图形的分类二年级下册苏教版洋葱学园

同学们，今天我们要化身图形小分类员，一起给各种各样的图形分分类，还能发现立体图形和平面图形的小秘密，感受图形世界的奇妙。 请大家看屏幕上这些图形，现在请大家想一想，把它们分成两类，可以怎样分呢？ 我把有弯曲面或弯曲边的分为一类，比如圆圆柱球， 没有弯曲面和边的呢？分为另一类，比如长方形、长方体、正方形、正方体、平行四边形，还有三角形。 你分类真清楚，你的标准是有没有弯曲面或边特别直观。大家注意， 判断时要看图形的面或边是否有曲线，有曲线的归为一类。全是直线呢，归为另一类，这个标准很明确。那还有不同的分法吗？ 我把形状像积木能立起来的分为一类， 有长方体、正方体、圆柱球。 平平的只能躺在纸上的分为另一类，有长方形、正方形、圆三角形、平行四边形。 太有想法了，这种分法更贴近于生活，大家看 像长方形、正方形、三角形、平行四边形和圆这样平平的，不占空间，只能在平面上呈现的，这类叫平面图形。 而像长方体、正方体、圆柱和球能立起来占空间的，这类图形叫立体图形。 我们认识了平面图形和立体图形，我们来玩个描图形魔法，大家试一试，用长方体、正方体、圆柱、积木分别能描出什么平面图形呢？ 我沿着长方体的六个平平的面儿秒化，能描出三种不同的长方形。 如果长方体有两个相对的面儿是正方形，我就只能描出一种长方形和一种正方形，因为描出的长方形都是一样的， 完全正确。长方体的面都是平平的，大多是长方形，特殊情况有正方形，所以能描出对应的平面图形。 大家有没有发现，描出的图形其实就是长方体的一个面，这就是面在体上， 平面图形都藏在立体图形的表面上，立体图形的平平的面就是平面图形。 我描画的是正方体，正方体的六个面都是一模一样的正方形，不管沿着哪个面描，都能描出一样的正方形。 是的，正方体的所有面都是相同的正方形，所以只能描出正方形，这就是正方体的特点。六个面完全相同，所以描出的平面图形也完全一样。 我描的是圆柱，圆柱有两个平平的圆形底面， 沿着这两个面能描出两个一样的圆。圆柱的侧面是弯曲的，描不出平面图形。 你观察的真仔细，只有立体图形的平平的面才能描出平面图形，弯曲的面没有平面，所以描不出平面图形。这个要点大家一定要记住， 我们来试一试新的分类。请大家把长方体、正方体、圆柱球这四个立体图形再分一次类，想一想新的分类标准，并说一说。 我是按有没有弯曲面分长方体，正方体没有弯曲的面分为一类，圆柱球有弯曲面，分为另一类。 你的标准很明确，长方体和正方体的面都是平平的，没有曲面，圆柱有一个弯曲的侧面球，整个表面都是弯曲的，分类特别合理。那还有其他的分法吗？ 我是按照有没有平平的面分的，长方体、正方体、圆柱都有平平的面，分为一类球，没有平平的面，单独分为一类， 太有创意了。球的表面全是弯曲的，没有任何平平的面，所以单独成类。 大家注意，分类的关键是标准一致，只要标准合理，分法就正确。同一组图形可以有不同的分类方式。 今天的图形探索之旅结束了，谁来总结一下你有哪些收获？我知道了，给图形分类时，可以从面的角度分，如按有没有弯曲面分， 按有没有平平的面分，也可以从形状的角度分，分为平面图形和立体图形。我知道了，通过描一描的方式，知道同一个物体，不同的面可能描出不同的图形， 用不同的物体也可能描出相同的图形。感受面在体上，大家总结的很好， 生活中到处都是平面图形和立体图形，比如课本是长方体，课本的封面是长方形。 大家课后可以找一找身边的图形，说说它们是平面还是立体的，再试着描一描，巩固今天的知识，今天的课就上到这里，下课！

亲爱的孩子们，大家好，告诉大家一个好消息，最近这几天呀，马戏团里边招收了一批图形演员， 那么接下来请小朋友们跟着赵老师的步伐，我们一起去看一看到底都有谁好不好？好啦，我们一起出发吧！哦，瞧，团长也来了，我们一起听听团长说些什么。 小朋友们，欢迎来到图形马戏团，今天马戏团迎来了一批新成员，他们都是超级厉害的图形演员， 一起来猜一猜他们都是谁吧！哇，那么接下来我们一起猜猜看吧！ 大家好呀，我长得圆溜溜的，身体一点都娇艳， 在马戏团里，我可是滚刀高手呢，哈哈哈，猜猜我是谁？咦，小朋友们，你猜出他是什么图形吗？你来说说看 哦，你觉得是圆形？因为啊，他说他自己是圆滚滚的，没有菱角，是吗？宝贝，哇，你观察的听的也非常非常的认真哦，还有吗？你来说说看 哦，你也觉得是圆形？好，那么接下来我们睁大眼睛仔细看。 哦，原来呀，我是圆形，小朋友们，你们猜对了吗？嗯，他是谁？他的名字叫什么？对了，他是要 他叫圆形。那小朋友，谁愿意来跟我说一说，圆形有什么特点呢？ 你来说哦，圆形是圆圆的，没有菱角，并且是圆溜溜的，可以滚来滚去。哇，宝贝你观察的非常的仔细，说的也非常的完整，谢谢你，请坐！还有吗？哪个小朋友也愿意来分享一下呢？ 你来说说看哦，圆形是圆圆的，它是没有角的。嗯，宝贝你抓住的特点也很具体哦，谢谢你的分享，请坐好，那么接下来我们再来看看马戏团里边还有谁， 嘻嘻，小朋友们，我和圆形有点像，我的身上也没有角，但是我的身材比较瘦长，长得像个可爱的不倒翁， 你们知道我叫什么名字吗？哦，他说了，他长得和原型好像差不多，只不过是他要更瘦一点。那么你们知道他是谁吗？ 哦，有小朋友，你来猜猜看哦，你猜的是半圆哦，请坐。还有吗？还有不同答案吗？你来说哦，你觉得是椭圆形是吗？好，请坐。那么接下来我们一起来看看， 我的名字是椭圆形。哇，小朋友们，你们猜对了吗？那它的名字叫做什么呢？对了，它的名字叫做椭圆形。那小朋友们，请你来想一想，椭圆形有什么特点呢？ 你来说说看哦，和圆形是一样的，都是没有角的，并且啊，它比圆形要瘦一点，要长一点，像一个不倒翁一样。是吗？宝贝，哇，你模仿的可真像呀，好，请坐 哦。那么接下来啊，我们再往后面看一看，看看还有谁 仔细听哦，该我了，该我了，我有三条直直的边，三个尖尖的角，你们认识我吗？哇，已经有小朋友猜出来了，我们一起说三角形。哇，小朋友们，你们的声音啊，可真整齐，我们一起来看看。 你们猜对了，我是三角形。哇，恭喜你们一下子都猜对了，是三角形哦。那哪个小朋友愿意来给我分享一下三角形的特点有哪些呢？你来试试看。

关着，这是什么原因呢？原来这里有一张告示牌，回答以下问题方可入园！谁来读一读下面的问题？女孩，下面这些图形，如果按它们 的不同特点分类，你会怎样分？小朋友，你能帮帮喜羊羊吗？到前面去指一指，分一分，像不像？像，请你来 圆形的和圆形一类，三角形的和三角形的一类， 正方形的和正方形的一类。掌声送给他！小朋友，他是按什么来分类的？你说他是按图形来分类的？按照图形的形状形状来分类的。真好， 你还想放啊？我还想。男孩，请你到前面来吧！ 表扬第七组的小朋友，看的真仔细！红颜色的和红颜色的一类，黄颜色的和黄颜色的一类，绿色的和绿色的一类。嗯， 孩子们，这又是按照颜色分类，说的真好！孩子们，像这样按什么来分类？这就是分类的标准。这些图形可以按照不同的标准来分类，既可以按照 颜色颜色分成了红色、黄色和绿色三类，也可以按照形状分成了 三角形、圆形、正方形。我们二舅的小朋友太棒了，帮助喜羊羊解决的问题。瞧，同心园的门打开了， 哇哇，同心园里的人真多呀，都有谁呀？要不你说 同心园里面有老师，还有小朋友，有老师，有学生，他们 都在干什么呢？你来，有的在玩游戏，有的在下棋，还有的在看书，观察的真仔细，孩子们，了解了这么多的信息。

嗨，小朋友们，欢迎来到图形王国，今天我们一起去图形王国里看看吧。 小朋友们，欢迎来到消防站，你能找到这里隐藏着的图形吗？ 如果相同题因后秒的 小朋友们，今天大家的表现真是太。

