重庆八年级下册数学人教版函数压轴题

好，再来看一次函数与方程组和不等式的关系，那么这个知识点呢，理解起来是稍微有点难的，不过呢，你一旦理解之后，做很多题目，你可以直接看图，甚至都不需要计算啊。我们先来看这个一次函数和一元一次方程的联系， 那你要知道一次函数呢，它的一般式是 y 等于 k， x 加 b， 如果你知道了它的解析式，那么这个 k 值和 b 值咱们都是知道的啊。你比如说这里给了一个一次函数 y 等于二， x 减一，它对应的 k 值和 b 值分别就是二和负一，对吧？好， 那么他说这个一次函数 y 等于二， x 减一的图像与 x 轴的交点的横坐标是零点五，当自变量 x 的 值为零点五的时候，那么它的函数值是多少？ 你可以直接看图就可以看出这条直线和 x 轴的交点是零点五零，我这里写一下，它这个点的 就是零点五零。那你要知道依次函数上的任何一个点的横纵坐标，横坐标 对应的是 x， 纵坐标对应的是 y， 你 把这个横纵坐标对应 x 和 y 带回解析式当中，那么这个零呢？ 就在这里，零点五呢，就写在乘二的二乘的后面，就零等于二乘上零点五再减一，对吧，这个等式是仍然成立的，任何一个点带回解析式都可以让等式成立， 那么他这里说，当自变量 x 的 值为零点五的时候，函数值是多少，那就是零嘛，对不对啊？你把这个带进去算嘛， x 等于零点五， x 等于零点五的时候， 这个 y 就 等于二，乘上零点五减一，它就等于一减一等于零，它的函数值对应的就是零， 那么由此可以得出一元一次方程二，这个二 x 减一等于零的解吗？是可以的，那你看这个二 x 减一等于零的时候， 和这个前面部分，这个后面部分和这个前面部分是不是一样的，对吧？好，只不过一个是 y， 一个是零，而我们前面可以得到，当自变量 x 等于零点五的时候，它的 y 值就这个函数值，它就是零的。 那当这个 y 值等于零了之后，那和这个式子有什么区别吗？它没有什么区别，计算上是一样的，对不对？所以我们就可以得到啊，当这个 y 等于零的时候， 这个式子它就会变成了这个 y 等于二， x 减一，就会变成零。等于二， x 减一，你再反过来写，就变成了二 x 减一等于零和这个一元一次方程， 它的形式上是不是一样的？那么计算上也是一样的，你把这个一移过去，二 x 等于一，那么 x 就 等于一，除以二，它就等于零点五，发现了吗？哎，你看 这个一次函数，当你的 y 值知道了是几之后，你就可以直接把它当做一元一次方程来做，对不对？好，所以我们可以直接通过图上的点去观察 这个点的坐标，它的重坐标是零，那么也就说当 y 等于零的时候，它的横坐标就是多少啊，它的横坐标 x 就是 零点五，那么如果说他给出来了一个方程，他告诉你 这个二 x 减一，它就等于零，叫你求 x 等于几，你不需要算，你可以直接看与 x 轴的交点，那就是零点五，就这个意思，看到了吗？啊？你看这个横坐标， 依次函数 y 等于二， x 减一的图像，与 x 轴的交点的横坐标为零点五，它的重坐标是零，那因为这个点的坐标就是零点五，零嘛，对不对？ 这表明自变量 x 的 值为零点五的时候，函数值为 y， 由此我们可以得出，一元一次方程二 x 减一等于零的解，就是 x 等于零点五。 那么任何，因为任何一个以 x 为未知数的一元一次方程，都是可以变形成 a， x 加 b 等于零， a 不 等于零的形式。所以解一元一次方程的时候，从函数值去考虑的话，就相当于什么呢？就相当于某一个函数值 y 等于 a， x 加 b 的函数值为零的时候，求这个自变量 x 的 值，从函数图像的角度去思考的话，相当于已知直线 y 等于 x 加 b， 求它与 x 轴交点的横坐标。 啊，就是这个意思。那么这一段话呢？它解释起来的话啊，还是比较长的，那我这里给你转换成这个计算语言，就是说函数图像上的点可以作为这个 y 等于依次函数这种形式方程的动态解啊，我这里写一下啊， 依次函数图像上的点可以作为依次函数解析式，作为方程的动态解。什么意思呢？我把这个放大一点，你看这条图像上这条直线，这个图像上它肯定不止一个点吧，对不对？好，那么它除了这个 零点五零以外，他还有哪些点呢？他还有这个点，假如说这个点的坐标，我把它标出来，零负一，对不对？这里也有点，这个点的坐标呢，就是二分之一，那这个点对应的就是四分之一，也就零点二五， 负零点五，这个点对应呢啊，然后呢，往前走，如果他的横坐标对应的是一的话，那么这个点的坐标他是一一 啊，你可以自己算的，你把 x 等于一带进去，二乘一再减一等于一，所以它会经过这三个点，我就拿这三个点来举例，好吧，好，这里是我把它反过来写，把它变成二。 x 减一等于 y， 对 吧？当这个 y 等于 y 等于负一的时候啊，也就是当 y 等于负一的时候，那么这个二 x 减一等于负一的减，它的这个 x 就 等于零，它的减就是零啊。然后呢，当这个 y 等于负零点五的时候， 当 y 等于负零点五的时候，那么这个二 x 减一等于负零点五，那么它的横坐标 x 啊，也就它的减 x 就 等于二点五，你不需要算的，你只要确定点没错，你就可以直接出结果啊。然后再看， 当这个 y 等于一的时候，这个函数就会变成二。 x 减一等于一，那么这个 x 就 直接等于一，你不需要算了啊，当然你说这么简单，我自己口算就看得算出来了，但是如果这个式子这个解析式它特别复杂呢， 对不对？那么有有些题目条件，他会直接告诉你经过某个点，那么你就不需要算了呀，对吧？你就可以直接通过这种方法求出当前 y 等于特定值的时候， x 等于几。 所以依次函数解析式当中，你知道 y 值的时候，你就可以直接把它当做一元一次方程去算就可以了，知道吗？就这就是这个这个知识点的意思啊，这个就是一次函数和一元一次方程的关系。 好，再来研究一次函数与一元一次不等式的关系。先看这个思考，如图，这个图呢，就是上面这个图，我把上面这个图呢挪下来了，画在这里啊。 利用一次函数 y 等于二 x 减一的这个图像，你能得到函数值大于零时， x 的 取值范围吗？函数值小于零的时候， 他的 x 取值范围又是多少？那么由此你能分别得出一次函数不等式这个二 x 减一大于零和二 x 减一小于零的解吗？那么就不等式的计算而言，我们这两个都是可以直接算出来的，你我可以算给你看啊， 你把这个移过去，减一移过去，那就变成了二 x 大 于一，那么 x 就 大于一，除以二，一除以二就等于零点五，对不对？然后这里呢，就小于二， x 小 于一， x 就 小于零点五， 你是可以直接算出来的，那为什么它还要结合一次函数呢？因为我们可以直接通过一次函数的图像看出它的取值范围，不需要算，知道吗？你说，哎，我可以算啊，那万一它这里是 k x 加 b 呢？它如何大于零呢？ 你能算吗？你肯定算不了啊，对不对？这里是因为你知道这个 k 值和 b 值具体是多少你才能算，如果你不知道，你就算不了，那我们以后很多的情况他都是不知道的，那你只能看图像，知道吗？他就是逼着你去看图像，所以你必须要学会看图像，来看 我们如何去判。这个函数值大于零的时候， x 的 取值范围是什么？函数值大于零，这个函数值对应的是不是就是 y 的 值？你要知道函数值对应的就是 y 值， 而 y 值对应的是什么？ y 值它对应的又是重坐标一个点的重坐标的值， 而函数值要大于零，那么也就是说重坐标要大于零，而重坐标大于零的点在哪里呢？重坐标大于零的点全在 x 轴上方，我们就可以知道在 x 轴上方， 你来看一下这个图像当中，这个图像当中重坐标大于零的是不是就在 x 轴上方的这个图像上方？这个图像上的所有点的重坐标 是不是都大于零，对不对？这个点的重坐标，那对应正数，这个点的重坐标对应正数，这个点的重坐标对应正数，它在 x 轴上方这条直线上的所有的点， 它的重坐标都大于零，也就意味着什么呢？也就意味着它的这个 y 值是大于零的，也就意味着它的函数值大于零， 那所以我们就可以知道在 x 轴上方的点，它重坐标大于零，对吧？那么也就是函数 y 值大于零，也就意味着它函数值大于零。那么你看一下这个直线在 x 轴上方的时候，你看看到没有， 它这个上面的图像，所有的点的横坐标对应什么范围？那我放大一点 这个图像，它的横坐标它这里有很多个点，你看一下我这多画几个点，它的横坐标对应的是在这里对应在这里对应，在这里对应，在这里，它的横坐标的所有的值是不是都会大于这个焦点？也就是大于零点五， 和我们刚才算出来的这个大于零点五是不是一样的？看到了吗？那么也就是说不等式的计算，我们可以直接通过函数图像去看出来啊。所以你看他说当这个图像上的点的横坐标 重坐标大于零的时候，这个点是在 x 轴上方的，跟我这里讲的是一样的，并且它的横坐标大于零点五，在 x 轴上方这条直线上所有点的横坐标，它对应下去 都是在零点五的右边，那么也就是说大于零点五吧，也就是说函数值大于零的时候， x 的 取之范围是 x 大 于零点五，那么你就可以直接通过函数图像求出了不等式的解， 就这个意思，明白了吗？你再看当函数图像上点的纵坐标小于零的时候，那在哪里啊？ 重坐标小于零，那么在 x 轴上方的重坐标都是大于零的，在 x 轴下方这个图像上所有的点的重坐标都是对应负数的，也就对应小于零， 所以它是在这个点是在 x 轴下方的，那么它的横坐标小于零点五，为什么呢？你看这个上面所有的点，我们描出几个点来， 它这些点对应的横坐标是不是都在这个零点五的左边？在零点五左边是不是小于零点五？所以这个函数值小于零的时候， x 的 曲子范围就怎么样， 就是小于零点五的。由此我们可以得出，不等式的这个二 x 减一大于零的解集是 x 大 于零点五，二 x 减一小于零的解集是 x 小 于零点五，这个我们都是可以直接通过图像判断出来的， 知道吧？那么以后我们怎么去判断呢？你看一下我这里呢，换一个普通一点的图啊， 那实际上它可以，它不仅仅只是算 x 大 于零的，它还可以算 x 大 于一大于二大于三的，知道吧？你只需要知道它的什么，你只需要知道它对应的重横坐标是多少就可以了。比如说我这里它这个焦点， 假如说这个焦点对应的是 m， 这条直线是 y 等于 k x 加 b， 那 么我就可以通过这个图像得到 k x 加 b 啊。这个 k x 加 b 如果是大于零的话，那么它就在 x 轴的上方取点，而这些点的横坐标都是在 m 的 右边的，所以我们就可以得到这个 x 是 大于 m 的。 然后呢，如果你要让这个 k x 加 b 小 于零的话，你要让这个 k x 加 b 小 于零的话， 那么这个小于零，也就是 y 小 于零，明白吗？你看这个 k x 加 b 是 等于 y 的， 那么 k x 加 b 大 于零就是 y 大 于零， y 大 于零就是重坐标大于零，这个点的重坐标大于零，那就在 x 的 上方， 这是一连串起来的啊，要连串起来。然后呢，这个 k x 加 b 小 于零， k x 加 b 是 等于 y 的， 所以意味着就是 y 小 于零， y 小 于零就是它的重坐标小于零，而点的重坐标小于零，必须在 x 轴的下方，而下方这些图像上的所有点的 横坐标对应下来都是比 m 小 的，它对应的就是 x 小 于 m， 这就它的解 明白了吗？我们很多时候他算题目的时候，他不会很准确的告诉你这个 k b 值是多少呢？他甚至会隐藏起来，知道吧？所以你一定要会看图。那当然了，你刚我刚刚说它不仅仅只限于大于零和小于零，那如果说具是具体的一个数字呢？我这里再举个例子， 我这里再举一个例子，我画一个反方向的，好吧？我画一个反方向的，比如说这个图像长这样啊？我这里不告诉你与 x 轴的交点，我告诉你的是它这里有一个点， 它这里有个点，它的这个这个点的坐标明确告诉你，就是多少呢？就是 负二五，好吧？这个点的坐标就是负二五，这条直线还是 y 等于 k x 加 b， 那 这个时候它不比较，它不跟零做比较，它不跟零做比较，因为我这里根本就没有画出 y 值来，对不对？好，我这里也没有画出 y 的 这个 y 轴来 好。跟零做比较的话，其实就是看是在 x 轴上方还是在 x 轴下方，因为在 x 轴上的点，它的纵坐标都是零。那么现在我要比较的是这个 k x 加 b 大 于五和 k x 加 b 小 于五的时候，它的解是多少？ 那 kb 值都没告诉你了，对不对？好，那么这个时候它大于五，这个点，它的重坐标就是五，那要比五还要大，它的重坐标比五还要大，那在哪里？就是在这个点的上方， 那什么上方？你这里做一条水平线，在这条水平线的上方，那是不是这一段，而这一段上面所有点的什么 横坐标对应下来，那他这个这个点对应下来的坐标就是负二，而上面这一段所有点的横坐标对应下来都是比负二小的，所以我们这里可以推出这个 x 小 于负二， 当这个 k x 加 b 大 于五的时候，这个 x 小 于负二，因为在图像上看到的是在这个点的上方，这里所有的图像的横坐标对应下来都比这个负二要小， 明白了吗？那这个 k x 加 b 要小于五的话，那小于五，这个是五，对不对？比五还要小，就在这个水平线的下面，而下面的图像上所有的点， 它的横坐标对应的怎么样都比这个负二还要大，所以它对应的就是 x 大 于负二。 好了，那么这个呢，就是给大家拓展出来的内容，不要只盯着和 x 轴的比较啊，就是和零的比较，因为它不仅仅只考零，它还可能考其他的数字，你要灵活变通，你再来看下下它下面这段话，他说 对于可以化成 ax 加 b 大 于零或 ax 加 b 小 于零的一元一次不等式，在求它的解集的时候，从函数只考虑，当 相当于在某个一次函数 y 等于 a， x 加 b 的 值大于零或小于零的时候，求自变量 x 的 取的范围，从函数的图像考虑，那么相当于已知直线 y 等于 a， x 加 b 啊，相当于就是这条直线。确定这条直线上的点的横坐标大于零或小于零的时候， 他的重坐标大于零或小于零的时候，他的横坐标的取值范围他的重坐标大于零，那就在 x 轴的上方，在这个 x 轴的上方，小于零的时候就在 x 轴的下方，对吧？重坐标大于零嘛，那就说明在对应的是 y 轴的正半轴， 对吧？小于零的时候，对应的就是 y 轴的负半轴，就这个意思，那么再看他的横坐标的取值范围就 ok 了，那这个就是呢，依次函数和一元一次不等式的关系， 最后再来研究一次函数与二元一次方程和二元一次方程组的关系。先看二元一次方程， 这里给我们举了一个具体的例子，还是刚才那个 y 等于二， x 减一这个函数，它说方程二 x 减 y 等于一，是可以转换为 y 等于二， x 减一的， 怎么转换呢？就是移项嘛，把这个减 y 移过来，一移到右左边去，它就变成了二 x 减一等于 y， 然后左右交换位置，就可以写成函数形式啊。这里呢，他也说了，这种形式是可以对应依次函数 y 等于二， x 减一的，对不对？ 这个方程和这个方程它是有相同的解的，所以这就是为什么二元一次方程可以转换成一次函数的形式，而一次函数的计算也可以看作是二元一次方程的计算，明白吗？好，那么由于一次函数 y 等于二， x 减一，它的图像 是一条直线，这条直线上的每一个点的坐标 x， y 都是这个方程的解啊。以这个方程的解的 x， y 的 值作为一个坐标的点的话，那么这个点都一定会在这条直线上，都会在这个 依次函数的图像上。那你拿这个来看，刚才那个是二 x 减 y 是 等于一的，对不对？好，我们把它转换成 y 等于二， x 减一，那么你从图像上至少可以看出有两个点， 这个点它坐标是零点五零，这个点坐标是零负一，那么这个东西它就可以看出有两个减，一个减是 x 等于零点五， y 等于零。然后另外一个解就是 x 等于零， y 等于负一，看到没有这个点，这个直线上任意一个点的横中坐标都可以当做这个方程的解，因为这个是二元一次方程，所以它是有无数个解的， 那么也就对应了这条直线上有无数个点都可以作为他的解，就这个意思，所以以后你再看到这种二元一次方程，你就可以把它转换成一次函数，对吧？或者通过一次函数的图像去求二元一次方程的解，对不对？好， 继续来看，由于每个函数 x 和 y 的 二元一次方程都可以转换成依次函数的形式，所以每一个这样的方程都对应一个依次函数，于是也对应一条直线。而这条直线上的每一个点的坐标 x、 y， 它的值都可以作为这个方程的解，以这个方程的解， x、 y 的 值为坐标的点也都在这条直线上，所以它们是相互的， 知道吧？好，这里再来思考，他对于二元一次方程组的话，你能从函数的角度去解这个 方程组进行解释吗？啊？对这个解这个方程组进行解释吗？你看这里给了两个二元一次方程，他把它放在一起就是二元一次方程组，对不对？而前面这个我们是可以直接通过书的这个图看出结果的， 而这个呢？啊，他这里也画了，看到没有？他这里直接给我们画出来了，他把下面这个方程也转换成了一次函数的形式，我们转一下，好吧。啊，你先把这个三 x 移到右边去，变成五 y 等于负三 x 加八， 一开始呢是八减三 x， 对 吧？两边同时除以五 y 等于五分之八，减去五分之三 x， 再交换位置等于负的五分之三 x 加上五分之八，你看就转换成了一次函数的形式吧。 这个图呢啊，我们自己做题的话，肯定要自己画，但是书上已经给我们画好了，我们就不用画了，对不对？他把这两个函数的图像画在一起了，看到没有？这两个函数图像它有焦点，这个焦点就是这个 p 点， p 点的横中坐标都是一，那什么意思啊？ 你看这个方程的解，在这条直线上，这条直线上的任意一个点都是这个方程的解，而这个方程的解 在这条直线上，这个直线上的任意一点都可以作为这个方程的解。那么那哪个点可以同时满足这两个方程呢？哎，那就找他们的焦点，对不对？这个焦点就是他们的公共点。什么叫公共点？ 既在 y 等于二， x 减一这个函数图像上，也在 y 等于五分之三， x 加五分之八这个函数图像上，它满足它同时在这两条直线上，对不对？那就可以满足这个方程， 这个焦点既是这个方程的解，又是这个方程的解。好了，那么这个 p 点的很重要，就是这两个方程共同的解，那既然是它的共同解，那就这个方程组的解，就这个意思。所以你要解二元一次方程组， 那么你就把这两个画成图像，找他们的焦点就可以了，知道吗？所以呢， 这两条直线的焦点坐标为一，一，由此可以得到，这个方程组的解就是 x 等于 y 等于一，这个就是一次函数和二元一次方程组的关系。 这里书上也做了总结，它是一般的由含有未知数 x 和 y 的 两个二元一次方程组组成的，每个二元一次方程组都对应两个一次函数呐， 方程组里面有两个方程，这两个方程对应两个一次函数，把它图像画出来对不对？好， 于是也对应两条直线，从数的角度来看，解这个样的一个方程组相当于求自变量，也就是 x 为和值的时候对应的两个函数值，函数的值啊，这个自变量对应的就是 x 这个函数的值，两个函数的值就是 y， 就是 说什么时候 x 相等，而 y 也相等，那不就是它们的解吗？对不对？ 以及这个函数值是和值，从形的角度来看，就是从图形的角度来看，解这样的一个方程组，相当于确定两条直线焦点的坐标是多少，哎，就可以了。 再来看书上的立体，同时释放两个探测气球，一号气球从距离地面五米的高处出发，以每秒一米的速度上升。二号气球从距离地面十五米的高处出发， 以每秒零点五米的速度上升。两个气球都上升了一分钟。第一问，叫我们求出 这个两个气球所在位置高度 y， 关于上升时间 x 的 函数解析式，那这个还是比较好写的，对不对啊？那么这里的话呢，先看第一号气球， 它距离地面一开始是五米，然后一米每秒的速度上升，那么一开始就是五米，一米每秒，那就是一乘 x， 因为它的时间是 x， 单位是秒，对不对？所以是一 x 就是 x， 所以 它就可以写成 y， 一 等于 x 加五， 而这个 x 的 曲值范围呢，是小于等于六，是大于等于零的，因为它只说了上升一分钟，对吧？好。第二个 y 二， 他是从距离地面十五米的高处出发的，所以一开始就有十五米的高度，然后每秒上升零点五米，那就零点五 x， 所以 这个 y 二就等于零点五 x 加上十五，然后他的曲子范围 也是零到六十秒之间，对吧？第一位就搞定了。那第二个，他说两个气球在某一个时刻 是能否位于同一个高度？如果能，这两个气球上升了多长时间，位于什么样的高度？那这个东西呢？你就可以把它列成一个方程组了，因为因为你看对应的 y 等于 x 加五和 y 等于零点五， x 加十五，对不对？好， 那什么意思呢？他既然说了位于同一个高度，那么对应的就是什么意思啊？对应就是 y 相等，他的高度就是 y 嘛，对不对？他说了高度用字母 y 表示，那同一高度，那不就是 y 相等吗？那 y 相等的时候 对不对？他说这个时上在同一时间，注意某一个时刻，在某一时刻，也就是说 x 相等时间，他不会。因为什么这个两个物体不同的情况下，他就不一样嘛，对不对？因为他这里说的是 同时释放，所以他的时间经过是一样的啊，所以 x 相等， 他既然是同时释放，那就不可能说，哎，他飞了五秒，而他只飞了三秒，不可能吧？时间都是一样的，对不对？你不可能，你的时间比别人过得快， 对吧？大家过的时间都是一样的啊，你过了一天，他也过了一天，就这个意思。所以在某一个时刻能否位于同一高度？但位于同一高度就是 y 相等，在某个时刻就是 x 相等，那那么过的时间是一样的，它同时啊， 是不是所以 x 相等， y 相等嘛？那不就是把这两个一次函数列在一起，当做 二元一次方程组去算吗？对不对？好，那么怎么去算呢？你看 y 相等，那既然这两个式子的 y 是 相等的，你就可以直接把这个 y 替换掉，把下面这个 y 替换成 x 加五，对吧？好， 你就直接把将 y 等于 x 加五带入到二十当中，这一十，这是二十，那就是 x 加五等于零点五， x 加上十五，一项， x 减零点五， x 等于十五减五， 那么零点五 x 就 等于十， x 就 等于零十除以零点五十除以零点五， x 就 等于二十，那么 y 是 等于二十加上五的，所以 y 就 等于二十五，这里算出来就是 x 等于二十， y 等于二十五，也就是说当时间 过了几秒啊，二十秒的时候 啊，两个气球位于同一高度，两个气球位于同一高度， 并且高度为 二十五米， 这就是第二本啊，当然了，书上呢，它也有完整的答案啊，并且呢，书上还把图画出来了，大家可以看一下它这个图可能会更好理解一点，我这里就是把它计算过程写得详细了一点，大家可以看一下， 好，你看对吧？在某一个时刻，两个气球在某时刻位于同一高度，就对应 x 的 某一个值， 这两个函数有相同的 y 值，那就可以列一个方程组了，他把图像画出来，一个从五米开始 放，一个是十五米开始放，对吧？他们的焦点呢，就这个 p 点，这个 p 点的横中坐标呢，就是二十和二十五，对应的就是 x 和 y， 值对应的就是二十和二十五，明白了吗？啊，所以你想要求这两个啊， 依次函数具有相同解的时候，其实就是求这两，就是看这两个依次函数的图像焦点在哪里就 ok 了。 好，再看。练习第一个画出依次函数 y 等于负二 x 加八的图像，利用这个图像去解方程和不等式 啊，我们先把它的图像画出来，我们一般画的呢，都是与 x 轴和 y 轴的交点，我们先画与 x 轴，那么如果你要求与 x 轴的交点，那么你就让 y 等于零， 因为与 x 轴上的与 x 轴的交点，它的重坐标都是零，当 y 等于零的时候，那么零就等于负二 x 加上八，那么二 x 就 等于八， x 就 等于四，所以它会过四零这个点。然后你要求与 y 轴的交点， 那你就让 x 等于零，因为在 y 轴上的点横坐标都等于零，那么你就当 x 等于零的时候， 那么 y 就 等于负二乘零再加八，那么 y 就 等于八，所以它就会 y 就 等于八，所以它就会过零八。这个点的话，画图一个是四零，一个是零八，这是 x 轴， 这个是 y 轴，那我这里就不画的那么细了，我们就画个大概。好吧，假如是这个就是四，这个就是八。好，我把这两个点一连， 这个点的坐标呢是零八，这个点的坐标是四零。 好，你要通过图像去看它的解，负二 x 加上八等于零，对不对？那对应的是不是就是它的 y 等于零呢？负二 x 加八等于零，那对应的 对应负二 x 加八啊，不对，是 y 等于负二 x 加八中 y 等于零的时候， 你把 y 换成了零，那不就是这个四字了吗？对不对？好，那么它对应的就是 x 是 等于四的，因为当 y 等于零的时候，它的横坐标是四，所以 x 等于四，这是由图可知啊。 由图可知好，然后呢？求这个。那么负二 x 加八大于零，那也就是对应的就是函数图像的重坐标大于零，对应的就是 y 大 于对应 y 等于负二， x 加八当中， y 大 于零的时候， 这个图像上的点的重坐标大于零，那不就在 x 轴的上方吗？在 x 轴上方，它这个上方的图像上的点横坐标对应的是不是都比四小啊？所以我们这里对应的就是 x 小 于四 啊， x 小 于四，然后再看负二 x 加八小于零的时候， 它对应的呢，就是 y 等于负二， x 加八当中的 y 小 于零的时候， y 小 于零，就是这个图像上点的重坐标小于零。重坐标小于零，说明在 x 轴的下方，因为下方的 图像上点对应的就是 y 轴上的负数，对吧？就是小于零的时候，那么对应横坐标呢？对应横坐标的话，就在这个四的右边，看到没有，所以 x 就 大于四就可以了。当然了，你说老师 我这个都能直接算出来，我为什么搞得这么麻烦啊？因为后面的题目它可能不会告诉你它的 k 值和 b 值是多少，知道吧？ 第二题，依次函数 y 等于二， x 减三与 y 等于 a， x 加二的图像，它的焦点坐标为二一，请确定方程组它的解和 x 的 值， 那么这两个函数它的焦点坐标是二一的话，那么你把这两个函数的解析式连立成一个方程组啊，那么这个二和一对应的就是 x 和 y 的 解，知道吧？我们用文字表示一下， 因为 y 等于二， x 减三与 y 等于 a， x 加二的焦点 为二一啊，焦点为二一，说明这个点既在前面这个函数解析式上，又在后面这个函数解析式上，对不对？函数图像上啊，所以把它们两个列成方程组，这个就是它的结。所以 y 等于二， x 减三和 y 等于 a， x 加二，它们的解就是， x 等于一， x 等于二， y 等于一。用文字描述一下，所以方程组 这个方程组的解 为， y 等于二， x 等于二， y 等于一，就这个意思。那么既然这个解是 x 等于二， y 等于一，那么也就是说，把这个解带进去算，就可以算出 a 值，对不对？满足这两个式子，所以将 x 等于二， y 等于一， 带入二十当中， 那么 y 换成一就是一， x 换成二就是二， a 加上二，一减二等于二， a 负一等于二， a 二， a 等于负一， a 就 等于负一，除以二等于负二分之一，所以 a 就 等于负二分之一，这个也算出来了。 好，再看第三题。刘伟一家计划星期日租用新能源汽车自驾出游， 在假公司租车，那需要收取固定租金八十元，在此基础之上，再按每小时十四元去计费。如果你在乙公司租车的话，就不需要这个固定租金，只需要直接按每小时三十元收费就可以了。 那么当他将租车为多长时间的时候，租用假乙的这个算法，函数解析式表示出来。好吧， 好，首先是假公司，那假公司呢？他上来就要八十块钱，对不对？然后慢按每小时十四元去收费，那么加十四 x， 好， 这里我们写一下，设设一下啊，不能无中生有，设租用时间 为 x 小 时，租用费用， 租用总费用嘛，啊， 为 y 元，这样去表示就可以了。好，那么这个假的这个解析式就可以写成十四 x 加上八十，对吧？那么乙呢？ 它就是按什么？它就是按三十块钱一个小时算的，那么你经过了 x 小 时，那就是三十 x， 对 不对？就三十 x， 那 你 在什么时候，经过多长时间，他们的费用相同，那也就是说甲和乙相等吧，对不对？那你把它列成一个方程组求解就可以了。 y 等于十四 x 加八十，另外一个就是 y 等于三十 x， 对 不对？好，我把它算一下，因为这个 y 值是相等的，费用相同， 那么左边的 y 相等，那右边是不是也相等呢？当然你直接把这个 y 等于十四 x 加八十带入下面这个式子也是一个意思，对不对？好， 那么 y 相等的话，那么这个右边就相等，十四 x 加上八十等于三十 x 到一项十四 x 减三十， x 等于负八十，那么就等于负十六， x 等于负八十 x 就 等于负八十，除以负十六， 然后算出来 x 就 等于五，对吧？所以经过五小时之后啊，如果他租用的时间为五小时，那么你选择假公司和乙公司都是一样的，对吧？所以我们就答 这里也没有叫我们求出这个 y 值啊，你想要求出这个 y 的 费用也很简单，你拿三十乘上五就可以了， y 就 等于一百五十六，对不对？你如果要用这个式子去算的话，那就是 y 等于十四乘上五加八十，十四乘五等于七十，七十加八十也是等于一百五的，当然了，这里不需要我们求 y 值，知道吧？答，租车时间 为五小时的时候， 五小时租用甲乙两个公司 汽车费用相同。

