cosx与coshx区别

第十六题，当然这道题我跟你说过了，没啥准备，只能请你欣赏一下，我也会给大家讲多种方法。第一问的话，第一问是非常简单的，就是求导就可以了，他让你求零到四分之派上的最大值， ok， 那求到他在零到四分之派上的最大值的话，然后我们求个导， 求个导的话，他求导是负的，他求导是负的，前面有个负号负和函数，求导就是五倍的 c 五 x， 然后呢，再减去一个五倍的 cx， 当然你到这一步的时候，那这个图像还是很难的啊，还是很难的，如我们一轮。我记得记得有一个道题是什么呢？南京盐城一模吗？一轮讲义上有一道题， 你这时候你要研究这个图像，你得用计划核查核查化机，这样的话才可以。计划核查核查化机，我不知道大家公司会背不， 你会推就可以了，对吧？高考前，高考前说计划核查核查话题考不考？教材上没有写，不作为考试要求，他不像数学归纳法，他不像这个这个这个这个什么这个什么什么那个，那叫什么。来 啊，背夜思公式啊，他都写着不作为考试要求什么三角，这个注册的三角形式。明白啊，所以你们都会背，我就直接写了，咋推呀？来，我给你推导一下，如果你不会的话，现推很简单，你背不过，谁让你背这个公式了？谁让你背这个公式了？ 推的公式一步就推出来，或者是两步就推出来，就是核查公式，所以你想想这个公式在哪样学的不就完了吗？他不就是在核查公式那样学的吗？ 哎，现推就可以了啊，这张就应该是考肾二法，然后呢？肾贝塔没错吧？所以这道题是肾减肾， 那肾减肾的话，那是不是相当于我们做差就可以了？也就是说两倍的直接写啊。肾二法加贝塔，看到吗？减去肾二法减贝塔，他就刚那个两倍的考乘二法考成贝塔，我们科本上公式你把它写成 a， 比如肾 a 再减去个肾 b， 对吧？那么他就应该等一个考生二法，二法的话，显示是 a 加 b 除以二，贝塔的话就应该是这张是肾啊， 这俩是肾，那肾杯他的话就应该是二分之 a 减 b 除以二， a 减 b 除以二，能听懂不？那不就推导出来了吗？所以这是我们二轮学习的重中之重，二轮奖励上太多计划和差了， 尤其是春季的课程啊。二太多计划和差了，专门讲了有好多题模拟题啊。那所以这道题我们就应该来一个计划和差和差，化机就能是十倍 的，然后考 c， a 加 b 除以二，那就相当于这就是六 x 除以二十三 x， 然后再乘以 a 减 b 除以二，那就应该是 c 二 x， 好，没错吧。那又因为这个 x 属于零到二四分，零到四分之派，所以这个数是横正的，我们只需要看它就可以了。那这个函数在零到四分之派上显然是单调递减的，因为三 x 最大是四分之三派，所以它单调递减，单调递减的话，它的零点就是让三 x 等于二分之派，所以 x 等于六分之派， 应该是没有问题吧。啊？谁？这，这很常规的啊。这个，这条是六分之派，这条是六分之派的话，这条是零，这条就是 f 倒， 对吧？这呢就是 f 倒，所以我们就能够算出 f x。 第二问第三问太难了，在零到六分之派上是单调递增的，六分之派到二分到四分 派上是单调递减的。所以第一问我认为这道题第一问应该在五分左右啊。也不一定，因为第二问第三问也挺复杂，反正最起码得四五分五分，那所以他的最大值就应该是 f 六分之派， f 六分之派。 f 六分之派的话，那么我们把六分之派一带啊，二分之根三，五倍的二分之根三，然后六分之五派的话，那就应该是负的二分之根三， 所以这个题的答案是三跟三好。这道题第一问是相对来说比较简单的，第二问的话，你可能读不懂他是什么意思啊？来，我们再看第二问啊。第二问的话，我们讲两种方法。