作辅助线求证三角形全等的公式

一招带你搞定全等辅助线当中的节长不短问题，很多同学学到全等三角形会发现不会做辅助线，导致很多题目证明起来没有思路。今天一一老师就教你一招，咱们来看这道题。 在正方形 abc 当中，角 man 等于四十五度，把角绕着点 a 旋转，这个时候呢，他与这两边交于两点 m 和 n， 让你求证这里面的 bm 加上 dn 等于 mn， 哎，他给我的三条线段好像八杆子都打不着，那如何证明他俩和等于第三条线段呢？又不在同一条直线上， 哎！这个时候一老师就要教你一招了，凡是在题目当中看到 a 加 b 等于 c 的这样的形式，无论他出现在题干当中，还是要证明的结论当中，你都可以条件反射他的辅助线，做法为截长补短。 何为结长补短？我之前给大家说过，结长就是在长的那上面结一轱辘，和短的相等。正全等补短就是在短的上面补一轱辘，让整体和长的相等，这个时候就能够进行证明了。 那我们来看这道题目，不妨我们现在就采取补短的方法来带着大家去做一做。其实这道题方法不唯一啊，你看 m 这是长的，那这两条线段不就是短的吗？我在短的上面补一咕噜，哎，这个时候我让他和他的长度相等， 或者说我让在这个短的上面补一咕噜，我让新补的这一咕噜和 b m 相等都行。来，你看，我如果让 d e 补出来这一咕噜和 b m 相等，那原来这个要证明的问题是不是转化成了 d e 再加上 d n 等于 m n 了，对不对？好了，那你看 d e 再加上 d n， 此时它不就是整条线段 e n 吗？所以我又可以转化了，我又可以把它转化成 e n 等于 m n 的问题， 所以这道题想要正它，我最后实质上正谁就行了，是不是只需要证明 e n m n 这两条长的相等就可以了？那我们来看一看，怎么证明这两条长的是相等的呢？ 哎，如果我想证明边相等，那在几何图形当中常见的思路是不是证明边所在的三角形全等？那如果我们能够证明三角形 a e n 全等于三角形 a m n 是不是就好了？ 那他俩全等该怎么证呢？你来看一看，这里有一组公共的边了，他们公共边是 an， 是不还缺一些条件啊，对不对？那下面咱们来看看该如何证明这两个大的三角形全等呢？你来看一看啊，我第一步 结长补短的时候看，补出来这一块和他相等。这一边呢，原本是正方形的一条边，这两个角都是九十度，所以这两个小的三角形一定全等了。两个小的三角形全等，那对应边是不是有 am 和 ae 相等啊？ 所以当我们想正这两个大的三角形全等的时候，我们发现就有两组边都是对应相等的了，那下面只需要再找一个角就行了，你看这四十五度是不是还没用呢？看，这里是一个九十度，这是一个四十五度，那说 明我剩下的这个小叉加上小圈相加等于多少度也等于四十五度，对不对？这两个三角形全等对应角相等，这是不是也是小叉？那你发没发现这个角他直至上也是小叉加小圈等于多少度？四十五度， 所以这两个大的三角形两组对应，边相等，中间的夹角又相等，他们全不全等啊？全等判定病理 s a s。 那其实这个模型又是我们常见的大家常说的这个绊脚模型，九十度当中出现了四十五度，可以利用小差加小圈四十五度绊脚来进行脚的转化。那这道题结长补短绊脚你现在学会了吗？

哈喽，大家好，我是东东老师，今天啊，是一个新的拔高系列全等三角形模型，那我们首先要讲的呢，就是困扰你们的辅助线结长补短的上级，好，我们马上开始如图，要争 ab 等于 cd 加 ef。 我们观察这个结论啊，看似平常某两边之和等于第三边，但我们回忆啊，有没有一个数学工具能帮助我们去证明两边之和等于第三边呢？其实没有， 就以我们熟悉的全等为例，那全等只能帮我们去证明某一边和另一边相等，那我们就在想这样一个两边和等于第三边的结论啊，我们能不能借助一些巧妙的辅助线，把证明它转化为证明某两边相等， 这就可以用到我们的标题，截长补短。这其实是两种辅助线做法，截长以及补短。那我们今天呢，先来讲截长啊，顾名思义，就是在长边上去截呗，那我们说长边是谁？不就是最长的 ab， 对吧？好，那我可以怎么截？ 我在 ab 上截一段，让他等于短边 cd 可不可以？可以吧，那我说在 ab 上去截 ah 等于 cd， 那我接下来证明这样的结论就转化为证明什么呢？那我只要证明剩下的一节与另一个短边相等是不就可以了，也就是只需证明 hb 啊，等于 ef， 这就是一种结 截长的辅助线思路。当然呢，方法不止一种，不过啊，无论是哪种截长，我们在分析的时候都要明确两点，截什么？接下来把我们证明的结论转化为了什么？那比如说我再给大家写一个啊，那我换一个，那我可以截取 a p 呢，等于另一个短边 e f 可以吗？好，那我截取 a p 等于 e f， 那我此时要证明的就是剩下的 p b 等于 cd， 对吧？啊， 当然呢，你看上面的两种呢，我都是从 a 这边去结的，那你也可以把另外两种补充完整，那我从 b 这边去结，是不是也是一样的道理呢？ 交给你来完成。接下来来一道真题啊，使劲应用。如图， b， d 是三角形 abc 的角平分线，这两个小角呢，是相等的， ab 等于 ac， 说明三角形 abc 是一个等腰三角形。更进一步，我们也能得到两个底角呢，是相等的，再读 角 bac 等于一百零八度，那么我们其实就可以求出底角的度数，对吧？用铅笔标在这里，一百八减一百零八七十二，再除以二。哎，那我们得到底角三十六度，角分线一分为二，那个是十八呗。好， 接下来啊，没有了，让我们求证。 bc 等于 ab 加 cd， 你看两边之和等于第三个边，这是一个典型的结长补短的辅助线思路。 接下来尝试截长，找到长边 b c。 但是截长有很多种啊，我得做两道选择题。第一道，那我从 b 处截还是从 c 处截独体以及观察图啊，我会发现 b 处的信息更多， 角平分线以及我们要用的边 ab。 所以啊，我从 b 处去解第二道选择题， 那我到底结 bp 等于 ab 呢？还是结 bp 等于 cb 呢？那依然是通过看图啊，我会发现，如果让 bp 等于 ab 呢？这有一组非常漂亮的，全等。好。第二道选择题，我让 bp 等于 ab， 那到这里呢，如何结长我就知道了。那么辅助线啊，咱们就可以写出来了，一般呢，我们是这么来写在长边 bc 上结，结什么呢？哎，我们结的是 bp 等于 ba， 那在这个图中啊，你看，截出屁以后，这个屁孤零零的在这，那会想他是不是可能跟某个点相连呢？再结合咱们刚才分析的，全等好，把它和 d 连起来，连接 dp， 那么接下来我们就要解决结场的第二个问题了，结场以后，那我们要证明的结论就转化为证明什么了呢？你看啊， 咱们结了 bp 等于 ba， 那我是不是只要证明剩下的 cp 等于 cd 就可以了呀？好，写到这里，只需证明， 那这个东西其实很重要啊，他为我们指明了接下来证明的方向，那 cp 和 cd 是否相等呢？观察图形啊， 其实就是证明三角形， cpd 是一个等腰三角形，那角度的信息很多，我们就会想，也许是证明两个底角相等。好，简单分析一下， 因为 abd 和 pbd 全等的 sas， 那么对应的角相等 这里也是一百零八，哎，那么零补角七十二度呗，再根据内角和一百八减三十六，减七十二，剩下的还是七十二，那么 cp 和 cd 二自然也就相等了，那么这个结论其实也就证明出来了。最后呢，给大家写一个简化 画板的证明过程，先写辅助线，然后呢，按部就班证明出来。那大家呢，可以把这个简化版的证明过程啊，完善成一个完整的满分过程，期待你的一键三连，我们下节课见。

