济南章丘二模数学第九题怎么做

济南初三的家长同学们注意了，历下区二模数学卷呢？刚考完，如果想要电子版抓紧关注私信我，今天我用一分钟的时间带你扒透这套试卷！整张卷子，没有一道废题，前面一到八题看着全是基础，其实全是坑。像第五题平移，第七题反比例，孩子稍微粗心分可能就没了。 第九题第十题直接开始分层，等腰直角作图，加上二次函数整数解一半，孩子呢，直接卡壳，连思路都摸不到。 后面的解答题呢？更绝！第十九题实际应用，二十一题统计，二十二题方程方案是中考高频题型，尤其是二十三题函数综合，第二十五题旋转几何，完全对标济南中考压轴难度，根本不是在考刷题，是在考孩子的综合思维！ 说白了，这套卷就是在预警今年的中考数学光刷题没有用了！必须抓思维抓细节！关注我，济南中考不迷路！

今天天桥二模的试卷已经考完了，我们来看一下整体的难度。这套卷子呢，我感觉难度算是比较中规中矩，但是呢，他有些题目考的会比较新鲜，或者说平时见的不是很多，包括一模的试卷，给我也是这种感觉啊，就是题目不是特别的常规啊。 然后我们来看一下题目，九题难度比较适中啊。我记得当时天桥一模的第九题考了一个角平分线定律，好多同学就比较懵，没太想出来。这个题呢， 比这一模的难度要小了很多。第十题是一个比较常规的二函数与新定义结合的，这种题型去年考的还是比较多的，今年各个模考里边出现这个题，出现的频率就不是很高。 然后第十五题，这个题的难度我觉得要比这第十题大了不少啊。没有考比较常规的折叠问题，考了一个一线三垂直和构造相似啊，我觉得这个题不是很好做啊， 有就是后面的这个大题啊。二十三题，这个题呢，看起来考了一个新定义的题，叫被边矩形，他外面包的这个壳子特别厚，需要你能先搞清楚这个定义是什么， 有了定义之后去拆分这个被边矩形啊，我实际上是把它拆分成一个直角三角形，有了直角三角形以后，要考虑到跟直角三角形结合比较多的一线三垂直的结合，那我觉得这个题的整体难度来说要稍微的大一点点啊，他没有那么好得分。 我记得天桥一模的试卷，当时二十三题也是考了一个新定义的题，大家对于这种新定义题的做法都是会有一种天然的恐惧感，总觉得读不太懂题，所以这时候其实就是考验了大家的读题分析能力啊。实际上读完了题以后再去做未见得很难，但是很容易糊住一部分同学。 然后这次的第二十四题，整体来说难度不是很大，他的第三问问的比较新鲜，问什么时候这个三角形是一个锐角三角形，其实就是找一个临界状态，看他什么时候是直角三角形，所以他考的是一个直角三角形存在性的问题，如果能分析到这一点的话，剩下的部分就不是很难了。 然后这个题呢，跟二五年的历下三模的反比例函数那道题的第二问考的特别像，大家如果要是想再去练一下对应的这一道题目啊。 然后二十五题，这个题考的是一个十字架模型，正方形、矩形、平行四边形里边的十字架模型。第四问来说，整体的难度就非常大了，近几年在这个各个模考里边，十字架模型没有在大题里边出现过了哈。这个题应该得是 三四年以前的考试题，里边曾经有过类似的题目，但是近几年不太常见了。我记得天桥一模的这个几何压轴也考的 比较新鲜。安桥这两次模考的卷子怎么说呢？你说难吧，他确实有点难。然后问法呢，确实也比较新鲜，就是 感觉没有那么常规，可以在这些题目上多去拓展一下你的思路。哎，中考说不定考到的就是一些比较偏的，这种知识点也不好说，所以大家可以做一做，去拓展一下，看看哪些题型是你没有见过的， 大家也可以做一做，去感受一下这些不同的问法，遇到的时候该怎么去解决。但是呢，也会有一个问题，我总觉得这种题可能会让一些有实力的孩子考不出来特别好的分数，不知道咱们天桥区的同学和家长对这套卷子的感觉怎么样？欢迎在评论区里大家探讨一下呀！

我跟你们说啊，快到中考了，我发现同学们都容易手抖，不光同学们容易手抖， 就是抖的人可多了。你就像有的有的，我在看这个题目，我就说有的人的那个解题过程真的是无力吐槽，真的无力吐槽。你说这个角是阿尔法，这个角是背扯，求这两个角的和，那你就把它搬到一起好了。怎么办啊？这个搬法不是很简单吗？ 直接这个地方做一个三角形，把它倒下来，两个三角形一样大的，你设它为一， 这个地方就是一，这个地方就是根号三，这个地方就是直角二，二除根号三，对不对？两除根号三。这个答案就选 b， 就 这么简单，毋庸置疑，不要走弯路啊。好了，今天就到这里了，给大哥点点关注， thank you。

二模成绩不等于中考成绩，一定要学会看排位，而不是分数。还不知道孩子区排位的家长，可以把分数打在评论区语数音物化折合完的文化课总分，老师可以帮你预估一下啊，我们的区排位。 嗯，二模分数啊，一低了之后，很多孩子和家长有点乱了阵脚，因为这次稍微有点难度啊，有些孩子就陷在情绪里边，白白耽误时间。这时候啊，建议一定要找老师分析下考勤，先认清自己的位置。二模后最后三十天，我们应该怎么复习？ 王老师在一线送中考十几年了，以下内容啊，我特别建议我们家长点赞收藏，和孩子们一起过一遍。 嗯，二模呢，是我们中考前最关键，也是最后的一个查缺补漏的一个节点。嗯，之后的复习呢，核心就不再是刷新题和刷难题了，而是 抓错题，固基础，练答题、稳心态。那我们要用三十天的时间，把我们的分数从会做但丢分拉到稳，拿分少失误。 核心的总原则有以下几条，第一，放弃偏题、怪题、死磕基础和中档题。中考还是百分之七十的基础题，百分之二十的中档题，这个是不会变的，我们的难题只占少量。 那你不要太受二模的一个难度的影响，尤其是数学啊，咱们备考走错了方向。二模后千万不要钻牛牛角尖去天天刷压轴题，一定是要把时间放在课本的核心知识点、常考题型上来进行吃透，这个比刷难题题分要稳的多。二 错题一定是第一复习资料，咱们拒绝盲目刷题。二模试卷和近几次周次的错题，你可以按知识点错误审题、错误计算错误答题，规范错误分类，每道错题都要搞清楚错在哪，正确思路是什么，同类题怎么避免再错？ 那么错题不搞懂啊，刷再多题都是重复，犯错没有意义。第三，一定要回归课本，抓牢主干，知识 公式啊，定律啊，古诗文单词，核心知识全部回到课本过一遍，别等到快上考场了才想起来要回复习这个技术知识来不及，很多丢分咱都不是不会，而是课本的技术知识记不牢，理解不透。其实很多的辨识题还是围绕技术知识来进行辨识的。 四、一定要进行限时训练，练答题速度，答题规范，中考拼速度也拼规范。做题必须要掐时间，比如说我们的数学选择填空咱就是二十五分钟，语文作文五十分钟，你避免到时候考试做不完就太亏了。 同时，我们要按评分的标准写步骤，写答案，不丢步骤，分书写分。第五个，一定要善于抓薄弱科，补短板。那么优势科我们是要保分， 但是总分提升最快的还是不弱科，尤其是在边缘的考生。比如说你数学弱，你就一定要主攻基础题型。英语弱，我们就死磕单词和阅读。而优势科目呢，你只要说少令呢，少量的再进行每天刷题保分就可以了。 所以各科目具体的复习方法和必成指南，我下条也会讲到，家长们记得点赞收藏。最后三十天，拼的不再是谁努力，而是谁复习的更精准。我们要抓准错题，稳住基础，规范答题，分数一定还会稳不提升。各位家长，我们一起加油！

沈阳市初三试模的卷数学卷我刚做完，做了一下，十五题，还有二十二题，二十三题还有二十一题，然后这道题做了，然后像是前面那个三角函数题，我简单看了一眼，嗯，就是正常，我们知道一边去导边题都不需要去设方程，这还是比较简单的，主要说一下十五题、二十二题和二十三题。 十五题这里头孩子只要能找出一个一维相似，二维平线之间出现了角平面线，那么他一定会出现，等到三角形这题就完事了啊，勾股一列，这就 ok， 很 简单。那我之前说吧， 以后我们这种正经八百大考里，十五题他不会给你出难的，因为现在一个这两年趋势就是这样。然后是二十二题和二十三题，看到二十二题的时候，其实我心里有数，这道题一定不会难，为什么？ 因为他在二十三题的时候，他的难度都没有说特别特别大，那种就任何的大型考试都算上，那么把他这道题挪到了二十二题，难度他也会再降低那么一点点。 二十二题前两问非常简单，就正常，你是上课能听课，然后我们对于咱们一轮复习也好，或者是数学学习稍微认真一点，这题前两问就必须得拿分的题， 你说要是基础不好时，第二问费点劲，那可能会出现这种情况啊。然后括号三，面积问题呀，那看到这题都得乐开花了啊，面积问题，多少年没有这么去考过了呀？放到最后一题，那给了 a、 c、 f 的 面积小于二分之三，直接确定 f 点位置，但这里头仍然有个坑， 他考察的是抛物线的平移问题，平移表达解析式的问题，这是我压轴课第一节课我就讲的内容，也是我一轮复习当中重点讲的内容，表示 解析式，但是在表示解析式的过程当中，它出现一点 b c 的 解析式是什么？沿着 b c 走，但是不按这个来要求出顶点的解析式，这样的话就能表示出来了，然后把这个点一确定，咔往里一带，人家说不与 a 重合，然后把 a 那 个点咔砍掉，两个范围一取完事。 二十二题还是挺简单的啊，然后我本来是怀着很忐忑的心做了二十三题。二十三题第一问，还可以啊，做的挺顺利。第二问，哎，也还行，这里头会出现了一个手拉手，构造相似， 整个手拉手相似才能做出来，一下就整出来，整出来之后括号三圈一能也能算出来，它跟那个括号二是一样的，但是到圈二时候可能会稍微费劲一点， 因为这里头会用到这个。另外一个相似的问题，我没研究还有没有什么其他的方法啊，反正我是用相似去做，用相似去做反正不是特别的难，但是这个相似在考试有限的时间之内，这可能稍微费劲一点， 所以在这一次考试当中，我总结一下啊，有关于拔高同学啊，二十二题的第三问和二十三题的第三问，二十三题的缺二，我觉得你要是在有限时间没答上来的话，有情可原吧，但是这是能答上来的题。然后对于二十二题的括号三，如果你连第一个 f 点的位置都没找到的话， 那这学习绝对是不到位不过关的啊。然后如果你都没有表示出平移之后的二次函数表达式，那学习也是不过关的。这种正常老师肯定都会讲，而且我的课堂当中讲了不止一次了啊。其他题就是正常题，包括语文那道题我也做了，很简单，比之前做的题要简单很多。 我们沈阳市这次出题啊，手下留情了。然后这套卷呢，也是非常值得大家做的一套卷的评论区留言，一个数学卷，让孩子练一练。

