三角形面积折叠法的推导过程

今天我们讲五年级数学三角形面积公式六种推倒方法，这六种方法都是小朋友想出来的，我们先看第一种 好，这样一个三角形，再拿了一个完全一样的三角形，所以第一步转化，用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形。第二，我们看一下圆三角形和拼成以后的平行四边形之间的一些关系， 第一，圆三角形的底等于平行四边形的底。第二，圆三角形的这条高等于平行四边形的高。 第三，圆三角形的面积等于平行四边形面积的一半。所以我们就可以得到一个结论，因为平行四边形的面积是底层高的，而三角形的面积是平行四边形面积的一半，所以三角形的面积是等于底层高除以二。接下去 我们看第二种，第二种的话把三角形的高先画出来，画完以后呢，我们在这个地方再补上一个三角形，这个三角形和这个三角形是完全是一样的。 然后呢，在这边又补一个三角形，这个三角形和这个三角形是一样的。那这样一来，你就仔细观察一下我们是怎么样转化的。 如图是把三角形补成一个长方形，补完以后我们就会发现呢，在这里提醒一点，图一定要画标准画对。然后第二点你会发现这两啊，圆三角形和这个长方形之间是有关系的，我们就要把这个关系找出来， 一，圆三角形的这条底是等于长方形的长，对吧？圆三角形的这条高等于的是长方形的宽。再看面积，圆三角形的面积是长方形 面积的一半，所以我们就可以得到这个结论，因为长方形的面积是等于长乘宽的，那么我们三角形的面积只有长方形面积的一半，并且长等于底，宽等于高，所以三角形的面积是等于底层高除以二的， 这是方法二。接下去我们看第三种好人，就是这个三角形，我们在三角形的这条边上取个终点， 在这条边上也取个终点，然后呢，这两个终点我们用线段连接起来，那这条线我们就叫做是中位线，三角形的中位线， 现在我们把上面这个三角形给他啊，移过来，移到哪里去呢？把他平移到这个地方，也就是说这个三角形和下面这个梯形拼成现在的这一个平行四边形。好，那也就是 说我第一步是怎么转化呢？如图，把三角形沿中位线剪开，拼成一个平行四边形，拼完以后，我们要去找一找原三角形和现在平行四边形之间的关系， 找到这个问题。第一点圆三角形的底是等于平行四边形的底的。好，再看一下圆三角形的高，是这一条，对吧？我这条是中尾线的话，那现在我们发现就是圆三角形的高，应该是平行四边形平行四边形高的两倍。 好，那第三点看面积，原三角形的面积是等于平行四边形的面积的，因为我们只是把这块三角形移到这里，所以面积仍旧是不变的，所以通过这些我们就可以得到结论，因为平行四边形的面积是底乘以高的，但是呢，三角形的面积和平行 四边形面积是一样的。第一也是一样的三啊，三角形的这条高是平行四边形高的两倍，对吧？或者说平行四边形的这个高是三角形高的一半， 所以三角形的面积是等于底乘它三角形原来的高再除以二。好，这是第三种，再看第四种， 同样的，我们找到这个三角形的中位线，这个时候呢，我们画啊，这条虚线和这条虚线是跟底是垂直的，也就是这个是长方形。那接下去我们把这个三角形呢给他移到这个地方，再把这个三角形呢移到这个地方，移完以后的话，这里就变成虚线了。 那么我们这个图形是怎么样转化的呢？所以是如图，把三角形所拼成一个长方形，你看现在拼成的是这个长方形了， 圆三角形是这个拼成了现在的这个长方形。接下去我们找一找，看圆三角形和拼成以后长方形之间的一个关系，圆三角形的这条 底，圆三角形的这条底是长方形长的两倍，这个怎么理解呢？你看一下，看我的鼠标，圆三角形的这条底是这条中尾线的两倍啊，这条中尾线就是现在长方形的长，所以圆三角形的底是长方形长的两倍， 圆三角形的这条高，看看就是圆三角形这条高等于长方形的宽，而圆三角形的面积跟这个长方形面积是相等的。好，第三步结论，因为长方形的面积是长乘宽的，所以三角形面积跟长方形面积是相等的，对吧？这个宽跟高是相等的啊， 长方形的长它是什么呢？是三角形底单一半，所以是底除以二再乘高，那么我们把它换过来以后就是底乘高除以二。 