八下青岛版数学函数与方程不等式

今天给大家讲一下一次函数与不等式结合的三种题型，他常考的第一个就是给我们一个一次函数，然后去求它的解集。 好我们看一下啊，就是这个第一题，理仓八下其中这道题，这道题呢，你看，就给我们一个一次函数，然后问这个一次函数 k， x 加七什么时候大于四，我们直接通过图像就能看出来， 你看我们就找他什么时候等于四，是不给我们点了，过 a 点就说当 x 等于负二时， y 就 等于四，那什么时候大于四呢？我们就找是在负二的左边，他越来越大，还是在负二的右边越来越大，我们发现是在负二的右边，所以就是 x 大 于负二。 这道题就选 a， 结合图像就算出来了。但是总有同学不太会看图，那么我们还有第二种方法，这是方法一图像，那么方法二呢？我们就利用表达式法去看， 怎么看呢？有一些小朋友啊，他就不太会看，那你就得给他带进去，你给他算出来，用解不等式的方法硬算也能算出来。你看 k， x 加七，经过负二，四， 那么当 x 的 负二的时候， y 等于四，那四等于负二， k 加七，二 k 等于三， k 等于二分之三。 所以呢，这个解析式就变成了，二分之三， x 加七，哼， y 等于二分之三， x 加七， y 不要了，问你这个不等式，那就是二分之三， x 加七大于四， 就是二分之三， x 大 于负三， x 大 于负二，一样能求出来啊，但表达式反呢？有的时候不不一定都能用，有的题他可能没给你那么多点，求不出来他的表达式，这是第一种只给我们一个一次函数， 第二种呢，就给我们两个一次函数，然后求谁比谁大，谁比谁小。就像是这个积木八下，其中这道题我们看一下，你看这道题，负二 x k x 加四 相交于 a 点，那 m 到底得几呢？我们得给他带入已知函数，哪个是已知的呀？负二 x 是 已知的，所以当 x 的 m 的 时候就是负二， m 等于四， m 就 等于负二。好啊， a 点坐标就取出来了，是负二，逗号四。 我还是先讲图像法啊，负二的后式接着看， k x 加四加二， x 大 于等于零。同学到这就蒙了，这哪有二 x 啊，所以孩子们，你给他变一下呀，你看这个式子是 k x 加四， 你把这正二 x 挪过来，不就变成负二 x 了吗？所以就说，我可以给他叫 y 一， 给他叫 y 二。其实是不就问，什么时候 y 二大于等于 y 一？ 好，我们看一下啊，正比例函数过远点，所以这条线呢，就是 y 一， 那另外一条线呢，就是 y 二， 什么时候 y 二大于等于 y 一， 它俩相等的时候，是 x 等于负二的时候。那 y 二比 y 一 大，就说明你画一条竖线， y 二得比 y 一 高，那是不就在负二的右边，在负二的右边，不就是 x 大 于等于负二吗？所以这道题就选 c。 那有同学又说了，老师我还是不会，我还是要用算的方法好，我们再用第二种方法给它算出来这个图像，经过负二四这个点，把它带到 y 二这个函数里，那就是四等于负二， k 加四， k 等于零。哎，你发现咋不好用了？因为这道题有点歧义啊，你想一想，为什么这道题不好用？ 这道题确实不太好用啊，那算出来发现它不是个一次函数，但是 k 等于零也能做，那 y 二就变成谁了呢？就变成四加二， x 大 于等于零了，二 x 大 于等于负四， x 大 于等于负二， 但是你说一次函数 k 能得零吗？不能。这个题有点问题，老师说，你们看，为什么你 y 二等于 k， x 加四与 y 轴交点是四，这个点应该是四，那你与 a 点能交于 m 四吗？不能。但是这道题的 考试想考察的呢，就是说你别用这个方法二，用方法二也能做出来，待会你会发现他好像与题意不符。你这道题想考察，就是你直接利用图像去做，可能考试出题人呢？没有想那么多啊。 那第三种情况呢？就是给两个一次函数，然后他还有什么大于零，小于零的这种题，老师再带大家看一道 还是积木的考题啊，这道题就是一个，嗯，有两个不等号的，就比如说老师考大家一个啊，二分之三， x 减五大于一小于六，怎么去解呢？有同学能够通过 啊，一步去解，比如说这什么十二大于三， x 减五大于二，可以这样去解。有同学不太会这么解，那么不太会这么解的同学是怎么样的呢？是把它分成两个不等式，凑成一个不等式组，然后去求它的解集， 那这样题也是一样的，你就把它凑成一个不等式组啊，你看图可能不太好看，不太会，那你就把它拆开，变成 k， x 加 b 大 于 x 加二啊，这写上圈一， x 加二大于零，这写上圈二， 就解这个不等式组就行了。那我们看这是 k x 加 b 与 y 等于 x 加二，相交于 m 四，还是一样的代绕代到已知函数，那么 x 呢，就应该等于二，所以 m 等于二，那这个点坐标就是二，逗号四。 首先 k x 加 b 什么时候大于 x 加二，看他俩什么时候相等，等 x 等于二的时候，他俩是相等的。那什么时候 k x 加 b 大 呢？是在二的左边还是在二的右边呢？我们能发现呢，是在二的右边。你画一条线，是 k x 加 b 大， 所以我们就写 解不等式一得得到什么呀？就得到了 x 得小于二，我们接着呢，再解不等式二得 二呢？可以不看图像，直接就能取出来，是 x 大 于负二，所以此不等式组的解集就是大于负二，小于二。 嗯，你看这不就算出来了吗？那第二个呢，也可以结合于图像啊， k x 加二，我们先看它什么时候啊， x 加二什么时候等于零呢？就是与 y 轴与 x 轴交点， y 等于零，所以这个点坐标呢，就是负二的号零。 那什么时候比负二大呢？是在负二的右边，所以能看出来是 x 大 于负二。好了，不等式与一次函数结合，就这三种类型，大家好好听一听吧。

函数不等式，不要再盲目的求一阶导二阶导了，思考五秒看是否有思路。 兄弟们，今天看一道函数不等式的证明问题，教你们怎么闭着眼睛写答案，把函数不等式这一类题全部解决掉。 拿到一个函数不等式，首先应该先观察它是否能够化解，那为什么要先化解呢？是因为化解的目的可以让下面的计算变得简单，这时候我们观察不等号的左边还有根号，那我们这时候是不是要采用根式由理化， 对吧？上下同时乘以根号，下一加 x 是 不是就变成了这一步，对不对？要想证明这个函数不等式，我们是不是还可以进行转化？交叉相乘再减，是不是就 相当于证明这个函数不等式，最后转化成了证明这个函数不等式，那要想证明这个函数不等式，我们是不是要令辅助函数 f s 等于它，那这时候我们千万不要直接对它进行求导，我们应该先分析分析一下 f s 的 几何图像是什么样的， 这时候我们观察到 f x 在 x 等于零处是不是等于零的呀？对不对？我们要证明的目的是不是 f x 大 于零？结合这两点，我们是不是可以把它的图像画出来？ f 零等于零，还要证明 f x 大 于零，那是不是？是不是说明它的图像要么这么画，要么是这么画的，对不对？ 不论是其中的哪一条，它是不是都是 f s 单调递增的，那 f s 在 这个区间上单调递增是不是意味着 f 撇 x 大 于零的呀？对不对？那这时候我们 就对 f s 进行求导，求导之后是不是就它我们就可以直接写大于零？根本就不需要分析，往后这不就是套路吗？兄弟们。

大家看，这是我们熟悉的热气球，今天的热气球里藏着一个数学密码，大家知道是什么吗？ 想象一下，你坐上热气球，扑的一声点火，起飞，速度稳稳的，每分钟二十米高度 h 和时间 t 的 关系是什么呢？很简单， h 等于二十 t， 但是你想在四百米高度降落，到底要飞几分钟呢？心里没数？别慌，这题可以用学过的方程来解决， 飞着飞着，前方乌云压顶，必须飞到六百米以上才安全。可你现在才五百米，还要飞多久才能超过六百米？光靠方程不够，还有不等式一起帮忙， 嘿，对面小红也在飞，他从一千米高空以十五米每分下降，你从地面二十米每分上升。你们什么时候才能相遇？一个函数搞不定，两个函数打架怎么办？方程组来当裁判， 不等式方程组怎么帮热气球搞定起飞？避险、相遇？答案全在这节课里！带上你的好奇心，咱们一起破解热气球的数学密码吧！

在十七世纪以前，人类已经学会了利用对应关系来理解世界，以及已经捕捉到了函数的灵魂。数量之间的对应关系 十七世纪由运动的研究引出一个基本的数学概念，函数。用函数表示几何量就是函数概念的几何起源。那么函数是什么？ 世界是一本以数学语言写成的书，用数学可以探秘自由落体运动、抛物体描回出的路径。动点。做曲线运动时，它的横坐标和纵坐标相互依赖，并同时发生变化，即用方程来表示变量之间的关系。 可以用函数表示随着曲线上的点变动的量，比如点的横纵坐标、切线的长度等。一个变量的函数应该是由该变量和常数组合而成的。算式加利律的运动数学化开启了函数的探索之路。 迪卡尔用方程来表示变量之间的关系是函数的映射。莱布尼兹认为函数是描述一格量随另一格量变化的规律。伯努利强调的是，函数必须是一个解析表达式。十八世纪对于一个概念发展中产生的局限性和模糊用语， 数学家是不能忍受的。认同这种解析式解释的数学家很多。于是，函数是由一个解析表达式所给出的，成为了十八世纪占据主位的函数概念。 如果某些量依赖于另一些量，当前者改变时，后者也随之改变，则称之为后者的函数。 即使一个简单函数，也可能有不同的解析式。如果某些变量间存在一定关系，当给定其中某一变量的值，其他变量也随之确定，那么其他变量就可称为函数。函数究竟是什么？ 是一条曲线，还是一个解析式？十九世纪，数学飞速发展，出现了各种各样的函数。狄利克雷是这样说的，有的函数很难用图像或解析式表示，比如下面的函数，当 x 为有理数时， y 等于一。 当 x 为无理数时， y 等于零。怎么办？于是，在原由解释已经捉襟见肘的时候，尼曼说，假定 z 是 一个变量，它可以逐次取所有可能的实数值。若对它的每一个值都有不定量， w 的 唯一值与之相对应， 则称 w 为 z 的 函数。同学们，数学其实是人类写下的抽象世界的语言。正如爱因斯坦所说，宇宙最不可理解之处是它居然可以被理解，而数学正是这种理解的钥匙。