中考想拿高分，那二轮复习就得练真题，这节课我带你主题精讲一套中考二模试卷，每吃透一道题，你就离高分更近一步，全部看完，我们冲刺满分。好，我们首先来看第一题， 那么下列图形是轴，对称图形的是哪一个？那么很明显啊， b 选项对吧？它有一条对称轴啊，简单，我们就过得稍微快一点点。好，第二个， 把这个数用科学计数法表示是哪个？当然这个数呢，你可以把它写成二一七零三零零，然后呢，你再把它用科学计数法来表示出来，当然，除此之外，你还可以怎么办？你可以直接怎么样把它写成 二百一十七点零三万万，就是十的四次方吧。那前面这个东西呢，它等于二点一七零三乘以十的四次方，对吧？所以也是怎么样呢？十的六次方啊， 嗯，也就是这个题，我们选择 c 选项。嗯，好，接下来我们继续往后再来看一下我们第三题。 那现在佳佳同学要从网络用语、数字化、情绪价值、松弛感这三个词语中随便选一个，那表演猜词语， 那抽中松弛感的概率，从三个里面抽一个，那概率呢，就是三分之一，所以选 a。 当然也希望我们在座的各位同学呢，你们面临我们的这种中考模拟呀，乃至我们未来中考呀，大家也希望有这种松弛感。好，第四个， 计算正确的是哪一个？嗯，那在这里其实考的就是我们密的运算啊，你看看 a 加上 a 的 二次方，我们只有同类啊，就是同类项他才能合并，对吧？你说你这是同类项吗？次数都不一样，对吧？那肯定不对啊，那么这个是什么？这个是完全平方公式，左平方 啊，然后呢？右平方对不对？ g 的 二倍在中央没有问题，就是把左边平方嘛，对吧？你是减，所以我就减去左右乘积的二倍，减去四 a 了，我们再加上右的平方加四，所以你看 b 是 对的。那 c d 错在哪呢？ c 除，嗯，同底数密的除法，底数不变，指数相减八减四，也就 a 的 四次方，这个不要错了。 那这是我们积的乘方，你需要把里面每个都乘方负二呢，进行三次方，所以首先就是负八， a 呢三次方就是 a 的 三次方， b 的 平方在三次方呢，也就是 b 的 六次方，这里面主要是符号错了啊，所以选 b。 好， 我们再来看一下第五个啊，这个就属于我们三角形角度计算，我们重考特别喜欢这么考啊，考察我们什么内角和呀，平行呀，对吧啊，旋转呀，等腰等等， 一个还有四十五度角啊，就是他是一个直角三角板和另外一个还有三十度的 o， 他 呢，你可以理解是一个直角三角板，嗯，然后有一个公共顶点重叠在一起，如图，告诉你 ab 平行 cd 就是 这条边和这条边平行，其实平行我们立马就知道怎么样呢？ 平行就相当于告诉你同位角内错角同旁内角之间关系嘛，你是一个还有三十度的直角三角板，这个角一定六十度， 两直线平行被第三条边所截，所以我们知道内错角向呢，你这个角六十度，因此我这个角呢，一定也是六十度，对吧？ 好，当我们知道这个角之后呢，剩下，哎，这个六十度我就保留了啊，剩下我觉得比较简单，为什么呢？因为你要知道咱们是一个含有四十五度的直角三角板，这个角是四十五度，对吧？所以女方这个题让我们求的 a、 c、 e 呢？那在我们这个大大的三角形中，内角和一百八十度，一百八减去你， 一百八再减去你，所以我们求出来，也就是这个角度等于多少，等于七十五度，所以这个题选 c， 我 们过了。接下来我们看第六题，在数学节的活动中，把 x 份奖品分给了外名学生，每人分四份，还剩下三十份，每人分五份呢，还缺二十份，那么可以列方程组哪一个？你想想啊， 每人分四份，总有外名学生，所以你总共分了四外，对吧？还剩下三十，他才等于我们整个奖品的数量，也就是 x 了。 如果每人分五份，总共有外名学生，分别需要五万，那分了这么多吗？没有，我没有分我怎么样？我缺二十份，就你实际数量比他少二十，对吧？那你用它减去二十，就是我们实际需要的。嗯，就是我们拥有的 x 分 奖品。 孙女方，我们构造的是哪个？我们可以得到方程组，也就是筛选一下，好，我们过了。嗯，再来看一下我们今天的例题，这个属于我们的，你可以说是谓似，也可以说是相似啊，就是在某次主题活动中啊，我们设计了一款边长为两厘米的正方形文创纪念徽章。 a， b， c、 d。 啊，他是个正方形，边长呢？啊，为二我就不在单位了，为了满足不同的展示需求，现在我需要做一个放大版的啊，就是 a， b 一 撇， c 一 撇， d 一 撇， 现在我们以 a 为未知中心来进行未知变换，现在我告诉你，就是他呢，跟整个大的正方形他是相似的，现在我告诉你，他的对边呢，之比是三比五，就是你这个正方形的边长。比上整个大正方形变成三比五，就是相似比，就是三比五了。请问面积， 我们知道面积 b 等于相似比的平方，你让我求整个面积，你的面积是几？你的面积是四吗？比上整个面积，我用 s 来表示，等于什么呢？等于相似比，也就三比五的平方，也就等于九比 二十五，对吧？对角相乘九倍的 s 等于对角相乘，也就是一百，所以我们求它面积等于多少？九分之一百，所以这个题我们选 d。 好，接下来我们继续往后再来看一下我们第八题，反比例函数的平移变换。那么首先呢，给出一个矩形，就是长方形，对角线呢？哎，对角线，对角线，它交一点，现在我告诉你 a 点坐标呢，是负三二，负三二， 而且我们 c 点坐标呢啊，就是负六八，那现在把这个反比的函数干嘛？呃，就是反比的函数经过 a 点，其实经过 a 点，我们就知道整个图像的表达式是 y 等于横纵坐标的成绩，就就是 k 嘛，也就是等于负的 x 分 之六，对吧？我写到一边去， 好，现在你把这个矩形往右平，就整个长方形往右移，移来移去的。好，当一点落在反面的函数图像上，平移的距离多少？那么其实整个图形我可以画一下，就给出一个大大大大的长方形，对吧？ 哎，就类似于这个样子。好，现在呢，我就画对角线，我画对角线，对吧？我画对角线， 那么他就会产生怎么样呢？产生一个焦点啊，也是我们的异点，是吧？你想，你现在把这个长方形，你水平的往右移啊移啊移啊移啊移，移移，不就移到这里了吗？此时我们这个异点呢，就落在反面函数图像上，那请问平移的距离是多少？ 你想想，你从这个点到这个点，你是水平往右移动的，你只要知道，对吧？哎，他的坐标横坐标发生什么样的变化规律，那我们平移的距离就出来了， 说白了就是求平后的坐标。那我想问一下啊，你把这个移过来，对吧？你移过来什么？坐标不变？我们的高度是不变的，也就是纵坐标不变。好，既然纵坐标不变，那我觉得接下来就比较简单了啊。嗯，把这个拿走，你想想，首先这个一点坐标我们可以求出来吗？百分百可以， 这个一点是整个 a c 的 中点，那么根据我们中点坐标公式，你把两个端点的横坐标相加，再除以二。 so， 我 们求出来，等于负的四点五啊，就是负的二分之九或者负的四点五，可不可以纵坐标呢？把两个纵坐标相加，除以二，所以我们知道纵坐标是五。 现在你把这个点水平向右移啊移啊移，移到哪去？移到反比的函数图像上了，也是大概移到这个位置。我们知道纵坐标不变，就是你的纵坐标呢？横坐标几？我不知道，纵坐标它一定是五，对吧？那我们知道反比的函数图像上点 横纵坐标乘积一定等于 k 等于负六，谁乘以五等于负六呢？负的一点二是这样吧，二者相乘不就等于 k 等于负六了？你想想，你原来横坐标负的四点五，现在横坐标负的一点二，那很明显用我减去你吗？用负的一点二，对吧？我减去负的四点五， 二者之间的差值不就是我们平移的距离吗？也就是等于多少？三点三是不是？那三点三不就选 a 吗？十分之三十三我们就过了。好，这是我们今天的第八题，那么接下来我们再看一下我们的填空题，填空题我觉得前几道题完全送分啊。 首先给出一个 u s 方程，要使这个方程的解释，一，那么这个方程可以是你随便选一个就可以了啊，就大家千万不要说啊，这个时候对吧，我要充分展示我自己的个人能力，千万不要这样好不好，你就是写的正常一点，比方 x 减去三怎么样 啊？等于几？哎，我就不要这么写啊，一，对吧，那 x 加三等于四行不行？那你这个一元一次方程，它的解不就是 x 等于一吗？对吧？搞定。嗯，当然有个额外要求啊，就是你这个方程不能写成 x 等于一好不好， 他也是一个方程，他是最简单的方程，简单到你能够直接看出他的答案是多少，他的几是多少。好，第十题表示根号是一，根号是一是多少，你想谁的平方等于十一呢？三的平方等于九，不够，四的平方等于十六，超了，所以他是三到四之间的，就是三点几，对吧？ 啊，你是三点几几几？三点几就在三到四之间吧，所以一定是怎么样？一定是 q 点啊，你要可以写成点 q 好 不好？哎，我们的点 q 或者你说 q 点都可以，你写 q 也行啊。好，第十一题， 那这个属于我们三角函数的一个简单的应用，就是某停车场采用先进的车辆识别系统，就是进出之后呢，有个杆，对吧？你进来车牌一扫杆就抬起来，就这个意思。 嗯，好，现在栏杆 a o 从水平位置顺时针绕到 a o 一 撇，就是这样呢，我们转一下，转三十度就达到这里了。好，当我们这个夹角为三十度，请问这个栏杆升高了多少？就是它的 a 多，对吧？你本来在这呢，现在跑到这里升高了多少呢？其实说白了就是求你整个的垂线度这个高比方你在这放个屁，看到没有？哎，放个红色的屁，臭死那些同学们。嗯，好，接下来你要知道，三十度数对的直角边一定等于整个斜边的一半。整个斜边多少呢？ 三米，是不是你整个 a o 的 长度三米，你旋转之后这不也是三三米吗？一半，你可以说二分之三，你可以说一点五，都可以，简单吧。第十二题，其实我觉得也很简单啊， 有个平面直角坐标系啊，给出一个抛物线对吧？它是焦点式，再加上一个屁股，加个尾巴，把它往下平，五个单位往下平，你在屁股上减五吗？这两个不就抵消掉了吗？所以得到的就是 y 等于 x 加一乘以 x 减二，你个万，刚好它是个交点式， 所以使它为零，怎么样呢？开口向上对吧？哎，一个焦点横坐标负一使它为零，一个焦点横坐标呢？十二，对吧？嗯，与 x 轴有两个。呃，公共点， 说白了不就是有两个焦点 p q 吗？请问 p q 长度等于多少？这是不是有点太简单了，所以很明显三个单位，对吧？ 好，我们过了再来看一下我们第十三题。哦，你会发现我们刚才说好像稍微有点简单，他的难度好像嗖一下就上来了。好，那么首先我告诉你，它减 b 等于四分之三，也就是我们这个角啊，就是这个角，对吧？ 这个角我把它标做 ar 法吧，因为我想把这个条件标在旁边，就是弹性 ar 等于四分之三，什么意思？就是如果你把它过 a 点往下做垂线，对吧？那么他一定是一个三比四比五的直角三角形， 或者你想到如果你，你怎么样呢？哎，延长过 c 点做垂线，这是我自己的一个想法，那么他还可以在这个大的直角三角形三比四比五嘛，就是你肯定要把这个角放在一个直角三角形中去使用，对不对？好，现在我来告诉你，怎么样呢？就是 b d 比上 c d 二比三， 就是这个边呢？啊？比上我们这个边，对吧？他是二比三。那为了方便大家理解，就是这个子边，我把它标成二 x， 这个绿边呢？我把它标成三 x， 可以 吗？那不就二比三吗？好，现在翻折了干嘛？嗯，沿着 a d 翻折 啊，得到三角形， a d 得到这个三角，说白也就是把这个三角形沿着 a d 翻折到这个三角形，对吧？把它翻过去， 所以我们知道 c 点会翻折到 e 点，对不对？嗯，好，那我们知道你这是三 x， 所以 翻过来之后呢，咱们这个一定也是三 x 喽，就这个它也是三 x。 好， 其实你要知道啊，接下来他又告诉你个条件， e g 平行于 b， 你 发现这个条件很多， e g 是 哪个点 啊？异界就是这个边，对吧？这个边平行于谁呢？平行一笔来，那我们立马知道两直线平行，我们可以找到角的关系，比方说你马上可以知道你这个角是 ar 内错角，内错角相等，所以你得知道这个角一定也是 ar 八对，顶角一定也是 ar 八八，对吧？你可以直接标出来。好，那除此之外还可以得到什么呢？其实我告诉你啊， 翻折他会产生等角，对吧？哎，就是就是，我想跟大家说一下，角平分线加平行线，他会出什么呢？好，我就这么标注吧，好不好？比方说来，各位同学，大家告诉我啊，嗯，就是我们翻过去之后呢，我们可以得到是什么呢？嗯， 就是你，你这个角，对吧？你这个角翻完之后可以得到什么呢？ 哎，我就这么说吧，你想不想这个你可以通过我们这个角度的角度的推导来进行 啊？怎么样呢？哎，我们边呐角的转换，你也可以直接通过我们的平行来进行处理。我举个例子，你，你比方说这个角他是不等于，呃，这个角 对吗？他是翻过来的吗？有时候这样，这是为什么呢？你，你想想，就你把这个三角形翻折到这个三角形，对吧？你这个角是不一定等于这个角没问题吧？现在你发现，那我们这个角是不一定等于这个角 没问题吧？嗯，百分百相等，是不是啊？那相等之后那又能怎么样呢？相等之后你会发现，喏，剩下就比较简单了。哎，就是你会发现这个角等于这个角， 而两只线平行，内错角相等，内错角相等，对吧？所以你这个角是叉叉角，所以我们这个角对应的和你相等也是怎么样？叉叉角是不是？所以你是叉叉，我是叉叉。所以我们可以得到什么？得到一个等腰三角形，也是这个边呢？它也是二 x， 理解没有？ 嗯，证明我们相当于是用平行来推出来的。除此之外，其实你也可以令我们刚才的 a 二八呀。哎，平分呀，翻折的性质，其实你也可以进，求解啊。你也可以通过倒角推出来，它是一个等腰三角形。 ok， 我们就把它清掉了，就把它清掉了。好吧，好，当我们知道它是个等腰三角形，那接下来然后呢？注意啊，平行还有什么？你想想，在一组平行线中，在一组平行线中，对吧？你在里面打了个叉叉，你在里面打了个叉叉，所以我们知道上下两个三角形什么关系， 也就是这个三角形跟这个三角形一定什么关系呢？一定相似，这个没有问题吧？内错角相等对不对？哎，这个角也是 alpha， 还有怎么样？对顶角？这个需要我标吗？ 呃，我写下吧，我真担心有一些同学不会啊。内侧角相等还有怎么样呢？对顶角相等，对顶角相等。所以你会发现上下两个三角形，红色的阿尔法等于阿尔法，紫色的对顶角等于对顶角，所以两个三角一定相似。那相似比几比几呢？其实已经告诉你，对吧？就是二比三， 相似比是二比三。你这个题紧接着告诉我们是什么？就 d f 等于三，相似比是二比三，你这个边是三码， 这哪个边？我把它标在下面，可不可以？就这个长度，它等于三， d、 f 等于三，所以我们知道这个边一定是二，没有问题吧？ 哎，我们可以求出来，对不对？好，既然你给我发现，整个题目就基本结束了，为什么？清掉，清掉，清掉，我们箱子也找出来，对吧？哎，删掉啊。好，你要知道，也就是这个边是二 x 啊，它是等于五的吗？所以你这个边二 x 呢？它是不一定也等于五啊，就是你整个边，嗯，挪走，对吧？它也等于五，是不是？其实 x 就 等于几啊？ x 等于二点五吗？是不是？你想想，二 x 等于五， x 不 就等于二点五吗？所以你发每个线段，其实它是不等于 七点五，对吧？它是不也等于七点五，有没有问题？好，接下来这个题，让我们求什么？求 a、 b， 求这个线段，对吧？哎，其实有时候你会发现啊，就是这个七点五，其实我觉得到最终好像你求与不求没有什么太大的影响了。为什么呢？我们要求 a、 d 这个边，那这个边怎么求呢？你会发现，喏，这就相当于给出一个三角形，告诉你两边是五，对吧？ 就你想想，这个边是五吗？这个边也是五，对不对？而且告诉你顶角的三角函数，你想想，知道两边长度，还知道某一个角的三角函数，你可不可以求出剩下这个边呢？可以，你把它放在一个直角三角形中就可以了。嘿，为了方便大家理解，我索性把这个清掉吧， 把这个清掉吧，大家只要知道这长度是五就可以了。好吧，你这个子边是五，你这个子边也是五，哎，你这个 f 就 走一边去， 我不是特别需要你了，对吧？他也是五，是不是像这样的啊？那么接下来我们过地点就是咔嚓向对边做垂线，是不是？哎？做垂线， 那比方说这个点呢？哎，就放个屁，可不可以？那你会发现呢？我们这个角他的正切值是三比四，就是对边是三比四，一定比五，对吧？我这个边已经是五了，所以我们知道这个边一定是三， 那么剩下这条边呢，就是这个边的长度一定是几呢？我把它变成其他的颜色啊，比方说绿色可不可以？而且这个颜色， 呃，算了，红色吧，就这个边等于几？这个边一定是四吗？对吧？这个边是四，那剩下整个边我们刚才说等于五吗？那因此剩下的这个边长度呢？五减四，一定是 一了，对吧？那最终你会发现，在我们这个大大大大的直角三角形中，一个直角边，一个直角边，三各固定里，我们求出来等于根号十，是不是我们就搞定了？好，接下来我们再来看一下后面的解答题，首先我们看前面比较简单的， 但我们这个考试竟然考到了，对吧？第一个就是我们关于这种根号呀，我们的指数呀，他的一些化解啊。首先二分之一的负指数，你得知道这个负指数密怎么算？ 比方说三的负二次方，它是等于三的二次方，再来个分之一的，那同样的，按照你这个道理，也就是它等于多少呢？它等于二分之一的一次方，再来个分之一，对吧？那就是一除以二分之一了， 除以二分之一，那不就相当于乘以它的倒数二嘛，所以我们算出来等于二，对吧？一除以二分之一，本身就等于二嘛。好，我们算一个就去一个，接下来我们再加上这个十六的算数平方根，再减去负三的绝对值呢？等于三，加上你等于几？不知道，总之它不等零， 只要一个数不等零，它的零次方永远是以，因此你求出来等于几呢？哦，等于四，我们就过了。好，接下来我们看下一个，也就是第十五题了， 这是属于我们分式的化简求值啊。首先呢，这个一和里面我们先算括号，就是它等于多少呢？把这个一变成同分母的一个分式， x 加一分之， x 加一， 减去什么呢？ x 加一分之一，对吗？好，括起来我们出一个式子呢，相对乘以它的倒数，也就是 x 的 平方减 x 分 之， x 加一，好，那么等于多少？好，里面也就是 x 加一分之，用我减去你，对吧？那很明显就是 x 喽，我们再乘以 啊，那这个东西，其实你会发现，我们就可以稍微的因式分解一下上面的状写下面呢，提个 x， 也就是 x 减一，对吧。这种的话，所有的分时化简，其实他都是玩消消乐，那串串没了吧，串串没了，所以最终等于多少？等于 x 减一分之一，对吧？哦， x 减一分之一，那 x 等于三吧，把三带进去，我就不再说了。等于几？二分之一。搞定 好，接下来再来看一下我们第十六题。第十六题你会发现他是个非常具有代表性的喏，像这种数据统计类的问题，他一面都放不下，所以我们把把整个题干中的条件呢，稍微的精简一下，也是我们大概呢把它变成这个样子。 现在我们从七八年级各随机抽取了二十名学生的成绩啊，是百分之的进行整理和分析，所有学生的成绩呢，高于六十分啊，就是大家怎么样的都及格了，都很厉害，成绩用 x 来表示，那现在我们把它分成四个等级，那像 a 等级呢？九十到一百。 像 b 等级呢？八十到九十， c 等级七十到八十， d 等级呢？六十到七十。好，下面给出了部分信息，像七年级二十名学生的成绩呢，我直接给到你了，嗯，全某在这里，但比方这个有有怎么样？有一个特点，它排序了，从高到低，你看看 这个分数是不是逐渐往下降的，哒哒哒哒哒哒哒，一直到六数，对吧？哦，就是他已经从大到小的顺序给你排序好了，所以你去找他的什么中位数呀，就方便多了。好，我们再来看一下，那我们下面 八年级二十名学生在 b 等级 b， 什么就八十到九十之间的成绩呢？有六个对吧？等于这么多，那 a 这个阶段， c 这个阶段， d 这个阶段多少人呢？不知道。 好，那现在问题来了，让你完成表格，比方说那年级的七年级的平均数，中位数呀，都知道了，就他的平均数，我告诉你了， 中位数其实你自己可以求，对吧？我也告诉你了，你不用求，你只要把种数找出来就可以了。那种数怎么找？就这里出现最多的，你看，这这这这这，这些数好像都只出现了一次吧，唯独八十六出现了两次，剩下你会发现这些数呢？ 哎，你会发现不对，八十六对，他的确出现了两次吧，八十六出现了两次，但与此同时你会发现七十九、七十九、七十九、七十九出现了三次，对吧？哎，你这个七十九出现了三次，所以怎么样呢？他等于七十九啊，就是图中的 a 呢，是七十九。 好，那我们再来看一下。嗯，后面呢？让我们求 b， 求 m， 对 吧？我们先求 b 吧。 b 是 什么？ b 是 中位数，这个中位数怎么处理？还有一点麻烦，首先你也得知道，嗯， 我们这里面几个人？六个人，对吧？总共几个人？总共二十名学生，你七年级，二十八年也是二十，你想你这个 c 和 d 占百分之三十，就是后面有几人？后面一定还有。你这是六个人吧，对吧？你这是六个人， 你百分之十加百分之二十，是不是百分之三十呀？你二十名学生的百分之三十，是不是占六个人，就后面还有六个人，对不对？ 那也就是前面有几个人，你总共不是二十个人吗？六个人，六人，十二人，所以前面一定有八个人，对不对？那所以你说你找中位数总共有二十个人，偶数个嘛？所以你要找第十个和第十一个，前面有八个人，第九个，第十个， 第十一个，也是第十个人和第十一个人，他的平均数八十九和八十七的平均数呢？那就不用说了，八十八，对吧？所以我们求出来他是八十八的。好，接下来我们再来看一下啊。 m， m 就是 a 的 百分比吗？你不是八人吗？八人占二十的明显百分之四十喽， 百分之四十，所以你这个 m 呢？等于四十，比较简单，我们就过得稍微快一点点好不好？好，那么接下来我们再来看一下。喏，根据以上数据，你觉得七八年级哪个学生的数学？呃，这个竞赛成绩更好，说明理由。你想讲你比较成绩，咱们比较成绩，最先比较是什么？ 很明显比较的是我们的平均分，对吧？平均数一样，种数一样。所以接下来看什么？你肯定看中位数嘛？我的中位数更高些，就大家三个数据，有两个数据是。呃，怎么样？一样的，那现在我这个数据比你高，那不用说了，那肯定是八年级更好啊。理由是什么呢？理由肯定是 那所有的人都一样，对吧？就是中位数更高啊，就这么简单好不好？ 好，接下来我们继续往后了，就现在我告诉你，如果该七年级有六百名学生，那八年级有八百名学生，那参加了此次的数学素养竞赛，估算整个七八年级成绩为 a 等级的学生一共有多少人？那你就分开求了。首先你想想我们整个，呃， 整什么呢？七年级吧，七年级他这个占 a 的 占比多少呢？ a 是 什么？ a 是 九十到一百，不包含九十，对吧？所以你看我们这个七年级的一个、两个、三个、四个、五个、六个，就六个人吧。 你想想你总共多少人？总共有二十个人，你只有六个人，所以你 a 的 百分比呢？六除以二十多少就是百分之三十吗？ 有没有问题？零点三不就百分之三十吗？啊，就是你七年级的这种 a 的 占比百分之三十，所以你这个七年级有六百名学生，你就六百乘个百分之三十了，多少人？你一百八十个人，对吧？一百八十， 好，那我们再看八年级呢，八年级一样的，八年级，我们知道他这个占比， a 的 占比我们求出来百分之四十，对吧？所以你八百名学生乘以百分之四十就是八百，我们乘以百分之四十，多少呢？哎，你翻等于三百二十人， 对吧？因此你把这两个加起来，一个一百八，一个三百二加起来，所以总共有五百人。简单，我们就过得稍微快点作答，我就不再多说了。啊， 好，接下来开始我们今天的历时期。这是个什么啊？好像是一道应用题。关于什么应用题呢？其实你要知道，在我们整个中考里面，他的应用题无非就是所谓的什么方程呀，方程组呀， 啊，不等式呀，不等式组呀，对吧？嗯，等等。好，接下来我告诉你，某公司需要向假币紧急运送两百千克的货物，决定使用 ab 两种无人机运送。哎，太快，占领 好，现在每台 a 型无人机的单次最高载货量比 b 型无人机的单次最高载货量多十千克。就是用 a 比 b 运，对吧？每一台可以多运十千克，在满载的情况下，用相同数量的无人机一次性运送货物。 a、 u 型无人机呢，可以载货六十千克， b 型无人机呢，可以载货四十千克， 满载的情况下啊，就是这个机子，我们把它塞满，对吧？啊，好，每台 a 型、 b 型无人机最高单次的啊，单次的最高载货量分别多少千克？我们就设少了吧， a 比 b 每次多十千克，我就设什么呢？设 b 型无人机每次可以运送 x 千克，好不好？ 嗯，你能够运送到 x 千克，那我呢？我比你多十千克吗？那不就是 x 加上十吗，对吧？ 我买每一台可以运送这么多千克，没问题吧？好，接下来你就罗列出一个什么样的方程或者其他的这种等式呢？那在相同数量的，哎，就注意啊，用相同数量的无人机运送，就是无人机的数量相同的， 你运送六十千克，和我运送四十千克数量一样，那我就把这个数量表示出来了， a 总共运送了六十千克，你每台可以运送这么多，那你用 六十除以 x 加十，我们 b 型总共运送四十千克，每一台可以运送 x 千克。用四十除以 x， 这个就是 b 型无人机它的数量，对吧？你 a 型无人机这么多， b 型无人机这么多，二者数量关于什么呢？哦，用相同数量无人机，因此二者相等， 这种解方程的过程我就过了啊，最终我们算出了 x 等于二十，哦，也就是 b 型无人机怎么样呢？每一台可以运送二十千克，而你这个 a 型无人机呢，每一台可以运送我们的三十千克啊，对吧？ 强调一下，不管是单独的解分式方程还是分式方程的应用题，我们都需要验根，在这里我就省略了，经检验， x 等于二十是我们圆方程的解，好不好？嗯，好，我们再看第二问，就是该公司呢，决定使用 m 台 a 型的无人机啊，这个 m 是 零到五之间的，那 m 就是 一二三四嘛， 和 n 台 b 型无人机啊。去载货，在每台无人机都载满的情况下啊，就是满载装满了，我们到一次性完成两百千克的货物运送，求满足调节 m 的 值。 其实我个人觉得这个还比较常规啊，就是你第一问你知道 a 型 b 型无人机它的单词运送量之后呢？那其实题干对你来说就没有太大的作用了。那首先在这里你要知道， m 台 a 型无人机每台三十千个，所以我们知道它可以运送三十 m， 加上 那 b 型无人机 n 台每台二十千个，加上二十 n， 对 吧？那么等于多少呢？刚好等于两百哎，所以你会发现，我们可以挪列出一个像这种所谓的 二元依次方程，嗯，我们左右两边同时除以十，也就是三 m 加上二 n 等于几呢？等于二十，对吧？好，在这里面正常情况下，你需要干嘛？你需要分类讨论了，怎么讨论啊？你要知道 m 是 零到五之间呢，所以你要考虑 m 在 一呀，二呀，三呀四呀分四种情况讨论，对吧？啊，来看看 n 他 是不是正整数，对不对？好，那有没有稍微简单一点点的方法呢？有，好把上面这个清掉了啊，就把这个不要了好不好？你要知道，在正面，你这是不是一个偶数呀？ 而我们知道 n 是 一个整数乘以二 n 呢，所以我们知道整体它也是一个偶数，对吧？你想想，什么数加偶数等于偶数呢？很明显它一定也是个偶数，对不对？既然你是偶数，那所以我们知道丧 m 是 偶数，因此 m 呢，一定是偶数吧？ 呀，一个奇数乘以什么样的数能成为偶数呢？你这个 m 百分百是个偶数哦，也是，我们吭哧吭哧的推出来， m 是 个偶数， m 在 零到五之间又是偶数，所以怎么样？只能是二四了，对吧？好，我们求一下，当 m 等于二的时候呢？如果 m 等于二， 你这个不就是六吗？这不就十四吗？二 n 等于十四，所以 n 等于几？ n 等于七，行不行？哎，可以，对吧？好，当 m 等于四呢？三四呢？十二，你等于十二，所以我等于几，我等于八 啊，二乘以几等于八四，对吧？所以呢，求满足条件。 m n 怎么样？两组 m 等于二的数， n 等于四，就这么两种情况搞定。好，我们再来看一下圈， 如果 a 型无人机运费呢？每次是四十块钱， b 型无人机呢？每次是三十块钱，为了节省我们的成本啊，问题来了，应该使用两种型号的无人机各多少台？很明显，要么是选这个方案，要么选这个方案吧。如果第一种方案呢？你想想，呃，就是 a 型每台四十块钱，对吧？两个就是， 我就直接写，八十加上三十乘以七，怎么样？二百一，所以这是第一种，是两百九十元。那第二种呢？那四台每台四十块钱，一百六加上三十每台， 哎，每台三十有四台，对吧？加上一百二，所以怎么样？二百八十元，哪个更便宜呢？很明显，你二百九，我二百八，这个更便宜，对吧？啊，所以我们选什么？选这个，也就是 a 型的四台， b 型的四台搞定啊，这样呢，更节省成本。好，那么最终作答我们就不再说了啊，直接过了。 好，接下来我们看第十八题，告诉你， abcd 是 圆上的四个点啊， a 点， b 点， c 点， d 点在这里。好， ab 是 直径哎，我们通过图形可以看出来，对吧？ 连接 ac， 把 ac 连接起来，我现在告诉你， bf 是 圆的切线，那就不用说这个角一定是九十度了，因为你一个端点怎么样的连接我们圆心的？好，告诉你， cbd 等于 cd， 也就是这条线段，它怎么样呢？等于这条线段，对吧？其实我们知道啊，等啊，等弦对等角吗？ 你两个弦相等，相等的弦，它所向外所对应的这两个圆周角，这两个圆周角一定相等，那这两个角我就首先多把它交 a r 法，多把它交 a r 法可不可以？ 好，那么接下来你会发现，第一问，让我们求出角， d a b 角 d a b 是 哪个角？就这个角等二倍的 c b f c b f 就是 等于这个角的二倍，其实你已经等于二倍的阿尔法了，所以你只要证明出这个角等于阿尔法就可以。怎么正的？太简单了， 直径所对圆周角是九十度，这个角直角你这个角是阿尔法，所以我们知道那直角三角形两对角互余了，因此我们这个角，对吧？就是这个角一定是九十度减去阿尔法， 而我们知道整个大角是直角吗？你是九十度减减法，那所以旁边剩下的这个角呢？一定就是 a r 了，那我这个角是不是你的二位 轻松搞定？但你想一般题目我们再去挣出什么切线，或者利用切线挣出等角什么之类的，对吧？他一般会让你进行哎，我们线段的计算，线段的证明，但这个题哎，他第二步让你使规作图啊，就是有 无刻度之尺和圆规，干嘛呢？过 c 点做圆的切线，也就是我们首先连接 c o， 这个用尺子就可以完成， 那么首先我们把这个 o c 稍微的延长一下，就像这个样子，对吧？好，接下来我们可以用到等腰三角形的三线合一， 那比方说呢，你可以首先以 c 为圆心吧，以 c 为圆心，某一条线段的长度为半径，我们就画弧，哎，画一段弧，哎，画一段弧，对吧？因为你这个是半径，这个是半径，那不用说了，所以这条线段一定等，这个线段，也就是 c 点呢，是整个线段的中点。好，这下然后干嘛呢？ 我们再以分别这两个焦点，两个焦点为圆心，相同长度为半径啊，当然大于你啊，大于你，要是小于你，那肯定一画画这里，一画画这里，对吧？要是等于你，我以它们为圆心，画到这里，画到这里啊，就画到这里啊。不，我要构造一个等腰三角形，以它为圆心和以它为圆心 比较长，长于你这个长度，对吧？我就画一段弧，哎，我就画一段弧回，我就画一段弧回，对吧？ 以它为圆心画一段弧，就像这个样子以它为圆心画一段弧，哎，像这个样子，那因为我们用的是相同的长度嘛，所以你这个是相同的长度，你这个也是相同长度吧，对不对？所以你这两个边一定相等，你是等腰三角形吗？ 那我想问一下，等腰三角形它接下来呢？一个等腰三角形 c 是 底边上的中点，所以你会发现，喏，连一下垂直出来了没有？搞定了，对吧？所以连接 c 点跟这个焦点，这个一定是直角，那么这个切线就处理完毕了。 当我们在指挥作图的时候，你这个绿线，你这个绿线是不需要画出来的，你说你只需要怎么样呢？延长对吧？画，画弧，画弧， 画弧，画弧，连接下 c 点跟这两个弧的交点结束了，当你可以把这个画长一点点，对不对？哎，我们做切线，你可把它直接画长吧，就像这个样子，当然画的可能会有些误差啊，他就是我们，嗯，圆的切线。搞定 好，那么接下来我们再来看一下我们今天的第十九题，这个题相当于是一个含餐的二函数的一个最值问题啊，而且跟我们的新定有关，但我个人觉得难度不是特别大。首先来看一下，在平面直角坐标系里面，对于任意的一函数， y 等于 k， x 加 b， 如果 g 等于 y 减 t x， y 是 什么呀？ y 就是 你这个函数的表达式吗？哦，就是把一个一次函数我减去 ts， 对 吧？我在后面减去 ts， 一定可以得到一个全新的一次函数吗？我们把它叫做 g。 好， 那我们就说 g 是 y 的 t 形相关量。举个例子啊， 其实在这里面他的新定义就已经描述完毕了，但是他觉得，嗯，我担心自己说的不清楚，有些同学呢，可能听不懂，所以他给你举了个例子，比方说呢，一三数 y 等于二， x 加一的二点五星相关量是什么呢？就是把你这个表达式拿出来，对吧？ 你不是二点五心相关量吗？我就减去二点五倍的 x 就 可以了。所以你这个 g 等于多少？ g 等于负的零点五， x 加一。我再举个例子，你一定要学会，比方说 y 等于三， x 加八，对吧？ 好，那么也就怎么样呢？嗯，这个一次函数，比方说他的七形相关量。七形相关量是什么呢？就你用这个表达式，对吧？七形相利用 g 来表示，用它减去七 x， 懂不懂？减去减去几 x 就是 几形相关量， 所以也就是怎么样呢？我是你的七形相关量，理解了没有？好一样的道理啊，那接下来我们来处理一下我们这个题的 第一问。其实第一问，第二问都非常简单，包括第三，我个人觉得也不难。那首先一函数它的 t 形相关量，那不就是怎么样呢？啊？就是三 x 减去 t 形相关量，就是减去 t x 嘛，对吧？等于几呢？等于五 x 等于五 x， 你减去几 x， 它才会等于五 x 呢，你把三 x 移过去吗？所以也就是怎么样呢？我写在这里，三 x 减 t x 等于五 x 移过来，也就是负 t x 等于二 x x 咔嚓约掉，所以 t 等于几？ t 等于负二，对吧？ 哎，是它的负二性，你减去负二倍的 x， 你 才能变成五 x 嘛，所以 t 等于负二，这是我们的第一问啊。好吧，我们算完一个就亲一个了。 好，接下来我们再来看一下我们的第二问来，现在告诉你，已知 g 是 它的梯形相关量，那就不用说了。那 g 等于什么呢？ g 等于你的梯形相关量，就是用 k x 加上二，我减去 t x， 对 吧？等于这么多，我先懒得化解。 好，如果既是个定值，这你最终如果是个固定的数，请说明 t 与 k 的 大致关系。其实在这里面我觉得需要暂停一下啊。这里考的是什么呢？考的是我们消失性的问题，寒残消失性的问题。好，现在我告诉你，既是个定值，定值意味着什么？ 就意味着他。我就举个例子吧。比方说，那请问三 x 对 吧？呃，加五，请问它最终结果与 x 有 没有关系？很明显有关，对不对？好，那举个例子，三 x 加五，再减去三 x， 它最终与 x 有 没有关系呢？无关了，因为咔咔 这种在整个化简过程中， x 被抵消，因此它就是个定值。所以只要说与 x 无关，或者说某个式子最终是个定值，就意味着在整个化简的过程中，我们的未知数，未知数它被抵消掉了。明白了没有？ 一样的嘛？嗯，比方说，三 x 加五，对吧？减去 m x， 我 告诉你，它最终的与 x 无关，或者它最终的是个固定的值，那你告诉我 m 等于几？你这两个要被抵消掉嘛？ 你这两个得一模一样嘛，对吧？所以 m 就 等于三。他会这么问，一样的，既然这个东西怎么样呢？是定值就意味着与 x 无关，你这两项直接被抵消不就可以了吗？被抵消你 t 不 就等于 k 了吗？ k x 减 k， x 就 没了嘛，对吧？ 所以也就怎么样呢？是说明 t 与 k 的 大小关系，那么也就是 t 等于 k 了，对吧？两个项的欻欻，此时 g 等于几呢？抵消住 g 等于二啊， g 等于二，简不简单，非常简单，对吧？好，接下来我们再来看一下那后面的孬。 其实这个东西你可以稍微化解一下，它等于 k 个 x 减去 t 倍的 x， 也是 k 减 t 倍的 x， 我 们再加上二了 g 等于这么多，是吧？所以它是几？ x 加几就是 x 前面的依次相等的系数呢？ k 减 t 的， 如果我随着 x 增大而增大，增大而增大，这个东西一定是大于零的，对吧？ k 减 t 大 于零，所以 k 呢？一定大于 t， 所以 就是 k o， 你 这个 k 呢？ k 是 大于 t 的， 就这么简单。好，接下来我们再来看一下我们今天的主要的第三问啊，我们重要啊，重点想处理的也就是我们这个第三问，他其实考的是我们二次函数区间最值问题。 好，首先给出一个二次函数， y x 方加 b， x 加 c， 如果 g 等于啊，怎么样呢？ y 减 t x， y 就是 函数的表达，是吗？用一个函数减去 t x， 那么这个减完之后的这个 g 呢？我们就说它是 y 的 t 形相关量，跟我们刚才是不是一样呀？好，现在在这个方位里面，二三数 y 等于这么多，它的 t 形相关量的最大值是二，请直接写出 t 值。首先，你这个相关量 g 的 表达式可以写出来吗？可以，你怎么样？ t 形相关量，也就是用这个东西减 t x， 对 吧？负 x， 哎，怎么没了？哎，等一下啊，等于负 x 平方，我怎么样的？ 加上三 t x 加上 t 的 平方减三，把这个表达式拿出来怎么样？ t 形相关量就是我减去 t x， 对 吧？ 所以化简出来等于多少？等于，也就是既等于负 x 平方，用它减去它，也就是怎么样？加上二 t 倍的 x， 我 再加上 t 的 平方减三，是不是这么多？ 说白了也是，怎么样，跟我们这种什么 t 形相关量，什么 g 啊吧啦的 y 有 关系吗？没有关系，也就是你是一个含有参数的二次函数，对吧？这个含有参数的二次函数呢？他在我们这个区间里面，在这个范围里面，他能够取得最大值是二，让我们直接写出 t 值。我想问一下， 什么最大最小值考的不就是增减性吗？一个二次函数，它的增减性跟什么有关？二次函数的增减性，说白了它跟我们的两个东西，第一个开口方向，第二个我们的对正轴，请问它的开口方向固定吗？开口方向固定，它的开口一定是向下的，没有问题吧？ 哎，哎，没有，好吧，没推销就算了。好，那么请问对乘轴是几呢？对乘轴可不可以画出来一样也可以。你想讲对乘轴 x 等于负的二， a 分 之， b 等于负的二 a 呢？也就是 负二了， b 呢？ b 等于几？ b 等于二 t 啊， b 等于二 t 的， 所以你求出来等于几？对乘轴刚好是 t， 对 吧？那么其实这个东西在我们之前的直播呀，我们的作品里面都讲到了，它属于区间最值，也就我们需要怎么样开火车。 你想想，你这个负二到一，它是个范围吗？你这个范围有可能长什么样子呢？你这个范围有可能长这个样子，对吧？哎，你这是负二，这是一 分立方，此时在哪取的最大值？在一这里取的最大值，对吧？好，你整个取的范围还有可能像这个样子吗？对不对？这是负二，这是一在哪取的最大值呢？它不在任何一个端点，它在顶点处取的最大值是不是？ 那如果像这个样子呢？哎，就像这个样子，对吧？其实他有四种情况，第一种就是你把他当做一个过山车的轨道吗？你这个就是过山车第一个刚驶入轨道的时候，对吧？他在哪取的？他在。哎，这里取的最大值。好，第二个， 刚经过对称轴的时候，在哪取的最大值呢？哦，在这里取的最大值。第三种情况呢？就是即将离开对称轴。为什么要分这么讨论呢？因为你看在这里面，对吧？ 在哪取得最大值？在这里取得最大值，在这取得最小值，明白没有？好。第三种情况就是即将离开对称轴。 长什么样子？长这个样子，对吧？哇，一，他在这里取得最大值，他反倒在这里取得最小值。最后最后一种情况是什么呢？就是 马上要，哎跑出去了，对吧？已经完全在对中轴的左边。在这里取得最大值，在这里取得最小值，明白没有？所以你只要分这四种情况讨论，百分百全部可以搞定。好，那么接下来我们把它清掉。首先考虑第一种情况行不行？就像这个样子，对吧？你这个是负二，你这是一， 所以在这里面我们怎么取最大值？很明显，在一这里取的最大值，你把一带进去吗？一带进去最大值，最大值。二喽。好，把一带进去。当 x 等于一的时候。嗯，就是第一种情况，对吧？哎，第一种情况在左边把一带进去，一带进去负一。 把一带进去也是怎么样呢？加上二 t， 然后呢？ t 方减三，对吧？加上 t 的 平方减三，它等于几呢？最大至二嘛，你说此事可不可以求 t 一定可以， t 的 平方加上二 t 整理一下， 加一减。哎，这个负一减三，负四移过来，负六等于零。呃，这个计算就交给量内嘛，我就不再打草稿了，我们节省一点点时间好不好？嗯，移过去，六加一，七 平方正负根号七，负一，正负根号七就是 t 呢，等于负一减去根号七的 t， 二呢？等于负一加上根号七的，可不可以啊？所以我们算出来这两个。好，我们在求解完毕之后，接下来你要知道，那是不是这两个都可以呢？那当然了，亮亮，你求出来两个，那肯定就是两个，对吧？哎，其实不是，为什么呢？ 你想想，如果 t 等于这么多，对吧？它等于负一减去根号七，你觉得这个图形成立吗？你这个是负一，再减去根号七，根号七是二点几吗？你用负一减去二点几，那不就负的三点几吗？ 哎，这个，这个负的三点几，对吧？我想问一下，你这个一可不可能在负的三点几的左边呢？你觉得可不呢？一个正数在负数的左边，开什么玩笑，对吧？ 很明显不符合题吗？所以你直接舍掉就可以了，对吧？这个直接舍，那我这个可不可以？这是负一，这是二点几吧，所以相加等于一点几，这个等于多少？等于一点几几几的，那行不行？ 你这个范围是不在一点几的左边。哎，是的，所以满足 t 吧。因此我们求出来第一个，就是你求出来之后，你一定要验证，是吧？图形和我们想要的是不对应的。好，这是第一种情况，求出来之后呢？接下来我们看第二种情况，第二种情况就是我们刚才所说的干嘛？哎，你就是刚， 刚才就像这个样子，对吧？嗯，你刚经过对准轴，我想问一下，刚经过对准轴，负二一在哪取到？是不在这里取到，对吧？在顶点，在 t 这里取到吧，包括你会发现我，我们这个负二到一，像这个时候你会发现第三种情况是不是也在顶点这里取到呀？ 所以第二种情况和第三种情况我们可以合并讨论。这个同学跟我能不能理解你第二种情况和第三种情况，你只要经过对准轴，都在顶点这里取得最大值，对吧？所以我们就直接合并就可以了。嗯，这两种情况意味着什么呢？意味着你只要经过对准轴，对吧？只要经过对准轴， 或者像这个样子，对不对？或者像这样，你只要经过对中轴，我就换一种颜色吧，我这样， ok， 你 这个负二在这里，一在这里是不都可以啊？对吧？我就这么标，这么标，我觉得大家这两种情况都得看清楚，是吧？ 哎，你只要这个 t 在 负二到一之间，离谁近点离谁远点不要紧，你只要 t 在 负二到一之间，只要在负二到一之间， 都是在 t 那 取的最大值，那行，那照你这么说，那我就开始计算喽。此时你会发现第二种情况，对吧？在 t 这里取的最大值，把 t 带进去，负 t 的 平方，负 t 的 平方加上把 t 带进去，也是怎么样呢？加上二 t 的 平方加上 t 的 平方减三，最大值等于几？最大值是二吗？ 啊？二，也就是欻欻没了，也就是二， t 的 平方等于几呢？呃，二 t 的 平方你移过去，对吧？等于五，所以也就是 t 的 平方等于二分之五，你可以算出来 t 等于几。 t 等于二分之，根号十呀。 t 二等于呢？等于负的二分之根号十。 我们知道根号十是接近于三的吗？对吧？他是三点几，你用一个接近于三的数除以二，也就是他进去一点五吧。啊？一点五呀，一点六的样子，他是负的一点五，对吧？你可以这么理解，就是负的一点五，这个行不行？嗯，可以吗？负的一点五， 嗯，我们算出来正负，这行不行？哎，你会发现，如果是负的一点五的话，你看他在不在我们二者之间呢？在不？ 你想想负的一点五左右，他在不在负二和一之间呢？很明显是在的，对吧？嗯，所以他是成立的。 好，那问题来了，如果我现在这个答案是什么呀？是二分之根号十，行不行？他就接近一点五吧，一点五行不行呢？你想想你这个一点五在不在负二到一之间，在不在负二到一之间？那肯定不在嘛，一点五，那肯定跑到一的右边去，所以这个怎么样呢？他得舍掉，理解没有？ 哎，二分之根号十，他得舍掉。好，这是我们考虑的第二种情况和第三种情况的合集。那接下来我们再来考虑最后一种情况的合集。那接下来我这么讲，大家能听懂吗？清掉，清掉 最后一种情况，也就是，嗯，怎么样呢？即将离开，哎，就是已经离开对等轴了。 f 在 这里， e 呢？在这里，对吧？所以在哪取得最大值？很明显在这里取得最大值，因此我们要考虑也就是第三种情况，是吧？我写字行不行？ 负二绝对最大的，是把负二带进去。负二带进去，负四嘛？把负二带进去，你说怎么样呢？减四 t， 对 吧？加上 t 方减三。加上 t 的 平方减三，最大值等于几？最大值是二，嗯，把它带进去，所以最终也就是 t 的 平方减四。 t 呐，减四减三减七了，二移过来 减九等于零，对吧？哎呦，这个东西我们一样的计算一下，量了口算一下，移过去，九移过去加四十三， t 减二的平方正不刚好十三二，你说 t 一 呢等于二，减根号十三， t 二呢等于二，加上根号十三， 好，那此时我们验证一下对不对呢？你想这个根号十三约等于几啊？它是三到四之间的，对吧？ 他是三到四之间的，也就是三点几吗？三点几几几，你用二减去三点几，所以他是负的一点几，懂不懂？整个是负的一点几几几，对吧？负的一点几，你比方说， 哎，你就当他是负的一点四了，一点五了。你想想，我在负二的左边呀，你想负的一点几？ 负一点三，负一点四，负一点五，我可能在负二的左边吗？那肯定不行吧，你在负二左边，肯定是负二点几，怎么可能负一点几呢？所以很明显，这个怎么样？直接舍掉了。好吧，这种情况就是我们舍掉了。好，接下来我们再来看看，也就是你不对，对吧？你不对。 好，那我加你呢？这个更不对了，为什么？因为你看我减去你都不行，那加上你呢？就是， 这是怎么样？这是三点几，对吧？二加三，五点几，就是，我就比方说五点四吧，哎，五点五点六，没有什么区别，就是 举个例子。好吧，五点四，那我想问一下啊，你看五点几可能在半的左边吗？不可能，所以我发现这种情况呢，也得舍不了。 那要不要讨论？要讨论完毕之后呢？这两个都舍，所以符合条件的，我们的 t 值呢，一个是负一加刚好七，一个是负的二分之二十。没有其他答案了，好了，我们就直接过了，这是我们今天所讲到的二次函数的压轴题。好，接下来看一下我们今天的几何综合的压轴啊。 这里我个人觉得比较简单，它整个提杠呢，它是非常固定的，就是把线的 a b 绕 a 点，逆时针旋转两次，就是这里有条线，对吧？你逆时针转，先把它转到哪，我复制一下啊，就先把它转转转转转到这里，对吧？ 转到这里之后呢，得到我们的 a c， 然后再怎么样，又旋转啊，又转转转转转转又怎么样呢？转到 a d 了，所以也就是三条红边相等。哎，我不知道大家想的什么，没有好像呢，我们连接 bc 呀，把这个 bc 连接起来啊，就是把 bc 连接 bc， 连接，连连连连连连，对吧？ 好，现在过 d 点呢啊，当 c、 d 也连接起来，我们连接延长之后，过 d 点，直接咔嚓做垂线啊，就像这个样子。好，这个题第一问，你会发现他给出一定条件，如果 d， a、 b 等于九十度，哪个角啊？就这个角是直角， d， a、 b 九十度，对吧？而且我告诉你， c a、 b 五十度， c， a、 b 就是 这个角呢，五十度，那其实你立马可以求出每个角，为什么呢？ 一个等腰三角形顶角五十度，所以我们可以求出每个角一百八减去你还剩下一百三，所以这个角六十五度，这个角也是六十五度，对吧？好，那接下来还可以求什么呢？喏，呃，我们还可以求出这个角四十度嘛， 九十度，减去它四十度。那因此你可以知道，每个角呢一百八，减去它一百四除以二，每个角怎么样呢？七十度，每个角呢？七十度，对吧？所以剩下你会发现，哎，我觉得特别有意思啊，整个角一百三十五度，所以你的零步角这个角呢，一定是四十五度吧？ 你这让我求 hdc 呢？ hdc 这个角也是四十五度，所以在知道具体度数的情况下，我们就直接用什么内角呀和外角性质呀，对吧？来进行处理，所以 hdc 比较简单，四十五度。 那我们第二题也这么算吗？第二问，嗯，那肯定就不行了，一样的，我们主题干是不变的啊，主题干干嘛呢？你看，主题干，依然把 a、 b 绕 a， 逆时针旋转两次，绕到 a、 c、 a、 d， 主题看不变，就还是有。怎么样，有这么一条线段 ab， 对 吧？嗯，有这么一个 ab， 我 现在怎么样呢？逆时针先旋转，旋转到 a、 d， 旋转到 a、 d， 之后呢？我再怎么样，我在这个逆时针旋转，转转转，我再转到 a、 c 的 位置，是吧？旋转两次，所以你要知道，就是这个边，等于这个边，等于这个边，有三条红边相等。好，现在我告诉你，一样的角 d， a、 b 九十度，哪个就这个角还是直角？ 这个角 c、 a、 b 呢？大于九十度，小于一百八，说白就是这个角，它是个锐角，对吧？ c、 a、 d 是 一个锐角。好，现在你这个 d、 a 啊，把这个线段 d、 a 绕 d 点，逆时针，就是把哪个边，哦，又开始旋转这个边了， 绕 d 点，逆时针转转转转转，九十度得到 d， 所以 也就是怎么样呢？有四条红边相等，你这个角也是直角，其实大家想到什么没有？如果你把端点连接起来，这是个啥呀？嗯， 这是不是正方形啊，对不对？哎，对吧，就是你是个大大大大的正方形。好，我们先放一下啊，好，接下来干嘛呢？嗯， 呃，连接啪啦啪啦的啊，就是连接什么 e、 h 啊，就你想想，一样的，这个，这个 h 是 怎么来的，你看这个题干一样的，对吧？主题上就是一样的，过地点做 bc 的 垂线，你看 连接 b、 c， 过 d 点做 b、 c 的 垂线，垂都是 h。 好， 现在把 h 连接起来。这题让我们探求就是 e、 h 和 b、 c 的 数量关系， e、 h 和谁和 b、 c 的 数量关系。你说这个东西怎么处理？好像有点麻烦，对吧？好，大家一定要注意啊，世界上没有无缘无故的爱与恨，也没有不明不白的，第一，小，你想想，第二，你是不是推出这个角 h， d， c， h， d c 这个角四十五度呀？ 那你想低问干嘛要这么问呢？其实低问的问题对于我们第二步往往具有铺垫、提示、引导的作用。你想想 hdc， hdc 是 不是这个角呀？那这个角是不还等于四十五度呢？看起来好像有点像，对吧？ 那可是怎么描述呢？好，大家注意啊，共端点等线段，你发现你说你这个红边， 你这个红边，你这个红边，对吧？哎，三条红边相等，并且它有一个公共的顶点，所以在这里面，也就是如果我以 a 为圆心，以红边红边红边为半径，我画个圆呢，就像这个样子，对不对？ 哎呦，这个圆，我觉得圆心是不是稍微的圆心差不多在这里啊？哎呦，圆心还是歪了一点，差不多在这里， 大家能看到吗？对吧？哎，你会发现我们可以构造一个辅助圆，共端点等线段画辅助圆就是 c 点、 d 点、 b 点，他们一定在什么呢？一定在以 a 为圆心红边、红边、红边为半径的这么一个圆上，那画出圆有什么好处呢？那大家看清楚，你会发现 这一段弧它所对应的圆心角是不是九十度呀？所以也就是这一段弧它所对应的圆周角。圆周角，这个角多少度呢？哎，就是这个角，这个角一定是四十五度，对吧？ 这个角一定四十五度。好，但我们知道这个角四十五度，那请问接下来简单了不？我们都推出这个角四十五度，所以我们可以得到什么？可以得到一个等腰直角三角形。那得到一个等腰直角三角形有什么好处呢？比方说我把这个边标成子边，这个边呢？也标成子边好不好？ 我令你这个边是 x， 你 这个边一定是根号二倍的 x， 斜边是直角边的根号二倍。与此同时，我们刚才其实已经提到了 挪，你会发现，如果我连接这条边，好不好？这是个什么？他其实也是一个等腰直角三角形，对吧？哎，如果我令这个边是什么呢？我令这个边，是啊，这个红边是 y， 可不可以？这个红边是 y， 那 你这个红边不也是 y 吗？对吧？ 啊？而且我们知道这个边是多少，这个边，你这个等腰直角三角形，所以我们知道这个边是根号 y， 没有问题吧？ 我们刚才已经知道你是一个等腰直角三角形，也就我们这个角呢，多少度？就这个角一定是四十五度。哎，同样的道理，那你要知道，咱们是一个等腰直角三角形，你这个角四十五度吧， 而我们知道整个角是大大的九十度，所以你这个角是不一定也是四十五度呀。啊，就是这个角，它也是四十五度，就标出来，对吧？ 四十五度是不是？哎呀，其实你会发现，如果你，你把这个角标出来也可以啊，就这个角他也是四十五度，你标出来行不？标出来也可以，对吧？ 好，现在你中间这个角呢？多少度呢？我不知道，我把中间这个角，我把它标做黑色的阿尔法，可不可以？那么此时你会发现呐，啊，各位同学们，在我们这个大大大大大的三角形中，对吧？我有紫边，有红边，加角是，呃，九十度加着阿尔法，对不对？ 好，与此同时，你会发现，在我们这个三角形中，喏，我有紫边，有红边，而且加角也是九十度，加成 a r 法，对吧？所以你可反三角形，我的 d、 c、 b 一定相似于，就这个三角形一定相似于谁呢？一定相似于三角形，我的 d h e， 对 吧？嗯，三角形 d， 嗨嗨嗨，两三角形啊， d h e 有 时候练了，为什么呢？你会发现这个三角形和这个三角形，对吧？哎，我这个三角形的子边比上你这个三角形的子边跟二倍，我这个三角形的红边 比上你这个三角形的红边跟二倍，两边对应成比例，我的夹角，我的夹角相等，所以两三角形不就相似了吗？而且相似比是几比几孬， 我这个三角形的根号 x 比上你的 x 不 就是根号二倍，我的根号 y 比上你对应的 y 不 也是根号二倍？相似比是根号对吧？就是根号二比上一的。那你想想，那剩下我这个三角形的 bc 啊，比上你这个三角形的 e h 啊， 不也是根号 b 吗？所以也就是怎么样， b c 等于根号二倍的 e h 啊，那么数量关系呢？处理完毕，好，接下来看一下我们的最后一问啊，也就是我们的第三问，呵，第三问，牛贩在这里放了个备用图，你说放备用图干嘛的？ 为了好玩啊，一样的，告诉你，脚跌并六十度也，主题看，大家不要忘啊，主题看永远是干嘛呢？把我们的线段 a b 对 吧？把 a b 绕 a 点，逆时针旋转两次，绕过 d 点做 b c 的 垂线。 ok 啊，就是把这个 a b 呢逆时针旋转两次，就 a b 在 这。好，现在我把你这个线段呢， 我转一下对吧？转到这里，转完之后呢？哎，我再转一下，我旋转两次，旋转到这里嘛，对不对啊？然后我过 d 点呢，做 bc 的 啊，垂线就像这个样子，得到 h 点。 好，现在这个题告诉你，如果我们整个顶角怎么样呢？哎，等于六十度， d， a b 就 这个角六十度。我标下啊，就这个角是六十度是不是？ 而且我们的 c a b 呢，等于一百八，零到一百八，呸，零到一百八之间， c a、 b 是 哪个角啊？就是这个角是，呃，零到一百八十度之间的。 好， ab 等于六， ab 等于六，你就是我现在告诉你，整个 d a b 固定的啊，就整个角固定的。好吧，就你发现，你你你怎么样呢？你旋转两次嘛，是不是分别得到它和得到它啊？好， ab 等于六，就整个红边是六，你这个图三，我就把这个图三拿走了信不信。 哎有点碍事我把你清掉。回回回回回回。就你这个长度呢他是六 好，延长射线 bc 还挺有礼貌对吧。请延长。你能不能把这些摊你真的礼貌你就不要让我做延长 bc 和射线 ad 呢交于 f 那 我就延长了，差不多像这个样子可以吗？好，延长我再延长了。 延长延长我觉得差不多就在这里吧。嗯就在这好干嘛呢它会产生一个焦点交于 f 好 就把它标出来行不行我就用虚线标啊。 f 好 当 d f 等于三分之 a b d f 等于三 a b 是 六吗那你这个线段就一定是二没问题吧你这个边一定是二让我们求什么？求 h c 求这个边的长度 不是呃就是产生二的时候求求这个边可是这个该怎么处理呢好像没有任何思绪对吧该怎么办呀好是跟大家一样的啊 就你想想世界上没有无缘无故的爱恨也没有不明不白的。第一二小问第一问是不是求角第二问是不是利用我们的辅助圆构造这里面是不是依然有 o 六 六六所以我们是不是依然可以画圆啊对吧我们以 a 为圆心呢啊六为半径我们画个圆可不可以就差不多长这个样子当这个圆。哎呦我特效去哪了你不让我画我就像这个样子画大一点可不可以。 差不多啊正方形这个圆它它怎么样呢它跑到外面去了是不是。好，那请问此生你可以得到什么。 其实我明确告诉你各位同学们咱们现在想求的是依然是 dhc 看到没有 你看你第一问求的是什么？第一问你求的是 hdc， 哎， hd， hdc， 那 不就是求 dch 吗？对吧？我们先求的 dch， 那 hdc 就 出来了，一样的，就是你这里面求的谁，是不是依然也是 dch 呀？ 那 h， d、 c 就 出来，对吧？你发现我们先求的都是 d、 c、 h， 这里面一样的，你可不可以先求 d、 c、 h， 可不可以把这个角求出来？一样也可以如这样的，这怎么求呀？好，现在我想问一下，你会发现这一段弧能看到吗？ 这一段蓝色的弧，它所对应的圆心角呢？是六十度。那请问如果往外，这，这个大家懂我意思吗？往外边，往外面画一个角，它所对应的怎么样呢？我们这个圆周角是不是三十度没有问题吧？来，放个屁， 看到没有？所有的圆周角一定三十度，那剩下你会发现 p、 b、 c、 d 四连在圆上，我们知道，呃，一个圆的内接四边形对角互补吗？你这个角一百三，所以我们知道整个大角多少度呢？就是 h、 c、 b 这个大角， 这个大角我跟你互补，一定是一百五十度，对吧？一百五十度的零补角，那就不用说了，所以我们知道这个角一定是三十度，明白了没有？哎，这是我们讲求的。好，当你知道这个角三十度，那剩下就结束了。 哎，你，你有，哎，也没有结束吧，就是稍微再做一点点的计算变换就可以了。你只要求什么呢？求 d、 h 是 不可以了，你求 dc 是 不都可以把 h、 c 求出来，对吧？好，那接下来怎么求呢？你想想，除此之外，你还要用到这个六十度吗？你还用到边对吧？ 好，接下来大家看清楚啊，而且你要把这个二用上怎么办呢？嗯哼呃你只要怎么样呢我把这些红边都擒下啊歘歘歘。你可以过 f 点往下做垂线， 对吧？或者你可以过 d 点往下做垂线你可以把六十度放在直角三角形。直角三角形求解吗？嗯你可以过 b 点往这边做垂线。我想不想你会过哪个点做垂线 过哪个点首先你都可以得到很多结论。为什么呢？因为你这个边是六啊对吧你这个边是六整个边是八吗所以你往这边做垂线对吧？三十度数对直角边是斜边一半你是八我是四吗你不就二了吗？可是你有办法在这面我们能够连力到他连力到他吗？你连力不到 你往这边做垂线也是一样的。你做垂线对吧？你这是三这个你也可以求出来。可是跟他有关跟他有关吗？都没有关系但是如果你过 b 点做垂线那就完全不一样。为什么你过 b 点向对边做垂线此时我们可以得到什么？ 哎我可以放个屁啊就像这个样子对吧那你要知道这个角很明显三十度我就不说了三十度组对直角边等于斜边的一半 所以因此你要知道这个边一定是三了，对吧？当然你这个边也是三因为整个边是六嘛等于它的而且我们知道你剩下这个边的颜色也让我标个绿边吧。 ok 我 标个绿边这个绿边长度可不可以求出来？你不管用三十度直角三角形三边比例关系或者用特殊或者怎么样呢？用勾股定律三倍刚好三。 好吧我是你刚好三倍，三倍刚好三。那接下来我想问一下，请问我们可以求出什么呀？你说，你说，你这个边可不可以求出来？哎，我这个边我就懒得求了啊，不求了，没必要，对吧？啊，不求不求，接下来我想问一下，请问你能不能？你，当然你可以求这个边，这个边求出来有什么好处呢？ 你这个边是五吗？你这个边三倍刚好三，一定可以求这个边，一旦求出来够个定力。你求出这个边之后，你会发现，那剩下我们这个红角角 f， 它所在的直角三角形的三边比例关系是不就知道了？它的三角函数是，是不知道了，因为你把角 f， 你 放在这个大的直角三角形中，我知道直角边知道直角边，知道斜边 三边关系知道了，所以你的三边比例关系知道了，我的斜边是二，你说我可不可以求 d h？ 可以 啊，你再乘以括号三不就 h c。 理解了没有？你求与不求都行，如果你不求，你就要大量引入未知数啊，这个是五至三百个。哎，我们求一下吧，我觉得求可能说不定还要稍微的减变一点点好不好，我就把它标成一个，呃，这，这个，呃，绿边 蓝边喽，行不行？把它标成一个蓝边，比如这个边是个长长的蓝边。好，我们计算一下。哎呦，你这个怎么三十度缺这么多，好，就像这个样子，可以吧？ 好，那接下来你计算一下，这个边是五，这个边三倍刚好三，计算给我一下，我的平方二十五，三倍刚好二十七，二十七加二十五十二，提个四十三也是二倍根号十三，对吧？ 计算过程我省略了，就是整个蓝边是二倍的根号十三。你想想，我们刚才说了，还有三十度直角三角形，求较长直角边，我只要知道较短直角边就可以了。你想想，在这里面，我们只要知道角 f 的 什么， 知道斜边，你要求对边，你只要知道它的对边比斜边的笔直吗？对吧？角 f， 它在整个大大大大直角三角形，它的对边比斜边呢？也是怎么样的？说白了，三倍根号三 比上二倍的根号是三，对不对？这是它的对边比斜边等于什么？你的对边比上斜边 一定等于这个直角三角形的对边 d h 变成斜边二，对吧？等于 d h 比上二的，所以我们可以 d h 求出来。哎，我这个写的是不是有点大。对角相乘， 对角相乘，哎，你这个二先咔嚓咔嚓去掉吧好不好。所以根号十三倍的 d h。 根号十三倍的 d h 一定等于什么呢？等于三倍根号三，所以 d h 等于几？所以两边同时除以根号十三啊，你除以根号十三，其实我们求出来等于多少呀？往上挪一点吧。哎哟哦，算了算了，这个， 所以等于三等于什么呢？等于三倍刚好三，我们除以刚好十三，对吧？上下同时乘以刚好十三，下面乘以刚好十三，上面乘以刚好十三等于这么多，好，接下来你会发现 no 一 样的，我们需要做的干嘛？嗯，需要做的就是求 h c， 就是 我们求的是 d h 啊， d h 等于这么多。 嗯，那然后呢？然后你要知道，我们要从较短直角边求较长直角边 c h 呢？等于它的根号三倍。我现在的确有点胖啊，有点冒昧哈，那你的 h c 呢？等于它的根号三倍，是不是根号三倍？最终也就是用它乘以根号三，我觉得是不是还 也就是怎么样呢？你乘以根号三吧，这里面有个根号三吧，再乘个根号三。哎呀，我就这么写吧，三乘以他是根号十三，乘以根号三的理解没有根号三十九，可以这么写吗？对吧？你再乘以根号三，所以根号三。乘以根号三呢？ 三，对吧，这是三，再乘以三九，所以等于十三分之九倍的根号十三。好，这是我们求的第一个 h c。 好， 那么接下来我们再来求第二个啊，我求一个，就差一个这里面。我这个字太胖了啊，所以我待会会吸取教训以如何把字呢？ 呃，放的小一点啊。好吧，还等于这么多。哎哎哎，你别走啊，我都看不到题干了。好，接下来有时候量你都求出来，还有什么第第二位你要知道啊。就是我们是旋转两次，对吧？哎，我们是旋转，旋转两次，分别得到 ac 和 ad 嘛？ 分别得到 ac 和 ad。 那 我有没有说先得到 ac， 再把 ac 旋转，再得到 ad？ 我 没有这么说吧，是吧，总之也就是你想想你把这个限度啊，你旋转一次呢，你得到 ad 了，哎，就是 我把它复制一下，可不可你旋转你可以得到 ad， 你 再旋转可以得到 ac， 是 吧？你再旋转可以得到 ac， 你 可以像刚才这个样子， ac 转在里面啊， c 点在这是不可以这个样子呀。 我不会，我非得这样吗？我可不可以旋转到外面去呢？比方 c 点在这，我不可以吗？也可以，对吧？我和你相等行不行， 对吧？当然我们知道，就是整个 c a b 呢？它是怎么样的？零到一百八的说，你不能超过一百八十度，是吧？ 嗯，可以旋转，比方大概长这个样子，只要小一百八就可以了。好，就是我们整个 ab 的 长度依然是六。好，现在我把这个清掉啊，把这个备用途这个清掉，因为这个东西挡住我们可能不太好写，不太好标注我们的数据，就把它擦掉，擦掉，我们知道这个长度是几呢？这个长度它是 六，对吧？好，就是其他的题干不变啊，干嘛呢？我们依然要连接 bc， 连接 b 点跟 c 点，对吧？刷刷刷，过地点做垂线啊，我们连一下吧，连接 bc， 差不多像这个样子。好，然后呢，你要过地点向他做垂线，做垂线，这个垂足呢？ 啊，就是我们的 h 点，对吧？垂足 h 点，就像这个样子，垂足是 h。 嗯，好，现在一样的道理啊。 d f 在 哪？当 d f 等于三分之 a b d f 是 什么呀？就是把 a d 延长，把 b c 延长。 好，那接下来把 a d 延长，把 b c 延长，你发现你这个焦点 f 就 在这里，对吧？嗯，罗里吧嗦的， f 就 在这。好，现在等于啥？等于三分之 a， b a b 是 六吗？其实说白就是你这个便是二了， 是不是你这个边是二呢？也就是我们这个边一定是四，没问题吧？你是二，我是四吗？整个长度六。好，这个边呢？他是六。好，接下来让我们求什么？在这种情况下，让，让我们求 h c， 求 h c 这个边的长度，一样的道理。我想问一下，在这里面大家可以找我们的角吗？这个角依然是六十度啊，整个 d a b 就是 你 a d 旋转的这个角永远是六十度，我把它标一下，哎，你这个角永远是六十度， 好，你可以得到什么结论呢？同样的道理，你可以画圆嘛？就像我们刚才一样，对吧？我们永远是画个圆，那我们看看有没有某些特殊的角度，哎，差不多像这个样子的， 把它画成虚线，可不可以？好，你要知道我们这个弧啊，这一段弧看清楚没有？就是这一段弧，它所对应的怎么样呢？圆心角是六十度，所以这段弧所对的，哎，你会发现你把 c、 d 连接起来好不好？把 c、 d 连接起来连一下， 对吧？大家能看出来吗？因此我这段弧所对的圆周角，我所对的圆周角，是不是这个角多少度？这个角一定是圆形角的一半，所以我们可以推出这个角一定是三十度角， 是不是？哎，你会发现我们很能压轴题。其实啊，我们后面的小问都是通过前面的问题呢，铺垫提示引导得到的，对不对？清掉了， 一样的，我清掉了，把这给擦掉，行不行？把这给擦掉。哎呦，把这一段是不是也得擦掉？这个这个紫色的，这个紫色的都擦掉，行不行 啊？把这段本来题干中不带有的，我们自己连接的，把它画成虚线顺逆反，我们又像刚才一样得到一个含有三十度直角三角形，我只要求 d h， 或者我求 cd， 对 吧？你整个 h c 他 不就出来了吗？可是问题呢，怎么求呢？ 这个时候该怎么办呢？一样的道理，首先你想想，在这里面我们能够得到是什么呢？就你要把这个六十度用起来，对吧？你肯定要么做垂线呢，要么做垂线了是不是？好，我们在这里怎么做呢？你这么做对，你可以把这个边这个边都求出来， 可是你怎么求 h d， 你 怎么求 h f， 或者你怎么求这个呢？这个这个 c h 你 好像都没法求，对吧？那你过 b 点向对边做垂线，它就完全不一样了，谁定有发现过 b 点向对边做垂线， 对吧？垂直大概这个样子。我这个图也未必标准啊，就大概成这个样子啊。然后呢？我放个屁，可不可以六十度这个角？很显然三十度，三十度所对的直角边一定是斜边的一半，对吧？所以我们知道剩下这个边是几，这个边一定是三，你这个边是三，整个边是四吗？你不就是一吗？哎， 接下来你会发现产生了什么东西那。呃，还没有完啊，我再标一下，在这个三十度直角三角形中，你不管用勾股定律还是用特殊直角三角形三边比的关系，对吧？这个一定是三倍角三， 我顺便求一下吧，求一下这个边等于几？就这个边我算一下行不喽？你的平方加我的平方，一加二十七，二十八，提个四开方二倍角起好不好？好，接下来你不管用相似还是用 三角函数啊？你放在这个直角三角形和这个直角三角形中，大家都是直角三角形，你有九十度吗？你有九十度直角三角形吗？ 对，顶角相等。对顶角相等干嘛？相似了吧？那相似完毕之后呢？注意啊，我们要求谁呢？哎，我们索性就直接把 h d 求出来。可不可以把 h d 求出来，这个 h d， 这个蓝边。这个蓝边咋求呀？一样的。 嗯，你要注意，这个角是直角呦，这个角是直角啊，你不要看错边了啊。好吧，好，那也就是我们要求什么？我的斜边比上你的斜边， 哎呦，也就是二，比上二倍的刚好七，哎。瘦一点等于多少？等于我较长直角边。比上较长直角边吗？等于 d h 比上什么呢？比上三倍的刚好三，有没有问题？所以你对角相乘了。哎，你这个先咔嚓掉吧行不行？ 你对角相乘就是根号七倍的 d h 等于什么呀？等于对角相乘等于三倍根号三， 是吧？所以 d h 等于三倍，根号三除以根号七。我们要不要直接求了？先不求。为什么呢？因为这个题让我们求 h c 嘛，是吧，我省的这个分母由利化之后又得分母啊，又又又得去计算，你会发现我们 c h 呢，一定是 d h 的 根号三倍， c h 等于根号三倍的 d h 也是，怎么样？等于你的根号三倍。嗯，是吧，所以等于根号三，我直接乘以你乘完之后你会发现，哎， 你刚好三，乘以刚好三不就是三吗？所以它乘它等于九，也就是等于九除以刚好七嘛。你分母幺六化，上下同时乘以刚好七，七分之九变成刚好七。所以这个题我们分两种情况讨论，就可以把所有的 h c 呢，一个 plus 全都求出来。全都求出来搞定，跟着亮亮无脑学习。

