冀教版七年级下册三角形定义

三角形的相关模型呢，在期末考中至少能占到二十分，而在中考中也能占到十分左右的分数。 哈喽同学们，今天呢，我们来说一下关于七年级技巧版下册的第十章三角形的重点内容。首先第一个是呢，三角形呢，它的基本考核点跟小学没有任何的差别，主要考核了四个地方，第一个三角形三边关系，两边之差小于三边。 第二个三角形的内角和为一百八十二度。第三个三角形的任意一个外角等于它不相等，内角之合以第四个三角形的角，平面线，中线和高线它们的相关性质。 但是呢，真正在考核的时候啊，考核这种纯概念的题呢，一般只占一道小题，大概分值呢在三分到五分之间，而且只有期末考 真正的占大多数。比例是什么呢？是三角形的各类模型。三角形的相关模型呢，在期末考中至少能占到二十分，而在中考中也能占到十分左右的分数。 那么说这么多模型是啥呀？回顾一下宝贝，这一阶段我们全部都说过，包括我们的 a 字模型，我们的飞镖模型，我们的内角平行模型，我们的外角平行模型，我们的内外角平分线模型，还有我们的翻折模型 啊，这些模型呢，是我们这学期期末考试中重点考核的一个内容，他的主要难点在于什么呢？嗯，活学活用，单纯背公式，他们都会背，但是没有用处啊，他不给你玩二等分，他玩三等分，四等分，甚至是五等分，你需要在理解的情况下去做一个推导。 那么如何做呢？请大家做好三件事足矣！第一件，在学完模型之后，一定要找着你干嘛呢？把每一个模型自己画，自己推，要彻底推明白，这是记忆的前提，先推导，再记忆。第二个， 做五道以上的相关例题，每一个模型不练到五道以上，你对于这个模型的考点是不太熟悉的，至少练五道。第三点， 做复习，也就是做错题的整理和模型的二次推导，一回生两回熟嘛，推导一次，老师，我有点模糊，推导两次，老师，我觉得我非常的可以推导三次啊，这个东西熟记于心，所以一定要做到至少两遍哦。 啊，三遍呢，可能大家时间不现实，但是两遍完全没有问题，把这个概念真真正正的搞明白，这才是咱们彩分的要点。 那么如果说啊，这些萌小都忘了，没关系啊，我会把这些内容呢直接做成电子版，有需要的大家直接联系我。加油喽，各位！祝大家学习愉快，加油！拜拜！

三角形在石家庄期末考试的时候常考到的题型。第一个，三角形的三边关系常考到小题。填空选择第二个三角形的内角、外角 求度数常考到小题。第三个三角形的中线、高线、角、平分线经常考到的小题，大题也会涉及到。 第四个期末考试的最后一道压轴题，通常是这一张的各种模型，或者是和平形线相结合的模型题。在这呢我给大家进行了大题的总结。

咱们七下数学关于技巧版，在全国十三个版本里面，可以说是数一数二的难度，而且期中考试之前确实能明显的拉开差距， 一共六个章节，这六个章节呢，每个章节都有重点，都有难点，那么可以说呢，挑战整体呢，确实比较大哈，那么杨老师结合着每个章节，给大家系统的梳理一下他的重难点题型，那么当然在视频的结尾呢，我也会把这个重难点题型的专项资料包 给到大家，家长朋友们呢，咱们可以直接领回去，带着孩子呢去举一反三，系统练好。那么这六个章节呢，尤其是关于平行线，整式的乘法以及三角形呢，这三个章节可以说是难上加难， 他真正的挑战也就是你这三个章节真正能够打开思路的，你的下学期呢，数学才是真正能够开窍。那我们先来看第一个章节哈，二元一次方程， 那么一元一次方程我们之前给大家梳理过它的十六大类型的应用题，比如说行程问题，工程问题、利润问题和它备份储蓄等等。那二元一次方程组考的类型和它是一样的， 你以前能用一元一次方程解的题，现在就可以用二元一次方程组给它重新解一遍，那么因为它背后的核心呢，都是在考察的交等量关系，它只不过是说以前的时候设一个 s， 现在呢，我来设一个 s， 设一个 y， 那么其实他比较考验的是你上学期的功底，当然我们可以再往前去看，小学五六年级，如果说你的像行程问题，工程问题那些地方搞不明白的，你其实上学期一元一次方程就掉队了，到了下学期这个地方呢，又是当头一棒。 那这个地方还有第二个难点哈，二元一次方程组里面关于无解的问题，有解里面有含有整数解的问题， 当然整数解里面还有整体构造的思路，还有同解相关的问题。那这类问题其实他不是考验的计算， 很多孩子他的计算是没问题的，但是他拿不了高分，就对这些地方的理解跟不上。所以这就叫我们讲七年级上学期，如果一个孩子一百二十分能考到一百分的，你会发现在期下的期中考试的时候呢，他很难保持住一百分， 它的整个能力是断层的，整个整体的能力是掉队的，因为你上学期就解决不了难题。上学期主要考计算，下学期开始慢慢的偏向于理解， 每个章节真正上难度的地方都是在逻辑性的，在理解性的地方。接下来我们来看第二个章节，关于频线，你的期中考试的压轴题型基本上是从频线这个章节出现的，当然整式的惩罚这个章节也容易出现压轴题 啊。其实你会发现这三个难点啊，期中考之前占了两个，所以期中考之前的挑战还是比较大的。大部分孩子呢，可以说你比上学期的水平可能要往下掉个十分到二十分很正常，尤其是你上学期根本就解决不了难题的。大家会发现平行线这个章节呢，他真正考验的是辅助线构造的技巧 啊，这当然你课本上关于两直线平行同二角内测角相同，他的基本的证明和他的步骤呢？实际上你的基础过关呢？没有什么问题，真正体现难度的是他的四大模型的应用。这四大模型，铅笔模型、猪蹄模型、骨折模型、臭脚模型， 那有没有八种类型或者十种类型呢？有的，但是重点的是你要把这四种类型能够真正挖透 啊，不是说我给你一个形式，就是一个模型，你比如说铅笔模型，猪蹄模型，很多孩子对他的理解呢，仅仅是停在表面遇到拐点的问题，构造平行线，那你学十个类型，你会发现还是在做平行线， 但是辅助线构造的技巧呢？铅笔模型，一般我们会给大家讲五条辅助线的技巧。猪蹄模型，我也会给大家讲五条辅助线的技巧， 主要是在这个点上遇到拐点的问题。构造平行线，我们可以构造两条，那构造延长线可以构造两条，构造连接线构造一条，所以可以构造五条。重点来说是通过这些类型的拆解，不是让大家记住结论， 你是要真正的把辅助线构造的技巧能够打开思路，这才是我们讲的四大类模型的核心，也就是能够真正吃透它啊，因为考试中很多的题比它的延伸性要更大啊，要更灵活，要更复杂。 那这个地方呢？还有第三个核心的难点，就是我们讲的叫动脚相关的问题，你上学期也会讲到动脚， 上学期的难点，其中有一个动脚，很多孩子很头疼，期末考试也没解决。到了下学期，平行线里面某条射线在转的过程中和另外一条线什么时候平行，这就是动脚相关的问题，旋转变换的问题，为什么他难分类讨论情况比较多，很多孩子呢，想不明白，图都画不出来的。 所以这个地方呢，大家要重点去强化，这是真正能够拉开差距的，对于 u 等声和间等声之间的区别，就在这个地方动觉。 然后我们来讲整式的乘法，整式的乘法，从表面上来看，这个章节考的是代数，实际上他考的是代数和几何的结合。所以很多孩子呢，这个章节没有学透，没有把湿度展开， 你真正能把整式的乘法能搞明白了，你会发现你的因式，分解你的不等式，包括你后面学的分式，他的思路都是一样的，很多的方法都是通的。就从整式的乘法这个地方就能看出来，很多孩子他的代数到底有没有开窍。 那首先第一个点，比方说完全平方公式和平方差公式，你像 a 加 b 的 平方，它从代数的角度怎么去推导的？从几何的角度我怎么去画图的，你一定要理解它的两个考察的角度，平方差公式也是一样。另外一个关于公式的变形，你比如说这个 a 加 b 的 平方， 它需要是可以写成 a 减 b 的 平方，加上一个四倍的 a b 的 形式，那这个式子大家不要去死记硬背，你要理解它是背后怎么去推导的，公式不多，变形比较多，核心在于考察大家的推理能力。 那第二个难点，这个章节他的数学方法确实比较多，他对我们后面的音色分解用的实际上是一样。第一个就叫换元，换元法在每年的考试题里面是百分之百必考的配方法，这也是非常高频，还有呢，赋值的十度，整体带入的十度等等， 那这种类型其实大家抓住那么两到三个重难点，典型的题，把它学透了就可以。