一个技巧带你搞定全等辅助线结长不短，咱们来看这样一道题，在这样的四边形当中，我们有 ab 平行约 cd， 现在这是两条角平分线，那肯定有这个角的相等啊！ ce 叫 ab 上的一点与点一，让你求证 ab 加 cd 等于 bc， 又看到了这种 a 加 b 等于 c 的标志，所以我们很快可以锁定证明的方法，那就是通过结长波短来做辅助线。 那这道题咱们就通过截长的方法来带着大家一起证明一下，谁是脚长的那条线段呢？肯定是 bc， 那我就在脚长的线段上，我截取一咕噜，让他和这条短的线段 ab 相等，我就截取 bf 等于 ab， 我截完了之后，就在这里形成了两个全等的三角形公共边角边，就可以用边角边来证明他们全等。 所以这个时候我们原来的 ab 就转化到了谁身上啊？ bf 身上对不对？原来的 bc 还是 bc， 所以我只需要证明 bf 加 cd 等于 bc 就可以了。 而你发没发现，在这个图当中 bc 它不就是 bf 再加上 fc 吗？对不对？ 所以咱们想要证明提干当中的结论，其实只需要证明什么就可以了， cd 等于 fc 就可以了。那 cd 和 fc 相等吗？ 咱们该怎么证明呢？还是一样的思路，想要证明线段相等，我们只需要证明线段所在的两个三角形全等就可以了。 这两个三角形全不全等呢？咱们可以来一起推一推哦！这里有一组公共边，这里有一组对应角，我们只需要再找一边或者是再找一角就可以了。 但是这道题很明显并没有给你编的条件，所以咱们现在找角，那题中告诉我们， ab 平行于 cd， 两线平行必然有脚之间的关系，这里面只有同旁内角能为我们所用了。所以在这个图当中，咱们是不是有这个小三角，再加上这个五角星应该等于一百八十度啊？ 这两个小三角是对应角，所以他俩相等，而这又是个平角，所以如果这是小三角的话，这是不是也应该是小五角星啊？所以你就会发现这两个角相等， 那在这两个三角形当中，一角对应相等，一角对应相等，一边对应相等，咱们是不是可以由脚脚边证明这两个三角形全等啊？ 那两三角形全等对应边， cd 就一定等于，所以我们往前反推，那么这道题的结论就被我们证明出来了。 好了，老师带你梳理了这道题的解题思路，那你能不能自己完善这道题的解题过程呢？下面交给你了。

几何证明题没思路怎么办？很多同学都说几何证明类的题目我没思路，那么丁老师带你来整理一下这类题目的解题思路。 首先我们来看题，角一等于角二， bc 等于 cd， 求证角 b 加上角 d 等于一百八十度，那么我们应该怎么来思考呢？这里丁老师教你一个办法。几何证明类的题目，我们一般都是从结问出发来找条件， 找出能够证明结论所需要的条件有哪些，然后我们不停的向前推进找条件。 我们遇到困难的时候，我们再从题目所给的线索中出发，看一看这些线索能给到我们什么样的条件，两个方向一起用力，把这道题证明出来，这道题也一样。首先 我们来看这道题目的图形，这个图形明显是由三角形组成的，那么这些三角形他有什么特点吗？没有，就是两个普通的三角形组成的。 这时候我们就需要打开我们的思维导图，找到三角形当中的通用三角形部分，通用三角形部分包括角边全等，中位线相似。那么有一些内容呢？有些同学没有学，不要紧， 这道题我们需要证明的是角的关系，因此呢，我们来详细看一看角相关的内容，有三条，内角和等于一百八十度，外角等于不相邻的两个内角的和一个外角加上与他相邻的内角等于一百八十度。我们要证明的是 角 b 加上角 d 等于一百八十度。这三个条件当中，与一百八十度相关的是第一条和第三条，第一条适合三个角相关的，所以我们选择第三个关系来解题。 回到我们的题目当中，外角加上相邻的内角等于一百八十度，那么我们应该把它用在角 b 还是用在角地上呢？这道题角 b 和角地都是三角形的一个内角，所以我们就要去找相应的外角。考虑到题目当中给出的条线 bc 等于 cd， bc 和 cd 都是在三角形的下半部分，而且靠右侧，因此呢，我们认为这道题目最适合的就是找角地的外角，那么我们延长 ad， 将 ad 的外角标注为角三，由此我们得到角三加上角地 等于一百八十度。所以我们只要证明角 b 等于角三，那么我们就可以证明角 b 加上角 d 等于一百八十度。 那么我们如何去证明角 b 等于角三呢？角 b 和角三有什么关系吗？很显然，他们俩没有任何的关系，而且分数在不同的三角形内。 接下来我们就要打开我们的思维导图，那么我们在这里可以采用排除法，首先排除掉特殊三角形的部分辅助线和我们要证明的角相等没有关系，所以 说我们只剩下了通用三角形。那么在通用三角形当中，我们要去证明两个角相等的话，只有一个办法，那就是全等。如果我们能够证明两个三角形全等，那么我们 就可以得到对应角箱的，从而证明角币等于角三。那么要证明两个三角形是全等的话，我们就需要用到全等。三角形的判定一共是五种方法。 看回我们的题目，相较于角币来说，角三更特殊，他甚至不在一个三角形当中，我们要通过全等来证明角三等于角币，那么我们就需要把角三放到一个三角形当中，所以我们这里需要做辅助线，那么怎么去做辅助线呢？ 我们要证明两个三角形全等，一共有五种办法，这五种办法中需要条件最少的就是 hl， 所以 我们需要做一个直角三角形的辅助线，这里呢，我们可以过点 c 向 ad 做垂直，得到一个直角三角形。那么同样我们也需要将角 b 放到一个直角三角形当中，我们过点 c 向 a， cd 做垂直，那么垂直呢？我们分别标注为 ef， 那么我们要证明角 b 等于角三，我们只要证明三角形 cbf 和三角形 cdf 是全等的即可。 我们要证明这两个三角形全等，我们就需要证明他们的斜边相等，也就是说 bc 等于 cd， 还需要去证明一个直角边相等，也就是 ce 等于 cf， 或者是 bb 等于 df。 那么这个时候我们再看一看我们已知的条件， bc 等于 cd 是题目当中给出的线索，角一等于角二我们目前为止还没有用过，那么我们可以通过角一等于角二证明这两个条件当中的哪一个呢？角一个等于角二可以给我们带来 ac 是角 平分线，角平分线的性质是什么呀？角平分线上的点到角两边的距离是相等的，所以说我们可以通过角一等于角二，我们得到 c， e 等于 d f 啊，那么这道题我们是不是就已经证出来了呢？好，以上内容就是我们的证明思路，那么我们在求证的过程当中，只要把思路倒过来，就是我们整个的证明过程，你 学会了吗？如果你需要我这边提到的思维导图，那么就啊左滑一下，来到我的主页上来看一看吧。

先来简单介绍一下辅助线的作用，辅助线呢，是为了把不熟悉的图形变成我们熟悉的图形，把不能用的条件变成我们可以用的条件。解题的关键呢，在于边和边，角和角之间的转化。 常规的辅助线有简单的构建三角形等，要三角形、三线合一、平行线法、一线一角等，可以抓到关键条件或者关键字眼的 有含角平分线，非常中线，结长补短。常规辅助线相对比较简单，一般不会单独出题，结合其他辅助线或者其他知识点一起出现特殊辅助线。伴随着自己的模型和隐含条件。后面的章节呢，我会一一进行讲解。 第一，构建三角形的目的是为了补全图形，把不能用的条件用上。第二，从结论去推，到需要什么条件，再去找条件或者添加辅助线。第三，用倒推法的 推导图整理做解题思路，整理完倒过来就变成了题目的解题过程。一、当条件出现或者结论要求求证跟角平分线相关的时候，就可以做含角平分线辅助线。第二，含角平分线辅助线有三种模型， 分别为有高的做另一条高垂直中线延长和翻折。第三，含角平分线辅助线的通用方法有其他线段做，其他线段没有其他线段直接向两边做高。 第一呢，当题目中出现中点中线等关键词的时候，或者求证中点中线的时候，就可以用非常重 中线的辅助线。第二呢，背堂中线辅助线模型为中线平分的线段做的背长辅助线，对零角三角形、边角边 ss 全等。第三，背堂中线辅助线的隐含条件，推出一边平行可以直接做平行的辅助线，但这个不用，必须长， 掌握只是给到一个可能性。第一，当题目中出现多线段的和大小关系时，优先考虑结长补短，出现两线段之和等于第三边时，一定要使用 结长不断辅助线。第二，做结长补短时，大部分的情况结长线都可以解决问题，只有结长有困难时才考虑补短。

