风筝纸片的几何探究题

有些小学几何题用到的知识点是书本上学过的，但不看答案就是想不出来，那是因为你没有掌握几何模型，有五个核心的几何模型能解决百分之八十以上的小学几何难题。那今天这期视频，我们将由浅入深，以层层递进的方式 对这五个核心模型进行详细的讲解。第一个是拉窗帘模型，在一组平行线中存在一个三角形底边在其中一条平行线上，顶点在另外一条平行线里，根据公式可得该三角形的面积为二分之一 a h。 由于两平行线间的垂直距离相等， 所以顶点在平行线上任意位置，三角形的面积始终不变，这就是拉窗帘模型，代表题型是大小两个正方形的底边在同一直线上，只给出了大正方形的边长为八，求阴影面积。 如果不懂拉窗帘模型的，还需要知道小正方形的边长，最后通过割补法才能解析。而现在你掌握了拉窗帘模型， 由于大小两个正方形的对角线是平行的，而阴影部分是以 a、 b 作为底点， c 作为顶点的三角形， 此时我们可以把点 c 拉到小正方形的左下角，那么阴影面积就是大正方形面积的一半，所以是三十二。第二个是一半模型。我们知道长方形的对角线是可以把长方形划分成两个面积相等的三角形，任意一个的面积都是长方形面积的一半。 同时由于长方形的对边是平行的，根据第一个拉窗帘模型，可得顶点在平行线上的任意位置，该三角形的面积不变， 同时还是长方形面积的一半，这就是一半模型，代表题型是已知长方形内三角形的面积为三十五，以及两段的长度分别为三和六，求长方形的面积。 此时我们可以过边上的两点做对边的垂线，并且连接交点与长方形右上角的点，那么三角形就被划分成一、二、三三个小三角形。根据前面讲过的拉窗帘模型，可得一号和二号三角形分别拉动顶点面积不变。 突然发现，现在三个部分的三角形的面积分别是所在区域的小长方形的面积的一半，而右上角的长方形面积就是三乘六等于十八，一半就是九，那现在所有的一半加起来等于四十四，那么长方形的面积就是八十八。第三个是等高模型。 三角形的底边上存在一个点，使底边分成左右两个小三角形。 由于他们的高相等，左边三角形的面积是二分之一 a、 h， 右边三角形的面积是二分之一 b、 h， 那 么他们的面积比划成最减整数比就是 a 比 b， 所以 高相等的两个三角形面积比就等于他们的底边比，这就是等高模型了。第四个是风筝模型，在任意四边形中连接对角线， 划分成上下左右四个三角形，而其中一条对角线被划分成 a、 b 两段。由于上面和右面两个三角形的高相等， 根据等高模型可得它们的面积比就等于它们的底边比，也就是 a 比 b。 与此同时，左面和下面两个三角形的高也相等， 同样根据等高模型，它们的面积比也等于底边比。同样是 a 比 b， 那 么通过等量代换就有了上比右等于左比下。再根据比例的基本性质，内向积等于外向积就变成了上下两个三角形的面积的积等 等于左右两个三角形的面积的积，这就是风筝模型。那么掌握了等高模型以及风筝模型中笔相同，可进行等量代换，就有了这道经典的题目。 大小两个等边三角形的底边在同一直线上，面积分别为九和四，求阴影部分面积。我们可以设大小两个等边三角形的边长分别为 a 和 b。 由于底边在同一直线上， 等边三角形每个角都是六十度，所以这两条直线是平行的。那么大的等边三角形的高与阴影三角形的高相等，根据等高模型可得 大等边三角形的面积比。阴影三角形的面积就等于他们的底边比，也就是 a 比 b。 接下来同理可得。由于这两条直线也是平行关系， 此时小的等边三角形的高与阴影三角形的另外一条高也相等。同样，根据等高模型，阴影三角形的面积比上小等边三角形的面积就等于他们的底边比也是 a 比 b。 由于两条式子都等于 a 比 b， 那 么通过等量代换就有了 s 大 比 s 音等于 s 音比 s 小。 最后根据内向基等于外向基， s 音的平方等于九乘四，所以阴影面积为六。掌握了上述四大模型后，就到了它们的终极融合模型。 蝴蝶模型在至少有一组对边平行的四边形中，连接两条对角线后，分成了上下左右四个小三角形，根据风筝模型可得上乘下等于左乘右。 同时由于三角形 a、 b、 c 与三角形 d、 b、 c 为同底等高三角形，所以面积相等，也因为它们含有共同部分， 所以各减去共同部分后，左右两个像翅膀一样的三角形，它们的面积也是相等的， 这就是蝴蝶模型的两条定底，代表题型是在平行四边形中，已知两个三角形的面积分别为八和四，求平行四边形的面积。由于上下两条边是平行的， 符合蝴蝶模型的要求，那么根据蝴蝶定律一可得右边翅膀的面积也是八。那根据蝴蝶定律二可得 s， 上乘 s， 下等于 s， 左乘 s 右，所以下面的三角形的面积为十六。 现在三角形 d、 b、 c 的 面积就是十六，加八等于二十四，所以平行四边形的面积就是四十八。那今天我们就先消化这五个核心的几何模型，随后会更新更多的题型，以此来巩固，跟着吴老师来学习几何模型，从容的解锁更多的小学几何难题。

