西城二模数学25题怎么做

西城二模今天的原宗考点其实挺标准的，为什么说够标准呢？因为它比较贴合中考的考点啊，必须明确这样说，但是你说它有难度吗？其实难度系数我觉得还没有达到中考的难度。我们接下来来看一下这道题，他说 ab 是 直径，还是要去做条件反射？看到直径想什么？我不多说了，然后告诉我们是过点 c 做直线 e、 f 分 别交 b、 d、 b a 延长线于点 e 和点 f， 且 e、 f 等于 b f， 那 因为 e、 f 等于 b f， 所以 对应两个底角等，这先给它表示出来， c b， e 等于的是四十五度，因为它是一个圆周角，所以我们说过，看到圆周角要看它所对的弧是谁？弧 c d， 那 弧 c、 d 有 没有它所对的圆心角呢？没有，所以构造连 o c 连 o d， 那 这个角就是九十。好，第一问让我们正切线很好，正因为我知道这是九十，又因为 o d 等于 o b， 所以 这两个底角也等，那它们两个等了之后就会出现平行，所以 o d 和 e、 f 平行，这就是九十。所以结束。第一问结束了，很快啊。 好，来看第二问。第二问说做 m n 做好了， m n 垂直于它，那，因为这是垂直，这也是垂直，所以相似，三角形就出来了。谁 f c o 和三角形 f m、 n 这两个三角形形成 a 字相似， 那因为题目当中给了我一个比例关系，所以我可以用设参的方式， a f 等于 a， 那 c、 f 就是 三 a， 那 因为又告诉我 ab 是 四， ab 是 直径，直径是四，所以半径是二，这是二，这也是二。这个直角三角形里面三边长就都有了，而 且是含有未知数 a 的， 那我就可以利用勾股定律求出 a， a 的 长等于二分之一，白求出来。求完了之后， a 的 长是二分之一，所以 m f 的 长就有了。因为 c， m， d， o 这个是一个什么形？正方形，所以 m f， 它的长就是二分之七， 这是二分之七，这是二分之三，所以两个相似三角形的比例关系就有了。所以 m n 的 长也能求出来，等于三分之十四。 m n 出来了，那 d n 就 出来了，等于的是三分之八。好，那 o， d 是 二，这是三分之八，所以 o， n 的 长就出来了。 o， n 等于三分之十，三分之十有了，减去 o b 的 长， o， b 等于的是半径，也就是二，所以它答案是三分之四。结束了， 到了吧，我们只需要识别出来一个 a 字相似，然后利用勾股定律，包括他对应的相似线段成比例就出来了。所以我觉得他考的还挺好的啊，比如说有勾股，有相似，如果你不用相似，你用三角函数也可以，但是他的难度我觉得没有达到。好，那我们就先说这么多，拜拜。

c 乘二模的代数综合，从难度上来看呢，并不大，只需要分析参数与二之间的一个相对位置关系，这道题呢就解决掉了，是一个非常常规的增减型问题。 各位家长同学大家好，我们一起来看一下二零二六年 c 乘二模的代数综合啊。读到解析式，我们要有一个意识，这个以解析式呢，可以进行因式分解，进而我们可以得到点 a 是 负一斗零，点 b 是 三一斗零，这个呢比较基础，大家呢稍微注意一下 呃，然后告诉我们说与 y 轴交于点 d， 那 点 d 的 坐标呢，咱们也可以把它给求出来，零到五负三 a。 第一个告诉我们，当 a 等于一的时候，直接带入到这两个点，然后我们会发现 ab 等于四，这个对大家来说呢，是非常简单的，咱们在这里呢就不做过多的赘述了。 第二个我们来读一下这道题，看一看有哪些量是需要我们稍微注意的啊。他告诉我们过点 e 做 x 轴，垂线交抛物线于点 m， 所以 对于大家来说，这个 m 点的坐标应该是轻轻松松，老生常谈的问题， 直线 b、 d 与点 n， 我 们会发现呢，你读完题目之后并不知道 b、 d 的 解析式，但是在前期咱们已经解决掉了，点 b 的 坐标是三 a 斗零，点 d 的 坐标是零斗负三 a， 所以 b、 d 的 解析式应该是 x 减去三 a， 这样的话呢，点 n 的 坐标咱们也就出来了。 好，我们接下来呢，可以感受到，他在里面说的是 m 点与 n 点之间的距离，随着 b、 e 的 怎么着怎么着怎么着，对吧？所以我们要解决的是什么？ m n 的 这个长度问题，那这也是我们非常经典的，也是现在大家一直在练的问题，我们把这个式子呢放在一块加个绝对值，对吧？最后呢我们就能得到 m n 呢，它应该是 绝对值位，绝对值里的 t 方减去三 a t， 这一点呢，大家稍微注意一下啊。好，那接下来我们看一下，有哪一个点会让大家产生疑问呢？就是在这点， e 从二到零出发，沿 x 轴的某个方向， 沿 x 轴的某个方向，就相当于我们要进一步的去进行分类讨论，可以向左运动，可以向右运动，他只要满足其中之一就好了， 这个和西城一模的存在性问题啊，还是蛮像的啊，对吧？从二斗零，那么最大的问题是什么？就是这个二斗零，他到底在哪？对于很多学生来说是不清楚的，所以这道题的关键点就是解决二斗零，你只要把二斗零分析清楚了，那这道题咱们就解决了， 他说的是什么呢？嗯， m n 随着 b e 长度的增大，先变小后变大，求 a 的 绝对范围。好，那我们现在呢把这个 新函数图像呢也画出来了，画了三个图，点了三个位置，大家来看一下啊，因为点 e 呢是二到零，他一定在零的右侧，那零的右侧，我们关于终结性呢，会有三个位置， 第一个位置呢是这一段，第二个位置呢是这一段，第三个位置呢是这一段，那我们就把这个 e 放在这三个位置逐个分析就可以了。 在这里大家还需要注意一个地方啊，就是 e 呢，他是从 b， 他 是从这个二度零出发的，我们就假设一点，一出使的位置就是二度零，然后呢，让 e 去运动就好了，对吧？所以你看啊，如果点 e 在 三 a 的 右侧，他的出使， 那这个时候 e 从二度零向右运动，各位，你会发现他的图像是不是呃， m n 一 直随着这个 b e 长度的增大而增大？哎，有人说，老师， b 在 哪呢？哎，注意了啊， b 在 这，对吧？注意了， b 在 这，那你会发现，当 e 向这个方向运动的时候， m n 会随着他的增大而增大，对吧？ b e 在 增大， m n 呢，是不是也在增大的？所以他往这个方向运动绝对不行。 好，那我们现在来思考一下，当你在呃 b 的 外侧时，如果你向内部运动的话，当我们这个 e 往这个运动的话，你会发现这个 b e， 他 说的是 b 长度的增大，你会发现此时 b e 的 长度是不是先变小了，那说明这个时候他也不满足题目要求。第一种情况，直接 pass ok 吧。第二个情况，我们来看一下，来明确一下，点 b 是 三 a， 对 吧？点 b 是 三 a， 我 们来看看这第二种情况行不行。 点 e 在 这，那如果说点 e 往这个方向运动的话，哎，你会发现他俩之间的一个距离是不是在在这个地方，是不是在变小？所以说点 e 往这个方向运动是不是不行的？那如果点 e 往这个方向运动的话，好，点 e 如果往这个方向运动，那我们会发现 b e 的 长度确实在变大， 他满足第一个 b e 的 长度呢在变大，嗯， b e 的 长度呢在变大，感受一下 b e 的 长度在变大，但是我们会发现，此时 m n 呢，在这个从这个地方运动的时候，一开始这个地方也在变大，后来呢，在变小，他就是先变大 后变小，而我们题目中说的是先变小后变大，所以他不论是向右这个方向不行，向左这个方向他也不行，所以他不论是向右这个方向他也不行。所以第二种情况咱们也 pass 掉了，我们来看一下第三个， 第三个注意了，点 e 在 哪呢？点 e 在 这个位置，那这个时候我们已经知道了啊，他向左运动这个方向一定是不行的，因为他向左运动 b， e 在 减小，对吧？如果你向左运动的话，这个 b 的 长度是这样，哎，一开始这么长，然后来这么长，然后后来这么长，哎呀，后来这么 后来这么长啊，再后来这么再后来这么长，对吧？这个 b 在 变小，那他肯定不行，那我们就只能干嘛呢？我们就只能向右运动，感受一下。向右运动之后呢，我们会发现，哎，这个时候 b 是 不是在变大？你看 b 一 再往这， 再往这，再往这再变大，那一开始的时候我们会发现他是在变小的，后来呢？是不是在变大的？哎，先变小后变大，对吧？他是满足咱们的题目要求的， 所以在这里呢，我们会发现点 e 呀，他只要符合这样的一个要求就行了，就是 e 点在对称轴的左边，那也就是二分之三 a， 他 要大于我们所说的二 啊，二分之三 a 要大于我们所说的二，他说的是从点 e 啊，从这个地方开始运动，向左能不能去等呢？哎，我们会发现，此时呢，他也是可以去等号的， 对吧？那最后呢，我们就算出来 a 呢，应该是大于等于三分之四，那这样的话呢，这道题就结束了，所以说七乘二摩的代数综合呀，是非常简单的啊，也希望这个视频呢可以帮助大家更好的理解我们在后续做题的时候，一定要注意参 与数之间的分类讨论啊，这个东西才是我们代宗的最核心的内容，所以说这道题虽然不是很难，但是非常的好。

哈喽，同学们，我们今天讲上三道圆锥曲线的题目，分别是今年海淀区高三的二模题以及今年 西城区的二模题，还有就是我找了一道和这两道比较类似的一道题，朝阳区二零二四年的高三一模。我把这三道题讲一讲，因为这三道题考的都是 远离曲线几何关系的转化问题，所以说我们静下来慢慢把这三道题研究透彻，预计今年高考有可能会这么考，对吧？他考的是比较不错的，所以说难度也不低， 对于同学的转化和预算能力要求也不要求也极高。所以说我们先从头到尾讲讲这个题。先从先从海淀开始，然后我先 把这个图给它画过来吧，对吧？这个图我就不画了啊，你将就看一下，没有必要去画了，浪费时间。 ok， 来我们看一下啊， 这这个图， ok， 第一问的话，他是不是说了三四三一啊， x 方 比上三加上 y 方等于一，我就不说了，然后他说点 a 是 零负一，过点 a 的 一条直线和椭圆，另外一个点交于点 d， 对 不对？然后 d 关于 x 的 对称点是 e， 然后呢，他说这个 a e 直线和 过点 d 平行于 x 轴的一条直线交于点 n， 对 不对？然后他让我求谁的面积呢？求 d， e， n 的 面积和 a m， e 的 面积，让我求这两个三角形的面积之比是等于三的，从而求 a、 d 的 斜率。 那所以说我们先看一下啊，这个三角形是不是超级好求，对不对？这个直角三角形的 d， n 的 长和 d， e 的 长，从而我们再通过，如果你想要求这个小三角形的话，是不是不太好求吧，对不对？我可以用这个大的三角形的面积减去这个小的三角形面积。为什么我会想到用这个大的三角形减去这个小三角形呢？那是因为他这个地方有一个公共边， 对吧？他有个公共边，那你要是这个边是不是既可以用在 d n 上啊？ d e n 这个三角形上，也可以用在这个大的三角形上， 对不对？所以说我先拿着它去求，因为 a m e 这个小三角形的面积太难求了，对吧？所以说我用这个大的三角形，它当底第一，当底谁当高？是不是 a 到这个 第一的距离当高？说白了这个高就是地点的横坐标，对不对？然后我再减去这个小三角形的面积是高，那 m 到第一的距离是不是 d 的 横坐标，减去 m 的 横坐标就是他们的高喽，没错吧？所以说我们先一步一步做，首先我们先去求 d 点的 坐标， d 点坐标这个操作我们用过了，应该用了好多次了吧，对不对？因为你以这个直线射出来，已知一个点的坐标，通过连立方程维达定律求另外一个点的坐标， 没问题吧？所以说这个题的话，我先假设这个直线应该是 y 等于 k x 减一，当然直线有可能斜率不存在，我就不分析了，对吧？所以说这个地方先去来一个连力，也就是说他是 x 方，比上三加上个 y 方等于一，这是 k， x 减去 y 再减一等于零，所以说 x d 加零吧，是不是等于三 k 方再加一，然后呢？它就等于三 k 负一的负两倍，六 k 啊，六 k 啊，搞定。然后呢？再来看一下 x 写错了，应该是负一乘一个 y， d， 不， 那就变成了 三 k 方加一。 y 的 话是一括起来的，一减去分母的一部分，减去三 k 方。所以说 d 点的坐标搞定了吧？他是不是六 k 比上三 k 方加一，逗， 三 k 方减一，比上三 k 方加一，对不对？从而一点的坐标，那就六 k 比上三 k 方加一，逗号一减去三 k 方，再比上三 k 方 加一吧。所以说这个地方它的 l a n 是 不是也被我算出来了，对不对？来，你看一下啊， k a n 你的写，先求 k a e， k a e 的 斜率，应该是一减去三 k 方，再比上三 k 方加一，再加上一吧。一的话，我通分三 k 方加一，分之三 k 方加一，然后再比上几，那当然再比上六 k 比上三 k 方加一呗。那所以说 k a e 的 斜率是不是拿下了，对不对？那就等于多少了？那是不等于六 k 分 之二等于三 k 分 之一。所以说 l a e 的 方程 是不是也搞定了？那就变成了 y 等于三 k 分 之一， x 再减一，然后我再令谁， 我再令它的 y 等于它吧。三 k 方减一，比上三 k 方加一，然后再令 y 等于三 k 方减一，比上三 k 方加一。 所以说三 k 分 之一乘以 x n 了，不对吧？就等于三 k 方减一，比上三 k 方加一，再加上一，因为一，我给它移过去了， 对不对？我给他移过去了，就变成三 k 方加一，比上三 k 方加一。所以在这里应该是 x n 等于多少？是不是等于 十八 k 的 三次方比上三 k 方加一喽？ n 点坐标搞定了，那所以说我现在这个面积是不是就可以求出来了，对吧？ d， e 的 长度是不是两倍的它 加绝对值啊？所以说三角形 d， e， n 的 面积就是二分之一，乘以 d， e 的 长度，然后呢，再去乘以 d， n 的 长度吧，对不对？所以说这个地方我们再看啊，三角形 a， m， e 呢？它是不等于二分之一 d， e 的 长度，再去乘以谁乘以 d 的 长度吧， 对不对？乘以 x d 的 长度就是 d 点的纵坐标，横坐标，说错了啊，横坐标。然后呢，再减去二分之一 d， e 去乘以这个高吧，也就是说用这个大的三角形减去这个小的三角形，就是三角形 a， m， e， d， e 的 话，他这个高的话，是不是 d 点的横坐标减去 m 的 横坐标，那说白了 x， d 的 绝对值减去 x m 的 坐标就可以了吧？所以说这个东东是不是可以提出二分之一 d， e 来？ 你提出二分之一个 d， e， 那 这里边你合并的话，是不是 x m 的 横坐标喽？ x， m 的 横坐标。然后又因为他说了三角形 d， e， n 的 面积等于三倍的三角形 a， e， m 的 面积，所以说你再看这 d， e， n 是 不是都有二分之一 d， e， a， m， e 是 不是也有二分之一 d， e？ 所以 说在这个位置， d， n 的 长度就是三倍的 x， m 的 长度， 对不对？那 d， n 的 长度是几？那当然用 n 的 坐标减去 d 的 横坐标喽，所以说十八 k 的 三次方减去 d 的 横坐标喽。所以说十八 k 的 绝对值不 再比上三 k 方加一，因为三 k 方加一是正的，不需要加绝对值了，它等于三倍的 x m， x m 的 话，你是不是令这个直线它的 y 等于零，那所以说它的 x 是 不等于 k 分 之一， 因此它是 k 分 之一，那么它也得加绝对值啊。 k 的 绝对值分之三，所以说我现在是不是交叉相乘十八 k， 等一下啊？ 约个分吧，给他约个三，对不对？两边约个三的话，这个地方就是一了，然后这个地方就变成六喽，然后这个地方就变成二了呗，所以说就变成了六 k 的 四次方减去二 k 方加绝对值， 对不对？等于三 k 方加一，所以说他俩有可能互为相反数，也有可能是相等的，对不对？因此当六 k 的 四次方减去二 k 方 等于三 k 方加一的时候，所以说我是不是推出来了六 k 的 四次方减去三 k 方，嗯， 应该是减 k 方吧，对吧？减去五 k 方，没错吧？再减去一等于零嘛？一六一一负的。所以说我推出来的是不是 k 方减一，然后来了个六 k 方 加一吧，等于零，所以说 k 方等于一，对吧？ k 就 等于正负一， 这是他还有第二种情况，对不对？也就是说这个三 k 方加一等于二 k 方减去六 k 的 四次方，就说明他们互为相反数了，互为相反数的话，那就等于六 k 的 四次方 再加上 k 的 平方，再加一等于零。舍掉，不可能吧，对不对？它都大于等于零了，再加一怎么可能会等于零呢？不会，对吧？所以说综上 k 的 值是正负一。搞定， 明白了吧？ k 的 知识正负一啊。结束了，然后这是他们，然后我们再看西城的，西城区的这个题的话，我感觉也是比较，怎么说呢，你只要想透彻他就不难。好，我们先看第一问是三二对不对？第一问是 x 方比上三加上个 y 方比上二等于一。这个图的话，我们大家一起画一下吧，然后带着它。你看一下啊，这是那个椭圆，搞定，哎， 爆化是吧？他这个地方是个负三零呦，负三零在外边呢，他这个地方左边是根三吗？ ok， 将就看啊，然后这个位置是不是 n 点？ 是负三零吧，所以说他过这个点，那他是过 x 的 点，我当然要反射了，过 x 轴上点反射啊，这是过了，他会和椭圆交于 a 点以及 b 点， 然后他说过 a 做 ap， ap 是 谁啊？这个地方是不是 m f 垂直于 m f 于点 p 吧？过 a 做 ap 垂直于这些 m f 于点 p， m f 在 哪？这不就是 m f 吗？ 对吧？所以说这是 f 负一零，这就是 m， 他 说过 a 点做 m f 垂直于点 p 在 这个地方，对不对？所以说这个地方就是垂直的，然后呢？这个位置是个 p 点， 对不对？然后呢？他说 bpn， bpn， 我 用绿色去画 bpn u 不好看，是吧？将就看这个三角形的面积和 bpm。 说错了， bpf， bpf 的 面积， 对吧？它们的面积是相等的，让我们证明它们的面积相等。让我证明面积相等。你看，你再看，你再看朝阳，二零二四年的朝阳，他说他们的面积相等， 明白吧？其实考的都是差不多的，所以说你把这几道题好好的去总结总结啊，总结总结， ok， 好 看一下啊。他让我证明这两个三角形，谁啊？就是这个三角形 和这个三角形是相等的。那你是不是看到了有一个公共边 p b， 不 对，不对，有个公共边 p b， 也就是说 我 n 到 p b 的 距离等于 f 到 p b 的 距离，不就可以了吗？明白吧？ n 到 b p 的 距离 和我 f 到 b p 的 距离相等就可以了。所以说我先去写它不是经过 n 点的一条直线交图圆于 ab 吗？我先去设 a 点，坐标是 x 一 y 二，那么 p 点的坐标是负一 y 一 不 片坐标。然后我给教大家写一个直线啊，两点式，直线两点式。假设 a 是 x 一 外一， b 是 x 二外二，所以说我 lab 的 方程怎么写呢？我通过直线两点式去写，我可以一步写出来。所以说你考试的时候可以怎么写？ 你写上。因为 b 点坐标写上， p 点坐标写上，所以说由直线的两点式可得。两点式。怎么写呢？来看好啊，他俩相减 y 一 减 y 二去乘以 x， 加上他俩相减 x 二减 x 一， 去乘一个 y， 明白吧？最后呢，等于什么呢？他俩相乘减去，他俩相乘，也就是说等于 x 二 y 一 减去 x 一 y 二，明白了吧？我再说一遍啊，纵坐标，先是纵坐标相减去乘以 x， 加上横坐标相减去乘以 y， 最后 他俩相乘减去，他俩相乘，会了吧？哎，如果你不会，你就可以一步一步做，先通过他俩求斜率，然后再点斜，然后再画成一半式，我就直接写的。然后呢，我再教你大家怎么背啊， y 相减去乘以 x， x 相减去乘以 y， 必须是这么转， 明白了吧？他俩相乘 x， 他 俩相乘以 y， 最后他俩相乘，再减去他俩相乘就可以了，对吧？所以说我们先看啊， 因为 b 点的坐标是 x 二 y 二不， p 点的坐标是不是负一 y 一 喽？所以说由直线 的两点是。你看我这么写的啊，两点是对吧？ l b p 的 直线方程是 y 二减 y 一 括起来去乘以 x， 加上负一减去它的话，那是不是相当于减负一减去 x 二吗？不就相当于一加上 x 二去乘一个 y 喽， 对不对？等于什么？它两相乘减去它两相乘就等于负外二减去 x 二外一， 明白了吧？这个直线我就一笔写出来了。我再说一遍，他俩相减去乘以 x， 再加上他俩相减负一减 x 二去乘以个 y， 把符号提出来，明白了吧？最后他俩相乘是负二减，他俩相乘一笔写出来了。所以说，我现在是不是 l b p 稍稍一化减，就是 y 二减 y 一 的 x 减去这个地方应该是 x 二加一去乘一个 y， 不 再加上 x 二， y 一 再加 y 二，等于零搞定。所以说我稍稍一化减就可就可以了啊。然后我给他往上挪一下，这个直线就一笔写出来了，你考场上就节约了你的计算时间， 容错率就会减小了。所以说再看啊，那我现在是不是需要去求 n 到 b p 的 距离？看到了吧？ n 到 b p 的 距离以及 f 到 b p 的 距离是不是相等的就可以了。所以说 n 到直线 直线 l b p 的 距离，我假设是第一，明白吧？第一，那所以说我 n 的 坐标是三零吧，也就说我把负三零带进去，负三零啊，负三带进去的话，是不是三万一减去三万二，对不对？再加上 x 二万一，再加万二喽？所以说他们能不能合并下同类象？合并同类象的话，应该是 三万一减二万二加上 x 二，万一，不对不对。所以说我们再照抄一下啊， 他应该是 x 二外一加上三外一减去二外二，搞定。这是上边下边的话，是不是根号下的 a 方加 b 方，根号下的 a 方加 b 方？看一下啊？这个地方是根号下的 y 二减 y 一 的平方，再加上 x 二减去加上一的平方吧。然后呢？你再写上点谁啊？点 f 吧， f 到这个直线 l b p 的 距离是多少？假设是第二，可以吧？我们假设是第二，它等于什么？这个地方的话我往下挪一下啊，往下稍微挪一下，所以说他把负一零带进去，负一零的话，就变成了 y 一 看一下啊，他这个位置是 y 一 减去个 y 二， 然后呢？再加上 x 二， y 一 再加 y 二，不，说白了就是 x 二， y 加上 y 一， 对不对？因为我把负一带进去的话，就是它， 对吧？把负一零带进去，再加上 x 二外一，加外二吗？它和它没了，相当于 x 二外一再加外一， x 二外一， x 二外一再加外一。 over。 然后比上根号下的 a 方 加 b 方吧，是不一样的。那牛老师他俩有没有可能相等啊？ 对吧？他俩怎么可能相等？哈哈，对不对？也就是说你想要证明他俩相等，他俩可能相等吗？他俩不可能相等。为什么？来？看着啊，上边这个分分子，他是不是 x 二， y 加上 y， 再加上两倍的 y 一， 减 y 二喽。 减两倍的 y 二吧，对不对？我把它的三倍的 y 一， 比如说 x 二， y 一 加上 y 一， 再加上两倍的 y 一， 再减去啊，减去啊。两倍的 y 二， 它这个地方是不是 x 二， y 一 再加 y 一， 不，它有可能等于零吗？ y 一 减 y 二有可能等于零吗？不可能啊， y 一 和 y 二，它一定不会是在一条，一定不可能在一条水平线上吧， 对不对？所以说他绝对不可能是零，明白吧？那就说明他们不可能相等。理解我的意思了吧，他们不可能相等啊，所以说我只需要证明他们相加是互为相反数的就可以了。 又因为所以说你看着啊。因为 x 二 y 加上三 y 一， 再减去二 y 二，再加上 x 二 y 一， 对不对？我给他们全部加起来了 看一下。所以说这个东东的话就变成了二倍的 x 二外一呗。再加上几外一，加上四外一， 再减去二外二，所以说它这个地方就等于两倍的外一乘以 x 二 x 二是不是带直线？这个直线我是反射的，是不是 x 等于 t y 减三喽？ 一定要反射啊。所以说这个地方就变成了 t y 二再减三吧。所以说再加上四 y 一， 再减去二 y 二， 所以说它就等于二。 t y 一 乘一个 y 二，对不对？减去六 y 一， 再加上四 y 一， 再减去二 y 二，它就等于二。 t y 一 乘一个 y 二在干嘛？ 他是不是减去二外一了？减去两倍的 y 一 加 y 二，不对不对，我就看一下他相加等不等于零就可以了，没错吧？所以说你看一下啊， 这是他。呃，我坐到这的话，我们是不是该连力去了？连力反射的连力。 x 方比上二 比上三，加上 y 方比上二，是不等于一喽？等于一，这个直线应该是 x 减去个 t y 再加三等于零吧。所以说 y 一 加 y 二就是三加二 t 方分之二负 t 三负二的多少倍？负二倍的话，那就变成了十二 t 啊？十二 t 啊，这是我有速算方法，然后再来再来， y 一 乘一个 y 二呢？它是不等于三加二 t 方？ 三加二平方 y 一 乘以 y 二的话，是不是二扩写的 m 方九减去分母的一部分，减去三十二，对吧？这是十二。 ok， 带进去。所以说它是不是等于二 t， y 乘以 y 就是 二十四 t， 对 不对？比上三加二 t 方，再减去两倍的，它减去两倍，再减去二十四 t， 不 比上三加二 t 方，所以它就零喽， 对不对？他就是零了。所以说这个题就结束了啊，你好好看一下这个题，我觉得还是比较简单的啊。 ok， 结束。 好，然后我们再看朝阳的这道题，朝阳这道题的话，我们下次继续录吧，这次就录到这两个题。 ok， 讲这些啊，拜拜，我下了啊。