初中数学几何证明常考典型题已知三角形 abc 是等腰直角三角形 bd 是中线，也就是说这有个终点 ae 垂直于 bd。 求证角 abb 等于角 cd f。 那么咱们现在呢？开始做一下小标记。三角形 abc 是等腰直角三角形，这个没什么可标的。这块有一个直角 bb 是中线，说明他俩相等。有很多同学呢，看到中线呢，就基本上是中线背长了。但是这道题呢，他比较特殊，如果说你中线背长之后，你会发现你怎么折腾都折腾不出来。 所以说这道题啊，一开始很容易进入一个误区，就是中线背长。但是当你发现了中线背 长之后啊，你做不出来，你肯定要换辅助线。那这道题呢，还有个条件，这是一个九十度，他给了一个垂直，最后让我挣的是水啊，叫 abb。 就是这个角度和这个角度是相等关系。 那这道题中线背长，如果做不出来的话，那我们从另外的突破口去找。那我就开始想了，关于辅助线的特征是什么？ 那这道题有一个等腰直角三角形。那么在我的讲题当中，不止一次的说道遇到等腰直角三角形啊，最常用的辅助线之一，那就是俩直角边处构造全等。 什么叫俩直角边出构造权等呢？等腰直角三角形 abc， 俩直角边分别是 ab 和 ac 啊。那 你就可以啊，在 ab 和 ac 这俩直角边处分别构造两个三角形，让他们俩去全等。那如果他们俩全等之后，可能就会有你要的条件。 那这道题当中，我们怎么去构造呢？这道题的方法不是唯一的。那我一看， ac 这个地方有一个三角形是谁？ a fc 三角形 a fc。 那 ab 这有没有 afc 这个形状的三角形呢？没有。所以说我们就需要构造一个。但是有的同学可能会说，那在这个 ab 这个地方啊，好像有一个直角三角形，而且有俩直角三角形 abe 和 abd。 所以说这道题的方法不为 依旧在这，你也可以以 ac 为直角边，在这边构造一个直角三角形，这其实也是可以的。那我既然把这个三角形 a fc 写到这了，那我还是在这边去构造一个和 afc 差不多的三角形。 所以我就用到了什么呢？用到了截取。在整个 bd 上，我截一段，使这段等于谁呢？使这段啊，等于 a f。 也就是说截一个 dm 吧，连接 am 是 bm， 等于 a f。 在 bb 上取一点 m 是 bm， 等于 a f。 那现 在呢？我只需要正三角形 amb 和三角形 afc 全等。那他俩到底能不能全等呢？我们来观察一下。现在有了一个条件是 bm 等于 f， 还有一个条件就是 ab 等于 ac 两个条件。那第三个条件在哪呢？看好啊，在这设为角一。 这个角呢？设为角二。为什么呢？因为三角形 abd 啊，是一个直角三角形 ae 垂直于 bd， 这是一个双垂直模型。 那我们就会发现，就这个角度加上角二是九十度，而这个角度 adb 加上角一也是九十度，所以角一等于角二。 那这样呢，通过这三个条件，三角形 afc 全等于三角形 amb。 他俩全能有什么用呢？他俩全能啊，可以为二次全能创造条件。他俩全能之后就有这个 am 等于 fc。 然后我又一观察呀，三角形 d fc 和三角形 d am 给人的感觉好像是全等的，如果他俩一全等的话，所正的这两个角度就会相等。 那这俩三角形全等现在有几个条件呢？其中一个条件呢，那就是 fc 等于 am， 这是其中一个条件，哪来的呢？是因为他俩全弄了 来的。还有一个条件就是 d 为 ac 的终点。所以啊，还有个条件就是 ad 等于 dc。 还差一个条件，找夹角。 这个角度角 c 啊，他是等于多少度的呢？角 c 是等于四十五度的。因为三角形 abc 是一个等腰直角三角形，那每一个锐角都是四十五度， 他是四十五度，那就说明这个角度也是四十五啊。这个角度是谁？这个角度是 m a b， 他为啥是四十五啊？那是因为他们两个全瞪角。 c 和这个角是对应角， 所以他是四十五。而整个的角 b ac 是九十，他旁边这个角说的就是他。 m a， d 叫 m a d， 他也是四十五，所以他们俩就相等了。这样呢，通过这三个条件呢，我就可以证出三角形 amd 全等于三角形的 fc。 那他俩一全等之后，就会得到这个结论，叫 abb 等于叫 cdf。 这道题呢，是全等三角形那个单元，超级难的一道题目啊。这道题还有一种解法，就是过点 c 做一个垂线段， 做一个垂线与 a、 f 的延长线交易点，构造一个直角三角形。然后那个直角三角形和水呢？和 a 得 b 这个直角三角 角形去挣全等。当然呢，你挣完一次全等之后，还要挣二次全等的。那么呢，这个小三角形啊，就不在这了，就会跑到下面这个位置上来。 所以说呢，这道题大家学会的方法就是什么呢？遇到等腰直角三角形的时候，你去想一下什么？他的辅助线有之一，是俩直角边处构造全能三角形。

全等三角形的辅助线做法。黄老师总结了八种第一，结长不短第二，背长中线第三，平行第四，角平分线的双垂第五，绊脚模型 第六，补全图形第七，三线合一第八，手拉手。喜欢的点赞关注！

哎呀哎，老师你不早点讲啊，我的期末考试都考完了你才发，那怎么着？那中考不考了是咋的？你考完期末考试你，你上高中了啊，中考还考来全能三角形？那关于全能三角形的一个性质和判定啊，我觉得在这不用多说啊，其实就是拳头相等就完事了啊。那判定呢，唯独需要注意的一个点就是他除了那五大判定方法之外， 还有一个咱们同学们特别容易出错，是 ass 啊，也就是知道两个边，然后另外还知道这个一个角相等，但是那个角呢？不是那两个边的假角。那你知道 ass 在英文里边是什么意思吗？哎，你考试的时候我跟你讲啊，你如果用了 ass 作为判定方法来纯属放 然后全等三角形，他的一个模型合作辅助线的方法你必须得会。首先我说一下这个全等三角形的模型，第一个手拉手模型，那那个最基础的啊，是有两个等腰三角形，然后有公共顶点，而且顶角相等。哎，凑在一块，然后咱们左手拉左手，右手拉右手，组成了两个新的全等三角形。这个模型啊， 一个结论是拉手线的长度相等，而且拉手线的一个夹角等于等腰三角形的一个顶角，这个是最基础的。然后他的一个变形呢，可能是由一个等边三角形来做，或者说由一个等腰直角三角形来做，再难一点的话，是由一个正方形，两个正方形啊，顶角靠在一块，然后这样也能做出来两个手拉手模型，那 它的一个本质啊，其实在初三的时候我们会学到，它就是个旋转。第二个三垂直模型，那个你就记住一句话啊，如果我们在一个图形里边遇到了很多个起码是两个或者两个以上的直角，那么我们就不缺倒角， 不缺倒角，那也就不缺相等的角。然后三垂直模型其实我觉得考的比较难的是什么是三垂直模型的构造啊？就是直接告诉我一个等腰直角三角形，我如何去构造，那那个你就记住一个口诀，如果有一条直线穿过了等腰直角三角形的一个顶角，顶点就是九十度那个顶点， 那么我就过两个底角定点，咔咔往那个直线做垂线。那如果再难一点呢，可能在题目里边会出现四十五度，你记住，只要出现了四十五度，我就构造一个 等长直，好吧，你就往这连一个垂线就完事了啊，然后呢，再找找他的一个直角顶点在哪，然后往这咔咔做垂线，就能构造出来两个完全一样的拳头三角形，这就是三垂直模型。另外这个角函绊脚模型，你就记住啊，他的一个本质其实也是一个旋转啊，他更多的是出现在一个正方形当中，然后出现一个四十五度的角。 有些题目也会出现一个一百二十度的一个等号三角形，然后里边有一个六十度的角，经常会有啊，那个结论是固定的，查一查就可以。最后一个是对角互补模型，那那个你就记住啊，那里边需要用的一个口诀叫做 林边相等对角互补，我能推出来旋转型的全等，而且能够推出来一个角平分线，再往后做辅助线的方法啊，最多的用的就是两个，第一个叫做背长中线法，还有一个叫做肋背长中线法，是什么呢？ 如果题目里面出现了一个造型啊，一个边上有一个终点，那么我们连接这个终点和他的一个对边的一个顶点，并延长一倍啊，然后再连接另外两个点的话，我就能组成一个八字形的全等。那么类背正中线法，或者说背 背长立中线法呢，它的一个做法其实也是延长然后背长嘛啊，但是呢，不一定非得去连接那个三角形的一个顶点，然后这个结长补短法啊，你就记住一个口诀，叫做见线的和差，想结长补短，比如说题目里边出现了让我求证啊， a b 等于 c， d 加 e f 出现了什么一个条件啊，或者说两条线的之差等于另一条线段，那么我们往往就要想到这个做辅助线的方法啊，那结长补短法，其实是两种方法，第一种叫结长，是把长的线段哎砍成两段小的啊，然后证明这两段小的呢，分别和另外某一些线段长度相等啊，那可能是通过构造权等， 另外补短呢，就是短的补长啊，其实原理差不多，另外那个直角三角形斜分中线是斜分的一半啊，其实我在这就跟大家讲了，考试的时候往往也会出现那个也是碰到一个终点，我需要连接了一个辅助线的一个方法，还有一个就是等号三角形啊， 三线合一，如果碰到终点，咔咔这么一连啊，准没错。行了，差不多就这一些啊，我讲的这些呢，如果说不知道的啊，赶紧去问问老师，赶紧把这个模型证明吧，考试还真的爱考。