又到了周末，狗蛋和小伙伴们凑齐零花钱一起去吃大餐，他们点了最爱吃的九寸洋葱披萨，这个寸也是一种长度，单位一般用它来量披萨，老板说今天有优惠，要不要换成两个六寸的呢？ 价钱不变呦！狗蛋就想了，六加六得十二，还多出三寸，可以有啊！可小锤呢，觉得老板没那么好心，肯定有炸。两个六寸披萨和一个九寸披萨到底应该选哪边呢？ 披萨是圆形的，这里的六寸和九寸说的都是披萨的直径，单看直径，六寸加六寸等于十二寸，确实比九寸大。可我们吃披萨不是只吃一条直径吧，我们吃的是整块披萨占的这个面， 从肚量的角度说，这个面是啥呢？ 答案显然选 b。 我 们要比较的是两个六寸圆的面积和一个九寸圆的面积，那最直接的方法当然是画一画重叠一下了。 哎，这么看，九寸圆多了两块六寸圆呢，却重了一块九寸圆好像是大点，但也不好说。看来要判断哪种合算，我们还是得准确的求出这些圆的面积。 所以下面我们就来探索一下圆的面积怎么求求面积？根据我们有限的经验，有个一招，先就是变成长方形，再算平行四边形。我们这样变 梯形呢，我们这样变，那么这个圆也能往长方形去吗？ 狗蛋简单粗暴的切了几刀，发现面积损失的太多，小锤自作聪明的拼了一下，发现面积差的也很远，哎，这如何是好呢？别放弃的太早，下面就给你见识一下真正的神操作。 首先像切蛋糕一样，先平均切他个八份。有同学就说了，老师你搞笑吗？这和长方形有啥关系啊？别忙，只要把这八份交叉拼在一起， 怎么样？相比原来的圆形状更像长方形了吧？不过他和长方形之间毕竟还有点距离，无法摆脱强行长方形的嫌疑。怎么办呢？ 我们再来一次，把圆平均分成十六份，还用刚才的方法拼，你想象一下拼好之后是什么样？ 哇，是不是很有那么点意思了，它的形状更接近长方形了吧？看到这里，下一步怎么做？相信你也有点想法了吧。 答案，选 a， 按 b 选项切掉的话，面积就变了，应该继续分，把圆平均分成三十二份再拼合。哎，比刚才还要接近长方形。接下来是六十四份， 果然又接近了一些。我们发现分的份数越多，得到的图形就越接近长方形。 按照这个趋势继续分下去，当分的份数足够多，每一份足够细，我们就会得到这样一个长方形。因为组成它的每一部分都来自原来的圆，所以它的面积就等于圆的面积。 哎呀，这下我可开心了，只要求出这个长方形的面积，不就等于求出圆的面积了吗？长方形的面积等于长乘宽，所以接下来我们的目标就是搞定长和宽。 可这长和宽要怎么知道呢？想想他们是从哪来的，说不定也就有思路了。 下个视频，我们继续完成圆的面积公式。老板是好人还是奸商，就由你亲手揭开真相吧！

历经千辛万苦，狗蛋他们总算带着小三角形们回到了三角星。接下来只要把小三角形们送上三辆校车， 狗蛋的任务就算完成了，可这三辆校车还不能随便上。按当地老师的要求，狗蛋得把小三角形们按他们身上的角来分类，分成三组才行。那么具体应该怎么分呢？ 要把三角形们按角分类，首先要观察三角形中的角都有什么样的特征，然后把有相同特征的归为一类就可以了。 睁大你的眼睛，我们一起来试试看吧。 这些就是我们要分类的三角形，我们来看看它们的角都有什么样的特征吧。 首先我们一眼就能看到这个直角，因为他方方正正长得最为醒目。这个，这个，还有这个，这些三角形中也含有直角。 像他们这类有一个直角的三角形，有个专门的名字，就叫直角三角形。 我们常用的三角板，旅游团手里的小红旗，电线杆上的支架，它们形成的三角形里都有直角，所以都是直角三角形。那请问这两个三角形中哪个是直角三角形呢？ 答案选 b， 找到了垂直符号，就找到了直角三角形， 分出了直角三角形。我们再来看看剩下这些，它们之中有一些的形状明显不太一样，扁头扁脑的，再仔细看看，你会发现这是因为它们的身上都有一个很大的钝角， 比如这里，这里，还有这里都是钝角吧，像他们这样有一个钝角的三角形，也可以分做一类。至于名字，相信你也想到了，就叫钝角三角形。 我们脖子上的红领巾，很多建筑物的屋顶，他们形成的三角形里都能找到钝角，所以都是钝角三角形。那你来看看这两个三角形中，哪个是钝角三角形呢？ 答案，选 a。 和看直角三角形的方法类似，只要在三角形里发现钝角，它就肯定是钝角三角形。 那么最后这些三角形呢？他们身上没有直角，也没有钝角，每个人的身上都只有锐角，三个头都是尖尖的。像他们这一类拥有三个锐角的三角形，就叫做锐角三角形。 各种各样的交通标志，一些国家的国旗，它们所形成的三角形里，三个角都是锐角，所以都是锐角三角形。那你来看看这三个三角形中，哪一个是锐角三角形呢？ 答案，选 c。 切记，三个角都是锐角的，才是锐角三角形。 话说到这里，我们刚好把这些三角形按角分成了三类，有一个直角，两个锐角的直角三角形， 有一个钝角，两个锐角的钝角三角形，以及三个角都是锐角的锐角三角形。 那可不可能有一个三角形不属于这三类呢？别说，还真不可能，所有的三角形都必然属于其中一类，至于其中的原因，等你学了三角形的内角和就明白了。 这个视频我们学习了按角来分类三角形的方法，有一个直角的三角形就是直角三角形，有一个钝角的三角形，就是钝角三角形。三个角都是锐角的三角形，就是锐角三角形。 小三角形们坐上校车，开开心心回家了，可狗蛋他们和三角形的故事还远远没有结束呦，我们下个视频再见！

又到了周末，狗蛋和小伙伴们凑齐零花钱一起去吃大餐，他们点了最爱吃的九寸洋葱披萨，这个寸也是一种长度，单位一般用它来量披萨，老板说今天有优惠，要不要换成两个六寸的呢？ 价钱不变呦！狗蛋就想了，六加六得十二，还多出三寸，可以有啊！可小锤呢，觉得老板没那么好心，肯定有炸。两个六寸披萨和一个九寸披萨到底应该选哪边呢？ 披萨是圆形的，这里的六寸和九寸说的都是披萨的直径，单看直径，六寸加六寸等于十二寸，确实比九寸大。可我们吃披萨不是只吃一条直径吧，我们吃的是整块披萨占的这个面， 从肚量的角度说，这个面是啥呢？ 答案显然选 b。 我 们要比较的是两个六寸圆的面积和一个九寸圆的面积，那最直接的方法当然是画一画重叠一下了。 哎，这么看，九寸圆多了两块六寸圆呢，却重了一块九寸圆好像是大点，但也不好说。看来要判断哪种合算，我们还是得准确的求出这些圆的面积。 所以下面我们就来探索一下圆的面积怎么求求面积？根据我们有限的经验，有个一招，先就是变成长方形，再算平行四边形。我们这样变 梯形呢，我们这样变，那么这个圆也能往长方形去吗？ 狗蛋简单粗暴的切了几刀，发现面积损失的太多，小锤自作聪明的拼了一下，发现面积差的也很远，哎，这如何是好呢？别放弃的太早，下面就给你见识一下真正的神操作。 首先像切蛋糕一样，先平均切他个八份。有同学就说了，老师你搞笑吗？这和长方形有啥关系啊？别忙，只要把这八份交叉拼在一起， 怎么样？相比原来的圆形状更像长方形了吧？不过他和长方形之间毕竟还有点距离，无法摆脱强行长方形的嫌疑。怎么办呢？ 我们再来一次，把圆平均分成十六份，还用刚才的方法拼，你想象一下拼好之后是什么样？ 哇，是不是很有那么点意思了，它的形状更接近长方形了吧？看到这里，下一步怎么做？相信你也有点想法了吧。 答案，选 a， 按 b 选项切掉的话，面积就变了，应该继续分，把圆平均分成三十二份再拼合。哎，比刚才还要接近长方形。接下来是六十四份， 果然又接近了一些。我们发现分的份数越多，得到的图形就越接近长方形。 按照这个趋势继续分下去，当分的份数足够多，每一份足够细，我们就会得到这样一个长方形。因为组成它的每一部分都来自原来的圆，所以它的面积就等于圆的面积。 哎呀，这下我可开心了，只要求出这个长方形的面积，不就等于求出圆的面积了吗？长方形的面积等于长乘宽，所以接下来我们的目标就是搞定长和宽。 可这长和宽要怎么知道呢？想想他们是从哪来的，说不定也就有思路了。 下个视频，我们继续完成圆的面积公式。老板是好人还是奸商，就由你亲手揭开真相吧！

又到了周末，狗蛋和小伙伴们凑齐零花钱一起去吃大餐，他们点了最爱吃的九寸洋葱披萨，这个寸也是一种长度，单位一般用它来量披萨，老板说今天有优惠，要不要换成两个六寸的呢？ 价钱不变呦！狗蛋就想了，六加六得十二，还多出三寸，可以有啊！可小锤呢，觉得老板没那么好心，肯定有炸。两个六寸披萨和一个九寸披萨到底应该选哪边呢？ 披萨是圆形的，这里的六寸和九寸说的都是披萨的直径，单看直径，六寸加六寸等于十二寸，确实比九寸大。可我们吃披萨不是只吃一条直径吧，我们吃的是整块披萨占的这个面， 从肚量的角度说，这个面是啥呢？ 答案显然选 b。 我 们要比较的是两个六寸圆的面积和一个九寸圆的面积，那最直接的方法当然是画一画重叠一下了。 哎，这么看，九寸圆多了两块六寸圆呢，却重了一块九寸圆好像是大点，但也不好说。看来要判断哪种合算，我们还是得准确的求出这些圆的面积。 所以下面我们就来探索一下圆的面积怎么求求面积？根据我们有限的经验，有个一招，先就是变成长方形，再算平行四边形。我们这样变 梯形呢，我们这样变，那么这个圆也能往长方形去吗？ 狗蛋简单粗暴的切了几刀，发现面积损失的太多，小锤自作聪明的拼了一下，发现面积差的也很远，哎，这如何是好呢？别放弃的太早，下面就给你见识一下真正的神操作。 首先像切蛋糕一样，先平均切他个八份。有同学就说了，老师你搞笑吗？这和长方形有啥关系啊？别忙，只要把这八份交叉拼在一起， 怎么样？相比原来的圆形状更像长方形了吧？不过他和长方形之间毕竟还有点距离，无法摆脱强行长方形的嫌疑。怎么办呢？ 我们再来一次，把圆平均分成十六份，还用刚才的方法拼，你想象一下拼好之后是什么样？ 哇，是不是很有那么点意思了，它的形状更接近长方形了吧？看到这里，下一步怎么做？相信你也有点想法了吧。 答案，选 a， 按 b 选项切掉的话，面积就变了，应该继续分，把圆平均分成三十二份再拼合。哎，比刚才还要接近长方形。接下来是六十四份， 果然又接近了一些。我们发现分的份数越多，得到的图形就越接近长方形。 按照这个趋势继续分下去，当分的份数足够多，每一份足够细，我们就会得到这样一个长方形。因为组成它的每一部分都来自原来的圆，所以它的面积就等于圆的面积。 哎呀，这下我可开心了，只要求出这个长方形的面积，不就等于求出圆的面积了吗？长方形的面积等于长乘宽，所以接下来我们的目标就是搞定长和宽。 可这长和宽要怎么知道呢？想想他们是从哪来的，说不定也就有思路了。 下个视频，我们继续完成圆的面积公式。老板是好人还是奸商，就由你亲手揭开真相吧！