hello， 大家好，我是数学张老师，欢迎大家来到我的满分数学课堂，欢迎来到满分数学八年级下册第八周，依次函数与方程不等式。 我们带着三个问题进入可答，第一，如何解一元一次方程了？如何解二元一次方程？第三，如何求不等式的解集啊？以我们的用我们的一次函数去解决这三个问题。 首先，我们来看一下如何用一次函数去解一个一元一次方程啊。比如我们想求一次函数 y 等于三， x 减六，它与 x 的 交点坐标 a， 那 我们可以怎么去求呢？ 既然与 x o 相交， x o 站点什么特点啊？是所有的重坐标都为零啊。对了，所以我们要抓住它重坐标为零这个特点去求解。 ok， 令 y 等于零啊， 此时令 y 等于零，这个就变成了三 x 减六等于零，其加就变成了一个一元音词法称，我们是可以解决 x 等于二，说明 a 的 坐标就是二度零。 好，我发现我们要去解决一个一次函数 y 等于三， x 减六与 x o 交点的横坐标这个问题，实际上就可以转化成为去解一元一次方程三 x 减六等于零这个问题啊。 第二，如果反过来要去减一个一元一次方程 a， x 加 b 等于零，这样的情况，我们就可以把它看作一个一次函数 y 等于 x 加 b 与 x o 交点的横坐标啊，它呢，减 x 等于多少就是我们的横坐标的 值啊，这两个是互换的。理解这个后，我们来做下例题。我们看一下例题啊，我们理解了一次函数与一元方程它之间的一些联系。我们看第一小问， 直线 y 等于 x 加 b 啊，经过了点 a 和 b 两个点，则关于 x 的 方程 x 加 b 等于它的解会是多少？ 第二个给了我们一个表格，让我们去求 a x 加 b 减五等于零的解是多少啊？它记住，考察了一次函数和这个方程它的解之间有什么联系啊？同学们可以暂停思考一下，请暂停作答， 我们来看例题啊！第一小问，一次函数和关于 x 的 方程 a x 加 b 等于零，它有什么联系呢？可以发现 a x 加 b 和这是一样的，你说可以看作 y 等于零的时候啊， x 的 值， 也就是我们是需要去看看当一次函数 y 等于零的时候，它 x 对 应了横坐标等于是多少。 那我们要观察 ab 两点，发现 b 点是不是告诉我们了，当它重坐标为零也是 y 等于零的时候，横坐标是二，所以此时我们的解就是 x day 啊啊，这个值就是与这个 y 等于零，它的横坐标的值就是我们的解啊。再我们看第二题， 也一样的，一差数对应的底下这个方程和这个表格。我们先看这个方程嘛， a x 加 b 减五等于零， 其中左边的 a x 加 b 和这个函数右边是不一样的，那我们把它变形一下，就给写成 a x 加 b 等于五啊，把它移过来。这下我们问题就变成了去求当一次函数 y 等于五的时候，对应的它的 x 的 值 啊，很多标志。那么回到表格来看，找到当 y 等于五的时候，对应的 x 是 负二，我们都知道它的减 x 等于负二。好，所以我们要巧妙地利用一次函数和这个方程它之间的连续去求解， 我们接下来先看一下例题三啊，阅读直线 l 是 依次函数 y 等于 k， x 加 b 的 图像，那么点 a、 b 的 直接上，我们求解下。第一，写出方程 k x 加 b 等于零的解啊，写它的一个解啊。第二，我们看直线 l， 这里有个点 p， 它在直线 a 线段 a、 b 上运动啊，注意它限定在 a、 b 上运动出 n n 的 一个曲值范围啊。第一个，我们要去结合函数图像和我们的方程它有什么联系，就可以求出解了，在结合图上的信息。好，大家可以按下这题键作答去暂停。 好，我们来看例题三。好，第一道题要求方程 k x 加 b 等于零的解，其实这我们可以怎么去分析啊？它相当于一次函数 y 等于零的时候对应的 x 的 值 啊，那我们来看图直线啊，当 y 等于零的时候，在哪里是刚好是 a 点啊， a 点坐标负二到零，当 y 等于零的时候，它的横坐标为负二，所以我们应该知道 a 点的坐标是负二到零，那么对应的方程 啊， k x 加 b 等于零，它的解就是 x 等于 four。 好， 所以这道题就是巧妙利用的一次函数和一 h 方子，它就能连续纠结它。第二， 此线上有一个点 p 在 线段 a、 b 上运动为 m n 的 曲子范围，它在 a、 b 上运动。我们来观察一下 a 点的八负二到零， b 点坐标二到二，在这个线段下运动化，它的横坐标是介于一个范围内啊，它重作八是不是也介于一个范围内？我们来先分析一下，因为线段 a b 啊，线段 a、 b， 它上面的点啊，有什么特点呢？所有的横坐标都要介于负二到二，所以这个屁点，它的 m 的 横坐标也会大于等于负二，小于等于二啊，它得介于负二到二之间去运动。 重坐标 n 呢？我们来观察线段 a、 b 上的点啊，它的重坐标是介于零到二之间的啊， a 是 零， b 是 二，是介于零到二之间的，所以对于我们的 n， 它也会介于零到二之间啊。 我们前面学习了一常数与一元一次方程的一个关系，那我们先来看一常数和二元一次方程又有何联系呢？ 例如，我们求一个一次函数 y 等于 x 减二和一个一次函数 y 等于负 x 加四，它们的交点坐标 m。 我 们可以往这求啊， 因为既然交点，它就要满足一次函数 y 等于 x 减二，也要满足第二个一次函数，说明又把 m 的 坐标带回去，两个函数都得成立，令两个函数成立，那我们就可以把这两个函数 连立成一个二元一次方程组啊，去求它们的公共解，这公共解就是我们要的这个坐标 m 啊，我们连立后得到 x 等于二， y 等于零，那么 m 的 交点就 y 的是二到零 啊。所以我会发现啊，一个一次函数 y 的 a， x 加 b 和另外一个一次函数的交点坐标，其实就是把它们俩连立成一个二元次方程组，去求出它们的解。 x 对 应的就横坐标， y 就 对应的是纵坐标 啊，我们可以这么去写，当然，你也可以写，直接写成一个等式的形式啊。这么去连立求出 x 之后呢，再带回去把 y 也求出来，一样我们也能得到 m 减的坐标二到零。好，所以对于 两种方法都是可以的啊，我们可以连立成二元一次发的注，你也可以先做成一元一次再去单独记着啊。学会了我们如何去求焦点坐标，我们来看下面的例题。 接下来我们看一下例题二啊。第一题，已知两条直线啊，直线一是 y 等于 f， x 加四，直线和是 y 等于二 x 加，他们的交点是 t， 三度 n， 求关于方程组的解会是多少啊？第二个 给给两条直线呢，问，我们的交点不可能在第几条线啊？我们先来观察第一题， 关于方程组啊，这个方程组我们观察它的结构， x 加 y 减四等于零，是不是跟我们上面这个函数很像？二 x 减 y 的 加 m 等于零，跟这个函数也很像，我们给它稍微变形一下啊，是不是就变成了 y 等于负 x 加四和 y 等于二 x 加横啊？哦，我们把这两个分子组一变形，发现了它实际上就是上面的直线连立过后的方程组，那也就是求它的焦点坐标，所以我们要需要把它的焦点标求出来。 好，第二题呢，我们也可以来思考判断一下啊，它的焦点会在第几项线？请按下暂停键作答，请暂停。 我们来看例题二第一小题，这个关于方程组的解，实际上就是求它们的焦点坐标， 但焦点坐标的 n 还是不知道的，我们观察焦点既在直线一，也在直线二上，由于直线一它的解析式是都具体数字都有了，所以我们就把 p 点坐标带入这个直线一中啊，把 p 三到 n 带入 y 等于负， x 加四周，我们可以求出来， n 是 等于一，所以 p 的 坐标三斗一，那么它的解就是 x 等于三， y 等于一啊，就是一次函数和我们的二元次方程组它的联系啊，它们的焦点坐标既是连立乘于方程组的解。 那我们再看第二小题啊。第二小题，第一条直线， k 和 b 是 告诉我们的，此时 k 是 大于零的， b 也大于零，所以我们可以画出第一条直线的一个草图啊，它会经过一二三象限，这是第一条直线， 但第二条直线它并没有告诉我们，只告诉我们 k 小 于零，而 b 是 不知道的。那其实你可以想，我们无论怎么画，既然要求的是焦点，那焦点肯定也会在第一条直线上， 那么他的位，他的交点只可能在第一一下线，第二下线或者三下线不可能在第四下线，所以本身我们这套直线就没有经过第四下线，在交点也不会出现在第四下线啊，我们可以这么举，他能出来。 好，我们来看例题四啊，如图，点 a 坐标负二到三点， b 坐标二到一直线， y 等于 k， x 加 k 会经过啊， y 等于 k， x 加个角，直线会经过 p 点负一到零。 想探讨，如果直线与 a、 b 有 交点的时候，那么 k 的 值的范围是多少啊？由于此次 k 是 没有告诉我们的，所以这条直线它这条可以是变动的，它会绕着这个 p 点进行转动啊， 他可以这样画，是不是可以长到这里来，也可以从下设置的这样转啊，这些范围都是可以的，只要保证与线段 a、 b 有 交点的齐嘛。啊，那这个时候我们要去考虑极限的情况啊，一周他如果最极限到哪里？顺极限是不是往 我们的逆时针转，是不是只能到 a 这位置结束啊？顺时针转是不是到 b 这里结束 啊？其次呢，我还要去考虑 k 的 一个正负性啊，因为 k 的 正负性其实就是一个分界点了，我们过 p 点做条垂线 啊，我们可以分析一下，在 p 点右侧 k 是 怎么样？ k 是 大于零的，在 p 点左侧呢？ k 会小于零。好，以此为基础，咱们来讨论一下 k 的 曲的范围是多少？首先我们可以按下暂停键做的啊，请暂停。 好，我们来看例题四啊。我们前面来分析了一下，此时 k 它得分两种几何，去讨论 k 大 于零和 k 小 于零情况啊。那么一个来，如果 k 大 于零的时候，我们来分析一下， 由于我们知道绝对值 k 越大，图像越陡峭，觉知 k 越小越平滑，所以发现如果越靠近这条垂线，是不是它的 k 值越大呀？ 越远离这条垂线， k 是 越小，所以最远到哪里，最远是不是刚好过 b 啊？啊，我们都找到了 k 值的 一个端点，最小值过 b 的 时候，所以 k 的 最小值我们其中在 k 大 于零，基本上最小值找到了，就是当直线经过 点 b 的 时候，那我们来求下 k 的 这幺子啊啊，减 b 坐标是二到一 点， p 坐标是负一到零，那我们把二到一带到直线中去好吗？把二到一带入 y 等于 k， x 加 k 中， 我们可以求出来， k 是 等于三分之一啊，所以我们知道 k 的 最小值是三分之一，那么 k 会怎么样？ k 会大于等于三分之一啊，这个范围都是可以的，越接近这条直线，它的 k 值越大啊，除以五九 啊。第二种情况， k 小 于零， k 小 令的时候，说明它在它的左边区域，我们来画一下右边也知道呢，当绝对值 k 越大， 那么越陡峭，绝境 k 越小越平缓，所以我们也可以去找到，当它经过 a 的 时候，有个最极限啊，在这个区域中，我们 k 到它极限的值，也就是 k 的 极限最大值啊，你说当我们的直线经过 a 点的时候就会出现吗？我们把 a 减值八带起来，负二得三带入 加 k 中求出来， k 是 等于啊，负三 啊，所以注意啊，当负三的时候啊，此时已经是 k 最大值了，是因为我们再往上走的时候变成负四，负五，负六是越来越小，所以 k 最大，最大是到负三，也就是它的范围是小于等于负三， 所以中占所述，它有两个范围，第一个 k 是 小于等于负三的，或者 k 是 大于等于三分之一，这两个范围它都会跟我们的直线线段 ab 有 交点， 那所以同学们注意啊，我们都要通过画图去结合去判断，而且呢，我们要去分析一些特殊位置， 尤其是端点的位置，以及这种垂直的位置啊，端点的位置，还有我们要时刻注意了， k 值 k 的 绝对值越大，那么倾斜程度就越大，所以我们通过这样判断可以去判断出来，在 k 找到最极端的时候，是比它大还是比它小，我们就要通过这样的去判断 好。我们前面学会了一次函数和一元次方程以及二元次方程组它们的关系，我们先来看一下一次函数跟这个不等式有何联系啊？我们以个例子为学，例子 如图所示，我们想求出 a x 加 b 大 于等于零的的的解集会是多少啊？求出这个不等式的解集，那我们截个图像来看嘛， 它告诉我们 y 等于 x 加 b， 这是角一次函数，我们对比一下，是不是这两个是一部分是一样的，所以相当于此时的 y 就是 我们这个零了啊。移动我们要求的什么是求出 y 大 于等于零的时候的一个情况 啊？不等式组翻译过来就让我们去找这条直线上 y 大 于等于零的时候，首先第一步，我们先找到我们需要的点啊，你说但当等于零的时候的点在哪里？ y 等于零的点，我们找一下，是不是就这个啊？它的点都没有负二等零， 既然让我们再找出它的射的范围比零大是哪一段呢？啊？是不是上面这一段对了啊，比零大的上面这一段， 下面这段是，万一是比零小的，所以我们找到这个范围呢，是比零大的。接下来呢，我们找到这个图像，最后呢表示出它的解集， 它解集是指的是 x 的 范围，所以我们要找的是这一段横坐标的范围。横坐标从哪里开始？是从负二开始啊，一直往右啊，这一段是不是都可以？所以对应的它的横坐标的解集就是 x 大 于等于负二，它解集是 x 等于负二。 好，我们找它又求的是横坐标 x， 所以 我们得把 x 的 范围给它找到。 那么再来看一下，如果是两条直线啊，求个不等式告诉我们，不等式 a x 加 b 会大于等于 mx 加四啊。要我们根据的图像求出它的剪辑。 首先我们先观察一下这里 a x 加 b 是 不是跟这里一样啊？ mx 加四和右边这个一常数一样， 那我们把它编辑为 y 一 和 y 二，它要比较的是左边大于右边，实际上是不是比较是 y 一 要大等于 y 二啊？我们什么时候 y 一 会比 y 二大？ 那我们就看图来找啊。一样的，第一步，先找相等的时候，也就是中间这个相交点的时候，此时 y 一 会等于 y 二。接下来我们再判断一下，以此为基准， 哪一边的情况下， y 一 会比 y 要大啊。我们来找出范围，看这条虚线的左边还是右边，我们可以找到是虚线的右边区域啊。为什么我们随便找一个任意的 给一个 x， 比如随便给个 x， 我 们对下来看，它所对应任何一个 x， 它的 y 一 是不是比 y 要更大？我们再找一个 啊，其实 y e 是 始终比 y l 大。 对，当 x 相同的时候，我们就可以比到出 y e 和 y l 大 小了，所以我们发现右边这块区域是满足的，我们前面提到的 y e 会比 y l 大。 好，接下来我们就可以去写出他的对应的剪辑了。我们来看，此时相等的时候，他的横坐标是三，但再往右都是可以的，那么横坐标是比三大都可以啊 啊，因为我们求的是解集，解集是求的是 x 是 多大，也就是对应呢恒久标是在哪个范围是合适的啊？是比三大都可以，就求出来 x 是 大于等于三啊，三的右边这块区域都能满足， 所以我们想要去求一个，不能是可以转化成我们去看一次函数去解决问题，学会这的方法。我们来看例题， 我们来看例题五啊，直线 y 等于 four， x 加二与坐标轴 a， b 两点啊，交于两点，现在直线 c， d 又交于 c 和 d。 第一个让我们去求这个不等式的剪辑啊，第二个求出这个四边形的一个面积。 首先这个不等式解集它我们来观察一下，我们可以设直线，第一个直线为 y 一， 第二个直线解析式我们不知道，所以是需要求的，所以这题我们要把直线二也求出来啊。 我们这一米看，其实它在那就是比较的是 y 一 什么时候比 y l 大 啊，这个时候 y 一 这个 y l 它这至于是什么时候 y 一 比 y l 大， 那我们几个通过图像信息去找啊。好兄弟们，先把这个 y l 求出来，之后我们再去对比一下，请暂停作答。 好同学们，我们来看例题五，第一小题，它要求的是它的解集，解集我们发现实际上就是求什么时候 y 会比 y 大， 那我们要找的是这个相等的时候先去找，也就是易解， 此时一点坐标还不知道，那我们需要先把 y 二这条解七式给它求出来。题目告诉我们 y 二经过了 c 和 d， 我 们就把 c 的 坐标带进去啊，把这个零的后负三和六的话，零带入 y 等于 k， x 加 b 中啊，我们可以得到两个式子， b 等于负三以及六， k 加 b 等于零，这样我们都可以求出来， k 是 等于二分之一， b 是 等于负三，也就是直线 c、 d， 它的解析式变成了 y 等于 好二分之一 x 减三，我们求出直线 c、 d 的 解析式之后，就可以连立，把这个坐标 e 求出来。好，我们将两条直线连立起来， y 等于负二， x 加二以及 y 等于二分之一 x 减三， 这样我们就可以求出来， x 是 等于二， y 等于负二，也就是一点坐标是二等负二，我们求出了一点坐标，二等负二求出一点坐标之后，我们就可以去表示这个解析了。 因为题目写望我们表示的是什么时候二 x 加二会大于等于 k 加 b， 实际上就是为什么时候 y 一 会比 y 二大，当 x 等于二的时候，它们是相等的关系，我们再看以它为基数，左边还是右边更大呢？ 啊？我们再来看是不是左边区域啊？对了，因为我随意给一个 x 的 值，会发现 y 一 在 y 二的上方，所以 y 一 会比 y 二大，所以在它左边区域是满足的。 那左边区域从哪里开始是横着横着标为二开始往左呀？所以我们就知道了， x 是 小于等于二，对了，比二小的这块区域都是满足的 啊。当然，这道题还有小技巧啊，由于我们已经知道了这两个设置啊，负二 x 加二以及二分之一 x 减三，如果我们不会根据图像去做，我们也可以直接去解这个不等式，也是能得到的啊。 好，我们再来看第二小题，然后写对第二小题要求 o b、 e c 啊，这个 o b， e c 的 面积，那该怎么去求呢？ 我们先来观察啊，这个面积它是个不规则式变形，那不规则式变形，我们那么需要给它变规则，我们可以看作 o、 d、 c， 哎，减去这个 b、 e、 d， 这我们可以看作啊，胳膊大的减小的追求，因为大的和小都好求好，但我们需要哪些信息呢？我们需要接点的坐标，比如我们要知道什么，我是不是要知道 b 点坐标啊？ b 点坐标， b 点是在直线一下，所以它可以快速得到是一到零 啊。 b 点八一到零， d 点这八也告诉我们了，六到零，还有呢，一点到八前面已经求出来了，二到负二我们就可以编上去。 c 点这八也告诉我们了，零到负三，那就可以直接去求了。好四边形 o、 e， o， b， e、 c 的 面积，它可以写成三角形 c， o， d 减去三角形 b， e、 d 的 面积啊，讲开来，二分之一底层高， c， o， d， 我 们可以看作以 o、 c 为底， o， d 为高，那直接算啊，乘以三乘上六减去。而 b、 d 呢？我们注意了， b、 d 可以 看作以 b、 d 为底，然后过 e 做垂线啊， e 的 这个 重坐标的绝对值作为它的高，我们也带过来二分之一乘上啊，注意了，这也是六减一啊，是五再乘上啊，最终算出来是等于四，我们这也就求出了四边形面积是为四。好。同学们 遇到这种题目中告诉我们一条直线并没有给我们解析式，但给了我们两个点的话，我们就用这个待定系数法给它求出解析式。如果遇到这种面积不规则，我们可以用我们常用的割补法去求这个面积。 好，我们这节课学的是一次函数与方程和不等式的结关系，我们来看一下 一次函数与一元一次方程有什么联系呢？我们知道如果要取一个函数与 x o 的 交点横坐标，其实就可以转化成为对应的一元一次方程的一个解啊。 第二，如果想要取是两个一次函数与 x o 交点的横坐标，也是可以去找一元一次方程的解。第二，一次函数与二元一次方程组又有什么联系呢 啊？如果我们想求两个一次函数啊，它的焦点坐标两条一次函数焦点坐标其实就是把这两个一次函数连立成一个二元一次方程组去求出这个方程组的解啊，就是我们的焦点坐标 啊！第三，一次函数和不等式有什么联系啊？要求一个不等式其实也可以转化成对应的一次函数去寻找啊。 根据图像，我们可以先找到相等时候的点，然后再去由相等去看哪一边属于我们符合条件的部分，再去结合图像，最终写出剪辑。 以上呢，就是本节课的全部点喽，大家回去后记得及时复习巩固啊，拜拜！