全等三角形在考试这一块，一般会考四大模型，也是四种辅助线技巧，分别是背长、中线截长、不断绊脚模型，手拉手模型，这是一定要会的。下面我们来看一个背长中线的题目，非常的经典，我们讲两种方法， 首先他告诉我们这里 ad 是中线，那必然地点就是终点了，又告诉我们 af 等于 ef， 这里面有相等的线段， afef 让我们挣 ac 等于 b 一 正，这里边 ac 和 b 一相等。正线段相等的方法，首选方法是正全等。好，那这道题要想正全等，目前看现有的图形是找不到那样全等的三角形的， 而已知条件中出现了中线，也就是终点，记住，遇到中线或者是内中线的时候，我们要备长，从而构 塑造出八字形的全能来解题，这就是做题的突破口啊。好了，那既然这里 ad 他是中线，我们的第一个想法就是把它背长出去来背长这里的 ad， 假设到点 m， 使这里边的 dm 等于 ad。 注意我的做法，使 dm 等于 ad。 好，下面我去连谁呢？连上这里边的 bm。 各位，当连完这有同学发现全等了吗？首先 bd 等于 dc， 终点对零点相等，然后你又坐在这里边的 ad 和这里的 md 相等， 是不是边角边，边角边三角形， adc 和 mdb 就全等了？好，这 a 全等。请问 ac 是不是就等于这里的 bm 了？我们要正 be 等于 ac， 只需正 b 一等于 bm 就可以了。而且全能的时候注意这个角一 是不就等于这里面的这个角二了，而已知条件给了相等的线段，角一是不等于这角三呢？角三的对零点是这角四啊，所以一一等于三，三等于四，而一又等于二，所以二等于四，二等于四，所以 b 一等于 bm 整完了， 最后 b 一等于 bm， 那也就等于 ac。 我们这题整完了，这是第一种方法，下面我们看第二种方法。我们说遇到类中线也可以背长，就他不是中线，类似于中线可以背长，那我们看这个题里边 ad 是中线，没毛病。那这里边的 e、 d 它不是中线了，它是类中线啊，那我也可以背长，背长 e d 使延长的这一段 d n 就等于这里的 e d， 然后连上 c n。 各位有发现全等的吗？ ebd 这个三角形和 ndc 这个三角形是全等的，中点这两段等对零角这两个角等，再加上这两段等，所以边角边全等 全冷之后，是不是这里的 cn 就等于这里的 b e 了？我们要挣的是 b 一等于这里边的 ac， 是不是只需挣这两个项目就行了？ 已知条件，这两段等角一是不就等于这角二，没问题吧？角二是不等于角三？由全等，角三是不是就等于这角四？ 所以角一是不是就等于角四了？所以 ac 是不是等于 nc 了？也就是一二三四是相等的，那么 ac 等于 nc， 也就等于 b 一，从而得正，你听懂了吗？

听思路学方法一起来看这个题。如图 ab 平行于 cd， ab 和 cd 平行 bece 分别平分角 abc 角 bcdbe 平分角 abc， ce 平分角 bcd 点 e 在 a d 上。让你求证 bc 等于 ab 加 cd， bc 等于 ab 加 cd。 哎，这种题我们类似的题型我们是不是见过呀？来，这两条线平行，平行的话来，咱说这是角一角二， 这是角三角四，这又是角平分线，是不是角一等于角二，角三等于角四，同时角一加角二加角三加角四，这两个大角是不是互补的同框内角？所以这四个角加起来是不是一百八十度？一百八十度各自拿出一个角来，角二加角三加起来是不是九十度？所以这是 就是一个直角。哎，咱们之前见过类似的这种题，那这个题他让我们干嘛？让我们求证 bc 等于 ab 加 cd。 又是搅平分线，搅平分线干嘛？最常想到的要么是搅平分线的性质，要么是干嘛？是不是构造肘对称的拳头三角形啊？ 来，怎么构造 b a 是吧？ b e 又平分这个角，来，咱们这个 b c 上，咱们找一点，比如找一点 f 吧，咱们连接 e f， 咱们使这个 b a 等于 bf， 可不可以？哎，咱们在这上面找了一点 f， 使 ba 等于 bf 连接 ef。 那么这两个三角形是不是 sas 全等？为什么呀？这两条边相等，这又是公共边角一，又等于角二，所以这个三角形 b、 a、 e 跟这个三角形 b f e 是不是 s a、 s 全等。全等了之后，这个 b a 是不是挪到这个 b f 上了？ 人家让我正 b， c 等于 a， b 加 c d， 我剩下这一段 c f 我正 c f 是不是等于 c d 就行了？正 c f 等于 c d。 来九三等于九四。这又是一条公共编。 我是不是正用这两个三角形圈子就行？我还少一个条件对不对？我这个肯定没法使。 sas 肯定没法使。你要正他俩吗？那你肯定不能用。那我只能找角对不对？只能找角怎么办？利用之前的这两个三角形圈子来。这个角 a 是不是等于这个角？咱说这是角角五吧。来 角 a 是不是等于角五？角 a 等于角五。角 a 和角 d 是什么关系？平行角 角 a 和角 d 是不是互补的同框内角啊？那角五和这个角六呢？角五和角六是不是互为零补？角他俩是不是也是一百八十度啊？那角 a 竟然等于角五。所以说明这个角六不就等于角 d 吗？ 角六等于角 d， 角三等于角四。 e c 等于 e c 公共变。是不是说明了这个三角形 c f e 全等于三角形 c d e 啊。这用的是什么？是不是 a s 哎， a s。 所以是不是说明了 c f 就等于 cb 了对不对？所以。所以最后人家让我们挣的 bcbc 是不是等于 bf 加 cfbf 等于谁？ bf 是不是等于 ab？ 哎， cf 谁 cf cd。 直接这个结论就出来了。所以这个题啊。这个图形我们是经常见的。我们经常见这中间这是个直角，但是这个直角我们现在用不着。但是搅平行线讲平行线想到什么？ 除了角平分线的性质啊。往两边做垂线还可以干嘛？还可以构造。其实本身往两边做垂线也是构造的轴对称的圈套三角形。只不过这个题我在这上面找一点 f， 我让 ba 等于 bf， 是不是同样还是要构造肘对称的拳头三角形？好，这个题咱们今天先讲到这啊，明天再见，下课。