首先我们读一下这道题，他说给定 c， 他属于领导派， 给定给定这个 c， 他，是啊，是 c 他呀，对吧？他是给定的一个数， a 为给定的时速，证明存在存在 a 减 c 塔， a 减 c 塔到 a 加 c 塔之间，使得考生外小等考 c 塔。所以这道题思维量太大，我们平常很少做这种题， 他让你存在的话，就相当于找一个数，找一个数呢，只要存在的话，他小点他就可以了。所以大家想一想，这种题我们往往都怎么去做呢？存在任意问题，这时候怎么做呢？我们有的时候喜欢用反正法，反正我拿这道题第一想法是反正法，也就说我们先假设就是反正法， 我们只要推出这个矛盾来就可以了。什么矛盾呢？就是任意的 y 属于 a 减去 c 塔，然后呢？ a 加上一个 c 塔，任意的一个 y 属于 a 减 c 塔到 a 加 c 塔，然后呢？就是我们使得，哎，我们证明这个式的矛 内考成外，他大于考成 c， 他就可以了。这个考成 c， 他是给定的一个数。所以第二问的话，我觉得，嗯，就是就是数学思维能力很强的同学才行。因为你蒙了，因为你没准备。我没见过他，有点像二零 零三年的高考题，二零零三年的那道题我们也都没见过。那所以大家思考一下，这个 c 他是给定的，那你想一想，那考生 y 大于考生 c， 他，那你说他这个范围是多少？ 因为这个 c 他是给定的。呦，这个 c 他是给定的啊，副派到 c， 他是在领导派之间。来来来，我们假设这条是 c， 他这条是副 c， 他，明白了吧？就大概是这样的啊，那你想一想，考生外要大于考成 c， 他的话是不是相当于 它应该是在这么一段，也就说它应该和谁是等价的呢？就应该是外属于多少呢？二 k 派减 set 到二 k 派加 set 之间， 听懂什么意思吗？哎，只要是考生 y 大于考成 say， 他横成立，就应该是 y 在负 say 到 say 之间。 那大家思考一下，这道题，我们反正法的话，就相当于任意的 y， 他都比他大，现在呢？考生 y 比考生谁？他大的意思就是说 y 所有的范围是他说明什么？说明他是不是他的子级，听懂吗？那这就说明一定存在一个 k 属于整数， 一定属于 k 属于整数，那么这个时候就是 a 减 c， 它到 a 加 c， 它就应该是它的一个子级， 就应该是他的一个子级，来体会一下。就应该是他的一个子级，好理解不？哎，只要是他的一个子级，基本上就可以了啊。再说遍为什么？因为考生外大于考生 c 塔横成立就应该是这么个这么一个范围， 他一定是负 c 塔到 c 塔之间。当然还有下一个主题，加二 c 派。现在呢？人家又说任意的外属于他，他永远都比他大，那说明他一定是他的一个子级，对不对？他是他的一个子级的话，那你想一想，这个区间长度是多少呢？这个区间是二 c 塔，这个区间长度也是二 c 塔，那是不是说明这个 a 一定等于二 c 派？ 那 a 等于二 k 拍的话，它就矛盾了，因为 a 等于二 k 拍的话，这个区间大，因为它为什么？因为它的区间长度是二 c 塔，这个区间也是二 c 塔，所以它的只能是相等，相等的话，它就矛盾了，因为它是个 b 区间， 他这个开局他比他大了，所以矛，这就叫矛盾了，所以他这个思维量是非常大的。 ok， 这时候矛盾的话，这就说明什么呢？这就说明反过来他就对了，存在一个 y 属于 a 减 c， 他到 a 加 c， 他之间，然后呢？考生 y 是小于等于一个考成 c， 他的 好，这是反正法，反正法，你再体会一下啊，你再反正法啊，所以来这是能想到不？ 想不到的话啊，我再给大家讲一种方法，这个方法是我学生想到的，给大家看一看啊。