好，我们来看一下西城区初三二模的这个圆中核啊，好久没有讲圆中核了，对吧？我们说做圆中核一定要特别的丝滑，对吧？这个题我在 上周六周日，就是昨天和前天，对吧？给初三的给初三班的学生讲课的时候讲过这个题啊，这个题可以口算， 我觉得大家如果要是考试中能够看出来第二问的这个思路，这题可能是两分钟，但是如果你要是在考场没有看出来，就可能两种情况，第一个就是课上没有认真听，第二个可能听了，然后课下给忘了，在考场上就是没有想起来咱们讲过的东西啊。这题可以瞬秒的啊， 我先把它给连接起来，再把它给连接起来，这是第一问的思路啊，第二问他说的是过点。第一，做一个垂直， 过点 d， 做一个垂直，然后与什么呢？与 ab， 对 吧？往这个地方交于点 n， 这个地方是有一个 m， 呃，然后呢？我们直接开始看第二吧，它说的是 c f 等于三倍的 a f， 所以 说我假设 a f 是 x， 这是一个三 x， 我 们在课上是不是讲过这个二级结论， 对吧？还告诉你们在哪个地方讲的呢？大家来看一下啊，昨天的那个课，我瞅样啊，我把这个讲义给找出来， 就是担心学生在考场上用不到，知道吧，这就比较尴尬，是不是在在这个地方啊？ 初三的一模在这， 我们在课上是讲过这个东西的啊，这不在这快速出思路的是不等于它。所以说这个新城区的模考题的这个圆中，不就是一分钟两分钟吗？直接秒了，对吧？我们可以怎么写 x 乘以 ab 啊？不对， x 乘以 x 加 ab， ab 是 四等于什么？等于个九 x 方，所以 x 加四等于个九 x， 那 么 x 等于二分之一，它等于二分之一，这地方不就是二分之三吗？ 这个地方是二分之五，对不对？这个地方半径半径的话是二分之五，对不对？这个地方半径半径的话是二分之五，对不对？这个地方半径是 b n， 求得是 b n， 因为这是有一个垂直，所以说我们只需要跳角，这个角一等于角二靠近角一等于个靠近角二靠近角一等于几？是不等于三比五等于二比上一个 o n o n 呢？等于个三分之十，所以 b n 等于个三分之十，减二等于个三分之四。 考场上大概大概就是需要两分钟就可以写出来啊。当然这个二级结论的话是告诉你们快速出思路，因为我们圆轴和是需要快速出思路的，然后你们写一下过程就行。怎么写过程是不连接一下就行了，连接完之后有一个三角形相似。啊，好，这个题我讲到这里。

我们北京初三的家长们，这份西城二模的题呢，昨天刚刚考完，难度呢体来说比一模要大，非常值得大家来做一做。题目呢，灵活，尤其是中等的解答题，框架不变，但增加了灵活度，让孩子吃透它， 能更清楚的了解中考的方向。咱们一起猜一猜它的重点。首先，选择题，基础题稳拿分，压轴题考察更加灵活。前七道题目整体的考点非常常规， 基础扎实的话，整体没有什么难度，争取全对。压轴题目比较灵活，考察了反比例与图形结合的问题，这是竖形结合的这个思想， 这是用代数式表示坐标，这也是我们平时反复重点强调的，孩子只能想到这里，思路还是很清晰的。 填空题，整体来说以基础为主，压轴题呢，很有难度。呃面几道以基础为主，数题呢，是重点结合，了解直角、三角形以及相似模型，稳稳当当就可以。压轴题的强度很大， 阅读量不小，在阅读这块设置了阻力。同时呢，综合性非常强，涉及到整数解问题，分类讨论，考试的时候可以先放一放这个题回来再做，但在平时的练习中，非常值得好好来深究一下。 解答题的前五道基础分必须拿满，保护好我们的基本盘，题型整体稳定，没有什么新的变化，这部分七部分千万不要丢分。十七题的实数计算注意符号和运算顺序。十八题，不等式组用竖轴表示，解集时需需要注意空心和实心。 十九题，分式化简的求值，代入数值，一定要务必注意代入数值的问题。二十题，四边形综合，这个题没有辅助线，正常解直角三角形就可以了。二十一题考察了二元一次方程组的实际应用，找对等量关系，列好方程，整体难度适中。 接下来咱们来聊一聊中间三道的中档解难题，但是增加了一些细节，在某些地方使了一些暗劲。 首先依次函数综合，依旧是考察直线的旋转，尤其注意旋转一圈的情况，但注意在取焦点这块，出现了参数正常，表示带入直线，求出临界位置，解个方程就好，结合图像分析焦点的位置，树形结合，这是关键。 接下来统计综合问题，整体重规重矩，还是考察了平均数和中位数，信息藏在表格和柱状图里，结论得结合数据来说，注意规则的递进关系。 圆综合核心是解直角三角形与相似，整体的架构不变，这是这是我们课上重点强调的，用到了平行的 a 字相似，但是今年的圆综合计算量明显增大。同时这道题解这道题解方程的时候用到了一元二次方程， 难度不大，但整体更加灵活，计算的时候千万不要着急，一步一步来。接下来说说最后三道的压轴题，是我们冲高分的关键，都是高频考点。 袋鼠综合考增减性结合绝对值的长度问题，还是要构造新函数，注意找临界的位置。今年呢，袋鼠综合注重增减性与对称性，这个比大小的结合。西城二模，这个题紧贴北京中考的风格，平时练过同类题目的话，上手不难。 几何综合，西乘二模考察了旋转，旋转，西乘二模考察了旋转等线段共端点可旋转，尤其是 c d 等于 c e。 还有这个二阿尔法是个非常明显的突破口，倒角是关键。这个题比西乘一模的几何的难度要更平和一些。 最后就是压轴的新定义，多动态轨迹问题，定义中有核。那九年北京中考的这个新定义，大家可以拿来看一看，很巧妙。第三问也很有特点，尤其是求坐标，要灵活运用几何的性质，能做到这的同学耐心拆解条件就能找到思路。 总的来说，西城二模这套试卷整体难度不小，要难于西城的一模，不是西城的考生，也非常值得大家拿出一百二十分钟当成考试来做一做。孩子考完可以好好分析一下，哪些题目是稳拿分的，哪些题目思路卡壳的，针对性的查漏补缺比刷新题更重要。 需要试卷和答案的家长瞧，西城二模我发给你，让孩子对着错题琢磨，一步一个脚印补漏洞，各位加油！