同学们好，今天我们来探索一次函数和一元一次不等式之间的内在秘密。首先，让我们在平面直角坐标系中观察一次函数 y 等于二 x 减四的图像，这是一条随着 x 增大而不断上升的直线。 现在我们提出一个核心问题，如果要求函数值外大于零，那么对应的自变量 x 应该去哪些值呢？这就将函数问题巧妙地转化为了寻找一元一次不等式二 x 减四大于零的解集问题。 观察图像，我们可以直观地发现，当直线位于横轴上方时，纵坐标含数值就是正数这部分直线上所有的点，它们对应的横坐标都在直线与横轴交点的右侧。 那么这个关键的焦点在哪里呢？当函数值 y 等于零时，也就是二 x 减四等于零，解得 x 等于二，最焦点坐标是二，逗号零。因此，要想满足 y 大 于零，自变量 x 必须大于二。 反过来思考，如果我们要寻找函数值 y 小 于零的情况，那就只需看直线在横轴下方的这部分，此时这些点对应的横坐标全都落在了焦点的左侧。 很显然，在焦点的左侧，自变量 x 的 值都要小于二，这就是不等式。而 x 减四小于零的解集，通过函数图像不等式的解集变得一目了然。 在这里，有一个非常关键的细节需要注意，那就是不等号是否包含等号。这决定了我们在数轴上表示解集时，边界点是画实心圆点还是画空心圆圈。如果是严格的大于或小于，焦点处必须是空心圈，如果包含等于，就要画实心点。 最后，我们总结一下运用图像法解不等式的三大步骤，第一步，准确画出对应的函数图像。第二步，找到图像与横轴的交点以确定边界。第三步， 根据是在横轴上方还是下方来写出解集，这种方法将代数与几何完美结合。

好了，同学们，上课是，同学们好，老师好，请坐。 好了，同学们，我们在初中呢，就已经学习了利用一次函数的观点来看一元、一次方程和不等式，那么到了高一上学期，我们又将这种思想迁移到了二次问题上， 那么我们下面回顾这两张表格，找同学来谈一谈。对于一般的函数与方程不等式之间的关系是怎样的，可以说一说。 嗯，函数的这个零点应该是这个方程的值，大家认同吗？嗯，好的。比如说，对于一个方程，它的实数解 应该是其对应函数的零点， 那你觉得不等式和函数之间会有什么关系呢？不等式的解集应该 跟它这个零点有关系。哦，他说不等式的解集和零点有关系，那是不可以这么描述啊，这函数的零点是不等式解集的边界值， 认同吗？认同，好，请做。比如说，我们可以利用函数来解决不等式的解集问题，具体是怎么解决的呢？ 啊，你来说一说观察函数的图像。哎，观察函数的图像很好，那么对一个不等式来说，他靠的是大小关系。那回到函数图像上的话，是不是就转换成了两个函数图像高低的问题了？ 那么既然我们已经研究完了这三者之间的关系，那如何利用这三者的关系来进行答题呢？我们下面看一下问题二。在课前呢，老师就已经将问题二发到大家的屏保啊，然后让同学们在课前已经完成了问题二。 问题二的内容是，请从以下四项中至少选择两项，利用四则运算构造出一个方程，并从函数的角度去研究你所构造出方程实数的个数。那老师在检查作业的过程当中，发现有一个同学命制的这个题目，正如他的名字一样， 好好好好好了，那现在请好好的同学到前面给大家展示一下它的命题思路和解析过程。就是， 呃，就是在命题的时候呢，我首先想到了大家比较熟，咱们都比较熟悉的一个函数，就是 x 的 law， 它的图像应该是这样的，然后呢我们想，比如说让它呃等于一个一个什么东西，然后这样的话我们去判断这个方程的解数， 然后想到就是如果我们想要一个零点，我们可能会选择去做切线，然后我们就比如说找这个点，这应该是呃一，然后我们在这点的话勾到一个切线， 这样他可能就会有一个零点，然后对他求一下导，发现这个这切线应该是呃 s 减一， 这样的话如果我们我就构造出了，我就造出了这道题，算 s 等于 s 减一，然后我们来判断它十度减二处，然后解析思路呢， 就是非常正常这个这个求导求导完之后是 lo x， 然后利用导函数判断它的单调性，这样的话我们能知道它的这个最小值点就是一点一点处就是它等于零， 这个函数图像大概是这样， 然后我们就知道它和这个 s 轴图像和 s 轴只有一个焦点，所以呢这个方程也对应着这个圆方程就只有一个实数解，就这样。 好，同学们，呃，它的过程写的还是相对比较严谨的，但是这个图像稍稍有一点小问题，我们把它，哎，我同学想到了 这个位置在零处是没有定义的，所以这两个位置应该是一个空圈，对吧？好了，那么我们下面回顾一下好好同学的研究问题的一个路径。 首先呢，这是一个方程问题，这个方程呢，他写的应该是 x 倍的零， x 减 x 加一等于零， 他为了解决这个方程，他选择了两种不同的函数代替进行研究啊。首先他在解析的时候选择的函数代替就是 f x 等于 x 倍的 lo， x 减 x 加一，而在命题的时候，他选择的函数代替 是不？一个是这样，另外一个函数是这样，对吧？那同学们思考，对于这个问题， 我们还可不可以抽象出其他的函数将其解决呢？ 是有什么想法吗？ 啊，那你可以说一说。呃，就是因为它这个有这个定义域的是 x 大 于零， 嗯， x 大 于零的集合。对，所以说就 x 不 等于零，然后我们就可以将 x 除下来，很好，它是将这个方程进行了这样的一个代数变形，然后减一加上 x。 好 了， 那你想选择的函数代替是什么？呃，这个也可以。呃，然后或者是绕 x 等于 x 分 之一加， 可以采用哦，是竖根形的小。好的，这个思维很好，请坐。他的意思说，把这个方程构造成这个样子之后，他选择的函数可以是，他也可以选择， 大家认同吗？比如说我要研究这个函数的话，他说了一句话，可以竖形结合画出这两个函数的图像，看这两个函数图像有几个焦点，对应的圆方程就有几个实数解。 那好了，同学们，我们下面可以啊，把这两个图像画一下，借助我们的 jgb 软件，大家看，画完了之后这两个函数图像是比较直观的，就能看出来有几个焦点吗？ 大家画完了吗？啊，我们因为是用软件做的图，所以这个软件呢，它做图就比较规范和标准了啊，我们会发现它在一零的这个位置有一个公共点，但是同学们想， 我们如果是啊，在草纸上来完成这两个函数在同一直角坐标系下的一个绘制的话，会像现在白板上显示的这样标准， 也就是说我只能发现这两个函数会在一零处有焦点，但是在其他的位置是否有焦点是不还有待论证， 明白吗？好了，那就说明如果借助这两个函数通过数形结合，不一定很直观的反映出原函数方程的解的个数，那还有其他同学有想法吗？ 啊？来说一说，我觉得首先也是要去把圆和弦一个向，就是拉 s， 等于这个移减 x 分 之一， 然后这样的话，呃，因为它本身这两个曲线它是不好判断的，所以说这个就应该两边同时一个负一，然后这样的话就变成了负的拉 s， 等于这个 x 分 之一再减去一，然后这样的话就可以把这个符号移到这个拉拉 s 里头， 你就换成了这个呃，那 s 分 之一等于这个 s 分 之一减一，这样的话我们就可以，比如，比如说用一个 呃这个常数，比如 k 来代替这个 s 分 之一，然后就研究那 k 和这个 k 减一，它俩这个呃函数之间的交点，这样的话它就是一条直线和一条曲线，这样这样的话它就比较容易很好。 后面同学听到这个同学的表达了吗？啊，他的意思是对这个方程进行如下的代数变换之后，他出现了相同的结构，都是 x 分 之一，然后他将 x 分 之一换元成 t， 或者说换写成一个 x， 它所选择的函数代替将会变成啊，什么 lo n， x 与另一个函数就变成了 x 减一， 那进而将我们两个曲线的交点问题变成了一个曲线以及它的切线。这样的话，是不是就更加直观地能够发现我这个问题啊，就得以证明 可以了吗？好了，同学们啊，讲到这，我们不难感受一个冰冷的方程摆在我们面前，我们是通过了代数运算 构造出来了不同的函数代替，进而将这种冰冷的美丽化为了火热的思考。好了，同学们，那么我们在处理方程问题 转换成了从函数的角度去出发，那么我们说，不管你构造的函数在体是什么，是不都离不开最终 对函数的性质，比如零点、单调性、极值和最值进行探讨。所以看似是一个方程问题，但实则我们研究的是函数的性质问题，这就体现了我们数学当中的转化与化规的思想。 好了，同学们，那么我们继续， 我们刚刚呢，是研究了方程问题，那么我们下面来研究一个不等式问题，还是借助刚刚好好同学的这个函数为背景，同学们思考能否编制出一道不等式的相关问题， 还是大家有什么想法都可以在草纸上进行操作？最后呢，我们通过绘图软件来进行验证啊，这个问题不需要大家从竖的角度对其进行严格的论证，给大家一点思考的时间，一会找同学来在前面演示一下 and then you。 好，坐到这，那么我们下面有请这位同学给大家展示一下他的命题过程。我这个我先说一下我命的这个题，我命的这个题是 s 倍的幺 x 减 a， x 加一大于等于零，再领到正无穷长横成 e， 然后稍等，老师写一下， 重复一遍。 s 倍的幺 x 加一大于等于零，然后再领到正无穷长横成 e， 然后求一个整数范围，好的， 把时间留给你。呃，然后也是受到第一位同学的启发，然后我也想把它画成两个函数来看这个问题，然后我就先画一个 s b 段 x 的 图像， 然后再画一个 x 减一的图像，然后我发现这个情况下它们应该是在一六零上相斜的，然后这时候我们发现曲线的图像应该横在直线图像的上方，比如证明曲线图像应该是横大于等于直线的图像， 然后这种情况下我就想到能不能让这个直线给它动起来，让这个情况多起来，然后我就想到在这个直线前面加一个参数 a， 然后这个 a 就 代表的是这个直线的斜率，然后我就想看看这个直线斜率它应该怎么动，然后我就先让这个直线的斜率减小， 然后我就发现在减小的这种情况下，然后应该是这个直线横在这个曲线的下方，有证明这个曲线应该会大于这个直线，然后这应该是符合这个腾大于零这个条件，所以说这个就是 a 小 于等于一，这一段应该是可以要的， 然后呢再让这个曲线这样直线的斜率增大，然后发现当他大于一的情况下， 我们发现应该是有一段曲线应该是在这个直线的下方，比如证明这种情况下这个直线应该是大于曲线的，然后我又要求这个东西横大于等于零，所以这种情况应该不是横成立的，比如这种情况下不成立，所以说证明 a 大 于一这一段得舍掉，然后所以说我们就应该给它卡到这个临界处， 比如说 a 等于一，这是正好是一个临界，正好是满足横大于等于零，所以说这道题从数学结合上来看，答案应该是 a 小 于等于一。 好了，同学们，我们通过这个问题的研究呢，初步的从形的角度比较直观的感受到了函数和不等式间的关系，既一个不等式可以转换成函数图像的高低， 那么同学们在想，我们可不可以从数的角度对不等式的这类问题进行严格的论证呢？ 那么我们下面看一下第四个问题，当 x 在 负一到一开区间内的时候，证明这个不等式是成立的，依然是给大家一点思考时间啊，然后一会儿找同学到前面进行交流， let's go， ok， 好了，同学们，这个问题呢，我们就思考到这，那刚刚老师在下去巡视的过程当中发现绝大部分同学对于解决这个不等式都是选。