我学生想到了助教，我一个助教，助教想到的啊，他数学也特别厉害，你看这种方法能不能想到啊？ 哎，我现在想到了第二种，第二道题呢，又想到了一种方法，我觉得挺厉害，给大家分享一下。好，来，我们看第二种 方法是什么呢？他构造了一个函数，我告诉你他怎么构造的？构造了一个函数，当然你可能一开始，哎，我怎么想不到构造的函数呢？构造了一个函数，考生 y， 再减去个二分之一倍的，考生 a 加 c， 他 分析分享一下啊，给大家分享一下，你可以看你能想到不？这道题的他做的奥妙之处，也说他构造了一个函数， f， y 等于个啊，考生 y 减去二分之一，考生 a 减 c 卡，加上一个考生 a 加 c 卡，其中这个 y 呢，就是属于 a 减 c 塔到 a 加 c 塔之间。 ok， 来，我们算两个数，因为啊，因为 f 啊，把 y a 减 c， 他带进去，那他正好等于个多少呢？嗯，这个数就是考肾 a 减 c， 他听懂吗？啊，这后边是个数啊，考肾 a 减 c， 他 的话和它一约，那就应该等于个二分之一考胜 a 减 c 塔，再加上一个考胜，对吧？应该是减，听懂吗？应该是个减，考胜 a 加 c 塔。 哎，我算了个端点值，你看它这个地方做的绝不绝啊，它算了个端点值，那么然后呢，我再带一个什么呢？ a 加 c， 它带进去， a 加 c， 它带进去的话，它正好啊，减二分之一倍的，那就应该等于二分之一倍的多少呢？考肾 a 加 c 塔，然后再减去个考肾 a 减 c 塔。 好，能明白了不？好，你们告诉我这两个数什么关系？你们猜用什么方法证出来？当然这一步想太聪明了，太聪明了啊，就说白了，你看我把 a 加 c 塔带进去，考成 a 加 c 塔， a 加 c 塔，然后呢？减去一个，它正好是 a 加 c 塔是正的了，所以这样出来的话，你会发现这两个数像什么呢？相反数，所以因为他等于他，所以 fa 减 c 塔，乘以个 fa 加 c 塔，正好是小于等零。那小于等零的话，是不是有零点存在定理，我们就能说明他一定有个零点了， 所以有零点存在定理，所以欣赏一下啊，欣赏一下，有零点存在定理，对吧？那这时候呢，我们就说 f y f y 啊，有力量确诊， f y 在在什么呢？ a 减 c 塔到 a 加 c 塔，一定是 b 学院上存在一个零点 啊，存在零点，听懂了吗？存在零点啊，一定是 b 区间，因为这个零，这个零点他他有可能在定义的端点 指数渠道。就说白了，它可以等于零，那它可以等零的话，那这就说明考顺 y 这道题太难了啊，那这就说明考顺 y 呢，它就可以等于这么一个式子了啊，因为它可以等于零了。等于这么一个式子的话，我们用核查公式打开，那就应该等一个多少呢？ 就应该等一个考生 a 乘一个考生 c 塔，又因为考生 a 一定是小等一的，所以他就小于等个考生 c 塔。 ok， 好，你欣赏一下啊， 你欣赏一下就可以了。好，所以这不是给一般人准备的。所以十九题我认为你要备好的话，你得学点数学竞赛的知识，明年绝对又变了，你看二零二四年，二零二五年就明白了。就说白了，我们现在高考考一百三是可以的，考一百三十五也是可以的，考一百四是绝对有实力的。 我们再来看第三问这道题啊，也是更不好做，他说存在一个范，存在一个范对任意的 x 都有他小等 b， 你想想存在一个范对任意的一个 s， 那是不是我们要求他的最大值？存在一个范的意思是什么呢？是不是我们就应该 就应该什么呢？找到一个范就可以了，存在的意思只要能找到就可以，所以你们猜这个范由于是后面加在后面了，所以我们是不是假设范大于零，大于等零，小于二派就可以了？