锐角三角函数北师大版板书

老师，你好，同学们，请坐。在之前的数学学习中，我们研究过很多几何图形，请同学们回忆一下，我们研究几何图形的思路是什么呢？ 王宇阳，我们可以从几何图形的定义、性质、判定和它的应用来研究。嗯，非常好，请坐。对于特殊图形，我们依次研究它的定义、性质、判定和应用。对于一般图形，我们研究它的定义、性质和应用。 那我们在研究几何图形的性质时，主要研究什么内容呢？何宇泽， 呃，我们在研究几何图形的性质时候，我们一般会从呃先研究这个图形的整体性质，就比如说他的对称性，呃，还比如，呃就是在研究他的局部性质，就比如说研究他的边角对角线等。 嗯，非常好，请坐。我们主要从整体特征和局部要素两方面来研究，局部我们主要研究它的组成要素，边角之间的数量关系和位置关系。但我们在探索得到几何图形的性质的过程中用到了什么研究方法呢？ 嗯，王思默，呃，在拿到一个图形之后，我们要先对它进行观察，在观察之后，我们可以对它进行折叠和测量一类的操作。在操作完之后，我们要对这个图形的一些特殊性质提出猜想，提出猜想之后要对这些呃猜想进行证明。嗯，很好，请坐。 那本章我们研究直角三角形的边角关系。对于直角三角形，我们从哪些方面研究它的性质呢？王思默， 呃，在边方面我们可以研究。呃，就是比如说呃他的两条直角边呃互相垂直，呃。然后在数量关系方面，我们探索出了比如说勾股定律， 还有一些特殊，呃，还有一些角的关系，比如说直角三角形内有一个角是九十度，还有两个锐角互余在边和角方面的关系。我们研究过，比如三十度角所对的直角三角形中，呃，三十度角所对直角边等于斜边的一半。 还有包括一些延伸出来的性质，比如斜边上的中线等于斜边的一半。嗯，非常棒，请坐，同学们还有补充吗？王思明，呃，在这个延伸直角三角形边的性质的时候，我们还有一个直角三角，还有一个三角形，它共性的性质就是任意两边之和大于第三个边，任意两边之差小于第三个边。嗯，很好，请坐 好。那这两个定力哪一个反映了直角三角形的边角关系呢？直角三角形从三十度角所对的角边等斜边的一半吧。好，那么这一定力反映了相关要素，中线和斜边的关系。 那这一定力反映了一种特殊的边角关系。当一个锐角是三十度时，它所对的直角边和斜边存在着特定的等量关系。那当锐角是其他度数时， 直角三角形的边之间还有这种确定的等量关系吗？那本章我们就来探索直角三角形的边角关系，并利用它解决实际问题。 下面我们借助刻画梯子倾斜程度的活动来探索直角三角形的边角关系。请同学们观察梯子变陡的过程。 我们怎样用数学的方式刻画梯子的倾斜程度呢？何宇泽，呃，我认为我们可以通过这个梯呃，梯子和地面的夹角来刻画它的倾斜程度。嗯，好，请坐。同学们，还有补充吗？ 段，一，如老师，我认为可以通过梯子底部距离强的距离来反应梯子的倾斜程度，嗯，很好，请坐。在数学中，刻画事物差异时，往往将其量化，比如用角的大小、线段的长度来刻画。 那我们将梯子与地面的夹角角 b、 a、 c 称为倾斜角， ac 为水平宽度， bc 为铅直高度。 好，下面我们来看这组梯子， a、 b 和 d e 哪个更陡呢？ d e 更陡，为什么呢？它的斜斜角更大。嗯，倾斜角的大小影响着梯子的陡缓。倾斜角越大，梯子越陡。 在生活中有时候并不容易测得倾斜角的大小，反而更容易测出铅直高度和水平宽度。同学们，再看第二组，我们测出了铅直高度和水平宽度，同学们有什么发现呢？ 他们的铅直度，哎，那我们怎么比较它的倾斜程度呢？我们可以将 d e 平移到 b、 m 的 位置，那角一就移到了角二的位置。此时我们比较 倾斜角角二和角三的大小，就可以比较两个梯子的倾斜程度。好，那角二和角三哪个角大呢？ 角二，嗯，五号星。通过观察，我们可以知道，这个角二是三角形 abm 的 一个外角，所以说角二等于角二大于角三。嗯，非常棒，请坐。 那么同学们，我们的结论是什么呢？ d e 更陡， d e 更陡。那我们发现，当铅直高度相等时，水平宽度越怎么样？梯子越陡，水平宽度越短。嗯，很好， 我们再看第三组，这组梯子有什么特点呢？嗯，那我们可以用同样的方法来比较平移 a、 b 到 e、 n 的 位置，然后比较 倾斜倾斜角，角二、角二、角三。嗯，角二大于角三。所以呢，所以 a b 等于 b， d 等于 a b， 嗯， ab 更陡。好，那么我们发现，当水平宽度相等时，牵直高度越长，梯子越陡。好，那么我们就发现了，当水平宽度相等或牵直高度相等时，我们只需要比较另一个量即可。 那这组梯子的倾斜程度我们怎么比较呢？ 韩语说，我认为我们可以把 t s d e 它的水平宽宽度和铅直高度同时乘以二。嗯， ok， 然后呢，是它们的， 他们的水平宽度统一，同人比较牵制高度，就可以得出那个梯子更陡。嗯，好，请坐。他提供了一种思路，将水平宽度乘二，那牵制高度也乘二，这样的话， 原来的三角形和现在的三角形相似，相似，那二和三乘以二以后就是 四和六。哦，所以这两个梯子一样的，一样的。嗯，那我们还可以从梯值高度与水平宽度的比值来看一看。梯值高度和水平宽度的比都等于 二分之三，二分之三，那比值相等，我们同样可以证明相似，得到梯子一样的结论。 好，那这一组梯子有什么特点呢？和前几组一样吗？不一样，不一样，他的梯子梯子高，水平宽都不相等。嗯，那笔直相等呢？也不相等，也不相等。 那这种情况我们怎么比较呢？请同学们自主探索，然后在小组内交流。好，开始。 好，下面我们请刘诗雨同学上来讲你的思路。 呃，我的想法是， a c 是 一点五，然后 e f 是 三，然后 e f 正好是 a c 的 二倍，所以就可以让呃 a c 同乘以呃 a c 和 bc 同乘以二，然后所以 a c 片乘以二是三。

好，那么今天呢，我们学习新的内容呢，用一种新的方式来进行啊，那么上新课之前呢，我们先来复习一下前面学过的直角三角形的一些性质。 好，第一个锐角尖有什么关系？就是相加五十。好，第一个，第二个边有什么性 质？勾股，勾股，定点，按上面的字母的话是 a 八，哎，对，没错，那么现在在这个角位的位置，我给他增加一个三十度，请问哪两条边有关系？ a 跟 c， a 跟 c， a 是 三十度的对边，就是对边跟斜边，刚好是几分之几，二分之一。哎，二分之一，那我们说三十度的对边是斜边的一半比值就是三十，对边比斜边等于二分之一。好，那么现在马上看你们选项，完成前面的三道题。 好，那么接下来可以了啊，我直接口答，第一道题多少度？六十五，第二道题三道四。哎，非常好，那这三道是刚刚我们练习的三个定义啊，三个性质。好，那么现在大家看一下这个三角形啊，看这个三十度的直角三角形。好，大家注意观察右边左边的三组数据啊。 好，请问什么在发生变化？就是三角形的大小发生变化，什么发生什么？不变，笔直不变。那么大家觉得这个笔直不变是由这个三角形中的哪部分因素决定呢？你们觉得角 角度吧，是什么角度？三十就够了吗？九十，哎，对，还有九十。那我们说其实九十度的话，是不是可以想，可以理解为这个比值不发生改变的话，应该是在什么三角形当中产生直角三角形，而我们也看到也 猜到，在这个三角形的大小发生变化的情况下，这个三十度是不是一直是保持不变？所以他这个比值永远都是零点五，是不是这样我们可以猜测到，所以有了这个猜测我们就有了一个大胆的猜想啊，大胆猜想。在直角三角形当中，当锐角 a， 对角 a 取一个确定的度数时，它的对边与斜边的比值是一个固定值啊，那么这个我们可以猜想一下，那到底是不是呢？我们想想，如果把这个三十度我改成别的度数，那么它的对边跟斜边的比会不会也是一个定值？好，那么大家看一下我们手上的电脑啊，用我们的几何画板来验证一下是不是可以 做好了同学可以对照一下你们同组的两台电脑，看一下你们的笔直是不是都是一样啊？做好之后把你们得到的笔直写在黑板上啊，写在黑板上 好，写上去。写上。把笔写上。 甩一下，芒果甩一下。炸， 看见没， 红笔在那里，别拿红笔。这个 做好的同学也可以讨论一下。小组内啊，你们能够发现什么啊？也可以像我刚刚一样改变一下三角形的大小。你们觉得发现了什么规 律？ 谁老婆谁老婆。把你们发现的规律写下来啊，写在圈上。 小组内可以讨论一下啊，你们发现了什么规律？度越大笔直越大，怎么会是角度的笔直越大？别走， 不要想笔直。 哎，要不要用啊？不要。 咳咳。唉，你哋唔写清楚唔得 㗎？ 写清楚抄返个相畀我拆咗好，抄返我拆咗快写畀我哋写啦。咩啊？ 冇玩 𠮶 啲咩啊？冇玩 𠮶 啲咩啊？ 好，大家看一下这里， 这个是其中一个同学发现的一个规律啊，任意放大或缩小三角形的三边长度，它们的对边与斜边的比值是不变的，行不行？不行，比值不变的确是，当然我们大家看到，但是这个比值不变，觉得有没有什么条件？那什么条件啊？哎，对了，在直角三角形当中，没错，还有没有什么条件？呃， 有一个角怎么样？有一个角是保持不变吧，所以刚刚你们在画图当中，这二十三度是不是一直保持不变？所以的笔直零点三九，不管你怎么拉大，他笔直有变化吗？没有，三十七度是 不对了，所以在写法当中应该要写完整。好，这是第一个同学，那第二个再看一下第二个，他们找到是这个。哎，这个其实两个合在一起，刚好在角度固定时，他看到了。角度固定吗？固定时对边与斜边的笔直是不变，那么他其实是缺了一个什么条件 在直角三角形中，所以刚刚那个同学跟这个同学合起来，那是不是就已经是完整了？哎，对了，所以呢，这个是我们通过几何画板啊，几何画板找出来的一个规律，拿计算机的形式去验证。 那么这个规律我们可以简单说为，在直角三角形当中，当锐角角 a 的 度数一定时，无论这个直角三角形的大小如何，角 a 的 对边与斜边的比都是一个固定值，知不知道？那么这个是用现代化的手段去验证的，那么就想我现在只拿了几个角，如果我没有告诉你那个角是多少，你能用数学的原理去证明这个定律吗？ 好，那我们看一下下面的探索啊探索在阿迪三角 a b c 和 d e f 中角 c 跟角 e 九时 a 跟 d 相等那么这两个比值会不会相等。 组长可以帮一下自己的组员啊你可以互相讨论一下。行可以啊都可以啊 组长可以带一下组员啊 可以吧。好， 嗯 啱啦可以呢呢个再写成 𠮶 个对称形式就可以啦。系 好我们看下这两个同学的单。 好，这是第一个大家看出来他是用什么方法做的吗。相似那我这里再问多一句为什么你们会想到相似两个角相等哦两个角相等那是证明相似的方法但是为什么这道题你会想到相似哪里有没有提示哎对了非常好。是不是那个 笔直是是不是这个笔直在我们前面一张学习相似当中是不是只有相似笔才会这个笔直？是所以我们当然是想相似啊那么看下这个同学相似对吗？对， 会不会条件多了会。其实原理当中这部分有没有错因为三角形的内角和怎么样是一样的所以两个角相等就相当于三个角相等但是相似当中我们只需要多少个对了两个角相等所以他的答案其实对就是多了一步啊多了一步好，那么另外一个同学的我们看一下啊 另外一个那这个就比较标准了啊 a 等于 d 小 c 等于角 e 等于九十相似然后相似比十相等好，那么从这个地方我们就应该是得到刚刚我们的猜想在直角三角形当中如果有一个锐角是固定了那么这个锐角的 b 跟斜边的比值，对边跟斜边比值会不会改变？不会就是一个固定值吧？所以用电脑我们验证了，用数学知识我们也验证了，所以这个就是我们直角三角形当中的一个规律啊，一个规律好，然后大家再看一下这个，这个表格，刚刚你们填的这个表，好，那你们发现了什么呢？首先一个大家看一下，随着度数慢慢的增加， 这个比值有什么变化，一样大，一样增大吧，那增大你们觉得应该是趋向于接近哪里接近一吧，哎，接近一吧，哎，没错，相当好。那么第二个大家看一下，当这个角位的度数确定了二十三度的时候， 有多少个比值跟它相对应？有啊？二十三度比值零点三九，三十七度的时候零点六，那么这种我们是不是叫做叫做一对一的关系啊？那么在数学当中这种一对一关系我们是叫做什么？函数，哎，对了，函数关系没错啊，那么就今天我们讲的锐角三角函数也是从这里来的啊，这里来的。好，那么这个 我们先来看一下，我们这个根据我们得到这个规律啊，我们就得到我们今天的第一个概念啊， 就是叫做正弦啊，它就是我们其中的一个锐角三角函数啊，那什么叫正弦呢？根据刚刚的规律啊，首先一个先看一下这里角 a 的 对边我们记作小写 a， 角 b 的 对边记作小写 b， 角 c 的 对边记作小写 c。 那 等下这些对边跟斜边就用这些小写字母来表示啊，我们怎么表示呢？ 在 r、 t 三角形中，角 c 等于九十，我们把锐角 a 的 对边与斜边的比值，那么刚才这个比值是不是一个固定值？所以我们把这个比值定义为角 a 的 正弦，那怎么记住呢？用字母 s i n 读作 sin a， 一起读一下，三 a， 三 a 对 了，那么三 a 等于什么呢？看一下写吧，三 a 等于角 a 的 对边比上斜边，那用字母就是 a 比 c 好， 那我再问一句，如果我现在换一下，如果让你出三 b 的 话 怎么办呢？会不会写会。三 b 是 等于什么？那我需要改的是哪一部分？因为它是笔字吗？是分子改变还是分母改变？分子，分子就把角 a 对 边改为角 b 的 对边，然后分子就只有一条，那如果用一个小写字母的话，是谁比谁 对了？ b 比 c 没错，所以我们要求哪一个的正弦，就看清楚它到底是哪个角啊，哪个角度好，那这个是它的一个正弦啊，正弦。那么刚才我们是不是求了一个二十三度啊？求二十三度。如果现在我写 sin 二十三度的话，你们觉得答案应该写什么？ sin 二十三度， 哎，对了，就刚好就是零点三九，因为这个就比值嘛，正弦求的就是一个比值，对边跟斜边的比值，那么它的答案答案就是零点三九啊，零点三九。好，让我们看一下后面。好，我们看一下这个立体， 在 r t 三角形当中，角 c 等于九十， 求三 a 和三 b 的 值啊。那么求这个，首先一个我们怎么做？应该怎么想？首先是不要先确定什么，因为我们的公式当中要求的是对边跟斜边的比值，那么看这个图，我们有个三，有个四，就缺了什么？ 斜边？缺了斜边吧，那斜边能直接口算吗？刚好是多少？五？刚好五，一共五数是三四五，所以三 a 的 话，请问是谁的对边跟斜边的比 角？ a 的 对边与斜边的比？好，那这是例题，我们看一下啊。