好，这是第四种，接下去讲第五种，同样的把这个三角形的中位线找出来，找出来以后呢，我这里画一条高，画好以后呢，我们说把这个三角形，看我的鼠标，把这个三角形移到这里了，对吧？然后呢把这个三角形移到这里了， 这样一来的话，上面这些是不是就没有了，对吧？一边移到这里，一边移到这里，所以这个地方我们有虚线，表示 这个虚线的高人就要补上去。所以第一步转化如图，把三角形沿中位线数剪开，拼成现在的这样一个长方形。第二步我们来去找一下关系，圆三角形的底， 它等于长方形的长，圆三角形的高是这条，对吧？圆三角形的高是这条是现在长方形宽的两倍。第三，圆三角形的这个面积等于长方形的面积。好，我们结论， 因为长方形面积是等于长乘以宽的，所以三角形的面积是等于底层高除以二，这个长跟这个底是一样的，对吧？ 这个高是三角形高的啊，这个宽是三角形高的一半，所以这个宽其实就是三角形高除以二。好，这样一来的话，这是第五种，我们解决掉了。 好，接下去讲第六种人，就把这个中位线找出来，中位线找出来以后的话，我们画了一个红色的这个。啊，这个是长方形，对吧？这里是垂直，这里也是垂直的，画完以后呢，就是把这块 三角形给它折过来。好，这里就变成虚线了。同样的把这个三角形呢，沿着这条红色虚线给它折过来，折过来以后呢，这里就变成虚线了。同样上面这个三角形呢，也是把它折下来 好，折下来以后的话，上面也变成虚线了。那我们发现什么是怎么样转化的呢？就是如图，把三角形竖式把它拼成一个长方形，沿着这些线，对吧？折下来 拼成一个长方形。第二，找一找关系，圆三角形的底是这一条对吧？是现在长方形长的两倍。我们刚刚说了，这一条底 是这条中位线的两倍，也就是是长方形长的两倍。第二，圆三角形的这个高是这一条，对吧？是长方形宽的两倍。圆三角 形面积是长方形面积的两倍，因为我们这样折过来，这也是折过来，这也是折过来以后的话，圆三角形面积是长方形面积的两倍。第三，结论，因为长方形的面积是长乘宽，所以三角形的面积就是底层高除以二。这里的转化我们再详细讲一下， 三角形的面积是不是应该是长方形面积的两倍，所以长方形面积乘二。呃，这个长方形面积的话是长乘宽，再乘上这个二。 长方形的这个长，我们刚刚说了啊，是三角形底的一半，也就是这个长就是三角形的底除以二， 这个宽是三角形的高除以二，再乘上这个二，然后把括号去掉，通过计算的话，它等于的是底乘高除以二啊，这里的转化可能稍微有一点点等，那你可以在内试表思考一下。 好，接下去我们对六种方法进行分类看。第一种方分法一，就上面这两个分一类，下面四个分一类。那上面的话都是用两个三角形拼成平行四边形或长方形的， 下面的呢，都是利用中围线把一个三角形拼成平行四边形或长方形。再看分法二 好也可以把这两个分在一起，他们都是转化成平行四边形的，把剩余的四种方法分在一起，都是转化成长方形的。好了，今天我们就讲到这里，希望对你有帮助，谢谢。

我们来看这道题，将如图所示的三角形沿虚线折叠，得到如图所示的多边形，这个多边形的面积是圆三角形面积的八分之五。已知图中阴影部分的面积为六平方厘米，求圆三角形的面积， 我们来演示一遍。这个三角形沿着图中的虚线折叠，就得到一个多边形，这个多边形的面积是原三角形面积的八分之五。 图中的阴影部分，也就是黄色部分的面积是六平方厘米。折叠以后，圆三角形的面积有一部分重叠了，重叠的部分就是图中这个 白色的四边形，还有一个白色四边形的面积被遮挡住了。我们设这个白色四边形的面积为 a， 那么重叠部分的面积就是二 a。 题中说这个多边形的面积是圆三角形面积的八分之五， 我们就来比较一下这个多边形和圆三角形的面积。多边形的面积就等于 白色四边形的面积 a 加上阴影部分的面积， 而圆三角形的面积就等于多边形的面积加上重叠的被遮挡住的面积 a， 也就是 a 加多边形的面积，多边形的面积等于 a 加阴影部分的面积，因此三角形的面积就等于 a 加 a 加阴影部分的面积。 体重说这个多边形的面积是圆三角形面积的八分之五， 多边形的面积占圆三角形面积的八分之五， 那么 a 就是圆三角形面积的八分之三。这个 a 同样是圆三角形面积的八分之三， 那么阴影部分的面积就占圆三角形面积的一减 八分之三乘二等于四分之一。题中告诉我们，阴影部分的面积是六平方厘米，它是圆三角形面积的四分之一，因此圆三角形的面积就是 四乘六，等于二十四平方厘米。

