七年级上册数学沪科版附录手工纸教程

d c 歌德的朋友大家好，我是 kyle watch。 那 今天我们来看一下上周录制的 去年的八中七上的期末试卷里的一些呃，有难度的题目。首先上来的是第十题，这种题呢，也是我们练的比较多的呃，一般表现为在一个大的长方形或者正方形里面加入几块小的长方形纸片， 然后由此产生的一些周长面积的一些关系。一般是这样的问题，那这种题目呢，有共同的方法。先看题目，他说在正方形合体放了三张完全一样的长方形卡片，也就是这个卡片 会放三张，那在图中是哪个位置，你要看清楚，其实它指的应该是这一块，这一块以及竖着的这一块。 好，所以呢，它会产生两块没有被覆盖的区域，也就是 a 和 b 啊，而且他告诉你，他说长方形卡片短边啊，你就是边长，这个宽是小 a 未被覆盖的区域 a 和区域 b 的 周长差是多少？那这种题目的大体逻辑大家能搞清楚，就是你应该想办法把 a 区域和 b 区的周长，把这个周长都用 a 去表示， 然后你得到两个含 a 的 代数式去做减法啊，最终呢，我们应该会得到一个 a、 b、 c、 d 四个选项的某一个。好，那接下来你正常去想的话，我们就尝试一下，你看能不能把 a 区域用小 a 来表示一下，我们先把明确知道的小 a 给它标记一下，这都是小 a， 这都是小 a， 小 a， 小 a， 包括这个宽小 a 小 a， 这全都是小 a。 好， 那你看这个小 a 够不够你用来去表示 a 和 b 的 周长。那首先 a 的 周长呢？我们小学学过， 你把这两条线段给它往外拉，所以会拼成一个这样的形状，所以整个 a 区域的周长，它其实就是一个这样的图形， 这样图形对吧？这就是你 a 区的周长。那你先判断一下这个图形它是什么形状？这是长方形还是正方形？好，我们根据题目讲，因为整体的盒子是一个正方形的盒子，那所以它的这条边和这条边都是一样的。 然后在这个位置，为了大家看清楚一点，换个颜色，为了在在这个位置，它会减去个小 a， 在 这个位置也会减去个小 a， 那 所以我们得到这个 a 区域，它其实是个正方形。 那所以你要表示的周长的话，我只要挑一条边去表示长度就可以了。好，那你想一想，比如说这条边的长度，你能不能用 a 表示出来？ 经过尝试你会发现你好像无论如何都表示不出来这个长度，对吧？所以感觉我们缺条件，那缺条件的话，其实啊，我是当做新体去讲，其实在我们练过一些这样题目以后呢，应该很快能反应过来，这个小长方形啊，他给了宽是 a 以后，你要表示长度呢， 肯定会用到它的长，那所以我们把这个常用小 b 来表示，而这种有的人可能会纠结，那最终你的选项里面他只有 a 啊，这个 b 是 你自己设的，这是怎么回事呢？那所以我们一会在表达过程当中，最后你把 a 和 b 的 这个区域，我们都用小 a， 即小 b 表示，但是最终做完减法之后，你这个小 b 他 一定会被消灭，不然的话你就做不出来了。好，那所以我们尝试一下，那接下来把这些线段再标上去，那这个是小 b， 小 b， 小 b。 好， 接下来我们就表示 a 的 区域周长和 b 的 区域周长。 先看 a， a 的 话，我们刚刚讲到，你只要知道一条边的长度就可以了，那比如说我们就算我刚刚打问号的这条边，这条边呢，你应该拿总的大正方形的长度去减去下面这个小 a， 对 吧？那所以大正方形长度呢？你看左边看不出来，你可以看最右边的位置。 好，为了方便大家看啊，我们放一颗激光笔， 对吧？你看这个位置，这个位置的边长就很明显能看出来是二 a 加 b 嘛？那所以这个正方形的边长全都是二 a 加 b， 那 所以表现到这个小线段，就应该拿整个的二 a 加 b， 再减去底下一个 a， 那所以也就是 a 加 b。 好， 所以这个正方形 a 的 边长是 a 加 b， 那 它的周长就应该是 四倍的 a 加 b。 好， 先保留放在这里，然后我们再考虑 b， 那 b 区域呢？是一个小的，这个很明显它应该就是 a 加 b 啊，这时候呢？