写法当中第一个，首先先把 b 先出来二十五，然后三 a 就是 bc 比 ab， 那 先把公式先写出来啊，写完再把数据带进去，那就五分之三，那么三 b 的 话，那就应该是多少， 那就应该是谁比谁四比五。对了，因为三 b 的 话对边是 ac 嘛，是不是？所以三 b 的 就这个好，然后下面大家看一下，求三 a 和三 b 根据我的过程来写啊啊，就是立一立一下面那个第二题 跟着我的立题写写那个格式啊， 这个没化解啊，化解一下它分叉不能放分母， 做完那道题目的，就马上给把 a 主题的前三题给完成啊。前三题。 好，我们看下这个同学答案啊，这很快，你们啊基本上都可以了。好，先看答案对不对？ 对，那我就觉得奇怪了，三四五不是一个组合吗？斜边我觉得应该是四啊，勾股竖当中的三四五，五一定是怎么边？斜边，但是现在五是跑哪去了？直角边，哎，所以这个位置呢，一般同学还是不错的啊，我没看到有人写的五啊，等于根号三十四，好，结果对不对？对，好，那这次你们觉得对是吧？好，我给你再看第二张，你们觉得哪个写的格式应该好一点？ 这是第二个同学，你们为什么觉得第二个会好一点？步骤比较什么？比较完整是吧？那好像他步骤好像又缺了点什么，哎，对了，为什么一定要加阿梯三角形？因为阿梯三角形 第一个，由于勾股定律必须是在 r t 三角形当中使用，第二个，你的三角函数也必须在 r t 三角形也是这样在一起吗？所以两个合在一起，那这个前提是必须要写出来。对了，那所以这个位置它就缺了一个，但是它在写求三 a 和三 b 的 时候又比前一个好，因为他先写了什么， 是不是先把那条公式先写出来，是哪个对边跟斜边，写完了再把数据带进去，那这样是不完整一点，严谨一点。所以呢，我建议大家是用这个是稍微好一点，不过这个同学就缺了一个 r t 三角形啊，好，那么这个是前面几好，然后我们看后边的 a 主题啊，直接我们对，那么这个同学做的很快啊，你们看下行不行啊？跟你们答一不一样， 第一个，第一题答案选 a， 哎，对，没问题，翻过来第二道，第二道题答案是选择刀，有没有问题，没有吧。然后第三题 a， 那 么今天我们画的图，其实就是不管他怎么拉，笔子怎么样，笔子是不变的，非常好。好，那么现在重点大家看下，能力提升的立体 这道题我就不会做了，我就不会做，你们有没有谁教一下我怎么做？因为我有个疑问，我找不到一个直角三角形怎么做？ 好，这里我请个人上来给我们展示一下啊，教一下我啊，我也不会啊，因为我只有一个问题，第一个，你现在求的是不是三角 b？ 那 三角 b， 我 们说刚才求三角函数当然是在什么三角形，直角三角形吧，但是我看来看去 a b c 都仅仅只是个什么三角形。钝角钝角三角形，那三角 b 求这个这个我就觉得奇怪，哎。不行， 不会做，找不到，找不了对边也找不了斜边公式成立不了。那我就三眼皮做不出来了自己做，哎。那怎么办画一个对吧。好，我请同学给我画一下。你怎么给我构造这个三角形就可以把这个三角形求出来啊。来小木来试一下你是如何构造这个三角形。直角三角形 整个画出来整个直角三角形用红色。对，嗯好， 行不行。行吧那。哎直角再找到了的确是那边没有啊。哎。数格子，哎没错，格子都这样。那数格子的话这段是多少四然后这个也是四吧。这个就可以用公母定律吧。哎。四倍根号二所以这个三 b 的 答案就等于什么 四。比上四倍根号二那就是根号二分之一，哎，没有没有，哎。因为我们说根是不能够分母还有根号吧，所以化简的话结果是多少二分之根号二啊。所以答案是选什么，哎选 b。 那 我想问一下是不是只有这一种方法是还有没有第二种。我说我不想那个角尖那么大我想小一点行不行啊。小一点，各位好， 哎小宇试一下，你画一下。哎。用绿色吧。我不想那么大我想小一点，看下答案是不是一样的。 嗯好好，他画的也是这样行吗这样行不行？行一样的吧。这个是二吗？这个二这个是二，别跟他二一比的话是不是还是这个答案，哎对了还可以再小再小就大了，哎，就一格，哎，对了，非常好，那是不是就这边小小的， 哎，对了，非常棒啊，不错啊。好，那么这个呢，从这道题当中，其实我们可以发现一个，如果我要求三角函数，但是那个角不在直角三角形当中，但是我一定要求他，那就叫做，那就变成叫做一个直角三角形，哎，没错，好，那么大家现在马上看第四题，看第四题，看第四题怎么做。学会了这个例题方法，那第四题怎么做？ 他也是好像没有直角三 角形啊。 嗯，好的，一样， lily 哥的，我知道，还有这个答案，我中了一个答案， 好，给我，我要你的图， 老师，是这个吧？对，对的对的，这个忘了化简是吧，不过好像不对啊，对啊，这是图是对的，图是对的。 好，我们来看这题啊。呃，先看其中一个同学画的图，那这个同学呢？还没做出来啊，不过他的图呢，我觉得值得有一个参考。 呃，先别说怪怪的啊，你们先说他，首先是画这个图，有点感觉像什么三角形，直角，也就是说他很明显知道三角函数必须在直角下边使用，所以他画的时候就先入为主，我要先画个直角，但是你们觉得奇怪，如果是直角，这条是不是斜边？斜边跟直角边不是一个长度吗？怎么会？这两条边是相等的，所以这个时候就变成在画图当中，一定要记住这道题，其实我只是知道什么三角形， 等等腰三角形，那所以只有等腰三角形，怎么能画成直角呢？是不是？所以真正的图就我们应该是怎么画，我们应该是不是画成这样？ 哎，那这个同学画出来画的是不是刚好三三二？不过大家没发现他中间画条线，虽然他没有直角号，但是我看到这里写了个一，我就知道他应该是直角，为什么？对了，等腰三角形有三线合一吧，所以二的一半是不是一一三，那这个是不是，哎，他写了个他这里写的刚好吧，然后你要求的三 b 的 话，他就直接怎么样， 三 b 就是 对边比斜边，那就是根号八除以三，是这个答案对吗？对吗？不对，哪里不对？方法是对的，因为根号八还要怎么样化减，它是等于二倍根号二，所以答案这个是不是还缺了一个化减？所以这个同学非常可惜啊，非常可惜啊。 好，那所以答案我们看这个答案就应该就是这个，你们答案是不是这个三分之二倍根号二，那这个同学在做的时候是不是这个地方也写了二倍根号二，所以他就不会错，所以根号八的同学注意一下啊，注意一下。好，那么这个呢？也验证了，等一下，如果没有直角三角形，我们一定要算正弦值的话，必须要构造直角三角形啊。好，然后下面我们看下题，看第五题， 第五题有没有哪个同学可以快速的帮我解决呢？快速的方法耶， 唔系我张券嚟嘅，我哋 𠮶 个系根好白 㗎。 嗯， 𠮶 张 时间关系。我先请个同学先说说这题啊，他已经解出来了， 这道题我答案是选选 c 的， 然后我的方法是这样子的，呃，他说是三角 a c d， 也就说是这个角， 这里一共是有三个直角三角形，所以，呃，三个直角三角形，所以三个直角三角形是相似的， 所以这个角等于角 b， 那 这里我们就可以写成是三角 b， 嗯，因为 ac 是 四， bc 是 三，所以勾股数的话， ab 是 五， 嗯，三眼是脚，三眼，脚 b 是 脚 b 的 对边与鞋边一起的。答案就是，你们听得懂吗？ 从我开始呢，我已经听到有人说为什么他是相似的，其实答案是没错啊，为什么相似？这个图当中是不是前面一张我们学习相似三角形，这个直角三角形鞋边上的高，知不知道这里出现的三个直角三角形全部是相似的吗？用两脚相的就可以了。那我现在这里擦一擦啊，鞋怎么是相似呢？很简单，这个，比如说这个脚跟，这个我们先看这个三角形， 跟这个大的，哎，对了，跟这个大的，跟这个大的 a、 b、 c 三角形 a、 c、 d， 跟我们的三角形 a、 b、 c， 首先角 a 是 不是应该是一个公共角，是吧？然后再加上这个是不是九十， 这个大是不是九十，那相似吗？相似，那相似对应角是不相等，那相等的话，这个角是不是等于这个角，那就错了啊，所以这个是相似，那相似的。我们先想想，好多人在下面就在想，这到底怎么做啊？没有对边跟斜边，那其实有没有看到三 a、 c 的 在这个角，在我们不能够求这个的对边跟斜边的时候，我们能换一种思维， 换一个跟它相等的角算一下，因为这个 a、 c， d 的 角是不是跟角 b 一 样，所以我要求三 and a， c， d 是 不是可以把它直接改为求三 and b 的 值？因为角 b 跟 a、 c、 d 的 值是一样吗？那换了这个是不是一样可以求出来？所以变成角 b 的 话，那角 b 的 对边跟斜边有没有呢？ 有了，这个是四三。那这道是什么？五，所以三 b 答案就是五分之四，所以这个答案当然就是五分之四，所以这个就是一种比较简练的方法啊。所以刚才我说有没有人快速能解答这道题？好，那么现在，呃，学到这里呢？我们先暂未暂落。啊。那我们这节课学了什么东西？数学上函数，我第一个学的一个政弦公式是什么？ 三三 a 是 等于角 a 的 对边比上斜边。第二个正弦必须是在什么三角形当中使用 r t 三角形。如果没有 r t 三角形，但我一定要求这个正弦值，这个表对了，自己构造直角三角形。好，非常好，好，下课。

达到一个图形之后，我们要先对它进行观察，在观察之后我们可以对它进行折叠和测量一类的操作，在操作完之后，我们要对这个图形的一些特殊性质提出猜想，提出猜想之后要对这些，呃猜想进行证明，嗯，很好，请坐。 那本章我们研究直角三角形的边角关系。对于直角三角形，我们从哪些方面研究它的性质呢？王思默， 呃，在边方面我们可以研究，呃，就是比如说，呃，他的两条直角边啊，互相垂直 啊。然后在数量关系方面，我们探索出了，比如说勾股定力，还有一些特殊，呃，还有一些角的关系，比如说直角三角形内有一个角是九十度，还有两个锐角互余。 在边和角方面的关系我们研究过，比如三十度角所对的直角边啊，这在还有三十度角直角三角形中啊，三十度角所对直角边等于斜边的一半。还有包括一些延伸出来性质，比如斜边上中线等于斜边的一半。嗯，非常棒，请坐。同学们还有补充吗？ 彭思明，呃，在这个研究直角三角形边的性质的时候，我们还有一个直角三角，呃，还有一个三角形，它共性的性质就是任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。嗯，很好，请坐 好。那这两个定力哪一个反映了直角三角形的边角关系呢？直角三角形从三十度角所得的直角两边等于斜边的一半吧。好，那么这一定力反映了相关要素中线和斜边的关系。 那这一定律反映了一种特殊的边角关系，当一个锐角是三十度时，它所对的直角边和斜边存在着特定的等量关系。那当锐角是其他度数时， 直角三角形的边之间还有这种确定的等量关系吗？那本章我们就来探索直角三角形的边角关系，并利用它解决实际问题。 下面我们借助刻画梯子倾斜程度的活动来探索直角三角形的边角关系。请同学们观察梯子变陡的过程。 我们怎样用数学的方式刻画梯子的倾斜程度呢？ 何宇泽，呃，我认为我们可以通过这个梯呃梯子和地面的夹角来刻画它的倾斜程度。嗯，好，请坐。同学们还有补充吗？ 段一，如老师，我认为可以通过梯子底部距离强的呃距离来反映梯子的倾斜程度。嗯，很好，请坐。在数学中刻画事物差异时，往往将其量化，比如用角的大小、线段的长度来刻画。 那我们将梯子与地面的夹角角 b、 a、 c 称为倾斜角， ac 为水平宽度， bc 为铅直高度。 好，下面我们来看这组梯子， a、 b 和 d e 哪个更陡呢？ d e 更陡， 为什么呢？倾斜角的大小影响着梯子的抖缓，倾斜角越大，梯子越抖。 在生活中有时候并不容易测得倾斜角的大小，反而更容易测出牵直高度和水平宽度。同学们，再看第二组，我们测出了牵直高度和水平宽度，同学们有什么发现呢？ 哎，那我们怎么比较他的倾斜程度呢？我们可以将 d e 平移到 b m 的 位置，那角一就移到了角二的位置，此时我们比较 倾斜角角角二和角三的大小，就可以比较两个梯子的倾斜程度。好，那角二和角三哪个角大呢？ 角二，嗯，五号星。通过观察，我们可以知道，这个角二是三角形 abm 的 一个外角，所以说，角二等于角三加角 abm， 由此可知，角二大于角三。 嗯，非常棒，请坐。那么同学们，我们的结论是什么呢？ d、 e 更陡。那我们发现，当铅直高度相等时，水平宽度越怎么样？梯子越陡。嗯，很好， 我们再看第三组，这组梯子有什么特点呢？嗯，那我们可以用同样的方法来比较， 平移 a、 b 到 e、 n 的 位置，然后比较 倾斜角，倾斜角，角二、角二、角三，嗯，角二大于角三。所以呢，所以 a、 b 等于 b， d， 嗯， ab 更陡，好，那么我们发现，当水平宽度相等时，牵直高度越高， 越长，越长，长，梯子越陡。好，那么我们就发现了，当水平宽度相等或牵制高度相等时，我们只需要比较另一个量即可。 那这组梯子的倾斜程度我们怎么比较呢？ 韩玉书，我认为我们可以把 t 子 d、 e， 它的水平光宽度和铅直高度同时乘以二。嗯，然后呢，是它们的， 他们的水平宽度统一，从而比较牵制高度，就可以得出哪个梯子更陡。嗯，好，请坐。他提供了一种思路，将水平宽度乘二，那牵制高度也乘二，这样的话， 原来的三角形和现在的三角形相似，相似，那倾斜角 相同，那二和三乘以二以后就是四、四和六。哦，所以这两个梯子一样陡，一样陡。嗯，那我们还可以从尖值高度与水平宽度的比值来看一看，尖值高度和水平宽度的比都等于 二分之三，二分之三，那比值相等，我们同样可以证明相似，得到梯子一样陡的结论。 好，那这一组梯子有什么特点呢？和前几组一样吗？不一样，不一样，他的梯子梯子高，水平宽都不相等。嗯，那笔直相等呢？也不相等，也不相等。 那这种情况我们怎么比较呢？请同学们自主探索，然后在小组内交流。好，开始。 好，下面我们请刘诗雨同学上来讲解它的思路。 呃，我的想法是， a c 是 一点五，然后 e f 是 三，然后 e f 正好是 a c 的 二倍，所以就可以让呃 a， c 同乘以呃 a， c 和 b c 同乘以二， 然后就把它的水平嗯宽度，嗯，扩大到相同，然后所以 a、 c 撇乘以二十三， b 撇 c 乘以二就是八， 然后就可以，嗯，转化到那个，呃，它的水平宽度相同，比那个铅直高度，所以它的 b， 嗯， b 撇 c 应该是大于 d、 f 的， 所以我认为是第二个梯子更陡一些， 同学们认同吗？认同。嗯，好。