各位同学，大家好啊，我是姜老师，给大家讲讲这个二零二六年高新区二末的数学这个压轴题啊。先讲讲选择题的第九第十题，好了，废话不多说，直接开始在矩形 abc 中是吧？然后这个 ab 是 个六， bc 是 个八，以 b 为圆心往这走划了，这是划了个角平分线 交垂直线是吧？然后再以分别那个液位中心打一擦啊，华老板，胶皮至垂线啊，做射线 b p 过 c 做 b p 的 垂线啊，过 c 做这个 b p 的 垂线啊，这是个垂直交于 m n 了，是吧？然后你求这个 m n 的 长值记，是吧？ 来吧，很明显，这两个三角形是全等的，六十二分公边，九十二分公分，全等了吧。因为这是个八，所以这个 b m 不 就是八吗？ 这不是八了吗？对吧？这是六，这是八，六八，这不是个 十了吗？这是个八，所以 m 得就是个二，看到吗？然后这两个三角形， 它是个 x 形，相似，这是二比八，是一比四，等于折比折一比四，这是个八，所以这个 n 得，这不就是个二，这不是六，这个二六。所以这个 n c 不 就是 二跟十了吗？对吧？ x 型相似，相似比不是一比四吗？所以这是一份，这是四份，总的是五份，这是一份，所以这个 m n 占了这个的五分之一啊， 所以 m n 占了二跟十的五五，二跟十的这个五分之一啊，所以这个选的是五分之二跟十， 这个题选的是二 b。 处理完毕啊，来继续下一个这个第十题啊，一只抛物线塔 x 对 着这个图标类问题啊，图标类问题咱说过多少次了，先找外和外相等的， 外和外相等，一和三的中间就是顶点，一加三乘二，所以这就是顶点， 所以这个东东就是这个顶点了啊。他告诉你这个零度 m， 这不 c 吗？小 c 是 大的小样的，是吧？然后判断一下下面的这个东西啊，东西啊，来，简单的画个 小草图啊简单的画个小草图啊，小草图啊。他过这个零度 m m， 这不在零和二之间吗？ 看了吗？对称轴是对称轴，是个二，对吧？他过这个一斗负四，得过这个点是吧？还有个三斗负四，这个点顶点在这边是吧？所以他的槽头打四就是这个样， 槽图就是大四这个样，这不过个一斗负四，这不三斗负四是吧？还过零斗 m 是 吧？然后这开口朝上， a 是 个正的，对称轴在右边，左同右异， b 是 个负的 c， 这不零二，这不正的，所以两正一负呈现是个负的，所以一圈一勾，没毛病啊这没毛病啊。来，圈二，开口朝上，负二离着对称轴二有四个距离，而七离着二有五个距离，谁离着他越近谁越小吗？ 谁离着对称轴越近他不越小吗？这个四个距离近，虽 y 一 小， y 二大，所以圈二勾， 所以圈二勾。没毛病啊，圈二没毛病啊。哎，圈三圈三这个东西啊，它是 a x 方 加 b， x 加 c， 它等于 s 减一， s 减一啊。哎，这个图像，这个图像我得往下移移了啊，重新画啊重新画。这个图像往下移移了啊， 这不零度 m 是 吧？然后这个图像大体是这种样子 的，是吧？然后他过这不一斗负四，对称轴是个二，这不，还有，这不是一斗负四，这不三斗，这不负四，对吧？然后呢？这个 s 是 四斗 s， 它是个四度 s 啊。这个东西咱不说过，这不歪的绝对值吗？歪的绝对值，不就是把图像往上翻吗？把这个图像下方的图像，这不给它翻上去吗？ 翻上去吗？啊？这下方图像就没有了，翻上去之后，它这不过一度四， 一对四，这不三对四，这是个二对负 n 翻上去了，二对负 n 翻上去了啊， 你看看这个地方，这个零零距离二是两个距离，四距离二，两个距离零和四距离对称轴是一样的，所以这个 s 七等于 m， 这个 s 其实等于 m， 看到吗？这个地方是个 m 减一啊，这是 m 减一，这是 m， m 是 大零小于二的，再减个一啊，再减个一，这不， 这个 m 是 大于零小于二，它减个一的话，你到底 m 是 几？你不知道？零点一， 零点二，零点五，他减个一的话啊，有可能他四个焦点，看到了吗？有可能四个焦点，如果 m 是 一，一减一等于零，是不？两个焦点 m 减一， m 标是零点五减一，上，下面来是没有焦点，所以他有可能有四个，有可能有两个，也有可能误解，所以这个圈三是不对， 所以这个圈三他是不对的啊，圈三是不对的啊，来吧，继续。这个圈四，这个 s 加上 m 了吗？ 这个零和四距离对称轴二是一样的，所以这两个 y 是 相等的。随 m 和 s 是 相等的，看到吗？然后这个十字它是 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， 看到吗？这个地方他这不过，这不过这个一斗负四， 这不过这个三斗负四啊，三斗负四，看到吗？然后把这个一斗负四和三斗负四给他带过来， 负四等于 a 加 b 加 c， 看到了吗？三对负四呢？负四等于这个九 a 加三， b 加 c， 好 了吗？然后呢？下减上， 下减连理，下减上负四减负四没了。九 a 减 a 是 个八 a， 看到了吗？加上个二 b 是 c 没了，所以这个二 b 等于负八 a， b 等于负 c， 这个 b 等于这个负 c 啊， b 等于负 c 啊，把这个 b 等于负 c 带过来， 我给大家亲自算啊！把这个 b 等于负 c 带过来啊，这是负四等于 a 加上个负四 a 加 c， 看到了吗？然后这个 c 就 等于一项啊，一项它等于这个三 a 减四，三 a 减四，这个 c 不 就是 m 吗？ c 不 就是 m 了吗？这不 m 了吗，对吧？这不 m 是 大零小于二的吗？所以三 a 减四，大于零小于二， 这个能解出来， a 是 大于三分之四小于二的， a 是 大于三分之四小于二的啊，小于二的啊，好了，这是个很重要的有效信息， 有小信息啊，现在求么？这个 m， 我 知道了，这个 m 不是 能求出来了吗？啊？ m 不是 能求出来了吗？这个 m s 这里这个 s， 这不等于这个 m 不是 算出来了吗？ 三一减四吗？减四看到吗？现在需要算这个 n， n 不是 负四 a 了吗？ 负 c 了吗？对吧？然后这个 c， 这不是三 a 减四了吗？刚不算出来了吗？把这个二都 n 带过来啊，把二都 n 带过来，这个 n 就 等于 c， 是 吧？减去八 a 加上三 a 减四，这个 n 就 算出来了啊？这个 n 就 等于这个负 a 减四， 他要的是 s 加 n， s 不是 m 吗？所以不就是 m 加 n 吗？这个 m 刚才不是算出来是个三 a 减四了吗？ n 这不是个负 a 减四了吗？所以这个十字他算完之后是个 二 a 减八了吧？二 a 减八了吧？ a 这不大于三分之四小于二了吗？同乘二，这不大于三分之八小于四了吧？再减八，两边再减八，两边再减八，所以二 a 减八大于 三分之八，减去三分之二十四，这边小于，这不负四，是吧？所以二 a 减八大于负的三分之十六 小于负四吗？这个十字刚才不就算的 m 加 n 吗？ m 加 n 不 就是 s 加 n 吗？大于负的三分之十六小于负四 小于负四。哎，正正好好，嘿嘿，正正好好正正好好，正正好好。所以这个没毛病啊这个没毛病啊。 第三问，他算出来这个式子不是这种样子了吗？对吧？ m 等于一 m 不是 三 a 减四了吗？这不零度 m 了吗？他等于 m 等于一的话，解得这时候 a 不 就是三分之五了吗？ a 是 三分之五的话，原来这个式子不就都带过来。所以 y 等于三分之五的 x 方带进去三分之二十， x 加一了吧，啊，加一了吧，啊，来，这个式子经过配方之后 提三分之五，经过配方之后，它是三分之五， x 减二的平方再减去三分之十七， 这是几啊？ x 大 于 t 小 于 t 点二，最小值是个一啊，然后替他和他啊，这个咱画个槽图画个槽图啊，画个槽图的话，这个顶点 开口朝上是吧？对称轴，这个顶点，这不二豆腐的三分之七吗？是吧？ 它的最小值是负的三分之十七，这个最小值是个一。所以第一种情况，这个 t 和 t 加二在这边看到了吗？这个点是 t 都不知道，这个点是 t 加二都啊， t 加二都在二的左边，这时候 t 加二是小于二的，所以 t 小 于零啊。第一种情况， 因为，因为他不能跨着取，如果你在对称轴两边取的话，最小值不就负三分之七了吗？负三分之七了吗？所以他从这边这边的话，这个最小值，这个时候是他取到了吧？这不 t 加一都， 这不 t 加一 t 加二都一了吗？把 t 加二都一带进去，把 t 加二都一带进去，解得这个 t 等于正负二，你，你得要这个， 你得要这个负的吧？所以 t 等于负二啊， t 等于负二，看到吗？这是第一种情况，第二种情况，这个 t 和这个 t 都替代，在这边看到吗？这边是 t 豆， 这个是 t 加二豆什么什么东西？那么这时候 t 和 t 加都在对称轴的右边，所以这个时候 t 要大于二 都在右边了吗？是吧？这个最小值，这不 t 都一吗？这时候这不告诉你最小值，这不是个一了吗？对吧？把 t 加一带进去，这时候接出来，这个 t 啊，得零或四，但是你得要大于二的，所以 t 取四， t 取四， t 是 负二可一， 四是可一的，所以他是负二或四，负二或四，看到吗？他是二或四，所以不对， 所以不对啊，圈一对了，圈二对了，是吧？刚才圈三不对了，圈四对一，共是三个 c 啊，处理完毕。