呃，还有乘二， sorry 啊， a 加 b 乘二，对吧？周长。那这时候有同学要纠结了，我们拿 a 的 周长是四 a 加四 b 减去 b 的 周长是二 a 和二 b 去括号做减法，那所以算完之后是二 a 加上二 b， 完了，这个 b 没有消掉， 这意味着什么呢？说明我们在这个图形当中，你肯定还要去找关系，来帮助你把 b 给它代入硝元换成 a。 那 你找一找这里边有没有什么地方能体现 a 跟 b 的 关系呢？ 机智的小朋友就会发现，这个长，这个长，这不是正方形的边长吗？他们俩应该是一样长，那所以根据边长相等，我们知道，如果你看下面这条边，这就应该是二 b， 如果你看右侧这个边，就应该是二 a 加 b， 所以 二 b 应该等于二 a 加 b， 所以 b 就 等于二 a， 那 这时候你把它再代入进去，那就会变成二 a 加上二乘二 a， 也就是 六 a， 所以 最终结果应该是 c， 六 a 就 搞定。好像这一类题目大家一定要记住，那基本上我们都需要把它给定的小长方形的长跟宽都会用到，有的题目里，它会直接给你设好。 有的题目里呢，他可能给你设一个，甚至有的题目里他不给你设，那你都要清楚。做这类题目，我们基本上你都需要把长和宽用字母表示，那最终把它要求的周长差也好，面积差也好，都是一样的，你把这两块 部分，把它的周长或者面积的表示出来，最后作差好。如果你自己设圆了，引入了新的字母，那最终这个字母一定会被消掉，如果它消不掉，比如说像我们这个题目，对吧？最终你变成二 a 加二 a， 这个 b， 它没有消掉，那就意味着你原题当中肯定有一些信息忽略了 你 a 跟 b 之间一定会存在某种联系，那可以思考一下。 接下来我们来看填空题最后一题。这个题作为填空题最后一题啊，我们都不用做，大家先想一想，你看到这个题目的时候，一定要留个心眼，留个什么心眼？你想一下 记忆的同学也影响到了这题，基本上不止一个答案，对吧？你要先有大概的意识，提醒自己不要忘记。好，他说我们把有公共顶点和一条公共边的两个角称之为共边角，我们随便举个例子，比如说 在这里我们先画一个角，他有一个顶点，你要找有公共顶点和一条公共边，那我们就过这个顶点再来一次，那所以我们画出来的这两个角就是所谓的共边角，对吧？我们先画图理解意思。好，他说，如果两个共边角的非共边 所组成的角是直角，也就是说是这条边和这条边组成的角是直角。好，那有没有想到这地方就是直角，对吧？大概画出来是这样的。那么问你折这两个角的角平分线假角是多少度？ 哎，所以说这题非常简单啊，那我就把这个角平分线给他画出来，不就完了吗？这是一个角平分线，这是另一个角平分线，对吧？我都不用动笔算，因为这里是角平分线， 这个也是角零分线。那所以中间这个大角应该是一个 x y， 整个大角是两个 x 加两个 y， 那 所以你中间这个角应该是大角的一半，所以答案是四十五度，所以直接搞定。四十五度， 对吧？好，但是，但是第一个，作为喜欢你不用这么简单，这个也太简单了。好。第二位就是没有给图，仅仅是文字描述的图形的问题，他极有可能不止一个答案。那所以我们要去想想，那这个题目哪里会产生多解？ 你从头到尾读一下条件，他说两个非公共边的，呃，所形成的角是直角，所以我刚刚随手画一下，我们想到是 这个边和这个边，对吧？组成的角是直角，但是我们也要去思考个问题，我们在学角的时候，我们学过优角和劣角，对吧？那所以如果你要想构成直角的话，它还可能是什么情况？ 我们第一个图相当于你是在这个里面画了一条线，得到了两个角，这样的话这两个角就是所谓的共边角，然后另两条边形成了直角，但是你还有可能是什么情况呢？ 你这个共边它有可能在外面，比如说这个共边在这个位置想一下，那这个时候你的两个角其实指的就是这个角和这个角， 体会一下没有问题吧，对吧？这两个路边角他的非公路边也会形成，你看这两条是非公路边，也会形成一个直角。好，那这时候你再按照题目的意思把它算出来就可以。