济南市中区一模数学真题和标准答案

hello， 大家好，我是蒋文老师，欢迎大家收看本期的试卷讲解啊，今天给大家来讲一下市中区刚考完的这套中考一模数学试卷。 嗯，呃，整体算下来呢，我主要还是讲一下压轴题啊，整体算下来的话，难度还是，呃，挺大的。对，因为计算量也确实比较多啊。然后我们重点来看一下，比如说倒数的这个第九题吧。嗯， 这道题目呢，其实本身难度倒不大，但是关键是有一个倒角的这个思路，能够整理出来，有一个字幕相似，这个很关键。对，那，呃，大家可以看一下啊，这里面交代了一条 a d 是 角平分线，还有一条垂直平分线，完事呢，给到了 bc 的 长度和 cf 的 长度，最终想去求 e f 的 这个长度，嗯，先把这个挪开啊， 行，然后我的一个思路是什么呢？是这样的，就是，呃，因为我们知道角平分线，它会平分角以及到角的两边距离相等，对吧？当然还有一个叫平分线分线段成比例对它的性质， 然后垂直平分线的性质呢，就是唯独就只有一个，就是垂直平分线上点到线段，两段的距离相等，所以你有了这个认识之后呢，那么看到这条垂直平分线，你会发现它特意交代了一个交延长线与点 f， 所以 这个就是我们的突破口，它肯定是连接 f a， 之后呢，它肯定和 f e 是 相等的关系。 对，所以呢，你像这道题，我如果想去求 f e， 那 我其实就可以求 af 就 可以了，并且与此同时，这里还出现了一个等幺啊，所以它的底角会相等。那这时候我们观察到这个底角和这个底角它们的这个组成呢，分别是你比如说角平分线，我可以分为 alpha 和 alpha， 然后呢底下这个角呢，刚好是一个 alpha， 外角嘛加是个 beta， 所以 上面那个角应该也是 alpha 加 beta， 所以 我们就推出来了这个小角必须是 beta。 好，那所以这时候呢，就找到了我们这个相似，就我这里写的 f c a 相似于 f a b， f a 的 平方就等于 f c 乘以 f b， 这样就很轻松解出来了啊。 ok， 然后这个倒角的思路让我想到了这个，呃，年前九上的这个历下期末考试的最后一道题，大家有时间可以去翻看一下那道题啊，那道题也是在找那个相似的字幕，相似倒角的时候特别的巧妙，嗯，很这个思路有点相通。嗯， 好。然后我们来看一下这个第十题，这里呢，我都已经写完过程了，所以我们就交代一下，我就不再重新写了哈，节省下时间。对，然后像第一个的话呢，他的序列数，这个没问题啊，这个肯定都对的。第二个呢，就是他说横有两个交点，那这里我们根据他的序列数可以写出来，他的表达式应该是长成这个样子的， 对，应该长成这个样子，所以它的表达是，那么我们想与 x 轴有两个交点，我们的判断依据就是当 y 等于零的时候，得到那个一元二次方程，应该有两个，呃，横有两个，那个 不等的实数根，对吧？所以说我们拿到那个方程之后，我们应该要找的是 delta， 必须要大于零。但是我们去算了一下，它这个 delta 之后呢，它是 b 方减 c， c 它是 m 减二的平方，这是一个平方数，它是大于等于零的， 所以它是有希望等于零的。那如果真的等于零的话，那这个与 x 轴和有两个焦点就不对了啊，因为那时候就相当于是一个焦点嘛，顶点正好顶在这个 x 轴上，所以第二个是错的。嗯， 第三个说这两个点呢，是这个虚列数图像上的两个点，所以说我们把这个虚列数的一写对，这时候就需要我们有一个对于函数含参二次函数的一个积累，就是当我们遇到每个部分都有 m 的 时候，其实这里 m 是 可以提取的，所以我可以很轻松确定它对称轴是定值，它与 x 轴的两个交点坐标也是定值。 对，不管这个题有没有用上哈，我们应该要往这个思路上去考虑，所以我们可以很快的求出来它对称轴以及它的一个与 x 轴的交点坐标，负一对零和三对零。 好，然后再回到这个题，他说已知 m 大 于零，那说明开口向上 y 一 等于负三 m。 好， 那这里就需要我们这个敏感度了哈，就是负三 m 是 不是刚好是这个 y abc 的 那个 c 就是 常数项， 所以什么时候才能取到这个负三 m 呢？就是当它的横坐标为零的时候，这是一个比较。呃，直接想到了一个点，就是零度负三 m 是 一定会经过的， 那所以这里的话， x 一 逗 y 一 或 x 二 x 一 逗 y 一， 这个 x 一 就有可能是零。那另外一个呢？我们也可以根据对称轴去求出来。对称轴是一嘛？你这边是零负三 m， 那 关于对称轴对称一下，那个点就是二负三 m， 所以 这个 x 一 呢，有可能是零，有可能是二 对，然后他又说两个点作比较嘛，然后这个 y 一 这个值要比 y 二这个值要大。哎，所以这时候我们可以看一下开口向上的图像，这边是零负三 m， 然后呢，另外一个点纵坐标还要比负三 m 还要还要小， 所以也只能是往下走了，对吧？往下找，这时候呢，你这个点不管是取在这段图像哪个点上，都能满足题一，而此时横坐标呢，就是介于零和二之间的。对，因为这个点是零度负三 m， 这个点是二度负三 m 嘛，那你要在它俩之间，也就在它们下面 x 横坐标的取值刚好在零和二之间，所以第三个是正确的。 嗯，第四个这里呢，他好像不能跟第三题一样，就是把 m 给它提取出来。对，但是呢，一般遇到这种含有一个参数的这种式子啊，我们应该要想到是可以看能不能进行因子分解。 对，有这个意识啊，当然这个第四题没有用上，第五题用上了啊，所以第四题这里呢，他想判断的就是一种增减性，所以影响增减性呢，当然就是开口方向和对称轴的位置。所以呢，我们就根据写出来的这个二次函数确定对称轴应该是二分之一，那根据 m 是 一个小于零的，人家说了， 所以他是开口向下的， m 又是一个小于零的，所以这个对称轴要比二分之一要大，又小于零，对称轴要比二分之一要大。那我们来画一个草图就行了啊，比如说就像这里，那如果这个对称轴比二分之一要大的话，因为 m 小 于零啊，所以这个我们求出来确实是大的，如果比他大，那就说明这个二分之一应该是在对称轴的左边， 就比如说在这里，那当你小于二分之一的时候，那不就是找这段图像吗？对吧？那这段图像就是 y 随 x 增大而增大的，所以第四题是正确的。 然后第五个，他说如果虚列数是这三个，那我们写出来这个表达式是 y 等于二 m 方，哎，就是加一减 m， x 减一减 m。 对， 然后他说顶点和抛物线与 x 轴的两个交点组成三角形，刚好是等于二直角三角形， 所以我随便画了一个图案就开口向下的。如果是这种情况的话，就是这个图形必须是等腰直角三角形。那我们就去想，因为等腰直角三角形所得的特殊性在哪里？就是等腰是一定存在的，因为你顶点连接两个对称轴的对称点吗？他肯定是等腰，那如果要保证九十度的话，那么他就会有一种特点，就是 这个数值距离和这个水平距离应该是两倍关系，对吧？等腰直角三角形才有的。 所以我们就顺着这样一个想法，我就想办法能看能不能把 x 一 x 二这两个点的水平距离以及顶点的纵坐标给它表达出来。 对，所以这里计算量确实有点大哈。不过呢，我建议大家，当然这道题是错的，因为最后答案可能不止三分之一这一个，对，呃，但是呢，我想让大家积累的就是，对于第五题来说，我们分析下次可能咱碰不到，咱碰不到原题，但是有可能会碰到类似于这样的，就是当你拿到这个 abc 都有一个相同参数的时候，我们的处理思路是要么像第三题一样能够提取出来，对，要么呢就像第五题这种，我们尝试去给它进行因式分解。 因式分解对这种呢思路其实是属于高一的函数那块的一个考察方式啊。不过呢，如果说大家有这个意识的话，可能对于一些能够因式分解成功的一些二次函数来说，他在处理的时候会更轻松一些， 所以像这个位置还是很很轻松就出力出来了。对这一招怎么样实现一式分解呢？就是用十字相乘去配的， 并且这种含差的十字相乘呢，我觉得要比正常数字的十字相乘，其实你做多了之后啊，你会发现其实更简单，你比如说这个二 m x 方，二 m x 方，它要拆成谁跟谁呢？就我们进行一式分解嘛，首尾分拆，所以有可能是 m x 乘以个二 m x 是 吧？也有可能是 x 和二 m x， 就 这种。 而后边这个长竖向就是一和负一减 m， 或者负一和一加 m， 所以 一和一加 m， 它俩有一个代符号， 所以我们通过这种方式，比如说一加 m 在 上，一在下，通过这种方式交叉相乘，我们想办法把这个一减 m 给它凑出来，发现确实是能凑出来的， 就是当上面是 x， 底下是二 m x， 而这时候呢，我们把负一放这，一加 m 放这哎，刚好可以加一加 m 个 x， 减两个 m x， 刚好是一减 m x， 所以 我们才有了这个很关键的式子 它，那这时候呢，它的两个焦点坐标就是 x， 一 就是一，就是一逗零，另外一个呢，就是负二分之一减二 m 分 之一逗零， 是这样的，嗯，好，有了这两个点，那么他们之间的这个水平距离，就这个距离暂时可以搞定了，就 他俩直接做差吗？我们就给他加上绝对值，等于咱确实不知道谁大谁小啊。另外一个呢，就找他对称轴，就根据这两个点相加除以二找对称轴，再带入进去，找出来他顶点的纵坐标。 呃，确实计算量有点大。对，最后呢，我根据这个两倍关系去求解了一下，反正呢，我不知道最后答案是不是这三个就负三分之一，三分之一，还有负一这三个答案，对，但总之他这一个答案就是三分之一，这个肯定是不对的。 ok， 这个题就这样了啊，确实计算量有点大啊，大家可以自己暂停看一下。对， 呃，不过重点我希望大家记住的还是这个东西好吗？还是这个东西就是音式分解的这个韩餐音式分解。好，再来看一下这个第十五题，这道题呢，其实是比较熟悉的一道题目了，之前去年的时候有遇到过。对 这题我们想到的就是当我们遇到这种三倍的 bh 加上四倍的 ef 取最小值的时候呢，我们有两个思路，一个呢，就给他把系数提取一下，让一条线段带系数， 然后我们就对，然后这种题目呢，一定最后需要进行等量代换，因为你直接去算肯定是算不出来的，至于你要用什么方式进行等量代换，这个就因题而异了，对吧？你像胡不归，我们是借助的是三角函数啊，二式元呢，借助的是子母相似构造， 还有一些手拉手中也会出现这种情况。手拉手呢，肯定还是借助手拉手的相似去构造嘛。对，呃，其实这种情况很多，包括逆等线，也有逆等线，我们是要利用构造全等或者构造相似 进行线段的转化。嗯，很多哈，那所以这个地方他是用什么方式转化的呢？这个是，呃，用了一个十字架。对，折叠问题嘛，大家看他沿着 f e 把右半部分给他折过来，所以 b 的 落点是 j， a 的 落点是 h， 这时候呢，我首先想到的就是 折痕和对应点的连线一定是能够垂直平分对应点的连线段的，所以这时候 e f 和 b j 他 俩肯定是一种垂直平分的关系，并且呢，这正好是一个长方形中的十字架模型，就是 e f， 这个折痕他比上 b j， 他 刚好会等于这个短的宽，比上长边，刚好是六比八，也就是四分之三。 对，而这时候呢，我发现有三有四吗？而你原来这个带系数的关系也是有三有四的，所以我们可以尝试着把 e f 这块进行转化，所以发现呢，这个 b j 他 刚好等于三分之四倍的 e f。 那所以前面部分能不能出来 e f 呢？发现可以，只要你把三一提取括号里面就是 b h 加三分之四倍的 e f， 所以 这时候我们就变成了三倍的 b h 加 b j。 对， 变到这个位置了。好，那一般呢，有些题目可能到这个阶段就可以 计算了。对，但是这道题好像不行，因为这时候呢， b 点是定点， g 呢是在动的， h 也是在动的，所以他们之间并没有一个可以直接解决的，比如说将军马这种题型。嗯，所以这时候，对，所以这道题的难点又在这了，你需要把 bh 也要进行转化， 这个转化呢，是因为折叠的这种对称性进行转化的，就是你把这边的一个相当于是一个梯形，对吧？沿着 e f 给它翻折过来之后呢，你这个 b h 的 这个连线一定会和 a j 这条连线，它俩是对称相等的关系， 大家可以想想，或者你把 a h 连起来，它其实是一个等腰梯形啊，等腰梯形的对角线是不就是相等的关系？ 对，所以这里第二个很重要的转化，就是把 b h 转化成了 a j， 这样呢，最终我们想要的最小值就变成了 b j 加 a j 最小。哇，这就是我们非常熟悉的将军印码，对吧？然后我就做对称连接另外一个点就搞定了。对，所以这时候呢，我就把这个图咱再还原回来，好吗？ 其实就这样了。对，所以我这里呢，是做的 a 的 对称点啊，对称过来之后再去连接 b， 这时候呢，因为你这个长度不是八吗？所以你这边是八，对称过来也是八，所以你连接 b 之后呢，刚好有一个八字全等。对，所以这个焦点，这呀，它就是这个宽 c 得的这个中点，也就是上面这一块就是三 对。然后你不在这个题要求的是最终 f g 的 长，所以你再还原回去的话，这边更好，可以勾成一个勾股方程。勾股方程我设这个边为 x， 那 上面就是八减 x， 利用这个直角三，还有就是勾到勾股方程就结束了，嗯，最后取出来是十六分之七十三。 好，所以这里面难点呢，就是那两次转化，一个是十字架，一个是对称的这种相等关系。 ok， 这个题就这样了啊，好，再来看一下这道题目，嗯，这道题目呢，其实， 哎呀，这个第一题是是不是八根五来着？忘了。对，这道题呢， a c 两点呢，它是关于原点对称的，所以坐标是可以很轻松呈现的。而第二问，他想去在正半轴上找一个 h 是 一个直角三角形，这种情况。哦哦，对哦，这道题是不是也可以利用构造一线三垂来做？其实就是要去找 h 点坐标。 嗯，我根据这个垂直呢，我想到了一个思路，就是 k 相乘得负一，所以我就想着把 a h 的 k 还有 c h 的 k 给它求出来，最终求出来呢， m 方等于二十，所以 m 等于二根五，在正半轴嘛。对，那我觉得这里构造一线三垂的话应该也行，大家可以试一下啊， 因为这是一个直角好，比如这里呢，我们做一个高，这里也做一个高。 ok， 这不一线三垂直的一个相似问题吗？对，相似，那我可以假设一下，比如说我设这个点为零度 m 还是零度 m， 那 这时候呢，这个边长就是四， 对，那这个短，这个边呢，应该就是 m 减二，这边是好了，然后这边呢，这个长度是四， 这个长度呢，就是 m 减负二，也就是 m 加二，这样我们对应边乘以比例，也就是 m 减二除以四，就等于四除以 m 加二， 这样求出来呢，也是 m 方减四等于十六， m 方等于二十，那应该是没错，对，所以可以求出来啊。好， m 一 旦确定好之后呢，我是利用铅垂高乘，水平宽除以二来做的。对，你是高是水，铅垂高是二根五吗？然后水平宽是八，所以八乘二根五除以二，所以最终呢是八根五。 是第二题啊，这个比较容易，第三题他说要平分，这里，对，所以这道题我为什么会想到说要去延长做这条辅助线， 我先把它挪开给你们解释一下啊，为什么我会想着错去延长呢？因为这个是我们有积累过的一种题型，就是当这个位置是一条角平分线，完事你这还有一个高线，也就是说你往角平分线上做垂直，这时候我们的第一想法就是要去延长构造一个等腰三角形，因为此时可以三线合一，就是又是高线，又是角平分线， 就是这种想法。所以呢，你就揪着这个想法，那可以得到上面这个点，比如是 p， 那 ap 和 ac， 这就是一个大等腰三角形，而 ac 的 长度是已知的呀， ac 的 长度是四斗二和负四斗，这个 ac 的 长度是四根五， 所以 ap 的 这个长度呢，也是四根五。那现在我们根据 a 点坐标能不能推出来点 p 坐标呢？完全可以，因为 ap 这条线，它的 k 是 一负一，也就是说它的 x 勾夹角是四十五度。 所以呢，你在这边给他构造一个类似于这样的一个直角三角形之后啊，他的这个水平距离和数值距离都是相等的，所以我们通过斜面是四根五，可以很轻松找到，这边就是二根十，这边也是二根十，这样点 p 坐标就推出来了， 点 p 坐标一旦确定，那 h 点坐标刚好是 c p 两点的中点，所以我们再用中点坐标公式就 ok 了。好，所以最终我们的答案呢，就是 我再还原回去啊，就是这里划到了这个现象啊，所以通过这个确定，然后确定点 p 坐标，然后 c p 两点求终点，最终呢是负根式。逗根式。好，这是反比例函数这块的一个讲解啊。 啊，到二次函数，二次函数这里呢，首先前两位还是比较容易的啊，尤其是第二位这种，我们之前经常求最值，那这个地方是给的这个垂线段，所以可以很顺利的求出来。点 p 就 一个点，就是二逗六， 紧接着他进行了一个平移，这个题方画图还是非常关键的，真的你完全读完题之后，你会觉得特别乱，特别乱，但是所以你需要一步一步的去捋顺，他先将这个坡弧线沿着射线 b c 的 方向平移根号二个单位。你注意 b c 这条线是一个夹角为四十五度的一条斜线， 所以他沿着这个方向平移根号二个单位呢，其实就相当于是往上往左平移了一个单位，这是一个等腰直角三角形的感觉。 好吧，所以我们先理解到往上挪一个，往左挪一个，所以它的解析式呢，我就可以表达出来了。最终是这个负 x 方加 x 加七，这是它平移之后的表达式。那么点 p 原来是二斗六，所以平移好之后呢，就是一斗七，所以它对应的点 e 也确定出来了。 紧跟着你需要耐心的去读题，真的耐心读题从 f 是 新抛物线上的一个动点， g 呢，是 x 轴上一个定点，是负三分之五，都是零，完事之后它就成了这么一个关系。哎呀哈哈，你去连一下 ope 等于 f g b 加四十五度， 而这个 p e 这个位置，大家看我过点 p， 我 画了一条水平的线，刚才咱解释过，它是沿着 b c 方向平移根号二个单位，所以 e p 这条斜线，它和 b c 肯定是平行的，所以它的夹角和 x 轴也就和水平线的夹角都是四十五度。 所以这时候的 o p e， 它是由四十五度加上了加 o p q 组成的。所以我们通过这种关系呢，我们就可以在 o p e 里面减掉四十五度留下的这个 f g b， 所以 最终我们其实就想构造一个 f g b 等于 o p q 即可。 嗯，那 f 大家看一下这条线可能不确定啊， f 在 这个新坡 o 线上移动，那么它从这慢慢往上走，这个角度是越来越大的，什么时候能够等于目前我画的这个 o p q 呢？那我们就发现只要平行的时候就可以了。 平行的时候，你发现 o p q 先是等于哪个角呢？内错角下来， o p q 是 等于这个角，然后我们再根据平行同位角相等，这个 f g b 不 就求出来了吗？ 对，所以想到这我觉得就比较容易了，因为你这边 o p 的 这条线和 f g 如果要平行的话，它们的 k 相等啊，这点坐标还知道，所以解析式很好求，解析式求出来，再跟二次函数去连立，找焦点坐标就很轻松了。 嗯，而另外一个点呢，就是把它对称下来，找那个焦点就可以了，对称下来在下面，所以最终看一下啊，我的一个意思就是，我先分析到了这个 o p e， 它和 f g b 其实相等，所以怎么办呢？我就做了一条平行线 啊，然后我就要先求 o p 的 这条线是 k， 是 三，所以跟它平行的线的 k 也是三，所以这样根据负三分之五逗零呢，可以很轻松的求出来 f g 的 这个表达式，再跟二次函数连立，最后求出来的焦点坐标根三减一，逗三，根三加二，这是第一个点， 而第二个点呢，就是给它对称下来，这时候的对称不是说把这个 f 直接对称下来啊，是需要把这条线这条线本来上面的 f g 给它对称到下面来。 对，这时候你需要把这条线表达式再求一下，再跟二三数进行连立。对，关于 x 不 对称的表达式，直线表达式就是 x 不 变外面向外数吗？所以很轻松写出来，负三 x 减五，这样再连立，最后另外一个答案就是六逗负二十三。好，是这样的， 终于到最后一道题啊，最后一道题前面第一问，这个不用讲了，很轻松哈。其实这道题啊，严格意义上也不算是什么特别的模型。对，呃，确实可能是模型，就是我没有积累过的一个东西。嗯，但是他给到的这个思路呢，就不是那么的好研究，就是他比较犯 构造全等三角形，就这么一个想法，构造全等三角形。至于说怎么构造，我确实没有感受到他们之间特别特别有联系的那个地方。 嗯，所以这道题呢，题目和题目之间的联系可能没有那么的大，就比如说第一个就是手拉手，第二个就手拉手的一个拓展，第三个就手拉手的更大的拓展。有可能这样啊，或者说第一个跟一线三垂有关，第二个也是一线三垂，第三个也是一线三垂，对，他没有这种，或者第一个是要构造角平分线分线的成比例，第二个也要利用角平分线的成比例，就这种 就是。所以这道题呢，我就觉得没有那么大的联系啊，当然大家可能会找到他们的相同点，好像都是我看答案里面都是要去截取怎样的，对，嗯， 对，但是我就说一下我的想法吧，我感觉没有太想要去找截取这个事啊，比如说这个图三吧，他想去证 e f、 f、 d 还有 c f 之间的一个数量关系，因为他要去求证嘛， 所以当我拿到这个算卦关系之后，我先想到的一个想法就是他要找两倍的 c f 平方，哎， c f 在 这怎么样会出现两倍的 c f 平方？就是他斜边，就如果以 c f 为等腰直角三角形的腰长的话，它的斜边刚好是两倍的 c f 方。 对，所以我就带着这样一个目的，我就直接去画了，我就直接画 c f 为为腰长的一个等腰直角三角形， 对，所以这时候我就画出来了，就是我就往左画的，当然往右画，我看答案里面是往右画的，但是他没有明确要去构造等值，而是要去截取，哈哈，好像也是构造等值啊，但是往左往左画，往左画也无所谓啊，往左画完之后呢，他正好和这个 e、 c d 这个等值刚好可以构成一个手拉手的全等。哎，所以这时候的好处就是 d f 这条边刚好跑到这来了。 对，然后呢， ef 没有动，你这边本来是四十五，这边也是四十五，当你用手拉手的全等之后啊，这边是两个四十五相加，刚好是九十度， 所以这边就很轻松的说明了什么呢？首先 e p 等于 f 得，对，然后这边还是一个直角三角形，所以 e f 的 平方加上 f 的 平方，也就是 f p 的 平方， f p 的 平方呢，正好是 c f 的 平方的两倍，所以就都证明完了。嗯， 这个还好。对，如果你能够就算没有读懂上面的题的意思，你能够根据两倍的 c f 平方去入手的话，就给它构造一个等腰直角三角形，应该也很顺利能求出出来。 对，然后最后这道题，嗯，给大家提供两个方法啊，就是我自己想了一个，然后我又参考了一下答案，对，确实答案那个想法如果能想到的话，确实会比较容易一些。嗯，呃，是怎样的呢？我们先梳理一下条件哈。 先梳理一下条件，我先说一下答案的思路是什么啊？他告诉我们这条边长是六，这条边长是十，然后这个夹角是六十度，这是一个平行四边形，在上面这个一百二十度，这个地方呢，出现了一个六十度，并且这边是二根七，就这样，然后他想去求 df 这边。对，那么怎么办呢？好， 答案的想法是构造相似，构造相似，你利用这个角度关系怎么去利用呢？就是比如说我假设这个小角为 alpha， 这边小角为 beta， alpha 加 beta 是 不肯定是六十度。 对，那我如果在这边也构造一个 alpha 角的话，有没有希望呢？就是利用和为六十度，你要想出现 alpha 角，应该是六十度减 beta 就是 alpha， 那怎么样能出现六十度减贝特这里呢？在几何里面倒角三角形的外角等于它不相邻两内角的和，所以你可以从外角这个速度上去考虑。也就是如果我能构造一个外角是六十度，那么利用贝特刚好是一个内角的话，可能另外一个角是可以很顺利构造出来阿尔法的。 嗯， ok， 这里就不多说了，那就直接来了。对，所以我这里呢，直接过点 e， 画一条这个等腰，构造一个等边， 好，当我构造出来这个等边之后，那那么这个角刚好是六十度，而下面这个角刚好是六十度减倍，它也就是 alpha， 所以 在上面我就构造了一个有 alpha 有 倍它的一个三角形，比如这个点是 p， 紧接着我在下面也能不能也这样构造呢？因为这里是六十度，对吧？所以也可以我过 f， 我 做一条构造一个等腰直角三角形，这个角是不是 b 它，哎，所以这时候呢，我就可以出现了一组相似三角形，就是三角形 ape， 相似于三角形 f q a， 就 这样好，而我们根据这个相似呢发现，如果我们假设这边长为 x 的 话，这边是等边吗？这个边也是 x， 而 a q 这条边呢，则是十减 x。 而反观这边呢，其实这个 p e 包括 b e 咱是可以解的，因为这个需要我们先提前先把这个三角形解出来。啊，这个三角形呢，它这条边是六，这条边是六十度，这里是二根七，所以我们可以利用两边一角一致，这个三角形可解做高， 发现这个边长是三，这里是三根三，二根七，三根三，这里刚好又是一，所以我知道了底边这里其实是四，所以这里是四，这里是四，这里是二。 哎，这时候呢，我们发现我们标出来这两条边刚好是对应的，对吧？这边的 a q 刚好对应那边的 pe， 这边的 q f 刚好对应那边的 pa， 所以 我们代入一下，好像就是十减 x 除以四就等于二 x， 二 x 不 对，是十减 x 除以四就等于 x 除以二， x 除以二 对，然后两边同时乘四，上面扩大两倍，最终解出来 x 减三分之十。好，这是答案的一个想法啊，我觉得确实挺挺简单的。 嗯，然后我来再说一下我的一个思路啊，我不是说我的思路这个，这个比他更快，就是我就想说一下我的一个一个一个思考过程啊，是这样，就是我们前面呢，应该是大家后边也要去具备一个模型，叫做探照灯模型， 对，探照灯模型呢，可能更多的出现在正方形还有这个长方形中，但是像这个位置呢，我们发现这里有个六十度，对吧？我们还是假设这边是 alpha， 这边是 beta， alpha 加 beta 相当也是六十度，或者说大家前面肯定是遇到过绊脚模型，我们当时遇到这种情况的时候，我们想到的第一个想法其实就是旋转， 对吧？旋转，对，但是呢？旋转，但是呢，如果你的背景是有相等边的话，你旋转过来刚好能够重合。 对，然后如果你的背景图形不是这种向等边的话呢，就之前我做过一个长方形中的这种哈，就是出现了一个六十度或者三十度，然后我们给它转过来，再给它进行 v 四变换，给它缩小。 嗯，所以这里我就说一下我的想法，就是我就直接在他旁边，我可以，其实我是可以直接画一个 f 角的，就相当于是把它转过来，但是又不是整体说把 f a、 f d 直接转过来，没有是直接。嗯，我看一下啊，对， 直接转过来，转过来之后呢，并且还要这样，因为你那边如果直接转过来之后，相当于是还需要在五比三去缩小。为什么五比三？因为这条边是十，这条边是六嘛， 所以我为了让这个 alpha 能够跟贝特靠在一起，所以我需要做旋转这个事。当然呢，你理解上你可以用旋转，其实你在画图的时候不需要非得要纠结旋转，你只需要构造一个 alpha 角，说白了就构造一个 alpha 加倍，它是六十度， 然后呢你这个长度保持好，这边要构造一个六十度，这里也是要六十度，大家观察一下，这时候我这个 f 六十度和六，这边的 f 六十度和十是不可以刚好构造一个相似三角形， 对吧？相当于哈，大家看能不能理解。相当于是上面这个大三角形绕点 a 先旋转了一百二十度，完事之后呢，再以 a 为位，四中心，这个五比三就缩小一下，刚好就到我们这个点这个三角形中了。 对，然后当我们放到这块之后呢，我的一个想法是这样的，就是我们现在已知的信息是什么？上面是六十度，底下是一百二十度，并且底下还是个角平分线。 对，所以这里呢，就想到了一种模型，叫做等腰对补角模型，等腰对补角上面是六十度已知，底下是一百二十度也已知，并且还是一条角平分线。所以呢，其实我是可以去正上半部分。 ape 是 一个等边三角形的， 怎么去正？因为你已经知道是角平分线了，对吧？所以我们可以做双垂，当我们做出来这个垂直以及延长过来之后，做出来这个垂直， 根据 ab 是 角平分线，那做双垂之后，这两个高是不肯定会相等。对，再因为九十度，九十度，这个比如说是 m a n 吧， m a n 是 不肯定也是六十度，而这边的 p 这个 p 是 这个角点哈，这边的 p a e 也是六十度， m a n 也是六十度，所以呢，他们同时减掉公共角，我是可以知道这个角一和这个角二是相等的关系，角一等于角二，再加上九十度等于九十度，所以呢，这个三角形和这个三角形其实是全等的，全等之后，那么是不是可以说明 ap 等于 a 一 了，所以上半部分它就是一个等边三角形？ 对，那到这之后有什么效果呢？就说明 ap 这边是二根七啊， ap 这边是二根七。 哎，那么我就可以还原过来，既然这边是六二跟七的这样一个相似，那这边呢，是十，所以 a f 这条边应该是二跟七乘以三分之五，也就是三分之十跟七，也就我可以把这条 a f 的 边求出来三比五的相似嘛， 那这样我就可以直接去算了，就是解三角形，因为在上面 a f d 这个三角形中，我要求的是这条边，但这个三角形呢，一个角是六十度，还有两条边是已知的十和三分之十跟七，虽然这个数字不太好看吧，但是完全是两边一角已知的情况，所以这个三角形完全可解，方法就是做高。所以像这里呢，我们就可以直接 看看啊，怎么做高方便一些，好像是可以直接硬解，直接往这延长做高，就是我要去解的是这个红色三角形啊，各位，所以我的做高方式呢，就是要利用这个六十度，对，利用这个六十度，所以我可以直接从 a 往下做高， 这样做高。好，那这样做高之后呢，这边是六十度吗？所以这里比如说是一个是个 o 版，那这个 o 的 长度就是五， 然后这边就是五根三，所以我可以利用五根三和三分之十根七勾股定力去求 o、 f 的 长，我们来算一下。呃，三分之十根七的平方是九分之七百， 减掉一个五跟三。对，他俩可以同时先除以五啊，同时先除以五，那我就可以用三分之二跟七的这个平方去减掉一个跟三的平方，最后我再给他扩大五倍不就行了？好，这边是九分之二十八， 减掉一个三三的话是九分之二十七，那不就九分之一吗？也就是三分之一，三分之一，再扩大五倍，所以这里是三分之五，然后五呢，是三分之十五，所以减三分之五，上面这块就是三分之十也可以解出来。 好了，好，这就是我们这次的知识点啊，整体难度还是比较大的啊，希望这个讲完之后能够对大家有所帮助。 ok， 本期视频就到此结束了，然后希望能够对大家 啊就是起到一点，就是不管是哪个点上的，能够有点启发，对这个视频就非常的有价值了， ok， 最后也别忘了点赞关注啊，后续也会持续更新更多的视频给大家，我是蒋坤老师，我们下期再见，拜拜。

