2026初三人大附中数学几何题

ok， 好， 同学们，好哈，然后我们接下来给大家讲一下，呃，咱们刚刚结束的这个人大附初三开学考的这个几何综合这个题目， 呃，这个题目我觉得还是中规中矩的啊，难度适中，没有很难，但是没有很简单出的还是，呃，非常不错的，因为它跟咱们比如说二四年海淀的期末以及二五年中考题，实际上都挺契合的， 难度差不多都。然后我们先看这个题啊，首先说在二的三角形 a b 当中啊，然后角 c 是 阿尔法，点 d 在 射线 c b 上， 呃，将射线 d c 绕点 d 逆时针转一百八十度减二阿尔法，那这个东西一说的话，基本上等腰三角形它不就出来了吗？对不对？然后左侧直线什么什么？然后 f 是 嗯， bc 的 一个 e c 的 一个中点。 第一问，第一问，若 b c 等于 b d， 然后求证 c d 等于二倍的 b f， 哎呀，那 b 是 终点， f 是 终点，这不中微线吗？对不对？平行吗？对不对？然后又因为你的这个角阿尔法，这角阿尔法，那这边就等于这边，他不直接不就出了吗？好吧，第一问直接过啊， 然后第二问的话，老师会大概会给大家提供两三个思路吧，但是其中有两个基本上是差不多的，是一样的，好吧，然后其实我们这个东西 啊， b f 和 d j， 我 们从结论视角出发的话，首先我们呃要去猜一下对不对，然后猜完之后呢，发现我的 b f 和 d j 他 应该大概率是一个二倍关系，对不对？我们用尺子都可以量啊。 然后这是从结论视角出发，然后两边二倍的话，我们考虑的是什么？如果有中点的话， f 点是中点吗？有中点差乎的话，我们考虑的是什么呢？我们考虑的是走中微线逆定理，或者是走倍长八字都是 ok 的。 好吧，那我们先从中微线的视角去看一下这个题， 那中微线的视角的话，我们要知道这个东西它是一个等腰三角形对不对？而且 f 点是中点啊，然后我要正这个边和这边是一个二倍关系，那我就要去找一下我 bf 的 二倍，就 bf 的 二倍到底是怎么出来的？ 好吧，一种是什么呢？我们可以考虑倍长，另外一种可以考虑中微线，中微线的话，我就得让 bf 成为一条中微线，对不对？ 然后各位啊，到这有个非常重要的点跟大家说啊啊，你们如果能听明白的话，你们在未来遇到各种构造中卫线的东西，你们基本上都是能理解的，都是能做出来的好吧，什么呢？中卫线，他构造中卫，在一个复杂的几宗里面，中卫线他构造的一个底层逻辑是什么？ 来看，这是两个共端点的线段的终点的连线 啊，什么意思呢？ f 点是这个 e c 的 一个中点，然后我得让 b f 成为中微线，那我得让 b 成为一条 一个线段的中点，对不对？然后 b 成为的这个线段的中点，这个线段他有什么条件？他必须得是和 e c 这个线段共端点的，所以我只能想到从 c 出发，对不对？所以从 c 出发的话，那就是 b c， 然后背长一下这个 b k， 会得到这个 e k， 对吧？连接 e k， 连接 e k， e k 的 话，此时和 b f 之间就是一个二倍关系，那我只需要证明我的 e、 k 这个边等于 d 这个边， 那两边相等，咱们也是有思路的，对不对？你比如说第一个，第一个思路在一个三角形等下，不在一个三角形全等，对不对？那这个很显然它不在一个三角形，所以我通过全等的方式，那全等的话，我要在图里边去找到两个直观看起来比较像的全等三角形，对不对？很显然也能看到啊， 对，这两个三角形，那老师呢？这个三角形你为啥要连这个线啊？对不对？对吧？老师，你为啥要连这个线啊？你连完之后你会发现啊， 因为你的 a、 d、 j 它是一个等腰三角形，对不对？然后，呃，你的这个，我们从模型视角出发的话啊，我们从模型视角出发的话，我们就会考虑手拉手，手拉手的话就要共顶点，共 a 这个顶点， 对不对？因为 a、 d、 j 它的顶点是 a， 对 吧？然后这个角是阿尔法，那你的这个角是九十度减阿尔法，那这个角也是九十度减阿尔法，那这个 大角 c、 a、 k 就是 一百八十度减阿尔法，他跟这个角就相等，那这样的话我自然会得到手拉手这个三角形和这个三角形全等，对不对？那他俩如果全等不要紧啊，他俩如果全等的话，首先来这边就等于这边了， 对不对？其次这边还等于这边两边。知道我们找加角呢，就是找这个角和这个角相等，不相等呢，也相等呀， 对吧？也相等的呀，这个角一百八十度减二阿尔法呀，对不对？然后这个角和这角相等啊，这角是阿尔法，那这个角也是一百八十度减阿尔法，对吧？那这个角一百八十减阿尔法，再减去这个阿尔法，那这个角不就一百八十度减去二阿尔法吗？ 所以 s a s 这样才等于全等。全等之后我的 e k 就 等于 d j， 然后又因为我的 e k 是 等于二倍的 b f 的， 所以 d j 等于二倍的 b f， 对 不对？ 这是我们的第一类思路，然后我们的第二类思路的话，我们走背长中线实际上是一样的，完全一样的。啊啊，差不多， 我如果走背长中线的话，我这辅助线怎么做呢？首先我从模型视角出发的话，肯定还是要做这个手拉手，对不对？然后我去背长 b f， 对 不对？我去，因为 f 点是中点，所以我背长 b f 之后直接连接，所以这个三角形和这个三角形就是一对平行八字全等，所以他跟他就是一个平行关系，对不对？然后我又得到了这个 e， 这个 b h 这个边是 b f 一个二倍，那我主要证明 b f 这个边和 d j 相等， ok， 那 b f 这个边和 d j 相等，这个我怎么去证呢？首先我们有这个不在一个，在一个三角形是等，要不在一个三角形是这个 全等，如果全等也出不来的话，我们会考虑什么？我会考虑去找中介。什么叫找中介？边？就找一个跟这个 bh 这个边或者和 dj 这个边相等的其他边。如果图里边没有的话，我就要自己主动的去构造， 对不对？那很显然图里边没有第三条边跟 bh 或者和 dj 相等，对不对？所以这个时候我们去构造一个和 bh 相等的边，那怎么去构造， 对不对？你知道你的 e h 是 平行且等于 bc 的， 而且你的 bc 是 等于 bk 的， 你的 bc 和 bk 又在同一条线上，所以你就会知道 e h 是 平行且等于 bk 的， 那这样的话我只需要去连接这个 e、 k， 对 吧？我只需要去连接 啊， e、 k， 我 在倍长 bc 的 让 b k 等于 b c 这个基础之上去连接 e、 k， 这样的话我就会得到这个四边形 e、 k、 b、 h， 他 是一个平行四边形，对不对？那他如果是一个平行四边形的话，那我的这个边就等于这个边了， 对不对？这个边等于这个边，那我又继续再去挣这个泰式和这个泰式全等呗，对不对？能理解这个意思不？好吧？那这个东西他不就出来了吗？ 这是走非常柱线这个路，那我走相似这个路行不行呢？走相似这个路，好吧，那相似这个路咱看一下啊，那这个三角形，它是一个顶角，是一百八十度减二阿尔法的一个等腰三角形， 就是说它的两个幺之比是这个一比一，对不对？然后 f 是 中点，中点的话我连接 d f， 对 不对啊？然后这块是一个垂直的，然后这块也是垂直的，那我就会得到我的这个 d、 b、 a、 f 这四点是一个共圆的，对不对？那这四个点共圆不要紧啊，这个四点如果共圆的话，那我只要去 找一下，然后我去连接。比如说这个点是 p 啊，找一下 a、 d 的 一个中心啊，因为 a、 d 就是 咱们那个四点共圆的那个圆的直径，然后 p 是 a、 d 的 一个中点，也就是我们四点共圆的圆心，对吧？连接 p f 和 p b， 那 这样的话，我会发现 p f 和 p b 也是相等的 哦，所以我现在只需要证明这个底角是阿尔法，或者这个大角是一百八十减二阿尔法就 ok 了，好吧，然后这个角是阿尔法，那我说这个角是贝塔，那这个角作为一个外角来说的话，就是阿尔法加贝塔，那这个角是阿尔法加贝塔的话，那因为这个边等于这个边，所以这个角也是这个 阿尔法加阿尔法加贝塔，对不对？这个角也是阿尔法加贝塔，然后这个角是等于这个角的，因为在这个圆当中，这个角和这个角它是同一条弧弧。 a b 所对的圆周角，所以它是相等的，然后这个角等于这个角都是等于贝塔的，那这个角就是阿尔法。那这样的话，这个三角形 啊，这个三角形和这个和这个大的三角形它就是相似的，而且相似比是什么呢？相似比你看一下啊， 我拿出小三角形，我拿出 p f 这条腰，然后大三角形，我拿出 a d 这条腰，那 a d 比上 p f 就是 我的相似比，正好 a d 和 p f 是 一个二倍关系，那这样的话，我的 d j 跟 b f 也就是一个二倍关系。 好吧，同志们，那这个题的话，老师就给大家说到这啊，一共老师是说了三种方法，但是咱们的第一种和第二种这个中点的处理方式，基本上都是得到了 我短边的一个二倍，然后正去正这个短边的二倍，跟这个长边是一个相等关系。好吧，那这个题的话啊，人大副二六年，人大副初三开学考的这个几何综合，老师就给大家说到这里，好吧？ ok， 好， 拜拜。

