建立函数模型解决实际问题答案

每天半小时轻松学数学，这节课咱们来学习依次函数与实际问题的综合运用，用依次函数来解决实际生活中的一些问题 啊。首先呢，咱们都听过这样的一个故事，是乌鸦喝水的故事。据说有一天， 一只小乌鸦飞到一个荒无人烟的地方，口渴的他飞了好久也没有找到水源。哇哇哇，就在小乌鸦感到绝望的同时，他看到了不远处有一个水瓶， 小乌鸦赶紧来到瓶子旁边，想立刻喝到瓶子边的水，可是谁知道瓶子的口太小了，里面的水也只有半瓶，那嘴巴太大的小乌鸦根本无法喝到里面的水。 如果要是你的话，你会怎么办？你会不会放弃呢？怎么办？怎么办呢？这可把小乌鸦给急坏了。原来啊，聪明的小乌鸦看到周围有很多小石块，他灵机一动， 把十几个小石块一块一块的叼起来，放进了瓶子里面，不过一会，瓶子里面的水就升高了，小乌鸦贴近瓶子，脖子一伸，咕咚咕咚咕咚咕咚，一下子喝到了很多的水。 那乌鸦喝水的故事告诉人们，就是遇到困难的时候，要积极的想办法解决问题，只有认真思考才能呢，让问题得以解决。数学问题也是这样，那咱们来 来看，在乌鸦喝水的过程中，假设石块他是均匀的，那随着一个一个的石块不断的扔进瓶子里面，水面上升的高度也是慢慢的在增加。那咱们把它抽象为数学模型进行一个量化， 你能不能够算出来乌鸦丢进多少颗石子，水刚好在瓶口吗？如果把它抽象为这样的一个数学模型，这是一个瓶子，瓶子的水面距离瓶口是十厘米，扔进两颗石子的时候 距离还有九厘米，那么扔进多少石子，水刚好在瓶口。那怎么解决这一类问题呢？那 咱们可以用依次函数来解决类似的相关问题。好，首先咱们来看一个图像题， 某种拖拉机的油箱可以储存油四十升，油箱总油量是四十升，加满油并开始工作以后，剩余的油量 y， 那在这里边动轴表示的是 y 与工作时间 x， 横轴表示的是 x， 单位是小时。那咱们看到图像呢？首先看它的横轴与纵轴 满足一次函数关系。图像如图，第一，求 y 与 x 的函数关系，它既然说是一次函数关系，那咱们就可以用待定系数啊。假设 y 等于 k， x 加 b， 观察图像上面有两个点，一个是点 p， 他的坐标是二，逗号三十。另外一个是点 q， 他的坐标是六，逗号十。那咱们可以把这两个点的坐标分别给代入，那分别代入进去可以得到， 二 k 加 b 就等于三十，六 k 加 b 就等于十。 解这个一元二次方程可以解的 k 与 b 的值。 好，如果这是圈一，这是圈二，用二减一，四， k 等于负二十，所以 k 等于负五，那 b 呢？等于四十，所以解出来 y 等于 k， s 加 b， 还原进去就是 y 等于 负 x 加四十。在这边 x 的范围呢，一箱油可以供拖拉机工作几个小时呢？它总共是四十升，剩余的油量是外升的时候，它是不是就没法工作了？ 对，所以呢，咱们从图像上可以看出来是可以工作八个小时，那如果通过计算的方法呢，也就是 y 等于零的时候，那另 y 等于零。第二问，另 y 等于零，所以负五， x 加四十等于零， 解得 x 等于八，所以一箱油可以供拖拉机工作八个小时，也就是利用 a 次函数，咱们可以有效的解决实际生活问题。 那比如说咱们既然知道他可以工作八个小时，那以后在拖拉机工作的时候，他就有所准备了，可以更好的服于人们的生活与生产。 好，这是第一个例子。然后接着来看第二个例子，黄金一号玉米种子的价格是每千克五元， 如果一次性购买两千克以上的种子，超过的部分打八折，那超过的部分打八折，不超过两千克的时候呢？不超过的就不打折呗。 好，那咱们来看购买的种子，零点五一，一点五二，那在这里边 的话呢，前两千克都是按原价的，每千克五元，所以零点五乘以五，二点五一乘以五，五一点五乘以五，七点五二乘以五得十。 二点五的时候，二点五的时候超过两千克，超了多少呢？超了零点五，那超了零点五，所以这零点五千克按 超过的部分打八折，原来是五元，所以他的八折五乘以零点八，就是按四元，也就是说超过两千克部分的 价格是每千克四元，那所以零点五乘以四等于二，所以十加二等于十二。好，那三千克的时候呢？三 千克是比这两千克超了一千克，那超了一千克，这一千克按四元，所以十加四等于十四。 那在这里边抄了一点五，这一点五按四元，四乘一点五等于六十加六等于十六，那四千克的时候抄了两千克，每千个四元二乘四的八，十加八等于十八。好，这样咱们就可以把这个表格给补充完整了。 咱们可以看出来，他是分为了两部分，一部分是两千克以内的时候，另一部分是超过两千克的时候。 好，那咱们能不能够写出来购买量与付款金额之间的一个函数关系式呢？并画出 函数图像啊？刚才咱们来分析了，在这里边购买玉米的总的付款金额和购买种子的数量是有关系的，那在这里边，而且他是以谁为节点，以两千克为节点， 那如果他购买种子的时候不超过两千克，那种子的价格外外等于啥呢？外等于五 乘以 x， 单价是五，那如果超过两千克的时候呢？超过两千克的时候，那前两千克是按每千克五元加上超过的部分，超过的部分是打八折的，五乘以零点八，那超过部分超过多少呢？ x 比这二超了多少呢？超了 x 减二，然后咱们对它进行化减整理，也就是十加上四倍的 x 减二，也就是四 x 减八。好，又等于啥呢？又等于是四 x 加二 好，所以大于二的时候， y 等于四 x 加二，这样咱们就把函数关于式分别给大家写出来了。 好，那对于这个题画出函数图像，画函数图像的时候，列表秒点连线，咱们可以看出来他是分成了两段，一段呢是零到二，另一段呢是大于 二。所以咱们画图像的时候尤其也要注意啊，画图像的时候也是分为两段来进行画 像，这种咱们来看一看，分成两段分，或者是分成三段等等，分成若干段，这样的函数，咱们把它称为是分段函数。分段函数的时候，书写的时候要注意它的格式。 分段函数，首先咱们讨论出来 x 在不同范围内函数的解析式，其次最后做总结的时候写成 y 等于大括号括起来。 然后第一个解析是 x 的范围标上，第二个解析是 x 范围标上，这是关于分段函数的一个写法。 好，画图像，画图像，看，他们说要注意，咱们把它给分成两段，零到二的时候这是一段， 然后大于二的时候又一段， 从图像上也可以很明显的看出来，它是分成了两段，它是两段折线。好，那咱们来想一想，如果一次性购买一点五千克，需要付款多少元？ 一次性购买一点五千克，那咱们知道 x 等于一点五， 这个 x 是不是在这一个范围内？所以呢，咱们把 x 等于一点五，代入 y 等于五， x， 好，这是一点五千克。那如果是一次购买十千克的时候呢？因为十大于二，咱们就把 x 等于十带入下边的这个，也就是说根据 x 的不同，咱们带入的解析式也不一定相同，要看准。 第二问，三十元最多能够购买多少种子呢？那三十元最多能够买多少种子？咱们通过刚才的计算，如果是 两千克以内的话，最多花的是十元，那现在他花了三十元，说明购买的种子超过了两千克。