e 三数中考重点题咱们也来看，给出了 e 三数， y 等于 ax 减 a 加一，这里边有 a， 这里边有 a， 那 咱这咱们都知道，给你点了以后，在这个图像上，所以说赶紧想到两个字，咱们是不是涉及到反代啊，对不对？那解题过程咱们也来看一下的解。第一个 把咱们说的这个负的二分之一都是三，带入到这个 y 等于 ax 减去 a 倍的加一中，得到 咱们的负的二分之一， a 减去 a 再加一的话，是不等于三呢，对吧？所以说咱们通过这个解得的话， a 的 话等于负的三分之四。第一问完事，那对于第二问，给出了一个当 x 大 于等于一，小于等于二 来第二问，咱们来看一下，这是两问啊，所以说不能用第一问的啊，因为现在 a 不 等于零，所以说咱们是不是应该分类讨论呢？第一种情况， a 大 于零时，那一定要写成一句话， y 随 x 的 增大而增大， 那此时的话，当 x 等于二十， y 有 什么值啊？ y 有 最大值啊，对吧？最大值，因为为啥会有这种情况？那咱们画一个解析式呗，对不对？ a 大 零是在他的话，那随着增大增大，那最大值肯定是二呗，因为二是不在最最右右边的，对不对？那他图像大概咱们画的过程中，他可能是啊，他可能是这个 a 大 于零，可能是这种情况，那现在一个是负一在这，一个是二在这，那你发现哪个大呀？肯定是咱们说的这个二要大呀，对不对？越往右去越大嘛，对吧？所以说此时的话，那就是当二的最大值，则 二等于一个二， a 减 a 加一的 a 的 话等于一个一的值，这是第一种情况。第二种情况， a 小 于零时，正好的相反呢？ y 所以 增大而 减小，一定要记住，不是减小而减小啊，那就是此时当 a 等于多少啊？负一时， y 有 最什么值啊？ y 有 最大值， y 有 最大值多少啊？你往里边带呗，对吧？那此时的话，同样也是咱们说的这个 二等于一个二，这个该多少啊？等于一的吗？对不对？所以说这样应该等于一个负的 二分之一。那综上咱们 a 有 几种情况来表示了两个种情况啊，对吧？ a 等于一个负的二分之一，或者是咱们说的 a 等于一个一。