小学几何只要掌握了这几大模型，那做题就跟玩一样， 等高模型。两个三角形的高相等，那么它们的面积比就等于底边之比，即 s 一 比 s， 二等于 a 比 b。 看题， 在三角形 a、 b、 c 中， b、 d 比 d、 c 等于一比二，阴影部分的面积是二十，求三角形 a、 b、 c 的 面积。因为三角形 a、 b、 c 和三角形 a、 b、 c 是 等高的，且 b、 d 比 d、 c 等于一比二。根据等高模型可知， 三角形 a、 b、 d 比三角形 a、 b、 c 等于 b、 d 比 b、 c 等于一比三。又因为三角形 a、 b、 d 的 面积是二十， 所以三角形 a、 b、 c 的 面积是六十。下一个等积模型又称拉窗帘模型， 两条平行线间的距离处处相等，所以不管三角形的顶点在平行线上怎样移动，三角形的面积始终保持不变。看题， 两个正方形并排放在一起，已知大正方形的边长是四，求阴影部分的面积。 我们先连接小正方形的对角线，两个正方形的对角线是互相平行的，那两条平行线间我们就可以开始拉窗帘了。把这一点 往下拉，拉到这，那阴影部分的面积就变成了大正方形面积的一半，所以阴影部分的面积的一半，也就是八 一半模型。阴影部分的面积是长方形面积的一半，我们一眼就能看出来，这个也很好理解。 三角形和长方形等底等高，所以阴影部分的面积也是长方形的一半，这个很多同学就看不懂了，怎样证明阴影部分的面积是长方形面积的一半呢？ 只需要把长方形一分为二，左边部分符合一半模型，右边部分也符合一半模型，所以整体也是一半模型。这是一道经典的一半模型例题。正方形 abcd 的 边长是八， 阴影部分的面积也是吧？求长方形 e、 c、 f、 g 的 面积。我们先画一条辅助线来构造一半模型。 根据一半模型可知，三角形 b、 c、 f 的 面积是长方形面积的一半， 同时两部分阴影面积之和是正方形面积的一半，所以三角形 b、 c、 f 的 面积就等于正方形面积的一半， 减去阴影部分的八，所以是二十四。又因为长方形的面积是三角形 b、 c、 f 的 二倍， 所以长方形的面积就等于二十四乘二，也就是四十八。在任意一个四边形中，连接它的两条对角线 都满足，上下两个三角形面积的乘积等于左右两部分的乘积，即上乘下等于左乘右。如果四边形变成了梯形，那就是风筝模型中的特例。 蝴蝶模型，它除了满足上乘下等于左乘右之外，还有一个特征，那就是左右两部分的面积相等。这是一道经典的蝴蝶模型 b 题，一起来看。 已知梯形 abcd 中两个三角形的面积分别为九和二十七。求阴影部分的面积。因为左等于右，所以右边也等于九。 又因为上乘下等于左乘右，所以阴影部分的面积乘二十七等于九乘九，所以阴影部分的面积就等于三。 怎么样，这么多的模型你都听懂了吗？赶紧拿出笔记本记一记吧！

这道题能够快解的关键就是使用风筝模型，这也是为什么有些题我们解不出来的原因，就是因为这个点我们不知道，那接下来我们就看一下到底是不是这样呢？ 已知呢，这个正方形的边长是四，根据这一个信息，我们就可以得出正方形的面积，那就四乘四等于十六，那我们知道了正方形的面积，我们再观察一下这个图形，哎，点 f 是 ab 上一点， 所以以 c、 d 为底边，这个三角形 c、 d、 f， 它就是正方形面积的一半，也就是三角形 c、 d、 f 的面积是十六除以二等于八。 那么这一个条件啊，我们结合图形就求出来了这个三角形的面积，还告诉我们两条件，一个点 e 呢是终点，一个点 f 呢是四等 分点。根据终点我们就得到 b、 e 等于 c、 e， 也就他们都是 b、 c 的一半，也长度都是二，而 f 是四等分点，所以 a、 f 与 b、 f 是一比三，因为 a、 b 是四，所以 a、 f 的长度就是一， b、 f 的长度呢就是三。 那当我们把这些数据都标出来之后啊，我们发现还可以求出，哎，三角形 a、 d、 f 的面积，一乘四除以二，它就等于二。还有三角形 c、 d、 e， 哎，这个三角形的面积，它就等于二乘以四除以二 就等于四，这个是三角形 c、 d、 e 的面积。当然我们还可以得到 b、 c、 f 这个三角形的面积，三乘四除以二就等于六，哎，我把它写到这里，那么这道题呢，让我们求哎中间这个阴影的面 面积，我们结合刚才我们得到的这几个图形的面积，那个阴影呢，正好是在这个三角形内部，所以我们只要知道了 ocd 这个三角形的面积， 或者我们知道 of 和 oc 这两个线段的比值，这样都可以求出阴影的面积了。但是目前 ocd 的面积我们并不知道，所以我们考虑呢，看看能不能得出 of 和 oc 的比值。 那么这就用到了我们刚才说的非常重要的，让我们能够快速解题的一个模型，风筝模型， 两种模型说的是在任意的一个四边形当中，那我只要连接 e f， 这样就出现一个四边形 c， d， e f， 那在这个四边形当中， d e 和 c f 是对角线，那么对角线呢？彼此 分割，那么分割的线段的比值就等于同侧面积之比，我们就以 o f 和 o c 为例，那么 o f 与 o c 的比值就等于，那我们看 o f， 哎，同侧的三角形，那么就是 d e、 f 这个三角形，它的面积 比上 o c， o c 是在下边，也就是 c， d e 这个三角形的面积，那这两个三角形面积之比就等于 o f 比上 o c。 而这两个三角形的面积，其中一个 d， c、 e 呢，我们刚才已经求出来了，就是 四，所以它是四。