所以咱们令 y 等于四， x 加二里边的 y 等于三十，也就是说三十等于四， x 加二再解出来 x， 那假如说你让三十等于五， x 解除， x 等于六，这就错了啊，一定要注意分析它在哪一段上好，这是这样的一个问题， 那咱们来做一个相关的练习题目。 为了节约用水，某市呢制定了一下用水收费标准，每户每月用水不超过八立方米的时候， 不超过八立方米的时候，每立方米收取一元，外加零点三元的污水处理费，每立方米收取一元，外加一点零点三元的污水。也就是说你用一立方米的话，产生的费用就是一点三， 当不超过八的时候啊，也就是说，当 x 大于等于零，小于等于八的时候，那在这里边， y 呢，就是等于一点三， x 就是一加零点三乘以 x， 那如果超过八的时候呢？超过八的时候，超 超过的部分，每立方收取一点五元，然后再加一点二元的污水处理费，超过的时候，水价涨了，污水处理费也涨了啊。假设一户呢，每月用水是 x， 立方用，交的水费是 y， 写出来 y， x 的函数关系，那咱们可以看出来， 用这样的水分， y 与 x 的多少有关系。其中八是一个重要的节点，所以咱们讨论的时候呢，要讨论不超过八的时候怎么样大，超过八的时候怎么样，那不超过八的时候， y 等于一加零点三乘以 x， 那如果超过八的时候呢？超过八的时候，超过的部分外加。那如果不超过部分呢？不超过的部分还是按八乘以一点三， 这是不超过部分，加上超过部分，那 x 比这八超了多少呢？超了 x 减八，那这一部分的价格按多少呢？按一立方一点五，加一点一立方按二点七，所以呢，再乘以二点七。 好，再把它画成 y 等于开加闭化减，整理好。这是这样的一个，那咱们分别写出来了这两段之后，最后不要忘了干啥呢？不要忘了下总结。所以 y 等于什么？什么？把它的解析式用这种大括号括起来。好，这是分段函数。 好，最后算出来的结果好， y 等于一点三， x 大于大于等于零，小于等于八的时候， y 等于二点七， x 减十一点二。当 x 大于 八的时候，那如果用水是十立方，求应交的水费。如果是十立方的话，咱们把 x 等于十，带入谁呢？把 x 等于十，带入 y 等于二点七， x 减十一点二。 好，这是第二问。第三问，如果水费是二十六点六，求用水量。如果水费是二十六点六，首先咱们来算出来 八立方的时候，他的水费是最多用十点四，那二十六点六肯定超过十点四了，说明他的用水量超过了 八，所以咱们用二十六点六， y 等于二十六点六，代入哪一个呢？代入这个，也就是说二点七， x 减去十一点二，等于二十六点六， 写出来 x 即可。好，这是第三问。 第二问中让 x 等于十，代入第二个，然后第三个先比较出来，它超过八立方，所以呢，代入第二个。 啊，这个练习题你写对了吗？ 好，看，一个提升题。 某医药研究所开发了一种新药，在实际验药的时候发现，如果成人 按规定的剂量服用，那么每毫升血液中含药量随着 x 的变化而变化。当成年人按规定的剂量服药以后，服药几个小时，血液中含药量 最高达到每毫升多少毫克，接着逐步衰减啊？根据这个图，服药几小时的时候含药量最高呢？服药两小时的时候最高，最高达到了 这是六，每毫升有六毫克，接着逐步的衰减，服药五个小时的时候，含药量为，服药五个小时，含药量为三毫克。 好，这是第二问， 第三问， x 小于等于二，是 y 与 x 有啥关系？那 x 小于等于二的时候，咱们可以看出来它是一个 过圆点的直线，所以呢，假设 y 等于 k 一， x 把二倒号六带入 x 等于二的时候， y 等于六，二倍的 k 一等于六，那所以 k 一就等于三，也就是 y 等于三 x， 那如果 x 大于等于二十 y 与 x 的关系，那 x 大于等于二的时候，可以看出来它是这样的一条直线，所以仍然是依次函数。咱们假设 y 等于 k 二 x 加 b， 那我为啥不假设 y 等于 k x， y 等于 k 加比呢？因为在这里边，正比例比例系数与 e、 t、 m 的比例系数，这两个 k 的值不一定相同，所以咱们要用两个字母给它表示。 好，那咱们知道这一条过的点是二、六和五三，所以咱们把二逗号六和五逗号三带入，把二逗号六带入二倍的 k 二加上 b 等于六，那五倍的 k， 二加上 b 就等于三。好，那所以咱们可以算出来 k 和 b 的值。好用二减一得三， k 二等于三 等于负三，三 k 二等于负三，那所以解得 k 二等于负一，那代入一啊。算出来 b 的值负二加 b 等于六，所以 b 的值等于八，那所以 y 等于 k， 二 s 加 b， 又变成了 y 等于负的 x 加八。好，这是第四，第五个，如果每毫升血液中含量量三毫克或三毫克以上的话，治疗疾病最有效，那么这个有效的时间是几个小时？那从 函数图像上咱们来看一看。从函数图像上咱们可以看出来三毫升或三毫升以上，那在这里边， 这个线代表的是 y 等于三啊，在这个点，这是几呢？咱们可以求出来啊。另， y 等于三，三等于三 x， 所以 x 等于一， 所以这个点呢，是一啊，这个啊，已经显示是五，所以是有效时间是四个小时。五减一等于四啊。这是这样的一个看图像的题目， 你写对了吗？看本节课的练习题。第一个， 小明将父母给的零用钱按每月相等的数额存在了储蓄罐内，准备呢，捐给希望工程盒内的钱。数 y 与存钱的月数 x 之间有如图所示的关系 啊！根据下图回答问题，写出来 y x 关系，那咱们可以看来它是一条直线，所以 y 等于 k， i 加 b， 咱们直接用待定系数法假设 y 等于 k， x 加 b， 通过图像观察它，过点零，逗号四十，其实 b 就等于四十，又过点四，逗号一百二，所以呢，咱们把这两个点带入 好，所以算出来零逗号四十，带入 k 乘以零等于零，再加 b 等于四十，所以 b 等于四十。好，把四逗号一百二带入四， k 加 b 等于一百二，好，所以可以算出来 k 和 b 的值。好，那在这里边解出来， b 是等于四十，那 k 呢？四 k 等于八十，那 k 就等于二十， 所以 y 就等于二十， x 加四十， y 就等于二十， x 加四十啊，这是 x 大约等于零，而且呢， x 为整数。 第二个，根据关系来计算，小明经过几个月才能存够二百元，存够二百元，二百元表示他的存钱数，表示的是 y， 也就是令 y 等于二百。 第二问的话，另外等于二百，也就是二十， x 加上四十等于二百。 好，可以解出来，二十 x 等于一百六，所以 x 等于八，也就是说经过八个月才能存够二百元。好，另外咱们来看这个减薪是 y 等于二十， x 加四十，说明了啥呢？说明他每个月存多少呀？你看 x 每增加一， y 增加二十，也就说他每个月存了二十。而且咱们还可以知道，当 x 等于零的时候， y 等于四十，也就是说第零个月的时候， 他的储蓄盒里边已经有四十块钱了。然后呢，每个月存二十啊，这是咱们从解析式中也应该读懂的一些信息 啊。