西城二模几何的是半角模型，所有准备了手拉手和中点模型的同学，你是不是忽视了这个考点呢？我们今天用一个视频来给大家去说一说，关于西城二模的这个半角模型，我们有什么样的多解思路。首先我们来先读题，他说在三角形 abc 当中， ab 等于 ac 角 b 等于 ar 法，那么就标呗， ab 等于 ac ar 法， ar 法，所以这就是二 ar 法。先都给他标好，然后告诉我们连接 cd， 并且将 cd 绕点 c 逆时针旋转，二 ar 法得到 c e， 这就是二阿尔法，没问题。好，那得到的是谁？是 c e， 所以 你看我这图一里面标好了所有的角，我能知道的啊。然后以及我能得到的线段，第一问让我们去求证点 a 是 b， d 的 终点，那我们会发现看这个图，而且让我证的是点 a 是 终点，是不是也就意味着我可以去证明一下什么 斜边中线这个东西，对吧？好，所以那我接下来怎么用？这是二阿尔法。在一个等腰三角形当中，顶角是阿尔法，所以底角就是九十度减阿尔法，这是阿尔法，所以他们俩相加是九十，那这就是直角，这如果是直角的话，这是阿尔法，这就是九十减阿尔法。所以那我们接下来就可以知道 a， c 等于 a， d 又等于 ab， 所以 点 a 是 中点。结束 能明白，这是我们的第一问，比较简单啊，但是第一问一般情况下来说都会给我们，第二问的话会比较好做。我们来看照这个图， 这个图第二遍说的是什么？告诉我们角 bfe 等于二阿尔法， bfe， 这是二阿尔法，其他条件都不变，然后让我们去证明三条线段之间的关系，分别是 a cef 和 b d， 看起来毫不相关的对不对？那我们能够想到的是什么？证明三条线段关系能够想到的其实就是截长补短的方式， 所以我会想到的是，呃， b d， 对 吧？ e f 和 a c， b d 明显是最长的，但是它又不等于这两条线段相加，肉眼可见，所以呢，这个时候就从我们的猜测结论来说是不符合提议的，没办法去做的。那这个时候我们可以从哪入手？从条件入手，因为我们知道这个角是二阿尔法， 然后这个角是阿尔法，所以他就得到这个角和这个角相加等于阿尔法，看到了吗？所以呢，我能够想到的就是半角模型的思路。半角模型思路是什么？说把它旋转过去好，那这个时候就会出现两个疑问，第一个疑问就是如果这两个角相加等于阿尔法的话，我到底是把下面这个三角形给它旋转上去，还是我把上面的三角形给它旋转下来 好？所以你这个时候就会发现我用的法一就是把上面这个三角形旋转下来的好，那这个时候我还是那个思路啊，我可以把它旋转下来，那他就会变成我法一的位置，我还可以怎么样利用我第一问的思路？第一问思路是找点 a 是 终点，构造一个直角三角形，所以那这个时候我能够想到的就是我把它延长出去， 然后做一个 cp， 让这也是九十度的直角。那接下来就会有一个问题，什么问题呢？我知道辅助线如果借助第一问的条件来说是这样做，但是做完之后我们会发现这个三角形很明显跟这个三角形不全等，所以我要去找构造全等的方式。那怎么找呢？看这个图， c e 等于 cd， 这是二阿尔法， 所以我是不是这个地方也能够找到一个二阿尔法？那我就去连接了 c f。 连接 c f 之后，我要去证明的就是这个三角形和这个三角形全等，如果能够证明，那是不是就会出现这样的结论？好，那现在我讲清楚了所有的方法对不对？好，那我们接下来来看一下条件有哪些？第一个，一条边等于另外一条边，这是一条边等。 其次，第二个，我们可以通过倒角来，怎么倒角这个二阿尔法还没有用呢？这是阿尔法，这是二阿尔法，所以这个角就是一百八减三阿尔法，那这边就也是一百八减三阿尔法。如果我设为这个角是 beta， 那 这就是三阿尔法减 beta。 好， 那接下来我要去看的是这个角，这个角怎么来的？这个角它是不是就应该等于外角，也就是这 和阿尔法相加得来的，那这是多少呢？这是二阿尔法减贝塔，那再加一个阿尔法，所以这就是三阿尔法减贝塔倒角的能力啊。好，那现在一个角等一条边等，如果我想证明全等，最好用的方式是什么？ 给它构造一条边出来，能理解怎么构造？你看我是不是现在就缺一个 e f 等于 d p， 那 我就让 e f 等于 d p， 所以 我辅助线说的是延长 b d 到点 p， 使 dp 等于 e f。 好， 那这样的话，边角边是不是两个手，两个三角形就形成全等了？手拉手，对吧？两个三角形一旦全等了之后，我就连接一下 cp， 我 接下来只需要证明这是九十就好了。好，那怎么去证呢？我们会发现，当我这样做完之后，因为他们两个全等，所以 cf 等于 cp， 这个是没问题的啊。 cf 等于 cp， 好， 那接下来我又可以知道的是这个角的度数，对吧？那这个角的度数可以怎么去表示出来？那这个角也比较好表示，为什么呢？ cf 等于 cp， 所以 两个底角等， 那这两个底角等，我们又因为全等知道 c fe 等于角屁，所以这三个角都对应相等，那这个大角是一百八减二阿尔法，被平分之后，就是九十度减阿尔法，所以这就是九十减阿尔法，看到了吧？这是九十减阿尔法，这是阿尔法，这不就九十度出来了吗？能理解了啊。好，那接下来我们这了有了一个九十度之后，我们就会发现 b p 是 不是就等于我们的 b d 加上 e f， 它等于二倍的 a c？ 为什么？因为点 a 是 中点就出来了，就延续了第一问的过程，所以呢，我们就会出现 b p， 也就是所谓的 b d 加 e f 等于二倍 a c。 结束了。 好，那刚刚我还说了一个什么半角模型，另外一种旋转方式，那我们去把这种方式也讲一讲啊，这种方式是什么样子的？就是我把这个三角形给它旋转过来，那因为旋转过来，所以这个角就被转移到这来了， 那整个大角二阿尔法就会得到这个角是二阿尔法，那因为上面是阿尔法，所以下面就也是阿尔法。好，这是我第一步倒角。好，那倒完角之后，接下来我要找的是什么？我找他们三个之间的关系，对不对？那这个时候其实比较邪修啊，这个方法为什么这样去说？我们会发现的是，你可以怎么做这个辅助线？ 这个辅助线很多同学可能会选择的方式是，我把 f e 延长到点 p， 是 e p 等于 a d。 好， 那现在一条边等一条边等，一条边等一条边等，我怎么去找角，对吧？我怎么去找它对应的这个角和这个角是对应相等的。 好，我现在找这个二 r r f 有 用吗？其实没有用，对吧？因为边边角不能正全等，所以你要去做倒角啊，这是第一种。第二种你会发现我用的是平行的思路，我过点 c 做了一个 c p 平行于他，那因为这是二 r r f， 所以 这两个角就对应相等了。好，那这是第一个对应相等的。 再来第二个是什么？我们是不是可以根据这样的一个条件得到这条边等于这条边？这题目当中给的已知，对吧？现在一个角一个边了，所以我要么再去证明一下谁 cp 等于 ac， 要么再去找一个角相等就好了。但是我很明显会发现，我没办法用 cp 等于 ac， 因为这是我的结论。对，我只是做做了一个平行。好，所以呢？我最好用的方式是什么？找角， 那怎么去找角？因为我做的是平行呀，所以这如果是二阿尔法的话，这是阿尔法，所以这是不是就也是阿尔法？ 能理解吗？好，这如果是二阿尔法，他加他等于阿尔法，因为他加他等于阿尔法，所以这两个角对应相等。等了，再换一下。好，那现在一个角一条边，一个二阿尔法，一个角一条边，一个二阿尔法，所以这两个三角形角角边形成全等，全等之后就会出现 a d 等于 e p。 好，那接下来因为它们平行，对吧？平行之后这是 r r 发，这也是 r r 发，所以它就是一个等腰梯形。为什么说？很邪修，对吧？我们是不是很久没在几何体当中遇到过等腰梯形了？等腰梯形就说明腰相等，所以 f p 等于 ac 好， 那 f p 又等于谁呢？等于 e f 加 e p 好， 那现在是不是 e f 边我就找到它的关系了，它和 a、 c 的 关系了，对吧？就是 a c 减去 e p 就 等于 e f， 那 e p 又等于谁？等于 ad， 所以 a c 减 ad 等于 ef， b d 呢？ b d 等于 a， b 加 a d， 所以 我们得到的是 b d 等于 a c 加 a d， e f 等于 a c 减 a d。 因为我要保留的是 b d， e f 和 a c 的 关系，不要 a d， 所以 我这两个怎么样？相加？ 相加之后 a、 d 就 消掉了，所以 b d 加 e f 等于二倍， a c 也能做好，但这个证明过程你要给它写清楚啊。好，那这是我们所说的半角模型的思路。除此之外，在证明它的时候，有同学可能会说，老说倒角，倒不明白怎么办？倒不明白怎么办的话，你如果能够知道它们是二倍关系，还有另外一种思路是什么？找终点呀，我让 a 是 终点， c 也是终点，然后我去进行 构造中位线，能理解吧？好，那在我去找完它是终点，它是终点，它们俩是不是平行关系？所以这是阿尔法，这是阿尔法，那是不是 b、 p 和 p、 q 就是 相等的？这是不是等腰三角形？ b p 当中是不是有 b、 d？ 它又等于，它又等于二倍的 a、 c？ 是 不是这个道理？所以我要去证明的就是 d、 p 等于 e、 f 就 好了。那这个时候我再去构造这两个三角形，全等就可以了。那它的证明方式其实和它的证明方式是不太一样的，能理解吧？那这个方法我不讲了啊，因为这个方法可能就是你真的实在没有思路，证不出来的时候，你往我们学过的终点模式当中去靠的这样一个思路。好，那我就先给大家去说这么多。

看一下这个圆中，这个圆中难度也是不大的，就是我们常考的中规中矩的题型，我相信我的宝贝们应该都没有问题。好，我们来看一下它条件，第一个 a、 b 是 直径，那我们立马就要想到把这个边给他连起来，对不对？好， 然后它 c、 d 都在圆上，且过点 c 作为 e、 f 的 直线，交于 e、 f 两点 o 来了，他告诉我们这条边呢，是等于这条边的等腰三角形，我们干很多事情，比如说边相等，再比如说角相等，对不对？ 好，他又给了我们这个角是四十五度了 a 呀，所以这个时候我们就该去射角传染了，比如说我射这个角是 r 法，那自然而然要正切线。第一问，要证明 e、 f 切线， 我们就要证明这个角是直角，所以就要去感染。那这个角是不是阿尔法？这个角是不是九十度减二法？这个角是不是也是九十度减二法啊？那他有四十五度，咱们是不能得到底角啊，这个角也是四十五度减二法，那么这个角是不是就是多少？ 九十度加 r 法，这是不就是九十度减二 r 法，对吧？好，那么根据我们的外角，这个角是不就是 r 法？所以 r 法加上九十度减 r 法是不就是九十度？对，答案就出来了，那么第一个就非常简单，而且我们把角基本上也传染了，这个角就是九十度减 r 法， 所以在第二问，我们的铺垫也做的很不错的。那么继续他又告诉我们 m n 垂直，那这个时候是让我们自己去做做线。哈，那咱们就做呗。啊，这个垂直，那个垂直刚好跟我们这个线是平行的，对不对啊？然后延长出去 交于他，那这个点假如说他告诉我们了交 n 的 比例关系 什么呢？这个边比上这个边是三比一，那我们就大胆可以射 x 了，这个是三 x， 对 不对？又告诉我们半径是二，因为直径是四，半径是二，很明显的一个勾股定律是不就可以出来了？所以我们的第一步就是用射圆 来进行求边长，即三 x 的 平方加上二的平方，我们算下来 x 是 不是就是二分之一？ 好，那么这个位置是二分之一，这个位置是不是就是二分之三？好，他现在要干什么呢？我们这个边是二，接下来我们要做什么？第一步做出来，第二步是单人节，是传染什么呀？边长吗？ 我们说了 b f， 这是二分之几九，对不对？好，那这边是不是也是二分之九啊？再减去它，所以这边是多少谁知道？是不就是三呐，对不对？ 好，那么这边有了三了以后，我们继续啊，他要求什么？他要求这个位置的 b n， 那 我要求 b n 呢？ 首先他在三角形里面在，但是这个三角形他不是很特殊，所以我们做起来呢，相对没有那么的简单，对吧？所以这个时候我们就要考虑一下把它放在哪里， 那自然而然是把它放在这个大的直角三角形里面，减去我们已经知道的二分之九就好了。说白了我们现在要求什么？ 我们现在是不是要求一下 f n 呐？就是最长的边，对不对？好，那我们要求 f n， 怎么求？就要看他所在的三角形， 那么他在哪个三角形里面自然这个大的。好，那我现在好像还缺点东西。首先我知道这个三角形的三边比值，但是任何一条边我都不清楚，比如说如果我能根据已知条件求出来我想求的 这条边，是吧？那是不是就是最好的了？那怎么求呢？我们说了条件要逐个分析，你目前来看，好像这个四十五度是不是还没有怎么用上？它是一个什么角？它是一个圆 周角，那你应该去找什么角？你是不是应该去找它的圆周角或者圆心角，对不对？所以咱们把这个圆心角给它做出来，那这个角是不是直角？ 那根据这个角也是直角，这个角也是直角，说白了这是个什么？这是个长方形，又根据他这个边跟这个边相等，都是半径都是二，所以他是个什么形？正方形对不对？好，那这个边就是二，那这个边是不是一啊？ 啊？那这个边是一，我们已经得到了，接下来咱们要干嘛？当然是把它放在这个三角形里面去算了。 我们不是说过吗？它的三角形的比值是相等的，或者你可以用 tangent 来算，对不对啊？或者用 sine 去算都可以哈。这个角呢，就等于这个 r r 法，咱们知道啊， hundred， 或者我用什么，我用 sign 吧，我 sign 阿尔法等于刚才的这条边，也就是二分之三比上我们的斜边，也就是二分之五，等于五比三。那同样的，它是不是也可以等于 sign 角 n 呢？ 它是不也就等于我对边二比上这个 o n 啊？就等于三比五呀？所以你这个 o n 是 不是等于三分之十啦？所以你这个 b n 是 不等于三分之十，减去二就等于三分之四啦。 好，所以难度呢？其实没有什么，就是老师说的这三个步骤，大家把你的角你的边想清楚，转化好就没有问题啊。