很多孩子呢，你可能刷了很多题， 这些地方还是搞得模棱两可，这也是我们给大家旗下一些数学的一个核心的建议，少刷题，多思考。 要是孩子之所以成绩上不来，是因为他理解的不够深入，他根本就没有理解透，现在做题解决不了这个问题，这个题是什么，怎么考的？反反复复，要学着去慢慢总结规划，这是一个核心思维能力的提升，不是说单纯的表面上去努力做题的问题。 那么第三个他的核心难点，数学的核心思想，初中阶段一共四大核心思想，其中有一个比较经典的考察就是数学结合 啊，那么数学结合就是考察了我们讲的这个几何的角度，这个题容易出探牛题，容易出材料分析题，而且题干比较长，有很多孩子呢，你读完题之后，你都没理解这个题干什么意思的哈，你的思路没有打开的啊，那么咱们在资料包里面也有给大家做的系统的梳理，当然还有一个 不得不讲呢，叫洋灰三角。这个洋灰三角呢，基本上来说是必考的， 填选的小压轴里面，在大题里面也经常出，它也是材料分析题，课本上没有，它是一个拓展的内容，每年我们都必须要给孩子去讲这个地方，是能够看出来这个孩子真正你在整式乘除这个章节有没有开窍，所以你看期中考试之前难题还是比较多的，要想出压轴题型，整式的乘法平线都可以出， 而且二元一次方程组里面那种，这个关于方案选择的问题，也会让很多孩子呢觉得比较头疼 啊。这是我们讲期中考试之前，确确实能看出来一部分孩子呢，在期中考试是掉队的状态，但是大家会发现，当你期中考试掉队的时候，你后面的这三个章节的挑战 也挺大，所以大概率期中考试之前没解决的问题，到了期末考试呢，也不一定有时间解决。所以我建议大家呢，你在期中考试之前有限的两个月的时间里面，每个周至少能拿出来三个到四个小时的时间重点来去做难题。 你要真正的把这三个章节的难点呢，百分之百的搞透，能够达到你期末考试的要求。不要老想着到了期末考试再把前三个章节复习一遍，你基本上没有这种时间，因为咱们整个七年级下学期，他的时间本身就比较短。 然后我们来讲音式分解，音式分解里面我刚才讲的这个像所谓的换元法、复制法等等，他和上个章节是一脉相承的，可以说整式的乘法和音式分解是互逆，算你整式乘法这个章节学好了，音式分解不会学的差 啊。当然这里面呢，我们一般会给大家做一些拓展哈，课本上讲音式分解和考试的要求，其实目标不是特别难，但是音式分解这个章节对你高中的学习会非常重要，比方说 这个立方和和立方差公式，比方说像四根法，其实也是在材料分析题里面出现的，我们一般会给孩子去做一些拓展， 这些题型如果对于程度比较好的孩子，大家要去注重这种眼神拓展性的东西，不要只学课本啊，你基础的题型 一定要去上难度好。那么下一个章节，关于三角形，这个章节也是一个重点，也是一个难点，他的出题题型基本上在期末考试题里面也可以考个小压轴，要么是关于平行线的小压轴，要么是关于三角形的压轴。 那么三角形这个地方呢，它是从基本的三角形里面的边和角的关系来进行展开的，你你思考一个三角形，无非就是边和角这两个思考的角度，那关于三角形里面两边之和大于第三边，三角形内角和是一百八，这些大家要搞明白的，那还有一些比较常见的类型，比如说八字型， 比如说 a 字型，比如说飞镖模型，哎，大家要知道这些东西是怎么推导的，不要老觉得他的名字啊，怎么怎么样，我要把它记下来，而是你要真正学会去推导他，可以在很多复杂题里面呢，帮助你能够节省步骤。 当然还有你像我们讲的双角平衡线的问题啊，双角平衡线呢，其实一个非常经典的问题，双角平衡线呢，包括了双内角、双外角，一个内角一个外角的问题，他在三角形里面呢，就是你要一眼能够看穿的 啊，大家要注重他的推导啊，当然还有三角形里面的复杂角度的纠结，关于三角形面积的问题，他的考察点就本身比较多，当然这个章节其实是为我们后面讲到三角形的前等，包括四边形来去做铺垫， 他本身变换题型也足够的多，所以这个章节的题型我们一般会给大家去做重点的训练。那最后一个章节关于不等式，最后发现关于代数这条线啊，其实就两条逻辑，一个是关于等量关系，一个是不等关系。 那等量关系就是讲的二元一次方程组，包括一元一次方程都是等量关系啊。应用题也是找等量关系，那一元一次不等式，他的核心呢，就是找不等关系 啊。那其实应用题对于一百二能考到一百分的孩子来说，这个章节其实不难的啊，他有几个比较特殊的考验理解性的东西，比如说无解的问题， 比如说有整数解的问题，再比如说至少有三个整数解的问题，这些问题是层层递进，越来越难。很多孩子容易出现的问题就是这个题到底是 x 大 于三，还是 x 大 于等于三呢？ 临界点老师搞不明白。那那么关于临界点这个地方，咱们有一个单独的小妙招，这个临界点单独拿出来分类讨论，他可以解决你百分之九十八的问题。那么当然大家会发现，其实你到了七年级，下学期和上学期的逻辑完全不一样，你上学期一百二能考到一百分的， 靠的是你的计算能力，下学期你如果还能保持住一百分，各个章节的难易程度来看，一定是看大家的理解能力， 如果你真的能够突破到一百一十分，看的是知识点的观念度，看的是你的真正做难题的能力有没有练出来。所以我给大家梳理的这个专项资料包呢，实际上是帮助大家去做稳固提升的。家长朋友们呢，咱们也可以领回去带着孩子呢去举一反三，系统练，关注杨老师思维开窍拿高分！

石家庄技巧版七年级下册三角形这一张常见的模型有， a 字形八字形燕尾模型、双内角角平分线模型、双外角角平分线模型、一内一双角平分线模型、三角形折叠模型。 这些模型我们不光要记住结论这些模型，我们还要学会如何去证明，并且能够把这些证明过程熟练独立的写出来。

同学们大家好，我们今天呢来讲一讲有关三角形三边关系的围绕的相关的有些习题啊。 然后九点一课本上呢，告诉我们的三角形两边之和呢，是大于第三边的。但是还有一个很重要的一点，大家要知道，你还要补充一点，就是三角形的任意两边之差是小于第三边的。很重要的内容我写到这啊，你把它记住，你做这些题就没有问题。三角形 注意是任意两边 之和是大于第三边的啊，然后三角形任意两边之差是小于 第三边的。好，我们围绕这个两句话，我们就可以做出判断，下面长度的三三根小木棒能构成三角形的，那我们来看 a， 二加三呢，是等于五的，所以他是没有办法构成三角形的。七加四呢，是大于二的。但是， 所以如果你单从课本上给我们的内容只是符合这一句话的话，那你肯定会选 b 了，对吧？但是我们还要进行一个差的运算，他是三，三是大于二的，所以我们也排除掉他。我们看 c， 三加四呢是小于八的，所以也排除掉。我们看 d， 三与三的和呢是大于四的，三与三的差呢是零是小于四的。同样，我们可以判断出来它的形状，它是一个等腰三角形，因此第一题选的是四 d 选项。第五题现有两个木棒，他们的长 度分别是二十厘米和三十厘米。若不改变木棒的长度，要定成一个三角形木架，应在下列四根木棒中选取。所以我们知道啊，我们知道另外一根木棒的长度，另外一个边的长度，我们可以设它为 x， 那 x 是大于 三十，减去二十的，是小于三十加上二十的，所以 x 的范围是大于十是小于五十的，我们从这个长度中来选取就可以了。因此，很显然符合条件的只有 b 选项，对吧？因为这个题呢，如果你只是知道这个是 任意两边之和是大于第三边的，那你可能选的时候呢，你没有考只是大于第三边，但是没有考虑过差的情况，很可能就会 选错了，对不对啊？大于两边之差啊，因为如果不去考虑这句话，可能 a 的选项呢，也是正确的啊。因此，这是给大家补充的考点，要把它补充到你的课本上。 我们看第六题，在三角形 a、 b、 c 中，已知两边 a 等于三， b 等于六，则第三边 c 可以取得整数值。同样的，我们知道第三边设为 x， x 是大于六减三的，是小于六加三的，对不对？因此 x 是大于三小于 九的，所以他可以取得整数值，是四或者是五，或者是六，或者是七或者是八，对不对啊？所以，因此他是注意可以取得整数， 直是你要写上去，如果他问你整数值的个数，那你就要写的是四个啊，整数值，所以我们可以取到四到八的数啊，因此，四、五、六、七、八，这是五个，对吧？然后， 所以大家要清楚的这个题啊，所以呢，我讲的这三个题还是这个考点，三角形三边的关系是，三角形任意两边之和是大于三边的，三角形任意两边之差是小于第三边的。你把这句话记住，所以无论是做解答题还是选择题，都是可以做对的啊。