这是这个练习，然后第二个练习，一个实验室在零点到两点的时候 保持着二十度的恒温，两点到四点的时候呢，是匀速升温，每小时升高五度， 那说明零到二的时候不变，就是二十度。那如果二到四的时候匀速升温，每小时升高五度， 那每小时升高五度。比如说举个例子，他在三点的时候，他这时候温度是多少？ 他这个的温度是二十度，加上三点，比着他这个二点增加了一个小时，一个小时升高五，所以是加上五倍的三减二。 好，这是举个例子，比如说这是三点的时候。好，那假如说是时间 t 是 x 是 t 时， t 时的时候，那温度 t 就等于， 那在这边能直接写吗？好像不能在这里边，因为他是与时间段有关系的，所以呢，咱们要给他分类讨论。那咱们来看一看， 如果 t 的范围是大于零， 大于等于零，小于等于二的时候，那这时候 t 就等于二十度，它的恒温。那如果 t 要是大于二，而且还要小于四 啊，所以呢，咱们来看一看。第二个是 t 大于二小于四的时候， 那这时候的温度 t 等于多少呢？等于原来的二十度，加上升高的，升高的， 它增加了几个小时呢？增加了 t 减二个小时，那每小时升高五度好，化减整理，也即使 t 等于五， t 加十，所以在下一个结论， t 等于分段 啊， t 等于是二十，如果呢， t 的范围是在大于等于零小于的二的时候，然后呢， t 等于是五， t 加十，如果 t 的范围呢，是大于二小于等于四的 的时候。好，这是利润好。画出图像，紧急式画出来函数图样。画函数图像的话呢，列表描点连线要注意分段 好，所以解析式用大括括起来，分段函数给它写好好，然后呢，再画出来函数的图像。 在这里边需要注意的是，第一段就是零到二的时候， t 都等于二十，所以它是一条平行于 x 值的这样的一条线 啊，这是这样的一个题目。第三个，近几年来呢，由于经济社会迅速发展， 用电量呢也越来越多，为了缓解用电紧张，我们电力公司制定了新的用电标准，每月用电量 x 与应付电费 y 函数关系不图。那从图像上咱们可以看出来，刚开始这是零到五十度的时候， y 是这样的，那五十度以后，你看它这个是不是变得更陡峭了呀？那说明它的用电的单价升高了。 好，根据这个图，咱们也可以求出来这两段它的解析式啊。第一问，求出来这两段的解析式，那这两段解析式分别是啥呢啊？ y 等于 k x。 那第一段的话呢，咱们可以 假设 y 等于 k x， 但是这里边有俩，所以咱们可以假设 y 等于 k e x。 第二段，咱们假设 y 等于 k 二 x 加 b。 啊，第一段呢，过点五十二十带入，可以算出来 k 一等于零点五。第二段，把五十二十五带入，还有把一百七十带入啊，这样的话呢，就可以求出来他们的一个解析式。 好，求出来一个呢，是 y 等于零点五 x， 一个是 y 等于零点九， x 减二十。最后下个结论，所以把这个函数的解析式给它写下来，最后要下个结论， 所以 y 等于大框括起来零点五 x， 然后 零点九 x 减二十，把它那个范围分别减上，也就是当 x 大于等于零，小于等于五十的时候，按 y 等于零点五来零点五 x 来算。那如果 x 大于五十的时候呢，按 y 等于零点九， x 减二十。 好，这是第一问，第二问，如果每月用电量不超过五十，不超过五的十的时候，可以看出来，他的每增加一度收费是增加零点五，所以他的收费标准是每度按零点五元，那如果超过五十的时候， 它每度是零点九元，这就是它的比例系数的一个含义。好，这是咱们这节课所学的主要的内容，这节课呢，咱们主要是学习了 依次函数与实际问题，尤其是分段函数的一个解析式，以及分段函数的图像。分段函数要分段求，另外分段函数写的时候要用大括号给他括起来，注明字变量的起值范围。那咱们这节课就上到这里，下一节课再见。

大家好，今天我们一起来复习函数模型的应用。那么截止到目前为止呢，我们学过的函数模型主要有一次函数、二次函数、反比例函数以及只对密函数，还有我们之前接触过的例题分段函数。那么今天我们主要学习只对密函数模型的应用。 首先我们来看一下这本知识在高考中是如何来考察的。本科师的重点呢，是了解，指对密函数模型的增长差异，能将实际问题转化为数学问题，并对得到的函数模型进行解答。那么难点呢？是如何选择恰当的数学模型来分析解决实际问题。 那么利用函数图像刻画实际问题以及建立函数模型解决实际问题，他是高考命题的一个热点。这部分知识呢，常与函数的图像单调性、最直以及 基本不等式等。教会出名题，那么主要考察呢，同学们的芥末能力以及分析问题、解决问题的能力。选择题、填空题、解答题，这三种题型呢，都有考察，一般以解答题为主，题目难度中等或者较难。 现在我们就来看一下本科师的思维导图。这部分知识主要涉及只对密模型的基本性质以及增长速度的差异。本科师的题型呢，主要涉及三类，一是函数模型的增长差异，二是函数模型的选取，三是只对模型的实际应用。 下面大家先来回顾一下指数函数、对数函数以及命函数的基本性质。对于指数函数和对数函数而言，我们只研究底数大于一的情况，对于命函数而言，我们只研究 n 大于零的情况， 这是这三个函数图像在底数大于一以及指数 n 大于零的情况下的基本图像。对比这三类函数，他们的图像都是怎样变化的呢？首先我们看他们的共同特征， 这三类函数在所给条件下呢，都是增函数，所不同的是呢，他们的图像随着 x 增大，呈现不同的变化趋势。比如说看一下这个指数函数图像这个黄色这条曲线，那么当 x 逐渐增大的时候呢，指数函的图像呢，实际上是逐渐与 y 轴平行， 那么对数函数的图像呢，逐渐的与 x 轴平行。那么对于密函数而言呢， n 取不同的值，它的变化趋势实际上是不同的。我们把这三类函数图像放在同一个平面直角坐标系中，看一下这三类函数图像的 增长速度有什么不同。这是三个图像，这个密函数我们取的是 y 等于 s 二分之一。比较这三类函数图像，我们发现指数函数的增长速度呢，越来越快，那么只要自变量的增加一点点，则函数值呈现爆炸式增长的趋势。 那么与指数函数的增速相比呢，这个密函数及橘色这条曲线，它的增长速度呢，就比较平稳。 那么这三类函数中的增长速度最缓慢的实际上是对数函数及绿色这条曲线。那么大家可以发现，当这个 s 非常非常大的时候呢，这个对数函数图像逐渐与 x 轴平行，它的增长速度是越来越慢。 再回顾我们以前学过的一次函数，那么一次函数增长速度呢，它是不变的。那么特殊的像对于长函数而言，比如 y 等于 二这样的一个函数，那么它实际上是零增长。嗯，在理解指对密函数图像的增长速度差异的时候呢，这个需要注意一点呢，随着 s 越来越大，总会出现什么情况呢？会出现指数函数的图像是最高的，其次呢是密函数，就是决策力的区间， 最后是对数函数。指数爆炸呢，在我们生活中应用非常广泛，最典型的问题呢就是折纸问题，比如说一张普通的 a 四纸 对折三十九次呢，他的厚度就能超过地月距离。