为了帮助家附近的流浪猫，狗蛋打算做个猫窝，他画了一张设计图交给小锤加工。然而，啊哈，这个完美的设计做完了，说不出为什么，但是好像哪里不太对。你俩好可爱呀！ 猫窝是个立体结构，怎么能用一张图还原呢？好好研究一下立体图形的三式图吧， 刚才这事也不能都怪狗蛋。其实从某一个方向观察立体图形，我们看到的会是一个平面图形，比如从正面看，长方体是一个长方形，像这样从一个方向看过去，形成的图像就是仕图。 在生活中，很多时候，我们只能通过一个方向上观察，并不能看见一个物体的全貌，比如飞机、大型建筑、连绵不绝的山，数学中也是如此。立体图形的一个仕图，就代表着它在一个方向上的形状， 就像这个长方体，从正面看是一个长方形，这就叫做他的一个试图。但是从左边看是一个正方形，也是他的试图，说明要从不同的方向观察，才能更加全面的反映立体图形的形状。那到底需要从几个方向观察呢？ 在实际生产中，我们一般会画出一个图形，从三个方向看过去的样子，分别是从正面、左面 和上面来看，这个立体图形也就是他的三式图。因此呢，这三式图指的就是主视图、左视图和俯视图。通过三视图，我们就能得到一个立体图形的形状。比如刚刚我们画的这个长方体，他的主视图 和俯视图都是长方形，而左视图呢，则是个正方形。对于任意一个立体图形啊，我们都能画出它的三式图，比如看这个三棱柱， 从正面看，它是一个长方形，这条棱我们也能看见，所以呢，也要加上中间留下的那条棱， 这条竖线一定得加上。从左面看，它是一个长方形，从上面看，它是个三角形，所以它的主视图、左视图和俯视图就分别是这样的。 注意了，题目中一般会把主视图画在左上角，它的右侧是左视图，下方是俯视图，基本位置都是固定的。 还有圆柱，从正面看，虽然它是一个曲面，但映入眼帘的实际上就是一个长方形，从左面看，同理也是一个长方形，而从上面看，是一个圆形，所以圆柱的三式图就是这样的。 再来看一个圆锥，从正面和左边看，它都是一个三角形，所以它的主视图是这样的。那你觉得它的俯视图是什么样的呢？ 选 b 啊，千万别漏了圆中间这个点。从上面看，圆锥是底面的圆和尖上的那个点，所以这个点呢，不能少。三式图的任何一个细节都体现着原来立体图形的信息，缺了哪一点都不对， 所以圆锥的三十图画出来就是这样的。类似的，我们还可以画一个四棱锥的三十图，要注意他的俯视图，最简单的就是球体的三十图了，都是一个圆。好了，介绍这么多立体图形的三十图，你也记一下笔记吧， 老张，可是这些都是基本的立体图形，比较简单。如果遇到像猫窝这样复杂的立体图形，该怎么画三式图呢？复杂的咱也完全不怕，先让我老张带你们看两个你就知道了，比如下面这个图， 答案是 c， 是 不是超简单的？我们顺便再把左视图和俯视图也画一下。从左边看，其实只能看到这两个正方形，这里的两个正方体被这个正方体挡住了，所以呢，左视图画出来是这样的， 再看俯视图，看到的应该是三个正方形，下边的这个正方体挡住了，所以它的俯视图是这样的。 找这样组合的几何体的三式图的时候呢，关键是分析哪些部分是挡住了的，看不到的，不要被迷惑了哟！这个还简单的，每个正方体我们都能看得到，下边这个有一部分是隐藏起来的，需要我们自己想象脑补一下，一起看一下吧！ 正确答案是 a。 同学们看到这个组合图形时，要注意，这个是隐藏了一个正方体的，而看左视图的时候，右边的两个正方体被挡住了，是看不到的，所以我们看到的左视图是这样的。 只看左视图是不是感觉少点什么？那就把主视图和俯视图也搞定一下吧。先看主视图 很简单吧，隐藏的这个正好也看不到，所以看到的就是这四个正方体，主视图就是这样的，再看俯视图还是这四个，不过画出来是这样的，和主视图可不一样呦。 好啦，总结一下，这个视频里呢，我们知道了立体图形的三式图，也就是主视图、左视图和俯视图，常见立体图形的三式图就放在这里，你再熟悉一下 狗蛋和小锤，你们赶快给小猫咪再做一个靠谱的猫窝吧！这个视频就到这了，拜拜！哼，这集很重要哦！

二年级我研究了近百套期末考试卷子了，对于考试会考什么知识点，各个单元的考试占比烂熟于心。我整理了二年级下册所有题型，评论我想要私信我领取，我会用几分钟的时间给你详尽表述一下二年级下册新教材的重难点及其期末考试的占比。 点赞、收藏加关注，回家对照的课本标注出重点单元。首先最重要的毋庸置疑是第六单元，两三位数加减法，在期末考试中总占比大概在百分之三十五左右，绝对是本学期的重中之重。题型有口算题、数式比算、估算题、解决问题等。 其中纯计算的题型啊，占二十五分左右，结合生活场景的应用题占十分到十五分左右。跨单元的综合应用题、核心运算分值 均属于这一单元，并且考察的各个应用题题型明显会比以往的学期要更多一些，一定要多加注意。 其次是第三单元，两位数乘除以一位数，期末考试大概占比百分之二十左右。这是新教材从三年级下放到二年级的一个单元，不考数式，而是通过拆数乘除的方法来解决计算。其中有口算题、简单的乘除应用题。 纯计算题型啊，大概是由八到十分左右，基础的应用题占十到十二分左右，是新课标重点要求的运算入门单元，绝对是本学期最难理解的单元。 如果是喜欢考难题的学校，很可能会把原本三年级的题目拿来当做考试题，所以想要考高分的孩子，一定要去学会如何通过画线段图来解决应用题。 第三就是第五单元的认识，四位数，占比大概在百分之十二左右，难度不高，但特别容易错。这是填空题、选择题、判断题的核心考点， 具体包含数的读写，数位的组成，大小比较近似数，整千整百的口，算是整本书数感考察的核心板块。 而第四则是第二单元，简单的数量关系，尤其是十分秒那一块，大概占比百分之八左右，占比不高，但特别容易错，尤其现在孩子啊，都没见过钟表，学习这个知识更没有概念。题型包含钟面时间、读写 时间、单位换算，经过时间计算，以填空选择、判断题为主，再辅以简单的生活应用题。 第五则是第一单元的厘米、余米，大概占比是在百分之十左右。单位换算以后每一学期都会有，一定得会特别重要。题型有长度单位换算、 规范测量、画线段图。操作题辅以填空判断和简单的长度。应用题是操作题的核心考察板块，并且会和加减法、乘除法联动出一些应用题，占比其实要比想象中的还要大一些。 而第六则是第四单元和第七单元，这两个单元加起来也就占比百分之十左右。第七单元图形认知的题型包含图形特征判断数、图形、图形拼组题，以选择判断基础操作题为主，难度低，占比也比较小。 而第四单元则是纯粹的送分单元统计题，很简单，不必多说，关注南木老师数学学习不迷路！