哈喽，欢迎来到汤姆老师的数学课堂。本节课是新初二暑期数学课的第一讲，咱们开门见山，直接开始初二上学期最基础也是最核心的板块三角形。 很多同学初二数学跟不上，分水岭就在几何，而三角形就是整个初中几何的基石。后面咱们要学的全等三角形，轴对称四边形，甚至初三的相似圆，全都是以三角形为基础展开的。所以今天这节课，咱们把三角形的基础概念全部掰开了揉碎了，一次性讲透。 先来明确本节课的学习目标，第一，掌握三角形的定义、表示方法以及分标准。第二，吃透三角形三边关系，能熟练用三边关系解决问题。第三，掌握三角形三条重要线段的基本性质。搬好小板凳开课， 先来看第一个问题，到底什么是三角形？第一，在平面内，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相连所组成的图形就叫做三角形。 比如这是三条不在同一直线上的线段，把他们首尾顺次相接所得到的图形就是三角形。从这个定义里，咱们就能拆解出三角形的三个核心要素，顶点、边和内角。 相邻两条线段的公共顶点就是三角形的顶点，咱们通常用大写字母 abc 来表示。组成三角形的线段就是三角形的边， 既可以用大写字母来表示，比如 abacbc， 也可以用顶点对应的小写字母来表示。比如顶点 a 的 对边用小 a 表示，顶点 b 的 对边用小 b 表示，顶点 c 的 对边用小 c 表示。而相邻两边组成的角就是三角形的内角，记作角 a、 角 b、 角 c。 表示三角形的时候，通常用三角形 abc 读作三角形 abc。 搞清楚了三角形的定义和基本构成，再来看一下三角形的分类。三角形的分类可以按照两个划分标准， 按边分和按角分。具体分类如下，按照边分可以分为不等边三角形和等腰三角形。前者是指三条边都不相等的三角形，后者是指至少有两条边相等的三角形。而等腰三角形又可以分为一般等腰三角形和等边三角形。 前者是指只有两条边相等的三角形，后者是指三条边都相等的三角形，而且它的三个内角都等于六十度。 如果按照角分，则可以把三角形分为锐角三角形、直角三角形以及钝角三角形。这个比较简单，我相信大家都不陌生，就不展开多说了。我们重点来看几道和三角形基础概念有关的题目，熟悉一下刚才所学的内容。 第一题如图，点 d， 在 三角形 abc 内写出图中所有三角形，我们来看 d 是 这个三角形内部的一点， 那么写出这幅图当中所有的三角形，那这个非常简单。首先，这里是一个三角形 a、 b、 d。 当然你也可以写成三角形 b、 d、 a 或者三角形 a、 d、 b 都是可以的啊，同样，这里也是一个三角形吧， 咱把它叫做三角形 a、 d、 c。 那 这里还有一个小三角形，我们把它叫做三角形 b、 d、 c。 还有没有？对了，千万别忘了啊，外面还有一个大的三角形啊， 这个三角形呢，我们把它叫做三角形 abc。 继续看线段 bc 是 哪两个三角形的边？ abc 在 这里，显然它是这个小三角形 b、 d、 c 的 一条边吧， 也是这个大三角形 a、 b、 c 的 一条边。继续如图，三角形 a、 b、 d 的 三个内角分别是谁？同学们看三角形 a、 b、 d 在 这里，那显然它的三个内角就应该是这个角，这个 角呢，我们把它叫做角 b、 a、 d 这个角呢？把它叫做角 abd， 这个角叫做 角 b、 d、 a 那 三条边自然就是 ab 边、 ad 边和 b、 d 边吧。 那这道题主要考察的就是三角形最基本的概念，什么是三角形的边？什么是三角形的角？继续来看第二题，如图，在三角形 b、 c、 e 当中，角 c、 b、 e 所对的边是谁？ 我们先来看 bce 是 这个三角形角， cbe 是 这个角。同学们看这个三角形里面的这个内角，他对的边自然不就是 ec 这条边吗？继续在三角形 aec 当中， ae 所对的角。 三角形 a、 e、 c 在 这里， a、 e 是 这条边，那么他所对的角就应该是这个角吧，那这个角呢？我们就把它写成角 a、 c、 e。 这个问题也比较简单，主要考察了三角形当中角所对的边和边所对应的角。 第三题，图中一共有多少个三角形？看着还是比较多的啊，他们分别是什么？让我们写一下 这个题其实在我们小学的时候就已经出现，过数的时候千万不要漏掉。这里跟大家说一个小技巧，我们可以把这里标为一，这里记为二，这里记为三。那单独的一、二、三是不是三个小三角形啊？那一加二又是一个三角形，二加三也是一个三角形，一、二、三也是一个三角形， 所以图中一共是有六个小三角形 a、 b、 d。 二号三角形就是三角形 a、 d、 e， 那 三号就是三角形 a、 e、 c。 那 一加二就是三角形 a、 b、 e。 二加三就是三角形 a、 d、 c。 那 一、二、三合在一起就是大三角形 a、 b、 c。 所以 一共是有六个三角形。 第二题，以 a 为边的三角形有哪些？那我们来看 a 边在这里，以它为边的三角形。首先这个二号三角形和三号三角形都是的吧，写一下三角形 a、 d、 e 和三角形 a、 e、 c 都是以 a 为边的。那么继续，这个三角形 a、 b、 e 是 不是也是以它为边的呀？ 三角形 a、 b、 e 也是以 a、 e 为边的，还有没有？好像已经没有了啊。那么以 a、 e 为边的三角形就应该是这样的三个三角形。继续来看第三题，角 c， 那 角 c 在 这里，他说分别是三角形 a、 e、 c。 这个三角形三角形 a、 d、 c。 哎，这个大的三角形 a、 b、 c。 那 最大的 分别是这三个三角形当中哪条边所对的角啊？这个也非常简单，首先角 c 在 这个三角形当中，就应该是 a 所对的角吧。 那放在三角形 a、 d、 c 当中呢？就应该是 a、 d 边所对的角。同理，在这个大三角形 a、 b、 c 当中，就应该是 ab 边所对的角。第四题，角 b 分 别是哪些三角形的内角？ 那显然它是三角形 a、 b、 d 的 一个内角，也是三角形 a、 b、 e 的 内角，也是大三角形 a、 b、 c 的 内角吧。我们来分别写一下。再看角 a、 e、 d 又是哪个三角形的内角呢？ a、 e、 d 在这里，首先它是这个小三角形 a、 d、 e 的 一个内角吧，那也是这个三角形 a、 b、 e 的 一个内角啊。我们来分别写一下角， a、 d、 e 的， 它是三角形 a、 d、 e 的 内角，也是三角形 a、 b、 e 的 内角。 接下来看本节课的第二个重点，三角形三边关系。先给大家抛一个小问题，随便给你三条线段，它一定能拼成一个三角形吗？答案肯定是 no， 比如这三条线段无论怎么拼接都没办法做到首尾相连，自然也就没办法构成三角形。那什么样的三角线段才能构成一个三角形呢？这就需要引入三角形三边关系定律了， 它是判断三条线段能否构成三角形的唯一依据。一共两句话，第一句，三角形任意两边之差小于第三边。比如如果三角形 abc 的 三边长分别为 abc， 那他们一定满足 a 加 b 大 于 c， a 加 c 大 于 b 加 c 大 于 a。 同时绝对值 a 减 b 小 于 c， 绝对值 a 减 c 小 于 b， 绝对值 b 减 c 小 于 a。 这里加上绝对值符号是因为不确定两条边当中哪条更长，用绝对值就能保证两边之差是一个正数，这个小细节大家需要注意。三边关系在考试的时候是一个正数，这个小细节大家需要注意。三边关系在考试的时候是一个正数，这个小细节大家需要注意。三边关系来求解的题， 来看几道利用三边关系解决的问题。那么对于三角形的三边关系，我们知道最重要的其实就是两句话，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边吧。接下来我们就利用这两句话来解决这些问题。 先看第一题，他说下列长度的三条线段，能够组成三角形的是哪些？我们分别来看一下。先看 a 选项，三、四、五。 