当然关于指数爆炸的有趣故事还有很多，比如说像棋盘放米问题、插路找羊等等，有兴趣的同学呢，可以看一下这些小故事。那么言归正传，下面就来通过一些具体的实力 来了解这三类函数模型的具体应用。首先我们来看一下如何根据函数图像识别是哪种类型的函数。比如说这样的例题，题目中所给的 三个函数图像对应的解义式分别是， f s 等于一点一的 s， 方 g s 等于 l， n s 加一 h s 等于 s， 二分之一 一点一的 s， 这实上是指数函数，那么这个是对数型函数，那么这个是密函数，那么它的图像如图所示。那让你比较一下，哪一条曲线是指数，哪一条是对数型的，哪一条是密函数型的？ 那么题目所给的是指数函数、对数函数以及命函数。那么根据这三类函数的增长速度差异，我们就可以知道指数函数增长速度是最快。 那么在这三条曲线中，黄色曲线随着 x 的增大速度越来越快，那么又因为指数函数它是经过零一这一点，所以呢，这个黄色这条曲线，它代表的是 y 等于一点一的 x 方 逆函的速度呢，比较平稳。那么又因为这个 h s 等于 s 二分之一，那么它实际上是过的是零零点，比如说 s 取零， y 是零， 那么因此呢，这个橘色这条曲线它过零零点，它的增长速度相对来说比较平稳。那么橘色曲线代表是 x 的二分之一次这个函数， 那么最后这个绿色的曲线表示的函数就是 g s 等于 l n s 加一对数型函数增长速度是最为缓慢的。题目中还要求我们以 e e， a， b， c d 为分界 点来看这三类函数在不同期间的增长差异，那么为了看的更清楚一些呢，老师带着大家在几何画板里看一下这三类函数图像， 我们把单元科都拖大一些，大家看一下，那么当 x 大于零小于一的时候，在这一区间呢，是让这个红色它是最高，那么这个红色代表的是直数函数模型，所以呢，当 x 大于零小于一的时候呢？ f x 大于 橘色是密函数。 f s 大于 h， s 大于 g x， 那么当 s 大于一小一的时候呢，最高的是 f x， 其次是 g s， 最后是 h x， 此时呢是 f s 大于 g， s 大于 h s， 当 s 在 e 到 a 之间的时候呢，最高的是男士这条曲线，那么它是对数型及 g x 大于 f， x 大于 h x， 那么再来看一下 a 到 b 这段区间，当 x 大于 a 小于 b 的时候呢， 那么最高的是蓝色这条曲线是对数型函数，其次呢是密函数，最后是只数函数，此时实上是 gs 大于 hs 大于 fs。 那么类似的我们还可以看到，当 s 大于 b 小于 c 的时候，最高的是密函数，其次呢是对数型函数，最后呢是指数函数。 当 s 大于 c 小于 d 的时候呢，我们把这个再放大一些，大家看一下。最高的是密函数，其次呢是指数函数，最后呢是对数型函数。当 s 大于 d 的时候呢，最高的呢是指 数型函数，其次是密函数，最后呢是对数型函数。回到 ppt 中，我们来小结一下这道题目， 指数函数、对数函数和密函数，那么要判断他一般是根据函数的变化量的情况来对函数增长模型进行判断。 那么根据图像判断增长型的指数函数、对数函数和密函数的时候呢？通常呢是观察函数图像上升的快慢，即随着字变量的增大，图像最陡的函数呢？哎，比如这里的黄色区间，它呢就是指数函数 图像变化最缓慢的函数呢，实际上就是对轴型函数，比如说这个绿色曲线是对轴型函数。那么掌握了这三类函数图像的判断方法，下面我们来看一下如何在具体的实际问题中来选择比较恰当的函数模型。 我们来看这样一道题目，母汽车制造商在二零一九年初公告，公司计划二零一九年生产目标定为四十三万辆。 那么已知该公司近三年的汽车产量如下表所示说明，一六年呢，汽车产量是八万，一七年是十八万，二零一八年呢是三十万，那么二零一九是计划生产四十三万辆， 如果我们分别将二零一六，二零一七、二零一八、二零一九定义为第一年、第二年，第三年、第四年。 那么现在你有两个函数模型，一个是二次函数模型，一个是指数函数模型，那么哪个模型能更好的反应该公司生产量万与年份 x 的关系呢？我们先把题目所给的数据来提炼一下，那么再来看一下，二零一九 年生产目标定为四十三万辆，那么如果在这个表格中表示的话，那么这里是二零一九年，他是计划生产四十三万辆汽车。而且呢，我们把一六年记做第一年，一七年，第二年，这是第三年，这记做第四年的话，给了两个函数模型， 让你判断哪一个模型呢，能比较好的你和该公司生产量与年份之间的关系。那么如何判断哪个模型能更好的反映该公司生产量与年份之间的关系呢？要判断一个函数模型是否你和的效果比较好， 关键呢是看这个函数模型是否能比较准确的预测数据，当预测的这个数据呢，与实际数据差异比较小的时候，我们就说 说明这个函数模型的礼盒的效果比较好。那么反之呢，如果预测的这个数据呢，和实际的生产数据差异比较大，则说明这个礼盒效果不好。所以说我们要来判断哪个模型礼盒的好，关键是要根据题目所给条件解出这两个函数模型中的 abc， 由此来求第四年，比如说求 f 四，求记是多少，看哪一个和四十三差异比较小，那我们就说哪个函数模型你和的比较好， 那么这里呢，如果我们把一二三四看到自变量 s 的话，那么这里的产量我们可以记到外，产量记到外，那么这时候呢，说明这个函数实际上经过了三个点，一个是 一八点，一个是二十八这一点，那么还有一个点是三三是这个点，所以呢我们只需要根据这三个点求出 f x， 他的解疑式以及 s 的解题是求完之后呢，我们把这个 f 四求出来，还有这个七四求出来，看他呢和这个四十三万辆之间，他的数据差距有多大，差距越小说明你和这效果越好。那我们来看下面的句的解答过程。那么首先勾到二参数模型，这是题目中所给的， 那我们可以把这三个点坐标带入，一个点是一八，横坐标取一，带进去之后就是 a 加 b 加 c 等于八。 第二点是二十八，把二带入 s 取二四， a 加二， b 加 c 等于十八，再把第三个点带入，那这时候我们把解方程可以把 abc 解出来， a 是一， b 是七， c 是零， 则函数解题式就是 x 方加七 x。 那么此时我们要求第四年预测第 四年的数据，他要生产多少万量，则 f 四等于四十四，那么这个四十四和计划的四十三万量之间，它的误差实际上是一。 那么再来看第二个函数模型，同样的构造指数函数模型，把这三个点坐标依次代入，一代入就是 a 乘以 b 的一次加 c 等于八， 把二带入，即 a 乘以 b 的平方加 c 等于十八，再把第三个点带入，使 a b 的立方加 c 等于三十， 那么解除方程 abc 对应的参数值，所以呢， gs 等于三分之一百二十五，乘以五分之六的 s， 方减四十二。那么这时候我们要预测第四年的数据及自变量， x 取四，所以呢 g 四解出来是四十四点四， 那么这时候他与实际四十三之间的差异是一点四。