再看 d， e， f， d， e， f， 虽然我们不知道，但是我们可以很容易得到，我们根据整体减空白，整个正方形的面积，我们知道是十六，那我们减去周边的 空白，这三个三角形一个呢，刚才已经算出来了，是二，另外一个呢？ c， d e 就是四。再减去 b， e， f 这个三角形是三，减三 就等于七，所以 d， e、 f， 它的面积就是七，那么 o f 与 o c 的比值就是七比四， 那么根据等高模型，那么根据等高模型，以 off 和 oc 为底，以点地为顶点的这两个三角形，一个是阴影，一个是 ocd， 这个空白他们两个面积之比就等于底边之比，也是七比四。 所以我们假设阴影占七份，那么空白呢，就占四份，那整个三角形 c， d， f 呢？就是十一份，那么阴影呢？就占了十一分之七，而 c， d， f 的面积我们刚才已经求出来是八，所以阴影的面积就八乘以十一分之七，就等于十一分之五十六，轻松拿下。

一眼过去，这就是一个标准的比例，几何长方形 a、 b、 c、 d 是 已知的，那么我需要给大家教的大招就是，你得明白，所有的几何图形，它都是有点去控制的。哎，这句话听起来有点高声，不像个数学老师，是不是？ 那你说这个，不管是问你这个边长，还是问面积，那不都是由对应的点去把它控，把它给限定出来的吗？所以点是几何的最基本的元素，那这些点的位置其实就决定很多，这个点之所以出现在这儿， 为什么会出现在这儿，那就能决定了线段的长度，甚至是决定了图形的面积。所以这个叫什么？这叫底层，你觉得一般老师会教吗？家人们，你们会会学这种底层的东西吗？就是题目啊，一环扣一环的底层逻辑，那 a、 b、 c、 d 相当于就告诉我们正方形，那这四个点就被卡在这儿了。然后你再看看这个条件， b 一 比一， c 是 二比三， 这个条件其实就告诉你一点，在什么地方啊？数学老师给你说，哦，一点就在那个位置，二比三，你得知道。然后呢， f 点是一比二，所以这两个比例其实就是在告诉你 e、 f 所处的位置啊，它是被确定下来了，因为有了比例，这个点一定是确定出来的， a、 b、 c、 d 被确定了， e、 f 也被确定了 啊，然后呢，它连了 a、 f 和 d、 e， 相当于出现了一个新的焦点 g， 这个 g 其实也是确定的啊，因为每个点都是确定的，他们不管怎么连，这些线是不会变的， 所以这点也是确定的，至少我不管这个题问啥，我心里很清楚，这点一定是他的位置是能被确定出来的，那我只要把这点的位置确定了，那这个题不就解决了吗？ 是不是？然后，然后我们再看，他说这个红色三角形的面积是二，求长方形的面积。你看很简单，红色三角形就是告诉你和这点相关的一个信息，我们可以把这点想象成一个人啊，我知道了这个人的一个信息啊，跟他有关的一个面积是二，能不能求出大的面积？那不就是找他们内在的这个逻辑关系吗？好，所谓的底层是什么？ 底层其实就是把这些图形背后点与点呀，图与图间的这种关系全部理清楚，这就是属于学知识学底层，而不是说，哎，我就学个方法，这个能导两下，那边导两下，给三导，三导两的给导出来了啊，娃，看着好像每一步好像都能看懂啊，老师说了，这个比这个，这个比那个比来比去，比了比了一会，哎，答案比出来了， 你是不是这种感觉？但是呢，你根本就没有领悟到我要说的他的底层逻辑，所以这种题目只要变一变啊，只要这种考法稍微调一调顺序，你就会发现很难啊。所以这个题比较常规的考法是告诉你正方形的面积，求三角形，哎，这样的话上手就容易， 但是反过来考，你看这个题跟常规题就是反过来了，他先知道了这个小三角形的面积，然后让我们去求大正方形面积，你会发现难度就提升了很多。为什么？因为你不懂底层，你会，你就会觉得难。那么我刚才把底层讲完了啊，我们只需要能够确定出这一点的位置， 找到这点相关的比例关系，那么这个题目就彻底解决了，你知道了位，这点的位置你们所有人都知道啊，你这个东西理解，那这点的位置怎么去求呢？首先这是一个十字啊，一个交叉，那关于交叉点的比例，我们知道一个很牛逼的模型啊，叫分针模型，如果你忘了啊，我们简单复习一下，什么叫分针模型呢？就是任意给你一个四边形，把它的对角线一连， 会出现一个像分针模型，而这个模型最牛逼的就是对角线的这个焦点 啊，他在两条对角线上的比例都是可以通过面积来去算的，对不对啊？而且是同向比不变口诀，我之前也教过，叫做同向比不变，这个就不说了啊，这就叫基础了，这就属于基础，基础你就得有啊，没有你做这种题就会比较吃力。好吧，好，那我们再回来啊，我把它一连，我如何去求这点的比例呢？我就得看哪些面积 比较好算。我在这个四边形里面啊，我先把这四边形给大家画出来啊，就这个红色的分针，左边比右边好比，还是上面比下面好比？我发现左边比右边好比，因为左边和右边面积好算，比如说你看左边，就是这个三角形 a， e， d， 然后呢，这个 d， e 这条对角形的右边就是 df， 同向比不变的意思就是同向的面积比和同向的线段比是一样的，那么这个方向上的线段比就是 a j 比上 j f， 这不就是确定了这点的位置吗？就这么简单，只要我们一眼能看到这儿，这个题就解决了，因为我能求出这点的比例，我就可以啊，通过小三角形的面积来求出四边形的面积，就这么容易啊，这就是最根本最低层的玩法。那下面往里面算呀，这个 aed 咋算呢？ aed 不是 这个长方形的一半吗？这不一眼就看出来了， a d 是 不是 a d 和三角形应该是一半啊？我们写个 s， 好 吧，就代表这个最大的要求的这个 s， 然后 d e f d e f 是 多少呢？家人们啊， d e f 大家能不能把它算出来啊？其实也是 很容易的对不对？我们先算一下 d e c 呗，因为 d e f 是 含在 d e c 里面，那么 d e c 口算一下，家人们 d e c 应该是宽和长方形是一样的，然后呢，另外一条边呢，应该是占占了它的五分之三，然后呢，还有一个二分之一，那就是 十分之三，所以第一次应该是十分之三，然后这个 d e f 呢，又占了三分之一，十分之一啊，当然我这是属于高度熟练的情况下， 对不对？这个只是一个计算的基本功啊，如果说你基本功很扎实的话，你也可以很熟练，这个没啥。呃，这是基本功，咱就不说了，重点顺顺思路啊。所以左边呢，我们就可以发现啊，这个比例，它就是 aj 比上 j f 二分之一，比十分之一，很简单，就五比一啊，所以 aj 比上 j f 就是 五比一。 你看，这不就相当于确定了这点的位置吗？所以咱们把这个核心点想明白啊，这个位置我干了一件事情啊，就是找到了这点，那么它让我们求的所有东西求变得非常简单了啊。你看这个 dgf 是 二，那这个比例是五比一，那么这个 ajd 是 不是和它就是共高的 ajd 就 应该是十 啊？所以这个三角形 a 咱就不求 ajd 了，咱直接求个 afd， 是 不是 a df 啊？那么 a、 d、 f 就 更简单了， a、 d、 f 和这个 dgf 它俩是同的， 呃，共高的是不是底值比就应该是六比一，那它玩应就应该是二乘以六，就是十二， a、 d、 f 就 算出来了， a， d、 f 算出来，求长方形，那就更简单喽，那 s 是 多少呢？ s， a， d， f 应该是占 s 多少？ 占 s 的 一半的三分之一，二分之一的三分之一，那是六分之一，对不对？那就应该等于六倍的 a、 d、 f 啊，当然这都是数，都是计算熟练之后的结果啊，就应该等于七十二，就这么简单啊，家人们感受一下，就是，如果说我们绕来绕去啊，就是计算熟练之后的结果啊，就应该等于七十二，就这么简单啊，家人们感受一下。就是，如果说我们绕来绕去，就是你会发现太复杂了，自己想不到， 那就一定是你没有学会底层，因为这种题目其实真的就是不需要学太多的这个招式，知道吧？就是你只要掌握了这个底层逻辑就很简单，你看我是怎么审题的，一定要学会啊！在读题的过程中， a、 b、 c、 d 是 确定的，然后 e、 f 点也是确定的，所以它们的连线的这个焦点也是确定的。这个读读完题我就知道了，就我心里面你知道这点是确定的， 然后果不其然，他就会在这个这点做文章，因为这点暂时不知道，他在这个地方给你，无论是提问题还是给你去设已知，都会成为你的障碍，因为你跟他不熟，你看不到，知道吧？就是你，你脑子里面是没有这个概念的，你不知道这点是能算出来的，所以 你就会束手无策。而我很清楚这点是能算出来的，那他就一点都不难。那么我根据已知条件，我先把这点算出来，我找到了这点在 a f 这条线段上的比例，这点就被我精准的定位了。然后呢，他问的给的是小三角形求大的，那就很简单呀，就是拿共高导就好了呀，是不是 d g f 是 二，那么找他共高的就是 d f 是吧？六倍就是十二 d a f 和这个大的面积比是不是一边长和长方形是一样的，另外一边占了三分之一？三角形公式里面有二分之一，不就是六分之一吗？再乘个六完了啊。所以真正的这个过程其实就是二乘六，再乘六就完了，就这么简单啊。

哈喽，同学们大家好，今天丸子老师来讲风筝模型的一个证明过程，他的一个结论呢，也是通过等高模型推导出来的，适用于任意四边形。 好，那我们来看一下这个四边形 a、 b、 c、 d， 从图形可知呢，我们能够发现一号和三号是一个什么？是不是等高模型？ 那他们的一个面积之比就是等于对应的什么呀？是不是底之比，也就是 a e 比上 ec 好， 那么一号比上三号就等于 a e 比上 ec 好， 那同理，二号和四号他们也是一个等高模型，那么二号与四号的面积之比也是等于 a e 比上 ec 的， 这里的 a e 和 e c 是 属于一个什么最简整数比啊？最简整数比 好，那么在这里我们可以分别假设一号与三号，二号与四号，他们在化简之前都分别有一个共因数 x 和 y 好， 那 倒退还原回去，把共因数乘回去，那么就是 a e 去乘什么 x ec 去乘 x， 同理，二号和四号就是 a e 乘 y， ec 乘 y 好， 最终我们可以将等式的左右两边分别相加，我们就可以得到，一号加上二号比上三，哎，三号加上四号 就等于 a e x 加上 a e y 比上 e c x 加上 e c y 好， 我们会发现 a e x 和 a e y 都有一个共因数。什么啦？是不是 a e， 那 我们可以提取一个 a e 好， 那么还剩括号里面还剩 x 加上 y 比上好，那这里他们有个共因数是变成了 ec， 那 同理，我们可以提取一个 ec 好， 那么括号里面还剩 x 加 y 好， 那这个时候来 比的前面和后面都有个共因数是什么了呀？是不就是 x 加 y？ 那 我们可以同时把 x 加 y 怎么办？是不可以抵消？好，那最终的一个面积之比就等于 a e 比上 ec 了。 好，那么这个就是封着模型的一个证明过程。好，那么封着模型我们也可以把它叫做什么模型？叫做肉串模型啊。肉串模型。 好，那么其次老师也来讲一下封着模型的一个常考题型， 它呢可以分成两类，第一类就是由线段比 去求什么去求面积，第二类就是由面积比去求什么求线段 好。最后复杂一点的风折模型练习题的话是需要我们去构造才行的，那它的核心就是去构造 四边形加上对角线。 好，那这里老师就已经把这个证明过程就已经讲完了，觉得有用的话就给丸子老师来个点赞和关注吧，谢谢了。

