南通七下几何教学

初中还剩最后一个月了，还没给孩子准备这本初中几何模型图描写的。家长注意了，初中几何无非就考这六十个模型，初一八个模型，初二三十三个模型，初三十九个模型，提前吃透了！初中三年的数学不用愁，像燕尾模型、猪蹄模型、 风筝模型、锯齿模型、八字模型、将军银马模型、胡不归模型等，这些模型老师在课堂上因为时间原因不会系统讲解，但考试一定会考到，怎么办呢？推荐给孩子准备这本初中几何模型图描解。他把初中常考的几何模型都整理好了，每个模型都做了图形拆解， 结论是什么，怎么推导出来的，辅助线怎么话都讲的明明白白，看不懂的还能扫码看视频讲解。最关键的是，他还用典型例题做了详细的剖析，辅助孩子更好的理解掌握模型。 最后再搭配一本练习册，里面精选了各地考试专题，帮孩子巩固所学知识，把这本书吃透了。初中三年所有几何题，孩子都不怕！

来看到解绝对值不等式的题目，已知这个绝对值大于等于一，小于等三，让我们来求 x 的 取值范围。那么这道题目呢？大家可以利用去绝对值符号，然后分类讨论的方法来解， 也可以利用绝对值的几何意义来减，当然用绝对值的几何意义会更简单一些。那什么是绝对值的几何意义？我们说 a 减 b 的 绝对值，它表示的是竖轴上的两个点 a、 b 之间的距离。好，那 x 加二的绝对值表示什么意思？这是减， 这是加。我是不是要先把这个加给它改成减，它可以写成 x 减 负二的绝对值，所以它表示的是 x 到负二之间的距离。那我们把这个不等式给它翻译一下，就是到负二的距离在一和三之间的 x 的 取值范围。 好，那我先在数轴上把负二表示出来，这是负二。咱们先看到负二的距离等于一的这个点有谁？ 一个是负三，一个是负一，那么这两个点到负二之间的距离都是一好。再看到负二之间的距离等于三的点有谁？一个是 负五，一个是一好，那么这两个点他到负二之间的距离都等于三。那我现在要求谁？我是不是要求到负二之间的距离在一和三之间？那你看 这一段它到负二之间的距离是不是在一和三之间？那么这一段的点到负二之间的距离也在一和三之间，所以 到负二的距离在一和三之间的 x 的 取值范围就是 x 大 于等于负五小于等于负三，或 x 大 于等于负一，小于等于一。今天的这道题目大家听懂了吗？

我们接下来看这边的另一个模型，也是比较常遇到的飞镖模型，并且我们考试的时候，大体里面会经常遇到飞镖模型。第一种，已知四边形 a、 b、 c、 d。 角 c 等于角 a， 加角 b 加角 d。 那 么这个是结论，我来带你们看一下怎么去证。第一步我们应该是连接 a、 c 并延长， 延长以后我们会得到什么？角一， 角一是等于角二加角 b， 角三是等于角四加角 d， 然后角 c 的 话是等于角一加角三的，所以我们角 c 应该是等于角二加角 b 加角四加角 d。 然后我们再看角二和角四， 角二加角四是等于角 a， 所以 我们的角 c 是 等于角 a 加角 b 加角 d。 这是第一种方法，然后还有一种乘法，我们来看还有一种乘法的话，我们是延长 b、 c。 交这边于 e， 那 我们找 c、 e、 d 是 这个三角形 a、 b、 e 的 外角，所以找 c、 e、 d。 等于角 a 加角 b。 然后再看这边这三角形， 它的外角刚好是我们的角 b、 c、 d。 角 b、 c、 d。 应该是等于角 c、 e、 d。 加上角 d， 那 就等于角 a 加角 b 加角 d， 所以 也就是我们角 c 等于角 a、 加角 b 加角 d。 然后第二种就是一个升级版啊，在我们非交模型的基础上，又加了一个角平分线，两个角平分线的交点。我们来看已知四边形 a、 b、 c、 d。 线段 b、 o。 平分角 a、 b、 c。 线段 o， d。 平分角 a、 d、 c。 则角 o 等于什么？ 等于二分之一角一加角 c。 那 这时候我们来看前面一个飞镖模型的结论，我们依旧是可以用的。然后我们来看一下这道练习，在社会实践手工课上，小明同学设计了如上图这样一个零件，角 a 等于五十二度，角 b 等于二十五度，角 c。 等于三十度角 d 等于三十五度，角 e 等于七十二度。让我们求角 f 来，先把条件标一下， 这边五十二度角 b。 二十五度角 c。 三十度角 d。 三十五度。那我们来看我们的飞镖模型是怎么样的？这样的，那这边这样。但是我们可以试着把这样延长，把 b、 e 和 c、 f 延长以后会有一个飞镖模型，对吧？ 或者我们飞镖模型下面是这样的，现在有两个这样的箭头，我们可以试着连下 a、 d， 对 吧？好，那我们来先看连 a、 d 的 话， 把 a、 d 往这一连，那么还有个角 e 标，角 e 是 七十二度， 角 e 是 等于角 b 加上角 a、 d、 d。 加上角 b a、 d。 然后我们的角 f 是 等于我们的角 a、 d、 f。 加角 c。 加角 d a、 c。 如果我们把它们都加起来，角 e 加上角 f， 应该是等于角 b。 加角 c。 加角 b a、 d。 加角 d， a、 c。 再加角 a、 d、 e。 再加角 a、 d、 f。 那 么这时候我们来看啊，我们的角 e 是 七十二度，加上我们的角 f 应该是等于这边的角 b 是 有的，二十五度加上角 c， 三十度角 b a、 d。 加角 d a c d a d d a、 c 刚好就是角 a， 那这边也就是五十二度，再加我们的角 a、 d、 e 和角 a d f a d， e 和 a d、 f 加起来刚好是我们的角 d， 也就是说加上三十五度。那这时候的话，我们的角 f 是 不是就好求了？我们的角 f 应该是等于 二十五度，加上三十度加五十二度加三十五度，减去我们的七十二度，应该是刚好等于七十度啊。 那么这道题就是一个飞镖模型的应用，那么接下来又转化到我们上一次的一个四毫米， 依旧是留给大家去试一下。如图，若角 eoc 等于一百一十五角 a， 加角 b， 加角 c 加角 d， 加角 e 加角 f a b c d e f。 这六个角，它们的和应该是多少呢？ 既然前面一个结论依然可以用，那我们可以得到什么？角 o 应该是等于这个角加这个角加这个角，那这边和这边等，这边和这边等，我们可以简单标一下， 这边是阿尔法，这边阿尔法这边贝塔，这边贝塔，那他就应该是角二法加角 a 加角贝塔，那么角二法加角贝塔是不应该转化成角 o 减角 a， 对 吧？然后我们刚才是这个里面，接下来我们再看这个里面， 角 c 是 等于两倍的角阿尔法加上角 a 加上两倍的角贝塔，那么两倍的角阿尔法加贝塔是等于角 c 减角 a。 所以 我们角阿尔法加角贝塔应该是等于二分之一，括号角 c 减角 a。 然后这边是相等的， 所以角 o 减角 a 等于二分之一角 c 减二分之一角 a， 所以 我们的角 o 是 等于二分之一角 c 加二分之一角 a， 也就是我们对称的角 o 等于二分之一角 a 加角 c。