呃，同学们，这位同学选择了将一点五米化为三米，转化为了水平宽度相等的情况，然后比较 牵制高度。哦，那老师想问你，嗯，本来是比较 a、 b 和 d e 的 倾斜程度，为什么可以转化为比较 a 片， b 片和 d e 的 倾斜程度呢？呃，因为他那个 b， a， c， 嗯， b a。 呃，三角形 b， a， c 和 d e， f 它是那个相似的，然后扩扩大之后两个就是， 嗯，嗯，三角形 b， a、 c 和三角形 b， a， c 和 d e， f 三角形 d， e、 f 是 相似的，是，嗯，同学们有补充吗？ 好意思。呃，老师，我认为应该是三角形 b， a、 c 和三角形 b 撇 a 撇 c 是 相似的。 呃，因为它呃都有一个公共角，是角呃，呃 b 撇，呃 b 撇 c a 撇， 而且他们经过扩背之后，他们的呃 b 撇呃 b 撇 c 和 a 撇 c， 呃，仍然，这个是成成比例的。所以说，我认为，呃，三角形 b a c 和三角形 b 撇 a 撇 c 是 相似，认同吗？ 哎，好，没关系。哎，那这样相似了以后，好，请坐。相似了以后，我们的倾斜角 b a 和 b 撇 a 撇的倾斜角 相同。哎，所以我们比较的时候不改变倾斜程度，我们仍然可以比较。哎，非常好，请回， 好，那我们再请彭芮从同学来展示他的思路 就是，我的想法就是，呃，因为这个 e f 是 等于二倍的 a c， 然后我的想法是，呃，把 e f 缩成一半，就是 呃，这个 m f， 它只是等于 a c 的 都是一点五，然后这个时候它们的水平宽度相同。呃，因为这个 d e f 这个相似于三角形 m m n f， 所以 我们这个它的倾斜角度改变，我们就可以通过比较 m n f 和。呃，就我们就可以通过 比较 m f 和 b c 的 大小。呃，最后来判断那个梯子更陡。呃，因为 b c 等于四， m f 等于二点五，呃，所以呃， b c 大 于 m f， 这个梯子 b a， 也就 呃他的倾斜程度也要低，就是大于第一的倾斜程度。嗯，讲解的非常清晰。那我们发现在这种情况下，我们可以通过缩小或者放大直角三角形大小转化为高相等比较宽，或者宽相等比较高。 那通过以上五组梯子倾斜程度的比较，我们可以发现倾斜角的大小可以比较梯子的倾斜程度。那当不能测量倾斜角时，我们只需要转化为 水平宽度相等时或牵制高度相等的情况就可以比较。嗯，那接下来老师想让同学们比较这五个梯子的倾斜程度，你又用什么方法呢？ 好，段，一如老师，我想把它们的牵制高度都统一 一个数，把它们都乘以它们的最小公倍数，然后呃，通过。呃，在牵制高度相同时，我通过比较它们的水平宽度，我就可以给这些梯子的倾斜程度排序。嗯，非常棒，请坐。同学们还有不同的思路吗？ 好，周子怡老师，我认为我们同样也可以把他的呃水平宽度统一，然后统统一成他们的呃最小公倍数，然后我们通过比较这个他们的牵制高度，然后我们同样也可以 呃得到这五个梯子的清洁程度。嗯，好，请坐。那么我们如果将水平宽度化为相等，那我们应该选一个什么样的数呢？我们都化为几呢？ 根据刚才这位同学的描述，我们可以把它化为这些水平宽度的最小公倍数。哦，那他们的最小公倍数是几呢？ 同学们好找到吗？哦，那我们化为最小公倍数，相当于是等比例放大这个直角三角形，我们发现不好找他的最小公倍数。那可不可以等比例缩小呢？ 可以，哎，那我们把水平宽度都化为数字几最简单。嗯，那我们不妨把水平宽度都化为一，那牵值高度呢？ 就相应的。哎，对，就相应的变化，是吧？好，请同学们计算变化后的铅值高度。 好，来，左，金可同学你说一下你的答案。我的答案是，第一个，它的铅值高度应该是两米，第二个的铅值高度是三分之八，第四个的铅值高度是三分之八， 第五个的清直高度是二分之三。由此我们可以排序，呃，四的清直程度最大，其次是一号、二号、三号、五号。嗯，那你是根据什么排出的顺序呢？我是根据画完之后 五个梯子的倾值高度的大小，由大到小来排除他的宽。呃，倾斜程度是由陡到缓。嗯，同学们和他答案一致吗？嗯，好，请坐。那么根据以上分析，我们能不能总结出比较梯子倾斜程度的一般思路呢？ 王思墨老师，我觉得可以。呃，将他们的水平宽度都化为一，然后来比较牵制高度。嗯，很好，请坐。那我们来看，将水平宽度化为一，那高就化为了。 呃，高宽之宽，分之高，高比宽宽之高，是吧？哎，那此时这个笔直越怎么样？ t 字越陡大，大。嗯， 好，那我们发现倾斜角和铅直高度与水平宽度的比值都能刻画梯子的倾斜程度，那么这两个量之间一定存在某种内在联系。下面我们继续探索。 将梯子靠墙的图形，用数学的眼光可以抽象为一个直角三角形， a、 b、 c。 好， 那倾斜角就是直角三角形中的锐角角 a。 那铅直高度和水平宽度分别是边 b、 c、 a、 c。 那 我们把角 a 所对的边叫做角 a 的 对边，角 a 相邻的直角边叫做角 a 的 零边。那这个比值就转化为了 角 a 的 角对边，比角 a 的 角边边。 那问题就转化为了在直角三角形中，锐角和它的对边与邻边的比值之间的关系，也就是直角三角形中边和角之间有什么关系呢？那我们从特殊到一般展开研究。 我们先研究当角 a 等于三十度的情况，做出直角三角形 a、 b、 c， 角 a 的 对边 bc 比角 a 的 零边 ac 的 比值是多少呢？ 三分之根号三。 那我改变直角三角形边的长度，保持角 a 的 度数不变，做出直角三角形 d、 a、 e。 那 d e 比 a、 e 的 比值是多少呢？ 哦，那我改变了直角三角形的大小，但是比值没有改变，这是为什么呢？ 彭思明，呃，因为他，呃，因为他们都是这。这个三角形 a、 b、 c 和三角形 a、 d、 e 他 们是相似的关系。嗯，可以说一下为什么吗？呃，因为他们都有一个。呃，因为他们都是直角三角形，他们都有一个内角是九十度， 然后还有一个都为三十度的公共角，两个角相等，所以他们是这个，呃，相似三角形。 嗯，很好，请坐。那么我们发现，在直角三角形中，如果一个锐角是三十度，那无论边的长度如何，它的对边与零边的比值都相等等于三分之三，三分之三， 那我们还研究过四十五度、六十度这样的特殊角， 在含四十五度、六十度锐角的不同的直角三角形中，锐角的对边与零边的比值是否相等呢？请同学们类比角 a 等于三十度的研究过程自主探索。 好，我们请习雨桐同学来展示 我，我先呃，呃，在 呃，从这边做一个垂线，然后，然后得出这是一个含，呃，这是一个等腰直角三角形，它们的分分比就是，呃，一比一，比根号二。呃，然后 就得出来 bc 比 a， 呃， bc 比 a、 c 是， 呃等于一的比值是一，然后又做 b e 垂直，然后最后做呃 这样一个垂直，然后又得出这也是一个呃等腰直角三角形啊，比值一样，是一比一比二，所以角 a 的 对边，角 a 的 邻边就是呃，呃，比值就是一啊，因为这个又是一样的，然后 呃这三十度呃所对的直角边是斜，占了一半，所以这是呃，这是根号三，这是一，所以呃 f g 比 a g 就是 一个呃的比值，就是根号三。然后也同样呃，它们都是，就是做 h l 就是 这个垂直，然后与这个呃 f a g 和 h a l 是 呃一个相似的关系，所以它们的呃这个比值是一样的，所以 h l 比 al 呃的比值也是很好算 的。嗯，非常好。请回。他还提到了用相似的知识去证明。 好，那么我们就知道了，当角 a 等于四十五度时， 角 a 的 对边比，角 a 的 邻边的比值是一，都是一。当角 a 等于六十度时， 它对应的比值，那在这些特殊的直角三角形中，只要角 a 确定了，它所对应的比值也确定了，那当角 a 是 一般角的时候，你能提出什么猜想吗？ 范雪瑶，角 a 的 对边与零边，就是也是，就是比例相等。嗯，很好，请坐，那我们借助几何画板来验证。 同学们，当角 a 等于二十八点二度时，做出直角三角形 a b c 计算 b c 比 a c 的 值， 做出直角三角形 a d e 计算 d e 比 a e 的 值， 同学们有什么发现呢？哦，那我改变点 d 的 位置， 同学们观察什么量变化了，什么量没有变呢？但是笔直没有变好。那么当角 a 等于二十八点二度 是它所对应的比值都约等于零点五四。零点五四，那我要想让这个比值改变，我应该怎么做呢？改变角的大小。好，我们来看老师改变角 a 的 大小， 比值呢？随之改变，随之改变。好，那当角 a 确定时， 嗯，笔直也确定了。那像这样的直角三角形，我们还可以做出无数个，在每一个直角三角形中， 只要角 a 的 度数不变，它的对边与邻边的比值都相等吗？为什么？ 嗯，好，这样我们就通过大量的例子和证明得出，当角 a 是 任意角度而法时，它对应的比值是一个定值。哎，唯一的定值。 好，那我们来总结一下 角 a 变化，角 a 的 对边比，角 a 的 邻边这个比值随之变化。角 a 确定。比值，唯一确定，唯一确定。 那比值和角度之间似乎存在一种特殊的对应关系。这让你想到我们之前所学的什么知识。函数。 好，那我们学过一次函数，反比例函数，那比值是角度的什么函数呢？ 我们称在直角三角形中，锐角的对边与零边的比。

跟我学数学不难，这是一个三十度角，咱以它为内角做一个直角。三角形就是一块你已经很熟悉的三角板，其中这条边叫做三十度角的对边，这条边叫做三十度角的斜边，这条边叫做三十度角的零边。 根据之前所学的知识，如果我告诉你对边的长是一，那你一定知道斜边的长是三，那你也一定能推出斜边的长就是六。 换句话讲，不管三十度角的对边与斜边具体长度是几，只要三十度角这个角的大小不变，那对边与斜边的比始终都等于一比二。这说明对边与斜边的比值其实是由三十度角所决定的，与三角形大小无关。 以及类似的还有对边与菱边的比，以及菱边与斜边的比，它们都与三角形大小无关。比上三十度角的菱边，比上三十度角的斜边就等于根号三比二，而三十度角的对边比上三十度角的菱边就等于一比根号三。 这一系列比值都只与三十度角有关，而与三角形的具体大小无关。所以数学家给他们起了一个统一的名字，叫做三十度角的三角函数。 为了把这些三角函数互相之间区分开来，他们又起了三个不同的名字。把对边与斜边的比叫做三十度角的正弦记作三人三十度。 把邻边与斜边的比叫做三十度角的余弦，记作 cosine 三十度。把对边与邻边的比叫做三十度角的正切记作勘探三十度。根据刚才的结论，三人三十度就等于二分之一， cosine 三十度就等于二分之根号三。 摊上三十度，就等于根号三分之一，即三分之根。号三三十度角的正弦、余弦和正线，你已经明白怎么回事了，那别的角的这三个三角函数你会求吗？ 比如，咱来算算四十五度的三角函数值，你同样以四十五度为内角做一个直角三角形，显然三边的比为一比一比根号二。根据定义，正弦是对边比斜边，那他就等于一比根号二。化简后就是二分之根号二， 而余弦是零边比斜边，这两边的比显然也等于一比根号二。化解号就是二分之根号二。这一正确，它是对边与零边的比，结果就等于一比一得一。 其实，对于任意一个锐角，你都可以像刚才这样，借助直角三角形来计算它的三角函数。比如这个角 a， 要求它的三角做一个直角三角形，把对边比斜边的比值记作三 a， 零边比斜边的比值记作 cosa， 对 边比零边的比值记作 tan 二。进一步的，如果我告诉你这个直角三角形恰好就是三四，那三 a 就是 三比五得五分之三， cosa 就是 四比五得五分之四， tan 的 a 就是 三比四得四分之三。 以上就是三个常用三角函数的定义。关键就一点，牢记这三个三角函数的算法。对于任意一个锐角 a 而言，以它为内角做一个直角三角形，角 a 的 正弦算 a 就是 对边比斜边 角 a 的 余弦扣三 a 就是 零边比斜边角 a 的 正切偏正的 a 就是 对边比零边。怎么样，记住了吗？如果记住，就快快去刷题试试吧！ 这个视频咱就来讲讲几个特殊角的三角函数，那是哪些特殊角呢？实际上就是这俩三角板上的角， 这个是三十度和六十度，这个是四十五度。先看这个三角板，他的三边之比是一比，刚好三比二。 上个视频我就说过，他的正弦三十三十度就等于对边比斜边，也就是二分之一。余弦 cosine 三十度等于零边比斜边，也就是二分之根二三正切 tenon， 三十度等于对边比零边，也就是根号三分之一。化简得三分之根号三。 同样，这个六十度角的三角函数值也可以快速算出来。正弦散六十度等于对边比斜边，也就是二分之根号三。余弦扣散六十度等于零边比斜边，也就是二分之一。正切摊垫六十度等于对边比零边，也就是根号三。 再来看这个三角吧，它的三边之比是一比一，比根号二。所以正弦散四十五度等于对边比斜边，也就是根号二。所以正弦散四十五度等于对边比斜边，也就是根号二。 皮弦扣三四十五度等于零边比斜边也是根号二分之一，得二分之根号二。正切探探四十五度等于对边比零边，也就是一。 知道了这些特殊角的三角函数值，咱就来做道题。探探三十度，减扣三六十度，乘天探四十五度，加扇三十度。看探探的三十度就等于三分之根号三。扣三六十度等于二分之一。探探四十五度等于一 三三十度等于二分之一。算一算，最后的结果就是三分之根号三。看来，只要记牢这些特殊角的三角函数值，那做起题来就很快了。但问题来了，咋记呢？ 你可千万别只盯着九个式子傻愣愣的死记硬背啊，得结合图来记。比如看见三十度，那只要记牢这个三角板就行。它的三边之比是一比根号三比二，所以三三十度就等于二分之一。 cosine 三十度就等于二分之根号三。 tan tan 三十度则等于根号三分之一，也就是三分之根号三。同样，这个三角板还有六十度，通过它，你还能记住 sine 六十度、 cosine 六十度，以及贪电六十度。 至于四十五度角的三角函数，你只要牢记这个三边之笔为一比一比根号二的三角形即可。总之，只要你记牢俩三角板的三边关系，就能搞定所有这些特殊角的三角函数值。怎么样？记牢了没？如果记牢了，就赶紧去刷题试试吧。 前面的视频你已经认识了三角函数，并且牢记了三十度、四十五度、六十度的各个三角函数值。这个视频我要讲讲他们有什么用？来看个题。 角 c 等于九十度，那它就是直角角 a 是 六十度，这个角就是六十度， bc 是 十五，这条边就是十五。解这个直角三角形，就是把剩下的角和边都求出来。