下面看一下二零二六济南市中一摸的第二十五题，就是这个几何大压轴 啊，它的第一小问，我们也稍微说一下吧。啊，它是比较简单的，就是这里有一个等腰直角三角形 abc， 然后上面有一个点 d 连接 b、 d， 然后旋转九度得到 d、 e， 所以 这实际上也是个等腰直角，是吧？问题就是问 a、 d， c、 d 和 c、 e 之间的关系， 嗯，题目给出了解题思路，让你填两个空就可以，第一个空和第二空，嗯，这个呢，它的思路就是在这个 bc 上，嗯，截取一点 f， 使得这个边和这个边相等， 然后呢，再来正一组圈的这个边和这个边相等一条边，然后这个和这个相等也是一条边，这是已知的条件。然后这个角和这个角互余，这个角又和这个角互余，同角与角相等，所以这个角等于这个角，这样 s a、 s 就 正出了圈的 全等。之后呢，这个 b、 f 等于这条边。 bc 本来是等于 ac 的 这两个相等了呢，剩下的这个 c、 f 和 ad 就 相等，所以 ad 能转到这来，这两个三角形全等，所以 c、 e 能转到这来。 这样的话， c d 方加上 c f 方就等于 d f 方，也就是 c d 方加上 a d 方等于 c e 方，这样就证出了它的结果。 嗯，下面看第二小问。嗯，第二小问类比分析，嗯，就是这是一个等腰直角三角形， a、 b、 c， 嗯，然后连接 c、 d、 d 是 这个 ab 上一点，然后这又构造了一个等腰直角三角形，这是九度。那问的问题呢，就是 ef 含有 df 和 cf 的 关系， 所以他的思路肯定是怎么样也是要构造一下。嗯，类比探求嘛。所以 啊，我们也在 b c 上截取一下，是吧？啊，这是一个等腰值，截取谁呢？截取一段等于 等于这块吧，等于，嗯， c f 是 吧？截取一个比方说 c c j 啊，截取 c j 等于 c f， 这样的话，这个 c f c j， 然后实际上 c f j 就 也是一个等腰直角三角形，对吧？等腰直角三角形，这个大的也等腰直角三角形，这样就能够造出全等来。 本来也是这个 c e 呢，因为 c e 所在的三角形就这个，所以我们实际上也是构想构到这样一个三角形，这样再连接这个得 这角三角形 c d e， 所以 这两个就大手，这两个蓝色的就小手啊，这两个角又相等，所以这两个三角形全等三角形，全等。这个 ef 呢，这时候就转到这来了， f 在 这， 然后三角形全等，这个角和这个角相等，这俩角是四十五度，他和这个角也是四十五度，所以这个地方九十。下面就是把这个等腰直角三角形连一下， 所以得 f 的 平方加上得 g 的 平方，就等于 f g 的 平方，而 f g 在 这个直角三角， f g 是 它的根二倍，所以它的平方就等于两倍的 c f 的 平方， 所以这样这个第二万就做出来了，难度不是很大。嗯，就正全等就够了，是吧？所以也就是一个初二难度的题目啊。放在旋转那部分也可以，放在构造手拉手全能也可以。 嗯，当然这个手拉手的构造呢，也可以从两倍的 c f 方这个地方出发，是吧？两倍的 c f 方呢？一开方就是根二 c f， 所以 构造 c f 为直角边的等腰直角三角形，也能想到思路。嗯，好，下面看第三小问。 第三小问，然后这是一个平行四边形，这个是六 a， d 是 十角， b 是 六十度，那这个角 c 呢？就是一百二十度， 然后这个角呢，也是六十度， a e 的 长度是二根七，求 d f 的 长度啊。注意这个，他说点 e 和点 f 呢，分别落在 bc 边和 cd 边上， 下面我们看一下这个怎么来？求这个 d f， 嗯，这个角是一百二十度，这个角是六十度， 嗯，这个角的也是六十度，嗯，所以在这个三角形当中，这个三角形当中，我们是可以且三角形的，对吧？嗯，可以过点 a 向 b、 c 来做垂线，这样能用上六十度角。 这吧，那 ab 是 六，这个长度就三，嗯，这个角三度嘛，然后这个边长度三根三，然后勾股定力，就能求这个 z e， z e 的 长度是一 啊，求出这个 z e 是 一来之后啊。实际上我们还有一个小问题呢，就是什么小问题？ 就是 e 点实际上还有可能是不是在这个 g 的 左侧，就是 a e 在 这里也是可以的，是吧？因为这个长度总长是三，它比 e 呢要长，所以 a e 实际上也有可能在这 啊，那也也有可能有第二种情况，我们下面先按这种情况来做，往下看一下啊。嗯，这个角也是六十度啊，这个边长度是十，所以下面我们也可以往下做垂线啊，用下这个六十度角 啊。这个字母是 h 吧，那这个长度是十，这个角三十度，那这个长度就是五，这个长度就是五根三。 又因为有个什么好处呢？就是这个角度是六十度，嗯，当我向两边分别做了垂线之后，嗯，那这个角的度数是不是也是六十度？所以就得到这个小角和这个小角相等， 又都是直角三角形，所以这个小三角形和这个三角形是相似的。三角形啊，这个长度五根三， 嗯，这个长度是三根三，三根三比上五根三，就是三比五的关系，所以这个边是一，这个边的长度我们就求出来了，所以答案又是三分之五，三分之五呢，这个边的长度 不就可以求减了吗？用五减去三分之五，答案就是三分之十，是吧？五减去三分之五，三分之五减去三分之五，所以这样我们就求出来了， 那下面我们再考虑这个第二种情况，第二种情况呢，仍然是可以构造相似，对吧？而此时呢，肯定是 e 在 这边，那说明那个 h， 那 个 f 呢，也应该是在这边啊，就是这块长度呢，也是三分之五 啊，因为三角形相似相似比三米五的关系，而这个时候这个长度是五五加三分之五，这样呢，超过了六，超过了六的话，点 f 呢，就落在了 d c 的 延长线上， 所以说呢，这种情况呢，这样就被排除掉了啊，因为题目当中说了啊，就是点 e 和点 f 分 别是在嗯，这两条边上的，如果他不限制啊，他说在直线上，这样的话，就会有第二种情况了 啊，这是第一个做法，下面我们再来讲一下第二个做法啊，这个题目的做法实际上是有很多的，嗯， 这个长度是六，这个长度是十啊，这样刚才我们已经解三角形解过了啊，这样我们就实际上知道这个三角形大体的样子啊，因为这个角度是六十度，所以是不是有点像半角模型，也就是说这个角和这个角的和是一样是相加，是六十度的， 嗯，如果是半角模型的话，我们是需要有边相等，可以旋转，嗯，现在呢没有边相等，嗯，这样应该是需要这两条边相等， 所以我们可以把这个平四边形补一下啊，构造成相等。哎，我们把它往这延长一下， 就只要这样，这个长度是四就可以了，是吧？是四，然后这个边长也是十啊，这个字母是 j 吧，这样我这个也延长一下， 这样我们就得到了它是一个菱形，嗯，菱形这个角六十度，那这个角也是六十度啊，延长一下这个边， 嗯，这个字母是 m 吧。这个菱形出来之后，我们发现这成为我们在学菱形的时候一个很常见的题目啊，就是含有六十度的菱形啊，含有六十度的菱形，它的特点是很鲜明的， 就是你只要连接这个 a h 啊，连接 a h 就是 由两个等边三角形构成的啊，这两个三角形是等边的。实际上我们在学菱形的时候有一个题目，就是如果这里面有一个洞点啊，就是指的这个角度是六十度， 连接它我们是马上可以正出这是个等边三角形来的。那具体是怎么正的呢？就是正这个三角形和这个三角形圈的，或者说正这个三角形和这个三角形圈的都是很容易正的，那我们可以说一下这个地方怎么正圈的。嗯啊，因为这个角和这个角 和这个角的和是六十呀，啊，这个角又和这个角的和是六十，所以就得到这两个角向的 啊。又因为这个边等于这个边，这个角等于这个角都等于六十，那这两个三角形不就可以正全等了吗？如果正出这两个三角形全等来，那要想求得 f， 那 就很容易了，是吧？得 f 就 和这个边相等 啊，所以你只要求出这个边来就可以了啊，这个三角形和这个三角形 a 型的相似啊，相似比六比十，也就三比五的关系。刚才我们已经求出这个边的长度来，所以 a 和相似，求一下就行了啊。六比十也是三比五，等于四比 x， 这样这个边我们就可以求出来。 嗯，然后这个是三，这个是五，所以 x 就 等于三分之二十， 所以这个边是三分之二十，那全等这个边就三分之二十，那这个边就是十减去三分之二十，十减三分之二，答案就是三分之十。好了，这就是第二个方法。 嗯，下面我们再来说一个方法啊。第三个方法啊，这个平行四边形当中呢，这个边是六，这个边是十，这个角有个六六十度角啊，这里也有六六十度角， 所以我们发现六十度角是很容易够到等边的，对不对？所以我们可以在这个 b c 上截取一个 b j， 嗯，那这个长度就是六啊，截取六，然后连接 a j， 那这就是一个等边三角形。等边三角形之后呢？哎，这个角和这个角相加等于六十，这个角又和这个角相加也是六十，那说明这个角和这个角是相等的， 嗯，这样这两个角相等，这两个角相等，这个角度是六十度，嗯，这个边长是四，就这个三角形已经固定了。嗯，有六十度角，还有一个和这个相等的角。哎，这个角和这个角不是相等吗？ 这边再延长一下，构造出一个六十度来，那这个三角形和这个三角形不就相似了吗？所以下面继续延长。 嗯，这样延长它之后呢？这个角六十度了，这个角总的是一百二，那这个角也是六十度，是吧？所以说这实际上也是一个等边三角形，对吧？ 啊，那这个边的长度呢？就是十，嗯，这个边长度是十一次吧。嗯，而这一块是六，嗯，这一块同样也是六，这个就是四，对吧？这样这个角六十度，我们就有了。嗯， 这个角和这个角相等，这个角六十度，那这个三角形和这个三角形不就相似吗？三角形相似，六比十就等于四比这一边，这样我们就求出了这一条边， 然后就能求出这边来，对吧？用十减它好了，这是第三个方法。好，这个题目我们就分享到这里啊。

