看一下什么叫做古堡朝圣。说有一个虔诚的信徒，他是这个小贩，他每天呢要从枷锁在这个地点 a， 然后到集市点 b， 到集市之前呢，他必须先拐弯到这个圆形的这个古堡去朝拜。 这个信徒就想了，我应该怎么选择这个朝拜点， 才能从家到朝拜点，然后再到集市路程最短转化成数学问题就是什么样说这个点，屁哎，在这个圆上运动，它运动到什么位置的时候， pa 加 pb 是 最短的。 那我们来看一个动图，大家看点 p 在 这个圆上运动，我们大胆去猜想一下，感觉是不是当这个黄色这个角跟这个绿色这个角哎相等的时候，感觉这个 p a 跟加 p b 是 不是最小啊？ 那假如说这个它的加点 a 跟极是点 b， 如果它们的连线刚好跟圆 相交，那这两个交点，比如 c 点 d 点，是不是任意一点都可以进行一个朝拜啊？所以说我们做这道题的时候，一定是当 a 和 b 的 连线是怎么样，是不是跟这个圆相邻的情况下，我们才能找这个 点 p 这点啊？好了，那究竟点 p 在 什么情况下使得 ap 加 bp 最小呢？ 我们刚才猜讲了什么，当这个黄色这个角角一哎加这个等于绿色这个角角二的时候，也就是说 o p 是 角 a p b 的 角平分线的时候，那 ap 加 b p， 它是最短的。好，我们做数学题的时候，一定要先大胆猜想，包括我们做几何压轴题的时候，让你证明谁和谁的关系，不管是位置关系还是数量关系，我们先大胆猜想，猜想完之后我们再去证明它。 好，那为什么当这两个角相等的时候，它最小呢？我们一起来证明一下。 这个时候呢，我先取这个角一等于角二，也就是黄色这个角等于绿色这个角，然后呢，我做这个 o p 的 垂直平分线，我记这条直线是 l 点 a 关于 l 的 对正点 a 一 撇，既然是对正点呢？是不是角三等于角四啊？好了，角一加加角三是一个九十度，那角一等于角二，角三等于角四，那角一加角二加角三加角四，是不是一个 一百八十度呀？也就是 a 一 撇 p b 是 不是三点共线呀？也就是它们在一条直线上？好了，那 ap 加 b p 是 不是就等于 a 一 撇 p 加 pp 啊？是不是就等于 a 撇 p 啊？ a 撇 b 啊？好了，那把我们把这个 ap 加 bp 转化成了一条直线， a 一 撇 b， 好，这个时候是当角一等于角二的时候，当角一不等于角二的时候，我们随便找一点点 p 一 撇， 这个时候 a p 一 撇加 b 一 撇就变成了什么？是不是变成了 a q 加 q， p 一 撇，再加上 p 一 撇 b。 好 了， a q 又等于 a 一 撇 q， 那 是不是 a p 一 撇加 p 一 撇就变成了三段啊？ a 一 撇 q 跟 q p 一 撇，再加上 p 一 撇 b， q p 一 撇加 p 一 撇 b 是 不是一定大于 b q 啊？ b q 加 a 一 撇 q 是 不是又大于等于 a 一 撇 b 啊？那也就是 a p 一 撇加上 b p 一 撇，一定是大于 a p 加 b p 的。 好，那我们是不是就可以证明了这个当只有当角一等于角二的时候，那这个 a p 加 b p 是 不是就是角角值啊？那接下来我们应该怎么去找这个点 p 呢？那我们如何去找这个角平分线呢？ 当我们知道了这两个点，如果它们距离圆心相等的时候，也就是 a o 等于 b o 的 时候，这个时候我是不是直接做 ab 的 垂直平分线呀？有中垂线， 它跟圆相交的这点点 p 是 不是就是我们要找的点啊？根据三角形全等，是不是就可以证明这两个三，这两个角是相等的呀？好了，那如果当这两个点距离圆心的距离不相等的时候，哎，大家看和这个点 c 跟点 d 距离这个圆心不相等，哎，让你找一点点 p， 使得 c p 加上 d p 最小，这个时候大家看通过这种动图来观察，其实他的这个位置非常的不好找， 所以一般出题的时候，这种情况是不会出的，只会考这种情况，当点 a 跟点 b 距离圆心相等的时候， 他才会考这样的题。好了，那这个就是古堡朝圣，其实非常简单，对吧？圆外有两个点，哎，在圆上再找一点，使得它们的线段最短， 只有当 a o 等于 b o 的 时候，它才有求解，对吧？如果 a o 不 等于 b o 的 时候，它这个距离是不好求解的，那我们来看。