下面我们看一下二零二六这个四中二模的最后一个几何压轴大题。嗯，直角三角形，这个 a、 b、 c 呢，它是一个固定的 b、 c 的 长度是四， a、 c 的 长度是八， 这个是四，这个是八。直角三角形，然后 c、 d、 e 呢，也是一个直角三角形， c、 d 和 c、 e 之比是一比二。嗯，下面第一问判断 b、 d 和 a、 e 的 数量关系， 那这个还是比较容易的，是吧？因为 c、 d 比 c、 e 是 一比二，而 c、 b 比 a， c 也是一比二，所以 c、 d 比 c、 e 就 等于 c、 b 比 a、 c， 又因为这个两个角都和中间的角互余，所以它们两个角也相等，所以两边对应成比例，且加号相等，两个三角形相似。三角形一相似， a、 e 就 和 d、 b 之间的关系就是一比二， a、 e 就是 d、 b 的 两倍。因为相似比就是二， 所以第一问就是手拉手的相似，或者说我们称为叫旋转相似。那第二小问有一个添加了一个已知条件啊，得 e 和得 e 和 b 得是相等的，求 a、 e 的 长度 啊。这个相似呢，仍然保持第一问当中的相似，所以得 b 和 a、 e 的 关系就是一比二的关系。所以当它是 a 的 时候，这个长度应该是二 a， 而得 e 呢，又是 a， 现在它和得 b 是 相等的，所以下面呢，我们看，嗯，这它们的长度是三 a 得 b 的 长度是 a， 这样我们只要证明一下，这个角是九十度，那勾股定底就可以了，对吧？因为 bc 的 长度是四， ac 的 长度是八，勾股定底可以算出 ab 四跟五。 所以下面呢，需要我们来证明一下，这个角是九十度，这个角是九十度呢，也是我们常见的手拉手相似的一个重要的结论 啊，就是根据相似之后，对应角相等，全等也是这样，对应角相等，然后通过一个蝴蝶形的相似，哎，就这个相似能推出这个角是九度啊，因为，哎，我们把它画一下， 我们用红色的线， 就是这个结构。三角形相似，对角相等，这个角和这个角是相等的，这里又有一对对对顶角，所以这个角的度数就和两个大手的夹角相等，而两个大手的夹角就是九十度。 所以这样我们勾股定力就可以了啊。勾股定力在这个三角形中应用 a 方加三， a 的 平方等于四根五的平方，从而就能求出 a 的 值，也就知道了 a、 e 的 长度。下面看一下第三小问， 如图三的点在三角形 a、 b， c 的 内部， b 的 长度告诉我们了 b 的 长度是二， 然后下面过一点，做了一个 e， f 垂直于 ab 于点 f， 这里有一个点 p， a， p 的 长度是 af 的 二分之一。 当三角形 abp 的 面积取最大值时，三角形 abp 的 面积取最大值时，求 bp 的 平方。 好，嗯，这个之前的手拉手仍然是成立的啊，仍仍然是成立的，也就是这个三角形和这个三角形仍然是相似的，相似比是一比二，所以这样的话，我们就会得到 a、 e 的 长度是四， 而这个地方呢，我们需要判断点 p 的 运动轨迹， 是吧，才能知道 abp 什么时候会最大啊，因为三角形 abp 当中呢，这个三角形它到底是确定的啊，这个长度我们已经求过了四根五，所以要看它的高最大高最大呢，就是点 p 离 ab 这条线的距离， 所以下面我们需要找 p d 的 轨迹啊，它有一个非常嗯，好的条件是 ap 和 af 之比是一比二的关系，嗯，所以下面我们想怎么样用能够应用这个和这个是一比二的关系，这个， 嗯，而且呢， e p 呢？在这样一个直角三角形中，所以我们想怎么样来构造一下这个直角三角形，嗯，这个直角三角形到底是有什么用处？它两个之比是一比二有什么用啊？ 在这个直角三角形当中呢，有一个角是这个角，这个角呢？ p 点啊， a p， 它的一个顶点就是 a， 所以 下面我们构造一个反 a 型的相似啊，就是做垂线或点 p 做垂线， 这个是字母 j 吧，做完这个垂线之后呢，这两个三角形就是相似的啊， a p、 j 相似于三角形， a e、 f 反义形相似，公共角都有一对直角，所以对应边成比例 啊，所以斜边 a j 比上啊， a e 就等于 ap 比上 af， 这样 ap 和 af 之比是一比二，这样我们就发挥上了它们两个边的关系的作用。 而 a e 的 长度是个定值，所以 aj 比上四就等于一比二，这样我们得到 aj 的 长度就能算出来是二，这个是二，当 aj 的 长度是二确定了， 而角 a、 p、 g 始终是保持九十度啊，始终保持九十度，所以出现了定角对定边的结构。 定角对定边，说明点 p 是 在一个圆上运动的啊，这就是我们常说的引圆，或者说叫辅助圆， 而这个角是一个直角直角也就是圆周角，他所对的这个边一定是斜边，所以这个圆的大体的样子应该是这个样子，嗯， 答题就是这个样子的。所以，下面什么时候点屁地，它离这条直线比较远呢？那显然就是当它是，当它这个地方恰好垂直， 嗯，和圆心正好垂直于这条直径 a j 的 时候，离这条线最远。嗯，这样我们知道这个长度是半径是一，这个也是一。 嗯，所以说，这样可以利用勾股定律就可以来求 b p 的 平方了。嗯，因为这时候 a o 的 长度也是一，所以这样 b o 的 长度就是四根五减一 啊。下面购物定理啊， b p 的 平方就等于 o p 方加上 o， b 方就等于一方加上四根五减一的平方。 看，这就是为什么题目呢，最后让我们求的是 b p 方，而不是求 b p， 因为它带着根号，再开方要开不出来，很能开，对吧？所以它才让你求 b p 的 平方， 然后再减去八倍的根五，所以最后答案八十二，减去八倍的根五。好了，这个题目到这里，这样我们就解决了。 回过头来，我们发现啊，前两问都还是比较简单的。这个题第三问啊，主要要判断点 p 的 运动轨迹，就是 p 点什么时候离 ab 这个三角形的底儿比较远 啊？在这个地方呢，我们利用了一个相似啊，重新构造了一个相似 a、 e、 f 和 a p、 j 相似， 从而 ap 和 af 之比变成两个三角形的相似比。这样得到什么呢？得到 ag 的 长度是个定值，这样求出了它的长度二，定角对定边的结构就出现了，从而解决了 p 点的运动轨迹的问题。 其他的方法呢，不太好想啊，因为，嗯， a p 的 长度和 af 之比是一比二， a p 和 af 有 关系，然后 af 呢，在这样一个直角三角形当中，它和 e 点的位置也有关系， 而 a e 的 长度呢，是一个定值，和 b 的 有关系是 b 的 二倍，所以下面呢，它们的关系都互相的能联系到一块， 所以是比较难以处理啊，所以还是想办法构造了这个相似方法比较好。好了，这个题目这样我们就分享到这里。