同学们，这节课咱们共同学习一道期中考试的压轴题， 同学们请看题。将两块完全相同的并且含有六十度角的直角三角尺 a、 b、 c 和 a f e 按照如图一进行放置 线，将 r、 t 三角形 a、 e、 f 绕着 a 点，按照逆时针方向旋转二法，二法是大于零二，小于九十度的，如图二， mp 和 n 分 别是三个焦点。第一小题在旋转过程当中连接 ap 和 ec， 求证 ap 所在的直线是线段 c e 的 垂直平分线。 咱们把图放大，要想证明 a p 所在的直线是 c e 的 垂直平分线， 那我可以这样想，如果 a 点在 c e 的 垂直平分线上， p 点也在 c e 的 平分线上，那么 ap 所在的直线就是 c e 的 垂直平分线。大家都很清楚的能看到 a 点确实在 c e 的 垂直平分线上，因为 a e 等于 ac， 那 p 点是否在 c e 的 垂直平分线上呢？ 那就看 p e 是 否等于 pc。 那 么要证明 p e 等于 pc 怎么办？ 看 p e 和 p c 分 别是三角形 p f e 和 p n c 的 一条边，如果这两个三角形全等，那么 p e 就 等于 pc 了。 所以证明这两个三角形全等又是解答这道题的关键。大家看到了这两个角是对顶角，而这两个角 是相等的，都是三十度，那么如果再有一条边就可以了。大家看 m e 和 n c 这两条边相等吗？ 都知道 a e 等于 a c， 那 么如果 am 也等于 n n 的 话，那这两条线段就相等了。 那 a m 和 a n 又在哪个两个三角形当中呢？又在 a b m 和 a f n 当中，如果这两个三角形全等，那么这两条边就相等了。这两个三角形全等可是好正啊，大家看，这个角等于阿尔法，这个角是不是也等于阿尔法呢 啊？因为阿尔法和这个角互余啊，这个角呢，和这个角也互余，所以这两个角相等，它也等于阿尔法。又知道角 b 等于角 f， 哎，又知道 ab 等于 af， 那 么这两个三角形全等。 那么通过分析咱就知道了，这两个三角形全等，这两条边相等。因为这两条边相等，所以这两条边相等。因为这两条边相等，这两个角相等，这两个角也相等，所以这两个三角形全等。所以 pe 就 等于 pc， 所以 p 点也在 c e 的 垂直平分线上，所以 a p 的 连线所在的直线就是 c e 的 垂直平分线。大家看一下证明过程 这三步是证明角 f、 a、 n 等于阿尔法的， 这是证明三角形 abm 与三角形 a、 f、 n 全等的。通过全等，然后知道这条线段相等， 那这是证明三角形 m e p 和三角形 n c p 全等的。 得出 p e 等于 p c， 所以 点 p 在 c e 的 垂直平分线上，又因为 a e 等于 a c， 点 a 在 c e 的 垂直平分线上，所以 ap 所在的直线是线段 c e 的 垂直平分线。 下面请看第二小题，在旋转过程中，三角形 c、 p、 n 能否成为直角三角形？若能，请写出旋转角二法的度数，若不能，请说明理由。大家看一下。呃，三角形 c、 p、 n 在 哪了？ c p、 n 在 这个位置在这儿，那么这个三角形能不能成为直角三角形，大家看肯定是可以的，因为这个角只有这个角是一个固定角度三十度，而这个角和这个角是都是可以变化的，那么这个角如果成为九十度的话，那 也就是个这个三角形成为直角三角形，或者转旋转成为这个角成为九十度的话，也可以组成直角三角形。 下面咱们把图放大，请看。第一种情况，这个角 p、 n、 c， 如果这个角是九十度的话，那这是三十度，这个角就是 六十度，这是九十度，这是一个对顶角，这个角也是九十度，而这个角是六十度，那么这个角就是多少呢？是三十度，所以这个阿尔法也是三十度。 那第二种情况，旋转成这个位置，这个角成为九十度的角， 那这个角因为它是三十度的角，是不变的，那这个角就是多少呢？是六十度，那这个角是对顶角，这个角也是六十度，而这个角呢，是一个固定的，就是六十度，所以这个角就是六十度，这是一个等边三角形，六十度，那么阿尔法也就是六十度了。 好，下面同同学们请看一下解题过程。这是角 c、 n、 p 等于九十度的时候，这是九十度，那么这也是九十度。所以又因为这是六十度，所以这是三十度。这是第一种情况。第二种情况请看如图二， c、 p、 n 等于九十度的时候，角 c 等于三十度，那么角 c、 n、 p 等于六十度啊，因为它俩是对顶角，所以这个是六十度。又因为角 f 等于六十度，所以角阿尔法就等于六十度。 等边三角形，所以阿尔法就等于三十度或者是六十度。同学们，这节课咱们就讲到这里，同学们再见。

hello， 同学们，我们一起来看看四体。如图，已知直线 l、 e、 y 等于负二， x 加三， 分别与 x、 y 轴相交于两点，而 b 点就应该是零斗三， a 点就应该是二分之三斗，零 过 a 点。那条直线 l 二呢，又和 y 的 负半轴相交于 c 点，所以产生了这三个交点，所以是不才已知了一个三角形 a、 b、 c 的 面积为八分之四十五。此时疑问让我们去求 l 二的一个表达式， l 二呢，是经过了一个已知的点 a 点，但是 c 点是未知的，所以我们在这里 就要去想这个 c 点怎么去求，你看他给我们的是不是一个这个三角形的面积，这个三角形但凡是面积，你都要去想一个这个三角形的面积如何求，是规则还是不规则？规则好求，不规则 我们就把它想办法变成规则的，然后变成好球的就可以了。当然比较幸运的是，刚好 这个三角形的面积是很好求的，因为这个三角形非常规则。我的 o、 a 是 不可以叫做高，高为二分之三， bc 是 不叫做底，底和高都有了，那列出算式找题是不结束了， 所以根据题干的一个条件，二分之一底是 bc， 乘高是二分之三，乘积等于八分之四十五，这就是我们三角形 a、 b、 c 的 面积，得 c 就 为二分之十五，二分之十五是从大减小得到的，所以三减谁得二分之十五呢？反过来三减二分之十五就可以了。所以 c 点坐标就应该是零负的二分之九。 好了， c 点坐标已知，在结合 a 点坐标是二分之三逗零的基础上，已知两点。求函数解析式，用待定系数法设直线 y 等于 k， x 加 b， 分 别把两点带进去，就可以求得我们的 l 二了， 这里刚好为 y 等于三， x 减二分之九。一问搞定。来看二问， 将三角形 a、 o、 b 沿着 a、 c 这个线段方向平移，得到了我们的 c 大 于 我们。读到这的时候，你就要去想一个问题，这个图形经过了平移，会不会改变它的原图和大小和形状啊？啥啥啥的都不会，那平移是一个不会改变 图形形状大小的，也就意味着他们是全等的，那么他的对应点所走的轨迹就是相同的，那么括号里面容易被我们忽略的部分就相当重要了。 o 对 应大 b 对 应 e， 还差什么点？大 e 都有对应了，是不还差 c 点和这个 a 点，说明 a 就 对应的是 c， a 对 应 c， 你 看 a 往 c 这里是不是就这样走的？但是它斜着的，不知道往哪个角度，所以我们就把它往左再往下去移左三二分之三，下二分之九，就得到了 c 点这个点，那么这个三角形是不是也是一样的？所以我们来简化一个 平移之后的三角形，这个就是我们的一点，这个是 c 大 ok 一 点的坐标是不也能确定下来， b 也往同样的方向去做，所以二稳，我们就根据 a 往 c 的 轨迹去确定， b 往 e 的 轨迹去锁好一点的坐标，往左移动二分之三个单位长度就负的二分之三，往下移动二分之九个单位长度就是三减二分之九， 负的二分之三。好了，一点的坐标就确定了。当然这里一点虽然知道，但跟我后面是没有联系的，我们仔细来看，它说连接了 b、 e 好 了，连接好了，然后过点的一条直线过大点，直线是 l 三， 恰好呢帮我们这个四边形就是 a、 b、 e、 c， 这个四边形的面积分成了相等的两块，直接去求出 l 三的表达式。而在这个问题里面，你需要注意是什么样的一个四边形，你可以随便把它划分成面积相等的呢？ 首先优通过平移，你可以锁定他是过大点的，所以我们还是先把大点的坐标给他求出来。 o 到大的话也是一样的运动轨迹，左二分之三，下二分之九，所以大点的坐标就是负的二分之三，都负的二分之九。然后过大点呢？有一个直线是 l 三，要把这个面积平分了， 你就要想到这里就产生了一个特殊的图形，叫做平行四边形，也就是 a、 b、 e、 c， 就是 我们的平行四边形，那只有过平行四边形的对角线的中点才可以解决这个问题，所以我们去得到 bc 的 中点，换个字母 f 点吧，顺着来，那我们算出来的话，就是负的三分之四， 负的四分之三，横坐标是等于零的。好了， f 点有了，大点也有了，我们可以换个橙色的笔，只要经过我的 f 点，是不是就一定会把这个 图形的面积分成两个相等的部分？这个我们通过全等啊导导导都可以导出来哈，大家可以再单独把这个图抠出来去试一试，那也就意味着已知大点的坐标，已知 f 点，中点的坐标也依然用代替计数法是不可以求出 a、 o 三。这条记叙式 是不是就非常简单了？所以我们就快速求出来， g， y 等于二分之五， x 减四分之三，就是二问 升级三稳。如果直线 l 三啊，它是 y 等于 k， x 加 k， 与 y 的 正半轴相交于 m 点，然后与 l 二相交于 n 点，要使得 m， n a 等于四十五度，求 k 的 值。 观察一个问题， y 等于 k， x 加 k， 它是含有 k 的， 但它前后都有 k， 那 我就可以把它变一个形式，变成我更加喜欢的 y 等于 k 倍的 x 加一。我就发现了，哦，原来这条直线始终要过一个定点，而这个定点就是负一逗零， 而负一逗零呢？我们就可以在图上去标记出来，这个就是我的定点负一逗零。 这个直线哈，要与 y 的 正半轴相交，你就只能往上飘，不能往下飘，它就会和我们的 l 二交与 n 点形成夹角为四十五度，所以我们可以飘一飘， 这差不多，所以 n 在 这， m 是 在这的 斜角，四十五度就确定了。那在以前我们说过，遇到四十五度，你不能单独存在，它比较特殊，它肯定要依存于等腰直角三角形而去做那等腰直角三角形的话，哇，突然发现我这个图画的好丑啊，有点看不下去，要不我们改一改吧， 我们把这条直线给它转一转， ok， 这样就好看多了。 好吧，接着来看看吧，当我们改了一改之后， ok， 这个是 n 点，这个是 m 点，这个夹角是四十五度， 这样就长得好看一点了吗？好了，这个假角等于四十五度哈，我画不出其他的情况了，因为他说了跟 y 的 正半轴相对于这个位置，那我的焦点只能依次往上去找到了，所以就锁定这个位置。接下来呢，也是一个非常重要的四十五度，没有办法独立存在，所以我们说要把它放到等腰直角三角形中，那么我们就最好， 你想这个 n 点肯定就占了四十五度吧，所以你只能以 m 这个点。但 m 这个点呢？不太靠谱， 原因在于我要去求 k 嘛。你的这个定点都出现在了，我肯定以定点以直的一个点为直角顶点会更好做一点，所以我的建议是，大家最好往这个方向去做。然后我们继续做了一个垂直垂直这条线延长跟 l 二相交于 k 吧。好了，过这个等腰直角的直角顶点去做两个垂直， 另左边为 q， 底下为 p。 好 了，这里就可以得到两个三角形是全等的了。但是此时我还是没有办法去求到 k 的， 原因在于，其实我的 n 都不知道，所以我更不说 k 了。那我就只知道这一点点为一， 而且也没啥用，所以我们就来设未知数了。我喜欢设短边来他 x， 那 他是不是 x， 然后这一段 就移嘛？所以中间这一段是不是就可以表示 n 点的坐标，即 y 减一？逗，我们的 x 就 它的横坐标和纵坐标，但我这样写容易让人混淆，所以我思索了一下，要不咱把 x y 换成 a 到 b， 可能相对友善一点， 我感觉 a b 可能要好做一点。比如说我设短的这条为 a， 然后这条为 b， 然后这里就是 b 减一， b 减一就是它的横坐标，而 a 就是 它的纵坐标，因为它是在上面哈， 我们的这两个数都可以直接快速去表示，但我的 k 的 话是从负一这个位置往右移动了多少个单位长度，多 a 个单位长度，所以就应该是负一加 a， 这是它的横坐标，纵坐标的话就是直接是我们 b 表示，但它是在负半轴的，所以是负 b。 好 了， k、 n 这两个点都有共同特征，都在 l 二上， 所以我们都把它代入进去，就会得到一组方程及三倍的 b 减一减二分之九等于 a， 以及 三倍的负一加 a 减二分之九等于负 b。 好 了，我们去把 ab 给它算出来， b 算出来等于三， a 算出来是等于二，然后再代入到 n 点坐标里面，三减一就等于二，横坐标 a 就是 二分之三。刚写错了， 好了， n 点坐标就确定下来，再带入到直线， y 等于 k， x 加 k 中。你看一个问题啊，带回来哈，就是二， k 加 k 等于二分之三，那么这个 k 是 不算出来，等于二分之一。 综上所述，我的 k 就 只有一个情况，只有二分之一，因为我们在最最开始画图的时候就构造了是与正半轴相交于 m， 如果他没说方向，或许你就会往底下形成这么一个夹角关系哈，你就可能会有两个答案。