这道题全网都在用这个答案，但它是假的。今天我们用三把手术刀把这个伪证切开来看，正方形 a、 b， c， d 边长为四圆， a 半径为二，动点 p 在 圆上，求 p b 加 p c 的 最小值。 网传捷法见了，坐标系设 m 等于 p b 设 n 等于某个距离。先别管答案，这个嗯，算的真的是 p c 吗？ 既然用了距离公式，我们就原原本本带进去验证一下。减 c 的 坐标是四，逗号四。 p c 的 表达式应该是根号下 x 减四的平方加 y 减四的平方。再看错解里的 n， 根号 x 平方加 y 减四的平方。横坐标里面没有减四， 横坐标为零，纵坐标为四，这是 d 点，不是 c 点。第一把手术刀切完，他求的是 p b 加 p d， 伪装成了 p b 加 p c。 好， 退一万步，就算把题目改成求 p b 加 p d， 错解的不等式逻辑就对了吗？ 错解最核心的一步就是这个不等式， m 加 n 大 于等于根号， m 平方加 n 平方。等号什么时候成立？两边平方比较一下，差了一个两 m n 等号成立需要 m n 等于零，也就是 p b 等于零或 p d 等于零。但 b 和 d 都在元外， p 永远到不了 b 或 d 等号，根本取不到。 更根本的是，他找了一个比 m 加 n 更小的函数，求它的最小值，就说这是 m 加 n 的 最小值。这就好比所有人身高都大于一米，一米的最小值是一米，所以人的最矮身高是一米。 直接代入验证，即值点约为根号二，逗号根号二。真实的 p b 加 p d 约等于五点九零。错解给出四点一七， 为什么差了根号二倍？因为错解把 m 加 n 直接等价于根号 m 平方加 n 平方，正确展开是 m 加 n 的 平方等于 m 平方，加 n 平方再加两 m n。 在 极值点 m 和 n 都约等于二点九五，两个 m n 就 约等于十七点四，这不是小误差 三，把手术刀全部切完。错误一，偷换概念，恩，算的是 p d， 不是 pc。 错误二，逻辑倒置，下界函数的最小值不等于原函数的最小值。错误三，代数缺项凭空丢失了完全平方展开中的两 m m。 顺带一题，如果用计算机求解真正的反射路径，圆体里 p b 加 p c 的 极小值其实约等于六点一六，初中范围内根本没有代数减。在这个极值点，圆的切线相当于一面镜子连星线， a p 的 延长线刚好平分角 b p c 完美符合光学反射定律。 工整的代数未必是正确的数学。你在网上还见过哪些工整的假答案？弹幕见！

经济上行时期的密室吗。哇太夸张了这个室内居然有风洞啊。这里是没有追逐的微孔主题大家放心看 啊接下来玩一个火到出了续集结果第二部比第一部还要火的一个密室赵露丝同款看看怎么样找到你。第二部二的话就是赵露丝同款。对的刚来哦刚来刚走啊。没有没有没有 千万不要去进行奔跑咱们准备进场了哈。这个能加热吗。啊开玩笑这个加热哈哈哈一次性的尝试稍微慢一点点啊。 ok 进来了。既然我们作为古堡继承人来中世纪的城堡探寻老祖宗的遗产灯光布景跟氛围感都超级真实而且设计的环节和道具都很符合这个年代的时代背景。时间在动吧。 哦你敢信密斯里面还有电梯吗而且真的很还原那种恐怖电影里面摇摇欲坠的电梯电梯门一打开还有小惊喜啊场景一转接着探案单线任务来的特别快去一楼哎我喜欢这个电梯哈哈哈。 哎没事没追逐没追逐没追逐。还好啊没追逐哎他都说没追逐 啊啊自己吓自己。这时候就开始剧情演绎了我觉得这个主题最精彩的就是 npc 的 表演绝对的科班专业体验啊这个这个这个女生演员他甚至会飞檐走壁啊 啊爆闪的灯光完全没有现杀的发挥哇此时此刻惊喜的氛围好恐怖啊 啊这还有一个哇这后面我去接下来的环节啊场景是一个比一个壮丽沉静走吧但是我真的好离我要去推鬼走人。 