哈喽， everyone， 欢迎来到刘老师的数学小课堂，今天刘老师给大家带来的是二零年人大附开学考袁宗的这道题目，有的家长跟老师反馈呢，老师，我们期末的时候袁宗还能顺利的做出来呢，怎么开学考的时候袁宗做的不是很顺利呢？ 这个情况呢，我们来简单的分析一下。其实呀，在我们的一模、二模以及中考当中，出现的比较多的线段求解工具还是相似和三角函数为主，而勾股以及特殊三角形只是一个辅助工具，而在期末考试当中，是以勾股以及特殊三角形为主来进行确认的，那么难度上呢，就会有很大的差距。 并不是说相似以及三角函数这个知识有多难，而是在这个图形当中，我们不是那么容易那么轻易的发现相似，发现三角函数的应用和转化， 所以他会有难度。但是呢，大家也不用担心，简单呢，大家都简单，我们也能做对，难呢，大家都难，所以我们调整好心态，只要多拿几分，那不就胜利者吗？好，我们来看一下这道题目， 首先呢，他说 ab 是 圆 o 的 直径，看到直径，我们经常反馈的信息是，哎，对了，所以我们先反馈这道题目当中已经给出来的角， d 为直角，而是否连接 bc 构成 bca 为直角的话呢？我们需要打个问号，接下来我们再进行确认，做平行， 在一个线段求解当中，如果涉及到了三角函数，那和相似也会有一些关系，那平行呢，就是一个提供相似非常重要的条件，比如说我们常说的 a 字，八字是不是都是平行得到的呀？ 所以这道题我们在研究线的长度的时候可以考虑哎，相似行不行？好，继续往下看。隔了一对角，在圆当中，角的转化那真是太常见了。 在这道题当中， a、 b、 d 和 c、 a、 e 是 二倍的关系，首先标注一个点，那这二倍就是二点，在直角三角形当中，二点加叉等于九十，我们就非常熟悉了。 然后呢，我们要证明第一问的切线，那就是要连接 c e 啊，证明 c e 是 切线，连接 c o， 证明角 e、 c o 等于九十度。连接 c o， c o 是 什么？ c o 是 圆的半径，圆中半径处处相等，所以我们顺利的就能得到点角相等， 又能够根据外角或者同弧所对的圆周角和圆心角关系，得到二点角的转化。我们会发现哦，这又有一组平行线了呀，这个平行没准也能帮我提供相似。我先写 c o 平行于 b d， 继续呢，它让我们确认的是 c e 为圆 o 的 切线。题目当中第一个平行线，我们看看它能转化什么样的条件呢？ c e 和 a d 平行。哦，原来这个叉角是这么转化过来的呀，正好是一个内错角，所以在 ceo 的 这个三角形当中，一个二点角，一个叉角，所以它一定能够成一个直角三角形。那切线又出来， 原宗的第一问标，标标一定能解决问题。然后我们来看一下第二小问，连接 c d， 连接 c d。 同学们帮老师看看，连接完 c d， 你 是不是就能够把我们刚才说的第一对平行 连接起来，变成一个相似，是什么相似？哎，我们描一描，画一画，顺着它延长 c、 d 的 方式以及 a、 e 的 长度，我会发现正好构成了一个非常漂亮的八字儿相似。 同理，我们刚才确认的第二组平行 c、 o 和 b、 d， 我 们来描一描画一画，是不是也能够成一个八字相似？好一会，我们看看用哪个还是都行，他说呀， e、 b 等于一， sin c e、 a 等于五分之四。我们说三角函数的应用，先看一看它本身所在的直角三角形能不能用 sin 角 c、 e、 a 所在的直角三角形是在直角三角形 c、 e、 o 当中，在这个三角形当中，它的 sine 值就等于对边比斜边，也就是 c o 比上 o e， 而 o e 呢，又是一段半径 o b 加上 b e， 所以 就是 c o 比上 c o 加一 等于五分之四。咱能非常顺利的求出 c o 等于四， c、 o 是 啥呀？就是咱的半径呗，赶紧标上四 o、 b 也是四， c、 e 就是 三。好，这个三角形所有的信息就都出现了。继续往下看呢，我们还可以把三角函数应用到和 c、 e、 a 相同角的身上，那和 c、 e、 a 相同的角是哪里呢？别忘了，角 e 是 怎么转化来的，是不根据这个角 a 得到的呀，所以呢，它也所在的。 所以呢，在角 a 的 这个位置，也就是三角 b、 a、 d， 它和角 c、 e、 a 的 三角值肯定也相同，它的对边和斜边也是五分之四的比值，对边呢是 b、 d， 斜边呢是 ab， 而 ab 正好是圆 o 的 直径。 这样的话呢，我们就可以把直径 a、 b 带入进去，等于八。所以呢，我们就非常顺利的求出 b、 d 的 长度等于五分之三十二。在这个 a、 b、 d 的 三角形当中， a、 b 一 只， b d 一 只，就能非常顺利的求出 a、 d 等于五分之二十四，通过三角函数购物定律都可以确认来标注五分之三十二，五分之二十四， 那接下来要求的 a、 f 长度是不是又回到了我们刚才分析的这个绿色的八字？好，我们来确认一下，这两个八字都可以使用，我们先来确认其中一个， 在三角形 c、 e、 f 和三角形 a、 d、 f 当中，我们能通过平行以及对顶角确认两个三角形相似，那立马呢，有相似比出现了 c、 e 比上 a、 d 以及我们需要的 e f 和 a f 这一段边的比值， c、 e 呢？等于三， a、 d 呢？五分之二十四， ef 怎么表示？就是一段 b f 加上一段 b e， af 怎么表示？就是用直径八减掉上面的 b、 f， 这样的话呢，我们就构造了一个关于 b、 f 的 方程，非常顺利的就能求出 b f 等于多少，同理 af 就 已知了 我们刚才所强调的第二个平行， c o 平行于 b、 d 也能够构造八字相似， c o 比上 b d 就 等于 o f 比上 f b， 而 o f 和 f b 又是定值半径四，所以我们就可以设参 a 和四减 a 是 不是来确认 o f 和 b f 的 长度，那这样的话呢， af 也能进一步的确定， 都可以，就看一下你能不能根据平行来反馈到相似。这个非常好用的求解线段的工具。好，这是这道题目，如果你觉得这道题目对你有帮助，你可以帮助老师点赞、收藏加关注我呦，同学们拜拜！

来宇宙第一高中人大附中九年级的开学册已经考完了，这道题目呢，就是开学册中的几何综合问题。这道题目得满分的同学非常的少，一共有三问啊，前两问呢，比较简单，我就不讲了，咱们直接来看这个第三问，也就是失分率最高的这一 把题目。简单分析一下，告诉我们呢，角 abc 是 九十度，同时这个小角是一个 alfa， 此时呢，把这个 dc 逆时针转转了一百八十度，减去二 alfa 这么多度，其实就是构成了 edc， 是 底角，为 alfa 的 等腰三角形， 那说明 d 这条线儿和我们的这个 d、 c 这条线儿一定是相等的。那么同时呢，我连接了 a、 d， 连接了 b、 f， 把 a、 d 右转，也是转了一百八十度，减去二阿尔法，就构造了一个底角为阿尔法的新的等腰三角形。 读到这之后都还行，是吧？最后这个问题呢，问的是 b、 f 与 d、 g 的 关系。那么这道题目的核心的题眼实际上是终点，我们要想解决 b、 f 和其他线段的关系， f 已经是一终点了， 那么如果 b 也是别的线段的终点，这不就有中微线了吗？所以按照这个逻辑，咱们就在 b d 上，咱们取一个点 p， 使得谁呢？使得 b p 和 bc 相等，然后我再连接一下 e p， 那 么第一件事我们好像就搞定了， 那么此时 b 是 pc 的 终点， f 是 ec 的 终点，那说明 b f 就是 e p c 的 中位线，那么 b f 一定就等于 e p 的 一半。那这个 e p 和 d g 有 啥关系嘞？ 写到这儿之后，你发现我既然都做了对称了，那我应不应该把这个对称所对应的等腰给它补全 呢？补全之后，这个 a、 p、 c 又是一个底角为阿拉法的等腰三角形， 而 d、 a、 g 也是底角为阿拉法的等腰。你会发现 a、 c 这条边和 a、 p 是 等的， a、 d 这条边和 a、 g 是 等的。同时这两个小角由于旋转也相等，我一连接 c、 g， 那 么此时 a、 c、 g 和 a、 p、 d 这两个三角形必定全等。 三角形 a、 c、 g 一定全等于三角形 a、 p、 d， 那 么有它们全等之后， c、 g 这条边和 d、 p 这条边就一定等了。而同时 e、 d 一定是等于 c、 d 的 两组边都对应等了， 那么此时 e、 p 和 d、 g 的 相等只差一组角。同时我们知道了 e、 d、 c 这个角度是一百八十度，减去两个 r 了吧，这是我们旋转得到的， 而 d、 c、 g 这个角度怎么办？很多同学卡在了这一步，我也是真的没有想到。大家注意啊，你看这个小角，这是阿尔法，这个角也是阿尔法，这两个角对的边是同一条 a、 d， 说明 a、 d、 g、 c 这四个点一定共圆呐， 都四点共圆了，说明这个角和这个 d、 a、 g 这个角所对应 d、 g 这条边，那它俩必定相等。所以 d、 c、 g 这个角也是一百八十度，减去两个阿尔法， 那这个时候边角边就全等了。所以三角形 e、 d、 p 和三角形 d、 c、 g 一定全等。全等之后，那你这个 e、 p 自然就等于了 d、 g， 而 e、 p 呢，又是两倍的 b、 f。 所以 这道题目就搞定了。像这种问题，一定要找到解决问题的关键点，下课！

