将军饮马模型解题步骤

各位，这道题啊，是典型的将军一马动点求最值问题啊，会的方法其实很简单，不相信，我们来看一下， 说你这角 a 九十度啊，再标注一下啊，角 a 九十度垂直，对吧？ ab 等于六， ac 等于八， ab ab 等于六，它是六，对吧？ ac 是 八， 这个是六，这个是八，那这个肯定是十了，对不对？六八十勾股定律对不对？ m n 为动点， m a 是 动点啊，动来动去的啊，很烦很啊。然后他求的是啥？ b m 加 m n 最小值， b m b m 不 就这条线吗？对不对？ m a m a 不 这条线吗？这两条线相加最短最小值。这两个点是动点啊， m a 在 动啊，也就是说啊，它可能是这个组合，也可能这个组合啊，这两个动点啊，啊，这两个都会动啊。那什么时候最小？ 有同学蒙啊，啊靠，感觉 m 在 这的时候最小， n 在 这最小，这可不能乱蒙啊，数学很严谨的啊。记住，两条线啊，相加求最小值，它就是将军一马的模型， 只要你做出来镜像啊，你记住，将军一马就是做镜像，只要做出来，镜像就解出来了。你看啊，这两条线随便啊，比如说做这条线的镜像啊，怎么做？把它给它翻到这边来，你看， 把这个镜像，把这个延长一个六，延长一个六，你看这个连起来，比如说这个长度是六，这俩相等，对不对？延长一个全等，两个全等出来，这条线是不是镜像到这了？各位， 不管这个 m 点怎么动，各位想象一下，这条线是不是始终等于这条线，为什么？因为这两个是全等的，镜像过来的这个点是 b 片啊 啊，这个点，然后他求的是这两条线相加，不就是这条线加这条线最小值吗？这条线加这条线什么时候最小？各位啊，我们想象一下，这个点也会动来动去，这个点也会动来动去 啊，这个点是定点不动的呀？啊？这个点是定点什么时候最小？肯定是垂直的时候最小呀，各位， 肯定，当 n 运动到这的时候， a 运动到这的时候， m 正好运动到这的时候啊，这条线加这条线最小，因为点点到直线的距离啊，最短的就是垂线，所以这就是最小值这个道理了。没明白。很简单，这最小值多少啊？能不能算出来 啊？这个是多少？怎么算啊？这个六，这个六，这个是十二，对不对？这个是多少？不知道呀， 你求这个了，那怎么求？各位，用三角形面积法，你看把它换上这个大三角形啊，这个底是十二乘上高，这个高不是八吗？八乘上十二 等于不对，十二啊，做题这样，八乘以十二等于这个底乘高，这个道理能不能？这个底乘高等于这个底乘高， 这个底不是十吗？等于十乘上这个高吗？这个高不是求的值 h 吗？ h 等于多少？它乘上它除以十等于多少？是不是九点六啊？啊？最小值是不是九点六？什么烂分比？所以说方法必须得学会啊，各位。

将军印马问题是近几年中考的热门考点，初二考、初三考，中考还考，是每个初中生都必须掌握的求醉值模型。今天这道题堪称将军印马十大模型中考频最高的一种，并且难度不容小觑。但是只要你学会了今天这道题，那么这一大类的将军印马模型你就全能轻松秒杀了！ 老师今天就用这一个视频，把将军印码的主要结论，周长最值以及线段和最值给你彻底讲透，考场遇到直接满分拿下！一起来看题！已知，在这样一个三角形 a、 b c 中角 b 等于三十度， 并且注意啊，出现三十度，我们马上想是一个特殊角，但它有什么用？我们接着来看题，还给了一条边长 a c， 这条边长长度为二，还给了三角形面积等于五。其实咱们在几何题里给三角形面积的情况是比较少见的， 给一边长给面积，我马上想到，能求什么呀？是不是能求 a c 边上的高？它是多长啊？是不是？那有什么用我还不知道。接着往后看， m n p 三个动点 a o 这道题你看有点难了啊， 点 m， 点 n， 点 p， 这三个红色点点，它都是动点，分别在三角形三边上运动。接着让我们求三个动点所围出的这个三角形周长的最小值问题。简单翻译一下，此三角形三边的周长就是 m n 加 m p， 再加上 n p， 就 这三边和。所以简单说就是求三条线段和的一个最小值的问题。依然求多线段和的最值问题。首先第一要想到的是将军印吗？ 并且呢，这些个动点都是在线段或者说直线的一部分上进行运动，那尤其我们要考虑将军印马的一个解析思路了。但是啊，这里面跟我们常规的将军印马模型其实是有一个比较大的区别啊，我们常规将军印马老师经常强调的六个大字叫做， 你运动，我对称你，你这个动点在哪？运动？我，我这个定点就做关于谁的对称点去， 我，我这个定点就做关于谁的对称啊。所以这六个大字是我们解决将军印码模型它的核心思路。你运动，我对称，但这里边啊，奇怪的点在于哪呢？你看 这三条线段都是动点围出来的，对吧？哎，全是动点，那我拿哪个点去做对称呢？问题就在这啊，所以这道小题三个点通通为动点。不用担心啊，我们只需要先假设其中一个是定点， 你先让一个别动，把一个先定住。那比如说，我就假设这个屁点他现在不会动了啊，我假设，注意，这是假的，我在圈上假设屁点现在是那个定点，那此时的 m n 是 与之相邻的两动点，这不就回到我们经典将军印码了吗？ 你运动，我对称你，你这个动点在哪运动？我，我这个定点就做关于谁的对称点去。所以首先我的 p 点去做关于 m 所在的直线这条长长的 river， 也就是 ab 所在直线的对称点。 对称点，我叫做屁撇儿，接着我去连接这个屁撇儿 m， 这是我们将军马模型非常常规的操作，做完对称之后，转移了线段，这条红色的 m p 线段呢？它就和这条红色的 m p 撇儿一定是相等的。 同样的道理呀，我的 p 点还和 n 点连接着呢，所以还是你运动，我对称，你这个动点点 n 在 哪儿运动？在 b c 上运动。我，我这个定点点 p， 就 做关于 b c 的 对称去，这个点睛叫屁撇撇。接着我去连接 n p 撇撇，显然，根据轴对称，我再次构造了一对儿翻折对称，全等三角形。此时绿色线段 p n 就 等于这个 p 撇撇 n， 小 绿也被转移走了。那我们求的三条线段呢？红绿黄这三条线段之合就变成了红、 绿、黄，变成了求它们三个之合，将军印码基本操作变成手拉手的。这样折线段之时，我们只需要化折为直首尾。这个 p 撇 p 撇撇是两个 定点，当然也是我假设出来的，因为我假设屁是固定不动的，所以那个屁撇和屁撇撇也就定在那了。那此时呢，我只需要连接屁撇屁撇撇， 那么此时让我们求的这个周长的最小值，就是我图中的屁撇屁撇撇这条线段的长，对吧？那么问题来了，说老师， 首先呢，这里边有两个小小的 bug， 第一个是屁点，人家本来会动，你让它定在这了，对吧？另外，我求蓝色的屁撇屁撇撇的长度的最小值，怎么来计算呢？是不是？首先我们再来看已知条件里头还有什么信息啊？角 b 是 特殊角，三十度有什么用？ 依然是利用我们将军印码的底层逻辑，将军印码考的是啥呀？考的是轴对称对不对？那么有三十度特殊角，再加上轴对称这几个字，你能想到什么？ 三十度乘以二，哎，就会变成一个特殊角，六十度啊。所以啊，这道小题里头，你看，我如果去把这个 b 点和 p 点连起来，因为我的 p， 它本来呢，是一个动点来着，是吧？那我 b p 连起来，我再把谁呢？ b p 撇连起来，因为我要利用轴对称，接着我还要把这个 b p 撇撇也给它连起来 看，啥意思啊？利用我刚才做对称的思想， b p 这条线段，它一定是等于 b p 撇的，同时向下，我也做的是对称，所以 b p 它还等于 b p 撇撇。途中，这三条粉线段 通通是相等的，并且除了有线段等，还有角等。你看，三十度角被我一切为二，上边是阿尔法，下边是贝塔，对称之后，此角角阿尔法，对吧？它俩相等。对称之后，啊，这个角角，这个贝塔角是不是跟这点角也是相等的呀？所以下边还一个贝塔， 换句话说，我这个大的粉色的这个角角角屁屁屁屁，它就是两个三十度，这个大粉角是一个六十度角，你看， 夹着六十度角的两边还是相等的，那么此时这个三角形谁呢？ b 屁撇屁撇撇自然就成为了一个特殊三角形。等边等边，三角形什么性质？三边长相等，所以它的另外的一条边，这个屁撇屁撇撇， 它的第三边和另外的两条边长都是相等的，另外这两条边长还和中间的粉色线段 b p 是 相等的。换句话说，我要求的 屁撇屁撇撇这条线段就等于中间的 b p 线段，你听没有？所以我刚刚想求它的最小值，就变成了求它的 最小值皆可。哎，所以我现在想要谁呀？ b p 这条线段的最小值，你看我 p 点本身就是一个动点，在哪动呀？在 a c 上动定点点 b 到 直线上一个动点长度的这条线段最小值，点到线的距离五个大字，垂线段最短。也就是说当我的这个 b p 刚好垂直于 a c 边的时候，能够取到它的最小值好，那垂直的时候是什么？刚好是 a c 边上的高线嘛？ 所以利用三角形 abc， 它的面积应该是二分之一，底 a c 乘上 a c 边上的高，我用 h 来进行表示，而面积呢，是等于五的， a c 又是二，所以这个高是等于五 好，那么这个最小值等于什么？就等于这个高，也就是五好了。那么这道小题是一个非常经典的将军印马模型的灵活应用，除了掌握你运动我对称核心解其思路之外呢，当你遇到三动点的时候，假设其中一个先是定点，通 通过将军印码做对称的方式进行分析，千万不要忘记给到特殊角以及相应边关系的时候，利用对称找到相等的量。进而呢，我们再来利用一次点到线的距离垂线段最短，求得最终的三线段和的最小值，你学会了吗？