先来看角， 它是六十度，那它就是三十度。再来看边，它是三十度，那这条边比这条边就是探尖的三十度。探尖三十度是三分之根号三，即 a c 比十五就等于三分之根号三， a c 就 等于五倍根号三，他就是五倍根号三，还是因为他是三十度，所以他是二倍的，他即十倍根号三。到此，所有的角和边都求出来了。 看来，在直角三角形中，只要知道了直角外的一个角和一条边，就可以把剩下的角和边都求出来。 可如果除了直角外，其他角都不告诉你呢？来看这个题，没有图，你得先画图。直角三角形 abc 角 c 是 九十度，这个角就是直角。 a 是 根号，三，他就是根号三， b 是 三，他就是三。解这个直角三角形，就是要把这俩角和这条边都求出来。 先来看角角， a 的 对边是根号，三比三角 a 就是 三十度，这个角就是三十度， 这个角就是六十度。再来看边，他是三十度，那这条边就是两倍的这条边及二倍根号三。到此，所有的角和边全都求出来了。看来，即使只给出了直角三角形的两条边，你还是可以把剩下的角和边都求出来。 以上就是解直角三角形的主要内容，总结起来就一点，在直角三角形中，不管他是给了你直角外的一角一边，还是只给了你两条边，你都可以利用三角函数把剩下的角和边全求出来。好了，就说这么多，速速刷题去吧。 上个视频我讲了三角函数可以用来解直角三角形，这个视频我要讲讲解直角三角形在实际问题中的应用来看这个题。 在测量时，向上的视线与水平线的夹角就叫做仰角，向下的视线与水平线的夹角就叫做俯角。仰角是三十三度，那这个角就是三十三度。 ab 是 一点四米，那他就是一点四米。 b、 d 是 十米，他就是十米。问 c、 d 的 高度，即问这条边的长度，他是一点四米，那他就是一点四米。接下来只要求出这段的长度，他是一点四米，接下来只要求出这段的长度，就能知道 c、 d 是 多长了。 这条边是十米，那这条边也是十米。这个角是三十三度，那这条边比这条边就是贪婪三十三度，即 c、 e 比十等于贪婪的三十三度。 已经给出贪婪三十三度约为零点六五，那 c、 e 比十就约等于零点六五， c、 e 就 约等于六点五米，它就是约六点五米，那旗杆 c、 d 的 高度就约是六点五。加一点四，即七点九米。搞定。 看来，对于给出仰角、俯角求高度的实际问题，只要先把它转化成单纯的数学问题，接着解直角三角形就行。那其他类型的实际问题是不是也可以这样呢？ 来看这个题，一高 b、 c 等于五米，那它就是五米顶水坡 a、 b 的 坡比是一比根号三。 坡比又叫坡度，指的是斜坡的铅直高度与水平宽度的比。斜坡 a、 b 的 坡比为一比根号三，即 b、 c 比 a、 c 就是 一比根号三。 b、 c 是 五，那 a、 c 就是 五倍根号三。搞定。 看来，遇到跟颇比有关的实际问题时，还是可以先把它转化成单纯的数学问题，再接着解直角三角形。以上就是解直角三角形的应用的主要内容，总结起来旧一点，遇到跟直角三角形有关的实际问题时，你先把它转化成单纯的数学问题，再接着解直角三角形就行。 好了，就说这么多，赶紧刷题去吧。前面的视频我讲的都是解一个直角三角形的情况。这个视频我要讲讲两个直角三角形组合在一起的情况， 比如这有两个直角三角形，告诉你边 a、 b 是 十二角， b 是 三十度角， d 是 阿尔法，而泰纳阿尔法是四分之三。让你求 c、 d 的 长度给出的边在这个直角三角形， 让求的边却在这个直角三角形，而这俩直角三角形之间唯一的联系就是这条公共边。所以首先咱得想法把这条公共边求出来。 先来看这个直角三角形，这个角是三十度，那这条边就是这条边的一半，这条边是十二，这条边就是十二的一半。其六 现在公共边已经求出来了，接着利用它解这个直角三角形就行。这个角是阿尔法，那这一条边比这一条边就是贪婪的阿尔法，即六比 c、 d 是 贪婪的阿尔法， 已经知道贪婪的阿尔法是四分之三，那六比 c、 d 就是 四分之三， c、 d 就是 六乘四除以三，即二十四除以三得八，搞定。 看来对于有公共边的两个直角三角形，只要通过解一个直角三角形，先把公共边求出来，接着就可以利用这条公共边把另一个直角三角形也解出来。 以上就是双直角三角形及其应用的主要内容，总结起来就一点，只要看到两个直角三角形有公共边，你就想法先把这条公共边求出来。 好了，就说这么多，速速刷题去吧。前面的视频我讲的都是直接求直角三角形的情况，这个视频我要讲讲如何利用设未知数的方法来求解直角三角形。 比如这有两个直角三角形，这个角是阿尔法，这个角是贝塔。告诉你天等的阿尔法是四分之三，天等的贝塔是二分之一，还告诉你边 bc 的 长是二十，让你求 a d 的 长度。 先来看这个三角形，一条边都没给。再来看这个三角形，也是一条边都没给，那直接球就肯定没戏了，咱只好用射未知数的方法来解决。先来看这个直角三角形，探探的阿尔法是四分之三，那这条边比这条边就是三比四，如果射这条边是三 x， 那这条边自然就是四 x。 左边直角三角形的已知条件用过了。接着再看看右边，这个直角三角形探探的边的是二分之一，这条边比这条边就是一比二，这条边是三 x， 这条边就是二倍的三 x 及六 x。 现在两个直角三角形的已知条件都用过了，再看看还有哪个条件没用。对了，就是 bc 边等于二十， 所以四 x 加六 x 就是 二十，即十 x 等于二十， x 就 等于二十，除以十得二，解除了 x 等于二，那相应的长度就都好求了。题目让求 a d 的 长，它是三 s， 那 答案就是三乘二得六。搞定 以后，在解直角三角形时，如果遇到这种不能直接求解的情况，就可以通过设未知数的方法，把每个直角三角形的边都用 x 表示出来，然后利用图中的等量关系点方程求解。怎么样，听明白了吗？听明白了就速速刷题去吧！ 前面的视频我讲过，只要知道了直角三角形的两条边，就可以把这个直角三角形解出来。可如果给出的不是个直角三角形呢？比如这有个三角形告诉你， ab 是 五， ac 是 十角， a 的 正弦是五分之三，让你求 bc 的 长度。 题目出现了三角函数，可没有直角三角形，那就自己构造出来。从 b 做垂线，交 a、 c 于 d， 就 出现了两个直角三角形，这下三角函数就能派上用场了。先看这个直角三角形算， a 是 五分之三，即 b、 d 比五是五分之三， 显然 b、 d 是 三，那 a、 d 就是 四了。又知道整条边 a、 c 是 十，那这条边就是六，于是咱又可以利用六来继续求解右边这个直角三角形， 它是三，它是六，那它就是根号，下三方加六方化解一下就是三倍根号五搞定。看来给出的如果不是直角三角形，你只要像刚才那样做条高线，构造出直角三角形就行。 以上就是利用已知角构造直角三角形的主要内容，其实就一点，如果条件给了某个角的三角函数，你只要想法做出高线，构造一个直角三角形，让他恰好包含这个角就行。好了，就讲到这里，赶紧刷题去吧。 前面的几个视频我讲的都是如何解三角形，这个视频我要讲讲如何解梯形。比如这有个梯形告诉你，他的上底是六，下底是八角， a 是 四十五度角， c 的 正切添加的阿尔法是二分之一，让你求这个梯形的高。 题目中虽然给出了两个角，可是却没有直角三角形跟解三角形是一，你得自己构造出来。从 a 点做垂线，将 a、 b 延长线于 f， 根据梯形两底平行，这个角就等于这个角是四十五度，这个角就等于这个角是阿尔法。这样咱就构造出了两个直角三角形，这个直角三角形恰好包含了一个四十五度角，这个直角三角形恰好包含了角阿尔法， 这样两个直角三角形就把条件给出的角都包含在内了。与此同时，咱还把梯形补成了一个更为规则的矩形，这样的一幅图就可以用来求解梯形。接下来咱就一起来把这个梯形求解一下，问的是高求啥设啥，咱就把这条高设成 x， 那 这条高就也是 x。 先来看这个直角三角形，这个角是四十五度，那这个角也是四十五度，这两边就相等，这条边是 x， 这条边就也是 x。 这个直角三角形的已知条件用过了。接着来看看这个直角三角形，看见的阿尔法是二分之一，那这条边比这条边就是一比二， 这条边是 x， 那 这条边就是二 x。 现在两个直角三角形的已知条件都用过了，看看还有啥条件没用呢？对了，别忘了，这可是个矩形，矩形的对边可都是相等的，那六加二 x 就 等于 x 加八。 解这个方程，把 x 移到左边，数移到右边，就得到了 x 等于二，也就是梯形的高是二。搞定 以后，遇到这种给了两个角的梯形，你就通过做高的方法构造出两个直角三角形，把给出的这俩角都包含进去，同时让这俩直角三角形和原来的梯形组成一个矩形，只要让梯形变成了这个样子，那他就非常好解了。怎么样，听明白了吗？明白了就速速刷题去吧。 上个视频我讲了如何解梯形，这个视频我要讲讲如何解四边形，比如这有个四边形告诉你，角 c 是 六十度，角 b 和角 d 都是九十度，还告诉你 c、 d 是 三 ad 等于二倍的 ab， 让你求 ab 的 长度。不难发现，这里有个六十度角， 肯定得利用它构造特殊三角形。怎么构造呢？估计你的第一反应是从 d 点向 bc 做垂线，构造出一个三六九的直角三角形。但这样一来，你不仅把原来完整的四边形给破坏了，而且这俩直角也都没派上用场。 看来用切割的光线来构造直角三角形并不好，咱得换个法子，用补的方式来做，我这就补给你看。 同时延长 d、 a 和 c、 b， 使它俩相交于点 e， 这不就补出了一个大的直角三角形吗？角度正好就是三六九。而且除了这个大的直角三角形外，这里还出现了一个小的直角三角形，角度恰好也是三六九。 这太好了，不仅没有破坏原来的四边形，还让两个直角都派上了用场。那接下来咱只要求解这俩直角三角形就行。先来看这个大的直角三角形，这个角是三十度，这三条边的比就是一比个号三比二， 这条边是三，那这条边就是三倍。根号三，这条边就是六大直角三角形。咱分析完了，接着该轮到小直角三角形了。在这个小直角三角形里，三条边都没告诉你，那就只能设未知数了。 题目要求的是 ab， 那 就把它设成 x。 由于这是一个三六九的特殊直角三角形，这条边就是根号三倍的 x， 这条边就是二倍的 x。 现在小三角形也已经分析完毕，那还有哪个条件没用？对了，就是 a、 d 等于二倍的 ab， ab 是 x， 那 ab 就是 二倍的 x。 已经知道这一条边是三倍根号三，那二 x 加二 x 就是 三倍根号三，即四 x 是 三倍根号三， x 就是 四分之三倍根号三，所以 ab 就是 四分之三倍根号三。搞定 以后，在解四边形的时候，只要图中出现了特殊角，你就可以通过延长边的方式把它补成特殊的三角形。 这个四边形里的特殊角是六十和九十，延长边后补成的三角形就是三十、六十、九十。如果条件变一下，把这个角变成四十五度，你还是可以通过延长边的方式把这个四边形补成特殊的三角形， 只不过这次补成的三角形变成了四十五、四十五、九十而已。如果条件再变一变，把这个角变成六十度，这个角也变成六十度，你还是可以通过延长边的方式把这个四边形补成特殊的三角形，只不过这次补成的三角形变成了六十、六十、六十的等边三角形而已。 以上就是解四边形的主要内容，总结起来就一点，看到四边形里有特殊角，你就通过延长边的方式把它补成特殊的三角形。这种特殊三角形无非三种情况，要么是三六九的直角三角形，要么是等腰直角三角形，要么是等边三角形。 好，这个视频就讲到这，速速刷题去吧！这个视频我要讲讲做垂线解三角形式的多解问题。来看个题，在三角形 abc 中， ab 的 长是四， bc 的 长是三角， a 是 三十度。让你求 ac 的 长 没有图，咱得先画图。角 a 是 三十度， ab 是 四， bc 是 三。哎，那 bc 是 在这边呢？还是在这一边呢？都有可能，所以这一题得分类讨论。先来看在这边的情况，过点 b 做垂线，交 a、 c 延长线于地，这就出现了两个直角三角形。 先来看这个大的直角三角形，这个角是三十度，那这条边就是这条边的一半，这条边是四，这条边就是二，这条边就是二倍根号三。大的直角三角形看完了，接着来看小的直角三角形， 这条直角边是二，这条斜边是三，那这条直角边就是根号下三方减二方化简一下就是根号五。现在两个直角三角形就都看完了，那就再看看题目问的啥让求的是 a c 的 长度，它不就是这条边减这条边吗？ 这条边是二倍根号三，这条边是根号五，那 a、 c 自然就是二倍根号三，减根号五了。 b、 c 在 这边的情况讨论完了，接着对分析 b、 c 在 这边的情况了。 同样的还是过 b 点做垂线将 a、 c 一定，这就又出现了两个直角三角形。用同样的方法可以求出，这条边是二，这条边是二倍根号三，这条边是根号五，但这一次的 a、 c 长是这条边跟这条边的和，所以是二倍根号三加根号五。 现在两种情况都讨论完了，所以 a、 c 的 长有可能是二倍根号三加根号五。搞定。 以上就是这个视频的主要内容，一起来总结一下。当题目给了你三角形的两边一角，且这个角并不是两边夹角时，你一定要注意分类讨论，因为这两边有可能在垂线的同一侧，也可能在垂线的不同侧。怎么样，听明白了吗？明白了就速速刷题去吧！

在风中好一日。