题目读也读不懂，算也算不出啊，这是很多同学在昨天考完西城区出现二模之后对于填空压轴题的一个最直观的反馈。 当然我们今天呢也给大家呢来深度的拆解一下这道题目啊。这道题目确实啊有几个难点，首先第一个就是读题上面呢这个信息量太多了啊，有点迷惑人，看一下啊， 他说啊，某商店共有 a 种不同型号的口罩，每种型号的口罩呢都有红白蓝三种颜色，每种型号的红色口罩价格五十，白色的 m， 蓝色的呢 n 哎，这里面已经出现了三个变量了啊。 第一有 a 种不同型号的口罩。哎呀，其实大家理解这个什么叫 a 种不同型号的口罩啊，你就可以理解 a 种不同品牌嘛是吧啊有有什么这种品牌那种品牌啊，我们总共有 a 种不同的品牌，你要理解型号很麻烦的话啊 啊，但是呢呃，这个每一个颜色的价格呢是一样的啊，白色的是五十块啊，然后呃，那个红色的五十块，白色的呢 m 蓝色的呢 n 好， 并且呢 m 跟 n 呢是变量满足哎，六十六到七十四之间 m n m n 都是整数啊， 都是整数。那好，他说甲乙丙三家公司呢各买一包每种型号的口罩，你就想把每个品牌全都买一遍啊， 每个品牌都要买一包，并且对于每种型号的口罩三家公司选择的颜色各不相同啊，你这个甲买了白色，那么一根丙就一个要分红色跟蓝色对吧？好，结账的时候呢，总共花了一千二和一千四 好，第一个呢，我想呢还是相对来说比较容易处理一些啊，但在这里面呢，大家读完了之后，你会发现，从这个提干给我们的信息的角度上来讲，有几个部分的信息啊， 啊，有四个部分信息，第一有 a 种不同型号的口罩， a 是 多少不知道。第二，每种型号不同颜色的单价是多少，我们也不清楚，对吧？呃，然后呢，这个 m 跟 n 具体是多少，那么这两个变量不清楚 好。第三就是我们只知道他们最终结算所花的总的价格，实际上也并不清楚哪一家买了多少种颜色的，什么这种口罩，那种口罩都不清楚，所以呢，大家读完了之后呢，就一个字啊，就一个感觉乱啊，就是信息太多了，搞不清楚在哪里。 好，我们想一下啊，如果你把型号理解成品牌的话呢，就是从第一种品牌总共有 a 种品牌， 它们呢分成了这个红色的，白色的，蓝色的，总共三种，并且每种的单价五十 m n， 对 吧？好，那么大体上呢，我们可以简单的列一个小小的表格，辅助我们来理解一下啊，辅助我们来理解一下，好，并且每一种型号呢，每个人每家对应的颜色呢，可能呢是不一样的， 所以呢，我在这呢提前跟大家说一下，就是如果同学们觉得说老师我对于这种信息量非常大的问题呢，我处理起来我感觉非常的困难，那么咱们呢， 可以简单的呢，画一个表格，辅助同学们来理解啊，我们画一个表格，方便大家来理解啊，大家感受一下啊。 好，那么在这里面呢，就是第一种型号的，第二种型号的，一直到第 a 种型号的。好，那么并且呢，呃，每一种型号呢，都具有红呃， 白和蓝三种不同的颜色。好，我们假定这个呢就是红色的啊， 然后呢，这个就是白色的，然后呢，这个呢就是蓝色的，并且每一种单价是不一样的啊，红色的五十，白色的 m， 对 吧？红色的是五十啊，白色的是 m， 蓝色的呢是 n。 好， 大概呢就是这样的一张表格，可以辅助我们去理解，但当然 最终剪辑的时候不一定要用的到它，但是我们自己呢要清楚啊。好，现在呢，呃，我们并不清。呃，然后呢三家公司呢？就对于同一种型号颜色各不相同， 比如说啊，我们就对于甲，呃，甲而言，假如说甲在一号一第一种型号的口罩当中他选择了红色，那么乙跟丙啊，就不可能选红色，对吧？假如说这是假的，但是你也可以画出乙和丙的啊，无所谓啊， 那么也就是说在这里面呢，我们也可以通过勾啊圈啊来表示，但大家也知道，我这么每举呢，主要是为了方便同学们理解，并不是只是为了解题啊。好，那么接下来我们来看一下具体的问题啊。第一个问题， 他说如果 m 等于六十九， n 等于七十一，这个我们太清楚了，对吧？啊，对于第一种型号的口罩，肯定有一个人买嘛，有一家公司买嘛，谁买无所谓啊，那么他问 a 等于多少 啊，就是总共有多少种不同型号的口罩，那我们知道每一种型号的口罩总共被买了几次啊？三次，因为它有三种颜色嘛， 对吧？第一种型号的口罩其实被买了三次，因为就是甲乙丙，那可能各有一个啊，各有一种对不对？比如说甲买了它，那乙买它，丙就买它好，所以你会发现在这个表格当中就是甲乙丙随便排啊，随便排 好。那么因此我们对于第一个问题呢，就很简单了，我们知道每一种型号的口罩的总价就是 这么多，是吧？那么每个都被买了三次啊，就是总价就是这么多。然后呢，有 a 种啊，那么最终要等于多少呢？因为他们总共花费是一千二乘以二，再加上一千四好，所以这个呢，算一下啊，这个很好算，是吧？ a 呢，应该等于二十 好。第一个空呢，我相信呢，大家呢都没什么问题。第二个空啊，同学们也知道，其实这东西是干嘛呢？其实这个东西呢，你可以理解成啊，就是一个不定方程，为什么？大家感受一下，他说现在啊，丙购买的口罩包含有三种颜色， 那丙购买的口罩包含三种颜色，就是红、白、蓝，他反正他都买了，那么他说丙用于购买白色跟蓝色口罩，最多一共花多少钱？咱就说如果你在考场上，当然大概率啊，同学们在考场上完全来解这个题目，其实挺麻烦的啊，不太好处理 啊，不太好处理，但是如果你只想猜答案，你说没招了，没招了，那你肯定想嘛，最多最多就多少？一千三百五， 要说为啥啊，因为饼总共花了一千四百元，是吧？饼总共花了一千四百元， 而其中呢，呃，每种颜色都有，所以我们就想你要舍得白色跟口罩啊，白色跟蓝色用的费用最多啊，那我就另白色的什么那个红色的什么最少呗？红色最少要有一个，因为红色口罩的价格是五十万，对不对？红色最少要有一个， 所以那最多就说就是一千三百五，这就是我们讲的叫什么叫理论上的最大值啊。但是呢，理论归理论吗？就考场上你没招了，你就填一个这个啊，当然了，咱们不能没招了是吧，但也得有招啊，所以我们现在只考虑什么呢？只考虑饼， 只考虑饼，那我们知道饼啊，他要购买三种颜色，那我们就假定白色还有呢？蓝色还有呢？这个红色 啊，因为我们知道红色的单价是定的是五十啊，但是白色的单价呢？跟蓝色的单价呢？不知道这是第一个。第二个的话呢，就是我们其实也不清楚到底 a 在 第二问当中等于多少， 大家能理解吗？因为你第一问当中 m 跟 n 定了，所以我知道 a 是 多少，但在第二问当中你知道 a 是 多少吗？啊？这是第一个难点，就是 a 等于多少，并不清楚 第二个。如果我们知道了 a 等于多少，接下来怎么处理呢？啊？那你想一下，就是总共有多少种不同的型号，我们还得处理一下，要使得最多花费多少钱，我们在这里面 m 跟 n 还是不定的。不定方程有什么方法？唯一方法？什么方法 没举法啊？不定方程的整数解问题，唯一方法就是没举法。好，我们先来解释一下，那么 a 呢？其实恒定等于二十，为什么？大家感受啊？ 通过 d 我 们知道我们不管呃，这个最终呃， m 跟 n 是 多少，那么每一种型号的口罩 它都需要啊，呃，花费多少钱呢？就是五十加 m 加 n， 就是 每一种型号的口罩，对吧？当然现在有 a 种型号的口罩，总共呢，还是一千二乘以二，再加上一千四，那么这个数字什么意思？ 反正每一种型号的口罩，呃，所用的总花费就是五十加 m 加 n 啊，并且呢，这个，呃，这个 a 呢，是个整数， m 跟 n 呢，也都是整数，其中它告诉你 m 它是有范围的啊，六十六到七十四之间， 大于等于六十六，小于 n 小 于等于七十四，所以其实 m 加 n 这个值的去除范围就有了，对吧？哎，应该是严格的，大于多少？一百三十二， 就是 m 跟 n， 即使都取到六十六，那他就是一百三十二，当然不能都取到啊。好，那么这个呢，小于多少呢？一百四十八，好注意啊，整数啊，我们刚刚就跟大家强调过了，这是一个非常典型的不定方程的问题啊， 是吧，未知数的个数比方程的个数来的多好，但是呢，是不定方程的整数解问题啊，不定方程的整数解问题，所以方法就是什么媒局法 啊，没举法，咱们在初一的时候其实就讲过这种类型的问题了。好，那么当然 m 跟 n 都是整数，所以其实这里的 m 加 n 再加五十啊，其实他就只有限定的范围，对吧？当然我们说这个范围呢，应该在一百 八十二到一百九十八之间，理论上来说， m 加 n 呢，加五十呢，这个值呢，它能取到一百八十三呢，一百八十四啊，噔噔噔噔，一直到一百九十七， 但别忘了啊，因为后面这个值呢，恒定等于多少呢？三千八，后面这个值恒定等于三千八。所以同学们想一下，看看你这里的 m 加 n 加五十 能取到一百八十三吗？啊，不能啊，因为如果你取到一百八十三，他能被三千八整除吗？不能啊，因为这个是整的， a 也是整的啊，所以其实大家算一下就知道了，这个里面呢， m 加 n 加五十啊，他其实只有唯一的值多少啊？一百九， 只有这个数值可取啊， a 呢，只能等于二十，他只能取到这个数值，他取不到其他的情形了。理由呢，也很简单，就是我们说的他是整数解问题，我们说了整数解问题，你没有什么别的技巧啊，唯一的技巧呢？就是 啊，不断的每取好，只不过呢，这些数字相对比较好看，你比方说你能被三千八整除，对吧？那你还你不能取个一百八十三，一百九十七吧，是吧？那这个有点离谱了啊，有点离谱了 好，现在呢， a 呢，等于二十，我们就知道了，也就是说跟第一问一样，还是有二十种不同的型号。那么现在的问题是，我们要使得花费白蓝的钱最多，接下来怎么样呢？还得枚举，因为你知道白色有多少个啊， 不知道，蓝色买了多少个也不知道，红色买了多少个也不知道，对吧？好，所以我们接下来继续每句，就是如果我们要使得啊，白蓝，他的总价 最高啊，或者说最多，则我们要说的白蓝最多，那么就是红的怎么样呢？红色一定要最少 啊，红色的一定要最少，当然最少为几呢？为一，那我们在这边多说一下啊，红色为一，并不是说你现在估算了啊，所以我们令红色为一并不是说你现在估算了啊，所以我们令红色为一，并不是说你现在估算了啊，所以我们令红色为一， 并不是说你到这就结束了，因为你红色为一，你需要检验一下这种情形是否成立啊，这种情形是否成立啊，同学们能理解这意思吧，你要检验一下这种情形是否成立， 因为你，你虽然算出来了 a 等于二十，但是红色为一的情况是成立的吗？能够满足 m 跟 n 取到某些整数，然后呢，白色跟蓝色也能取到某些整数，刚好使得饼花了一千四百块吗？ 啊，所以在这里面呢，很多同学可能算出 a 等于二十之后啊，非常的欣喜说，嗨，太好了，总数二十，红色为一，所以白色跟蓝色总共就是十九啊，然后呢？巴拉巴拉啊，就是，所以呢，一千三百五就拿一千四减掉五十就可以了。好， 这种想法呢，只能说啊，出题上还是算是稍微仁慈了一点啊，那他令这种情形刚好是成立的，那万一不成立呢，是吧？好，我们接下来就要解释一下，理论上来讲，这就是理论上白色跟蓝色能够花费总价最多的情形 啊，对吧？花费最多的情形。好，那我们继续可以令，白色有 x 个，则蓝色 有十九减 x 个有，总数二十啊。好，其实这些部分呢，都是检验，因为你前面算出来 a 的 总数是二十，理论上面来，下面就是， 这叫检验，理论上面来讲呢，就是，呃，总价最高就是一千三百五啊，就是一千三百五，但是这个是理论，我们要检验一下这个理论是否正确啊，接下来的核心是什么？那核心还有什么呢？ 继续列呗，是不是他不告诉你白色的价格是多少 m 吗？是吧？蓝色的价格呢？是这个 n 吗？所以就是 m 个 x 加上 n 个啊，十九减 x， 然后加上五十等于一千四， 就是我们要检验这种情形， m， n， x 是 否都有整数解啊？要检验 m， n、 x 都为 正整数，我们要检验的就是这个事情，就是他们是不是都是有正整数解的好，当然这个还是一个什么方程不定方程问题， 是吧，在这里面呢，你会发现，嗯，这个看起来也很讨厌，为什么呢？ x 是 一个变量，就是我不知道白色有多少个啊，然后呢，这个 n 跟 m 呢，也是变量，但是别忘了哦， m 加 n 是 个定值哦，多少啊？ 呃，一百四对不对？好，我们继续在后面写一下啊， m 加 n 等于多少呢？等于一百四 啊， m 加 n 等于一百四。好，那么在这边呢，我们在旁边啊，给大家呢，稍微来解释一下，因为前面呢，我们算出来了， m 加 n 加五十只能取一百九，也就是 m 加 n 等于一百四。但我们进一步的想要说明一下， m 加 n 等于一百四，看起来呢，是两个变量，但是同学们也要知道， m 跟 n 是 正整数，并且具有大小关系， m 小 于 n 啊，小于等于七十四，它大于等于六十六。好，所以其实在这里面啊，这个本身 m 加 n 等于一百四，本身就是一个不定方程，当然这个不定方程，我们知道它一定是有有限个整数解的 理解吧，就是 m 最小最小取六十六， n 呢就取七十四， m 取六十七，他呢七十三， m 取六十八，他呢取七十二， m 取六十九啊， n 呢取七十一， 它呢取七十一。当然还能继续吗？不能啊，因为你要保证 m 怎么样啊， m 是 小于 n 的 啊，因为你再往下就是什么了，七十七十了，这种情形肯定就不满足了嘛，是吧，七十七十就不满足了啊。 ok， 好， 所以我们知道，其实呢， m 加 n 等于一百四啊，这本身也是一个不定方程，所以呢，它还是没举，那么最终没举完了呢， m 跟 n 呢？只有这些数值对吧？ 好，那么当然我们在这进一步的就可以把它变成为 m 倍的 x， 加上 n 是 多少呢？一百四十，呃，减去 m 倍的十九，减 x 等于一千三百五。好，这还是什么？ 两个变量，那我还是要什么整数解问题，当然在这呢，就可以开始 依次枚举了啊，就可以开始依次枚举了，比如说，因为你在这里面呢，我们就把它变成了单个变量，就是，呃，这个 m 跟 x 啊，所以呢， m 的 值呢，我们只要令啊，接下来继续检验，如果令 m 等于六十六的时候，那么上面的数字变成什么了呢？就变成六十六倍的 x 加上七十四倍的十九，减 x 等于一千三百五。哎，这个时候是不是就变成单变量了，对不对？ 好了，那么因此呢，我们可以稍微算一下，就是六十六倍的 x 加上七十四倍的十九减去 x， 所以 这里面的 x 的 取值呢，可以算一下，是吧，大家就变成了，六十六七十四乘以十九 四九三十六，进三七九六十三，六十六，呃，进六一四七六零一千多少呃，一千四百零六，一千四百零六，减去一千三百五等于六五十六，五十六，前面是八，所以 x 等于七，当然 n 呢，等于七十四。哎，这种情形他就满足要求了，对不对？ 它就满足要求了。当然了，你可以再令 m 等于六十七的时候，行不行呢？好，它就变成了六十七倍的 x， 加上七十三倍的十九，减 x 等于一千三百 五十。好，同学们可以算一下，它没有整数解啊，依次类推， m 等于六十九的时候呢，它呢也是不成立的。 好，所以你会发现，在这种情况下呢，我们至少可以找到满足要求的整数解，即有七个白的，当然了，十二个蓝的，一个红的，使得当 m 等于六十六， n 等于七十四的时候，它是可以满足要求的。 因此，我们的理论最小呃，最大值一千三百五是完全可以成立的啊， 答案呢，就一千三百五。当然，实际上，如果这道题目更严谨一点来说啊，还需要再去论证一下，当你 m 等于六十六， n 等于七十四， x 等于这个七 啊，然后这个呃，蓝色的就是十二红色的一的时候，那么是不是还可以保证 啊，就是甲根乙也能凑出一千二啊，也能凑出一千二。但是说实话啊，就是，其实到这为止呢，我们就没有必要再继续算下去了，因为我们算丙的，这种临界情形呢，已经能够论正，我们把这几个整数解都能找出来了，对吧？其实你没有必要继续论正了。 当然，如果你要严谨一点来讲，还要再论一下甲根乙是否也能满足要求啊，但是这道题目到字为止已经很复杂了，同学们真心讲，已经很复杂了，你还要再继续往下论真，我的天呐，那得论真到什么时候呢，是吧？ 当然这道题目我们说了啊，就如果你要大胆猜想，你说，哎，第二空咱也不会啊，没招了，就猜一个多少，一千三百五啊。 那么多说一句，这道题目呢，跟去年朝阳区初三二模还是一模呀，一个那个排队问题，什么有男生女生跟老师排成了一个什么正方形，其实也是不定方程， 所以我们在这里面呢，核心呢，只想跟大家强调一下，第一个，对于多个信息量的问题呢，同学们可以通过表格辅助自己理解。 那么第二个呢，就是我们对于这种不定方程的问题呢，要不定方程的整数解问题呢？没有什么别的技巧啊，就是不断的去枚举。 那么多个变量呢，我们的核心呢，就是消元，对吧？所以总的来讲就是三个核心的要素，第一，多变多信息量的问题，通过数据表格来辅助理解。第二，不定方程的整数解问题，我们可以通过枚举法。第三， 就是对于多变量的问题，什么 m， n 呐， x， y 啊这种啊，多变量的问题的核心呢，是消原， 找到两个量之间的等量关系，然后呢进行啊，这个消原是吧，那么最终变成单变量求解就可以了啊。好，所以这道题目呢，我们就给大家呢解析到这里啊，我是栗子老师，记得点赞加关注，数学不迷路！

整个卷子我认为他的结构出的特别合理，就是非常适合大家中考之前的热身，这个二模完全起到了自己中考前热身的这个作用。 然后第二件事就是大家一定要注意看这几个题，二十四、二十五、二十六，还有二十八题，二十四题是什么？二十四题是圆，二十五题是函数图像操作，二十六题是什么？二十六题是代宗，二十八题是新定义。 如果这四道题，这个这些有孩子一分没得，那你一定要注意这个孩子两件事。第一个就是他中考前这一个月一定要总结方法了， 你不可能一分都不得，因为这四道题是极其具有高度高度总结的方法论的，你只要有方法，有套路，你不可能一分都不得，这是第一个，第二个，那如果是平时孩子还不错，但这次一分都没得，一定是心态出了问题， 所以心态很重要，很关键，所以大家一定要在考试的这如果家长不行，那就找老师帮他疏导，心态的疏导特别重要，如果这次有孩子这四道题一分没得，那就是心态的问题， 所以你一定要找老家长，不行就找老师帮助他疏导，这件事很关键，我就强调一遍啊，所以最后这个二模怎么说呢？嗯，大家认认真真的去好好做一做，别浪费，他出的真是不错。

跟着辅导走数学不用愁。今天我们来讲一下二零二六年北京西城高三二模数学题的第十五题。这个题考察的是关于填空压轴题，我们来看一下题干。在物理实验当中，相互垂直的两个简斜振动的频率比为简单整数比， 然后有这样的一条曲线， x 方，再加四倍的 y 的 四次方，再减去四倍的 y 的 平方等于零。第一问点 p x， y 是 曲线 c 上的一点， x 的 角值小于一， y 的 角值也小于一， ok， 圈一看怎么正通过这个式子， 也就是意味着 x 的 平方应该等于，这是四外方，再减去四 y 的 四次方， ok， 右边我提一个四外方出来，一减去 y 的 平方是它。 那很显然，咱们知道 x 方是大于等于零的，意味着右边这是四外方，再乘以一减，外方也是大于等于零的。那是不是意味着一减外方 大于零，那对应的 y 方小于等于一，那 y 的 绝对值小于等于一， ok， 它没毛病。再看 x 呢？ 它 x 的 平方，这是均均值不等式，它是不是应该是小于等于？这是四，乘以二分之 外方，再加上一再减去外方就是不等式？约掉约掉，这是不应该是？嗯，扩前方 等于一，所以 x 的 平方是不是也是小于等于一的？那这样的话， x 的 绝对值不是小于一吗？所以这样的话，圈一是对的。 再看一下圈，他说 c 上两个点的距离的最大值是根号六，再复制一份， 那我就设它上面的点坐标是点 p x， y 设这个距离为 d， 那 地方是不是应该等于 x 方，再加 y 方，对吧？好，然后再继续。那刚才咱们求出来， x 方等于谁呢？ x 方等于这个式子， 把它再到这里边来，然后再加上 y 方，这不是关于 y 方的一元二次吗？所以这就是 y 方在乘以括号里边的五减去 四外方，这是它，它应该是小于等于十六分之二十五的， ok 吧？这个其实也是可以用咱们的这个均等式去处理，它小于等于十六分之二十五，那这样的话， d 的 最大值 是不应该是根号下？它应该是二分之五啊？他说最大值是根号六，不等于根号六吧，所以这样画圈二是不对的。 再来看一下 x 三，再复制一份啊， 它是曲线 c 所围成的区域的面积是小于三的，很显然，这个曲线它应该是关于 x 的 对称，关于 y 的 对称。那 ok， 我 可以怎么办？我只研究第一项线的部分，然后面积再乘以四，是不就 ok 了？ ok， 好， 那这样的话我们来具体处理一下。刚才咱们知道只研究第一项线 第一象限的时候，刚才咱们可以写出来， x 方应该是等于 四外方在乘以括号里边一减外方，那 x 两边分别开根号， x 是 不应该等于二外，再乘以根号下一减外方，对吧？好， ok， 那 我们就把 y 分 别讨论一下。嗯，第一种情况， 当 y 是 大于等于零，小于等于二分之一的时候， 那是不是意味着一减 y 方，所以它指定是小于等于一的， 那根号下它也是小一的，那二 y 乘以它是不是应该小于等于二 y 左边谁谁呢？ x 吧。所以 x 小 于等于二 y， 也就意味着 y 应该大于等于二分之一 x， ok， 来画图，嗯， 这是 y 等于二分之一 x， 对 吧？它应该在它上方，那在它上方的话，对应的 零到二分之一的时候， 那它类似这样的一个图， ok 吧？那这样的话，它的面积 s 一 是不是应该小于等于二分之一？ 这一零二分之一乘以一，再乘以二分之一等于四分之一。 s 一 是小于等于四分之一的。好，再看，当 y 如果是大于等于二分之一小于一的时候， 它是不是应该是在这个句型 的内部？那这样的话，它的 s 二是应该是小于二分之一，再乘以一等于二分之一。 那这样的话，在第一项线的面积是不应该是小于四分之一，再加二分之一等于四分之三。然后呢？总的面积呢？ s 总 是不是应该小于四乘以四分之三，它是小于三的，对吧？所以这样的话，圈三应该是正确的。好，接下来看一下圈四，再负一份 圈四，这个就简单很多了。圈四他说过圆点直线是不是 y 等于 k x 啊？ 然后刚才咱们找到这个 x 方应该是等于四外方在乘以括号里边呢，这是一减去外方。 ok， 咱们把它带到里边去， 这变成 x 的 平方等于四括号里边的 k x 的 方，再乘以一减去 k x 扩减方，对吧？然后都有 x 方全部移到左边来， x 方后边应该是四 k 方， 四 k 应该是四次方。嗯，四 k 四次方， x 方再减去四 k 方， 再加一等于零。好，那这样的话，再继续就看它有几个解呗。这东西是不是至多有两个解？ 那至多有两个解的话，那意味着什么东西啊？意味着该直线和这个曲线 c 至多有几个交点啊？是不是还有零到零呢？所以应该是最多有 三个公共点，所以这样的话圈三。嗯，圈四是对的，所以综合答案的应该是一三四。这样的话这题就解了，一定要通过先看门至好。这是第十五题的讲解。

ok， 好， 同学们，好啊，那接下来给大家讲一下咱们刚刚结束的啊，今天刚结束的这个西城的初三二模这个几何综合，好吧，然后这个题他还是一个手拉手加一个斜面中线啊，整体上来说，整体来说的话，老师认为难度 上壳啊，没有那么难哈。呃，首先这个 abc 是 一个等腰三角形，然后角 b 是 一个阿尔法，对不对？然后你就记住啊，这阿尔法和二阿尔法这种东西的话，一般出现如一般如果同时出现的话，基本上就跟手拉手是挂钩的 对不对？要不然的话，他就需要咱们直接去构造一个以二阿尔法为顶角的两个等腰三角形去构造手拉手，要不然的话，那咱们就得去考虑对不对，比如说这个半角模型，通过半角模型，然后再去推这个手拉手，这样， 好吧，然后第一问咱直接过来啊，然后第二问说这个呃 c d 旋转了， c d 旋转二阿尔法到这对不对？说明这个角是一个二阿尔法，然后这个角也是一个二阿尔法，对不对？那这个这当大家看到这个角是二阿尔法，这个角是二阿尔法的时候，应该能够遇上一个事，就是这四个点是一个共圆的， 对不对？因为这个角加这个角是等于一百八十度的，对吧？所以这个圆内接四边形才对角互补嘛，所以这四个点是共圆的，你别管它用的上用不上，但是咱得意识到有这个事，好吧，然后继续呃，说是表示这个 a c 跟 呃 b d 和 e f 的 一个关系，同志们啊，就是这个第一个图啊，咱们之前应该很强调一句话，叫什么呢？叫我卡住的时候一定要去看已知和前面提车，那这个已知包括什么呢？已知和前面提车包括什么呢？第一个包含文字性的信息，第二个包含图像性的信息， 所以第一个图如果这么画，而且这块你知道的是一个直角的话，第二个，第二个，第二个第二题的时候，老师上来啥都没干，直接把这个直角给他做出来了 啊，直接延长之后变成了一个直角，对不对？那我我也不知道这块是不是直角，我就根据我的 d 问的图，第二个我就想这么去干，对不对？这是咱们一个需要干的一个事啊，然后我们接着往下看啊？ 呃，然后我们知道，然后 d 问当中我们可以得到 b、 d 和 a、 c 是 一个二倍关系，对不对？那 a、 c 和 b、 k 我 们看着也像一个二倍关系，对不对？然后 b、 d 是 这个，然后 d、 k 和 e、 e、 f 看着还像相等，那基本上这个结论也就出来了， 对不对？那就是 b、 d 加上个 d、 k 等于二倍的这个 a、 c， 那 也就是这个 b、 d 加上个 e、 f 等于二倍的 a、 c， 对 不对？那基本就这样了。所以到这儿的话，你只要去证明 e、 f 等于 d、 k， 那 e、 f 等于 d、 k 的 话，两边不在一个参数型，那肯定优先去通过全等，全等的话，那我肯定要把 c、 f 连上，对不对？因为这俩参数型看着很，看着很像嘛，对不对？然后连上之后我去正 啊，我去正，这个时候我们还有几种里面有一句话叫什么呢？叫我要改变我的辅助线去输方式，然后让我的辅助线 啊，因为辅助线是给我提供引条件的，然后让辅助线给我提供的这个引条件是我需要的这个条件，那我需要正这个特写，你和这个特写你是全等，对不对？那我直接就去目前我的条件有哪些？有这个边等于这个边， 对不对？其次有这个角等于这个角，为什么呢？因为这个角加这等于一百八，所以这角加这角等于一百八，因为这角加这角一百八，所以这个角等于这个角，对不对？ 然后其次的话，我啊，没有了，那就知道这个角一个边，对不对？那我直接干嘛？我直接延长，延长这个 b d， 对 不对？延长 b d， 然后使 d k 等于 e f， 这样的话，我一个边加一个角，再加一个边 s a s， 这样三角形是不是就全等了， 对不对？然后圈等之后逐过我去再正。这个是直角嘛？这个是直角，然后这仨边相等嘛，对不对？然后很好正啊，很好正啊。这个角是阿尔法，我们是知道的，然后我知道这个三角形和这个三角形是全等的，那这个角 对不对？这个角和这个角应该就是这个，呃，相等的，这个角是二阿尔法，那这个角也是一个二阿尔法，对不对？然后这个边等于这个边，所以这个角是九十度减阿尔法，那这个角是阿尔法，那这个角自动就是九十度了， 对不对？那这个角是九十度减阿尔法，这是二阿尔法，那这个也是九十度减阿尔法，那 a c 就 等于 a k 了，所以我的这个 a 点就是我的阿尔特尔去前面中线了，前面中点了，对不对？那我要正的这个答案它不就出来了吗？ 好吧，这个就是咱们西城啊，西城处在二摩的这个几宗。好吧，整体来说的话也是够到一个手拉手加一个前面中线，他还是非常气，跟咱们中考的这个趋势还是非常像啊，还是非常趋近的啊。