几何快，代数稳，心定还能提升？ hello， 各位同学们大家好，我是讲韩式的肖飞老师，今天这个视频呢，向老师啊，精讲的是我们初三下双提二模的这道函数压轴题啊， 这道题目呢，可以说是非常综合一道题目了啊，这一道题真的可以顶好几道题，它既考验了咱们同学们，首先从能力上，你具不具备我们的定一动一种有序分析， 哎，具不具备这种对单动态问题的这种全面细致有序动，哎，以及就是你具不具备构造新函数这种式子表一切的能力，包括函数题要想做的快，最重要的就是你能不能够挖确定啊，在不确定当中挖出确定， 哎，这几项能力，各位同学其实就等于中考会考察到的全部的带宗的解析能力了啊！再加上这个题的考点，同学们这种公共点问题的处理方法，这种哎，增减性问题最值问题的处理方法，各位同学，哎，这两个考点你是不是掌全面掌控？ 所以这道题真的能很好的检验咱们同学们在带宗这块的一个基本功的扎实程度啊！好，如果这道题做的不好，同学来认真听，向老师给你们讲一讲啊，我手把手再教教大家都是怎么操作的。 好，首先来看一下啊，这个呢，首先过二斗夫三 a 啊，这个对称轴还是非常好算的是吧，往里一带能算出这个对称轴是一啊。并且同学们像这种解析式，因为他的 a、 b、 c 都含有同一个字母 a， 那 这个式子我能看出来它是可以因式分解的，是不是你可以另一个 a a 变成 x， 方 减二， x 减三，然后在这里就可以进行一个十字相乘，是吧？变成 x 加一乘， x 减三，所以能很轻松地看出它与 x 轴的交点应该是负一零和三零 啊。并且这个其实就是肖老师给大家总结过的，我们的跳绳模型，是不是因为它的与 x 轴交点是确定的，然后它的顶点是不确定的，那说白了就是它可以啊，让顶点沿着这个对称轴从上往下跳，对不对？比如说它可能会长成 这样，也可能会长成这样，是不是？哎，这种跳绳结构啊，跳绳模型好， ok， 等会如果需要有序动这个抛物线的时候，同学们就可以去看看这个就可以用跳绳模型啊。 接着来看第二问，已知点 a n 逗四啊，我们永远要善于只关注确定的 n 逗四，这个是 n 加六逗四，哎，纵坐标确定，所以说白了，这个 ab 两个点呀，它就是 在外等于四这根线上动，是不是？哎，在外等于四这根线上动，肖老师画一下啊，大概这个意思，是不是在外等四根线上动？嗯， 好。并且呢，他们两个人虽然横坐标是不确定的，但是他们俩的横坐标的宽度是定的，是不是就是六个格？所以他其实说白了就是一个宽度为六的一条横线，有毛病吗？同学们， 哎，就是宽度为六的一条横线，然后在这个 y 等于四上，然后这个点就是咱的点 a 点 b， 然后从左往右动呢，是不是？同学们，是吧？哎，这就是点 a 点 b， 然后他再从左往右这样式， 再咚咚咚咚咚咚咚咚咚，哎，咚咚咚，是吧？ ok， 好， 他说，若使得，若存在 n 啊，若存在 n， 使得抛物线和线段 a、 b 有 两个不同的焦点，注意，他找的是两个焦点，让咱们直接写出 a 的 范围。 好，这道题我们来看一看啊，同学们，来，这种公共点问题啊！同学们基本就都是动图啊，因为咱们知道，肖老师给大家讲过， 做函数题第一步是画出第一图，一定要先把图给画出来，画完图之后，要么可能是玩图，要么可能是玩柿子。那大家记住，这种公共点问题，这种焦点问题 啊，公共点个数问题，我们都是干嘛都是玩图啊，就是对这个图进行有序动。好， ok， 那 咱们就开始干，那怎么动呢？有同学说，老师，这个抛物线也动，这个线段也动，太烦了， 定一动一啊，对不对？抛物线也动，线段也动，那当然没法做了，所以咱可以先把抛物线给定住，对不对？哎，定住这个抛物线，你就动这根线段不就行了吗？是不是？那你就跟肖老师动啊，比如说，同学们，如果这个线段长，这 请告诉我，这个抛物线和线段有两个公共点吗？ no， no， no， 继续动动动动动动动，直到动到累。 b， 干嘛？从右边出去，对不对？现在才满足存在，两个两个，两个两个两个，对不对？哎，现在我们就看懂了啊，长成这个造型就是存在， 是不是？哎，明白了吧，这种就是，你看，继续往右动，又没有，没有又不行，不行不行不行不行不行，行吧？是，哎，只有长成这个造型才是存在，是不是？好，那这个时候你就再看看他，那他长成这个造型就一直存在吗？各位同学， 那你这个时候可以动动抛物线呀，是不是？同学们，比如说向老师把这个抛物线画小一点， 哎，我把这个抛物线画小一点，哎，你会发现这个时候行不行呀？这个时候也是行的，是不是？哎，那如果向老师再把这个抛物线整大一点呢？同学们， 哎，哎，这个时候你会发现也刚刚好是行的，是不是？那如果我再整大一点呢？ 你会发现这个时候是不是就不存在了，对吧？你不管这个 a b 动到哪，它都不存在了，有发现吗？ 你动动动，你甭管这个 a b 动到哪，它都跟这个绿色的不可能有两个公点了，是不是因为这个绿的太胖了，所以临界，大家看见了吗？临界就是黄色，这个是不是临界就是黄色这个情况？因为这个是最极限的胖， 对吧？这个是最极限的胖，如果再胖，你甭管他动到哪，他都不行了，所以绿色黄色这个是最极限的胖， 是不是？哎，所以同学们，我们就把握住了这个临界情况，就是长成这根，那咱们就算呗，因为这个宽度总共是六，然后这个对称轴是一，所以左边是三个格，所以这个此时他的横坐标就是负二， 对不对？也对吧？横坐标就是负二，也就是他过负二斗四的时候，哎，那我们就把负二斗四带到抛物线，就可以算出来，此刻 a 等于五分之四，然后咱们再进行让范围确认，哎，对吧？开口得变大变小能行啊？同学们，这个是最临界的胖了，所以开口得变 小，对不对？得变成紫色这样才行吧，对不对？得变成紫色这种情况才行啊， ok， 对 吧？这样的话才能才能存在，对吧？所以这开口变小，那就是 a 变大，所以 a 大 于等于五分之四啊，就是开口向上， 好，那咱们再看开口向下。各位同学，开口向下呢？咱们先画画啊，首先他既然得满足有两个造型。同学们，咱们先画画啊，首先他既然得满足这个造型，同学们，能行吗？ 那肯定不能行，对不对？至少他俩得先挨着，对不对？得先挨着，哎，那再确认一下，哎，那我先画一个挨着的啊，是不是？至少他也先长成这样，哎，那再跨，只要挨着都行吗？那我再有序动一下这个抛物线啊，只要挨着都行吗？各位同学，来，肖老师画一下粉色，这个行不？ 肯定是存在的，大家有没有发现因为什么？因为此刻这个抛物线呀，他在这个位置才宽四个格，他这儿肯定特瘦，能懂不？他这儿肯定特瘦，所以你拿一个 y 等于那个宽度为六的一个线去跟他 肯定有俩交点，肯定存在有俩交点，大家能理解这个道理吧，对不对？你拿一个宽为六的去跟这种开口向下的抛物线进行找找，两个公共点指定有 对不对？指定是有的，因为他这这才宽四个格，对不对？你上面要拿一个宽六个格的，肯定肯定是嘎一下穿过去的，是不是？哎？所以这个开口向下，只要他能跟 ab 这条横线啊，能跟这条横线过去，对不对？只要他能长成这个造型，对吧？只要能，他能有俩焦点，他就一定能符合题，是不是？好？所以说白了就是我们只需要满足一对的这个外值，一对的这个外值要大于等于四 就行，是不是就能穿过去了？哎，有俩就有公共撵就行啊。所以咱们就把 x 等于一带到抛物线解一式算出来是大于四啊， ok， 就 能解出 a 小 于负一了。所以综上这个题答案就这两个答案，好吧，哎，这就是我们的第二问， 来，那我们再看一下第三问啊，各位同学，第三问呢，又是我们非常熟悉的这种新函数问题了是不是？那同学们首先画出第一幅图 哎，然后他让咱们去研究谁呢？研究 m n 的 距离，那咱们就视字表一切去表示 m n， 是 不是 m n 表示完这个啊？然后第三步， 只要表示完新函数，那咱们就画出新函数图像，就讲这德行是不是？第四步，把它的范围标在图上，注意提醒同学们，只要标范围，同学们一定要 看清这个等号，等号的情况，所以你会发现他左边是可以取等的，右边是不取等的哦，所以六啊，这个六肯定讲价啊，他是个空心。那咱们就看 a 加一讲哪吧！同学们， 哎，有同学是不是分了好几种情况啊？这个题最易错的点，最麻烦的点来了啊，有同学是不是分 a 加一讲价， a 加一讲价，一个一个看的呀？ no no no no no， 麻烦了，同学们，如果你真的非常善于关注精读，非常善于去挖确定，各位同学，只要你善于挖确定，你就能比别人做得快，别人讨论四种，你一种拿下 怎么说？首先各位同学，肖老师反复给大家讲过，强调过，只要看到这种范围当中带字母的同学们一定要注意什么？只要看到范围当中带字母的，要有前提确认，也就是 a 加一得小于六啊。 a 小 于五 好，再加上同学们，这些地真的都需要咱讨论吗？嘎，家人们，大家想想，如果你真的精读了，他要满足始终都得满足大于等于五 a 是 吧？不小于五 a 不 就是大于等于五 a 吗？ 他的距离始终都得大于等于五 a， 同学们，始终处处。所以你琢磨琢磨，如果这个线长这， 他在这个范围上还真的能满足处处大于五 a 吗？那不是瞎说八道吗？因为这个地已经是零了 对不对？所以不可能满足，包括他在这，如果动到这，各位同学，也不行吧，对不对？ a 加一如果动到这是不是也不行呀？他在这块也不能满足处处吧，也是包含零的呀，对不对？所以这就意味着家人们 a 加一必须大于四， 他只能在这一块才有可能满足始始终大于五 a， 家人们，大于等于五 a 是 不是最必须 a 加一得大于 四啊？也就是说 a 得大于三才有才有的商量啊。 ok， 那 接着他要满足处处都大于五 a 大 于等于五 a， 那 是不是就找这个最低最低的？ 只要最低的大于等于五 a 就 都大于了？所以咱们就把 a 加一带到这个抛物线解析式啊，那这个时候，因为它肯定是个正的，所以咱们不用加绝对值也行了，把一加一带到解析式，让它大于等于五 a 啊，然后把这个解一下方程，就能解出这个 a 的 取值范围啊，再结合咱们的前提确认， 我们就可以把这个负二给灭了啊，就是 a 大 于等于四，哎，所以最终答案就是 a 大 于等于四小于五啊，这个前提确认 好。第三问，同学们有没有发现肖老师做的 so easy， 为什么？因为我太善于精读，太善于挖确定了，所以同学们一定要看清他给的这个，只要看到范围当中带字母，一定要做前提确认啊，始终， 哎，始终，那就意味着你需要满足，处处都怎么怎么着，那你就会发现这些都不可能啊。排除掉那些情况，会发现只有一种情况，根本就不用分类讨论，那就嘎嘎一顿算就好了。 好吧，哎，刚才肖老师说了，这道题呢，难度还是有的啊，并且综合性还是挺强的，非常值得同学们在中考之前再反复刷两遍。把肖老师刚才说的这种精读呀，范围确认呀，包括这种有序动啊，包括这种跳绳模型呀，哎， 这种一定一动有序分析啊，这种能，这种能力和意识一定要再强化一下啊，这些都是我们中考必考的一些能力。