分段函数八年级压轴必考题目给了我们一个分段函数和一个斜率不确定的一次函数，说这两个函数的图像有三个不同的交点，问我们 k 的 取值范围。 对于这种题目，一定要做画图分析。观察这个分段函数，你会发现它是以负三和三这两个点，把 x 的 整个取值划分为三段，也就是 x 小 于负三和负三到三这一段，以及大于三这一段，画出坐标系 在负三和三这两个位置，把整个坐标系隔开，这里是负三，这里是三。那么最左边这一段二 x 加四，它的图形大概长成这个样子， 我们把负三带进来，得到纵坐标负二，所以这个点的坐标就是负三到负二，接下来中间这个区间 y 等于负二，也就是说这一段图形是一个水平的线段。 第三个区间 x 大 于三，我们把三带进来，得到纵坐标还是负二，所以这里是三斗负二。函数图形大概长这个样子。需要注意的是，最左边的区间和最右边区间的斜率都是二，也就是说这一段和这一段彼此平行。 直线 y 等于 k， x 把它理解为一个穿过原点的旋转的直线。我们首先假设 k 等于零，你会发现此时他与函数图形有一个交点，如果我们让他这样旋转，当函数图形来到这里的时候，还是一个交点继续旋转，直到函数图形与这个点相交，此时函数大概长这样， 你会发现这里有一个交点，这里还有一个交点，此时有两个交点。如果我们把这个函数图形继续旋转，那么这里就会向下走，如果长成这个样子， 你就会发现这里有一个焦点，这里有一个焦点，这里还有一个焦点，则恰好满足题目的要求。如果继续旋转， 当 k 等于二的时候，也就是说这条直线与左右两个区间的这一段和这一段平行了，那么他与这两段就不会有交点，而只在中间这里有一个交点。所以现在我们知道，旋转直线在这个范围之内的时候，与分段函数有三个交点，如果我们再把它继续旋转 来到这里，与函数图形又只剩下一个焦点了，继续旋转，来到这里还是一个焦点，然后再次旋转，来到这里还是一个焦点，继续旋转 还是一个焦点，这样一直旋转下去，直到 k 值再次等于零，此时还是一个焦点。如果继续旋转，就回到了和刚才一样的情况，所以真正满足题目条件的就只有这一段。 在这种情况下，我们需要把这个负三到负二带进去计算 k 值，也就是负二等于负三， k， k 等于三分之二，当旋转到这里的时候， k 等于二。 而具体在这个边界的时候，函数只有两个交点， k 等于二时，函数只有一个交点，所以 k 等于三分之二和 k 等于二，这两个边界值不能取。因此本题的正确答案是，三分之二小于 k 等于二。好听懂的同学给老师点个小爱心吧！