来一分钟学会将军引马最难的三动点问题，这种题型有一个非常简单的计算口诀，学会之后直接满分， 一起看题。一只一个直角三角形的三边分别为十二、十六、二十， d、 e、 f 呢，分别是三边上的动点， 求 d、 e 加 e， f 加 d、 f 的 最小值。对于这种直角三角形的三动点问题，有一个非常简单的计算口诀，这三条线段的和是等于直角三角形斜边上高的两倍。 具体推导方式就是将军引马毛形的轴对正思想。因为有三个动点，所以不妨我们先假设一个点为定点， 那么在这种题型当中，我们一定是假设斜边上的这个动点为定点，那接下来只需要做定点。关于定直线的对称点，那点 d 关于 a、 c 的 对称点为第一 点， d， 关于 bc 的 对称点呢？为 d 二，连接 d、 e、 f。 因为是轴对称，所以这个小 c 呢，就转化到了这个位置。连接 d 二 e， 因为轴对称，小 a 就 转化到了这个位置。 现在我们求的是这个小 a 加这个小 b 加这个小 c 的 最小值。因为 e 点和 f 点呢，是动点，所以当 d 二、 e、 f、 d、 e 运动到同一直线上，也就是连接 d、 e、 d 二，那这三条线段和的最小值其实就是 d、 e、 d 二的最小值。 那这里 d、 e 和 d 二是一定会经过 c 点的，因为对称，我们可以将 d、 c 连接起来，可以得到 d、 c 是 等于 d、 e、 c 的， 那同样，因为对称， d、 c 是 等于 d 二 c 的。 而又因为对称，假设这个角为阿尔法角， 那么这个角也为阿尔法角。那同样的，因为对称，你假设这个角为 bet 角，那么这个角它也是 bet 角， 因为这是一个直角三角形，所以阿尔法加 betta， 这是一个直角九十度，那么所以两个阿尔法加两个 betta 呢？就等于一百八十度，也就意味着 d 二、 c 和 d e 是 三点共线的， 那因为对称 d 一 d 二的长度其实就是两倍的 c， d 的 长度 相当于求的就是 c d 的 最小值。那接下来就变得非常简单了， d 点其实是一个动点， c 是 一个定点， 要求一个定点到斜边上的距离最小，其实就是过点 c 做 ab 的 垂线，那么此时他的最小值就等于二倍的 c h 的 长度。 要求解 c h 呢？我们可以用到面积法，用二分之一的底 a， c 乘上高 bc， 它是等于二分之一的底 ab 乘上高 c h 的。 但数值不难算出， c h 的 长度呢，就是九点六。所以最终这三条线段的最小值为九点六，乘以二等于十九点二。 这就是将军引马最难的三动点问题，您学会了吗？不盲目刷难题，抓好基础题型和解析逻辑才是初衷提优的关键。

a 小 值这个题同学们是不是经常记？那不就是刚才江豚马走过最短的距离吗？哈喽，同学们大家好，我是讲数学的艾老师，那么在今天呢，艾老师将和大家分享一道啊，在我们中考数学当中非常常见的一个题型，叫做 将军引马题型，相信很多同学啊，都听过这个模型，但很多同学都不会做，那我们来吧，我们一起来一探究竟啊。首先呢，将军引马，我们先来明白一下这个模型是什么意思啊？就是呢，有一条河，然后河的两一岸呢，有 a b 两个均营点。 现在啊，有一位将军，他要带着马从军营 a 处去河边喝水，然后喝完水之后再回到军营 b 处。那现在问题来了，我们有几个点可以喝水啊？ 好，有的老师在这喝水，来吧。啊，在这喝水，在这个点喝水，可以，在这个点喝水，是不是也可以？好，是不是也就意味着我们有无数个可以喝水的点，也就是说有无数个路可以走。但是呢，现在老师有一个要求， 我要求这个将军啊，他走的路程必须最短，那该怎么办呢？其实很简单，要路程最短，我们只需要做一件事，就是对称点。 什么意思呢？好，现在我过点 a 军营 a 做关于河的对称点 a 撇，此时我将 a 撇和我们的均赢 b 连接，我与和会交于一点，我称这个点为点 p， 这个时候 就是喝水距离最短的点。好，我们此时将 a p 连接起来，这个时候 a p 加 b p， 就是 将军所走过的最短的距离。好，那有的人说，老师你做了点 a 的 对称点，那我不行，我就喜欢，我就想做点 b 的 对称点，那行不行？ 也可以，当然可以了，来，我们做点 b 的 对称点，哎，关于何的对称点， b 撇，此时我将 a b 撇连接，我会发现一件很神奇的事情，哦，还是这个点屁了， 也就意味着将军以马，你不管是坐 a 点的对称点，还是坐 b 点的对称点，我们与另外一个军营相连接，我们始终找到的是同一点屁。 那么我们将这种题型啊，反映到我们的日常学习当中，他不会说直接以将军以马的形式对我们来考，他会怎么考呢？比如说啊，还是一条线， 这有 a 点，这有 b 点。然后现在老师问题来了，你看看是不是很像我们平常见的题啊，有一，动点屁， 动点屁，在直线 l 上运动。那么现在我要使得 a p 加 b p 取得最小值。 最小值这个题同学们是不是经常记？那不就是刚才将军马走过最短的距离吗？我们要干嘛？ 我们要做 a 点关于这条直线的对准点， a 撇，此时我们连接 a 撇和 b 与 l 所交的这个 p 点， 即是我们要找的最短距离那个点。此时我将 a p 连接，那么现在 a p 加 b p 就是 我们走的最短距离了啊。所以不知道大家现在对于将军马这个题型是否有一定的了解呢？其实我们只要找到三个字， 对称点，遇到这种 a p 加 b p 最小值这种题，直接去做对称点。这种题其实非常的简单， 那么纸上得来终觉浅，觉知此事要躬行啊。老师讲的只是一个模型，当然我们还要将这个模型套到具体的题里面做啊，我们才能够实现，我们把题目做对，所以接下来呢，老师整理了几道啊关于将军引马的题型， 如果有同学啊有需要的话可以随时私信艾老师，艾老师可以将将军一马的具体题型发给咱们同学。咱们同学哎，我们可以来试验一下将军一马题型到底是怎么做的。

这个视频呢，我们来学习将军印马里最难的一个模型。模型七，我们来看一下，将军是在 a 点的，他要从 a 点出发呢，去检阅部队，他的部队呢都在这条线上，但是呢他也不能全部检阅了，他检阅的部队长路只能是这段长 a， 所以 也就说我要从这个大 a 点出发，到达一个点 m 点去检阅部队， 检阅这段部队之后呢，到达 n 点，再从 n 点到达我的中点 b 点，问将军怎么走路程最短，也就说其实我要在这条线上找到一个合适的 m 点和 n 点，让将军走的总路程是最短的。在整个过程里呢，其实这段部队的长度是固定的，对吧？也就说线段 m n 的 长是固定的，是一个定值 a， 那么我们要求的 a m 加上 m n 再加上 n b 的 最小值里面， m n 就是 个定值，那它是一个定值，我们就不用管了，所以说白了，我求的就是 a m 加上 n b 的 最小值，那么大家看现在这两条线段压根都没有挨上，所以利用我们模型六的经验我们就知道了，我现在要去求这两条线段和的最小值，那我最起码得让它俩挨， 那通过什么样的方式让他俩挨上的呢？模型六，我们是通过平移的方式让他俩挨上的，那么模型七也是一样，在前面的模型里面，我们还讲了我要去求线段和的最小值的话呢，那三个字叫做 和异侧，我的这两个定点呢，他得在动点所在直线的异侧，也就是两边才是两边才是合理的。