来思考一下为什么？我们不妨是我们假设 这个坏事大于等于零，来思考一下，为什么？懂了不？零到二派，为什么呢？因为你后边是加在后面的话，考生的周期是二派啊，诱导公式不能叫周期二派啊。 所以他是三派的时候一回事啊，和和二派是一回事啊，和零是一回事啊。明白了，所以我们就假设啊， five 是属于零到二派的，这个二派是个开区键，因为二派和零是重复的。明白，那所以他又说存在一个 five， 那你说存在一个 five， 你这个讨论你能想明白这个 a、 b、 c 之间一问二问之间可能有关系呢？所以我们讨论的第一种情况是 five 等于零的时候， 当 five 等于零的时候，我们假设这个函数它正好存在一个 five， 就是只要有就可以了，它是不是五倍的考生 x， 所以第三位有点难，他主要是考成五 x。 好，那你看看是不是第一位，是不是第一位这个函数他的最大值，因为存在一个范是任意的 x， 任意的 x， 这两要求他最大值。最大值是不是三千三？ 当然你得会想，定义不一样，他还是三个三吗？他的最大是还是三个三呢？我认为这道题你应该再求一求，因为这个题的定义和这个问的定义不一样，这一问的定义是任意的，任意的。所以我们考试时候再求一求。首先我们求的时候得想到什么呢？他是一个什么函数？ 它是一个什么函数？它是一个偶函数，它是一个什么函数？它是个周期函数，周期是二派。 所以我只需要讨论 x 属于哪个范围，我就能够确定整个值域上，整个二上的值域，因为我要求他最大值呀。是不是我们只需要求出领导派来就可以了？ 因为它是偶函数，领导派对称，然后整个周期就是二派了，整个周期是二派，他就代表所有的子欲了。 所以我们按第一问的方法去做一做。我直接抄过来了，把那个导函数他是不是正好是十倍的？他和这个定律没关系，十倍的剩二 x， 然后呢？再乘一个考剩三 x， 明白了不？那这时候他们的正负临界值是什么样的呢？我们需要把这个剩二 x 和考乘三 s 的图像画出来啊，你可以看一下考乘三 s 的图像，大概是这个样子的， 我们看一看他们的值率变了没有？考生三 s 的图像应该是这个样子的。然后刻度的话，这个地方是六分之派，这个地方的话是三分之派，为什么呢？就是让整体等于二分之三派， 对不对？那就是，嗯，对，二分之。呃，正量是二分之拍，写错了，这量应该是二分之拍，听懂吧？然后呢？我们让整体等于 二分之五派，就三 x 等于二分之五派，那就应该等于六分之五派啊。定义是到派派的话，就应该是在这最低点，然后正显的图像的话，就应该是啊，大概是这个样子的， 正前图像大概是这样子的，能记得不？那所以大家想一想，这是导函数，导函数在零到六分之派之间是不是相当于都是正的？所以这个 g x 零到六分之派上就应该是真的， 对吧？那六分之派到哪呢？到二分之派的时候一正一负，这时候呢？也是一正一负，一直到哪呢？一直到六分之五派吧，一直到六分之五派都是减的，都是他俩是一正一负，所以六分 派到六分之五派，他就应该都是减的。六分之五派到派呢，他就应该是增的了，对吧？都是负的这时候，所以这个函数 g x 呢，就是先增后减又增，所以他的最大值应该是在六分之派或者是派的时候取到，你把派带进去 负五。嗯，把派带进去加，减去负一，加一数负四，不是最大值，所以他的最大值还是刚才那个数， 最大值就应该是六分之派，六分之派的话正好是三跟三，那大家想一想，他就存在一个范，存在一个范，我们这个范等于零的时候，我们算出他的最大值是是三跟三，是不是这样最大值要小于等于 b， 对吧？那关键是存在一个范，这个范不见得一定是零啊。