老师好，同学们好，请坐！ 前段时间呢，济南市曾经呢做了一个自我的这个树目的调查，大家也可以看这个悬案，当然咱们的课间上也有， 五月二十九号，五月二十九日，济南市召开生物多样性的保护工作新闻发布会，从发布会上获悉，获悉，济南市现在正在做普查。查什么？查我们的这个古树明目。 当然经过这次普查呢，我们发现了很多，你比如说像这个立夏，宋海棠、千佛山、唐槐等，当然根据这个活动呢，我们咱们学校也准备做一个我们的家底自己摸清， 大家看一看我们这次的这个情景啊，那么在八年级同学呢，现在我们对咱们学校的每一个树木都已经确定了，在彭老师的带领下，确定了科目数种，也测量了树围。 现在呢，我们需要知道的是什么？需要知道的是咱们这个树的树高是多少？那么我们在原来曾经学过测量树高的方式，谁还记得怎么测，怎么测树高， 怎么测数高，咱们在相似三角形中，呃，那个通过证，证明相似三角形，证明相似三角形。好，想想我们当时测数高用什么方法来测量的？ 来估估你的走，我们通过物体的高度和物体的影子的比来进行测量，非常好。也就是说我们通过什么物高比隐藏，是不等于物高比隐藏来测量此时这个物体的高度，是让这个技术最早掌握在是古埃及人 他们测量这个金字塔的高度。那呢这呢，我也做了一个几何画板，大家可以看一下，这是我们知道在相似三角形这一张，我们通过测量物高比影长等于物高比影长，从而得出数高。你还记得他怎么正的吗？ 你还记得怎么正的吗？李明泽，呃， 证明三角形 a， b， c 相似于三角形 a， b， c 相似于三角形啊。 f， e， d， 嗯， f， e， d 这两三是相似， 然后，嗯，就能得到什么，然后通过自比可以得到 a， b 比 a， c 很好，这句话很好，自比 a， b 比 a， c 等于 e， f 比呃， f 得，嗯，将三角形的性质 b， f 得好，这个就是物高并长。物高并长，好，请坐。那么通过这种方式，我们当时在相似三角形这一章中是不就求出来此时这个数的高度？ 物高并长等于物高并长。我们再来观察，当不同的人去测量这个影子的长度是不是也会发生变化，但是它们的比值会改变吗？ 来，再看，我用这个警报给你演示一下，我们现在可以看到它的比值是一点七二。那么当这个人的身高假设在改变时，是不是比值没有改变？所以也就意味着，则此时这个物高于隐藏的比是个固定值， 而物高于隐藏的比是个固定值。它与谁有关？在这个题目中，它与谁有关？ 谁来影响着这个误高于隐藏的笔来角阿尔法角阿尔法就是太阳光线与地面倾斜角的夹角， 它会改变这个，那么地面光线与倾斜角的夹角。当这个倾斜角改变时，这时我们会发现出笔直在改变， 那也就意味着这个角度与谁有关？边的长度与这两个边的长度什么长度有关吗？ 笔直有关。好，这节课我们就来研究这个角度与这两个边的笔直关系，这就是我们这节课要这这一章要学习的锐角三角函数中的第一章 就是正切，来我们首先看，那么在这个直角三角形中，二法我们知道物高必应长，也就是说此时 ab 比 ac 是 二法角的什么边 对边， ac 是 二法角的什么边？邻边，所以二法角的对边比它的邻边，我们叫它的正切值 正切看这个，这个正切用英文字母，它是用 tanjit， 大家应该会拼吧，来快读一下，来 tanjit， tanjit 它取它的前三个字母就是 tanjit a， 它表示的就是对 b c 比零， a c 对 比零 and。 那 么此时这时候我们会发现这个正切，这个正切它与它的对边和邻边的比值是有关系的，这就我们掌握了一个新的定义，大家来看这个定义。

角之间除了直角之外还有两个锐角，两个锐角是什么关系？那么剩下的边与角的关系就是我们这一节研究的这一章节研究的内容。 那么边与角的关系我们给他新的定义就是锐角三角函数，然后用锐角三角函数去解直角三角形和生活中的实际问题。 那么在这个过程中间我们需要用到建模的思想，就是你像刚才比赛斜塔，我们需要抽出一个直角三角形出来，就是建立我们数学中间模型，然后用用到数形结合的思想，有时候还需要用到分类讨论的思想，那么在这个过程中间， 我们要我们培养大家的数学抽象建模以及直观想象和逻辑推理的数学核心素养。那么接下来我们就开始新的一章的学习 对角三角函数，请大家拉出导学案，给大家四分钟时间，第一大点小组探讨，先做好可以讨论，也可以直接派一个代表填写，我们以小组为单位做的，给大家四分钟派一个代表写就行，小组探讨一直到思考六 都是你的讨论范围，好，给大家延时一分钟，好，都停下来，我穿了五一零的， 我们一起来看一下我们的第一位，先看思考一，首先从数学的角度来看，它是一个直角三角形，对，没意见吗？对， 把它把这个图形画出来，实际上的话，这就是一个进步的过程。我把那一个抽出直角三角形之后，把题目中间的水管的高度，他就是这一个三十度的角所对的边边三十五米有三十直角三角形，有三十度的角 有直角边三十厘米，要求的就是斜边的长。好，注意细节啊，我们的答案是七十米，这里写了七十米，这里其实带单位， 理由就是直角三角形中三十度的角所对的直角边等于斜边的一半，如果把这里改成五十，那么水管长就应该是一百米。好，那么对比思考二和思考三变化的量就是出水口的高度不变， 就是这一个三十三十度的角，但是出水口的高度不变，那变化的量就是这个高度。没错，不变的量就是这一个锐角的度数吧。 那么接下来他发现了，在直角三角形中，如果一个锐角等于三十度，那么无论边上的大小如何，这个理由就还是要填一遍。直角三角形中三十度角等于三十度的角，所对的直角边等于斜边的一半。 如果把角度变成四十五度，那么变成四十五度的时候，我们由直角三角形内角和可以得出他是一个等腰直角三角形， 假设这一个腰为一的话，那么我们可以求出斜边长为根号二，所以我们可以求出 b、 c 比 ab 等于一比根号二。注意化解，等于二分之根号二。 好，这里后面还有一个，我们刚才填到了这一个地方，就是二分之根号二。还有一个思考六，思考六呢，我们自己组个语言讲话的，有没有谁愿意说一下？ 刚才拍了我语音的其他同学给你们机会，有没有谁愿意说一下？可以啊，如果是一个任意角的话，你猜什么结果？就是当这个角相等，也就是当这个角固定为一定个数的时候， 它的边乘比例是吧？那边的话说清楚是什么边，不要边和斜边，这个边有两条跟它是什么关系？什么边？鲁文说补充的是对边， 好，请坐下啊。那我们发现这里四十五度 bc 是 四十五度角的对边， ab 是 斜边是吧？那么所以从刚才这一系列的问题我们就猜想， 直角三角形中，当锐角的度数固定的时候，那么它的对边与斜边它可能是一个固定值。那么由刚才三十度和四十五度我们发现的问题，第一个直角三角形中， 当角 a 等于三十度固定的时候，那么它的对边与斜边的比一定都是一比二。这一个我们可以用哪一个定义来解释？直角三角形中三十度的角，所谓的直角边等于斜边的一半， 好，它是一个，它的对边与斜边的比是一个定值，那么当这个角改成四十五度的时候的话，它同样的当这个角改成四十五度的时候， 那么这一个对边与斜边的比，因为我们刚才求的时候的话很有代表性，我们是假设它为单位一，如果你用它为 a 的 话，你一样的可以求出 a， a 根号二 a， 它的比还是一比根号二吧，所以我们就可以知道它也是一个固定值。那么由这里的话我们就猜，当这一个锐角 a 的 度数一定的时候， 跟边长的大小没关系了，那么他的对边与斜边的比一定会是一个固定的值。 但是当三十度变到四十五度的时候，二分之一也变成了二分之二，所以什么变化，不要是什么变化导致了后面的比值发生的变化，角度变化，所以我们的猜想二的话，就是当这个角度变化的时候， 当角度变化的时候，对边与斜边的比，他就也会跟着变。我们说数学主要就是先猜想，最后我要用来证明 这个过程中间，如果有方法能够帮助我们来验证，或许我们在验证的过程中间就能够找到灵感来证明。 好，我们先看啊，先用刚才的三十度，三十度大家可以发现好，我们三十度的话，因为我们已经证明过了，我们先改变这一个先，我们先改变这一个对边的长度，大家看一下观察哪些变了，哪些没变 可以直接跑，哪些变了，长度变了什么长度？对边和斜边就是锐角的，对边和斜边的长度都变了，但是什么没变？角度但是笔直没变，是吧？好，我接下来我改变这一个角度看一下啊， 角度变的时候什么变了？角度变的话，这个长度肯定变，是吧？角度变的过程中间就还会导致什么变，笔直变了是吧？对，好，由这里我们就可以 就可以验证刚才的猜想。第一个就是当直角三角形中，当这一个锐角固定的时候，它的对边与斜边的比是一个定值， 如果当这个角度发生变化的时候，角度发生变化的时候的话，锐角的度数变了，那么它的对边与斜边的比也跟着变 好，那么我们刚才这一个过程中间，在这一个移动过程中间截取其中一个图，大家看一下啊，我们说我们需要证明，我截取 b 运动的两个位置， 假如 b 运动到得，那么我最后我要需要证明的就是这一个 bc， 需要证明的就是这一个 bc 与 ab 的 比和的一与 a 的 比值是相等的吧。 那再想一下，在这个图中间的话，你是不是有有那么一点灵感能够证明出他们的笔是相等的？在这个图中间，你发现这里，这里我要正比值相等的话，我会想什么？相似，想相似中间的对应线段的笔，是吧？那么你有办法正这两个三角形相似吗？ 嗯，两个角有没有角？看到了两组角相等是吧？好，我们把这一个三角形把它拉出来， 把这三角形把它拉出来，那么就变成了把三角形 a、 b、 c 拉出来，把三角形 a 得一半到小三角形，半到大三角形中间抽出来，就是这样的了。那么把刚才的用已知和求证写出来，就是已知两个直角三角形， 这两个是九十度 a 是 相等的，因为它们是重合的，是吧？角度是不变的。要求这角 a 的 对边与斜边的比相等，会说过程吗？ 会不会？会好？会的话我找一个同学来说，换成等于角四 a， 因为角 a 等于角四 a 啊，这两个条件反上来，所以三角形 a、 b、 c 和三角形一起， 所以这两个三角形相似。理由是两角对应相等，两三角形相似，两三角形相似，就可以得出对应边乘比例。好，请坐下。这一个过程的话， 因为它简单，所以就没给大家多长时间，直接由两角对应相等，我们可以得出两三角形相似，相似的话就可以得出对应边的笔相等，对应边的笔相等的话，那么像这里 bc 对 次 b 次 c， a， b 对 c， a 次 b。 接下来我将这两个两内向之极等于两外向之极，内向和外向它们是同一家人，可以交换位置的吧，把它换一个位置就是我们要证明的吧。所以那么通过借助相似三角啊，相似三角形， 那么相似三角形的性质，我们就可以得出，在直角三角形中，它的锐角， 他的角 a 的 对边与斜边的比会是一个定值，那么这就是我们今天学的内容，正弦 啊，正弦的概念在直角三角形中，角 c 等于九十度，我们把锐角 a 的 对边与斜边的比叫做角 a 的 正弦。大家把这一个概念 仔细的读几遍，想一想你用这些来做的时候，他的前提条件是什么？你要注意些什么问题？ 好，我们说任何一个概念他都会有他的关键词吧，或者是他运用的前提条件。 那么在这一个挣钱的概念中间，你认为你在做题目的时候的话，你要先提醒自己什么不会不错啊，首先你要知道这一个是你运用的前提条件吗？他只有在直角三角形中间才能够用吗？ 好，小西施九十度。接下来的话，这一个，你把这一个概念再仔细看看，他是哪两条边的笔，对边笔，对，他必须是对边与斜边的，这一个是什么笔？他是一个笔的话，大家想一下 笔会不会在单位，不在单位，所以我们把概念仔细读几遍，我们就能够知道我要做题目中间能够要注意什么。好，这是对于概念的解读，那么怎么表示表示方法？他可以，如果是单独一个角的时候。 好，这里还说明清楚，对边的，对面的边，斜边的一个都知道， 那么表示的时候，我们就把它记为三，一个字母的时候就直接是三 a， 如果是三个必须要用三个字母表示的话，那么我们必须加上角的符号，角 b、 a、 c， 它等于角 a 的 对边。看清楚啊，这里是三 a， 就 必须是角 a， 角 a 的 对边，斜边，然后对照这一个图，中间我们说大写字母，它的对面可以用相应的小写字母表示，它等于 a、 b、 c， 这是表示方法。那么像刚才的 sin a， 三角 a 等于三十度的时候，我们就可以写成。还有一种就是直接用度数 sin 三十度，它就等于三分之一，等于二分之一。 说错了，三 a， 当角 a 等于三十度的时候，三 a， 它等于三十度，等于二分之一。然后当角 a 等于四十五度时， a 等于三四十五度，它等于多少？ 刚才我们求过的，他等于二分之好，这是等于概念。那么对于概念的话，我们还强调的一个就是角度固定，就笔直固定了，那么角度变化就笔直变化的话，那你要这一个，你会想到什么？角度定 笔直就定，角度变，导致了笔直发生变化，你会想到什么概念？函数不错，函数 就是自变量变化导致函数值对应变化了，所以那里锐角三角函数的概念大家就清楚了，在直角三角形研究锐角，他们之间对应的变化关系。好， 那么用干净赶快看看，我找同学来表达表达。这是第一个对的，第一个，因为他给了我们图是吧？给了我们图，直角三角形你就不用看了吧，对边比斜边，第一个是对的，第二个是错的，第二个错的怎么改？ a 是 a， 他 应该等于对，他这里要么是改，这是 a， 如果你要保留这一个的话，你就应该怎么办？三米 a 是 bc 比 ab， 这如 b， 如果要说错了啊，如果你要保留三米 b 的 话，他应该等于什么？等于 a 七， a 七等于 ac 比 ab。 不 错啊，学到家了。好，请坐下。好，陈雨欣。第三个 a 等于零点六米， 对不对？他说对，有一定不能有错，理由，只能有单位，不能有单位。我们刚才在这里说了比值他是没单位的，是吧？那 b， 那 么 这里的话我们注意就是正弦是一个比值，正弦是一个比值，他没有单位，所以第三个是错的。好，第四个，三 b 等于零点八，邓子涵对不对？ 所以，所以怎么来的？等式和股定律得， a， c 等于八， a， c 等于八，然后 c 等于八。八米八， a， c 等于八， 然后 c 等于 a 等于 a b， 三 b 的 话，它就等于 a c b a b， 所以 就等于 a 点八。 好，错二，对还是错？八戒沟，错，错，为什么不是直角三角形？他没说是直角三角形，这不是一个直角三角形，你没前提条件你就不能用了。好，请问一下啊，你上课认真了啊？那么这后面我们就还要添一句， 正弦它是一个笔直，它没有顺序，但它没有单位，但是它有顺序，也就是说你这一个分子是角 a 的 对边，分母是角 a 的 斜边对边，你就不能换成这里的零边，就说然后分子和分母它也不能够交换位置。 那么接下来的话，我们来看这样一个立体，首先我们分析要求三 a， 你 必须知道什么？知道角 a 的 对边和 斜边，斜边是吧？所以这里第一个图中间，你就必须要要先求斜边，是吧？好，那这一个是已经有的，这个是要求的，要求斜边你用什么都不定，所以我们首先对到第一个图啊，所以第一个图的话，那么 在直角三角形 a、 b、 c 中， a b c 等于三， a c 等于四，所以我们可以得出 ab， 它就等于五，由勾股定力， 由勾股定力得出五之后的话，接下来他要求 sin a， 那 么我们直接根据定义就可以得出来， sin a 等于 bc， 除以 a 边 斜边，然后把他们的长度带进来，就五分之三。好，那么三 b 就 等于三， b 等于 a c b a b， 它等于四比五，好。