哈喽，各位同学，大家晚上好啊，欢迎来到大东老师的直播课堂，今天呢，给大家带来的是今天 五二零这个特殊的日子，历城区举办了这个呃，阿莫考试啊， 考完了数学啊，咱那个第一时间呢去把这个试卷拿出来啊，赏析一下，好吧，因为留给大家这个呃时间呢，确实不多了啊，这样的这些真题啊，模考题啊，还是非常宝贵的 啊，大家一定要去用这种成套的试卷去进行一个练习，好吧，呃，咱们那个去把这个压轴题部分过一下，尤其是呃其他区的，咱们后面每周讲一套，好吧，讲一套这个真题或者模考题，一直陪伴大家到这个中考啊， 呃，其中这个呃历城的这次的阿玛考试题呢，可能有的同学他还没来得及做啊，因为今天这是下午刚出来的历城区的同学呢，可能这个考完之后啊，多少还有点印象。好吧， 咱们先检测一下设备吧，大家能听到声音能看到画面的同学，聊天区扣个一啊，能听到声音能看到画面的同学啊，聊天区扣个一。 好的啊，咱们这个去来赏析一下这四个亚洲题啊，其中质疑大家这个学习成绩的肯定是这这个数学成绩的肯定是这四个题，对吧，选择最后一个， 填空最后一个，大题最后两个，那甚至大题的倒数第三题，反比例函数那个压轴题啊，可能有同学这个，呃稍微弱一点计算能力，或者说这个掌握的不够扎实的同学，可能那个中档题部分就会丢分啊，但最终决定高手能不能突破一百四十五的确实是这四个压轴题啊， 其中这个最容易突破的就是选择题的第十题啊，不是说因为他是个选择题，那大家那个蒙也能蒙对对吧。有的同学啊，不是因为这个啊，是因为这个题呢，你可以理解成是一个，呃，纯计算题啊，或者说数形结合的一个计算题啊，就是他考察的难度呢，还算是几个题当中啊， 难度没那么大，发发散性没那么强的一个题啊。呃，给大家这个三分钟的时间去把这个题看一下，因为有的同学他还没来得及做，起码先把题读明白好吧， 先自己来理解一下啊，三分钟读一下题干啊，那整套的试卷是发群里面了好吧， 已经考完的同学呢，可以在聊天区扣一下那个答案。好吧，选的那个答案啊， ahhaha， 做出来，同学可以聊天区把这个答案写一下啊， 好来看一下啊这些，嗯，应该是没有什么歧义啊。刚刚看有同学在聊天区里这个讨论啊， 呃，来看一下它，平面直角坐标 c， 点 p， 坐标 a 度 b， 点 q， 坐标 c 度 d。 如果点 q 的 横坐标是点 b 的， 点 p 的 横坐标的 k 倍纵坐标呢？是点 p 纵坐标的负 k 倍 呃，而且 k 不 等于零，那么就把 q 叫做 p 的 k 级变换点啊，这是这个新定义，你需要先把这个新定义读明白了啊，谁是谁的 k 级变换点是 q， 是 p 的， 如果 q 是 p 的 k 级变换点，那就说明 k 的 横坐标是 p 的 横坐标的 k 倍 p 的 纵坐标 q 是 纵坐标是 p 的 纵坐标的负 k 倍啊，就是先把这个定义读明白。呃，然后呢，他还举了一个例子，说负四斗六是二斗三的负二级变换点，那没问题吧？ 负四是二的负二倍，六是三的二倍。满足横坐标是纵坐标的 k 倍，横坐标是另一个点横坐标的 k 倍，纵坐标是纵坐标的负 k 倍，对吧？ 好，来看一下圈一啊，咱一个一个来分析一下。说这个反比例函数图像上存在一逗二的负三级 k 这个变换点， 那么一逗二，如果进行一个负三级的变换的话，那他的点的横坐标就应该是一逗二横坐标的 k 倍，负三重坐标呢？是二的负 k 倍，那也就二的三倍六百负三度六，负三度六确实在反比例函数图像上， 对吧？它在外等于 x 分 之负八负十八上面的。所以说圈一肯定是正确的啊，这个都没啥问题啊。再来看圈二， 有的圈二就开始不会了，点 a 是 含有图像上一点 a 撇是它的一级变换点，那么 o a 撇的最小值是几？这本质就是一个最值问题啊，最值点 o 是 个定点， a 撇是个动点，你是不是得先确定 a 撇的轨迹啊？那 a 撇的轨迹怎么求啊？ 他是 a 的 一级变换点，那你就可以直接设 a 的 坐标为 m 六 m 减二，对吧？ 所以说 a 撇的坐标呢？一级变换点，那说明什么呢？说明 a 撇的横坐标是 a 横坐标的负 a， 这个负一倍也就负 m 加二呗。所以说这个 a 撇的轨迹是什么呢？他就应该在直线 y 等于负负 x 加二上面， 对吧？韩餐动点确定轨迹啊，这个咱讲过，对吧？韩餐动点纵坐标是横坐标的，呃，负一倍，然后加上一个二，那就是在直线外领负 x 加二上面。直线外领负 x 加二，那咱就可以直接求了， 对吧？点到直线的距离垂线段最短啊。啊，先把这个负 x 加二画出来，是一条这样的直线 啊，与 x 轴 y 轴交点呢，都是二度零和零度二完，那 o 到他的距离的最小值垂线量最短，那不就等于个根号二吗？所以圈二也是正确的啊。 好的，再来看圈三圈三也不难啊。他说这个点 a 与其二级变换点点 b 啊，分别在直线 l 一 和 l 二上面， 直线 l 一， 这个很容易确定，对吧？咱就要把这个 b 的 轨迹确定出来啊。点 a 的 坐标呢，是 t 度二分之一 t 减二，那它的二级变换点的话，那应该怎么找呢？ 是不是说这个点 b 的 横坐标就应该是点 a 横坐标的两倍，纵坐标就应该是点 a 纵坐标的负二倍啊？二分之一 t 减二，乘上负二，也就是负 t 加四， 所以咱可以确定出来，点 a 呢，他是在直线 y 等于二分之一 x 减二上面。点 b 呢，他是在直线 y 等于负的二分之一 x 加四上面， 对吧？咱就可以把这个两个动点所在的直线确定出来了啊，那这就是 y 一， 这就 y 二了，对吧？所以当 x 等于 m 的 时候， y 一 呢，他就应该是二分之一 m 减二， 对吧？ y 二呢，就应该是直线负二分之一 m 加四，所以呢，就可以确定出来， y 一 减 y 二呢，就应该等于二分之一 m 减二，再减去一个负二分之一 m 加四， 哎，取绝对值好吧，哎，整理一下，也就是 m 减去六百，说这玩意等于个二啊，等于个二，那解出来双解呀，肯定是，对吧？解出来 m 等于八或 m 等于 四，两个值啊，两个值？他说 m 等于八，那答案不对啊，应该是八或四，好吧，八或四两种情况啊。呃，接着再来看圈四，再来看圈四啊， 再来看这个圈四，他说关于 x 的 r 函数， y 等于 n， x 方减四， n x 减去这个 五， n 啊， x 大 于零，注意，这有个要求啊，叫 x 大 于零，看到没，他必须要满足 x 大 于零这个要求啊。 说他的图像上呢，恰有两个点，这两个点的一级变换点都在直线 y 等于负 x 加五上，让咱来求 n 的 取值范围。那其实这个圈四本质考察的是个什么问题呢？叫做焦点分布问题，这玩意咱秦四班也讲过了，对吧？ 那不就说明那个只抛物线和那个直线和那两个什么一级变换点的直线的两个焦点都得满足 x 大 于零吗？不就这要求吗？对吧？ 好的，那什么意思呢？咱先去把这两个一级变换点先找到啊。你想一想啊，这个点呢，他的一级变换点都在直线外等于负 x 加五上面，所以说呢，他的坐标是可以表示成 m 到负 m 加五的，对吧？ 那这两个点的一级变换点如果是他的话，那说明原来的那个点的坐标咱就可以表示成什么东西呢？横坐标是纵坐标的，呃， k 倍也就是一倍了，对吧？ 也就说明什么东西呢？横坐标相等，纵坐标呢，是他的负一倍，也就是 m 减五呗， 对吧？所以说那两这个所谓的一级变化点能在直线上的话，能在直线 y 等于负 x 加五上的话，那就说明这两个点一定是在直线 y 等于 x 减五上的，那也就说明抛物线 y 等于 n， x 方减四， n x 减五， n 和 y 等于负 x 和这个 y 等于 x 减五，是一定有两个不等十根的好吧，有两个不等十根，而且这两个不等十根还都得怎么样呢？都得大于零， 且两个不等十根 x 一 x 二，他都得大于零，对吧？因为他是在 x 大 于零的上面有两个点没问题吧？就相当于这意思啊。 啊，那按照咱讲的那个来就行了，好吧，首先呢，咱是干嘛呢？先把它转化成，呃，一次转化成这个二次函数和 x 轴的焦点分布啊， 也就是干嘛呢？连累完之后呢，会得到一个一元二次方程，叫 n x 方减去一个四 n， 然后呢，再减一正放框里面啊，也就是减去一个框里面四 n 加 e x， 呃，减五 n， 然后再加五等于零，说明这个方程呢，是由两个大于零的不等式根， 没问题吧？两个不等式根，这是第一步啊，也就相当于函数 y 的 n x 方减去括号里面四 n 加一乘 x 减去一个五， n 加五与 x 轴 有两个大于零的交点，对吧？大于零的交点 好吧，呃，其中呢？这个，呃对称轴呢，它是一个二 a 分 之负 b， 也就是二 n 分 之四 n 加一。 所以咱在画草图的时候第一种情况啊，如果 n 大 于零，那抛物线开口向上，对吧？对称轴呢，是直线 x 等于二， a 分 之负 b， 这玩意它已经怎么样了呢？已经大于零了，所以咱只需要保证 当 x 等于零的时候，函数值大于零就行了，对吧？把 x 等于零带进去啊。呃，负五 n 加五要怎么样呢？要大于零，这样呢，就能解出来了。 n 小 于一， 好吧， n 小 于一不能取等号啊，因为他说的是 x 大 于零，不是大于等于零，这样呢，就能确定出来，当 n 大 于零的时候，范围就应该是大于零小于一， 好吧。第二种情况就是如果 n 小 于零，如果 n 小 于零，抛物线开口朝下，对吧？那图就应该长这样。那 此时就得满足什么东西呢？就得满足 f 零小于零了，也就是 n 得大于一， n 大 于一还要满足 n 小 于零，那是不可能的，这种情况就直接舍掉了啊。所以求出来 n 的 范围确实是大于零小于一，其实你看到这个等于一就能排除掉了，对吧？就是不成立的。 大于零小于一啊，那为什么还会有一个 n 不 等于六分之一呢？他是来源于这个方程呢？他必须要有两个不等式根，也就是那个 d， 它在这里面的话，就是四 n 加一括起来的平方减去一个 c， c 加上一个四 n 乘五， n 减五了。相当于啊，整理完之后呢，十六 n 方加二十 n 方，三十六 n 方三十六 n 方前面有个加八 n 后面有个减去二十 n， 也就是减去一个十二 n， 对吧？乘数上加一这玩意，它得大于等于零，这是个什么东西呢啊？它得大于零啊，两个不等十根，这是个配方，这是一个完全平方公式啊。这不是六 n 减一括起来平方吗？它要大于零，那说明 n 只需要不等于六分之一就行了。 就是，那两个东西怎么来的啊？大于零小于一或 n 等不等于六分之一，这个地方不能取等的啊， n 是 小于一的，大于零小于一的啊，不能取到等号。好吧，答案确实选 c 啊，只有前两个是正确的好吧。 呃，听明白的同学聊天区扣个焦点分布。这个没听明白的同学，一会直播完之后记得微信再跟我要一下那个焦点分布的视频啊， 勤思班也好，创新班也好，还是那个联赛还是那个联赛班的同学也好。那个焦点分布问题，这个忘了同学啊，聊在那个微信上，再跟老师要一下视频啊，这个是万能的方法好吧。 当然，这个题如果都大于零的时候，他有个特殊的解法，就是用伟大定律去做，但他不是不是通用的啊，他不是万能的好吧，如果他说了那两个焦点是介于零和七之间的，那你怎么办呀？伟大定律就没法用了啊，就得只能用咱讲的这个焦点分布的步骤来了。好吧， 就是李大本事还打了个这个交交点啊。抛物线和直线的焦点分布就是他的焦点分布在什么位置。好吧，他给了你一个限定的这样的一个条件，那咱就可以按照咱这个步骤来了啊。 步骤是什么东西呢？叫第一步画草图，第二步就是标这个临界，把那个区间啊，就是那个焦点分布的取值范围给他标上。第二个利用那个图像来列三个不等式，一个是第二塔，一个是对称轴，还有一个是那个临界值的， 有这三个不等式，最后求公共部分就行了啊，就是一个纯计算题。好吧，忘了同学再跟老师要一下这一讲的回放啊。好了，这是这个啊，接下来看那个第十五题填空题的这个最后一题啊， 哎，四分钟，好吧，把这题做一下啊， ok， 题肯定是要有想到一条辅助线的啊，把那条辅助线肯定是要画出来的， 好的，一起来看一下啊。它如图，在矩形 a、 b、 c、 d 当中知道 ab 等于三，长是四，这是它的背景条件。矩形啊， 说沿着这个折痕 fe 折叠，会把这个四边形 f， a， b， c 啊，五边形 f a， b， c， e 折到了 b 撇 a 撇 f e， c 撇的位置。说这个位置有啥特殊之处呢？ 有两个特殊之处，第一个特殊之处呢，说这里面的 e、 f 这个折痕呢，是和这个对角线平行的。第二个特殊之处呢，就是折完之后的这个 b 撇 c 撇呢，恰好经过点 d 恰好经过这个直角顶点，那想不影响这条件干嘛用的？立马想到什么东西， 是不是三垂直相似，对吧？立马想到构造三垂直。把 f 得 e 放在这个相似三角形里面，只需要做一条辅助线，过点 f 去做 b 撇 c 撇的垂线，那么就可以 e 正三角形 f， h， d 相似于三角形的相似。比，咱还知道， 对吧？就是 f 得和得 e 的 比值啊，就应该等于 f h 比上得 c 撇，当然也等于这里面的 h d 比上 c 撇 e。 哎，那这个 f 得比得 e 咱是知道的，这个时候你再把这个平行用上 f 得比上得 e， 这不就是阿尔法的正切值吗， 对吧？那不就应该和九 b a、 c 的 正切值是一样一样的吗？所以说 f 得比上这里面的得 e 的 话，就应该等于四比三呀， 没问题吧？四比三啊，而且 fh 的 长，你是知道了，等于 a 撇 d 等于个三，所以咱立马就可以利用这个三垂直相似求出谁了呢？求出得 c 撇了，得 c 撇的长呢，就应该等于四分之三倍的 fh， 也就是四分之九， 对吧？当你把 f h 等于三带进去的时候啊，得 c 撇的长度呢，就应该等于个四分之九，而且还知道啥东西呢，还知道这里面一撇 c 的 长和 h d 的 比值是不是也得是一个三比四啊， 对吧？也也需要得满足是一个三比四啊。那可以假设这个 c 撇 e 的 长等于个三 a， 那 么 h d 不 就是个四 a 吗？ 对吧？哎，那么 c 撇 e 是 三 a， 那 不就意味着 c e 也是三 a 吗？那就咱就可以利用平行得到什么东西了呢？得到 af 的 长了， 对吧？又因为 ef 和 ac 平行，这里还有一个平 a 相似呢，所以得 e 比上这里面的得 c 啊，或者说得 e 比上这里面的 e c 啊， 上比下就应该等一个得 f 比上一个 af 直接更比性质。所以说得 e 比上这里面的 f 就 应该等于 c e 比上这里面的 af 没问题吧？平行线分线段成比例啊，得 e 比上 ec 等于得 f 比上 fa， 那 这样的话，咱直接更比得 e 比上得 f 就 等于个 c e 比上 af 啊，那其中得 e 比上得 f 呢？咱知道他是一个三比四， 对吧？所以说 c e 如果设成三 a 的 话呢， af 就 应该是一个四 a af 四 a， 那 么 a 撇 f 不 就是四 a 吗？ b 撇 h 也是四 a 了， 对吧？那你就可以列方程了，八 a 加四分之九等于整个 bc 等于四，所以八 a 等于一个四分之， 呃，四分之七，对吧？八 a 等于四分之七，那让咱求的是谁呢？求的是这里面 af 的 长腿就是四个 a， 四个 a 是 四分之七的一半，也就是八分之七结束。 好吧，一共就用了两个知识点，第一个三垂直相等，第二个知识点平行线分线的成比例，中间呢？射源导边就行了啊，这个倒是不难好吧，聊天区扣个七，听明白的同学，听明白的同学来聊天区扣个七啊。 好了，看二十四题啊，今年那个历城的二模啊，跟这个淮阴区呢，他都比较特殊，他把那个倒数第一题， 呃，就是去年中考和前年中考的那个二次函数的位置和那个几何压轴题的位置给他换了一下啊，不过这也没啥没啥这个区别啊，因为二三年级以前的时候一直都是二次函数在最后一题的位置啊。其实这两个题在难度上相比来说的话，没有一个太大区别，一个是算的难，一个是几何思维想的难， 对吧。先来看二十四题，不过历程的这个二十四题还是相对来说非常的温柔的啊，出题人还是比较善良的，对吧？说有个矩形叫做 a， b， c， d 点 e 呢，是直线 b 的 上的一个动点， 看清楚了这个点 e 它在什么位置上面，它是在对角线上的一个动点，合着说那个矩形 a， e， f， g， 它的大小是随时改变的啊，它不是一个旋转型的 好吧，这个点 e 是 在 b 得上面移动的啊，这直接决定了咱们的第三问该如何处理啊？说连接 a e 以 a e 为边，又做了一个矩形，两个矩形，说白了，长宽之比都等于 m， 也就是两个矩形相似呗， 那共顶点，这不就是手拉手吗？如果 m 等于一的话， m 等于一啥意思呢？就是 a 得等于 ab， 对 吧？哎， aj 呢，又等于 ae， 这里面的这个角 b a e 又等于这里面的角得 aj 都等于九十度。减去一个公共角，那不就可以手拉手得出这里面的三角形 a b e 全等于三角形 aj d 了吗，对吧？ aj aj 了啊，两个三角形直接全等了 好吧，全等的判定条件是啥呢？ s a s 全等出来以后， b e 等于得 j， 位置关系 b e 垂直于得 j 啊，这个垂直咋来的呢？ b e 和得 j 为啥垂直呢？对应角相等啊，角 j d a 等于角 abd 四十五，俩四十五怼一起肯定是九十啊， 这狂一七年级的孩子就会做，对吧？这没啥难点啊，来看狂二是不是也是一个常规的手拉手相似啊？ 说 m 等于二的时候，来猜想它俩之间的数量关系，那么 b e 比上的，这就应该是个一比二，位置关系 b e 和的，这依然垂直。证明方法利用的是什么东西呢？利用的是一个手拉手相似，对吧？先证明那俩 s 啊。 呃，因为 ab 和 ad 的 比值， aj 和 ae 的 比值都相等，这个咱就不用呃，证明了，他直接给咱了啊。呃，因为矩形，咱先推角相等啊。因为矩形 abcd 和矩形 aefj， 所以说呢，可以得到这里面的角 g a e 和这个角的 ab 啊，它应该是一个相等的关系，都等于九十度。所以说呢，这里面的角 b a e 和这个角的 aj 就 应该相等，都等于九十度，减去一个公共角 e a d， ok 吧。那然后呢，接着再利用人家给的 a d 比上 ab 等于 aj 比上 a e， 那么 s a s 的 条件就全了。三角形 a b e 就 应该相似于三角形 a d j， 好 吧，两个三角形一旦相似，那么对应边乘比例， b e 比上 d j 就 应该等于 ab 比上 ad， 也就等于二分之一，好吧，然后垂直怎么正的呢？就是通过角相等，角一就等于这里面的角二啊，所以角一就等于角二啊，因为角二呢，加这里面的这个角三， 角一加这里面的角三呢，它是一个九十度， 所以说呢，角二加角三就得是九十，也就说明这里面的 b e 啊，就应该和这个 d j 就 应该是一个垂直的关系了，好吧， 呃，接着再来看这个考三第三问啊，好同学，这个没做，来把这个题做一下啊，把这个第三问做一下，好吧，四分钟啊，做完的同学呢，可以在聊天区把这个答案打一下啊， 一定要记住咱之前讲的那个台阶理论，好吧，这个几何压轴题的前两位，他一定是给第三位服务的，好吧，一定是给和这个第三位有用的啊， 算来的同学啊，立升学同学，算来的同学，可以聊天去打一下算的值啊， 这个狂三呢，非常常规的一问，就是求线段的最值，对吧？求 c m 的 最小值，点 c 呢，你可以理解成是个定点，对吧？点 m 是 个动点 啊，点 m 是 这个 b j 的 中点啊，它是在动的啊。那这个我要去求 c m 的 最小值的话，那是不得直到这个 c m 的 轨迹才行啊， 这个没问题吧？那这个 m 他 怎么来的呢？你得跟前面两位建立联系啊，对吧？你通过括号二能得到什么结论呢？前面的括号一和括号二 不光能得到 b e 和 g、 d 拉手线之比，一比二还能得到 b e 和 g、 d 两条拉手线是垂直的， 对吧？哎，有时候这个角他是一个直角好吧，角这的 b 是 等于九十度， 然后他又给了你一个特殊条件，叫做终点。那咱就应该条件反射呀，这玩意咱讲过呀，对吧？就是当出现 r t 三角形加钟点的时候，要想到什么东西啊？ 要想到什么东西，很简单，斜边中线上的吧，肯定要用到斜边中线定理啊。也要这个题的话，咱可以做一条辅助线啊，连接 md， 连接完 md 之后呢，咱就能推出啥来。 md 的 长度就应该等于 mb 的 长度， 对吧？永远都是 b g 的 一半啊。为什么要选 m 的 等于 mb 呢？因为这个时候你就会发现 m 它到两个定点的距离相等，所以说 m 的 轨迹就确定了， m 就 应该在 b 的 什么上面 垂直平分线上， ok 吧，那这个点 m 的 轨迹就能确定出来了，过 m 去做垂线就行了，好吧，哎，它永远是在这个垂线 b h 上面吧， 好吧，永远在这条垂线上面啊。呃，那这个咱把这个加粗一下啊，这就是它的那个轨迹。 哇，这就是他的那个轨迹啊，在这条红线上面。好吧，那什么时候 cm 最小啊？那太简单了， cm 的 最小值就应该是过点 c 干嘛呀？ 做垂线了，对吧？假设垂足叫做 n， 那 么最小值就应该是 c n 了， c n 咋求啊？其实很简单，这个角二法的正，这个三角函数已经给咱了，或者你用相似也行啊， 对吧？这个角的 bc 就 应该等于这里面的角 bc， n 就 应该等于个二法，所以利用这个二法的三边比例关系，一比一，一比二，比根号五，求出这三条线段当中的一条线段来就可以了。哪条线段能算出来， 哪条线段可以算出来是不是 hc 啊？为啥呀？既然是钟垂线，那咱还要想到一个东西，叫做见钟垂 连两边呀，对吧？你这中垂线有用的呀，对吧？连两边连接 h d， 那 么 h d 的 长度就应该等于 h b 的 长度，那就可以写成什么东西呢？就是二根五减 x 了， 好吧，哎，这里面这个 h d 的 长度就能写出来了，二根五减去 x 啊，其中 c 得的长呢，又和 ab 相等啊，始终是等一个根号五，那咱就可以列勾股方程了，对吧？ x 的 平方加根五，五的平方等于二根五减 x 的 平方， 展开之后呢，就是一个二十减去四根五 x， 再加 x 方 x 方 x 方直接约掉四根五， x 等于十五，减出来 x 等于四根五分之十五，化简一下，也就是四分之三根五。 好吧， x 等于四分之根，四分之三根五，所以 c h 的 这个 c n 的 值呢，就应该等于几呢？它不是一比二比根号五吗？对吧？ 合着这里面的这个 h n 就 应该是四分之三，两倍的四分之三，所以算出来答案呢，有二分之三啊，一点五啊， 最小值一点五。好吧，这个题呢，就是第一个考点，就是考验大家的类推能力，你要牢牢记住咱们这个几何压轴题的第一问和第二问，还有第三问，他是前后有联系的啊，前后有衔接的。 第二问给第一问服务了，第二问的结论一定要在第三问当中体现出来才行啊。呃，然后接着下一个考点呢，就是直角三角形加中点，要想到斜边中线定里， 好吧。第三个考点就是中垂线的性质，以及中垂线的辅助线见中垂连两边，好吧。第四个考点就是勾股方程，好吧，最后一个考点相似求值或者三角函数求线段值就 ok 了啊。听明白的同学聊天区扣个一点五。 听明白的同学来聊天区扣个一点五啊。 好的，接下来看这个最后一题啊，二次函数的压轴题，来把这题做一下啊，一分半把第一问先做了， 怀疑这个应该问题不大啊，他已经告诉咱经过负二负一了，那就直接把负二负一带进去，得到负一呢，是等于一个 呃，四减二， b 再减一的啊，这样呢，就能求出来 b 的 值，对吧？二 b 等于四，求出来 b 等于二。所以说抛物线呢，这个表达式呢，就应该是 y 等于 x 方，呃，然后呢，加上一个二 x 再减一， 好吧，外边 x 方加 x 减一啊，然后他的顶点坐标呢？直接代公式就行了，对吧？应该是横坐标呢，二 a 分 之负 b 也就是负一纵坐标呢，带进去呢，是一减二再减一啊，也就是负二啊，负一都负二， 这样呢就可以求出来这个顶点坐标了啊。接下来看第二个，他把这个 p q m 呢，呃，做出来之后呢，说这个刚好顶点落在 q m 上面，这是什么东西呢？他说从抛物线的第一项线上找了一个点，叫 p， 设横坐标为 m， 设它的横坐标为 m， 那 纵坐标不就能表示出来了？ m 方加二 m 减一，对吧？那它连接 p o 并延长，使得 o q 呢？是 o p 的 两倍。那你想一下啊，我过点 q 做完垂线以后，假设焦点叫做勾和凯， 那么你这里面的三角形 q 勾 o 肯定是和三角形呃， p k o 两个三角形相似的，而且相似比是二比一啊，对吧？相似比，既然是二比一，这个咱写一下啊， 勾和这里面的 x 轴垂直，那么三角形 q 勾 o 呢，自然就相似于三角形 p k o， 那么这个 o 勾的长度呢，就应该是 o k 的 两倍，也就等于个二 m， 对 吧？呃，勾 q 的 长度呢，就应该等于个 p k 的 两倍，对吧？这个地方那个点 p 的 坐标自然就设成 m 度， m 方加二 m， 然后再减一了， 对吧？ m 方 m 方加 m 减一啊。那么勾 q 的 长呢？就应该等于个 p k 的 长，也就等于这个 o 勾的长，等于两倍的 ok， 等于个二倍的 m， 勾 q 的 长等于两倍的 p k， 也就是二 m 方加上一个四 m 减二呗， 对吧？这就勾 q 的 长。他说了这个经过抛物线的最低点，那抛物线的最低点是谁啊？ 过哪个点？不就是它顶点负一负二吗？那也就说明这个二二 m 方加四 m 减二，等于啥呀？等于几啊？ 注意它的长度，它是等于它，它是在第四象限啊，第四象限，那它的坐标应该是个负数，长度就应该等于二，对吧？顶点到对 x 轴的距离不就等于二吗？那解方程就行了， m 方加 m 减二等于零，来，快速算一下，看谁算的快啊， 一分钟，抓紧时间算一下啊。 负一加减根三对吧？负一加减根三啊，就是因为它在第一项线 m 大 于零，所以说 m 它只能等于个负一加根三了。根三减一啊，所以说求出来点 q 的 坐标呢，就应该是负二，根三加二都负二。 好吧，这是第二问啊，前两问没问题的同学来聊天区扣个二。前两问没有问题的同学来聊天区扣个二啊。 这个应该不是特别难啊，应该还可以啊。 好了，看到考三，来把这个考三做一下啊，这个是这个难题对吧？这这里面比较难的一个题了啊，抓紧时间啊， 做了爱同学可以在聊天区扣个一啊。 好，来看一下这个题的第三问啊。呃，抛物线在 p q m 内部的点的纵坐标为 c， x 的 增大， r 增大来求 m 的 取值范围。呃，那其中呢，咱肯定是需要先满足这个点 p 第一个要求啊，满足这个点 p 是 在第一象限的。 呃，如果不满足这个要求的话，那没法解，对吧？因为人家说了这个点 p 必须要在第一象限啊，那点 p 的 坐标咱是不是已经表示成 m 到 m 方加二， m 减一了？所以说在第一象限的话，需要满足 m 大 于零， m 方加二， m 减一也得大于零， 这样的话可以解出来 m 的 一个取值范围叫做大于。呃，根二减一是吧，大于这个根二减一啊。 然后第二个要求呢，就是需要满足这里面的这个 y， 它是随着 x 的 增大而增大的，那哪一种情况不行呢？是不是就是顶点在内部的时候是不行的？ 如果这个顶点在三角形内部的话，那它必定往左延伸出去，往右延伸出去，就会出现先下降再上升， 对吧？所以呢，咱们就把顶点在内部的范围算出来，然后取它的补集是不就 ok 了？那怎么样保证这个顶点它在内部呢？首先就是它要在这个直线 p q 的 啊下方，如果在 p q 上的时候啊，那它，呃一旦跑到 p q 的 下方啊，这个是不可以的 好吧，呃，那么此时的这个不等式怎么去列呢？咱可以利用这个点 p 的 坐标 m 到 m 方加二， m 减一， 去把这个点 q 的 坐标表示出来，应该是负二， m 到负二， m 方减去一个四 m 加二。所以呢，就可以把这个 p q 的 表达式算出来，先算 p q 的 斜率啊，斜率就应该是三 m 方加上一个六 m， 然后再减三，比上一个三 m 啊，那整理一下，就应该是 m 减 m 分 之一，然后再加二，所以它的表达式呢， p q 的 表达式就是 m 减 m 分 之一加二，括起来乘上 x， 那 么令 x 等于负一，顶点坐标不是负一度负二吗？令令 x 等于负一， y 呢，它是等于一个负 m 加 m 分 之一啊，减二的。如果顶点在它下方的话，那也就是说这个 y 它是要大于负二的， 也就是说这个负呃，这个 m 分 之一减 m， 它要大于零，也就是一减 m 方大于零，呃，解出来 m 呢，它是 呃大于负一小于一，大于负一小于一啊，所以此时要取它的补集的话，那就应该是 m 大 于等于一 啊，因为这个小于负小于等于负一的话，不可能，因为必须满足 m 要大于根二减一啊，所以 m 大 于等于一是可以的好吧。然后第二个小的要求呢，就是需要满足这个顶点呢，它要在这个 qm 的 上方，相当于也说 q 它要在顶点的左边， 好吧， q 在 顶点的左边，或者说这个点 q 呢，它需要满足在呃抛物线的下方， 在抛物线的下方，好吧，那点 q 的 坐标它是多少呢？是负二 m 到负四 m， 负二 m 到负负二 m 方，然后呢减四 m 再加二。 那么当咱令 x 等于负二 m 的 时候，见到 y 是 啥呢？是负二 m 的 平方变成四 m 方，然后减去一个四 m 再减一，对吧？这个要怎么样呢？他得呃，按照咱画的这个图的话，他是需要满足这个呃， 在这个点 q 的 上方，也就是大于这个负二 m 方，减四 m， 然后再加二。整理一下，也就是六 m 方，需要大于三 m 方，大于二分之一，也就是 m 要小于负的二分之根二，或者大于二分之根二，取补集的话，那就是 m 小 于等于二分之根二， 小于等于二分之根二，还得满足大约根二减一的要求。所以说最后综上所述，这个 m 的 取值呢，需要满足，呃，大于根二减一，小于等于二分之根二， 或者是 m 大 于等于一啊。比如说这个题呢，咱可以这分析的方法是这样的，就是怎么样能保证 y c x 的 增大而增大呢？就是保证这个顶点不落在内部就行了。 那你就画一个点在内部的，找出它的要求来，然后再取呃它的补集就 ok 了啊。这列题的括号三。

下面我们看一下二次函数的压轴题，嗯，也就是四中二模第二十四题， 这个题目呢？第一小问，求表达式，嗯，这个二次函数的表达式已经给出了，嗯，只差 b 和 c， 需要求带入两点坐标即可求出。第一问呢，也挺简单，嗯，这个关系式应该是 y 等于 f 方减去二， x 减三， 可以配方法换成顶点式， x 减一的平方减去四，所以对点轴是 x 点一，顶点坐标一，逗号负四。下面看第二小问说呢，点 e 落在这个对点轴上， 嗯，然后 c b 这个三角形是一个直角三角形，并且点 e 呢，在第一项线，如果是这种情况的话，就是 他是一个锐角三角形，嗯，所以直角三角形就是临界情况。那什么时候是直角三角形呢？要分类讨论到底是哪个角是直角，比如说，第一种情况角 e 是 直角， 第二种情况角 b 式直角，这是两种临界情况啊。第三种情况，角 c 式直角的话，就应该朝下，这个点 e 就 不再第一象限了啊，所以这样这种情况就不需要考虑了。 所以点 e 啊，这个点是一种临界状态， e 一 这个点也是一种临界状态。这两种情况恰好都构成了直角三角形，所以当点 e 落在这个 e e、 e 之间的时候，它就构成了一个锐角三角形。 所以此时我们只需要把啊 e 一 和 e 这两种位置求出来就可以。我们先来求一下这个 e 一 的坐标，这个实际上很容易求啊，因为这个角是直角角， c b e 是 直角， 嗯，而 bc 这条直线 k 值是等于一的啊， b 点坐标三，逗号零， c 点坐标零，逗负三，所以 obc 恰好构成等腰直角三角形。 嗯，所以下面这条直线和这条直线互相垂直，所以上面这个角度也是四十五度啊，四十五度的话，这个长度是二，所以这也是一个等腰直角。三角就是 e 一 b， 这是一个长度，就是二，所以此时 e 一 的坐标就是 e 一， 逗号二。 那下面看第二种情况，就是角 b， e， c 是 直角的时候，就这个角是直角的时候，这个时候是直角的话，我们可以采取的方法可以利用，嗯，构造一线三垂直的相似，过点 e 做平行于 x 轴的直线啊，然后过点 b 做 b， m 垂直于这个 dm， 嗯，那这两个三角形就是一三角的相似。 我们可以设一下点 e 的 坐标，比如说是一逗号 a 吧，那这个是 a， 这个是三，这个是一， 这样 e， m 的 长度就是二，这个是 a， 这样我们就可以把这些线段都标一下长度，三角形相似，再写出对应边。 嗯，所以就是 c， n 比上 e m 等于 n， e 比上这个 b， m 交叉相乘， c， n 乘以 b， m 等于 n， e 乘以 e m 代入数据， c， n 乘以 b m， c， n 的 长度是三，加 a 再乘以 a 等于一，乘以二， a 方减去加上三， a 等于二。配方法求下 a 的 值， a 方加三， a 加上四分之九，就等于二，加上四分之九，加二分之三的平方等于四分之十七，所以 a 等于 负的二分之三，加减二分之根号十七。又因为 a 的 值一定是一个正数，它落在第一项线 啊，所以这个取负的二分之三加上根号十七啊，就这个答案。 所以此时啊，一点的坐标，它的纵坐标就处在这个数和二之间， 嗯，也就是 a 必须得大于二分之负三，加上根号十七小于二的时候，这样它就能保证它是一个锐角三角形。 下面我们来求一下 e 点的坐标和 m 之间的关系啊。因为直线 a， e 呢，经过点 a， 所以 可以把点 a 的 坐标带入，嗯， 把点 a 的 坐标带进去，也就是，嗯，零等于负 m 加 n， 所以 推出 m 等于 n， 所以 这条直线的关系式就是 y 等于 mx， 再加 m， 嗯，然后点 e 的 横坐标是一，把 x 等于一，带入 y 等于二 m， 所以 一点的坐标一逗号二 m， 嗯， a 就 等于二 m， a 的 范围是大于啊，大于二分之负三，加上根号十七小于二，所以二 m 就 大于这个， 所以 m 就 大于四分之负三，加根号十七小一。这样我们就求出了第二位。下面再来看一下第三位，嗯， 第三位呢？说是如图二，当 n 等于一的时候， 点 m 是 在抛物线的第四象限，连接 m c 并延长交直线 a d 与点 n， 然后连接，求三角形 b m， n 面积的最大值。 下面 n 如果等于一，那直线 a d， 这条直线的关系式就是， y 等于 mx， 再加一，再把 a 点的坐标负一，零代入， 所以零等于负， m 加一，所以 m 等于一。所以这条直线的关系式我们就求出来啊， y 等于 x 加一， k 值是一， 嗯，然后下面这个三角形 b， m， n， b 点的坐标是三斗零，而 c 点坐标呢，是负三，斗零斗负三。 所以在这里说明什么呢？说明就是 o b 和 o c 相等的，嗯， o b 和 o c 相等一连，那就说明这个直线就是一个，嗯，构成了，这是一个等腰直角三 啊，所以这个这个角度数就是四十五度，而四十五度说明它的 k 值恰好是一，所以和这条直线它是平行线。既然是平行线的话，下面连接一下这个 bc， 如果是平行线啊，说明一个问题，平行线怎么样呢？可以进行等积变形， 就是当点 n 在 这个上移动的时候，三角形 b c n 的 面积是不变的，所以我可以平移到这个点的这个位置，它的面积也是不变的，是个定值啊。此时， 嗯，得的坐标呢，是零斗一，嗯，所以这条直线呢，就是他的长度啊，这条线的长度就四，而这个是宽，最高就是三，所以二分之一乘以四，再乘以三，面积就是六啊。所以 也就是说明这个 b o c 或者是 b n c 这个面积是不变的，总是六， 嗯，就 bnc 的 面积是不变，总是等于六。那要想求面积的最大值怎么办呢？那只需要求出 bcm 这个三角形的面积最大值来就可以，而 bcm 就 好求了。 bcm， 因为它是一个什么样的？是一个斜三角形，是吧？这个斜三角形我们见过很多次了，可以化写为直，用牵捶法就来就可以来处理。 哎，这个是 m n 吧，假设它是 m n， 然后呢，这个三角形的铅垂高，就是它水平宽是 b 的， 而 b 的 长度呢，是一个确定的数，是三， 嗯，所以铅垂高乘以水平宽，这个三角形的面积就等于二分之一 m n， 再乘以 o b 二分之三倍的 m n， 所以 下面我们来求一下这个 m n 它的最值。因为这两个点的坐标当中，横坐标一致，所以设横坐标， 设横坐标是 m 吧。啊，那 m 点的纵坐标就代入关系式即可啊，负 m 方， m 方减二， m 再减三， 而点 n 横坐标也是三，也是 m， 它的坐标 m 逗号直线 abc 的 关系式是 y 点 x 减三， m 减三 啊，所以铅垂高就是 m 减三，再减去 m 方减二， m 减三啊，也就是这个 m n 铅垂高的长度，去掉括号。 嗯，然后它的 m n 的 表达式就是这个 是一个关于 m 的 二次函数，可以求最大值，因为开口向下啊，配方一下就可以了。 嗯，负的 m 方减去三， m 配方加上四分之九啊，然后再紧接着减去四分之九，拿到括号里面来，就还是加四分之九。负的 m 减去二分之三的平方加四分之九 啊，这是 m n 的 最大值，就是四分之九。当 m 等于二分之三的时候， 水平宽是水平宽是三嘛，所以这个数乘以三，再除以二啊，所以它的最大值就是二分之一，乘以 m n 的 最大值就是四分之九啊，再乘以水平宽是三， 所以等于八分之二十七啊，所以也就是说，这个 bcm 这个三角形面积最大值就是八分之二十七，然后再加上蓝色的这个图形的面积啊，就这块， 嗯，算出来，刚才我们算出来答案是六，所以最终的面积最大值是六，加上八分之四十八，再加二十七， 百分之七十五啊，这样我们就求出了这个三角形面积的最大值。所以这个题目主要是什么呢？主要是我们发现这条线和这条线是平行的啊，因为这条直线 k 值是一啊， k 值一直都是一 啊。而下面这个 bcm 这个三角形可以牵垂的方法轻松解的 啊。而上面这个三角形，嗯，加在两条平行线之间，所以它的面积不变性啊，所以可可以把点 n 拖到点得处，求三角形得 bc， 我 在视频当中也是这样录的啊，当然你也可以把它拖到点 a， 求 abc 的 面积也可以，都可以啊。 好了，这样这个题目我们就分享到这里啊。