今天呢，我给大家讲明白风筝模型啊，风筝模型它的难度系数呢，大概是在两颗星，这个风筝模型怎么来的呢？它也是从等高模型推出来的啊，先给大家画一下风筝模型，就比如说我随便画一个四边形，很随意的画一个四边形，然后呢把这个对角线一连，那么连完以后呢？假如我现在告诉你啊，上面这条线段的长度是 a， 下面这条线段的长度是 b， 然后呢给这每个点起个名字， a、 b、 c、 d， 好， 我们可以得出什么结论呢？就这相当于是一整个风筝像一个风筝的一个形状，那么这个风筝上半部分的三角形 s， 三角形 a、 b、 d， 它和下半部分的三角形 s， 三角形 cbd， 它们的面积之比呢，是等于这两个风筝的这个骨架的长度之比，也就是说等于 a 比 b， 这个怎么证明呢？这个其实非常好证明啊，我们给大家把这些三角形给它编个编号，比如说一二、 三四。好，我们现在来证明一下，为什么上下这两个大三角形的面积之比等于这个风筝的骨架之比， 那我们根据等高模型来看一下啊，等高模型的话，你看啊， s 一 和 s 二，他们两个，如果从这个顶点 b 来看，他们是不是同一个顶点， 对吧？同一个顶点，然后呢往这个底边画一条垂线，那么他们的面积之比是不是等于底之比啊？所以我们可以先得出第一个啊，就说 s 一 比上 s 二是等于 a 比 b 的， 这个大家如果正着看，看着看，这是 b， 这是 a， 是 c， 这个长度是 a， 这个长度是 b 啊，那你看这是不是我们刚刚讲的这个等高模型？就是点 b 是 他们的顶点，然后呢，这两个三角形他的高明显是相等的，那么他们的面积之比，这个第一个三角形和第二个三角形的面积之比，很显然是跟他们的底边的比是相等的，对不对？你这样看就舒服了啊， 竖着看，可能大家看的没那么习惯啊。好，我们可以先得出 s 一 比 s 二等于 a 比 b， 同样的，我们还可以得出什么呢？还可以得出 s 三比上 s 四，大家看是不是也是 a 比 b 啊？因为 s 三跟 s 四，他们也有一个共同的顶点点 d， 也就说他们也是等高的，因为从这个地点呢，往这边画一条垂线，这个就他们的高，他们的高是相等的， 那么高相等的情况，下面几支笔就等于底支笔，你也可以把它给斜过来看，所以 s 三跟 s 四呢，也等于 a 比 b。 那 么接下来我们怎么样证明一加三 和二加四的比也是 a 比 b 呢？那你看嘛，整个三角形 a、 b、 d 就是 一根三的和，然后 c b d 呢，是二根四的和。那接下来我们就可以来取个特殊值，比如说啊，我们就把这个一跟二呢，给它设成 a x 和 b x， 这样子就相当于是给它赋予了一个数值，这个数值的大小，当然我们用了一个字母 x 来表示 啊，这个 x 可以 是任意的一个确定的数。那我们把这个 s 三跟 s 四呢，把它的面积给它设成什么呢？因为它的比例关系是 a 比 b， 我 就把它设一个设成 a y， 一个设成 b y 啊，这个 y 也是一个确定的数，对吧？因为这个大小呢，得看它的具体大小。那么接下来你看啊，我们想求的这两个三角形， a、 b、 d， 它的大小其实是由一跟三组合在一块的，对吧？那一是 a x， 三是 a y， 那 我就把这两个加在一块，同样的 c、 d、 d 下面这个三角形，它是二跟四相加， s 二呢，我把它的大小设成了 b x s 四呢，我把它大小设成了 b、 y， 那 么把这两个加在一块，那么它们相加能不能化简出这个呢？显然是可以的，因为我们可以来个提取工艺 数，把这个 a 给他提出来，里面是 x 加 y， 把这个 b 呢也给他提出来，里面还是 x 加 y， 那 么大家看 x 加 y， x 加 y， 怎么着啊？就抵消了，是不是就推导出了它的面积之比，确确实实也是 a 比 b， 这就是这个风筝模型。当然风筝模型除了第一个结论之外啊，还有一个小结论是什么呢？就是 两个对角的这类两个三角形，它的面积的乘积也是相等的，也就说 s 一 乘 s 四，它是等于 s 二乘 s 三的。这个结论也非常的简单，因为 s 一 比 s 二和 s 三比 s 四都相等，是都等于 a 比 b， 对 吧？我们写一下啊， s 一 比上 s 二 等于 s 三比上 s 四，他们的比例关系都是 a 比 b， 那 么根据我们的这个比例方程，这两个既然是相等的，那比例方程里面交叉相乘积相等，那你看一乘四等不等于二乘三呢？ 显然是等于的，对不对？我们学过这个比例的时候啊，解比例方程的时候，交叉相乘积相等，所以这个结论其实非常的好推导。那么风筝模型基本上是在我们的一些奥数题里面才会使用的啊， 平时在我们的一些常规的期末考试里面呢，大概率不会考到风筝模型这个结论，所以它的使用场景没有那么的广泛，我们把它的一个重要程度给到一个 n、 p、 c。