嗨，欢迎回来，我们继续上节课的主题，平面直角坐标系的新定义问题。这次呢，我们要刷的是一道高能题，只要你跟住讲解，认真思考，一定能掌握让你考试提分技巧准备好了就开始吧！ 哇哦，好长的一道题啊，请你来读一遍题，争取弄懂题中给的新定义。 只要你认真读完了题干，就会发现题干中给出了两个定义，一个是直角距离，另一个是等距线。 我们先说两点之间的直角距离，至于啥是等距线，我们先放一边，用到的时候再看。 直角距离是指两个点横坐标差的绝对值的和。什么意思呢？ 看看下面的例子就明白了。已知点， m、 n 的 坐标， m 和 n 之间的直角距离等于三减一的绝对值，也就是横坐标的差的绝对值 加上负五减负二的绝对值，也就是纵坐标的差的绝对值，算出来等于五。掌握了直角距离的计算方法后，我们就可以来看第一小问了。 第一小问里一共有四个，只要距离要算，请你用题中给的式子还有 a、 b、 c、 d 四个点坐标，自己先算一下前两个吧。 横坐标差的绝对值加上纵坐标差的绝对值。 d、 a、 c 等于 a、 c 两点横坐标的差一减一的绝对值加上纵坐标的差零减三，它的绝对值等于三。 d、 b、 c 等于 b、 c 两个点横坐标的差负一减一的绝对值加上纵坐标的差四减三的绝对值等于三。 算前两个我们用的是算直角距离的代数方法，而在算它的等式中，两个绝对值戳在这，这很容易让人想到绝对值还自带几何意义呀，就是表示距离吗？我们看图研究一下直角距离的几何意义是什么？ ac 两点在这，它们的直角距离是三。不难发现，从 a 出发，直接往上走到 c， 距离也是三。 再看 bc， 它们的直角距离也是三。从 b 先向下走一个单位长度，再向右走两个就到 c 了。或者先向右走两个，再向下走一个，也能走三个单位长度到达 c。 嗯，难道说只要从一个点出发，横平竖直的往另一个点走，别绕远，就能走出这两个点的照距离？ 其实啊，等式中横坐标的差的绝对值就是从一个点到另外一个点要走的横向距离。纵坐标的差的绝对值就是点要走的纵向距离。 那加在一块的结果呢？正是横平竖直走的最短距离，这就是直角距离的几何意义。 那第一小问的后两个直角距离，咱们就用它的几何意义来求呗。 a、 d 的 直角距离，从 a 横平竖直走到点 d， 无论是这么走还是这么走，都是三个单位长度，所以等于三 b、 d 呢？竖着走三个单位长度就行了。所以知道距离是三 来看第二问。这一问中又出现了一个新的概念，等距图形。还给了一个例子， g、 h、 i、 j 这个正方形是 a、 e 等距图形。让我们画剩下这四个等距图形， 那我们就先看看到底啥是等距图形呗。到点 a 的 直角距离为 n 的 点组成的图形为 a。 n 等距图形，图一中的正方形 g、 h、 i、 j 就是 a 一 等于图形 a 一 啥意思呢？ 把定义中的 n 换成一就能理解了。到点 a 的 直角距离为一的点组成的图形，也就是说，这个正方形上，每一个点横平竖直走到点 a， 距离都是一。 正方形四个顶点 g、 h、 i、 j 走到 a 距离是一，这个不难理解，可有点难理解的是，正方形边上的点横平竖直走到点 a 的 距离，为什么也是一呢？你先来想一想， 我们在小正方形边 g j 上随便找一点来看，先让它向右走走到网格线，再向下走到点 a， 哎，不难发现，横向走过的这一段和网格线正方形的这条边形成一个等腰直角三角形， 那么两腰相等，所以点走过的这个拐弯长度就等于竖着的腰和下面这段之合，哎，正好拼出一个单位长度。这就说明，从 g j 上取的那一个点与 a 的 直角距离是等于一的， 那么正方形边上其他的点也一样，横向走的一段和竖向走的一段，总是能拼出一个单位长度。所以说，这个小正方形上，每一个点到 a 的 直角距离都是一，它们共同组成了 a 一 等距图形。 理解了 a 一， 那么 a 二等距图形我们也容易理解了，就是到点 a 直角距离为二的所有点形成的图形。要画 a 二，我们可以先找出距离 a 上下左右各两个单位长度的点，然后连出一个正方形。 终于到题目让我们画的 a 三了，还是先找出四个顶点，也就是距离点 a 上下左右三个单位长度的点，再把这四个点一连，哎，就做出了 a 三等距图形。 其实啊，我们不难猜到，等距图形它一定是一个正方形， a 二比 a 一 大一点， a n 的 n 越大，正方形就越大。 那么请你自己画一下 a 四还有 b 三、 b 四的等距图形吧。注意了， a 四中间的点是点 a， 而 b 三、 b 四中间的点必须是点 b， 来对下答案吧。 咦，第二问的最后有一个括号肯定有用，我们来看一看。 里面说这样，我们发现，点 a 和点 b 的 等距线为图中的射线 d、 f、 线段 c、 d 及射线 c、 e 组成的折线。 等距线这个词终于露脸了，暂且不说等距线是啥，我们先来解决一下。正常人读完这句话都会问的一个问题，就是第二问，明明让我们画的是等距图形，为什么最后要提等距线呢？ 那不难猜到吗？肯定是因为等距线跟等距图形有密切的联系。你看中间的线段 c、 d， 它是 a 三、 b 三这两个等距图形的重合部分吧。 再看两条射线 c、 e 和 d f 的 端点，哎，正好是线段 c、 d 的 两个端点。 仔细看射线 c、 e 会发现它经过的这个点是 a 四、 b 四两个等距图形的一个焦点，而射线 d、 f 经过 a 四、 b 四的另一个焦点。 哎，这么一分析，我们就知道等距线是怎么画出来的了。先画出等距图形，再找重合的线段， 然后把线段的端点和一对等距图形的交点分别相连，连出两条射线，就画出了等距线。 哇哦，咱们都不知道等距线是啥呢，竟然就把它的画法找到了，多亏括号里那句话的提示啊。其实啊，我告诉你，那句话是出题老师大发慈悲，有意留给我们的解析线索，不信你往下看第三问就知道了。 让我们分别画出 a 五 a 六 e 五、 e 六四个等于图形，并画出 a 和 e 的 等距线。看见没，等距线的画法要派上用场了，请你先快速画出这四个等于图形吧！ 有了第二问的画图经验，画出这四个正方形不难吧？ no， 自己检查一下画的对不对。 有点难度的是怎么画 a、 e 两点的等距线。咱们刚才说了，画等距线，先找线段，再做射线。 来看看现在每段等于图形，它们的重合部分是啥？是焦点，没线段。那么能重合出现段的 a、 n、 e、 n 这里的 n 是 几呢？ 回想第二问， a 三 b 三重合出了线段，三怎么来的？这跟 ab 的 值角距离是有关系的。我们知道从 a 横平竖直的走到点 b， 距离是六，六的一半是三。 那我们回来看 a 和 e 这两个点的值角距离是多少啊？从 a 横平竖直走到 e， 距离是八， 所以 a、 e 的 角距离是八，八的一半是四。那么 a 四 e 四等距图形应该是有重合线段的，我们画一下，哎，果然有重合线段！ 找到线段之后，就是从两个端点做射线了。好吧，找刚才一对交点跟端点分别连一下就出来了，整个这条折线就是 a 和 e 的 等距线 耶！终于一点一点的啃完这道大题了，能全程跟下来的同学获得的刷题经验我告诉你，绝对能坐地连升十级，飞遍宇宙无敌！ 但是呢，我知道，可能有些求知欲旺盛，好奇心爆棚的同学，对，等距线啊，为啥 a、 b 的 等距线一定由那三条线组成啊？ 好，那接下来就一一来告诉你这些问题的答案前方高能你要听吗？ 我们先来看一下题干给的等距线定义，对于平面内的一个动点 p， 若 d a p 等于 d b p， 则称动点 p 的 轨迹为 ab 两点的等距线。 这个等式是关键啊，意思是点 p 与 a 的 直角距离等于 p 与 b 的 直角距离。 所以说到 a 到 b 直角距离相等的点组成了 ab 的 等距线，明白了什么是等距线。现在我们分析一下为什么 ab 的 等距线由线段 cd 和射线 c、 e、 d、 f 这三部分组成。 先看线段 c、 d、 c、 d 是 a 三、 b 三两个正方形的重合部分。 重合部分上面的点有什么特征呢？我们找一个点来看，它到 a 的 直角距离是三，到 b 的 直角距离也是三。其实 c、 d 上所有的点到 a、 b 两点的直角距离都相等，所以 c、 d 当然就在等距线上啦。 再来看为什么从 c、 d 两个点引出的射线 c、 e、 d、 f 也在 ab 的 等距线上？ a 四和 b 四这两个正方形有两个交点，一个在点 d 左边，另一个在点 c 右边。两个交点都是到 ab 的 角距离为四的点，所以这两个交点肯定在等距线上。 那么如果再画 a 五、 b 五等等其他成对的正方形，我们会发现每对正方形的交点哎，都是到 a、 b 直角距离相等的点， 而且呀，这些交点总会出现在射线 d、 f 和 c、 e 上，所以我们归纳出一个结论，就是射线 d、 f、 c、 e 也是 ab 等于线的一部分。 那如果想要严谨的证明呢，也不难，比如说来证设限 c、 e 上的点到 a、 b 直角距离总是相等的。首先呢，把 c、 e 上的点的坐标表示出来，由于这些点的纵坐标总是三横坐标大于等于一， 所以设设限 c、 e 上任意一点的坐标呢，为 x 三，其中 x 大 于等于一。然后利用算直角距离的等式，表示出 c、 e 上的这个点到 a 的 直角距离，以及这个点到 b 的 直角距离， 看看这两个距离是否相等。那具体过程就不讲了，你来看一下， 证明结果呢，就是相等，也就是说射线 c、 e 上的任意一点到 a、 b 两点的直角距离总是相等的。 那同样的道理，射线 d、 f 也是等距线的一部分，证明方法跟刚才类似，就不用讲了吧，明白了就得。所以说 ab 两点的等距线，它确实是由线段 c、 d、 射线 c、 e、 d、 f 这三部分组成的。 总的来说，这道大题呢，让我们见识了一道题竟然可以有三个新的定义出现， 其实不管有多少个新定义，他们之间呢一定有联系，我们要做的就是用例子和图把新的定义理解透彻，并快速正确的用起来， 再加上耐心一点点啃完整道题，拿全分并不难。好，那这节课咱们就讲到这了，拜拜。