hello， 同学们大家好，咱们再一块看一下二六年济南市市中区初三数学一模题里边的第二十题，也是圆的综合题，如图二 t 三角形 a、 b c 中角 a c b 等九十度给它画个垂直符号啊， 给他画个垂直符号，我用红色的哈，红色的更显眼一些，然后 c 得又垂直他，哎。看到这，可能就有同学想到了一扇那个摄像头里或者扇垂直，对吧？以 c 得为直径，画了一个圆，交 bc 与点 e， 然后交 a c 于点 f m 是 线段上一点，对吧？ o m 平行于 b c。 第一位求证， m e 是 圆 o 的 切线，那很明显，见切点连半径正垂直，对不对？那我只要能证出来 连接 o e， 对 吧？我只要能证出来 o e 垂直于 m e 就 可以了。哎，很明显，要证明 o e 垂直于 m e， 那 么我就证明三角形 o m 得全等于三角形 o m e 是 不就可以了？很明显，有一个条件的是 o m 等于 o m， 这是一条空空边，对吧？然后呢？ o 的 等于 o e， 哎， o 的 等于 o e， 为什么呀？都是半径，对吧？那很明显，我在证明它全等。我只要能证出来角一等于角二，那么我就全懂了这个问题，对吧？角一等，角二怎么去证呢？很明显， o m 和这个 bc 平行， 那么角二就换个颜色哈，都就等于角三了，对吧？角一是不等于角四，为啥呀？角二和角三是内错角，角一和角四是同一角，对吧？然后呢，又因为 o c 等于 o e， o c 等于 o e， 就 能推出来角三是不等于角四，对吧？角三和角四相等的，所以说角一和角二相等，再加上两个边，所以说全等，所以说全等了就能搞定了。那么角 o e m 就是 九十度， o e 是 半径，所以说它就切线搞定了哈。 不，这个的话还是就是咱们一再强调的比较常规的这种题型是不是非常常规的？这种常规的在哪呢？就是咱们这个 所谓的就是咱们这一个，呃，知道角相等啊，然后或者边相等，边之间的关系，角之间的关系，证明切线啊，第二位，第二位的话，这个的话也不是很难。然后若 c f 等于三口三 b 是 这个角， c f 等于三口三 b， 大家注意哈，这地方的话，我得把 c f 还得和这个 b 角联系在一块，那很明显，哎，这地方的话，有没有一些相等的角，大家会发现角四加角 b 是 等于 九十度的，对吧？然后呢，角四加上，我再给他来个角，这边这个角是角五， 角四加角五是不也等于九十度，哎，他俩是不就能推出来角 b 是 不等于角五了，对吧？那说明角五的正那个余弦值是知道的，那余弦值，哎，我要把角五放到直角三角形中，所以说连接的 f， 对 吧？因为我用的用，要用上 c， f 有 用上了角五，对不对？那很明显，口深角五 那也等于 c， f 比上 c 的 等于五分之三，然后 cf 是 三，所以说 c 的 了，是不是等于五就搞定了？ c 的是五， c 的是五，那就半径 那是不是等于二分之五，对不对？半径等于二，二分之五，那求 o m， 哎，求 o m， 这问题肯定很好容易搞定了呀。半径是二分之五，求 o m， 那 就在二 t 三角形 o 的 m 里边去研究就可以了， o 的 等于二分之五是半径，对吧？然后呢，角 o m 的是不等于角 b， 对 不对？那所以说的话，这 c b 就 能知道了，是五分之四， c 角 c o 的 m 也是五分啊，五分之三，对吧？那所以说 c 角一， c 就 别角一了，那口 c 角一 口深 c o s 角一，那是不是等于 o 的 比上 o m 是 不是等于五分之四了， 对不对？为什么是五分之四啊？是因为这个的话口深角 b 就 口深角 o 的 m 是 不等于五分之三， 对吧？然后等于这就是一个三十五的三角形嘛，对不对？然后的话 o 的 又是二分之五，所以说 o m 呢？ o m 那 就等于二分之五，乘以个四分之五除以五分之四吗？乘以四分之五，所以说等于八分之二十五，这样的话就把 o m 的 长给它搞定了，就是关键的话就要做的 m c 在 这个的 m c 这个小三弦里边去解它就可以了哈，难度也不是很大， 大家的话一定要去，也是非常常规的，第一位是求的，这是切线，第二位是正去求向量长，都是这种常规的题。

市中区数学一模大题考点与难点，一分钟带你吃透本次大题啊，共十道 基础题，是稳拿分，中档题呢，是易丢分的哈，压轴题呢，是拉开差距的题。十六到十八题是基础送分题哈，考时数运算、不等式组 平行四边形的全等，只要步骤规范呃，这肯定是都能全对。十九到二十二题是中档核心呃，解直角三角形的实际应用，原综合切线证明 统计分析以及方程函数的最值哈，这部分是卡步骤算错数呢，是丢分的一个重灾区。 最后三道压轴题的大题是关键哈，二十三题是反比例函数的综合，二十四题是二次函数的平移加上角度的分值。二十五题是几何的旋转的探究哈， 重点呢，考察的是模型的构造以及复杂的计算，也是中考压轴的一个题型哈，而且是高频题型 呃，咱这次考试呢，是抓牢基础，突破中档，冲刺压轴，这考大题的提分思路啊，就清晰了。我是朱朱老师，关注我，升学不用愁！