a 二零二六届西城高三二模圆锥曲线压轴体 等基问题，很多同学不具备等基变换的思想，一同疯狂计算，结果壮志未酬。事实上，这两个三角形 b p n 和 b p f 它们是共底，要证明它们等高。也就是说， n 点到 b p 的 距离与 f 点到 b p 的 距离相等， 要计算两个点线距离，当然计算的有点大，因此面积的割补很有必要。高考嘛，考一点初中知识很合理，高中初中不脱节吗？好，我们具体来看。 第一问很简单，椭圆的方程。第二问，我们将 b p 延长与 n f 交一个点 t， 刚才我们要证明 n 到这个之间的距离与 f 到之间距离相等，其实就是证明 n t 等于 tf。 现在我们用等级变换的思想，如果能够证明 t 是 n f 中点，那么 n pt 与 f pt 这两个三角形等底共高，而 ntb 与 f t b 这两个三角形同样是等底共高的，这两组三角形一减，不就是题目中那两个三角形面积相等吗？ 哎！于是我们通过等级变换，设那条直线与 x 轴交于点 t， 横截式取点力带入销元整理，由判别式大于零。两根和两根基。注意到，这个两根和与两根基显然有一个简单的关系，这个关系后面一定会用到 对于 b p 的 直线方程。另外，等于零就可以求出 t 点坐标， 经过简单的代入计算，可以得到 t 就是 n f 中点。由刚才那两组三角形面相等作叉，可得到所求的这两三角形面相等问题解决。 当然，我们还可以有另外一种思想，把刚才的 a p 延长交于 b f 与 q， 如果 p 是 a q 的 中点，那么这个三角形和右边这三角形又是等底共高的，下面这个三角形和这个三角形等底共高， 把这个这个加起来，等于这个加这个，就是这两个三角形面积相等。哎，这是把原来两个大三角形分割。于是呢，我们有这样的正法， 把那个焦点交到 q， 仍然是横截式，支取连力，带入消元，整理两根和两根基， 把那个点求出来，证明它是终点，然后两组面积相等，它们的差，当然面积相等 好。其实对于这道题而言，它的高等几何背景是，调和线数平行截终点，极点，极限 过极点。做一条直线，与椭圆交于两个点，与极限交一个点，加上极点。本身四个点，调和点列，现在再找一个点与调和点列四个点，得到调和线数四条直线， 现在第五条直线与其中一条平行，那么与剩下三条相交。哎，中间这个点就是另外两个点的中点， 这是高等几何的背景。调和线数平行截中点。看一看我们这几年的北京高考题。二零二零年， b 是 p， q 的 中点，二零二二年， d 是 mn 的 中点，二零二四年， h 是 b， d 的 终点。好，对于等级变换，如果题目当中出现两个三角形的面相等，我们要从变换的思想或者它们共底等高，或者分割拼补。 当然，他的高等级和背景是调和线数平行。接重点。好，这是我们高考数学考前视频更新计划，欢迎关注分享！二零二六高考，我们创造辉煌！

这条视频给大家分享北京西城的按摩，然后刚刚下课呢，就赶紧要给大家来分享，因为今天的课程也是上到现在，那我们就先分享啊，这条视频，就先分享这个选择压轴和带棕，那么下条视频呢，我给大家分享一个专门的几棕，就是原棕再加这个几何综合啊，就二十七题。 那么我们首先来看这个第八题，我看了一下就是，呃，大家可能很少有老师去分享这个选择压轴，那么我就作为这个先例，给大家分享一下这个题目的一个做题方法，希望能够让大家在整个考试当中啊，第一能够快速的选出答案，第二能够去积累一下这个题目的一个做题方法。那首先我们来看这个题目啊， 这个题我就不读了，它是一个正六边形，它第一个问题问我们的是线段 o b o m 的 最大值是二，那这个题目我们来画画图，比如说在这， 在这你会发现在这的时候是不是 b 要在这的时候要大？好，那么继续往这走，是不是又开始变，又开始从这开始变小，然后到垂直的时候最小，再开始变大，是吧？到 a 的 时候最大，但他不可能到 a 最最大的就是什么？就是在点 b 的 时候就是二，所以你在考场之上判断出第一个之后，第二个一定错，你答案就已经锁定在百分之五十了，就是 a 和 b 一定有一个是对的。那么再看第三个，第四个，一般来讲出题的顺序是我们的 这个，呃，第三个都会比较简单，就是第一个最简单，第二个，第三个，然后第四个是这样的，那么第三个我们只需要判断一个点，它是一个不等式，所以我们只需要判断一个点就行了。什么呢？就是 k 一定不能等于零，那么我们就判断一下 k 能不能等于根号三，如果说 k 等于根号三，那么第三个错，第四个就对了，在考场上就能快速去做，那么我们来看一下能不能等，当然可以在这的时候， 是吧？我们能知道啊，他在这的时候就是等于根号三，没错吧？ m 在 点 b 的 时候是不是点 b， 坐标是不是一斗根三，所以 k 的 话是不是有一乘根三， 所以说这个是对的，所以根三是可取的，而并不是说不能取，所以你这个就一定错，答案就直接选择 b 选项，在考场上就直接走了啊，就这么做的，能理解吧。那么现在我们怎么去判断这个题目呢？我来给大家再做一个这个详细的分享，我希望大家能够去啊，真的去把知识点掌握的更清楚。好吧，那你看第二个， 第二个你怎么做呢？你看，我们知道的是，假如是这样的，他说做垂直，对吧？做垂直的话，我们就做垂直，那只能是这样的， ok， 好， 只能是这样子做垂直，对吧？呃，这是 m， 然后这是 m 片，因为你 ab 和 d e 是 平行的，所以说你，你这是垂直，那自然这也是垂直，没问题吧？那么你就知道了，这一定是垂直， 能理解吧。同学可能会说，老师，这个为什么是垂直？你看啊，这个是垂直，然后这个是六十度至三十度，没错吧？然后呢，我们还能知道的是，这是一，这是根三，所以这是三十度吧， 所以这就是九十度，能理解吧？就这么做的，所以这个面积就自然就出来了多少？呃，你知道的是，这是二，对吧？这是根三，所以整个就二倍根三至二，二倍根三乘以二，所以面积是根号三，就是当垂直的时候，这个面积是根号二，那个二二倍根三，对吧？ 面当垂直的时候，面积是二倍根三。那么，呃，如果不是垂直，我随便找一个点，比如说我在这，我找的最特殊，当然 m 不 可能在这，如果 m 在 这，那么我们就知道了，这是 m， 这是 m 撇，是吧？那么所以它的面积是多少， 我们就知道了。应该是，这是根三啊，不是，这是，呃，这是一，这是二倍根三，所以这个三角形面积多少？这三角面积就是根号三，所以他虽然不可能在这，但是你往这就是无限接近于这个， 让它的外值等于零，是不是它基本上是接近于根号三，或者比根号三那个就是相差不大的，对吧？所以这个垂直的时候并不是最小值，因为还有根号三的，所以这一定是错的，能理解吧？好，那么再看第四个，第四个怎么去判断呢？同学们， 很简单，我们直接来看，他说了 o m 等于 o n， 那 么只能是干什么？只能是让它在这里， 并且 n 在 上， m 在 下，对吧？然后你就知道了，如果 o m 等于 o n 好做，垂直一定是在这个垂直，这个，这个 o g 的 左右两侧，这个没有问题吧？所以我们就知道的是什么？就是这两个三角形一定是全等的，一定是全等的，所以你就知道这点是 ab 的 中点中点坐标公式， 那么点 a 是 二斗零，点 b 是 一斗根三，所以这个点 g 的 横坐标是不是点 n 的 横坐标加点 m 横坐标是不是就是三？没错吧，所以说这个也是对的啊， 好，这就是这道题，我就已经给大家详细讲完了啊，这是这个选择压轴啊，在考场上怎么做，在现在啊，你做完之后怎么去做，我都给你讲清楚了，我希望的是你能够真正的把这个题目在考场上的方法，以及包括考完之后的方法都能够掌握住，这样的话你能够在考场上做的更快一些。 那么接下来我们来看一下这个带宗啊，这个题目呢，我就给大家把这个呃，这个带宗也给大家讲一下。首先第一问没有任何问题，我跟大家说在做第一问的时候呢，应该是把这个直接都写完，什么呢？就是他有两个点，一个是点 a 是 多少，是 负一斗零，那点 b 的 话，在他的这个右边就是三 a 斗零，因为 a 大 于零，所以就就是这个点 b， 对 不对？那么你这样做的话，那第一问你就知道了， a 这个点 b 坐标是三斗零，所以 ab 就 应该是四。 第一问呢，一定是我们一个快速去得分的题目啊。那么第二问，呃，他说的是交抛物线于点 m， 那 我就知道了，可以把这个点的这个呃这个 m 点去写出来，对吧？ m 点多少是 t 到，这个是，呃， 直接写吧，就是 t 方加上一减三 a 乘以 t 再减三 a， 是 这样吧，我就不化简了，因为，呃，这样的话更快捷。那么你要求点 n 是 不是得求出 b 左边那点 d 呢？是不是零到负三 a？ 好，那么 b d 是 不是就可以求出解析式， y 等于 x 减三 a， 对 吧？那么你就知道点 n 坐标了，点 n 坐标是 t 到 t 减三 a， ok， 那 么这个时候你是不是就可以表示出来这个谁呢？这个 m n 的 距离应该是等于什么？最终化简完之后是 t 方减去三 a t， ok， 好 了，那接下来我们就是流水线的一个呃，操作是令它等于零，所以是 t 一 等于零， t 二等于三 a， ok， 那 这个图是不是就可以画出来了？ 是这样吧，好，这是零，这是三 a， 也就是说点 b 在 三 a 这儿，对吧？这点 b， 然后 呢，这对称轴是多少？二分之三 a， 好 了，那么我们再来看，它说 b e 的 长度逐渐增大，它从二开始，那这个它的长度要增大，但是这个 m n 的 距离要随它长度的增大，先变小再变大，是不是出的非常有意思？你不能挑出任何的毛病啊，你不能说跟你原来做的没关系，但是又不太一样， 对吧？所以我觉得他出的还是可以的。这道题非常不错，那么我们就知道了。那，呃，点这个二有没有可能在这？ 有没有可能在这二一定在零的右侧吧。那有没有可能在这？有可能吗？我们来看一看，如果是这样的话，他应该从哪运动？ 它应该是 b e 的 长度，你要知道永远都变大，所以它只能往左运动，对吧？那往左运动是不是 m n 先变小再变大？没毛病，是吧？所以就知道了，应该是二分之三 a 是 大于二的，能不能等于二？能，为啥？因为你等于二的时候，你这还没动呢，你 e 在 这，对吧？你还没动呢，你但凡 e 开始动，你只能往左动，因为它有增大嘛，所以只能往左动， 所以说就是符合 t e 的， 所以 a 是 大于等于三分之四的。那么你再看 a 那 个二有没有可能在这？ 二有没有可能在这？不可能。为什么？如果在这的话，它是先干嘛？先增大就是 m n 的 值，先增大再变小，那有没有可能在这？ 不可能。为什么？如果它在这的话，是不是？呃，虽然它在增大啊？虽然它在增大，你会发现这个 m n 只有增大，没有减小，所以这道题就只有这一个结果，是不是非常非常的这个简单，但是又一定会难倒一波人，所以说这道题咱们一定要认真总结。

这个代数综合，我认为他有创新，但创新力度不高。还行啊。好，那其实我们在一模的时候有做过类似的场景，我希望大家把它作为一个重点复习的对象。 首先我们根据题目去分析，我们能够得到开口是向上的，且一式分解一下，这个二次函数得到的是 x 减三， a 乘以 x 加一，那么他的两个与 x 中的交点是不是分别就是他和他？ 好，那么有 y 轴的焦点是不就是它？也就是个点 d， 对 不对？好，那么现在它告诉我们 a 在 b 的 左边，那么我们就要知道谁在左谁在右，那就只需要判断负一和三 a 谁大谁小， 告诉我们了， a 是 大于零的嘛，那 a 等于三 a 是 正的，它是负的，对不对？所以我们的点 a 的 坐标就是 负一等号零，点 b 的 坐标就是三 a， 等号零。好，行， ok， 我 们到这第一问，我不做啊，大家去做一下，很简单。好，那么第二个过点 e 做垂线，那我们就能够得到 m 的 坐标，自然跟点 e 的 横坐标相等的纵坐标给它带进去， 带到这个式子里面去就好了啊。好，那么与直线 b、 d 交于 n， 那 我们先要知道直线 b、 d 对 不对？那我们 b 的 坐标是三 e， 逗号零， d 的 坐标是零，逗号三 a， 那 我们直线 b、 d 的 方程或者说解析式是不就有了 y 等于 x 减三 a 嘛？ 好，那么它继续，它交于点 n， 所以 我们的 n 的 坐标就有喽。读一句话，分析一句话啊。好，那么 t 逗号 t 减三 a， n 的 坐标就出来了。好，那他现在又告诉我们， 已知点 e 从二零开始往某个方向沿 x 轴运动，那它到底是沿 x 轴这样运动还是这样运动，我们是不是不是很清楚啊？ 那你是不是就要分两种情况讨论，比如说它是往右运动的，说明我们 t 的 范围就是 t 大 于零。二，如果它是往左运动的，那我们 t 的 范围就是 t 小 于等于二。这两种情况我们都不是很清楚啊，那就分类讨论吧。他说此时还要满足 b e 的 长度逐渐增大， 那 b e 的 长度逐渐增大，同志们，你们想一想，你觉得是哪种情况？比如说 我们来看一下这种情况啊？这是二三 a 在 这里还是在这里？我们也不知道对不对？如果在这里，我们是不是可以是这么走的， 那他是不是在逐渐增大的？不是吧？那么如果是这样的话，三 a 在 这边的话，那他是不是逐渐增大的？哎，目前来看有可能 啊，有可能是逐渐增大的，所以我们要结合下一问来进行讨论。好且满足 m 的 距离。所以我们先要把 m n 给写出来， m n 写出来，目前因式分解一下，就是这个样子，把它的图像画一下，就是这样的。 满足什么要求呢？随着 b e 的 增大，先变大后变小。注意哦，不是随着 m 呦，是随着 b、 e 的 增大而增大 或者增大而减小。也就说我们要看一下 b 是 不是在增大的。比如说，假如我们现在不知道 a 在 哪里，二在哪里，对不对？我们就讨论。首先零在这里，那肯定是在右边嘛。这三种情况讨论一下，好吧，比如说 a 二有没有可能在这里？ 如果二在这里的话，他往这个方向走，你觉得可能会增大而减，先减小再增大吗？不可能吧，所以这种情况就被我们排除了对不对？ 好，那么接下来就看这个位置了啊，如果是这样的话，那他往这边走，所以他就往右边走，对不对？那他是不是先变大后变小？ a 说明我们谁是符合的？说明我们 m 是 符合的，但是 这个 b e 符合吗？ b e 不 符合吧？ b e 的 距离是不是先减小小到重合了零再开始增大，是不不符合了， 所以这个位置就不错的，所以我们只能考虑在左边的情况下，我们来验证一下是否成立哈。如果他是往二的这边运动的话，是不是先减小再变大？太符合了？没问题，而且 b 的 长度确实是随着往这边走在变大的，也没有问题。 好，所以我们就只有唯一的一种情况，就是说这个对称轴和这个二是对称轴大而二小的情况，最终算下来就是 a 大 于等于三分之四。 所以这道题呢，其实相对来说也没有那么困难，无非就是你讨论一下判断是否都符合题意就可以了。我相信大家应该能做到倒数第二步，那么倒数第一步 还是那句话，有序移动就行了啊。好，那么我们的二十六和二十七就到此为止。