同学们看，我们拿出最短的两条线段，三和四，那显然三加四等于七，他是大于五的，那四减三等于一，一是小于五的，是不是满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边啊？所以这个 a 选项呢？哎，它就能构成一个三角形。并且等后面咱们学了 勾股定律以后，你还会发现他们组成的这个三角形呢，还是一个直角三角形啊。这三条线段的长度在我们接下来的几何学习当中会经常出现。 再看 b、 四、五、九，哎，显然这个三条线段就不能组成一个三角形了吧，你这里的四加五是等于九的呀， 不满足大于第三遍吧。好，继续来看 c 五十二十八，同理，这个 c 呢，也不能构成一个三角形，你五加十二等于十七，都小于第三遍了吧，那这个 d 选项也是一样的道理，也不行， 七加五等于二十二，小于二十三，无法构成三角形。所以这道题的答案就选 a 来看。第二题，在三角形 a、 b、 c 当中， ab 边等于十， bc 边等于一， ac 边的长呢？它是一个偶数。问三角形 abc 的 周长是多少？那我们先简单的画一个草图， 假设这里有一个三角形 abc， 我 们知道 abc 的 周长，那实际上就是求这个线段 abc 的 长度吧。 所以利用三边关系，咱们直接能够得出关于 a、 c 的 一个范围，显然这个线段 a、 c 它是要小于 a、 b 加上 b c 的 吧，两边之隔大于第三边， 并且呢它是要大于 a b 减去 bc 的 两边之差小于第三边，所以这个 a c 它就小于十一大于九，那小于十一大于九，并且还要满足 a c 的 长度是一个偶数， a c 只能取十吧。 那么我们要求的这个三角形 abc 的 周长，他就应该是二十一，那即使这个三角形 abc 呢，他还是一个等腰三角形，对吧？ ab 和 ac 是 相等的。继续来看第三题，若等腰三角形，他的两条边长分别是四和九，让我们求周长是多少？说他是一个等腰三角形， 那等腰三角形我们讲它的特点就是两条腰长相等吧。我们先来简单的画一个草图，假设这里有一个等腰三角形，现在说它的两条边长呢，分别是四和九， 那具体在这个等腰三角形当中，到底是这个腰是四，还是这个底是四，他并没有说吧，所以咱们需要简单的进行一下分类讨论。那第一种情况，咱们就假设他的腰是四，所以这条边是四，那这条边也是四，那底边就是九。 同学们看，显然这种情况是不可能的吧，你两边之和小于第三边了，他无法构成一个三角形，所以这个第一种情况他是不成立的。那么我们再看第二种情况，就是以这个九为腰长， 那么这里就是九，这里也是九，那这条边就是四，显然它是符合要求的，对不对？两边之隔大于第三边，两边之差小于第三边，所以这个等幺三角形的周长就应该是九加九，再加四， 那最终结果就应该等于二十二。继续来看第四题，那这道题呢，他是利用这个三边关系来判断的一个结论，还是有一定难度的啊。所以希望同学们在听我讲之前呢，最好自己先动手去做一下， 看看你们在做的过程当中遇到的问题，遇到的困境是什么，然后再来听我讲，这样的话收获肯定会更大一点啊。我们来看一下，他说在三角形 abc 当中， d 是 ab 上的一个点， o 是 c， d 上的一个点，证明 ab 加 ac 大 于 ob 加 oc， 我 们需要证明这两条蓝色线段的和大于这两条红色线段的和。这个怎么办呢？首先我们想对于这样的一个问题， 我们最终要想证出这样的一个结论，那么能够用到的只有三边关系吧，这点是唯一确定的， 但是这道题的难点在于 ab 和 ac， ob 和 oc 分 别在不同的三角形当中，所以我们没办法直接利用这个三边关系来解决问题。那么面对这类问题，同学们一定要去做的一个动作就是试错， 你大概率没办法直接框定两个三角形，然后就能很快得出答案。但是这个试错的过程非常重要，只有在不断的尝试的过程当中，才能离这个终点目标越来越近啊。比如说咱们首先来看看 ab 和 ac， 显然是这个大三角形 abc 的 两条边吧， ob 和 oc， 哎，他是这个小三角形的两条边。如果我们最终的结论是这样的一个形态的话，那么我们就可以尽可能的根据这个结论来反推，看看怎么样利用三边关系能够构造出这么一个形态出来吧？ 同学们看 o b 线段在这里，它是这个小三角形 o d、 b 的 一条边吧。所以在小三角形 o d b 当中，我们利用三边关系能够得到这个 o d 加上 b d， 它是要大于 o b 的。 看，我在写这个不等式的时候，其实就是想尽可能的往这个结论上去靠，那么继续看 o c， 在 这里，那么参照刚才的想法， 我也想写出一个类似这样的一个形态吧，比如说在这个小三角形 o b、 c 当中，我们写出这个 o b 加上 b c， 它是要大于 o c 的。 写出这个不等式的原因也是想尽可能的往这边去靠吧。但是同学们看， 那这两个不等式，假设我们把它叠加以后，左边加左边，右边右边倒是出现了 o b 加 o c， 但是左边这个 o d 加 b d， 还有这个 ob 加 bc， 并没有办法去往 abac 上去转化吧。所以这个思路还是有问题的，咱们不仅要考虑右边的形式，还得想想左边怎么进行转化，能够得到 ab 加 ac 吧， 这个不等式它大概率是没有什么用的。为什么呀？同学们看你的 ob 和 bc， 哎，跟这个 ab 和 ac 都没有直接的关系， 但是有了刚才的探索，咱们的目标已经清楚了，接下来看看能不能继续找到一个不等式，让他尽可能的跟 ab 边和 ac 边有关系。那顺着这个思路，同学们看，这里还有一个三角形 a、 d、 c， 看到没有？ 那么在这个三角形当中， a、 d 加 ac 是 要大于 dc 的 吧？我们来写一下。 那有同学说，哎，这里是 dc 啊， dc 跟我们 oc 都没有关系了呀，那写出这个三边关系有啥用啊？别着急啊， 这个 oc 不 就是咱们 dc 的 一部分吗？所以我们可以把这个 dc 改一下呀，咱们就不要直接写成 dc 了呗，就写成 o d 加上 oc， 看这样的话不就和我们的这个 oc 边关联起来了吗？ 当我们得到了这样的两个不等式以后，那实际上这个问题就已经搞定了啊。我相信聪明的同学肯定已经发现，当我们把这个一式跟二式叠加起来以后，就能得到那左边他就是 o d 加上 b d， 再加 a d 加上 a c， 那 大于右边就是 o b 加上 o d， 再加上 o c。 同学们看，在这个不等式的两边同时出现了一个 o d， 所以 这个 o d 直接就能约掉。 再看 a d 加 b， d 是 什么呀？ a d 在 这里， b d 在 这里， a d 加 b d 不 就是线段 ab 吗？ 那么是不是就出现了我们的结论， ab 加上 ac 大 于 ob 加上 oc。 那 这道题我们就说清楚了啊，刚才我们探索的这个过程非常的重要，虽然大家看起来这个结论，或者说这个证明过程好像很简单，但是刚才我们屡的这个思路可是一点都不简单， 好好消化一下啊，看看我们刚才是怎么找出这样的两个不等式。 ok， 再来看第五题，第五题他说三角形 abc 的 三条边长呢，分别是小 a、 小 b、 小 c。 让我们解决下面的两个问题， 来看一下，假设这里有一个三角形 abc， 它的三条边分别是小 a、 小 b 和小 c。 下面我们来看问题，先看第一题，化简。绝对值 a 减 b 减 c， 绝对值 b 减 c 减 a， 绝对值 a 加 b 减 c， 那 么对于绝对值化减的问题，咱们再熟悉不过了，要想去掉这个绝对值符号，关键在于什么呀？ 我们要判断绝对值里面的这个整体，它到底是大于等于零还是小于零的吧？如果大于等于零，那么就直接去掉绝对值符号，如果小于零，我们就去掉绝对值符号，以后在外面添一个符号吧。 所以接下来的重点就是来判断 a 减 b 减 c 减 a 和 a 加 b 减 c 和零的关系。 那先来看第一个 a 减 b 减 c， 我 们给它稍微变个形啊，写成 a 减括号 b 加 c 的 形式，这样判断起来会更方便同学们看。