嗨，欢迎回来，我们继续上节课的主题，平面直角坐标系的新定义问题。这次呢，我们要刷的是一道高能题，只要你跟住讲解，认真思考，一定能掌握让你考试提分技巧准备好了就开始吧！ 哇哦，好长的一道题啊，请你来读一遍题，争取弄懂题中给的新定义。 只要你认真读完了题干，就会发现题干中给出了两个定义，一个是直角距离，另一个是等距线。 我们先说两点之间的直角距离，至于啥是等距线，我们先放一边，用到的时候再看。 直角距离是指两个点横坐标差的绝对值等和什么意思呢？ 看看下面的例子就明白了。已知点， m、 n 的 坐标， m 和 n 之间的直角距离等于三减一的绝对值，也就是横坐标的差的绝对值 加上负五减负二的绝对值，也就是纵坐标的差的绝对值，算出来等于五。掌握了直角距离的计算方法后，我们就可以来看第一小问了。 第一小问里一共有四个，只要距离要算，请你用题中给的式子还有 a、 b、 c、 d 四个点坐标，自己先算一下前两个吧。 横坐标差的绝对值加上纵坐标差的绝对值。 d、 a、 c 等于 a、 c 两点横坐标的差一减一的绝对值加上纵坐标的差零减三，它的绝对值等于三。 d、 b、 c 等于 b、 c 两个点横坐标的差负一减一的绝对值加上纵坐标的差四减三的绝对值等于三。 算前两个我们用的是算直角距离的代数方法，而在算它的等式中，两个绝对值戳在这。这很容易让人想到绝对值还自带几何意义呀，就是表示距离吗？我们看图研究一下直角距离的几何意义是什么？ a、 c 两点在这，它们的直角距离是三。不难发现，从 a 出发，直接往上走到 c， 距离也是三。 再看 b、 c， 它们的直角距离也是三。从 b 先向下走一个单位长度，再向右走两个就到 c 了。或者先向右走两个，再向下走一个，也能走三个单位长度到达 c。 嗯，难道说只要从一个点出发，横平竖直的往另一个点走，别绕远，就能走出这两个点的照距离？ 其实啊，等式中横坐标的差的觉得直，就是从一个点到另外一个点要走的横向距离。纵坐标的差的觉得直，就是点要走的纵向距离。 那加在一块的结果呢？正是横平竖直走的最短距离，这就是直角距离的几何意义。 那第一小问的后两个直角距离，咱们就用它的几何意义来求呗。 a、 d 的 直角距离，从 a 横平竖直走到点 d， 无论是这么走还是这么走，都是三个单位长度，所以等于三。 b、 d 呢？竖着走三个单位长度就行了，所以知道距离是三 来看。第二问。这一问中又出现了一个新的概念，等距图形。还给了一个例子， g、 h、 i、 j 这个正方形是 a、 e 等距图形。让我们画剩下这四个等距图形， 那我们就先看看到底啥是等距图形呗。到点 a 的 直角距离为 n 的 点组成的图形为 a， n 等距图形，图一中的正方形 g、 h、 i、 j 就是 a 一 等于图形 a 一 啥意思呢？ 把定义中的 n 换成一就能理解了。到点 a 的 直角距离为一的点组成的图形。也就是说，这个正方形上，每一个点横平竖直走到点 a， 距离都是一。 正方形四个顶点 g、 h、 i、 j 走到 a， 距离是一，这个不难理解，可有点难理解的是，正方形边上的点横平竖直走到点 a 的 距离，为什么也是一呢？你先来想一想， 我们在小正方形边 g j 上随便找一点来看，先让它向右走走到网格线，再向下走到点 a， 哎，不难发现，横向走过的这一段，和网格线正方形的这条边形成一个等腰直角三角形， 那么两腰相等，所以点走过的这个拐弯长度就等于竖着的腰和下面这段之合，哎，正好拼出一个单位长度。这就说明，从 g j 上取的那一个点与 a 的 直角距离是等于一的， 那么正方形边上其他的点也一样，横向走的一段和竖向走的一段，总是能拼出一个单位长度。所以说，这个小正方形上，每一个点到 a 的 直角距离都是一，它们共同组成了 a 一 等距图形。 理解了 a 一， 那么 a 二等距图形我们也容易理解了，就是到点 a 直角距离为二的所有点形成的图形。要画 a 二，我们可以先找出距离 a 上下左右各两个单位长度的点，然后连出一个正方形。 终于到题目让我们画的 a 三了，还是先找出四个顶点，也就是距离点 a 上下左右三个单位长度的点，再把这四个点一连，哎，就做出了 a 三等距图形。 其实啊，我们不难猜到，等距图形它一定是一个正方形， a 二比 a 一 大一点， a 三比 a 二大一点， a n 的 n 越大，正方形就越大。 那么请你自己画一下 a 四还有 b 三、 b 四的等距图形吧。注意了， a 四中间的点是点 a， 而 b 三 b 四中间的点必须是点 b， 来对下答案吧。 咦，第二问的最后有一个括号肯定有用，我们来看一看。 里面说，这样，我们发现，点 a 和点 b 的 等距线为图中的射线 d f， 线段 c d， 即射线 c e 组成的折线。 等距线这个词终于露脸了，暂且不说等距线是啥，我们先来解决一下。正常人读完这句话都会问的一个问题，就是第二问，明明让我们画的是等距图形，为什么最后要提等距线呢？ 那不难猜到吗？肯定是因为等距线跟等距图形有密切的联系。你看中间的线段 c、 d， 它是 a 三 b 三这两个等距图形的重合部分吧。 再看两条射线 c、 e 和 d f 的 端点，哎，正好是线段 c、 d 的 两个端点。 仔细看射线 c、 e， 会发现它经过的这个点是 a 四 b 四两个等于图形的一个焦点，而射线 d、 f 经过 a 四、 b 四的另一个焦点。 哎，这么一分析，我们就知道等距线是怎么画出来的了。先画出等距图形，再找重合的线段， 然后把线段的端点和一对等距图形的交点分别相连，连出两条射线，就画出了等距线。 哇哦，咱们都不知道等距线是啥呢，竟然就把它的画法找到了，多亏括号里那句话的提示啊。其实啊，我告诉你，那句话是出题老师大发慈悲，有意留给我们的解析线索，不信你往下看第三问就知道了。 让我们分别画出 a 五、 a 六、 e 五、 e 六四个等于图形，并画出 a 和 e 的 等距线。看见没，等距线的画法要派上用场了，请你先快速画出这四个等于图形吧！ 有了第二问的画图经验，画出这四个正方形不难吧？ no， 自己检查一下画的对不对。 有点难度的是怎么画 a、 e 两点的等距线。咱们刚才说了，画等距线，先找线段，再做射线。 来看看现在每段等于图形，它们的重合部分是啥？是焦点，没线段，那么能重合出现段的 a、 n、 e、 n， 这里的 n 是 几呢？ 回想第二问， a 三 b 三重合出了线段，三怎么来的？这跟 ab 的 值角距离是有关系的。我们知道从 a 横平竖直的走到点 b， 距离是六，六的一半是三。 那我们回来看 a 和 e 这两个点的值角距离是多少啊？从 a 横平竖直走到 e， 距离是八， 所以 a、 e 的 角距离是八，八的一半是四。那么 a 四 e 四等距图形应该是有重合线段的，我们画一下。哎，果然有重合线段！ 找到线段之后，就是从两个端点做射线了。好吧，找刚才一对交点跟端点分别连一下就出来了，整个这条折线就是 a 和 e 的 等距线 耶！终于一点一点的啃完这道大题了，能全程跟下来的同学获得的刷题经验我告诉你，绝对能坐地连升十级，飞遍宇宙无敌！ 但是呢，我知道，可能有些求知欲旺盛，好奇心爆棚的同学，对，等距线啊，为啥 a、 b 的 等距线一定由那三条线组成啊？ 好，那接下来就一一来告诉你这些问题的答案，前方高能你要听吗？ 我们先来看一下题干给的等距线定义，对于平面内的一个动点 p， 若 d a p 等于 d b p， 则称动点 p 的 轨迹为 ab 两点的等距线。 这个等式是关键啊，意思是点 p 与 a 的 直角距离等于 p 与 b 的 直角距离。 所以说到 a 到 b 直角距离相等的点组成了 ab 的 等距线。明白了什么是等距线。现在我们分析一下为什么 ab 的 等距线由线段 c、 d 和射线 c、 e、 d、 f 这三部分组成。 先看线段 c、 d、 c、 d 是 a 三、 b 三两个正方形的重合部分。 重合部分上面的点有什么特征呢？我们找一个点来看，它到 a 的 直角距离是三，到 b 的 直角距离也是三。其实 c、 d 上所有的点到 a、 b 两点的直角距离都相等，所以 c、 d 当然就在等距线上啦。 再来看为什么从 c、 d 两个点引出的射线 c、 e、 d、 f 也在 ab 的 等距线上？ a 四和 b 四这两个正方形有两个交点，一个在点 d 左边，另一个在点 c 右边。两个交点都是到 ab 的 角距离为四的点，所以这两个交点肯定在等距线上。 那么如果再画 a 五、 b 五等等其他成对的正方形，我们会发现每对正方形的交点哎，都是到 a、 b 直角距离相等的点， 而且呀，这些交点总会出现在射线 d、 f 和 c、 e 上，所以我们归纳出一个结论，就是射线 d、 f、 c、 e 也是 ab 等于线的一部分。 那如果想要严谨的证明呢，也不难，比如说来证射线 c、 e 上的点到 a、 b 直角距离总是相等的。首先呢，把 c、 e 上的点的坐标表示出来，由于这些点的纵坐标总是三，横坐标大于等于一， 所以设设限 c、 e 上任意一点的坐标呢，为 x 三，其中 x 大 于等于一。然后利用算直角距离的等式，表示出 c、 e 上的这个点到 a 的 直角距离，以及这个点到 b 的 直角距离， 看看这两个距离是否相等。那具体过程就不讲了，你来看一下， 证明结果呢，就是相等。也就是说，射线 c、 e 上的任意一点到 a、 b 两点的直角距离总是相等的。 那同样的道理，射线 d、 f 也是等距线的一部分。证明方法跟刚才类似，就不用讲了吧，明白了就得。所以说 ab 两点的等距线，它确实是由线段 c、 d、 射线 c、 e、 d、 f 这三部分组成的。 总的来说，这道大题呢，让我们见识了，一道题竟然可以有三个新的定义出现。 其实不管有多少个新定义，他们之间呢，一定有联系，我们要做的就是用例子和图把新的定义理解透彻，并快速正确的用起来， 再加上耐心一点点啃完整道题，拿全分并不难。好，那这节课咱们就讲到这了，拜拜。