今天下午刚考完的西城二摩的这道几宗题，依然保持着超高的水准，他的第二小问难度比较大，两步走，第一步是我们一直在讲的旋转口诀，第二步是几宗中的难点倒角。接下来我们详细解读一下这道题。第一小问中啊， 他需要用到的是证明角度相等，因为我们很容易可以看到题目中已给了等腰，又让我们证明点 a 是 中点，那自然只要证明 a、 d 等于 a、 c 即可，所以我们的目标就会聚焦到证明三角形 a、 d、 c 是 个等腰三角形，在这个位置，他已经在向我们暗示第二小问了。 我们经常会讲一句话，没有无缘无故的低小问，在己东这道题中，这句话是非常重要的，那我们不去详细解读低小问的具体过程，我们只在讲，当你做完题之后，你要把这道题目中用到的核心给他提炼出来，一、找 a、 c 等于 a、 d， 找等腰。二、倒角 后面我们在做第二小问的时候，会用到它进入第二小问。第二小问呢，读完题之后，我们知道它给了一个 a、 c 和 c、 e 之间旋转了二阿法这么一个旋转关系，这两个线段不仅是旋转，而且旋转的是一个不确定的角度， 非常符合我们经常讲讲的旋转口诀，也就是旋转线段带全等。什么意思？就是我不仅要让这两个线转，我还要让这两个线带着三角形转，比如，比如啊，我找到了 a、 c 这条线带着的一个三角形 a、 c、 d， 我 让他转过来，转过来之后他就会转成这样， 那这就是其中给我们的一种尝试性的辅助线思路，他靠谱吗？看完之后他并不太靠谱。为什么？因为在旋转线段带全等这个思路下，不止一种可能性， 现在我转的是其中一种可能性，我还可能转别的三角形。那我尝试了某一个旋转，我怎么知道它靠谱还是不靠谱呢？要和题目中的已知和所求相结合。比如这道题明确求的是小 a、 小 b 和小 c 这三条线段的关系。 那你看，我们转完之后，小 a 跑在这个位置，小 b 跑在这个位置，小 c 跑在这个位置。这三条线啊，完全没有关联上，和我们的所求没有任何关联， 而和我们的已知关联度只和旋转有关系。那他不是我们的 u 型选项。那怎么办？我刚刚提示了，不止旋转一个三角形啊，我们再去看还有没有可能带其他的三角形旋转呢？哎，连接 c f， 那 c、 e、 f 不 就变成了一个可以跟着 c e 旋转的三角形吗？我们给它延长， 大家转到这个位置来。当我这么一转的时候，我观察一下我们要找的那三条线产生了什么样的变化。 第一个小 a 所在的位置在这个位置，第二个小 b， 第三个小 c， 很 明显他回到了什么状态呢？我们的第一条纹的状态就是小 a 中已经有一部分是等于小 c 的 了，我们只需证明这是一个等腰三角形即可。 好，思路一下就通了。那么接下来我们要做的是什么呢？先不要着急，要把这个旋转线段带全等这个思路转换成比较标准的写法，就是旋转三角形在我们的这个解题中是不能够直接这么表述的，我们往往采用的是延长啊正全等的方式， 所以本题的表达应该是延长 a d g 使得 d g 等于 e、 f。 接下来我们就要去证明这两个三角形全等。 观察可得，已经有两组条件是明确的，一个是 c d 等于 c e， 一个是我们延长的 d、 g 等于 e、 f。 这两条线相等，中间唯独缺一个东西，就是他们的夹角相等，也就是角 f、 e、 c 等于角 gdc。 我 们还缺这个。分析到这个位置，就进入了本题的第一个难点，导角。本题有两个难的导角，这只是其中之一，我们来看看是怎么推导的。我想证明这两个角相等，会发现其中一个角是四边形的内角，而另外一个角是四边形的外角。角 gdc 加上角 fdc 是 等于一百八十度，我只需要证明角 fdc 加上角 f、 d、 c 也等于一百八十度即可。 f、 e、 c 和 f d、 c 同时转换到了四边形内部这两个角，发现不太容易证明它俩相等，那我就会切换到另外一个视角，看另外一组对角是不是相加等于一百八十度呢？观察可得， 角 d、 f、 e 加上角 d、 c、 e 是 等于一百八十度 a， 为什么这两个相加是一百八十度？因为角 d、 f、 e 加上它的补角是 bfe， 而这个 bfe 呢，是本题所给的一个关键条件。二、阿法这个条件我们不用上，肯定是证明不出来本题的，所以这样一来，我们就推导出了 如何去证明这两个角相等。观察和推理的思路是这样一步一步逆着来的，所以写的时候是从下往上写的，本题的第一个难点突破了之后，全等就得以证明，所以三角形 cdf 那第二个点就到哪了呢？就到了，我们如何去证明这个位置是一个大等腰？回顾本题，我们已经得出，哎，这一部分和 这一部分相等了，只要再证明这一部分和这一部分相等，就可以得出 a 加 b 等于二 c 了。所以到这个角 到这个三角形就变成了一个关键了。那我们接下来先看在这个三角形中有什么已知条件呢？哎，看旁边的这个图可以看到这个位置啊，是有一个二倍的阿尔法的，千万不要忽略了它，因为最开始就告诉了我们底边是一个等腰三角形，所以第一步 角 d、 a、 c 等于二倍的 r 法。如果它是个等号三角形，我只要能够证明这两个底角中任何一个等于九十度减 r 法，那另外一个也一定等于九十度减 r 法。所以我要去观察找哪个角去证明它是九十度减 r 法。刚刚的全等就可以帮我们发挥作用， 因为这个全等是一个旋转全等旋转全等意味着什么呢？意味着手拉手模型的出现。 所以本题是两个等腰三角形的旋转啊。一个等腰三角形是这个小的，它的顶角是二倍的阿法。另一个等腰三角形是这个大的，它的顶角也一定是二倍的阿法。所以由此我们可以得出这个角是二倍的阿法。 那这样一来，我就可以得出上面的这个底角是九十度减法。所以他还充分利用了手拉手模型的逆向使用这个关键结论，所以角 f c g 等于二倍打法，角 c g， a 等于九十度减法，把一和二他俩一结合，可以得出 a c 等于 a g， 所以 综上所述，我们就可以得出小 a 加小 b 等于二倍的小 c， 也就是本题的结论就出来了，也就是 b d 加 e f 等于二倍的 a c。 非常好的一道题，值得大家把它认真的记在笔记本上。

这条视频给大家分享北京西城二六年五月份的二门考试原宗，我们来看这道题目啊，这个题目呢，其实在原宗当中并不是特别的难，因为我们现在整个上课分享的原宗难度要更大一点。为了应对二六年的北京中考， 我们来看下这道题目。呃，首先第一问，他要证明的是 e f 是 圆 o 的 切线，所有的辅助线呢，我都已经做出来了。然后这个题目就不再带大家去读了啊，我们直接去倒角就可以了，比如说这个角是点，这也是点，这就是两个点，对吧？ 然后呢，我们通过这个题目当中，我们知道或者设 r 法吧，这样可能好表示一点啊，这 r r 法，这 r r 法，然后这个角是四十五度，对吧？那么我们还知道什么？这个题目当中有一个相当，现在就是 e f 和这个呃 b f 是 相等，所以就是这个角就是四十五度加二十法，那么你就知道这个角了呗。就是呃，一百八十度减去九十度减二二十法，对不对？所以呃这个呃一呃那个就是等于九十度减，呃，这个九十度减二二十法，就是重说一下啊，就是这个是四十五度加二十法，这四十五度加二，所以是九十度加二二十法，一百八减去 这两个角就是顶点嘛，九十度减二二发，这二二发随着九十，第一问就挣完了，很快，那么第二问他说的是这个做垂直，然后延长有比例，那么我们就因为有半径，其实就很好解决。第一问挣到垂直，所以我相信百分之九十同学都能去往这做，就是你设 a f 是 x， 然后 c f 就是 三 x， 那 么这个 o f 就是 x 加二，这就是二，对吧？因为半径不是他告诉我们了吗？是直径是四，所以半径就是二吗？好，那我们就可以勾股，直接得出来， x 是 等二分之一的， 那么你得到这个之后，其实你这个三角函数就能全部得到。同学们，在，呃，原宗当中我已经说过了，要么是勾直角，要么是造相似，对吧？那这个里面其实我们这个角的三角函数都有了，为啥？因为这是二，这是二分之 五，所以它的比例就是三比四、比五，那你就知道了，什么呢？因为这个角和这个角什么关系？是相等的，为什么？ 因为我们知道的是这有垂直，对吧？然后这个也是直角，没问题吧？然后呢？这有垂直，所以这又是个矩形，好，又是因为零，呃，那个叫一组平面相垂直正方形，这个不过不重要，就知道平行就行了，这 和这相等，是吧？所以你就可以用这个角的什么值向函数来做，这是二，那这个就知道了。二对应是三份，所以这就是二，一份就是三分之二，这是五，所以是三分之十， 对吧？ o n 等于三分之十，所以你就能够知道这个 b n 的 值等于多少。 b n 就是 三分之十，减去二就是三分之四，这个就可以快速搞定，因为这个就是利用的是这个三角函数的一个快速求解。 还有同学呢，这个题目可能没有做出来，对吧？那其实就是需要你，呃，接下来对于原宗要格外重视了，因为原宗的难度一定会增加，因为它是一个分水岭， 所以说同学们对于这道题目呢，咱们下一周还是要去总结一下，你在做原宗当中的时候，是不是按照孙老师所给你讲的，你听我的视频当中所说的对不对？是不是构直角或者造相似啊？如果你都没有去想到这些，或者你不知道如何去下手，其实你的原宗就需要在 多加一些题目的练习，然后再去做悟道，再总结。这样的话呢，能够在中考当中遇到原宗就能够不慌，你就能够有方法去可以去做，这样的话能够拿下中考的原宗，后边题目你也就能够顺理成章去推进了啊。所以说原宗一定要特别重视这道题目，大家下一周一定要好好总结。

情怀二模数学部分难题讲解先看填空压轴十六题，这道题目信息量很大，难度不大，考察学生对信息的萃取能力，实际上是一个圆中倒角的问题，我们具体来看一下， a、 b， c， d， e、 f 实际上是这个圆当中的六等分点，然后 p 点呢，又是弧 a、 f 的 中点，所以 p 点相当于是十二等分点。 有一个球从 p 点开始撞击到这个 q 点处啊，弹到 m 点，然后 m 点呢，又弹到这个 f f， 正好就是个球洞，就说明他这样打球打到这里转去回过来，回过来正好就进了这样的一个球洞，让我们去求这个角 p q o 的 度数。实际上打过球的同学都知道，这两个角它就是会相等的，对不对？当然这道题目提题目给了你这样的提示， 所以我不妨就设这个角度为 alpha， 那 么这个角也是 alpha， 这个角也就是 alpha， 然后再根据这个 p 点，它是弧 a、 f 的 中点，所以实际上很快就可以求出这个角 p q， f 啊，它就是十五度，它是十五度之后呢，那么这个角 o f， q 就 等于 alpha 加十五度，所以这个角呢，就等于 alpha 加十五度。 这样的话，我们很快类似于像这样把它搞一周啊，这个大三角形里面的所有的角我们都给它标注出来了，那接下来我们就根据这个圆周角和这个圆心角的关系列出一个方程。实际上角 m o q， 它就应该等于两倍的角， m f q， m o， q 是 一百八十减去两倍的算法 m f q 呢，它就是算法加算法加十五，也就是两倍的算法加十五，这样的话我们就可以给它解出来，这里就是四算法加三十，那么六算法就等于一百五十算法就可以给它求出来，就是二十五度，所以答案就是二十五度。 二十五题告诉你，二次函数 y 等于 x 平方减， mx 加 m 减一， m 不 等于二。第一问，求证，函数图像与 x o 总有两个公共点，那么这道题目整体上我们就直接令 y 等于零，然后得到这个 data， 就 等于 m 平方 减去四倍的 m 减一，这样的话给它整理一下，它就是 m 减二括号的平方，因为这个 m 是 不等于二的，所以这个得它呢肯定就是大于零的，那我们就得到这个方程有两个不等的实数根，要对应的就这个函数与 x 轴就有两个公共点，这是第一个思路。第二个思路呢，我们也可以观察到这样的一个式子呢，它直接可以进行因子分解，你看可以写成 x x， 然后 m 减一， 一，然后负负，所以直接可以给它解出来 y 就 可以写成等于 x 减一，乘以 x 减 m 加一，写成这样的形式，所以解得 x 一 呢，就等于一， x 二呢，就等于 m 减一。那么 这里如果是用这种方法去写的话，你要特别说明一下，因为 m 不 等于二，所以 x 二不等于一，所以这两个方程的根呢，它是不相等的，所以我们也可以同样的得到它有两个公共点，这是两个不同的思路，同样的应用到第二问当中呢，我们也是一样的原理，有两个不同的思路， 函数图像与 x 轴交于 a b 两点，告诉你 m 的 范围，求线段 a b 的 长度，那么要求线段 a b 的 长度，我们有两个思考，第一个思考呢，不管你怎么样， a b 的 长度我始终是可以写成 x 一 减 x 二的绝对值的形式，对不对？那这个东西我直接就可以写成根号下 x 一 加 x 二， 平方减去四倍的 x 一 乘以 x 二，就把它转化成了伟大定律的这个形式，那么这样的话就可以写成根号下 x 一 加 x 二就是 m， m 的 平方减去四倍的，哎， m 减一其实就是跟刚才的形式一样，对吧？这里面就是根号下 m 减二括号的平方，也就是等于这个绝对值 m 减二， 这是不管如何，我们直接套这个公式就可以给它转化成这个了。你也可以根据我们刚才第一问的第二种方法，直接给它进行英式分解，因为它本来 x 一 就解出来的是一， x 二解出来的是 m 减一，所以这个绝对值 x 一 减 x 二，直接就可以得到 m 减二， 这样也可以不论用哪个方法都可以比较快速的得到这个 ab 的 长度啊，就是 m 减二的绝对值。那既然是 m 减二的绝对值的话，实际上就是告诉你 m 绝对值是小于等于三，让你去除这个绝对值的这个范围，这个还是比较简单， 这样的话我们可以得到 m 是 大于等于负三，小于等于三，因为 m 特别要注意 m 是 不等于二的，所以这里且且 m 不 等于二是这样的一个形式，那你要去解它的不等式，那我们可以解一下 m 减二呢，实际上就是大于等于负五，小于等于一，那么且 m 减二就应该不等于零， 然后给他套个绝对值的话，那负五到一之间给他套个绝对值的话，显然 m 减二的绝对值呢，就是大于零，小于等于五，这样就搞定了。二十六题，三角形 a、 b、 c 中 ab 等于 ac 等于六倍，刚好 d 是 bc， 延长线上一点， bc 跟 cd 是 相等的，这两段是相等的，这是一个等腰三角形。 第一问，当 e 是 弧， a、 c 中点时，让我们去求证 b 是 圆 o 的 直径，那要证明 b 是 直径的话，根据这么多的等量关系，我们最好的形式就去证明它所对的圆周角是九十度。 那么到底是正这个角等于九十度，还是正这个角等于九十度呢？先不管怎么样，因为有这么多的等量关系这道题目，我们不妨可以通过标注一下角度，或者说射角，那么射它为阿法，它就是阿法。根据这两段弧相等，里面就有很多很多的角都可以被表示出来，那么它就是阿法，它也是阿法，它是阿法，阿法。那么这个等幺三角形 a、 b、 c 的 底角就是凹阿法，所以我们就可以转化到这个角就是凹阿法 啊。这个角 a、 c、 b 呢，他又是这个三角形 a、 c、 d 的 外角，你又是 r 法，所以实际上我们就可以得到这个角 d 就是 r 法。这样的话，就会发现三角形 b、 e、 d 他 也是一个等腰三角形，他是一个等腰三角形的话， c 点又是中点，所以我们就可以得到这是垂直， 既然他是垂直的话，那他就是九十度，九十度所对的，那么他是九十度的话，我们就可以得到这个 b、 e 呢，就是圆 o 的 直径，这样的话，第一问就给它求出来了。 第二问，当 e 是 a、 d 中点时，让我们求圆 o 的 直径， e 是 中点，而 c 又是 b、 d 的 中点，所以我们比较自然地想到把 e、 c 一 连，那它就是中微线，中微线的话， e、 c 和这个 ab 呢，就会平行，平行就相当于是一个正 a， 而题目圆当中的经常这种图形呢，它又是一个反 a， 所以 它既是正 a 又是反 a， 我 们就可以推出它是等幺三角形，实际上就是这个角， 它就是跟它是同位角的关系，而这个角它跟它又是圆内接四边形外角的关系，所以这两个角就可以推出它相等，那 a、 d 呢？就等于 b、 d。 得到 a、 d 等于 b、 d 的 话，我们就比较容易处理了，就可以有两种常见的方法。第一种方法呢，我可以利用三角形 a、 b、 c 这个等腰和三角形 a、 b、 d 这个等腰呢相似，可以把这个下面的这个 b、 c 啊给它求出来，我也可以根据双勾股把它求出来，都可以，具体我们看一下，它是六倍根号二，那我不妨就设这个为 x x， 那 么这里就是二 x。 两个等幺三角形相似，幺比底就等于幺比底，那就六根号二，这个小三角形的幺比上小三角形的底，就应该等于大三角形的幺比上大三角形的底。这样的话，我们就可以得到八 x 的 平方呢，就等于七十二， x 就 等于三， x 等于三。之后呢，我们把这个 o、 b 一 连，这个就是半径， 这个就是 a、 h 就是 三，这个是六倍根号二，那么这个 a、 h 就 可以给它求出来，就是七十二减九，六十三开根号，那就三倍根号七，所以它就是三倍根号七，减去半径，这样的话我们就可以列出半径的平方就等于三倍根号七，减 r 的 平方， 加上这个 x 是 三三的平方，就是九，这样的话把半径减出来，然后乘以二就可以了。我们也可以知道 b d 和 a d， 那 么这是二 x， 这是六根号二， 同样的可以列出一个六倍根号二的平方，也就 ab 的 平方减去 bh 的 平方，他是不是就等于 ad 的 平方减去 hd 的 平方，这样的话就是七十二 减去 x 的 平方，就应该等于啊，这个不是六根二，等于这个 ad 的 平方，就四 x， 十六 x 的 平方减去三 x 的 平方，就九 x 的 平方，这样的话也可以把 x 求出来，然后再把直径求出来都可以。 我们来看最后一题，让我们求这个圆弧三角形 a、 b、 c 的 周长，那么这个三角形呢？我们要把它称作为来落三角形，那它连起来呢？这里面的 a、 b、 c 这个三角形呢，是等边三角形，然后分别以每一个点为圆心，这个 a 为半径做弧， 呃，它的周长呢？很好求，就三段弧长，我们直接套公式，一百八十分之 n 派 r 乘以三，那么就是这个派 a 面积呢？也很简单，直接把这个 公弦的面积算出来，乘以三，再加上里边的这个正三角形就可以了。那么公弦的面积可以用这个扇形的面积减去，正三角形的面积，也就是三百六十分之 n pi r 的 平方减去四分之根号三 a 的 平方，那么让他去乘以三，再加上个四分之根号三 a 的 平方，算出来就是这样的一个面积，那么算出来应该是二分之 pi 减根号三 符号 a 的 平方。要问圆弧三角形 abc 运动时有何特性呢？如图三，圆弧三角形 abc 沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，他每时每刻都有一个最高点，最高点形成的图形大致为什么？那么首先这个选项 d 是 可以上来就给它排除掉的 这个 abc， 我 们会发现他下一秒对吧？我们只要确定他下一秒是平的还是这样的还是这样的，我们就可以得出答案。那我直接就让他比如说 转过来一点点，他原来这个图形在这个地方是相切的对不对？那他往这边转动一点点的时候，切点是不是就跑到这边来了？或者说我画到这个图位置来了，那切点跑到这里来了，但他还是相切的， 他只要还是相切的，那我们就知道他的圆心和这个切点相连，他就会垂直于下面这条切线，并且这个距离就是等于半径。所以 a 点到下面这条直线的距离呢？始终还是 a， 既然它转动之后， a 点到下面这条直线的距离始终还是 a 的 话，那就说明 a 点它是在这样一条平的直线上的，对不对？那这样的话，我们就直接可以得到答案是 a 了，就它下一秒至少肯定是平的，它下一秒既然是平的话，那我肯定可以得到答案了。至于它下两秒，下三秒，下四秒，那我们后面还有这个问法去让我们做研究。我们先来看一下这个下一问， 它是说数学家发现圆弧三角形 a、 b、 c 能在边长为 a 的 正方形中转动，且始终保持与正方形的每一边都有，且只有一个公共点。呃，让你去证明，求证。弧 a、 b 与 d、 e 有 且只有一个公共点， 它这里罗里吧嗦讲了这么多字，但它最终让你证明的是弧 a、 b 与 d、 e 有 且只有一个公共点，那就是相切嘛。大道至简，我们证明相切的方法，要么就是连半径 正垂直，要么就是做垂直正，它长度等于半径，那么在这个题当中显然是做垂直，对不对？我们过 c 点做上面这条直线的，这个垂线做完之后，我们会发现这里是一个矩形， 它这个垂线的这个长度呢？它就等于这个半径。那我做完垂直之后，这个线段长度呢？等于半径，所以也就证出来了它是相切的。 然后我们回过头来再看一下这一位，他是不是无时无刻都是保持这样的一条水平线的运动呢？因为你这边只要不断的往右转动的过程当中，只要下面是相切的情况之下，那上面的这个 a 点，他与切点的连线，他就会垂直于下面这条直线，并且长度就是等于半径，那他不就是在一条线上运动吗？当你这个切点 转转转，继续转，转到 c 点在下面这条直线上的时候，那下面这一位让你证明呢？就是上面又出现相切了，那么它这个线呢？还是长度？这个高度，这个宽还是等于 a？ 是 不是？所以它无论怎么样一直转，一直在？同理，你看这两侧也是一样的，它无论怎么转动，它始终都保持它的最高点到下面的这个长度啊，是一条平的，宽度是一样的，是不会变的。 那么最后一个呢，是让你画一个圆弧多边形，使其满足，将它放在边长为 a 的 正方形中，转动时也能始终保持与正方形的每一边都有，且只有一个公点，该图形不能是圆弧、三角形或圆。那这个我们画一个五边形就可以了。画一个正五边形，保证它这样的长度， 就是以它为圆心，以这一部分是 a， 这部分让它是 a， 以 a 为半径，这样画一段弧，然后再以它为圆心， a 为半径，画一段这样的弧。 以它为圆心， a 为半径，画一张这样的弧。同理，这样画出来，那我们得到这样的一个圆弧多边形呢，它就可以满足在题目给到的这个 要求。那你可以想象一下吗？它这里是相切的，对不对？它这里是相切的话，那么你上面这个是它的圆心，那么圆心到这里的距离就是等于这个宽度 a， 那 你再转转转转转转，那切点也会发生变化，只要你是相切，那它都还是在上面，对不对？然后你转到别的地方的时候，假设这个点跑到这里之后，那上面又开始出现相切了，那同理，这两侧也是一样的，所以这样的话，我们就可以让题目满足我们的要求。