那我们是不是就得 想其他的范，他这个 b 的最小值能不能取到三根三，对吧？就说白了，人家的最小值到底是不是三根三？其他的，比如我取个范，他的最大值是不是比三根三要大？ 所以这道题确实往后写是比较难的，如果范是大于零，小于二派的话，听明白什么意思啊？我们现在猜测这个题的答案是三跟三， 我们怎么证明这个答案是三根三呢？是不是我们就得想这里边的所有的饭存在一个饭，存在一个饭，对不对？哎？这个存在一个饭的话，是不是我们可以反过来这么去想？我们要想这个答案是三根三，是不是相当于对任意的饭，这个饭随便取 这个函数值，他的最大值都比三跟三要大？也就说这个题的答案是 b 大于等于个比三跟三要大的数，是不是最小值一定是三跟三了？ 能明白这个逻辑不因为我们已经存在吗？只要有就可以了，我们找到了一个零。受第一步的启发，我们这个 b 大等于三跟三， b 的最小值是是三跟三，如果我在对所有的范，这个最小值都比三跟三要大了， 这个最大值啊，这个最大值比三个三都要大了，那是不是说明最小值一定是三个三？那所以我们在啊，这个 five 等于个零到二派之间的时候，我们应该怎么去算呢？这一步是非常难想的， 非常难想的啊，那你想想他的最直点在哪呢？这时候你得最直点在哪呢？最直点是不是正好是导函数等于零的地方？他的导函数和刚才是一样的，就应该是 c x 负的，他负的就应该等一个 c， 多少都有 五，不写了，五 x 加上一个 five， 对吧？所以它的一个最直点，是不是它俩相等的时候呢？就说白了，我让 x 零再加上一个五 x 零再加上一个 five， 正好等于个 pa 的时候。 所以这道题这个地方是太难找了，你得找到那个最直点，最直点呢？我求了个倒，我让他是什么呢？我让他求出 s 零来，是这么一个数，所以我令 x 零等于什么呢？这个数整整好好的，你得自己去算啊。六分之派减去一个范， 那么又因为 five 属于零，把零一带的话是六分之派，把二派一带的话是负的六分之派，这个 x 零正好是在这个范围内，它在这个范围内的话，它在这个范围内的话，是不是相当于我们就能够算出这个 g x 零了？你看看，我们只要找 到，我们只要找到这个 x， 对吧？他都比三跟三要大啊，都比三跟三要大。他的意思就是说什么呢？他的最大值 要小点臂，我们刚才存在了一个范了，然后我们对其他所有的范，他的某一个函数值都比三个三要大，那你想最大值比三个三更要大 啊，更要大。所以这个 b 啊，他就最小的就是三零三。所以我们算出的这个 g s 零等什么呢？就应该那个五倍的考肾， x 零减去一个考肾。大家可以看一下五 x 零加上一个 fifi 是谁呢？ fi 是六 x 零，派减六 x 零， 它正好等于六倍的。考生 s 零，就说白了，浙江市诱导公式派减 s 零负的，而六倍的啊，六倍的啊，考生 s 零的话，它一定大于多少呢？ 这个 s 零的范围是六分之派，最大是到六分之派，他一定是大于六倍的考生。六分之派，那当然就是三 k 三， 所以对所有的 fast， 因为这个 fat 零到二派先想零到二派周期，其他的所有的 fast 都是重复的，有周期性，所以我们找到零的时候它是存在的，必大一点。三跟三， 我们对其他所有的范，在零到二派之间，他都存在一个函数值啊，最大值我们不想了，都存在一个函数值，他的函数值比他比三个三要大，所以 b 的最小值一定是三个三，所以 b 的最小值一定是三个三。 能明白这个逻辑不？当然，嗯，对吧？啊，当然这道题难度是非常非常大的啊，非常非常大的，你欣赏一下就可以了。