小红用一张长方形纸做手工，他将一角折叠阴影部分的面积是多少平方厘米？这里说到了折叠， 我们就要看他是怎么折的，不要一来就说，哎，这个怎么算？我们把题读清楚了，来，这里说到了折叠，想他是怎么折的？ 手比划，原来是一张长方形纸，哎，我看到了你们的手是这样翻折上去的，其实这里说的就是我们前面以前讲的什么问题，翻折问题，对，这里的折叠就是翻折，翻折会更形象一些，对不对？你看就这个地方 翻折过去，看到老师的手这翻折过去，那做翻折问题的关键是什么？需要干嘛呀？要把这个图干嘛呀？要干嘛？补出来，我们要把这个图补完整。来，我们来补一下原来的长方形， 这里有个直角，你看这样一补出来了之后，大家看就是这个三角形翻过去，那么补出来了之后就有两个三角形，对不对？那既然是翻折，翻折就能得出一个什么隐藏的数学信息， 这两个三角形干什么？一号三角形，二号三角形，你们说他们干嘛？完全一样，完全一样，那么他就有三组边箱的，三组角箱的，对不对？对，这是没有问题的， 那么咱们就放在这，这才叫把这道题的面积是绿色部分，这一个是个不规则的图形，咱们怎么求？ 我们可以分割求和，也可以贴不求差，这里是分割好一些还是贴不求差？补起来，然后再剪出去，对不对？你想如果分割的话，我们想就两条思路吗？分割，如果分，哎，这样分，分成两部分， 不知道，这里是好多，也不知道高校的无法求，对不对？再比如说我们这样分也不行，也不行，也求不出来，看来分割法不得行，那我们就用天补法，天补法把哪补起来？缺缺缺缺，一样一样。来，老师摇一下， 同意吗？同不同意？同意补起来。这是个什么图形？梯形，梯形，梯形的面积会求不会？你看上底知道，下底知道高，知道那梯形的面积会求，求了之后再干嘛？减去三角形？那把这个三角形减去 拿走，在数学上就是减，对不对？把三角形的面积减去，来，我们看这个三角形的面积怎么求？三角形的底知不知道？知道底是好多在这个地方，对不对？那这里其实和这个地方是一样的，因为这组这组边他们相等，那这一段是好多，十点七来写算式，十减 七减几，七等于三厘米，然后这里就是三厘米，因为你看整个是十，十减七是三，这一段是三，一样的吗？两个三角形高呢？六高是多少？六，哪里来的六那里？ 因为这里一样，这一段和这边一样，这里是六，这个地方也是六。所以底知道高，知道三角形的面积会去了吗？会，会不会？会好？三角形的面积咱们就把它算出来，底 成高。你看老师写的时候，我们心里面边念边写除以二，算出来的余九九单位平方厘米，这是三角形的面积，我还要写上，我这里算的是三角形的面积，我接下来我要写什么？ 梯形？梯形的面积上底加下底的和乘高除以二，好多，五十一，五十一平方厘米， 然后我再来写算谁一一部分的面积，你看老师有批注的，他就是梯形的面积，减去三角形的面积，等于一一部分的面积。 好，大家看在这，老师有这样的三个批注思路一下就非常清晰了，看到了吗？看到了。好，这个题咱们就讲完了，我们把几个关键的地方总结一下，因为下一次做题不可能出现原题，对不对？他都会变一点点，哪怕变一点数据， 这一次是这个角翻过去，下一次两个角同时翻，可不可以？我翻上面可不可以？可以，他这一次翻成三角形，我下次多翻一个图形出来，可不可以？不可以，所以这个都可以变形的，那我不要总结方法，坐端正。 首先看到这种翻折，那我们就要把这个图给补起来，一定要把它给补出来。有些出题老师比较仁慈，他就给你们画了的，如果没有画，自己必须补出来，对不对？补出来了之后， 两边一样就能得到一些信息。然后还有一个关键点，我们在写的时候加上简单的记住，这里绝对不是让你们给你们多加任务啊， 听明白了吗？明白了。最后还有一点小提示，大家在有的图里面，大家看这个侧面的数据，一般来说都是站在右边来看，不要把它看成九了，这是几六，看懂了吗？来一点哈，老师讲一下， 你怎么可以怎么看，你看嘛，这一段才是七，这段是九的话，他要比七长，怎么可能嘛，对不对？这是多少六？对，好，来一个我这个我们就要站在这边看，就站在右边看，明白了吗？这个点老师提一下，因为有的时候出卷子出题的老师，他会把这个数据这样放，当然如果那个老师他，他这个地方他就是这样写的， 他就就这样写的，那倒没问题，是不是？只是有的时候他容易这样斜着写？哎？老师给大家提醒一下，这个折叠问题没问题吧？翻折问题其实我们以前讲过，还记得吗？我们以前讲翻折问题的时候，重点是看角度相等，因为原来我们研究的是角度，而现在研究的是面积，那就和边有关，是不是？对，好，下一个题。