马老师初中几何辅助线都是怎么想到的？以我教学十四年，做了上千套中考卷的经验，可以很明确的告诉你们，辅助线全都是固定套路。可能你不知道这些套路，但并不代表这些套路不存在， 不然我凭什么经常多解辅助线压轴题呢？这不，全国名校人大附中的早培班可以说是全国最顶级的班级了。他们期末考试的几宗压轴题，咱又是两种方法搞定，全网独家，任何网站你都搜不到这个题的套路，就是等补四边形来吧，展示。

各位同学，各位家长大家好，在刚刚拿到了人大附中的这个开学考试卷啊，初三年级的，然后因为本来是上寒假课的嘛，寒假还没节课，所以， 嗯，只能说是抽时间来去看了一下亚洲题部分亚洲题的话，我们先来看老朋友几宗这道题目的话，其实他会难住一多半的同学。呃，这道题目看题目并不陌生，因为题目当中给了一个阿尔法，给了一个一百八减二阿尔法，所以我们肯定想到的第一个就是旋转的关系，对吧？好，然后呢，这道题到底他会用什么样的方法？其实他的考点还是终点模型？ 但是有一部分同学可能会想不到，那我们就来快速说一下这道题目到底应该怎么做，还是先来读题啊？先看图一，这有一个直角三角形 a， b， c 啊，然后 a b c 这个角是九十度角， c 等于阿尔法。这是题目当中给我们的条件，点 d 在 射线 c b 上将射线 dc 绕点 d 进行逆时针旋转，一百八减二阿尔法度得到的 是 d e， 那 这个时候的话，我们可以知道这也是阿尔法，这也是阿尔法，都已经把它表示出来了。接下来给了我们一个最关键的条件，叫做 f 是 e c 的 终点，那看到终点就要先想终点模型。第一问，他告诉我们说，若 b c 等于 b d， 所以 点 b 就是 终点，两个终点连线就是中位线， 所以如果他是中位线的话， f b 就 应该等于二分之一的 d e， 所以 d e 就 等于二倍的 b f， d e 又等于 dc， 所以 dc 等于二倍 b f。 第一问就结束了，那我们来看第二问啊。第二问的话，他需要我们自己去做一些图，他如图二连接 ad， 这个图二不太清楚，所以我直接按照题目的条件的要求来去画了一个图。 这个图的话，他说将线段 ad 绕点 a d， 并且把 ad 进行旋转，逆时针，而非顺时针，所以转出来是这样的， 接下来得到线段 a g， 再连接 d g。 好， 那这个蓝色的线是我所做的图。第一问让补全图形补完了。第二问说用等式表示 b f 和 d g 之间的数量关系， 那我们之前说过，数量关系肯定是先猜后正的，看到 b f 所在的位置在这， d g 所在的位置在这。而第一问我们又用到了一个中位线，对吧？所以呢，我能够盲猜到的话，它的关系就应该是二分之一，也就是所谓的二倍关系啊。那 d g 的 话，就应该等于两倍的 b f， 如果是等于两倍 b f 的 话，那这道题目我应该怎么去做？ 首先它肯定最简单的想法啊， d g 应该等于二倍的 b f， 所以 我们的思路是不是就会先把 b f 延长出去，进行倍长中线？好，这个思路行不行？这个思路肯定是可以的，但我确实没有想到这个思路，对吧？时间关系，我也没有去想这个一题多解的事啊，一题多解，我觉得是后面可以再去思考的事， 那我是怎么做的呢？我们先来看一下。因为 f 是 中点，而我们又知道的是 d e 等于 d c， 所以 它这一个等腰三角形底边有一个中点，那必然会出现三线合一，我去连接 d f， 这就会出现一个直角，那这边呢？本身也有一个直角，所以这两个直角三角形它们是什么关系？ 共斜边。如果两个直角三角形共斜边的话，在斜边上选中点，那他们的斜边中线就是相等的，所以 f m 就 等于 b m， f f m 等于 b m， 那 f m b 它就会是一个等腰三角形。好，那这个时候我们会发现，它斜边中线不仅是相等的关系，而且它是斜边的一半，所以 f m 和 b m 和 a d 的 关系就出来了， 看到了吧？好，那接下来我们还可以干什么？我知道 f m 是 a d 的 一半，我知道 b m a g 的 一半，那我是不是就得到的结论应该是 b f 是 d g 的 一半，但你需要去正，怎么去正？你需要知道的是，这两个三角形它应该是相似关系才可以，它们的对应线段成比例才成立。 所以，那怎么去判断相似？现在边乘比例是不是已经有了？那接下来就要去找什么角相等， ok 吧？好，那角等不等呢？一定是等的。为什么？我们来看题啊？这是一个阿尔法，这是一个小绿点，所以它的外角这个角是不是就应该是阿尔法加小绿点？ 好，那 am 又等于 f m， 所以 是不是这个角 a f m 也应该等于阿尔法加小绿点？看到了吧， 那这个时候的话，我们可以知道，这个小绿点跟这个小绿点应该是相等的关系。怎么得来的？其实就是根据倒角得来的啊。那如果你说老师这个倒角应该怎么倒？其实一眼能够看得出来，为什么呢？这是直角，这是直角， a d 就 应该是一个圆的直径，那 f d， b a 就是 四点共圆，他如果四点共圆的话，这两个小绿点所对的弦都是 ab， 所以 同弧所对的圆周角相等，那这个时候这就出现了，所以这个角应该是阿尔法。 这道题难就难在哪？难在这的倒角上，所以你要去认真去倒角，那如果不用四点共圆，就直接用这个角来回去加去减，行不行？也行，但时间关系我不说了。好吧，好，所以这是阿尔法，这也就是阿尔法， 而这是阿尔法，这也是阿尔法。那是不是这两个三角形就会出现什么关系？相似？好，那这两个三角形一旦相似了，那是不是对应线段成比例，所以 b f 就 等于 d g 的 一 半？ ok， 这是我们所用的什么思想？相似的方法和相似的思路。好，那同样的思路，既然我这个题能这样用相似，那我能不能用全等？依然可以。我们来看，这，这就是第二个方法了。第二个方法的话，前面的条件不多说了啊，我的思思路还是一样的， 这是中点，那我一定要记住啊，我猜测他是他的什么一半吧，那一半在三角形当中可以怎么体现？中位线？因为我第一问给我中位线的思路了，所以我在 a d 上找到中点 m， 在 a g 上找到中点 n， 连接 m n， 那 这样的话，我就可以得到的结论是什么？ m n 等于二分之一的 d g， 它就应该是中位线。 好，那接下来的话，我看啊， f m 等于 am， 对 吧？ b m 也等于 am， 而 am 又等于 an， 看到了吗？所以对应边相等，对应角也可以出来相等，对吧？那这样的话，两个三角形就会构成全等谁呀？ f m b 和我们的三角形 n a m 我 这后面写的理由是 s a s a s a 和 a s 这三个都可以，因为你在进行倒角完毕之后， 你会发现它的三个角都对应相等。除此之外的话，你还可以知道的是， f m 等于 am， 嗯， mb 等于 an。 好， 那有两条边有三个角，所以你用哪个都可以，只要你别用边边边。好，那这两个三角形就会全等，一旦全等了之后， b f 就 等于 m n 也就等于 d g 的 一半，所以最后 d g 等于二倍 b f 这道题结束。 ok 啦。好，所以这道题你看难在哪，难就难在倒角上，具体的证明过程并不难。好吧，好，那我们今天这个题目就先讲到这，大家可以关注后面的题目讲解，拜拜。