看一道小升初数学思维提升当中的图形面积问题当中的风筝模型，看一下例题，有两道例题，我们一道一道来， 先看第一道例题，是风筝模型的证明，看一下题目，如图，四边形 a、 b、 c、 d 的 对角线， a、 c 和 b、 d 相交于点 o， 图在下面 形成的四个三角形的面积分别用 s 一、 s 二、 s 三， s 四表示啊，我们可以看到，这个呢，就是 s 一， 这个呢就是 s 二，这个呢就是 s 三，这个呢就是 s 四。 好，现在呢，我们要证明的是什么呢？就是 s 一 乘上 s 三跟 s 二乘上 s 四，到底是谁大？还是说相等？ 好，这里呢，其实 s 一 乘上 s 三是等于呢 s 二乘上 s 四的，也就是说呢，这样子对角相乘，它们的 g 呢，是相等的。好，这里呢，证明一下，为什么它们的 g 是 一样的。 好，现在呢，我们证明的时候可以这样子看，我们可以先看 s 四跟 s 三，然后呢再看 s 一 跟 s 二， 当然呢，就是这样子来看，也行，就是看 s 一 跟 s 四，然后再看 s 二跟 s 三，也可以两种都行。好，这里呢，我们就看这个 s 四跟 s 三，然后 s 一 跟 s 二。 好，现在呢，我们开始证明，首先呢，我们可以看到 s 四跟 s 三这两个三角形呢，如果以 a o 和 c o 为底的话， 那么很明显这个 s 四跟 s 三他们的高是一样的，就是我们的等高模型。 好，现在呢，如果是高相同的情况下，那么面积比肯定是等于底边的比的，所以这里呢，我们可以写一下，也就是呢， s 四比上 s 三，就应该是等于底边的比，也就是 a o， 然后比上呢，就是我们的这一个 c o 好，那然后 s 四 s 三我们已经写完了，接下来呢，我们就看 s 一 s 二，那么 s 一 跟 s 二这里呢，我们同样可以看出来， 也就是说呢，这两个三角形如果是以 a o 和 c o 为底的话，那同样呢，它们的高是同一条的，那也就是说高是相同的情况下，那么面积比肯定会等于呢底边的比，那这里呢，我们可以继续写， 也就是说呢， s 一 比上 s 二，就会等于它们底边的比，也就是 a o 比上 c o， 那 我们可以看到这里， 这个呢， s 四比 s 三是等于 a o 比上 c o 的， 那同样的 s 一 比 s 二也是等于 a o 比 c o 的， 那说明呢，就是 s 四比上 s 三会等于呢 s 一 比上 s 二的，那根据呢，我们比例的基本性质就是内向肌等于 y 肌，那也就是说呢，内向肌就是这一个，也就是 s 一 乘上 s 三 会等于呢 y 相机就是这一个，也就是 s 二乘上 s 四。所以呢，这样子就可以证明出来了，就是我们的这一个 s 一 乘 s 三是等于呢 s 二乘 s 四的。好，现在呢，这个第一题我们已经搞定了，就是我们风筝模型的这个证明。 接着呢，我们看第二题，第一题搞定的话呢，第二题就很简单了，如图，四边形 a、 b、 c、 d 被它的两条对角线分成了四个三角形， 其中三个三角形的面积呢，已经标在图当中了，也就是呢，这个的面积等于四，这个的面积等于六，这个的面积呢是等于八，我们要求的是三角形 c o、 d 的 面积，那很简单，这个交叉相乘，他们的 g 会相等的， 也就是说呢，我们的这一个四乘上呢三角形就是 c、 o、 d 的 面积应该会等于呢六乘八的， 那三角形 c、 o、 d 的 面积就很好求了，等于呢，四十八除以四就是等于十二的，所以呢，横线上我们填十二就可以了。

这是一道奥数题，百分之九十五的人没有头绪。给你三秒，你能秒吗？这一题我就拿捏拿捏，我们这个小保安。有啊，这不数学家吗？来来来来来来来来来，看看这题来。你又被学生难住了啊。对啊，你讲讲这题啊。哎， 风筝模型，哈哈哈，你也会啊？那必须会，来点我不会的。注意到，通过观察哦， 所以我能很快秒出，结果是三十五，怎么样彭老师，这就是传说中的瞪眼法。这题啊，根本就不需要数学家保安就能秒了。秒了，记得点点关注哦。

现在给大家介绍的是一个风筝模型，它和我们玩的那个风筝很像，这相当于是一个主体，然后旁边呢有两个那个风筝的那个小尾巴，看起来啊，那么它是怎么形成的呢？它是由一个在这个角 d、 a、 e 当中里面一个外侧的一个点 f， 那 么它会形成 a、 b、 f、 c， 一个通四边形啊， 四边形，那么它得到的结论就是左右两边的这两个相当于等了一个腋下，所以叫做腋下两角和，等于上下两角之和，那么它怎么证明得到的呢？有三个方法，同样用我们的内角和的一个方法，还有用外角的一个性质，比如说我们用内角和的一个性质，我们来看一下啊， abc 是 一个四边形，那么四边形的内角和，它是三百六十度的，那么三百六十度。好，接着我们来看它是角 a 表的角， 四边形的内角呢，是角 a 加角一，加角 f 加角二，它等于三百六十度。然后我们来换这一个蓝色的，就是我们的腋下角，开始 角三加角一，它是一个零角角的一个关系，零角角的一百八十度，统一角二和角四啊，它们两个也是零角，因此它们也是一百八十度，那么它们加起来的时候也等于三百六十度。 