那比较这两类函数模型，我们看这第一类模型他是误差为一，第二类模型是误差是为一点四。那么可以说明呢，二次函数模型能更好的反应该工资、生产量外与年份 s 的关系。 我们来小结下这道题目，对于不同函数模型如何来选取他们？ 那我们知道线性函数增长模型呢？他的增长速度是不变，他一般适合描述增长速度不变的一个变化规律。 那么对于指数函数模型来说，他的增长模型适合于描述增长速度极具的变化趋势，比如说极具增大或者极具变小。对数函数增长模型适合于描述增长速度比较平缓的变化规律。那么 密函数增长模型呢？适合于描述增长速度一般的变化规律。接着我们再来看下面这道题目，指对模型在实际生活中的应用。大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵， 经研究发现，鲑鱼的油数可以表示为函数 v 等于二分之一， log 以三为底。一百分之 c 单位是米每秒，那么这里 c 表示鱼的耗氧量的单位数。 那第一问，当一条鲑鱼的耗氧量是九百个单位的时候，它的油速是多少？那实际上是求威。第二条是当鲑鱼想把油速提高一米每秒的时候，那么它的耗氧量的单位数是原来多少倍？在分析这道题目之前呢，我们先来简单介绍一下鲑鱼这个品种。那么鲑鱼呢？它是一个 个自己的鱼类，那么他出生于呢淡水，那么却在大海中呢？度过大部分的成年时光，等到产卵的时候呢，他又不惜千里跋涉，历尽千辛回游到他们的故乡，繁殖下一代。 当完成产卵后，便会历尽而死，而沉在水底的身躯呢，便成为日护小鲑鱼的饵料。 小鲑鱼长大再游入大海，然后再产卵，再次回来，周而复始，一代又一代。鲑鱼在回游产卵的过程中呢，他所展现出来的这种信念、意志、勇气和毅力，催人奋进，令人叹服， 希望大家在学习的路上也能克服困难，勇往直前。那么言归正传，我们再来回到我们的数学课堂，先来分析这道题目。 在题目所给的函数中，字母 c 它和 v 的实际意义是什么呢？ c 它表示鱼的耗氧量，那么这里 v 实际上表示的是这个归鱼的油速。 那么看第一问，当一条鲑鱼的耗氧量是九百个单位的时候，那我们知道 set 去耗氧量，那么实际上第一问求的是什么呢？取的是 set 等于谁？当 set 等于九百的时候呢？它的油数求 v， 那第一用就比较简单了，是让我们要求这个 v 的时候，只需把九百怎么办？带入及二分之一 log 以三为底，这是九百比一百， 即二分之一 log 以三为底九，那么这个是二，所以这个由数此时是一 一。这第一问比较简单，再看第二问，当某条鲑鱼想把油速提高一米每秒，让大家看一下鲑鱼原来的油速，他是不知道的，怎么确定提高后的油速呢？ 这里油速不知道，那比如说我们设原来的油速是 v 一的话，后来的油速是 v 二的话，当油速提高一米每秒及 v 二减 v 一等于一， 那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？如果说第一个原来的耗氧量是 say ta 一，第二个耗氧量是 say ta 二，那它是让求什么呢？ 求 c 塔二是 c 塔一的多少倍的问题。那么来看一下 v 二减 v 一，那么 v 二是谁呀？ v 二实际上是这里 的二分之一 log 以三为底， c 它二除以一百，那么唯一实际上是二分之一 log 以三为底， c 它一除以一百，这时候它的油速提高一等于一， 此时我们只需要根据对折运算性质把它进行化解求知即可。我们来看一下具体的一个规范解答过程。第一问，因为 v 等于它，当耗氧量 c 它等于九百的时候呢？也就是说我们把 c 它等于九百，代入来求出 v 的值是一。 那么第二问，由贝尔减为一等一，可以知道，二分之一 log 以三为例， say 二除以一百减去二分之一 log 以三为例， say 一除一百等于一，那我们把它化减求解即可。这里咱们跳步了啊，咱们大家看一下，我先把两边同时乘以二， 即 log 以三为底， set 二除一百，减去 log 以三为底， set 一除以百，应该是等于二的两边同乘二。根据对数的运算性质呢？ 对数值相减，则真数是相除，所以 c 塔二除以一百除以 c 塔一除一百，即乘以一百除以 c 塔一， 那么这个是二，那一百和一百消掉，所以呢， not。 以三为例， say 它二比 say 它一等于二。根据对手的运算性呢，知道 say 它二比 say 它也就等于九，所以耗氧量的单位数为原来的九倍。 回顾一下这道题目，有关对数函的应用题呢？一般呢，他都会给出函数关系式，那么解决的问题的关键呢？一般从题 目中提炼出数据，带入所有函数关系中求参数的值，然后呢，根据值来回答其实际意义。 那么在实际问题中，像有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题，我们一般是用指数函数模型来表示，通常可以表示为 y 等于 n 倍的一加 p 块的 x 方， 其中 n 为基础数， p 为增长率， x 为时间，表示成这样的形式，我们来回顾一下本节课所学的主要内容。 那么解函数模型，确定应用题的基本步骤呢？一般第一步要审清题意，分析条件和结论，理顺数量关系。初步呢，选择对应的函数模型。那第二步是建模的过程，这是我们要将字 自然语言转化为数学语言，将文字语言提炼为符号语言，再用数学知识建立相应的数学模型。第三步是求解模型的过程，实际上是要求解数学模型，解出这个数学模型中对应参数的值。 那第四步呢，我们要将数学结论还原为实际问题作答。那么对于你和函数模型而言，他解决应用题的一般步骤是，第一步我们通常是作图， 比如说题目中给了一组数据，让你判断哪一个函数模型能很好的你和这个实际问题，那么这时我们要做出图像来，根据这个已知数据呢画出三点图。 第二步呢，我们要通常选择函数模型，一般呢是根据散点图的特征，看他是像哪个函数的图像，然后找几个比较 接近的函数模型去尝试。第三步，求出函数模型，比如说我们要求出这几个函数模型的解析式。那第四步我们要检验，将我们刚求出的这个几周函数模型进行比较验证，那么得出最适合的函数模型。本节课我们就讲到这里，同学们再见。