哈喽，同学们大家好，咱们在一块看一下这个二六年济南市市中区 初三数学一模题里边的选择题的最后一道题，这个题的话也是一个压轴题。呃，是一个新定义和多结论结合在一块的题目，定义什么什么什么？他是一个虚列数，如图给了如下边给了个例子，对吧？圈一，很明显，虚列数负三， 都二都负一，这是完全没问题的，就是 abc 嘛，对不对？很简单，第二个虚列数，他是二次函数的图像，与 x 轴横有两个交点，那先把这个二次函数给它表述出来，二次函数 y 就 等于 x 方加上 m 加二， x 再加上二 m， 对 吧？那样的话，他与 x 轴横有两个交点，那就算的的。如果大于零是有两个交点的。小于零小于零，没有 等于 m 加二的平方， b 方减去四 a c 四 a 是 一，然后 c 是 二 m， 然后一整理是 m 方加四， m 加四减八 m， 那 很明显的就是 m 方减四， m 加四， 那就等于 m 减二的平方，但是当 m 等于二的时候的是不等于零，所以说有可能有一个，也可能有两个，所以说圈二就错了，对不对？ 圆的时候肯定有焦点，但是有可能有一个焦点，也可能有两个焦点啊。这个的话咱就不过多的追数了。这个的话还是比较简单的把它给擦掉了啊，因为空比较小哈。 圈一对圈二错圈三，若 p 点 k 有 点都在虚列上，哎。二次函数再给他表示一下， y 等于 mx 方 减去二 m， x 再减去三 m， 对 吧？哎，很明显都有 m 把 m 提出来，那就 x 方减二， x 减三，哎，又可以因式分解， x 加一乘以 x 减三，对吧？四字相乘，把它搞定了。题目中告诉咱们了， m 大 于零， m 大 于零，说明开口向上， 开口向上的一个抛物线，然后与 x 轴分别有两个焦点，一个焦点是负一，一个焦点是三，对吧？ 然后 y 一 y 一 是等于负三，负三的话，负三 m 怎么出现的？那很明显，那就是令 x 等于零的时候， y 正好等于负三 m， 对 吧？那所以说等于零，那很明显哦。用蓝色点表示在一的右边，对吧？这地方是就代表的零逗号负三 m， 然后的话，当 y 一 大于 y 二的时候，那大家想想哈，这地方是蓝点，表示的是零逗号负三 m， 他 对称的地方呢？那很明显，对称轴咱能知道啊，一负一加三除以二十一，那这个地方呢，就是二逗号负三 m， 对 吧？ 这两个蓝点就代表的是 y 一 y 一 还大于 y 二，对吧？那 y 二说明要在这个这两个蓝点之间才行，这蓝点上面的话呢，就是比 y 一 大了，对吧？那所以说就是我标蓝色的这一段区域上， 这是对应的是不是 q 点就是 y 二的取的范围，对吧？那而且的话，他要比他小，那就取不到零和二，那所以说只能是在零和二之间，那所以说这个圈三是不是也对了，对吧？典型的随行结合啊，利用正弦性或者单调性就能把它给它搞定了哈。 这个的话咱就不过多的去说了，也不是那么难。圈四序列数，它的二次函数，那把二次函数写出来，那 y 就 等于 m x 方加上一减 m x， 再加上二减 m， 对 吧？ 他的话，如果 m 小 于零，哎， m 小 于零的话，那这样的话，咱就发现了，开口是不是向下的一个抛物线，对吧？那 m 当 x 小 于二分之一的时候，外垂增大而增大，那这个的话，那很明显开口方向已经确定了，那下一步要求对称轴，对称轴，对称轴是 x 等于负的二一分之 b 二 m 分 之 b 是 一减 m， 给他整理一下，那就是二 m 分 之负一，加 m 给他 分离常数，那就是二 m 分 之负一，再加上 m 除以二 m 是 不是加二分之一，那很明显，二 m 分 之负一， m 是 负的二 m 分 之负一，这地方是不是个正的？这个二分之一也是个正的正数，加二分之一，那他一定是大于二分之一的。 简单的画一下抛物线，开口向下的一个抛物线，这是对称轴直线 x 等于 h 八对称轴，对吧？他比二分之一大， 说明二分之一在这个的左侧，那我就蓝点，这个点是带着二分之小二分之一，那是不是画蓝线的这个区域，那很明显外水也是增大二增大，这也是没问题的，所以说圈四也是对的，对吧？那这样的话，咱能知道了三个对的了，那排除的得了，对吧？有可能选 c， 也可能选 b， 对 吧？那 a 选项五个也不对，也有错的了，对吧？来，再看圈五，那圈五对，那就选 b 选项四个圈五错，那就选 c 三个，对吧？ 来，再看圈五，圈五的话，他的话也是虚列数给了 y 等于二 m， x 方加上一减 m， x 再减一减 m， 他的一个二次函数。若抛物线的顶点与抛物线与 x 轴有两个两个点形成的一个等效值，且呃，则 m 等于三分之一，正确的是，这个的话， 我按照我的经验来看，大错大概率都是错的，因为为啥呀？因为他是等效值的话，他可能不止一种情况，对吧？所以说他他给了一个答案，那大概率是错的啊。当然了，咱这地方需要咱们去验证一下哈。首先他与 x 轴有 至少是不两个焦点，因为一个焦点不可能构成一个等腰直角不可能构成三角形，那所以说要判断第二，它第二，它必须大于零，第二它等于 b 方，一减 m 的 平方减去四 a， c 负一减 m， 对 吧？然后一整理，一减去二 m， 加上 m 方，再加上八 m， 再加上 八 m 方。哎呀，这么复杂呀，运动他都可能就打退堂鼓了。九 m 方，大家看一下，加上六 m 再加一，哎，完全平方公式，三 m 加一的平方，是不是他一定是因为题目中也没有说 这个啥，那很明显，咱能知道这个的话， m 肯定不能等于负三分之一，题目中也没说等于负三分之一，所以说不等于负三分之一，那就一定有两个焦点等于负三分之一，一定是不存在的，对吧？那但是它一定是大于等于零的，这个的话大概零的复合题，对吧？然后的话，抛物线的顶点与 l 轴相交于两个点， 大家想想哈，抛物线的顶点我假设在上边吧，哈，他与 x 轴有两个焦点，假设在下边，那大家会发现顶点的话， 假设这地方是 c， 另外两个点是 a， 这是 b。 那 很明显咱就一定能确定 c 处一定是直角，为啥呀？因为 c a 等于 c b 啊，这两个一定是腰的， c 只能是直角，对不对？那我就过 c 向下做条垂线垂足为得， 对吧？斜边中线等于斜边一半，那这样的话咱就能知道 ab 是 不等于两倍的 c 的， 对不对？那这样的话咱得去出来注意这个条件，我给他表示一下，或者说 b 的 等于 c 的 也可以，对吧？因为这地方咱不知道 a 和 b 谁在左谁在右就最好啊，用 ab 也行，对吧？ 都可以，两种情况都可以。那所以说现在的话，咱得去算一算这个对称轴还有顶点坐标，对不对？这些 c 点， a 点 b， b 点的坐标，看能不能给他表示一下，是吧？这样的话怎么去给他算呢？很明显的话，这个地方先算一下对称轴，对称轴是多少？对称轴的话他是 直线， x 等于负的二 a 分 之 b， e 减 m， 对 吧？那这样的话对称轴 啊，求出来。看错了，也没有啥特殊的地方，对吧？那就等于负的四 m 分 之一减 m 给它分解常数，那就是 负的四 m 分 之一再加上四分之一，也没有啥特殊的对称轴，对吧？那但，但是的话，咱能知道这个啊， c 点的横坐标是不是来再看， 那这个的话再再怎么给他弄一下呢？嗯，他的话呢，知道了再看看，哎，怪嘚他是不是正好是哎嘚他，刚才咱已经算了，是不是一个三 m 加一的平方呀， 是不是？那这样的话咱就求一下两根用伟达令的那个求根公式就可以了。 x， 那 就等于二 a 分 子负 b， 二 a 分 子负 b 加减，根号下是不是得它，那就等于二 a 是 四 m， 对 吧？负 b， 那 就是 m 减一，再加上根号下三 m 加一的平方， 是吧？那这样的话，两个根就可以把它给它搞定了，对吧？那无非的话，那就再给他取个号，那就等于写这边吧哈， 四 m 分 子 m 减一加减三 m 加一，对吧？因为这地方的话，不管他是正的负的都无所谓了，你前面是不是有个正负号，对不对？ 然后的话再看，那就等于四 m 分 子 m 减一加上三，这是 x 一 等于加三， m 加一，那就等于四 m 分 子四 m 等于一了。 x 二，那就等于四 m 分 子 m 减一减三， m 再减一，那就等于四 m 分 子负二 m 减二， 对吧？这样的话，同时除以二，那就等于二 m 分 子负 m 减一，这就是 x 一 和 x 二的两横根了。 这个的话啊，到这的话，肯定很多同学也没有啥问题，对吧？那所以说的话，那个我就可以假设吧，我就假设一个吧，那这个 啊，也不好说啊，假设没法假设，那只能是加个绝对值，对吧？那 ab 的 话，那就很明显， ab 那 就等于两根之积嘛，对吧？两根之差嘛，那就是。我就用一写在左边吧，一减去它 二 m 分 子负 m 减一的，是不是绝对值啊？那他就等于，呃，二，那就是一化减，那就等于二 m 分 子三 m 加一的绝对值，这是 ab 的 长，对吧？那 c 的 呢？ c 得的怎么去表示呢？嗯，那很明显得的，横坐标是零，纵坐标是零，对吧？横坐标不知道，那现在的关键就是表示 c 的 是不是纵坐标。 c 的 纵坐标怎么办？ c 的 纵坐标的话，那就可以怎么办？ 这就可以把横对称轴是不给他带进去，对不对？这个的话，我就不再化简了哈，对称轴给他带进去，带我到抛物线里边去，就能给他搞定啊。 c 的 的话，那就等于，当然也不知道在 x 轴上下吗？对吧？所以说我要加个绝对值，他就一化简等于八 m 分 子 三 m 加一的平方，然后再加绝对值，对吧？这样的话， c 的 ab 等于两倍的 c 的 很明显绝对值，对吧？都有绝对值，那都有绝对值的话，等于他两倍。 a 和 b 又不能重合， 是不是？他俩肯定不行的， ab 肯定不能，等于，都不能等于零，对不对？那所以说的话，这样的话带着绝对值啊，很明显， m 的 话， m 又不能等于零，那八 m 和二 m 是 不是可以给他去掉一个，对吧？然后呢？这样的话就能。嗯， 他们是等于 c， ab 等于 c 的 两倍。那我再写一下吧哈。这地方的话计算还稍微复杂一点，我再写详细一点哈。 那这个 ab 等于两倍的 c， 得，那就是两倍的 八 m 分 之三 m 加一的平方的绝对值等于二 m 分 之三 m 加一的绝对值，对吧？都有绝对值吗？很明显，二的话可以给它。 嗯，拿过来，或者说把 m 给他约掉也行。因为 m 不 等于零吗？是吧？因为 m 很 明显不等于他是个二次函数，对不对？那所以说我就可以给他约分，他约一下约掉，那这地方剩了个四，对吧？那这一约掉，那这地方剩了个二，对不对？ 那这样的话平方还是绝对值，也可以约掉一个，那就是三 m 加一的绝对值是不等于二， 对不对？那这样的话，那三 m 加一，那就等于正负二呀。所以说 m 看看，但是哦，还有一个 m 不 得等于负三分之一，看有没有他三 m 加一等于二，或者是三 m 加一等于负二， 那这个解出来 m 等于三分之一，或者是这个 m 解出来是呃负一，是吧？一移过来是他对，等于负一，这没问题啊，所以说的话，这样的话才能解出来是两个答案，一个是 m 等于呃三分之一，一个是 m 等于 负一，那所以说的话，那他 m 只是等了一个，呃，只只是等了一个这一个 三分之一，所以说的话，那圈五，那这个题是不是又给他是不是又做错？圈五的话这个选项是不是又错了？那所以说对的选项那就只有一 三，还有四，那所以说这题选 c 对 不对？所以说大家你会发现这个题除了思路难以外，计算量还是比较大的，对吧？圈五还是有一定的难度的，圈一圈一到圈四还是相对来说比较简单的哈， 全五的话难度更大一点，所以说大家在遇到这种题的时候，一定是认真的仔细的去认真的分析一下啊，计算的话也不要害怕，这也是咱们未来的一个趋势，增加计算量，大家课下的时候一定把这个题再好好的仔细的去多研究研究啊。

各位同学，大家好啊，我是姜老师，给大家伙讲讲这个二零二六年九年级这个数学期中市中区的一模考试题啊。今天讲讲这个二次函数的压轴题，二十四题。 废话不多说，直接开始啊。然后呢？这个洞洞过负一零带进去是吧？对称轴，对称轴不是负的二一分之 b 吗？负的二乘负一分之 b 等于这个二分之三，负负得正二二枚， b 等于三， 这个是 b 等于三啊，再把负一到零时候带过来。这个表达式是 y， y 等于负， x 方加三， x 加四，知道吗？ 他提出符号来就是 x 方减三， x 减四，他的负的 x 减四乘 x 加一， x 轴的交点，一个是负一，一个是四， c 是 个四，这不四十五度是吧？四四一会都有用啊。好了，第一问处理完毕， 这是第一问的结果啊，来第二问啊，这个 a 是 个负一， b 是 个四， c 是 个四，四十五度很重要是吧？然后 p 到直线这个距离，这个距离不是做垂直吗？ 这块距离是个二零二啊。这个上课他说了八百多遍了，划写为直吗？这不划写为直吗？这个点咱叫做 h 吧。 h 吧。啊，然后这个解析式， 好嘞啊，这个 bc 的 这个解析式能求出来啊？这个 bc 解析式，这不是 y 等于负 x 加四吗？二次解析式是负 x 方加三， x 加四，对不对？这不画斜为直了， p 点这 m 兜负 m 方 加三， m 加四，是吧？ h 是 m 度，负 m 加四，这个 ph 的 长度，这不上减下吗？ ph 的 上减下是吧？负 m 方减零 m 方，这不，这不是个负 m 方，对吧？三 m 减负 m， 这不是个 四， m 四减四就没有了，四减四没有了，这不，这是个这个，这个是个，这是个四十五度，四十五，四十五，这是二根二，这不是个四吗？ 它等于四啊，所以是负 m 方加四， m 减四等于零。乘负一 m 方减四， m 加四等于零， m 减二的平方等于零 m 一 等于 m 二等于二，是吧？二的话，这里带过来，这里 p 点带过来，带了二度六，对， p 点坐标是个二度六。第二问比较简单，处理完毕啊， 哎，第三问啊，在二的条件下，这个式子，这个式子，这个 y 不是 知道了吗？ f 方加三， x 加四，是吧？ 然后你沿着 bc 射线 bc 啊，就往这跑了啊，往这跑了啊，一根二个单位，这不，这里是个四，这是个四，这是个四十五度，看到吗？你沿着这个四十五度的，你走根二啊，你走根二的话， 他其实不就是，这是根二，这不一一吗？所以他相当于是上一坐一啊， 他其实是往上移一个单位，是往左再移一个单位，往得到外一撇了啊，外一撇了，所以外一撇就是上一定要加一。左一不就是 x 加一吗？就是负的 x 加一的平方加三倍的 x 加一加四了吧，再上一，再加一， 这个十字可以拆开画简一下啊，拆开画简之后，它是 f x 方加 x 加七，所以这个新的这个解析式是知道的。 新的这个解析式咱已经求出来 y 片， y 片啊，在它大体的把这个跑步线简单的画画啊，简单的画一下啊，往上移一下啊， 大体一次哈，咱不较真啊，不较真啊，就是抛物线，这不往上就平移了一下子， 咱是为了画后面这个图。简单的这样画一下啊，简单的这样画一下， 这不这个抛物线往上平移了吗？对吧？如果咱要是有这个推延尺的话，咱就可以比较准的画出这个东西来了，是吧？然后一为 p 点平移的坐标，这个 p 点， 这个 p 点，咱第二边不是求了吗？二度六，二度六，看嘛，他移了这个之后啊，这个 e 点， 这个一点是上一，上一，左一是一到七，这个一点知道啊，这个一点是知道的，他俩这不一了个根二吗？这不一了个根二吗？啊？简单一画吧，这不一了个根二吗？ 平移吗？啊？这一块平移了个根样，既然你平移的话，肯定这个线平移和，这不是沿着平移了吗？这是平行的啊，这是个平行的啊，平行的啊。 其实这个题目就是难在把这个图大体的画画啊，我给大家手画啊，给大家手画啊！这个 f 是 抛物线上的任意点， g 是 x 轴上的这个 g 吧， 这个是个 g 啊，这是个负三分之五在负一左边啊，这个 g 知道了，这个 g 知道了啊，然后这个 f g b f 在 哪？ g b 不知道，是吧？然后加四十五，等于这个 o p e， 咱先画画这个 o p e 啊，这个 o p e o p e。 哦，这个角， 这个角啊，这个角，这个角，它减个四十五，看了吗？角 f g b 等于角 o p e 减个四十五，减个四十五，因为这有个四十五，这个直线和水平的夹角是四十五，这个线不和它平行了吗？所以咱这里如果再做个水平的话， 这里如果做个水平的话，你看这个线和水平夹角，线和水平夹角，它是平行的，和水平夹四十五度，那么这个地方就有个四十五， 这个地方就有个四十五，所以这个 ope， ope， 这个这个角减四十五就有这个角了， 它不等于二号吗？这不这个角了吗？所以这个 f g b， f g b， 所以 这里有一个，这不正 f g b 吗？ 这个上面有个点啊， f g b， 这不 f g b 啊，这里是个这个角上灯，很明显，这个 f 在 这里， 在这个地方啊，在这里。 f g b 是 吧？上面一个，下面一个啊，上面一个，估计一会下面还一个啊，下面对称，还一个啊，还一个，是吧？然后呢？ 这是个阿尔法，这是平行的吗？水平吗？这不是外逆流吗？对吧？这画水平线，这是阿尔法，所以这是个阿尔法，这是个阿尔法。这个 k 是 个三， 这个 k， 这不是个三，是吧？所以这个这个直线 f g 等于 k x 加 b， 是 吧？然后这个 k， 这不是个三了吗？平行吗？二法，二法，这是二法，平行了吗？三了吧？这个 b 再把这个负三分之五带过来，负三分之五再带过来，带过来。这个直线它是 y 等于三， x 四 加五，这个线是半径，三个加五，是吧？三个加五，它和这个抛物线一连力，新的抛物线负 a 方加 x 加七啊，就解出来了。这个 x 一 等于这个根三减一， x 二等于个 负根三减一。很明显这两个焦点负根负根三减一。在这边，他不能要，在这边，是这边这个，所以这个就不要了，留这个，留这个啊，所以这个 f 的 坐标，这个 f 的 坐标是根三减一。逗，带进去。 把它带进去啊，带进去啊，带进去之后，这个结果应该是个三，根三加二，这不第一个出来了啊，这不第一个出来了啊？这第一种情况。还有就是这个， 这个 f a k 往下，你看了吗？ k 往下往下，这样，这不那个第二个 f， 这是个二号，是吧？然后呢？这个 k 是 个这个，这个 k 是 个三， 这个 r k 不 就直线和 x 加角吗？对，这个 k 值负三，所以这个这个这个蓝的这个是 y 等于负三， x 再带上这个点，所以它是负三， x 减五， 这个 f j 这个解析式是 y 等于负三， x 减五啊，负三个减五，然后再和这个 y 等撇负 x 方加 x 加七，这个心这个抛物线一连力，这不这个就出来了吗？ 这个 f 点是个六度负二三，所以第一个 一个是根三减一度三，根三加二，一个是根三减一度三，根三加二，另外一个是六度负二三啊，负二三，这两个数大伙自己算啊。

各位同学，大家好啊，我是蒋老师，给大伙讲讲这个二零二六年市中区九年级数学考试一模啊，今天讲讲填空题最后两个十四十五啊。 好了，废话不多说，共计开始来十四题。二零二春节举办的无人机活动是吧？这个一号二号分型 y 二， y 二是指导的啊， y 二是指导的， 这个是负的塔啊，所以玩就这一块，就这一块是吧？这个 b 点坐标知道 是个零度一百五，零度一百五，然后呢？所以这个 o v 的 解析式就是二十五度，这个一百五。 o v 解析知道了啊， o v 解析知道了是吧？在多少秒通 高度相同，你连立不就完了吗？你把这两个十字一连立，这个自己一接就接了啊，比较简单，自己看着，我就不提他接了啊，来，重点是攻击这个题目啊，来，如图，再矩形 bc 格， ab 是 个六，这个 bc 是 个八啊，是个八， e f 分 别在这个边上啊，然后折叠一下了啊，这样重合了，重合了啊， a 点对应 h 点， b 点正好落在这个 这个 c 的 上啊，这样连接这个 bh， 当三倍的，这个 bh 加四倍 e f 最小值。求 f 这一场啊，求 f 这一场，是吧， 来吧，这个题是个折叠问题啊，折叠问题，然后很明显这个地方他考了个咱们七八年级就说过的一个十字架模型啊，然后因为他折叠吗？所以这个九十度啊，所以这个九十度看到没？然后呢？ 这两个他有个比例关系啊，他有个比例关系。给大家简单的划一下啊，划一下啊，来，这样， 这样啊，来，这个三角形，这个三角形和这个三角形它是个 相似的啊，相似的。我这里做了个垂直，因为这是个九十，这是个九十，这是个对顶，所以这是阿尔法，所以这就是阿尔法。看到吗？在这个三角形里边， 在这个三角形里面有二分，有九十，在这个三角形里面有二分，有九十，所以这个 e f， 这个这个三角形，这个斜边， e f 比上 b g， e f g 等于这个边是六比上八，等于三比四，三比四啊，所以这个差乘一下啊，差乘一下，三倍的 b g 就 等于四倍的 e f， 这个三倍的 b， 三倍的 bg 啊，三倍的 bg 等于四倍 ef 啊，这个四倍的 ef， 正好这里是四倍 ef， 把它换下来，所以这是三倍的 bh 加上三倍的 bg， 换出来了啊，换出来了，然后提出这个伞来之后，这是个 bh 加 bg 啊， bg 加 bg。 然后呢？这边就没什么用了啊，然后呢？这边刚才画这些线，你可以暂时都去掉，他就用不大着了，用不大着了啊，嗯？ bh 啊， bh 连一下 b h 黑点，黑点，是吧？然后你还有这个 b h 啊，这个因为它折叠嘛， b h 和这个 ag， 你 看看，正好它相等的，要对称嘛， 这个 b h 和这个 ag， 它是相等的，因为这是个轴对称图形嘛，你一折叠的话，这个，所以这个 b h 啊，它就等于这个 ag， 看到吗？ ag， 所以这个题目就变成了 a j 加上这个 b j， 这不 a j 加 b j 了吗？是吧？ a j 加 b j， 咱就可以用将军一将军一码了啊，这个图太大了，这个图太大了，我把它缩一下啊，把它缩一下，这样好画对称啊， 说一下啊，他求的是 aj 是 here， bg 是 here 啊，然后咱完全可以就把这个，这个这一块不对称过来了，就 这不，这是个 a， 得，这不， a 得是个 bc， 这是个八了吧？对称一下子 一撇，这是个八，这是个八，对吧？完了之后连起这个来， 这俩不行，全能，是吧？然后你求这个，这个不就是这样了吗？对不对？然后这个，这咚咚咚咚，这不，这就是那个这一点吗？这一点吗？对吧？因为这是个八，这是个八。中位线，这是中位线， 所以这一块，这中间，这不三了吗？ c j， 这不三了吗？你求的是这时候的 f g 啊，就在这里 f g 啊，是吧？这个边呢？这个边我是 f g， 是 个 x， 那 么这不就是 x 吗？它俩折叠不重合了吗？对吧？这是个八，所以这不是八减 x 吗？在这个三角形里面购物精灵不就完了吗？ 是吧？所以三方是个九，加上八减 x 的， 这个平方等于 x 平方，是吧？ 九加上这个八，八六十四减二一， b 是 十六， x 加上 x 方等于 x 方。走走，没有了啊？一项，这个是个七十三，等于十六 x， x 等于十六分之七十三， 这个结果是个十六分之七十三。好了，这个实物提出的完毕啊。