哈喽，各位同学大家好，今天呢，老师给大家带来了一道八下期中考试必考的我们的二元一次方程组和一次函数相结合的题型，那对于这种题型呢，当题目里边的条件特别多的时候呢，同学们就不会处理了，那我们今天通过一道题来给大家讲解一下，当题目信息比较复杂的时候，我们应该如何去处理。 首先我们一块看一下这道题，那这道题告诉我们，某研学基地为激发来研学学生参与活动积极性，经常组织竞赛活动，并购买保温杯和台灯作为奖品奖励学生。那前面呢，我们就知道我们这里呢要购买保温杯和台灯了， 该基地在某超市购买保温杯和台灯若干次，其中前两次购买均按标价购买， 标价的意思就是说我们去超市的时候，他这个产品上面有一个价签，那个价签上面的价格就是他的标价。成为老顾客之后呢，从第三次购买开始，保温杯和台灯同时以相同的折扣数 打折价进行购买，前三次购买保温杯台灯的数量以及费用如下表所示。那题目里面给我们了一个表格，我们可以看到了他描述的是我们前三次购买他的数量和总费用 之间的一个关系。那第一问，让我们求保温杯和台灯的一个标价，我们会发现根据这个表格呢，我们设二元一次方程组是相对比较简单的，因为它并没有告诉我们保温杯和台灯的个数之间的一个关系啊，所以我们这里设保温杯和台灯的标价分别为 x 元、 y 元。 那这个时候呢，我们就可以根据第一次购买和第二次购买的，然后列一个二元一次方程组。那对于我们的大体呢？我们这个二元一次方程组呢，是不需要写你的 解的过程呢，我们把解得的结果直接书写在这里就可以了。那我们通过解二因子方组，我们能得到 x 应该等于八十， y 应该等于一百，我们把这个结论呢写在这里， 则保温杯、台灯标价分别为八十元、一百元。好，那第一问我们就结束了，然后第二问呢，他说某日甲乙两校师生同时来到该基地研学，基地为两校组织了一次逃迷制作比赛，并颁发奖品。 奖品呢是二十个保温杯，还有十个台灯，均按打折价购买。也就是说他购买的这个价格实际上是和我们第三次购买的这个价格实际上是一样的，甲乙两校各获得十五个奖品，甲校所获奖品的购买金额不低于 八百元，那这里的话，我们是不等关系，乙校所获奖品的购买金额不低于七百五十元。那通过这里呢，我们实际上知道我们这两个不低于，实际上是要列不等式的啊， 然后他让我们求甲乙两校分别获得保温杯和台灯，总共是多少个？那像题目里边的信息比较复杂的这种题啊，我们可以借助我们的表格，你比如说我们这个题目里边 实际上涉及这么几个量，一个是保温杯，一个是台灯，一个是甲校，一个是乙校。那我们甲乙两校呢，总共实际上是获得了十五个奖品，然后保温杯呢，总共是二十个， 然后台灯总共是十个，那这个时候他问我们最终甲乙两项分别获得保温杯台灯各多少个？实际上就是问我们表格里边这四个数据分别是多少？但是呢我们很明显不可能设四个未知数，所以我们只设其中一个。你比如说我设甲，它的保温杯是 m 个，那我们根据 甲效总共获得十五个奖品，实际上我们能得到台灯应该是十五减 m， 那 保温杯总共有二十个，甲是 m 个，那乙就应该是二十减 m 个，那对于台灯乙效的台灯可以用十减去十五减 m 来进行计算，也可以通过这个十五来算乙效总共十五个奖品，然后减去甲获得的 二十减 m， 这两种方式实际上我们都能解出来，我们以效获得的台灯应该是 m 减五个，那这样的话，我们实际上就把保温杯和台灯他的一个个数给分析清楚了，分析清楚了之后呢，然后我们看他题目里边说让我们按打折价进行购买，所以呢我们还需要知道我们的打折价， 那打折价的话，我们这里的处理方式有两种，那第一种处理方式呢，我们可以利用我们第三次购买的我们的保温杯，我们已经知道他是八十块钱，他买了九个，然后台灯呢买了八个，一个是一百块钱， 我们可以算出来，他如果不打折的话，实际上是需要花费一五二零元，而实际他只付了九百一十二元，所以呢我们可以用九百一十二除以一个一五二零，最后呢就是百分之六十， 我们可以得到他应该是打六折，这是第一种方法，这是法一，那同样的话，我们还可以用第二种方法，就是设打折数，我们可以设打 a 折，那设打折数这里呢一定要格外的注意，我们设打 a 折，我们在列式的时候一定要乘以十分之 a， 那 也就是说九个乘以一个八十，然后再乘以个十分之 a 啊，因为我们打七折，实际上乘的时候应该是乘百分之七十啊，这里需要大家格外注意一下，那八乘以一百，然后再乘一个十分之 a， 最后应该等于九百一十二，那通过这种方式，我们也能求出来， a 应该是六，也就是说打六折，那打完六折之后呢，我们可以单独去算一下，对于保温杯的话，打六折实际上就是四十八块钱，而对于我们的台灯的话，一百块钱乘以一个百分之六十，实际上是六十元，那这样的话，我们在结合我们刚才列的这个表格，那我们就可以书写我们第二题的一个 一题步骤了。那第二题我们可以设假笑获得保温杯 m 个，则其余的我们可以表示出来，假笑获得台灯应该是十五减 m 个，这个地方由于有单位一定要打上括号， 然后以笑获得保温杯二十减 m 个，获得台灯应该是 m 减五个，然后这样的话，我们就可以列方程组了，我们说假笑获得奖品购买金额不低于八百，假笑获得的应该是保温杯的四十八块钱，购买金额不低于八百，假笑获得的应该是保温杯的四十八块钱，乘以的十五减 m 不低于，那就是大于等于八百，然后第二个呢，就是我们的四十八乘以以效获得的保温杯，然后加上以效获得的台灯不低于七百五，那就是大于等于七百五，然后这个时候呢，我们就可以解这个不等式，那很多同学不大敢写，是因为我们这个解完了之后呢，是一个分数啊， m 解完了，应该是大于等于二分之十五， 然后小于等于三分之二十五，那这个时候完全不用担心，因为我们在实际问题里边， m 只能取正整数，所以 m 只能取八，那这个时候 m 只能取八的话， 我们上面的假笑就应该获得保温杯八个，台灯应该是七个，然后以笑我写在这里啊，以笑获得我们的保温杯十二个，台灯三个。好，那这道题就结束了，那需要大家注意的问题是，第一个就是我们设打折数的时候，我们在 列式子的时候要乘以十分之 a， 这是第一个。第二个在题目里边给的条件相对比较复杂的情况下呢，我们可以列表格的方式，尤其是题目里面涉及四个量， 哎，甲乙保温杯，台灯这种四个量之间的关系，我们就可以用表格的方式把它们之间的关系呢表示的非常的清楚。然后还有一个就是和实际问题相结合的，如果你解出来这个不等关系，是一个分数或者是小数都不要紧，因为我们在实际问题里边，我们 m 是 可以取整数的，所以你在最终的范围之内取整数就可以了。 那今天的分享呢就到这里，如果对大家有帮助的话，欢迎大家点赞收藏，也欢迎大家持续的关注老师，后续老师会分享更多对大家有帮助的内容，拜拜！

一道例题给你讲清楚抽象函数不等式的解法。函数 f x 等于 e 的 x 次方减去 e 的 负 x 次方问不等式 f x 减三，加上 f x 平方减三小于零的解集。对于抽象函数不等式的解析过程有这么几个步骤， 首先判断它的奇偶性。对原函数用负 x 代替 x， f 负 x 等于负的 f x， 所以 它是奇函数。 接下来我们判断它的单调性。如果你已经学习了导数，可以用求导的方法。如果你目前上高一，也可以直接分析它的增减性。 y 等于一的 x 次方是增函数， y 等于 e 的 负 x 次方是减函数，那么 y 等于负的 e 的 负 x 次方就是增函数，所以原函数 f x 等于 e 的 x 次方减 e 的 负 x 次方就是增函数。 接下来需要拖去抽象函数的 y。 首先对不等式进行一项由于函数为奇函数，所以负的 f x 平方减三转换为 f 负 x 平方加三。 最后，由于函数是增函数，所以脱去函数的外壳，不等号的方向不会改变。如果是减函数的话，不等号的方向是需要改变的。增函数是 y 随 x 的 增大而增大，减函数是 y 随 x 增大而减小， 这样就转化成了一元二次不等式。解的 x 大 于负三小于二，所以不等式的解集为负三到二。 回顾一下抽象函数不等式的解法，判断函数的单调性和奇偶性是解决此类问题的重点。最后脱去函数的外衣就可以求解了。

hello， hello， hello， 今天的这个视频呢，我们跟大家讲两个问题啊，第一个呢，是一次函数与方程不等式之间的这个关系啊。第二个呢是一次函数与二元一次方程组之间的关系。 首先呢，我们来看第一个，它有我们画 y 等于二 x 减一的图像，直接用几个画板画啊，两倍的 x 减一，确定 弄成出现，哎，当 y 等于零时，哎，我们知道看得非常清楚啊，此时这个函数与我们这个 l 轴的交点就是 y 等于零，所以 我们有两个办法，第一个，我们是可以直接度量出这个点的坐标， 哎，我们发现啊，点的坐标为零点五，零到零，也就是二分之一，二分之一啊，也就是通过函数图像，我们可以知道，当 x 等于二分之一的时候， 欸， y 是 等于零的，欸，看得非常非常清楚啊，这是通过用函数图像的办法得出， y 等于零，那 y 大 于零呢？欸，有些式看得更清楚了啊，我们可以知道 构造一条射线，哎，就弄成这个颜色啊，我们可以知道啊，这个点 c 是 y 等于零的情况，那么在这个 等于零的右方所有的点，哎， 上方啊， y 大 于零时，这对于 x 的 曲值啊，这个 y 始终是大于零的，怎么弄呢？也是可以弄成塑形结合的数学思想啊，我们可以在这个 l 轴上构造一点， 哎，我们可以在这个 x 轴上呢，找到一点啊，过这个点来做，这个 x 轴的垂线与我们的这个 直线啊，会有交点，那么这个交点我们可以度量一下它的坐标，此时是 e， e 的 坐标呢，是零点七四的零点四八，我们把它往左移啊， 当 c 和 e 完全重合的时候，我们发现这个 y 值等于零，当这个 往右移的时候，我们发现这个始终是 y 大 于零的啊，看下这个始终是 y 大 于零的情况，于是呢，我们可以得出，当 x 是 在大于 二分之一的时候呢， a y 就 大于零了啊，这个是数形结合的数学思想，同样的道理啊，我们把它往下移，哎，就发现啊， 度量出这个坐标啊，哎， f 的 坐标， f 的 坐标啊，这个时候我们发现，当这个 x 在 二分之一的左侧的时候啊，哎，对，对于 x 的 这样一个曲值，我们的 y 值啊，始终是小于零的啊，我们的 y 值始终是小于零的。所以 通过数形结合的数学实验可以看出，当然是小于二分之一的时候呢，哎， y 就 始终是小于零的啊，那这就是我们的依次函数与这个依次函数啊，与这个 方程和不等式之间的这样一个关系啊，之间的关系好，紧。接着呢，我们来看一看 这个一次函数与二元一次方程组之间的关系，他说要我们从函数的角度对这个方程组了进行解释，那如何来解释呢？呃，如果按照我们以往的办法，我们将会标上一和二，呃，用这个 加减消元法或者代入消元法，求这个方程的解，那现在从函数的角度怎么办呢？哎，所以我们的第一步应该该怎么办？我们的第一步应该是要变形，怎么变形呢？将这个 二 x 减一，等于 y 变成 y 等于多少？哎，移过来啊， y 等于二， x 减去一，你看这样是不是由 这个方程哎，变成了我们函数的形式，那这个 y 怎么变呢？哎，太简单了啊，就是将这个 y 放在我们方程的左边， 等于等于什么呢？我们知道这个是五 y 啊，所以呢，将这个三 x 移向过来就是八，减去三 x 除以五，那就应该是五分之 三倍的 x， 对 了，哎，五分之三倍的 x 怎么样？八了。哎，负五分之三倍的 x 啊，负的五分之三倍的 x， 然后是除以五，就加上这个五分之八， 哎，加上五分之八啊，这样呢，这个方程也变成了函数的这样一个形式啊。 哎，如果不放心的话，我们可以两边同时乘以五，得五倍的 y 等于负三倍的 x 加八，移向过来就是三 x 加五 y 等于八，是对的啊， 好，紧接着我们要干什么呢？紧接着啊，我们就是要画函数，第一个是两倍的 x 减去一确定，哎，这个就是我们的两倍的 x 减去一的函数。图像 弄成出现啊，大家看得清楚一些。 哎，这是两倍的 x 减去一的图像啊，另外一个图像叫什么呢？叫做 y 等于负的括号，负的三除以五扩回乘以 x 加上五分之八，五分之八就是八，除以五 确定 a， 这个就是我们的第二个函数的图像。我们发现啊，这两者呢，交于一点，我们度量一下这个点的坐标 a， 我 们发现这个点的坐标呢，就是 太简单了啊，就是一逗一。也就是说，从函数的角度对这个方程组进行解释，就是这两个函数公共的焦点 是什么呢？哎，交于点 a， a 的 坐标是一逗一，等价于什么呢？等价于我们这个方程组二 x 减 y 等于一，以及三 x 加五 y 等于八的解，为什么呢？哎的解就为大括号啊。 x 等于几 横？坐标是一的时候，重坐标 y 也是一，大家可以带去检验一下啊。二等于一的时候，二减一减一，二减一等于一是对的，但当 x 等于 y 等于一的时候， 三加五等于八也是对的。所以我们就从函数的角度对这个方程组进行了解释，这也是我们非常非常 这个经典啊，叫做塑形结合的数学思想。好的，今天的这个讲解呢就到此结束，感谢大家的这个收听，谢谢大家。