说到变换，我们一点都不陌生，变换是我们数学中最基本又最重要的概念，也是解决数学问题最常用最基本的方法。 通过变换，可以将复杂的问题转化为简单的问题，也可以将难解的问题转化为易解的问题， 也可以讲未解决的问题转化为已解决的问题，其实就是平时我们所说的划未知，不一致，不一致。 从形式上变换往往有两种形式，一个是等价变换，一个是不等价变换。等价变换有时候我们也称之为叫做恒等变换。那面对每一种变换， 我们都有三个问题需要需要了解，第一，从起始上看，变换的目标是什么？二、从过程上看，变换的路径是什么？ 三、从结果上看，变换往往又会起到什么作用？那本章我们带着这三个问题开始我们的旅行。 那这一张叫三角函数，那显然是离属于哪一块内容呀？三角函数。嗯，那三角函数，咱一起首先来回顾一下三角函数的定义是什么？想一想 让同学说一下。好，董培宇你来说一说。在平面直角坐标系中，一条过圆点的射线与单元的交点就为 p 点，那么这 p 点的纵坐标就是三 f 八，横坐标就是 cos 三 f 八。然后呢， p 点的纵坐标比上横坐标就是探井的 f 八。 过圆点的射线，那是谁啊？他认为是角角阿尔法的中边，那也就说角阿尔法的中边与单位圆有一个唯一的交点，那么三眼阿尔法就定义为 p 点的中轴标，中轴标就是 y y， 那 空三眼阿尔法呢？ x x， 他 那阿尔法是 y b x y b x 好， 请坐。 那么在这个三角函数的单元的定义下，我们之前可以掌握三角函数的很多性质，回想一下，有 三角函数的定义与时域之间的距离有什么叫单调性，还有还有一系列的，有，老师， 嗯，那在三角函数定义下，我们掌握了三角函数这么多的性质，但是它是每一种三角函数自己独有的各自的性质，是不是啊？是，那么从定义中我们又不难发现 三种三角函数，它们定义的背景完全相同，那同宗同源的它们之间有没有什么关系呢？ 那接下来同学们，我们换一种角度，从找他们之间的关系这个角度来想一想看，我们又能发现什么结论。 接下来首先独立思考，然后在小组内啊交流一下，我们来集思广益，看能发现他们之间的哪些关系。好，接下来时间交给你们， you judge 国际武器进军国旗的人进军国旗的车标线，国旗的车跟国旗的车都有战略关系，这次来，这次就来者何人？ 很多同学得到了很多结论，非常不错。那接下来同学们相互交流一下，看看小组内能不能碰撞出新的火花。 哎呀 啊啊 啊啊啊， 好，咱们接下来， 嗯，通过和他们交流之后，好拿小组来首先来分享一下我们小组的观点。好，李子涵，你来说，我们组找到了，首先找到的是相等的关系哦，相等关系， 相等关系有有三一二百平方，加上 cos 三一二百平方等于一。

各位同学大家好，我是大刘老师，我们继续我们最后三十天数学中考的冲刺计划。今天呢，咱们来说我们山西中考的一种必考题型，锐角三角函数的实际应用题，他一般出在我们大题的第二十题的位置或二十一题的位置， 不管出在哪个位置啊，咱们同学们只要搞清楚他的核心的底层逻辑，一定可以从这里拿到分数。关注大嘴老师带你从容中考中字。咱们山西中考呢，一般呢，在这一块他有考两种类型，一种是需要设的，一种是不需要设的。 学生很纳闷，我没听过我们老师这么给我们说过啊，什么需要设？什么不需要设的？咱们今天呢，先说一种类型， 嗯，就是不需要设的这种类型，然后呢，需要设的咱们放到下一期视频来说。那到底什么是不需要设的呢？我给同学简单说一下啊，就是你题目中，咱们题目中都会给咱们一些长度的数据，总知道吧， 如果这个数据呢，他刚好是你所构建直角三角形中的边长。那么咱们想一下啊，咱们在一个直角三角形里面，如果他给了 r 法角的度数， 还给了这其中，比如说这个边长是 a， 你 是不是可以通过三 e r 法考三 e r 法探整的 r 法去求出这两条边呢？ 是不是就可以直接去算了？这个时候你还需要设某一条边是 x 吗？不需要吧，这就是我给他划分的第一种类型，不需要设的，就你发现 a 题目中给的长度数据，刚好是我这个直角三角形中的某一条边长， 这个时候呢，我们就可以带着我们的锐角三角函数直接去计算，不需要设，那这个时候呢，肯定呢，初一老师，哎，可以直接算，是不是感觉简单一些，初一老师就会给你挖坑了，那他给你挖坑的点在哪呢？ 直角三角形的构造，就说既然边长我给的你简单了，那么这个直角三角形的构造上就不会能让不会让你那么轻易的找到直角三角形。再有就是一个题目的长度上， 题目长度给你设置的长一点，让你不那么轻松的能够找到题中的条件，让你一读就蒙。 所以说呢，咱们今天来看一下他挖坑的这两个点。咱们分别找了一道题，咱们先看第一道题，第一道题呢，咱们可以看先看下长度啊，我两样 才能把这个题将将的放下，这个长度是不是非常长，所以说呢，就需要我们去好好的去读题，然后呢去筛选出题中的有用的条件，他说这是一个 遮阳伞，然后给了我们说什么 ap 垂直于地面，要搞清楚， ap 垂直于地面相当于我们的立柱， 然后呢又给了 a b d q d j， c f 是 悬托之杆，这个时候没有给它们的边长，所以说先不要在图上把它们描出来， c 点呢是一个可旋转散体的接头，然后呢示意图，散体的界面，示意图是一个三角形 c e f， 呃，还算重要，三角形 c e f， c e 四 f 是 散体的支架，且关键条件来了，是不是 c e 等于四 f， 然后 c e 等于二米，那意意味着 c f 也是二米，然后角 c e f 等于十五米，十五度， 这个地方是不是出现了个度数？咱们锐角三角函数里面度数的角度的条件特别重要，找 c e f 十五度，咱们 c e f 跟它算等腰三角形，说明这半也是十五度， 是吧？那咱们继续往后读这个呢，给了一个时刻表和对应的太阳光和地面的夹角，九十啦，八十五、七十这些都给了。这个时候咱们来看下参考数据。我头先说一下啊， 参考数据这非常重要，因为你就想参考数据，咱们如果特殊角三十四十五六十，不会给你三 e 考三 e 摊正的值，但凡给到你，比如说三 e 十五，这里的三 e 七十考三 e 十五，七十摊正，十五七十，就说明你可能会用到。那就说明题里 怎么你的直角三角形里得有这两个角度，所以说呢，你构造直角三角形里得有这两个角度。所以说呢，你构造直角三角形里得有十五度，得有七十度。 那这个时候呢，咱们十五，想一下，十五度，哎，前面这个三角形里面 cf 里有，说明后面可能会用到，是不是七十度呢？ 是不是这个位置两点对应七十度，哎，说明你其他十二点、十三点、十五点、十六点、十七点可能就考不到了。那咱们来看一下项目结果，中午十二点 太阳光与地面垂直时，他说了使 e f 平行于 ab 是 吧？然后点 e 刚好落在 ap 上，点 e 落在 ap 上， 这样效果最佳。这个时候呢，咱们来看下午十十四点，是不是就是七十度的时候，然后还有个下午十七点，他省略了，说明这个时候不需要咱们去 做了。那这个时候咱们来看看一下问题，如图一，当中午十二点太阳光与地面垂直时，让咱们求影子 ab 的 长约多少？ 然后这个时候呢，咱们因为题目长呢，咱们就哎把咱们的条件都放到一面上，咱们前面关键条件 c e 等于 c f， c e 等于两米还是角？ c e f 是 十五度题图一中 ef 和 ab 平行且点 e 在 a p 上很关键的条件。第一个题呢，就让咱们在图意中求十二点时 a 太阳光与地面垂直，是地面引自 ab 的 长。那咱们题里说了， ef 和 ab 是 平行的，而且呢， e 在 咱们的 ap 上，那是不是就说明咱们的 ef 等于 ab 啊？为什么？因为你这个地方是九十度，咱们这因为光线这也是九十度，两个九十度了吧。然后你这个地方 他们是平行，这是不是也就九十度啊？所以说你的 e f b a 就是 矩形，是矩形的话， e f 就 等于 ab， 那 咱们让咱们求 ab， 因为你 ab 又不在 三角形里，也跟咱们的度数十五度、七十度构建不了联系。那这个时候如果求 ab， 咱们转换成求 ef， ef 刚好能跟咱们十五度构建联系。咱们 c ef 是 等腰三角形，你是不可以做一个 垂线，做 c m 垂直于 e f， 那 这个时候 c m 是 不是咱们 等腰三角形的高中线角平分线都可以三角合一性质是吧？那这个时候让求 e f 的 话，是不是求出 e m 就 可以了？求出 e m， 你 会发现，哎， 这有十五度的角，然后呢，求 em 的 话， t e c 给了二，这个时候你会发现三角形，这三角形 c e m 里面有一条边是二，斜边是二，然后呢？有一个角是十五度，我求出 em em 和咱们的斜边二是这个角的什么？这个角十五度的什么？ em 是 这个角十五度，什么边？零边，是不是用考塞你就可以求出来？ 是不很简单，不需要设，直接就能算，是不是求出 em 以后， ab 等于 ef， 它们是 em 的 二倍乘以二就完事了，是不是？哎，很简单，它步骤没有任何说 com 的 点，它 com 的 点是不是就是题目的长度上，同学们有没有发现？ 然后咱们再来看第二问，如图二，下午四点十四点时，他说求散体在地面上留下的影子， bk 的 长度， b k 就是 这个位置，而且七十度公分标上了，这个时候咱们求 b k， 你， 你来看 b k 在 直角三角形中吗？不在。七十度，在吗？也不在。那这个时候你自己去构造一下，相信同学们很多同学 都会构造，我要把七十度往直角三角形里放吧，而是要把 b k 往直角三角形里放，直接这样做个垂线不就完事了吗？是不是做个垂线，咱们设这个点为 n， 那 这样的话，咱们的 e k n f， 这就是个矩形，是不是咱们的 e f 就 等于咱们的 k n 啦？咱们第一位算了， e f 是 多少？三点八八，那你的 k n 是 不是三点八八？那就你发现。哎，我要求 k b， 那 k n 三点八八，有了，这个地方是七十度，是不是 k n 是 七十度的什么对边？然后呢？ k k b 是 斜边，七十度的对比，斜用三 e 不 就出来了吗？直接算就行了呀，发现没有任何个坑，两道题都是值， 给出你一条完整的边长，直接算就出来了，没有任何的弯弯绕绕，最后算出来，他这个说仅仅找四点一米，最后算的时候同学们注意，算到小数点后两位最后约等于四点一，注意一下答要有答占一分。 有没有发现这个过程非常之简单，而且这个构造直角三角形也不难吧？咱们的构造的目标就是把这些十五度、七十度往直角三角形里放就行了，发现只要构造出来，这个题就出来了， 而且这个直角三角形中有边长，直接算，单看过程他根本不配放在二十一题的位置，太简单了。 那他能放在二十一题，为什么？就是因为咱们前面这题怎么太长了？他是因为长度 导致会让很多同学觉得难，刷掉很多同学，他们理解了吧。所以说是不是还记得咱们以前一直强调的，咱们山西中考有一个特点吗？题目越长 越简单，把这个刻到你的脑子里。那咱们再来看第二道题，第二道题题目长度好像没那么难了，这个题呢，它是放在了二十题的一个位置，咱们来看下，它说是一个手机支架，手支架如图一。 然后呢，他的结构说是，哎，立杆 ab 垂直于地面，高度是一一五，给了我们一百一十五厘米。 bc 是 一个可旋转的枝杆，可以旋转，然后呢，长度固定是三十， bc 三十给了 bc 三十可以写出来。 然后呢， cd 是 一个可滑动的旋杆，可滑动旋杆说明 cd 可滑动，说明它可以伸长，包括能理解啊，不能理解，你可以先不着急去考虑它，然后参考数据给了个五十三度， 这个时候你发现题里现在还没有说度数，是吧？然后呢？说调节，如图二，调节质感 bc 选杆 cd， 使得选杆 cd 给了四十厘米，然后角 abc 是 一百四十三角， bcd 是 二十三，这个时候你会发现题里压根没给这个五十三度， 那这个时候你就想，你要构造直角三角形吧，是不是啊？构造直角三角形，你要找五十三度角，题里五十三度在哪呢？没有。 这个时候你要考虑哪个角能跟五十三度去构建联系？这个地方二十三跟五十三 好像联系不起来，是不是？他们差个三十度，是吧？哦，好像是个特殊角，一百四十三和五十三差多少？是不是差多少度啊？他俩之间差多少？九十度啊？好像这一百四十三，这样可以，哎， 可以去做一些，做一些东西了吧。然后咱们看问题，求地到地面的高度，地到地面的高度咱们可以简单先先做出来看一下，哎，实际上是求这个，这个虚线的这个高度，是吧？这个时候 你做文章的位位，地方在哪？你就应该先盯着一百四十三看，为什么？因为你要尝试构建五十三度的角呀，你的眼睛就应该盯着一百四十三，那一百四十三这个位置你怎么能划分出五十三呢？咱们刚才说九十、九十的话， 我这样画一下，这是九十，那这个这个位置不就是五十三度了吗？是吧？那五十三度的话，怎么把这五十三度放到咱们顺势做个垂直， 做个垂直，哎，这不就是咱们的，这不就是咱们的五十四 m， 这不就是咱们，哎，五十三度角啦，这个位置咱们做一个标，一个点 n， 标个点 n， 标个点 n， 咱们发现，哎，这个直角三角形 c b n 里面角 c b n 就是 五十三度，是不是？而且这个时候 c b 的 长度也给了，给出长度我就给他标上，我换换一个颜色笔吧， 给出长度我就给他标成红的。那你看，在 c b n 中，五十三度有 c b 有， 你能求出 c n， 能求出 b n， 是 不是？那这个时候咱们有没有发现有二十三度角还没有用？有的同学，那我构建二十三度的角，他也没给我三印，二十三考三印，二十三摊成二十三啊，对，你的方向是对的， 他没给你二十三度的锐角三角函数，你就不要尝试把二十三度往直角三角形里放了，这个时候你就要考虑这个二十三度怎么用， 这个时候你要想，他没给你，而且你现在只有五十三度能用，你就二十三度这个条件还没有用，你就这个时候来看，这是二十三度， 这个地方是多少度？同学们，想一下，你这是五十三，这个位置是多少？哎，一减三十七，那三十七加二十三，哦呦， 六十，哎妈，一个特殊角出来了，特殊角，这也是为什么题里参考数据没有，参考数据里没有给你，三以六十考三以六十摊成六十，因为特殊角的锐角三角函数是我们要求背的东西，是不是？哎，那这个地方，而且这个角 是六十度，他跟给的 c d 是 四十厘米，是不是能放到一个三角形里？