初中数学要摆脱几何问题的困境，你首先要明白添加辅助线到底是为了什么。 我们来看题，如图， ad 使直角三角形 abc 斜边 bc 上的高点 p 是 ad 的终点，连接 bp 并延长交 ac 与点 e， 已知 ac 比上 ab 的比值是等于 k 的，让我们来求 ae 比 ec 为多少。 我们首先来分析问题，因为在问题中， a、 e 和 e、 c 这两条线段刚好是线段 a、 c 的两部分，那要求他们的比值， 我们就可以通过添加平行线，从而构造成比例线段或相似三角形来解决问题。而在构造时，我们可以通过点 e 来做 b、 c 的平行线，或者是通过点 e 来做 a、 d 的平行线。但是呢，在这道题的条件中，有一个非常明显的特征信号，就是 p 为 a、 d 的终点。那么结 结合终点四大模型，如果我们过点 a 来做 bc 的平行线并延长 pe， 使得他们交于点 f， 这样我们在得到了一组含有 ae 和 ec 为对应边的相似三角形外，还得到了一组平行线加终点的八字形圈等，也就是三角形 bpd 全等于三角形 fpa。 而根据全等的性质，我们还可以得到比翼迪等于 fa 这两条关键线段之间的数量关系。好，我们再来分析条件，因为三角形 abc 是一个直角，三角形 a、 d 又是垂直于 b、 c 的，因此我们根据三垂直模型就可以证的三角形 a、 b、 d 是相似于三角形 c、 a、 d 的，也是相似于三角形 c、 b、 a 的。而在题目中又告诉我们， a、 c 比上 a、 b 的比值是等于 k 的，那根据相似的性质， a、 d 比上 b、 d 就应该是等于 c、 d 比 a、 d 又等于 a、 c 比上 a、 b， 他们都是等于 k 的。此时我们再来结合代数法设 b、 d 等于 x， 那我们根据 a、 d 比上 b、 d 是等于 k 的，就可以得到 a、 d 是等于 k 乘以 b、 d 的，那也就是等于 k 乘以 x 的。而我们再根据 c、 d 比上 a、 d 是等于 k 的，又可以得到 c、 d 是等于 k 乘以 a、 d 的，那也就是等于 k 的平方乘以 x。 好，这样我们再来看问题中的 a、 e 比上 e、 c。 因为我们前面通过添加平行线构造出了三角形 a、 e、 f 相似于三角形 c、 e、 b 的， 所以 a、 e 比上 e、 c 就应该是等于 fa 比上 bc 的。又因为我们前面利用全等以正得 bd 是等于 fa 的，因此 fa 的长度应该也是等于 x 的。而我们再来看 bc， 从图中我们可以得知， bc 这一条线段，它是等于 bd 加上 c、 d 的，那也就是等于 x 加上 k 的平方 x 之和。因此 a、 e 比上 e、 c 就应该是等于 x 比上 x 加上 k 的平方 x， 而又因为 x， 它是不等于零的。因此我们可以把这一个分式进行一个化解，分子和分母部分同时约去 x， 就可以得到 a、 e 比上 e、 c 的比值是等于一加上 k 的平方的和分之一的。好，我们再来看下一道题。

标准答案中的辅助线是如何想到的？这个题会告诉你答案给出一个直角三角形， ac 等于 b， 也就是这两条黄边相等，还有 af 等于 ec， 也就是这两条绿边相等。让我们求角的度数。 这个题想直接求解非常麻烦。但如果我们知道逆等线段，那就完全不一样了。如果两条线段相等，但他们既不在一个等腰三角形中，又无法直接证出全等，那么像这样的两条线段，我们就把它叫做逆等线段。所以这一组黄边是逆等线段，这一组绿边也是逆等线段。 内。等线段的处理方式有很多，其中最常见的就是把一条线段所在的小三角形放在另外一条相等的线段上，搬完之后大概长这个样子。也就是把这条黄边所在的小三角形搬在这条黄边上。因此左右两个三角形全等。你这个角是九 十度，所以我这个角也是九十度。你这个边是绿边，所以我这个边也是绿边。当然，这个三角形的蓝边跟这个三角形的蓝边对应相等。我们令这个角是埃尔法，这个角是贝塔，因为你是个直角三角形， 所以埃尔法加贝塔等于九十度。大家不要忘了，左右两个三角形是全等的，因为你这个角是埃尔法，所以这个角也等于埃尔法。而我们知道埃尔法加贝塔，也就是这两个角相加，等于九十度，因此这个角是直角。 这两条蓝边既相等又垂直，所以我们很容易想到连接端点构造等腰直角三角形，所以这个角等于四十五度。 因为这两条绿线都垂直于黄色的底边，所以这两条绿线平行。此时这个题就会变得特别简单了。两条绿边既平行又相等，所以它是一个平行四边形。因此两条黄边平行。两直线平行，内错角相等。你这个角等于四十五度，所以我这个角也等于四十五度。搞定。

来，今天咱们来看一道正方形的经典模型。告诉我们 a、 b、 c、 d 是正方形， e 是 c、 d 的终点。同时告诉我们 f 是 a、 d 的终点。让我们证明的是 a、 p 和 a、 b 相等。 在正方形中知道了两边的终点。大家来观察 b、 c、 e 这个三角形和 c、 d、 f 这个三角形。 这两个三角形我们一定能证明的是 d、 f 等于 c， e、 c、 d 等于 c、 b， 并且两个直角。 所以 c、 d、 f 和 b、 c、 e 必然全等。既然全等了，我们就有对应的角等。角一等于角二，那么角一 一加角三是九十度，因为 b、 c、 e 是直角，那么同样的角二加角三也必然是九十度。那我们就得到了 f、 c 和 b、 e 一定垂直。既然垂直了，我们最终要挣的又是 a、 p 等于 a、 b。 大家想哎，这个角度 f、 p、 b 已经是直角了。我让你证明的是 p、 a 和 a、 b 相等。大家想到了什么？我们可以从两个层面来理解。第一个层面，因为 f 是 d、 a 的终点，我们延长 c、 f 交 b a 的延长线于 h。 当我们做完辅助线以后，大家发现由于 d、 f 和 f、 a 相等，而且 c、 d 和 a、 b 是平行的，那么此时三角形 a、 f、 h 和三角形 c、 f、 d 必然是全等的。既然全等了，那么 a、 h 就一定和谁和 c、 d 相等了。 c、 d 和 a、 h 等正方形， c、 d 又一定等于了 a、 b， 所以 a 就变成了 h、 b 的终点，而 h、 p、 b 又是直角。直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半啊。 所以 p、 a 就等于二分之一的 h、 b， 也就是等于 a、 b。 我们的问题就正完了。在正方形中，当我们知道了一边的终点， 我们可以非常轻松的构造全等，进而进行编和角度的转移。下课。