这是一个非常有趣的证明啊， sir calls x 小于 call sir x， 该如何证明这个呢？这个看起来只是把毛衣穿外面呢，毛衣穿里面呢？然而实际上却有本质的区别啊，大家可以暂停挑战一下。 好，我们看该如何解决这个问题啊。首先我们看一看它是不是周期的啊？是周期的，一般的 cross x 三 x 在外面套一个函数的话 也是周期的，所以这个周期是二派，这个周期也是二派啊，大家可以暂停体会一下。明白了他们的周期，我们再来看一看他的范围啊。 cos x 的范围是负一到一， 也是负一到一啊，明白了范围就很好讨论了啊。之所以觉得蓝，是因为有十二狂闪，索性把后面的狂闪变成三啊。 首先我们有一个非常基础的转换的式子啊，就是空三压法等于三二分之拍减法，他也等于三二分之拍加法。写成一块就是空三压法等于三 二分之派加减二法。那么要正的这个就可以这样写了， 就相当于要正啥？ cons x 小于就相当于要 证明这个。我们只看一个区间之类的，这个的范围是负一到一。而一般的，我们讨论一个区间，一般是副派到派之间， 也就是说我们讨论的范围比这个要小很多啊。我们来看一下啥 alpha 在负一到一之间的变化， 这是副阿文的派，这是阿文的派。很显然负一在这里， 一在这里啊，他在负一到一之间是单调递增的，我们要正这个，就只需要证明这个大于这个就行了，要证明这个，最好在单调区间内讨论扩散。 x 是负一到一，那这个的范围呢？ 当三 x 属于零到一时，二分之派减去三 x 是属于二分之派减一到二分之派，他也在这个单调区间之内啊，在这个单调区间负一到二分之派之间 cross x 肯定小于二分之派减三 x， 因为 cos x 加三 x 小于二分之派，因为这个用三角函数的公式，它是等于根号二三 x 加上四分之派，也就是说这个范围之内证明比较简单。那如果十二 x 属于负一到零呢？ 这个时候我们就可以用二分之派加上三 x 啊，因为这个二分之派加减三 x 都是一样的啊，我们用加来做会简单一点， 这个时候这个的范围是二分之派减一到二分之派啊，同样的，这个时候的 cos x 肯定小于这个，为什么呢？因为 cos x 减去三 x 是等于根号二倍的三四分之派减去 x 啊， 它是小于二分之派的啊，同样也可以这么样，也就是说，我们只需要分类讨论两个区间就行了啊， 一个是负一到零，一个是零到一，那么证明的过程就反着写啊，具体证明过程我就不写了，大家反着写就行了啊。 ok， 更多的有趣的所有问题，可以翻看我的和解和定义我的专栏，关注我，让学习变得更有趣的。

口算 x 的平方应该如何来计算呢？我们通常情况下会把口算 x 的平方写成这样的形式， 那我们要用到两个公式，一个是口算 x 平方加 c， x 平方等于一，这是一个非常常规的三角函数公式。再一个我们要用到二倍角公式，口算二 x 等于口算 x 的平方，减去慎 x 的平方，我们把这两个方程 进行相加，我们可以得到方程的左边是一加口算二 x 方程的右边就是口算 x 的平方，加口算 x 的平方 加 cx 平方，再减去 cx 的平方，我们发现这两项是可以合并同类项的，这两项是可以直接抵消的， 那么进行整理就可以得到一加口算二 x 等于二倍的口算 x 的平方。 然后我们将这个二除到方程的左边，再进行一项整理，就可以得到扣算 x 平方，公式等于二分之一加扣算二 x。