那现在很明显 a 点和 b 点是在这条直线的同侧的， 所以我们得想办法把它变到一侧。根据前面的经验我们就知道了，通过做对称模型七啊，为什么它是最难的一个模型呢？因为它结合了前面几个模型的综合思想，它既得平移，又得做 对称。好，那我们就来看一下，我可以选择平移 a 对 称 b， 也可以选择平移 b 对 称 a， 甚至我也可以选择平移 a 且对称 a， 或者平移 b 且对称 b， 都没有任何问题，都是可以的啊。 那比如说这道题里面，我们就来选择平移 a， 那 么跟模型六是一样的道理， m n 的 长方向是什么样的？我就需要把 a 也沿着哪个方向去平移，那么来看，和 a 点相连的字母是 m 点，所以呢，平移 a 就 相当于平移 m， 从 m 到 n 是 往右平移的，所以我也得把 a 点向右平移，而且呢，平移的长度就是 m n 的 长度， 也就是说我把 a 点向右平移 a 各单位长度，让它到达 a 撇点。好，这是第一件事情，平移我们完成了， 那接下来第二件事情，我还需要去做对称，我们去做 b 点。关于这条直线的对称点 b 撇，这两个准备工作都完成之后，那接下来我们只要直接连接 a 撇 b， 那 么问题就可以得到解决了。我们来看看，为什么那 此时我的 a 撇 b 这条线呢？和这条直线的交点，这个点呢？是我们要的哪个点呢？按照我们之前的经验，我把 m 已经平移到 n 了，所以呢，交出来的这个点 m 已经平移走了，我不知道在哪了，所以这个点呢，必然是 n 点，而我要去确定 m 点是不是只要再把 n 点向左 a 个单位长度就是我的 m 点，那接下来呢，我们把 a m 也给大家连起来，我们来看一下此时的最短路径到底是谁？那也就说将军需要从 a 点出发走到 m 点，再从 m 点走到 n 点，然 然后呢，再从 n 点走到 b 点，它是按照这样的一个路径来走的，那为什么这个时候是最短的呢？相当于我去做了一个 a a 撇平行切等于 m n， 所以 我的 a a 撇 n m 这个四边形呢，就是一个平行四边形， 平行四边形对边相等，所以我的 am 和 a 撇 n 呢，就是相等的了，所以我走的 am 其实就相当于走了 a 撇 n， 那 a 撇 n 再加上我的 nb， nb 又和谁相等呢？ nb 做对称又和 nb 撇，所以呢，其实我的最短路径是谁啊？两点之间线段最短，其实就是 a 撇 b 撇， 那我们就知道了，这个时候我走的最短路径呢，其实就是我的 a 撇 b 撇，再加上 m n 这个定值其实就搞定了。所以我们返回来再总结一下，我要去求这两条线段和的最小值，我首先得让它俩挨上，通过什么样的方式让它俩挨上呢？通过做平移， 然后呢，我们说我要去求两条线段和的最小值呢？那要符合三个字，叫做和异侧，那现在是同侧，我通过什么样的方式变成异侧呢？就是通过做对称，所以模型器里面既要用到平移，又要做到对称，导致它的难度就会非常高。 好，那接下来我们就来看一道模型七的经典例题。来看题手如图，平面直角坐标系里面已知点 a 的 坐标是三、四是一个定点， 点 b 的 坐标负一，一也是一个定点。然后说在 x 轴上另外取两点， e、 f， e、 f 这段长是定值一，那这段就相当于是我们刚才模型里讲的将军去巡视的那段军队的长度了。现在说线段 e、 f 是 在 x 轴上平移的，具体位置不，不 知道在哪，但是定长是一，那我们线段 e、 f 平移至何处时，这个四边形 a、 b、 e、 f 的 周长最小。这个四边形 a、 b、 e、 f 里面，首先 e、 f 的 长是个定值， 然后我的 a 点、 b 点，既然都是定点的话，那我的 a、 b 的 长也是个定值了。所以这个四边形里面，它俩都是定值的话，那本质上求的是不是就是我的 b、 e 加上 a、 f 的 最小值了？所以利用模型七的话，首先我得让它俩挨上，通过什么方式让它俩挨上？通过平移， 然后呢，还得符合核异侧，通过什么样的方式变成异侧呢？通过做对称，我们解析的思路呢，就是一次平移再加上一次 对称，比如说我还是选择平移 a 点，然后对称我的 b 点。我们来看一下，首先一定是沿着水平方向平移的，因为呢，我们的这条 e、 f 它就是水平的，所以我的 a 点是水平方向，那到底向左还是向右呢？我和我的 a 点相连的是 f 点，那我要平移 a， 其实就相当于是平 e、 f， 从 f 到 e 是 往左，所以我去平移 a 点也应该往左，然后 e、 f 的 长度是一，所以我就应该把 a 点往左平移一个单位长度。平移后的这个点呢，我们把它叫做 a 撇点。第一步平移我们已经完成了， 那除此之外，我们还需要做一次对称，对吧？比如说我们就做 b 点的对称，那做 b 关于 e f 所在的直线，也就是 x 轴的对称点 b， 那 接下来只要连接我的 a 撇 b， 问题就可以得到解决了。那我们接下来来分析一下 我的这条 a 撇 b 撇和 x 轴的交点，这个点到底是我的 e 点还是 f 点呢？刚才我平移了 a， 就是 相当于平移了 f， f 已经平移走了，那我不知道在哪了，所以交出来的这个点一定是谁啊？一定是 e 点，那 e 点已经知道的话，接下来怎么找 f 点？把它 e 点往右一个单位长度是不是就是 f 点了？因为它们的长度是定值是一，所以这个点呢，就是我的 f 点。所以将军要走的总路程是什么样的呢？我就可以从 a 点首先走到 f 点，再从 f 点走到 e 点，然后呢再从 e 点走到 b 点，这就是我将军走的总路程，从 a 走到 f， 再从 f 到 e， 再从 e 到 b， 那 为什么此时总路程是最短的呢？还是因为 a a 撇平行切等于 e f， 所以 这个四边形呢，是一个平行四边形， 平行四边形对边相等，所以我的 a f 和 a 撇 e 长度就是相等的，它俩的长度相等的话呢，那我走到总路上就是 a 撇 e， 再加上 b e， 而 b e 又和 b 撇 e， 因为做对称也相等，此时呢，这两道线段合的最小值就是谁呀？就是我的 a 撇 b 撇，对吧？那这个四边形的周长的话，我只要再给它加上定值 a b， 然后再加上定值 e f， 问题是不是就得到解决了？最小值我们已经确定了题目让我们求的是此时 f 点的坐标，也就说这题并没有让求最小值，我需要求一下此时 f 点的坐标就可以了。那我们来看一下 f 点坐标，我要怎么来解决呢？ f 点是怎么来的？是一点往右一个单位长度来的， 所以我只要能知道一点的坐标，那往右一个单位就是 f 点。一点是我们连接 a 撇 b 撇之后，它和 x 轴的交点，所以只要我能知道 a 撇 b 撇所在的这条 a 次函数的解析式，它和 x 轴的交点就是我的 e 点， 对吧？那 e 点有了之后，我的 f 点是不是就很好求了？我要去算 a 撇和 b 撇的解析式的话，那我就得知道 a 撇 b 撇的坐标， a 撇点是怎么来的？是 a 点往左平移了一个单位长度来的，那 a 点的坐标题目给了是三四，所以三四往左一个单位长度平移之后呢，它就应该到达了二次。 接下来我们再来看 b 撇点呢？ b 撇点是怎么来的？ b 撇点是我 b 作 x 轴的对称来的，那我们说了，对称都是观谁谁不变。现在是关于 x 轴，所以它的横坐标 x 是 不变的。那 b 点的坐标是负一，所以我 b 撇点的坐标呢，也是负一，纵坐标会变成它的相反数，所以从一也变成负一。 a 撇点， b 撇点的坐标都已经有了。利用待定系数法设 a 次函数的解析式是 y 等于 k， x 加 b 或 k 不 等零 ab 两点坐标带进去，我就可以算出来 k 和 b， 从而确定一次函数的解析。 解析式算出来应该是三分之五， x 加上三分之二，那既然 e 次函数解析式已经知道了它和 x 轴的交点就是我的 e 点了， 那和 x 轴相交， y 应该是等于零的，所以我 e 点的纵坐标呢，就是零，而横坐标呢，只要代入到 e 次函数解析式里面， y 等于零的时候，解出来 x 是 不是就可以了？那通过计算我们就可以算出来， e 点的横坐标是负的五 分之二，所以呢，一点向右一个单位长度，那横坐标加一是不就可以了？所以 f 点的横坐标呢，就是五分之三，纵坐标就是零，自提搞定。