那么四边形 a、 b、 f、 c 当中也包含了角的角，那么同时去掉角的角的角三加角四，因此这个结论正确，这就是我们的一个内角和的一个性质得到，它是用内角和的形式证明的。接下来呢，我们用外角的一个性质把它证明出来。好，如果连接 a、 f， 那 么把这个角 a 和角 f 呢？分到角一、角二、 角三角四，再看角五、 角六连接 a、 f 之后，在三角形 a、 b、 f 左边这个三角形当中，角五是这个 a、 b、 f 的 一个外角，角五等于角一加角二。同理，角六是三角形 a、 f、 c 的 一个外角，那么角六等于角三加角四， 那么角五加角六，就等于角一加角二加角三加角四，也就是然后我们的角 a 加角 f。 所以 两个斑马都证明出来了，我们这个也就是两腋下之隔，等于上面加下面这两个角之隔，好，证明完毕。

沿界 f g、 e g 构造风筝模型三角形 g e、 c 与 d e、 c 同底不同高面积比等于高之比。一比四求出三角形一基地的面积等于三十七点五，三十七点五分成五份，每份等于七点五，阴影占四份等于三十。

这一题不会，离学霸还有十万八千里。题中将三角形 abc 的 角 a 沿着 d 做了一个折叠，让我们求新生成的这个角一和角二加起来等于多少度。 角 b 和角 c 的 度数我们知道的，那么在这个三角形 abc 当中，我们根据三角形的内角和可以轻松算出，角 a 呢，就等于四十度。 再运用一下这个折叠的条件，既然是折叠，说明这个三角形 a、 d、 e 和折叠后的三角形 a 撇 d、 e 它必然完全重合，那么这个角 a 撇实际上和角 a 呢是相等的关系，也等于四十度。 基本的条件都用完了，那么这个角一加角二等于多少度呢？这道题的特点啊，是在角 a 的 内部又产生了一个角 a 撇 这样的图形呢？在我们初中几何当中，有一个非常经典的模型叫做风筝模型，看起来很像一个风筝，实际上就是在一个角的内部又产生了一个新角，这个时候新生成的这两个角一和角二的和，就等于角 a 加上一个角 d， 证明起来也非常简单，我们只需要连接一下 a、 d， 这个三角形 a、 b、 d 中，角一呢是它的外角，那么这个外角呢，就等于不相邻的这两个角的和，我们把它标作角三和角四同样的道理，角二呢，就等于角五加上这个角六， 那么角一加上一个角二，实际上就是这四个角相加，不就是角 a 和角 d 的 和吗？这道题呢，实际上可以直接运用风筝模型的结论， 新生成的这个角一和角二的和就等于角 a 加上这个角 a 撇就等于四十度，加四十度就等于八十度。轻松搞。

各位同学，今天跟着徐老师学习风筝模型，风筝模型呢，有同学说，老师这就五大模型吗？哎呀，我当年学过，但是呢，哎， 但这个考点跟技巧是啥来着，我忘了啊，所以今天呢，我们把这个顺序变一下，先给你进行个知识点复习一会，聪明同学你可以自己尝试一下啊。好，来，那我们看一下啊，这个就是个风筝模型啊，风筝模型的简易画法是什么啊？首先随便画两个交叉线， 然后依次连接什么四个顶点， ok， 这个时候就构造了一个风筝模型啊，也就这个图形。好，那看一下啊，风筝模型的核心考点，第一个 铅之笔等于肉之笔，这在哪里哦，也就是我们说 a o 比 oc 啊，看，同学， a o 比上 oc， 这个就是一个铅字，你看穿过去了几个肉，两个肉，这个肉跟这个肉，所以我们叫它铅之笔等于肉之笔，也就是 a、 o 比上 oc 等于 a， b， d 等于 s 三角形 a， b， d 比上 s 三角形 b、 c， d， ok， 好， 记住啊，你能上下穿，那我这条这个签子是不是也可以左右穿？那我把这个擦掉啊，看，如果是这样穿的话，是不是 a， b， c 还有 a， d， c 没问题吧。好，那也就是我得到 b o 比上一个 o、 d， 它是不是就等于 b o 对 应的是不是 a 三角形 a， b， c 啊， 比上 o， d， o， d 是 不等对应 s 三角形 a、 d， c。 好， 这个是第一个核心考点啊， 好，同学，记住啊，好，第二个核心考点是什么？上下之积等于左右之积，这个啊，我在这里不证明了，你给我记住这个点就可以啊，也就是我们说什么 s 一 乘 s 三等于 s， 二乘以 s 四，看上下几左右几啊，就对应之几啊。好，所以第二个是 s 一 乘 s 三等于 s 二乘 s 四，风筝模型核心只要出出来，这是个风筝模型核心考点就这两个，没有其他的老师见过那么多题啊。呃，也没有见过再有其他的考法，除非综合题型啊。好，那 两个知识点考点你已经懂了啊，那我们现在回到这道题来做。好，现在看题， 如图所示，边长为六厘米的正方形 a， b， c d 中 e 为 a， d 边上的中点。 ok， 那 a e 比 e d 是 不是就一比一？ c f 等于二倍的 d f， 那 c f 比二倍 d f， 那 就 c f 是 二， d f 是 不是一？呃，就二比一啊？好， b f 与 c e 交于点， off 与 c e 交于点。 ok， 没问题，求 b o 比 off， 求 b o 比 off， 还有 c o 比 o e， c o e。 好了，到这里啊，需要我们同学具备一个什么体感能力，这个体感能力怎么出来的啊？