一起来看一下这一道折叠问题。折叠问题呢，是我们县级段学习当中是非常重要的题型，经常会考，无论是大考小考啊，都是会以压轴最后一题的形式出现， 一般考十二到十四分啊，很多同学基本上要扣大部分的分，所以我们一起来看一下啊，从如何去分析这种题目，以及看看他的坑在哪里好，先来看一下，他说这个呢，图一啊，是一个等腰三角形， 看啊，是这个等腰三角形 a、 b 跟 a、 c 相等，并且两个底角是七十度啊，上面已经给我们了，我们顺便给它标上。 其实现在看第一小问，前面两个小问还是比较简单的啊，主要是第三小问，这 啊比较复杂的是如何把这个图给画出来。先来看第一个，他说如图这个图，他说直线 a、 p 是 什么？直线 a、 p 和线段交于这个地点，说将三角形 a、 b、 d， 那 就是左边这个小的三角形，沿着这个虚线呢，就是我们的折痕， 也叫对称轴，对吧？进行翻折，使得 a 和 b 和 c 重合，那也就是说我们这个等腰三角形沿着某一个折痕，要保证两个底角的这个顶点是重合的，那应该是怎么 怎么去折叠啊？肯定是我们的对称轴，是不是这个垂线啊，也是高，也是角，平分线，是三线合一。那这个第一小问就很简单啊，他说使得 重合，所以我们的折痕是这样子的， ap 就是 这条线，并且焦点呢是 d 是 垂直的，是因为它是一个等腰三角形。现在问的是什么？ bd 和 bc 的 数量关系，那 bd 和 bc 是 不是中点啊，那就二分之一的关系了，所以 e、 d 呢，是等于二分之一。 b c。 好， 再来看，他说直线 a p 和 b c 的 位置关系， a p 就是 折痕和这个底边是什么关系啊？垂直啊，三线合一。 好，再来看第二小问，那第二小问，很多同学在这个第二小问当中的第二个当中可能分就拿不全了，我们看看为什么坑到底在哪里？好，来看第二个。第二个，他说如图二还是这个图说 如图三啊？说直线 ap 和这个相交于 d 点，将这个左边的三角形沿着这条折痕翻折到右边的这个位置的时候，说对应点呢？是 b 撇。好，第一个，他说当 a、 b 一 撇，那就是说这条线和 b、 c 是 垂直的时候，现在图上看是不垂直的，当然我们当它是垂直的就好了。说求什么？求 b a d， b a d 是 这个角，这个角刚好是不是我们折叠过程当中的这两个角啊？那角一跟角二是不是就是相等的？那 ok， 而且 这个地方是垂直的，也就是说我们这个角呢，是不是刚好是在一个直角三角形当中，并且底角是七十度的，对吧？那也就是说这个角其实它是一个二十度角，对不对？ ok， 看看它求的什么，求的是 b a d， b a d 呢？刚好是角一，也就是说我们刚刚说的这个二十度的一半，是不是就是十度啊？ 这个呢，是十度，所以啊，还是比较简单的好。同样的，这里有一个问题是什么？就是说他说沿着折痕是 a p a p， 现在图上看是往这个方向的，那这个折痕有没有可能往右边偏？刚刚第一种情况是刚好是正中间的时候，那我现在是往 右边偏的时候，可不可以？当然是可以的呀，对吧？好，那如果这个样子的话，我们的对称点 b 一 撇是不是有可能在上方某一个位置呀？当然他说是垂直，那垂直的话对我们的结果是不影响的，所以这个呢，答案是十啊。这个，但是我们要考虑到他有可能这个 b 一 撇的点是在上方，所以啊，我们简单写一下，就是 这个是七十。好，我们要求的 b a、 d 是 什么？是等于二分之一角 b a b 一 撇的，那 b a、 b 一 撇呢？是等于刚好是九十，减去底角七十，对不对？所以答案是十。好，主要来看一下这第二个。 第二个说，我们来研究一下这个 b a、 d 呢？就是这个角一和哪个角的数量关系啊？ c d b 撇， c b b 撇。好，那这个角是不是跟我们 b 撇所在的位置是有很大关系啊？位置发生变化，那我们的角度是发生变化的，对不对？求的这种数量关系也是很多同学比较头疼的，他根本不知道这数量关系应该怎样把它给找出来， 其实在这个里面是存在着某一个潜在的等量关系的，那这个等量关系呢，需要我们自己去发现，如果这等量关系你能找到了，那我们通过这个等号给他连接起来，是不是就能得到了这两个之间的数量关系啊？好，那现在看刚刚说的他的 b 撇有没有可能是在上方，对吧？那现在呢？是在下方，我们看图三，待会看一下这个 b 撇，当这个 a p， 也就是说这个 折痕往右偏的时候，我们把它图给画出来。好， d， 那 这个时候我们的 b 撇跑到哪里去了？因为它是对称，哎，我们就大概画一下垂直对称的位置，那 b 撇就跑到了这个位置，是不是在 b、 c 的 上方啊？那 c、 c、 d， b 一 撇， c、 d、 b 一 撇变成那个角了，是变到上方的这个角和 b、 a、 d 就是 这两个角的数量关系。刚刚前面呢，前面是这个角一和这个角的数量关系，那这两种情况下，我们只要把它计算出来是不是就可以了？好，我们一起来写一下啊。 这个第二小问的这个第二个啊，就要分类了。第一种情况，当 b 一 撇在 b、 c 下方，我们看第三个图 的时候，这时候是图三。好，现在来看，刚刚说是要找一个数量关系，一个等量关系，是不是？那因为这里是折叠，那折横折叠 是不是有相对应的角是相等的呀？这个是必不可少的，绕不过去的啊。那这个角呢？是不是就和这个角是不是相等的？比如说角三和角四好了？由折叠之角三等于角四 好，我们要求的角是什么？这个所以我们 c、 d、 b 一 撇给它表示出来看看，最终要和这个角一，这个 b、 a、 d 要扯上联系啊。和角一，那好，现在来看一下这个。 从图上来看，我们不是现在要找等量关系吗？这个小的角是不是角四，把这个边边上的这个角给剪了？比如说它是角五，那是不是有这个大的把这个给剪了，这个角又是什么角？是不是角三的零补角啊？是不是这样子我们就可以通过零补角这个等量关系，把它们建立联系是不是？那好，它呢？就等于 什么？等于 a、 d、 b 一 撇就是角四了，角四减去角 a、 d、 c， 角四又等于什么？又等于角三给它替换过来，减去角 a、 d、 c， 那 a、 d、 c 是 什么？是不是角三等于木角啊？那就是一百八， 减去一个角三，给它化解一下，是什么？两倍的角三减去一百八。好，那这个角三当然不是我们想要的，我想要的是什么？角一，哎， 是这个 b、 a、 d 是 不是？那角一跟角三什么关系啊？刚好是三角形内，角和是不是可以挨进去计算两倍的什么？角三？它是等于一百八，把角 b 这个七十给减掉，再把上边的我们想要的这个角一，也就说 a、 b、 d 给减掉 是不是就可以了？好，把它稍微整理一下，这个等于什么？这是一百一，一百一，那就二百二，减去一百八，那就是四十减去两倍的爹地，所以我们最后他俩之间的数量关系，是吗？是不是就他？所以第一个答案就出来了。 好，第二个，刚刚说第二个呢？是什么？第二个是看我们第二个图啊， b 一 撇在上方的时候，就是当 b 一 撇在 b、 c 上方的时候。好，我们看的是图二。 好，那我们同样的来计算一下，看看由折叠之。折叠之。什么？是不是这个角和这个角相等啊？好，这个是角一和角二，那角一等于角二，并且什么？并且我们想要求的这个角和角二拼到一起，刚好是角一的零步角，是不是又可以给它带进去了？所以我们 又是由折叠之，是吗？角一是等于角二的，并且呢，我们来表示一下， c、 d、 b 撇 它是等于什么？是等于这个角一的零补角，那就是一百八减去角一，零补角呢？把这个角二给减掉，那一根二又是相等的，那就是一百八减去两倍的角一，是不是那角一等于什么？角一就可以和我们的 b、 a、 d 成上联系了？一百八把这个七十减了， 那是不是还有把这个角 a、 d 给减了就可以了？好，往里带，就等于一百八减去七十，再减去一个 b、 a、 d， 好，这个再给他稍微整理一下就变成了什么，这个呢是多少？是一百一、二百二，一百八减二百二，那不是负四十吗？那就是减四十，然后这两个负的，那不就正的吗？两倍的 b、 a、 d， 所以这两者的数量关系是什么？哎，又是这么一个情况，所以我们观察一下看看，经常会出现两种分类下，其实就相差一个符号的关系是不是？这是我们第二小问啊，这第二个呢，就是我们易漏的，很多同学想不到这个分类，他只能算出一个答案。 我们来看第三小问。第三小问是很多同学不容易拿分的啊，主要是什么图不会画这个图呢？肯定是要根据他题目的意思，尽可能的按照他的意思去把它表达出来。那好，我们看一下啊，他是说过这个还是原本这么一个 等腰三角形，现在呢，有一个 e、 f 是 平行于 b、 c 的， 说直线 a、 p 还是这个折痕，和刚刚前面是一样的啊，说现在上方的这个小三角形 a、 e、 f 沿着这个折痕 a、 p 进行翻折，翻完了之后就得到了这么一个新的三角形，说，现在的条件是什么？当这个新的三角形的某一条边和 b、 c 垂直的时候， b、 c 就是 这个底边了。好，他说某一边，那我们想到的是三角形有三条边，肯定是三条边分别和这个底边 b、 c 分 别平行一致，是不是？ 如果说这种类型的题目我们做的多的话，可能是说其中某一种情况或某两种情况是有可能舍掉的，但是我们在思考的时候，必须要想到三种情况，还有可能是什么就其中某一种情况呢？哎，还可以，气氛，还有其他的另外两种情况是不是。 好，这个就是我们整体的思路。那现在来看一下这个图是怎么画的啊？三条边，那现在最容易想到的是什么？你看啊，这个 a、 f 这一条边看看 a、 f 刚好，如果这个地方是垂直的时候，那是不是就可以了呀？我们就当它是垂直的，用一下这个图好了，是不是看看它要求的是什么？求的是 b、 a、 d 的 角度，那 b a d、 a d 是 什么？是我们的折痕是不是？那折痕所在的位置是不是就很重要了？决定了 d 的 位置，那也就决定了这个角的大小是不是会发生变化。好，那现在再提醒一下，看看这个 a、 f 垂直的时候是不是刚好属于我们这个第一种情况，直接在正中间垂直的时候折叠，是不是好？提醒一下就可以了。好， 我们再来看看下面两种情况，一撇 f 一 撇和这 a 一 撇分别垂直的时候，图我已经画好了啊，节省一点时间。现在来看第二种情况，这个 a 一 撇呢？ 这条线啊，一撇 f 一 撇是垂直于 h 的， 就是我们画图是怎么个画法优先？因为我们的折痕是会发生变化的，所以你不能确定这个时候我的折痕是会发生变化的，所以你不能确定这个时候我的折痕在哪里，那我怎么办？我要先把这个这条线先给他画出来，然后去找角平分线，就是我们折痕了啊，是 把整体的大概的土豆相对位置给它确定下来，就可以画出来了。然后我们 a p 在 哪里？是不是 f 和 f 一 撇是对应的？ e 和 e 撇是对应的，那刚好是这个角角平分线啊，所以就画出来了，对不对？然后要求的是什么？边的，那就是这个角的度数，哎，就是接下来就是计算的问题了啊，最重要的是图画出来，图画不出来的话，那基本上就解不出来了，还剩最后一条边，那就是这个 a e， 那 a e 看一下啊， a e 垂直的时候，那这个 f 是 不是偏到这边来了？ 那我们折痕到哪里去了？是不是找对应点，然后对应点和这个顶点的夹角的角平分线，就是我们的 a p 是 不是这种情况下是不是也能画出来的？这种情况下呢？而且还比较特殊，就是说他继续在这个变化的这个过程当中，哎，这个 a e 是 这样子垂直的，那有没有可能刚好在他的反向延长线上 刚好也垂直啊？完全是可以的，是这样子下来垂直也是可以的呀，对不对？所以 a 一 一撇垂直的时候，我们还要考虑一下两种情况啊，我们之前做其他题目的时候，也经常会发生会发现有这种情况存在啊，接下来就是我们计算的问题了， 一个个来算一下，每种情况下这个 b、 a、 d 的 角度大小是多少？现在来再来观察一下，看看我们这个折痕它是如何变化的。这个折痕一开始你看啊，比如说它是从这个方向，在这个方向是不是哎？是不是折痕偏的方向以及幅度大小啊？ 是有关的对不对？刚好满足我们垂直的这个条件，好，来计算一下。第一个啊，计算的话还是相对容易一点的， 一般我们计算角度用什么什么来解决的？三角形内角和啊，还有呢，外角性质 以及折叠性质对不对？外角性质以及折叠对应的角相等啊，基本上用这些来解计算的话还是可以的。好，那现在来看一下，看看求的是 b a d， b a d 在 哪里？在这看看这个 b、 a、 d 是 不是刚好横跨了两个角啊？ 这个角和这个角是不是？比如说角一跟角二？好，那现在来看这个角一是什么？角一刚好是在这个直角三角形里头，这个呢，七十度，那我们角一是不是就二十啊？那角一是二十，并且它垂直的时候我们前面有说过，刚好是第一种情况，这种在中间垂直的时候说明什么？说明这个角 这个也是一个二十度，对不对？那好，那现在来看一下，我们要求的边的是一跟二相等，一是二十，角二是多少还不清楚，那角二应该是和谁相等，那是不是和边边上这个是相等呢？相当于是角三啊。好，我们顺便再标一下 角三，那也就是说通过刚刚分析，我们是由折叠之什么二跟三是相等的，是不是好给他写下来？由折叠之角二等于角三，并且是等于什么？是不是和角一这个整体 是并到一下？二加三是不是刚好是角一啊？好，那现在刚刚说这个角一是等于多少的？那这个角一呢？是等于九十，减去一个七十是等于二十，对不对？那二加三 是不是占了角一的一半，所以应该是等于二分之一角一为什么是角一的一半？刚刚说他是不是垂直的时候，刚好是这个三线合一这个高啊， 对吧？在这呀，刚好，那不就是顶角刚好这两相等吗？刚好第二个这边的是二加三啊，二根三又相等于二分之一角一，所以呢，它是二分之一乘以个二十，那不就是十度吗？那我们要求的 b、 a、 d 是 什么？所以 b、 a、 d 刚好看一下它横跨角一跟角二，那角一是多少？二十，角二呢？是十， 所以第一个答案是三十。毫无疑问啊，第一个比较好计算好，再来看第二个，看看第二个。第二个要求的角，我们给他画一下边的，在这呢是这个角。好，那现在来看一下，我们画一个辅助线，这个辅助线呢，就是这个高，因为这个高 可以把上面的顶角是可以平分的，那我们这个取个记号了。好，那这两个角看看这两个角是不是相等的？ 这两个是角一跟角二吧，一根二是不是把这个顶角平分了？那我们就可以角一是等于角二的，是不是一根二相等，并且等于顶角，那这个角底角是七十，那顶角是多少？是不是一百八？减去两个七十，那就一百四，是不是剩下了多少？ 四十啊？所以角一跟角二呢？是在这个基础上把这个平分一下，那就四十，还要乘一个二分之一，那就是二十度。角一跟角二分别都是二十度，我们要求的是 b、 a、 d， 那 b、 a、 d 是 不是还缺一个角啊？是这个角啊，比如说是角三。好了， 角三，也就是说我们接下来要求的这个 b、 a、 d 呢？它是 b、 a、 c， b、 a、 c 是 多少？就是顶角啊，加上角三，那 b、 a、 c 是 等于 刚刚算的是四十加角三，那也就是说想要求出这个 b、 a、 d， 是 不是只要接下来求出角三就可以了？好，那现在来看一下，我们刚刚是因为折叠过去的，是不是？那折叠看看 这个地方不是有 e、 f 平行的吗？那这个角的话是不是应该是七十度啊？它是不是七十？那这个 f 这个位置呢？是不是也是一个七十？你看啊，这个为什么？是因为它垂直于 bc， 这条线也是一个七十。你看啊，这个为什么？是因为它垂直于 b、 c， 这条线平行的，对不对？那这两条线平行，我们又能得到了什么？ 这个是七十，刚刚说的。那还有哪个？是啊，这个角呢？刚刚这个角是多少？这个角的话是和我们的这个角是不是相等的？因为它是同一个三角形吗？底角肯定是一样的呀。好，这个把它上面标上吗？角五和角六 啊，这个边上还有一个角四，给他标上啊。好，那现在来看一下，这个五和六是不是都是？这个和这个角 c 是 一样的，都是七十啊，那这个五呢？再来看一下，五刚刚说的是存在的平行，说明这个角这个角横跨了什么？二三四，是不是横跨了之后，二三四三个加起来跟角五是相等的呀？ 有，刚刚说角五跟角六是相等的，对不对？都是七十，然后刚刚这两条线是平行的，平行就得到了二三四，这三个角加起来是和角五相等的，是等于七十。前面已经把角二算出来了， 是二十，那三和四拼到一起应该是多少？剩下的五十三和四呢？又相等，为什么相等？是因为折叠啊，对吧？所以角三是不是占剩下五十的一半啊？也就是二十五，所以啊，我们由折叠之。角三和角四是相等的，然后并且是等于什么？是二加， 还有角二加角三以及加角四是等于角五，角五呢？又等于角六，是等于七十。 好，那这个呢？角二是二十，带进去加上两倍的角三是等于七十的，所以角三就算出来了，是二十五，那角三是二十五。看一下，那我们要求的 b、 a、 d 不 就有了吗？在这 b、 a、 d 就 等于 就等于四十，加上二十五等于六十五。所以啊，我们第二个答案是六十五就算出来了， 好，计算，来计算下一个看一下，还是这个 b、 a、 d， b、 a、 d 给它标一下。是这个角，我们想要求这个角的大小，现在来看一下啊，这个角的大小刚好在哪里？是不是刚好在这个直角三角形，这个是七十，那这个是二十，对不对？好，那在这个里头我们需要干什么？想要求这个角，是不是需要 需要把这个也求出来啊，哎，刚好因为折叠，是不是这两个角是相等的呀？那也就是说我们要求的这个角是占这个角的一半，这个角是多少？是二十，所以一半是十啊，这个，这个比较简单。好，顺便写写写。这边啊， 我们要求的 b、 a、 d， 它是等于什么？其实就是角一和角二，因为折叠，所以角一跟角二是相等的。我要求的这个 b、 a、 d 呢？它就是角一，是等于什么呢？是等于二分之一，是吗？ b a、 h， 那 b、 a、 h 是 等于什么？二分之一刚好是九十，把角 b 给减掉，七十减了，那就是二十除以二，那就是十，所以这个第三个答案是十。好，再来看一下第四个，同样的，我们把这个辅助线给画上，因为垂直啊， 好，垂直给他画上，看看要求的是什么？要求的是这个是 b、 a、 d 啊，那 b、 a、 d 在 这 要求的是这个角，那这个角我们先把我们知道的折叠的相对应的角相等，给它标上， 这个角和这个角是相等的，比如说是角一跟角二是相等的，对不对？好，那现在来看一下这里还存在着一个什么情况，看看这个 b、 a、 c 这个顶角和这个一撇 f 一 撇，这个顶角是不是相等的？刚刚说这个顶角是四十，那也就是说这个角是不是也是四十啊？ 那好好办了，现在由折叠之，这个角一跟角二是相等的，还有什么？同样的也是这两个角也是相等的呀， 同样的是角平分线啊，对不对？那现在想要求的 b、 a、 d 这个角，它是横跨什么？横跨 b、 a、 c 这个事实加上这个角一，这个角的是不是？那我们想办法给他进行转化一下啊？我顺便给他写一下吧。 这个呢，角一是等于角二的，并且上边这个一撇 a、 f 一 撇呢，它是和 b、 a、 c 是 同样 的，是等于四十度的，前面已经算出来了，然后主要来看一下这个 b、 a、 d， 这个 b、 a、 d， 它是等于什么？是等于。看好了，刚刚已经说了，是等于这个四十度， b、 a、 c 这个四十加上角一是这吧？好，这个又等于什么呢？我们给它转化一下，这个四十 是不是就等于这个一撇 a、 f 一 撇啊？刚刚说的不是相等吗？加上这个什么角一呢？又是角二。好，这两个角拼到一起是什么角？是不是就这个角啊？好，就是一撇 a、 d 叫一撇 a、 d。 好， 我们现在来发现了什么情况？就是这个角和这个角是相等的，我们想要求的角 b、 a、 d 是 等于什么？刚好看看 是不是就是这个角加上这个。因为是总的呀， b、 a、 d 是 不是占这个总的一半呢？他俩是相等的，是不是占了一半？那这个总的是不是就好算了，这个小的是多少？是二十，这个总的是什么？平角一百八，加起来就是两百、两百，然后再分一半，是不是就一百？所以这个答案是一百。哦， 所以我们 b、 a、 d 呢，同样的就等于什么？我们就可以得到了角 b、 a、 d， 它是等于二分之一一百八十度的平角，加上 b、 h、 b、 h 是 二十，所以是二分之一一百八，加上二十 是一百。所以第四个答案，它啊，这题一共是有四个答案的，主要就是要把这个图给画明白。