一分钟搞定将军印码模型，给出一个直角三角形， a， p 等于六，那么为动点，求 p n 加 p， n 加 n， n 的 最小值。对于将军印码问题，它的方法都是做对称，我们分别做 p 关于 a， c 的 对称点 p 一， 以及合作关于 a b 的 对称点 p 二连接 m p 一 和 n， p 二，根据对称的特点， p n 等于 p e n， p n 等于 p r n， 所以 我们 p n 加 p， n 加 n， n 就 转化为这三条的线段和两点之间线段最短，所以当这几个点共线的时候， 最小也就是 p 一 p 二的长度。那么怎么求 p 一 p 二长呢？我们连接 p e， a 和 p r a， 根据对称性质，我们这两个三角形是全等的，所以呢，这两个角也相等，同理，这两个角也相等，因此这个角 p e a， p r 就 等于六十度。 p a 等于 p e， a 等于 p r a， 也就是这个三角形是个等边三角形。因此可以得出 p e， p r 长就等于六，也就是最小值就是六。

将军一马这个题型啊，其实是变化多端的啊，多达十余种的变形，我们很多孩子最基本的将军一马会，但是一变形就搞不定了。来，我想告诉大家，还是你没有抓住将军一马这种题的本事，你还是没有想明白几何最核心，你要学会的东西到底是什么？来， 我以这道题为例，来给大家讲讲哈，当你遇到了各种各样的求最值的变式题，将军一马的变式题的时候，应该怎么去思考，怎么样能够做到举一反三，万变不离其众？来看一下说这道题啊，这是一个直角三角形对吧？这个角是三十度，这个角呢是九十度，然后呢， p d 两个点呢？都是动点， 我们很多孩子一看俩动点就有点慌，我觉得都没关系啊，继续看，告诉你这个是四，那显然直角三角形这三个边我们都可求，这个边应该是四倍到三，这个边呢，应该是八，就不多说了。求 p b 加 p d 的 最小值。注意啊，在这块一定要有几个思考。第一，我说是方向性的思考， 当你看到两条线段先加成最小值的时候，那你的方向一定是什么？就这个东西，他得是两点之间线段最短，对吧？他一定得是写成这样的一个折线的一个形式。然后呢，我们现在这种东西他肯定不行，他是这样子画的，他不是这样子画。所以你写成折线型的话，意味着你一定要去做转化。转化是怎么说？ 所有的交易码转化的处理它的方式都是做对称吗？所以我们在这就是要去思考。哎， p b 也好， p d 也好，我能转化谁，我能把谁给他弄走，对吧？我能做谁的对称？你有没有发现 p d 两个点都是同点，所以转化它就不太对。但是 bp 这个东西呢？点 b 是 个定点，点 p 是 个对，我转化 bp 就很好转化。那怎么转化呢？非常简单呢，对吧？我每次转化都是做中垂线，是不就完事了？一旦我这个对称做完了之后来这是垂直，对吧？这个边等于这个边，那有没有发现我这个 p b 瞬间我就可以把它变成这个 p b 撇 来这个点呢？是 b 撇啊，导致我原来要求的这个边加上这个边，这个边现在转走了，变成了这个 p b 撇了。好，那这一次 b 撇 p 加上 p d 求最小值， 是不是就是我们想要的这种一个折线？怎么样？他俩相差能最小呢？那是不是我就两点，直接线到最短就完事了？理论上来说呢，到这其实应该做完了啊，来，我连接一下这个 b 撇 d， 他 应该就是最小。但是这道题比较麻烦， 你没发现 b 点他也在动啊，所以你这个 b 撇 d 一定这么画吗？不一定，对不对？ b 点在 a b 上来回运动，导致我这个 b 撇 d 啊，他有可能长 长成这样，转转转，他有可能这样都行，有可能一直到这个位置。所以你会发现这道题不光是考察两点之间的，它还在考察什么？就是当我这个 b 撇点不动的时候，然后 d 在 a b 上，那这条线段什么时候最小？ 这是个什么东西？再就是我们初中阶段求几何最值的第二个考点叫垂线段最短，显然是这个 b 撇 d 垂直于 a b 的 时候，这个 b 撇 d 就是 最短的。所以这道题其实考察了两个方向啊，第一个是两点之间线段最短，第二个呢，就是垂线段最短。好，这个我就不写了啊。 好，那做到这呢，其实这道题也很容易，就是你至少辅助线已经全部搞定了。接下来呢，我们有些孩子仍然会出问题。出问题在哪呢？ 老师，这个 b 撇 d 我 不会求啊，我虽然知道他最短，他怎么求呢？来，听清楚啊。每次做到这个环节，如果孩子们不会， 你一定要想明白，你前面做了辅助线对不对？如果你不会求，意味着这个辅助线的性质和题目中的条件，你没有把它用好。好，那接下来我们就围绕着我们做的辅助线和原来题目中的条件，把这道题都给他搞一下。好，那我要想求他，最好是给他放到三角形里，对不对？你有没有发现，我这个 b 撇 d、 d 就 已经是个直角三角形了，我要想求这个 b 撇 d， 我 是不是把这直角三角形的这个和这个给他搞定，这道题就完事了。好，那我们分别来求一下吧。原来这个是四，这个角是六十度，这个是垂直。那我们知道这个边是二 三十度、六十度、九十度直角三角形吗？这个边是二，这个边应该是二倍杠三，那对称这个边是不是也是二倍杠三？我把这个性质都用上了啊，所以整个这条边呢，应该就是四倍杠三，这个边是四倍杠三呢？这个角是三十度，这个角是六十度，这个角是不是也是三十度？所以这个大三角形又是一个三十、六十九十的直角三角形， 斜边是四倍杠三，那这个边应该是二倍杠三倍，所以二倍杠三乘以杠三，这个 哪六这道题就搞定了。那通过这道题呢？家长和孩子大家一定要想明白啊，就是你做题的时候一定要像刘畅讲这个题，这样第一定方向，第二去调整细节，第三处理问题的时候发现，哎，有些东西处理不了了，你一定要知道从哪去做突破，这样子你的数学才能学到，随便他怎么考 都能够解决掉。如果将一码也好，或者其他的变形也好，或者说其他的几何最值也好，觉得有困难觉得搞不定，来大家评论区回复几何大专题有些啊，带着孩子们一块突破一下整个初中的平面几何。其实一旦你开窍，你会发现无论几何题怎么出，我们做起来都很轻松。

欢迎回到刘老师课堂，就上节课的话题，我们再处理一个关于将军一马最值问题当中的垂线段最短的这么一个题型 出现了，垂线段最短，那么大家脑子当中第一反应一定是直线外一点到与直线各点的连线当中，垂线段最短，对吧？好看下这个题啊， 这个题呢，我们不画正方形了啊，我们画一个直角三角形，比方说，呃啊，直角三角形定个数啊，这个是六，这个是八，现在给了一个 a、 c b 这么一个直角三角形，然后呢，又给了一个角平分线， 那就说这个角和这个角是相等的啊，在这个角平分线上存在一个点 e， 而在这个 a、 c 上存在一个点 f， 然后呢， e 和 f 都是动的， 现在让你求这个 ec 加上 ef 的 这么一个最小值。 在前面我们解题的时候啊，我们做的那个对称啊，是做了定点的对称，而且我们那个对称轴呢，都是取的原图形当中的啊，这么一个成型的一个边长啊，也确定了。 那么现在你看啊，这里边对于这个 ecf 来讲，这两个是动的，只有这一个是定的，那么这一个定的，他又没法做什么 a c 对 称点，又没法做这个 c b 的 对称点，难道现在这个问题他是要做 ab 的 对称点？ 对，这里边明显不合理，因为这里边有一个什么角平分线， 角平分线这个东西你想到了什么？其实它才是一个最传统的对称轴 啊。我来看啊，现在 ad 是 一个角平分线，现在呢，我不是做 c 关于 ad 的 对称点了，而是要做 f 关于 ad 的 对称点， 这个 f 不 管在哪啊，虽然它是动的，但这次啊，要做一个动点的对称点了。我做一下啊， 比方说这个是 f 一， 那么它如果关于它对称的话，那么很明显这个是不是垂直的？然后现在在这个三角形里边，这个它是一个垂线，同时这个是不是也有一个角平分线？所以这个 af 和这个 af 一 是不是长度是一样的，对吧？ 同样，如果你把这个 e f 一 连起来的话，那你也会发现，是不是这个 e f 和这个 e f 一 长度是不是也是一样的？是，对吧？好，所以现在 这个 e c 加上这个 e f， 它就变成了这个 e c 加上这个 e f 一， 哎，神奇的一幕出现了，你看 e c e f 一 是不是又出现了折线？