大家好，这是任大富的一道题，我们用两种方法解决它，看看牛不牛。首先如图，正方形 a、 b、 c、 d 的 边长是四点， e、 f 分 别是它上面的一点 e 和 f， 而且 a， e 等于 d， f 等于几都等于一， 它们都等于 b， e 与 a、 f 交于点 h， b， e 与它交于点 h， 一 看这个，这就叫十字模型啊，一看这就十字模型，因为 a、 e 等于 d、 f， 这就是十字模型。 m 呢是 b、 h 的 中点，它呢是 b、 h 的 中点点， n 是 四等分点，四等分点，那么如果是分成哎，再分成一半，那是不是它就二等分点了，所以这个四等分就这样用，则 m、 n 等于多少？ 我们看啊，我们用两种方法，一种方法是平移 a、 f， 把 a、 f 平移到上面来，这是一种方法。另外一种方法是 遇到直角三角形啊，十字模型，我们知道这就是什么角，直角直角三角形，我们就连接斜边上的中线，我们看看哪一种方法好？来看一下第一种， 鞋边上的中线，来，我们看，因为我们一看它是就是什么东西呢？十字模型呢？十字模型就轻松证明。来，我们看一下， a， e 等于 f， d， a， e 等于 f， d， n， e 等于 b、 f， 然后两个都是直角角， b， a， e 等于 f， d， a 都是九十度，然后 a、 b 等于 a， d 是 边和边相等，所以这是两个三角。全等，全等以后，全等以后看啊，全等以后，我们就会出现 这个小脚，我们起它的圈，这个小脚圈哎，这个小脚也是什么圈，圈和圈相等，然后我们看这个圈加上这 是不是等于九十度，哎，加上这个叉是九十度，加上 b、 e， a 是 九十度，所以它加它 b a 也等于度，也就是我们写一下啊，九 f a d 加 h e， a f a， d 加 h e， a 也等于多少度？九十度，所以这儿就是什么关系？垂直的，这我们就证明了它两个是垂直的， a f 垂直， b e 垂直 b e 以后这是一个直角三角形，所以我们就连接什么，哎，连接， 连接这个 h g， 哎，取 b f 中点 g 连接 h g 连接了 h g， 这就是斜边上的中线，你看斜边上的中线出现了，是不是一 h g 就是 斜边的一半呢？ h g 就 等于斜边的一半， 就等于什么 b f 的 一半，那么 h g 的 一 b f 的 一半 m n 呢？一会我们再说啊， 那么 b f 咋算呢？你看总共边上是四，这是一，所以这条边就是几三，这是三，这是四，所以三四五模型啊，三四五，这个是五， 所以 b f 就 等于五， b f 等于五，所以我们这个谁呢？ h j h j 是 不是就等于二点五的，就二分之五呢？然后 m 是 b h 的 终点， 哎，这个是终点 n 呢？是四分之一，是 b f 四分之一，所以它现在是不是也终点，所以 m n， 哎，所以这我们就知道 m n 是 平行于 g e 的， 而且等于啊， m n， 它等于二分之一的 g e， 所以 它就等于多少了，它是二分之五，是不等于四分之五了，哎，这不就求出来了吗？ 这种方法来看， r 取 b f 中点 j 连接 e j 等于二点五，所以它最后就等于 m n 等于一点二五，就是四分之五，这是第一种方法来看。第二种来，我再看第二种方法， 遇到十字模型，遇到十字模型我们就做什么？做平移， 看啊，十字模型我们刚才已经证明了这是什么关系？垂直关系，我们遇到这个以后平移，把 a f 平移上去，那么怎么做呢？就是过 m 点做 mo 平行于 a f， mo 平行于 a f， 一 做平行， m 是 什么点？中点，它又平行的，所以 o 也是什么点， o 也是中点， 看好 m o 就是 一条什么中位线， o 是 中点了。方法就是这样的，过，做完以后， o 是 中点，那 b o b o 就 等于二分之一的 b f， 而 n 是 四等分点， n 是 四等分， n 是 四等方，所以 n 是 b o 中点，它是 b o 中点，那么这儿是垂直，这儿也是什么？垂直的，所以 m n， 所以 这个 m n 就 等于二分之一 o b 啊 b o， 那么刚才按我们的求法还是这样的，总共是四，这就是几三，这是四，所以我们 b f 等于几五？ b f 等于五，那么这就等于二分之五， 所以这就等于多少？四分之五。好，两种方法，第一种，第一种遇直角 连什么连中线，这是第一个要注意。第二个呢， 遇十字模型，十字这种的，很重要的就是十字做平移，好，你们学会了没有？

这道题给你一分钟时间能轻松搞定吧，来，我告诉你，轻松加愉快。那么我们就来看一下，为什么说这种题轻松加愉快搞定啊。首先，第一看原宗题应该从哪个地方入手，要先搞明白这一点，入手点。 哎，你看这道题来说的话，他的入手点是不是就这个三角函数啊？有三角函数的时候，入手点一定是三角函数五分之四，所以一切皆是三四五。 好，听好我这句话，一切皆是三四五啊。好，所以 b、 e 等于一的话，你看切点连圆心，这没难度吧？ c 连 o， 所以三角形，三角形 o， c， e 是 不是就是三四五？而且 b， e 等于 e 啊，那半径就是四啊，是吧？来，半径就是四，写一下 好，求什么？求 af， 求 af 啊，我连一下。接下来你是不是只需要搞明白这个 af 应该怎么去求？圆中求长度，不是勾股，是相似啊， 这个知识点学过吧。圆中求长度，不是勾股，是相似。 那我就问你应该用勾股还是应该用相似啊？那很显然应该用相似吗？是不是吧？是不是 a、 f， 很 显然应该用相似去求啊，那么相似用谁吧，看这个图形吗？相似用谁，是不是就应该用 三角形 a， d， f 相似于三角形 e， c， f 就 ok 了。那么接下来就是为什么他相似呀？找条件呀。 什么找条件？找俩角相等啊？对，顶角已经有了，那么 c， f、 e 是 三四五的大角啊，除了直角之外的大角啊，那么它对应的肯定就是这个 f、 a、 d 啊。那题目里一定有条件，必须有条件。 你，你听明白我的思路了吗？我是由结论去看条件好吗？哎，就在这个地方，题目条件就只有这一个， ok， 这俩角，这个 a 角 a d b 等于二倍的角 c a e， 就 用它就一定能推导出角 e 等于角 f a d 了， ok 嘛？推导出来这俩三角形就相似了。三角形相似，那么我们只需要算出相似比来就行了。 a c 等于三啊，相似比就行了 啊，它相似，所以 ad 等于什么？ ab 等于八，直径等于八的话， ad 是 八，除以五乘以乘以乘以三，五分之二十四。 好，那么两个相似比，就是就是，什么？就是五分之二十四比三，也就是八比五， ok 吧？相似比八比五相似，比八比五的话， a e 等于九， a e 等于九，所以 af 等于等于八比五，加起来是十三，是吧？啊，那么十三分之八乘以九，十三分之七十二，结束了， ok 吗？啊？还有什么其他方法吗？哇，反正这个方法真的就是轻松加一块搞定，你可以再想想。 ok， 好， 最后，如果你对牛哥的这种考试方法有兴趣，欢迎咨询哦。

初中几何的辅助线都是怎么想到的？以我教学十四年，做了上千套中考卷的经验，可以非常明确的告诉你们，所有的辅助线都是固定套路，没有什么神秘的， 这个套路就是所有的辅助线都是对几何模型和几何性质的补充和完善。咱们今天就来拆解一下人大附中找培波八年级期末的几宗压轴题， 看他都考察了什么模型，什么性质。如图，三角形 a、 c、 b 中 a、 b， c 是 个九十度 角， c 是 个三十度， d 是 b， c 上一点， e 是 a、 d 的 中点，然后角 f、 b， c 是 个三十角， a， e， g 是 个六十。第一问，让咱们证明 e、 f 等于 g， 你 看角 c 是 个三十， f、 b、 c 也是个三十。那看到这俩三十，你们会想怎么弄呢？那不就是等腰三角形吗？所以咱们延长 b， f、 a、 c 交于点 n， 这个 n， b、 c 就是 咱们得到的等腰三角形。所以这个辅助线哈，就是对等腰三角形的补充和完善。然后呢，这个 a、 n、 b 哈，它就是个六十度。那因为这个 b、 a、 c 也是六十度，所以呢，这个 a、 b、 n 就是 一个等边三角形，那 b、 n 呢？它等于 a、 n， 那 b， n 还等于 n、 c， 所以 这个点 n 就是 a、 c 的 中点。那你看哈，那这个 e 呢，它还是 a、 d 的 中点。那这两个中点能想到什么呢？那不就是中位线吗？所以咱们连接 e、 n 得到一个中位线，所以这个辅助线哈，就是对中位线的补充和完善。 所以 e、 n， 它就平行 d、 c 且等于 d、 c 的 一半。