好，分别做两个角的角平分线， 一个角平分线，两个角平分线，那所以我们要算的其实就是这个角，那这个角是多少度呢？我们应该很快能想到，他应该等于这个大角，一般 没问题吧？因为我们可以这样理解，这是 x， 这是 x， 这是 y， 这是 y， 那 二 x 加二， y 是 三百六，去掉的一个九十度，也就是二百七十度，所以一组 x 加 y 就 应该是二百七十度的一半，也就是一百三十五，所以这个题目还有一个答案是一百三十五。 好，所以这个题其实你听老师讲啊，觉得好像并不难，对吧？计算非常简单，但是就容易忽略，就容易漏气。呃，我可以这么说，期末考试的填空题里面，不出意外的话，百分之九十九的学校他都会有一道题是至少良心。 如果你期末考试的时候从头到尾做完以后啊，就特别是填空题做完以后，发现哪道题都是一道题，那你很有可能忽略一些细节， 尤其是几何方面的题啊，算线段，算角度啊，题目题里面极大概率会有一道题是不止这些的。好吧，大家留心眼。好，这是第十八题。 来，接下来我们看解答题的最后一题，是常规的动脚问题。这种题目如果放在期末考试当中呢，一般已经算是难题了，就会比较难了。但是呢，三个问， 基本上第一问和第二段都是不难的啊，所以你不管最后一问会不会做前两段，静下心把它解决掉。他说角 a、 o d 是 一百六十度，这个角 a、 o d 一 百六十度标在下面 o b、 o c o m o n。 内部的四条射线， 如图一， o m 平分角 a o b o m 是 a o b 的 角平分线，那所以我写两个 x o m o n 平分角 b o d， 我 们写两个 y， 写两个 y， 嗯，有点太流畅。好。然后他说 o b 在 内部旋转的时候，求 m o n 的 大小。这是一个非常常规的双角平分线的 题目，没问题吧，应该是比较好解决的。我简单的写一下角 m o n， 它可以拆分成角 b o n 加上角 b o n。 那 根据角平分线，分别是二分之一的角 a、 o b， 加上二分之一的角 b o d。 大家注意，这一步你在前面要写角平分线， 因为角平分线，所以有二分之的关系，所以它等于二分之一倍的角 a o b 加角 b o d， 那 a o b 加 b o d 合起来就是 a o t， 所以 是 a o t 的 一半，也就是八十度。这是一个非常常见的双角平分线， 双角平分线以及线段的双中线，这个都是考察频率比较高的，大家一定要非常熟练好。然后呢，第二问，第二问也比较简单，他说角 b o c。 如图二呢，角 b o c 是 二十，这个是二十 o m。 平分角 a o c。 好， 为了方便大家去看，我们换个颜色， 也就是这两个红角相等， o m 平分角 a o c o n 平分角 b o d。 那 我再换个蓝色， o n 平分角 b o d。 所以 这个角和这个角啊，这两个蓝角相等 好。最后问题是，当角 b o c 在 里面旋转的时候，角 m o n 的 大小是多少？像这个时候呢，这个里面角会比较多，关系也比较复杂。如果你觉得看的不太清楚，那我们有一个非常厉害的武器，就是射人去倒角， 因为有角平分线，我们简写一下，因为 o m o n 分 别平分两个角，所以我们可以设角 a o m 等于角 c o m 等于 x。 啊，你写阿尔法贝塔也可以啊。角 d o n 等于角 c o n 等于角 b o n 等于 y。 好， 所以两个红角，我们写两个 x， 两个蓝角我们写两个 y， 它让我们求的是角 b m o n 的 大小。所以呢，我们考虑先把角 m o n。 看这个图，我们想一下怎么去表示角 m o n， 中间这个角，这个角 m o n， 你 会发现这里边有一个 x， 然后还多了个 c o n， 那 c o n 是 多少呢？我们发现 b o n 是 y， b o c 是 二十，所以这个 c o n， 它应该是 x， 应该是 y 减二十 度，想一想没问题吧？