那你把这个折线是不是让他们三点贡献的时候，就这个这个这个贡献的时候最短，是不是？哎？好， 当 f 一 e c 三点共线 时最短，那现在这个问题，它随着 f 在 a c 上来会滑动，那点 f 一 它的位置是不是也会在这个 ab 上来滑动？ 那么现在呢？ f 一 加上 ec 我 们已经知道了啊，它是等于这个 f 一 c 的 时候啊， f 一 c 的 时候这个最短，那现在 f 一 在这的时候长度是这样，那 f 二在这时候是不是要感觉比这个 f 一 要长啊？如果往下走的时候变短了，是吧？再往下走的时候又变长了，又变长了，又变长了。 那我在 ab 上到底选哪个点能够和这个 c 的 连线是最短的？ 直线外有一个点，它和直线上哪个点的连线长度是最短的？垂线对垂线的最短啊，所以这里边 要加一个条件，现在是 f e、 c 三点共线，且 cf 一， 是不是垂直 ab 时 最短啊？当你知道了这个事以后，那我们来看一下 f 一， 呃， cf 一 啊，它要垂直 ab， 好，我们来求一下这个 c f 一， 这个 c f 一 是不是就是 abc 这个直角三角形斜边上的高？那在小学的时候我们已经是学过等面积代换，是不是去可以求这个斜边上的高？所以这里边算法啊，再把等面积代换给大家说一下啊， 这个三角形 abc， 它的面积啊，把这个是底，这个是高，可以写成二分之一乘以八，再乘以六啊，你算出来一个是二十四，那现在把 ab 看成底， c f 一 就高啊， 这个三角形 a b c， 它还可以写成二分之一乘以 ab， 这是六，这是八，是不是这个十啊？嗯，然后是不是再乘以 c f 一 啊？这样的话，这个东西是不是等于二十四啊？所以这个 c f 一 啊，它等于 四十八除以十啊，也就说五分之二十四，听懂了吗？

从今天开始，我们进入将军一马的一个最值专题啊，我们先看一下将军一马呢，它长什么样子。 所谓的将军一马， 它其实是图形轴对称 和最短距离 它复合的一种结果啊，轴对称呢，它是一个解析手段 啊，也就解这类问题呢，我们是必须要通过进行轴对称来处理的，而最短距离这个东西呢，它是一个题眼，如果是出现了线段啊，一比一的格式， 所谓的一比一，说的是系数啊，一一，也就是说他对称，那二比二，三比三，也是一比一，同时出现这两个条件的时候，大概率就会往将军印码这个形式上去靠，你要注意这个问题啊，之前我们最熟悉的将军印码问题呢啊，一个是叫 两点一轴式两点啊，那这点 a， 这点 b， 然后呢要求从这个位置找一个点 p 啊，让这个 p a 加 p b 最短。这种就很简单了啊，你做一下它的对称点，然后把这个连起来啊，这个位置就是点 p， 在 这种情况下， p a 加 p b 最小啊。另外一个你还学过什么叫一点两周， 它大概长的是这样的，出现一个角哎， abc 这里边有一个点 p， 要求你从 ab 和 bc 上各找一个点 m， 一个 n， 然后呢使这个 p m n 它的周长最小啊，这种东西的做法呢，是做两个对称点啊， 这是个 p 一， 这是个 p 二，那么现在你把这个 p 一 p 二连起来，这时候呢，它就会有一个焦点 m， 有 一个焦点 n 啊， 这个 p m n 就是 刚才符合那个条件的三角形啊，直接算 p 一 和 p 二之间的距离就可以。 我们下面的专题呢，需要处理的是和这些东西啊，都不大相同的这个点，但是解析思路和它们完全一样啊。先看第一个， 这个，它叫做二幺幺型， 那什么叫二幺幺呢？它说的是两栋 一定一轴啊？看这边这个题目啊，这个题目说 a、 b、 c、 d 是 一个正方形，而且边长是个四啊，这个点 p 它在这个正方形内部啊，也可以包括这个边界， 但是它满足叫三角形 p、 b、 c， 它的面积等于四分之一 a、 b、 c、 d 的 面积。这时候呢，你就会产生一个疑问， 这个点 p 的 轨迹是什么 啊？好，他说这个 g 是 a、 d 上一个动点，而且这里边还有一个点 m， 说 m、 d 呢，等于一啊，他让求什么？求的是 g m 加上 g p 它的最小值。 我们看一下这个题目啊，和这个题型他的对应性，这里边说了两动一定一轴，那现在这个屁他的位置一定是不确定的，所以他一定是一个洞， 而这个 g 在 a 这上来回动，他也是个洞，那么定说的是谁呢？是不是这个是定呢？因为固定了这个长度就是一啊。那好，他现在还要出现一个对称轴， 那么你想我们以前的时候去处理哈这个这种问题的时候，他这两个点是不是一定是在对称同侧的啊？那你看我们解切的时候，是不是要把这个同侧的其中一个点变到对称的异侧，然后再利用折线段变成直线段，这样的出现最小问题啊。 那现在你看现在我们能明确看到的是什么来，这个 g 和这个 p 是 在 ad 的 下方的吧？对，哎，当然这个 m 也在 ap 的 下端啊。 然后现在我们去处理这种折线问题，按照我们刚才所提出的第一个疑问，我们先来解决点 p 的 运动轨迹，这个 p b c， 它是一个三角形，它的面积满足的是 二分之一乘以底，再乘一个高 h 啊，这个 h 我 随便画一个。 哎，比方说这是 p p e， 它的高就是一个 h， 而这个 abc d， 它的面积呢？是边长的平方，边长平方也是说 bc 的 平方啊。好，我们看一下这个四分之一是个啥意思？现在也就是说二分之一 bc 乘以这个 h 就 等于四分之一 bc 的 平方。 好，你这样的话，把这个和这个余量那出现的情况是不是 h 等于二分之一 b c 啊？也就说这个高是不是等于边长的一半？ 这个点屁不管在什么地方，这个高他都等于这个边长的一半，所以说这个点屁他应该是在什么地方呢？是不是 比方说这个是 e， 这是 f， 它是不是应该是在这条线上走？这条线是不是必须要平行于上下底？是不是？而且点 e 和点 f 呢？它是不是就是 ab 和 dc 的 终点啊？ 当我明确了这个事以后，那这个题呢，就相对来说啊，变得有可探求性了。好，下一步我们采用最基础的开始做对震点了啊，我们做一下这个点子的对震点啊，他和他都是动的，但是他是定的， 要做的是定点的对称点啊。好比方说这个就是 m 一 啊，这样这个 g m 加上这个 gp， 它就变成了 g m 一 加上 gp 了。嗯， 那看到这种问题以后，我们现在是不是和前边就一致了，现在出现了一个折线，是不是出现了折线以后，那要求最短的时候，是不是要把折线段要变成直线段？变成直线段以后，也就是说你能看到的是 现在这个 pm 一 现在是最短的啊， 但是这个点 p 它是 e f 上的一个动点啊，那它在 e f 上走的时候，那出现在哪一个位置会使这个 pm 一 最短呢？ 那这个明显是斜着它往这越挪，是不是这个会显得越长？你只有往这走的时候，是不是才会越来越短，越来越短？哎，结果你发现什么？ p 点是不是到 f 的 时候， 这时候这个 pm 一 等于 fm 一， 是不是才是最难的啊？对，所以这里边你要加一句，什么 pm 一 啊？ g m 一 加 g p 等于 pm 一， 哎，斜 你这个 pm 一， 它垂直于 e f 时，这样的话是不是它就最短？那我们看一下这个最短距离啊，它是一，那么它是不是就一，而这个 f 是 中点，边长又是四，所以这个是不是二，那么一加二是等于三，对吧？ 也就是说当这个，呃啊，叫做当 m 一 g p 贡献且 pm 一 垂直 e f 时啊， 这时候这个最小距离，它其实就等于 m 一 f 啊，一加二等于三啊，学会了吗？