就是你把平面几何那些题拎出来，尤其在最后冲刺关口，平面几何弱。同学，记住，平面几何这个专题的图拿出来，都看他怎么做的，辅助线你要一眼能看到，这样你要具备这种图感，在 真正考试中啊，你就会事半功倍啊。好，那你看这个老师在做这么多题，我得到了一个结论是什么？如果给我一个正方形或者长方形，无论怎么样，里面敢给我画两条线，我想到的第一个点就是连接四个端点， 构造了个什么，看看里面，这是不刚讲的风筝模型对吗？所以对我来说，第一点是干嘛构造风筝模型连接 b e 连接什么？ e f， 然后 f c b c 是 不都连过了？好了，那你看他说的 bo 比 off， bo 比上 off 是 不这条线呀？ 那 b o 比 o f 是 不是谦呀？对不对？那我 b o 对 应的是不是那个肉？是什么？ b e c 谁代表 b o 是 不是 b e c？ 我 可以这样理解。那谁代表 o f 是 不是 e f c？ 那 聪明同学，到这里啊，是不该你做了？那好，那看啊，那老师跟着把这个题给你做完看， 那 b c 这里是几啊？是不是等于六？ a 竟然等于 e d， 那 它是不是就等于六除以几啊？三厘米， ok， 好， 那 d f f c 我 也可求，我把 d f 跟 f c 也给你求出来。 d f 是 不是就等于？呃，六除以一个括号，二加一等于几啊？两厘米。好，那 f c 呢？等于六减二等于几厘米？四厘米。好了，我把这全部给它标上啊。 好，标上之后这个题就变得极其简单了，我用面积公式就全部皆可求啊。刚说了 b o 谁代表 b o 出战，是不？三角形？ b c e 谁代表 o f e f c？ 好 了，那求 b o 比上 o f 对 我来说， 那不就是三角形？ b c e f c 好 n 三角形 bce 是 不是六乘六？你看这个，这三角形底是六吗？刚是不是？这里刚本质就是这这块啊，所以是六乘六，干嘛 除以二。 ok， 好， 那 e f c 呢？ e f c 动角三角形，这底是不是四？高是几啊？三是不是有，全部都有，所以四乘三，干嘛除以二？好了，除二除二，消掉这消掉这是二二六十二十二除四等于三啊，也就是我们说了 b o 比 o f 等于多少？三比一。 ok， 好， 那这个就搞定， b o 比 o f 搞定了，那接下来看 co 比 o e， 嗯，这个同学肯定会了啊， co 比上一个 o e 好，谁代表 co 出战呢？看给我看，谁代表 co 出战是不？三角形 bfc 代表 co 出战，那谁代表 eo 呢？是不是 e f b？ 那 bfc 我 会求简单六乘四除以二对吗？老师，那 e b f 怎么求呀？ 笨呀，你想一想嘛， e b f， 如果说我把这个图形给你画到这里， 看这个图形给你画到这里啊，问你这个阴影部分怎么求？第一步，直观的概念，你会怎么去想？整体减空白对吗？我把这三个三角形算出来，用整体减掉，这个不就出来了吗？能理解吗？所以啊，同学，这个， 呃，这个不要忘了啊，整体减空白好了，那对我来说，那我就在这里直接写了啊啊， c o 代表 c o 的是 s 三角形 bcf 好， 那代表 o e 的 呢？是 s 三角形 e b f 好， n 三角形 b， 呃， b c f 呢？就六乘四除以二， ok， 那 代表 n 三角形 e e b f 的 呢？刚跟你说了，整体是不是减空白，所以整体正方形六乘六好，减空白先搞这里啊，三乘六干嘛？除以二 好，继续再减个三乘二，除以二好，再减个什么？六乘四干嘛？除以二。 好了，你把这个算出来，这个题不就搞定了吗？好了，那刚才知识点也代大家复习过了，最后还是一样留给你一道题。又看到了，哎呀，正方形里面是画两个交叉线，应该怎么做？好，在评论区告诉我你的答案。

四十八课中考数学常考几何模型。第十一个风筝模型，长得像风筝一样，角 a 加角 c 就 等于角 abc 加角 c、 d、 f。 为什么呢？可以连接 ac， 角 abc 就是 三角形 abc 的 一个外角，它等于这两个角的和。 同理，角 c、 d、 f 也是角，也是三角形 a、 c、 d 的 一个外角，那么它就等于它两的和，所以这两个角相加，等于角 a 加上角 c。 好， 在这样的一个方程里面，三角形 a、 o、 d 的 面积是 s 一， a、 o、 b 的 面积是 s 二， b、 o、 c 的 面积是 s 三， c、 o、 d 的 面积是 s 四，那么就有 s 一 比上 s 二等于 s 四比上 s 三。为什么呢？我们可以过 a 点做 b、 d 的 一个高 三角形 a、 b、 o 和三角形 a、 d、 o 分 别以 o、 b 和 o、 d 为底的话，它们的高相等，所以它们两的面积比 s 一 比上 s 二等于 o、 d 以上 o、 b。 同理，也可以过 c 点做 b、 d 的 一个高 三角形 c、 o、 d 和三角形 c、 o、 b， 它俩的面积比一样，等于 o、 d 比上 o、 b， 所以 就有 s 一 比上 s 二等于 s 四比上 s 三。 两内向的积等于两外向的积。我们变形一下就可以得到 s 一 乘 s 三等于 s 二乘 s 四，也就是上下的面积的乘积等于左右面积的乘积。风筝模型。