济南初三的家长们，二零二六年市中区一模的数学卷呢，新鲜出炉，今天一分钟给您讲透，帮孩子精准抓分！想要电子版的一定是关注私信我，免费发给大家！首先呢，这套卷完全贴合济南本地考生， 选择填空难度适中，基础题占比超百分之六十。孩子只要把计算概念、三式图这些送分题稳稳拿住呢，就能甩开一大截！ 重点来了！今年的压轴题直接拉满区分度！第十题，二次函数新定义第十五题，翻折最值第二十三题，反比例函数综合第二十四题，抛物线平移加角度定值第二十五题，几何旋转判究，全是中考高频压轴题型， 尤其第二十五题，旋转全等模型，直接对标济南中考几何压轴的核心考法。更关键的是，这套试卷呢，融入济南本地元素， 云纹青铜大绕泉水、文创礼盒、无人机表演，完全贴合济南中考命题风格。孩子吃透这套卷呢，就能提前适应中考出题思路。中考一模呢，是查缺补漏的黄金期，千万不要错过！想要了解更多中考政策，记得关注我哦！

哈喽，大家好，我是陈老师，市中区一模刚刚考完结束，我们今天来分析一下这套剧本的一个情况。首先从考察方向以及题型的分布来说，与中考基本一致， 选择的一到八题，填空的十一到十三题，这些属于我们的基础题，一般考察科学计数法、相反数还有概率啊，以及求弧长，求面积这些这些知识点 属于孩子们的必拿分解答题的第二十四题以上属于中档题， 中档题的这次计算量明显是增加的，嗯，稍微有一些扩容，比如十九题三要素的计算啊，这个是能明显感受到的。计算量稍微增加了一些，但是依旧是属于孩子们要拿到的分数。然后我们来看一下这个 压轴题。首先第十题属于一个新定义与二次函数结合的类型，它并不属于一个新的范围，因为在往些年的话，他偶尔也会考到，比如说二五年的这个市中区 以及天桥区的二模啊，分别是考了新定义与二次函数结合，感兴趣的同学可以往前翻一翻啊，去找一下这些题目再去练练。 那他的考察本质基本上还是去看你对二次函数的一个了解，他不属于一个创新，也是属于我们常考的一个类型， 只是说他每次考察的这个新定义会有所不一样，但是本质还是考察对你对二次函数的一个了解。然后实物题的几何小综合问题啊，考察了折叠问题以及十字架模型，还有就是带系数的这种线段的转换求最值问题， 那你需要非常对这个折叠非常熟悉，能够去利用十字架进行这个啊编的一个转换， 以及就是把系数啊转带系数的这种边转化成不带系数的，从而利用两点之间距离最短来去求出最值。问题，最后再去进行一个勾股方程， 像这个十字架啊勾股方程，这是与折叠问题密不可分的啊。这个题考察的还是挺好的，因为它比较综合嘛，考察了好几个知识点，所以感兴趣的同学可以再去 好好的研究一下这个第十五题，第二十三题，他考察了直角三角形以及角平分线， 嗯，在直角三角形，它属于一个基础的类型哈，就是我们能够在课下准备出来，并且在考场上我们能够直接套用的方法啊，如果课下还没有准备好的话，一定要去先复习它，它属于一个比较基础的类型。第三问考察了我们角平分线， 角平分线的一个辅助长做的一个辅助线，那这个第二三问的话，都是需要我们在课下能够积累出来的，然后到考场的话，我们直接去辨别类型去套用就行了。所以第二三问的话，还是相对来说啊，比较好去处理的。嗯， 第二十四题，这个题，二十四题的第二问，他是，呃，属于一个常考的，也是属于一个常考的一个线段问题啊，这像这个类型的话，我都给孩子们讲了三次，至少是三次啊，从这个寒假开始， 我们复习这类题，因为他要化写为止，转化成我们最常考的这种牵扯线的问题。嗯，这个第二问是我们可以提前准备好的一个题目类型，但第三问的话，他就比较复杂了，因为第三问他结合着这个平移， 首先你要对这个直线的平移有所了解，写书新的这个抛物线解析式，并且根据新的抛物线抛物线的这个图像啊，结合题目进行分析， 理清他们的角度关系。那这个题他的难点的话就在于很多同学可能读到这个， 我读到这个题的时候就会有很大的一个为难情绪，因为看着很复杂哈，其实稍微理理的话，他还是能做几步的。这里写这里这个题的话是直接写出， 如果是不是直接写出要求我们写过程的那一类的话，建议同学们，嗯，即使这个题不会做，也要把这个新的抛物线写出来，因为他也至少给一分。 课下可以去好好看一下这个题啊，因为你可以分开去吸收。第一步我们可以吸收一下新的抛物线，就沿着某直线平行，新的抛物线该怎么写。第二步就是看你能不能根据题目给的这些角度问题， 梳理出最简单的这个角度关系，去解决问题啊，看这两方面的一个能力。 第二十五题，第一问就是一个傻瓜式的问题吗？跟着他的思路去走，填空就可以了。第二问需要一点小小的这个， 呃，知识积累，就是三边关系的问题，像这一类型的话，也是频繁给孩子们讲到的，他就是一个方向的话，就是去看到这个问题，方向就是去构造直角三角形， 所以那你构造是有方向，不要不要盲目的去构造啊，盲目的构造你，你就是属于这种，嗯，就是很随机了，稍微你考场能想出来就想出来，想不出来那就得不到这个分了，所以他是一定是有方向的 啊，在这里去构造一个直角三角形，与它三边有关的直角三角形，并且 c f 要作为一个直角三角形的，嗯，直角边啊，有了这些方向之后再去构造是相对来说就简单很多，那第三问稍微有一点复杂， 对孩子们来说稍微有一些吃力。第三问就是一个半角模型，需要去旋转缩缩小相应的倍数构造这种，嗯，全等。 嗯，整个来说的话，这些这些压轴题最后一个几何的综合稍微要偏难一些，对孩子们解决稍微吃力一些啊，以及这个 二次函数的这个第三问，总体在考场这个时间有限的情况下能够解答出来， 对孩子们要求还是比较高的啊。整个这个难度要比历下去一模要难一些，但是又比着这个跟中考也是稍微计算量难一点点啊，但是总体来说的话，嗯， 是符合我们这种，嗯，考试的考察方向以及考试的趋势，再把这个题没有掌握的一定要再去好好看一下。当然这里 呃给同学们的建议还是主抓这个基础和中档题，如果你还没有达到这个一百三十分的同学，先不要去看压轴， 呃，当然压轴你也可以去有选择性的去看啊，比如说第十题的啊，其中圈一、圈二， 圈三，圈一，圈二，嗯，还有就是圈四这些你都可以去研究，对吧？但是如果太难的话，你除非特别感兴趣哈，你现在可以不用把重心放在这里，依旧是把你的基础和中档抓好，只要你的基础和中档抓好，你这个分数肯定不会差的。 三个函数元以及这个数据应用题，看一下还有没有扣分的情况， 还有选择填空，我们最多给两个错误的机会，如果超扣错误超过两个，那你这个分数就很危险了哈。嗯，这里一定要接下来反复反复做你的这些错题，如果涉及到哪一类型 类型的错误，以题行为单位去进行复习，比如说三角函数啊，我现在还有一定的这个错误的可能性，那继续去练你的三角函数把， 尽把这个呃三角函数练透练，会反复反复的做错题，比如说圆，还有些 思路或者过程上的一个问题，对比着答案去照着去一一对比你的过程，把这个过程进行完善，思路赶紧积累积累，这像这些中档题是完全可以通过训练以及做错题来去练出来的。

hello， 同学们大家好，咱们再一块看一下二六年济南市市中区 初三数学一模题里边的倒数第二个大题，也是咱们整张试卷里边的二次函数综合题里边的压轴题。答到了这个题目的话，相对来说难度啊也是有的，但是不是特别大，但是计算量的话相对来说更大一些哈。 咱们一块看一下这个题。在平面知道这个系统抛物线很明显哎，知道 ab 和 c 未知，与 l 轴交一点，一对零这个点带进去，然后呢，对应轴就知道就能求出抛物线的表达式了，就不多说了啊。 y 等于负 x 方加三， x 加四， 对不对？通过对称轴，咱就能直接直接求出小 b 来，然后再把 a 点坐标带进去，就能求出小 c 来了，非常简单啊，百分之九十九的同学都会哈。来到了，咱们通过表达式，咱能进而就能表达出来。 a 点， b 点， c 点这些坐标都能表达出来哈。 a 负一对零， b 四对零， c 零对四，哎， b 是 四对零， c 是 零对四，那这样的话，咱就很明显能够干什么看出来 b c o 这是一个等腰直角三角形，然后的话， b c 表达式咱也能进而就能求出来了。 y 等于负 x 加四，对吧， 然后继续如图点 p 是 抛物 bc 直线抛物线的一点，然后并且 p 的 对称轴右侧对吧？它到 bc 的 距离是二根三，二根二， 那这样的话，求满足 p 点的坐标，那怎么办？ p 点坐标是 p 的， 位置是在这，我就过 p 向他出条垂线，这条垂线的长度是二根二，对不对？这很明显，咱就用到了一个方法，叫画斜位置，画斜 会直，对吧？很明显 p 这地方这个 n 吧， p n 是 斜的，对吧？画直直怎么直？就过 p 再向 x 轴这条垂线，大家会很明显当了我把这条垂线再给他延长，他交 呃过 p 向 x 轴的垂线与 bc 交汇点 m 与 x 轴交汇点 k 有， 大家会发现 k 有 k 有 p， k 有 是垂直于 x 的 p m n 这个三角形一定是一个等腰直角三角形，为什么？咱刚才已经说到了 b c o， 这是一个等腰直角三角形，所以说 b 处的角是四十五度，对吧？那么 s 的 角 m 处的角也是四十五，那对顶角 p m n 这个角也是四十五度， 他是四十五度了，所以说三角形 p m a 就是 一个等腰直角三角形，那 p a 是 二根二，那 pm 那 就是四，对吧？因为为什么呀？等腰直角三角形，三边比一比一比二，对吧？这样的话，咱就可以设 p 点的坐标，横坐标为 m， 重坐标的话是 负 m 方加三， m 加四，这是 p 点的坐标，对吧？ m 点的坐标呢？横坐标是 m， 重坐标是负 m 加四，对吧？那 p m 的 长等于四，那么上中减下中就 y p 减 y m 等于四，对吧？这样的话就构造出来一个关于 m 的 一个 二次函数，这样的话就把它给它搞定了，对吧？关于 m 的 一个二次函数，这样的话 m 就 给它求出来了呀，是不是？但是你会发现的话，它是关于 m 的 一个二次函数，但是的话，正好它是一个关于 m 的 一元二次方程，所以求出来的就一个根，虽说是一个一元二次方程，但是就一个根哈， m 求出来等于 m 求出来等于二，这样的话再把二代入到这个啊 p 点的中坐标里边就能求出来。 p 点的坐标是二到六，哈，非常简单。这个题哈 啊，来看第三位，第三位在二的条件下，二的条件是啥？二的条件，那就 p 点坐标二到六，啊，对不对？然后的话，他沿射线 bc 平移二根二个方向，大家一定注意咱沿射线 bc 方向，那很明显他是向左上方平移的，是斜着的，咱斜着的平移一定给它转化到 水平和数值上的，那很明显向左一个，向上一个，对吧？这样的话左移上移才能最终达到了一个像斜上的根二的这样的单位长度哈， 那外撇的减一四就能给他搞定了。向左平移，那就左加右减自变量。所有的自变量 x 是 不是都给他加一上加下减常数项，那就把常数项四加一变成了五，对吧？一整理一般是，那就是 y 等于 y 撇的减一次就是负 x 方加 x 减七，加 x 加七就能把它搞定了，哈， 那这样的话， p 的 对应点是一点，那所以说一点也是向左一个，向上一个 p 点坐标是二到六，向左一个二减一是一，向上一个六加一是七，哎，他的话就是一点的标一对七。大家注意啊，线的平移和点的平移这个地方是不一样的，线的平移是左加右减， 这边两三加减减长竖线，点了向左平移就减，向上平移九十加，对吧？向右平移减，向下向右平移加，向下平移减啊，就是左右平移，咱就改变了是横坐标向左平移，横坐标加，向右平移，横坐标减，上下平移，改变了中坐标向上平移，中坐标加，向下平移，中坐标减啊， 然后再继续，然后这点坐标是这些，然后 f 是， 呃，抛物线外撇上移动点，那么我就可以画一下这外撇的表达式了，对吧？二撇的表达式，那很明显他与外轴的交点坐标，那是零度七，对吧？因减一四九了呀， 很很好理解，对吧？外撇等于负 x 方加 x 加七，令 x 等于零，他是零度七，在这，然后一点坐标一度七，很明显他俩关系对称，轴对称其实对这个也没太太大有影响哈。 然后 p 点坐标在这，为啥在抛物线的外边，很明显，当 x 等于二的时候， y 它是等于五的，对吧？ 负把 x 等于二带进来，对不对？负四加二加七等于负等于五， p 的 重坐标是六，所以 p 要这样抛物线的上方啊，这很简单，对吧？这正好在到外边了哈。 然后的话，一一点这点坐标， b 点坐标分别在这位置，为什么呢？我怎么去求的呢？我就另外一撇等于零求出来的。是不是两根分别是二分之一 加根二十九，二分之一减就根二十九，对吧？一估算，很明显， z 比 z 的 小，左边这个比 z 的 左边，右边这个点呢？比 b 的 这个比四要小，那所以说 b 的 在外边，其实这个的话也无所谓哈， 那但 z 这个很重要哈， b 的 这个无所谓哈。然后呢，再看角， f g b 加四十五度等于 o p e o p e， 我 就把 o p e 连起来，对吧？ 为什么我这地方就画了一个垂线，这个，这个蓝线，这 q 怎么出现的哈？就是过 p 向 l 轴做垂线，过 e 向，过 p 向外轴做垂线，过 e 向 l 轴做垂线，它俩交汇点 q， 那 很明显，这个的话 p e q 这个三角形， 三角形。 p e q 是 一个等腰直角三角形，对吧？为啥呀？因为 p q 等于一，一 q 也等于一， p q 等于一个样，对吧？就像左移右左移了一个，上移了一个嘛，对吧？那这样的话，它这个等腰直角三角形，对吧？那所以说角 e q e p q 这个角就是四十五度，那所以说角 k o p o 这个角，它就角 k o p o， 那 就等于角 f g b， 对 吧？ f g b， 而且 f 呢，有可能在 x 轴上方，也可能在 x 轴下方，那就是我画的这个绿色的这条线，那这地方有可能是 f， 那 还有可能就是下边的这个焦点， 也可能是 f， 对 吧？这地方也可能是 f 啊，上边是 f 一，下边是 f 二，对不对？那这样的话，咱要去求 f 的 这个坐标的话，怎么去求？很明显， f 这个点，它既在抛物线 y 撇上，对吧？等于负 x 方加 x 加七，上面，又在直线 g f 上，对吧？所以说我要去求 g f 的 表达式。 g f 的 表达式怎么去求？这一点坐标已经知道了，那现在关键的要求它的 k 值啊，对吧？这个角正切值，这俩角相等啊，那所以说这两角的正切值就相等啊， 对不对？那很明显， p 点的坐标是二斗六，他的正切值，这个角的正切值假设是二分吧。 r 法是不是正确值是等于三，那所以说 g f 的 解析式，那 g f 一， 那就在上边儿，那 y 就 等于 k 入正的，那就三 x 加 b， 对 吧？ g f 撇二，那就在下边 y 等于负三 x 再加 b， 对 吧？ 为什么这样呢？因为正切值相等，但是呢，但是呢，因为 g f 一 是外旋增大而增大， k 是 正的， g f 二是经过的二次项线， k 是 负的，外旋增大而减小，对吧？那这小 b 怎么求啊？咱们再把 g 点坐标， g 点坐标是零，负的 三分之五都零，是不是分别代入到 g f 一 里边？小 b 是 不是求出来了，对吧？然后再和抛物线连立， 对吧？减着方正的就可以了，当然了，在连立的过程中，咱可以用去用伟达定力去来修，对吧？这个话，咱就用一个来去讲解一下伟达定力吧哈，咱就不过多的都讲那么多了哈，方法都是一样的哈，咱就以 呃，哦，这个不用，不能用伟达定力，因为这这不在那个抛物线上，那只能是硬剪了哈，这个地方没法用伟达定力， 因为这个的话，这他不是抛物线上，这不是抛物线一点，如果是抛物线一点的话，就可以用。他店里这地方没有什么好的办法，就直接硬算就行了哈，硬算，硬算的话，但是大家一定要注意点， f 的 坐标一定是正的，横坐标一定是正的，负的要舍去，因为他是直线。于抛物线，实际上严格剪出来是有四个答案的哈， 每一种情况都有两个，但是都有一个负的，就把它舍去了，对吧？因为这个的话不可能在左侧了，左侧的话是个钝角的哈，所以说的话，这样的话我就不去算了哈，就是这 f 一 算出来，解一次，算出来这个抛物线连力，对吧？ 然后交掉 y 关于 x 的 一元二次方程，解出 x 两个，但是 x 是 只能取正的哈，这样的话就能求出来两个答案。 f 点坐标分别是负一 加根三，逗号三，根三加二，还有一个六逗号负二负二十三，这样的话就把这个问题给他搞定了。当然了，这个题的话，你会发现咱说起来可是还是比较容易的，但是的话计算量还是很大的啊，计算量还是很大的，所以说大家，而且你看在 旁边我也写了，对吧？还有一些估算，对吧？画图的时候还得需要去一些估算啊。怎么来说？这个题的话难度不是很大，就是典型的咱们所谓的角度的问题，但是的话，这个题的计算量很大啊， 这个题难度不是很难，但是都是属于常规的题，也相对来说也可以在那个具体点就是属于套路的题，模型的题，就角度问题，对吧？然后要求那个点的坐标，要求出这个点坐标，怎么去求呢？这个点既在抛物线上，又在直线上，那我就求出这条直，这个点所在的直线的解析式。 直线的解析式怎么去求？已经知道一个点了，那就求这条直线与 x 轴加角的正切值，对吧？就是 k 值， k 的 绝对值。再看进去，它经过了相线，经过一三相减， k 是 正的，经过二四相减， k 是 负的，这样的话把直线的解析式求出来，再和抛物线连立，这样的话就把这个问题给它搞定了哈。