如图，等腰三角形 a、 b、 c 中， a、 b 等于 a、 c、 b、 c 等于五。三角形 a、 b、 c 的 面积为十 d、 e 平行于 b、 c 交 a、 b 于点 d 交 a、 c 于点 e， 点 m 是 d， e 的 终点， 在 b、 c 上有一动点 n， 求当 a、 n 减 m， n 的 绝对值有最大值时，三角形 a、 n、 c 的 面积是多少？思考三秒，开始解答。 首先，我们画出一个等腰三角形 a、 b、 c 题目已知它是等腰三角形 a、 b 等于 a、 c， 并且整个大三角形的面积是十。 接着画一条平行于底点 b、 c 的 线段 d、 e 交两边，于 d 点和 e 点， 取线段 d、 e 的 中点，并将其标记为 m 点。在底边 b、 c 上有一个洞，点 n， 我 们将点 a 和点 m 分 别与点 n 相连， 我们再连接 am， 观察三角形 amn。 根据任意两边之差小于第三边的性质， amn 的 绝对值一定小于 am。 那么什么时候这个差值最大呢？只有当点 a、 点 m 和点 n 三点共线的时候， a、 n 减去 m， n 恰好等于线段 am， 这时候取得最大值。 于是我们将 am 延长，与底边 bc 相交，我们把焦点叫做 n 撇，这个 n 撇就是我们要找的产生最大值的位置。 因为 d、 e 平行于 bc 直线 a、 m 截这两条平行线。既然 m 是 d、 e 的 中点，那么根据相似三角形的比例关系， n 撇必定也是 bc 的 中点。 在等腰三角形中，底边上的中线把整个三角形分成了面积相等的两半，所以目标三角形的面积等于总面积十的一半，也就是五。

科大附中这个选择压轴题还是非常有意思的，出的有一点点新颖，就是他本质上考的是一个什么呢？是一个将军引马的坠掷问题， 但是呢，难点在将军引马里面套了一个一线三垂直模型， 有时候我们要通过一个一线三垂直模型判断出动点的运动轨迹，那么这一题就可以很快的解决出来。好，那我们看一下问题，他告诉我们在平面直角坐标系中有个 a 点， a 点坐标是零二， 那也就是说 o 一， 长度就是二，然后告诉我们 b 点坐标是呢，是 m， 逗号五，那我们要注意这个 b 点的纵坐标是个定值，哎，这个是很关键的。 然后呢，嗯，将 a b 绕着点 a 旋转九十度到达 b 撇，然后叫我们求 a o b 撇这个三角形周长的最小值， 那我们知道这三边相加要最小 o a 呢，又是一个定值，是不是就是叫我们求 o b 撇加上 a b 撇的最小值，对吧？本质上就是求 o b 撇加上 a b 撇的最小值，你看这种类型求最小值是不是很容易联想到将军引马？ 那现在的问题就是要判断出 b 点的轨迹是不是在直线上运动，因为我们的将军印马的类型呢，他一定要满足呢，动点在直线上运动。嗯， 好，那这里怎么去判定 b 点的轨迹呢？好，那很容易，我们要看到这里是一个旋转的不变关系，那我们就知道 ab 跟 ab 撇是相等的，并且中间有个垂直，那看这个红色的 东东像什么？是不是像一个 k 字，所以我们想到 k 字模型也叫一线三垂直模型，所以呢，我们只需要过 b 点，做个垂直假设是 m， 过 b 撇，做个垂直假设是 m， 那 我们就会得到呢，这两个三角形是全等的， 这两个三角形是全等的，我们又知道 b 点的纵坐标是个定值，也就说 o m 是 等于五。哎，那我们的 a o 呢？又是等于二，那是不是也就说 a m 就是 等于三？那又因为这两个三角形是全等的，所以我们是不是就知道 m b e 就是 三？ m b 等于三是什么意思啊？是不是就是这个动点 b 撇到这个 y 轴的距离是不是始终就应该是个三？那说明什么意思啊？说明 b 点是不是就是在 平行于 y 轴的直线上运动，且这两个平行线间的直线的距离是不是以为三就可以了？所以我们就知道 b 撇呢，应该是在这个上面运动了。 那判断了 b 点的运动轨迹之后，我要求这两个线段的最小值是不是核心？我们说过，将军立马的核心是干嘛做对称对不对？ 所以我们只需要将这两个定点当中的其中一个做对称，那我们可以把什么呢？把这个 o 点给他对称过来，因为这个距离是三，对称过来，这个 o 撇是不就是 六？所以这个长度是不就是三加三等于六？然后呢，他的最小值是不是两点间的距离最短？是不是就是连线段，是不就是 a o 撇？所以我们就知道 o b 撇加上 a b 撇，距离的最小值呢，就是等于我们的 a o 撇， 所以 a o 撇怎么求？那肯定是勾股定律嘛，我们知道这个长度是二，下面 o o 撇是六，所以它是不是根号下四加三十六等于根号四十就是二倍根号十了。所以三角形的周长的最小值是不是就是二加二倍根号十？所以答案选 b 就 轻松拿捏。

胡不归，阿是园，瓜豆将军马废马点。如果到现在你都跟这个模型还不太熟的话，那这条视频你得抓紧跟着学了。那首先我们来学习什么是胡不归模型，怎么去应用它来解题 来。首先矩形 a， b， c， d 当中告诉我们， a b 等于四， a d 呢等于八，而点 p， 它在 p c 上面移动是个动点，那么要我们求的是五倍的 a p 加上根号五倍的 p c 的 最小值。当我们在题目中看到要我们求的是两条动线段之和的最小值，最大值，并且呢它前面呢是带系数的，系数不为一，那么这个时候 它要么就是胡不归，要么就是阿是圆，那怎么判断？如果说这个动点呀，它是在直线上运动的，那就是阿是圆。今天这道题我们是 五步规模型的应用，那具体应该怎么去解析呢？首先第一步就是我们要对这些系数啊进行操作，我们要把这两个系数变成其中一个等于一，其中一个小于一，那怎么变呢？我们可以先把这个五 提取出来，对吧？提到括号外面，那括号里边就是 ap 加上五分之根号五倍的 p c， 那 现在是不是 a p 前面的系数是一啊？ p c 前面的系数五分之根号五，它是小于一的呀？那么接着第二步呢，就是要把这个不为一的系数转化为正弦值，也就是它是等于三段度。 来我们看一下，其实我们更加常见的是像二分之一，二分之根号二啊，二分之根号三这样的一个系数，如果是这些系数的话，我们可以很容易转化为， 哎，二分之一对应的是 sine 三十度，二分之根号对应的是 sine 四十五度，然后呢，二分之根号三对应的应该是 sine 六十度 等。但如果系数是五分之根号五呢？那也一样，其实我们就假设有一个角 alpha 角，它的 sine 值是五分之根号五就可以了。那么接着就是构造这个角度， 那系数是五分之根号五的话，咱们就构造这个 alpha 角，那我们来看一下啊，怎么去构造？我们看这个系数，它是在 pc 这个线段前面的， 所以说我们就在这个线段 pc 的 下方去构造这个角，那么我们过点 c 做一个射线，然后呢，使得这个角为 alpha 角，然后呢，我们要想利用这个正弦值，那它是不是得在一个直角三角形里头啊？那我们就得过这个动点 p 往这个射线上面去做一个垂线， 回族为 q。 好， 那么现在你看这个直角三角形 c p q， 此时呢？ sine r 法应该是这个对边比上斜边，也就是啥呢？ p q 比上 p c， 那 如果说我们把这个 p c 乘过去，那其实就是 p q 等于五分之根号五倍的 p c， 所以 你看我们找到这个线段了没， 就是 p q， 所以 说我们要求它的最小值呢？我们就先求出 a p 加上这个 p q 的 最小值就可以了。那么 a p 加上 p q 的 最小值应该怎么去求呢？有同学说两点之间线段最短，直接连接上两个端点 a q 就是 最小值， 哎，功亏一篑了啊。同学们注意看这个点 p， 它是在 b c 上面移动的动点，对吧？而点 q 它是一个什么？它是由动点 p 往这个射线上做垂线的垂足，那假如说点 p 在 这的时候，它如果说做垂线的话，垂足点 q 是 不得在这啊， 所以说点 q 它同样也是一个动点，所以其实求这两条线段之和的最小值，我们要研究的是过这个直线外的一个定点 a 到这条直线的最短距离，也就是过这个点 a 做垂线段 是最短的。那么接下来要求这个最小值的长度就很简单了，我们可以根据这个 sine 值来求出这个三角形的三边之比。当 p q 为一的时候，这个 p c 应该是根号五， 所以说 c q 应该是二啊，这个三角形的三边之比应该是一比二比根号五，而不是实际长度啊，这个是比例关系，那由于啊，这个角等于这个角，又等于这个角，而且这个角也是九十度，所以说这两个三角形它是相似的，所以这个三角形的三边之比呢，也是 一比二比根号五。那我们已经知道这个 a b m 应该等于二， a m 应该等于二倍的根号五。 又由于这个 a d 等于 b， c 等于八，而 b m 这段等于二的话，剩下的 m c 应该等于六，而这个角是 alpha 角 sin alpha 等于五分之根号五，那么 m n 也就是五分之根号五乘六，也就是五分之六倍的根号五。 直接一相加，就是五分之十六倍的根号五。那这个我们求的是什么呢？求的是 a p 加 p q 的 最小值，我们还要再乘上五倍，有这个系数在括号外面，所以说最终呢，应该是答案为十六倍的根号五为我们的最小值了。同学们，胡不规模型你会用了吗？