利用三边关系，两边之合是要大于第三边的吧，所以显然这个 a 它是要小于 b 加 c 的， 所以这个结果呢，它一定是小于零。那同样的道理， b 减 c 减 a， 咱们给它变形一下，就是 b 减括号 a 加 c， 那 么利用三角形三边关系，两边之合大于第三边吧，所以它也是小于零的。 那第三个 a 加 b 减 c， 同理，那 a 加 b 的 和肯定是要大于 c 的 吧，所以，哎，它是大于零的。那么有了这个条件以后，那接下来的画点就非常简单了啊，这里图我就擦掉了，我简单的来写一下这个过程，截 圆是等于负的，括号 a 减 b 减 c 减 a， 再加上括号 a 加 b 减 c， 绝对值里面它是一个负数，那么去掉绝对值以后，我们先添个括号，再添一个负号，那化简一下，它就等于负 a 加 b 加 c 减 b 加 c 加 a 加 b 减 c， 接下来合并同类项，这里是负 a， 这里是二 a， 所以 最终结果就是一个 a， 那 再看 b 和负 b 约掉，那最后还是一个 b 加一个 b， 二 c 减 c， 那 最后还有一个 c， 所以 它的化简最终结果就是 a 加 b 加 c。 再来看第二本，若 a 等于二， b 等于五，第三条边 c 呢？是一个基数，让我们判断这个三角形 a、 b、 c 的 形状，那这个就非常简单，咱们直接利用三边的关系，那 c 他 一定是小于 a 加 b 的 吧， 那应该是大于 b 减 a 的 对不对？两边之隔大于第三边，两边之差小于第三边，所以这个 c 呢，他肯定是要小于七，他得大于五减二等于三，他得大于三， 大于三，小于七，还得是基数。那么符合要求的是不是只有一个五啊？也就是说，这个三角形的三角边长分别是， a 等于二， b 等于五， c 也等于五，哎， b 等于五， c 等于五，那么你们说这个三角形是什么形状啊？对， 当然他就是一个等腰三角形啊。那这道题我们也就说清楚了啊，直接利用这个三边关系就能搞定。 再来看看本节课最后一个内容，三角形的重要线段，也就是三角形的中线角、平分线和高，咱们分别来看一下。先来研究一下啥是三角形中线。 定义很简单，在三角形中连接一个顶点和他对边中点的线段，叫做三角形的中线。比如在三角形 abc 中 bc 边上的中线，同理这条这条也都是中线， 所以每个三角形都有三条中线，而且这三条中线一定会相交于三角形内部的一个点，这个焦点叫做三角形的重心。关于重心，它有一个重要性质，它会把所在中线分成两部分，并且这两部分之比是二比一。 具体证明方法咱们先不展开，因为要用到后面的知识，暂时先记住结论就好。接下来给大家补充中线的一个重要性质，也是后面考试的高频考点。 三角形的一条中线，能把这个三角形分成面积相等的两个小三角形。比如刚才咱们说的中线 a、 d， 能把三角形 abc 分 成三角形 abd 和三角形 a、 c、 d， 而且这两个小三角形的面积是完全相等的。证明方法也很简单，本质上这两个小三角形是等底同高的两个三角形，所以面积自然相等。 再来看第二条状线段，三角形的角平分线。第三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交， 这个角的顶点和交点之间的线段，就叫做这个三角形的角平分线。比如在三角形 a、 b、 c 当中，线段 a、 d 平分角 b、 a、 c 交对边， bc 于点 d， 那 a、 d 就是 三角形 a、 b、 c 的 角平分线。 和中线一样，每个三角形都有三条角平分线，三条角平分线也一定会相交于三角形内部的一个点。 这个焦点也有一个专属名称，叫做三角形的内心。这里要特别提醒大家，三角形的角平分线是一条线段，而咱们之前学的角的平分线是一条射线，这两个概念不要搞混了。最后再看三角形的高，关于三角形的高，其实小学就已经学过了，定义很简单， 从三角形的一个顶点向它对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段就叫做这个三角形的高线，简称高。 比如在三角形 a、 b、 c 当中，我们过点 a 向 b、 c 边所在的直线做垂线，垂足为 h， 那 线段 a、 h 就是 三角形 a、 b、 c 中 b、 c 边上的高。 每个三角形同样有三条高，三条高的焦点叫做三角形的垂心。概念很简单，但是关于高，有一个非常容易出错的地方，不同类型的三角形，高的位置是完全不一样的。同学们可以看一下这幅图，对比理解一下。 ok， 接下来再来看几道题，实战一下。 第一题，在三角形 a、 b、 c 当中， b、 e 和 c、 d 为两条角平分线。根据我们刚才说的角平分线的性质，显然这个角和这个角是相等的吧， 那这个角呢？跟这个角也是相等的。他又说角 abc 等于角 a、 c、 b， 这个角和这个角是相等的， 那就相当于这里的三角形 a、 b、 c 实际上是一个等腰三角形。问，图中跟角一相等的角有几个？那显然角一跟这个角是相等的吧，咱把它叫做角二，这是直接根据角平分线的性质得到的。再看 c、 d 是 角 a、 c、 b 的 角分线，所以这个角和这个角也相等。那么我们又知道，角 a、 b、 c 和角 a、 c、 b 相等，所以这个角跟这个角，它和角一也是相等的吧。那最终跟角一相等的角呢？ 那就应该是有三个。第二题，在三角形 a、 b、 c 当中，角 a、 b、 c 等于九十度。哎，这里是一个直角 b、 e 垂直， a、 c 于一点， 这里也是一个直角。问，图中的线段可以作为三角形 abc 高的有几条，这个问题也很简单，对不对？假设咱们把 ab 边当做底的话，这里是直角，显然这个 c、 b 边它就是 ab 的 高， 也就是这个三角形 abc 的 高吧。同理，假设咱们把 c、 b 当做底的话，那 ab 不 就是 c、 b 边的高吗？ 这已经有两条了啊。我们再把 a、 c 看做底的话，那 b、 e 是 不是 a、 c 变得高啊？哎，它也是这个三角形的一条高，所以这个图中呢，有三条线段都能当做这个三角形 a、 b、 c 的 高。第三题，已知三角形 a、 b、 o 的 面积为八， 这个小三角形它的面积是半， o 是 三角形 abc 的 重心， o 点是这个三角形 abc 的 重心。那根据我们刚才对于这个重心的介绍，我们讲什么叫做重心啊？它指的是三角形三条中线的交点，对不对？ 所以通过这个条件咱们就知道了，这里的 m 点和 n 点，它分别是 b、 c 和 a c 边的中点，也就是这个 b m 等于 cm cn 呢，等于 a、 n， 这是重心带给我们的第一个线索。那刚才我们还补充了一个关于重心的结论，同学们还记得吗？我们讲三角形的重心，他把所在的这条中线分成了两部分，并且这两部分的比值还是二比一， 也就是说图中的这个 a、 o 比上 o、 m， 它是等于二的。同理，这个 b、 o 比上 o、 n 也是等于二的，这个就是重心带给我们的结论。接下来让我们求四边形 m、 c、 n、 o 的 面积， 这个四边形它是一个不规则的四边形吧，那么要求它的面积大概率是要用割补法吧。比如说，我们看看能不能算出这个三角形 a、 m、 c 的 面积，再减掉这个 a、 o、 n， 或者用三角形 b、 n、 c 的 面积减去三角形 b、 o、 m 都是可行的啊。 这个三角形的面积是八， a、 o 比上 om 又是二比一，那三角形 b、 o、 m 的 面积是不是就是四啊？ 我们说这两个三角形，它们是等高的，所以底边之比不就是面积之比吗？那同理， b、 o 比上 o、 n 是 二比一， 所以这个小三角形 a、 o、 n， 它的面积也是四百，因为这俩三角形它们也是等高的，对不对？我们过 a 点做个垂线看，这两个三角形共用一个高，所以它们的底边之比，那就是面积之比。 继续看 am 是 三角形 abc 的 中线，我们讲中线有一个极其重要的性质，它会把所在的这个三角形的面积一分为二。也就是说这个三角形 amc， 它的面积呢，和这个三角形 abm 是 相等的，那 abm 的 面积不就是八加四等于十二，所以这个三角形 a、 m、 c 的 面积也等于十二。