来，今天来给大家总结一下七下常见的几何模型。首先是这个 a 字模型，什么叫 a 字模型，其实顾名思义就是这个字面意思，像这个字母 a 的 这样的一个图形，那么它有什么结论呢？我们是可以用上的呢？ 假设这个图形，它的结论是这里的两个外角，这两个外角等于假设是角一角二吧，角一加角二，它就等于一百八十度，再加这个顶角 一百八加角 a， 这就是它的结论。那么怎么证明的？其实就是一个外角定律，连续使用两次外角定律，你看角一 是三角形 aef 的 外角好，角二同样也是三角形 aef 的 外角好。很多版本旗下没讲到外角这个概念啊，但是一定要去 提前去学一下，这个外角非常有用，求角度。我们一般是优先考虑外角的 啊，那么外角三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，所以这个角一，它要等于角 a， 与它不，这个是相邻的，与它不相邻，就要这个加这个角 a， 加上角 a f e， 那 么同样的角二，它也要等于角 a， 加上角 a e f， 好，那么角一加角啊，它是不是要等于角 a 加上角 a f 一 加上角 aef， 再加一个角 a 啊？好，这三个是不是正好这是这个三角形 aef 的 内角和啊，内角和是不是就一百八， 所以他是一百八，再加一个顶角好，这个结论在选择填空题的时候我们可以直接使用，但是在解答题的时候不能用，一定要写证明过程。 所以什么叫学霸，学霸就是总结了很多的这样的一个规律，选择填空题，他直接使用，速度就非常快，又快又准。然后解答题，该写证明过程的时候，他写的非常严谨，一步不落。然后我们来看一下这个例题， 如图，在三角形 abc 中， ef 是 abac 上的点，那么角一加角二等于两百一十四度。好，刚才 a 字模型也分析过了，那么角一角二是什么角一角二是三角形 aef 的 外角，对不对？求角 a 的 度数。角 a 是 什么？角 a 是 不是顶角啊？ 在 a 字模型里，角 a 就 可以视作三角形 aef 的 顶角了。好，要你求度数，能看出是 a 字模型的同学，瞬间是不是就跟这个对上号了？ 看不出来的，其实你分析一下也 ok。 求角度是我们四大基础题型，一、求角度，求正角相等这样的一个题型，那么求角度，求正角相等两种方法全等等量代换，等量代换底下又有五个定律好。求角度是优先考虑外角定律和内角和定律。 所以题我们不是做出来的，我们是分析出来的，就是解这道题的所有要用到的所有的知识点以及方法，全都已经提前在我们的知识库里面了，你只要给你的知识库去分分类，搭建成体系，做题的时候就会非常通畅。 好，外角定律，你看角一角二是三角形 a、 e、 f 的 外角，所以连续分两次去写一下就 ok 了。你看角一等于角 a 加上角 a f e， 角二等于角 a 加上角 aef， 所以 角一加角二应该等于角 a 加角 aef， 加角 a f、 e， 再加一个角 a， 也就是一百八十度加角 a， 那 么一百八加角 a 等于两百一十四度，角 a 是 不是口算都能口算出来啊？三十四度。好，我们来书写一下过程。 书写过程之前，我们同样先来分一分模块，这个地方分模块其实很简单了，就是你看一个连续两次外角和定力 带进去求一下就行了。好，求，那我们写解好，连出两个外角的理，角一、角二，我们分开写一下，因为角一是三角形 a、 e、 f 的 外角，你看如图，图上看出来的， 所以角一等于角 a 加上角 a、 f、 e， 这是外角定律。好，下面两个是不是跟上面一样的？同理好，两组等量关系有了，直接加起来是不是就角一角二了？ 你看这个食指跟这个食指相加，得到了它等量代换。那么看一下这个是什么？这个是不是就三角形 aef 的 内角和，所以它应该等于一百八十度，对不对？好，到这里为止，你看简单五个步骤， 这个一外角定，你是不是结束了？好，接下来模块二内角和定力来看，这里 这三个角之和是不是就三角形 a、 e、 f 的 内角和，所以它是不是等于一百八十度？那因为这三角之和等于一百八。如图，你要写内角和定义也可以 啊，所以角一加角二等于一百八十度，加角 a 等量代换，把一百八十度替换掉这三个角之和。好，接下来把角一加角二等于两百一十四度带进去是不就可以了？好，因为角一加角二等于两百一十四度。你看这里已知条件给的 好，所以一百八十度加角 a 等于两百一十四，等量代换两百一十四，替换了角一加角二。好，然后计算一下就行了。一百八加角 a 等于两百一十四，那么角 a 就 等于两百一十四，减一百八三十四度 设计计算等量代换。好简单，五个步骤，第二个模块也结束了，你看到这里为止，整个题目就出来了，因为所以上下对对齐，你看这样是不是非常清晰？好， a 字模型利用外角定力以及内角和定力的证明，搞明白了吧？