那根据平行，所以呢，这个角 a、 n、 e 等于角 c 等于三十， 这个 e、 n、 b 呢，等于角 n、 b、 c 也是个三十 e、 n 呢，它是角 g、 n、 f 的 平分线。那又因为这个 a、 e、 g 是 个六十， 所以呢，这个 g、 e、 f 是 个一百二， g、 n、 f 呢，是个六十度。那这不就是等补四边形吗？那咱们来学习一下这个等补四边形， 他呢，一共有两种情况哈，第一种情况就是对角互补，邻边相等，可以得到对角线是平分的。第二种情况是对角互补，加上对角线平分，可以得到边是相等的。人大附中这个题哈，他考的是第二种情况。 所以呢，我把第二种情况给你们证明一下啊，条件呢，就是这个四边形它们对角互补，然后呢， a、 c 平分角 b、 c、 d， 那 就可以得到 a、 b 是 等 a、 d 的。 怎么证明呢？它的技巧哈，就是以这个对角线 a、 c 为幺，构造一个等腰三角形 a、 c、 m。 那 所以呢，这个角 a、 c、 d 等于角 m。 因为 a、 c 是 平分线，所以这个角 a、 c、 b， 它也等于角 m。 因为这个四边形对角是互补的，所以这个角 b 加上 a、 d、 c 是 一百八，那 a、 d、 c 呢？加上 a、 d、 m 是 一百八，所以角 a、 d、 m 就 等于角 b。 又因为咱们是构造的等腰三角形，这个 a、 c 是 等于 am 的， 所以三角形 a、 d、 m 就 全等三角形 abc。 那咱们来看这个四边形 g、 e、 f、 n。 你 看，因为 a、 e、 g 是 个六十，所以呢，这个 g、 e、 f 是 一百二，这个 g、 n、 f 呢，它是个六十，你看对角互补，然后你看这个对角线 e、 n， 它是平分角 g、 n、 f 的， 这不就是对角互补加上对角线平分吗？那咱们就可以得到这个 g、 e 是 等于 g f 的 证明方法呢，就是以这个对角线 e， n 为幺 来构造一个等腰三角形 e， m， n， 然后咱们就可以证明三角形 g， e， n 是 全等三角形 e， f， m 的 全等之后，这个 e， f 就 等于 e g 了。所以说这个辅助线就是对等补四边形的补充和完善。那咱们来看第二问， 求线段 b， f， c， d 还有 c， g 的 数量关系，那咱们来分析一下啊，你看这里边这个 c d 呢， 它是 e n 的 两倍，那这个 c g 呢？它是等于 c n 加 n g 的， 那这个 c， n 呢？它是等于 b n 的， 这个 g n 呢？它是等于 f m 的。 你看哈，这里边的线段关系很多很复杂， 它和它有关，它又和它有关，对不对？那一旦出现复杂的线段关系或者角的关系，它们的处理技巧也是唯一的， 就是方程思想啊，设未知数去表示它们，所以咱们设 c， d 等于 a， c， g 等于 b， b， f 等于 c， b， m 等于 e。 然后呢，根据这些线段的和差辈分关系哈， 就可以得到这个最终的答案啊。这个过程呢，写的很详细哈，我就不再详细说了，你们自己看一下啊。所以说呢，你看这里边的每一个辅助线哈，都是对咱们几何模型和几何性质的补充和完善。

像这种题，如果你能从考试应用角度出发，真的就是一言秒好，咱们不废话，如果你没有这份题，到这里来下载下载方法，看我置顶视频。好，你准备好了吧？来，先看这个图形，告诉我你看到了什么， 是不是有等腰吧。几何的第一要点是不是看等腰啊？等腰几何的第二要点看终点，有终点吧，终点是不是 f， 还有呢？是不是这里边还有直角啊， 然后其他也看不出来了吧？好，然后接下来我们只需要区分常见与不常见就行。那很显然吧，等腰子是最常见的，中间是其次，然后是直角。好，那么这个不常见的 就是这个特殊的，不常见就代表特殊，特殊就是入手点呀。啊，这个逻辑听懂了是吧？那么接下来你只需要从你学过的所有的关于直角的方法里去找一下，它有具体的应用是什么？ 对于直角三角形，它的具体应用，对于考试来说，它的具体应用是什么？就两个，是不是？尤其只有两个，第一是对称，第二是取斜边中点， ok 吗？那么进一步你只需要去想，到底是用对称还是要用中点呢？ 那很显然啊，这个地方利用对称啊，因为一堆等腰啊，是不是我考虑的第一要素是应该用从对称处入手去考虑啊？对称啊啊，先对称后重点， ok 吗？如果你不能确定，没关系，两个都试一下吗？ ok 吗？好，来，对称。对称怎么做？哎，是不是把三角形 abc 沿着 ab 这样对称过来看到吗？对称到点 p 点 p， ok 吗？然后对称过来，它对称，哎，想想你学的你学的方法里边，它的对称有什么用处啊？它的对称的用处是不是就构造一个等腰啊？ 三角形 a、 c、 p 啊？构造出这个等腰三角形 a、 c、 p， 那 么是不是就有手拉手了？所以连接一下 c、 g 啊？ 什么？所以三角形 a、 d、 p 就 全等于三角形 a、 g、 c 啊？ 哎，这不就是半角模型吗？一眼就看出来了是不是？然后接下来他问题是什么问题？问 b f 和 d、 j 的 数量关系哎， b f， 哎，做完之后，是不是做完对称之后点 b 就 成了终点了啊？ b 和 f 是 不是就成了终点了？那么这完这根 b f 是 不是中位线？那么是不是很显然再进一步去连接一下 e、 p 就 行了， 中一些 ok 吗？这个是显然连接的，所以是不是进一步去证明 e、 d、 p 全等于三角形 d、 j、 c 了， 看到吗？后边连接 e、 p， 这就是，这就是做到把前面这个对称做出来就是推着往后走了啊，那不就那就不是核心了，那就谁都会了， ok 吗？是不是就是一言秒啊？ 有同学说我还有另外一种方法，不好意思，我不想思考了，我摆烂了，因为我就是一眼秒了。好，最后，如果你对牛哥的这种考试方法有兴趣，欢迎咨询。

几何快代数文新定义，还能提智商。哈喽，大家好，我是彩虹老师，咱们这个视频呢，来讲一下咱们任人大副初三下开学考的几何压轴题。那这道题呢，我们会用三种方法来讲一下。第二问 好，那首先呢，我们知道做几何题就是条件提供工具，结论引导方向。这道题他虽然最后一问挺有难度的哈，但是如果说你知道哎，明天老师他上一位也在给你提醒的话，其实还是很好做的。 好，那我们来看一下面小他条件提供了哪些工具。首先是给了一个九十度，那只要给我们九十度，我们要想到第一标图倒角他给一个阿尔法，那我们就知道这个就是九十减阿尔法。第二一定要想到就是在直角三角形里啊，就是你这样背长一下，其实就是给你个等腰。 那这道题啊，可可能考，为啥呢？你看这个，这一问就是出来一个哎，把 abc 翻折一下的等等腰， 对吧？可能下一问也是把 abc 翻到这，哎，这样的一个等腰，有很有可能，因为咱们哎二五年中考就考的这个，而我们的开学考，他很喜欢模仿中考题嘛。嗯，好，那接下来呢，再看，他说将视线 dc 绕点 d 逆时针旋转一百八减二 r 法。 好嘞，那你看这是 r 法，这个角是一百八减二 r 法，显然面条在提醒我们这个角是 r 法哎，所以其实他在提醒我们，这个等于这个，这是一个等腰，只要我们看到等腰，我们马上想到公端等长提醒旋转圈等。 好，那接下来还有一个终点哎，那我们知道哈，咱们的中考啊，连续六年都考的是终点背后的八中写三，所以你看到终点一定要先确认，能想到八全等中位线，斜面中线三线合一吗？ 哎，如果不能想到的话，得抓紧时间积累笔记了啊。来，看到这个终点就要想到八中写三， 而第一问，他在提醒我们的是什么？第一问说 b c 等于 b d， 完了， f 是 终点，哎，我们就会发现 b f 他 就是 edc 的 中位线 哎， ed 是 等于二倍的 bf 的。 这是第一问的一个提醒，哎，中位线，所以这道题也可能考我们中位线。 好，那我们，哎，有命题嗅觉，知道命题老师上一位在提醒什么，还知道命题老师条件在提醒的工具，一个转 啊，一个八中斜三都是我们中考的高频考点，所以这道题还没读完题呢，我已经知道大概会有什么了，应该会考我们旋转和八中斜三中的其中一个，大概率是中位线。 好，我们来看一下啊，来，将线段 a d 右转一百八减二 r 法来，那这又是一个共端等长，所以还是转，那这旋转圈能很高频了，对不对？然后它这个是一百八减二 r 法，哎，朋友们， 那你看，这是一百八减二 r 法，这个是九十减 r 法，它俩什么关系？一半对不对？那我们知道，就是这种角度啊，它往往都是面条吃特意给的提醒，尤其还别扭的角度，那所以它肯定是提醒，提醒我们什么呢？ 