看这样子，我们要求的这个四边形的面积就出来了吧，十二减去四，哎，它的面积就是八。再来看第四题， 他说在三角形 a、 b、 c 当中，点 d 点、 e、 点 f， 分 别是 b、 c、 a、 d、 a、 c 的 中点，这个 d 呢，是 b、 c 的 中点， e 是 a、 d 的 中点， f 是 a、 c 的 中点。还说三角形 abc 的 面积等于十六，这个大三角形的面积等于十六。 求阴影部分这个三角形 d、 e、 f 的 面积。那这道题主要考察的还是这个中线的性质吧。同学们看三角形 abc 的 面积等于十六， d 又是中点，所以中线把这个三角形的面积一分为二，所以 那 a、 b、 d 的 面积就是八，当然这个 a、 d、 c 的 面积也是八。那再看 f 是 a、 c 边的中点，所以这个 d、 f 不 就是三角形 a、 d、 c 的 中线吗？那中线把三角形的面积一分为二， 那这个三角形的面积就是四，这个三角形的面积也是四。来继续看点， e 是 a、 d 边的中点，也就是说这个 e、 f， 它是三角形 a、 d、 f 的 中线，那中线把面积一分为二， 于是我们就得到了要求的这个三角形 d、 f 的 面积不就是二分之一倍的 s 三角形 a、 d、 f 的 面积吗？所以自然它就等于二。反复用一下这个中线的性质就好了。 再来看第五题，如图，在三角形 a、 b、 c 当中点 d、 e、 f 分 别是 b、 c、 a、 d、 c、 e 的 中点，求阴影面积。那这道题和我们刚才说的这个第四题几乎是一模一样的吧。同学们看 d 点是 bc 边的中点， e 点是 a、 d 边的中点， f 是 c、 e 边的中点，三角形 abc 的 面积又知道，那么要求这个三角形的面积，最直接的做法就是找出三角形 bc 的 面积吧。 那 b、 f 又是中点，所以它的面积不就是 b、 e、 c 面积的一半吗？那我们来看看三角形 abc 的 面积是六十四，所以这个三角形的面积也就是三十二，对吧？ s 三角形 b、 a、 d 的 面积，它就等于三十二， b、 e 又是中线，于是就又得到了这个 s 三角形 b、 d、 e， 它的面积就应该等于二分之一倍的三角形 b、 a、 d， 那 就是十六、 同理，同学们看这个三角形的面积是不是也是三十二啊？那 c、 e 又是中线，于是我们就又得到了 s 三角形 c、 e、 d， 它的面积也是十六。 有了这两个三角形的面积，不就得到了这个 s 三角形 b、 e、 c 的 面积吗？对不对？它就是十六加十六等于三十二， 这个三角形的面积有了，哎，这个阴影部分的面积不就是它的一半吗？对不对？因为我们这里的 b、 f， 它也是一条中线吧，它就是这个三角形 b、 e、 c 的 中线。所以最终咱们就得到了要求的这个阴影部分的面积， s 三角形 b、 e、 f， 它就等于十六。以上就是本节课的全部内容，记得认真回顾并完成课后练习。我是 tom 老师，下节课再见！下课！

大家好，今天我们一起研究一下技教版七年级下册同步练第一百页填空题。第二小题， 等腰三角形的两边长分别为三和六，则这个等腰三角形的周长为多少？ 下面我们进行一下审题分析。一、要弄清出题者要考察的是哪个知识点。本道题考察的是三角形周长的知识，所以我们必须明确一个概念， 三角形的周长等于三角形的三边长度之和。第二，分析已知条件，调动与本题相关的知识储备。 此题有两个关键点，一是等腰三角形。根据考察目标，我们必须明确等腰三角形的概念和性质，两条边相等的三角形叫做等腰三角形， 两相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边。 那么二是两边长分别为三和六， 这里他并没有说明三和六谁是幺，谁是底。因此我们必须 分两种情况去讨论。 第一种情况就是三十幺六十 d， 就类似这样一个图形， 此时周长应该等于三加三加六等于十二。但是我们不能忽略另一个重要的知识，三角形任意两边之和都大于第三边， 当三加三等于六时，是无法构成三角形的，因此此种情况三角形不存在，必须摄取。第二种情况是，六是腰，三是底，此种情况符合三角形三边的规律， 那么轴长这首等于六加六加三等于十五，因此本道题的答案是十五。 总结，通过以上分析，我们发现，其实本道题并不在于考察三角形周长的知识，而在于考察任意三角形三边之间的数量关系 及三角形任意两边的和大于第三边。利用这个结论可以判断三条线段能否组成三角形 是打铁。等腰三角形的两边长分别为四和六，则这个等腰三角形的周长为多少？ 实际上它也是两种情况，第一种情况就是当三角形的腰为六，底为四时，第二种情况就是当等腰三角形腰为四， d 为六十。那么这两种情况都符合啊，我们三角形三片的之间的数量关系，因此这道题它的答案有两个，一个是十六，一个是十四。好，今天的课我们就讲到这里，谢谢大家。

好，同学们，今天我们来学习三角形的内角和外角。第二课时， 首先我们来看教学目标，一、了解三角形的外角的概念和三角形外角的性质，初步学会数学说理。 第二，动手操作，探索发现有关的结论。 第三，运用简单的说理来计算三角形相关的角。第四，培养主动探索，勇于发现，敢于实践和结合合作交流的习惯。重点， 三角形的外角及其性质，我们的难点在哪呢？难点，运用三角形外角性质进行有关的计算，能准确表达推理过程和方法。 我们回顾三角形的内角和等于一百八十度，这是我们上节课进行演探讨的， 我们看把三角形 a、 b、 c 的一边 b、 c 延长到 d， 得到 a、 c， d 的这个角。我们说上节课我们说 内角，内是里边的意思，三角形里边的角。我们今天说的外角呢？三角形外边的角 三角形外边的角，那你不能随便画一个角，肯定和三角形是有关系，所以叫三角形的外角。那我们看老师才说的这样一操作得到的 acd， 这样的角，我们就叫三角形的一个外角。这是我们先对外角有一个认识，把一边延长 就得到了这个角，这样的角呢？叫三角形的外角。那同学们想颜 长任何一条边，三角形的边都能出现一个外角，外角和内角有什么关系呢？我们来研究它。 那首先我们看他的定义是啥？刚才同学们也看到了外角是怎样延伸做出来的，那三角形的一边与另一边的延长线组成的角，就叫做三角形的外角。 三角形的外角不是三角形内角的对，顶角。同学们记好了啊，是他延长了以后和另一边组成的角，而不是他延长的对顶角。 对，而是三角形内角的零补角，零补角，零补角，零补角什么意思啊？零补角，那就是他相邻而且互补， 那我们看，那这个外角和他不相连的两个内角之间有什么关系呢？这是我们这一节要研究的问题。 好，我们画三角形 a、 b、 c， 再画它的外角 a、 c、 d。 我们量一量角 a、 角 b， 角 a、 c、 d 的度数，我们可以得出什么结论？ 我们可以得出，这个朋友们可以看一下我们这个，我们连一下角，量一下角 a， 再量一下角 b， 再量一下角 acd， 我们会发现什么？会发现 角 a 加角 b 刚好等于角 a、 b， 这个 a、 c、 d。 为什么？是因为 你这个角 c 加角 a 加角 b 能等于一百八十度，能等于一百八十度， 你这个角 c 加 acd 也等于一百八十度，都是角 c 加这个角加角 c 加，他俩等量一代换，那也就得出了，那角 a 和角 b 和他的和等于谁？ a、 c、 d 可以证明，那我们量的结果呢？也是他的和等于他， 这是我们用测量的办法量出来的结论。 a、 c、 d 等于角 a 加角 b。 好，我们思考三角形的一个外角与他不相连的任意一个内角，他的大小关系是怎样呢？ 我们刚才发现了三角形的一个外角等于他不相邻的两个内角的和，这是第一个发现，第二个发现 就是三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，相邻了就不行了。为啥？如果是直角三角形，那他那个外角还等于他的内角了？ 那如果是钝角呢？还是小于的，只是不相邻的那角大于他的不相邻的那角。好朋友们看，第一， 已知三角形 a、 b、 c。 