哈喽，这是个简单好玩的刷题视频，今天的重点是应用平行线的三条性质，求角。 我们都知道，两直线平行，就有同位角相等，内错角相等，同旁内角互补这三对角度关系，这种美好的逆天的品质可以帮我们转化角度，求出目标角。武器在手，天下我有，先打个小怪试试。 如图，已知直线 a、 b 平行角一等于一百零八度，求角二的度数，你自己先试试看。 选 a。 这是个标准到爆的三线八角图，可以使用平行线的美好性质了吧。但是已知角一和目标角二的关系并不是现成的同位角、内错角和同旁内角中的任意一种，那怎么办呢？ 这时候我们可以从已知角出发来标角，两直线平行，根据已知标出这个同位角角三也等于一百零八度。再看目标角角二，他与角三是互补的，所以答案就是七十二度。 实际上，我们除了从已知出发标角，也可以从结论出发，标角还是利用两只线平行，我们就得到和角二相等的内错角角四，所以求角二就转化为求角四， 而角四呢，又和已知角角一是互补的，这样也能很快得到结论。两种解法是殊途同归。无论是利用内错角还是同位角，都是利用了平行线的性质来标角，哪个顺手就用哪个。 小怪只是让你感受一下平行线的美好性质。武器用熟了就要独自面对下面这种题， 如图， a、 b 和 c、 d 相互平行，其中 a、 d 垂直于 a、 c， 那 就是这个角是九十度。已知角 a、 d、 c 等于三十二度，求角 e、 a、 c 的 度数，你自己先试试。 答案选 a。 这里有两条平行线，已知这边的角 a、 d、 c。 要求这边的角 e、 a 型，那就要想办法把这两个角凑在一块来找角度的关系。 怎么转化角度呢？当然是要利用平行线的性质。已知角 a、 d、 c 等于三十二度，两只线平行，所以内错角，角 b、 a、 d 也等于三十二度。 我们注意到，这三个小角组成了一个平角，已知角 c、 a、 d 等于九十度，角 b、 a、 d 等于三十二度，所以角 e、 a、 c 很 快就能求出来，等于五十八度。 这题告诉我们一个经验，有平行线就可以利用性质把角转化到想要的地方。因此，平行线本质上是一种角度转化的神器。到底有多神？做完最后一题，你才能深刻体会。 如图，已知 d、 b、 f、 g、 e、 c 这三条直线平行，角 a、 b、 d 等于七十度，角 a、 c、 e 等于三十六度，其中 a、 p 是 角 b、 a、 c 的 角。平分线要求角 p、 a、 g 的 度数，你自己先想一想。 一小撮人看到复杂的图就眼冒金星，还有一小撮人表示两直线平行，我还拎不清呢，见到三条直线平行，直接就吓跑了。别担心，三条直线平行，其实可以看作是两两直线相互平行来分别处理。 我们发现，已知的角 a、 b、 d 在 这里，角 a、 c、 e 在 这里，要求的是中间的角 p、 a、 g。 那 可以借助平行线的性质，把两边的角转化到中间来。 先看左边，只看这两条直线平行，就可以得到角 b、 a、 g 和角 abd 是 内错角，它们相等于是角 b、 a、 g 也等于七十度。 再来看右边，同理，已知这个角 a、 c、 e 是 三十六度，那这两条直线平行内错角，角 c a g 也就等于三十六度。 此时你就会发现，角 b a g 和角 c a g 合起来就组成了这个大角 b a、 c 两个角加起来是一百零六度。另外已知 a p 是 角 b a、 c 的 角平分线，所以角 b a p 就 等于角 c a p， 它俩就是五十三度， 能标的都标了。再看目标角 p a g， 它就等于角 b a g。 减去角 b a p， 那 这两个角都已经求出来了，代入就得到答案是十七度。终极怪兽就被你这样轻松的 ko 了。 连刷三怪，我们来反思一下，遇到平行线就要利用它的性质来转化角度。转化角度时，不管题目多么的复杂，只要借助已知角不断标角，就能看到胜利的曙光。 既然平行线的性质这么好用，那他的判定是不是也很神奇呢？先买个关子，我们下回再见。

嗨，欢迎回来，我们继续上节课的主题，平面直角坐标系的新定义问题。这次呢，我们要刷的是一道高能题，只要你跟住讲解，认真思考，一定能掌握让你考试提分技巧准备好了就开始吧！ 哇哦，好长的一道题啊，请你来读一遍题，争取弄懂题中给的新定义。 只要你认真读完了题干，就会发现题干中给出了两个定义，一个是直角距离，另一个是等距线。 我们先说两点之间的直角距离，至于啥是等距线，我们先放一边，用到的时候再看。 直角距离是指两个点横坐标差的绝对值的和。什么意思呢？ 看看下面的例子就明白了。已知点， m、 n 的 坐标， m 和 n 之间的直角距离等于三减一的绝对值，也就是横坐标的差的绝对值 加上负五减负二的绝对值，也就是纵坐标的差的绝对值，算出来等于五。掌握了直角距离的计算方法后，我们就可以来看第一小问了。 第一小问里一共有四个，只要距离要算，请你用题中给的式子还有 a、 b、 c、 d 四个点坐标，自己先算一下前两个吧。 横坐标差的绝对值加上纵坐标差的绝对值。 d、 a、 c 等于 a、 c 两点横坐标的差一减一的绝对值加上纵坐标的差零减三，它的绝对值等于三。 d、 b、 c 等于 b、 c 两个点横坐标的差负一减一的绝对值加上纵坐标的差四减三的绝对值等于三。 算前两个我们用的是算直角距离的代数方法，而在算它的等式中，两个绝对值戳在这，这很容易让人想到绝对值还自带几何意义呀，就是表示距离吗？我们看图研究一下直角距离的几何意义是什么？ ac 两点在这，它们的直角距离是三。不难发现，从 a 出发，直接往上走到 c， 距离也是三。 再看 bc， 它们的直角距离也是三，从 b 先向下走一个单位长度，再向右走两个就到 c 了。或者先向右走两个，再向下走一个，也能走三个单位长度到达 c。 嗯，难道说只要从一个点出发，横平竖直的往另一个点走，别绕远，就能走出这两个点的照距离？ 其实啊，等式中横坐标的差的绝对值就是从一个点到另外一个点要走的横向距离。纵坐标的差的绝对值就是点要走的纵向距离。 那加在一块的结果呢？正是横平竖直走的最短距离，这就是直角距离的几何意义。 那第一小问的后两个直角距离，咱们就用它的几何意义来求呗。 a、 d 的 直角距离，从 a 横平竖直走到点 d， 无论是这么走还是这么走，都是三个单位长度，所以等于三 b、 d 呢？竖着走三个单位长度就行了。所以知道距离是三， 来看第二问这一文中又出现了一个新的概念，等距图形。还给了一个例子， g、 h、 i、 j 这个正方形是 a、 e 等距图形。让我们画剩下这四个等距图形， 那我们就先看看到底啥是等距图形呗。到点 a 的 直角距离为 n 的 点组成的图形为 a。 n 等距图形，图一中的正方形 g、 h、 i、 j 就是 a 一 等于图形 a 一 啥意思呢？ 把定义中的 n 换成一就能理解了。到点 a 的 直角距离为一的点组成的图形，也就是说，这个正方形上，每一个点横平竖直走到点 a， 距离都是一。 正方形四个顶点 g、 h、 i、 j 走到 a， 距离是一，这可不难理解，可有点难理解的是，正方形边上的点横平竖直走到点 a 的 距离，为什么也是一呢？你先来想一想， 我们在小正方形边 g j 上随便找一点来看，先让它向右走走到网格线，再向下走到点 a， 哎，不难发现，横向走过的这一段和网格线正方形的这条边形成一个等腰直角三角形， 那么两腰相等，所以点走过的这个拐弯长度就等于竖着的腰和下面这段之合，哎，正好拼出一个单位长度。这就说明，从 g j 上取的那一个点与 a 的 直角距离是等于一的， 那么正方形边上其他的点也一样，横向走的一段和竖向走的一段，总是能拼出一个单位长度。所以说，这个小正方形上，每一个点到 a 的 直角距离都是一，它们共同组成了 a 一 等距图形。 理解了 a 一， 那么 a 二等距图形我们也容易理解了，就是到点 a 直角距离为二的所有点形成的图形。要画 a 二，我们可以先找出距离 a 上下左右各两个单位长度的点，然后连出一个正方形。 终于到题目让我们画的 a 三了，还是先找出四个顶点，也就是距离点 a 上下左右三个单位长度的点，再把这四个点一连，哎，就做出了 a 三等距图形。 其实啊，我们不难猜到，等距图形它一定是一个正方形， a 二比 a 一 大一点， a n 的 n 越大，正方形就越大。 那么请你自己画一下 a 四还有 b 三、 b 四的等距图形吧。注意了， a 四中间的点是点 a， 而 b 三 b 四中间的点必须是点 b， 来对下答案吧。 咦，第二问的最后有一个括号肯定有用，我们来看一看。 里面说这样，我们发现，点 a 和点 b 的 等距线为图中的射线 d f。 线段 c d， 即射线 c e 组成的折线。 等距线这个词终于露脸了，暂且不说等距线是啥，我们先来解决一下。正常人读完这句话都会问的一个问题，就是第二问，明明让我们画的是等距图形，为什么最后要提等距线呢？ 那不难猜到吗？肯定是因为等距线跟等距图形有密切的联系。你看中间的线段 c、 d， 它是 a 三、 b 三这两个等距图形的重合部分吧。 再看两条射线 c、 e 和 d f 的 端点，哎，正好是线段 c、 d 的 两个端点。 仔细看射线 c、 e 会发现它经过的这个点是 a 四 b 四两个等距图形的一个焦点，而射线 d、 f 经过 a 四、 b 四的另一个焦点。 哎，这么一分析，我们就知道等距线是怎么画出来的了。先画出等距图形，再找重合的线段， 然后把线段的端点和一对等距图形的交点分别相连，连出两条射线，就画出了等距线。 哇哦，咱们都不知道等距线是啥呢，竟然就把它的画法找到了，多亏括号里那句话的提示啊。其实啊，我告诉你，那句话是出题老师大发慈悲，有意留给我们的解析线索，不信你往下看第三问就知道了。 让我们分别画出 a 五 a 六 e 五、 e 六四个等于图形，并画出 a 和 e 的 等距线。看见没，等距线的画法要派上用场了，请你先快速画出这四个等于图形吧！ 有了第二问的画图经验，画出这四个正方形不难吧？ no， 自己检查一下画的对不对。 有点难度的是怎么画 a、 e 两点的等距线。咱们刚才说了，画等距线，先找线段，再做射线。 来看看现在每段等于图形，它们的重合部分是啥？是焦点，没线段。那么能重合出现段的 a、 n、 e、 n 这里的 n 是 几呢？ 回想第二问， a 三 b 三重合出了线段，三怎么来的？这跟 ab 的 值角距离是有关系的。我们知道从 a 横平竖直的走到点 b， 距离是六，六的一半是三。 那我们回来看 a 和 e 这两个点的值角距离是多少啊？从 a 横平竖直走到 e， 距离是八， 所以 a、 e 的 角距离是八，八的一半是四。那么 a 四 e 四等距图形应该是有重合线段的，我们画一下，哎，果然有重合线段！ 找到线段之后，就是从两个端点做射线了。好吧，找刚才一对交点跟端点分别连一下就出来了，整个这条折线就是 a 和 e 的 等距线 耶！终于一点一点的啃完这道大题了，能全程跟下来的同学获得的刷题经验我告诉你，绝对能坐地连升十级，飞遍宇宙无敌！ 但是呢，我知道，可能有些求知欲旺盛，好奇心爆棚的同学，对，等距线啊，为啥 a、 b 的 等距线一定由那三条线组成啊？ 好，那接下来就一一来告诉你这些问题的答案前方高能你要听吗？ 我们先来看一下题干给的等距线定义，对于平面内的一个动点 p， 若 d a p 等于 d b p， 则称动点 p 的 轨迹为 ab 两点的等距线。 这个等式是关键啊，意思是点 p 与 a 的 直角距离等于 p 与 b 的 直角距离。 所以说到 a 到 b 直角距离相等的点组成了 ab 的 等距线，明白了什么是等距线。现在我们分析一下为什么 ab 的 等距线由线段 cd 和射线 c、 e、 d、 f 这三部分组成。 先看线段 c、 d、 c、 d 是 a 三、 b 三两个正方形的重合部分。 重合部分上面的点有什么特征呢？我们找一个点来看，它到 a 的 直角距离是三，到 b 的 直角距离也是三。其实 c、 d 上所有的点到 ab 两点的直角距离都相等，所以 c、 d 当然就在等距线上啦。 再来看为什么从 c、 d 两个点引出的射线 c、 e、 d、 f 也在 ab 的 等距线上？ a 四和 b 四这两个正方形有两个交点，一个在点 d 左边，另一个在点 c 右边。两个交点都是到 ab 的 角距离为四的点，所以这两个交点肯定在等距线上。 那么如果再画 a 五、 b 五等等其他成对的正方形，我们会发现每对正方形的交点哎，都是到 a、 b 直角距离相等的点， 而且呀，这些交点总会出现在射线 d、 f 和 c、 e 上，所以我们归纳出一个结论，就是射线 d、 f、 c、 e 也是 ab 等于线的一部分。 那如果想要严谨的证明呢，也不难，比如说来证设限 c、 e 上的点到 a、 b 直角距离总是相等的。首先呢，把 c、 e 上的点的坐标表示出来，由于这些点的纵坐标总是三横坐标大于等于一， 所以设设限， c、 e 上任意一点的坐标呢，为 x 三，其中 x 大 于等于一。然后利用算直角距离的等式，表示出 c、 e 上的这个点到 a 的 直角距离，以及这个点到 b 的 直角距离， 看看这两个距离是否相等。那具体过程就不讲了，你来看一下。 证明结果呢，就是相等，也就是说，射线 c、 e 上的任意一点到 a、 b 两点的直角距离总是相等的。 那同样的道理，射线 d、 f 也是等距线的一部分，证明方法跟刚才类似，就不用讲了吧，明白了就得。所以说 ab 两点的等距线，它确实是由线段 c、 d、 射线 c e、 d、 f 这三部分组成的。 总的来说，这道大题呢，让我们见识了，一道题竟然可以有三个新的定义出现。 其实不管有多少个新定义，他们之间呢一定有联系，我们要做的就是用例子和图把新的定义理解透彻，并快速正确的用起来， 再加上耐心一点点啃完整道题，拿全分并不难。好，那这节课咱们就讲到这了，拜拜。