来七下的话，我们现在基本上都已经学到最后一章，那我们来看一下这个我们七下经常会用到的几个模型。第一个 a 字形模型，给你一个三角形 a、 b、 c， 然后延长 a、 b、 a、 c 至 e， 然后我们能得到什么结论？ 这边的角一，也就是我们的角 c、 b、 d， 加上我们的角二，也就是角 b、 c、 e 是 等于角 a 加上一百八十度的。那我们来看 怎么证角一，它加上我们的角 a、 b、 c 是 等于一百八十度的，我们角二加上我们的角 a、 c、 d 也是等于一百八十度的，所以我们的角一加上角二， 应该是等于三百六十度。减去角 a、 b、 c 减去角 a、 c、 d， 也就数三百六十度，减去括号角 a、 b、 c 加上角 a、 c、 d， 然后在我们这个三角形 a、 b、 c 中，我们的角 a、 b、 c 加上角 a、 c、 d， 再加上这个角 a 的 话应该是一百八十度。所以这边这两个角我们可以表示成什么？一百八十度减角 a 等于三百六十度，减去一百八十度，再加上角 a， 就 等于一百八十度加角 a， 所以 这个结论是这么整出来的，那我们接下来看一下应用。 首先第一题，如图，三角形 a、 b、 c 中角 a 等于六十五度。角直线 d、 e 交 a、 d 于点 d， a、 c 于 e， 让我们求角 b、 d、 e 加角 c、 e、 d， 也就是说这两个角的和，那我们刚才推出来了，在这个三角形里面， 角 a 加上一百八十度，应该是等于这两个角的和的，所以我们可以直接得出来，它是等于角 a 加上一百八十度，那就是六十五度。加上一百八十度，那就是二百四十五度，所以这道题选 d。 那 我们来看第二个模型，八字形， 八字形的话，它是两个三角形共顶点，并且有两条边共织同在一条直线上，这边的 a、 o、 d 在 同一直线上， b、 o、 c 也在同一直线上，就相当于是两条相交的直线或者线段连接两个端点。 然后这个模型里面我们有什么结论呢？角 a 加上角 b 是 等于角 c、 o、 d 是 对顶角，等于角 c、 o、 d， 这是对顶角， 然后我们的角 a、 o、 b 加角 a 加角 b 是 等于一百八十度的，所以我们角 a 加角 d 是 等于一百八十度。减角 a、 o、 d， 角 c、 o、 d 加上角 c 加上角 d 也等于一百八十度，所以我们的角 c 加角 d 是 等于一百八十度。减去角 c、 o、 d， 所以 角 a 加角 b 是 等于角 c 加上角 d 的。 那么这个八字形的话，在我们七下 后面的题目里面也是会经常会遇到的，包括说到了八上学全能的时候啊，这个八字形模型也是会经常遇到。 然后还有一个是什么线段 a、 p 平分了角 b、 a、 d。 线段 c、 p 呢？它是平分角 b、 c、 d 的， 并且我们的 a、 b 和 c、 d 是 平行的，那么我们的角 p 就 等于二分之一角 b 加上我们的角 d。 这时候我们来看一下这个怎么整？ 因为 a、 d 是 平行 c、 d 的， 所以我们的角 b、 c、 d， 我 们的角 d 是 等于我们的角 b、 a、 d。 那 我们再看给我们的条件什么平分平分这个角和这个角等这个角和这个角等， 那我们怎么正这个角呢？是等于二分之一的角 b 加角 d 呢？其实我刚才做了一个直线，我们来可以看一下过点 p， 过 p 左 pm 平行 ab， 通过我们平行的传递性，我们可以得到什么？ pm 是 平行 ab 也平行 cd 的， 所以我们的 pm 平行 ab 也平行 cd。 那 接下来我们省点事的话，可以标一下几个角，这边一二三四五六， 到了以后我们来看，因为这个 a、 p 平分角 b， a、 d， c、 p 平分角 b、 c、 d， 所以 角一等于角二，角五等于角六。角一等于角二的话，应该是等于二分之一角 b、 a、 d 也就是等于二分之一角 d， 角五等于角六的话，应该是等于二分之一角 b、 c、 d 等于二分之一角 b、 d， 对 吧？然后 因为 a、 b 平行 pm， 所以 角一等于角三 等于二分之一角 d。 角四呢？它就等于角六，是等于二分之一角 b 啊，所以啊呦，我们角 p 是 等于角三加角四，所以角 p 是 等于 二分之一角 d 加二分之一角 b 等于二分之一，括号角 b 加角 d。 那 么这个结论是这么证出来的啊。那接下来我们看一道练习，来看一下 下列结论中啊。我们先看如图， a、 b、 c、 d 相交于点 o， 角 a 等于角 c。 下列结论中不完全正确，不能完全确定正确的是角 b 等于角 d。 那 我们来看 a、 d 和 c、 d 相交，那么角 a、 o、 d 和角 b、 o、 c 相等，然后角 a 又等于角 c。 那 么这三这两个三角形呢？有两个角相等了，那剩下的第三个角肯定也是相等的，所以 a 是 对的，角一它是等于角 a 加角 d。 角一的话是三角形 a、 o、 d 的 外角啊，所以它等于角 a， 加角 d 也没问题，那角二大于角 d， 我 们再来看角二，也是这个三角形 a、 o、 d。 的 外角，所以它等于角 a、 o、 d， 那 它肯定也是对的。下来我们看角 c 等于角 d， 角 c 等于角 d 的 话，这个就不太对了，对不对？所以这道题应该选 d。 我 们再来看另外一个，如图二线段 a、 b、 c、 d， f、 b、 f、 c、 a 组成的平面图形中，角 d 等于二十八度， 这边二十八度角 a、 加角 b、 加角 c， 加角 f a， b、 c、 f 那 么通过刚才的结论可以得到什么？ 这四个角它们的和应该怎么算？我们来看，在这个三角形， 角 b， 加角 f， 应该是等于我们的角 b、 e、 d， 或者等于我们的角 a、 e、 f。 那 我们角 a， 加角 c 是 等于什么？角 a， 加角 c， 或者等于我们的角 a、 g、 d。 我 们来看 这个角和这个角都是这个三角形的外角，那么就看我用红色笔标的这边啊，角 a、 e、 f， 它是等于 角 b、 g、 d。 加上这边用我们的角 e、 g、 d。 加角 d， 然后角 b、 g、 c， 它是等于什么？等于我们的角 d， e、 g。 加上我们的角 d， 所以 由此我们可以得到什么？角 b， 角 a， 加角 b， 加角 c， 加角 f 应该是等于角 d e、 g。 加角 e， g、 d， 加角 d， 再加角 d。 让我们来看， 先是这个角加这个角，然后这个角加这个角，也就说这个角加这个角加两个角 d， 对 不对？那在这个三角形 d、 e、 g 中，这三个角的和它刚好是一百八十度，再加上我们这边的角 d， 那 应该是一百八十度，加上二十八度应该是等于二百零八度，所以这题呢应该选 c。 那么这边还有一个比较复杂一点的啊，让我们求角 a、 b， c， d， e， f， g， h 这六个角的和留给大家去思考一下，然后明天呢，我会再录视频给大家讲解一下思路。