这是一个看起来很普通，但是透的一些奇怪的解放程。 colone x 加三 x 等于二，要求 x 啊，好同学看到这个方程第一下就能够翻译出来啊，这个没有时速减。为什么没有时速减呢？我们看一下啊，把它化解一下，它可以变成 根号二乘以二分之，根号二，空号三 x 加上二分之，根号二三 x， 这个是三十分之拍，这个是考场十分之拍。根号二倍的三 x 加十分之拍。 也就是说他的一个最大只是更换二，而他竟然可以等于二，所以没有时速减，我们应该在负数范围之内求解。 根据欧拉公式， e 的 i， c 的词方等于狂三 c 加上 i 乘以十二 c 的 e 的负 i， c 塔等于 cos i c 塔减去 i 乘以十二 c 塔。这个设置是通过上次得到， 我们把两个相加可以求助狂染 c 塔，狂染 c 塔等于一的 ic 塔加上一的负 ic 塔除以二，把两个相减可以求出三人 c 塔， 所以扩散 x 加上 x 可以写成这样，我们可以让 e 的 ix 方等于 y， 那么这个是就变成了 y 加上一，除以 y 除以二， 加上 y 减去一，除以 y 除以二，哎等于二。两面可以同时乘以 y 到外方加一，除以二，加上外方减一，除以二，哎等于二外，两边再同时乘以二哎， 这边是 i， y 方加上 i 加上 y 方减一等于四 y i 啊，化解一下，一加 i 的 y 的平方减去四 y， i 加上 i 减一等于零。两边再同时除以一加 i 啊 四 i 除以一加 i， 我们可以上下同时乘以 i 减一啊， 他是等于四哎方减去四，哎，哎方减 减一等于负四减去四， a 除以负二等于二加上二，哎，也就是二倍的一加 i 啊，而 a 减一，除以 a 加一，上下同时乘以 a 减一啊。 下面是 i 的平方减一，上面是 i 方减二， i 加一，得到 i 啊，因为 i 方是等于负一的。大概若这里啊，得到外方减二倍的一加 i， y 加上 i 等于零。 把这个式的配方一下，得到外方减二倍的一加 i， y 加上一加 i 的平方，加上 i 减去一加 i 的平方 等于零，也就是 y 减去一加 i 的平方。 这个展开之后，是 i 减去一减去 i 方减二 i 啊，这个是零啊，这个减这个是负 i 啊，一到这边来就是 i 啊，得到 y 等于一加 i 加减根号 i 啊。那写到这里其实还没有完呢， 我们要把更换求出来，而这个 i 是等于一的 i 二分之派加上二 k 派可以是整数的，根号 i 就是他的二分之一。次方 等于一的 i 乘以四分之派，加上 k 派之方，也可以把它展开啊，一的 i 四分之派乘以一的 ik 派啊，这个是 正负一和一的 i 四分之派是等于狂闪四分之派加上 i 乘以三四分之派啊，他是等于一除以更换二一加 i 的， 也就说一加 i 是等于更换二倍的一的 i 的四分之派的 代入这里啊。得到 y 等于根号二倍的一的 i 四分之派加减一的 i 四分之派，也就是根号二加减一 e 的 i 四分之派。持方，这个是等于一的 i x 方的啊， 所以两边同时取对数啊。得到 ix 等于 no， 工号二加减一 加上 i 乘以四分之派。注意啊，这个容易漏掉一个东西啊，里面是二 k 派啊， k 是整数啊， 所以 x 两面都是除以 i 得到四分之派，加上二 k pay 减去 i 乘以 no 工号二加减一，最终解除的 x。 啊，是这样一串数字啊， ok， 更多的有趣的数学问题可以翻跟我的和解转来关注，让学习变得更有趣的。