上节课我们认识了三角星是怎么给三角菌分类的，这节课我们再来看看在三角星上是怎么组装三角菌的吧。老师，我也想试试锻炼一下自己的动手能力，可以不？ 也不是不行。那这样，我先给你四根塑料棍，你来试试哪三根可以组成个三角菌吧。 现在狗蛋面前有一米、两米、三米、四米四条塑料棍，要从这四条塑料棍中选出三条，狗蛋不知道该选哪三个好，所以只能挨个尝试了，毕竟是他自己说要锻炼动手能力的。 我们看狗蛋先用一米、两米和三米的来搭架子，结果发现，因为一米加两米的塑料棍首尾相接的时候呢，刚好一米和两米的塑料棍跟三米那条重合了， 这就违背了三角形定义中不在同一直线的三条线段首尾相接，因此啊，不能组成三角形。 那咱换一下，这次用一米、两米和四米的哦，结果相差更多了，一米和两米加一起都还没四米长，两条塑料棍根本接不到一起。 最后啊，狗蛋把两米、三米、四米的接到一起，哎，刚好组成了一个三角形架子。那为什么会这样呢？我们分析一下。首先狗蛋尝试的过程中可以发现，并不是任何长度的三条线段接到一起都能组成三角形。 想要组成三角形，必须满足一个条件，这三条线段中任何两条线段的长度之合必须大于第三条线段， 这就是三角形的三边关系定律了。三角形的两边之合大于第三边，也就是说三角形任何两边长度加起来要比第三边长。 那这背后是什么原理呢？其实很简单，如果我们把三角形 abc 的 两个顶点 a 和 b 看做固定点，那么从 a 到 b 就 有两条路径，一条是沿着线段 ab 直接过去，二是从 a 到 c 再到 b， 那根据两点间线段最短。这我们知道， a， c 加 bc 大 于 ab， 同理， ab 加 ac 大 于 bc， ab 加 bc 大 于 ac， 所以呢，两边之合肯定是大于第三边了。 老实告诉你们吧，其实啊，三角形就是根据这个定律，快速组装了各种各样的三角菌。那三角菌是怎么知道这个定律的呀？难道三角形也有老师吗？ 传说级别的数学家欧吉里德在两千多年前的几何原本中就声明，三角形的任何两边之合必须大于第三边。 后来啊，这本书有翻译版，传送到了三角星，哎，三角星就此诞生喽！这本来是个伟大的发现啊！不过，当时的 e、 b 居住学派的学者对这个定律呢，特别不以为然， 他们认为三角形两边之和大于第三边，根本就是一个不用证明的道理。因为连头驴子都知道，如果他站在点 a， 而他的食物放在点 b， 从 a 直接走向 b， 哎，路程肯定比沿着两边走既从 a 到 c， 再从 c 到 b 要短。那你们看一下下边这题应该选什么吧， 三角军一边边长三十厘米，一边边长三十五厘米。那同学们帮三角军找一下合适的第三边吧， 正确答案是 a。 肯定有同学把任意两个数都加了一下，来验证是不是大于第三个数，那这会大大降低我们的做题速度。有个更简单的办法，我们只需要把短的两条线段加起来看看是不是大于长的那条就好了。 为了满足这个条件，那另外两边之合肯定也是大于第三边的。在三角形的三边关系中呢，还有一个特点，那就是除了两边之合要大于第三边之外呢，还要满足两边之差小于第三边 这个定律呢，可以简单通过代数推导来得到。因为三角形的两边之合大于第三边，所以呢， a c 加 bc 大 于 ab 一项，我们就可以得到 a c 大 于 ab 减 bc。 同样的，我们也可以得到 bc 大 于 ab 减 ac， ab 大 于 bc 减 ac， 这也就是两边之差小于第三边 和两边之和大于第三边一样。验证两边之差小于第三边呢，也有一个便捷的方法，那就是用两条角长的边去作叉，来验证是否小于最短的边， 满足了这个条件。哎，其他的两个就不用验证了。所以三角形的三边关系是两边之合大于第三边，两边之差小于第三边。好了，还是跟着做一下笔记吧。 现在三角形的三边关系都知道了，我们做个题练练手吧，我们来看看下面这个题应该选什么呢？ 正确答案是 a。 我 们知道第三条边的长度应该小于两边之合十加八，而大于两边之差十减八，所以算出来呢，就是 x 大 于二小于十八。 这里要再给你们强调一点啊，已知三角形的两条边长，第三边的长度是一个范围，这不代表第三边只能取整数。比如这道题，第三边长度可以取十七点九、十七点九九、十七点九九九都是对的，只要在这个范围里就一定可以组成三角形，记住了吧， 那总结下今天的内容吧，三角形的三边关系是，三角形两边之合大于第三边，三角形两边之差小于第三边。记住，结论很简单，大家还是要知道是怎么得出来的，这样做题时才不会忘。下节课再见了，拜拜。哼，这集很重要哦！