怎么放？我从 d 做垂线，做了一个 d， d， e 垂直于 c m， 那 这个时候我有两个直角三角形 r t 三角形 c d e， 我 可能画的比较乱啊， r t 三角形 c b n， 其中 c d e 是 三十度六十度的特殊角，直角三角形 c b n 是 我们五十三度的，这个时候呢？你说那跟我要求的东西有什么联系？这个时候咱们来看，咱们要求的是这个位置， 咱们现在要求的是黄线的这个位置，是不是啊？那这个时候他和咱们的 em 是 不是相等？ 相等吗？相等吧，所以说你要能求出 em， 咱们问题不就求出来了吗？那 em 等于什么呢？ em 是 不是等于 c m 减去 c e？ 那 你说那 c e 能求吗？ c e 不是 你直角三角形里 c d e 里的吗？ c d e 里面 c d 是 多少？四十 c e， 这是六十度角，这个地方不是三十度，三十度所对边斜边的一半是不是直接就能得 c 一 是二十，那这个地方求出 c m 不 就行了吗？对呀，求出 c m 不 就行了，那 c m 等于什么？ c m 是 不等于 c n 加 n m， 那 c n 怎么求？ c n 在 三角形 c b n 中，那 n m 了吗？ n m 等于 ab 啊， ab 是 多少呀？幺幺五是不是就都出来了？ c n 可以 通过 c b 和五十三度来求。哎，这下所有的思路就都打通了，是不？我们发现我们这个时候，我们直角三角形里面都是有完整的边长的，一个是咱们的完整边长是咱们的 c b， 一个是咱们的 c d。 那咱们来看一下过程，咱们做三条辅助线，过 c 做 c m 垂直于地面，交地面于点 m， 然后过 b 做 b n 垂直于四 m， 然后过 d 做 d e 垂直于四 m， 然后呢？垂完做完以后，则 e、 m 就 和我们就是我们点 d 到地面的高度，它们是相等的。然后呢，我们根据题的条件把角度算了一下，是不是可以得到 c、 b、 n 是 五十三度一个关键条件，然后呢，我们还推出了我们的 d、 c、 e 是六十度，现在这两个直角三角形，我们在 c、 b、 n 中我们求出 c、 n 是 二十四厘米，在 c、 d、 e 中我们求出我们的 c、 e 是 二十厘米，然后呢，最后通过我们 a、 e 加得到了我们的 e、 m 是 一百一十九厘米，所以说地到点，地到地面的高度也就是一百一十九厘米。他们做的时候会感觉这个这个过程，哎，感觉没那么复杂，思路是我给你讲的时候感觉很齐，但是实际上这个题卡你的位置就是这个 这两条幅，这两个三角形 c， d， e 和 c b a 你 能不能做出来？很多同学就在这第一步就把你卡住了，都不要想后面再去做什么了。这道题卡点就是在于直角三角形，很难构造， 不是我们平时做那些射的，哎，延长一下，呃，把那个位置稍微延长一下，水平的稍微延长一下，或数值的稍微延长一下就可以得到的。这个地方需要你做辅助线，需要做好几条， 很多同学容易卡在这个位置，但是他也是有一个方向的，就是找题目中给的这些这些角度的，给锐角，三角函数这些角，他就看你给的角度，怎么能和这个角构建联系啊？ 是不是还有一定要把这些角度合理利用，还有给的这些完整边长，你想这些完整边长都是要放到直角三角形中，就围绕着它，围绕着它去构造，你不要乱写，就围绕着这些边长， c、 d、 b、 c 去构造就可以了。简，可以说一个简单的思路，就给的这些斜的，斜的边长啊，我直的边长我不管，如果是完整边长， 你的构造思路就是从这个边长两个点，一个点做数值，一个点做水平，这样做数值垂线，一个点做水平的平行线，就可以构造出直角三角形，这样方向做，或者说或者说朝朝右做也可以。 这个点做水平，这个点做数值，都可以看你的一个习惯，这是这个地方，你实在不会做。以后碰到这个类型，这个点做数值，都可以看你的一个习惯，这是这个地方，你实在是给出 长度了。像 c、 d、 b、 c， 你 就从这线段的两个端点，一个端点做水平的平行线，一个端点做数值的垂线，然后呢它们交于 一个点，就构造出你的直角三角形了，你到时候去解，尝试根据题的平行的关系了，或角度的给出的角度，去找到这锐角的锐角的度数，然后去算。这就是我们做这种题的一个思路， 这就就是我们今天要给同学们说的第一类型，不需要设的，如果考出来就这两道题，这两种模式，同学们一定要把它学会，对你的中考会有非常大的帮助。 咱们下一个视频呢，给同学们说一下需要设的他的套路模式是什么样子的，帮助同学们把这一块的分给你，完完整整的拿下来。好，我是大队老师，关注我，带你从容应对中考，我们下期见。

老师最近学到了锐角三角函数，那几个数我真的是经常被你记混，导致我计算题丢八分，导致我解答题丢十分。能不能快快救救我， 必须救，我不仅要救你，我还用两个方法救你。来看黑板，第一，咱们用一个图形的方法，就可以让你快速的记住这九个数。首先大家要知道三引是不是指的是对边比斜边， cosine 是 指的是 临边比斜边，而摊肩的是不是指的对边比临边。当然如果还可以拓展的话，他还有一个括摊肩特，这个呢和摊肩特就几乎一样了，他是摊肩特的倒数就是临边 比对边，这个你只需要记住摊肩特就 ok 了，这个咱们不记都无所谓，听到没有？好，咱们看这个图，如何教你快速的记住那九个数呢？ 先这个图当中有一个咱们八年级特别熟悉的一线三等直角，全等，这里直角，这里直角，这个边等这个边，而这两个直角是两个三角板， 这个三十度，这个六十度，这个四十五度，这个四十五度，然后咱们把它拼接上去，是不是就形成了一个 a、 d、 八、 f 的 矩形？那这个角是不是自然而然可以知道是十五度，而这个角是不是自然而然可以知道是七十五度，这个角是直角，那根据咱们这个三角板的比例， 一比根号三比二，那么这个长度是一，这个长度是等于根号三，这个长度是等于一，这个长度是二。 而根据咱们等腰直角三角形 a、 c、 e， 一 比一比根号二，那二二，这是个二倍根号二，这整个 b 大 是不是一加根号三，那这里是不是 a e 就是 一加根号三， 这里是不是根号三？ ab， 那 这里的 f 大 是不是也是根号三？这里用掉一，那这里是不是根号三减一，那你告诉我这里面哪一个度数你不能求你如果通过这个表格，你不仅能够记到三十度、四十五度和六十度， 你还能够记住十五度和七十五度，这两个没有在咱们学习范围之内的角度，所以说周老师更建议大家记住这幅图，当然你觉得这幅图你还是不喜欢周老师还有第二个方法来，这个表格大家是不是 所需要记住的就是这这么九个数，但是这九个数你经常用结婚，按照周老师的五秒记忆方法，一定可以让你完美的记住。首先第一秒他们全部都有分数线， 无差别记忆。第二秒他们全部都戴帽子，都有根号，无差别记忆。第三秒三引和扩散引， 发现他们的分母是不是都是斜边，所以他们的分母都相同，都是二，而摊肩的的分母不一样， 它是三。好到这里已经用了你四秒钟了。最后一秒跟着周老师一起读，一二三三二一三九二十七， 一二三三二一三九二十七，写上去就 ok 啦，一二三三二一三九二十七。 完成。当然这个方法有一个小小的瑕疵，就是咱们需要化解一下根号一，很轻松化为一，同理这个化为一，这个根号九是大家都知道等于三啊，三分之三，这个数字应该记为一， 根号二十七，三倍根号三，三三，推掉对根号三，你也可以快速的记住这几个数，听懂了吗？祝你考试顺风顺水下课！

我们接着来看第四张三角函数的内容，第三个内容，任意角的三角函数。我们在初三下学期的时候已经学过了锐角的三角函数，我们一起来回顾一下锐角的正弦、余弦和正切函数， 这三个公式呢，大家是比较熟悉的，我们右边呢给它有一个图，这个图大家还有印象吗？我们先来看角 a 的 正弦，角 a 的 正弦呢，就是角 a 的 对边，那我们看到角 a 呢，它的对边就是我们这个 bc 了，比上它的斜边，斜边呢就是这个 ab， 所以呢它的结果就是 b c 比上 a b， 那 么这里呢，可以剪辑为对比斜接着角 a 的 余弦，那就是角 a 的 邻边，也有这个 a， c 比上它的斜边，这个 a b， 我们看到结果就是 a c 比上 ab， 减记就是零比斜。接着再来看角 a 的 正切，它呢就是角 a 的 对边，就是角 a 的 对边， bc 比上角 a 的 零边，零边呢就是这个 a c， 或者你可以减记为对比零。那么在初三学习的时候还提到过，如果角 a 呢，它是三十多， 那这里的 b c 比上 ab 呢，它就等于二分之一。这里不知道大家忘记了没有，我们在上节课学习的时候，已经把角的概念推广到任意角，那我们这里的任意角的正弦与弦正切这三角函数应该如何来定义呢？我们一起来看一看， 就比如我们下面这个图一，那我们没有办法用锐角三角函数来进行表达，这里呢我们怎么办呢？我们在表达任意角的时候，就要利用坐标系来进行表达，我们来看一看，我们这里假设角 a 为平面直角，坐标系 o、 x、 y 中的任意一个角，比如我们看到这里， 他是任意一个角，在他的中边上任取一点 p， 假设这个中边呢，就是这里，我们在这个中边上面呢任取一点 p， 比如在这里，那他呢也可以，这里也可以是这里可以是任意的点， 那这里呢，要求这个点 p 呢，他不能等于圆点 o， 我 们过点 p 做 x 轴的垂线，垂线的焦点交于这个点 m， 比如我们可以看上面这个图案，我们在这个中间上面任取点 p 做他的垂线，哎，交于这个点 m 这里呢，我们前面提到 这个点 p 呢，是任意取的，我们也可以把它取到这里，那可以让他来教育这个点，我们也可以让他为 m， 同样也可以让他教育这里这个点是任意的，那我们这里呢，可以发现，无论他是这样 还是这样还是这样，你取任意的点，他们的角阿法呢都是不变的。 这里大家如果没有忘记的话呢，我们可以看到他们所形成的三角形呢，我们就称为相似三角形，这个不知道大家忘记了没有。 那我们从原点 o 到交点 m， 这个距离呢，就等于 x 的 绝对值， m 到 p 点的距离呢，就是 y 的 绝对值。接着我们把图放到右边，我们假设点 p 到原点 o 的 距离呢为 r， 点 p 到原点 o 的 距离这段呢为 r， 那 这个 r 是 多少呢？我们根据勾股定律，那 o p 的 距离呢，就等于根号下 x 平方加 y 的 平方。 接着我们有相似三角形的性质，我们就可以得到比值， y 比上 r， 也就是我们这个角 r 的 对边，比上它的斜边，或者是 x 比上 r， 也就是角阿法的邻边。比上斜边， y 比上 x， 也就是角阿法的对边，比上邻边，其中的这个 x 是 不能为零的，因为它在分母上面。这个是大家比较好理解的，它们的结果只依赖于角阿法的大小，与点 p 在 角阿法的中边上的位置是没有关系的。 因为我们前面提到，无论这个点屁在这里还是在这里，还是在这里，还在这里，他们所做的垂线得到了三角形，我们根据三角形的性质，他们的结果是与点屁在脚中间上面的位置是没有关系的，只与我们这个角阿法的大小有关系。 因此呢，我们就可以得到对任意角的 r 法，就有下面的定义，我们把 y 比 r 称为角 r 的 正弦，也就是它的对边比上我们的斜边，我们记住 c e r， 那 c e r 呢？就等于 y 比上 r， 我 们把 x 比上 r 称为角 r 的 余弦，记住口 c e r， 那口 c 按法呢，就是角法的邻边，比上斜边，我们把 y 比上 x 称为角法的正切，记住它键的按法，那它键的按法呢，就等于 y 比上 x， 也就是它的对边比上邻边。其中呢，这里面 x 在 分母上面，它是不能等于零的。 由此呢，我们就可以看出，对于每一个确定的角 r 法，都有唯一的正弦与弦，值与值对应，也就是 c r 法与 cosine 法呢，它是以角 r 化为值变量的函数，分别称为正弦和余弦函数。它们的定义域呢，都是 r， 这里呢，大家可以发现它是没有正切的， 因为我们可以看到，当 alpha 等于二分之 pi 加 k pi 的 时候，这个时候呢，点 p 呢？它的横坐标 x 等于零，也就是点 p 呢，在外轴上面，它无论是正半轴还是负半轴，只要它在外轴上面， 这个时候呢，它就没有意义。除此之外，对于每一个确定的角 r 法都有唯一确定的正切值与之对应，那它呢，也是以角 r 为自变量的函数，我们称它为正切函数，它的定义域呢，就是要求 r 法呢，不能等于二分之派加 k 派， k 呢，是属于正数的， 那正弦与弦正切都是三角函数，那我们在以后的学习中还会学习到其他的，这个大家到时候会学习到 这是他概念的内容。接着我们通过具体的题目来看一看，先来看例题四点七，如图，已知角 r 的 中间经过点 p， 求角 r 的 正弦，余弦和正切。那我们题干中给出来的点 p 呢，是负四三， 也就是 x 呢，它等于负四， y 呢等于三。那我们这里第一步要做的先求出来， r 等于多少 点？ p 到圆点 o 的 距离 r 它等于多少呢？我们根据前面的公式， r 呢，它等于 o， p， 它就等于根号下 x 平分加 y 的 平分，这里呢，我们把 x 等于负四， y 等于三代入就可以了，那就是根号下 负四的平方加上三的平方，那根号下面呢，就等于十六加九，也就是根号二十五，这种结果呢就是五。接着我们要做的就是分别代入就可以了，那 c 耳法呢， 它就等于 y 比乘 r， 那 y 呢等于三， r 呢等于五，最终结果呢就是五分之三。接着口音 r 法， 它呢就等于 x 比乘 r， 那 x 呢等于负四， r 呢等于五，最终结果呢就是等于负五分之四。接着我们再来看正弦残减的 r， 法，它呢就等于 y 比乘 x， y 呢等于三， x 呢等于负四， 负四，这种结果呢就是负四分之三。这就是我们这一题的答案，这里呢，主要大家还是要把公式记下来，或者是你要能推导出来。 接着我们再来看例题，四点八求中间的射线 y 等于二， x， 其中的 x 大 于等于零，它上面的角的正弦、余弦和正切。那么这里要做的第一步呢，就是要在上面随机取一个点 p， 我 们这里假设 p 点呢，它是一二， 也就是 x 等于一， x 等于一的时候呢， y 呢就等于二，或者是呢，你可以取二， x 等于二，那 y 呢就等于四， 那 x 等于三， y 呢就等于六，这些呢都是可以的，为什么取这个呢？