我们再来看第五题，他的根在一和三之间啊，嗯，求 a 的 取值范围。我们这道题有两种做法，第一种，这样我们想办法把这个 x 给它算出来，然后让 x 在 一和三之间，不就完事了吗？对不对？这 x 怎么算啊？大家看啊，这个 a x 是 不是等于一减去 a 啊， 对不对？好，我们现在把 a 除过来，但是除的时候大家想一想， a 可不等于零啊。大家思考一下这道题， a 等于零，如果 a 等于零的话，原式就变成了零，加上零减一等于零，请问这个方程成不成立？ 这个方程不成立了，对吧？之负一不可能等于零，对吧？所以原题的 a 啊，就不能等于零，知道吧？如果 a 等于零的话，这个方程就不成立了，好，所以 a 不 等于零的情况下啊，那 a 是 不是可以被除过来，对吧？所以 x 就 等于一减去 a 除以 a， 对吧？我们现在是不是要保证他在一和三之间，那我们就可以写出不等式， a 分 之一减去 a 要大于一小于三啊，怎么解呢？大家注意啊，当 a 小 于零的时候，把它这样挪到左右两边去的时候，是不是要变号呀？当 a 大 于零的时候，挪到左右两边去的时候，是不是不用变号？所以我们要分类讨论啊。第一类啊， a 大 于零， a 大 于零的时候，这个式子可以变什么？我让这个不等式的每个地方都乘上一个 a 啊，每一个地方都乘上一个 a， 这个不等号的方向不会改变，对不对？那就是 a 小 于一减去 a 啊，又小于三 a 啊。 然后呢，我们把它这个写成两个不等式啊，这个 a 小 于一减 a， 对 吧？应该是三 a 大 于一减 a。 好， 我们把这两个都给它解出来，然后怎样取交集啊？一定要取交集，因为它要同时满足左边的情况，右边的情况，对吧？那我们就可以得到啊，这个 a， 这要大于四分之一啊，小于二十。 那么第二种情况呢？当然了，你的这个范围还要怎么样？还要和这个范围相一致啊，你必须还要满足 a 大 于零啊。这个确实啊，这个范围也是 a 大 于零的，对吧？所以可以第二种情况是 a 小 于零，对吧？那就是说，呃，他每一个地方都呈上 a 不 等号的，这个方向是不是要改变啊？那就是说有 a 大 于一减去 a 啊，要大于 三 a， 是 吧？那么也是跟刚才一样，给它解一解，就解到了两个不等式啊，就得到了。第一个不等式是它，对吧？那就是二 a 大 于一，也就是说 a 大 于 二分之一啊。第二个不等式是它，对吧？那就是四 a 小 于一，那就是 a 小 于四分之一。大家注意啊，它俩是不是要取交集啊？有没有这样的数，它既大于二分之一，又小于四分之一啊？不存在的，不存在， 所以这种情况就不存在啊，所以只有第一种情况就成立，所以他最终这个 a 的 取舍方法就是什么？哎，就是 a 要大于四分之一，小于二分之一啊，这是我们的第一种方法。好，我们再来看一下这个书本上给的第二种方法啊，他把这个东西啊， 对应成了一个函数啊，就 y 等于 a， x 加 a 减一啊，他的根在一到三之间意味着什么呢？意味着这个函数图像与 x 轴交点的横坐标在一到三之间。好，那现在问题来了，请问这个函数图像怎么画呀？ 怎么画啊？当然了，呃，我们还是可以得到这个 a 不 能的原因吧，所以，所以他确定是一个意思函数啊，那他的图像怎么画呢？我们会发现他是不是和 a 的 正负有关，所以我们依然需要分析讨论啊。一种情况啊， a 大 于零， 当 a 大 于零的时候，它的图像是一撇，对不对？并且呢，你和 x 轴交点的横坐标在一到三之间。大家自己啊，先用草稿纸自己画一下，看能不能画出来啊。图像是一撇，并且呢，它与 x 的 轴的交点在一到三之间啊，那它大致上是应该这么画才对啊， 对吧？好，那现在我们来想一个事情啊，我如何能够保证它刚好就在这里，而不是画成这个样子呢？或者这个样子呢？其实很简单，大家来看一下， 当 x 取一的时候，它的函数值是不是一定是负的呀？当 x 取三的时候，它的函数值是不是一定是正的，这样的话，它才有可能在一和三之间会穿过这个等于零的这个点吧， 大家能不能想明白啊，你要保证这个点的 y 值是负的，这个点的 y 值是正的就 ok 了啊。或者大家也可以反过来想，如果我限定让你画图啊，我要让你画一个这样的一次函数，当 x 等于一的时候，这个一次函数的函数值小于零，当 x 等于三的时候，这个一次函数的函数值大于零。请问你能不能画出不是这样的图像啊，你能不能画出这样的图，大家可以自己试一下，很明显是画不到的啊，只能画出 图中类似的这个图像啊，所以我们可以列出这样的不等式啊，我们让这个 x 分 别取一和三，对吧？那就是 a 加上 a 减去一，那怎么样？要小于零，取三的时候那就是三， a 加上 a 减一，哎，要大于， 这样的话，我们这个答案跟刚才一样，也是这个 a 要大于四分之一，小于二分之一，当然他也要满足这个前提条件，对吧？所以也是可以取的好，那么第二种情况是什么呢？是这个 a 小 于零，对吧？ a 小 于零的情况下，还是跟刚才一样，大家自己先画下图像啊，它是一捺，对不对？ 他是一纳，并且呢，他一定要穿过一到三之间的某一个点，那他是不是得这么画，那我们怎么保证呢？是不是要让他取一的时候的那个函数值要大于零？让他取三的时候那个函数值要小于零，对吧？就是刚才这两个东西给它反过来啊，那就是，呃， a 加上 a 减去一要大于零 啊，这个三 a 加上 a 减一要小于零，当然了，他也是无解的，对吧？啊？他因为他的这个结果是 a 大 于零，并且 a 要小于四分之一啊，那就是无解，所以就分为这两种情况啊，跟刚才是不是差不多，其实，对吧？

就咱这本教材啊，如果你真搞懂了，毫不夸张的说，高考考场上你都得横着走，如果你达不到这个水平，那就说明这本教材啊，你还没有参透，那不服咱们看里面。好，这个地方啊，有第二章，一元二次函数、方程和不等式。这里边有一句非常具有讽刺意味的话， 好，我敢保证这个部分的前沿，百分之九十的老师他都不会讲。他说在初中我们已经学过了一次函数与方程不等式，这句话说的一点毛病没有啊，还学过二次函数与一元二次方程，这个也没毛病。但是紧接着 具有讽刺意味的话来了，他说我们知道方程括号、方程组不等式与函数之间具有内在联系。好，那么问题来了，你知道吗？百分之九十九的同学都不知道，但是老师在这个地方会给你讲吗？ 他不会跟你讲，那你说老师是不是也不知道啊？老师肯定知道，那老师为什么不跟你讲呢？因为老师他不知道，你不知道。所以接下来老杜就让大家知道知道这玩意到底是个啥意思。既然现在我们要研究这三个玩意的内在联系， 也就是函数跟方程、方程组、不等式、不等式组它们三者的关系，现在我们就把它们放到同一个表格当中去，我们既要搞清楚在数量关系这个层面它们的内在联系是什么，同时还要搞清楚在空间形式上它们有着怎样的联系。 所以我们随便举一个例子，比如说咱们就拿最简单的 y 等于 x 加一这个一次函数来举例子，好，这个时候我们大部分同学都会干什么？哎，所谓的数形结合，就是把数量关系翻译为空间形式，这就是所谓的数形结合， 这玩意在咱们的左脑里边，而这玩意必须得在右脑里边。好，这个比较简单吧， y 等于 x 加一，哎，直接画就可以了。好，那么请问大家一个问题，如果我现在把这个函数里边给他抽象出来一个方程啊，比如说，我让这玩意等于零，也就是 x 加 e， 它等于零， 我再让你竖形结合一下子，你会不会好？这个时候很多同学说了，这还不简单吗？不就是把这个上面 x 等于负一的点给他描出来， 这不就是他的一个竖形结合的方式吗？那请问对吗？很明显是不对的，因为你这玩意表示的是一个。什么 是一个点呐？你这玩意的本质上是一个点吗？它的解集是一个数啊， x 等于负一，你敢说负一是一个点吗？ 那不能这样说，你既然是一个数，那我就把你画到竖轴上去嘛，对还是不对？哎，所以你只能画一个数轴，这个点是多少？哎，是负一搞定，这就是它的正确的竖形结合的方式。好，那么问题来了，同学们误以为的所谓的这上面的一个点， 那么与这样的一个空间形式对应的数量关系又是什么呢？好，这个时候你会发现这个地方啊，它既能够满足 x 加一等于零这个方程，也就是 x 加一等于零，同时它还满足什么？ 因为他在这条直线上吧，对不对？所以他还满足这个式子，也就是 y 等于 x 加一，然后把它们总起来，哎，这就是两个方程组成的方程组所代表的几何意义。哎，所以这个点 跟这个方程组它是对应的。哎，这才是我们建立了函数跟方程的内在联系。好，紧接着我再问 x 加一，如果我让它大于零呢？好，这个时候我们看 x 加一大于零， 那怎么数形结合呢？这个东西代表的是啥意思？或者说这个式子它的本质是什么？ 哎，你会发现，他代表的就是能够使这个式子成立的所有的 x 组成的什么。哎，集合嘛，而这个集合里边的元素是点还是数？ 哎，仍然是数，所以他应该放到数轴上来，表示 x 等于负，要扣成一个圆圈，然后我们再要他右边的这个区域，这就是他的数形结合的正确打开方式。但是很多同学都会画成什么呢？哎，都会画成这样， 哎，我从这个点扣成空心的，然后我要这部分，是吧？很多同学都会犯这样的错误。那请问这样的一个空间形式是对应的怎样的数量关系呢？他首先得满足这个式子， 其次他还得满足这条线对不对？所以怎么样，他就是一个 y 等于 x 加一，同时 x 加一大于零，因此这个才是跟这个一对应的。 好，这就是在数量关系和空间形式两种表示法建立起来了这三者之间的内在联系。 好，你会发现我讲来讲去，这些个式子所表达的本质都是什么？哎，都是集合。所以现在问题来了，你能不能用集合的语言来把所有的这些东西给他表示出来呢？好，我们写一下。 好，第一个 y 等于 x 加一，怎么样子？用集合来表示这个集合的元素是谁？换句话说，就是这个集合它里边的主人公是谁？ 它是由什么样的东西来组成集合？它是一个什么类型的集合？那很显然它是由一个一个的点组成的集合，对不对？而这些个点组成了这条直线， 所以这个集合本质上是一个什么集？哎，是一个点集，而不是一个数值，对不对？所以点集就应该表示什么呢？ x 逗号 y 括起来，这是它的横坐标，这是它的纵坐标。好，然后竖杠 x y 满足什么样的特征呢？哎，很显然就是 这个特征，所以 y 等于 x 加一。哎，完了吗？还没完。注意， x 和 y 它是有范围的，它都是在整个实数范围内去蹦跶的，因为它有这个式子约束，你只需要去界定 x 的 范围就可以了。所以这个时候你要写上 x， 它是属于 r 的。 好，这个时候画个括号，把它括起来搞定，这就表示是符合这个特征的所有的点组成的集合。 它的几何意义？就是坐标系上面的一条直线。好，紧接着我们再看这个，那么这个集合又该怎么表示呢？那么很显然，这已经不是一个点集了，而变成了一个什么集？ 数积，对不对？因为它是一个数组成的集合嘛，对不对？所以这个数应该是什么？哎，就是满足这个方程的所有的 x 组成的集合，对不对？所以就是 x 竖杠， x 加 e 等于零，然后紧接着呢， x 属于 r， 然后画括号把它括起来搞定。好，紧接着我们看这个，这个又变成了一个什么点集，对不对？虽然它是一个只有一个点组成的集合，但它仍然是一个点集，它的主人公仍然是 x y x y 竖杠，然后呢，就是满足这个特征和这个特征的所有的点组成的集合，对不对？所以就把这个抄下来就可以了，哎， y 等于 x 加一，然后呢？ x 加一等于零，然后其中 x 是 属于什么呢？属于 r 的， 所以 x 属于 r。 扩起来，搞定好，紧接着我们看这个，这个就又变成了一个什么级，哎，数级，所以这个数级就应该是 x， x 加一大于零，逗号 x 属于 r。 扩起来，搞定好，紧接着最后一个是不是又变成了一个点级了？ 这个点是由这个空心以上的所有的点组成集合，对不对？所以它满足这两个特征，所以它的本质就是括号 x， 逗号 y 括起来，竖杠，然后呢，抄下来就可以了，对不对？ y 等于 x 加一，然后 x 加一大于零， 括起来，逗号 x 属于 r， 对 不对？括起来搞定。因此你明白了这个玩意，才算真正明白了咱们第二张 一元二次函数方程不等式的内在联系他的前沿部分所讲的内容。有了这个基础，后边我们再学二次函数跟方程不等式的关系的时候，你才能够得心应手，你才能够打开所谓的函数的人。读二脉，你学会了吗？我是杜明老师，关注我，你真棒。