接下期中考试，亚洲一定会考我们平面直角坐标系的动点问题，而这个动点问题直接难倒了我们百分之九十九以上的同学。 那其实也不是孩子笨，而是咱们孩子没有灵活的掌握住我们黄金三步法，所以今天这条视频你一定要认真学完，我们把黄金三步法再学透练透。 那关于坐标系这里呢？某老师也把我们历年的压轴真题做了总结，包括我们的面积问题，找规律问题，还有我们动点问题等等。所以家长一定要帮孩子打印出来，让孩子练透练熟，咱 们期中考试，期末考试直接冲高分！好，下面让我们来看一下这道题目。他说在平面积奥坐标系中，已知点 a 的 坐标零斗二点 b， 四斗零点 c， 二点 p， 从 a 出发，速度是一沿外轴向下匀速运动。 点 q 从 o 出发，速度也是以沿 x 轴向右匀速运动。好在图上我们标注出来它们运动的方向和运动的速度。 接下来又说当点 q 到达 b 点时，停止运动，这一点直观重要，因为你知道 q 到哪了，以及我们的 p 最多最远能到哪。那我们看 q 到 b 就是 从 o 到 b 一 共能走四个单位长度，那它的速度是一，所以说它的时间 最多只能走四秒，那就意味着我们的 p 也能走四秒，那 p 的 速度是一，时间是四的话，最多只能走四个单位长度，也就是说从 a 这里往下走走走走走走，大概最多只能走到负二这里。 ok， 那 继续往后看， 他说时间为 t， 是 否存在这样的 t， 使三角形 b、 c、 q 的 面积是三角形 cop 的 面积的三倍，从现在开始，大家会不间断的遇到这种面积问题，怎么做？第一步，先把面积表示出来， 利用我们的公式法或者是我们的割补法把它表示出来，比如说这里涉及到了两个这样子的面积，我就依次表示三角形 b c q。 好 表示的时候也有技巧注意观察三角形 b c q。 在 这我们优先选择与坐标轴平行或者是重合的边为底，所以在这里呢，我们就以 b q 为底，那它的高就是过点 c 往下做一条垂线， 刚好就是点 c 的 纵坐标二，因此它的面积就是二分之一乘以二，再乘以 b q， 也就是 b q， 再把我们三角形 cop 的 面积也表示出来。一样的，我们优先选择谁为底呢？就是我们的 o p， 所以 在这呢就变成了二分之一 o p， 然后再乘以我们的高，高刚好就是这里的 a c， 也就是二，所 再乘以二就等于 o p。 好， 那继续我们要求 t， 那 现在表示出来了，它是 b q， 它是 o p， 所以 我们的第二步就是要用 t 来表示我们的线段的长度 b q 和 o p。 那 么先来看 b q， 点 q 是 从 o 出发，速度是一， 所以说 o q 就是 它所走过的路程，也就是 t， 那 b q 就是 它 o b 减去 o q， 也就是四减 t， 在 这里就等于四减 t。 那 再来看接下来的 o p。 首先最开始的时候，点 p 是 在 o 的 上方， a p 是 它所走过的路程，是 t， 所以 当点 p 在 它上方的时候，它刚好是二减 t。 哎，那如果点 p 运动了，点 o 的 下方数就不一样了，你来看运动到下方的时候，从 a 出发走到这么远，是 t 减去二哈，那么 o p 此时就变成了 t 减二，是不跟我们以前学竖轴的时候是一样的，要么是二减 t， 要么是 t 减二。怎么办呢？哎，我们可以给它分类讨论，或者是加一个绝对值都 ok。 那 在这我们分类讨论好不好？它就等于 t 减二或三角形 cop 等于二减 t 两种情况。那么第三步我们直接列方程，它是它的三倍，那就得 b， q 是 o p 的 三倍。所以说第一种情况，四减 t 等于三倍的 t 减二。我们解一下方程，变成四减 t 等于四， t， t 等于二点五。再来看第二种情况，四减 t 等于三倍的二减 t。 解方程四减 t 等于六减三， t 二， t 等于一，所以我们 t 一 共两个答案。 ok， 那 今天的内容你学会了吗？我们下期再见。拜拜。

七年级的同学们注意了！三角形必考结论，大边对大角，大角对大边。在同一个三角形里，哪条边最长，他对着的角就最大。 反过来，哪个角最大，他所对的边也一定最长。我们在一个钝角三角形当中，你很明显可以发现，钝角所对的边是不是最长的那条边。记住这句话，做题再也不丢分！记得点赞关注哦！

江苏七年级的娃和家长看一下，很多娃已经在学习最后一章的内容，那最后一章的重难点就是几何相关的几大定律，三角形的内角和定律、三角形的外角性质定律、多边形的内角和定律、多边形的外角和定律以及平行线的性质定律。期末考试压轴题一般会重点考察这几个定律和三角形的倒角模型。 我们通过这一道去年连云港期末考试的填空压轴题，一起来看一下三角形的两大定律和角平分线加角模型的综合运用。如图，将三角形 abc 纸片沿 d 折叠，使点 a 落在点 a 撇处，且 a 撇 b 平分角 abc a 撇 c 平分角 a c b。 若角一等于四十二，角二等于四十六度，则角 b、 a 撇 c 的 度数为多少？我们分析一下条件，因为折叠的第一个性质是对应边相等，对应角相等，所以我们可以得到 a d 等于 a 撇 d， a e 等于 a 撇 e， 而且角 a 等于角 d a 撇 e。 那 第二个性质就是对应点的连线段被对称轴垂直平分，所以如果我们连接 a、 a 撇，我们就可以得到 d、 e 是 垂直且平分 a 一 撇的。分析完这个条件一，我们再分析第二个关键条件，因为 a 撇 b 是 平分角 abc 的， 所以我们可以得到这两个角是相等的。 那又因为第三个关键条件， a 撇 c 是 平分角 a、 c、 b 的， 所以我们可以得到这两个角也是相等。那第四个关键条件就是角一等于四十二度，角二等于四十六度。咱标注一下再看问题。要求的是角 b a 撇 c 的 度数。 角 b a 撇 c。 在 三角形 b、 a 撇 c 当中，所以如果我们设这个底角为 x， 设这个底角为 y， 那 这个角就是 x， 这个角就是 y， 那 我们如果能够求出 x 加 y 的 值，再用一百八十度减去 x 加 y， 就 可以得到角 b、 a 撇 c， 然后要求 x 加 y 的 值。我们可以放在三角形 abc 当中， 由三角形 abc 的 内角和可以得到两倍的 x 加上两倍的 y， 加上角 b、 a、 c 等于一百八十度，所以我们就可以得到 x 加 y 等于一百八十度，减去角 b、 a、 c 的 度数，再除以二。 继续倒着推理，只要求角 b、 a、 c 的 度数就可以了。那这个时候我们可以设角 b、 a、 a 撇为角三，然后角 c、 a、 c 撇为角四， 那有绝对性的性质，就可以得到角 d、 a 撇 a 也是角三，然后角 e、 a 撇 a 就是 角四，那也就是角 b、 a、 c 就是 角三加角四。那这个时候我们放在三角形 d、 a、 a 撇当中，发现角一是这个三角形 d、 a、 a 撇的外角， 所以我们可以得到角一就等于两倍的角三等于四十二度，所以求出角三是二十一度。同样的道理，角二等于两倍的角四等于四十六度，所以可以求出角四就是二十三度， 那所以我们就可以得到角 b、 a、 c 就 等于角三加角四就是四十四度。然后我们把角 b、 a、 c 等于四十四度，带入这个式子，就可以求出 x 加 y 就是 一百八十度， 减四十四度，再除以二，就等于六十八度。那我们最终再把 x 加 y， 再带入第一个式子，就可以求出角 b、 a 撇 c 就 等于一百八十度，减去六十八度，等于一百一十二度， 所以答案就是一百一十二度。最后总结一下，如果让我们求一个三角形任意两内角角平分线的加角度数，它就等于九十度，加上第三个内角度数的一半。 也就是在这个图当中，要求角 b p c， 则角 b p c 的 度数等于九十度，加上二分之一乘以角 a 的 度数。这个结论如果是选择题或者填空题，我们是可以直接使用的。 那针对期末考试，杨老师也开设了专项的期末考试压轴题冲刺课，有需要了解的家长可以关注一下。好，咱们下期见。