因为这个简单好算，我们在做题的时候尽量举一些对我们有利的例子，比如这个点，我们就照我们算起来比较简单的 那点 p 呢，它是 x 等于一， y 等于二。接着我们要求一下这个二，二呢就等于根号下一的平方加二的平方，对吧？ 那就等于根号五。如果我们找到一个点 p 呢，它是二四，那就是根号下二的平方加四的平方，那你得出来结果就是根号二十，那我们就可以写为二倍的根号五。大家就可以对比一下那二倍的根号五和根号五，你做起来哪一个比较好做呢？肯定是根号五更简单一点了。 接着我们代入公式，先来看正弦 c 弦 r， 它呢就等于 y， 比上 r 呢就等于二， r 呢就等于根号五， 它就是五分之二倍的根号五。接着再来看余弦口 c， 弦 r， 它呢就等于 x， 比上 r， x 呢等于一， r 呢就等于五，那最终结果呢，就是五分之根号五。最后再来看正切它念的 r 法， 它呢就等于 y 比上 x， 那 y 呢等于二， x 呢等于一，那就是二。这就是我们这一题的答案。 同样，这里大家可以算一下，当 p 点是二四，或者是 p 点呢，是三六等等啊，也可以算一下，结果呢，是相同的，这是我们这里的例题。接着我们来看第二个单位圆与三角函数。我们把半径为一的圆称为单位圆。 在平面直角坐标系中，以圆点 o 为圆心，以一为半径的圆就是单位圆。比如我们可以看下面这个图，在单位圆上面，角 r 的 中边与单位圆的交点 p， 它的坐标呢，可以用角 r 的 三角函数来进行表示。 这里我们可以看到，角 r 的 中边与单位圆相交于点 p， r 呢就等于 o， p 的 距离，它呢就等于它半径也就是一。有正弦函数和余弦函数的定义，我们知道， c， r 呢就等于 y， 就 等于一，也就等于 y。 口 c 加法呢，它就等于 x 比乘 r， 那 r 呢等于一，那就等于 x。 因此呢，角 r 的 中边与单位元交点 p， 它的坐标呢，就可以表示为口 c 加法， c 加法， 那 p 点呢，就是这样的。一般来说，角 r 的 中边与单位元的交点为 p， 那 么 c 加法呢，就等于 y。 口 c 加法呢，就等于 y 比乘 x， 那 x 呢不等于零。这里大家就可以发现，我们把它带入 y， 那 它是不是就等于 c b 上口 c 就 等于 y 比上 x， 其中呢？这里面的 x 他 不能等于零，这个呢，在我们后面讲解的时候，会讲解到，根据点 p 的 横坐标 x 与纵坐标 y 的 符号，我们就可以确定，当角 r 法的中间在不同象限的时候，正弦与弦和正切他的符号。 比如我们先来看正弦，那他在第一项线和第二项线的是正的，第三第四呢是负的。 余弦，它在第一项弦和第四项弦是正的，第二和第三是负的，最后正切函数，那我们知道正切呢，它就等于正弦。比上余弦，我们可以看到，那第一项弦呢，正弦和余弦呢，它都是正的，那正弦呢？它也是正的。 再来看第二项线，第二项线的正弦是正的，余弦的是负的，那正负相比，那就是负的。再来看第三项线，他们两个的都是负的，那负负就得正，他是正的。再来看第四项线，正弦负，余弦正，那正弦呢就是负的， 这是他们中间在不同线上的符号，大家有个印象，接着我们来补充一下特殊角三角函数它的值。这个内容在我们接下来做题的时候会经常遇到，大家还是要多看一看，尽量的记一记，我们可以看到上面的是角度，下面的就是弧度。这里呢大家可以发现，在零度 九十度，也就二分之派，一百八十度，二百七十度和三百六十度，这些呢，他们都是比较简单的，那涉及到其他的就是带有分式的，大家借鉴。那么这里呢，无穷呢，就是不存在啊，大家有个印象，不存在。另外呢，这里面的贪念呢，他就等于三眼 比上口舌音，我们在记的时候，如果大家忘记了叹念，你就可以把声音比上口舌音算一下，结果呢，就是叹念的词。这里呢，大家有印象在我们后面做题的时候会经常遇到， 接着我们来通过具体的题目来看一看。先来看例题，四点九，判断下列各角三角函数值的符号，那我们这里呢，就是判断他是正的还是负的。先来看第一个三角，负三百二十五度，那我们知道负的呢，他是顺时针，大家可以看到这一圈是三百六，那我们三百二十五，负的三百二十五，大概就是这里，那他呢在 第一项线，或者是呢，我们可以先化解一下它的角度，比如负的三百二十五度，它呢就等于负的三百六，哎，加上三十五度，那我们可以看到三十五度呢，它在第一项线，所以呢它就是第一项线，那第一项线呢，是正的，所以呢它是大于零的。 接着我们再来看第二个 cosine 五分之三派，那我们知道五分之三派呢，它是要大于二分之派的，小于派，那大于二分之派，小于派呢，所以呢，它是在第二项弦角，那我们知道 cosine 的 第二项弦角呢，它是负的，所以呢它是小于零的。 接着我们再来看第三个，它念的四千二百五十二度，同样我们先化解一下它的角度，那四千二百五十二， 他呢就等于十一乘以三百六十度，加上二百九十二度，这里我们只需要看这个二百九十二度就可以了。那二百九十二度呢，他是大于二百七十度，小于三百六，所以呢，他是第四象限角，那我们知道正确的第四象限角，他是负的，所以呢，他是小于零的。 接着再来看第四个乘六分之十九派，那六分之十九派呢，我们就可以写成二派加上 六分之七派，那我们知道六分之七派呢，它是大于派，小于二分之三派，所以呢，它是属于第三项弦角，那正弦的第三项弦呢，它是负的，所以呢它也是小于零。这是我们这一题。接着我们再来看第十题，已知口算 c 大 于零，并且呢贪念的 c 大 于零 是确定角 c 叉是第几项线段，这里我们根据题干中的条件，那 cosine c 叉大于零， cosine c 叉大于零，它呢要么在第一项线，要么呢是在第四项线。再由于那贪念的 c 叉 小于零，那他念小于零，他呢要么在第二象限，要么在第四象限啊，要么在第二，要么在第四象限。这里我们找一下他的公共象限就可以了。大家看到他们两个都有一个第四象限，所以呢角尺的呢，他是在第四象限 这边。大家主要还是要知道正弦与弦和正切，他们在不同象限他们的符号。接下来呢，回答一下，大家可能遇到比较多的问题，比如大家可能在做题的时候，明明这个知识点他们在不同象限他们的符号。接下来呢，回答一下大家可能在做题还是不会， 比如我们可以看到下面这几个，那这些题呢，看着是比较简单的，但是大家一做可能就不会，那仅仅通过我们现在学的知识点呢？大家做起来呢是比较困难的，需要大家学完我们后面的知识点进行汇总之后，我们再做这样的题目的时候才会好一些， 所以呢，大家一定要静下心来好好学一学，把基础给打牢，避免我们在以后做题的时候，或者是你在看答案的时候，有的时候你答案都看不懂，这样就很麻烦了，所以大家一定要好好的静下心来学一学。好我们这个视频呢就到这里，如果这个视频对你有帮助的话呢，大家可以多多点赞转发分享一下，我们下个视频见，拜拜。

同学们，这一张的重点是锐角三角函数和解直角三角形。首先锐角三角函数在直角三角形中，角 a 的 正弦 c a 是 对边比斜边，余弦是邻边比斜边，正切是对边比邻边。 记住，三十度、四十五度、六十度这几个特殊角的三角函数值在以，三十度等于二分之一， 碳氮三十度等于二分之根三，碳三十度等于三分之根号三 sin 四十五度等于二分之根号二。 cosine 四十五度等于二分之根三。 cosine 六十度等于二分之一，碳六十度等于二分之一，碳六十度等于根三，这些是计算的基础。 然后是解直角三角形，就是在直角三角形中有已知元素求未知元素 依具有三个，一是三边关系，二是两锐角互余，三是边角关系。 最后是实际应用，比如测量物体高度、距离等，关键是把实际问题转化为直角三角形问题等，关键是把实际问题转化为直角关系来求解。 本章小结这一张核心是用三角函数连接直角三角形的边和角， 特殊角的函数值要记准。解直角三角形时，灵活运用三边、三角、边角的关系，结合实际问题画示意图是解析的关键，多练习就能熟练掌握了。

椅子的是什么东西？谢谢谢谢，谢谢，谢谢。斜边，然后还有椅子的什么？一条直，一个锐角所对的直角边，然后要求什么？ 求这个锐角度数，那么我们前面呢讲讲过直角三角形的一些性质，我们先来回顾一下直角，就可以知道我们原先讲的结论，在直角三角形中，如果有一个锐角，这个角是三十度，那么他所对的这条直角边 都是斜边的一半，也就是不管我的这三角形大小如何，他的对边与斜边的比都等于多少？二分之一。那么今天我们就来研究这个对边与斜边的比。 那我们来看一下，如果现在我把这个角度改为四十五度，那么请问对边 bc 比斜边 ab 的 比为多少？ 好，这个时候 改成四十度，请看这个时候 bc 比 ab 是 多少？零点六十，好，把这个三角形变大， 椅子变了没？再变大好，三角形变小也没有，对吧？所以就说只要这个角为四十度，那么对边与斜边的比就大概是多少？零点六四，好，再看一下，如果这个角度再变一变， 看看这个时候对边与斜边比多少？零点六四，好，三角形变小变大 也没有变，对吧？所以我们就可以达到一个猜想，只要这个内角的度数是固定的，那么它的对边与斜边的比也怎样？固定也是一个固定值。那请问同学们，你能够证明这一个猜想吗？ 能不能证明这个猜想，当内角角 a 的 度数固定的时候，无论三角形的大小如何，对边与斜边的比都是一个固定值。 没空笑，今天动手来证明这个才小，就是因为两个，因为都是两个角的关系，所以它们的那个， 呃，有一个角相等，所以这两个可以证明这两个三角形相似啊。就是我如果画两个三角形，只要使了这两个角相等，对吧？那么因为角 c 和角 c 次是九十度，所以这两个三角形就会相似音次， 所以就是 b c 比 a， b 等于 b 四 c 四 b 等于四 b 啊，先是对应边乘比例，然后把这个比值转一下，转成什么样子啊？ 呃，就画一下边，就是 b c 比 a， b 等于 b c 四 b 四 b 四 b。 好， 用我们前面的相似转化成我们已经学过的东西来证明。 好，那我们现在就得到结论，在直角三角形中，当内角 a 的 度数一定的时候，不管三角形的大小如何，角 a 的 对边与斜边的比都是一个什么值？固定值。好，刚刚这个证明，听懂了的举下手。 好，放下啊，那我们这个固定值在我们数学上我们就给他一个名称，因为是这个角正对的边与什么的比，斜边，那斜边我们标称为弦，所以我们把这个比值把它叫做正弦。 那我们现在把正弦下面定义什么叫做正弦， 什么叫做正弦，把前提在什么中直角三角形中，然后角 a 的 对边与斜边的比值叫做这个角的正弦。 好，那么正弦值我们记作三引 a， 也就是三引 a 等于角 a 的 对边比上斜边。如图，角 a 的 对边既为 a， 斜边既为 c， 就 等于 a 比 c。 好， 请同学们把这个概念读两遍，如图，其 如图，在 r t 三角形 a b c 中，角 c 等于九十度，我们把对角 a 的 对边与斜边的比叫做角 a 的 对称记作 side a， 即 side a 等于角， a 的 对边比斜边等于 a、 b、 c 好。第二遍，如图起如图，在 r 极三角形 a、 b、 c 中，角 c 等于九十度。我们把对角 c 的 对边平行于角 c 的 角 c 的 正弦记作三 a， 即三 a 等于角， c 的 对边平行于 a、 b、 c 好。 我们这一个正弦的定义，它有一个前提是在哪里定义的是直角三角形中，所以是直角三角形中 一个角的什么边对边与什么边的比，斜边叫做这个角的正弦，所以就是三 a 等于 a、 b、 c。 那么今天我们刚刚讲的，请朋友们来回顾一下。回顾一下我们三以三十度应该等于多少？ 二分之一，二分之一，对吧？对，因为三以三三十度，角所对的那个直角边是斜边的一半，所以三以三十度是二分之一。好，三以四十五度啊，二分的变化啊，三以六十度。好！ 选的们一起把这三个特殊角把它记一遍。三以三十度等于三，以四十五度等于三以六十度。来记一下现金里 a 得等于什么？ a 得的 平方等于谁的平方？ a， c 的 平方等于 a 得乘以 ab。 是 不是也可以把这个 a 得求出来 转化才给他相等的角？所以这个地方注意啊，就说除了用正弦值，还可以用用定义法直接求之外，还可以转化为和他相等的角的正弦值。 好，下面反过来，如果知道正弦值能不能求边长 有没有看到一题，三，好，我请一个同学来黑板上来做，其他同学底线完成， 可以用我们前面讲过的比例就是这条为七 s， 这条为二十五 s， 然后知道这一条边，所以用什么定力？勾股定力，而且 s 等于一，他写的很清楚，把什么舍掉，步数舍掉啊， 快一点点啊，耽误你一刻。好，那我们来看一下这一个 七。好，这个是刘薄熙的。哎，刘薄熙，你来讲一下你的想法是什么？因为三 a 是 等于 b c 和 a d 的 奇数，所以我们我们也可以设 a b 的 二十五 x， b c 的 七 x， 然后用勾股定底，就可以把 a c 表示出来，就是等于四 x。 那 我想问一下，为什么快速得到 a c 是 二十四 s， 因为勾股定底二十五 x 啊，对，你对勾股数要很熟悉，勾股数七，二十四就是二十五，所以有一条边为七，斜边为二十五，那么另外一条直角边就应该是多少二十四，所以这一条边为二十四 s， 然后就知道 a c 的 长度是等于 a b 乘以这里就是 x 等于一。 那这个提醒同学们啊，因为我刚刚看到有同学算了好久的啊，你常见的几组勾股数要把它怎么样牢记啊？常见的勾股数要把它牢记， 那我们来看一下，如果说是像我们刚刚这样子的，如果是已知三角函数求边长，一般情况下我们可能需要结合什么去求 勾股定力，还要可能要结合什么方程，像这样子是不是设一个未知数结合方程去求？好， 那下面我们来检查一下同学们选的怎么样？同学们拿出全部这个第七题呢？因为可能是你们输入的问题啊，第七题是五比十三，这个是十二比十三，然后都做对了，举手。 好，坐下啊，来，现在用一分钟时间，前后左右四个同学把刚刚有些题目做错了的讨论一下， 就这个， 我们来总结一下，我们这节课学了一些什么东西，用了一些什么方法？ 因为你，你学了哪些知识？正弦的第一，正弦的求法，以及反过来用正弦求编长。好，那么你用到了哪些数学思想？转化，转化转化转化转化成与它相等的角？ 还有设未知数也就是什么方程。 还有吗？勾股地理转化成以前用的勾股地理。