哈喽，朋友们好，我是栗子老师，那么接下来呢，我们给大家也来解析一下昨天结束的啊，西城区初三二模的新定义压轴体啊，当然今年的这个新定义压轴体呢，从定义上来讲呢，还是一个非常经典的点类新定义 啊，那名词只要是点类性定义，咱们都能乐呵呵的把点的轨迹找出来，是吧？所以点在哪啊？当然，整道题目来讲呢，我觉得第一定义呢，不太难分析，但计算上面呢，稍微有一点点复杂啊，看一下 他说在坐标 c 当中，对于一个半径为一的圆 o 和它的一条弦，任意的啊，满足点 p 是 三角形 a b p 以 a b 为腰的等腰三角形。 审题别审错了啊， ab 为幺啊，那么并且列弧 ab 上所有的点均在 abp 这个三角形上或者三角形的内部，那么我们就称啊点 p 为关联点啊。当然同样道理啊，咱们先不着急解题啊， 其实这道题目呢，我们把定义拆解完了呢，剩下来的其实就毫无难呃，就是唯一的难度就是最后的计算。好，我们先来看一下， 在这呢，咱们也给大家手搓一下这个版本啊，也就是说，我随便给同学们画出一个圆啊，这个就是圆 o， 我 也随便给同学们画出其中的一条弦，他叫 a， 他 叫 b， 那 我们现在问同学们，请问你能否找出弦 ab 的 所有的关联点？ 好，那我们想关联点是什么呢？第一要满足啊，以 a b 为腰的这样三角形，当然就是什么两元一线，也就是说，同学们，首先啊，要明确，就是这个点 p， 要么就是 a p 等于 ab 啊，要么就是 b， p 等于 ab， 对 吧？也就是说你得点 p 在 哪呢？以 a 为圆心， ab 为半径的圆啊，或者以 b 为圆心， ab 为半径的圆，当然那个特殊位置要去掉啊。 好，那么这是一个第二个的话呢，他说裂谷 ab 上所有的点都在三角形 ab 的 内部及边上， 这个猎虎啊，要在它的内部及边界上面。其实大家看到这个呢，大体上就能够感知的到，什么叫做在三角形 app 的 内部啊。那么极限情形一定是什么？ 相切，对吧？一定是相切，当然这个点屁咱们知道肯定在元外啊，元 o 的 外部，你可能不可能跑到里面来是吧？你屁点跑到里面来，那怎么画都画出来。 所以你要把 ab 这一段列弧横定包在 abp 的 内部及边界上面。那么同学们想一下它的临界情形是什么？好，我们也就是说可以做以 a 为切点，做出一条切线 啊，以 b 为切点，再做出一条切线。 嗯，好，那么注意，假定两条切线的切点，我们随便标个点吧。好吧，呃， m 点好了， 那么同学们要注意，这个我随便画的啊，同学们要注意，如果你做出来了两条切线，那么大家看哪一个区域是点屁可能存在的区域，哪个区域 啊？那么很显然就是这块区域。为什么？因为切线，如你以这条线为例，应该在这一条线的右上，右右上方，对吧？ 那有时候老师能不能跑这来呢？比方说点 p 在 这行不行呢？不行啊，这样你一连的话， p b 这个一条线不就是与这一段裂弧怎么样啊，相交了吗？他就不能包含在里面了啊，所以极限情形呢，肯定就是 ab 为切点。 好，那因此，呃，你找到这个点行不行啊？其实他就是完全相切也行，对吧？切点就是 ab 也可以啊， 好，那么当然在这个点这条线上行不行啊？这个也可以，你你连一下看看是吧？啊，完全满足要求啊。好，所以我们知道就是所有的点屁首先在哪呢？所有的点屁首先是要在这个区域当中 及两条切线的形成的这个呃相，呃这个重合的区域，对吧？就点 m 的 这个上方的区域啊，这部分区域是点 p 能够存在的， 当然还要满足以 ab 为幺的等腰三角形，所以我们刚刚也讲了有可能呢会产生什么以 b 为圆心， ab 为半径的一个圆。 好，那么也要以 a 为圆心， ab 为半径的圆啊，当然我这个，哎呀，我这个图画的稍微有点不，不太 以 b 为圆心， ab 为半径的圆啊，当然这个应该变稍微大一点，我因为我这个手搓呢，肯定不不不，是很精确，同学们呢，自己可以拿啊，这个什么尺尺量角器啊，等等啊，这个圆规啊，去做图啊，那我也再复制一个， 也有可能呢，是以呃 a 为圆心画的对吧？好，那么这样一来同学们就清楚了，那么请问所有的呃关联点在哪里啊？就应该是在呃这一段圆弧，两段圆弧，对吧？两段圆弧，一段圆弧在这， 还一段圆弧在这，能理解吧？好，有人说，老师，为什么呀，为什么一定要在这两段圆弧上面啊？我们再次解释一下啊。 第一个以 ab 为腰，就是以 a 为圆心， ab 的 长为半径画圆， b 为圆心， ab 的 长为半径画圆，所以点 p 应该是在这两个绿色圆上啊，当然一些特殊位置除外啊，比方说 b 点呢，肯定要刨除掉是吧？就 p 点跟 b 点重合，肯定不满足。 第二个呢，我们也强调过，就是要保证裂弧 ab 上所有的点都要在三角形的内部及边界，一定是在这一块，就是点 m 为分界的这个区域当中。 好，所以点既在这，又要在两个绿色圆上，所以重叠的部分就是这段圆弧跟这段圆弧。但 同学们也都知道啊，这个如果说这个图形是个对称图形的话，其实两边圆弧的长是什么啊？是一样的对吧？是一样的啊，好，那么因此我们通过简单的拆解就能够画出所有的关联点。好，我们再重复一下，所有的关联点在哪里 啊？第一，做出啊，这个弦为切点啊，把这个弦的端点为切点，做两条切线啊。第二，以弦的端点为圆心，弦长为半径，做两个圆， 那么形成的重叠的区域就是这段圆弧和这段圆弧，即为我们所要的 啊。好，那么因此这道题目呢，就拆解完了。当然剩下来的第一个问题呢，其实咱们就不多说了好吧，因为第一个问题太简单了，同学们自己呢，简单画个图就出来了啊，答案应该是 d f 和 e f， 这个咱们就不多说了啊。 啊， d f 和 e f， 那 么我们着重的来说一下第二题，第二题，你看这个考法，他说啊，嗯， y 等于 x 加 b， 当然 b 大 于零与 x 轴 y 轴分别交于 g h， 如果 g h 上存在的圆 o 的 某条长度为根号二的弦的关联点， 那很明显，对吧？那么存在就是有就可以了，所以只要保证线段 g h 与所有的关联点有重叠，或者说有交点即可，对不对 啊？ g h 是 一条线段，并且这条线我们也说了，它非常特殊，一定会产生多少啊？四十五度角，对不对？好，那么我们再来解释一下，因为同学们要知道长度为根号二的弦有多少条啊， 无数条，那我们刚刚已经说了，只要你随便定一条弦，你就能发现它形成的关联点是两段圆弧， 当然这一条弦的长度是定的情况下，这条弦可以随便转，也就等价于将整个两段圆弧也是绕着点 o 来转，对不对？ 好，我们解释一下啊，只要这条弦的位置定的长度定的，那么它所对应的关联点是两段圆弧 啊，是两段圆弧，那么因此呢，当我们的弦因为它长度定，但是弦可以在圆上旋转，对不对？ 那么导致它所有的关联点两段圆弧呢，也应该绕着点 o 来旋转，当然我们刚刚也解释了，它肯定是个对称图形啊，那么也就是说旋转之后最小的半径在这，最大的半径可能在这，对吧？我们讲可能啊， 好，那么因此大家就知道，应该最后所有的关联点，只要长度定的话，最后的关联点应该是一个圆环啊，应该是一个圆环，对吧？同学们能理解这意思吧，应该是圆环，因为两段圆弧分别绕着点 o 在 转吗？ 好啊，当然这个我们都已经拆解过了，所以其实这个定义有了之后呢，剩下来的呢，其实很简单，我呢给大家呢，用一个具体的图来看一下啊。好，所以同学们来感受一下。 好，我在这呢，就是我先随便定了一条弦， e f 是 根号二啊。嗯，这样呢，我们就先确定一下，就随便我画了一条弦， e f， 它就是根号二。 好，这洛基能理解啊。好，然后呢，呃，接下来呢，就是我这个明确了之后呢， 好，我们就想能够画出它的关联点吧。好，怎么画的呀？分别以 f 点为切点做切线，圆的切线，以 e 点为切点做圆的切线。好，形成的这个焦点在焦点的右上方的部分，就这个黄色区域， 即为点屁，能够存在的区域，这是第一步啊，就是这个在什么包含在内部的时候啊，当然边界是可以取的啊。黄色区，呃，边界是可以取的， 那么当然了，再以 f 点为圆心， f e 的 长为半径。好，我们画出来了一个圆啊，就是这个 f 点为圆心啊，他的长为半径画了一个圆，就这个圆 啊，当然也以 e 为圆心， f e 的 长为半径呢，我们也可以画一个圆啊，当然我在这也也给大家画一下啊。好，我们就在这个当中再给大家画一步啊。所以同学们会发现 这个圆和，呃，以，呃， f 为圆心啊，根号二为半径啊形成的圆 啊，以及以 e 为圆心，根号二为半径的圆。就这两个蓝色的圆与黄色区域的公共部分。哪呢？就是这一段弧，对吧？看得出来吧，这一段弧啊，以及啊， m n 这一段弧啊，以及 m n 这一段弧 是我们所要的，对吧？是我们所要的，但这个只是我们定了一个弦长为根号二的弦，就是 e f 的 长度为根号二，我们只是定了一个，那么同学们要知道，当弦长，呃，定的情况下， e f 可以 在整个圆上怎么样啊？旋转，对吧？ 所以导致呢，这两段圆弧啊，一就是这一段弧啊，和这段弧呢，就是 m n， 这段弧跟这段弧呢，应该怎么样啊？绕着圆 o 来转，刚刚我们也解释了，它本身是个对称图形啊，所以我们就知道，最小的半径是什么呢？就是 以 o 为圆心， o m 的 长为半径。最大的半径是什么呢？就是以 o 为圆心， o n 的 长为半径。好，同学们就清楚，那么我们在这里面呢，这个所有形成的， 呃，就是关联点在哪里呢？所有的关联点就是以 o 为圆心 o， 哎， o 呃， o m 为半径 的一个圆，就是这个红色小圆，以及以 o 为圆心， o n 为半径啊，形成的一个圆 啊，就是这个红色的大圆。那么这两个圆形成的圆环及边界啊，肯定都是能满足要求的，就是所有的关联点在哪？就在这个里面，是吧？就在两个红色圆之间，当然这个红色圆半径好求吗？ 好求啊，为什么？因为 em 的 长是多少啊？根号二就 e 为圆心， e f 根号二， em 根号二 要 m， e 刚好二， o e 是 一， o m 是 刚好三，所以小圆半径是刚好三，大圆半径呢，同样道理，对吧？这个稍微算一下，这一段呢， e n 的 长呢？还是根号二是不是？当然你做垂线的话呢，这个就是一，一，所以就是二一， o n 的 长呢？根号五啊。 那么因此在我们第二问当中，所有的关联点就是在以 o 为圆心，根号三为半径的红色圆，以及根号五为半径的红色圆形成的圆环的内部及边界。 现在我们要保证 h g 跟它有交点就行了，线段 h g 有 交点，当然了， b 要大于零啊，所以最小的情形在哪里啊？ 啊，就是因为它刚好夹角四十五度啊， h g 刚好在红色小圆，此时的 b 等于多少呢？ b 等于根号三，对吧？ b 等于根号三，当然能取啊，边界是有意义的是吧？ 好，那么最大最大最大跟外面的圆怎么样啊？相切啊，当然半径根号五， o h 是 长呢，根号十啊，因为这个夹角是四十五度啊，直线于 x 处加角四十五度，所以呢，这个特殊的直角三角形 o h 去掉根号十，也就 b 的 去掉根号十 好，那么因此在这种情况下呢，我们就能够轻松的算出来了是吧？好，那么也就是小 b 的 范围应该是大于等于根号三，小于等于根号十啊，也就 ok 了 啊。那么其实最后这个问题呢，算法上面来讲呢，是一致的啊，就是最后这一道题目的算法，跟前面的这个第二问的算法是一样的， 你看，它又来了， m n 等于是上面一条弦， m n 的 长等于一，是不是能够找出所有的关 联点，对吧？是不是能够找出所有的关联点？所有关联点是什么？那肯定当然也是圆环了啊，但我们知道就是只要定一个 m n， 那 其实它就能够产生两条弧，对不对？而且这个弧长呢，你肯定能够算得出来啊，因为它非常特殊嘛， m n 的 长等于一嘛？ 好， k 呢，是 m n 的 中点，如果直线上面尤其只有两个弦 m n 的 关联点，也就是说在你 m n 旋转的过程当中，保证 y 等于一，这条线直线 于两条弧，就是形成的两条弧，尤其仅有两个焦点就行了，对不对？尤其仅有两个焦点就可以了，好，那在这边注意一下， m n 的 长定的，但是位置不定，也就是说你只要确定一个 m n， 你 只要确定一个 m n， 你 就必然， 你确定一个 m n， 你 就必然会有这个一个咱们所谓的呃呃，两段弧，对吧？哎，有两段弧，好，那么你再有一个 m n 的 位置，你又有两段弧， 我们现在要求是这两段弧与 y 等于一，尤其只有两个焦点，两个不同的焦点就可以了，对吧？好，那么当然我们在这呢，也结合这个图像呢，给同学们具体来看一下啊，大家也感受一下。 好，那么大家看，我在这呢，还是提前给大家把图做出来了，这个图同学们能理解，因为 m 的 长等于一啊， k 点呢，是它的终点啊。 好，那么现在呢，我们首先以 m 点为切点，做一条切线，以 n 点为切点，做一条圆 o 的 切线，那么两条切线交于这个点，我们假定称之为点 q， 只要在点 q 的 这个黄色区域形成的黄色区域 指第一步，对吧？第二步，以 m 为圆心， e 为半径，就 m n 的 长为半径，画一段弧，哎，你发现与黄色区域产生了一段弧，我们假定这段弧就叫做 k t 弧啊， k t 弧， 好，那么当然以 n 为圆心， e 为半径，会产生一条弧，我们另外一条弧呢，我们就假定称为 e f 弧啊，那么因此同学们就知道啊，同 学们清楚，呃，就是我们在这里面呢，能够产生两段弧啊，一段弧呢，在这是吧，一段弧呢，在这就是 e f 这一段弧，还有一段弧呢，就是 k t 弧， 好，但注意啊，我现在要的是什么呢？我要的是 y 等于一这条直线与两段弧有两个不同的焦点，即刻有两个不同的焦点， 一定注意一下，这个点太特殊了，就是两段弧呢，你，你会发现这两段弧啊，一定会产生什么呢？一定会产生两个，呃，会产生一个焦点啊，这两段弧呢，一定会产生一个焦点，就是这个点啊，这个点太特殊了，因为，呃， 这段弧，呃，我们说 k t 这一段弧与这个对应的 e f 这一段弧，这是任意 m n 在 任意位置情况下能产生的两段弧，那我要保证的是两段弧与绿色直线呢，有两个不同的交点，但你注意，这个点呢， 就是 k t 弧跟 e f 弧呢，还有个共同点，那么这个特殊位置要去掉啊。当然接下来就是什么呢？就是定向分析，对吧？同学们也都知道，如果 m 特别低，就是 m n 特别矮的时候呢，这两段弧呢，肯定也特别低，那么 m n 比较高的时候呢啊，这两段弧的位置也相对比较高，对吧？这个可以直观理解啊， 好，那么因此呢，我们知道特别低的时候肯定是不满足的，那么稍微高一点，高一点，高一点，高一点，高一点，高一点，高一点。好，那么在这个时候呢，大家会发现，我们假定 m 在 n 的 上方啊，高一点的时候呢， kt 这一段弧啊， kt 这一段弧啊，肯定跟绿色线先能产生交点，那么你只要在保证第二段 e f 这一段弧呢，能产生交点就行了，是吧？那么在这里注意一下啊，因为我们前面就给大家解释过了， m n 的 长非常特殊的情况下呢，这个 kt 这一段弧呢，也非常特殊 啊，这个 k m、 t 这个角刚好是九十度角。当然我们简单解释一下，为什么啊，以 m 为圆心， e 为半径，我们画了个圆，就是这个蓝色的圆，就是 k t 弧，是在蓝色圆上面的。 好，那么大家都知道，就是这条线呢，是切线，这条线呢也是切线，那么因为 o m n 边长都为一啊，所以它是一个什么三角形呢？ 等边三角形，我们用一个最特殊的情形来看，就是 n 点在 x 轴上， m 点在这儿，这个时候大家会发现这条红色线呢，是竖直线，那么这条线呢，与 x 轴的夹角呢，应该刚好是三十度啊，刚好三十度， 所以如果你以 m 为圆心， e 为半径画圆，那么要跟竖直线相交，那么这一段弧对应的圆心角刚好是多少呢啊？刚好就是一百二十度， 刚好就是一百二十度，当然这个 n m t 这个角呢，又是三十度，对吧？这个很容易看啊。好，所以 k m t 这个角呢，就是九十度角，就九十度角，所以其实这两段弧啊，一个 k t 弧，一个 e f 弧是什么呢？ k t 弧就是以 m 为圆心， e 为半径的九十度角所对应的弧啊，那么当然 e f 弧呢，就是以 n 为圆心啊，然后九十度圆心角所对的弧，要，当然半径也为 e 啊，所以你要知道这个数值呢，它其实是很特殊的啊，好，我们继续跟大家说，刚刚就是这个，就是，其实相当于是第一临界情形了，为什么呢？因为你要保证 这个，呃， m 稍微高一点的时候呢？这个 k t 这一段弧呢？我们刚刚解释过，一定率先跟这个直线有交点，你只需要保证 e f 跟它产生临界值，对吧？当然， e f 能产生临界值，就是 e 点的坐标。纵坐标点为几啊？点为一啊， e 点纵坐标点为一， 所以 n 点。因为 n e 的 长为一啊，所以 n 点在 x 轴上的时候刚好满足要求，就是我们画的特殊情形，但这个时候 k 的 纵坐标好求吗？ 好求，因为这个时候 n 点在 x 轴上，所以 o、 m、 n 等边， m 点的纵坐标四分之刚好三， k 点是它中点，所以，呃，第一个 t 的 零，呃，这个第一个零界值呢？就是 k 的 这个纵坐标呢？它的零界值呢？呃，这个应该是二分之刚好三的一半，四分之刚好三，对吧？在四分之刚好三的时候，你会发现 e f 这一段弧啊，咱们再强调一下， e f 这一段弧 刚好与绿色直线相切，而 k d 这段弧早就已经跟直线有交点了，所以这个肯定是 ok 的 啊。好，那么当 m 点继续转动的时候，这个时候啊， k t 继续升高， e f 呢？也继续升高，对吧？那么当然，这个时候呢，看起来肯定是怎么样啊？能够满足要求的 啊？能够满足要求，因为 e 继续升高这一段弧， e f 这一段弧在这儿，就是啊，后面会产生焦点， k t 也一直有焦点，但注意一个临界情形，啥时候呢？就是 k t 弧跟 e f 弧的焦点刚好落在 y 等于 e， 那 么在这个上面它就不满足要求了，因为此时是同一个点，所以这个地方的坑点就在于这个临界值要去掉啊，当然这个临界值很好算，为什么呢？因为 这个圆跟这个圆的交点，一个是，呃，就是这个交点，还有一个点呢，是 o 点，所以其实呢， ok， 还有这个点是什么呢？三点是共线的， 当然其实是一个什么图形呢？就是一个菱形啊，就是一个菱形，因为它这个图形非常特殊啊，而且也很对称，对吧？所以其实相当于 o 跟这个点呢交点呢，是一个什么呢？ 是一个，呃，就是关于 m n 对 称的点啊，关于 m n 对 称的点，因为它其实是一条什么呢？公共弦，两个圆的公共弦啊，好，当然因为 o 点到 k 点的距离刚好三嘛，所以也就是说，此时其实 k 点到， 呃， k 点就应该是 o 点跟这个点跟这个焦点的什么中点，对吧？当然此时呢，它的纵坐标肯定是一喽，用在外的一上，所以 k 的 纵坐标是多少呢？二分之一。 那么注意， k 等于二分之一的时候是不满足的啊，因为它此时只有一个焦点啊，只有一个焦点好，所以大于等于四分之根三，小于二分之一，好，那么继续移动呢，我们知道肯定就可以了，是吧？肯定就可以了啊， 那么，呃，当然大家也清楚，你继续移动的时候呢，这边肯定能产生两个焦点，那么到哪一种情形呢？好， 因为你 m 点呢，就是最高，最高纵坐标其实就是一了，他也不可能更高了，对吧？ m 点纵坐标就是一，当然在这种情况下，同学们检验一下满足不满足， 满足就是 m 点最高，最高纵坐标就是一。这种也满足啊，因为你会发现， t 点和 f 点就刚好分别在 y 等于一上，这种也是满足的。 好。当然你算一下此时的 k 点，那也就说 m 点跑到 y 轴上啊，这个也很好办，对吧？所以 n 点的纵坐标就是二分之一， k 点呢，是 m， n 的 中点，所以 k 点的纵坐标呢？是啊， k 跟 n 的 一半，是吧？四分之三啊，四分之三。 好，所以从二分之一到四分之三啊，等于四分之三的时候，也可以，因为那个 k 最大，最大就是这个到这了，是吧？如果你 m 点最高，最高到这了， 如果你越过这个位置之后呢，你发现他还行吗？不行了，此时两段弧在上方，看得见吧，两段弧在上方，那他就不满足要求。当然在右边的情况呢，实际上是对称的啊，就纵坐标对称的，你不用管了。 好，所以最终啊，我们的这个，嗯，要求呢，就是在第一零件什么时候呢？就是点 n 刚好在 x 轴上的时候，此时啊， e、 f 与 y 等于一相切。第二零件呢，就是把这个交点的位置要排除掉， k 等于二分之一排除掉。 第三零件呢，就是 m 点最高最高。跑到一的时候，发现他刚好是满足的，此时的 k 值呢，等于四分之三是满足的。当然跑到左边去呢，对称图形啊，你就不用管他了啊，对称图形就不管他了。 好啊，那么因此这个呢，我们也就分析完了，所以最终呢，他这个 k 的 取值呢，是，第一零件大于等于四分之三，当然小于二分之一，或者是从二分之一小于小于 k， 小 于等于四分之三， 二分之一小于 k， 小 于等于四分之三啊，好，那么最终呢，也就算完了。当然， 坦率讲呢，就这道题目最后的运算呢，稍微复杂一点，但你说这个题型有什么复杂的呢？没有啊，它主要还是一个点类新定义，只要抓住点类新定义的处理技巧，基本上都还是比较好处理的。好啊，所以这个题目呢，我们就给大家解析到这里啊。