好，所以这里我们再写一步啊，那所以角 c o n 应该等于角 b o n 减角 b o c， 也就是 y 减二十度，那所以角 m o n 就 可以由角 m o c 加角 c o n， 也就是 x 度加 y 度，再减去一个二十啊。所以我们发现要求 m o n 的 大小，你只要把 x 加 y 算出来就对。 来，接下来回到这个原图里边去找，我们要找 x 加 y 的 定数关系。好，我们发现整个 a o d 是 一百六十度， 它里边呢，这个部分 a、 o c 的 部分是一个二 x， b o d 的 部分是一个二 y 合起来是一百六，中间是二十。这种模型也是比较常见的，我在旁边给你画出来，你感受一下， 这是一个二 x 是 a o c， 然后呢，这里有一个 o b， 这里有个 o d， b o d 是 二 y， 这个是二 y， 大家想想，这个是二 x， 这个是二 y， 中间是二十，大角是一百六，这里应该会有个什么样的数学关系？这是非常常见的。这个小学我们就见，你感受一下，你体会一下，小学我们是怎么见的。 小学的时候我们讲，你看我这个角 a o c 啊，比如说你看这就是参加语文兴趣小组， b o d， 这就是参加数学兴趣小组，中间这个二十是两个都参加，总共一百六十，是全班总人数，体会一下，有这感觉没有，对吧？所以这里面存在一个什么样的数量关系呢？那应该我们会发现， 因为角 a o c 加角 b o d 减角 b o c 等于角 a o d。 体会一下，如果你反应快的话，我们直接想到这个抽象关系啊，当然有的讲，老师，我反应，呃，没这么快，对吧？那我也可以分开去想啊，你看，我们不要一步去写，这样也没问题。好，那我们就分开去写，那我们要想表示 a o t 一 百六十度， 这样吧，我把刚这个先写完啊。先写完，那所以角 a o c 呢？就是二 x b o d 是 二 y 减去中间的二十度，应该等于一百六十，所以得到 x 加 y 就 应该等于一百八除以二九十度， 那所以角 m o n 应该等于 x 加 y 减二十，也就是七十就搞定。好吧，好，那如果你说我对这个关系不太熟悉，我不能直接看出来，那也没问题，非常简单。你看，我们可以直接 把这个角先表示出来，这个不就是二 y 减二十吗？没问题吧？那所以整个的 a o d 一 百六十度，就会有一个二 x 加上一个二 y 减二十，这样分开去写也没问题啊，但是像这种常用关系，希望大家最好还是能记得啊，这是第二个就搞定了。 好，接下来我们马上继续看第三问， 上面的我们就先擦了这个图。 好，第三问，第三问。呃，正经的洞讲法， 在二的条件下，如果 a o b 等于十度啊，注意，这个二的条件下指的是啥呢？呃，就会有一个 b o c 是 二十度，以及两条角平分线，对吧？这就是二的条件好。然后呢？呃，这个除已经有点乱了， 所以我们重新画一个。好吧，画图的时候呢，画图也是一个很有技巧的事情，那首先 a o b 是 十度，我们就先画出一个 o a。 好， 我们先画出个 o a， a o b。 十度，我们画小一点，大概到这个地方，这个是十度。好。然后呢？ b、 o、 c 是 二十度，这是二度的条件啊，大概在这个地方画的，其实已经有点大了，但是不要紧啊，这个是十度，这个是二十度。为了方便看清楚一点，我度没有加 好。然后 o m。 平分角 a、 o c， 我 们换个虚线，平分角 a、 o、 c， 那 大概就在这个地方。 好，然后我拿两个红角给你标记一下，平分角 a、 o， c， o n。 平分角 b、 o d。 啊，所以我们把原来的 a、 o d 的 o d 也画出来， a、 o、 d 画出来， 一共是一百六啊，标完六太乱了，我们就不标了，一共一百六好， o n 平分角 b、 o、 d， 那 我们把 o、 n 也画出来， b、 o、 d 的 话大致画一下，大家在这个地方。 好，我们用蓝色的角标记角，平分角 b、 o、 d 这两个角相等 来。