上个视频，咱们用整体减部分法解了这道题，今天呢，换个思路，用等面积转化法来解，这个方法呢，不用去算，减法也很快很直观。 第一步，先观察图形，两个大直角三角形 e、 d、 f 和 a、 c、 b， 它们是完全相同的，面积相等，它们还有一个共同的重叠部分，就是 g、 d、 b 这个小三角形， 两个完全相同，面积相等的三角形，它们减去同一个重叠的部分，那么剩下的面积肯定也相等。所以呢，阴影部分的这一块面积呢，就等于左边梯形的这一块面积啦。 接下来计算梯形的面积，梯形的上底为 三厘米，它的下底呢是四厘米，那么它的高呢，就是 c、 d 这一段。那么 c、 d 多长呢？我们看两个完全相同的直角三角形，它们的底是相同的，所以呢， c、 d 加上 d、 b 这段呢等于 d， b 加上 b、 f， 所以 c、 d 呢，就等于 b、 f 等于二厘米。 最后我们计算一下梯形 a、 c、 d、 g 的 面积，也就是算出了阴影部分的面积。那么梯形的面积公式，上底加下底的和乘上高除以二，我们套用一下，求出它的面积，算出梯形的面积为七平方厘米。 总结一下这道题呢，我们今天用的是等面积转化的思路，它的关键就是找到面积相等的图形，通过减同存异来简化计算。 好了，这道题的第二种方法也讲完了，其实数学里很多题目他都不止一种答题思路，但不管用哪种核心，都是要找对突破口，找准了关键点，难题自然就好解了。

大家好，今天给大家带来一道六年级有关于方中圆的问题。首先我们看到题目如图，将一张正方形纸对折三次之后，减下一个最大的圆，若三角形 a、 o、 b 的 面积是六平方厘米， 则减下的圆的面积是多少？首先我们看到题目当中说，将一张正方形的纸对折三次之后，那么也就是形成了一个这样的图形， 三角形。那么观察一个三，这个三角形它应该是一个怎样的三角形呢？我们知道正方形的每条边它是 相等的，而且是互相垂直的，那么这个三角形我们就应该是等腰直角三角形。等腰直角三角形的特征也就是腰相等且互相垂直， 腰相等也就代表的是 a、 o 跟 a、 b 它是相等的。 要看到题目要求在这个三角形减下一个最大的圆，我们知道圆的面积取决于什么，圆的面积取决于半径的大小。那么观察一下这个三角形，我们应该取哪条边当半径呢？ 对了，我们应该取 a、 o 或者是 ab 当半径，应该取 a o 或者是 ab 当半径。 那圆的半径它应该是用哪一个字母来表示呀？对，也就是 r， 那 么知道了 a、 b 等于 a、 o， 那 其实两条边，两条直角边它都应该是 r。 那么回想看到题目，若三角形 a、 o、 b 的 面积是六平方厘米，那么回想一下三角形的面积公式，也就是 s 等于底乘高乘以二分之一。 那么现在三角形的面积我们已经是知道的，是六平方厘米，底为 r， 高也为 r， 就 将其代入进去，那就是 r 乘以啊，乘以 一它会等于六，那观察一下这个式子，它就可以简化为 r 的 平方等于十二。 那么看到题目要求的是什么呀？要求减下的圆的面积是多少？那么再回想一下圆的面积公式是什么？圆的面积公式是 s， 圆等于 pi， r 的 平方， 那么现在 r 的 平方我们已经求出来了，对不对？是等于十二，那么将 r 的 平方代入到公式里面，也就是 pi 乘以十二等于十二。 pi， 我们一般将派取三点一四，那么就将三点一四带入到这里，那会等于十二乘以三点一四，那么最终的结果也就是三十七点六八平方厘米， 那么最后这一个圆的面积我们就已经求出来了。最后一步，也就是把 答圆的面积为三十七点六八平方厘米。这样一步步计算下来，大家都清楚了吗？