这道题如果你只会将军一马，但是你不会逆等线段，不好意思，你仍然是做不出来，所以咱们今天来说一说难度比较大的将军一马和逆等线段的结合， 是我们先说一说什么叫做逆等线段。像这道题题目告诉我们说说这个 abc 是 一个等边三角形，然后 a、 d 呢是 b、 c 边上的高点， e 和 f c 长度相等，这两个线段他就是逆等线段。我们所谓的我们喜欢的等线段是这两个线段长度相等，并且他们能够有一个公共的端点，这是我们喜欢的。像这种完全不挨着东一榔头西一棒子的这种等线段，我们一般管它叫做逆等线段， 那么这种线段它的作用大家记住了，往往是构造全等三角形，比如说我们可以构造一个以 f、 c 为边的三角形全等， 那么通过构造全等三角形，我们实现转移线段的目标。那么这道题有什么线段值得我们转移呢？我们往后看 这道题，他说啊，说这个当 b f 加 c、 e 有 最小值的时候，当 b f 加上 c、 e 有 最小值的时候，让我们求角 a、 f b 的 度数，这条橘黄色的线和这条蓝线它也不挨着呀，对吧？我们想到了两条线段制合的最小值，想到将军一马，你这两条线段也不连着，怎么办？ 我们要想办法转移一下蓝线段，或者是这个橘黄色的线段怎么转移呢？我们就可以利用两条红线段相等，去构造全等三角形，从而实现转移蓝线段的目标。 那对于这道题来说，我们可以观察一下，比如说你会发现这个红线段旁边的这个角，大家应该都知道这个角应该是三十度，这个角是三十度，那如果我想以 f c 为边去构造一个三角形，能够和这个黄三角形全等，如果我能构造出来这个三角形，是不是 我就相当于把这个蓝色的线段给他挪走了？那我们来看看怎么去构造。刚才我们也说了，你这个红色的小角，他是一个三十度，那我首先要搞一个三十度出来。怎么搞三十度？ 我们过点 c 啊，做一个 bc 的 垂线，我做一个垂直，因为你的 a、 c、 b 是 六十度，那你做完了垂直之后，自然你的这个小红角就应该是三十度吧。好，那我们光有三十度不够，我还想构造我全等的条件还没有齐，那接下来怎么办？很简单，我们接下来 你看 a、 c 的 长度，我们给它截过来，我们在这边截一个线段，比如说我们在这截一个线段，这个叫做 h， 我 们 相当于是做了一个 c h 垂直， bc 于 h， 然后呢，并且我们使得这个 h c 的 长度和 ac 的 长度相等， 这样一来的话，你会发现这条边和这条边相等。此时此刻我们观察 a、 e c 和 f c h， 我 们这个时候把这个 f h 给它连起来，大家有没有发现这两个三角形全等的条件现在已经够了， 用的是什么呢？边角边正的全等，所以这两个三角形全等，那我们写一下，我们现在得到了什么呢？得到了三角形 a、 e、 c 全等于三角形，这个叫做 c、 f、 h， 那 么既然全等，对应边应该是相等的 e、 c， 这条边对应的是谁？是不是对应的就是 f h 相当于我把这条蓝线给它挪到了这个位置，那这个就好多了。各位同学， 我们的 ec 等于 fh， 因为我们这道题要求的是 bc 加 c， e 有 最小值的时候，对应的那个角度，我们 bf 加 c， e 就 可以转换成什么，就可以转换成 bf 加上 c， e 变成了什么？变成了 fh， 对 吧？那我现在就问大家， bf 加 fh 什么时候最小？ 是不是贡献的时候最小？你想想，因为 f 在 动啊， b 和 h 是 固定的呀，对不对？ ab 是 固定的，没什么说的。 h 为什么固定？因为你可以想象 h 相当于把 ac 绕着点 c 顺时针转了三十度嘛，对吧？所以 h 是 固定的， f 在 动，所以什么时候有最小值？当你 f 跟 bh 贡献的时候有最小值，对不对？也就意味着 我们把 b、 h 这么连起来，当我们的 f 在 这个位置的时候，他有最小值。好，那么为了让大家看起来清楚点，我在下面重新画一个，这是那个 h， 我 们把这连起来， f 在 这个位置的时候有最小值，对吧？我们要求这个时候的什么？ a、 f、 b， 我 们要求这个时候的这个角。怎么求呢？来，各位同学观察观察。首先你这个时候的 a、 f、 b 是 不是就是相当于这个角一加这个角二，角一是多少度呢？来，各位同学想想一下，你 a、 b、 c 是 个等边三角形， h c 和 ac 相等，是不是说明 h、 c 和这个 bc 是 相等的， h、 c 和 bc 相等， 那么又因为呢？你的这个角 hcb 是 个九十度，对吧？ hcb 是 九十度，所以很明显 hcb 是 一个等腰直角三角形，那么角一呢，就应该是个四十五度，而角二呢，我们都知道它是个六十度，因此我们要求的 afb 就是 四十五度加六十度，最后的结果一百零五度，答案是二 b。 所以这道题他其实不是一个纯粹的将军马的问题。这道题更多考察的是你能不能利用这个逆等线段构造全等三角形来实现转移线段的目标。所以这道题的难度会很大。如果各位同学期末想考更高的成绩，那么这个方法是必须要会的，听明白了没有？

两定一动，一定两动，两定两动， n 定 n 动。村村村将军印码一共有十一个模型，这谁能记得全呀？相信村村你就可以在接下来的期中考试当中， 将军印码模型一定是一个超高频考点，村村老师把将军印码所涉及到的十一个模型用一个口诀总结好了，直接交给你们该配合村村老师独家整理的将军印码十一大模型专项专列， 让你在考场之上看到这类题目，就像回了快乐老家。来吧，我们直接放大招，我们大招叫做核最小翼侧连，也就是说只要遇到我们的将军印码问题，我都可以通过把两个定点放到核的翼侧去进行连接就好，产生的焦点就一定是我的喂马点， 而利用的原理呢，就是两点之间线段最短，而如果这两个定点它不再和的一侧，我也可以通过做对称的方式找到一个对称点，将我们的对称点与之进行连接。同样的，眉开二度产生的焦点就应该是为马点行走的路径变成了 a p 加 b b p， 而它最短的原因呢，其实就是对称嘛， b p b 撇 p， 它一定是相等的，所以一加二最短，一加二一定就最短了。之后你所遇到的所有将军印码的变形，其实都是可以套用这个口诀去进行处理的。比如说这里的一定连 动问题，这里的 p 点呢，是一个固定的点，而 m n 两个点都在动，那我怎么办呢？很简单，我们可以先让一个点不动，比如说我就让这里的 n 点保持固定，那它是固定的， p 点暂时也是固定的，唯一的动点就是谁呀？ m 点对不对？根据点在谁上动，谁是我的河，所以 m 点所在的 o b 就 变成了那条喂马的河，河最小一侧连，它们已经分布在这里 o b 的 两侧了，所以我直接连接就好。 当然是这里。问题来了， n 点呢？我们只是施了一点点的定身咒啊，它只是暂时不动而已，它是还是会运动起来的，它在 o a 上随意运动，我想要达到一个最最最小值，我得让它干嘛呀？利用一个垂线短最短做垂直呗， 垂足所在的位置就是我 n 点的位置，而此时产生的焦点就应该是 m 点，我的位码点，整个行走的路径 p 到 m， m 到 n 这么一条垂线，它其实在原来的和最小一侧连之上，也就多了一个垂线段最短，原理还是没有改变的。那我们类似的 要是是这样的，一定要动呢？唯一的定点现在是 p 点，而 m、 n 呢，都在动，所以我一定得先让一个点不 不动，比如我就让这里的 n 点不动，那不就变成两定一动的问题了吗？唯一的动点是 m m 在 谁上动谁就是我将军卫马的那条河，所以 o b 是 河，观察两个定点应该在河的怎么样了？ 同侧了对不对？根据和最小异侧联，我一定得把它们放到和的异侧，怎么办呢？做对称呗，找到 p 点关于 o b 的 对称点，根据和最小异侧联连接 p e 撇 n 应该就可以了。但是 n 点呢，也是一直在动，所以我们再次利用垂线段最短干什么呀？ 做垂直，垂足所在的位置就是 m 点的位置，整个行走的路径变成了 pm 到 m n 最短的理由依然是对称线段相等，一加二要最短，一加二最短即可。那很多同学在做这类问题的时候呢，很容易把它和另一类问题搞混，观察它们有什么区别啊？