hello， 大家好，咱们再一块看一下二六年济南市市中区初三数学一门里边的填空题的最后一道题，也是填空题里边的压轴题。如图，在矩形 abc 当中， ab 等于六， bc 等于八， e 和 f 分 别是上面的点，然后将它进行折叠， a 落在了 a， 四， b 落在了 z， 然后当它们最小的时候求 f、 z 的 长， 大家会发现，那这个地方有的同学可能会因为 f b 落在了 g 这个地方为什么会出现最小值？因为 b 一定落在 g 上， e f 这个线段的话在随时的变动，因为 g 也可以在 c、 d 上任意一个位置嘛，对不对？ 当他们最小的时候，大家会发现 b h 和 ef 他 俩怎么给他联系在一块，他俩貌似没啥联系，是不是？但是的话大家要一定注意点啥， b h 有 没有和 b s 相等的线段在题目中很明显，那我连接这 g a 的 话是不等于 b s？ 为啥呀？你都没都是对应点连线啊，对吧，也可以说正全等也行啊啊，或者说是，呃，因为 b 和 g 是 对应点， a 和 s 是 对应点，他俩一定是啊，不能说对应点连线的啊，是相对应的点连线哈， 这等于 b s， 这也能看出来，对吧？然后的话，三倍的 b s 加上四倍的意思，哎，你会发现三和四题目中给了 ab 和 bc 的 比，是也是三比四，哎，三比四是不是矩形里边的邻边的比？是不是十字架， 哎，是不是想到了十字架对不对？ ef， 大家会发现 ef 是 折痕，哎，正好是折痕，对吧？那 b 和 g 是 不是对应点？那所以说我就连接 b g， b z 和 e， f 是 不是就垂直平分，就是 e f 垂直平分 b z， 对 吧？而且你看垂直的话，是不就出现了十字夹模型，对不对？ e f 比上 b j， 然后就等于 ef 短的比上长的等于邻边的比六比八，等于四分之三，哎，那四倍的 ef， 那 是不是等于三倍的 b j 了，对吧？那所以说三倍的 b h 再加上四倍的 ef， 那 就加上三倍的 b j 了，哎，把三提出来，那等于 b h 再加上 b j。 所以 说我要去求 这个三倍的 b s 加四倍 ef 的 最小值，就是求 b s 加 bg 的 最小值吗？ b s 加 bg， 对 不对？那就给它搞定了。那这个十字架模型有的同学可能不会不理解，那我这个地方再简单的给大家稍微的再串一下哈，我过 e 过 e 相的这条垂线，那得到的这两个三角形， 这地方再给它个字母，这地方为 m 吧。绿色的这个三角形哈， emf 和 bcj e m f 这个三角形和 b c c 这两三角形相似，正好相似，比的话是 b c 比上 m e， 对 不对？正好是一组邻面的比，所以说这也是咱们做这个题的一个突破点哈。然后这样的话，呃，我把这个绿色的 这边给它擦掉啊，因为这个用不到啊，就为了给大家说一下这个十字夹模型的哈，然后继续。现在得到的是 bh 加上 bj， bh 加上 bj 加上 bj， 哎，他俩的话， bh 加 bj， 大家会发现 bh 加 bj 在 动， z 也在动，两个动点 不大好弄，对吧？因为这一块 h 的 轨迹咱不知道，看能不能给它转化一下，这个地方的话，哎，这个 bh 转换了，可以转换到 aj 上来， 他俩是相等的，对吧？那这样的话，哎，这样就好弄了，哎， g 现在是不是就转化为了什么呢？就等于三倍的 b s 是 变成了是 g a g a 再加上 b z， 那 就很简单了， b a 加 b z， 是 不是？这点是动点？ a 和 b 都是定点，对吧？这样的话，典型的将军一马就把它给搞定了，那这怎么怎么办呢？那就我就干什么就行了。 b 或者 a 做对伸点就行了，我就过过 a 吧， 过 b 吧。啊，都无所谓，反正是啊。然后做一个关于 c 的， 对吧？ b 点 做关于 c 的 一个对称点，假设为 b 撇，对吧？然后再连接 b 撇 z， 那 这样的话， b 撇 z， 那 就和换个颜色吧。 b 撇 z 这条边，那就和 b z 这条边是不是相等了？典型的将军一马了，哈，那就等于 ga 再加上 b 撇 z， 那 他俩的最小值，那很明显， b z a 三点光线连接 b 撇 a 就 可以了，对吧？连接 b 撇 a， 那 很明显， 他们相等的时候， c b 撇这条边和 c b 是 不是也相等？那很明显，那这一点，那就是啥了呀？这一点就是 这个 c 得的终点，对不对？因为很明显，全等吗？是不是谁和谁全等，那就这两个三角形和这两这两三角形是不全等。 a j 的 这个三角形和啊， b 撇 c j 这两三角形全等，我就不过多的去描述了哈， 那这样的话，咱要这点是中点，那就能知道了。 c z， 那 就是三。 c z 是 三，求的是 f z， 那 f z 设为 x， 那 b f 也是 x， c z， 那 就是八减 x， 对 吧？这样勾勾定力，把它搞定 了，那就是 x 方减去八减 x 的 平方，等于三的平方，那就 x 方减六十四加十六， x 的 平方等于三的平方，那就 x 方减六减 x 方， 然后等于三三得九，对吧？ x 方 x 分 约掉了十六， x 等于七十三，所以说 x 就 等于十六分之七十三， 十六分之七十三，那就搞定了。这个题就典型的就什么呢？哈，虽说看似这个求的很复杂，其实就是啊，咱们两个模型结合在一块的，一个是十字架模型，一个是将军印码，就把它给他搞定了哈。 到了这地方也考到了折叠的一些知识，比如说折叠里边一定注意什么呢？第一定有全整，对吧？一定有尺寸线，这是咱们做这种题的一个核心啊，大家的话也把这个题再进行课下，一定的去多去整理，多去思考，多去总结。

看一下，二零二六是中医摸的第十题，选择题，压轴题。这个是一个二次函数的问题，定义了一个新的叫序列数 啊，序列数实际上就是 abc， 就是 二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项，所以这个概念是很容易理解，是吧？ 嗯，下面的结论，第一个结论，序列数是负三二逗号负一，所以这个很对啊。 嗯，再看第二个序列数，是一逗号， m 加二和二 m 的 二次函数与 x 轴横有两个交点，那这个二次函数我们可以写出来， 下面它与 x 的 交点，那就是另外等于零，求减啊。这又变成了一个一元二次方程。嗯，一元二次方程，因为这个这个方程是可以十字相乘分解它一下的，是吧？ 所以还可以把它写成 x 加 m 乘以 x 加二等于零，所以 x 一 等于负二。 所以是不是有恒有两个焦点呢？因为在这里他对这个 m 呢，并没有任何限制。如果 m 也等于二，那这个方程不就成了 x 一 等于 x 二等于负二吗？有两个相等的数点，那此时就变成只有一个焦点了。 如果 m 不 等于负二，如果负 m 不 等于负二，也就是 m 不 等于二十，那是有两个焦点。所以这个圈二是错的啊，因为它有一种情况，不能保证有两个焦点。 然后看圈三，嗯， p 和 q 在 序列数是这个的二次函数上已知，当 m 大 于零， y 一 等于负三 m 时，嗯， y 一 大于负二时， y 二是 x 的 曲值范围。 我们首先把这个二次函数写出来啊，圈三的二次函数， 这个就是 y 等于 m x 方减去二 m x 再减去三 m， 因为这个 abc 这三个系数当中呢，都含有 m， 因此我们提取一下，它 下面十字相乘，可以分解它一下。 嗯，到这我们看，嗯，如果是 y 一 等于负三 m 啊，可以把负三 m 代入， 然后这个式子呢，整理一下，负三 m 消掉，然后呢，提出 m 来，就变成了 m x 方减去二， x 等于零， 然后 m x x 减二等于零。这个方程有两个解， x 一 等于零， x 二等于二， 所以这个二次函数，嗯，它的开口是向上的，哼， m 大 于零， 然后呢，我们把负三 m 带入之后，外一啊，比如说外一就在这啊，带进去之后呢，算出来有两个减，那所以这两个减，一个是零，一个是二，就是这两个点 啊，这个点的坐标呢，就是二负三 m， 而这个点的坐标就是零。负三 m 下面它又出现了一个 y 二， y 二是比 y 一 小的，肯定比它低，所以只能落在这段图像上。那这段图像上，那它的横坐标的范围呢？当然是在零和二之间，所以圈三是正确的。 前面这个分解倒是没太有用。原来啊，好，我们再来看一下圈四。 当向量数是这样的一个二次函数，如果 m 小 于零， x 小 于二分之一时， y 随 x 增大而增大，那我们首先写出它的关系式， m 小 于零，开口向下，所以主要是我们要求一下它的对应轴，因为和增减性有关，对应轴负的二 a 分 之 b， 这就是它的对应轴。 前面呢，这个可以化简它一下，就是二分之一，再减去一个二 m 分 之一，因为 m 这个数是个负数，小为零 啊，所以二分之一减去一个负的，这时候就大于二分之一啊，所以这个对准轴是比二分之一要大的，它的图像呢，开口向下，我们画一个草图， 然后这个对准轴呢，就是这个二分之一 减去二 m 分 之一，这个数比二分之一要大，所以 x 小 于二分之一的时候呢，肯定就是在这边，一定是在对准轴的左侧， y 随 s 增大而增大，所以完全符合啊。 我们再看最后一个去列五啊，再看最后一个就是圈五， 这个序列数是这样的一个二次函数，抛物线的顶点与抛物线和 s 的 两个点交点组成三角形，为等腰直角三角形，这样能求 m 的 值，它说是三分之一，下 面我们仍然把它的这个二次函数的关系式先写出来， 我们把它也写在这个地方啊。圈五 关键式是 y 等于二 m x 方加上一减 m， x 再减去一个一减 m， 求抛物线的顶点。还有抛物线和 a 轴的两个交点组成的三角形。我们先来求一下抛物线与 a 轴的两个交点啊，与 a 轴的交点呢，就是落在 x 轴上，另外等于零， 然后这个式子呢，我们也是来给它呃，因式分解一下， 十字相乘，嗯，然后最后凑出来应该是一减 m， 而这个呢，是负的一加 m， 就是 负一和一加 m 相乘，要凑出一个负 m 来，所以让把这个负一给他，一加 m 给他，这样就是一加 m， 再减二 m， 恰好凑出中间项啊，所以这个十字就变成了二 m， x 加上一加 m， 再乘一个 x 减一， 与 x 有 两个交点， x 一 等于一， x 二呢，等于二 m 分 之负一减 m， 那这两个点之间的距离啊，这两个点之间的距离，因为它，嗯，构成了一个等腰直角三角形啊，我们画个草图吧。嗯，现在我们并不知道开口向上或向下，但是我们知道等腰直角三角形有个特点，就是 这个斜边啊，就是啊，假设开口向下啊，这种情况啊，这个草图就是这样啊，这两个点之间的距离就是 x 二和 x 一 之间的距离， 那这两个点之间的距离和顶点的纵坐标啊，到 x 轴的距离，它们之间有两倍的关系。 嗯，所以我们把先把这两个点之间的距离写出来，就是它的 x 一 和 x 二两个数相减的距离值，一减去这个后面的。 嗯，然后呢，有一个符号，就是加上二 m 分 之一加 m， 就 这个距离，就它 啊，等于什么呢？这个距离应该等于顶点到 x 轴的距离的两倍。顶点到 x 轴距离，也就是 y 的 绝对值，顶点的纵坐标， 顶点的纵坐标是。我们可以套公式啊，四 a 分 之四 a c 减 b 方， 四 a 分 之四 a c 四乘以二 m， 就是 八 m， 再乘以这个负一减 m， 再减去 b 方。 我们化简它一下，二 m 分 之一加三 m， 这个二可以约进来啊，约掉它，那就是四 m 分 之负八 m 减去八 m 方， 然后再减去 m 方，加二 m 加一减一， 然后 m 不 等零，那这边这两个式就可以啊，约掉这个二 m， 那 这个地方剩下一个二，这个二可以乘到这边来啊，就变成了两倍的一加三 m， 等于 这边是负的九 m 方，减去六 m 再减一， 所以就是二加六 m 的 绝对值等于九 m 方，加六 m 加一， 这个可以提出一个两倍的来，这里就是一加三 m 等，这边是三 m 加一的平方啊，然后这个两边都有个三 m 加一，所以我们看一下这个三 m 加一是否是等于零， 如果三 m 加一，如果等于零的话， m 就 等于嗯，负的三分之一，嗯，这个时候有个问题，就是嗯， m 等于负三分之一，之后呢？这个，嗯，这个答案啊， 就是上面是负一减去嗯负的三分之一，这里就是负呃，负的三分之二，下面一次二乘以负的三分之一 啊，所以这个数字就等于一，这样 x 一 和 x 二，这两个点就是同一个点了啊，这个不符合题目的要求，所以说呢，就是 嗯， m 是 不能等于三分之一的，所以等式两边可以同时，嗯，可以约掉一个三 m 加一，所以就三 m 加一的绝对值等于二， 那三 m 加一就等于正负二，然后一项移过来减一三 m， 第一种情况就等于一 m 等于三分之一，第二种情况就三 m 等于负，三 m 等于负一，所以就是两个答案啊， 好了，这是圈五，这样圈五呢，这样它只有一个答案，所以这个题呢，答案就是错的，嗯。

哈喽，同学们大家好，咱们今天一块看一下二六年济南市市中区初三数学一模里边的选择题的倒数第二个，也就咱们的第九题，此为作图的题，此为作图的题。从今年春季 啊，咱们课上的时候也一再强调过此位置的这种题啊，相对来说，按照啊最近几年的考试方向来看，比往年难度更大了一些，不是那么直接的了啊。当然了，他考试的方向还是两条重要的线，一个是 角平分线，一条是垂直平分线。很明显这个题目中就给了是这两个条件， a 的是角平分线， p q 是 垂直平分线，告诉了 bc 等于六， c f 等于三，让咱们去求 e f 的 长，所以说的话，大家会发现，我把这个题给他放大一下，咱要求 e f 的 长，那很明显我就求 e c 的 长就可以了。我这地方我就设 e c 为 x， 那 b e 那 很明显，那就是六减 x， 对 吧？那么我要找到他们之间亮了一个关系，那题目中就给了什么呢？就给了一条角平分线，还有一条垂直平分线，对吧？那就怎么办呢？很明显，这个地方的话，我连接这个 p q 与 ab 的 交点， 这个点的话，为什么连接他呢？我在连接这个，我先把它画出来哈，再给大家说一下，为什么去想着去连接他呢？因为这地方给他个字母，这地方是 j 吧，这边写 h， 大家会发现四边形 a j 四边形 a z e h a， 这是一个菱形，为什么呢？因为角平分线点到角两边的距离相等啊， a s 是 不是等于 se， 对 吧？然后呢， a 那 个 z e 又等于 aj， 对 不对？然后这些的话， 并且角角一等于角二，然后呢角一又等于角三，所以说角二等于角三，对不对？所以说这样就只能用菱形，那这样的话，我要去做菱形的话，咱们知道这是菱形的，那我想去求 x， 那 我是不是真建立一个等量换式，对不对？ 那这地方的话，我又怎么想的呢？因为这地方的话，那很明显这地方因为咱们是个菱形了之后咱又能知道了，哎，这个 a c 和 z e 他 俩是平行的， 对吧？他俩是平行的话，那大家会发现 b g e 这个三角形和 b a c 这个三角形是不是就相似？ 同时这个 c h 也和 c e 平行，那么 f e g 这个三角形和三角形 f c h 是 不是就相似了？这是咱们的可用的条件，对吧？然后这样的话，很明显这地方咱设到它是 x， 那 我这地方我就设菱形的边上为 y， 他是 y， 他 也是 y， 他 也是 y， 对 吧？那么这个 es 也是 y， 对 吧？先看第一个相似三角形 b e、 j 相似于三角形 b c a， 那 很明显对应边乘比例的话，那就是 z e 比上 ac 等于 b e， 再比上 bc， 来往里带 z e 是 y， ac 是 y， 加 c h， 再比上 b e 是 六减 x， 再比上 b c b c 是 六，对吧？这是得到了一个关系式，但是这地方还有个 c h， 不知道怎么弄，对吧？来，再看，刚才咱说到了，哎，三角形 f c h 和三角形 f e、 j 是 不是也是相似的？再把它写出来， 三角形 f、 c h 相似于三角形 f e j， 然后 c c h 比上 z e， 然后就等于 c f 比上 e f， 忘了带 c h， 我 不知道，比上 z e 比上 y， 然后等于 c f 是 三， e f 是 三加 x， 哎， cs 是 不是又给他找到了 cs， 那 就等于三倍三 y 再比上三加 x， 对 吧？那这样的话，哎，我往里边带到这里边来， 待到这里边来之后，大家会发现哈，给他带进来，那就是换个颜色，那就是 y 比上 y 加上这地方是三 y， 再比上三加 x 等于六减 x 比六，哎，神奇的地方出现了，大家会发现，等号左边是不是都有 y， 对不对？这样的话， y 和 y 是 不是约掉了？那就是一再比上一加上三，比上三加 x 等于六减 x 比六，这样的话就关于 x 的 一个分式方程了，对吧？这样的话，通过计算，这样就能算出来， x 等于三根三，我就不计算，我就不再去算了啊。 x 等于二，三根三， x 还没算完呢，三根三减三，这是由取了个正值哈，这肯定是交叉相乘之后关于 x 的 一个一元二次方程啊。 x 算出来等于三根三减三，取正值，因为这地方是线段长吗？对吧？取正啊，我就不再计算了，那所以说 e f 呢？那就等于三 跟三减三再加三，那所以说就等于三跟三，那这个题的答案就选出来了，选 b， 那 就把它搞定了啊。所以说这个题的话，大家会发现是用了两个相似，而且的话中间用了一个量进行代换，这个只是这个量给他约掉了而已， 这样的话，相对来说的话，所以说在做这种题的时候，大家一定要注意，在计算的时候，你一定想一点，有的时候啊，你舍得未知数多不？一定不能不能解，对吧？咱可以给他约掉啊，要大胆的舍未知数，大家可下手，一定把这个题再去好好的复习复习，巩固巩固。