你这个年龄段，你这个阶段你睡得着觉？ 首先跟大家说一下，本期视频呢，会讲七道以上的压轴题，所以说你们最好要跟下来，然后今天给大家讲的是一次函数的综合与新定义函数问题， 他的压轴题，七种模型的全攻略，那么这个课间呢，完全是根据新课标和新中考来讲的，所以说大家你们要注意听，然后也跟大家说一下，你要是想要这份课间的话，在评论区留下你的年级，我这边会发给你。 好的，那么我们废话不多说，直接来看一下一次函数呢，这里面呢，他会考到哪些问题呢？我这里整理了一些简单的啊，就是比较有代表性的像与三角形的问题，还有呢和三角形全等的问题，包括一次函数和三角形存在的问题， 折叠问题，分段函数，还有绝对值一次函数，包括大家最喜欢的新定义的一次函数啊，所以说本期课程呢，大家记得点赞关注加收藏啊，值得反复观看的。好的，我们先来看一下开胃菜啊，一次函数与三角形的面积问题， 其实这种类型题呢，我们只需要抓住一个什么点呢，你就抓住三角形的面积，很多同学呢，一看到三角形面积，他就开始蒙了，因为你本身吧，我三角形面积和一次函数呢，我分别都知道，你要是放一起的话，我该怎么算呢？ 这里面本身是没有那么难的，大家看啊，三角形面积我们是不是都知道，它是二分之一乘上底， 再乘上个高，对吧？所以说呢，我们这里面可以用他的一个最原始的公式，也可以用什么呢？用面积差来求啊。所以说，我们来看一下，这一页会给大家讲两道啊，一道是例题，然后一道是这个吧， 大家最喜欢的大题，像面积比，对吧？这个面积比呢，很多同学可能会出问题啊，我们先来看下第一个啊，第一个，如图，直线 y 等于负的三分之四， x 加四与 y 轴交于点 a 与直线这个交于点 b， 然后且直线它与 x 轴交于点 c， 求 a、 b、 c 的 面积。这里面呢，大家要看好啊，哪个线？是哪条线？很明显，这个呢，是 y 等于负的三分之四， x 加四的，然后上面这条线是 y 等于五分之四， x 加上五分之四的， 它让你求 a、 b、 c 的 面积。其实这道题是不是感觉还可以，没有那么复杂，怎么求啊？你三角形 a、 b、 c 的 面积，我能不能用什么底层高 在初二啊，那这里面很多同学一看，哎，我会这道题，这个三角形 abc， 他的公式等于什么呢？二分之一乘上 ab， 他 再乘成个 bc， 这不就解决了吗？非常简单对不对？那么恭喜你，你就掉入了你在数学生涯中的第三千零二十四个坑，是什么呢？就是瞎猜，纯是瞎猜啊，谁告诉你这个是直角的对吧？ 没人告诉你啊。然后很多同学，那这个看着不就像吗？你看着像的东西多了去了，对吧，我还看这个面积像二了，那能这么说吗？ 所以说大家注意啊，这种呢，我们没有实质性的，绝对不能够去用啊，绝对不能去用，尤其是像这种解答题，那他怎么做呢？这个很明显啊，三角形 a、 b、 c 的 面积呢，我们可以用个补法，是什么呢？可以用三角形 a、 c， 这个点是点的吧， a、 c、 d 的 面积再减去三角形 b、 c、 d， 它的一个面积不就可以了吗？而且这里面呢，我把这个 垂直符号去掉，总让大家觉得它好像是垂直的，而且这里面呢，我过点 b， 我 还做个垂，这是 b、 h 吧，你看我是不是有 a、 c、 d 的 面积呢？就等于二分之一乘上个 c、 d， 它再乘上一个 a、 o， 它再减去什么呢？ 它再减去一个二分之一，它乘上一个 c、 d， 它就乘上个 b、 h， 看到没有，所以说就等于二分之一的 c、 d， 它再乘上一个 a、 o， 减去个 b、 h， 你 看就完事了。而且这里面呢，你这里的点 a 坐标点 b 坐标点 c 坐标点 d 坐标，你都能求出来啊，那么这道题呢，它的结果是什么？它的结果呢，就得四啊， 大家感兴趣的可以自己算一下。好了，我们再来看一下我们最喜欢的变式训练。我们首先来看一下，首先这道题呢，看起来呢，还是挺友好的。第三问的直接是在线段 a 的 上，是否存在有一个点 m， 使得 abm 的 面积与四边形 bm 的 c 的 面积 a， 它的面积比是四，比上二十一，若存在， 则求出点 m 的 坐标，若不存在呢？请说明理由。那么我们整体来看一下这道题吧。如图，在平面直角坐标系中，依次函数它的图像 与 x 轴、 y 轴分别交于点 ab， 那 也就是这两个，对吧？然后 y 二等于负三分之一， x 加 b 的 图像与 x 轴、 y 轴分别交于点的和 e， 就是 交于这两个，且两个函数图像相交于点 c 就交会证，那么其实大家看到没有哎，你这里我好像能求出来你们的一个点坐标吧， 就是点 c 坐标，包括你这个 b， 我 也能求，怎么求啊？大家看一下，简单给大家写一下，它是不是等于 x 加二啊？ 然后下面这个等于什么？它是不是 y 等于负的三分之一 x 加 b 啊？那我们就可以知道，什么他们两个交于这个点，它的坐标呢，是 m 到五，那也就是说你点 c 呢？它是在这条线上的，所以说呢， 五就等于 m 加二，那么什么是不是 m 他 就等于三呢？你看就完事了吧。所以说 c 点坐标呢，我就可以写成什么是三斗五，那么三斗五呢？他还在这条函数图像上，所以说就等于 五，等于负的三分之一乘上个三，再加上个 b 就 等于什么？是不五等于负一加上个 b， 那 么 b 就 等于什么？ b 是 不是等于六啊？所以说他就得六， 看到没有？那么第二问呢？他说求 a、 c、 d 的 一个面积，那这个就太简单了吧，因为你这个面积是不是等于二分之一，乘上一个谁呀？ o d 再乘上一个就是 c 点它的纵坐标啊， 就等于二分之一 a d 它等于什么？点 a 坐标是多少啊？点 a 坐标呢？是负二到零，根据这个求来的，所以说是负二到零，点 d 坐标呢？根据这个我们可以写成负三分之一 x 加上六，对不对？那么 d 点坐标啊，它实际上就是十八，所以说呢，它就是十八到零，那么 a、 d 的 长不就是二十吗？所以说二分之一乘上二十，再乘上一个五就等于多少啊？是不是等于 五十啊？好， a、 c、 d 的 面积求完之后呢？紧接着我们再来看大家最喜欢的第三问啊， 在线段 a、 d 上是否存在一点 m， 使得 abm 它的面积与四边形它的面积比是四比上二十一，若存在，求出点 m 的 坐标，若不存在，说明理由。好，那么既然这样的话，我们就给它擦掉， 对吧？因为我们现在呢，要画图了。他说啊，是 a b m， 那 就假设 m 点在这儿，他说在线段 a、 d 上啊，那 m 它就是在 a d 中间嘛，面积比为四比二十一，那我就假设呗，我可以设 m 的 坐标是 t 到零，那么 s 三角形 a b m， 它的面积怎么求啊？是不是二分之一乘上一个 a m， 它就乘上个 b o 就 等于什么？是不是等于二分之一，它乘上 a m， 大家注意啊，它是 t 加二， 为什么？因为你是 m 在 这， a 在 这， m 在 a 的 右边，所以说是，咱是大减小，是求距离的，也就是说什么呢？ t 再减去个负二，所以说变成 t 加二，然后再乘上一个 o b 多长啊？ b 点坐标，咱是不也知道是零到二，所以说再乘上个二，也就是说它等于什么呢？ t 加二， 然后他说呢，面积比为四比二十一，那也就意味着我们是把五十，还记不记得它的面积是五十啊？五十分成了二十五份吗？那一份是多少？是不是一份就是 二啊？对不对？那也就是说，你这里呢， abm 的 面积呢，它是四份，那么它就等于八，所以说 t 就 等于什么？ t 得六，也就说 m 的 坐标呢，就是六到零，看到没有就完事了啊，怎么样 做两道开胃小菜？还可以吧，我们再来往下看一下啊，再来往下看一下。第二个呢，就是大家最喜欢的全等问题啊， 全等问题呢，在考试中确实是一个考点，而且大家发现没有，就是我们在讲一次函数这类题型的时候，实际上你真的不会的是这些题吗？其实不是的，你真正不会的点是它隐藏在这些题里的几何知识，函数知识，你不会的是这些东西啊。 那么我们来看一下，还是啊，先讲个例题，如图呢，直线 y 等于二 x 减四，你就是这条呗，和 y 轴分别交 ab 两点，射线 ap 垂直 ab 于点 a， 然后点 c 呢，是射线 ap 上的一个动点，那就是 c 点。在这儿， 你看，我也是随便画的啊，点的呢，它是 x 轴的一个动点，且以 a、 c、 d 为顶点的三角形，与 a、 o、 b 全等， 则 o 的 长。这里面那个条件是比较明显的，因为大家看好啊，你角一加角二是不是得九十度？你角二加角三是不还得九十度？也就是说我们有角一，它等于角三，那么你这里你既然有三角形 a、 o、 b， 它是全等于三角形，谁呢？它是 c a， 我 就是随便写一下，因为这里能确定的就是你这个角三得角一。所以说呢，我这 a 对 应着一个 b 啊，就是这个三角形，它的点 a 啊。好，那么我们看，如果说你们两个三角形全等的话，你这里面 三角形 o、 a、 b， 它是直角三角形，那么你这个 a、 c、 d 啊，它肯定也是个直角三角形。现在呢，这个角它是定了的，那无非就两种情况嘛，要不然你就是 c 点，它为 直角顶点，要不然你就是 d 点，它为直角顶点，所以说两种情况，那么 o d 的 长，你这很明显，如果说它要是这样的话， 就是按照我现在怎么画，那是不是这两个三角形，它是 k 字形相似啊，就是一线三等角。那么你这里你看我们是不是有，它是 y 等于 二， x 减四的，那么我们可以通过什么呢？可以通过直线看到啊，你这个 x o a 的 什么是不是得二啊？然后你这个 o b 是 不是就得四？那么此时是不是我们有 a、 d 是 得 o b 的， 所以说它就是四，那么点 d 的 坐标就是六到零，所以说就得六。 那么第二种情况呢？那就非常明显了，它应该是什么？是不是 c 点，它为直角顶点的时候，就在这 这种情况，那也就说什么呢？你这个时候我们是不是有 a 的，是得 a、 b 的， 因为我对应着你是斜边相等，那也就是说这个你是二，你是四，他是二倍根号五，因为是一比二比根号五啊，够五厘米，所以说你这个就是二倍根号五，那么就是六或二，加上二倍根号五，看到了吗？这样就求完了，求完了。 好的，那么这道题完事之后，我们再挑一道啊，再挑一个，就挑个这个吧。第四个吧，这是八年级浙江绍兴的 已知，如图呢，平面直角坐标系中一次函数，它的图像分别与 x 轴、 y 轴交于点 a 和 b， 点 c 的 坐标呢，是三到零，那么我们能知道什么呢？大家看好，我们是不是可以把 b、 c 的 解析式求出来，因为你看我可以通过这个函数把点 a 的 坐标什么 二分之一到零，还有零到负一写出来，那么 c 点坐标是三到零，所以说它的表达是 得多少啊？因为你与 y 轴交点是负一，所以是 y 等于 k， x 减一，然后呢，因为你的什么呢？ o b 比上 o c， 它是一比三，然后呢，它还是这么画的，所以说呢，就是 k 得正三分之一，就是三分之一 x 减一啊，完事了， 刚才这部没听懂的同学呢，建议你去看一看我之前发的一次函数的视频，在这里呢，详细讲了这个 k 怎么求得的啊？希望呢，你能在中考之前学会我这个方法，因为你要学会了的话，在中考考场上你至少能省下来很多时间的啊。 好的，我们再来看一下，就是 ab 上有一点 p， 且 pbc 的 面积，它等于二倍的 abc 的 面积。哎呀， 那么我们看一下啊， p、 b， c 的 面积和 a、 b， c 的 面积，这两个面积有什么相同的点呢？ 大家看好啊，我在这里呢，标个点 p 吧，假设这个是 p b、 c 啊，这里面呢，三角形 a、 b、 c 的 面积，它等于什么？是不是等于二分之一乘乘个 a b， 他再乘上一个谁呢？他再乘上一个 c 到 a b 的 距离呀？我就简写了是 h。 哎，那么同理，大家看啊，你这个三角形 p、 b， c 的 面积是不是就等于二分之一乘上谁啊？乘上 p b， 他 再乘上点 c 到 ab 的 距离呀？ 看到没有？就是这两个，大家能不能看懂，你要是能看懂的话，那就非常好了，因为你会发现这里面二分之一相同， h 是 相同，我要求的呢，仅仅就是 p b 和 ab 它的一个关系，那么因为你的面积是二倍，所以说呢，我就知道我的 p b 也是你 ab 的 二倍，就相当于我高一样，我底是你的二倍长， 能理解吧？所以说，从这个角度来讲，这道题呢，它就很简单了。但是呢，大家注意啊，你们是跟着我走的，实际上呢，我们不一定在考试中一下能找到哪个是底，哪个是高，所以说你们要在考试的时候自己注意一下。好的，那么我们既然找到了，那就很简单了，你这里面呢，你 ab， 它是不是等于 二分之根号五？怎么求的二分之一一啊？一比二比根号五，然后那你 p b， 那 自然而然不就得等于根号五吗？所以说呢， p 点 就很明确了。第一个 p 点呢，在上面，你这个时候 p b 呢，它恰好是等于二倍的什么 ab 的， 那么此时点 p 坐标怎么求啊？ 有很多种方法，讲一个比较简单的直接钟点公式啊，直接钟点坐标公式，你可以设它是 x y， 然后呢，这个点 b 不是 零到负一吗？那我们是不是具有二分之 x， 它再加上一个零，它是等于 x， a 就是 a 点的横坐标，还有什么呢？二分之 y， 它加上一个负一， 等于 y， a 也就是 a 的 纵坐标，那也就是什么呢？ x a 是 不是等于二分之一啊？ y a 是 不是等于 零啊？那么也就推出来，你这里的 x， 它是等于谁呀？ 是不是得一的？然后呢，你这里的 y 是 得谁呀？是不是也得一呀？所以说 p 点坐标求出来了， 第一个就是一到一，没有去玩的。第二个是不是我们说你这个 p b， 你 得等于二倍的 ab 啊，所以说第二个肯定就在这呗，那就是点 p 的， 这你 p b 的 长呢？是根号五，你这个 ab 的 长是什么？他就得 二分之根号五。那么这个时候呢，就再教大家另外一个方法啊，你这里面如果说我过点 p， 我 还做个垂啊，我们是不是有这个三角形，他跟这个三角形相似的？如果说你现在听不懂什么叫相似的话，你要注意啊， 就是这个三角形，他的三边比是一比二，比根号五的，那么这个大的三角形，他的三边比也应该是一比二比根号五。换句话来讲，你这个斜边是二分之三倍，根号五的话，那么你这个就是二分之三，你这个他就得三， 能理解吗？所以说此时 p 点，他的横坐标就是负一， 因为你是这个是二分之三，你这不二分之一吗？所以说它横坐标是负一，纵坐标是什么？就是负三啊，看到了吗？当然大家这种方法呢，可能有些地区没有学，你比如说相似，我还没学，没关系啊，直接怎么样？因为你这样你可以直接得答案吗？ 这个答案一定是对的。那有些时候你比如说我知道这个题该怎么做，不就是 p b 的 长，它乘上这个高，对吧？它等于什么呢？它等于 这个三角形的面积，等于二倍的 a、 b、 c 的 一个面积。那么我是不是可以设 p 点坐标是 x， 横坐标是 x， 纵坐标呢？是什么？因为它在这个图像上，所以说就是 x dot 二 x 减一，那么 两点之间距离公式也求出来了吧，那是不是它就等于二倍的它呀？你看式子列完答案一写就完事了啊。好的， 紧接着呢，就是到了我们最喜欢的第三题啊。第三题呢，在直线上方是否存在一个点 m， 使得 m、 b、 c 三点构成的三角形与 abc 全等？那也就是说什么呢？他说要与他全等， 哎呀，那你与他全等的话，你 bc 肯定就相等了，那也就意味着有一个边固定了，那个两个边其实位置不也已经固定了吗？ 无非就几种情况，他说若存在，请直接写出点 m 的 坐标，若不存在，请说明理由。好，我们来看一下这道题呢， bc 很 明显它是固定了的，那么既然你是跟 a、 b、 c 它全等的话，我们为什么不直接过点 a 做一条与 bc 相关的平行线呢？然后呢，我们在这啊，求个点是什么呢？ 就是我们要求他点 m， 这个时候 bmc 他 是不是就是 a 跟他全等的，因为我们只需要令 mc 等于 ab 即可。那么他说让你求 m 的 坐标直接写出，其实直接写出就意味着，要不然你就直接算， 那就比较复杂，要不然你就有解面方法。这道题呢，是有解面方法的，你可以直接算的。首先，大家看好你这个 b c 解析式，我们是不是求出来了， b c 它等于三分之一 x 减一，那就意味着你 am 这条线，它就等于三分之一 x 加 b， 对 吧？我现在只需要把 b 求出来即可。 那么你 m 点在这个函数图像上，那我是不是可以设 m 的 横坐标是 a， 纵坐标就是三分之一 a 加 b 啊？然后那我 m c 得 ab 得二分之二五，不就完事了吗？ 这样用勾股定律就直接求出来了，而且呢，求完之后应该是两个结果，还能把这个点求出来，因为他没有说 m 不 能跟 a 点重合呀，对吧？所以说这样求完之后呢， m 和 a 它分别就是两种情况，第一种呢是什么？ m 他 就是二分之一到零，第二种呢就是 m， 他 是二到二分之一啊，这两个大家你们都要自己回去算，因为我在这里要算的话，那么这个计算量就特别大了， 毕竟接下来我们还有五部分呢，对吧？好的，我们再来看一下依次函数与三角形的一个存在问题，那么考点三呢，他就是三角形的存在性，那无非就是求什么 等腰直角三角形或者是其他三角形，对吧？我们来看一下这两个呢，我们就做下这一篇吧，好吧，这两道题， 然后这里面大家可以直接看这个问啊，因为前面呢都是求三角形面积的一个问题，那么接下来他说呢，第四象限内是否存在一个点 p 使得 p a f 是 以 a f 它为直角边的等腰直角三角形，那也就是说什么呢， 我要不然就是以 a 点他为直角顶点，这么画对不对？然后这样出来一个直角三角形，要不然呢，我就以 f 点他为直角顶点，这么画这来一个 直角三角形。不过目前你不管哪种情况，你好像肯定是有一个点，大概率是在第四象限的，那么我们就简单看一下啊，这里面他如果要是这样画的，那么点 p 就 在这。 那么此时我们再看一下题目中哪些可用的条件。依次函数 y 得 k 加 b， 分 别与 x y 轴交于 a 和 b， 就是 交于这个两点啊，那这条线就知道了。那么垂直这条线它的解析式我就能够知道， 点 f 呢，是线段 a b 上的一个动点，连接 o f， 设点 f 的 横坐标为 x 啊，那也就是这个是 x x 都是什么呢？还是得求依次函数解析式吗？ 因为它是这么画的，所以说它的 k 小 于零， k 小 于零的话， o b 比 o a 得多少啊？是不是得二分之一？所以说你的函数解析式就是 y 等于负的二分之一， x 再加上一个五，那么你 f 点它的纵坐标不就是负的二分之一， x 加上五， 对吧？这里呢，跟大家说一个点，你但凡在函数中看到什么呢？看到等腰直角三角形的话，首先要想到什么？首先要想到一线三等角啊，也就是 做垂直，那么换句话来讲，我过点 f， 往这做个垂，和我过点 p 往这做个垂，一个是 m， 一个 n， 你 这两个三角的内折叠啊，内折叠模型，所以说呢，这个角 为什么全等呢？边等都是直角，你还有个角等，然后那你看我们是不是就有三角形， 我简单写一下，三角形 a f m， 它是全等于三角，是谁呢？ e p， n 的， 对吧？然后判定方法是角角边啊，那么其实我们就有你这个 a p， 它是等于 af 的， 包括你谁呢？你 an 就 等于 fm， 还有就是你的 a m， 它就等于 p n， 能理解吧？所以说，其实我们想求点 p 的 坐标，那么我不就是求 an 的 长和 np 的 长，不就是在求 fm 的 长和 am 的 长，那么 fm 和 am 这里面该怎么求？ 然后这里呢，大家看一下题干啊，我们呢，因为刚才是直接看的第二题，所以说呢，第二题的题干它有一个小的条件，当这个 o a f 的 面积等于二分之一的 o a b 的 面积的时候，那一下不就知道了吗？那我不就一下知道，你这个 f m， 它实际上不就等于二分之一的 o b 吗？ 因为你 a o f 的 面积能等于它的一半，你底是 o a， 那 你高只能是一半啊，所以说你这个就是二分之五，然后你 an 就是 二分之五，那么你接下来 f 点不就求出来了吗？对吧？然后第二种情况呢？就是什么？第二种情况，我们还是 过点 f 往这做个垂，然后呢点 p， 它是在这的，此时呢，你这个 a p e f， 它是等腰直角三角形，其实呢，我们还是要万变不离其中，什么意思啊？因为你既然是等腰直角三角形的话，我是不是还是过点 f 做个垂，你这个点是 h 的 话，我再给它延长， 然后呢，交于这个点为点 k， 那 么我是不是有三角形 a f h， 它是全等于三角形，谁呢？ f p e k 的， 对吧？所以说还是啊，你这个 p e、 k 不 就等于谁呀，不就等于 f h 吗？ 就得二分之五啊。那么此时你这个 p e 点的坐标不就相当于是谁呀？不就相当于是点 f， 它往下先平移 f k 个单位，对吧？然后呢，再往哪啊？再往左平移 p e k 个单位就求出来了。 所以说呢，是两个角，第一个呢是什么？是二分之五都负的二分之五。第二个是什么呢？就是二分之十五都负五啊，这个记住，所以说你看 第四项线有两个点啊，然后我们就接着来往下看啊，就下面这个便是训练，他说呀，这里面呢，在平面角坐标系中，直线 a b 呢？ y 等于这个与 x 轴交于点 c， 写点 a 是 负一逗 m， b 是 n 逗负二。那其实这里面是不是我能把 c 点坐标和 ab 点的坐标都求出来呀？对不对？ 所以说呢，第一问，你看 c 点的坐标呢，我就直接写上了是什么五分之七逗零，然后呢，第二个求圆点 o 到 ab 的 距离， 那么他求的是什么？那这里面很多同学，哎，他求这个我不知道怎么做呀，其实不是你不知道怎么做，而是说你这个线没画出来，他求的不就是这条线吗？ o h 这个长，因为你是点到直线的距离，那就是做垂啊，那这个的话其实就有点明显了，就没有那么难。那这个其实怎么做呢？我们可以用等面积法啊，大家看好，假设这个是点的，那么我就知道你这个三角形 o c 的， 它是等于 二分之一，乘上谁啊？乘上 o c， 再乘上个 o d， 然后还等于谁呢？二分之一乘上个 c d， 然后再乘上个 o h 嘛，对吧？就是等面积法，所以说我们具有谁呢？你这个 o c， 它乘上 o d， 等于 o h， 它乘上个 c d， 这里面你这个点 d 坐标是不是能求出来呀？ 所以说你看这样做是不是就是比较简单，那么直接呢，这个结果呢，就等于四十一分之七倍，根号四十一啊，不是什么特别好的一个数，但是你要说它难度呢？其实还可以，我们看下最后一个， 在 x 轴是否存在点 p 使得三角形 a c p 是 直角三角形，若存在点 p， 看好啊，他说使三角形 a、 c、 d 是 直角三角形，这种题怎么做呀？ 这种题它但凡要正哪个三角形？是啊，什么三角形？你就看这个三角形它的一个特征，直角三角形它最大的特征，那不就是直角吗？九十度。所以说我们归根结底呢，我们就可以看一下你这个三角形 a、 c p， 我可以令谁为九十度啊？是不是角 a， 角 c 还有角 b 啊，对吧？所以说你看，那这样的话，我就先令角 a， 它是九十度，那我们就怎么样啊？我们过点 a 呢，做 ab 的 一个垂线，然后呢交 x 角，你看 是不是有一个点 p 啊， p 一 对吧？对应的 p 一 啊，那 p 一 怎么求啊？ p 一 呢？我们直接可以用什么呢？因为你 a b 这条线不是 y 等于这个吗？所以说与它垂直的不就是 y 等于什么 五分之四 x， 然后再加上个 b 吗？那这里面它是不是同时过 a 点坐标啊？ a 点坐标得多少？ 他是负一逗三啊，这个你要算第二个的话就会算出来，我这里给大家讲的是思路，因为如果要正常讲这样一个大题的话，可能得需要二十分钟左右， 但是那样讲的话，我们可能这期视频就奔着好几个小时去了，所以说呢，大家你们听着也会很累。那么你看这里面呢， 我就紧接着再把点 a 的 坐标带进去，就是 a， 点坐标是负一到三，那么我就可以把这个解析式求出来，它与 x o 的 交点坐标，不就是点 p 的 一个坐标吗？ p 一 这不就求出来了吗？ 这个呢，求完是负的四分之十九到零啊，然后呢，第二种情况，你说角 c 得九十度， a c， 哎，大家发现没有，你这个 a c p， 你 不管是 p 在 这还是 p 在 这，你这个角和这个角它都不可能是九十度，对吧？因为你这个角它已经是定了的， 那么就意味着第二种情况它是不存在的，就是这个它是不行的啊。那么第三种情况呢，就是角 p， 它是九十度，哎，这个呢，就有意思了，其实这里才是最简单的，就是我过点 a， 我 还做个垂， 这个就是 p 啊，对吧？ p 二不就直接求出来吗？负一斗零，因为你点 a 的 坐标不是负一斗三吗？你看是不是没有想象那么难，对吧？ 依次函数，大家注意啊，就是他这个题，虽然说看着挺难，但实际上他真的没有那么难。我们其他的题也是，不管你是几何还是函数，唯一的呢，你就是先把题读懂啊，这个是需要注意的。好，我们再来看下一个，下一个呢，就是大家最喜欢的折叠问题，折叠问题呢， 我们还是，那就这页这两道吧啊，大家可以暂停，然后看一下题，自己先做一下啊。这里面呢，我就直接来做了， 如图一，在同一平面构造波形中，直线 ab 是 它与直线 ac 是 它相交于点 am， 四与 x 轴交于点 b， 负四到零， 哎，那你说 ab 是 哪条线啊？是不是 y 等于二， x 加 b 啊？因为你的 k 大 于零啊，那么你这个 ac 是 哪条线呢？是不就是 y 等于 k， x 加三呢？ 他是这个交于点 a， 这点是 m 就是 四。那其实你这个 m 是 不是能求出来呀，因为你不还有一个点 b 坐标呢，负四到零，对吧？你其实这里的 b、 m、 k 就 都求出来了啊，你把负四到零带入到这里， 你这个 b 不 就求出来了吗？然后你再另 y 得四 m 不 就求出来了吗？对不对？这个呢，直接给大家写上了，是 b 呢， 带进去它是得八 m 的 负二 k 等于负的二分之一啊，就完事了。第二个如图，二点的为线段 bc 上的一个洞点，将 a c 的 沿直线翻折，得到 三角形 a e 的 就是它将这个翻到这了。线段 a e 交 x 点 f， 它交于这个点，是点 f， 求线段 a e 的 长，那 a e 不 就是 a c 的 长吗？对吧？ 换句话来讲，你 a 点坐标是什么？负二到四 c 点坐标是不是六到零啊？ 两点之间距离公式直接就能求出来 a e 多长啊？ a e 就 等于四倍根号五啊，因为它是得 ac 的 啊。 当然这里其实大家发现没有，你这个 a e 呢，它其实是固定不变的。换句话来讲，一点的运动轨迹是什么？ 你是不是你不管在哪， a e 都这么长，对吧？都是四倍根号五，那你是由一个定点，然后呢？还有定长，那不就是他的运动轨迹是个弧吗？ 如果大家听不懂的话，那就是个圆。我这么说啊，第二问啊，当点 e 落在 y 轴上的时候，求 e 点的坐标，他要落在 y 轴上，哎，右边他没有图，对吧？点 e 落在 y 轴上，那就是在这，那我们看一下， 此时呢 a e 是 知道的四倍根号五，那么实际上点得不就在这吗？那其实我们是不是有你这个得 e， 他 得 c 得啊， 对吧？那我 o c 是 不是得六啊？因为你点 c 坐标不六到零吗？所以说他得六的话，我设 o d 是 x， 那 这个不就是什么？这个就是六减 x。 哎，那你说我现在求一点坐标，我是不是就求 o e 的 长就可以了？ 那你要这么看的话，我是不是在三角形 o d e 中直接用勾股定律，谁呀？ o d 方再加上个 o e 方等于 d e 方即可呀？因为你现在你 o d 不是 x 吗？你 d e 不是 六减 x 吗？所以说你就是它呀， 我把你表示出来不就完事了吗？你是 x 也好，还是你是个数也好，能算出来就行呗。那么我们就看一下你这个 o e、 o e 的 话吧，你这么一看好像没有什么思路， 然后，但是别忘了，我们知道 a e 它长是四倍，根号五，你既然有 a e 的 四倍，根号五， a 点坐标呢？是负二到四，那我就知道，如果我说我过点 a 往下做个垂，这个是点得 a d， 它是不是得二啊？那么你同时还有 a e， 它得 四倍，根号五，我是不是就有什么呢？我其实就有，在三角形 a d e 中是不是有勾股定律啊？就是 a e 方 减去 a d 方，它是等于 d e 方的，也就是说什么呢，根号下八十减去二的平方就等于二倍，根号十九，所以说呢，你这个 d e 它就是二倍，根号十九。 哎，那你说你 o 的 它是多长啊？ o 的 是不是四啊？因为你 a 点的纵坐标不是四吗？所以说呢，你 o e 它是多长？就是二倍，根号十九减四，它求什么？ 他是不是求点 e 的 坐标啊？哎，那你看，其实这个时候我们这个高股定律好像是不是不用了？我们现在是不是都已经知道 o e 多长了，那一点坐标不就能求了吗？就是什么四减去啊，四减二倍，刚好十九，为什么？因为他不是小于零吗？对吧？ 好，那么这个点 e 坐标就是零到四减去二倍，刚好十九。我们再来看第三个， 若这个三角形它为直角三角形，谁啊？的 e f、 f 呢？是线段 a e， 它与 x、 o 的 交点，那也就是说什么呢？我这么画吧，假设点的在这， 然后呢点 e 在 这连接，这个之后呢，它与 x、 o 的 交点，这个是 f， 它说三角形的 e、 f， 它是直角三角形。 好，那么还是啊，这里面根据我们刚才跟大家讲过的，你要是他属于什么三角形，那直接我们就看他属于这个三角形有什么特点。直角那是不是还是九十度？ 九十度的话还是分三个啊，第一个呢就是角 f、 d， e， 它得九十度。第二个呢就是角 e， 它得九十度。第三个呢就是角 d、 f、 e， 它得九十度， 三种情况啊，看看哪个我们能用。这里面其实角 e 这个可以排出来，因为这个角 e 不 等于角这个 a、 c、 b 吗？ 所以说这个首先排除，那么我们就分两种情况，第一个角 f、 d， e， 它是九十度，那我就画个九十度呗，这个是点 d， 然后呢？这个是点 e， 这是点 f， 然后呢我们是沿着 a、 d 这条线它翻折的。 哎，那么大家这里发现没有啊，你这个既然是九十度的话，然后他们两个角等，所以说这个是不是就一百三十五度啊？这个也是一百三十五度，那么同理我就在这写了，大家跟上这一块，他是不是就四十五度？ 四十五度我们首先想什么？是不是得想到等腰直角三角形啊？那换句话来讲，我要过点 a 往下做个垂，这个是 a h， 我 们是不是三角形？ a h 等于它就是一个什么呢？等腰直角三角形， 然后你 a h 还得四，你这个还是二，所以说你 o d 不 就得二吗？那么你看点 d 的 第一个坐标不就求出来了吗？他求什么？都点坐标吗？所以说第一个坐标就是什么二到零啊。那么第二种情况呢？我把它写在这吧。 第二种情况就是它角的 f e 得九十度的， f e 要到九十度。哎，我们重新画一下，这个其实还挺好画的，为什么呢？因为只有这种情况，你只有说 a f 它垂直于 x 角，它才可能，对吧？那你要这么看的话，好像这个就 更简单了，因为大家记不记得我们刚开始用勾股定律来做的，那其实这个完全可以用啊，我如果要设它是 x， 它就是 x， 你 这里面呢？ a 点的横坐标是负二，你 c 点的横坐标是什么？是不是六啊？那你这个距离不就能知道是多少啊？是不是得八，对吧？然后呢？ f 得不就是八减 x？ 同理呢，你 a c 还得四倍根号五，然后你 a f 还得四，所以说你 e f 不 就能求吗？ 那么它不就是四倍根号五减四吗？三个边都知道了，然后来用一下勾股定底，对不对？所以说第二个点都是坐标呢？ 就是什么？就是二倍根号五减四啊，大家感兴趣的话可以回去算一下。那么听到这呢，你已经非常非常厉害了，非常厉害了，再坚持一下，再坚持一下啊，至少把这道题听完，然后我们再休息一会，好吧， 好，我们来看一下，这个也是大家最喜欢的折叠，当然这个呢，没有那么难已知呢，直线 y 等于四分之三， x 加六与 x 就 y 轴分别交于 a 点和 b 点，点 c， 在 线段 o a 上将这个折叠后，哎，它是什么意思？ 它是把 a b o 沿 b c 折叠点 o 恰好落在点得数，那么你这里呢？我们是不是就默认它是个直角啊？然后你这个直线 y 等于四分之三， x 加六，那么你说你这里是不是 o b 就 得六， o a 它就得八呀， 对不对？因为你不是四分之三嘛，所以说你 o b 比 o a 就是 三比四，看到没有，那么点 a 的 坐标呢，就是 负八到零，注意啊，点 b 的 坐标呢，就是零到六，紧接着 a b 多长， a b 多长呢？我们来看一下，那不就是十吗？六八十，对不对？ oc 呢？ oc 的 话，它其实就看我们用什么方法， 如果说你要对一二三四五模型特别了解的话，那直接就出来了，这个就是什么，这个直接就得三。那如果咱要不知道的话，哎，也没有关系， 我们可以说它是 x， 这个就是 x， 因为你是十，这是六，所以说这是四，然后呢，这个是八减 x 勾股定律啊， x 方加上四的平方等于八减 x 的 平方，看到没有？所以说解出来 x 就 得三啊，所以说 o c 得三。 听到这，你已经超过百分之八十的同学了啊，还有最后三类，希望大家坚持住分段函数呢，这个给大家讲一道题吧，因为看这题干就比较友好。 在依次函数中呢，我们经历了列表瞄点连线画图像，结合图像研究函数性质的过程。小红，哎，对函数它的图像和性质进行了如下探讨，请同学们认真阅读探索过程的一个解答。 第一个，请同学们把小红所列表格补充完整，并在平面直角坐标系中啊画出该函数的一个图像，那么我们来看一下，首先就是补充完整呗， x 的 二的时候， y 的 什么？ y 的 一， x 的 三的时候，哎，是不是带不进去了？ 因为这里大于等于三，那他就去二，所以说这个图像大家发现没有，我在大于等于三的时候，我的 y 全是二，那么也就意味着三的话在这，二的就在这，那么他是这么画的， 就是在 x i 等于三的时候，那在他之前，你比如说 x 得二的时候呢？他是不是得一啊？因为这个 x 减一很好画，那么他就是大概这样画的。好的，那么到这为止，哎，大家发现没有，你这是 y 得 x 减一吗？你这个是 y 得二吧， 因为 y 的 二十条横线啊，大家注意啊，它是个横线。哎，那你说你这段怎么画呢？这个时候我们就睡到一个点，叫临界值，是不是 x 的 三的时候是它的一个临界值啊？那也就是说什么呢？ 我得看一下你上面，虽然说你取不到三，但当我无限接近于三的时候，就是我 x 得三的时候，你上面这个等于什么？是不是也得二？那也就是说，其实你在无限接近于这个点的时候，你这个图像也是在无限接近于二的，所以说我们这个图像他就可以这么画， 他是连上的这块。那么根据函数图像以下判断该函数的性质，说法正确的是。第一个函数图像关于 y 轴对称，这个对吗？很明显不对啊，此函数无最小值， 这是对的，因为你 x 的 范围是无限的，所以说呢，第二个是对的。第三个，当 x 小 于三的时候， y 随 x 增大增大，当 x 大 于等于三的时候， y 的 值不变。小于等于三的时候，是不是 x 越大 y 越大，然后再大于等于三的时候， y 是 不变的， 第三个也是对的，所以说这个也是对的。那么你看啊，若直线它与函数的图像只有一个焦点，则必得多少？好，那么涉及到焦点问题了， 这个怎么做？他说他与他只有一个焦点。那首先你看啊，这个时候我们就学到了之前教过大家的，该怎么画这个 y 的 二分之一 x， 它的 k 是 二分之一，你 y 的 x 是 这么画，那 y 的 二分之一 x 就 在下面大概率是这么画的， 他呢？如果要是这么画的话，那你看什么时候会有一个焦点呢？是不是在这啊？对吧？在这种状态下会有一个焦点，那也就是说他得恰好过这个点是什么呢？是不是三到二啊？ 对吧？所以说呢，就是当 x 的 三的时候， y 的 二，那么就是什么二等于二分之三，加上 b b 就 得二分之一，看到了吗？ 就是其实大家发现没有，我这边讲完之后好像，哎，还可以，没有想象那么难，但是呢，你在自己做的时候，你可能就蒙了，因为我刚才呢，前提是啊，我们看到 y 的 二分之一 x 一下就知道他这图像是要比 y 的 x， 他 是更靠近 x 轴的， 所以说，当意识到这个的时候，这道题就非常容易了。但如果说你之前你要不知道这个的话，哎，那其实这道题就有点难。 好，我们再来看下面这个考点啊，就是绝对值的一次函数。这个呢，我们来看一看哪道题呢？看看幸运观众，这个我们来看一下河南的吧， 毕竟是考试大神。我们来看一下有这样一个问题，探求函数它的图像与性质，下面是小明的探索过程，请补充完整函数它的自变量 x 的 取值范围。哎，这个是什么？ 他有说 x 不 能得什么吗？是不是没有啊，所以说他的取值范围就是任意实数啊， 不要不敢写，有可能同学就是不太敢写，然后不知道怎么去做，其实本来没有那么难的，下表的是 x 与 y 的 几组对应值，哎，那么大家看一下，其实这里就往里带就可以了，他这里有个 m， 那 肯定就带进去呗，那就是 m 得一。然后呢，第三个， 他说在如图网格中建立平面坐标系，描出表中各对对应值为坐标的点， 并画出该函数的图像。其实呢，这道题鸟是描点的话，确实是做题的一个方法，但是呢，我更希望说通过这道题来给大家讲一下依次函数的绝对值，它到底是怎么画的， 大家看一下，以这个函数图像为例， y 等于 x 加一的绝对值。如果说你要每道题你都这么描点连线的话，那别人都做完了，你可能连一半还没描完 呢。那这个时候我们来看，原来这个函数是不是 y 等于 x 加一的绝对值，它其实难，是不是就难在哪呢？它就难在你这个绝对值，那么绝对值我们怎么处理？它一般是不是去掉，去掉的话，我不就得讨论一下你绝对值里面是正负吗？ 那么我就知道了，当 x 加一它大于等于零的时候，我 x 是 不是得大于等于负一啊？此时你这个 y 是 不得 x 加一，就本身不变， 那么当我 x 加一小于零的时候，我 x 是 不就小于负一啊？ y 呢，就等于负 x 减一， 看到没有，我就整体给加了个符号，这里面呢，这个等号啊，前面呢，不用纠结放在哪里，你要是放在一部分，另一部分就不带就可以了啊。那其实做到这，我是不是就知道，实际上你这个函数图像呢，它是在 x 负一这条线 作为一个分界线，大家注意啊，在我做过戏的时候，有很多细节，因为我要知道，我待会呢，要以负一到零这个点，他所在的这条竖线作为分界线，所以说我会把 y 轴画的偏右一些， 看到了吗？那么这个是 x 等于负一这条线，在 x 大 于负一的时候，图像是不是 x 加一啊？那也就是说此时图像是这么画的，这个呢，是实心点啊，因为你不是能取到负一吗？ 在 x 小 于负一的时候， y 是 不是负 x 减一啊？那也就是什么呢？他是这么画的，大家看好。所以说，其实这个就是我们要求的 y 的 x 加一的绝对值，它的一个图像。但是吧，在考试的时候呢，我仍然不建议大家这么画，为什么呢？因为你画的还是太慢了，大家可以怎么样呢？ 我们可以把原来 y 的 x 加一这条直线呢，给它补全，你就会惊喜的发现，假设我 x 它得负二的时候，我原来啊，是得什么，是不是得负一啊？ 但是现在呢，我 x 的 负二代入到这个式子中，是不是对应着得一啊？对不对？同理，你负三代入进去，你发现黑色的线和绿色的线，它们 同一个 x 值，对应的 y 值是互为相反数的，也就是说什么呢，我们从图像的意义来看啊，你这个画的线，你不管画的什么线，你对应的是不是都是 y 得多少啊？那么在这个前提下，你这个 y 是 不是就不可能是小于零， 对吧？因为你加起对值了，所以说你原来函数图像，你令 y 取得小于零的，这些都要翻上来 看到了吗？实际上他们两个是关于 x 轴对称的，也就是说，以后你看到这种绝对值，你首先要想到关于 x 轴对称，这样的话呢，你就会省去大量的时间，因为这道题，你比如说我来看到这个了， x 加一的绝对值啊，直接这么一连往上一翻就完事了， 你看这样理解是不是更快？好的，那么这个图像就画完了啊，我就不在左边画了，大家听懂为主，听懂为主，学会了才是自己的。小明根据画出的函数图像写出此函数的两条性质，那就是太简单了，你比如说 x 小 于负一的时候， x 越大越小，然后呢，第二条 x 大 于负一的时候， x 越大越大，都可以啊。好的，那么这个就是这道题接下来 最后一道啊，最后一道呢，我们就来看一下第一个吧，新定义型啊，新定义是大家最喜欢的函数图像了， 它在平面状坐标系中，函数它到两坐标轴的距离之和等于 n 的 点，叫做该函数图像的 n 结合点。例如二度一为依次函数 y 得 x 减一的三结合点。 好的，那么我们看啊，它其实是不是就是这个点，它与 x 轴作垂和 y 轴作垂，然后两个距离相加呀，不就这个意思吗？那么若点负二都二是 y 关于 x 的 正比例函数 m 的 n 结合点，则 m 的 什么？ 那就带进去呗，带进去 m 就 得负一，然后 n 呢？ n 就 代表着它们两个距离相加呀， 就是这个点到 x 轴和 y 轴的距离吗？那不就是四吗？因为你二加二，对吧？好，那么第二个，若 y 关于 x 的 依次函数，它的图像经过这个图像的期结合点。好，我们重新读一题啊，可能大家没有太读懂 这个函数，它经过这个函数图像的期结合点，那就意味着在 y 等于 x 加一，这个函数图像上含有 一个点点 a， 假设这个点 a 呢，它是 x 到 x 加一，我们这里呢，是不是 x 的 绝对值加上 x 加一的绝对值，它是得七的， 对吧？这个才叫它的七结合点嘛。然后呢，我们还有你他呢，还经过这个点 a 啊，那我不就相当于要把 x 求出来吗？ 对不对？而且这里呢，大家发现没有啊，你这里好像只有两种情况，要不然你就全去到绝对值，要不然你 x 和 x 加一就都大于零，就是 x 加上 x 加一，它是得七的，此时你 x 得三， 那 x 加一不就得 y 不 就得四吗？所以说你第一个坐标就是三道四，那你第二个坐标呢？就是他俩都小于零，为什么？就是他是这么写的，负 x 减去 x 减一得七，那此时 x 不 就等于负四吗？然后 y 得负三。好，那么这个要给大家讲一下，为什么我这么写， 正常来讲，我们不应该分着讨论吗？你 x 大 于零，然后 x 加一小于零，这也有可能啊，那为什么我只讨论它俩同时大于零或同时小于零？ 因为大家发现没有，你在 y 等于 x 加一这条函数图像上，你会发现啊，我们刚才如果要讨论 x 它大于零， x 加一小于零的情况呢？就是它们两个符号不同，就是 x 和 y 的 符号不同，那也就是只有在第四象限，对吧？因为它经过一三四象限， 只有第四象限，这符号是不同的。那么在这个象限中，你不管你到 x 轴的距离还是到 y 轴的距离，你怎么相加，你都不可能等于七，因为你这两个点，一个是一斗零，一个是零斗负一， 发现了吗？所以说其实他这种情况就是不存在的，他只有可能是同时都大于零和同时都小于零，所以说咱们直接带第二种就可以了，那么这两种带完之后， 记住它是两个点，第二个点是负四到负三，把它们都带入到 y 的 k， x 减二中，然后呢？ k 这不就求出来了吗？ k 一 呢就得二， k 二呢就等于四分之一啊，两个值。好的，那么听到这给自己鼓个掌啊， 大家要是想做其他的，记得去评论区留言，然后我会发给你。整体来讲呢，就是跟大家简单讲了一下， 做一些题，然后一次函数的一些定义。其实呢，归根结底大家发现没有，按照目前的新课标趋势呢，他是没有一些固定的解析模板的，但是呢，我们要根据这个题来理解啊，每道题他要考你什么？ 好，那么本期视频到这，我们下期视频再见。