西城二妹的新定义有点意思，定义里面竟然带核，比划快，带出稳，新定义还能提智商！大家好，我是老谢，我接下来给大家讲一下新鲜出炉的西城二妹的新定义。 这道新定义有点意思，为啥呢？因为他的定义里面竟然带核。好在啊，老谢在二零一九年中考以后，专门为带核的新定义写了一句诗，叫定义带核找锤足 啊！如果你找垂足，你会发现这道题会非常简单了啊。另外呢，这道题第二个的时候一定要注意前提确认，以及全面细致有序动。还有就是线段如果遇上圆环必有坑，一定要全面细致有序动 啊。另外呢，以圆为背景的题目，其实找轨迹呢，有一个快捷方式，咱们第三个会讲啊，包括一定要全面细致有序动。好，首先呢，我们先看一下定义啊，各位， 咱们随便画了一个 ab 这个弧，他说等腰三角形，那咱们就以 a 为圆心是吧？画个圆，以 b 为圆心，画个圆，画两个蓝圆， 那么蓝圆上的这些点只要连一下 a， 他 就能组成一个。哎，等腰三角形当然还要注意别是三点共线啊，但是这道题基本上用不上啊。那么另外，怎么叫定一带弧找垂足呢？各位，因为他要求这个三角形要把整个裂弧全包上， 你啊，如果听了我的定一带弧找垂足，各位同学，你就直接让点 a 当垂足，啥概念呢？让点 a 当垂足，画一个切线。 各位啊，咱们先看看其中一个圆吧啊，这个圆别在这捣乱了，然后同理，你再让点 b 当垂足，画一个切线。 各位，你会发现，首先因为等腰三角形，所以点 p 一定得在这个蓝圆上，但是在蓝圆上都行吗？你比如，如果蓝圆上在这呢， 你会发现这样的话，连一下这个三角形，这个绿色三角形，哎，他就不能把整个裂弧 a b 全包在里边了。 嗯，所以大家看啊，这时候你会发现，我教给你的这两个垂足，让点 a 当垂足做两条切线就起作用了。什么作用呢？你会发现这个点就是个临界点， 哎，你会发现，如果它连一下点 a 点 b， 你 会发现当点 p， 在 这时候，这个三角形，这个裂弧 a b 正好在三角形 p a b 里边， 包括在这时候，你会发现也没问题，哎，各位看了吗？然后呢，在这的时候也没问题，但是如果在这，你会发现点 p， 如果在这，你会发现这段裂弧又包不进去了，又跑到三角形外边了。所以各位，你有没有发现， 因为等于三角形，我们马上画个圆，当然还有一个以 b 为圆心的圆啊。然后呢，再一个就是，如果你学会了老习的这个经验，定义带弧找垂足，你马上以 a 当垂足做个切线，以 b 当垂足做个切线，你会发现点 p 的 轨迹就是这对，哎，这个定义咱们就大概明白了 啊。 ok， 那 是所有的这个弦都有这一段吗？哎，我们看一个特殊情况，各位，如果，哎，这个弦这么长， 你做了这两个垂足以后，你会发现正好就这个点啊，有一种临界情况，你会发现，除了这个点，别的地方都不行 啊。你比如，如果在这这样的话，如果点屁啊，这是点 b， 如果点屁在这里，你会发现这一段又没有在三角形里边了，对不对？所以你会发现，哎，当这个时候这种情况下是一个什么情况呢？你会很容易发现这种情况，这个紫色的是一个等边三角形， 这是六十度，这是九十度，这就是一百二十度，所以当这个弦的圆心角是一百二十度的时候，正好有一个点 啊，如果它超过一百二十度，各位请看，你们可以暂停一下啊，你会发现啊，在这个圆上，在这个蓝圆上，你会发现没有一个点可以了 啊，也就是当这个弦超过一百二十度就不行了， ok， 这对定义的解读啊，然后呢，正好命题老师挺善良，他怕你看不出来一百二十度，他还提醒你啊，其实这道题最后也没怎么用上一百二十度啊，然后提醒你什么呢？你会发现 df， 这个它正好是一个圆心角一百二十度的 啊，所以 df 是 正好可以， e 就 不可以了啊。 ok， 这是第一问， 第二问呢，哎，也有点意思。各位，按照我刚才讲的，你们如果把一个根号二的弦随便画出来，各位，你看，咱们画的一个红色的这个啊，就是根号二的一个弦，然后你用我刚才的那个方法，然后呢， 把比如说，呃，这个点 a 画出来啊，然后点 b， 在 这里咱们随便点一个点啊，有人说，老师，这个弦 a b， 你 怎么画那么巧啊？各位啊，我想告诉大家，以圆为背景的轨迹， 其实从圆心往哪个方向看，都是正方向，你只需要画了一种情况。然后呢，你看啊，根据咱们刚才定义的解读，是不是就是以 a 为圆心的时候，就是这个等腰三角形以 a 为顶点的时候，你有没有发现这段弧 它就是可以是点 p 的 轨迹啊。那么同时呢，你会发现，在 a b 这个弦跟着转的时候， a b 这个弦可以不在这里，在跟着转的时候，你会发现这个紫色的圆也会跟着转，但是这个紫色的圆离圆心最近的距离， 各位你可以算一算啊，你会发现这个长度是一，因为这个 a b 的 啊，这个长度是根号二，所以这个以 a 为圆心这个半径啊，这个圆半径也是根号二，所以你会发现，哎，这正好是根号三， 所以它离圆心最近的距离是根号三。你算一算，你会发现这个最近的距离啊，最远的距离是根号五。所以当 ab 在 转的过程中，你会发现，这个点它到圆心的距离永远是根号三，而这个点到圆心的距离永远是根号五。所以各位你会发现，其实 如果让这个弦 a b 转一圈啊，各位，我换个颜色啊看看，哎，你会发现，就是这段弧啊，就是这段弧，这段弧它的轨迹就是这样一个圆环 啊。 ok， 轨迹明白了，咱们再看，这是一条什么线呢？首先必要大于零，其实这道题大于零啊，明天老师给你降低难度了，毕竟是第二问。另外它它的斜率是一，咱们让它全面吸了去动，但是请注意是线段 g h， 我 告诉大家啊，线段遇上圆环必有坑，你一定要全面吸了去动。 大家，哎，从上到下全面吸水运动，在这种情况下，各位你会发现就是一个临界情况，然后这个时候呢，因为这个绿圆，它的半径是根号五，所以这个点的动作标就是根号十，所以 b 是 小于等于根号十。 然后请注意，别以为小于等于根号十，大于零就行了啊。你再走走走，走到这的时候，你会发现，各位，咱们问的是线段啊，各位，人家问的是线段 g， 所以你会发现这是线段 g h， 你 在这个这个线再往下一点，请问这个线段 g h 和这个圆环还有交点吗？没有交点，这种情况下，哎，因为这个成色的圆，它的半径是根号三，所以大于等于根号三。各位，这就是第二问的答案啊，你可以再回顾回顾，我们接下来要讲第三问了，各位， 第三问。首先，第三问这句话可能有歧义，有的人说，尤且仅有两个弦 m n 的 关联点，这是两个弦 m n 还是两个关联点呢？有的同学可能在考场就会有歧义了，按照老谢啊，一个很重要的技术叫视角分析法， 哎，我们站在主角的视角，你看这道题，什么是主角呢？他说， m n 是 圆 o 的 一条弦，就是整个第三文。这个故事是站在 m n 先有个 m n， 人家说，哎，这道题啊，我跟你们说啊，有一个弦 m n， 它的长度是一，所以这个弦 m n 就是 某一条弦。 然后这个故事从 m n 的 视角开始的， m n 确定了，然后再看看这个时候，哎，这个 y 等于一条蓝线上有没有 m n 的 两个关联点，各位能理解吗？ 所以呢，是两个关联点，而不是两个弦啊。 ok， 按照我刚才对定义的解读，各位同学，你们能画出来这种情况吗？就是我们还是先随便画了一个这个红色的这个弦 m n 等于一， 并且我们发现特别巧，按照我刚才定义的解读，哎，各位，你会发现这个时候呢？哎，它的关联点就是这个橙色的弧和这个橙色的， 这个时候你会发现，哎，正好在外等一上，有这两个点，这种情况是可以的啊，这种情况是可以的， 然后呢，各位，我给你们画个动图啊，然后也就是说咱们干那种情况可以，然后在 m n 转的过程中，他对应的关联点，你看啊，就是这两个紫色的叉子，你就知道他什么情况，和这个红线 y 等于一， 有两个焦点，有两个焦点就符合 t。 各位啊，另外请注意，像暂停的这种情况下，有一个焦点也不行，所以一定要全面、细致、有序动。 ok， 各位，这是一种情况，我们知道他在转的过程中， 然后呢？哎，他是有复合题的，然后呢？但是转到正好过这一个点的时候，要排除这个点，咋回事呢？各位，你有没有发现这个粉色是一个菱形啊， 因为以这个点为圆心，这个半径等于这个半径，以这个点为圆心，这个半径等于这个半径，它是个菱形，菱形。这个时候的点 k， 他正好是这个蓝色的啊，这个线段的中点，而这个点的纵坐标是一，这个点的纵坐标是零，所以中点的纵坐标就是二分之一，所以这二分之一要 pass 啊，然后最后转到这种情况，有时候老师，这种情况怎么一下子找到呢？各位还记得一开始的起始状态吗？一开始的起始状态，这个绿线 它就过 n 的 切线，过 n 的 切线，这个时候正好它和哎这个关联点的轨迹正好有俩交点，只不过我们转到绿线正好就变成 y 等一了，也就是点 n 正好是这个切点了。 各位，这个时候你可以算一算，很好算啊，因为这个时候 omn 是 一个等边三角形，所以呢，这个角是三十度 啊。各位，你会发现，或者说这个时候点 m， 它的纵坐标是二分之一，这个点是一个中位线，所以这个长度也是四分之一，所以 k 是 四分之三。所以这道题的答案就是 k 啊，大于等于咱们刚才一开始的答案。一个是四分之根号三啊， k 呢，大于等于四分之根号三，小于二分之一或啊，哎， k 大 于二分之一，小于等于四分之三。 对啊，这道题你体会体会看看。通过这道题跟老谢对心地一吐诗啊，我这个心地一吐诗可以解决所有的心地的题，通过这道题可以好好体会体会这四句诗怎么帮你解这道题了。