嗨，欢迎回来，我们继续上节课的主题，平面直角坐标系的新定义问题。这次呢，我们要刷的是一道高能题，只要你跟住讲解，认真思考，一定能掌握让你考试提分技巧准备好了就开始吧！ 哇哦，好长的一道题啊，请你来读一遍题，争取弄懂题中给的新定义。 只要你认真读完了题干，就会发现题干中给出了两个定义，一个是直角距离，另一个是等距线。 我们先说两点之间的直角距离，至于啥是等距线，我们先放一边，用到的时候再看。 直角距离是指两个点横坐标差的绝对值的和。什么意思呢？ 看看下面的例子就明白了。已知点， m、 n 的 坐标， m 和 n 之间的直角距离等于三减一的绝对值，也就是横坐标的差的绝对值 加上负五减负二的绝对值，也就是纵坐标的差的绝对值，算出来等于五。掌握了直角距离的计算方法后，我们就可以来看第一小问了。 第一小问里一共有四个，只要距离要算，请你用题中给的式子还有 a、 b、 c、 d 四个点坐标，自己先算一下前两个吧。 横坐标差的绝对值加上纵坐标差的绝对值。 d、 a、 c 等于 a、 c 两点横坐标的差一减一的绝对值加上纵坐标的差零减三，它的绝对值等于三。 d、 b、 c 等于 b、 c 两个点横坐标的差负一减一的绝对值加上纵坐标的差四减三的绝对值等于三。 算前两个我们用的是算直角距离的代数方法，而在算它的等式中，两个绝对值戳在这，这很容易让人想到绝对值还自带几何意义呀，就是表示距离吗？我们看图研究一下直角距离的几何意义是什么？ ac 两点在这，它们的直角距离是三。不难发现，从 a 出发，直接往上走到 c， 距离也是三。 再看 bc， 它们的直角距离也是三，从 b 先向下走一个单位长度，再向右走两个就到 c 了。或者先向右走两个，再向下走一个，也能走三个单位长度到达 c。 嗯，难道说只要从一个点出发，横平竖直的往另一个点走，别绕远，就能走出这两个点的照距离？ 其实啊，等式中横坐标的差的绝对值就是从一个点到另外一个点要走的横向距离。纵坐标的差的绝对值就是点要走的纵向距离。 那加在一块的结果呢？正是横平竖直走的最短距离，这就是直角距离的几何意义。 那第一小问的后两个直角距离，咱们就用它的几何意义来求呗。 a、 d 的 直角距离，从 a 横平竖直走到点 d， 无论是这么走还是这么走，都是三个单位长度，所以等于三 b、 d 呢？竖着走三个单位长度就行了。所以知道距离是三， 来看第二问这一文中又出现了一个新的概念，等距图形。还给了一个例子， g、 h、 i、 j 这个正方形是 a、 e 等距图形。让我们画剩下这四个等距图形， 那我们就先看看到底啥是等距图形呗。到点 a 的 直角距离为 n 的 点组成的图形为 a。 n 等距图形，图一中的正方形 g、 h、 i、 j 就是 a 一 等于图形 a 一 啥意思呢？ 把定义中的 n 换成一就能理解了。到点 a 的 直角距离为一的点组成的图形，也就是说，这个正方形上，每一个点横平竖直走到点 a， 距离都是一。 正方形四个顶点 g、 h、 i、 j 走到 a， 距离是一，这可不难理解，可有点难理解的是，正方形边上的点横平竖直走到点 a 的 距离，为什么也是一呢？你先来想一想， 我们在小正方形边 g j 上随便找一点来看，先让它向右走走到网格线，再向下走到点 a， 哎，不难发现，横向走过的这一段和网格线正方形的这条边形成一个等腰直角三角形， 那么两腰相等，所以点走过的这个拐弯长度就等于竖着的腰和下面这段之合，哎，正好拼出一个单位长度。这就说明，从 g j 上取的那一个点与 a 的 直角距离是等于一的， 那么正方形边上其他的点也一样，横向走的一段和竖向走的一段，总是能拼出一个单位长度。所以说，这个小正方形上，每一个点到 a 的 直角距离都是一，它们共同组成了 a 一 等距图形。 理解了 a 一， 那么 a 二等距图形我们也容易理解了，就是到点 a 直角距离为二的所有点形成的图形。要画 a 二，我们可以先找出距离 a 上下左右各两个单位长度的点，然后连出一个正方形。 终于到题目让我们画的 a 三了，还是先找出四个顶点，也就是距离点 a 上下左右三个单位长度的点，再把这四个点一连，哎，就做出了 a 三等距图形。 其实啊，我们不难猜到，等距图形它一定是一个正方形， a 二比 a 一 大一点， a n 的 n 越大，正方形就越大。 那么请你自己画一下 a 四还有 b 三、 b 四的等距图形吧。注意了， a 四中间的点是点 a， 而 b 三 b 四中间的点必须是点 b， 来对下答案吧。 咦，第二问的最后有一个括号肯定有用，我们来看一看。 里面说这样，我们发现，点 a 和点 b 的 等距线为图中的射线 d f。 线段 c d， 即射线 c e 组成的折线。 等距线这个词终于露脸了，暂且不说等距线是啥，我们先来解决一下。正常人读完这句话都会问的一个问题，就是第二问，明明让我们画的是等距图形，为什么最后要提等距线呢？ 那不难猜到吗？肯定是因为等距线跟等距图形有密切的联系。你看中间的线段 c、 d， 它是 a 三、 b 三这两个等距图形的重合部分吧。 再看两条射线 c、 e 和 d f 的 端点，哎，正好是线段 c、 d 的 两个端点。 仔细看射线 c、 e 会发现它经过的这个点是 a 四 b 四两个等距图形的一个焦点，而射线 d、 f 经过 a 四、 b 四的另一个焦点。 哎，这么一分析，我们就知道等距线是怎么画出来的了。先画出等距图形，再找重合的线段， 然后把线段的端点和一对等距图形的交点分别相连，连出两条射线，就画出了等距线。 哇哦，咱们都不知道等距线是啥呢，竟然就把它的画法找到了，多亏括号里那句话的提示啊。其实啊，我告诉你，那句话是出题老师大发慈悲，有意留给我们的解析线索，不信你往下看第三问就知道了。 让我们分别画出 a 五 a 六 e 五、 e 六四个等于图形，并画出 a 和 e 的 等距线。看见没，等距线的画法要派上用场了，请你先快速画出这四个等于图形吧！ 有了第二问的画图经验，画出这四个正方形不难吧？ no， 自己检查一下画的对不对。 有点难度的是怎么画 a、 e 两点的等距线。咱们刚才说了，画等距线，先找线段，再做射线。 来看看现在每段等于图形，它们的重合部分是啥？是焦点，没线段。那么能重合出现段的 a、 n、 e、 n 这里的 n 是 几呢？ 回想第二问， a 三 b 三重合出了线段，三怎么来的？这跟 ab 的 值角距离是有关系的。我们知道从 a 横平竖直的走到点 b， 距离是六，六的一半是三。 那我们回来看 a 和 e 这两个点的值角距离是多少啊？从 a 横平竖直走到 e， 距离是八， 所以 a、 e 的 角距离是八，八的一半是四。那么 a 四 e 四等距图形应该是有重合线段的，我们画一下，哎，果然有重合线段！ 找到线段之后，就是从两个端点做射线了。好吧，找刚才一对交点跟端点分别连一下就出来了，整个这条折线就是 a 和 e 的 等距线 耶！终于一点一点的啃完这道大题了，能全程跟下来的同学获得的刷题经验我告诉你，绝对能坐地连升十级，飞遍宇宙无敌！ 但是呢，我知道，可能有些求知欲旺盛，好奇心爆棚的同学，对，等距线啊，为啥 a、 b 的 等距线一定由那三条线组成啊？ 好，那接下来就一一来告诉你这些问题的答案前方高能你要听吗？ 我们先来看一下题干给的等距线定义，对于平面内的一个动点 p， 若 d a p 等于 d b p， 则称动点 p 的 轨迹为 ab 两点的等距线。 这个等式是关键啊，意思是点 p 与 a 的 直角距离等于 p 与 b 的 直角距离。 所以说到 a 到 b 直角距离相等的点组成了 ab 的 等距线，明白了什么是等距线。现在我们分析一下为什么 ab 的 等距线由线段 cd 和射线 c、 e、 d、 f 这三部分组成。 先看线段 c、 d、 c、 d 是 a 三、 b 三两个正方形的重合部分。 重合部分上面的点有什么特征呢？我们找一个点来看，它到 a 的 直角距离是三，到 b 的 直角距离也是三。其实 c、 d 上所有的点到 a、 b 两点的直角距离都相等，所以 c、 d 当然就在等距线上啦。 再来看为什么从 c、 d 两个点引出的射线 c、 e、 d、 f 也在 ab 的 等距线上？ a 四和 b 四这两个正方形有两个交点，一个在点 d 左边，另一个在点 c 右边。两个交点都是到 ab 的 角距离为四的点，所以这两个交点肯定在等距线上。 那么如果再画 a 五、 b 五等等其他成对的正方形，我们会发现每对正方形的交点哎，都是到 a、 b 直角距离相等的点， 而且呀，这些交点总会出现在射线 d、 f 和 c、 e 上，所以我们归纳出一个结论，就是射线 d、 f、 c、 e 也是 ab 等于线的一部分。 那如果想要严谨的证明呢，也不难，比如说来证设限 c、 e 上的点到 a、 b 直角距离总是相等的。首先呢，把 c、 e 上的点的坐标表示出来，由于这些点的纵坐标总是三横坐标大于等于一， 所以设设限 c、 e 上任意一点的坐标呢，为 x 三，其中 x 大 于等于一。然后利用算直角距离的等式，表示出 c、 e 上的这个点到 a 的 直角距离，以及这个点到 b 的 直角距离， 看看这两个距离是否相等。那具体过程就不讲了，你来看一下， 证明结果呢，就是相等，也就是说射线 c、 e 上的任意一点到 a、 b 两点的直角距离总是相等的。 那同样的道理，射线 d、 f 也是等距线的一部分，证明方法跟刚才类似，就不用讲了吧，明白了就得。所以说 ab 两点的等距线，它确实是由线段 c、 d、 射线 c、 e、 d、 f 这三部分组成的。 总的来说，这道大题呢，让我们见识了一道题竟然可以有三个新的定义出现， 其实不管有多少个新定义，他们之间呢一定有联系，我们要做的就是用例子和图把新的定义理解透彻，并快速正确的用起来， 再加上耐心一点点啃完整道题，拿全分并不难。好，那这节课咱们就讲到这了，拜拜。

全网最顶最详细，铁把手把手的告诉大家如何去做提前预习的这些资料都给大家准备好了。首先第一个就是关于洋葱这十大模块应该具体去做怎么样的操作和使用，大家收到这样表格以后，里面所有的这些内容都清清楚楚知道了，那么也知道了洋葱针对我们校内数学学习真的是非常非常的顶。 第二个把所有的像人教书教北师大这三大版本的按照模块学习的，从单元到模块到对应的视频以及搭配的我们相应的午餐同步练习去做这样的预习，那么我们这样的话就非常清楚了，所以你只要手上有洋葱搭配的午餐同步练习，以及每一个单元模块当中对应有多少个视频，就清清楚楚的 知道了。我这个寒假当中应该可以具体带着小朋友怎么去做落地，以及很多小朋友跟着田坝去做计算打卡的我们大基本功这套训练，那么搭配的洋葱这样的一个计算专题模块，非常清晰的从知识点用洋葱解决，用计算练习册大基本功去做这样的落地，这样我们小朋友在数学学习这条路径当中，田坝已经给他安排的明明白白了， 计算我们靠大基本功去打好基础，校内的提前也好，超前也好，或者说拿来做预习查漏补缺，那么我们按照洋葱知识点扎扎实实去过渡，这样小朋友不管是计算也好，不管是校园知识点，两者全部都能够落地了。