哎，本来我看到共端等长就想到旋转，那旋转的话呢，需要两个等腰共顶点，那现在他在提醒你，哎，你把这个 abc 啊 补一翻一下，哎，你再补个等腰，这样的话呢，面条是给你的提醒，你就能 get 到了啊，你看，只要你补个等腰，比如说我们做一个 b m 等于 bc， 我 们补个等腰 amc， 这样的话呢，我们就很容易发现，你看这是 r 发，对吧？它俩相等，然后这个大的，哎，就是一百八减 r 发了吧， 哎，是不是等于这个绿，这个角 d a c d a g， 哎，那这个时候你看两个等腰共顶点，并且顶角一样，所以这个角 d a m 和这个角 g， a c 就 相等了， 然后 am 等于 ac， d a 等于 ag， 所以 就有一个现成的旋转， 对不对？哎，这有一个现成的旋转全等啊，我们连接 c g 就 可以发现这个三角形 a m， d 和 a c g， 人家可全等了， 那这种全等呢？哎，就是我们中考的高频，所以在我们的这个一二摸考场上，哎，甚至中考考场上啊，他都很容易出现，像中考十一年，中考考了九年的这个旋转全等了，要重点关注一下。 好，那接下来呢，我们来看命题老师，他说用等式来表示 b f 和 d g 的 数量关系，并证明，那先找到啊， b f 和 d g， 那 要求两边的数量关系，我们都是先猜后正常考的，就两，就四种相等，两倍根二根三， 那这个我们测量一下，很容易发现，两倍，也就是二倍的 b f 等于 d g， 那 我们知道要正二倍关系，首先，哎，你要把边的二倍表出来，或者把边的一半给它弄出来。 好，那这个，哎，我首先先速度非常快的一个方法给大家讲一讲啊，就是我们的命题嗅觉， 哎，命题秀姐就上一问式对，下一问温暖，上一个题型上问提醒我们中问线，所以我就用上问的题型。我先把二倍的 b f 做出来，现在 b 是 mc 的 终点， f 是 ec 的 终点，所以我连接 m e， 那 么 m e 就是 二倍的 b f。 好， 哎，那这样的话，我只需要证明 em 等于 d g 就 可以了，对不对？ 那正边等首选全等，因为我们北京中考主要考全等，那我们发现观察一下，哎，要正这个边和这个边它俩所在三角形全等，现在有没有现成的呀？如果有咱就直接正，如果没有，咱就自己造。 哎，还挺明显的，是有的，是不是？哎，是有的，这个 e m 它和 d g， 这是要正的。然后这个 c g 呢？和 d m 粉色的旋转全等出来的。 这个 dc 和这个 d d e 本来就是人家等要出来的。好，所以这个三角形和这个三角形人家是真全等啊，是不是？好，那看着全等，咱们来正一下啊，看看是不是来这个绿色的三角形 d e m 和哎 c d g 中，我们瞅一瞅条件是否足够哈。首先 d e 等于 dc， 哎，我们 标出来的一个等腰，然后呢，这个 d m 等于 c g， 这是旋转出来粉色旋转圈等出来的边等 d m 等于 c g。 好，接下来，哎，我们两个边了，插个角，这个角呢，已经知道是一百八减二 r， 那 我们要倒一倒这个角，哎，不对这个角了，对不对？好，那这个角好倒啊，因为在粉色长方形里，咱们知道这个角它和这个是对应的， 哎，那 d m a 呢？它是一百八减 r 法，对不对？所以这个角也是一百八减 r 法。又因为这个角 a c d 是 r 法，所以剩下的这个角就是一百八减 r 法，再减掉这个 a， c， d 就是 一百八减两 r 法， 所以角 e d m， 它和这个角 c， d， c， g， 哎，人家就是相等的，都是一百八减两 r 法。好，边角边，我们粉色的，我们这个绿色的三角形全等，全等之后，那么 em 就 等于 d g， 而 em 就是 二倍的 b f， 对 吧？所以二倍的 b f， 它就等于 d g， 哎，出来了， 那这个速度之所以快的话，就是因为啥呢？咱们是有命题嗅觉的，咱们知道上一问他是对下一问温暖善意的提醒，同时我们是具备工具意识的，我们知道，哎，命题老师只要给我们公短等长，就靠我们旋转全等。 好，那如果说你也想快速有思路的话啊，接下来呢，彩虹老师也会开一个几何专题课，就专门教你看到一个条件就知道怎么去，有思路就知道思路是啥，以及看到一个结论就知道方向在哪。 好，那接下来呢，我们讲第二个方法啊，那这个方法呢，主要是什么呢？就是，哎，我们也是参考条件给的终点来做，因为啥呢？因为命题老师呢，他已经哎给我们说了这个 f 是 e c 的 终点，然后呢，让我们研究 b f 和 d g 的 关系，那我们通过终点呢，已经想到中微线了，那同时，哎，我们再观察，我们要证明二倍的 b f 等于 d g， 我 们也可以证明 d g 的 一半等于 b f 那 d g 的 一半，最简单的就是在就是，哎，在这点个终点搞个 d 它，或者，哎，参考上文的提醒啊，搞个中微线 对不对？好，那我们也做中微线的话，比如说这是 m， 这是 n， 我 们只需要证明 m n 和 f b 相等就可以了。 那要证 m n 等于 f b 的 话，我们在初中几何啊，北京中考的几何，正边等首选全等，咱们要选 m n 所在的三角形和 f b 所在三角形，全等。 那我们知道，因为命题老师说了呀，这个 a d 是 等于 a g 的 啊，所以现在 am 是 等于 an 的， 那 m n 所在三角形是一个。哎，等腰三角形， 那 f f b 所在三角形现在不是，所以我们呢？哎，要去构造了。怎么构造呢？上工具。 什么工具呢？哎，这个我们自己构造的中微线，但是 f 这个中点还没有用，对不对？ f 呢？是 e c 的 中点， e c 是 等腰三角形， e d c 的 底边，所以我们要想到有三线合一。 好，那想到三线合一，我们马上标垂直啊，标完垂直，那这个时候你看 m， 它是 a d 的 中点，那 a d f 是 个直角三角形，所以我们要想到什么东西， 哎，我们要想到斜边中线，对不对？要斜边中线的话，那我们就知道 f m， 哎，它就等于 a d 的 一半，它应该是绿边，是吧？它也等于 a n 的 一半哈。哦，那么我们也可以，好像也可以把 f b 放到一个绿色的 等腰三角形里，这要连接谁？对，再连接个 mb， 为啥呢？哎，同学们一定要对这个敏感哈，这是直角，这个也是直角，就两个直角三角形，他俩共同斜边，这个时候你要点个中点的话，那么斜边中线直接就相等 啊， f m 和 mb 都等于 a d 的 一半，所以都是绿色的。哎，那这样的话，同学们发现全等了吗？正边等，首选全等，我要证明 f b 所在的三角形和 m n 所在三角形全等，哎，是不是就证明这两三角形全等啊？ 好，那正，这两三角形圈呢？我们发现现在有的条件已经由 f m， 它等于 am， 是 吧？ mb 呢？等于 an， 哎，反正都是绿色的，都是 ad 的 一半，或者说 ag 的 一半。 好，那接下来呢，我们需要导个角，两个边差个角啊，那我们知道这个角呢，是一百八减二 r 法，所以我们需要导出来这个角，也是一百八减二 r 法， 那他怎么倒呢？哎，在这里你看，我在几何专题课呀，包括我们的正课上一直强调啊，就是斜边中线，他出双等腰，所以我们倒角呢，必用双等腰 啊，所以呢，我们要倒这个角，哎，你要不会倒，别着急啊，找双等腰。 fmd 是 个等腰， abmd 也是个等腰。好，所以先倒这边啊，来，这边呢，没有度数，我们先标个点，那这也是点，这就是俩点，对不对？ 这边有个叉，这也是叉，这就俩叉。好，我们想求 fmb 的 角，其实就求这个点加叉点加叉多少来着？ 哎，因为，因为这是一个 r 发，还记得吧？同学们，这是 r 发，这是 r 发，这个大的是一百八减二 r 发，那我们 d f 它是三线合一啊，所以这个角，哎，是九十减 r 发，这个也是九十减 r 发。 那点加叉是九十减 r， 所以 俩点加俩叉，就是一百八减二 r， 所以 角 f m b 和角 m a 这个地方是 n 哈， n 都是一百八减两 r 法，这个也是一百八减两 r 法。那边角边我们就发现这两个三角形确实全等，全等之后呢，那 f b 就 等于 m n， 而 m n 呢，是我们做的 d g 的 一半嘛。好，这就整完了。 所以呢，如果我们呢，对工具敏感啊，咱们知道有中点八中斜三，参考上问中位线，哎，那我们就马上能画出来这个辅助线，同时，哎，因为 f 是 底边， e c 的 中点，它在等腰三角形里想到三线合一， 然后两个直角三角形共对一个斜边中线，斜边中线就有双等腰倒角备用。双等腰这个题啊，你就会很快的做出来了。 好，那我们再看。哎，除了刚刚这个方法呢，我们还可以干嘛呢？