好的又进电梯了。从电梯看出去啊第一次直观的感受到了什么叫做逆世界，这边演员的肢体表现真的是绝了 哦，配合爆闪灯光，眼前全都是定格动画，特别有意思啊啊啊哇地窖接下来场景真的很超标，怎么还有个大风洞啊哇 哇，超大的风，明明是个很边缘的环节，但预算拉满的结果就是很对错了。这这这这哇这个按倒按门的机关你们感受一下，非常真实， 真的是跟古堡一样，兄弟们好，去吧，钢琴牢房真的太优雅了哦，不会要钻到那个笼子里面去吧？哈哈哈，有一点手法真是有点难度，但明显演员的难度更大一点啊！ 进牢房喽，接下来就是温馨时间啊哈哈哈我的天呐，什么眼睛啊 我的妈，后面还有门啊啊， 恭喜你啊啊！行行行，有新老姐，这里面机关有很多的小细节，快结束的时候也有彩蛋，这边就不放出来了，他全程没有追逐，但刺激程度完全不亚于追逐，最辛苦的应该就是演员老师我的嗓子了， 结束了，我嗓子有点有含片吗哈哈哈。

注意看，山西界首藏着一座千年神秘古堡， 走，咱们今天打卡藏壁古堡！藏壁古堡呢，始建于一千六百多年前的这个十六国时期，他三面玲 珑，一面靠山，地势险峻，最初呢就是一个军事防御堡垒。整座古堡呢，是按天上这个二十八星宿布局 轮廓故事，魁星有着天上魁星人间藏壁的说法，咱们身后的这就是藏壁古堡的魁星楼啊，位于整个藏壁古堡的东南角。接下来呢，再来看一下这个神奇的怀抱二楼啊， 本身这个双壁古堡这样的槐树呢，有六颗啊，但是目前呢，只有这一棵槐柏柳了，据说这一棵槐树呢，也快死了，当时呢，村民在他旁边种了一棵柳树，没想到这棵槐树又活了，故而得名呢槐柏柳啊，俨然成了这个长寿的象征， 又因其呢，他呈现这个相互拥抱的状态，也有这个爱情树支撑边呢，就是稀世珍宝孔雀蓝琉璃杯。现在看到的这个琉璃杯呢，都是稀世的珍宝啊，一共两块，就在这里啊，一块是明万历三十三年烧制，另一块则是明万历四十一年烧制。 碑高一两六米，宽六十七公分，厚十八公分，分别记述了空王佛修炼成佛的艰难历程和空王佛行宫修建的经过。俗话说的好啊，地上文物看山西的确是这样的啊，看这古剑之美呢，真的是无比绝伦啊！大家发现没有，很多 房檐上都有这样的琉璃制品，别看颜色呢，非常鲜艳，这可都是明朝的老物件啊，在张壁古堡内呢，有个琉璃世界博物馆啊，这里藏着约二百余件的这个琉璃制品，里面有这个二十八星袖的这个琉璃制品曾亮相法国如 福宫非遗展，是咱们山西对外展示的文化名片。这里呢就是当地古堡的地道了，堪称古代军事工程的奇迹，有着地上双层地下长城的美誉啊。咱们来到了这个地道路口走，接下来咱们去看一下这个地下长城的魅力。地道长约万米上下呢，一共三层， 公房兼备，地道里有通风口、灰炭口、指挥点、伏击点、陷阱，还有水井、卧室、厕所等设备 间隔并摇，你看这边还有船身，你的机关重重啊，惊险的一点都不出这个道路轨迹啊。在地道行走的时候呢，听到一位游客感叹的说啊，这就跟地道战中的场景是一样的啊，的确是这样哇，从这个地道出来，没有想到啊，你看一下，来到了这个沟壕，纵横的沟渠啊， 地道跟地道都是相通的，咱们来到了这个第三层地道的路口走，再往前走一走呢，这个古堡里面的地道可以说是非常的长了，这个宝门对面的关帝庙里面呢，有这个新开的这个地道路口四号线啊，这是以以前来这个张壁古堡从来没有看过这个地道 走，今天呢，咱们去看一下这个新开的地道四号线，二零二六年全新开放的地道四号线巷道内用光影电子动画加音效动态还原古人开凿地道，士兵助手防御作战、藏兵屯粮的场景，通风、瞭望、陷阱、淹水道等机关运作原理， 沉浸式感受地下军事工程智慧。当地古堡呢，是一个集军事防御堡垒，集这个古庙与古地道为一体的千年古堡呢，褪去这个刀光剑影， 现代咖啡与这个古堡的相碰撞，一场跨越时空的浪漫呢，就此上演了。来晋中旅游呢，您一定要来一下这个介休的张壁古堡啊！我是山西发现哥，刷到我呢，记得点点关注啊，带你看遍山西古迹！