同学们大家好，现在给同学们更新的是高中数学人教 a 版必修第一册第四章的内容。那我们今天这堂课呢，是一堂习题课，我们来看到探究三礼盒函数模型，解决实际问题。首先我们来看到立三，那么这个题目呢，它的字数还是比较多的，我 我们从这个题目中去捕捉一些比较关键的数据，关键的信息就可以了，我们从这个地方开始读。好，我们一起来看一看题目。该工艺品在过去的一个月内，以三十天计， 每件销售价格 px 与时间 x 的函数关系竟是满足这样的一个关系，其中在这个关系是里边 k 他是长数，并且呢是大于零的。给到的这个函。 函数的解析是我们必须要搞清楚每个字母它是什么意思，对吧？首先这个 px， 这个 p 它代表的是什么呢？代表的是每件的销售价格。好，这个地方我们给他注明一下， 这个地方的字母小 k， 它是大于零的长数。好，来看分母上的这个 x， 题目已经讲了，这个 x 它是时间，对吧？单位是天。 我们把这个函数解析式搞清楚之后，我们接着来看题，日销售量，我们把它记为 q x 与时间 x 的部分数据，如表所示。注意了，你这个 q x， 这个 q 它代表的是什么呢？代表的是日销售量， x 依然代表的是时间。我们把这些字母搞清楚之后，接下来呢，我们来观察一下这个表格，在这个表格中，咱们的第一行 x 它代表的是时间， 而第二行 q x 它代表的是日销售量。 接下来我们来看到咱们的第一问， 给出以下四个函数模型，好，第一、第二、第三、第四，对吧？有四个函数模型，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型，来描述日销售量 q x 与时间 x 的变化关系， 并求出该函数的解析式。现在我们来观察这个表格中的数据，我们来看这个数据他的一个变化趋势是什么样子的。 我们由这个表格的数据呢，很轻易的就可以看出来，在你的这个 x 慢慢的变大的过程中，你这个 q x 它是先慢慢的变大，对不对？好，然后呢又逐渐的变小， 所以由这个表格呢，我们就可以知道，随着时间 x 变长时，你这个 q x 它是先增大后减小。 这个时候我们就可以这么写，有表格数据之，随着时间 x 变长时， q x 先增后减。好，那 我们在搞清楚这组数据的一个变化趋势之后，我们来看到四个模型， 我们要对这四个函数模型他的一个变化趋势分析清楚，然后再来选取合适的函数模型来你和这组数据。首先看到第一个模型，咱们的疑似函数模型很明显是不可能的， 因为这个一次函数吗，他要么是递增的，要么是递减的，也就是说他始终是单调函数，他不可能先增后减，所以模型一咱们是不可以选的，对不对？ 接下来我们来看到模型二，这个模型二他的变化趋势可能同学们一下子分析不出来，那没有关系，我们先把它放着，然后直接来看模型三， 这个模型三呢，它是指数函数模型，对吧？我们借助指数函数的图像及其性质，我们也可以知道这个模型三呀，这个函数他要么也是递增的，要么也是递减的，因此他也是单调函数，那模型三咱们也不能选。 同理，咱们的模型四这个是一个对数函数模型，他也是单调函数，要么是单调递增的，要么是单调递减的，所以这个模型呀，咱们也不能够选， 不能够选的主要原因就是因为这三个模型他们都是单调函数，那这个时候我们可以这样来写，一三四函数模型都描述的是单调函数，由于这三个函数模型 都是单调函数的话，那么他是不符合这组数据的变化趋势的，不符合该数据 变化趋势，所以我们呢就只能够选咱们的模型二了，所以选择模型二， 函数模型呢，咱们就选出来了，我们就完成了这个要求，对吧？接下来我们来看到第二个要求， 就是让我们去求出这个函数的解析式，那我们来看到对于咱们的这个模型二而言，我们要求出这个函数他的这个解析式，我们就必须要去求小 a， 还有小 m， 还有小 b， 对吧？这个时候我们要求三个未知数，咱们 就给他带三组数据，得到三个方程就可以了。好，我们来看带咱们的这个第一组数据的话就是一斗一百二十二，第二组数据就是十四逗号一百三十五，第三组数据的话就是 十八逗号一百三十九。好，给他带到这个函数模型里边去呢，我们就会得到 a 乘以一减 m 的绝对值，加上小 b 要等于一百二十二， 然后呢是 a 乘以十四减 m 的绝对值，加上小 b 要等于一百三十五，好，然后就是 a 乘以十八减 m 的绝对值，加上小 b， 他要等于一百三十九。 得到这样的一个方程组之后，我们的解题思路依然是正确的，我们可以通过解这个方程组把 a、 b m 的值解出来，但是要想解这个方程组的话，那么还是会花费一定的时间。好，那这个时候同学们我们好好的来观察一下 我们所带的数据，是前边的三组数据，但是通过这个表格我们会发现呀，他的这个 q x 在某些地方是相等的。哎，比如你看 x 取十四 取三十的时候， q x 都是一百三十五，对吧？还有 x 取十八的时候，以及 x 取二十六的时候，它的这个 q x 都是一百三十 九。那这个时候呢，我们就不带一开始选择这三组数据了。好，我们先来带一带十四逗号一百三十五，以及三十逗号一百三十五。 通过这两组数据的话，也就是说 q 十四它是等于 q 三十的好，这样一来我们就会得到 a 乘以十四减 m 的绝对值加 b， 他要等于 a 乘以 三十减 m 的绝对值加 b a， 从而我们就可以把这个 m 的值求出来了，这个地方加 b， 这个地方也有加 b， 对吧？就消掉了，然后这个地方呢，有一个小 a， 这个地方有一个小 a， 就可 可以约分呐，进一步呢，我们就会得到十四减 m 的绝对值，就等于三十减 m 的绝对值。 进一步这个 m 的值就好求了， m 求出来，他是等于二十二的。好，这样一来呢， m 的值咱们就求出来了，既然 m 的值求出来了，这个 q x， 他的 函数模型就变成了 a 乘以 x 减二十二的绝对值，再加小 b。 此时我们再带两组数据，就可以把 ab 求出来了。 这个时候带哪两组数据都可以求 ab 的值，只是由于这个地方他是减二十二，那这个时候我们去把其中一组数据带成他，就方便算了吗？对不对？好，所以呢，我们可以去带这个一斗 一百二十二以及二十二逗号一百四十三。好，带进来之后呢，我们进一步就会得到 a 乘以一减 二十二的绝对值，加上小 b， 他要等于一百二十二。然后是 a 乘以二十二减二十二的绝对值加小 b， 他要等于一百四十三， 好，从而我们就会得到咱们的这个小 b， 它就等于一百四十三，而这个小 a 呢，它是等于负一的， 这样一来，这个 q x 具体的解析式就出来了。好，我们写到这个地方来， q x， 它就等于负的 x 减二十二的绝对值，再加一百四十三。注意其中这个字变 x， 它代表的是时间，对吧？单位是天。所以这个时候呢，我们要考虑到它的一个实际含义，要注意这个函数它的自变量的曲子范围，也就是它的定义域。题目已经讲了，咱们每个月呢，是按三十天来记，对吧？所以 其中呀，你这个 x， 他就必须要大于等于一，然后呢，是小于等于三十的， 并且呢，它还要取其中的整数，对不对？所以我们就可以写 x 属于 恩心，这个恩心他是正整数集嘛，这个时候呢，他就取大于等于一小于等于三十里边的正整数。同学们，我们的第一问，最终的结果，老师写到这个地方来， 接下来我们来看到第二问，先来读题，已知第一天的日销售收入为二百四十四元，受该工艺品的日销售收入为 fx， 求 f x 的最小值，我们要去求 f x 的最小值，那首先我要知道 f x 它等于什么？对不对？好，好好理解一下， f x 它表示的是日销售收入，那日销售收入它等于什么呢？