求正角 b 加角 a 等于角 b、 c、 d。 我们看这个图，三角形 a、 b、 c。 三角形 a、 b、 c 的角 b。 加角 a 等于 b、 c、 d。 那我们看 b、 c、 d 是什么呀？ b、 c、 d 是三角形的一个外角， 也就是说，我们刚才他证明他一个外角等于不相邻的两个内角的和。我们用的是什么？是直接探讨量他的度数的。而我，我们这个来，是用理论来推倒他， 理论来推倒他。同学们看，这个也比较简单，和我们前一节推倒的方法很像 过。 c 做 c、 e 平行 a、 b， 这样也可以，还可以是平移 a、 b 到 c、 e， 这都可以，那也就是得到了 a、 b 平行 c、 e 平行了以后， 那角二和角 b 呢？刚好是内错角，角 a 和角一刚好是同位角，那内错角相等，同位角相等，那也就是说角 b 等于角二，角 a 等于角一。 那同学们看，哎，那一代换那角二加角一等于角 bcd， 你这两个又分别相等等量代换角 a 加角 b 就等于角 bcd。 同学们看明白， 那也就我们得出了结论，说三角形的一个外角等于啊，与 他不相邻的两个内角的和啊，两个内角的和。这是我们要证，拿理论来证明。我们刚才的结论下来，同学们看这道题， 已知如图三，那个角 b、 c、 d 等于九十二度，角 a 等于二十七度，角 b、 e、 d 等于四十四度。求，角 b 等于多少度？ 角 b、 p、 d 等于多少度？同学们一看，这一会，哎呦，这个题还稍微有点复杂，同学们注意，我们先分析找他的角都在哪？ b、 c、 d、 b、 bcd 这个角，这个角是多少度呀？九十二度，九十二度角 a 是多少？二十七度，哎，他俩有一个什么关系？在三角形 abc 中， 角 bcd 是他的一个外角，是他的一个外角。我们又知道了角 a， 那是不是能求出角 b 来呢？ 哎，能求出角 b， 因为角 a 加角 b 就等于角 bcd， 因此角 b 就直接等于 b。 角 bcd 减角 a， 也就是说等于九十二度 减二十七度，等于六十五度。这个非常简单。出来了， 我们再看第二题 bpdbpd 哎呦，求这个角来， 求这个角来，那我们看，那你角 b 已经知道了角 b， 我们已经知道了角 b 知道了以后，那我们还需要知道谁啊？那我们看这个角 d 等于谁？ 角 d 等于这个 b、 b、 e、 d 减角 a， 为什么？因为它又是三角形 a、 e、 d 的一个外角，三角形 a、 e、 d 的外角，因此它外角减这个内角刚好等于角点， 就可以求出角地来。角地就等于四十四度，减二十七度等于十七度。 角 d 出来了，那同学们看，角 d 出来了，角 b、 c、 d， 我们又知道，那 它等于谁呀？等于它俩的和，因为角，我们又求得 b、 p、 d 又是三角形 d、 c、 p 的一个外角，因此它等于两个内 角不相连的两个内角的和，等于九十二度加七十七度等一百零九度。 这仅仅是画了一个综合的图，都是用的三角形的外角，我们得出的结论。 好，我们看典型题，已知三角形 a、 b、 c， 角 a 等于六十七度，角 b 等于四十三度，求外角 b、 c、 d 等于多少？ 那我们还用刚才的方法把 a、 b 平移到这一块，得出了角二和角一，那我们看角二，那同学们看他 这个等于谁啊？这个他加他直接等于他，那我们都不用搅一搅二了，我们不用再做他，因为我这个定理是我们已经证实的，直接应用我们的定理就行了。 那角 a 加角 b 等于角 b、 c、 d， 那直接等于六十七度，加四十三度，等于一百一十度。 好，下来，我们看真题，大家一看真题，真题还真有点复杂啊，我们看 在三角形 a、 b、 c 中，角 b 等于四十七度。三角形的外角角 d、 a、 c 和角 a、 c、 e 的平分 线交于点一，求 a、 e、 c 等于多少？ a、 e、 c 等于多少？那我们先看，先看 已知角臂，就是这个角臂等于四十七度，角臂等于四十七度啊，那 他等于四十七度，他这个呢？是他这个角的外角的平分线，这个呢，是这个的平分线，他相交了一点一，相交了一点一， 那我们同学看他求的哪个角呢？求的是 aec， 求的是这个角，求的是这个角， 那我们看求这个角。我们要知道谁，如果我们知道了这个角，也知道了这个角，或者是知道了他们俩的和，那我们这个角好求了吧。行，这是我们转换，我们转换， 那我们看一下啊，我们看一下角 b、 a、 c， 角 b、 a、 c， 就等看 b、 a、 c 加一个，谁加一个 b、 c、 a 啊，这两个相加就等于一百八十度，减一个，谁减角 b 减角 b 啊，尖角笔，那角笔等于谁啊？等于四十七，那他俩的和就等于 一百三十三度。这是因为你这个角加这个角加这个角等于一百八十度。一百八十度，那你这俩的和就等于一百八十度。减这个，这两个的和出来了， 他两个的和出来了，那我们看，再看那角， cad， cad 啊， cad 在这 cad， 同学们看好这个 d 应该标到这儿的，这个 cad 加一个这个 a c f， a c f 就是我们的两个外角， 两个外角，两个外角一加就应该等于三百六十度。减一个一百三十三度， 他就等于一个二百二十七度。我们求下来他的和，求下来，那我们就可以求出来他俩的和， 他俩的和出来了以后，他是角平分线，和出来了，和的一半出来了吗？出来了直接给他俩的和除以二就行了，所以他就是二百二十七度。对，是他们俩的和，因此他们的和 和，他又是平分线，他就是什么一百一十三点五度，一百 这两的和出来了，我们要求的这个角拿一百八十度把他俩一剪就出来了，这既用到了三角形的内角和一百八十度，还用到了我们外角外角， 哎，这个综合性稍微能大一些，但是他还是没有难度的，还是没有难度的好，因此他出的是前控体。 好，我们把这节课总结一下，通过这节课的学习，我们知道了三角形外角的概念。什么是三角形的外角？就是把三角形的一边进行延长，延长了 后和三角形的另外一条边所夹的角叫外角。它外角的大小是什么呢？大小等于不相邻的两个内角的和， 那我们可以得出结论就是说一个三角形的任何一个外角大于他不相邻的任何一个内角， 这是我们这一节课我们学习的内容。好，这一节课我们就讲，在这里谢谢同学们。

吃好喝，同学们好，请坐！在上一节课中呢，我们学习了三角形的分类，知道三角形可以按边进行分类，也可以按角进行分类。 那么下面呢，老师有一个问题，如果我把三角形按脚进行分类的话，可以分为哪几种呢？ 好，请坐。那么请同学们看黑板，在黑板的左侧，老师画了三个三角形， 那么我想问一下，这三个三角形是属于刚才说的哪一种三角形呢？一起告诉老师。瑞典三角形 是锐角三角形，如果老师用一张遮住三角形的下半部分，现在露出来的就是这个三角形中的锐角， 那角有角平分线，而且角平分线的画法呢？我们以前也讲过。那下面哪位同学能到黑板上把角 a 的角平分线来画给我们看呢？谁来试一下，我看谁有这个勇气，来。赵百荣，你来， 好给你打打气， 在你画的过程中呢，请你把画的过程也说给我们听。想要画角 a 的角平直线，就要先量出角 a 的度数， 两得角 a 的度数为七十度。想要画角 a 的平分线，就是要找角 a 的一半，也就是七十度除以二等于三十五度，找到到三十五度这个点 并连接， 如图所示，这个点和这个点就是相等的，所以就找到了点 b、 a、 c 的整个键，他说的清楚吗？清楚。好，酒杯。 那么现在呀，我把黑板上的三角形呢，我给他剪下来，拿在我手里。老师的另一个问题就是，除了刚才赵曼如用两 有角气的方法能够找到角 b、 a、 c 的角平分线之外，你还能有其他方法？ 好，我找一个同学来试试。哎，张富商，你来，他可以用折的方法啊，用折的方法，那么怎么折？你能不能折给大家来看， 他非常贴心的把三角形的两个边重合到了一起， 你这样折出来的就是角平的线。为什么 把三角形的一个角分成了相等的两部分，那么能够把一个角分成两部分的这条线，就是 我们现在回过头来看，刚才赵曼儿同学画的这条线，角和角红针线，大家看它是一条 射点，在它延伸的过程中，它与三角形 a、 b、 c 的边 b、 c 有一个交点，如果我把这个点标成字母 d 的话，那么线段 a、 d， 我们就说它是三角形 a、 b、 c 的角平分线。 请同学们认真观察。 角 b、 a、 c。 大角平分线是一条竖线，那么三角形 a、 b、 d 的角平分线是线段 a、 d。 它们有什么联系？有什么区别？ 是尝试一下韩瑞，他们的联系是都能把角 a 分别分成两个相等的角， 区别是角 a 的角平分线是射线，角 a、 b、 c。 三角形 a、 b、 c 的角平分线是 整个，嗯，八十个。 大家来看， 三角形的角平分线是三角形一个内角的平分线，与它的对边相交，这个角的顶点与焦点间的什么， 焦点间的什么线段？焦点间的线段叫做三角形。当角平分线，那所以如果我知道线段 a、 d 为三角形 a。