我们回到第三问团，接着看，说当角 b、 o、 c 在 a、 o d 内绕着点 o， 以两度每秒的速度啊。 b、 o、 c 这个角 就是这个部分的角，绕着点 o， 两度每秒，逆时针旋转，那也就是说这个 b 和 c， o， b 和 o c 两条射线，我们都是以两度每秒在往这个方向转的， 对吧？所以旋转过程当中， a、 o、 b 的 度数会变大， a、 o、 c 的 度数也会变大，那包括其他角的都会变大， 对吧？好，那所以接着再看。他说 t 秒的时候，角 a、 o m 和 d o n 是 二比三等，求 t 的 值。所以这个题目大家先理清楚，大概有记性，你应该想办法把这两个角用 t 表示出来， 然后列一个比例方程，把它解出来就 ok。 好， 我们先讲第一个 a o m， 那 a o m 这个角呢？因为它是角 a o c 的 角平分线，这个空间不够。好，我简写一下，角 a o m， 我 们能想到它应该是二分之一的角 a o c， 所以你只要把 a o c 表示出来，那就 ok 了。那 a o c 怎么表示？我们想一想， a o c 本身应该是十加二十，是三十度，但是 o c 这条线，它在逆时针旋转， 而且每秒钟是两度。那所以大家讲 t 秒的时候，角 a o c 应该会在三十度的基础上变大，并且每秒钟变大两度，那 t 秒就变大二 t， 所以 这就是 a o c 的 度数，那你除以二，得到 a o m， 也就是十五加 t， 大家可以好好学会一下。为什么再看一遍啊？ a o 四的度数会变大吗？它原来是十加二十三十度， 因为 o c 这个射线是会往这边转的，每秒钟转两度，那 t 秒就会转二 t 度， 所以在三十度的基础上加二 t 就 可以了。这跟以前我们讲的线段动点是非常像的，大家可以体会一下，对比一下。好，就 a o m 搞定。那第二步我们只要搞定 d o n 就 可以。同样道理，角 d o n， 它是二分之一的角，因为 o n 是 b o d 的 角平分线，二分之一的角 b o d。 那 所以你只要把 b o d 表示出来就可以了。那我们再观察一下 b o d 的 度数怎么表示？ b o d 本来 o b 在 这个位置，这里是十度，那 b o d 本来就应该是一百五十度啊，一百六十度减十度，一百五十度啊。但是呢， o b 在 往逆时针方向旋转，每秒钟转两步， 大家想一想 o d 是 什么动的？ o b 每秒钟往这边转两步，所以角 b o d 就 应该减少两步， 那 t 秒钟呢？就应该减少二 t 度，对吧？那所以角 b o d 的 度数应该是二分之一，乘上原本的一百五十度，减去变小的二 t 度，所以最终是七十五度减去 t 度。 好，那最后你只要套入几个方程就 ok 了。其实这个题目的难度呢，还不算大，因为它没有分类讨论，这个表角度表达方式是唯一的，它不会出现不同情况表达方式不一样的问题，所以这个其实难度不算大。那所以我们就会得到 比上七十五度减去 t 度就应该等于二比三，好，最终把它解出来就可以了。我们简单解一下，所以三乘十五加 t， 也就是四十五度 加三 t 等于一百五十度减二 t 度，所以五 t 度就等于一百零五度，所以 t 应该等于二十一就 ok 了啊，所以最后中上 t 值为二十一，搞定 好。以上是我们去年的八中期末考试的一些难题，这个卷子其实难度还是呃有一些的，还是有一些的，大家可以好好的体会一下 好，包括我们讲到的每一类题型应该用什么样的方法去解决，一定要注意，因为考原题的概率可大了，当然你一定要理解这些方法。好，今天我们就到这里。