它是等于 日销售量，也就是 q x 乘以每件的销售价格，也就是 p x， 所以这个 f x 它是等于 q x 乘以 p x 的。其中这 q x 我们在第一问已经求出来了，对吧？但是这个 p x 虽然题目给到了， 但是这个表达式里边他有一个未知参数，小 k， 这个小 k 我们是不知道的，所以现在我们要先把这个小 k 求出来，可不可以求呢？可以，因为这个地方还有一个条件，他说了第一天的日销售收入为二百四十四元， 那这个二百四十四元，他其实就等于第一天的销售量乘以第一天的每件的销售价格，所以这个二百 四十四他就等于第一天的销售量，也就是一百二十二。好，乘以第一天的每件 的销售价格。好，那这个地方呢，就是一加上一分之 k。 注意，你这个每件的销售价格，他和时间 x 有关系的，第一天相当于 x 取了一，所以这个地方是一加上一分之 k。 哎， 这个时候呢， k 的值我们容易的就把它求出来了。 k 它是等于一的，那这样一来，我们就把这个地方的位置参数 k 求出来了。好，所以咱们的这个 f x， 它是等于 q x 乘以 p x 的，也就是 负的 x 减二十二的绝对值，加一百四十三。好，这个整体，然后再乘以 px， 也就是一加 x 分之一。这个时候我们来观察 他这个 f x 他的表达式，我们现在要去求这个 f x 的最小值，他的这个表达式是比较复杂的，对不对？哎，咱们一下子求不出来，那这个时候先不要着急去求他的最小值，你先来观察一下 这个 fx， 你能不能将他的这个表达式给他变得简单一点，做一些等价的变形呢？他最为复杂的在于这个地方他有一个绝对值符号， 既然这个地方有一个绝对值符号，那么我们的这个函数呀，他肯定就是可以写成分段函数的形式，而且是以二十二作为分界的。 这个时候我们来看到第一种情况，如果当你的这个 x 它是大于等于一， 小于二十二的时候，当然他要属于恩心，对吧？好，那这个时候呢？ x 减二十二的绝对值，注意， x 减二十二肯定是一个负数，一个负数的绝对值是他的相反数，那么他就等于二十二减 x。 好，这个时候 f x 它就变成了括号负的。注意，这个地方我们负号要造写，而这一坨它就变成了二十二减 x， 对吧？ 二十二减 x， 然后再加一百四十三，然后乘以一加 x 分之一，这样一来我们就可以把绝对值符号拿掉了。好，那进一步呢，它就等于 x 减二十二，加 加一百四十三，乘以一加 x 分之一，这个地方同学们注意看，减二十二加一百四十三，那实际上就是加上 一百二十一，对吧？好，这个地方我们直接写成 x 加上一百二十一，再乘以后边的这一串，好，把括号打开之后，我们就会得到 x 加一，然后加上一百二十一， 再加 x 分之一百二十一，最终就得到 x 加 x 分之一百二十一，再加 一百二十二，好，这个就是当 x 大于等于一小于二十二的时候， f x 具体的表达是，那么这个第一种情况，我们写到这个地方来，要用 分段函数的形式来表示， x 加上 x 分之一百二十一，再加一百二十二，这种情况是 x 大于等于一小于二十二，且 x 属于灯芯的时候。 同样的方法，我们来看第二种情况，当你的这个 x 大于等于二十二，小于等于三十，而且 x 属于 n 星的时候，这个时候呢， x 减二十二的绝对值，注意， 它就等于 x 减二十二，好，那这个时候呢， f x， 它就等于括号负的这个地方的负号照写，然后这个地方 x 减二十二的绝对值，就等于 x 减二十二嘛，注意打括号，然后再加一百 四十三，乘以一加 x 分之一，好，就等于负 x 加二十二，再加一百四十三，乘以一加 x 分之一，好，这个地方呢，就变成了负 x 加上一百六十五，然后再乘以一加 x 分之一，好，就等于负 x 减一，加上一百六十五，再加 x 分之一百六十五， 最后就得到负 x 加 x 分之一百六十五，再加一百六十四。所以咱们的第二种情况， f x， 它就等于负 x 加 x 分之一百六十五， 然后再加一百六十四，而这种情况呢，是 x 大于等于二十二，小于等于三十，而且 x 属于 n 星的时候。 现在我们来求出 f x 的最小值，那这个时候我们只能够在两种情况下去求出 f x 的最小值，然后最终看一看他的最小值到底是多少，对吧？好，所以第一种情况， 当这个 x 大于等于一小于二十二，且 x 属于 n 星时， 好，这个时候我们来求这个式子的最小值，注意你这个 x 肯定是正数， x 分之一百二十一也是正数，对吧？而且他们俩一乘 横的话是一个定值一百二十一，那这个时候就很熟悉了，我们就可以利用基本不等式来求这个最小值了。好，那这个时候呢，我们就会有 x 加上 x 分之一百二十一，它要大于等于二倍，根号下 x 乘以 x 分之一百二十一，好，那注意，你这个地方不是加了一个一百二十二吗？对吧？对于这个不等式而言，咱们两边给他同时加上一百二十二不等号，不改变方向吗？咱们呢是对这一部分用了基本不等式。 好，而后边的这一串我们算出来他是等于一百四十四的，那这个时候呢，我们千万要注意这个地方的等号什么时候去， 他能不能取到这个最小值一百四十四呢？对于这一部分，我们利用到了基本不等式，那么等号成立的条件是，当且紧当 x 等于 x 分之一百二十一时，好，这个时候呢，我们把这个 x 的值求出来，通过这个地方我们就会得到 x 平方等于一百二十一，那么 x 只能够取正十一了。其一， x 等于十一时，等号成立。因此在第一种情况下，它的最小值就是一百四十四。好，但是还没有达到最终的目的，这个仅仅是第一种情况下的最小值，我们 还要在第二种情况下求出他的最小值，然后最终看一看到底哪一个是最小的。好，那我们来看第二种情况的话，也就是当你的这个 x 大于等于二十二，小于等于三十，而且 x 属于 n 星的时候， 此时同学们，你们来看咱们的这个函数， f x， 它是等于负 x 加 x 分之一百六十五，再加一百六十四的。很显然这个函数肯定是减函数呀， 你这个 x 越大，这一项就会越小，这一项也会越小，对不对？好，那这样一来，这个整体就会越来越小，所以呢，很明显他是减函数，为减函数。 好，既然为减函数，那么此时这个 f x， 它的最小值就等于 f 三十。好，我们把三十给它带进去，就是负三十，加上 三十分之一百六十五，再加一百六十四，我们算出来他是等于一百三十九点五的。 这个时候我们就可以看到，在第一种情况下，最小值为一百四十四，第二种情况下，最小值为一百三十九点五，对吧？ 所以最终得到 f x， 它的最小值肯定是一百三十九点五，此时 x 它是等于三十的。好，那最后呢，我们就给它下定 一个结论了，所以综上所述， f x 的最小值为一百三十九点五，此时你的这个 x 它是等于三十的。 