八下数学一共有两大亚洲难点，一个是四边形这个章节，另外一个就是依次函数了，他的图像性质以及解析式需要我们记忆的东西还是非常多的，而且有非常多的技巧可以让我们去秒出答案。 那有关于一次函数这个章节呢，一共有十大题型，老师给大家分类都做了一个整理。那如果咱们的孩子遇到一次函数图像性质的题目，还辨析不清楚，答起来困难的话，一定啊，要落实掌握基础，可以把这套题目打印出来，逐个提醒，带孩子去练习。 下面呢，我们就来一起看看这道题啊，出的非常巧妙，说一次函数的图像与这个直线平行，这里蕴涵了一个非常关键的信息，也是我这个视频要着重讲解的地方。如果两条啊函数解析式函数的图像它是平移的，那他们的解析式有什么特点？ 对了，如果两直线平行，那么他们的斜率 k 一定是相等的，所以由这个平行的条件，我们就可以得到前面的 k 直接和这里的 k 相等，等于负一了。 所以原来的解析式它就变成 y， 等于负 x， 再加 b 了，它过点什么呢？它过点八二，所以我们就可以把八二代入到这个解析式当中去。求 b 的 值， 我们就有二，等于负八，再加 b 了，那 b 的 值求出来就等于十了，所以这里我们求出来解析式 y 就 等于什么呢？负 x 再加十。