同学们好，欢迎来到初中数学同步讲练课程。今天我们讲八年级的内容依次函数。本节课我们将学习依次函数的概念，研究依次函数的图像和性质，探讨依次函数与方程或者方程组和不等式的关系， 并通过例题去复习和巩固上述知识点。一次函数，它指的是形容 y 等于 k， x 加 b 这样的函数，其中 x 是 自变量， y 是 函数， k 和 b 需要满足它们都是常数，并且 k 不 等于零这样的条件。 当 b 等于零的时候，这个时候 y 就 等于 k， x 这个时候称为正比例函数，其中 k 叫做正比例系数。 其实要理解正比例函数也比较容易，因为这个时候 k 它是等于 y 除以 x 的， 而 k 是 一个不等于零的常数，也就是说，无论 x 取任何值， y 的 值一定和它成正比例，所以这个时候我们称之为正比例函数。 我们在平面直角坐标系当中画出一次函数的图像，我们发现一次函数的图像是一条直线，尤其当 b 等于零的时候， y 等于 k， x， 这个时候这条直线它是过圆点的，而此刻这条直线上的任何一点，它的横纵坐标之比都是一个定值，所以它称为正比例函数。 刚才我们提到了在平面直角坐标系当中，依次函数的图像它是一条直线。那么根据不同的 k 和 b 的 取值，依次函数的图像会有什么样的变化呢？首先，当 k 大 于零的时候， y 会随着 x 的 增大而增大，而当 k 小 于零的时候， y 会随着 x 的 增大而减小。 而对于 b 的 曲值，当 b 大 于零的时候，函数与外轴交于正半轴。当 b 小 于零的时候，函数与外轴交于负半轴。我们刚才讨论过，当 b 等于零的时候，函数的图像过远点，也就是说它既不与外轴的正半轴相交，也不与外轴的负半轴相交。 我们来看当 k 大 于零的时候的函数图像，总的来说， k 大 于零的时候，依次函数的图像都是左边低右边高。也就是说， y 是 随着 x 的 增大而增大的，而 b 的 曲值决定了这条直线与 y 轴的正半轴还是负 半轴相交。当 b 大 于零的时候，它的图像是和 y 轴的负半轴相交。当 b 等于零的时候，这条直线它是过圆点的。 而当 k 小 于零的时候，一次函数的图像总的来说是左边高右边低的一条直线， 也就是说， y 是 随着 x 的 增大而减小的。而对于 b 的 曲值，同样，当 b 大 于零的时候，直线是和 y 轴的正半轴相交。 b 小 于零的时候，一次函数的图像，这条直线它是和 y 轴的负半轴相交。当 b 等于零的时候，直线是过圆点的。 通常我们如果想要求解一次函数，它的解析式我们可以直接设一次函数的解析式，就是 y 等于 k， x 加 b， 然后根据题目当中的条件列方程求出 k 和 b 的 取值，这样的方法就叫做待定系数法。 学习了一次函数之后，我们再来看求解二元一次方程组，它相当于把各个方程化成 y 等于 k， x 加 b 这样的形式，再把它们的图像都画在同一个平面直角坐标系当中，那么这时候两条直线的焦点坐标就是该方程的解。 比方说有一个二元一次方程组，我们可以把其中的一个方程把它化简为 y 等于 k 一， x 加 b 一。 另一个方程把它化简为 y 等于 k 二， x 加 b 二。这个时候，我们把这两个方程它们所对应的图像都画在平面直角坐标线当中，它们的焦点 p 点， 它的坐标就是这个方程组的解。而对于可化简为 a， x 加 b 大 于或者小于零，其中 a 不 等于零这样的一元一次不等式，我们求解其解集， 则相当于求一次函数 y 等于 ax 加 b， 它的值大于或者小于零的时候，自变量 x 的 取值范围，那么对应的函数图像相当于已知直线 y 等于 ax 加 b， 我 们求解其重坐标大于或者小于零的时候，横坐标的取值范围。 比方说我们要求解 k x 加 b 大 于零这样一个不等式，那么我们可以把 y 等于 k， x 加 b 的 图像画在平面直角坐标系当中，要让 k x 加 b 大 于零，则相当于这个函数图像的外值大于零的时候，所对应的 x 的 取值范围。 接下来看例题，如果函数这个函数它是一个正比例函数，则该函数的图像经过第几项线？ 首先，如果这个函数是一个正比例函数，那么 x 的 幂，也就是 m 的 绝对值，它肯定是等于一的，那么 m 它有可能等于正负一。当 m 等于一的时候，那么 y 是 等于 m 减一就是零倍的 x， 那 么很显然，这不是一个正比例函数，所以 m 只能取负一，那么这个时候 y 是 等于负二倍的 x 的， 那么对于 k 值是一个负数的正比类函数，那么很显然他的函数图像是过第二和四象限的，所以正确的答案为 c。 这个题目考察了我们对于一次函数的概念的认识，以及对于正比类函数的定义和认识，还有对于一次函数的图像和性质的认识。 第二个例题，如图，已知直线 y 等于 x 加三的图像与 x 和 y 轴分别交于 a 点和 b 点。 另外有一条直线 l 经过圆点与线段 ab 交于 c 点，并且把三角形 aob 就是 这个三角形的面积分成二比一的两部分，让我们求 l 这条直线它的解析式。 首先我们可以求出 a 点和 b 点的坐标，分别是负三、零和零三。如果 l 能够把三角形 aob 的 面积分成二比一的两部分， 那么 c 点它就是 ab 这条线段上的三等分点，那么 c 点有两种可能，有可能是距离 a 点更近的三等分点，也有可能是距离 b 点更近的三等分点。 第一种可能，如果 c 点它是距离 b 点更近的三等分点。根据 a 点和 b 点的坐标，我们可以求出这个时候 c 点的坐标就是 负一二。如果 l 过 c 点和圆点，那么我们不妨设 l， 它的解析式就是 y 等于 k， x 加 b， 然后他过 c 点和圆点，我们把 c 点和圆点的坐标代入，就可以求得 k 是 等于负二， b 是 等于零的。所以第一种可能 l 的 解析式就是 y 等于负二 x。 第二种可能， c 点是距离 a 点更近的三等分点，这个时候我们可以算出 c 点它的坐标是负二一。 同样 l 是 过 c 点和圆点的，那么我们同样设 l 的 解析式是 y 等于 k， x 加 b， 我 们把 c 点和圆点的坐标代入就能够得到 k 是 等于负二分之一的， b 是 等于零的。所以第二种情况， l 的 解析式，它就是 y 等于负二分之一 x。 所以 正确答案直线 l 的 解析式，它有两种情况，第一种情况， y 等于负二 x。 第二种情况， y 等于负二分之一 x。 这个题目考察了我们对于一次函数的图像的认识，以及使用了待定系数法去求解未知直线的解析式。 第三个例题，直线 y 等于二， x 加 b， 经过点三五，让我们求关于 x 的 不等式二 x 加 b 大 于等于零的解析。 首先我们把点三五它的坐标带入到直线的解析式，就能够求得 b 是 等于负一的。这个时候题目要我们求的就是二 x 减一大于等于零这个不等式。 我们求不等式的解集，就相当于求直线 y 等于二， x 减一， y 是 大于等于零的部分 x 的 取值范围。 然后这条直线它与 x 的 交点是二分之一零，而 k 等于二，它是一个大于零的数，所以它是 y 随着 x 的 增大而增大的，那么我们就可以求出 x 大 于等于二分之一的时候， y 是 大于等于零的。所以正确的答案， x 是 大于等于二分之一的。这个题目考察了我们对于一次函数与方程的关系的认识，以及一次函数与不等式的关系的认识。 第四个例题， ab 两地相距一百公里，甲乙两人骑车，分别从 ab 两地相向而行，二者都保持匀速行驶， 甲乙两人各自到 a、 d 的 距离 s 和骑车时间 t 的 关系如图所示，则他们相遇时距离 a、 d 有 多少公里？ 我们观察一下这个图形，甲乙相遇的时候，那么他们距离 a、 d 的 距离应该是相同的。也就是说，我们需要求的是这两条直线交点的这个纵坐标， 要求解这个焦点的坐标。我们需要求解甲、乙各自的依次函数的解析式。由于甲他是过零零二三十这两个点的，乙是过零一百一八十这两个点的， 所以我们设甲的解析式为 s 等于 k 一 t 加 b 一， 乙的解析式为 s 等于 k， 二 t 加 b 二。我们各自把甲过的这两个点的坐标带入他们各自的解析式当中， 可以求得 k 一 是等于十五的 b 一 等于零，而 k 二是等于负二十， b 二等于一百。所以甲、乙他们各自的解析式就是，甲为 s 等于十五 t， 乙等于负二十 t 加一百连立甲乙各自的解析式。列方程就可以解得 s 是 等于七分之三百， t 等于七分之二十。 所以正确答案，他们相遇的时候距离 a、 d 是 七分之三百公里。这个题目考察了我们对于一次函数的应用问题。 本期视频我们学习了一次函数，认识了一次函数的概念，学习了一次函数的图像和性质，研究了一次函数与方程或者方程组和不等式的关系，并通过例题解决了一次函数的应用问题。 下期视频我们将学习数据的分析，我们将研究数据的集中趋势和数据的理散程度，了解数据的四分位数，学习数据的分组，最后通过讲解例题去复习和巩固上述知识点。 以上内容是初中数学同步讲练系列课程，本课程紧扣人教版教材，帮你系统梳理并掌握中考数学重难点，每一期都是提分干货，掌握方法。数学并不难，形有界思维界，这里是无界数学，我是康老师，我们下期再见！