初中几何最怕什么模型套模型！今天这道题把一线三等角和将军一马两大高频考点揉在一起，学会这道题呢，直接搞定一半的几何综合题。咱们先来复习两个核心的模型，一线三等角 和将军一马。一线三等角呢，就是说一条直线上有三个相等的角， 且 a、 c 和 dc 相等，这个时候我们可以得到三角形 a、 b、 c 和 d， e、 c 是 全等三角形，我们可以简单的来推一下。 首先左边这个角中有角 b 等于角 e， 角一和角二互余，角一又与角三互余，那么角二就能等于角三，然后还有 a、 c 等于 dc， 所以 这两个三角形是全等三角形。 将军一马的核心呢，就是找到端点，找到折点，而折点所运动的这条直线 o a 是 对称轴，我们把端点关于对称轴做它的对称点， p e 用垂线在最短 过 p e 向 o b 做垂线，那这条垂线与 o a 的 交点为 m， 与 o b 的 交点为 n p、 e、 n 就是 我们要求的最小值。在四边形 a、 b、 c、 d 中， e 在 b c 上， a， e 等于 d， 角 a、 b、 e。 角 a、 e， d 等于角 e、 c， d， a、 b 为五， bc 为十二，让我们求 b、 e。 现在我们要证明这两个三角形是全等三角形，那已经有 a， e 等于 d， e， 角 b 呢等于角 c， 我 们再找一个条件相等就可以了。那咱们角一加角二 等于一百八十度，减去角 b， 又因为角四等于角 b， 所以 咱们能得到角二等于角三。因为角 b 和角 c 相等，角二和角三相等， 又有 a、 e 等于 d、 e。 通过角角边，咱们可以得到这两个三角形是全等的，全等三角形的对应边是相等的， a、 b 等于 ec， 所以 这个边是五，那么 b、 e 呢？就是十，二减去五 为七。来看第二问，已知长方形 a、 b、 c、 d 的 周长是三十六， a、 d 的 值为十，这条边是十，那我们可以得到 c， b 是 八点， e 为 a， d 上的一点，且这三个角都是直角，然后 ef 呢， 它又等于 eg。 那 根据我们刚刚讲过的一线三等角的模型，咱们可以知道这两个三角形是全等的，因为有一个直角，直角相等，角一和角二相等，然后且有一条边是相等的。根据全等三角形的 对应边相等 d， f 与 a 相等，我们设它为 a， 那么 f、 c 的 长就是十减 a， g、 b 的 长是十减 b， 然后从 d、 a 这条边我们能得到 a 加 b 等于八。现在结果是让咱们求四边形 b、 c、 f、 g 的 面积，我们能看出来它是一个梯形，梯形的面积公式为 s 等于二分之一乘 g， b 加下底乘以高，对不对？那 代入就是二分之一乘 g， b 再乘 c， b 等于二分之一乘十减 b， 加上十减 a 乘八，咱们整理一下，能得到四乘二，十减去 a 加 b， 刚刚我们算出来 a 加 b 等于 a， d 的 值对不对？也等于 c、 b， 那 它就等于八，我们把八代入进去， 四乘二，十减八，最终求出四边形的面积为四十八。第三题是一道比较难的综合题，就是我们刚刚说到的一线三等角和将军印马模型套模型的一道综合题。这道题呢，也是分三步走，第一步，先 通过一线三等角证明两个三角形是全等的，然后进行导边。第二步呢，是通过将军印码把 b 点 对称过去，然后得到他的 b、 m 加上 m、 n 的 最小值是什么样子。三步是分割多边形，把多边形分割成两部分，我们先来看题，这样三角形 abc 角， c 是 直角， a、 c 为五， bc 的 长是十二， ab 为十三，以 ab 为边，在其左上方呢，做一个正方形 a、 b、 e、 f， 那 正方形的四个边是相等的，所以它的每个边都是十三， f、 d 也是垂直于 c、 d 的 这条直线上呢，有三个直角，通过刚刚我们讲过的一线三等角，咱们能推断出来这两个三角形是全等三角形，两个直角相等，然后角一等于角二， a、 b 呢等于 a、 f 角角边。咱们来证明这两个三角形是全等三角形，全等三角形的对应边相等， bc 等于 ad， ad 也是十二， ac 等于 f、 d， f、 d 也等于五，我们要把计算出来的条件全部再重新给它标注回图上，这样看起来更加的清晰明了。 第二步，当 b、 m 加 m、 n 的 值最小的时候，让我们求这个多边形的面积，我们来看一下图， b、 m 加上 m、 n 的 值什么时候最小呢？我们来分析一下。点 b， 它是一个定点点， m、 n 是 两个动点。我们一般把折点所运动的这条直线叫做对称轴，那我们把端点 b 过 a、 e 做它的对称点，然后恰好这个图形 a、 b、 e、 f， 它是一个正方形，然后标注中已经告诉我们了，正方形它是轴对称图形，对角线也是一条对称轴，那我们过 a、 e 这个对称轴做 b 点 的对称点，它就刚好落在 f 这里，那么现在让求的 b、 m 加上 m、 n 的 最小值也就转变成了 f， m 加上 m、 n 的 最小值，那点到线段的距离最小的时候是垂线段，所以咱们现在需要过 f 点向 b、 c 做垂线，它与 a、 e 相交点叫 m 点， b、 c 相交于 n 点， f、 n 就是 咱们要求的最小值。我们来观察这个四边形， f、 n、 c、 d， 这个图形有三个 直角，那么根据四边形的内角和为三百六，我们可以得到这个角也是直角，那么这个图形它就是一个长方形， 所以这一段的距离是五。 f， n 的 距离， f， n 的 距离等于 d， c， 也就是十七。第三步，咱们是不是要分割这个多边形了？多边形 e、 f、 m、 n、 b， 咱们连接 f、 b， 我 们来看左边这个三角形， b， e、 f， 因为它是一个，因为这个图形它是一个正方形，所以这里是一个直角，那么左边的面积就等于分之一 乘十三乘十三，加上右边的这一部分的面积， b， n 等于十二，减去五，那它是七。 f， n， 我 们刚刚已经得出来， f， n 等于 d、 c， 它为十七，所以右边的面积等于二分之一乘七乘十七，最终得出多边形的面积为一百四十四。