大家好啊，今天咱们专门来讲一下中考数学平面几何问题中的辅助线究竟是怎么做的，并且他为什么要这么做？刨根问底，咱们把这个辅助线呢讲清楚了啊，来看一下，一共是有四道题，但是第一道题我就要讲两种方法啊，五种辅助线的做法，好好看清楚了，这个利益的话，他说的是看了啊， 如图，在矩形中，矩形中什么呢？点 e 是延长线上的一个点啊，也就是说 e b c 呢，是贡献的， 并且呢，这个 c e 等于 c a， 也就是说对角线的长度 c a 正好是等于 c e 的，你看等腰三角形吧，并且有一个终点，对不对？ 那既然有终点的话，接下来做辅助线，咱们先看第一种辅助线做法，等腰三角形出现了底边上的终点，那三线合一肯定可以考虑到啊。那什么是等腰三角形三线合一来着？等腰三角形底边上 什么？底边上的高底边上的中线，还有顶角的角平分线，这是同一条线，这个就叫做三线合一，所以说根据一个条件，你写清楚了就行了啊，写一遍就行。然后呢，我们肯定是要连接什么的， 连接这个 c f 的，那做完辅助线之后的话，不仅 c f 是底边 a e 上的中线，而且还是什么？而且肯定还是高线吧，对吧？根据三线合一这样一个定理， 那么三线合一，三线合一，那画完这个以后的话，实际上上下我想说的是什么呢？大家看好了啊，首先可以得到的是什么呢？因为先写上终点吧，因为你这个 f 点为 终点，当然考试时候你写的详细一点啊，所以说此时这个 c f 是垂直于底边 a e 的，他也是高啊。那有了这一条之后的话，大家一定要看好了。嗯，哪一条呢？ 哎，上下好像有两个三角形啊，哪两个三角形呢？这两个三角形，一个是三角形 fad， 另外一个三角形，它是三角形 fbc。 我想说的是，这两个三角形，其实它是对称型的，全等。 那么用哪个判断定理来说明的全能呢？我就标一下，详细我就不写了啊。首先， a f 等于 b f， 这个不用多说吧，为什么呢？因为在直角三角形 a、 b e 中， 斜边中线等于斜边一半， bf 是斜边上的中线吧，所以说 bf 等于斜边 ae 的一半， af 也等于斜边 abaa 的一半。所以说根据斜边中线等于斜边一半，马上就得出来了，这是一组边， 两组边，这个 b c 等于 a d 吧，两组边了吧。那 b c 等于 a d 的话，还有什么？你说这个角相等不相等？根据写 斜边中线等于斜边一半，你看 fa 等于 fb， 那这两个角叉是不是相等啊？并且角叉加上指。嗯呐，懂了，其实就是根据这个边角边得出来的，两组相等的边夹着一组相等的角，所以边角边就得出来上下这两个三角形， 一个是 fad， 一个是 fbc， 这两个三角形全等。那么写完这个之后的话，接下来倒角就非常方便了，请你告诉我角一加角二等于几度啊？角一加角二的话，因为这样一个垂直，它当然等于九十度了， 并且的话，这个角一是什么关系啊？角一和这个图中的角三是什么关系？角一和角三，这肯定是相等的呀，因为全等，所以对应角相等，对吧？所以接下来我这个角二加上角三，那不就等于九十度吗？其解就是图中这个 b f d， 那不就是角二角三吗？这个角的话是等于九十度，其实也就是 b f， 它是怎么样的？ b f 它是垂直于 d f 的，然后就正完了。这就是第一种方法呀，懂了吧？常见的定理嘛，根据熟知的或者说常见的定理，做辅助线非常容易想得到。 等腰三角形啊，来了一条，还来了一个底边上的终点，那就想三想合一是非常容易的，所以就要这么做辅助线，那有没有别的方法呢？其实出发点第二种的话，还是从这个终点出发，只不过这个终点我跟谁结合呢？跟矩形结合。矩形跟终点，你能够联想到什么呀？ 能够联想到对角线互相平分吧。所以说对角线互相平分的话，那我就要做另外一种辅助线了。做了什么呢？我们就连接一下。呃， b d 吧，连接一下 b d， 连接 b d 之后的话，这个 b d 于 a c， 比如说对角线啊，嗯，交于点 o 吧。好，交于点 o， 好，那我连一下啊，红色的是辅助线， 好，连完了，这个是点 o， 对吧？红色的辅助线，然后呢，再连接一下谁啊？再连接一下 o f， 你别忘了啊，因为是矩形对不对？矩形，你告诉我这个对角线有什么性质来着？矩形对角线互相平分，所以说这个点 o， 它是对角线 ac 的终点，其实呢，这个点 o， 它也是对角线 bd 的终点，只不过我们现在用的到的是 ac 的终点而已， 那么点要是终点的话，这个 f 点是不是也是终点？ f 点是谁的终点哦，这个 f 点是 a、 e 的终点，两个终点的话，中位线是不是可以想到啊？也就是说图中这个 o f 是谁的中位线啊？它当然是 c e 的 中位线了。原来如此啊，当我写到这的时候，很多同学肯定已经清楚了，当写到这个位置之后，剩下的非常简单吧。那既然是等于二分之一的 c e， 所以又因为什么呢？我继续往后写，又因为你这个 c e 和谁相等啊？和这个 a c 它是相等的呀。其实 a c 的话和谁是相等的？然后呢？能懂我的意思吧，这个 a c 实际上和这个 b、 d 也是相等的。对角线矩形的性质吗？它是相等的，所以我想得的是什么结论呢？所以实际上这个 o、 f 它实际上也等于二分之一的 b、 d。 然后你稍微倒一下，我想写的主要是什么？图中的 o b 等于谁等于 o d 吧。没问题啊，这是对角线互相平分的性质，又等于 o f， 这个是我们刚刚得出来的，对吧？刚刚倒出来，既然图中 这三条线，这三条线是相等的吧，所以说我现在要下一个结论了。看好了哈，你注意 b o、 d 人家是一条线，所以说点 f 在什么上边？点 f 在以 b、 d 为什么为直径的圆上啊？ 为直径的圆上。那这个圆的话，我想想啊，那我就画出来吧，大概画一下这个圆哈，可能画的。那画完这个圆之后的话，既然臂力是直径，所以你说这个角 b、 f、 d 是不是九十度啊？在圆里边直径所得的圆柱角当然是九十度，其实也就是证明完了这个 b f 是垂直于 d f 的，所以现在也清楚吧。那出发点是什么？为什么要这么做辅助线？这个方法二 清楚吧，原因就在于已经有一个重点了，在结合矩形的性质，对角线互相平分，那么做完对角线互相平分以后，连接两个重点，那又 有什么了？又有中位线的形成，那剩下的就很简单了，对吧？两种辅助线的做法，虽然他是一道题。我们继续来看第二题啊，第二题的话，大家看好了，你看咱们现在把辅助线做出来，你也看出来了啊，第二题他说的是什么呢？说的是三线共点必旋转，其实这个有点像奔驰模型哈，他说的是什么呢？ 已知点批是等边三角形中的一点，并且他呢这个长度分别是三四五，三四五的话，其实 我们一开始还是很容易想到这个勾股数吗？对吧？三四五是非常经典的一组勾股数，那既然是一组勾股数的话，我希望是这个三四五构成一个直角三角形，这样才容易才方便解决问题，并且三条线已知三条线的长度，他这三条线呢，是交于同一个点点 p 的 三线共点 b 旋转吧，这也是经常用的一个口诀。那既然如此的话，我们辅助线应该怎么做呢？旋转？旋转谁啊？你注意图中啊，就这个题目中，让你求的是 apb 这个角，我们就尽量先不要破坏它，我们旋转谁，要么旋转 apc， 要么旋转 bpc， 这样吧，我们就旋转一下 b p c 吧。我先把这个图画出来啊，记住红色的部分呢，我们都是这个辅助线 好，比如说这个点的话，我就写成点 d 了啊，然后再连接 a、 d， 怎么回事呢？你当然可以写旋转，也可以说是一个正三角形，你这样写也行啊，做一个 正四角形，就思路上是旋转，但写的时候咱们写这个正四角形没有问题啊，做正四角形 b、 p、 d。 如图嘛，做完以后的话，再连接对应的这个 a、 d， 你 注意，此时图中有两个等边三角形，对吧？一个是等边三角形 a、 b、 c， 一个是等边三角形 b、 d、 p。 那么接下来根据两个全等的等腰三角形，有一个三角形啊，全等它非常容易正，一个是三角形 b、 p、 c， 另外一个是哪个三角形呢？另外一个是三角形 b、 d、 a。 就是这两个三角形，为什么全呢？我标一下啊。首先根据这个正三角形的话，这两组边是不是相等？肯定相等，这是毫无疑问的啊，而且它长度都是等于四的， 并且的话，哎，这个 ba 是不是等于 bc 等于啊？另外你告诉我，哎，你说这个角一和角二相等不相等，角一角二都等于六十度减去公共的角圈啊，所以角一角二呢，也是相等的，对不对？所以仍然是边角边手拉手模型得出来的。这样的全等，那得完这组全等以后的话，剩下的 咱标一标这个数字你就清楚了啊，这两个三角形，记住了，是全等的，你 pc 等于几等于四，还是等于五等于五吧。所以说 我此时这个 p、 c 旋转完了之后变成了谁啊？变成这个 d、 a， 注意啊，这是五旋转之前是五，旋转以后也是五嘛。然后根据正四角形的话，这个 d p 是四啊，因为 p b 是四，那这个 d p 也是四，然后 a p 等于三。那现在清楚了吧？因为在图中，你这个 p a 的平方加上这个 p d 的平方 是等于 a d 的平方的，所以勾股定理，这个角 d p a， 原来它是一个直角啊，它是一个直角啊，上边这个角，这是勾股定理的逆定理得出来的。 那么得完这个以后，上集的清楚了吧？您告诉我下边这样一个角，哎，比如说图中我现在标一个，这个角三是多少啊？这个角三，他当然是等于六十度了，所， 所以清楚了吧，你的稍微写详细一点，所以这个角 apb 就等于上半部分这样一个九十度，再加上谁再加上下半部分这个六十度，那最终结果当然是等于一百五十度了。然后这道题就解决完了。我还是这样一个问题，为什么这么做？辅助线已经说清楚了， 三线共点必旋转，并且如果你不旋转的话，初中我们学过平面图像的变换，也就三种吧，平移、对称、旋转，平移。我们不可能把三四五给挪到一个三角形里头，那对称的话也不行，只有旋转了，三线共点必旋转，一定记住这样一个口诀了啊，很有用。 那继续来看谁呢？继续来看第三题。第三题的话，转化化规其实就是把这样个，嗯，未知的条件，或者说把已知的分散的这些条件呢，给聚集到一块，这个就是转化 画规这样一个作用。看了啊，在三角形啊，在直角三角形 abc 中，他是一个直角，这个 m 呢，在 bc 上注意是直角啊，他是这么说的啊，大家一定看清楚了， 一个是 c m c 分别跟谁相等呢？这个 c m 呀，我标一下吧，这个 c m 呢，它跟这个 a n 是相等的，我再换一个颜色， 蓝笔看好了啊，并且它告诉你呢，这个 b m 跟谁相等？ b m 是跟这个 a c 相等的。原来是这个意思啊，一红一蓝这两条线段，一个 c m， 一个 c a， 这个倒是构成了一个直角形，这个没什么可说的，但是 这个红的和这个蓝的，他两个是分散的，我们就是特别希望这个 an 和 bm 能够挪到一块。所以说做辅助线的时候怎么做辅助线啊？考虑到垂直，我 告诉大家怎么去做这样的辅助线啊？首先是做什么？如图吗？你先要做的是 m e 垂直于谁啊？垂直于这个 b m， 这是第一条，这是九十度吧，保证这个角是九十度。 其次的话，我们还必须保证辅助线里头这个 m e 是等于 a n 的，其实不就相当于把 a n 这条线段挪到了 m e 这个线段的位置，形成了一个什么呀？形成了一个平行四边形，能懂这个意思吧？那接下来我们标一标角就行了啊，接下来非常简单 分享啊，因为我这个角 emc， 因为垂直肯定是九十度吧，并且呢，这个角 c 也是九十度。大家看了啊，这两个角，哎，这两个角他是什么关系啊？他是内错角，内错角相当，所以说是不是平行了呀？也就是说 a n 所在的这条直线 和谁是平行的？和这个 m e 是平行的， m e 和 a n g 平行又相等，所以我们会得到一个什么？会得到一个平行四边形，谁呀？平四边形 m e n a。 好，这就是转化化规，把这些条件 a n 和 b m 聚集到一块，形成了一个新的直角三角形 b m e。 那写到这之后的话，我们继续往后边看啊，光有这一个平行四边形还不够，还得有另外一组全等啊，这个我就直接写了，你考试时候写详细谁呢？这个三角形 bme 注意观察了啊，一个是直角三角形 bme， 另外一个三角形的话是 acm。 大家观察这两个三角形全等，他为什么全等？用的是哪个判定定理呢？首先，一组边相等吧啊？一组边。其次， 这个 c m 等于 a n， 不就相当于 c m 等于 m 一，因为它是传递的嘛，相等对吧？ c m 等于 a n， a n 又等于 m 一，所以说 c m 就等于 m 一。好，那既然如此的话，不妨我再画一条吧，这样更明显一些。 两组边对应干嘛了？两组边对应相等，而且中间这个假角是个什么角啊？中间这个假角是直角，所以你说是不是边角边的判定定理啊？全等了，有了圈一和圈二这两个结论，那剩下倒角就特别容易了。接下来我们倒角，你注意人家问的问题是什么啊？ b p m 让你证明这个角等于四十五度呢，其实非常好说啊。看好了，首先来说啊，你说，呃，这个角一和角二什么关系？由这个圈一，由平行四边形，我们可以得到这个角一肯定是等于角二的。没有问， 由全等的话，我们可以得到这个角三肯定是等于角四的，因为两个三角形全等，所以对应角相等，对吧？那好，我继续来看啊，请大家直接告诉我吧，你说这个角一加角三等于几度啊？那当然等于九十多位同学说，不会，怎么就不会了？ 角一和角三是直角形，角形中的两个锐角当然互余了。所以你说此时角二加上角四是不是等于九数的？是啊，光有这个条件还不够啊。另外，我想问一个问题， 就什么问题呢？根据全等的话，我们确实可以得出来什么结论，就是说这个 a m 肯定是等于谁的，肯定是等于 b e 的啊， 对吧？这对应边相等，但是呢，根据平行四边形又能够得出来什么？就是说根据平行四边形，我这个 a m 对边是等于 e n， 那传递一下，不就相当于我这个 b b e 是等于 e n 的嘛，稍微传递一下就行。好， b e 等于 e n， 你看一下我画圈的这两个条件嘛， b e 是等于 e n 的直角吧，等腰 直角三角形 b e n， 所以接下来看了啊，你说这个角 b n e 多少度？当然等于四十五度，当然还不是最后结果啊，最后结果的话，你看， 你说现在这样两个角他有什么关系啊？就是说我图中标的这两个红色的角，这两个红色的角因为平行， 所以它是同位角，相等吧，你写上啊，又因为 a m 是平行于 e n 的平四边形的性质嘛，所以同位角里头这个角 b p m 等于角 b n e， 它当然等于四十五度了， 你懂了吧？所以说，这道题辅助线大家是怎么去做的？首先呢？什么？首先我这个 cm 和 ac 两组不相等，但是呢，另外还有一个 an 和 bm， a n 和 b m 呢，它不在一块，我们就考虑把这个 a n 和 b m 挪到一块，形成一个新的直角三角形，在形成新的直角三角形的过程中，又不小心的正出来是一个平行四边形，剩下倒角求出来四十五度就非常容易了， 这就是转化化规，其实就是把这个 a n 和 b m 把两个条件呢可以聚集到一块，形成一个新的图形，新的结论，这个就是做辅助线的根本了。那另外我们要讲最后一个，也是中考这几天比较热，比较难的一个点， 二十元的辅助线怎么去做？我告诉大家怎么思考啊，我们先读一下题，首先二十元，二十元肯定有余额 嘛，他一般问的都是 ap 加上二分之一的 bp 的最小值啊，你注意如果是将近一码的话，这个二分之一是没有的啊，好在直角三角形 abc 中他是一个确定的直角三角形啊，其中 ac 长度的话是等于六， 然后这个 bc 长度呢，是等于四，一个四一个六啊，他是一个直角三角形，并且呢他这个圆的半径，注意啊，这个半径是等于二的圆的半径啊，就这个小二等于二。然后现在看了二四六三个数据，他说点劈是这个圆上的一个动点，就是说在圆上可以一直变化啊，变化位置， 现在当点 p 在运动的过程中，让你求 a p 加上二分之一 b p 的最小值，关键在于这个二分之一吧，这个二分之一的话，是不是就是半径和谁的比值，和 b c 的距 笔直啊，半径，半径。图中既有半径又有什么？又有动点啊？所以你做辅助线的时候，半径和谁的笔直？我再写一遍啊，半径和 a c 的笔直和这个 a b 的笔直啊，它是一比二的笔直，并且有一个动点。那我懂了，肯定，首先 你得连接什么？连接什么？首先你得连接什么？得连接一下 cp 吧， cp 其实就是那个半径，能理解我的意思吧，连接完 cp 之后的话，你看， 至少说现在这个 c p 比上 c b， 不管点评运动任何一个位置都能够永远保证这个二分之一了。但是光做这个辅助线的话，还是不够的哈，还是不太够的。那接下来应该怎么办呢？我们再找一个终点，半径是不是还有啊，谁比上半径等于一比二呢？也就是说 谁比上 c p， 所以接下来懂了吧，再找一个定点。你比如说啊，这个点 e 呢？是谁啊？点 e 是 b c 和这个圆的交点，我们找谁的终点呢？ 找一个终点啊，随意的终点，这个终点的话就叫做点地吧。好，就在这个位置啊，点地点也当然都是定点了。好，然后再连接什么呢？再连接一下 dp。 为什么连接马上你就知道了啊，连接 d p， 好，现在呢，我们连接 d p， 连接 d p 之后的话，你看谁比上 c p 等于一比二。当然是 c a d， 因为 c a d 正好是终点嘛，地点是终点，所以说 c a d 就是半径的一半。 那既然如此的话，我再加一条看好了啊，这个角 p c d 是不是永远等于角 b c p 啊？ 好，那我知道了，两组边对应成比例都是一比二，且中间夹角相等，这是不是相似？最典型的一个判断定理，也就是说这个三角形 c、 p、 d， 他肯定是相似于三角形 c、 b p 的，而且它这个相似比啊，就是这个二分之一，对不对？就是这个一比二。那所以既然有这个一比二的话，第三组边，也就是说 p e、 d 比上谁 p e、 d 比上这个 b p， 它的比值实际上也是一比二这样一个比值，也就是说我们得出来的结论，这个 p e、 d 等于二分之一的 b p 啊。 我们是不是一开始的时候解决二十元问题，特别想把问题中的这样一个二分之一 b p 改成一个系数唯一的线段，现在已经改成了系数唯一的线段了。也就是说，你原来问的是 a p 加上二分之一的 b p， 那我现在这个二分之 a、 b p 已经成功转化为一倍的 p d 了，永远都能够保证等于一倍的 p d。 所以你想一下，现在看啊，图中你说 a p 加上 p d 什么时候最短？当然是当谁当谁啊，说当这个 a、 p、 d 这三个点，其中 a 和 d 两个是定点，然后点 p 是一个动点啊，当这个 a、 p、 d 三点贡献的时候，才能够得到圈一的最小值。这个圈一的最小值，你说等于谁？圈一的最小值，当然其实就是这个 a、 d 的长度了，懂了吧？那最小的时候， 也就是说啊，当点 p 运动到图中这个 p 的位置，才能够得到 a p 加 p d 的最小值，那这个最小值的话，其实你根据这个勾股定理，也就是 a、 d 的长度， a、 d 长度在直角三角形 a、 c、 d 中， a c 等于六， c d 等于一，那就是一的平方加六的平方。购物定理算出来最小值是刚好加三十七，那么这道啊，十元问题呢，也就解决完了，懂了吧？啊，十元问题辅助线呢，最经典的就是构造共边共角形的三角形相似，在这个题里头是 要证明 c p、 d 相似于 c b p， 然后才能把这道题做出来，出发点也就是这个二分之一。现在应该理解这些辅助线的做法了吧。分享课堂知识，感受数学之美！我是杨万老师，下集课再见！