这是一个非常简单而且易错的方程，考场三 x 等于三，考场 x， 要解决方程啊，大家可以暂停挑战一下，我们看大部分同学是如何错的啊， 把这个看成阿法，这个看成贝塔，他们俩相同，那么阿法加贝塔肯定等于二分之派，也就是三 x 加 con， 三 x 等于二分之派， 这个可以写成根号二乘以口号三四分之派。三 x 加上三四分之派乘以口号三 x 等于二分之派，也就是根号二乘以三 x 加上四分之派等于二分之派。 而这个的范围就是负根号二到根号之间，因为这个是负一到一之间啊。 而二分之派大于公号二，因为派是三点一四嘛，一五九除以二，这个是大于一点五的啊，而一点五肯定大于公号二，所以说超过子欲了，五减五十速减， 那他到底错哪了呢？大家可以暂停调整一下，能不能找到他到底错哪了， 错在了第一步啊，他可能加个二 k 派，因为二 k 派并不影响他们相等啊。还有另外一个非常重要的原因啊， 他们不只是货鱼才能够相等，我们可以画一下，我们假设这个是阿法，这个是贝塔， 如果贝塔有一个结 在这里，那么肯定有一个贝塔一，可以跟他取一样的字啊，三贝塔等于上贝塔一。 所以说还有另外一种情况需要讨论啊，这个时候贝塔加贝塔一等于派，因为他们关于二分的派对称嘛，这个派是二分的派乘以二。 ok， 理解了，这个实际上还要讨论另外一种情况啊，第一种情况，三 x 加上考场 x 等于二分之派加二 k 派，也就是更换二倍的三 x 加上四分之派等于 二分的派加上二 k 派啊。假设他是 m， m 的范围肯定是负公号二到公号二，而这个二分的派 加二 k 派。在 k 大于或等于零时，二分之派加二 k 派 是大于一点五的，就不在子欲范围之内。当 k 小于或等于负一时，因为 k 是整数嘛，可以这样取啊，二分之派加上二 k 派要小于或等于负二分之三派肯定小于负跟二 也不在子欲范围之内啊，所以无解。同样的啊，三 x 加上一个中间亮盘阿法等于二分之派和另外一个 考三 x 加上这个啊法是等于拍的，就能够满足考三三 x 等于三考三 x 啊。 别忘了加个二 k 派，上下相减得到三 x 减空三 x 等于负二人派加上二 k 派， 也就是更换二倍的十二 x 减四分之派等于负二分之派加二可以派，同样可以证明这个无解啊， 因为这个超出了他的直域负公号二和公号之间。 ok， 更多的有趣的趣问题，可以翻看我的合集和订阅我的赞赞，关注，晚上学习变得更有趣！

科三以 x 四次方的积分是多少？科三以 x 四次方的积分是八分之三倍 x 加上四分之一倍三以二 x 加上三十二分之一倍三以四 x 加上 c。 咱们要求 cocyenx 四次方的不定积分，也就是要求 cocyen 平方 x 乘以 cocc 平方 x 的不定积分。 那因为科三以平方 x， 咱们可以写为一减去三以平方 x， 所以这里咱们可以进一步写为科三以平方 x 的不定积分减去 三饮平方 x 乘以三饮平方 x 的不定积分。那因此这里就化解为二分之一加上扣三饮二 x 的不定积分。 因为扣三影平方 x 乘以三影平方 x 等于四分之一倍三影平方二 x， 所以这里就变为了四分之一倍 二分之一减去扣三以四 x 的不定积分，所以这里就变为了二分之一倍。 括号一加上扣三以二 x dx 减去八分之一倍。括号一减扣三以四 x x dx。 那因为这里是 x， 这里是二 x， 所以呢，我们在这里呢，可以去凑为 d 二 x， 但为了保持前面不改变，所以呢，这里就变为了四分之一。同样，这里呢，咱们可以凑为 第四 x， 那么前面我们要乘个四分之一，所以这里呢，咱们就减去的是三十二分之一的积分， 所以他的结果就为四分之一倍。括号二 x 加上三引二 x， 然后减去三十二分之一倍。括号 四 x 减去三以四 x 加上 c， 所以最终化解为八分之三倍 x 加上四分之一倍塞影二 x 加上三十二分之一倍塞影四 x 加上 c。 有看懂吗？我是罗老师，关注我，咱们下期再见。