好，来看一下这道压轴题啊，难度系数，五颗星啊，五颗星，来看一下啊，在三角形 a、 b、 c 中呢，给了一个角啊，就是这个角呢，是六十度 哎，将线段 a、 b 呢，沿着它进行平移了，我说了，三大变换都可以跟角关系的问题去结合起来啊。好，将这个线段移动的时候，之前我可是做过这个问题的。给我啊，沿着什么线？ 直线？所以这道题是不是在误导你了，它是不是给你一种感觉，是不是只能往右边移了？你有没有想到还能往左边移啊， 所以关键词一定要标出来，知道吧？哎，来平移，得到了线段第一，然后谁对应谁，谁对应谁啊，来，有两个角平分线，一个是角 a、 e、 d， 一个是角 a、 c、 b。 好，你看啊，角 a、 c、 d， 你 可能会觉得，哎，那 a、 c、 d 肯定在这儿，那万一它跑出去了呢？是不是又跑到外面去了？是不是还有一个 a、 e、 d 啊？ a、 e、 d， 那 么大概方位在这儿，但是它也可以移到这边的话，是不是又变化了？所以你看这种题多少种情况了， 对不对？好，但是不用慌，就是有条理，有逻辑，一定是可以写全的啊。好，然后呢，角平面交一点平，那你先不要着急去画这个图，因为不确定啊，是不是好，第一个如图一所示，有如图一了，那是不是就按这个图，这种情况下来画，是不是就可以了？是不是？好，如果角 b 呢，它也等于四十度， 那么依照题补全图。注意了，画图题有几种画图，第一种叫网格作图，第二个叫尺规作图，第三种呢，叫尺尺，直接用尺作图。还有一种题呢，叫示意图，记不记什么叫示意图？大概画出来就行了。你不要给我整啊，我要用尺规作图呢，开始整起来了。人家让你尺规作图了吗？ 没有，这叫示意图，知道吧？哎，不要不要画那个那么详细啊，来啊，那么他画谁呢？哎，第一个，连接 a e， 我 按他的步骤来呗，对不对？他让我干啥我就干啥，他让我连 a e， 我 就连 a e， 那 这个图稍微不太准啊。来连接 a e， 然后呢？做哪个角呢？ a e d 的 角平分线，是不是啊？大概去估测一下啊，大概到这个位置左右，然后因为要交这个角平分线于点 p， 是 吧？哎，两个角平分线交于点 p 啊，然后呢？哎，是不是图是不是画出来了？看到两个角平行线画出来了啊？角平行线，你看在这个位置嘛，对不对？咱都是角平行线啊。第二个，求出此时此刻 e p c 的 度数是多少？好？ e p c 啊，这个角那是不是有平行线在里边，所以平行线的拐点问题，如果你不想去，你知道肯定有这个模型在的，是不是？哎，这道题用的是平行线的拐点问题， 对吧？哎，你完全可以我在这拐一下，是吧？啊，然后呢？哎，这个四十，来，咱们仔细看啊，这个四十，那这个是不是也四十？又平移过来，那么上面是本来也是四十，那一半是不是都是二十？看到，哎，所以这个是二十，这个也二十，所以这个是二十，那下面角平面是不是三十，所以加起来是不是五十度的角就出来了？ 这个不用多说吧，是不是？哎，五十多角，但是我说了，所有的压轴题的第一问的目的永远不是说为了只是给你送分儿，它就是在暗示你，哦，接下来，我看来我要用到这个平行的拐点模型，是不要用起来了，是不是？哎，好，那么紧接着来看第二问了啊， 角 b 呢？如果是 r 法，直接写出 e、 p、 c 的 度数是多少， 你就这道题 r 摆了，哎，这个角是不是六十度还是有的，是不是？那你肯定要开始分类了，哎，我，到底我这个移到什么程度？是不是移到这呢？还是移到外面呢？还是怎么样呢？我这个焦点到底在什么位置？你是不是要分析全了？是不是要开始分析全面了？ 这个时候呢，你可以拿出，比如说你，你拿出你的那个叫四方格尺开始去移了，是不是？但是我们来自己实践一下，第一种情况，大概移的比较少， 大概移的比较少，它这道题呢，焦点就大概是不是应该是在这个方位的，是不是？你看这一个角平面，这是不是一个角平分线，对不对？跟这个图是不是很像？看到了，好，然后呢，再稍微移多一点，直到如果这么个拖出，但是它不说，不与它重合，所以我的零件是不是跨过点 c 的 时候，是不是？ 哎，也就是我万一再过来一点点呢？哎，我再过来一点点，那我这个角平分线在这，我这个，哎，注意了， a、 c、 d 是 不是跑到外面去了？看到了，哎，我的焦点好像发生变化了， 发生变化是不是就是要讨论的时刻了，是不是？那先分析完再开始思考，那我在意的多，因为我要考虑，我万一特别长呢， 然后就移到这儿，好，我的角平分线是不是在这儿？是不是啊？那 a、 c、 d 的 角平分线，哎，大概在这个位置哎，我们的交点，嗯，好像，哎，很奇怪，交不到一起去了哦，但是是不是可以交到这儿去了？ 上面是不是交不到一起？看到了，上面是不是交不到一起去了？但是下面是不是可以交？为什么？看到了吗？又来了一个直线，这是直线，同学们， 他的难点就在这了。那肯定后面没有别的了吧，你接下来肯定是这边又往这，这边又往这边抖，肯定都是交到下面去了，是不是？所以光这种情况呀，是不是都有三个呢？ 我们要不就现成的用一下第一个图吧，本来其实它是五个的嘛，就是我因为有第一种情况，本来就是这个图像，是不是，呃，它是直接写出吗？哎，直接写出，那我就不需要画图了啊，我就按它这个图可以吧？好，第一个图当位移的位置呢，不是那么多的时候。 那来仔细想一下，这个角已经变成 r 法了，我就是这个图了，听到了啊，这个是 r 法，那这个角是不是二分之一 r 法了？所以到这里是不是就是二分之一 r 法？是不是就过来了？好，所以第一个图角 e、 p、 c 是 不是就等于二分之一 r 法是不是加三十度就可以了？ 第一个图看到了吧，是不是？好，那么第二个要知道怎么画了啊，要稍微画长一点了，是不是？哎，稍微画长一点点就说因为它要移到外面去了啊，对不对？哎，移到外面一点啊， 就是它这个图了啊，好，然后呢，这个是 e， 这是 d 是 吧？好，这个角平面在这儿，但是呢， a c d 的 角平面就跑到这边去了， 哎，因为 d 跑到外面了嘛，是不是？哎，所以它焦点 p 就 在这儿了啊？好，这个时候还是想求 e p c。 刚我说了你不会，但是他说，老师我看到飞镖了啊，那你想用就用，但是我更建议大家第一问暗示的模型就用，用到底就可以了，懂了吧，因为为什么有的题很多人啊？老师，这个题可以用这个，可以用那个， 但你有没有想过，如果第一问你用这个手链之后，你接下来再用它是不是轻车熟路了，你就不需要再推理什么什么的，对不对？那说明这道题所有的拐点模型它都是适用的，哎，好用一点的是不是？好，来，那这个外面做角平面，所以这俩是不是就是六十度了，对不对？好，然后呢？这个耳法，来，我看耳法在哪啊？ r 法是不是等会儿到这儿了，其实这个角是不是始终就是 r 法？看到了啊，你自己去推理一下就可以了啊。这个是 r 法，那这个每一个角是不是都是二分之一的 r 法，那这个角是不是也是二分之一？ r 法，这个六十在这儿，那同旁内角值是不是变成一百二十度了？ 听懂了，是不是？哎，一百二十度，所以这时候的角 e p、 c 就 等于二分之一， r 加上一百二十度，哎，加上一百二十度啊， 那么下一个图可能比较大哦，哎，位置应该够的啊，来，我们画下一个图了， 第二个听懂了吧？好，来看第三个了啊，就多去尝试一下，你考试拿铅笔画远一点嘛，是不是啊？来，第三个图可能是比较长的啊？比较长， 那我们把它画长一点儿。呃，画的时候稍微斟酌一下，因为这个角平面大概的方位就是在这儿了，这个 a、 c、 d 的 大概是不是在这儿就是能让它有交点的时候再去画它啊？ 这个是 e， 这是 d。 好， 然后呢，这个角平面注意把它延长一点啊，然后呢，这个角平面，哎，过来它就交到下面去了啊。 看吧，这个角平面在这啊，所以交点是 p 的 位置啊，交点是 p 的 位置，先把这个图先画出来啊， 所以做压轴题不要害怕。就是，虽然有时候一看，哇，这个情况好多呀，你们期上不是经常做好多情况？那个动点的问题是不是你只要按条例来，其实都是可以写全的啊？来，我们来看这时候依旧什么？哎，有平行线，有拐点，你就用拐点去做， 我上上上几个不是讲了这个问题，是不是？哎，我说遇到拐点你就先用，把这个拐点问题把它做明白了。有的人，老师我不想要那个，我想用三角形内角和你，何必呢？万一你做不熟练呢？是不是？比如说你第一问用了什么思路，你就贯穿到底，记住了啊，好，所以我就用这个拐点模型去做， 对不对？来，已知的角先标一标啊，那毕竟这个角平面六十度是先过来的，是不是？哎，大家都有六十度啊。好，所以完整的这个角呢，是六十对不对？好，那这个依旧是二分之一而法内错角，这里是不是二分之一？而法？ 那一共这个角是六十，所以这个角看到了，是不是六十减二分之二吧，是不是非常简单？是不是？你何必在啊，老师，我想要那角和我想办法把它表示出来，然后怎么着怎么着，你还啰嗦了，看吧，是不是，哎，不如用一种方法贯穿到底啊，所以角 e p c 思路也是非常清晰的啊。六十度减去二分之二法，哎，这个接下来没有情况了吧，你想再交是不是都在下面了，是不是？哎，所以这一类情况在右侧的已经全部结束了，哎，是这三个，所以我们接下来画在下面，该画左侧的啊，几种情况了啊？ 先把这个先画完啊，画的时候就开始脑子就构思我自己，以后遇到这种题，我是不是要这样去思考对不对？ 把这个图先画啊，好，画好之后来我们在下面有空白的位置，我们来画。呃，因为这次的焦点是在左侧的，所以你不要顶格去画啊，就是往这边来一点，因为该画这个在，哎，怎么变成圆了？嗯， 好， a b c 啊，好，那么这次呢，我往这边去延长了啊，在延长的时候我们稍微来分析一下啊，啊，稍微分析一下大概在什么方位啊？我把这条线先画出来，上面的啊， 等一下不太平行啊，就画图题，像这种多情况分类的，你稍微画准一点儿分 来。那么这次要的是哪两个角平面呢？第一个，这次我们说了 d 是 不是已经往这边走了，所以 a c d 这个角平面是不是确定的？是不是在这个方位， 对吧？但是 e 在 这边 a e d， 那 么它的角平面大致是不是在这？这种情况下是不是有一个焦点，对不对？那你想，我只是移动了一点点的，万一我移动的很夸张呢？来，大家想，就是如果非常多的话啊，如果非常多， 好，我这边有角平分线，你这块有角平分线，大概是不是还在这个方位，是不是？好，那这个画的不够多啊，好，不够多，我用一下上面这个图了啊，用一下上面这个图来，哎，如果我移的非常非常长来，这个角平分线是不是在这， 然后这个角平分线，注意了，是不是在这个方位，我是不是又可以交到？看到了，是不是可以交到上面？所以这种情况下，要么上面，要么下面， 是不是就两个？有的人说那他怎么没有三个了？为什么呢？因为在线段上的第一种情况你是不是早就讨论过了已经，是不是，哎，在线段上已经讨论过了啊，好，所以来接下来第一种呢，幅度没有那么大啊，就是你随便画一个长度就行了， 是不是？假如说这个 e 在 这，是不是啊？然后呢？ d 在 这个位置来这个角平分线，还有 a、 e、 d 的 角平分线大致在这个方位，是不是？然后我的角平分线大致在这儿啊，稍微移动一点点啊，大概是不是交到了啊？这个角平分线不是特别准啊， 角 a、 c、 b 看到了，你稍，你画稍微准一点就可以，就这是角平行线，看到了，哎，这是个角平行线啊，交点处呢，在这个所谓的 p 的 位置哎，在 p 的 位置啊，好，那么这个交点之后依旧是刚来，有拐点就拉平行线，哎，有拐点就拉平行线， 看到了，是不是？哎，就拉平行线。之后来我们看一下啊，那这个角是三十，这个角上来是不是有个三十度，是不是在这了？是不是？那这个角 e p c 里是不是还差了一个这个角 来？这个角，题上说了，这个是角平分线啊，题上说的这个角是不是十中，你看而法是不是到这去了，是不是？那上面是一共多少？ 哎，一百八减二法，所以一半的角是不就出来了，对不对？一半的角就是九十减二分之一二法，哎，对，这个角是九十减二分之一二法，那这个角是不是跟它互补的？看到了，哎，一百八减，它是不是九十加上二分之一二法 啊？所以完整的角 e p c 也出来了，等于二分之一 r 加上这个一百二十度啊，二分之一 r 加上一百二十度，跟前面有一个虫了，是不是？哎，虫了也没关系的啊，就舍去一下就可以了啊， 但是这是这种情况是必须要有的，听懂了没？这个情况也没问题吧。好，下一个，你看位置够大啊，所以我们画稍微远一点，好吧，哎，画稍微远一点了，下一个情况了啊， 我这个三角形往这边多画一点， 这回我们画稍微长一点了。哦， 对，把图像先画出来啊， 反正位置够大，对不对？哎，你随便画啊。好，然后这个角平面线是不是？但是这个角平面线要稍微出点头了啊，跟这个角平面线交点就会交到外面去了。 哎，焦点在 p 的 位置啊，看，这是角平分线，然后呢，这里也是一个角平分线啊， 图能看到吧，是不是这样的？哎，你看这样思路就很清晰了，所以压轴题不要害怕，一步一步来就可以了啊，只要位置够大就能画全，对吧？考试不会像我们教案这样只留这么点位置。你们的答题卡一般是非常大的，是不是够你画足？而且这种题是直接写出答案，我就不信你草稿纸还不够用吗？ 给你发五张，一张画一个够不够？够的吧，不要舍不得是不是？哎，你就画图你对吧，你就尽力尽情的去画，是不是？好，来啊，我们来依旧拐点问题，所以还是把这个线哎给它画出来，是不是？哎，这个三十度先上去， 是不是还有刚刚我表示的这个角九十减二分之一法，整个九十减二分之一法是不是上到这去了？看到了 啊，因为什么呢？同位角是不是直接上去了？是不是完整是九十减二分之一 r 法，所以角 e p c 是 不是九十减二分之一 r 法，再减掉一个三十度，所以得六十度减去二分之一 r 又重了？对，所以你考试真来不及，前三种做完我告诉你结束，其实你就写全了，已经懂了吧。哎，又这样就直接写出答案，但你严谨来说的话，你空两种是不是必须要讨论的？呵，对不对啊？ 好，所以啊，最后的情况呢，其实一共就只有三个啊，一共只有三个，因为后两个都重重复了，对吧？哪怕你这道题没有考虑到左侧，其实也没有什么应。 这个，这个，下面这个是吧？哎，对，这个题还是够仁慈了，是不是？哎，这道题要我考题，应该不是直接写出答案，请画出示意图之后，然后咱们求解是不是？ 对，来啊，然后来第四种吗？第四种的话，拐点看懂了，是不是？这个角是而法，这个角是一共是一百八减而法，所以角平分线的话，一半是不是九十减二分之二法看到了 能不能听懂是不是那？哎，我平行的话，同旁内角是互补一百八减，你的上面口算是不是九十加二分之二法是不就出来了，对不对？好，所以这道题给我们的一个信号， 将来我们在做压轴题的时候，第一位给你释放你要用的拐点模型，你就用到底就可以了，懂了吧？你不要又想这个又想那个啊？老师，我看到什么模型了啊，对不对？动不动啊？老师，我看到这里有飞镖， 你不要这样子，就是你用了什么模型就贯穿到底就可以了，这样你思路不会混乱，听懂了啊。哎，所以这道题最终是三个答案。听懂了啊，五种情况，但是只有三个答案啊。