hello， 大家好啊，我们来看一下这次历下二模的这个题目啊。呃，整体来说难度还是比较适中的啊。嗯，呃，难度跟中考比较接近啊。 呃，我们还是以压轴题为主。首先看一下第九题啊，那这个是一个呃尺规作图的题目啊，那我们读完题我们就知道啊，这个 a、 d 是 一条角平分线，然后 c、 e 这条线的话是线段 d p 的 这么一条中垂线，对吧？也就是这个地方是垂直的。 呃，那我们的思考点啊，或者说切入点就是角平分线，还有中垂线的性质吗？那之前的时候我也给大家讲过，是吧？那我们一个一个来看一下啊。 首先他说 a、 c、 e 是 直角三角形， a， c、 e 在 哪呢？ a c e 是 这个是吧？那很明显垂直中垂线啊，直角三角形没问题，是对的啊。第二个说 a、 c a、 d 等于 d c、 e， 呃， c a、 d 是 这个角，阿尔法，然后 d、 c、 e 呢？是这个角， 那我们知道是吧？角平分线吗？阿尔法，然后我们导一下角是吧，那这个地方肯定也是阿尔法，因为这个地方这个 c、 e、 d 是 垂直， dba 也是垂直嘛，所以说导过去以后一个八字也是阿尔法，所以说相等的啊，也没问题。 然后看第三个啊，第三个 a、 b、 d 的 周长和 c、 d、 e 的 周长之比啊， a、 d、 b 是 不是这个三角线啊？ c、 d、 e 的 话是这个三角形，看到吧，那他们两个很明显是相似的嘛，对吧？相似的话，你看一下 周长的比，就是边长的比啊，面积比的话，如果相似的话，面积比是边长比的平方，但是这个周长的比的话就等于，呃，这个就就等于边长的比，所以说 abd 的 周长比应该是 ab 比上它的对应边是谁啊？是不是应该是比上 c e 啊？那他这个地方写的 cd 的 话，那很明显是不对的啊，所以说这个第三个就直接错掉了，然后看一下第四个啊， 第四个他说 a d 也等于跟五倍的 c e， 也就是让你求一下 a d 和这个 c e 的 关系啊，那你猜一下的话，你看看起来啊，呃，像是两倍，但是也不太确定是不是，那我们呃 跟五的话你也不是很确定啊，所以说我们就需要通过做一些辅助线啊，或者说通过边的转移来求解一下。然后你看角平分线，我们做辅助线的话无非是三种办法，一种办法是我们去做垂线段啊，做垂线段 往两个边上去做垂线段。那再有一个的话，就是我们这个地方已经有垂直的，是吧？我们可以直接延长过来，是不也会形成两个全等三角形？那么再有一个的话，就是我们说特殊的点是吧？我们是截长补短的时候会去做这样的辅助线，那么对于这道题目来说的话，是我们延长的话是一个比较好的办法。 延长啊，主要是我们还注意到什么呢？你注意到，呃， bc 和这个 ab 是 相等的呀，那因为它是一个 abc， 是 一个等腰直角三角形，所以说再加上这个条件你也会想着把它去延长，那么延长以后我们交到一个点呃，点 j 吧， 好吧，点 j 的 话，那你就很敏感，就发现了阿尔法，阿尔法是吧？然后 ab 还等于 bc， 所以 说三角形 就呃就有全等了，三角形 a、 b、 d 是 不是要全等于三角形 c、 b、 j 啊？那么全等以后我们就是就知道了，这里面牵涉到了 a、 d， a、 d 是 不是要等于这个 c j， 对吧？那么 c j 是 什么呢？ c j 它又等于两倍的 c e 啊，因为这个等腰三角形三线合一嘛，对不对？所以说，哎，它应该是一个两倍的关系啊，那这个地方根五倍的话，很明显又错掉了，是吧？所以说我们只有两个对的，就选了 b 了。 呃，是这样的啊，呃，这个是第九题。 好的，下面我们来看一下这个第十题啊。第十题是一个二次函数的比较抽象的这么一个题目。 呃，我们先来读一下题目吧，他说，啊，抛物线是这样一条，然后上面有一个点 t 勾 m， 然后直线 上面有一点 t， 都 n， 是 吧？然后他们的这个联系呢？就是说横坐标是相同的啊，纵坐标分别是 m 和 n， 然后说有且只有一个整数 t， 使得 m 小 于等于 n 成立。 哎，到这里比较抽象啊，我们可以大致的画一个图啊，先把题目给读给读明白啊，什么意思？就是抛物线，现在开口向上大概是这样子，然后直线呢？哎，这么一条直线，对吧？ 他说有且仅有一个整数 t， 使得 m 小 等于 n， 那 么 m 是 什么？ m 是 当这个 x 取 t 的 时候 二次函数的函数值啊，那 n 呢？是 x 取 t 的 时候，这个一次函数的这个函数值 m 小 等于 n， 也就意味着，哈，是二次函数，是不是应该在这个 这条直线啊，这个一次函数的下方呀，并且在下方的这个区域里面，哎，是不是 t 在 这里面取的话，只有一个哎，一个整数哎，一个整数点 可以理解吧？哎，所以说当他这个 a 在 变化的时候，这个抛物线啊，他肯定是开口啊，包括上下是不是都在不断的变化？包括这个直线他也是在上下可能在移动的，哎，但是呢，我们就是通过这个去判断出来，哎，什么时候 抛物线在下方，然后直线在上方的时候，这个区域里面只有一个 t， 那 么直接去判断的话，很显然是不大好判断的，对吧？因为他这个里面参数的变化以后，他这个图像变化太厉害了，所以我们要去分析一下啊，先分析一下这个函数有什么特点啊？首先的话，这个二次函数 对称轴是不是第一眼能看出来对称轴是一对不对？然后的话有没有横过的点呢？ 哎，很明显是有的，是吧？第一眼能看出来是零逗三，哎，也就是，也就是说它有这个它的这个总结句，是吧？再有一个的话，就是像这种函数，我们是不是可以对它进行一个就提取一下这个因素啊？这样的话我们看横过的点嘛， 所以说它这个函数的话，我们可以变成，哎，提出一个二 a x 嘛，这样的话就变成了 x 减去一个二，是吧？加上三，哎，所以说当 x 取二的时候， 他的这个函数值是不是跟这个 a 就 没有关系了，哎，所以说横过什么？是不还横过二斗三这个点 可以理解吧？横过这个二斗三啊，哎，所以说我们这个两个点我们都知道了以后啊，两个点都知道以后， 呃，再加上对称轴，它图像性质就比较明确了啊，然后再看一下这个一，呃，正比例啊，不，这个一次函数是吧？这个就比较好分析了是吧？把 a 提出来， x 加一，加上一，那么它横过的点， 哎，就是负一逗一喽啊，那这样以后我们就可以把它的函数图像大致的给画一下 啊，首先是一二，然后这个地方是三啊，大概的二次函数大概是这样子的啊，开口向上的啊，对称轴是一是吧？横过零度三和二度三啊，对称的，然后是 这个一次函数啊，负一逗一过这个点，并且是不是相交一下啊？往上的，那我们现在再分析一下下面给的这个条件，是吧？ m 小 于等于 n， 是 不是下面这一块， 你想保证在这一块里面只有一个整数 t 渠道的话，哎，小于它是吧？只有一个整数 t 渠道。首先这个 t 等于一的时候，是不是显然是满足的吧？那么在我画的这个图里面，这个 t 等于二的时候，你看是不是也满足啊？ 所以说你想保证只有一个整数 t， 那 你看这个函数的图像，就是这个一次函数图像是不是要往下再降一降，也就是说绕着这个点旋转一下，让它更平缓一下， 那平缓以后降到哪呢？是不要降到这个三这个点的下方的时候，这个时候你看是不是只有一这一个点了， 对吧？啊，那当然你不需要考虑左边左边的点啊，因为左边的点的话，他顶破天是吧？他再怎么往上提，他再怎么往上提，或者说再再怎么倾斜，他也不可能取到负一这个点啊，也不可能取到零这个点，是吧？ 呃， ok， 那 这样的话，我们来，呃，就来可以来列一个等式哈。你比如说我们如果说为了方便书写的话，我们设这个 f x 啊，是这个二 a x 的 平方减四 x， 就 这二次函数啊，然后这个 g x 呢？我们变成这个正，呃，一次函数啊， a x 加 a 加一，所以说我们要满足这个条件，就是在二这个点上，哎，也就是 二的它的这个二次函数的函数值是不一定要什么？是不是要大于一次函数的这它的一个函数值啊，那这样的时候是不是一次函数才跑到哪？是不是才跑到了这个二次函数的下方？ 可以理解吧？ ok， 这个是我们第一个需要满足的条件啊，也就是我们得到一个不等式，一会我们再来解一下。那么第二个呢？你看一下，呃 呃，我们刚才只是说是限定了，说只有一个整数，是吧？但是呢，我们还要知道啊，在这 t 取一的时候，也就说取到这唯一一个整数的时候，是不是一定满足二次函数一定在这个一次函数的下方呢？哎，这个不一定是吧？那有可能是吧？有可能。哎，万一它是不是这样稍微往上一点呢？是不是稍稍微往上一点，那它倾斜到这， 他进行到这个程度的时候，大概是这样的时候，这个时候就不满足了，哎，所以我们还要列一个条件，就是在一这个点上，哎，就是 t 等于一的时候要满足的什么？二次函数的函数值要小于 是不是一次函数的这个函数值啊？ ok， 也就是说 f 一 是不一定要小于这一点， ok， 这两个不等式列完了以后啊，我们来想一下，这两个不等式哪一个能取等号，或者说是不是是不是可以取等号呢？ 哎，首先我们来看一下啊，看上面这个取等的时候行不行？取等的时候，也就是说这个一次函数是不是跟这个二这个地方交于一点，那这个时候是不是满足 m 和 n 是 不是相等啊？ m 小 等于 n 吗？是不可以啊？那可以的话，我们只需要一个点，它这个地方出来两个点是不行啊，所以说这个地方的话等号是不能取到的啊，等号不能取到，那下面这个可以吗？下面这个是不是根据这个 m 小 等于 n 的 话，是不等于的时候是可以的？ 哎，可以取到等号了，哎，所以说这个地方就要加上等号了，哎，那我们就去带进去啊，去解一下啊，看一下啊，首先二的话带进去也就是一个八 a 是 吧？减去， 呃，八 a 加三啊，就是三嘛，大于 g 带进去啊，二 a 加上 a 加一是吧，那这样的话，我们就得到的是一个三大于三 a 加一啊，解出来以后也就是一个三 a 小 于二 a 呢，是小于三分之二的 小三位数啊，你从这个题目里面看一下，是吧？ a 和 b 里面是不是选一个了？ ok， 再解一下下面这个啊， f 一 f 一 是多少啊？带你去看一下，也就是二 a 减去四 a 加上三吗？小于等于 g 一 的话，就是一个 a 加上 a 加一是吧，那我们解一下，也就是负二 a 加三小于等于二 a 加一嘛，也就是四 a 大 于等于二，所以说 a 是 大于等于二分之一的，那我们把这两个结合起来以后，是吧，我们就选 a 这个选项了啊，就解决了这个问题是吧？ 所以说像这种题目的话啊，呃，能竖形结合的一定要竖形结合啊。 我们来看一下啊这个填空题啊。首先第十四题比较简单啊，我们只需要求出来这个两条直线的解析式，然后让它们的纵坐标相减等于这个三十五是吧，这样的话就能求出来 x 是 一个二十八 啊，还是比较简单的啊，重点来看一下这个十五题啊，呃，十五题的话，呃它是一个折呃折叠的题目啊。 嗯，我们呃拿到这个题目以后啊，可能会想到是不是通过间系的方法啊去解决，那么系是好建的，但是我们建完系以后再去求解的时候，你会发现设这个参数啊，是不太好设的，并且 你输入参出来以后再去计算的话，也是不太好计算的啊，所以我我们还是考虑用几何的方法去进行一个研究啊。那么看到这个地方他是一个九十度，是吧？我们会想到，哎，可以做一条垂线坐下来， 哎，这样的话我们是不是构成了一个一线三垂直啊？一个相似对不对？比如上面这是 p， 下面这是 q， 那 我们做这个有什么用呢？我们先把思路来捋一下，我们要求的是 b j 比上 a j 嘛， b j 比上 a j， 那 么我们如果说能够求出来 ab 的 长度， 那么 b j 的 长度是不是也就可以求出来了？因为它这个正弦值告诉你啊，实际上我们可以射出来这个就是它，它这个 a j 或者是这个 e f q 的 长度啊，可以射出来，实际上可以理解成是已知的啊，哎，所以我们看啊， 这两个直角三角形的相似比，我们是不是可以得到，哎，因为 f 是 中点嘛，哎，所以说你看 d q 的 长度，我们是不是可以求啊？ d q 长度可以求的话， a q 的 长度是不是和 d q 的 长度相等的？也就是 p b 的 长度吧。那么 p b 和谁的比啊？ p b 是 不是和 f q 的 比，就是这两个三角形的相似比，看到吧，那这样的话，我们就可以求解啊，求解出这个 x 的 长度啊，具体我们来做一下看一下啊。 那首先的话，我们设什么呢？我们可以去设 f q 的 长度啊，就设成根十吧，设成根十以后比较方便啊，那这样的话， d f 是 不就是八？ 然后这个 d q 的 长度的话，我们算一下勾股定律，是不是一个三根六啊，也就说这个地方是三根六，这个是根十啊，这上面是八，哎，所以说 a q 的 长度是不是也是一个三根六，哎，同样的这个 p b 的 长度也就是三根六了，哎，所以说两个相似三角形相似比， 哎，是不是要是一个三根六比上一个三根六，比上一个跟十啊 吧。所以说我们现在啊，我们要求的是这个 x 嘛，我们要解决的就是求下 ab 嘛， x 实际上也是谁啊？实际上也就是这个 p q 的 长度嘛，对不对？那我们就设这个 p q 是 x 啊， p q 是 等于 x 的 话，那我们是不是可以得到一个相似的一个等式啊？也就是说 p f 的 长度比上一个 q e 的 长度是不是要等于三根六比上一个根十啊？ 呃，那么也就是说这个 p f p f 我 们知道是 x 减去根十，对不对？那么 q e 呢？哎，先写在这是不是要等，呃，等于三根六比上根十，那么 q e 的 长度是不可以求的呀？那 q e 的 长度应该可以看出来可以求啊，因为 f q 是 已知的， 那么 q e 和这个斜边 e f 加起来是不是刚好是一个三根六啊？哎，所以说我们通过勾股定律哈，是可以把 q e 求出来了啊，就这样设的，这个 q e 的是 m 的 话，我们是不是可以得到的勾股定律的等式，是不是 m 方加上一个根十的平方？ 是不是要是一个三根六减去呃，这个 m 的 平方，那么 m 我 们可以求出来啊？求出来的话是一个三根六分之 二十二，哎，这个地方你先不用化减，因为一会可能会相消，是吧？会相消，哎，然后呢，你把这个 q e 呢带到这个等式里面，你是不是就可以把 x 给解出来了？ 解出 x 的 话刚好是一个根十分之三十二，哎，这样的话，我们是不是这个 b j 就 可以求了？那 b j 的 话，是不是也就是这个 x 减去什么？减去上面这个 aj 吧啊？减去 aj， 那 么 aj 的 话是等于， 哎，可不是根十啊，因为它是一个两倍的关系嘛，是不是等于两倍的根十啊？哎，所以说也就是一个根十分之 三十二，减去两倍的根十的话，是不刚好是一个根十分之哎，十二，对吧？哎，所以说 b g 比上 a g 的 话， a j 是 不是也就是一个十二比上跟十，比上一个两倍的跟十啊，哎，所以说我们最后得到的是什么？得到的是一个六，比上十，也就是一个是五分之三，这样的话我们这个题目就解决了啊，呃，顺着这个思路啊， 好吧，呃，接下来我们看一下这个反比例的和 呃一次函数相结合的这么一个题目啊。然后第一小问还是比较容易的啊，都是送分的 m 求出来的话，是一个 m 求出来是等于三的啊，也就是说 a 点的坐标的话，是一个三度四， 对吧？然后 k 的 话，你求出来 k 的 话是一个三分之四啊，也就是说这条直线啊，是一个 y 等于三分之四 x 啊，我们可以求出来的。然后第二问是重点啊，首先的话， 呃，第二问的第一小问啊，他说当 o b 是 一条角平分线的时候啊，这个地方一条角平分线，然后让你求 o b c 的 面积啊， o b c 在 这呢， 是吧？那我们角平分线的话，我们就想到是不是它是，实际上是呃它的，呃，它的性质的话，是不是往两边去去做垂线段的话，这两个垂线段应该是相等的吧，哎，所以说这个地方的话，它的面积哈，也就是三角形 o b c 的 面积，实际上它也就等于二分之一的 o c 乘以一个，呃，比如说这个量垂线的，呃，这个垂足是 h 的 话，这就是是不是 b h 啊？那么 b h 等于 b d 嘛，那实际上也就是二分之一的 o c 乘以 乘以 b d 嘛，那这样的话，我们就可以把这个 b 点坐标给它设出来哈，去表示一下它，对不对？那我们就设呃这个 b 点的坐标啊，是一个 t 豆，呃， t 分 之十二，对吧？那这样的话，我们就尝试去表示一下这里面用到的 o c 和 b d 嘛。 那首先这个，呃，这个 b 点坐标设出来的啊，所以说 c 点的坐标那就是一个 t 豆 是有三分之四 t 啊，也可以表示出来哎，所以说 o c 的 长度的话，实际上我们就可以直接得到了啊，你看，因为它的斜率的话是一个三分之四啊，也就是说这个三角形三 四是不是五的这样一个关系啊，那么 o d 的 话，它是横坐标啊，是不是 t 啊？哎，所以说 oc 的 长度的话，就应该是 t 除以三，是不是再乘以五啊，也就是一个三分之五 t 啊，所以说 oc 的 话，我们直接可以得到是一个三分之五 t， 对 不对？那么剩下就是高了吗？高的话就是 b d 吗？ b d 的 话实际就是 b 点的一个纵坐标啊， b d 纵坐标是不是刚好是一个 t 分 之十二，对不对？所以说面积一下就可以求出来， 要乘以一个三分之五 t， 再乘以一个 t 分 之十二，那这个地方 t 啊，一个在分子，一个在分母，是不刚好可以消掉啊？所以最后答案你，你发现出来以后，刚好是一个什么刚好是一个十啊，就一下子就秒了哈，一下就做出来了，可以吧？ 这个是第一小问啊，呃，第一小问，然后看一下第二小问，第二小问的话也不是说特别难啊，用的就是一个等腰三角形的一个性质啊，你看一下他说 ab 为底是等腰三角形的时候，完了，你求 b 点的坐标， b 点坐标的话，你看一下我们这个地方是不是 我们可以去做一条垂线啊？比如说这个地方垂的话是一个 f 点，那我们就知道啊，这个等腰三角形的话，它两个腰的话是不是相等的呀？ 也就是说 ab 啊，这个 a c 的 话，是不是要等于这个 bc 啊？所以我们可以哈，就是说，呃，把这个 a c 和 bc 啊，如果说你能够用 呃一个参数给它表示出来，然后让它俩相等的话，哎，是不是就可以呃得到这个 t 的 这个值，也就是求出来这个 b 点的坐标了啊？哎，所以说我们还是跟刚才一样的思路啊，哎，当然你做这个， 呃，就是做这个呃垂线段的话，好像没，好像没有什么用啊，好像没有什么用啊，这就是我最开始在思考的时候可以做这么一个垂线段，然后想着是通过终点啊， 三线合一是吧？终点，然后求出这 f c 的 一个解析式，然后连力求出 c 点的坐标，然后求长度，是吧？那这样的话太麻烦了啊，太麻烦了，不如就是说我们 用它坐标直接相加减啊，你那样的话肯定会出现高次啊，哎，所以说我们现在去相加减的时候，我们不妨可以，是吗？我们可以去做一条垂线段往这边去做啊，比如说这个地方垂的是一个哎， p 点的话，那我们还是一样啊，我们还是一样去设 呃 b 点的坐标啊，还是一个 t 斗 t 分 之十二，那么 c 点的坐标的话就是一个 t 斗，是不是三分之四 t 啊？那这样的话， a 点的坐标实际上我们是知道的啊， a 点的坐标的话是一个，是不是一个三斗四啊？哎，所以说我们就可以去表示一下了， 这个地方去表示一下，看到吧，表示一下 ac 啊。首先先表示一下 ac， 那么 a c 的 长度的话还是比较好表示的啊，它实际上就是这个呃 c 点的纵坐标 啊，这样我们用横，我们用横坐标吧，实际上就是 c 点的横坐标减去呃 a 点的横坐标， 然后因为它的比例关系是一个三比四，比五嘛，哎，所以说我们可以通过这个比例关系直接得到 a c 啊，所以也就是 x c 减 x a 以后，是不是除以三再乘以五，这个就是我们要求的这 a c 是 吧？然后呢，我们就是要去表示一下 bc 喽， bc 的 话，实际上就是 呃 c 点的一个呃纵坐标减去呃 b 点的一个纵坐标是不就可以了？ 那这样的话就是一个 b c 啊，那我们来表示一下啊，那么 a c 的 话，呃 x c 的 话是一个三分之四 t 减去 x a， 是 不刚好是一个三啊？然后除以三，哎，乘以五是吧？然后 b c 呢？ b c 的 话是一个 y c 减去 y b y c 的 话刚好是一个三分之四 t， 哎，我这个地方写错了啊， x c 的 话是一个 t 啊， t 减去一个 a 点的横坐标，是不是三啊？是这个啊，然后 b c 的 话是一个 y c， 也就是一个三分之四 t 减去 b 点的一个纵坐标，也就是 t 分 之十二， 是这样一个值，那么它们两个是相等的啊，相等的，那这样的话我们就能得到一个一二次方程了啊， 也就是三分之四 t， 呃，减去 t 分 之十二，然后我们两边同时乘以一个三 t 嘛，同乘以三 t 以后，那不就是五 t 乘以 t 减三，然后等于一个， 呃，等于一个四 t 方减去呃三十六，是吧？然后我们一下向五 t 方减去一个十五 t 等于四 t 方减去三十六嘛，也就是 t 方减十五 t 等于，呃加上一个三十六， 那这个很明显是可以十字相乘的啊，也就是一一这个地方是十二，呃，三是吧负的，所以说一个 一个是等于三，一个呢是等于十二的啊，那么三的话肯定要舍掉啊，三的话就是他们两个这个点， d 点跟 a 点重合的时候啊，这个是要舍掉的，所以说 t 的 坐标的话就是一个十二了，哎，所以说 b 点的坐标就很简单了，就是十二，然后把这个十二带到哪里面呢？带到这个 b 点的坐标里面啊， 带到这里面是不刚好是一个一啊，哎，所以说 b 点的坐标就可以很轻松的求出来了啊，这样的话我们这个题就解决完了，整体的话并不是说特别难啊，还是比较好思考的。好吧，大家再思考一下， 我们继续看一下后面这个二十四题啊，那这个题目的话，呃，后面这一小问啊，还是不是很好想啊，呃，我们一起来看一下啊。首先第一问的话还是比较简单，是吧？ a 的 话求出来是等于一的，然后 c 求出来是等于三的，那这样的话，我们抛物线 c 二的解析式是什么？我们相当于是已知的啊， 呃，也就是一个 y 等于负四分之一， x 方加上 x 加上三，这样一个，呃，抛物线的一个解析式啊，呃。然后第二问，他说啊，呃，如图一是吧？ d 点和 a 点重合的时候 啊， a 点的这个地方它的坐标是二啊，呃，然后我们刚才这个题目里面，呃，就是在呃第一问哈，我们根据它这个直线求出来这个左边这个焦点的话是一个负二，这个 b 点的话，这个地方是一个六啊，包括 c 点的话，它这个地方是一个三， 呃，然后它让你求 e f 比上 df 的 值，是吧？ e f 比上 df 的 值， 呃，我们能够想到的是什么呢？能够想到的就是说 bc 这条直线我们是不是已知的可以求出来的， 那么 d e 的 话，他跟他是垂直的，那垂直的话他又过这个地点，哎，地点又是已知的，所以说直线 d e 这条直线实际上我们也是可以求的呀，也是可以求的啊，哎，所以说我们这样一连立以后，我们是不是可以求出来 f 点的坐标，哎，并且也可以求出来 e 点的坐标吧。 那这样的话，你想一下 ef 比上 df 的 这段的比例关系，那实际上我如果说我们去做垂线段的话，实际上是不也就是说他们的横坐标就是这一段横坐标差值，哎，这个编程的比啊， 哎，我来写一下啊，就是我们现在去做这个垂线段，那当然你用纵坐标也可以啊，比如说这个地方是一个 p 和 q 啊，所以说我们要求的这个，呃， e f 比上这个 d f， 哎，实际上它就等于什么？实际上是不是应该等于 q 比上一个， 呃， p d 啊，对吧？那么 p q 比上 p d 的 话，实际上也是它们横坐标的之间关系的一个比啊，那 p q 的 话，实际上也就是 e 点的横坐标是不要减去一个 f 点的横坐标，也就是 p q 的 长度是吧？那 p d 呢？ p d 的 话，实际也就是一个 f 点的横坐标减去一个，呃， d 点的话，它这个地方是一个，是不已知的是一个二吧。哎，所以说我如果说我们呀 能够啊，能够把这个 e 点和 f 点的坐标求出来的话，再带进来是不就很好求了？那这样也是比较好求的啊，我们来看一下， 呃，直线的话，都是已知的哈。 bc 这条直线啊，我们可以直接写了哈，斜率的话是一个负二分之一，然后纵截距的话，它的斜率是一个二， 然后终结句的话是一个四啊，是一个负四啊，因为它这个比例关系的话，是一个一比二的关系啊。下面这个点交的是一个负四是吧？写出来以后连力啊，连力的话，我们是不可以求出 f 点， f 点的话，我们求出来是一个 这样的话是五分之十四啊。逗啊，五分之八这样子啊，然后的话我们还要再去连立一下，求出这个一点的作呃一点的一个横坐标是吧？也就说连立谁呢？连立这个直线第一 也就是 y 等于二 x 减四是吧？还有一个是抛物线啊，也就是 y 等于负四分之一 x 方， 然后加 x 加三嘛，那么他们两个去连利的话，我们可以得到一点的一横坐标啊，得到的是一个，呃，去连利求解的话，得到是一个四根二减二，呃，这个的话肯定需要舍，呃，舍掉一个根啊，计算量是比较大的。那这样以后啊，我们就把这个 x 一 啊，包括这个 xf 是 吧？还有这个，呃， 这个五分之十四是吧？给他带到我们这个地方这个式子里面去，是不？我们就可以得到最后一个结果了，当然算出来这个最后的答案啊，还是比较古怪的，是吧？最后答案是一个 呃，算出来以后是一个呃，五倍的根二减六啊。啊，当然的话你只要细心去算啊，这个样也不会错。好吧，这是第一小问，然后我们看一下第二小问啊，他问你这个四边形的形状是吧？那我们现在已经知道了哈，已经知道了，说这两条直线， 呃，这个 b c 这条直线它俩垂直的对不对？并且哈，并且 f 点还是 d e 的 一个中点，哎。所以说我们现在要做的什么？你要如果说你想去判断它是一个菱形的话，因为我们猜一下是吧？猜一下垂直吗？大概率是一个菱形对不对？我们只需要再去证明什么，只需要再去证明它是一个平行四边形是不就可以了？也就是我们去证明 这个 f 啊，它是 bc 的 终点是不是就 ok 了？那么 b 点和 c 点的坐标啊，它的横坐标它都是已知的啊，所以说我们实际上我们实际已经可以猜到这个 f 点的坐标的话，横坐标它是不是应该是个三啊？ 对吧？所以我们只需要把它去表示出来就可以了啊。那这样的话我们我们因为牵扯到是两个解析式， 两个结式，如果说我们只设一个点未知数的话，我们要得到另一个点，我们是不是需要去呃得到直线的方程，然后再跟另一个结式去去连力啊？连力以后就会出现高次的情况，四次 啊，以平方的平方嘛，我们是不好解决的啊，所以说我们考虑到这样的话，就考虑到去设两个未知数啊，这样的话我们就可以去设， 呃，首先设 d 点的坐标啊， d 点的坐标的话，就可以设成，比如说是一个 m， 它的指数是一个四分之一 x 方，是吧？哎，四分之一 m 方减去二， m 加三了。然后这个 e 点的坐标啊， e 点坐标的话，我们就可以设成一个， 呃， n 呐， n 的 话是一个负四分之一 n 方加上 n， 哎，加上三，对吧？那么它们两个这个点有什么关系呢？它们两个点的关系就在这一个 f， 它们两个的终点 f 是 不是一定是在直线 b c 这条直线上的？哎，所以说我们就可以去求一下中点 f 了， f 还是比较好表示的哈，虽然说 可能是写出来比较复杂啊，但是还是好表示的啊。我们来看一下， f 的 话，也就是二分之一 m 加 n， 然后逗，二分之一是吧？把这个抄下来，四分之一 m 方减去二， m 加上三， 再减去四分之一 n 方加上 n 加上三，哎，然后你把这个 f 点的坐标给它带入到直线 b c 里面啊， b c 的 话是一个 y 等于负二分之一 x， 呃，是不是一个加三啊？哎，你带到这里面以后啊，你整理一下，哎，其实还是比较好整理哈，因为这个地方刚好里面会出现一个平方差，然后整理一下以后，你会发现你得到是一个 m， 呃，应该是 m 减 n 乘以一个 m 加 n 减去六等于零，那 m 和 n 是 不能相等的，对不对？这个就舍掉了，所以最后得到的实际上是 m 加 n 是 不是刚好等于六啊？ 哎，也也就是什么？你看也就是 f 点的横坐标看到没有？ f 点的横坐标二分之一， m 加 n 是 不刚好是一二分之六啊？也就是是几啊？是不刚好是一个三啊？那三的话说明什么问题啊？说明这个 f 的 横坐标是不是三啊？ 应该是在这边啊， f 的 横坐标是个三，是不刚好是 b 和 c 的 一个终点，那这样的话，我们就证明了哈，这个 f 点它实际上是 bc 的 一个终点， 是不也就证明了这个四边形的话，对角线相互平分，是不是一个平行四边形，然后再加上对角线是垂直的，哎，是不是我们最后可以判断出来它是不是应该菱形？ 哎，那这个就是我们具体的思路啊，就是是怎么从最开始的时候我们想着，哎，设一个点，得到另一个点，最后把它否定，然后设两个点，那么利用他们中点的关系，是吧？在这条直线上，那么在这条直线上，实际上我们是得到了一个等式嘛？ 我之前跟大家说过哈，初中的话，百分之九十以上的问题都是通过呃找等量关系，然后列方程进行求解的啊，那这就是一个很好的一个例证，是吧？ ok， 这是这个二十四题啊。 啊，我们继续来看一下最后这个二十五题啊，那这个二十五题的话，最后一小问可能是有点难度啊，不太好想。那么前面这些问的话还是比较简单的啊，首先就是位置关系啊，这个是平行的关系。 呃，通过上面这个条件啊，同方内角互补，是吧？那这样的话我们可以得呃，很轻松的得到。呃，然后呃第二小问，数量关系，角度，数量关系，这是一个角 a， d， e 啊，是等于两倍的 角 c， e， d 啊，那这个怎么去判断啊？ c， e， d 在 这呢，看到没有？然后 abd 的 话， a， d， e， a， d， e 是 在这呢啊？ 呃，然后因为是终点嘛，这个地点它说是 bc 的 一个终点哈，然后我们就可以想到是给它进行一个一个延长，是吧？也就是我们说这个内倍长嘛，内倍长，中线啊， 内倍长，这样的话，我们延长以后再延长一下 m c 两个设线交于点 p， 那 这样的话，我们可以很轻松地证明出来，这三角形 a， b， d 是 不是要全等于三角形？这个 p， c， d 啊？ 啊？怎么去正的啊？就是可以用一个角导边啊，你看一下这个地方角一是不是和角一相等的，对吧？内错角，然后这个地方又有这个对零角啊？再就是这个 b、 d 是 不是要等于这个 c、 d 啊？ 这样的话可以证明全等啊，那么全等以后啊，你看一下，我们就可以得到这个对应边，是吧？也就是 a， d 是 不是要等于一个 呃，这个 p d 啊？那么题题目里面他又告诉你的什么？告诉你的是 a d 还等于 d e 呢？哎，所以说 p d 和 d e 就 相等了啊，哎，所以也就是说这个 d c， e 这个地方是不是也要等于一个角 e 啊？ 哎，也要等于角 e， 那 么这个时候这个 a， d， e 啊，也就说我们要求的这个角，是吧？ a， d， e 这个角是刚好是这两个角 e 的 外角啊，刚好是一个两倍的关系是吧？所以说我们就得到了角 a d e 是不是要等于两倍的角一啊？也是，其实上也就是得出的这个结论啊。呃，那么第二问的第一小问哈，跟上面这个，呃，这个第一问的话是一样的哈，证明的方法也是完全一样的。还是一样啊，去进把它进行一个延长嘛？延长啊 啊，我我就这样画一下啊啊，比如说还是交于点 p 啊啊，同样的还是一样的，只不过我们这次证呢，不是全等了哈，是一个相似嘛，角一角一是吧，然后对零角角二角二， 然后乘比例啊，乘比例相似相似比的话是一个，他说这个 d e 等于一个。呃， d e 等于两倍的 a d 是 吧？ 呃，然后 d 点的话，刚好是一个 k 等于二的时候啊， k 等于二的时候，也就是说这个相似比的话是一个一比二的关系啊。呃，所以说， 哎，刚好这个 d p 是 不是要等于两倍的 a d 啊？那么 d e 也等于两倍的 a d 哎，所以说这个 d e 啊，和这个 d p 是 不是就相等了？ 所以说上面这个角也是角 e 啊，等于三角形哎，也就是跟上面这个这个推导的方法是一样的啊。外角是吧，所以也是等于两倍的角 e 啊，所以结论是成立的，那证明的方法也是一样的啊。好吧， 然后我们重点来看一下后面这个第二小问啊，来分析一下。首先呢， k 等于二，也就是说这个 b d 啊，比上 c d 还是一个一比二的关系啊。然后 ab 等于两倍 c e a b 等于两倍的 c e 啊，这两条边的比例是一个一比二的关系，那你求的是三角形 a、 e、 f， 哎，这个和三角形 a、 b、 c 的 比啊，呃，面积比。那么我们来观察一下啊，这两个三角形 它们有什么？就是说能联系到一起的地方，对吧？有什么能联系到一起的地方？首先的话，我们看一下啊，它们两个能联系到一起的地方的话，首先就是一个，是不是可以可以去做高啊？ 看一下，如果说我们往这边去做高的话，比如说这个是 h 二啊，然后这个三角形 a、 e、 f 的 高， 哎，比如说是一个 h 一 的话，那他们两个的高，你看一下他们两个高是不是是有关系的？ 因为什么？因为我们前面这一问已经求出来了啊，已经求出来这些角度，是吧？平行角度是不是像呃，这个内错角相等啊？所以说三角形啊， 比如说这个地方是 h 一 啊，这个地方是 h 二的话，这三角形啊， a、 b、 h 一， 它一定是相似于三角形 e 这个 e、 c、 h 二的呀，对不对？而且它的相似比我们也是也是知道的呀，是一个二比一的这么一个关系啊，哎，所以说他们的高的话，是不是也是这样一个关系啊？ 也就说他们的高的比是一个一比二，对吧？也就说他们的高的比是一个一比二， 哎，然后的话他高我们呃得到了，那么再看一下他们的底呢？那他们的底，你看一下一个 abc 的 底是不是我们以 ac 为底的话，是不是 ac 啊？ 对吧？那么三角形 aef 的 底，你看一下他就不是 ac 了啊，哎，刚好是一个，是不是一个 af 啊？哎，所以我们就想他们的是高的比，我们已经知道了，那么如果说我们再能够得到他的这个底的比的话， 哎，是不是我们就可以把他们这个面积比给算出来了？哎，因为这个面积等于底乘以高嘛，是吧？底乘以高，所以说底的比高的比，知道了底的比再知道是不就 ok 了？哎，那我们就来看一下能不能得到他的一个 这个底的比啊？那么底的比的话，实际上也就是要得到这个呃 af 是 不是比上一个 啊？ ab 的 长度啊？但是这个地方我们直接去得到它的这个 a f 比 ab 的 话不太好得，是吧？我们退而求其次，如果说我们能得到 a f 是 不是比上一个 fc 的 一个比值的话， 这个会更好得到一点，因为什么它牵扯到是不是可以用八次的相似去进行一个解决啊？你看一下这个 a f 和这个 fc 分 别是不是两个三角形的， 它这个对应的边相似三角形对应的边，但是这个相似三角形的话需要我们自己去补出来啊，我们只需要把这个 e d 进行一个延长，然后 a b 进行一个延长，哎，比如说这个地方是一个 呃，是一个呃，是一个 p 点吧？这个点我们设成一个啊，是一个 g 点吧，那这样的话我们就可以得到呃得呃就可以得到这个相似的八字，是吧？那首先第一组的话，就是这个这个 b d j 啊，和 这边这个 edc 是 不是相似的？并且他们的相似比是吗？是不是一个一比二，对吧？那再有一个跟我们这个 a f 和 f c 相关的这个八字，是不是这个 ab 啊？不是这个 aj 是 吧？ aj f 这个三角形和这个 ecf 这个三角形，那他们的相似比对应边的比例关系是不刚好是一个 a f 比上 f c 啊？哎，所以我们从这个地方去入手啊，去入手，那首先我们是要研究第一个八字啊， 也就是我们要得到什么，要得到的是 b g 比上是不是 ec 是 不刚好是一个一比二的一个关系啊？那么这个 ab 呢？ ab 的 话，它是等于两倍的 ec 的 啊，所以说这个 a g 的 长度啊， a g 比上， 呃，这个 e c 的 话，你想一下，是不是刚刚下面这个地方是两倍的 b j， 上面的话就是应该是五倍的 b j 了， 对不对？哎，所以说我们就知道了啊，这样的话我们就得到了，那么 a f 比上这个 f c 的 话，是不是也应该是这个五比上二的一个关系啊？ 那么我们这个底的比是不就可以得到了？那底的比的话，实际上是 a f 比上谁啊？比上一个 a c 吧，那 a f 还是五份的话，那么 a c 的 话，应该是占成这五加二，说明是七份， 哎，这样的话，我们就可以得到它们的面积比了哈。面积比的话是三角形，这个 aef 是 不要比上一个三角形 这个 abc 啊。我们来看一下，实际上也就是二分之一的 a f 是 不是乘以一个 h 一 啊？比上一个二分之一的 a c 乘以一个 h 二啊？然后把这个比例关系带进去啊， a f 五份是吧？ h 一 的话是一份的话， a c 的 话是一个七份乘以一个，呃，这个， 呃，这个两份，是吧？所以最后的面积比的话，是一个五比上十四的，哎，这样一个关系啊， 哎，这个挡到了，是吧？还是一个五比上十四的这样一关系。那这样的话我们通过呃，比例的一个转换啊，我们就把它这个面积比给它求出来了。那么本质上的话还是用的我们八字相似啊，包括实际上前面的第一问 啊，也是用的一个八字相似，对吧？啊？这个地方大家要注意一下， ok。