好，这个视频我们来讲一下现在的这个依次函数小综合考察频率最高的这种题型的这个解法啊，这道题我们在课上已经解决过了，但是我们在课上只是说了这道题怎么做，并没有总结同类型的问题怎么做啊，所以这个视频我们就来总结一下。 首先这类问题我们是必须要掌握的，为什么要必须掌握？因为这种题现在是近几年中考的固定题型啊，下面看到的这道题啊，就是 去年二零二五年啊，这个中考题的第二十一题，你看它是同种类型，就第一问呢，都是让求一个解析式，或者是简单通过计算求一些参数的值。 而第二问，你看问法都差不多啊，我们上节课讲的这个题是 x 小 于二时，对于 x 的 每一个值，一个函数的值小于另外一个函数的值，求函数范围。那么现在这个二十一题就是啊，当 x 小 于一时，对于 x 的 每一个值，函数它的值啊，既小于这个函数的值，也小于这个函数的值。 只不过去年这个中考题，他是涉及到了三个函数图像而已，但是你会发现他的问法其实是一致的啊，考察的都是函数与不等式的联系啊， 那中考当中都已经这么重要了，所以说我们期末考试，期中考试这类题呢，出现的频率概率也是非常非常的大的。下边这两道题是呢，我是我从去年的初二的期末考试里边任遇挑选出来的两道同种类型啊，但是呢 啊，去年的期末考题里边，当然不仅仅是这两道啊，这两个城区考的是这种类型还有很多呢啊， 虽然不是说百分之百所有城区考的都是此种类型，但是由于现在中考有这种题型，所以说我们大部分城区在期末期中考试的时候还是会呃模仿中考的，所以这类题必须得会啊。 那我在讲是正式去讲这具体的题目之前，要想做对这样的题，首先我们要有两个知识储备啊。我们先来把知识储备说一下，第一个就是 函数与不等式的联系啊，比如说我现在举了一个例子啊，我现在是在坐标系当中画出来了两个依次函数的图像啊， 一个是 y 等于 k 一 x 加 b 一， 一个是 y 等于 k 二， x 加 b 二。我并没有明确的告诉我们这个解析式到底是什么，但是我把焦点给出来了啊，焦点是五三。 那么如果有一道问题说这个方程的解是什么呢？通过这种计算手段去解它肯定是不行的，因为这里边的 k 一、 b 一、 k 二、 b 二都是不知道的嘛，所以就要用函数图像来做。 那我们只需去思考这个方程是怎么由函数得来的呀？这个方程这不就是另两个函数的纵坐标相等吗？ 其实它就是在问什么呀，若纵坐标 y 一 和 y 二它是等的，那么横坐标 x 它的取值是什么？ 那只有在焦点处纵坐标才能等呀，而焦点处的横坐标，这不是五吗？因此这个方程它的解就是焦点的横坐标啊，那 方程会解了，不等式自然也就会解了啊，那这个不等式就是变成了，如果 y 一 是大于 y 二的，那么这个自变量 x 它的取值范围是什么呢？好，我们知道，如果 y 等于 y 二，那就那得看焦点，那 y 要是大于 y 二的话，那就得看焦点两侧了，那我们会发现在焦点的左侧 y 二的函数值啊，因为这个，这不是 y 等于 k 二 x 加 b 二的图像吗？是吧？这个就是 y 二啊， y 二的函数值很明显是要比 y 一 的函数值是要大的，因为图像在上方的时候，那肯定是纵轴表是比较大的嘛，这个就是 y 二大于 y 一，那么在焦点的右侧肯定就反过来了，这个是 y 一， 这个是 y 二， y 一 在上面，那肯定是 y 一 大于 y 二了。那现在我们中间这个不等式问的就是 y 一 大于 y 二啊， y 一 大于 y 二，很明显我们也是去观察焦点的右侧呀，而焦点右侧横坐标的取值范围是什么呢？横坐标 在焦点处是五啊，那右侧那肯定是比五大嘛，因此这个不等式的解就变成了 x 大 于五了。那所以最后一个不等式就是问， y 一 如果小于 y 二的话， x 去除范围是什么，那肯定就是小于五嘛。所以综上所述啊，这种类型的方程也好，不等式也好，都不需要我们通过计算手段来得出方程或者是不等式的解，而是要看图像啊，而图像最关键的一个位置，我们需要观察的位置就什么样，就是焦点啊。 好，这是第一个知识储备，第二个知识储备就是你看我们刚才这举出来的这些例题当中啊，他，呃，最后问的什么 n 的 取值范围， k 的 取值范围，这都是什么身份啊？ 都是依次函数这个解析式当中的这个参数啊，那这个参数他如果要是变的话呢，他会让这个依次函数他的图像会跟着变的。 所以我们得知道，如果一次函数解析式当中存在的参数要是变的话，它到底会怎么让我们的一次函数的图像发生变化啊？那我们在做题的时候呢，无非就会出现三种情况啊。第一种情况是形如这个样子的， 你看，我给了一次函数的解析式是 y 等于 k， x 加 b， k 不 等于零这个样子的。 k 和 b， 这是两个常数啊， 那现在呢，我已经把 b 这个场数明确给了我们了啊，是三，但是 k 知道吗？这个场数目前是不知道的啊，那 b 的 作用是什么呢？ b 决定的是与外轴的交点呢，所以说，我现在给的这个 y 等于 k， x 加三，我们就是知道它与外轴交点坐标肯定是永远都是零三啊，即使这个 k 的 值发生变化，也与外轴永远是交于零三点的。 那 k 的 作用是什么呢？当 k 的 值要是发生变化的话，这个直线它的倾斜程度就会发生变化呀，是吧？如果 k 大 于零，是外随 x 增大而增大。如果 k 小 于零，是外随 x 增大而减小。如果 k 的 绝对值越大，那么直线的图像会越接近于 y 轴，是吧？会影响倾斜程度。因此， 于这个解析式而言啊， b 为定值，但 k 不是 定值，是一个呃，可能会发生变化的一个值。那么当 k 发生变化的时候，就意味着这个图像 与外轴交点永远是零三，而倾斜程度会发生了变化。那这不就意味着这个一次函数图像啊，这条直线它其实就是一个绕着零三点在转动的这么一条直线吗？ 啊，所以这样的之间是在转的啊。好，这是第一种，我们再来看第二种。 刚才是 b 为常数，那现在呢？我让 case 常数 case 二， case 常数二了，那 y 等于二 x 加一个 b 这样的图像 啊， b 是 变化的了哎，那就意味着与外轴的焦点是不是会发生变化呀？与外轴的焦点会发生变化，但是 k 由于不变，所以就意味着当 b 发生变化的时候呢，这个直线它的倾斜程度是不会发生变化的，只是单纯的与外轴的焦点 在变，所以当 b 的 值发生变化的时候，这个直线呢，它就不再是旋转了。而是什么呀？平移啊？嗯， 因为只有平移才不会改变这个直线的倾斜程度啊。好，这是第二种情况，我们再来看第三种情况，也是最复杂的情况。比如说第三种情况是 y 等于 k， x 加 k 加一。 为什么说这种情况是最复杂的呢？因为这个时候这个一次项系数 k， 它不是一个定值，但是，嗯，那个与 y 轴交点也不是。注意，这很容易错啊，并不是零一哦，与 y 轴交点是零 k 加一吧，也就是这个东西就是我们通常所说的那个常数 b 啊，也就是现在于这个一次函数而言，他的斜率 k 和与外周交点的那个纵坐标 b， 他 都是不确定了吧，我都用含有 k 的 式子来表示出来了，对不对啊？那所以说，于他而言啊， 当 k 的 值发生变化的时候，与 y 轴的交点是零 k 加一，哎，与 y 轴交点是变的，而倾斜程度 也是会发生变化的，所以这个时候这个直线啊，首先我们就肯定可以把平移排除掉啊，肯定不会是平移，因为要是平移的话，他倾斜程度不会变的啊，而这个他的斜率既然发生了变化了，那他肯定不能是平移啊，那不能是平移，难道还是转吗？ 转的话，但是与外周交点现在也不是一个固定的点呢，难道绕着零 k 加一转吗？ 并不是啊，如果要是转的话，他必须得是绕着一个定点转，我们才有办法去分析啊。那，那这个直线到底是怎么转啊？他的确是转，但是他并不是绕着与外轴交点转啊，我把它稍微变个形，我们就能够看出来了。 首先呢，我们先把所有含有参数 k 的 项先给它合并一下，这不就是 k 倍的 x 加一嘛，然后这个加一再照抄下来， 先变成这样啊。当然了，这个形式它并不是那种非常规范的那个一次函数形式的样子啊，并不是这个 y 等于 k， x 加 b 的 样子，但是这个样子有这个样子的好处，就是我们看到这种这种形式，我们会发现， 这个 k 的 值无论怎么变化，只要 x 等于负一， y 的 值都会是一个定值的。 为什么？因为只要 x 是 负一，把负一带入这个地方，它都会变成零的。那无论 k 是 多少 k 乘以个零，它不都会变成零吗？零加一不就得一吗？所以当 x 得负一，是 y 永远都得一。所以原来的这个图像，不管 k 如何去变化，它永远都会经过一个定点， 这个定点就是负一一这个点，那你想一个直线它是动态的，可是它永远都经过一个这样的点，这不就说明这条直线就是绕着负一一在转动的一条直线吗？ 啊？也就是说这样的直线确实确实是在转的，只不过他呃他呃他所过的这个动点啊，我们得需要自己去找一下，去分析一下才行，而不是说所有的这种转的转的问题都是绕着与外轴交点，像第一种情况那样去转啊，不是这样的。 好，我再换一个例子啊，比如说 y 等于二， m， x 减 m 减三，哎，你看这种，它的 k 就是 二 m b 呢？这不就是负 m 减三吗？ k 和 b 都是变的吧？都是变的，那这个直线肯定不能是平移，肯定就得是转，可是绕着谁转， 那我们绕着的这个点肯定得是定点。所谓的定点就是无论 m 娶谁都经过的点，也就是说白了 m 是 不发挥作用的。怎么样才能让 m 发挥作用啊？那就让 m 消失呗，让它乘以零就可以了。所以怎么办呢？那我们就把 有 m 的 项合并为一项，提出 m 变成 m 倍的二， x 减一，然后这个减三照抄下来。我不是想让 m 消失吗？ 那我就想那 m 怎么才能消失？他得与零相乘才能消失吧，这一部分就得得零吧，这一部分要是得零的话，那 x 这不就得二分之一吗？ 只要 x 的 二分之一，你代入这个括号全都是零，那零乘以任何一个数都得零，那 y 就 一定会得负三。因此这个直线所过的定点就是二分之一负三，所以这条直线他就是在绕着二分之一负三这个点在转动的一条直线啊， 好了，那我们在做题的时候啊，遇到的直线无非就是这三种不同的情况啊，所以我们拿到一道题，一定要先分析清楚，一定要先看清楚这个直线，他如果是动的话，他到底是转还是移，如果他转的话，他到底是绕着哪个点转啊？ 然后你把这些分析清楚，然后你再回到图中去分析，才能够有可能把这种问题做的对啊，这是我们需要的两个知识储备。现在呢，我们就回去看一道例题啊。 好，我们就呃以延庆去年的这道期末考试题为例啊， 第一问，一般我们都是百分之百能够拿到分数的啊。我们先把第一问的这个表达式先求一下说，在坐标系当中，依次函数 y 等于 a， x 加 b 的 图像过一个点，且平行又出现了平行了，只要是平行条件反射， 就一定是 k 相等，因此呢，这里边的这个 k 啊，也就是这个 a 肯定就是跟他的 k 是 一样的，是负二了啊。因此现在这个直线就是 y 等于 负二， x 加 b， 而图像又经过负一负二这个点，把负一负二这个点代入，就是负二等于二，加个 b， 求出 b 的 值肯定是负四，因此依次函数的表达式就是 y 等于负二， x 减四了啊。这就是这个第一问， 我们来看第二问，第二问就说啊，首先是说的是当 x 大 于负一时，大于负一的意思，就是我们要观察图像的时候，要重点观察负一的右侧啊， 对于 x 的 每一个值说，这个函数的值大于这个函数的值啊。一说函数值谁大谁小，这其实反映到图上，就是告诉我们的谁的图谁高谁低，谁的函数值大，那谁的图就要高，那就说明这个 y 等于 k， x 加 k 减二，它的 图应该是高于 y 等于 ax 加 b 的 图的啊。当然这个高于是指的是在负一的右侧， 这一点是成立的，而且还要小于函数 y 等于二 x 啊，那这个题跟去年的中考有点像啊，还是三条直线，那我们就先把目前已经确定的两条直线先给他画出来啊， 那这个 y 等于 a， x 加 b， 这不就是上上一问，我们第一问求得的这个 y 等于负二， x 减四吗？我们先把它的图给它画出来啊，大概就是这个样子啊，这个是 y 等于 a， x 加 b 的 图像。然后呢，还有一个已知的图像是 y 等于二 x， y 等于二 x 肯定是过圆点的一条直线啊，除了圆点之外，我们再取一个点就行了。当 x 等于一的时候， y 呢，应该是二啊， 那这个 y 等于二 x 的 图大概就是这个样子。好，所以现在呢，这两条确定的直线的图像我们就已经画出来了， 那只有谁画不出来呢？就是这个动态的，就是就是 y 等于 k， x 加 k 减二啊， 那它的图是动态的，那我们就要先看清楚怎么动才能够数形结合解决问题。那刚才我们总结过了一次，函数的图像无非就是平移和旋转， 那它是平移还是转呢？我们来看它的这个自变量，一次项的这个系数呢？是 k 啊，那那个 b 常数项 b 是 谁呀？是 k 减二， 这也不是常数了吧，所以说 k 和 b 都是变化的，那这样的直线应该是刚才我们所说的那个第三种类型啊，最复杂的那一类还是绕着一个点转的，那所以这个直线我们要分析清楚，它到底是绕着哪个点转啊？按照刚才我们讲的方法， 那绕着谁转？就是我们要找一个这个直线永远都经过的一个定点，那这样的定点就是跟这个参数 k 是 无关的，所以怎么找到这样的点呢？把参数 k 先 把它放到一块，所有带着 k 的 项合并在一起，那就是 k 倍的 x 加个一，然后再减去一个二。好，那我们会发现呢，如果我要想让 k 消失的话， k 不是 得与零相乘吗？那么这个时候 x 肯定得是负一吧，只有 x 等于负一的时候，你代入这个括号就变成零了， 零乘 k 不 就是零吗？那 y 永远都得负二吧。哎，所以说他所经过的定点就是负一负二这个点，换句话说就是当 k 的 值发生变化的时候，这条直线永远经过负一负二这个点，也就是说他是绕着负一负二这个点在 转的啊。那我们现在就分析清楚这条直线他到底应该是怎么动的了啊？好，我们从中去找到负一负二这个点的位置，就在这 负一负二这个点刚好。哎，就是谁呀？就是 y 等于二 x 和 y 等于 ax 加 b 这两条直线的这个交点，因为正好那个负一负二这个点，既在外等于 ax 加 b 上，还在外等于二 x 上啊。 好，然后我们现在呢，就是如果我们自己在做题的时候啊，就可以拿出一个尺子来啊，用这个尺子呢？嗯，绕着这个 你必须要经过的这个定点，让他转起来了，一边转一边去观察啊。好，我们再看一下要求是什么来着？是对于 x 的 每一个值，我们这个动态的这个函数，它的值都要大于 y 等于 k， x 加 b 啊，而且我们要关注的是负一的右侧，为了看着更方便啊， 我画一条虚线，这是直线 x 等于负一那条直线啊，这条直线上所有的点都是 x 是 等于负一的，那大于负一就是什么意思？大于负一，那不就应该是负一的右边吗？啊，我们要观察的就是负一负二这个点的右侧的情况啊。在右侧， 我需要让我这条白色的线是大于 y 等于 ax 加 b 的 函数值的，也就是说，在呃，我这条虚线的右侧，我的白线必须得是比 y 等于 ax 加 b 这条线 是要高的啊，我把我的这个 y 等于 a， x 加 b 这条线换个颜色啊。好，现在三条线颜色都不一样了，所以我们会看得更清楚啊。我们来看一下到底是啊，这三条线线的这个高低关系是什么样的。 动态的这条线大于 y 等于 k， x 加 b 的 值，小于 y 等于二 x 的 值。这句话的意思就是，在负一的右侧，我的白色的线要比我的蓝色的线它得高， 同时又得比 y 等于二 x， 也就是红色的这条线它得低，因为这里是小于啊，小于函数值小就是低的意思在图中，所以我现在画的这条白色的线可不可以呢？ 可以，因为这条这种，我现在画的这条白色的线，正好就能够做到在这个焦点右侧，你看这个白线是不是介于蓝线和红线之间呀？高于 这个蓝线就是 y 等于 a x 加 b， 而低于 y 等于二 x 这个红线，是吧？这种情况是合理的，所以而我这条白线呢，又是在绕着负一负二这条线，它是在转的，那我就让它一边转一边观察呗， 是吧？当我这个白线转起来的时候，不管怎么转，我都我都得让它就是在负一的右侧，让它介于蓝线和红线之间。你看我现在目前画的这些位置， 我已经移动了这条白线的位置了，但我始终是让这个白线绕着负一负二在转的啊。我尽管是转了，但是你会发现在负一的右侧白线依旧比蓝线高，比红线低啊， 但是是不要看这个，不要看这个左侧的，因为人家要求就是要求负一的右侧吗？符合这个高低的关系，就这个前提条件就行了啊，不要看左侧，只看右侧就行。所以呢，我们接下来就是在转的过程当中找到两个临界状态，然后 求出临界值就可以了。那这就很好分析了，我要想做到让这个白线啊，在负一的右侧比蓝线高，比红线低，那我这个白线不就是只要分布在 蓝线和红线之间的这个区域啊，或者说这个区域当中去画线不就可以了吗？就是我不能画的是什么样的呀？我不能画的就是 这样的，因为这个时候，你看这个白线在负一的右侧，他比蓝红这不是都高了吗？是吧？或者是我这么画，他也是不行的，这样的画的话，在负一的右侧，他就会比蓝红都低啊，所以这两个位置都是不行的啊， 不行了我就把它去掉了啊。所以就是我必须得让这个白线啊，在这两个紫色的 范围里头动起来就好了啊，在这紫色区间里头动起来就行。所以说这个白线他的两个连接位置就是与蓝线重合的时候和与红线重合的时候呗。 当然重合的时候这个这个状态可不可取呢？肯定是不能取的呀，因为我们没有等于这个要求是吧？都是说的是大于小于，所以肯定是不能重合，但重合位置呢？会是一个临界值啊。 嗯，当我的这个白线跟红线重合的时候，重合的时候，这个时候这个 k 斜绿，这不就跟红线的 k 是 一样的吗？就是二，当跟蓝线重合的时候，那斜绿 k 就 会跟蓝线的 a 是 一样的。那 a 刚才我们求过了 a 的 值，这不是 a 的 值是多少了，是负二，对不对？所以说我们的两个临界值就是一个是正二，一个是负二，那我们接下来只要再去想清楚我的范围到底是介于负二和正二之间，还是比二大还是或小于负二 就行了。那我们之前有讲过一个规律，我们说如果在同一个坐标系当中啊，这些直线如果是旋转起来的话啊，如果要是有很多条直线，我们如何去快速 比较出他们的协律？ k 的 值的大小关系，或者说这个 k 的 值的大小关系是如何变化的？变化规律是什么？就是在这个焦点的右侧由下到上，这不是逐步变大的吗？按照这个箭头的顺序， k 的 值是逐步变大的， 而我符合要求的这个区域是我需要让白线落在这两个紫色阴影部分之间啊，那很明显，这个紫色阴影部分之间在右侧，是在这个蓝线的上方，在红线的下方啊，那肯定是比蓝线的斜率 k 要大，那比红线的斜率 k 就是 要小的， 所以综上所述，我的这个 k 的 区域范围均是大于负二，小于二啊，这就是这个题的答案了， 那等号能不能取呢？刚才我们已经说过了哈，不可以取啊啊，但是啊，不管怎么样，你要养成一个习惯，就是我们只要求取值范围的问题，我找出来两个临界值了， 比如说，呃，不管这两个临界值是多少啊，我都要去验证两件事，一个事是我找到了两个临界值，我的答案是介于这两个临界值之间还是两边。另外一个是我找到了两个临界值，那我这两个临界值到底这个等号是可取还是不可取，这都要验证一下，最后再写出最后的结果啊。 好了，这道题是属于像这种一次函数小综合的题目当中，属于顶级难度的了啊，那如果说这样的三条线的你都会分析了，那么比它简单的肯定也就不在话下。我们再来总结一下这种题的做法啊，第一步 肯定是要先画图啊，把已经明确已知解析式的图先画出来啊。然后第二步要想， 这个解析是不确定的，这条直线他是怎么动的啊，就是在这个参数，要是值，这个值要是发生变化，他就是怎么做，他到底是怎么动。那刚才我们一开始就总结了，他其实就只会有三种情况啊，绕着与外轴交点转， 平移，或者是绕着一个定点转，如果是绕着一个定点转，这是最复杂的，你要会去找定点，比如说像这道题，他就是绕着 负一负二转啊，那你找到知道他怎么转了，然后你接下来就拿着你的尺子找到他所经过的这个 定点，真正的转起来，一边转一边观察，看看在什么区域里边才符合他所要求的这个图的这个关系啊？ 然后找到临界值，写出范围，最后再检验等号是否可取啊，这就是这样这样的题的解体流程啊。但是如果要是平移的话，那就不是找定点了啊，平移就是，呃，比方说上面有道题这个地，这个朝阳的这道题， 你看它这条动态的直线是 y 等于二分之一， x 加 n， 它的 k 是 定值二分之一了，而与 y 折角点零 n， 它是变的，所以它就是上下平移的话，那你就呃先先看一下这个直线，它是左高右低还是左低右高啊？ 斜率 k 是 二分之一，是个正数，肯定是 y 随 x 增大而增大，所以它肯定是左低右高的这样的直线，那你在坐标系当中，你就让它上下动起来啊，然后再一边动一边去观察它这个图，图像动到什么位置才符合这道题它所规定的这个要求啊。