七下几何重难点与三角形角有关的五大类解答题，吃透，轻松攻克几何！七下数学与三角形角有关的五大类解答题题型一，与三角形的角有关的计算。题型三，探讨与三角形有关的角之间的关系 题型四，探讨与三角形有关的线段之间的关系题型五，与三角形角有关的证明完整版可分享！

欢迎来到春风数学，那么七项数学当中的三角形呃，角度的计算呢？一直是同学们的一个这个感到头疼的问题，今天我通过这道题来讲解一下，如何通过这个题目中提供的这个角度关系的等式， 通过替换，然后层层深入，拨开迷雾，寻求答案。好，这讲这道题讲的是这个 c e， 它是三角形 a， b c， 外角外角 a c d， 它的平分线，然后 c e 呢，交这个 b a 的 延长线于 e， 这里就出现了一条这个角度的等式，是角 b， a， c 呢，是这个角，这个角减去角 b， 他等于五十六度。那么题目当中就出现了这样一条等式角度的等式啊，下面呢，我就慢慢的根据这条等式，通过这个角度的替换，来求求出角移的度数，大家可以感受一下， 像这种题目呢，他是比较搞的，就就是这个，如果你这个想要一眼看穿啊，常常是白费功夫，所以得慢慢的来，逐层的深入好，我们把这个等式写下来，他是角 b a c， 减去角 b， 等于五十六度， 他求的是角 e 啊，所以我们在这个角度替换的时候呢，我们要争取把这个角 e 带到这条等式当中，这样的话，我们才能够求出角 e， 然后角 b， a， c， 就 这个角，这个角，它等于，它可以用什么角度来呃，代换呢？因为这里没有平行线啊，没有什么内错角啊， 呃，这个同位角啊，所以它只是一个外角，它是角 e， 你 看，这里就是我们所求的角 e 和这个角 a c e a c e， 我 们记作角 a， 然后这个 d， c， e 呢，我们记记作角二， 那么角一呢，是等于角二的，这个是前面讲的这个平分线，对吧？角平分线好，现在我们 b、 a、 c 呢，就已经替换为这个角一，加上角 e， 减去角 b， 我 们还是这个不用修改，慢慢的来等于五十六度。 然后我们再看看这个角 b， 角 b 它等于多少呢？因为现在我们角 b 还不知道角 b 呢， 它应该是角二减去角一就等于角 b 了，你看角 b 加角 e 等于角二，这也是一个外角，对吧？这个外角等于不相邻的两个内角合嘛，所以角 b 它也是可以替代的。 好，我们斜下角 b， 它其实就是角二减去角 e， 对吧？好，要整理一下呢，我们把这条式子整理一下，就是角一加上角一，减去角二加上 角一，等于五十六度啊，这里因为前面是减号嘛，所以这个小括号开掉的话，那就是变成加号了，所以就结果就是角一、角二减去角二，角一和角二是角平分线啊，它是相等的，所以它减去了，那么左边呢，就变成了两个角一， 右边呢还是五十六度，最后角一是等于二十八度。这个 还是比较简单的，像这个题目，我们就是根据啊这题目当中提供的一条等式，然后把等式中的元素啊，通过其他等量进行替换，尤其是我们要把所求的这个角替换进去。最后啊，通过简单的这个 计算，我们就算到了角一的度数，像这类题目大家学会了吗？

期下数学期末考什么？一条视频告诉你相交线与平行线实数的计算。最后几道大题很大概率有一道方程应用问题，方程组合不等式的结合命题。平面直角坐标系与几何综合题，特别是动点问题平行线可以跟着方法课堂自己推导一下。结论，常考性质判定与运用， 指死记硬背，你的解析逻辑会很差，考试自然耽误时间。梳理每道题的视频讲解，别浪费给你讲清题思路，总结关联知识点， 不同题型都有对应的解析方法，专题就是帮助更好的去汇总一类解析技巧。七下数学整体难度不是很大，把基础打牢，拿个好分数不是问题。如果想拿高分，重点关注书里的四星综合题和五星难题， 可以在五星学霸里精准定位训练，尤其是带几综合部分压轴提高频刷新点，利用坐标和公式解决几何问题，是数形结合的典型题目。如果涉及动点问题，就要研究某个量，如线段长度、面积随动点变化的函数关系。 还可以用梳理自带的思维导图，整理每章节知识点。常考题型，配合真题建资源，自查薄弱环节，把控考试时间，学习思路清晰，考试才能发挥稳定。

我们从最基础的课本的讲解 往上走，讲学霸题，中题，再往上一点小题狂做巅峰。 还有一个我们会编的亚洲周周练是我们直播课的小道，但是单独练出来也是吊打全网啊， 每次说这些东西的时候，我就多少有点骄傲，傲娇， 呃，有点装逼，但是我还是非常的骄傲，傲娇，为什么呢？因为这个东西类似于我自己 整了一块地种蔬菜，种完之后收获了卖给大家，那么我从买这个种子开始啊，播撒到地里面， 浇水施肥，慢慢长起来了，你要除虫吧？ 是不是？那么这整个的一系列的过程下来，他就形成了一个绿色有机无公害的产品，然后我卖给你，我说我的东西，哇，我真的是如数家珍 啊，我真的是爱不释手，我就是非常的骄傲和傲娇， 因为我们搞出来了一个，就是说他是一个我们的不是产品，他是我们的一个作品，但是我们要找到有缘人，比如说我我我听不懂，我我我我成绩挺好，我亚洲体这方面我想再进行一个小拔高， 亚洲提督教练就类似于我们喝的咖啡，给他配了个伴侣，绝配。

来，今天咱们看这道题，是七年级下册常考常错一道题，叫做二元一次方程组，解决实际问题。那看到这个题的时候，咱们一定要明确的考察的是哪方面，那是几何类型对不对？几何类型的话，那求面积类，那赶紧想到了一个什么呀？ 就是看他的面积公式啊，对不对？那么在这再教给大家一个绝招，就是平移大法，什么叫做平移大法呀？就是给你这个图形的长啊，宽啊，给你什么了？以后咱们通过平移以后，把它变成咱们的已知量，那咱们一起来看怎么解决？ 那对于他而言的话，这道题给出了一个长至十米，宽为八米的长方形空地，然后他是三个全等的，对于全等而言的话，那咱们要记住一点，现在其实就是说的是面积相等啊，他们的面积相等， 那接下来咱们来看，现在给出了一个长为十米了，刚才我说过平移大法，那咱们把它平移一下，把上边的这个图形， 把上边这个图形的话，咱们通过平移可不可以移到这个位置？当然可以了，对不对？把上边这个图形的话往下平移，移到这个位置 没有问题吧，对吧？那你发现咱们这边他的十米被表示成什么了，对吧？那小花谱的长是 x， 宽的话，咱们设为 y 可不可以啊？那当然可以了，那对个十米怎么来表示了？那就是这个小花谱的一个长 y 再加上小花谱的一个宽， x 再加上小花谱的一个长， 你发现这个十米被谁表示了？很好，就是咱们说的一个 x 再加上两个 y， 它的话等于十， 没有问题。那接着咱们来看一下它宽怎么来平移啊？平移大法太重要了，太重要了，都希望这一个视频大家都学会啊，那接着咱们来看，把这个小长方形往右平移，平移到这个位置没有问题吧？接着把竖着的这个我也往右平移，平移到这个位置， ok， 那 么现在咱们你发现这个八米的话有哪些啊？首先是一个小长方形的宽 x， 再加上一个小长方形的一个长 y， 再加上小长方形的一个宽 x， 那 此时咱们就得到了第二个方程，那就是 二 x 再加上一个 y， 等于一个八。那么恭喜大家，这个方程组咱们红列会列了，那会列同样也要会解啊，对不对？那对于这种解法题型的话超级多，什么加减加减消元法呀，带入消元法呀，都可以啊，那咱们一起来看， 这是方程一，这是方程二。那在这里边习老师跟大家说有一个特别重要的关键点，因为咱们先列完了吧，对吧？咱们直接就可以写解得 不用它的一个过程了，对吧？直接就可以写结果了，最后的结果 x 的 话等于一个四， y 的 话等于一个二，最后千万要记住了，咱们再来一个答，那这道题就 ok 了吧，那这就是咱们的平移大法。