同样都是一个一定两动问题， 这个将军呢，走到河喂完马之后，去了另一条河没有回来，这是著名的将军跳河问题。而这边的将军呢，喂完一次马，去第二条河，再喂一次马，回到营地开心回家。这是著名的将军宠马问题。 将军跳河的解决方法就是我们刚刚说的先对称，再垂直，而筹码模型怎么办呢？观察他们唯一的区别其实就是这里的将军有没有回来，这里有没有这里的第三段，前面没有第三段，我做一个垂直就可以了。而这边有第三段，也就是他要去两条河，我得做几次对称呀？ 当然是两次对称了， o a o b 啊，都适合，所以两次对称找到两个对称点，此时对应的点叫 p 一。 p 二的话，我们直接和最小一侧连就可以了，所以连接它们，你发现产生了两个交点，它们其实就是我两次位码的位置。我的 m 和 n， 整个行走的路径呢，变成 p m， m n， 还有这里的 p n 为什么最短？因为这边对称一次，它们俩相等。对称两次，它们俩相等，一加二加三要最短，我直接掰两段化折为直就最短啊，所以本质还是没有改变的，依然在用我们的和最小 一侧连。那你看到这个模型有没有觉得非常的熟悉？这种求周长最小值的问题见过不少次了吧，尤其在学四边形的同学，就它不仅会让我们求三角形的周长，这种四边形的周长出现的频率也非常之高，观察一下这俩又有什么区别？这边是我的一定两动问题，两条和两次对称，掰 这么两条直线过去，它是一个定点，做了两次对称。而这边呢，由于它们的固定 p q 之间的长度应该怎么样呀？ 也是固定的，这里要求一加二加三的最小值，这里不也是吗，要求一个一加二加三的最小值，所以我们依然是两条和两次对称，转移两条线段。所以老规矩，回到我们的主题和最小 侧联杯点在谁上动，谁是我的核，所以我把这里 q 点对称到这里的 q 一 没开二度点在谁上动，谁是我的核，所以这里 n 点在 o a 上动作出 p 点。关于 o a 的 对称点，这是我的 p 一 在下一侧连连接 p 一 q 一 产生的焦点就是我的两个位码点，寻找的路径变成了 p n m n q m 一 加二加三要最短，我让它一加二加三最短即可。那到这里呢，我们已经涉及到了两定两动问题了， 很多同学都觉得两定两动特别的难，原因呢，其实就是因为它可能会涉及到我们的将军造桥和 将军游泳来看吧，传闻中的超级难题，将军造桥说的是这里，将军在这儿要到这条宽宽的河上去造一个桥，过桥之后到达 b 点，所以他行走的路径是一二三这么三段。 而由于造桥的成本非常的高啊，所以这里我 m n 的 长度是永远不会改变的，它会沿着这里的河左右挪，我的问题就是，这里的桥到底要建在哪里，能够让我整个行走的路径达到最短。那你来观察啊， a b 两个点都已经固定好位置了，而 m n 呢，它应该是一直在动的， 所以这里的动点有几个呀？两个呗，两动点两条后肯定是没法做的，所以这里呢，我们要采取一种思想，叫做动点合一。怎么个动点合一法呢？你看啊，现在 m n 两个点，它是不是分布在这么两个地方，我有没有办法通过平移把它们放到一起？当然可以， 比如说我就觉得这里的 m 点看不顺眼它了，我想让它消失掉，我可以怎么办呢？沿着这边 m n 挪，挪挪挪，把这里的 m 点给挪到 n 点来，我强行的让它们俩合二为一，这个时候我的 a 点是不是也顺势的往下挪了， 也就是它变成了这里的 a 一。 如果在这儿，我去连接 a 和 a 一， 告诉我产生的这个新图形应该是一个什么图形啊？ 平行四边形对不对？平行四边形对边相等嘛。所以这边 a m 挪下来，应该变成了 a e n， 所以 这儿变成 a e n 喽， m n 的 长度永远是小 a， 保持不变，我不动，它还剩一个 n b， 由于小 a 的 长度固定，我想要求这里的最小值，我是不是让它俩加起来最小就可以了。看一下涉及到的点有哪几个吧。 首先， a 一 动点还是定点固定的对不对？一开始 a 是 定的嘛，向下挪了固定的长度之后，也是一个固定的点，没问题。 b 点呢？在这一开始的固定的点，所以两个点都是固定的，唯一的动点是谁啊？ 就是这里的 n， 所以 点在谁上动谁是我的河， a 一 b， 还有这条河，河最小一侧连我是不是只见 连接就好了？此时产生的焦点就应该是 n 点的位置，沿着 n 点向上找，应该就是我 m 点的位置。整个行走的路径， a 到 m， m 到 n， n 到 b， 为什么最短？ a m 和 a e n 是 相等的， 一加二要最短，一加二最短即可，再加上一条固定的 m n， 所以 整长度一定就是我的最小值。那如果这种两定两动问题你会了。将军游泳还不是手拿大锹吗？这里啊，同样有一个将军，那他不造桥了，他在这游泳，也就是沿着这里左右平移而摇的，长度呢？还 是固定的，体力不知啊。所以我们的问题是，将军从这出发来游泳，再去隔壁村吃顿烤全羊，整个路径一加二加三，怎么才能最短？是不是又是一个两地两洞问题啦， m n 两个洞点我肯定是没法做的，老规矩，我要干什么呀？ 洞点合一，随便挑一个洞点，比如还是这里的 m， 看他不顺眼，我给他挪挪挪挪挪，让他和另一个洞点重合在一起，合二为一。这个时候我们的 a 点跑到了 a 一， 与原来的 a 点和我们的 m n 构成了一个平行四边形， a m 就 直接平移到这边 a e n 了。 m n 的 长度为 a， 我 不用管它，所以我现在要搞定的就是 a e n 加 n， b 达到最小。同样的，找一找涉及到的点，谁动谁定。首先，这里的 a e 应该是一个固定的点，由 a 点挪过来的 b 点呢，一开始就固定了，所以唯一的动点就是最后一个，这里的 n 点在谁上动谁是我的河，所以 l 应该就是我的那条河。根据河最小易测连现在 a 和 b 两个点应该在河的，怎么样啊？ 同侧对不对？异侧联嘛，所以赶紧做对称，把它们找到异侧去对称 a 一 对称 b 都没有关系，随便找一个扔到和的对岸。假设对称这里的 b 点吧，这里就变成了一个 b 一 根据和最小异侧联，我们只需要连接 a 一 b 一 就可以。 此时产生的焦点应该就是 n 点的位置，沿着 n 点往左走， a 个单位就是我 n 点的位置。 行走的路径， a 到 m， m 到 n， n 到 b。 为什么最短？因为 a m 等于 a， e， n， b， n 呢？等于这里的 b， e， n， m， n 的 长度是没变的，所以一加二最短，一加二 最短即可。所以到这里和最小问题当中，最难最难的造桥选址和将军游泳问题，你也全部搞定了。结束了吗？并没有啊，因为除了和最小之外，你们还特别常考一类题型，叫做差最大。问题， 线段和最小，求的是两条线段加起来什么时候达到一个最小值而差最大呢？顾名思义，就是求差，求的是最大值。跟刚刚是不是反着来了？那我们的口诀自然而然也反着来了。和最小异侧联，而差最大要同侧沿。来尝试一下什么叫做同侧沿观察。 比如这里 a b 两个定点应该在和的同侧，我要同侧沿的话，我只能连接 a b 去延长它们，这才能保证在和的同侧，并且做了一个延长呀。我现在告诉你的是，这里延长之处产生的焦点就应该是 p 点的位置， p a 减， p b 变成了它减它，也就是这里 a b 的 长度，这个最大值就是 a b 啦。 哎，春春，我不信，来试一下啊。那我在隔壁随便去找一个屁点，你观察这个时候，屁 a 在 这，屁 b 在 这三角形当中，这叫两边之差小于第三边，而我要求什么呀？ 最大值，那肯定 a b 就 最大了嘛。那如果说 a b 两点不在和的同侧怎么办呀？一样的嘛，屁点在这动，这是我的和，跑到两边去了，我就可以通过对称把它们 放到同侧呗。所以这边把 b 点对称过来，这是我的 b 一 差最大，同侧延，所以这边连接 a b 一 延长出来，与 l 产生的交点就应该是 p 点真正在的位置，所以 a p 是 它， b p 是 它， b p 和 b e p 长度一致，所以 pa 减 pb 相当于它减，它依然是我 a b 一 的长度啊。 所以总结一下，不管是求和最小问题还是差最大问题，我们都可以用一套口诀把这所有的问题全部搞定，和最小异侧联差最大同侧严，不要忘记打印下来好好练习哦。崇思贤哪家乡青青草原我最狂，关注我，获得更多好题！