好，那接下来呢，我们讲第五节啊，一次函数与方程不等式的这么一个关系，那这一节呢，主要是跟考点有关，所以我们主要是讲一些题型，那我总结下，基本上也就是解决这四类问题啊，我们分别来讲一下， 那我们先看第一个啊，如何画一次函数图像，那当然呢，这个问题他不会单独考 啊，也说他会跟其他知识啊，或者是最基本的，你得会画他的图像。前面我们讲过这个一次函数呀，他是一条直线，所以你要想画一条直线的话，是不是只需要找到两个点就行了？两点确定一下。好，那现在我举的这两个例子，第一个是正规的函数 正比函数，我们知道他已经肯定过原点了，所以这就首先确定到一个点上，所以现在我们只需要再找一个点就够了，你比如说你这再找到另一个点呢，你就复制。行了，你让 x 等于一，那 y 就是 二，所以我们再找到一二两点，确定一线， 那这样我们就把它图像给画出来了啊，那第二个呢，这是一个标准的一次函数， 那他的图像怎么画呢？也是找两个点，那这两个点呢？当然你也可以通过复制随便复啊，你就说你让 x 等于一，那 y 就是 负二， x 等于二啊， y 就是 负五啊，你可以这么去找这两个点， 但实际上我们做题的时候呢，一般找的这两个点是与坐标轴的两个交点啊。那首先我们知道它的截距是一啊，那我们上节讲了，截距就是与 y 轴的交点，所以它与 y 轴的这个交点啊，是在一这个地方， 那与 x 轴交点在哪呢？你想它与 x 轴交点，这个交点的是不是纵坐标一定是零啊？所以我们依次函数与 x 轴交点，就是让后边这一块等于零，也就是让 y 等于零就行了啊， 那就是负三， x 加一等于零，所以解出 x 等于三分之一，所以与 x 交在三分之一这个地方啊，大约这个样子，那两点确定一线， 这样吗？就把它的图像给画出来了啊。好，那我们再来看一下第二题啊，那第二个题呢？它就是比较经典的直线系方程问题啊，或者叫含三直线。那我先解释一下哈，什么叫直线系方程？你像这样的 一条直线呢？它除了 x、 y 之外，还有其他参数不知道？你像这里边还有个 m 不知道，那这样的直线呢？就叫直线细啊，细就是一系列一系列的意思， 那它为什么是一系列呢？你 m 取不同的值，那是不是就对应着不同的直线？等于说这条直线啊，它并不是一个确定的，那随着 m 不 同，那第四函数也就不同， 那一般这类问题呢？他会问你，他说关于 x 的 意思函数这个意思函数，他说不论 m 取何值时，他的图像都过某个定点，他让你去求这个定点坐标，当然我这这个是抽离的，他有些时候他不会这么问，但是你要想做那道题的话， 你必须得知道啊，这个一次函数横跨哪个定点啊？那怎么解决这个问题呢？所谓定点啊，就是因为我们刚才解释了这个直线，它是一个直线系啊，它是不是一个确切的直线，这个直线随着 m 变化在变化啊， 那所谓定点就是无论你这个直线怎么变，我把那个点的坐标带进去，怎么着？永远成立？说你找到一组 x， y 带到这个式子去，这个式子无论 m 是 几，它都成立。 这个题我先直接告诉你答案，答案是多少呢？是负四负二，也就是说当 x 等于负四的时候，你看你把 x 带进去， x 等于负四，那这个式子变成 y 就 等于负四， m 加四， m 减二，你看此时 y 一定是减，一定是负二， 那你他肯定就不受 m 影响，你 m 爱谁谁谁谁，因为他这两个 m 都抵消了，所以啊，直线系方程就横过这个点， 这就是直线系方程过定点问题。那如果我们去总结的话，它的策略非常简单，让你把它提供式提在一起，把它画成这个样， m x 加四来减二，让这个参数的旁边这个人就他相乘的这个因子等于零， 那你让这个人等零解出 x 就 等于负四，为什么让它等于零的时候，那在这个式子当中， m 就 不受 m 影响了， 因为你这块等于零，那 y 就 直接等于几， y 就 直接等于负二了，那也就说含差直线问题过定点都是把参数提供式提在一起，接下来让参数旁边这个因子等于零就行了啊。好，那就是直线器方程过定点问题。 好，那接下来呢，我们来讲第二个就是如何求一次函数的解式啊？这个很简单，因为我们一次函数的解式，它的一般式是 y 等于 k， x 加 b， 所以你要求他的话，只要知道 k 和 b 这两个参数就知道了啊，那这是两个未知元，所以你得需要两个等量条件来解决 啊。那你像这个题，他说一次函数图像经过这两个点，求这个一次函数解析式，那咱就可以设该函数解析式为它，它既然经过这两个点，是不就可以带进来，那我把二负四带进去，那就得到二 k 加 b， 那 外次是负四， 然后把负三十一代入，那就是负三， k 加 b 则是外设十一，这样我们就得到了一个关于 k 和 b 的 方程组，我们来解一下，这是一十二十啊，我们相减的话，就是五， k 等于负十五，所以 k 就 等于负三， 那把 k 等于负三，带到下边这个十字里边吧，那变成九加 b 等于十一，所以 b 就 等于几， b 就 等于二，所以这样嘛，就解出 k 和 b 来了。那所以这个直线解式就是 y 等于负三， x 加二， 那这个方法就叫待定系数法，待定系数法啊，求这个解式啊，所谓待定呢，就是说因为你求一次函数嘛，那它一次函数肯定长这个样子呀， 长这样子，你这 k 是 几？ b 是 几？那也不知道，是吧？咱就先待定着，利用已知条件来列方程啊，分别把 k 和 b 解出来啊。 好，那我们再来看一道题哈，那这道题就会哪一点啊？它的核心逻辑都是这样的哈，其实找到两个点就够了，因为一次函数就 k 和 b， 所以 你只要找到两个点，找到两个等量条件啊，列方程组就行了 啊。那我们看一下这个题，他是如图啊，那这个直线，我们来快速看一下与 y 轴的截距是几？ 他说与 x 轴外轴交于 ab 两点，其实就是与两个坐标轴的截距，我们需要先算一下啊，那与 y 轴的截距呢？就是八啊，交这个 y 坐标，这个八这个地方， 那与 x 的 交点呢？我们说了，就像这块等于几等于零就行了，那所以解出来 x 等于六啊，所以这个点就是六啊， 他说这个角 b a o 的 角平分线啊，也就说 am 他 们去求这个角平分线啊， am 这个直线的解式， 那这条直线的解式他已经过 a 这个点了， a 这个点是六零，那刚根据我们刚才 a 点虚法，是不得需要两个条件，是吧？所以还差一个， 所以其实接下来任务就是求 m 点坐标就行了啊，那 m 点坐标怎么求呢？那这地方是一个角平分线啊，角平分线就是我们初中所说的四大线啊，只要出现了角平分线，我们就要考虑它常见的一个辅助线做法哈， 那这个辅助线做法采用截长法有什么意思呢？延长 a o 至某个地方，我们叫 n 吧，使 a n 跟 ab 怎么着 相等这么一两，那这样就形成了这么一个对称的一个全等啊。那你要求 om 点坐标吗？你可以设一块长为 x 啊，设这块长为 x， 那 上面这一块呢？就是八减 x， 那 由于全等，所以这一块它也是八减 x 啊， 长是八，这个长是六六八十吗？所以这个斜边就是十，那这个斜边，那因为这一块他跟这一块相等吗？是吧？所以这块也是十，那这一块是十，而他这一块是六，所以单个这一块就是四， 那这块就是四，所以这时候我们就可以在直角三角啊勾股定力怎么着？列方程就行了，所以我们可以得到十六加上 x 方，就等于八减 x， 扩大平方，那就是六十四减二，八一十六 x 再加 x 方， 然后约掉十六 x 就 等于六十四减十六是几，然后八五四十八，四十八是 x 等于几， x 等于三，那 x 等于三的话，所以这个 m 点坐标就是几，就是零三。 好，那到 m 点坐标了，知道 a 点坐标了，那是不是我就可以用刚才的方法啊，代定系数法来把这个直线求出来了？当然呢，因为 m 这个点是一个特殊点，它是有 y 轴的截距， 所以这个时候我们去代定系数法的时候，可以直接设 y 等于 k， x 加三，因为它这个截距就是三，所以这个 b 不 需要你求了， 也就是说你此时待定的话，只需要待定一个字母 k 就 够了，然后再根据他由于过六零这个点，然后再带进来变成六等于六， k 加三啊，所以 k 就 等于几负二分之一，那所以这条直线解释就是 y 等于负二分之一， x 加三， 这样我们就解出来了啊。好，那现在呢，我给同学们一个小技巧，那我们实际上后期这个 k， 当我们初学的时候，教材都是这么讲的，是吧？是把这两个点怎么着带进来，但实际上这个 k 我 们是有公式的啊，后期我们直接用斜率公式， 你这个斜率公式 k 等于多少呢？也说如果你知道两个点坐标了，你说 a 点坐标是 x 一 y 一， b 点坐标是 x 二 y 二， 那经过这两个点，它直线的斜率 k 是 多少呢？是纵减，纵除以横减横来说， y 减 y 一， 除以 x 二减 x 一， 当然呢，你对调过来也一样，因为你同时对调的话，它的正负性是不是也是不变的？用二系列减一系列，或者用一系列减二系列都行哈，好，那我们用这个方法来快速算下这道题，那这个 k 就 等于几， 那纵减纵，那十一减负四就是十五，横减横，那负三减二就是负五，所以一下就算是几是负三， 所以这时候你就可以代定 y 等于负三， x 加 b， 把这两个点当中的随便一个再带进来，就把 b 解出来了，那这样就省一点事啊，你就说你不需要解这个方程组了啊。 好，那这就是第二个点啊，如何求一次函数解析？好，那我们再来看第三个点，第三个点呢？如何求这个焦点坐标啊？那这个其实很简单啊，我解释一下，这 l 一、 l 二 l 一， 我快速画一下哈，大约这个样子，这是 l 一， l 二的话，大约这个样子，这是 l 二。这两个直线呢？他产生了一个焦点啊，他们去求这个焦点的坐标，我直接告诉你结果， 求这两个直线焦点坐标，就直接连立这两方程就行了，就连立， y 等于二， x 加一和 y 等于负， x 加三，解这个方程组解出来。 你解这个方程组啊，解出这个 x 等于三分之二， y 等于三分之七，那这个点，这个方程组的解就是这个焦点的坐标啊，这就是求两个一次函数焦点坐标的方法。那为什么是这个样呢？其实也很好理解，因为你这个焦点它的特点是什么？ 他是不是既在这个 l 一 上，也在 l 二上啊？也就说，如果你设个焦点为 x y 的 话，他既会满足这个方程，也会满足这个方程，那既满足这个方程，也满足这个方程，那这不就方程组的定义吗？所以我们总结一句话，就叫联力方程，求焦点啊。 呃，好，那我们再来看最后一个，就说如何利用图像解这个不等式啊。那我们通过这个题目来看一下啊，他说一次函数 y 一 等于 x 加三啊，就是这条直线 y 二图像啊，就这条直线说交于一四这个点，那这个题呢， 他这个焦点坐标是知道了，现在让我们去解这个不等式，那有些同学老师，我知道这个焦点了， 我把这个焦点带进来不能，如果我能把 a 和 b 解出来的话，那这个不等式就转成了一个我们熟悉的这个一元一次不等式了。但由于你这个 y 二这条直线，它是两个 a 和有两个参数不知道，而你现在的条件只有一个，所以 a 和 b 实际上是解不出来的啊， 所以这个就是要利用图像来解啊。那怎么去解呢？其实原理也非常简单，我先列这么一个方程吧，我说这个方程的解是多少？ 那么来看这个方程这一块 x 加三是谁啊？是不是就对应的 y 一 这个函数值啊？这个 a x 加 b 呢？是不就对应着 y 二这个函数值啊？所以你去解这个方程转化成函数来理解的话，实际上是让他在问，当 x 等于多少时， y 一 和 y 二的值相等，那通过图像来看，是不是显着在 x 等于一的时候，这个 y 一、 y 一 和 y 二的函数值相等都是几啊？都是四啊？好，那么再来看一下第四节啊，利用这个图像来解不能。是啊，那我们通过这个例子来看一下， 他说搁这有一个一次函数啊， y 等于 x 加三，还有这个 y 等于 ax 加 b， 那 他们交于点 p， 也说这个 p 点坐标是知道的是一四，他们去解一个关于 x 的 一个不等式，那么来观察这个不等式啊， 他是有三个未知数的，有 a， 有 x， 有 b， 所以 你直接没法解啊，他这是三个未知数，那就说我能不能把 a 和 b 解出来呀？因为他说 y 二的图像相交于他，所以他知道一个点了，那你这把一个点带起，那也不够啊，因为你要解一个二元的，你得知道两个等量条件呀。 所以你想通过把 a 和 b 解出来，然后再解这个不等式啊， 那这个不等式怎么去解呢？这个样，我先让你解一个方程。解啊，这个方程怎么去解啊？那么来观察一下这一块是谁呀？这一块是不是对应的这个 y 一 呀？ x 加三， y 一 是不是等于 x 加三呀？对吧？这一块呢， 他就对应着 y 二啊。那所以这个方程如果用函数啊，他的意义来理解的话，就是在问，当 x 等于多少时，因为你解的是一个关于 x 吗？当 x 等于多少时，这个 y 等于 y 二啊？实际上是在问这个问题， 那你要问这个问题，通过图像就看出来了，你发现 x 等于一的时候，他俩人的函数值一样都是四， 所以这个方程它的解解就是 x 等于一，这就是我利用图像来解的这个方程，你如果硬解，你也没法解，因为这个方程它有三个未知数，所以你只能用图像来解啊。 好，那现在如果我们说明白了，利用这个图像来解方程了，那解这个不等式，那自然也就好理解了。 他说 x 加三小于等于 ax 加 b， 那 还是这个人就是 y 一， 这个人就是 y 二，所以你解这个就相对解 y 一 小于 y 二，也是在问，当这个 x 等于什么啊？等于哪些数？因为他就是不等式了哈。 当 x 等于哪些数的时候，这个 y 一 小于等于 y 二，那 y 一 小于等于 y 二，反映的图像上就不是一样高了，而是他的图像要比他图像怎么着啊？要低。 那通过图来看， x 等于一的时候，他俩人一样高，那 x 去哪些范围的时候，这个 y 一 比 y 二他低呀？ 显然以这个焦点为分界线左侧，你看这个 y 一， 他就在永远在这个 y 二的怎么着？下方，所以那他的解集就是 x， 只要在一的左侧就是小于等于一的时候， y 一 就小于 y 二，那这个不能使的解集就是他。 好，那这就是利用图像来解不等式啊。好，那同学们，我们下一课再见。

我们来看一下小结啊。嗯，第一个方程组的结与两图像交点坐标存在着对应关系。什么意思？如果已经知道了啊，两个直线的方程，一个是 l， 一 是 y 等于 k 一， x 加上 b 一， 一个是 l 二啊， y 等于 k 二， x 加上 b 二。如果我让大家去求这两个方程交点的横坐标应该怎么做？大家是不是其实就是在连累这两个方程啊？ 哎，这两个方程连累之后求出来的解啊，是怎样？他的解是一个点对吧？一个是 x 等于什么？什么又是 y 等于什么？什么啊？他的这个解是什么呀？就是他们这个函数图像 焦点的这个横纵坐标，对吧？因为这个时候啊，才会产生他的 y 就是 他的 y， 他的 x 就是 他的 x， 对 吧？才可以连立嘛，对吧？他当他们的 x 和 y 都相同的时候，不就是他们相交的时候吗？啊，这是第一个，第二个用函数的这个视角去分析问题啊，就如果有的时候呢，题目中问我们啊，一个式子 啊，他是不是要大于零啊，什么时候大于零啊，什么时候小于零啊，什么时候大于三呢？哎，我们呢，可以把这个式子当成一个函数，去研究这个函数的图像来解决问题。好，那这节课的内容呢，就全部讲完了，大家下节课再见。拜拜。