我们还可以，哎，再想，我们可以做 d g 的 一半，我刚刚是做中微线做 d g 的 一半呢，那我也可以直接截， 因为这个三角，这个 d g 正好是 d a g 等腰三角形的底边，所以我如果截个中点的话呢，它必然有三线合一，对吧？哎，那这个时候，那这还是垂直的， 那还是我刚刚说的吗？那你这个垂直，那么这也是垂直，两个直角三角形共斜边，一定要相斜边中线，所以只要你连了这个斜边中线，哎，那这个 mb 他 和 mk 都是 ad 的 一半哦，他们这些都是 ad 的 一半。 好，那这时候你要想啊，哎，你没做出来，对吧，你还是没有挣出来。这个 f b 等于 d q， 为什么呢？因为还有条件没用上， f 是 终点，还没用呢， 那什么用呢？ f 是 e c 的 中点， e c 是 等腰三角形的底边，所以这要想到三线合一，连接 d f， 这就是垂直的，哎，又垂直，只要有垂直，有斜边中点，那肯定要想斜边中线呀，对吧？这么一连， 那我们 m f 就 也等于 a d 的 一半啊，然后呢，我们就会发现，这两个粉色的三角形中，你看两个蓝边，两个蓝边都是 a d 的 一半，很相等，对不对？ 好，接下来跟刚刚一样，我想证这个 d q 等于 f b， 需要正全等，正全等呢，两个边已经等了，缺这两个角对不对？ 好，那我们先导这个角，这个角比较好导。因为啥呢？因为我知道这个顶角是一百八减两 r 发，所以这是 r 发，这是 r 发，因为我们做的这个是你可以说是斜边中线，也可以说是中位线哈，哎，反正这角是 r 发，这个是一百八减两 r 发。 好，那这个角怎么导呢？就跟哎，上一个导法一样，对，就跟上一个，你看一模一样吧，对吧？所以很容易出来这个角 f m b， 它也是一百八减两 r 法，所以边角边这两个粉色三角形是全等的。 ok， 那 全等之后呢？ f b 就 等于 d q， 而 d q 呢，就是 d g 的 一半，所以做完了， 那我们呢，赶紧总结一下啊，这个题目我们为什么能想到三种方法呢？并且每一种方法他用时也不长， 就是因为啥呢？就是因为我们在做几何压轴题的时候啊，彩虹老师已经把所有要考的条件，要考的结论都给同学们整理好了，并且每次我们讲解的时候也就从这些去讲。所以接下来朋友们，如果你想在 一二摸考场上，想在我们的中考考场上快速做出来那道几何压轴题的话，你就可以跟彩虹老师来学习哎，几何压轴条件提醒的工具以及结论引导的方向，这样的话，你读完题就知道他在考什么，然后通过结论就知道他的方向在哪，这样的话速度当然就快了。

这道题目呢，也是我们最近比较经典的一道这种啊，这种跟线段长度啊，然后跟这种几何条件相关的一道函数题啊，像这类题呢，向老师给大家总结啊，我们只需要用我们的万能三部曲 啊，画出第一图示的表一切，再加上画图标范围，大家一定都是可以轻松有序的解决的啊，不管这个题的动态再多，看起来再乱，都是没有问题的。 好，那肖老师给大家就示范一下啊，我们用这个道题的画图三部曲是怎么能够轻松搞定的啊？首先，哎，我只讲第二问啊，第一问和圈一，大家跟肖老师对对答案， ok！ 首先，同学们，为什么要我们要画出第一图呢？因为只要你画出第一图之后，题目一定会非常清晰，一目了然。这道题乍一看挺乱的对吧？又 抛物线 c 一， 又抛物线 c 二，然后又整这个 m n， h， 对 吧？包括这，还有 a 到三 a 什么的范围，信息真的很多啊，信息很多，但是只要我们能画出第一图，题目都会非常清晰。来，同学们请看， 你看，只要我画出这幅图了，那我就会发现，这个题让我研究的不就是这个 m 和 n 的 终点 h 吗？ h 就 长这啊， 他说点 h 始终保持在 x 轴上方，那分一下，说白了，我们只需要保证的就是 y h 大 于零，这不就完事了吗？ 看到没，这就是画出第一图的好处啊。那有同学总是说，老师，我不画图是因为我不确定，所以我不知道他怎么画，你这是怎么画的？不确定你就先 id 一个呀。同学们，什么意思呀， 对不对？你不知道哪个行，不知道怎么画，那你就先随便画一个，对不对？只要你画出第，为什么向老师要画出第一图？只要你把第一幅图画出来，他一定能读懂题， 对不对？那这道题向老师画出第一种，你就发现了啊，原来他研究的就是这个竖线上 m n 这两个焦点的终点 h， 对 不对？研究终点还有一个好处，就是我不用关心这条竖线 m 在 上， n 在 上， 对不对？这两个点谁在上谁在下，我不用关心啊，因为终点永远就在他们俩中间，不管你俩谁上谁下，我依然永远在中间，是不是？所以他就这一幅图啊，画完图之后，他让我保证的就是 y h 永远大于零。那怎么保证呢？ 哎，看图不太好看了，怎么办？那就干嘛列式子，只要你能列出式子，你就能往下算，你就不会卡啊。那我们就用这个 y 一 啊，先算一算，就把这个带进解析式，算一算这个 y 一， 再把这个带到解析式，算一算这个 y 二，是吧？哎，那他们俩的终点 啊，就是二分之 y 一 加 y 二，哎，他们俩的终点就是二分之 y 一 加 y 二。 好，然后这个时候 y 一 带进带进来，哎，就是这个人，然后 y 二呢，就是这个人，给他去括号做一个整理， 就得到一个这个式子啊，再整去括号整理一下，提个 a 出来，变成一个这个式子啊，再整理整理啊，其实到这一步就行了啊，只不过呢，为了让他看着更更简单，所以向老师给他进行一个音式分解。 嗯，好。所以这道题，同学们，现在只要你画出第一图，只要你列式子去表示了一下点 h 的 纵坐标，对吧？求啥表啥？你让我求 h， 那 我就列式子去表示 h 的 纵坐标， 是吧？你让我求 h， 我 就表示 h 啊。只要你画完第一图，表示完 h 之后，同学们，这个题就跟这道题没有半毛钱关系了，你接着就全神贯注的研究这个式子就行了，对不对？我们就研究这个式子，什么时候在二 a 到三 a 这个运动过程当中是横正的，是不就 ok 了？ 好，那既然要研究这个式子，那我就得画出这个式子草图呀。那首先呢，你就得分开口向上和开口向下， 是不是？你得分两种吧，因为这个 a 你 不知道它正的负的，所以它与 x 轴交点，一个是为什么因式分解，就因为能看出与 x 轴交点，一个是三，一个是负一啊， ok， 两种情况。然后它让咱们研究的是二 a 到三 a， 那如果当 a 大 于零的时候呢？二 a 到三 a 也是正的，是不是？那我们就只需要让二 a 到三 a 落在这个区域就行了，对吧？那说白了就是二 a 和三 a 都落在这个区域，哎，也就是啊，应该是 哦， a 到三 a， sorry， a 到三 a 啊， a 到三 a 都落在这个区域，那说白了就是 a 大 于三啊。当然取等确认， a 能等于三吗？ a 不 能等于三，如果 a 是 三的话，那它这块不就有人等于零了吗？是不是？哎，就不行了？嗯， 好， ok， 这就是这个啊，他这个点啊，然后接着 a 小 于零的时候，同样的还是让他保成保持在 a 到三 a 这个范围内啊，外直都得是外直都得是横正的，那就让他落在这段区域内就行了，是不是？但是这里一定要注意一个陷阱，同学 们啊，因为这个时候 a 大 还是三 a 大 呀，是 a 大 还是三 a 大， 应该是 a 更大，是不是？因为 a 是 负的，所以从 a 要标在右边，三 a 要标在左边，一定要注意这个细节啊，好，是 a 大 啊， ok， 所以 它在 a 到三 a 上，首先 a 小 于三，这毫无疑问，因为 a 都负的了，肯定小于三，所以这样是横乘立的 是吧？那只需要保证这也就是三 a 要大于负一就行了啊，三 a 大 于负一，那就 a 大 于负三分之一，哎！然后再做一下前提，确认 a 小 于零，所以最后就是大于负三分之一小于零，哎，这就是我们的这道题的答案了。 好，总结一下这道题是不是按照肖老师给你们总结的画图三部曲啊？解析三部曲，先画出第一图，先看明白这题玩啥呢，对不对？第二个， 玩啥，研究啥，对不对咱就表示啥。既然研究 h 点纵坐标，那咱们就去列式子表示 h 点纵坐标，哎！第二步，第三步， 研究完之后，就把这个人的就构造出这个新函数了，把这个人图像画出来，哎，再把范围咔咔往上一标，注意错减， a 是 负的时候，我们的 a 要标在右边，三 a 要标在左边，是吧？哎，注意这个细节啊！ ok， 这个题就轻松搞定了啊！ 每个函数题型呢，他都有他固定的解析思路和解析方法在啊，函数有一些底层的能力，当然也有针对各个题型固定的解析方法。如果大家觉得肖老师这个题讲的是非常清晰的，想跟肖老师继续学习 更多的一些函数题型的方法，你也可以报名我们即将开课的这个函数压轴的专题课啊。我和彩虹老师开的几何函数专题压轴课啊，进行专项的对函数几何压轴题进行突破。