一招带你搞定全等三角形证明过程的书写！是不是很多同学在这种几何题目当中，过程经常扣分啊？ 如果你有这种问题，那一定要注意了，因为全等三角形是我们整个初中几何的基础，如果这一块的证明过程和思维学不好的话，那你后面再学习平行四边形，再学习更复杂的几何题的时候都会有困难，那下面呢，一一老师就来教大家一类写全等证明过程的通法， 这个方法叫做全等五步法。什么叫做全等五步法呢？我们来就着题看一看。这道题说了 e 和 f 在 b、 c 上告诉你 b， e 等于 c f， a， d 等于 d c， 哦，角 b 还是等于角 c 的，让你求证角 a 等于角 d。 我们知道啊，在证明题当中，如果想要正角等，最常见的思路就是证明这个 角所在的三角形全等，那咱们来看一看这个角所在的两个三角形是否全等，该怎么证明吧。哦，这两个三角形有两组边及其夹角对应相等，那么根据边角边当然可以证明他们全等了， 所以在这里我们就可以开始来写证明过程了。在这里我们先写出证明二字。写全等五步法的时候，最开始一定要写清在哪两个三角形当中，我们要正的是三角形 a、 b、 f 全等于三角形 d、 c、 e， 所以我们就写在三角形 a、 b、 f 和三角形 d、 c、 e 中，中间书写盘点定底，有一边相等， a、 b 等于 d、 c 一角相等，角 b 等于角 c 还有一边相等， 哎，还有一边相等，差着条件呢，因为他只告诉我们这两小段相等，我想证明他们全等，我得证明这两大段相等啊，所以就需要你在证明前先把这个条件给他推导出来，因为在这里给你了 b e 等于 c f， 而中间的 e、 f 是公共的，所以 b e 再加上 e f 也一定等于 c f 再加 e f， 那这样一推倒，你就会发现，其实我们就可以证明出来了，我们想要用到的这个边的关系，也就是 b f 等于 c e 了， 所以在这里 b f 等于 c 一就可以直接拿来使用了。好了，那边角边咱们都找到了，最后下结论，在三角形 a、 b f 和三角形 d， c 就是全等的判定定理，边角边。最后呢，有两个三角形全等，还可以推出对应的角相等，角 a 等于角 b。 那在解写这种题目解题过程的时候一定要注意，首先我们要左对左，右对右，这里都是三角形 a、 b、 f 当中的边和角， 这呢都是三角形 d、 c、 e 当中的边和角，而且我们要点和点怎么样一一对应， a 的对应点是 db 的对应点是 c， f 的对应点是 e， 并且这里的边角边一定要保证角在中间，这两个边的位置可以互换， 哎，这个叫做注意顺序。最后别忘了写你用到的判定定理。好了，那这个全等五步法你现在学会了吗？