好了，同学们，这个题我们就讲到这个地方，然后同学们下去把这个题的具体的解题过程规范到自己的书上，这个题目下边是给同学们留了空白的，一定要下去，自己能动手写。好。接下来我们来看到反思感悟这个地方， 以和函数模型解决实际问题的一般步骤括号一，根据原始数据表格绘出闪点图。 咱们的第一个步骤，同学们在做题的时候，你可以进行，也可以不用进行，因为画这个闪点图最终的目的啊，我们是要去看一看，通过这个闪点图， 你是要礼盒的是一条直线还是一条曲线，甚至你要观察到这个数据他的变化趋势，就比如我们刚刚所做的这个题，老师是没有画这个闪点图的，我直接是通过这个数据的变化趋势，哎， 然后呢就排出来一三四这三个函数模型，所以咱们的这个过程呢，同学们根据具体的问题呢，具体的来看一看，你是否需要画出这个闪点图，好来看第三个步骤， 求出里和直线或里和曲线的函数关系是第四步，利用函数关系是根据条件解决实际问题。这些文字性的 东西同学们不要去背他，与其背他，不如说你把咱们的这个立山下去好好的整理一下，你的收获会更大。好了，我们今天就讲到这个地方。

前期呢，我们做了一个这样的调查问卷， 这个是问句的调查结果。从这个结果中呢，我们发现大家对这个数学建模还是比较陌生的。那既然这样，数学建模思想的培养就显得更为重要了， 那到底又该如何来建立函数模型，解决实际问题呢？这就是我们今天要探讨的话题。 首先，我们通过一个具体的案例来感受一下数学建模的重要性。 你觉得学习数学有用吗？我曾经也觉得学习数学没有什么用处，生活中这些琐事，学会加减乘除就够了。后来我们学了那么多的复杂的公式，根本就用不到。我们不会遇到说鸡兔同笼，我们有空去数脚，有空去数它的头的数量，就是没空分别数兔子跟鸡的数量。 我们也不会遇到一个小明，他跑的比摩托车还快，去追一辆火车。我们更不会遇到有一个大水缸，里面一边放水还一边往里灌水抽，什么时候能把水放干净？不知道。我看到下面这个故事，说这有一个大公司，员工有接近一万人，这快八月十五了，他们大老板想给所有的员工一人买一盒月饼。那么在他们楼下就有一个工厂，这个工厂也是直营。 呃，一盒月饼他们卖一百，两盒月饼呢，他们卖一百六三盒月饼呢，他们卖二百。然后这个老板觉得三盒月饼卖二百，一盒呢，不到七十，给他讲价，讲到六十一盒应该差不多了。于是他就拿出了六十万给他的助理小礼 说这三盒月饼卖二百，那一盒你给他讲价，讲到六十，这六十万正好购买一万盒分给我们的员工，你能把这价格砍的更低，多出来钱算你的。哎。小李一听拿到六十万就去了这工厂。如果你是小李的话，你会把价格讲究多少？小李啊。

基于这个问题的解决，有一个任务，通过问题解决整理按次函数解决实际问题的一般思路，形成框架图。请整体布局，注意留白。 随着学习的接近分时，你的框架图请在空白的纸上来完成。你的作品开始。 好的，请大家安静下来啊，我们请某一组啊，来说说你们组的一些发泄。那话筒在哪里？ 那这组吧。请一位同学，你们退学。一位同学来说说看 我的。我的话。我第一步是嗯，设置合理的未知数。然后第二步是根据嗯提议，或者是说嗯自己列的等量关系式来设方程。 然后第三步就是解方程。应该是函数吧。啊是好请坐啊。由此可见，我们在整体构建上还需要一起来捋一捋。 首先看，我们知道这是一个实际问题。嗯，按次函数是解决实际问题的数学模型是吗？我们看一下。从过实际问题出发，我们 建立了这样一个式子，你发现了吗？这个式子其实就是我们 的暗次函数。 我们通过解决二次函数的问题，最终得到这个知识， 这个就是我们这个按次函数的结。 正如刚才解决这个问题的同学在说。于是我知道当这个 x 等于十二的时候，面积有最 大值二百八十八对不对？从而从按次函数的解回到实际问题的解。 所以是这样一个过程。我们来再来回顾一下刚才的过程。 花谱的面积就是时机问题，而上面这个设置就是按函数。我们得到的这个知识点就是按次函数的结， 从而得到最后我们实际问题的解。即当 x 垂直于墙面的边为十二米时，花谱的面积为二百二十八平方米。于是就搭建了这样的一个流程。 而这个流程的背后，我们不妨一起来看。它其实就是通过实际问题 得到按次函数，通过按次函数得到按次函数的解，再得到实际问题的解，从而我们解决了这一个实际问题。 当我们建立了这样一个大的框架之后，我们发现同学们刚才也在不断地思考，说觉得好像不仅于此。 那么我们就想接下去只认五亿。如何把实际问题转变为二次函数问题？那么 大家来观察，其实指的就是这张图当中的第一条线。看到吗？那么我们就来重温一下这个过程。 从实际问题到暗次函数的问题，我究竟经历了哪些？思考它的几个过程是怎样的呢？请思考来逐步分识你的框架图开始。

下面的这个例子，我校天文社团啊。天文气象社团在研究性学习中了解到下面的知识。气象站需要放飞一种碳空气球， 通过其下方悬挂的碳空仪，将实时探测到的大气垂直方向上的气象数据反馈给地面雷达，通过数据处理，成为全球预报员制作天气预报的重要依据。 大气压强对气球能达到的最大高度和停留时间有非常大的影响。 该社团对大气压强和海拔高度的关系展开了研究。下面是他们查找到的一段视频。 我现在在四楼，手表上面他有一个海岛气压 g， 那么现在我在四楼的时候，他气压是八百八十三百帕 啊，把它往上拉一下啊，那我现在所处的高度是一千零六十米，那么以后我就会坐这个电梯啊，坐电梯我到四十四楼 啊，就比现在要高四十层的地方啊，我们可以看一下他的这个海拔和高度啊，应该如何变化。 三十五楼啊，三十五楼，它的气压是八百七十四百帕啊，四十四一四二四三四四， 对啊，四四，呃，一千一百九十一米。他的气压值是啊，八百七十一百啊。所以你可以发现啊，他的海拔在升高的时候啊，他的一个气压的一个变化的一个情况。 我现在在问题一在以上的视频中，同学们发现了大气压强和海拔高度之间有什么关系？ 刚才大家看到的陈家科同学，你觉得好，大家都看到了是不是？不过这个地方我们要稍微注意一下，要加一个前提，刚才的试验是在什么环境里面进行的， 从四楼到四十四楼，这个高度，高度怎么样？大概是什么样？一千多米的样子对不对？所以我觉得我们从视频上所看到的是不是在没有超过两千米的 范围内，随着海拔高度的增加，大气压强势减小的请坐下。好了，假设该社团要从数学的角度，他要进一步来研究这两者之间的关系，那么他们可以采用什么样的方法，利用什么知识，采用什么手段来研究？ 大家想一想，研究随着海拔高度的增加，大气压强减小是两个变量之间的关系。我们先看你觉得在数据上你可以用什么知识来研究什么知识。大家一起说 函数，很容易会想到对不对，研究这两个变调之间有没有能够用某一个函数来表示它呢？那么我们会可以用什么样的辅助手段？你觉得研究的时候没有什么网络，用网络干什么？用网络？是不是 那些数据能不能够说全部靠我们的测量做不到？所以我们可能需要网络来查找数据。也就说先查找完数据以后，利用的是函数知识，然后还有一个。