这是人大附中的一道自主招生题，若实数 x 满足， x 的 五次方加 x 加一等于零，求 x 三次方减 x 平方的值，那么这道题非常好的一道题，应该说百分之九十五的学生拿到题之后无从下手， 不知道怎么做，因为给定的条件是是一个有关于 x 的 五次方程，如果是解这个五次方程，求解 x 代入的话，初中没有学过这样的方法， 没有学过求导，不知道怎么做，无从下手。那么从目标式入手去找结构的话，他和条件是没有任何关联，结构可以搭界，那么我们通过降次也不知道如何降。那么要想解这个题的话，我们要借用一个概念，要借用一个求最值的概念叫万能 k 法， 我们要求 x 的 三次方减 x 平方的值的话，我们就令它，我们令它为 k， 将未知转化成已知，带入条件里进行转化。那么这样设完之后，那我们的 x 三次方就可以写成 x 平方加上 k 了， 那这样自然而然就实现了这个未知变量 x 的 降次。通过这样的降次我们就可以来转化条件，那么由条件是 x 的 五次方加上 x 加一等于零。这里想到了来降四的话，我们就用 x 三次方等于 x 方加 k 来进行降四，这个 x 五次方就写成 x 三次方乘以 x 平 方加上 x 加一，那么这可以直接转了 x 平方加上 x 加一 这个式子给它整理一下，就是 x 的 四次方加上 k 倍的 x 方加上 x 加一， x 四次方又可以继续降次，写成 x 三次方乘以 x， 这个又整体代入，也就是 x 乘以 x 平方加上 k， 再加上 k 倍的 x 方，加上 x 加上一，那么这里就是 x 的 三次方了。 x 三次方加上 k 倍的 x 方，再加上 k 倍的 x 加 x， 就是 k 加一倍的 x， 先这样写，最后整体来合并， 再加上一，那么这里面的 x 三次方，又可以用 x 方加 k 来整体代换，也就是 x 方加 k 加上 k 倍的 x 方，再加上 k， x 加上 x 加上一。到了这里我们再看 x 方， k 倍的 x 方可以合并同类项，就是 k 加一倍的 x 平方， k 倍的 x 加 x， 合并同类项 k 加一倍的 x， 剩下的常数项 k 加一，给它写到一起。 那么到了这一步，我们看看就可以提取公音式了， k 加一就成了这三个式子的公音式，我们就提取 k 加一，后面就是 x 方加上 x 加上一，最后我们知道这个等式最后为零，那么这里等于零。 我们就得到这样一个方程式，就两个音式相乘等于零，也就是将原条件式通过待定系数法，也叫万能 k 法，我们给他进行了音式分解， 那么得到这两个因式相乘等于零。我们分析后面这个因式， x 方加 x 加一，这个因式有没有可能等于零，判断它的判别式， b 方减四 a c， b 是 一减四， a， c 减四 小于零。所以说 x 方加 x 加一，这个有关于 x 的 二次三项式，它在实数范围内是恒大于零的，那么两个因式相乘等于零，只可能说是前面这个式子等于零， 所以就有 k 加一是等于零的，从而得出 k 等于负一，也就是我们要求的目标是 x 的 三次方减去 x 平方等于负一， 这个题到这就解完了。我们一道看似无解的问题，用万能 k 法或者说待定系数法引入一个未知量，把它当做已知量进行代入来做因式分解， 就会通过两个因式乘积等于零，从而求出我们要求的目标式的值。这道题真的非常巧妙。好，这个题给大家分享到这里，让我们一起做更少的题，提更多的分。

今天给大家分享人大附中去年初三下学期的开学考的选择压轴题，在这类题型中，这个题算是出题比较新颖，难度比较大，当然做对啊，本身我认为很容易，为什么？因为我们即使这个题不会做， 还讲过一个方法，叫做蒙猜大法。作为这种非常典型的选项不对称的啊这种题，那我们可以把几个选项标注一下，圈一出现了三次，圈二出现了两次，圈三出现了三次。如果你实在是不会做了，那根据选项出现的频次高低 优先选 c， 正确答案确实就是 c， 这就是我们讲的蒙胎大法。当然了，在我们平时的学习过程中，我们肯定希望能够把它彻底的种出来，那我们一起来读题啊！说矩形 a b c d 中 e、 f 是 上下两边的动点，且不与端点重合， a e 等于 c f 很 关键， 当你看到 a e 等于 c f 的 时候，如果你只是认为 a e 等于 c f， 那 这个题的一个精髓你就没有掌握到，是什么呢？是中心对称，你要能够感受到的是这两个它本身具有对称性， 对称是关于中心，就是这个点，这个点后面我们会发现它确实很重要。为什么一个中心对称的图形，它的中心一定是非常重要的？那我们继续往下看，他说这个 e f 不 管怎么动，你会做一条直线，并且过 a 点做它的垂线， a g 垂直为 g， 我 们假设 a b 这条边为小 a， bc 这条边为小 b， 小 a 大 于小 b。 这种条件我们之前解释过啊，它只是为了避免进行分类讨论啊，你不用过多的关注它， a g 的 最大值为 d， 也就说我们现在的这个 a g， 它不是 d， a g 的 最大值是某一个确定的值为 d。 给出下面三个结论，问我们哪个是正确的？我们先来看 e， 他 说 e f 的 长度是大于等于 b， 小 于等于 a 方加 b 方开根号， a 方加 b 方开根号是什么？那不就是 a c 嘛，对不对？所以大于 b 小 于 a c， 那 很简单， e f 回值的时候是和 b 相等，带等号没问题， e f 倾斜 这条线最反的时候是等于 a c， 所以 一选项很容易判断是正的， a 方加 b 方等于二倍的地方，这个时候我们就发现他遇到 d 了。那我们要去求 a g 什么时候最大。在我们的最值问题中啊，有好几类，而北京最喜欢考 的是动点的轨迹为圆。那为什么喜欢这么考呢？我个人认为啊，是由于北京中考的最后一道题， 新定义的题经常涉及到的是和圆结合，在这道题中考最值往往就是 和圆有关系。因此在我们的初二也好，在我们的初三的一些其他题目中，往往出现最值问题。这个动点的轨迹大多数 都是圆，所以我们要特别注重动点的轨迹到底是不是圆，那这时候就会涉及到辅助圆了。如果你已经连接了这个 o， 那 你会发现 ag 无论如何始终垂直于 e f 这个地方，始终是一个直角三角形。而 a o 是 什么呢？ a o 是 一个位置和大小都非常确定的线， 那它不就变成了什么一个直径了吗？因此，这道题只要能够想到这个动点的轨迹，那实际上你很容易就能找到这个圆了，当然前提之一啊，还有一个前提就是你得把这个 o 点给他标出来啊。很多同学他没有标这个 o 啊，那他在 e f 的 视角下 去找这个 g 点的运动轨迹，难度是非常大的。其实视角不是 e f， 是 a o 好， 找到这个点了之后，那 a g 的 长度什么时候最大？ a g 它不就直接变成了圆中的一条弦了吗？ 当然，当 g 点跑到 a 点的对面去，是不是此时就变成了直径点 g 啊？跑到这个位置和 o 点重合的时候最大，那此时 a g 的 长最大值 d， 它等于二分之一 ac， 是 不是？所以这个地方是不对的。为什么不对呢？因为 a 方加 b 方就是 a c 的 平方，那就会变成什么呢？两边同时平方是四倍关系，而不是二倍关系啊，应该是四倍关系，所以二选项是错的。好，那我们最后看圈三， c g 大 于等于 d， 怎么去判断呢？其实如果啊，你理解了 g 点的运动轨迹，它其实是在下半方的这个圆上啊，那你就应该明白， a g 即使跑到终点，他也不可能比 c g 大， 他俩最多是相等。大部分情况下， c g 的 长度就如图中给我们标的这个样，是比这个 a g 大。 如果你想证明 他是为什么，有一个很好的办法啊，是从这做一条垂线中垂线。如果点 g， 假设我们先脱离那个辅助圆啊，我们就只说 g 点可以任意取，任意取的话，点 g 是 等于 c g 的， 但凡点 g 落在 靠中垂线左边的一侧，那么 a g 就 会小于 c g， 很 明显也可以通过连接这个点来证明。因此我们可以看到，当点 g 在 整个辅助圆上这部分运动的时候，它一定是小于等于 c g 的， 所以三是对的。因此我们正出来选 c 啊，表达用了一个比较复杂的方法证明忽略不计。好了，希望这道这个相对考察比较新颖的题对大家有所帮助。为什么说他考察比较新颖啊？就是因为整个解析过程中他考到了中心对称和辅助圆这两个我们平时相对来说考的略少，但又确实很重要的知识点。