各位同学大家好啊，我是江老师，今天给大伙讲讲这个二零二六年是吧？九年级这个天桥区的数学二模的这些压轴题啊，来天讲讲选择题，这个第九，第十题。 好了，废话不多说，第九题啊，吃亏到头的。在三角形 a， b， c 中交 c， 这个九十没毛病，以 a 为圆心画弧，再画弧，所以这是画了个角平分线是吧？ 然后你做射线， ap 交平行交于得啊，分别以 a 得为圆心画，这就画了个中垂吗？ 这个 ef 是 a 得的，这个中垂线啊，中中垂线。根据以上， af 是 三， af 是 三 c， e 是 个 e 是 个 e， 求这个 ac 的 面积是几，是吧？ 来吧，因为这是个角平分线，这两个三角形是全等的，角相等共边九十，角相等共边九十，所以这是个三，所以 a， e 就是 个三，看到吗？又因为这是个中垂吗？中垂的话，它到线段两端这个距离不相等吗？ 这是三，所以这就是三，三一，这不这个 c 得是个二根二吗？对不对？求 ac 得的面积， ac 得不是这个面积，底是个二根二，高是个四，在乘分之一，约约二，四根二三 c。 这个题目送一个啊，送一个啊，来这个第十题啊！第十题，若一个点的横纵坐标值和是六，则称为和谐点，则二次函数 这个东西在一负一到三上有两个和谐点，求个 c 的 范围是吧？这个题给我的感觉就老生常谈了啊，因为咱之前上课这种题讲的太多太多太多了。横纵制合是个六，所以 x 加 y， 这不等于六吗？ 所以这个 y 不 就等于负 x 加六了吗？对不对？二次函数这个东西谁不知道，开口也知道，对称轴也知道，是吧？答题草图一样能出来了，是吧？然后呢，咱先在一负一和三 之间有两个和谐点，和谐点不就是既得满足者又得满足者，这不就他俩交点吗？对不对？来，这种题目我主张画草图，咱之前都练过啊。 来画吧，咱再画点图，稍微的大一点啊，稍微的大一点点，这样看的能够清楚点啊。 来，这个是打 a 等于六，这不是 y 等于个六，这不，哎。这个，然后打 y 等于零，这不 x 是 个六，是吧？然后这个解析式，这不打起这样的吗？是吧？不纠结啊不纠结。 这个点是个六，零，是吧？这个点是个零六，是吧？然后断点是负一到三啊，断点是负一， 所以这个断点这不是负一到七吗？对吧？这个是个三斗。带过来三斗三，看到吗？他去这两边，他去这个中间看到吗？所以这两边就没有了 这两边就没有了啊，这个直线的两边就没有了啊，就有了啊。就是在这个线段里面，这个抛物线和它有两个交点呗。就在这个两个线段在这两个点中间，对吧？这个抛物线它有两个交点呗，对不对？这个开口朝上对称着，不是个 e 吗？ 对称轴他不是个一吗？对不对？和这个玩意他有两个交点，那你画不就完了吗？他和这个东西在这个面有两个交点，那你画呗，是吧？大体草图，大体的样子，你有两个交点，是吧？ 对吧？对吧？这不有两个交点了吗？两个交点的话，来，咱上来。 这个点是负一斗，带进去带负一，这是一。嗯，带负一，加二是三这是，这是个负一斗， c 加三吧， c 加三了，是吧？然后这个点在这个点，这个点，这个点是三斗带进去带三，三方是九，九减二，三得六是个，这个是个三，这是个 c 加三，这是 c 加三加三，是吧？然后你， 然后你看这个图像，这个 c 加三要在七的上面随 c 加三大于七， c 是 要大于四的啊。这个 c 加三大于三， c 加三大于三，随 c 要大于零吗？ c 大 于零， c 大 于四，合起来 c 大 于四，没毛病。 这个没毛病啊，它有两个交点吗？ y 等于负， x 加这个六和 y 等于 x 方减二， x 加 c， 它俩连立一下， 连立之后这个蛋他这个蛋他得大于零吗？去连立一下啊。 x 方减二， x 加 c 等于负， x 加六往左挪， x 方减 x 加 c 减六等于零，是吧？蛋，他比方一减四乘 c 减六 大于零啊，但是它是大于零的，是吧？大于零继续一减四， c 加四六，二十四大于零啊，所以四 c 小 于二十五， c 小 于四分之二十五，总上 c 大 于四小于四分之 二十五啊，二十五，这不二 b 出来了吧？大于四小于四十五，是吧？数都给大家算出来了，没问题啊。

这套济南二模建议认真刷一遍，因为他身上有往年真题的影子。第六题是构造函数比大小的经典套路，做顺就是送分。第七八题分别在二零年和二二年新意卷里有几乎一样的原型。第十八题结合了二零年新意卷圆锥曲线压轴思路，高考最爱考 第十九题。二四年九省联考新定义加数列结合，典型的新高考风格。刷完它，你能看清三个问题，概念是真懂还是只会背？知识是闪的还是串成网？计算稳不稳？关键时刻掉不掉链子。我给大家整理好了暗号，零一二七，拿去下载打印，考前再过一遍，错过真的会拍大腿！

这道题是合肥瑶海区二模选择题的第九题，今天就给大家分享学渣与学霸的两种做题方法。学渣方法？这啥呀？这是 学霸方法？先看题目说直角三角形 abc 中， ab 是 八， ac 是 十，直线 l 与 ac 平行，地点是直线 l 上的动点， a、 d 不 仅与 d 垂直，而且还是它的三倍。让我们求当 c、 e 最小时， b、 d 的 长是多少？ 一线三，垂直成色三角形相似，相似比是三比一，所以 b、 d 是 e、 f 的 三倍， a、 b 同样也是 d、 f 的 三倍，那么 d、 f 就是 三分之八。 设 e， f 是 x， 那 b、 d 就是 三 x 延长 f， e 在 绿色直角三角形中， e、 k 等于八减 x， c k 等于十，减去三分之八，再减去三 x， 也就是三分之二十二，减去三 x， 因为 c、 e 最小， c、 e 的 平方也最小。勾股定律， c、 e 的 平方等于。这个我们不需要全部算出来，只需要知道二次项系数和一次项系数即可。 你看这边有个 x， 这边是三 x， 所以 平方以后加起来就是十 x 的 平方。一次项口算，一个是负十六，一个是负的四十四，加起来就是负的六十 x。 至于长数项，我们不用管它，利用二次函数顶点坐标公式，当 x 等于负的二， a 分 之 b， 也就是三的时候有最小值，因为 b、 d 是 三， x 也就是九了。前面那个人好像蒙对了。