大家好，我是虫虫老师，今天给大家带来适中的一模试卷分析，适中的这套卷子的话，个人感觉比这立下难度要大一些，其中他的中档题也比较新颖一些，那么后三道大题的话呢，有一些模型化的东西也是 看不到的，那么我们还是从第九题开始分析，那么第九题呢，根据他的这个作图痕迹，第一个我们能够知道他是做的角 b a c 的 角平分线， 也就说 a 的是一条角平分线，那么能够得到两个角相等。其次呢，在圈二里边能够看出来他做的是 a e 的 垂直平分线，那么他着重说了这样的一个词要注意，他特意嘱咐了是交在了 f 上，所以 f 是 不就是垂直平分线上的点啊，那么我们肯定要去连接 a f， 因为垂直平分线上的点不知道线段两端点的距离相等吗？所以能够得到的就是 fa 是 等于 fe 的， 告诉我们 bc 的 长度呢，是六， cf 的 长度是三，让我们去求 e f 的 长度，那么我可以给 e c 设一个 x， 这样就得到了 af 的 长度，就是啊，三加 x， 这样的话，分析完了之后啊，我们还能得到这两个角是相等的，你会发现，呃，没法做了对不对？所以在这里边就涉及到了一个问题，就是我们的倒角问题， 嗯，这里边隐藏了一个母子形相似哈，所以对于第九题呢，和圆是一样的，它的难度最高就上升到相似，你把它的性质用完了之后，那还是做不出来的时候，我们就要考虑考虑相似能不能做在这个题里边， 那么如果他这两个角相等吗？我设他是个 r 法哈，那么这个角呢？不知道，我们可以给他设个 b 特， 那么在这里边，我的这个角的度数，这个角是不是三角形 a、 e、 b 的 外角啊？所以它等于的是阿尔法加倍特，那么由于你的 fa 不是 等于 fe 吗？ 所以这个角是阿尔法加倍特，那这个角是不是也是阿尔法加倍特？这样我们就能够推出来这个角的度数就是 比特，阿尔法加比特，再减阿尔法，那不就是比特吗？那么这个角是不是又是一个公共角啊？所以我们就能够得出来这个三角形 f a c。 三角形 f a c 和这个三角形 f b a f b a 就是 一个啊，母子形相似哈，那么相似完了之后一比，这个答案就出来了。 而且啊，一定要格外注意一下，有钝角三角形的情况下，就容易出现母子相似。这是第九题，那么第十题我们照样不分析，下边的话，填空题前四个都比较基础。十四题，嗯，今年所有目前考完的 区里边，第十四题的难度都是非常简单哈，都是能够直接去求表达式，然后一连力就完事了，所以大家在这个地方的计算一定要注意检验一下，因为需要涉及到求表达式了。 那么第五题呢，考了一个折叠的题目，这个折叠的题目呢，之前应该是在上学期见过，他是这么说的，矩形 ab 的 长度是六， bc 的 长度是八，那么 e 和 f 分 别都是在边上把一个四边形这样折过来， a 的 对应点呢是 h， b 的 对应点恰好落在了 c 的 边上，是 j。 他 给了你一个说 他这个式子加起来取得最小值，让我们求此时 f g 的 长度是多少。那么在这个题里边，因为你的 e 在 动吗？折过来之后， h 是 不是就在动啊？他问的是一条这样的线 b h， 那 么其次呢，还给了你一个 e f， 对 吧？ 那么这两条线的话，他在动，我们是，呃，一点都没法求的，因为他俩根本就不在同一条直线上， 所以我们需要做到的就是干什么呢？进行转化，我要找一条线段，比如说和 b h 相等，或者说和 e f 相等，我们先进行这样的转化来感受一下哈。那么在这里边转化谁呢？我们要转化这一根， 把 b h 转换成 aj， 那 么 b h 其实是等于 aj 的， 为什么呢？你可以去正这个三角形，我把这个 a h 给它连起来哈， 可以去正三角形， b a h 和这个 j b h 是 全等的，那么正完了之后，你也能够发现这个 b h 和这个 aj 是 相等的， 折叠的性质有很多哈，比如说对应点被折痕垂直平分啊，再一个就是这两个有全等啊，或者说用勾股定律啊，一定要多去分析。这样这个式子呢，就变成了三倍的 a j 加上四倍的 e f， 最小 三倍的 aj 加上四倍的 ef， 哈，那么好了，就变成了 aj 和 ef 了，但是你会发现是不是还是没法做呀？所以我们继续要继续转化，那么再转化的时候呢？这个地方就有一个，你看这个 ef 是 不是这个折痕呀？对吧？ 我要想办法找到谁和 e f 有 关系，那么 b 和这不是一个对应点吗？所以我就把这条线连起来，好把 b j 连起来， b j 连起来之后呢，这是第一个我们知道的哈。第二个我们知道的就是这个 b j 和 e f 的 位置关系，是一个垂直，刚才我说的哈折叠的对应点被折痕给垂直平分了， 那么在矩形里边呢，他就会有一个结论，就是我们的十字架嘛，这是一个矩形，这两条线呢，是互相垂直的关系，那么能够得到一个结论就是这个短边比上这个长边，等于这个矩形的 宽比上长，正好。这个题啊，是一个呃六和八的，所以那么我们能够得到的结论就是 e f 比上 b j 就是 等于一个三比四，所以我的 e f 的 长度啊，就是 四分之三倍的 b j， 这样的话，那你看，我再给他把 e f 转化了，那就是三倍的 a j 加上四乘以 四，乘以这个四分之三倍的 b j 正好是三倍的 b j， 那 么都有三把三提出来，就是 a j 加上 b j。 哎，那你就可以清晰的得到了， a j 加上 b j， 你 会发现这个题里边是不是只有一个 j 在 动啊？ j 又是恰好落在了 c d 上，所以这样的话，第一个，第二个分析完了，第三个它就是一个将军印码题了， 将军驿马蹄，那么同侧问题啊，做对称，所以我们可以选择把 a 给它对称过来，或者你也可以选择对称 b 哈，这个地方就无所谓了， a 撇吧，这样连接我们的 a 撇， b 交的这个点就是我们的 j， 那 么由于这是八，这里是八，这里也是八，所以这里边出现了一个这个三角形，和这个三角形是不是一个八字全等啊？ 呃， ab 的 长度是六，所以我们就知道了一半就是啊三，这样知道他是三了之后，那么他让我们求此时 f g 的 长度，所以第四个就用到了我们的勾股定力。 我可以求的 f g 是 不是就是 b f 啊？是，它是 x， 那 么此时的 f g 也是 x， 这里有一个八减 x， 这样我们是不是就可以求出来 f g 的 长度了？ 这个第十五题的综合性还是比较强的，因为他涉及到的知识点比较多，既有我们在折叠题里边的勾股是 x 求长度，那么又有一个转化，这个转化问题你需要转化两次，又考到了十字架，所以整体来说难度不小哈， 这是我们的折叠题，那么往下，呃，这些都是中档题，就不再说了，我们还是来分析一下后三个大题。 后三那个大题的话，这个反比例函数考的不是说特别难， 考了一个直角三角形也会说一个直角的问题，那么我们一起来看一下表达式什么的，不再多说。 他说的这个 c 呢，是在这个第三项线。首先 a 和 c 是 不是关于圆点对称呀？因为反比例函数和正比例函数的两个焦点关于圆点对称，所以 c 的 坐标是可以直接得的，就是负四度负二， 他说 h 在 y 轴的正半轴，那么我们来看一下 h 是 怎么来的呢？他是做了一个以 a c 为斜边的直角三角形，那么让我们求此时 b a h 的 面积。我们先来观察一下这个 b a h 哈， 他是一个规则三角形，这个三角形的面积是不就是二分之一倍的底是 b h 高就是 a 点的横坐标是四啊，所以我要想知道这个图形的面积二倍的 b h， 我 就得知道 h 点的坐标， 那么 h 点的坐标呢？又由于这个角是不是一个直角来的呀？所以我们就按着这个直角去分析就行了。那么平面只要坐标系里边见到这个直角，选择悬空垂直，一个悬空垂直吗？我们就给他一线三垂直， 能够得到的就是这两个三角形是不是相似啊？所以我们可以给 h 点坐标设一个零度 m， 这样的话呢，去表示这个三。两个三角形的每一条边 竖着口诀上减下，那就是 m 加二，横着口诀右减左是四，那么这一边横着这块是四，这一块竖着，那就是 m 减二。 两个三角形相似的对应边是成比例的，所以小比大，那就是四比上 m 加二等于 m 减二比上四，这样我们是不是就可以求出来 m 点的坐标啊？ 求出来 m 点的坐标应该是正负二根五，我们只取啊， 因为你是在正半轴嘛，所以我们只取正的，那 m 就是 二根五，这样 p 点的 h 点的坐标我们就知道了，零到二根五，那么 b h 的 长度也知道了，上减下六减二根五。好，这样一代我们这个面积就出来了，那就是十二减去啊， 四倍的根五，所以这个第二位还不是很难哈，记住悬空垂直，那么我们的方法就是给他做一线三垂直，这是一个比较简洁的方法哈， 那么我们再来看第二位，第二位呢，他考了一个角度问题，他说 a h 呢，平分这个 b a c， 那 么 b a c 这个角在图一我们也可以看出来是不变的，对不对？但是我们不知道这个角的度数， 也就说这两个角此时相等，这条线呢，是一个角平分线，那么此时这个直角三角形依旧是成立的，所以这里有个角是直角，对吧？ 这个在上一套里边也出现过一次，当时说过一嘴叫做，你看这条线是不是既是一个角平分线，既是一个角平分线，是不是还是一个高线呀？所以我们那句话叫做三线占两线， 三线占两线呢？一定是等腰这个题，它并不是个等腰三角形，所以我们的方法就是给它延长，把 c h， 把 c h， 我 们给它延长过来，延长到这儿标标个字母是 标个字母是 k 吧，延长过来之后呢，它让我们求 h 点的坐标，你看此时这个三角形是不是就是一个 a， c， k 就是 一个等腰三角形了，对吧？ 等腰三角形的话呢，那三线合一 h 是 不是还是 c k 的 中点啊？所以我们可以求出来 k 点的坐标，那么我们就按照等腰三角形的方法去做设坐标，那么 k 呢？它是在 ab 这条线上，所以 n 逗号负 n 加六， 这样我们去表示啊 a k 表示啊 a c， 用两点间的距离公式是不是让他俩相等就可以了？求出来 k 点的坐标，那么 h 是 不是就是 求出来 k 点坐标之后，那么 h 是 不是 c k 的 中点啊？再用我们的中点坐标公式，二分之 x 一 加 x 二都二分之 y， 一 加 y 二，是不是就可以求出来了？ 那么刚才这个两点间距离公式呢？也要背过，他是横减横的平方加上纵减纵的平方，这样我们是不是就可以做出来了？ 这是一个两个公式的运用哈。所以这个第三问啊，如果你要是单纯的只看角平分线或者只看这个垂线的话，不是那么好分析，一定要想他要让你去用的方法去找他的隐藏条件哈。 这样的话呢，答案我就不再多说了哈。最终这个最终这个 k h 点的坐标求出来之后是负根十到根十，应该是， 这是二十三题，那再来看一下二十四题，二十四题这次和历程的区域考一样，考到了化写为直的题目，表达式不再多说，他是这么说的，他说 p 呢，是在直线上方 抛物线上的一点，并且在对称轴右侧，并且到直线的距离是二根二，图上没有，对吧？所以我们自己做一下，那么给了你点了一个点 p， 那 就是往这条垂线往这条 bc 做垂线，标个字母是个 q 吧，意思就是问你，当 p q 的 长度是二倍的根二时，求出来此时 p 点坐标是多少， 那么这个线是不是斜着呀？所以我们的方法这时候就很清晰了，过点 p 像 x 轴做垂线， 我要去找 p q 和 p h 之间的关系。由于你这个地方是有一个零豆四，还有一个四豆零，所以这里是不是隐藏一个四十五度角啊？ 那么你又往下做的垂直，所以我们就能够倒过来，这个角就是一个四十五度角，它永远和这个角是相等的哈。 那么我根据 p q 是 二根二，我能够得到什么呢？得到的就是我的 p h 是 不是 p q 的 根二倍啊，所以它就是二根二，再乘根二呢，就是四，这样 p h 这条线是我们的什么线呀？叫铅垂线。 那么我们只要在函数表达式里边，函数里边见到牵垂线，我们的方法就是第一步设坐标，第二步表长度，第三步让它 y 上减 y 下，是不就可以了？所以你就设 p 点和 h 点的坐标，注意他俩的横坐标都一样哈， m 逗号往抛物线里边带，那么 h 点的坐标呢？ m 逗号往 b c 表达式里边带，这样 p h 让它表示出来，那就是 y p 减 y h 等于四解方程就可以了。 注意只允许留的就是在嗯对称轴右侧的答案哈。而且这个题只有一个答案，求出来是二逗六，这是我们的第二问，那么我们再来看一下第三问，第三问呢？又考了一个角度问题， 他说在二的满足条件下，那二的满足条件下，我们再给他标上，那这个点 p 就是 不动的了，是二逗六， 他说了一个平移，但是要注意他说的是沿射线方向平移，对吧？那么射线方向平移那我们没有学过，所以你肯定要把它转换成沿着左右 上，左右上下平移，他沿着射线方向平移，是不是沿着这个方向叫做左上方啊？由于这个角不是一个四十五度角吗？ 那么比如说我给他移到这来，这就是根二个单位，你往下一座垂，这个角是四十五度，其实是不就是往左移一个，往上移一个呀？所以这句话我们转换过来呢，就是左移上移，这样我的根据左加右减，上加下减， 我是不是可以求出来这个表达式啊？把所有的 x 变成左加 x 加一， 那么往上移一个，就是在小尾巴上再加一，这样的话呢，我们整理出来表达式应该是负 x 方加 x 再加七， 好，得到的这个表达式的就是我们的 y 撇，他说 e 啊，是平移后 p 的 对应点，所以那 p 是 屁，是二逗六，那一点是不是左一上一之后就变成了一逗七了呀？一定要把函数的平移和点的平移给它区分开哈。 他说 f 呢，又是在这个抛物线 y 撇上， g 呢，是在 x 中上一个定点，并且这一点坐标是负三分之五斗零。那么来看一下， a 点的坐标不是负一斗零吗？那这一点的坐标是不是就在他的外边啊？那这一点坐标就是负三分之五斗零，这个点也是不动的 好，后边重点来了，他说这个 f g b 加四十五度等于 o p e， 那 么现在我的表达式是不是还没有啊？哦，不是，我的这个新抛物线还没有，所以我们要给他画一下， 画一下它过的是负二到零，对吧？这个这个地方，如果你的表达式画不画不清晰啊，容易 容易分析，不大好，将就着看吧。 假如说吧，假如说这个表达式就在这哈，那么我们来给它标上刚才的 e 点，左一上一，好，这个点就是我们的 e， 它的坐标就是一斗七 f g b， 那 么 o p e 这个角现在是不变的了，我们给它连接起来 o p 和 e， 那么这个角就是我的 ope 这个角哈， f g b， 那 么你看 g 和 b 是 不是都是在 x 轴上啊？ f， 它是在新的抛物线上，那么这个角加上四十五度等于 ope， 要说 ope 是 不是最大呀？对不对？ 那么我们主要就是要分析这个最大的角，他这个四十五度非常巧妙啊，为什么呢？因为刚才咱不是说了平行二根二个单位里边有四十五度吗？所以其实这个 e 在 这， p 在 这，你的这个 o 在 这， 这个点是二斗六，这个点是一斗七，如果我横着做条线，这个角就是四十五度，因为你看竖着一个单位，横着一个单位，对吧？所以我肯定要做的方法就是给他过点屁，做一条平行线 好，做出平行线来之后，上面这个角就是四十五度角。那么也就是说，现在我的角 o p e 等于的是四十五度角，加上标个字母角一吧，哈，加上角一。那题干上又告诉我了， o p e 是 等于四十五度，加上角 f g b， 那 是不是只需要让角一等于角 f g b 就 可以了？ 那么 f g b 在 哪呢？我现在因为我做的是平行线，所以我的这个角一等于的。给你放大看看啊，我的这个角一是不是肯定等于这个角二啊？对吧？还等于角二，所以我只需要让角二等于角 f g b 就 行了， 这样讲没问题吧？应该让角二等于它，那么 f g b 这条线，你看这不是在都在 x 轴上吗？对吧？这个角二在这，那么更清晰了。那么我们要做的就是一条过点 j 的 平行线，和谁平行呢？和 o p 平行，所以你看我画一下， 划到这，划到这，哈，此时这个角就是我要找的那个角三 f g b， 那 f g b 就是 角三，当这个角三和角二相等时，角二又和角一相等，此时角一是不是就和角三相等了，那么就能满足角一加上四十五度是这个大角了， 所以我们就能够通过画图得到的结论就是，这是 f 哈， f fg 呀，是和这个 o p 啊平行的。那么分析到这之后，那么往下我们做法就很简单了，两直线平行， k 相等， o p 的 表达式呢？应该是 y 等于三 x， 所以 我的 f g 的 表达式就是 y 等于三 x 加 b， 再把这个点 g 给它带进去，完整的表达式就出来了，应该是 y 等于 三 x 加五，三 x 加五。好了，这个时候我们的这个 f 它不是还在抛物线上吗？是不是和我们的抛物线连立就可以了？那么在这种情况下，我要的这个点只能取的是上面这个答案，注意只取正的哈， 这个计算量有点大。一个是呢，负一减根三， 把这个负一减根三给他舍了，所以我们第一个答案出来的就是负一加根三，逗 三跟三加二，这是我们的第一种情况，那为什么会有第一种情况呢？因为你的这臂这条线他不是 这一 b， 这条线它不是呃，在在 x 轴上吗？所以它夹着这个角是不是可以在上边，也可以在下边啊？那么我们再做一条线的时候，就是 这条线，这条线其实就是把这个第一条线是不是关于 x 轴对称过来啊？这个角四，这是不是也有可能有个角啊？对吧？ 那么我们只需要再去第二种情况，就是只需要在求这个角二的线就行了，那么由于它是关于 x 轴对称的，所以刚才是 y 等于三 x 加五，现在就是 y 等于 负三 x 减五，这样再和抛物线连立，那解出来又有两个答案，一个应该是六， 一个应该是负二根三，那么从图上看，此时满足的那个 f 是 不是应该在？ 嗯，我就不换了啊，是不是应该在这个位置和抛物线的交点，所以我们还是只能取的是这个六这个答案，把负二根三就舍了。这样我们的第二种情况出来之后，应该是六度负二十三。好像是哈，这就是我们的第二种情况。 所以一般这种题如果有角的问题啊，他都有隐藏条件，你如果要是看不出来隐藏条件，不会画图的话，那这个题你能分析出来的概率就比较低一些哈， 这是函数解决了。我们再来看最后一个题，最后一个题没有什么模型哈，就是这种题，他一般给你思路的时候呢，就说明他这个模型啊，比较 不那么直接，需要你根据人家的解析思路比着葫芦去画，所以可能难度上对这种线分析题目比较薄弱的孩子们来说比较难一些，但是填空还是比较没问题的哈，他是截取了让这个 c f 等于 a 得，由于他是等腰值，所以我的 c 得就等于 bf， 他 又转了一个九十度，这个边是等于这个边的，那么 还有一个条件就是得 b f 这个角是能够挣出来等于这个角的，因为这个角加它九十，它加它又九十，总之这两个三角形能挣出全等来，所以第一个空，我们的 c 得等于的就是，嗯， bf， 这是第一个空，第二个空的话，他让我们去证的这个结论是他仨之间的一个数量关系，这个数量关系要不然就是谁加谁等于谁，要不然就是一个平方之间的关系。所以很明显，人家的题干上，你看，这不都跟你说了吗？对吧？ cf 呢，转化的是 a 的， 所以呢，就是 a 的 平方加上 c 的 就是还是 c 的 平方等于，那么的 f 得 f 得 f 是 等于谁呀？得 f 刚才转化完了正完全等之后，得 f 是 不是等于 c e 啊？所以就等于 c e 的 平方，这样 a 得 c 得 c e， 我 们是不是就转化完了？ 它是构造了个全等，对吧？好类比分析。你看，他说通过构造全等三角形将证明的线段进行转化，那么 图一转化完了之后呢？他让我们去看图三，图三他又是一个等腰值， a c 等于 bc， 这个角是九十，那么连接 c 的 得在动哈，连接 c 的 转又转了一个九十，其实在这里边，如果你连接 a e 的 话呢？这不是那个两个等腰值共顶点吗？所以有个手拉手，就是这个三角形和这个三角形是一个手拉手全等，对吧？ 呃，不仅啊，咱还能分析出来，这个角是不是等于这个角是个四十五度角啊？这个角也是四十五度角，所以这里还有个垂直嘞，是不是？ 但是这个题重点是在这，他让我们正的这个是 e f 方， e f 方，你看和我们要找的这个三角形没有任何关系。嗯，还有得 f 方好，得 f 方等于两倍的 c f 方，所以你看，他和我们 得到轻易得到这个全等是没关系的，那么我们就分析出来就比较费劲哈， 但是我知道一个是什么呢？就是这个根二倍的 c f 啊，根二倍的 c， 这个二倍的 c f 方啊，他肯定是根二倍的 c f 括起来的平方，这样转换过来的，那谁是根二倍的 c f 呢？一般我们就是让这个 c f 当一个斜边的时候 等腰直三角形，那 m f 是 不是就是根二倍的 c f 啊？所以你这样去根据结果去分析的话，那很明显你要造一个三角形，让 c f 当什么边呢？当直角边，那这样的话，你这个分析就出来了，我延长 bc， 好， 延长 bc， 让 c f 当这个直角边，这个点是个 q 吧，有时候我让这个 c q 和 cf 相等，那这样这是不就是一个等腰直角三角形啊？我们就给他在这个图里边找一下全等三角形， 对吧？那你看这个时候这是一个等腰值，这是不一个等腰值啊，所以我给他连接一 q， 我们能够证出来的就是 e q c 这个三角形和我的 c f 的 这个三角形是全等的。那么我们列一列条件，首先的 c 是 等于 e c 的， 其次 f c 是 等于 q c 的， 那么这个角一二三， 这个角一是等于角三的，所以三个条件我们是不是就能够证出来全等了？证出来全等之后，那么我们这个题干，你看他说的啊，证完全等之后，你肯定要倒角啊，对不对？ 所以我的这个角，这个角就等于这个角，那这个角是不是由于你不是 e c 得是个等腰值吗？所以四十是不是四十五度啊？这个角也是四十五度，所以我画的不大标准了哈，所以这个角是不是就是一个九十度啊？ 那么我能够得到的结论就是 e q 的 平方加上 e f 的 平方等于 q f 的 平方， 对吧？那么我们就开始转化了，它没有 eq， 所以 我们需要把 eq 转化，因为刚才的全等 eq 是 不是等于得 f 啊？所以就变成得 f 方了。 那 e f 方题干上是有的，正常写好 q f q f 刚才说了是不是等腰直角做的，所以它是 a f c f 的 根二倍， 那就变成了根二倍的 c f， 这样再写呢，就是得 f 方加 e f 方等于二倍的 c， f 方是不是就转化完了？ 所以这个题就是，虽然题干上有全等，但是我们没法用，没法用的话，那根据题干上说的，那就是造全等，因为他不是说了吗？构造吗？对吧？造全等的话，你不好造的时候，就先看结论，有个二倍的 c f 方，那他肯定是由根二倍的 c f 转换过来的， 这是这个图三哈，这这种的也没有什么模型可说哈。第三问的话，他给的我们是在平行四边形中说 ab 的 长度是六， a 得是十角， b 这个角呢？是六十度，所以我们能够得到上面这个大角 b a 得是一百二十度， 他又说这个角是六十度，所以我们之前见过类似的，那就是角含半角这个类型，对吧？ 那 a e 的 长度是二根七，如果是这个是 alpha， 这个是比特哈， alpha 加比特是六十，让我们去求得 f 的 长度。在这个图里边，我是不知道有什么相似或者全等的，也没有，所以我们根据前面的这个题，肯定就是构造了。 呃，在我们目前能知道的前提下，就是有一个角含半角，所以我们就想着给它把 alpha 和比特凑一块，那么我就引一条线， 我让这个角是个 r 法的话，那 r 法已经和 r 相等了，所以现在六十度是不是凑一块了？ 我们以前做角含半角的时候，有一个要求，就是邻边必须得是相等，对吧？这样你的 a 得转过去之后是不是才能重合呀？但是现在十和六是不相等的，也就说 a 得比上 ab 是 五比三，那我就让这个 a f 比上这个 a q 也是五比三， 所以 af， 这，这不在这吗？我就在这上面截一段，截一个，让这个是个 q， 让这个 af 比上 a q 是 五比三，这样这两个三角形其实是相似的，对吧？ 相似完了之后呢，我们要想求得 f， 这个角又是一个六十度，所以我如果能知道 af 的 长度就好了。 我想知道 af 呢，它和 a q 又是相等的，又成比例的，所以我要是能够知道 a q 就 好了。那么我们先来看一下这个三角形 a b e 这个三角形哈， 这个三角形是可处理的，这是六，这是六十，这是二根七，那么六十度放在直角三角形里边，往下做垂线， 标个字母是个 h， 这个角就是三十，所以这是三，这是三根三。那么勾股定力可以求出来， he 是 一，所以我们的 b e 长度其实是可知道的，是四哈。 这样的话呢，因为你刚才的相似，这个角也是六十度，所以其实这个 b a 还是一条角平分线。那么我们来看怎么去求 a q， 其实 a q 是 等于二根七哈，咱们求呢？用角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，所以往下做垂线 m， 这样延长过来之后往这做垂线。 这是一个 n 吧，这是刚才的 q 啊，那么我能我能够得到的是什么呢？就是这个 am 是 等于 an 的， 根据角平分线的性质，对吧？还能够得到的，这是垂直吗？这是垂直，这个角是一百二四边形的内角和是三百六，所以 m a n 这个角呢？是一个 六十度，那又由于你的 q a e 这个角也是六十度，所以这个小角是不等于这个小角啊。 所以我就能够得到三角形 a n q 和这个三角形 a m e 其实是全等的，这样全等之后，你的 a q 就 等于这个 a e 上二根七了，所以我就得到了 a q 上二根七， a q 是 二根七，所以我的刚才相似完了之后， a q 比的不是 af 是 三比五吗？这是二根七，所以我的 af 就 知道了， 是十倍的根七除以三，那就是三分之十倍的根七，这样这个角又是一个六十度的角，对吧？那么我要想求得 f， 肯定要把它放在直角三角形里边， 如果我这样做垂直，这样做垂直哈，标个字母是个屁吧，你把十给它分开了，对不对？你也没法去求，应该是应该也有法去求这角六十，这个角是不是三十啊？我们可以说这是 x， 这是根三 x， 这就是二 x， 这就是十减 x， 对 吧？这样在这个三角形里边，用勾股令里求出 x 来，再乘以二，是不是就得 f 的 长度啊？所以这个四求出来也没啥用，对吧？ 嗯，但是这个方法挺麻烦，不大好去想他那个答案上的那个方法呢？我说实话更不大好去想，因为这些角度你构造角的时候你就挺费劲的哈，所以最后一问可以稍微听一听吧。以上就是咱的市中区的这套卷子的分析，嗯， 这个二十五题说实话没大有模型可套哈，但是上面这个二十四题和二十三题出的还都挺好的，记得点赞关注哦。