恭喜大家呀，即将走完速客版七年级上册的数学旅程，今天啊，我们就来攻克最后一张，也就是整个初中几何的基石线段角。别小看这两个简单的图形，他们可是你未来几何大厦的第一块砖。跟紧我这一张的考点啊，难点咱们一次性搞定！ 第一部分，直击灵魂的线。首先啊，我们来看线，生活中有很多线，比如说桌子的边缘，笔直的公路，在数学里面，我们把它抽象成了线段。 线段有两个最关键的特点，第一，它是直的。第二，它有两个什么端点也它的长度呢，是有限的，是可以测量的，这就好比一根有头有尾的铅笔一样。 那么如果我们把这根铅笔的一端无限拉长呢？他就变成了射线。射线只有一个端点，另一端是可以无限什么延伸的，这个有个端点，然后朝这边无限延伸的， 就像手电筒一样啊，射出的光，或者是像激光笔发出的光束一样，都是射线的绝佳例子啊。那如果把线段的两端都无限拉长的，没错，他就变成了直线。直线是没有端点的， 可以向两段无限的延伸，所以它的长度是不可测量的。那么这里有个小技巧，帮大家区分一下 线段两个端点像一座桥，有头有尾。射线一个端点像一道光，有头无尾。直线没有端点像宇宙无头无尾。那么这一张呀，关于线段最重要的考点是什么呢？毫无疑问是两点之间 线段最短，这个是基本的事实啊，这句话非常重要，他解释了为什么我们走路总喜欢超近道。在考试中，他经常和生活应用题结合在一起的，比如 河边建一个水泵站，怎么建才能让到两个村的这个水管总长度最短？核心就是利用这个原理。第二部分，无处不在的角，聊完了这个线呀，哎呀， 我们来看一下由线组成的这个图形。角。角是怎么来的呢？很简单，就是从一个端点出发，引出两条什么射线，这两条射线所组成的这个图形，我们就把它称为什么角，那这个公共的端点就把它叫做什么顶点。 这两条射线啊，就是角的两条边，比如说张开的书本钟表上的这个时针和分针，都形成了什么角，是不是这样子的？那么爱心也是啊，角的核心是什么呢？是它的大小。 脚的大小啊，和两边的这个长短是没有关系的，比如说这边可以这么长，对吧？但是他脚的大小是不改变的，你把扇子张开的越大，脚就是越大的，你看这样和这样是不是不一样呀？啊， 怎么比较两个角的大小呢？我们可以用叠合法，就像叠纸一样，把两个角的顶点和一条边成和，看另一条边的位置。当然了，最精确的方法还是用两角器啊，两角器的使用是必考的操作技能，大家一定要熟练掌握。两对齐， 中心对顶点，零线对一边。好，接下来是角的这种分类，这也是必考点啊，比如说锐角是大于零度，小于九十度的。钝角呢，是大于九十度的，是小于一百八十度的， 他看起来就是一条直线啊。周角呢，是等于三百六十度的，比如说旋转一周就回到原位了，这是周角 啊，这里有个小口诀，锐角小于直角小于钝角小于平角小于周角。它们之间的关系也要牢记，比如说一周角等于什么？两个平角是不是等于四个直角？ 核心考点与易错点大总结啊！好了，知识点我们串完了，那现在进入最关键的划正点环节。第一个考点，基本概念的辨析， 选择题里最爱考你线段、射线、直线的区别以及角的定义，记住他们的端点和延伸性啊。考点二，基本事实的应用，比如说两点之间线段最短的应用题是大题常课啊，一定要会画图分析。 第三个考点，做图题，比如说硬尺规呃一，一个角等于做一个角等于已知角的，或者是做线段的垂直平分线的，这是几何证明题的基础啊，动手能力一定要跟上的 啊！这里面的易错点就是角的表示方法，当一个顶点处只有一个角时，你可以用一个大写的字母表示，比如说角 a 角 b 角 c， 单独的一个角。但如果一个顶点处有多个角，你必须用三个大写字母来表示，比如说角 iob， 角 boc 啊，并且顶点字母要写在中间，这是无数同学栽过跟头的地方啊。第二个易错点，就是角的计算，看到一个复杂的图形，里面有很多个角，不要慌， 仔细寻找这个对顶角呀，比如说对顶角相等是不是还有没有邻补角，邻补角相加是等于一百八十度的这种关系，还比如说互余的两个角啊，是不是他们和是呃，九十度啊，这些往往都是解析的突破口。 同学们，线段角啊，这一张是你们从竖的世界正式踏入行的世界的大门， 它不难，但非常重要，它教会你的不仅仅是几个定义和公式，更是观察、分析和逻辑推理的几何思维。 把这一张学渣舍你的初衷几何之路就成功了一半。好了，今天的内容啊就到这里了。嗯，我是胡老师，祝大家嗯，好好复习期末考的那个优秀的成绩。