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一次函数与不等式是我们期末必考的题型，而上一条视频，我们讲了单条函数的不等关系，这一条视频呢，我们来讲两条函数的不等关系，求范围。今天我们也找了两道去年的期末的真题，特别是第二道题，是一个难点。我们先来看一下第一个题， 哎，他说这里有两条函数，一个是 l 一 啊，一个是 l 二，那么对应的解析式呢，也给到了，现在呢，焦点也给到了，我们是 m 得四，要求这个不等式的一个解析。 那我们首先第一步呢，依然是转换，但这个地方呢，因为有两个 y， 所以 对 y 呢，要进行标号， ok， 标为 y 一 和 y 二，那这里我们就转换成 y 一 小于等于 y 二。 好，然后呢，我们看啊，无论大还是小，我们第一步依然是找到相等的位置啊， y 一 等于 y 二，什么时候 y 一 等于 y 二呢？肯定是两条函数的交点，就是 a 点， 那从 a 点画一条竖线，这是我们的传统。接下来呢，这个竖线把整个图形分成了左边部分和右边部分，接下来我们要去找一找，哎，哪个图像是符合要求的？这里有个口诀，就是谁大， 随着图像就在上方，就随着 y 大， 随着图像就在上方。我们来看一下啊，先从左边这部分开始，左边这个部分呢，图像这里有一条，这是谁的呢？ l 二，也就是 y 二 的图像，很明显， y 二的图像呢，是在 y 一 的上方，那所以 y 二呢，是大于 y 一 的， 那和我们题目要求的 y 二大于 y 一 是一样的，所以左边符合要求。那因为这里等号吗？也可以取上等号啊， 好，知道了图像所在的位置，那接下来我们就要看 x 在 哪个范围啊，依然是从这个 a 这个地方， m 开始往左边走，就是越来越小，所以 x 应该是小于 m 的， 但是这不是我们的答案， m 要求出来，怎么求呢？这个地方就是 a 点啊， 它既在这个，也在这个里面，所以我们可以带进任何一个函数里面，但肯定要带入 y 一 里面，因为它是已知的，所以这地方可以带进去啊，就是看到我们的 y 呢，就变成四，看到 x 呢，就变成 m， m 加上三， 所以我们可以到 m 等于一，那所以这个时候呢，我们就小于等于啊，要等号保持一致，小于等于一。这个题我们就选择怎么样呢？选择 d 答案 好。第二个题呢，就是我们的一个难点了啊，他这个地方难在哪里呢？就是他不像第一个左右两边都是完整的给出来的函数，这个呢，他把它融合在一起了 啊，我们来看一下啊，依然是有两个函数， y 等于负二， x 和 y 等于 k 加四。而当这个地方图形上啊，他并没有标注谁是呃，谁是谁的表达式，但我们可以很清晰的判断啊， 这个呢，很明显是怎么样呢？是这个正比例，所以过远点一定是这一条，我们可以标记一下自己， y 等于 four x， 我 们可以把它标为 y 一， 这是 y 二啊， y 一 好，剩余的这条肯定是 y 二的了啊， k， x 加上四，接下来呢， a 点，我们也标记一下这是 m， 这都三，好。 哎，这个时候呢，我们就要注意了，我们一定要先把它移一下向，把它变成像上面这个题一样，两个左右分别为一个 y 的 形式。那这个地方我们观察可以看到啊，这是 k 加四，这里面呢，也有一个 k 加四是完整的， 那另外一个呢？本来是负二 x， 这是加二 x， 我 们怎么办呢？可以移一下向就可以了，就可以把我们的 二 x 移到右边去，就变成负二 x 啦。你看，此时呢，左边就是我们的 y 二，右边呢就是我们的 y 一， 好，依然是转换之后，我们要去找相等的位置啊，就是 y 二等于 y 一 的时候，在交点这个位置画一条竖线。 好，接下来我们去判断左边部分和右边部分哪个符合要求，左边部分看齐，这一个呢，是 y 一 的，这个呢是 y 二的，那很明显， y 一 在上方，那也就意味着 y 一 是大于 y 二的，那和我们题目要求的 y 二大于 y 一 不符合要求。 我们看右边这一条呢，是 y 二的，这一条呢是 y 一 的啊，很明显 y 二在上方，那所以 y 二大， y 二大于 y 一 啊，因为有等号嘛，我们也保持一致，大于等于。 那所以我们发现啊，右边这个部分符合要求，那么对应的 x 呢，他是从这里的 m 往右边跑的，就是越来越大，那 x 呢，肯定是大于 m 的 啊，求 m 呢，和上面一样可以带入啊，我们带到这里面来啊， 那就是三等于负的二 m， m 等于多少呢？负的二分之三，所以我们这个结论啊，但这要保持一致啊，有等号就要保持一致， x 大 于等于负的二分之三。哎，所以这个结果呢，哈，这个解集我们就写上了。

利用一次函数的性质求参数的范围，是我们八下数学常考的填空题，那这种题呢，需要我们对于函数的趋势以及两点坐标，或者是多个点坐标之间的一个关系要非常的熟练。 那今天我们来看一下这种题怎么做。现在看一下题目，这里有两个点， a b 两个点是关于我们这个函数图像上的两个点，而且当 x 一 小于 x 二的时候，对应的 y 一 也会小于 y 二，让我们求 m 的 取值范围。 那解决这种问题呢？首先第一步要通过他给出来的两个点， x 和 y 之间的关系，得出他这个图像的一个趋势。 那么现在看一下啊，回顾一下这个依次函数的图像趋势是什么东西呢？实际上就两种，一种呢，从左往右就是上坡的趋势，像这样子呢，就是 y 会随着 x 的 增大而增大， 那这个时候是有什么决定的呢？就是我们前面我们依次函数里面的 y 等于 k， x 加 b， 这里面的 k 就是 x 前面的系数决定的 啊，那这个时候 k 就是 大于零的好。第二种呢，就是从左往右是下坡的趋势啊，这个时候呢， y 会随着 x 的 增大反而变得越来越小，那这个时候我们的 k 啊，它是小于零的 好，那所以通过这个我们就可以得到啊，哎，这个它的趋势是怎样子的，我们来看一下啊。他说 x 一 小于 x 二，那那就是 x 一 到 x 二的时候变大了， 那对应的 y 一 也小于 y 二，那也就说我的 y 一 从 y 啊，从 y 一 变到了 y 二，它也变大了，那也就说 x 变大的同时， y 也变大了，那就是 y 随 x 增大而增大。 哎，那我们就得到了这个趋势啊，增大二，增大就意味着 k 大 于零，那在我们这个节制里面啊，啊， y 等于 k x， 我 这个 k 是 什么东西呢？对应的就是这里的 m 加上一， 那也就意味着我 k 大 于零， m 加一这个整体呢，也是大于零的， m 就 会怎么样呢？大于负一，所以我们这个的范围啊，就是 m 大 于负一就可以了。

这种意思，函数与等腰三角形存在性结合的问题，一定会在我们期末当中出一道压轴大题，那其实这种存在性问题咱们解析是有技巧的，今天依依老师教大家三步轻松搞定。 那有关于我们一次函数这里常考的题型，老师给大家做了一个系统的总结，一共有十大类，如果咱们孩子对于这种复杂的函数压轴题还经常没有思路，不知道该从何入手的话，家长们一定要先带着孩子学方法，然后同源精练 学透一类题，就相当于让我们的孩子少刷一千题啊。下面咱们就来一起看一看这道题目。 在平面直角坐标系当中， ab 的 解析式告诉你了，与 x 轴交于点 b。 好 了，现在啊，第一个让你求 ab 的 表达式和 a 点与 y 轴交点的坐标白给你分了，因为点有了坐标，这个解析式有了，直接代入就可以求出解析式了， 所以这里 ab 的 解析式我们直接就可以求了，直接咱们对答案是负的三分之一， x 再加一， 那直接令我们对应的啊， x 等于零，就可以求出它与 y 轴的交点了，哎，与 y 轴的交点不就是哎对应零逗号一吗？对不对？ 那 a 点和 b 点对应的坐标咱们都已知了，咱们主要看第二个问，当 a p b 为等腰直角三角形的时候，哎，直接写出点 p 的 坐标，那他是等腰值，他说没说，谁是那个直角， 他没说。所以你必须讨论当 a 为直角， b 为直角， p 为直角的三种情况，那根据我们讨论出的三种情况，可以分别画图，哎，这个是 p 为直角， a 为直角，同样在这里 b 为直角的情况，如果是 a 为直角，因为它是等腰值，等腰值一定出什么一线三垂直啊，对不对？所以有了对应的等腰值在这咱们就可以找到左右两侧的三垂直全等， 对不对？ a 点是零逗号一，这是一，这是三，所以这就是三，这是一，这个屁点的坐标画出图直接就可以求答案，是多少啊？ 一四，对不对？同样这里也比较容易，因为这还是一个三垂直模型，这是一，那这就是一，这是三，这就是三，那屁点的坐标不就是四逗号三了吗？ 主要是第一种情况，这个时候他是怎么来的啊？咱们这两种情况都可以根据两垂直来去 去做那个直角的顶点，但这种情况直角怎么来的？他其实是应用了我们圆的性质，叫做直径所对的角为直角啊，直径所对角为直角， 所以在这里面，咱们把 p 点画出来之后，求 p 点的坐标就容易了。还是一样，我们可以构造三垂直，向 p 点左右两边 x 轴、 y 轴做垂线。由于我们在这个图当中啊，三垂直在哪呢？ 是不在底下呀，对不对？所以我完全啊就可以把这一段的长度给设出来，假设它是 a， 可不可以？那由于这一段的长度是三，所以这一小段的长度咱们就可以做出来啊，是多少呢？是三减 a， 看没看见 好了，那这是 a， 这是三减 a， 这是三垂直，对应边相等，这两边相等，这是不是就是 a 呀，对不对？所以你会发现，哎，这段的长度咱们就可以表示出来了，因为这是三减 a， 这也是三减 a， 这是一呀。 所以你会发现这道题的等量关系就出来了，我们想要求 a 的 值，是不是可以利用？嗯，对应这两边相等去求啊。左边这一边它的长度就是三减 a， 再加一嘛， 对吧？右边这一边的长度不就是 a 嘛，所以求 a 的 值就行了。二， a 等于四， a 的 值不就等于二了嘛。 a 等于二，那屁点的坐标就有了，不就是二了嘛。 所以像这种题目咱们一定要注意啊，分情况讨论之后，遇到我们对应的等腰值出三，垂直构造全等，利用边角关系相等，就可以快速的求出答案。

一次函数的共乘问题是我们每年期末几乎是必考的题型啊，是必考的一个压轴题，他要求呢，我们对正比例和一次函数的图像要非常的熟练，还要求我们能够清晰的探讨他们这样的关系，特别像这种题目，他给你一个双重 buff， 给你叠加 buff 啊， 那又怎么样呢啊？原本定义当中 y 点 k 加 b， 那 我给你个解释，也有 k 也有 b， 那 这 k 和 b 之间到底是什么关系啊？很多同学就搞不清楚，那今天的话，我们一步一步给大家讲清楚，那在讲之前的话，我们现在回顾一下这个正比例和一次函数的图像， 那总的来说，我们正比例和一次函数呢？总共有六种图像，正比例呢有两个，一次函数呢有四个， 那这里呢？影响他们这个图像不一样的一个因素在哪里呢？就是两个字母，一个是 k， 一个是 b。 我 们先来看一下 k， k 无论是在正比例还是在异次函数，他们影响的东西都是一样的，就是趋势。 什么叫趋势呢？就这么从左往右来看，像这种呢就是上坡啊，上坡，像这种呢就是下坡，下坡，下坡。那这个呢，就 k 来解决啊， k 来决定。那上坡的时候呢， k 统一都是大于零的啊， k 都是大于零的， 下坡的时候呢， k 都是小于零的，这只 k 都是小于零的。好，那这个 b 这个字母决定的是什么东西呢？这个决定的是与 y 轴的交点位置 啊，交点位置，那如果说我这个图像与 y 轴交在这个地方，这是 y 的 正半轴，那你比如说这个也交在正半轴，那 b 也是大于零的， 那像这种呢，它交在这个地方是 y 的 负半轴，那就是 b 小 于零啊，这个呢，也是交在 y 的 负半轴， b 也是小于零的，那你看啊， k 和 b 共同就影响到了我们的六个图形。 哎，那你说，哎，我知道你的 b 去哪里了，那也就说它经过原点，相当于歪着胶带的这个零这个地方，说明此时 b 是 等于零的，所以我们的正比例里面没有这个 b 字母啊，所以我们要弄清楚啊，这两个图形， k 和 b 是 怎么影响的？好，接下来我们回到这个题啊， 来看一看。那要解决这个问题呢，首先我们要弄清楚 k 啊，我们这里我特意用红色来标出来的啊，我们定义当中的 k 是 决定了它的趋势的，定义当中红色的这个 b 决定了它是与 y 轴的交点位置的， 那他现在给出来的这个黑色的 k 呢？哎，也是我们这个 x 前面的，所以这里的红色 k 和这个黑色的 k 是 一样的道理 是等同的啊。但是呢，后面我这个红色的 b 在 这个地方表达式里面对应的应该是负 b， 比如说这个表达式里面，负 b 这个整体决定的与 y 轴的交点位置 啊，好，来到这里，正比例呢，也是这样，我红色的这个 k 啊，就是我们定义当中的 k， 它决定的是趋势，那在这个表达式里面，它等同于负的 k 分 之 b 这个整体，那这个整体决定的趋势好弄明白的这个东西呢，接下来我们要采取两步， 我们就用假设法，哎，我们从 a 答案开始，那假设其中一条，那是正确的，我们可以得到 k 和 b 的 一个取的范围。然后第二步呢，我们就把它带入到另一个函数里面，去验证它是否是正确的。那比如说，我们看从 a 答案出发，我就假设依次函数啊， y 等于 k， x 减去 b， 它是正确的。我们从它的图像上来阅读一下啊。你看，首先看趋势，它是上坡的，说明我这里的 k 是 大于零的。 然后其次看到与 y 轴的交点，哎，很明显交在负半轴。我们说了这里的影响与 y 轴的交点是我们的负 b 啊，所以此时应该是负 b 小 于零， 那么 b 呢？就是怎么样啊？就是大于零的。好，我们知道了 k 大 于零， b 也大于零，那么就验证一下此时我的这个正比例，它的图像对不对？ 那你看啊，啊，我 k 大 于零， b 大 于零，说明 k b 同号，同号为正，再添加一个负号，说明我这个整体是怎么样呢？是小于零的。那小于零的话，那个趋势应该是怎么样？下坡， 那你很明显啊，这个证明就是上坡的，所以怎么样啊？不符合，不能共存，那就是去掉。我们再看一个 b 答案，我们依然假设这个 依次函数，它是正确的。那首先看趋势，从左往右是下坡，说明 k 是 怎么样呢？小于零的交点在正半轴，我们交点是由负 b 决定的，负 b 大 于零，反过来 b 就 怎么样呢？小于零。 好，那么现在来验证这个正比例啊， y 等于负的 k 分 之 b x， 那 你看 k 小 于零啊， k 小 于零， b 也小于零，同号哎，同号为正，再加上一个符号就是负啦，小于零，小于零的话，它应该是下坡，结果它还是上坡，还是不行， 我们再看 c 答案， c 答案呢？我们假设一次函数正确， y 等于 k， x 减 b， 首先看趋势，下坡 k 是 小于零的，看焦点， 焦点负 b 是 怎么样呢？就在正半轴大于零，那 b 就 怎么样呢？小于零。好，那这个时候我们来验证一下这个一次函数啊， y 等于多少呢？负的 k 分 之 b x。 那现在我们知道 b 小 于零， k 也小于零，也就说 k b 同号，同号为正，加上一个负号，整体是小于零的。小于零就意味着我这个正比例啊，应该是下坡的趋势，哎，好，哎，很明显啊，这就是下坡的，你看就符合要求啦， 符合要求说明它是什么呢？能够共存，能够共存，那就正确了。所以这个题选择啊， c 答案，大家自己去验证一下。