hello， 大家好，咱们再一块看一下二六年济南市市中系初三数学一模题里边的 倒数第三个大题，也是二十三题。如图，在平面直角坐标系中，然后一次函数与反面函数交于 a 点，然后与坐标轴交于点， b 经过什么什么这些东西，然后且 三角形 a s c 是 一个以 a c 为斜边的直角三角形。第一位，求反比函数表达式，很明显， a 点既在直线 y 等于负 x 加六上，又在反比的函数上，把 a 点 代入到直线解集式就能求出的 a 点坐标是四到二，然后再把四到二代入到反比的函数解集式里边， k 就 求出来了， y 等于 x 分 之八，非常简单哈。 k 等于八 这个的话啊，第一位基本上都没问题啊。第二位，如图一， s 是 外周上一点，这个的话，咱还要求 b a s 的 面积，那很简单呀，那就 b s 当底， x a 是 不当高， x a 那 很明显就是四了，对不对？ 然后呢， b s 怎么去求 b 点？坐标是零头六也非常容易，关键的是求 h 点的坐标，对吧？最简单一个方法就是斜边中线等于斜边的一半，就斜中等于斜边的一半， 那大家会发现角 a h c 是 直角，然后 o v 等于 o c， o 点是不是中点？为啥 o v 等于 o c， 那 很明显， a c 关于圆点对称吗？对不对？那这样的话， o h 就 等于 o v 啊。 o v 的 话， a 点坐标是四到二，那 o v 是 二根五，说 o h 也是二根五，所以 a 四点坐标就是零。得好，二根五，那 s 三角形 b h a， 那 就等于二分之一 b h 到底。刚才说了乘以 x a 的 绝对值，我写全下来吧， x a 也行，因为倍镜的话，这个 a 的 第一项线嘛，方格表示正的，对吧？二分之一乘以个六，减 二根五，然后的话再乘一个四，对吧？去括号，那就是二去，先去分去八，乘二分之一六减去二根五，然后再去括号十二减去四根五，面积就把它搞定了哈。非常简单来，如图， a s 平分角 b a c 求 a c 的 坐标，这个地方的话我就没再插它哈啊，因为这个计算量比较大，所以说我就把这个过程我就没再去插它。 很明显，这地方角 a s c 是 一个九十度， s 数是直角 a s 相当于垂直于 s c， 对 吧？然后呢， a s 又是角平分线， a s 垂直 s c a s 是 高线，又角平分线，哎，很明显三线合一，所以说我就想到了延长 c s 交 ab 的 延长线与点 k u， 那 么我就很明显的能求出来三角形， a h a q c 这是一个等腰三角形对吧？那么 h 就是 c q 的 是不是终点对不对？ h 是 c q 的 终点，那么我只要是能求出来 q 的 坐标，然后呢，我用终点坐标公式就能求出来 h 的 坐标，对不对？那 q 的 坐标怎么去求？很明显 a c 是 等于 a q 的， 对吧？ a c 等于 a q 怎么办？ a c 很 明显两点间距离公式是不就能搞定？ a q 是 不是也能，也能求，也能求出来？等于 a c 等于四根五，对不对？等于四根五，然后的话， q 又在直线 ab 这条解一式上，我就设了 q 的 坐标 为 m， 逗号负 m 加六，但是 q 的 这个横坐标大家一定注意点哈， m 一定是小于零的，因为他在第三项线吗？对不对？所以说解出来一个小于零的，那正的就舍去，因为另外一个还会在第四项线这个地方，对不对？所以说的话，那是 m 就是 负的了哈。 然后呢，咱要用两点间距离公式就可以把它搞定了啊。 q 的 坐标是知道的， a 点坐标知道，对吧？两点间距离公式我 不带根号，那我就平方就行了，对吧？左边平方去根号了，右边平方四根五的平方，那就是八四，对吧？然后这样一解，解出来， m 等于四加减 二根十，对吧？很明显的，刚才说了， m 必须是负的，对不对？因为为什么啊？因为它在第二条线，对不对？所以说就是取了一个四减去二根十，这是横坐标中坐标呢？那负 m 加六，那就能把 k u 的 坐标是不是给它求出来了？ k u 的 坐标求出来之后呢，我再用终点坐标公式就能求出 a 四的坐标来了。终点坐标公式是啥嘞？ 大家复习一下啊。那就是二分子横和二分之 x 一 加 x 二逗号，二分之重和二分之外一，再加外二，对吧？然后带进去就行了。 c 点坐标是知道的，然后 q 点坐标知道了，对吧？横加横除以二四减去二根四，再加上负四四加负四，没了负二 根四，再除以二，负根四，所以说 a 四的坐标就是负根四，逗号根四，对不对？非常简单哈， 到了这这个地方的话，其实就是用的什么两点间距离公式就把它给它搞定了，也结合了一个等腰三角形里面的三线合一，既是高线，又是角形微线，那很明显咱就想到了等腰三角形，对吧？一给他补成等腰三角形到了这地方需要咱们去证明哈。大家注意啊，需要证明角形微线，然后呢，又有垂直， 有角相等，又有垂直又有公共边，是不是它的全等？所以说 a c 是 不是等于 a k 就 非常明显啊？非常简单，我就这地方就不知道过多少岁数了。 这个地的核心就是要把咱们这个啥呀等腰三角形这个性质给它弄明白了。对啊，有高线，有角平分线，就想到等腰三角形。等腰三角形要相等，那么我就可以用两点线去公距离公式就求出点的坐标来，进而再用中点坐标公式就能求出所出的问题了啊。

聊城初三年级想冲一三中的孩子不要错过济南市中区一模这套题，卷子题型、考点我都扒完了，比咱们东昌府区一模数学题要更灵活更有创新性。咱 们聊城自己出题还是太保守了一些。济南市中区一模这套题哪些题最值得做一做？给大家划个重点，选择第十题填空第十四题十五题后面大题，第二十三题二十五题，质量都非常高。需要试卷的家长记得进我主页粉丝群领题。