好，上课起立，老师好，同学们好，请坐！ 今天这节课，我们一起来探求三角形的内角。首先让我们来当一个法官， 仔细阅读三角形蓝和三角形红的对话，看看他们谁说的有道理。三角形蓝和三角形红碰面了，蓝炫耀的说，我的面积比你大，所以我的三个内角的和也比你大。 红不服气的说，那可不一定，同学们，你们说呢？红说的对啊，为什么红说的对呀？ 我们在小的时候，我们在小学的时候就已经学过了三角形的三个内角的和为一百八十度。 那我们是如何得到这个结论的呢？我，测量法和减拼法。好的测量啊，也就是我们的度量法，我们将三个角 分别测量，哎，分别测量之后相加。 还有另外一种方法叫做剪拼，剪拼剪拼法。好，请同学们动手拼一拼我们手中的三角形，然后将你的拼图传送回来，传送到我们的聊天区域， let's go！ 好，这是我们大家的拼图成果啊。 好，常静娟同学，你来展示一下你的成果，然后给大家讲一讲你这样拼图的理由是什么？ 将此色和圆的的图案按成了一个平角，也就是一百八十度。所以我们比如说这三个三角形合起来的和的角的度数和是一百八十度，所以这个三角形的内角和也就是一百八十度，大家来 也就是一百八十度。嗯，好的，非常好，那么大家来看一下老师的展示。 好，我这里有三个角，我将这三个角的顶点重合，将它们依次拼成一个大角。 好，大家来看一看老师拼成的这个大角有多大？它是一百八十度，为一百八啊？一百八十度。好，大家来看一看他们的真实度数， 这是三个角加起来的度数。多少度？一百七十九点五度，一百七十九点五度，而不是你们猜想的一百八十度。这说明什么问题呢？通过测量和检测，我想问他。

一个视频带你彻底搞定全等三角形的五大判定，以及十种经典辅助线模型。另外，旗下所有必考压轴题型已经全部整理好了，每个版本六十道题，电子版取件码四五四全等三角形五大判定方法，第一种方法， 边边边三边对应相等，两个三角形全等。第二种方法，边角边两边对应相等，且夹角相等，两个三角形全等。第三种方法，角边角两个角对应相等，且夹边相等，两个三角形全等。第四种方法，角角边两个角对应相等，且一个角的对边对应相等， 两个三角形全等。第五种方法，专门用在直角三角形中，两个直角三角形有一条斜边及一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等。同时，全等三角形中有十类经典的辅助线模型， 第一个模型倍长，中线见中点则倍长。倍长之后我们可以得到一对八字形的全等。第二个模型，截长补短解决的就是 a 加 b 等于 c 的 这种线段和 差辈分关系，可以通过截长或者补短的方式将 a 变到这个位置，将 b 变到这个位置，从而证明 a 加 b 等 于 c。 第三个是非常经典的一箭三等角模型，已知三个角相等，两条边相等，那通过倒角可以证明这两个三角形全等。 第四个叫手拉手模型，手拉手模型一般会出现在等腰三角形中，通过证明可以得到这个三角形和 各个三角形全等。第五个半角模型，在一个大角中夹了一个大角的一半，假设这里九十度夹四十五度角，那么此时可以得到的是旁边两个角的和，也是四十五度， 于是通过旋转可以将这个三角形旋转到底下，从而用两个三角形证明全等，证明相关的结论。第六个对角互补模型，在四边形中邻边相等，并且对角是互补的，那么就可以做垂线，得到这个三角形和这个三角形是全等的。 最后一个角平分线的三大全等模型。第一个角平分线垂两边，已知角平分线往一边去做垂线只需要往另一边做垂线，从而证明这两个三角形全等。 第二个角平分线垂中间，已知角平分线向角平分线做垂线只需要延长，证明这两个三角形全等。第三个角平分线截两边， 已知角平分线在一边截取了一条边长为 a 的 线段，只需要在另一边也截取一条边长为 a 的 线段，证明这两个三角形全等。你记住了吗？

石家庄七年级下册在期末考试的时候，最后一道压轴题是三角形的概率非常大，而要想解决所有的三角形这一张相关的压轴题，要掌握一个以不变应万变的思路，就是具备倒角的能力，这一张倒角的能力需要掌握到。 如果题上让我们求角 a 和角 b 这两个角之间的数量关系，方法就是你先去写一个含角 a 的 算式， 再去写一个含角 b 的 算式，在写的过程中呢，一定会出现多余的角，比如说会出现角一，角二等等，那么 下一步就是想尽一切办法把多余的角消掉。当你具备这样的一个思想能力的时候，无论最后一道压轴题怎么变，你都能够去解决，并且这种倒角的能力你会越练越上瘾，越练越有成就感。

初中的三角函数呢，是直角三角形，对吧？它的边长啊，还有角度之间构建的这个比例关系，对吧？形成的这个三角函数值啊，所以我们在初中学三角函数的时候，肯定都是放在直角三角形中来学 啊。大家在笔记上把直角三角形画出来啊，两个点呢，分别是 a 和 b 啊，直角点是 c， 那 我们把这个三角形的边长挺好啊，用它所对应的角的边，所以它就是小 a 啊，这个 a c 边，他就是 b 角所对的小 b， 斜边是直角， c 所对的就是小 c 啊，好，然后呢，我们把这个角 a， 这个角，对吧？我们标记，对吧？好，那么我们在初中所学的三角函数，对吧？比如说角 a 的 三角函数，对吧？第一个就叫正弦，我们记为三 a 啊，中文名啊，叫正弦，对吧？它体现出来的边长呢？我们在之前规定当中，对吧？它等于对边比斜边，对边比上斜边，那么在图中呢，对应的就是小 a， 对 吧？这条对边 啊，除以斜边 c， 所以 它就是 a， b， c， 对 吧？这个比例，这个式子的比例值啊，就是角 a 的 正弦啊，他，他的哥们就是余弦，头在 a 啊，他叫余弦啊，余弦在我们初中规定的就是邻边比斜边，邻边比上斜边，那邻边在图中呢，是 b 边 哎，斜边还是 c 边哎，所以 b 比 c 就是 余弦。第三个就是正切啊，中文名叫正切哎，那我们叫弹进它，对吧？它等于啥呢？等于我们学的对边比邻边对邻哎，那在图中就是 a 比 b， 哎，它就叫正切。

数学考不到满分都给我进来！三角形的一个外角大于任何一个和他不相邻的内角。根据三角形的外角等于与他不相邻的两个内角的和可知角 a 加角 b 等于角一，可知角一大于角 b， 角一大于角 a。 此时可以说三角形的一个外角大于任何一个和他不相邻的内角。像这样有一个基本事实或定理，直接推出的定理叫做这个基本事实或定理的推论，推论可以当做定理使用哦。 那么接下来我们一起来看一下这道题吧。如图， p 是三角形 a、 b、 c 内一点连接 p、 b、 p、 c。 试着比较角一与角 a 的大小，将 b、 p 延长，并交 a、 c 与 点地。因为角一是三角形 p、 d、 c。 的一个外角。根据三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，可知角一大于角二。同样的，角二是三角形 a、 b、 d。 的一个外角， 则角二大于角 a。 结果可得出，角一大于角二大于角 a。 最后总结一下，一、三角形的外角与相邻的内角互为零补角二、三角形每个内角都有两个相邻的外角，一个三角形就有六个外角。三、三角形的外角等于与他不相邻的两个内角之和。 四、三角形的一个外角大于任何一个和他不相邻的内角。五、有一个基本事实或定理，直接推出的定理叫做这个基本事实或定理的推论。推论可以当做定理使用。记得点赞关注哦！