依次函数的应用题，是我们八下期末必考的应用题啊，今天我们来讲利润最大问题，哎，这一道题也是之前的一个期末考试真题，你看，他也是结合了当年的一个热点啊，冰墩墩，雪融融。哎，上一个我们讲的是 另外一个热点啊，荔枝，那今年大家也要关注一下，今年我们有没有后续有没有一些热点的新闻啊，也有可能结合来考，然后看一下啊，这道题， 他说啊，在三月呢，购进一批冰墩墩，雪绒绒，已知呢，一个冰墩墩啊，进价比一个雪绒绒要多七十块钱啊，这是一个关系。然后购买八个冰墩墩和十五个雪绒绒，金额一样啊，这是一个等量关系。那下面看第一问啊，第一问， 选啊，第一问，他说求冰墩墩和雪融融两种玩具的进价分别是多少？按道理来讲呢，我们可以算 x， y 也是可以的，但这个地方呢，我们实际上用一元方程会更简单，因为他题目当中明确了这个啊，冰墩墩、雪融融之间是有关系的。而且呢，你看啊，这里 说冰墩墩进价比这个什么样啊？雪绒绒多七十块钱，那我们可以选择设其中一个为未知数，而且通常我们设的是后面那个量为 x， 比如这里面我们设的是雪绒绒为 x， 那 这时候我们的冰墩墩呢，就是 x 加上七十。 好，这里是未知数啊，接下来我们就列方程啊，未知数呢，只有一个，我们只需要一个方程就可以解决了，所以这里有一个关系式可以列方程啊，八个冰墩墩，八个冰墩墩，就是八乘以多少呢？ x 加上七十等于十五个，雪绒绒就十五 x， 那这个呢，很好解决啊， x 就 等于八十啊，这是我们的雪绒绒的啊，八十，那所以呢，这个八十加上七十呢，等于一百五啊，这是我们什么样呢？这是我们冰墩墩的钱，对吧？一百五十 啊，答，我们要答啊，冰墩墩一百五十块啊，雪绒绒八十块啊。第二问，我们的最大利润啊，来了， 那依然是啊，我们第一步设未知数，列关系式啊，列不等式，求范围，我们现在设未知数，他说两者完全共四十只，哎，这比上一个题呢，哎，就上上题要简单一些啊，我们就可以设其中一个啊，我们可以设冰墩墩 m o， 许蓉蓉呢，四十减去 m o， 依然要设未知数啊 啊，四十减 m 个，然后还要还要特别要设一个。什么样呢？设它的利润啊，利润，设它的利润为 w 元啊，设利润为 w 元。好，接下来我们就先列这个关系式， 这个总的利润应该等于怎么样呢？两个部分啊，冰墩墩的钱，雪绒绒的钱。冰墩墩，他的进价是多少呢？哎，是一百五，卖多少钱呢？卖两百块，所以他一个的利润就是两百元，一百五就是五十块钱，有 m 个五十 m， 再加上呢雪绒绒，哎，卖呢一百块，进呢八十块，每一个就是二十块钱的利润，四十减去 m， 最终化简一下啊，化简一下应该是三十 m 加上八百，哎，不等这个关系式呢，我们就列出来了啊，接下来我们去找不等式，求 啊，范围不等式哪里呢？你看这里有不超过这个字样？没有哎，不超过就是小于等于的意思，但是够进这个，那就是进价喽啊，总共不能超过三千五， 那么看啊，冰墩墩进价是一百五，那是一百五十， m 加上，哎，雪绒八十块钱的进价有四十，减去 m 个，最终要小于等于三千五，那最终 m 算出来应该是怎么样子的呢？ 小于等于七分之三十，好，有了关系式，有了范围，接下来我们就要通过函数的性质求对值，那么因为 m 什么样呢？ 呃，这个地方啊，因为我们的三十是怎么样呢？大于零的，而且 m 为什么啊？为整数啊，为整数。 那所以呢，我这个当怎么样呢？当 m 等于多少的时候啊，我这个 w 会有最大值啊，它有最大利润嘛，对吧？那么要知道，当这个前面这个系数啊，我们 y 等于 x 加 b 里面啊， 我这个系数大于零的时候， y 随 x 增大而增大吗？那在这个题里面，就是 w 会随会随着 m 的 增大而增大，所以 m 越大，我的利润越大，那所以在这个范围内，我要取到的 m 应该是这个范围内的最大值， 那么呢，先估一下，七分之三十应该是多少呢？应该是四点几，对吧？四点几的话，在这个范围内的最大值应该是谁呢？是四啊，所以当 m 等于四的时候呢，我这个 w 就 什么样呢？有最大值啦 啊，有最大值，那最大值的话，他并没有让我们求这个最大率是多少，所以在这里就可以结束了啊，所以打打这时候我们的 m 是 谁呢？ m 是 冰墩墩啊，等于四个，那雪绒绒呢，一减就到了三十六个的时候 啊，那我们的这个利润就会最大，哎，所以依然是这个格式啊，就先列关系式啊，求范围，然后通过函数的性质来探讨最值。

八下数学最难的一次函数，八大题型全部吃透，逆袭班级前三，八年级数学依次函数应用必考八大题型，专列题型一，分配方案问题 题型二，最大利润问题题型三，行程问题 提醒四，工程问题 提醒五，吊运问题完整版分享！

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我们说观谁谁不变，原点是不全相反啊。来我们看一下，先看第一个，说一次函数 y 等于负二， x 加三的图像，关于 x 轴对称图像的函数解析式为谁？ 好，那我们说关于谁谁不变，另一个变相反，那么关于 x 轴对称，所以 x 不 变， y 变相反，也就是负 y 等于负二， x 加三，那你把它整理一下， y 等于谁？ y 等于二， x 减三，对不对？ 所以是 y 等于二， x 减三，好，再看第二个一次函数 y 等于 f， x 加二图像，关于 y 轴对称的函数解析式 关谁谁不变，另一个变相反，关于 y 轴对称， y 不 变，那么 x 变相反，就是 x 加二。 好，这是第二个。再看第三个说一次函数 y 等于 x 减三的图像，关于原点对称的函数形式。 好，那我们说观谁谁不变，原点是不全相反啊，对吧？所以关于原点对称， x y 全变相反，那么就是负 y 等于负， x 减三，整理一下，就是 y 等于 x 加三， y 等于 x 加三，你看掌握技巧的话是不是很简单？好，那今天的这道题目大家听懂了吗？

一次函数的应用题，是我们八下期末必考的应用题，今天我们来学习它其中内容费用最低的问题， 下面来看一下这个题目啊，这是我们珠海去年的期末考试题，那他说去年有个热播电视剧长安的荔枝啊，你看这个东西就每年都会出现一些与热点的内容相结合的题目啊，这个这题出的挺好的啊，这个珠海， 那么现在看一下，他现在要运荔枝啊，运这个荔枝，现在呢有两种的方式，一种是走水路，一种呢是路路， 那走水路的时候呢，有百分之三的损耗，走路路的时候呢，有百分之五的损耗来，他现在说如果要用五艘船，十辆马车来运输这两百筐的荔枝，中间不改不改变这个运输方式，最终的损耗是八，呃，八筐， 我们看第一问啊，他说问每艘大船是多少筐啊？每辆马车可以运多少筐。那看到这个问题呢，那就是问什么就设什么就可以了啊， x 筐， y 筐啊，我们要设未知数啊，设， 那接下来呢，我们就列方程啊，那有两个未知数就要列什么样呢？两个方程啊，我们要找到两种关系，这种关系呢就是要总共要运两百筐啊，五辆的这个五艘船，那就是五 x， 加上十辆车，十 y， 最终等于两百筐。 第二个呢就是它的损耗，总共损耗了八筐哎，那这个水路呢，损耗百分之三，那就在这个基础上乘以百分之三。 那露露呢，损耗百分之五，那就在这个的框数基础上乘以百分之五，最终刚好等于八框。损耗。好，方程列出来，了解得 最终减出来 x 和 y 分 别等于多少呢？你像这种啊，非常大的时候，我们在运算的时候，我们可以有点小技巧，我们可以怎么样啊？两边同时乘以一百，把它改变一下，里面乘以一百啊，那就是这里剩三三五就是十五， x 加上啊，五乘十就是五十，等于多少呢？等于八百对不对？ 然后我们再同时呃约小一点，同时除以多少乘以五，呃，大家去算一下对吧？ 应该是一百六，对不对？好，那接下来你看这个和这个就可以直接相减相加，对吧？所以这地方我们就过程就不再详细讲啊，最终啊， x 等于二十， y 呢？是等于十的啊，等于十的。 好，那接下来呢，我们来看一下啊，打这个自己去打啊，那就说我们每辆大，每艘大船呢，能够运二十筐，每辆马车呢可以运十筐啊，这我们的第一问，那第二问就是我们今天重点了啊， 他说水路运输啊，每艘大船需要一千两百文，山路运输呢，每辆马车的费用是八百文，为了控制成本， 总的运输费用不能超过一万四。看到这个不能超过，要注意啊，我们给他标注一下啊，不能超过的意思怎么样啊？就是小于等于的意思，小于等于一万四千文，而且大船的数量不超过，你看又有不超过了，这又是一个不等关系啊，就小于等于 吸收啊，那么恰好运完了这两百筐的荔枝啊，而且不考虑损耗的情况下，该如何安排大船和马车的数量才能使得这个费用最低。 那这个时候呢，我们一定要有函数的思维啊，既然有函数，我们就要去，怎么样呢？就要去列关系式了啊，然后列了关系式，要探讨最值的话，那也求范围呀，所以第一步我们先去啊，设未知数啊，列关系式，那设谁呢？既然安排大车大船和马车的数量，我们肯定要设未知数啊， 那么可以设大船，大船是多少呢？因为前面用了 x y 啊，我们用 m 啊，然后这个马车呢？ 马车这个地方要注意啊，因为他这个题稍微的哎，难度增加了一点，他不像以前啊，说这两个相加总共有多少多少收，对吧？多少量，他没有这样子，他什么都没给，只是给了一个， 给了一个怎么样呢？恰好是两百筐，给了一个总的筐数，所以这个地方我们必须得通过这个筐数要再去表示我们马车的数量。这马车数量怎么表达呢？就是我总共两百筐， 我马这个大船呢，有 m 艘，它运了多少筐呢？我们知道大船一艘是二十筐嘛，所以它运了二十 m 筐一剪呢，剩下的就是马车的这个运的筐数，那再用这个总的马车的筐数除以它每一车能运的 啊，运的是多少呢？是十筐。那这个时候呢，我们就可以表示出马车的数量了，我们可以化简一下，它得多少呢？就是二十，减去二 m 啊，我们可以要打上这个小框，哎，这个是量对吧？ 那个是收，那还有一个呢，就是费用啊，说他的费用为多少元呢？费用为 w 元，一般是这样啊，收尾数我们就收完了啊，这个地方相对于他增加的一个难点，我们要注意一下啊， 那接下来呢，我们叫列关系式， w 等于什么样呢？费用分成了两个部分啊，大船的费用和马车的费用。呃，每收呢是一千二，那就是一千二百 m， 这个马车呢，每每一辆是八百八百乘以二十减去二 m。 那 么接下来化简一下啊， 一千二啊，我们这里减去一千六，对不对？负的四百啊，四百 m， 再加上一个一万六 啊，一万六。好，这个关系式出来之后呢，我们探讨他的最大值或者最小值得求范围范围在哪里呢？就是刚刚我们标出来的这两个啊， 那接下来求范围范围的话，有两个，一个是他的费用，费用实际上就是这个啊，负的四百 m 加上一千啊，一万六，要小于等于一万四。还有一个呢，这个大船的数量，大船就是我们的 m 啊， m 要小于等于七。 好，那接下来呢，我们就把这边擦一下啊， 那接下来我们就解得把这个解出来， 解得我们的 m 呢应该在哪里呢？是大于等于五，小于等于七的。好，有了不等关系，接下来我们就要通过函数的性质来求对值啊。接下来我们要这是一个固定的模板，因为怎么样呢？先说一下这个前面的系数， 负的四百是小于零的，所以当我们的 m 等于多少呢？那么要知道啊，在这个一算数里面，我们这个系数小于零的时候，那这个 w， 也就是我们的 y 会随 x 的 增大而减小，对吧？那在这个里面就相当于说是 w 随着 m 的 增大而减小， 你想啊，增大而减小，我 m 取多少的时候他会最小呢？肯定是取的是最大的那个，对吧？在这个范围内最大的那一个，那么就肯定取是七啊，当 m 等于七的时候，这个 w 啊，有怎么样呢？有最大值 啊，最大值，那既然要求最低费用是多少，我们就得为多少呢？那么就需要把这个 m 等于七啊，带到我们这个表达式里面去，那这个求出来的就是负的四百乘以七，哎，再加上我们的一万六，最终是一万三千两百。 好，那接下来我们就要打，对吧？他说怎么运输啊？啊，怎么安排啊？就是当这个大船有多少收嘞啊？为七收 啊，为七收，那我们的马车有多少呢？多少辆啊？相当于是二十，减去二乘七啊，就是六辆，对不对？有六辆是费用呢？最低啊，有最低费用， 有最低的费用，费用多少呢？一万三千二百文啊，这里是文， ok， 所以 这里的话我们要，哎有怎么样呢？依次函数的这种探讨的意识啊，要知道是怎么探讨的，大家反复看一下这个过程和解析的一个思路。