同学们好啊，今天呢，我们来讲一讲全等三角形辅助线的构造方法哈，那么到了初二以后啊，我们会接触到一个难点，也是一个重点哈，就是全等三角形， 那么全等三角形呢，是在整个初中集合里面是非常非常重要的哈，我们想要证明一个边相等，或者说想要证明一个角相等，我们往往呢可以把它放在一个三角形里面去， 通过证明两个三角形全等，再来得出边或者角的一些关系哈，那么在全等三角形里面哈，我们都知道他的判定有五种方式哈， 那么呃，对于一般的全能三角形，我们可以通过找他的边和角来挣出他们全等，那么像有一部分题啊，就是比较难的，就是需要我们去构造辅助线哈，一遇到辅助线呢，很多同学 就发蒙哈，就不知道如何做了，当然这也是几个题里面的一个难念哈，几个题难就难在辅助线的构造哈，那么今天呢，就全等三角形它的一些辅助线构造的方法，老师呢，就帮大家码一码哈，帮大家码的明明白白哈，那么总共呢有四大类型， 要同学们把这四个类型的理解清楚，弄透了之后，那么我相信全能三个型他的辅助线的构造，大家下次遇到的时候一定会有想法，一定会有思路哈，好，首先我们来看一看， 总共分为四大类类型，一呢是关于角平分线相关的复制线的构造类型，二呢是由线段和差我们来想到的复制线的构造方法哈，当然这里面呢，用到了四个字叫截长不断哈，那么 例行三就是由终点想到的扶持线里面有一个非常非常有名的一个方法叫备长中线法哈，那么今天呢，老师也会着重的讲哈，那么例行四呢？那就是哎，其他的哈，那么其他的这里面呢？老师又 哎归结了四大类哈，就是四种常见的一些辅助线的构造方法。好了，开始今天的学习。